1
Kajian Konstanta Kosmologi Einstein pada Solar System Effect di ruang waktu Schwarzschild de Sitter Philin Yolanda Dwi Sagita1, Bintoro Anang Subagyo2 1
Program Studi Fisika FMIPA Institut Teknologi Bandung Jurusan Fisika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya Email:
[email protected]
2
Abstract. Keraguan Einstein dalam penggunakan konstanta kosmologi (Ʌ) pada persamaan medan gravitasinya yang statis karena adanya pembuktian pengamatan Hubble mengenai semesta yang mengembang pada tahun 1927 membawa penulis untuk menunjukkan pengaruh dan nilai ekperiment konstanta kosmologi pada beberapa peristiwa kosmologi yaitu Waktu Tunda Gravitasi, Pembelokan Cahaya, Presesi Geodesik, dan Pergeseran Perihelion Merkurius dengan memanfaatkan solusi persamaan medan gravitasi Einstein Schwarzschild pada alam semesta de Sitter. Berdasarkan hasil analisa dan data eksperimental, didapatkan bahwa nilai konstanta kosmologi pada peristiwa pergeseran perihelion Merkurius adalah sebesar ~ 10-42 cm-2, pada peristiwa pembelokan cahaya tidak memiliki nilai konstanta kosmologi, sementara itu peristiwa waktu tunda gravitasi memiliki nilai konstanta kosmologi sebesar ~ 10-24 cm-2, dan pada peristiwa presesi geodesic sebesar ~ 10-27 cm-2. Keywords: Konstanta kosmologi, Pergeseran perihelion Merkurius, Pembelokan Cahaya, Waktu tunda gravitasi, Presesi Geodesik.
1
Introduction
Sebelum Teori Relativitas Umum (TRU) diperkenalkan oleh Einstein pada tahun 1915, orang mengenal sedikitnya tiga hukum gerak yaitu Mekanika Newton, Relativitas Khusus, dan Gravitasi Newton. Mekanika Newton sangat berhasil dalam menerangkan sifat gerak benda berkelajuan rendah. Namun gagal untuk benda yang kelajuannya mendekati laju cahaya. Kekurangan ini ditutupi oleh Einstein dengan mengemukakan Teori Relativitas Khusus (TRK) yang mengimplikasikan bahwa tidak ada benda atau sinyal yang dapat bergerak lebih cepat daripada cahaya. Hukum yang ketiga adalah Gravitasi Newton yang berhasil menerangkan fenomena gerak benda langit yang dipengaruhi oleh interaksi gravitasi antar benda dengan ketelitian tinggi. Namun, tidak konsisten dengan TRK yang mengimplikasikan bahwa efek gravitasi pastilah merambat dengan kelajuan melebihi laju cahaya[1]. Sehingga Einstein berkali-kali mencoba merumuskan teori gravitasi yang konsisten dengan Teori Relativitas Khusus dan dihasilkan Teori Relativitas
2
Philin Yolanda Dwi Sagita
Umum (TRU) pada tahun 1915. Ia mengemukakan saran yang cukup revolusioner bahwa gravitasi bukanlah seperti gaya-gaya yang lain, namun gravitasi merupakan efek dari kelengkungan ruang-waktu karena adanya penyebaran massa dan energi di dalam ruang-waktu tersebut[2]. Ketika Hubble menunjukkan bahwa alam semesta memang mengembang, demikian pula bahwa dapat diperoleh suatu solusi non-statik dari persamaan medan Einstein tanpa suku konstanta kosmologi (oleh A. Friedmann), Einstein akhirnya menyatakan bahwa tidak perlu lagi memasukkan konstanta kosmologi ke dalam persamaan medannya. Akan tetapi, beberapa kosmolog besar seperti Arthur S. Eddington dan G. Lemaitre di tahun 1930-an menujukkan bahwa suku Ʌ dapat memberikan gambaran yang menarik pada kosmologi, atau saat ini, seringkali dipandang bahwa dengan mempertahankan suku Ʌ, para kosmolog memiliki kemungkinan kosmologi yang lebih luas untuk dipilih dan diselidiki[2]. Pada waktu yang hampir bersamaan, yaitu pada tahun 1916, Schwarzschild menawarkan solusi eksak mengenai persamaan medan Einstein yang vakum (Ʌ = 0) dan statis[1]. Namun, telah diketahui bahwa alam semesta ini dipenuhi oleh materi massif yang berinteraksi dengan ruang-waktu dan semua fenomena itu dapat dijelaskan secara fisis oleh sebuah rancangan ruang-waktu de-Sitter dimana nilai konstanta kosmologi tidak lagi bernilai nol (Ʌ ≠ 0) sehingga dengan menggabungkan solusi persamaan medan Schwarzschild pada ruang-waktu deSitter dapat diketahui pengaruh dan nilai ekperimen konstanta kosmologi Einstein pada fenomena pergeseran perihelion Merkurius, pembelokan cahaya, waktu tunda gravitasi, dan presesi geodesik.
