Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Terapannya 2016 p-ISSN : 2550-0384; e-ISSN : 2550-0392
KAJIAN MODEL FRAKSIONAL PROSES DIFUSI
Siwi Tri Rahayu Universitas Jenderal Soedirman
[email protected] Bambang Hendriya Guswanto Universitas Jenderal Soedirman Niken Larasati Universitas Jenderal Soedirman ABSTRACT. This research discusses the derivation of the model and fundamental solution of subdiffusion equation. Subdiffusion equation model is derived from master equation obtained from Continuous Time Random Walk (CTRW) prosess using Caputo fractional derivative and the Probability Density Function (PDF) of waiting time of particle jump which is nonpoissonian. When the waiting time probability density is Poissonian, we obtain the normal diffusion equation. The movement of particle in normal diffusion process is characterized by the pattern of Mean Square Displacement (MSD) which is linear with respect to time t. While in subdiffusion process, MSD is nonlinear with respect to time, that is t , 0 1. The fundamental solution of subdiffusion equation model is restricted to the . The derivation of the model and fundamental solution of subdiffusion equation is done using Laplace transform and Fourier transform. Keywords: diffusion equation, subdiffusion equation, Laplace transform, Fourier transform, fundamental solution. ABSTRAK. Penelitian ini mengkaji penurunan model dan penyelesaian fundamental persamaan subdifusi. Model persamaan subdifusi diturunkan dari master equation yang diperoleh dari proses Continuous Time Random Walk (CTRW) dengan menggunakan turunan fraksional Caputo dan Probability Density Function (PDF) untuk waktu tunggu terjadinya lompatan partikel yang berdistribusi nonpoissonian. Ketika PDF untuk waktu tunggu berdistribusi Poissonian, maka diperoleh persamaan difusi biasa. Pergerakan partikel pada proses difusi biasa ditandai dengan pola Mean Square Displacement (MSD) yang bersifat linier terhadap waktu t. Sementara itu pergerakan partikel pada proses subdifusi mengikuti pola MSD yang bersifat nonlinier terhadap waktu t untuk 0 1. Penyelesaian fundamental dari model persamaan subdifusi yang diperoleh, dibatasi hanya untuk variabel . Penurunan dan penyelesaian model persamaan subdifusi dilakukan dengan menggunakan transformasi Laplace dan transformasi Fourier. Kata kunci: persamaan difusi, persamaan subdifusi, transformasi Laplace, transformasi Fourier, solusi fundamental
.
Kajian Model Fraksional Proses Difusi
14
1. PENDAHULUAN Difusi merupakan perpindahan zat yang terjadi karena adanya gerak acak molekul zat dan adanya perbedaan konsentrasi zat (Jorgensen, 2001). Proses menyebarnya gas ammonia (NH3) di udara, terlarutnya oksigen (O2) ke dalam air, atau penyebaran secara merata dari beberapa tetes pewarna makanan yang dimasukkan ke dalam wadah berisi air merupakan beberapa contoh proses difusi. Pada umumnya, zat yang berdifusi bergerak dari daerah yang konsentrasinya tinggi ke daerah yang konsentrasinya rendah (Giancoli, 2001). Selain itu, hasil pergerakan mikroskopis dari kumpulan partikel pada sel, bakteri, bahan kimia, hewan, dan sebagainya, di mana masing-masing partikel biasanya bergerak secara acak dan menyebar di sekitarnya juga dapat disebut sebagai proses difusi (Murray, 2002). Pergerakan-pergerakan partikel ini dapat dimodelkan dalam bentuk persamaan matematika. Dalam bidang statistika, Mean Squared Displacement (MSD) adalah ukuran yang biasa digunakan pada proses pergerakan acak (random walk). Salah satunya pada persamaan difusi yang dapat ditentukan sesuai dengan pola dari MSD. Proses difusi dapat dimodelkan dengan persamaan qt ( x, t ) Dq( x, t ), x
n
, t 0,
dengan D adalah koefisien difusi dan ∆ adalah operator turunan ke dua terhadap variabel ruang x. Persamaan di atas dinamakan sebagai persamaan difusi biasa, di mana pergerakan partikel mengikuti pola x 2 (t ) ~ t , t 0,
dengan
x 2 (t )
adalah MSD pada saat t. Persamaan di atas menggambarkan
proses difusi secara umum, tetapi terdapat beberapa proses difusi yang tidak dapat lagi dimodelkan dengan persaman tersebut. Beberapa penelitian menunjukkan bahwa terdapat beberapa pola pergerakan partikel yang tidak dapat dimodelkan dengan persamaan difusi biasa, seperti dispersi pada akuifer yang heterogen (Adams dkk, 1992), penyebaran ion pada suatu eksperimen kolom (Hatano dkk, 1998), difusi air tanah (Laffaldano
