STATISTIKA Statistika Æ pengkuantifikasian (pengkuantitatifan) hasil-hasil pengamatan terhadap kejadian, keberadaan, sifat/karakterisitik, tempat, dll. Statistika deskriptif: pencatatan dan peringkasan hasil pengamatan secara kuantitatif. Statistika inferensia: penarikan kesimpulan dari fakta dan pengambilan keputusan berdasarkan fakta tersebut. Simbol dan Notasi Y, menandakan nama variabel Æ Yi, i = 1, 2, 3, … y, menandakan simpangan terhadap nilai rata-rata: y = (Yi - Y )
∑ y = ∑ (Yi - Y ) ∑ y 2 = ∑ (Yi - Y ) 2 ∑ Yi2
-
(∑ Yi )2 n
Sampel Sampel
Sampel Populasi
Kumpulan pengukuran: Populasi:
terhingga Tak terhingga Nyata (real) Hipotetik
µ, σ2, σ
STAT_REVIEW.doc
-) sampel acak sederhana -) sampel acak berlapis -) sampel gerombol gugus
Y , s2, s
Hal. 1
KEGUNAAN UJI STATISTIKA DALAM PENELITIAN Dalam upaya mencapai suatu keputusan obyektif tentang apakah suatu hipotesis tertentu diperkuat oleh seperangkat data, harus digunakan suatu prosedur obyektif untuk menolak atau menerima hipotesis itu. Prosedur obyektif tersebut harus didasarkan atas informasi yang diperoleh dalam penelitian, dan didasarkan atas resiko yang sanggup ditanggung bahwa keputusan yang diambil sehubungan dengan hipotesis itu dapat menjadi tidak benar. Prosedur yang biasanya diikuti terdiri dari beberapa langkah. 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Nyatakan Hipotesis Nol (H0) Pilih satu uji statistik (dengan model statistik yang berkaitan) untuk menguji H0. Tetapkan suatu tingkat signifikansi (α) dan besarnya sampel (N). Asumsikan distribusi sampling statistik di bawah H0. Tentukan daerah penolakan (region of rejection). Hitunglah nilai tes statistik itu, dengan menggunakan data yang diperoleh dari sampel-sampel. Jika nilai itu masuk dalam daerah penolakan, keputusannya adalah menolak H0. Jika nilai itu di luar daerah penolakan, keputusannya adalah menerima H0 pada tingkat signifikansi yang sudah ditentukan.
Hipotesis Nol Hipotesis Nol adalah suatu hipotesis tentang tidak adanya perbedaan. Hipotesis ini pada umumnya diformulasikan untuk ditolak. Apabila ditolak, maka hipotesis altrnatif/tandingan (H1) dapat diterima. Hipotesis tandingan/alternative ini merupakan hipotesis penelitian dari suatu eksperimen yang dinyatakan secara operasional.
Hipotesis penelitian adalah
prediksi yang diturunkan dari teori yang sedang diuji. H0 VS H1 Î diuji secara statistik Tingkat signifikansi Daerah penolakan Keputusan.
STAT_REVIEW.doc
Hal. 2
Pengukuran Data Teori pengukuran terdiri dari seperangkat teori, atau dari teori yang terpisah dan berbeda, masing-masing memiliki tingkat pengukuran yang berlainan. Berikut akan dibahas 4 tingkatan pengukuran, yaitu: nominal, ordinal, interval dan rasio, termasuk tes statistik yang diperkenankan untuk masing-masing. SKALA NOMINAL Pengukuran pada tingkatan paling lemah, adalah angka-angka atau lambanglambang lain, digunakan semata-matra untuk mengkalsifikasikan suatu obyek, orang, atau sifat. Dalam skala nominal, penanganan atau penggarapnnya adalah pemecahan suatu kelas tertentu dalam seperangkat kelas bagian yang saling asing. Satusatunya hubungan yang terlibat adalah hubungan persamaan atau ekivalensi. Artinya, angota-anggota setiap sub-kelas yang ada harus sama alam hal sifat yang diskalakan. Tes-tes yang cocok untuk skala nominal karena memusatkan pada frekuensi dalam kategori, yakni data yang bersifat membilang.
Ukuran asiosiasi yang
paling umum dipakai untu data nominal adalah koefisien kontingensi, C (statistik non parametrik).
