Kajian Simulasi terhadap Sensitivitas Portofolio Optimal Model Mean-Variance

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016 S-2

Kajian Simulasi terhadap Sensitivitas Portofolio Optimal Model Mean-Variance Epha Diana Supandi1,2, Dedi Rosadi2, Abdurakhman2 1

Program Studi Matematika, FSAINTEK UIN Sunan Kalijaga, Yogyakarta 2 Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta email: [email protected]

Abstrak— Portofolio mean-variance (MV) sudah digunakan sebagai konsep standar untuk masalah pemilihan portofolio optimal tetapi kelemahan model portofolio MV terletak pada proses estimasi paramaternya. Tulisan ini menyelidiki pengaruh estimasi paramater terhadap kinerja portofolio MV. Melalui kajian simulasi dibandingkan kurva efisien frontier sebenarnya (the true efficient frontier) dengan kurva efisien frontier aktual (the actual efficient frontier). Selain itu, besarnya kesalahan estimasi parameter vektor mean dan matriks kovarian pada pembentukan model MV diukur dengan menggunakan root mean square error (RMSE). Kata kunci: portofolio mean-variance, kurva efisien, root mean square error

I.

PENDAHULUAN

Portofolio mean-variance (MV) yang pertama kali diperkenalkan oleh [1] sudah digunakan sebagai konsep standar untuk masalah pemilihan portofolio optimal tetapi kelemahan model portofolio MV terletak pada proses estimasi paramater - paramaternya. Referensi [2] menyelidiki implikasi dari kesalahan setimasi pada portofolio. Referensi [3] menganalisa pengaruh perubahan vektor mean return terhadap kurfa efisien frontier dan bobot portofolio optimal. Referensi [4] meneliti pengaruh kesalahan estimasi pada mean, variansi dan kovariansi terhadap fungsi utilitas investor. Sedangkan [5] menyelidiki pengaruh kesalahan estimasi parameter vektor mean dan matriks kovariansi pada kurva efisien frontier aktual. Referensi [6] telah menyelidiki sensitivitas portofolio MV dengan membandingkan kurva efisisen actual dengan kurva efisien dugaanya. Semua penelitan tersebut menyimpulkan bahwa komposisi (bobot) portofolio optimal MV ini sangat dipengaruhi oleh perubahan input pada parameternya. Untuk melihat ketidakstabilan dari portofolio MV terhadapi nput paramaternya yaitu dengan membangun kurva efisien frontier. Kurva efisien frontier adalah kurva yang menunjukan semua kemungkinan portofolio portofolio yang paling efisien artinya suatu portofolio yang memiliki tingkat keuntungan paling besar pada tingkat risiko tertentu atau portofolio yang menghasilkan risiko paling kecil pada tingkat keuntungan tertentu (lihat [7]). Pada makalah ini akan mengkaji kinerja portofolio MV melalui kajian simulasi. Kelemahan dari portofolio MV diselidiki dengan menggunakan simulasi seperti yang dilakukan oleh [5]. Fokus penelitian adalah untuk melihat pengaruh yang signifikan dari input estimasi parameter terhadap pembentukan kurva efisien frontier aktual terhadap kurva efisien frontier sebenarnya. Lebih lanjut salah satu cara mengukur besarnya kesalahan dalam pembentukan portofolio optimal yaitu dengan mengukur jarak antara titik pada kurva EF sebenarnya dengan titik pada kurva EF aktual. Mengukur besarnya kesalahan estimasi parameter vektor mean dan matriks kovarian pada pembentukan portofolio optimal model MV dengan menggunakan root mean square error (RMSE).

1

ISBN. 978-602-73403-1-2

II.