Purwokerto, 3 Desember 2016
15
S. T. Rahayu d.k.k.
dkk, 2005), dan penyebaran kontaminan pada formasi geologi (Berkowitz dkk, 2006). Berbeda dengan proses difusi biasa, proses-proses di atas mengikuti pola
x 2 (t ) ~ t , 0 1. Proses ini dinamakan subdifusi yang dapat dimodelkan dengan persamaan
Dt q( x, t ) D q( x, t ), x
n
, t 0,
dengan 0 1, D adalah koefisien subdifusi, dan Dt adalah operator turunan fraksional tipe Caputo orde yang didefinisikan dengan
(t ) Da ,t f (t ) D f ( )d . a (1 )
t
Berdasarkan uraian tersebut, penulis tertarik untuk mengkaji penurunan model dan penyelesaian persamaan subdifusi tersebut. Berdasarkan latar belakang di atas, diperoleh rumusan masalah yaitu bagaimana
penurunan dan penyelesaian model persamaan subdifusi. Batasan
masalah yang digunakan dalam penelitian ini adalah model diturunkan dari proses Continuous Time Random Walk (CTRW), turunan fraksional yang digunakan adalah turunan fraksional Caputo, dan penyelesaian model persamaan subdifusi dibatasi hanya untuk variabel
. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk
mendapatkan model dan penyelesaian persamaan subdifusi yang dapat dimanfaatkan untuk menjelaskan proses-proses difusi yang tidak dapat dimodelkan secara baik oleh persamaan difusi biasa.
2. METODE PENELITIAN Metode penelitian yang digunakan adalah studi pustaka, yaitu dengan mengkaji materi dari berbagai sumber seperti buku, jurnal atau skripsi yang berkaitan dengan penelitian ini. Penelitian ini dilakukan untuk mengkaji penurunan model dan penyelesaian persamaan subdifusi. Model diturunkan dari proses CTRW untuk membentuk persamaan yang disebut sebagai master equation melalui penggunaan transformasi Laplace dan Fourier. Master equation ini mengandung Probability Density Function (PDF) dari waktu tunggu dan arah lompatan yang terlibat dalam proses CTRW tersebut. Pada proses CTRW ini, Purwokerto, 3 Desember 2016
Kajian Model Fraksional Proses Difusi
16
waktu tunggu terjadinya lompatan yang digunakan berdistribusi Poissonian yang menghasilkan persamaan difusi biasa dan berdistribusi nonpoissonian yang menghasilkan persamaan subdifusi. Untuk menyelesaikan persamaan subdifusi ini, transformasi Laplace dan Fourier juga mempunyai peran penting. Persamaan subdifusi dikonversi bentuknya terlebih dahulu melalui kedua transformasi tersebut. Kemudian, dengan bantuan pasangan transformasi Laplace dari fungsi Mittag-Leffler dan pasangan transformasi Fourier dari fungsi Wright, penyelesaian fundamental persamaan subdifusi dapat diperoleh.
3. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada hasil dan pembahasan ini, dibahas mengenai model persamaan subdifusi dan penyelesaian fundamental dari model tersebut.
