Kapitola 1. Základy teorie pravděpodobnosti

Kapitola 1 Z´ aklady teorie pravdˇ epodobnosti

1

´ ˇ KAPITOLA 1. ZAKLADY TEORIE PRAVDEPODOBNOSTI

2

1.1 1.1.1

N´ ahodn´ e jevy, pravdˇ epodobnost N´ ahoda, n´ ahodn´ y jev

ˇ Zivot je jen náhoda“, jak se zp´ıvá v jedné obl´ıbené p´ısni 1 . S trochou zo” becnˇen´ı m˚ uˇzeme tuto vˇetu povaˇzovat za jakousi definici“ náhody. Pojem ” náhody patˇr´ı do filosofick´ ych kategori´ı a dlouhá léta se filosofové pˇrou o to, co to vlastnˇe ta náhoda je. Je to to, co nelze poznat, nebo je to to, co poznat lze, ale my to neum´ıme, nebo jej´ı poznán´ı je tak sloˇzité a nákladné, ˇze se o nˇej radˇeji ani nepokouˇs´ıme? v této souvislosti vzpom´ınám jeˇstˇe na jednu definici“, kterou vyslovil krimináln´ı rada Vacátko v jednom téˇz obl´ıbeném ” televizn´ım seriálu: Náhoda je B˚ uh, pánové“ 2 . Jisté je, ˇze náhoda je vˇsude ” kolem nás a ovlivˇ nuje náˇs ˇzivot od samého poˇca´tku. Pro naˇse potˇreby budeme vycházet sp´ıˇse z pojmu náhodného pokusu. Ten je definovan´ y zcela jasnˇe a srozumitelnˇe: n´ ahodn´ y pokus je jakákoli naˇse ˇcinnost, která skonˇc´ı nˇejak´ ym v´ ysledkem z pˇredem známé mnoˇziny vˇsech moˇzn´ ych v´ ysledk˚ u, ale jej´ıˇz konkrétn´ı v´ ysledek nem˚ uˇzeme z nˇejak´ ych d˚ uvod˚ u pˇred zahájen´ım pokusu s jistotou urˇcit. Pˇ r´ıklad 1.1.1 Takovým pokusem je tˇreba sledován´ı poˇcas´ı, konkrétnˇe teplota. Dnes nelze s jistotou ˇr´ıci, jaká bude teplota z´ıtra ráno v 8.00. V´ıme, ˇze výsledky“ tohoto pokusu mohou být nˇejaká reálná ˇc´ısla (teplota ve stupn´ıch), ” ale konkrétn´ı výsledek se dozv´ıme aˇz po uskuteˇcnˇen´ı“ pokusu, tedy z´ıtra ráno ” v osm hodin na základˇe mˇeˇren´ı. Pˇ r´ıklad 1.1.2 Pˇri cestˇe na poˇstovn´ı u ´ˇrad se m˚ uˇzeme pouze domn´ıvat, kolik lid´ı bude ve frontˇe u pˇrepáˇzky pro výdej bal´ık˚ u. Jisté je, ˇze to bude nˇejaké pˇrirozené ˇc´ıslo, moˇzná i nula. Teprve pozorován´ım na m´ıstˇe m˚ uˇzeme urˇcit výsledek. Pˇ r´ıklad 1.1.3 Pˇred koup´ı nového mobiln´ıho telefonu jsme vystaveni otázce: bude fungovat, nebo ne? Máme pouze dva moˇzné výsledky: ano ˇci ne. Pˇresto konkrétn´ı výsledek neznáme, dokud pˇr´ıstroj nevyzkouˇs´ıme. Takto bychom mohli pokraˇcovat donekoneˇcna3 . Pˇr´ıklad˚ u je kolem nás nespoˇcet. A co je na tom zaj´ımavé? Kdyˇz budeme stejn´ y pokus opakovat za pˇribliˇznˇe stejn´ ych“ podm´ınek, nejistota v´ ysledku z˚ ustává. Ani velk´ y ” poˇcet opakován´ı nám nedává jistotu koneˇcného v´ ysledku. To, co m˚ uˇzeme 1

Jan Werich, Jiˇr´ı Voskovec, Jaroslav Jeˇzek, 1932 Hˇr´ıˇsn´ı lidé mˇesta Praˇzského, reˇzie Jiˇr´ı Sequens, podle pov´ıdek Jiˇr´ıho Marka,1968 3 Donekoneˇcna samozˇrejmˇe ne – to je nadsázka. Ale hodnˇe dlouho. 2

´ ´ JEVY, PRAVDEPODOBNOST ˇ 1.1. NAHODN E

3

mnohonásobn´ ym opakován´ım stejného pokusu z´ıskat, je pouze m´ıra naˇseho oˇcekáván´ı, ˇze nastane nˇekter´ y z ˇcasto se opakuj´ıc´ıch v´ ysledk˚ u. No a této m´ıˇre oˇcekáván´ı budeme ˇr´ıkat pravdˇepodobnost. Protˇejˇskem k náhodnému pokusu je pokus deterministický. v takovém pˇr´ıpadˇe je v´ ysledek dopˇredu vˇzdy pˇresnˇe znám. v praktickém ˇzivotˇe vˇsak tento typ pokusu existuje pouze v teoretické rovinˇe, kdy abstrahujeme od ˇrady vliv˚ u a uvaˇzujeme pouze jakési ideáln´ı podm´ınky. Tedy vrát´ıme-li se na zaˇcátek tohoto u ´vodu a pouˇzijeme-li jeˇstˇe jednu lidovou moudrost, m˚ uˇzeme konstatovat, ˇze jediná jistota v ˇzivotˇe je to, ˇze vˇsechno je nejisté. Proto je uˇziteˇcné rozv´ıjet takovéto teorie, jako je teorie pravdˇepodobnosti, které nám pomohou zorientovat se v té nejistotˇe kolem nás a ukáˇz´ı nám, co je jak pravdˇepodobné. ˇ aˇr m˚ Cten´ uˇze nam´ıtnout, ˇze pˇrestoˇze je nejistota vˇsude kolem nás, pˇresto v tomto svˇetˇe ˇzijeme, aniˇz bychom k tomu potˇrebovali teorii pravdˇepodobnosti. To je pravda, ale pouze z ˇcásti. Kaˇzd´ y z nás v ˇzivotˇe pracuje s jakousi subjektivn´ı“ pravdˇepodobnost´ı, která nám dovoluje ˇcinit rozhodnut´ı ” aniˇz bychom si to uvˇedomovali. Problémy spojené s aplikac´ı této subjektivn´ı pravdˇepodobnosti pocit’uje kaˇzd´ y, kdo se má rozhodnout mezi nˇekolika moˇznostmi. Snaˇz´ıme se upˇresnit“ tuto pravdˇepodobnost (rozumˇej: m´ıru ” oˇcekáván´ı v´ ysledku) studiem, cviˇcen´ım, z´ıskáván´ım dodateˇcn´ ych informac´ı a podobnˇe. Subjektivn´ı pravdˇepodobnost má jednu velkou nev´ yhodu: je subjektivn´ı. To znamená, ˇze kdyˇz se sejdou dva lidé, zpravidla maj´ı na stejnou vˇec dva r˚ uzné názory – dvˇe r˚ uzné hodnoty subjektivn´ı pravdˇepodobnosti moˇzn´ ych v´ ysledk˚ u. Teorie pravˇepodobnosti je matematická discipl´ına, která pracuje s ob” jektivn´ı“ pravdˇepodobnost´ı. Objektivn´ı pravdˇepodobnost je vyjádˇrena matematickou funkc´ı, vycházej´ıc´ı z matematické logiky a objektivnˇe uznatelnou vˇsemi, kter´ ych se t´ yká. Pˇ r´ıklad 1.1.4 Pˇredstavme si známý pˇr´ıklad házen´ı hrac´ı kostkou. Subjektivn´ı pocit, ˇze v následuj´ıc´ım hodu uˇz mi urˇcitˇe padne ˇsestka“, vyjadˇruj´ıc´ı vy” sokou subjektivn´ı pravdˇepodobnost toho, ˇze mus´ım vyhrát“ zde stoj´ı proti ob” jektivn´ı zkuˇsenosti, ˇze ˇsestka je pouze jedn´ım ze ˇsesti stejnˇe moˇzných výsledk˚ u a objektivnˇe nen´ı d˚ uvod se domn´ıvat, ˇze by se zrovna v naˇsem pˇr´ıpadˇe mˇela stát výjimka. Pˇ r´ıklad 1.1.5 Ze ˇsesti pˇr´ıstroj˚ u, mezi nimiˇz jsou dva vadné, vybereme náhodnˇe jeden. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze vybereme bezvadný pˇr´ıstroj? ˇ sen´ı: Pokud vyb´ıráme náhodnˇe, m˚ Reˇ uˇzeme pˇredpokládat, ˇze kaˇzd´ y pˇr´ıstroj má stejnou moˇznost b´ yt vybrán a tedy objektivnˇe v jedné tˇretinˇe moˇzn´ ych


4

v´ ysledk˚ u (v´ ybˇeru konkrétn´ıho pˇr´ıstroje) vybereme vadn´ y, ve dvou tˇretinách bezvadn´ y pˇr´ıstroj. Oˇcekávaná pravdˇepodobnost tedy bude rovna dvˇema tˇretinám. Pˇredpoklad existence objektivn´ı pravdˇepodobnosti pˇredstavuje ovˇsem urˇcité zjednoduˇsen´ı, abstrakci. v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladu pˇredpokládáme, ˇze kaˇzd´ y pˇr´ıstroj má stejnou ˇsanci“ b´ yt vybrán. To samo o sobˇe je idealizace, zvláˇstˇe ” v pˇr´ıpadˇe, ˇze pˇr´ıstroje nejsou na jednom m´ıstˇe, nejsou vzhledovˇe u ´plnˇe totoˇzné, existuj´ı urˇcité vjemy, které nás pˇri v´ ybˇeru ovlivˇ nuj´ı. Nemluvˇe o situaci, kdy vyb´ıráme z vˇetˇs´ıho poˇctu um´ıstˇeného napˇr´ıklad v nˇejakém kontejneru. Potom ty kusy, které jsou na ˇspatnˇe pˇr´ıstupném m´ıstˇe maj´ı reálnˇe menˇs´ı ˇsanci b´ yt vybrány neˇz ty, které jsou dostupnˇejˇs´ı. Nicménˇe, jisté zobecnˇen´ı a zjednoduˇsen´ı je nezbytné k tomu, abychom mohli vytváˇret matematické modely reality a na základˇe tˇechto model˚ u provádˇet dalˇs´ı u ´vahy. Pozn´ amka: v tˇechto skriptech je uvedena ˇrada r˚ uzn´ ych pˇr´ıklad˚ u. Vˇsechny tyto pˇr´ıklady popisuj´ı jakési modelové“ situace. To znamená, ˇze nen´ı d˚ uleˇzité, ” zda se v nich hovoˇr´ı o hrac´ı kostce nebo o vadn´ ych pˇr´ıstroj´ıch. Napˇr´ıklad v´ yˇse uvedené dva pˇr´ıklady by stejnˇe dobˇre mohly zn´ıt takto: Pˇ r´ıklad 1.1.6 Pˇredstavme si ˇsest stejných pˇr´ıstroj˚ u, mezi nimiˇz je jeden vadný. Subjektivn´ı pocit, ˇze pˇri náhodném výbˇeru jednoho z nich vyberu ” urˇcitˇe ten vadný“, vyjadˇruj´ıc´ı vysokou subjektivn´ı pravdˇepodobnost plynouc´ı ze znalosti Murphyho zákon˚ u4 zde stoj´ı proti objektivn´ı zkuˇsenosti, ˇze výbˇer vadného pˇr´ıstroje je pouze jedn´ım ze ˇsesti stejnˇe moˇzných výsledk˚ u. Pˇ r´ıklad 1.1.7 Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze pˇri hodu hrac´ı kostkou nám padne ˇc´ıslo dˇelitelné tˇremi? Tyto pˇr´ıklady, aˇc jsou formulovány jinak neˇz pˇredchoz´ı dva, maj´ı u ´plnˇe stejné ˇreˇsen´ı. Proto se nepozastavujte nad t´ım, kdyˇz v nˇekter´ ych pˇr´ıkladech taháme koule z urny“, ale sp´ıˇse se pokuste naj´ıt paralelu s reáln´ ym ˇzivotem, ” formulaci téˇze u ´lohy v term´ınech mnohem bliˇzˇs´ıch reálnému ˇzivotu. Pokud se vám to podaˇr´ı, zaˇcneme chápat oˇc tu bˇeˇz´ı.

1.1.2

Speci´ aln´ı definice pravdˇ epodobnosti

Jak bylo uvedeno v pˇredchoz´ım odstavci, v´ ychodiskem pro naˇse dalˇs´ı u ´vahy bude vˇzdy nˇejak´ y n´ ahodn´ y pokus. Ten vˇzdy skonˇc´ı nˇejak´ ym konkrétn´ım 4

http://www.cska.cz/murphy/index.htm


5

v´ ysledkem z pˇredem známé mnoˇziny Ω. Tyto v´ ysledky jsou navzájem nesluˇcitelné, coˇz znamená, ˇze vˇzdy m˚ uˇze nastat pouze jeden z nich, nikoli dva zároveˇ n. Takovéto v´ ysledky naz´ yváme element´ arn´ı v´ ysledky. Pˇ r´ıklad 1.1.8 • Pˇri mˇeˇren´ı teploty chlad´ıc´ı kapaliny je mnoˇzinou elementárn´ıch výsledk˚ u mnoˇzina reálných ˇc´ısel. • Pˇri sledován´ı poˇctu poruch zaˇr´ızen´ı za urˇcitou dobu je mnoˇzinou elementárn´ıch výsledk˚ u mnoˇzina nezáporných celých ˇc´ısel. • Výsledkem posuzován´ı kvality výrobku na výstupn´ı kontrole je jedna ze tˇr´ı jakostn´ıch kategori´ı. • Pozorovaný výsledek testu odolnosti povrchu proti otˇeru m˚ uˇze být bud’ obstál nebo neobstál. Kromˇe tˇechto elementárn´ıch v´ ysledk˚ u jsou pˇredmˇetem naˇseho studia ˇcasto v´ ysledky komplikovanˇejˇs´ı, sloˇzené z nˇekolika elementárn´ıch v´ ysledk˚ u. Tyto v´ ysledky uˇz nemusej´ı b´ yt nesluˇcitelné a mohou se vyskytnout souˇcasnˇe. Zpravidla je m˚ uˇzeme vyjádˇrit jako sjednocen´ı elementárn´ıch jev˚ u. v uveden´ ych pˇr´ıkladech to mohou b´ yt následuj´ıc´ı v´ ysledky: Pˇ r´ıklad 1.1.9 • Pˇri mˇeˇren´ı teploty chlad´ıc´ı kapaliny sledujeme, zda je teplota v urˇcitém povoleném rozmez´ı. To je vyjádˇreno intervalem, obsahuj´ıc´ım nekoneˇcnˇe mnoho reálných ˇc´ısel. • Pˇri sledován´ı poˇctu poruch zaˇr´ızen´ı za urˇcitou dobu nás zaj´ımá, zda tento poˇcet nepˇrekroˇc´ı povolený limit, ˇreknˇeme k. Tento výsledek obsahuje ˇc´ısla {0, 1, 2, . . . , k}. To nás vede k následuj´ıc´ı definici: N´ ahodn´ e jevy (dále jen jevy) jsou mnoˇziny, jejichˇz prvky jsou elementárn´ı jevy z mnoˇziny Ω. Systém vˇsech jev˚ u budeme naz´ yvat jevov´ e pole F. Jev Ω se naz´ yvá jist´ y jev, ∅ prázdná mnoˇzina elementárn´ıch jev˚ u se naz´ yvá nemoˇ zn´ y jev. Pˇri práci s jevy se uˇz´ıvaj´ı mnoˇzinové operace s následuj´ıc´ım v´ yznamem: pro jevy A, B ∈ F lze definovat • sjednocen´ı A ∪ B (nastane jev A nebo jev B),


6

• pr˚ unik A ∩ B (jevy A a B nastanou souˇcasnˇe)5 , • doplnˇek Ac (nenastane jev A), • rozd´ıl A − B = AB c (nastane jev A, ale nenastane jev B), • inkluzi A ⊂ B (kdyˇz nastane jev A, nastane i jev B) • disjunkci A ∩ B = ∅ (jevy A a B nemohou nastat souˇcasnˇe - jsou nesluˇ citeln´ e) V této souvislosti jsou uˇziteˇcná takzvaná de Morganova pravidla, která plat´ı i pro sjednocen´ı ˇci pr˚ unik vˇetˇs´ıho poˇctu jev˚ u: (A ∪ B)c = Ac ∩ B c ,

(A ∩ B)c = Ac ∪ B c .

Klasick´ a definice pravdˇ epodobnosti. Uvaˇzujme náhodn´ y pokus s koneˇcnou mnoˇzinou elementárn´ıch jev˚ u Ω = {ω1 , ..., ωn } a nˇejak´ y jev A ⊂ Ω. Za pˇredpokladu, ˇze vˇsechny elementárn´ı v´ ysledky pokusu jsou stejnˇe moˇzné, pravdˇepodobnost jevu A je definována jako pod´ıl P (A) =

nA , n

kde nA je poˇcet elementárn´ıch jev˚ u, pˇri nichˇz nastane jev A a n je poˇcet vˇsech elementárn´ıch jev˚ u. Pˇri v´ ypoˇctu pravdˇepodobnosti podle klasické definice je tˇreba znát poˇcty nA a n. Ktomu se ˇcasto pouˇz´ıvá kombinatorick´ ych u ´vah. Tak napˇr´ıklad Ck (n) = nk je poˇcet kombinac´ı k-t´ e tˇ r´ıdy z n prvk˚ u. Pˇredpokládáme, ˇze pro k ≤ n. Ck (n) odpov´ıdá poˇctu k-tic, které lze vybrat z n prvk˚ u bez ohledu na poˇrad´ı. Pokud budeme rozliˇsovat i poˇrad´ı prvk˚ u ve vyb´ıran´ ych k-tic´ıch, puˇzijeme variace k-t´ e tˇ r´ıdy z n prvk˚ uVk (n) = n(n − 1)...(n − k + 1). Specielnˇe pro k = n je Pe (n) = Vn (n) = n! poˇcet permutac´ı n prvk˚ u, coˇz pˇredstavuje poˇcet vˇsech moˇzn´ ych poˇrad´ı pˇri uspoˇrádán´ı n prvk˚ u. Pˇ r´ıklad 1.1.10 Deset aut zaparkuje náhodnˇe vedle sebe. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze zvolená tˇri auta budou spolu sousedit? 5ˇ

Casto se m˚ uˇzete setkat se zápisem, v nˇemˇz je pr˚ unik dvou jev˚ u zapsán jako souˇcin (bez symbolu ∩), tedy A ∩ B = AB.


7

ˇ sen´ı: Oznaˇcme A sledovan´ Reˇ y jev. Celkov´ y poˇcet moˇzn´ ych rozm´ıstˇen´ı tˇr´ı aut na 10 m´ıst je roven V3 (10) = 720. Poˇcet rozm´ıstˇen´ı, která vyhovuj´ı jevu A je osm moˇzn´ ych pozic krát poˇcet permutac´ı tˇr´ı aut v jedné pozici, tedy celkem 8.3! P (A) = 720 = 0, 0667. Geometrick´ a pravdˇ epodobnost. Nejjednoduˇsˇs´ı pˇr´ıklad definice pravdˇepodobnosti na nespoˇcetné mnoˇzinˇe elementárn´ıch jev˚ u pro Ω ⊂ Rk (Rk je k-rozmˇern´ y Eukleidovsk´ y prostor) a jev A ⊂ Ω vycház´ı ze znalosti k-rozmˇerného objemu Vk (A) a klade P (A) =

Vk (A) . Vk (Ω)

Vˇsimnˇete si, ˇze pˇri této definici pravdˇepodobnosti a k ≥ 1 maj´ı jednotlivé elementárn´ı jevy pravdˇepodobnost 0, jsou to totiˇz body prostoru Rk , které maj´ı nulov´ y objem. Pˇ r´ıklad 1.1.11 Na rovinu R2 pokrytou systémem ekvidistantn´ıch rovnobˇeˇzných pˇr´ımek vzdálených od sebe o d > 0 je náhodnˇe vhozen a) kruh o pr˚ umˇeru r, b) u ´seˇcka o délce r < d. Stanovte pravdˇepodobnost jevu A = [´ utvar protne jednu z pˇr´ımek]. ˇ sen´ı: Reˇ 1. Poloha kruhu je urˇcena (x, y), jev A nezávis´ı na souˇradnici x. Staˇc´ı zvolit Ω = h0, d/2i ⊂ R1 interval vyjadˇruj´ıc´ı vzdálenost stˇredu od nejbliˇzˇs´ı pˇr´ımky, v tomto modelu A = h0, r/2i a tedy P (A) = dr . 2. Zde je nutno nav´ıc uvaˇzovat orientaci ϕ u ´seˇcky z intervalu h0, πi, tedy 2 Ω = h0, z podm´ınky protnut´ı jako πi x h0, d/2i ⊂ R . Jev A vyjádˇr´Rıme π A = (ϕ, y) ∈ Ω; y ≤ 2r sinϕ . Protoˇze 0 = 2r sinϕdϕ = r, je podle 2r definice P (A) = dπ . Pˇredchoz´ı pˇr´ıklad b) je znám´ y Buffon˚ uv problém házen´ı jehlou, formulovan´ y v roce 1777. Je moˇzná ˇcetnostn´ı interpretace v´ ysledku. Na obdéln´ıkovou oblast o stranách 1 a d je náhodnˇe vhozeno n u ´seˇcek délky r, np je poˇcet u ´seˇcek, které protnou pˇr´ımku p˚ ul´ıc´ı obdéln´ık, viz Obr. 1.1: Nahrad´ıme-li pravdˇepodobnost pomˇernou ˇcetnost´ı, dostáváme vztah nnp ≈ 2r , tedy π2 np ≈ rn . Zde np je poˇcet pr˚ useˇc´ık˚ u na jednotku délky pˇr´ımky, v´ yraz dπ d

8


Obrázek 1.1: Buffonova u ´loha na pravé stranˇe je celková délka u ´seˇcek v jednotce plochy. Posledn´ı vzorec lze obecnˇeji pouˇz´ıt pro odhad délky vláken s náhodnou orientac´ı (napˇr. hustoty dislokaˇcn´ıch ˇcar na metalografickém sn´ımku) pomoc´ı poˇctu pr˚ useˇc´ık˚ u na testovac´ı pˇr´ımce. Statistick´ a definice pravdˇ epodobnosti. V ˇradˇe pˇr´ıpad˚ u nelze pouˇz´ıt ani jednu z pˇredchoz´ıch definic pravdˇepodobnosti. V takov´ ych pˇr´ıpadech provedeme statistick´ y pokus, pˇri kterém mnohokrát opakujeme náhodn´ y pokus za (pˇribliˇznˇe) stejn´ ych podm´ınek a pravdˇepodobnost odhadneme pomˇernou ˇcetnost´ı v´ yskytu jevu A v této sérii pokus˚ u. Tento zp˚ usob urˇcen´ı pravdˇepodobnosti je sice nejménˇe pˇresn´ y, pˇri r˚ uzn´ ych séri´ıch pokus˚ u dostaneme dokonce r˚ uzné v´ ysledky a nelze rozhodnout, kter´ y z nich je ten správn´ y, ale na druhou stranu, je to nejˇcastˇeji pouˇz´ıvan´ y zp˚ usob odhadu pravdˇepodobnosti v reáln´ ych aplikac´ıch.


1.1.3

9

Axiomatick´ a definice pravdˇ epodobnosti

Obecná teorie pravdˇepodobnosti, která zahrnuje v´ yˇse uvedené v´ yklady pravdˇepodobnosti, vycház´ı z následuj´ıc´ıch pˇredpoklad˚ u: 1. Je dána neprázdná mnoˇzina Ω, prostor element´ arn´ıch jev˚ u. 2. Je dáno jevov´ e pole F podmnoˇzin Ω splˇ nuj´ıc´ı podm´ınky (a) nemoˇzn´ y jev ∅ ∈ F, (b) jestliˇze A ∈ F, potom Ac ∈ F, (c) jestliˇze Ai ∈ F, i ∈ N , potom Ui∈N Ai ∈ F 3. Kaˇzdému jevu A ∈ F je pˇriˇrazena pravdˇ epodobnost P (A) s vlastnostmi (a) P (A) ≥ 0 pro kaˇzdé A ∈ F (b) P (Ω) = 1 P∞ S zdou posloupnost {An } po dvou (c) P ( ∞ n=1 (An ) pro kaˇ n=1 An ) = nesluˇciteln´ ych jev˚ u. Trojice (Ω, F, P ) se naz´ yvá pravdˇ epodobnostn´ı prostor. Pravdˇepodobnostn´ı prostor je vlastnˇe matematick´ ym modelem náhodného pokusu. Uveden´ y soubor axiom˚ u se naz´ yvá podle jejich autora Kolmogorovova axiomatick´ a definice pravdˇ epodobnosti6 Je-li Ω koneˇcná nebo spoˇcetná mnoˇzina, potom obyˇcejnˇe F je systém vˇsech podmnoˇzin Ω. V pˇr´ıpadˇe nespoˇcetného Ω je F nˇejak´ y dostateˇcnˇe bohat´ y systém jev˚ u splˇ nuj´ıc´ı podm´ınku b) z pˇredchoz´ıho odstavce, kter´ y nemus´ı obsahovat pˇr´ıliˇs komplikované podmnoˇziny Ω. Reálné funkci P na F se ˇr´ıká pravdˇ epodobnostn´ı m´ıra, zkrácenˇe pravdˇepodobnost. Z v´ yˇse uveden´ ych axiom˚ u lze odvodit následuj´ıc´ı vlastnosti pravdˇepodobnosti: (1) P (∅) = 0 (2) 0 ≤ P (A) ≤ 1 pro kaˇzdé A ∈ F, (3) jestliˇze A ⊂ B, potom P (A) ≤ P (B), 6

A.N.Kolmogorov (1903 – 1987), sovˇetsk´ y matematik, zakladatel modern´ı teorie pravdˇepodobnosti.


10

(4) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B), (5) P (A ∩ B) = P (A) + P (B) pro A, B nesluˇcitelné, (6) P (Ac ) = 1 − P (A), (7) jestliˇze A ⊂ B, potom P (B − A) = P (B) − P (A). Vzorec pro pravdˇepodobnost sjednocen´ı jev˚ u lze indukc´ı rozˇs´ıˇrit na libovoln´ y poˇcet sˇc´ıtanc˚ u P(

n [

Ai ) =

i=1

X

X

P (Ai ) −

1≤i≤n

X

P (Ai Aj ) +

P (Ai Aj Ak )

1≤i<j
1≤i<j≤n

− . . . + (−1)

P (A1 A2 . . . An )

Pˇ r´ıklad 1.1.12 Pˇri vyslán´ı n zpráv urˇcených po jedné n pˇr´ıjemc˚ um dojde k chaosu a zprávy jsou pˇrijaty náhodnˇe. Jaká je pravdˇepodobnost jevu A = [aspoˇ n jeden pˇr´ıjemce dostane svou zprávu], vyˇsetˇrete i limitn´ı chován´ı pro n rostouc´ı nade vˇsechny meze. ˇ sen´ı: Elementárn´ı jevy jsou vˇsechny permutace, jejichˇz poˇcet je n!. Oznaˇcme Reˇ S Ai = [i-t´ y pˇr´ıjemce dostane svou zprávu]. Zˇrejmˇe je A = ni=1 Ai . Jevy Ai nejsou nesluˇcitelné a tak nelze pouˇz´ıt axiom 3c) z definice pravdˇepodobnosti. Uˇzit´ım v´ yˇse uvedeného vzorce dostáváme n [

n (n − 2)! n (n − 3)! (n − 1)! − + − ...+ P (A) = P ( Ai ) = n 2 3 n! n! n! i=1 (−1)n−1

1 1 1 1 = 1 − + − . . . + (−1)n−1 n! 2! 3! n!

dále je lim P (

n→∞

n [ i=1

Ai ) =

∞ X (−1)i−1 i=1

i!

= 1−

∞ X (−1)i i=0

i!

= 1 − e−1 = 0, 628.


1.1.4

11

Podm´ınˇ en´ a pravdˇ epodobnost a stochastick´ a z´ avislost jev˚ u

V nˇekter´ ych pˇr´ıpadech jsou dva v´ ysledky náhodného pokusu takové, ˇze m´ıra oˇcekáván´ı jednoho z nich, ˇreknˇeme A, se zmˇen´ı, v´ıme-li ˇze nastal jev B. Tato pozmˇenˇená m´ıra oˇcekáván´ı se naz´ yvá podm´ınˇ en´ a pravdˇ epodobnost a o jevech A a B ˇr´ıkáme, ˇze jsou stochasticky z´ avisl´ e. Podm´ınˇená pravdˇepodobnost se spoˇcte podle následuj´ıc´ı definice: Je-li A, B ∈ F, P (B) > 0, potom podm´ınˇená pravdˇepodobnost P (A|B) jevu A za podm´ınky, ˇze nastal jev B je rovna P (A|B) =

P (A ∩ B) P (B)

Z této definice dostáváme dalˇs´ı zaj´ımav´ y v´ ysledek. Vˇsimnˇete si, ˇze z axiom˚ u definice pravdˇepodobnosti nelze odvodit vztah pro pravdˇepodobnost pr˚ uniku dvou jev˚ u, aˇckoli se ˇcasto pouˇz´ıvá. Z definice podm´ınˇené pravdˇepodobnosti vypl´ yvá, ˇze P (A ∩ B) = P (B).P (A|B). Pokud jsou v´ ysledky pokusu A a B takové, ˇze m´ıra oˇcekáván´ı jednoho z nich, ˇreknˇeme A, se nezmˇen´ı z´ıskán´ım informace o tom, ˇze nastal jev B, potom ˇr´ıkáme, ˇze jevy A a jsou stochasticky nez´ avisl´ e. V tomto pˇr´ıpadˇe je P (A|B) = P (A) Vˇ eta 1.1 (Krit´ erium nez´ avislosti) Náhodné jevy A, B ∈ F jsou stochasticky nezávislé právˇe kdyˇz plat´ı P (A ∩ B) = P (A).P (B). D˚ ukaz: D˚ ukaz plyne bezprostˇrednˇe ze vzorce pro podm´ınˇenou pravdˇepodobnost a z toho, ˇze stochastická nezávislost je ekvivalentn´ı vlastnosti P (A|B) = P (A). Vˇsimnˇete si, ˇze jsou-li stochasticky nezávislé jevy A, B, potom jsou nezávislé i jevy A a B c . Je totiˇz P (AB c ) = P (A − B) = P (A − AB) = P (A) − P (AB) = P (A) − P (A)P (B) = P (A)(1 − P (B)) = P (A)P (B c ). Pravdˇepodobnost, ˇze padne rub pˇri hodu minc´ı (jev A), povaˇzujeme za stejnou jako pravdˇepodobnost, ˇze padne rub za podm´ınky, ˇze ház´ıme levou rukou (jev B), nebot’ v´ ysledek pokusu nezávis´ı na tom, kterou rukou se ház´ı. Naproti tomu v následuj´ıc´ım pˇr´ıkladu tato rovnost splnˇena nebyla a z v´ ysledku vypl´ yvá, ˇze se lze domn´ıvat, ˇze nezamˇestnanost m´ırnˇe závis´ı na pohlav´ı.

12


Pˇ r´ıklad 1.1.13 Pˇri vyˇsetˇrován´ı nezamˇestnanosti v populaci pracovn´ıch sil byly zjiˇstˇeny pomˇerné ˇcetnosti v tabulce. M˚ uˇzeme je interpretovat jako pravdˇepodobnosti, ˇze náhodnˇe vybraný jedinec patˇr´ı k dané skupinˇe. Vypoˇctˇete P (N ), P (N |M ), P (N |Z) pˇri oznaˇcen´ı jev˚ u podle tabulky. Z (zamˇestnaný) N (nezamˇestnaný) celkem

M (muˇz) 0,519 0,039 0,558

ˇ sen´ı: Je P (N ) = 0, 072, P (N |M ) = Reˇ

0,039 0,558

Z (ˇzena) celkem 0,409 0,928 0,033 0,072 0,442 1,000 = 0, 07, P (N |Z) = 0, 075

Pˇ r´ıklad 1.1.14 Nezávisle na sobˇe jsou vyrobeny tˇri ventilátory, pˇritom pravdˇepodobnost, ˇze výrobek je vadný (V) resp. dobrý (D), je vˇzdy 0,1 resp. 0,9. Jaké jsou pravdˇepodobnosti moˇzných výsledk˚ u tohoto pokusu? ˇ sen´ı: Lze uvaˇzovat osm moˇzn´ Reˇ ych v´ ysledk˚ u ωi tohoto pokusu (variace tˇret´ı tˇr´ıdy ze dvou prvk˚ u s opakován´ım). Oznaˇcme Ai = [i-t´ y ventilátor je vadn´ y], c potom napˇr. elementárn´ı jev ω3 = [DV D], lze vyjádˇrit jako ω3 = A1 A2 Ac3 . Vzhledem k nezávislosti v´ yrobk˚ u je potom P (ω3 ) = 0, 92 0, 1. Pˇ r´ıklad 1.1.15 Uvaˇzujme dva náhodné jevy A a B, jejichˇz pravdˇepodobnosti jsou P (A) = P (B) = 0, 5. Spoˇctˇete pravdˇepodobnosti P (A ∪ B), P (A − B) za pˇredpokladu, ˇze a) A a B jsou nezávislé jevy, b) A a B jsou stochasticky závislé a je P (A|B) = 0, 8. ˇ sen´ı: V obou pˇr´ıpadech je P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) a P (A − Reˇ B) = P (A) − P (A ∩ B). V pˇr´ıpadˇe a) plyne z nezávislosti P (A ∩ B) = P (A).P (B) = 0, 25. V pˇr´ıpadˇe b) je P (A ∩ B) = P (B).P (A|B) = 0, 4. Tedy odpovˇed’ je a) P (A ∪ B) = 0, 75, P (A − B) = 0, 25 b) P (A ∪ B) = 0, 6, P (A − B) = 0, 1 Pˇ r´ıklad 1.1.16 Dva hráˇci ház´ı stˇr´ıdavˇe minc´ı, vyhraje ten, komu padne prvn´ı rub mince. Urˇcete pravdˇepodobnost jevu A = [vyhraje hráˇc, kter´ y zaˇc´ıná]. ˇ sen´ı: Elementárn´ı jevy v tomto pokusu jsou posloupnosti rub˚ Reˇ u (R) a l´ıc˚ u (L) tvaru ω1 = {R}, ω2 = {LR}, ω3 = {LLR}, . . . , ωn = {L . . . LR}, . . . Na kaˇzd´ y z tˇechto jev˚ u se vˇsak m˚ uˇzeme d´ıvat z hlediska konkrétn´ıho hodu minc´ı,


13

jehoˇz elementárn´ı v´ ysledky jsou pouze L nebo R, kaˇzd´ y s pravdˇepodobnost´ı 21 (za pˇredpokladu symetrické homogenn´ı mince). Potom v´ ysledky sledovaného pokusu (celé hry) lze chápat jako pr˚ uniky nezávisl´ ych jev˚ u L a R a tedy plat´ı, i P ˇze P (ωi ) = pi = 12 = 2−i . Vˇsimnˇete si, ˇze ∞ i=1 pi = 1 a jev ω∞ = [hra nikdy neskonˇc´ı] má pravdˇepodobnost P (ω∞ ) = 0. Jev A obsahuje pouze ty elementárn´ı v´ ysledky, jejichˇz délkaP je lichá (rub padne ri 1., 3., 5., . . . hodu). S P∞ pˇ ∞ 1 −i Tedy je A = ∞ ω a P (A) = = 2 4 = 23 . Takováto hra i=1 2i−1 i=1 22i−1 i=1 je nespravedlivá, protoˇze hráˇci nemaj´ı stejnou pravdˇepodobnost v´ yhry. Vrat’me se k pˇr´ıkladu 1.1.12 S a pokusme se ˇreˇsit ho pomoc´ı obratu z pˇredn choz´ıho pˇr´ıkladu. Lze ps´ a t A = y pˇr´ıjemce dostal svou i=1 Ai , kde Ai = [i-t´ T n c c zprávu], tedy A = i=1 Ai . Pravdˇepodobnost tohoto pr˚ uniku ovˇsem nelze jednoduˇse vyjádˇrit, protoˇze jevy Ai , tedy ani jevy Aci , nejsou nezávislé. Je totiˇz P (Ai ) = n1 , P (Ai )P (Aj ) = 1 1 , ale P (Ai Aj ) = (n−2)! = n(n−1) . n2 n! Vˇ eta 1.2 Necht’ A1 , . . . , An ∈ F, P (A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An ) > 0, n ≥ 2. Potom P (A1 ∩A2 ∩. . .∩An ) = P (A1 )P (A2 |A1 )P (A3 |A1 ∩A2 ) . . . P (An |A1 ∩. . .∩An−1 ) D˚ ukaz: D˚ ukaz se provede matematickou indukc´ı: Pro n = 2 je z definice podm´ınˇené pravdˇepodobnosti P (A1 ∩ A2 ) = P (A1 )P (A2 |A1 ). Dále je P (A1 ∩ . . . ∩ An+1 ) = P (A1 ∩ . . . ∩ An )P (An+1 |A1 ∩ . . . ∩ An ), dosazen´ım za P (A1 ∩ . . . ∩ An ) z indukˇcn´ıho pˇredpokladu je d˚ ukaz ukonˇcen. Pˇ r´ıklad 1.1.17 Ze sedmi dodaných televizor˚ u tˇri potˇrebuj´ı seˇr´ızen´ı. Náhodnˇe vybereme tˇri kusy, jaká je pravdˇepodobnost jevu A = [ˇzádný vybraný televizor nepotˇrebuje seˇr´ızen´ı]. ˇ sen´ı: Ulohu ´ Reˇ lze ˇreˇsit bud’ jako klasick´ y pravdˇepodobnostn´ı pokus, kde 7 poˇcet elementárn´ıch jev˚ u je C3 (7) = 3 = 35, 3 4 4 P (A) = 0 3 = 35 35 nebo pomoc´ı vˇety z pˇredchoz´ıho odstavce: bud’ Ai = [i-t´ y vybran´ y televizor nepotˇrebuje seˇr´ızen´ı], A = A1 A2 A3 , P (A) = P (A1 )P (A2 |A1 )P (A3 |A1 A2 ) =

432 4 = 765 35


14

Pˇ r´ıklad 1.1.18 Kolikrát je tˇreba hodit hrac´ı kostkou, aby pravdˇepodobnost jevu A, ˇze padne aspoˇ n jedna ˇsestka, byla vˇetˇs´ı neˇz 0,9? ˇ sen´ı: Bud’ Ai = [v i-tém hodu padne ˇsestka], potom Bn = Sn Ai je jev, Reˇ i=1 ˇze ˇsestka padne v nˇekterém z prvn´ıch n hod˚ u a Bnc jev, ˇze ˇsestka v prvn´ıch n hodech nepadne. Sn Tn c c c Podle de Morganov´ ych pravidel je BQ z je n = ( i=1 Ai ) = i=1 Ai coˇ n n 5 c c pr˚ unik nezávisl´ ych jev˚ u, tedy P (Bn ) = i=1 P (Ai ) = 6 . Z nerovnosti 5 n = 12, 63. Odpovˇed’ tedy zn´ı, P (Bn ) = 1 − 6 > 0, 9 dostáváme n > lnln0,1 ( 56 ) je tˇreba hodit alespoˇ n tˇrináckrát. Pˇ r´ıklad 1.1.19 Vyˇsetˇrujme dva elektrické obvody se ˇctyˇrmi oˇc´ıslovanými prvky, viz obr. 1.2. Pˇredpokládáme, ˇze jevy Ai = [dojde k poruˇse i-tého prvku] jsou nezávislé, P (A1 ) = P (A2 ) = 0, 1, P (A3 ) = P (A4 ) = 0, 2. Jaká je pravdˇepodobnost jevu B = [dojde k pˇreruˇsen´ı proudu v obvodu]?