LANDASAN TEORI

A. Portofolio Mean-Variance Portofolio merupakan sekumpulan aset baik berupa real assets maupun financial assets yang bertujuan untuk mengurangi risiko dengan cara diversifikasi, yaitu mengalokasikan sejumlah dana pada berbagai alernatif investasi (lihat [7]). Andaikan investor yang rasional akan menanamkan sejumlah dana dengan membuat portofolio dari aset. Misalkan adalah data return dari aset dengan vektor mean dan matriks kovarian . Maka mean portofolio adalah dan Variansi portofolio . Sehinggap portofolio mean-variance dapat diformulasikan dengan menyelesaikan masalah optimisasi berikut ini (lihat pada [1])

(1) dimana adalah vektor bobot portofolio, γ ≥ 0 adalah parameter risk averse yaitu ukuran relative penghindaran risiko. Untuk mengimplementasikan model MV, diperlukan penduga bagi parameter vektor mean dan matriks kovariansi. Pada umumnya, bobot portofolio optimal MV diperoleh dengan menggunakan penduga maksimum likelihood (MLE) yaitu dan

dan

. Dengan menggunakan penduga

maka portofolio optimal MV diperoleh dengan menyelesaikan persamaan berikut ini

(2) Dengan menggunakan metode Lagrange, portofolio optimal dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan berikut ini: (3)

B. Karakteristik Kurva Efisien Frontier Dalam pembentukan portofolio efisien, asumsi perilaku investor yang wajar terjadi dalam keputusan investasi adalah investor yang tidak suka terhadap risiko (risk averter). Suatu portofolio dikategorikan sebagai portofolio efisien, apabila portofolio tersebut terletak pada permukaan efisien (Efficient frontier). Merujuk pada [7], efficient frontier (EF) adalah kurva yang menghubungkan portofolio efisien yang memiliki kondisi sebagai berikut: 1. Memberikan expected return terbesar pada tingkat risiko tertentu, atau 2. Memberikan tingkat risiko terkecil pada expected return tertentu. Merujuk [9] portofolio efisien diberikan oleh definisi berikut ini: Definisi 1. Suatu portofolio w∗ disebut (mean variance) efisien jika tidak ada portofolio dengan µw ≥ µ(w∗) dan Σw ≤ Σ(w∗). Referensi [8] telah menyelidiki karakteristik kurva EF dalam pembentukan portofolio model MV. Hubungan antara tingkat risiko tertentu dengan tingkat keuntungan yang diharapkan dapat diformulasikan dengan menggunakan persamaan berikut ini: (4)

Dimana

;

; dan

2

.

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016

Kurva EF biasanya ditampilkan dalam ruang artinya kurva EF diukur dengan standar deviasi (ukuran risiko portofolio) dan tingkat keuntungan portofolio (diukur dengan mean portofolio). Alasan ini karena besaran standar deviasi mempunyai besaran yang sama dengan data aslinya, oleh karena itu konsep ini lebih relevan. Dengan mengambil akar kuadrat dari persamaan (4), maka hubungan antara risiko dengan keuntungan dapat dituliskan kembali dalam persamaan (5): (5) Persamaan (5) adalah persamaan hiperbola dengan garis asimtot:

Kurva EF pada kasus ini digambarkan dengan fungsi hiperbola pada bagian kanan saja. Kurva efisien frontier yang ditampilkan dalam ruang ( , dapat dilihat pada Gambar 1:

GAMBAR 1. KURVA EFISIEN FRONTIER DALAM RUANG (

III.

,

METODE PENELITIAN

Untuk mendemonstrasikan pengaruh kesalahan estimasi pada portoflio MV, misalkan terdapat 5 aset dengan parameter vektor mean yaitu:

dan kovarian matriks return sebagai berikut:

Untuk melihat ketidakstabilan dari portofolio MV terhadap input paramaternya yaitu dengan membangun kurva efisien frontier (EF). Karakteristik kurva EF telah diselediki oleh [6]. Pada simulasi ini dibandingkan kurva efisien frontier sebenarnya (the true efficient frontier) dengan kurva efisien frontier aktual (the actual efficient frontier).

3

ISBN. 978-602-73403-1-2

Menurut [5] kurva efisien frontier sebenarnya diperoleh dengan cara memplotkan berbagai nilai risk aversion sedangkan kurva efisien frontier aktual dimana . Pada simulasi ini dipilih γ = (0,100).

pada dan

Kajian simulasi dijelaskan melalui Algoritma 1 berikut ini.