2
Schwarzschild de Sitter
Pada tahun 1916, solusi persamaan Schwarzschild masih merupakan solusi eksak pertama dan terpenting bagi persamaan medan vakum Einstein. Solusi Schwarzschild diperoleh dengan asumsi medan statik yang ditimbulkan oleh suatu distribusi massa simetri bola. Yang dimaksud dengan ‘statik’ adalah dalam sistem koordinat yang digunakan, matriknya secara eksplisit tidak bergantung waktu[3]. Akan tetapi, bagaimana jika ingin menghitung ruang-waktu yang berisi materi atau sebuah gelombang gravitasi yang dihasilkan oleh beberapa sistem bintang, kemudian akan diketahui bagaimana materi berinteraksi dengan ruangwaktu. Atau dengan kata lain solusi persamaan medan gravitasi dengan sumber. Oleh karena itu dilakukanlah beberapa analisis terkait untuk memodifikasi persamaan medan Einstein yaitu mengasumsikan bahwa hanya daerah diluar medan bersifat statis. Ini akan menuntun kita untuk menggunakan konstanta kosmologi pada unit relativistik dimana 𝑐 = 𝐺 = 1. Pada medan de
Kajian Konstanta Kosmologi Einstein pada Solar System Effect di ruang-waktu Schwarzschild de Sitter 3 Sitter yang relativistik ini, ditentukan bahwa 𝑅𝜇𝑣 = Ʌ𝑔𝜇𝑣 [7], sehingga didapatkan persamaan Schwarzschild de Sitter sebagai berikut: 2𝑚
1
𝑑𝑠 2 = (1 − 𝑟 − 3 Ʌ𝑟 2 ) 𝑑𝑡 2 − (1 − 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑑𝜑2
2𝑚 𝑟
1
−1
− 3 Ʌ𝑟 2 )
𝑑𝑟 2 − 𝑟 2 𝑑𝜃 2 − (1)
Persamaan (1) merepresentasikan tentang ruang-waktu simetri bola yang memodifikasi persamaan medan gravitasi yang vakum dan memiliki pusat (𝑟 = 0) dimana ruang-waktu ini berbentuk melengkung. Karena diekpektasikan bahwa ruang-waktu vakum yang tanpa gangguan untuk memiliki kurvatur ruang1 waktu simetri maksimal yang konstan yaitu − 3 Ʌ, maka dapat disimpulkan bahwa persamaan (1) akan disebut solusi persamaan medan gravitasi Schwarzschild de Sitter jika Ʌ > 0, dan akan disebut sebagai solusi persamaan medan gravitasi Schwarzschild anti de-Sitter jika Ʌ < 0[7].
3. Pergeseran Perihelion Merkurius Pergeseran Perihelion merupakan modifikasi persamaan geodesik orbit untuk partikel masif tak bermassa padamedan gravitasi Matahari dengan cacat kerucut (conical defect). Cacat kerucut (conical defect) merupakan kelengkungan medan dengan geometri paksa akibat adanya peristiwa kuadropole matahari yang menyebabkan adanya kecacatan pada bentuk geometri medan[3]. Ruangwaktu, seperti yang disebutkan Vilenkin pada bukunya, dibangun secara geometrical dengan sudut azimut yang mengelilingi sumbu dengan range 0 < 𝜑 < 2𝜋𝑏. Untuk efek yang sangat kecil, parameter b dapat pula ditulis 𝑏 = 1 − 𝜀. Dimana 𝜀 merupakan parameter tanpa dimensi yang menggambarkan peristiwa cacat kerucut. Untuk 𝜀 = 0, secara fisis menggambarkan elemen garis lengkung yang simetris. Sementara itu, untuk cacat kerucut yang digenerasikan 8𝐺𝜇 oleh adanya peristiwa cosmic string menghasilkan nilai 𝜀 = 𝑐 2 dimana 𝜇 merupakan massa per unit panjang dari string[4]. Dengan adanya peristiwa cacat kerucut (conical defect), maka solusi persamaan Schwarzchild de Sitter (atau pada beberapa jurnal disebut sebagai The Kottler spacetime) dapat pula ditulis sebagai berikut: 𝑑𝑠 2 = (1 −