SKALA ORDINAL (SKALA URUTAN) Suatu skala pengukuran yang tidak saja berbeda dari obyek-obyek lain dalam kategori lain dalam skala itu, tetapi juga bahwa obyek-obyek itu berada dalam suatu jenis hubungan tertentu dengan kategori-kategori tersebut. Hubungan yang umum terdapat antara kelas-kelas adalah: lebih tinggi, lebih disukai, lebih sulit, dan seterusnya. Perbedaan yang mendasar antara skala nominal dan ordinal adalah bahwa skala ordinal bukan saja menggabungkan hubungan ekivalensi melainkan hubungan lebih besar daripada. STAT_REVIEW.doc
Hal. 3
Uji-uji hipotesis yang cocok dapat dilakukan dengan banyak uji statistik non parametrik yang kadang-kadang disebut statistik berurut atau statistik ranking. Koefisien korelasi berdasarkan ranking (Spearman, rs, dan tau kendall, τ.)
SKALA INTERVAL Suatu skala yang memiliki semua sifat skala ordinal, dan jika selain itu jarak antara dua angka pada skala itu diketahui ukurannya, maka telah dicapai pengukuran yang lebih kuat, daripada hanya menunjukkan urutan semata. Dalam pengukuran jenis ini, rasio dua interval yang manapun tidak bergantung pada unit pengukuran dan titik nol. Dalam skala interval, titik nol dan unit pengukurannya adalah sembarang. Celcius | 0 | 10 | 30 | 100 ----------------------------------------------Fahrenheit | 32 | 50 | 86 | 212 Tampak bahwa rasio selisih antara pembacaan suhu pada suatu skala sama dengan rasio antara dua selisih yang ekuivalen pada skala yang lain. Misal: 30 – 10 ---------- = 2 10 - 0 Jadi dalam skala interval, tidak hanya mempunyai ciri ekuivalen dan hubungan lebih besar daripada, tetapi juga mampu menetapkan rasio antara dua interval. Skala interval merupakan skala kuantitatif yang pertama kita jumpai. Semua statistik non-parametrik maupun tes statistik parametrik yang umum (uji t dan uji F).
SKALA RASIO Skala pengukuran rasio memiliki semua ciri skala interval, dan selain itu memiliki suatu titik nol sejati sebagai titk asalnya. Dalam skala ini perbandingan antara suatu titik skala tidak bergantung pada unit pengukurannya.
STAT_REVIEW.doc
Hal. 4
Skala pengukuran rasio yang umumnya dijumpai dalam ilmu pengetahuan alam tercapai hanya apabila keempat hubungan berikut ini secara operasional dapat diperoleh: (a) ekuivalen; (b) lebih besar daripada; (c) rasio yang diketahui untuk dua interval; (d) rasio yang diketahui untuk dua harga skala. Untuk skala pengukuran rasio, sembarang uji statistik dapat dilakukan. RINGKASAN Pengukuran adalah proses pemetaan atau pemberian angka-angka pada obyekobyek atau observasi. Jenis pengukuran yang tercapai adalah suatu fungsi dari aturan-aturan yang dipakai dalam pemberian angka-angka itu.
Tabel berikut
meringkaskan informasi dalam pembicaraan kita tentang tingkat yang berbedabeda dan jenis uji statistik yang sesuai untuk masing-masing tingkat tersebut bila anggapan model statistik tesnya dipenuhi. Tabel 1. Empat Tingkatan Pengukuran dan Statistik yang Sesuai. Skala
Hubungan yang Membatasi 1. Ekuivalensi
Nominal 1. Ekuivalensi 2. Lebih besar dari Ordinal
Interval
Rasio
STAT_REVIEW.doc
1. Ekuivalensi 2. Lebih besar dari 3. rasio sembarang dua interval diketahui 1. Ekuivalensi 2. Lebih besar dari 3. rasio sembarang dua interval diketahui 4. rasio sembarang dua harga skala diketahui
Contoh Statistik yang Cocok Modus Frekuensi Koefisien Kontingensi Median Persentil Spearman, rs Kendall τ Kendall W Rata-rata Standar deviasi Korelasi momen hasil kali Pearson Korelasi momen hasil kali ganda Rata-rata geometrik Koefisien variasi
Uji Statistik yang Sesuai
Uji statistik Nonparametrik
Uji statistik Nonparametrik dan Parametrik
Hal. 5
Tabel 1. Beberapa Simbol yang Sering digunakan dalam Statistika.† SAMPEL STATISTIK Rata-rata aritmatik
SIMBOL yang UMUM DIPAKAI Y
Chi-Square
χ2
Koefisien Korelasi
r
Koefisien Korelasi berganda
R
Koefisien determinasi sederhana
r2
Koefisien determinasi berganda
R2
Koefisien Keragaman/Variasi
CV
Derajat Bebas
Least Significant Difference Tidak Siginifikan
df (db)
SIMBOL yang DITERIMA
POPULASI
µ
DF (DB)
LSD TN (TS)
Probabilitas Kesalahan tipe I
α
Probabilitas Kesalahan tipe II
β
Koefisien Regressi
b
β
Ukuran Sampel
n
N
Standard error dari Rata-rata
SE
sx
σx
Standard deviasi dari sampel
SD
s
σ
Student’s
t
t
Varians
s2
Ratio Varians
F
σ2
† Simbol-simbol *, **, dan *** digunakan untuk menunjukkan taraf signifikansi pada nilai P= 0.05; 0.01, dan 0.001.
