Karácsony Sándor nyelvfelfogásának hatása Kalmár László korai matematikafilozófiájára

Karácsony Sándor nyelvfelfogásának hatása Kalmár László korai matematikafilozófiájára∗ Szabó Máté

Kalmár László első matematikafilozófiai tárgyú írása A matematikai egzaktság fejlődése a szemlélettől az axiomatikus módszerig. Az esszé 1942-ben jelent meg a Karácsony Sándor által szerkesztett, A másik ember felé című kötetben. A könyv a Karácsony által vezetett Exodus munkaközösség tagjainak dolgozataiból közöl válogatást.1 Az alábbiakban azt szeretném megmutatni, hogy Karácsony nyelvfelfogásának meghatározó gondolatai hogyan hatottak Kalmár ezen írására.2 Ehhez először röviden áttekintem Karácsony azon gondolatait a nyelvről, amelyek kimutathatóan hatást gyakoroltak Kalmár gondolkodására. Ezt követően Kalmár álláspontját foglalom össze, végül pedig rámutatok az álláspontjaik közötti hasonlóságokra. Fontos megemlíteni, hogy az alábbiakban bemutatásra kerülő hatásokra Gurka Dezső hívta fel a figyelmet Kalmár László Lakatos Imrére tett hatásaival foglalkozó írásaiban [2004 és 2006]. Ezekben röviden kitért közös tanáruk, Karácsony Sándor nyelvfelfogására, valamint ennek szerepére Lakatos, Kalmár valamint az Exodus munkaközösség más tagjainak gondolkodásában. Írásom célja Karácsony Kalmárra gyakorolt hatásának részletes bemutatása. Karácsony Sándor nyelvfelfogása Karácsony életművében a nyelv kérdése központi szerepet töltött be. Általános nyelvfelfogásáról a legátfogóbb képet a Magyar nyelvtan társas-lélektani alapon [1938/2010] című műve alapján kaphatunk. A könyv címe ellenére nem nyelvészeti írás és nem is tankönyv. Az alcím, A nyelvi nevelés és a társaslélek értelmi működése, jól mutatja, hogy Karácsony számára pedagógiai kérdések az elsődlegesek: a nyelvre és a nyelv által történő nevelés lehetőségének kérdései. Karácsony számára meghatározó volt Wilhelm Wundt Völkerpsychologie című művének első két kötete, a Die Sprache I–II. [Karácsony 1947/2010] A∗ Szeretném megköszönni a segítséget Bence Rékának, Gyarmathy Ákosnak és Gyenis Zalánnak. 1 A körnek Kalmár mellett számos tagja volt a matematika és logika területéről, többek között Péter Rózsa, Varga Tamás és Lakatos Imre [Kontra 2009, Lányi 2000]. 2 Az itt található főbb állítások Kalmár későbbi matematikafilozófiai írásaiban is megtalálhatóak, azonban Karácsony hatása itt mutatkozik meg legerőteljesebben. Ezért szorítkozom itt kizárólag A matematikai egzaktság fejlődése a szemlélettől az axiomatikus módszerigre.