Algoritma 1. Pembentukan kurva efisien frontier sebenarnya dan aktual 1. Bangkitkan sampel berukuran n = 45,100,300 dan 500; 2. Hitung dan ; 3. Untuk γ = 1 sampai dengan γ = 100: a. Tentukan bobot portfolio optimal dengan menggunakan persamaan (3), diperoleh b. Hitung dan ; c. Buat kurva efisien frontier sebenarnya dan kurva efisien frontier aktual 4. Ulangi langkah 1 dan 3 sebanyak 100 kali.

IV.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Gambar 2. memperlihatkan kesalahan estimasi pada portofolio MVdengan berbagai ukuran sampel. Pada panel (a) diperlihatkan perbandingan antara kurva EF sebenarnya dengan kurva EF aktual dengan = 45, terlihat bahwa kurfa EF aktual berada dibawah kurva EF sebenarnya dengan perubahan yang cukup besar. Hasil simulasi dapat dilihat pada gambar 2. Apabila dibandingkan Gambar 2 panel (a) dengan panel (b), (c) dan (d) dapat disimpulkan bahwa kinerja kurva EF aktual semakin mendekati kurva EF sebenarmya apabila ukuran sampel bertambah. Selain itu juga dapat diamati bahwa fluktuasi kurva EF aktual semakin berkurang dengan meningkatnya ukuran data, oleh karena itu keakuratan portofolio MV dapat dilakukan dengan cara menambah ukuran data.

GAMBAR 2. KURVA EFfiCIENT FRONTIER

4

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016

Selanjutnya [5] mengukur besarnya kesalahan estimasi parameter vektor mean dan matriks kovarian pada pembentukan portofolio optimal model MV dengan menggunakan root mean square error (RMSE).Salah satu cara mengukur besarnya kesalahan dalam pembentukan portofolio optimal yaitu dengan mengukur jarak antara titik pada kurva EF sebenarnya dengan titik pada kurva EF aktual, maka rumus untuk menghitung RMSE bagi mean dan risiko portfolio adalah:

(6)

dan

(7)

dimana S menunjukan banyaknya simulasi. Persamaan (6) dan (7) mengukur kinerja relative portofolio aktual terhadap portofolio optimal sebenarnya. Tabel 1 memperlihatkan nilai RMSE dengan ukuran sampel berbeda - beda. Pada Tabel 1 ”Target” adalah titik optimal pada kurva EF sebenarnya. Nilai pada Tabel 1. diperoleh dengan menggunakan persamaan (6) dan (7) dengan banyaknya simulasi 100. Dapat diperhatikan bahwa nilai RMSE untuk kedua paramater semakin berkurang dengan bertambahnya ukusan sampel. Pada kasus γ = 1, nilai RMSE untuk mean portofolio pada n = 45 sebesar 0,002025 sedangkan ketika n = 500 maka RMSE menjadi 0,001111.