2𝑚 r 2
1
− Λ𝑟 2 ) 𝑐 2 𝑑𝑡 2 − (1 − 3 𝑏 2 𝑠𝑖𝑛 𝜃𝑑𝜑2 )
dengan:
2𝑚 r
1 3
−1
− Λ𝑟 2 )
𝑑𝑟 2 − 𝑟 2 (𝑑𝜃 2 + (2)
4
𝑚=
Philin Yolanda Dwi Sagita
𝐺𝑀 𝑐2
= massa geometri dari central body
Λ
= konstanta kosmologi
b
= parameter cacat kerucut
Pada ruangwaktu de-sitter, partikel mengikuti persamaan geodesik yang dapat ditentukan dari persamaan Lagrangian. 1 2𝑚 1 2 2 𝑑𝑡 2 1 2𝑚 1 2 −1 𝑑𝑟 2 𝐿 = (1 − − Λ𝑟 ) 𝑐 ( ) − (1 − − Λ𝑟 ) ( ) 2 r 3 𝑑𝑝 2 r 3 𝑑𝑝 1 2
𝑑𝜃 2 𝑑𝑝
𝑑𝜑 2 ) 𝑑𝑝
1 2
− 𝑟 2 ( ) − 𝑟 2 𝑏 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 (
(3)
dimana : p merupakan parameter affine. Sehingga didapatkan: 𝑑𝑡 𝑑𝑝
≅ 𝑐 (1 −
𝐸
𝑑𝑟 𝑑𝑝
= (1 −
2𝑚 r
2𝑚 r
𝑑𝜑 𝑑𝑝
1⁄ 2
1
− 3 Λ𝑟 2 )
𝑑2 𝜃 𝑑𝑝2
dan
−1
1
− 3 Λ𝑟 2 )
(4) 𝐹
=0
(5) (6)
𝐿
≅ 𝑟2
(7)
Untuk mendapatkan solusi pada koordinat radial, digunakan persamaan geodesik paksa seperti berikut:
𝑔𝜇𝑣
𝑑𝑥 𝜇 𝑑𝑥 𝑣 𝑑𝑝 𝑑𝑝
=𝑘
(8)
dimana: k merupakan sebuah konstanta dan solusi persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan mengambil batasan sebagai berikut[5]: 𝑘 = −𝑐 2
(space-like curves)
𝑘 = 𝑐2
(time-like curves)
𝑘 = 0(light-like curves) 𝑑𝜃 Kemudian, untuk persamaan radial, dimana 𝜃 = 𝜋⁄2 dan 𝑑𝑝 = 0, dengan mensubstitusikan persamaan (4), (5), (6), dan (7) pada persamaan (8) diatas maka dihasilkan persamaan sebagai berikut:
Kajian Konstanta Kosmologi Einstein pada Solar System Effect di ruang-waktu Schwarzschild de Sitter 5 𝑑𝑥 0 𝑑𝑥 0 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 3 𝑑𝑥 3 𝑔00 + 𝑔11 + 𝑔22 + 𝑔33 =𝑘 𝑑𝑝 𝑑𝑝 𝑑𝑝 𝑑𝑝 𝑑𝑝 𝑑𝑝 𝑑𝑝 𝑑𝑝 sehingga didapatkan: 1 2 𝐸 2
1 𝑑𝑟 2
− 2 (𝑑𝑝) = 𝑉(𝑟)
atau
2𝑚
1 𝑑𝑟 2 ( ) 2 𝑑𝑝
1
+ 𝑉(𝑟) = 2 𝐸 2
(9)
𝑏2 𝐿2
1
dimana : 𝑉(𝑟) = (1 − r − 3 Λ𝑟 2 ) (𝑘 + 𝑟2 ) yang merupakan potensial efektif pergerakan partikel pada medan gravitasi matahari. Kemudian ditentukan orbit dengan mengubah variabel 𝑟 menjadi 𝑢 = 𝑟 −1, sehingga untuk orbit partikel masif yang tidak berotasi dengan time-like curves (𝑘 = 𝑐 2 ), maka didapatkan: 𝑚𝑐 2
𝑢 ≅ 𝑏2 𝐿2 {1 + 𝑒 [cos[𝑏(𝜑 − 𝜑0 )] +
3𝑚2 𝑐 2 𝑏8 𝐿8 Λ [1 − 9𝑚6 𝑐 8 ] 𝑏 sin[𝑏(𝜑 𝐿2
𝜑0 )]]}
− (10)
dan didefinisikan pergeseran perihelion awal Merkurius sebesar: 𝑚𝑐 2 𝑏8 𝐿8 Λ ) [1 − 6 8 ] 𝐿 9𝑚 𝑐
∆𝜑0 = 3 (
(11)
sehingga solusi 𝑢(𝜑) dapat pula ditulis: 1
𝑚𝑐 2
𝑢 = 𝑟 ≅ 𝑏2 𝐿2 {1 + 𝑒 cos[𝑏(𝜑 − 𝜑0 − ∆𝜑0 )]}
(12)
Berdasarkan persamaan (11) dan (12), didapatkan bahwa besar pergeseran perihelion Revolusi total Merkurius sebesar: ∆𝜑 = 0 dimana: ∆𝜑 = 2𝜋∆𝜑0
sehingga: 𝑚𝑐 2 𝑏 8 𝐿8 Λ ∆𝜑 = 6𝜋 ( ) [1 − ] 𝐿 9𝑚6 𝑐 8
dan
Λ=
9𝑚6 𝑐 8 𝑏 8 𝐿8
dengan: 𝑏𝐿 = ℎ, dimana h merupakan momentum anguler per unit massa planet. Sehingga persamaan diatas dapat pula ditulis: Λ=
9𝑚6 𝑐 8 ℎ8
6
Philin Yolanda Dwi Sagita
