nyôjén véletlenszerûen két-két számjegyet villantott fel, ugyanúgy, mint amikor 1-tôl 9-ig tanította a számok sorrendjét, most azonban az egyik számjegy néha a nulla volt. Mit gondolt Ai, hol helyezkedik el a nulla a számok sorában? Az elsô sorozatban Ai a 6 és a 7 közé tette a nullát. Macuzava ezt úgy tudta meg, hogy kiátlagolta, melyik számokat gondolta Ai az esetek többségében kisebbnek, illetve nagyobbnak, mint nulla. A következô sorozatokban Ai elôször a 6, majd az 5 és a 4 alá helyezte már a nullát, és néhány száz kísérlet után az 1 környékére. Továbbra sem volt teljesen biztos azonban abban, hogy a nulla kisebb vagy nagyobb-e, mint 1. Hiába tanulta meg a számokat viszonylag jól, Ai számértése továbbra is elmaradt az emberekétôl. Egy dolgot azonban jól megtanult: a sztárságot. Ma már vérbeli profi, aki jobban teljesít nézôközönség vagy a kamerák elôtt. Az állatok számértése jelenleg is számos egyetemi kutatás középpontjában áll. A kísérletek során egészen váratlanul fejlett „mennyiségértést” mutattak ki olyan különféle állatoknál, mint a szalamandrák, a patkányok és a delfinek. Habár a lovak még manapság sem tudnak gyököt vonni, a tudósok feltételezik, hogy ezeknek az állatoknak a numerikus képességei sokkal jobbak, mint korábban feltételezték. Úgy tûnik, minden állatnak van valamennyi vele született hajlama a matematikára. A számolási képességek ugyanis elengedhetetlenek a túléléshez a vadonban. Egy csimpánz valószínûbb, hogy nem marad éhes, ha felnéz a fára és érzékeli az érett gyümölcs mennyiségét. Karen McComb, a Sussexi Egyetem kutatója egy, a Serengetin vadászó oroszlánfalkát vizsgált, hogy megmutassa, az oroszlánok a számérzéküket használják, amikor eldöntik, megtámadjanak-e egy másik orosz30
láncsapatot. Az egyik kísérletben egy magányos nôstény oroszlán sétált haza a falkájához. McComb egy hangszórót helyezett el az egyik bokorban, és egy másik magányos oroszlán üvöltését játszotta le rajta. A nôstény oroszlán meghallotta, és folytatta az útját hazafelé. A második kísérletben öt oroszlán volt együtt. McComb három oroszlán üvöltését játszotta le nekik a rejtett hangszóróból. Az öt oroszlán meghallotta az üvöltést, és a hang irányába fordult. Az egyikük elkezdett üvölteni, és hamarosan mind az öten támadást indítottak a bokor ellen. McComb arra következtetett, hogy az oroszlánok fejben képesek összehasonlítani a mennyiségeket. Az egy az egy ellen túl kockázatossá tette a támadást, de az öt a három ellen azonnali rohamra indította ôket. De nem minden állatokkal kapcsolatos kutatás ad lehetôséget arra, hogy az ember a Serengetin táborozzon, vagy egy csimpánz-celebbel villogjon. A németországi Ulm egyetemén a kutatók szaharai hangyákat helyeztek el egy alagút végén és indítottak élelemkeresésre. Amikor a rovarok megtalálták az ételt, a kutatók némely hangyáknak lecsippentettek a lábából, másoknak viszont disznószôrrel meghosszabbították a végtagját. (Állítólag ez nem olyan kegyetlen, mint amilyennek hangzik, mert a sivatagi hangyák lábát gyakran leperzseli a szaharai napsütés.) A rövidebb lábú hangyák alábecsülték a hazautat, a hoszszabb lábúak viszont túlbecsülték, ami azt jelzi, hogy a hangyák a szemük helyett egyfajta belsô lépésszámlálóval mérik a távolságokat. Elképzelhetô, hogy a hangyák híres képessége, hogy órákon át képesek bolyongani, és aztán mindig hazatalálnak a bolyukba, számolási ügyességüknek köszönhetô. Az állatok számtani képességeire irányuló kutatások néha váratlan fordulatokat hoznak. A csimpánzoknak talán megvannak a maguk korlátai a matematikában, de a kí31
Ebben a feladatban Ajumunak felvillantják a számokat 1-tôl 7-ig, majd fehér négyzetekre cserélik ezeket. A csimpánznak emlékeznie kell a számok helyére, hogy sorrendben meg tudja érinteni a négyzeteket és megkapja a jutalomfalatot 32