Obrázek 1.2: Zálohován´ı po prvc´ıch (a), zálohován´ı celé vˇetve (b). ˇ sen´ı: Je tˇreba kombinovat uˇzit´ı vzorc˚ Reˇ u pro pravdˇ uniku a Sepodobnost pr˚ sjednocen´ı jev˚ u. V prvn´ım obvodu a) je B = A1 A3 A2 A4 ,T P (B) = 0, T02 + 0, 02 − 0, 0004 = 0, 0396. Ve druhém obvodu b) je B = (A1 A2 )(A3 A4 ), jevy ve sjednocen´ı nejsou nesluˇcitelné, tedy P (B) = (0, 1 + 0, 1 − 0, 01)(0, 2 + 0, 2 − 0, 04) = 0, 0684. V´ ysledek má následuj´ıc´ı interpretaci v teorii spolehlivosti: jsou-li 1,2 hlavn´ı prvky a 3,4 záloˇzn´ı prvky v obvodu, potom protoˇze P (B) je niˇzˇs´ı v obvodu a) potvrzuje se, ˇze zálohován´ı jednotliv´ ych prvk˚ u je u ´ˇcinnˇejˇs´ı neˇz zálohován´ı celé hlavn´ı vˇetve v obvodu b). Pro pevné B ∈ F je funkc´ı P (.|B) definována na F opˇet pravdˇepodobnostn´ı m´ıra7 , pˇriˇcemˇz základn´ı prostor Ω se redukuje na B. Specielnˇe bud’ Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωn }, B ⊂ Ω, P (B) > 0. V pojet´ı klasické definice pravdˇepodobnosti definujeme podm´ınˇenou pravdˇepodobnost P (ωi |B) pˇrirozenˇe jako P (ωi |B) = 7

teˇcka zde zastupuje m´ısto pro promˇennou


15

i) pro ωi ∈ B. V ˇcetnostn´ı interpretaci oznaˇcme 0 pro ωi ∈ / B, P (ωi |B) = PP(ω (B) ni resp. nB poˇcet v´ yskyt˚ u jevu ωi resp. B v n opakován´ıch pokusu. Potom je pˇribliˇznˇe ni ni P (ωi ) P (ωi |B) ≈ = nnB ≈ nB P (B) n

Potom, je-li A ⊂ Ω, je P (A|B) =

X

P (ωi |B) =

ωi ∈A

X P (ωi ) . P (B) ω ∈A∩B i

Rozˇs´ıˇr´ıme nyn´ı definici nezávislosti na vˇetˇs´ı poˇcet jev˚ u. Jevy syst´ emu B = Bn , n ∈ M ⊂ Ω se naz´ yvaj´ı vz´ ajemnˇ e nez´ avisl´ e, jestliˇze pro kaˇzdou koneˇcnou podmnoˇzinu n1 , . . . , nk ⊂ M indexové mnoˇziny M pˇrirozen´ ych ˇc´ısel plat´ı P (Bn1 Bn2 . . . Bnk ) = P (Bn1 )P (Bn2 ) . . . P (Bnk )) K nezávislosti systému jev˚ u podle této definice nestaˇc´ı nezávislost po dvou. Je-li napˇr. Ω = {ω1 , ω2 , ω3 , ω4 }, P (ωi ) = 41 , i = 1, . . . , 4. Jevy A = {ω1 , ω2 }, B = {ω1 , ω3 }, C = {ω1 , ω4 } jsou po dvou nezávislé podle definice I.4.1, protoˇze P (A) = P (B) = P (C) = 12 a P (AB) = P (AC) = P (BC) = 14 . Naproti tomu P (ABC) = 41 zat´ımco P (A)P (B)P (C) = 18 , tedy jevy nejsou vzájemnˇe nezávislé.

1.1.5

Vˇ eta o u ´ pln´ e pravdˇ epodobnosti a Bayesova vˇ eta

Vzájemnˇe nesluˇcitelné jevy Ai ∈ F, i = 1, . . . , n,Stvoˇr´ı u ´ pln´ y syst´ em jev˚ u, n jestliˇze P (Ai ) > 0 pro kaˇzdé i = 1, . . . , n a P ( i=1 Ai ) = 1. Nˇekdy se téˇz hovoˇr´ı o u ´ pln´ em pokryt´ı mnoˇziny Ω. Vˇ eta 1.3 (o u ´ pln´ e pravdˇ epodobnosti) Necht’ {Hi }ni=1 je u ´plný systém jev˚ u, A ∈ F. Potom P (A) =

n X

P (A|Hi )P (Hi )

i=1

D˚ ukaz:

P = P (A ∩ Ω) =PP (A ∩ (∪ni=1 Hi )) = P (∪ni=1 (A ∩ Hi )) = P(A) n n i=1 P (A ∩ Hi ) = i=1 P (A|Hi )P (Hi )

16


Pˇ r´ıklad 1.1.20 Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze vybraná souˇcástka, která patˇr´ı s pravdˇepodobnost´ı 0,2; 0,3 resp. 0,5 do prvn´ı, druhé, resp. tˇret´ı skupiny, vydrˇz´ı zátˇeˇz, jestliˇze souˇcástka z prvn´ı, druhé resp. tˇret´ı skupiny vydrˇz´ı zátˇeˇz s pravdˇepodobnost´ı 0,95; 0,9 resp. 0,85. ˇ sen´ı: Oznaˇcme jev A = [souˇca´stka vydrˇz´ı zátˇeˇz], Hi = [souˇca´stka vybrána Reˇ z i-té skupiny]. Ze zadán´ı plyne P (H1 ) = 0, 2, P (H2 ) = 0, 3, P (H3 ) = 0, 5, dále P (A|H1 ) = 0, 95, P (A|H2 ) = 0, 9, P (A|H3 ) = 0, 85. Podle vˇety o u ´plné pravdˇepodobnosti je tedy P (A) = 0, 885. V´ ysledná pravdˇepodobnost je váˇzen´ ym pr˚ umˇerem podm´ınˇen´ ych pravdˇepodobnost´ı, pˇriˇcemˇz váhy tvoˇr´ı pravdˇepodobnosti jev˚ uzu ´plného systému. ´plný systém jev˚ u, A ∈ F, P (A) > Vˇ eta 1.4 (Bayesova) Necht’ {Hi }ni=1 je u 0. Potom P (A|Hi P (Hi ) P (Hi |A) = P i P (A|Hi )P (Hi ) i) D˚ ukaz: Je P (Hi |A) = P (A∩H . Vyjádˇr´ıme-li pravdˇepodobnost pr˚ uniku v ˇcitaP (A) teli podle definice podm´ınˇené pravdˇepodobnosti a dosad´ıme-li pravdˇepodobnost jevu A ve jmenovateli podle vˇety o u ´plné pravdˇepodobnosti, dostáváme tvrzen´ı vˇety (tzv. Bayes˚ uv vzorec).

V aplikac´ıch Bayesova vzorce z vˇety 1.4 maj´ı jevy Hi v´ yznam hypotéz, které se navzájem vyluˇcuj´ı a právˇe jedna z nich je správná. P (Hi ) jsou jejich pravdˇepodobnosti pˇred proveden´ım doplˇ nuj´ıc´ıho pokusu ˇci testu, ˇr´ıká se jim apriorn´ı pravdˇepodobnosti. P (.|Hi ) je pravdˇepodobnostn´ı m´ıra v´ ysledk˚ u testu za platnosti hypotézy Hi , která je ˇcasto známá. Vzorec umoˇzn ˇuje vypoˇc´ıtat podm´ınˇené pravdˇepodobnosti hypotéz po proveden´ı testu v nˇemˇz nastal jev A, takzvané aposteriorn´ı pravdˇepodobnosti. Pˇ r´ıklad 1.1.21 Zamýˇsl´ıte koupit v autobazaru v˚ uz jisté znaˇcky, je ovˇsem známo, ˇze 30 procent takových nab´ızených voz˚ u má vadné pˇrevodovky. Abyste z´ıskali v´ıce informac´ı, najmete si mechanika, který je po proj´ıˇzd’ce schopen odhadnout stav vozu a jen s pravdˇepodobnost´ı 0,1 se zmýl´ı. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze v˚ uz, který zamýˇsl´ıte koupit, má vadnou pˇrevodovku a) pˇredt´ım, neˇz si najmete mechanika? b) jestliˇze mechanik pˇredpov´ı, ˇze je dobrý? ˇ sen´ı: Oznaˇcme H1 = [v˚ Reˇ uz je vadn´ y] a H2 = [v˚ uz je dobr´ y] dvˇe hypotézy. Jedna z nich urˇcitˇe nastane a navzájem se vyluˇcuj´ı – tvoˇr´ı tedy u ´plné pokryt´ı. Dále oznaˇcme v´ ysledek mechanikova testu A = [doporuˇcuji v˚ uz kou’ pit]. Odpovˇed na otázku a) je dána pod´ılem vadn´ ych voz˚ u P (H1 ) = 0, 3,


17

coˇz je jediná informace pˇred najmut´ım mechanika. V´ ypoˇcet aposteriorn´ı pravdˇepodobnosti b) lze provést podle Bayesova vzorce P (H1 |A) =

P (A|H1 ).P (H1 ) P (A|H1 ).P (H1 ) + P (A|H2 ).P (H2 ) 0, 1.0, 3 0, 03 = = = 0, 045. 0, 1.0, 3 + 0, 9.0, 7 0, 63

Tedy pravdˇepodobnost koupˇe vadného vozu podle doporuˇcen´ı experta se sn´ıˇz´ı na necel´ ych pˇet procent. Odhaduje-li mechanik, ˇze v˚ uz je dobr´ y, ˇsance na nákup dobrého vozu se zv´ yˇsila ze 70 % na 95,5 %. Jedno z moˇzn´ ych grafick´ ych znázornˇen´ı v´ ysledku b) je na obr. 1.3. Celková pravdˇepodobnost (plocha ˇctverce) je rozdˇelena vodorovnou pˇr´ıˇckou v pomˇeru pravdˇepodobnosti hypotéz, dále svisl´ ymi pˇr´ıˇckami v pomˇeru podm´ınˇen´ ych pravdˇepodobnost´ı v´ ysledk˚ u testu. P (H1 |A) hledáme v pravdˇepodobnostn´ım prostoru redukovaném na vyˇsrafovanou plo´ o nákupu auchu (t.j. za podm´ınky A) jako pod´ıl plo- Obrázek 1.3: Uloha tomobilu chy odpov´ıdaj´ıc´ı H1 ku celkové ploˇse. Jin´ y zp˚ usob grafického znázornˇen´ı v´ ypoˇctu pomoc´ı stromového grafu je na obr. 1.4. Zde pravdˇepodobnost nákupu vadného vozu s doporuˇcen´ım mechanika odpov´ıdá prvn´ı vˇetvi shora – oznaˇcme ji α. Pˇr´ıpady, kdy mechanik doporuˇc´ı koupi, jsou zahrnuty v prvn´ı a tˇret´ı vˇetvi – jejich souˇcet oznaˇcme β. Potom hledaná pravdˇepodobnost je rovna pod´ılu αβ .

´ Obrázek 1.4: Uloha o nákupu automobilu


18

1.2 1.2.1

N´ ahodn´ a veliˇ cina Rozdˇ elen´ı n´ ahodn´ e veliˇ ciny

Pod pojmem (re´ aln´ a) n´ ahodn´ a veliˇ cina budeme rozumˇet reálnou funkci X : Ω → R, definovanou na prostoru elementárn´ıch jev˚ u Ω a takovou, ˇze pro kaˇzdé reálné ˇc´ıslo x ∈ R je A = {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x} ∈ F. Pokud je obor hodnot náhodné veliˇciny podmnoˇzinou komplexn´ıch ˇc´ısel, budeme hovoˇrit o komplexn´ı náhodné veliˇcinˇe, v pˇr´ıpadˇe, ˇze hodnoty leˇz´ı ve vektorovém prostoru Rn , budeme hovoˇrit o náhodném vektoru. V této ˇca´sti se omez´ıme pouze na reálné náhodné veliˇciny. Nadále budeme pouˇz´ıvat zkráceného zápisu A = {X ≤ x}. Nenechte se vˇsak t´ımto zkrácen´ ym zápisem zmást: vynechán´ım ω v zápisu jeho vliv na hodnotu náhodné veliˇciny X nemiz´ı a je tˇreba s n´ım vˇzdy poˇc´ıtat! Podm´ınka, ˇze A je prvkem jevového pole F – jin´ ymi slovy ˇze A je náhodn´ y jev v uvaˇzovaném náhodném pokusu – je potˇreba k tomu, abychom mohli jevu A = {X ≤ x} pˇriˇradit jeho pravdˇepodobnost. Pˇripomeˇ nme, ˇze pravdˇepodobnost je definována právˇe na mnoˇzinˇe F. Je-li F systém vˇsech podmnoˇzin Ω, potom kaˇzdá reálná funkce X na Ω je náhodná veliˇcina. V obecném pˇr´ıpadˇe se m˚ uˇze stát, ˇze nˇekteré pˇr´ıliˇs komplikované funkce nemus´ı splˇ novat podm´ınku z definice náhodné veliˇciny. S takov´ ymi funkcemi se ale v praktick´ ych aplikac´ıch nesetkáváme. Funkce F (x) definovaná vztahem F (x) = P (X ≤ x) se naz´ yvá distribuˇ cn´ı funkce náhodné veliˇciny X. (Tento zápis je zjednoduˇsen vynechán´ım sloˇzené závorky u jevu {X ≤ x}.) Vˇ eta 1.5 Necht’ F (x) je distribuˇcn´ı funkce náhodné veliˇciny X. Potom plat´ı (1) 0 ≤ F (x) ≤ 1 pro kaˇzdé x ∈ R, (2) limx→−∞ F (x) = 0, lim x → ∞F (x) = 1, (3) limh→0+ F (x + h) = F (x), tj. F je zprava spojitá8 , (4) je-li x1 ≤ x2 , potom F (x1 ) ≤ F (x2 ), tj. F je neklesaj´ıc´ı. 8

V nˇekter´ ych uˇcebnic´ıch se m˚ uˇzete setkat s ponˇekud jinou definic´ı distribuˇcn´ı funkce: F (x) = P (X < x) (s ostrou nerovnost´ı). Takováto distribuˇcn´ı funkce potom bude spojitá zleva.

´ ´ VELICINA ˇ 1.2. NAHODN A

19

Tyto vlastnosti jsou téˇz postaˇcuj´ıc´ı pro to, aby daná funkce F (x) byla ˇ distribuˇcn´ı funkc´ı nˇejaké náhodné veliˇciny. Casto se pouˇz´ıvá dalˇs´ı vlastnost: pro reálná ˇc´ısla a ≤ b plat´ı P (a < X ≤ b) = P ({X ≤ b} ∩ {X > a}) = P ({X ≤ b} − {X ≤ a}) = P (X ≤ b) − P (x ≤ a) = F (b) − F (a). Distribuˇcn´ı funkce F (x) se naz´ yvá diskr´ etn´ı, existuje-li koneˇcná nebo spoˇ u {xi } a posloupnost kladn´ ych ˇc´ısel pi splˇ nuj´ıc´ıch P cetná posloupnost bod˚ e, ˇze i pi = 1 takov´ X F (x) = pi i:xi ≤x

pro libovolné reálné ˇc´ıslo x ∈ R. Diskrétn´ı distribuˇcn´ı funkce má schodovit´ y tvar, se skoky velikosti pi v bodech xi . Má-li náhodná veliˇcina X diskrétn´ı distribuˇcn´ı funkci, tj. pi = P (X = xi ), ˇr´ıkáme, ˇze X má diskr´ etn´ı rozdˇ elen´ı pravdˇ epodobnosti, struˇcnˇe diskr´ etn´ı rozdˇ elen´ı. Vrat’me se k náhodnému experimentu, jehoˇz reprezentace je pravdˇepodobnostn´ı prostor (Ω, F, P ). Jestliˇze je mnoˇzina elementárn´ıch v´ ysledk˚ u Ω koneˇcná nebo spoˇcetná, to znamená, ˇze vˇsechny moˇzné elementárn´ı v´ ysledky lze seˇradit do posloupnosti Ω = {ωi }∞ ahodná veliˇcina X definoi=1 , potom i n´ vaná pro tento experiment má nejv´ yˇse spoˇcetnou mnoˇzinu hodnot X(ωi ) = . Pravdˇ epodobnostn´ı rozdˇelen´ı je v tomto xi tvoˇr´ıc´ıch posloupnost {xi }∞ i=1 pˇr´ıpadˇe urˇceno jednoznaˇcnˇe pravdˇepodobnostn´ı m´ırou P , tedy pravdˇepodobnostmi {pi }∞ i=1 , kde pi = P (X = xi ). Typick´ y pr˚ ubˇeh diskrétn´ı distribuˇcn´ı funkce je na obr. 2.1. Tato funkce je vˇzdy po ˇcástech konstantn´ı ( schodovitá“), s hodnotami vˇzdy na levé stranˇe ” schodu“ (spojitost zprava). ” Pˇ r´ıklad 1.2.1 Nezávisle na sobˇe je vyrobena série pˇeti ventilátor˚ u, pˇriˇcemˇz pravdˇepodobnost toho, ˇze vyrobený ventilátor bude vadný, je 0, 1. Najdˇete rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti náhodné veliˇciny, popisuj´ıc´ı poˇcet vadných v sérii. ˇ sen´ı: Oznaˇcme Ak = [v sérii 5 v´ Reˇ yrobk˚ u bude k vadn´ ych]. Pravdˇepodobnost toho, ˇze k v´ yrobk˚ u bude vadn´ ych a (5 − k) v´ yrobk˚ u bude bez vady je – vzhledem k nezávislosti – rovna souˇcinu 0, 1k 0, 95−k . Kromˇe toho, k vadn´ ych 5 usoby. Tedy v´ yrobk˚ u m˚ uˇze b´ yt mezi 5 vyroben´ ymi rozdˇeleno celkem k zp˚ 5 k (5−k) P (Ak ) = k 0, 1 .0, 9 . V následuj´ıc´ı tabulce jsou uspoˇrádány hodnoty k a pk , k = 1, . . . , 5 a na obr.2.1 je graf pˇr´ısluˇsné distribuˇcn´ı funkce.

20

´ ˇ KAPITOLA 1. ZAKLADY TEORIE PRAVDEPODOBNOSTI i pi

0 0,3277

1 0,4096

2 0,2048

3 0,0512

4 0,0064

5 0,0003

Obrázek 1.5: Distribuˇcn´ı funkce diskrétn´ı náhodné veliˇciny z pˇr´ıkladu 1.2.1. Distribuˇcn´ı funkce F (x) se naz´ yvá absolutnˇ e spojit´ a, jestliˇze existuje spojitá nezáporná funkce f (x) naz´ yvaná hustota pravdˇ epodobnosti, struˇcnˇe hustota, taková, ˇze Z x

F (x) =

f (t)dt −∞

pro kaˇzdé x ∈ R. Má-li náhodná veliˇcina X absolutnˇe spojitou distribuˇcn´ı funkci, ˇr´ıkáme, ˇze X má spojit´ e rozdˇ elen´ı pravdˇ epodobnosti, struˇcnˇe spojit´ e rozdˇ elen´ı. R Hustota pravdˇepodobnosti f (x) mus´ı splˇ novat rovnost R f (x)dx = 1. Existuje-li derivace F 0 distribuˇcn´ı funkce bodˇe x, potom je F 0 (x) = f (x). Pro a, b ∈ R, a < b, plat´ı Z b P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a) = f (t)dt a

Tedy pravdˇepodobnost toho, ˇze spojitá náhodná veliˇcina bude m´ıt hodnoty v nˇejakém intervalu ha, bi je tedy plocha pod kˇrivkou hustoty nad intervalem ha, bi. Jaká je vlastnˇe interpretace hustoty pravdˇepodobnosti? Pˇredevˇs´ım f (x) nen´ı pravdˇepodobnost jevu {X = x}! Ta je v pˇr´ıpadˇe náhodn´ Rex veliˇciny se spojit´ ym rozdˇelen´ım vˇzdy rovna nule. To plyne z P (X = x) = x f (t)dt = 0 pro libovolné x ∈ R. Uvaˇzujme interval hx, x + dx), to jest interval reáln´ ych ˇc´ısel o délce dx. Potom pro velmi malá dx je pˇribliˇznˇe P (X ∈ hx, x + dx)) = f (x)dx .


21

Pˇ r´ıklad 1.2.2 Ukaˇzte, ˇze funkce F (x) = 1 − e−λx , x ≥ 0, F (x) = 0, x < 0, kde λ > 0 je reálný parametr, je distribuˇcn´ı funkc´ı nˇejaké náhodné veliˇciny Y se spojitým rozdˇelen´ım. Spoˇctˇete P (1 < Y ≤ 2). ˇ sen´ı: Derivace dF (x) = F 0 (x) = λe−λx existuje a je pro x ≥ 0 kladná, tedy Reˇ dx F (x) je rostouc´ı funkc´ı pro x ≥ 0. Nav´ıc limx→0+ F (x) = 0 a limx→∞ = 1. Z toho plynou vlastnosti (1)–(4) z vˇety 1.5 a tedy F (x) je podle poznámky za vˇetou 1.5 distribuˇcn´ı funkc´ı nˇejaké náhodné veliˇciny Y . Odpov´ıdaj´ıc´ı hustota je f (x) = F 0 (x) = λe−λx , x ≥ 0, f (x) = 0, x < 0 zˇrejmˇe spojitá funkce. R2 Dále je P (1 < Y ≤ 2) = λ 1 e−λx dx = 1 − e−2λ − 1 + e−λ = 0, 117.

Obrázek 1.6: Distribuˇcn´ı funkce (nahoˇre) a hustota (dole) náhodné veliˇciny z pˇr´ıkladu 1.2.2.

Poznámka: V dalˇs´ım v´ ykladu se budeme zab´ yvat pˇredevˇs´ım dvˇema zaveden´ ymi tˇr´ıdami náhodn´ ych veliˇcin, tzn. se spojit´ ym a diskrétn´ım rozdˇelen´ım. Samozˇrejmˇe mohou existovat i náhodné veliˇciny, které maj´ı sm´ıˇsen´ y charakter. Napˇr´ıklad pˇri mˇeˇren´ı doby do poruchy sloˇzitého zaˇr´ızen´ı je tˇreba v nˇekter´ ych pˇr´ıpadech uvaˇzovat kladnou pravdˇepodobnost, ˇze se zaˇr´ızen´ı v˚ ubec nepodaˇr´ı uvést do chodu. Tomu m˚ uˇze odpov´ıdat distribuˇcn´ı funkce která je nulová pro záporná x, absolutnˇe spojitá a rostouc´ı pro x > 0 a se skokem v bodˇe x = 0.

22

1.2.2


Z´ akladn´ı charakteristiky n´ ahodn´ ych veliˇ cin

Náhodná veliˇcina je funkce náhodn´ ych jev˚ u. V jistém smyslu si ji m˚ uˇzeme pˇredstavovat jako ˇc´ıselnou reprezentaci v´ ysledk˚ u náhodného pokusu. Práce s náhodn´ ymi veliˇcinami se vˇsak v´ yraznˇe odliˇsuje od práce s matematick´ ymi funkcemi jako je sinus, exponenciela nebo mocnina. Na rozd´ıl od matematick´ ych funkc´ı nelze napˇr´ıklad nakreslit graf náhodné veliˇciny. Nelze stanovit jej´ı pr˚ ubˇeh nebo limitu. Lze pouze stanovit jej´ı pravdˇ epodobnostn´ı charakteristiky. Pravdˇepodobnostn´ı vlastnosti náhodné veliˇciny jsou plnˇe popsány jej´ı distribuˇcn´ı funkc´ı. Pomoc´ı distribuˇcn´ı funkce lze urˇcit rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti {pi }∞ r´ıpadˇe diskrétn´ı náhodné veliˇciny nebo hustotu f (x) v pˇr´ıpadˇe i=1 v pˇ spojité náhodné veliˇciny. To plat´ı i obrácenˇe: známe-li rozdˇelen´ı pravdˇepodobuˇzeme naj´ıt distribuˇcn´ı funkci F (x). nosti {pi }∞ i=1 nebo hustotu f (x), m˚ Kromˇe tˇechto charakteristik se ˇcasto pouˇz´ıvaj´ı i dalˇs´ı, mezi nˇeˇz patˇr´ı pˇredevˇs´ım momenty a kvantily. K-t´ y obecn´ y moment EX k náhodné veliˇciny X s diskrétn´ım resp. spojit´ ym rozdˇelen´ım je hodnota Z ∞ ∞ X k k k E(X ) = xi pi , resp. E(X ) = xk f (x)dx. i=1

−∞

ˇ Casto budeme psát struˇcnˇeji pouze EX k (bez závorek). V´ yznamnou u ´lohu hraje prvn´ı obecn´ y moment E(X), kter´ y se naz´ yvá stˇ redn´ı hodnota náhodné veliˇciny X (nˇekdy se m˚ uˇzete setkat i s názvem oˇ cek´ avan´ a hodnota). Pomoc´ı nˇeho jsou definovány takzvané centr´ aln´ı momenty. K-t´ y centr´ aln´ı moment µk (X) náhodné veliˇciny X (s diskrétn´ım nebo spojit´ ym rozdˇelen´ım) je hodnota µk (X) = E(X − E(X))k . Opˇet se ponˇekud liˇs´ı v´ ypoˇcet centráln´ıch moment˚ u pro diskrétn´ı resp. spojitou náhodnou veliˇcinu: Z ∞ ∞ X n k k E(X −EX) = (xi −EX) pi , resp. E(X −EX) = (x−EX)k f (x)dx. i=1

−∞

Nejˇcastˇeji pouˇz´ıvan´ ym centráln´ım momentem je druh´ y centráln´ı moment, kter´ y se naz´ yvá rozptyl náhodné veliˇciny X a ozanˇcuje se speciáln´ım symbolem V ar(X). Druhá odmocnina rozptylu je naz´ yvána smˇ erodatnou odchylkou náhodné veliˇciny X a budeme ji obvykle oznaˇcovat σ(X).


23

Znalost vˇsech moment˚ u (obecn´ ych nebo centráln´ıch) pro k = 1, 2, . . . je opˇet ekvivalentn´ı znalosti distribuˇcn´ı funkce a podává nám plnou informaci o náhodné veliˇcinˇe. Pˇ r´ıklad 1.2.3 Náhodná veliˇcina X m˚ uˇze nabývat nezáporných celoˇc´ıselných k hodnot k = 0, 1, . . . s pravdˇepodobnostmi pk = P (X = k) = e−λ λk! . Spoˇctˇete stˇredn´ı hodnotu a rozptyl náhodné veliˇciny X. ˇ sen´ı: Protoˇze veliˇcina X nab´ Reˇ yvá pouze spoˇcetnˇe mnoha hodnot, jedná se o veliˇcinu tn´ı. Pro jej´P ı stˇredn´ı hodnotu tedy ı P∞ plat´ P∞diskré−λ ∞ λk λk−1 λk −λ −λ EX = k=0 ke k! = e k=1 k k! = λe k=1 (k−1)! = λ. Podobnˇe pro rozptyl P P 2 −λ λk 2 2 λk V ar(X) = E(X − EX)2 = ∞ = e−λ ∞ k=0 (k − λ) e k=0 (k − 2kλ + λ ) k! . k! Po krátkém poˇc´ıtán´ı a u ´pravách se dostaneme k v´ ysledku V ar(X) = λ. Rozdˇelen´ı této náhodné veliˇciny se naz´ yvá Poissonovo a budeme se j´ım jeˇstˇe zab´ yvat pozdˇeji. Pˇri v´ ypoˇctu moment˚ u náhodné veliˇciny se pouˇz´ıvá funkcionál E, kter´ y je lineárn´ı, to znamená, ˇze pro libovolné náhodné veliˇciny X a Y a konstantu k ∈ R plat´ı: – E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) (aditivita) – E(kX) = kE(X) (homogenita). Tyto vlastnosti jsou zˇrejmé, kdyˇz si uvˇedom´ıme, ˇze funkcionál E je vyjádˇren bud’ jako souˇcet v diskrétn´ım pˇr´ıpadˇe, nebo ve formˇe integrálu ve spojitém pˇr´ıpadˇe. Z druhé vlastnosti pˇr´ımo plyne, ˇze E(k) = k. Speciálnˇe lze uvedené vlastnosti interpretovat jako vlastnosti stˇredn´ı hodnoty. Uvˇedom´ıme-li si, ˇze EX je ˇc´ıslo (nikoli funkce) a s vyuˇzit´ım linearity stˇredn´ı hodnoty lze pro rozptyl snadno odvodit tyto uˇziteˇcné vlastnosti: – V ar(X) = E(X − EX)2 = E(X 2 − 2XEX + (EX)2 ) = EX 2 − 2(EX)2 + (EX)2 = EX 2 − (EX)2 , – V ar(kX + q) = k 2 V ar(X) pro libovolné konstanty k, q. Prvn´ı vlastnost se ˇcasto vyuˇz´ıvá pˇri v´ ypoˇctu rozptylu. Vˇsimnˇete si nav´ıc, ˇze tato vlastnost vlastnˇe vyjadˇruje vztah mezi druh´ ym centráln´ım momentem a prvn´ımi dvˇema obecn´ ymi momenty náhodné veliˇciny. Toto zjiˇstˇen´ı lze zobecnit a m˚ uˇzeme tvrdit, ˇze libovoln´ y k-t´ y centráln´ı moment lze vyjádˇrit pouze pomoc´ı prvn´ıch k obecn´ ych moment˚ u. Pˇ r´ıklad 1.2.4 Vyjádˇrete ˇctvrtý centráln´ı moment náhodné veliˇciny X pomoc´ı jej´ıch prvn´ıch ˇctyˇr obecných moment˚ u. ˇ sen´ı: µ4 (X) = E(X −EX)4 = E(X 4 −4X 3 EX +8X 2 (EX)2 −4X(EX)3 + Reˇ (EX)4 ) = EX 4 − 4EX 3 EX + 8EX 2 (EX)2 − 3(EX)4

24


Pˇ r´ıklad 1.2.5 Náhodná veliˇcina X má hustotu rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti f (x) = λe−λx , x ≥ 0, f (x) = 0 jinak. Spoˇctˇete jej´ı obecné momenty. ˇ sen´ı: X je spojitá náhodná veliˇcina (jej´ı rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti je Reˇ dáno hustotou) pro v´ ypoˇcet pouˇzijeme integrál R ∞ na proto n −λx EX = λ R0 x e dx, kter´ y substituc´ı λx = t, λdx = dt pˇrevedeme na ∞ v´ yrazu je znám jako takzvaná Gama integrál λ1n 0 tn e−t dt. Integrál v tomto R ∞ x−1 funkce definovaná vztahem Γ(x) = 0 t e−t dt, x > 0. Pro funkci Γ(x) plat´ √ ı 1 nˇekolik vztah˚ u, mezi jin´ ymi téˇz Γ(x + 1) = xΓ(x), Γ(1) = 1, Γ( 2 ) = π. V naˇsem pˇr´ıpadˇe tedy dostáváme EX n = Γ(n+1) = λn!n . λn Následuj´ıc´ı vˇeta popisuje vztah mezi stˇredn´ı hodnotou a rozptylem náhodné veliˇciny. ˇ Vˇ eta 1.6 (Cebyˇ sevova nerovnost) Necht’ náhodná veliˇcina X má koneˇcný druhý moment. Potom pro libovolné > 0 plat´ı P (|X − EX| ≥ ) ≤

V ar(X) . 2

ˇ Casto se pracuje s takzvan´ ymi normovan´ ymi momenty. Jsou to vlastnˇe obecné momenty normovan´ e n´ ahodn´ e veliˇ ciny U = X−E(X) . Tedy k-t´ y σ(X) normovan´ y moment náhodné veliˇciny X je νk (X) = E(U k ). V´ ypoˇcet normovan´ ych moment˚ u pro diskrétn´ı resp. spojitou náhodnou veliˇcinu je následuj´ıc´ı: k X k k Z ∞ ∞ xi − EX x − EX X − EX = pi , resp. f (x)dx. E σ(X) σ(X) σ(X) −∞ i=1 Z normovan´ ych moment˚ u náhodné veliˇciny jsou d˚ uleˇzité ν3 a ν4 , které popisuj´ı tvar jej´ıho rozdˇelen´ı. Normovan´ y moment ν3 se naz´ yvá koeficient ˇ sikmosti a je m´ırou symetrie rozdˇelen´ı. Koeficient ˇsikmosti je roven nule napˇr´ıklad pro náhodné veliˇciny, jejichˇz rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti je symetrické kolem stˇredn´ı hodnoty, je kladn´ y pro jednovrcholové hustoty ˇsikmé zprava (obr.1.7), naopak záporn´ y pro jednovrcholové hustoty ˇsikmé zleva. Normovan´ y moment ν4 je naz´ yván koeficientem ˇ spiˇ catosti nebo také kurtoze a je m´ırou toho, jak rychle klesá pravdˇepodobnost extrémn´ıch hodnot (smˇerem k −∞ nebo do +∞).


25

Obrázek 1.7: Hustoty nesymetrick´ ych rozdˇelen´ı a jejich koeficienty ˇsikmosti.

Pˇri studiu chován´ı náhodné veliˇciny si zpravidla klademe otázku: jaká je pravdˇepodobnost α, ˇze sledovaná náhodná veliˇcina X nepˇrekroˇc´ı pˇredem ˇ danou hodnotu x? Casto je vˇsak kladena i opaˇcná otázka: jakou hodnotu x nepˇrekroˇc´ı sledovaná náhodná veliˇcina s pˇredem danou pravdˇepodobnost´ı α? Odpovˇed’ nám dávaj´ı kvantily rozdˇ elen´ı n´ ahodn´ e veliˇ ciny, které tvoˇr´ı dalˇs´ı d˚ uleˇzitou skupinou charakteristik náhodné veliˇciny. Mˇejme nˇejaké 0 < α < 1. Potom α-kvantilem náhodné veliˇciny X naz´ yváme takovou nejvˇetˇs´ı hodnotu xα , pro kterou je P (X ≤ xα ) ≤ α. Má-li náhodná veliˇcina X absolutnˇe spojitou distribuˇcn´ı funkci F (x), která je rostouc´ı pro ta x, pro která 0 < F (x) < 1, potom existuje xα takové, ˇze P (X ≤ xα ) = α a je xRα = F −1 (α), kde F −1 je inverzn´ı funkce k F . Vyjádˇreno xα pomoc´ı hustoty f je −∞ f (x)dx = α, viz obr.1.8. Pravdˇepodobnost se ˇcasto vyjadˇruje v procentech. Potom budeme hovoˇrit o 100α%-kvantilu náhodné veliˇciny. Podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe moment˚ u i zde plat´ı tvrzen´ı, ˇze známe-li vˇsechny α-kvantily náhodné veliˇciny X pro vˇsechna α ∈ h0, 1i, potom máme u ´plnou informaci o jej´ım pravdˇepodobnostn´ım chován´ı. Mezi vˇsemi kvantily má v´ yznamné postaven´ı 50%-kvantil, kter´ y budeme oznaˇcovat x0,5 a budeme jej naz´ yvat medi´ an M e(X) náhodné veliˇciny X. Medián se také nˇekdy naz´ yvá prostˇredn´ı hodnota z hlediska pravdˇepodobnosti, nebot’ pravdˇepodobnost, ˇze náhodná veliˇcina X nabyde hodnoty menˇs´ı neˇz M e(X) je rovna 0,5 coˇz je stejná hodnota jako pravdˇepodobnost, ˇze X bude m´ıt hodnotu vˇetˇs´ı neˇz M e(X). Vedle stˇredn´ı hodnoty je to dalˇs´ı takzvaná charakteristika polohy náhodné veliˇciny X.

26


Obrázek 1.8: Vztah mezi pravdˇepodobnost´ı α a α-kvantilem xα . Pˇ r´ıklad 1.2.6 Urˇcete medián náhodné veliˇciny s hustotou f (x) = 0 pro x < 0 a f (x) = λe−λx pro x ≥ 0. R ˇ sen´ı: Medián je taková hodnota x, pro kterou má platit, ˇze x f (t)dt = Reˇ −∞ R∞ R x −λt −λx f (t)dt = 0, 5. Tedy v naˇ s em pˇ r ´ ıpadˇ e λe dt = 1 − e = 0, 5 a odtud x 0 ln2 dostaneme M e(X) = λ . Pˇri anal´ yze dat se ˇcasto pouˇz´ıvaj´ı takzvané kvartily. To jsou 25%, 50% a 75% kvantily. Pˇritom 25%-kvantil se naz´ yvá doln´ı kvartil, 50%-kvantil je jiˇz zm´ınˇen´ y medián a 75%-kvantil je horn´ı kvartil. Spolu s minimem a maximem se tˇemto charakteristikám ˇr´ıká pˇet Tukeyho charakteristik podle zakladatele takzvané pr˚ uzkumové anal´ yzy dat“, amerického statistika Johna ” Tukeye. Ve statistice se dále pracuje s takzvan´ ym horn´ım a doln´ım 5%-kvantilem. To jsou 5%- a 95%-kvantily. Podobnˇe se m˚ uˇzete setkat i s pojmem horn´ı nebo doln´ı decil – tedy 10%- nebo 90%-kvantil.

Kromˇe jiˇz zm´ınˇen´ ych pravdˇepodobnostn´ıch charakteristik náhodné veliˇciny se pouˇz´ıvaj´ı i dalˇs´ı, které nepatˇr´ı ani do jedné z uveden´ ych skupin. Takovou


27

charakteristikou je napˇr´ıklad Modus M o(X) náhodné veliˇciny X. Je to hodnota x, v n´ıˇz má spojitá, resp. diskrétn´ı náhodná veliˇcina lokáln´ı extrém hustoty resp. posloupnosti pravdˇepodobnost´ı pi . Rozdˇelen´ı s jedin´ ym lokáln´ım extrémem se naz´ yvaj´ı jednovrcholov´ a. V diskrétn´ım pˇr´ıpadˇe jednovrcholového rozdˇelen´ı lze modus interpretovat jako nejpravdˇepodobnˇejˇs´ı hodnotu náhodné veliˇciny X. Existuje vˇsak ˇrada pˇr´ıpad˚ u, kdy modus nelze jednoznaˇcnˇe urˇcit. V teorii spolehlivosti, zab´ yvaj´ıc´ı se pravdˇepodobnost´ı bezporuchového chodu zaˇr´ızen´ı, se vedle distribuˇcn´ı funkce pouˇz´ıvá také funkce spolehlivosti9 R(t), definovaná následuj´ıc´ım zp˚ usobem: Je-li F (t) distribuˇcn´ı funkce náhodné veliˇciny T , popisuj´ıc´ı dobu do poruchy zaˇr´ızen´ı, potom funkce spolehlivosti je rovna R(t) = 1 − F (t). Tedy zat´ımco F (t) je pravdˇepodobnost toho, ˇze se zaˇr´ızen´ı porouchá do doby t, R(t) je pravdˇepodobnost toho, ˇze zaˇr´ızen´ı pˇreˇzije“ dobu t. ” Dalˇs´ı charakteristikou, pouˇz´ıvanou ve spolehlivosti, je intenzita poruch10 f (t) . Jej´ı interpretace je následuj´ıc´ı: h(t), která je definována jako h(t) = 1−F (t) pro malé hodnoty dt souˇcin h(t)dt udává pˇribliˇznˇe podm´ınˇenou pravdˇepodobnost toho, ˇze se zaˇr´ızen´ı neporouchá v nejbliˇzˇs´ım ˇcasovém intervalu délky dt, pokud se neporouchalo do doby t.

