Jednoduché nástroje řízení jakosti I

Jednoduché nástroje řízení jakosti I Výstup z projektu podpory jakosti č. 5/16/2004

Autor: Vratislav Horálek

Národní informační středisko pro podporu jakosti Praha 2004

Publikace nebyla podrobena korektuře ze strany Národního informačního střediska pro podporu jakosti. Za kvalitu textů a tisku odpovídá autor. © Národní informační středisko pro podporu jakosti, 2004

ISBN 80-02-01689-0

OBSAH: PŘEDMLUVA .................................................................................. 5 1

ÚVOD ....................................................................................... 7

2 VÝVOJOVÝ DIAGRAM............................................................. 9 2.1 Úvod..................................................................................... 9 2.2 Zásady konstrukce vývojového diagramu ............................ 9 2.3 Záměr vývojových diagramů .............................................. 11 2.4 Základní symboly ............................................................... 11 2.5 Typy vývojových diagramů................................................. 12 3

SBĚR DAT, ZÁKLADNÍ POŽADAVKY KLADENÉ NA DATA A ORGANIZACE DAT................................................................ 15 3.1 Úvod................................................................................... 15 3.2 Základní požadavky kladené na data ................................ 15 3.3 Uspořádání dat .................................................................. 19 4 GRAFICKÉ A ČÍSELNÉ ZPRACOVÁNÍ DAT ......................... 23 4.1 Úvod................................................................................... 23 4.2 Grafické zpracování dat ..................................................... 23 4.2.1 Histogram ...................................................................... 23 4.2.2 Kapénkové diagramy..................................................... 27 4.2.3 Krabicové diagramy....................................................... 28 4.2.4 Sériová data .................................................................. 30 4.3 Číselné zpracování dat ...................................................... 34 4.3.1 Úvodní poznámky.......................................................... 34 4.3.2 Výběrové charakteristiky polohy.................................... 34 4.3.3 Výběrové charakteristiky variability ............................... 36 4.3.4 Zaokrouhlování čísel a počet desetinných míst ............ 38 5 DIAGRAM PŘÍČIN A NÁSLEDKU .......................................... 40 5.1 Úvod................................................................................... 40 5.2 Základní kroky a zásady při konstrukci diagramu příčin a následku............................................................................. 41 5.3 Ukázka diagramu příčin a následku s aplikací z oblasti metalurgie .......................................................................... 43 6

PARETŮV DIAGRAM ............................................................. 45 3

6.1 6.2 6.3 6.4

Úvod................................................................................... 45 Konstrukce Paretova diagramu.......................................... 45 Ukázka postupu při zpracování dat pro aplikaci Paretovy analýzy............................................................................... 46 Oblasti použití Paretova diagramu..................................... 50

7 BODOVÉ DIAGRAMY ............................................................ 51 7.1 Úvod................................................................................... 51 7.2 Rozdíl mezi stochastickými a funkčními závislostmi.......... 51 7.3 První informace o tvaru stochastické závislosti ................. 53 7.4 Výpočet výběrového koeficientu korelace a odhadů konstant v regresní přímce ............................................................... 54 7.5 Numerický příklad .............................................................. 60 8 REGULAČNÍ DIAGRAMY....................................................... 63 8.1 Úvod................................................................................... 63 8.2 Typy regulačních diagramů................................................ 64 8.3 Činnosti před aplikací SPC ................................................ 66 8.4 Parametry regulačního diagramu....................................... 67 8.5 Zásady analýzy regulačních diagramů a možnosti řešení vzniklých problémů ............................................................ 68 8.6 Postup při aplikaci ( x , R ) - diagramů a výpočetní vzorce . 70 8.7 Softwarová podpora SPC .................................................. 74 LITERATURA ................................................................................ 76

4

PŘEDMLUVA Vážený čtenáři, publikace, kterou jste právě otevřel, je součástí projektu „Průvodce řízením jakosti“. Projekt, realizovaný vydáním prvních šesti publikací, byl schválen a finančně zabezpečen v rámci projektů Národní politiky podpory jakosti na rok 2004. Realizátorem projektu je Česká společnost pro jakost a autory jsou její členové, přední odborníci v oboru. Cílem projektu je postupné vydávání publikací věnovaných základním tématům managementu jakosti, ochrany životního prostředí, zdraví a bezpečnosti při práci. Jednotlivé publikace, zaměřené na určitou dílčí oblast, seznamují čtenáře s nejnovějšími poznatky, metodami a nástroji oboru management jakosti a oborů příbuzných, především životní prostředí, bezpečnost a ochrana zdraví. Autoři čerpají z prací špičkových světových odborníků, z vlastních prací a také ze své praxe v tuzemských podnicích a zahraničních společnostech. Cílovou skupinou čtenářů (uživatelů) této edice by měli být jak vedoucí, tak řadoví pracovníci různých profesí podniků výroby, obchodu a služeb, pracovníci veřejné a státní správy, studenti a učitelé především středních škol a odborných učilišť. Publikace mohou sloužit i zájemcům z jiných profesí, kteří mají zájem o získání vstupních informací z managementu jakosti. U čtenářů nepředpokládáme žádné předběžné znalosti oboru, měly by plně dostačovat jejich znalosti středoškolské. Pokud se týká obsahu publikací, byli autoři vedeni zájmem podat čtenáři takové informace, které mu pomohou rychle se orientovat v dané problematice. Tyto poznatky by mu měly především pomoci kvalifikovaněji řešit jeho běžné pracovní úkoly, pokud již v oboru pracuje. Obsah jednotlivých publikací této edice ulehčí čtenářům vstup do hlubšího studia oboru studiem odborné literatury nebo v některých odborných kurzech. Realizátoři projektu budou vděční jak za všechny připomínky k vydaným publikacím, tak i za návrhy témat, kterými by se měly zabývat publikace další. Národní informační středisko pro podporu jakosti

5

1

ÚVOD

Se sedmi základními nástroji pro řízení a zlepšování jakosti byla česká odborná veřejnost seznámena prvně K. Ishikawou v roce 1973 při jeho návštěvě Prahy. Jejich původní název byl „Seven Tools“ a jejich obsah byl formován v průběhu padesátých a šedesátých let minulého století v Japonsku právě K. Ishikawou a E. Demingem, který v té době v Japonsku dlouhodobě působil. Společným rysem těchto nástrojů je požadavek na trvalou týmovou práci, tedy požadavek, který přežil všechny vývojové fáze řízení jakosti až po současný přístup formulovaný v normách ISO řady 9000 z roku 2000. Základní struktura sedmi nástrojů, jejichž vnitřní náplň předkládáme ve formě obohacené v uběhlém čase, má tvar: a) vývojový diagram (viz kapitola 2), b) sběr dat, základní požadavky kladené na data a organizace dat (viz kapitola 3), c) grafické a číselné zpracování dat (viz kapitola 4), d) diagram příčin a následku (viz kapitola 5), e) Paretův diagram (viz kapitola 6), f)

bodové diagramy (viz kapitola 7) a

g) regulační diagramy (viz kapitola 8). Kromě výše zmíněného rysu – trvalé týmové práce – představuje většina uvažovaných nástrojů v podstatě kvantitativní metody, které při řízení procesu přispívají: • k jeho monitorování a lepšímu zvládnutí řízení, •

k hlubšímu pochopení procesu a realizaci procesního přístupu,

•

k problémům identifikace,

•

k řešení problémů souvisejících s diagnostikou a vzniklých dílčích konkrétních problémů,

•

k lepšímu fungování celého systému

•

k racionalizaci a objektivizaci realizovaných rozhodnutí. 7

K řešení takových otázek vždy potřebujeme data, a ta můžeme získat buď experimentem, nebo – za určitých podmínek - k jejich získání můžeme využít existujících informačních zdrojů. Následně tato data musíme analyzovat z pohledu řešeného problému. A již tyto první dva kroky by měly respektovat prvky tzv. statistického myšlení. Jeho zásady zde nejsou obecně formulovány, ale jsou při výkladu jednotlivých nástrojů v následujících částech této publikace na vhodných místech připomínány. Snahou autora této kapitoly bylo při výkladu minimalizovat výpočetní postupy (a ponechávat je jen tam, kde jsou nutné k ilustraci výkladu), ale naopak upozorňovat na úskalí, která při aplikaci jednotlivých nástrojů mohou vznikat, a současně ukázat i na negativní dopady, které lze následně očekávat. V této souvislosti je třeba doporučit jako doplňkovou literaturu dvě mezinárodní normy, které základy obsažené v této publikaci mohou čtenáři prohloubit a nabídnout mu i nové myšlenky: • ČSN ISO 10017:2004 Návod k aplikaci statistických metod v ISO 9001:2000 [15] a •

ČSN ISO 11462-1:2002 Směrnice pro uplatňování statistické regulace (SPC) – Část 1: Prvky SPC [12].

Připomeňme, že prvá z uvedených norem obsahuje popis 12 základních statistických disciplín a ukázky jejich aplikace v řízení jakosti a na závěr rozsáhlou literaturu (60 literárních odkazů) nejen z oblasti aplikované statistiky, ale i z oblasti bezporuchovosti a spolehlivosti. Druhá z norem je rovněž návodem k aplikaci systému SPC, když se musí prokazovat nebo zlepšovat způsobilost dodavatele snižovat kolísání procesu.

8

2 2.1

VÝVOJOVÝ DIAGRAM Úvod

Vývojový diagram má přispět k pochopení vnitřních vazeb uvnitř procesu a ke zdokonalení komunikace mezi útvary a je natolik univerzálním nástrojem, že umožňuje popis libovolného procesu, tedy jak vývojového, tak výrobního, technologického, projekčního či řídicího charakteru bez ohledu na jeho složitost. Cílem vývojového diagramu je zobrazení činností, souslednosti operací, návaznosti úkonů, dílčího rozhodování založeného na alternativních výstupech atd. Ve své podstatě je to konečný orientovaný graf, který má svůj začátek a konec, operační a rozhodovací bloky a obsahuje smyčky vytvářené pomocí rozhodovacích bloků. K jeho konstrukci se používá symbolů původně připravených pro popis algoritmů u výpočetních programů (viz norma ČSN ISO 5807:1996 [7]). Základní symboly jsou stručně připomenuty v podkapitole 2.4. Pochopitelně pro vnitřní potřebu podniku lze zavést další symboly, případně pravidla, která příslušný proces nebo datovou specifikaci lépe charakterizují. 2.2

Zásady konstrukce vývojového diagramu

Před vlastní konstrukcí vývojového diagramu je nutno si uvědomit základní charakter zobrazovaného procesu. Ve většině případů se jedná o uzavřené systémy, a ty vyžadují své ohraničení, které je dáno začátkem (zahájením, vstupem apod.) a koncem (výstupem, ukončením apod.). Podobný charakter budou mít vazby s návaznými procesy a tyto body budou charakterizovány např. přechodovými pravidly z jednoho podsystému do druhého, dokonce i s možností návratu do původního podsystému. Pro složitější systémy je důležité právě vytknutí těchto uzlových bodů, které často nemusí mít pouze alternativní výstup (např. typu ANO – NE), ale vícenásobný výstup. Obvyklým požadavkem je, aby návrh vývojového diagramu – především u složitých procesů – posoudili především ti, kteří s ním budou pracovat. Ti nejlépe mohou přispět k potřebnému zjemnění kroků, k lepšímu porozumění přechodům a hlavně k odstranění míst, která mohou nepříznivě ovlivnit vlastní výstup procesu. Je 9

pochopitelné, že diagram nesmí narušovat vlastní souslednost kroků a současně nesmí – s cílem zjednodušit vlastní proces – ignorovat operace, které se zdají být náročně zobrazitelné. U složitějších diagramů nelze rovněž zobrazovat pouze izolované části procesů (celý diagram by měl být umístěn na jedné stránce), pokud tyto části nemají jednoznačně definované začátky a konce. Obecně platí, že úroveň podrobností by měla být vždy taková, aby různé části a vzájemné vztahy mezi nimi byly srozumitelné jako celek. Proto má být vývojový diagram vždy prověřen praxí. Rozhodovací činnost je vždy spojena s otázkou. Ta vzhledem k prostoru nabízenému daným symbolem (viz kapitola 2.4) musí být sice stručná, ale současně zcela jasná a srozumitelná, tedy formulace otázky nesmí obsahovat termíny, jejichž obsah není uživateli diagramu znám. V krajním případě musí být takový termín opatřen poznámkou, která je připojena pod vlastním diagramem a obsahuje například odkaz na článek příslušné směrnice. V řadě případů lze zjednodušení otázky docílit matematickým zápisem, přičemž opět použité symboly jsou vysvětleny v textu příslušného dokumentu nebo abecedně seřazeny v poznámce pod čarou. Příkladem může být otázka: „Nepřesahuje zjištěný počet neshodných výrobků d zjištěný v náhodném výběru předepsaného rozsahu n přejímací číslo Ac dané přejímacím plánem?“, kterou lze snadno přepsat do jednoduchého tvaru: „Je d ≤ Ac ?“ , přičemž symboly d a Ac jsou vysvětleny výše uvedeným způsobem. Tato komprimovaná forma otázky je dokonce rychleji čitelná a vnímatelná. Jiný způsob komprese otázky lze docílit například tím, že určité části operace označíme jako „Postup 1“, „Metoda A“, „Způsob I“ apod., přičemž opět tyto operace jsou – z hlediska svého obsahu – předem formulovány. Zásadně se nesmějí použít otázky, které nemají jednoznačnou odpověď, tedy například obecně formulované otázky typu „Proč?“, „Jak jinak?“, „Kdy?“ apod. 10

Tvar a obsah otázek může odrážet slangové vazby a terminologii, které se používají v dané oblasti aplikace, jako jsou činnosti procesního charakteru, dodavatelsko-odběratelské vztahy, technologické postupy, marketing apod. 2.3

Záměr vývojových diagramů

Základním záměrem vývojových diagramů je umožnit shrnutí obvykle obsáhlého slovního popisu postupů a operací do graficky jednoduché a jednoznačné formy, jejíž náplň je díky obsahově známé terminologii nebo známým symbolům zcela srozumitelná všem, kteří tento diagram budou využívat. Tam, kde diagram zahrnuje i vymezení zodpovědnosti, má být snadno zjistitelná nejen odpovědnost za danou činnost, ale i celá posloupnost těchto odpovědností. Tyto diagramy jsou svojí formou a přístupností důležitou pomůckou i pro školení nových zaměstnanců. 2.4

Základní symboly

Pro zpracování vývojových diagramů připomínáme významy alespoň základních symbolů, ostatní lze nalézt v ČSN ISO 5807:1996 [7]: Mezní značka: představuje vstup nebo výstup, například začátek nebo konec programu.