Berdasarkan data pengamatan dari pergerakan revolusi Merkurius, didapatkan: ℎ2 = 𝑙𝑚𝑐 2 dimana 𝑙 merupakan semi-latus rectum planet. Untuk planet Merkurius, 𝑙 = 5,79 x 1012 cm, sementara untuk Matahari, 𝑚 = 1,475 km. Sementara itu, dari perbandingan antara hasil perhitungan dan data pengamatan, didapatkan bahwa perihelion shift Merkurius memiliki akurasi sekitar 5 x 10-3 didapatkan[9]: Λ=
9𝑚2 𝑙4
(13)
Λ ≅ 10−42 𝑐𝑚−2
(14)
4. Pembelokan Cahaya Pembelokan cahaya merupakan salah satu dari empat klasikal tes dari Relativitas Umum Einstein yang telah dibuktikan secara eksperimen pada Galaksi Bima Sakti. Adapun metrik geometrik medan Schwarzschild de-Sitter sebagai berikut: 𝑑𝑠 2 = (1 −
2𝑚 r
1
− 3 Λ𝑟 2 ) 𝑐 2 𝑑𝑡 2 − (1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑑𝜑2 )
2𝑚 r
1
−1
− 3 Λ𝑟 2 )
𝑑𝑟 2 − 𝑟 2 (𝑑𝜃 2 + 𝜋
Diasumsikan bahwa pergerakan cahaya terjadi pada bidang ekuator 𝜃 = 2 . Dari Teori Relativitas Khusus (TRK) telah diketahui bahwa pergerakan cahaya terjadi pada light like. Sehingga secara matematis dapat dikatakan bahwa 𝑑𝑠 2 = 1 0 dan dengan pemisalan 𝑢 = = 𝑟 −1 didapatkan persamaan pergerakan cahaya 𝑟 yaitu[10]: 𝑑2 𝑢 𝑑𝜑2
𝑢 = 𝐴 sin 𝜑 +
dimana
𝜀𝐴2 3
+ 𝑢 = 3𝑚𝑢2
𝜀𝐴2 (1 3
+ 𝑘 cos 𝜑 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜑)
(15)
akan menyebabkan pembelokan lintasan lurus cahaya.
Dalam pandangan Astrofisika, cahaya berasal dari bintang jauh yang mendatangi matahari dalam garis lurus yang dibelokkan oleh medan gravitasi matahari dan kemudian menjauh menuju titik lain disekitarnya dengan asimtotik garis lurus. Asimtotik dapat dicirikan dengan 𝑢 = 0 dan paralel dengan sumbu𝑥. Digunakan pendekatan 𝜑 = 𝛿 (dimana 𝛿 merupakan sudut yang sangat kecil) dan digunakan pendekatan sudut kecil 𝑠𝑖𝑛 𝛿 ≈ 𝛿, 𝑐𝑜𝑠 𝛿 ≈ 1, pada persamaan (15) sehingga[6]:
Kajian Konstanta Kosmologi Einstein pada Solar System Effect di ruang-waktu Schwarzschild de Sitter 7 𝜀𝐴2 (2 + 𝑘) 𝑢 ≈ 𝐴𝛿 + 3 1
Pada jarak tak hingga, dimana 𝑟 = ∞ dengan 𝑢 = 𝑟 maka didapatkan bahwa: 𝛿≈−
𝜀𝐴 (2 + 3
𝑘)
Tanda minus menandakan bahwa pembelokan cahaya menuju matahari. Telah disebutkan sebelumnya bahwa konstanta A berbanding terbalik dengan jarak lintasan lurus cahaya dan 𝜀 = 3𝑚 sehingga dapat pula ditulis sebagai berikut: 3𝑚
𝑚
𝛿 ≈ − 3𝑟 (2 + 𝑘) ≈ − 𝑟 (2 + 𝑘) sehingga total pembelokan cahayanya sebesar: ∆=
4𝑚 𝑟
=
4𝐺𝑀 𝑟𝑐 2
(16)
dengan asumsi bahwa nilai konstanta integrasinya menghasilkan nilai 2 (memperhitungkan arah bolak-balik pancaran cahaya). 𝐺𝑀
Diketahui 𝑚 = 𝑐 2 dan tanda minus (-) hanya mengindikasikan arah pembelokan cahaya sehingga dapat diabaikan. Secara eksperimental, telah dapat dibuktikan bahwa terjadi pembelokan cahaya sebesar 1,75 arc[10]. Berdasarkan persamaan (16) diatas, tidak terdapat variabel konstanta kosmologi (Λ) sehingga dapat pula disimpulkan bahwa peristiwa pembelokan cahaya tidak memiliki nilai konstanta kosmologi baik secara teori maupun eksperimen.