9

nebo téˇz funkce pˇ reˇ zit´ı. V literatuˇre se m˚ uˇzete setkat i s n´ azvem rizikov´ a funkce, anglicky hazard function, pˇredevˇs´ım v souvislosti s anal´ yzou doby pˇreˇz´ıván´ı. 10

28

1.3


Pravdˇ epodobnostn´ı modely

Aplikace matematick´ ych metod pˇri popisu reálného svˇeta pouˇz´ıvá matematické modely. Stejnˇe je tomu i v pˇr´ıpadˇe teorie pravdˇepodobnosti. V reálném svˇetˇe kolem nás existuje ˇrada standardn´ıch situac´ı, které maj´ı cosi spoleˇcného. Za cenu jistého zjednoduˇsen´ı a zanedbán´ı nˇekter´ ych nepodstatn´ ych okolnost´ı jsme schopni tyto situace popsat pomoc´ı matematick´ ych symbol˚ u a vytvoˇrit matematick´ y model. Ten potom slouˇz´ı ke studiu chován´ı, závislost´ı, pˇredpov´ıdán´ı budouc´ıch jev˚ u, a odhad˚ u r˚ uzn´ ych parametr˚ u. Podle stupnˇe zobecnˇen´ı dostáváme v´ıce ˇci ménˇe sloˇzité modely. Neexistuje ideáln´ı model11 Zde uvedené pravdˇepodobnostn´ı modely popisuj´ı ˇradu standardn´ıch situac´ı, se kter´ ymi se m˚ uˇzeme setkat. Tak napˇr´ıklad házen´ı minc´ı. Samozˇrejmˇe si lze pˇredstavit, jak z dlouhé chv´ıle ház´ıme minc´ı a sledujeme co nám padne. Lze si pˇredstavit i hazardn´ı hru, zaloˇzenou na házen´ı minc´ı. Ale mnohem praktiˇctˇejˇs´ı varianta tohoto standardn´ıho modelu je napˇr´ıklad zkouˇska jistiˇce. Pˇri kaˇzdém pokusu bud’ sepne nebo nesepne. Zkouˇs´ıme jej tak dlouho, dokud nenastane prvn´ı porucha. Nebo vyb´ırán´ı ˇcern´ ych a b´ıl´ ych koul´ı z urny. To je obl´ıbená zábava ve stˇredoˇskolsk´ ych uˇcebnic´ıch pravdˇepodobnosti. Dokonce i ve sb´ırkách u ´loh z teorie pravdˇepodobnosti pro vysoké ˇskoly. Proˇc se máme zab´ yvat takovou naprosto absurdn´ı zábavou? Pokud si ale nam´ısto ˇcern´ ych a b´ıl´ ych koul´ı v urnˇe pˇredstav´ıme v´ yrobky, napˇr´ıklad p´ıstky do kompresoru, teré bud’ odpov´ıdaj´ı poˇzadavk˚ um odbˇeratele nebo vykazuj´ı nˇejakou vadu (rozmˇery mimo toleranci nebo nepˇr´ıpustná drsnost povrchu) a jsou dodány v kontejneru, ze kterého náhodnˇe vybereme urˇcit´ y poˇcet a zkoumáme jeho 12 kvalitu , jedná se o stejn´ y model o jehoˇz praktiˇcnosti uˇz nepochybujeme. Klasick´ ym pˇr´ıpadem je model normáln´ıho rozdˇelen´ı, ke kterému v minulosti doˇslo nˇekolik matematik˚ u v r˚ uzn´ ych dobách nezávisle na sobˇe a ’ v r˚ uzn´ ych souvislostech. At uˇz zkoumali v´ yˇsku branc˚ u pro královskou armádu nebo polohu nebesk´ ych tˇeles ˇci pohyb molekul, vˇzdy se dostali k témuˇz modelu. Kaˇzd´ y pravdˇepodobnostn´ı model pˇredstavuje urˇcit´ y typ náhodného pokusu, se kter´ ym je spojena sledovaná náhodná veliˇcina a nˇejaké standardn´ı rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti. Tato rozdˇelen´ı zpravidla závis´ı na r˚ uzném poˇctu parametr˚ u. Pochopen´ı tˇechto model˚ u a v´ yznamu jejich parametr˚ u je velmi d˚ uleˇzité pro aplikaci pravdˇepodobnostn´ıch metod v praktick´ ych u ´lohách. Následuj´ıc´ı pˇrehled pravdˇepodobnostn´ıch model˚ u nen´ı zdaleka vyˇcerpávaj´ıc´ı. Uvád´ıme zde pouze ty nejzákladnˇejˇs´ı, nejˇcastˇeji pouˇz´ıvané modely . 11

Jak napsal zakladatel kybernetiky, Norbert Wiener: nejlepˇs´ım modelem koˇcky je ” koˇcka“ a dodal: a nejlépe ta samá“. ” 12 Ve statistice tomu ˇr´ık´ ame statistická pˇrej´ımka“. ”

ˇ Í MODELY 1.3. PRAVDEPODOBNOSTN

1.3.1

29

Diskr´ etn´ı modely

Model diskr´ etn´ıho rovnomˇ ern´ eho rozdˇ elen´ı U (n). Uvaˇzujme náhodn´ y pokus, kter´ y m˚ uˇze skonˇcit koneˇcn´ ym poˇctem n stejnˇe moˇzn´ ych v´ ysledk˚ u Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωn }. Nemáme d˚ uvod domn´ıvat se, ˇze nˇekter´ y v´ ysledek má vˇetˇs´ı nadˇeji nastat neˇz jin´ y. v takovém pˇr´ıpadˇe budou m´ıt vˇsechny stejych v´ ysledk˚ u n je parametrem tonou pravdˇepodobnost p = n1 . Poˇcet moˇzn´ hoto rozdˇelen´ı. V nˇekter´ ych pˇr´ıpadech má smysl definovat náhodnou veliˇcinu X(ωk ) = xk . Potom Pravdˇepodobnostn´ı funkce : pk = P (X P = xk ) = n1 , k = 1, 2, . . . , n n Základn´ı charakteristiky : E(X) = n1 P ¯ (aritmetick´ y pr˚ umˇer) i=1 xi = x V ar(X) = n1 ni=1 x2i − x¯2 Pˇ r´ıklad 1.3.1 Pˇredstavme si deset pˇr´ıstroj˚ u, napˇr´ıklad mobiln´ıch telefon˚ u. Vybereme náhodnˇe jeden z nich. v takovémto pˇr´ıpadˇe m˚ uˇzeme definovat náhodnou veliˇcinu r˚ uzn´ ym zp˚ usobem. Pokud veliˇcina X = [v´ yrobn´ı ˇc´ıslo telefonu], potom zˇrejmˇe nemá smysl poˇc´ıtat stˇredn´ı hodnotu ani rozptyl. Jiná situace je, uvaˇzujeme-li náhodnou veliˇcinu Y = [cena pˇr´ıstroje]. v tomto pˇr´ıpadˇe stˇredn´ı neboli oˇcekávaná hodnota je pr˚ umˇerná cena spoˇctená z cen vˇsech deseti pˇr´ıstroj˚ u. To má sv˚ uj v´ yznm napˇr´ıklad chceme-li dopˇredu (pˇred v´ ybˇerem) znát alespoˇ n orientaˇcnˇe v´ yslednou cenu vybraného pˇr´ıstroje. M˚ uˇzete nam´ıtnout, co je to za náhodnou veliˇcinu, kdyˇz ceny pˇr´ıstroj˚ u jsou pˇredem jednoznaˇcnˇe dané. Nahodilost je zde opˇet tˇreba chápat z hlediska toho, kdo provád´ı experiment: ten dopˇredu nev´ı, kter´ y z pˇr´ıstroj˚ u vybere a jaká bude jeho cena. Stˇredn´ı hodnota nav´ıc vypov´ıdá o cenˇe vybraného pˇr´ıstroje v´ıce v pˇr´ıpadˇe, ˇze se ceny jednotliv´ ych pˇr´ıstroj˚ u pˇr´ıliˇs neliˇs´ı. Jestliˇze se ceny pohybuj´ı od nˇekolika set korun do des´ıtek tis´ıc korun, potom nám zˇrejmˇe stˇredn´ı hodnota mnoho informace nepˇrinese. Proto je tˇreba u ´daj o stˇredn´ı hodnotˇe doplnit u ´dajem o rozptylu nebo alespoˇ n smˇerodatné odchylce. Alternativn´ı model Alt(p). Náhodn´ y pokus v tomto modelu m˚ uˇze skonˇcit pouze dvˇemi v´ ysledky. Nˇekdy se takovému pokusu také ˇr´ıká Bernoulliovský13 . Náhodnou veliˇcinu zde definujeme takto: jednomu v´ ysledku – v tomto modelu jej budeme oznaˇcovat jako u ´spˇech“ – pˇriˇrad´ıme hodnotu X = 1 a ” 13

Podle nejstarˇs´ıho ze savné rodiny ˇsv´ ycarsk´ ych matematik˚ u, Jacoba Bernoulli (27.12.1654 – 16.8.1705).

30


pravdˇepodobnost P (X = 1) = p; druh´ y v´ ysledek – ne´ uspˇech – bude m´ıt ˇc´ıselnou hodnotu 0 a nastane s pravdˇepodobnost´ı P (X = 0) = 1 − p. Hodnota p je parametrem tohoto modelu, kter´ y odpov´ıdá pˇribliˇznˇe pomˇeru poˇctu u ´spˇech˚ u k poˇctu ne´ uspˇech˚ u pˇri velkém poˇctu opakován´ı alternativn´ıho pokusu. Pokud náhodná veliˇcina bude odpov´ıdat tomuto modelu, budeme to vyjádˇrovat struˇcnˇe X ≈ Alt(p). Pravdˇepodobnostn´ı funkce : p0 = P (X = 0) = 1 − p, p1 = P (X = 1) = p Základn´ı charakteristiky : E(X) = 0.(1 − p) + 1.p = p V ar(X) = p − p2 = p.(1 − p) Pˇ r´ıklad 1.3.2 Ochrana parn´ıho turbogenerátoru neodpoj´ı pˇr´ıvod páry a t´ım neodstav´ı turb´ınu v pˇr´ıpadˇe poruchy, spoˇc´ıvaj´ıc´ı v pˇrekroˇcen´ı povolené u ´rovnˇe −4 vibrac´ı rotoru s pravdˇepodobnost´ı p = 7, 6.10 . Jedná se o alternativn´ı model, v nˇemˇz u ´spˇechem“ je nezastaven´ı turbo” generátoru v pˇr´ıpadˇe poruchy. Stˇredn´ı hodnota, parametr p zde ˇr´ıká, ˇze lze oˇcekávat, ˇze pˇri dlouhém provozu za pˇribliˇznˇe stejn´ ych podm´ınek tento pˇr´ıpad nastane pˇribliˇznˇe v jednom z 1316 pˇr´ıpad˚ u poruchy (= p1 ). Pokud by k této poruˇse docházelo v pr˚ umˇeru ˇctyˇrikrát do roka, potom by selhán´ı bezpeˇcnostn´ı funkce ochran selhalo pˇribliˇznˇe jednou za 329 let. Binomick´ y model Bin(n, p). Budeme-li opakovat Bernoulliovské pokusy n-krát nezávisle na sobˇe, bude nás zaj´ımat poˇcet u ´spˇech˚ u“ pˇri tˇechto n ” pokusech. Kdyˇz oznaˇc´ıme v´ ysledky jednotliv´ y ch Bernoulliovsk´ ych pokus˚ u Pn jako Xi ≈ Alt(p), i = 1, . . . , n a poloˇz´ıme Y = i=1 Xi , potom Y pˇredstavuje poˇcet v´ yskyt˚ u jevu {X = 1} v n opakován´ıch. Y m˚ uˇze nab´ yvat hodnot 0, 1, . . . , n. Pravdˇepodobnostn´ı funkce : pk = P (Y = k) = nk pk .(1 − p)(n−k) , k = 0, . . . , n Základn´ı charakteristiky : E(X) = n.p V ar(X) = n.p.(1 − p) Odvozen´ı pravdˇepodobnostn´ı funkce bylo naznaˇceno v P ˇreˇsen´ı pˇ r´ıkladu 1.2.1. Tvar této funkce pˇripom´ıná binomickou vˇetu (p+q)n = nk=0 nk pk .q (n−k) pro libovolná reálná ˇc´ısle p, q a pˇrirozené n. Dosad´ıme-li za q = 1 − p, dostáváme dkaz Pn toho, ˇze {pk } opravdu tvoˇr´ı pravdˇepodobnostn´ı rozdˇelen´ı, neboli ˇze k=0 pk = 1. Binomick´ y model lze také interpretovat jako poˇcet vybran´ ych prvk˚ u s urˇcitou vlastnost´ı pˇri náhodném v´ ybˇeru z celkového poˇctu n prvk˚ u s vracen´ım. N´ ahodn´ ym v´ ybˇ erem rozum´ıme takov´ y v´ ybˇer z koneˇcného souboru prvk˚ u, pˇri kterém má kaˇzd´ y prvek stejnou pravdˇepodobnost b´ yt vybrán (rovnomˇerné rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti v´ ybˇeru).


31

Pˇ r´ıklad 1.3.3 V urnˇe je pˇet b´ılých a tˇri ˇcerné koule14 . Postupnˇe vyb´ıráme tˇri koule s vracen´ım (to znamená, ˇze po kaˇzdém výbˇery kouli vrát´ıme zpˇet do urny). Jaká je pravdˇepodobnost toho, ˇze ve výbˇeru bude nejvýˇse jedna ˇcerná koule? ˇ sen´ı: Kaˇzd´ Reˇ y v´ ybˇer koule pˇredstavuje jeden alternativn´ı pokus s pravdˇepodobnost´ı p = 83 pro vytaˇzen´ı ˇcerné koule. Vzhledem k tomu, ˇze koule vrac´ıme zpˇet, tato pravdˇepodobnost se v pr˚ ubˇehu experimentu (= vytahován´ı tˇr´ı koul´ı) nemˇen´ı. T´ım dostáváme binomick´ y model s n = 3 a p = 83 s mnoˇzinou elementárn´ıch v´ ysledk˚ u Ω = {0, 1, 2, 3} a podle binomického rozdˇelen´ı pravdˇe k (3−k) podobnosti je P (ve v´ ybˇeru budek ˇcern´ ych koul´ı) = P (Y = k) = k3 38 85 , k = 0, . . . , 3. Jev ˇze ve v´ ybˇeru nebude v´ıce neˇz jedna ˇcerná sestává ze dvou elementárn´ıch v´ ysledk˚ u {0, 1}. Proto hledaná pravdˇepodobnost je P (Y = 2 53 0) + P (Y = 1) = 8 + 3 83 58 = 175 256 Geometrick´ y model Geom(p) Provádˇejme Bernoulliovsk´ y pokus se dvˇema moˇzn´ ymi v´ ysledky, které nazveme u ´spˇech a ne´ uspˇech,˙ tak dlouho, dokud ne˙ ’ nastane prvn´ı u ´spˇechNecht pravdˇepodobnost u ´spˇechu je p. Poˇcet nezávisl´ ych opakován´ı pokusu pˇredcházej´ıc´ıch prvn´ımu u ´spˇechu je náhodná veliˇcina X s geometrick´ ym rozdˇ elen´ım. Pravdˇepodobnostn´ı funkce : pk = P (X = k) = (1 − p)k .p, k = 0, . . . , n Základn´ı charakteristiky : E(X) = 1−p p V ar(X) = 1−p p2 V geometrickém modelu lze definovat také veliˇcinu Y jako poˇcet pokus˚ u, potˇrebn´ ych k prvn´ımu u ´spˇechu. Charakteristiky veliˇciny Y je následuj´ıc´ı Pravdˇepodobnostn´ı funkce : pYm = P (Y = m) = (1−p)( m−1).p, m = 1, . . . , n Základn´ı charakteristiky : E(Y ) = p1 V ar(Y ) = 1−p p2 Veliˇcina X se také nˇekdy oznaˇcuje jako diskrétn´ı doba do poruchy“, ” vyjadˇruj´ıc´ı poˇcet zátˇeˇzových cykl˚ u , které zaˇr´ızen´ı vydrˇz´ı, neˇz se porouchá, pˇriˇcemˇz pravˇepodobnost poruchy pˇri kaˇzdém cyklu je stejná a je rovna p. Pˇ r´ıklad 1.3.4 Po elektrickém jistiˇci se poˇzaduje, aby s pravdˇepodobnost´ı 0,98 vydrˇzel v´ıce neˇz 500 sepnut´ı. Jaká m˚ uˇze být maximáln´ı pravdˇepodobnost selhán´ı pˇri jednom sepnut´ı? ˇ sen´ı: Budeme pˇredpokládat, ˇze jednotlivá sepnut´ı jsou nezávislé jevy a Reˇ pravdˇepodobnost selhán´ı se nemˇen´ı v ˇcase. Potom m˚ uˇzeme tuto situaci popsat geometrick´ ym modelem, pˇriˇcemˇz pravdˇepodobnost pˇreˇzit´ı 500 sepnut´ı je 14

... uˇz je to tady!

32


P k rovna P (X ≥ 500) = ∞ zit´ım vlastnosti pravdˇepodobk=501 (1 − p) .p. S vyuˇ nostn´ıho rozdˇelen´ı a vzorce pro ˇcásteˇcn´ y souˇcet geometrické ˇrady dostáváme P500 500 k = (1 − p)500 . Podle P (X ≥ 500) = 1 − p k=0 (1 − p) = 1 − p 1−(1−p) 1−(1−p) zadán´ı má b´ yt (1 − p)500 = 0, 98. Odtud p = 1 − exp ln(0,98) = 4, 0405.10−5 . 500 To znamená, ˇze má-li b´ yt zajiˇstˇena poˇzadovaná spolehlivost, jistiˇc se m˚ uˇze porouchat v pr˚ umˇetu jednou za 25 tis´ıc cykl˚ u, coˇz je pˇribliˇznˇe rovno stˇredn´ı hodnotˇe geometrického rozdˇelen´ı s parametrem p (pˇresnˇe je to 24.749 cykl˚ u). Hypergeometrick´ y model Hyp(N, M, n) Mezi N prvky je M s urˇcitou vlastnost´ı. z tˇechto prvk˚ u provád´ıme náhodn´ y v´ ybˇer n prvk˚ u bez vracen´ı. Náhodná veliˇcina X pˇredstavuj´ıc´ı poˇcet prvk˚ u s urˇcitou vlastnost´ı ve v´ ybˇeru má takzvané hypergeometrick´ e rozdˇ elen´ı: −M (Mk )(Nn−k ) N (n) kde max(0, M + n − N ) ≤ k ≤ min(n, M ). Základn´ı charakteristiky : E(X) = n M N −M )(N −n) V ar(X) = nM (N N 2 (N −1) Je-li N velké a n je oproti nˇemu hodnˇe malé (jedná se o mal´ y v´ ybˇer z velké populace, uvád´ı se: Nn < 0, 1), je hypergeometrické rozloˇzen´ı velmi bl´ızké binomickému (s parametrem p = M ), které se snadnˇeji poˇc´ıtá. N

Pravdˇepodobnostn´ı funkce : pk = P (X = k) =

Ck (M )Cn−k (N −M ) Cn (N )

=

Pˇ r´ıklad 1.3.5 Ve Sportce tipuje sázej´ıc´ı 6 ˇc´ısel ze 49 moˇzných, o ktreých pˇredpokládá, ˇze budou pˇri losován´ı Sportky taˇzena. Výhru v V. poˇrad´ı z´ıská, pokud se mu podaˇr´ı uhodnout libovolná tˇri ˇc´ısla ze ˇsesti taˇzených. Jaká je pravdˇepodobnost výhry v V. poˇrad´ı? ˇ sen´ı: V tomto pˇr´ıkladˇe je N = 49 (poˇcet vˇsech ˇc´ısel), M = 6 (poˇcet Reˇ vyhrávaj´ıc´ıch ˇc´ısel), n = 6 (poˇcet vytaˇzen´ ych ˇc´ısel) a k = 3 (poˇcet vyhrávaˇ j´ıc´ıch ˇc´ısel, která sázej´ıc´ı uhodne). C´ısla nemohou b´ yt taˇzena dvakrát, coˇz odpov´ıdá modelu v´ ybˇeru bez vracen´ı. Slosován´ı Sportky se obvykle provád´ı prostˇrednictv´ım elektromechanického osud´ı, ˇc´ımˇz by mˇela b´ yt zajiˇstˇena náhodnost v´ ybˇeru. Hledanou pravdˇepodobnost lze potom vyjádˇrit pomoc´ı hypergeometrického rozdˇelen´ı: (6)(43) P (V. poˇrad´ı) = 3 49 3 = 0, 0177 (6) ˇ Sance na v´ yhru v V. poˇrad´ı Sportky je tedy necelá dvˇe procenta.


33

Poisson˚ uv model P oiss(λT ). Uvaˇzujme události nastávaj´ıc´ı zcela náhodnˇe v ˇcase (napˇr. poruchy pˇr´ıstroje, pˇr´ıchody telefonn´ıch volán´ı do call-centra, rozpady atom˚ u radioaktivn´ıho prvku apod.). Pˇredpoklad náhodnosti lze matematicky formulovat následovnˇe: Nezávisle na tom, ke kolika událostem doˇslo v ˇcasovém intervalu h0, ti, pravdˇepodobnost toho, ˇze bˇehem krátkého intervalu (t, t + hi, kde h je velmi malé ˇc´ıslo, dojde k právˇe jedné události je dána pˇribliˇznˇe v´ yrazem λh15 . Pravdˇepodobnost toho, ˇze v intervalu (t, t + hi dojde k v´ıce neˇz jedné události povaˇzujeme témˇeˇr za nulovou16 . Za tˇechto pˇredpoklad˚ u uvaˇzujeme náhodnou veliˇcinu NT vyjadˇruj´ıc´ı poˇcet událost´ı za dobu T . Pro NT plat´ı 2

Pravdˇepodobnostn´ı funkce : pk = P (NT = k) = e−λT (λTk!) , k = 0, 1, 2, . . . Základn´ı charakteristiky : E(X) = λT V ar(X) = λ Toto rozdˇelen´ı se naz´ yvá Poissonovo17 , jeho jedin´ y parametr λ lze interpretovat jako pr˚ umˇern´ y poˇcet událost´ı v tomto modelu za jednotku ˇcasu, λT je potom pr˚ umˇern´ y poˇcet událost´ı za dobu T . Velk´ y v´ yznam má Poissonovo rozdˇelen´ı v teorii hromadné obsluhy, kde popisuje takové náhodné jevy jako jsou pˇr´ıchody zákazn´ık˚ u. Poissonovo rozdˇelen´ı b´ yvá oznaˇcováno jako rozdˇelen´ı ˇr´ıdkých jev˚ u, ne’ bot se podle nˇej ˇr´ıd´ı ˇcetnosti jev˚ u, které maj´ı velmi malou pravdˇepodobnost ˇ v´ yskytu. Interpretace parametru T jako ˇcasu nen´ı podstatná. Casto se Poissonovo rozdˇelen´ı pouˇz´ıvá i pto rozdˇelen´ı v´ yskytu zrn nebo ˇcástic v objemu nˇejaké látky ˇci materiálu. Potom T má v´ yznam objemu. Poissonovo rozdˇelen´ı se nˇekdy téˇz pouˇz´ıvá k aproximaci binomického rozdˇelen´ı pro velk´ y poˇcet n pokus˚ u, tzn. n → ∞ a malou pravdˇepodobnost p v´ yskytu sledovaného jevu v jednom pokusu, tzn. p → 0. Potom pokládáme λ = np. Obvykle m˚ uˇzeme binomické rozdˇelen´ı aproximovat Poissonov´ ym 1 tehdy, pokud n > 30 a p ≤ 10 . Pˇ r´ıklad 1.3.6 Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze do autoservisu pˇrijedou a) alespoˇ n dva zákazn´ıci bˇehem pˇeti minut, b) ˇzádný zákazn´ık bˇehem p˚ ul hodiny, jestliˇze ve sledované dobˇe sem pˇrij´ıˇzd´ı pr˚ umˇernˇe ˇctyˇri zákazn´ıci za hodinu? Pˇresnˇeji λh + o(h), kde o(h) je nekoneˇcnˇe malá veliˇcina splˇ nuj´ıc´ı limh→0+ o(h) h =0 . 16 Pˇresnˇeji za rovnu o(h). 17 Podle francouzského matematika, Laplaceova studenta Simeona Denise Poissona (1781-1840), kter´ y se kromˇe teorie pravdˇepodobnosti zab´ yval pˇredevˇs´ım fyzikou (elektˇrinou, magnetismem a optikou). 15

34


ˇ sen´ı: Pokud zákazn´ıci pˇrij´ıˇzdˇej´ı po jednom nezávisle na sobˇe v ˇcase, m˚ Reˇ uˇzeme na tento pˇr´ıklad pouˇz´ıt Poisson˚ uv model. Ze zadán´ı vypl´ yvá, ˇze je λ = 4, 1 v pˇr´ıpadˇe a) T = 12 hodiny, v pˇr´ıpadˇe b) T = 12 hodiny. Tedy 1 a) P (NT ≥ 2) = 1 − P (NT < 2) = 1 − p0 − p1 = 1 − e− 3 (1 + 13 ) = 0, 045, b) P (NT = 0) = 0, 135. Pˇ r´ıklad 1.3.7 Do 10kg tˇesta bylo pˇridáno 1000ks hrozinek. Jeden kus peˇciva se vyrob´ı z 10 dkg tˇesta. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze v jednom kusu vyrobeného peˇciva bude alespoˇ n 10 hrozinek? ˇ sen´ı: Je-li tˇesto s hrozinkami d˚ Reˇ ukladnˇe prom´ıcháno, budou se jednotlivé hrozinky v hmotnostn´ım objemu tˇesta vyskytovat náhodnˇe (rovnomˇernˇe), pˇriˇcemˇz známe pr˚ umˇern´ y poˇcet hrozinek v 1 kg tˇesta - oznaˇcme jej λ a je λ = 100ks. Poˇcet hrozinem v peˇcivu je náhodná veliˇcina a oznaˇcme ji X. K v´ ypoˇctu poˇzadované pravdˇepodobnosti pouˇzijeme Poissonovo rozdˇelen´ı s parametrem λT , kde T = 0, 1 je hmotnost tˇesta potˇrebného k v´ yrobˇe ’ jednoho kusu peˇciva. Odpovˇed na otázku jaká je P (X ≥ 10) dostaneme následuj´ıc´ım v´ ypoˇctem: P k P (X ≥ 10) = 1 − P (X < 10) = 1 − e−10 9k=0 10k! = 0, 5421. Pˇ r´ıklad 1.3.8 Vrat’me se k jistiˇc˚ um z pˇr´ıkladu 1.3.4. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze z 1000 jistiˇc˚ u nesepnou právˇe 3 kusy? ˇ sen´ı: Pouˇzijeme-li binomick´ Reˇ y model (poˇcet u ´spˇech˚ u“ pˇri n nezávisl´ ych ” pokusech), dostáváme P (X = 3) = 1000 (4, 0405.10−5 )3 (1 − 4, 0405.10−5 )997 = 1, 0528.10−5 . 3 Pˇri pouˇzit´ı aproximace Poissonov´ ym rozdˇelen´ım je λ = 0, 040405 a pro náˇs pˇr´ıklad dostáváme o trochu lépe spoˇc´ıtateln´ y“ v´ yraz ” . 4,04053 −0,040405 −6 −5 P (X = 3) = 3! e 10 = 1, 0559.10 .

1.3.2

Spojit´ e pravdˇ epodobnostn´ı modely

Model rovnomˇ ern´ eho rozdˇ elen´ı na intervalu U (a, b). Náhodn´ y pokus spoˇc´ıvá v náhodném v´ ybˇeru jednoho ˇc´ısla z reálného intervalu ha, bi. V tomto pˇr´ıpadˇe nemá smysl hovoˇrit o tom, ˇze kaˇzdé ˇc´ıslo z intervalu ha, bi má stejnou pravdˇepodobnost b´ yt vybráno – to je splnˇeno triviálnˇe pro kaˇzd´ y spojit´ y model (rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti), nebot’ pro kaˇzdou spojitou náhodnou veliˇcinu X a kaˇzdé x ∈ R plat´ı P (X = x) = 0. Rovnomˇernost v tomto modelu znamená to, ˇze vezmeme-li libovoln´ y podinterval Ix (4) = hx, x + 4i, potom


35

pravdˇepodobnost P (X ∈ Ix (4)) bude stejná pro jakékoli x ∈ ha, b − 4i a 4 . bude rovna b−a Hustota pravdˇepodobnosti : f (x) = Distribuˇcn´ı funkce

F (x) =

1 , pro b−a 

 0

x−a  b−a

 Základn´ı charakteristiky :

a ≤ x ≤ b, f (x) = 0 jinde

1

pro x < a, pro a ≤ x ≤ b, pro x > b.

E(X) = a+b 2 2 V ar(X) = (b−a) 12

Jednou z aplikac´ı rovnomˇerného rozdˇelen´ı je vyˇsetˇrován´ı zaokrouhlovac´ıch chyb v numerick´ ych v´ ypoˇctech. Pˇri zaokrouhlen´ı na k desetinn´ ych m´ıst lze chybu povaˇzovat za náhodnou veliˇcinu s rovnomˇern´ ym rozdˇelen´ım na intervalu < −5.10−k−1 , 5.10−k−1 >. Exponenci´ aln´ı model Exp(λ). Uvaˇzujme náhodn´ y v´ yskyt událost´ı v ˇcase. Jak jsme uvedli dˇr´ıve, poˇcet takov´ ychto událost´ı v ˇcase t je náhodná veliˇcina X(t), kterou lze modelovat Poissonov´ ym modelem P oiss(λt), kde λ je pr˚ umˇern´ y poˇcet událost´ı za jednotku ˇcasu. Náhodná veliˇcina Y odpov´ıdaj´ıc´ı dobˇe mezi v´ yskytem událost´ı v takovémto modelu má rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti pro které plat´ı P (Y ≤ t) = 1 − P (Y > t) = 1 − P (X(t) = 0) = 1 − e−λt . Rozdˇelen´ı náhodné veliˇciny Y se naz´ yvá exponenci´ aln´ı rozdˇ elen´ı s parametrem λ. ( 0 pro x < 0, Hustota pravdˇepodobnosti: f (x) = λe−λx pro x ≥ 0, ( 0 pro x < 0, Distribuˇcn´ı funkce F (x) = −λx 1−e pro x ≥ 0, 1 Základn´ı charakteristiky : E(X) = λ V ar(X) = λ12 V tomto modelu je stˇredn´ı doba mezi jednotliv´ ymi událostmi rovna λ1 , v nˇekter´ ych aplikac´ıch se exponenciáln´ı rozdˇelen´ı uvád´ı s parametrem θ = λ1 . Jedná se o stejné rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti, pouze jeho hustota a distribuˇcn´ı funkce jsou zapsány v ponˇekud jiném tvaru: ( 0 pro x < 0, Hustota pravdˇepodobnosti: f (x) = 1 − x e θ pro x ≥ 0, (θ 0 pro x < 0, Distribuˇcn´ı funkce F (x) = − xθ 1−e pro x ≥ 0, Základn´ı charakteristiky : E(X) = θ V ar(X) = θ2

36


Exponenciáln´ı rozdˇelen´ı se pouˇz´ıvá pˇredevˇs´ım v modelech doby mezi událostmi jako jsou napˇr´ıklad poruchy zaˇr´ızen´ı, pˇr´ıchody zákazn´ık˚ u do obsluˇzného systému, poˇzadavky na zpracován´ı náhodného signálu a podobnˇe. Zaj´ımavou vlastnost´ı exponenciáln´ıho rozdˇelen´ı je jeho ztráta pamˇeti“. ” Pˇredstavme si elektronické zaˇr´ızen´ı (napˇr´ıklad s´ıt’ovou kartu v poˇc´ıtaˇci), jehoˇz poruchy pˇricházej´ı náhodnˇe v ˇcase. Kdyˇz je zaˇr´ızen´ı nové, m˚ uˇzeme spoˇc´ıtat napˇr´ıklad pravdˇepodobnost p = P (Y > τ ), ˇze pˇreˇzije dobu τ . Pokud zaˇr´ızen´ı jiˇz pracovalo po nˇejakou (tˇreba i dlouhou) dobu T , pravdˇepodobnost ˇze pˇreˇzije dalˇs´ıch τ jednotek ˇcasu je stejná jako na poˇcátku jeho ˇzivota, tedy p. Zaˇr´ızen´ı si nepamatuje“ jak dlouho uˇz pracuje. To lze vyjádˇrit v následuj´ıc´ım ” tvrzen´ı: Vˇ eta 1.7 Má-li náhodná veliˇcina X exponenciáln´ı rozdˇelen´ı s nˇejakým paramterem λ, potom pro libovolná T ≥ 0, τ > 0 plat´ı P (X > τ ) = P (X > T + τ |X ≥ T ) D˚ ukaz: D˚ ukaz zkuste provést sami jako cviˇcen´ı. Toto tvrzen´ı plat´ı i obrácenˇe: pokud pro náhodnou veliˇcinu X a libovolná T ≥ 0, τ > 0 plat´ı uvedená rovnost, potom se tato veliˇcina ˇr´ıd´ı exponenciáln´ım rozdˇelen´ım s nˇejak´ ym parametrem λ. Vlastnost zapom´ınán´ı“ exponenciáln´ıho rozdˇelen´ı je velice uˇziteˇcná pro ” v´ ypoˇcty, ale v praxi to znamená, ˇze pˇri modelován´ı doby ˇzivota technického zaˇr´ızen´ı nebereme do u ´vahy jeho stárnut´ı“ ˇci opotˇreben´ı. Proto se v ˇradˇe ” aplikac´ı pouˇz´ıvá obecnˇejˇs´ı modelem pro délku ˇzivota technick´ ych zaˇr´ızen´ı, kter´ y se naz´ yvá Weibull˚ uv.

Weibull˚ uv model. Tento model se ˇcasto pouˇz´ıvá jako model délky ˇzivota technického zaˇr´ızen´ı. Náhodná veliˇcina X má Weibullovo rozdˇ elen´ı s parametry θ, β(X ≈ W (θ, β), je-li distribuˇcn´ı funkce rovna Grafy této hustoty pro pevné θ (parametr mˇeˇr´ıtka) a r˚ uzné hodnoty β (parametr tvaru) jsou na obr. 1.9. Vzhledem k rozmanitosti tvaru se ˇcasto uˇz´ıvá jako pˇribliˇzn´ y model v technick´ ych aplikac´ıch. Pro β > 1 modeluje délku ˇzivota zaˇr´ızen´ı, u nˇehoˇz se pravdˇepodobnost poruchy s ˇcasem zvˇetˇsuje, v pˇr´ıpadˇe β < 1 modeluje ˇzivotnost zaˇr´ızen´ı, u nˇehoˇz se pravdˇepodobnost poruchy s ˇcasem zmenˇsuje. Je-li β = 1, dostáváme exponenciáln´ı model, jehoˇz pravdˇepodobnost poruchy nezávis´ı na stáˇr´ı (nemá pamˇet’).


37

Obrázek 1.9: Hustoty Weibullova rozdˇelen´ı pro r˚ uzné hodnoty parametru β.

Hustota pravdˇepodobnosti: f (x) = Distribuˇcn´ı funkce

( 0

F (x) =

pro x < 0, β

βxβ−1 −( xθ ) e θβ

( 0

pro x ≥ 0, pro x < 0,

x β θ

1 − e−( ) pro x ≥ 0, Základn´ı charakteristiky : E(X) = θΓ( β1 + 1) V ar(X) = θ2 Γ β2 + 1 − Γ2 β1 + 1 n-t´ y obecn´ y moment Weibullova rozdˇelen´ı m˚ uˇzeme vyjádˇrit pomoc´ı Gamma 18 funkce : Z ∞ Z n β ∞ β+n−1 −( xθ )β n n n −z n β dx = θ z e dz = θ Γ EX = β x e +1 θ 0 β 0 kde jsme uˇzili substituci z =

x β θ

Uvaˇzujeme-li mnoˇzinu {Xi , i = 1, 2, . . . , n} nezávisl´ ych náhodn´ ych veliˇcin, pak mini {xi } má za urˇcit´ ych podm´ınek pro velká n Weibullovo rozdˇelen´ı. Pˇ r´ıklad 1.3.9 Déka ˇzivota Y obˇeˇzného kola turbiny je dána ˇzivotnost´ı funkˇcnˇe nejslabˇs´ı lopatky. Necht’ ˇzivotnosti jednotlivých lopatek jsou nezávislé náhodné veliˇciny Xi , i = 1, . . . , n, se stejným Weibullovým rozdˇelen´ım s disx β tribuˇcn´ı funkc´ı F (x) = 1 − e(− θ ) , x ≥ 0. Najdˇete rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti veliˇciny Y . R∞ Funkce Γ(x) je definov´ ana jako integrál 0 tx−1 e−t dt. Tento integrál nelze obecnˇe (pro vˇsechna x vyj´ adˇrit koneˇcnou analytickou formul´ı a lze jej poˇc´ıtat pouze rozvojem v ˇradu. Pro Γ(x) plat´ı Γ(x + 1)√= xΓ(x). Specielnˇe pro pˇrirozená n je Γ(n) = (n − 1)!. Dalˇs´ı uˇziteˇcn´ y vztah je Γ( 12 ) = π. 18

38


ˇ sen´ı: Vypoˇcteme distribuˇcn´ı funkci G(y) náhodné doby ˇzivota Y obˇeˇzného Reˇ kola turb´ıny. Zˇrejmˇe je Y = min(X1 , . . . , Xn ) a tedy G(y) = P (Y ≤ y) = P (min(X1 , . . . , Xn ) ≤ y) = 1 − P (min(X1 , . . . Xn ) > y) = 1 − P (

n \

[Xi > y]).

i=1

Minimum z n ˇc´ısel je totiˇz vˇetˇs´ı neˇz y právˇe tehdy, kdyˇz vˇsechna ˇc´ısla maj´ı tuto vlastnost. Dále vyuˇzijeme nezávislost a dostáváme x β

G(y) = 1−Πni=1 P (Xi > y) = 1−Πni=1 (1−F (y)) = 1−(1−F (y))n = 1−e−n( θ ) . Exponent lze zapsat ve tvaru −n

x β θ

= −

x −1 β

β . Vzhledem k jedno-

θn

znaˇcnosti vyjádˇren´ı distribuˇcn´ı funkce daného rozdˇelen´ı ˇcin´ıme závˇer, ˇze 1 rozdˇelen´ı ˇzivotnosti obˇeˇzného kola je tedy opˇet Weibullovo, Y ≈ W (θn− β , β) se stejn´ ym parametrem tvaru jako rozdˇelen´ı ˇzivotnosti lopatek. Norm´ aln´ı model N (µ, σ 2 ). Tento model b´ yvá také oznaˇcován jako model rozdˇelen´ı chyb pˇri mˇeˇren´ı. Model normáln´ıho rozdˇelen´ı má bohatou historii. Postupnˇe byl objevován a opˇet zapom´ınám, aˇz se trvale dostal do poˇred´ı zájmu teorie pravdˇepodobnosti a pˇredevˇs´ım matematické statistiky. Prvn´ı, kdo popsal zvonovou kˇrivku hustoty normáln´ıho rozdˇelen´ı byl A. Moivre19 v roce 1733. K normáln´ımu modelu se dostal zobecnˇen´ım binomického modelu pˇri házen´ı minc´ı. V té dobˇe mu nikdo nevˇenoval zvláˇstn´ı pozornost a kˇrivka i rovnice upadly v zapomenut´ı. Aˇz na pˇrelomu 18. a 19. stolet´ı ji znovu objevili“ Gauss20 a Laplace21 pˇri ” 19

Abraham de Moivre (1667–1754) byl francouzsk´ y matematik ˇzij´ıc´ı vˇetˇs´ı ˇcást svého ˇzivota v Anglii. 20 Carl Friedrich Gauss (1777–1855)byl jeden z nejvˇetˇs´ıch matematik˚ u a fyzik˚ u vˇsech dob. Zab´ yval se teori´ı ˇc´ısel, matematickou anal´ yzou, geometri´ı, geodézi´ı, magnetismem, astronomi´ı, optikou. Nˇekdy b´ yvá oznaˇcován za kn´ıˇzete matematiky“ nebo nejvˇetˇs´ıho ” ” matematika od dob antiky“ – silnˇe ovlivnil vˇetˇsinu oblast´ı svého oboru. 21 Pierre Simon de Laplace (1749–1827) byl francouzsk´ y matematik, fyzik, astronom a politik; ˇclen Francouzské akademie vˇed, královské spoleˇcnosti v Lond´ ynˇe a Komise pro m´ıry a v´ ahy. Laplace je právem povaˇzován za jednoho z nejvˇetˇs´ıch vˇedc˚ u v˚ ubec. Zanechal monument´ aln´ı d´ılo jiˇz sv´ ym rozsahem. Zab´ yval se matematickou anal´ yzou, teori´ı pravdˇepodobnosti, nebeskou mechanikou, teori´ı potenciálu, zavedl pojem Laplaceovy transformace, uˇzil tzv. Laplace˚ uv operátor (v parciáln´ı diferenciáln´ı rovnici pro potenciál silového pole). Je autorem teorie o vzniku sluneˇcn´ı soustavy z rotuj´ıc´ı mlhoviny (KantovaLaplaceova teorie) a mnoha dalˇs´ıch teori´ı a metod s mnoha aplikacemi


39

zkoumán´ı astronomick´ ych mˇeˇren´ı. Byli postaveni pˇred u ´lohu z mnoha mˇeˇren´ı, zat´ıˇzen´ ych chybou, urˇcit hodnotu, která se bude co nejv´ıce bl´ıˇzit skuteˇcnosti. Odtud z´ıskal tento model pˇr´ıvlastek model rozdˇelen´ı chyb mˇeˇren´ı“ a od” pov´ıdaj´ıc´ı kˇrivka hudtoty se nˇekdy téˇz naz´ yvá Gaussova“. Tˇret´ı, kdo tento ” model objevil a zároveˇ n prvn´ı, kdo jej nazval normáln´ım“, byl Quételet22 ” v roce 1835. Normáln´ı kˇrivku dostal v souvislosti s mˇeˇren´ım obvodu prsou 5738 skotsk´ ych voják˚ u a pˇredstavou jakéhosi normáln´ıho“, neboli pr˚ umˇerné” ho jedince. Od té doby si model normáln´ıho rozdˇelen´ı zaˇcal budovat svoji pevnou pozici ve vˇsech oblastech vˇedy.

Obrázek 1.10: Distribuˇcn´ı funkce a hustota normáln´ıho rozdˇelen´ı.

(x−µ)2 √1 exp − , 2σ 2 σ 2π Rx = −∞ f (t)dt, x ∈ R

Hustota pravdˇepodobnosti: f (x) =

x∈R

Distribuˇcn´ı funkce F (x) Základn´ı charakteristiky : E(X) = µ V ar(X) = σ 2 Ponˇekud nepˇr´ıjemné v tomto modelu je to, ˇze distribuˇcn´ı funkci, která je dána v´ yˇse uveden´ ym integrálem, nelze vyjádˇrit koneˇcnou analytickou formul´ı; jej´ı hodnoty se poˇc´ıtaj´ı pomoc´ı distribuˇcn´ı funkce takzvaného normovaného normáln´ıho rozdˇelen´ı (viz dále). V souˇcasné dobˇe to vˇsak nen´ı zásadn´ı omezen´ı, nebot’ ˇrada program˚ u (vˇcetnˇe tabulkového procesoru MS Excel) umˇej´ı distribuˇcn´ı funkci normáln´ıho rozdˇelen´ı spoˇc´ıtat s dostateˇcnou pˇresnost´ı. Parametry normáln´ıho rozdˇelen´ı lze interpretovat jako parametr polohy EY = µ a parametr mˇeˇr´ıtka V arY = σ 2 , vzhledem k symetrii rozdˇelen´ı je µ téˇz mediánem i modem. V´ yznam smˇerodatné odchylky σ je ilustrován obr. 1.11, kde je znázornˇena pravdˇepodobnost toho, ˇze Y se liˇs´ı od stˇredn´ı hodnoty µ v absolutn´ı hodnotˇe o ménˇe neˇz kσ, k = 1, 2, 3. K dalˇs´ımu v´ ykladu potˇrebujeme následuj´ıc´ı tvrzen´ı: 22

Lambert Adolphe Jacques Qételet (1796–1874). Belgick´ y vˇedec, jeden ze zakladatel˚ u Kr´ alovské statistické spoleˇcnosti v Lond´ ynˇe

40


Obrázek 1.11: Vliv parametr˚ u µ a σ normáln´ıho rozdˇelen´ı na tvar kˇrivky. Vˇ eta 1.8 Má-li náhodná veliˇcina X normáln´ı rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti se stˇredn´ı hodnotou µ a rozptylem σ 2 (X ≈ N (µ, σ 2 )), potom pro libovolné konstanty a, b ∈ R, a > 0 má veliˇcina Y = X−b opˇet normáln´ ı se a ı rozdˇelen´ σ 2 σ 2 stˇredn´ı hodnotou µ − b a rozptylem a , neboli pat´ı (Y ≈ N µ − b, a ). D˚ ukaz: D˚ ukaz této vˇety vypl´ yvá z vˇety 1.9 v následuj´ıc´ım odstavci. Náhodná veliˇcina Z má normovan´ e norm´ aln´ı rozdˇ elen´ı, nebo téˇz standardn´ı norm´ aln´ı rozdˇ elen´ı, (Z ≈ N (0, 1)), je-li jej´ı hustota rovna z2

φ(z) = √12π e− 2 , z ∈ R. Pˇr´ısluˇsná distribuˇcn´ı funkce se oznaˇcuje obvykle symbolem Φ a lze ji vyjádˇrit jako Z z t2 1 Φ(z) = e− 2 dt. 2π −∞ Hodnoty této funkce se poˇc´ıtaj´ı rozvojem v ˇradu a integrac´ı ˇclen po ˇclenu, nebo jsou uvedeny v takzvan´ ych Statistick´ ych tabulkách“. ” n-t´ y obecn´ y moment pro liché n = (2k − 1) je vˇzdy nule; tedy je q roven 2 R 2 ∞ 2k − z2 (2k−1) 2k EZ = 0, k ∈ N . Pro n sudé, n = 2k je EZ = π 0 z e dz. Po 2

substituci z2 = t dostaneme23 r Z ∞ 2k−1 2 2k 1 (2t) 2 e−t dt = p Γ(k+ ) = (2k−1)!! = 1.3.5 . . . (2k−1) EZ 2k = π 0 2 (π) 23

Symbol (2k − 1)!! se pouˇz´ıvá k vyjádˇren´ı lichého“ faktoriálu, tedy souˇcinu vˇsech ” lich´ ych ˇc´ısel od 1 do (2k − 1).