Zpracování: představuje jakýkoliv druh funkce zpracování, např. provádění definované operace nebo skupiny operací, jejichž výsledkem je změna hodnoty, formy nebo umístění nebo stanovení, který z několika směrů toků se má sledovat.

Předdefinované zpracování: představuje pojmenované zpracování, které se skládá z jedné nebo více operací nebo programových kroků, které jsou specifikovány jinde, např. podprogramem. (Symbol viz na další straně.) 11

Rozhodování: představuje rozhodovací nebo přepínací funkci s jedním vstupem, kde však může být řada alternativních výstupů, z nichž pouze jeden může být aktivován po vyhodnocení podmínek definovaných uvnitř symbolu. Příslušné výsledky hodnocení mohou být připsány ke spojnicím reprezentujícím cesty.

Spojka: představuje výstup do jiné části téhož vývojového diagramu nebo vstup z jiné části a používá se k přerušení spojnice a k jejímu pokračování na jiném místě.

Spojnice: představuje tok dat nebo řízení. _________ 2.5

Typy vývojových diagramů

V ČSN ISO 5807:1996 [7] se za základní typy vývojových diagramů považují: a) vývojové diagramy toku dat – zobrazují tok dat při řešení problému a definují kroky zpracování a rovněž různé použité nosiče dat. Symboly dat předcházejí a následují za symboly zpracování; b) vývojové diagramy programu – zobrazují posloupnost operací v programu; c) vývojové diagramy systému – zobrazují řízení operací a tok dat systému; d) síťové diagramy programu – zobrazují cestu aktivací programu a vzájemné působení s příslušnými daty. Každý program v síťovém diagramu je uveden pouze jednou, zatímco ve vývojovém diagramu systému se může objevit ve více než jednom řídícím toku;

12

e) diagramy zdrojů systému – zobrazují konfiguraci datových jednotek a jednotek zpracování vhodných pro řešení problému nebo souboru problémů. Naproti tomu se v publikaci [20] za základní typy vývojových diagramů považují: f) vývojový diagram vstup/výstup, g) integrovaný vývojový diagram, h) lineární vývojový diagram. Dále jsou uvedeny pouze dvě ukázky. Na obrázku 2.1 je ukázka integrovaného vývojového diagramu {typ g) podle třídění v [20]} pro přípravu konstrukčního návrhu. Na obrázku 2.2 je vývojový diagram systému {typ c) podle třídění v [7]} zachycující vazby – plynoucí z přechodových pravidel – mezi jednotlivými stupni kontrol nabízenými v systému statistických přejímek srovnáváním (podle ČSN ISO 2859-1:2000 [3]).

Obrázek 2.1 – Integrovaný vývojový diagram [20]

13

Obrázek 2.2 – Vývojový diagram systému zachycující přechodová pravidla v systému přejímek srovnáváním podle ČSN ISO 2859-1:2000 [3]

14

3 3.1

SBĚR DAT, ZÁKLADNÍ POŽADAVKY KLADENÉ NA DATA A ORGANIZACE DAT Úvod

Náročnost na vlastní sběr dat pro připravovaný experiment nebo zkoumaný problém vyplývá ze skutečnosti, že samotný sběr dat sice neřeší vlastní problém přímo, ale je nutným předpokladem řešení a samotná „jakost“ sběru dat předurčuje v jistém smyslu i „jakost“ výstupu z následné analýzy, ke které data potřebujeme. Proto je dobře si před vlastním sběrem dat uvědomit několik základních hledisek, která by měla být při přípravě sběru vzata v úvahu. Této otázce je věnována další část této kapitoly. 3.2

Základní požadavky kladené na data

Při sběru dat je třeba vzít v úvahu alespoň následujících pět hledisek, která klademe na data: a) Cíl a forma sběru dat: K charakterizaci širokého spektra možných cílů uvedeme jako ilustraci tři výrazně odlišné cíle: • právní účely (například podklady pro uzavření smlouvy; data vyžádaná soudem), • řešení specifikovaného technického problému (například zvýšení účinnosti sušárny obilí; stanovení minimální životnosti nástroje), • zlepšení řízení procesu (například vyšetření dlouhodobé způsobilosti procesu; snížení variability mezi dílčími vzorky při vzorkování sypkého materiálu za účelem zvýšení shodnosti výsledků). V případě právního účelu budou ve většině případů jako podklady stačit právní a obchodní předpisy a technické specifikace, případně ekonomické podklady. Při řešení technického problému bude při první úloze již vyžadován experiment respektující typ sušárny, obarvení zrn pro sledovaní doby setrvání zrna na vibrofluidním žlabu za různých úrovní parametrů sušicího režimu a závěrečné zjištění závislosti mezi dobou setrvání zrna na žlabu a hmotností zrna; při druhé úloze (stanovení minimální životnosti nástroje) to bude sběr dat o životnosti nástroje za předem specifikovaných podmínek, 15

zkoumání výsledného rozdělení těchto dob životnosti, jeho modelování a odhad příslušného kvantilu rozdělení. Při zlepšování řízení procesu zjištění podmínek pro stanovení dlouhodobé způsobilosti například podle dokumentů VDA 4.1 [18] nebo QS-9000 SPC [17] a v souladu s nimi sledování procesu v časové posloupnosti včetně vyhodnocení získaných časových řad dat z hlediska přítomnosti různých typů zvláštních příčin (viz ČSN ISO 8258:1994 [10] a QS-9000 SPC [17]); v případě problému spojeného se vzorkováním sypkého materiálu se bude vyžadovat aplikace plánovaného experimentu v souladu s ČSN ISO 11648-2:2003 [14]. b) Typy dat: Data týkající se sledovaného znaku jakosti mohou být: • kvantitativní (měřitelná) nebo kvalitativní. Kde je to možné, měli bychom dát přednost kvantitativním datům, neboť mají výrazně vyšší vypovídací schopnost a v důsledku toho vyžadují k dosažení stejné výpovědní schopnosti mnohem menší počet měření; • výsledkem stoprocentní kontroly dávky nebo výsledkem kontroly náhodného výběru nebo to mohou být záznamy uvedené v regulačním diagramu apod. Každá z těchto skupin představuje jiný informační zdroj, a bude tedy vyžadovat i jiný typ zpracování výsledků. Nutno si však uvědomit, že kontrola dávky realizovaná na výběru pomocí statistických přejímek (například podle ČSN ISO 2859-1:2000 [3] při přejímce srovnáváním nebo podle ČSN ISO 3951:1993 [4] při přejímce měřením) je hospodárnější než stoprocentní kontrola a je vždy vázána na předem známá rizika účinnosti výběrové kontroly, což je přednost statistických přejímek; • snadno získatelná nebo zkoušky jsou časově či finančně náročné nebo dokonce destruktivní a rozsahy výběrů jsou pak nutně omezeny na nejnižší možný počet. Kontrola takto prověřovaných znaků jakosti vyžaduje zvýšený dozor nad řízením příslušného procesu, například formou SPC s přísnou vstupní kontrolou před vstupem materiálu do výroby. To jsou zásady přístupu založeného na prevenci.

16

c)

d)

Vliv struktury zkoušek: Abychom si objasnili vliv struktury zkoušek, uvažujme následující běžnou situaci: dodavatel má ve výrobě určitého dílu zavedenu SPC – viz kapitola 8 – při rozsazích podskupin n = 5 dílů, jejichž hodnoty jsou zaznamenávány do regulačních diagramů ( X , R) a po vyplnění celého regulačního diagramu (25 podskupin po 5 dílech) se naměřené hodnoty zpracují a vypočtou se ukazatele způsobilosti. Na druhé straně předpokládejme, že odběratel k ověření jakosti dávky tohoto dílu odebere z dávky náhodný výběr rozsahu n = 125 dílů (tedy jako výrobce v průběhu výroby: 5 × 25 = 125) a vypočte také ukazatel způsobilosti. Nelze očekávat, že obě hodnoty ukazatelů způsobilosti budou stejné, naopak téměř s jistotou lze tvrdit, že hodnota vypočtená odběratelem bude nižší než hodnota vypočtená výrobcem, a to přesto, že k výpočtu ukazatelů byly použity stejné počty dat. To je dáno tím, že 125 dílů u odběratele představuje náhodný výběr z celé předložené dávky, kdežto data na regulačním diagramu představují 25 podskupin po 5 dílech, přičemž tyto podskupiny jsou tvořeny posledními pěti vyrobenými díly v okamžiku návštěvy kontrolora u výrobního zařízení. Oba výběrové soubory dat mají sice stejný rozsah, ale zcela odlišnou strukturu, a to se nutně musí projevit i v hodnotách vypočtených výběrových charakteristik a tedy i v hodnotách ukazatelů způsobilosti. Záznamy dat: Data zaznamenáváme obvykle do předem připravených formulářů (do regulačních diagramů, kontrolních listů, protokolů, zpráv o auditech, hlášení o reklamacích apod.) nebo jsou data vytištěna bezprostředně po provedení příslušné kontrolní operace. Data mohou být v číselném tvaru, grafické formě (a pak se před zpracováním často vyžaduje například digitalizace záznamu), ve tvaru obrazové informace (a pak se vyžaduje zpracování pomocí analyzátoru obrazu) apod. Ve všech případech se však doporučuje stále zachovávat přístup k primárním datům a nesnažit se o přímé zpracování údajů do histogramů, o výpočet a vytištění pouze výběrových charakteristik (aritmetického průměru a výběrové směrodatné odchylky). Tím, že zablokujeme nebo znepřístupníme primární data, 17

e)

výrazně se ochuzujeme o množství informací, jejichž získání může být časově nebo finančně náročné a jejichž ztráta znemožní hlubší analýzu dat či přesnější odhady parametrů modelů apod. Stejně, pokud jsou data získána z různých linek, od různých výrobců apod., je třeba vždy zachovávat tato data odděleně jako samostatné soubory, neboť existuje objektivní nebezpečí, že podmínky, za kterých byly získány, nebyly zcela identické a do zpracování bychom vnesli další složku variability – viz podkapitola 3.3. Vlastnosti dat: Norma ČSN EN ISO 9000:2000 [2] ve svém článku 0.2 g) vyžaduje, aby přístup k rozhodování se vždy zakládal na faktech. Tedy • data a informace musí být pravdivé a získány co nejhospodárněji, • závěry ze zpracování údajů a informací mají být objektivní a co nejobsažnější. Obě tato hlediska mohou být splněna v podstatě za těchto podmínek: sběru dat by měly předcházet informace získané činností kolektivního charakteru, jako jsou tvorba vývojových diagramů, brainstorming, analýza příčin a následku a Paretova analýza (viz kapitoly 2, 5 a 6). Návrh vlastního experimentu nemůže být nikdy dílem pouze jednoho pracovníka, má-li zohledňovat všechna možná hlediska a jejich příslušnou závažnost; data mají mít srovnatelné vlastnosti: mají být pravdivá, být zaznamenána na stejný počet desetinných míst, získána za stejných (nebo srovnatelných) výrobních podmínek a stejných podmínek okolního prostředí a se známými a uvedenými nejistotami měření; analýza takových dat je proveditelná pomocí statistických metod, které lze nalézt v normách ČSN, ČSN ISO či ČSN IEC z oblasti aplikované statistiky a spolehlivosti (viz [15]), přičemž závěry splňují požadované vlastnosti.

18

3.3

Uspořádání dat

Je nutno si uvědomit, že z dat v jejich hrubém stavu nelze obecně na první pohled mnoho vyčíst. Proto je třeba věnovat pozornost i jejich záznamu a následné úpravě, která by měla umožnit a usnadnit výpočet celkových výběrových charakteristik (někdy nazývaných sumární statistiky). To je důležité především tam, kde nemáme k dispozici počítač a programy, které po vložení dat nabídnou přehled všech výběrových charakteristik a jejich číselných hodnot. Na druhé straně bychom někdy potřebovali hlubší informaci, kterou sumární statistiky neposkytují. Jeden z takových možných postupů ukážeme přímo na příkladu. Příklad Průměr čepu má podle specifikace mít rozměr v tolerančním poli 〈67,929 mm; 67,989 mm〉. Bylo proměřeno 10 podskupin po 5 čepech (celkem 50 čepů) a výsledky měření jsou zaznamenány v primární tabulce 3.1, v níž jsou uvedena pouze dvě poslední desetinná místa – tedy setiny a tisíciny mm. Tabulka 3.1 – Primární data o průměru čepu (pouze dvě poslední desetinná místa) 59 60 54 65 66

61 45 52 56 68

72 70 63 61 49

64 60 55 47 59

58 64 30 65 58

53 62 57 67 64

59 67 63 54 73

66 55 62 70 68

74 65 67 60 62

53 86 50 63 69

Nyní data můžeme uspořádat do tabulky 3.2 (tabulka „kmene a listu“), do které se na příslušný řádek zapisuje číslo na posledním desetinném místě v pořadí, v jakém byla primární hodnota získána. Uspořádáním číslic na příslušném řádku od nejmenších k největším se získá tabulka 3.3.