TABEL 1. NILAI ROOT MEAN SQUARE ERROR (RMSE) UNTUK MEAN PORTOFOLIO DAN RISIKO PORTOFOLIO

Statistik

Risk Aversion () 0,01

1

5

10

100

0,3207

0,3208

0,2627

0,2627

0,1841

0,1841

5,4390

5,0902

4,9684

4,9217

0,2153

0,2052

0,1314

0,0839

0,0458

0,0458

0,0458

0,0458

0,0040

0,1980

0,2011

0,1649

0,1014

0,0544

0,0324

2,3540

1,6600

0,5351

0,3260

0,1010

0,1667

0,1409

0,0676

0,0300

0,0191

2,0283

1,1875

0,2403

0,1604

0,0401

0,1274

0,1111

0,0488

0,0322

0,0139

1,8707

1,0304

0,1899

0,1073

0,0235

Target

n = 45

n = 100

n = 300

n = 500

Nilai RMSE variansi portofolio pada n = 45 adalah 0,01860 menjadi 0,00235 pada n = 500. Tabel 1. dapat membantu investor dalam membangun portofolio dengan menggunakan model mean-variance. Misalkan ditentukan γ = 1 dan investor menginginkan RMSE portofolio mean kurang dari 0,15% dan RMSE risiko portofolio kurang 1,5% maka banyaknya data yang harus digunakan sekitar 300 pengamatan. Misalkan data di atas adalah return mingguan dari lima buah asset maka investor memerlukan kurang lebih 6 tahun pengamatan untuk mendapatkan tingkat keakuratan yang diinginkan. Menurut [10] kendala yang harus dihadapi ketika menggunakan pengamatan yang cukup besar adalah data historis return mungkin tidak tersedia dilapangan dan tingkat fluktuasinya cukup besar. Selain itu, penduga MLE yang digunakan sebagai input pada pembentukan portofolio optimal memerlukan asumsi bahwa data return harus berdistribusi normal multivariat.

5

ISBN. 978-602-73403-1-2

Dalam kenyataannya data dibidang keuangan tidak memenuhi asumsi normalitas data. Oleh karena itu, untuk mengatasi permasalahan tersebut, maka perlu dibangun suatu penduga yang lebih kokoh (robust) terhadap penyimpangan - penyimpangan dalam data. V.

SIMPULAN DAN SARAN

Fokus penelitian ini terletak pada adanya pengaruh yang signifikan dari input estimasi parameter terhadap pembentukan kurva efisien frontier aktual terhadap kurva efisien frontier sebenarnya. Secara visual dapat diamati bahwa kurva EF aktual selalu berada di bawah kurva EF sebenarnya dan posisi kurva EF aktual akan semakin mendekati kurva EF sebenarnya apabila ukuran data semakin besar. Pembentukan portofolio optimal MV dengan menggunakan penduga klasik (mle) akan efektif apabila data return berdistribusi normal multivariat. Pada kenyataannya data bidang keuangan sering menunjukan keadaan yang tidak normal. Hal ini disebabkan, sering terdapat kejadian - kejadian ektrim dalam keuangan sehingga mengakibatkan data keuangan akan menyimpang dari distribusi normal. Oleh karena itu, diperlukan suatu penduga yang tahan terhadap penyimpangan - penyimpangan dalam data, supaya portofolio optimal yang dihasilkan tetap stabil meskipun data tidak memenuhi asumsi normalitas.

DAFTAR PUSTAKA H.M., Markowitz, “Portfolio selection”, Journal of Finance, 7: 77-91, 1952. R, Michaud, “The Markowitz optimization enigma: Is optimized optimal?”, Financial Analysts Journal. Vol 45, No 1. 3142, 1989. [3] M.J., Best, and R.R, Grauer, “On the sensitivity of mean-variance efficient portfolios to changes in asset means: some analytical and computational results”, Review of Financial Studies, 4(2), 315 – 342, 1991. [4] V.K., Chopra and W.T., Ziemba, ”The effects of errors in means, variances, and covariances on optimal portfolio choice”, Journal of Portfolio Management, 19(2), 6-11, 1993. [5] M., Broadie “Computing efficient frontiers using estimated parameters”, Annals of Operations Research, 45, 21–58, 1993. [6] E.D., Supandi, D, Rosadi dan Abdurakhman, “An Application of Constrained M-Estimator in Construction of Robust Portfolio”, Proceeding of the 7th International Conference on Research and Education in Mathematics (7th ICREM), Institute for Mathematical Research, University of Putra Malaysia, ISBN: 978-1-4673-7506-1, 268 – 273, 2015. [7] E.J., Elton, and M.J., Gruber, “Modern Portfolio Theory and Investment Analysis”, 9th Edition, John Wiley and Sons, Inc., New York, 2014 [8] E.D., Supandi, D, Rosadi dan Abdurakhman. “Karakteristik Kurva Efisien Frontier dalam Menentukan Portofolio Optimal”. Jurnal Teknik Industri: Jurnal Keilmuan dan Aplikasi Teknik Industri. 18 (1), 43 – 50, 2016. [9] D, Rupert., “Statistics and Finance: An Introduction”. Springer-Verlag. New York., 2004 [10] L, Zhu, “Optimal Portfolio Selection Under the Estimation Risk in mean Return”, Thesis, Mathematics in Computer Science Departement, University of Waterloo, Ontario, Canada., 2008 [1] [2]

6