KATA PENGANTAR. Amin Herwansyah, S.Pd., M.Si., Undang Supriatna, S.Pd., M.M.Pd., Rita Nursari, S.Pd., M.M.Pd.,

Nama

: ……………………………………………………

Kelas

: ……………………………………………………

Sekolah

: ……………………………………………………

KATA PENGANTAR Puji dan syukur kami panjatkan kehadirat Allah S.W.T. Berkat karunia dan hidayah-Nya, Buku Lembar Aktivitas Siswa ini telah selesai kami susun untuk dapat digunakan sebagai penunjang aktivitas belajar mengajar. Buku Lembar Aktivitas Siswa ini kami susun berdasarkan kurikulum 2013, yang menekankan penggunaan pendekatan scientific dalam proses belajar mengajar. Dalam setiap bab pada buku ini memuat Ringkasan Materi, Aktivitas Belajar, Uji Kompetensi dan Soal Tantangan sehingga diharapkan dapat menunjang siswa dalam proses belajar di sekolah maupun di rumah. Buku ini ditulis oleh tim musyawarah guru mata pelajaran (MGMP) matematika tingkat SMA kota Sukabumi, sehingga isi dan sistematikanya lebih sesuai dengan karakteristik peserta didik di lingkungan kota Sukabumi. Kehadiran buku ini diharapkan juga akan bermanfaat bagi guru-guru matematika sebagai penunjang dalam proses belajar mengajar di kelas. Namun kami menyadari masih terdapat kekurangan, sehingga kritik dan saran sangat kami harapkan.

Tim MGMP Matematika Kota Sukabumi Amin Herwansyah, S.Pd., M.Si., Undang Supriatna, S.Pd., M.M.Pd., Rita Nursari, S.Pd., M.M.Pd., Pujia Siti Balkist, S.Pd., Galih Permana Saputra, S.Pd., Liliek Yuliastuti, S.Pd., Dini Mardiyani, S.Pd. Immawati, M.Pd., Sena Komarrudin, S.Ip., S.Pd., Asep Yana Komarudin, S.Pd., M.M.Pd., Jalil, S.Pd.I Dwi Retno A.P, S.Pd., Yani Mulyani, S.Pd., Agnes Reswari Ingkansari, M.Pd., Elin Parlina, S.Pd.I. Endang Kartikasari, S.Pd., Tati Hayati, S.Pd., M.M.Pd., Zaenal Arifin, S.T., Tasdikin, M.Pd., Insap Santoso, S.Pd., Suningsih,S.Pd., Lia Yuliana, S.Pd., Drs. Th.Didit M, Asep Kusmayadi, S.Pd. Drs. Agus Sutisna, Yusuf Burhanudin,S.Pd., Eka Budiyanto,S.Pd.

Editor :  Galih Permana Saputra, S.Pd.  Liliek Yuliastuti, S.Pd.

i

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR .................................................................................................................. i DAFTAR ISI ................................................................................................................................ ii Kompetensi Inti ........................................................................................................................... iii Kompetensi Dasar........................................................................................................................ iii

Bab 1 Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma A. Bentuk Pangkat .............................................................................................................. 1 B. Bentuk Akar................................................................................................................... 3 C. Bentuk Logaritma .......................................................................................................... 7 Bab 2 Persamaan dan Pertidaksamaan Linier A. B. C. D. E.

Konsep Nilai Mutlak ...................................................................................................... 9 Persamaan Linier ........................................................................................................... 11 Pertidaksamaan Linier .................................................................................................... 12 Persamaan Nilai Mutlak ................................................................................................. 13 Pertidaksamaan Nilai Mutlak ......................................................................................... 14

Bab 3 Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linier A. Sistem Persamaan Linier Dua Variabel........................................................................... 17 B. Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel .......................................................................... 25 C. Sistem Pertidaksamaan Linier Dua Variabel ................................................................... 27 Bab 4 Matriks A. Konsep Dasar Matriks .................................................................................................... 35 B. Operasi Hitung Pada Matriks ......................................................................................... 41 C. Determinan dan Invers Matriks ...................................................................................... 44 Bab 5 Relasi dan Fungsi A. Konsep Relasi dan Fungsi .............................................................................................. 47 B. Sifat-Sifat Relasi ............................................................................................................ 50 C. Sifat-Sifat fungsi ............................................................................................................ 52 Bab 6 Barisan dan Deret A. Definisi Barisan dan Deret ............................................................................................. 55 B. Barisan dan Deret Aritmetika ......................................................................................... 56 C. Barisan dan Deret Geometri ........................................................................................... 61 Daftar Pustaka .............................................................................................................................. 67

ii

Kompetensi Inti KI 1 Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya. KI 2 Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggungjawab, peduli (gotong royong, kerjasama, toleran, damai), santun, responsif dan pro-aktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia. KI 3 Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah. KI 4 Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif, serta mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan. Kompetensi Dasar 2.1 Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah. 2.2 Mampu mentransformasi diri dalam berpilaku jujur, tangguh mengadapi masalah, kritis dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika. 2.3 Menunjukkan sikap bertanggung jawab, rasa ingin tahu, jujur dan perilaku peduli lingkungan.

iii

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI Bab 1

BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA

Kompetensi Dasar : 3.1 Memilih dan menerapkan aturan eksponen dan logaritma sesuai dengan karakteristik permasalahan yang akan diselesaikan dan memeriksa kebenaran langkah-langkahnya. 4.1 Menyajikan masalah nyata menggunakan operasi aljabar berupa eksponen dan logaritma serta menyelesaikannya

menggunakan sifat-sifat dan aturan yang telah terbukti

kebenarannya A. BENTUK PANGKAT I. PANGKAT BULAT POSITIF Proses perkalian bilangan berulang dapat ditulis sebagai: 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 35  35

disebut bilangan berpangkat

 3

disebut bilangan pokok

 5

disebut pangkat

Untuk aR, dan n bulat positif maka an = a x a x a x … x a sebanyak n faktor

AKTIVITAS BELAJAR

Diskusikan dan kerjakan soal berikut ini: 1. Tuliskan perkalian berulang dalam notasi pangkat! a. 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = …. b. a x a x a x a = ….. 2. Tuliskan tanpa menggunakan pangkat! a. (-1)3 = …. b. 4 p3 = ….

Lembar Aktivitas Siswa – Kelas X (Wajib) – Semester 1

1

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI II. SIFAT-SIFAT BILANGAN PANGKAT BULAT POSITIF AKTIVITAS BELAJAR

1. Tentukan hasil perkalian bilangan pangkat a. 34 x 35 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 3.... 4 faktor 5 faktor 2. Tentukan hasil pembagian bilangan berpangkat:

am x an =

a …+…

3. Tentukan hasil perpangkatan bilangan berpangkat: a. (23)2 = 23 x 23 = (2 x … x …) x ( 2 x … x …) = 2 …

(am)n = a …x…

4. Tentukan hasil perpangkatan pada perkalian bilangan: ( a x b ) n= …. … x … …

a. (4 x 3)3 = (4 x 3) x (… x …) x (… x…) = (4 x … x … ) x (3 x … x …) = 4 … x 3… 5. Tentukan perpangkatan dari hasil bagi dua bilangan berikut: ( )

III.

( ) ( ) ( )

( (

. /

) )

PANGKAT BULAT NEGATIF DAN NOL

AKTIVITAS BELAJAR

Perhatikan sifat am : a n = a m – n dan definisi bilangan berpangkat: (

) (

)

Coba Anda diskusikan dan simpulkan: a). Jika m > n

b). Jika m < n

c). Jika m = n

UJI KOMPETENSI 1

Hitunglah hasil operasi: 1)

2)

.

(

)

/ . /(

)

; untuk


2

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI B.

BENTUK AKAR

I. PENGERTIAN BENTUK AKAR a. Diketahui sebuah segitiga siku-siku ABC , panjang sisi AB = 1, BC=1 (lihat gambar) A

Dengan menggunakan rumus phitagoras, dapat dihitung panjang sisi miring (AC) (AC)2 = (AB) 2 + (BC) 2 = 12 + 12 = √

B

C

panjang sisi AC dinyatakan dalam bentuk akar √ = 1,414213562 ...... (dengan kalkulator) b. Hitung nilai dari suatu pecahan = 0,333333….. ( dgn kalkulator) dan bentuk akar √ dapat

Dari kedua kasus di atas dapat dilihat bahwa bentuk pecahan dinyatakan dalam bentuk desimal. = 0,33333………. (angka 3 dibelakang koma selalu berulang) √

= 1,414213562 …(tidak dapat dinyatakan dalam bentuk desimal berulang).

Bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan desimal berulang disebut bilangan rasional, bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan desimal berulang disebut bilangan irrasional. Perhatikan √

= 1,732050808… (tak berulang dan tak terbatas)

Sedangkan √

= 2 ……………. (angkanya terbatas)

√ disebut bilangan rasional dan bukan bentuk akar dan √

bilangan irrasional dan disebut

bentuk akar. Jadi bentuk akar merupakan akar dari suatu bilangan riil positif yang hasilnya bukan merupakan bilangan rasional.


3

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI II. MENYEDERHANAKAN BENTUK AKAR Untuk setiap a, b bilangan bulat positif maka berlaku: a. √

a  b

b.

√

√

a

a0 , b0

b

Untuk memudahkan penggunaan bentuk akar dalam operasi aljabar maka bentuk akar dituliskan dalam bentuk akar yang paling sederhana. Contoh: Sederhanakan bentuk akar berikut! 1. √

= √

2. √

= √ x √

=√

= 2x√

= √

x√

=2√ =

√

UJI KOMPETENSI 2

Sederhanakan bentuk akar berikut! 1. √

2. √

3. √

4. √

5. √

6. √

7. √

8. √

10. √

11. √

12.

a 2 .b 2 a.b4

9.

III.

81r  2

9r

MENYATAKAN BILANGAN BERPANGKAT PECAHAN DALAM BENTUK AKAR DAN SEBALIKNYA Definisi dan Sifat-Sifat Bentuk Pangkat Pecahan Kita akan menyelidiki hubungan antara bentuk akar dengan bentuk pangkat. a. √ (√ )

= 2a

kita misalkan saja pangkatnya “a”

= (2a) 2

kedua ruas dipangkatkan


4

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI Dengan menggunakan sifat (am)n = a mxn 2

=

22a

21

=

22a

Bilangan pokok pada kedua ruas sama yaitu 2, dan kedua ruas diketahui bernilai sama (dihubungkan dengan tanda “ = ”), sehingga kita bisa simpulkan bahwa pangkatnya pasti sama. Dengan kata lain:  a =

1 = 2a

√ =

Jadi kita memperoleh hubungan:

Dalam bentuk umum, hubungan antara bentuk akar dan bentuk pangkat ditunjukan dengan : √ UJI KOMPETENSI 3

1. Ubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat! a. √

d. √(

c. √

b. √

)

2. Ubah bentuk pangkat menjadi bentuk akar! a.

b.

c.

d.

IV. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BENTUK AKAR a√ + b√

= (a+b)√

a√ - b√

= (a–b)√

Contoh: 1. 3√ + 2√ = ( 3 + 2 ) √ = 5 √ 2. 4√ - √ = ( 4 - … ) √ = … √


5

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI V. PERKALIAN BENTUK AKAR Pada sifat bentuk akar berlaku √

√

√ , dengan a , b  0

Contoh: 1. √ √

2.

√

√

√ (

√

)√

√

UJI KOMPETENSI 4

1. Sederhanakan bentuk-bentuk berikut: a. √ (√ + 3) b. (3√

c. (3√ + 1) √

– 2) √

e. (2√ + √ ) (2√ - √ )

d. (2√ - 4√ ) (2√ + 3√ )

VI. MERASIONALKAN PENYEBUT BENTUK:

√

DAN

√

√

Perlu diingat kembali bahwa:  ( a + b ) ( a – b ) = a2 – b2

 ( a – b ) disebut kawan dari ( a + b )

 ( a – b ) ( a + b) = a – b

 ( a + b ) disebut kawan dari ( a – b )

2

2

 Hasil kali dari pasangan sekawan selalu menghasilkan bilangan rasional. Perhatikan perkalian dari:  (a+√ )(a–√ )  (√

= a2 – b

= a2 - (√ ) 2

+ √ ) (√ – √ ) = (√ ) 2 - (√ ) 2 = a – b

Di atas terlihat bahwa: ( a + √ ) sekawan dengan ( a – √ ) dan (√

+ √ ) sekawan dengan (√ – √ )

AKTIVITAS BELAJAR

Contoh : Tentukan sekawan dari … 1. 1 + √

sekawannya

1-√

sekawannya

……..

3. 4 + √

sekawannya

……..

4. √

sekawannya

.…….