19

Tabulka 67,98 67,97 67,96 67,95 67,94 67,93

3.2 – Tabulka „kmene a listu“ pro data o průměru 6 24003 14600 42753 32751 57036 84829 98393 54257 06498 579 0

Tabulka 3.3 – Tabulka „kmene a listu“ pro data uspořádaná podle velikosti 67,98 6 67,97 00234 67,96 00011 22233 34445 55667 77889 67,95 02334 45567 88999 67,94 579 67,93 0 Z tabulky 3.2 je například patrné, že proces, z něhož data v tabulce 3.1 jsou odebrána, projevuje určitou nestabilitu. Prvních 25 hodnot vykazuje průměrnou hodnotu 67,5844 mm, kdežto druhých 25 hodnot průměrnou hodnotu 67,6356 mm. Všechny pozorované hodnoty leží sice v tolerančním poli, ale své těžiště mají posunuté k vyšším hodnotám (střed tolerančního pole je 67,959 mm, kdežto ze všech dat vypočtený aritmetický průměr je 67,9610 mm). Tabulka 3.3 ukazuje tuto skutečnost přímo. Uspořádání dat do tabulky 3.3 umožňuje kromě sestrojení tabulky četnosti 3.4 a histogramu (viz kapitola 4) i okamžité určení některých výběrových charakteristik: • nejmenší a největší naměřené hodnoty, a tedy i výběrového rozpětí, • výběrového mediánu, • výběrového prvého a třetího kvartilu apod. Interpretace a výpočet těchto výběrových charakteristik, stejně jako konstrukce histogramu jsou popsány v kapitole 4. 20

Tabulka 3.4 – Tabulka četnosti

POZNÁMKA – Při sestrojování tabulek 3.2 až 3.4 a histogramu postupujeme obecně v těchto krocích: v prvém kroku z primárních dat v tabulce 3.1 zjistíme největší (maximální) hodnotu xmax a nejmenší (minimální) hodnotu xmin a jejich rozdíl R = xmax – xmin nazývaný výběrové rozpětí; hodnota R dává informaci o poli rozptýlení sledovaného znaku v podskupině, dávce, výrobním procesu apod.; počet tříd, do kterých primární data v druhém kroku zařadíme, volíme obvykle mezi 6 a 20 v závislosti na celkovém rozsahu primárních dat; přitom šíře všech tříd musí být stejná (označuje se obvykle h); ve třetím kroku stanovíme dolní a horní meze třídního intervalu; přitom je třeba dodržovat určitá pravidla, jako například: • při předpisu tolerančního pole pro sledovaný znak jakosti může být dolní mez nejnižší třídy (tato třída může být prázdná) totožná s dolní mezní hodnotou (LSL) danou specifikací pro sledovaný znak jakosti a horní mez nejvyšší třídy (opět tato třída může být prázdná) může být totožná s horní mezní hodnotou (USL) danou specifikací; • třídní znaky představované středy jednotlivých třídních intervalů mají být čísla stanovená na stejný počet platných desetinných míst, tedy vhodně zaokrouhlená; totéž platí pro meze třídních intervalů;

21

každá hodnota musí jednoznačně patřit pouze do jediné třídy; proto při zařazování dat do tříd je nutné předem zvolit jeden z postupů: • hodnoty rovné dolní mezi i-té třídy se zařadí do i-té třídy a hodnoty rovné horní mezi i-té třídy se zařadí do třídy (i + 1); • hodnoty rovné dolní mezi i-té třídy se zařadí do třídy (i – 1) a hodnoty rovné horní mezi i-té třídy se zařadí do i-té třídy. V praxi je běžný druhý z uvedených postupů.

22

4

GRAFICKÉ A ČÍSELNÉ ZPRACOVÁNÍ DAT

4.1

Úvod

Tato kapitola navazuje na předchozí kapitolu 3 a je věnována zpracování dat, a to jak grafickému, tak numerickému, zaměřenému především na výpočet výběrových charakteristik. O výběrových charakteristikách se hovoří proto, že data získaná sběrem chápeme jako náhodný výběr, tedy pouze jakousi dílčí informaci o celku – obecně nazývaném základní soubor – kterým může být například výrobní dávka, produkce z výrobní linky za určitou dobu, celý výrobní proces apod., a naše informace není nikdy úplná, neboť většinou nemáme informaci o všech jednotkách tvořících příslušný celek, ale pouze o těch, které byly v rámci sběru do výběru zahrnuty. Tento rys je zohledněn právě ve výpočetních vzorcích pro získání odhadu parametrů zmíněných souborů (jako jsou výrobní průměr, rozptýlení výrobního procesu apod.) právě pomocí výběrových charakteristik. 4.2

Grafické zpracování dat

4.2.1

Histogram

V podstatě histogram není ničím jiným než grafickým ztvárněním hodnot v tabulce četnosti, jejíž obecný tvar je zachycen v tabulce 3.4. Pro kvantitativní (měřitelný) znak jakosti má histogram tvar sloupcového diagramu (viz obr. 4.1), který má: • sloupce stejné šíře h totožné se šíří třídního intervalu; •

počet sloupců roven počtu tříd, přičemž sloupce a třídy následují ve stejném pořadí,

•

na vodorovné ose x znázorněny buď hranice třídních intervalů, nebo hodnoty třídního znaku (nebo obě tyto hodnoty),

•

na svislé ose y vyneseny třídní četnosti nj nebo relativní třídní četnosti fj (v tabulce 3.4 jsou označeny jako absolutní četnosti, resp. relativní četnosti, a na obrázku 4.1 jsou označeny zkratkami AČ, resp. RČ) a 23

•

nad třídními intervaly sestrojeny obdélníky, jejichž celková plocha má v případě - absolutních četností velikost rovnou rozsahu náhodného výběru n a - relativních četností velikost rovnou 1.

Přednost relativním četnostem dáváme například při porovnávání dvou nebo několika zpracovávaných výběrů, jejichž rozsahy nejsou stejné. Potom při porovnávání dvou histogramů s absolutními četnostmi by byl vizuální vjem zkreslen právě rozdílností rozsahů výběrů. Použitím relativních četností je tato rozdílnost neutralizována.

Obrázek 4.1 – Histogram využívající dat v tabulce 3.4 Histogramy dávají velmi dobrou informaci o působení určitých vlivů a příčin v průběhu vlastního zkoumaného procesu, z něhož byl výběr odebrán. Sedm základních tvarů histogramů a interpretací možných fyzikálních příčin působících na proces je na obrázku 4.2.

24

Dvouvrcholový histogram: histogram se dvěma vrcholy. Většinou vzniká spojením dvou souborů (například ze dvou linek) s různým průměrem procesu a různým počtem jednotek v souborech jako v případě na obrázku, kde oba procesy mají téměř stejné rozptýlení.

Histogram plochého tvaru: vzniká na výstupu z procesu, v němž okamžité rozdělení znaku je normální, jeho průměr se v čase mění lineárně a rozptyl zůstává konstantní (například proces s opotřebením nástroje).

Histogram asymetrického tvaru: histogram s vrcholem vysunutým mimo své těžiště. Příklady: Weibullovo rozdělení životnosti nebo histogram na výstupu z procesu, v němž okamžité rozdělení je normální, jeho průměr se v čase mění parabolicky a rozptyl zůstává konstantní (například proces s opotřebením nástroje).

Levostranně useknutý histogram: histogram vzniklý většinou po realizaci stoprocentní kontroly výrobních dávek, kdy jsou vytříděny díly s hodnotou kontrolovaného znaku pod dolní mezní hodnotou danou specifikací. V pravé části histogramu se objevují díly s odlehlými hodnotami.

25

Histogram hřebenového tvaru: histogram vznikající většinou v důsledku nesprávného zaokrouhlování naměřených dat nebo systematickými chybami pracovníků při třídění dílů.

Dvouvrcholový histogram s výraznou četností v krajní třídě: výrazná četnost v krajní třídě vzniká nesprávnou kumulací všech zjištěných dat, jejichž hodnota je vyšší než horní mez poslední třídy, která bývá totožná s horní mezní hodnotou.

Histogram zvonovitého tvaru: symetrický histogram, který má zvonovitý tvar a jeden vrchol. Vzniká, když na proces působí pouze náhodné příčiny, proces je ve statisticky zvládnutém stavu a je stabilizovaný. Potom lze očekávat, že znak má normální rozdělení.

Obrázek 4.2 – Různé tvary histogramů s interpretací možných fyzikálních příčin působících na proces a na výstupu z procesu vytvářejících příslušný tvar histogramu

26

Pro kvalitativní znak jakosti (počet neshodných z ve výběru, počet neshod na jednotce apod.) se používá čárový diagram, v němž jsou příslušné četnosti zakresleny přímo v bodech s celočíselnými hodnotami, kterých znak jakosti v tomto případě může nabývat, například 0, 1, 2 atd. Jako příklad uvažujme data získaná při statistické přejímce srovnáváním (aplikace normy ČSN ISO 28591:2000 [3]) aplikované na dávky konstantního rozsahu, kdy je zaznamenáván počet neshodných zjištěný ve výběru z dávky. Relativní četnosti dávek s 0 neshodnými, s 1 neshodným, se 2 neshodnými apod. ze 100 kontrolovaných dávek jsou znázorněny na čárovém diagramu na obrázku 4.3.

Obrázek 4.3 – Čárový diagram 4.2.2

Kapénkové diagramy

Další grafický způsob, který je vlastně kombinací rysů tabulky „kmene a listu“ a tabulky četností (viz tab. 3.2 až 3.4), je kapénkový diagram. Při jeho konstrukci se zakreslí vhodná stupnice, která se rozdělí v souladu se zjištěným rozpětím hodnot ve výběru, a nad každou zjištěnou hodnotou se zakreslí jedna kapénka (bod). Počet kapének nad sebou značí počet měření se stejnou hodnotou. Data v příkladu v podkapitole 3.3 (viz tab. 3.1 až 3.3) jsou zpracována do kapénkového diagramu na obrázku 4.4.

27

Obrázek 4.4 – Kapénkový diagram aplikovaný na data z příkladu v kapitole 3.3 Modifikace kapénkového diagramu uvedená na obrázku 4.5 je vhodná pro porovnání dvou výběrů stejných rozsahů (například výběrů ze dvou porovnávaných výrobních linek). Hodnoty z prvého výběru jsou znázorněny nad kótovanou osou, hodnoty z druhého výběru pod ní. Z diagramu je například patrné, že druhý výběr má bezpochyby mnohem menší rozptýlení.

Obrázek 4.5 – Kapénkový diagram modifikovaný pro porovnání dvou výběrů 4.2.3

Krabicové diagramy

U rozsáhlejších výběrů nemá kapénkový diagram potřebnou vypovídací schopnost, neboť chybí kvantifikace hlavních rysů, totiž polohy a rozptýlení hodnot zjištěných ve výběru (případně ve statistickém nebo základním souboru). V těchto případech se doporučuje znázornění pomocí krabicového diagramu. Dříve než objasníme konstrukci krabicových diagramů a budeme je interpretovat, je třeba připomenout základní termíny, se kterými se zde pracuje a které patří mezi tzv. míry polohy statistického souboru.

28

Jsou to: •

medián Me,

•

první kvartil Q1 a třetí kvartil Q3.

Medián Me je prostřední hodnota v posloupnosti pozorovaných hodnot uspořádaných podle velikosti. Je-li počet čtení v dané posloupnosti n číslo liché, pak medián je právě prostřední čtení a má pořadí k = (½) (n + 1). Při n sudém je medián aritmetickým průměrem dvou prostředních čtení. První kvartil Q1 a třetí kvartil Q3 jsou hodnoty, které oddělují dolních a horních 25 % dat od centrálního jádra 50 % dat. Z toho vyplývá, že medián je v podstatě druhý kvartil. K tomu, abychom mohli zjistit (a zakreslit si) mediánovou hodnotu Me a kvartilové hodnoty Q1 a Q3 v posloupnosti dat uspořádaných podle velikosti (viz tab. 3.3 nebo obr. 4.4), použijeme následujících vztahů: Q1 = xi Me = xi Q3 = xi,

kde i = (¼) (n + 1), kde i = (½) (n + 1), kde i = (¾) (n + 1).

(4.1) (4.2) (4.3)

Tedy například v podkapitole 3.3, kde je n = 50, dostáváme

takže − − −

Q1 = xi, Me = xi, Q3 = xi,

kde i = 12,75, kde i = 25,50, kde i = 38,25,

(4.4) (4.5) (4.6)

první kvartil Q1 leží mezi hodnotami s pořadovými čísly 12 a 13; z tabulky 3.3 vyplývá, že jeho hodnota – po zaokrouhlení – je Q1 = 67,956; medián leží mezi hodnotami s pořadovými čísly 25 a 26; z tabulky 3.3 vyplývá, že medián Me je roven 67,962; třetí kvartil Q3 leží mezi hodnotami s pořadovými čísly 38 a 39; z tabulky 3.3 vyplývá, že jeho hodnota – po zaokrouhlení – je Q3 = 67,966. 29

Graficky jsou všechny tři hodnoty zakresleny v krabicovém diagramu v obrázku 4.6. Asymetrie celého statistického souboru je patrná z těchto skutečností: rozdíl Me – Q1 = 0,006, ale rozdíl Q3 – Me = 0,004; rozdíl Me – x1 = 0,032, ale rozdíl x50 – Me = 0,024 a konečně rozdíl Q1 − x1 = 0,026, ale rozdíl x50 – Q3 = 0,020.

Obrázek 4.6 – Krabicový diagram aplikovaný na data z příkladu v podkapitole 3.3 4.2.4

Sériová data

V praxi se často setkáváme s tzv. sériovými daty, tedy s daty, která jsou uspořádána v posloupnost, v níž data mají svá pořadí v závislosti na čase, na vzdálenosti apod. Jako příklad možno uvést regulační diagramy nebo chronologicky uspořádané záznamy tvořené výsledky vstupních kontrol dávek konkrétního výrobku předložených jedním dodavatelem; příkladem – využívajícím jiné principy analýzy – mohou být záznamy výsledků analýz laboratorních vzorků připravených z dílčích vzorků odebíraných systematicky při vzorkování hromadného materiálu v procesu nebo při vykládce materiálů z vagónů, podpalubí lodí apod. Při analýze regulačních diagramů je základním cílem ověřit stabilitu výrobního procesu a skutečnost, že proces pracuje ve statisticky zvládnutém stavu (tedy je ovlivňován pouze náhodnými vlivy variability) a plní požadavky na jakost na něj kladené. Není-li tomu tak, pak nastupuje úloha detekce zvláštních příčin působících na proces, jejich identifikace, návrhy opatření k nápravě a prověření jejich dostatečné a trvalé účinnosti včetně bariér proti novému objevení se těchto příčin. Příklady testů, které se aplikují při odhalování jednotlivých typů zvláštních příčin při analýze regulačních diagramů, jsou shrnuty v mezinárodní normě ČSN ISO 8258:1994 [10] nebo v dokumentu QS-9000 SPC [17]. 30

Při statistické analýze sériových dat představovaných výsledky laboratorních vzorků získaných při vzorkování hromadných materiálů je základním cílem stanovení typu kolísání sledovaného znaku jakosti, výpočet a grafické znázornění průběhu tzv. variogramu a z něho zjištěný odhad rozptylu vzorkování. Při této metodě se stanoví rozptyly vyvolané krátkodobým kolísáním a dlouhodobým kolísáním z analýzy časové řady dat získaných při statistickém experimentu. Variogram je znázornění rozptylu jako funkce intervalu mezi původními daty. Vzdálenost mezi po sobě jdoucími daty se nazývá „posunutí jedna“ („lag one“), vzdálenost mezi dvěma daty (ob jedno čtení) se nazývá „posunutí dvě“ („lag two“), atd. Rozptyl Vexp(t) je celkový rozptyl pro posunutí k dílčích vzorků a má analytický tvar n-k

Vexp (t ) =

∑ (x

i+k

− x i )2

i =1

2(n − k )