sérletek alatt Macuzava felfedezte, hogy más kognitív képességeik viszont sokkal jobbak az emberekénél. Ai fia, Ajumu 2000-ben született. Amikor ellátogattam a Fôemlôskutató Intézetbe, Ajumu anyukája mellett ült az órán. Kisebb volt nála, bôre még rózsaszínes, arcán és kezén a szôr sötét. Ajumu saját képernyôje elôtt ült, és azt csapkodta, amikor számok villantak fel rajta, aztán villámgyorsan falta be az almát, amikor sikerült elnyernie. Magabiztos kis kölyök volt, aki a csoport domináns nôstényének fiaként privilegizált helyzetet élvezett. Ajumut sohasem tanították az érintôképernyô használatára, bár csecsemôkorában mindennap anyja mellett ült a tanórákon. Egy nap Macuzava csak résre nyitotta ki a tanterem ajtaját, hogy Ajumu még épp beférjen, de a rés túl szûk volt ahhoz, hogy Ai csatlakozzon hozzá. Ajumu azonnal a számítógéphez ment. A munkatársak izgatottan figyelték, vajon mit tanult meg a kicsi. Ajumu a kezdéshez megérintette a képernyôt, és az 1 és 2 számok jelentek meg. Ez egy egyszerû sorba rendezési feladat volt. Ajumu a 2-re ütött. Rossz válasz. Újra meg újra a 2-t nyomogatta. Rossz válasz. Aztán megpróbálta az 1-et és a 2-t egyszerre. Megint csak rossz. Végül sikerült: lenyomta az 1-et, majd a 2-t, és egy almakocka pottyant a kezébe. Nemsokára Ajumu minden számítógépes feladatban jobb volt, mint az anyja. Néhány évvel ezelôtt Macuzava egy újfajta számfeladatot vezetett be. A kezdôgomb megnyomására véletlenszerûen elszórva jelennek meg a képernyôn a számok 1-tôl 5-ig. Csupán 0,65 másodperc után a számok helyére fehér négyzetek kerülnek. A feladat annyi, hogy a fehér négyzeteket a helyes sorrendben kell leütni, emlékezve arra, milyen számok szerepeltek a helyükön elôzôleg. Ajumu az esetek 80 százalékában oldotta meg ezt a feladatot, ami nagyjából megfelel a japán iskolás gyerekek mintacsoportjában mért eredménynek. Macuzava ezután 33
0,43 másodpercre csökkentette azt az idôt, amíg a számok láthatóak voltak. Ajumu alig vette észre a különbséget, a gyerekek teljesítménye azonban jelentôsen romlott, 60 százalék körülire. Amikor Macuzava megint csak csökkentette az idôt, ezúttal 0,21 másodpercre, Ajumu továbbra is 80 százalékot ért el, míg a gyerekek már csak 40 százalék körül teljesítettek. A kísérlet megmutatta, hogy Ajumunak egészen elképesztô fotografikus memóriája van, ahogy a többi inujamai csimpánznak is – igaz, Ajumu a legjobb közülük. A további kísérletekben Macuzava növelte a megjelenített számjegyek számát, és Ajumu képes volt nyolc számjegy helyes sorrendjére emlékezni, miután csupán 0,21 másodpercig látta ôket. Macuzava az idôt is tovább csökkentette, és Ajumunak elég volt csupán 0,09 másodpercre felvillantani az öt számot, hogy a helyes sorrendet megadja. Ennyi idô alig elegendô arra, hogy az ember észlelje ôket, nemhogy még emlékezzen is rájuk. Ez a hihetetlen emlékezôtehetség valószínûleg annak köszönhetô, hogy a villámdöntések – például az ellenségek számáról – alapvetô fontosságúak a vadonban. Az állatok numerikus képességeinek és korlátainak vizsgálata természetszerûleg elvezet minket az emberek vele született képességeinek kérdéséhez. Azoknak a tudósoknak, akik a külsô behatásoktól minél érintetlenebb elmét szeretnék tanulmányozni, természetszerûleg a lehetô legfiatalabb alanyokra van szükségük. Ezért aztán ma már szokványosnak számít, ha pár hónapos csecsemôk matematikai képességeit vizsgálják. Mivel az ilyen korú babák még nem tudnak beszélni, vagy a végtagjaikat akaratlagosan mozgatni, a numerikus képességekre utaló jeleket csupán a szemük vizsgálatával lehet felfedezni. Az elmélet annyi, hogy a babák hosszabb ideig bámulnak olyasvalamire, ami meglepi ôket. 1980-ban a Pennsylvaniai Egyetem kutatója, Prentice Starkey 16–30 hetes babákat vizs34