2. √

–8

-√

Merasionalkan penyebut yang bentuk akarnya berupa jumlah atau selisih dari dua bilangan adalah dengan mengalikan baik pembilang dan penyebut dengan pasangan bentuk sekawan. UJI KOMPETENSI 5

Rasionalkan bentuk akar di bawah ini: 1.

√

2.

√

3.

√


6

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI C. BENTUK LOGARITMA I.

MENGUBAH BENTUK PANGKAT KE BENTUK LOGARITMA Pada pembahasan yang lalu, anda diminta untuk menentukan nilai-nilai bilangan berpangkat, misalnya:  22

= 4

 3

= 9

 3-1

=

 51/2

= √

2

Sekarang bagaimana menentukan pangkatnya jika bilangan pokok dan hasil perpangkatannya diketahui? 2 … = 16 5 … = 25 10 … = 100 16 … = 4 Masalah di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan notasi logaritma 2 … = 16 ditulis 5 … = 25 ditulis 16…= 4 ditulis

log 16 = ….  2 log 16 = 4 karena 24 = 16 5 log 25 = .…  5 log 25 = 2 karena 52 = 25 16 log 4 = .…  16log 4 = ½ karena 161/2 = 4 2

dari permasalahan tersebut terlihat ada hubungan antara perpangkatan dengan logaritma, yaitu logaritma adalah invers dari perpangkatan. a

log c = b jika dan hanya jika a

b

= c

a = bilangan pokok dengan syarat a  0 dan a  1 c = numerus ( bilangan yang dicari logaritmanya ) syarat c  0 b = hasil logaritma , syarat bias positif atau negatif atau nol AKTIVITAS BELAJAR

Tuliskan dalam bentuk logaritma pada bilangan berpangkat dan sebaliknya. 1. 3 5

= 234

3 log 234

= 5

2. 42

= 16

 4log 16

= ...

3. 5-2

=



= ...

5

log

4.

3

log 81

= 4  34 = 81

5.

2

log 16

= 4  2 … = ...

6.

3

log 27

= 3  3 … = ….


7

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI II. SIFAT-SIFAT LOGARITMA: 1. 2. 3. 4.

a

a a

log(b.c)=

a

log b +

log(b : c ) 

a

a

5.

log c

log b 

a

log c

6.

log bn = n . alog b

an

7. alog b . blog c = alog c

m log b  a log b n m

8. a

a

log b

b

UJI KOMPETENSI 6

Gunakan sifat-sifat logaritma untuk menyederhanakan bentuk berikut: 1. 3log 4 + 3log 2 2. 2log 16 - 2log 4 3. log 25 - log 32 4. 2log 144 + 2log 125 - 2log 15 - 2log 150 5. 7log . 5log 49 PENILAIAN AFEKTIF

Isilah kuesioner berikut dengan jujur dan bertanggung jawab SKALA NO

PERNYATAAN SL

1

Saya mengikuti pelajaran matematika dengan baik

2

Saya merasa pelajaran matematika sub ini bermanfaat

4

Saya berusaha menyelesaikan tugas tepat waktu

5

Saya berusaha memahami pelajaran dengan baik

6

Saya bertanya pada guru bila ada yang tidak jelas

7

Saya berusaha mencari referensi dari perpustakaan dan internet

SL = Selalu

Nilai Kognitif:

Sr = Sering

J

= Jarang

Nilai Afektif:


Sr

Jr

TP

TP = Tidak Pernah

Nilai Psikomotor:

Paraf Guru

8

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI

Bab 2

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR

Kompetensi Dasar 3.2

Mendeskripsikan dan menganalisis konsep nilai mutlak dalam persamaan dan pertidaksamaan serta menerapkannya dalam pemecahan masalah nyata.

4.2

Menerapkan konsep nilai mutlak dalam persamaan dan pertidaksamaan serta menerapkannya dalam pemecahan masalah nyata.

A. MENEMUKAN KONSEP NILAI MUTLAK

AKTIVITAS BELAJAR

Perhatikan garis bilangan berikut: -5

-4

-3

-2

0

-1

1

2

3

4

5

Tentukan jarak dari titik berikut terhadap titik nol: Titik

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

Jarak terhadap 0

...

3

...

...

...

1

...

...

...

Jarak terhadap titik nol yang dimaksudkan disebut sebagai persamaan nilai mutlak dinotasikan dengan: | | ={

Sehingga nilai pada persamaan nilai mutlak akan selalu bernilai positif. Perhatikan langkah kerja berikut untuk menentukan grafik fungsi dari persamaan nilai mutlak: | | x y

4 ...

3 3

2 ...

1 ...

0 ...


-1 1

-2 ...

-3 ...

-4 ...

9


Letakkan titik-titik yang ada pada tabel pada diagram kartesius berikut: y

x

Lakukan hal yang sama pada fungsi berikut: | x y

4 ...

3 3

2 ...

1 ...

| 0 ...

-1 1

-2 ...

-3 ...

-4 ...

Letakkan titik-titik di atas pada diagram kartesius berikut : y

x


10


B. PERSAMAAN LINEAR AKTIVITAS BELAJAR

Perhatikan penjelasan berikut: 1. Umur Faisal 2 tahun yang lalu adalah

kali umurnya 10 tahun yang akan datang.

Tentukan umur Faisal 3 tahun yang akan datang dari sekarang! Jawab: Misalkan umur Faisal = x (

)

{kalikan dengan 2}

Maka umur Faisal 3 tahun yang datang adalah:

Sehingga umur Faisal 3 tahun yang akan datang adalah ... tahun. Selain itu, perhatikan penjelasan berikut: 2. Umur Hanum 3 tahun lebih muda dari umur Sonia. Sedangkan jumlah umur mereka 2 tahun yang lalu adalah adalah 15. Tentukan umur Hanum saat ini! Jawab: Misalkan umur Hanum = x dan umur Sonia = y, sehingga:

(

)

(

(

)

)

Sehingga umur Hanum saat ini adalah ... tahun. Lembar Aktivitas Siswa – Kelas X (Wajib) – Semester 1

11


Beberapa contoh tadi merupakan kasus dari persamaan linear. Pada kasus tersebut terdapat pemisalan x dan y yang disebut sebagai variabel. Jika persamaan linear tersebut terdiri hanya 1 pemisalan maka persamaan tersebut disebut persamaan linear satu variabel. Jika persamaan linear tersebut terdiri dari 2 pemisalan maka persamaan tersebut disebut persamaan linear dua variabel. C. PERTIDAKSAMAAN LINEAR AKTIVITAS BELAJAR

Perhatikan penjelasan berikut: Ayah Dandi lebih muda dibanding pamannya tetapi lebih tua dari ibunya. Sementara umur bibinya hanya satu tahun lebih tua dari umur ibunya tetapi satu tahun lebih muda dari umur ayahnya. Dandi berencana mengurutkan umur antara ayah, ibu, paman dan bibinya berdasarkan umur mereka yang lebih tua. Dapatkah kamu membantu Dandi dalam mengatasi permasalahan tersebut? Jawab: Misalkan umur ayah : A , umur paman = P, umur ibu =I, umur bibi = B. Sehingga diperoleh hasil sebagai berikut:  Ayah lebih muda dibanding paman tapi lebih tua dari ibu: I < A < P  Bibi lebih tua dari ibu tetapi lebih muda dari ayah: I < B < A Maka hasilnya pengurutan dari yang termuda adalah: I < ... < A < ... Penjelasan di atas merupakan salah satu kasus pertidaksamaan linear ... variabel , karena pertidaksamaan tersebut terdiri dari 4 variabel. Selain itu perhatikan pula kasus berikut: Tentukan himpunan penyelesaian dari

.

Perhatikan langkah berikut :

Arsirlah daerah interval himpunan penyelesaian tersebut ...


12


D. PERSAMAAN NILAI MUTLAK Perhatikan contoh kasus berikut: Gambarlah grafik fungsi f(x) = |

| dengan mengikuti langkah-langkah seperti no 3

Langkah 1 Lengkapi tabel berikut: x y = f (x) (x, y)

-5

-3

-2

-1

0

2

3

5

Langkah 2 Letakkan titik-titik pada tabel kemudian hubungkan sesuai dengan urutan pada tabel y

x

Perhatikan grafik f(x) = |

|

Lihatlah penyimpangan grafik terhadap sumbu x. Dapatkah kamu beri kesimpulan? Temuan konsep: Bagaimana dengan penyimpangan pada grafik f(x) = | sumbu x, untuk p bilangan real?

| terhadap

...……………………………………………………………………………………………. ...……………………………………………………………………………………………. ...……………………………………………………………………………………………. ...……………………………………………………………………………………………. ...…………………………………………………………………………………………….


13


E. PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK AKTIVITAS BELAJAR

Perhatikan penjelasan berikut : Suhu suatu unsur diatomik yang ditemukan, jika diukur menggunakan termometer menyimpang paling besar . Jika pada umumnya suhu unsur tersebut adalah , tentukan interval suhu atom tersebut yang mungkin ditemukan di alam! Jawab : soal tersebut dapat kita selesaikan dengan model pertidaksamaan berikut (kita misalkan T = Suhu): |

|

(ingat konsep nilai mutlak dan kuadrat) (

(

)

)(

)

Gambarkan daerah yang memenuhi ...

...

Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah: HP = {

}

Kesimpulan: ………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………….. UJI KOMPETENSI 1

1. Tentukan himpunan penyelesaian untuk setiap persamaan linear berikut ini: a. b. c. 2. Sketsalah grafik

|

|

, untuk setiap nilai x bilangan real dengan terlebih dahulu

menampilkan pasangan titik-titik yang dilalui grafik tersebut. x 3 4 5 6 7 y 7 ... ... 6 ... (x,y) (3,7) ... ... (6,6) ...


8 ... ...

9 7 (9,7)

10 ... ...

14

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI | | | Gambarlah semua titik (x , y) pada bidang yang memenuhi | . Pertidaksamaan memiliki penyelesaian , maka tentukan nilai Pertidaksamaan memiliki penyelesaian , maka tentukan nilai Gambarlah himpunan penyelesaian ketaksamaan linear berikut ini, dalam bentuk diagram garis! | | | | a. | | | b. | | 7. Tentukan himpunan penyelesaian dari | ! | 8. Tentukan himpunan penyelesaian dari | ! | | |! 9. Tentukan himpunan penyelesaian dari | | | |! 10. Tentukan himpunan penyelesaian dari | 3. 4. 5. 6.

ULANGAN HARIAN

1.

2. 3. 4.

5.

Tentukan himpunan penyelesaian untuk setiap persamaan linear berikut ini: a. b. c. | | | Gambarlah semua titik (x,y) pada bidang yang memenuhi | . Pertidaksamaan memiliki penyelesaian , maka tentukan nilai Gambarlah himpunan penyelesaian ketaksamaan linear berikut ini, dalam bentuk diagram garis! | | | | a. | | | b. | Buktikan : | | | | | a. | | | | | | b. |

SOAL TANTANGAN

1. Bilangan bulat yang memenuhi pertidaksamaan sebanyak ⋅⋅⋅⋅⋅ 2. Pasangan bilangan asli (x, y) yang memenuhi 2x + 5y =2010 sebanyak ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 3. Diketahui p adalah bilangan prima sehingga terdapat pasangan bilangan bulat positif (x,y) yang memenuhi . Banyaknya pasangan bilangan bulat positif (x, y) yang memenuhi ada sebanyak ⋅⋅⋅⋅⋅⋅


15


PENILAIAN AFEKTIF


PERNYATAAN SL

1


2

Saya merasa pelajaran matematika Sub ini bermanfaat

4


5


6


7


SL = Selalu

Nilai Kognitif:

Sr = Sering

J

= Jarang

Nilai Afektif:


Sr

Jr

TP

TP = Tidak Pernah

Nilai Psikomotor:

Paraf Guru

16


Bab 3

SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINIER

Kompetensi Dasar 3.3 Mendeskripsikan konsep sistem persamaan linier dua dan tiga variabel serta pertidaksamaan linier dua variabel dan mampu menerapkan berbagai strategi yang efektif dalam menentukan himpunan penyelesaiannya serta memeriksa kebenaran jawabannya dalam pemecahan masalah matematika. 4.4 Menggunakan SPLDV, SPLTV dan sistem pertidaksamaan linear dua variabel (SPtLDV) untuk menyajikan masalah kontekstual dan menjelaskan makna tiap besaran secara lisan maupun tulisan 4.5 Membuat model matematika berupa SPLDV, SPLTV, dan SPtLDV dari situasi nyata dan matematika, serta menentukan jawab dan menganalisis model sekaligus jawabnya A. SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL) DUA VARIABEL Ketika kalian duduk di bangku SMP, telah diajarkan metode atau cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linier 2 variabel, yaitu: 1. Substitusi 2. Eliminasi 3. Gabungan substitusi dan eliminasi 4. Metode grafik I. METODE SUBSTITUSI Substitusi adalah mengganti nilai salah satu variabel dengan nilai variabel lainnya. Contoh:

 x y 3 Dengan metode substitusi tentukan himpunan penyelesaian dari:  x  2 y  4 Jawab:

 x  y  3...................( persamaan1) Misalkan:   x  2 y  4................( persamaan 2) Dari persamaan 1 diperoleh: x+y=3 x = 3 – y ………..(persamaan 3) Persamaan 3 disubstitusikan ke persamaan 2: x + 2y = 4 …….(persamaan 2)

Persamaan 4 disubstitusikan ke persamaan 3, diperoleh:

(3 – y) + 2y = 4

x=3–y

y+ 3=4

x=3–1

y=4–3

x=2

y = 1 ….…( persamaan 4) Jadi himpunan penyelesaiannya adalah: {(2,1)} Lembar Aktivitas Siswa – Kelas X (Wajib) – Semester 1

17


AKTIVITAS BELAJAR

Dengan menggunakan metode substitusi, tentukan himpunan penyelesaian dari: { Jawab: Misalkan: 3x – 5y = 1 …………………………..( persamaan 1 ) 2y = x – 1 ………………...…………( persamaan 2 ) Dari persamaan 2: 2y = x – 1 x = …………………………………. ( persamaan 3 ) Persamaan 3 disubstitusikan ke persamaan 1: 3x – 5y = 1 3( …….) – 5y = 1 ………………= 1 ………………= 1

Persamaan 4 disubstitusikan ke persamaan 3, diperoleh: x = …………. x = …………. x = ………….

