´ JANUS PANNONIUS TUDOMANYEGYETEM
Schipp Ferenc
ANAL´IZIS I. Sorozatok ´es sorok
P´ecs, 1994
Lektorok: ´ JANOS ´ Dr. FEHER egyetemi docens, kandidtus ´ Dr. SIMON PETER egyetemi docens, kandidtus .
1
El˝osz´o Ez a jegyzet egy t¨ obb k¨ otetre tervezett sorozat els˝o r´esze. A sorozat — sz´and´ekaink szerint — a matematik´ anak a tan´ ark´epz´es szempontj´ab´ol legfontosabb fejezeteit dolgozza fel, figyelembe v´eve a tan´ ark´epz˝o int´ezm´enyek tanterveit. Az anal´iızis t´argy keret´eben oktatott tananyagot 6-8 kisebb terjedelm˝ u k¨otetben tervezz¨ uk kiadni. Ebben a sorozatban jelent meg Kamar´ as Lajos: Matematikai bevezet´es c´ım˝ u k¨ otete, amely a halmazelm´eleti ´es logikai alapokat tartalmazza. A jegyzetben a szorosabb ´ertelemben vett tananyagon t´ ulmen˝oen n´eh´any olyan t´ema is szerepel, amely a kitekint´est szolg´ alja ´es a tan´ar-tov´abbk´epz´esben hasznos´ıthat´o. Minden fejezethez egy feladatsor kapcsol´odik, amely a gyakorl´as mellett az anyag m´elyebb elsaj´ at´ıt´ as´ at is el˝ oseg´ıtheti. A jegyzethez f˝ uz¨ott f¨ uggel´ek a felhaszn´alt legfontosabb halmazelm´eleti ´es algebrai fogalmakat foglalja ¨ossze, ezzel is el˝oseg´ıtve a jegyzet ¨ on´ all´ o haszn´ alat´ at.
2
TARTALOM
1. Val´ os ´es komplex sz´amok 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8.
A val´os sz´ amok axi´ om´ ai . . . . . . . Sz´amok abszol´ ut ´ert´eke, intervallumok Sz´amok gy¨ oke . . . . . . . . . . . Sz´amhalmazok als´ o ´es fels˝ o hat´ ara . . Az Rn t´er . . . . . . . . . . . . . Nevezetes egyenl˝ otlens´egek . . . . . Komplex sz´ amok . . . . . . . . . . Feladatok . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . 1 . 10 . 14 . 17 . 20 . 22 . 26 . 29
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
35 39 41 46 50 56 60 62 67 71
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
77 81 84 84 86 88 91 100 104 109 115
2. Sz´amsorozatok 2.1. A sorozat fogalma . . . . . . . . . 2.2. Monoton sorozatok . . . . . . . . . 2.3. Korl´atos ´es korl´ atos v´ altoz´ as´ u sorozatok 2.4. Konvergens sorozatok . . . . . . . . 2.5. M˝ uveletek hat´ ar´ert´ekekkel . . . . . . 2.6. Monoton sorozatok hat´ ar´ert´eke . . . 2.7. A Cauchy-f´ele konvergencia krit´erium . 2.8. T´agabb ´ertelemben vett hat´ ar´ert´ek . . 2.9. Sorozat als´ o ´es fels˝ o hat´ ar´ert´eke . . . 2.10. Feladatok . . . . . . . . . . . .
3. V´egtelen sorok ´es v´egtelen szorzatok 3.1. V´egtelen sorok konvergenci´ aja . . . . 3.2. V´egtelen szorzatok . . . . . . . . . 3.3. Nevezetes sorok . . . . . . . . . . 3.3.1. Pozit´ıv tag´ u sorok . . . . . . 3.3.2. Leibniz-t´ıpus´ u sorok . . . . . 3.3.3. Sz´ amok v´egtelen t¨ ort el˝ o´ all´ıt´asa 3.4. M˝ uveletek v´egtelen sorokkal . . . . . 3.5. Konvergencia krit´eriumok . . . . . . 3.6. Kett˝os sorozatok ´es kett˝ os sorok . . . 3.7. V´egtelen sorok szorz´ asa . . . . . . . 3.8. Feladatok . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
3
4. F¨ uggel´ek 4.1. Rel´aci´ ok . . . . . . . . . 4.1.1. Ekvivalencia rel´ aci´ ok . 4.1.2. Rendez´esi rel´ aci´ ok . . 4.2. F¨ uggv´enyek . . . . . . . . 4.2.1.M˝ uveletek f¨ uggv´enyekkel 4.3. Algebrai strukt´ ur´ ak . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
121 123 124 125 127 129
4
1.1. A val´os sz´amok axi´om´ai
1. Val´os ´es komplex sz´amok Ebben a pontban ¨ osszefoglaljuk a val´ os sz´amokkal kapcsolatos legfontosabb fogalmakat, az algebrai m˝ uveletekre ´es az egyenl˝otlens´egre vonatkoz´o m˝ uveleti szab´alyokat. K¨ ul¨ on¨ os hangs´ ullyal foglalkozunk a matematikai anal´ızis szempontj´ab´ol alapvet˝o sz´etv´ alaszt´ asi axi´ om´ aval ´es annak k¨ovetkezm´enyek´ent megmutatjuk sz´amok gy¨ok´enek, valamint sz´ amhalmazok als´o ´es fels˝o hat´ar´anak a l´etez´es´et. A val´os sz´amok mellett haszn´ alni fogjuk a komplex sz´amokat ´es az n-dimenzi´os vektorokat is. Ez´ert ezekkel kapcsolatosan egy r¨ovid ´attekint´est adunk, kiemelve azokat a fogalmakat ´es t´eteleket, amelyek k´es˝obb felhaszn´al´asra ker¨ ulnek.
1.1. A val´ os sz´amok axi´ om´ai Jel¨olj¨ uk R-rel a val´ os sz´ amok halmaz´ at. Az al´abbiakban r¨oviden ¨osszefoglaljuk a val´os sz´amok legfontosabb – az R-et meghat´aroz´o – tulajdons´agait. • Test axi´ om´ak A val´os sz´ amok halmaza a rajta ´ertelmezett ¨osszead´as ´es szorz´as m˝ uvelet´evel testet alkot. Ez r´eszletesen sz´ olva a k¨ ovetkez˝ oket jelenti. I. Az R-en ´ertelmezve van az ¨ osszead´as m˝ uvelete, azaz a R × R 3 (a, b) → a + b ∈ R lek´epez´es az al´ abbi tulajdons´ agokkal: i) ii) iii)
a+b=b+a (a + b) + c = a + (b + c)
(az ¨osszead´as kommutat´ıv)
(a, b, c ∈ R)
(az ¨osszead´as asszociat´ıv)
l´etezik egy, az ¨ osszead´ asra n´ezve kit¨ untetett elem, a 0 sz´am, amelyre a+0=a
iv)
(a, b ∈ R)
(a ∈ R)
minden a ∈ R elemhez l´etezik egy −a ∈ R sz´am, amelyre −a + a = 0 teljes¨ ul.
1. Val´os ´es komplex sz´ amok
5
II. Az R-en ´ertelmezve van a szorz´as m˝ uvelete, azaz a R × R 3 (a, b) → a · b ∈ R lek´epez´es az al´ abbi tulajdons´ agokkal: i) ii) iii)
a·b=b·a
(a, b ∈ R)
(a · b) · c = a · (b · c)
(a, b, c ∈ R)
(a szorz´as asszociat´ıv)
l´etezik egy, a szorz´ asra n´ezve kit¨ untetett elem, az 1 sz´am, amelyre a·1=a
iv)
(a szorz´as kommutat´ıv)
(a ∈ R)
minden a ∈ R, a 6= 0 elemhez l´etezik egy a−1 ∈ R sz´am, amelyre a−1 · a = 1 teljes¨ ul.
III. Az ¨osszead´ ast ´es a szorz´ ast a disztributivit´as szab´alya kapcsolja ¨ossze: (a + b) · c = a · c + b · c
(a, b, c ∈ R).
K¨onnyen igazolhat´ o (l´ asd az 1. feladatot ´es a F¨ uggel´eket), hogy egyetlen olyan 0 ill. 1 sz´am l´etezik, amelyre I.iii) ill. II.iii) teljes¨ ul. Ezt az ¨osszad´asra n´ezve kit¨ untetett 0 elemet az R nullelem´enek, a szorz´asra n´ezve kit¨ untetett 1 elemet pedig az R egys´egelem´enek nevezz¨ uk. Megmutathat´ o (l´ asd a F¨ uggel´eket), hogy minden a ∈ R sz´amhoz egyetlen I.iv) tulajdons´ag´ u −a sz´ am l´etezik, melyet az a addit´ıv inverz´enek vagy ellentettj´enek nevez¨ unk. Az a + (−b) sz´ amot az egyszer˝ ubb a − b szimb´olummal fogjuk jel¨olni, ´es az a ´es b sz´amok k¨ ul¨ onbs´eg´enek fogjuk nevezni. A szorz´as m˝ uvelet´enek jel´et — ha ez nem okoz f´elre´ert´est — gyakran elhagyjuk. Ennek megfelel˝oen az a, b ∈ R val´ os sz´ amok szorzat´ara az a · b ´es az ab jel¨ol´eseket egyar´ant haszn´aljuk. Megmutathat´ o, hogy minden 0-t´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o a sz´amhoz egyetlen II.iv) tulajdons´ ag´ u a−1 sz´ am l´etezik, melyet az a reciprok´anak vagy multiplikat´ıv inverz´enek nevez¨ unk. A null´ at´ ol k¨ ul¨onb¨oz˝o val´os sz´amok halmaz´at az R∗ := R \ { 0 } szimb´olummal jel¨ olj¨ uk. Az a · b−1 sz´ amot az a ´es b h´anyados´anak nevezz¨ uk, ´es a ´altal´aban az vagy az a/b szimb´ olumok valamelyik´evel fogjuk jel¨olni. b Ezekb˝ol az axi´ om´ akb´ ol a val´ os sz´ amok egy´eb ismert tulajdons´agai m´ar levezethet˝ok. Ilyen p´eldul az a · 0 = 0 (a ∈ R),
6
1.1. A val´os sz´amok axi´om´ai
´all´ıt´as vagy a j´ol ismert (−a) · b = −(a · b)
(a, b ∈ R)
szab´aly. Ezekkel kapcsolatban utalunk az 1. feladatra. • Rendez´ esi axi´om´ak A val´os sz´ amok halmaz´ an ´ertelmezve van egy 5 rel´aci´o, amelyre n´ezve R rendezett test. Ez r´eszletesebben sz´ olva a k¨ ovetkez˝ oket jelenti. IV. A 5 rel´aci´ o line´ aris rendez´es az R-en, azaz i)
(a ∈ R)
a5a
ii)
a 5 b ´es b 5 a ⇒ a = b
(a, b ∈ R)
iii)
a 5 b ´es b 5 c ⇒ a 5 c
(a, b, c ∈ R)
iv)
a 5 b vagy b 5 a
(a rel´aci´o reflex´ıv) (a rel´aci´o antiszimmetrikus) (a rel´aci´o tranzit´ıv)
(a, b ∈ R) (a rel´aci´o line´aris rendez´es).
V. A 5 rel´aci´ ot az ¨ osszead´ assal ´es a szorz´assal az al´abbi szab´alyok kapcsolj´ak ¨ossze: i)
a5b ⇒ a+c5b+c
(a, b, c ∈ R) (az ¨osszead´as monoton)
ii) a 5 b ´es 0 5 c ⇒ a · c 5 b · c (a, b, c ∈ R)
(a szorz´as monoton).
A kisebb-egyenl˝ o (5) rendez´esi rel´ aci´ o mellett szok´as m´eg a kisebb (<) rel´aci´ot haszn´alni. Akkor mondjuk, hogy az a, b ∈ R sz´amokra a < b teljes¨ ul, ha a 5 b ´es a 6= b. N´eha a 5 ´es < rel´ aci´ ok helyett a nagyobb-egyenl˝o ( = ) ´es a nagyobb ( > ) rel´aci´okat is haszn´ aljuk a k¨ ovetkez˝ o ´ertelemben: b = a ⇐⇒ a 5 b,
b > a ⇐⇒ a < b.
K¨onnyen igazolhat´ o, hogy b´ armely a ∈ R sz´amra a · a = 0. Speci´alisan az 1 sz´amra 1 = 1 · 1 > 0 teljes¨ ul, k¨ ovetkez´esk´eppen V. i) alapj´an minden a ∈ R sz´amra a < a + 1. Az R 0-n´al nagyobb elemeit pozit´ıv-, a 0-n´al kisebb elemeit negat´ıv sz´amoknak, az R+ := {x ∈ R : 0 5 x } halmaz elemeit pedig nem-negat´ıv sz´amoknak nevezz¨ uk.
1. Val´os ´es komplex sz´ amok
7
A rendez´esi axi´ om´ akb´ ol levezethet˝ ok az egyenl˝otlens´egre vonatkoz´o j´ol ismert sz´amol´asi szab´alyok, mint p´eld´ aul a k¨ ovetkez˝o: ha
a5b
´es
c 5 d,
akkor
a + c 5 b + d.
Ezzel kapcsolatban l´ asd a 2. feladatot.
• Term´ eszetes sz´amok A val´os sz´amok tov´ abbi meghat´ aroz´ o tulajdons´againak a megfogalmaz´as´ahoz felhaszn´aljuk a term´eszetes sz´ amok fogalm´ at. Az R valamely H nem u ¨res r´eszhalmaz´at indukt´ıvnak nevezz¨ uk, ha i)
0 ∈ H,
ii) x ∈ H =⇒ x + 1 ∈ H.
Nyilv´anval´o, hogy pl. R indukt´ıv halmaz ´es indukt´ıv halmazok k¨oz¨os r´esze is indukt´ıv.
Defin´ıci´ o. Az R indukt´ıv r´eszhalmazainak k¨oz¨os r´esz´et a term´eszetes sz´ amok halmaz´ anak nevezz¨ uk, ´es az N szimb´olummal jel¨olj¨ uk. Az N ´ertelmez´es´eb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy a term´eszetes sz´amok halmaza az R legsz˝ ukebb indukt´ıv r´eszhalmaza, k¨ ovetkez´esk´eppen az N minden indukt´ıv halmaznak r´esze. Az N mellett gyakran haszn´ alni fogjuk a term´eszetes sz´amok al´abbi r´eszhalmaz´at is: N∗ := N \ {0}. Az R+ halmaz nyilv´ an indukt´ıv. Ez´ert az indukt´ıv halmazok k¨oz¨os r´esz´enek, azaz az N halmaznak az elemei nem-negat´ıvok. A term´eszetes sz´ amoknak ez a bevezet´ese mag´aban foglalja a teljes indukci´o elv´et ´es a rekurzi´ oval val´ o ´ertelmez´es lehet˝ os´eg´et. • A teljes indukci´ o elve A teljes indukci´ o elve a k¨ ovetkez˝ ok´eppen fogalmazhat´o meg. Tegy¨ uk fel, hogy a term´eszetes sz´ amokra vonatkoz´o valamely ´all´ıt´as — igaz a 0 sz´ amra, — abb´ ol, hogy az n term´eszetes sz´ amra igaz az ´all´ıt´as, k¨ovetkezik, hogy az n + 1 sz´ amra is igaz. Ekkor a sz´ oban forg´ o´ all´ıt´ as minden term´eszetes sz´amra igaz. Val´oban, a fentiek szerint az a halmaz, amelyre az ´all´ıt´as igaz, a term´eszetes sz´amoknak egy indukt´ıv r´eszhalmaza. Mivel az N a legsz˝ ukebb ilyen halmaz, az´ert
8
1.1. A val´os sz´amok axi´om´ai
a sz´oban forg´o halmaz tartalmazza az N-et. M´asr´eszt, mivel a felt´etel szerint a vizsg´alt halmaz r´esze is N-nek, az´ert sz¨ uks´egk´eppen egyenl˝o vele. A val´os sz´amoknak egy fontos geometriai tulajdons´ag´aval kapcsolatos az • Archim´ edeszi axi´oma VI. Minden a ´es b pozit´ıv val´ os sz´ amhoz l´etezik olyan n term´eszetes sz´am, hogy b < n · a. A val´os sz´amoknak a matematikai anal´ızis szempontj´ab´ol tal´an legfontosabb tulajdons´ag´at fejezi ki az u ´n. • Sz´ etv´alaszt´asi axi´oma VII. Legyen A ´es B a val´ os sz´ amok k´et nem u ¨res r´eszhalmaza. Ha minden a ∈ A ´es minden b ∈ B elemre a 5 b, akkor l´etezik olyan ξ val´os sz´am, amelyre ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B : a 5 ξ 5 b teljes¨ ul. Utalva az axi´ oma szeml´eletes tartalm´ ara azt szoktuk mondani, hogy a ξ sz´am sz´etv´alasztja az A ´es B halmazt. Megjegyezz¨ uk, hogy az Archim´edeszi ´es a sz´etv´alaszt´asi axi´oma nem f¨ uggetlen egym´ast´ol. Nevezetesen a test-, a rendez´esi- ´es a sz´etv´alaszt´asi axi´om´at felhaszn´alva az Archim´edeszi axi´ om´ aban megfogalmazott ´all´ıt´as bebizony´ıthat´o (l´asd a 18. feladatot). A term´eszetes sz´ amok fogalm´ at felhaszn´ alva ´ertelmezhetj¨ uk a ”v´eges halmazok” fogalm´at. Tetsz˝ oleges n term´eszetes sz´ am eset´en az Nn := {k ∈ N : k < n} halmazt az N n-edik szelet´enek nevezz¨ uk. Ennek megfelel˝oen az N 0-adik szelete az u ¨res halmazt, els˝ o szelete a {0} halmaz, m´asodik szelete a {0, 1} halmaz , stb. Az n term´eszetes sz´ amot az Nn szelet hossz´anak nevezz¨ uk. A bijekci´o fogalm´ ara t´ amaszkodva (l´ asd a F¨ uggel´eket), most m´ar k¨onnyen ´ertelmezhetj¨ uk a v´eges halmaz fogalm´ at. Bebizony´ıthat´o (l´asd a F¨ uggel´eket), hogy b´armely nem u ¨res H halmaz eset´en N-nek legfeljebb egy olyan Nn szelete l´etezik, amelyre a H k¨olcs¨ on¨ osen egy´ertelm˝ uen lek´epezhet˝o.
Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy a H halmaz v´eges, ha l´etezik olyan n term´eszetes sz´ am, hogy H ´es Nn k¨ olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ uen megfeleltethet˝o egym´ asnak. Az n term´eszetes sz´amot a H halmaz elemei sz´ am´ anak nevezz¨ uk. A nem v´eges halmazokat v´ egtelen halmazoknak nevezz¨ uk.
1. Val´os ´es komplex sz´ amok
9
Azt, hogy a H halmaz elemeinek sz´ ama n, u ´gy is szok´as kifejezni, hogy H egy n-elem˝ u halmaz. A fenti defin´ıci´ oban szerepl˝o valamely x : Nn → H bijekci´ot felhaszn´alva ´es az x lek´epez´es i ∈ Nn helyen felvett ´ert´ek´et xi -vel jel¨olve az n elem˝ u H halmazra gyakran a H = {x0 , x1 , · · · , xn−1 } jel¨ol´esm´odot haszn´ aljuk (l´ asd m´eg a F¨ uggel´eket). V´eges halmaz ´es annak val´ odi r´eszhalmaza k¨oz¨ott nem l´etes´ıthet˝o k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ u lek´epez´es (l´ asd a F¨ uggel´eket). A term´eszetes sz´amok halmaza ´es annak N∗ val´odi r´eszhalmaza k¨ oz¨ ott az N 3 n → n + 1 ∈ N∗ lek´epez´es egy bijekci´ o, k¨ ovetkez´esk´eppen N nem v´eges. A v´egtelen halmazok legegyszer˝ ubb oszt´ aly´ at alkotj´ ak azok a halmazok, amelyek bijekt´ıv m´odon az N-re k´epezhet˝ok. Ezekre vonatkozik az al´ abbi fogalom.
Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy a H halmaz megsz´aml´alhat´oan v´ egtelen (r¨ oviden: megsz´ aml´ alhat´ o), ha l´etezik a H ´es N k¨oz¨ott egy k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ u megfeleltet´es. A megsz´aml´alhat´ o halmazok teh´ at alkalmas, term´eszetes sz´amok halmaz´an ´ertelmezett f¨ uggv´enyek ´ert´ekk´eszletek´ent is megkaphat´ok. Ezzel ¨osszhangban az ilyen halmazokat az {x0 , x1 , · · · , xn , · · · }
vagy az
{xn : n ∈ N}
szimb´olummal szoktuk jel¨ olni. Bebizony´ıthat´ o, hogy a racion´alis sz´amok halmaza megsz´aml´alhat´o (l´asd a 19. feladatot). Az al´abbiakban — a F¨ uggel´ek 4.1.1. pontj´aban megadott ´altal´anos defin´ıci´oval o¨sszhangban — bevezetj¨ uk sz´ amhalmazok maximum´anak ´es minimum´anak a fogalm´at.
Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy a H ⊆ R nem u¨res sz´amhalmaznak van legkisebb eleme (m´ as sz´ oval: van minimuma), ha l´etezik olyan α ∈ H, hogy minden x ∈ H sz´ amra α 5 x. Akkor monjuk, hogy a H sz´amhalmaznak van legnagyobb eleme (m´as sz´oval: van maximuma), ha l´etezik olyan β ∈ H, hogy minden x ∈ H elemre x 5 β teljes¨ ul. Ezek jel¨ ol´es´ere bevezetj¨ uk az α = min H szimb´olumokat.
,
β = max H
10
1.1. A val´os sz´amok axi´om´ai
Nyilv´anval´o, hogy ha H = {a} egyelem˝ u sz´amhalmaz, akkor max H = min H = a. Egyszer˝ uen ad´ odik, hogy b´ armely k´etelem˝ u sz´amhalmaznak van maximuma ´es minimuma. Val´ oban — a maximumra ´es a minimumra egy u ´jabb jel¨ol´est bevezetve — az al´abbiakat ´ all´ıthatjuk: ( α, ha α = β max {α, β} = α ∨ β := β, ha α < β, ( α, ha α 5 β min {α, β} = α ∧ β := β, ha α > β. Az α ∨ β sz´amot az α ´es a β fels˝ o burkol´ oj´anak, az α ∧ β sz´amot pedig az α ´es β sz´amok als´o burkol´ oj´anak nevezz¨ uk. Legyen n ∈ N∗ egy term´eszetes sz´ am ´es {α0 , α1 , · · · , αn−1 } egy n elem˝ u val´os sz´amhalmaz. n-re vonatkoz´ o teljes indukci´ oval egyszer¨ uen igazolhat´o, hogy ennek a halmaznak is l´etezik a maximuma ´es a minimuma. Ezekre az al´abbi jel¨ol´eseket haszn´aljuk: max {αk : k ∈ Nn } = ∨n−1 k=0 αk , min {αk : k ∈ Nn } = ∧n−1 k=0 αk . A term´eszetes sz´ amok halmaz´ anak nincs legnagyobb eleme. Val´oban, minthogy b´armely n ∈ N term´eszetes sz´ amra n + 1 ∈ N ´es n + 1 > n, az´ert N-nek nincs legnagyobb eleme. A tov´abbiakban gyakran felhaszn´ aljuk az al´abbi ´all´ıt´ast:
1.T´etel. A term´eszetes sz´amok b´armely, nem u¨res r´eszhalmaz´anak van legkisebb eleme. ´s. Legyen K ⊆ N, K 6= ∅ a sz´ Bizony´ıta oban forg´o halmaz ´es vezess¨ uk be az L := {` ∈ N : ` 5 k
(∀ k ∈ K)}
jel¨ol´est. Minthogy 0 ∈ L, az´ert L nem u ¨res. Megmutatjuk, hogy i) l´etezik olyan ` ∈ L, hogy ` + 1 ∈ / L, ii) ez az ` sz´ am K-nak is eleme. Innen — figyelembe v´eve az L halmaz ´ertelmez´es´et — m´ar k¨ovetkezik, hogy minden k ∈ K eset´en ` 5 k, azaz ` a K halmaz legkisebb eleme. Indirekt bizony´ıt´ ast alkalmazva tegy¨ uk fel, hogy az i) ´all´ıt´assal ellent´etben minden ` ∈ L elemre ` + 1 ∈ L. Minthogy 0 ∈ L, az´ert az N ´ertelmez´es´et figyelembe v´eve L = N k¨ovetkezne. Innen az L defin´ıci´ oja alapj´an minden ` ∈ N ´es minden k ∈ K sz´amra ` 5 k k¨ ovetkezne. Ez az ´ all´ıt´ as az ` := k + 1 sz´amot v´eve a k + 1 5 k ellentmond´ashoz vezet.
1. Val´os ´es komplex sz´ amok
11
A ii) igazol´as´ ahoz vegy¨ uk figyelembe, hogy ` 5 k minden k ∈ K elemre. Minthogy ` + 1 ∈ / L, az´ert az L defin´ıci´ oja alapj´ an l´etezik olyan k0 ∈ K, hogy k0 < ` + 1. Erre a k0 elemre teh´ at ` 5 k0 < ` + 1 teljes¨ ul. Egyszer˝ uen igazolhat´o viszont, hogy nincs olyan m term´eszetes sz´ am, amelyre ` < m < ` + 1 teljes¨ ulne (l´asd a 3. feladatot), k¨ovetkez´esk´eppen ` = k0 ∈ K. Ezzel a t´etelt bebizony´ıtottuk. A teljes indukci´ o u ´jabb alkalmaz´ asak´ent bebizony´ıtjuk az al´abbi, k´es˝obb felhaszn´al´asra ker¨ ul˝ o nevezetes egyenl˝ otlens´eget.
Bernoulli-f´ele egyenl˝otlens´eg. B´armely n ∈ N∗ term´eszetes sz´am ´es h ∈ R val´ os sz´ am eset´en 1 + nh 5 (1 + h)n ,
i) ii)
(1 + h)n 5 1 + 2nh,
ha h > −1, ha 0 < h <
1 . 2n
´s. Az i) egyenl˝ Bizony´ıta otlens´eg n = 1 eset´en nyilv´an fenn´all. Tegy¨ uk fel, hogy valamilyen n-re igaz, ´es ezt felhaszn´ alva igazoljuk n + 1-re. Val´oban, (1 + h)n+1 = (1 + h)n (1 + h) = (1 + nh)(1 + h) = = 1 + (n + 1)h + nh2 = 1 + (n + 1)h, ahol az utols´o l´ep´esben a nyilv´ anval´ oan nem-negat´ıv nh2 tag elhagy´as´aval az ¨osszeget legfeljebb cs¨ okkentett¨ uk. Ezzel az i) ´ all´ıt´ ast n + 1-re, k¨ovetkez´esk´eppen a teljes indukci´o elve alapj´ an minden term´eszetes sz´ amra igazoltuk. A ii) egyenl˝otlens´eg igazol´ as´ ahoz felhaszn´ aljuk az i)-et ´es az al´abbi k´et egyenl˝otlens´eget: 1 > 1 − h, 1+h
1 − nh >
1 , 1 + 2nh
ha
0
1 . 2n
Az els˝o a nyilv´anval´ o 1 > 1 − h2 egyenl˝ otlens´egb˝ol, a m´asodik pedig az (1 − nh)(1 + 2nh) = 1 + nh − 2n2 h2 = 1 + nh(1 − 2nh) azonoss´agb´ol a 0 < h < 1/(2n) felt´etel alapj´an pozit´ıv m´asodik tag elhagy´as´aval ad´odik. Ezeknek ´es az i) egyenl˝ otlens´egnek a felhaszn´al´as´aval 1 1 > (1 − h)n ≥ 1 − nh > n (1 + h) 1 + 2nh ad´odik, ahonnan a kifejez´esek reciprokra t´erve ´at ii) m´ar k¨ovetkezik.
12
1.2. Sz´amok abszolut ´ert´eke, intervallumok
Megjegyz´esek 1. Az I, II, III k¨ ovetelm´ enyeknek eleget tev˝ o algebrai strukt´ ur´ akat testeknek nevezz¨ uk (l´ asd a F¨ uggel´ eket). Ezek a k¨ ovetelm´ enyek m´ eg nem hat´ arozz´ ak meg a val´ os sz´ amokat. Val´ oban, m´ ar a k´ et elem˝ u Z2 := {0, 1} halmazon is lehet olyan ¨ osszead´ ast ´ es szorz´ ast ´ ertelmezni, amelyekre n´ ezve Z2 testet alkot. K¨ onnyen ellen˝ orizhet˝ o, hogy ha a Z2 halmazon az ¨ osszead´ ast ´ es a szorz´ ast a 0 + 0 = 1 + 1 = 0,
1 + 0 = 0 + 1 = 1,
0 · 0 = 0 · 1 = 1 · 0 = 0,
1·1=1
szerint ´ ertelmezz¨ uk, akkor teljes¨ ulnek a test axi´ om´ ak. Mivel minden testnek van nulleleme ´ es egys´ egeleme, az´ ert enn´ el sz˝ ukebb test nem l´ etezik. Tov´ abb´ a, a 0 5 0, 0 5 1, 1 5 1 utas´ıt´ assal ´ ertelmezett rel´ aci´ o nyilv´ an eleget tesz IV -nek. Ugyanez igaz akkor is, ha 0 5 1 helyett az 1 5 0 rel´ aci´ ot ´ırjunk el˝ o, de V trivi´ alis m´ odon nem teljes¨ ul egyik v´ alaszt´ assal sem. Nyilv´ anval´ o teh´ at, hogy a Z2 test l´ enyegesen k¨ ul¨ onb¨ ozik a val´ os sz´ amok halmaz´ at´ ol. 2. A term´ eszetes sz´ amok fenti ´ ertelmez´ ese alapj´ an azok t¨ obb ismert tulajdons´ aga nem mag´ at´ ol ´ ertet˝ od˝ o. Pl. az a t´ eny, hogy k´ et term´ eszetes sz´ am ¨ osszege ´ es szorzata is term´ eszetes sz´ am, k¨ ul¨ on bizony´ıt´ asra szorul, ha az N eml´ıtett defin´ıci´ oj´ at vessz¨ uk alapul. Ezzel kapcsolatban l´ asd a 3.feladatot. 3. A Z := {n ∈ R : n ∈ N
vagy
− n ∈ N}
halmaz elemeit eg´ esz sz´ amoknak nevezz¨ uk. Az eg´ esz sz´ amok ”h´ anyadosak´ ent” el˝ o´ all´ıthat´ o sz´ amokat racion´ alis sz´ amoknak nevezz¨ uk ´ es a Q := {r =
p ∈ R : p, q ∈ Z, q 6= 0} q
szimb´ olummal jel¨ olj¨ uk. Megmutathat´ o, hogy Q maga is testet alkot, amelyre a rendez´ esi ´ es az Arhim´ edeszi axi´ oma is teljes¨ ul. Az eml´ıtett axi´ om´ ak egy¨ utt sem hat´ arozz´ ak meg a val´ os sz´ amok halmaz´ at, hiszen azokat Q is kiel´ eg´ıti, ´ es amint az ismeretes, Q 6= R. A sz´ etv´ alaszt´ asi axi´ oma azonban nem teljes¨ ul a Q-ra (l´ asd k´ es˝ obb). 4. A racion´ alis sz´ amok k¨ or´ eben, amint az m´ ar a k¨ oz´ episkolai tanulm´ anyok alapj´ an is ismeretes, nem v´ egezhet˝ o el a gy¨ okvon´ as minden esetben. A 2 eg´ esz sz´ amnak p´ eld´ aul nincs n´ egyzetgy¨ oke a racion´ alis sz´ amok k¨ or´ eben. M´ as sz´ oval, nincs olyan racion´ alis sz´ am, amelynek n´ egyzete 2-vel egyenl˝ o. Ez egyszer˝ u oszthat´ os´ agi meggondol´ assal igazolhat´ o. A k¨ ovetkez˝ o pontban a sz´ etv´ alaszt´ asi axi´ oma alapj´ an bebizony´ıtjuk, hogy minden a pozit´ıv val´ os sz´ am ´ es b´ armely n = 2 term´ eszetes sz´ am eset´ en van olyan x ∈ R sz´ am, hogy xn = a. 5. Megmutathat´ o, hogy ezek az axi´ om´ ak izomorfia erej´ eig egy´ ertelm˝ uen meghat´ arozz´ ak a val´ os sz´ amok halmaz´ at. Ez azt jelenti, hogy b´ armely k´ et, az I. − V II. axi´ om´ aknak eleget tev˝ o rendezett test k¨ oz¨ ott l´ etezik egy k¨ olcs¨ on¨ osen egy´ ertelm˝ u, m˝ uvelet- ´ es rendez´ estart´ o lek´ epez´ es. Minthogy ilyen halmazok k¨ oz¨ ott sem az algebrai strukt´ ur´ at sem a rendez´ est tekintve nincs k¨ ul¨ onbs´ eg, az´ ert ezeket azonosnak tekinthetj¨ uk (l´ asd a F¨ uggel´ eket). 6. Itt most nem foglalkozunk a val´ os sz´ amok szisztematikus, a halmazelm´ elet axi´ oma rendszer´ eb˝ ol kiindul´ o fel´ ep´ıt´ es´ evel. Egyfajta fel´ ep´ıt´ est, m´ as u ´ n. lok´ alis testek konstrukci´ oj´ aval egy¨ utt e sorozat egy tov´ abbi r´ esz´ eben fogunk bemutatni. 7. A val´ os sz´ amokkal kapcsolatban c´ elszer˝ u bizonyos geometriai sz´ ohaszn´ alattal ´ elni. Az euklideszi geometria axi´ oma rendszer´ eb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy b´ armely egyenes pontjai ´ es a val´ os sz´ amok halmaza k¨ oz¨ ott k¨ olcs¨ on¨ osen egy´ ertelm˝ u megfeleltet´ es l´ etes´ıthet˝ o. Ezzel
1. Val´os ´es komplex sz´ amok
13
¨ osszhangban az R-et egy egyenessel, az u ´ n. sz´ amegyenessel, magukat a val´ os sz´ amokat pedig az egyenes pontjaival szok´ as azonos´ıtani. Ennek megfelel˝ oen val´ os sz´ amok helyett gyakran a sz´ amegyenes pontjair´ ol fogunk besz´ elni.
1.2. Sz´amok abszol´ ut ´ert´eke, intervallumok A 5 rel´aci´o felhaszn´ al´ as´ aval ´ertelmezhetj¨ uk sz´amok abszol´ ut ´ert´ek´et. Tetsz˝oleges x ∈ R sz´am |x| szimb´ olummal jel¨ olt abszol´ ut ´ert´ek´et az + x, ha x = 0 |x| := − x, ha x < 0 utas´ıt´assal ´ertelmezz¨ uk. Az al´ abbiakban ¨ osszefoglaljuk az abszol´ ut ´ert´ek legfontosabb tulajdons´ agait.
2. T´etel. i)
|x| = 0 ´es |x| = 0 ⇐⇒ x = 0
(x ∈ R)
ii)
|x · y| = |x| · |y|
(x, y ∈ R)
iii)
|x + y| 5 |x| + |y|
(x, y ∈ R)
iv) ||x| − |y|| 5 |x − y|
(x, y ∈ R).
´s. Mivel az i) ´es ii) ´ Bizony´ıta all´ıt´ asok k¨ ozvetlen¨ ul ad´odnak az abszol´ ut ´ert´ek defin´ıci´oj´ab´ol ´es a szorz´ as el˝ ojel szab´ aly´ ab´ ol, az´ert ezek bizony´ıt´as´at nem r´eszletezz¨ uk (l´asd az 1. feladatot). Az |x| ´ertelmez´ese alapj´ an az x sz´ am vagy |x|-kel, vagy −|x|-kel egyenl˝o. K¨ovetkez´esk´eppen b´armely x, y ∈ R sz´ amp´ arra −|x| 5 x 5 |x| ,
−|y| 5 y 5 |y|.
Innen, ¨osszeadva az egyenl˝ otlens´egeket −(|x| + |y|) 5 x + y 5 |x| + |y| k¨ovetkezik. Mivel sem x + y sem annak −1–szerese nem nagyobb |x| + |y|-n´el, az´ert |x + y| 5 |x| + |y|. A iv) egyenl˝otlens´eg a iii) egyszer˝ u k¨ ovetkezm´enye. Val´oban, iii) alapj´an |x| = |y + (x − y)| 5 |y| + |x − y|,
14
1.2. Sz´amok abszolut ´ert´eke, intervallumok
azaz |x| − |y| 5 |x − y|. Ha ez ut´obbi egyenl˝ otlens´egben az x ´es az y szerep´et felcser´elj¨ uk −(|x| − |y|) 5 |x − y| ad´odik. Ezt ´es az ezt megel˝ oz˝ o egyenl˝ otlens´eget egybevetve a bizony´ıtand´o iv) egyenl˝otlens´eg ad´ odik. Az abszol´ ut ´ert´eknek szeml´eletes geometriai jelent´ese van: |x − y| az x ´es y sz´amoknak megfelel˝ o pontok t´avols´agak´ent ´ertelmezhet˝o. A iii)-ban szerepl˝o becsl´est h´aromsz¨og–egyenl˝ otlens´egnek nevezz¨ uk. A ∨, ∧ m˝ uveletek kifejezhet˝ ok az abszol´ ut ´ert´ek seg´ıts´eg´evel. B´armely k´et α, β ∈ R val´os sz´amra ui. (1)
α∨β =
(α + β) + |α − β| , 2
α∧β =
(α + β) − |α − β| . 2
Mindk´et azonoss´ ag jobb ´es bal oldala is szimmetrikus az α, β v´altoz´okban. Feltehetj¨ uk teh´at, hogy pl. α = β. Ekkor a bal oldalon α, ill. β ´all. A jobb oldalak pedig az abszol´ ut ´ert´ek defin´ıci´ oja alapj´ an a k¨ovetkez˝okkel egyenl˝ok: (α + β) + (α − β) = α, 2
ill.
(α + β) − (α − β) = β. 2
A tov´abbiakban fontos szerepet j´ atszanak a val´os sz´amok bizonyos r´eszhalmazai, az intervallumok. Legyen α, β ∈ R ´es tegy¨ uk fel, hogy α < β. Az (α, β) := {x ∈ R : α < x < β},
[α, β] := {x ∈ R : α 5 x 5 β}
sz´amhalmazokat ny´ılt, ill. z´art intervallumoknak nevezz¨ uk. Az R [α, β) := {x ∈ R : α 5 x < β},
(α, β] := {x ∈ R : α < x 5 β}
r´eszhalmazait balr´ ol z´art, jobbr´ ol ny´ılt, ill. jobbr´ol z´art, balr´ol ny´ılt intervallumoknak nevezz¨ uk. Az α sz´ am az intervallum bal-, a β sz´am az intervallum jobb v´egpontja. A val´ os sz´ amokat a sz´ amegyenes pontjaival azonos´ıtva az intervallumok a szakaszoknak felelnek meg. Az α ´es β pontok a szakasz v´egpontjai, az (α + β)/2 sz´am az intervallum felez´espontj´ anak, m´ as sz´ oval k¨oz´eppontj´anak felel meg. A β−α sz´amot a sz´oban forg´ o n´egy intervallum hossz´anak vagy m´ert´ek´enek nevezz¨ uk. Az α k¨oz´eppont´ u, 2r hossz´ us´ ag´ u intervallumra k¨ ul¨on jel¨ol´est is bevezet¨ unk: Kr (α) := (α − r, α + r) = {x ∈ R : |x − α| < r}. A Kr (α) intervallumot az α pont r-sugar´ u k¨ ornyezet´enek is szok´as nevezni.
1. Val´os ´es komplex sz´ amok
15
Az Archim´edeszi axi´ oma geometriai tartalma a k¨ovetkez˝o: ha b´armilyen szakaszra a kezd˝opontb´ ol kiindulva egym´ as ut´ an felm´er¨ unk egy m´asik szakaszt, akkor v´eges sok l´ep´es ut´ an lefedj¨ uk azt. A sz´ oban forg´o axi´oma egyik ´erdekes k¨ovetkezm´enye a
3.T´etel. Minden intervallum tartalmaz racion´alis sz´amot. ´s. Nyilv´ Bizony´ıta an elegend˝ o az ´ all´ıt´ ast ny´ılt intervallumokra igazolni. Legyen (α, β) egy ny´ılt intervallum ´es jel¨ olje γ := β − α az intervallum hossz´at. Vizsg´aljuk el˝ osz¨ or azt az esetet, amikor α > 0. Alkalmazva az Archim´edeszi amokra azt kapjuk, hogy l´etezik olyan n pozit´ıv eg´esz axi´om´at az 1 ´es az γ1 > 0 sz´ sz´am, amelyre 1 1 < n · 1 = n, azaz γ > . γ n Vezess¨ uk be a term´eszetes sz´ amok al´ abbi r´eszhalmaz´at: K := {k ∈ N : k ·
1 = β}. n
El˝osz¨or megmutatjuk, hogy a K halmaz nem u ¨res. Ehhez alkalmazzuk m´eg egyszer az Archim´edeszi axi´ om´ at a β ´es az 1/n sz´ amokra. K¨ovetkez´esk´eppen van olyan k pozit´ıv eg´esz, hogy k/n > β. Jel¨olj¨ uk m-mel a K legkisebb elem´et. Ekkor (2)
m−1 m <β5 . n n
Megmutatjuk, hogy (3)
α<
m−1 . n
Ez egybevetve (2)-vel azt jelenti, hogy az r := (m − 1)/n racion´alis sz´amra nyilv´an r ∈ (α, β) teljes¨ ul. A (3) egyenl˝otlens´eget indirekt bizony´ıt´ assal igazoljuk. Ekkor az indirekt felt´etel ´es (2) alapj´an m−1 m 5 α, β5 . n n Innen az els˝o egyenl˝ otlens´eget beszorozva −1-gyel ´es a k´et egyenl˝otlens´eget ¨osszeadva 1 γ =β−α5 n ad´odik, ami ellentmond az n defin´ıci´ oj´ anak. Ezzel a t´etelt az α > 0 esetben bebizony´ıtottuk.
16
1.2. Sz´amok abszolut ´ert´eke, intervallumok
Az α 5 0 eset visszavezethet˝ o az el˝ oz˝ ore. Val´oban, legyen ` ∈ N olyan, hogy ` > −α,
azaz
α1 := ` + α > 0.
Legyen β1 := ` + β ´es alkalmazzuk az els˝ o r´eszben igazolt ´all´ıt´ast az (α1 , β1 ) intervallumra. L´etezik teh´ at olyan r racion´ alis sz´am, amelyre α1 = α + ` < r < β1 = β + ` teljes¨ ul. Innen α
1. Val´os ´es komplex sz´ amok
17
Cantor axi´oma. Z´art intervallumok b´armely megsz´aml´alhat´o, egym´asba skatuly´ azott rendeszer´enek a k¨ oz¨os r´esze nem u ¨res. A most megfogalmazott ´ all´ıt´ as egyszer˝ u k¨ovetkezm´enye a sz´etv´alaszt´asi axio´m´anak. Val´oban, legyen A := {an : n ∈ N}, B := {bn : n ∈ N} az intervallumok bal, ill. jobb v´egpontjainak halmaza. Ekkor az intervallumokra tett felt´etel alapj´an b´armely m, n ∈ N eset´en am < bn , s ez´ert az A ´es B halmazokra teljes¨ ulnek a sz´etv´alaszt´asi axi´ om´ aban megfogalmazott kik¨ot´esek. K¨ovetkez´esk´eppen l´etezik olyan ξ ∈ R, hogy minden n term´eszetes sz´ amra an 5 ξ 5 bn teljes¨ ul. Nyilv´anval´o, hogy ez a ξ sz´am a sz´ oban forg´ o intervallumok k¨oz¨os r´esz´enek is eleme.
1.3. Sz´amok gy¨ oke A sz´etv´alaszt´ asi axi´ oma egyik k¨ ovetkezm´enye, hogy minden pozit´ıv val´os sz´amnak l´etezik n-edik gy¨ oke, amelynek ´ertelmez´es´ehez az al´abbi ´all´ıt´as szolg´altat alapot.
4. T´etel. Legyen n = 2 term´eszetes sz´am ´es α nem-negat´ıv val´os sz´am. Ekkor egyetlen olyan ξ nem-negat´ıv val´os sz´am l´etezik, amelyre ξn = α
(4) teljes¨ ul.
´s. El˝ Bizony´ıta osz¨ or a t´etelben szerepl˝ o ξ sz´am l´etez´es´et igazoljuk. Minthogy az α = 0 esetben ξ = 0 megfelel˝ o, az´ert elegend˝o pozit´ıv α-val foglalkozni. A sz´etv´alaszt´asi axi´ oma alkalmaz´ as´ ahoz vezess¨ uk be a k¨ovetkez˝o k´et sz´amhalmazt: A := {x ∈ R+ : xn < α},
B := {y ∈ R+ : y n = α}.
Minthogy 0 ∈ A, az A halmaz nem u ¨res. Ha α 5 1, akkor 1 ∈ B, ha pedig α > 1, akkor αn > α, k¨ ovetkez´esk´eppen α ∈ B, s ez´ert B sem u ¨res. Most megmutatjuk, hogy az A minden eleme kisebb vagy egyenl˝o a B b´armely elem´en´el. Indirekt bizony´ıt´ast alkalmazva tegy¨ uk fel, hogy valamely x ∈ A, y ∈ B elemp´arra x > y teljes¨ ulne. Ekkor az A ´es B definici´ oja alapj´ an α 5 y n < xn < α,
azaz
α<α
k¨ovetkezne, ami nyilv´ an nem igaz. Ezzel bel´ attuk, hogy a most bevezetett halmazokra teljes¨ ulnek a sz´etv´ alaszt´ asi axi´ oma felt´elei, k¨ovetkez´esk´eppen l´etezik olyan ξ val´os sz´am, amely a k´et halmazt sz´etv´ alasztja. Megmutajuk, hogy erre (4) teljes¨ ul.
18
1.3. Sz´amok gy¨oke
Ezt az ´all´ıt´ast is indirekt u ´ton igazoljuk, megmutatva, hogy a i) ξ n < α,
ii) ξ n > α
egyenl˝otlens´egek k¨ oz¨ ul egyik sem ´ allhat fenn. Az i) esetben ui., amint azt r¨ogt¨on bel´atjuk, l´etezne olyan ξ-n´el nagyobb ξ1 elem, amelyre ξ1n < α teljes¨ ulne. Ez azt jelenten´e, hogy ξ1 ∈ A, k¨ ovetkez´esk´eppen ξ-n´el nagyobb A-beli elem is lenne, s ez nyilv´an ellentmond annak, hogy ξ sz´etv´ alasztja a sz´oban forg´o k´et halmazt. Ha ii) teljes¨ ulne, akkor l´etezne olyan ξ2 ∈ B elem, amelyre ξ2 < ξ, s ez ism´et ellentmond a ξ sz´etv´alaszt´o tulajdons´ ag´ anak. Tegy¨ uk fel el˝ osz¨ or, hogy i) teljes¨ ul. Ekkor van olyan > 0 sz´am, hogy ξ n + = α. V´alasszuk a δ > 0 sz´ amot u ´gy, hogy δξ n−1 < ´es
(5)
δ <1 ξ
teljes¨ ulj¨on ´es legyen h := δ/(2ξn). Ekkor 0 < h < lmazhatjuk a Bernoulli-egyenl˝ otlens´eg ii)-r´esz´et: (1 + h)n = (1 +
1 2n ,
k¨ovetkez´esk´eppen alka-
δ δ n ) <1+ . 2ξn ξ
Mindk´et oldalt beszorozva ξ n -nel ´es felhaszn´ alva az (5) felt´etelt (ξ +
δ n ) < ξ n + δξ n−1 < ξ n + = α 2n
ad´odik. Ezzel bel´ attuk, hogy a ξ1 := ξ +
δ >ξ 2n
sz´ amra ξ1n < α.
