JARINGAN GERBANG MULTI-LEVEL GERBANG NAND DAN NOR
--
--
TUJUAN I.
Disainlah jaringan minimal dua-Ievel atau multi-level gerbang AND dan OR untuk mewujudkan fungsi yang ada.(perhatikan baik jaringan dengangerbang OR pada output maupun jaringan dengan gerbang AND pada output.)
2.
Definisikan rangkaian gerbang logika yang lengkap secara fungsional dan tentukan jika rangkaian gerbang yang ada seeara fungsional lengkap.
3. Disainlah atau analisislah jaringan gerbang dua-level dengan menggunakan salah satu dari delapan bentuk dasar (AND-OR, NAND-NAND, OR-NAND, NOR-OR, ORAND, NOR-NOR, AND-NOR, dan NAND-AND). 4.
Disain atau analisislah jaringan gerbang NAND multi-level atau gerban'g NOR.
5.
Jelaskan logika eampuran dan indikasi polaritaslangsung. Aplikasikankomsep ini pada analisis dan disain jaringan gerbang.
6.. Konversikan jaringan gerbang AND dan OR ke jaringan gerbang NAND atau gerbang NOR, dan secara berurutan, (a) dengan menambahkan atau menghapus lingkaran inversi dan (b) dengan menggunakan logika eampuran dengan indikasi polaritas langsung.
PETUNJUKBELAJAR I.
Pelajarilah Bagian 8.1 Jaringan Gerbang Multi-Level. (a) Bagaimanakah dua earn mengubah jumlah tingkat dalam suatu jaringan gerbang ? (b) Dengan menyusundiagrampohon,tentukanjumlah gerbanginput gerbang, dan tingkat gerbang yang diperlukan untuk merealisasikan Z\ dan Z:z:
256
Z\
= [(A
~
='A + B[C + DE(F + G)]
+ B)C + DE(F + G)]
Periksalah jawaban berkorespondensi.
anda dengan menulis jaringan
gerbang yang
(c) Untuk mencari solusi dua level minimum, mengapa perlu mempe~mbangkan bentukjumlah hasil dan bentuk hasiljumlah sekaligus untuk fungsi tersebut ? (d) Salah satu perwujudan dari Z
A B C D £
-
= ABC(D + E) + FG adalah
r-l..-I
)
)-z
I' G
Gambarlah kembali jaringan tersebut sehingga ia menggunakan sedikit gerbang sehingga output gerbang AND tidak pemah menuju secara langsung ke input gerbang AND lainnya.
(e) Keljakan Soal 8.1 dan 8.3(a) dan (b). Jika tidak ditentukan, anda dapat. selalu mengasumsikan bahwa kedua variabel dan komplemennya ada sebagai input jaringan. 2.
Pelajarilah Bagian 8.2, Jenis Gerbang Logika Lainnya. (a) Untuk masing-masing gerbang, tentukan input yang hilang.
IE-I
IE--0
0E-0
257
(b) Ulangilah kembali definisi logika positif dan negatif, dan juga lihatlah kembali teorema logika negatif (Bagian 3.5). Yakinkan bahwa anda mengetahui perbedaan antara dual dan inversi. Kerjakan $oal 8.7.
(c) Tulislah persamaan logika untuk F. a
b-t c
3.
M
d e
M
F
Pelajarilah Bagian 8.3, Rangkaian Gerbang Logika yang Lengkap secara Fungsional.
(a) Apa yang dimaksud dengan rangkaian gerbang logika lengkap secara fungsional ? (b) Bagaimanaanda dapat menunjukkanbahwa suaturangkaiangerbang logika itu lengkap secara fungsional ? (c) Tunjukkan bahwa jaringan yang diberikan di bawah ini lengkap secara fungsional.
~ ~
~c
& B
N
= A'B'+ AB + AC'
Terlebih dahulu kita hams menemukan cara untuk menyatakan komplemen dari suatu variabel. Untuk melakukan hal ini, kita akan mencoba meletakkan nilai konstan dari dua input jaringan sedemikian sehingga komplemen dari input ketiga akan muncul pada output. Jika kita meletakkan A sarna dengan X pada persamaan untuk F, carilah nilai B dan C sehingga F = X' .
B=
258
c=
Selanjutnya kita akan mencobamenemukann~laiuotuk salah satu variabel input sedemikian sehingga AND atau OR pada variabel input.yang ada (atau komplemennya)'akan muneul pada outputnya. Jika X dihubungkan dengan input B dan Y dihubungkan dengan input C, dapatkah anda meletakkan nilai untuk input A sedemikian sehingga ZF =. yz atau Y'Z atau YZ' atau Y'Z' ? Masih tetap B =X dan C = Y, letakkan nilai pada A sedemikian sehingga F mengurangi menjadi kalimat yang berisi dua literal yang di-OR-kan bersama.
A=
dan F berkurang menjadi
Sekarang tulislah diagram yang menunjukkanbagaimanajaringan N dapat dihubungkandengan menyatakanY + Z (dengannilaiyang tepat diletakkan pada input A). Tunjukkan bagaimana menyatakan YZ dengan menggunakan tiga jaringan N.
Jelaskan mengapa N lengkap secara fungsional.
(d) Keljakan Soal 8.9 dan 8.11.
4.
Pelajarilah Bagian 8.4, Disain Jaringan Gerbang-NAND don NOR Dua Level. (a) Gambarlah jaringan yang berkorespondensidengan Persamaan (8-18). (b) Derivasikanlah Persamaan (8-19). (c) Yakinlah bahwa anda memahami hubungan antara Persamaan (8-14) sampai (8-22) dan dia~ Gambar 8-14. (d) Mengapa bentuk NOR-NAND menunm ? (e) Asumsi apa yang dibuat untuk jenis input yang dapat digunakan ketika prosedur mendisain jaringan NAND-NAND dan NOR-NOR dua level digunakan ? 259
-
-
-
-
(f) Untuk prosedur ini input literal ke gerbang output dikomplementasikan namun bukan input literal ke gerbang lain. Jelaskan mengapa ? Gunakan persamaan untuk mengilustrasikan. (g) Suatu jaringan OR-AND umum ditunjukkan di bawah ini. ..
..
Transfonnasikan jaringan ini ke jaringan NOR-NOR clan buktikah bahwa transfonnasi anOOvalid. .
x,
X2-:-1
)----=-,
9I 92
YI Y2
A
....
I
)--F
(h) Kerjakan Soal 8.12(a).
5.
Pelajarilah Bagian 8.5, Disain Jaringan Gerbang-NAND dan NOR Multilevel. (a)
Buktikan bahwa jaringan NAND pada Gambar 8-16 itu benar dengan membagijaringan gerbangAND clanOR yang berkorespondensike dalam subjaringandua levelclanmentransfonnasikanmasing-masingsub-jaringan.
(b) Jika anOOberharap untuk mendisain jaringan dua tingkat dengan hanya menggunakangerbangNOR, haruskahanOOmemulai denganjumlah hasil minimum atau jumlah hasil minimum ? (c) Perhatikan bahwa konversi langsung suatu jaringan gerbang AND clan OR ke jaringan gerbang-NAND perlu dimulai dengan gerbang OR pada output, namun konversi langsungke jaringan gerbang-NOR perlu dimulai dengan sebuah gerbang AND pada output. Hal ini mudah untuk diingat karena NAND ekuivalen.dengan OR dengan input yang diinversikan :
260
dan NOR ekuivalen dengan AND dengan input yang diinversikan :
(d) Konversikanjaringan Gambar 8-1(b) ke semua gerbang NAND. (e) Kerjakan Soal 8.13, 8.15(a), 8.16(a), dan 8.17(a).
6.
Pelajarilah Bagian 8.6, Konversi Jaringan Dengan Menggunkan Simbol Gerbang Altematif. (a) Tentukan fungsi logika yang dinyatakan oleh masing- masing j~gan berikut ini :
A /3
A F
F=
B
G
G=
(b) Konversikan jaringan Gambar 8-16(a) ke gerbang NAND dengan menambahkan lingkaran dan mengkomplementasikanvariabel input bila perIu. (Anda haros. menambahkan 10 lingkaran. Hasilnya harus sarna dengan Gambar 8-16(b), kecuali beberapa gerbang NAN!;> akan menggunakan simbol altematif.)
261
-----
---. -- -
_____ . _u_. --- ------------------------.----
(~) Gambarlah suatujaringan gerbang AND dan OR untuk persamaan berikut ini :
Z
= A[BC
+ D + E(F +-GH)]
Kemudian konversikanke gerbang NOR dengan menambahkan lingkaran dan mengkomplementasikaninput bila perlu. (Anda harus menambahkan 10 lingkaran dan mengkomplementasikan variabel 6 input.)
7.
Pelajarilah bagian 8.7, Indikasi Logika Campuran dan Polaritas. (a) Untuk setiap gerbang, tunjukan nilai logika internal untuk input dan outputnya.
Untuk setiap gerbang, tunjukan tingkat logika eksternal untuk input dan outputnya.
(b) Fungsi apakah yang dinyatakan oleh masing-masing gerbang berikut ini.
262
A(L)
~
B(LI ~F(ln F=
F=
Perhatikan bahwa ketika polaritas sinyal bertemu dengan polaritas gerbang tidak ada inversi.
(c) Tunjukan pada diagram logika apakah setiap output gerbang itu H atau L. .