41

Toto rozdˇelen´ı se pouˇz´ıvá napˇr´ıklad tehdy, je-li tˇreba porovnat vlastnosti v´ıce náhodn´ ych veliˇcin s r˚ uzn´ ym normáln´ım rozdˇelen´ım. S takzvanou normalizac´ı náhodné veliˇciny jsme se uˇz setkali pˇri definici normovaných moment˚ u v odstavci 1.2. Jestliˇze má náhodná veliˇcina X obecné normáln´ı rozdˇelen´ı . (X ≈ N (µ, σ)), vytvoˇr´ıme normalizovanou náhodnou veliˇcinu Z = X−µ σ Tato veliˇcina má normované normáln´ı rozdˇelen´ı (Z ≈ N (0, 1)). Vztah mezi hustotou f (x) veliˇciny X a hustotou φ(z) veliˇciny Z je následuj´ıc´ı: (x−µ)2 z2 1 1 1 f (x) = √ e− 2σ2 = √ e− 2 = φ(z). σ σ 2π σ 2π

neboli

x−µ 1 . f (x) = φ σ σ Distribuˇcn´ı funkci F (x) veliˇciny X lze vyjádˇrit podobnˇe pomoc´ı Φ(z), nebot’ plat´ı x−µ F (x) = Φ( ). σ To lze snadno ovˇeˇrit, dosad´ıme-li do integrálu pro F (x) substituci x−µ = σ z, dx = σdz. Pˇ r´ıklad 1.3.10 Odhad vzdálenosti je zat´ıˇzen systematickou chybou a = −50 (zkrácen´ı v m) a náhodná chyb Y má normáln´ı rozdˇelen´ı s nulovou stˇredn´ı hodnotou a se smˇerodatnou odchylkou σ = 100m. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze a) odhad pˇrevýˇs´ı skuteˇcnou hodnotu, b) odhad se nebude liˇsit od skuteˇcné hodnoty o v´ıce neˇz 50 m? ˇ sen´ı: Um´ıst´ıme-li skuteˇcnou hodnotu do poˇcátku soustavy souˇradnic, je Reˇ odhadnutá hodnota X souˇctem systematické a náhodné chyby, tedy X = Y + a. Posunut´ım rozdˇelen´ı Y o a dostáváme X ≈ N (−50, 100), oznaˇcme distribuˇcn´ı funkci X jako F (x). v pˇr´ıkladu a) poˇc´ıtáme 50 ) = 0, 309, P (X > 0) = 1 − P (X ≥ 0) = 1 − F (0) = 1 − Φ( 100 v b) jde o P (|X| < 50) = P ([−50 < X] ∩ [X < 50]) = P ([X < 50] − [X < −50]) = F (50) − F (−50) = Φ(1) − Φ(0) = 0, 341.

1.3.3

Funkce n´ ahodn´ e veliˇ ciny

V ˇradˇe pˇr´ıpad˚ u je tˇreba pracovat s náhodnou veliˇcinou, která je vyjádˇrena jako funkce jiné náhodné veliˇciny. Nejjednoduˇsˇs´ım pˇr´ıkladem je normalizovaná náhodná veliˇcina nebo náhodná veliˇcina v pˇr´ıkladu 1.3.10.

42


Vˇ eta 1.9 Mˇejme náhodnou veliˇcinu X s distribuˇcn´ı funkc´ı F (x), x ∈ R. Oznaˇcme Y = aX +b jej´ı lineárn´ı transformaci pro libovolné konstanty a, b ∈ R, a 6= 0. Potom pro distribuˇcn´ı funkci G(y) náhodné veliˇciny Y plat´ı y−b ) pro a > 0, a y−b G(y) = 1 − lim− F ( ) pro a < 0. x→y a G(y) = F (

D˚ ukaz: Pro a > 0 je zˇrejmˇe G(y) = P (Y ≤ y) = P (aX + b ≤ y) = P (X ≤

y−b y−b ) = F( ). a a

Pokud je a < 0, nerovnost se po vynásoben´ı v´ yrazu v pravdˇepodobnosti ˇc´ıslem a obrac´ı a dostáváme G(y) = P (X ≥

y−b y−b y−b ) = 1 − P (X < ) = 1 − lim− F ( ). x→y a a a

Limita v posledn´ım v´ yrazu je d˚ usledkem toho, ˇze distribuˇcn´ı funkce nemus´ı b´ yt spojitá zleva (pro diskrétn´ı rozdˇelen´ı). Je-li F absolutnˇe spojitá s hustotou f (x) potom i G je absolutnˇe spojitá s hustotou g(y) = G0 (y) = 1 f ( y−b ) pro libovolné a. |a| a Dále bud’ Y = h(X) transformace obecnou reálnou funkc´ı h. Pˇri oznaˇcen´ı z vˇety 1.9 je distribuˇcn´ı funkce G(y) = P (Y ≤ y) = P (h(X) ≤ y). Dále specielnˇe pro F (x) diskrétn´ı se skoky pn v bodech xn je G(y) =

X

pn

n:h(xn ≤y)

a pro F (x) absolutnˇe spojitou s hudtotou f (x) Z G(y) = f (x)dx x:h(x)≤y

Pˇ r´ıklad 1.3.11 Rozdˇelen´ı náhodné veliˇciny X je dáno pravdˇepodobnostmi P (X = 0) = 12 , P (X = 1) = 14 , P (X = 2) = 41 . Najdˇete rozdˇelen´ı náhodné veliˇciny Y = (X − 1)2 .


43

ˇ sen´ı: Náhodná veliˇcina Y m˚ Reˇ uˇze nab´ yvat pouze hodnot 0 nebo 1. Jejich pravdˇepodobnosti jsou P (Y = 0) = P (X = 1) = 14 , P (Y = 1) = P (X = 0) + P (X = 2) = 43 . Pˇ r´ıklad 1.3.12 Najdˇete rozdˇelen´ı spojité náhodné veliˇciny Y = |X|, kde X je náhodná veliˇcina symetrická kolem 0. ˇ sen´ı: Symetrie náhodné veliˇciny X kolem bodu 0 znamená, ˇze jej´ı hustota Reˇ f (x) je sudá funkce, tj. f (x) = f (−x) pro vˇsechna x ∈ R. Potom je F (x) = −F (−x) + C a z vlastnost´ı distribuˇcn´ı funkceR plyne, ˇze mus´ı b´ yt C = 1. Pro Y = |X| je potom distribuˇcn´ı funkce G(y) = |x|≤y f (x)dx = F (y)−F (−y) = 2F (y) − 1, y ≥ 0. Je-li funkce h ryze monotonn´ı s derivac´ı h0 , existuje inverzn´ı funkce h−1 a potom je G(y) = P (X ≤ h−1 (y)) = F (h−1 (y)) pro h klesaj´ıc´ı. Derivac´ı podle promˇenné x dostaneme vzorec pro transformovanou hustotu g(y) n´ ahodn´ e veliˇ ciny Y = h(X) g(y) =

f (h−1 (y)) h0 (h−1 (y))

Pˇ r´ıklad 1.3.13 Najdˇete hustotu g(y) náhodné veliˇciny Y = asinΨ kde Ψ je náhodná fáze s rovnomˇerným rozdˇelen´ım U (−π, π). Y je náhodná výchylka harmonického pohybu s konstantn´ı amplitudou a. ˇ sen´ı: Hustota Ψ je f (x) = 1 , −π < x < π, inverzn´ı transformace h−1 (y) = Reˇ 2π arcsin ay , −a < y < a. Ve jmenovateli transformaˇcn´ıho vzorce dostáváme p 1 √ 1 h0 (h−1 (y)) = acosarcsin ay = a2 − y 2 . Odsud g(y) = 2π , −a < y < 2 2 a −y

a. Nejpravdˇepodobnˇejˇs´ı“ jsou v´ ychylky v okol´ı amplitud, kde je hustota ” neomezená funkce. Pˇ r´ıklad 1.3.14 Necht’ Z ≈ N (0, 1). Spoˇctˇete hustotu pravdˇepodobnosti náhodné veliˇciny X = Z 2 . p ˇ sen´ı: Zde je h(z) = z 2 a opaˇcnˇe, h−1 (z) = (z) pro z ≥ 0. Pro transforReˇ movanou hustotu dostáváme h(x) = √

x 1 e− 2 . 2xπ

44


Rozdˇelen´ı náhodné veliˇciny X = Z 2 se naz´ yvá ch´ı-kvadr´ at rozdˇ elen´ı χ2 (1). Toto rozdˇelen´ı se ˇcasto pouˇz´ıvá ve statistice jako rozdˇelen´ı souˇctu n druh´ ych mocnin náhodn´ ych veliˇcin s rozdˇelen´ım N (0, 1). Necht’ X ≈ N (µ, σ). Uvaˇzujme rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti náhodné veliˇciny Y = eX . Transformace v tomto pˇr´ıpadˇe má tvar h(x) = ex , coˇz je spojitá, prostá a diferencovatelná funkce, pro y > 0 je nav´ıc h−1 (y) = lny. Dosazen´ım do pˇredchoz´ıho vzorce tedy dostaneme pro y > 0 g(y) =

(lny−µ)2 1 p e− 2σ2 . yσ (2π)

Pˇr´ıpad, kdy by y ≤ 0 je nemoˇzn´ y (exponenciela má pouze kladné hodnoty) a proto poloˇz´ıme g(y) = 0 pro y < 0. Náhodná veliˇcina Y má logaritmicko-norm´ aln´ı rozdˇ elen´ı LN (µ, σ 2 ). σ2

Základn´ı charakteristiky : E(X) = eµ+ 2 2 2 V ar(X) = e2µ+σ (eσ − 1) Obrácenˇe: má-li náhodná veliˇcina X rozdˇelen´ı LN (µ, σ 2 ), potom náhodná veliˇcina Y = lnX má rozdˇelen´ı N (µ, σ 2 ). Logaritmicko-normáln´ı rozdˇelen´ı se pouˇz´ıvá v teorii spolehlivosti, ve vodohospodáˇrstv´ı pˇri modelován´ı pr˚ utok˚ u vody v ˇrekách, pˇri popisu velikosti ˇca´stic sypk´ ych metriál˚ u a pod. Pro v´ ypoˇcet stˇredn´ı hodnoty funkce náhodné veliˇciny nen´ı tˇreba transformavat p˚ uvodn´ı rozdˇelen´ı. Jednoduˇsˇs´ı je pouˇz´ıt pˇr´ımého vzorce X Eh(X) = h(xj )pj j

pro diskrétn´ı náhodnou veliˇcinu a Z Eh(X) =

h(x)f (x)dx

pro spojité rozdˇelen´ı s hustotou f . Pˇ r´ıklad 1.3.15 Opotˇreben´ı Z náprav ˇzelezniˇcn´ıch vagon˚ u se zvyˇsuje s druhou mocninou zat´ıˇzen´ı X, tedy Z = X 2 . Pˇredpokládejme, ˇze vagon jede po velmi nerovné trati, takˇze zat´ıˇzen´ı kol´ısá s diskrétn´ım rozdˇelen´ım s pravdˇepodobnostmi P (X = 8) = 0, 25, P (X = 25) = 0, 7, P (X = 80) = 0, 05. Vypoˇctˇete stˇredn´ı opotˇreben´ı a porovnejte ho s opotˇreben´ım pˇri konstantn´ım zat´ıˇzen´ı 25.


45

ˇ sen´ı: Uˇzit´ım prvn´ıho vzorce dostáváme EZ = P x2 pj = 773, 5. Pˇri konReˇ j j stantn´ım zat´ıˇzen´ı je opotˇreben´ı 252 = 625, tedy menˇs´ı.

1.3.4

Posunut´ a, podm´ınˇ en´ a a useknut´ a rozdˇ elen´ı

Pˇ r´ıklad 1.3.16 Náhodná veliˇcina Y popisuje dobu potˇrebnou k vykonán´ı urˇcité technologické operace. Ta sestává ze dvou ˇcást´ı: prvn´ı z nich trvá vˇzdy stejnou dobu γ, druhá je náhodná, s exponenciáln´ım rozdˇelen´ım Exp 1θ . Popiˇste rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti veliˇciny Y . ˇ sen´ı: Hustota pravdˇepodobnosti veliˇciny Y je na obrázku 1.12. Tuto funkci Reˇ lze popsat vztahem ( 0 pro y < γ, f (y) = 1 − y−γ e θ pro y ≥ γ. θ Jedná se o takzvané posunut´ e rozdˇ elen´ı. Jeho stˇredn´ı hodnota je posunutá

Obrázek 1.12: Graf hustoty posunutého exponenciáln´ıho rozdˇelen´ı. o γ, tedy EX = θ + γ, zat´ımco rozptyl se posunut´ım nemˇen´ı a je tedy roven V arX = θ2 . Pˇ r´ıklad 1.3.17 Najdˇete hustotu posunutého rozdˇelen´ı ve Weibullovˇe modelu a pro logaritmicko-normáln´ı pravdˇepodobnostn´ı model. ˇ sen´ı: Pro hustotu posunut´ Reˇ eho Weibullova rozdˇ elen´ı do bodu γ dostáváme vztah ( 0 pro y < γ, f (y) = β(y−γ)β−1 − (y−γ) β e ( θ ) pro y ≥ γ, θβ v pˇr´ıpadˇe posunut´ eho logaritmicko-norm´ aln´ıho rozdˇ elen´ı má posunutá hustota tvar  0 pro y < γ, (ln(y−γ)−µ)2 f (x) = 1√ 2σ 2  e− pro y ≥ γ, (y−γ)σ

(2π)

46


Obrázek 1.13: Posunuté Weibullovo (vlevo) a logaritmicko-normáln´ı (napravo) rozdˇelen´ı.

Pˇ r´ıklad 1.3.18 Jeké je rozdˇelen´ı délky ˇzivota Y zaˇr´ızen´ı, kdyˇz v´ıme, ˇze se doˇzilo doby y 0 ? ˇ sen´ı: Hledané rozdˇelen´ı je takzvané podm´ınˇ Reˇ en´ e rozdˇ elen´ı. Oznaˇc´ıme-li hustotu veliˇciny Y jako f (y) a jej´ı distribuˇcn´ı funkci F (y), potom hustota f (y|y 0 ) a distribuˇcn´ı funkce F (y|y 0 ) podm´ınˇeného rozdˇelen´ı Y za podm´ınky Y > y 0 jsou d´ any vztahy ( ( 0 0 pro y < y , 0 pro y < y 0 , 0 f (y|y 0 ) = F (y|y ) = 0 f (y) F (y)−F (y ) pro y ≥ y 0 , pro y ≥ y 0 . 1−F (y 0 ) 1−F (y 0 )

Obrázek 1.14: Hustota (vlevo) a distribuˇcn´ı funkce (napravo) podm´ınˇeného rozdˇelen´ı.

Pˇ r´ıklad 1.3.19 Jaké je rozdˇelen´ı zbývaj´ıc´ı doby ˇzivota zaˇr´ızen´ı, kdyˇz se doˇzilo doby y 0 ? ˇ sen´ı: V tomto pˇr´ıpadˇe se poˇca´tek mˇeˇren´ı ˇcasu posouvá do okamˇziku y 0 , Reˇ od kdy se zb´ yvaj´ıc´ı doba ˇzivota zaˇc´ıná mˇeˇrit. Rozdˇ elen´ı zb´ yvaj´ıc´ı doby


47

ˇ zivota je tedy nˇeco jiného, neˇz podm´ınˇené rozdˇelen´ı z pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu. Hustotu g(y) a distribuˇcn´ı funkci G(y) zb´ yvaj´ıc´ı doby ˇzivota dostaneme posunut´ım podm´ınˇené rozdˇelen´ı do bodu y 0 : ( ( 0 pro y < 0, 0 pro y < 0, G(y) = F (y+y0 )−F (y0 ) g(y) = f (y+y0 ) pro y ≥ 0, pro y ≥ 0. 1−F (y 0 ) 1−F (y 0 ) Pˇ r´ıklad 1.3.20 Automat dávkuje tekutinu, jej´ıˇz objem má být µ0 . v okol´ı µ0 se veliˇcina X, popisuj´ıc´ı objem dávky, chová jako náhodná veliˇcina s normáln´ım rozdˇelen´ım N (µ0 , σ 2 ). Jaké je rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti náhodné veliˇciny X? ˇ sen´ı: Zˇrejmˇe lze pˇredpokládat, ˇze objem dávky X bude vˇzdy pouze nezáporReˇ né ˇc´ıslo, m˚ uˇze b´ yt i nulov´ y. Problém je v tom, ˇze normáln´ı rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti dává kladnou pravdˇepodobnost i záporn´ ym hodnotám, které jsou v tomto pˇr´ıpadˇe nemoˇzné. Je-li µ0 > 3σ, je pravdˇepodobnost jevu {X < 0} prakticky nulová a rozdˇelen´ı X zpravidla povaˇzujeme za normáln´ı s parametry µ0 a σ 2 . Pokud je ale 0 < µ0 < 3σ, potom by mohla b´ yt chyba v pˇredpokladu normáln´ıho rozdˇelen´ı pˇr´ıliˇs velká. Mus´ıme tedy pouˇz´ıt takzvané useknut´ e norm´ aln´ı rozdˇ elen´ı. To je rozdˇelen´ı, jehoˇz hustota má pro x > 0 tvar zvonové kˇrivky normáln´ıho rozdˇelen´ı, pro x ≤ 0 je nulová a pˇresto plocha pod n´ı z˚ ustává rovna 1. Tvar této hustoty a j´ı odpov´ıdaj´ıc´ı distribuˇcn´ı funkci je ( ( 0 pro x < 0, 0 pro x < 0, G(x) = F (x)−F (0) g(x) = f (x) pro x ≥ 0, pro x ≥ 0, 1−F (0) 1−F (0) kde f (x), resp. F (x) je hustota, resp. distribuˇcn´ı funkce rozdˇelen´ı N (µ0 , σ 2 ). Vˇsimnˇete si, ˇze se vlastnˇe jedná o podm´ınˇené normáln´ı rozdˇelen´ı za podm´ınky {X ≥ 0}. Pro stˇredn´ı hodnotu useknutého rozdˇelen´ı potom zˇrejmˇe plat´ı R∞ Z ∞ xf (x)dx EX = xg(x)dx = 0 1 − F (0) −∞ a pro rozptyl 1 V arX = (1 − F (0))2

"Z 0

∞

x2 f (x)dx −

Z

2 #

∞

xf (x)dx 0

48

1.3.5


Rozdˇ elen´ı souˇ ctu nez´ avisl´ ych n´ ahodn´ ych veliˇ cin

Uvaˇzujme dvˇe nezávislé náhodné veliˇciny, X a Y , prvn´ı s distribuˇcn´ı funkc´ı F (x), druhou s distribuˇcn´ı funkc´ı G(y). Bude nás zaj´ımat rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti jejich souˇctu, kter´ ym je opˇet náhodná veliˇcina Z = X +Y . Oznaˇcme distribuˇcn´ı funkci Z jako H(z). V pˇr´ıpadˇe diskrétn´ı náhodné veliˇciny vzhledem k nezávislosti X a Y zˇrejmˇe plat´ı XX H(z) = P (Z ≤ z) = P (X + Y ≤ z) = P (X = x)P (Y = y). x+y≤z

Pro spojité náhodné veliˇciny s hustotami f (x) a g(y) je ZZ

Z

∞

f (x)g(y)dxdy =

H(z) =

Z

−∞

x+y≤z

z−x

f (x) −∞

g(y)dydx = Z ∞ f (x)G(z − x)dx −∞

V´ ysledné rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti se naz´ yvá konvoluc´ı rozdˇelen´ı X a Y . Pˇ r´ıklad 1.3.21 Pˇredpokládejme, ˇze doba obsluhy zákazn´ıka v systému hromadné obsluhy má exponenciáln´ı rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti Exp(λ) a obsluhy jednotlivých zákazn´ık˚ u jsou nezávislé. Jaké je rozdˇelen´ı doby ˇcekán´ı zákazn´ıka, který pˇrijde do systému, v nˇemˇz jsou uˇz dva zákazn´ıci? ˇ sen´ı: Doba ˇcekán´ı pˇr´ıchoz´ıho zákazn´ıka je souˇctem dob obsluhy dvou pˇredReˇ choz´ıch. Tedy hledáme rozdˇelen´ı souˇctu dvou nezávisl´ ych náhodn´ ych veliˇcin s exponenciáln´ım rozdˇelen´ım s parametrem λ. ZZ

2 −λx −λy

H(z) =

λe

e

Z 0

Z

−λx

Z

λe

dxdy =

x+y≤z

z

z−x

λe−λ(z−x) )dydx =

0

z

λe−λx (1 − e−λ(z−x) )dx = 1 − e−λz − λz e−λz

0

Rozdˇelen´ı s touto distribuˇcn´ı funkc´ı se naz´ yvá Erlangovo rozdˇ elen´ı s parametry 1 a λ. Obecnˇe je Erlangovo rozdˇelen´ı Erl(n, λ) modelem souˇctu n nezávisl´ ych náhodn´ ych veliˇcin s exponenciáln´ım rozdˇelen´ım Exp(λ) a jeho charakteristiky jsou ( 0 pro x < 0, Hustota pravdˇepodobnosti: f (x) = n−1 −λx (λx) pro x ≥ 0, λe (n−1)!

ˇ Í MODELY 1.3. PRAVDEPODOBNOSTN ( 0 Distribuˇcn´ı funkce F (x) = Pn−1 1 − e−λx k=0 Základn´ı charakteristiky : E(X) = nλ V ar(X) = λn2

49

(λx)k k!

pro x < 0, pro x ≥ 0,

Pˇ r´ıklad 1.3.22 Najdˇete rozdˇelen´ı souˇctu druhých mocnin nezávislých náhodných veliˇcin, které maj´ı standardn´ı normáln´ı rozdˇelen´ı N (0, 1). ˇ sen´ı: Rozdˇelen´ı náhodné veliˇciny X = Z 2 jsme spoˇcetli uˇz v pˇr´ıkladu Reˇ x 1 e− 2 pro x ≥ 0. Pro posloup1.3.14 kde jsme dostali hustotu h(x) = √2xπ nost {Z1 , Z2 , . . . , Zn } nez´ avisl´ ych náhodn´ ych veliˇcin s rozdˇelen´ım N (0, 1) má P náhodná veliˇcina Xn2 = nk=1 Zk2 rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti ch´ı-kvadr´ at 2 χ (n). Toto rozdˇelen´ı se ˇcasto pouˇz´ıvá v matematické statistice a ve spolehlivosti. Poˇcet sˇc´ıtanc˚ u n je parametr tohoto rozdˇelen´ı (takzvané stupnˇe volnosti). V´ ypoˇcet distribuˇcn´ı funkce a hustoty tohoto rozdˇelen´ı je pomˇernˇe sloˇzit´ y a nebudeme se j´ım zde zab´ yvat. Pro pˇredstavu si uvedeme grafy hustoty a distribuˇcn´ı funkce. Základn´ı charakteristiky rozdˇelen´ı χ2 (n) jsou: E(Xn2 ) = n, V arXn2 = 2n.

Obrázek 1.15: Hustota (vlevo) a distribuˇcn´ı funkce (napravo) rozdˇelen´ı χ2 (k) pro r˚ uzná k.

1.3.6

Momentov´ a vytvoˇ ruj´ıc´ı funkce

Momentov´ a vytvoˇ ruj´ıc´ı funkce MX (t) náhodné veliˇciny X je definována jako stˇredn´ı hodnota MX (t) = EetX , t ∈ R


50

Vˇ eta 1.10 Je-li MX (t) koneˇcná v intervalu < −b, b > pro nˇejaké b > 0, je (n)

EX n = MX (0), n = 0, 1, . . . (

kde MX n) znaˇc´ı n-tou derivaci funkce. Je-li MY (t) = MX (t) pro |t| < b, potom náhodné veliˇciny X a Y maj´ı stejné rozdˇelen´ı. P∞ (tX)k Naznaˇc´ıme d˚ ukaz prvn´ıho tvrzen´ı vˇety. Uˇzit´ım rozvoje etX = k=0 k! P tk−n k EX , v bodˇ e 0 je jedin´ y nepoˇc´ıtáme stˇredn´ı hodnotu EetX = ∞ k=0 (k−n)! n nulov´ y ˇclen této ˇrady pro k = n roven EX . Pˇ r´ıklad 1.3.23 Spoˇctˇete momentovou vytvoˇruj´ıc´ı funkci veliˇciny Y = a + bX, jestliˇze X ≈ N (0, 1). ˇ sen´ı: Je-li MX (t) momentová vytvoˇruj´ıc´ı funkce X, potom Reˇ MY (t) = Ee(a+bX)t = eat EebtX = eat MX (tb). Pro X ≈ N (0, 1) dostáváme 1 MX (t) = √ 2π

Z

i

x2

t2

nf tyetx e− 2 dx = e 2 .

−∞

Z obou z´ıskan´ ych poznatk˚ u plyne, ˇze pro náhodnou veliˇcinu Y ≈ N (µ, σ) je MY (t) = eµt e

σ 2 t2 2

.

Pˇ r´ıklad 1.3.24 Najdˇete obecné momenty náhodné veliˇciny X ≈ U (0, 1). ˇ sen´ı: Momentová vytvoˇruj´ıc´ı funkce rovnomˇernˇe rozdˇelené náhodné veliˇciny Reˇ R1 t X ≈ U (0, 1) nesplˇ nuje pˇredpoklady vˇety 1.10: MX (t) = 0 etx dx = e −1 . t Pˇresto lze naj´ıt momenty X srovnán´ım s ˇradou v d˚ ukazu vˇety 1.10: ∞

∞

et − 1 X tk−1 X tk 1 = = , t k! k! k + 1 k=1 k=0 odsud EX k =

1 k+1

Vˇ eta 1.11 Jsou-li X, Y nezávislé, je momentová vytvoˇruj´ıc´ı funkce souˇctu Z = X + Y rovna souˇcinu momentových vytvoˇruj´ıc´ıch funkc´ı sloˇzek, tj. MZ (t) = MX+Y (t) = MX (t)MY (t)


51

Tato vˇeta umoˇzn ˇuje stanovit rozdˇelen´ı souˇctu nezávisl´ ych náhodn´ ych veliˇcin mnohdy jednoduˇsˇs´ım zp˚ usobem neˇz pomoc´ı hustot pravdˇepodobnosti. Pˇ r´ıklad 1.3.25 Dokaˇzte, ˇze rozdˇelen´ı souˇctu dvou nezávislých náhodných veliˇcin s normáln´ım rozdˇelen´ım je opˇet normáln´ı. ˇ sen´ı: Bud’ X ≈ N (µ1 , σ12 ), Y ≈ N (µ2 , σ22 ) nezávislé. Potom Reˇ MX+Y (t) = MX (t)MY (t) = eµ1 t+

2 t2 σ1 2

eµ2 t+

2 t2 σ2 2

= e(µ1 +µ2 )t+

2 +σ 2 )t2 (σ1 2 2

Podle druhé ˇca´sti vˇety 1.10 (vzájemná jednoznaˇcnost pˇriˇrazen´ı momentové vytvoˇruj´ıc´ı funkce rozdˇelen´ı náhodné veliˇciny) mus´ı m´ıt náhodná veliˇcina Z = X + Y normáln´ı rozdˇelen´ı N (µ1 + µ2 , σ12 + σ22 ). Pˇ r´ıklad 1.3.26 Necht’ náhodné veliˇciny Xi , i = 1, . . . , n jsou nezávislé stejnˇe rozdˇelené s alternativn´ım rozdˇelen´ım s parametrem p. Vˇetu 1.11 lze rozˇs´ıˇrit Pn n na koneˇcný poˇcet sˇc´ıtanc˚ u. Je-li Y = i=1 Xi , je MY (t) = Πi=1 MXi (t). Podle binomického modelu je Y ≈ Bin(n, p) Momentová vytvoˇruj´ıc´ı funkce Xi má tvar Mxi = EeXi t = pet + (1 − p), tedy momentová vytvoˇruj´ıc´ı funkce binomického rozdˇelen´ı je MY (t) = (pet + 1 − p)n Podle vˇety 1.10 lze poˇc´ıtat napˇr. EY = MY0 (0) = n(pe0 +1−p)n−1 p = np. Jsou-li X ≈ Bin(n1 , p), Y ≈ Bin(n2 , p) dvˇe nezávislé náhodné veliˇciny, je MX+Y (t) = (pet + 1 − p)n1 +n2 , tedy rozdˇelen´ı souˇctu je opˇet binomické, X + Y ≈ Bin(n1 + n2 , p). Tento v´ ysledek je zˇrejm´ y z interpretace, pˇridámeli k n1 nezávisl´ ym opakován´ım pokusu se dvˇema v´ ysledky (zdar, nezdar) dalˇs´ıch n2 nezávisl´ ych opakován´ı, je poˇcet v´ yskyt˚ u zdar˚ u v serii délky n1 +n2 roven souˇctu zdar˚ u v obou seri´ıch délky n1 resp. n2 .


52

1.4

N´ ahodn´ y vektor

Zobrazen´ı X : Ω → Rn , jehoˇz jednotlivé sloˇzky Xi , i = 1, 2, . . . , n jsou náhodné veliˇciny, budeme naz´ yvat n´ ahodn´ ym vektorem. Náhodn´ y vektor si tedy lze pˇredstavit jako vektor n´ ahodn´ ych veliˇ cin. v následuj´ıc´ım textu se budeme zab´ yvat pouze pˇr´ıpadem n = 2.

1.4.1

Rozdˇ elen´ı n´ ahodn´ eho vektoru

Sdruˇ zen´ a distribuˇ cn´ı funkce náhodného vektoru (X, Y ) je definována pˇredpisem F (x, y) = P (X ≤ x, Y ≤) a má následuj´ıc´ı vlastnosti: a) 0 ≤ F (x, y) ≤ 1 pro kaˇzdé (x, y) ∈ R2 , b) limx→∞ F (x, y) = 1, y→∞

c) limx→−∞ F (x, y) = limy→−∞ F (x, y) = 0, d) F je zprava spojitá v kaˇzdé promˇenné. Uvaˇzujme náhodn´ y vektor Z = (X, Y ). Jestliˇze X a Y jsou diskrétn´ı náhodné veliˇciny, oznaˇcme {xi } resp. {yj } koneˇcné nebo spoˇcetné posloupnosti vˇsech hodnot X resp. Y . Dále oznaˇcme P (X = xi , Y = yj ) = pij . Potom posloupnost {pij } tvoˇr´ı diskr´ etn´ı sdruˇ zen´ e rozdˇ epodobnosti Pelen´ı pravdˇ náhodného vektoru Z. Mus´ı samozˇrejmˇe platit i,j pij = 1. Sdruˇzená distribuˇcn´ı funkce F (x, y) diskrétn´ıho náhodného vektoru Z se naz´ yvá diskr´ etn´ı a spoˇcteme ji podle vztahu X F (x, y) = pij i:xi ≤x j:yj ≤y

Pˇ r´ıklad 1.4.1 Výrobky jsou produkovány ve tˇrech jakostn´ıch kategori´ıch: tˇr´ıda I s pravdˇepodobnost´ı 0,3, v kategorii II s pravdˇepodobnost´ı 0,5 a v kategorii III s pravdˇepodobnost´ı 0,2. Jaké je rozdˇelen´ı poˇctu výrobk˚ u I. a II. kategorie?

´ ´ VEKTOR 1.4. NAHODN Y

53

ˇ sen´ı: Náhodn´ Reˇ ym pokusem zde je v´ yroba n v´ yrobk˚ u v r˚ uzn´ ych jakostn´ıch kategori´ıch. Sledujeme veliˇciny X=[poˇcet v´ yrobk˚ u I. kategorie] a Y =[poˇcet v´ yrobk˚ u II. kategorie]. Poˇcet v´ yrobk˚ u II. kategorie je potom doplnˇek do celkového poˇctu n vyroben´ ych. Podle klasické definice pravdˇepodobnosti lze odvodit následuj´ıc´ı vztah P (X = k, Y = l) = pkl =

2! (0, 3)k (0, 5)l . k!l!(2 − k − l)!

Obecnˇe, m˚ uˇze-li jeden pokus skonˇcit nˇekter´ ym ze tˇr´ı moˇzn´ ych v´ ysledk˚ u {ω1 , ω2 , ω3 } s pravdˇepodobnostmi p1 , p2 a (1 − p1 − p2 ) a oznaˇc´ıme-li X, Y poˇcty v´ ysledk˚ u {ω1 , ω2 } v n nezávisl´ ych opakován´ıch tohoto pokusu, potom rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti náhodného vektoru (X, Y ) se naz´ yvá multinomick´ e s parametry n, p1 , p2 a plat´ı P (X = k, Y = l) = pkl =

2! pk1 pl2 . k!l!(2 − k − l)!

Tento pˇr´ıklad lze zobecnit pro k moˇzn´ ych v´ ysledk˚ u s pravdˇepodobnostmi pi , i = 1, . . . k. V n nezávisl´ ych opakován´ıch pokusu bud’ Xi poˇcet v´ yskyt˚ u i-tého v´ ysledku. Sdruˇzené rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti náhodného vektoru (X1 , . . . , Xk ) je k-rozmˇ ern´ e multinomick´ e rozdˇ elen´ım definované pˇredpisem n! px1 1 . . . pxkk P (X1 = x1 , . . . Xk = xk ) = x1 !x2 ! . . . xk ! Pk pro xi splˇ nuj´ıc´ı i=1 xi = n. V pˇr´ıpadˇe k = 2 se jedná o binomické rozdˇelen´ı. Diskrétn´ı rozdˇelen´ı náhodného vektoru se ˇcasto vyjadˇruje tabulkou. V´ yznam jednotliv´ ych bunˇek v tabulce takovéhoto rozdˇelen´ı je následuj´ıc´ı: Y

X

x1 .. . xP m

P

y1 p11 .. .

... ... .. .

yn p1n .. .

pX 1 .. .

pm1 pY1

... ...

pmn pYn

pX m 1

Y kde pij = P (X = xi , Y = yj ) a pX i = P (X = xi ), resp. pj = P (Y = yj ).

Pˇ r´ıklad 1.4.2 Podle statistického zkoumán´ı zamˇestnanosti muˇz˚ u a ˇzen v urˇcitém regionu byly z´ıskány tyto výsledku: mezi muˇzi je 12% nezamˇestnaných, mezi ˇzenami je nezamˇestnaných 16%. Sestavte tabulku sdruˇzeného rozdˇelen´ı vektoru (X, Y ), kde X reprezentuje pohlav´ı a Y zamˇestnanost. Pˇredpokládejme, ˇze ve sledovaném regionu tvoˇr´ı ˇcást muˇzské populace 48%.


54

ˇ sen´ı: Necht’ jev {X = 0} znamená, ˇze náhodnˇe vybran´ Reˇ y ˇclovˇek je muˇz, {X = 1} ˇze je ˇzena. Podobnˇe, jev {Y = 0} bude znamenat nezamˇestnanost, jev {Y = 1} zamˇestnanost. Zadané pravdˇepodobnosti lze interpretovat jako P (Y = 0|X = 0) = 0, 12, P (Y = 0|X = 1) = 0, 16 a P (X = 0) = 0, 48. Potom je p00 p01 p10 p11

= = = =

P (Y P (Y P (Y P (Y

= 0|X = 1|X = 0|X = 1|X

= 0).P (X = 0).P (X = 1).P (X = 1).P (X

= 0) = 0, 12.0, 48 = 0, 0576; = 0) = 0, 88.0, 48 = 0, 4224; = 1) = 0, 16.0, 52 = 0, 0832; = 1) = 0, 84.0, 52 = 0, 4368;

Hledaná tabulka má tedy tvar Y

X

P 0 1 0 0,0576 0,4224 0,48 1 0,0832 0,4368 0,52 P 0,1408 0,8592 1

Distribuˇcn´ı funkce F (x, y) se naz´ yvá absolutnˇ e spojit´ a, jestliˇze existuje nezáporná funkce f (x, y) naz´ yvá sdruˇ zen´ a hustota pravdˇ epodobnosti, struˇcnˇe hustota, taková, ˇze Z x Z y F (x, y) = f (u, v)dudv. −∞

−∞

RR

Zˇrejmˇe mus´ı platit f (x, y)dxdy = 1. Vztah mezi spojitou distribuˇcn´ı R2 funkc´ı a jej´ı hustotou lze vyjádˇrit pomoc´ı parciáln´ıch derivac´ı f (x, y) =

∂ 2 F (x, y) ∂x∂y

ˇ ıkáme, ˇze náhodn´ pokud derivace F existuje. R´ y vektor s absolutnˇe spojitou distribuˇcn´ı funkc´ı má spojit´ e rozdˇ elen´ı. Pravdˇepodobnost P (x1 ≤ X ≤ x2 , y1 ≤ Y ≤ y2 ) je pomoc´ı distribuˇcn´ı funkce vyjádˇrena jako F (x2 , y2 ) − F (x1 , y2 ) − F (x2 , y1 ) + F (x1 , y1 ) pro kaˇzdé x1 ≤ x2 , y1 ≤ y2 . Ve spojitém pˇr´ıpadˇe je Z x2 Z y2 P (x1 < X ≤ x2 , y1 < Y ≤ y2 ) = f (x, y)dxdy. x1

y1

Obr.III.1: Graf hustoty dvourozmˇerného rozdˇelen´ı, pravdˇepodobnost P (x1 < X < x2 , y1 < Y < y2 ).


55

Pˇ r´ıklad 1.4.3 Na obr. ?? je graf hustoty f (x, y) = dvourozmˇerného normáln´ıho rozdˇelen´ı.

1 −x e 2π

2 +y 2 2

, (x, y) ∈ R2

Graf spojité hustoty (X, Y ) tvoˇr´ı plochu v R3 . Tento model m˚ uˇze slouˇzit napˇr. jako rozdˇelen´ı náhodné chyby odhadu velikosti dvourozmˇerného objektu. V grafu je znázornˇena pravdˇepodobnost P (x1 ≤ X ≤ x2 , y1 ≤ Y ≤ y2 ), kterou lze interpretovat jako objem tˇelesa shora ohraniˇceného plochou hustoty nad obdélnikovou podstavou hx1 , x2 ) × hy1 , y2 ). Necht’ F (x, y) je sdruˇzená distribuˇcn´ı funkce náhodného vektoru (X, Y ). Potom margin´ aln´ı distribuˇ cn´ı funkc´ı jeho sloˇzky X nazveme distribuˇcn´ı funkci F X (x) = P (X ≤ x) = lim F (x, y) y→∞

a podobnˇe F Y (y) = P (Y ≤ y) = limx→∞ F (x, y) Margin´ aln´ı rozdˇ elen´ı je tedy obyˇcejné rozdˇelen´ı náhodné veliˇciny. V pˇr´ıpadˇe nutnosti rozliˇsen´ı se uˇz´ıvá pˇr´ıvlastek sdruˇzené rozdˇelen´ı (pravdˇepodobnost, hustota) pro náhodn´ y vektor a margináln´ı rozdˇelen´ı (pravdˇepodobnost, hustota) pro jeho sloˇzky. Jinak je moˇzné tento pˇr´ıvlastek vynechat. Je-li F diskrétn´ı, jsou margin´ aln´ı pravdˇ epodobnosti rovny X X P (X = xi ) = pX pij , P (Y = yj ) = pYj = pij , i = j

i

v tabulce pˇr´ıkadu 1.4.2 jsou um´ıstˇeny na doln´ım resp. pravém okraji (angl. margin). U náhodného vektoru se spojit´ ym rozdˇelen´ım je margin´ aln´ı hustota fX (x) resp. fY (y) sloˇzky X resp. Y rovna Z ∞ Z ∞ X Y f (x, y)dy, f (y) = f (x, y)dx. f (x) = −∞

−∞

Pˇ r´ıklad 1.4.4 Uvaˇzujme náhodný vektor X, Y s rovnomˇerným rozdˇelen´ım pravdˇepodobnosti nad jednotkovým kruhem. Spoˇctˇete margináln´ı rozdˇelen´ı jeho sloˇzek. ˇ sen´ı: Náhodn´ Reˇ y vektor (X, Y ) nab´ yvá hodnot z jednotkového kruhu K = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1}, tedy bude se zˇrejmˇe jednat o spojit´ y náhodn´ y vektor. Rovnomˇerné rozdˇelen´ı v tomto RR pˇr´ıpadˇe znamenáRRkonstantn´ı hustotu f (x, y) = c, takovou, ˇze mus´ı platit K f (x, y)dxdy = K cdxdy = cπ = 1.


56

Odtud dostáváme f (x, y) = c = π1 pro vˇsechna (x, y) ∈ K a f (x, y) = 0 jinde. Margináln´ı hustotu pro X dostaneme integrac´ı Z √1−x2 Z ∞ 2√ 1 f (x, y)dy = √ dy = 1 − x2 , x ∈ h−1, 1i f X (x) = π −∞ − 1−x2 π Podobnˇe je i f Y (y) =

Z

Z √1−y2

∞

f (x, y)dx = −∞

√

−

1−y 2

1 2p dx = 1 − y 2 , y ∈ h−1, 1i. π π

Pˇ r´ıklad 1.4.5 Najdˇete margináln´ı rozdˇelen´ı sloˇzek náhodného vektoru s dvourozmˇerným normáln´ım rozdˇelen´ım z pˇr´ıkladu 1.4.3. 2 2 R R ˇ sen´ı: V tomto pˇr´ıpadˇe lze psát f X (x) = ∞ f (x, y)dy = 1 e− x2 ∞ e− y2 dy. Reˇ 2π −∞ −∞ √ R∞ y2 Protoˇze je −∞ e− 2 dy = 2π, dostáváme pro sdruˇzenou hustotu z 1.4.3 x2

y2

margináln´ı hustotu f X (x) = √12π e− 2 , x ∈ R a obdobnˇe f Y (y) = √12π e− 2 , y ∈ R. Margináln´ı rozdˇelen´ı obou sloˇzek je tedy opˇet normáln´ı N (0, 1).

