´ Jelfeldolgozas ´ 4. eload ˝ as ´ 3. es ANTAL Margit ´ A delta fuggv ¨ eny ´ az es ´ impulzusvalasz Konvoluci ´ o´
´ Jelfeldolgozas
´ 4. eload ˝ as ´ 3. es
A konvoluci ´ o´ ´ tulajdonsagai ´ o´ Korrelaci
ANTAL Margit ´ Magyar Tudomanyegyetem ´ Sapientia - Erdelyi
2007
Rendszerek ´ tulajdonsagai
´ Jelfeldolgozas ´ 4. eload ˝ as ´ 3. es ANTAL Margit
´ ´ az impulzusvalasz ´ A delta fuggv ¨ eny es
´ A delta fuggv ¨ eny ´ az es ´ impulzusvalasz
Konvoluci ´ o´
A konvoluci ´ o´ ´ tulajdonsagai
Konvoluci ´ o´
´ o´ Korrelaci
´ A konvoluci ´ o´ tulajdonsagai
´ o´ Korrelaci ´ Rendszerek tulajdonsagai
Rendszerek ´ tulajdonsagai
´ Megnevezesek
´ Jelfeldolgozas ´ 4. eload ˝ as ´ 3. es ANTAL Margit ´ A delta fuggv ¨ eny ´ az es ´ impulzusvalasz Konvoluci ´ o´ A konvoluci ´ o´ ´ tulajdonsagai
◮
´ Dirac jel Diszkret ´ Delta fuggv ¨ eny
◮
´ ´ Egysegimpluzus fuggv ¨ eny
◮
´ o´ Korrelaci Rendszerek ´ tulajdonsagai
´ Jelfeldolgozas ´ 4. eload ˝ as ´ 3. es
´ Dirac jel A diszkret
ANTAL Margit ´ A delta fuggv ¨ eny ´ az es ´ impulzusvalasz
δ[n] =
1, n = 0 0, n = 6 0
δ[n − n0 ] =
1, n = n0 0, n = 6 n0
Konvoluci ´ o´ A konvoluci ´ o´ ´ tulajdonsagai ´ o´ Korrelaci Rendszerek ´ tulajdonsagai
d[n]
d[n−n0]
1
1
n
n ...
−3
−2
−1
0
1
2
3
...
...
n0−3 n0−2 n0−1 n0
n0+1 n0+2 n0+3 ...
´ ´ evel ´ Jelek felbontasa a Dirac jel seg´ıtseg
´ Jelfeldolgozas ´ 4. eload ˝ as ´ 3. es ANTAL Margit ´ A delta fuggv ¨ eny ´ az es ´ impulzusvalasz Konvoluci ´ o´ A konvoluci ´ o´ ´ tulajdonsagai
y[n] =
◮ ◮
5, n = 3 0, n = 6 3
˝ ´ δ[n − 3] idoeltol as: ´ al ´ az ´ as: ´ 5 · δ[n − 3] amplitud ´ osk
(1)
´ o´ Korrelaci Rendszerek ´ tulajdonsagai
´ Jelfeldolgozas ´ 4. eload ˝ as ´ 3. es
´ Impulzusvalasz: h[n]
ANTAL Margit ´ A delta fuggv ¨ eny ´ az es ´ impulzusvalasz Konvoluci ´ o´
´ Az impulzusvalasz a rendszer kimenete a Dirac jelre.
