Jiří Přibyl Pár slov k determinantům Ústí nad Labem 2008
1
Obsah 1 Pár slov úvodem
3
2 Determinanty 2.1 Permutace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Determinanty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 3 8 11
3 Literatura
18
2
1
Pár slov úvodem
Tento text je určen zejména studentům bakalářského studia v kombinované formě. Tomu je přizpůsoben obsah i forma. Obvykle text nesupluje přednášku, ale v tomto případě, je tomu jinak. Tento text supluje přednášku do té míry, aby motivoval studenty si z doporučené literatury dohledat potřebné informace. Tento text má být jakýmsi „prvním čtenímÿ, které uvede čtenáře do problematiky (tzn. to co dělá přednáška) a poskytne mu tak „kostruÿ na kterou může dále navěšovat. Věty zde uvedené nebudou následovány důkazem, což je mírně neobvyklé. Pokud důkaz nezazní na přednášce, pak by se o něj měl pokusit student sám, či si jej vyhledat. Ideou přednášeného důkazu je myšlenka, že přednášející upozorní na nejdůležitější obraty v důkazu, což jsou obvykle informace mezi řádky. Pokud bych zde uváděl důkazy, pak bych je pouze opsal z některého doporučeného textu, nebo bych se je pokusil okomentovat patřičným způsobem, což by učinilo text objemným. Některé partie textu doprovází komentář, který se obvykle v učebním textu nevyskytuje. Leckdy půjde o vágní vyjádření, které má třeba daný pojem (problém,. . . ) přiblížit, ale z matematického hlediska se může jednat o naprostý nesmysl. Lidský mozek však není dokonalým nástrojem a leckdy na nesprávném příkladu či nesmyslném tvrzení pochopí celou podstatu daného problému daleko rychleji a lépe, než z nejdokonalejší věty. Je o mě známo, že na velké množství pojmů pohlížím jako na zobrazení1 . Zdá se mi to užitečné i přehledné. Vím, že velké množství lidí se mnou nesouhlasí, ale stejně se toho budu držet. Pokud vezmete jinou literaturu (seznam, je uveden na konci), asi se setkáte s jiným přístupem. Poslední upozornění je spíše typografického charakteru, kdy říkám, že všechny definice, věty, příklady, cvičení, úlohy budu číslovat průběžně a to vždy ve vztahu k podkapitole.
2
Determinanty
K determinantům lze přistupovat z několika různých směrů. My se k nim budeme blížit z obvyklého směru permutací.
2.1
Permutace
Vzhledem k tomu, že pojem permutace využíváme k vytvoření nového pojmu, je třeba se s ním blíže seznámit. 1
Například mocnost bodu ke kružnici je pro mne zobrazení, které bodu a kružici přiřadí nějaké reálné číslo. Ve většině případů se setkáte s tím, že to je číslo.
3
Prˇ´ıklad 2.1.1. Představme si, že stojíme ve frontě k pokladně a tlačíme vozík plný nákupu. Jak se fronta mírně vleče, rozhlížíme se po okolí. Najednou si všimneme, že za námi stojí osoba2 , která má pouze rohlíky. V závislosti na našem vychování, nastane pouze jedna ze dvou možností – buď ji pustíme před sebe a bude nás hřát pocit z dobrého skutku, nebo ji nepustíme před sebe a bude nás hřát že budeme o několik vteřin dříve odbaveni. Podstatné je si uvědomit, že nedošlo ke změně obsahu fronty3 , pouze se změnilo (nebo nezměnilo) pořadí, ve kterém budou obslouženi jednotliví zákazníci. To co jsme ve skutečnosti provedli, je že jsme permutovali prvky množiny zákazníků čekajících na obsloužení a to v obou případech.
Definice 2.1.2. Mějme libovolnou neprázdnou množinu prvků M, ve které se každý prvek vyskytuje právě jednou. Vzájemně jednoznačné zobrazení π množiny M na sebe se nazývá permutace. Tuto skutečnost budeme zapisovat π : M 7→ M. Abychom se mohli rozumně pohybovat v této problematice, bude rozumné si prvky nějakým způsobem označit. Například je můžeme očíslovat – bude to odpovídat frontě, v jakém pořadí je odbavována.