………………= 1 y = ……… (persamaan 4) Jadi himpunan penyelesaiannya adalah: {(…..,…..)} UJI KOMPETENSI 1

Dengan menggunakan metode substitusi selesaikan soal-soal di bawah ini: 1.

Tentukan nilai dari x + y jika diketahui sistem persamaan: {

2.

Jumlah dua bilangan adalah 45. Dua kali bilangan kedua sama dengan dua kali bilangan pertama dikurangi 30. Bilangan-bilangan itu adalah …

3.

Jumlah dua bilangan sama dengan 27 sedangkan selisih dua bilangan itu adalah 3, maka hasil kali kedua bilangan tersebut adalah …

4.

Sepuluh tahun yang lalu umur Ali dua kali umur Budi. Lima tahun kemudian umur Ali satu setengah umur Budi. Umur Budi adalah … tahun.


18

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI II. METODA ELIMINASI Untuk menyegarkan ingatan kalian, pelajari contoh di bawah ini: Contoh 1:

 x y 3 Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear:  x  2 y  4 Jawab: Mencari nilai x dengan menghilangkan variabel y: x+ y=3 x 2 2x + 2y = 6 x + 2y = 4 x1 x + 2y = 4 – 1x = 2 x= x=2

Mencari nilai y dengan menghilangkan variabel x: x+ y=3 x + 2y = 4 – –1y = –1 y= y= 1

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(2,1)}. III. METODE GABUNGAN ELIMINASI DAN SUBTITUSI Contoh 2:

 x y 3 Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear:  x  2 y  4 Jawab: Fokus pertama adalah mencari nilai dari salah satu variabel dengan cara menghilangkan salah satu variabel. Misalkan dalam contoh berikut, kita akan mencari nilai dari variabel x, berarti menghilangkan variabel y. Menghilangkan variabel y: x + y = 3 x 2 2x + 2y = 6 x + 2y = 4 x 1 x + 2y = 4 – x=2

Karena nilai x sudah kita dapatkan yaitu “2”, maka kita bisa mensubstitusikan ke salah satu persamaan. Misalkan kita pilih persamaan ke-1: x+y=3 2+y=3 y=3–2 y=1

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(2,1)} AKTIVITAS BELAJAR

Wacana 1: bahasa sehari-hari Andi membeli 5 buah apel dan 3 buah jeruk seharga Rp34.000,00. Sedangkan Mira mengeluarkan uang sebesar Rp38.000,00 untuk membeli 4 buah apel dan 6 jeruk Wacana 2: kalimat matematika Andi  5x + 3y = 34.000 Mira  4x + 6y = 38.000


19

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI Amati dan selidiki hubungan antara wacana 1 dan wacana 2 di atas, kemudian jawablah pertanyaanpertanyaan di bawah ini: 1. Variabel “x” berperan sebagai pengganti …………………………………. 2. Variabel “y” berperan sebagai pengganti …………………………………. 3. Berdasarkan yang kalian pelajari dari dua wacana di atas, bagaimana anda mengartikan kalimat: “Putri  7x + 5y = 50.000” ke dalam bahasa sehari-hari ? ....................................................................................................................................................... 4. Dapatkah anda menebak berapa harga sebuah apel dan sebuah jeruk? (jelaskan alasannya) ……………………………….………………………………………………………………….. ……………………………….………………………………………………………………….. ……………………………….…………………………………………………………………..

5. Perhatikan kalimat matematika di bawah ini: Diketahui: 2x + 5y = 16 3x + 7y = 23 Memiliki himpunan penyelesaian {(3,2)} Apa arti dari kalimat “Memiliki himpunan penyelesaian {(3,2)}” ? ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… Untuk mencari himpunan penyelesaian dari sebuah sistem persamaan linier dua variabel, dikenal beberapa metode yang telah kalian pelajari sebelumnya ketika SMP. Silahkan pelajari kembali dan diskusikan dengan kelompok anda langkah-langkah yang terdapat pada contoh dalam Ringkasan Materi.


20

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI UJI KOMPETENSI 2

1.

7 x  3 y  13 Dengan metode eliminasi, tentukan himpunan penyelesaian dari:  2 x  5 y  12 Jawab: Mencari nilai x dengan menghilangkan variabel y: Mencari nilai y dengan menghilangkan variabel x: 7x + 3y = 13 x … ..…………. = …….. 7x + 3y = 13 x … …………… = …….. ……………= …….. – 2x + 5y = 12 x … …………… =…….. – 2x + 5y = 12 x … …… = …….. …… = …….. …… = …….. …… = …….. …… = …….. …… = …….. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(…,…)}

2.

3m  2n  17 Misalkan m dan n adalah penyelesaian dari sistem persamaan linier:  , dengan  2m  3n  8 …… = ……….. metode gabungan eliminasi dan substitusi, tentukanlah nilai m + n ! Jawab: Misalkan kita akan mencari nilai dari variabel m, berarti menghilangkan variabel n. Menghilangkan variabel n: 3m + 2n = 17 x … ………….. = 2m + 3n = 8 x … ………….. = ………. = ………. = ………. =

…. …. – …… …… ……

Karena nilai m sudah kita dapatkan yaitu “ …. ” , kita bisa mensubstitusikan ke salah satu persamaan. Misalkan kita pilih persamaan ke-… : ……………………. = ……………………. = ……………………. = ……………………. =

….. …..Y = 4 ….. …..

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(…,…)}, sehingga m + n = …. + … = ….

2 x  5 y  4 3. Tentukan nilai 5x.y dari sistem persamaan linear :   3x  2 y  13 4. Amir, Budi, dan Citra membeli buku dan pulpen yang sama di sebuah toko. Amir membeli 3 buku dan 4 pulpen seharga Rp30.500,00. Budi membeli 5 buku dan 2 pulpen seharga Rp27.500,00. Citra membeli 4 buku dan 1 pulpen, untuk itu ia harus membayar seharga .... 5. Harga 2kg anggur dan 3kg jeruk adalah Rp140.000,00, sedangkan harga 3kg anggur dan 2kg jeruk adalah Rp110.000,00. Siti membeli anggur dan jeruk masing-masing 1kg, untuk itu ia harus membayar sebesar ...


21

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI IV. METODE GRAFIK AKTIVITAS BELAJAR

Perhatikan gambar dibawah ini (Gb.1)! Perpanjanglah garis l dan garis g pada gambar tersebut. (Gb.1)

1. Apa yang dapat kamu simpulkan tentang garis l dan garis g?

Bandingkan dengan gambar berikut ! (Gb.2)

2. Apa yang dapat kamu simpulkan dari Gb.2 di atas ?


22

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI 3. Dari Gb.2, (-3, 6) adalah pasangan bilangan bulat yang terletak pada garis g, pasangan bilangan bulat lainnya adalah ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) 4. Titik-titik pada soal no.3 merupakan titik yang memenuhi persamaan ……………………… (1) 5. sedangkan pasangan bilangan bulat (x, y) yang terletak pada garis l adalah (-4, 4), ( ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )

,

),

6. Titik-titik pada soal no.5 merupakan titik yang memenuhi persamaan ……………………… (2) 7. Pasangan bilangan bulat yang terdapat pada kedua garis tersebut adalah ……………………….. 8. Dengan demikian titik ……………….. merupakan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan ………………………………………………. (1) ………………………………………………. (2) Kesimpulan :

UJI KOMPETENSI 3

1. Buatlah gambar himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut:

2 x  3 y 12  x  y5 Jawab: Pasangan bilangan (x, y) yang memenuhi 2 x  3 y  12 adalah A (….,….) dan B (….,….) Pasangan bilangan (x, y) yang memenuhi x  y  5 adalah C (….,….) dan D (….,….) Hubungkan titik A dengan titik B oleh sebuah garis lurus, begitu juga untuk titik C dengan titik D.

2 x  3 y 12 , adalah ...,... x  y5

 Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 


23

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI 2. Buatlah gambar himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut:

3x  2 y  42  2 x  5 y  10 Jawab:

3x  2 y  42 , adalah ...,... 2 x  5 y  10

 Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 


24

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI B. SISTEM PERSAMAAN LINIER TIGA VARIABEL Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear 3 variabel (SPLTV) dapat dicari dengan menggunakan beberapa metode yang sudah kalian pelajari pada SPLDV. Sebagai alternatif dapat digunakan metode gabungan eliminasi dan substitusi. Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear:  x  2 y  2 z  1.................(Persamaan 1)   2 x  y  3 z  13................(Persamaan 2) 3 x  4 y  z  3.................(Persamaan 3)  Jawab: SPLTV di atas disederhanakan menjadi SPLDV dengan memilih sembarang dua persamaan. Langkah 1: Misal kita pilih eliminasi variabel “x” dari persamaan 1 dan persamaan 2 x + 2y + 2z = 1 x2 2x + 4y + 4z = 2 2x + y – 3z = 13 x 1 2x + y – 3z = 13 – 3y + 7z = –11 ……………(Persamaan 4) Langkah 2: Pilih dua persamaan lain yang akan dieliminasi variabel “x” nya. Misal kita pilih eliminasi variabel “x” dari persamaan 2 dan persamaan 3: 2x + y – 3z = 13 x3 6x + 3y – 9z = 39 3x – 4y + z = 3 x2 6x – 8y + 2z = 6 – 11y – 11z = 33 ………….. (semua suku dibagi 11) y – z = 3 ………….. (Persamaan 5) Langkah 3: Misal kita pilih eliminasi variabel “y” dari persamaan 4 dan persamaan 5 3y + 7z = – 11 x 1 3y + 7z = –11 y– z=3 x 3 3y – 3z = 9 – 10z = –20 20 z= 10 z = - 2 …(Persamaan 6)

Langkah 4: Subsitusikan persamaan 6 ke persamaan 4 atau persamaan 5. Misal kita pilih persamaan 5: y–z=3 y – (– 2) = 3 y+2=3 y=3–2 y = 1 ……….(Persamaan 7)

Langkah 5: Substitusikan persamaan 6 dan persamaan 7 ke persamaan 1, persamaan 2 atau persamaan 3. Misal pilih persamaan 1: x + 2y + 2z = 1 x + 2(1) + 2(–2) = 1 x+2–4=1 x–2=1 x=1+2 x=3 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(3,1, –2)}.


25


AKTIVITAS BELAJAR

Dengan menggunakan metode gabungan eliminasi dan substitusi, tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut:  3x  2 y  2 z  18...............(Persamaan 1)  2 x  y  3z  1...................(Persamaan 2)  x  3 y  z  9.....................(Persamaan 3) 

Jawab: Langkah 1: Misal kita pilih eliminasi variabel “x” dari persamaan 1 dan persamaan 2 3x – 2y + 2z = 18 x 2 ………………….. 2x + y – 3z = 1 x3 ………………….. – ………..……. (Persamaan 4) Langkah 2: Pilih dua persamaan lain yang akan dieliminasi variabel “x” nya. Misal kita pilih eliminasi variabel “x” dari persamaan 2 dan persamaan 3: 2x + y – 3z = 1 x1 ………………… x – 3y + z = 9 x2 ………………… – …………… (Persamaan 5) Langkah 3: Misal kita pilih eliminasi variabel y dari persamaan 4 dan persamaan 5 ……………… ………………

x1 x (–1)

……………….. ……………….. – ..………... ..………... ..………...