A konvoluci ´ o´ ´ tulajdonsagai ´ o´ Korrelaci Rendszerek ´ tulajdonsagai
1
2 1
−3 −2 −1 0 1 2 3 −3 −2 −1 0 1 2 3
´ ´ megnevezesek ´ Impulzusvalasz mas
´ Jelfeldolgozas ´ 4. eload ˝ as ´ 3. es ANTAL Margit ´ A delta fuggv ¨ eny ´ az es ´ impulzusvalasz Konvoluci ´ o´ A konvoluci ´ o´ ´ tulajdonsagai ´ o´ Korrelaci
◮
˝ filter kernel: szur ˝ o-mag
◮
´ mag convolution kernel: konvoluci ´ os
Rendszerek ´ tulajdonsagai
´ ´ ˝ Linearis rendszer valasza tetszoleges jelre
´ Jelfeldolgozas ´ 4. eload ˝ as ´ 3. es ANTAL Margit ´ A delta fuggv ¨ eny ´ az es ´ impulzusvalasz Konvoluci ´ o´
δ [n]
Linearis rendszer
h[n]
A konvoluci ´ o´ ´ tulajdonsagai ´ o´ Korrelaci Rendszerek ´ tulajdonsagai
x[n]
Linearis rendszer h[n] y[n]=x[n]*h[n]
y[n]
´ Jelfeldolgozas ´ 4. eload ˝ as ´ 3. es
´ jelekre 1. Konvoluci ´ o´ diszkret
ANTAL Margit
´ Legyen egy LTI rendszer, amelynek impulzusvalasza h[n] δ[n] → h[n]
(2)
x[n] =
x[k] · δ[n − k]
´ o´ Korrelaci Rendszerek ´ tulajdonsagai
(3)
k =−∞ ◮
´ ´ az LTI Ismerve az impulzusvalaszt a Dirac jelre es ´ ¨ rendszerek tulajdonsagait, kovetkezik: y[n] =
∞ X
k =−∞
x[k] · h[n − k]
Konvoluci ´ o´ A konvoluci ´ o´ ´ tulajdonsagai
Mi a kimenete a rendszernek az x[n] bemeno˝ jelre? ◮ A bemeno ˝ jelet felbontjuk impulzusok osszeg ¨ ´ ere ∞ X
´ A delta fuggv ¨ eny ´ az es ´ impulzusvalasz
(4)
´ Jelfeldolgozas ´ 4. eload ˝ as ´ 3. es
´ jelekre 2. Konvoluci ´ o´ diszkret
ANTAL Margit
¨ ese: ´ Konvoluci ´ o´ jelol ∗
´ A delta fuggv ¨ eny ´ az es ´ impulzusvalasz
y[n] = x[n]∗h[n] =
∞ X
x[k]·h[n−k] =
∞ X
Konvoluci ´ o´
h[k]·x[n−k]
k =−∞
k =−∞
(5) x[n],
n = 0..N − 1
h[n],
n = 0..M − 1
y[n] = x[n] ∗ h[n] =
M−1 X k =0
h[k] · x[n − k]
(6)
A konvoluci ´ o´ ´ tulajdonsagai ´ o´ Korrelaci Rendszerek ´ tulajdonsagai
´ Jelfeldolgozas ´ 4. eload ˝ as ´ 3. es
´ esenk ´ ´ Konvoluci ´ o´ lep ent
ANTAL Margit ´ A delta fuggv ¨ eny ´ az es ´ impulzusvalasz Konvoluci ´ o´
h[i] x[i]
N−1
...
N−1
3
... N−1 N−1
0
1
2
2
1
0
3
2
1
0
...
3
2
1
0
3
2
1
3
0
...