Definice 2.1.3. Mějme libovolnou neprázdnou (konečnou)4 množinu prvků M, ve které se každý prvek vyskytuje právě jednou. Zobrazení, které každému prvku množiny přiřadí přirozené číslo, se nazývá pořadí.
Prˇ´ıklad 2.1.4. Podíváme-li se na příklad 2.1.1., vidíme že pořadí opravdu odpovídá výše uvedené definici. Lze tedy „flek ve frontěÿ označit přirozeným číslem, které vyjadřuje kdy bude daný zákazník obsloužen a pokud dojde k prohození čekatelů, dojde i k přehození pořadových čísel. Vzhledem k tomu, že takto lze uspořádat každou konečnou množinu, budeme se tedy zabývat pouze přirozenými čísly, které reprezentují pořadí.
Prˇ´ıklad 2.1.5. Předpokládejme, že máme množinu M = {1, 2, 3, 4, 5}. Fakt, že nás nezajímá pouze obsah množiny M, ale také její uspořádání naznačíme (typografickou úmluvou) kulatými závorkami, tedy M = (1, 2, 3, 4, 5). Nyní několikrát změňme pořadí (provedeme tedy permutaci dané množiny). • π 1 : M 7→ M1 , kde M1 = (1, 2, 3, 5, 4) 2
pohlaví si doplňte dle libosti v danou chvíli 4 pro naše potřeby 3
4
• π 2 : M 7→ M2 , kde M2 = (2, 1, 3, 5, 4) • π 3 : M 7→ M3 , kde M3 = (1, 2, 3, 4, 5) Abychom si ušetřili takto zdlouhavý zápis, zavedeme opět typografické zjednodušení, kdy danou permutaci zapíšeme dvouřádkovou tabulkou, kde v prvním řádku jsou prvky množiny M před permutací a ve druhém řádku po permutaci. V našem případě to bude vypadat následovně: 1 2 3 4 5 • 1 2 3 5 4 1 2 3 4 5 • 2 1 3 5 4 1 2 3 4 5 • 1 2 3 4 5 Pokud bysme to chtěli zapsat formálně, potom má tabulka tento tvar: 1 2 ... n π(1) π(2) . . . π(n) Někdy se zapisuje pouze výsledný řádek. • (1, 2, 3, 5, 4) • (2, 1, 3, 5, 4) • (1, 2, 3, 4, 5) Opět ve formálním zápisu: (π(1), π(2), . . . , π(n)) Zkoumejme nyní, co se stane, když měníme pořadí prvků. Až na prvky krajní, se může prvek „pohnoutÿ oběma směry – buď se přesune na místo, kde je prvek s pořadovým číslem nižším, nebo se přesune na místo, kde je prvek s pořadovým číslem vyšším a nebo se nepřesune. Podívejme se nejprve na situaci, kdy se prohodí právě dva prvky – π 1 . (1, 2, 3, 5, 4) Právě jeden prvek je na místě, jehož současné pořadové číslo je menší, než bylo před tím. (Logicky, právě u jednoho prvku je tomu naopak.) Pro situaci, kdy měníme pouze umístění právě dvou prvků si zvolíme označení.
Definice 2.1.6. Permutaci, kdy prohodíme pouze dva prvky navzájem, nazýváme transpozicí. 5
Tedy zvolíme-li dva prvky i, j potom platí π(i) = j a π(j) = i. Tento fakt lze také zapsat π(i, j) = (j, i). Lze také zapsat τ (i, j). Nás teď bude zajímat, kolik transpozic musíme udělat, než se dostaneme od počátku k výsledné permutaci. V případě π 1 vidíme, že pouze jednu. V případě π 3 buď žádnou, nebo dvakrát zopakovat tu stejnou permutaci – např. dvakrát uděláme permutaci π 1 . Chceme-li vyjádřit permutaci π 2 pomocí transpozic, musíme si cestu rozložit do několika kroků. Pokusím se je už symbolicky zapisovat. (1, 2, 3, 4, 5) 7→ (1, 2, 3, 5, 4) 7→ (2, 1, 3, 5, 4) V případě π 1 jsme potřebovali jednu transpozici, v případě π 2 jsme potřebovali dvě transpozice a v případě π 3 jsme nepotřebovali žádnou. Zaměřme se na π(1). Vidíme, že 4 < 5, ale π(4) > π(5). Pro každou takovou dvojici zavedeme nové označení.