Langkah 4: Subsitusikan persamaan 6 ke persamaan 4 atau persamaan 5. Misal kita pilih persamaan 5: ....................................... ………………………... ………………………... ………………………... ………………………... ………………………... ………………………... (Persamaan 7)

(Persamaan 6) Langkah 5: Substitusikan persamaan 6 dan persamaan 7 ke persamaan 1, persamaan 2 atau persamaan 3. Misal kita pilih persamaan 3: ………………………... ………………………... ………………………... ………………………... ………………………... ………………………...

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(…,…,…)}.


26


1.

Nilai x, y dan z berturut-turut yang memenuhi sistem persamaan:

2 x  y  z  6   x  2 y  z  3 , adalah …  x  y  3z  8  2.

Ani, Nia, dan Ina pergi bersama – sama ke toko buah. Ani membeli 2 kg apel, 2 kg anggur, dan I kg jeruk dengan harga Rp 67.000,00. Nia membeli 3 kg apel, 1 kg anggur, dan I kg jeruk dengan harga Rp 61.000,00. Ina membeli 1 kg apel, 3 kg anggur, dan 2 kg jeruk dengan harga Rp 80.000,00. Harga 1 kg apel, 1 kg anggur, dan 4 kg jeruk seluruhnya adalah ….

C. SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL I. PENGERTIAN DASAR SISTEM PERSAMAAN LINEAR, PERTIDAKSAMAAN LINEAR, DAN SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR Amatan Real Dalam Kehidupan Nyata Sebuah tempat parkir dengan luas 176 hanya dapat menampung 20 bus dan mobil. Tiap mobil membutuhkan tempat parkir seluas 4 dan untuk bus seluas 20 . Setiap kendaraan yang menggunakan tempat parkir tersebut, dikenakan biaya sesuai jenisnya. Biaya parkir untuk mobil Rp2.000,00 per jam dan untuk bus Rp4.000,00 per jam. Jika dalam satu jam tidak ada kendaraan yang keluar dan masuk, berapakah hasil maksimum yang dapat diperoleh dari tempat parkir tersebut dalam satu jam? Kasus yang digambarkan seperti di atas berkaitan dengan sistem pertidaksamaan linear, khususnya sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Apa bedanya sistem persamaan linear dua variabel dengan sistem pertidaksamaan linear dua variabel? untuk memahami lebih dalam diantara dua pengertian tersebut perhatikan ilustrasi berikut : a. Bentuk ax + by c merupakan persamaan linear, pernyataan tersebut berbentuk tunggal b. Bentuk = dan , ada dua pernyataan dimana nilai x dan y dapat dicari dengan menggunakan cara eliminasi atau substitusi. Bentuk seperti ini merupakan sistem persamaan linear Dari deskripsi ini, dapatkah kamu membedakan persamaan linear dan pertidaksamaan linear?. Silahkan diskusikan dengan teman sekelompok. Selanjutnya, apa yang disebut pertidaksaman linear dan sistem pertidaksamaan linear? a. Bentuk ax + by c disebut pertidaksamaan linear, pernyataan tersebut berbentuk tunggal b. Bentuk dan , ada dua pernyataan. Kedua bentuk ini dihubungkan oleh tanda ”kurang dari atau sama dengan” dan tanda ”lebih dari atau sama dengan”, bentuk seperti ini dinamakan program linear atau sistem pertidaksamaan linear Kita ingat bahwa bahwa suatu pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang memuat salah satu dari tanda-tanda ketidaksamaan seperti lebih dari (>), lebih dari atau sama dengan ( ), kurang dari (<), serta kurang dari atau sama dengan ( ).


27

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI Pertidaksamaan linear dua varibel merupakan hubungan dua variabel yang menyangkut :  hubungan tersebut memuat salah satu lambang ketidaksamaan yang disebut pertidaksamaan.  hubungan itu memuat dua variabel (variabel – variabel x dan y) dan masing-masing variabel berpangkat satu (linear), disebut linear dengan dua variabel

Pertidaksamaan linear dengan dua variabel adalah suatu pertidaksamaan yang didalamnya memuat dua variabel dan masing-masing variabel itu berderajat satu

Sistem pertidaksamaan linear dua variabel terbentuk dari dua atau lebih pertidaksamaan linear dua varibel dengan variabel-variabel yang sama

Contoh 1: a. x + 3y 3, 2x – 3y variabel. b. a + 3b 7, 4k – 5 variabel.

4, dan x + y 10, dan 5x + y

8, membentuk sistem pertidaksamaan linear dengan dua 6, bukan merupakan sistem pertidaksamaan linear dua

UJI KOMPETENSI 5

1. Di antara pertidaksamaan – pertidaksamaan di bawah ini, sebutkan mana yang merupakan pertidaksamaan linear dua variabel dan mana yang bukan: a. 2x + 3 5 b. 6 c. 3(x + 2) < 4y – 7 d. 3x(x + 8) (3x +1)(2x – 1 ) 2. Gambarlah daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan – pertidaksamaan berikut ini dalam bidang Cartesius (untuk x dan y R ): a. x 10 b. – 4 2 c. 5x + 2y 10 d. – 2x – y 4 e. 4x – 3y 12


28

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI Contoh 2: Tentukan pada bidang Cartesius daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut ini: x+y

1.000 ; x

600 ; x

0; y

0

Jawab: Grafik daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear di atas pada diagram Cartesius adalah: y 1000

(400,600) 600

(800,200)

x 800 1000 0 x Jadi daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear di atas adalah daerah yang diarsir pada gambar UJI KOMPETENSI 6

1. Gambarlah grafik himpunan penyelesaian dari sistem – sistem pertidaksamaan linear dua variabel berikut ini : a. x 0 , y 0, 5x + 3y 15 b. x 0, y 0, x + y 4 , dan 3x + y 6 c. x 6, y 4, x + 2y 4, dan x + y 3 2. Diketahui sistem pertidaksamaan linear dua variabel: x 0 y 2 y 0 3x + 4y 12 3x – 4y 12, untuk x dan y R Tunjukkan bahwa grafik himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel itu berbentuk trapesium siku-siku. 3. Daerah yang diraster pada gambar berikut merupakan grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel. y

Hitunglah nilai maksimum dan nilai minimum untuk bentuk – bentuk berikut ini : a) z = x + y b) z = x – y c) f(x,y) = x + 5y d) f(x,y) = 3x + 2y

C (1,3) B (4,2)

D (0,2)

0

1

4


x A (5,0) 29

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI II. MERANCANG MODEL MATEMATIKA DARI PROGRAM LINEAR Contoh : Seorang wiraswasta membuat dua macam ember yang setiap harinya menghasilkan tidak lebih dari 18 buah. Harga bahan untuk jenis pertama Rp500,00 dan untuk ember jenis kedua Rp1.000,00. Ia tidak akan berbelanja lebih dari Rp13.000,00 setiap harinya. Jika jenis ember pertama dibuat sebanyak x buah dan jenis kedua sebanyak y buah, maka buatlah model matematika dari permasalahan diatas. Jawab: Jenis Ember I II Jumlah

Banyak x y 18

Harga 500 1.000 13.000

Model matematika dari permasalahan di atas adalah: x+y

18 ; 500x + 1.000y

13.000 ; x

0 ;y

0

AKTIVITAS BELAJAR

Pedagang teh mempunyai lemari yang cukup ditempati untuk 40 boks teh. Teh A dibeli dg harga Rp600,00 setiap boks dan teh B dibeli dengan harga Rp800,00 setiap boks. Jika pedagang tersebut mempunyai modal Rp300.000,00 untuk membeli x boks teh A dan y boks teh B, maka buatlah model matematika dari permasalah tersebut di atas. Jawab: Jenis Teh I II Jumlah

Banyak x y ………

Harga ……. ……. ………………..

Model matematika dari permasalahan di atas adalah:  x + y ….  600x + ……y ………….. atau: 3x + ….. …….  x 0 ;y 0


30

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI III. MENENTUKAN NILAI OPTIMUM SUATU BENTUK OBJEKTIF Contoh 2: Suatu pabrik kertas akan memproduksi dua jenis buku, yaitu buku polos dan bergaris. Kapasitas produksi pabrik itu 1000 buah/hari. Dari bagian penjualan diperoleh informasi, bahwa setiap harinya dapat terjual maksimum 800 buah buku polos dan 600 buah buku bergaris. Keuntungan buku polos Rp10,00 dan bergaris Rp15,00. Berapa banyak buku jenis polos dan bergaris harus diproduksi agar keuntungan maksimum. Jawab: Misalkan: x = buku polos y = buku bergaris Model matematika : x + y 1.000 ; x

600 ; x

0; y

0

Fungsi objektif : z = 10x + 15y Grafik daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear di atas: y

1000

600

z = 10x + 15y (800,200)  z = 8000 + 3000 = 11.000

(400,600)

(400,600)  z = 4000 + 9000 = 13.000 (800,200) x

0

800

(0, 600)

 z = 0 + 900 = 900

(800,0)

 z = 8000 + 0 = 8000

1000

Jadi banyaknya buku polos 400 buah dan buku bergaris 600 buah dengan keuntungan maksimum Rp13.000,00.

UJI KOMPETENSI 7

1.

Nilai maksimum fungsi obyektif 4x + 2y pada himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan: x + y  4, x + y  9, –2x + 3y  12, 3x – 2y  12 adalah ….

2.

Suatu pabrik berkeinginan memproduksi dua jenis barang, yaitu barang A dan barang B. Barang A memberi keuntungan Rp10.000,00 per buah dan barang B memberi keuntungan Rp12.000,00 per buah. Untuk memproduksi kedua barang itu diperlukan tiga buah mesin, yaitu mesin I, mesin II, dan mesin III. Waktu yang diperlukan unttuk memproduksi setiap barang dengan ketiga mesin tersebut dan waktu yang tersedia untuk setiap mesin selama tiga bulan diperlihatkan dalam tabel berikut ini.


31

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI Mesin I (jam) 2 3 1500

Barang A Barang B Waktu yang tersedia

Mesin II (jam) 3 2 1500

Mesin III (jam) 1 1 600

a. Berapa banyak barang A dan Barang B yang harus dibuat agar keuntungan yang diperoleh sebesar-besarnya ? b. Berapa rupiah keuntungan maksimum itu

LATIHAN ULANGAN

 x  2 y  13 ,adalah... 1. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear:  2 x  3 y  9 A. {(3,5)} B. {(3,–5)} C. {(–3,5)} D. {(2,5)}

2.

6 x   Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan:  7   x A.

3.

1 6

B.

1 5

C.1

E. {(–2,5)}

3  21 y , adalah  xo , yo . Nilai 6xo.yo = ... 4 2 y D. 6

E. 36

3x  2 y  17 Jika x dan y adalah titik potong dari garis pada sistem persamaan:  , maka nilai  2x  3y  8 x+y=… A. 9 B. 8 C. 7 D.6 E. 5

4.

Tujuh tahun yang lalu umur ayah sama dengan 6 kali umur Budi. Empat tahun yang akan datang 2 kali umur ayah sama dengan 5 kali umur Budi ditambah 9 tahun. Umur ayah sekarang adalah … tahun. A. 39 B. 43 C. 49 D. 54 E. 78

5.

Sebuah toko buku menjual 2 buku gambar dan 8 buku tulis seharga Rp48.000.,00, sedangkan untuk 3 buku gambar dan 5 buku tulis seharga Rp37.000,00. Jika Ani membeli 1 buku gambar dan 2 buku tulis di toko itu, ia harus mebayar sebesar …. A. Rp24.000,00 C. Rp20.000,00 E. Rp17.000,00 B. Rp14.000,00 D. Rp13.000,00

6.

3 x  4 y  5 z  2  Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan:  2 x  5 y  z  8 ,adalah... 6 x  2 y  3 z  7  A. {(1,2,3)}

B. {(1,1,2)}

C. {(1,1,1)}


D. {(2,1,1)}

E. {(3,2,1)}

32

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI 7.

Himpunan penyelesaian sistem persamaan

1 1 1 2 3 1 1 1    4,    0,   2, z y x y z x y z

adalah…. A. {(2,1,–1)} 8.

 

 1  ,1,1   2

D.  

 1  2

 

E.  ,1,1

Harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk dan 1 kg anggur adalah Rp70.000,00. Harga 1 kg mangga, 2 kg jeruk dan 2 kg anggur adalah Rp90.000,00. Harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk dan 3 kg anggur adalah Rp130.000,00, maka harga 1 kg jeruk adalah …. A. Rp5.000,00

9.