Kemudian tunjukkan perubahan yang akan teljadi jika input A diubah ke
L.
A=H L
(d) Tentukan fungsi yang dinyatakan dengan jaringan gerbang-NOR berikut 101.
AIHI BtH.
FILl
(e) Tentukan fungsi yang dinyatakan oleh masing-masing gerbang :
263
A(H)
~
B(L)~C(H)
C=
(t)
A(L) B(L)
~ ~
C=
C(H)
C=
Nyatakan F =A'B + C dengan menggunakan dua gerbang NAND dengan indikasi polaritas. (Asumsikan bahwa sinyal input dengan polaritas yang diperlukan tersebut tersedia dan F sangat aktif.)
(g) Nyatakan F = A'B + C dengan menggunakan dua gerbang NOR dengan indikasi polaritas. (Asumsikan bahwa sinyal input dengan polaritas yang diperlukan itu tersedia dan F keaktivan rendah.)
(h) Kerjakan Soal 8.25 dan 8.26
8.
Ketika anda merasa puas bahwa anda dapat memenuhi tujuan unit ini, tempuhlah tes kesiapan. Teknik yang dipelajari dalam unit ini akan diaplikasikan ke soal yang didisain dalam Unit 10.
JARINGANGERBANG NANDDANNORGERBANG MULTI-LEVE Dalam bagian pertama unit ini anda akan mempelajari bagaimana mendisain jaringan yang lebih dari dua level gerbang AND dan OR. Pada bagian kedua anda akan mempelajari teknik untuk mendisain dengan gerbang NAND dan NOR. Teknik ini secara umum terdiri dari pertama pendisainan jaringan gerbang AND dan OR dan kemudian mengkonversikannya ke jenis gerbang yang diinginkan. Teknik ini mudah diaplikasikan asalkan anda memulai dengan bentuk jaringan yang tepat.
264
8.1 JARINGANGERBANGMULTI-LEVEL Jumlah gerbang maksimum yang dialirkan secara seri antara input jaringan dan outputnya ditunjuk sebagai jumlah tingkat gerbang (jangan terbingungkan dengan tingkat voltase). Jadi, suatu fungsi yang ditulis salam bentukjumlah hasil atau dalam bentuk hasil jumlah berkorespondensi secara langsung dengan jaringan gerbang dua tingkat. Seperti biasanya kasus dalamjaringan digital di mana gerbang tersebut dikendalikan dari output flip-flop, Flip-flop didiskusikan pada Unit 11.; kita akan mengasumsikan bahwa semua variabel dan komplemennya dapat digunakan sebagai input jaringan. Untuk alasan inilah, kita secara normal tidak akan menghitung inverter yang dihubungkan secara langsung dengan variabel input ketika menentukan jumlah level dalam suatu jaringan. Dalam unit ini kita akan menggunakan terminologi sebagai berikut : 1. Jaringan AND-OR berarti suatu jaringan dua tingkat yang terdiri dari satu tingkat gerbang AND diikuti oleh gerbang OR pada outputnya . 2.
Jaringan OR-AND berarti suatUjaringan dua tingkat yang terdiri dari satu tingkat gerbang OR diikuti oleh gerbang AND pada outputnya.
3.
Jaringan OR-AND-OR berarti suatu jaringan tiga tingkat yang terdiri dari satu tingkat gerbang OR diikuti oleh satu tingkat gerbang AND diikuti oleh sebuah gerbang OR pada outputnya.
4.
Jaringan gerbang AND dan OR menyiratkan tidak adanya susunan gerbang tertentu; gerbang output bisa AND atau OR.
Jumlah tingkat dalam jaringan AND-OR biasanya dapat ditingkatkan dengan memfaktorkan kalimat jumlah hasil di mana ia diderivasikan. Demikian pula, jumlah tingkat dalam jaringan OR-AND biasanya dapat ditingkatkan dengan mengkalikan beberapa term dalam kalimat hasil penjumlahan di mana ia diderivasikan. Pendisain logika memperhatikan jumlah tingkat dalam suatu jaringan karena berbagai alasan. Kadang-kadang pemfaktoran (atau pengkalian) untuk meningkatkan jumlah tingkat akan meningkatkan biaya. Dalam berbagai aplikasi, jumlah gerbang yang dapat dialirkan dibatasi dengan gerbang ditunda. Ketika input sebuah gerbang ditukar, ada waktu tertentu sebelum outputnya berubah. Ketika beberapa gerbang dialirkan, waktu antara perubahan input dan perubahan yang berkorespondensidalam outputjaringan mungkin dapat berlebihan dan memperlambat operasi sistem digital. 265
Jumlah gerbang, input gerbang, dan tingkat dalam suatu jaringan dapat ditentukan dengan melihat kalimat yang berkorespondensi. Dalam contoh Gambar 8-1(a), diagram pohon yang digambar di bawah kalimat untuk Z menunjukkan bahwa jaringan yang berkorespondensi akan mempunyai 4 tingkat , 6 gerbang, dan 13 input gerbang, seperti ditunjukkan dalam Gambar 8-1(b). Masing-masing titik paqa diagram pohon tersebut mewakili sebuah gerbang, dan jumlah input gerbang ditulis di samping setiap titik. Kita dapat mengubah kalimat untuk Z ke tingkat 3 dengan mengkalikannya secara parsial : p33pP Z
= (AB +
C)[(D + E) + FG] + H
= AB(D + E) + C(D + E) + ABFG + CFG + H Seperti terlihat dalam Gambar 8-2, jaringan hasilnya memerlukan 3 tingkat, 6 gerbang, dan 19 input gerbang. (D + E + FG) + H
A Level 4
Level 3
B
F
. .
Level2
Levell
z (a)
Gambar 8-1 Pernyataan Z Empat-Tingkat
266
(b)
G
Z =AB(D + E) + C(D + E) + ABFG + CFG + H
o
E.
_ Level 3_
..
Lcvell ," The same gale can be used for !xllh ilppearances of (D + E)
Z (b)
(a)
Gambar 8-2 Pemyataan
CONTOH DISAIN MULTI-LEVEL GERBANG AND dan OR
Z Tiga-Tingkat
DENGAN
MENGGUNAKAN
Soal : Carilah jaringan gerbang AND dan OR untuk menyatakan
ft..a,b,c,d) = Lm(1,5,6,
10, 13,14)
Perhatikan solusi dengan dua tingkat gerbang dan tiga tingkat gerbang. Cobalah untuk meminimalkan jumlah gerba'ng dan jumlah total input gerbang. Asnmsikan bahwa semua variabel dan komplemennya dapat digunakan sebagai input.
267
--
Solusi : Terlebih dahulu menyederhanakan f dengan menggunakan Kamaugh (Gambar 8-3) :
ab cd ""
00
01
11
peta
10
00 01
f= Q'e'd
+ be'd + bcd' + Qed'
(8-1)
II 10
Ini membawa secara langsung kepada jaringan gerbang AND-OR dua tingkat (Garnbar 8-4) :
Q'
c' d b e d f
b c d' a c d'
Gambar 8-4
268
2 tingkat 5 gerbang 16 input gerbang
Memfaktorkan Persamaan (8-1) menghasilkan f
= c'd(a'
(8-2)
+ b) + cd'(a + b)
yang membawa ke jaringan gerbang OR-AND-OR tiga tingkat berikutnya (Gambar 8-5) :
a'
b f
J Lcveb 5 Gales 12 Gale Inpuls
a b
Gambar 8-5
Kedua solusi ini mempunyai gerbang OR pada outputnya. Solusi dengan gerbang AND pada outputnya mungkin mempunyai gerbang atau input gerbang .
yang lebih sedikit
. Suatu jaringan OR-AND dua tingkat berkorespondensi dengan
kalimat jumlah hasil untuk fungsi tersebut. Ini dapat diperoleh dari bilangan 0 pada peta Karnaugh sebagai berikut : f f=
= c'd'
+ ab'c'+ cd + a'b'c
(c + d)(a' + b + c)(c' + d')(a + b + c')
(8-3) (8-4)
Persamaan (8-4) membawa secara langsung ke jaringan OR-AND dua tingkat (Gambar 8-6) :
269
c d a' b c f
c'
2 Levels 5 Gates 14 Gate Inputs
d' a b, C'
Untuk mendapatkan jaringan tiga tingkat dengan output gerbang AND, kita secara parsial mengkalikan Persamaan (8-4) dengan menggunakan (X + Y)(X + Z)=X+YZ: f = [c + dCa' + b)][c' + d'(a + b)]
(8-5)
Persamaan (8-5) memerlukan gerbang empat tingkat untuk merealisasikannya; namun demikian, jika kita mengkalikan d'(a + b) dan dCa' + b) kita dapatkan
f
= (c
+ a'd + bd)(c' + ad' + bd')
(8-6)
yang secara langsung membawa ke jaringan AND-OR-AND tiga tingkat (Gambar 8-7) :
a b d' a d b d
270
3 Levels 7 Gales 16Gale Inpuls
Untuk contoh ini, solusi dua tingkat yang paling baik memjmnyai sebuah gerbang AND pada output (Gambar 8-6), dan sofusi tiga tingkat yang terbaik mempunyai sebuah gerbang OR pada outputnya (Gambar 8-5). Secara umum, untuk meyakinkan perolehan solusi minimum, kita hams mencari kedua jaringan dengan output gerbang AND dan jaringan dengan gerbang OR.. Jika sebuah kalimat untuk f mempunyai n tingkat, komplemen kalimat tersebut adalah kalimat n tingkat untuk f Oleh karenanya, untuk menyatakan f sebagai jaringan n tingkat dengan output gerbang-AND, salah satu prosedumya adalah terlebih dahulu mencari kalimat n tingkat untuk f dengan operasi OR pada tingkat output, dan kemudian mengkomplementasikan kalimat untuk f. Pada contoh di atas, pemfaktoran Persamaan (8-3) memberikan kalimat tiga tingkat untuk f : f
= c'(d'
+ 00') + c(d + a'b')
= c'(d' + a)(d' + b') + c(d + a')(d + b') (8-7)
Pengkomplementasian Persamaan (8-7) memberikan Persamaan (8-6), yang berkorespondensi dengan jaringan AND-OR-AND tiga tingkat pada Gambar 8-7.