A ii) esetben l´etezik olyan > 0 sz´ am, hogy α = ξ n − . Alkalmazzuk a δ Bernoulli-egyenl˝ otlens´eg i) r´esz´et a h := − nξ sz´amra, ahol a δ > 0 sz´amot u ´gy v´alasztjuk, hogy (6)
δ < 1 ´es nξ
δξ n−1 <
teljes¨ ulj¨on. Ekkor azt kapjuk, hogy (1 + h)n = (1 −
δ n δ ) >1− , nξ ξ
1. Val´os ´es komplex sz´ amok
19
ahonnan ξ n -nel val´ o szorz´ as ut´ an a (6) felt´etel figyelembe v´etel´evel (ξ −
δ n ) > ξ n − δξ n−1 > ξ n − = α, n
azaz a
δ < ξ sz´ amra ξ2n > α n teljes¨ ul. Ezzel megmutattuk, hogy a (4) felt´etelnek eleget tev˝o ξ sz´am val´oban l´etezik. ξ2 := ξ −
Az egy´ertelm˝ us´eg bizony´ıt´ as´ ahoz tegy¨ uk fel, hogy az ´all´ıt´assal ellent´etben l´etezik k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o ξ1 , ξ2 nem-negat´ıv sz´ am, u ´gy, hogy mindkett˝ore (7)
ξ1n = α
ξ2n = α
teljes¨ ul. Tegy¨ uk fel, hogy pl. ξ1 < ξ2 . Ekkor ξ1n < ξ2n k¨ovetkezik, ami nyilv´ an ellentmond (7)-nek. Ezzel a t´etelt bebizony´ıtottuk. A fenti t´etel alapj´ an ´ertelmezhetj¨ uk a gy¨ ok fogalm´at.
Defin´ıci´ o. Legyen n > 1 term´eszetes sz´am ´es α ∈ R+ . Azt a ξ ∈ R+ sz´amot, amelyre ξ n = α az α sz´ am n-edik gy¨ ok´ enek nevezz¨ uk, ´es √ n olummal jel¨ olj¨ uk. az α szimb´ A gy¨ok ´ertelmez´es´eb˝ ol egyszer˝ uen k¨ ovetkeznek a gy¨okvon´as alapazonoss´agai: √ √ n n n α = α, αn = α (α ∈ R+ ). Az els˝o ekvivalens ok defin´ıci´ oj´ aval. A m´asodik abb´ol k¨ovetkezik, hogy √az n-edik gy¨ α eleget tesz az n αn defin´ıci´ oj´ aban szerepl˝ o k¨ovetelm´enyeknek. √ Az n sz´amot az n α gy¨ okkitev˝ oj´enek nevezz¨ uk. Ha n = 2, azaz u ´n. n´egyzetgy¨ok √ eset´en a gy¨okkitev˝ ot elhagyva a α jel¨ ol´est haszn´aljuk. Megjegyezz¨ uk, hogy ha n p´aros sz´am, akkor b´ armely α pozit´ ıv val´ o s sz´ a mhoz k´ e t olyan val´ o s sz´ am is l´etezik, √ √ amelynek n-edik hatv´ anya α, az n α ´es − n α. Minthogy minden val´os sz´am p´aros kitev˝oj˝ u hatv´anya nem-negat´ıv, az´ert a negat´ıv sz´amoknak — az el˝obbi definici´onak megfelel˝o m´odon — nem ´ertelmezhet˝ o p´ aros kitev˝oj˝ u gy¨oke a val´os sz´amok k¨or´eben. Ez sz¨ uks´egess´e teszi a val´ os sz´ amok kib˝ ov´ıt´es´et. A gy¨ok ´ertelmez´ese alapj´ an egyszer˝ uen igazolhat´ok a k¨ovetkez˝o azonoss´agok: b´armely α, β ∈ R+ val´ os sz´amra ´es minden 1-n´el nagyobb m, n ∈ N term´eszetes sz´amra √ r n p p √ α α n n n n (8) αβ = α β, = √ n β β
20
1.4. Sz´amhalmazok als´o ´es fels˝o hat´ara
√ m √ n α = n αm ,
(9)
q
m
√ n
α=
√
nm
α,
ahol a h´anyadosra vonatkoz´ o azonoss´ agban feltessz¨ uk, hogy β 6= 0. P´eldak´ent bebizony´ıtjuk a szorzatra vonatkoz´o azonoss´agot, megjegyezve, hogy a t¨obbi hasonl´oan igazolhat´ o. Az el˝ oz˝ o megjegyz´es szerint elegend˝o az n-edik hatv´anyok egyenl˝ os´eg´et igazolni. A bal oldal n-edik hatv´anya a gy¨ok ´ertelmez´ese szerint p n n αβ = αβ. A jobb oldal n-edik hatv´ anya pedig a szorzat hatv´any´ara vonatkoz´o azonoss´ag ´es a gy¨okvon´as ´ertelmez´ese szerint a k¨ ovetkez˝ ovel egyenl˝o: √ p n n √ n p n n α n β = nα β = αβ. Ezzel a szorzat gy¨ ok´ere vonatkoz´ o azonoss´ agot bebizony´ıtottuk.
1.4. Sz´amhalmazok als´ o ´es fels˝ o hat´ara A sz´etv´alaszt´ asi axi´ oma szoros kapcsolatban van sz´amhalmazok u ´n. fels˝o ´es als´o hat´ar´aval. Ezek ´ertelmez´es´ehez el˝ osz¨ or vezess¨ uk be az al´abbi fogalmakat.
Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy a nem u¨res H ⊂ R sz´amhalmaz fel¨ ulr˝ ol korl´ atos, ha (10)
∃ K ∈ R ∀ x ∈ H : x 5 K.
Ha a fenti definici´ oban a 5 jelet a = jellel cser´elj¨ uk fel, eljutunk az alulr´ol korl´atos sz´amhalmaz ´ertelmez´es´ehez.
Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy a nem u¨res H ⊂ R halmaz alulr´ol korl´ atos, ha (11)
∃ k ∈ R ∀ x ∈ H : x = k.
Az (10) felt´etelnek eleget tev˝ o K sz´ amokat a H halmaz fels˝o, a (11) felt´etelt kiel´eg´ıt˝o k sz´amokat H als´ o korl´atjainak nevezz¨ uk. Nyilv´anval´o, hogy minden fels˝o korl´atn´al nagyobb sz´ am is fels˝ o korl´ at, ´es minden als´o korl´atn´al kisebb sz´am is als´o korl´at.
Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy valamely sz´amhalmaz korl´atos, ha fel¨ ulr˝ol is ´es alulr´ ol is korl´ atos.
1. Val´os ´es komplex sz´ amok
21
Egyszer˝ uen bel´ athat´ o, hogy valamely H sz´amhalmaz akkor ´es csak akkor korl´atos, ha ∃ K ∈ R ∀ x ∈ H : |x| 5 K. V´egtelen sz´amhalmaznak ´ altal´ aban nincs legkisebb (legnagyobb) eleme. A sz´etv´alaszt´asi axi´oma k¨ ovetkezm´enyek´ent ad´ odik viszont az al´abbi
5. T´etel. Fel¨ulr˝ol korl´atos sz´amhalmaz fels˝o korl´atjai k¨oz¨ott van legkisebb, alulr´ ol korl´ atos sz´ amhalmaz als´o korl´atjai k¨oz¨ott van legnagyobb. ´s. Legyen A egy nem u Bizony´ıta ¨res halmaz ´es jel¨olj¨ uk B-vel az A fels˝o korl´atjainak a halmaz´ at. Ekkor B sem u ¨res ´es a fels˝o korl´at ´ertelmez´ese alapj´an a B halmaz minden eleme nagyobb vagy egyenl˝ o az A halmaz b´armely elem´en´el. Az A ´es B halmazp´ arra teljes¨ ulnek a sz´etv´ alszt´ asi axi´oma felt´etelei, k¨ovetkez´esk´eppen l´etezik a sz´oban forg´ o halmazokat elv´ alaszt´ o sz´am, azaz olyan ξ ∈ R, amelyre i) ∀ x ∈ A : x 5 ξ,
ii) ∀ K ∈ B : ξ 5 K
telejes¨ ul. Az i) ´ all´ıt´ as azt jelenti, hogy ξ az A halmaznak egy fels˝o korl´atja ´es ii) szerint az A-nak nincs ξ-n´el kisebb fels˝ o korl´ atja. Ezzel bel´attuk, hogy ξ a legkisebb fels˝o korl´at. A bizony´ıt´asban a fels˝ o korl´ atok halmaz´ at az als´o korl´atok halmaz´aval cser´elve fel, hasonl´oan ad´ odik az ´ all´ıt´ as als´ o korl´ atokra vonatkoz´o r´esze. Egyszer˝ uen bel´ athat´ o, hogy a fenti t´etelben szerepl˝o legkisebb ´es legnagyobb elem egy´ertelm˝ u (l´ asd a F¨ uggel´eket). Ez a t´etel lehet˝ ov´e teszi az al´ abbi fogalom bevezet´es´et.
Defin´ıci´ o. Fel¨ulr˝ol korl´atos sz´amhalmaz legkisebb fels˝o korl´atj´at a sz´ amhalmaz fels˝ o hat´ ar´ anak, alulr´ol korl´atos sz´amhalmaz legnagyobb als´ o korl´ atj´ at a sz´ amhalmaz als´ o hat´ ar´ anak nevezz¨ uk. A H ⊂ R sz´ amhalmaz fels˝ o hat´ ar´ at (m´ as sz´oval: szupr´emum´at vagy l´enyeges fels˝o korl´atj´at) a sup H, als´ o hat´ ar´ at (m´ as sz´oval: infimum´at vagy l´enyeges als´o korl´atj´at) az inf H szimb´ olummal jel¨ olj¨ uk. Azt, hogy az α sz´am a H halmaz fels˝o hat´ara, gyakran a k¨ ovetkez˝ o form´ aban fogjuk felhaszn´alni: i) α a H halmaz fels˝ o korl´ atja, vagyis ∀ x ∈ H : x 5 α, ii) b´armely α-n´ al kisebb sz´ am H-nak m´ ar nem fels˝o korl´atja, vagyis ∀ a < α ∃ x ∈ H : x > a.
22
1.4. Sz´amhalmazok als´o ´es fels˝o hat´ara
Hasonl´oan, az inf H = β ´ all´ıt´ as az al´ abbiakat jelenti: i) β a halmaz als´ o korl´ atja, vagyis ∀ x ∈ H : x = β, ii) b´armely β-n´ al nagyobb sz´ am H-nak m´ ar nem als´o korl´atja, vagyis ∀ b > β ∃ x ∈ H : x < b.
Megjegyz´esek 1. A fels˝ o ´ es az als´ o hat´ ar l´ etez´ es´ ere vonatkoz´ o 1. T´ etel a sz´ etv´ alaszt´ asi axi´ oma k¨ ovetkezm´ enyek´ ent ad´ odott. Megmutathat´ o (l´ asd a 17. feladatot), hogy a fels˝ o hat´ ar l´ etez´ es´ ere vonatkoz´ o´ all´ıt´ as val´ oj´ aban ekvivalens a sz´ etv´ alaszt´ asi axi´ om´ aval. 2. Nyilv´ anval´ o, hogy egy sz´ amhalmaz akkor ´ es csak akkor korl´ atos, ha l´ etezik olyan intervallum, amely a halmazt tartalmazza. 3. Ha valamely H halmaznak van legnagyobb eleme, akkor ez egyben a H fels˝ o hat´ ara is, azaz max H = sup H. Hasonl´ o´ all´ıt´ as igaz a legkisebb elemre: min H = inf H, felt´ eve, hogy H-nak van legkisebb eleme. Ezek alapj´ an a szupr´ emum a maximum, az infimum pedig a minimum fogalm´ anak kiterjeszt´ esek´ ent (´ altal´ anos´ıt´ asak´ ent) is felfoghat´ o. Ha H v´ eges val´ os sz´ amhalmaz, akkor van legnagyobb ´ es legkisebb eleme, v´ egtelen halmaznak azonban altal´ ´ aban nincs se maximuma, se minimuma. Ilyenkor ezek szerep´ et a fels˝ o´ es az als´ o hat´ ar veszi ´ at. 4. C´ elszer˝ u kiterjeszteni az als´ o´ es fels˝ o hat´ ar fogalm´ at nem korl´ atos halmazokra. Ehhez kib˝ ov´ıtj¨ uk a val´ os sz´ amok halmaz´ at k´ et elemmel, amelyeket plusz, ill. m´ınusz v´ egtelennek nevez¨ unk ´ es a +∞, −∞ szimb´ olumokkal jel¨ ol¨ unk. Szok´ as ezeket ide´ alis elemeknek is nevezni, ´ es ugyan´ ugy, mint a val´ os sz´ amok eset´ eben a + el˝ ojelet gyakran elhagyjuk. A val´ os sz´ amok ezekkel b˝ ov´ıtett halmaz´ ara az R := R ∪ {+∞, −∞} jel¨ ol´ est haszn´ aljuk. Ha valamely halmaz fel¨ ulr˝ ol nem korl´ atos, akkor azt fogjuk mondani, hogy fels˝ o hat´ ara +∞, ha pedig alulr´ ol nem korl´ atos, akkor definici´ o szerint als´ o hat´ ara legyen −∞. 5. A < rel´ aci´ ot terjessz¨ uk ki a val´ os sz´ amok ide´ alis elemekkel b˝ ov´ıtett R halmaz´ ara az al´ abbiak szerint. Legyen ∀x ∈ R : −∞ < x < +∞. A most bevezetett sz´ ohaszn´ alattal ´ elve azt mondhatjuk, hogy egy halmaz pontosan akkor fel¨ ulr˝ ol korl´ atos, ha sup H < +∞, ´ es pontosan akkor alulr´ ol korl´ atos, ha inf H > −∞.
1. Val´os ´es komplex sz´ amok
23
A kor´abban bevezetett u ´n. v´eges intervallumok mellett haszn´alni fogjuk az al´abbi u ´n. v´egtelen intervallumokat is: (α, +∞) := {x ∈ R : x > α},
[α, +∞) := {x ∈ R : x = α},
(−∞, β) := {x ∈ R : x < β},
(−∞, β] := {x ∈ R : x 5 β}.
Ezekkel ¨osszhangban a val´ os sz´ amok ´es az ide´ alis elemekkel kib˝ov´ıtett val´os sz´amok halmaz´at a (−∞, ∞) := R,
[−∞, ∞] := R
v´egtelen intervallumokkal is jel¨ olj¨ uk.
1.5. Az Rn t´er Az al´abbiakban bevezetj¨ uk a vektor fogalm´anak egy ´altal´anos´ıt´as´at. Ehhez nem geometriai ´es fizikai meggondol´ asok, hanem algebrai defin´ıci´okon kereszt¨ ul jutunk el. Legyen n egy r¨ ogz´ıtett pozit´ıv eg´esz sz´ am ´es jel¨olj¨ uk Rn -nel az R-nek ¨onmag´aval vett n-szeres direkt szorzat´ at (l´ asd a F¨ uggel´eket). Az Rn elemei teh´at rendezett sz´am n-esek, amelyeket az x = (x1 , x2 , · · · , xn ),
y = (y1 , y2 , · · · , yn )
szimb´olumokkal jel¨ ol¨ unk. Utalva ezek geometria jelent´es´ere, az Rn elemeit vektoroknak, az x1 , x2 , · · · , xn sz´ amokat az x vektor koordin´at´ainak szok´as nevezni. Az x, y ∈ Rn vektorokat akkor tekintj¨ uk egyenl˝oknek, ha x1 = y1 ,
x2 = y2 ,
··· ,
xn = yn .
Az x, y ∈ Rn vektorok ¨ osszeg´et , tov´ abb´ a az x vektor ´es a λ val´os sz´am szorzat´at az x + y := (x1 + y1 , x2 + y2 , · · · , xn + yn ) λ · x := (λx1 , λx2 , · · · , λxn ) utas´ıt´assal ´ertelmezz¨ uk. (A szorz´ as jel´et el szok´as hagyni.) A (−1) · x helyet −x-et is ´ırunk. Az R algebrai tulajdons´ againak az ¨ osszefoglal´as´ahoz felhaszn´aljuk a csoport fogalm´at (l´asd a F¨ uggel´eket). Egyszer˝ uen ellen˝orizhet˝o, hogy
1.5. Az Rn t´er
24
I. Rn a most ´ertelmezett ¨ osszead´ asra n´ezve csoportot alkot, amelynek a nulleleme a Θ := (0, 0, · · · , 0) ∈ Rn vektor, s az x elem inverze a −x vektor. II. A szorz´ ast ´es az ¨ osszead´ ast az al´ abbi m˝ uveleti szab´alyok kapcsolj´ak ¨ossze: b´ armely x, y ∈ Rn vektorra ´es minden λ, µ ∈ R sz´amra (m´as sz´oval: skal´ arra) i)
λ(µx) = (λµ)x
(skal´ar asszociativit´as)
ii)
(λ + µ)x = λx + µx
(skal´ar disztributivit´as)
iii)
λ(x + y) = λx + λy
(vektor disztributivit´as)
iv)
1 · x = x.
A geometri´aban ´es a fizik´ aban is fontos szerepet j´atszik a skal´aris szorzat fogalma. Az x, y ∈ Rn vektorok skal´aris szorzat´an az hx, yi := x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn val´os sz´amot ´ertj¨ uk. Az x vektornak ¨ onmag´ aval vett skal´aris szorzat´anak n´egyzetgy¨ok´et, azaz az q p |x| := hx, xi = x21 + x22 + · · · + x2n sz´amot az x vektor abszol´ ut ´ert´ek´enek vagy euklideszi norm´aj´anak nevezz¨ uk. Az n = 2 esetben az Rn elemeit azonos´ıthatjuk a s´ık pontjaival vagy vektoraival az x = (x1 , x2 ) ∈ R2 elemnek az x1 (els˝ o), x2 (m´asodik) koordin´at´aj´ u pontot, ill. vektort feleltetve meg. Ehhez hasonl´ oan a t´er pontjait, ill. vektorait az R3 elemeivel azonos´ıthatjuk. A skal´ aris szorzat fenti defin´ıci´oja ¨osszhangban van a geometriai ´es fizikai ´ertelmez´essel ´es az x ∈ Rn (n = 2, 3) elem abszol´ ut ´ert´eke egyen˝o az x-et reprezent´ al´ o vektor hossz´aval, vagy az x pontnak a koordin´ata rendszer kezd˝opontj´at´ ol vett t´avols´ag´aval. A defin´ıci´o alapj´ an k¨ onnyen ellen˝ orizhet˝ ok a skal´aris szorzat k¨ovetkez˝o tulajdons´agai: b´armely x, y, z ∈ Rn vektorra ´es λ, µ ∈ R sz´amra i)
hx, yi = hy, xi
(kommutativit´as)
ii) hλx + µy, zi = λhx, zi + µhy, zi iii)
hx, xi = 0 ´es
(linearit´as)
hx, xi = 0 ⇐⇒
x = Θ.
1. Val´os ´es komplex sz´ amok
25
1.6. Nevezetes egyenl˝ otlens´egek Ebben a pontban bebizony´ıtunk n´eh´ any nevezetes egyenl˝otlens´eget, amelyeket k´es˝obb m´eg felhaszn´ alunk.
Sz´amtani ´es m´ertani k¨oz´ep. Legyen n > 1 egy term´eszetes sz´am ´es tegy¨ uk fel, hogy x1 , x2 , . . . , xn nem-negat´ıv sz´amok. Ekkor √ n
(12)
x1 x2 · · · xn 5
x1 + x2 + · · · + xn . n
Az egyenl˝ os´eg akkor ´es csak akkor ´ all fenn, ha x1 = x2 = · · · = xn . ´s. Az egyenl˝ Bizony´ıta otlens´eget a teljes indukci´o egy m´as esetekben is j´ol haszn´alhat´o v´altozat´aval igazoljuk. i) Legyen el˝osz¨ or n = 2. Ekkor a bizony´ıtand´o ´all´ıt´as a 05
x21 + 2x1 x2 + x22 (x1 − x2 )2 − x1 x2 = 4 4
nyilv´anval´oan fenn´ all´ o egyenl˝ otlens´eggel ekvivalens. Innen az egyenl˝os´egre vonatkoz´o ´all´ıt´as is k¨ ovetkezik. ii) M´asodik l´ep´esben most az n = 2m (m ∈ N∗ ) alak´ u sz´amokra igazoljuk az ´all´ıt´ast teljes indukci´ oval. Mivel m = 1-re az egyenl˝ otlens´eget m´ ar bebizony´ıtottuk, teljes indukci´ot haszn´alva tegy¨ uk fel, hogy 2m tagra igaz az ´ all´ıt´ as. Vezess¨ uk be az X1 :=
x1 + x2 + · · · + x2m , 2m
X2 :=
x2m +1 + x2m +2 + · · · + x2m+1 2m
jel¨ol´eseket. Figyelembe v´eve, hogy az egyenl˝ otlens´eg k´et tagra ´es 2m tagra igaz,
2·2m 2m+1 m m X1 + X2 x1 + x2 + · · · + x2m+1 = X12 X22 = = m+1 2 2 m m = x1 · · · x2 · x2 +1 · · · x2m+1
ad´odik, azaz 2m+1 tagra is igaz. Ezzel az egyenl˝otlens´eget minden 2m (m ∈ N∗ ) eset´en igazoltuk. iii) Az ´altal´anos eset igazol´ as´ ahoz v´ alasszunk olyan m ∈ N sz´amot, amelyre 2m > n teljes¨ ul ´es legyen ` := 2m − n. Az n darab y1 := x1 , · · · , yn := xn
26
1.6. Nevezetes egyenl˝otlens´egek
sz´amot az yn+1 := yn+2 := · · · := y2m :=
x1 + x2 + · · · + xn =: z n
utas´ıt´assal eg´esz´ıts¨ uk ki 2m tagra, ´es ezekre alkalmazzuk a m´ar bebizony´ıtott egyenl˝otlens´eget. Ekkor azt kapjuk, hogy 2 m 2 m m y 1 + y2 + · · · + y2 m nz + `z = = z 2 = x1 x2 · · · xn · z ` , m m 2 2 ahonnan zn =
x1 + x2 + · · · + xn n
n = x1 x2 · · · xn
k¨ovetkezik. Ezzel az egyenl˝ otlens´eget minden 1-n´el nagyobb term´eszetes sz´amra bebizony´ıtottuk. Az egyenl˝ os´egre vonatkoz´ o´ all´ıt´as is ad´odik a k¨oz¨olt bizony´ıt´asb´ol. A (12) bal oldal´ an ´ all´ o sz´ amot a nem-negat´ıv x1 , x2 , · · · , xn sz´amok m´ertani k¨ozep´enek, a jobb oldal´ an ´ all´ o sz´ amot ezek sz´amtani k¨ozep´enek nevezz¨ uk. P Q Az n-tag´ u ¨osszegeket ´es az n-t´enyez˝ os szorzatokat a (szumma) ´es a (produktum) jelek alkalmaz´ as´ aval szok´ as m´eg a n X
xk := x1 + x2 + · · · + xn ,
k=1
n Y
xk := x1 x2 · · · xn
k=1
alakban fel´ırni. Ezzel a jel¨ ol´essel (12) a k¨ ovetkez˝o alak´ u: v u n n uY 1X n t xk 5 xk . n k=1
k=1
Cauchy-Bunyakovszkij-egyenl˝otlens´eg. Tegy¨uk fel, hogy n ∈ N∗ ´es legyenek x1 , x2 , · · · , xn ´es y1 , y2 , · · · , yn val´os sz´amok. Ekkor (13) 5
q
|x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn | 5 q x21 + x22 + · · · + x2n y12 + y22 + · · · + yn2 .
Az egyenl˝ os´eg pontosan akkor ´ all fenn, ha l´etezik olyan λ ∈ R sz´am, hogy x1 = λy1 , · · · , xn = λyn vagy y1 = λx1 , · · · , yn = λxn . Felhaszn´alva az x = (x1 , · · · , xn ), y = (y1 , · · · , yn ) ∈ Rn vektorok skal´aris szorzat´at ´es abszol´ ut ´ert´ek´et (13) a k¨ ovetkez˝ok´eppen ´ırhat´o: |hx, yi| 5 |x| · |y|.
1. Val´os ´es komplex sz´ amok
27
´s. (13) helyett a bal ´es a jobb oldal n´egyzeteire igazoljuk az egyenl˝otBizony´ıta lens´eget. Legyen el˝ osz¨ or n = 2. Ekkor a bizony´ıtand´o egyenl˝otlens´eg ekvivalens a k¨ovetkez˝ovel: (x21 + x22 )(y12 + y22 ) − |x1 y1 + x2 y2 |2 = = x21 y22 + x22 y12 − 2x1 y1 x2 y2 = (x1 y2 − x2 y1 )2 = 0, amely nyilv´anval´ oan fenn´ all. Az egyenl˝ os´eg pontosan akkor teljes¨ ul, ha x1 y2 = x2 y1 , amib˝ol egyszer˝ u diszkusszi´ oval ellen˝ orizhet˝ o az egyenl˝os´eggel kapcsolatos ´all´ıt´as. Az ´altal´anos eset hasonl´ oan igazolhat´ o, csak a fenti k´et tagra vonatkoz´o azonoss´agot az al´abbival kell felcser´elni: ! n ! !2 n n n X k X X X X 2 2 xk yk − xk yk = (xk y` − x` yk )2 . k=1
k=1
k=1
k=1 `=1
Ez az azonoss´ag vagy n-re vonatkoz´ o teljes indukci´oval igazolhat´o, vagy a bal oldalon elv´egezve a szorz´ ast ´es a n´egyzetre emel´est, ¨osszevon´as ut´an k¨ozvetlen¨ ul ad´odik. Innen a sz´ oban forg´ o egyenl˝ otlens´eg ´es az egyenl˝os´eg esete is k¨ovetkezik.
Minkowski-egyenl˝otlens´eg. Tegy¨uk fel, hogy n ∈ N∗ ´es legyenek x1 , x2 , · · · , xn ´es y1 , y2 , · · · , yn val´ os sz´amok. Ekkor p
(14)
(x1 + y1 )2 + (x2 + y2 )2 + · · · + (xn + yn )2 5 q q 5 x21 + x22 + · · · + x2n + y12 + y22 + · · · + yn2 ,
vagy felhaszn´ alva az x = (x1 , · · · , xn ), y = (y1 , · · · , yn ) ∈ Rn vektorok abszol´ ut ´ert´ek´et (15)
|x + y| 5 |x| + |y|.
Az egyenl˝ os´eg pontosan akkor ´ all fenn, ha l´etezik olyan λ ∈ R+ sz´am, hogy λx = y vagy λy = x. ´s. Az egyenl˝ Bizony´ıta otlens´eget a m´ asodik form´aj´aban fogjuk igazolni, felhaszn´alva az abszol´ ut ´ert´ek defin´ıci´ oj´ at, a skal´ aris szorzat linearit´as´at ´es a CauchyBunyakovszkij-egyenl˝ otlens´eget. Ha a bal oldal nulla, akkor az egyenl˝otlens´eg nyilv´an fenn´all. Tegy¨ uk fel teh´ at, hogy a bal oldal pozit´ıv. Ekkor a mondottak felhaszn´al´as´aval |x + y|2 = hx + y, x + yi = hx, x + yi + hy, x + yi 5 5 |hx, x + yi| + |hy, x + yi| 5 5 |x| · |x + y| + |y| · |x + y| = = (|x| + |y|)|x + y|
28
1.7. Komplex sz´amok.
ad´odik. Innen az |x+y| > 0 sz´ ammal val´ o oszt´as ut´an a bizony´ıtand´o egyenl˝otlens´eg ad´odik. Az |x + y| > 0 esetben egyenl˝ os´eg nyilv´ an akkor ´es csak akkor ´all fenn, ha a fenti bizony´ıt´asban szerepl˝ o egyenl˝ otlens´egekben mindenhol egyenl˝os´eg van. Ez pedig azzal egyen´ert´ek˝ u, hogy egyr´eszt hx, x + yi ´es hy, x + yi azonos el˝ojel˝ u, m´asr´eszt vannak olyan γ, µ ∈ R sz´ amok, hogy γx = x + y ´es µy = x + y. Innen k¨ovetkezik, hogy γ ´es µ azonos el˝ ojel˝ u, tov´ abb´ a γx = µy, ahonnan pl. µ 6= 0 eset´en y = λx (λ = γ/µ > 0) ad´ odik.
Vektorok abszol´ ut ´ert´ek´enek tulajdons´agai. B´armely x = (x1 , x2 , · · · , xn ),
y = (y1 , y2 , · · · , yn ) ∈ Rn
vektorra ´es λ ∈ R sz´ amra
(16)
i)
|x| = 0 ´es
ii)
|λ x| = |λ| |x|
|x| = 0
⇐⇒
x=Θ
iii) |x + y| 5 |x| + |y| iv) |x − y| = | |x| − |y| |.
´s. Az i) ´es ii) k¨ Bizony´ıta ozvetlen¨ ul ad´ odik az abszol´ ut ´ert´ek defin´ıci´oj´ab´ol ´es a szorzat gy¨ok´ere vonatkoz´ o (8) azonoss´ agb´ol. A iii) azonos a Minkowski-f´ele egyenl˝otlens´eggel, iv) pedig sz´ orol sz´ ora ugyan´ ugy igazolhat´o, mint a sz´amok abszol´ ut ´ert´ek´ere vonatkoz´ o hasonl´ o egyenl˝ otlens´eg.
Becsl´esek vektor abszol´ ut ´ert´ek´ere. B´armely x = (x1 , x2 , · · · , xn ) Rn -beli vektorra √ i) |x| 5 |x1 | + |x2 | + · · · + |xn | 5 n |x| 1 ii) √ |x| 5 max {|x1 |, |x2 |, · · · , |xn |} 5 |x|. n
´s. Az i) els˝ Bizony´ıta o fele k¨ onnyen ellen˝ orizhet˝o. Val´oban, n´egyzetre emel´es ut´an a bal oldalon a koordin´ at´ ak n´egyzeteinek az ¨osszege, a jobb oldalon ezen k´ıv¨ ul a koordin´ at´ ak abszol´ ut ´ert´ekei szorzatainak k´etszeresei is fell´epnek. Az i) m´asodik r´esze a Cauchy-Bunyakovszkij-f´ele egyenl˝otlens´eg alapj´an ad´odik, ha azt az |x1 |, |x2 |, · · · , |xn | ´es az 1, 1, · · · , 1 sz´ am n-esekre alkalmazzuk. A ii) az |x| defin´ıci´ oj´ ab´ ol k¨ ovetkezik, ha abban minden koordin´ata hely´ere a maxim´alis abszol´ ut ´ert´ek˝ ut ´ırjuk, ill. csak a maxim´alis abszol´ ut ´ert´ek˝ ut hagyjuk meg.
1. Val´os ´es komplex sz´ amok
29
1.7. Komplex sz´amok Az 1.3. pontban a gy¨ ok¨ ok ´ertelmez´ese sor´an nem-negat´ıv sz´amokra szor´ıtkoztunk. Ennek az volt az oka, hogy a negat´ıv sz´amoknak nincs p´aros kitev˝oj˝ u gy¨oke a val´os sz´ amok k¨ or´eben, hiszen b´ armely val´os sz´am p´aros kitev˝oj˝ u hatv´anya nem-negat´ıv. Speci´ alisan, nincs olyan val´ os sz´am, amelynek a n´egyzete −1 lenne. C´elszer˝ u a val´ os sz´ amok halmaz´ at olym´ odon kib˝ov´ıteni, hogy a kib˝ov´ıtett halmaz is testet alkosson, ´es benne a gy¨ okvon´ as m´ ar marad´ektalanul elv´egezhet˝o legyen. Az u ´j sz´amokat az R2 elemeivel vagy ami ugyanazt jelenti, a s´ık pontjaival fogjuk azonos´ıtani. Els˝o l´ep´esben az R2 halmazon bevezet¨ unk egy ¨osszead´ast ´es egy szorz´ast, ´es megmutatjuk, hogy R2 ezekre n´ezve testet alkot.
Defin´ıci´ o. Tetsz˝oleges x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ R2 elemekre legyen (17)
x + y : = (x1 + y1 , x2 + y2 ), x · y : = (x1 y1 − x2 y2 , x1 y2 + x2 y1 ).
Egyszer˝ u sz´amol´ assal ellen˝ orizhet˝ o a k¨ ovetkez˝o ´all´ıt´as.
6. T´etel. R2 a (17) alatt ´ertelmezett m˝uveletekkel testet alkot, amelynek nulleleme Θ := (0, 0), egys´egeleme e := (1, 0). ´s. Minthogy a + m˝ Bizony´ıta uvelet ugyanaz, mint az Rn -ben m´ar kor´abban bevezetett ¨osszead´ as, az´ert – amint azt m´ ar l´attuk – R2 erre n´ezve kommutat´ıv csoportot alkot, amelynek nulleleme a Θ. Most megmutatjuk, hogy R2 \ {Θ} a fent bevezetett szorz´asra n´ezve is csoportot alkot. A szorz´as kommutativit´ asa a defin´ıci´ob´ol leolvashat´o. Az aszociativit´as igazol´as´ahoz tekints¨ uk az x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ), z = (z1 , z2 ) ∈ R2 elemeket. A szorz´as ´ertelmez´ese alapj´ an, felhaszn´ alva a val´os sz´amokra vonatkoz´o m˝ uveleti szab´alyokat, egyr´eszt (x · y) · z = (x1 y1 − x2 y2 , x1 y2 + x2 y1 ) · z = = (x1 y1 z1 − x2 y2 z1 − x1 y2 z2 − x2 y1 z2 , x1 y1 z2 − x2 y2 z2 + x1 y2 z1 + x2 y1 z1 ), m´asr´eszt x · (y · z) = x · (y1 z1 − y2 z2 , y1 z2 + y2 z1 ) = = (x1 y1 z1 − x1 y2 z2 − x2 y1 z2 − x2 y2 z1 , x1 y1 z2 + x1 y2 z1 + x2 y1 z1 − x2 y2 z2 ) ad´odik. Innen az asszocitivit´ as m´ ar nyilv´ anval´o.
30
1.7. Komplex sz´amok.
Egyszer˝ uen bel´ athat´ o, hogy e := (1, 0) egys´egelem a fenti szorz´asra n´ezve. Val´oban, b´armely x = (x1 , x2 ) elemre x · e = (x1 1 − x2 0, x1 0 + x2 1) = x. V´eg¨ ul megmutatjuk, hogy b´ armely x = (x1 , x2 ) 6= Θ elemnek az x−1 :=
−x2 x1 , x21 + x22 x21 + x22
elem a multiplikat´ıv inverze. Val´ oban x · x−1 =
x1 x1 + x2 x2 x1 x2 − x2 x1 , x21 + x22 x21 + x22
= (1, 0) = e.
Ezzel bel´attuk, hogy R2 a fent bevezetett m˝ uveletekkel testet alkot. Az R3x→x b := (x, 0) ∈ R2 lek´epez´es nyilv´anval´ oan k¨ olcs¨ on¨ osen egy´ertelm˝ u az R ´es az b := {(x, 0) : x ∈ R} ⊂ R2 R b elemp´arra halmaz k¨oz¨ott. B´ armely x = (x1 , 0), y = (y1 , 0) ∈ R x b + yb = (x1 + y1 , 0) = x[ + y,
x b · yb = (x1 x2 , 0) = xd ·y
teljes¨ ul. Ez m´as sz´ oval azt jelenti, hogy a sz´oban forg´o lek´epez´es R-beli ¨osszeget b b R-beli ¨osszegbe, R-beli szorzatot R-beli szorzatba visz ´at, s ez´ert a k´et halmaz algebrai szempontb´ ol azonosnak tekinthet˝ o, m´as sz´oval: egym´assal izomorfak (l´asd a F¨ uggel´eket). Ebben a lek´epez´esben a 0-nak a Θ, az 1-nek az e ´es a −1-nek a −e := (−1, 0) felel meg. b r´eszhalmaz´aval, a most ´ertelmezett test a val´os Az R-et azonos´ıtva az R2 test R sz´amok b˝ov´ıt´es´enek tekinthet˝ o. Egyszer˝ uen megmutathat´o, hogy a b˝ovebb testben a −1 sz´amnak megfelel˝ o −e elemnek van n´egyzetgy¨oke, nevezetesen az ı := (0, 1) elem. Val´oban, a szorz´ as defin´ıci´ oja alapj´ an ı · ı = (0 − 1, 0 + 0) = −e. K´es˝obb megmutatjuk, hogy a gy¨ okvon´ as nem csak a val´os sz´amoknak megfelel˝o sz´amok k¨or´eben v´egezhet˝ o el, hanem a kib˝ ov´ıtett sz´amtest b´armely elem´enek minden n ∈ N, n > 1 eset´en l´etezik n-edik gy¨ oke.
1. Val´os ´es komplex sz´ amok
31
Kiindulva a z =: (x1 , y1 ) = (x1 , 0) + (y1 , 0) · (0, 1) = x b + yb ı azonoss´agb´ol, az eml´ıtett megfeleltet´esben egym´ashoz rendelt elemek k¨oz¨ott jel¨ol´esben sem tesz¨ unk k¨ ul¨ onbs´eget. Ekkor az R2 elemeit azonos´ıthatjuk a C := {z = x + y ı : x, y ∈ R} halmaz elemeivel, ahol ı2 = −1, ´es a megfeleltet´es az R2 3 (x, y) → z := x + y ı ∈ C lek´epez´essel adhat´ o meg. Ezzel ¨ osszhangban az ¨oszead´as ´es a szorz´as a C-ben a k¨ovetkez˝o: tetsz˝ oleges z1 := x1 + y1 ı, z2 = x2 + y2 ı ∈ C elemre z1 + z2 = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 ) ı, z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + (x1 y2 + x2 y1 ) ı. A z ∈ C, z 6= 0 sz´ am multiplikat´ıv inverz´ere a val´os sz´amok k¨or´eben is szok´asos jel¨ol´eseket ´es elnevez´eseket haszn´ alva z −1 =
x y 1 = 2 − 2 ı z x + y2 x + y2
ad´odik, ´es ezt az elemet a z reciprok´anak is szok´as nevezni. A szorz´as jel´et — a val´os esethez hasonl´ oan — elhagyjuk, ha az nem okoz f´elre´ert´est. Az egym´assal izomorf k´et test k¨ oz¨ ul ´ altal´ aban a m´asodikat szok´as haszn´alni. A C elemeit komplex sz´amoknak, mag´ at a C-t a komplex sz´amok test´enek nevezz¨ uk. Az x, y ∈ R sz´amokat a z = x + yı komplex sz´am val´os, ill. k´epzetes r´esz´enek nevezz¨ uk, ´es az x =:
p
x2 + y 2 =
√
zz
nem-negat´ıv val´ os sz´ amot a z abszol´ ut ´ert´ek´enek nevezz¨ uk. A C elemeit, az R2 elemeihez hasonl´ oan, szok´ as a s´ık pontjaival, ill. vektoraival azonos´ıtani, a val´os sz´amok halmaz´anak megfelel˝ o egyenest val´ os tengelynek, az {yı : y ∈ R} halmaznak megfelel˝o egyenest k´epzetes vagy imagin´arius tengelynek, mag´at a s´ıkot komplex sz´ams´ıknak nevezni. A z sz´ am abszol´ ut ´ert´eke a neki megfelel˝o vektor hossz´aval
32
1.8.Feladatok
egyenl˝o, a z komplex konjug´ altja pedig a z-t reprezent´al´o vektor val´os tengelyre vonatkoz´o t¨ uk¨ork´ep´enek felel meg. A komplex konjug´ al´ as m˝ uvelet´enek al´ abbi tulajdons´agai egyszer˝ uen ad´odnak a defin´ıci´ob´ol: b´armely z, z1 , z2 ∈ C komplex sz´amra z1 + z2 = z¯1 + z¯2 z1 z2 = z¯1 z¯2 z = z. A komplex sz´ amok abszol´ ut ´ert´eke a val´ osak´ehoz hasonl´o tulajdons´agokkal rendelkezik: b´armely z, z1 , z2 ∈ C komplex sz´ amra |z| = 0 ´es
i)
|z| = 0 ⇐⇒ z = 0
ii)
|z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |
iii)
|z1 + z2 | 5 |z1 | + |z2 |
iv)
|z1 − z2 | = ||z1 | − |z2 ||.
Az i), iii) ´es iv) egyenl˝ otlens´egeket m´ ar kor´abban Rn -beli vektorokra igazoltuk, ii) pedig – felhaszn´ alva a komplex konjug´ alt tulajdons´agait ´es az abszol´ ut ´ert´ekkel val´o kapcsolat´at, valamint a gy¨ okvon´ as szorzatra vonatkoz´o azonoss´ag´at– a k¨ovetkez˝ok´eppen l´athat´ o be: |z1 z2 | =
√
z1 z2 z1 z 2 =
√
z1 z¯1
√
z2 z¯2 = |z1 | |z2 |.
1.8. Feladatok 1. A val´os sz´amok axi´ om´ ait felhaszn´ alva igazoljuk az al´abbi ´all´ıt´asokat. a) Egyetlen olyan 0 ∈ R val´ os sz´ am l´etezik, amelyre minden a ∈ R eset´en a+0 = a teljes¨ ul. b) Egyetlen olyan 1 ∈ R sz´ am l´etezik, amelyre minden a ∈ R eset´en a · 1 = a teljes¨ ul. c) B´armely a, b ∈ R eset´en egyetlen olyan x ∈ R l´etezik, amelyre a + x = b, ´es x = b − a. d) B´armely a, b ∈ R, a 6= 0 eset´en egyetlen olyan x ∈ R l´etezik, amelyre a · x = b, ´es x = b/a. e) Minden a ∈ R val´ os sz´ amra a · 0 = 0,
−(−a) = a.
1. Val´os ´es komplex sz´ amok
33
f) Ha a, b ∈ R ´es a · b = 0, akkor az a ´es b sz´amok k¨oz¨ ul legal´abb az egyik 0. g) B´armely a, b ∈ R val´ os sz´ amokra (−a) · b = −(a · b), h) Ha a ∈ R, a 6= 0, akkor
(−a) · (−b) = a · b.
(−a)−1 = −(a−1 ).
i) Ha a, b, c, d ∈ R ´es b 6= 0, d 6= 0, akkor α) β) γ) δ)
a c = ⇔ a·d=b·c b d c ad + bc a + = b d bd c a·c a · = b d b·d a c −1 a·d · = , felt´eve, hogy c 6= 0. b d b·c
2. A test ´es a rendez´es axi´ om´ ait felhaszn´ alva igazoljuk az al´abbi ´all´ıt´asokat. a) b) c) d) e) f) g)
Ha a 5 b ´es c 5 d, akkor a + c 5 b + d. Ha 0 5 a 5 b ´es 0 5 c 5 d, akkor a · c 5 b · d. Ha a 5 b, akkor −a ≥ −b. B´armely a ∈ R val´ os sz´ amra a2 ≥ 0. 1 Ha a > 0, akkor a > 0. Ha a < b ´es a · b > 0, akkor a1 > 1b . Ha a 5 b, akkor a 5 a+b 2 5 b.
3. A term´eszetes sz´ amok defin´ıci´ oj´ at, ill. teljes indukci´ot haszn´alva igazoljuk az al´abbi ´all´ıt´asokat. a) b) c) d)
Nincs olyan m term´eszetes sz´ am, amelyre 0 < m < 1. Legyen n ∈ N. Nincs olyan m term´eszetes sz´am, amelyre n < m < n + 1. Ha m, n ∈ N, akkor m + n, m · n ∈ N. Ha m, n ∈ N ´es m ≥ n, akkor m − n ∈ N.
4. Az el˝oz˝o feladatokra t´ amaszkodva igazoljuk az al´abbi ´all´ıt´asokat. a) A Z ´es a Q halmaz az ¨ osszead´ asra n´ezve csoportot alkot. b) A Q halmaz az ¨ osszead´ asra ´es a szorz´ asra n´ezve testet alkot. 5. Mutassuk meg, hogy tetsz˝ oleges x, x1 , x2 , · · · , xn val´os vagy komplex sz´amokra |x1 + x2 + · · · + xn | 5 |x1 | + |x2 | + · · · + |xn | |x + x1 + · · · + xn | ≥ |x| − (|x1 | + · · · + |xn |) . 6. Adjuk meg intervallumokkal az al´ abbi felt´eteleket kiel´eg´ıt˝o val´os sz´amok halmaz´at:
34
1.8.Feladatok
a) |x + y| < 0.01
e) |x + 2| + |x − 2| < 12
b) |x − 2| > 5
f ) |x + 2| − |x| > 1
c) |x| > |x − 1|
g) | |x + 1| − |x − 1| | < 1
d) |2x − 1| < |x − 1|
h) |x(1 − x)| < 3.
7. Igazoljuk az
x + |x| 2
2
+
x − |x| 2
2
= x2
(x ∈ R)
azonoss´agot. ´ azoljuk a komplex sz´ 8. Abr´ ams´ıkon az al´ abbi felt´eteleket kiel´eg´ıt˝o z ∈ C komplex sz´amok halmaz´ at:
a) |z − ı| < 1
d) |z − 1| < 1 ´es
2 < |z| 5 3
b)
e) |z + ı| > 2´es
c) |z − (2 + ı)| < |z|
0
=z < 2
f ) |z − 1| = 2|z − 2 + ı|.
9. Milyen x ∈ R val´ os sz´ amra teljes¨ ulnek az al´abbi egyenl˝otlens´egek:
a) b) c) d)
x+1 2x − 5 <5− 3 4 3 + x 5 4 + 2x
3x + 5 >4 7 − 3x 3x + 5 2x − 3 > f) x−1 x−1 e)
5x − 3 > 4 + 2x 6 >3 x 5 >6 2x − 1
g) x2 − 5x + 6 > 0 h) x3 + x < 0.