Definice 2.1.7. Mějme množinu M = {1, . . . , n} a transpozici τ (i, j) takovou, že i < j a π(i) > π(j). Potom tuto transpozici nazýváme inverzí. Celkově se otázka určení permutace redukuje na otázku určení inverzí. Na základě počtu inverzí můžeme určit paritu permutace.
Definice 2.1.8. Mějme množinu M = {1, . . . , n} a permutaci π. Jestliže je celkový počet inverzí, ze kterých se permutace skládá je sudý, pak nazýváme permutaci sudou permutací. Jestliže je počet permutací lichý, pak nazýváme permutaci lichou permutací. Je také vhodné si zavést zobrazení sgn, které je definováno následovně: ( 1 jestliže π je sudá sgn(π) = −1 jestliže π je lichá
U´mluva 2.1.9. Přijměme následující úmluvu: aby nedocházelo k přezávorkování, tak na místo sgn((1, . . . , n)) budeme psát sgn(1, . . . , n).
Veˇta 2.1.10. Platí, že sgn(τ ) = −1.
Prˇ´ıklad 2.1.11. Máme určit paritu následujících permutací. • π 1 = (1, 3, 5, 2, 4) 6
• π 2 = (1, 2, 3, 4, 5) • π 3 = (3, 1, 2, 7, 5, 8, 6, 4) Řešení. • π 1 je lichá, protože celkový počet inverzí je 3 (τ (3, 2), τ (5, 4), τ (4, 3)) • π 2 je sudá, protože celkový počet inverzí je 0 • π 3 je lichá, protože celkový počet inverzí je 9 (τ (3, 1), τ (3, 2), τ (7, 5), τ (8, 6), τ (7, 6), τ (8, 4), τ (7, 4), τ (6, 4), τ (5, 4)) Podíváme-li se blíže na jednotlivé uspořádané dvojice, vidíme že vždy první prvek uspořádané dvojice je vetší než prvek druhý. Od tohoto faktu se také odvíjí algoritmus určování parity permutace.
Algoritmus 2.1.12. Tento algoritmus je velice jednoduchý a je založen na načítání změn pořadí. 1. vezmeme první prvek permutace a porovnáme, kolikrát je větší než prvky za ním následující; toto číslo přičteme k již známemu číslu (pokud začínáme, je ono číslo rovno nule) 2. porovnávaný prvek odstraníme z permutace 3. zbyly v permutaci nějaké prvky – v případě kladné odpovědi se vrátíme k bodu 1. Vraťme se k příkladu 2.1.11. a permutaci π 3 . Počet inverzí si označíme symbolem k. 1. k = 0 2. (3, 1, 2, 7, 5, 8, 6, 4), k1 = k + 2 (3 > 1 a 3 > 2) 3. (1, 2, 7, 5, 8, 6, 4), k2 = k1 4. (2, 7, 5, 8, 6, 4), k3 = k2 5. (7, 5, 8, 6, 4), k4 = k3 + 3 (7 > 5, 7 > 6 a 7 > 4) 6. (5, 8, 6, 4), k5 = k4 + 1 (5 > 4) 7. (8, 6, 4), k6 = k5 + 2 (8 > 6 a 8 > 4) 8. (6, 4), k7 = k6 + 1 (6 > 4) 9. (4), k8 = k7 7
10. konec a k9 = k8 , tedy k9 = 0 + 2 + 3 + 1 + 2 + 1 = 9 Tento algoritmus se nazývá bublinkovým algoritmem protože „pořadíÿ probublává doprava, či čísla s menší absolutní hodnotou probublávají doleva. Někdy se tento algoritmus také nazývá bublinkovým tříděním5 . Mezi třídícími algoritmy není nejrychlejší, ale je snadno pochopitelný a málo zatěžuje (ať člověka či stroj), protože se pouze porovnávají dvě sousední čísla.