8.2 JENIS-JENIS GERBANGLOGIKALAINNYA Sampai pada titik ini kita telah mendisain jaringan logika dengan menggunakan gerbang AND, gerbang OR, dan inverter. Gerbang eksklusif-OR dan gerbang ekuivalensi juga telah diperkenalkan dalam Unit 3. Dalam bagian ini kita akan mendefinisikan gerbang NAND dan NOR. Gerbang-gerbang ini dapat disusun dengan menggunakan logika transistor(Lampiran A.2), dan biasanya mereka dapat digunakan dalam bentuk integrated-circuit(Lampiran A.3). Disainer logika seringkali menggunakan gerbang NAND dan NOR karena biasanya lebih cepat dan menggunakan lebih sedikit komponen daripada gerbang NAND dan OR. Seperti yang ditunjukkan dalam Bagian 8.3, setiap fungsi logika dapat diimplementasikan hanya dengan menggunakan gerbang NAND atau hanya menggunakan gerbang NOR. Gambar 8-8(a) menunjukkan gerbang NAND 3-input.33Nama yang lebih tepat adalah gerbang AND-NOT, namun kita akan mengikuti penggunaan yang biasa dan menyebutnya gerbang NAND. 271
Lingkaran kecil (atau "gelembung") pada gerbang output menunjukkan inversi,sehingga gerbang NAND ekuivalen dengan gerbang AND yang diikuti oleh sebuah inverter seperti terlihat pada Gambar 8-8(b). Output gerbang adalah F = (ABC)'
= A'
+ B' + C'
Output dari gerbang NAND input n dalam Gambar 8-8(c) adalah
Output pada gerbang ini adalah I jika satu atau lebih inputnya adalah O.
F
(a) Gerbang NAND 3-input
(b) Gerbang NAND ekuivalen
(c) Gerbang NAND n-input
Gambar 8-8 Gerbang NAND
(a) Gerbang NOR 3-input
(b) Gerbang NOR ekuivalen
Gambar 8-9 Gerbang NOR
272
(c) Gerbang NOR n input
Gambar 8-9(a) menunjukkan gerbang NOR 3-input. F = (A + B + C)' = A'B'C' Output sebuah gerbang NOR n input, terlihat dalam Gambar 8-9(c), adalah .
F = (Xl + X2 + ... + XN)' = X1'X2'...XN' (8-9)
Output gerbang ini adalah 1 jika semua inputnya adalah O. Dari persamaan (8-8) dan (8-9), perhatikan bahwa fungsi NAND dan NOR adalah dual. Jadi, dengan mengaplikasikan teorema logika negatif (Bagian 3.5), jika sirkuit yang ada menyatakan fungsi NAND untuk logika positif, ia merealisasikan fungsi NOR untuk logika negatif. Suatu gerbang mayoritas mempunyai jumlah input ganjil, dan outputnya adalah 1 jika mayoritas inputnya adalah 1. Jadi, gerbang mayoritas 3-input (Gambar 8-IO(a)) mempunyai sebuah output 1jika dua atau tiga inputnya adalah I. Gerbang minoritas mempunyai jumlah input ganjil, dan outputnya adalah 1 jika minoritas inputnya adalah 1. Jadi, gerbang minoritas 3-input mempunyai output 1 jika tak satupun inputnya adalah 1. Dari tabel keben,aran fungsi yang dinyatakan oleh gerbang mayoritas 3input adalah FM
= a'be
+ ab'e + abc' + abe
= be + ae
+ ab (8-10)
Dengan melihat pada tabel F m = F'M' maka gerbang minoritas 3-inputnya menyatakan
Fm
= (be
+ ae + ab)'
= (b'
+ e')(a' + e')(a' + b') (8-11)
~B-FM (a) Gerbang Mayoritas
~B-Fm (b) Gerbang Minoritas
273
AB C
o 0 00 010 o 1 1 0 1 0 1 1 1 1
PM (Mayoritas)
Pm (Minoritas)
0 1
o o o
1 I 1
1 0 1 0 1
1
o
o 1 1 1
1
o o o
(c) Tabel kebenaran
Tabel 8-10 Gerbang Mayoritas dan Minoritas
8.3 FUNGSIONALITAS RANGKAIAN GERBANG LOGIKALENGKAP Suatu rangkaian operasi logika disebut lengkap secara fungsional jika setiap fungsi Boolean dapat dinyatakan dalam bentuk rangkaian operasi ini. Rangkaian AND, OR, dan NOT jelas lengkap secara fungsional karena setiap fungsi dapat dinyatakan dalam bentuk jumlah hasil, dan pernyataan jumlah hasil hanya menggunakan operasi AND, OR, dan NOT. Demikian pula, suatu rangkaian gerbang logika lengkap secara fungsional jika semua fungsi switching dapat dinyatakan dengan menggunakan rangkaian gerbang logika ini. Karena rangkaian operasi AND, OR, NOT lengkap secara fungsional, setiap rangkaian gerbang logika yang menyatakan AND, OR, NOT juga lengkap secara fungsional. AND dan NOT merupakan rangkaian gerbang yang lengkap secara fungsional karena OR dapat juga dinyatakan dengan menggunakan AND dan NOT :
274
x y
Jika sebuah bentuk gerbang tunggal lengkap secara fungsional dengan sendirinya, maka setiap fung!;i switching dapat dinyatakan hanya dengan menggunakan gerbang jenis tersebut. Gerbang NAND adalah contoh gerbang semacam itu. Karena gerbang NAND menampilkan operasi AND diikuti dengan suatu inversi, NOT, AND dan OR dapat dinyatakan hanya dengan menggunakan gerbang NAND seperti terlihat pada Gambar 8-11.
x
-r::[J
A
x'
B
A8
A
B
Gambar 8-1 I Pernyataan Gerbang NAND mengenai NOT, AND dan OR.
Jadi, setiap fungsi switching dapat dinyatakan hanya dengan mengguna!can gerbang NAND. Metode yang mudah untuk mengkonversikan jaringan ANDOR ke jaringan NAND dibahas dalam bagian selanjutnya. Prosedur selanjutnya dapat digunakan untuk menentukanjika suatu rangkaian gerbang yang ada itu lengkap secara fungsional. Pertama, tulislah pemyataan jumlah hasil minimum untuk fungsi yang dinyatakan oleh masing-masing gerbang. Jika tidak ada komplemen yang muncul pada setiap epmyataan ini, maka NOT tidak dapat dinyatakan dan rangkaian tersebut tidak lengkap secara fungsional. Jika sebuah komplemen muncul dalam salah satu pemyataan, maka NOT biasanya 275
dapat dinyatakan dengan pilihan input yang tepat ke gerbang yang berkorespondensi. (Kita akan mengasumsikan bahwa 0 dan 1 dapat digunakan sebagai input gerbang. ) Selanjutnya, berusahalah untuk menyatakan AND atau OR, ingat bahwa NOT sekarang dapat digunakan. Begitu AND atau OR telah dinyatakan, maka yang lain selalu dapat dinyatakan dengan menggunakan hukum DeMorgan jika tidak ada prosedur langsung yang nyata. Misalnya, jika OR dan NOT dapat digunakan, AND dapat dinyatakan dengan
XY
= (X'
+ Y')'
CONTOH: Tunjukkan bahwa semua fungsi switching dapat dinyatakan dengan hanya menggunakan gerbang minoritas 3-input. Solusi : Peruima, kita akan menderivasikan fungsi yang dinyatakan dengan gerbang minoritas 3-input dengan menggunakan peta Karnaugh seperti terlihat dalam Gambar 8-12. Outputnya adalah 1 jika tidak ada input yang 1 atau jika salah satu inputnya tepat 1. A BC 00
0
01 F
= B'C'
+ A'B' + A'C'
11 10
Gambar 8-12 Derivasi Fungsi Output Gerbang Minoritas
Kita dengan mudah dapat menyatakan komplemen X dengan membuat A = B = C = X.