5. Waktu Tunda Gravitasi Fenomena yang membuktikan secara terang-terangan mengenai geometri Schwarzschild de-Sitter adalah waktu tempuh yang dibutuhkan cahaya untuk bergerak di antara dua titik. Misalkan sebuah sinyal radar dikirim dari bumi melewati matahari dan dipantulkan kembali oleh planet atau benda angkasa lainnya. Kelengkungan ruang-waktu di sekitar benda massive sepertti matahari inilah yang dapat menyebabkan waktu tempuh cahaya relatif lebih lama dibandingkan pada kasus ruang-waktu datar (Minkowski space-time). Selisih peningkatan waktu inilah yang secara fisis dapat dimengerti sebagai selisih waktu antara pancaran pulsa pertama dengan pulsa pantulan yang diterima secara
8
Philin Yolanda Dwi Sagita
eksperimental telah terukur sebesar 200 µs pada peristiwa pembelokan radar oleh planet Venus[9]. Telah diketahui pada persamaan pergerakan cahaya pada Schwarzschild deSitter space-time adalah sebagai berikut: 𝒅𝒔𝟐 = (𝟏 − 𝟐
𝟐𝒎 𝟏 − 𝟑 𝚲𝒓𝟐 ) 𝒄𝟐 𝒅𝒕𝟐 𝐫 𝟐 𝟐 𝟐
− (𝟏 −
−𝟏 𝟐𝒎 𝟏 𝟐 − 𝚲𝒓 ) 𝒅𝒓𝟐 𝐫 𝟑
−
𝒓 (𝒅𝜽 + 𝒔𝒊𝒏 𝜽𝒅𝝋 )
Seperti pada peristiwa pembelokan cahaya, diasumsikan bahwa pergerakan 𝜋 cahaya terjadi pada bidang ekoator, 𝜃 = 2 . Dari Teori Relativitas Khusus (TRK) telah diketahui bahwa pergerakan cahaya terjadi pada light-like. Sehingga secara matematis dapat dikatakan bahwa 𝑑𝑠 2 = 0, maka persamaan pergerakan cahaya pada persamaan diatas dapat menjadi[10]: 𝑑𝑡 =
𝑑𝑟 𝑐(1−
2𝑚 1 − Λ𝑟 2 ) r 3
[1 + 𝑟 2 (1 −
2𝑚 r
𝑑𝜑2
1
− 3 Λ𝑟 2 ) 𝑑𝑟2 ]
1⁄ 2
(17)
Sementara itu telah didefinisikan sebelumnya bahwa energi dan momentum linier pergerakan cahaya adalah sebagai berikut: 𝑑𝜑
𝐿 ≡ 𝑟 2 𝑑𝑟
𝐸≡𝛼
𝑑𝑡 𝑑𝜆
𝛼 =1−
dimana :
2𝑚 r
,
𝑑𝜑 𝑑𝑟
= 𝑟2 dan
𝐿
,
𝑑𝑡 𝑑𝜆
=
𝐸 𝛼
1
− 3 Λ𝑟 2
maka persamaan (17) dapat pula ditulis sebagai berikut: 𝑑𝑡 = −
𝑑𝑢 1 1 [ 𝑏 (𝑢2 −2𝑚𝑢3 −Λ) 𝑏2 3
Λ 3
− (𝑢2 − 2𝑚𝑢3 − ) 𝑢2 ]
−1⁄2
(18)
𝐿
dengan pemisalan 𝑏 = 𝐸 dan 𝑢 = 𝑟 −1, sehingga didapatkan solusi: Λ𝑏4 1 1 3 𝑏4 1 1 3 ) (𝑟 − 𝑟 ) + (Λ − 2 ) (𝑟3 − 𝑟 3 ) + (16 𝑚𝑏 4 − 8 0 0 9𝑚 1 1 27 1 1 18𝑚 1 1 108𝑚2 1 ) ( − ) + ( − ) − ( − ) + (𝑟7 − 2 4 4 3 5 5 3 6 6 2Λ 𝑟 𝑟0 5Λ 𝑟 𝑟0 5Λ 𝑟 𝑟0 7Λ3 1 ) (19) 𝑟0 7
3
𝑡(𝑟, 𝑟0 ) = (Λ −
𝑏2 2
+
Kajian Konstanta Kosmologi Einstein pada Solar System Effect di ruang-waktu Schwarzschild de Sitter 9 Jika diketahui 𝑟⊕ sebagai jarak Antara matahari dan bumi serta 𝑟𝑅 merupakan jarak Antara matahari dan reflector (pada kasus ini planet atau benda langit lainnya) dimana matahari terletak diantara keduanya, maka waktu interval yang dibutuhkan sejak sinyal dipancarkan hingga dipantulkan kembali bila diukur dengan jam yang terletak dipermukaan bumi maka didapatkan: ∆𝑇 = 2𝑡(𝑟⊕ , 𝑟0 ) + 2𝑡(𝑟𝑅 , 𝑟0 ) Pengamatan solar system
𝑟0 𝑟𝑅
≪ 1 dan
𝑟0 𝑟⊕
(20)