,

(4.7)

kde je hodnota znaku jakosti pro dílčí vzorek i (i = 1, 2, …, n); xi n – k je počet dvojic dílčích vzorků pro celočíselné „posunutí k“ (lag k); t je rovno k∆t, kde ∆t je interval vzorkování v jednotkách času (vyjádřeno v minutách), nebo je rovno k∆m, kde ∆m je interval vzorkování v jednotkách hmotnosti (vyjádřeno v tunách). Výraz (n - k ) ve jmenovateli rovnice odráží stupně volnosti pro výraz rozptylu při stanoveném intervalu k, zatímco součinitel 2 ve jmenovateli zaručuje, že pro t → 0 konverguje Vexp(t) k obvyklému rozptylu měření získaných za stejné situace. Na obrázku 4.7 jsou znázorněny zjištěné hodnoty procenta železa ve vzorcích rudy odebraných stratifikovaným systematickým vzorkováním založeným na hmotnosti při 28 000 tunových intervalech během nakládání 40 × 2800 = 112 000 tunových dávek železné rudy. Na obrázku 4.8 je odpovídající variogram a proložení přímky prvními čtyřmi body variogramu, které se využívá pro odhad rozptylu vzorkování. Podrobnosti tohoto postupu lze nalézt 31

v ČSN ISO 11648-2:2003 [14], věnované vzorkování sypkých materiálů. Při hlubší analýze procesu vzorkování je základním cílem stanovení typu kolísání sledovaného znaku. Obvykle se uvažují tyto čtyři typy: náhodné, cyklické, trendové a vzájemně korelované. Zde se kromě variogramu používá ještě korelogram. Tyto metody

Hmotnost (v tunách)

Obrázek 4.7 – Obsah železa zjištěný u 40 vzorků železné rudy [14]

32

„Posunutí“ (lag) (v tunách)

Legenda 1 Lineární proložení 2 Výběrový variogram POZNÁMKA: K vyrovnání variogramu přímkou je použito prvních čtyř „posunutí“. Obrázek 4.8 – Výběrový variogram a lineární proložení [14] jsou podrobně vysvětleny v mezinárodní normě ČSN ISO 116481:2004 [13]. Závěry je možno shrnout takto: je-li variogram plochý, je kolísání původní série náhodné; je-li variogram cyklický, je kolísání původních dat také cyklické se stejnou periodou; je-li variogram křivka odpovídající kvadratické funkci, projevuje kolísání původní série buď trend, nebo autokorelaci. V tomto případě se použije pro rozlišení mezi trendem a autokorelací výhodněji korelogram (viz ČSN ISO 11648-1:2004 [13]), neboť zobrazuje významné hodnoty koeficientu korelace (výpočet koeficientu korelace je uveden v kapitole 7). 33

4.3 4.3.1

Číselné zpracování dat Úvodní poznámky

V podkapitole 3.3 jsme použili termín sumární statistiky a mínili jsme jimi celkové výběrové charakteristiky, které využíváme především jako odhady měr polohy těžiště rozdělení a měr variability rozdělení. Mohou se ovšem týkat číselného vyjádření i dalších rysů rozdělení, jako je například šikmost a špičatost, které charakterizují tvar rozdělení. V této kapitole si však budeme všímat jen charakteristik polohy a variability. 4.3.2

Výběrové charakteristiky polohy

Mezi výběrové charakteristiky polohy obvykle řadíme: a) výběrový (aritmetický) průměr x , b) výběrový medián Me x a c) výběrový modus Mo x. Předpokládáme-li, že máme k dispozici výsledky měření x1, x2, …, xn představující náhodný výběr rozsahu n, potom a) výběrový (aritmetický) průměr x je dán výrazem x =

1 n

n

∑x

(4.8)

i

i =1

b) výběrový medián Me x je dán výrazy závislými na tom, zda rozsah náhodného výběru je číslo liché nebo sudé: Me x = x(m), kde m = (½) (n + 1) pro n liché, = (½) (x(m) + x(m+1)), kde m = (½) n pro n sudé, (4.9) přičemž x(1) ≤ x(2) ≤ … ≤ x(n) představuje náhodný výběr, jehož hodnoty byly uspořádány podle velikosti; c) výběrový modus Mo x je hodnota s největší četností ve výběru. Používání této výběrové charakteristiky se nedoporučuje pro příliš velkou variabilitu výsledku. Proto ji zde nebudeme věnovat pozornost. 34

Připomeňme některé vlastnosti zmíněných výběrových charakteristik polohy: Do výpočtu výběrového průměru x vstupují všechna naměřená data – na rozdíl od výběrového mediánu Me x, kde pracujeme pouze s prostřední hodnotou, je-li n číslo liché, resp. se dvěma prostředními hodnotami, je-li n číslo sudé. Z tohoto důvodu je zřejmé, že výběrový průměr x je silně ovlivňován případnými příliš extrémními hodnotami, které jsou tzv. odlehlé. Naopak výběrový medián takto ovlivňován není – jak víme z kapitoly 4.2.3 – představuje hodnotu, nad kterou leží právě 50 % hodnot výběru, a pod kterou leží právě 50 % hodnot výběru. Dalším rysem výběrového průměru x je, že vyžaduje, aby všechny hodnoty měly stejnou důležitost a přinášely stejný typ číselné informace. Pro symetrická rozdělení jsou hodnoty x a Me x přibližně stejné, ale pro asymetrická rozdělení (například rozdělení dob mezi poruchami) se tyto hodnoty již výrazně liší, jak je patrné z obrázku 4.9, kde jsou však zakresleny polohy teoretických hodnot (jeho modus, medián a střední hodnota) příslušných asymetrickému spojitému rozdělení. Za nejlepší odhad neznámé střední hodnoty µ rozdělení sledovaného znaku, z něhož byl náhodný výběr rozsahu n odebrán, se považuje výběrový průměr x . Nutno připomenout, že při aplikaci SPC při řízení průměru výrobního procesu se setkáváme jak s regulačními diagramy x , tak s regulačními diagramy Me x, neboť při podskupinách, jejichž rozsah n je liché číslo, se výběrový medián snadno stanoví. Aplikace tohoto typu regulačního diagramu však vyžaduje ověření normality regulovaného znaku jakosti, zatím co aplikace regulačního diagramu x umožňuje aplikaci SPC i pro asymetricky rozdělený znak jakosti.

35

Obrázek 4.9 – Umístění tří charakteristik polohy asymetrického spojitého rozdělení 4.3.3

Výběrové charakteristiky variability

Nejběžnější výběrové charakteristiky variability jsou: a) výběrové rozpětí R, b) výběrový rozptyl s2 a výběrová směrodatná odchylka s, c) výběrový variační koeficient C, d) průměrná absolutní odchylka MAD (mean absolute deviation), e) výběrové mezikvartilové rozpětí IQR (interquartile range). Připomeňme výpočtové vzorce pro jednotlivé výběrové charakteristiky variability: a) výběrové rozpětí R = x(n) – x(1)

nebo x(max) – x(min) ,

(4.10)

kde x(1) značí nejmenší a x(n) největší hodnotu ve výběru při uspořádání podle velikosti; b) výběrový rozptyl s2 se stanoví podle vzorce

s2 =

1 n ( xi − x ) 2 , ∑ n − 1 i =1

2 ⎡ n n ⎞ ⎤ 1 ⎢ 1 ⎛⎜ 2 ⎟ xi − xi ⎥ s = n - 1 ⎢ i =1 n ⎜⎝ i =1 ⎟⎠ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ 2

∑

∑

36

(4.11a) (4.11b)

a pomocí něho příslušná směrodatná odchylka s s=+

s2

(4.12)

Hodnota s2 představuje maximálně věrohodný odhad neznámého rozptylu σ2 sledovaného znaku jakosti v souboru, z něhož byl náhodný výběr odebrán. S výběrovým rozptylem s2 a výběrovou směrodatnou odchylkou s se setkáváme především v SPC; c) výběrový variační koeficient C je mírou relativní variability a má tvar C=

s x

nebo

s x

100

%;

(4.13)

d) průměrná absolutní odchylka MAD je v podstatě aritmetickým průměrem absolutních odchylek hodnot xi od výběrového průměru x , tedy MAD =

1 n

n

∑x

i

−x .

(4.14)

i =1

Poněvadž vyžaduje předběžné stanovení výběrového průměru x , není příliš rozšířena; e) výběrové mezikvartilové rozpětí IQR je založeno na rozdílu třetího kvartilu Q3 a prvního kvartilu Q1 [viz podkapitola 4.2.3, rovnice (4.3) a (4.1)] IQR = Q3 – Q1 .

(4.15)

Pro normální rozdělení odpovídá hodnota IQR přibližně 1,35σ (tedy 0,675σ na každou stranu od střední hodnoty rozdělení µ). S mírou IQR se pracuje především při porovnávání dvou datových množin. Numerický příklad obsahující použití výběrových charakteristik je obsažen v kapitole 8.

37

4.3.4

Zaokrouhlování čísel a počet desetinných míst

Připomeneme některé zásady, které by měly být dodržovány při numerickém zpracování dat, při zaokrouhlování čísel a při porovnávání číselné hodnoty výsledku měření s mezní hodnotou předepsanou specifikací: A. Při numerickém zpracování výsledků měření xi se má dodržovat zásada: jsou-li výsledky měření xi stanoveny na p platných míst, pak z nich vypočítané výběrové charakteristiky: výběrový (aritmetický) průměr a výběrová směrodatná odchylka se mají uvádět na (p + 1) desetinných míst. B. Při zaokrouhlování čísel se postupuje podle těchto zásad: • číslice posledního místa, na které se zaokrouhluje, zůstává zachována, jestliže za ní následuje číslice menší než 5, tedy některá z číslic 0 až 4 (například 0,0273 se zaokrouhlí na 0,027); • číslice posledního místa, na které se zaokrouhluje, se zvětší o jednu, jestliže za ní následuje číslice větší než 5 nebo skupina číslic začínajících 5, avšak s dalšími číslicemi, z nichž alespoň jedna je nenulová (například 1,246 se zaokrouhlí na 1,25; při zaokrouhlení na jedno desetinné místo má číslo 2,1503 tvar 2,2); • následuje-li za číslicí posledního místa, na které se zaokrouhluje, číslice 5 s dalšími nulami na desetinných místech, zůstává tato číslice beze změny, je-li sudá, a zvětší se o 1, je-li lichá (například 1,24500 se zaokrouhlí na 1,24; ovšem 1,23500 se zaokrouhlí rovněž na 1,24); • má-li být součet řady zaokrouhlených čísel určitým daným číslem (například 100 %), nelze uvedená pravidla vždy dodržet; • při zaokrouhlování stejných čísel by měla být všechna zaokrouhlena stejným způsobem; • procenta, promile apod. se zpravidla vypočítávají z čísel nezaokrouhlených. C. Při porovnávání číselné hodnoty výsledku měření s mezní hodnotou LSL nebo USL předepsanou ve specifikaci nebo v jiném předpisu se číselná hodnota výsledku zaokrouhlí na 38

•

•

stejný počet platných míst, na jaký je předepsána příslušná mezní hodnota. To předpokládá, že například: příslušné hodnoty meze opakovatelnosti r (a analogicky meze reprodukovatelnosti R – viz mezinárodní normy ČSN ISO řady 5725:1997 [6]) jsou uvedeny na stejný počet platných míst, jako je předepsána příslušná mezní hodnota; pro hodnocení shody se specifikovanými požadavky za přítomnosti nejistot měření je nutno respektovat směrnici, která je obsahem ČSN ISO 10576-1:2004 [11].

39

5 5.1

DIAGRAM PŘÍČIN A NÁSLEDKU Úvod

Diagram příčin a následku ukazuje grafickou formou vztah mezi následkem a příčinami, obecněji řečeno mezi sledovaným znakem jakosti (následkem) a možnými zdroji kolísání tohoto znaku jakosti (příčinami) (viz [19]). Pro svůj tvar bývá tento diagram také nazýván „diagram rybí kosti“ nebo podle svého autora „Ishikawův diagram“. Příčiny bývají většinou členěny v souladu se Shewhartovým pojetím procesu (stroje, metody, prostředí, materiály, měření a lidé). Tento přístup je běžný zvláště v průmyslových aplikacích. Naproti tomu speciální (například technologické) problémy pochopitelně nemusí všechny zmíněné typy příčin pokrývat, ale přihlížejí k jiným stěžejním pro řešení problému. Základní obecný tvar diagramu je znázorněn na obrázku 5.1. Následek, který je obvykle lokalizován v pravé části diagramu, obsahuje vždy stručnou specifikaci problému, který se má řešit; tato část diagramu bývá nazývána také „rybí hlava“. Nalevo od ní se zobrazují jednotlivé hlavní příčiny a odvozené dílčí příčiny neboli subpříčiny. Každá ze subpříčin je uváděna do relace v pořadí, které odpovídá úrovni ovlivnění hlavní příčiny. Je pravda, že diagram příčin a následku může být konstruován jediným pracovníkem, ale mnohem výhodnější je využít mozkového potenciálu týmu pracovníků, kteří se s řešeným problémem často setkávají, a uplatnit tzv. brainstorming. Každý ze zúčastněných může tak svými zkušenostmi přispět k obohacení výčtu příčin a subpříčin, a tak se minimalizuje možnost opomenutí některé z nich v celkových úvahách směřujících v prvém kroku k určení všech příčin, které mohou objasnit, proč je chování procesu právě takové, jaké je nyní. Pochopitelně použití diagramu příčin a následku se neomezuje jen na výrobní sféru a řešení otázek útvaru managementu jakosti, ale lze jej aplikovat při řešení všech problémů, které se objevují v administrativě, v zásobování, přepravě, marketingu, laboratořích apod. 40

5.2

Základní kroky a zásady při konstrukci diagramu příčin a následku

Při konstrukci diagramu příčin a následku se postupuje v těchto krocích: 1. Přesně se vymezí znak jakosti, který se chce zlepšit nebo řídit. 2. Zvolený znak jakosti (následek) se zapíše do prostoru hlavy diagramu (na pravou stranu diagramu) a od hlavy na levou stranu se zakreslí vodorovná přímka („páteř ryby“). 3. Specifikují se hlavní zdroje příčin kolísání sledovaného znaku jakosti formulovaného v hlavě. Tyto zdroje mají představovat „hlavní příčiny“, a tedy se jimi označí „žeberní kosti“ vycházející z vodorovné přímky představující „páteř ryby“. 4. Subpříčiny jednotlivých hlavních příčin se obvykle získávají výše zmíněným brainstormingem a zapisují se k jednotlivým větvím vybíhajícím ze žeberních kostí. Tyto kroky jsou mnohem podrobněji zachyceny ve vývojovém diagramu znázorněném na obrázku 5.2. POZNÁMKA Zásady brainstormingu: Při využívání brainstormingu se doporučuje přihlédnout k následujícím všeobecně uznávaným a prověřeným zásadám: a) Cílem brainstormingu je získat co nejvíce nápadů, proto každý přednesený nápad a myšlenka by měly být zapsány. b) Brainstorming by měl řídit jediný – předem dohodnutý nebo jmenovaný – pracovník (moderátor). c) Mělo by se dovolit každému, kdo cítí potřebu k řešenému problému něco říci, aby tak mohl učinit. d) Snahou moderátora by mělo být vyburcovat v lidech tvořivé myšlení. e) Předložené nápady, přístupy a myšlenky by se neměly nikdy kritizovat a hodnotit v okamžiku jejich předložení. To by se mělo ponechat na závěr, kdy se obvykle přiřazují váhy jejich důležitosti.