F = X'X' + X'X' + X'X' = X'
276
Selanjutnya, kita akan mencoba menyatakan AND dengan menggunakan gerbang minoritas. Secara khusus, kita akan menentukan input ke gerbang minoritas sedemikian sehingga output gerbangnya akan menjadi XY. Melihat pada pernyataan untuk output gerbang tersebut, kita lihat bahwa jika kita meletakkan A = 1, F menjadi B'C'. Kemudian, untuk mendapatkan F = XYkita hams meletakkan B = X' dan C = Y'. Karena kita telah mengetahui bagaimana menyatakan X' dan Y', maka operasi AND dapat dinyatakan seperti terlihat pada Gambar 8-13(a). Gambar 8-13(b) menunjukkan cara untuk menyatakan XYhanya dengan dua gerbang minoritas. Karena gerbang outputnya dihubungkan sebagai inverter, inputnya pasti X' + Y'. Jika kita meletakkan C = 0, F menjadi B' + A 'B' + A' = A' + B', sehingga inputnya pada gerbang pertama pasti A = X, B = Y,
dan C = 0 untuk mendapatkanX' + Y' sebagaioutputnya.
x
x
Xy
Y
o
Xy
y
(a) Pernyataan 3-gerbang untuk AND.
(b) Bentuk pilihan untuk AND.
Gambar 8-13 Pernyataan AND dengan Menggunakan Gerbang Minoritas
Maka OR dapat dinyatakan dengan menggunakan (X + Y) I X Y
m
= (X'Y').
X'Y'
m
(X'Y')'
=X +
Y
Karena AND, OR dan NOT semuanya dapat dinyatakan hanya dengan menggunakan gerbang minoritas, maka setiap fungsi switching dapat dinyatakan hanya dengan menggunakan gerbang .minoritas. 271
8.4 DISAINJARINGANGERBANG NANDDANNORDUATlNGKAT Suatu jaringan dua tingkat yang terdiri dari gerbang AND dan OR dengan mudah dikonversikan ke jaringan yang terdiri dari gerbang NAND atau gerbang NOR. Konversi"ini diselesaikan dengan menggunakan F = (F)' dan kemudian mengaplikasikan hukum DeMorgan : (XI +X2 + ...+Xn)' = XI'X2 (XIX2...~)'
(8-12)
xn'
=XI' +X2'+...+Xn'
(8-13)
Contoh berikut ini mengilustrasikan konversikan bentuk jumlah hasil minimum ke beberapa bentuk dua tingkat lainnya : F
=A
+ BC' + B'CD
= [(A
+ BC' + B'CD)']'
(8-14)
= [A' · (BC')' · (B'CD)']'
(dengan8-12)
(8-15)
= [A' · (B'+ C) · (B + C'+ D')]'
(dengan8-13)
(8-16)
= A + (B'+ C)' + (B + C'+ D')'
(dengan 8-13)
(8-17)
Persamaan (8-14), (8-15), (8-16), dan (8-17) mewakili bentuk-bentuk ANDOR, NAND-NAND, OR-NAND, dan NOR-OR, secara berurutan, seperti.terlihat dalam Gambar 8-14.
278
F
=A + BC'
+"B' CO (8-14)
F =A + (S' + CI' +(S +C' +0')' (8-17)
=lA'
F
. (BC')' . (B'CO)')' (8-IS)
F
F =lA' F
F=tA'S'C"'"
(A'BC,'
"IS'
=(A + B + CIIA
+ CI"IB
+C' +0'»)'
+ S' + C'IIA
(8-16)
+ C' + OJ
(8-19)
"IA'CO'I'
F= leA +S +C)' +(A +S' +C',
(8-22)
,
+ (A + C' + D)']'
(8-20)
A B C A B' C' A C'
F
o
F =(A'S'C'
+ A'BC + A'CO')'
(8-21)
Gambar 8-14 Delapan Bentuk Dasar Jaringan Dua-Tingkat
279
Penulisan kembali Persamaan (8-17) dalam bentuk F
= {[A +
(8-18)
(B' + C)' + (B + C'+ D')']')'
membawa pada jaringan NOR-NOR-INVERT tiga tingkat. Namun demikian, jika kita. ingin jaringan dua tingkat yang hanya berisi gerbang NOR, kita harus mulai dengan bentuk jumlah hasil minimum untuk F daripada jumlah hasil minimum. Setelah memperoleh jumlah hasil minimum dari peta Kamaugh, F dapat ditulis dalam bentuk dua tingkat berikut ini : F
= (A
(8-19)
+ B + C)(A + B' + C')(A + C' + D')
= {[(A + B + C)(A + B' + C')(A + C'+ D)]')'
= [(A + i1 + = (A 'B'C' + = (A 'B'C')'
C)' + (A + B'+ C')'+ (A + C'+ D)']'
(dengan 8-1.3)(8-20)
A 'BC + A 'CD')'
(dengan 8-12) (8-21) (dengan 8-12) (8-22)
· (A'BC)' · (A'CD')'
Persamaan (8-19), (8-20), (8-21), dan (8-22) mewakili OR-AND, NORNOR, AND-NOR, Jaringan AND-NOR dua tingkat (AND-OR-INVERT) dapat digunakan dalam bentuk sirkuit terintegrasi. Beberapajenis gerbang NAND dapat juga menyatakan jaringan AND-NOR ketika koneksi "OR yang dipasang" digunakan. dan bentuk NAND-AND, secara berurutan, seperti terlihat dalam Gambar 8-14. Delapan bentuk dua tingkat lain yang mungkin (AND-AND, OR-OR, ORNOR, AND-NAND, NAND-NOR, NOR-NAND, dan sebagainya) diturunkan dalam arti bahwa mereka tidak dapat menyatakan semua fungsi switching. Misalnya, pertimbangkan, jaringan NAND-NOR berikut ini :
a
b
F
F =llab)'
+ (cd)' + eJ'
=ahcde'
('
d
Dari contoh di atas, jela~ bahwa bentuk NAND-NOR hanya dapat menyatakan sebuah hasH literal dan bukan jumlah hasil.
280
Karena gerbang NAND dan NOR siap digunakan dalam bentuk sirkuit integrasi, dua dari bentuk jaringan yang paling biasa digunakan adalah NANDNAND dan NOR-NOR. Dengan mengasumsikan bahwa semua variabel dan komplemen mereka dapat digunakan sebagai input, maka metode berikut ini dapat digunakan untuk menyatakan F dengan gerbang NAND : Prosedur untuk mendisain jaringan NAND-NAND dua tingkat minimum
I.
Carilah kalimat jumlah hasil minimum untuk F.
2.
Gambarlah jaringan AND-OR dua tingkat yang berkorespondensi.
3.
Gantilah semua gerbang dengan gerbang NAND dengan °membiarkan gerbang yang berinterkoneksi tetap tidak berubah. Jika gerbang outputnya mempunyai setiap literal tunggal sebagai input, komplemenkan literal.ini.
XI
X2';
I. 12
P2
F
..
(a) Sebelum transformasi
. YI Y2
...
('2
.
.I ...
D-F
(b) Setelah transformasi
Gambar 8-15 Transformasi AND-OR ke NAND-NAND
Gambar 8-15 mengilustrasikan transformasi langkah ke-3. Pengujian yang terjadi menunjukkan bahwa transformasi ini tetap membiarkan output jaringan tidak berubah. Secara umum, F adalah jumlah literal (QI' ~, ...) dan term hasil (PI; P2, ...) :
281
Setelah menerapkan hukum DeMorgan,
F
= (Qt'~' ... Pt'P2')'
Maka output gerbang OR diganti dengan gerbang NAND dengan input Qt', ~', ..., Pt', P2., Karena term hasil PI' P2,... masing-masing dinyatakan dengan sebuah gerbang AND, Pt', P2',... masing-masing dinyatakan dengan gerbang NAND dalam jaringan yang ditransformasikan. Dengan mengsumsikan bahwa semua variabel dan komplemen mereka dapat digunakan sebagai input, maka metod6 berikut ini dapat digunakan untuk menyatakan F dengan gerbang NOR : Prosedur untuk mendisain jaringan NOR-NOR dua tingkat minimum I.
Carilah pemyataan hasil penjumlahan minimum untuk F.
2.
Gambarlah jaringan OR-AND dua tingkat yang berkorespondensi.
3.
Gantilah semua gerbang dengan gerbang NOR dengan membiarkan gerbang yang berinterkoneksi tidak berubah. Jika gerbang output mempunyai literal tunggal sebagai input, komplemenkan literal-literal ini.
Prosedur di atas sarna dengan yang digunak.an untuk mendisain jaringan NAND-NAND. Namun demikian, perhatikan bahwa untuk jaringan NOR-NOR, titik awalnya lebih pada hasil jumlah minimum daripada jumlah hasil.
8.5 DISAINJARINGANGERBANG NOR-NAND MULTI-LEVEL Prosedur berikut ini mungkin dapat digunakan untuk mendisain jaringan gerbang NAND multi-level:
282
I.
Sederhanakanlah fungsi switching yang hams dinyatakan.
2.
Disainlah jaringan gerbang AND dan OR multi-level. Gerbang-output hams OR. Output gerbang AND tidak dapat digunakan sebagai input gerbang AND; output gerbang OR tidak dapat digunakan sebagai input gerbang-OR.
3.
Hitunglah level yang dimulai dengan gerbang output sebagai level I. Gantilah semua gerbang dengan gerbang NAND, dengan membiarkan semua interkoneksi antara gerbang tetap tidak berubah. Biarkan input pada level 2,4,6,... tetap tidak berubah. Inversikan setiap literal yang muncul sebagai input ke level 1,3,5... .