 1  2

` C.  ,1,1

B. {(–2,1,1)}

B. Rp7.500,00

C. Rp10.000,00

D. Rp12.000,00

E. Rp15.000,00

Nilai maksimum fungsi sasaran z = 6x + 8y dari sistem pertidaksamaan: 4x + 2y  60, 2x + 4y  48, x  0, y  0, adalah …. A. 120 B. 118 C. 116 D. 114 E. 112

10. Luas daerah parkir 1.760 m2. Luas rata – rata untuk mobil kecil 4 m2 dan mobil besar 20 m2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan, biaya parkir mobil kecil Rp 1.000,00/jam dan mobil besar Rp 2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak kendaraan yang pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah …. A. Rp176.000,00 C. Rp260.000,00 E. Rp340.000,00 B. Rp200.000,00

D. Rp300.000,00

SOAL REMEDIAL

x  y  2 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan:  x  y  2

2. Sekarang umur kakak 6 tahun lebih dari umur adik. Lima tahun yang akan datang, jumlah umur kakak dan adik adalah 6 kali selisihnya. Tentukan umur kakak sekarang! x  y  z  4  3. Jika x, y dan z adalah penyelesaian dari sistem persamaan:  x  y  z  6 , maka tentukan nilai x  y  z  2  (x.y.z)! 4. Pada diagram Cartesius, tentukan daerah penyelesaian dari: x + y > 6 ; 2x – y < 3; x – 2y + 6 < 0 5. Tanah seluas 10.000 m2 akan dibangun rumah tipe A dan tipe B. Untuk tipe A diperlukan 100 m 2 dan dan tipe B diperlukan 75 m2. Jumlah rumah yang akan dibangun paling banyak 125 unit. Keuntungan rumah tipe A adalah Rp6.000.000,00/unit dan tipe B adalah Rp4.000.000,00/unit. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh daru penjualan rumah tersebut adalah ….


33

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI SOAL TANTANGAN

1.

2.

1  1  x  2  y 1  6  Tentukan penyelesaian sistem persamaan:   2  1 4  x  2 2 y  2 Ali bekerja di sebuah pabrik pengepakan. Ali hanya bekerja 3 hari dalam seminggu yaitu pada hari Selasa, Kamis dan Sabtu. Selama seminggu bekerja dia dapat mengepak 87 paket. Pada hari Selasa dia mengepak 15 paket lebih banyak dibanding pada hari Sabtu. Pada hari Kamis dia mengepak 3 paket lebih sedikit dibanding pada hari Selasa. Tentukan banyak paket yang dapat dikerjakan Ali pada masing-masing hari dia bekerja.

PENILAIAN AFEKTIF


PERNYATAAN SL

1


2


4


5


6


7


SL = Selalu

Nilai Kognitif:

Sr = Sering

Nilai Afektif:

J

= Jarang

Jr

TP

TP = Tidak Pernah

Nilai Psikomotor:


Sr

Paraf Guru

34


MATRIKS

Kompetensi Dasar 3.4 Mendeskripsikan konsep matriks sebagai representasi numerik dalam kaitannya dengan konteks nyata. 3.5 Mendeskripsikan operasi matriks sederhana serta menerapkannya dalam pemecahanmasalah. 4.6 Menyajikan model matematika dari suatu masalah nyata yang berkaitan dengan matriks A. KONSEP DASAR MATRIKS I. MENEMUKAN KONSEP MATRIKS Dalam kehidupan sehari-hari, banyak informasi atau data yang ditampilkan dalam bentuk tabel, seperti data rekening listrik atau telepon, klasemen akhir Liga Super Indonesia, data perolehan nilai dan absensi siswa, maupun brosur harga jual sepeda motor. Sebagai gambaran awal mengenai materi matriks, mari kita cermati uraian berikut ini. Diketahui data hasil penjualan tiket penerbangan tujuan Medan dan Surabaya, dari sebuah agen tiket, selama empat hari berturut-turut disajikan dalam tabel berikut.

Tujuan

Hari ke I

II

III

IV

Medan

3

4

2

5

Surabaya

7

1

3

2

Data tersebut, dapat kamu sederhanakan dengan cara menghilangkan semua keterangan (judul baris dan kolom) pada tabel, dan mengganti tabel dengan kurung siku menjadi bentuk seperti berikut: 3

4

2

5

7

1

3

2

DEFINISI Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegipanjang. Susunan bilangan itu diletakkan di dalam kurung biasa “ ( )” atau kurung siku “ [ ] “.


35

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI Biasanya pelabelan suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital, misalnya A, B, C, D, ..., dan seterusnya. Secara umum, diberikan matriks A, a11

a12

a13

…

a1n

Baris ke-1

a21 Am x n = a31

a22 a32

a23 a33

…

Baris ke-2

…

a2n a3n

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

am1 am2 am3 … Kolom ke-3 Kolom ke-2 Kolom ke-1

amn

Baris ke-3 Baris ke-m

Kolom ke-n

aij bilangan real, menyatakan elemen matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j. i = 1, 2, 3, ., m; j = 1, 2, 3, …, n Am×n : m menyatakan banyak baris matriks A. n menyatakan banyak kolom matriks A. Notasi m × n, menyatakan ordo (ukuran) matriks A, yang menyatakan banyak baris dan kolom dari matriks A. Ingat, m menyatakan banyak baris dan n menyatakan banyak kolom matriks A. Jadi, jika diperhatikan dari ordo suatu matriks, dapat diketahui banyaknya elemen-elemen pada matriks tersebut. II. JENIS-JENIS MATRIKS 1) Matriks Baris Matriks baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris saja. Biasanya, ordo matriks seperti ini, 1 × n, dengan n banyak kolom pada matriks tersebut. T1×4 = [22 19 14 12], 2) Matriks Kolom Matriks kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom saja. Matriks kolom berordo m×1, dengan m banyak baris pada kolom matriks tersebut. Perhatikan matriks kolom berikut ini!

T3x1 =[

]

3) Matriks Persegipanjang Matriks persegipanjang adalah matriks yang banyak barisnya tidak sama dengan banyak kolomnya. Matriks seperti ini memiliki ordo m × n. T2x3 = 0

1


36

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI 4) Matriks Persegi Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai banyak baris dan kolom sama. Matriks ini memiliki ordo n × n. T2x2 = 0

1

5) Matriks Segitiga Merupakan suatu matriks persegi berordo n × n dengan elemen-elemen matriks di bawah atau di atas diagonal utama semuanya nol. -2 0 F4 x 4 = 0

3 5

7

12

-8

0

2

4 6

0 0 0 13 atau jika polanya seperti berikut ini 13 3

0

0 1 8

G4 x 4 = 3

0

0 0

10

0

2 -4 2 5 6) Matriks Diagonal Matriks persegi dengan pola “semua elemennya bernilai nol, kecuali elemen diagonal utama tidak semuanya bernilai nol”, disebut matriks diagonal

Y=[

B=

] 3 0 0 0

6 0

0 0 7

0 0 0

0

0

1

0

7) Matriks Identitas Jika suatu matriks persegi unsur diagonal utamanya adalah 1 dan unsur yang lainnya semua nol disebut matriks identitas. Matriks identitas dinotasikan sebagai I

I3x3 = [

I2x2 = 0

]

1

8) Matriks Nol Jika elemen suatu matriks semuanya bernilai nol Q2x3 = 0

1


37


AKTIVITAS BELAJAR

1. Mpok Minah penjual makanan ringan di 4 kantin sekolah. Berikut ini adalah tabel banyaknya makanan yang dijual mpok Minah: Keripik

Kacang

biskuit

Kantin A

50

50

35

Kantin B

25

50

40

Kantin C

30

60

50

Kantin D

25

70

65

Harga sebungkus keripik Rp. 400,00 , kacang Rp. 500,00 , dan Biskuit Rp. 600,00. a. Sajikan data tersebut dalam bentuk matriks b. Tentukan ordonya 2. Diberikan matriks-matriks sebagai berikut, tentukan: a. Ordo matriks b. Sebutkan jenis matriks sesuai dengan ordo (

)

.

/

(

(

( )

.

)

(

)

)

UJI KOMPETENSI 1

1) Hasil penelitian tentang keadaan harga-harga pokok selama tahun 2004, 2005, 2006, dan 2007 di suatu daerah adalah sebagai berikut. Tahun 2004 2005 2006 2007

a. b. c. d.

Susunlah data di atas ke dalam bentuk matriks dengan notasi A. Berapa banyak baris dan kolom dari matriks A? Sebutkan elemen-elemen pada baris kedua. Sebutkan elemen-elemen pada kolom ketiga.

2) Diketahui matriks a. b. c. d.

Harga Per Kilogram dalam Rupiah Beras Gula Minyak Goreng 1.900 3.750 4.500 2.300 3.900 4.700 2.400 3.800 5.000 2.600 4.000 5.600

0

1

ordo matriks B elemen-elemen baris pertama elemen pada baris ke-3 dan kolom ke-2 elemen pada baris ke-2 dan kolom ke-3


38

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI 3) Menurut kamu, apakah ada batasan banyak baris dan kolom untuk membentuk suatu matriks? Jelaskan! 4) Coba berikan contoh yang lain (selain yang disajikan di atas) mengenai matriks yang dapat dijumpai dalam kehidupan sehari-hari! 5) Menurut kamu, teknologi apakah yang menggunakan konsep matriks yang sedang kita pelajari ini? Tolong deskripsikan!

SOAL TANTANGAN

Menurut ilmu kedokteran, dikatakan bahwa terdapat relasi antara berat badan dengan tinggi badan seseorang. Bisakah kamu merepresentasikan persoalan tersebut ke dalam matriks? (Silahkan gunakan data berat badan dan tinggi badan teman sekelasmu)!

III. TRANSPOSE MATRIKS (

)

Transpose suatu matriks A adalah matriks baru yang didapat dengan cara baris menjadi elemen kolom , dan elemen kolom menjadi

mengubah elemen

elemen baris

Contoh:  Jika A = ,

 Jika B = 0

- maka At = [ ]

1

, maka

= [

]

IV. KESAMAAN DUA MATRIKS Definisi: Matriks A dan matriks B dikatakan sama (A = B), jika dan hanya jika: 1. Ordo matriks A sama dengan ordo matriks B 2. Setiap elemen yang seletak pada matriks A dan matriks B mempunyai nilai yang sama, a i = bj (untuk semua nilai i dan j) Contoh: Tentukan nilai a, b, c, dan d yang memenuhi matriks P t = Q, dengan P=[

] dan Q = 0

1


39

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI Penyelesaian: Kesamaan matriks Pt = Q dapat dituliskan: 0

1 = 0

1 dari kesamaan tersebut dapat ditentukan nilai a, b, c,

dan d sebagai berikut: 3b = 3 maka b =1, dan 2c = 6 maka c = 3 2a – 4 = -4 maka a = 0. Karena a = 0 maka d = -3 Jadi a = 0, b = 1, c = 3, dan d = -3

AKTIVITAS BELAJAR

1. Tentukan transpose dari masing – masing matriks berikut ini :

a. A = 0

1

b. B =[

]

2. Diketahui matriks-matriks berikut:

T= [

]dan R = 0

1

a. Tentukan transpos dari matriksa T ! b. Jika Rt = T, Tentukanlah nilai a, b, c, d, e, dan f !

UJI KOMPETENSI 2

1. Buatlah matriks yang terdiri dari 5 baris dan 3 kolom dengan semua elemennya adalah 15 bilangan prima yang pertama. Tentukan transpose matriksnya ! 2. Untuk matriks-matriks berikut, tentukan pasangan-pasangan matriks yang sama:

A=[

3.

],

B= [

]

Diketahui kesamaan matriks 0

C= 0

1

1=0


D= 0

1

1

Tentukan nilai a + b !

40


Pada tahun ajaran baru, Ahmad mewakili beberapa temannya untuk membeli 5 buah buku matematika dan 4 buah buku biologi. Dia harus membawa Rp 410.000,- pada saat bersamaan, Fahmi mewakili teman-teman yang lainnya membeli 10 buah buku matematika dan 6 buah buku biologi. Dia harus membayar Rp 740.000,- untuk semuanya. Nyatakan persoalan tersebut dalam bentuk matriks dan selesaikan ! V. MENENTUKAN OPERASI SEDERHANA MATRIKS SERTA MENERAPKANNYA DALAM PEMECAHAN MASALAH Definisi: Misalkan A dan B adalah matriks berordo m x n dengan elemen-elemen ai dan bj. Jika matriks C adalah jumlah matriks A dengan matriks B, ditulis C = A + B, matriks C juga berordo m x n dengan elemen-elemen ditentukan oleh: cij = aij + bij (untuk semua i dan j) B. OPERASI HITUNG PADA MATRIKS Misalkan A dan B matriks-matriks berordo mn dengan elemen-elemen aij dan bij. 

