JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

´ JANUS PANNONIUS TUDOMANYEGYETEM

Schipp Ferenc

ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

Pécs, 1994

Lektorok: ´ JANOS ´ Dr. FEHER egyetemi docens, kandidtus ´ Dr. SIMON PETER egyetemi docens, kandidtus .

1

El˝oszó Ez a jegyzet egy t¨ obb k¨ otetre tervezett sorozat els˝o része. A sorozat — szándékaink szerint — a matematik´ anak a tan´ arképzés szempontjából legfontosabb fejezeteit dolgozza fel, figyelembe véve a tan´ arképz˝o intézmények tanterveit. Az analíızis tárgy keretében oktatott tananyagot 6-8 kisebb terjedelm˝ u kötetben tervezz¨ uk kiadni. Ebben a sorozatban jelent meg Kamar´ as Lajos: Matematikai bevezetés c´ım˝ u k¨ otete, amely a halmazelméleti és logikai alapokat tartalmazza. A jegyzetben a szorosabb értelemben vett tananyagon t´ ulmen˝oen néhány olyan téma is szerepel, amely a kitekintést szolg´ alja és a tanár-továbbképzésben hasznos´ıtható. Minden fejezethez egy feladatsor kapcsolódik, amely a gyakorlás mellett az anyag mélyebb elsaj´ at´ıt´ as´ at is el˝ oseg´ıtheti. A jegyzethez f˝ uzött f¨ uggelék a felhasznált legfontosabb halmazelméleti és algebrai fogalmakat foglalja össze, ezzel is el˝oseg´ıtve a jegyzet ¨ on´ all´ o haszn´ alat´ at.

2

TARTALOM

1. Val´ os és komplex számok 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8.

A valós sz´ amok axi´ om´ ai . . . . . . . Számok abszol´ ut értéke, intervallumok Számok gy¨ oke . . . . . . . . . . . Számhalmazok als´ o és fels˝ o hat´ ara . . Az Rn tér . . . . . . . . . . . . . Nevezetes egyenl˝ otlenségek . . . . . Komplex sz´ amok . . . . . . . . . . Feladatok . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . 1 . 10 . 14 . 17 . 20 . 22 . 26 . 29

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

35 39 41 46 50 56 60 62 67 71

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

77 81 84 84 86 88 91 100 104 109 115

2. Számsorozatok 2.1. A sorozat fogalma . . . . . . . . . 2.2. Monoton sorozatok . . . . . . . . . 2.3. Korlátos és korl´ atos v´ altoz´ as´ u sorozatok 2.4. Konvergens sorozatok . . . . . . . . 2.5. M˝ uveletek hat´ arértékekkel . . . . . . 2.6. Monoton sorozatok hat´ arértéke . . . 2.7. A Cauchy-féle konvergencia kritérium . 2.8. Tágabb értelemben vett hat´ arérték . . 2.9. Sorozat als´ o és fels˝ o hat´ arértéke . . . 2.10. Feladatok . . . . . . . . . . . .

3. Végtelen sorok és végtelen szorzatok 3.1. Végtelen sorok konvergenci´ aja . . . . 3.2. Végtelen szorzatok . . . . . . . . . 3.3. Nevezetes sorok . . . . . . . . . . 3.3.1. Pozit´ıv tag´ u sorok . . . . . . 3.3.2. Leibniz-t´ıpus´ u sorok . . . . . 3.3.3. Sz´ amok végtelen t¨ ort el˝ o´ all´ıtása 3.4. M˝ uveletek végtelen sorokkal . . . . . 3.5. Konvergencia kritériumok . . . . . . 3.6. Kett˝os sorozatok és kett˝ os sorok . . . 3.7. Végtelen sorok szorz´ asa . . . . . . . 3.8. Feladatok . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

3

4. F¨ uggelék 4.1. Reláci´ ok . . . . . . . . . 4.1.1. Ekvivalencia rel´ aci´ ok . 4.1.2. Rendezési rel´ aci´ ok . . 4.2. F¨ uggvények . . . . . . . . 4.2.1.M˝ uveletek f¨ uggvényekkel 4.3. Algebrai strukt´ ur´ ak . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

121 123 124 125 127 129

4

1.1. A valós számok axiómái

1. Valós és komplex számok Ebben a pontban ¨ osszefoglaljuk a val´ os számokkal kapcsolatos legfontosabb fogalmakat, az algebrai m˝ uveletekre és az egyenl˝otlenségre vonatkozó m˝ uveleti szabályokat. K¨ ul¨ on¨ os hangs´ ullyal foglalkozunk a matematikai anal´ızis szempontjából alapvet˝o szétv´ alaszt´ asi axi´ om´ aval és annak következményeként megmutatjuk számok gyökének, valamint sz´ amhalmazok alsó és fels˝o határának a létezését. A valós számok mellett haszn´ alni fogjuk a komplex számokat és az n-dimenziós vektorokat is. Ezért ezekkel kapcsolatosan egy rövid áttekintést adunk, kiemelve azokat a fogalmakat és tételeket, amelyek kés˝obb felhasználásra ker¨ ulnek.

1.1. A val´ os számok axi´ omái Jelölj¨ uk R-rel a val´ os sz´ amok halmaz´ at. Az alábbiakban röviden összefoglaljuk a valós számok legfontosabb – az R-et meghatározó – tulajdonságait. • Test axi´ omák A valós sz´ amok halmaza a rajta értelmezett összeadás és szorzás m˝ uveletével testet alkot. Ez részletesen sz´ olva a k¨ ovetkez˝ oket jelenti. I. Az R-en értelmezve van az ¨ osszeadás m˝ uvelete, azaz a R × R 3 (a, b) → a + b ∈ R leképezés az al´ abbi tulajdons´ agokkal: i) ii) iii)

a+b=b+a (a + b) + c = a + (b + c)

(az összeadás kommutat´ıv)

(a, b, c ∈ R)

(az összeadás asszociat´ıv)

létezik egy, az ¨ osszead´ asra nézve kit¨ untetett elem, a 0 szám, amelyre a+0=a

iv)

(a, b ∈ R)

(a ∈ R)

minden a ∈ R elemhez létezik egy −a ∈ R szám, amelyre −a + a = 0 teljes¨ ul.

1. Valós és komplex sz´ amok

5

II. Az R-en értelmezve van a szorzás m˝ uvelete, azaz a R × R 3 (a, b) → a · b ∈ R leképezés az al´ abbi tulajdons´ agokkal: i) ii) iii)

a·b=b·a

(a, b ∈ R)

(a · b) · c = a · (b · c)

(a, b, c ∈ R)

(a szorzás asszociat´ıv)

létezik egy, a szorz´ asra nézve kit¨ untetett elem, az 1 szám, amelyre a·1=a

iv)

(a szorzás kommutat´ıv)

(a ∈ R)

minden a ∈ R, a 6= 0 elemhez létezik egy a−1 ∈ R szám, amelyre a−1 · a = 1 teljes¨ ul.

III. Az összead´ ast és a szorz´ ast a disztributivitás szabálya kapcsolja össze: (a + b) · c = a · c + b · c

(a, b, c ∈ R).

Könnyen igazolhat´ o (l´ asd az 1. feladatot és a F¨ uggeléket), hogy egyetlen olyan 0 ill. 1 szám létezik, amelyre I.iii) ill. II.iii) teljes¨ ul. Ezt az összadásra nézve kit¨ untetett 0 elemet az R nullelemének, a szorzásra nézve kit¨ untetett 1 elemet pedig az R egységelemének nevezz¨ uk. Megmutathat´ o (l´ asd a F¨ uggeléket), hogy minden a ∈ R számhoz egyetlen I.iv) tulajdonság´ u −a sz´ am létezik, melyet az a addit´ıv inverzének vagy ellentettjének nevez¨ unk. Az a + (−b) sz´ amot az egyszer˝ ubb a − b szimbólummal fogjuk jelölni, és az a és b számok k¨ ul¨ onbségének fogjuk nevezni. A szorzás m˝ uveletének jelét — ha ez nem okoz félreértést — gyakran elhagyjuk. Ennek megfelel˝oen az a, b ∈ R val´ os sz´ amok szorzatára az a · b és az ab jelöléseket egyaránt használjuk. Megmutathat´ o, hogy minden 0-tól k¨ ulönböz˝o a számhoz egyetlen II.iv) tulajdons´ ag´ u a−1 sz´ am létezik, melyet az a reciprokának vagy multiplikat´ıv inverzének nevez¨ unk. A null´ at´ ol k¨ ulönböz˝o valós számok halmazát az R∗ := R \ { 0 } szimbólummal jel¨ olj¨ uk. Az a · b−1 sz´ amot az a és b hányadosának nevezz¨ uk, és a általában az vagy az a/b szimb´ olumok valamelyikével fogjuk jelölni. b Ezekb˝ol az axi´ om´ akb´ ol a val´ os sz´ amok egyéb ismert tulajdonságai már levezethet˝ok. Ilyen példul az a · 0 = 0 (a ∈ R),

6


áll´ıtás vagy a jól ismert (−a) · b = −(a · b)

(a, b ∈ R)

szabály. Ezekkel kapcsolatban utalunk az 1. feladatra. • Rendez´ esi axiómák A valós sz´ amok halmaz´ an értelmezve van egy 5 reláció, amelyre nézve R rendezett test. Ez részletesebben sz´ olva a k¨ ovetkez˝ oket jelenti. IV. A 5 reláci´ o line´ aris rendezés az R-en, azaz i)

(a ∈ R)

a5a

ii)

a 5 b és b 5 a ⇒ a = b

(a, b ∈ R)

iii)

a 5 b és b 5 c ⇒ a 5 c

(a, b, c ∈ R)

iv)

a 5 b vagy b 5 a

(a reláció reflex´ıv) (a reláció antiszimmetrikus) (a reláció tranzit´ıv)

(a, b ∈ R) (a reláció lineáris rendezés).

V. A 5 reláci´ ot az ¨ osszead´ assal és a szorzással az alábbi szabályok kapcsolják össze: i)

a5b ⇒ a+c5b+c

(a, b, c ∈ R) (az összeadás monoton)

ii) a 5 b és 0 5 c ⇒ a · c 5 b · c (a, b, c ∈ R)

(a szorzás monoton).

A kisebb-egyenl˝ o (5) rendezési rel´ aci´ o mellett szokás még a kisebb (<) relációt használni. Akkor mondjuk, hogy az a, b ∈ R számokra a < b teljes¨ ul, ha a 5 b és a 6= b. Néha a 5 és < rel´ aci´ ok helyett a nagyobb-egyenl˝o ( = ) és a nagyobb ( > ) relációkat is haszn´ aljuk a k¨ ovetkez˝ o értelemben: b = a ⇐⇒ a 5 b,

b > a ⇐⇒ a < b.

Könnyen igazolhat´ o, hogy b´ armely a ∈ R számra a · a = 0. Speciálisan az 1 számra 1 = 1 · 1 > 0 teljes¨ ul, k¨ ovetkezésképpen V. i) alapján minden a ∈ R számra a < a + 1. Az R 0-nál nagyobb elemeit pozit´ıv-, a 0-nál kisebb elemeit negat´ıv számoknak, az R+ := {x ∈ R : 0 5 x } halmaz elemeit pedig nem-negat´ıv számoknak nevezz¨ uk.


7

A rendezési axi´ om´ akb´ ol levezethet˝ ok az egyenl˝otlenségre vonatkozó jól ismert számolási szabályok, mint péld´ aul a k¨ ovetkez˝o: ha

a5b

és

c 5 d,

akkor

a + c 5 b + d.

Ezzel kapcsolatban l´ asd a 2. feladatot.

• Term´ eszetes számok A valós számok tov´ abbi meghat´ aroz´ o tulajdonságainak a megfogalmazásához felhasználjuk a természetes sz´ amok fogalm´ at. Az R valamely H nem u ¨res részhalmazát indukt´ıvnak nevezz¨ uk, ha i)

0 ∈ H,

ii) x ∈ H =⇒ x + 1 ∈ H.

Nyilvánvaló, hogy pl. R indukt´ıv halmaz és indukt´ıv halmazok közös része is indukt´ıv.

Defin´ıci´ o. Az R indukt´ıv részhalmazainak közös részét a természetes sz´ amok halmaz´ anak nevezz¨ uk, és az N szimbólummal jelölj¨ uk. Az N értelmezéséb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy a természetes számok halmaza az R legsz˝ ukebb indukt´ıv részhalmaza, k¨ ovetkezésképpen az N minden indukt´ıv halmaznak része. Az N mellett gyakran haszn´ alni fogjuk a természetes számok alábbi részhalmazát is: N∗ := N \ {0}. Az R+ halmaz nyilv´ an indukt´ıv. Ezért az indukt´ıv halmazok közös részének, azaz az N halmaznak az elemei nem-negat´ıvok. A természetes sz´ amoknak ez a bevezetése magában foglalja a teljes indukció elvét és a rekurzi´ oval val´ o értelmezés lehet˝ oségét. • A teljes indukci´ o elve A teljes indukci´ o elve a k¨ ovetkez˝ oképpen fogalmazható meg. Tegy¨ uk fel, hogy a természetes sz´ amokra vonatkozó valamely áll´ıtás — igaz a 0 sz´ amra, — abb´ ol, hogy az n természetes sz´ amra igaz az áll´ıtás, következik, hogy az n + 1 sz´ amra is igaz. Ekkor a sz´ oban forg´ o´ all´ıt´ as minden természetes számra igaz. Valóban, a fentiek szerint az a halmaz, amelyre az áll´ıtás igaz, a természetes számoknak egy indukt´ıv részhalmaza. Mivel az N a legsz˝ ukebb ilyen halmaz, azért

8


a szóban forgó halmaz tartalmazza az N-et. Másrészt, mivel a feltétel szerint a vizsgált halmaz része is N-nek, azért sz¨ ukségképpen egyenl˝o vele. A valós számoknak egy fontos geometriai tulajdonságával kapcsolatos az • Archim´ edeszi axióma VI. Minden a és b pozit´ıv val´ os sz´ amhoz létezik olyan n természetes szám, hogy b < n · a. A valós számoknak a matematikai anal´ızis szempontjából talán legfontosabb tulajdonságát fejezi ki az u ń. • Sz´ etválasztási axióma VII. Legyen A és B a val´ os sz´ amok két nem u ¨res részhalmaza. Ha minden a ∈ A és minden b ∈ B elemre a 5 b, akkor létezik olyan ξ valós szám, amelyre ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B : a 5 ξ 5 b teljes¨ ul. Utalva az axi´ oma szemléletes tartalm´ ara azt szoktuk mondani, hogy a ξ szám szétválasztja az A és B halmazt. Megjegyezz¨ uk, hogy az Archimédeszi és a szétválasztási axióma nem f¨ uggetlen egymástól. Nevezetesen a test-, a rendezési- és a szétválasztási axiómát felhasználva az Archimédeszi axi´ om´ aban megfogalmazott áll´ıtás bebizony´ıtható (lásd a 18. feladatot). A természetes sz´ amok fogalm´ at felhaszn´ alva értelmezhetj¨ uk a ”véges halmazok” fogalmát. Tetsz˝ oleges n természetes sz´ am esetén az Nn := {k ∈ N : k < n} halmazt az N n-edik szeletének nevezz¨ uk. Ennek megfelel˝oen az N 0-adik szelete az u ¨res halmazt, els˝ o szelete a {0} halmaz, második szelete a {0, 1} halmaz , stb. Az n természetes sz´ amot az Nn szelet hosszának nevezz¨ uk. A bijekció fogalm´ ara t´ amaszkodva (l´ asd a F¨ uggeléket), most már könnyen értelmezhetj¨ uk a véges halmaz fogalm´ at. Bebizony´ıtható (lásd a F¨ uggeléket), hogy bármely nem u ¨res H halmaz esetén N-nek legfeljebb egy olyan Nn szelete létezik, amelyre a H kölcs¨ on¨ osen egyértelm˝ uen leképezhet˝o.

Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy a H halmaz véges, ha létezik olyan n természetes sz´ am, hogy H és Nn k¨ olcsönösen egyértelm˝ uen megfeleltethet˝o egym´ asnak. Az n természetes számot a H halmaz elemei sz´ am´ anak nevezz¨ uk. A nem véges halmazokat v´ egtelen halmazoknak nevezz¨ uk.


9

Azt, hogy a H halmaz elemeinek sz´ ama n, u ´gy is szokás kifejezni, hogy H egy n-elem˝ u halmaz. A fenti defin´ıci´ oban szerepl˝o valamely x : Nn → H bijekciót felhasználva és az x leképezés i ∈ Nn helyen felvett értékét xi -vel jelölve az n elem˝ u H halmazra gyakran a H = {x0 , x1 , · · · , xn−1 } jelölésmódot haszn´ aljuk (l´ asd még a F¨ uggeléket). Véges halmaz és annak val´ odi részhalmaza között nem létes´ıthet˝o kölcsönösen egyértelm˝ u leképezés (l´ asd a F¨ uggeléket). A természetes számok halmaza és annak N∗ valódi részhalmaza k¨ oz¨ ott az N 3 n → n + 1 ∈ N∗ leképezés egy bijekci´ o, k¨ ovetkezésképpen N nem véges. A végtelen halmazok legegyszer˝ ubb oszt´ aly´ at alkotj´ ak azok a halmazok, amelyek bijekt´ıv módon az N-re képezhet˝ok. Ezekre vonatkozik az al´ abbi fogalom.

Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy a H halmaz megszámlálhatóan v´ egtelen (r¨ oviden: megsz´ aml´ alhat´ o), ha létezik a H és N között egy kölcsönösen egyértelm˝ u megfeleltetés. A megszámlálhat´ o halmazok teh´ at alkalmas, természetes számok halmazán értelmezett f¨ uggvények értékkészleteként is megkaphatók. Ezzel összhangban az ilyen halmazokat az {x0 , x1 , · · · , xn , · · · }

vagy az

{xn : n ∈ N}

szimbólummal szoktuk jel¨ olni. Bebizony´ıthat´ o, hogy a racionális számok halmaza megszámlálható (lásd a 19. feladatot). Az alábbiakban — a F¨ uggelék 4.1.1. pontjában megadott általános defin´ıcióval o¨sszhangban — bevezetj¨ uk sz´ amhalmazok maximumának és minimumának a fogalmát.

Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy a H ⊆ R nem u¨res számhalmaznak van legkisebb eleme (m´ as sz´ oval: van minimuma), ha létezik olyan α ∈ H, hogy minden x ∈ H sz´ amra α 5 x. Akkor monjuk, hogy a H számhalmaznak van legnagyobb eleme (más szóval: van maximuma), ha létezik olyan β ∈ H, hogy minden x ∈ H elemre x 5 β teljes¨ ul. Ezek jel¨ olésére bevezetj¨ uk az α = min H szimbólumokat.

,

β = max H

10


Nyilvánvaló, hogy ha H = {a} egyelem˝ u számhalmaz, akkor max H = min H = a. Egyszer˝ uen ad´ odik, hogy b´ armely kételem˝ u számhalmaznak van maximuma és minimuma. Val´ oban — a maximumra és a minimumra egy u ´jabb jelölést bevezetve — az alábbiakat ´ all´ıthatjuk: ( α, ha α = β max {α, β} = α ∨ β := β, ha α < β, ( α, ha α 5 β min {α, β} = α ∧ β := β, ha α > β. Az α ∨ β számot az α és a β fels˝ o burkol´ ojának, az α ∧ β számot pedig az α és β számok alsó burkol´ ojának nevezz¨ uk. Legyen n ∈ N∗ egy természetes sz´ am és {α0 , α1 , · · · , αn−1 } egy n elem˝ u valós számhalmaz. n-re vonatkoz´ o teljes indukci´ oval egyszer¨ uen igazolható, hogy ennek a halmaznak is létezik a maximuma és a minimuma. Ezekre az alábbi jelöléseket használjuk: max {αk : k ∈ Nn } = ∨n−1 k=0 αk , min {αk : k ∈ Nn } = ∧n−1 k=0 αk . A természetes sz´ amok halmaz´ anak nincs legnagyobb eleme. Valóban, minthogy bármely n ∈ N természetes sz´ amra n + 1 ∈ N és n + 1 > n, azért N-nek nincs legnagyobb eleme. A továbbiakban gyakran felhaszn´ aljuk az alábbi áll´ıtást:

1.Tétel. A természetes számok bármely, nem u¨res részhalmazának van legkisebb eleme. ´s. Legyen K ⊆ N, K 6= ∅ a sz´ Bizony´ıta oban forgó halmaz és vezess¨ uk be az L := {` ∈ N : ` 5 k

(∀ k ∈ K)}

jelölést. Minthogy 0 ∈ L, azért L nem u ¨res. Megmutatjuk, hogy i) létezik olyan ` ∈ L, hogy ` + 1 ∈ / L, ii) ez az ` sz´ am K-nak is eleme. Innen — figyelembe véve az L halmaz értelmezését — már következik, hogy minden k ∈ K esetén ` 5 k, azaz ` a K halmaz legkisebb eleme. Indirekt bizony´ıt´ ast alkalmazva tegy¨ uk fel, hogy az i) áll´ıtással ellentétben minden ` ∈ L elemre ` + 1 ∈ L. Minthogy 0 ∈ L, azért az N értelmezését figyelembe véve L = N következne. Innen az L defin´ıci´ oja alapján minden ` ∈ N és minden k ∈ K számra ` 5 k k¨ ovetkezne. Ez az ´ all´ıt´ as az ` := k + 1 számot véve a k + 1 5 k ellentmondáshoz vezet.


11

A ii) igazolás´ ahoz vegy¨ uk figyelembe, hogy ` 5 k minden k ∈ K elemre. Minthogy ` + 1 ∈ / L, azért az L defin´ıci´ oja alapj´ an létezik olyan k0 ∈ K, hogy k0 < ` + 1. Erre a k0 elemre teh´ at ` 5 k0 < ` + 1 teljes¨ ul. Egyszer˝ uen igazolható viszont, hogy nincs olyan m természetes sz´ am, amelyre ` < m < ` + 1 teljes¨ ulne (lásd a 3. feladatot), következésképpen ` = k0 ∈ K. Ezzel a tételt bebizony´ıtottuk. A teljes indukci´ o u ´jabb alkalmaz´ asaként bebizony´ıtjuk az alábbi, kés˝obb felhasználásra ker¨ ul˝ o nevezetes egyenl˝ otlenséget.

Bernoulli-féle egyenl˝otlenség. Bármely n ∈ N∗ természetes szám és h ∈ R val´ os sz´ am esetén 1 + nh 5 (1 + h)n ,

i) ii)

(1 + h)n 5 1 + 2nh,

ha h > −1, ha 0 < h <

1 . 2n

´s. Az i) egyenl˝ Bizony´ıta otlenség n = 1 esetén nyilván fennáll. Tegy¨ uk fel, hogy valamilyen n-re igaz, és ezt felhaszn´ alva igazoljuk n + 1-re. Valóban, (1 + h)n+1 = (1 + h)n (1 + h) = (1 + nh)(1 + h) = = 1 + (n + 1)h + nh2 = 1 + (n + 1)h, ahol az utolsó lépésben a nyilv´ anval´ oan nem-negat´ıv nh2 tag elhagyásával az összeget legfeljebb cs¨ okkentett¨ uk. Ezzel az i) ´ all´ıt´ ast n + 1-re, következésképpen a teljes indukció elve alapj´ an minden természetes sz´ amra igazoltuk. A ii) egyenl˝otlenség igazol´ as´ ahoz felhaszn´ aljuk az i)-et és az alábbi két egyenl˝otlenséget: 1 > 1 − h, 1+h

1 − nh >

1 , 1 + 2nh

ha

0
1 . 2n

Az els˝o a nyilvánval´ o 1 > 1 − h2 egyenl˝ otlenségb˝ol, a második pedig az (1 − nh)(1 + 2nh) = 1 + nh − 2n2 h2 = 1 + nh(1 − 2nh) azonosságból a 0 < h < 1/(2n) feltétel alapján pozit´ıv második tag elhagyásával adódik. Ezeknek és az i) egyenl˝ otlenségnek a felhasználásával 1 1 > (1 − h)n ≥ 1 − nh > n (1 + h) 1 + 2nh adódik, ahonnan a kifejezések reciprokra térve át ii) már következik.

12

1.2. Számok abszolut értéke, intervallumok

Megjegyzések 1. Az I, II, III k¨ ovetelm´ enyeknek eleget tev˝ o algebrai strukt´ ur´ akat testeknek nevezz¨ uk (l´ asd a F¨ uggel´ eket). Ezek a k¨ ovetelm´ enyek m´ eg nem hat´ arozz´ ak meg a val´ os sz´ amokat. Val´ oban, m´ ar a k´ et elem˝ u Z2 := {0, 1} halmazon is lehet olyan ¨ osszead´ ast ´ es szorz´ ast ´ ertelmezni, amelyekre n´ ezve Z2 testet alkot. K¨ onnyen ellen˝ orizhet˝ o, hogy ha a Z2 halmazon az ¨ osszead´ ast ´ es a szorz´ ast a 0 + 0 = 1 + 1 = 0,

1 + 0 = 0 + 1 = 1,

0 · 0 = 0 · 1 = 1 · 0 = 0,

1·1=1

szerint ´ ertelmezz¨ uk, akkor teljes¨ ulnek a test axi´ om´ ak. Mivel minden testnek van nulleleme ´ es egys´ egeleme, az´ ert enn´ el sz˝ ukebb test nem l´ etezik. Tov´ abb´ a, a 0 5 0, 0 5 1, 1 5 1 utas´ıt´ assal ´ ertelmezett rel´ aci´ o nyilv´ an eleget tesz IV -nek. Ugyanez igaz akkor is, ha 0 5 1 helyett az 1 5 0 rel´ aci´ ot ´ırjunk el˝ o, de V trivi´ alis m´ odon nem teljes¨ ul egyik v´ alaszt´ assal sem. Nyilv´ anval´ o teh´ at, hogy a Z2 test l´ enyegesen k¨ ul¨ onb¨ ozik a val´ os sz´ amok halmaz´ at´ ol. 2. A term´ eszetes sz´ amok fenti ´ ertelmez´ ese alapj´ an azok t¨ obb ismert tulajdons´ aga nem mag´ at´ ol ´ ertet˝ od˝ o. Pl. az a t´ eny, hogy k´ et term´ eszetes sz´ am ¨ osszege ´ es szorzata is term´ eszetes sz´ am, k¨ ul¨ on bizony´ıt´ asra szorul, ha az N eml´ıtett defin´ıci´ oj´ at vessz¨ uk alapul. Ezzel kapcsolatban l´ asd a 3.feladatot. 3. A Z := {n ∈ R : n ∈ N

vagy

− n ∈ N}

halmaz elemeit eg´ esz sz´ amoknak nevezz¨ uk. Az eg´ esz sz´ amok ”h´ anyadosak´ ent” el˝ o´ all´ıthat´ o sz´ amokat racion´ alis sz´ amoknak nevezz¨ uk ´ es a Q := {r =

p ∈ R : p, q ∈ Z, q 6= 0} q

szimb´ olummal jel¨ olj¨ uk. Megmutathat´ o, hogy Q maga is testet alkot, amelyre a rendez´ esi ´ es az Arhim´ edeszi axi´ oma is teljes¨ ul. Az eml´ıtett axi´ om´ ak egy¨ utt sem hat´ arozz´ ak meg a val´ os sz´ amok halmaz´ at, hiszen azokat Q is kiel´ eg´ıti, ´ es amint az ismeretes, Q 6= R. A sz´ etv´ alaszt´ asi axi´ oma azonban nem teljes¨ ul a Q-ra (l´ asd k´ es˝ obb). 4. A racion´ alis sz´ amok k¨ or´ eben, amint az m´ ar a k¨ oz´ episkolai tanulm´ anyok alapj´ an is ismeretes, nem v´ egezhet˝ o el a gy¨ okvon´ as minden esetben. A 2 eg´ esz sz´ amnak p´ eld´ aul nincs n´ egyzetgy¨ oke a racion´ alis sz´ amok k¨ or´ eben. M´ as sz´ oval, nincs olyan racion´ alis sz´ am, amelynek n´ egyzete 2-vel egyenl˝ o. Ez egyszer˝ u oszthat´ os´ agi meggondol´ assal igazolhat´ o. A k¨ ovetkez˝ o pontban a sz´ etv´ alaszt´ asi axi´ oma alapj´ an bebizony´ıtjuk, hogy minden a pozit´ıv val´ os sz´ am ´ es b´ armely n = 2 term´ eszetes sz´ am eset´ en van olyan x ∈ R sz´ am, hogy xn = a. 5. Megmutathat´ o, hogy ezek az axi´ om´ ak izomorfia erej´ eig egy´ ertelm˝ uen meghat´ arozz´ ak a val´ os sz´ amok halmaz´ at. Ez azt jelenti, hogy b´ armely k´ et, az I. − V II. axi´ om´ aknak eleget tev˝ o rendezett test k¨ oz¨ ott l´ etezik egy k¨ olcs¨ on¨ osen egy´ ertelm˝ u, m˝ uvelet- ´ es rendez´ estart´ o lek´ epez´ es. Minthogy ilyen halmazok k¨ oz¨ ott sem az algebrai strukt´ ur´ at sem a rendez´ est tekintve nincs k¨ ul¨ onbs´ eg, az´ ert ezeket azonosnak tekinthetj¨ uk (l´ asd a F¨ uggel´ eket). 6. Itt most nem foglalkozunk a val´ os sz´ amok szisztematikus, a halmazelm´ elet axi´ oma rendszer´ eb˝ ol kiindul´ o fel´ ep´ıt´ es´ evel. Egyfajta fel´ ep´ıt´ est, m´ as u ´ n. lok´ alis testek konstrukci´ oj´ aval egy¨ utt e sorozat egy tov´ abbi r´ esz´ eben fogunk bemutatni. 7. A val´ os sz´ amokkal kapcsolatban c´ elszer˝ u bizonyos geometriai sz´ ohaszn´ alattal ´ elni. Az euklideszi geometria axi´ oma rendszer´ eb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy b´ armely egyenes pontjai ´ es a val´ os sz´ amok halmaza k¨ oz¨ ott k¨ olcs¨ on¨ osen egy´ ertelm˝ u megfeleltet´ es l´ etes´ıthet˝ o. Ezzel


13

¨ osszhangban az R-et egy egyenessel, az u ´ n. sz´ amegyenessel, magukat a val´ os sz´ amokat pedig az egyenes pontjaival szok´ as azonos´ıtani. Ennek megfelel˝ oen val´ os sz´ amok helyett gyakran a sz´ amegyenes pontjair´ ol fogunk besz´ elni.