41

f)

V diskusi by se moderátor měl snažit vyprovokovat účastníky k předkládaní dalších myšlenek například otázkou: „Které další příčiny by mohly vyvolávat variabilitu na určité větvi?“, je-li daná větev málo obsazena. g) Moderátor by měl zásadně ignorovat skutečnost, že někdo ničím nepřispěje do diskuse. Je to právo účastníka diskuse.

Často je užitečné nejprve shromažďovat myšlenky získané při brainstormingu, zapsat je na čistý papír, pak je utřídit a přiřadit je k jednotlivým hlavním příčinám nebo subpříčinám, a teprve následně je zapsat do diagramu k příslušným větvím. Může se ukázat, že ne všechny podchycené myšlenky se skutečně daného problému týkají a ovlivňují jeho řešení. Ty se vyloučí nebo se jim dá velmi malá váha, která pak určuje pořadí důležitosti.

Obrázek 5.1 – Základní schéma diagramu příčin a následku

42

Obrázek 5.2 – Vývojový diagram pro konstrukci diagramu příčin a následku 5.3

Ukázka diagramu příčin a následku s aplikací z oblasti metalurgie

Na obrázku 5.3 je znázorněn diagram příčin a následku pro problém, který byl vyvolán potřebou zjistit příčiny nestabilní struktury kontinuálně litých pásů z mosazi. Jde o ukázku aplikace diagramu příčin a následku při řešení technologického problému. Proto bylo třeba specifikovat hlavní příčiny a subpříčiny na různých stupních, přičemž jako hlavní příčiny byly uvažovány čtyři základní komponenty licího zařízení. Závěr analýzy byl: potřeba regulace výšky hladiny taveniny v tavicí peci, aby se zamezilo příliš velkým výkyvům hydrostatického tlaku, pod kterým tavenina přichází do krystalizátoru.

43

Obrázek 5.3 – Diagram příčin a následku pro problém: příčiny ovlivňující požadovanou strukturu („následek“) mosazných pásů při jejich kontinuálním lití

44

6 6.1

PARETŮV DIAGRAM Úvod

Jedním z hlavních cílů programu řízení jakosti je snížení nákladů na neshodné výrobky. Je celá řada typů neshod a každá z nich se objevuje s jinou intenzitou. Je tedy třeba si v prvém kroku analýzy neshod učinit objektivní obraz o četnostech jednotlivých typů neshod na každém ze zkoumaných výrobků (připomeňme, že neshodný je každý výrobek, který vykazuje již jedinou neshodu, může však vykázat i více neshod současně) a o ztrátách, které jednotlivá neshoda vyvolává. Obvykle se ukazuje, že je jen několik málo výrobních operací, typů neshod nebo příčin těchto neshod, které jsou nositelem větší části všech takových nedostatků a ztrát. Postup analýzy, který je obsahem této kapitoly, je založen na myšlence italského ekonoma Vilfreda Pareta, který na začátku minulého století zjistil, že 80 % národního důchodu je tvořeno 20 % obyvatelstva. Vhodnost této myšlenky pro oblast řízení jakosti objevil v padesátých letech minulého století J. M. Juran. Podle něho je 80 až 95 % problémů v oblasti řízení jakosti vyvoláno 5 až 20 % příčin, a právě na tuto menšinu je třeba se v analýze problémů přednostně zaměřit, podrobně ji analyzovat a maximálně možným způsobem potlačit její působení. 6.2

Konstrukce Paretova diagramu

Sestrojení Paretova diagramu předpokládá: a) vymezit si všechny typy neshod či specifikovat všechny příčiny, které vyvolávají situaci, že výrobek je neshodný, případně, že vzniká daný problém; b) stanovit kritérium, podle kterého se budou analyzované neshody, příčiny či problémy hodnotit; obvykle to bývá četnost, vynaložené náklady, hledisko závažnosti apod.; c) uspořádat si jednotlivé neshody, příčiny či problémy podle stanoveného kritéria v klesající řadu (tedy například od nejvyšší četnosti neshodných k jejich nejmenší četnosti) ve formě tabulky, v níž pro každou neshodu (příčinu nebo problém) je uvedena nejen absolutní četnost, ale i kumulativní četnost a kumulativní relativní četnost (obvykle uváděná v procentech); 45

d) sestrojit graf (viz obr. 6.1), v němž na vodorovné ose jsou uvedeny všechny druhy neshod nebo identifikační čísla zkoumaných neshod (příčin nebo problémů) v pořadí stejném jako v připravené tabulce (tedy v klesajícím pořadí), na levé svislé ose jsou vyneseny příslušné absolutní četnosti a na pravé svislé ose jsou vyznačeny kumulativní relativní četnosti; v koncových bodech intervalů příslušných jednotlivým druhům neshod nebo identifikačním číslům neshod je vynesena jejich četnost. Spojením bodů kumulativní relativní četnosti se dostane lomená čára (nebo po vyhlazení spojitá křivka). Z jejího průběhu se odečte pro zvolenou hladinu důležitosti (např. 80 %), které typy neshod (příčin nebo problémů) je nutno aktuálně řešit, aby došlo k výrazné nápravě, tzn. k odstranění nebo ke snížení hlavních příčin neshod, a tím ke zlepšení úrovně jakosti. Uvedená lomená čára kumulativních četností vyjádřená v procentech se nazývá Lorenzova křivka. 6.3

Ukázka postupu při zpracování dat pro aplikaci Paretovy analýzy

U tělísek AXG5 jsou kontrolovány specifikací předepsané znaky jakosti: průměr tělíska, výška tělíska, hloubka zapuštění a průměr osazení. K analýze se využijí záznamy výsledků kontrol 100 dávek (výsledky první a poslední desítky dávek jsou zachyceny v tabulce 6.1), takže celkem jsou k dispozici data z kontroly 139 450 tělísek. Časová náročnost vlastní kontroly vedla k myšlence zjistit znaky, které vyvolávají největší četnost neshodných dílů, a jakost těchto znaků zlepšit. Závěrečné zhodnocení údajů z tabulky 6.1 je uskutečněno v tabulce 6.2, která je zároveň podkladem pro konstrukci Paretova diagramu zakresleného na obrázku 6.1. Z tabulky 6.2 a z průběhu Lorenzovy křivky na obrázku 6.1 je zřejmé, že téměř 84 % neshodných tělísek vykazuje neshodnost vůči průměru osazení (téměř 62 %) a vůči výšce tělíska (22 %). Pro tyto dva znaky jakosti bylo rozhodnuto přejít ze stávající statistické regulace srovnáváním na účinnější statistickou regulaci měřením a před její realizací uskutečnit podrobnou analýzu vlastního výrobního procesu s cílem odhalit zvláštní příčiny vyvolávající poměrně značnou variabilitu jakosti mezi dávkami. Po realizaci těchto opatření 46

k nápravě se Paretova analýza zopakovala, aby se zjistila účinnost opatření a případná příslušná změna v pořadí absolutních četností neshod vůči kontrolovaným znakům. Závěry nové analýzy prokázaly oprávněnost tohoto kroku. I když se rozsahy dávek od jedné dávky ke druhé vzájemně liší, nemusí být tato skutečnost brána v úvahu, neboť zmíněné kolísání rozsahu dávky se pohybuje v rozmezí 10 % dávky, což představuje běžně uznávané rozmezí kolísání rozsahu dávky, které neovlivňuje výstup.

47

Tabulka 6.1 – Výsledky kontrol 100 dávek tělísek AXG

Číslo dávky

Rozsah dávky

171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 ::::: ::::: ::::: 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 Celkem

1326 1302 1322 1341 1350 1309 1315 1321 1342 1331 ::::: ::::: ::::: 1306 1350 1341 1328 1329 1318 1316 1329 1338 1341 139450

Kontrolované znaky jakosti Průměr Výška Hloubka Průměr tělíska tělíska zapuštěn osazení í Počet neshodných v dávce 2 4 3 12 1 5 0 14 0 3 1 10 3 5 0 9 4 5 0 15 3 4 1 17 0 5 2 12 2 4 3 10 1 3 0 9 3 2 0 12 ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: 3 4 1 16 2 6 3 12 3 5 0 13 0 5 0 7 2 4 0 8 1 3 0 13 4 3 2 14 2 4 1 15 1 4 1 10 3 3 1 8 204 410 98 1140

48

Tabulka 6. 2 – Shrnutí a zpracování výsledků z tabulky 6.1

Druh neshody

Absolutní četnost neshody

Kumulativní absolutní četnost

Kumulativní relativní četnost

Průměr osazení Výška tělíska Průměr tělíska Hloubka zapuštění Celkem

1140 410 204 98 1852

1140 1550 1754 1852

61,6 % 83,7 % 94,7 % 100 %

Obrázek 6.1 – Paretův diagram a Lorenzova křivka

49

6.4

Oblasti použití Paretova diagramu

Paretovy diagramy nacházejí uplatnění v mnoha situacích. Mohou být nástrojem managementu při stanovování hlavních příčin neshodnosti (často ve spojení s diagramem příčin a následku popsaným v kapitole 5), při studiu příčin snížené výtěžnosti, při technologických studiích, například analýze příčin vzniku nově pozorované neshody (například při vzniku mikrotrhlin ve stěnách trubek), při analýze údajů o opravách, zmetcích, reklamacích v záruční době atd. Sem ovšem patří i analýza informací z oblasti řízení jakosti práce, odhalování příčin neshod vznikajících při balení zboží, úklidových pracích, hodnocení práce obsluhy atd. Další oblastí mohou být marketingové studie spojené s analýzou spokojenosti zákazníka, hledání příčin poklesu zájmu o určitý druh výrobků apod. Důvodem této široké oblasti použitelnosti Paretovy analýzy je to, že vlastní diagramy představují velmi jednoduchý nástroj pro zjištění příčiny nebo příčin, které hrají dominantní roli v řešeném problému. Na druhé straně úspěšná aplikace této metody vyžaduje nejen určitou odbornou zkušenost (proto se dnes Paretova analýza často aplikuje týmově), ale i rozsáhlý soubor dat získaných za srovnatelných podmínek a jeho následnou analýzu. Jde tedy o skloubení zkušenosti a schopností odhalení objektivních závěrů analýzy dat, které obecně z několika možných hypotéz mají umožnit konkretizovat právě tu s dominantním vlivem, orientovaným na četnost neshod, výtěžnost, finanční náklady, pracnost a časovou náročnost operací nebo jinou rozhodující příčinu.

50

7 7.1

BODOVÉ DIAGRAMY Úvod

Při řešení různých technických problémů se setkáváme se situacemi, kdy získaná data o jednom znaku jakosti vztahujeme k jinému znaku jakosti na výrobku. Totéž pochopitelně plně platí i o datech získaných při řešení problémů z jiných oblastí, například z ekonomie, služeb, zdravotnictví atd. V řadě případů nás k řešení takových situací vybízí snaha objasnit vlastní problém, většinou však motivem je charakter zkoušky (její časová nebo finanční náročnost, potřeba aplikace nedestruktivní zkoušky za dosud používanou destruktivní zkoušku apod.), určení vztahu mezi deklarovanou hmotností a reálnou hmotností materiálu expedovaného v obalech ve velkých dávkách, dále činnosti související s kalibrací a vyžadované příslušnou normou apod. Další oblastí, kde se setkáváme s potřebou zjištění stupně závislosti dvou nebo více veličin, je metrologie, konkrétně při výpočtu kombinované standardní nejistoty měření uc(y). 7.2

Rozdíl mezi stochastickými a funkčními závislostmi

Jako příklad můžeme položit otázku, zda na základě znalostí složení materiálu (tedy informací získaných například pomocí kvantometrických měření) lze dostatečně přesně – za předpokladu absolutního dodržení daného technologického postupu – predikovat hodnoty mechanických vlastností (hodnoty meze kluzu, meze pevnosti, tažnosti apod.) a využívat tak informací, které již jsme získali, k dosažení nové informace, kterou potřebujeme a která vyžaduje novou zkoušku. Ukazuje se, že v tomto případě pro materiály na výrobu trubek lze mez pevnosti Rm vyjádřit jako funkci složení materiálu v následujícím tvaru Rm = 290 + 747 C + 50 Mn + 88 Si + 179 Cr + chybová složka, obecně pak ve tvaru Y = X (C, Mn, Si, Cr) , 51

kde Y = Rm se nazývá vysvětlovaná veličina a X vysvětlující veličina, která v tomto případě má tvar vektoru objemových podílů chemických prvků C, Mn, Si a Cr. Tedy hodnotu Y predikujeme pomocí X, jejíž číselnou hodnotu jsme schopni určit pomocí hodnot z kvantometrických měření získaných v laboratoři. Jako druhý příklad můžeme uvést potřebu prozkoumat stupeň závislosti mezi výsledky měření při použití destruktivní metody měření nebo metody časově či finančně náročné (metoda B) a výsledky měření při použití alternativní nedestruktivní metody měření nebo jiné jednodušší metody (metoda A). Při experimentu musíme ovšem postupovat tak, že každý z předložených n materiálových vzorků proměříme nejprve metodou A a k získanému výsledku měření připojíme výsledek měření z destruktivní metody měření B realizované na stejném materiálovém vzorku. Dostaneme tedy n dvojic výsledků měření (xi, yi). Záměrem je predikovat hodnotu vysvětlované veličiny Y, která charakterizuje destruktivní metodu B, pomocí vysvětlující veličiny X, která charakterizuje nedestruktivní metodu A. To ovšem vyžaduje znalost analytického vztahu Y = f(X). K jeho určení se použije hodnot nabízených n dvojicemi (xi , yi). Pochopitelně nedestruktivní metodu budeme v tomto případě používat jen tehdy, prokáže-li se dostatečně vysoký stupeň závislosti výsledků získaných metodou A na výsledcích dosud získávaných metodou B. Je zřejmé, že v takových případech mají výsledné vztahy mezi vysvětlovanou veličinou Y a vysvětlující veličinou X jiný charakter než vztahy, se kterými se setkáváme ve fyzice, kdy určité hodnotě jedné veličiny (nezávisle proměnné) odpovídá zcela přesná hodnota druhé veličiny (závisle proměnné). Jako příklad zde můžeme uvést známý vztah s = 0,5 g t2, kde s je délka dráhy, kterou urazí ve vakuu padající předmět za čas t v místě s gravitačním zrychlením g. V tomto případě se jedná o funkční závislost (mající platnost fyzikálního zákona), kdežto ve dvou příkladech uvedených na začátku odstavce se jednalo o tzv. stochastickou závislost. V citovaných dvou příkladech si totiž musíme uvědomit, že při opakování příslušných experimentů dostáváme vždy jiné údaje, než se kterými jsme pracovali při původním experimentu, takže výsledné 52

závislosti budou obsahovat částečně odlišné hodnoty odhadnutých matematických konstant vystupujících v daném analytickém tvaru závislosti. Obecně tedy platí, že funkční závislost je vždy zvláštním případem stochastické závislosti, kdy určité hodnotě nezávisle proměnné odpovídá jediná hodnota závisle proměnné. 7.3

