UJIAN TUGAS AKHIR
KARAKTERISTIK ALIRAN PANAS DALAM LOGAM PENGHANTAR LISTRIK THE CHARACTERISTICS OF HEAT FLOW IN AN ELECTRICAL METAL CONDUCTOR Diusulkan oleh : Mudmainnah Farah Dita NRP. 1209 100 008 Dosen Pembimbing : Prof. DR. Basuki Widodo, M.Sc. NIP. 19650605 1989031 002 Bidang Studi: Simulasi dan Pemodelan Matematika JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2013
PENDAHULUAN
LATAR BELAKANG Kurangnya Informasi Mengenai Aliran Panas Dalam Logam Penghantar Listrik
Perlunya Penyelesaian Untuk Model Aliran Panas Yang Lebih Sederhana
Kurangnya Informasi Karakteristik Aliran Panas Pada Logam Penghantar Listrik
RUMUSAN MASALAH Model Aliran Panas Pada Logam Penghantar Listrik
Visualisasi
? Simulasi
Aplikasi Transformasi Laplace
BATASAN MASALAH 1. Penyelesaian persamaan aliran panas menggunakan transformasi Laplace. 2. Logam penghantar listrik yang digunakan adalah logam kabel berpenampang lingkaran dengan hambatan hanya dari materi penghantar tersebut dan arus listrik yang diberikan hanya berasal dari satu sumber input. 3. Simulasi dengan MATLAB versi 7.7.0 dan visualisasi model diselesaikan dengan menggunakan Surfer versi 8.0 4. Logam yang akan dikaji pada tugas akhir ini adalah : perak, tembaga, aluminium, besi dan emas.
TUJUAN PENELITIAN 1. Menganalisis, mencari solusi dari persamaan aliran panas dalam logam penghantar listrik yang berpenampang lingkaran menggunakan transformasi Laplace. 2. Mensimulasikan kondisi bahan dan karakteristik lain dari logam penghantar listrik menggunakan software MATLAB. 3. Memvisualisasikan hasil simulasi tersebut untuk mengetahui pola aliran panas dalam penghantar listrik menggunakan software Surfer.
MANFAAT PENELITIAN 1. Memberikan kontribusi pada bidang matematika terapan, khususnya untuk aplikasi transformasi Laplace. 2. Memberikan informasi karakteristik, pola aliran listrik kepada stake holders (pemangku kepentingan) tentang aliran panas dalam penghantar listrik. 3. Solusi yang dipakai merupakan penyelesaian alternatif dalam menyelesaikan persamaan/permasalahan aliran panas, khususnya dalam logam penghantar listrik.
TINJAUAN PUSTAKA
TRANSFORMASI LAPLACE Transformasi Laplace dari fungsi 𝑓 𝑡 didefinisikan sebagai [7]: ∞ ℒ 𝑓 𝑡 =𝐹 𝑠 = 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓 𝑡 d𝑡 0 Sedangkan untuk invers transformasi Laplace didefinisikan sebagai : ℒ −1 𝐹 𝑠 = 𝑓 𝑡 Untuk transformasi Laplace dari fungsi-fungsi elementer dapat dilihat pada tabel transformasi Laplace untuk fungsi elementer.
Tabel Transformasi Laplace untuk Fungsi Elementer 𝑓 𝑡 1
1. 2.
𝑡𝑛
ℒ 𝑓 𝑡 1 𝑠
𝑛 = 1, 2, 3, …
𝑠>0
𝑛! 𝑠 𝑛+1
3.
𝑡𝑝
𝑝 > −1
4.
𝑒 𝑎𝑡
5.
cos 𝜔𝑡 sin 𝜔𝑡
7.
cosh 𝑎𝑡
8.
𝑠>0
Γ 𝑝+1 𝑠 𝑝+1
𝑠>0
1 𝑠−𝑎
𝑠>𝑎
𝑠 + 𝜔2
𝑠>0
𝜔 𝑠2 + 𝜔2
𝑠>0
𝑠2
𝑎 − 𝑎2
𝑠> 𝑎
𝑠2
𝑠 − 𝑎2
𝑠> 𝑎
𝑠2 6.
=𝐹 𝑠
sinh 𝑎𝑡
Sumber : Spiegel, Murray, R, 1999. Transformasi Lapalce.
