Jaroslav Hlava. TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií

Číslicové regulátory

Jaroslav Hlava

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií

Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247 Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření, který je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR

Číslicové regulátory Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření

1. Regulátory s optimalizovanou strukturou Návrh kompenzačního regulátoru uplatněním principu realizovatelnosti Přenosy žádané hodnoty a výstupní poruchy G R GS 1 Y = GwyW + GvyV = W+ V 1 + G R GS 1 + G R GS Nejprimitivnější možný přístup. Specifikujeme požadované přenosy žádané hodnoty popř. poruchy a navrhneme regulátor tak, aby uzavřený regulační obvod těmto přenosům skutečně odpovídal. Přitom je zapotřebí dodržet alespoň to nejzákladnější omezení a volit požadované přenosy tak, aby výsledný regulátor byl fyzikálně realizovatelný (odtud princip realizovatelnosti) S F Gwy = Gvy = ∂( S ) = σ ; ∂( R) = ρ ; ∂( F ) = ϕ ; ∂( E ) = ε ; R E 1 Gwy 1 1 − Gvy A S AE−F GR = GR = GR = GR = GS 1 − Gwy GS Gvy B R−S B F


Realizovatelnost přenosu regulátoru pro zabezpečení požadované odezvy na změny žádané hodnoty

A S GR = ⇒ ∂ ( A) + ∂ ( S ) ≤ ∂ ( B) + ∂ ( R - S ) B R−S ⇒ n + σ ≤ m + max( ρ ,σ ) ⇒ n − m ≤ max( ρ ,σ ) - σ Pro realizovatelnost samotného regulátoru musí platit ρ≤σ a stupeň rozdílu R-S musí být roven ρ. Typicky platí n-m=1 a proto i stupeň čitatele regulátoru musí být alespoň o jedničku menší než jmenovatele.


Realizovatelnost přenosu regulátoru pro zabezpečení požadované odezvy na působení poruchových veličin

AE−F GR = ⇒ ∂ ( A) + ∂ ( E − F ) ≤ ∂ ( B) + ∂ ( F ) B F ⇒ n + ∂( E − F ) ≤ m + ϕ ⇒ n − m ≤ ϕ − ∂( E − F ) Stupeň rozdílu polynomů E-F musí být menší než ϕ, tzn. stupně polynomů E a F musí být stejné a polynomy musí být voleny tak, aby se koeficienty u nejvyšších mocnin navzájem odečetly


Je nutné zabezpečit správnou hodnotu statického zesílení (jedna pro přenos žádané hodnoty, nula pro přenos poruchy) Možné volby přenosů: Obvyklý přebytek pólů vůči nulám (relativní řád systému): ∆ = n − m = 1

s1 z 2 + s2 z + s3 1 s1 z + s2 Gwy = ; Gwy = ; Gwy = 2 z z z3 z −1 z 2 + f1 z + f 2 z 3 + f1 z 2 + f 2 z + f 3 Gdy = ; Gdy = ; Gdy = 2 z z z3


Problém pro přenosy od třetího řádu výše: neminimální fázovost diskretizovaného systému pro malé periody vzorkování Heuristické odstranění nestability: A S 1 Gwy 1 1 − Gvy GR = GR = GR = B R−S GS 1 − Gwy GS Gvy Volba:

AE−F GR = B F

S = B; F = E − B

Jsou-li polynomy v z-1 a je-li E = 1; R = 1 je počet kroků regulace konečný B lim G = lim = ∑ bi ≠ 1 platí však wy z →1 z →1 1 1− B lim Gvy = lim = 1 − ∑ bi ≠ 0 z →1 z →1 1 B Pro dosažení nulové ustálené regulační odchylky je třeba místo B použít ∑ bi


Podmínková rovnice stability: Regulační obvod musí být tzv. vnitřně stabilní tzn. přenosy mezi libovolnými dvěma body regulačního obvodu musí být stabilní. To musí platit i v případě, že se přenos soustavy liší od nominálního přenosu

A S ~ −1 B + ∆B GR = GS ( z ) = B R−S A + ∆A ~ GR GS ABS + ∆BAS ~ −1 Gwy ( z ) = ~ = 1 + GR GS ABR + ∆AB( R − S ) + ∆BAS GR A( A + ∆A) S ~ = 1 + GR GS ABR + ∆AB ( R − S ) + ∆BAS Potenciálně nestabilní polynomy A i B se musí vykrátit v obou přenosech ⇒ R − S = AP S = BQ ⇒ AP + BQ = R ~ Gwu ( z −1 ) =


R − S = AP S = BQ ⇒ AP + BQ = R Toto je tzv. podmínková rovnice stability a rovnice syntézy regulátoru. Z matematického hlediska je to tzv. diofantická rovnice (řecký matematik Diofantos z Alexandrie - ∆ιόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς 3. stol po Kr. původně formulováno pro neznámé z oboru celých čísel) Přenosy uzavřeného regulačního obvodu a regulátoru pak budou