≪ 1, sehingga didapatkan modifikasi
waktu tunda dari lintasan sinyal seperti berikut: ∆𝑇 ≈
216𝑚2 1 (𝑟 7 7Ʌ3 ⊕
+𝑟
1
𝑅
1
7
− 𝑟 7) 0
(21)
Pada eksperimen Cassini sebelumnya, waktu tunda tidak terukur namun disamping itu telah diketahui persamaan perubahan frekuensi relative sinyal sebagai berikut: 𝑦=
𝑣(𝑡)−𝑣0 𝑣0
𝑑
≅ 𝑑𝑡 ∆𝑇
(22)
dimana 𝑣0 merupakan frekuensi gelombang radio yang dipancarkan dari bumi. Gelombang radio ini mencapai Cassini dengan frekuensi 𝑣′ dan dipantulkan kembali dengan frekuensi yang sama pula yakni 𝑣′. Frekuensi sinyal yang mencapai bumi adalah sebesar 𝑣(𝑡). Sehingga kontribusi konstanta kosmologi terhadap perubahan frekuensi gelombang radio yang dipancarkan dari bumi adalah sebagai berikut[8]: 𝑦Ʌ =
216𝑚2 1 [𝑟 7 7Ʌ3 ⊕
+𝑟
1
𝑅
𝑑𝑟
7
+ 14𝑟0 −8 ( 𝑑𝑡0 )]
(23)
𝑑𝑟
dimana untuk The Cassini Setup, 𝑑𝑡0 ≅ 𝑣⊕ , merupakan pendekatan dari kecepatan orbit bumi terhadap matahari (kecepatan revolusi). Secara fisis dapat dijelaskan bahwa kontribusi konstanta kosmologi terhadap sinyal radio adalah sebagai berikut: perubahan frekuensi sinyal akan semakin terlihat seiring dengan semakin dekatnya jarak tempuh sinyal terhadap benda massive yang menyebabkan terjadinya pembelokan lintasan sinyal (pada kasus ini Matahari). Telah dijelaskan pada analisis penelitian sebelumnya bahwa kontribusi Schwarzschild terhadap perubahan frekuensi gelombang radio yang dipancarkan dari bumi adalah sebesar 6 𝑥 10−10 dan analisis matematis ini kemudian dibuktikan oleh pengukuran Cassini dengan akurasi sebesar ~10−14[9]. Cassini mengukur waktu tunda selama hamper 25 hari, dimana selama periode 12 hari sebelum dan 12 hari setelah peristiwa konjungsi. Selama 1 hari,
10
Philin Yolanda Dwi Sagita
jarak terdekat yang dapat dicapai oleh sinyal berubah sebesar ~1,5 radius matahari. Sehingga sinyal yang terukur menjadi: 𝑦Ʌ (12𝑑) − 𝑦Ʌ (0) =
432𝐺 2 𝑀ʘ 2 𝑣 Ʌ 3 𝑐 4 𝑅ʘ 8 ⊕
(24)
dengan 𝑀ʘ dan 𝑅ʘ merupakan massa dan radius matahari, benda massive yang menyebabkan terjadinya waktu tunda. Karena pengukuran Cassini memenuhi prediksi Einstein, dimana telah diketahui bahwa 𝑦Ʌ (12𝑑) − 𝑦Ʌ (0) ≤ 10−14 𝑐 3 , sehingga dapat disimpulkan bahwa: 3
432𝐺 2 𝑀ʘ 2 𝑣 10−14 𝑐 7 𝑅ʘ 8 ⊕
Ʌ≥ √
(25)
Berdasarkan dengan data eksperimen yang telah dilakukan, maka didapatkan bahwa nilai konstanta kosmologi pada fenomena kosmologi waktu tunda adalah sebagai berikut: Ʌ ≈ 10−24 𝑚−2
(26)
Nilai konstanta kosmologi yang cukup besar itu karena adanya pengaruh tambahan dari medan gravitomagnetik dan gravitoelektrik pada koordinat isotropic. Dimana nilai konstanta kosmologinya bergantung pada massa Matahari (𝑀ʘ ), radius Matahari (𝑅ʘ ), dan kecepatan orbit bumi terhadap matahari (𝑣⊕ )[9].