STAT_REVIEW.doc
Hal. 6
PENGUJIAN HIPOTESIS
Hipotesis Nol (= H0) adalah perumusan sementara tentang suatu masalah yang dibuat untuk menjelaskan masalah tersebut dan untuk menuntun/mengarahkan penelitian selanjutnya. Pengujian hipotesis dimaksudkan untuk menentukan apakah menerima atau menolak hipotesis nol (H0) yang dibuat.
Dengan demikian ada dua pilihan.
Supaya nampak ada dua pilihan maka hipotesis nol, H0 ini perlu didampingi pernyataan lain yang isinya berlawanan dengan H0, dan ini disebut hipotesis tandingan atau hipotesis alternatif (=Ha). Terdapat dua macam kesalahan yang dapat terjadi dalam melakukan pengujian hipoesis, yaitu 1.
Kesalahan tipe I: menolak hipotesis yang seharusnya diterima. Æ peluang membuat kesalahan tipe I, dinyatakan dengan α.
2.
Kesalahan tipe II: menerima hipotesis yang seharusnya ditolak. Æ peluang membuat kesalahan tipe II, ini dinyatakan dengan β.
Contoh: (a)
Hipotesis yang mengandung pengertian sama H0: θ = θ0 Ha: θ ≠ θ0
(b)
Hipotesis yang mengandung pengertian maksimum H0: θ ≤ θ0 Ha: θ > θ0
(c)
Hipotesis yang mengandung pengertian minimum H0: θ ≥ θ0 Ha: θ < θ0
STAT_REVIEW.doc
Hal. 7
Peranan Ha (hipotesis alternatif) dalam Penentuan Daerah Kritis (daerah penolakan):
a. Jika Ha mempunyai perumusan tidak sama ( ≠ ) maka dalam distribusi statistik yang digunakan, (yaitu distribusi normal untuk uji Z, dan distribusi student untuk uji t, dan seterusnya) terdapat dua daerah kritis, masing-masing pada ujung distribusi luar daerah kritis pada tiap ujung = 1
2
α .
“Pengujian hipotesis ini disebut “Uji dua Pihak”
Daerah penolakan Ho Luas 1 α 2
daerah penerimaan Ho
d1 Kriteria:
Daerah penolakan Ho Luas 1 α 2
d2
- terima Ho jika harga statistik hitung terletak antara d1 dan d2 - tolak Ho jika harga statistik hitung
d2.
b. Untuk Ha yang mempunyai rumusan lebih besar (>) maka dalam distribusi statistik yang digunakan terdapat satu daerah kritis yang letaknya diujung sebelah kanan, luasnya =
α
Pengujian ini dinamakan “Uji satu pihak” atau “Uji pihak kanan”.
Daerah penolakan Ho (luas = α )
Daerah Penerimaan Ho
d1
STAT_REVIEW.doc
Hal. 8
c. Untuk Ha yang mempunyai rumusan lebih kecil (<) maka dalam distribusi statistiknya terdapat satu daerah kritis yang terletak diujung sebelah kiri, dan luasnya =
α
Pengujian ini disebut: “Uji satu pihak” atau “Uji pihak kiri”.
Daerah penolakan Ho Luas = α
Daerah penerimaan Ho
Catatan: D Uji Z (distribusi standard Normal: (0,1))
µo
X
Z =
σ
n
σ
(Uji Z digunakan bila nilai
atau
σ 2 nya diketahui).
D Uji t (distribusi t-student)
X
t =
s
(Uji t digunakan bila nilai
µo n
σ
atau
σ 2 nya tidak diketahui).