U´loha 2.1.13. V případě π 3 to ovšem není nejmenší počet inverzí, které vedou k uspořádání (1, . . . , 8). Nejmenší počet inverzí je 5. Najděte je. Celé naše povídání o permutacích zakončíme několika fakty, které nebudeme dokazovat. Vzhledem k tomu, že se jedná o text pro první čtení, autor předpokládá, že znalostí chtivý čtenář si přislušné důkazy zhotoví či vyhledá.
Veˇta 2.1.14. Mějme množinu M = {1, . . . , n}. Potom celkový počet permutací je n!.
Veˇta 2.1.15. Inverzí se mění parita permutace. Tedy sgn(π ◦ τ ) = − sgn(π).
Veˇta 2.1.16. sgn(π 1 ◦ π 2 ) = sgn(π 1 ) · sgn(π 2 )
Veˇta 2.1.17. Mějme množinu M = {1, . . . , n}. Potom počet sudých permutací je počet lichých permutací je n! 2.
2.2
n! 2
a
Matice
Druhý objekt, který potřebujeme na naší cestě k determinantům, je matice. Vzhledem k tomu, že se opět jedná pouze o podpůrný aparát, budeme mu věnovat pouze nezbytný prostor. Bývá zvykem zavádět matici pomocí grafického uspořádání prvků, takže se velmi často můžete setkat s následující definicí.
Definice 2.2.1. Nechť (T, ( + , · )) je těleso. Potom obdélníkové schéma A prvků z tělesa6 , nazveme maticí. a11 a12 · · · a1n .. A = ... . am1 am2 · · · 5
amn
Bubble Sort zde je rozumné si představit konkrétní těleso – my až do odvolání si budeme představovat těleso reálných čísel 6
8
Vzhledem k tomu, že zápis je objemný, můžeme psát A = (aij ), kde aij ∈ T, i = 1, . . . , m a j = 1, . . . , n.
Pozna´mka 2.2.2. Někdy se také dodává, že se jedná o matici typu m/n. Uvedená definice je mírně vágní, protože pracuje s pojmem obdélníkové schéma. Je třeba tedy vyslovit definici, která korektně vymezujem pojem matice.
Definice 2.2.3. Nechť (T, ( + , · )) je těleso. Maticí A budeme rozumět zobrazení A : {1, . . . , m} × {1, . . . , n} → T, což můžeme zapsat A((i, j)) = aij .
Prˇ´ıklad 2.2.4. A((1, 1)) = 2, A((1, 2)) = 3, A((2, 1)) = 1, A((2, 2)) = 5. 2 3 A= 1 5 Vidíme, že druhý zápis (odpovídající definici 2.2.1.) je přeci jen o něco přehlednější. Nyní se podíváme na několik pojmů, které potřebujeme.
Definice 2.2.5. Matice A = (aij ) je rovna matici B = (bij ) tehdy a jen tehdy pokud aij = bij pro každé i, j. Z definice vyplývá, že mají-li si být matice rovny, je třeba aby byly stejného typu a aby si odpovídající prvky byly sobě rovny. Tento pojem asi není třeba nijak zvlášť ilustrovat. Jeho důležitost se objeví až v případě, kdy nebudeme porovnávat jen číselné matice, ale matice, kde vystupují parametry či neznámé.
Definice 2.2.6. Matice A = (aij ) se nazývá čtvercová matice tehdy a jen tehdy, platí-li rovnost m = n.
Prˇ´ıklad 2.2.7. Matice A je čtvercová a matice B čtvercovou maticí není. 2 3 2 3 3 A= B= 1 5 1 5 7
Pozna´mka 2.2.8. Často se hovoří o matici řádu n. Matice A z příkladu 2.2.7. je druhého řádu.
9
Definice 2.2.9.
Matice AT = (a0ji ) se nazývá maticí transponovanou k matici A = (aij ) tehdy a jen tehdy, platí-li aij = a0ji .