1.2. Számok abszol´ ut értéke, intervallumok A 5 reláció felhaszn´ al´ as´ aval értelmezhetj¨ uk számok abszol´ ut értékét. Tetsz˝oleges x ∈ R szám |x| szimb´ olummal jel¨ olt abszol´ ut értékét az + x, ha x = 0 |x| := − x, ha x < 0 utas´ıtással értelmezz¨ uk. Az al´ abbiakban ¨ osszefoglaljuk az abszol´ ut érték legfontosabb tulajdons´ agait.

2. Tétel. i)

|x| = 0 és |x| = 0 ⇐⇒ x = 0

(x ∈ R)

ii)

|x · y| = |x| · |y|

(x, y ∈ R)

iii)

|x + y| 5 |x| + |y|

(x, y ∈ R)

iv) ||x| − |y|| 5 |x − y|

(x, y ∈ R).

´s. Mivel az i) és ii) ´ Bizony´ıta all´ıt´ asok k¨ ozvetlen¨ ul adódnak az abszol´ ut érték defin´ıciójából és a szorz´ as el˝ ojel szab´ aly´ ab´ ol, azért ezek bizony´ıtását nem részletezz¨ uk (lásd az 1. feladatot). Az |x| értelmezése alapj´ an az x sz´ am vagy |x|-kel, vagy −|x|-kel egyenl˝o. Következésképpen bármely x, y ∈ R sz´ amp´ arra −|x| 5 x 5 |x| ,

−|y| 5 y 5 |y|.

Innen, összeadva az egyenl˝ otlenségeket −(|x| + |y|) 5 x + y 5 |x| + |y| következik. Mivel sem x + y sem annak −1–szerese nem nagyobb |x| + |y|-nél, azért |x + y| 5 |x| + |y|. A iv) egyenl˝otlenség a iii) egyszer˝ u k¨ ovetkezménye. Valóban, iii) alapján |x| = |y + (x − y)| 5 |y| + |x − y|,

14


azaz |x| − |y| 5 |x − y|. Ha ez utóbbi egyenl˝ otlenségben az x és az y szerepét felcserélj¨ uk −(|x| − |y|) 5 |x − y| adódik. Ezt és az ezt megel˝ oz˝ o egyenl˝ otlenséget egybevetve a bizony´ıtandó iv) egyenl˝otlenség ad´ odik. Az abszol´ ut értéknek szemléletes geometriai jelentése van: |x − y| az x és y számoknak megfelel˝ o pontok távolságaként értelmezhet˝o. A iii)-ban szerepl˝o becslést háromszög–egyenl˝ otlenségnek nevezz¨ uk. A ∨, ∧ m˝ uveletek kifejezhet˝ ok az abszol´ ut érték seg´ıtségével. Bármely két α, β ∈ R valós számra ui. (1)

α∨β =

(α + β) + |α − β| , 2

α∧β =

(α + β) − |α − β| . 2

Mindkét azonoss´ ag jobb és bal oldala is szimmetrikus az α, β változókban. Feltehetj¨ uk tehát, hogy pl. α = β. Ekkor a bal oldalon α, ill. β áll. A jobb oldalak pedig az abszol´ ut érték defin´ıci´ oja alapj´ an a következ˝okkel egyenl˝ok: (α + β) + (α − β) = α, 2

ill.

(α + β) − (α − β) = β. 2

A továbbiakban fontos szerepet j´ atszanak a valós számok bizonyos részhalmazai, az intervallumok. Legyen α, β ∈ R és tegy¨ uk fel, hogy α < β. Az (α, β) := {x ∈ R : α < x < β},

[α, β] := {x ∈ R : α 5 x 5 β}

számhalmazokat ny´ılt, ill. zárt intervallumoknak nevezz¨ uk. Az R [α, β) := {x ∈ R : α 5 x < β},

(α, β] := {x ∈ R : α < x 5 β}

részhalmazait balr´ ol zárt, jobbr´ ol ny´ılt, ill. jobbról zárt, balról ny´ılt intervallumoknak nevezz¨ uk. Az α sz´ am az intervallum bal-, a β szám az intervallum jobb végpontja. A val´ os sz´ amokat a sz´ amegyenes pontjaival azonos´ıtva az intervallumok a szakaszoknak felelnek meg. Az α és β pontok a szakasz végpontjai, az (α + β)/2 szám az intervallum felezéspontj´ anak, m´ as sz´ oval középpontjának felel meg. A β−α számot a szóban forg´ o négy intervallum hosszának vagy mértékének nevezz¨ uk. Az α középpont´ u, 2r hossz´ us´ ag´ u intervallumra k¨ ulön jelölést is bevezet¨ unk: Kr (α) := (α − r, α + r) = {x ∈ R : |x − α| < r}. A Kr (α) intervallumot az α pont r-sugar´ u k¨ ornyezetének is szokás nevezni.


15

Az Archimédeszi axi´ oma geometriai tartalma a következ˝o: ha bármilyen szakaszra a kezd˝opontb´ ol kiindulva egym´ as ut´ an felmér¨ unk egy másik szakaszt, akkor véges sok lépés ut´ an lefedj¨ uk azt. A sz´ oban forgó axióma egyik érdekes következménye a

3.Tétel. Minden intervallum tartalmaz racionális számot. ´s. Nyilv´ Bizony´ıta an elegend˝ o az ´ all´ıt´ ast ny´ılt intervallumokra igazolni. Legyen (α, β) egy ny´ılt intervallum és jel¨ olje γ := β − α az intervallum hosszát. Vizsgáljuk el˝ osz¨ or azt az esetet, amikor α > 0. Alkalmazva az Archimédeszi amokra azt kapjuk, hogy létezik olyan n pozit´ıv egész axiómát az 1 és az γ1 > 0 sz´ szám, amelyre 1 1 < n · 1 = n, azaz γ > . γ n Vezess¨ uk be a természetes sz´ amok al´ abbi részhalmazát: K := {k ∈ N : k ·

1 = β}. n

El˝oször megmutatjuk, hogy a K halmaz nem u ¨res. Ehhez alkalmazzuk még egyszer az Archimédeszi axi´ om´ at a β és az 1/n sz´ amokra. Következésképpen van olyan k pozit´ıv egész, hogy k/n > β. Jelölj¨ uk m-mel a K legkisebb elemét. Ekkor (2)

m−1 m <β5 . n n

Megmutatjuk, hogy (3)

α<

m−1 . n

Ez egybevetve (2)-vel azt jelenti, hogy az r := (m − 1)/n racionális számra nyilván r ∈ (α, β) teljes¨ ul. A (3) egyenl˝otlenséget indirekt bizony´ıt´ assal igazoljuk. Ekkor az indirekt feltétel és (2) alapján m−1 m 5 α, β5 . n n Innen az els˝o egyenl˝ otlenséget beszorozva −1-gyel és a két egyenl˝otlenséget összeadva 1 γ =β−α5 n adódik, ami ellentmond az n defin´ıci´ oj´ anak. Ezzel a tételt az α > 0 esetben bebizony´ıtottuk.

16


Az α 5 0 eset visszavezethet˝ o az el˝ oz˝ ore. Valóban, legyen ` ∈ N olyan, hogy ` > −α,

azaz

α1 := ` + α > 0.

Legyen β1 := ` + β és alkalmazzuk az els˝ o részben igazolt áll´ıtást az (α1 , β1 ) intervallumra. Létezik teh´ at olyan r racion´ alis szám, amelyre α1 = α + ` < r < β1 = β + ` teljes¨ ul. Innen α

17

Cantor axióma. Zárt intervallumok bármely megszámlálható, egymásba skatuly´ azott rendeszerének a k¨ ozös része nem u ¨res. A most megfogalmazott ´ all´ıt´ as egyszer˝ u következménye a szétválasztási axio´mának. Valóban, legyen A := {an : n ∈ N}, B := {bn : n ∈ N} az intervallumok bal, ill. jobb végpontjainak halmaza. Ekkor az intervallumokra tett feltétel alapján bármely m, n ∈ N esetén am < bn , s ezért az A és B halmazokra teljes¨ ulnek a szétválasztási axi´ om´ aban megfogalmazott kikötések. Következésképpen létezik olyan ξ ∈ R, hogy minden n természetes sz´ amra an 5 ξ 5 bn teljes¨ ul. Nyilvánvaló, hogy ez a ξ szám a sz´ oban forg´ o intervallumok közös részének is eleme.

1.3. Számok gy¨ oke A szétválaszt´ asi axi´ oma egyik k¨ ovetkezménye, hogy minden pozit´ıv valós számnak létezik n-edik gy¨ oke, amelynek értelmezéséhez az alábbi áll´ıtás szolgáltat alapot.

4. Tétel. Legyen n = 2 természetes szám és α nem-negat´ıv valós szám. Ekkor egyetlen olyan ξ nem-negat´ıv valós szám létezik, amelyre ξn = α

(4) teljes¨ ul.

´s. El˝ Bizony´ıta osz¨ or a tételben szerepl˝ o ξ szám létezését igazoljuk. Minthogy az α = 0 esetben ξ = 0 megfelel˝ o, azért elegend˝o pozit´ıv α-val foglalkozni. A szétválasztási axi´ oma alkalmaz´ as´ ahoz vezess¨ uk be a következ˝o két számhalmazt: A := {x ∈ R+ : xn < α},

B := {y ∈ R+ : y n = α}.

Minthogy 0 ∈ A, az A halmaz nem u ¨res. Ha α 5 1, akkor 1 ∈ B, ha pedig α > 1, akkor αn > α, k¨ ovetkezésképpen α ∈ B, s ezért B sem u ¨res. Most megmutatjuk, hogy az A minden eleme kisebb vagy egyenl˝o a B bármely eleménél. Indirekt bizony´ıtást alkalmazva tegy¨ uk fel, hogy valamely x ∈ A, y ∈ B elempárra x > y teljes¨ ulne. Ekkor az A és B definici´ oja alapj´ an α 5 y n < xn < α,

azaz

α<α

következne, ami nyilv´ an nem igaz. Ezzel bel´ attuk, hogy a most bevezetett halmazokra teljes¨ ulnek a szétv´ alaszt´ asi axi´ oma feltélei, következésképpen létezik olyan ξ valós szám, amely a két halmazt szétv´ alasztja. Megmutajuk, hogy erre (4) teljes¨ ul.

18

1.3. Számok gyöke

Ezt az áll´ıtást is indirekt u ´ton igazoljuk, megmutatva, hogy a i) ξ n < α,

ii) ξ n > α

egyenl˝otlenségek k¨ oz¨ ul egyik sem ´ allhat fenn. Az i) esetben ui., amint azt rögtön belátjuk, létezne olyan ξ-nél nagyobb ξ1 elem, amelyre ξ1n < α teljes¨ ulne. Ez azt jelentené, hogy ξ1 ∈ A, k¨ ovetkezésképpen ξ-nél nagyobb A-beli elem is lenne, s ez nyilván ellentmond annak, hogy ξ szétv´ alasztja a szóban forgó két halmazt. Ha ii) teljes¨ ulne, akkor létezne olyan ξ2 ∈ B elem, amelyre ξ2 < ξ, s ez ismét ellentmond a ξ szétválasztó tulajdons´ ag´ anak. Tegy¨ uk fel el˝ osz¨ or, hogy i) teljes¨ ul. Ekkor van olyan > 0 szám, hogy ξ n + = α. Válasszuk a δ > 0 sz´ amot u ´gy, hogy δξ n−1 < és

(5)

δ <1 ξ

teljes¨ uljön és legyen h := δ/(2ξn). Ekkor 0 < h < lmazhatjuk a Bernoulli-egyenl˝ otlenség ii)-részét: (1 + h)n = (1 +

1 2n ,

következésképpen alka-

δ δ n ) <1+ . 2ξn ξ

Mindkét oldalt beszorozva ξ n -nel és felhaszn´ alva az (5) feltételt (ξ +

δ n ) < ξ n + δξ n−1 < ξ n + = α 2n

adódik. Ezzel bel´ attuk, hogy a ξ1 := ξ +

δ >ξ 2n

sz´ amra ξ1n < α.

A ii) esetben létezik olyan > 0 sz´ am, hogy α = ξ n − . Alkalmazzuk a δ Bernoulli-egyenl˝ otlenség i) részét a h := − nξ számra, ahol a δ > 0 számot u ´gy választjuk, hogy (6)

δ < 1 és nξ

δξ n−1 <

teljes¨ uljön. Ekkor azt kapjuk, hogy (1 + h)n = (1 −

δ n δ ) >1− , nξ ξ


19

ahonnan ξ n -nel val´ o szorz´ as ut´ an a (6) feltétel figyelembe vételével (ξ −

δ n ) > ξ n − δξ n−1 > ξ n − = α, n

azaz a

δ < ξ sz´ amra ξ2n > α n teljes¨ ul. Ezzel megmutattuk, hogy a (4) feltételnek eleget tev˝o ξ szám valóban létezik. ξ2 := ξ −

Az egyértelm˝ uség bizony´ıt´ as´ ahoz tegy¨ uk fel, hogy az áll´ıtással ellentétben létezik két k¨ ulönböz˝o ξ1 , ξ2 nem-negat´ıv sz´ am, u ´gy, hogy mindkett˝ore (7)

ξ1n = α

ξ2n = α

teljes¨ ul. Tegy¨ uk fel, hogy pl. ξ1 < ξ2 . Ekkor ξ1n < ξ2n következik, ami nyilv´ an ellentmond (7)-nek. Ezzel a tételt bebizony´ıtottuk. A fenti tétel alapj´ an értelmezhetj¨ uk a gy¨ ok fogalmát.