1

kárcsak Wundt, Karácsony is társas jelenségnek tekinti a nyelvet.3 Ez azt jelenti, hogy ahhoz, hogy nyelvről beszélhessünk legalább két ember kell: egy beszélő, azaz egy „én” és egy hallgató, azaz egy „másik ember,” egy „társ,” egy „te.” 4 A nyelv, a kommunikáció egysége a „mondanivaló,” amit a beszélő mondatokra bont a hallgató számára. Ennek következményeként a Magyar nyelvtan [1938/2010] felépítése a következő. A közösségi élet tárgyalásán keresztül jut el a mondat fogalmához és a mondattanhoz, majd a szótanhoz és legvégül a hangtanhoz.5 A beszéd közösségi, társas folyamata a következőképpen játszódik le Karácsony szerint. A beszélő mondanivalóját mindig egyetlen „belső képként” látja, célja pedig az, hogy ez a kép a beszéd által a hallgató, azaz a „másik ember,” a „társ” számára is hozzáférhető legyen: A beszélő lelkében a mondanivaló egyetlen kép gyanánt jelenik meg, ez a kép beszéd közben egymáshoz viszonyuló mondatokra bomlik, s a mondatok is egymáshoz viszonyuló mondatrészekre bomlanak. [1938/2010, p. 141] A kommunikáció egyedül akkor sikeres, ha a hallgató, a „másik ember” képes az elhangzottakat ugyanazzá a belső képpé összeilleszteni: A hallgató lelkében fordított a folyamat, a mondatrészek kifejezésekké, a mondatok szavakká rajzolódnak egészen addig, míg a hallgató is egyetlen képen látja képzeletében az egészet. [p. 141] A Magyar nyelvtan mondattani és szótani fejezetei a mondatoknak a belső képhez és egymáshoz való viszonyát, illetve a szavaknak egymáshoz és a mondathoz való viszonyát tárgyalják. A jelrendszer (nyelv), amelyen a kommunikáció megvalósul, eszköz arra, hogy „az egyik ember a másik emberrel kulturális csereviszonyban” élhessen. [p. 29– 30] Ebben a csereviszonyban a beszéd „kényszer és képesség egyszerre. Kényszer, mert a lelkemben benn a kultúra tartalma, de ugyanakkor rendelkezésemre áll a nyelvi forma mint [...] jelrendszere annak, hogy ez a kultúra csakugyan van.” [p. 29] Karácsony nem csak a társas-lélektani megközelítést vette át Wundt Völkerpsychologie-jából, hanem annak fő kategóriáit is (nyelv, művészet, vallás, társadalom és jog), noha átértelmezte azokat. Míg Wundt egyéni teljesítmények összességének tartotta a tudományt, addig Karácsony „közös szellemi vagyon”ként tekintett rá. [p. 212–213] Ahhoz, hogy a tudomány „társtulajdon” lehessen, 3A Völkerpsychologie szó szerinti fordítása néplélektan lenne, de Karácsony szóhasználatában a wundti fogalomhoz közelebb áll a társas-lélektan mint a nép-lélektan [Karácsony 1947/2010, p. 215–216]. 4 Ezek a szerepek egy beszélgetés során természetesen rendre cserélődnek. 5 Kontra György Karácsonyról szóló monográfiájában hangsúlyozza a Magyar nyelvtan újszerűségét. A kor más nyelvészeti írásai és nyelvtan könyvei általában nem a pszichológia felől közelítették meg a nyelvet hanem a logika és felől, emiatt pedig a hangtan felől haladtak a szótanon át a mondattanig [Kontra 2009, p. 45–46]. Karácsony Sándor nyelvfelfogásának és a kortárs pszicholingvisztika álláspontjának párhuzamairól lásd Pléh Csaba írását [Pléh 2011].

2

szükséges, hogy az emberek meg tudják osztani egymással a tudásukat, azaz kell, hogy legyen a nyelvnek olyan része, amelyen ez megtehető. Karácsonynál a tudomány nyelve egy egyetlen jelentésű jelrendszer,6 amely (Wundtal ellentétben) a köznyelv részét képezi. Ahhoz, hogy a tudomány mindenki számára hozzáférhető legyen, arra van szükség, hogy a már meglévő tudást a tudomány párbeszédéhez újonnan csatlakozók számára mindig újrafogalmazzuk. Ezek által az újrafogalmazások által jutunk el a hétköznapi nyelvtől egy egyetlen jelentésű jelrendszerhez. [Kontra 2009, p. 47 és 53] Karácsony nyelvfelfogásának áttekintéséhez ki kell térni A magyar észjárás [1939/1985] című könyvére is. Itt többek között a magyar nyelv sajátosságainak a gondolkodásra kifejtett hatásait vizsgálja. Állítása szerint a magyar nyelvnek, az indogermán nyelvekkel való összehasonlításban, három sajátossága van: (1) ereszkedő jellegű [p. 243]; (2) alapvetően mellérendelő [p. 253]; valamint (3) eleven képi erővel bír [p. 278]. Míg az indogermán nyelvekre jellemző alárendelés az elvonásnak (absztrakciónak) kedvez, addig a mellérendelés a szemléltetésnek. [p. 253] Ennek következményeként az „indogermán jelentés” elvont, a „magyar jelentés” azonban – mondatoké és szavaké egyaránt – szemléletes.7 [p. 321] Ezáltal a magyar nyelvben minden szóhoz élénk, tapasztalatból származó belső kép kapcsolódik. Kalmár László: A matematikai egzaktság fejlődése a szemlélettől az axiomatikus módszerig Kalmár írását a matematika „csalhatatlanságának” elvetésével kezdi és hangsúlyozza, hogy a matematika egzaktsága egy fejlődési folyamat eredménye. Célja a fejlődési folyamat fokainak bemutatása, mégpedig az egyes matematikus szemszögéből, nem történeti nézőpontból. Állítása szerint ennek az útnak a feltárása növelheti a „laikusok” matematikába vetett bizalmát, segítheti más tudományok egzaktabbá válását valamint didaktikai következményekkel is jár a matematika oktatására nézve. A fejlődési folyamat kiindulópontja a szemlélet. Legelemibb matematikai fogalmainkról, mint például a pont, a vonal, a terület vagy a konkrét számok, „mindenki elismeri, hogy szemlélettartalmakból fakadtak.” De ennél többről van szó. Kalmár leszögezi, hogy „minden matematikai fogalom a szemléletből sarjadt.” [1942/1986, p. 39] Hiszen még a legabsztraktabb fogalmakról is, mint például a halmaz, megmutatható, hogy a „fogalomalkotás kezdetén” ezeket is szemléletesen, „zsákokként” képzeljük el. [p. 39] Ez a fejlődési fok a szemléletesség foka, amelyet Kalmár így jellemez: A szemléletesség fokát az jellemzi, hogy a fogalmakhoz élénk, áttekinthető kép kapcsolódik; a fogalmak számos tulajdonságát le tudjuk 6 Ellentétben például a művészet nyelvével, ami lehet több jelentésű, hiszen nem gond, ha egy műalkotás nem minden befogadóban kelti ugyanazt a képzetet. 7 Természetesen Karácsony szerint is van a magyar nyelvben elvonás, de az különbözik az indogermán elvonástól. Míg az elvonás magyarban „uralkodó jegy” alapján történik és segít megőrizni a szemléletességet, addig az indogermán nyelvekben az elvonás „esetleges jegy alapján történő” megjelöléshez vezet. [p. 301]