První informace o tvaru stochastické závislosti

Musíme si uvědomit, že při určování tvarů stochastických závislostí pracujeme s tzv. dvourozměrnými soubory, a tedy i výběr zobecňujeme na dvourozměrný náhodný výběr. To znamená, že náhodným výběrem rozumíme n dvojic výsledků měření (xi, yi), i = 1, 2, …, n. Přitom Y chápeme jako náhodnou veličinu, která nabývá hodnot znaku jakosti, jehož hodnotu chceme predikovat, a X chápeme jako náhodnou veličinu, která nabývá hodnot znaku, pomocí něhož predikci uskutečňujeme. V prvém kroku zpracování těchto informací si body (xi, yi) vždy zakreslíme do pravoúhlé soustavy souřadnic (X, Y). Již z chování zakreslených bodů jsme totiž schopni mnohé vyčíst, jak je patrné z obrázků 7.1, na nichž jsou schematicky zakresleny celkem čtyři různé tvary stochastických závislostí. Na obrázku 7.1a) jsou body rozloženy téměř po celé ploše, a tedy jednotlivým hodnotám vysvětlující veličiny odpovídají zcela libovolné hodnoty vysvětlované veličiny v podstatě v celém oboru její proměnlivosti. V takovém případě nelze očekávat statisticky významnou stochastickou závislost a hodnoty X a Y se projevují jako nekorelované. Naproti tomu na obrázcích 7.1b) a 7.1c) se body soustřeďují kolem určité přímky, a zde dané hodnotě vysvětlující veličiny odpovídá již jen velmi úzké pole hodnot vysvětlované veličiny. Rozdíl je jen ve směrnici přímky: na obrázku 7.1b) vyšším hodnotám X přísluší vyšší hodnoty Y, kdežto na obrázku 7.1c) nižším hodnotám X odpovídají vyšší hodnoty Y. Poněvadž body (xi, yi) se v obou případech těsně přimykají k přímkám, hovoříme o lineární stochastické závislosti, na rozdíl od obrázku 7.1d), kde body (xi, yi) nesledují přímku, ale určitou křivku, a zde se tedy jedná o nelineární stochastickou závislost. Čím těsněji se body (xi, yi) přimykají k této regresní přímce, resp. regresní křivce, tím bude závislost silnější. V dalším textu se omezíme jen na případ lineární regrese. 53

7.4

Výpočet výběrového koeficientu korelace a odhadů konstant v regresní přímce

Nejužívanější mírou závislosti mezi dvěma veličinami X a Y je tzv. koeficient korelace. Potíže při aplikaci této míry nejsou v oblasti výpočetní (jeho výpočet lze zvládnout pomocí kapesního kalkulátoru nebo pomocí Excelu), ale v oblasti ověření, zda jsou splněny předpoklady, za kterých je tento koeficient správně použitelný. Jedná se o tyto dva předpoklady: a) základní soubor, z něhož je odebrán dvourozměrný náhodný výběr (xi, yi) – pro i = 1, 2, …, n, je dvourozměrné normální rozdělení; b) závislost je lineární, tzn. lze ji vyjádřit regresní přímkou (ověří se alespoň graficky). K ověření platnosti bodu a) lze použít testu dobré shody (nebo testu normality – viz například ČSN ISO 5479:1998 [5]), který se aplikuje pro každý ze sledovaných znaků jakosti odděleně. Obrázek 7.2 uvádí bodový diagram vyjadřující vazbu mezi absorpcí vody (%) a obsahem pryskyřice (%). Oproti běžnému tvaru bodového diagramu jsou zde navíc pro každý ze znaků sestrojena marginální empirická rozdělení ve formě kapénkových diagramů (viz kapitola 4.2.2). Nutno upozornit, že zakroužkované body v bodovém diagramu představují vždy dvě pozorované hodnoty se stejnými souřadnicemi. Tímto zpracováním se získá velmi dobrá prvotní představa o tvaru rozdělení. – Druhý předpoklad b) v praxi obvykle ověřujeme přímo z grafického zakreslení bodů. Výběrový koeficient korelace rxy má tento analytický tvar: n

rxy =

∑ (x

i

i =1

⎡ ⎢ ⎣⎢

n

∑ (x i =1

i

⎤⎡ − x )2 ⎥ ⎢ ⎦⎥ ⎢⎣

n

∑ (y i =1

i

⎤ − y )2 ⎥ ⎦⎥

⎞ ⎞⎛ n ⎛ n yi − ⎜ xi ⎟ ⎜ yi ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ i =1 ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ 2 2 ⎞ ⎤⎡ n 2 ⎛ n ⎞ ⎤ ⎛ n xi2 − ⎜ x i ⎟ ⎥ ⎢n yi − ⎜ yi ⎟ ⎥ ⎟ ⎥⎢ ⎟ ⎥ ⎜ ⎜ ⎝ i =1 ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢ i =1 ⎝ i =1 ⎠ ⎦⎥ n

− x ) (y i − y )

n =

⎡ ⎢n ⎢ ⎣⎢

n

∑ i =1

∑x

i

∑

∑

∑

∑

∑

(7.1) 54

pro n ≥ 2; při tom x a y jsou výběrové (aritmetické) průměry stanovené z naměřených hodnot xi , resp. yi. Někdy se setkáváme s jednodušší formou vyjádření výběrového koeficientu korelace, která však není vhodná pro numerický výpočet: n s xy 1 2 (x i − x ) (y i − y ) , r xy = s xy = , kde sx sy n i =1

∑

(7.2)

Obrázek 7.1 – Bodové diagramy, lineární a nelineární stochastické závislost přičemž sxy je tzv. kovariance a sx, resp. sy jsou směrodatné odchylky příslušné náhodné veličiny X, resp. Y. Tedy kovariance sxy představuje průměrnou hodnotu součinu odchylek

( xi − x )( yi − y )

a její hodnota je tím větší, čím více dvojic

( x i − x ) a ( y i − y ) má stejné znaménko. Vyšší hodnota kovariance znamená i těsnější lineární závislost. Vlastní koeficient korelace rxy může nabývat hodnot v intervalu 〈–1; +1〉.

55

Hodnota rxy = 0 značí, že mezi veličinami X a Y není lineární vztah. Tato skutečnost ovšem vůbec nic nevypovídá o tom, že mezi veličinami X a Y nemůže existovat nějaký nelineární vztah, a tedy nelze tvrdit, že X a Y jsou nezávislé (viz obr. 7.1d). Je-li rxy = 1 nebo rxy = –1, pak stochastická závislost přechází ve funkční závislost a nastává již výše zmíněná krajní situace, a tedy s pravděpodobností 1 platí, že Y = a + b X,

(7.3)

kde a a b jsou reálné konstanty, přičemž rxy = 1 pro b > 0 a rxy = –1 pro b < 0.

Obrázek 7.2 – Bodový diagram s marginálními rozděleními

56

Většinou však pracujeme s hodnotami rxy z otevřeného intervalu (–1; +1). Z charakteru koeficientu korelace rxy je zřejmé, že hodnota rxy = 0,86 vyjadřuje vyšší těsnost než hodnota rxy = 0,34. Současně si však musíme uvědomit, že vypočtená hodnota koeficientu korelace rxy je opět náhodnou veličinou a je tzv. statistikou, jejíž číselná hodnota byla stanovena pomocí naměřených (pozorovaných) hodnot. Z toho vyplývá již výše zmíněná skutečnost, že při opakovaném novém měření musíme počítat s tím, že získáme jiné číselné hodnoty xi a yi a tedy vypočtená hodnota rxy bude částečně odlišná od původní hodnoty rxy. Stabilita vypočteného koeficientu korelace rxy poroste s rostoucím počtem n dvojic (xi, yi). Statistika rxy má tedy svoji vlastní hustotu pravděpodobnosti a ta závisí na dvou parametrech: na koeficientu ρ zmíněného dvourozměrného normálního rozdělení, z něhož byl uskutečněn dvourozměrný náhodný výběr dvojic (xi, yi), a na rozsahu výběru n. Čím vyšší bude hodnota n, tím větší bude stabilita získaného výsledku. Obvykle se požaduje n alespoň 50 až 100. Numerický příklad, který je na závěr tohoto odstavce připojen, pracuje jen s malým počtem dvojic n = 5 z důvodu ukázky postupu při vlastním výpočtu výběrového koeficientu korelace podle vztahu (7.1) a odhadů příslušných konstant regresní přímky pomocí dále uvedených vztahů (7.4) a (7.5). Není-li vztah (7.3) funkční závislostí, ale stochastickou závislostí, je třeba ještě odhadnout konstanty a a b, které v něm vystupují. K tomu se použije těchto vztahů: n ⎛ n ⎞⎛ n ⎞ ⎜ xi ⎟ ⎜ yi ⎟ − n xi y i ⎜ ⎟⎜ ⎟ i =1 i =1 i =1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ˆ b= , 2 n ⎛ n ⎞ ⎜ xi ⎟ − n xi2 ⎜ ⎟ i =1 ⎝ i =1 ⎠

∑

∑

∑

∑

aˆ =

1 n

(7.4)

∑

⎛ n ⎜ y i − bˆ ⎜ ⎝ i =1

∑

57

⎞

n

∑ x ⎟⎟ . i

i =1

⎠

(7.5)

Zbývá vyřešení otázky, zda vypočtená hodnota výběrového koeficientu korelace je dostatečně velká, abychom mohli považovat stochastickou závislost mezi sledovanými dvěma znaky jakosti za statisticky významnou. K tomuto účelu se pro rozsahy výběrů (n = 3 až 102) využije tabulka 7.1, obsahující kritické hodnoty rxy(α) koeficientu lineární korelace vypočtené pro hladinu významnosti α = 0,05, přičemž stupně volnosti ν = n – 2 . Zjištěnou korelaci mezi dvěma uvažovanými znaky jakosti budeme považovat za statisticky významnou, jestliže bude pro vypočtenou hodnotu výběrového koeficientu korelace rxy platit, že rxy ≥ rxy(α).

58

Tabulka 7.1 – Kritické hodnoty rxy(α) koeficientu lineární korelace pro α = 0,05 a rozsahy výběrů (n = 3 až 102) Stupně volnosti ν 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Stupně volnosti ν 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 35 40 45 50 60 70 80 90 100

rxy(0,05) 0,997 0,950 0,878 0,811 0,754 0,707 0,666 0,632 0,602 0,576 0,553 0,532 0,514 0,497 0,482 0,468 0,456 0,444 0,433 0,423

59

rxy(0,05) 0,413 0,404 0,396 0,388 0,381 0,374 0,367 0,361 0,355 0,349 0,325 0,304 0,288 0,273 0,250 0,232 0,217 0,205 0,195

7.5

Numerický příklad

Předpokládejme, že výsledky měření poskytly pět dvojic hodnot (xi, yi), jejichž hodnoty jsou zachyceny v prvých dvou sloupcích tabulky 7.2. Pozorované dvojice hodnot jsou zakresleny jako body v obrázku 7.3. Pro toto zadání nyní provedeme výpočet výběrového koeficientu lineární korelace a odhadů konstant vystupujících v příslušné regresní přímce. Pro využití výše odvozených vztahů (7.1), (7.4) a (7.5) při výpočtu výběrového koeficientu lineární korelace a konstant vystupujících v analytickém tvaru regresní přímky si zavedeme pomocné funkce, které nám vlastní výpočty velmi usnadní.

Tabulka 7.2 – Pozorované hodnoty a předběžné výpočty

Součty

xi 1 2 3 4 5 15

xi2 1 4 9 16 25 55

yi 1 1 2 2 4 10

xi yi 1 2 6 8 20 37

yi2 1 1 4 4 16 26

Pro využití výše odvozených vztahů (7.1), (7.4) a (7.5) při výpočtu výběrového koeficientu lineární korelace a konstant vystupujících v analytickém tvaru regresní přímky si zavedeme pomocné funkce, které nám vlastní výpočty velmi usnadní.