1.4.2

Nez´ avislost n´ ahodn´ ych veliˇ cin

ˇ ıkáme, ˇze náhodné veliˇciny X, Y jsou stochasticky nez´ R´ avisl´ e, jestliˇze jsou jevy {X ≤ x}, {Y ≤ y} stochasticky nezávislé pro kaˇzdé (x, y) ∈ R2 . Stochastická nezávislost sloˇzek náhodného vektoru (X, Y ) je ekvivalentn´ı s kaˇzdou z následuj´ıc´ıch vlastnost´ı: a) Pro kaˇzdé (x, y) ∈ R2 lze sdruˇzenou distribuˇcn´ı funkci F (x, y) vyjádˇrit jako souˇcin margináln´ıch distribuˇcn´ıch funkc´ı F X (x) a F Y (y), tedy plat´ı F (x, y) = F X (x)F Y (y). b) Pro diskrétn´ı rozdˇelen´ı plat´ı pro kaˇzdé i, j Y pij = pX i pj .

c) Pro kaˇzdé (x, y) ∈ R2 lze sdruˇzenou hustotu f (x, y) vyjádˇrit jako souˇcin margináln´ıch hustot f X (x) a f Y (y), tedy plat´ı f (x, y) = f X (x)f Y (y).


57

Pˇ r´ıklad 1.4.6 Existuje stochastická závislost mezi pohlav´ım a zamˇestnanost´ı v pˇr´ıkladu 1.4.2? ˇ sen´ı: Náhodné veliˇciny v pˇr´ıkladu 1.4.2 nejsou nezávislé, nebot’ napˇr. Reˇ Y pX 0 p0 = 0, 48.0, 1408 = 0, 067584 6= 0, 0576 = p00 . Pˇ r´ıklad 1.4.7 Jsou sloˇzky vektoru (X, Y ) v pˇr´ıkladu 1.4.4 stochasticky závislé? ˇ sen´ı: Z v´ Reˇ ypoˇctu margináln´ıch hustot v pˇr´ıkladu 1.4.4 je na prvn´ı pohled vidˇet, ˇze jejich souˇcin nem˚ uˇze b´ yt roven konstantn´ı funkci, kterou je sdruˇzená hustota. Tedy sloˇzky X a Y tohoto vektoru jsou stochasticky závislé. Nakonec tohot odstavce si uvedeme jeˇstˇe jedno uˇziteˇcné tvrzen´ı: Vˇ eta 1.12 Jsou-l´ı náhodné veliˇciny X, Y stochasticky nezávislé a g, h jsou spojité reálné funkce, potom téˇz g(X), h(Y ) jsou stochasticky nezávislé náhodné veliˇciny.

1.4.3

Charakteristiky n´ ahodn´ eho vektoru

Stˇ redn´ı hodnota n´ ahodn´ eho vektoru E(X, Y ) je definována jako vektor stˇ redn´ıch hodnot (EX, EY ) jeho sloˇzek. Tyto stˇredn´ı hodnoty spoˇcteme bud’ pomoc´ı sdruˇzeného rozdˇelen´ı v diskrétn´ım pˇr´ıpadˇe XX X X X EX = xi pij = xi pij = xi p X i , i

EY

=

j

XX i

yj pij =

j

i

j

i

X

X

X

yj

j

i

pij =

yj pYj .

j

V´ yrazy napravo odpov´ıdaj´ı v´ ypoˇctu stˇredn´ı hodnoty jednorozmˇerné veliˇciny X, resp. Y s rozdˇelen´ım {pX }, resp. {pYj }. i Ve spojitém pˇr´ıpadˇe maj´ı tyto rovnosti tvar ZZ Z Z Z EX = xf (x, y)dxdy = x f (x, y)dydx = xf X (x)dx, 2 Z ZR ZR Z R ZR EY = yf (x, y)dxdy = y f (x, y)dxdy = yf Y (y)dy. R2

R

R

R

Kovariance cov(X, Y ) náhodn´ ych veliˇcin X, Y je definována jako cov(X, Y ) = E(X − EX)(Y − EY ) = EXY − EXEY


58

Ve v´ yrazu se objevuje takzvan´ y sm´ıˇsený moment EXY , kter´ y je v diskrétn´ım pˇr´ıpadˇe roven XX EXY = xi yj pij , i

j

ve spojitém pˇr´ıpadˇe ZZ xyf (x, y)dxdy.

EXY = R2

Vˇsimnˇete si, ˇze pokud jsou veliˇciny X a Y stochasticky nezávislé, potom je EXY =

XX i

Y xi y j p X i pj =

j

X

xi p X i

i

X

yj pYj = EX.EY,

j

ve spojitém pˇr´ıpadˇe Z Z ZZ X X Y xf (x)dx yf Y (y)dy = EX.EY. xyf (x)f (y)dxdy = EXY = R2

R

R

Potom je cov(X, Y ) = EXY − EXEY = EXEY − EXEY = 0. Tedy plat´ı tvrzen´ı: pokud jsou X a Y stochasticky nezávislé náhodné veliˇciny, potom je jejich kovariance vˇzdy rovna nule. Toto tvrzen´ı neplat´ı opaˇcnˇe, jak je ukázáno v následuj´ıc´ım pˇr´ıkladu. Pˇ r´ıklad 1.4.8 Spoˇctˇete kovarianci sloˇzek X a Y náhodného vektoru z pˇr´ıkladu 1.4.4. ˇ sen´ı: Reˇ EX = EY EXY

1 π

Z Z xdxdy = K

1

Z √1−y2 √

xdxdy = 0,

− 1−y 2 √ Z 1−x2 1

−1

Z 1 ydxdy = ydydx = 0, π −1 −√1−x2 K Z Z Z Z √1−x2 1 1 1 = xydxdy = x ydydx = 0, π π −1 −√1−x2 K 1 = π

Z Z

1 π

Z

nebot’ ve vˇsech pˇr´ıpadech jsou v integrandu liché funkce a integruje se pˇres symetrickou oblast. Tedy cov(X, Y ) = 0.


59

Pro tent´ yˇz vektor jsme ukázali v pˇr´ıkladu 1.4.7 ˇze jeho sloˇzky jsou stochasticky závislé a pˇresto je jejich kovariance nulová. Kovarianˇ cn´ı matice náhodného vektoru (X, Y ) má tvar V ar(X) cov(X, Y ) D= cov(X, Y ) V ar(Y ) Na diagonále má tedy rozptyly sloˇzek, mimo diagonálu jejich kovarianci. Korelaˇ cn´ı koeficient ρ(X, Y ) náhodn´ ych veliˇcin X a Y je roven cov(X, Y ) ρ(X, Y ) = p V ar(X)V ar(Y ) Je-li ρ(X, Y ) = 0, potom se náhodné veliˇciny naz´ yvaj´ı nekorelovan´ e. Vˇ eta 1.13 Plat´ı −1 ≤ ρ(X, Y ) ≤ 1. Dále ρ(X, Y ) = ±1 právˇe tehdy, kdyˇz pro nˇejaké a, b reálné konstanty, b 6= 0, plat´ı s pravdˇepodobnost´ı 1 rovnost Y = a + bX, pˇritom znaménko ρ(X, Y ) se shoduje se znaménkem b. Vˇ eta 1.14 Jsou-li náhodné veliˇciny X, Y stochasticky nezávislé, potom je ρ(X, Y ) = 0. Naopak, je-li ρ(X, Y ) 6= 0, potom jsou X a Y stochasticky závislé. Pokud je ρ(X, Y ) = 0, veliˇciny X, Y jsou pouze nekorelované, to znamená ˇze mezi nimi nen´ı lineárn´ı závislost, ale mohou b´ yt stochasticky závislé (jak je ukázáno v pˇr´ıkladu 1.4.8. Korelaˇcn´ı koeficient se pouˇz´ıvá v experimentáln´ım v´ yzkumu k vyjádˇren´ı m´ıry lineárn´ı závislosti mezi dvˇema náhodn´ ymi veliˇcinami. Pˇ r´ıklad 1.4.9 Necht’ X ≈ Exp(1), Y = X 2 . Vypoˇctˇete kovarianˇcn´ı matici a korelaˇcn´ı koeficient ρ(X, Y ). ˇ sen´ı: Uˇzit´ım vzorce pro obecné momenty exponenciáln´ıho rozdˇelen´ı pro Reˇ λ = 1 je EX = 1, EX 2 = 2 = EY, EY 2 = EX 4 = 24, tedy V arX = 1, V arY = 20. Pro v´ ypoˇcet EXY si staˇc´ı uvˇedomit, ˇze EXY = EX 3 = 6, tedy kovariance cov(X, Y ) = 4. Kovarianˇcn´ı matice je tedy 1 4 D= 4 20

60


a ρ(X, Y ) = √25 . Mezi X a Y je funkcionáln´ı závislost, tj. hodnoty jedné sloˇzky náhodného vektoru urˇcuj´ı druhou sloˇzku (v praxi ˇr´ıdk´ y pˇr´ıpad). Ko’ relaˇcn´ı koeficient je kladn´ y, nebot s rostouc´ım X roste Y , ale nedosahuje hodnoty 1, protoˇze závislost nen´ı lineárn´ı. Náhodn´ y vektor (X, Y ) má dvourozmˇ ern´ e norm´ aln´ı rozdˇ elen´ı s vektorem stˇredn´ıch hodnot (µ1 , µ2 ) a kovarianˇcn´ı matic´ı σ12 σ12 , σ12 σ22

D= jestliˇze jeho hustota f (x, y) má tvar

1 − 1 2 p f (x, y) = e 2(1−ρ ) 2 2πσ1 σ2 (1 − ρ )

„

(x−µ1 )2 (x−µ1 )(y−µ2 ) (y−µ2 )2 −2ρ + 2 2 σ1 σ2 σ1 σ2

«

(x, y) ∈ R2 , kde ρ = σσ112σ2 je korelaˇcn´ı koeficient sloˇzek. Pro |ρ| = 1, kdy X a Y jsou lineárnˇe závislé, nen´ı hustota definována. Hustotu dvourozmˇerného normáln´ıho rozdˇelen´ı lze rozloˇzit na souˇcin jednorozmˇern´ ych (margináln´ıch) hustot právˇe tehdy, kdyˇz ρ = 0, jak je vidˇet z tvaru exponentu. Lze vyslovit následuj´ıc´ı tvrzen´ı: Vˇ eta 1.15 Necht’ rozdˇelen´ı pravdˇepodobnsti náhodného vektoru (X, Y ) je dvourozmˇerné normáln´ı. Potom sloˇzky X a Y jsou stochasticky nezávislé právˇe tehdy, je-li jejich korelaˇcn´ı koeficient ρ(X, Y ) roven nule.

Pˇ r´ıklad 1.4.10 Napiˇste hustotu náhodného vektoru (X, Y ) s dvourozmˇerným normáln´ım rozdˇelen´ım, je-li (µ1 , µ2 ) = (26, −12) a D= ˇ sen´ı: Je ρ = Reˇ

σ12 σ1 σ2

196 −91 −91 169

√ = −0, 5, 1 − ρ =

−2 1 √ e 3 f (x, y) = 182π 3

„

√

3 2

tedy

(x−26)2 (x−26)(y+12) (y+12)2 + + 169 196 182

«


1.4.4

61

Funkce n´ ahodn´ eho vektoru

Uvaˇzujme lineárn´ı funkci h(X, Y ) = aX + bY, a, b jsou reálné konstanty, X, Y náhodné veliˇciny. Pro stˇredn´ı hodnotu Eh(X, Y ) je zˇrejmˇe (z linearity) E(aX + bY ) = aEX + bEY . Dále pro rozptyl lze odvodit V ar(aX + bY ) = E(aX + bY )2 − (aEX + bEY )2 = a2 E(X − EX)2 + b2 E(Y − EY )2 + 2abE(X − EX)(Y − EY ) = a2 V arX + b2 V arY + 2ab.cov(X, Y ) Specielnˇe, jsou-li X, Y nekorelované, tj. cov(X, Y ) = 0, potom V ar(aX + bY ) = a2 V arX + b2 V arY . Pˇ r´ıklad 1.4.11 Chcete investovat 10000 Kˇc a rozhodujete se mezi akciemi a krátkodobými vkladovými certifikáty. Návratnosti z obou zdroj˚ u jsou náhodné veliˇciny s diskrétn´ım rozdˇelen´ım pravdˇepodobnost´ı výnos˚ u. Znaˇc´ı-li X resp. Y procentn´ı výnos z akci´ı resp. certifikát˚ u, je P(X = -5, Y = 8) = 0,1 P(X = 5, Y = 8) = 0,3

P(X = 5, Y = 5) = 0,3 P(X = 15, Y = 5) = 0,3

a) Najdˇete stˇredn´ı výnos µ a smˇerodatnou odchylku σ, (riziko) pro rozloˇzen´ı investic mezi akcie a certifikáty v pomˇeru 100:0, 50:50, 0:100. b) Najdˇete optimáln´ı portfolio vzhledem k stˇredn´ımu výnosu resp. vzhledem k m´ıˇre rizika. ˇ sen´ı: V´ Reˇ ynos Z je dán vzorcem√Z = aX + bY , kde a + b = 100 (1% z 10000). Hodnoty µ = EZ a σ = V arZ plynou ze v´ yˇse uveden´ ych vzorc˚ u, kam dosad´ıme po v´ ypoˇctech EX = 7, EY = 6, 2, V arX = 36, V arY = 2, 16, cov(X, Y ) = −5, 4. a) Pro pomˇer a : b = 100 : 0 je µ = 700, σ = 600 pro 50 : 50 je µ = 660, σ = 216, 5 pro 0 : 100 koneˇcnˇe µ = 620, σ = 147. b) Protoˇze EX > EY , nab´ yvá EZ zˇrejmˇe maxima pro a = 100, b = 0. Optimalizace vzhledem k m´ıˇre rizika pˇredstavuje v´ ypoˇcet vázaného extrému V arZ jako funkce a, b. Z Lagrangeovy funkce L(a, b, λ) = a2 V arX + b2 V arY + 2ab.cov(X, Y ) + λ(a + b − 100) odeˇcten´ım rovnic ∂L = 2aV arX + 2b.cov(X, Y ) + λ = 0, ∂L = 2bV arY + 2a.cov(X, Y ) + ∂a ∂b λ = 0 dostáváme pod´ıl V arY − cov(X, Y ) a = = 0, 1826 b V arX − cov(X, Y )

62


Z podm´ınky a + b = 100 tomu odpov´ıdá pomˇer a : b = 15, 44 : 84, 56 (optimáln´ı vzhledem k riziku), pro nˇejˇz µ = 632, 4, σ = 99, 6. Ukázalo se, ˇze nelze doc´ılit souˇcasnˇe vysokého v´ ynosu (velké µ) a n´ızkého rizika (malé σ), coˇz bylo patrné jiˇz z v´ ypoˇct˚ u v a). Uvaˇzme obecnou funkci h(x, y) dvou promˇenn´ ych a náhodn´ y vektor (X, Y ). Potom Z = h(X, Y ) je náhodná veliˇcina, pro jej´ıˇz distribuˇcn´ı funkci FZ plat´ı: FZ (z) = P (h(X, Y ) ≤ z) coˇz je v diskrétn´ım pˇr´ıpadˇe rovno X

FZ (z) =

pij

h(xi ,yj )≤z

a pro spojité rozdˇelen´ı (X, Y ) s hustotou f (x, y) ZZ FZ (z) = f (x, y)dxdy. h(x,y)≤z

Pˇ r´ıklad 1.4.12 Náhodná veliˇcina Z = 50X+50Y z III.4.2 má diskrétn´ı distribuˇcn´ı funkci FZ (z) danou následuj´ıc´ımi pravdˇepodobnostmi: P (Z = 150) = 0, 1, P (Z = 500) = 0, 3, P (Z = 650) = 0, 3, P (Z = 1000) = 0, 3. Pro v´ ypoˇcet stˇredn´ı hodnoty funkce náhodného vektoru nen´ı tˇreba poˇc´ıtat transformované sdruˇzené rozdˇelen´ı. Stˇredn´ı hodnotu lze poˇc´ıtat pˇr´ımo podle vztah˚ u XX Eh(X, Y ) = h(xi , yj )pij i

j

pro diskrétn´ı rozdˇelen´ı a Z Z

2

Eh(X, Y ) =

h(x, y)f (x, y)dxdy R

pro spojité rozdˇelen´ı. Pˇ r´ıklad 1.4.13 Pˇri mˇeˇren´ı dvou rozmˇer˚ u souˇcástky má chyba (X, Y ) dvourozmˇerné normáln´ı rozdˇelen´ı s nezávislými sloˇzkami, nulovým vektorem stˇredn´ıch hodnot a stejnými rozptyly σ12 = σ22 = σ 2 , tedy s hustotou f (x, y) =

1 − x2 +y2 2 e 2σ , (x, y) ∈ R2 2πσ 2

Vypoˇctˇete stˇredn´ √ ı hodnotu a rozptyl celkové velikosti chyby dané náhodnou veliˇcinou Z = X 2 + Y 2 .


63

i ˇ sen´ı: Poˇc´ıtáme i-t´ Reˇ y obecn´ y moment Z: je Z i = (X 2 + Y 2 ) 2 , tedy Z Z 2 x2 +y 2 1 i 2 2 2i 2σ 2 dxdy. EZ = (x + y ) e 2πσ 2 R

Substituc´ı x = rcosβ, y = rsinβ, jej´ıˇz Jakobián je r, dostáváme Z 2π Z ∞ r2 1 i i+1 − 2σ 2 EZ = dβ r e dr 2πσ 2 0 0 2

r a s pouˇzit´ım dalˇs´ı substituce t = 2σ 2 Z ∞ √ i i i i i EZ = σ (2t) 2 e−t dt = σ 2 Γ( + 1). 2 0 √ Odsud specielnˇe plyne EZ = σ 2Γ( 32 ) = 1, 253σ. Pomoc´ı druhého obecného momentu EZ 2 = 2σ 2 Γ(2) je rozptyl V arZ = EZ 2 − (EZ)2 = 0, 429σ 2 .

64

1.5


Limitn´ı vˇ ety teorie pravdˇ epodobnosti

Limitn´ı vˇety teorie pravdˇepodobnosti se zab´ yvaj´ı chován´ım posloupnosti náhodn´ ych veliˇcin. Náhodné veliˇciny X1 , . . . Xn jsou nezávislé, jsou-li jevy {X1 ≤ x1 }, . . . , {Xn ≤ xn } nezávislé pro kaˇzdé (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn . V dalˇs´ım textu budeme ˇcasto mluvit o posloupnosti nezávisl´ ych, stejnˇe rozdˇelen´ ych 24 náhodn´ ych veliˇcin Náhodné veliˇciny X1 , X2 , . . . tvoˇr´ı posloupnost nez´ avisl´ ych, stejnˇ e rozdˇ elen´ ych náhodn´ ych veliˇcin, jsou-li pro kaˇzdé n ∈ N veliˇciny X1 , . . . , Xn nezávislé a maj´ı vˇsechny tutéˇz distribuˇcn´ı funkci F (x).

1.5.1

Z´ akon velk´ ych ˇ c´ısel

Vˇ eta 1.16 (Bernoulliho z´ akon velk´ ych ˇ c´ısel) Necht’ {Xi }∞ i=1 je posloupnost nezávislých stejnˇe rozdˇelen´ Pyn ch náhodných veliˇcin s alternativn´ım rozdˇelen´ım Alt(p). Poloˇzme Sn = i=1 Xi . Potom pro kaˇzdé > 0 je lim P (|

n→∞

Sn − p| > ) = 0. n

D˚ ukaz: Pro kaˇzdé n je Sn ≈ Bin(n, p), ESn = np, V arSn = np(1 − p). Odtud ˇ E Snn = p, V ar Snn = p(1−p) . Podle Cebyˇ sevovy nerovnosti (vˇeta 1.6) je n P (|

Sn p(1 − p) − p| > ) ≤ n n2

pˇri n → ∞ konverguje v´ yraz na pravé stranˇe k nule pro kaˇzdé pevné > 0. V´ yraz Snn v pˇredchoz´ı vˇetˇe je pomˇerná ˇcetnost jevu A = {Xi = 1} v n opakován´ıch pokusu, je to náhodná veliˇcina, nebot’ v r˚ uzn´ ych seri´ıch opakován´ı nab´ yvá r˚ uzn´ ych hodnot. Setkali jsme se s n´ı jiˇz v u ´vodn´ı kapitole. Sn Zákon velk´ ych ˇc´ısel potvrzuje, ˇze pro n → ∞ veliˇcina n konverguje ke konstantˇe – k pravdˇepodobnosti jevu A. Pojem konvergence posloupnosti n´ ahodn´ ych veliˇ cin lze definovat r˚ uzn´ ym zp˚ usobem, ve vˇetˇe 1.16 jde o konvergenci v pravdˇ epodobnosti. Následuj´ıc´ı vˇeta ˇr´ıká (bez pˇredpokladu o koneˇcnosti rozptylu), ˇze aritmetick´ y pr˚ umˇer konverguje ke stˇredn´ı hodnotˇe. ’ To je zobecnˇen´ı vˇety 1.16, nebot pomˇerná ˇcetnost je pr˚ umˇerem alternativn´ıch veliˇcin a pravdˇepodobnost jevu A jejich stˇredn´ı hodnotou. Tak jsou potvrzeny u ´vahy, které jsme pouˇz´ıvali k ˇcetnostn´ı interpretaci pravdˇepodobnosti. 24

V literatuˇre se m˚ uˇzete setkat se zkratkou iid z anglického independent and identically ” distributed“

ˇ ˇ 1.5. LIMITNÍ VETY TEORIE PRAVDEPODOBNOSTI

65

Vˇ eta 1.17 Necht’ {Xi } je posloupnost nezávislých stejnˇe rozdˇelených náhodných veliˇcin se stˇredn´ı hodnotou a. Potom pro kaˇzdé > 0 je ! n 1 X Xi − a > = 0. lim P n→∞ n i=1

Pˇredchoz´ı vˇetu lze aplikovat k v´ ypoˇctu urˇcitého integrálu metodou Monte Carlo , tj. s pouˇ z it´ ım poˇ c ´ ıtaˇ c ov´ y ch simulac´ı pseudonáhodn´ ych ˇc´ısel. Pro Rb v´ ypoˇcet a g(x)dx, kde g je reálná funkce jedné promˇenné, necht’ {Xi } je posloupnost nezávisl´ ych stejnˇe rozdˇelen´ ych náhodn´ ych veliˇcin s rovnomˇern´ ym 1 pro a ≤ x ≤ b a f (x) = 0 rozdˇelen´ım U (a, b), tj. s hustotou f (x) = b−a R Rb 1 jinde. Plat´ı Eg(Xi ) = R g(x)f (x)dx = b−a g(x)dx, podle vˇety 1.17 je pro a kaˇzdé > 0 ! Z b n b − a X lim P g(Xi ) − g(x)dx > = 0 n→∞ n a i=1

Tento v´ yraz ukazuje, ˇze hledan´ y integrál lze aproximovat uveden´ ym souˇctem a vede k následuj´ıc´ımu algoritmu: 1) proved’me n opakován´ı simulace pseudonáhodného ˇc´ısla Yi ≈ U (0, 1), 2) spoˇcteme Xi = (b − a)Yi + a, Xi ≈ U (a, b), i = 1, . . . , n, Rb Pn 3) potom a g(x)dx ≈ b−a i=1 g(xi ). n Pˇresnost metody Monte Carlo pˇri v´ ypoˇctu jednoduchého integrálu nen´ı vyˇsˇs´ı neˇz u bˇeˇzn´ ych numerick´ ych metod. V´ıce se v praxi uplatˇ nuje pˇri v´ ypoˇctu sloˇzit´ ych v´ıcenásobn´ ych integrál˚ u.

1.5.2

Centr´ aln´ı limitn´ı vˇ eta

Centráln´ı limitn´ı vˇety v teorii pravdˇepodobnosti podtrhuj´ı v´ ysadn´ı postaven´ı normáln´ıho rozdˇelen´ı jako limitn´ıho pro souˇcty ˇci pr˚ umˇery náhodn´ ych veliˇcin s obecn´ ym v´ ychoz´ım rozdˇelen´ım. Tˇechto vˇet je celá ˇrada a nejjednoduˇsˇs´ı z nich, takzvaná Moivreova vˇeta pˇrináˇs´ı moˇznost aproximovat binomické rozdˇelen´ı normáln´ım. Vˇ eta 1.18 Za pˇredpoklad˚ u vˇety ?? poloˇzme Sn − np Zn = p . np(1 − p) Potom limn→∞ P (Zn ≤ x) = Φ(x), x ∈ R.

66


Jin´ ymi slovy, distribuˇcn´ı funkce normovan´ ych souˇct˚ u Zn (normován´ım náhodné veliˇciny rozum´ıme odeˇcten´ı stˇredn´ı hodnoty a vydˇelen´ı smˇerodatnou odchylkou) konverguje k distribuˇcn´ı funkci Φ normovaného normáln´ıho rozdˇelen´ı N (0, 1). Pˇ r´ıklad 1.5.1 Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze mezi n = 20000 nezávislými výrobky bude v´ıc neˇz 100 vadných, je-li pravdˇepodobnost výroby vadného p = 0, 004? ˇ sen´ı: Poˇcet zmetk˚ Reˇ u Sn ≈ Bin(n, p). M´ısto v´ ypoˇctu pravdˇepodobnosti binomického rozdˇelen´ı vyuˇzijeme normáln´ı aproximaci. Pˇri oznaˇcen´ı z vˇety 1.18 je ! 100 − np = P (Zn > 2, 24) P (Sn > 100) = P Zn > p np(1 − p) a tato pravdˇepodobnost je pˇribliˇznˇe rovna 1 − Φ(2, 24) = 0, 0125. Poznamenejme, ˇze pˇresnost tohoto pˇribliˇzného nahrazen´ı je pomˇernˇe velká. Pˇ r´ıklad 1.5.2 Letecká spoleˇcnost provozuje linku, na které se pr˚ umˇernˇe 5 procent cestuj´ıc´ıch nedostav´ı k letu. I kdyˇz je vˇsech 67 m´ıst rezervováno, letadlo ˇcasto létá s prázdnými m´ısty. Spoleˇcnost tedy plánuje, ˇze bude pˇrij´ımat rezervaci od n = 69 cestuj´ıc´ıch. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze nebude m´ısto pro vˇsechny cestuj´ıc´ı s rezervac´ı, kteˇr´ı se k letu dostav´ı? ˇ sen´ı: Cestuj´ıc´ı se dostav´ı k letu nezávisle na sobˇe s pravdˇepodobnost´ı Reˇ p = 0, 95. Celkov´ y poˇcet pˇr´ıchoz´ıch Sn ≈ Bin(n, p). Pˇresn´ y v´ ypoˇcet dává 69 68 P (Sn > 67) = P (Sn = 69) + P (Sn = 68) = 0, 95 + 69.0, 95 0, 05 = 0, 1344. Protoˇze n nen´ı pˇr´ıliˇs vysoké, je pˇri pouˇzit´ı normáln´ı aproximace tˇreba provést korekci pro nahrazen´ı diskr´ etn´ıho rozdˇ elen´ı spojit´ ym. Protoˇze Sn je diskrétn´ı celoˇc´ıselná veliˇcina, jsou zˇrejmˇe jevy {Sn > 67} a {Sn ≥ 68} totoˇzné, tedy i jejich pravdˇepodobnosti by mˇely b´ yt stejné. Jenˇze pˇri pouˇzit´ı aproximace bez korekce by bylo P (Sn > 67) = P (Zn > 0, 801) ≈ 0, 2118 a souˇcasnˇe P (Sn ≥ 68) = P (Zn ≥ 1, 353) ≈ 0, 0885. Proto vol´ıme kompromis, spoˇc´ıvaj´ıc´ı v tom, ˇze nam´ısto dvou jev˚ u {Sn > 67} a {Sn ≥ 68} budeme uvaˇzovat jev {Sn ≥ 67, 5}, pro kter´ y je P (Sn ≥ 67, 5) = P (Zn ≥ 1, 077) ≈ 1 − Φ(1, 077) = 0, 141, coˇz se jiˇz málo liˇs´ı od pˇresné hodnoty 0, 1344. Nyn´ı uvád´ıme obecnˇejˇs´ı verzi centráln´ı limitn´ı vˇety. Vˇ eta 1.19 Necht’ {Xi } je posloupnost nezávislých stejnˇe rozdˇelených náhodn´ ych veliˇcin s koneˇcnou stˇredn´ı hodnotou µ a rozptylem σ 2 . Poloˇzme Sn = P n S√ n −ESn = Sn√−nµ . Potom pro x ∈ R je i=1 Xi , Zn = DSn σ

(n)

lim P (Zn ≤ x) = Φ(x).

n→∞

ˇ ˇ 1.5. LIMITNÍ VETY TEORIE PRAVDEPODOBNOSTI

67

Tato vˇeta ˇr´ıká, ˇze distribuˇcn´ı funkce normovan´ ych souˇct˚ u konverguje k distribuˇcn´ı funkci N (0, 1) rozdˇelen´ı dokonce i pro libovolné v´ ychoz´ı rozdˇelen´ı s koneˇcnou stˇredn´ı hodnotou a rozptylem. R1√ Pˇ r´ıklad 1.5.3 Pˇri výpoˇctu integrálu J = 0 xdx metodou Monte Carlo s n = 10000 urˇcete pravdˇepodobnost, ˇze chyba výsledku bude menˇs´ı neˇz 10−3 . ˇ sen´ı: Pˇri odhadu chyby potˇrebujeme skuteˇcnou hodnotu J = 2 . Necht’ Reˇ 3 √ 2 1 Xi ≈ U (0, 1), i = 1, . . . , n, jsou nez´ a visl´ e . Je E X = J = , EX i i = 2, 3 √ 1 metodou Monte Carlo tvar tedy V ar i = 18 . Podle IV.1.5 m´ √ Pn X√ Pan odhad 1 J ≈ X . Oznaˇ c me S = X , n i potom ESn = nJ, DSn = i=1 Pn n √ i=1 n i ripraveni pouˇz´ıt vˇetu IV.2.4: i=1 D Xi = 18 . Jsme pˇ Sn −3 P − J < 10 =P n

! √ Sn − nJ p < 10−3 18n = P (|Zn | < 0, 424) n 18

≈ 2Φ(0, 424) − 1 = 0, 328 Pravdˇepodobnost, ˇze odhad se bude liˇsit na tˇret´ım desetinném m´ıstˇe, je znaˇcná. Pˇ r´ıklad 1.5.4 Kolikrát je tˇreba zmˇeˇrit fyzikáln´ı veliˇcinu jej´ıˇz pˇresná hodnota je m, abychom mohli s pravdˇepodobnost´ı 0, 96 tvrdit, ˇze pr˚ umˇer tˇechto mˇeˇren´ı se liˇs´ı od m o ménˇe neˇz 2? Je známo, ˇze smˇerodatná odchylka mˇeˇric´ı metody je σ = 4. ˇ sen´ı: Pˇresná hodnota m pˇredstavuje stˇredn´ı hodnotu mˇeˇren´ı Xi , i = 1, . . . , Reˇ P n, DXi = σ 2 = 16. Pro Sn = ni=1 je ESn = nm, DSn = 16n, pouˇzit´ım vˇety IV.2.4 dostáváme √ √ Sn − nm Sn n n √ < ≈ 2Φ − 1. P − m < 2 = P n 2 2 4 n ´ Posledn´ı v´ yraz má b´ yt roven alespoˇ n 0, 96. Upravou této nerovnosti je √ √ n n ≥ 1, 96 a tedy ≥ Φ−1 (0, 96) = 2, 055, 2Φ 2 2 tedy poˇcet mˇeˇren´ı mus´ı b´ yt alespoˇ n 17. Pˇr´ıklad pˇredstavuje u ´lohu plánován´ı experimentu na základˇe poˇzadavk˚ u na pˇresnost.

68


Kapitola 2 Z´ aklady matematick´ e statistiky

69

70

2.1

´ ´ STATISTIKY KAPITOLA 2. ZAKLADY MATEMATICKE

Statistick´ a indukce, n´ ahodn´ y v´ ybˇ er

(Upozornˇen´ı: tento text jeˇstˇe nebyl upraven do koneˇcné podoby. Proto zde chybˇej´ı nˇekteré obrázky a objevuj´ı se zde odkazy na odstavce, které nejsou oznaˇceny odpov´ıdaj´ıc´ım zp˚ usobem. Tyto nedostatky budou postupnˇe odstraˇ novány. Do té doby pros´ım o trpˇelivost a omlouvám se za zt´ıˇzené ˇcten´ı. GDo)

2.1.1

´ Uloha statistick´ e indukce

ˇ sen´ı vˇetˇsiny praktick´ Reˇ ych problém˚ u v kaˇzdodenn´ım ˇzivot je zaloˇzeno na dostupn´ ych informac´ıch o chován´ı reálného svˇeta. Tyto informace z´ıskáváme pozorován´ım nebo mˇeˇren´ım. Pˇritom nás zaj´ımaj´ı nejen kvantitativn´ı znaky, jako je napˇr´ıklad hmotnost, napˇet´ı, rychlost, ale i znaky kvalitativn´ı, napˇr´ıklad druh v´ yrobn´ı technologie, kvalitu, zp˚ usob reakce a dalˇs´ı. Pˇri z´ıskáván´ı tˇechto informac´ı ovˇsem naráˇz´ıme na ˇradu problém˚ u. Nejsme napˇr´ıklad schopni zmˇeˇrit spolehlivost celé produkce záˇrivek, pokud tuto spolehlivost vyjadˇrujeme v hodinách ˇzivotnosti. Podobnˇe nelze zmˇeˇrit kvalitu vˇsech dodávan´ ych komponent, jejichˇz denn´ı spotˇreba je nˇekolik tis´ıc a kontrola kvality je ˇcasovˇe ˇci finanˇcnˇe nároˇcná. Dokonce ˇradu veliˇcin, které v mnoha pˇr´ıpadech mˇeˇr´ıme zcela bˇeˇznˇe a bez problém˚ u, jako napˇr´ıklad hmotnost, nejsme s rostouc´ım nárokem na pˇresnost schopni pˇresnˇe“ zmˇeˇrit. Pˇri mˇeˇren´ı totiˇz obvykle nelze ” absolutnˇe vylouˇcit dalˇs´ı p˚ usob´ıc´ı vlivy, nepˇresnosti pˇr´ıstroj˚ u, vliv prostˇred´ı. Pokusy o maximáln´ı vylouˇcen´ı tˇechto vnˇejˇs´ıch“ vliv˚ u b´ yvaj´ı ˇcasto velmi ” nákladné a ne vˇzdy u ´spˇeˇsné. Pˇresto vˇsak mˇeˇren´ı sledovan´ ych veliˇcin a znak˚ u tvoˇr´ı základn´ı u ´lohu, bez n´ıˇz se neobejdeme a na jej´ımˇz v´ ysledku závis´ı naˇse dalˇs´ı závˇery, rozhodován´ı a ˇcinnost. Zde pˇricház´ı ke slovu matematick´ a statistika a jej´ı silná zbraˇ n - statistick´ a indukce, jejiˇz princip se pokus´ıme v následuj´ıc´ım textu vyloˇzit. Statistick´ a indukce je induktivn´ı zp˚ usob usuzován´ı, pˇri kterém ˇcin´ıme závˇery o náhodném chován´ı a vlastnostech celku - z´ akladn´ıho souboru - na základˇe pozorován´ı jeho ˇca´sti - v´ ybˇ eru. Chován´ı náhodné veliˇciny, jakou je napˇr´ıklad hmotnost v´ ylisku, lze popsat jej´ım rozdˇelen´ım pravdˇepodobnosti. Abychom je poznali, museli bychom znát pravdˇepodobnosti vˇsech hodnot, které m˚ uˇze tato veliˇcina teoreticky nab´ yvat. My vˇsak m˚ uˇzeme v koneˇcném ˇcase prostˇrednictv´ım mˇeˇren´ı pozorovat pouze koneˇcn´ y poˇcet hodnot z této nekoneˇcné mnoˇziny. Podobnˇe pˇri mˇeˇren´ı ˇzivotnosti záˇrivek, které prob´ıhá tak, ˇze mˇeˇr´ıme dobu, po kterou záˇrivka sv´ıt´ı aˇz do jej´ıho zniˇcen´ı. V tomto pˇr´ıpadˇe provedeme v´ ybˇer z celkové produkce a na nˇem zmˇeˇr´ıme sledovanou veliˇcinu. Pˇredpokládáme, ˇze ostatn´ı záˇrivky, které byly vyrobeny za pˇribliˇzne stejn´ ych podm´ınek, budou m´ıt i pˇribliˇznˇe stejnou ˇzivotnost.

´ INDUKCE, NAHODN ´ ´ VYB ´ ER ˇ 2.1. STATISTICKA Y

71

Z pˇredchoz´ıch pˇr´ıklad˚ u je zˇrejmé, ˇze statistickou indukci lze aplikovat pouze na náhodné jevy (veliˇciny), které maj´ı statistickou povahu. Rozum´ıme t´ım moˇznost neomezeného nezávislého opakován´ı jevu za stejn´ ych“ ” podm´ınek. Posloupnost n mˇeˇren´ı, která jsou na sobˇe nezávislá a prob´ıhaj´ı pokud moˇzno za stejn´ ych podm´ınek, m˚ uˇzeme interpretovat jako realizace n nezávisl´ ych, stejnˇe rozdˇelen´ ych náhodn´ ych veliˇcin X1 , X2 , . . . , Xn . Maj´ı-li vˇsechny tyto veliˇciny pravdˇepodobnostn´ı rozdˇelen´ı s distribuˇcn´ı funkc´ı F (x), ˇrekneme, ˇze se jedná o n´ ahodn´ y v´ ybˇ er X = {X1 , X2 , . . . , Xn } o rozsahu n z pravdˇepodobnostn´ıho rozdˇelen´ı F (x). Takto proveden´ y v´ ybˇer povaˇzujeme za reprezentativn´ı. Pod pojmem výbˇer budeme nadále rozumˇet náhodn´ y v´ ybˇer. V´ ysledky statistické indukce, a tedy vˇsechny statistické metody, jsou zaloˇzeny na namˇeˇren´ ych hodnotách, na datech. Na jejich kvalitˇe“ pˇr´ımo ” závis´ı i kvalita naˇsich závˇer˚ u, to znamená co nejvˇernˇejˇs´ı popis reálné situace. Data jsou náˇs v´ ychoz´ı materiál“ a je zˇrejmé, ˇze ze ˇspatn´ ych“ dat nelze ” ” vyrobit“ dobré závˇery, podobnˇe jako ze ˇspatného materiálu nelze sebelepˇs´ım ” obrábˇen´ım vyrobit kvalitn´ı v´ yrobek. Nejˇcastˇejˇs´ı poˇzadavky kladené na v´ ybˇer jsou nez´ avislost a reprezentativnost v´ ybˇeru.

2.1.2

N´ ahodn´ y v´ ybˇ er

Kvalita dat je – kromˇe pˇresnosti – urˇcena pˇredevˇs´ım zp˚ usobem v´ ybˇeru. Zp˚ usoby z´ıskáván´ı dat ze základn´ıho souboru se zab´ yvá ˇca´st statistiky, naz´ yˇ vaná v´ ybˇ erov´ aˇ setˇ ren´ı (viz napˇr. [Ce]). Zde se zkoumaj´ı vlastnosti r˚ uzn´ ych zp˚ usob˚ u v´ ybˇeru. Nejˇcastˇeji provád´ıme náhodn´ y v´ ybˇer tak, aby kaˇzd´ y prvek základn´ıho souboru mˇel stejnou pravdˇepodobnost, ˇze bude vybrán, a aby kaˇzd´ y prvek byl vybrán nezávisle na ostatn´ıch vybran´ ych prvc´ıch. V praxi se realizuj´ı i jiné zp˚ usoby v´ ybˇeru. Napˇr´ıklad tzv. z´ amˇ ern´ y v´ ybˇ er, pˇri kterém vyb´ıráme zámˇernˇe prvky, o nichˇz pˇredpokládáme, ˇze jsou pro dan´ y soubor typick´ ymi. Provád´ıme jej tehdy, máme-li o základn´ım souboru dostatek informac´ı. Dalˇs´ım zp˚ usobem je oblastn´ı v´ ybˇ er. Ten spoˇc´ıvá v tom, ˇze základn´ı soubor nejprve rozdˇel´ıme do skupin (oblast´ı) a v kaˇzdé z nich potom provád´ıme náhodn´ y v´ ybˇer. V tomto pˇr´ıpadˇe je tˇreba m´ıt kriterium pro rozdˇelen´ı do oblast´ı (napˇr. regionáln´ı pˇr´ısluˇsnost, v´ yrobn´ı rezort apod.). Systematick´ y v´ ybˇ er je zp˚ usob, pˇri nˇemˇz vyb´ıráme prvky základn´ıho souboru podle pˇredem zvoleného kriteria, nesouvisej´ıc´ıho s vyˇsetˇrovan´ ymi znaky (napˇr´ıklad vyb´ıráme kaˇzdou desátou vyrobenou souˇcástku). V praxi se vˇenuje velká pozornost takzvanému pl´ anov´ an´ı experimentu, pˇri kterém se - kromˇe jiného - stanov´ı i zp˚ usob organizace mˇeˇren´ı, poˇrad´ı atd (podrobnˇeji viz [Li]).