D Uji Z untuk pengujian proporsi
Z =
X
π o (1
terima Ho jika: Æ
STAT_REVIEW.doc
n
Z1
πo πo
πo
=peluang terjadinya peristiwa
n
2 (1 α )
2 (1 α )
Hal. 9
D Uji X2 untuk menguji varians
X
2
terima Ho jika: Æ
STAT_REVIEW.doc
=
(n )S
2
σ 02
X 2(n
1);12α
< X 2 < X 2(n
1)(1 12α)
Hal. 10
REVIEW BEBERAPA ISTILAH dan FORMULA Satuan Percobaan (experimental unit) [plot untuk luasan lahan di lapangan.] Æ satuan terkecil materi percobaan yang padanya diaplikasikan satu perlakuan. Variabel Æ Karakteristik terukur (dapat diukur) dari suatu unit percobaan. Variat(e) Æ suatu pengukuran spesifik dari suatu variabel. Populasi Æ Suatu set pengukuran (atau hitungan) dari suatu variabel yang diambil dari seluruh individu yang ditentukan. Sampel Æ suatu set pengukuran (variat) yang menyusun satu bagian dari suatu populasi. Parameter Æ suatu karkateristik dari populasi (misal: rata-rata). Suatu parameter merupakan nilai tertentu yang jarang diketahui. Parameter diduga dari beberapa sampel. Umumnya disimbolkan dengan huruf Yunani (µ, σ, dll.) Statistik Æ suatu karakteristik dari sampel –sering digunakan untuk menduga suatu parameter; umumnya disimbolkan dengan huruf Roman ( Y , s, dll.) Distribusi Normal Æ suatu kurva yang ditentukan secara matematik berbentuk genta, dihasilkan dari pengeplotan frekuensi kejadian nilai variat vs kisaran nilai variat. Suatu distribusi normal dideskripsikan secara unik oleh nilai rata-rata dan standard deviasinya.
1.
Niali rata-rata populasi individu variat Æ
µ=
2.
∑ Yi N
Nilai pendugaan Y =
STAT_REVIEW.doc
µ
; N = banyaknya individu dalam populasi.
µ dari suatu sampel Æ Y
∑ Yi r
r = banyaknya individu dalam sampel.
Hal. 11
3.
Varians suatu populasi individu variat, Æ σ2 2
σ =
4.
s2 =
r -1
Æ formula definisi
(∑ Yi )2 r r -1
∑ Yi2 -
Æ formulasi kerja
(∑ Yi )2 r
Penduga untuk σ dari suatu sampel Æ s s=
8.
∑ (Yi - Y )2
Faktor Koreksi, digunakan dalam formula kerja Æ FK FK =
7.
σ2
Penduga σ2 dari suatu sampel, Æ s2. s2 =
6.
N
Standard Deviasi suatu populasi individu variat, Æ σ σ=
5.
∑ (Yi - µ)2
s2
Koefisien Variasi/keragaman Æ CV (KK) CV =
s x (100)% Y
Suatu populasi dari nilai rata-rata. Merupakan populasi dari semua ratarata yang mungkin ( Y ' s ) dari suatu ukuran sampel (r) yang ditarik dari suatu populasi individu.
1.
Nilai rata-rata dari populasi rata-rata, Æ µy
µy = STAT_REVIEW.doc
∑ Yi M
; M = banyaknya sampel rata-rata.
Hal. 12
2.
Varians dari populasi rata-rata, Æ σ 2Y σ 2Y
3.
=
∑ (Y
Standard Deviasi dari populasi rata-rata, atau standard error, σ Y σY =
4.
- µ) 2 M i
σ 2Y
Hubungan antara σ2 dengan σ 2Y ,
σ 2Y =
σ2 r
; r adalah banyaknya variat dalam tiap sampel rata-rata (ukuran sampel).
5.
Penduga σ 2Y dari n sampel Æ s Y 2 2
sY =
6.
∑ (Y . - Y ) i
2
..
n -1
Penduga σ 2Y dari suatu sampel tunggal berukuran r. sY
2
∑ (Yi - Y )2 s2 = = x r -1 r
1 r
Penduga dari σ2 jika s Y 2 diketahui. σ2 ≅ r s Y 2
, dimana r adalah banyaknya variat dalam tiap sampel.
t, merupakan statistik dihitung dari sampel yang mengekspresikan perbedaan antara nilai rata-rata sampel dan rata-rata populasi dalam satuan standard error (galat baku). t = ( Y - µ)/s y
STAT_REVIEW.doc
Hal. 13
Confidence Limits, (Batas Keyakinan) dari µ, sampel kecil. CL = Y ± t ⋅ s y t(α%;db) F, ratio antara dua penduga untuk σ2. F=
STAT_REVIEW.doc
s 2 , dihitung dari sampel rata - rata s 2 , dihitung dengan varians sampel gabungan
Hal. 14