VISUALISASI MODEL ALIRAN PANAS • Visualisasi model aliran panas dilakukan dengan menggunakan bantuan software Surfer 8. • Data diambil dari hasil simulasi MATLAB dibawa ke program surfer 8. • Hasil menunjukkan countur dari aliran panas panas yang terjadi pada masing-masing logam penghantar listrik.
• Hasil visualisasi Perak 1
0.5 0 0 1 2 3 4 5 • Hasil Visualisasi Tembaga
6
7
8
9
10
6
7
8
9
10
1 0.5 0 0
1
2
3
4
5
• Hasil visualisasi Aluminium
1 0.5 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
5
6
7
8
9
10
• Hasil Visualisasi Besi 1
0.5 0 0
1
2
3
• Hasil visualisasi Emas
1 0.5 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
KESIMPULAN
KESIMPULAN •
Persamaan aliran panas pada logam penghantar listrik merupakan persamaan dimensi panas pada satu dimensi yaitu : 𝜕2𝑢 𝜕𝑢 2 =𝛼 𝜕𝑥 2 𝜕𝑡 𝐾 dengan 𝛼 2 =
•
Penyelesaian persamaan panas dengan tranformasi Laplace secara umum diberikan oleh : 𝑠 1 𝑈𝑥𝑥 𝑥, 𝑠 − 2 𝑈 𝑥, 𝑠 = − 2 𝑈0 𝑥 𝛼 𝛼 dengan selanjutnya menyelesaikan syarat batas yang diberikan dengan menggunakan invers transformasi Laplace. Aliran Panas dalam logam pengahantar listrik disebabkan oleh faktor-faktor karakteristik masing-masing jenis logam seperti, massa jenis, kalor jenis dan konduktivitas termal logam. Logam penghantar listrik yang baik adalah logam penghantar yang tidak menimbulkan panas yang besar sehingga dapat menyebabkan penggunaan logam sebagai penghantar listrik lebih awet dan tahan lama. Berdasarkan hasil simulasi dan visualisasi yang dilakukan maka logam penghantar listrik yang terbaik diberikan oleh logam besi sebagai penghantar listrik karena semakin besar suhu rata-rata yang dicapai logam penghantar listrik, semakin besar pula panas yang akan ditimbulkan.
• • •
𝜎𝜌
SARAN • Keterbatasan yang diberikan pada batasan masalah dapat dikembangkan untuk penelitian selanjutnya. • Penggunaan program surfer sangat terbatas dalam menunjukkan aliran panas , sehingga untuk selanjutnya diharapkan dapat digunakan program lain yang dapat memberikan visualisasi yang lebih baik.
DAFTAR PUSTAKA [[1] Buchor, L. 2011. “Perpindahan Panas (Heat Transfer)”. Semarang : Universitas Diponegoro [2] Carslaw, HS., Jaeger J.C. 1959. Conduction of Heat in Solids. England : Oxford Univ Press [3] Fidiyah, S. 2006. “Aplikasi Transformasi Laplace Pada Penyelesaian Persamaan Aliran Panas dan Persamaan Gelombang”. Malang : Universitas Muhammadiyah Malang [4] Holman, JP. 1995. “Perpindahan Kalor”. Jakarta : Erlangga [5] Spiegel, Murray, R, 1999. Transformasi Lapalce. Jakarta: Penerbit Erlangga. [6] Utomo, A. “Modul : Transformasi Laplace”. Jakarta : Universitas Indonesia [7] Widodo, B., Fatahillah, A., Rahayuningsih, T. 2011. Mathematical Modelling and Numerical Solution of Iron Corrosion Problem Based on Condensation Chemical Properties. Austrlian Journal of Basic and Applied Sciences, 5(1), PP.79-86.