6. Kelengkungan Geodesik Kelengkungan Geodesik (atau disebut pula de-Sitter precession) merupakan fenomena Teori Relativistik Umum (TRU). Persamaan matematisnya ditemukan pada awal 1916 oleh de-Sitter yang menemukan bahwa sebuah giroskop pada orbit bebas (dalam kasus ini ‘geodesik’) di sekitar benda masif akan berbelok/melengkung. Untuk menghitung kelengkungan geodesik dengan analisis Schwarzschild de-Sitter, maka diperkenalkan sebuah sistem koordinat yang berotasi dengan kecepatan angular 𝜔. Koordinat sudut baru ɸ didefinisikan oleh[11]: 𝑑ɸ = 𝑑𝜑 − 𝜔𝑑𝑡 dan diketahui pada bidang ekuator 𝜃 = Schwarzschild de-Sitter nya menjadi[7]:
𝜋 2
(27)
(relativistik, 𝑐 = 1) , maka matrik
Kajian Konstanta Kosmologi Einstein pada Solar System Effect di ruang-waktu Schwarzschild de Sitter 11 2
2
2
𝑑𝑠 = (𝛼 − 𝑟 𝜔
2)
𝑟2𝜔 𝑟2𝛼 −1 2 𝑑ɸ) − 𝛼 𝑑𝑟 − 𝑑ɸ2 (𝑑𝑡 − 𝛼 − 𝑟2𝜔2 𝛼 − 𝑟2𝜔2
sehingga dalam bentuk kanonikal, metriknya menjadi: 2
𝑑𝑠 2 = 𝑒 2𝜓 (𝑑𝑡 − 𝜔𝑖 𝑑𝑥 𝑖 ) − ℎ𝑖𝑗 𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑥 𝑗
(28)
dengan : 𝑒 2𝜓 = 𝛼 − 𝑟 2 𝜔2
(29)
𝜔1 = 𝜔2 = 0
(30)
𝜔3 =
𝑟2𝜔 𝛼−𝑟 2 𝜔2
ℎ11 = 𝛼 −1
ℎ33 =
𝑟2𝛼 𝛼−𝑟 2 𝜔2
(31)
(32)
(33)
Karena 𝜓 dihubungkan dengan percepatan, maka garis 𝑟 = 𝑟0 merupakan geodesik. Adapun hubungan antara kecepatan linier dan frekuensi hasil modifikasi Keppler antara lain sebagai berikut: 𝜔2 𝑟 3 = 𝑀
(34)
Persamaan (34) di atas merupakan hasil modifikasi penurunan rumus Newton-Keppler pada alam semesta natural (bebas) dimana objek pengamatan berada jauh dari sumber gravitasi (pusat galaksi). Sementara itu, pada alam semesta de-Sitter, terdapat tarikan gravitasi yang sangat besar akibat adanya sumber gravitasi (pusat galaksi) di sekitar objek pengamatan sehingga
12
Philin Yolanda Dwi Sagita
mengurangi kecepatan rotasi angular objek terhadap pusat gravitasi sehingga didapatkan[11]: 𝑀
Λ
𝜔 ≈ √𝑟 3 − 3
(35)
sehingga berimplikasi pada persamaan (29) hingga (33) menjadi: 𝑒 2𝜓 = 1 −
3𝑀 𝑟
𝜔1 = 𝜔2 = 0 𝜔3 =
ℎ11 = (1 −
𝑟2𝜔 3𝑀 1− 𝑟
2𝑀 1 2 −1 − Λ𝑟 ) 𝑟 3
𝑟2𝛼 ℎ33 = 3𝑀 1− 𝑟 Telah diketahui bahwa kecepatan rotasi dari sebuah posisi konstan pada sistem koordinat diberikan[7]: 𝛺2 =
𝑒 2𝜓 𝑖𝑘 𝑗𝑙 ℎ ℎ (𝜔𝑖,𝑗 8
− 𝜔𝑗,𝑖 )(𝜔𝑘,𝑙 − 𝜔𝑙,𝑘 )
(36)
dan titik pada arah negatif relatif terhadap orbit, ditentukan: 𝛺 = 𝜔 ≅ 𝛺0 √1 −
Λ𝑟 3 3𝑀
(37)
dimana telah dikatahui sebelumnya bahwa misi GP-B telah mengukur kelengkungan geodesik ini sebesar 𝛺0 = 6.600 mas/y dengan sebuah akurasi perkiraan sebesar 0,1 mas/y[9]. Jika nilai prediksi dari Teori Einstein terbukti dan tidak ada bagian tambahan yang terlihat, maka akan didapatkan nilai konstanta kosmologinya sebesar: 𝑀 𝑟3
Ʌ ≈ 3(
− 𝛺0 2 )
|Λ| ≤ 10−27 𝑚−2
(38) (39)
Nilai konstanta kosmologi pada kelengkungan geodesic tersebut dipengaruhi oleh kecepatan rotasi objek pada pusat gravitasi dimana juga dipengaruhi oleh massa Matahari sebagai pusat gravitasi dan jarak objek terhadap Matahari.
Kajian Konstanta Kosmologi Einstein pada Solar System Effect di ruang-waktu Schwarzschild de Sitter 13 Semakin dekat jarak objek terhadap Matahari, maka pengaruh konstanta kosmologi terhadap kelengkungan geodesik juga akan semakin besar.