3

olvasni erről a képről. [p. 39, kiemelés tőlem] Közvetlenül azonban csak az evidens tulajdonságokat tudjuk leolvasni, ám a matematikusok a bonyolultabb tulajdonságokhoz is szeretnének hozzáférni. Ez logikai visszavezetés útján érhető el, a bonyolultabb fogalmakat „közvetlenül belátható tényekre” kell visszavezetni. „Ez a logikai tevékenység rávezeti a matematikust arra, hogy a szemléletes képet pontosan fedő fogalmak logikailag nem elég kezelhetők.” [p. 40] Absztrakció útján azonban jobban kezelhető fogalmakhoz jutunk; „a kiterjedéstelen pont sokkal kezelhetőbb fogalom annál a mindig más krétafoltnál, amit a pont szemléletünkben eredetileg jelentett.” [p. 40] Kalmár hangsúlyozza, hogy az absztrahált fogalomhoz is tartozik kép, amiről továbbra is le tudjuk olvasni az eredeti fogalom számos tulajdonságát. Azonban kezdetben ez az új kép „szürkébb,” hiszen az eredeti kép számos tulajdonságától eltekintettünk. Ugyanakkor az új képről olyan tulajdonságokat is le tudunk olvasni, amit az eredetiről még nem voltunk képesek. Ezekkel az újonnan leolvasott tulajdonságokkal „színezzük” ezt a szürkébb képet, amitől az ismét „egyre színesebbé, élénkebbé” válik. [p. 40] Tehát a felmerült nehézség még a szemléletesség fokán orvosolható, látjuk, hogy „a matematika fejlődése magában véve nem kényszerít bennünket a szemléletes fok elhagyására.” [p. 40] Felmerül tehát a kérdés, Miért hagyjuk el mégis ezt a fokot, amelyen kétségtelenül a legvilágosabb és legszebb a matematika? [p. 40] Kalmár válasza, ahogy András rámutatott [Máté 2008, p. 60], elég meglepő: Úgy vélem, a legfőbb indítóok a szemlélettől való elszakadásra az, hogy az ember, a matematikus is, társas lény. Szereti másokkal is közölni azt, ami megkapja, ami élmény számára. Ekkor éri az első csalódás. Kiderül, hogy ami nekem szemléletem alapján világos, arra a másik esetleg értetlenül mered. [p. 41, kiemelés tőlem] Arra van tehát szükség, hogy én és a „társam” közös kiindulópontot találjunk. Ezért a bizonyítás előtt felsorolom azokat az alapfogalmakat és axiómákat, amelyekre a bizonyítás során „mint szemléletem alapján számomra evidens dolgokra fogok hivatkozni.” [p. 41] Ezután Ha „társam” valamely alapfogalmamat nem látja közvetlenül érthetőnek, megpróbálom logikailag visszavezetni számára is világos, még egyszerűbb fogalomra, ha valamely axiómámat nem fogadja el evidensnek, megpróbálom logikailag visszavezetni számára is evidens igazságokra. Ha ez nem sikerül, le kell mondanom arról, hogy meggondolásomat vele megértessem. [p. 41, kiemelés tőlem] Ugyanakkor ez a logikai visszavezetés ellentmond szemléletünknek, hiszen szemléletünk „azt súgja,” hogy ezeket a fogalmakat és axiómákat minden definíció illetve bizonyítás nélkül fogadjuk el.