72

2.1.3

ˇ Cetnosti, empirick´ e rozdˇ elen´ı

Jak v´ıme jiˇz z prvn´ı ˇca´sti tˇechto skript, vlastnosti náhodn´ ych veliˇcin lze odvozovat za pˇredpokladu znalosti jejich rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti. Pˇri pozorován´ı reáln´ ych proces˚ u zpravidla teoretické rozdˇelen´ı neznáme a k dispozici máme jen ˇc´ıselné hodnoty x1 , x2 , . . . , xn , které dostaneme pozorován´ım (mˇeˇren´ım) náhodného v´ ybˇeru X = X1 , X2 , . . . , Xn z tohoto rozdˇelen´ı. Namˇeˇrené hodnoty x1 , x2 , . . . , xn budeme naz´ yvat pozorov´ an´ı nebo vstupn´ı data. Naˇs´ı snahou obvykle b´ yvá z´ıskat pˇredstavu o rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti sledované náhodné veliˇciny X. K tomu pouˇz´ıváme empirick´ e rozdˇ elen´ı, z´ıskané na základˇe pozorován´ı náhodného v´ ybˇeru X. Pˇredpokládejme, ˇze vstupn´ı data x1 , x2 , . . . , xn leˇz´ı vˇsechna v intervalu ha, bi. Rozdˇelme tento interval body a = a0 < a1 < a2 < · · · < ak = b na k disjunktn´ıch podinterval˚ u (ai−1 , ai i, i = 1, 2, . . . , k, kter´ ym budeme ˇr´ıkat tˇ r´ıdn´ı intervaly nebo jen tˇ r´ıdy. Poˇcet pozorován´ı xj , splˇ nuj´ıc´ıch nerovnost ai−1 < xj ≤ ai , nazveme absolutn´ı ˇ cetnost´ı nebo jen ˇ cetnost´ı tˇr´ıdy i a budeme ji znaˇcit ni . Poˇcet vˇsech pozorován´ı náhodného v´ ybˇeru n nazveme rozsahem v´ ybˇ eru. Pomˇ ern´ e, nebo téˇz relativn´ı ˇ cetnosti fi = nni potom lze povaˇzovat za odhad empirick´ eho rozdˇ elen´ı pravdˇepodobnosti jevu, ˇze hodnota sledované náhodné veliˇciny bude v i-tém intervalu. Tento postup lze pouˇz´ıt jak pro diskrétn´ı náhodné veliˇciny, tak i pro spojité (metrické) náhodné veliˇciny. V pˇr´ıpadˇe, ˇze náhodná veliˇcina m˚ uˇze nab´ yvat pouze koneˇcného a malého poˇctu hodnot, nen´ı tˇreba vytváˇret tˇr´ıdn´ı intervaly. V takovém pˇr´ıpadˇe poˇc´ıtáme pˇr´ımo ˇcetnosti v´ yskytu jednotliv´ ych hodnot náhodné veliˇciny v naˇsem v´ ybˇeru. Kromˇe ˇcetnost´ı pracujeme i s takzvan´ ymi kumulativn´ımi ˇcetnostmi. Absolutn´ı kumulativn´ı ˇ cetnost N Pi itˇr´ıdy i je rovna poˇctu pozorován´ı xj , pro která a ≤ xj ≤ ai , tedy je Ni = r=1 nr . Podobnˇe pomˇ ern´ a kumulativn´ı P uˇze slouˇzit jako hrub´ y odhad ˇ cetnost je dána vztahem Fi = ir=1 fr a m˚ empirické distribuˇcn´ı funkce. Pˇ r´ıklad 2.1.1 Uvaˇzujme náhodný výbˇer, pˇri kterém byly namˇeˇreny následuj´ıc´ı hodnoty hmotnosti 40 výlisk˚ u (v gramech): 1114 1119 1122 1109

1105 1135 1124 1120

1121 1128 1112 1128

1120 1122 1102 1132

1118 1116 1121 1117

1132 1108 1135 1118

1121 1111 1123 1122

1115 1118 1128 1108

1128 1118 1116 1125

1110 1119 1131 1119

Sestavte ˇcetnostn´ı tabulku. ˇ sen´ı: Vytvoˇr´ıme-li tˇr´ıdy po 6 gramech, dostaneme následuj´ıc´ı tabulku: Reˇ


tˇr´ıdn´ı interval levá mez stˇred pravá mez 1101 1103,5 1106 1107 1109,5 1112 1113 1115,5 1118 1119 1121,5 1124 1125 1127,5 1130 1131 1133,5 1136 souˇcet

73

prosté ˇcetnosti kumulativn´ı ˇcetnosti absolutn´ı pomˇerná absolutn´ı pomˇerná 2 0.050 2 0.050 6 0.150 8 0.200 9 0.225 17 0.425 13 0.325 30 0.750 5 0.125 35 0.875 5 0.125 40 1.000 40 1.000 – –

Pro grafické zobrazen´ı ˇcetnost´ı pouˇz´ıváme nejˇcastˇeji sloupkov´ y graf, takzvan´ y histogram. Kaˇzd´ y sloupek odpov´ıdá jedné tˇr´ıdˇe (tˇr´ıdn´ımu intervalu) a v´ yˇska sloupk˚ u odpov´ıdá ˇcetnosti. Dalˇs´ım, ˇcasto pouˇz´ıvan´ ym grafem pro pomˇerné (relativn´ı) ˇcetnosti je kruhov´ y graf (nebo téˇz koláˇcov´ y graf). ˇ Cetnosti lze samozˇrejmˇe zobrazit i v jin´ ych typech graf˚ u. Na levém obrázku vid´ıte histogram absolutn´ıch ˇcetnost´ı, na pravém je graf pomˇern´ ych kumulativn´ıch ˇcetnost´ı: V pˇr´ıpadˇe ˇcetnostn´ı anal´ yzy je d˚ uleˇzitá volba poˇctu tˇr´ıdn´ıch interval˚ u. Pˇr´ıliˇs mal´ y poˇcet tˇr´ıd povede k

2.1.4

V´ ybˇ erov´ e charakteristiky

V odstavci II.2 tˇechto skript se m˚ uˇzete seznámit s ˇradou základn´ıch charakteristik rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti náhodné veliˇciny X. V naˇsem pˇr´ıpadˇe, kdy máme k dispozici pouze pozorován´ı náhodného v´ ybˇeru {X1 , X2 , . . . , Xn }, nahrazujeme teoretické pravdˇepodobnostn´ı charakteristiky jejich v´ ybˇerov´ ymi protˇejˇsky - statistick´ ymi ukazateli, neboli v´ ybˇ erov´ ymi charakteristikami. V´ ybˇerové charakteristiky se vyjadˇruj´ı pomoc´ı statistik. Statistiky jsou náhodné veliˇciny, které jsou vyjádˇreny jako funkce v´ ybˇeru, to P jest náhodn´ ych n veliˇcin X1 , X2 , . . . , Xn . Takovou statistikou je napˇr´ıklad u ´ hrn i=1 Xi . V´ ybˇerové charakteristiky lze spoˇc´ıtat pouze na základˇe znalosti vstupn´ıch dat, bez znalosti parametr˚ u skuteˇcného rozdˇelen´ı. P V´ ybˇ erov´ y k-t´ y obecn´ y moment je statistika m0k = n1 ni=1 Xik , k = P 1, 2, . . . . Prvn´ı obecn´ y v´ ybˇerov´ y moment X = n1 ni=1 Xi je m´ırou polohy a naz´ yvá se v´ ybˇ erov´ y pr˚ umˇ er. P k V´ ybˇ erov´ y k-t´ y centr´ aln´ı momentje roven mk = n1 ni=1 (Xi −X ), k = 1, 2, . . . . Pomoc´ı druhého v´ ybˇerového centráln´ıho momentu m2 je definován


74

Pn 1 n 2 m2 = n−1 v´ ybˇ erov´ y rozptyl s2 = n−1 ybˇ erov´ a smˇ eroi=1 (Xi − X) a v´ √ datn´ a odchylka s = s2 . Obˇe tyto statistiky jsou m´ırami rozpt´ ylenosti, podobnˇe jako variaˇ cn´ı koeficient V = s/X. Pomoc´ı druhého, tˇret´ıho a ˇctrvtého centráln´ıho momentu je definován 3 a v´ ybˇ erov´ y koeficient ˇ spiˇ cav´ ybˇ erov´ y koeficient ˇ sikmosti γ3 = m3/2 tosti γ4 =

m4 m2

− 3.

m2

Pˇri v´ ypoˇctu nˇekter´ ych statistik pouˇz´ıváme takzvan´ y uspoˇ r´ adan´ y v´ ybˇ er X(1) , X(2) , . . . , X(n) , kter´ y vznikne vzestupn´ ym uspoˇra´dán´ım prvk˚ u v´ ybˇeru {X1 , X2 , . . . , Xn } podle velikosti jeho realizac´ı {x1 , x2 , . . . , xn }. Prvky X(1) , X(2) , . . . , X(n) uspoˇra´daného v´ ybˇeru naz´ yváme poˇ r´ adkov´ ymi statistikami. Tak napˇr´ıklad prvn´ı poˇra´dková statistika X(1) je vlastnˇe náhodnou veliˇcinou z v´ ybˇeru, u n´ıˇz byla namˇeˇrena nejmenˇs´ı hodnota, neboli v´ ybˇ erov´ e minimum. Podobnˇe, X(n) je v´ ybˇ erov´ ym maximem. Rozd´ıl X(n) −X(1) naz´ yváme v´ ybˇ erov´ ym rozpˇ et´ım. Pomoc´ı poˇrádkov´ ych statistik definujeme empirickou distribuˇ cn´ı funkci pˇredpisem   0, x < X(1) , Fn (x) = ni , X(i−1) ≤ x < X(i) , i = 1, . . . , n,   1, x ≤ X(n) . 100p% v´ ybˇ erov´ y kvantil je definován pro 0 ≤ p ≤ 1 následuj´ıc´ım zp˚ usobem: ( X([np]+1) pokud nen´ı np celé ˇc´ıslo, x˜100p = 1 (X(np) + X(np+1) ), pro np celé. 2 Tak napˇr´ıklad doln´ı v´ ybˇ erov´ y kvartil x˜25 = X([ n4 ]+1) , pokud je n 1 ˜ = (X( n ) + X n +1 ) pro n dˇelitelné 4. Podobnˇe v´ ybˇ erov´ y nedˇelitelné 4, 25 2 4 4 1 ˜ n n n medi´ an x˜50 = X([ 2 ]+1) pokud je n liché, 50 = 2 (X( 2 ) + X 2 +1 ) pro n ˜ = (X[ 3 n)]+1 , pokud je n nedˇelitelné sudé a horn´ı v´ ybˇ erov´ y kvartil 75 4 ˜ = 1 (X( 3 n) + X 3 n+1 ) pro n dˇelitelné 4. Jako m´ıra rozpt´ 4, 75 ylenosti dat se 2 4 4 pouˇz´ıvá také v´ ybˇ erov´ e mezikvartilov´ e rozpˇ et´ı x˜75 − x˜25 .

2.1.5

Rozdˇ elen´ı nˇ ekter´ ych statistik.

Jelikoˇz jsou statistiky funkcemi náhodn´ ych veliˇcin, jsou také náhodn´ ymi veliˇcinami. Abychom s nimi mohli pracovat a poznat jejich vlastnosti, je


75

tˇreba znát jejich rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti. Bohuˇzel, explicitn´ı odvozen´ı rozdˇelen´ı statistik b´ yvá sloˇzité a ne vˇzdy moˇzné. Toto rozdˇelen´ı závis´ı na rozdˇelen´ı v´ ybˇeru. Známe-li rozdˇelen´ı v´ ybˇeru, m˚ uˇzeme pˇri stanoven´ı statistik postupujeme podle postup˚ u popsan´ ych v kapitole II.5. a III.4. Pˇ r´ıklad 2.1.2 Naleznˇete rozdˇelen´ı výbˇerového pr˚ umˇeru pˇri výbˇeru z Poissonova rozdˇelen´ı s parametrem λ. ˇ sen´ı: Momentová vytvoˇruj´ıc´ı funkce MX (t) Poissonova rozdˇelen´ı je Reˇ MX (t) =

∞ X

tx −λ λ

e e

x=0

x

x!

−λ

=e

∞ X

(λet )x

x=0

1 = exp[λ(et − 1)] x!

Pn . Momentová vytvoˇruj´ıc´ı funkce souˇctu T = avisl´ ych veliˇcin j=1 Xj nez´ X1 , X2 , . . . , Xn je podle Vˇety III.3.6 rovna souˇcinu jejich vytvoˇruj´ıc´ıch funkc´ı, a tedy n X MT (t) = exp[λ(et − 1)] = exp[nλ(et − 1)] j=1

. Odtud plyne, ˇze statistika T má opˇet Poissonova rozdˇelen´ı s parametrem nλ. Pro v´ ybˇerov´ y pr˚ umˇer X = n1 T potom dostáváme rozdˇelen´ı P (X = ω) = P (T = nω) = e−nλ

1 2 (nλ)nω , ω = 0, , , . . . (nω)! n n

. Pˇ r´ıklad 2.1.3 Najdˇete stˇredn´ı hodnotu a rozptyl výbˇerového pr˚ umˇeru X ˇ sen´ı: Jsou-li X1 , . . . , Xn nezávislé, stejnˇe rozdˇelené náhodné veliˇciny se Reˇ stˇredn´ı hodnotou µ a rozptylem σ 2 , potom jejich v´ ybˇerov´ y pr˚ umˇer X má stˇredn´ı hodnotu n

1X 1X E(X) = E( Xi ) = nE(Xi ) = µ n i=1 n i=1 a rozptyl n 1X 1 X V ar(X) = V ar( Xi ) = 2 nV ar(Xi ) = σ 2 n i=1 n i=1

Pˇ r´ıklad 2.1.4 Uvaˇzujme výbˇer {X1 , . . . , Xn } z normáln´ıho rozdˇelen´ı N (µ, σ 2 ). Jaké má rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti výbˇerový pr˚ umˇer X?


76

ˇ sen´ı: Podle pˇr´ıkladu III.3.7 má souˇcet normálnˇe rozdˇelen´ Reˇ ych Pn ych nezávisl´ veliˇcin opˇet normáln´ı rozdˇelen´ı. Tedy statistika T = ıt j=1 Xj bude m´ Pn 1 1 2 rozdˇelen´ı N (nµ, nσ ). Rozdˇelen´ı v´ ybˇerového pr˚ umˇeru X = n j=1 Xj = n T 1 2 bude potom N (µ, n σ ). Z centráln´ı limitn´ı vˇety (vˇeta IV.2.4) plyne, ˇze pro v´ ybˇery z libovolného rozdˇelen´ı s koneˇcnou stˇredn´ı hodnotou µ, s koneˇcn´ ym rozptylem σ 2 a s velk´ ym rozsahem n, lze rozdˇelen´ı v´ ybˇerového pr˚ umˇeru pˇribliˇznˇe nahra1 2 dit normáln´ım rozdˇelen´ım N (µ, n σ ). Pro praktické aplikace jsou v´ yznamné v´ ybˇery z rozdˇelen´ı N (µ, σ 2 ). S t´ımto rozdˇelen´ım jsou spojena nˇekterá dalˇs´ı d˚ uleˇzitá rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti, s nimiˇz se v této ˇca´sti skript budeme setkávat. Má-li náhodná veliˇcina X rozdˇelen´ı N (0, 1), potom veliˇcina X 2 bude m´ıt tzv. rozdˇelen´ı ch´ı-kvadr´ at s jedn´ım stupnˇ em volnosti, které oznaˇcujeme χ2 (1) a jehoˇz hustotu lze snadno odvodit podle II.5.4. Uvaˇzujme v´ ybˇer X1 , X2 , 2 2 . . . , Xn z rozdˇelen´ı N (0, 1). Potom rozdˇelen´ı statistiky χn = X1 + X22 + · · · + yváme jej ch´ı-kvadr´ at o n stupn´ıch volnosti. Xn2 oznaˇcujeme χ2 (n) a naz´ Hustota tohoto rozdˇelen´ı je kladná pouze pro kladné hodnoty argumentu a pro statistiku χ2n plat´ı E(χ2n ) = n, V ar(χ2n ) = 2n. ´ Upravou vztahu pro v´ ybˇerov´ y rozptyl s2 dostaneme n

n

1 X σ 2 X Xi − µ X − µ 2 s = − ) (Xi − X)2 = ( n − 1 i=1 n − 1 i=1 σ σ 2

√ n a Ui = Xiσ−µ , P Oznaˇcme U0 = X−µ i = 1, . . . , n. Tyto náhodné veliˇciny σ 1 √ maj´ı rozdˇelen´ı N (0, 1) a plat´ı U0 = n ni=1 Ui . Potom n n n σ2 X 2 U0 X σ2 X 2 2 S = [ U − 2√ Ui + U0 ] = [ U − U02 ]. n − 1 i=1 i n − 1 n−1 i n i=1 2

V [An] je ukázáno, ˇze tato statistika má rozdˇelen´ı χ2 (n − 1). Jsou-li U a χ2n dvˇe nezávislé náhodné veliˇciny s rozdˇelen´ım N (0, 1) a χ2 (n), potom rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti statistiky T =

√ U np χ2n

se naz´ yvá rozdˇ elen´ı t (nebo téˇz Studentovo) o n stupn´ıch volnosti, které budeme znaˇcit t(n). Hustota gn (t) tohoto rozdˇelen´ı je symetrická kolem nuly. Tedy pro distribuˇcn´ı funkci Gn (t) plat´ı (podobnˇe jako pro distribuˇcn´ı funkci


77

standardn´ıho normáln´ıho rozdˇelen´ı) Gn (t) = 1 − Gn (−t) a pro 100α%-n´ı kvantily tn (α), definované vztahem Gn (tn (α)) = α, 0 ≤ α ≤ 1, n = 1, 2, . . . , plat´ı vztah tn (α) = −tn (1 − α). ybˇeru {X1 , X2 , . . . , Xn } z rozdˇelen´ı N (µ, σ 2 ). Uvaˇzujme statistiky X a s2 v´ Lze ukázat, ˇze tyto dvˇe statistiky jsou nezávislé náhodné veliˇciny, veliˇcina √ (n−1)S 2 U = n X−µ m´ a rozdˇ e len´ ı N (0, 1) a veliˇ c ina Z = má rozdˇelen´ı σ σ2 √ √ X−µ U 2 χ (n − 1). Potom statistika T = n − 1 √Z = n s má rozdˇelen´ı t(n − 1). Oznaˇcme F =

2 Xm /m 2 Xn /n

2 kde Xm a Xn2 jsou dvˇe nezávislé náhodné veliˇciny s rozdˇelen´ım χ2 (m) a χ2 (n). Potom rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti statistiky F naz´ yváme rozdˇ elen´ım F , (respektive Fisher-Snedeckorov´ ym) o m a n stupn´ıch volnosti budeme jej oznaˇcovat F (m, n). Toto rozdˇelen´ı je asymetrické, kladné pouze pro kladné hodnoty argumentu. Pro jeho 100α% kvantily Fm,n (α) plat´ı pro kaˇzdou dvojici m, n = 1, 2, . . . následuj´ıc´ı vztah

Fm,n (α) =

1 ,0 < α < 1 Fn,m (1 − α)

. Pˇredpokládejme, ˇze byly provedeny dva nezávislé v´ ybˇery z rozdˇelen´ı 2 2 2 N (µ1 , σ1 ) a N (µ2 , σ2 ) a rozsaz´ıch m a n. Oznaˇcme S1 a S22 jejich v´ ybˇerové rozptyly. Potom statistika 2

F = má rozdˇelen´ı F (m − 1, n − 1).

1 (m−1)S1 m−1 σ2 2 (n−1)S 1 2 n−1 σ22

=

S12 S22


78

2.2

Odhady parametr˚ u rozdˇ elen´ı n´ ahodn´ e veliˇ ciny

(Upozornˇen´ı: tento text jeˇstˇe nebyl upraven do koneˇcné podoby. Proto zde chybˇej´ı nˇekteré obrázky a objevuj´ı se zde odkazy na odstavce, které nejsou oznaˇceny odpov´ıdaj´ıc´ım zp˚ usobem. Tyto nedostatky budou postupnˇe odstraˇ novány. Do té doby pros´ım o trpˇelivost a omlouvám se za zt´ıˇzené ˇcten´ı. GDo) Pˇri statistickém pozorován´ı sledujeme urˇcitou náhodnou veliˇcinu, aniˇz bychom znali jej´ı pravdˇepodobnostn´ı charakteristiky. Jediná informace, kterou o této veliˇcinˇe máme, je skryta v datech, v napozorovan´ ych (namˇeˇren´ ych) hodnotách. Proto mus´ıme vˇsechny jej´ı charakteristiky z tˇechto dat odhad” nout“. k tomuto u ´ˇcelu je zamˇeˇrena jedna ˇcást matematické statistiky, takzvaná teorie odhadu. Typy odhad˚ u jsou v zásadˇe tˇri: • odhady rozdˇelen´ı, • odhady parametr˚ u za pˇredpokladu nˇejakého rozdˇelen´ı (takzvané parametrické“ odhady), ” • odhady charakteristik bez pˇredpokladu rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti (tyto odhady oznaˇcujeme jako ”neparametrické”). Odhady typu rozdˇelen´ı provád´ıme zpravidla graficky, podle histogramu ˇcetnost´ı ˇci z empirické distribuˇcn´ı funkce srovnán´ım se znám´ ymi typy rozdˇelen´ı. V nˇekter´ ych pˇr´ıpadech odhadujeme typ rozdˇelen´ı podle logického ˇci fyzikáln´ıho modelu experimentu. Takto vytvoˇrené odhady poté ovˇeˇrujeme pomoc´ı statistick´ ych test˚ u (takzvané testy dobré shody“). ” Parametrické odhady a odhady pravdˇepodobnostn´ıch charakteristik rozdˇelujeme jeˇstˇe podle jejich charakteru na • bodové odhady a • odhady intervalové V prvn´ım pˇr´ıpadˇe dostáváme sice pˇresné, ale zato zcela nespolehlivé hodnoty odhaduj´ıc´ı hledané charakteristiky. Ve druhém pˇr´ıpadˇe obdrˇz´ıme nepˇresnˇe urˇcenou hodnotu pomoc´ı intervalu, zato ale v´ıme, ˇze skuteˇcná hodnota se v tomto intervalu bude vyskytovat s pˇredem danou, zpravidla dosti vysokou pravdˇepodobnost´ı. V jistém smyslu se na odhady – nebo pˇresnˇeji na odhadové statistiky – d´ıváme jako na náhodné veliˇciny. Sloo ”statistika”je zde pouˇzito ve smyslu ”funkce náhodného v´ ybˇeru”, tedy funkce náhodn´ ych veliˇcin X1 , X2 , . . . , Xn , coˇz je opˇet náhodná veliˇcina s pravdˇepodobnostn´ım rozdˇelen´ım, stˇredn´ı hodnotou, rozptylem a vˇsemi dalˇs´ımi charakteristikami.

˚ ROZDELEN ˇ Í NAHODN ´ ´ VELICINY ˇ 2.2. ODHADY PARAMETRU E 79

2.2.1

Bodov´ e odhady a jejich vlastnosti

V pˇredchoz´ı kapitole jsme popsali nˇekteré charakteristiky v´ ybˇeru, kter´ y si lze pˇredstavit jako nezávislá pozorován´ı jisté náhodné veliˇciny, z´ıskané pouze na základˇe namˇeˇren´ ych hodnot. V nˇekter´ ych pˇr´ıpadech vˇsak máme k dispozici v´ıce informac´ı o v´ ybˇeru, napˇr´ıklad informaci o typu pravdˇepodobnostn´ıho rozdˇelen´ı sledované náhodné veliˇciny. Potom vyvstává otázka identifikace tohoto rozdˇelen´ı, tedy urˇcen´ı - odhad - jeho parametr˚ u na základˇe pozorován´ı náhodné veliˇciny, na základˇe v´ ybˇeru. Pˇredpokládejme, ˇze máme k dispozici v´ ybˇer X = {X1 , . . . , Xn } z rozdˇelen´ı s distribuˇcn´ı funkc´ı F (x, θ), kde θ = (θ1 , . . . , θk ) je vektor reáln´ ych parametr˚ u, které neznáme. V´ıme o nich pouze to, ˇze leˇz´ı v nˇejaké mnoˇzinˇe Θ ≤ Rk , v tzv. parametrick´ em prostoru. Nahrad´ıme-li neznámé hodnoty parametr˚ u θ1 , . . . , θk hodnotami statistik (reáln´ ych funkc´ı v´ ybˇeru) T1 (X), . . . , Tk (X), budeme T (X) = (T1 (X), Tk (X)) naz´ yvat odhadovou statistikou pro parametry (θ1 , . . . , θk ). Jestliˇze za X dosad´ıme hodnoty pozorován´ı x, dostaneme tzv. bodov´ y odhad T (x) = (T1 (x), . . . , Tk (x)) tˇechto parametr˚ u, z´ıskan´ y na základˇe pozorován´ı x = (x1 , . . . , xn ). Definice 2.1 Bodový odhad se nazývá nestrann´ y, jestliˇze pro stˇredn´ı hodnotu odhadové statistiky plat´ı E(T ) = θ pro vˇsechna θ ∈ Θ. Neplat´ı-li tato rovnost, pak tento odhad nazýváme vych´ ylen´ ym a rozd´ıl B(θ) = E(T ) − θ je vych´ ylen´ı odhadu T .

Pˇ r´ıklad 2.2.1 Je druhý centráln´ı výbˇerový moment nestranným odhadem rozptylu? P ˇ sen´ı: Druh´ Reˇ y centráln´ı v´ ybˇerov´ y moment je roven M2 (x) = n1 2i=1 (xi − x¯)2 . Zz´ıskáme jej na základˇe nezávisl´ ych pozorován´ı x1 , . . . , xn náhodné veliˇciny X. Spoˇcteme-li stˇredn´ı hodnotu E(M2 (X)), dostaneme s pouˇzit´ım v´ ysledku pˇr´ıkladu V.4.2 n

n

X 1 X ¯ 2= 1 ¯ 2= E(M2 (X)) = E (Xi − X) E(Xi − µ + µ − X) n i=1 n i=1 n

1X ¯ − µ) + E(X ¯ − µ)2 ] = [E(Xi − µ)2 − 2E(Xi − µ)(X n i=1 n

1X 2 1 2 1 (σ − σ ) = (1 − )σ 2 n i=1 n n


80

Tedy tento odhad nen´ı nestrann´ y a jeho vych´ ylen´ı je − n1 σ 2 . Abychom dostali odhad nevych´ ylen´ y, mus´ıme M2 vynásobit konstantou n . T´ım dostáváme jin´ y odhad rozptylu, takzvan´ y v´ ybˇ erov´ y rozptyl s2 = n−1 P n 1 ¯ 2 z je nevych´ ylen´ ym odhadem. i=1 (Xi − X) . Tento odhad uˇ n−1 Definice 2.2 Stˇ redn´ı kvadratick´ a chyba odhadu T (X) je hodnota výrazu E(T (X) − θ)2 = D(T (X)) + B(θ)2

Pˇ r´ıklad 2.2.2 Spoˇctˇete stˇredn´ı kvadratickou chybu statistiky s2 jako odhadu rozptylu σ 2 náhodné veliˇciny X na základˇe výbˇeru X1 , . . . , Xn . ˇ sen´ı: Jest Reˇ E(s2 − σ 2 )2 = E(s4 ) − 2σ 2 E(s2 ) + σ 4 = E(s4 ) − σ 4 = coˇz je ménˇe, neˇz pro s2 , nebot’ plat´ı nerovnost z tˇechto dvou odhad˚ u je lepˇs´ı“ v jiném smyslu. ”

2n−1 n2

<

2n − 1 4 σ , n2

2 . n−1

Tedy kaˇzd´ y

Definice 2.3 Nestranný odhad neznámého parametru θ, který má nejmenˇs´ı rozptyl mezi vˇsemi nestrannými odhady T (X) parametru θ, se nazývá nejlepˇ s´ım nestrann´ ym odhadem parametru θ.

Definice 2.4 Plat´ı-li pro skuteˇcnou hodnotu θ a libovolné > 0 lim P (|T (X) − θ| ≥ ) = 0,

n→∞

ˇrekneme, ˇze odhad T (X) je konzistentn´ım odhadem parametru θ. Tento poˇzadavek odpov´ıdá pˇredstavˇe, pˇri které se vzr˚ ustaj´ıc´ım poˇctem mˇeˇren´ı se stále v´ıce pˇribliˇzujeme skuteˇcné hodnotˇe θ.

Vˇ eta 2.1 Plat´ı-li pro odhad T (X) lim B(θ) = 0a lim D(T (X)) = 0,

n→∞

n→∞

potom odhad T (X) je konzistentn´ım odhadem parametru θ.

˚ ROZDELEN ˇ Í NAHODN ´ ´ VELICINY ˇ 2.2. ODHADY PARAMETRU E 81 ˇ D˚ ukaz: plyne z aplikace Cebyˇ seovy nerovnosti (viz II.2.11) na pravdˇepodobnost v definici VI.1.7. Pˇ r´ıklad 2.2.3 Ukaˇzte, ˇze pro náhodný výbˇer X1 , . . . , Xn z rozdˇelen´ı se stˇredn´ı hodnotou µ a koneˇcným rozptylem σ 2 , je konzistentn´ım odhadem stˇredn´ı hodnoty aritmetický pr˚ umˇer. ˇ sen´ı: Toto tvrzen´ı vypl´ ¯ = Reˇ yvá pˇr´ımo z pˇr´ıkladu V.4.2. Podle nˇeho je E(X) σ2 ¯ µ a D(X) = n . Odtud ¯ − µ) = E(X) ¯ −µ=0 B(µ) = E(X a ¯ = lim f racσ 2 n = 0 lim D(X)

n→∞

n→∞

a tedy plat´ı pˇredpoklady Tvrzen´ı VI.1.8.

2.2.2

Momentov´ a metoda

Nejjednoduˇsˇs´ı metodou pro konstrukci bodov´ ych odhad˚ u parametr˚ u známého rozdˇelen´ı náhodné veliˇciny je takzvaná momentov´ a metoda. Pˇri této metodˇe srovnáváme obecné nebo centráln´ı momenty náhodné veliˇciny s pˇredpokládan´ ym rozdˇelen´ım, vyjádˇrené pomoc´ı neznám´ ych parametr˚ u, s v´ ybˇerov´ ymi momenty spoˇcten´ ymi z namˇeˇren´ ych dat. Pokud pozorovaná data odpov´ıdaj´ı pˇredpokládanému rozdˇelen´ı, mˇely by se tyto momenty rovnat. T´ım dostáváme soustavu rovnic, v n´ıˇz jako neznámé vystupuj´ı hledané parametry. Zˇrejmˇe ˇ sen´ım takovéto soustaˇc´ı tolik rovnic, kolik parametr˚ u chceme odhadovat. Reˇ stavy jsou potom bodové odhady tˇechto parametr˚ u, z´ıskané momentovou metodou. Pˇ r´ıklad 2.2.4 Najdˇete bodové odhady parametr˚ u normáln´ıho rozdˇelen´ı. ˇ sen´ı: Pouˇzijeme momentovou metodu. Máme odhadnout dva parametry, Reˇ tedy potˇrebujeme dvˇe rovnice. k tomu pouˇzijeme prvn´ı dva obecné momenty normáln´ıho rozdˇelen´ı N (µ, σ 2 ): M1 = E(X) = µ, M2 = E(X 2 ) = V ar(X) + (E(X))2 = σ 2 + µ2 . Tomu odpov´ıdaj´ ıc´ı v´ ybˇerové momenty jsou P m1 = x¯ P = n1 ni=1 xi , m2 = n1 ni=1 x2i . Ze soustavy dvou rovnic

82


M1 = m1 , M2 = m2 , dostáváme bodové odhady parametr˚ u µ a σ 2 momentovou metodou µ ˜ = m1 = x¯ 2 P P σ ˜ 2 = m2 − m21 = n1 ni=1 x2i − n1 ni=1 xi .

2.2.3

Maxim´ alnˇ e vˇ erohodn´ e odhady.

Pˇri hledán´ı bodového odhadu zpravidla poˇzadujeme, aby byl z urˇcitého hlediska co nejlepˇs´ı, tedy napˇr´ıklad nejlepˇs´ı nestrann´ y a zároveˇ n konzistentn´ı ’ apod. To je ovˇsem v nˇekter´ ych pˇr´ıpadech nemoˇzné, nebot takov´ y odhad ani nemus´ı existovat. Pomˇernˇe nejlepˇs´ı v´ ysledky pˇri hledán´ı bodov´ ych odhad˚ u poskytuje metoda maxim´ aln´ı vˇ erohodnosti. Odhady z´ıskané touto metodou se naz´ yvaj´ı maxim´ alnˇ e vˇ erohodn´ e odhady. Uvaˇzujme náhodn´ y v´ ybˇer X1 , . . . , Xn ze spojitého rozdˇelen´ı s hustotou f (x, θ), závisej´ıc´ı na jednom neznámém parametru θ ∈ Θ. Potom sdruˇzená hustota náhodného vektoru (X1 , . . . , Xn ) je rovna g(x, θ) = f (x1 , θ)f (x2 , θ) . . . f (xn , θ) (Tento v´ yraz je rozˇs´ıˇren´ım multiplikativn´ı vlastnosti z III.3.1 na n náhodn´ ych veliˇcin). Funkci g(x, θ) budeme nyn´ı chápat jako funkci promˇenné θ pˇri pevn´ ych hodnotách x1 , . . . , xn a budeme j´ı ˇr´ıkat vˇ erohodnostn´ı funkce. Nam´ısto této funkce je nˇekdy v´ yhodnˇejˇs´ı pracovat s jej´ım logaritmem a potom budeme mluvit o logaritmick´ e vˇ erohodnostn´ı funkci L(x, θ) = ln(g, (x, θ)). Uvaˇzujme nyn´ı prost´ y náhodn´ y v´ ybˇer X1 , . . . , Xn z diskrétn´ıho rozdˇelen´ı s pravdˇepodobnostmi pi = P (Xi = xi ) = p(xi , θ), závisej´ıc´ımi na jednom neznámém parametru theta ∈ Θ. Potom za vˇerohodnostn´ı funkci budeme povaˇzovat funkci g(x, θ) = p(x1 , θ)p(x2 , θ) . . . p(xn , θ) jako funkci promˇenné θ a logaritmická vˇerohodnostn´ı funkce bude opˇet dána vztahem L(x, θ) = ln(g, (x, θ)). Za maximálnˇe vˇerohodn´ y odhad parametru θ budeme povaˇzovat tu hodnotu θ ∈ Θ, pˇri které je hodnota vˇerohodnostn´ı funkce maximáln´ı (pˇri dané realizaci x1 , . . . , xn je nejvˇerohodnˇejˇs´ı“). Z´ıskáme ji ˇreˇsen´ım tzv. vˇ erohod” nostn´ı rovnice ∂g(x, θ) = 0. ∂θ

˚ ROZDELEN ˇ Í NAHODN ´ ´ VELICINY ˇ 2.2. ODHADY PARAMETRU E 83 Vzhledem k tomu, ˇze funkce logaritmus je rostouc´ı funkce, lze maximum vˇerohodnostn´ı funkce nalézt také maximalizac´ı logaritmické vˇerohodnostn´ı funkce, coˇz b´ yvá nˇekdy v´ yhodnˇejˇs´ı, tj. jako ˇreˇsen´ı logaritmick´ e vˇ erohodnostn´ı rovnice ∂L(x, θ) = 0. ∂θ V´ yˇse popsan´ y postup lze zobecnit na pˇr´ıpad, kdy je neznám´ ych parametr˚ u v´ıce, tedy na pˇr´ıpad odhadu vektorového parametru θ = θ1 , . . . , θk . Potom budeme hledat extrém funkce g(x, θ), resp. L(x, θ). To vede k ˇreˇsen´ı soustavy vˇ erohodnostn´ıch rovnic ∂g(x, θ) = 0, i = 1, 2, . . . , k ∂θi Pˇ r´ıklad 2.2.5 Metodou maximáln´ı vˇerohodnosti urˇcete odhad neznámého parametru p binomického rozdˇelen´ı, je-li n známé. ˇ sen´ı: Pˇredpokládejme, ˇze máme k dispozici m nezávisl´ Reˇ ych pozorován´ı x = x1 , . . . , xm náhodné veliˇciny s t´ımto rozdˇelen´ım. Vˇerohodnostn´ı funkce má podle II.3.2 a VI.2.2 tvar m X n xi g(x, n, p) = p (1 − p)n−xi . x i i=1 Zˇrejmˇe v tomto pˇr´ıpadˇe bude v´ yhodnˇejˇs´ı pracovat s logaritmickou vˇerohodnostn´ı funkc´ı m X n L(x, n, p) = ln + xi ln(p) + (n − xi )ln(1 − p) . x i i=1 ˇreˇsit logaritmickou vˇerohodnostn´ı rovnic´ı m

∂L(x, n, p) X = ∂p i=1

m xi n − xi 1X 1 X (n − xi ) = − = mxi − p 1−p p i=1 1 − p i=1 " # m m X X 1 (1 − p) xi − pmn − p xi = 0. (2.1) p(1 − p) i=1 i=1

Za pˇredpokladu p 6= 0 a p 6= 1 (pro p = 0 nebo p = 1 nab´ yvá vˇerohodnostn´ı funkce nulovou hodnotu, coˇz je jej´ı minimum) dostaneme rovnici (1 − p)m¯ x − pmn − pm¯ x = 0,

84


kde x¯ je aritmetick´ y pr˚ umˇer ˇc´ısel x1 , . . . , xm . Posledn´ı rovnost po vydˇelen´ı ˇc´ıslem m bude p¯ x = (1 − p)(n − x¯) a jej´ı ˇreˇsen´ı má tvar pˆ = parametru p.

2.2.4

1 x¯, n

coˇz je hledan´ y maximálnˇe vˇerohodn´ y odhad

Intervaly spolehlivosti

Odhadová statistika T (X) je náhodná veliˇcina. Bodov´ y odhad θˆ parametru θ je z´ıskán na základˇe konkrétn´ıch pozorován´ı x1 , . . . , xn jako hodnota T (x) odhadové statistiky. Proto lze oˇcekávat, ˇze takto z´ıskaná hodnota bude pouze bl´ızko“ skuteˇcné hodnotˇe parametru θ. Jak bl´ızko“, to z bodového odhadu ” ” nelze zjistit. Proto se ˇcasto pouˇz´ıvaj´ı tzv. intervaly spolehlivosti. ¯ jsou dvˇe statistiky takové, ˇze pro interval (θ, θ) ¯ plat´ı Necht’ θ, θ, ¯ ¯ ¯ = 1 − α, P (θ ∈ (θ, θ)) ¯ tj. pravdˇepodobnost, ˇze skuteˇcná hodnota parametru leˇz´ı v tomto intervalu je rovna (1 − α), kde α ∈ (0, 1), nazveme intervelem spolehlivosti pro parametr α s koeficientem spolehlivosti (1 − α). Interval spolehlivosti se ˇcasto také naz´ yvá 100(1 − α)% intervalem spohlehlivosti nebo téˇz konfidenˇ cn´ım intervalem. Pˇ r´ıklad 2.2.6 Najdˇete interval spolehlivosti pro stˇredn´ı hodnotu µ, mámeli k dispozici náhodný výbˇer z normáln´ıho rozdˇelen´ı N (µ, σ 2 ) se známou hodnotou σ. √ ¯ ˇ sen´ı: Ke konstrukci pouˇzijeme statistiku X−µ n, která má rozdˇelen´ı N (0, 1) Reˇ σ (viz V.4.2 a II.5.1). Plat´ı tedy rovnost ¯ α X − µ√ n ≤ u(1 − ) = 1 − α, P σ 2 kde u(1 − α2 ) je (1 − α2 ) - kvantil rozdˇelen´ı N (0, 1). Odtud dostáváme u ´pravou nerovnosti v závorce vztah ¯ − √σ u (1 − α )) < µ < X ¯ + √σ u (1 − α ) = 1 − α, P (X 2 2 n n tedy 100(1 − α)% intervalem spolehlivosti je interval ¯ − √σ u (1 − α ) < µ < X ¯ + √σ u (1 − α ) X 2 2 n n

˚ ROZDELEN ˇ Í NAHODN ´ ´ VELICINY ˇ 2.2. ODHADY PARAMETRU E 85 Pˇ r´ıklad 2.2.7 Najdˇete interval spolehlivosti pro stˇredn´ı hodnotu µ, mámeli k dispozici náhodný výbˇer z normáln´ıho rozdˇelen´ı N (µ, σ 2 ) s neznámou hodnotou σ. ˇ sen´ı: Neznáme-li hodnotu ˇza´dného z parametr˚ Reˇ u µ a σ v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladˇe, m˚ uˇzeme √ postupovat obdobnˇe, pouze s t´ım rozd´ılem, ˇze pouˇzijeme ¯ n. Tato statistika má Studentovo t-rozdˇelen´ı o (n − 1) statistiku X−µ s stupn´ıch volnosti (viz V.4.8), a proto ¯ |X − µ| √ α P n > tn−1 (1 − ) = 1 − α, s 2 kde tn−1 (1 − α2 ) je (1 − α2 )-kvantil rozdˇelen´ı t o (n − 1) stupn´ıch volnosti. Tud´ıˇz interval ¯ + √s t( n − 1)(1 − α ) ¯ − √s t( n − 1)(1 − α ) < µ < X X 2 2 n n je 100(1 − α)% intervalem spolehlivosti µ.