10. Igazoljuk a harmonikus ´ es a m´ ertani k¨ oz´ epre vonatkoz´o al´abbi egyenl˝otlens´eget: tetsz˝ oleges x1 , x2 , · · · , xn pozit´ıv val´os sz´amokra 1 x1
+
1 x2
n + ··· +
1 xn
5
√ n
x1 x2 · · · xn .
11. Igazoljuk, hogy tetsz˝ oleges x1 , x2 , · · · , xn val´os sz´amokra r x1 + x2 + · · · + xn x21 + x22 + · · · + x2n 5 . n n
1. Val´os ´es komplex sz´ amok
35
12. Igazoljuk, hogy ha x > 0, akkor 1 ≥2 x ´es az egyenl˝ os´eg pontosan akkor a ´ll fenn, ha x = 1. Mit mondhatunk akkor, ha x < 0 ? 13. Igazoljuk, hogy tetsz˝ oleges x, y z ∈ R val´ os sz´amokra x+
xy + xz + yz 5 x2 + y 2 + z 2 . 14. Igazoljuk a Bernoulli-egyenl˝ otlens´ eg k¨ ovetkez˝ o´ altal´ anos´ıt´ as´ at: ha n ∈ N, n > 0 ´es a h1 , · · · , hn val´ os sz´amok el˝ojele megegyezik, tov´abb´a hk > −1 (k = 1, · · · , n), akkor (1 + h1 ) (1 + h2 ) · · · (1 + hn ) ≥ 1 + h1 + h2 + · · · + hn . 15. Legyenek X ⊂ R, Y ⊂ R val´ os sz´ amhalmazok. Igazoljuk, hogy a)
inf{−x : x ∈ X} = − sup X
b)
sup{−x : x ∈ X} = − inf X
c)
sup{x + y : x ∈ X,
y ∈ Y } = sup X + sup Y
d)
inf{x + y : x ∈ X,
y ∈ Y } = inf X + inf Y
e)
inf{x y : x ∈ X,
f)
sup{x y : x ∈ X,
y ∈ Y } = inf X · inf Y, ha inf X ≥ 0, inf Y ≥ 0 y ∈ Y } = sup X · sup Y, ha inf X ≥ 0, inf Y ≥ 0.
16. Hat´arozzuk meg az al´ abbi sz´ amhalmazok als´o- ´es fels˝o hat´ar´at:
1 : n ∈ N, n > 0 c) {x ∈ Q : −1 < x < 1} n (−1)n 1 : n ∈ N, n > 0 d) + (−1)n · n : n ∈ N, n > 0 n n x : 0 < x < 1, 0 < y < x . y
a) b) e)
17. Igazoljuk, hogy a sz´etv´ alaszt´ asi axi´ oma az al´abbi ´all´ıt´assal ekvivalens: a val´os sz´amok b´armely nem u ¨res, fel¨ ulr˝ ol korl´ atos r´eszhalmaz´anak fels˝o korl´atai k¨oz¨ott van legkisebb. 18. A fels˝o hat´ar l´etez´es´et felhaszn´ alva igazoljuk, hogy i) a term´eszetes sz´ amok halmaza fel¨ ulr˝ ol nem korl´atos.
36
1.8.Feladatok
ii) A feladat i) r´esz´et felhaszn´ alva igazoljuk az Archim´edeszi axi´om´aban megfogalmazott ´ all´ıt´ ast. 19. Legyen N∗ × N∗ az N∗ elemeib˝ ol alkotott rendezett sz´amp´arok halmaza. i) Igazoljuk, hogy N∗ × N∗ megsz´ aml´ alhat´o. ii)Igazoljuk, hogy megsz´ aml´ alhat´ o halmaz b´armely v´egtelen r´eszhalmaza is megsz´aml´alhat´ o. iii) Mutassuk meg, hogy a pozit´ıv racion´alis sz´amok halmaza megsz´aml´alhat´o. iv) Igazoljuk, hogy a racion´ alis sz´ amok halmaza megsz´aml´alhat´o. ´ Utmutat´ as: A iii) igazol´ as´ ahoz haszn´ aljuk az N∗ × N∗ 3 (m, n) → m/n ∈ Q lek´epez´est ´es a feladat i) ´es ii) r´esz´et.
2. Sz´amsorozatok
37
2. Sz´amsorozatok A f¨ uggv´enyek k¨ oz¨ ott t¨ obb vonatkoz´ asban is kit¨ untetett szerepet j´atszanak a term´eszetes sz´amok halmaz´ an ´ertelmezett f¨ uggv´enyek, az u ´n. sorozatok. Az anal´ızis sz´amos fogalma ´es eredm´enye kapcsolatos sz´amsorozatokkal. T¨obb olyan k´erd´est is fogunk t´ argyalni, amely visszavezethet˝o sorozatokkal ¨osszef¨ ugg˝o probl´em´akra. A matematika alkalmaz´ asaiban az egyik ´altal´anos t¨orekv´es, hogy olyan modelleket igyekeznek fel´ all´ıtani, amelyek sz´am´ıt´og´eppel ki´ert´ekelhet˝ok. Ilyenkor a jelens´egeket ´altal´ aban sorozatokkal ´ırj´ ak le. Ezek a modellek a val´os´agban lej´atsz´od´o folyamatoknak csak valamilyen ´ertelemben vett k¨ozel´ıt˝o le´ır´as´at adj´ak. A k¨ozel´ıt´es m´ert´ek´enek pontos meghat´ aroz´ as´ ara ´es j´ol k¨ozel´ıt˝o modellek megalkot´as´ara a matematikai anal´ızisben sz´ amos fogalmat vezettek be ´es m´odszert dolgoztak ki. Ezekben a hat´ar´ert´ek fogalma alapvet˝o. A sorozatokkal kapcsolatosan – ahol az lehets´eges – a val´os ´es komplex esetet egy¨ utt t´argyaljuk. Ez´ert c´elszer˝ u a k¨ ovetkez˝okben az R ´es C sz´amtestekre egy k¨oz¨os jel¨ol´est bevezetni: jel¨ olje teh´ at K az eml´ıtett k´et sz´amtest b´armelyik´et.
2.1. A sorozat fogalma A term´eszetes sz´amok halmaz´an ´ertelmezett f¨ uggv´enyeket sorozatoknak nevezz¨ uk. A f¨ uggv´enyekkel kapcsolatos fogalmakat ´es jel¨ol´eseket haszn´alva legyen X 6= ∅ halmaz ´es x:N→X egy sorozat. Az x f¨ uggv´eny n ∈ N helyen vett ´ert´ek´et a sorozat n-edik tagj´anak nevezz¨ uk, ´es ennek jel¨ ol´es´ere — a f¨ uggv´enyek k¨or´eben szok´asos x(n) mellett — az xn szimb´olumot is haszn´ aljuk. Az n term´eszetes sz´amot az xn tag index´enek nevezz¨ uk. Mag´at a sorozatot, az azt alkot´ o tagokat is felt¨ untetve, az x = (x0 , x1 , x2 , · · · ),
x = (xn , n ∈ N),
xn (n ∈ N),
(xn )
szimb´olumok valamelyik´evel fogjuk jel¨ olni. Att´ol f¨ ugg˝oen, hogy a sorozat tagjai milyen halmazb´ol val´ok, k¨ ul¨onb¨oz˝o t´ıpusokat szoktunk megk¨ ul¨ onb¨ oztetni. Ha X = R, akkor az x : N → X sorozatot val´os
38
2.1. A sorozat fogalma
sz´amsorozatnak, ha X = C, akkor komplex sz´amsorozatnak, ´es a kett˝ot k¨oz¨os n´even sz´amsorozatnak nevezz¨ uk. Ezek mellett fontos szerepet j´atszanak m´eg a vektorsorozatok, azaz a x : N → KN t´ıpus´ u f¨ uggv´enyek, ahol N ∈ N, N > 1 term´eszetes sz´am ´es K vagy a val´ os vagy a komplex sz´ amok halmaz´at jel¨oli. Ezeket a sorozatokat N -dimenzi´ os (val´ os, ill. komplex) vektor sorozatoknak nevezz¨ uk. Haszn´alni fogunk m´eg intervallum sorozatokat ´es f¨ uggv´enysorozatokat is. Az els˝o esetben X az R r´eszintervallumainak halmaza. A m´ asodik esetben X valamely r¨ogz´ıtett, nem u ¨res halmazon ´ertelmezett sz´ am´ert´ek˝ u f¨ uggv´enyek ¨osszess´eg´evel egyenl˝o. Az X halmazon ´ertelmezett bin´ aris m˝ uveletek ´es rel´aci´ok term´eszetes m´odon kiterjeszthet˝ok X-beli sorozatokra. (E fogalmakkal kapcsolatban l´asd a F¨ uggel´eket.)
Defin´ıci´ o. Legyen • egy bin´aris m˝uvelet, egy bin´aris rel´aci´o X-en. Tetsz˝oleges x : N → X, y : N → X sorozatokra ´ertelmezz¨ uk a z := x•y sorozatot a zn := xn • yn (n ∈ N) utas´ıt´assal. Tov´ abb´ a akkor mondjuk, hogy az x ´es y sorozatok rel´aci´oban ´ allnak egym´ assal, azaz x y, ha minden n ∈ N term´eszetes sz´amra xn yn teljes¨ ul. Ennek megfelel˝ oen X = K eset´en ´ertelmezve van az X-beli sorozatok ¨osszege, k¨ ul¨onbs´ege, szorzata ´es X = R eset´en als´ o ´es fels˝o burkol´oja. Ha yn 6= 0 (n ∈ N), akkor van ´ertelme az x ´es y sorozat x/y h´ anyados´anak is, azaz az x/y := (xn /yn , n ∈ N) sorozatnak. A fentiek mint´ aj´ ara ´ertelmezhetj¨ uk a λ ∈ K sz´am ´es az x sz´amsorozat szorzat´at: λ · x := (λ xn , n ∈ N). Egyszer˝ uen ellen˝ orizhet˝ o, hogy a K-beli sorozatok a fent ´ertelmezett ¨osszead´asra ´es sz´ammal val´o szorz´ asra n´ezve vektorteret alkotnak, amelynek nulleleme a Θ := (0, 0, 0, · · · ) sorozat. A sz´amsorozatok line´ aris ter´et az S szimb´olummal fogjuk jel¨olni. Ha a jel¨ol´esben azt is kifejez´esre akarjuk juttatni, hogy a val´os, vagy a komplex sorozatok ter´er˝ol van sz´o, akkor ezt indexben felt¨ untetj¨ uk: SR , SC . A val´os sz´amok halmaz´ an ´ertelmezve van a 5 rendez´esi rel´aci´o. A fenti ´altal´anos defin´ıci´onak megfelel˝ oen a 5 rel´ aci´ o kiterjeszthet˝o a val´os sz´amsorozatokra. Akkor
2. Sz´amsorozatok
39
mondjuk teh´at, hogy az x, y ∈ SR sorozatra x 5 y, ha minden n ∈ N term´eszetes sz´amra xn 5 yn teljes¨ ul. Egyszer˝ uen ellen˝ orizhet˝ o, hogy a most bevezetett rel´aci´o egy parci´alis rendez´es a val´os sz´ amsorozatok halmaz´ an. Az e0 := (1, 0, 0, 0, · · · ),
e1 := (0, 1, 0, 0, · · · )
sorozatokra sem e0 5 e1 sem e1 5 e0 nem ´all fenn, k¨ovetkez´esk´eppen SR nem line´arisan rendezett. Az abszol´ ut ´ert´ek k´epz´es is kiterjeszthet˝ o sorozatokra. Az |x| := ( |xn | , n ∈ N) sorozatot az x sorozat abszol´ ut ´ert´ek´enek nevezz¨ uk. Valamely x : N → X sororozatb´ ol kiindulva a f¨ uggv´enykompoz´ıci´o felhaszn´al´as´aval u ´j sorozatokat k´epezhet¨ unk. Val´ oban, legyen ν : N → N egy N-beli sorozat. Ekkor az x◦ν :N→X k¨ozvetett f¨ uggv´eny szint´en a term´eszetes sz´ amok halmaz´an van ´ertelmezve ´es Xben van az ´ert´ekk´eszlete, teh´ at x ◦ ν is egy X-beli sorozat. Ennek az n-edik tagj´at xνn -nel, mag´at a sorozatot pedig az x ◦ ν = (xνn , n ∈ N) szimb´olummal jel¨ olj¨ uk. A k¨ ozvetett f¨ uggv´eny ´ertelmez´es´eb˝ol k¨ovetkezik, hogy az x ◦ ν sorozat n-edik tagja egyenl˝ o az eredeti x sorozat νn -edik tagj´aval. Az N-beli sorozatok k¨ oz¨ ul k´et t´ıpust k¨ ul¨ on is kiemel¨ unk.
Defin´ıci´ o. i) A σ : N → N k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝u lek´epez´eseket az N permut´ aci´ oinak nevezz¨ uk ´es ezek ¨ osszess´eg´et P-vel jel¨olj¨ uk. ii) Ha valamely ν : N → N sorozatra νn < νn+1
(n ∈ N)
teljes¨ ul, akkor a ν sorozatot indexsorozatnak nevezz¨ uk, ´es ezek ¨oszszess´eg´et az I szimb´ olummal jel¨ olj¨ uk. Az N identikus lek´epez´es´et lesz´ am´ıtva minden indexsorozat ´ert´ek´eszlete az N val´odi r´eszhalmaza, m´ıg minden permut´ aci´ o ´ert´ek´eszlete maga az N. A most ´ertelmezett speci´ alis N-beli sorozatokat felhaszn´alva bevezetj¨ uk a k¨ovetkez˝o fogalmakat.
40
2.1. A sorozat fogalma
Defin´ıci´ o. Legyen x : N → X egy sorozat. Ekkor az x ◦ σ = (xσn , n ∈ N)
(σ ∈ P)
sorozatokat az x permut´ aci´ oinak vagy ´ atrendez´ eseinek, az x ◦ ν = (xνn , n ∈ N)
(ν ∈ I)
sorozatokat pedig az x r´ eszsorozatainak nevezz¨ uk. P´eld´aul az x := (1/(n + 1), n ∈ N) harmonikus sorozatnak az
1 , n∈N , 2(n + 1)
1 , n∈N , (n + 1)2
1 2n+1
, n∈N
r´eszsorozatai, az y2n−1 :=
1 , 2n + 2
y2n :=
1 2n + 1
(n ∈ N)
utas´ıt´assal ´ertelmezett y sorozat az x egy permut´aci´oja.
Megjegyz´esek 1. A RN vektort´ er elemei k¨ oz¨ ott ´ ertelmezve van az ¨ osszead´ as ´ es a sz´ ammal val´ o szorz´ as. K¨ ovetkez´ esk´ eppen a fenti ´ altal´ anos defin´ıci´ o alapj´ an ´ ertelmezhetj¨ uk vektor-sorozatok ¨ osszeg´ et ´ es sz´ amszoros´ at. Az RN -beli vektorsorozatok — amint az egyszer˝ uen bel´ athat´ o — vektorteret alkotnak. 2. N´ eha c´ elszer˝ u a pozit´ıv eg´ esz sz´ amok N∗ halmaz´ an, vagy az eg´ esz sz´ amok Z halmaz´ an ´ ertelmezett f¨ uggv´ enyeket is sorozatnak tekinteni. Nyilv´ anval´ o, hogy az eddig bevezetett fogalmak ezekre is ´ atvihet˝ ok. Ilyen sorozatokat haszn´ alva mindig felt¨ untetj¨ uk az ´ ertelmez´ esi tartom´ anyt is: x = (xn , n ∈ N∗ ), y = (yn , n ∈ Z). 3. A sz´ amsorozatokat gyakran rekurzi´ oval defini´ alj´ ak, megadva a 0-dik tagj´ at ´ es egy utas´ıt´ ast, amellyel az n + 1-edik tag az n-edikb˝ ol meghat´ arozhat´ o. A k¨ oz´ episkol´ ab´ ol is j´ ol ismert sz´ amtani sorozatot az x0 := a,
xn+1 := xn + d
(n ∈ N)
rekurzi´ oval is ´ ertelmezni lehet, ahol a ´ es d adott val´ os vagy komplex sz´ amok. Az a-t a sz´ amtani sorozat kezd˝ o tagj´ anak, a d sz´ amot — utalva az xn+1 − xn = d (n ∈ N) egyenl˝ os´ egre — a sorozat differenci´ aj´ anak is szok´ as nevezni. Ebb˝ ol az ´ ertelmez´ esb˝ ol, teljes indukci´ oval az n-edik tagra a j´ ol ismert xn = a + nd (n ∈ N) el˝ o´ all´ıt´ as ad´ odik. Innen xn =
xn−1 + xn+1 2
(n ∈ N∗ ),
2. Sz´amsorozatok
41
azaz a sz´ amtani sorozat b´ armely 0-n´ al nagyobb index˝ u tagja az ˝ ot megel˝ oz˝ o ´ es az ut´ ana k¨ ovetkez˝ o tag sz´ amtani k¨ ozepe. 4. A m´ ertani sorozatot az el˝ oz˝ oh¨ oz hasonl´ o rekurzi´ oval ´ ertelmezhetj¨ uk. Legyen ui. a, q ∈ R ´ es yn+1 = q · yn
y0 := a,
(n ∈ N).
Az a sz´ amot a sorozat kezd˝ o tagj´ anak, a q sz´ amot pedig a sorozat h´ anyados´ anak vagy kv´ ociens´ enek nevezz¨ uk. Teljes indukci´ oval ad´ odik, hogy yn = a q n
(n ∈ N).
Innen az a = 0, q = 0 esetben k¨ ovetkezik, hogy √ yn = yn−1 yn+1
(n ∈ N∗ ).
A m´ ertani sorozat elnevez´ es erre az ¨ osszef¨ ugg´ esre utal: ebben az esetben minden 0-n´ al nagyobb index˝ u tag az ˝ ot megel˝ oz˝ o´ es az ut´ ana k¨ ovetkez˝ o tag m´ ertani k¨ ozepe. 5. Az N∗ halmazon ´ ertelmezett
1 (n ∈ N∗ ) n sorozatot harmonikus sorozatnak nevezz¨ uk. Az elnevez´ es a sorozat ´ es a harmonikus k¨ oz´ ep al´ abbi, k¨ onnyen ellen˝ orizhet˝ o kapcsolat´ ara utal: 2 zn = . 1 + 1 zn−1 zn+1 zn :=
6. Gyakran haszn´ alunk u ´n. t¨ obbl´ ep´ eses rekurzi´ ot, amellyel a sorozat n + 1-edik tagja az n + 1-n´ el kisebb index˝ u tagokb´ ol meghat´ arozhat´ o. Ilyen pl. a Fibonacci-sorozat: x0 := 0,
x1 := 1,
xn+1 := xn + xn−1
(n ∈ N∗).
2.2. Monoton sorozatok Legyen X egy nem u ¨res halmaz ´es egy parci´alis rendez´es az X-en. Ha x y ´es x 6= y, akkor azt ´ırjuk, hogy x ≺ y.
Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy az x : N → X sorozat monoton a parci´ alis rendez´ esre n´ ezve, ha minden n, m ∈ N sz´amp´arra n5m
=⇒
xn xm .
Ha az x sorozatra n<m
=⇒
xm xn
(n, m ∈ N)
teljes¨ ul, akkor monoton fogy´ onak nevezz¨ uk a rendez´esre n´ezve. Ha a fenti defin ıci´ oban a rel´ aci´ ot a ≺ rel´aci´oval cser´elj¨ uk fel, akkor a szigor´ uan monoton n¨ ov˝ o sorozat, ill. a szigor´ uan monoton fogy´ o sorozat sz´ ohaszn´ alattal ´el¨ unk.
42
2.3. Korl´atos ´es korl´atos v´altoz´as´ u sorozatok
A tov´abbiakban t¨ obbnyire val´ os sz´ amsorozatokkal kapcsolatban haszn´aljuk a monotonit´as fogalm´ at az R-ben a szok´ asos 5 rel´aci´ot v´eve alapul. A sorozatoknak egy m´ asik fontos, t¨ obbsz¨ or felhaszn´al´asra ker¨ ul˝o oszt´aly´at alkotj´ak az intervallum-sorozatok. Itt X az R r´eszintervallumainak az ¨osszess´ege. Ez a halmaz parci´alisan rendezett a ⊆ tartalmaz´ asi rel´aci´ora n´ezve. Ennek megfelel˝oen haszn´alni fogjuk a monoton n¨ ov˝ o ´es monoton fogy´o intervallum-sorozat fogalm´at. Minthogy a C-ben nem szok´ as – s˝ ot bizonyos tem´eszetes algebrai kik¨ot´esek mellett nem is lehet – rendez´est bevezetni, az´ert komplex sz´amsorozatokkal kapcsolatban nem szoktuk a monotonit´ as fogalm´ at haszn´alni. A monoton sz´ amsorozatok a val´ os sz´ amsorozatoknak egy val´odi r´eszhalmaz´at alkotj´ak. Fenn´all viszont a k¨ ovetkez˝ o
1. T´etel. B´armely val´os sz´amsorozatnak van monoton r´eszsorozata. ´s. A t´etel igazol´ Bizony´ıta as´ ahoz bevezetj¨ uk a k¨ovetkez˝o fogalmat: akkor mondjuk, hogy az x = (xn , n ∈ N) sorozatnak az xm tag egy cs´ ucsa, ha minden n > m indexre xn < xm teljes¨ ul. Vizsg´aljuk meg az al´ abbi k´et egym´ ast kiz´ ar´o esetet. i) Ha az x sorozatnak v´eges sok cs´ ucsa van, akkor ezek indexei k¨oz¨ott van egy legnagyobb. Jel¨ olj¨ uk ezt m0 -lal. Ha x-nek nincs cs´ ucsa, akkor legyen m0 := 0. Ekkor b´armely m > m0 eset´en xm sem cs´ ucsa x-nek, k¨ovetkez´esk´eppen (1)
∀ m > m0
∃m > m :
am ≤ am .
Ennek alapj´an rekurzi´ oval defini´ alhatunk egy monoton n¨ov˝o r´eszsorozatot. Val´oban, legyen ν0 := m0 + 1 ´es alkalmazzuk erre az (1) ´all´ıt´ast. Ekkor l´etezik olyan ν1 := ν 0 > ν0
index, amelyre
xν0 5 xν1 .
Tegy¨ uk fel, hogy valemely n ∈ N sz´ amig m´ar ´ertelmezt¨ uk a ν0 < ν1 < · · · < νn indexeket. Alkalmazzuk az (1) ´ all´ıt´ ast az m := νn > m0 esetben. Ekkor a νn+1 := ν¯n indexre νn < νn+1 ´es xνn 5 xνn+1 teljes¨ ul. Ezzel nyilv´ an egy ν = (νn , n ∈ N) indexsorozatot ´ertelmezt¨ unk, amellyel az x ◦ ν r´eszsorozat monoton n¨ ov˝ o. ii) Ha a cs´ ucsok sz´ama nem v´eges, akkor v´eve ezek indexeit olyan ν indexsorozatot kapunk, amelyre xν0 > xν1 > · · · > xνn > · · ·
2. Sz´amsorozatok
43
teljes¨ ul. Ebben az esetben teh´ at az x◦ν egy szigor´ uan monoton fogy´o r´eszsorozat.
2.3. Korl´atos ´es korl´atos v´altoz´as´ u sorozatok A sz´amsorozozatok egyik fontos oszt´ aly´ at alkotj´ak a korl´atos sorozatok.
Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy az x : N → K val´os vagy komplex sz´ amsorozat korl´ atos, ha az ´ ert´ ekk´ eszlete korl´ atos, azaz, ha l´etezik olyan R ∈ R+ sz´ am, hogy |xn | 5 R
(n ∈ N)
teljes¨ ul. Ez a felt´etel azt jelenti, hogy a sorozat valamennyi tagja benne van a KR (0) k¨ornyezetben. Val´ os sz´ amorozatok eset´eben, ugyan´ ugy, ahogy azt val´os sz´amhalmazokkal kapcsolatban tett¨ uk, c´elszer˝ u bevezetni az egyoldali korl´atoss´agot is.
Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy az x val´os sz´amsorozat fel¨ ulr˝ ol korl´ atos, ha l´etezik olyan K ∈ R sz´ am, hogy xn 5 K
(n ∈ N)
teljes¨ ul. Ha l´etezik olyan k ∈ R sz´ am, hogy xn = k
(n ∈ N),
akkor azt mondjuk, hogy x alulr´ ol korl´ atos. Nyilv´anval´o, hogy egy val´ os sz´ amsorozat akkor ´es csak akkor korl´atos, ha fel¨ ulr˝ol is ´es alulr´ol is korl´ atos. Sorozatokkal kapcsolatosan is bevezetj¨ uk az als´ o´ es fels˝ o hat´ ar fogalm´at.
Defin´ıci´ o. Az x val´os sz´amsorozat ´ert´ekk´eszlet´enek fels˝o hat´ar´at a sorozat fels˝ o hat´ ar´ anak vagy szupr´ emum´ anak, az x ´ert´ekk´eszlet´enek als´ o hat´ ar´ at az x sorozat als´ o hat´ ar´ anak vagy infimum´ anak nevezz¨ uk: sup x := sup{xn : n ∈ N},
inf x := inf{xn : n ∈ N}.
Az als´o ´es a fels˝ o hat´ ar fogalm´ at kiterjesztett¨ uk nem korl´atos val´os sz´amhalmazokra is. Ezzel ¨ osszhangban fel¨ ulr˝ ol nem korl´atos sz´amsorozat fels˝o hat´ara
44
2.3. Korl´atos ´es korl´atos v´altoz´as´ u sorozatok
defin´ıci´o szerint +∞, alulr´ ol nem korl´ atos sz´ amsorozat als´o hat´ara pedig −∞. N´eha c´elszer˝ u azt az un. als´ o (fels˝ o) hat´art-f¨ uggv´enyt bevezetni, amelynek ´ertelmez´esi tartom´ anya a val´ os sz´ amsorozatok halmaza, ´ert´ekk´eszlete pedig R : SR 3 x → sup x ∈ R,
SR 3 x → inf x ∈ R.
Ezek a lek´epez´esek monoton n¨ ov˝ ok, azaz x5y
=⇒
sup x 5 sup y,
inf x 5 inf y.
Val´oban, minthogy pl. sup y az y ´ert´ekk´eszlet´enek fels˝o korl´atja, az´ert minden n ∈ N indexre xn 5 yn 5 sup y (n ∈ N), azaz sup y az x sorozatnak is fels˝ o korl´ atja. K¨ovetkez´esk´eppen az x legkisebb fels˝o korl´atja sem lehet nagyobb enn´el, azaz sup x 5 sup y. A tov´abbiakban K-val jel¨ olj¨ uk a korl´ atos sorozatok halmaz´at. Mivel korl´atos sorozatok ¨osszege ´es sz´ amszorosa is korl´ atos sorozat, az´ert K a sorozatok S ter´enek egy line´aris altere. C´elszer˝ u ebben a vektort´erben az RN -beli vektorok abszol´ ut ´ert´ek´ehez hasonl´ o fogalmat, a norm´at bevezetni. Tetsz˝oleges x = (xn , n ∈ N) ∈ K sorozatra legyen kxk := sup{|xn | : n ∈ N}. Az kxk nem-negat´ıv sz´ amot az x ∈ K sorozat norm´aj´anak nevezz¨ uk. Egyszer˝ uen igazolhat´ok a norma al´ abbi tulajdons´ agai: i)
kxk = 0,
kxk = 0
⇔
ii)
kλ · xk = |λ| kxk (λ ∈ K, x ∈ K)
x=Θ
iii) kx + yk 5 kxk + kyk (x, y ∈ K). Az i) ´es ii) k¨ onnyen ellen˝ orizhet˝ o, a iii) pedig a sz´amok ¨osszeg´enek abszol´ ut ´ert´ek´ere vonatkoz´ o egyenl˝ otlens´egb˝ ol ´es a sup defin´ıci´oj´ab´ol ad´odik. Val´oban, |xn + yn | 5 |xn | + |yn | 5 sup{|xm | : m ∈ N} + sup{|ym | : m ∈ N} (n ∈ N), azaz a bal oldalon ´ all´ o sorozatnak az kxk + kyk sz´am egy fels˝o korl´atja. Innen k¨ovetkezik, hogy a sz´ oban forg´ o sorozat legkisebb fels˝o korl´atja, azaz kx + yk sem lehet nagyobb kxk + kyk-n´ al. A k¨ ul¨onbs´eg norm´ aj´ ara vonatkoz´ o kx − yk = | kxk − kyk |
(x, y ∈ K)
egyenl˝otlens´eg az el¨ oz˝ oek alapj´ an ugyan´ ugy igazolhat´o, mint az abszol´ u t ´ert´ek eset´en.
2. Sz´amsorozatok
45
Megjegyz´esek 1. Az (a + nd, n ∈ N) sz´ amtani sorozat nem korl´ atos, ha d 6= 0. Val´oban, ha d > 0, akkor az archim´ edeszi axi´ oma alapj´ an minden K ∈ R sz´ amhoz l´ etezik olyan n ∈ N, hogy nd > K − a,
azaz
a + nd > K.
Ez pontosan azt jelenti, hogy a sz´ oban forg´ o sorozat fel¨ ulr˝ ol nem korl´ atos. Hasonl´ oan igazolhat´ o, hogy d < 0 eset´ en a sz´ amtani sorozat alulr´ ol nem korl´ atos. 2. A (q n , n ∈ N) m´ ertani sorozat |q| 5 1 eset´ en korl´ atos, |q| > 1 eset´ en pedig nem korl´ atos. Az els˝ o esetben ui. |q n | = |q|n 5 1 (n ∈ N). A m´ asodik esetben a h := |q| − 1 > 0 sz´ amra alkalmazva a Bernoulli-egyenl˝ otlens´ eget |q n | = (1 + h)n = 1 + nh k¨ ovetkezik. Innen az 1. p´ eld´ aban k¨ oz¨ olt eredm´ enyt figyelembe v´ eve ad´ odik az ´ all´ıt´ as. 3. Az (1/n, n ∈ N∗ ) harmonikus sorozat korl´ atos, mert 0 < 1/n < 1
(n ∈ N∗ ).
Sem a monoton n¨ ov˝ o, sem a monoton fogy´ o sorozatok nem alkotnak vektorteret. Azoknak a val´os sz´ amsorozatoknak az ¨ osszess´ege, amelyek k´et monoton n¨ov˝o sorozat k¨ ul¨onbs´egek´ent ´ all´ıthat´ ok el˝ o, m´ ar vektorteret alkotnak. Ez a vektort´er nyilv´an tartalmazza a monoton n¨ ov˝ o ´es a monoton fogy´o sorozatokat, hiszen az el˝obbiek x − Θ, az ut´obbiak pedig Θ − x alakban ´ırhat´ok fel, ahol x monoton n¨ov˝o sorozat. Ennek egy alter´et alkotj´ ak a korl´atos v´altoz´as´ u sorozatok.
Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy az x val´os sz´amsorozat korl´atos v´altoz´as´ u, ha x fel´ırhat´ o k´et korl´ atos, nem-negat´ıv, monoton n¨ov˝o sorozat k¨ ul¨ onbs´egek´ent. A korl´atos v´altoz´ as´ u sorozatok a val´ os, korl´atos sorozatoknak egy line´aris alter´et alkotj´ak, amelyet V-vel jel¨ ol¨ unk. Ennek a t´ernek egy jellemz´es´et fogalmazzuk meg az al´abbi ´all´ıt´asban.
2.T´etel. Az x val´os sz´amsorozat akkor ´es csak akkor korl´atos v´altoz´as´ u, ha a V0 (x) : = |x0 | Vn (x) : = |x0 | + |x1 − x0 | + · · · + |xn − xn−1 |
(n ∈ N∗ )
sorozat korl´ atos. Ennek a sorozatnak a fels˝o hat´ar´at az x sorozat vari´ aci´ oj´ anak nevezz¨ uk, ´es a V (x) := sup{Vn (x) : n ∈ N} szimb´olummal jel¨ olj¨ uk.
46
2.3. Korl´atos ´es korl´atos v´altoz´as´ u sorozatok
´s. Az al´ Bizony´ıta abbiakban haszn´ alt sorozatok ´ertelmez´esi tartom´any´at kib˝ov´ıtj¨ uk a −1 sz´ammal ´es a sorozatok −1-edik tagja 0-val egyenl˝o. i) Ha az x sorozat monoton n¨ ov˝ o ´es nem-negat´ıv, akkor Vn (x) = xn
(n ∈ N).
Ebben az estben ugyanis a Vn (x) defin´ıci´ oj´ aban szerepl˝o tagok mind nem-negat´ıvok, s ez´ert az abszol´ ut ´ert´eket elhagyhatjuk. A sz´oban forg´o ¨osszegben, az n-edik tagot kiv´eve, minden tag k´etszer szerepel, egyszer + ´es egyszer− el˝ojellel, s ez´ert ¨oszevon´as ut´an val´ oban xn ad´ odik. Innen k¨ ovetkezik, hogy a most vizsg´alt esetben V (x) = sup{xn : n ∈ N} = kxk.
(2)
ii) Tegy¨ uk fel el˝ osz¨ or, hogy az x sorozat el˝o´all´ıthat´o k´et korl´atos, nem-negat´ıv, monoton n¨ov˝o sorozat k¨ ul¨ onbs´egek´ent: x = y −z. Az abszol´ ut ´ert´ek tulajdons´agait felhaszn´alva azt kapjuk, hogy |xn − xn−1 | = |(yn − yn−1 ) − (zn − zn−1 )| 5 |yn − yn−1 | + |zn − zn−1 |
(n ∈ N).
Ezeket az egyenl˝ otlens´egeket ¨ osszeadva ´es felhaszn´alva a (2) egyenl˝otlens´eget Vn (x) 5 Vn (y) + Vn (z) 5 kyk + kzk
(n ∈ N)
ad´odik. Innen, v´eve a szupr´emumot V (x) 5 kyk + kzk < ∞ k¨ovetkezik. iii) Most tegy¨ uk fel, hogy valamely x val´ os sz´amsorozatra V (x) < ∞, ´es mutassuk meg, hogy x fel´ırhat´ o k´et nem-negat´ıv, korl´atos, monoton n¨ov˝o sorozat k¨ ul¨onbs´egek´ent. Mivel |xn | = |x0 + (x1 − x0 ) + · · · + (xn − xn−1 )| ≤ Vn (x) ≤ V (x)
(n ∈ N∗),
az´ert az x sorozat korl´ atos. Legyen yn := Vn (x),
zn := Vn (x) − xn
(n ∈ N).
Nyilv´anval´o, hogy x = y−z ´es y nem-negat´ıv, monoton n¨ov˝o, korl´atos sz´amsorozat. Megmutatjuk, hogy a z sorozatra zn − zn−1 = 0 (n ∈ N), azaz z is monoton n¨ov˝o ´es az el˝obbiek szerint nyilv´ an nem-negat´ıv. Val´oban, a z ´ertelmez´es´eb˝ol k¨ovetkezik, hogy zn − zn−1 = (Vn (x) − Vn−1 (x)) − (xn − xn−1 ) = = |xn − xn−1 | − (xn − xn−1 ) = 0
(n ∈ N).
2. Sz´amsorozatok
47
Mivel z az y ´es az x korl´ atos sorozatok k¨ ul¨ onbs´ege, az´ert z maga is korl´atos. Ezzel a t´etelt bebizony´ıtottuk. A vari´aci´o egy norma a V line´aris t´eren:
(3)
i)
V (x) = 0,
ii)
V (λ · x) = |λ| V (x)
⇔
V (x) = 0
x=Θ
(λ ∈ R, x ∈ V) (x, y ∈ V).
iii) V (x + y) 5 V (x) + V (y)
Val´oban, V (x) nem-negat´ıv ´es V (x) = 0 eset´en |xn − xn−1 | = 0,
azaz
xn−1 = xn
(n ∈ N).
Innen x−1 = 0 figyelembev´etel´evel x = Θ k¨ ovetkezik. A szorzat abszol´ ut ´ert´ek´ere vonatkoz´ o azonoss´ag alapj´an Vn (λ · x) = |λ| Vn (x)
(n ∈ N),
ahonnan szupr´emumra t´erve ´ at ii) m´ ar ad´ odik. A iii) igazol´as´ ahoz induljunk ki az |(xk + yk ) − (xk−1 + yk−1 )| 5 |xk − xk−1 | + |yk − yk−1 |
(k ∈ N)
egyenl˝otlens´egekb˝ ol. Ezeket ¨ osszeadva 0-t´ ol n-ig Vn (x + y) 5 Vn (x) + Vn (y) ad´odik. Innen szupr´emumra t´erve ´ at iii) m´ ar k¨ovetkezik.
Megjegyz´esek A korl´ atos v´ altoz´ as´ u sorozat fogalma komplex sorozatokra is kiterjeszthet˝ o. Akkor mondjuk, hogy a (zn = xn + yn ı, n ∈ N) sorozat korl´ atos v´ altoz´ as´ u, ha a Vn (z) :=
n X
|zk − zk−1 |
(n ∈ N)
k=0
sorozat korl´ atos, ahol — mint kor´ abban is — defin´ıci´ o szerint z−1 := 0. A max { |a|, |b| } 5 |a + bı| 5 |a| + |b| egyenl˝ otlens´ egek alapj´ an max { Vn (x), Vn (y) } 5 Vn (z) 5 Vn (x) + Vn (y).
48
2.4. Konvergens sorozatok
Innen nyilv´ anval´ o, hogy z akkor ´ es csak akkor korl´ atos v´ altoz´ as´ u sorozat, ha (xn , n ∈ N) ∈ V, (yn , n ∈ N) ∈ V.
2.4. Konvergens sorozatok
A matematikai anal´ızis egyik legfontosabb fogalma a hat´ar´ert´ek. A k¨ovetkez˝okben a hat´ar´ert´ek legegyszer˝ ubb t´ıpus´ aval, a sorozatok hat´ar´ert´ek´evel foglalkozunk.
Az (1/n, n ∈ N∗ ) sorozat a k¨ ovetkez˝ o tulajdons´aggal rendelkezik: a 0 sz´am b´armely K (0) k¨ ornyezet´en k´ıv¨ ul a sorozatnak v´eges sz´am´ u (legfeljebb [1/]) tagja van. A ((−1)n , n ∈ N) sorozat nem rendelkezik hasonl´o tulajdons´aggal. Ebben az esetben ui. b´ armely sz´ amnak van olyan k¨ornyezete, amelyen k´ıv¨ ul az ut´obbi sorozatnak v´egtelen sok tagja van. Ezt a t´enyt u ´gy szoktuk kifejezni, hogy az (1/n, n ∈ N∗ ) sorozat konvergens ´es hat´ ar´ert´eke 0, a ((−1)n , n ∈ N) sorozat pedig nem konvergens, m´ as sz´ oval: divergens.
Defin´ıci´ o. Legyen x = (xn , n ∈ N) egy val´os, vagy komplex sz´amsorozat, azaz xn ∈ K (n ∈ N). Akkor mondjuk, hogy az x sorozat konvergens, ha l´etezik olyan α ∈ K sz´am, hogy ennek b´armely k¨ornyezet´en k´ıv¨ ul a sorozatnak legfeljebb v´eges sok tagja van. Logikai jel¨ol´esekkel: (4)
∃α ∈ K ∀ > 0 :
{n ∈ N : xn ∈ / K (α)} v´eges halmaz.
Az az ´all´ıt´as, hogy az {n ∈ N : xn ∈ / K (α)} halmaznak legfeljebb v´eges sok eleme van, a k¨ovetkez˝ ovel egyen´ert´ek˝ u: l´etezik olyan N ∈ N, pl. az N := max{n ∈ N : xn ∈ / K (α)} sz´ am (max ∅ := 0), hogy minden N -n´el nagyobb index˝ u tagra xn ∈ K (α) teljes¨ ul. Ez´ert gyakran haszn´ aljuk az al´abbi, (4)-gyel ekvivalens definici´ot:
2. Sz´amsorozatok
49
Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy az (xn , n ∈ N) sorozat konvergens, ha l´etezik olyan α ∈ K sz´ am, amelyre a k¨ovetkez˝o teljes¨ ul: minden > 0 sz´amhoz l´etezik olyan N ∈ N index, hogy ha az n = N , akkor |xn − α| < , vagy ami ezzel ekvivalens: xn ∈ K (α). Ugyanez logikai jel¨ol´esekkel: (5)
∃α ∈ K ∀ > 0 ∃N ∈ N
∀ n ∈ N, n = N :
|xn − α| < ,
∀ n ∈ N, n = N :
xn ∈ K (α).
ill. egy m´ asik v´ altozatban: (6)
∃α ∈ K ∀ > 0 ∃N ∈ N
Sorozatokkal kapcsolatban szok´ asos a k¨ ovetkez˝o sz´ohaszn´alat: ha egy sorozat tagjaira vonatkoz´ o´ all´ıt´ as legfeljebb v´eges sok tagot kiv´eve minden tagra teljes¨ ul, akkor azt mondjuk, hogy a sz´ oban forg´ o´ all´ıt´ as majdnem minden tagra, vagy majdnem minden indexre teljes¨ ul. Ezt felhaszn´ alva a konvergens sorozat ´ertelmez´es´enek egy u ´jabb ´atfogalmaz´ as´ at adjuk: egy sorozat pontosan akkor konvergens, ha van olyan sz´am, amelynek b´armely k¨ ornyezete a sorozat majdnem minden tagj´at tartalmazza. Most megmutatjuk, hogy tetsz˝ oleges x sorozat eset´en legfeljebb egy eml´ıtett tulajdons´ag´ u α sz´ am l´etezik.
3.T´etel. Ha az x sorozat konvergens, akkor egyetlen olyan α ∈ K l´etezik, amelyre (4) teljes¨ ul. ´s. A t´etelt indirekt m´ Bizony´ıta odon igazoljuk. Tegy¨ uk fel, hogy l´etezik k´et olyan sz´am α, β ∈ K, amelyre (4) teljes¨ ul. Legyen ρ := |α − β| > 0. Alkalmazzuk a (4) ´all´ıt´ast az := ρ/2 sz´ amra. Ekkor a hat´ar´ert´ek defin´ıci´oja szerint a sorozatnak legfeljebb v´eges sok tagja van a K (α) k¨ornyezeten k´ıv¨ ul. Az v´alaszt´as´ab´ol k¨ovetkezik, hogy a K (α) ´es K (β) k¨ ornyezetek diszjunktak, k¨ovetkez´esk´eppen K (β) a K (α) k¨ ornyezet komplementer´enek r´esze, s ez´ert az ut´obbi k¨ornyezetben is csak v´eges sok tagja lehet a sorozatnak. Ekkor viszont a β sz´ammal nem teljes¨ ulhet (4). Ezzel az ellentmond´ assal a t´etelt bebizony´ıtottuk. A most igazolt t´etel alapj´ an ´ertelmezhetj¨ uk a sorozat hat´ar´ert´ek´et.
Defin´ıci´ o. Az x konvergens sorozathoz a (4) defin´ıci´o szerint l´etez˝o egyetlen α sz´ amot a sorozat hat´ ar´ ert´ ek´ enek vagy limesz´ enek nevezz¨ uk. Azt, hogy az x = (xn , n ∈ N) sorozatnak az α sz´am a hat´ar´ert´eke, az al´abbi
50
2.4. Konvergens sorozatok
szimb´olumok valamelyik´evel jel¨ olj¨ uk: lim x = α,
lim xn = α,
n→∞
xn → α (n → +∞),
L(x) = α,
´es u ´gy olvassuk, hogy limesz x, vagy limesz xn , ha n tart +∞-hez egyenl˝o α-val, ill. xn tart α-hoz, ha n tart +∞-hez.
Defin´ıci´ o. Ha egy sorozat nem konvergens, akkor azt mondjuk, hogy divergens. Azt, hogy az x sorozat divergens, pl. a (4) ´all´ıt´as tagad´as´aval, logikai jeleket haszn´alva a k¨ovetkez˝ o form´ aban fogalmazhatjuk meg: ∀α ∈ K ∃ > 0 ∀N ∈ N
∃ n ∈ N, n = N :
|xn − α| = .
A (4) tagad´as´ aval az x sorozat divergenci´aj´ara az al´abbi, el˝oz˝ovel ekvivalens megfogalmaz´as ad´ odik: ∀α ∈ K ∃ > 0 :
(7)
{n ∈ N : xn ∈ / K (α)} v´egtelen halmaz.
Az al´abbiakban megfogalmazzuk a hat´ ar´ert´ek defin´ıci´oj´anak n´eh´any egyszer˝ u k¨ovetkezm´eny´et.
1. K¨ ovetkezm´eny. Ha majdnem minden n indexre xn = yn , akkor az x sorozat akkor ´es csak akkor konvergens, ha y is konvergens, s ebben az esetben L(x) = L(y). Val´oban, ha xn = yn majdnem minden n-re, akkor az xn ∈ K (α) ´es yn ∈ K (α) felt´etelek majdnem minden n-re vagy egyszerre teljes¨ ulnek, vagy egyszerre nem teljes¨ ulnek. K¨onnyen bel´athat´ o, hogy a konvergens sorozatok halmaza a korl´atos sorozatok halmaz´anak egy val´ odi r´eszhalmaza.
2. K¨ ovetkezm´eny. Minden konvergens sorozat korl´atos, de van olyan korl´atos sorozat, amely nem konvergens. Val´oban, ha az x sorozat konvergens ´es hat´ar´ert´eke α, akkor pl. az = 1 esetben alkalmazva a (4) defin´ıci´ ot azt kapjuk, hogy l´etezik olyan N ∈ N index, amelyre n = N eset´en |xn − α| < 1 teljes¨ ul. K¨ ovetkez´esk´eppen |xn | 5 |(xn − α) + α| 5 1 + |α| (n = N ). Legyen R := max { |α| + 1, |x0 |, |x1 |, · · · , |xn | }.
2. Sz´amsorozatok
51
Ekkor minden n term´eszetes sz´ amra |xn | 5 R, azaz x val´oban korl´atos. A ((−1)n , n ∈ N) sorozat korl´ atos, de nem konvergens. A divergencia (7) alatti defin´ıci´oj´at haszn´ alva k¨ onnyen bel´ athat´o, hogy b´armely val´os sz´amnak van olyan k¨ornyezete, amely az 1 ´es a −1 sz´ amok k¨oz¨ ul legfeljebb egyet tartalmaz, k¨ovetkez´esk´eppen ezen a k¨ ornyezeten k´ıv¨ ul a sorozatnak v´egtelen sok tagja van.
3. K¨ ovetkezm´eny. Konvergens sorozat b´armely r´eszsorozata konvergens ´es hat´ ar´ert´eke az eredeti sorozat hat´ar´ert´ek´evel egyenl˝o. Ha az x sorozat hat´ ar´ert´eke α, akkor minden > 0 sz´amra {n ∈ N : xn ∈ / K (α)} , legfeljebb v´eges halmaz. B´ armely ν indexsorozatra az {n ∈ N : xνn 6∈ K (α)} halmaz az el˝ oz˝ o halmaznak nyilv´ an r´eszhalmaza, k¨ovetkez´esk´eppen szint´en legfeljebb v´eges. A most megfogalmazott k¨ ovetkezm´enyb˝ ol azonnal ad´odik, hogy ha valemely sorazat k´et r´eszsorozata k¨ ul¨ on-k¨ ul¨ on konvergens, de a hat´ar´ert´ek¨ uk k¨ ul¨onb¨oz˝o, akkor az eredeti sorozat divergens. Ennek alapj´an is azonnal ad´odik, hogy a ((−1)n , n ∈ N) sorozat divergens.