Defin´ıci´ o. Legyen n > 1 természetes szám és α ∈ R+ . Azt a ξ ∈ R+ számot, amelyre ξ n = α az α sz´ am n-edik gy¨ ok´ enek nevezz¨ uk, és √ n olummal jel¨ olj¨ uk. az α szimb´ A gyök értelmezéséb˝ ol egyszer˝ uen k¨ ovetkeznek a gyökvonás alapazonosságai: √ √ n n n α = α, αn = α (α ∈ R+ ). Az els˝o ekvivalens ok defin´ıci´ oj´ aval. A második abból következik, hogy √az n-edik gy¨ α eleget tesz az n αn defin´ıci´ oj´ aban szerepl˝ o követelményeknek. √ Az n számot az n α gy¨ okkitev˝ ojének nevezz¨ uk. Ha n = 2, azaz u ń. négyzetgyök √ esetén a gyökkitev˝ ot elhagyva a α jel¨ olést használjuk. Megjegyezz¨ uk, hogy ha n páros szám, akkor b´ armely α pozit´ ıv val´ o s sz´ a mhoz k´ e t olyan val´ o s sz´ am is létezik, √ √ amelynek n-edik hatv´ anya α, az n α és − n α. Minthogy minden valós szám páros kitev˝oj˝ u hatványa nem-negat´ıv, azért a negat´ıv számoknak — az el˝obbi definiciónak megfelel˝o módon — nem értelmezhet˝ o p´ aros kitev˝oj˝ u gyöke a valós számok körében. Ez sz¨ ukségessé teszi a val´ os sz´ amok kib˝ ov´ıtését. A gyök értelmezése alapj´ an egyszer˝ uen igazolhatók a következ˝o azonosságok: bármely α, β ∈ R+ val´ os számra és minden 1-nél nagyobb m, n ∈ N természetes számra √ r n p p √ α α n n n n (8) αβ = α β, = √ n β β

20

1.4. Számhalmazok alsó és fels˝o határa

√ m √ n α = n αm ,

(9)

q

m

√ n

α=

√

nm

α,

ahol a hányadosra vonatkoz´ o azonoss´ agban feltessz¨ uk, hogy β 6= 0. Példaként bebizony´ıtjuk a szorzatra vonatkozó azonosságot, megjegyezve, hogy a többi hasonlóan igazolhat´ o. Az el˝ oz˝ o megjegyzés szerint elegend˝o az n-edik hatványok egyenl˝ oségét igazolni. A bal oldal n-edik hatványa a gyök értelmezése szerint p n n αβ = αβ. A jobb oldal n-edik hatv´ anya pedig a szorzat hatványára vonatkozó azonosság és a gyökvonás értelmezése szerint a k¨ ovetkez˝ ovel egyenl˝o: √ p n n √ n p n n α n β = nα β = αβ. Ezzel a szorzat gy¨ okére vonatkoz´ o azonoss´ agot bebizony´ıtottuk.

1.4. Számhalmazok als´ o és fels˝ o határa A szétválaszt´ asi axi´ oma szoros kapcsolatban van számhalmazok u ń. fels˝o és alsó határával. Ezek értelmezéséhez el˝ osz¨ or vezess¨ uk be az alábbi fogalmakat.

Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy a nem u¨res H ⊂ R számhalmaz fel¨ ulr˝ ol korl´ atos, ha (10)

∃ K ∈ R ∀ x ∈ H : x 5 K.

Ha a fenti definici´ oban a 5 jelet a = jellel cserélj¨ uk fel, eljutunk az alulról korlátos számhalmaz értelmezéséhez.

Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy a nem u¨res H ⊂ R halmaz alulról korl´ atos, ha (11)

∃ k ∈ R ∀ x ∈ H : x = k.

Az (10) feltételnek eleget tev˝ o K sz´ amokat a H halmaz fels˝o, a (11) feltételt kielég´ıt˝o k számokat H als´ o korlátjainak nevezz¨ uk. Nyilvánvaló, hogy minden fels˝o korlátnál nagyobb sz´ am is fels˝ o korl´ at, és minden alsó korlátnál kisebb szám is alsó korlát.

Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy valamely számhalmaz korlátos, ha fel¨ ulr˝ol is és alulr´ ol is korl´ atos.


21

Egyszer˝ uen bel´ athat´ o, hogy valamely H számhalmaz akkor és csak akkor korlátos, ha ∃ K ∈ R ∀ x ∈ H : |x| 5 K. Végtelen számhalmaznak ´ altal´ aban nincs legkisebb (legnagyobb) eleme. A szétválasztási axióma k¨ ovetkezményeként ad´ odik viszont az alábbi

5. Tétel. Felülr˝ol korlátos számhalmaz fels˝o korlátjai között van legkisebb, alulr´ ol korl´ atos sz´ amhalmaz alsó korlátjai között van legnagyobb. ´s. Legyen A egy nem u Bizony´ıta ¨res halmaz és jelölj¨ uk B-vel az A fels˝o korlátjainak a halmaz´ at. Ekkor B sem u ¨res és a fels˝o korlát értelmezése alapján a B halmaz minden eleme nagyobb vagy egyenl˝ o az A halmaz bármely eleménél. Az A és B halmazp´ arra teljes¨ ulnek a szétv´ alszt´ asi axióma feltételei, következésképpen létezik a szóban forg´ o halmazokat elv´ alaszt´ o szám, azaz olyan ξ ∈ R, amelyre i) ∀ x ∈ A : x 5 ξ,

ii) ∀ K ∈ B : ξ 5 K

telejes¨ ul. Az i) ´ all´ıt´ as azt jelenti, hogy ξ az A halmaznak egy fels˝o korlátja és ii) szerint az A-nak nincs ξ-nél kisebb fels˝ o korl´ atja. Ezzel beláttuk, hogy ξ a legkisebb fels˝o korlát. A bizony´ıtásban a fels˝ o korl´ atok halmaz´ at az alsó korlátok halmazával cserélve fel, hasonlóan ad´ odik az ´ all´ıt´ as als´ o korl´ atokra vonatkozó része. Egyszer˝ uen bel´ athat´ o, hogy a fenti tételben szerepl˝o legkisebb és legnagyobb elem egyértelm˝ u (l´ asd a F¨ uggeléket). Ez a tétel lehet˝ ové teszi az al´ abbi fogalom bevezetését.

Defin´ıci´ o. Felülr˝ol korlátos számhalmaz legkisebb fels˝o korlátját a sz´ amhalmaz fels˝ o hat´ ar´ anak, alulról korlátos számhalmaz legnagyobb als´ o korl´ atj´ at a sz´ amhalmaz als´ o hat´ ar´ anak nevezz¨ uk. A H ⊂ R sz´ amhalmaz fels˝ o hat´ ar´ at (m´ as szóval: szuprémumát vagy lényeges fels˝o korlátját) a sup H, als´ o hat´ ar´ at (m´ as szóval: infimumát vagy lényeges alsó korlátját) az inf H szimb´ olummal jel¨ olj¨ uk. Azt, hogy az α szám a H halmaz fels˝o határa, gyakran a k¨ ovetkez˝ o form´ aban fogjuk felhasználni: i) α a H halmaz fels˝ o korl´ atja, vagyis ∀ x ∈ H : x 5 α, ii) bármely α-n´ al kisebb sz´ am H-nak m´ ar nem fels˝o korlátja, vagyis ∀ a < α ∃ x ∈ H : x > a.

22

1.4. Számhalmazok alsó és fels˝o határa

Hasonlóan, az inf H = β ´ all´ıt´ as az al´ abbiakat jelenti: i) β a halmaz als´ o korl´ atja, vagyis ∀ x ∈ H : x = β, ii) bármely β-n´ al nagyobb sz´ am H-nak m´ ar nem alsó korlátja, vagyis ∀ b > β ∃ x ∈ H : x < b.

Megjegyzések 1. A fels˝ o ´ es az als´ o hat´ ar l´ etez´ es´ ere vonatkoz´ o 1. T´ etel a sz´ etv´ alaszt´ asi axi´ oma k¨ ovetkezm´ enyek´ ent ad´ odott. Megmutathat´ o (l´ asd a 17. feladatot), hogy a fels˝ o hat´ ar l´ etez´ es´ ere vonatkoz´ o´ all´ıt´ as val´ oj´ aban ekvivalens a sz´ etv´ alaszt´ asi axi´ om´ aval. 2. Nyilv´ anval´ o, hogy egy sz´ amhalmaz akkor ´ es csak akkor korl´ atos, ha l´ etezik olyan intervallum, amely a halmazt tartalmazza. 3. Ha valamely H halmaznak van legnagyobb eleme, akkor ez egyben a H fels˝ o hat´ ara is, azaz max H = sup H. Hasonl´ o´ all´ıt´ as igaz a legkisebb elemre: min H = inf H, felt´ eve, hogy H-nak van legkisebb eleme. Ezek alapj´ an a szupr´ emum a maximum, az infimum pedig a minimum fogalm´ anak kiterjeszt´ esek´ ent (´ altal´ anos´ıt´ asak´ ent) is felfoghat´ o. Ha H v´ eges val´ os sz´ amhalmaz, akkor van legnagyobb ´ es legkisebb eleme, v´ egtelen halmaznak azonban altal´ ´ aban nincs se maximuma, se minimuma. Ilyenkor ezek szerep´ et a fels˝ o´ es az als´ o hat´ ar veszi ´ at. 4. C´ elszer˝ u kiterjeszteni az als´ o´ es fels˝ o hat´ ar fogalm´ at nem korl´ atos halmazokra. Ehhez kib˝ ov´ıtj¨ uk a val´ os sz´ amok halmaz´ at k´ et elemmel, amelyeket plusz, ill. m´ınusz v´ egtelennek nevez¨ unk ´ es a +∞, −∞ szimb´ olumokkal jel¨ ol¨ unk. Szok´ as ezeket ide´ alis elemeknek is nevezni, ´ es ugyan´ ugy, mint a val´ os sz´ amok eset´ eben a + el˝ ojelet gyakran elhagyjuk. A val´ os sz´ amok ezekkel b˝ ov´ıtett halmaz´ ara az R := R ∪ {+∞, −∞} jel¨ ol´ est haszn´ aljuk. Ha valamely halmaz fel¨ ulr˝ ol nem korl´ atos, akkor azt fogjuk mondani, hogy fels˝ o hat´ ara +∞, ha pedig alulr´ ol nem korl´ atos, akkor definici´ o szerint als´ o hat´ ara legyen −∞. 5. A < rel´ aci´ ot terjessz¨ uk ki a val´ os sz´ amok ide´ alis elemekkel b˝ ov´ıtett R halmaz´ ara az al´ abbiak szerint. Legyen ∀x ∈ R : −∞ < x < +∞. A most bevezetett sz´ ohaszn´ alattal ´ elve azt mondhatjuk, hogy egy halmaz pontosan akkor fel¨ ulr˝ ol korl´ atos, ha sup H < +∞, ´ es pontosan akkor alulr´ ol korl´ atos, ha inf H > −∞.


23

A korábban bevezetett u ń. véges intervallumok mellett használni fogjuk az alábbi u ń. végtelen intervallumokat is: (α, +∞) := {x ∈ R : x > α},

[α, +∞) := {x ∈ R : x = α},

(−∞, β) := {x ∈ R : x < β},

(−∞, β] := {x ∈ R : x 5 β}.

Ezekkel összhangban a val´ os sz´ amok és az ide´ alis elemekkel kib˝ov´ıtett valós számok halmazát a (−∞, ∞) := R,

[−∞, ∞] := R

végtelen intervallumokkal is jel¨ olj¨ uk.

1.5. Az Rn tér Az alábbiakban bevezetj¨ uk a vektor fogalmának egy általános´ıtását. Ehhez nem geometriai és fizikai meggondol´ asok, hanem algebrai defin´ıciókon kereszt¨ ul jutunk el. Legyen n egy r¨ ogz´ıtett pozit´ıv egész sz´ am és jelölj¨ uk Rn -nel az R-nek önmagával vett n-szeres direkt szorzat´ at (l´ asd a F¨ uggeléket). Az Rn elemei tehát rendezett szám n-esek, amelyeket az x = (x1 , x2 , · · · , xn ),

y = (y1 , y2 , · · · , yn )

szimbólumokkal jel¨ ol¨ unk. Utalva ezek geometria jelentésére, az Rn elemeit vektoroknak, az x1 , x2 , · · · , xn sz´ amokat az x vektor koordinátáinak szokás nevezni. Az x, y ∈ Rn vektorokat akkor tekintj¨ uk egyenl˝oknek, ha x1 = y1 ,

x2 = y2 ,

··· ,

xn = yn .

Az x, y ∈ Rn vektorok ¨ osszegét , tov´ abb´ a az x vektor és a λ valós szám szorzatát az x + y := (x1 + y1 , x2 + y2 , · · · , xn + yn ) λ · x := (λx1 , λx2 , · · · , λxn ) utas´ıtással értelmezz¨ uk. (A szorz´ as jelét el szokás hagyni.) A (−1) · x helyet −x-et is ´ırunk. Az R algebrai tulajdons´ againak az ¨ osszefoglalásához felhasználjuk a csoport fogalmát (lásd a F¨ uggeléket). Egyszer˝ uen ellen˝orizhet˝o, hogy

1.5. Az Rn tér

24

I. Rn a most értelmezett ¨ osszead´ asra nézve csoportot alkot, amelynek a nulleleme a Θ := (0, 0, · · · , 0) ∈ Rn vektor, s az x elem inverze a −x vektor. II. A szorz´ ast és az ¨ osszead´ ast az al´ abbi m˝ uveleti szabályok kapcsolják össze: b´ armely x, y ∈ Rn vektorra és minden λ, µ ∈ R számra (más szóval: skal´ arra) i)

λ(µx) = (λµ)x

(skalár asszociativitás)

ii)

(λ + µ)x = λx + µx

(skalár disztributivitás)

iii)

λ(x + y) = λx + λy

(vektor disztributivitás)

iv)

1 · x = x.