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks a. C = A + B, maka matriks C juga berordo mn dengan elemen-elemen ditentukan oleh: cij = aij + bij (untuk semua i dan j) b. Pengurangan matriks A dengan matriks B didefinisikan sebagai jumlah antara matriks A dengan lawan matriks B, ditulis: A – B = A + ( –B) c. Jika A, B, dan C adalah matriks yang berordo sama, maka berlaku 1) (A +B) + C = A + (B + C)

(sifat asosiatif penjumlahan)

2) A + B = B + A

(sifat komutatif penjumlahan)

3) A + (–A) = O 4) A + O = O + A = A 5) A – B ≠ B – A  Perkalian Bilangan Real (Skalar, k) dengan Matriks a. C = k A, maka matriks C juga berordo mn dengan elemen-elemen ditentukan oleh: cij = kaij

(untuk semua i dan j)

b. Jika k1, k2 skalar dan A, B adalah matriks berordo sama, maka berlaku: 1) (k1k2 )A = k1 (k2 A)

4) I . A = A

2) k1( A + B) = k1 A + k1B

5) 0 . A = 0

3) (k1 + k2) A = k1A + k2 B Lembar Aktivitas Siswa – Kelas X (Wajib) – Semester 1

41

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI  Perkalian Matriks a. Matriks A dapat dikalikan dengan matriks B, yaitu AB, jika banyak kolom A sama dengan banyak baris B. b. Jika A = (aij)mn dan B = (bij)np , maka: syarat n

Amnsama B np = Cmp. dengan cij=  aik bkj ; i = 1, 2, …, m dan j = 1, 2, …, p k 1

ordo hasil perkalian

c. Untuk matriks A22 dan B22 , berlaku

 a b  e  AB =   c d  g

f   ae  bg af  bh  =  h   ce  dg cf  dh 

d. Misalkan A, B, dan C adalah matriks-matriks yang memenuhi syarat operasi perkalian matriks, dan k adalah skalar, maka berlaku: 1) AB  BA 2) (kA)B = k(AB) = A(kB) 3) (AB)C = A(BC) 4) A(B + C) = AB + AC 5) (B + C)A = BA + CA 6) AB = O, belum tentu A = O atau B = O 7) AB = AC, belum tentu B = C 8) AI = IA = A 9) Perpangkatan matriks persegi A 10) A2 = AA

AKTIVITAS BELAJAR

Perhatikan contoh-contoh berikut: Contoh 1: A=0

1

Maka A + B =0 A - B= 0

1 - 0

B=0

1

1 + 0

1 = 0

1 = 0

1=0

1

1=0

1

1 = 0

1

Contoh 2: Jika matriks A = 0

1 , maka 3A = 3 x 0


42

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI Contoh 3: Diketahui matriks A = 0

maka A x B = 0

1 dan B = [

1 x [

]

]= 0

1

= 0

1

Kerjakan soal di bawah ini:

 3 2  2 3  , B=   , 4 1   1 0

1. Diketahui matriks A=  Tentukan:

a) A + B b) B + A c) Apakah A+B = B+A (Sifat komutatif)? d) A×B e) B×A f) Apakah sifat komutatif berlaku untuk perkalian matriks?

 2x   4   10          3y   x   12 

2. Tentukan nilai x dan y, yang memenuhi persamaan 

UJI KOMPETENSI 3

1. Misalkan A dan B adalah matriks-matriks yang berordo 4 x 5 dan misalkan C, D, dan E berturutturut adalah matriks-matriks yang berordo 5 x 2, 4 x 2, dan 5 x 4. Tentukanlah yang mana antara pernyataan matriks di bawah ini yang terdefinisi. Jika ada tentukanlah ukuran matriks tersebut ! a). BA

b). AC + D

2. Diketahui matriks A = 0

c). AE + B

d). AB + B

1 , B=0

1 dan C = [

e). E (A + B)

f). E(AC)

]

Tentukanlah! a). 3A + 2B 3. Jika A = 0

b). 4B – 2 A

c). A x C

1, B = 0

1 dan X suatu matriks berordo 2 x 3 serta memenuhi persamaan

d). C x B

A + X = B. Tentukanlah matriks X!


43


Diketahui matriks-matriks berikut: A= 0

1, B = 0

1 dan C = 0

1.

Jika F(X , Y, Z) didefinisikan sebagai F(X , Y, Z) = 4X – 2Y + Z. Tentukanlah ! a. F(A , B, C)

b. F(2A , 3B, 2C)

C. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS 1. Determinan Determinan suatu matriks mempunyai nilai numerik yang bisa dicari dengan cara mengalikan unsur– unsur secara diagonal. a. Determinan matriks ordo 2 x 2 : Contoh : A = 0

| | = 3.4 – 5.2 = 12 – 10 = 2

1

b. Determinan matriks ordo 3 x 3 : A=[

] maka

det A = |

|

| |= ( aei + bfg + cdh ) – ( ceg + afh + bdi ) Contoh: Jika matriks A = [

], maka determinan matriks A adalah:

Penyelesaian: A

= |

|

= ( 1.5.9 + 2.6.7+ 3.4.8 ) - ( 3.5.7 + 1.6.8 + 2.4.9 ) = 0

2. Invers matriks ordo 2 x 2 Jika A = 0

1 , maka invers matriks A adalah :

=

0

= I , dengan I = matriks satuan = 0

sehingga berlaku sifat: A .

1 , 1

Contoh: jika A = 0

1 , maka

=

0


1=

0

1= 0

1

44

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI AKTIVITAS BELAJAR

1.

Tentukan determinan dari masing – masing matriks berikut ini:

a. A = 0

2.

1

]

b. B =[

Tentukan invers dari masing – masing matriks di bawah ini: a. A = 0

1

1

b. B =0

3.

Tentukan nilai z yang memenuhi persamaan berikut: [

]= 0

4.

Sebuah agen perjalanan menawarkan paket perjalanan ke Jogyakarta. Paket 1 = 4 malam menginap, 3 tempat wisata dan 5 kali makan. Paket II = 3 malam menginap, 4 tempat wisata dan 7 kali makan. Paket III = 5 malam menginap, 4 tempat wisata dan tidak ada makan. Sewa hotel Rp. 400.000,00 per malam, transportasi ke tiap tempat wisata Rp. 80.000,00 dan makan di restoran yang ditunjuk Rp 90.000,00. a. Nyatakan matriks harga sewa hotel, transportasi dan makan. b. Nyatakan matriks paket yang ditawarkan. c. Dengan menggunakan perkalian matriks, tentukan matriks biaya untuk tiap paket. d. Paket mana yang menawarkan biaya termurah? UJI KOMPETENSI 4

1. Tentukan nilai z yang memenuhi persamaan berikut ini: |

|=|

|

2. Tentukan determinan dari masing – masing matriks berikut ini: a. A = 0

1

]

b. B =[

3. Tentukan invers dari masing – masing matriks di bawah ini: a. A = 0

1

b. B =0

1


45

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI 4. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut ini dengan menggunakan cara matriks: {

SOAL TANTANGAN

Tentukanlah determinan dari matriks [( (

) )

( ( (

) ) )

( ( (

) ) ] )

PENILAIAN AFEKTIF


PERNYATAAN SL

1


2


4


5


6


7


SL = Selalu

Nilai Kognitif:

Sr = Sering

Nilai Afektif:

J

= Jarang

Jr

TP

TP = Tidak Pernah

Nilai Psikomotor:


Sr

Paraf Guru

46


RELASI DAN FUNGSI

Kompetensi Dasar 3.6 Mendeskripsikan daerah asal, daerah kawan dan daerah hasil suatu relasi antara dua himpunan yang

disajikan dalam berbagai bentuk (grafik, himpunan pasangan terurut atau ekspresi

simbolik). 4.7 Menerapkan daerah asal dan daerah hasil fungsi dalam menyelesaikan masalah.

A. KONSEP RELASI DAN FUNGSI I. MENEMUKAN KONSEP RELASI Gambar di bawah merupakan hubungan antara kelompok siswa dengan kelompok grup band favoritnya. Cara penyajiannya disebut Diagram Panah.

Gambar 5.1 Grup band favorit sejumlah siswa Dari gambar di atas, tanpa ada penjelasan yang lebih terperinci kita dapat menyimpulkan fakta-fakta berikut: (1) Grup band favorit Tono adalah Band B. (2) Grup band favorit Doli adalah Band C. (3) Grup band favorit adalah Band D. (4) Grup band favorit Tedy adalah Band E. (5) Siti tidak memiliki grup band favorit dari kelompok grup band yang diberikan.

Sekarang, bandingkan dengan gambar 5.2 di bawah ini :

Gambar 5.2 Kelompok siswa dan merk handphone a) Informasi apa yang bisa kalian dapatkan dari gambar 5.2? b) Coba berdiskusi dengan temanmu, mengapa pada gambar 5.1 kita bisa menduga fakta-fakta yang telah disebutkan di atas?


47


AKTIVITAS BELAJAR

Perhatikan wacana berikut ini: Dalam rangka memperingati HUT RI ke- 67 di Kabupaten Sorong, SMA Negeri 1 Sorong akan mengirimkan siswanya untuk mengikuti pertandingan antar SMA untuk pertandingan sepak bola, bola voli, bulu tangkis, tenis meja, dan catur. Terdapat 6 orang siswa (Udin, Joko, Dayu, Siti, Abdullah, dan Tono) yang akan mengikuti pertandingan tersebut. Pasangkanlah siswa dengan pertandingan yang akan diikuti dengan ketentuan berikut: 1) Udin ikut pertandingan sepak bola dan bola voli, Joko ikut pertandingan bulu tangkis, Dayu ikut pertandingan catur, Siti ikut pertandingan bola voli, Abdullah ikut pertandingan tenis meja, dan Tono ikut pertandingan tenis meja. 2) Siti ikut pertandingan bola voli, Dayu ikut pertandingan catur, Joko ikut pertandingan bulu tangkis, Abdullah dan Tono ikut pertandingan bola voli. 3) Udin dan Dayu ikut pertandingan sepak bola, Joko ikut pertandingan bulu tangkis, Siti ikut pertandingan bola voli, Abdullah dan Tono ikut pertandingan tenis meja. 4) Siti ikut pertandingan bola voli ; Joko, Udin, danTono ikut pertandingan sepak bola, Tono ikut pertandingan catur. 5) Keenam siswa ikut pertandingan bola kaki. 6) Tono akan mengikuti seluruh pertandingan.

Alternatif Penyelesaian Alternatif penyelesaian masalah dapat disajikan dalam bentuk: 1) Pada soal nomor 1, kita bisa menyajikan penyelesaian dengan dua cara, yaitu diagram panah dan pasangan berurutan. a) Diagram Panah Ikut pertandingan

Udin

Sepak Bola

Joko Dayu

Bola Voli Bulu Tangkis

Siti Abdullah Tono

Catur

Kelompok Siswa

Tenis Meja Kelompok Pertandingan

b) Dengan Pasangan Berurutan {(Udin , Sepak Bola), (Udin , Bola Voli), (Joko, Bulu Tangkis), (Dayu ,catur), (Siti , bola voli), (Abdullah , tenis meja), dan (Tono , tenis meja) } Silahkan kalian coba untuk menyajikan penyelesaian dari soal nomor 2 sampai dengan nomor 6 Lembar Aktivitas Siswa – Kelas X (Wajib) – Semester 1

48

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI II.

Menemukan Konsep Fungsi

Fungsi atau Pemetaan adalah suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B, dalam hal ini setiap dipasangkan dengan tepat satu

Fungsi

.

yang memetakan himpunan A ke himpunan B ditulis dengan notasi:

( ) dibaca

merupakan fungsi dari

A

A

B

Bukan Fungsi

Fungsi

A disebut domain (daerah asal) dinotasikan

.

B disebut kodomain (daerah kawan) dinotasikan *

|(

B

)

.

+disebut range (daerah hasil), dinotasikan dengan

.

Contoh: *

Diketahui ( )

+ dan

*

+. Suatu fungsi

ditentukan oleh

.

1. Gambarlah fungsi f dengan diagram panah. 2. Tentukan range fungsi f 3. Gambarlah grafik fungsi f

Jawab: A

1.

B

0

1

1

2

2

3

3

4

4

5 6 7 8 9


49

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI 2. Dari diagram panah di atas, terlihat bahwa: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3.

Y

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -3 -2 -1 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

X

B. SIFAT-SIFAT RELASI Relasi yang didefinisikan pada sebuah himpunan mempunyai beberapa sifat. Sifat-sifat tersebut antara lain:

1. Sifat Reflektif Misalkan R sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan P. Relasi R reflektif jika untuk setiap

berlaku (

)

dikatakan bersifat

.

2. Sifat Simetris Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat simetris, apabila untuk setiap (x, y) R berlaku (y, x) R.

3. Sifat Transitif Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R bersifat transitif, apabila untuk setiap (x,y)

R dan (y,z) R maka berlaku (x,z) R.