Megjegyz´esek 1. Konstans sorozat. Legyen α ∈ K ´ es (n ∈ N).
xn := α
Ez az u ´n. konstans sorozat konvergens ´ es a hat´ ar´ ert´ eke α, hiszen az α sz´ am b´ armely k¨ ornyezete a sorozat valamennyi tagj´ at tartalmazza. 2. Harmonikus sorozat. Egyszer˝ uen bel´ athat´ o, hogy az (1/n, n ∈ N∗ ) sorozat konvergens ´ es lim
n→∞
1 = 0. n
Ehhez pl. az (5) defin´ıci´ ot haszn´ alva el´ eg azt megmutatni, hogy ∀ > 0
∃ N ∈ N∗
∀ n ∈ N, n = N :
|
1 1 − 0| = < . n n
Minthogy 1/n < , ha n = 1 + [1/] > 1/, az´ ert az N := 1 + [1/] sz´ am eleget tesz a k´ıv´ ant felt´ eteleknek. 3. M´ ertani sorozatok. A (q n , n ∈ N) m´ ertani sorozat pontosan akkor konvergens, ha vagy |q| < 1, vagy pedig ha q = 1, ´ es ( lim q n =
n→∞
0,
ha
|q| = 1
1,
ha
q = 1.
i) Legyen el˝ osz¨ or 0 < |q| < 1. Ekkor 1/|q| > 1, s ´ıgy az 1/|q| =: 1 + h (h > 0) sz´ amra alkalmazva a Bernoulli-f´ ele egyenl˝ otlens´ eget 1 ≥ 1 + nh > nh |q|n
(n ∈ N)
52
2.5. M˝ uveletek hat´ar´ert´ekekkel
ad´ odik. K¨ ovetkez´ esk´ eppen |q|n <
1/h n
(n ∈ N∗ ).
Innen az ´ all´ıt´ as m´ ar ugyan´ ugy igazolhat´ o, mint a harmonikus sorozat eset´ en. ii) Ha q = 0 vagy q = 1, akkor az ´ all´ıt´ as k¨ ovetkezik a konstans sorozatok hat´ ar´ ert´ ek´ evel kapcsolatos el˝ oz˝ o megjegyz´ esb˝ ol. iii) Ha |q| > 1, akkor — amint azt m´ ar kor´ abban l´ attuk — a m´ ertani sorozat nem korl´ atos, teh´ at divergens. iv) Ha |q| = 1 ´ es q 6= 1, akkor a sorozat divergens. Ha q val´ os, akkor sz¨ uks´ egk´ eppen q = −1, s ekkor — amint ezt m´ ar kor´ abban bel´ attuk — a sorozat divergens. Ha q ∈ C ´ es q 6= 1, a m´ ertani sorozat akkor is divergens. Ez az ´ all´ıt´ as azonban m´ ar nem igazolhat´ o olyan egyszer˝ uen, mint a val´ os esetben. Erre k´ es˝ obb m´ eg visszat´ er¨ unk.
2.5. M˝ uveletek hat´ar´ert´ekekkel K¨ozvetlen¨ ul a hat´ ar´ert´ek defin´ıci´ oja alapj´ an ´altal´aban csak nehezen d¨onthet˝o el egy sorozatr´ol, hogy konvergens-e, vagy divergens. M´eg nehezebb az ´ertelmez´esb˝ol ´ kiindulva megtal´ alni mag´ at a hat´ ar´ert´eket. Eppen ez´ert nagyon fontosak ´es hasznosak azok a t´etelek, amelyek seg´ıts´eg´evel egyszer˝ ubb sorozatok konvergenci´aj´ab´ol az azokb´ol algebrai vagy egy´eb m˝ uveletekkel fel´ep´ıtett bonyolultabb sorozatok konvergenci´aj´ara ´es hat´ ar´ert´ek´ere tudunk k¨ ovetkeztetni. A tov´abbiakban t¨obb ilyen jelleg˝ u t´etelt igazolunk, tov´ abb´ a foglalkozunk a hat´ar´ert´ek ´es a 5 rel´aci´o kapcsolat´aval. Ezekhez a vizsg´ alatokhoz c´elszer˝ u bevezetni a z´erus- vagy nullsorozat fogalm´at.
Defin´ıci´ o. Azokat a konvergens sz´amsorozatokat, amelyek hat´ar´ert´eke 0, z´erus-sorozatoknak vagy nullsorozatoknak nevezz¨ uk. A konvergens sorozatok halmaz´ at C-vel, a nullsorozatok halmaz´at N -nel fogjuk jel¨olni. Sz´amos, a konvergenci´ aval kapcsolatos k´erd´es visszavezethet˝o nullsorozatokra. Erre ad lehet˝ os´eget a k¨ ovetkez˝ o
4.T´etel. Az (xn , n ∈ N) sz´amsorozatnak akkor ´es csak akkor α ∈ K a hat´ar´ert´eke, ha (xn − α, n ∈ N) nullsorozat. Val´oban, minthogy az |xn − α| < ´es az |(xn − α) − 0| < felt´etelek egym´assal ekvivalensek, az´ert — pl. az (5) defin´ıci´ o alapj´an — az ´all´ıt´as azonnal k¨ovetkezik. T¨obbsz¨or felhaszn´ aljuk majd a k¨ ovetkez˝ o ´all´ıt´ast, amely a nullsorozat ´ertelmez´es´eb˝ol k¨ozvetlen¨ ul ad´ odik.
2. Sz´amsorozatok
53
4.K¨ ovetkezm´eny. Legyen x egy sz´amsorozat, y egy nullsorozat ´es tegy¨ uk fel, hogy majdnem minden n indexre |xn | 5 yn . Ekkor x is nullsorozat. Val´oban, a felt´etel szerint a 0 b´ armely k¨ ornyezet´et v´eve, ebbe az y sorozat majdnem minden tagja beleesik. Az x sorozatra tett felt´etel alapj´an ez az x sorozat majdnem minden tagj´ ara is igaz. Nullsorozatokra vonatkozik az al´ abbi
5.T´etel. Legyen x ´es y k´et nullsorozat ´es z egy korl´atos sorozat. Ekkor i) x + y ii) x · z
nullsorozat, nullsorozat.
. ´s. Legyen > 0 adott sz´ Bizony´ıta am. Mivel x, y ∈ N , az´ert a hat´ar´ert´ek (5) defin´ıci´oj´at helyett /2-re alkalmazva azt kapjuk, hogy l´etezik olyan N1 ´es N2 index, amelyre |xn | < /2
|yn | < /2
(n = N1 ),
(n = N2 )
teljes¨ ul. Legyen N := max {N1 , N2 }. Ekkor |xn + yn | 5 |xn | + |yn | <
+ = , 2 2
ha n = N . Ez pontosan azt jelenti, hogy x + y is nullsorozat. ii) Legyen K > 0 a (|zn |, n ∈ N) sorozatnak egy fels˝o korl´atja, azaz |zn | 5 K
(n ∈ N).
Alkalmazzuk az (5) defin´ıci´ ot az x nullsorozatra helyett az /K sz´amot v´eve. Ekkor l´etezik olyan N ∈ N index, hogy minden n = N indexre |xn | < /K. K¨ovetkez´esk´eppen |xn zn | = |xn | |zn | < · K = , K ha n = N . Ezzel bel´ attuk, hogy xz z´erussorozat. A most igazolt t´etelre vezetj¨ uk vissza a k¨ ovetkez˝ot, amely az algebrai m˝ uveletek ´es a hat´ar´et´ek kapcsolat´ ara vonatkozik.
54
2.5. M˝ uveletek hat´ar´ert´ekekkel
6.T´etel. Legyenek x ´es y konvergens sorozatok ´es λ ∈ K. Ekkor i) x + y ∈ C
´es
L(x + y) = L(x) + L(y)
ii) λ · x ∈ C
´es
L(λ · x) = λL(x)
iii) x · y ∈ C
´es
L(x · y) = L(x)L(y) x L(x) L = y L(y) yn 6= 0 (n ∈ N) ´es
iv)
x ∈C ´es y felt´eve, hogy
L(y) 6= 0.
´s. Legyen L(x) = α, L(y) = β. Ekkor (xn −α, n ∈ N) ´es (yn −β, n ∈ N) Bizony´ıta nullsorozatok. Alkalmazzuk ezekre az el˝ obb igazolt t´etelt. i) Mivel (xn − α) + (yn − β) = (xn + yn ) − (α + β)
(n ∈ N),
az´ert (xn + yn − α − β, n ∈ N) k´et nullsorozat ¨osszege, k¨ovetkez´esk´eppen maga is nullsorozat. A 4. T´etel alapj´ an x + y konvergens ´es L(x + y) = α + β. ii) Felhaszn´alva a λ(xn − α) = λxn − λα
(n ∈ N)
azonoss´agot ´es az 5.T´etelt azt kapjuk, hogy a jobb oldalon ´all´o sorozat is nullsorozat. A 4.T´etel alapj´ an teh´ at λx konvergens ´es hat´ar´ert´eke λα. iii) A szorzatra vonatkoz´ o ´ all´ıt´ as igazol´ as´ ahoz felhaszn´aljuk az al´abbi azonoss´agot: xn yn − αβ = (xn − α)yn + (yn − β)α (n ∈ N). A jobb oldalon ´ all´ o sorozatok mindegyike egy nullsorozat ´es egy korl´atos sorozat szorzata, k¨ovetkez´esk´eppen az 5.T´etel alapj´ an a sorozatok maguk ´es ¨osszeg¨ uk is nullsorozat. A 4.T´etel alapj´ an azt kapjuk, hogy az xy sorozat konvergens ´es hat´ar´ert´eke αβ. iv) A h´anyadosra vonatkoz´ o´ all´ıt´ as igazol´ as´ahoz felhaszn´aljuk, hogy az 1/y sorozat korl´atos. A hat´ ar´ert´ek defin´ıci´ oj´ at az := |β|/2 sz´amra fel´ırva azt kapjuk, hogy l´etezik olyan N ∈ N index, amelyt˝ ol kezdve |yn − β| < |β|/2 (n = N ). A h´aromsz¨og-egyenl˝ otlens´eget felhaszn´ alva az y sorozat n = N index˝ u tagjaira az |yn | = |β − (β − yn )| = |β| − |β − yn | > |β| − |β|/2 = |β|/2 als´o becsl´es ad´odik. Reciprokra t´erve ´ at azt kapjuk, hogy 1 2 ≤ |yn | |β|
(n = N ).
2. Sz´amsorozatok
55
Legyen K := max
1 1 1 2 , ,··· , , |y0 | |y1 | |yn | |β|
.
Ekkor minden n ∈ N indexre 1/|yn | 5 K, azaz az y sorozat reciproka val´oban korl´atos. A iv) ´all´ıt´as igazol´ as´ ahoz felhaszn´ aljuk az xn α 1 α − = (xn − α) + (β − yn ) yn β yn βyn
(n ∈ N)
azonoss´agot. A jobb oldalon ´ all´ o k´et tag mindegyike egy korl´atos ´es egy nullsorozat szorzata, k¨ovetkez´esk´eppen ezek ´es ezek ¨ osszegei is nullsorozatok. Ism´et az 4.T´etelt alkalmazva ad´odik az ´ all´ıt´ as. Az 4.K¨ovetkezm´eny alapj´ an egyszer˝ uen igazolhat´o az al´abbi ´all´ıt´as, amely val´os ´es komplex sz´amsorozatok hat´ ar´ert´eke k¨ oz¨ ott teremt kapcsolatatot.
7. T´etel. A zn := xn + yn ı (n ∈ N) komplex sz´amsorozat akkor ´es csak akkor konvergens, ha a val´ os ´es k´epzetes r´eszekb˝ol alkotott x = (xn , n ∈ N), y = (yn , n ∈ N) sorozatok k¨ ul¨on-k¨ ul¨on konvergensek ´es L(z) = L(x) + ıL(y). ´s. Ha a z sorozat konvergens ´es hat´ar´ert´eke L(z) = α + βı (α, β ∈ R), Bizony´ıta akkor a max { |xn − α|, |yn − β| } 5 |zn − L(z)| (n ∈ N) egyenl˝otlens´eg ´es a 4. K¨ ovetkezm´eny alapj´ an (xn − α, n ∈ N), (yn − β, n ∈ N) nullsorozatok, k¨ ovetkez´esk´eppen x, y ∈ C ´es L(x) = α, L(y) = β. Megford´ıtva, ha x, y ∈ C ´es γ := L(x) + L(y)ı, akkor a |zn − γ| 5 |xn − L(x)| + |yn − L(y| (n ∈ N) egyenl˝otlens´eg alapj´ an (zn − γ, n ∈ N) nullsorozat. Innen k¨ovetkezik, hogy z ∈ C ´es L(z) = L(x) + L(y)ı. Val´os sz´amsorozatok k¨ oz¨ ott bevezett¨ uk a 5 rel´aci´ot, ´es amint ezt bel´attuk, SR erre n´ezve parci´ alisan rendezett halmaz. E rendez´es ´es a hat´ar´ert´ek kapcsolat´ara vonatkozik az al´ abbi
8.T´etel. Legyen x ´es y k´et konvergens, val´os sz´amsorozat. i) Ha L(x) < L(y), akkor xn < yn majdnem minden n-re. ii) Ha majdnem minden n-re xn 5 yn , akkor L(x) 5 L(y).
56
2.5. M˝ uveletek hat´ar´ert´ekekkel
´s. i) Legyen := (L(y) − L(x))/4. Ekkor L(x) + < L(y) − . A Bizony´ıta hat´art´ert´ek defin´ıci´ oja alapj´ an l´etezik olyan N1 ´es N2 index, hogy L(x) − < xn < L(x) + , ha n = N1 , L(y) − < yn < L(y) + ,
ha n = N2 .
Innen minden n = max {N1 , N2 } indexre xn < L(x) + < L(y) − < yn k¨ovetkezik. Ezzel az ´ all´ıt´ as els˝ o r´esz´et bel´ attuk. ii) A m´asodik r´esz igazol´ as´ ahoz — az ´ all´ıt´assal ellent´etben — tegy¨ uk fel, hogy L(x) > L(y). Ekkor a m´ ar igazolt els˝ o r´esz alapj´an x ´es y szerep´et felcser´elve ad´odik, hogy majdnem minden n-re xn > yn . Ez nyilv´an ellentmond a ii)-ben szerepl˝o felt´etelnek. A most igazolt t´etelb˝ ol egyszer˝ uen ad´ odik az
5.K¨ ovetkezm´eny. Legyenek x, y, z val´os sz´amsorozatok, amelyekre xn 5 yn 5 zn majdnem minden n-re. Ha x ´es z konvergens ´es L(x) = L(z), akkor y is konvergens ´es L(y) = L(x). Jelj¨ uk α-val az x ´es a z k¨ oz¨ os hat´ ar´ert´ek´et. Ekkor a felt´etel alapj´an egyr´eszt 0 5 yn − xn 5 zn − xn majdnem minden n-re, m´ asr´eszt z − x nullsorozat. Innen a 4. K¨ovetkezm´eny alapj´an ad´odik, hogy y − x is nullsorozat. V´eg¨ ul a 6. T´etelt is figyelembe v´eve azt kapjuk, hogy az y sorozat, amely az x ∈ C ´es az y − x ∈ N sorozat ¨osszege, maga is konvergens ´es L(y) = L(x) + 0 = L(x). A 6.T´etelben megfogalmazott ´ all´ıt´ asok r¨ oviden sz´olva azt fejezik ki, hogy az algebrai m˝ uveletek ´es a hat´ ar´ert´ek kisz´ am´ıt´ asa egym´assal felcser´elhet˝ok. Hasonl´o a helyzet a maximum, minimum ´es az abszol´ ut ´ert´ek k´epz´essel kapcsolatban.
9.T´etel. i) Tetsz˝oleges z ∈ C sz´amsorozatra |z| ∈ C ´es L(|z|) = |L(z)|. ii) B´armely k´et val´ os x, y ∈ C sz´ amsorozatra x ∨ y, x ∧ y ∈ C
´es
L(x ∨ y) = L(x) ∨ L(y),
L(x ∧ y) = L(x) ∧ L(y).
2. Sz´amsorozatok
57
´s. i) Legyen α := L(z). A h´ Bizony´ıta aromsz¨og-egyenl˝otlens´eg alapj´an ||zn | − |α|| 5 |zn − α| (n ∈ N). Minthogy a bal oldalon ´ all´ o sorozat nullsorozat, az´ert a jobb oldalon ´all´o is az. Innen k¨ovetkezik, hogy a |z| sorozat konvergens ´es limesze |α|. ii) A h´al´o m˝ uveletekre vonatkoz´ o ´ all´ıt´ asok az i) r´esz ´es a sz´oban forg´o m˝ uveleteknek az abszol´ ut ´ert´ekkel val´ o kapcsolat´ at (l´asd 1.2. (1)) ´es a hat´ar´ert´ek linearit´as´at felhaszn´ alva k¨ onnyen ad´ odnak. Val´ oban, |x − y| + (x + y) L(|x − y|) + (L(x) + L(y)) L(x ∨ y) = L = = 2 2 |L(x) − L(y)| + (L(x) − L(y)) = L(x) ∨ L(y). = 2 Ezzel az ´all´ıt´as els˝ o r´esz´et bebizony´ıtottuk, a m´asodik r´esz hasonl´oan igazolhat´o.
Megjegyz´esek 1. A 6. T´ etel h´ anyadosok hat´ ar´ ert´ ek´ ere vonatkoz´ o r´ esz´ enek a megfogalmaz´ as´ an´ al gyakran elhagyj´ ak az yn 6= 0 (n ∈ N) felt´ etelt. Ez az apr´ o pontatlans´ ag nem vezet f´ elre´ ert´ eshez. Az L(y) 6= 0 felt´ etelb˝ ol ui. k¨ ovetkezik, hogy az y sorozatnak csak v´ eges sok tagja lehet 0. Ezeket megv´ altoztatva mindig el´ erhet˝ o, hogy teljes¨ ulj¨ on a mondott t´ etelben szerepl˝ o felt´ etel. Minthogy ez a v´ altoztat´ as sem az y sorozat konvergenci´ aj´ at, sem annak a hat´ ar´ ert´ ek´ et nem befoly´ asolja, az´ ert a mondott kieg´ esz´ıt´ essel a t´ etel az yn 6= 0 (n ∈ N) felt´ etel n´ elk¨ ul is ´ erv´ enyes. 2. A sz´ amsorozatok halmaza line´ aris teret alkot a sorozatok k¨ oz¨ ott ´ ertelmezett ¨ osszead´ as ´ es a sz´ ammal val´ o szorz´ as m˝ uveletekkel. A korl´ atos sorozatok halmaza ennek a t´ ernek egy line´ aris altere. A 6. T´ etel szerint k´ et konvergens sorozat ¨ osszege ´ es konvergens sorozatok sz´ amszorosa is kovergens. Minthogy minden konvergens sorozat egyben korl´ atos is, az´ ert a konvergens sorozatok halmaza a korl´ atos sorozatok ter´ enek egy line´ aris altere. Az ¨ osszeg ´ es a sz´ amszoros hat´ ar´ ert´ ek´ ere vonatkoz´ o szab´ aly — a line´ aris algebra terminol´ ogi´ aj´ at haszn´ alva — pontosan azt fejezi ki, hogy az L : C → K hat´ art´ ek vagy limesz funkcion´ al line´ aris. A nullsorozatokra vonatkoz´ o 2. T´ etelb˝ ol pedig az k¨ ovetkezik, hogy N a C-nek egy line´ aris altere. ¨ Osszefoglalva a mondottakat: N ⊂ C ⊂ K ⊂ S, ahol mindegyik t´ er az el˝ oz˝ o val´ odi line´ aris altere. 3. A sorozatok k¨ or´ eben ´ ertelmezve van m´ eg egy harmadik m˝ uvelet is, sorozatok egym´ assal val´ o szorzata. Az S erre a h´ arom m˝ uveletre (az ¨ oszead´ asra, a sz´ ammal val´ o szorz´ asra ´ es sorozatok szorz´ as´ ara) n´ ezve kommutat´ıv algebr´ at alkot. Minthogy a sorozatok k¨ ozti szorz´ as m˝ uvelete sem vezet ki sem a korl´ atos, sem a konvergens, sem pedig a nullsorozatok ter´ eb˝ ol, az´ ert K az S-nek, C a K-nak ´ es N a C-nek r´ eszalgebr´ aja. V´ eg¨ ul az az ´ all´ıt´ as, hogy korl´ atos sorozat ´ es nullsorozat szorzata nullsorozat, a line´ aris algebra nyelv´ en a k¨ ovetkez˝ ok´ eppen fogalmazhat´ o meg: N a K-ban ´ es a C-ben egy ide´ al. A szorzat hat´ ar´ ert´ ek´ ere vonatkoz´ o szab´ alyt pedig u ´ gy szok´ as kifejezni, hogy az L : C → K limesz funkcion´ al multiplikat´ıv. 4. Teljes indukci´ oval egyszer˝ uen bel´ athat´ o, hogy az ¨ osszegre ´ es a szorzat hat´ ar´ ert´ ek´ ere vonatkoz´ o szab´ aly kett˝ on´ el t¨ obb tagra, ill. t´ enyez˝ ore is ´ erv´ enyes. Nevezetesen, ha n ∈ N, n > 1 ´ es
58
2.6. Monoton sorozatok hat´ar´ert´eke
x(1) , x(2) , · · · , x(n) ∈ S, akkor x(1) + x(2) + · · · + x(n) ∈ S, x(1) · x(2) · · · · · x(n) ∈ S ´ es L(x(1) + x(2) + · · · + x(n) ) = L(x(1) ) + L(x(2) ) + · · · + L(x(n) ), L(x(1) · x(2) · · · · · x(n) ) = L(x(1) ) · L(x(2) ) · · · · · L(x(n) ). 5. A 8. T´ etelb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy ha az x, y val´ os sz´ amsorozatokra x 5 y , akkor L(x) 5 L(y). Speci´ alisan, ha Θ 5 y, akkor 0 5 L(y). Ez azt jelenti, hogy az L funkcion´ al monoton, ill. pozit´ıv. K¨ onnyen igazolhat´ o, hogy line´ aris funkcion´ alok eset´ en ez a k´ et tulajdons´ ag, azaz a monotonit´ as ´ es a pozitivit´ as egym´ assal ekvivalensek. 6. A 8. T´ etel ii) r´ esze nem pontos megford´ıt´ asa az i)-nek. Az i)-ben ui. az L(x) < L(y) szigor´ uan nagyobb rel´ aci´ ob´ ol indulunk ki, m´ıg a ii)-ben csak az L(x) 5 L(y) rel´ aci´ ora tudunk k¨ ovetkeztetni. Enn´ el t¨ obbet m´ eg akkor sem tudunk mondani, ha a t´ etelben szerepl˝ o felt´ etel helyett a szigor´ ubb xn < yn (n ∈ N) felt´ etellel ´ el¨ unk. Ezt mutatja az xn := 1 − 1/n, yn := 1+1/n (n ∈ N∗ ) sorozatok p´ eld´ aja, amelyekre xn < yn (n ∈ N), ugyanakkor L(x) = L(y) = 1. 7. Az 5. K¨ ovetkezm´ enyt — utalva annak szeml´ eletes tartalm´ ara — k¨ ozrefog´ asi elvnek is szok´ as nevezni.
2.6. Monoton sorozatok hat´ar´ert´eke Monoton sorozatok konvergenci´ aj´ ara vonatkoz´oan egy egyszer˝ u ´es j´ol haszn´alhat´o sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etel adhat´ o. Ezzel kapcsolatos az al´abbi
10.T´etel. Legyen x egy monoton, val´os sz´amsorozat. Az x sorozat pontosan akkor konvergens, ha korl´ atos ´es L(x) = sup{xn : n ∈ N},
ha x monoton n¨ov˝o,
L(x) = inf{xn : n ∈ N},
ha x monoton fogy´o.
´s. Csak monoton n¨ Bizony´ıta ov˝ o sorozatokkal foglalkozunk. Minthogy monoton fogy´o sorozat −1-szerese monoton n¨ ov˝ o , az´ert a ´all´ıt´as m´asodik r´esze — felhaszn´alva a hat´ ar´ert´ekre vonatkoz´ o m˝ uveleti szab´alyokat ´es sup{−xn : n ∈ N} = − inf{xn : n ∈ N} azonoss´ agot — az els˝ ob˝ ol k¨ovetkezik. Legyen α := sup{xn : n ∈ N}. Ekkor a fels˝o hat´ar ´ertelmez´ese alapj´an a sorozat minden tagj´ara xn 5 α. M´ asr´eszt minden > 0 sz´amhoz l´etezik olyan N ∈ N index, hogy xN > α − . Mivel az x sorozat monoton n¨ov˝o, az´ert minden n = N indexre is xn > α − . Azt kaptuk teh´ at, hogy ∀ > 0
∃n ∈ N
∀ n ∈ N, n = N :
Ez pontosan azt jelenti, hogy L(x) = α.
α − < xn 5 α.
2. Sz´amsorozatok
59
Minden korl´atos v´ altoz´ as´ u sorozat el˝ o´ all´ıthat´o k´et korl´atos, monoton sorozat k¨ ul¨onbs´egek´ent. A most igazolt t´etel alapj´an teh´at minden korl´atos v´altoz´as´ u sorozat konvergens, azaz V a C-nek egy line´ aris altere. A 10. T´etelb˝ ol kiindulva val´ os sz´ amsorozat szupr´emum´at ´es infimum´at monoton sorozatok hat´ ar´ert´ekek´ent tudjuk el˝ o´ all´ıtani. Nevezetesen, tetsz˝oleges x val´os sz´amsorozat eset´en vezess¨ uk be az Xn := max{x0 , x1 , · · · , xn },
Yn := min{x0 , x1 , · · · , xn } (n ∈ N)
sorozatokat. Ekkor minden n ∈ N indexre inf {xk : k ∈ N} 5 Yn 5 xn 5 Xn 5 sup {xk : k ∈ N}. Felhaszn´alva az als´ o ´es fels˝ o hat´ ar monotonit´as´at, innen inf{Yn : n ∈ N} = inf{xn : n ∈ N},
sup{Xn : n ∈ N} = sup{xn : n ∈ N}
k¨ovetkezik. Minthogy az (Xn , n ∈ N) monoton n¨ov˝o ´es (Yn , n ∈ N) monoton fogy´o, felhaszn´alva a 10.T´etelt ad´ odik a
6.K¨ ovetkezm´eny. Tesz˝oleges x val´os sz´amsorozatra sup x = lim x0 ∨ x1 ∨ · · · ∨ xn , n→∞
inf x = lim x0 ∧ x1 ∧ · · · ∧ xn . n→∞
Ha λ > 0, akkor — amint az egyszer˝ uen bel´athat´o — (λx0 ) ∨ (λx1 ) ∨ · · · ∨ (λxn ) = λ(x0 ∨ x1 ∨ · · · ∨ xn ), (λx0 ) ∧ (λx1 ) ∧ · · · ∧ (λxn ) = λ(x0 ∧ x1 ∧ · · · ∧ xn ). Innen hat´ar´atemenettel a 6. K¨ ovetkezm´eny alapj´an ad´odik a
7.K¨ ovetkezm´eny. B´armely x val´os sz´amsorozatra ´es minden λ > 0 val´os sz´amra sup (λx) = λ sup x,
inf (λx) = λ inf x.
A 10.T´etel ´es a monoton r´eszsorozat l´etez´es´ere vonatkoz´o 1.T´etel alapj´an egyszer˝ uen igazolhat´o az al´ abbi u ´n.
Bolzano-Weierstrass-f´ele kiv´alaszt´asi t´etel. Minden korl´atos sz´amsorozatnak van konvergens r´eszsorozata.
60
2.6. Monoton sorozatok hat´ar´ert´eke
´s. Ha a sz´ Bizony´ıta oban forg´ o korl´ atos sorozat val´os, akkor az 1.T´etel alapj´an ennek van monoton ´es korl´ atos, teh´ at konvergens r´eszsorozata. Tekints¨ unk most egy korl´ atos, komplex sz´ amsorozatot: z = (zn , n ∈ N) = (xn + yn ı, n ∈ N). Minthogy |xn | 5 |zn | , |yn | 5 |zn | (n ∈ N), az´ert az x = (xn , n ∈ N), y = (yn , n ∈ N) sorozatok k¨ ul¨on-k¨ ul¨on korl´atosak. A most igazolt, val´os sorozatokra vonatkoz´ o kiv´ alaszt´ asi t´etel szerint az x sorozatnak l´etezik egy x ◦ ν konvergens r´eszsorozata. Az y sorozat ν-vel vett r´eszsorozata nem biztos, hogy konvergens. Korl´ atos l´ev´en, ennek is van konvergens r´eszsorozata. L´etezik teh´at olyan µ indexsorozat, hogy az (y ◦ ν) ◦ µ r´eszsorozat konvergens. Minthogy az (x◦ν)◦µ sorozat a m´ ar konvergens x◦ν-nek r´eszsorozata, az´ert a 3. K¨ovetkezm´eny alapj´an maga is konvergens. V´eg¨ ul felhaszn´ alva a 7.T´etelt azt kapjuk, hogy a z sorozat ν ◦ µ indexsorozattal k´epzett r´eszsorozata konvergens, hiszen ennek mind a val´os-, mind a k´epzetes r´esze konvergens. A monoton sorozatok konvergenci´ aj´ ara vonatkoz´o t´etel alapj´an egy u ´jabb bizony´ıt´ast adunk pozit´ıv sz´ amok m-edik gy¨ ok´enek a l´etez´es´ e√re. M´ıg az 1.3. pontban — a sz´etv´alaszt´ asi axi´ oma felhaszn´ al´ as´ aval — csak az n α l´etez´es´et igazoltuk, addig most egy numerikusan is j´ ol haszn´ alhat´o u ´n. konstrukt´ıv elj´ar´ast adunk a gy¨ok el˝o´all´ıt´as´ara.
11. T´etel. Legyen m ∈ N, m > 1 ´es α > 0 adott val´os sz´am. Tetsz˝oleges x0 > 0 val´ os sz´ amb´ ol kiindulva az al´abbi rekurzi´oval k´epezz¨ uk az (xk , k ∈ N) sz´ amsorozatot: 1 xk := m
(8)
!
α xm−1 k−1
+ (m − 1)xk−1
(k ∈ N∗ ).
Ekkor (xk , k ∈ N) konvergens ´es lim xk =
k→∞
√
m
α.
´s. Bizony´ıta Az x sorozat ´ertelmez´es´eb˝ ol teljes indukci´oval k¨ovetkezik, hogy xk > 0 (k ∈ N). El˝osz¨or megmutatjuk, hogy az (xk , k ∈ N∗ ) sorozat monoton fogy´o. A (8) egyenletet xk−1 -gyel osztva xk 1 α 1 = +1− m xk−1 m xk−1 m ad´odik. Innen k¨ ovetkezik, hogy i)
xk 51 xk−1
⇐⇒
ii)
α 5 xm k−1
(k ∈ N, k > 1).
2. Sz´amsorozatok
61
A ii) egyenl˝otlens´eg (8)-b´ ol azonnal ad´ odik, a β1 :=
α , β2 := · · · =: βm =: xk−1 xm−1 k−1
sz´amokra alkalmazva a sz´ amtani ´es m´ertani k¨oz´epre vonatkoz´o egyenl˝otlens´eget: m β1 + β2 + · · · + βm m = β1 β2 · · · βk = α (k ∈ N∗ ). xk = m Az i) ´es az xk−1 5 xk (k ∈ N, k > 1) ´ all´ıt´ asok egym´assal ekvivalensek, k¨ovetkez´esk´eppen az x sorozat a m´ asodik tagt´ ol kezd˝ od˝ oen val´oban monoton fogy´o. Minthogy xk > 0 (k ∈ N), az´ert az x konvergens. Legyen ξ := L(x). ii)-b˝ ol ´es a hat´er´ert´ekre vonatkoz´o m˝ uveleti szab´alyokb´ol k¨ovetkezik, hogy 0 < α 5 ξ m , s ez´ert ξ > 0. Ism´et alkalmazva az eml´ıtett szab´alyokat, (8)-b´ ol ! 1 α + (m − 1)xk−1 = ξ = lim xk = lim k→∞ k→∞ m xm−1 k−1 1 α + (m − 1)ξ = m ξ m−1 ad´odik. Innen ´atrendez´es ut´ an ξ m = α,
azaz
ξ=
√
m
α.
Ezzel a t´etelt bebizony´ıtottuk.
Megjegyz´esek 1. A fels˝ o´ es az als´ o hat´ arral kapcsolatban — a 6. K¨ ovetkezm´ ennyel ¨ osszhangban — az al´ abbi jel¨ ol´ eseket is szok´ as haszn´ alni: ∨∞ n=0 xn := sup x,
∧∞ n=0 xn := inf x.
Ezt az ´ ertelmez´ est u ´gy tekinthetj¨ uk, mint a h´ al´ o m˝ uveleteknek v´ egtelen sok tagra val´ o kiterjeszt´ es´ et. 2. A 11.T´ etelben k¨ oz¨ olt algoritmus egy ´ altal´ anos numerikus elj´ ar´ asnak, az u ´ n. Newton-f´ ele m´ odszernek egy speci´ alis esete. odszer konvergenci´ aj´ anak a sebess´ eg´ et j´ ol szeml´ elteti √ A m´ az al´ abbi p´ elda, amelyben az 2 k¨ ozel´ıt˝ o kisz´ am´ıt´ as´ ara haszn´ altuk a k¨ oz¨ olt iter´ aci´ ot, x0 := 2 ´ ert´ ekb˝ ol kiindulva: x0 = 2.00000000000000...,
x1 = 1.50000000000000...,
x2 = 1.41666666666666...
x3 = 1.41421568627451...,
x4 = 1.41421356237469...,
x5 = 1.414213562373095...
3. A sz´ oban forg´ o elj´ ar´ as m´ asodrendben konvergens. Ez szeml´ eletesen sz´ olva azt jelenti, hogy a kapott sorozatban a pontos tizedesjegyek sz´ ama minden l´ ep´ esben nagyj´ ab´ ol megdupl´ az´ odik.
62
2.7 A Cauchy-f´ele konvergencia krit´erium
Ezt az al´ abbi t´ abl´ azat is j´ ol mutatja, ahol dupla pontoss´ ag´ u aritmetik´ at haszn´ alva a fenti sorozatban csak azokat a jegyeket t¨ untett¨ uk fel, amelyek a k¨ ovetkez˝ o l´ ep´ esben m´ ar nem v´ altoznak: x1 = 1............................... x2 = 1.41.......................... x3 = 1.41421..................... x4 = 1.41421356237.......... x5 = 1.414213562373095...
2.7. A Cauchy-f´ele konvergencia krit´erium Valamennyi eddig ismertetett konvergencia defin´ıci´oban explicit form´aban el˝ofordul a hat´ar´ert´ek. Ezek alapj´ an teh´ at valamely sorozat konvergenci´aj´at csak akkor tudjuk igazolni, ha m´ ar ismerj¨ uk a hat´ar´ert´eket. Az al´abbiakban egy olyan — ´altal´anos ´erv´eny˝ u — krit´eriumot adunk, amellyel a sorozat konvergenci´aja a hat´ar´ert´ek ismerete n´elk¨ ul is eld¨ onthet˝ o. Ehhez bevezetj¨ uk az al´abbi fogalmat.
Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy az x = (xn , n ∈ N) sz´amsorozat Cauchy-sorozat vagy szab´ alyos sorozat, ha b´armely > 0 sz´amhoz l´etezik olyan N ∈ N sz´ am, hogy minden m, n ∈ N, n = N, m = N indexre |xn − xm | < , vagy logikai jel¨ ol´esekkel: ∀ > 0
∃N ∈ N
∀ m, n ∈ N, n, m = N :
|xn − xm | < .
E defin´ıci´o alapj´ an r¨ oviden megfogalmazhat´o az al´abbi t´etel, amelyet Cachy-f´ele konvergencia krit´eriumnak is szok´ as nevezni.
12.T´etel. Az x sz´amsorozat akkor ´es csak akkor konvergens, ha x Cauchy-sorozat. ´s. i) El˝ Bizony´ıta osz¨ or megmutatjuk, hogy minden konvergens sorozat egyben Cauchy-sorozat is. Legyen teh´ at x ∈ C ´es ´ırjuk fel a hat´ar´ert´ek defin´ıci´oj´at > 0 helyett az /2 sz´ ammal: ∀ > 0
∃N ∈ N
∀ m, n ∈ N, n, m = N : |xn − L(x)| < , |xm − L(x)| < . 2 2 Innen a h´aromsz¨ og-egyenl˝ otlens´eg alapj´ an |xn − xm | = |(xn − L(x)) + (L(x) − xm )| 5 5 |xn − L(x)| + |xm − L(x)| < + = , 2 2
2. Sz´amsorozatok
63
ha m, n = N , k¨ovetkez´esk´eppen x Cauchy-sorozat. ii) Most tegy¨ uk fel, hogy x Cauchy-sorozat, ´es igazoljuk, hogy konvergens. Ehhez els˝o l´ep´esk´ent megmutatjuk, hogy x korl´ atos. A Cauchy-sorozat defin´ıci´ oj´ ab´ ol := 1 v´ alaszt´as mellett azt kapjuk, hogy ∃N ∈ N
∀ n, m ∈ N, n, m = N :
|xn − xm | < 1.
Innen speci´alisan m = N eset´en |xn | 5 |xn − xN | + |xN | 5 |xN | + 1 k¨ovetkezik. Legyen K := max { |x1 |, |x2 |, · · · , |xN −1 |, |xN | + 1 }. Ekkor minden n ∈ N indexre |xn | 5 K, teh´ at x val´oban korl´atos. A Bolzano-Weierstrass-f´ele kiv´ alaszt´ asi t´etel szerint x-nek van egy x ◦ ν konvergens r´eszsorozata. Legyen α := lim xνk . k→∞
Megmutatjuk, hogy x konvergens ´es α az x-nek is hat´ar´ert´eke. Ehhez egyr´eszt felhaszn´aljuk, hogy a hat´ ar´ert´ek ´eretelmez´ese alapj´an ∀ > 0
∃ N1 ∈ N
∀ k ∈ N, k = N1 :
|xνk − α| <
. 2
M´asr´eszt, mivel x Cauchy-sorozat ∀ > 0
∃N ∈ N
∀ m, n ∈ N, m, n = N :
|xn − xm | <
. 2
V´alasszunk olyan k > N1 indexet, hogy νk = N teljes¨ ulj¨on. Mivel a ν indexsorozat fel¨ ulr˝ol nem korl´ atos, az´ert ilyen k val´ oban l´etezik. A fenti k´et egyenl˝otlens´egb˝ol m = νk v´alaszt´assal minden n = N indexre |xn − α| 5 |xn − xνk | + |xνk − α| <
+ = . 2 2
Ez pontosan azt jelenti, hogy x konvergens ´es L(x) = α.
64
2.8. T´agabb ´ertelemben vett hat´ar´ert´ek
Megjegyz´esek 1. A Cauchy-f´ ele konvergencia krit´ eriumot — amiatt, hogy benne a hat´ ar´ ert´ ek explicit form´ aban nem szerepel — gyakran bels˝ o konvergencia krit´ eriumnak is nevezik. 2. A Cauchy-f´ ele konvergencia krit´ eriumban sorozatok konvergenci´ aj´ ara egy sz¨ uks´ eges ´ es el´ egs´ eges felt´ etelt adtunk meg. Ezt a krit´ eriumot ez´ ert gyakran a k¨ ovetkez˝ o form´ aban is szokt´ ak fogalmazni: ahhoz, hogy egy sorozat konvergens legyen, sz¨ uks´ eges ´ es el´ egs´ eges, hogy a sorozat Cauchy-sorozat legyen. ´ 3. Altal´ aban a sorozatok konvergenci´ aj´ ara vonatkoz´ o t´ eteleket — pontosabban azok felt´ eteleit — szokt´ ak konvergencia krit´ eriumoknak nevezni. Aszerint, hogy egy felt´ etel teljes¨ ul´ ese a konvergenci´ ahoz sz¨ uks´ eges, el´ egs´ eges, vagy sz¨ uks´ eges ´ es el´ egs´ eges, szok´ as sz¨ uks´ eges, el´ egs´ eges, ill. sz¨ uks´ eges ´ es el´ egs´ eges krit´ eriumr´ ol besz´ elni. Sz¨ uks´ eges krit´ eriumot fogalmaztunk meg pl. a 2. K¨ ovetkezm´ enyben. A 10.T´ etelben el´ egs´ eges felt´ etelt adtunk sorozatok konvergenci´ aj´ ara. Ez ut´ obbi t´ etel nyilv´ an ´ıgy is megfogalmazhat´ o: ahhoz, hogy egy val´ os sz´ amsorozat konvergens legyen, el´ egs´ eges, hogy monoton ´ es korl´ atos legyen. 4. A Cauchy-f´ ele konvergencia krit´ erium kapcsolatban van a teljess´ eg fogalm´ aval. Akkor mondjuk, hogy valamely F rendezett sz´ amtest teljes, ha minden xn ∈ F (n ∈ N) Cauchy-sorozat konvergens ´ es hat´ ar´ ert´ eke F-ben van. Ezt a fogalmat haszn´ alva a most igazolt Cauchy-f´ ele konvergencia krit´ erium azzal ekvivalens, hogy a val´ os ´ es a komplex sz´ amok teste teljes. √ A racion´ alis sz´ amok teste nem teljes. Ismeretes, hogy pl. 2∈ / Q. A gy¨ ok¨ ok el˝ o´ all´ıt´ as´ ara szolg´ al´ o´ es az x0 := 2 kezdeti ´ ert´ ekkel indul´ o (8) elj´ ar´ ast erre az esetre fel´ırva
xn =
xn−1 + x 1 n−1 2
(n ∈ N∗ )
√ ad´ odik. Innen nyilv´ anval´ o, hogy xn ∈ Q (n ∈ N) ´ es a 11.T´ etel alapj´ an limn→∞ xn = 2. Az x teh´ at olyan Q-beli Cauchy-sorozat, amelynek hat´ ar´ ert´ eke nem racion´ alis. Ezzel bel´ attuk, hogy a racion´ alis sz´ amok teste nem teljes. Az irracion´ alis sz´ amok bevezet´ es´ ere — az anal´ızis szempontjait tekintve — els˝ osorban az´ ert van sz¨ uks´ eg, mert Q nem teljes; viszont kib˝ ov´ıtve az irracion´ alis sz´ amokkal, teljess´ e v´ alik. Ezt a t´ enyt u ´ gy szoktuk kifejezni, hogy az irracion´ alis sz´ amok bevezet´ es´ evel a racion´ alis sz´ amok test´ et teljess´ e tessz¨ uk.
2.8. T´agabb ´ertelemben vett hat´ar´ert´ek Az eddig megismert hat´ ar´ert´ek mellett — amit szok´as sz˝ ukebb ´ertelemben vett hat´ar´ert´eknek is nevezni — fontos szerepet j´atszik a hat´ar´ert´eknek egy m´asik t´ıpusa. A hat´ar´ert´ek most bevezet´esre ker¨ ul˝o kiterjeszt´ese sor´an c´elszer˝ u a val´os ´es a komplex sz´ amsorozatokkal k¨ ul¨ on-k¨ ul¨ on foglalkozni. A hat´ar´ert´ek kiterjeszt´ese sor´an olyan sorozatokat is figyelembe fogunk venni, amelyek tagjai a +∞ ´es a −∞ ´ert´ekeket is felvehetik. A tov´ abbiakban az ilyen x : N → R lek´epez´eseket val´os sorozatoknak nevezz¨ uk, megk¨ ul¨ onb¨ oztetve ezeket az eddig is vizsg´alt val´os sz´amsorozatokt´ol. I. Tekints¨ uk el˝ osz¨ or a val´ os sorozatokat.
2. Sz´amsorozatok
65
Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy a val´os x = (xn , n ∈ N) sorozatnak plusz v´ egtelen a hat´ ar´ ert´ eke (m´ as sz´oval: x tart a +∞-hez), ha ∀P ∈ R
∃N ∈ N
∀ n ∈ N, n = N :
xn > P.
Ha az ´all´ıt´ asban a > rel´ aci´ o helyett a < rel´aci´oval teljes¨ ul, azaz ha ∀P ∈ R
∃N ∈ N
∀ n ∈ N, n = N :
xn < P,
akkor azt mondjuk, hogy az x sorozat hat´ ar´ ert´ eke m´ınusz v´ egtelen (m´as sz´ oval: x tart −∞-hez. Azt, hogy az x sorozatnak plusz v´egtelen, ill. m´ınusz v´egtelen a hat´ar´ert´eke, az al´abbi szimb´olumok valamelyik´evel jel¨ olj¨ uk: lim xn = +∞,
n→∞
L(x) = +∞,
xn → ∞ (n → ∞),
ill. lim xn = −∞,
n→∞
L(x) = −∞,
xn → −∞ (n → ∞).
Az (n, n ∈ N) sorozat nyilv´ an a +∞-hez tart, a (−n2 , n ∈ N) sorozatnak −∞ a hat´ar´ert´eke, m´ıg a ((−1)n · n, n ∈ N) sorozatnak nincs hat´ar´ert´eke. Ha valamely val´ os sz´ amsorozatnak +∞ vagy −∞ a hat´ar´ert´eke, akkor azt fogjuk mondani, hogy a sorozat t´agabb ´ertelemben konvergens. A t´agabb ´ertelemben vett hat´art´ert´ek igen sok vonatkoz´ asban hasonl´ o a ”k¨oz¨ons´eges” hat´ar´ert´ekhez (azaz, amikor a hat´ar´ert´ek egy sz´ am). Van azonban n´eh´any t´etel, ilyen pl. a Cauchyf´ele konvergencia krit´erium, amely csak sz˝ ukebb ´ertelemben (teh´at 2.4. szerint) konvergens sorozatokra ´erv´enyes. A k´et fajta hat´ar´ert´ek megk¨ ul¨onb¨oztet´es´ere az al´abbi sz´ohaszn´alatot fogjuk k¨ ovetni: az a kijelent´es, hogy egy sorozat konvergens, a j¨ov˝oben mindig azt jelenti, hogy a sorozatnak sz´am a hat´ar´ert´eke. Ha valamely sorozat sz˝ ukebb, vagy t´ agabb ´ertelemben konvergens, akkor azt mondjuk, hogy a sorozatnak van hat´ar´ert´eke. A sz˝ ukebb ´ertelemben vett hat´ar´ert´ek defin´ıci´oj´ahoz hasonl´oan most is c´elszer˝ u geometriai ´ertelmez´est is adni. A k¨ornyezet fogalm´anak kiterjeszt´es´evel a k´et fajta hat´ ar´ert´ekre egy egys´eges ´ertelmez´est tudunk megfogalmazni.