~ Gwy ( z −1 ) =

S + Q∆B R + P∆A + Q∆B

A BQ Q GR = = B AP P

Pozn. při této i následujících metodách návrhu uvažujeme přenosy formulované v záporných mocninách z resp. v d


Analogickou úvahu lze učinit pro funkci potlačení poruchy A E−F B + ∆ B GR = Gɶ S ( z −1 ) = B F A + ∆A 1 BF ( A + ∆A) −1 ɶ Gvy ( z ) = = ɶ 1 + GR GS ABE + A( E − F )∆B + BF ∆A E − F = BQ; F = AP

AP + BQ = E Polynomy E a R jsou nutně identické

Q GR = P

Volbou polynomu R se předepisuje, jaké póly mají mít přenosy obvodu - pole assignment resp. pole placement Polynomy S a F nelze předepsat


Řešení diofantické rovnice AP + BQ = R podmínkou existence řešení je, aby největší společný dělitel D=(A,B) dělil bezezbytku polynom R. Jelikož A,B jsou jmenovatel a čitatel přenosu řízené soustavy je D=(A,B)=1 Je-li řešením Pp a Qp jsou řešením také

B P = Pp + X ( A, B )

A Q = Qp − X ( A, B )

X je libovolný polynom

Metoda neurčitých koeficientů:

(a 0 p 0 )z = r0 z + b0 q0 (a1 p0 + a0 p1 )z −1 = r1 z −1 + b1q0 + b0 q1 −2 −2 (a2 p0 + a1 p1 + a0 p2 )z = r2 z + b2 q0 + b1q1 + b0 q 2 (a3 p0 + a2 p1 + a1 p2 + a0 p3 + b3 q0 + b2 q1 + b1q2 + b0 q3 )z −3 = r3 z −3 0

0



∂P = ∂B − 1; ∂Q = ∂A − 1 pro ∂A + ∂B > ∂R ∂P = ∂B − 1; ∂Q = ∂R − ∂B pro ostatní případy Řešení vede na minimální stupeň polynomu P Řešení s minimálním stupněm polynomu Q

∂P = ∂B − 1; ∂Q = ∂A − 1 pro ∂A + ∂B > ∂R ∂P = ∂R − ∂A; ∂Q = ∂A − 1 pro ostatní případy


Rovnice syntézy byla odvozena tak, aby zaručovala vnitřní stabilitu regulačního obvodu, nezaručuje však nulovost regulační odchylky v ustáleném stavu. Tu je třeba zajistit dalšími opatřeními, nejlépe explicitně vloženým diskrétním integrátorem

G w G R GS G P 1 Y= W+ V 1 + G R GS G P 1 + G R GS G P L QB −1 − z ( 1 ) AP −1 −1 −1 K W z + V z Y (z ) = ( ) ( ) −1 −1 (1 − z ) AP + BQ (1 − z ) AP + BQ −1

(1 − z ) AP + BQ = R

K = Q; L( z −1 ) = l0 = R(1) / B (1)


Volba určujícího polynomu R A. Konečný počet kroků regulace: jsou -li polynomy v záporných mocninách z je R=1 B. Vnucení dynamického chování statického systému druhého řádu 1 1 Gwy ( s ) = 2 2 Gwy ( s ) = T0 s + 2T0ξs + 1 T1T2 s 2 + (T1 + T2 ) s + 1 1 / T02 Gwy ( s ) = ( s + α + jω )( s + α − jω ) T +T 1 α T0 = ; ξ= ; T0 = T1T2 ; ξ = 1 2 2 T1T2 α 2 +ω 2 α 2 +ω 2

Volba časových konstant T1, T2 resp. T0 a koeficientu tlumení ξ Předepsání maximálního překmitu: απ

− hmax − h∞ κ= ⋅100 = e ω ⋅100 h∞

[%]

ω=

2π − ω ln(κ / 100) ; α= Tkmit π


Algebraická teorie syntézy regulačních obvodů přístup je založen na operacích s polynomy jako algebraickými objekty polynom není chápán jako funkce proměnné z resp. d, ale jako algebraický objekt jistých vlastností Požadavky na vlastnosti regulačního obvodu pak jsou formulovány jako požadavky na to, aby polynomy, které odpovídají obrazům významných veličin regulačního obvodu, měly určité specifické vlastnosti Základní operace s polynomy Faktorizace polynomu: rozklad na stabilní a nestabilní část 3 2 + − P ( d ) = 0 , 3 d − 1 , 3 d + d = 0,3(1 − d )d (1 − 0,3d ) P(d ) = P (d ) P (d ) P + (d ) = 0,3(1 − 0,3d ); P − (d ) = d (1 − d ) Mez stability spadá do nestabilního faktoru