Prˇ´ıklad 2.2.10. Mějme matice A, B z příkladu 2.2.7. Potom matice transponované vypadají následovně. 2 1 2 1 AT = B T = 3 5 3 5 3 7
Pozna´mka 2.2.11. Je zřejmé, že jestliže matice A je řádu m/n, potom matice AT je maticí řádu n/m. Graficky se jedná o prohození řádků a sloupců.
Definice 2.2.12. Mějme čtvercovou matici řádu n. Matici A = (aij ) nazýváme diagonální maticí tehdy a jen tehdy, platí-li aij = 0 pro i 6= j.
Definice 2.2.13. Mějme čtvercovou matici řádu n. Matici A = (aij ) nazýváme horní trojúhelníkovou maticí tehdy a jen tehdy, platí-li aij = 0 pro i > j.
Prˇ´ıklad 2.2.14. Matice C 2 0 C= 0 0
i D jsou diagonální, matice E je horní trojúhelníkovou maticí. 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 E= D= 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
2 3 0 0
Všimněte si, že v definici 2.2.12. se vůbec nehovoří o prvcích, pro které platí i = j.
Definice 2.2.15. Mějme diagonální matici řádu n. Matici A = (aij ) nazýváme jednotkovou maticí tehdy a jen tehdy, platí-li aii = 1 pro každé i.
Prˇ´ıklad 2.2.16. Matice D z příkladu 2.2.14. je jednotkovou maticí.
Pozna´mka 2.2.17. Pro jednotkovou matici se volí zvláštní symbol, nejčastěji se označuje I. Toto nám pro naše potřeby zatím stačí. Už nyní jste schopni vytvořit další věty, které se vyjadřují k maticím. Například: • jestliže A je diagonální matice, potom A = AT 10
0 5 7 0
1 1 0 1
• transpozice čtvercové matice zachovává její řád • (AT )T = A Nyní již máme dost aparátu na to, abychom se podívali na pojem determinant.
2.3
Determinanty
Nachystali jsme si vše, co potřebujeme pro zavedení determinantů. Uvedeme si některé základní vlastnosti a determinantům se budeme věnovat jako kratochvíli pro tříbení myšlení. V dalších partiích matematiky se však ukáže již „užitečnostÿ determinantů například při řešení soustav rovnic, hledání kolmých vektorů a pod.
Definice 2.3.1. Zobrazení, které přiřadí čtvercové matici A = (aij ) reálné číslo následujícím způsobem X sgn(j1 , . . . , jn ) · a1j1 · a2j2 · · · anjn (j1 ,...,jn )
se nazývá determinant. Výraz sgn(j1 , . . . , jn ) · a1j1 · a2j2 · · · anjn se nazývá člen determinantu.
Pozna´mka 2.3.2. Jestliže máme matici A, potom bývá zvykem její determinant (to znamená výsledek zobrazení determinant) značit buď det(A), nebo |A|.
U´mluvy 2.3.3. Kdykoliv matematik může něco zjednodušit, učiní úmluvu. Učiňme tak i my. Jesliže mám matici A z příkladu 2.2.7., potom podle výše uvedeného zápisu by měl determinant být zaznamenán následujícími způsoby: 2 3 2 3 det(A) = det det(A) = 1 5 1 5 což je mírně nepřehledné a proto se to zjednodušuje na následující zápis 2 3 2 3 det(A) = det det(A) = 1 5 1 5 Nyní už vidíme, proč bylo rozumné připomenout si pojem permutace. Setkáváme se s ním při definování determinantu (definice 2.3.1.). Determinant je tedy součtem n! členů determinantu. Proč je jich tolik? Protože právě tolik je permutací na n prvkové množině. Podívejme se ještě jednou na člen determinantu. sgn(j1 , . . . , jn ) · a1j1 · a2j2 · · · anjn 11
Nejprve se začíná tím, že určíme paritu permutace. Dále vidíme, že součin je tvořen n prvky, přičemž první index u každého prvku je neměnný – vždy určuje pořadové číslo řádku matice. Permutujeme tedy sloupce. Celá idea je tedy založena na tom, že z každého řádku vždy vybereme jeden prvek a sloupec ve kterém se tento prvek nachází vyřadíme ze souboru. Až dojdou řádky, máme jeden člen determinantu (musíme ho předtím opatřit příslušným znaménkem). Tento postup opakujeme tak dlouho, dokud nevyčerpáme všechny možnosti určené jednotlivými permutacemi.