Defin´ıci´ o. Legyen > 0. Ekkor a 1 K (+∞) := ( , +∞],
1 K (−∞) := [−∞, − )
R-beli intervallumokat a +∞ pont 1/ kezd˝opont´ u k¨ornyezet´enek, ill. a −∞ pont −1/ v´egpont´ u k¨ ornyezet´enek nevezz¨ uk.
66
2.8. T´agabb ´ertelemben vett hat´ar´ert´ek
A k¨ornyezet fogalm´ anak ezt a kiterjeszt´es´et haszn´alva a hat´ar´ert´ek l´etez´es´ere az al´abbi egys´eges, a v´eges ´es v´egtelen hat´ar´ert´eket egyar´ant mag´aban foglal´o ´ertelmez´es adhat´ o.
Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy az x val´os sorozatnak van hat´ar´ ert´ eke, ha l´etezik olyan α ∈ R elem, hogy ennek b´armely k¨ornyezet´en k´ıv¨ ul a sorozatnak legfeljebb v´eges sok tagja van. Ezzel ekvivalens megfogalmaz´ as logikai jel¨ ol´eseket haszn´alva: ∃α ∈ R
∀ > 0
∃N ∈ N
∀ n ∈ N, n = N :
xn ∈ K (α).
A hat´ar´ert´ekre vonatkoz´ o t´etelek ´es m˝ uveleti szab´alyok nagy r´esze a t´agabb ´ertelemben vett hat´ ar´ert´ekre is ´erv´enyes. Ezek egyszer˝ u megfogalmaz´as´ahoz kiter¯ halmazra az al´abbi t´abl´azat szerint: jesztj¨ uk az algebrai m˝ uveleteket az R − ∞ + α := α + (−∞) := −∞ (α ∈ [−∞, +∞)) + ∞ + α := α + (+∞) := +∞ (α ∈ (−∞, +∞]) + ∞ · α := α · (+∞) = +∞ (α ∈ (0, +∞]) + ∞ · α := α · (+∞) = −∞ (α ∈ [−∞, 0)) − ∞ · α := α · (−∞) = −∞ (α ∈ (0, +∞]) − ∞ · α := α · (−∞) = +∞ (α ∈ [−∞, 0)) α α := := 0 (α ∈ (−∞, +∞)) +∞ −∞ 1 α := α · ((α, β) ∈ (−∞, +∞) × {−∞, +∞} ∪ [−∞, +∞] × (R{0})). β β Megjegyezz¨ uk, hogy nem ´ertelmezt¨ uk a +∞ ´es a −∞, ill. a −∞ ´es a +∞ elemek o¨sszeg´et, a 0-nak a +∞-nel ´es a −∞-nel val´ o szorzat´at, valamint nem defini´altuk az α/β h´anyadost, ha β = 0, vagy, ha α, β ∈ {+∞, −∞}. A most bevezetett ´ertelmez´eseket felhaszn´ alva a hat´ar´ert´ekre vonatkoz´o m˝ uveleti szab´alyok az al´abbi egys´eges form´ aban adhat´ok meg.
13.T´etel. Tegy¨uk fel, hogy az x ´es y val´os sz´amsorozatoknak van hat´ar´ert´eke. Ha ∗ jelenti a +, −, ·, / szimb´olumok valamelyik´et ´es L(x) ∗ L(y)-nak a fentiek szerint van ´ertelme, akkor az x ∗ y sorozatoknak is van hat´ ar´ert´eke ´es L(x ∗ y) = L(x) ∗ L(y).
´s. Minthogy az L(x), L(y) ∈ R esetet m´ar kor´abban igazoltuk, az´ert Bizony´ıta feltessz¨ uk, hogy a k´et hat´ ar´ert´ek k¨ oz¨ ul legal´ abb az egyik nem v´eges.
2. Sz´amsorozatok
67
i) Az ¨osszegre vonatkoz´ o ´ all´ıt´ as igazol´ as´ahoz feltessz¨ uk, hogy L(x) = +∞, L(y) ∈ (−∞, +∞], megjegyezve, hogy az L(x) = −∞, L(y) ∈ [−∞, +∞) eset hasonl´oan t´argyalhat´ o. Megmutatjuk, hogy ekkor L(x + y) = +∞. A hat´ar´ert´ek defin´ıci´ oja alapj´ an ´erv´enyes a k¨ovetkez˝o: ∀ P1 < L(y)
∃ N2 ∈ N
∀ n ∈ N, n = N2 :
yn > P1 ,
ill. ∀P ∈ R
∃ N1 ∈ N
∀ n ∈ N, n = N1 :
xn > P − P1 .
R¨ogz´ıtve egy P1 < L(y) sz´ amot azt kapjuk, hogy minden n = max {N1 , N2 } indexre xn + yn > P1 + (P − P1 ) = P, ´es ez pontosan azt jelenti, hogy L(x + y) = +∞. A k¨ ul¨onbs´egre vonatkoz´ o´ all´ıt´ as hasonl´ oan igazolhat´o. ii) A szorzatra vonatkoz´ oa ´ll´ıt´ ast az L(x) = +∞, L(y) > 0 esetben igazoljuk. A m´asik h´arom eset ugyan´ ugy t´ argyalhat´ o. A hat´ar´ert´ek ´ertelmez´es´eb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy ∀ 0 < P1 < L(y)
∃ N2 ∈ N
∀ n ∈ N, n = N2 :
yn > P1 ,
ill. ∀0 < P ∈ R
∃ N1 ∈ N
∀ n ∈ N, n = N1 :
xn >
P . P1
Ekkor viszont minden n = max{N1 , N2 } indexre xn · yn > P2 ·
P = P, P2
azaz val´oban L(x · y) = +∞. iii) A h´anyadosra vonatkoz´ o´ all´ıt´ as a szorzatra ´es a reciprokra vonatkoz´o t´etel ´ k¨ovetkezm´enye. Eppen ez´ert el´eg azt megmutatni, hogy ha L(y) ∈ {+∞, −∞}, akkor L(1/y) = 0. Tegy¨ uk fel pl., hogy L(y) = +∞. Ekkor majdnem minden n ∈ N eset´en yn 6= 0, tov´ abb´ a ∀ > 0
∃N ∈ N
∀ n ∈ N, n = N :
Innen k¨ovetkezik, hogy 1 < , yn
ha n = N.
yn >
1 .
68
2.8. T´agabb ´ertelemben vett hat´ar´ert´ek
Ezzel az L(y) = +∞ esetben megmutattuk, hogy L(1/y) = 0. Az L(y) = −∞ esetben az ´all´ıt ´ as hasonl´ on igazolhat´ o. A motonoton sorozatok konvergenci´ aj´ ara vonatkoz´o t´etel – t´agabb ´ertelemben vett hat´ar´ert´eket is megengedve – a k¨ ovetkez˝ok´eppen m´odosul.
14.T´etel. B´armely val´os monoton sorozatnak van hat´ar´ert´eke ´es lim x = sup x,
ha x monoton n¨ov˝o,
lim x = inf x,
ha x monoton fogy´o.
´s. A t´etelt korl´ Bizony´ıta atos sz´ amsorozatokra m´ar kor´abban igazoltuk. Ha x monoton n¨ov˝o ´es nem korl´ atos, akkor a fels˝ o hat´ar kor´abbi ´ertelmez´es´enek megfelel˝oen sup x = +∞. Ez azt jelenti, hogy ∀P ∈ R
∃N ∈ N :
xN > P,
ahonnan az x sorozat monoton n¨ oveked´es´et figyelembe v´eve xn > P (n = N ) k¨ovetkezik. Azt kaptuk teh´ at, hogy ∀P ∈ R
∃N ∈ N
∀ n ∈ N, n = N :
xn > P,
s ezzel az L(x) = +∞ ´ all´ıt´ ast igazoltuk. Monoton fogy´o sorozatokra a t´etel hasonl´oan igazolhat´ o. II. Komplex sz´amsorozatok k¨ or´eben is szok´as t´agabb ´ertelemben vett hat´ar´ert´eket bevezetni. A komplex sz´ ams´ıkot egyetlen ide´alis elemmel, a v´egtelennel szokt´ak kib˝ov´ıteni, ´es a kib˝ ov´ıtett sz´ ams´ıkot a C := C ∪ {∞} szimb´olummal jel¨ olni. Ezzel ¨ oszhangban a komplex sz´amsorozatokra vonatkoz´oan egyetlen ”v´egtelen” hat´ ar´ert´eket vezet¨ unk be.
Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy a z = (zn , n ∈ N) komplex sz´amsorozatnak ∞ a hat´ ar´ert´eke, ha a |z| := (|zn |, n ∈ N) val´os sz´amsorozatnak +∞ a hat´ ar´ert´eke. Ugyanez logikai jel¨ol´esekkel: ∀P ∈ R
∃N ∈ N
∀ n ∈ N, n = N :
|zn | > P.
Bevezetve a ∞ k¨ ornyezet´et ez a defin´ıci´ o geometriai alakban is ´atfogalmazhat´o. Tetsz˝oleges > 0 sz´ am eset´en a C kib˝ ov´ıtett sz´ams´ık K (∞) := {z ∈ C : |z| >
1 } ∪ {∞}
2. Sz´amsorozatok
69
r´eszhalmaz´at a ∞ pont -sugar´ u k¨ ornyezet´enek nevezz¨ uk. A k¨ornyezet fogalm´ at felhaszn´ alva komplex sz´amsorozatok eset´en is adhatunk egy, a t´agabb ´ertelemben vett hat´ ar´ert´eket is mag´aban foglal´o defin´ıci´ot: a z = (zn , n ∈ N) komplex sz´ amsorozatnak akkor van hat´ar´ert´eke, ha ∃α ∈ C
∀ > 0
∃N ∈ N
∀ n ∈ N, n = N :
xn ∈ K (α).
A (q n , n ∈ N) m´ertani sorozatnak |q| > 1 eset´en ∞ a hat´ar´ert´eke, hiszen |q|n = |q|n → +∞,
ha n → ∞.
Megjegyz´esek 1. Nem korl´ atos val´ os sz´ amhalmaz als´ o ´ es fels˝ o hat´ ar´ at az 1.4. ponthoz f˝ uz¨ ott megjegyz´ esben ´ ertelmezt¨ uk. Az ottani defin´ıci´ o c´ elszer˝ us´ eg´ et a 11.T´ etel is al´ at´ amasztja. 2. Ha a 13.T´ etelben szerepl˝ o m˝ uveletek valamelyik´ enek nincs ´ ertelme, akkor az egyenl˝ os´ eg bal oldal´ an ´ all´ o sorozat hat´ ar´ ert´ ek´ enek a l´ etez´ es´ er˝ ol ´ altal´ aban semmit sem tudunk mondani. Ezeket a kritikus eseteket r¨ oviden a ∞ − ∞, 0 · ∞, ∞/∞ szimb´ olumokkal szoktuk jel¨ olni. Ezekben az esetekben nincs ”´ altal´ anos szab´ aly”. Pl. az L(x) = +∞, L(y) = −∞ esetben az x ´ es y sorozat megv´ alaszt´ as´ at´ ol f¨ ugg˝ oen el˝ ofordulhat, hogy az x + y sorozatnak van v´ eges, vagy van v´ egtelen hat´ ar´ ert´ eke, de az is el˝ ofordulhat, hogy az ¨ osszegnek nincs hat´ ar´ ert´ eke. Hasonl´ o a helyzet a t¨ obbi kritikus esetben is. Ezzel ¨ osszef¨ ugg´ esben l´ asd a 17. Feladatot. Vannak azonban olyan elj´ ar´ asok, amelyekkel az eml´ıtett kritikus esetek egy jelent˝ os r´ esze is kezelhet˝ o. Ilyen a differenci´ alhat´ os´ ag fogalm´ ara ´ ep¨ ul˝ ou ´ n. L’Hospital-szab´ aly, amelyet k´ es˝ obb fogunk t´ argyalni. 3. A konvergens sorozatokra megfogalmazott 1. ´ es 3. K¨ ovetkezm´ eny valamint a 10.T´ etel t´ agabb ´ ertelemben konvergens sorozatokra is ´ erv´ enyes, ugyanakkor a 12.T´ etel csak akkor ´ all fenn, ha v´ eges a hat´ ar´ ert´ ek. 4. A komplex sz´ amokat a sz´ ams´ık helyett n´ eha az u ´n. Riemann-f´ ele sz´ amg¨ omb¨ on is szok´ as szeml´ eltetni. A k´ etfajta ´ abr´ azol´ as k¨ oz¨ ott vet´ıt´ essel (az u ´n. sztereografikus projekci´ oval) tudunk kapcsolatot teremteni. Helyezz¨ unk a komplex sz´ ams´ıkra egy egys´ eg sugar´ u g¨ omb¨ ot, u ´gy, hogy az a 0 pontban ´ erintse a sz´ ams´ıkot. A g¨ omb 0-val ´ atellenes pontj´ ab´ ol vet´ıts¨ uk a sz´ ams´ık pontjait a g¨ omb fel¨ ulet´ ere. Ezzel – a vet´ıt´ esi pontot kiv´ eve – a komplex sz´ ams´ık pontjai ´ es a sz´ oban forg´ o g¨ ombfel¨ ulet pontjai k¨ oz¨ ott k¨ olcs¨ on¨ osen egy´ ertelm˝ u megfeleltet´ est l´ etes´ıtett¨ unk. Ezt a lek´ epez´ est felhaszn´ alva a komplex sz´ amokat az eml´ıtett g¨ ombfel¨ ulet, az u ´n. Riemann-f´ ele sz´ amg¨ omb pontjaival ´ abr´ azolhatjuk. Ha a vet´ıt´ esi pontnak a ∞ elemet feleltetj¨ uk meg, akkor a sz´ oban forg´ o g¨ ombfel¨ ulet ´ es a C k¨ oz¨ ott egy bijekci´ ot l´ etes´ıtett¨ unk.
2.9. Sorozat als´ o ´es fels˝ o hat´ar´ert´eke Eddig f˝oleg olyan sorozatokkal foglalkoztunk, amelyeknek van hat´ar´ert´eke. Ha valamely val´os sorozatnak nincs hat´ ar´ert´eke, akkor is kiv´alaszthat´o bel˝ole egy
70
2.9. Sorozatok als´o ´es fels˝o hat´ar´ert´eke
monoton, k¨ovetkez´esk´eppen hat´ ar´ert´ekkel rendelkez˝o r´eszsorozat. Tekints¨ uk valamely r¨ogz´ıtett x val´ os sz´ amsorozat ¨ osszes v´eges, vagy v´egtelen hat´ar´ert´ekkel rendelkez˝o r´eszsorozat´ at, ´es az ezekhez tartoz´ o hat´ar´ert´ekek halmaz´at jel¨olj¨ uk H-val. ¨res halmaz t¨ obb vonatkoz´asban is jellemzi az x sorozatot. NyEz a H ⊆ R nem u ilv´anval´o, hogy H pontosan akkor egy elem˝ u, ha x-nek van hat´ar´ert´eke. Ha a H-nak egyn´el t¨obb eleme van, akkor a lehets´eges r´eszsorozat hat´ar´ert´ekek k¨oz¨ott van k´et kit¨ untetett. Megmutatjuk ui., hogy a H-nak mindig van legkisebb ´es legnagyobb eleme. A legkisebb elemet az x sorozat als´o hat´ar´ert´ek´enek vagy limesz inferiorj´anak, a legnagyobb elemet pedig az x fels˝o hat´ar´ert´ek´enek vagy limesz szuperiorj´anak nevezz¨ uk, ´es ezeket a lim xn ,
lim inf xn , n→∞
L(x),
ill. a
n→∞
lim sup xn , n→∞
lim xn ,
n→∞
L(x)
szimb´olumok valamelyik´evel fogjuk jel¨ olni. Az al´abbiakban nem a most eml´ıtett, hanem egy ezzel ekvivalens konstrukt´ıv defin´ıci´obol indulunk ki, ´es majd megmutatjuk, hogy az ´ıgy ´ertelmezett als´o ´es fels˝o hat´ar´ert´ek rendelkezik a bevezet˝ oben eml´ıtett szeml´eletes tulajdons´agokkal. Tetsz˝oleges val´ os x sz´ amsorozatb´ ol kiindulva k´epezz¨ uk az
(9)
Xn := sup{xk : k = n, n + 1, n + 2, · · · }
(n ∈ N),
Yn := inf{xk : k = n, n + 1, n + 2, · · · }
(n ∈ N)
sorozatokat. Ha az x fel¨ ulr˝ ol nem korl´ atos, akkor az X sorozat minden tagja +∞, ha x alulr´ol nem korl´ atos, akkor Yn = −∞ minden n ∈ N indexre, s ez´ert ezek hat´ar´ert´eke +∞, ill. −∞. Minthogy {xk : k = n} ⊇ {xk : k = n + 1} (n ∈ N), az´ert Xn = Xn+1 , Yn 5 Yn+1 nak l´etezik a hat´ ar´ert´eke.
(n ∈ N), k¨ ovetkez´esk´eppen az X ´es az Y sorozat-
Defin´ıci´ o. Tetsz˝oleges x = (xn , n ∈ N) val´os sz´amsorozatra legyen L(x) := lim sup xn := lim Xn , n→∞
n→∞
L(x) := lim inf xn := lim Yn , n→∞
n→∞
ahol X ´es Y a (9)-ben ´ertelmezett sorozatokat jelenti. Az al´abbi ´all´ıt´ asban ¨ osszefoglaljuk az als´o ´es a fels˝o hat´ar´ert´ek legfontosabb tulajdons´agait.
2. Sz´amsorozatok
71
15. T´etel. Legyen x = (xn , n ∈ N) egy val´os sz´amsorozat. Ekkor amn´ al x-nek v´egtelen sok tagja nagyobb i) Tetsz˝ oleges s < L(x) sz´ ´es minden S > L(x) elemn´el x-nek legfeljebb v´eges sok tagja nagyobb. ii) Tetsz˝ oleges s < L(x) elemn´el az x sorozatnak legfeljebb v´eges sok tagja kisebb ´es minden S > L(x) sz´amn´al az x-nek v´egtelen sok tagja kisebb. iii) Ha a ν indexsorozat ´ altal gener´alt x ◦ ν r´eszsorozatnak l´etezik a hat´ ar´ert´eke, akkor L(x) 5 L(x ◦ ν) 5 L(x). iv) Van olyan ν ´es ν indexsorozat, hogy L(x) = L(x ◦ ν),
L(x) = L(x ◦ ν).
´s. Az al´ Bizony´ıta abbiakban csak a lim sup-ra vonatkoz´o ´all´ıt´asokat igazoljuk, megjegyezve, hogy a lim inf-fel kapcsolatos ´ all´ıt´asok – ´ertelemszer˝ u m´odos´ıt´asokkal – hasonl´oan ad´odnak. i) Legyen s < L(x) ´es az ´ all´ıt´ assal ellent´etben tegy¨ uk fel, hogy az x sorozatnak legfeljebb v´eges sok tagja nagyobb s-n´el. Ekkor l´etezne egy N ∈ N index, hogy xn 5 s, ha n = N , k¨ ovetkez´esk´eppen Xn 5 s minden n = N index eset´en. Innen az X sorozat hat´ ar´ert´ek´ere L(X) = L(x) 5 s ad´odik, ami nyilv´an ellentmond a kiindul´asul tekintett s < L(x) felt´etelnek. Az ´all´ıt´as m´asodik r´esz´enek az igazol´ as´ ahoz tekints¨ unk egy S > L(x) = L(X) sz´amot. Ekkor a hat´ ar´ert´ek ´ertelmez´ese alapj´an van olyan N index, hogy XN = sup{xk : k = n} < S, k¨ ovetkez´esk´eppen xk < S minden k = N indexre. Ezzel az i) ´all´ıt´ast teljes eg´esz´eben bebizony´ıtottuk. iii) Tegy¨ uk fel, hogy az x ◦ ν r´eszsorozatnak van hat´ar´ert´eke. Az X ´es az Y sorozat ´ertelmez´es´eb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy minden n ∈ N eset´en Yνn 5 xνn 5 Xνn . Innen, felhaszn´alva a hat´ ar´ert´ek monotonit´ as´at, az L(x) = L(Y ) 5 L(x ◦ ν) 5 L(X) = L(x) bizony´ıtand´o ´all´ıt´ ast kapjuk. iv) A fels˝o hat´ ar´ert´ek i)-ben igazolt tulajdons´aga alapj´an az α := L(x) b´armely k¨ornyezet´ebe az x-nek v´egtelen sok tagja esik, hiszen a k¨ornyezet baloldali v´egpontj´an´al v´egtelen sok tagja nagyobb, jobboldali v´egpontj´an´al viszont legfeljebb
72
2.9. Sorozatok als´o ´es fels˝o hat´ar´ert´eke
v´eges sok tagja nagyobb. Ennek alapj´ an , v´eve a K1/n (α) (n ∈ N)∗ k¨ornyezeteket, alhatunk, hogy minden n ∈ N∗ indexre rekurzi´oval olyan ν indexsorozatot defini´ xν n ∈ K1/n (α) teljes¨ ul. Ez azt jelenti, hogy az x ◦ ν r´eszsorozatnak az α a hat´ar´ert´eke. A lim sup ´es a lim inf a hat´ ar´ert´ek egyfajta ´altal´anos´ıt´asak´ent is felfoghat´o. Ezt t´amasztja al´a a k¨ ovetkez˝ o
16.
T´etel. Az x val´os sz´amsorozatnak akkor ´es csak akkor van hat´ar´ert´eke, ha L(x) = L(x) = L(x).
´s. Bizony´ıta uk ezt a k¨oz¨os ´ert´eket α-val. El˝osz¨or tegy¨ uk fel, hogy L(x) = L(x), ´es jel¨olj¨ Minthogy az X ´es az Y ´ertelmez´ese alapj´ an Yn 5 xn 5 Xn
(n ∈ N),
´es a felt´etel szerint L(Y ) = L(X) = α, az´ert az x-nek is van hat´ar´ert´eke ´es az α-val egyenl˝o. Az ´all´ıt´as megford´ıt´ as´ at indirekt m´ odon igazoljuk. Ha L(x) 6= L(x), akkor a 15.T´etel iv) r´esze szerint x-nek van k´et olyan r´eszsorozata, amelyeknek k¨ ul¨onb¨ozik a hat´ar´ert´eke. Ekkor viszont x-nek nyilv´ an nincs hat´ar´ert´eke. A 7.K¨ovetkezm´eny alapj´ an b´ armely λ > 0 sz´amot v´eve λ · Xn = sup{λxk : k = n} (n ∈ N), s innen, felhaszn´ alva a lim sup defin´ıci´ oj´ at ´es a sorozat sz´amszoros´anak a hat´ar´ert´ek´ere vonatkoz´ o szab´ alyt, ad´ odik az al´ abbi
4.K¨ ovetkezm´eny. B´armely pozit´ıv λ sz´amra L(λ · x) = λ · L(x).
Megjegyz´esek 1. Az als´ o´ es a fels˝ o hat´ art a 15.T´ etel i) ´ es ii) r´ esz´ eben megfogalmazott tulajdons´ agaik alapj´ an is szok´ as defini´ alni. A mondott tulajdons´ ag´ u, R-beli elemek l´ etez´ ese a sz´ etv´ alaszt´ asi axi´ oma alapj´ an igazolhat´ o. 2. A 15.T´ etel iii) ´ es iv) r´ esz´ eben megfogalmazott ´ all´ıt´ as az als´ o ´ es a fels˝ o hat´ ar´ ert´ eknek azt a szeml´ eletes tulajdons´ ag´ at fejezi ki, amelyet a bevezet˝ oben eml´ıtett¨ unk. 3. Az als´ o´ es a fels˝ o hat´ ar´ ert´ eket – a hat´ ar´ ert´ ekhez hasonl´ oan – c´ elszer˝ u f¨ uggv´ enyk´ ent felfogni: L : SR → R,
L : SR → R.
2. Sz´amsorozatok
73
A sup ´ es inf tulajdons´ agait felhaszn´ alva egyszer¨ uen igazolhat´ ok a sz´ oban forg´ o f¨ uggv´ enyek al´ abbi tulajdons´ agai: b´ armely k´ et val´ os x, y sz´ amsorozatra ´ es minden λ > 0 sz´ amra L(x + y) 5 L(x) + L(y),
L(x + y) = L(x) + L(y),
L(λ · x) = λ · L(x),
L(λ · x) = λ · L(x).
Az els˝ o sorban ´ all´ o egyenl˝ otlens´ egeket u ´ gy szoktuk szavakban kifejezni, hogy a lim sup funkcion´ al szubadditiv, a lim inf funkcion´ al szuperadditiv. A m´ asodik sorban megfogalmazott tulajdons´ agok pedig azt jelentik, hogy a sz´ oban forg´ o funkcion´ alok pozitiv homog´ enek.
2.10. Feladatok 1. Hat´arozzuk meg az al´ abbi sorozatok als´ o ´es fels˝o hat´ar´at, legkisebb ´es legnagyobb tagj´at, ha azok l´eteznek:
a)
(n, n ∈ N)
b)
(1, −1, 2, −2, · · · )
n
1 1 − (−1) , n ∈ N) d) ( , n ∈ N∗ ) 2 n 1 1 1 3 1 3 (−1)n , n ∈ N∗ ) f) ( , , , , , , · · · ) e) ( 3 3 4 4 5 5 n 8n + 3 1 g) ,n ∈ N h) (n − , n ∈ N∗ ) 5n + 4 n n n (−1) i) 1 + (−1)n + , n ∈ N∗ j) n(−1) , n ∈ N n 1 k) 3(1 − ) + 2(−1)n , n ∈ N∗ n 1 1 1 3 1 2n − 1 n `) , , , ,··· , n, ,··· . 2 2 4 4 2 2 c)
(
2. Az al´abbi sorozatok k¨ oz¨ ul melyek monoton sorozatok:
a) c)
1 ∗ , n ∈ N n2 5n + 1 ,n ∈ N n − 11.5 1+
d) x = (xn , n ∈ N),
b)
1−
ahol x0 < x1
(−1)n , n ∈ N∗ n
´es
xn+2 = xn+1 + 5x2n (n ∈ N).
74
2.10. Feladatok
3. A hat´ar´ert´ek defin´ıci´ oja alapj´ an igazoljuk az al´abbi egyenl˝os´egeket: a) c) e)
1+n 1 = b) 1 + 2n 2 −3n2 + 2 = −∞ d) lim n→∞ n+1 1−n 1+n +ı = 1 − ı. lim n→∞ n n lim
n→∞
lim (n + (−1)n ) = +∞
n→∞
lim
n→∞
1+
ı =1 n
(ı :=
√
−1)
4. Igazoljuk, hogy az al´ abbi sorozatok divergensek: a) c)
((−1)n + 1, n ∈ N) b) 1 1 1 1 + + + · · · + , n ∈ N∗ . 2 3 n
((−n)n , n ∈ N)
5. Adjuk meg az al´ abbi sorozatok egy monoton r´eszsorozat´at: n (−1)n + , n ∈ N∗ . a) (−1)3n+2 , n ∈ N b) n n − 100.5 6. Igazoljuk, hogy ha az (xn , n ∈ N∗ ) val´ os sz´amsorozat monoton, akkor a σn :=
x1 + x2 + · · · + xn n
(n ∈ N∗ )
sorozat is monoton. 7. Az al´abbi sorozatok k¨ oz¨ ul melyek az (n, n ∈ N) sorozat r´eszsorozatai: a)
(1, 2, 3, · · · )
c)
(2, 1, 4, 3, 6, 5, · · · ) d)
b)
(2, 4, 6, 8, · · · ) (1, 1, 2, 2, 3, 3, · · · ).
8. Hat´arozzuk meg az (1/n2 , n ∈ N∗ ) sorozatnak az al´abbi ν = (νn , n ∈ N) indexsorozatokhoz tartoz´ o r´eszsorozatait: a) ν := (11, 12, 13, · · · )
b) ν := (5, 10, 15, 20, · · · )
c) ν := (1, 4, 7, 10, 13, · · · ). 9. Igazoljuk, hogy minden p ∈ N, p > 2 sz´ amra √ lim p n = +∞. n→∞
10. Igazoljuk, hogy tetsz˝ oleges α ∈ R, α > 0 sz´amra √ lim n α = 1. n→∞
√ ´ Utmutat´ as: legyen el˝ osz¨ or α > 1, n α = 1 + hn (hn > 0, n > 1). Alkalmazzuk az α = (1 + hn )n sz´ amra a Bernoulli-f´ele egyenl˝otlens´eget.
2. Sz´amsorozatok
75
11. Hat´arozzuk meg az al´ abbi sorozatok hat´ ar´ert´ek´et: n−2 a) , n ∈ N∗ n n + 1994 ∗ , n ∈ N b) n2 (n + 4)3 − n(n + 6)2 ∗ , n ∈ N c) n3 a0 + a1 n + · · · + ap np d) , n ∈ N (p ∈ N∗ , a0 , · · · , ap , b0 , · · · , bp ∈ K) b 0 + b1 n + · · · + bq n q 1 + 2 + ··· + n n e) − ,n ∈ N n+2 2 1 + 3 + 5 + · · · + 2n − 1 ∗ f) , n ∈ N n3 2 1 + 22 + · · · + n2 ∗ g) , n ∈ N n3 2 1 + 32 + · · · + (2n − 1)2 ∗ , n ∈ N h) n3 1 · 2 + 2 · 3 + · · · + n(n + 1) ∗ i) , n ∈ N n3 n 2 + 2−n j) , n ∈ N 2−n + 3n αn k) , n ∈ N (α ∈ K) 1 + αn √ √ `) ( n + 1 − n, n ∈ N) √ √ √ m) n( n + 1 − n − 1), n ∈ N∗ ! √ √ 4 n3 + n − n √ n) ,n ∈ N n+2+ n+1 n √ ,n ∈ N o) √ n− n+1 3 ∗ √ p) , n ∈ N 1− n2 √ n q) 3n + 2n , n ∈ N n α r) ,n ∈ N (α ∈ K) n! 1 1 1 ∗ s) + + ··· + ,n ∈ N 1·2 2·3 n(n + 1) √ √ √ 4 2n t) 2 · 2··· 2, n ∈ N .
76
2.10. Feladatok
12. Igazoljuk, hogy az
1 1+ n
n
(n ∈ N∗ )
sorozat monoton n¨ ov˝ o ´es fel¨ ulr˝ ol korl´ atos. ´ Utmutat´ as: a monotonit´ as igazol´ as´ ahoz az 1 n
uk := 1 +
(k = 1, 2, · · · , n),
un+1 := 1
sz´amokra alkalmazzuk a sz´ amtani ´es m´ertani k¨oz´epre vonatkoz´o egyenl˝otlens´eget. A korl´ atoss´ ag igazol´ as´ ara legyen vk := 1 +
1 n
(k = 1, 2, · · · , n),
vn+1 := vn+2 :=
1 2
´es ezekre alkalmazzuk a sz´ amtani ´es m´ertani k¨oz´epre vonatkoz´o egyenl˝otlens´eget. 13. Legyen 1 e := lim (1 + )n . n→∞ n Mutassuk meg, hogy 1 1 lim (1 − )n = . n→∞ n e 14. Hat´arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o sorozatok hat´ar´ert´ek´et: r q ! q √ √ √ 2, 2 2, 2 2 2, · · · a)
b)
√
α,
q
α+
√
r α,
α+
q
α+
√
! α, · · ·
(α > 0).
15. Az α ∈ R param´eter milyen ´ert´ek´ere lesznek konvergensek az al´abbi, rekurzi´oval megadott (xn , n ∈ N) sorozatok: a) x0 := 0, b) x0 := 0, c) x0 := 0, d) x0 := 1,
xn+1 := α + x2n (n ∈ N) α xn+1 := (n ∈ N) 1 + xn √ xn+1 := α + xn (n ∈ N) 1 α xn+1 := xn + (n ∈ N). 2 xn
16. Legyen x0 := α > 0, y0 := β > 0 ´es rekurzi´oval k´epezz¨ uk az xn+1 :=
√
xn yn ,
yn+1 :=
xn + yn 2
(n ∈ N)
2. Sz´amsorozatok
77
sorozatokat. Igazoljuk, hogy mindk´et sorozat konvergens ´es L(x) = L(y). Megjegyz´es. A µ(α, β) := L(x) = L(y) k¨ oz¨ os hat´ar´ert´eket a pozit´ıv α, β sz´amok sz´amtani-m´ertani k¨ ozep´enek nevezz¨ uk. Ez a k¨oz´ep kapcsolatban van az u ´n. elliptikus integr´ alokkal, amelyek mind a matematik´aban, mind a fizik´aban fontos szerepet j´atszanak. Ebb˝ ol kiindulva az x, y sorozatokat felhaszn´alva k¨ozel´ıt˝o elj´ar´ast adhatunk az eml´ıtett integr´ alok kisz´am´ıt´as´ara. 17. Legyenek x ´es y divergens sz´ amsorozatok. El˝ofordulhat-e, hogy a) x + y,
b) x · y
konvergens ? 18. Legyen x egy nullsorozat, y egy tetsz˝ oleges sz´amsorozat. Igaz-e, hogy ekkor x · y nullsorozat ? 19. Tegy¨ uk fel, hogy az x ´es az y sz´ amsorozat x·y szorzata nullsorozat. K¨ovetkezik-e ebb˝ol, hogy vagy az x, vagy az y nullsorozat ? 20. Igazoljuk, hogy b´ armely k´et val´ os x, y sz´ amsorozatra a) L(x) + L(y) 5 L(x + y) 5 L(x) + L(y) b) L(x) + L(y) 5 L(x + y) 5 L(x) + L(y), felt´eve, hogy az itt szerepl˝ o¨ osszegeknek van ´ertelme. 21. Legyenek x, y nem-negat´ıv sorozatok. Igazoljuk, hogy a) L(x) · L(y) 5 L(x · y) 5 L(x) · L(y) b) L(x) · L(y) 5 L(x · y) 5 L(x) · L(y), felt´eve, hogy az itt szerepl˝ o szorzatoknak van ´ertelme. 22. Igazoljuk, hogy ha x val´ os, pozit´ıv sz´ amsorozat, akkor 1 =L L(x)
1 , x
1 =L L(x)
1 . x
78
3.1. V´egtelen sorok konvergenci´aja
3. V´egtelen sorok ´es v´egtelen szorzatok Az ¨osszead´ast ´es a szorz´ ast eddig v´eges sok tag, ill. v´eges sok t´enyez˝o eset´en ´ertelmezt¨ uk. C´elszer˝ u mindk´et m˝ uveletet kiterjeszteni v´egtelen sok tagra ill. v´egtelen sok t´enyez˝ ore. Ebben a pontban — a hat´ar´ert´ek fogalm´ara t´amaszkodva — elv´egezz¨ uk ezt a kiterjeszt´est, bevezetve a v´egtelen sor, ill. a v´egtelen szorzat fogalm´at, ´es megvizsg´ aljuk, hogy a v´eges ¨ osszegekre, ill. szorzatokra ismert sz´amol´asi szab´alyok igazak-e a kiterjesztett esetekben. Ebben a pontban olyan v´egtelen sorokat, ill. v´egtelen szorzatokat vizsg´alunk, amelyeket sz´amsorozatokb´ ol ´ all´ıtunk el˝ o. Ez´ert ezeket a sorokat sz´amsoroknak vagy numerikus soroknak nevezz¨ uk. Ezzel elnevez´esben is k¨ ul¨onbs´eget tesz¨ unk ezek, ´es a k´es˝obb bevezet´esre ker¨ ul˝ o, m´ as t´ıpus´ u v´egtelen sorok, mint pl. a vektorsorok, vagy a f¨ uggv´enysorok k¨ oz¨ ott.
3.1. V´egtelen sorok konvergenci´aja Legyen x = (xn , n ∈ N) egy val´ os, vagy komplex sz´amsorozat. Ebb˝ol kiindulva k´epezz¨ uk az al´abbi form´ alis v´egtelen ¨ osszeget: x0 + x1 + x2 + · · · =
(1)
∞ X
xn .
n=0
Az xn sz´amot az (1) sor n-edik tagj´anak nevezz¨ uk. Az a c´elunk, hogy ennek a v´egtelen numerikus sornak vagy v´egtelen sz´amsornak (r¨oviden: v´egtelen sornak) ¨osszeget tulajdon´ıtsunk. Ehhez bevezetj¨ uk az al´abbi fogalmat.
Defin´ıci´ o. Az (2)
Xn := x0 + x1 + · · · + xn
(n ∈ N)
utas´ıt´assal ´ertelmezett X = (Xn , n ∈ N) sorozatot az (1) v´egtelen sor r´ eszlet¨ osszegei sorozat´ anak nevezz¨ uk. A (2) definici´ o — rekurzi´ ot haszn´ alva — nyilv´an fel´ırhat´o az al´abbi, (2)-vel
3. V´egtelen sorok ´es szorzatok
79
ekvivalens form´ aban: (3)
X0 := x0 ,
Xn := Xn−1 + xn
(n ∈ N∗ ).
Ezzel az utas´ıt´ assal minden x sz´ amsorozathoz, vagy a bel˝ole k´epzett (1) v´egtelen sorhoz egy u ´jabb, az X sz´ amsorozatot rendelt¨ uk. A most ´ertelmezett S3x→X∈S lek´epez´es egy bijekci´ o, amelynek inverz´et (3) alapj´an az x0 = X0 ,
xn = Xn − Xn−1
(n ∈ N∗ )
rekurzi´oval adhatjuk meg. Ezzel a bijekci´ oval a v´egtelen sz´amsorok ´es a sz´amsorozatok k¨oz¨ott egy k¨ olcs¨ on¨ osen egy´ertelm˝ u megfeleltet´est l´etes´ıtett¨ unk. Ezt felhaszn´alva a sorokra vonatkoz´ o fogalmakat ´es ´all´ıt´asokat — a sor r´eszlet¨osszegeinek sorozat´at v´eve — visszavezetj¨ uk sorozatokra. N´eha c´elszer˝ u az (Xn , n ∈ N) sorozat helyett a (2) lek´epez´esben neki megfelel˝ o X0 + (X1 − X0 ) + (X2 − X1 ) + · · · sort vizsg´alni ´es a sorozatokra vonatkoz´ o eredm´enyeket erre ´atfogalmazni. A v´egtelen sor konvergenci´ aj´ at visszavezetj¨ uk a r´eszlet¨osszegek konvergenci´aj´ara.
Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy az (1) v´egtelen sor konvergens, ha a (2) r´eszlet¨ osszegek sorozata konvergens. A r´eszlet¨osszegek sorozat´anak a hat´ ar´ert´ek´et az (1) v´egtelen sor ¨ osszeg´ enek nevezz¨ uk. Azt, hogy az (1) sor konvergens ´es ¨ osszege az α sz´am, ´ıgy jel¨olj¨ uk: x0 + x1 + x2 + · · · = α
vagy
∞ X
xn = α.
n=0
A sorozatokra vonatkoz´ o t´etelek a legt¨ obb esetben egyszer˝ uen ´atfogalmazhat´ok v´egtelen sorokra. P´eld´ aul az X r´eszlet¨ osszegek sorozat´ara alkalmazva a Cuchy-f´ele konvergencia krit´eriumot, ad´ odik a sorokra vonatkoz´o
Cauchy-f´ele konvergencia krit´erium. Az (1) v´egtelen sor akkor ´es csak akkor konvergens, ha minden > 0 sz´amhoz l´etezik olyan N ∈ N, hogy minden n, m ∈ N, n ≥ m ≥ N indexre (4)
|xm + xm+1 + · · · + xn | < .
80
3.1. V´egtelen sorok konvergenci´aja
Alkalmazzuk a most megfogalmazott konvergencia krit´eriumot az n = m esetben, felt´eve, hogy (1) konvergens. Ekkor azt kapjuk, hogy ∀ > 0 ∃ N ∈ N ∀ n ∈ N, n = N : |xn | < , s ez pontosan azt jelenti, hogy limn→∞ xn = 0. Ezzel a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´ast igazoltuk:
1. K¨ ovetkezm´eny. Ha az (1) sor konvergens, akkor x nullsorozat. L´attuk, hogy ha az x, y sz´ amsorozatokra xn = yn majdnem minden n-re, akkor az x ´es az y egyszerre konvergens, vagy divergens. A sorokra vonatkoz´o Cauchy-f´ele konvergencia krit´eriumb´ ol k¨ ovetkezik, hogy ugyanilyen felt´etel mellett az x ´es az y sorozatb´ol k´epzett v´egtelen sorok is egyszerre konvergensek, vagy divergensek. Val´oban, az eml´ıtett esetben l´etezik olyan N0 ∈ N index, hogy minden n ≥ N0 indexre xn = yn , k¨ ovetkez´esk´eppen |xm + xm+1 + · · · + xn | = |ym + ym+1 + · · · + yn |, ha n ≥ m ≥ N0 . Innen nyilv´ anval´ o, hogy a sz´ oban forg´o k´et sorra egyszerre teljes¨ ul, vagy nem teljes¨ ul a Cauchy-f´ele konvergencia krit´erium. Ebb˝ol ad´odik az al´abbi
2. K¨ ovetkezm´eny. Ha xn = yn majdnem minden n-re, akkor a ∞ X
xn
´es a
n=0
∞ X
yn
n=0
sorok egyszerre konvergensek, vagy divergensek. N´eha olyan v´egtelen sorokat is tekint¨ unk, ahol a tagok indexe 1-gyel kezd˝odik. Ilyenkor az ∞ X x1 + x2 + · · · , ill. a xn n=1
jel¨ol´eseket haszn´ aljuk. Az (1) sor mellett gyakran vizsg´ aljuk majd az x sorozat abszol´ ut ´ert´ek´eb˝ol alkotott sort. Ezzel kapcsolatos a k¨ ovetkez˝ o
Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy az (1) v´egtelen sor abszol´ ut konvergens, ha a (5)
∞ X n=0
sor konvergens.
|xn |
3. V´egtelen sorok ´es szorzatok
81
Minbthogy tetsz˝ oleges n ≥ m ≥ N indexre |xm + xm+1 + · · · + xn | 5 |xm | + |xm+1 | + · · · + |xn |, az´ert ha az (5) sorra teljes¨ ul a (4) felt´etel, akkor az (1)-re is. Innen a Cauchy-f´ele konvergencia krit´erium alapj´ an ad´ odik a
3. K¨ ovetkezm´eny. Ha az (1) sor konvergens, akkor egy´uttal abszol´ut konvergens. Megjegyezz¨ uk, hogy az ut´ obbi a ´ll´ıt´ as ford´ıtottja nem igaz. K´es˝obb megmutatjuk, hogy pl. a ∞ X (−1)n n=1
n
sor konvergens, de nem abszol´ ut konvergens.
Megjegyz´esek 1. Az 1+
∞ X 1 1 1 + + ··· = 2 3 n n=1
v´ egtelen sort harmonikus sornak nevezz¨ uk. Egyszer˝ uen igazolhat´ o, hogy a harmonikus sor divergens. A sz´ oban forg´ o sor (sn , n ∈ N∗ ) r´ eszlet¨ osszegeire ui. nyilv´ an s2k − sk =
1 1 1 + + ··· + k+1 k+2 2k
teljes¨ ul. A jobb oldalon ´ all´ o k tag mindegyik´ et az utols´ o taggal helyettes´ıtve s2k − sk = k ·
1 1 = 2k 2
(k ∈ N∗ )
ad´ odik. A most kapott egyenl˝ otlens´ eg alapj´ an, = 1/2, m = k, n = 2k v´ alaszt´ as mellett, a k¨ ovetkez˝ ot ´ all´ıthatjuk: ∃ > 0 ∀ N ∈ N ∃ n ≥ m ≥ N : |sn − sm | ≥ , k¨ ovetkez´ esk´ eppen a harmonikus sor nem tesz eleget a Cauchy-f´ ele konvergencia krit´ eriumnak. Ezzel megmutattuk, hogy a harmonikus sor val´ oban divergens. 2. Legyen q ∈ C. Az (6)
1 + q + q2 + · · · =
∞ X
qn
n=0
sort v´ egtelen geometriai vagy v´ egtelen m´ ertani sornak nevezz¨ uk. Megmutatjuk, hogy az (5) sor |q| < 1 eset´ en abszol´ ut konvergens, |q| ≥ 1 eset´ en pedig divergens. Ez ut´ obbi ´ all´ıt´ as abb´ ol k¨ ovetkezik, hogy a |q| ≥ 1 esetben |q n | = |q|n ≥ 1 (n ∈ N), s ez´ ert a (6)
82
3.2. V´egtelen szorzatok
sor tagjai nem tartanak 0-hoz. A v´ egtelen m´ ertani sor n-edik r´ eszlet¨ osszeg´ et — az u ´n. v´ eges m´ ertani sor k¨ oz´ episkol´ ab´ ol is ismert ¨ osszegk´ eplet´ et felhaszn´ alva — sn := 1 + q + · · · + q n =
1 − q n+1 1 1 = − −q n+1 · . 1−q 1−q 1−q
Minthogy a |q| < 1 esetben limn→∞ q n = 0, az´ ert az (sn , n ∈ N) sorozat konvergens ´ es lim sn =
n→∞
∞ X
qn =
k=0
1 . 1−q
3. Az 1. K¨ ovetkezm´ eny ´ es az ahhoz f˝ uz¨ ott megjegyz´ es alapj´ an a limn→∞ xn = 0 az (1) sor konvergenci´ aj´ anak sz¨ uks´ eges, de nem el´ egs´ eges felt´ etele. P P 4. Azt, hogy a ∞ es csak akkor konvergens, ha ∞ n=0 xn sor akkor ´ n=0 yn is konvergens, gyakran u ´gy is kifejezik, hogy a sz´ oban forg´ o k´ et sor ekvikonvergens. 5. Jel¨ olj¨ uk S-sel a (2) alatt bevezetett lek´ epez´ est: S 3 x → S(x) := X ∈ S. Az ´ ertelmez´ es alapj´ an vil´ agos, hogy S line´ aris, azaz b´ armely k´ et x, y ∈ S sorozatra ´ es minden λ ∈ K sz´ amra S(x + y) = S(x) + S(y), S(λx) = λS(x) teljes¨ ul. Az S(x) sorozat n-edik tagj´ at, vagyis az (1) sor n-edik r´ eszlet¨ osszeg´ et Sn (x)-szel is fogjuk jel¨ olni.
3.2. V´egtelen szorzatok Legyen z = (zn , n ∈ N) egy val´ os vagy komplex sz´amsorozat. A (7)
z0 · z 1 · z2 · · · =
∞ Y
zn
n=0
v´egtelen szorzat konvergenci´ aj´ anak az ´ertelmez´es´ehez — a v´egtelen sorokkal kapcsolatban k¨ovetett m´ odszerhez hasonl´ oan — k´epezz¨ uk az al´abbi sorozatot: Zn := z0 z1 · · · zn
(n ∈ N).