86

2.3


Testov´ an´ı statistick´ ych hypot´ ez


2.3.1

Test statistick´ e hypot´ ezy

Pod pojmem statistick´ e hypot´ ezy si budeme pˇredstavovat jakékoli tvrzen´ı o jevu statistické povahy. Napˇr´ıklad tvrzen´ı o délce ˇzivotnosti v´ yrobku, o nezávislosti v´ ysledku na pouˇzité metodˇe, tvrzen´ı o pravdˇepodobnostn´ım rozdˇelen´ı sledované veliˇciny a podobnˇe. Ovˇeˇrován´ı, zda hypotéza plat´ı ˇci nikoli, je pˇredmˇetem statistického testován´ı. Toto provád´ıme na základˇe pozorován´ı (mˇeˇren´ı) nˇejakého v´ ybˇeru (experimentu). Test statistick´ e hypot´ ezy H proti alternativn´ı hypot´ eze A je rozhodovac´ı pravidlo, podle nˇehoˇz na základˇe realizace náhodného v´ ybˇeru rozhodujeme mezi dvˇema tvrzen´ımi - sledovanou hypotézou a doplˇ nkovou, tzv. alternativn´ı hypot´ ezou A. V´ ysledkem naˇseho rozhodován´ı je bud’ zam´ıtnut´ı hypotézy H ve prospˇech alternativy A ˇci jej´ı nezam´ıtnut´ı. Skuteˇcnost, ˇze hypotézu nezam´ıtáme, neznamená, ˇze namˇeˇrená data tto hypotézu potvrzuj´ı, ale pouze to, ˇze ji nevyvracej´ı. Toto rozhodovac´ı pravidlo je urˇceno testovou statistikou T (X) a mnoˇzinou ν, které ˇr´ıkáme kritick´ y obor. Vlastn´ı rozhodován´ı potom prob´ıhá pomoc´ı indikátorové funkce ( 1 pokud T (X) ∈ ν, Iν (T (X)) = 0 pokud T (X) ∈ / ν. Pokud je hodnota indikátorové funkce rovna 1, tedy T (X) ∈ ν potom hypotézu H zam´ıtáme. V opaˇcném pˇr´ıpadˇe ˇr´ıkáme, ˇze hypotézu nelze zam´ıtnout. Naˇse u ´sil´ı pˇritom zamˇeˇr´ıme na konstrukci testu, to znamená na urˇcen´ı testové statistiky T a kritického oboru ν, pomoc´ı nichˇz budeme moci co nejlépe rozhodnout o zam´ıtnut´ı hypotézy. Pˇ r´ıklad 2.3.1 Pˇri dodávce rezistor˚ u je pro nás z hlediska pouˇzitelnosti rozhoduj´ıc´ı velikost odporu souˇcástky. Výrobce udává nomináln´ı hodnotu, od n´ıˇz se vˇsak vˇetˇsina namˇeˇrených hodnot liˇs´ı. Jak rozhodnout, zda je pro nás dodávka pˇrijatelná.

´ Í STATISTICKYCH ´ ´ 2.3. TESTOVAN HYPOTEZ

87

ˇ sen´ı: Naˇse mˇeˇren´ı vˇsak m˚ Reˇ uˇze podléhat náhodn´ ym vliv˚ um. Kontrola dodávky spoˇc´ıvá ve stanoven´ı rozhodovac´ıho pravidla, kter´ ym chceme otestovat hypotézu, ˇze skuteˇcn´ y odpor je roven nomináln´ı hodnotˇe. Pˇri v´ yˇse popsaném rozhodovac´ım pravidle se m˚ uˇzeme dopustit chyby dvˇema zp˚ usoby. Bud’ budeme pˇr´ıliˇs pˇr´ısn´ı a zam´ıtneme hypotézu, která plat´ı - to je chyba prvn´ıho druhu - nebo naopak tuto hypotézu nezam´ıtneme, i kdyˇz je nesprávná - v tomto pˇr´ıpadˇe se jedná o chybu druh´ eho druhu. Obˇe mohou m´ıt nepˇr´ıjemné d˚ usledky, a proto budeme zˇrejmˇe za lepˇs´ı“ ” test povaˇzovat ten test, pˇri kterém bude pravdˇepodobnost obou chyb co nejmenˇs´ı. Pˇritom zpravidla ˇc´ım menˇs´ı bude pravdˇepodobnost chyby 1. druhu, t´ım vˇetˇs´ı bude pravdˇepodobnost chyby 2. druhu a naopak. V takovém pˇr´ıpadˇe nelze nalézt test minimalizuj´ıc´ı obˇe chyby souˇcasnˇe. Proto postupujeme následuj´ıc´ım zp˚ usobem. Pˇri kontrukci testu poˇzadujeme, aby pravdˇepodobnost chyby 1. druhu byl menˇs´ı nebo rovna danému ˇc´ıslu α, kterému ˇr´ıkáme hladina v´ yznamnosti testu. Pˇritom obvykle vol´ıme α = 0, 05; 0, 01 apod. Potom hledáme testovou statistiku T (X) a kritick´ y obor να , tak aby P (T (X)) ∈ να |Hplati) ≤ α P (T (X)) ∈ / να |H neplat´ı) byla minimáln´ı. Kritick´ y obor je zpravidla interval, ohraniˇcen´ y tzv. kritick´ ymi hodnotami. Test potom prob´ıhá tak, ˇze spoˇcteme hodnotu testové statistiky, porovnáme ji s kritick´ ymi hodnotami, odpov´ıdaj´ıc´ımi hladinˇe v´ yznamnosti α, a rozhodneme o zam´ıtnut´ı ˇci nezam´ıtnut´ı hypotézy. V nˇekter´ ych pˇr´ıpadech - pˇredevˇs´ım pˇri testován´ı pomoc´ı poˇc´ıtaˇce - se pouˇz´ıvá jin´ y postup. Spoˇcte se hodnota testové statistiky a k n´ı nejmenˇs´ı kritick´ y obor, pˇri kterém bychom jeˇstˇe mohli na základˇe této hodnoty zam´ıtnout hypotézu proti dané alternativˇe. Hladina v´ yznamnosti, odpov´ıdaj´ıc´ı tomuto kritickému oboru, se naz´ yvá p-hodnota. Kdybychom volili hladinu v´ yznamnosti vˇetˇs´ı, neˇz je tato hodnota, mohli bychom jeˇstˇe hypotézu zam´ıtnout. Je-li tato p-hodnota pˇr´ıliˇs malá, hypotézu zam´ıtáme. Napˇr´ıklad, spoˇcteme-li pro daná data p-hodnotu rovnou 0, 005 znamená to, ˇze pro jakékoliv α vˇetˇs´ı neˇz 0, 005 bychom mˇeli hypotézu zam´ıtnout. Konkrétnˇe pro α = 0, 01 uˇz hypotézu zam´ıtáme. ˇ Sirokou tˇr´ıdu test˚ u tvoˇr´ı testy hypotéz o parametrech pravdˇepodobnostn´ıho rozdˇelen´ı. V tomto pˇr´ıpadˇe pˇredpokládáme, ˇze pravdˇepodobnostn´ı rozdˇelen´ı je urˇcitého typu a závis´ı na neznám´ ych parametrech. Pˇredpokládejme, ˇze neznám´ y parametr θ m˚ uˇze nab´ yvat hodnot z nˇejaké mnoˇziny Θ. Uvaˇzujme hypotézu H : θ = θ0 . Alternativn´ı hypotéza m˚ uˇze b´ yt bud’ A : θ 6= θ0 ,

88


takzvaná oboustrann´ a alternativa pˇri této alternativˇe mluv´ıme o oboustrann´ em testu), nebo A1 : θ ≤ θ0 ˇci A2 : θ ≥ θ0 tzv. jednostrann´ e alternativy (jimˇz odpov´ıdaj´ı tzv. jednostrann´ e testy). Funkci Pν (θ), která kaˇzdé hodnotˇe parametru θ ∈ Θ pˇriˇrad´ı pravdˇepodobnost P (T (X) ∈ ν|θ) naz´ yváme silofunkc´ı testu. Je to vlastnˇe pravdˇepodobnost zam´ıtnut´ı hypotézy H, má-li parametr hodnotu θ. Hodnotu silofunkce v bodˇe θ = θ1 naz´ yváme silou testu vzhledem k alternativˇ e θ = θ1 a pouˇz´ıváme ji k pro hodnocen´ı kvality testu.

2.3.2

Testy o parametrech norm´ aln´ıho rozdˇ elen´ı

V prvn´ı ˇcásti tohoto odstavce uvedeme nˇekolik parametrick´ ych test˚ u, které 2 se pouˇz´ıvaj´ı pˇri v´ ybˇeru X = X1 , . . . , Xn z rozdˇelen´ı N (µ, σ ). Tyto testy se zab´ yvaj´ı hypotézami o parametrech µ a σ. Pˇritom rozliˇsujeme nˇekolik pˇr´ıpad˚ u: Pˇredpokládejme, ˇze hodnotu σ známe. Budeme testovat nulovou hypotézu H : µ = µ0 proti alternativˇ yznamnosti α. Test √ e A : µ 6= µ0 na hladinˇe v´ ¯ X−µ n, která má, za pˇredpokladu platnosti hypotézy, zaloˇz´ıme na statistice σ rozdˇelen´ı N (0, 1). Kritick´ y obor je potom urˇcen nerovnost´ı ¯ − µ| √ |X α n > u(1 − ) σ 2 kde u(1 − α2 ) je (1 − α2 )-kvantil Pn rozdˇelen´ı N (0, 1). Pokud bude hodnota 1 v´ ybˇerového pr˚ umˇeru x¯ = n i=1 xi z´ıskaná z pozorován´ı x1 , . . . , xn leˇzet v intervalu σ α σ α µ0 − √ u(1 − ) < x¯ < µ0 + √ u(1 − ) 2 2 n n hypotézu nezam´ıtneme na hladinˇe v´ yznamnosti α. V opaˇcném pˇr´ıpadˇe hypotézu zam´ıtáme. Poznámka: Srovnejte tento v´ ysledek s intervalem spolehlivosti v VI.3.2. Hypotézu H nezam´ıtneme tehdy, kdyˇz hypotetická hodnota µ0 bude leˇzet v 100(1 − α)% intervalu spolehlivosti, zkonstruovaném na základˇe pozorován´ı x1 , . . . , xn . Pˇri jednostranné alternativˇe A1 : µ < µ0 resp. A2 : µ > µ0 bude kritick´ y obor urˇcen nerovnost´ı x¯ − µ0 √ x¯ − µ0 √ n ≤ u(α), resp. n ≥ u(1 − α) σ σ Jednov´ ybˇ erov´ y t-test. Nejˇcastˇejˇs´ım pˇr´ıpadem je test hypotézy H : µ = µ0 proti alternativˇe A : µ 6= µ0 na hladinˇe v´ yznamnosti α pˇri neznámé hodnotˇe σ. Neznámou hodnotou σ nahrazujeme jej´ım odhadem S a test zaloˇz´ıme


89

√ 0 na statistice x¯−µ n. Plat´ı-li hypotéza H, má tato statistika Studentovo tS rozdˇelen´ı o (n − 1) stupn´ıch volnosti (viz V.4.6). Kritick´ y obor je potom urˇcen nerovnost´ı |¯ x − µ0 | √ α n > tn−1 (1 − ) § 2 kde tn−1 (1 − α2 ) je (1 − α2 )-kvantil rozdˇelen´ı t o n − 1 stupn´ıch volnosti. Pro jednostranné testy proti alternativám µ < µ0 resp. µ > µ0 bude kritick´ y obor urˇcen nerovnostmi x¯ − µ0 √ x¯ − µ0 √ n ≤ −tn−1 (1 − α) n ≥ tn−1 (1 − α) § § Pro v´ ybˇery o velkém rozsahu n lze t-test pouˇz´ıt (pˇribliˇznˇe) i bez pˇredpokladu normality v´ ybˇeru. Podle centráln´ı limitn´ı vˇety IV.2.4 má totiˇz v´ ybˇerov´ y ¯ v limitˇe pro n → ∞ normáln´ı rozdˇelen´ı N (µ, σ 2 ) a tedy statistika pr˚ umˇ e r X x ¯−µ0 √ n má pˇribliˇznˇe Studentovo t-rozdˇelen´ı o (n − 1) stupn´ıch volnosti. § Chceme-li testovat hypotézu o rozptylu H : σ 2 = σ02 proti alternativˇe 2 yznamnosti α, m˚ uˇzeme pouˇz´ıt statistiku (n−1)S , A : σ 2 6= σ02 na hladinˇe v´ σ2 která má za platnosti hypotézy (viz V.4.6) rozdˇelen´ı χ o n − 1 stupn´ıch 1 Σ( i = 1)n (xi − volnosti. Oznaˇcme s2 hodnotu v´ ybˇerového rozptylu s2 = n−1 x¯), z´ıskanou z pozorován´ı x1 , . . . , xn . V tomto pˇr´ıpadˇe je kritick´ y obor pro 2 2 oboustrannou alternativu A : σ 6= sigma0 urˇcen nerovnostmi )σ02 χ( n − 1)2 ( α2 )σ02 χ( n − 1)2 ( 1−α 2 a < s2 s < n−1 n−1 2

zat´ımco pro jednostranné alternativy A1 : σ 2 < σ02 resp. A2 : σ 2 > σ02 dostaneme kritické obory s2 <

χ( n − 1)2 (1 − α)σ02 χ( n − 1)2 (α)σ02 resp. < s2 , n−1 n−1

symbol χ( n − 1)2 (α) zde oznaˇcuje α-kvantil ch´ı-kvadrát rozdˇelen´ı o (n − 1) stupn´ıch volnosti. P´ arov´ y t-test. Sledujeme-li na jednom objektu dva podobné znaky zároveˇ n, pouˇz´ıváme náhodn´ y v´ ybˇer dvojic náhodn´ ych veliˇcin {(X1 , Y1 ), . . . , (Xn , Yn )}. O veliˇcinách Xi a Yi pˇredpokládáme, ˇze jsou p´ arovˇ e z´ avisl´ e. Napˇr´ıklad mˇeˇren´ı vlastnosti materiálu pˇred tepeln´ ym zpracován´ım a po nˇem na vybran´ ych n vzorc´ıch. Pˇredpokládejme, ˇze {X1 , . . . , Xn } je náhodn´ y v´ ybˇer z normáln´ıho rozdˇe2 len´ı N (µX , σ ) a Y1 , . . . , Yn je náhodn´ y v´ ybˇer z rozdˇelen´ı N (µY , σY2 ). Veliˇciny

90


Xi a Yi mohou b´ yt párovˇe závislé. Budeme testovat hypotézu o rovnosti stˇredn´ıch hodnot H : µX = µY proti alternativˇe A : µX 6= µY na hladinˇe v´ yznamnosti α. V tomto pˇr´ıpadˇe budeme m´ısto p˚ uvodnˇe sledovan´ ych veliˇcin (X1 , Y1 ), . . . , (Xn , Yn ) pracovat s veliˇcinami Z1 , . . . , Zn , kde Zi = Yi − Xi , i = 1, . . . , n. Protoˇze Xi a Yi maj´ı normáln´ı rozdˇelen´ı, bude se i veliˇcina Z ˇr´ıdit normáln´ım rozdˇelen´ım se stˇredn´ı hodnotou µZ = µY − µX a rozptylem σZ2 , o jehoˇz vztahu k rozptyl˚ um σX a σY nelze vzhledem k moˇzné závislosti nic pˇredpokládat. Rovnost stˇredn´ıch hodnot X a Y je ekvivalentn´ı nulovosti stˇredn´ı hodnoty rozd´ılu Z. Pro aritmetick´ y pr˚ umˇer plat´ı z¯ = x¯ − y¯ a hodnotu 2 v´ ybˇerového rozptylu sZ spoˇcteme podle vztahu 1 Σn (xi − yi − x¯ + y¯)2 . s2Z = n − 1 n=1 K testu hypotézy H : µZ = 0 na hladinˇe v´ yznamnosti α pouˇzijeme jednov´ ybˇerov´ y t-test (viz VII.2.2), tedy pˇri oboustranné alternativˇe A : µ 6= 0 hypotézu H zam´ıtneme, pokud sZ sZ α α z¯ = − √ tn−1 (1 − ) nebo √ tn−1 (1 − ) < z¯. 2 2 n n Jsou-li veliˇciny X a Y nezávislé, pouˇz´ıváme pro srovnán´ı stˇredn´ıch hodnot dvou v´ ybˇer˚ u dvouv´ ybˇ erov´ y t-test. Necht’ X1 , . . . , Xn je v´ ybˇer z rozdˇelen´ı 2 2 N (µX , σX ) a Y1 , . . . , Ym je v´ ybˇer z rozdˇelen´ı N (µY , σY ) a tyto v´ ybˇery jsou na sobˇe nezávislé. Rozliˇsujeme dva pˇr´ıpady: 2 (1) Oba v´ ybˇery maj´ı stejn´ e rozptyly σX = σY2 . Potom statistika ¯ − Y¯ r mn X , T = S m+n kde n 1 ¯ 2 + Σm (Yj − Y¯ )2 Σi=1 (Xi − X) S2 = j=1 m+n−2 má za platnosti nulové hypotézy H : µX = µY Studentovo t-rozdˇelen´ı o m+n−2 stupn´ıch volnosti. Test uvedené hypotézy proti oboustranné alternativˇe A : µX 6= µY na hladinˇe v´ yznamnosti α lze tedy zaloˇzit na nerovnosti r y¯ − x¯ mn 1 ≥ tm+n−2 (1 − α). S m+n 2 Test hypotézy H proti jednostrann´ ym alternativám A1 : µX ≤ µY , resp. A2 : µX ≥ µY na hladinˇe v´ yznamnosti α je zaloˇzen na nerovnostech r y¯ − x¯ mn ≥ tm+n−2 (1 − α), S m+n r y¯ − x¯ mn ≥ tm+n−2 (α) = −tm+n−2 (α)(1 − α) S m+n


91

2 (2) Oba v´ ybˇery maj´ı r˚ uzn´ e rozptyly σX 6= σY2 . Potom pouˇzijeme pˇribliˇzn´ y test, zaloˇzen´ y na statistice

¯ − Y¯ 1 1 X , kde Se2 = s2X + s2Y . Te = n m Se Test hypotézy H : µX = µY proti oboustranné alternativˇe na hladinˇe v´ yznamnosti α lze zaloˇzit na nerovnosti 1 1 2 α 1 2 α |¯ y − x¯| ≥ sX tn−1 (1 − ) + sY tm−1 (1 − ) 2 m 2 Se Se2 n na nerovnosti 1 1 2 1 2 y¯ − x¯ ≥ sX tn−1 (1 − α) + sY tm−1 (1 − α) m Se Se2 n pˇri jednostranné alternativˇe A1 : µX ≤ µY a na 1 2 y¯ − x¯ 1 1 2 sX tn−1 (1 − α) + sY tm−1 (1 − α) ≤− m Se Se2 n pˇri alternativˇe A2 : µX ≥ µY . Pˇ r´ıklad 2.3.2 Pˇri zpracován´ı je tˇreba materiál zahˇrát na vysokou teplotu. Pˇred zpracován´ım bylo vybráno náhodnˇe 10 vzork˚ u a zmˇeˇrena jejich tvrdost. Po zpracován´ı bylo opˇet vybráno náhodnˇe jiných 10 vzork˚ u, na nichˇz byla zmˇeˇrena tvrdost. Namˇeˇrené hodnoty jsou v následuj´ıc´ı tabulce: pˇred po

3,15 3,21

2,98 2,99

3,00 3,11

2,75 2,91

3,21 3,22

3,33 3,28

2,95 3,09

2,81 3,00

3,26 3,28

2,88 2,99

Testujte hypotézu, ˇze se tvrdost materiálu vlivem zpracován´ı nemˇen´ı. ˇ sen´ı: Je m = n = 10. Spoˇcteme x¯ = 3, 032, y¯ = 3, 108, s2 = 0, 03875, s2 = Reˇ x y 0, 018. Za pˇredpokladu, ˇze rozptyl pˇred i po zpracován´ı z˚ ustává stejn´ y (namˇeˇren´ y rozd´ıl je nev´ yznamn´ y), pouˇzijeme postup, popsan´ y v VII.2.6.a). Dostaneme hodnotu s2 = 0, 02838 a testové statistiky T = 1, 009. Pˇri hladinˇe v´ yznamnosti α = 0, 05 je t1 8(0, 975) = 2, 101 a tedy hypotézu nelze zam´ıtnout. Pˇ r´ıklad 2.3.3 Uvaˇzujme stejnou u ´lohu jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladu, pouze s t´ım rozd´ılem, ˇze sledovaná veliˇcina je mˇeˇrena pˇred i po zpracován´ı na 10 vzorc´ıch, které byly náhodnˇe vybrány pˇred zaˇcátkem experimentu. Namˇeˇrená data z˚ ustávaj´ı stejná.


92

ˇ sen´ı: V tomto pˇr´ıpadˇe je tˇreba vz´ıt do u Reˇ ´vahy závislost, která zde m˚ uˇze b´ yt zp˚ usobena dalˇs´ımi vlastnostmi vzork˚ u. Proto pouˇzijeme párov´ y t-test. Dostáváme z¯ = x¯ − y¯ = −0, 076, sz = 0, 07777. Testová statistika zde bude m´ıt hodnotu T = 3, 09, kterou budeme srovnávat s ˇc´ıslem t9 = (0, 975) = 2, 262. V tomto pˇr´ıpadˇe hypotézu zam´ıtneme. Uvedené pˇr´ıklady ukazuj´ı, jak´ y vliv na v´ ysledek m˚ uˇze m´ıt tzv. návrh experimentu. Druh´ y pˇr´ıpad lépe vystihuje skuteˇcnost, ˇze namˇeˇrená data nejsou nezávislá a bere do u ´vahy dalˇs´ı moˇzné vlivy, plynouc´ı z individuality vzork˚ u. 2 Uvaˇzujme dva nezávislé v´ ybˇery: X1 , . . . , Xn z rozdˇelen´ı N (µX , σX ) a 2 Y1 , . . . , Yn z rozdˇelen´ı N (µY , σY ) m˚ uˇzeme provést tzv. test shody rozptyl˚ u 2 neboli F-test. K testu hypotézy H : σX = σY2 lze pouˇz´ıt napˇr´ıklad statistiku F =

2 SX SY2

Rozdˇelen´ı statistiky F je podle V.4.6 a V.4.9 za pˇredpokladu H rozdˇelen´ım F o (n − 1) a (m − 1) stupn´ıch volnosti. Kritick´ y obor pro test hypotézy 2 2 yznamnosti α je H proti oboustranné alternativˇe A : σX 6= σY na hladinˇe v´ urˇcen nerovnostmi s2X α s2X α 1 ≥ F (1 − )a 2 ≤ Fn−1,m−1 ( ) = n−1,m−1 2 sY 2 sY 2 Fn−1,m−1 (1 − α2 ) kde Fn,m (α) je α-kvantil rozdˇelen´ı F (n, m). Tedy hypotézu zam´ıtáme pro malá F bl´ızká nule a pro velká F (pˇri platnosti hypotézy by mˇelo b´ yt F bl´ızké 2 1). Kritické obory pro test hypotézy H proti alternativám A1 : σX ≥ σY2 2 yznamnosti α jsou urˇceny nerovnostmi ≤ σY2 na hladinˇe v´ A2 : σX s2X s2X 1 ≥ F (1 − α)resp. ≤ Fn−1,m−1 (α) = (1 − α) n−1,m−1 2 2 sY sY Fn−1,m−1

2.3.3

Testy dobr´ e shody

Zat´ımco pˇri parametrick´ ych testech pˇredpokládáme, ˇze typ rozdˇelen´ı v´ ybˇeru je znám, testy dobr´ e shody provˇeˇruj´ı hypotézy právˇe o typu rozdˇelen´ı, z nˇehoˇz byl v´ ybˇer poˇr´ızen. Jedná se tedy o hypotézy o shodˇe teoretického a empirického rozdˇelen´ı. Test hypotézy, ˇze náhodn´ y v´ ybˇer pocház´ı z rozdˇelen´ı se spojitou známou distribuˇcn´ı funkc´ı F0 (x), m˚ uˇzeme provést pomoc´ı takzvaného KolmogorovSmirnovova testu. Tento test je zaloˇzen na statistice D = supx∈R |Fn (x) − F0 (x)| ,


93

kde empirická distribuˇcn´ı funkce Fn (x) je definována v paragrafu V.3.6. Pomoc´ı této definice lze statistiku D zapsat také ve tvaru i − 1 i D = max1≤i≤n max F0 (X(i) ) − , F0 (X(i) ) − n n Hypotéza H : F (x) = F0 (x) bude zam´ıtnuta na hladinˇe v´ yznamnosti α ve prospˇech alternativy A : F (x) 6= F0 (x) alespoˇ n pro jedno x, jestliˇze D ≤ Dn (1 − α), pˇriˇcemˇz hodnoty Dn (1 − α) jsou malá n tabelovány viz [Ja]) a pro velká n(n > 100) lze pouˇz´ıt aproximaci (viz [Zv]) Dn (1 − α) ∼ =

r −

1 α ln . 2n 2

Tento test lze správnˇe pouˇz´ıt pouze pro takové hypotézy, které urˇcuj´ı funkci F0 , jednoznaˇcnˇe, vˇcetnˇe jej´ıch parametr˚ u. 2 χ -test dobr´ e shody vycház´ı z tˇr´ıdn´ıho rozdˇelen´ı náhodného v´ ybˇeru. Nejprve tedy provedeme rozklad namˇeˇren´ ych hodnot do disjunktn´ıch tˇr´ıdn´ıch interval˚ u pomoc´ı zvoleného dˇelen´ı a0 < a1 < a2 < · · · < ak a spoˇcteme ˇcetnosti ni (viz V.2.1). Dále spoˇcteme hypotetické pravdˇepodobnosti pi = F0 (ai ) − F0 (ai−1 ). Pˇri volbˇe tˇr´ıdn´ıch interval˚ u se doporuˇcuje dodrˇzet zásadu aby teoretické ˇcetnosti npi pro vˇsechna i byly vˇetˇs´ı nebo alespoˇ n rovny ˇc´ıslu 5. Hypotézu, ˇze v´ ybˇer je z rozdˇelen´ı s distribuˇcn´ı funkc´ı F0 (x) potom testujeme pomoc´ı statistiky (ni − npi )2 χ2 = Σki=1 npi Pˇri tomto postupu je tˇreba rozliˇsit dva pˇr´ıpady: a) Hypotézu urˇcuje distribuˇcn´ı funkci jednoznaˇcnˇe, vˇcetnˇe parametr˚ u. Potom 2 má statistika χ asyptoticky, to znamená pˇribliˇznˇe pro velká n, rozdˇelen´ı χ2 (k − 1). Bude-li tedy χ2 ≥ χ2k−1 (1 − α) kde χ2k−1 (1 − α) je (1 − α)-kvantil rozdˇelen´ı χ2 (k − 1) zam´ıtneme nulovou hypotézu H : X1 , . . . , Xn pocház´ı z rozdˇelen´ı s distribuˇcn´ı funkc´ı F0 (x) proti alternativˇe A :toto rozdˇelen´ı je jiné, na hladinˇe v´ yznamnosti α b) Teoretické ˇcetnosti pi závis´ı na l neznám´ ych parametrech. V takovém pˇr´ıpadˇe pouˇzijeme pˇri v´ ypoˇctu pi odhady tˇechto parametr˚ u. Pˇritom se sn´ıˇz´ı poˇcet stupˇ n˚ u volnosti rozdˇelen´ı statistiky χ2 právˇe o poˇcet odhadnut´ ych parametr˚ u na (k − 1 − l). Kritick´ y obor pˇri hladinˇe v´ yznamnosti α potom bude dán nerovnost´ı χ2 ≥ χ2k−1−l (1 − α)

94


V praxi se ˇcasto pouˇz´ıvá tzv. pˇredpokladu normality, t.j., ˇze náhodn´ y v´ ybˇer pocház´ı z normáln´ıho rozdˇelen´ı s urˇcitou stˇredn´ı hodnotou a nˇejak´ ym, bl´ıˇze neurˇcen´ ym rozptylem. K ovˇeˇren´ı tohoto pˇredpokladu lze pouˇz´ıt testy normality zaloˇzené na v´ ybˇerov´ ych koeficientech ˇ sikmosti A3 a ˇ spiˇ catosti A4 . Pro tyto statistiky (viz. V.3.4) plat´ı následuj´ıc´ı vztahy: 6(n−2) E(A3 ) = 0, V ar(A3 ) = (n+1)(n+3) 24n(n−2)(n−3) 6 E(A4 ) = − n+1 , V ar(A4 ) = (n+1) 2 (n+3)(n+5) √ √ pˇriˇcemˇz nA3 a nA4 maj´ı pˇri n → ∞ pˇribliˇznˇe normáln´ıho rozdˇelen´ı. Test zaloˇzen´ y na ˇsikmosti zam´ıtnˇe hypotézu o normalitˇe, pokud

α |A3 | p ≥ u(1 − ) 2 V ar(A3 ) test zaloˇzen´ y na ˇspiˇcatosti zam´ıtne hypotézu o normalitˇe, pokud |A4 − E(A4 )| α p ≥ u(1 − ) 2 V ar(A4 ) kde u(1 − α2 ) je (1 − α2 )-kvantil rozdˇelen´ı N (0, 1). Hladina v´ yznamnosti obou test˚ u je asymptoticky rovna α. Pˇri ovˇeˇrován´ı normality je vhodné provést oba testy. Hypotézu nezam´ıtneme teprve tehdy, pokud ji nelze zam´ıtnout obˇema testy zároveˇ n. Tyto testy jsou v nˇekter´ ych pˇr´ıpadech citlivˇejˇs´ı na poruˇsen´ı normality neˇz χ2 test, podrobnˇejˇs´ı informace nalezne ˇctenáˇr v [An]. Pˇ r´ıklad 2.3.4 Pomoc´ı test˚ u ˇsikmosti a ˇspiˇcatosti testujte normalitu dat z pˇr´ıkladu V.2.3. ˇ sen´ı: Pro v´ Reˇ ybˇerové koeficienty ˇsikmosti a ˇspiˇcatosti dostáváme hodnoty A3 = −0, 005364, E(A3 ) = 0, D(A3 ) = 0, 129325, A4 = −0, 393762, E(A4 ) = −0, 146341, D(A4 ) = 0, 414962. Testová statistika pro test zaloˇzen´ y na ˇsikmosti nám dává hodnotu 0,015 a statistika pro test zaloˇzen´ y na ˇspiˇcatosti je rovna 0, 384. Porovnán´ım s 0, 975-kvantilem standardn9ho normáln´ıho rozdˇelen´ı u(0, 975) = 1, 96 tedy nelze zam´ıtnout hypotézu o normalitˇe na hladinˇe v´ yznamnosti α = 0, 05 ani jedn´ım z test˚ u.

2.3.4

Nˇ ekter´ e neparametrick´ e testy

Znam´ enkov´ y test je test o hodnotˇe mediánu (viz V.3.7). Pˇredpokládáme, ˇze v´ ybˇer X1 , . . . , Xn je z rozdˇelen´ı se spojitou distribuˇcn´ı funkc´ı F (x). Budeme testovat hypotézu H : xf e xf 50 = x0 proti alternativˇ 50 6= x0 na hladinˇe v´ yznamnosti α. Vytvoˇr´ıme posloupnost rozd´ıl˚ u X 1 − x0 , . . . , X n − x0 .


95

Oznaˇcme Z poˇcet ˇclen˚ u této posloupnosti s kladn´ ym znaménkem a m poˇcet nenulov´ ych rozd´ıl˚ u. Z je náhodná veliˇcina s binomick´ ym rozdˇelen´ım (viz II.3.2) s parametry m a 21 . Pro malá m lze tedy stanovit kritick´ y obor pro dané α urˇcen´ım celého ˇc´ısla c tak, aby byly splnˇeny nerovnosti c m X m 1 i=1

i

2

c+1 m α X m 1 ≤ < 2 2 i i=1

Hypotézu H potom zam´ıtneme, pokud Z < c nebo m − c < Z. Pro vˇetˇs´ı m lze vyuˇz´ıt aproximace binomického rozdˇelen´ı rozdˇelen´ım normáln´ım (viz vˇeta v IV.2.1) a kritick´ y obor vyjádˇrit pomoc´ı (1 − α2 )-kvantilu rozdˇelen´ı N (0, 1) √ nerovnost´ı |2Z−m| ≥ u(1− α2 ). Pro jednostranné alternativy vytvoˇr´ıme kritick´ y m obor analogicky jako v VII.2.1. Jednov´ ybˇ erov´ y Wilcoxon˚ uv test. Pˇredpokládáme, ˇze {X1 , . . . , Xn } je v´ ybˇer z rozdˇelen´ı se spojitou distribuˇcn´ı funkc´ı F (x), která je symetrická kolem mediánu xf f f 50 (neboli F (x 50 − x) = 1 − F (x 50 + x). Budeme opˇet testovat hypotézu H : (xf = x ) proti alternativˇ e ( x f 50 0 50 6= x0 ) na hladinˇe v´ yznamnosti α. Podobnˇe jako v VII.4.l i v tomto pˇr´ıpadˇe vytvoˇr´ıme posloupnost rozd´ıl˚ u X1 − x0 , . . . , Xn − x0 a dále budeme poˇc´ıtat pouze s nenulov´ ymi rozd´ıly, jejichˇz poˇcet oznaˇc´ıme m. Tuto posloupnost uspoˇrádáme vzestupnˇe podle absolutn´ıch hodnot a oznaˇc´ıme Ri+ poˇrad´ı náhodné veliˇciny |Xi − x0 |. Seˇcteme-li poˇrad´ı Ri+ pro vˇsechny ˇcleny, pro které je Xi − x0 > 0 a tento souˇcet oznaˇc´ıme S + , dostaneme statistiku, pro kterou za platnosti hypotézy plat´ı E(S + ) =

m(m + 1)(2m + 1) m(m + 1) , V ar(S + ) = 4 24

a pro velká m je jej´ı rozdˇelen´ı pˇribliˇznˇe normáln´ı. Proto budeme pracovat S + −E(S + ) radˇeji s normovanou veliˇcinou V = √ . Hypotézu tedy zam´ıtneme, + V ar(S )

pokud |V | ≥ v(1 − α2 ). Pro malé hodnoty m jsou kritické hodnoty v(1 − α2 ) tabelovány, pro velká m lze pouˇz´ıt kvantily rozdˇelen´ı N (0, 1). Dvouv´ ybˇ erov´ y Wilcoxon˚ uv test slouˇz´ı k testován´ı hypotézy o shodˇe distribuˇcn´ıch funkc´ı dvou v´ ybˇer˚ u. Necht’ {X1 , . . . , Xn } a {Y1 , . . . , Ym } jsou dva nezávislé v´ ybˇery ze dvou spojit´ ych rozdˇelen´ı. Za platnosti hypotézy jsou tato rozdˇelen´ı totoˇzná a spojen´ y v´ ybˇer {X1 , . . . , Xn , Y1 , . . . , Ym } lze povaˇzovat za v´ ybˇer z jednoho rozdˇelen´ı. Oznaˇcme RiX poˇrad´ı veliˇ i Pncin X X X ’ ve spojeném v´ ybˇeru, uspoˇra´daném podle velikosti a necht R = i=1 Ri . Potom je E(RX ) =

mn(m + n + 1) m(m + n + 1) , V ar(RX ) = 2 12

96


Test lze zaloˇzit pˇr´ımo na statistice RX a kritick´ y obor je potom urˇcen nerovα X nost´ı R ≥ wm,n (1 − 2 ), kde kritické hodnoty wm,n (1 − α2 ) jsou tabelovány (viz napˇr. [An], [Sk], [Zv]). Pro pˇribliˇzn´ y test pouˇzijeme normovanou veliˇcinu RX −E(RX ) W = √ X , která má za platnosti hypotézy pro velké rozsahy m a n D(R )

pˇribliˇznˇe rozdˇelen´ı N (0, 1). Oba uvedené testy - znaménkov´ y i Wilcoxon˚ uv - jsou ˇcastou pouˇz´ıvány jako testy p´ arov´ e nam´ısto párového t-testu (viz VII.2.4).

´ 2.4. REGRESNÍ ANALYZA

2.4

97

Regresn´ı anal´ yza


2.4.1

Regresn´ı z´ avislost

V matematice vyjadˇrujeme závislost hodnot jedné promˇenné na hodnotách druhé promˇenné funkˇcn´ım vztahem. V praktick´ ych u ´lohách je vˇsak situace sloˇzitˇejˇs´ı. Pˇri mˇeˇren´ı hodnot sledované veliˇciny, pˇri jej´ıˇz realizaci p˚ usob´ı ˇrada dalˇs´ıch (náhodn´ ych) vliv˚ u, dostáváme soubor namˇeˇren´ ych hodnot, které vykazuj´ı ˇcasto jisté odchylky proti hodnotám, které bychom oˇcekávali z teoretického rozboru sledovaného jevu nebo z jakési oˇcekávané pravidelnosti. Pˇ r´ıklad 2.4.1 Pˇri soustruˇzen´ı vzniká v m´ıstˇe obrábˇen´ı na nástroji teplota, závislá na rychlosti posuvu nástroje. Mezi teplotou θ mˇeˇrenou ve stupn´ıch Celsia a rychlost´ı posuvu v v metrech za minutu byl odvozen teoretický vztah θ = αv β , kde α a β jsou konstanty, závisej´ıc´ı na dalˇs´ıch podm´ınkách experimentu. Hodnoty, které byly namˇeˇreny pˇri laboratorn´ım mˇeˇren´ı, vˇsak tomuto vztahu odpov´ıdaj´ı jen velmi pˇribliˇznˇe, jak lze vidˇet z grafu. Pˇredpokládejme, ˇze sledovanou náhodnou veliˇcinu Y lze vyjádˇrit jako funkci (zpravidla nenáhodn´ ych) veliˇcin X1 , . . . , Xr a náhodné odchylky jako Y = f (X1 , . . . , Xr ; θ1 , . . . , θs ) + . Funkce f se naz´ yvá regresn´ı funkce a θ1 , . . . , θs naz´ yváme parametry regrese. O náhodné veliˇcinˇe , která se ˇcasto naz´ yvá neprávem chybou“, ” pˇredpokládáme, ˇze má symetrické rozdˇelen´ı se stˇredn´ı hodnotou 0 a rozptylem σ 2 . Obvykl´ y je pˇredpoklad normáln´ıho rozdˇelen´ı N (0, σ 2 ). Uveden´ y vztah se naz´ yvá regresn´ı model. Podle druhu závislosti regresn´ı funkce na neznám´ ych parametrech θ1 , . . . , θs potom hovoˇr´ıme bud’ o lineárn´ım regresn´ım modelu nebo o nelineárn´ım regresn´ım modelu. Nadále se budeme zab´ yvat pouze lineárn´ım modelelm. Stˇredn´ı hodnota E(Y ) je potom funkc´ı hodnot veliˇcin X1 , . . . , Xr a neznám´ ych parametr˚ u θ1 , . . . , θs . Tuto vlastnost vyjádˇr´ıme vztahem E(Y ) = f (x1 , . . . , xr ; θ1 , . . . , θs ),

98


kde x1 , . . . , xr jsou namˇeˇrené hodnoty veliˇcin X1 , . . . , Xr a θ1 , . . . , θs jsou parametry. Náhodné veliˇcinˇe Y se ˇr´ıká vysvˇ etlovan´ a promˇ enn´ a, veliˇcinám X1 , . . . , Xr budeme ˇr´ıkat vysvˇ etluj´ıc´ı promˇ enn´ e. Podle tvaru regresn´ı funkce budeme mluvit o pˇ r´ımkov´ e, exponenci´ aln´ı, kvadratick´ e, polynomick´ e a jin´ ych regres´ıch. V pˇr´ıpadˇe pˇr´ımkové regrese rozliˇsujeme podle poˇctu vysvˇetluj´ıc´ıch promˇenn´ ych tzv. jednoduchou regresi s jednou vysvˇetluj´ıc´ı promˇennou a v´ıcen´ asobnou regresi s v´ıce vysvˇetluj´ıc´ımi promˇenn´ ymi. V zásadˇe zde máme dva problémy: urˇcit tvar (typ) regresn´ı funkce a Pˇri vyˇsetˇrován´ı regresn´ı závislosti je regresn´ı funkce zpravidla známa (vypl´ yvá z teoretick´ ych vztah˚ u) nebo se jej´ı tvar odhaduje (opticky, napˇr´ıklad podle X-Y grafu rozpt´ ylenosti). Proto se v dalˇs´ım textu omez´ıme na u ´lohu odhadu regresn´ıch parametr˚ u pˇredpokládané regresn´ı funkce. K tomu nejˇcastˇeji pouˇz´ıváme tzv. metodu nejmenˇ s´ıch ˇ ctverc˚ u. Tato metoda spoˇc´ıvá v proveden´ı n nezávisl´ ych mˇeˇren´ı hodnot veliˇcin Y, X1 , . . . , Xr a v nalezen´ı hodnot θˆ1 , . . . , θˆs , pˇri nichˇz funkce 2 n X S(θ1 , . . . , θs ) = yi − f (x1i , . . . , xri ; θ1 , . . . , θs ) i=1

nab´ yvá svého minima. Vektory yi , x1i , . . . , xri oznaˇcuj´ı i-té pozorován´ı vektoru Y, X1 , . . . , Xr , i = 1, . . . , n. Nejsme-li si jisti a rozhodujeme-li se mezi nˇekolika modely, potom zpravidla vol´ıme ten, v nˇemˇz je hodnota funkce S(θ1 , . . . , θs ) – takzvan´ y rezidu´ aln´ı souˇ cet ˇ ctverc˚ u – nejmenˇs´ı. V pˇr´ıpadˇe lineárn´ı regresn´ Pn ı funkce f (x,2α, β) = α + βx budeme minimalizovat funkci S(α, β) = i=1 (yi − α − βxi ) . Nutnou podm´ınkou pro extrém funkce dvou promˇenn´ ych je nulovost obou parciáln´ıch derivac´ı n

X ∂S = −2 (yi − α − βxi ) = 0 ∂α i=1 n

X ∂S = −2 (yi − α − βxi )xi = 0, ∂β i=1 coˇz vede k takzvané soustavˇ e norm´ aln´ıch rovnic nα + β α

n X i=1

xi + β

n X i=1 n X i=1

xi = x2i =

n X i=1 n X i=1

yi yi xi


99

jej´ımˇz ˇreˇsen´ım dostaneme bodové odhady a a b parametr˚ uαaβ Pn (xi − x)yi b = Pi=1 n 2 i=1 (xi − x) Pn (xi − x)yi a = y − Pi=1 x = y − bx n 2 i=1 (xi − x) P P kde x = n1 ni=1 xi , y = n1 ni=1 yi . Podm´ınku postaˇcuj´ıc´ı nen´ı tˇreba vyˇsetˇrovat, nebot’ funkce S(α, β) je ryze konvexn´ı.