Odvozenı´ 2.3.4. Mějme matici A řádu dva. A=
a11 a12 a21 a22
Víme, že jsou pouze dvě permutace – (1, 2) a (2, 1). Jak vypadají členy determinantu?7 • sgn(1, 2) · a11 · a22 • sgn(2, 1) · a12 · a21 Můžeme tedy napsat, že a11 a12 a21 a22 = sgn(1, 2) · a11 · a22 + sgn(2, 1) · a12 · a21 = 1 · a11 · a22 + (−1) · a12 · a21 = = a11 · a22 − a12 · a21
Prˇ´ıklad 2.3.5. 2 3 1 5 = 2 · 5 − 3 · 1 = 7
Odvozenı´ 2.3.6. Mějme matici A řádu tři a11 a12 a13 A = a21 a22 a23 a31 a32 a33 Z věty 2.1.14. víme, že permutací nad tříprvkovou množinou je šest. Podívejme se jak vypadají a rovnou k nim pišme členy determinantu. • (1, 2, 3) . . . 1 · a11 · a22 · a33 • (1, 3, 2) . . . −1 · a11 · a23 · a32 7
Typograficky si dovolím dané permutace vyznačit tučně.
12
• (2, 1, 3) . . . −1 · a12 · a21 · a33 • (2, 3, 1) . . . 1 · a12 · a23 · a31 • (3, 2, 1) . . . −1 · a13 · a22 · a31 • (3, 1, 2) . . . 1 · a13 · a21 · a32 Můžeme tedy napsat, že a11 a12 a13 a21 a22 a23 = a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32 − a31 a32 a33 − a11 · a23 · a32 − a12 · a21 · a33 − a13 · a22 · a31 Pro tento determinant se podařilo vymyslet dobrou mnemotechnickou pomůcku, která dokonce vyzískala vlastní pojmenování.
Veˇta (Sarrusovo pravidlo) 2.3.7. Jedná se o pomůcku jak spočítat determinant matice řádu 3. Nikoliv vyššího řádu! Opišme první dva řádky pod poslední. Získáme tento tvar: a11 a21 a31 a11 a21
a12 a22 a32 a12 a22
a13 a23 a33 a13 a23
Nyní budeme násobit prvky na diagonálách. Diagonály jdoucí zleva do prava začínají prvky a11 , a21 , a31 a tyto součiny jsou vždy kladné (sudé permutace). Diagonály jdoucí z prava do leva začínají prvky a13 , a23 , a33 a tyto součiny jsou vždy záporné (liché permutace). a11
a12
a13
a11
a12
& a21
a22 &
a31
a13 .
a23
a21
& a32
&
a33
a31
a13
a11
a23
a21
&
a11
a12
a21
a22
a22 . a32 .
&
a23 . a33 .
a12
a13
a22
a23
.
Prˇ´ıklad 2.3.8. 5 6 3 3 5 6 = 5 · 5 · 5 + 3 · 3 · 3 + 6 · 6 · 6 − 3 · 5 · 6 − 6 · 3 · 5 − 5 · 6 · 3 = 6 3 5 = 53 + 33 + 63 − 3 · 90 = 98 13
S rostoucím řádem matic roste i počet členů determinantů. Následující tabulka ukazuje počet pro několik málo přirozených čísel. řád matice 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
počet členů 1 2 6 24 120 720 5040 40320 362880 3628800
Už pro matici řádu čtyři je třeba vytvořit 24 členů determinantu. Z toho je vidět, že je třeba hledat jiné cesty k výpočtu, než užít definici. Za tímto účelem je rozumné, seznámit se s několika větami, které nám umožní „řešitÿ determinanty o poznání jednodušeji8 .
Veˇta 2.3.9. Mějme čtvercovou matici A řádu n. Potom platí, že hodnota determinantu se nezmění, provedeme-li jednu z následujících úprav • transponujeme matici det(AT ) = det(A) • přičteme násobek libovolného řádku k jinému řádku matice • přičteme lineární kombinaci řádků k jinému řádku matice Tato věta nám říká, že co platí pro řádky, platí i pro sloupce (ve smyslu determinantů).