A konvoluci ´ o´ ´ tulajdonsagai
M−1 y0
h0 x0
´ o´ Korrelaci
y1
h0x1+h1x0
Rendszerek ´ tulajdonsagai
y2
h0x2+h1x1+h2x0
y3
h0x3+h1x2+h2x3+h3x0
... N−1 yM+N−2
3 hM−1xN−1
2
1
0
´ Jelfeldolgozas ´ 4. eload ˝ as ´ 3. es
´ Pelda
ANTAL Margit
´ h = (1, 2, 1) diszkret ´ ideju˝ Legyenek x = (0, 1, 2, 3) es ´ ıtsuk ki az y = h ∗ x konvoluci ´ jelek. Szam´ ´ ot! 1 2 1 3 2 1 0 y0 =0 1 2 1 3 2 1 0 y3 =8
1 2 1 3 2 1 0 y1=1 1 2 1 3 2 1 0 y4=8
1 2 1 3 2 1 0 y2 =4 1 2 1 3 2 1 0 y5=3
(0, 1, 2, 3) ∗ (1, 2, 1) = (0, 1, 4, 8, 8, 3)
´ A delta fuggv ¨ eny ´ az es ´ impulzusvalasz Konvoluci ´ o´ A konvoluci ´ o´ ´ tulajdonsagai ´ o´ Korrelaci Rendszerek ´ tulajdonsagai
´ ak ´ konvoluci ´ Peld ´ ora
´ Jelfeldolgozas ´ 4. eload ˝ as ´ 3. es ANTAL Margit ´ A delta fuggv ¨ eny ´ az es ´ impulzusvalasz Konvoluci ´ o´ A konvoluci ´ o´ ´ tulajdonsagai
◮ ◮ ◮ ◮
´ Alulatereszt o˝ szur ˝ o˝ ´ Felul ¨ atereszt o˝ szur ˝ o˝ ´ o´ csillap´ıto´ Invertal ´ derival ´ o´ Diszkret
´ o´ Korrelaci Rendszerek ´ tulajdonsagai
´ ˝ ¨ ´ Alulatereszt o˝ szur ˝ o-Smith konyve nyoman
´ Jelfeldolgozas ´ 4. eload ˝ as ´ 3. es ANTAL Margit ´ A delta fuggv ¨ eny ´ az es ´ impulzusvalasz Konvoluci ´ o´ A konvoluci ´ o´ ´ tulajdonsagai ´ o´ Korrelaci Rendszerek ´ tulajdonsagai
´ ˝ ¨ Felul ¨ atereszt o˝ szur ˝ o-Smith konyve ´ nyoman
´ Jelfeldolgozas ´ 4. eload ˝ as ´ 3. es ANTAL Margit ´ A delta fuggv ¨ eny ´ az es ´ impulzusvalasz Konvoluci ´ o´ A konvoluci ´ o´ ´ tulajdonsagai ´ o´ Korrelaci Rendszerek ´ tulajdonsagai
´ o´ csillap´ıto-Smith ´ ¨ ´ Invertal konyve nyoman
´ Jelfeldolgozas ´ 4. eload ˝ as ´ 3. es ANTAL Margit ´ A delta fuggv ¨ eny ´ az es ´ impulzusvalasz Konvoluci ´ o´ A konvoluci ´ o´ ´ tulajdonsagai ´ o´ Korrelaci Rendszerek ´ tulajdonsagai
´ derival ´ o-Smith ´ ¨ ´ Diszkret konyve nyoman
´ Jelfeldolgozas ´ 4. eload ˝ as ´ 3. es ANTAL Margit ´ A delta fuggv ¨ eny ´ az es ´ impulzusvalasz Konvoluci ´ o´ A konvoluci ´ o´ ´ tulajdonsagai ´ o´ Korrelaci Rendszerek ´ tulajdonsagai
´ A konvoluci ´ o´ tulajdonsagai
´ Jelfeldolgozas ´ 4. eload ˝ as ´ 3. es ANTAL Margit ´ A delta fuggv ¨ eny ´ az es ´ impulzusvalasz Konvoluci ´ o´
◮
´ Impulzusvalasz elemi jelekre: ◮ ◮
◮
´ Dirac jel A diszkret ´ derivalt ´ es ´ integral ´ Diszkret
´ Matematikai tulajdonsagok ◮ ◮ ◮ ◮
´ Kommutativitas ´ Asszociativitas ´ Disztributivitas ¨ ´ ´ tetel ´ A kozponti hatareloszl asi
A konvoluci ´ o´ ´ tulajdonsagai ´ o´ Korrelaci Rendszerek ´ tulajdonsagai
´ Jelfeldolgozas ´ 4. eload ˝ as ´ 3. es
´ Dirac jellel (1) Konvoluci ´ o´ a diszkret
ANTAL Margit
x[n] ∗ δ[n] = x[n] ´ Legyen δ[n] = Bizony´ıtas:
1, n = 0 0, n = 6 0
´ ekeket ´ Tekintsuk ¨ a δ[0], δ[1], δ[2] ert
(7)
´ A delta fuggv ¨ eny ´ az es ´ impulzusvalasz Konvoluci ´ o´ A konvoluci ´ o´ ´ tulajdonsagai ´ o´ Korrelaci Rendszerek ´ tulajdonsagai
´ x[n], es
˝ n = 0, 1, 2, 3, 4 egy tetszoleges jel.