4. Sifat Antisimetris Suatu relasi R pada himpunan A dikatakan anti simetri jika untuk setiap a, b (b, a)

A, (a, b)

R dan

R berlaku hanya jika a = b.

5. Sifat Ekuivalensi Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R disebut relasi ekivalensi jika dan hanya jika relasi R memenuhi sifat refleksif, simetris, dan transitif.


50


AKTIVITAS BELAJAR

Tentukan himpunan pasangan terurut dari relasi-relasi berikut dan tentukan apakah relasi tersebut bersifat

Reflektif, Simetris, Transitif, Antisimetri atau Ekuivalensi dengan memberikan tanda

checklist (√) pada kolom yang sesuai! No

Domain

Kodomain

1

*

+

*

+

„≤‟

2

*

+

*

+

„≥‟

*

3

4

+

*

*

+

+

*

(a, b)

+

5

*

+

*

+

6

*

+

*

+

Sifat Relasi

Himpunan Pasangan

Relasi

terurut

R

S

T

As

R jika a faktor prima dari b

(a, b)

R jika a habis membagi b

*(

R

*(

)|

(

) ( )(

) )(

)+

)+

Keterangan: R: Reflektif

T: Transitif

S: Simetris

As: Antisimetris

E: Ekuivalensi


51

E

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI C. SIFAT- SIFAT FUNGSI

a. Fungsi Injektif (satu- satu) Jika fungsi

, setiap

hanya mempunyai satu kawan di A, maka fungsi itu disebut

fungsi injektif (satu- satu). A

B

A

B

a

.1

a

.1

b

.2

b

.2

c

.3

c

.3

.4 Fungsi injektif

Bukan fungsi injektif

b. Fungsi Surjektif (Onto) Jika fungsi

, setiap

mempunyai kawan di A, maka fungsi itu disebut fungsi

surjektif (onto). A

B

A

B

a

.1

a

.1

b

.2

b

.2

c

.3

c

.3 .4

d. Fungsi surjektif

Bukan fungsi surjektif

c. Fungsi Bijektif (Korespondensi Satu-Satu) Jika suatu fungsi bersifat injektif sekaligus surjektif, maka disebut fungsi bijektif (Korespondensi satu-satu). A B

A

B

a

.1

a

.1

b

.2

b

.2

c

.3

c

.3

d.

4

d.

Fungsi bijektif

Bukan fungsi bijektif


52

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI AKTIVITAS BELAJAR

Tugas Mandiri Apakah relasi dan fungsi adalah sama? Carilah kebenarannya dari buku atau internet, kemudian buatlah catatan beserta kesimpulannya. Tunjukkan kepada bapak/ibu guru dan mintalah penjelasan jawaban yang benar. Tugas Kelompok Kerjakan sesuai perintahnya! 1. Buatlah kelompok yang terdiri dari 3-4 orang. 2. Tiap orang dalam tim diberikan materi yang sama yaitu menemukan pengertian relasi dan sifatsifat relasi. 3. Setiap anggota dalam tim harus benar-benar mengerti tentang materi yang ditugaskan. Anggota yang sudah mengerti / lebih tahu Diskusikanlah bersama anggota kelompokmu 4. Apakah operasi aljabar pada fungsi berlaku sifat komutatif, asosiatif, dan distributif? 5. Lakukanlah pengamatan, buatlah laporan, dan berikan kesimpulan dari hasil yang telah diperoleh. 6. Kumpulkan kepada bapak/ibu guru untuk dinilai UJI KOMPETENSI 1

1. Tentukanlah daerah asal, daerah kawan, dan daerah hasil dari relasi berikut. R a.

b.

c.

a 1 b 2 c 3 d 4 e 5 Q P Relasi pasangan berurutan : )( *(

)(

)(

)+

7 6 5 4 3 2 1 0

1

2

3

4

5

6

7

2. Sekumpulan anak yang terdiri atas orang yaitu : ( ), berturut turut berusia 6,7,9,10 dan 11 tahun. Pasangkanlah usia masing-masing anak pada bilangan prima yang kurang dari 15. Apakah semua anak dapat dipasangkan? Tentukanlah daerah asal, daerah kawan dan daerah hasilnya. Lembar Aktivitas Siswa – Kelas X (Wajib) – Semester 1

53

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI 3. Diberikan himpunan * + dan himpunan * + nyatakanlah relasi terhadap dengan relasi berikut. a. Anggota himpunan dipasangkan dengan anggota himpunan dengan relasi b. Anggota himpunan dipasangkan dengan anggota himpunan dengan relasi , Kemudian periksa apakah relasi yang terbentuk adalah fungsi atau bukan. SOAL TANTANGAN

Diketahui fungsi

dengan rumus

√

. Tentukanlah daerah asal fungsi

agar memiliki

pasangan di anggota himpunan bulangan real.

PENILAIAN AFEKTIF


PERNYATAAN SL

1


2


4


5


6


7


SL = Selalu

Nilai Kognitif:

Sr = Sering

Nilai Afektif:

J

= Jarang

Jr

TP

TP = Tidak Pernah

Nilai Psikomotor:


Sr

Paraf Guru

54


BARISAN DAN DERET

Kompetensi Dasar 3.8

Memprediksi pola barisan dan deret aritmetika dan geometri atau barisan lainnya melalui pengamatan dan memberikan alasannya.

4.8

Menyajikan hasil menemukan pola barisan dan deret dan penerapannya dalam penyelesaian masalah sederhana.

A. DEFINISI BARISAN DAN DERET I. Definisi Barisan: Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu antara satu bilangan dengan bilangan berikutnya. Jika bilangan pertama (suku ke-1) U1, bilangan kedua (suku ke-2) U 2, ….dan bilangan ke-n (suku ken) adalah U n, maka barisan itu ditulis sebagai : U 1 , U 2, U 3, ……….., U n Amati barisan berikut ini: Coba analisa bagaimana keteraturannya? Lanjutkan dengan mengisi dua bilangan berikutnya, kemudian sebutkan rumus suku ke-n (Un). 1. 3, 5, 7, 9, 11, 13, ............, ............, Un = ………………….. 2. -1, 5, 11, 17, 23, ............, ............, Un = ………………….. 3. 4, 9, 16, 25, 36, ............, ............, Un = ………………….. 4. 2, 4, 8, 16, 32, ............, ............,

Un = …………………..

5. 3√ , 7√ , 11√ , ............, ............,

Un = …………………..

AKTIVITAS BELAJAR

1. Tentukan lima suku pertama dari barisan-barisan di bawah ini, jika rumus suku ke-n diketahui sebagai berikut: a. Un = (2n-1)2

b. Un =

2. Tentukan tiga suku selanjutnya dari barisan berikut ini, kemudian tentukan rumus suku ke-n. a. -1, -3, -5, -7, ………..

b. , . , ……………..

3. Rumus suku ke-n dari suatu barisan ditentukan oleh hubungan Un = pn2 + qn, p dan q ϵ R. Suku pertama dan suku keempat dari barisan itu berturut-turut 3 dan 60. a. Tentukan nilai p dan q

b. Tentukan suku ke-lima dari barisan itu


55

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI II. Definisi Deret: Misalkan U1 , U2, U3, ……….., Un merupakan suku-suku suatu barisan, maka jumlah beruntun dari suku-suku barisan itu dinamakan deret dan ditulis : Sn = U1 + U2 + U3 + ………..+ Un Sn adalah jumlah n suku pertama dari sebuah barisan dengan n = 1,2,3,…….. Sn = U1 + U2 + U3 + ………..Un-1 + Un dan Sn-1 = U1 + U2 + U3 + ………..+ Un-1 , sehingga Sn = Sn-1 + Un

atau

Un = Sn - Sn-1

Contoh Tentukan U 8 jika Sn  n2  2n Jawab: Un = Sn - Sn-1 sehingga U8 = S…… - S………… U8 = ………………… AKTIVITAS BELAJAR

1. Tentukan U10 jika Sn = n2 2. Tentukan U9 jika Sn = n2 – 3n B. BARISAN DAN DERET ARITMETIKA Barisan banyak macamnya, tetapi yang akan dipelajari yaitu barisan aritmetika dan barisan geometri. a. Barisan Aritmetika Definisi: Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang beda setiap dua suku yang berurutan adalah sama. Beda dinotasikan b dan memenuhi pola berikut b = U2 – U1 = U3 – U2 = …………= Un – Un-1 Amati barisan bilangan berikut a.

3,

5, 7,

b.

-1, 5, 11, 17,

c.

2, 4, 7, 11, 16, ……., …….,

d.

1,

e.

3 2 , 7 2 , 11 2 , ……., …….,

2, 4,

9,

8,

11 , ……., ……., 23, ……., ……., 16, ….…., …….,


56

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI Berdasarkan definisi tersebut, yang manakah dari barisan di atas yang merupakan barisan aritmetika ? Tentukan bedanya. …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… Kemudian buatlah 2 contoh barisan aritmetika 1. …………………………….. 2. ………………………………

Sifat: JIka U1 , U2, U3, ……….., Un merupakan suku-suku barisan aritmetika, rumus suku ke-n dari barisan tersebut dinyatakan sebagai berikut:

Un = ɑ + (n – 1)b Dimana U n : suku ke-n barisan aritmetika ɑ: suku pertama ( U1 ) n: banyak suku

b: beda / selisih

b = Un – Un – 1

Contoh 1: Tentukan beda dari :

1 2

b) 10, 8 ,7,...

a) 1, 5, 9

Jawab : a) b = U2 – U1 = ……. b) b = …….. Contoh 2: Tentukan suku ke-50 dari barisan 2,5,8, ..... Jawab : U1 = ɑ = …. , b = ……. n = ……. Un = ɑ + (n-1)b U50 = …………….. Contoh 3: Tentukan banyak suku dari barisan 50, 47, 44, ..., -22 Jawab : U1 = ɑ = …. , b = ……. Un = -22 ɑ + (n-1)b = -22 … + (n – 1) … = - 22 Sehingga, n = ……

Contoh 4: Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 1,5,9,... Jawab : U1 = ɑ = …. , b = ……. Un = ɑ + (n-1)b Un = ……………. Lembar Aktivitas Siswa – Kelas X (Wajib) – Semester 1

57

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI Contoh 5: Pada barisan aritmetika diketahui U 5  21 dan U 10  41 . Tentukan U15 Jawab : U5 = ɑ + (5-1)b = 21 → ɑ + 4b = 21 ….(1) U10= ɑ + (10-1)b = 41 → ɑ + 9b = 41 ….(2) Dari (1) dan (2), diperoleh nilai ɑ dan b, sehingga ɑ = …….. dan b = ……. U15 = …… UJI KOMPETENSI 1

1. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan berikut a) 3,5,7,... b) 1, 1

1 ,2,... 2

c) 20,17,14,... d) 5 2 , 4 2 , 3 2 ,...

2. Tentukan suku yang diminta a) 4,10,16,... suku ke-25

b) 20 3 , 18 3 , 16 3 ,... suku ke-40

TUGAS RUMAH

1. Tentukan unsur yang diminta pada barisan aritmetika berikut: a) b = 4, U 6  21 , a = ...

c) a = 9, b = -2, U n  19 , n = ...

b) a = -5, U 20  33 , b = ...

d) U 3  7

1 , U 6  15 , U 10 ... 2

2. Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika jumlahnya 21 dan hasil kalinya 280, maka tentukan ketiga bilangan itu. 3. Tentukan x jika x+1 , 2x , x+7 membentuk barisan aritmetika. 4. Ali pada bulan Januari 1999 menabung Rp.100.000,00 Tiap awal bulan Ali menabung Rp. 25.000,00 Tentukan jumlah tabungan Ali pada bulan April 2000 jika bunganya tidak diperhitungkan


58

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI b. Deret Aritmetika Jumlah berurutan suku-suku suatu barisan aritmetika disebut sebagai deret aritmetika. Dari barisan aritmetika u1 , u2 , u3 , ………., un dapat dibentuk deret aritmetika u1 + u2 + u3 + ………+ un

1 S n  n[2a  (n  1)b] 2

,

karena U n  a  ( n  1)b , maka bentuk di atas dapat juga ditulis:

Sn 

1 n( a  U n ) 2

S n : jumlah n suku pertama Contoh 1: Hitunglah jumlah dari barisan dibawah ini. a) 1 + 3 + 5 + .... sampai 50 suku b) 2 + 5 + 8 + .... + 272 Jawab : a) ɑ = ………… b = ……… dan n = …….. Sn = n ( 2ɑ + (n – 1)b ) S50 = ………………. b) ɑ = ………… b = ………. Un = 272 ɑ + (n -1) b = 272, maka nilai n adalah: n = ……………., subtitusi ke dalam rumus Sn = n ( a + Un ) S….. = …………… Contoh 2: Tentukan x jika 5 + 7 + 9 + …… + x = 192 Jawab : ɑ = ……… b = …….. dan Sn = 192 Sn = n ( 2ɑ + (n – 1)b ) = 192 n = ………. x = Un = U… = ……………… Contoh 3: Tentukan jumlah bilangan dari 0 - 100 yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 5 Jawab : Yang habis dibagi 4 yaitu : 4 + 8 + 12 + ……….. + 100  SI =…….. Yang habis dibagi 4 dan 5 atau habis dibagi 20: yaitu 20 + 40 + 60 + 80 + 100  S2 = …… Jadi jumlah bilangan yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 5  S1 - S 2 = ……. Lembar Aktivitas Siswa – Kelas X (Wajib) – Semester 1

59


UJI KOMPETENSI 2

1. Tentukan jumlah dari: a) 3 + 6 + 9 + ... sampai 20 suku b) 25 + 21 + 17 + ... + 1 2. Tentukan x jika: 1 + 3 + 5 + ... + x = 441 3. Tentukan unsur yang diminta dari deret aritmetika berikut : a) a = 2, S22  737, b ... b) b=5, U10  46, S15 ... TUGAS RUMAH

1. Tentukan jumlah dari: a) 18 + 14 + 10 + ... sampai 20 suku b) -7 – 3 + 1 + ... + 53 2. Tentukan x jika: 1 + 5 + 9 + ... + x = 561 3. Tentukan unsur yang diminta dari deret aritmetika berikut:

U 4  9,U 7  18, S10 ... 4. Tentukan jumlah bilangan antara 100 dan 200 yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 3!