Prˇ´ıklad 2.3.10. a b = ad − bc A= c d
a c = ad − bc A = b d T
Veˇta 2.3.11. Mějme čtvercovou matici A řádu n. Potom platí • vznikne-li matice A1 přehozením dvou řádků, potom det(A1 ) = − det(A) 8
Ve skutečnosti se nejedná o jednodušší způsob řešení, ale o způsob, který je rychlejší a tudíž méně pracný, avšak za cenu přemýšlení.
14
• vznikne-li matice A1 vynásobením libovolného řádku nenulovým číslem t, potom det(A1 ) = t · det(A)
Veˇta 2.3.12. Mějme čtvercovou matici A řádu n. Potom det(A) = 0, platí-li jedna z uvedených možností: • jeden řádek matice obsahuje pouze nuly • jeden řádek matice je násobkem jiného řádku (v případě jednanásobku, jsou řádky shodné) • jeden řádek je lineární kombinací jiných řádků Nyní přichází zlatý hřeb programu a to
Veˇta (Laplaceova) 2.3.13. Mějme čtvercovou matici A řádu n. Vyberme k řádků této matice tak, aby n 0 < k < n. Potom determinant matice A je roven k součinů minorů řádu k vybraných ze zvolených k řádků s jejich algebraickými doplňky. Aby se pro nás tato věta stala užitečnou, je třeba osvětlit několik pojmů.
Definice 2.3.14. Mějme čtvercovou matici A řádu n. Vyberme k řádků a tudíž i sloupců matice A tak, aby platilo 0 < k < n. Potom matice utvořená z vybraných řádků a sloupců se nazývá submatice a její determinant se nazývá minor.
Prˇ´ıklad 2.3.15. Mějme matici A řádu 4. Utvořme submatici A1 určenou druhým a čtvrtým řádkem a prvním a čtvrtým sloupcem spočtěme minor A1 . 1 2 3 4 2 4 6 8 2 8 A= A1 = det(A1 ) = 0 3 6 9 12 4 16 4 8 12 16
Definice 2.3.16. Mějme čtvercovou matici A řádu n. Dále nechť je dána submatice A1 určená řádky i1 , i2 , . . ., ik a sloupci j1 , j2 , . . . , jk . Potom matice A¯1 utvořená ze zbývajících n−k řádků a sloupců se nazývá doplňková submatice, její k determinant se nazývá doplňkový minor a číslo (−1)i1 +i2 +···+ik +j1 +j2 +···+jk · det(A¯1 ) 15
se nazývá algebraický doplněk minoru A1 .
Prˇ´ıklad 2.3.17. Vraťme se k příkladu 2.3.15. Určete doplňkovou submatici a algebraický doplňek k minoru det(A1 ). 2 3 det(A¯1 ) = 0 A¯1 = 6 9 Vraťme se nyní k Laplaceově větě 2.3.13., která bývá také nazývána větou o rozvoji determinantu podle k řádků nebo k sloupců. Co přesně nám umožňuje tato věta? Umožňuje nahradit jeden determinant vyššího řádu několika determinanty řádu nižšího. Ukažme si to na příkladu.