¨ ˝ eppen ´ Ekkor:y[n] = x[n] ∗ δ[n] konvoluci ´ o´ a kovetkez ok alakul: y[0] = δ[0] · x[0] = x[0] y[1] = δ[0] · x[1] + δ[1] · x[0] = x[1] y[2] = δ[0] · x[2] + δ[1] · x[1] + δ[2] · x[0] = x[2] y[3] = δ[0] · x[3] + δ[1] · x[2] + δ[2] · x[1] = x[3] ...
´ Jelfeldolgozas ´ 4. eload ˝ as ´ 3. es
´ Dirac jellel (2) Konvoluci ´ o´ a diszkret
ANTAL Margit
x[n] ∗ δ[n − n0 ] = x[n − n0 ] ´ Legyen n0 = 2 es ´ δ = {0, 0, 1} Bizony´ıtas: ´ x[n], es
˝ n = 0, 1, 2, 3, 4 egy tetszoleges jel.
(8)
´ A delta fuggv ¨ eny ´ az es ´ impulzusvalasz Konvoluci ´ o´ A konvoluci ´ o´ ´ tulajdonsagai ´ o´ Korrelaci Rendszerek ´ tulajdonsagai
Ekkor:y[n] = x[n] ∗ δ[n − 2] konvoluci ´ o´ a ¨ ˝ eppen ´ kovetkez ok alakul: y[0] = δ[0] · x[0] = 0 y[1] = δ[0] · x[1] + δ[1] · x[0] = 0 y[2] = δ[0] · x[2] + δ[1] · x[1] + δ[2] · x[0] = x[0] y[3] = δ[0] · x[3] + δ[1] · x[2] + δ[2] · x[1] = x[1] y[4] = δ[0] · x[4] + δ[1] · δ[3] + δ[2] · x[2] = x[2] y[5] = δ[1] · x[4] + δ[2] · x[3] = x[3]
´ Jelfeldolgozas ´ 4. eload ˝ as ´ 3. es
´ Dirac jellel (3) Konvoluci ´ o´ a diszkret
ANTAL Margit ´ A delta fuggv ¨ eny ´ az es ´ impulzusvalasz Konvoluci ´ o´
x[n] ∗ k · δ[n] = k · x[n]
(9)
A konvoluci ´ o´ ´ tulajdonsagai ´ o´ Korrelaci Rendszerek ´ tulajdonsagai
◮
´ at ´ novelj ¨ Ha a Dirac impulzus amplitud ´ oj uk ¨ (k > 1), a ´ mint linearis ´ rendszer, eros´ ˝ ıtok ˝ ent ´ konvoluci ´ o, ¨ muk ˝ odik.
◮
¨ ´ eseteben ´ ´ ent. ´ Csokkent es (k < 1) pedig csillap´ıtok
´ Jelfeldolgozas ´ 4. eload ˝ as ´ 3. es
´ derival ´ as” ´ ,,Diszkret
ANTAL Margit ´ A delta fuggv ¨ eny ´ az es ´ impulzusvalasz
¨ ´ Elso˝ rendu˝ kul ¨ onbs eg ◮
h = [0, 0, 1, −1, 0, . . .], 3 2 1 0 −1 −2
y[n] = x[n] ∗ h[n]
A konvoluci ´ o´ ´ tulajdonsagai ´ o´ Korrelaci Rendszerek ´ tulajdonsagai
−2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
◮
Konvoluci ´ o´
y[n] = x[n] − x[n − 1]
´ integral ´ as” ´ ,,Diszkret
´ Jelfeldolgozas ´ 4. eload ˝ as ´ 3. es ANTAL Margit ´ A delta fuggv ¨ eny ´ az es ´ impulzusvalasz
”Running sum” ◮
h = [0, 0, 1, 1, 1, . . .],
y[n] = x[n] ∗ h[n]
A konvoluci ´ o´ ´ tulajdonsagai ´ o´ Korrelaci
3 2 1 0 −1 −2
Rendszerek ´ tulajdonsagai
−2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
◮
Konvoluci ´ o´
y[n] = y[n − 1] + x[n]
´ Matematikai tulajdonsagok: ´ kommutativitas