A geometriában és a fizik´ aban is fontos szerepet játszik a skaláris szorzat fogalma. Az x, y ∈ Rn vektorok skaláris szorzatán az hx, yi := x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn valós számot értj¨ uk. Az x vektornak ¨ onmag´ aval vett skaláris szorzatának négyzetgyökét, azaz az q p |x| := hx, xi = x21 + x22 + · · · + x2n számot az x vektor abszol´ ut értékének vagy euklideszi normájának nevezz¨ uk. Az n = 2 esetben az Rn elemeit azonos´ıthatjuk a s´ık pontjaival vagy vektoraival az x = (x1 , x2 ) ∈ R2 elemnek az x1 (els˝ o), x2 (második) koordinátáj´ u pontot, ill. vektort feleltetve meg. Ehhez hasonl´ oan a tér pontjait, ill. vektorait az R3 elemeivel azonos´ıthatjuk. A skal´ aris szorzat fenti defin´ıciója összhangban van a geometriai és fizikai értelmezéssel és az x ∈ Rn (n = 2, 3) elem abszol´ ut értéke egyen˝o az x-et reprezent´ al´ o vektor hosszával, vagy az x pontnak a koordináta rendszer kezd˝opontját´ ol vett távolságával. A defin´ıció alapj´ an k¨ onnyen ellen˝ orizhet˝ ok a skaláris szorzat következ˝o tulajdonságai: bármely x, y, z ∈ Rn vektorra és λ, µ ∈ R számra i)

hx, yi = hy, xi

(kommutativitás)

ii) hλx + µy, zi = λhx, zi + µhy, zi iii)

hx, xi = 0 és

(linearitás)

hx, xi = 0 ⇐⇒

x = Θ.


25

1.6. Nevezetes egyenl˝ otlenségek Ebben a pontban bebizony´ıtunk néh´ any nevezetes egyenl˝otlenséget, amelyeket kés˝obb még felhaszn´ alunk.

Számtani és mértani közép. Legyen n > 1 egy természetes szám és tegy¨ uk fel, hogy x1 , x2 , . . . , xn nem-negat´ıv számok. Ekkor √ n

(12)

x1 x2 · · · xn 5

x1 + x2 + · · · + xn . n

Az egyenl˝ oség akkor és csak akkor ´ all fenn, ha x1 = x2 = · · · = xn . ´s. Az egyenl˝ Bizony´ıta otlenséget a teljes indukció egy más esetekben is jól használható változatával igazoljuk. i) Legyen el˝osz¨ or n = 2. Ekkor a bizony´ıtandó áll´ıtás a 05

x21 + 2x1 x2 + x22 (x1 − x2 )2 − x1 x2 = 4 4

nyilvánvalóan fenn´ all´ o egyenl˝ otlenséggel ekvivalens. Innen az egyenl˝oségre vonatkozó áll´ıtás is k¨ ovetkezik. ii) Második lépésben most az n = 2m (m ∈ N∗ ) alak´ u számokra igazoljuk az áll´ıtást teljes indukci´ oval. Mivel m = 1-re az egyenl˝ otlenséget m´ ar bebizony´ıtottuk, teljes indukciót használva tegy¨ uk fel, hogy 2m tagra igaz az ´ all´ıt´ as. Vezess¨ uk be az X1 :=

x1 + x2 + · · · + x2m , 2m

X2 :=

x2m +1 + x2m +2 + · · · + x2m+1 2m

jelöléseket. Figyelembe véve, hogy az egyenl˝ otlenség két tagra és 2m tagra igaz,

2·2m 2m+1 m m X1 + X2 x1 + x2 + · · · + x2m+1 = X12 X22 = = m+1 2 2 m m = x1 · · · x2 · x2 +1 · · · x2m+1

adódik, azaz 2m+1 tagra is igaz. Ezzel az egyenl˝otlenséget minden 2m (m ∈ N∗ ) esetén igazoltuk. iii) Az általános eset igazol´ as´ ahoz v´ alasszunk olyan m ∈ N számot, amelyre 2m > n teljes¨ ul és legyen ` := 2m − n. Az n darab y1 := x1 , · · · , yn := xn

26

1.6. Nevezetes egyenl˝otlenségek

számot az yn+1 := yn+2 := · · · := y2m :=

x1 + x2 + · · · + xn =: z n

utas´ıtással egész´ıts¨ uk ki 2m tagra, és ezekre alkalmazzuk a már bebizony´ıtott egyenl˝otlenséget. Ekkor azt kapjuk, hogy 2 m 2 m m y 1 + y2 + · · · + y2 m nz + `z = = z 2 = x1 x2 · · · xn · z ` , m m 2 2 ahonnan zn =

x1 + x2 + · · · + xn n

n = x1 x2 · · · xn

következik. Ezzel az egyenl˝ otlenséget minden 1-nél nagyobb természetes számra bebizony´ıtottuk. Az egyenl˝ oségre vonatkoz´ o´ all´ıtás is adódik a közölt bizony´ıtásból. A (12) bal oldal´ an ´ all´ o sz´ amot a nem-negat´ıv x1 , x2 , · · · , xn számok mértani közepének, a jobb oldal´ an ´ all´ o sz´ amot ezek számtani közepének nevezz¨ uk. P Q Az n-tag´ u összegeket és az n-tényez˝ os szorzatokat a (szumma) és a (produktum) jelek alkalmaz´ as´ aval szok´ as még a n X

xk := x1 + x2 + · · · + xn ,

k=1

n Y

xk := x1 x2 · · · xn

k=1

alakban fel´ırni. Ezzel a jel¨ oléssel (12) a k¨ ovetkez˝o alak´ u: v u n n uY 1X n t xk 5 xk . n k=1

k=1

Cauchy-Bunyakovszkij-egyenl˝otlenség. Tegyük fel, hogy n ∈ N∗ és legyenek x1 , x2 , · · · , xn és y1 , y2 , · · · , yn valós számok. Ekkor (13) 5

q

|x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn | 5 q x21 + x22 + · · · + x2n y12 + y22 + · · · + yn2 .

Az egyenl˝ oség pontosan akkor ´ all fenn, ha létezik olyan λ ∈ R szám, hogy x1 = λy1 , · · · , xn = λyn vagy y1 = λx1 , · · · , yn = λxn . Felhasználva az x = (x1 , · · · , xn ), y = (y1 , · · · , yn ) ∈ Rn vektorok skaláris szorzatát és abszol´ ut értékét (13) a k¨ ovetkez˝oképpen ´ırható: |hx, yi| 5 |x| · |y|.


27

´s. (13) helyett a bal és a jobb oldal négyzeteire igazoljuk az egyenl˝otBizony´ıta lenséget. Legyen el˝ osz¨ or n = 2. Ekkor a bizony´ıtandó egyenl˝otlenség ekvivalens a következ˝ovel: (x21 + x22 )(y12 + y22 ) − |x1 y1 + x2 y2 |2 = = x21 y22 + x22 y12 − 2x1 y1 x2 y2 = (x1 y2 − x2 y1 )2 = 0, amely nyilvánval´ oan fenn´ all. Az egyenl˝ oség pontosan akkor teljes¨ ul, ha x1 y2 = x2 y1 , amib˝ol egyszer˝ u diszkusszi´ oval ellen˝ orizhet˝ o az egyenl˝oséggel kapcsolatos áll´ıtás. Az általános eset hasonl´ oan igazolhat´ o, csak a fenti két tagra vonatkozó azonosságot az alábbival kell felcserélni: ! n ! !2 n n n X k X X X X 2 2 xk yk − xk yk = (xk y` − x` yk )2 . k=1

k=1

k=1

k=1 `=1

Ez az azonosság vagy n-re vonatkoz´ o teljes indukcióval igazolható, vagy a bal oldalon elvégezve a szorz´ ast és a négyzetre emelést, összevonás után közvetlen¨ ul adódik. Innen a sz´ oban forg´ o egyenl˝ otlenség és az egyenl˝oség esete is következik.

Minkowski-egyenl˝otlenség. Tegyük fel, hogy n ∈ N∗ és legyenek x1 , x2 , · · · , xn és y1 , y2 , · · · , yn val´ os számok. Ekkor p

(14)

(x1 + y1 )2 + (x2 + y2 )2 + · · · + (xn + yn )2 5 q q 5 x21 + x22 + · · · + x2n + y12 + y22 + · · · + yn2 ,

vagy felhaszn´ alva az x = (x1 , · · · , xn ), y = (y1 , · · · , yn ) ∈ Rn vektorok abszol´ ut értékét (15)

|x + y| 5 |x| + |y|.

Az egyenl˝ oség pontosan akkor ´ all fenn, ha létezik olyan λ ∈ R+ szám, hogy λx = y vagy λy = x. ´s. Az egyenl˝ Bizony´ıta otlenséget a m´ asodik formájában fogjuk igazolni, felhasználva az abszol´ ut érték defin´ıci´ oj´ at, a skal´ aris szorzat linearitását és a CauchyBunyakovszkij-egyenl˝ otlenséget. Ha a bal oldal nulla, akkor az egyenl˝otlenség nyilván fennáll. Tegy¨ uk fel teh´ at, hogy a bal oldal pozit´ıv. Ekkor a mondottak felhasználásával |x + y|2 = hx + y, x + yi = hx, x + yi + hy, x + yi 5 5 |hx, x + yi| + |hy, x + yi| 5 5 |x| · |x + y| + |y| · |x + y| = = (|x| + |y|)|x + y|

28

1.7. Komplex számok.

adódik. Innen az |x+y| > 0 sz´ ammal val´ o osztás után a bizony´ıtandó egyenl˝otlenség adódik. Az |x + y| > 0 esetben egyenl˝ oség nyilv´ an akkor és csak akkor áll fenn, ha a fenti bizony´ıtásban szerepl˝ o egyenl˝ otlenségekben mindenhol egyenl˝oség van. Ez pedig azzal egyenérték˝ u, hogy egyrészt hx, x + yi és hy, x + yi azonos el˝ojel˝ u, másrészt vannak olyan γ, µ ∈ R sz´ amok, hogy γx = x + y és µy = x + y. Innen következik, hogy γ és µ azonos el˝ ojel˝ u, tov´ abb´ a γx = µy, ahonnan pl. µ 6= 0 esetén y = λx (λ = γ/µ > 0) ad´ odik.

Vektorok abszol´ ut értékének tulajdonságai. Bármely x = (x1 , x2 , · · · , xn ),

y = (y1 , y2 , · · · , yn ) ∈ Rn

vektorra és λ ∈ R sz´ amra

(16)

i)

|x| = 0 és

ii)

|λ x| = |λ| |x|

|x| = 0

⇐⇒

x=Θ

iii) |x + y| 5 |x| + |y| iv) |x − y| = | |x| − |y| |.

´s. Az i) és ii) k¨ Bizony´ıta ozvetlen¨ ul ad´ odik az abszol´ ut érték defin´ıciójából és a szorzat gyökére vonatkoz´ o (8) azonoss´ agból. A iii) azonos a Minkowski-féle egyenl˝otlenséggel, iv) pedig sz´ orol sz´ ora ugyan´ ugy igazolható, mint a számok abszol´ ut értékére vonatkoz´ o hasonl´ o egyenl˝ otlenség.

Becslések vektor abszol´ ut értékére. Bármely x = (x1 , x2 , · · · , xn ) Rn -beli vektorra √ i) |x| 5 |x1 | + |x2 | + · · · + |xn | 5 n |x| 1 ii) √ |x| 5 max {|x1 |, |x2 |, · · · , |xn |} 5 |x|. n

´s. Az i) els˝ Bizony´ıta o fele k¨ onnyen ellen˝ orizhet˝o. Valóban, négyzetre emelés után a bal oldalon a koordin´ at´ ak négyzeteinek az összege, a jobb oldalon ezen k´ıv¨ ul a koordin´ at´ ak abszol´ ut értékei szorzatainak kétszeresei is fellépnek. Az i) második része a Cauchy-Bunyakovszkij-féle egyenl˝otlenség alapján adódik, ha azt az |x1 |, |x2 |, · · · , |xn | és az 1, 1, · · · , 1 sz´ am n-esekre alkalmazzuk. A ii) az |x| defin´ıci´ oj´ ab´ ol k¨ ovetkezik, ha abban minden koordináta helyére a maximális abszol´ ut érték˝ ut ´ırjuk, ill. csak a maximális abszol´ ut érték˝ ut hagyjuk meg.


29

1.7. Komplex számok Az 1.3. pontban a gy¨ ok¨ ok értelmezése során nem-negat´ıv számokra szor´ıtkoztunk. Ennek az volt az oka, hogy a negat´ıv számoknak nincs páros kitev˝oj˝ u gyöke a valós sz´ amok k¨ orében, hiszen b´ armely valós szám páros kitev˝oj˝ u hatványa nem-negat´ıv. Speci´ alisan, nincs olyan val´ os szám, amelynek a négyzete −1 lenne. Célszer˝ u a val´ os sz´ amok halmaz´ at olym´ odon kib˝ov´ıteni, hogy a kib˝ov´ıtett halmaz is testet alkosson, és benne a gy¨ okvon´ as m´ ar maradéktalanul elvégezhet˝o legyen. Az u ´j számokat az R2 elemeivel vagy ami ugyanazt jelenti, a s´ık pontjaival fogjuk azonos´ıtani. Els˝o lépésben az R2 halmazon bevezet¨ unk egy összeadást és egy szorzást, és megmutatjuk, hogy R2 ezekre nézve testet alkot.

Defin´ıci´ o. Tetsz˝oleges x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ R2 elemekre legyen (17)

x + y : = (x1 + y1 , x2 + y2 ), x · y : = (x1 y1 − x2 y2 , x1 y2 + x2 y1 ).

Egyszer˝ u számol´ assal ellen˝ orizhet˝ o a k¨ ovetkez˝o áll´ıtás.

6. Tétel. R2 a (17) alatt értelmezett m˝uveletekkel testet alkot, amelynek nulleleme Θ := (0, 0), egységeleme e := (1, 0). ´s. Minthogy a + m˝ Bizony´ıta uvelet ugyanaz, mint az Rn -ben már korábban bevezetett összead´ as, azért – amint azt m´ ar láttuk – R2 erre nézve kommutat´ıv csoportot alkot, amelynek nulleleme a Θ. Most megmutatjuk, hogy R2 \ {Θ} a fent bevezetett szorzásra nézve is csoportot alkot. A szorzás kommutativit´ asa a defin´ıcióból leolvasható. Az aszociativitás igazolásához tekints¨ uk az x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ), z = (z1 , z2 ) ∈ R2 elemeket. A szorzás értelmezése alapj´ an, felhaszn´ alva a valós számokra vonatkozó m˝ uveleti szabályokat, egyrészt (x · y) · z = (x1 y1 − x2 y2 , x1 y2 + x2 y1 ) · z = = (x1 y1 z1 − x2 y2 z1 − x1 y2 z2 − x2 y1 z2 , x1 y1 z2 − x2 y2 z2 + x1 y2 z1 + x2 y1 z1 ), másrészt x · (y · z) = x · (y1 z1 − y2 z2 , y1 z2 + y2 z1 ) = = (x1 y1 z1 − x1 y2 z2 − x2 y1 z2 − x2 y2 z1 , x1 y1 z2 + x1 y2 z1 + x2 y1 z1 − x2 y2 z2 ) adódik. Innen az asszocitivit´ as m´ ar nyilv´ anvaló.