60

SS∗xy

⎛ n xi y i − ⎜ xi ⎜ i =1 ⎝ i =1 n

∑

= n

∑

∑

y i2

⎛ n yi −⎜ ⎜ ⎝ i =1

⎞ ⎟ = 130 − 100 = 30 , ⎟ ⎠

i =1

bˆ =

aˆ =

SS∗xy

=

SS∗xx

1 n

2

⎞ ⎟ = 5 × 55 - 15 2 = 275 − 125 = 50 , ⎟ ⎠

∑

i =1

SS∗yy = n

⎞ ⎟ = 5 × 37 - 15 × 10 = 185 - 150 = 35 , ⎟ ⎠

⎛ n −⎜ xi ⎜ ⎝ i =1

∑ n

∑

x i2

n

SS∗xx = n

⎞⎛ n ⎟⎜ yi ⎟⎜ ⎠ ⎝ i =1

∑

2

35 = 0,7 , 50

n

1 y i − bˆ n i =1

∑

n

∑x

i

i =1

=

10 15 − 0,7 = − 0,1 , 5 5

y = – 0,1 + 0,7 x . Přímka y = – 0,1 + 0,7 x .je zakreslena v obrázku 7.3. rxy =

SS∗xy SS∗xx SS∗yy

=

35 50 × 30

= 0,904

Vstupní hodnotou v tabulce 7.1 je počet stupňů volnosti ν a ten je roven ν = n – 2 = 5 – 2 = 3. Pro tuto hodnotu ν je na hladině významnosti α = 0,05 kritická hodnota koeficientu lineární korelace rovna rxy(0,05) = 0,878. Poněvadž vypočtený výběrový koeficient lineární korelace rxy = 0,904 je větší než příslušná kritická hodnota rxy(0,05) = 0,878, lze považovat korelaci mezi sledovanými znaky x a y za statisticky významnou. 61

Obrázek 7.3 – Přímka y = – 0,1 + 0,7 x proložená pozorovanými hodnotami

62

8 8.1

REGULAČNÍ DIAGRAMY Úvod

Předmětem statistického řízení výrobního procesu (Statistical process control – SPC) je napomáhat k dosažení a udržení výrobního procesu na přípustné a stabilní úrovni tak, aby byla zajištěna shoda produktů a služeb se specifikovanými požadavky. Základním statistickým nástrojem SPC jsou regulační diagramy. Historicky se princip regulačních diagramů opírá o práce Waltera A. Shewharta [21] a [22]. Statistické řízení procesu představuje zpětnovazební systémové ovládání procesu na základě průběžné informace o výkonu procesu v průběhu vlastní regulace. Proces ovlivňovaný pouze systémem náhodných příčin (chance causes) má charakter statisticky zvládnutého procesu a takový proces má tu vlastnost, že je predikovatelný. Naproti tomu přítomnost zvláštních příčin (nazývaných také vymezitelné příčiny – assignable causes) vyvolává v procesu nepředvídatelné změny. Tyto typy příčin je nutné identifikovat. Právě detekce přítomnosti zvláštních příčin je úlohou regulačních diagramů. Cíle SPC jsou definovány takto (viz ČSN ISO 11462-1:2002 [12]): • prohloubit znalosti o procesu; • řídit proces tak, aby se choval požadovaným způsobem; • snižovat kolísání parametrů konečného produktu nebo zlepšovat dosaženou úroveň procesu jinými způsoby. V praxi vyžaduje SPC opakovaně realizovat ekonomicky fundované rozhodnutí o opatřeních ovlivňujících proces. To znamená uvádět v rovnováhu důsledky uskutečněných opatření, když zásah do procesu není nutný (tzv. zbytečný zásah) proti důsledkům neuskutečněných opatření, když zásah je nutný (tzv. chybějící zásah). Pravděpodobnost zbytečného zásahu je riziko chyby prvního druhu α a pravděpodobnost chybějícího zásahu je riziko chyby druhého druhu β. Regulační diagramy pracují pouze s chybou prvního druhu α = 0,3 %. V důsledku toho se může jeden výběrový bod vyskytnout mimo jedné (horní nebo dolní) regulační meze v průměru v 740 podskupinách a mimo obou mezí v průměru v 370 podskupinách. 63

Nutno zdůraznit, že regulační meze (UCL – horní regulační mez a LCL – dolní regulační mez) nejsou totožné s mezními hodnotami (USL – horní mezní hodnota a LSL – dolní mezní hodnota) předepsanými specifikací. Meze UCL a LCL jsou hranice vymezující oblast pro přirozenou variabilitu použité výběrové charakteristiky (například výběrového průměru, výběrového mediánu, výběrového rozpětí, výběrové směrodatné odchylky apod.), pomocí níž se sleduje změna chování procesu v čase (například průměru procesu nebo variability hodnot znaku v podskupině). 8.2

Typy regulačních diagramů

ČSN ISO 8258:1994 [10] shrnuje základní typy tzv. Shewhartových regulačních diagramů pro oba základní druhy kontrol: pro kontrolu měřením nabízí regulační diagramy: ( x , R), ( x , s), (Me, R), (x, MR), které využívají výběrového průměru x v podskupině, výběrového mediánu Me v podskupině, výběrového rozpětí R v podskupině, klouzavého rozpětí MR, výběrové směrodatné odchylky s v podskupině a individuálních hodnot x; pro kontrolu srovnáváním nabízí regulační diagramy: (p), (np), (c), (u), které využívají podílu neshodných p v podskupině, počtu neshodných np v podskupině, počtu neshod c v podskupině, počtu neshod na jednotku u v podskupině. U regulačních diagramů při kontrole měřením se sleduje vždy jediný znak jakosti a pracuje se vždy se dvěma diagramy (jeden pro sledování polohy procesu a druhý pro sledování variability procesu – viz obr. 8.1), kdežto při kontrole srovnáváním se pracuje vždy jen s jedním regulačním diagramem, ale současně může být sledováno i několik znaků jakosti. Nutno připomenout, že SPC založená na kontrole měřením vyžaduje podstatně nižší rozsahy podskupin než SPC založená na kontrole srovnáváním, neboť kvantitativní data poskytují bohatší informaci než kvalitativní data.

64

Obrázek 8.1 – Regulační diagram ( x , R) pro data v tabulce 3.1 obsahující 10 podskupin po 5 hodnotách

65

Nadstavbu k Shewhartovým regulačním diagramům představují další typy regulačních diagramů, které ovšem předpokládají, že proces, na který jsou aplikovány, má statisticky zvládnutou variabilitu. Mezi ně patří: regulační diagramy pro aritmetický průměr s výstražnými mezemi (viz ČSN ISO 7873:1995 [8]), které jsou citlivější k posunu úrovně procesu než Shewhartovy regulační diagramy; přejímací regulační diagramy (viz ČSN ISO 7966:1995 [9]), které v sobě zahrnují jak hledisko SPC, tak prvky statistické přejímky; metoda CUSUM (metoda kumulovaných součtů) (viz ISO/TR 7871:1997 [16] a ČSN 01 0266 [1]), která reaguje i na velmi malé odchylky parametrů rozdělení pravděpodobnosti regulované veličiny vznikající v procesu v čase. 8.3

Činnosti před aplikací SPC

Před vlastní aplikací SPC se musí: • vedení postarat o vytvoření podmínek pro zavádění statistického řízení procesů, neboť splnění jeho cílů se musí stát záležitostí všech počínaje top managementem; • zvolit proces, který má být regulován, a sledovaná veličina (znak jakosti); • zajistit podmínky pro regulaci, tj. v možném rozsahu zabezpečit neměnnost všech známých vlivů; • definovat systém měření, zajistit potřebné vybavení pracovišť a realizovat školení pracovníků; • zvolit výběrové charakteristiky, kterými se proces bude sledovat (tím se vymezí typ regulačního diagramu), tím současně zjistit potřeba ověření, zda jsou splněny určité předpoklady, na kterých jsou založeny jednotlivé typy regulačních diagramů (například Me-diagramy a diagramy pracující s individuálními hodnotami x vyžadují ověření předpokladu normality sledovaného znaku jakosti [5], ale naopak x -diagram toto ověření nevyžaduje); • stanovit rozsah podskupin (u regulace měřením je to obvykle 5 jednotek, u regulace srovnáváním je to mnohem více) a kontrolní interval, který závisí na zjištěném typu chování procesu v čase (například se objevuje trend v důsledku opotřebení nástroje, periodicita v důsledku dávkování); 66

• • •

8.4

určit počet podskupin pro pokusné období (obvykle nejméně 25, ale spíše více); ze zkušeností vytipovat možné vymezitelné příčiny a další přidávat, jak jsou poznávány a zaznamenávány do regulačního diagramu; stanovit formy zásahů na odstranění zjištěných vymezitelných příčin, vymezit příslušné odpovědnosti a návazné povinnosti jednotlivých pracovníků. Parametry regulačního diagramu

Do regulačního diagramu se zakreslí tyto jeho parametry (viz obrázek 4.1): • centrální přímka (CL), přímka charakterizující polohu průměru procesu (na x -diagramu a na Me-diagramu), resp. průměrnou hodnotu charakteristiky variability (na s-diagramu nebo R-diagramu); • regulační meze (horní regulační mez UCL a dolní regulační mez LCL), přímky vymezující prostor pro přípustné kolísání hodnot sledované výběrové charakteristiky (například x , Me, s, R). Je-li proces ve statisticky zvládnutém stavu, pak uvnitř pásma ohraničeného regulačními mezemi lze očekávat přibližně 99,7 % hodnot příslušné výběrové charakteristiky. Jak bylo již uvedeno, Shewhartovy regulační diagramy stanovují tyto meze tak, aby chyba prvního druhu α (tj. riziko zbytečného signálu) byla 0,3 %; • pokusné regulační meze, regulační meze vypočtené podle vzorců uvedených v citovaných normách ([10], [8], [9], [16], [1]) pomocí prvních získaných údajů. Pokusné regulační meze slouží k analýze procesu a identifikaci přítomnosti prvních zjištěných vymezitelných příčin; • regulační meze platné pro další období, nově vypočtené regulační meze po vyloučení podskupin, které vykazovaly přítomnost některé ze zvláštních příčin. K tomuto kroku může dojít jen po identifikaci jednotlivých příčin, jejich odstranění a vytvoření bariéry proti tomu, aby se znovu objevily.

67

8.5

Zásady analýzy regulačních diagramů a možnosti řešení vzniklých problémů

Při analýze regulačních diagramů se soustřeďujeme především na: identifikaci jakéhokoliv důkazu, že průměr procesu nebo variabilita procesu nevykazují konstantní úroveň; skutečnost, že jeden nebo oba parametry procesu nejsou statisticky zvládnuty. Nutno zdůraznit, že • analýza regulačních diagramů při kontrole měřením začíná vždy analýzou variability procesu (tedy analýzou R- nebo s-diagramu), teprve potom následuje analýza úrovně (průměru) procesu (tedy analýza x - nebo Me-diagramu); • kritéria pro analýzu regulačních diagramů uváděná v ČSN ISO 8258:1994 [10] a v americkém dokumentu QS – 9000 SPC [17] se ve všech bodech plně neshodují; • při analýze lze vylučovat jen takové podskupiny, u kterých byla přítomnost zvláštní (vymezitelné) příčiny nejen evidována, ale také fyzikálně vysvětlena, její působení odstraněno a vytvořena bariéra proti tomu aby opět nastala; pokud nedojde k vysvětlení vlastní příčiny a k jejímu odstranění, nutno takovou podskupinu zachovat ve výpočtech regulačních mezí pro další období, neboť v takovém případě nelze u takové příčiny vyloučit, že nastane znovu; •

ukazatele způsobilosti Cp a Cpk pro sledovaný proces je povoleno počítat vždy jen po prokázání, že tento proces je ve statisticky zvládnutém stavu. V opačném případě jsou vypočtené hodnoty všech ukazatelů způsobilosti zcela neobjektivní.

Nutno připomenout, že v podstatě všechny modely pro výpočet regulačních mezí v citovaných normách ([10], [8], [9], [16], [1]) vycházejí ze Shewhartova přístupu, který předpokládá, že proces má konstantní průměr a konstantní variabilitu. Za těchto předpokladů lze výpočet regulačních mezí realizovat jen pomocí inherentní variability procesu (variability způsobené pouze náhodnými příčinami), která je odhadována z průměrné variability s uvnitř 68

podskupin. Jakmile však na proces působí určitý faktor, který způsobuje změnu v chování průměru procesu (například trend v důsledku opotřebení nástroje, periodicitu v důsledku dávkování v pravidelných časových intervalech), může aplikace vzorců pro výpočet regulačních mezí podle ČSN ISO 8258:1994 [10] vést k návrhu regulace, která bude vyvolávat potřebu zásahu téměř po každém kontrolním intervalu, neboť na jedné straně pásmo ohraničené regulačními mezemi bude velmi úzké v důsledku malé průměrné variability uvnitř podskupin, ale na straně druhé bude existovat velká variabilita mezi výběrovými průměry v podskupinách. Produktivita takového procesu bude velmi nízká, a to zcela zbytečně, neboť příčinou bude nezvládnutí chování vlastního procesu zvoleným modelem regulace. Řešení, které se nabízí, spočívá ve změně způsobu určení odhadu variability procesu. Odhad se uskuteční ze všech hodnot sledovaného kvantitativního znaku jakosti za určitý časový interval (například ze všech hodnot představovaných zmíněnými 25 podskupinami). Tedy v regulačních diagramech s rozšířenými regulačními mezemi se pracuje s odhadem celkové (totální) variability stot procesu místo dřívější průměrné variability v podskupinách. Tento postup se projeví v rozšíření pásma ohraničeného regulačními mezemi, což povede k odstranění výše zmíněného problému. Alternativou rozšířených regulačních mezí jsou meze stanovené tak, že k regulačním mezím pro výběrové průměry – vypočteným podle vzorců v [L10] – se připočte polovina pásma povolené variability pro výběrové průměry podskupin. Ukazatele způsobilosti pracující ve jmenovateli s výběrovou směrodatnou odchylkou stot se nazývají ukazatele výkonnosti. Poněvadž celková (totální) variabilita procesu je obvykle větší než průměrná variabilita uvnitř podskupin, se kterou pracují ukazatele způsobilosti, je pochopitelné, že pro stejný proces budou vypočtené hodnoty ukazatelů způsobilosti vždy lepší (tedy budou mít větší hodnotu) než odpovídající hodnoty ukazatelů výkonnosti.