DAFTAR PUSTAKA [8] [9] [10] [11] [12] 13] [14]
Widodo, B. 2011. “Modul : Heat Transfer”. Surabaya : Institut Teknologi Sepuluh Nopember Zuhair. 2007. “Transformasi Laplace dari Diferensial dan Integral”. Jakarta : Universitas Mercu Buana http://edyyuliono.blogspot.com/2010/07/ilmu-bahan listrik.html Diakses tanggal 25 Agustus 2012 http://id.m.wikipedia.org/wiki/Templat:Kotak_infoemas Diakses tanggal 8 September 2012 http://www.4shared.com/kapasitas_kalor_dan_kalor_jeni.html Diakses tanggal 7 Oktober 2012 http://id.wikipedia.org/wiki/Massa_jenis Diakses tanggal 7 Oktober 2012 http://id.scribd.com/doc/89620482/Pdp-Orde2-Print Diakses tanggal 14 Oktober 2012
PENYELESAIAN PERSAMAAN ALIRAN PANAS Bentuk umum persamaan panas satu dimensi diberikan oleh : 2 𝜕𝑢 𝜕 𝑢 2 =𝛼 𝜕𝑡 𝜕𝑥 2 ekivalen dengan bentuk : 𝑢𝑡 = 𝛼 2 𝑢𝑥𝑥 𝑎<𝑥<𝑏 (5) dengan syarat awal 𝑢 𝑥, 0 = 𝑢0 𝑥 dan syarat batas 𝑢 𝑎, 𝑡 = 𝑢1 𝑡 dan 𝑢 𝑏, 𝑡 = 𝑢2 𝑡 . Misalkan transformasi Laplace untuk 𝑢 𝑥, 𝑡 terhadap variabel 𝑡 diberikan oleh : ℒ 𝑢 𝑥, 𝑡
= 𝑈 𝑥, 𝑠 =
∞ 𝑢 0
𝑥, 𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡
(6)
• Persamaan (6) dapat disederhanakan dengan menggunakan aturan integral parsial sebagai berikut : ∞
𝑢 𝑥, 𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡
𝑈 𝑥, 𝑠 = 0
• Misalkan 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) maka 𝑑𝑢 = 𝑢𝑡 𝑑𝑡 dan 𝑑𝑣 = 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 1 −𝑠𝑡 maka 𝑣 = − 𝑒 , sehingga dapat diperoleh penyelesaian 𝑠 dari persamaan (4.2.2) berikut ini : 1 𝑠
𝑈 𝑥, 𝑠 = 𝑢 𝑥, 𝑡 ∙ − 𝑒 −𝑠𝑡 −
∞ 1 −𝑠𝑡 − 𝑒 𝑢𝑡 0 𝑠
𝑑𝑡
• Sehingga dapat diperoleh persamaan sebagai berikut : ∞ −𝑠𝑡 𝑒 𝑢𝑡 0
𝑑𝑡 = 𝑠 ∙ 𝑈 𝑥, 𝑠 + 𝑢 𝑥, 𝑡 𝑒 −𝑠𝑡
(8)
(7)
• Bentuk ini dapat mewakili transformasi Laplace untuk 𝑢𝑡 terhadap variabel 𝑡 yang dapat dituliskan dalam persamaan (9) berikut ini : ℒ 𝑢𝑡 𝑥, 𝑡 = 𝑈𝑡 𝑥, 𝑠 = 𝑠 ∙ 𝑈 𝑥, 𝑠 + 𝑢 𝑥, 𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 (9) • Sehingga diperoleh penyelesaian dengan transformasi Laplace untuk persamaan (5) sebagai berikut : ℒ 𝑢𝑡 𝑥, 𝑡 = ℒ 𝛼 2 𝑢𝑥𝑥 𝑥, 𝑡 • Bentuk ini ekivalen dengan : 𝑈𝑡 𝑥, 𝑠 = 𝛼 2 𝑈𝑥𝑥 𝑥, 𝑠 • Dengan suibstitusi nilai yang ada maka diperoleh : 𝑠 ∙ 𝑈 𝑥, 𝑠 + 𝑢 𝑥, 𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 = 𝛼 2 𝑈𝑥𝑥 𝑥, 𝑠 (10) • Syarat batas yang diberikan yakni, 0 sampai tak hingga untuk 𝑢 𝑥, 𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 maka diperoleh : 𝑢 𝑥, 𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 = −𝑢 0, 𝑡 = − 𝑢0 𝑥 .
Sehingga diperoleh persamaan (10) dapat disederhanakan sebagai berikut : 𝑢𝑥𝑥 𝑥, 𝑠 −
𝑠 𝑈 𝛼2
𝑥, 𝑠 = −
1 𝑈 𝛼2 0
𝑥
(11)
dengan kondisi batas 𝑈 𝑎, 𝑠 = 𝑈1 𝑠 , 𝑈 𝑏, 𝑠 = 𝑈2 𝑠 setelah menyelesaikan syarat batas 𝑢 𝑥, 𝑡 dapat diperoleh dengan menghitung invers transformasi Laplace 𝑈 𝑥, 𝑠 . Persamaan (11) inilah yang merupakan penyelesaian umum untuk persamaan panas dengan menggunakan transformasi Laplace.