30

1.7. Komplex számok.

Egyszer˝ uen bel´ athat´ o, hogy e := (1, 0) egységelem a fenti szorzásra nézve. Valóban, bármely x = (x1 , x2 ) elemre x · e = (x1 1 − x2 0, x1 0 + x2 1) = x. Vég¨ ul megmutatjuk, hogy b´ armely x = (x1 , x2 ) 6= Θ elemnek az x−1 :=

−x2 x1 , x21 + x22 x21 + x22

elem a multiplikat´ıv inverze. Val´ oban x · x−1 =

x1 x1 + x2 x2 x1 x2 − x2 x1 , x21 + x22 x21 + x22

= (1, 0) = e.

Ezzel beláttuk, hogy R2 a fent bevezetett m˝ uveletekkel testet alkot. Az R3x→x b := (x, 0) ∈ R2 leképezés nyilvánval´ oan k¨ olcs¨ on¨ osen egyértelm˝ u az R és az b := {(x, 0) : x ∈ R} ⊂ R2 R b elempárra halmaz között. B´ armely x = (x1 , 0), y = (y1 , 0) ∈ R x b + yb = (x1 + y1 , 0) = x[ + y,

x b · yb = (x1 x2 , 0) = xd ·y

teljes¨ ul. Ez más sz´ oval azt jelenti, hogy a szóban forgó leképezés R-beli összeget b b R-beli összegbe, R-beli szorzatot R-beli szorzatba visz át, s ezért a két halmaz algebrai szempontb´ ol azonosnak tekinthet˝ o, más szóval: egymással izomorfak (lásd a F¨ uggeléket). Ebben a leképezésben a 0-nak a Θ, az 1-nek az e és a −1-nek a −e := (−1, 0) felel meg. b részhalmazával, a most értelmezett test a valós Az R-et azonos´ıtva az R2 test R számok b˝ov´ıtésének tekinthet˝ o. Egyszer˝ uen megmutatható, hogy a b˝ovebb testben a −1 számnak megfelel˝ o −e elemnek van négyzetgyöke, nevezetesen az ı := (0, 1) elem. Valóban, a szorz´ as defin´ıci´ oja alapj´ an ı · ı = (0 − 1, 0 + 0) = −e. Kés˝obb megmutatjuk, hogy a gy¨ okvon´ as nem csak a valós számoknak megfelel˝o számok körében végezhet˝ o el, hanem a kib˝ ov´ıtett számtest bármely elemének minden n ∈ N, n > 1 esetén létezik n-edik gy¨ oke.


31

Kiindulva a z =: (x1 , y1 ) = (x1 , 0) + (y1 , 0) · (0, 1) = x b + yb ı azonosságból, az eml´ıtett megfeleltetésben egymáshoz rendelt elemek között jelölésben sem tesz¨ unk k¨ ul¨ onbséget. Ekkor az R2 elemeit azonos´ıthatjuk a C := {z = x + y ı : x, y ∈ R} halmaz elemeivel, ahol ı2 = −1, és a megfeleltetés az R2 3 (x, y) → z := x + y ı ∈ C leképezéssel adhat´ o meg. Ezzel ¨ osszhangban az öszeadás és a szorzás a C-ben a következ˝o: tetsz˝ oleges z1 := x1 + y1 ı, z2 = x2 + y2 ı ∈ C elemre z1 + z2 = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 ) ı, z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + (x1 y2 + x2 y1 ) ı. A z ∈ C, z 6= 0 sz´ am multiplikat´ıv inverzére a valós számok körében is szokásos jelöléseket és elnevezéseket haszn´ alva z −1 =

x y 1 = 2 − 2 ı z x + y2 x + y2

adódik, és ezt az elemet a z reciprokának is szokás nevezni. A szorzás jelét — a valós esethez hasonl´ oan — elhagyjuk, ha az nem okoz félreértést. Az egymással izomorf két test k¨ oz¨ ul ´ altal´ aban a másodikat szokás használni. A C elemeit komplex számoknak, mag´ at a C-t a komplex számok testének nevezz¨ uk. Az x, y ∈ R számokat a z = x + yı komplex szám valós, ill. képzetes részének nevezz¨ uk, és az x =:
p

x2 + y 2 =

√

zz

nem-negat´ıv val´ os sz´ amot a z abszol´ ut értékének nevezz¨ uk. A C elemeit, az R2 elemeihez hasonl´ oan, szok´ as a s´ık pontjaival, ill. vektoraival azonos´ıtani, a valós számok halmazának megfelel˝ o egyenest val´ os tengelynek, az {yı : y ∈ R} halmaznak megfelel˝o egyenest képzetes vagy imaginárius tengelynek, magát a s´ıkot komplex száms´ıknak nevezni. A z sz´ am abszol´ ut értéke a neki megfelel˝o vektor hosszával

32

1.8.Feladatok

egyenl˝o, a z komplex konjug´ altja pedig a z-t reprezentáló vektor valós tengelyre vonatkozó t¨ ukörképének felel meg. A komplex konjug´ al´ as m˝ uveletének al´ abbi tulajdonságai egyszer˝ uen adódnak a defin´ıcióból: bármely z, z1 , z2 ∈ C komplex számra z1 + z2 = z¯1 + z¯2 z1 z2 = z¯1 z¯2 z = z. A komplex sz´ amok abszol´ ut értéke a val´ osakéhoz hasonló tulajdonságokkal rendelkezik: bármely z, z1 , z2 ∈ C komplex sz´ amra |z| = 0 és

i)

|z| = 0 ⇐⇒ z = 0

ii)

|z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |

iii)

|z1 + z2 | 5 |z1 | + |z2 |

iv)

|z1 − z2 | = ||z1 | − |z2 ||.

Az i), iii) és iv) egyenl˝ otlenségeket m´ ar korábban Rn -beli vektorokra igazoltuk, ii) pedig – felhaszn´ alva a komplex konjug´ alt tulajdonságait és az abszol´ ut értékkel való kapcsolatát, valamint a gy¨ okvon´ as szorzatra vonatkozó azonosságát– a következ˝oképpen láthat´ o be: |z1 z2 | =

√

z1 z2 z1 z 2 =

√

z1 z¯1

√

z2 z¯2 = |z1 | |z2 |.

1.8. Feladatok 1. A valós számok axi´ om´ ait felhaszn´ alva igazoljuk az alábbi áll´ıtásokat. a) Egyetlen olyan 0 ∈ R val´ os sz´ am létezik, amelyre minden a ∈ R esetén a+0 = a teljes¨ ul. b) Egyetlen olyan 1 ∈ R sz´ am létezik, amelyre minden a ∈ R esetén a · 1 = a teljes¨ ul. c) Bármely a, b ∈ R esetén egyetlen olyan x ∈ R létezik, amelyre a + x = b, és x = b − a. d) Bármely a, b ∈ R, a 6= 0 esetén egyetlen olyan x ∈ R létezik, amelyre a · x = b, és x = b/a. e) Minden a ∈ R val´ os sz´ amra a · 0 = 0,

−(−a) = a.


33

f) Ha a, b ∈ R és a · b = 0, akkor az a és b számok köz¨ ul legalább az egyik 0. g) Bármely a, b ∈ R val´ os sz´ amokra (−a) · b = −(a · b), h) Ha a ∈ R, a 6= 0, akkor

(−a) · (−b) = a · b.

(−a)−1 = −(a−1 ).

i) Ha a, b, c, d ∈ R és b 6= 0, d 6= 0, akkor α) β) γ) δ)

a c = ⇔ a·d=b·c b d c ad + bc a + = b d bd c a·c a · = b d b·d a c −1 a·d · = , feltéve, hogy c 6= 0. b d b·c

2. A test és a rendezés axi´ om´ ait felhaszn´ alva igazoljuk az alábbi áll´ıtásokat. a) b) c) d) e) f) g)

Ha a 5 b és c 5 d, akkor a + c 5 b + d. Ha 0 5 a 5 b és 0 5 c 5 d, akkor a · c 5 b · d. Ha a 5 b, akkor −a ≥ −b. Bármely a ∈ R val´ os sz´ amra a2 ≥ 0. 1 Ha a > 0, akkor a > 0. Ha a < b és a · b > 0, akkor a1 > 1b . Ha a 5 b, akkor a 5 a+b 2 5 b.

3. A természetes sz´ amok defin´ıci´ oj´ at, ill. teljes indukciót használva igazoljuk az alábbi áll´ıtásokat. a) b) c) d)

Nincs olyan m természetes sz´ am, amelyre 0 < m < 1. Legyen n ∈ N. Nincs olyan m természetes szám, amelyre n < m < n + 1. Ha m, n ∈ N, akkor m + n, m · n ∈ N. Ha m, n ∈ N és m ≥ n, akkor m − n ∈ N.

4. Az el˝oz˝o feladatokra t´ amaszkodva igazoljuk az alábbi áll´ıtásokat. a) A Z és a Q halmaz az ¨ osszead´ asra nézve csoportot alkot. b) A Q halmaz az ¨ osszead´ asra és a szorz´ asra nézve testet alkot. 5. Mutassuk meg, hogy tetsz˝ oleges x, x1 , x2 , · · · , xn valós vagy komplex számokra |x1 + x2 + · · · + xn | 5 |x1 | + |x2 | + · · · + |xn | |x + x1 + · · · + xn | ≥ |x| − (|x1 | + · · · + |xn |) . 6. Adjuk meg intervallumokkal az al´ abbi feltételeket kielég´ıt˝o valós számok halmazát:

34

1.8.Feladatok

a) |x + y| < 0.01

e) |x + 2| + |x − 2| < 12

b) |x − 2| > 5

f ) |x + 2| − |x| > 1

c) |x| > |x − 1|

g) | |x + 1| − |x − 1| | < 1

d) |2x − 1| < |x − 1|

h) |x(1 − x)| < 3.

7. Igazoljuk az

x + |x| 2

2

+

x − |x| 2

2

= x2

(x ∈ R)

azonosságot. ´ azoljuk a komplex sz´ 8. Abr´ ams´ıkon az al´ abbi feltételeket kielég´ıt˝o z ∈ C komplex számok halmaz´ at:

a) |z − ı| < 1

d) |z − 1| < 1 és

2 < |z| 5 3

b)

e) |z + ı| > 2és

c) |z − (2 + ı)| < |z|

0

=z < 2

f ) |z − 1| = 2|z − 2 + ı|.

9. Milyen x ∈ R val´ os sz´ amra teljes¨ ulnek az alábbi egyenl˝otlenségek:

a) b) c) d)

x+1 2x − 5 <5− 3 4 3 + x 5 4 + 2x

3x + 5 >4 7 − 3x 3x + 5 2x − 3 > f) x−1 x−1 e)

5x − 3 > 4 + 2x 6 >3 x 5 >6 2x − 1

g) x2 − 5x + 6 > 0 h) x3 + x < 0.

10. Igazoljuk a harmonikus ´ es a m´ ertani k¨ oz´ epre vonatkozó alábbi egyenl˝otlenséget: tetsz˝ oleges x1 , x2 , · · · , xn pozit´ıv valós számokra 1 x1

+

1 x2

n + ··· +

1 xn

5

√ n

x1 x2 · · · xn .

11. Igazoljuk, hogy tetsz˝ oleges x1 , x2 , · · · , xn valós számokra r x1 + x2 + · · · + xn x21 + x22 + · · · + x2n 5 . n n


35

12. Igazoljuk, hogy ha x > 0, akkor 1 ≥2 x és az egyenl˝ oség pontosan akkor a ´ll fenn, ha x = 1. Mit mondhatunk akkor, ha x < 0 ? 13. Igazoljuk, hogy tetsz˝ oleges x, y z ∈ R val´ os számokra x+

xy + xz + yz 5 x2 + y 2 + z 2 . 14. Igazoljuk a Bernoulli-egyenl˝ otlens´ eg k¨ ovetkez˝ o´ altal´ anos´ıt´ as´ at: ha n ∈ N, n > 0 és a h1 , · · · , hn val´ os számok el˝ojele megegyezik, továbbá hk > −1 (k = 1, · · · , n), akkor (1 + h1 ) (1 + h2 ) · · · (1 + hn ) ≥ 1 + h1 + h2 + · · · + hn . 15. Legyenek X ⊂ R, Y ⊂ R val´ os sz´ amhalmazok. Igazoljuk, hogy a)

inf{−x : x ∈ X} = − sup X

b)

sup{−x : x ∈ X} = − inf X

c)

sup{x + y : x ∈ X,

y ∈ Y } = sup X + sup Y

d)

inf{x + y : x ∈ X,

y ∈ Y } = inf X + inf Y

e)

inf{x y : x ∈ X,

f)

sup{x y : x ∈ X,

y ∈ Y } = inf X · inf Y, ha inf X ≥ 0, inf Y ≥ 0 y ∈ Y } = sup X · sup Y, ha inf X ≥ 0, inf Y ≥ 0.

16. Határozzuk meg az al´ abbi sz´ amhalmazok alsó- és fels˝o határát:

1 : n ∈ N, n > 0 c) {x ∈ Q : −1 < x < 1} n (−1)n 1 : n ∈ N, n > 0 d) + (−1)n · n : n ∈ N, n > 0 n n x : 0 < x < 1, 0 < y < x . y

a) b) e)

17. Igazoljuk, hogy a szétv´ alaszt´ asi axi´ oma az alábbi áll´ıtással ekvivalens: a valós számok bármely nem u ¨res, fel¨ ulr˝ ol korl´ atos részhalmazának fels˝o korlátai között van legkisebb. 18. A fels˝o határ létezését felhaszn´ alva igazoljuk, hogy i) a természetes sz´ amok halmaza fel¨ ulr˝ ol nem korlátos.

36

1.8.Feladatok

ii) A feladat i) részét felhaszn´ alva igazoljuk az Archimédeszi axiómában megfogalmazott ´ all´ıt´ ast. 19. Legyen N∗ × N∗ az N∗ elemeib˝ ol alkotott rendezett számpárok halmaza. i) Igazoljuk, hogy N∗ × N∗ megsz´ aml´ alható. ii)Igazoljuk, hogy megsz´ aml´ alhat´ o halmaz bármely végtelen részhalmaza is megszámlálhat´ o. iii) Mutassuk meg, hogy a pozit´ıv racionális számok halmaza megszámlálható. iv) Igazoljuk, hogy a racion´ alis sz´ amok halmaza megszámlálható. ´ Utmutat´ as: A iii) igazol´ as´ ahoz haszn´ aljuk az N∗ × N∗ 3 (m, n) → m/n ∈ Q leképezést és a feladat i) és ii) részét.