´ Jelfeldolgozas ´ 4. eload ˝ as ´ 3. es ANTAL Margit ´ A delta fuggv ¨ eny ´ az es ´ impulzusvalasz Konvoluci ´ o´ A konvoluci ´ o´ ´ tulajdonsagai ´ o´ Korrelaci
y[n] = x[n] ∗ h[n] = h[n] ∗ x[n]
Rendszerek ´ tulajdonsagai
y[n] = x[n] ∗ h[n] =
P∞
· h[n − k]
y[n] = h[n] ∗ x[n] =
P∞
· x[n − k]
k =−∞ x[k] k =−∞ h[k]
´ Matematikai tulajdonsagok: ´ asszociativitas ´ A konvoluci ´ o´ sorrendje nem lenyeges
´ Jelfeldolgozas ´ 4. eload ˝ as ´ 3. es ANTAL Margit ´ A delta fuggv ¨ eny ´ az es ´ impulzusvalasz Konvoluci ´ o´
(x[n] ∗ h1[n]) ∗ h2[n] = x[n] ∗ (h1[n] ∗ h2[n]) HA x[n] → h1[n] → h2[n] → y[n] AKKOR x[n] → h2[n] → h1[n] → y[n] ´ ES x[n] → h1[n] ∗ h2[n] → y[n]
A konvoluci ´ o´ ´ tulajdonsagai ´ o´ Korrelaci Rendszerek ´ tulajdonsagai
´ Matematikai tulajdonsagok: ´ az osszead ¨ ´ ´ disztributivitas asra nezve
´ Jelfeldolgozas ´ 4. eload ˝ as ´ 3. es ANTAL Margit ´ A delta fuggv ¨ eny ´ az es ´ impulzusvalasz Konvoluci ´ o´
x[n] ∗ h1[n] + x[n] ∗ h2[n] = x[n] ∗ (h1[n] + h2[n])
A konvoluci ´ o´ ´ tulajdonsagai ´ o´ Korrelaci
HA
Rendszerek ´ tulajdonsagai
h1[n] x[n]
+
y[n]
h2[n] AKKOR x[n]
h1[n]+h2[n]
y[n]
´ ´ ´ Matematikai tulajdonsagok: hatareloszl as (1)
´ Jelfeldolgozas ´ 4. eload ˝ as ´ 3. es ANTAL Margit ´ A delta fuggv ¨ eny ´ az es ´ impulzusvalasz Konvoluci ´ o´
´ ¨ enik, ´ Legyen x[n] egy impulzusszeru˝ fuggv ¨ eny. Mi tort ha ´ ¨ ´ kepezz uk ¨ a kovetkez o˝ konvoluci ´ okat? y1[n] = x[n] ∗ x[n] y2[n] = x[n] ∗ x[n] ∗ x[n] y3[n] = x[n] ∗ x[n] ∗ x[n] ∗ x[n]
A konvoluci ´ o´ ´ tulajdonsagai ´ o´ Korrelaci Rendszerek ´ tulajdonsagai
´ ´ ´ Matematikai tulajdonsagok: hatareloszl as (2)
´ Jelfeldolgozas ´ 4. eload ˝ as ´ 3. es ANTAL Margit ´ A delta fuggv ¨ eny ´ az es ´ impulzusvalasz Konvoluci ´ o´ A konvoluci ´ o´ ´ tulajdonsagai ´ o´ Korrelaci Rendszerek ´ tulajdonsagai
´ ´ Osztalyoz as
´ Jelfeldolgozas ´ 4. eload ˝ as ´ 3. es ANTAL Margit ´ A delta fuggv ¨ eny ´ az es ´ impulzusvalasz Konvoluci ´ o´ A konvoluci ´ o´ ´ tulajdonsagai ´ o´ Korrelaci
◮ ◮
´ o´ (Autocorrelation) Autokorrelaci ´ o´ (Cross Correlation) Keresztkorrelaci
Rendszerek ´ tulajdonsagai
´ Jelfeldolgozas ´ 4. eload ˝ as ´ 3. es
´ o´ 1. Korrelaci
ANTAL Margit
◮
´ A delta fuggv ¨ eny ´ az es ´ impulzusvalasz
Konvoluci ´ o´ x[n] ∗ y[n] =