Prˇ´ıklad 2.3.18. Spočtěme následující determinant pomocí Laplaceovy věty. Udělejme rozvoj podle prvního řádku (tedy podle jednoho řádku). 1 2 3 7 −1 1 = |1| · (−1)(1+1) · −1 1 + |2| · (−1)(1+2) · 7 1 + 2 3 −1 3 −1 2 3 −1 (1+3) 7 + |3| · (−1) · = 1 · (1) · (−5) + 2 · (−1) · (22) + 3 · (1) · (13) = −1 2 = −5 + (−44) + 39 = −10
Prˇ´ıklad 2.3.19. Podívejme se na příklad použití Laplaceovy věty ještě jednou. Mějme následující determinant a učiňme rozvoj podle prvního a druhého řádku. 1 7 2 3 −11 3 −7 2 1 7 17 (1+2+1+2) 3 = · (−1) · + 5 1 3 17 −11 3 −5 9 9 −4 −5 9 1 2 17 (1+2+1+3) 1 + · (−1) · + −11 −7 −4 9 1 3 3 (1+2+1+4) 1 + · (−1) · + −4 −5 −11 2 7 2 (1+2+2+3) 5 17 + · (−1) · 9 9 + 3 −7 7 3 5 3 (1+2+2+4) · (−1) + · + 3 2 9 −5 2 3 5 1 (1+2+3+4) = · (−1) · + −7 2 9 −4 16
= 80 · 112 + 15 · (−1) · 77 + 35 · 7 + (−55) · (−108) + 5 · (−1) · (−52) + 25 · (−29) = = 8960 − 1155 + 245 + 5940 + 260 − 725 = 13525 Vidíme, že v tomto případě vedlo použití Laplaceovy věty na výpočet dvanácti determinantů 2 × 2. Je to sice lepší, ale stále to není ono. Pokusme se kombinovat tuto větu s větami jí předcházejícími. Vynásobme první řádek příslušným číslem a přičtěme ho k ostaním řádkům tak, aby v prvním sloupci od druhého řádku níže byly nuly. 1 7 2 3 7 2 3 1 −11 3 −7 2 0 80 15 35 = 5 2 1 3 17 0 −34 −7 9 0 −67 −23 −18 −4 −5 9 Nyní udělejme rozvoj podle prvního sloupce. Protože v prvním sloupci jsou pod jedničkou tři nuly, bude daný součet obsahovat pouze jeden nenulový sčítanec. 16 80 3 7 15 35 2 = −5 · −34 −7 2 = 13525 |1| · (−1)(1+1) −34 −7 67 23 18 −67 −23 −18 Aby se nám výsledný determinant zjednodušil, v posledním kroku jsme z prvního řádku vytkli 5 a ze třetího (−1). Při určování hodnot determinantů vyššího řádu se snažíme vhodnými úpravami převést determinant na jednodušší, nebo na determinanty nižšího řádu. Následující věty, se také velmi často používají při určování hodnot determinantu.
Veˇta 2.3.20. Mějme diagonální matici A. Potom det(A) = a11 · a22 · . . . · ann .
Veˇta 2.3.21. Mějme horní trojúhelníkovou matici A. Potom det(A) = a11 · a22 · . . . · ann . Ukázali jsme si základní metody, které se užívají při určování hodnot determinantu. Nyní už nám nezbývá, než se pustit do řešení úloh. Úlohy pro počítání determinantů jsou dvojí. První jsou číselné a ty slouží k tomu, abychom si procvičili základní postupy a seznámili se s nimi. Jejich hodnota se dá určit velice snadno a to pomocí programu MS EXCEL, který disponuje nástroji pro jejich výpočet. Ukažme si to na následujícím příkladu. 17
Prˇ´ıklad 2.3.22. Určete hodnotu determinantu 1 2 3 7 −1 5 2 −3 11 Zaneseme daný determinant do excelu.
Do buňky B5 zaneseme příkaz =DETERMINANT(A1:C3). Symbol „=ÿ znamená, že voláme funkci excelu, slovo „DETERMINANTÿ je jméno volané funkce a „(A1:C3)ÿ je část tabulky, která určuje zadanou matici.
Nyní již jste vybaveni vším potřebným pro počítání determinantů. Až zvládnete determinanty číselné, pusťte se do determinantů „nečíselnýchÿ, které už jsou určitými „kvíziÿ a leckdy chvíli trvá, než se dobereme požadované hodnoty.
3
Literatura
Horák, P.: Lineární algebra a geometrie I. MU: Brno, 2007. Scriptum. Kuřil, M.: Lineární algebra. Připravované Scriptum. Olšák, P.: Lineární algebra. ČVUT: Praha, 2006. Scriptum. Slovák, J.: Lineární algebra. MU: Brno, 1998. Scriptum. 18
Bečvář, J.: Lineární algebra. Mat-Fyz Press: Praha. Havel, V.: Lineární algebra. SNTL: Praha Blažek, J.: Algebra a teoretická aritmetika I. SPN: Praha
19