Validitas prosedur di atas dengan mudah dapat dibuktikan dengan membagi jaringan multi-level menjadi subjaringan dua level dan mengaplikasikan hasil sebelumnya untuk jaringan dua level pada masing-masing subjaringan dua level. Contoh dari Gambar 8-16 mengilustrasikan prosedur di atas. Perhatikan bahwa jika langkah 2 dilakukan dengan tepat, setiap level jaringan tersebrit hanya akan berisi gerbang AND atau hanya gerbang OR saja. Prosedur untuk disain jaringan gerbang NOR multi-level sarna persis dengan jaringan gerbang NAND kecuali gerbang output pada jaringan gerbang AND dan OR pastilah gerbang AND,. dan semua gerbang diganti dengan gerbang NOR. CONTOH : F~
= a'[b'
+ c(d + e') + fg'] + hi'j + k
Gambar 8-16 menunjukkan jaringan AND-OR untuk F1 dikonversi kan ke jaringan NAND yang berkorespondensi. LevelS
Level 3
Level2
Level I
d e
,
(a) Jaringan AND-OR LevelS
Level I
e ,If~ '"
-
., "" ..1: . 'I:. -".,... ~ 'j'!~~(::. :--
-
~"
(b) Jaringan NAND
Gambar 8-16 Konversi Jaringan Multi-Level ke Gerbang NAND.
283
8.6 KONVERSI JARINGAN DENGAN MENGGUNAKAN SIMBOL GERBANG
ALTERNATIF
Para disainer logika yang mendisain sistem digital kompleks seringkali mendapatkan bahwa lebih mudah menggunakan lebih dari satu tampilan untuk jenis gerbang yang ada. Misalnya sebuah inverter dapat ditampilkan dengan
A~A'
. or
A~A'
Pada kasus kedua, lingkaran inversi terletak pada input bukannya pada output. Gambar 8-17 menunjukkan beberapa tampilan altematif untuk gerbang AND, OR, NAND dan NOR. Simbol gerbang ekuivalen\ni didasarkan pada identitas AB
= (A'+
(a) AND
B')', A + B =(A'B')', (AB)'= A' + B', (A + B)'=A'B'
(b,OR
IC) NAND
(dl NOR
Gambar 8-17 Simb'ol Gerbang Alternatif
Simbol altematif di atas dapat digunakan untuk membantu menganalisis dan mendisain jaringan gerbang NAND dan NOR. Gambar 8-18(a) menunjukkan jaringan gerbang NAND sederhana. Untuk menganalisis jaringan ini, kita akan mengganti gerbang NAND pada level pertama dan ketiga dengan simbol gerbang NAND alternatif. Pada jaringan hasilnya (Gambar 8-18(b», output yang diinversikan (yakni output dengan lingkaran) selalu dihubungkan dengan input yang diinversikan, dan output yang non-inversi dihubungkan dengan input noninversi. Karena dua inversi dalam suatu baris saling membatalkan, maka 284
denganmudahkita dapat menganalisisjaringantersebuttanpa mengaplikasikan hukum DeMorgan secara aljabar. Misalnya, perhatikan bahwa output dari gerbang 2 adalah {(A' + B)C]', namun term (A' + B)C muncul pada fungsi output. Kita juga dapat mengkonversikanjaringan tersebut ke jaringan AND-OROdengansecara sederhana memindahkan inversi ganda (lihat Gambar 8-18(c». Ketika sebuah variabel output timggal dihubungkan dengan input yang diinversikan, kita juga harns mengkomplementasikan variabel tersebut ketika kita memindahkan inversi dari input gerbang. Misalnya, A dalam Gambar 8-18(b) menjadi A' dalam gambar 8-18(c). A
B'
z
(a) Jaringan gerbang NAND A B' Z
=(A'
+ BI C + F' "+ DE
(b) Bentuk altematif untuk jaringan gerbang NAND
Z D E
(c) Jaringan AND-OR ekuivalen. Gambar 8-18 Konversi Jaringan gerbang NAND
285
Jaringan gerbang AND atau OR yang terlihat pada Gambar 8-19(a) dengan mudah dapat dikonversikan ke jaringan gerbang NOR karena gerbang outputnya adalah gerbang AND, dan gerbang AND atau OR mengganti keseluruhanjaringan. Yakni, output gerbang AND hanya menghubungkan ke input gerbang OR, dan output gerbang OR hanya berhubungan dengan input gerbang AND. Untuk melakukan konversike gerbang NOR, terlebih dahulu kita mengganti semua gerbang AND dan OR dengan gerbang NOR seperti terlihat pada Gambar 819(b). Karena masing-masingoutput gerbang mengendalikan sebuah input gerbang yang diinversikan, maka pasangan inversi hapus. Namun demikian, ketika .sebuah variabel input mengendalikan input yang'diinversikan, kita telah menambahkan sebuah inversi tunggal, sehingga kita harus mengkomplementasikan variabel tersebut untuk dikompensasikan. Oleh karenanya, kita mengkomplementasikan C dan G.Hasil dari jaringan gerbang NOR ekuivalen dengan jaringan AND-OR asH. A
z E F Jaringan AND-OR
Inversi ganda hapus A
s'
z Input yang dikomplementasikan menghapus inversi
Jaringan gerbang NOR ekuivalen Gambar 8-19 Konversi ke Gerbang NOR
286
Bahkan jika gerbang AND dan OR tidak berubah, kita masih dapat mengkonversikan jaringan AND-OR ke jaringan NAND atau NOR, namun mungkin perlu menambahkan' inverter ekstra sehingga masing-masing inversi tambahan dihapuskan oleh inversi lain. Prosedur berikut ini m1,lngkindapat digunakan untuk mengkonversikan ke jaringan NAND (atau NOR) : 1. Konversikan semua gerbang AND ke gerbang NAND dengan menambahkan sebuah lingkaran inversi pada outputnya. Konversikan semua gerbang OR ke gerbang NAND dengan menambahkan lingkaran inversikan pada input. (Untuk mengkonversikan ke NOR, tambahkan lingkaran inversi pada semua output gerbang OR dan semaa input gerbang AND.) 2.
Manakala sebuah output yang diinversikan mengendalikan input yang diinversikan, maka tidak diperlukan langkah lebih lanjut karena kedua inversi tersebut berhenti.
3.
Manakala output gerbang noninversi mengendalikan input gerbang inversi atau sebaliknya, maka masukkan sebuah inverter sehingga lingkaran tersebut akan berhenti. (Pilihlah sebuah inverter dengan lingkaran pada input atau output bila diperlukan.)
4.
Ketika sebuah variabel mengendalik.cp1 input inversi, komplemenkan variabel tersebut (atau tambahkan sebuah inverter) sehingga komplementasi menghentikan inversi tersebut pada input.
Dengan kata lain,' jika kita selalu menambahkan lingkaran (atau inversi) secara berpasangan, fungsi yang dinyatakan dengan jaringan tersebut akan tetap, tidak berubah. Untuk menggambarkan prosedur tersel?ut kita akan mengkonversikan Gambar 8-20(a) ke NAND. Terlebih dauhlu kita menambahkan lingkaran untuk mengubah semua gerbang ke gerbang NAND (Gambar 8-20(b». Pada empat tempat (yang diwamai merah), kita h~ya menambahkan sebuah inversi tunggal. Ini dikoreksi dalam Gambar 8-20(c) dengan menambahkan dua inverter dan mengkomplementasikan dua variabel.
287
-
--
A B'
c E
F
(a) AND-OR network
Bubbles cancel A B' F
(b) First step in NAND conversion
Added invener A
Added invener
B' F
(c) Completed conversion
Gambar 8-20
Konversi Jaringan AND-OR ke gerbang NAND
8.7 /ND/KAS/POLAR/TAS DANLOG/KACAMPURAN Pada Bagian 3.4 kita mendiskusikan logika positif dan negatif. Untuk logika positif, suatu kondisi "benar" (logika l) diwakili dengan voltase tinggi sedangkan kondisi "salah" (logika 0) diwakili oleh voltase rendah. Untuk logika negatif, suatu kondisi "benar" Oogika 1) diwakili oleh voltase rendah dan kondisi "salah" (logika 0) diwakili oleh voltase tinggi. Sampai pada titik ini, kita telah mengasumsikan bahwa semua variabel logika ditentukan sesuai dengan logika positif. Kebanyakan de sainer logika menggunakan logika campuran, di mana beberapa variabel logika ditentukan dengan. menggunakan logika positif dan variabel lain ditentukan dengan menggunakan logika negatif. Istilah tinggi aktif 288
__ __ 00. __ 0 0__ _ __
nOO
- --000---
--
seringkali digunakan untuk menggambarkanvariabellogika positif karena keadaan aktif atau benar dari variabel ini berhubungan dengan volt~e tinggi. Demikian pula rendah aktif digunakan untuk variabel logika negatif karena keadaan aktif atau benar berhubungan dengan voltase rendah. Misalnya, pertimbangkan sebuah variabel "ENABL~" yang digunakan untuk memungkinkan operasi sebuah sirkuit logika. Jika ENABLE adalah tinggi aktif, maka ini berarti bahwa voltase tinggi akan memungkinkan sirkuit logika tersebut, dan jika ENABLE adalah rendah aktif, maka voltase rendah akan memungkinkan sirkuit tersebut. Ketika logika campuran digunakan, penting sekali mendapatkan metode untuk membedakan variabel logika tinggi aktif dan variabel logika rendah aktif. Sayangnya, tidak ada standar yang mapan mengenai hal ini. Di bawah ini beberapa contoh perbedaan konvensi penamaan untuk ENABLE variabel : Tinggi Aktif
Rendah aktif
ENABLE(H) ENABLE.H ENABLE+ ENABLE ENABLE
ENABLE(L) ENABLE.L ENABLE-ENABLE /ENABLE
Kita akan menggunakan (L) untuk menunjukkan variabel rendah aktif (logika negatit) dan (H) untuk.menunjukkan variabel tinggi aktif (logika positit) karena hal ini direkomendasikanoleh IEEE Standard for Logic Circuit Diagr~ms.33Logic Symbol and Diagrams diterbitkan oleh IEEE pada tahun 1987, berisi ANSI/IEEE Std 91-1984, IEEE Standard Graphic Symbols for Logic Functions dan ANSI/ IEEE Std 991-1986 IEEE Standard for Logic Circuit Diagrams. Sampai sekarang, kita telah menggunakan sebuah lingkaran kecil pada output gerbang untuk menunjukkan sebuah komplemen (peniad?'m logika). Ketika simbol "lingkaran kecil" ini digunakan, IEEE Standard for Logic Circuit Diagrams "memerlukan adopsi konvensi logika tunggal, baik itu positif maupun negatif, untuk keselurnhan diagram." Kita akan mengkonformasikan standar ini dan terns menggunakai110gikapositif secara keselurnhanketika kita menggunakan notas! lingkaran kecil tersebut. Ketika variabel tinggi aktif dan rendah aktif digunakan pada diagram yang sarna, IEEE Standard perlu menggunakan notasi polarisasi langsung seperti dijelaskan berikut ini.