60

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI C. BARISAN DAN DERET GEOMETRI a.

Barisan Geometri

Definisi : Barisan geometri adalah barisan bilangan yang nilai pembanding (rasio) antara dua suku yang berurutan selalu tetap.

Rasio dinotasikan r, dan dinyatakan dengan: r=

=

= ………=

=

Amati barisan geometri dibawah ini, kemudian tentukan rasio dari setiap barisan berikut: 1. 2, 6, 18, 54, ………

r = ……

2. -32, 16, -8, 4, ……

r = ……

Sifat Jika u1 , u2, u3, ……….., un merupakan susunan suku-suku barisan geometri, dengan u1 = ɑ dan r adalah rasio, maka suku ke-n dinyatakan Un = ɑrn-1 n-1

, n adalah bilangan asli r = rasio

Un = ɑr

r=

Amati kembali barisan geometri diatas, tentukan rumus suku ke-n dari masing-masing barisan tersebut, kemudian tentukan suku ke-10. Jawab: 1). 2, 6, 18, 54, ………

2). -32, 16, -8, 4, ……

ɑ = …… r = ……

ɑ = …… r = ……

Un = ɑr

Un = ɑrn-1 = …………..

n-1

= …………..

U10 = ………………….

U10 = ………………….

Contoh 1: Tentukan suku ke-8 dari barisan : 1, 2, 4 ,.... Jawab:

ɑ = …… r = …… Un = ɑrn-1 U8= ……………

Contoh 2: Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 3 , 6 , 12 ,... Jawab:

ɑ = …… r = …… Un = ɑrn-1 = ……………

Contoh 3: Pada barisan geometri diketahui U3 = 4 dan U5 = 16. Tentukan U8 ! Jawab:

U3 = ɑr….. = 4 = r = …………

U5 = ɑr….. = 16 = = ………. U8 = ………


61

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI Contoh 4: Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlahnya 13 dan hasil kalinya 27, tentukan ketiga bilangan itu! Jawab: Misal ketiga bilangan itu

x .x.xr  27  r

x , x, xr maka r

x3  27 

x3

Karena x = 3, kita boleh mengganti x oleh 3

3  3  3 r  13 x r  3r 2  10r  3  0  (3r  1)(r  3)  0 r 1 r  bilangannya 9, 3, 1 3 r  3  bilangannya 1, 3, 9

Contoh 5: Tentukan x jika x-1, x+2 dan 3x membentuk barisan geometri ! Jawab: r=

U1 = x – 1, U2 = x + 2 dan U3 = 3x →

=

=

→ (x + 2)(x + 2) = 3x(x – 1)

diperoleh persamaan kuadrat, sehingga …………………… = 0 (

)(

)=0

x = ………… atau x = …………….

UJI KOMPETENSI 3

1. Tentukan suku ke-8 dari barisan: 3, 6, 12,.... 2. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan:

, , 1 , ……….

3. Tentukan unsur yang diminta dari barisan geometri berikut: a) ɑ = 4 , U4 = 32, U6 = …………… b) b =

, U5 = 3, ɑ = …………………

4. Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlahnya 21 dan hasilkalinya 216, tentukan ketiga bilangan itu!


62


TUGAS RUMAH

1. Tentukan suku yang diminta dari barisan: a) 1,3,9,..... suku ke-7

b) 16,8,4, ... suku ke-10

2. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan : 2, 2√ , 4 , …… 3. Tentukan U5 dari barisan geometri, jika diketahui U3 = 8 , U6 = -64 4. Tentukan x jika x-4, x, 2x membentuk barisan geometri ! 5. Suatu bakteri pada pukul 20.00 jumlahnya 4. Tiap 10 menit sekali tiap-tiap bakteri membelah menjadi 2. Tentukan banyaknya bakteri sampai pukul 21.20 ! 6. Perhatikan barisan bilangan berikut ini: i. 2, 4, 6, 8, …….

iii. √ , 4√ , 7√ , …………

ii. 2, 4, 8, 16, ……

iv. √ , 2√ , 4√ , ……......

Apakah barisan tersebut merupakan barisan aritmetika atau barisan geometri ? Jelaskan alasannya. b. Deret Geometri Definisi: Deret geometri adalah barisan jumlah n suku pertama barisan geometri. Sn = u1 + u2 + u3 + ………..+ un

Bentuk Umum:

atau

Sn = ɑ + ɑr + ɑr2 + ………+ ɑrn-1 ,dengan u1 = ɑ dan r adalah rasio Sifat : Jika suatu deret geometri dengan u1 = ɑ dan r adalah rasio, maka jumlah n suku pertama adalah:

i.

ii. iii.

Sn =

Sn =

(

)

, untuk r < 1 (

)

, untuk r > 1 , untuk r = 1

Sn = n

Contoh 1: Tentukan jumlah 8 suku pertama dari 1+ 2 + 4 + ……...... Jawab: ɑ = …… r = …….. Sn =

ɑ(

)

S8 = ……………..


63

MGMP MATEMATIKA SMA KOTA SUKABUMI Contoh 2: Tentukan jumlah dari 1 + 3 + 9 +...+ 243 Jawab:

ɑ = ……, r = ……. , Un = 243  ɑrn-1 = 243 n = …… S… = …… = ……

2 n Contoh 3: Tentukan n jika 1  2  2 ....2  255

Jawab: ɑ = ……. r = ……. Sn = 255 ɑ(

)

= 255

n = …. UJI KOMPETENSI 4

1. Tentukan jumlah dari: a) + + 1+ ……… S10 = ……………….. b) 36+18+9+........

S6 = …………………

2. Tentukan jumlah dari: 32 + 16 + 8 + . .. ......+ 1/8 3. Tentukan S5 dari deret geometri, jika diketahui U1 = 50 dan U3 = 200 4. Tentukan suku pertama dari deret geometri, jika diketahui S8 = 15 , r = TUGAS RUMAH

1. Tentukan jumlah dari:

2  2  2 2  ......... S 8  ......................

2. Tentukan jumlah dari:

+ 1 + 3 + ……....+ 81

3. Tentukan n jika: a) 3  32  33  .............  3n  363 b) 2  2 2  2 3  ..............  2 n1  1022 4. Tentukan nilai n dari deret geometri, jikadiketahui ɑ = 1, r = 3 dan Sn = 29524 5. Jumlah penduduk suatu kota setiap 3 tahun menjadi dua kali lipat. Setelah 27 tahun jumlah penduduk menjadi 6,4 juta jiwa. Hitung jumlah penduduk semula!


64


1. Tentukan suku yang dicantumkan di akhir barisan dari setiap barisan berikut. a. 11, 9, 5,….., U31

d.

b. (2 , 3), (-3 , 2), (-8 , 1), …U20

e. 1,

, , ……….U10

, ,

, ……. U6

2. Tentukan jumlah dari deret berikut: a. Suku pertama suatu deret aritmetika adalah 3 , sedangkan suku ke-54 adalah 86 , tentukanlah jumlah 50 suku pertama deret tersebut. b. Suku ketiga suatu deret aritmetika adalah -38, sedangkan suku ke 7 adalah -66. Tentukan jumlah 12 suku pertama deret tersebut. c. Suku ke-5 suatu deret geometri adalah 12 dan suku ke-8 adalah 96, tentukan jumlah 8 suku pertama deret tersebut. d. Suku pertama suatu deret geometri adalah x -4, suku ke-3 adalah x2ɑ, dan suku ke-8 adalah x52. Tentukan nilai ɑ dan jumlah 10 suku pertama deret tersebut. 3. Tentukanlah jumlah deret berikut. a. Semua bilangan asli yang terletak diantara 1 dan 50 dan habis dibagi 4 b. Semua bilangan bulat yang terletak antara 1 dan 50 dan tidak habis dibagi 3 c. Semua bilangan genap yang terletak diantara 1 dan 100 dan habis dibagi 3 4. Tentukan nilai x agar 4 + 42 + 43 = ……+ 4x = 1.364 5. Dalam sebuah permainan, 8 kentang ditempatkan pada sebuah garis lurus. Jarak dua kentang yang berdekatan 6 meter. Jarak kentang pertama ke keranjang 6 meter. Seorang peserta mulai bergerak dari keranjang, mengambil satu kentang sekali ambil dan memasukkan ke dalam keranjang. Tentukan total jarak yang ditempuh peserta tersebut agar dapat menyelesaikan permainan. 6. Niko memotong seutas tali menjadi 5 potong. Panjang kelima potong tali membentuk barisan geometri. Jika potongan yang paling pendek 2 cm dan potongan yang paling panjang adalah 162, tentukan panjang tali semula. 7. Pada barisan bilangan 4 , x, y, z diketahui tiga suku pertama membentuk barisan geometri dan tiga suku terakhir membentuk barisan aritmetika. Tentukan nilai x + y. 8. Saat diterima bekerja di penerbit Literatur, Meylin membuat kesepakatan dengan pimpinan perusahaan, yaitu ia akan mendapat gaji pertama Rp. 1.800.000,00 dan akan mengalami kenaikan Rp. 50.000,00 setiap dua bulan. Jika ia mulai bekerja pada bulan Juli 2004, berapa gaji yang diterima pada bulan desember 2005.


65


9. Ferdy membuka tabungan di bank pada bulan Desember 2003 sebesar Rp. 500.000,00. Pada bulan Januari 2004, Ferdy menabung Rp. 50.000,00, kemudian pada bulan Maret 2004 menabung lagi sebesar Rp. 55.000,00. Pada bulan-bulan berikutnya, Ferdy menabung Rp. 60.000,00, Rp.65.000,00, dan seterusnya sampai bulan Desember 2004. Berapa jumlah seluruh tabungan Ferdy sampai akhir tahun 2004? (tidak termasuk bunga bank). Pada setiap awal tahun Wisnu menanamkan modalnya sebesar Rp. 5.000.000,00 dengan bunga majemuk 6% per tahun. Hitunglah jumlah seluruh modal Wisnu setelah 3 tahun.

PENILAIAN AFEKTIF


PERNYATAAN SL

1


2


4


5


6


7


SL = Selalu

Nilai Kognitif:

Sr = Sering

J

= Jarang

Nilai Afektif:


Sr

Jr

TP

TP = Tidak Pernah

Nilai Psikomotor:

Paraf Guru

66


DAFTAR PUSTAKA

Ari R, Indriyastuti. (2008). Perspektif Matematika I Kelas X SMA dan MA. Solo: PT Tiga Serangkai Pustaka Mandiri Kusnaedi E, Zaelani A, Cunayah C. (2007). Matematika SMA/MA 2007 Soal-Soal Pemantapan Ujian Nasional, Bandung : CV Yrama Widya Simangunsong Wilson. (2005). PKS Matematika Kelas X Semester 1. Jakarta: Gema Tama Simangunsong Wilson. (2005). PKS Matematika Kelas XII Semester 1. Jakarta: Gema Tama Simangunsong Wilson. (2005). PKS Matematika Kelas XII Semester 2. Jakarta: Gema Tama Tim Penulis Buku Guru. Matematika Buku Guru Untuk Kelas X. 2013. Jakarta : Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan.


67

KATA PENGANTAR. Amin Herwansyah, S.Pd., M.Si., Undang Supriatna, S.Pd., M.M.Pd., Rita Nursari, S.Pd., M.M.Pd.,

Recommend Documents