69

8.6

Postup při aplikaci ( x , R ) - diagramů a výpočetní vzorce

Postup rozložíme do pěti kroků: a) Přípravné kroky: • pro každou z k podskupin vypočteme výběrový průměr xi a výběrové rozpětí Ri , pro i = 1, 2, …, k; • na regulačním diagramu zakreslíme stupnice pro xi a Ri; doporučuje se, aby v obou případech byl uvažován alespoň dvojnásobek rozdílu mezi největší pozorovanou hodnotou xi , resp. Ri v podskupině; • dvojice bodů ( xi ,Ri) se zakreslí do příslušných diagramů. b) Výpočet průměru procesu a průměrného rozpětí: • z hodnot xi a Ri zjištěných v k podskupinách stejného rozsahu n se vypočtou: průměr procesu:

x =

1 k

k

∑x

,

i

(8.1)

i =1

průměrné rozpětí:

R=

1 k

k

∑R

(8.2)

i

i =1

c) Výpočet centrálních přímek a regulačních mezí – viz podkapitola 8.4: • centrální přímky se vypočtou podle vzorců: CL x = x

a

CLR = R

70

(8.3)

•

regulační meze se vypočtou podle vzorců: UCL x = x + A2 R a UCLR =D4 R

LCL x = x - A2 R , a LCLR =D3 R ,

(8.4) (8.5)

kde koeficienty A2, D3 a D4 závisí na rozsahu podskupiny n a jsou hodnoty n = 2 až 25 shrnuty v ČSN ISO 8258:1994 [10]. Například pro n = 5 jsou rovny: A2 = 0,577; D3 = 0 a D4 = 2,114. d) Analýza regulačních diagramů – viz podkapitola 8.5. e) Výpočet ukazatelů způsobilosti z dat v ( x , R ) – diagramech – viz kapitola 8.5: • ukazatel způsobilosti Cp, který vyjadřuje „čeho je proces schopen“, se vypočte podle následujícího vzorce (koeficient d2 se nalezne opět v [10]; pro n = 5 je roven 2,326):

Cp = •

USL − LSL , 6σ

kde σ ≈

R ; d2

(8.6)

ukazatel způsobilosti Cpk, který vyjadřuje „čeho jsme skutečně dosáhli“, se vypočte podle vzorce

⎧ USL - µ µ − LSL ⎫ Cpk = min ⎨ ; ⎬ , kde 3σ ⎭ ⎩ 3σ

µ≈x a σ ≈

R ; d2 (8.7)

zkratka „min“ před složenou závorkou značí, že se ze dvou výrazů uvnitř závorky za Cpk považuje ten, jehož číselná hodnota je menší. Příklad Ke zpracování využijeme dat v příkladu v tabulce 3.1 v podkapitole 3.3, která představují průměry čepu zjištěné v 10 po sobě jdoucích 71

podskupinách stejného rozsahu n = 5. Pro tato data budeme postupně realizovat výše formulované kroky b), c) a e), přestože celkový rozsah informací nesplňuje požadovanou velikost (alespoň 25 podskupin po 5 hodnotách). Důvod je stejný jako v příkladu v podkapitole 7.5: ukázat postup výpočtu na reálných datech, i když jejich rozsah je mnohem menší, než se v praxi požaduje. 1) Výpočet průměru procesu a průměrného rozpětí x i a Ri příslušné V tabulce 4.8.1 jsou shrnuty hodnoty podskupinám i = 1, 2, …,10. Běžně jsou tyto hodnoty dosažitelné z regulačních diagramů po proměření všech dílů v podskupině, zde jsou vypočteny z dat v tabulce 3.1. Tabulka 8.1 – Průměry a rozpětí v podskupinách Podskupina i

xi

Ri

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Celkové součty

67,9608 67,9564 67,9630 67,9570 67,9550 67,9606 67,9632 67,9642 67,9656 67,9642 679,610

0,012 0,023 0,023 0,017 0,035 0,014 0,019 0,015 0,014 0,036 0,208

Je tedy podle (8.1) a (8.2):

x = (1/10) × 679,610 mm = 67,9610 mm a R = (1/10) × 0,208 mm = 0,0208 mm. 72

2) Výpočet pokusných regulačních mezí a centrálních přímek Poněvadž se jedná o první data, stanovujeme tzv. pokusné regulační meze a centrální přímky. Vzorce pro výpočet regulačních mezí a centrální přímky pro další období (míněno po realizaci tzv. „čistícího procesu“, odstranění zjištěných zvláštních příčin a vytvoření zábran proti jejich novému výskytu) zůstávají nezměněny, stejně jako číselné hodnoty koeficientů vystupujících ve vzorcích (8.3) až (8.5); pro n = 5 jsou jejich hodnoty uvedeny v podkapitole 8.6, bod c). •

Výběrový průměr: CL x = x = 67,9610 mm ; UCL x = x + A2 R = 67,9610 mm + 0,577 × 0,0208 mm = 67,9730 mm; LCL x = x - A2 R = 67,9610 mm - 0,577 × 0,0208 mm = 67,9490 mm.

•

Výběrové rozpětí: CLR = R = 0,0208 mm; UCLR = D4 R = 2,114 × 0,0208 mm = 0,0440 mm; LCLR = D3 R = 0 mm.

Vypočtené centrální přímky a regulační meze jak pro výběrový průměr, tak pro výběrové rozpětí jsou zakresleny na regulačních diagramech na obrázku 8.1. Můžeme konstatovat, že všechny zakreslené hodnoty výběrových průměrů a rozpětí z podskupin leží uvnitř regulačních mezí. Zarážející jsou pouze výrazné výchylky rozpětí u páté a desáté podskupiny, které by se měly prověřit, přestože nedochází k překročení regulačních mezí. 3) Výpočet ukazatelů způsobilosti Již v podkapitole 8.5 bylo zdůrazněno, že výpočet ukazatelů způsobilosti Cp a Cpk je dovoleno počítat až po prokázání, že sledovaný proces je ve statisticky zvládnutém stavu. Pro malý počet podskupin nemůžeme tento požadavek prověřit. Ukážeme pouze postup při výpočtu ukazatelů způsobilosti a budeme předpokládat, že uvedený požadavek byl realizován a proces shledán statisticky 73

zvládnutým jak z hlediska průměru procesu, tak jeho variability. Při výpočtu budeme předpokládat, že hodnoty průměru procesu a průměrného rozpětí jsou rovny x = 67,9610 mm, resp. R = 0,0208 mm. Mezní hodnoty USL = 67,989 mm a LSL = 67,929 mm předepsané specifikací jsou uvedeny v příkladu v podkapitole 3.3. Požadavek na ukazatele způsobilosti Cp a Cpk je relativně mírný, hodnoty mají dosáhnout alespoň úrovně 1,0. •

Odhady parametrů rozdělení střední hodnoty µ a směrodatné odchylky σ :

µ ≈ x = 67,9610 mm; σ ≈ •

R 0,0208 mm = = 0,0089 mm . 2,326 d2

Výpočet ukazatelů způsobilosti: Cp =

USL - LSL 67,989 mm - 67,929 mm = = 1,1235 ; 6σ 6 × 0,089 mm

CpU =

USL - µ 67,989 mm - 67,9610 mm = = 1,0487 a 3σ 3 × 0,0089 mm

C pL =

µ - LSL 67,9610 mm - 67,929 mm = = 1,1985 . 3σ 3 × 0,0089 mm

Menší z obou posledních hodnot je CpU, tedy Cpk = CpU = 1,0487. Všechny vypočtené hodnoty ukazatelů způsobilosti jsou větší než požadovaná hodnota 1,0, tedy proces by mohl být považován za vyhovující. 8.7

Softwarová podpora SPC

Na rozdíl od statistické přejímky mají regulační metody běžně používané v SPC velmi dobrou softwarovou podporu, a to jak pro oblast statistické regulace při kontrole měřením, tak i při kontrole srovnáváním. V příslušných modulech se naleznou prakticky 74

všechny výše uvedené základní Shewhartovské typy regulačních diagramů, a navíc i další typy, které se k těmto klasickým Shewhartovským již neřadí, jako například regulační diagramy CUSUM (pro kumulované součty), MA-diagramy (pro klouzavé průměry), EWMA-diagramy (pro exponenciálně vážené klouzavé průměry), Hotellingovy diagramy (pro současné sledování více parametrů, které mohou být případně i korelované) a další. Každý z těchto modulů má obvykle zabudovánu i celou škálu statistických testů hypotéz potřebných například k testování normality rozdělení sledovaného znaku jakosti (viz [5]), konstantnosti rozptylu v čase, konstantnosti úrovně procesu v čase, vzájemné nezávislosti údajů, nekorelovanosti sledovaných znaků atd. Samozřejmostí jsou ovšem programy realizující celý komplex testů zvláštních příčin (viz ČSN ISO 8258:1994 [10] a QS-9000 SPC [17]) nutný k vlastní analýze procesu (k realizaci tzv. „čistícího procesu“), která vždy předchází stanovení regulačních mezí pro další období. Ke zvládnutí nástrojů popsaných v této publikaci lze výhodně použít jednoho z nejrozšířenějších programů, totiž MICROSOFT EXCEL, dostupného prakticky všude. Nápovědy k tomuto programu lze nalézt v publikaci ČSJ [23].

75

LITERATURA [1]

ČSN 01 0266:1987 Zvláštní typy statistické regulace – Metoda kumulovaných součtů

[2]

ČSN EN ISO 9000:2001 Systémy managementu jakosti – Základy, zásady a slovník (01 0300)

[3]

ČSN ISO 2859-1:2000 Statistické přejímky srovnáváním Část 1: Přejímací plány AQL pro kontrolu každé dávky v sérii (01 0261)

[4]

ČSN ISO 3951:1993 Přejímací postupy a grafy při kontrole měřením pro procento neshodných jednotek (01 0258)

[5]

ČSN ISO 5479:1998 Statistická interpretace údajů – Testy odchýlení od normálního rozdělení (01 0239)

[6]

ČSN ISO 5725-1 až ČSN ISO 5725-6:1997 Přesnost (správnost a shodnost) metod a výsledků měření (01 0251)

[7]

ČSN ISO 5807:1996 Zpracování informací – Dokumentační symboly a konvence pro vývojové diagramy toku dat, programu a systému, síťové diagramy programu a diagramy zdrojů systému (36 9011)

[8]

ČSN ISO 7873:1995 Regulační diagramy pro aritmetický průměr s výstražnými mezemi (01 0273)

[9]

ČSN ISO 7966:1995 Přejímací regulační diagramy (01 0274)

[10]

ČSN ISO 8258:1994 Shewhartovy regulační diagramy (01 0271)

[11]

ČSN ISO 10576-1:2004 Směrnice pro hodnocení shody se specifikovanými požadavky – Část 1: Obecné principy 76

[12]

ČSN ISO 11462-1:2002 Směrnice pro uplatňování statistické regulace procesu (SPC) – Část 1: Prvky SPC (01 0275)

[13]

ČSN ISO 11648-1:2004 Statistická hlediska vzorkování hromadných materiálů – Část 1: Obecné principy (01 0264)

[14]

ČSN ISO 11648-2:2003 Statistická hlediska vzorkování hromadných materiálů – Část 2: Vzorkování sypkých materiálů (01 0264)

[15]

ČSN ISO/TR 10017:2004 Návod k aplikaci statistických metod v ISO 9001:2000 (01 0336)

[16]

ISO/TR 7871:1997 Cumulative sum charts – Guidance on quality control and data analysis using CUSUM techniques (Technická zpráva ISO, není přeložena do češtiny)

[17]

QS-9000 SPC Statistické řízení procesů (SPC). Chrysler Corporation, Ford Motor Company a General Motors Corporation. Český překlad vydala ČSJ, Praha 1999

[18]

VDA 4.1 Management jakosti v automobilovém průmyslu – Zabezpečování jakosti před sériovou výrobou. Verband der Automobilindustrie (VDA) 1996, český překlad vydala ČSJ, 1997

[19]

Ishikawa K.: Guide to Quality Control. Asian Productivity Organization, 1982 (též 2., uprav. Vydání 1986)

[20]

Nenadál J.: Noskievičová D., Petříková R., Plura J., Tošenovský J., Moderní systémy řízení jakosti – Quality Management. Management Press, Praha 1998

[21]

Shewhart, W. A.: Economic Control of Quality of Manufactured Product. D. Van Nostrand Co., Inc., New York 1931 znovu vydáno ASQC, Inc., Milwaukee 1980

77

[22]

Shewhart, W.A.: Statistical Methods from the Viewpoint of Quality Control. The Graduate School, Washington, DC, 1939

[23]

Horálek V., Křepela J., Král J., Michálek J., Základní statistické výpočty s podporou Microsoft Excel. ČSJ, Praha 2001

[24]

Janeček V. Jakost – potřeba moderního člověka. ČSJ, Praha 2004

[25]

Přibek J.: Systémy managementu jakosti. ČSJ, Praha 2004

[26]

Šebestová M.: Certifikace osob, výrobků a systémů managementu. ČSJ, Praha 2004

[27]

Plášková A.: Jednoduché nástroje řízení jakosti II. ČSJ, Praha 2004

[28]

Král O. a kol.: Informace a využití výpočetní techniky v systémech managementu jakosti. ČSJ, Praha 2004

78

Přehled dosud vydaných titulů v rámci publikační řady Národní politiky podpory jakosti

PRŮVODCE ŘÍZENÍM JAKOSTI 1

Společný hodnoticí rámec (Model CAF) – Zlepšování organizace pomocí sebehodnocení autor: Prac. skupina "Inovative Public Service Group" poř. č. NIS-PJ: 17

2

Společný hodnoticí rámec (Model CAF) – Zlepšování organizace pomocí sebehodnocení – aktualizované vydání autor: Prac. skupina "Inovative Public Service Group" poř. č. NIS-PJ: 29

3

Společný hodnoticí rámec (Model CAF) – Zlepšování organizace pomocí sebehodnocení – případové studie autor: Ing. Vladimír Votápek poř. č. NIS-PJ: 30

4

ISO/IWA 1:2001, Systém managementu kvality – Směrnice pro proces zlepšování služeb zdravotnických organizací autor: Český normalizační institut poř. č. NIS-PJ: 37

5

ISO/IWA 2:2003, Systém managementu kvality – Směrnice pro aplikaci ISO 9001: 2000 ve vzdělávání autor: Český normalizační institut poř. č. NIS-PJ: 41

6

Jak určovat excelenci – dotazník pro sebehodnocení firmy autor: EFQM ve spolupráci s NIS-PJ poř. č. NIS-PJ: 40

7

Rukověť pracovníka pro posuzování shody výrobků autor: Asociace akreditovaných a autorizovaných organizací poř. č. NIS-PJ: 19

8

Modely měření a zlepšování spokojenosti zákazníků autoři: Jaroslav Nenadál, Růžena Petříková, Milan Hutyra, Petra Halfarová poř. č. NIS-PJ: 21

9

Jak dosahovat podnikatelské úspěšnosti autor: Kolektiv autorů poř. č. NIS-PJ: 20

10

Jakost – potřeba moderního člověka autor: Zdeněk Janeček poř. č. NIS-PJ: 23

11

Systémy managementu jakosti autor: Jiří Přibek poř. č. NIS-PJ: 24

12

Certifikace pracovníků a systémů managementu jakosti autor: Marie Šebestová poř. č. NIS-PJ: 25

13

Jednoduché nástroje řízení jakosti I autor: Vratislav Horálek poř. č. NIS-PJ: 26

14

Jednoduché nástroje řízení jakosti II autor: Alena Plášková poř. č. NIS-PJ: 27

15

Informace a využití výpočetní techniky v systémech managementu jakosti autor: Otakar Král a kolektiv poř. č. NIS-PJ: 28

16

Modely měření a zlepšování spokojenosti zákazníků – Od teorie k praxi autor: GfK Praha a Incoma Consult – Kolektiv autorů poř. č. NIS-PJ: 22

NEPRODEJNÁ PUBLIKACE Název: Jednoduché nástroje řízení jakosti I Vydalo a distribuuje Národní informační středisko pro podporu jakosti, Novotného lávka 5, Praha 1, tel. 221 082 636-7, 221 082 651, www.npj.cz, jako svou 26. publikaci. Náklad: 500 výtisků Počet stran: 84 Vydání první, prosinec 2004 Tisk: Decibel Production s. r. o., Francouzská 549/54, Praha 10 © Národní informační středisko pro podporu jakosti, 2004

ISBN 80-02-01689-0