∞ X
Konvoluci ´ o´
x[k] · y[n − k]
(10)
k =−∞ ◮
´ o´ Korrelaci Rendszerek ´ tulajdonsagai
´ o´ Korrelaci r [n] =
∞ X
x[k] · y[n + k]
(11)
k =−∞ ◮
◮
A konvoluci ´ o´ ´ tulajdonsagai
´ o´ ert ´ eke ´ maximalis, ´ ´ jel formaja ´ A korrelaci ha a ket ´ fazisban ´ hasonlo´ es vannak. ´ o´ a ket ´ jel hasonlos ´ ag ´ anak ´ ´ eke. ´ A korrelaci mert
´ Jelfeldolgozas ´ 4. eload ˝ as ´ 3. es
´ o´ 2. Korrelaci
ANTAL Margit ´ A delta fuggv ¨ eny ´ az es ´ impulzusvalasz
r [n] =
∞ X
Konvoluci ´ o´
x[k] · y[n + k]
(12)
k =−∞
A konvoluci ´ o´ ´ tulajdonsagai ´ o´ Korrelaci Rendszerek ´ tulajdonsagai
r [n] = x[n] ∗ y[−n]
◮ ◮
´ o´ x = y → autokorrelaci ´ o´ x 6= y → keresztkorrelaci
(13)
´ oja ´ Zaj autokorrelaci
´ Jelfeldolgozas ´ 4. eload ˝ as ´ 3. es ANTAL Margit
´ ¨ ´ ´ nincs faziseltol ´ ´ A veletlen zaj onmag ahoz hasonlo, as. x=randn(1,1000); plot(x); 10
8
´ A delta fuggv ¨ eny ´ az es ´ impulzusvalasz
6
Konvoluci ´ o´ 4
A konvoluci ´ o´ ´ tulajdonsagai
2
0
´ o´ Korrelaci
−2
−4
Rendszerek ´ tulajdonsagai
−6
−8
−10
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
´ o´ egyetlen csucsot Az autokorrelaci ´ tartalmaz. x=randn(1,1000); y=xcorr(x); plot(y); 900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
−100
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
´ oja ´ Periodikus jel autokorrelaci
´ Jelfeldolgozas ´ 4. eload ˝ as ´ 3. es ANTAL Margit
˝ ´ azt eredmenyezi, ´ A periodikus jel idobeni eltolasa hogy a ´ ´ ¨ ´ a jel periodikusan fazisban lesz onmag aval. 5
´ A delta fuggv ¨ eny ´ az es ´ impulzusvalasz
4
Konvoluci ´ o´
3
A konvoluci ´ o´ ´ tulajdonsagai
2
1
0
´ o´ Korrelaci
−1
Rendszerek ´ tulajdonsagai
−2
−3
−4
−5
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
´ jel is periodikus struktur ´ u´ lesz. Az autokorrelalt ´ aj 1000
800
600
400
200
0
−200
−400
−600
−800
−1000
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
´ oja ´ Tranziens jel autokorrelaci
´ Jelfeldolgozas ´ 4. eload ˝ as ´ 3. es ANTAL Margit
sinc(20⋅ π ⋅ t)
´ A delta fuggv ¨ eny ´ az es ´ impulzusvalasz
1
0.8
Konvoluci ´ o´
0.6
A konvoluci ´ o´ ´ tulajdonsagai
0.4
0.2
´ o´ Korrelaci 0
Rendszerek ´ tulajdonsagai
−0.2
−0.4
0
500
1000
1500
2000
2500
x=sinc(20 ⋅ π ⋅ t); y=xcorr(x); plot(y); 16
14
12
10
8
6
4
2
0
−2
−4