A Z sorozatot a (7) v´egtelen szorzat r´eszletszorzatai sorozat´anak nevezz¨ uk. Ez a defin´ıci´o nyilv´an ekvivalens az al´ abbi rekurz´ıv ´ertelmez´essel: Z0 := z0 ,
Zn := Zn−1 · zn
(n ∈ N∗ ).
3. V´egtelen sorok ´es szorzatok
83
Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy a (7) v´egtelen szorzat konvergens, ha a r´eszletszorzatok Z sorozata konvergens. A Z sorozat β := limn→∞ zn hat´ar´ert´ek´et a (7) szorzat´ anak nevezz¨ uk, ´es ´ıgy jel¨olj¨ uk: z0 z1 z2 · · · = β
vagy
∞ Y
zn = β.
n=0
A zn sz´amot a (7) n-edik t´enyez˝ oj´enek nevezz¨ uk. Ha a z sorozat valamelyik tagja 0, akkor egy indext¨ ol kezdve a Z sorozat valamennyi tagja 0 , s ekkor hat´ar´ert´eke is nyilv´an 0. A tov´ abbiakban ezt a nyilv´ anval´o esetet ki fogjuk z´arni, ´es csak z : N → K∗ alak´ u sorozatokat vizsg´ alunk. A sorozatokra vonatkoz´ o Cauchy-f´ele konvergencia krit´eriumb´ol egyszer˝ uen k¨ovetkezik a v´egtelen szorzatokra vonatkoz´ o
Cauchy-f´ele konvergencia krit´erium. i) Ha a (7) v´egtelen szorzat konvergens ´es a hat´ ar´ert´eke nem 0, akkor (8)
∀ > 0 ∃ N ∈ N ∀ m, n ∈ N, n > m ≥ N : |zm+1 · zm+2 · · · · · zn − 1| < .
ii) Ha a z sorozatra teljes¨ ul a (8) krit´erium, akkor a (7) v´egtelen szorzat konvergens. ´s. i) Ha a (7) v´egtelen szorzat konvergens ´es L(Z) 6= 0, akkor l´etezik Bizony´ıta olyan 0 < α sz´am, hogy α 5 |Zn |
(9)
minden n ∈ N indexre. Ezt az ´ all´ıt´ ast a h´ anyados hat´ar´ert´ek´ere vonatkoz´o t´etel igazol´asakor m´ar bebizony´ıtottuk. (L´ asd a 2. pont 6.T´etel´enek a bizony´ıt´as´at.) Az ´all´ıt´as i) r´esz´enek a bizony´ıt´ as´ ahoz alkalmazzuk a Cauchy-f´ele konvergencia krit´eriumot a Z sorozatra helyett az α sz´ amot v´eve. Ekkor l´etezik olyan N ∈ N index, hogy |Zm − Zn | < α, ha n ≥ m ≥ N. Innen — osztva az egyenl˝ otlens´eget Zm -mel ´es felhaszn´alva a (9) egyenl˝otlens´eget — minden n > m ≥ N indexp´ arra |1 −
α Zn | = |1 − zm+1 zm+2 · · · zn | < 5 Zm |Zm |
ad´odik. Ezzel az ´ all´ıt´ as els˝ o r´esz´et bel´ attuk.
84
3.2. V´egtelen szorzatok
ii) A m´asodik r´esz igazol´ as´ ahoz el˝ osz¨ or megmutatjuk, hogy (8)-b´ol a Z sorozat korl´atoss´aga k¨ovetkezik. Val´ oban, (8)-ban az = 1 sz´amot v´alasztva l´etezik olyan N1 ∈ N index, hogy minden n > N1 eset´en |zN1 +1 · · · zn − 1| < 1, k¨ovetkez´esk´eppen |zN1 +1 · · · zn | = |1 + (zN1 +1 · · · zn − 1)| 5 2
(n > N1 ).
Ez ut´obbi egyenl˝ otlens´eget szorozva |ZN1 |-gyel |Zn | 5 2|ZN1 | (n > N1 ) ad´odik. Ha a β sz´ amot β := max{|Z0 |, |Z1 |, · · · , |ZN1 , 2|ZN1 |} szerint v´alasztjuk, akkor nyilv´ an |Zn | 5 β
(10)
(n ∈ N)
teljes¨ ul. Az ii) igazol´as´ ahoz tegy¨ uk fel, hogy a z sorozatra teljes¨ ul a (8) felt´etel, k¨ovetkez´esk´eppen (10) is fenn´ all. Alkalmazzuk a (8) ´all´ıt´ast helyett az /β sz´amra. Ekkor l´etezik olyan N ∈ N index, hogy minden n > N eset´en |zm+1 · · · zn − 1| <
. β
Innen, megszorozva az egyenl˝ otlens´eget |Zm |-mel ´es figyelembe v´eve (10)-et |Zn − Zm | < |Zm |
5 , β
azaz Z Cauchy-sorozat, k¨ ovetkez´esk´eppen konvergens. A (8) ´all´ıt´ast m + 1 = n eset´en fel´ırva azt kapjuk, hogy ∀ > 0 ∃ N ∈ N ∀ n ∈ N, n > N : |zn − 1| < , s ez pontosan azt jelenti, hogy limn→∞ zn = 1.
4. K¨ ovetkezm´eny. Ha a (7) v´egtelen szorzat konvergens ´es ´ert´eke nem 0, akkor a szorzat t´enyez˝ oi tartanak 1-hez: lim zn = 1.
n→∞
3. V´egtelen sorok ´es szorzatok
85
Megjegyz´esek 1. A 4. K¨ ovetkezm´ enyt figyelembe v´ eve c´ elszer˝ u a v´ egtelen szorzat t´ enyez˝ oit zn = 1 + xn (n ∈ N) alakban fel´ırni, s ennek megfel˝ oen (7) helyett az (1 + x0 )(1 + x1 )(1 + x2 ) · · · =
∞ Y
(1 + xn )
n=0
v´ egtelen szorzatokat vizsg´ alni. Ekkor az L(z) = 1 felt´ etel a lim xn = 0
n→∞
felt´ etellel ekvivalens. 2. N´ eha olyan v´ egtelen szorzatokat is vizsg´ alunk, amelyekben a t´ enyez˝ ok indexe 1-gyel kezd˝ odik. Ilyen pl. az ∞ Y 1 1 1 1 (1 + ) (1 + )(1 + )(1 + ) · · · = 1 2 3 n n=1 v´ egtelen szorzat. Ennek a r´ eszletszorzatai 1 1 1 1 )(1 + )(1 + ) · · · (1 + ) = 1 2 3 n 2 3 4 n+1 = · · ··· = n + 1 (n ∈ N∗ ). 1 2 3 n
Zn = (1 +
Innen k¨ ovetkezik, hogy a sz´ oban forg´ o v´ egtelen szorzat divergens. 3. A logaritmus f¨ uggv´ enyeket felhaszn´ alva a v´ egtelen szorzatokat visszavezethetj¨ uk v´ egtelen sorokra, ´ es megford´ıtva, az exponenci´ alis f¨ uggv´ enyek seg´ıts´ eg´ evel v´ egtelen sorokb´ ol v´ egtelen szorzatokat k´ esz´ıthet¨ unk. Ez az ´ eszrev´ etel lehet˝ ov´ e teszi, hogy a sorokra vonatkoz´ o eredm´ enyeket ´ atvigy¨ uk v´ egtelen szorzatokra. Minthogy ebben a jegyzetben nem k´ıv´ anunk t´ amaszkodni az eml´ıtett f¨ uggv´ enyekre, az´ ert a v´ egtelen szorzatokat is k¨ ul¨ on t´ argyaljuk.
3.3. Nevezetes sorok Ebben a pontban a val´ os v´egtelen soroknak h´arom fontos oszt´aly´at t´argyaljuk. Ezekben az esetekben egyszer˝ u, j´ ol ellen˝ orizhet˝o felt´etellel lehet garant´alni a vizsg´alt v´egtelen sorok konvergenci´ aj´ at.
3.3.1. Pozit´ıv tag´ u sorok El˝osz¨or olyan val´ os v´egtelen sorokat vizsg´alunk, amelyek tagja nem negat´ıvak, azaz xn ≥ 0 (n ∈ N).
86
3.3. Nevezetes sorok
Az ilyen sorokat — nem teljesen k¨ ovetkezetesen — pozit´ıv tag´ u soroknak nevezik. Minthogy ilyen sorok r´eszlet¨ osszegeire nyilv´ an Xn 5 Xn + xn+1 = Xn+1
(n ∈ N)
teljes¨ ul, az´ert pozit´ıv tag´ u sorok r´eszlet¨ osszegeinek a sorozata monoton n¨ov˝o. Megford´ıtva, ha a r´eszlet¨ osszegek sorozat´ ara Xn+1 ≥ Xn ≥ 0 minden n ∈ N indexre, akkor (3) alapj´ an a sor tagjai nyilv´ an nem-negat´ıvak. Ez az ´eszrev`etel m´as szavakkal azt jelenti, hogy a 3.1. pontban bevezetett S : SR → SR bijekci´onak a nem-negativ sorozatok halmaz´ ara val´o lesz˝ uk´ıt´ese egy bijekci´o az S emlitett r´eszhalmaza ´es a nem-negativ monoton n¨ov˝o sorozatok halmaza k¨oz¨ott. A monoton sorozatok konvergenci´ aj´ ara vonatkoz´o ´all´ıt´asb´ol k¨ozvetlen¨ ul ad´odik a
3. T´etel. Egy pozit´ıv tag´u sor akkor ´es csak akkor konvergens, ha r´eszlet¨osszegeinek a sorozata korl´ atos. Ennek alapj´an k¨ ovetkezik az al´ abbi egyszer˝ u, u ´n. ¨osszehasonl´ıt´o krit´erium. Tegy¨ uk fel, hogy az x, y val´ os sz´ amsorozatokra 0 5 x 5 y teljes¨ ul. Ekkor az ezekb˝ol alkotott sorok r´eszlet¨ osszegeire Xn := x0 + x1 + · · · + xn 5 Yn := y0 + y1 + · · · + yn
(n ∈ N).
Innen, felhaszn´alva a 1.T´etelt, ad´ odik az
¨ Osszehasonlit´ o krit´erium. Tegy¨uk fel, hogy az x, y val´os sz´amsorozatokra (11)
0 5 xn 5 yn
(n ∈ N).
P∞ P∞ HaPa n=0 xn sor konvergens, akkor n=0 yn is konvergens, ha pedig P ∞ ∞ a n=0 xn sor divergens, akkor n=0 yn is divergens. Nyilv´anval´o, hogy a most megfogalmazott ¨osszehasonl´ıt´o krit´erium akkor is ´erv´enyes, ha a (11) felt´etel csak majdnem minden tagra ´all fenn.
Megjegyz´esek 1. A most t´ argyalt v´ egtelen sorok oszt´ aly´ anak l´ etezik pontos megfelel˝ oje a v´ egtelen szorzatok k¨ or´ eben. Nevezetesen tekints¨ uk azoknak a z val´ os sz´ amsorozatoknak az ¨ osszess´ eg´ et, amelyekre zn ≥ 1
(n ∈ N).
Az ezekb˝ ol alkotott v´ egtelen szorzatok r´ eszletszorzatai monoton n¨ ov˝ o sorozatot alkotnak. Megford´ıtva, ha valamely monoton n¨ ov˝ o sorozat minden tagja 1-n´ el nagyobb vagy egyenl˝ o, akkor az sz´ armaztathat´ o a most eml´ıtett m´ odon, a mondott tulajdons´ ag´ u z sorozatb´ ol. A monoton
3. V´egtelen sorok ´es szorzatok
87
sorozatok konvergenci´ aj´ ara vonatkoz´ o t´ etelt erre az esetre alkalmazva megkaphatjuk a 4.T´ etel megfelel˝ oj´ et v´ egtelen szorzatokra. 2. Pozitiv tag´ u sorok r´ eszlet¨ osszegeinek mindig l´ etezik hat´ ar´ ert´ eke. Ha ez v´ eges, akkor a sor konvergens ´ es ¨ osszege ez a hat´ ar´ ert´ ek. Ha a hat´ ar´ ert´ ek +∞, akkor a sor divergens. Ezzel oszhangban azt, hogy az (1) pozitiv tag´ ¨ u sor konvergens, a ∞ X
xn < ∞
n=0
jel¨ ol´ essel is ki szokt´ ak fejezni.
3.3.2. Leibniz-t´ıpus´ u sorok A sz´oban forg´ o sorok a v´altakoz´ o el˝ ojel˝ u soroknak egy aloszt´aly´at alkotj´ak.
Defin´ıci´ o. Legyen x egy nem-negat´ıv, monoton fogy´o sz´amsorozat. Ekkor a ∞ X
(12)
(−1)n xn
n=0
sort Leibniz-tipus´ u sornak nevezz¨ uk. Ilyen sorok konvergenci´ aj´ra vonatkozik a
2. T´etel. A (12) Leibniz-tipus´u sor akkor ´es csak akkor konvergens, ha lim xn = 0.
n→∞
´s. Minthogy L(x) = 0 a (12) v´egtelen sor konvergenci´aj´anak sz¨ Bizony´ıta uks´eges felt´etele, az´ert el´eg azt megmutatni, hogy az L(x) = 0 felt´etelb˝ol a (12) v´egtelen sor konvergenci´aja k¨ ovetkezik. Mivel minden n ∈ N indexre 0 5 xn+1 5 xn , az´ert a (12) v´egtelen sor p´aros index˝ u r´eszlet¨osszegeire s0 := x0 ≥ x0 − (x1 − x2 ) =: s2 ≥ · · · ≥ ≥ x0 − (x1 − x2 ) − · · · − (x2n−1 − x2n ) =: s2n
(n ∈ N∗ ),
azaz az (s2n , n ∈ N) sorozat monoton fogy´ o. M´ask´ent csoportos´ıtva a tagokat s1 := x0 − x1 5 (x0 − x1 ) + (x2 − x3 ) =: s3 5 · · · 5 5 (x0 − x1 ) + (x2 − x3 ) + · · · + (x2n−2 − x2n−1 ) =: s2n−1
(n ∈ N∗ ),
88
3.3. Nevezetes sorok
teh´at az (s2n+1 , n ∈ N) sorozat monoton n¨ ov˝o. Minthogy s0 ≥ s2k ≥ s2k − x2k+1 = s2k+1 ≥ s1
(k ∈ N),
az´ert a r´eszlet¨osszegek p´ aros- ´es p´ aratlan index˝ u r´eszsorozatai korl´atosak, k¨ovetkez´esk´eppen ezek k¨ ul¨ on-k¨ ul¨ on konvergensek. Legyen α := lim s2k+1 , k→∞
β := lim s2k . k→∞
mivel s2k − s2k−1 = x2k
(k ∈ N),
az´ert az x-re tett felt´etel alapj´ an 0 = lim x2k = lim s2k − lim s2k−1 = β − α, k→∞
k→∞
k→∞
azaz α = β. Ennek a k¨ oz¨ os ´ert´eknek b´ armely k¨ornyezet´en k´ıv¨ ul a sorozatnak v´eges sok p´aros ´es v´eges sok p´ aratlan index˝ u tagja van, k¨ovetkez´esk´eppen ez a sz´am az s sorozatnak is hat´ ar´ert´eke. Ezzel a t´etelt bebizony´ıtottuk. A bizony´ıt´as alapj´ an az (s2k , k ∈ N) sorozat monoton fogy´olag, az (s2l+1 , k ∈ N) sorozat pedig monoton n¨ oveked˝ oen tart a k¨ oz¨os α hat´ar´ert´ekhez. Ez´ert s2k+1 ≤ α 5 s2k
(k ∈ N),
k¨ovetkez´esk´eppen |s2k+1 − α| 5 |s2k+1 − s2k | = x2k+1
(k ∈ N),
illetve |s2k − α| 5 |s2k+1 − s2k | = x2k+1 5 x2k
(k ∈ N).
A most kapott k´et egyenl˝ otlens´eget egybefoglalva ad´odik a Leibniz-t´ıpus´ u sorok konvergencia sebess´eg´ere vonatkoz´ o al´ abbi
5. K¨ ovetkezm´eny. A (12) sor (sn , n ∈ N) r´eszlet¨osszegeinek ´es ¨osszeg´enek elt´er´es´ere |sn − α| 5 xn teljes¨ ul.
(n ∈ N)
3. V´egtelen sorok ´es szorzatok
89
Megjegyz´esek 1. A sz´ am´ıt´ og´ epekben a val´ os sz´ amokat — a haszn´ alt aritmetik´ at´ ol f¨ ugg˝ oen — csak bizonyos pontoss´ aggal lehet ´ abr´ azolni. A matematikai anal´ızisban a val´ os sz´ amokat gyakran v´ egtelen sor ¨ osszegek´ ent adj´ ak meg. A gyakorlatban — a v´ egtelen sok tag helyett v´ eges sokat v´ eve — a v´ egtelen sor ¨ osszeg´ et olyan r´ eszlet¨ osszeg´ evel helyettes´ıtik, amelynek az ”osszegt˝ ol vett elt´ er´ ese a haszn´ alt” sz´ am´ abr´ azol´ as hib´ aj´ an bel¨ ul van. Ilyenkor nagyon hasznos, ha rendelkez´ esre ´ all a r´ eszlet¨ osszegek ´ es az ¨ osszeg elt´ er´ es´ ere egy egyszer˝ u, k¨ onnyen kezelhet˝ o hibabecsl´ es. Ilyen hibabecsl´ est ´ altal´ aban nem k¨ onny˝ u megadni. Legyen az α ∈ K val´ os vagy komplex sz´ amot az al´ abbi v´ egtelen sor ¨ osszege: (13)
y0 + y1 + · · · + yn + · · · = α.
Ekkor, az α helyett a sz´ oban forg´ o sor n-edik r´ eszlet¨ osszeg´ et v´ eve, az elt´ er´ es maga is egy v´ egtelen sor ¨ osszegek´ ent ´ırhat´ o fel: rn := α − sn = yn+1 + yn+2 + · · ·
(n ∈ N).
Az (rn , n ∈ N) sorozatot a (13) konvergens sor marad´ ek¨ osszeg sorozat´ anak nevezz¨ uk. Ha valamely ε = (εn , n ∈ N) monoton fogy´ o sz´ amsorozatra |rn | 5 εn
(n ∈ N)
teljes¨ ul, akkor azt mondjuk, hogy az ε az (rn , n ∈ N) elt´ er´ eseknek egy hibabecsl´ ese. Az 5. K¨ ovetkezm´ eny szerint Leibniz-t´ıpus´ u sorok eset´ en maga az x sorozat a marad´ ek¨ osszegeknek egy hibabecsl´ ese. 2. A Libniz-t´ıpus´ u sorok megfelel˝ oi a v´ egtelen szorzatok k¨ or´ eben a k¨ ovetkez˝ ok´ eppen ´ırhat´ ok le: legyen zn ≥ 1 (n ∈ N) egy monoton fogy´ o sz´ amsorozat. Ekkor a z0 · z1−1 · z2 · z3−1 · · · v´ egtelen szorzatot Leibniz-t´ıpusunak nevezz¨ uk. A 3.T´ etelhez hasonl´ oan igazolhat´ o, hogy ez a v´ egtelen szorzat akkor ´ es csak akkor konvergens, ha limn→∞ zn = 1.
3.3.3. Sz´amok v´egtelen t¨ ort el˝ o´all´ıt´asa R¨ogz´ıts¨ unk egy p ∈ N, p > 1 term´eszetes sz´amot. Ebben a pontban olyan pozit´ıv tag´ u sorokat vizsg´ alunk, amelyeket (14)
x : N → P := {0, 1, · · · , p − 1}
alak´ u sorozatokb´ ol kiindulva a k¨ ovetkez˝ o m´ odon k´epez¨ unk: (15)
∞ X x0 x1 xn xn + 2 + · · · + n+1 + · · · = . p p p pn+1 n=0
90
3.3. Nevezetes sorok
Ezek a sorok b´ armely (14) alak´ u sor eset´en konvergensek. Val´oban, mivel (14) alapj´an p−1 xn 5 n+1 (n ∈ N) pn+1 p ´es az 1/p kv´ociens˝ u m´ertani sor konvergens, tov´abb´a p−1 p−1 1 (1 + p−1 + p−2 + · · · ) = · p p 1−
1 p
= 1,
az´ert — a pozit´ıv tag´ u sorokra vonatkoz´ o o¨sszehasonl´ıt´o krit´erium alapj´an — a (15) sor b´armely (14) alak´ u sorozatb´ ol kiindulva konvergens ´es ¨osszege a [0, 1] intervallumba esik. Megmutatjuk, hogy a most megfogalmazott ´all´ıt´as megford´ıt´asa is igaz
5. T´etel. B´armely α ∈ [0, 1) sz´amhoz l´etezik olyan (14) alak´u x sz´amsorozat, amelyre ∞ X xn = α. pn+1 n=0 ´s. Osszuk fel a [0, 1) intervallumot p egyenl˝o hossz´ Bizony´ıta us´ag´ u r´eszintervallumra, azaz tekints¨ uk a hk k + 1 , p p
(k = 0, 1, · · · , p − 1)
r´eszintervallumokat. Ezek p´ aronk´ent diszjunktak ´es egyesit´es¨ uk a [0, 1) intervallum. Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy ezek k¨ oz¨ ott pontosan egy olyan intervallum van, mondjuk az x0 -adik, amely az α sz´ amot tartalmazza: x0 x0 + 1 5α< . p p Ism´etelj¨ uk meg az elj´ ar´ ast a [0, 1) helyett a most kapott intervallumra. Ekkor p db p´aronk´ent diszjunkt 1/p2 hossz´ us´ ag´ u intervallumot kapunk: hx
0
p
+
k x0 k + 1 , + p2 p p2
(k = 0, 1, · · · , p − 1).
Minthogy ezek egyes´ıt´ese [s0 , t0 ) :=
x0 + 1 p p
hx
0
,
3. V´egtelen sorok ´es szorzatok
91
´es ennek az intervallumnak az α sz´ am eleme, az´ert az α az ut´obbi r´eszintervallumok k¨oz¨ ul pontosan egyhez, mondjuk az x1 -edikhez tartozik. Jel¨olje [s1 , t1 ) :=
hx
0
p
+
x1 x0 x1 + 1 , + p2 p p2
ezt az intervallumot. Ezt az elj´ar´ast folytatva, rekurzi´ oval egy ([sn , tn ), n ∈ N) intervallumsorozatot defini´alhatunk, amelyre sn =
x0 xn x0 xn + 1 x1 x1 + 2 + · · · + n+1 5 α < + 2 + · · · + n+1 =: tn p p p p p p
´es xn ∈ P (n ∈ N). Az ´ıgy kapott x sorozattal k´epzett (15) sor r´eszlet¨osszegeinek sorozata ´eppen (sn , n ∈ N). A fenti egyenl˝ otlens´egb˝ol 0 5 α − sn <
1 pn+1
(n ∈ N),
k¨ovetkezik, s ´ıgy a (15) sor val´ oban konvergens ´es ¨osszege α. A most igazolt t´etel alapj´ an minden α ∈ [0, 1) val´os sz´amhoz egy (14) t´ıpus´ u sorozatot rendelhet¨ unk, m´eghozz´ a egy´ertelm˝ uen, ha a t´etel bizony´ıt´asa sor´an haszn´alt elj´ar´ast k¨ovetj¨ uk. Az α sz´ amhoz ilym´ odon hozz´arendelt (13) v´egtelen sort az α sz´am p-alap´ u v´egtelen t¨ ort el˝ o´all´ıt´as´anak, az xn sz´amokat pedig az el˝o´all´ıt´as jegyeinek nevezz¨ uk.
Megjegyz´esek 1. Egyszer˝ u sz´ amelm´ eleti meggondol´ asok alapj´ an ad´ odik, hogy minden n ∈ N term´ eszetes sz´ am egy´ ertelm˝ uen ´ all´ıthat´ o el˝ o r X n= nk pk k=0
alakban, ahol nk ∈ P ´ es r ∈ N. Ezt ¨ osszevetve az el˝ oz˝ o t´ etelben megfogalmazott ´ all´ıt´ assal azt kapjuk, hogy minden α ≥ 0 sz´ am el˝ o´ all´ıthat´ o α=
∞ X
xn p−(n+1)
n=−`
alakban, ahol ` ∈ N ´ es xn ∈ P minden n ∈ Z, n ≥ −` eg´ esz sz´ amra. Ezt az el˝ o´ all´ıt´ ast az α ≥ 0 sz´ am p-alap´ u v´ egtelen t¨ ort el˝ o´ all´ıt´ as´ anak nevezz¨ uk. 2. Ha valamely nem-negat´ıv sz´ am fenti el˝ o´ all´ıt´ as´ aban a jegyek egy indext˝ ol kezdve mind 0-val egyenl¨ ok, akkor azt mondjuk, hogy a sz´ oban forg´ o sz´ am p-adikusan racion´ alis. Ezeknek k´ et p alap´ u v´ egtelen t¨ ort el˝ o´ all´ıt´ asa is l´ etezik. Nevezetesen az eml´ıtett α = x−` p`−1 + · · · + x−1 p0 + x0 p−1 + · · · + xn p−n−1 + 0 · p−n−2 + 0 · p−n−3 + · · ·
92
3.4. M˝ uveletek sorokkal
0 jegyekkel v´ egz˝ od˝ o el´ all´ıt´ as mellett az x−` p`−1 + · · · + x−1 p0 + x0 p−1 + · · · + (xn − 1) · p−n−1 + (p − 1) · p−n−2 + (p − 1) · p−n−3 + · · · v´ egtelen sornak az ¨ osszege is α. Ha a p-adikusan racion´ alis sz´ amok k´ etf´ ele el˝ o´ all´ıt´ asa k¨ oz¨ ul — a fenti t´ etel bizony´ıt´ as´ aval ¨ osszhangban — csak az el˝ obbit haszn´ aljuk, akkor a a nem-negat´ıv val´ os sz´ amok ´ es azok p-alap´ u v´ egtelen t¨ ort el˝ o´ all´ıt´ asai k¨ oz¨ ott egy k¨ olcs¨ on¨ osen egy´ ertelm˝ u megfeleltet´ est l´ etes´ıthet¨ unk. 3. A gyakorlatban leggyakrabban a val´ os sz´ amoknak a p = 10 alapnak megfelel˝ o, u ´n. v´ egtelen tizedest¨ ort el˝ o´ all´ıt´ as´ at haszn´ alj´ ak. A sz´ am´ıt´ og´ epekben a p = 2 esetnek megfelel˝ oen az u ´n. diadikus el´ allit´ asukkal reprezent´ alj´ ak az eg´ esz sz´ amokat.
3.4. M˝ uveletek v´egtelen sorokkal A sz´amsorozatokhoz hasonl´ oan a v´egtelen sorok k¨or´eben is c´elszer˝ u algebrai m˝ uveleteket bevezetni. Ezzel kapcsolatos az al´abbi
Defin´ıci´ o. Az x = (xn , n ∈ N), y = (yn , n ∈ N) val´os, vagy komplex sz´amsorozatokkkal ´es a λ ∈ K sz´ ammal k´epzett ∞ X
(16)
(xn + yn )
n=0
sort a
P∞
n=0
xn ´es a
P∞
n=0
yn sor ¨ osszeg´ enek, ill. a ∞ X
(17)
λxn
n=0
sort a λ sz´ am ´es a
P∞
n=0
xn v´egtelen sor szorzat´ anak nevezz¨ uk.
A sorozatok hat´ ar´ert´ek´ere vonatkoz´ o m˝ uveleti szab´alyokat a sz´oban forg´o (16) ´es (17) sorok r´eszlet¨ osszegeire alkalmazva egyszer˝ uen igazolhat´o az al´abbi P∞
P∞ xn , n=0 yn sorok konvergensek ´es ¨osszeg¨ uk rendre αP ´es β, akkor a (16) sor is konvergens ´es ¨osszege α + β. ∞ ii) Ha a n=0 xn sor konvergens ´es ¨ osszege α, akkor a (17) sor is konvergens ´es ¨ osszege λα.
4. T´etel. i) Ha a
n=0
´s. Legyen Bizony´ıta Xn := x0 + x1 + · · · + xn ,
Yn := y0 + y1 + · · · + yn
(n ∈ N).
3. V´egtelen sorok ´es szorzatok
93
Ekkor nyilv´an (x0 + y0 ) + (x1 + y1 ) + · · · + (xn + yn ) = Xn + Yn , λx0 + λx1 + · · · + λxn = λXn . Mivel a felt´etel szerint limn→∞ Xn = α ´es limn→∞ Yn = β, az´ert limn→∞ (Xn + Yn ) = α + β ´es limn→∞ λXn = λα. Ez ´eppen azt jelenti, hogy a (16), (17) sorok konvergensek ´es ¨ osszeg¨ uk az ´all´ıt´asban adott sz´am. Most megvizsg´ aljuk, hogy a v´eges ¨ osszegek asszociat´ıv tulajdons´aga milyen form´aban ´erv´enyes v´egtelen sorokra. Ezzel kapcsolatos az al´abbi
Defin´ıci´ o. Legyen (xn , n ∈ N) egy val´os, vagy komplex sz´amsorozat ´es ν = (νn , n ∈ N) egy indexsorozat. Ezekkel k´epezz¨ uk az α0 : = x0 + · · · + xν0 , α1 : = xν0 +1 + · · · + xν1 , .. . αn : =
νn X
xk
(n ∈ N∗ )
k=νn−1 +1
sorozatot. Ekkor a (18)
∞ X
αn
n=0
sort a (19)
∞ X
xk
k=0
sor egy z´ ar´ ojelezett sor´ anak nevezz¨ uk. Az elnevez´es arra utal, hogy (18) sor a (19)-b˝ol nyilv´an az al´abbi z´ar´ojelez´essel ad´odik: (x0 + · · · + xν0 ) + (xν0 +1 + · · · + xν1 ) + · · · . Minthogy a (18) z´ ar´ ojelezett sor n-edik r´eszlet¨osszeg´ere Tn : = α0 + α1 + · · · + αn = = (x0 + · · · + xν1 ) + · · · + (xνn−1 +1 + · · · + xνn ) = = x0 + x1 + · · · + xνn = Xνn
(n∈N)
94
3.4. M˝ uveletek sorokkal
teljes¨ ul, az´ert Tn a (19) sor νn -edik r´eszlet¨ osszeg´evel egyenl˝o. Innen ad´odik, hogy ha a (19) sor konvergens, akkor r´eszlet¨ osszegeinek (Xνn , n ∈ N) r´eszsorozata, k¨ovetkez´esk´eppen a (18) sor is konvergens ´es a k´et sor ¨osszege megegyezik. Ezzel az al´abbi ´ all´ıt´ ast igazoltuk:
5. T´etel. Konvergens sor b´armely z´ar´ojelez´ese is konvergens ´es a sor ¨osszege a z´ ar´ ojelez´essel nem v´ altozik. Megjegyezz¨ uk, hogy a most igazolt t´etel megford´ıt´asa ´altal´aban nem igaz, mert pl. az (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + · · · sor nyilv´an konvergens, de a z´ ar´ ojelek elhagy´as´aval kapott 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ··· sor divergens. Bizonyos esetekben azonban az 5.T´etel megford´ıthat´o.
6. T´etel. Ha a (18) sor konvergens ´es i) (νn+1 − νn , n ∈ N) korl´ atos sorozat, valamint ii) limn→∞ x = 0, n P∞ akkor a n=0 xn sor is konvergens. ´s. Legyen n > ν0 tetsz˝ Bizony´ıta oleges index ´es K az (νk+1 − νk , k ∈ N) sorozat egy fels˝o korl´atja. Nyilv´ an egyetlen olyan k ∈ N l´etezik, amelyre νk 5 n < νk+1 teljes¨ ul. Az Xn := x0 + x1 + · · · + xn ´es a Tk := α0 + α1 + · · · + αk r´eszlet¨osszegekre az αk ´ertelmez´ese alapj´ an azt kapjuk, hogy |Xn − Tk | = |xνk +1 + · · · + xn | 5 K sup{|x` | : ` ≥ νk }. Minthogy a fels˝ o hat´ ar´ert´ek ´ertelmez´ese szerint az k := sup{|x` | : ` ≥ νk } (k ∈ N) sorozatra lim sup{|x` | : ` ≥ νk } = lim sup |xn | = lim |xn | = 0, k→∞
n→∞
n→∞
az´ert |Xn − Tk | 5 Kk → 0, ha n (´es ezzel egy¨ utt) k → ∞. Ezzel megmutattuk, hogy a (Xn , n ∈ N) sorozat konvergens ´es limn→∞ Xn = limk→∞ Tk , amivel a t´etelt igazoltuk. Most megvizsg´ aljuk, hogy az ¨ osszead´ as kommatat´ıv tulajdons´aga milyen felt´etelek mellett ´erv´enyes v´egtelen sorokra. Ehhez bevezetj¨ uk az al´abbi fogalmat.
3. V´egtelen sorok ´es szorzatok
95
Defin´ıci´ o. Legyen p = (pn , n ∈ N) : N → N a term´eszetes sz´amok egy permut´aci´ oja. Ekkor a ∞ X
(20)
xpn
n=0
P∞ v´egtelen sort a n=0 xn sor egy ´ atrendez´ es´ enek vagy permut´ acioj´ ´ anak nevezz¨ uk. Az ´atrendezett sor konvergenci´ aj´ ara vonatkozik az al´abbi P 7. T´etel. Ha a ∞ ut konvergens, akkor b´armely n=0 xn sor abszol´ ´atrendez´ese is abszol´ ut konvergens ´es a sor ¨osszege az ´atrendez´essel nem v´altozik. ´s. Jel¨ Bizony´ıta olj¨ uk Tn -nel a (20) sor n-edik r´eszlet¨osszeg´et: Tn := xp0 + xp1 + · · · + xpn . i) El˝osz¨or megmutatjuk, hogy ha minden n ∈ N indexre xn ≥ 0, akkor akkor a (20) sor b´ armely p permut´ aci´ o eset´en konvergens ´es ∞ X
xpn ≤
n=0
∞ X
xn .
n=0
Tetsz˝oleges n ∈ N indexre legyen Nn := max{p0 , p1 , · · · , pn }. Ekkor az XNn = x0 + x1 + · · · + xNn o¨sszeg tagjai k¨oz¨ ott a Tn valamennyi tagja el˝ofordul, k¨ovetkez´esk´eppen minden n ∈ N indexre ∞ X Tn 5 XNn 5 sup{Xk : k ∈ N} = xk . k=0
Minthogy az ´atrendezett sor is pozit´ıv tag´ u ´es a r´eszlet¨osszegeinek sorozata korl´atos, az´ert konvergens ´es az ¨ osszeg´ere (21)
∞ X
xpn = sup{Tn : n ∈ N} ≤
n=0
s ezzel a mondott ´ all´ıt´ ast bebizony´ıtottuk.
∞ X n=0
xn ,
96
3.4. M˝ uveletek sorokkal
ii) Els˝o l´ep´esben a t´etelt pozit´ıv tag´ u sorokra igazoljuk. Ha minden n ∈ N indexre xn ≥ 0, akkor az i)-ben igazoltak alapj´an a (20) sor konvergens ´es ¨osszeg´ere (21) teljes¨ ul. Az ´ atrendezett (20) sorb´ ol kiindulva a p permut´aci´o inverz´et felhaszn´alva, ´atrendez´essel visszakapjuk az eredeti sort. Erre az esetre alkalmazva az i)-ben igazolt (21) egyenl˝ otlens´eg megfelel˝ oj´et, a (21) becsl´es ford´ıtottj´at kapjuk. Ez a (21)-gyel egy¨ utt a bizony´ıtand´ o´ all´ıt´ ast jelenti. P∞ Ha a most mondottakat a n=0 |xn | sorra alkalmazzuk, az ´atrendezett sor abszol´ ut konvergenci´ aj´ ara vonatkoz´ o´ all´ıt´ as ad´ odik. iii) Legyen most x = (xn , n ∈ N) egy val´ os sz´amsorozat. Jel¨olje α+ ´es α− az α val´os sz´am pozit´ıv-, ill. negat´ıv r´esz´et: α+ :=
ha α ≥ 0,
α, 0,
ha
α− :=
α<0
−α, 0,
ha α < 0, ha
α≥0
Ekkor α = α+ − α− , |α| = α+ + α− . P∞ Ezt felhaszn´alva bontsuk fel a ıv ´es negat´ıv r´esz¨ uk n=0 xn sor tagjait pozit´ k¨ ul¨onbs´eg´ere. Minthogy a sz´ oban forg´ o sor abszol´ ut konvergens ´es 0 5 x− n 5 |xn | (n ∈ N)
0 5 x+ n 5 |xn |,
az´ert az ¨osszehasonl´ıt´ o krit´erium alapj´ an az ezekb˝ol alkotott sorok k¨ ul¨on–k¨ ul¨on konvergensek. Legyen α :=
∞ X
x+ n,
β :=
n=0
∞ X
x− n.
n=0
Ekkor a v´egtelen sorok k¨ ul¨ onbs´eg´ere vonatkoz´o azonoss´ag alapj´an ∞ X
xn =
n=0
∞ X
− (x+ n − xn ) = α − β.
n=0
M´asr´eszt — a tagok pozit´ıv- ´es negat´ıv r´eszeib˝ol alkotott pozit´ıv tag´ u sorokra alkalmazva a t´etelt — azt kapjuk, hogy ezek b´armely ´atrendez´ese is konvergerns ´es ¨osszeg¨ uk α, ill.β: ∞ ∞ X X x+ x− pn = β. pn = α, n=0
n=0
Ezekre az ´atrendezett sorokra alkalmazva a sorok k¨ ul¨onbs´eg´ere vonatkoz´o m˝ uveleti szab´alyt ∞ ∞ ∞ X X X + xpn = xpn − x− pn = α − β n=0
n=0
n=0
3. V´egtelen sorok ´es szorzatok
97
ad´odik. Ezzel valos sz´ amsorokra is igazoltuk a t´etelt. iv) V´eg¨ ul legyen xn = un + ıvn (n ∈ N) egy komplex sz´amsorozat. Minthogy a val´os (un , n ∈ N), (vn , n ∈ N) sz´ amsorozatokra |un | 5 |xn |,
|vn | 5 |xn | (n ∈ N),
P∞ P∞ ul¨ on-k¨ ul¨ on abszol´ ut konvergensek. Ezekre a az´ert a n=0 un , n=0 vn sorok k¨ val´os sz´amsorokra alkalmazva a t´etel m´ ar bebizony´ıtott r´esz´et azt kapjuk, hogy ezek b´armely ´atrendez´ese is konvergens ´es ∞ X
upn =
n=0
∞ X
un ,
n=0
∞ X
vpn =
n=0
n=0
xpn =
∞ X n=0
upn + ı
∞ X
vpn =
n=0
∞ X
vn
n=0
a term´eszetes sz´ amok b´ armely p permut´ aci´oj´ara. vonatkoz´o m˝ uveleti szab´ alyokat a bizony´ıtand´o ∞ X
∞ X
Ism´et alkalmazva a sorokra
un + ı
n=0
∞ X n=0
vn =
∞ X
xn
n=0
egyenl˝os´eget kapjuk. A most igazolt t´etelben az abszol´ ut konvergenci´ara vonatkoz´o felt´etel sz¨ uks´egess´eg´et mutatja az al´ abbi, Riemannt´ ol sz´armaz´o t´etel, amelyet itt csak val´os sz´amsorozatokra fogalmazunk meg.
8. T´etel. os sz´amsorozat. P∞Legyen (xn , n ∈ N) egy val´ i) Ha a n=0 xn sor nem abszol´ ut konvergens, akkor van olyan ´atrendez´ese, amely P∞ divergens. ii) Ha a n=0 xn v´egtelen sor konvergens, de nem abszol´ ut konvergens, akkor b´armely γ val´ os sz´ amhoz l´etezik a sz´oban forg´o sornak olyan konvergens ´ atrendez´ese, amelynek ¨ osszege γ. P ´s. Ha a ∞ Bizony´ıta all´ıt´as els˝o r´esze nyilv´anval´oan n=0 xn sor divergens, akkor az ´ fenn´all. Ez´ert mindk´et ´ all´ıt´ as bizony´ıt´ asakor feltehetj¨ uk, hogy a sz´oban forg´o sor konvergens, de nem abszol´ ut konvergens. El˝osz¨or megmutatjuk, hogy a most eml´ıtett k´et felt´etelb˝ol k¨ovetkezik, hogy a ∞ X n=0
x+ n,
∞ X
x− n
n=0
P∞ sorok mindegyike divergens. Val´ oban, minthogy a konvergens n=0 xn sor a fenti k´et sor k¨ ul¨onbs´ege, az´ert ha ezek k¨ oz¨ ul valamelyik konvergens volna, akkor — a sorokra vonatkoz´ o m˝ uveleti szab´ alyok alapj´ an — a m´asik is az volna. Ekkor viszont
98
3.4. M˝ uveletek sorokkal
az ¨osszeg¨ uk is konverg´ alna, k¨ ovetkez´esk´eppen az eredeti sor abszol´ ut konvergens volna. Feltehetj¨ uk, hogy az x sorozat egyetlen tagja sem 0. Val´oban, minthogy a v´egtelen soroknak sem a konvergenci´ aja, sem az ¨osszege nem v´altozi, ha tagjai k¨oz¨ ul a 0-val egyenl˝ oket elhagyjuk, vagy 0-val egyenl˝o tagokat hozz´avesz¨ unk, az´ert a most eml´ıtett felt´etel nem jelenti az ´ altal´ anoss´ag megszor´ıt´as´at. Az x pozit´ıv ´es negat´ıv tagjaib´ol alkotott r´eszsorozaira vezess¨ uk be az (αn , n ∈ N),
(βn , n ∈ N)
jel¨ol´eseket. Ekkor minden N ∈ N indexre (22)
∞ X
∞ X
αk = +∞,
k=N
−βn = +∞.
k=N
i) Az ´all´ıt´as els˝ o r´esz´enek az igazol´ as´ ahoz megmutatjuk, hogy van az eredeti sornak egy olyan ´ atrendez´ese, amelyre nem teljes¨ ul a sorokra vonatkoz´o Cauchy f´ele konvergencia krit´erium. Legyen (νn , n ∈ N) olyan indexsorozat, amelyre ν0 = 0 ´es minden k ∈ N indexre νk+1 −1
X
α` > 1.
`=νk
Ilyen indexsorozat l´etez´ese (22) alapj´ an rekurzi´oval igazolhat´ o. Ezt felhaszn´alva P ∞ tekints¨ uk az eredeti sornak azt az ´ atrendez´es´et, amelyet a ol u ´gy n=0 αn sorb´ kapunk, hogy ennek νn -edik tagja el´e beiktatjuk a βn tagot (n ∈ N). Ennek az ´atrendez´esnek a (Tn , n ∈ N) r´eszlet¨ osszegeire a konstrukci´o alapj´an ννn+1 −1
|Tνn+1 +n−1 − Tνn +n | =
X
αk > 1
(n ∈ N)
k=νn
teljes¨ ul. Ezzel bel´ attuk, hogy az eredeti sor most tekintett ´atrendez´ese nem tesz eleget a Cauchy-f´ele konvergencia krit´eriumnak. ii) Tegy¨ uk fel, hogy γ ≥ 0. A P γ < 0 eset ´ertelemszer˝ u m´odos´ıt´asokkal ha∞ sonl´oan t´argyalhat´ o. Minthogy a α sor divergens, az´ert l´eteznek ennek n=0 n olyan r´eszlet¨osszegei, amelyek nagyobbak γ-n´al. Vegy¨ uk ezek k¨oz¨ ul a legkisebb index˝ ut: S0 := α0 + · · · + αν + . 0
Erre nyilv´an S0 − αν + 5 γ < S0 0
3. V´egtelen sorok ´es szorzatok
99
teljes¨ ul. Ism´etelj¨ uk meg a most alkalmazott elj´ar´ast (´ertelemszer˝ u m´odos´ıt´assal) γ P∞ helyett a γ − S0 < 0 sz´ amra a n=0 βn negat´ıv tag´ u sort v´eve. Ekkor ennek l´etezik olyan ν0− index˝ u r´eszlet¨ osszege, R0 , hogy R0 < γ − S0 5 R0 − βν − , 0
azaz S0 + R0 < γ 5 S0 + R0 − βν − . 0
Ezt a k´etl´ep´esesPelj´ ar´ ast ism´etelj¨ uk meg el˝osz¨or a γ − (S0 + R0 ) > 0 sz´ammal a ∞ szint´en divergens k=ν + +1 αk sort v´eve. Ekkor l´etezik olyan ν1+ > ν0+ index, hogy 0 a pozit´ıv tagokb´ ol alkotott sor +
S1 :=
ν1 X
αk
k=ν0+ +1
szelet´ere S1 − αν + 5 γ − (S0 + R0 ) < S1 1
teljes¨ ul. M´asodik l´ep´esben tekints¨ uk a γ − (S0 + R0 + S1 ) < 0 sz´amot ´es a divergens ∞ X
βk
k=ν0− +1
sort. Ekkor az el˝ oz˝ oekhez hasonl´ oan l´etezik olyan ν1− > ν0− index, hogy a negat´ıv tagokb´ol alkotott sor ν1− X βk R1 := k=ν0− +1
szelet´ere R1 < γ − (S0 + R0 + S1 ) 5 R1 − βν − , 1
azaz S0 + R0 + S1 + R1 < γ 5 S0 + R0 + S1 + R1 − βν − 1
teljes¨ ul. Ezt a konstrukci´ ot folytatva rekurzi´ oval k´et olyan (νn+ , n ∈ N) ´es (νn− , n ∈ N) indexsorozatot defini´ alhatunk, hogy az ezekkel k´epzett −
+
Sn :=
νn X + k=νn−1 +1
αk ,
Rn :=
νn X − k=νn−1 +1
βk
(n ∈ N∗ )
100
3.4. M˝ uveletek sorokkal
szeletekre S0 + R0 + · · · + Sn − ανn+ 5 γ < S0 + R0 + · · · + Sn ,
(23) illetve (24)
S0 + R0 + · · · Sn + Rn < γ 5 S0 + R0 + · · · Sn + Rn − βνn−
+ − teljes¨ ul. Ezek az egyenl˝ otlens´egek n = 0 eset´en is ´erv´enyesek, ha ν−1 = ν−1 = −1.
A (23) egyenl˝ otlens´eg els˝ o r´esze ´es a (24) m´asodik r´esze alapj´an −ανn+ 5 γ − (S0 + R0 + · · · + Sn ) 5 Rn − βνn− , k¨ovetkez´esk´eppen −Rn = |Rn | 5 ανn+ + |βνn− | (n ∈ N).
(25)
A (23) els˝o r´esz´et ´es a (24) m´ asodik r´esz´et n helyett n − 1-re felhaszn´alva az el˝oz˝okh¨oz hasonl´ oan azt kapjuk, hogy Sn − ανn+ 5 γ − (S0 + R0 + · · · + Sn−1 + Rn−1 ) 5 −βν − , n−1
k¨ovetkez´esk´eppen Sn 5 ανn+ + |βν − | (n ∈ N).