4

Azonban nem ez az egyetlen mód, amelyen eltávolodunk a szemlélettől ezen a fejlődési fokon. Miután rögzítettük az alapfogalmakat és az axiómákat, „pusztán logikai úton, a szemléletre való újabb hivatkozás nélkül” definiálunk és bizonyítunk. [p. 42] Ennek ellenére továbbra is szoros kapcsolatban maradunk a szemlélettel: Az axiómák kiválasztásában, de bizonyítás közben is a magam szemléletes képei vezetnek (társamat pedig a magáéi); tulajdonképpen mindketten szemléletesen gondolkodunk, de a közös kiindulóponttal : az axiómarendszerrel és a közös úttal: a logikával biztosítjuk azt, hogy párhuzamosan haladjunk, ugyanoda jussunk. [p. 42–43, kiemelés tőlem] Mivel a szemlélet továbbra is kiemelt szerepet játszik, ezt a fejlődési fokot a szemléletes axiómatikának nevezzük. Az axiomatikus tárgyalás elősegíti az absztrakciót, hiszen az absztrakció által nyert fogalmak „kényelmesen és világosan” jellemezhetőek az axiómák által. Emellett a „rendszeralkotás” terén is előrelépés történik. A szemléletesség fokán még pusztán külső hasonlóságuk alapján sorolunk bizonyos problémákat és tételeket egy adott témakörhöz, mint geometria vagy számelmélet. Az axiomatikus módszer kapcsán azonban világossá válik, hogy a „hasonló tárgyú tételek bizonyításához többnyire ugyanazok az axiómák kellenek.” Ettől kezdve a közös axiómákkal való jellemezhetőség válik a rendszerképzés alapjává. [p. 43] A következő nehézséget az okozza, hogy a „szemléletes fogalmak különböző mértékben elhatároltak.” [p. 44] Míg egy „nagyon elnyúlt” háromszögről nyilvánvaló, hogy továbbra is egy háromszögről van szó, addig a matematikus elbizonytalanodhat, hogy egy pontot végtelen sokszor megkerülő „csigavonal” még mindig „folytonos görbevonalnak” tekinthető-e? Ez a kérdés akkor válik fontossá, amikor már bebizonyított általános tételeket akarunk speciális esetekre alkalmazni. Például el kell tudnunk dönteni, hogy egy adott „folytonos görbevonalakról” szóló tétel alkalmazható-e a fenti „csigavonal” esetében? A gond forrása az, hogy a tételek bizonyításakor elegendő, ha az általános fogalomhoz csak a fogalom „világos magja” társul. [p. 43–44] A kiút a következő. Nem azt kell eldöntenünk, hogy a speciális eset az „esetleg még csak homályosan elhatárolt” általános fogalom alá tartozik-e, hanem „csak azt, hogy rendelkezik-e az általános fogalomnak a [tétel] bizonyításában felhasznált axiómákban kifejezett tulajdonságaival.” [p. 44] Ezzel a lépéssel el is értük a következő fejlődési fokot, az elvont axiomatika fokát: Alapfogalmaink többé nem a szemléleten alapulnak, hanem egyszerűen definiálatlan fogalmak, amelyekről csak annyit tudunk, hogy az axiómákat teljesítik; az axiómák nem evidens tényeket fejeznek ki, hanem feltételeket, amelyek az alapfogalmakat jellemzik. Az alapfogalmak tehát bizonyos fokig határozatlanok; bármit jelenthetnek, ami eleget tesz az axiómáknak. [p. 45] Ezáltal „az absztrakciónak új lehetőségei nyílnak meg.” Láthatóvá válik, hogy „egészen különböző szemlélettartalmakból eredt fogalmaknak vannak közös tu5