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
´ o´ celja ´ Keresztkorrelaci
´ Jelfeldolgozas ´ 4. eload ˝ as ´ 3. es ANTAL Margit ´ A delta fuggv ¨ eny ´ az es ´ impulzusvalasz Konvoluci ´ o´ A konvoluci ´ o´ ´ tulajdonsagai ´ o´ Korrelaci Rendszerek ´ tulajdonsagai
´ Rendszerek tulajdonsagai
´ Jelfeldolgozas ´ 4. eload ˝ as ´ 3. es ANTAL Margit ´ A delta fuggv ¨ eny ´ az es ´ impulzusvalasz Konvoluci ´ o´ A konvoluci ´ o´ ´ tulajdonsagai
◮ ◮ ◮ ◮
˝ uggetlens ´ Idof ¨ eg ´ Memoria ´ (Okbeliseg) ´ Kauzalitas ´ Stabilitas
´ o´ Korrelaci Rendszerek ´ tulajdonsagai
´ Jelfeldolgozas ´ 4. eload ˝ as ´ 3. es
˝ uggetlens ´ Idof ¨ eg
ANTAL Margit ´ A delta fuggv ¨ eny ´ az es ´ impulzusvalasz
˝ ´ a bemeno˝ jelen ugyanolyan eltolast ´ Egy idobeni eltolas ´ eredmenyez a kimeno˝ jelen.
Konvoluci ´ o´ A konvoluci ´ o´ ´ tulajdonsagai ´ o´ Korrelaci
x[n] → y[n]
Rendszerek ´ tulajdonsagai
x[n − t] → y[n − t] ◮ ◮
´ PELDA: y[n] = − x[n] 2 ´ ELLENPELDA: y[n] = x[Mn],
M ∈ N∗
´ Memoriamentes
´ Jelfeldolgozas ´ 4. eload ˝ as ´ 3. es ANTAL Margit ´ A delta fuggv ¨ eny ´ az es ´ impulzusvalasz Konvoluci ´ o´
´ Egy jelet memoriamentesnek nevezunk, ¨ ha minden n ˝ ˝ fugg. idopillanatban, y[n] csak az x[n]-tol ¨ ◮ ◮
´ PELDA: y[n] = ´ ELLENPELDA: y[n] = x[n] − x[n − 1] x[n]3
A konvoluci ´ o´ ´ tulajdonsagai ´ o´ Korrelaci Rendszerek ´ tulajdonsagai
´ Kauzalitas
´ Jelfeldolgozas ´ 4. eload ˝ as ´ 3. es ANTAL Margit ´ A delta fuggv ¨ eny ´ az es ´ impulzusvalasz Konvoluci ´ o´
A kimeno˝ jel az n0 -dik pillanatban a bemeno˝ jel n ≤ n0 ´ ekeit ´ ˝ fugg. pillanatbeli ert ol ¨
A konvoluci ´ o´ ´ tulajdonsagai ´ o´ Korrelaci Rendszerek ´ tulajdonsagai
◮ ◮
´ PELDA: y[n] = x[n] − x[n − 1] ´ ELLENPELDA: y[n] = x[n + 1] − x[n]
´ Jelfeldolgozas ´ 4. eload ˝ as ´ 3. es
´ (BIBO-fele) ´ Stabilitas
ANTAL Margit
BIBO - Bounded Input Bounded Output
´ A delta fuggv ¨ eny ´ az es ´ impulzusvalasz
´ ´ Egy rendszer stabil BIBO ertelemben, ha barmely ´ ´ korlatos bemeno˝ jelre korlatos kimeno˝ jelet ad.
A konvoluci ´ o´ ´ tulajdonsagai
Konvoluci ´ o´
´ o´ Korrelaci
∀x, |x[n]| ≤ Bx < ∞ ∀n ∞ ∀n ◮ ◮
⇒
∃ By u.h.|y[n]| ≤ By <
´ PELDA: y[n] = x[n]2 ´ AK: ´ ELLENPELD ◮ ◮
y [n] = log10 |x [n]| Pn y [n] = k =−∞ u[k ] =
0, n<0 (n + 1), n ≥ 0
Rendszerek ´ tulajdonsagai