3.1 Penurunan Model Subdifusi Teori CTRW merupakan teori yang berkaitan dengan pergerakan acak partikel. Pergerakan acak suatu partikel di
yang mengalami serangkaian
lompatan dipengaruhi oleh waktu tunggu terjadinya lompatan dan arah lompatan. Waktu tunggu terjadinya lompatan terdistribusi secara independen dan identik. Misalkan (t ), t 0 adalah PDF untuk waktu tunggu terjadinya lompatan pada saat t dan T ( x, y) adalah PDF untuk arah lompatan dari titik y ke x. Oleh karena itu, waktu tunggu terjadinya lompatan dari titik y pada saat ke titik x pada saat t, mempunyai PDF (t ). Selain itu diasumsikan bahwa T ( x, y) T ( x y).
Sesuai dengan asumsi dasar pada proses CTRW, distribusi dari waktu tunggu dan arah lompatan saling independen. Keduanya memenuhi kondisi normalisasi
0
(t )dt 1 dan
n
T ( x)dx 1.
Selanjutnya, misalkan Qk ( x, t ) merupakan peluang bersyarat partikel mencapai x pada saat t setelah k langkah dengan posisi awal x 0 dan t 0. Untuk x 0 dan t 0, maka Purwokerto, 3 Desember 2016
17
S. T. Rahayu d.k.k.
Qk ( x, t )
t
0
n
(t )T ( x y)Qk 1 ( y, )dyd .
Oleh karena itu, partikel yang mencapai x pada saat t mempunyai PDF sebagai berikut.
Q( x, t ) Qk ( x, t ) k 0
0 t
n
0
n
(t )T ( x y )Q( y, )dyd .
t
Q ( x, t ) 0
(t )T ( x y ) Qk ( y, )dyd
Q0 ( x, t )
k 0
Karena Q0 ( x, t ) merupakan fungsi Delta Dirac, yaitu Q0 ( x, t ) ( x) (t ),
maka
Q( x, t ) ( x) (t )
t
0
n
(t )T ( x y)Q( y, )dyd .
Selanjutnya, misalkan q( x, t ) merupakan peluang partikel berada pada posisi x dan pada saat t dengan posisi awal x 0 dan t 0, maka t
q( x, t ) (t , ; x)Q( x, )d , 0
dengan (t , ; x) merupakan PDF dari partikel yang mencapai x pada saat t dan
tidak
melompat dalam
sisa
(t ).
waktunya
Perhatikan
bahwa
(t , ; x) (t ), dengan
t
t
0
(t ) (r )dr 1 (r )dr yang berarti bahwa partikel tidak melompat dalam interval waktu (0,t). Oleh karena itu, t
q( x, t ) (t )Q( x, )d 0
t
(t ) ( x) ( ) 0
0
(t ) ( x)
t
(t ) ( x)
t
(t ) ( x)
t
0
0
0
n
( r )T ( x y )Q( y, r )dydr d
(t ) ( r )d T ( x y)Q( y, r )dydr t
n
r
(t )( r)d T ( x y)Q( y, r)dydr t
n
n
r
(t )T ( x y)q( y, )dyd .
Purwokerto, 3 Desember 2016
(1)
Kajian Model Fraksional Proses Difusi
18
Dengan menggunakan transformasi Laplace dan Fourier untuk f (t ) dan g ( x), ℒ f (t ) f ( s)
0
e st f (t )dt ,
F {g ( x)} gˆ (k ) n eik x g ( x)dx, maka diperoleh
1 ( s) qˆ (k , s) ( s)qˆ (k , s)Tˆ (k ). s
(2)
Jika kedua ruas persamaan (2) dibagi dengan 1 ( s), maka qˆ (k , s) 1 ( s)qˆ (k , s)Tˆ (k ) . 1 ( s) s 1 ( s)
Jika
H ( s)
( s) , 1 ( s)
maka qˆ (k , s) 1 H ( s)qˆ (k , s)Tˆ (k ). 1 ( s) s
Jika kedua ruas dikurangi dengan qˆ (k , s ) ( s ) , 1 (s)
maka
1 qˆ (k , s) H ( s) qˆ (k , s) Tˆ (k )qˆ (k , s) . s
(3)
Invers transformasi Laplace dan Fourier dari persamaan (3) adalah t
q( x, t ) q( x,0) H (t ) q( x, ) n T ( x y)q( y, )dy d . 0
(4)
Persamaan (4) disebut sebagai master equation. Ketika PDF dari waktu tunggu (t ) adalah Poissonian, yaitu
(t )