(26)
n−1
Minthogy az eredeti sor konvergens, az´ert tagjai nullsorozatot alkotnak, k¨ovetkez´esk´eppen lim αn = lim βn = 0. n→∞
n→∞
Innen ´es (23) -b´ ol k¨ ovetkezik, hogy a a z´ ar´ ojelezett ∞ ∞ X X (αν + +1 + · · · + ανn+ + βν − +1 + · · · + βνn− ) = (Sn + Rn ) n−1
n−1
n=0
n=0
v´egtelen sor konvergens ´es ¨ osszege γ. A konstrukci´o alapj´an az is nyilv´anval´o, hogy ez ut´obbi sorb´ol a z´ ar´ ojelek elhagy´ as´ aval kapott v´egtelen sor az eredetinek egy ´atrendez´ese. Minthogy az ´ atrendezett sor r´eszlet¨ osszegeinek (Tνn+ +νn− , n ∈ N) r´eszsorozata a z´ar´ojelezett sor r´eszlet¨ osszegeinek a sorozat´aval azonos, az´ert ezek γ-hoz konverg´alnak. Ha valamely m indexre + νn+ + νn− < m 5 νn+1 + νn−
vagy
+ + − νn+1 + νn− < m < νn+1 + νn+1
teljes¨ ul, akkor az els˝ o esetben |Tm − Tνn+ +νn− | 5 |Sn |, a m´asodikban pedig |Tm − Tν +
− n+1 +νn+1
| 5 |Rn |.
Innen — felhaszn´ alva a (25), (26) egyenl˝ otlens´egeket — k¨ovetkezik, hogy az ´atrendezett sor r´eszlet¨ osszege sorozata konverg´ al, ´es az ´atrendezett sor ¨osszege val´oban γ.
3. V´egtelen sorok ´es szorzatok
101
Megjegyz´esek 1. A sorok ´ atrendez´ es´ ere vonatkoz´ o 7.T´ etel a kommutativit´ as szab´ aly´ anak v´ egtelen ¨ osszegre vonatkoz´ o analogonj´ anak (megfelel˝ oj´ enek) tekinthet˝ o. A 7. ´ es a 8.T´ etelt gyakran a k¨ ovetkez˝ o ¨ osszevont alakban is meg szokt´ ak fogalmazni: valamely v´ egtelen sor b´ armely ´ atrendez´ ese akkor ´ es csak akkor konvergens, ha az illet˝ o v´ egtelen sor abszol´ ut konvergens. 2. Sorok ´ atrendez´ es´ evel kapcsolatos az al´ abbi fogalom is. Akkor mondjuk, hogy egy v´ egtelen sor felt´ etlen konvergens, ha b´ armely ´ atrendez´ ese konvergens. Az 1. pontban megfogalmazott all´ıt´ ´ as alapj´ an az abszolut konvergens ´ es a felt´ etlen konvergens sorok oszt´ alya azonos. Ha valamely v´ egtelen sor konvergens, de nem abszol´ ut konvergens, akkor azt mondjuk, hogy felt´ etelesen konvergens. 3. Tekints¨ uk valamely val´ os konvergens sor ¨ osszes konvergens ´ atrendez´ es´ et ´ es ezek ¨ osszegeinek a halmaz´ at. Ekkor k´ et eset lehets´ eges. Ha a sor abszol´ ut konvergens, akkor ez a halmaz egyetlen pontb´ ol ´ all. Ha a sor felt´ etelesen konvergens, akkor a 8.T´ etel alapj´ an ez a halmaz az R-rel egyenl˝ o. 4. A 7.T´ etelt komplex sz´ amsorokra is igazoltuk, a 8.T´ etel els˝ o r´ esze pedig a val´ os esthez hasonl´ oan igazolhat´ o ilyen v´ egtelen sorokra. Az ´ all´ıt´ as m´ asodik r´ esze komplex sz´ amsorokra altal´ ´ aban m´ ar nem igaz. Ezzel kapcsolatos Steinitz al´ abbi t´ etele. Valamely komplex tag´ u konvergens sor konvergens ´ atrendez´ eseit v´ eve, h´ arom eset lehets´ eges: az ¨ osszegek halmaza vagy egyetlen pontb´ ol ´ all, vagy a komplex sz´ ams´ık egy egyenes´ evel, vagy a teljes komplex sz´ ams´ıkkal egyenl˝ oP . Azt, hogy a m´ asodik eset is el˝ ofordulhat, a k¨ ovetkez˝ o ∞ egyszer˝ u p´ elda is mutatja. Legyen P ut konvergens komplex v´ egtelen sor, k=0 zk egy abszol´ amelynek ¨ osszege α. Legyen tov´ abb´ a ∞ etelesen konvergens val´ os v´ egtelen sor k=0 xk egy felt´ ´ es λ 6= 0 egy tesz˝ oleges komplex sz´ am. Ekkor a ∞ X
(zk + λ · xk )
k=0
sor is felt´ etelesen konvergens ´ es a konvergens ´ atrendez´ esekkel ad´ od´ o ¨ osszegek halmaza — a 8.T´ etel alapj´ an — a komplex sz´ ams´ık {α + λs : s ∈ R} egyenes´ evel egyenl˝ o. Hasonl´ o m´ odon lehet olyan felt´ etelesen konvergens sort megadni, amelyre v´ eve a konvergens ´ atrendez´ eseket, azok ¨ osszegeinek a halmaza C-vel egyenl˝ o. Annak az igazol´ as´ at´ ol, hogy a h´ arom eseten k´ıv¨ ul m´ as nem fordulhat el˝ o, itt eltekint¨ unk.
3.5. Konvergencia krit´eriumok A 3.2. pontban megfogalmazott ¨ osszehasonl´ıt´o krit´eriumok alapj´ P∞an, ha az x, y sorozatokra |xn | 5 y teljes¨ u l majdnem minden indexre, akkor a n n=0 yk sor konP∞ vergenci´aj´ab´ol a k=0 xk sor abszol´ ut konvergenci´aja k¨ovetkezik. Az al´abbiakban a vizsg´aland´o sorokat az yk := q k (k ∈ N) m´ertani sorral hasonl´ıtjuk ¨ossze, ´es az eml´ıtett ´all´ıt´ast alkalmazva j´ ol haszn´ alhat´ o konvergencia krit´eriumokat kapunk.
102
3.5. Konvergencia krit´eriumok
Cauchy-f´ele gy¨ok krit´erium. Ha a ∞ X
(27)
xn
n=0
v´egtelen sor tagjaira lim sup
p n
|xn | < 1,
n→∞
akkor a (27) v´egtelen sor abszol´ ut konvergens. Ha lim sup
p n
|xn | > 1,
n→∞
akkor a (27) sor divergens. ´s. Tegy¨ Bizony´ıta uk fel el˝ osz¨ or, hogy lim supn→∞ olyan q sz´amot, amelyre
lim sup
p n
|xn | < 1, ´es r¨ogz´ıts¨ unk egy
p n |xn | < q < 1.
n→∞
Ekkor a fels˝o hat´ ar´ert´ek ismert tulajdons´ aga alapj´an majdnem minden n indexre p n |xn | < q teljes¨ ul. Minthogy az ut´ obbi a´ll´ıt´as azzal ekvivalans, hogy |xn | < q n majdnem minden n-re, az´ert a bevezet´esben eml´ıtett ¨osszehasonl´ıt´o krit´erium alapj´an az ´all´ıt´as els˝ o r´esze nyilv´ anval´ o.
Ha
lim sup
p n |xn | > 1,
n→∞
p akkor a fels˝o hat´ ar´ert´ek egy m´ asik tulajdons´aga alapj´an n |xn | > 1 v´egtelen sok n-re. K¨ovetkez´esk´eppen |xn | > 1 v´egtelen sok n-re, s ez´ert x nem nullsorozat. Ezzel bebizony´ıtottuk, hogy a (27) sor divergens.
Egy m´asik fontos, j´ ol haszn´ alhat´ o felt´etelt tartalmaz a
3. V´egtelen sorok ´es szorzatok
103
D’Alambert-f´ele h´anyados krit´erium. Tegy¨uk fel, hogy a (27) v´egtelen sor tagjai k¨ oz¨ ul egyik sem 0. Ha lim sup n→∞
|xn+1 | < 1, |xn |
akkor a (27) sor abszol´ ut konvergens, ha pedig lim inf n→∞
|xn+1 | > 1, |xn |
akkor (27) divergens. ´s. Az ´ Bizony´ıta all´ıt´ as els˝ o r´esz´enek az igazol´as´ahoz r¨ogz´ıts¨ unk egy olyan q val´os sz´amot, amelyre |xn+1 |
(n ∈ N)
ad´odik. Innen, a bevezet˝ oben eml´ıtett ¨ osszehasonl´ıt´o krit´erium alapj´an az ´all´ıt´as els˝o r´esze m´ar k¨ ovetkezik. Ha lim inf n→∞
|xn+1 | > 1, |xn |
akkor az als´o hat´ ar´ert´ek ismert tulajdons´ aga alapj´an l´etezik olyan N index, hogy minden n ≥ N eg´esz sz´ amra |xn+1 | > 1, |xn | k¨ovetkez´esk´eppen |xn | ≥ |xN | > 0
(n ≥ N ).
104
3.6. Kett˝os sorozatok ´es sorok
Innen nyilv´anval´ o, hogy x nem nullsorozat, s ez´ert a (27) sor val´oban divergens. A most igazolt krit´eriumokb´ ol speci´ alis esetk´ent ad´odik a
6. K¨ ovetkezm´eny. Ha l´etezik az α := lim
n→∞
p n |xn |
hat´ar´ert´ek ´es α < 1, akkor a (27) v´egtelen sor abszol´ ut konvergens, ha pedig α > 1, akkor (27) divergens. A D’Alambert-f´ele konvergencia krit´eriumb´ol ad´odik a
7. K¨ ovetkezm´eny. Ha (27)-ben minden tagra |xn | > 0 ´es l´etezik a β := lim
n→∞
|xn+1 | |xn |
hat´ar´ert´ek, akkor β < 1 eset´en a (27) sor abszol´ ut konvergens, β > 1 eset´en pedig a sz´ oban forg´ o sor divergens. Megjegyezz¨ uk, hogy a Cauchy-f´ele gy¨ ok krit´erium a p lim sup n |xn | = 1 n→∞
esetben, a D’Alambert-f´ele h´ anyados krit´erium pedig a lim inf n→∞
|xn+1 | |xn+1 | 5 1 ≤ lim sup |xn | |xn | n→∞
esetben nem ny´ ujt felvil´ agos´ıt´ ast a (27) sor konvergenci´aj´ar´ol. Tekints¨ uk p´eld´aul a ∞ X 1 , 2 n n=1
∞ X 1 n n=1
sorokat. Mindk´et esetben lim
n→∞
p n
|xn | = 1,
lim
n→∞
|xn+1 | = 1, |xn |
ugyanakkor az els˝ o sor konvergens, a m´ asodik pedig divergens. Ezekben az u ´n. kritikus esetekben a most bebizony´ıtott krit´eriumok nem haszn´alhat´ok a konvergencia, ill. a divergencia kimutat´as´ara. Ilyenkor m´as, a most ismertetettn´el hat´ekonyabb m´ odszert c´elszer˝ u haszn´alni, vagy — figyelembe v´eve az adott sor speci´ alis tulajdons´ agait — valamilyen egyedi elj´ar´ast alkalmazni.
3. V´egtelen sorok ´es szorzatok
105
3.6. Kett˝ os sorozatok ´es kett˝ os sorok A tov´abbiakban c´elszer˝ u olyan ”sorozatokat” ´es ”sorokat” vizsg´alni, amelyekben a tagok indexe nem term´eszetes sz´ am, hanem term´eszetes sz´amokb´ol alkotott rendezett sz´amp´ ar. Ennek megfelel˝ oen az x : N2 := N × N → K f¨ uggv´enyt kett˝os vagy k´et index˝ u sorozatnak nevezz¨ uk. Az x f¨ uggv´enynek a (k, `) ∈ N2 helyen felvett ´ert´ek´et x(k, `)-lel, vagy gyakrabban xk` -lel fogjuk jel¨olni, az x kett˝os sorozatra pedig az x = (xk` , (k, `) ∈ N2 ) jel¨ol´est fogjuk haszn´ alni. Ez a defin´ıci´ o¨ osszhangban van a sorozat fogalm´anak a F¨ uggel´ekben bevezetett ´ altal´ anos´ıt´ as´ aval. Az ott szerepl˝o index halmaznak ebben az esetben az N2 felel meg. Az N2 halmazt c´elszer˝ u a s´ık els˝o negyed´enek {(k, `) ∈ R × R : k, ` ∈ N} r´eszhalmaz´aval, az u ´n. r´acspontok halmaz´aval szeml´eltetni. Az N2 halmazon t¨ obbf´elek´eppen is szok´ as parci´alis rendez´est bevezetni. Kett˝os sorokkal kapcsolatban a k¨ ovetkez˝ ot c´elszer˝ u haszn´alni: tetsz˝oleges m = (m1 , m2 ), n = (n1 , n2 ) ∈ N2 r´ acspont p´ arra legyen m5n
⇔
m1 5 n1
´es
m2 5 n2 .
K¨onnyen ellen˝ orizhet˝ o, hogy ezzel egy parci´alis rendez´est ´ertelmezt¨ unk az N2 2 halmazon ´es b´armely k´et m, n ∈ N r´ acsponthoz l´etezik olyan ` ∈ N2 , hogy m ≤ ` ´es n ≤ `. Ilyen pl. az `1 := max{m1 , n1 }, `2 := max{m2 , n2 } utas´ıt´assal ´ertelmezett ` r´acspont. Ez azt jelenti, hogy az N2 indexhalmaz a most ´ertelmezett parci´alis rendez´essel egy felfel´e ir´any´ıtott halmaz, k¨ovetkez´esk´eppen az N2 halmazon ´ertelmezett f¨ uggv´enyek val´ oban sorozatnak tekinthet˝ok a mondott ´ertelemben. A kett˝os sorozatokat v´egtelen m´ atrixszokkal is hangban a x x01 x02 · · · 00 x10 x11 x1,2 · · · . x = .. xk0 xk1 xk2 · · · .. .
szokt´ak azonos´ıtani. Ezzel ¨osszx0` · · · x1` · · · xk` · · ·
jel¨ol´est is fogjuk haszn´ alni. A kett˝ os sorozat tagjaib´ol kiindulva t¨obbf´elek´eppen is k´esz´ıthet¨ unk olyan v´egtelen sort, amelynek a tagjai az x kett˝os sorozat tagjaival egyenl˝ok. Az al´ abbiakban a n´egy leggyakrabban el˝ofordul´o esettel foglalkozunk.
106
3.6. Kett˝os sorozatok ´es sorok
Defin´ıci´ o. A (28)
∞ X
X
xk`
n=0 max{k,`}=n
v´egtelen sort az x kett˝ os sorozatb´ ol alkotott t´ egl´ anysornak, a (29)
∞ X X
xk`
n=0 k+`=n
sort pedig az x-b˝ ol alkotott Cauchy-sornak nevezz¨ uk. A (28) sort az x m´ atrix´ ab´ ol u ´gy kapjuk, hogy a sarok n´egyzetek ment´en l´ev˝o tagokat gy˝ ujtj¨ uk ¨ ossze egy tagba, m´ıg a (29)-ben az eml´ıtett n´egyzetek ´atl´oi ment´en ´all´o tagokat csoportos´ıtottuk. Egy csoporton bel¨ ul a tagokat olyan sorrendben ´ırjuk fel, amelyben az els˝ o index n˝ o, a m´ asodik pedig cs¨okken. Ha a (z´ar´ojelek n´elk¨ uli) (28), ill. (29) sor abszol´ ut konvergens, akkor azt fogjuk mondani, hogy a (28), ill. a (29) sor abszol´ ut konvergens. Az x sorozatb´ ol — bizonyos esetekben — m´as t´ıpus´ u sort is k´esz´ıthet¨ unk.
Defin´ıci´ o. Tegy¨uk fel, hogy minden k ∈ N indexre a sz´oban forg´o m´atrix k-adik sor´ ab´ ol k´esz´ıtett v´egtelen sor konvergens ´es legyen Xk :=
∞ X
(k ∈ N).
xk`
`=0
Ha az (Xk , k ∈ N) sorozattal k´epzett ∞ X
(30)
Xk
k=0
v´egtelen sor konvergens, akkor azt mondjuk, hogy a (31)
∞ ∞ X X k=0
! xk`
`=0
kett˝ os sor konvergens ´ es ¨ osszege a (30) sor ¨ osszeg´ evel egyenl˝ o. A sorok ´es oszlopok szerep´et felcser´elve hasonl´oan ´ertelmezhetj¨ uk a ! ∞ ∞ X X (32) xk` `=0
k=0
3. V´egtelen sorok ´es szorzatok
107
kett˝os sor konvergenci´ aj´ at.
Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy a (31) sor abszol´ut konvergens, ha minden k ∈ N indexre Tk :=
∞ X
|xk` | < ∞
`=0
´es
∞ X
Tk < ∞.
k=0
Hasonl´o ´ertelemben fogjuk haszn´ alni az abszol´ ut konvergencia fogalm´at a (32) sorral kapcsolatban is. A k¨ovetkez˝o t´etelben el´egs´eges felt´etelt adunk arra, hogy a (28)–(32) v´egtelen sorok konvergensek legyenek ´es ¨ osszeg¨ uk megegyezzen.
9. T´etel. i) A (28) sor akkor ´es csak akkor abszol´ut konvergens, ha a (31) kett˝os sor abszol´ ut konvergens. ii) Ha a (28) sor abszol´ ut konvergens, akkor a (29), (31) ´es (32) sorok is abszol´ ut konvergensek ´es ¨ osszeg¨ uk a (28) sor ¨osszeg´evel egyenl˝o. ´s. i) El˝ Bizony´ıta osz¨ or a t´etel els˝ o r´esz´et igazoljuk. Legyen αk` := |xk` |
((k, `) ∈ N2 ),
´es az α = (αk` , (k, `) ∈ N2 )-b´ ol k´epzett t´egl´ anysorral kapcsolatban vezess¨ uk be az Yn :=
n X
X
αk` =
i=0 max{k,`}=i
n n X X
|xk` | (n ∈ N)
k=0 `=0
sorozatot. Az ´all´ıt´as els˝ o r´esz´enek az igazol´ as´ ahoz tegy¨ uk fel, hogy az α-b´ol k´esz´ıtett t´egl´anysor konvergens. Legyen γ := sup{Yn : n ∈ N} a sz´oban forg´o sor ¨ osszege. Minthogy minden n, k ∈ N eset´en n X `=0
αk` 5 Yk 5 γ,
108
az´ert a
3.6. Kett˝os sorozatok ´es sorok
P∞
`=0
αk` v´egtelen sor konvergens. Legyen Tk :=
∞ X
αk`
(k ∈ N).
`=0
R¨ogz´ıts¨ unk egy m term´eszetes sz´ amot. Ekkor minden n ≥ m sz´amra – figyelembe v´eve a tagok pozitivit´ as´ at – m X n X
αk` ≤
k=0 `=0
n X n X
αk` 5 Yk∨n ≤ γ.
k=0 `=0
Felhaszn´alva az ¨ osszead´ as ´es a hat´ ar´ert´ek kapcsolat´ara vonatkoz´o szab´alyt, innen n → ∞ hat´ar´atmenettel m X Tk ≤ γ (m ∈ N) k=0
ad´odik, azaz az α (31) alak´ u kett˝ os sora konvergens ´es ! ∞ ∞ X X αk` ≤ γ. k=0
`=0
A ford´ıtott ir´ any´ u´ all´ıt´ as igazol´ as´ ahoz induljunk ki abb´ol, hogy Tk :=
∞ X
αk` < ∞ (k ∈ N) ´es
`=0
n X n X k=0 `=0
Tk < ∞.
k=0
Minthogy Yn :=
∞ X
αk` ≤
n X k=0
Tk ≤
∞ X
Tk
(n ∈ N),
k=0
az´ert az α-b´ol k´epzett t´egl´ anysor is konvergens ´es az ¨osszeg´ere γ := sup{Yn : n ∈ N} ≤
∞ X
Xk
k=0
teljes¨ ul. Ezzel a t´etel i) r´esz´evel egy¨ utt az al´abbi ´all´ıt´ast is bebizony´ıtottuk:ha valamely pozit´ıv tag´ u sorozatb´ ol k´esz´ıtett t´egl´anysor konvergens, akkor a (31) alak´ u kett˝os sor is konvergens ´es a k´et sor ¨ osszege megegyezik. ii) Az ´all´ıt´as m´ asodik r´esz´et el˝ osz¨ or pozit´ıv tag´ u sorokra igazoljuk. Ha a (27) sor konvergens, akkor a bizony´ıt´as i) r´esz´ehez f˝ uz¨ott megjegyz´es alapj´an a (29) kett˝ os sor konvergenci´ aja k¨ ovetkezik, ´es a k´et sor ¨osszege megegyezik.
3. V´egtelen sorok ´es szorzatok
109
Minthogy (29) a (28)-b´ ol ´ atz´ ar´ ojelez´essel ´es ´atrendez´essel megkaphat´o, az´ert (29) is konverges ´es ¨oszege egyenl˝ o a (28) sor ¨ osszeg´evel. V´eg¨ ul alkalmazzuk a (31) sor konvergenci´aj´ara vonatkoz´ o, m´ ar igazolt ´ all´ıt´ ast az x helyett az x∗k` := x`k (k, ` ∈ N) sorozatra. Ekkor Yn∗ :=
n X n X
x∗k` =
k=0 `=0
n X n X
xk` = Yn ,
k=0 `=0
k¨ovetkez´esk´eppen a (32) sor is konvergens ´es ¨osszege a (28) sor ¨osszeg´evel egyenl˝o. Ezzel a t´etelt pozit´ıv tag´ u sorokra igazoltuk. Legyen most x tetsz˝ oleges val´ os kett˝ os sorozat ´es — a sorok ´atrendez´es´ere vonatkoz´o t´etel bizony´ıt´ as´ ahoz hasonl´ oan — bontsuk fel az x tagjait pozit´ıv ´es − negat´ıv r´esz¨ uk k¨ ul¨ onbs´eg´ere: xk` = x+ etel i) r´esz´et felhaszn´alva a (28) k` − xk` . A t´ sor abszol´ ut konvergenci´ aj´ ab´ ol (31) abszol´ ut konvergenci´aja k¨ovetkezik. Mivel x+ k` ≤ |xk` |, az´ert
∞ X
x+ k` < ∞,
k=0 ∞ X
∞ X
k=0
`=0
2 x− k` ≤ |xk` | (k, ` ∈ N ),
∞ X
x− es k` < ∞ ´
k=0 ∞ ∞ X X
! x+ k`
< ∞,
k=0
! x− k`
< ∞.
`=0
− 2 2 Ha a t´etel m´ar igazolt r´esz´et az (x+ ıv kett˝os k` , (k, `) ∈ N ), (xk` , (k, `) ∈ N ) pozit´ sorozatokra alkalmazzuk, ∞ ∞ X X k=0
=
=
! x+ k`
−
∞ ∞ X X
! x− k`
k=0 ∞ X
k=0 `=0 ! ∞ ∞ X X x+ x− k` − k` `=0 `=0 ! ∞ X
k=0
`=0
=
`=0
∞ X
xk`
=
∞ ∞ X X k=0
! − (x+ k` − xk` )
=
`=0
.
ad´odik. Ez pontosan azt jelenti, hogy a (31) kett˝os sor konvergens ´es az ¨osszege a (28) ¨osszeg´evel egyenl˝ o. Hasonl´ oan igazolhat´ o a m´asik k´et sorra vonatkoz´o ´all´ıt´as. Komplex tag´ u sorokra — v´eve a tagok val´os ´es k´epzetes r´esz´et — az ´all´ıt´as hasonl´oan igazolhat´ o.
110
3.7. V´egtelen sorok szorz´asa
Megjegyz´esek 1. A most igazolt t´ etelt gyakran a k¨ ovetkez˝ o alakban szokt´ ak megfogalmazni: ha X X |xk` | < ∞, n=0 max{k,`}=n
akkor
∞ X
X
xk` =
n=0 max{k,`}=n
=
∞ X
∞ X
k=0
`=0
xk` =
n=0 k+`=n
! xk`
∞ X X
=
∞ X
∞ X
`=0
k=0
! xk`
.
2. A (31) kett˝ os sort, azaz az (x00 +x01 +· · ·+x0` +· · · )+(x10 +x11 +· · ·+x1` +· · · )+· · ·+(xk0 +xk1 +· · ·+xk` +· · · )+· · · kett˝ os sort a (28) sor egy — nem a kor´ abban defini´ alt ´ ertelemben vett — ´ atrendez´ es´ enek is szokt´ ak tekinteni. Ezzel ¨ osszhangban a 9.T´ etelt nagy ´ atrendez´ esi t´ etelnek is nevezik.
3.7. V´egtelen sorok szorz´asa Kor´abban m´ar ´ertelmezt¨ uk v´egtelen sornak (v´egtelen ¨osszegnek) sz´ammal val´o szorzat´at, ´es l´attuk, hogy ebben az esetben is ´erv´enyes a v´eges ¨osszegekre vonatkoz´o disztribut´ıvit´asi szab´ aly. Most megvizsg´ aljuk, hogy a v´eges ¨osszegek szorzat´ara vonatkoz´o m n m X n X X X ( xk )( yk ) = xk y` k=0
`=0
k=0 `=0
ismert azonoss´ag milyen form´ aban terjeszthet˝o ki v´egtelen sorokra. Ehhez bevezetj¨ uk a k¨ovetkez˝ o fogalmat:
Defin´ıci´ o. Legyen (xn , n ∈ N), (yn , n ∈ N) k´et sz´amsorozat. i) Az x × y := (xk y` , (k, `) ∈ N2 ) kett˝os sorozatot az x ´es az y sorozat Kronecker-szorzat´ anak nevezz¨ uk. P∞ ii) Az x × y kett˝ os sorozatb´ ol alkotott t´egl´anysort a es a n=0 xn ´ P∞ egtelen sor t´ egl´ anyszorzat´ anak nevezz¨ uk. n=0 yn v´ iii) Az x × y kett˝ os sorozatb´ ol alkotott Cauchy–sort a sz´oban forg´o k´ et sor Cauchy–szorzat´ anak nevezz¨ uk. A nagy ´atrendez´esi t´etel k¨ ovetkezm´enyek´ent ad´odik az al´abbi
3. V´egtelen sorok ´es szorzatok
111
P∞ xn ´es a n=0 yn sorok abszol´ ut konvergensek, akkor a Cauchy–szorzatuk ´es a t´egl´ anyszorzatuk is abszolut konvergens ´es mindk´et szorzatsor ¨ oszege a kiindul´ asul tekintett k´et sor ¨oszeg´enek a szorzat´ aval egyenl˝ o.
10. T´etel. Ha a
P∞
n=0
´s. Legyen Bizony´ıta ∞ X
|xn | =: α < ∞,
n=0
∞ X
|yn | =: β < ∞.
n=0
Alkalmazzuk az αk` := |xk ||y` | ((k, `) ∈ N2 ) kett˝os sorozatra a nagy ´ atrendez´esi t´etelt. Mivel ∞ X
αk` = |xk |
`=0
´es
|y` | = |xk | β < ∞ (k ∈ N)
`=0
∞ ∞ X X k=0
∞ X
! αk`
=β
`=0
∞ X
|xk | = αβ < ∞,
k=0
az´ert az eml´ıtett t´etel els˝ o r´esze szerint a k´et sor t´egl´anyszorzata is abszol´ ut konvergens. A sz´oban forg´ o t´etel m´ asodik r´esze szerint a k´et sor Cauchy–szorzata is abszol´ ut konvegens ´es mindk´et szorzatsor ¨ osszege egyenl˝o az x×y (31) alak´ u kett˝os sor´anak az ¨osszeg´evel. Ez ut´ obbi pedig, felhaszn´alva a v´egtelen sorok sz´ammal val´o szorzat´ara vonatkoz´ o szab´ alyt ´es a ∞ X
xk =: A,
n=0
`=0
yn =: B
n=0
jel¨ol´eseket, a k¨ovetkez˝ ok´eppen ´ırhat´ o: ! ∞ ∞ ∞ X X X xk y` = xk k=0
∞ X
k=0
∞ X
! y`
`=0
=
∞ X
Bxk = AB.
k=0
Ezzel a t´etelt bebizony´ıtottuk. Ha a k´et konvergens sor k¨ oz¨ ul csak az egyik abszol´ ut konvergens, akkor ´altal´aban sem a t´egl´anyszorzatuk, sem a Cauchy–szorzatuk nem lesz abszol´ ut konvergens. Tekints¨ uk pl. az (23)
(−1)n xn := yn := √ n+1
(n ∈ N)
112
3.7. V´egtelen sorok szorz´asa
sorozatokb´ol alkotott konvergens, de nem abszol´ ut konvergens Leibniz-t´ıpus´ u sorokat. Ekkor a z´ ar´ ojelezett Cauchy-szorzat n-edik tagja zn :=
X
xk y` = (−1)n
k+`=n
n X
1 p
k=0
(k + 1)(n + 1 − k)
(n ∈ N).
A z´ar´ojelezett sor abszol´ ut ´ert´ek´ere — a fenti ¨ oszegben minden tag helyett 1/(n+1)et v´eve — a 1 |zn | ≥ (n + 1) · =1 (n ∈ N) n+1 als´o becsl´es ´ırhat´ o. A z´ ar´ ojelezett Cauchy-szorzat tagjai k¨ovetkez´esk´eppen nem tartanak 0-hoz, teh´ at a szorzatsor divergens. Hasonl´oan igazolhat´ o, hogy a fenti sorok t´egl´anyszorzata nem abszol´ ut konvergens (l´asd a 17. feladatot). A Cauchy-szorzat kapcsolatban van egy, a sorozatok k¨or´eben ´ertelmezett fontos m˝ uvelettel, az u ´n. konvol´ uci´ oval.
Defin´ıci´ o. Tetsz˝oleges x = (xn , n ∈ N) ´es y = (yn , n ∈ N) sz´amsorozatra legyen zn :=
n X
xk yn−k
(n ∈ N),
x ∗ y := (zn , n ∈ N).
k=0
Az x ∗ y sorozatot az x ´es az y konvol´ uci´oj´anak nevezz¨ uk. Az ´ertelmez´es alapj´ an egyszer˝ uen bel´ athat´o, hogy a sorozatok ter´en most bevezetett ∗ bin´aris m˝ uvelet kommutat´ıv, asszociat´ıv ´es disztribut´ıv: x ∗ y = y ∗ x,
x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z,
x ∗ (y + z) = x ∗ y + x ∗ z
(x, y, z ∈ S).
Az e := (1, 0, 0, 0, · · · ) ∈ S sorozat egys´egelem a konvol´ uci´ ora n´ezve: x∗e=x
(x ∈ S).
Most bebizony´ıtunk egy konvol´ uci´ oval kapcsolatos ´all´ıt´ast, amelyet Cauchyszorzatok vizsg´alat´ ara k´es˝ obb fel fogunk haszn´alni. P 11. T´etel. Tegy¨uk fel, hogy a ∞ egtelen sor abszol´ ut konvern=0 xn v´ gens ´es legyen y egy nullsorozat. Ekkor x ∗ y is nullsorozat.
3. V´egtelen sorok ´es szorzatok
113
´s. Az |x| sorozatb´ Bizony´ıta ol alkotott sor marad´ekszeleteinek az ´ertelmez´es´et kiss´e m´odos´ıtva vezess¨ uk be a ∞ X
ρn :=
|xk | (n ∈ N)
k=[n/2]
jel¨ol´est, ahol [n/2] az n/2 eg´esz r´esz´et jel¨ oli, ´es legyen n := sup{|yk | : k ≥ [n/2]} (n ∈ N). Ekkor lim ρn = 0,
n→∞
0 = lim |yn | = lim sup |yn | = lim n . n→∞
n→∞
n→∞
Ezeket felhaszn´alva a konvol´ uci´ o n-edik tagj´ ara a k¨ovetkez˝o becsl´es ad´odik:
|
n X
[n/2]
xk yn−k | 5
k=0
X k=0
[n/2]
5 n
X
|xk yn−k | 5
k=[n/2]+1 n X
|xk | + 0
k=0
n X
|xk yn−k | +
|xk | 5 n ρ0 + 0 ρn
(n ∈ N).
k=[n/2]+1
Innen nyilv´anval´ o, hogy x ∗ y nullsorozat. A 10.T´etel felt´eteleit gyeng´ıtve a k¨ ovetkez˝ot ´all´ıthatjuk.
12. T´etel. i) Konvergens sorok t´egl´anyszorzata is konvergens ´es a szorzatsor ¨ osszege a sorok ¨ osszeg´enek a szorzat´aval egyenl˝o. ii) Egy abszol´ ut konvergens ´es egy konvergens sor Cauchy-szorzata konvergens ´es a szorzatsor ¨ osszege a sorok ¨osszeg´enek a szorzat´aval egyenl˝o. ´s. Jel¨ Bizony´ıta olje Xn :=
n X
xk ,
Yn :=
k=0
n X
y`
(n ∈ N)
`=0
a t´etelben szerepl˝ o k´et sor r´eszlet¨ osszegeit ´es A := lim Xn , n→∞
a sorok ¨osszegeit.
B := lim Yn n→∞
114
3.7. V´egtelen sorok szorz´asa
i) A z´ar´ojelezett t´egl´ anyszorzat r´eszlet¨ osszegeire nyilv´an ! n n X X Tn := xk y` = Xn Yn (n ∈ N). k=0
`=0
Innen k¨ovetkezik, hogy a z´ ar´ ojelezett sor konvergens ´es az ¨osszege lim Tn = A B.
n→∞
Most megmutatjuk , hogy a z´ ar´ ojelek elhagyhat´ok. Ehhez azt kell igazolnunk, hogy a ` ` X X tn := max | xn yj |, rn := max | xi yn |, (n ∈ N) 0≤`5n
05k5n
j=0
i=0
sorozatok 0-hoz tartanak. Minthogy tn 5 |xn | K,
rn 5 |yn |K,
ahol K := max{sup |Xn |, sup |Yn |}, n∈N
n∈N
az´ert innen m´ar k¨ ovetkezik, hogy lim tn = lim rn = 0.
n→∞
n→∞
Ezzel a t´etel i) r´esz´et igazoltuk. P∞ P∞ ii) Tegy¨ uk fel, hogy a k=0 xk v´egtelen sor abszol´ ut konvergens, a `=0 y` sor pedig konvergens. A r´eszlet¨ osszegekre ´es a sorok ¨osszegeire kor´abban bevezetett jel¨ol´eseket haszn´ alva el˝ osz¨ or megmutatjuk, hogy az (Xn B, n ∈ N) sorozat ´es a z´ar´ojelezett Cauchy-szorzat (Cn , n ∈ N) r´eszlet¨osszegeinek a k¨ ul¨onbs´ege egyenl˝o az al´abbi konvol´ uci´ oval: (34)
Rn := BXn − Cn =
n X
xk ρn−k
(n ∈ N),
k=0
ahol ρm :=
∞ X
y`
(m ∈ N).
`=m+1
Ennek az igazol´ as´ ahoz el˝ osz¨ or is vegy¨ uk figyelembe, hogy Cn :=
n X X j=0 k+`=j
xk y`
(n ∈ N)
3. V´egtelen sorok ´es szorzatok
115
r´eszlet¨osszegek defin´ıci´ oj´ aban a s´ık (0, 0), (n, 0), (0, n) cs´ ucsokkal rendelkez˝o der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨og´ebe es˝ o r´ acspontjaira ¨ oszegez¨ unk, az ´atfog´oval p´arhuzamos egyenesek szerint csoportos´ıtva a tagokat. ´Irjuk fel ugyanezt az ¨osszeget u ´gy, hogy a m´asodik koordin´ ata tengellyel p´ arhuzamos egyenesekre es˝o r´acspontokat gy˝ ujtj¨ uk ¨ossze: n n−k n n−k X X X X Cn = xk y` = xk y` . k=0 `=0
k=0
`=0
Ezt felhaszn´alva az eml´ıtett k¨ ul¨ onbs´egre Xn B − Cn =
n X
xk
B−
k=0
n−k X
! y`
`=0
=
n X
xk ρn−k
k=0
ad´odik, s ezzel a (34) egyenl˝ os´eget igazoltuk. A (34) alapj´an — felhaszn´ alva a 11.T´etelt — AB = lim Xn B = lim (Cn + Rn ) = lim Cn , n→∞
n→∞
n→∞
azaz a z´ar´ojelezett Cauchy-szorzat val´ oban konvergens ´es az ¨osszege AB. V´eg¨ ul megmutatjuk, hogy rn := max | 05j5n
j X
xk yn−k | (n ∈ N),
k=0
nullsorozat, k¨ovetkez´esk´eppen a z´ ar´ ojel n´elk¨ uli Cauchy-szorzat is konvergens ´es az ¨osszege AB. Minthogy rn 5
n X
|xk ||yn−k | (n ∈ N),
k=0
´es a jobb oldalon ´ all´ o sorozat az |x| ´es az |y| sorozat konvol´ uci´oj´aval egyenl˝o, az´ert a 11.T´etel alapj´ an |x| ∗ |y|, s ezzel egy¨ utt (rn , n ∈ N) is nullsorozat. Ezzel a t´etel ii) r´esz´et is bebizony´ıtottuk.
Megjegyz´esek 1. A t´ etel ii) fel´ eben szerepl˝ o, az egyik sor abszol´ ut konvergenci´ aj´ ara vonatkoz´ o felt´ etel nem helyettes´ıthet˝ o konvergenci´ aval, amint ezt a (33) alatt ismertetett p´ elda mutatja. 2. A sorozatok line´ aris tere a most bevezetett konvol´ uci´ oval egy egys´ egelemes, kommutat´ıv algebr´ at alkot. Megjegyez¨ uk, hogy ugyanezen a line´ aris t´ eren v´ eve a sorozatok k¨ or´ eben szok´ asos (tagonk´ enti) szorzatot, egy m´ asik kommutat´ıv, egys´ egelemes algebr´ at kapunk. Ez ut´ obbi szorz´ asra n´ ezve az azonosan 1 sorozat lesz az egys´ egelem.
116
3.8. Feladatok
3.8. Feladatok 1. Igazoljuk, hogy az al´ abbi sorok konvergensek ´es hat´arozzuk meg az ¨osszeg¨ uket. 1 1 1 (−1)n−1 + ··· + − + ··· + 2 4 8 2n−1 1 1 1 1 1 1 b) ( + ) + ( 2 + 2 ) + · · · + ( n + n ) + · · · 2 3 2 3 2 3 1 5 2n − 1 3 c) + 3 + ··· + + ··· + 2 22 2 2n 1 1 1 1 d) + + + ··· + + ··· 1·2 2·3 3·4 n(n + 1) 1 1 1 e) + + ··· + + ··· . 1·4 4·7 (3n − 2)(3n + 1) a)
1−
2. Az al´abbi sorok k¨ oz¨ ul melyek konvergensek: a) b) c) d) e) f) g)
1 − 1 + 1 − 1 + · · · + (−1)n + · · · √ √ √ 3 n 0.1 + 0.1 + 0.1 + · · · + 0.1 + · · · 1 1 1 + + ··· + + ··· 1! 2! n! 1 1 1 1 1 + + + + ··· + + ··· 3 5 7 2n − 1 1 1 1 1 + + + ··· + + ··· 1001 2001 3001 1000 · n + 1 2 3 n 1 + + + ··· + + ··· 3 5 2n − 1 1 1 1 1 √ + √ + √ + ··· + √ + ··· n n−1 2 2 3 3 4 n−1
x2 x4 x2 x + + + · · · + + ··· h) 1 − x2 1 − x4 1 − x8 1 − x2n 1000 1000 · 1001 1000 · 1001 · 1003 i) + + + ··· 1 1·3 1·2·3 (2)2 (n!)2 (1!)2 j) + 4 + · · · + n2 + · · · 2 2 2 4 4 · 7 4 · 7 · 10 k) + + + ··· 2 2 · 6 2 · 6 · 10 ∞ X √ √ √ 5 2n+1 3 `) (2 − 2)(2 − 2) · · · (2 − 2) n=1
m)
1000 10002 1000n + + ··· + + ··· . 1! 2! n!
3. V´egtelen sorok ´es szorzatok
117
3. Igazoljuk, hogy ha xn ≥ 0 (n ∈ N) ´es konvergens.
P∞
n=0
xn konvergens, akkor
P∞
n=0
x2n is
4. Igazoljuk, hogy ha xn > 0 (n ∈ N) ´es az (xn , n ∈ N) sorozat monoton fogy´o, akkor a ∞ ∞ X X xn , 2n x2n n=0
n=0
sorok ekvikonvergensek. (Cauchy-f´ele kondenz´ aci´ os elv.) 5. Igazoljuk, hogy ha xn ≥ 0 (n ∈ N) ´es az (xn , n ∈ N) sorozat monoton fogy´o, tov´abb´a az (yn , n ∈ N) sorozatra
sup{|
n X
yk | : n ∈ N} < ∞
k=0
P∞ teljes¨ ul, akkor a n=0 xn yn v´egtelen sor konvergens (Dirichlet-lemma). 6. A 4. feladat ´ all´ıt´ as´ at felhaszn´ alva igazoljuk, hogy
a)
ha
α > 1,
akkor
∞ X 1 α n n=1
konvergens,
b)
ha
α 5 1,
akkor
∞ X 1 α n n=1
divergens.
7. Igazoljuk, hogy ha a pozit´ıv, monoton fogy´o sz´amsorozatb´ol k´esz´ıtett sor konvergens, akkor
P∞
n=0
xn
lim nxn = 0.
n→∞
8. a) ´Irjuk fel az 1/3, 2/5, 4/9 sz´ amokat diadikus t¨ort alakban. b) ´Irjuk fel p/q (p, q ∈ N) alakban az al´ abbi, diadikus t¨ort alakban adott sz´amokat: 1 1 1 1 1 1 + + 6 + 12 + · · · + 5k−4 + 5k + · · · 2 25 2 2 2 2 1 1 1 1 + + 5 + · · · + 2k+1 + · · · 2 23 2 2 1 1 1 + 20 + · · · + 10k + · · · 210 2 2
118
3.8. Feladatok
9. Az al´abbi sorok k¨ oz¨ ul melyek konvergensek: ∞ X
1 1 + n2 n=0
b)
c)
∞ X (n!)2 (2n)! n=0
d)
e)
∞ X n! n 2 n=0
f)
g)
∞ X 2n + 1 3n n=1
h)
i)
∞ X (−1)n (4n + 8) (2n + 3)(2n + 5) n=0
a)
k)
2 ∞ X 2n n! n=0
∞ X n=1 ∞ X
`)
n(1 + n2 ) 3
((n + 2)!) (2n)!(n − 1)! n=1 ∞ X n2 2n n=1 ∞ X
1 p
n=1
j)
1 p
n(n + 1)
∞ X (−1)n √ n n=1 k ∞ X 1 1 + . 2 k
k=1
10. Az x sz´am milyen ´ert´ek´ere konvergensek az al´abbi sorok: 2
a) x +
12 2 (1 · 2)2 3 ((n − 1)!) n x + x + ··· + x + ··· 2! 4! (2(n − 1))!
∞ X
b)
x2n 1 + x4n n=0
c)
∞ X 2n−1 xn . 2n − 1 n=1
11. Igazoljuk az al´ abbi egyenl˝ os´egeket: 1 1 3 1 1 a) 1 + 2 + 2 + · · · = 1 + 2 + 2 + ··· 3 5 4 2 3 1 1 1 1 1 b) 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + · · · = 2 3 5 7 9 15 1 1 1 1 = 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ··· . 16 2 3 4 5 12. Az al´abbi sorok k¨ oz¨ ul melyek abszol´ ut konvergensek ´es melyek felt´etelesen
3. V´egtelen sorok ´es szorzatok
119
konvergensek: 1 1 1 1 + 2 − 2 + 2 + ··· 32 5 7 9 1 1 1 1 1 − 1 + √ − √ + √ − √ + √ + ··· 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 1 + − + ··· − 2 2 22 3 23 4 24 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − − + − − + − − + ··· . 2 3 4 5 6 7 8 9 1−
a) b) c) d)
13. Adjunk meg k´et olyan divergens sort, amelyek ¨osszege konvergens. 14. Hat´arozzuk meg az al´ abbi sorok ¨ osszeg´et: X ∞ ∞ X (−1)n (−1)n+1 1 1 + + + a) 3n n3 3n+1 n3 n=1 n=1 ∞ X (−1)n 1 b) + 2n 3n n=1 c)
∞ X
n+1 n x[ 2 ] y [ 2 ] .
n=0
15. Igazoljuk, hogy tetsz˝ oleges z ∈ C komplex sz´amra az al´abbi sorok abszol´ ut konvergensek: a)
∞ X zn n! n=0
b)
∞ X (−1)n z 2n (2n)! n=0
c)
∞ X (−1)n x2n+1 (2n + 1)! n=0
d)
∞ X z 2n (2n)! n=0
f)
∞ X z 2n . (n!)2 n=0
e)
∞ X
z 2n+1 (2n + 1)! n=0
16. Igazoljuk az al´ abbi azonoss´ agokat: ! ! ∞ ∞ ∞ X X X xn (x + y)n yn a) = (x, y ∈ C) n! n! n! n=0 n=0 n=0 ! ∞ ! ∞ X X (−1)n an an b) = 1 (a ∈ C, a = 0 eset´en n! n! n=0 n=0 !2 ∞ ∞ X X n c) q = (n + 1)q n (q ∈ C, |q| < 1). n=0
n=0
00 := 1)
120
3.8. Feladatok
17. Igazoljuk, hogy az 1−
∞ n X 3 n=1
2
´es az
1+
∞ n X 3
2
n=1
(2n +
1 ) 2n
divergens sorok Cauchy-szorzata konvergens. 18. Igazoljuk, hogy a ∞ X (−1)n n+1 n=0 konvergens sor ¨ onmag´ aval val´ o t´egl´ anyszorzata nem abszol´ ut konvergens, ¨onmag´aval vett Cauchy-szorzata konvergens, de nem abszol´ ut konvergens. 19. Az al´abbi komplex tag´ u sorok k¨ oz¨ ul melyek konvergensek: a)
∞ X n(2 + ı)n 2n n=1
b)
c)
∞ X n(2ı − 1)n 3n n=1
d)
e) g)
∞ X
1 n + ı n=1 ∞ X
1 √ (n + ı) n n=1
f) h)
∞ n X ı n n=1 ∞ X n=1 ∞ X
√
1 n+ı
1 n(3 + ı)n n=1 ∞ X
1 . (n + (2n − 1)ı)2 n=1
20. Az al´abbi feladatokban adjunk fels˝ o becsl´est a sor ¨osszeg´enek ´es az n-edik r´eszlet¨osszege k¨ ul¨ onbs´eg´enek az abszol´ ut ´ert´ek´ere: 1 1 1 1 + + + ··· + + ··· 1·2 2·3 3·4 n · (n + 1) 1 1 1 1 b) + 2 + 2 + ··· + 2 + ··· 12 2 3 n 1 1 1 c) 1 + + 2 + · · · + n + · · · 3 3 3 1 1 1 (−1)n d) 1 + − + + · · · + + ··· . 2! 3! 4! n! a)
21. Legyen 2 n 1 1 1 + ··· + + ··· , 2 n! 2 2 n 1 1 1 1 1 sn := + + ··· + (n ∈ N∗ ). 2 2! 2 n! 2 1 1 s := + 2 2!
3. V´egtelen sorok ´es szorzatok
121
Igazoljuk, hogy |s − sn | 5
1 2n (2n + 1)n!