7. Kesimpulan Telah dilakukan kajian pengaruh konstanta kosmologi terhadap Solar Sistem dimana konstanta kosmologi Ʌ pada metric ruang-waktu Schwarzschild de Sitter berperan sebagai parameter bebas yang dianalisis pada hasil pengamatan beberapa fenomena kosmologi sehingga didapatkan nilai mutlak dari konstanta kosmologi Ʌ seperti dibawah ini: Tabel 1. Konstanta Kosmologi pada pengamatan Solar System Fenomena Kosmologi
Pergeseran Merkurius
Persamaan Konstanta Kosmologi (Ʌ) 9𝑚2 Λ= 4 𝑙
Perihelion
Pembelokan Cahaya
∆=
Waktu Tunda Gravitasi
|Λ| ≅ 10−42 𝑐𝑚−2
4𝐺𝑀 𝑟𝑐 2
432𝐺 2 𝑀ʘ 2
3
Ʌ≥ √
10−14 𝑐 7 𝑅ʘ 8
Tidak memiliki nilai ekperimen
𝑣⊕
𝑀 Ʌ ≈ 3 ( 3 − 𝛺0 2 ) 𝑟
Kelengkungan Geodesik
Nilai Eksperiment Konstanta Kosmologi (Ʌ)
|Λ| ≈ 10−24 𝑚−2
|Λ| ≤ 10−27 𝑚−2
Dari table 1, dapat diketahui bahwa:
Pada fenomena Pergeseran Perihelion Merkurius, konstanta kosmologi 9𝑚2
memiliki persamaan Λ = 𝑙4 dengan nilai eksperimennya sebesar |Λ| ≅ 10−42 𝑐𝑚−2 yang dipengaruhi oleh semi lactus rectum Matahari (𝑚) dan planet (𝑙) 4𝐺𝑀 Pada fenomena Pembelokan Cahaya, nilai deviasi total sebesar ∆ = 2 𝑟𝑐 dan tidak memiliki nilai eksak konstanta kosmologi Pada fenomena Waktu Tunda Gravitasi, konstanta kosmologi memiliki 3
432𝐺 2 𝑀 2
persamaan Ʌ ≥ √10−14 𝑐 7 𝑅ʘ 8 𝑣⊕ dengan nilai eksperimennya sebesar ʘ
14
Philin Yolanda Dwi Sagita
8.
|Λ| ≈ 10−24 𝑚−2 yang dipengaruhi oleh massa Matahari (𝑀ʘ ), radius Matahari (𝑅ʘ ), dan kecepatan orbit Bumi terhadap Matahari (𝑣⊕ ) Pada fenomena Kelengkungan Geodesik, konstanta kosmologi memiliki 𝑀 persamaan Ʌ ≈ 3 (𝑟3 − 𝛺0 2 ) dengan nilai eksperimennya sebesar |Λ| ≤ 10−27 𝑚−2 dan dipengaruhi oleh kecepatan rotasi objek pada pusat gravitasi (𝛺0 ), massa Matahari sebagai pusat gravitasi (𝑀), dan jarak objek terhadap Matahari (𝑟).
Daftar Pustaka
[1]
Purwanto, Agus, Catatan Kuliah: Teori Gravitasi, ITS Press, hal. 10-11, 2005. (Buku)
[2]
Hidayat, Taufiq, Teori Relativitas Einstein, Penerbit ITB, hal. 205-207, 2010. (Buku)
[3]
Kagramanova, Valeria, Solar System Effect in Schwarzschild de Sitter spacetime, Arxiv:gr-qc/0602002v2, hal. 2-3, 2014. (Jurnal)
[4]
Valenkin, A. Shellard, E.P.S. Cosmic Strings and Other Topological Defect, Cambridge University Press, hal 565-566, 1994. (Buku)
[5]
Arrosyidi, Abu Fadlol, Solusi Schwarzschild dan Kerr untuk Persamaan Medan Gravitasi Einstein, Tugas Akhir, Jurusan Fisika FMIPA, Universitas Airlangga, Surabaya, 2012. (Tugas Akhir)
[6]
Purwanto, Agus, Pengantar Kosmologi, ITS Press, hal. 20-24, 2009. (Buku)
[7]
Mcmahon, David, Relativity Demystified, McGraw-Hill, hal 220-230, 2006. (Buku)
[8]
Rindler, Wolfgang, Relativity, Second Edition, Oxford University Press, hal. 334-347, 2006. (Buku)
[9]
D’Inverno, Ray, Introduction Einstein’s Relativity, Clarendon Press, hal. 452-455, 1998. (Buku)
[10] Will, Clifford M., Theory and Experimental in Gravitational Physics, Revised Edition, Cambridge University Press, hal 676-677, 1993. (Buku) [11] Rindler, Wolfgang, Ishak, Mustapha, The Contribution of The Cosmological Constant to Relativistic Bending of Light Revisited, arXiv:0709.2948v1[astro-ph], hal. 3-5, 2007. (Jurnal) [12] Bertotti B. Less, L. Tortora, P. A Test of General Relativity Using Radio Links with The Cassini Spacecraft, Nature, 425:374, hal 7, 2003. (Jurnal)