•
Salah satu contoh penggunaan penyelesaian persamaan panas untuk transformasi Laplace, dapat dilihat pada contoh berikut : • Misalkan 𝑢 𝑥, 0 = 0 dan syarat awal 𝑢 0, 𝑡 = 𝑓 𝑡 maka persamaan panas dimensi satu dapat diubah menjadi : 𝑈𝑥𝑥 𝑥, 𝑠 − 𝑞2 𝑈 𝑥, 𝑠 = 0 dengan 𝑞2 = 𝑠 𝛼2 dan kondisi batas 𝑈 0, 𝑠 = 𝐹 𝑠 solusi yang mensyaratkan agar solusi terbatas untuk 𝑥 → ∞ dipenuhi oleh : 𝑈 𝑥, 𝑠 = 𝐹 𝑠 𝑒 −𝑞𝑥
•
Untuk 𝑓 𝑡 = 𝐶 penyelesaianya diperoleh sebagai berikut : 𝑈 𝑥, 𝑠 = 𝐶 ∙ 𝑒 −𝑞𝑥 Sehingga dari tabel transformasi Laplace yang diberikan diperoleh : 𝑥 𝑢 𝑥, 𝑡 = 𝐶 erfc 2𝛼 𝑡
dengan erfc 𝑢 = 1 − erf 𝑢 dengan erf 𝑢 =
2 𝑢 −𝑦 2 𝑒 𝜋 0
𝑑𝑦 fungsi erfc 𝑢
dan erf 𝑢 secara berturut-turut merupakan complementary eror function dan eror function. • Untuk sembarang syarat awal 𝑓 𝑡 solusinya diberikan oleh : 𝑥 𝑈 𝑥, 𝑡 = 2𝛼 𝜋
𝑡
𝑓 𝑡 0
𝑒
−𝑥 2
4𝛼 2 𝑡 − 𝑦 𝑡−𝑦
3
2
𝑑𝑦
SIMULASI MODEL ALIRAN PANAS • • •
Simulasi model aliran panas dilakukan dengan menggunakan bantuan software MATLAB versi 7.7.0. Kondisi batas diberikan oleh : 𝑈 0, 𝑡 = 120°, 𝑈 1, 𝑡 = 120° dan 𝑈 𝑥, 0 = 25°. Kondisi batas yang diberikan tersebut, merupakan kondisi Dirichlet dengan asumsi bahwa masing-masing ujung logam penghantar listrik dalam keadaan panas sedangkan tengah-tengah dari logam penghantar listrik dipertahankan dalam keadaan suhu kamar. Selanjutnya akan dihitung bagaimna pola aliran panas yang akan terjadi pada logam penghantar listrk tersebut secara keseluruhan.
• Dengan
𝛼2
=
𝐾 𝜍𝜌
yang selanjutnya disebut diffusivitas logam
maka untuk setiap logam penghantar listrik diperoleh data sebagai berikut : Tabel 1. Tabel Karakteristik Logam Penghantar Listrik
Jenis Logam
Konduktivitas Termal (K)
W/M°C
Massa Jenis
(𝜌)
Kg/m3
Kalor Jenis (𝜍)
J/Kg°C
Perak (murni)
410
10.500
230
Tembaga (murni)
385
8920
390
Aluminium (murni)
202
2.700
900
Besi (murni)
73
7.900
450
318
19.300
126
Emas
𝛼2 =
𝐾 𝜍𝜌
0,00017 0,000111 8,31E-05 2,05E-05 0,000131
• Simulasi yang dilakukan menggunakan m.file pada MATLAB yang dapat dilihat prosesnya dari flowchart simulasi sebagai berikut : START Input Diffusivitas Logam
Proses Diferensiasi
Input Nilai Awal dan Rentang Integrasi
Perhitungan Nilai Suhu
SELESAI
Gambar 4.4 Flowchart Kerja Sistem
Nilai rata-rata temperatur(suhu) yang dicapai oleh masingmasing logam dengan memberikan perlakuan atau batasan yang sama dapat dilihat pada tabel berikut : Tabel 4.7 Rata-Rata Suhu yang Dicapai Logam Pengahantar Listrik Logam Penghantar Listrik
Rata-Rata Temperatur
Perak
38,77
Tembaga
37,38
Aluminium
36,65
Besi
34,76
Emas
37,87