289
Simbol Grafik Standard IEEE untuk Fungsi Logika menyediakan untuk dua jenis simbol inversi seperti digambarkan dalam Gambar p03@P 8-21. Wilayah antara masing-masing garis putus-putus mewakili sisi dalam beberapa alat logika. Hanya nilai logika 0 dan 1 yang dapat digunakan di dalam suatu alat logika. Sebuah lingkaran kecil pada input menunjukkan peniadaan logika, yang berarti bahwa suatu logika ekstemal 0 menghasilkanlogika internal 1, dan I menghasilkan o (Gambar 8-21 (a». Simbol anak panah- setengah pada input menunjukkan input rendah-aktif, yang berarti bahwa suatu tingkat rendah (L) pada, input menghasilkan logika internal 1 dan suatu tingkat tinggi (H) menghasilkan 0 (Gambar 8-21(b». Demikian pula, sebuah lingkaran output menunjukkan bahwa sebuah logika internal 1 menghasilkan sebuah logika eksternal 0, dan 1 menghasilkan 0 (Gambar 8-21(c». Panah- setengah pada output menunjukkan output rendah aktif. Hal ini berarti bahwa suatu logika internal 1 menghasilkan L ekstemal, dan 0 menghasilkan H (Gambar 8-21(d). Panah setengah ditunjuk sebagai sebuah simbol "polaritas". Simbol polaritas dimaksudkan untuk digunakan ketika fungsi sirkuit dideskripsikan dalam bentuk tingkat H dan L, daripada dalam bentuk logib 1 dan logika O.Ketika simbol polaritas digunakan, hubungan antara nilai logika internal dan ti~gkat.voltase ekstemal yang berkorespondensi secara langsung ditunjukkan pada diagram logika; oleh karenanya namanya menunjukkan notasi polaritasnya. Jika lingkaran kecil digunakan, sebuah logika ekstemal t dapat berkorespon~en ke tingkat H atau L tergantung pada apakah konvensi yang digunakan konvensi positif atau negatif.
o-~E~
L-{~~
~~}- 0
~~}- L
I -{~~~
H-{~~~
~~o}-
~~o}- H
(b) Active-low input
(c) Negated output
(a) Negated input
I
(d) Active-low output
Gambar 8-21 Simbollnversi Standar
290
Inverter yang terlihat pada GAmbar 8-22 menggunakan indikasi polaritas langsung. Ketika logika positif digunakan, sebuah inverter membentuk komplemen inputnya. Ketika logika carnpuran digunakan, inverter yang sarna secara sederhana dapat mengkonversikan variabel tinggi aktif ke variabel aktif rendah. Pada kedua kasus, output inverter adalah L (rendah) ketika inputnya adalah Ii (tinggi), dan demikian sebaliknya (Gambar 8:'22 (a». Dengan menggunakan konvensi logika positif untuk kedua input dan output, kita mendapatkan tabel kebenaran seperti terlihat pada Gambar 8-22(b) di mana B
A -{>-B
A(H)-{>-B(L)
A -{>-B
m m L H
H L
o 1
1 0
(b)
(a)
= A'.
A(H)
B(L)
0 1
0 1
A(L!
(c)
B(H)
1 A(L) o
I
1 BIll) 0
(d)
Gambar 8-22 Inverter dengan Indikasi Polaritas
Meskipun demikian, jika kita menggunakan logika positif untuk logika input dan logika positif 4ntuk output, kita mendapatkan tabel dalam Gambar 8-22(c), di mana B(L)
= A(H).
Gambar 8-22(d) n:tenunjukkan simbol altematif untuk
inverter tersebut. Jika kita menggunakan logika negatif untuk fnput dan logika positif untuk outputnya, taOOIkebenaran yang dihasilkan menunjukkan bahwa B(H) =A(L). Perhatikan bahwa pada dua kasus terakhir, invertemya mengubah
polaritas logika selain mengkomplementasikaninput. Ketika A rendah, A' tinggi dan sebaliknya, oleh karenanya A '(L) =A(H) dan A;(H) = A(L). Ketika menggunakannotasi logika campuran, biasanya lebih sederhana menggunakan A(H) dan A(L) daripada A '(L) dan A '(H) dan biasanya kita akan mengikuti praktek ini. Selanjutnya, pertimbangkan gerbang NAND dalam Gambar 8-23(~), yang hanya mempunyai output L jika kedua inputnya adalah H. dengan mentranslasikan tabel sesuai de~gan logika positif, menghasilkan Gambar 8-23(b) dan output 291
gerbangnya adalah C = (AB)'. Namun demikian, jika kna mengasumsikan input tinggi aktif dan output rendah aktif, tabel kebenaran dalam Gambar 8-23(c) menunjukkan bahwa outputnya adalah C(L) = A(H)B(H). Dalam hal ini, kita dapat memikirkan simbol polaritas sebagai pengkonve~sian output ke logika negatif daripada mengkomplementasikan outputnya seperti dalam Gambar 8-23(b).
;=DA B L L L H HL HH
C H H H L (a)
c
;=D-
c
A(H)=DB(H)
C(L)
A B
C
A(H)
B(H)
C(L)
o o 1 1
1 1 1 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 0 0 1
0 1 0 1 (b)
(c)
Gambar 8-23 NAND Gates with Polarity Indication Gambar 8-24(a) menunjukkan sebuah simbol alternatifuntuk gerbang NAND
dari Gambar 8-23(a). Perhatikan bahwa tabel H-L adalah sama. Dengan mentranslasikan tabel sesuai dengan logika positif menghasilkan Gambar 8-24(b) di mana kita dapat menu lis output gerbang sebagai C
= A'
+ B'
= (A B).
Namun
demikian, jika kita mengasumsikan input rendah aktif dan output tinggi aktif, tabel kebenaran dalam Gambar 8-24 (c) menunjukkan bahwa outputnya adalah C(H) = A(L)"+ B(L).Dalamhal ini,kitadapatmemikirkansimbolpolaritasinput ketika mengkonversikan input dari logika negatif ke logika positif daripada mengkomplementasikan i'nput seperti dalam Gambar 8-24(b). Dengan membandingkan Gambar 8-23(c) dan 8-24(c) kita lihat bahwa untuk logika campuran, gerbang NAND yang secara fisik sama dapat bertindak sebagai gerbang AND atau. gerbang OR tergantung pada konvensi yang digunakan. Gambar 8-25menunjukkan analisis jaringan gerbang sederhana dengan menggunakan (a) "lingkaran kecil" dengan logika positif dan (b) indikasi polaritas dengan logika campuran. Dalam Gambar 8-25(a), komplementasi secara eksplisit terlihat. Pada Gambar 8-25(b), kita dapat memikirkan simbol polaritas ketika mengkonversikan variabellogika positif (tinggi aktif) ke variabellogika negatif (rendah aktif), atau sebaliknya.Di dalam simbol gerbang, kita selalu menggunakan logika positif sehingga bentuk dari simbol menentukan apakah fungsi AND atau OR dinyatakan secara internal. 292
;==c>-
;c
c
A(l)==C>-
B Cll
A B
C
A B
C
L L L H HL HH
H H H L
o 0 o 1
1 1 1 0
1 0 1 1
ACL) Bl'L) 1 1 1 0 0 1 0 0
'(b)
(a)
ceH)
C(O) 1 1 1 0
(c)
Gambar 8-24 Simbol Gerbang NAN.f) pilihan dengan indikasi polaritas AB
AS
A AS+C
B C
(a) Logika positif
AB
AB
A{H) FCH)
B(H)
F =AB + C
C(H)
(b) Logika Campuran Gambar 8-25
Kita akan menggunakan aturan berikut ini untuk diagram dengan iridikasi polaritas langsung; (1) Menghubungkan variabellogika tinggi aktif dengan input dan output yang tidak mempunyai simbol polaritas, (2) Menghubungkan variabel logika rendah aktif dengan input dan output yang mempunyai sebuah simbol 293
-- -
.._
_.u
_____._
polaritas. (3) Menghubungkanoutput dengan sebuah simbolpolaritaske input dengan sebuah simbol polaritas, serta menghubungkan output yang tidak mempunyai simbol polaritas ke input yang tidak mempunyai simbol polaritas. Ketika aturan ini digunakan secara konsisten, akan mudah membaca fungsi logika secara langsung dari dari diagram logika seperti digambarkan oleh jaringan gerbang NOR pada Gambar 8-26. Perhatikan bahwa m,asing-masinggerbang menampilkan fungsi AND atau fungsi OR, dan tidak ada komplementasi yang dibutuhkan. Kita hams hati-hati ketika menerjemahkan persamaan untuk Z darena Z = I diwakili oleh voltase tinggi, tetapi C = I diwakili oleh \Ioltase rendah, dan seterusnya. Segala sesuatunya akan berjalan dengan baik sepanjang kita mengikuti aturan yang diberikan di atas. Meskipun demikian, kita mungkin harus merusqak salah satu aturanbila variabel dengan polaritas yang tepat tidak dapat digunakan. Jika ada aturan yang dirusak, maka komplemen ekstra hams dimasukkan.