lajdonságai.” [p. 46] Így jutunk el „az egyenlőség, egybevágóság, hasonlóság, párhuzamosság fogalmaiból” az ekvivalenciareláció fogalmához. Ezen a fokon kezdődik meg az „általánosítás” is, amikor a „szemléletből vett fogalmak jellemzésére szolgáló axiómarendszerek mintájára újabb axiómarendszereket képzünk, amelyekhez már nem tartozik szemléletes kép.” [p. 47] Példaként gondoljunk a sokdimenziós terek geometriájára. Kalmár hangsúlyozza, hogy a szemléletesség fokán lejátszódó „kiszínezés” ezen a fokon ismét megtörténik. Ugyanis Valamely homályos kép fűződik ezekhez a[z elvont] fogalmakhoz is; hiszen a közös axiómákkal jellemzett fogalmakra példáink vannak azokban a konkrét fogalmakban, amelyeknek közös tulajdonságaiból indultunk ki; az általánosítással keletkező fogalmakhoz pedig az analógia alapján fűzünk valamelyes képet. [p. 47] Az újonnan feltárt tulajdonságokkal pedig ismét „kiszínezzük” ezeket a homályos képeket. Így az elvont fogalmakhoz tartozó kép „végül is megközelíti élénkségben a szemléletből eredő fogalmak képét is.” [p. 47] Noha az axiomatikus fokokon a szemlélettel szemben az axiómák voltak az elsődlegesek, továbbra is „fogalmakkal dolgoztunk, amelyeknek van tartalmuk; tételeink ezeknek a fogalmaknak a tulajdonságait fejezték ki.” [p. 48] Ezért az eddigi axiomatikus fokokat együttesen tartalmi axiomatikának nevezzük. Elvben azonban lehetséges, hogy teljesen elszakadjunk a szemlélettől, hogy a fogalmainknak semmilyen „ jelentéstartalma” ne legyen. Ez az úgynevezett formális axiomatika foka. Azonban [Ez a fejlődési fok] csak elvben van meg; valóságban a maga kedvéért űzni puszta játék volna, nem matematika. Jelentősége abban áll, hogy mint munkaelv, jó szolgálatot tesz a Hilbert-féle bizonyításelméletben olyan kérdések vizsgálatához, hogy ellentmondástalan-e a számtan, vagy, hogy meg lehet-e a számtannak (vagy valamely más rendszernek) minden problémáját oldani. [p. 49] Emiatt a formális axiomatika nem része a fejlődési folyamatnak.8 A fejlődési folyamat legmagasabb foka (az 1940-es évek elején) a modellképzés. Mivel általában az aritmetikán belül készítjük el más elméletek modelljeit, ezért ezt a fokot aritmetizálásnak is nevezzük. Mivel az aritmetika fogalmai a „legvilágosabban elhatároltak” [p. 44], ezért a modellképzés „enyhít az axiómákkal jellemzett fogalmak határozatlanságán is, amennyiben pl. az 8 Karácsony mellett Hilbert és Bernays hatottak a legerősebben Kalmár korai matematikafilozófiájára és matematikai érdeklődésére. Kalmár 1929 nyarát Göttingenben töltötte, ahol Hilbert halmazelméleti előadásain is részt vett [Kalmár 1972, p. 351], Bernays-al pedig élete végéig levelezésben állt. A tartalmi és formális axiomatikus fokok elnevezése, egymáshoz való viszonya és a Hilbert-féle biztonyításelmélet említése (számos egyéb mellett) mind erről a hatásról árulkodnak. A Hilbert és Bernays által írt Grundlagen der Mathematik első fejezetében azt olvashatjuk, hogy a formale Axiomatik, amely formális rendszerek ellentmondástalanságának (Widerspruchsfreiheit) bizonyítására szolgál, szükséges kiegészítője az úgynevezett inhaltliche (tartalmi) Axiomatik, amely a tájékozódásban segít minket. [Hilbert és Bernays 1934, p. 2]