2. Számsorozatok

37

2. Számsorozatok A f¨ uggvények k¨ oz¨ ott t¨ obb vonatkoz´ asban is kit¨ untetett szerepet játszanak a természetes számok halmaz´ an értelmezett f¨ uggvények, az u ń. sorozatok. Az anal´ızis számos fogalma és eredménye kapcsolatos számsorozatokkal. Több olyan kérdést is fogunk t´ argyalni, amely visszavezethet˝o sorozatokkal összef¨ ugg˝o problémákra. A matematika alkalmaz´ asaiban az egyik általános törekvés, hogy olyan modelleket igyekeznek fel´ all´ıtani, amelyek szám´ıtógéppel kiértékelhet˝ok. Ilyenkor a jelenségeket által´ aban sorozatokkal ´ırj´ ak le. Ezek a modellek a valóságban lejátszódó folyamatoknak csak valamilyen értelemben vett közel´ıt˝o le´ırását adják. A közel´ıtés mértékének pontos meghat´ aroz´ as´ ara és jól közel´ıt˝o modellek megalkotására a matematikai anal´ızisben sz´ amos fogalmat vezettek be és módszert dolgoztak ki. Ezekben a határérték fogalma alapvet˝o. A sorozatokkal kapcsolatosan – ahol az lehetséges – a valós és komplex esetet egy¨ utt tárgyaljuk. Ezért célszer˝ u a k¨ ovetkez˝okben az R és C számtestekre egy közös jelölést bevezetni: jel¨ olje teh´ at K az eml´ıtett két számtest bármelyikét.

2.1. A sorozat fogalma A természetes számok halmazán értelmezett f¨ uggvényeket sorozatoknak nevezz¨ uk. A f¨ uggvényekkel kapcsolatos fogalmakat és jelöléseket használva legyen X 6= ∅ halmaz és x:N→X egy sorozat. Az x f¨ uggvény n ∈ N helyen vett értékét a sorozat n-edik tagjának nevezz¨ uk, és ennek jel¨ olésére — a f¨ uggvények körében szokásos x(n) mellett — az xn szimbólumot is haszn´ aljuk. Az n természetes számot az xn tag indexének nevezz¨ uk. Magát a sorozatot, az azt alkot´ o tagokat is felt¨ untetve, az x = (x0 , x1 , x2 , · · · ),

x = (xn , n ∈ N),

xn (n ∈ N),

(xn )

szimbólumok valamelyikével fogjuk jel¨ olni. Attól f¨ ugg˝oen, hogy a sorozat tagjai milyen halmazból valók, k¨ ulönböz˝o t´ıpusokat szoktunk megk¨ ul¨ onb¨ oztetni. Ha X = R, akkor az x : N → X sorozatot valós

38

2.1. A sorozat fogalma

számsorozatnak, ha X = C, akkor komplex számsorozatnak, és a kett˝ot közös néven számsorozatnak nevezz¨ uk. Ezek mellett fontos szerepet játszanak még a vektorsorozatok, azaz a x : N → KN t´ıpus´ u f¨ uggvények, ahol N ∈ N, N > 1 természetes szám és K vagy a val´ os vagy a komplex sz´ amok halmazát jelöli. Ezeket a sorozatokat N -dimenzi´ os (val´ os, ill. komplex) vektor sorozatoknak nevezz¨ uk. Használni fogunk még intervallum sorozatokat és f¨ uggvénysorozatokat is. Az els˝o esetben X az R részintervallumainak halmaza. A m´ asodik esetben X valamely rögz´ıtett, nem u ¨res halmazon értelmezett sz´ amérték˝ u f¨ uggvények összességével egyenl˝o. Az X halmazon értelmezett bin´ aris m˝ uveletek és relációk természetes módon kiterjeszthet˝ok X-beli sorozatokra. (E fogalmakkal kapcsolatban lásd a F¨ uggeléket.)

Defin´ıci´ o. Legyen • egy bináris m˝uvelet, egy bináris reláció X-en. Tetsz˝oleges x : N → X, y : N → X sorozatokra értelmezz¨ uk a z := x•y sorozatot a zn := xn • yn (n ∈ N) utas´ıtással. Tov´ abb´ a akkor mondjuk, hogy az x és y sorozatok relációban ´ allnak egym´ assal, azaz x y, ha minden n ∈ N természetes számra xn yn teljes¨ ul. Ennek megfelel˝ oen X = K esetén értelmezve van az X-beli sorozatok összege, k¨ ulönbsége, szorzata és X = R esetén als´ o és fels˝o burkolója. Ha yn 6= 0 (n ∈ N), akkor van értelme az x és y sorozat x/y h´ anyadosának is, azaz az x/y := (xn /yn , n ∈ N) sorozatnak. A fentiek mint´ aj´ ara értelmezhetj¨ uk a λ ∈ K szám és az x számsorozat szorzatát: λ · x := (λ xn , n ∈ N). Egyszer˝ uen ellen˝ orizhet˝ o, hogy a K-beli sorozatok a fent értelmezett összeadásra és számmal való szorz´ asra nézve vektorteret alkotnak, amelynek nulleleme a Θ := (0, 0, 0, · · · ) sorozat. A számsorozatok line´ aris terét az S szimbólummal fogjuk jelölni. Ha a jelölésben azt is kifejezésre akarjuk juttatni, hogy a valós, vagy a komplex sorozatok terér˝ol van szó, akkor ezt indexben felt¨ untetj¨ uk: SR , SC . A valós számok halmaz´ an értelmezve van a 5 rendezési reláció. A fenti általános defin´ıciónak megfelel˝ oen a 5 rel´ aci´ o kiterjeszthet˝o a valós számsorozatokra. Akkor

2. Számsorozatok

39

mondjuk tehát, hogy az x, y ∈ SR sorozatra x 5 y, ha minden n ∈ N természetes számra xn 5 yn teljes¨ ul. Egyszer˝ uen ellen˝ orizhet˝ o, hogy a most bevezetett reláció egy parciális rendezés a valós sz´ amsorozatok halmaz´ an. Az e0 := (1, 0, 0, 0, · · · ),

e1 := (0, 1, 0, 0, · · · )

sorozatokra sem e0 5 e1 sem e1 5 e0 nem áll fenn, következésképpen SR nem lineárisan rendezett. Az abszol´ ut érték képzés is kiterjeszthet˝ o sorozatokra. Az |x| := ( |xn | , n ∈ N) sorozatot az x sorozat abszol´ ut értékének nevezz¨ uk. Valamely x : N → X sororozatb´ ol kiindulva a f¨ uggvénykompoz´ıció felhasználásával u ´j sorozatokat képezhet¨ unk. Val´ oban, legyen ν : N → N egy N-beli sorozat. Ekkor az x◦ν :N→X közvetett f¨ uggvény szintén a természetes sz´ amok halmazán van értelmezve és Xben van az értékkészlete, teh´ at x ◦ ν is egy X-beli sorozat. Ennek az n-edik tagját xνn -nel, magát a sorozatot pedig az x ◦ ν = (xνn , n ∈ N) szimbólummal jel¨ olj¨ uk. A k¨ ozvetett f¨ uggvény értelmezéséb˝ol következik, hogy az x ◦ ν sorozat n-edik tagja egyenl˝ o az eredeti x sorozat νn -edik tagjával. Az N-beli sorozatok k¨ oz¨ ul két t´ıpust k¨ ul¨ on is kiemel¨ unk.

Defin´ıci´ o. i) A σ : N → N kölcsönösen egyértelm˝u leképezéseket az N permut´ aci´ oinak nevezz¨ uk és ezek ¨ osszességét P-vel jelölj¨ uk. ii) Ha valamely ν : N → N sorozatra νn < νn+1

(n ∈ N)

teljes¨ ul, akkor a ν sorozatot indexsorozatnak nevezz¨ uk, és ezek öszszességét az I szimb´ olummal jel¨ olj¨ uk. Az N identikus leképezését lesz´ am´ıtva minden indexsorozat értékészlete az N valódi részhalmaza, m´ıg minden permut´ aci´ o értékészlete maga az N. A most értelmezett speci´ alis N-beli sorozatokat felhasználva bevezetj¨ uk a következ˝o fogalmakat.

40

2.1. A sorozat fogalma

Defin´ıci´ o. Legyen x : N → X egy sorozat. Ekkor az x ◦ σ = (xσn , n ∈ N)

(σ ∈ P)

sorozatokat az x permut´ aci´ oinak vagy ´ atrendez´ eseinek, az x ◦ ν = (xνn , n ∈ N)

(ν ∈ I)

sorozatokat pedig az x r´ eszsorozatainak nevezz¨ uk. Például az x := (1/(n + 1), n ∈ N) harmonikus sorozatnak az

1 , n∈N , 2(n + 1)

1 , n∈N , (n + 1)2

1 2n+1

, n∈N

részsorozatai, az y2n−1 :=

1 , 2n + 2

y2n :=

1 2n + 1

(n ∈ N)

utas´ıtással értelmezett y sorozat az x egy permutációja.

Megjegyzések 1. A RN vektort´ er elemei k¨ oz¨ ott ´ ertelmezve van az ¨ osszead´ as ´ es a sz´ ammal val´ o szorz´ as. K¨ ovetkez´ esk´ eppen a fenti ´ altal´ anos defin´ıci´ o alapj´ an ´ ertelmezhetj¨ uk vektor-sorozatok ¨ osszeg´ et ´ es sz´ amszoros´ at. Az RN -beli vektorsorozatok — amint az egyszer˝ uen bel´ athat´ o — vektorteret alkotnak. 2. N´ eha c´ elszer˝ u a pozit´ıv eg´ esz sz´ amok N∗ halmaz´ an, vagy az eg´ esz sz´ amok Z halmaz´ an ´ ertelmezett f¨ uggv´ enyeket is sorozatnak tekinteni. Nyilv´ anval´ o, hogy az eddig bevezetett fogalmak ezekre is ´ atvihet˝ ok. Ilyen sorozatokat haszn´ alva mindig felt¨ untetj¨ uk az ´ ertelmez´ esi tartom´ anyt is: x = (xn , n ∈ N∗ ), y = (yn , n ∈ Z). 3. A sz´ amsorozatokat gyakran rekurzi´ oval defini´ alj´ ak, megadva a 0-dik tagj´ at ´ es egy utas´ıt´ ast, amellyel az n + 1-edik tag az n-edikb˝ ol meghat´ arozhat´ o. A k¨ oz´ episkol´ ab´ ol is j´ ol ismert sz´ amtani sorozatot az x0 := a,

xn+1 := xn + d

(n ∈ N)

rekurzi´ oval is ´ ertelmezni lehet, ahol a ´ es d adott val´ os vagy komplex sz´ amok. Az a-t a sz´ amtani sorozat kezd˝ o tagj´ anak, a d sz´ amot — utalva az xn+1 − xn = d (n ∈ N) egyenl˝ os´ egre — a sorozat differenci´ aj´ anak is szok´ as nevezni. Ebb˝ ol az ´ ertelmez´ esb˝ ol, teljes indukci´ oval az n-edik tagra a j´ ol ismert xn = a + nd (n ∈ N) el˝ o´ all´ıt´ as ad´ odik. Innen xn =

xn−1 + xn+1 2

(n ∈ N∗ ),

2. Számsorozatok

41

azaz a sz´ amtani sorozat b´ armely 0-n´ al nagyobb index˝ u tagja az ˝ ot megel˝ oz˝ o ´ es az ut´ ana k¨ ovetkez˝ o tag sz´ amtani k¨ ozepe. 4. A m´ ertani sorozatot az el˝ oz˝ oh¨ oz hasonl´ o rekurzi´ oval ´ ertelmezhetj¨ uk. Legyen ui. a, q ∈ R ´ es yn+1 = q · yn

y0 := a,

(n ∈ N).

Az a sz´ amot a sorozat kezd˝ o tagj´ anak, a q sz´ amot pedig a sorozat h´ anyados´ anak vagy kv´ ociens´ enek nevezz¨ uk. Teljes indukci´ oval ad´ odik, hogy yn = a q n

(n ∈ N).

Innen az a = 0, q = 0 esetben k¨ ovetkezik, hogy √ yn = yn−1 yn+1

(n ∈ N∗ ).

A m´ ertani sorozat elnevez´ es erre az ¨ osszef¨ ugg´ esre utal: ebben az esetben minden 0-n´ al nagyobb index˝ u tag az ˝ ot megel˝ oz˝ o´ es az ut´ ana k¨ ovetkez˝ o tag m´ ertani k¨ ozepe. 5. Az N∗ halmazon ´ ertelmezett

1 (n ∈ N∗ ) n sorozatot harmonikus sorozatnak nevezz¨ uk. Az elnevez´ es a sorozat ´ es a harmonikus k¨ oz´ ep al´ abbi, k¨ onnyen ellen˝ orizhet˝ o kapcsolat´ ara utal: 2 zn = . 1 + 1 zn−1 zn+1 zn :=

6. Gyakran haszn´ alunk u ń. t¨ obbl´ ep´ eses rekurzi´ ot, amellyel a sorozat n + 1-edik tagja az n + 1-n´ el kisebb index˝ u tagokb´ ol meghat´ arozhat´ o. Ilyen pl. a Fibonacci-sorozat: x0 := 0,

x1 := 1,

xn+1 := xn + xn−1

(n ∈ N∗).

2.2. Monoton sorozatok Legyen X egy nem u ¨res halmaz és egy parciális rendezés az X-en. Ha x y és x 6= y, akkor azt ´ırjuk, hogy x ≺ y.

Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy az x : N → X sorozat monoton a parci´ alis rendez´ esre n´ ezve, ha minden n, m ∈ N számpárra n5m

=⇒

xn xm .

Ha az x sorozatra n<m

=⇒

xm xn

(n, m ∈ N)

teljes¨ ul, akkor monoton fogy´ onak nevezz¨ uk a rendezésre nézve. Ha a fenti defin ıci´ oban a rel´ aci´ ot a ≺ relációval cserélj¨ uk fel, akkor a szigor´ uan monoton n¨ ov˝ o sorozat, ill. a szigor´ uan monoton fogy´ o sorozat sz´ ohaszn´ alattal él¨ unk.