z = IC(A
lOA + 81 + DItL,
~
DIH) ElHI
+ 81 + 01(£ + rIG
GIll lrH)
(E + F)(LJ
FIHI
Gambar 8-26 Jaringan Gerbang NOR dengan Indikasi Polaritas
A+8'
~
A(L) 8(H)
'
, A8
8
C=A'8 (a)
C(H)
AIL)
~
C(L)
8(H)~
C =A + 8' (b)
Gambar 8-27 Ketidaksepadanan
294
Output
Gambar 8-27 menunjukkan dua kasus di mana polaritas tanda input tidak sebanding dengan polaritas input yang ditunjukkan pada simbol gerbang. Kita akan meletakkan sebuah garis vertikal melintasi garis yang berhubungan untuk menarik perhatian terhadap ketidak sepadanan tersebut, suatu praktek yang disarankan dalam IEEE Standard for Logic Circuit Diagrams (Standar IEEE untuk Diagram Sirkuit Logika. Perhatikan bahwa dalam Gambar 8-27(a), A(L) yang diaplikasikan ke input tinggi aktif menghasilkan A ' di dalam gerbang, dan dalam Gambar 8-27(b), B(H) yang diaplikasikan ke input rendah aktif menghasilkan B' di dalam gerbang. Gambar 8-28 menunjukkan dua kasus di mana polaritas tanda output tidak sepadan dengan polaritas output gerbang. Dalam Gambar 8-28(a), output rendah aktif diberi label C(H), sehingga AB di dalam gerbang menghasilkan (AB)' secara eksternaI. Dalam gambar 8-28(b), output tinggi aktif diberi label C(L), sehingga (A + B) di dalam gerbang menghasilkan (A + B)' secara eksternaI. Kembali, kita menggunakan garis vertikal untuk menarik perhatian terhadap ketidak sepadanan polaritas.
A+B
AfH) B(H)
~
B
AB
ClH)
AfH)
~
C(LI
B(H)~
C=(AB)'
C
=(A
(a)
Gambar 8-28 Ketidaksepadanan
+ B)'
(b)
Output
Gambar 8-29 menunjukkan analisis jaringan logika campuran yang mempunyai tiga ketidaksepadanan. Untuk gerbang 2, polaritas B cocok dengan polaritas input gerbang, namun polaritas C tidak, sehingga output gerbangnya adalah Be'.
295
\D + AB)lLI Z(H) tBC' + f')lLI
Gombar 8-29 Jaringan Logika Campuran dengan Input Gerbang Tak Sepadan
Demikian pula, input Be' dari gerbang4 cocok, namun input F tidak, sehinggh outputnya adalah BC' + F'. Sintesis jaringan gerbang NAND (atau NOR) dengan menggunakan logika campuran dapat dilakukan dengan menggunakan langkah berikut ini :
296
I.
Disainlah suatu jaringan gerbang AND dan OR untuk menyatakan fungsi yang dikehendaki. (Pada tahap ini, abaikan polaritas sinyallogika yang dapat digunakan.)
2.
Konversikan semua gerbang AND ke gerbang NAND dengan menambahkan simbol polaritas pada outputnya. Konversikan semua gerbang OR ke gerbang NAND dengan menambahkan simbol polaritas pada inputnya. (Untuk mengkonversikan ke NOR, tambahkan simbol polaritas pada semua output gerbang OR dan semua input gerbang AND.)
3.
Ketika output rendah aktif mengendalikan input rendah aktif atau output tinggi aktif mengendalikan input tinggi aktif, tidak ada tindakan lebih lanjut yang diperlukan karena polaritas cocok.
4.
Ketika output gerbang rendah aktif mendorong input gerbang tinggi aktif atau sebaliknya, masukkan sebuah inverter (pengubah level) sehingga polaritasnya akan cocok.
5.
Ketika variabel yang tidak dikomplementasikan mengendalikan sebuah input gerbang, pilihlah polaritas tanda input untuk memadukan dengan polaritas input gerbang. Di mana sebuah variabel yang dikomplementasikan mengendalikan sebuah' input gerbang, pilihlah polaritas tanda input yang berlawanan dengan polaritas input gerbang tersebut. (Juga tambahkan garis
vertikal melintasi garis sinyal untuk menarik perhatian input yang tidak cocok.) 6.
Bandingkan polaritas tanda yang dapat digunakan dengan polaritas input yang dibutuhkan. Jika sebuah tanda input dari polaritas y~mgtepat tidak tersedia, tambahkan sebuah inverter. (Pilihlah simbol inverter yang tepat sehingga polaritas outputnya cocok dengan input gerbang berikutnya. )
Contoh berikut ini menggambarkan prosedur tersebut : Nyatakan G = AB'C + DE + F' dengan menggunakan gerbang NAND- 2 input (dan inverter). Asumsikan bahwa tanda berikut ini dapat digunakan sebagai input : A(H), B(H), B(L), C(H), D(H), E(L), dan F(H). Langkah pertama adalah menggambar jaringan AND-OR dari Gambar 8-30(a). Selanjutnya kita konversikail ke gerbang NAND dengan menambahkan simbol polaritas seperti terlihat pada Gambar 8-30(b). Perhatikan bahwa kita menambahkan dua inverter tepat pada polaritas tidak cocok antara output dan input gerbang. Polaritas tanda input telah ditempatkan untuk memadukan polaritas input gerbang yang berkorespondensi kecuali untuk B dan F, karena B' dan F' diperlukan. Akhirnya, karena E(H) tidak dapat digunakan, kita harus menambahkan sebuah inverter untuk mengubah polaritas E(L). Dalam bagian ini kita telah memasukkan konsep indikasi polaritas langsung, yang menunjukkan untuk setiap input dan outputgerbang apakah voltase tingkat tinggi (H) atau rendah (L) yang berkorespondensi dengan logika I. Kita juga telah memperkenalkan penggunaan logika campuran, di mana variabellogika positif dan negatif (variabel tinggi aktif dan rendah akktif) digunakan pada diagram logika yang sarna. Kita menggunakan sufiks (H) dan (L) untuk membedakan antara variabel rendah aktif dan tinggi aktif. Ketika variabellogika campuran digunakan dengan cara yang konsisten bersama indikasi P?laritas langsung, maka fungsi yang dinyatakan oleh jaringan gerbang dapat dibaca secara langsung dari diagram logika tanpa menggunakan komplementasi. Meskipun demikian, ketika ketidakcocokan terjadi antara polaritas gerbang dan polaritas sinyal, komplementasi terjadi. Beberapa desainer logika menggunakan logika campuran bersama dengan notasi lingkaran kecil, namun hal ini akan membingungkan karena simbol lingkaran yang sarna digunakan untuk inversi dan untuk indikasi polaritas.
297
A
B' G
(a) Jaringan
Invener
ditambahkan
AND-OR
untuk membetulkan
ketidakcocokan
polaritas.
A(H) B(L)
I
Ketidak-cocokan ditambahkan untuk mendapatkan
D(H)
B'
E(L)~
E(H)
\ Inverter
ditambahkan
karena E(H) tidak dapat digunakan (b) jaringan
Ketidak-cocokan
ditambahkan
untuk mendapatkan
NAND
Gambar 8-30 Pemyataan Jaringan Gerbang NAND Dengan Menggunakan Logika Campuran
298
F'
BOAL 8.1
Dengan menggunakan gerbang AND dan OR, carilah jaringan
f(a,b,c,d) = MIM2MSMr#lc#I4 (a) Dengan rnenggunakan logika dua tingkat (b) dengan menggunakan logika tiga tingkat (12 gerbang input minimum)
8.2
Dengan menggunakan gerbang AND-OR, carilah jaringan minimum untuk menyatakan : f(a,b,c,d)
= Mc#IM3M13MI4MIS
(a)
dengan menggunakan logika du atingkat
(b)
dengan menggunakan logika tiga tingkat (12 gerbang input minimum)
8.3
Nyatakan fungsi berikut ini dengan menggunakan gerbang AND dan OR. Asumsikan bahwa tidak ada hambatan pada jumlah gerbang yang dapat dilalui dan meminimalkan jumlah input gerbang : (a) ACD' + B'CD' + B'E + AC'D + AE (b) ABDF + ABEF + ABG + CDF + CEF + CG (c) ABC' + ACD + A 'BC + A 'C'D (d) ABCE + ABEF + ACD' + ABEG + ACDE
8.4
Dengan menggunakan gerbang AND dan OR , carilah jaringa dua tingkat minimum untuk menyatakan :
= a'c + bc'd + ac'd F = (b' + c)(a + b' + d)(a
(a) F (b)
8.5
+ b + c' + d)
Dengan menggunakan gerbang AND dan OR, carilah jaringan dua tingkat minimum untuk menyatakan : (a) F = a'cd' + a'bc + ad (b) F = a'b + ac + bc + bd' 299
---
---
8.6
8.7
8.8
Suatu jaringan petukaran kombinasional mempunyai 4-input (A, B, C, D) dan satu output (F). F = 0 jika 3 atau 4 inputnya adalah O. (a)
Tulislah perluasan maksterm untuk F.