Faktorizované vyjádření obrazu žádané hodnoty a přenosu řízené soustavy: Dw (d ) Dw+ (d ) Dw− (d ) W (d ) = = + + − Cw (d ) Aw (d ) Aw− (d )Cwz (d )Cwz (d )

B(d ) B + (d ) B - (d ) GS (d ) = = + A(d ) Aw (d ) Aw− (d ) Az+ (d ) Az− (d ) Aw společný faktor jmenovatele přenosu soustavy a obrazu žádané hodnoty N (d ) GR ( d ) = Přenos regulátoru: M (d )

Obraz regulační odchylky: 1 A(d ) M (d ) E (d ) = W (d ) = W (d ) 1 + GS (d )GR (d ) A(d ) M (d ) + B(d ) N (d )

Dw (d ) Az (d ) M (d ) E (d ) = A(d ) M (d ) + B(d ) N (d ) C wz (d )


Pro konečný počet kroků regulace musí být obraz regulační odchylky polynom, má-li být regulace navíc časově optimální, musí to být polynom co nejmenšího stupně

Dw (d ) Az (d ) M (d ) E (d ) = A(d ) M (d ) + B(d ) N (d ) C wz (d ) Možná volba:

A(d ) M (d ) + B(d ) N (d ) = Az+ (d ) Dw+ (d )

Az− (d ) Aw (d ) M (d ) +

B(d ) + N ( d ) = D w (d ) + Az (d )

Az− (d ) M (d ) Dw− (d ) E (d ) = C wz (d )


Pro minimální realizaci regulátoru a minimální počet kroků regulace je vhodnější volit A(d ) M (d ) + B(d ) N (d ) = Az+ (d ) Dw+ (d ) B + (d )

Az− (d ) Aw (d ) B − (d ) + M ( d ) + N ( d ) = D w (d ) + + B (d ) Az (d ) Cw (d ) Az− (d ) B − (d ) + M ( d ) + N ( d ) = D w (d ) + + Cwz (d ) B (d ) Az (d )

C w (d ) Az− (d ) X (d ) + B − (d )Y (d ) = Dw+ (d ) M (d ) = Cwz (d ) B + (d )X(d ); N (d ) = Az+ (d )Y(d )

Az+ (d )Y (d ) GR ( d ) = Cwz (d ) B + (d ) X (d )

Podmínka řešitelnosti: (C w Az− , B − ) dělí Dw+ Jelikož lze předpokládat, že (A,B)=1 a (Cw,Dw)=1, redukuje se podmínka řešitelnosti na (Cw,B-)=1


Počet kroků řízení

E (d ) = Az− (d ) X (d ) Dw− (d ) − z

− w

− z

−

− w

ke = 1 + ∂E = 1 + ∂A + ∂X + ∂D = ∂A + ∂B + ∂D Obraz akční veličiny:

D w (d ) GR ( d ) A(d ) N (d ) U (d ) = W (d ) = 1 + GS (d )GR (d ) A(d ) M (d ) + B(d ) N (d ) C w (d ) Az (d )Y (d ) Dw- (d ) U (d ) = B + (d )Cwz (d ) tzv. slabá verze regulace v konečném počtu kroků, obraz akční veličiny není polynom. Není zaručena nulovost regulační odchylky mezi okamžiky vzorkování


Silná verze regulace v konečném počtu kroků resp. konečná časově optimální regulace, požadujeme nulovost regulační odchylky mezi okamžiky vzorkování Lze formulovat tak, že obraz akční veličiny musí být polynom Použijeme volbu

A(d ) M (d ) + B(d ) N (d ) = Az+ (d ) Dw+ (d ) Řešení ve tvaru: M (d ) = Cwz (d )X(d );

N (d ) = Az+ (d )Y(d ) − Cw (d ) Az (d ) X (d ) +

Az+ (d )Y (d ) GR ( d ) = Cwz (d ) X (d )

B(d )Y (d ) =

+ Dw (d )


D w (d ) GR ( d ) A(d ) N (d ) U (d ) = W (d ) = 1 + GS (d )GR (d ) A(d ) M (d ) + B(d ) N (d ) C w (d ) Az− (d ) Dw- (d ) N (d ) U (d ) = C wz (d ) Počet kroků řízení

E (d ) = Az− (d ) X (d ) Dw− (d ) − z

− w

− z

− w

ke = 1 + ∂E = 1 + ∂A + ∂X + ∂D = ∂A + ∂B + ∂D

Aby obraz akční veličiny byl polynomem, musí platit Cwz=1 To je splněno např. při kombinaci astatická soustava a skok žádané hodnoty Ke splnění požadovaného cíle však postačí, pokud je hodnota akční veličiny od určitého okamžiku dále konstantní. Toho je dosaženo pro Cwz=1-d (statická soustava, skok žádané hodnoty)

Jaroslav Hlava. TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií

Recommend Documents