e
t
, 0, t 0,
maka transformasi Laplace dari (t ) adalah
Purwokerto, 3 Desember 2016
19
S. T. Rahayu d.k.k.
( s)
1 . s 1
Oleh karena itu,
H ( s)
( s) 1 1 ( s) s
dan H (t ) 1 . Dengan demikian, persamaan (4) menjadi
q( x, t ) q( x,0)
1
1
q( x, ) d t
0
1
t
0
t
0
n
n
T ( x y)q( y, )dyd .
T ( x y) q( y, ) q( x, )dyd .
(5)
Turunan pertama terhadap t dari persamaan (5) adalah
qt ( x, t )
1
n
T ( y x)[q( y, t ) q( x, t )]dy
1
n
1 2 T ( y x) ( y x) q( x, t ) ( y x) q( x, t ) (| y x |2 ) dy. 2
Diasumsikan bahwa T x T x ,
n
n
xiT ( x)dx 0, 1 i n,
xi x jT ( x)dx
(x) 2 n
ij , 1 i, j n,
maka diperoleh qt ( x, t )
Untuk x 0, diperoleh persamaan
(x)2 q( x, t ) (1) . 2n
qt ( x, t ) Dq( x, t ).
(6)
Persamaan (6) disebut persamaan difusi, dengan koefisien difusi D
(x) 2 , 2n
dan ∆ adalah operator turunan kedua terhadap variabel ruang x. Selanjutnya, persamaan subdifusi diperoleh dari master equation pada persamaan (4) dengan PDF untuk waktu tunggu (t ) adalah nonpoissonian, yaitu Purwokerto, 3 Desember 2016
Kajian Model Fraksional Proses Difusi
(t )
20
t 1
E , t
,
(7)
dengan E , adalah fungsi Mittag-Leffler
zn E , ( z ) , , 0, z . n 0 ( n ) Transformasi Laplace dari persamaan (7) adalah
( s)
1 , s 1
sehingga
H ( s)
1 t 1 ( s) 1 . dan H (t ) ( ) 1 ( s) s
Dengan demikian, persamaan (4) menjadi
(t ) 1 T ( x y) q( y, ) q( x, )dyd 0 ( ) n 1
q( x, t ) q( x, 0)
1
t
J t n T ( x y ) q( y, ) q( x, ) dy,
(8)
dengan J t merupakan integral fraksional Riemman-Lioufille, yaitu (t ) 1 f ( )d , t a, 0 1, a 0, a ( )
J a,t f (t )
t
Karena turunan fraksional Riemann-Liouville, yaitu (t ) f ( )d , t a, a (1 )
Da,t f (t ) Dt
t
merupakan invers kiri dari J t , maka
t 1 Dt q( x, t ) q( x,0) (1 )
n
T ( x y ) q( y, ) q( x, ) dy.
Berdasarkan hubungan antara turunan fraksional Riemann-Liouville Dt dan turunan fraksional Caputo Dt , yaitu Da,t f (t ) Da,t f (t )
(t a) f (a), t a, (1 )
maka diperoleh
Purwokerto, 3 Desember 2016
21
S. T. Rahayu d.k.k.
Dt q( x, t )
1
n
T ( x y) q( y, ) q( x, ) dy.
(9)
Ketika x 0, persamaan (9) dapat ditulis sebagai
Dt q( x, t ) D q( x, t ),
(10)
dengan D
(x)2 . 2n
Persamaan (10) disebut model persamaan subdifusi dengan D merupakan koefisien subdifusi. 3.2 Penyelesaian Fundamental Penyelesaian fundamental dari model persamaan subdifusi pada penelitian dengan D 1. Jadi, penyelesaian
ini dibatasi hanya untuk variabel
fundamental dari model persamaan subdifusi adalah penyelesaian dari persamaan
Dt q( x, t ) q( x, t ),
, t 0,
(11)
dengan q( x,0) ( x).