2.4.2

Jednoduch´ a pˇ r´ımkov´ a regrese

Velmi ˇcast´ ym pˇr´ıpadem regresn´ı závislosti je pˇ r´ımkov´ a regrese. Pˇredpokládejme regresn´ı vztah Y = α + βX + , kde X je náhodná veliˇcina a je náhodná veliˇcina s normáln´ım rozdˇelen´ım N (0, σ 2 ). Bodové odhady a a b parametr˚ u α a β z´ıskáme metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u ve tvaru uvedeném v pˇr´ıkladˇe VIII.1.6. Namˇeˇrené hodnoty y1 , . . . , yn lze povaˇzovat za hodnoty realizac´ı nezávisl´ ych náhodn´ ych veliˇcin Y1 , . . . , Yn s normáln´ım rozdˇelen´ım N (a + bxi , σ 2 ). Z tohoto hlediska jsou bodové odhady a a b odhadov´ ymi statistikami, a tedy náhodn´ ymi veliˇcinami. Hodnoty ei = yi − a − bxi , i = 1, . . . , n se naz´ yvaj´ı rezidua a lze je povaˇzovat za ˇ ıslo yî = a + bxi je odhadem hodnoty odhady hodnot chybového ˇclenu . C´ náhodné veliˇciny Yi . Oznaˇcme SR = S(a, b) takzvan´ y rezidu´ aln´ı souˇ cet ˇ ctverc˚ u SR =

n X i=1

e2i

=

n X i=1

2

yi − a − bxi =

n X i=1

yi2

−a

n X

yi − b

i=1

n X

xi yi .

i=1

Bodov´ y odhad s2 rozptylu σ 2 chybového ˇclenu je potom dán vztahem SR a naz´ yvá se rezidu´ aln´ı rozptyl. s2 = (n−2) 2 Pomoc´ı s lze vyjádˇrit odhady rozptylu obou regresn´ıch parametr˚ u P s2 ni=1 x2i s2 2 2 Pn P Sa = Pn 2 , S = n b 2 2 n i=1 xi − ( i=1 xi )2 i=1 xi − nx Statistiky Tα = (a−α) a Tβ = (b−β) maj´ı Studentovo t-rozdˇelen´ı o (n − 2) Sa Sb stupn´ıch volnosti. Intervalové odhady pro parametry α a β jsou potom dány nerovnostmi γ γ a − Sa tn−2 (1 − ) ≤ α ≤ a + Sa tn−2 (1 − ) 2 2

100


γ γ b − Sb tn−2 (1 − ) ≤ β ≤ b + Sb tn−2 (1 − ) 2 2 γ γ kde (1−γ) je koeficient spolehlivosti a tn−2 (1− 2 ) je (1− 2 )-kvantil t-rozdˇelen´ı o (n − 2) stupn´ıch volnosti. V nˇekter´ ych pˇr´ıpadech nás zaj´ımá, zda hodnota nˇekterého z parametr˚ u se liˇs´ı v´ yznamnˇe od nulové hodnoty nebo ne a zda jej lze tud´ıˇz v regresn´ı funkci vynechat. Oboustranné testy nulovosti regresn´ıch koeficient˚ u lze b a zaloˇzit na odhadov´ ych statistikách Ta = Sa resp. Tb = Sb a jim odpov´ıdaj´ıc´ım kritick´ ym obor˚ um tak, ˇze pˇri splnˇen´ı nerovnosti γ γ |Ta | ≥ tn−2 (1 − ), resp. |Tb | ≥ tn−2 (1 − ), 2 2 zam´ıtneme hypotézu o nulovosti parametru α, resp. β, na hladinˇe v´ yznamnosti γ. Regresn´ım modelem se snaˇz´ıme vysvˇetlit zmˇeny - variabilitu - vysvˇetlované veliˇciny Y pomoc´ı zmˇen vysvˇetluj´ıc´ı veliˇciny X. Pod´ıl ˇca´sti variability Y vysvˇetlené modelem ku celkové variabilitˇe Y , zpravidla vyjádˇren´ y v procentech, se naz´ yvá koeficient determinace R2 a je dán vztahy Pn (a + bxi − y)2 SR 2 i=1 = 1 − Pn , R = Pn 2 2 i=1 (yi − y) i=1 (yi − y kde SR je reziduáln´ı souˇcet ˇctverc˚ u. K u ´plné regresn´ı anal´ yze patˇr´ı i anal´ yza rezidu´ı. Pˇredevˇs´ım by mˇely vyhovovat pˇredpokladu normality, za kterého byly vˇsechny pˇredchoz´ı v´ ysledky odvozeny. Pokud tomu tak nen´ı, nelze v´ ysledky povaˇzovat za d˚ uvˇeryhodné. K ovˇeˇren´ı shody hodnot rezidu´ı s normáln´ım rozdˇelen´ım lze pouˇz´ıt nˇekter´ y z test˚ u, uveden´ ych v odstavci VII.3, nebo pravdˇepodobnostn´ı pap´ır, kter´ y je popsán v kapitole X. Z anal´ yzy rezidu´ı lze detekovat i takzvaná odlehl´ a pozorov´ an´ı. To znamená ty hodnoty, které byly chybnˇe namˇeˇreny nebo indikuj´ı nesrovnalosti v modelu, a jimˇz je tˇreba vˇenovat zvláˇstn´ı pozornost. Ke zjiˇst’ován´ı tˇechto hodnot lze pouˇz´ıt napˇr´ıklad krabicové gragy, popsané v kapitole X. Model lineárn´ı regrese lze pouˇz´ıt i v nˇekter´ ych pˇr´ıpadech, kdy závislost mezi veliˇcinami X a Y nen´ı lineárn´ı. Jsou to pˇr´ıpady, kdy lze provést takzvanou linearizaci modelu. Vhodnou transformac´ı pˇrevedeme nelineárn´ı závislost na lineárn´ı a pouˇzijeme lineárn´ı regresn´ı model. Pˇritom vˇsak mus´ıme b´ yt velmi opatrn´ı, nebot’ vˇse, co bylo odvozeno pro lineárn´ı regresn´ı model za pˇredpokladu normality chybového ˇclenu plat´ı pouze pro ”linearizovan´ y model”, nikoli pro model p˚ uvodn´ı, a to opˇet za pˇredpokladu, ˇze náhodná veliˇcina, odpov´ıdaj´ıc´ı transformovanému chybovému ˇclenu v linearizovaném modelu, má normáln´ı rozdˇelen´ı.


101

Pˇ r´ıklad 2.4.2 Závislost mezi teplotou θ a rychlost´ı posuvu v v pˇr´ıkladu 2.4.1. lze povaˇzovat za regresn´ı závislost ve tvaru θ = α.v β ., kde α a β jsou regresn´ı koeficienty a je náhodná veliˇcina se stˇredn´ı hodnotou 1. Provedemeli transformaci Y = lnθ, X = lnv, a = lnα, e = lnab = β, dostaneme Y = a + bX + e, tedy lineárn´ı vztah. Podobnˇe jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladu lze linearizovat i jiné modely, napˇr. 1 a dalˇs´ı. logaritmick´ y, tj. Y = ln(α + β.X), reciprok´ y Y = α+β.X Pˇ r´ıklad 2.4.3 U 155 automobil˚ u byla sledována spotˇreba pohonných hmot v litrech na 100 km a zaznamenáván zdvihový objem válc˚ u v cm3 . Analyzujte závislost mezi tˇemito veliˇcinami. ˇ sen´ı: Anal´ Reˇ yza pˇr´ımkové regresn´ı závislosti mezi uveden´ ymi veliˇcinami byla zpracována statistick´ ym programov´ ym systémem STATGRAPHICS. V´ ysledky jsou uvedeny v následuj´ıc´ı tabulce: Absolutn´ı ˇclen = a, smˇernice = b, smˇerodatné odchylky parametr˚ u jsou Sa a Sb , statistika T pˇredstavuje hodnoty Ta a Tb a p-hodnota se vztahuje k testu nulovosti regresn´ıch koeficient˚ u a a b. Graf regresn´ı pˇr´ımky, proloˇzené namˇeˇren´ ymi hodnotami je zobrazen spolu s tzv. pásy spolehlivosti“ na ” levém obrázku, na pravém jsou zakreslena rezidua vzhledem k nezávisle promˇenné objem válc˚ u:

2.4.3

P´ asy spolehlivosti a predikce v modelu line´ arn´ı regrese

Kromˇe obecn´ ych u ´vah o závislosti Y na X se ˇcasto vyskytuje potˇreba ode hadu hodnoty Y závisle promˇenné Y pro pˇredem známou hodnotu nezávisle promˇenné X, takzvané pˇ redpovˇ edi, neboli predikce. Zpravidla se pouˇz´ıvá hodnota regresn´ı funkce v daném bodˇe. To je ovˇsem pouze bodov´ y odhad a ten jak v´ıme, silnˇe závis´ı na p˚ usoben´ı náhodn´ ych vliv˚ u v okamˇziku mˇeˇren´ı. Nav´ıc t´ım nedostaneme odpovˇed’ na otázku, zda nˇejakou teoreticky uvaˇzovanou hodnotu Y lze - za pˇredpokladu platnosti naˇseho modelu - oˇcekávat pˇri urˇcité hodnotˇe X se zvolenou pravdˇepodobnost´ı 1 − α. Pˇri vyˇsetˇrován´ı regresn´ı závislosti ˇcasto konstruujeme takzvané p´ asy spolehlivosti. V literatuˇre jich byla navrˇzena celá ˇrad. Uvaˇzujme napˇr´ıklad sjednocen´ı vˇsech interval˚ u spolehlivosti kolem hodnoty regresn´ı pˇr´ımky v jednotliv´ ych hodnotách vysvˇetluj´ıc´ı promˇenné, které v naˇsem experimentu pˇricházej´ı v u ´vahu. Bodov´ y odhad hodnoty regresn´ı funkce Yˆ (x) = a + bx dostneme pomoc´ı odhadu regresn´ıch koeficient˚ u. Podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe intervalov´ ych odhad˚ u

102


pro regresn´ı parametry, i zde lze odvodit statistiku pro nestrann´ y bodov´ y ˆ odhad rozptylu Y (x) (viz [LM]): SY2ˆ = s2 (

1 (x − x)2 + Pn 2 2 ), n i=1 xi − nx

kde s2 je reziduáln´ı rozptyl. Pravdˇepodobnostn´ı rozdˇelen´ı statistiky TYˆ = (Yˆ −a−bx) je Studentovo t-rozdˇelen´ı o (n − 2) stupn´ıch volnosti. Odtud dosYˆ staneme hledan´ y interval spolehlivosti kolem hodnoty regresn´ı pˇr´ımky pro koeficient spolehlivosti (1 − α) ve tvaru: 1 1 Yˆ − SYˆ tn−2 (1 − α) ≤ Y ≤ Yˆ + SYˆ tn−2 (1 − α) 2 2 Horn´ı a doln´ı meze tˇechto interval˚ u budou tvoˇrit dvˇe kˇrivky, mezi nimiˇz leˇz´ı tzv. p´ as spolehlivosti kolem regresn´ı pˇ r´ımky. Zakresl´ıme-li nyn´ı do grafu nˇejakou uvaˇzovanou hodnotu X0 , Y0 , m˚ uˇzeme rozhodnout, zda je tato hodnota v souladu s naˇsimi v´ ysledky (je-li tento bod uvnitˇr pásu), nebo zda se v´ yznamnˇe liˇs´ı (je-li mimo tento pás). Jin´ y pás spolehlivosti dostaneme pouˇzit´ım interval˚ u spolehlivosti pro e predikci. Pro predikci Y hodnoty Y pˇri dané hodnotˇe x je ve [Zr] odvozen v´ yraz pro intervalov´ y odhad 1 1 Yˆ − SYˆ tn−2 (1 − α) ≤ Y ≤ Yˆ + SYˆ tn−2 (1 − α) 2 2 kde SY2ˆ = s2 (1 +

(x − x)2 1 + Pn 2 2 ), n i=1 xi − nx

V´ ysledkem sjednocen´ı horn´ıch a doln´ıch mez´ı intervalov´ ych odhad˚ u pro r˚ uzná Y je p´ as spolehlivosti pro predikci. Tento pás je ˇsirˇs´ı, neˇz pás kolem regresn´ı pˇr´ımky. Na obrázku v pˇr´ıkladu ?? jsou zobrazeny oba uvedené pásy dvojic´ı pˇreruˇsovan´ ych ˇcar tak, jak je zobrazuj statistick´ y program STATGRAPHICS. Uˇzˇs´ı pás (dvojice ˇcar bl´ıˇze k regresn´ı pˇr´ımce) je pás spolehlivosti kolem regresn´ı pˇr´ımky a ˇsirˇs´ı (vzdálenˇejˇs´ı dvojice pˇreruˇsovan´ ych ˇcar) je pás spolehlivosti pro predikci. ˇ Casto nás zaj´ımá toleranˇ cn´ı p´ as, kter´ y se t´ yká rovnˇeˇz predikce. Pokud budeme sledovan´ y experiment provádˇet dále za pˇribliˇznˇe stejn´ ych podm´ınek, dostaneme ˇradu takzvan´ ych budouc´ıch“ pozorován´ı (mˇeˇren´ı). Toleranˇcn´ı ” pás pro 100δ% pozorován´ı na hladinˇe 1 − α je mnoˇzina, ve které s pravdˇepodobnost´ı 1 − α bude leˇzet alespoˇ n 100δ% budouc´ıch pozorován´ı. Kostrukce toleranˇcn´ıho pásu je pomˇernˇe komplikovaná a k jeho v´ ypoˇctu je zpravidla tˇreba pouˇz´ıt specializovan´ y software.

´ 2.5. ZAVISLOST A KORELACE

2.5

103

Z´ avislost a korelace

(Upozornˇen´ı: tento text jeˇstˇe nebyl upraven do koneˇcné podoby. Proto zde chybˇej´ı nˇekteré obrázky a objevuj´ı se zde odkazy na odstavce, které nejsou oznaˇceny odpov´ıdaj´ıc´ım zp˚ usobem. Tyto nedostatky budou postupnˇe odstraˇ novány. Do té doby pros´ım o trpˇelivost a omlouvám se za zt´ıˇzené ˇcten´ı. GDo) Nejˇcastˇejˇs´ım pˇredpokladem pˇri pravdˇepodobnostn´ıch u ´vahách nebo pˇri statistickém vyˇsetˇrován´ı je pˇredpoklad nezávislosti náhodn´ ych veliˇcin. Doposud jsme vˇsak neuvedli ˇza´dn´ y statistick´ y nástroj, jak tuto závislost ˇci ’ nezávislost zjiˇst ovat nebo ovˇeˇrovat. V této kapitole uvedeme dvˇe statistické metody, pomoc´ı nichˇz lze dˇelat jisté závˇery o (lineárn´ı) závislosti dvou náhodn´ ych veliˇcin na základˇe jejich pozorován´ı.

2.5.1

Korelaˇ cn´ı koeficient

Jak jsme uvedli v III.2.3, m´ırou závislosti dvou náhodn´ ych veliˇcin X, Y je jejich korelaˇcn´ı koeficient ρXY . Je-li tento koeficient r˚ uzn´ y od nuly, ˇr´ıkáme, ˇze veliˇciny X a Y jsou stochasticky závislé. Nezávislou mohou b´ yt pouze pˇri nulovém ρXY , ale také nemus´ı, jak ukazuje pˇr´ıklad III.3.5. Korelaˇcn´ımu koeficientu, kter´ y byl definován v III.2.3, odpov´ıdá ve statistickém vyˇsetˇrován´ı v´ ybˇ erov´ y korelaˇ cn´ı koeficient rXY , kter´ y lze spoˇc´ıtat na základˇe mˇeˇren´ı (x1 , y1 ), dots, (xn , yn ) náhodn´ ych veliˇcin X, Y podle vztahu Pn (xi − ¯(x))(yi − ¯(y)) = rXY = pPni=1 P ¯)2 ni=1 (yi − y¯)2 i=1 (xi − x Pn xy¯) i=1 (xi yi − n¯ pP P ( i = 1n x2i − n¯ x2 )( i = 1n yi2 − n¯ y2) Má-li náhodn´ y vektor (X, Y ) sdruˇzené normáln´ı rozdˇelen´ı, potom lze snadno dokázat, ˇze nekorelovanost je totéˇz co nezávilost. Za pˇredpokladu normality lze tedy na základˇe nulovosti korelaˇcn´ıho koeficientu usuzovat na nezávislost. Zpravidla vˇsak máme k dispozici pouze statistiku rXY , která je náhodnou veliˇcinou a jej´ıˇz hodnota je dána momentálnˇe namˇeˇren´ ymi hodnotami v´ ybˇeru. Je-li nenulová, nemus´ı to jeˇstˇe znamenat, ˇze i ρXY = 0 a tedy nekorelovanost veliˇcin X a Y . Nulovost korelaˇcn´ıho koeficientu se ovˇeˇruje pomoc´ı statistického testu. Ten je zaloˇzen na tom, ˇze za pˇredpokladu, ˇze náhodn´ y v´ ybˇer (X1 , Y1 ), . . . , (Xn , Yn ) je ze sdruˇzeného normáln´ıho rozdˇelen´ı s ρXY = 0, potom má veliˇcina √ rXY n − 2 T = p 2 1 − rXY


104

Studentovo t-rozdˇelen´ı o (n − 2) stupn´ıch volnosti. Test nulovosti korelaˇ cn´ıho koeficientu na hladinˇe v´ yznamnosti α potom zam´ıtá hypotézu H : ρXY = 0 proti alternativˇe A : ρXY 6= 0, pokud |T | ≥ tn−2 (1 − α2 ), kde tn−2 (1 − α2 ) je (1 − α2 )-kvantil t-rozdˇelen´ı o n − 2 stupn´ıch volnosti. Nejsou-li splnˇeny pˇredpoklady pro pouˇzit´ı v´ yˇse uvedeného testu (normáln´ı sdruˇzené rozdˇelen´ı (X, Y ), m˚ uˇzeme pro test nezávislosti X a Y pouˇz´ıt tzv. Spearman˚ uv korelaˇ cn´ı koeficient. V tomto pˇr´ıpadˇe se pouze pˇredpokládá, ˇze náhodn´ y v´ ybˇer (X1 , Y1 ), . . . , (Xn , Yn ) je ze spojitého dvojrozmˇerného rozdˇelen´ı. Uspoˇra´dejmˇe namˇeˇrené hodnoty x1 , . . . , xn podle velikosti a jejich poˇrad´ı oznaˇcme R1 , . . . , Rn . Obdobnˇe budeme postupovat s y1 , . . . , yn , jejichˇz poˇrad´ı oznaˇc´ıme Q1 , . . . , Qn . Nyn´ı spoˇcteme v´ ybˇerov´ y korelaˇcn´ı koeficient pro dvoS jice (Ri , Qi ), i = 1, . . . , n a oznaˇc´ıme jej rXY : Pn ¯¯ S i=1 Ri Qi − nRQ rXY = p Pn P n 2 ¯2 ¯ 2 ][ [ i=1 Ri2 − nR i=1 Qi − nQ ] kde ¯= R a P

1 n

n i=1

Pn

i=1

Ri2 =

¯= Ri = Q

Pn

i=1

Q2i =

1 n

Pn

i=1

Qi =

n+1 2

n(n+1)(2n+1) . 6

Dále je n X i=1

n

Ri Qi = −

n

n

X X 1X (Ri − Qi )2 + Ri2 + Q2i = 2 i=1 i=1 i=1 n

n(n + 1)(2n + 1) 1X (Ri − Qi )2 + . (2.2) − 2 i=1 6 2 Dosazen´ım do vzorce pro rXY dostáváme tzv. Spearman˚ uv korelaˇ cn´ı koeficient n X 6 S rXY = 1 − (Ri − Qi )2 . n(n2 − 1) i=1

Test nezávislosti X a Y na hladinˇe v´ yznamnosti α je potom zaloˇzen na nerovnosti S |rXY | ≥ k(α), kde k(α) je kritická hodnota, kterou lze pro malé rozsahy v´ ybˇeru (n ≤ 30) nalézt v tabulkách (viz napˇr. [An]) nebo pˇri vˇetˇs´ıch rozsaz´ıch, tj. pro n > 30, u(1− α ) ji lze aproximovat hodnotou k ∗ (α) ∼ = √n−12 , kde u(1 − α2 ) je (1 − α2 )-kvantil rozdˇelen´ı N (0, 1).

´ 2.5. ZAVISLOST A KORELACE

2.5.2

105

Test nez´ avislosti v kontingenˇ cn´ı tabulce

V odstavci III.3 byla charakterizována nezávislost veliˇcin X a Y pomoc´ı srovnán´ı sdruˇzeného rozdˇelen´ı s margináln´ımi. Pˇri statistickém ˇsetˇren´ı je tˇreba postupovat sice opatrnˇeji, nicménˇe lze tak uˇcinit podobn´ ym zp˚ usobem. Pouze teoretická rozloˇzen´ı nahrad´ıme jejich empirick´ ymi odhady, tj. pomˇern´ ymi ˇcetnostmi. Mˇejme k dispozici nezávislá pozorován´ı (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) náhodného vektoru (X, Y ). Pˇredpokládejme, ˇze veliˇcina X m˚ uˇze nab´ yvat pouze hodnoty z mnoˇziny A1 , . . . , Ak a veliˇcina Y nab´ yvá hodnoty z mnoˇziny B1 , . . . , Bl ). Spoˇc´ıtáme ˇcetnosti nrs , reprezentuj´ı poˇcet namˇeˇren´ ych dvojic xi , yj takov´ ych, Pk ˇze xi = Ar , , yj = Bs , r = 1, . . . , k, s = 1, . . . , l. Oznaˇcme n.j = i=1 nij ani. = Pl c´ıtané hodnoty uspoˇra´dáme to tzv. kontingenˇ cn´ı tabulky: j=1 nij . Napoˇ TABULKA n Pomˇerné ˇcetnosti nij lze povaˇzovat za odhad sdruˇzeného rozdˇelen´ı pij náhodného vektoru (X, Y ), nni . a nn. j za odhad margináln´ıch rozdˇelen´ı qi , rj veliˇcin X a Y . Za pˇredpokladu nezávislosti by mˇelo b´ yt pij = qi rj (viz n n ni j III.3.1) a tedz budeme oˇcekávat, ˇze bude pˇribliˇznˇe n = i.n2 .j . To odpov´ıdá P P n n poˇzadavku,aby souˇcet ki=1 lj=1 ( nij − nni. n.j )2 byl mal´ y. Test nezávislosti náhodn´ ych veliˇcin X a Y je zaloˇzen na statistice která má za pˇredpokladu nezávislosti veliˇcin X a Y pˇri velk´ ych n pˇribliˇznˇe 2 rozdˇelen´ı χ o m = (k − 1)(l − 1) stupn´ıch volnosti. Hypotézu nezávislosti tedy zam´ıtneme, pokud bude χ2 ≤ χ2m (1 − α). Pˇ r´ıklad 2.5.1 U 155 automobil˚ u byla mˇeˇrena spotˇreba pohonných hmot, výkon a obsah válc˚ u. Podle velikosti spotˇreby na jednotku výkonu byly automobily rozdˇeleny do tˇr´ı kategori´ı: n´ızká (do 0.15), pr˚ umˇerná (0.15-0.2) a vysoká (v´ıce neˇz 2.0). Podle objemu byly rozdˇeleny do sedmi kategori´ı, prvn´ı do 1500 ccm a dále po 500 ccm, takˇze sedmá kategorie byly vozy s objemem vˇetˇs´ım neˇz 4000 ccm. V tabulce jsou uvedenz ˇcetnosti namˇeˇrených hodnot: spotˇreba/ jedn.výkonu n´ızká pr˚ umˇerná vysok´ P a

1 5 22 3 30

2 15 28 2 45

objem válc˚ u 3 4 5 9 8 1 16 3 5 5 1 0 30 12 6

P 6 7 2 10 50 11 8 93 0 1 12 13 19 155

Existuje statisticky významná závislost spotˇreby na výkonu a obsahu válc˚ u? ˇ sen´ı: Uloha ´ Reˇ byla zpracována programem MYSTAT, kter´ y poskytl tyto 2 v´ ysledky: statistika χ nab´ yvá hodnoty 22,786, poˇcet stupˇ n˚ u volnosti je 12

106


a p-hodnota je rovna 0,30. Tedy na hladinˇe v´ yznamnosti α > 0, 03 bychom mohli jeˇstˇe hypotézu o nezávislosti zam´ıtnout. Konkrétnˇe pro α = 0, 05 je (1 − α)-kvantil rozdˇelen´ı χ2 (12) roven (podle [Jn]χ212 (0, 95) = 21, 0. Na této hladinˇe v´ yznamnosti hypotézu o nezávislosti zam´ıtneme. Pokud vˇsak poloˇz´ıme α = 0, 01, pak odpov´ıdaj´ıc´ı kvantil bude χ212 (0, 99) = 26, 2 a tedy na této hladinˇe hypotézu o nezávislosti nelze zam´ıtnout. Statistika χ2 slouˇz´ı pouze pro test nezávislosti a nelze ji pouˇz´ıvat jako m´ıru závislosti veliˇcin X a Y. Hodnota této statistiky závis´ı na rozsahu v´ ybˇeru následuj´ıc´ım zp˚ usobem. Kdyby byla jej´ı hodnota poˇc´ıtána dvakrát na základˇe dvou v´ ybˇer˚ u, obsahuj´ıc´ıch stejné hodnoty, pˇriˇcemˇz ve druhém v´ ybˇeru by se kaˇzdá dvojice (xi , yj ) opakovala dvakrát, tj. tento v´ ybˇer by mˇel dvojnásobn´ y rozsah, pak by druhá vypoˇc´ıtaná hodnota byla dvojnásobná. Pˇritom m´ıra závislosti mˇeˇrená napˇr´ıklad korelaˇcn´ım koeficientem z˚ ustává stejná.

2.6

Grafick´ e metody anal´ yzy dat

Grafické metody jsou ve statistice stále v´ıce pouˇz´ıvány pˇredevˇs´ım pro jejich názornost a dostupnost d´ıky rychlé v´ ypoˇcetn´ı technice. Takzvaná vizualizace dat je mocn´ ym nástrojem pˇri anal´ yze dat, regresn´ı anal´ yze, anal´ yze ˇcasov´ ych ˇrad a dalˇs´ıch. Grafické metody ˇcasto nahrazuj´ı – pˇredevˇs´ım v prvn´ı fázi statistického vyˇsetˇrován´ı – metody analytické.

2.6.1

Frekvenˇ cn´ı (ˇ cetnostn´ı) grafy

Jedn´ım ze základn´ıch typ˚ u grafického zobrazen´ı ve statistické anal´ yze jsou frekvenˇ cn´ı grafy. Tyto grafy nám poskytuj´ı základn´ı pˇredstavu o tvaru pravdˇepodobnostn´ıho rozdˇelen´ı hodnot ve v´ ybˇeru. Frekvenˇcn´ı grafy zobrazuj´ı informace obsaˇzené v frekvenˇcn´ı tabulce (viz V.2.3). Sloupkov´ y diagramje konstruován následuj´ıc´ım zp˚ usobem: kaˇzdé tˇr´ıdˇe frekvenˇcn´ı tabulky odpov´ıdá jeden obdéln´ık, jehoˇz v´ yˇska je u ´mˇerná ˇcetnosti a ˇs´ıˇrka tˇr´ıdn´ımu rozpˇet´ı. Nˇekdy se do grafu k jednotliv´ ym obdéln´ık˚ um zakresluj´ı informace o pr˚ umˇeru a smˇerodatné odchylce uvnitˇr kaˇzdé tˇr´ıdy. ˇ V pˇr´ıpadˇe zobrazen´ı relativn´ıch ˇcetnost´ı mluv´ıme téˇz o histogramu. Casto se pro srovnán´ı dvou a v´ıce v´ ybˇer˚ u zakresluje do jednoho grafu v´ıce histogram˚ u zároveˇ n. Polygon ˇ cetnost´ı nebo jen polygon, je graf, v nˇemˇz jsou u ´seˇckami spojeny body, odpov´ıdaj´ıc´ı sv´ ymi souˇradnicemi dvojic´ım (stˇred i-té tˇr´ıdy, ˇcetnost i-té tˇr´ıdy. Také tento graf umoˇzn ˇuje srovnán´ı typu rozloˇzen´ı v´ıce v´ ybˇer˚ u v jednom grafu.

´ METODY ANALYZY ´ 2.6. GRAFICKE DAT

107

Kruhov´ e diagramy nebo téˇz kol´ aˇ cov´ e grafy. Zat´ımco prvn´ı dva typy se pouˇz´ıvaj´ı k zobrazen´ı vˇsech druh˚ u ˇcetnost´ı, kruhové diagramy zobrazuj´ı pouze prosté ˇcetnosti, nejˇcastˇeji v relativn´ım tvaru, vyjádˇrené v procentech. Sloupkov´ y diagram a polygon jsou ˇcasto uˇz´ıvány pˇri usuzován´ı o tvaru hustoty ˇci distribuˇcn´ı funkce pravdˇepodobnostn´ıho rozdˇelen´ı. Do grafu b´ yvá zakreslena kˇrivka hustoty (v pˇr´ıpadˇe pomˇern´ ych ˇcetnost´ı) nebo distribuˇcn´ı funkce (zobrazujeme-li pomˇerné kumulativn´ı ˇcetnosti) nˇekterého teoretického rozdˇelen´ı a opticky usuzujeme o jej´ı vhodnosti. Tento postup zpravidla pˇredcház´ı dalˇs´ım odhad˚ um a test˚ um.

2.6.2

Grafick´ e metody pr˚ uzkumov´ e anal´ yzy dat

Stonek s listy (Steam and leaf diagram) je grafická podoba frekvenˇcn´ıho histogramu. Na rozd´ıl od nˇeho vˇsak tento graf uchovává alespoˇ n ˇca´steˇcnˇe informaci o pozorovan´ ych hodnotách. Základem je rozdˇelen´ı dat do tˇr´ıd (tˇr´ıdn´ıch interval˚ u). Jejich oznaˇcen´ı se zakresluje nalevo od svislé ˇca´ry pˇredstavuj´ıc´ı stonek. Napravo v jednotliv´ ych ˇra´dc´ıch pˇredstavuj´ıc´ıch listy jsou vypsány bud’ jednotlivé hodnoty, nebo skupiny znak˚ u, které je zastupuj´ı. Nˇekdy se jeˇstˇe zaznamenávaj´ı horn´ı a doln´ı kvartily, medián. Pˇr´ıklad. Na diagramu jsou metodou stonek s listy“ zobrazeny namˇeˇrené ” hodnoty spotˇreby pohonn´ ych hmot automobil˚ u z pˇr´ıkladu VIII.3.3 jak jej zobrazuuje program MYSTAT: Krabicov´ y graf (Box and whiskers plot, neboli krabice s vousy“. ” Data jsou zde zobrazena ve formˇe obdéln´ıku (krabice), z nˇehoˇz nahoru a dol˚ u vyb´ıhaj´ı u ´seˇcky (vousy). V´ yˇska obdéln´ıka je rovna (v daném mˇeˇr´ıtku) velikosti mezikvartilového rozpˇet´ı RQ, pˇriˇcemˇz doln´ı, resp. horn´ı, strana odpov´ıdá doln´ımu resp. horn´ımu kvartilu. Uvnitˇr je obdéln´ık pˇredˇelen pˇr´ıˇckou v m´ıstˇe mediánu M e. Vousy“ spojuj´ı hodnoty, splˇ nuj´ıc´ı nerovnost 21 RQ ≤ ” |x−M e| ≤ K.RQ, kde K je konstanta vˇetˇs´ı neˇz 1. Obvykle K = 1, 5nebo1, 75. Hodnoty vnˇe tohoto intervalu se zobrazuj´ı jako izolované body (hvˇezdiˇckou) za pˇredpokladu normáln´ıho rozdˇelen´ı je lze povaˇzovat za tzv. odlehl´ a pozorov´ an´ı. Vrubov´ e grafy (Notched box plots) jsou konstruovány stejnˇe jako krabicové grafy, nav´ıc vˇsak obsahuj´ı informaci o intervalu spolehlivosti pro odhad mediánu. Po obou stranách obdéln´ıku jsou v m´ıstˇe mediánu záˇrezy, tzv. vruby, jejichˇz ˇs´ıˇrka je u ´mˇerná velikosti intervalu spolehlivosti. Oznaˇc´ıme-li 1 x e odhad mediánu, Sxe = 0, 926RQ.N − 2 odhad jeho smˇerodatné odchylky, pak interval spolehlivosti je dán vztahem Ixe = x e − C.Sxe, x e + C.Sxe, kde C je konstanta, která závis´ı na poˇzadovaném koeficientu spolehlivosti a typu rozdˇelen´ı. Pro α = 0, 05 ( 95% interval spolehlivosti) je doporuˇcena hodnota pˇribliˇznˇe C = 1, 7.

108


Srovnán´ım nˇekolika vrubov´ ych graf˚ u pro r˚ uzné v´ ybˇer v jednom mˇeˇr´ıtku vedle sebe pˇri stejném α, m˚ uˇzeme opticky porovnat v´ ybˇery z hlediska rovnosti stˇredn´ı hodnoty jejich medián˚ u na hladinˇe v´ yznamnosti α. Pokud se vruba zˇretelnˇe pˇrekr´ yvaj´ı, lze soudit o shodˇe, nepˇrekr´ yvaj´ı-li se v˚ ubec, je to znamen´ı v´ yznamného rozd´ılu. Vˇzdy vˇsak je tˇreba tuto hypotézu testovat pomoc´ı statistického testu. Pro srovnán´ı a hledán´ı závislost´ı ve v´ıcerozmˇern´ ych v´ ybˇerech (kde sledujeme v´ıce znak˚ u najednou) existuje ˇrada grafick´ ych metod, z nichˇz nejjednoduˇsˇs´ı jsou hvˇ ezdicov´ e grafy a paprskov´ e grafy. Pˇr´ıkladem tˇechto graf˚ u m˚ uˇze b´ yt zobrazen´ı souboru AUTA, v nˇemˇz byly u kaˇzdého automobilu mˇeˇreno pˇet veliˇcin U, V, X, Y, Z. V obou pˇr´ıpadech je základem grafu hvˇezdice, jej´ıˇz jednotlivé paprsky odpov´ıdaj´ı mˇeˇren´ ym veliˇcinám, ale jejich rozmˇery maj´ı v obou pˇr´ıpadech r˚ uznou interpretaci. Délka paprsk˚ u v hvˇ ezdicov´ em grafu (Star Plot) je promˇenná podle velikosti namˇeˇren´ ych hodnot. Jejich konce jsou spojeny a tvoˇr´ı ”hvˇezdici”: V pˇr´ıpadˇe paprskov´ eho grafu (Sun-ray Plot) délky paprsk˚ u odpov´ıdaj´ı r/násobku smˇerodatné odchylky pˇr´ısluˇsné veliˇciny, na kaˇzdém je vyznaˇcena namˇeˇrená hodnota a tyto jsou spojeny u ´seˇckami. Hodnoty jsou zobrazeny relativnˇe tak, ˇze délky paprsk˚ u reprezentuj´ı rozsah hodnot (aritmetick´ y pr˚ umˇer je tedy ve stˇredu paprsku):

2.6.3

Pravdˇ epodobnostn´ı pap´ır

K ovˇeˇren´ı shody namˇeˇren´ ych dat s teoretick´ ym rozdˇelen´ım pravdˇepodobnosti a k odhadu jeho parametr˚ u lze pouˇz´ıt tzv. pravdˇ epodobnostn´ı pap´ır. Je to vlastnˇe graf transformovan´ ych hodnot empirické distribuˇcn´ı funkce, v nˇemˇz se hodnoty odpov´ıdaj´ıc´ı teoretické distribuˇcn´ı funkce zobrazuj´ı na pˇr´ımku. Pro tento typ grafu se pouˇz´ıvá bud’ pap´ır s pˇredtiˇstˇenou mˇr´ıˇz´ı, coˇz je obdoba logaritmického pap´ıru“ s logaritmick´ ym mˇeˇr´ıtkem na jedné nebo na ” obou osách nebo jej generujeme pˇr´ımo na obrazovce poˇc´ıtaˇcového monitoru. Mˇejme v´ ybˇer X1 , . . . , Xn a oznaˇcmˇe Fn (x) jeho empirickou distribuˇcn´ı funkci (viz V.3.6). Necht’ G(x) a G−1 (x) oznaˇcuj´ı teoretickou ryze monotónn´ı distribuˇcn´ı funkci a funkci k n´ı inverzn´ı. Pro ovˇeˇren´ı shody namˇeˇren´ ych hodnot s rozdˇelen´ım s distribuˇcn´ı funkc´ı y = G(x) pouˇzijeme bodov´ y graf hodnot (xi , yi ), kde yi = G−1 (Fn (xi )), i = 1, . . . , n. Pokud by funkce Fn a G byly totoˇzné, potom by muselo b´ yt yi = xi a body (yi , xi ) by leˇzely na pˇr´ımce y = x. Je-li skuteˇcné rozdˇelen´ı v´ ybˇeru bl´ızké teoretickému s distribuˇcn´ı funkc´ı y = G(x), potom budou body (yi , xi ) leˇzet v tˇesné bl´ızkosti pˇr´ımky (y = x). Pˇ r´ıklad 2.6.1 V pˇr´ıkladu ?? jsou uvedeny výsledky analýzy lineárn´ı regrese

´ METODY ANALYZY ´ 2.6. GRAFICKE DAT

109

Obrázek 2.1: Distribuˇcn´ı funkce diskrétn´ı náhodné veliˇciny z pˇr´ıkladu 1.2.1.

110


mezi spotˇrebou a objemem automobilu. Ovˇeˇrte, zda rezidua v tomto modelu vyhovuj´ı normáln´ımu rozdˇelen´ı. ˇ sen´ı: Tuto shodu lze zobrazit pomoc´ı normáln´ıho pravdˇepodobnostn´ıho Reˇ pap´ıru, jak je ukázáno na obrázku vpravo (graf byl poˇr´ızen programem STATGRAPHICS). Z obrázku je patrné, ˇze odklon hodnot od pˇr´ımky je dosti velk´ y. Proto je tˇreba provést test normality na zadané hladinˇe v´ yznamnosti. Popsanou metodu lze pouˇz´ıt i k rychlému a hrubému odhadu parametr˚ u v pˇr´ıpadˇe, kdy máme pˇredstavu o typu teoretického rozdˇelen´ı. Pˇredpokládejme, ˇze máme v´ ybˇer X1 , . . . , Xn z normáln´ıho rozdˇelen´ı N (µ, σ 2 ) , kde Φ je distribuˇcn´ı funkce rozdˇelen´ı s distribuˇcn´ı funkc´ı F (x) = Φ x−µ σ x−µ −1 N (0, 1). Potom Φ (F (x)) = σ . Zobraz´ıme-li nyn´ı v grafu body o souˇradnic´ıch Xi , Φ−1 (F (Xi )), za v´ yˇse uvedeného pˇredpokladu budou v bl´ızkosti pˇr´ımky y = αx − β, kde α = σ1 , β = σµ . Proloˇz´ıme jimi tedy pˇr´ımku a z grafu odeˇcteme jej´ı smˇernici α a posunut´ı β, z nich pak spoˇcteme odhady parametr˚ u µ a σ.

2.6.4

Grafy rozpt´ ylenosti

Grafy rozpt´ ylenosti nebo téˇz rozptylov´ e ˇci korelaˇ cn´ı grafy jsou vedle frekvenˇcn´ıch graf˚ u nejˇcastˇeji pouˇz´ıvan´ ym zobrazen´ım namˇeˇren´ ych dat. Pouˇz´ıvaj´ı se pˇredevˇs´ım v regresn´ı anal´ yze, k anal´ yze trend˚ u (závislosti) v ˇcasov´ ych ˇradách, ve shlukové anal´ yze a podobnˇe. Pouˇz´ıvaj´ı se nejˇcastˇeji jako bodov´ e, spojnicov´ e nebo sloupcové. Indexov´ y graf. Pˇri zobrazen´ı jednorozmˇerného v´ ybˇeru, napˇr´ıklad ˇcasové ˇrady, zakreslujeme data do pravo´ uhl´ ych souˇradnic, kde x-ové souˇradnici na vodorovné ose odpov´ıdá ˇc´ıslo mˇeˇren´ı (index) i a y-ové souˇradnici na svislé ose namˇeˇrená hodnota xi . Pˇri zobrazen´ı ˇcasové ˇrady má index v´ yznam ˇcasu mˇeˇren´ı. Jednotlivé hodnoty se zobrazuj´ı bud’ jako body (bodov´ y graf), spojuj´ı se u ´ˇceˇckami (spojnicov´ y graf) nebo jako sloupce (sloupcov´ y graf). Pouˇzijemeli nam´ısto pravo´ uhl´ ych souˇradnic polárn´ı, dostaneme tzv. radarov´ y graf. Pˇri sledován´ı regresn´ı závislosti mezi veliˇcinami X a Y pouˇz´ıváme dvourozmˇ ern´ y rozptylov´ y graf, zobrazuj´ıc´ı namˇeˇrené hodnoty jako body (xi , yi ) v pravo´ uhl´ ych souˇradnic´ıch. Tento typ grafu je ˇcasto jedin´ ym vod´ıtkem pˇri urˇcován´ı typu regresn´ı závislosti. Pˇr´ıklady rozptylov´ ych graf˚ u jsou uvedeny v pˇr´ıkladu VIII.2.11.

Kapitola 1. Základy teorie pravděpodobnosti

Recommend Documents