(b)
Dengan menggunakan gerbang AND dan OR, carilah jaringan tiga tingkat minimum untuk menyatakan F (5 gerbang, 12 input).
Voltase input dan output untuk gerbang 3-input yang ada ditabulasikan di bawah ini. Jika voltasenya diinterpretasikan sesuai dengan konvensi logika positif, jenis gerbang apa ini ? Jenis gerbang apa yang digunakan untuk logika negatif ? A
B
C
F
0 0 0 0 +V +V +V +V
0 0 +V +V 0 0 +V +V
0 +V 0 +V 0 +V 0 +V
+V 0 0 0 0 0 0 0
Pada tabel berikut ini, H mewakili voltase tingkat tinggi dan L mewakili voltase tingkat rendah. (a) Apa fungsi logika yang dinyatakan untuk logika positif? (b) Untuk logika negatif ?
300
EJ
E2
E3
E4
H H H H L L L L
H H L L H H L L
H L H L H L H L
H L H L L L H H
8.9
Manakah dari rangkaian operasi berikut ini yang lengkap secara fungsional ? (Anda dapat mengasumsikan bahwa 0 dan 1 dapat digunakan sebagai gerbang input.) Buktikan jawaban anda. (a) R dan NOT (b) AND dan OR (c) Eksklusif-OR dan OR (d) Ekuivalensi dan OR
8.10 Suatu jaringan 3-input mempunyai tabel kebenaran seperti terlihat di bawah 1m : A
B
c
z
o o o o
o o
o I
1 1
1 1
o
o
1 o I o I
I I
1 I I I
o o
1 1
o 1 I
(a) Tulislah persamaan untuk z. (b) Tunjukkan bagaimana menyatakan NOT dengan jaringan ini (0 dan 1 dapat digunakan sebagai input). (c) MemungIQnkanuntuk menyatakanAND dengan menggunakansatu atau dua dari jaringan ini (0 dan I dapat digunakan sebagai input) ? (d) Mungkinkah menyatakan OR dengan menggunakan satu atau dua dari jaringan ini ? (e) Apakah jaringan ini lengkap secara fungsional ?
301
8.11 Suatu gerbang IMPLICATION mempunyai dua input (X dan Y); outputnya adalah 1 kecuali jika X = 1 dan Y = o.
(a)
Tunjukkan bahwa gerbang IMPLICATION dengan sendirinya lengkap secara fungsional.
(b)
Nyatakan F = A'B + AC' dengan hanya menggunakan gerbang implikasi. (Hanya A, B, C, 0, dan 1 yang dapat digunakan sebagai input gerbang.) Empat gerbang cukup.
8.12 Carilah delapan perbedaan jaringan gerbang dua tingkat minimum untuk menyatakan (a) F(w, x, y, z) = xy'z + x'yz + w (b) F(w, x, y, z)
= (x
+ y' + z)(x' + y + z)w
(c) F(a,b,e,d)= Lnz(4,5,8,9,13)
8.13
f(a,b,e,d,e)
= Lnz(O,
2, 5, 8, lO, 11, 13, 15,18,21,26,27,29,30,31)
(a) Carilah jaring~ gerbang NOR dua tingkat untuk menyatakan f. (b) Carilah jaringan gerbang NOR tiga tingkat untuk menyatakan f. 8.14 Kerjakan Soal 8.13 untuk f( a,b,e,d,e)= Lnz(2, 3,6,12,13,16,17,18,19,22,24,25,27,28,29,31)
8.15 Disainlah jaringan gerbang NOR tiga tingkat minimum untuk menyatakan:
302
(a)
f
(a)
f
= a'b + = a'b'+
ad' + ab'e' abd + aed
8.16 Nyatakanlah fungsi berikut ini hanya dengan menggunakan gerbang NAND 2-input. Minimalkan jumlah gerbang yang diperlukan. (a) F
= A '[B'
(b) F
= A + BCD'+ BDE'+ BDE'
+ C'D' + DE]
8.17 Carilah jaringan minimum untuk menyatakan fungsi berikut ini hanya dengan mneggunakan gerbang NOR 2-input. Hanya A, B, C, dan D yang dapat digunakan dan bukan komplemen mereka. (Empat gerbang cukup). (Petunjuk : Carilah jaringan dengan gerbang 2-input OR dan AND dan konversikan ke NOR.)
(a) F (b)
F
= A 'B'D' + B'C'D' = AC + B' + D'
8.18 Carilah jaringan gerbang NOR empat tingkat untuk menyatakan:
(a) Z
= abae'!
(b)
= (a'
Z
+ c'e'! + d'e'! + gh
+ b + e + f)(c' + a' + b)(d' + a' + f)(g + h)
8.19 Disainlah suatu jaringan logika yang mempunyai jumlah biner 4-bit sebagai input dan satu output. Outputnya hams 1 jika inputnya bilangan prima atau nol. (a) Gunakan jaringan gerbang NAND dua tingkat. (b) Gunakan jaringan gerbang NOR dua tingkat. (c) Gunakan gerbang NAND 2-input saja.
8.20 Kerjakan Soal 8.19 untuk jaringan yang mempunyai output 1jika inputnya dapat dibagi dengan bilangan 3. 8.21 Nyatakan masing-masing fungsi yang diberikan pada Soal 6.21 dengan menggunakan jaringan gerbang NAND dua tingkat dan juga menggunakan jaringan gerbang NOR dua tingkat minimum.
303
8.22 Nyatakan masing-masing fungsi yang diberikan pada Soal 6.19 dengan menggunakan jaringan AND-NOR dua tingkat minimum dan juga menggunakan jaringan NAND-OR dua tingkat minimum.
8.23 Nyatakan fungsi berikut ini hanya dengan gerbang NAND 2-input. Ulangilah dengan menggunakan gerbang NOR 2-input saja. (a)
F
(b) F
= A'BC"
+ BD + AC + B'CD'
= A 'CD + AB'C'D
+ ABD' + BC
8.24 (a) Konversikan jaringan berikut ini ke gerbang NAND, dengan menambahkan lingkaran kecil dan invcerter bila perlu. (b) Konversikan ke semua gerbang NOR.
A' 8
£ ---L-/
c
z
D'
8.25 Nyatakan Z
= A[BC'
+ D + E(F' + gh)) dengan menggunakan gerbang
NOR dengan indikasi polaritas langsung. Asumsikan bahwa hanya tanda berikut ini yan gdapat digunakan sebagai input pada jaringan tersebut; A(H), B(L), C(H), D(H), E(H), F(L), G(L), dan H(L); outputnya harus Z(H). Ikutilah tiga aturan yang diberikan pada Bagian 8.7, namun tambahlah garis vertikal untuk menunjukkan adanya ketidakcocokan input dan tambahkan inverter jika perIu.
8.26 Ulangilah Soal 8.24 kecua1i menggunakan indikasi polaritas langsung. Asumsikan bahwa semua variabelnya dapat digunakan pada bentuk tinggi aktif dan rendah aktif. 304
8.27 Nyatakan Z =A +(B + C')D[E + F'(G + J')] dengan menggunakan gerbang NAND dengan indikasi polaritas langsung. Asumsikan bahwa banya tanda berikut ini yang dapat digunakan sebagai input ke jaringan tersebut : A(H), B(L), C(H), D(H), E(L), F(H), G(L), dan J(H); outputnya barns Z(H). Ikutilah aturan untuk diagram logika dengan indikasi polaritas langsung. Tambahkan garis vertikal untuk menunjukkan adanya ketidakcocokan input dan tambahkan inverter jika perlu.
8.28 (a) Carilah jaringan gerbang OR 2-input dan AND 2-input minimum untuk menyatakan: F(A,B,C,D) = Lm(O,1,2,3,4,5,7,9,11,13,14,15) (b) Konversikan jaringan anda ke gerbang NAND 2-ini>ut dengan menggunakan notasi polaritas langsung. Tambahkan inverter bila perlu. Asumsikan bahwa banya A(L), B(H), C(H), D(H), yang dapat digunakan
sebagai input, dan outputnya barns F(H). Gunakan baris vertikal untuk menunjukkan adanya ketidakcocokanpolaritas yang terjadi pada input gerbang. (c) Ulangilah (b) kecuali mengkonversikanke gerbang NOR 2-input.
.
305