ALIRAN PANAS Aliran panas pada tugas akhir ini adalah aliran panas yang terjadi secara konduksi. Persamaan aliran panas konduksi secara umum didefinisikan oleh [6]:
𝑑𝑇 𝑞 = −𝑘𝐴 𝑑𝑥
LOGAM PENGHANTAR LISTRIK a. Logam penghantar listrik sering dijumpai pada kabel listrik. b. Logam yang dapat digunakan sebagai penghantar listrik ini, selanjutnya disebut sebagai konduktor listrik. c. Setiap konduktor listrik mempunyai nilai konduktivitas termal sebagai penghantar panas yang berbeda-beda. Tabel Konduktivitas ternal logam Bahan Perak (murni) Tembaga (murni) Aluminium (murni) Besi (murni) Emas
Konduktivitas termal (k) W/M°C 410 385 202 73 318
Sumber : JP, Holman.1995
METODE PENELITIAN
ALUR KONSEPTUAL PENELITIAN Kajian Pustaka
Analisis Aliran Panas
Penggunaan Transformasi Laplace
Simulasi Model dengan MATLAB
Visualisasi Model dengan Surfer
PEMBAHASAN
ANALISA ALIRAN PANAS Kontruksikan model aliran panas dalam penghantar listrik sepanjang L : L Konduktor
Isolator
• Panas akan mengalir searah dengan kenaikan suhu. Rata-rata aliran panas sebanding dengan gradien suhu. Dalam persamaan satu dimensi dapat didefinisikan rata-rata aliran panas sebagai berikut : Rata-rata aliran panas =
𝑑𝑢 −𝐾𝐴 𝑑𝑥
(1)
• Karena kawat penghantar listrik dilapisi isolator maka panas hanya mengalir searah sumbu-x dan konservasi panas terjadi pada segmen kawat [𝑥, 𝑥 + 𝑑𝑥].
• Rata-rata aliran panas yang mengalir dibagian belakang dirumuskan dengan −𝐾𝐴
𝜕𝑢 𝜕𝑥𝑥
• Rata-rata aliran panas yang mengalir dibagian depan didefinisikan dengan −𝐾𝐴
𝜕𝑢 𝜕𝑥𝑥+∆𝑥
• Total panas yang mengalir dari dan keluar elemen ini adalah perubahan rata-rata aliran panas di bagian depan dan belakang, sehingga dapat dirumuskan : ∆𝑒𝑎𝑡𝑓𝑙𝑢𝑥 = −𝐾𝐴
𝜕𝑢 𝜕𝑥𝑥+∆𝑥
−
𝜕𝑢 𝜕𝑥𝑥
(2)
• Total kuantitas panas dari elemen ini adalah 𝜎𝜌𝛥𝑥𝐴𝑢, dengan 𝜎 = kalor jenis dan 𝜌= massa jenis. • Karena terjadi pendinginana saat aliran listrik dihentikan, maka dapat dituliskan perubahan energi panasnya sebagai berikut : ∆𝑒𝑎𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑦 =
𝜕𝑢 𝜎𝜌∆𝑥𝐴 𝜕𝑡
• Berdasarkan hukum kekekalan energi maka : 𝛥𝑒𝑎𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑦 + 𝛥𝑒𝑎𝑡𝑓𝑙𝑢𝑥 = 0 𝛥𝑒𝑎𝑡 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑦 = −𝛥𝑒𝑎𝑡 𝑓𝑙𝑢𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜎𝜌∆𝑥𝐴 = 𝐾𝐴 − 𝜕𝑡 𝜕𝑥𝑥+∆𝑥 𝜕𝑥𝑥
(3)
sehingga diperoleh :
𝜕𝑢 𝜕𝑢 − 𝜕𝑢 𝐾 𝜕𝑥𝑥+∆𝑥 𝜕𝑥𝑥 = 𝜕𝑡 𝜎𝜌 ∆𝑥 Jika diambil 𝛥𝑥 → 0, maka diperoleh persamaan panas satu dimensi sebagai berikut : 𝜕𝑢 𝐾 𝜕2𝑢 = 𝜕𝑡 𝜎𝜌 𝜕𝑥 2 Bentuk K/σρ disebut sebagai difusifitas dan sering dituliskan sebagai α2. Sehingga persamaan panas dalam satu dimensi dapat dituliskan sebagai : dengan 𝛼 2 = 𝐾/𝜎𝜌.
𝜕𝑢 𝜕𝑡
=
2
𝜕 𝑢 2 𝛼 𝜕𝑥 2
(4)