gált, és elôször két pontot mutatott nekik egy képernyôn, majd megint két pontot. A második képet a csecsemôk 1,9 másodpercig nézték. Amikor azonban Starkey úgy ismételte meg a tesztet, hogy a két pont után három pontot mutatott nekik, a babák az utóbbit 2,5 másodpercig nézték, mintegy a harmadával hosszabb ideig. Starkey azt állította, hogy ez a többletidô azt jelenti, a csecsemôk észreveszik a különbséget a két és a három pont között, tehát rendelkeznek valami kezdetleges számfogalommal. Ma már bevett módszernek számít, hogy a figyelem hosszából következtetünk az értelmi feldolgozásra. Elizabeth Spelke a Harvardról 2000-ben bebizonyította, hogy a hat hónapos babák már különbséget tudnak tenni 8 és 16 pont között, 2005-ben pedig azt, hogy 16 és 32 pont között. Egy rokon kísérletben azt mutatták meg, hogy a csecsemôk elemi szinten a számtant is értik. 1992-ben Karen Wynn az Arizonai Egyetemrôl egy öt hónapos babát ültetett le egy kis színpad elé. Egy felnôtt egy Mickey egér figurát helyezett a színpadra, majd paravánnal eltakarta. A felnôtt aztán egy másik Mickey egeret tett a paraván mögé, ezután pedig elhúzták a paravánt és megmutatták a két állatfigurát. Wynn ezután megismételte a kísérletet, de ezúttal a paraván elhúzásakor hibás számú figurát fedett fel: egy vagy három egérkét. Amikor egy vagy három figura volt a paraván mögött, a baba hosszabb ideig bámult a színpadra, mint amikor kettôt látott, ami azt jelzi, hogy a csecsemô meglepôdött a számtani mûvelet helytelen eredményén. A babák tehát tudják, hogy egy figura meg még egy figura az két figura, állította Wynn. A Mickey egeres kísérletet késôbb megismételték a Szezám utca két bábjával, Elmóval és Ernie-vel. Elmót a színpadra tették, majd a paraván mögé került. Aztán egy másik Elmót is a paraván mögé dugtak. A paravánt ezután elvették. Néha két Elmo volt mögötte, néha Elmo és Ernie, néha csak egy Elmo vagy egy Ernie. A csecsemôk több 35
ideig nézték a színpadot, amikor csak egy figura volt a paraván mögött, mint amikor két rossz figura. Más szóval, a számtanilag lehetetlen 1 + 1 = 1 sokkal jobban zavarta ôket, mint az, hogy az egyik Elmo esetleg Ernie-vé változott. A matematikai szabályok ismerete tehát mélyebben gyökerezik a kisbabákban, mint a világ fizikai törvényeié. 1.
2.
A figurát a színpadra helyezik.
3.
Egy paraván jelenik meg, ami elrejti a figurát.
4.
Egy második figurát helyeznek a paraván mögé.
A paraván elrejti mind a két figurát.
5.
vagy
vagy
A paravánt elveszik és a fenti helyzetek valamelyike válik láthatóvá.
Karen Wynn kísérletében kisbabákat vizsgáltak, hogy képesek-e megkülönböztetni, mikor látnak helyes számú babát a paraván mögött 36
A svájci pszichológus, Jean Piaget (1896–1980) azt állította, hogy a gyermekekben csak lassan, gyakorlás révén alakul ki a számértés, és ezért felesleges hat vagy hét évnél fiatalabbakat matematikára tanítani. Ez a nézet évtizedekig befolyásolta az oktatást, és a tanítók inkább építôkockákat adtak az elsôs gyerekek kezébe, mintsem hogy bevezessék ôket a formális matematikába. Mára Piaget nézetei már túlhaladottnak számítanak. A gyerekeket ma a lehetô leghamarabb megismertetik az arab számokkal és az alapmûveletekkel, amint iskolába kerülnek. A pontokkal végzett kísérletek a felnôttkori számértés vizsgálatában is alapvetôek. Az egyik klasszikus kísérlet úgy néz ki, hogy valakinek pontokat mutatnak egy képernyôn, és az illetônek meg kell mondania, hány pontot lát. Amikor egy, kettô vagy három pont van, a válasz szinte azonnal érkezik. Amikor négy pont van, a reakció már lassabb, és még lassabb öt pont esetén. Na, és? – kérdezheti az olvasó. Nos, elképzelhetô, hogy ez magyarázza, miért van az, hogy bizonyos kultúrákban az 1, 2, 3 számokat egy, kettô, három vonás jelöli, míg a 4-et nem négy vonás. Amikor három vagy ennél kevesebb vonás van, azonnal meg tudjuk mondani a számukat, amikor azonban négy, az agynak már meg kell erôltetnie magát, ezért inkább másik szimbólumra van szükség. A kínai karakterek a számok jelölésére 1-tôl 4-ig a következôk: , , , . Az ôsi indiai számjegyek pedig: (Ha ezekben összekötjük a vonalakat, láthatjuk, hogyan alakultak át a ma használt 1, 2, 3 és 4 jelekké.) Van némi vita arról, hogy az azonnal felfogható vonások száma három vagy négy. A rómaiak egymással párhuzamosan használták a IIII és a IV jeleket a négy jelölésére. A IV gyorsabban felismerhetô, de az órák számlapján – talán esztétikai okokból – inkább a IIII-et szokták hasz37