6

aritmetizált fogalmak olyan mértékben határozottak, amilyen mértékben az aritmetika fogalmai azok.” [p. 52] Kalmár így foglalja össze a fejlődési folyamatot Látjuk, hogy a fejlődés mind egzaktabb és egzaktabb fogalomrendszerhez vezet. A szemléletes fokon még szubjektív fogalmakkal dolgoztam; a szemléletes axiomatika fokán már többek számára elfogadhatóan leszögeztem, mit szabad e fogalmakról felhasználnunk, de a szemléletes fogalmakban rejlő szubjektív elem még megmaradt; az elvont axiomatika fokán objektív módon, axiómákkal jellemeztem a fogalmakat, de határozatlanságuk még megengedte, hogy az axiómák korlátain belül ki-ki mást értsen rajtuk; a modellképzés fokán már a határozatlanság is eltűnőben van. [p. 53, kiemelés tőlem] Ezután emlékeztet arra, hogy az egzaktságért „fokozatosan feláldoztuk a szemléletességet,” noha az nélkülözhetetlen a kutatásban, hiszen még „a legabsztraktabb fogalmakhoz is kialakítunk utólag szemléletes képet, hogy tájékozódni tudjunk közöttük.” [p. 53] Kalmár szerint ennek a fejlődési folyamatnak nincs és nem is lehet vége. A jövőben a „további fejlődés [...] megint nagyobb szerepet biztosít majd a szemléletnek.” Mégpedig azért, mert a „szemlélet feláldozása” illetve „szerepének be nem vallása nem járt az egzaktság terén a várt eredménnyel.” [p. 54] A szemlélet újbóli előtérbe kerülésére utal az is, hogy a modellképzés fokán ismét arra is támaszkodunk, hogy az aritmetikai fogalmakhoz tartozó szemléletes képek a „legvilágosabban elhatároltak.” Az írás további része a matematika didaktikai kérdéseivel foglalkozik. Kalmár hangsúlyozza, hogy a diákok nem lesznek képesek önállóan eredményeket elérni és precíz formába önteni azokat, ha az órákon csak már egzakt formába öntött rendszerekkel és tételekkel találkoztak. Ezért az a legfontosabb, hogy az oktatás során is végigjárjuk ezt a fejlődési folyamatot: a szemléletestől az egzakt fokokig.910 Karácsony Sándor nyelvfelfogásának hatása Kalmár László korai matematikafilozófiájára Az alábbiakban Karácsony és Kalmár álláspontjainak hasonlóságát szeretném hangsúlyozni gondolkodásuk fenti összefoglalói alapján. Jól látható, hogy mindkettőjüknél kiemelkedő szerepe van a szemléletnek és a képek által történő reprezentációnak. Karácsonynál a beszédnek és a gondolkodásnak is előfeltétele valamilyen képi reprezentáció, hiszen a gondolat, sőt bizonyos helyeken a kultúra egésze 9 Az, hogy melyik fokig jutunk el az oktatás során, illetve hogy milyen „önálló” eredményeket várunk el a diákoktól természetesen nagyban függ az életkoruktól és attól is, hogy milyen képzésben vesznek részt. 10 Az oktatással foglalkozó részben felfedezhető Karácsony Sándor pedagógiájának hatása is, miszerint a nevelés „társas” és indirekt folyamat. A jelen írásnak azonban nem célja Karácsony és Kalmár pedagógiai álláspontjainak vizsgálata.

7

egyetlen tagolatlan belső képként jelenik meg az emberek számára. Kalmárnál a matematikáról való gondolkozáshoz nélkülözhetetlenek a szemléletes képek. Hiszen „sötétben tapogatódzás volna minden szemléletes kép nélkül fogni hozzá problémák megoldásához: sejtelmünk sem volna, milyen irányban keressük a megoldást.” [1942/1986, p. 48] A szemléletes képek teszik lehetővé, hogy fogalmaink között „tájékozódni tudjunk.” [p. 53] Ezért olyan fontos Kalmár számára egyfelől az, hogy már az írás elején leszögezze, hogy „minden matematikai fogalom a szemléletből sarjadt.” [p. 39] Másfelől pedig az, hogy a későbbi fejlődési fokokon is mindig bemutassa azt a folyamatot, ahogyan az egyre elvontabb fogalmainkhoz utólag új, élénk szemléletes képeket kapcsolunk.11 A formális axiomatika fokát pedig – amelyen teljesen elszakadunk a szemlélettől – kizárja a fejlődési folyamatból. Karácsonynál a kommunikáció célja az, hogy a beszélő a számára egyetlen tagolatlan belső képként megjelenő mondanivalóját át tudja adni a hallgatónak. Ez akkor valósul meg, ha a beszéd hatására a hallgató számára is pontosan ugyanaz a tagolatlan belső kép jelenik meg. Ehhez a beszélő a tagolatlan belső képet részekre bontja és ezeket a részeket írja le a hallgató számára, aki ezután egyetlen tagolatlan képpé illeszti össze a részeket. Kalmárnál a szemléletesség fokán – még a közösségi kontextus előtt – a fogalmak bizonyos tulajdonságait a fogalomhoz tartozó belső képről tudjuk leolvasni. A közösségi kontextusban, a szemléletes axiomatika fokán pedig az a cél, hogy a beszélő logikai visszavezetései által a beszélő és a hallgató közös kiindulópontot találjanak, azaz ugyanabból a belső képből induljanak ki. Későbbi írásaiban Kalmár a matematika és logika empirikus volta mellett érvelt [Kalmár 1965 és 1967], tehát amellett, hogy a tapasztalatból erednek és igazolásuk is – legalábbis részben – tapasztalati kérdés. Ennek a gondolatnak a gyökerei már ebben a korai írásban is megtalálhatóak. Hiszen az, a Karácsony Sándor erőteljes hatását mutató állítás, hogy „minden matematikai fogalom a szemléletből sarjadt” éppen erre a tapasztalati eredetre utal. Ez a tapasztalati eredet Karácsonynál konkrétan is megjelenik a Magyar nyelvtan elvonásról szóló fejezetében [Karácsony 1938/2010, p. 195–199], miszerint „minden szó a valóságos tapasztalatból indul ki.” [p. 198] Fontos megjegyezni azonban, hogy Karácsony szerint az, hogy a jelentés minden szó esetében a szemléletből ered és ennek következményeként eleven képi erővel bír, a magyar nyelv és a magyar gondolkodás sajátossága. Ezzel ellentétben Kalmár nem tesz különbséget aközött, hogy ki melyik nyelven műveli a matematikát, számára ez fel sem merül mint kérdés. A fentiekből világos, hogy szerinte a matematikáról való gondolkozáshoz mindenkinek rendelkeznie kell a fogalmakhoz tartozó szemléletes képekkel.12 11 Gondoljunk