(n = 1, 2, · · · ).
22. Legyen 1 1 1 + + ··· + + ··· , 2! 3! n! 1 1 1 (n ∈ N). sn := 1 + + + · · · + 2! 2! n! s := 1 +
Igazoljuk, hogy |s − sn | 5
n+2 (n + 1)(n + 2)!
(n ∈ N).
23. ´Irjunk programot az al´ abbi v´egtelen sorok ¨osszeg´enek el˝ore adott pontoss´aggal t¨ort´en˝o meghat´ aroz´ as´ ara:
a) c) e)
∞ X
n (2n + 1)5n n=1 2n−2 ∞ X 1 n 4 n=1 ∞ X (−1)n (2n)! 3n n=0
b) d) f)
∞ X 1 np n=1
(p > 1)
∞ X
1 n n!4 n=0 ∞ X
(−1)n . (2n + 1)! 5n n=0
24. Felhaszn´alva a nagy ´ atrendez´esi t´etelt, igazoljuk az al´abbi azonoss´agokat: a) b)
∞ ∞ X X axn (ax)k = (|a| 5 1, |x| < 1) k 1−x 1 − axn n=1 k=1 ∞ ∞ ∞ X X X n n−k n k x = (x − a) a (|x| < 1, |x − a| + |a| < 1). k n=0 k=0
n=k
122
4.1. Rel´aci´ok
4. F¨ uggel´ek Ebben a fejezetben ¨ osszefoglaljuk azokat az alapvet˝o halmazelm´eleti ´es algebrai fogalmakat, amelyeket ebben a k¨ onyvben felhaszn´alunk. Ezekkel a sorozat tov´abbi k¨oteteiben r´eszletesebben foglalkozunk. E r¨ ovid ¨osszefoglal´oban csak a legfontosabb fogalmakat t´argyaljuk els˝ osorban az´ert, hogy a k¨otet ¨onmag´aban is ´erthet˝o legyen. Nem foglalkozunk a halmazelm´elet fel´ep´ıt´es´evel. Az ezzel kapcsolatos legfontosabb fogalmakat ´es m˝ uveleteket ismertnek t´etelezz¨ uk fel. Az a ∈ A, ill. A 3 a jel¨ol´esekkel azt fejezz¨ uk ki, hogy az a elem az A halmazhoz tartozik, m´as sz´oval a eleme az A halmaznak. Az u ¨res halmazt az ∅ szimb´ olummal, az A ´es B halmazok egyes´ıt´es´et, k¨oz¨os r´esz´et, ill. az A ´es B halmazok k¨ ul¨ onbs´eg´et az A ∪ B,
A ∩ B,
A\B
szimb´olumokkal fogjuk jel¨ olni. Az A r´eszhalmazainak halmaz´ara, azaz az A hatv´anyhalmaz´ara a P(A) jel¨ ol´est haszn´ aljuk. Azt, hogy az A halmaz a B halmaznak r´esze — m´as sz´oval azt, hogy a B halmaz tartalmazza az A halmazt — ´ıgy jel¨olj¨ uk: A ⊆ B, vagy B ⊇ A. Ha A ⊆ B ´es A 6= B, akkor azt mondjuk, hogy az A a B val´odi r´esze, s ezt ´ıgy jel¨ olj¨ uk: A ⊂ B, vagy B ⊃ A. A legfontosabb jel¨ ol´eseket a jel¨ ol´esjegyz´ekben foglaltuk ¨ossze. E k´erd´esk¨or r´eszletesebb t´argyal´ asa megtal´ alhat´ o e sorozatnak ”Matematikai bevezet´es” c´ım˝ u k¨otet´eben.
4.1. Rel´aci´ ok A rel´aci´o fogalm´ anak ´ertelmez´es´ehez felhaszn´aljuk halmazok direkt szorzat´anak, vagy Descartes-f´ele szorzat´anak a fogalm´ at. Legyen A ´es B k´et nem-¨ ures halmaz. Az A ´es B halmazok Descart-f´ele szorzat´ at mindazok az (a,b) elemp´arok alkotj´ak, amelyekre a ∈ A ´es b ∈ B teljes¨ ul. A sz´ oban forg´o direkt szorzatot az A × B szimb´olummal jel¨ olj¨ uk, azaz A × B := {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}. Nyilv´anval´o, hogy az A×B ´es B ×A halmazok ´altal´aban k¨ ul¨onb¨oznek egym´ast´ol. Abban a speci´alis esetben, amikor A = B, akkor az A × B tartalmazza az (a, a)
4. F¨ uggel´ek
123
alak´ u elemeket, ahol a ∈ A. Az A × A halmaz {(a, a) : a ∈ A} r´eszhalmaz´at az A × A halmaz ´atl´ oj´anak nevezz¨ uk. Az A × A halmazt szok´as az A2 szimb´olummal is jel¨ olni.
Defin´ıci´ o. Legyen A ´es B k´et nem u¨res halmaz. Az A × B nem u¨res r´eszhalmazait rel´ aci´ oknak nevezz¨ uk. Legyen S ⊆ A×B egy rel´ aci´ o. Azoknak az a ∈ A elemeknek az ¨osszess´eg´et, amelyekhez l´etezik olyan b ∈ B, hogy (a, b) ∈ S az S rel´aci´o ´ertelmez´esi tartom´any´anak nevezz¨ uk. Azoknak a b ∈ B elemeknek a halmaz´at, amelyekhez l´etezik olyan a ∈ A, hogy (a, b) ∈ S, az S rel´ aci´ o ´ert´ekk´eszlet´enek nevezz¨ uk. Az S rel´aci´o ´ertelmez´esi tartom´ any´ at a DS , ´ert´ekk´eszlet´et pedig az RS szimb´olummal jel¨ olj¨ uk, azaz DS := {a ∈ A | ∃b ∈ B : (a, b) ∈ S},
RS := {b ∈ B | ∃a ∈ A : (a, b) ∈ S}.
Azt, hogy (a, b) ∈ S, szavakban u ´gy fejezz¨ uk ki, hogy az a ´es a b elem S rel´aci´oban ´all, ´es ezt az a S b jel¨ ol´essel is kifejez´esre juttatjuk. Speci´alisan, ha S ⊆ A2 nem u ¨res, akkor azt mondjuk, hogy S egy bin´aris vagy bin´er rel´aci´o az A halmazon. Legyen S egy bin´ aris rel´ aci´ o az A halmazon. Ha S tartalmazza az A2 ´atl´oj´at, akkor azt mondjuk, hogy az S rel´ aci´ o reflex´ıv. Ha az S rel´aci´ora (a, b) ∈ S ⇔ (b, a) ∈ S teljes¨ ul, akkor azt mondjuk, az S rel´ aci´ o szimmetrikus. Ha az S rel´aci´ora (a, b) ∈ S
´es
(b, a) ∈ S ⇒ a = b
teljes¨ ul, akkor az S rel´ aci´ ot antiszimmetrikusnak nevezz¨ uk. Ha (a, b) ∈ S,
(b, c) ∈ S ⇒ (a, c) ∈ S,
akkor azt mondjuk, hogy az S rel´ aci´ o tranzit´ıv. Az al´abbiakban n´eh´ any fontos speci´ alis rel´aci´ot ismertet¨ unk.
124
4.1. Rel´aci´ok
4.1.1. Ekvivalencia rel´aci´ ok Defin´ıci´ o. Ha valamely bin´aris rel´aci´o reflex´ıv, szimmetrikus ´es tranzit´ıv, akkor azt ekvivalencia rel´ aci´ onak nevezz¨ uk. Ha E egy ekvivalencia rel´ aci´ o az A halmazon, akkor ezzel az A elemeit u ´n. ekvivalencia oszt´alyokba sorolhatjuk a k¨ ovetkez˝o m´odon. Tetsz˝oleges a ∈ A elemre vezess¨ uk be az Aa := {b ∈ A : (a, b) ∈ E} halmazt. Minthogy az E rel´ aci´ o reflex´ıv, az´ert a ∈ Aa , k¨ovetkez´esk´eppen egyetlen Aa halmaz sem u ¨res. A szimmetria alapj´ an pedig minden c ∈ Aa elemre (a, c) ∈ E,(c, a) ∈ E teljes¨ ul. Megmutatjuk, hogy az ekvivalencia rel´ aci´ o defin´ıci´oj´ab´ol (1)
Aa ∩ Ab 6= ∅ ⇒ Aa = Ab .
ad´odik. Ennek az igazol´ as´ ahoz megmutatjuk, hogy Aa ⊆ Ab ´es Ab ⊆ Aa . Val´oban, legyen c ∈ Aa ∩ Ab . Ekkor b´ armely x ∈ Aa elemre (x, a) ∈ E, ´es mivel (a, c) ∈ E, az´ert a tranzitivit´ as alapj´ an (x, c) ∈ E. M´ asr´eszt a c ∈ Ab felt´etelb˝ol (c, b) ∈ E k¨ovetkezik ´es ism´et felhaszn´ alva a tranzitivit´ ast (x, b) ∈ E, azaz x ∈ Ab ad´odik. Ezzel megmutattuk, hogy Aa ⊆ Ab . A ford´ıtott ir´any´ u tartalmaz´as hasonl´oan igazolhat´o. Az Aa (a ∈ A) halmazokat az E rel´ aci´ o´ altal induk´alt ekvivalencia oszt´alyoknak nevezz¨ uk. (1) alapj´ an k´et ekvivalencia oszt´ aly vagy egym´assal azonos, vagy diszjunkt. Minthogy az Aa (a ∈ A) halmazok egyes´ıt´ese nyilv´an A, ez´ert azt szoktuk mondani, hogy az ekvivalencia oszt´ alyok az A halmaz egy felbont´as´at adj´ak. Megford´ıtva, ha az A halmazt el˝ o´ all´ıtjuk p´aronk´ent diszjunkt r´eszhalmazainak egyes´ıt´esek´ent, akkor ez a felbont´ as egy ekvivalencia rel´aci´ot gener´al. Val´oban, legyen aEb , ha a ´es b ugyanabba a r´eszhalmazba esik. K¨onnyen ellen˝orizhet˝o, hogy E ekvivalencia rel´ aci´ o ´es az E ´ altal induk´alt ekvivalencia oszt´alyok azonosak a kiindul´asul vett r´eszhalmazokkal. Gyakran vizsg´ aljuk azt a halmazt, amelynek elemei valamely E ekvivalencia rel´aci´o ´altal gener´ alt ekvivalencia oszt´ alyok. Ezt a halmazt az A halmaznak az E rel´aci´o szerinti faktor halmaz´anak nevezz¨ uk, ´es az A/E szimb´olummal jel¨olj¨ uk.
4. F¨ uggel´ek
125
4.1.2. Rendez´esi rel´aci´ ok A bine´aris rel´ aci´ ok egy m´ asik fontos t´ıpus´ at alkotj´ak a rendez´esi rel´aci´ok.
Defin´ıci´ o. Legyen R egy bin´aris rel´aci´o az A halmazon. Akkor mondjuk, hogy R egy parci´ alis rendez´ es (r¨oviden: rendez´es), ha R reflex´ıv, antiszimmetrikus ´ es tranzit´ıv. Ha ezenk´ıv¨ ul m´eg b´armely k´et a, b ∈ A elemre vagy (a, b) ∈ R vagy (b, a) ∈ R teljes¨ ul, akkor az R rel´aci´ot line´ aris vagy teljes rendez´ esnek nevezz¨ uk. Ha az (a, b) ∈ R ´es (b, a) ∈ R ´ all´ıt´ asok k¨oz¨ ul legal´abb az egyik fenn´all, akkor azt mondjuk, hogy a ´es b ¨ osszehasonl´ıthat´ ok, ellenkez˝o esetben az a ´es b elemeket ¨osszehasonl´ıthatatlanoknak nevezz¨ uk. Ezzel a sz´ohaszn´alattal ´elve azt mondhatjuk, hogy egy parci´ alis rendez´es pontosan akkor line´aris rendez´es, ha b´armely k´et elem ¨osszehasonl´ıthat´ o. A rendez´esi rel´ aci´okat gyakran a , ≤ kisebb-egyenl˝o szimb´olumok valamelyik´evel jel¨ olj¨ uk. Ilyenkor a kiss´e szokatlan (a, b) ∈ helyett az a b jel¨ol´est haszn´ aljuk, ´es azt mondjuk, hogy a kisebb-egyenl˝o b-n´el. Ha a b ´es a 6= b, akkor azt mondjuk, hogy a kisebb b-n´el, ´es ezt ´ıgy jel¨olj¨ uk: a ≺ b. Azt, hogy egy (parci´ alis) rendez´es az halmazon, gyakran u ´gy szok´as kifejezni, hogy A parci´alisan rendezett halmaz a rel´ aci´ora n´ezve, vagy r¨ovidebben: (A, ) rendezett halmaz. Egyszer˝ uen bel´ athat´ o, hogy tetsz˝ oleges A halmaz eset´en a ⊆ tartalmaz´asi rel´aci´o egy parci´alis rendez´es a P(A) hatv´ anyhalmazon. Ez a rendez´es azonban nem line´aris, ha A legal´ abb k´etelem˝ u. Legyen egy parci´ alis rendez´es az A nem u ¨res halmazon. Ha l´etezik olyan a ∈ A elem, hogy minden x ∈ A elemre x a teljes¨ ul, akkor az a elemet a A halmaz legnagyobb elem´enek nevezz¨ uk. Ha valamely b ∈ A elemre ´es minden x ∈ B elemre b x , akkor a b elemet az A halmaz legkisebb elem´enek nevezz¨ uk. K¨onnyen igazolhat´ o, hogy legfeljebb egy legnagyobb ´es legfeljebb egy legkisebb elem l´etezik. Val´ oban, tegy¨ uk fel, hogy a ´es a ¯ az A-nak k´et legnagyobb eleme. Ekkor a a ¯ ´es a ¯ a, k¨ ovetkez´esk´eppen a = a ¯. Legnagyobb ´es legkisebb elem nem mindig l´etezik. Pl. a term´eszetes sz´amok halmaz´anak a szok´ asos rendez´esre n´ezve van legkisebb eleme, a 0 sz´am, de nincs legnagyobb eleme. A m´ ar kor´ abban eml´ıtett P(A) halmaznak, a ⊆ parci´alis rendez´est v´eve, van legisebb eleme (az u ¨res halmaz) ´es van legnagyobb eleme (maga az A halmaz). Legyen (A, ) rendezett halmaz ´es X ⊆ A. Ha valamely a ∈ A elemre ´es minden x ∈ X elemre x a teljes¨ ul, akkor azt mondjuk, hogy a az X halmaz fels˝o korl´atja vagy major´ansa. Ha valamely b ∈ A elemre ´es minden x ∈ X elemre b x teljes¨ ul, akkor a b-t az X halmaz als´ o korl´atj´anak vagy minor´ans´anak nevezz¨ uk.
126
4.2. F¨ uggv´enyek
Nyilv´anval´o, hogy b´ armely fels˝ o korl´ atn´ al nagyobb elem is fels˝o korl´at ´es b´armely als´o korl´atn´al kisebb elem is als´ o korl´ at. Ha az X fels˝ o korl´atjaib´ ol alkotott halmaznak van legkisebb eleme, akkor ezt az X halmaz fels˝ o hat´ar´anak vagy szupr´emum´anak nevezz¨ uk, ´es a sup X szimb´olummal jel¨olj¨ uk. Ha az X als´ o korl´atjaib´ ol alkotott halmaznak van legnagyobb eleme, akkor azt az X halmaz als´ o hat´ar´anak vagy infimum´anak nevezz¨ uk. Ezt az elemet az inf X szimb´ olummal szok´ as jel¨ olni. A fels˝o ´es als´ o hat´ ar m´eg line´ arisan rendezett halmazok k¨or´eben sem mindig l´etezik. Legyen p´eld´ aul A a racion´ alis sz´ amok halmaza a szok´asos ≤ rendez´essel, X pedig azoknak a pozit´ıv racion´ alis sz´ amoknak a halmaza, amelyek n´egyzete kisebb 2-n´el. Ennek a X halmaznak nincs fels˝o hat´ara. Egyszer˝ uen bel´ athat´ o, hogy ha az X halmaznak van legnagyobb eleme (mondjuk az a ∈ X elem), akkor X-nek l´etezik szupr´emuma ´es sup X = a. Hasonl´o ´all´ıt´as ´erv´enyes az infimum ´es minimum kapcsolat´ ara vonatkoz´oan. Ha X nem u ¨res, akkor inf X sup X, tov´ abb´a, ha X ´es Y az A k´et r´eszhalmaza ´es X ⊆ Y , akkor sup X sup Y ´es inf Y inf X, felt´eve, hogy az ´all´ıt´asban szerepl˝o als´o ´es fels˝ o hat´ arok l´eteznek. A sorozat fogalm´ anak egyik ´ alt´ anos´ıt´ asa a felfel´e ir´any´ıtott halmaz. Akkor mondjuk, hogy az (A, ) rendezett halmaz felfel´e ir´any´ıtott, ha b´armely a ∈ A, b ∈ A elemp´arhoz l´etezik olyan c ∈ A, hogy a c ´es b c . Nyilv´anval´o, hogy minden line´arisan rendezett halmaz felfel´e ir´ any´ıtott.
4.2. F¨ uggv´enyek Az ´altalunk legt¨ obbet haszn´ alt rel´ aci´ ok a f¨ uggv´enyek.
Defin´ıci´ o. Az F ⊆ A × B nem u¨res rel´aci´ot f¨uggv´enynek nevezz¨uk, ha tetsz˝oleges a ∈ DF elemhez egyetlen olyan b ∈ B l´etezik, amelyre (a, b) ∈ F teljes¨ ul. Ezzel nyilv´an ekvivalens a k¨ ovetkez˝ o ´ertelmez´es: az F ⊆ A × B rel´aci´ot f¨ uggv´enynek nevezz¨ uk, ha (a, b) ∈ F
´es
(a, ¯b) ∈ F ⇒ b = ¯b.
Legyen F egy f¨ uggv´eny. Ekkor minden a ∈ DF elemhez egyetlen olyan b ∈ RF elem l´etezik, amelyre (a, b) ∈ F . Ezt a b ∈ B elemet az F f¨ uggv´eny ´altal a-hoz rendelt vagy a-nak megfeleltetett elemnek nevezz¨ uk. E sz´ohaszn´alattal ´elve azt mondhatjuk, hogy az F f¨ uggv´eny az ´ertelmez´esi tartom´any´anak minden elem´ehez
4. F¨ uggel´ek
127
egy ´ert´ekk´eszletbeli elemet rendel. F¨ uggv´eny helyett — vele azonos ´ertelemben — gyakran lek´epez´esr˝ ol, oper´atorr´ ol vagy transzform´aci´or´ol besz´el¨ unk. Az a ∈ DF elemhez hozz´arendelt b ´ert´eket a f¨ uggv´eny a helyen vett ´ert´ek´enek vagy a pontbeli helyettes´ıt´esi ´ert´ek´enek nevezz¨ uk, ´es F (a)-val vagy Fa -val jel¨olj¨ uk. Azt, hogy az F f¨ uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´ any´ anak egy a elem´ehez a b-t rendeli, az al´abbi jel¨ol´esek valamelyik´evel fogjuk kifejez´esre juttatni: b = F (a),
a → b,
a → F (a) = b,
a → Fa = b.
A megfeleltet´esb˝ ol vagy ennek szinonim´ aib´ol, a hozz´arendel´esb˝ol, lek´epez´esb˝ol vagy transzform´aci´ ob´ ol kiindulva gyakran (pl. a k¨oz´episkol´aban) a k¨ovetkez˝o ´ertelmez´est szokt´ak adni. Legyen A ´es B k´et tetsz˝ oleges nem u ¨res halmaz. Azt mondjuk, hogy F az A halmazon ´ertelmezett B-beli ´ert´ekeket felvev˝o f¨ uggv´eny, ha adott olyan el˝ o´ır´ as (k´eplet, szab´ aly stb.), amely A minden elem´ehez hozz´arendeli a B egy elem´et. Ez az ´ertelmez´es a rel´ aci´ o seg´ıts´eg´evel megfogalmazott f¨ uggv´eny defin´ıci´oval o¨sszhangban van. A k´etfajta megk¨ ozel´ıt´es k¨oz¨ott azonban van fogalombeli k¨ ul¨onbs´eg. A most ismertett felfog´ as szerint a f¨ uggv´eny egy hozz´arendel´es, a bevezet´esben ismertett defin´ıci´ o alapj´ an pedig rel´ aci´ onak tekintj¨ uk, azaz az A×B bizonyos r´eszhalmaz´aval azonos´ıtjuk. Az F : A → B jel¨ ol´essel azt a t´enyt juttatjuk kifejez´esre, hogy F olyan f¨ uggv´eny, amelynek ´ertelmez´esi tartom´ anya az A halmaz, ´ert´ekk´eszlete pedig a B valamely r´eszhalmaza, r¨ovidebben sz´ olva: F az A-nak B-be val´o lek´epez´ese. A most bevezetett helyett az F f¨ uggv´eny jel¨ ol´es´ere gyakran az al´abbiakat is haszn´aljuk : (F (x), x ∈ A),
(Fx , x ∈ A).
Megjegyz´esek 1. Legyen F ´ es G k´ et f¨ uggv´ eny. A halmazok egyenl˝ os´ eg´ enek ´ ertelmez´ es´ eb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy F = G akkor ´ es csak akkor ´ all fenn, ha DF = DG ´ es minden x ∈ DF = DG elemre F (x) = G(x). 2. DF ´ e RF elemeit f¨ uggetlen, ill. f¨ ugg˝ o v´ altoz´ onak is nevezik. 3. A f¨ uggv´ enyek jel¨ ol´ es´ ere a felsoroltakon k´ıv¨ ul m´ as jel¨ ol´ esi m´ odok is haszn´ alatosak. Pl. az F f¨ uggv´ eny helyett gyakran szok´ as az F (x), ill az y = F (x) f¨ uggv´ enyr˝ ol besz´ elni. E jel¨ ol´ eseknek az a h´ atr´ anyuk, hogy nem tesznek k¨ ul¨ onbs´ eget a f¨ uggv´ eny ´ es a f¨ uggv´ eny helyettes´ıt´ esi ´ ert´ eke k¨ oz¨ ott. Ezeket a jel¨ ol´ eseket – a mondott f´ elre´ erthet˝ os´ eg miatt – ker¨ ulni fogjuk. 4. Legyen F : A → B egy adott f¨ uggv´ eny. Az A × B halmaz graf F := {(x, F (x)) : x ∈ A} egyenl˝ os´ eggel ´ ertelmezett r´ eszhalmaz´ at az F f¨ uggv´ eny grafikonj´ anak vagy gr´ afj´ anak nevezz¨ uk. Az F grafikonja nem m´ as, mint az F f¨ uggv´ enyt megad´ o F rel´ aci´ o.
128
4.2. F¨ uggv´enyek
5. A f¨ uggv´ enyeket gyakran ´ ertelmez´ esi tartom´ anyukkal ´ es a hozz´ arendel´ esi szab´ aly le´ır´ as´ aval szokt´ ak megadni. A hozz´ arendel´ es legt¨ obbsz¨ or k´ eplettel (formul´ aval), valamilyen utas´ıt´ assal, grafikonnal vagy t´ abl´ azattal t¨ ort´ enik. Gyakran tal´ alkozunk olyan f¨ uggv´ eny megad´ asi m´ oddal is, ahol explicit m´ odon az ´ ertelmez´ esi tartom´ any nincs felt¨ untetve. Ilyenkor a f¨ uggv´ eny ´ ertelmez´ esi tartom´ anya – meg´ allapod´ as szerint – az a legt´ agabb halmaz, amelyen a kij¨ olt el˝ o´ır´ asnak ´ ertelme van. Pl. az x → f (x) := 1/(1 − x) utas´ıt´ assal adott f f¨ uggv´ eny ´ ertelmez´ esi tartom´ anya az R \ {0} halmaz.
4.2.1.M˝ uveletek f¨ uggv´enyekkel Legyen F ´es G k´et f¨ uggv´eny. Akkor mondjuk, hogy F a G lesz˝ uk´ıt´ese (vagy G az F kiterjeszt´ese), ha DF ⊆ DG ´es minden x ∈ DF elemre F (x) = G(x). A G f¨ uggv´enynek valamely ∅ = 6 A ⊆ DG halmazra val´o lesz˝ uk´ıt´es´et, azaz G-nek azt a lesz˝ uk´ıt´es´et, amelynek ´ertelmez´esi tartom´anya A, GA -val vagy G|A -val fogjuk jel¨olni. Legyen F : A → B egy adott f¨ uggv´eny, C ⊆ A ´es D ⊆ B adott halmazok. Az F [C] := {F (x) : x ∈ C} ⊆ B halmazt a C halmaz F f¨ uggv´eny ´ altal l´etes´ıtett k´ep´enek nevezz¨ uk. Az F −1 [D] := {x ∈ A : F (x) ∈ D} ⊆ A halmazt a D halmaz F ´ altal l´etes´ıtett ˝ osk´ep´enek nevezz¨ uk. Ezzel a sz´ohaszn´alattal ´elve azt mondhatjuk, hogy a f¨ uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´anya az ´ert´ekk´eszlet´enek az ˝osk´epe, ´ert´ekk´eszlete pedig az ´ertelmez´esi tartom´any´anak a k´epe. Ha D ∩ RF = ∅, akkor nyilv´an F −1 (D) = ∅. Adott F : A → B, G : C → B f¨ uggv´enyekb˝ol kiindulva, bizonyos esetekben egy u ´j f¨ uggv´enyt, az F ´es G k¨ ozvetett vagy ¨osszetett f¨ uggv´eny´et ´ertelmezhetj¨ uk. Tegy¨ uk fel, hogy RF ⊆ C. Ekkor b´ armely x ∈ A eset´en F (x) ∈ C, k¨ovetkez´esk´eppen tekinthetj¨ uk a G f¨ uggv´enynek az F (x) helyen vett ´ert´ek´et, azaz a G(F (x))et. Azt a f¨ uggv´enyt, amelynek ´ertelmez´esi tartom´anya A ´es amely minden x ∈ A elemhez a G(F (x)) elemet rendeli, a G ´es F f¨ uggv´eny k¨ozvetett vagy ¨osszetett f¨ uggv´eny´enek nevezz¨ uk, ´es a G ◦ F szimb´ olummal jel¨olj¨ uk: DG◦F := A,
(G ◦ F )(x) := G(F (x))
(x ∈ A).
A k¨ozvetett f¨ uggv´eny k´epz´es´enek m˝ uvelet´et f¨ uggv´eny-kompoz´ıci´onak nevezz¨ uk. Ha az F ´es G f¨ uggv´enyekre az RF ⊆ DG felt´etel nem teljes¨ ul, akkor az x → G(F (x)) hozz´arendel´esnek nem minden x ∈ DF elemre van ´ertelme. Ilyenkor az F f¨ uggv´eny
4. F¨ uggel´ek
129
lesz˝ uk´ıt´es´evel el´erhetj¨ uk, hogy a k¨ ozvetett f¨ uggv´eny k´epz´eshez sz¨ uks´eges felt´etel teljes¨ ulj¨on. Nevezetesen, ha RF ∩ DG 6= ∅, akkor legyen ennek a halmaznak az F ´altal l´etes´ıtett ˝ osk´epe E. Ekkor a G ´es az F |E f¨ uggv´enyeknek m´ar l´etezik a k¨ozvetett f¨ uggv´enye. Akkor mondjuk, hogy az F : A → B f¨ uggv´eny k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ u lek´epez´est l´etes´ıt (vagy m´ as sz´ oval F injekt´ıv), ha x, y ∈ A, x 6= y ⇒ F (x) 6= F (y). Ha az F : A → B f¨ uggv´eny ´ert´ekk´eszlete B, akkor azt mondjuk, hogy az F f¨ uggv´eny egy lek´epez´es A-r´ ol B-re, m´ as sz´ oval: F sz¨ urjekt´ıv. Ha az F : A → B lek´epez´es injekt´ıv ´es sz¨ urjekt´ıv, akkor azt mondjuk, hogy F k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ u lek´epez´es A ´es B k¨oz¨ott, m´ as sz´ oval: bijekt´ıv (bijekci´ o). Bijekt´ıv lek´epez´esb˝ ol kiindulva ´ertelmezhetj¨ uk az inverz f¨ uggv´eny vagy m´as sz´oval inverz lek´epez´es (inverz oper´ator) fogalm´at. Legyen F : A → B egy bijekci´o. Azt a f¨ uggv´enyt, amelynek ´ertelmez´esi tartom´anya B ´es amely az y ∈ B elemhez azt az x ∈ A elemet rendeli, amelyre F (x) = y teljes¨ ul, az F f¨ uggv´eny inverz´enek nevezz¨ uk, ´es az F −1 szimb´ olummal jel¨olj¨ uk. Teh´at DF −1 = B,
F −1 (y) = x
⇔
F (x) = y.
A bijekt´ıv lek´epez´eseket — a most bevezetett fogalommal ¨osszhangban — invert´alhat´oknak is nevezik. Az inverz f¨ uggv´eny ´ertelmez´es´eb˝ ol k¨ ovetkeznek az al´abbi azonoss´agok: F −1 (F (x)) = x (x ∈ DF = RF −1 ) ,
F (F −1 (y)) = y
(y ∈ DF −1 = RF ).
Legyen H egy tetsz˝ oleges nem u ¨res halmaz. Azt a f¨ uggv´enyt, amelynek ´ertelmez´esi tartom´anya H ´es amely a H minden elem´ehez ¨onmag´at rendeli, a H halmaz identikus lek´epez´es´enek nevezz¨ uk, ´es az IH szimb´olummal jel¨olj¨ uk, azaz DIH := H,
IH (x) := x (x ∈ H).
Az identikus lek´epez´es ´es a k¨ ozvetett f¨ uggv´eny fogalm´at felhaszn´alva a fent eml´ıtett, az F : A → B bijekci´ o ´es inverze k¨ oz¨otti kapcsolat az F ◦ F −1 = IB
,
F −1 ◦ F = IA
form´aban is fel´ırhat´ o. Nyilv´ anval´ o tov´ abb´ a, hogy b´armely F : A → B bijekci´o eset´en (F −1 )−1 = F teljes¨ ul. A matematik´ aban gyakran haszn´ aljuk az u ´n. konstans f¨ uggv´enyeket ´es halmazok karakterisztikus f¨ uggv´eny´et. Legyen c ∈ B egy r¨ogz´ıtett elem. Ekkor az F (x) :=
130
4.3. Algebrai strukt´ ur´ak
c (x ∈ A) utas´ıt´ assal ´ertelmezett F : A → B f¨ uggv´enyt konstans f¨ uggv´enynek nevezz¨ uk. Legyen H ⊆ A. A χH (x) :=
1,
ha x ∈ H,
0,
ha x ∈ A \ H
utas´ıt´assal ´ertelmezett χH : A → R f¨ uggv´enyt a H halmaz karakterisztikus f¨ uggv´eny´enek nevezz¨ uk.
4.3. Algebrai strukt´ ur´ak A sz´amok k¨or´eben szok´ asos m˝ uveletek (¨ osszead´as, szorz´as) fogalm´at ´altal´anos´ıtva eljuthatunk az algebrai m˝ uvelet defin´ıci´oj´ahoz.
Defin´ıci´ o. Legyen A egy nem u¨res halmaz. Az A × A halmaznak A-ba val´o lek´epez´eseit az A halmaz bels˝ o m˝ uveleteinek nevezz¨ uk. Jel¨olje ∗ az A halmaz egy bels˝ o m˝ uvelet´et. Ennek a lek´epez´esnek az (a, b) ∈ A×A helyen felvett ´ert´ek´et az a∗b szimb´ olummal jel¨olj¨ uk. Azt, hogy ∗ egy bels˝o m˝ uvelet az A halmazon, gyakran az A × A 3 (a, b) → a ∗ b ∈ A jel¨ol´essel is kifejez´esre juttatjuk. Ha b´armely a, b, c ∈ A elemre (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) teljes¨ ul, akkor azt mondjuk, hogy a ∗ m˝ uvelet asszociat´ıv. Ha minden a, b ∈ A eset´en a∗b=b∗a teljes¨ ul, akkor azt mondjuk, hogy a sz´ oban forg´o m˝ uvelet kommutat´ıv. Ismeretes p´eld´ aul, hogy az ¨ osszead´ as (+) ´es a szorz´as (·) is kommutat´ıv ´es asszociat´ıv m˝ uvelet a val´ os sz´ amok R halmaz´an. Az ∪, ∩ halmazm˝ uveletek bels˝o m˝ uveletek a most bevezetett ´ertelemben b´ armely halmaz hatv´anyhalmaz´an. E m˝ uveletek mindegyike kommutat´ıv ´es asszociat´ıv. A val´os sz´amok halmaz´an bevezetett als´o- ´es fels˝ o burkol´ o k´epz´es (∧, ∨) m˝ uvelete szint´en kommutat´ıv ´es asszociat´ıv.
4. F¨ uggel´ek
131
Az e ∈ A elemet a ∗ m˝ uveletre vonatkoz´ oan egys´egelemnek nevezz¨ uk, ha minden a ∈ A elemre a∗e=e∗a=a teljes¨ ul. K¨onnyen igazolhat´ o, hogy legfeljebb egy egys´egelem l´etezhet. Val´oban, ha e ´es e0 k´et egys´egelem, akkor ezekre a = e0 , ill. a = e eset´en fel´ırva a fenti defin´ıci´ot e0 ∗ e = e,
ill.
e0 ∗ e = e0
ad´odik, k¨ovetkez´esk´eppen e = e0 . Tegy¨ uk fel, hogy e ∈ A az A-nak az egys´egeleme a ∗ m˝ uveletre n´ezve. Akkor mondjuk, hogy az a ∈ A elemnek van inverze a ∗ bels˝o m˝ uveletre n´ezve, ha l´etezik olyan a0 ∈ A elem, hogy a ∗ a0 = a0 ∗ a = e. Egyszer˝ uen igazolhat´ o, hogy ha a ∗ m˝ uvelet asszociat´ıv ´es A-nak van egys´egeleme a ∗ m˝ uveletre n´ezve, akkor b´ armely a ∈ A elemnek legfeljebb egy inverze l´etezik. Val´oban tegy¨ uk fel, hogy a0 , a◦ ∈ A az a ∈ A elem k´et inverze. Ekkor felhaszn´alva az egys´egelem ´es az inverz defin´ıci´ oj´at azt kapjuk, hogy a◦ ∗ (a ∗ a0 ) = a◦ ∗ e = a◦ . Hasonl´o meggondol´ assal ad´ odik, hogy (a◦ ∗ a) ∗ a0 = e ∗ a0 = a0 . V´eg¨ ul felhaszn´alva a ∗ m˝ uvelet asszociat´ıvit´as´at, a bizony´ıtand´o a◦ = a0 ´all´ıt´ast kapjuk. Az R-nek a + m˝ uveletre n´ezve van egys´egeleme a 0 sz´am, ´es b´armely a ∈ R sz´amnak l´etezik az (´ un. addit´ıv) inverze ( a −a ∈ R sz´am) az ¨osszead´asra n´ezve. Az R∗ := R \ {0} sz´ amhalmaznak a szorz´ asra n´ezve van egys´egeleme (az 1 sz´am), ´es b´armely a ∈ R∗ elemnek van (´ un. multiplikat´ıv) inverze, az 1/a sz´am. Legyen H egy nem u ¨res halmaz ´es tekints¨ uk az A := P(H) hatv´anyhalmazt a ∪, ∩ m˝ uveletekkel. Nyilv´ anval´ o, hogy a H halmaz az A-nak egys´egeleme az ∪ m˝ uveletre n´ezve ´es az u ¨res halmaz az A-nak egys´egeleme a ∩ m˝ uveletre n´ezve. Sz´amos olyan halmaz fordul el˝ o a matematik´aban, amelyen egyn´el t¨obb bels˝o m¨ uvelet van ´ertelmezve. Ezeket a m˝ uveleteket ´altal´aban bizonyos szab´alyok kapcsolj´ak ¨ossze. Ilyen pl. a disztributivit´ as szab´ alya. Legyen A egy nem u ¨res halmaz
132
4.3. Algebrai strukt´ ur´ak
´es , k´et bels˝ o m˝ uvelet az A-n. Akkor mondjuk, hogy a a m˝ uveletre n´ezve, ha b´ armely a, b, c ∈ A eset´en (a b)
c = (a
c) (b
c) ´es
c
(a b) = (c
m˝ uvelet disztribut´ıv
a) (c
b).
A szorz´as m˝ uvelete (az R-en) disztribut´ıv az ¨osszead´asra n´ezve, viszont az ¨osszead´as nem disztribut´ıv a szorz´ asra n´ezve. Ugyanakor valamely nem u ¨res halmaz hatv´anyhalmaz´an ´ertelmezett ∪, ∩ m˝ uveletek mindegyike disztribut´ıv a m´asikra n´ezve. Valamely nem u ¨res A halmazt a rajta ´ertelmezett egy vagy t¨obb bels˝o m˝ uvelettel algebrai strukt´ ur´anak nevezz¨ uk. A bels˝ o m˝ uveleteket algebrai m˝ uveleteknek is szok´as nevezni ´es pl. a , k´et m˝ uvelet eset´en a sz´oban forg´o algebrai strukt´ ur´at az (A, , ) szimb´ olummal jel¨ olj¨ uk. Bizonyos esetekben nem c´elszer˝ u algebrai strukt´ ur´ak k¨oz¨ott k¨ ul¨onbs´eget tenni. Ezt k´etm˝ uveletes algebrai strukt´ ur´ akkal kapcsolatban r´eszletezz¨ uk, megjegyezve, hogy a bevezet´esre ker¨ ul˝ o fogalmak ´ertelemszer˝ u m´odos´ıt´asokkal egy´eb algebrai srukt´ ur´akra is ´atvihet˝ ok.
Defin´ıci´ o. Legyen (A, +, ·) ´es (A , , ) k´et algebrai strukt´ura. Akkor mondjuk, hogy ezek izomorfak, ha l´etezik olyan F : A → A bijekci´o, hogy minden a, b ∈ A eset´en F (a + b) = F (a) F (b) ,
F (a · b) = F (a)
F (b)
teljes¨ ul. Ha k´et algebrai strukt´ ura egym´ assal izomorf, akkor — algebrai szempontb´ol — azonosnak tekintj¨ uk ˝ oket. Az egyik legegyszer˝ ubb ´es legfontosabb algebrai strukt´ ura a csoport.
Defin´ıci´ o. Legyen G egy nem u¨res halmaz ´es ∗ egy bels˝o m˝uvelet a G-n. A (G, ∗) p´ art csoportnak nevezz¨ uk, ha a ∗ m˝ uvelet asszociat´ıv, l´etezik egys´egelem ´es b´ armely G-beli elemnek l´etezik inverze a ∗ m˝ uveletre n´ezve. Ha ezenfel¨ ul a m˝ uvelet kommutat´ıv, akkor a sz´oban forg´o strukt´ ur´ at kommutat´ıv vagy Abel-csoportnak nevezz¨ uk. Ha a G valamely G0 r´eszhalmaza a ∗ m˝ uveletre n´ezve csoportot alkot, akkor ezt a (G, ∗) csoport r´eszcsoportj´anak nevezz¨ uk. Nyilv´anval´o, hogy b´armely csoport eset´en az egys´egelem´eb˝ ol alkotott egyelem˝ u r´eszhalmaz egyben r´eszcsoport is. A C, az R, a Q ´es a Z sz´ amhalmazok mindegyike kommutat´ıv csoportot alkot az ¨osszead´asra n´ezve. Az Rn veltort´er is csoport a vektorok k¨or´eben ´ertelmezett ¨osszead´asra n´ezve. A C∗ := C \ {0}, az R∗ ´es a Q∗ := Q \ {0} sz´amhalmazok kommutat´ıv csoportot alkotnak a szorz´ asra n´ezve.
4. F¨ uggel´ek
133
Nem kommutat´ıv csoportoknak egy ´ altal´anos oszt´alya a k¨ovetkez˝o. Legyen A egy tetsz˝oleges nem u ¨res halmaz ´es jelj¨ uk G-vel az A-nak ¨onmag´ara val´o bijekci´oinak ¨osszess´eg´et. Egyszer˝ uen ellen˝ orizhet˝o, hogy G a f¨ uggv´eny-kompoz´ıci´ora n´ezve csoport, amelynek egys´egeleme az A identikus lek´epez´ese ´es b´armely g ∈ G elem inverze a g f¨ uggv´eny inverz f¨ uggv´enye.
A k´etm˝ uveletes algebrai strukt´ ur´ ak egyik fontos t´ıpus´at alkotj´ak a gy˝ ur˝ uk.
Defin´ıci´ o. Legyen R egy nem u¨res halmaz, + ´es ∗ k´et bels˝o m˝uvelet az R-en. Akkor mondjuk, hogy az (R, +, ∗) algebrai strukr´ ura gy˝ ur˝ u, ha i) (R,+) kommutat´ıv csoport, ii) a ∗ m˝ uvelet asszociat´ıv ´es disztribut´ıv a + m˝ uveletre n´ezve. Ha a sz´oban forg´ o gy˝ ur˝ uben a ∗ m˝ uvelet kommutat´ıv, akkor azt kommutat´ıv gy˝ ur˝ unek nevezz¨ uk. Pl. az eg´esz sz´ amok halmaza az ¨osszead´asra ´es a szorz´asra n´ezve kommutat´ıv gy˝ ur˝ ut alkot.
A kommutat´ıv gy˝ ur˝ uk egy fontos aloszt´ aly´at alkotj´ak a testek.
Defin´ıci´ o. Legyen K egy nem u¨res halmaz, + ´es ∗ k´et kommutat´ıv bels˝o m˝ uvelet a K-n. A (K, +, ∗) algebrai strukt´ ur´at testnek nevezz¨ uk, ha i) (K, +) kommutat´ıv csoport, a 0 (addit´ıv) egys´egelemmel, ii) K ∗ := K \ {0} kommutat´ıv csoport a ∗ m˝ uveletre n´ezve, iii) a ∗ m˝ uvelet disztribut´ıv a + m˝ uveletre vonatkoz´oan. A komplex sz´ amok, a val´ os sz´ amok ´es a racion´alis sz´amok halmaza testet alkot az ¨osszead´asra ´es szorz´ asra n´ezve. Tov´ abbi p´eld´ak az 1.1. ponthoz f˝ uz¨ott megjegyz´esekben tal´alhat´ ok.
Bizonyos algebrai strukt´ ur´ akon u ´n. k¨ uls˝ o m˝ uveleteket is haszn´alunk. Ha A ´es B k´et nem u ¨res halmaz, akkor a B ×A 3 (λ, a) → λ·a ∈ A lek´epez´est az A halmaznak B-re vonatkoz´o k¨ uls˝ o m˝ uvelet´enek nevezz¨ uk. Az egyik legfontosabb, bels˝o ´es k¨ uls˝o m˝ uvelettel ell´atott algebrai strukt´ ura a vektort´er, amely a matematika k¨ ul¨onb¨oz˝o fejezeteiben ´es a fizik´ aban is fontos szerepet j´atszik.
134
4.3. Algebrai strukt´ ur´ak
Defin´ıci´ o.
Legyen X egy lin´ aris t´er ´es (K, +, ·) egy test, tov´abb´a legyen egy bels˝ o m˝ uvelet az X-en, pedig egy k¨ uls˝o m˝ uvelet az Xen K-ra vonatkoz´ oan. Az (X, , ) algebrai srukt´ ur´at vektort´ ernek vagy line´ aris t´ ernek nevezz¨ uk a K-ra vonatkoz´oan, ha I. (X, ) kommutat´ıv csoport, II. Az X-beli ´es a K-beli m˝ uveleteket az al´abbi szab´alyok kapcsolj´ak ¨ossze: i) λ (x y) = λ x λ y (x, y ∈ X, λ ∈ K) ii) (λ + µ) x = λ x µ x (x ∈ X, λ, µ ∈ K) iii) λ (µ x) = (λ · µ) x (x ∈ X, λ, µ ∈ K) iv) e x = x (x ∈ X), ahol e a K test egys´egelem´et jelenti a · m˝ uveletre n´ezve.
´ Altal´ aban nem szoktak jel¨ ol´esben k¨ ul¨ onbs´eget tenni az X-beli ´es a K testen ´ertelmezett m˝ uveletek k¨ oz¨ ott. Ennek megfelel˝oen az (X, +, ·) szimb´olumot is haszn´aljuk. Legyen K egy tesz˝ oleges test ´es n ∈ N∗ . Jel¨olj¨ uk K n -nel a K elemeib˝ol alkotott rendezett elem n-esek halmaz´ at: K n := {x = (x1 , x2 , · · · , xn } : x1 , x2 , · · · , xn ∈ K}. A K n elemeit vektoroknak is nevezik. Vezess¨ uk be a K n -ben az ¨osszead´ast ´es a K-beli elemekkel val´ o szorz´ ast a k¨ ovetkez˝ ok´eppen. Tetsz˝oleges x = (x1 , x2 , · · · , xn ), y = (y1 , y2 , · · · , yn ) ∈ K n vektorokra ´es λ ∈ K elemre legyen x + y := (x1 + y1 , x2 + y2 , · · · , xn + yn ), λ · x := (λ · x1 , λ · x2 , · · · , λ · xn ). K¨onnyen ellen˝orizhet˝ o, hogy (K n , +, ·) vektort´er a K sz´amtestre vonatkoz´oan. Egy m´asik fontos vektorteret kapunk, ha valamely nem u ¨res A halmazon ´ertelmezett ´es K-ba k´epez˝ o f¨ uggv´enyeket tekintj¨ uk a szok´asos m˝ uveletekkel: (f + g)(x) := f (x) + g(x),
(λ · f )(x) := λ · f (x)
(x ∈ A, λ ∈ K, f, g : A → K).
Egyszer˝ uen igazolhat´ o, hogy a X := {f | f : A → K} f¨ uggv´enyoszt´aly a most bevezetett m˝ uveletekkel line´aris t´er.
4. F¨ uggel´ek
135
Irodalom