Transformasi Laplace dan Fourier dari persamaan (11) adalah
qˆ (k , s)
s 1 . ( s k 2 )
(12)
Dengan memanfaatkan pasangan transformasi Laplace dari fungsi Mittag-Leffler dan pasangan transformasi Fourier dari fungsi M-Wright, yaitu L E (ct )
1
s 1 1 s , s c atau L E (ct ), s c s c
1 F M /2 x , t E (k 2t ) atau F 2
1
E (k t ) 12 M x , t ,
2
/2
maka diperoleh
1 q( x, t ) M /2 x , t 2 1 t 2W 2,1 2 ( x t 2 ), 2 dengan Purwokerto, 3 Desember 2016
(13)
Kajian Model Fraksional Proses Difusi
22
zn , 1, n 0 n ! ( n )
W , ( z )
.
Persamaan (3.13) merupakan penyelesaian fundamental dari persamaan subdifusi. Jika 1, maka persamaan tersebut menjadi fungsi Gaussian q ( x, t )
1 2 t
e
x2 4t
,
yang merupakan penyelesaian dari persamaan difusi biasa. Pergerakan partikel pada proses difusi biasa mengikuti pola x 2 (t ) ~ t , t 0,
sedangkan MSD pada proses subdifusi mengikuti pola
x 2 (t ) ~ t , 0 1, dengan x 2 (t ) adalah MSD pada saat t.
4. KESIMPULAN DAN SARAN Model persamaan difusi diturunkan dari proses CTRW melalui transformasi Laplace dan Fourier, sehingga menghasilkan master equation. Ketika PDF dari waktu tunggu berdistribusi Poissonian, diperoleh model persamaan difusi biasa dengan pergerakan partikel pada proses ini mengikuti pola MSD yang linier terhadap waktu t. Sementara itu, ketika PDF dari waktu tunggu berdistribusi nonpoissonian, diperoleh model persamaan subdifusi dengan pergerakan partikel pada proses subdifusi ini mengikuti pola MSD yang bersifat nonlinier terhadap waktu t untuk 0 1. Penyelesaian fundamental dari model persamaan subdifusi diperoleh dengan memanfaatkan pasangan transformasi Laplace fungsi Mittag-Leffler dan pasangan transformasi Fourier fungsi M-Wright yang dibatasi hanya untuk variabel
.
Penulis menyarankan agar penelitian selanjutnya mengkaji tentang penyelesaian fundamental persamaan subdifusi untuk variabel ruang
.
Penelitian lebih lanjut juga dapat mengkaji penurunan model dan penyelesaian fundamental dari proses difusi anomali yang lain, yaitu super difusi. Proses-
Purwokerto, 3 Desember 2016
23
S. T. Rahayu d.k.k.
proses difusi anomali dapat dikaji secara numerik. Oleh karena itu, penulis juga menyarankan untuk membahas tentang kajian numerik proses difusi anomali.
DAFTAR PUSTAKA Adams E.E. dan Gelhar L. W., Field Study of Dispersion in a Heterogeneous Aquifer 2. Spatial Moments Analysis, Water Resources Research, 28(12) (1992). 3293-3307. Berkowitz B., Cortis A., Dentz M., dan Scher H., Modeling Non-Fickian Transport In Geological Formations as a Continuous Time Random Walk. Reviews of Geophysics, 44 RG2003, (2006), 1-49. Giancoli, D.C., Fisika, Alih Bahasa: Yuhilza Hanum, Jilid 1, Edisi ke-6, Penerbit Erlangga, 2001. Hatano Y. and Hatano N., Dispersive Transport of Ions in Column Experiments: An Explanation of Long-tailed Profiles, Water Resources Research, 34(5) (1998), 1027-1033. Jorgensen, S.E., Fundamental of Ecological Modelling, Third Edition. Elsevier, 2001. Laffaldano G., Caputo M., and Martino S., Experimental and Theoretical Memory Diffusion of Water in Sand. Hydrol. Earth Sys. Sci. Discuss., 2 (2005). 13291357. Murray, J.D., Mathematical Biology, I: An Introduction, Third Edition, SpringerVerlag, (2002).
Purwokerto, 3 Desember 2016