például a „kiszínezés” többször is megjelenő folyamatára. absztrakció (elvonás) tárgyalásában is hasonló különbséget találunk kettejük álláspontjai között. Karácsony A magyar észjárásban különbséget tesz az indogermán és a magyar absztrakció módja között. Míg az indogermán nyelvek „esetleges jegy alapján” általánosítanak, addig a magyar „uralkodó jegy” alapján. [1939/1985, p. 301] Kalmárnál a nyelv kérdése ismét fel sem merül. Nem is tartja fontosnak az absztrakció módjainak ilyen megkülönböztetését, az általa használt absztrakció fogalmába mindkét mód belefér. 12 Az

8

A másik szembetűnő hasonlóság Karácsony és Kalmár írásaiban a közösségi, társas aspektus kitüntetett szerepe. Karácsonynál a nyelv megléte nem csak lehetőség, hanem kényszer is, hogy „az egyik ember a másik emberrel kulturális csereviszonyban” éljen. [1938/2010, p. 29–30] Kalmár szintén ezzel a kényszerrel magyarázza, hogy miért kell elhagynunk a szemléletesség fokát, „amelyen kétségtelenül a legvilágosabb és legszebb a matematika.” [1942/1986, p. 40] Már maga a megfogalmazás is Karácsony hatásáról árulkodik: Úgy vélem, a legfőbb indítóok a szemlélettől való elszakadásra az, hogy az ember, a matematikus is, társas lény. Szereti másokkal is közölni azt, ami megkapja, ami élmény számára. [1942/1986, p. 41] Ennél azonban mélyebben húzódó párhuzam is felfedezhető kettőjük álláspontjai között. Karácsony gondolata, miszerint a tudomány nyelve egy egyetlen jelentésű jelrendszer Kalmárnál is visszaköszön. Méghozzá a matematika fejlődési fokain fokozatosan eltűnő határozatlanságban. Karácsony társaslélektani tárgyalásában azért szükséges, hogy a tudomány nyelve egy egyetlen jelentésű jelrendszer legyen, hogy a tudomány „közös szellemi vagyon” lehessen és nem pusztán egyéni teljesítmények összessége mint Wundtnál. Ez úgy érhető el, hogy a már meglévő tudást a tudomány párbeszédéhez újonnan csatlakozók számára mindig újrafogalmazzuk. Ezáltal ők is ugyanazokat a képzeteket fogják társítani a tudomány jelrendszeréhez. A Kalmár által bemutatott fejlődési folyamat meglehetősen hasonló: Látjuk, hogy a fejlődés mind egzaktabb és egzaktabb fogalomrendszerhez vezet. A szemléletes fokon még szubjektív fogalmakkal dolgoztam; a szemléletes axiomatika fokán már többek számára elfogadhatóan leszögeztem, mit szabad e fogalmakról felhasználnunk, de a szemléletes fogalmakban rejlő szubjektív elem még megmaradt; az elvont axiomatika fokán objektív módon, axiómákkal jellemeztem a fogalmakat, de határozatlanságuk még megengedte, hogy az axiómák korlátain belül ki-ki mást értsen rajtuk; a modellképzés fokán már a határozatlanság is eltűnőben van. [1942/1986, p. 53] Tehát amikor közlési vágytól hajtva „társunkkal” is meg akarjuk osztani az általunk belátott matematikai tételeket, meglepve tapasztaljuk, „hogy ami nekem szemléletem alapján világos, arra a másik esetleg értetlenül mered.” [p. 41] Ezért logikai visszavezetések által megpróbálunk közös kiindulópontot keresni, olyan evidens igazságokat, amelyet mindketten elfogadunk. Ezek a logikai visszavezetések valójában nem mások, mint az axiómák és az alapfogalmak újrafogalmazásai. Csak akkor értethetem meg társammal az eredményeimet, ha ez a párbeszéd eredményre vezet. Ha megtaláltuk a közös kiindulópontot, Karácsony A magyar nyelvtanban is foglalkozik az absztrakció kérdésével [1938/2010, p. 195–199], többek között azzal a folyamattal, ahogyan az egyes tapasztalatokból származó képektől eljutunk az absztrakt fogalomhoz tartozó egyetlen képhez. A Kalmár által leírt folyamatok ebben az esetben sincsenek teljes átfedésben Karácsony álláspontjával, hanem bővebbek annál.

9

akkor „a közös úttal: a logikával biztosítjuk azt, hogy párhuzamosan haladjunk, ugyanoda jussunk.” [p. 42–43] Így érjük el a szemléletes axiomatika fokát. Noha a szemléletes axiomatika fokán a közösen elfogadott axiómákból közösen elfogadott tételekhez jutunk, még mindenkit a saját szemléletes képei vezetnek. Az elvont axiomatika fokán hangsúlyosabb szerephez jutnak az axiómák által rögzített tulajdonságok. Így a szubjektív elem eltűnik, de a határozatlanság továbbra is megmarad. Mivel az aritmetika fogalmai a „legvilágosabban elhatároltak” [p. 44], ezért az aritmetizálás (modellképzés) csökkenti leginkább a határozatlanságot, hiszen az „aritmetizált fogalmak olyan mértékben határozottak, amilyen mértékben az aritmetika fogalmai azok.” [p. 52] Így ezen a fokon már a határozatlanság is eltűnőben van. Felhasznált irodalom Gurka Dezső 2004. Kalmár László szerepe Lakatos Imre matematikafilozófiájának alakulásában. In Békés Vera (szerk.) A kreativitás mintázatai. Budapest, Áron Kiadó. 258–279. Gurka Dezső 2006. A Missing Link: The Influence of László Kalmár’s Empirical View on Lakatos’ Philosophy of Mathematics. Perspectives on Science, 14/3. 263–281. Hilbert, David – Paul Bernays 1934. Grundlagen der Mathematik. Vol. 1. Berlin, Springer–Verlag. Kalmár László 1942/1986. A matematikai egzaktság fejlődése a szemlélettől az axiomatikus módszerig. In Varga Antal (szerk.) Integrállevél. Budapest, Gondolat Kiadó. 37–61. Kalmár László 1965. On the Problem of the Foundation of Our Knowledge. In Kazimierz Ajdunkiewicz (szerk.) The Foundation of Statements and Decisions. Warsaw, PWN–Polish Scientific Publishers. 13–19. Kalmár László 1967. Foundations of Mathematics – Whither Now? In Lakatos Imre (szerk.) Problems in the Philosophy of Mathematics. Amsterdam, North–Holland Publishing Company. 187–207. Kalmár László 1972. Beszélgetés a matematikáról. Természet Világa, 103/8. 351–356. Karácsony Sándor 1938/2010. Magyar nyelvtan társaslélektani alapon. Budapest, Széphalom Könyvműhely. Karácsony Sándor 1939/1985. A magyar észjárás. Budapest, Magvető Kiadó. Karácsony Sándor 1947/2010. A „másik ember” megszületése a tudományban. In Karácsony Sándor Magyar nyelvtan társaslélektani alapon. Budapest, Széphalom Könyvműhely.

10

Kontra György 2009. Karácsony Sándor, a nagyhírű professzor. Földes–Budapest, Gondolat Kiadó. Lányi Gusztáv 2000. Magyarság, Protestantizmus, Társaslélektan. Hagyomány és megújulás konfliktusa Karácsony Sándor életművében. Budapest, Osiris Kiadó. Máté András 2008. Kalmár László és Péter Rózsa – matematikusok a filozófiáról. In Szabó Péter Gábor (szerk.) Kalmárium II. Szeged, Polygon. 56–71. Pléh Csaba 2011. Karácsony Sándor nyelvfelfogása és a mai pszicholingvisztika. Iskolakultúra, 11/8-9. 135–145.

11