42

2.3. Korlátos és korlátos változás´ u sorozatok

A továbbiakban t¨ obbnyire val´ os sz´ amsorozatokkal kapcsolatban használjuk a monotonitás fogalm´ at az R-ben a szok´ asos 5 relációt véve alapul. A sorozatoknak egy m´ asik fontos, t¨ obbsz¨ or felhasználásra ker¨ ul˝o osztályát alkotják az intervallum-sorozatok. Itt X az R részintervallumainak az összessége. Ez a halmaz parciálisan rendezett a ⊆ tartalmaz´ asi relációra nézve. Ennek megfelel˝oen használni fogjuk a monoton n¨ ov˝ o és monoton fogyó intervallum-sorozat fogalmát. Minthogy a C-ben nem szok´ as – s˝ ot bizonyos temészetes algebrai kikötések mellett nem is lehet – rendezést bevezetni, azért komplex számsorozatokkal kapcsolatban nem szoktuk a monotonit´ as fogalm´ at használni. A monoton sz´ amsorozatok a val´ os sz´ amsorozatoknak egy valódi részhalmazát alkotják. Fennáll viszont a k¨ ovetkez˝ o

1. Tétel. Bármely valós számsorozatnak van monoton részsorozata. ´s. A tétel igazol´ Bizony´ıta as´ ahoz bevezetj¨ uk a következ˝o fogalmat: akkor mondjuk, hogy az x = (xn , n ∈ N) sorozatnak az xm tag egy cs´ ucsa, ha minden n > m indexre xn < xm teljes¨ ul. Vizsgáljuk meg az al´ abbi két egym´ ast kiz´ aró esetet. i) Ha az x sorozatnak véges sok cs´ ucsa van, akkor ezek indexei között van egy legnagyobb. Jel¨ olj¨ uk ezt m0 -lal. Ha x-nek nincs cs´ ucsa, akkor legyen m0 := 0. Ekkor bármely m > m0 esetén xm sem cs´ ucsa x-nek, következésképpen (1)

∀ m > m0

∃m > m :

am ≤ am .

Ennek alapján rekurzi´ oval defini´ alhatunk egy monoton növ˝o részsorozatot. Valóban, legyen ν0 := m0 + 1 és alkalmazzuk erre az (1) áll´ıtást. Ekkor létezik olyan ν1 := ν 0 > ν0

index, amelyre

xν0 5 xν1 .

Tegy¨ uk fel, hogy valemely n ∈ N sz´ amig már értelmezt¨ uk a ν0 < ν1 < · · · < νn indexeket. Alkalmazzuk az (1) ´ all´ıt´ ast az m := νn > m0 esetben. Ekkor a νn+1 := ν¯n indexre νn < νn+1 és xνn 5 xνn+1 teljes¨ ul. Ezzel nyilv´ an egy ν = (νn , n ∈ N) indexsorozatot értelmezt¨ unk, amellyel az x ◦ ν részsorozat monoton n¨ ov˝ o. ii) Ha a cs´ ucsok száma nem véges, akkor véve ezek indexeit olyan ν indexsorozatot kapunk, amelyre xν0 > xν1 > · · · > xνn > · · ·

2. Számsorozatok

43

teljes¨ ul. Ebben az esetben teh´ at az x◦ν egy szigor´ uan monoton fogyó részsorozat.

2.3. Korlátos és korlátos változás´ u sorozatok A számsorozozatok egyik fontos oszt´ aly´ at alkotják a korlátos sorozatok.

Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy az x : N → K valós vagy komplex sz´ amsorozat korl´ atos, ha az ´ ert´ ekk´ eszlete korl´ atos, azaz, ha létezik olyan R ∈ R+ sz´ am, hogy |xn | 5 R

(n ∈ N)

teljes¨ ul. Ez a feltétel azt jelenti, hogy a sorozat valamennyi tagja benne van a KR (0) környezetben. Val´ os sz´ amorozatok esetében, ugyan´ ugy, ahogy azt valós számhalmazokkal kapcsolatban tett¨ uk, célszer˝ u bevezetni az egyoldali korlátosságot is.

Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy az x valós számsorozat fel¨ ulr˝ ol korl´ atos, ha létezik olyan K ∈ R sz´ am, hogy xn 5 K

(n ∈ N)

teljes¨ ul. Ha létezik olyan k ∈ R sz´ am, hogy xn = k

(n ∈ N),

akkor azt mondjuk, hogy x alulr´ ol korl´ atos. Nyilvánvaló, hogy egy val´ os sz´ amsorozat akkor és csak akkor korlátos, ha fel¨ ulr˝ol is és alulról is korl´ atos. Sorozatokkal kapcsolatosan is bevezetj¨ uk az als´ o´ es fels˝ o hat´ ar fogalmát.

Defin´ıci´ o. Az x valós számsorozat értékkészletének fels˝o határát a sorozat fels˝ o hat´ ar´ anak vagy szupr´ emum´ anak, az x értékkészletének als´ o hat´ ar´ at az x sorozat als´ o hat´ ar´ anak vagy infimum´ anak nevezz¨ uk: sup x := sup{xn : n ∈ N},

inf x := inf{xn : n ∈ N}.

Az alsó és a fels˝ o hat´ ar fogalm´ at kiterjesztett¨ uk nem korlátos valós számhalmazokra is. Ezzel ¨ osszhangban fel¨ ulr˝ ol nem korlátos számsorozat fels˝o határa

44


defin´ıció szerint +∞, alulr´ ol nem korl´ atos sz´ amsorozat alsó határa pedig −∞. Néha célszer˝ u azt az un. als´ o (fels˝ o) határt-f¨ uggvényt bevezetni, amelynek értelmezési tartom´ anya a val´ os sz´ amsorozatok halmaza, értékkészlete pedig R : SR 3 x → sup x ∈ R,

SR 3 x → inf x ∈ R.

Ezek a leképezések monoton n¨ ov˝ ok, azaz x5y

=⇒

sup x 5 sup y,

inf x 5 inf y.

Valóban, minthogy pl. sup y az y értékkészletének fels˝o korlátja, azért minden n ∈ N indexre xn 5 yn 5 sup y (n ∈ N), azaz sup y az x sorozatnak is fels˝ o korl´ atja. Következésképpen az x legkisebb fels˝o korlátja sem lehet nagyobb ennél, azaz sup x 5 sup y. A továbbiakban K-val jel¨ olj¨ uk a korl´ atos sorozatok halmazát. Mivel korlátos sorozatok összege és sz´ amszorosa is korl´ atos sorozat, azért K a sorozatok S terének egy lineáris altere. Célszer˝ u ebben a vektortérben az RN -beli vektorok abszol´ ut értékéhez hasonl´ o fogalmat, a normát bevezetni. Tetsz˝oleges x = (xn , n ∈ N) ∈ K sorozatra legyen kxk := sup{|xn | : n ∈ N}. Az kxk nem-negat´ıv sz´ amot az x ∈ K sorozat normájának nevezz¨ uk. Egyszer˝ uen igazolhatók a norma al´ abbi tulajdons´ agai: i)

kxk = 0,

kxk = 0

⇔

ii)

kλ · xk = |λ| kxk (λ ∈ K, x ∈ K)

x=Θ

iii) kx + yk 5 kxk + kyk (x, y ∈ K). Az i) és ii) k¨ onnyen ellen˝ orizhet˝ o, a iii) pedig a számok összegének abszol´ ut értékére vonatkoz´ o egyenl˝ otlenségb˝ ol és a sup defin´ıciójából adódik. Valóban, |xn + yn | 5 |xn | + |yn | 5 sup{|xm | : m ∈ N} + sup{|ym | : m ∈ N} (n ∈ N), azaz a bal oldalon ´ all´ o sorozatnak az kxk + kyk szám egy fels˝o korlátja. Innen következik, hogy a sz´ oban forg´ o sorozat legkisebb fels˝o korlátja, azaz kx + yk sem lehet nagyobb kxk + kyk-n´ al. A k¨ ulönbség norm´ aj´ ara vonatkoz´ o kx − yk = | kxk − kyk |

(x, y ∈ K)

egyenl˝otlenség az el¨ oz˝ oek alapj´ an ugyan´ ugy igazolható, mint az abszol´ u t érték esetén.

2. Számsorozatok

45

Megjegyzések 1. Az (a + nd, n ∈ N) sz´ amtani sorozat nem korl´ atos, ha d 6= 0. Valóban, ha d > 0, akkor az archim´ edeszi axi´ oma alapj´ an minden K ∈ R sz´ amhoz l´ etezik olyan n ∈ N, hogy nd > K − a,

azaz

a + nd > K.

Ez pontosan azt jelenti, hogy a sz´ oban forg´ o sorozat fel¨ ulr˝ ol nem korl´ atos. Hasonl´ oan igazolhat´ o, hogy d < 0 eset´ en a sz´ amtani sorozat alulr´ ol nem korl´ atos. 2. A (q n , n ∈ N) m´ ertani sorozat |q| 5 1 eset´ en korl´ atos, |q| > 1 eset´ en pedig nem korl´ atos. Az els˝ o esetben ui. |q n | = |q|n 5 1 (n ∈ N). A m´ asodik esetben a h := |q| − 1 > 0 sz´ amra alkalmazva a Bernoulli-egyenl˝ otlens´ eget |q n | = (1 + h)n = 1 + nh k¨ ovetkezik. Innen az 1. p´ eld´ aban k¨ oz¨ olt eredm´ enyt figyelembe v´ eve ad´ odik az ´ all´ıt´ as. 3. Az (1/n, n ∈ N∗ ) harmonikus sorozat korl´ atos, mert 0 < 1/n < 1

(n ∈ N∗ ).

Sem a monoton n¨ ov˝ o, sem a monoton fogy´ o sorozatok nem alkotnak vektorteret. Azoknak a valós sz´ amsorozatoknak az ¨ osszessége, amelyek két monoton növ˝o sorozat k¨ ulönbségeként ´ all´ıthat´ ok el˝ o, m´ ar vektorteret alkotnak. Ez a vektortér nyilván tartalmazza a monoton n¨ ov˝ o és a monoton fogyó sorozatokat, hiszen az el˝obbiek x − Θ, az utóbbiak pedig Θ − x alakban ´ırhatók fel, ahol x monoton növ˝o sorozat. Ennek egy alterét alkotj´ ak a korlátos változás´ u sorozatok.

Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy az x valós számsorozat korlátos változás´ u, ha x fel´ırhat´ o két korl´ atos, nem-negat´ıv, monoton növ˝o sorozat k¨ ul¨ onbségeként. A korlátos változ´ as´ u sorozatok a val´ os, korlátos sorozatoknak egy lineáris alterét alkotják, amelyet V-vel jel¨ ol¨ unk. Ennek a térnek egy jellemzését fogalmazzuk meg az alábbi áll´ıtásban.

2.Tétel. Az x valós számsorozat akkor és csak akkor korlátos változás´ u, ha a V0 (x) : = |x0 | Vn (x) : = |x0 | + |x1 − x0 | + · · · + |xn − xn−1 |

(n ∈ N∗ )

sorozat korl´ atos. Ennek a sorozatnak a fels˝o határát az x sorozat vari´ aci´ oj´ anak nevezz¨ uk, és a V (x) := sup{Vn (x) : n ∈ N} szimbólummal jel¨ olj¨ uk.

46


´s. Az al´ Bizony´ıta abbiakban haszn´ alt sorozatok értelmezési tartományát kib˝ov´ıtj¨ uk a −1 számmal és a sorozatok −1-edik tagja 0-val egyenl˝o. i) Ha az x sorozat monoton n¨ ov˝ o és nem-negat´ıv, akkor Vn (x) = xn

(n ∈ N).

Ebben az estben ugyanis a Vn (x) defin´ıci´ oj´ aban szerepl˝o tagok mind nem-negat´ıvok, s ezért az abszol´ ut értéket elhagyhatjuk. A szóban forgó összegben, az n-edik tagot kivéve, minden tag kétszer szerepel, egyszer + és egyszer− el˝ojellel, s ezért öszevonás után val´ oban xn ad´ odik. Innen k¨ ovetkezik, hogy a most vizsgált esetben V (x) = sup{xn : n ∈ N} = kxk.

(2)

ii) Tegy¨ uk fel el˝ osz¨ or, hogy az x sorozat el˝oáll´ıtható két korlátos, nem-negat´ıv, monoton növ˝o sorozat k¨ ul¨ onbségeként: x = y −z. Az abszol´ ut érték tulajdonságait felhasználva azt kapjuk, hogy |xn − xn−1 | = |(yn − yn−1 ) − (zn − zn−1 )| 5 |yn − yn−1 | + |zn − zn−1 |

(n ∈ N).

Ezeket az egyenl˝ otlenségeket ¨ osszeadva és felhasználva a (2) egyenl˝otlenséget Vn (x) 5 Vn (y) + Vn (z) 5 kyk + kzk

(n ∈ N)

adódik. Innen, véve a szuprémumot V (x) 5 kyk + kzk < ∞ következik. iii) Most tegy¨ uk fel, hogy valamely x val´ os számsorozatra V (x) < ∞, és mutassuk meg, hogy x fel´ırhat´ o két nem-negat´ıv, korlátos, monoton növ˝o sorozat k¨ ulönbségeként. Mivel |xn | = |x0 + (x1 − x0 ) + · · · + (xn − xn−1 )| ≤ Vn (x) ≤ V (x)

(n ∈ N∗),

azért az x sorozat korl´ atos. Legyen yn := Vn (x),

zn := Vn (x) − xn

(n ∈ N).

Nyilvánvaló, hogy x = y−z és y nem-negat´ıv, monoton növ˝o, korlátos számsorozat. Megmutatjuk, hogy a z sorozatra zn − zn−1 = 0 (n ∈ N), azaz z is monoton növ˝o és az el˝obbiek szerint nyilv´ an nem-negat´ıv. Valóban, a z értelmezéséb˝ol következik, hogy zn − zn−1 = (Vn (x) − Vn−1 (x)) − (xn − xn−1 ) = = |xn − xn−1 | − (xn − xn−1 ) = 0

(n ∈ N).

2. Számsorozatok

47

Mivel z az y és az x korl´ atos sorozatok k¨ ul¨ onbsége, azért z maga is korlátos. Ezzel a tételt bebizony´ıtottuk. A variáció egy norma a V lineáris téren:

(3)

i)

V (x) = 0,

ii)

V (λ · x) = |λ| V (x)

⇔

V (x) = 0

x=Θ

(λ ∈ R, x ∈ V) (x, y ∈ V).

iii) V (x + y) 5 V (x) + V (y)

Valóban, V (x) nem-negat´ıv és V (x) = 0 esetén |xn − xn−1 | = 0,

azaz

xn−1 = xn

(n ∈ N).

Innen x−1 = 0 figyelembevételével x = Θ k¨ ovetkezik. A szorzat abszol´ ut értékére vonatkoz´ o azonosság alapján Vn (λ · x) = |λ| Vn (x)

(n ∈ N),

ahonnan szuprémumra térve ´ at ii) m´ ar ad´ odik. A iii) igazolás´ ahoz induljunk ki az |(xk + yk ) − (xk−1 + yk−1 )| 5 |xk − xk−1 | + |yk − yk−1 |

(k ∈ N)

egyenl˝otlenségekb˝ ol. Ezeket ¨ osszeadva 0-t´ ol n-ig Vn (x + y) 5 Vn (x) + Vn (y) adódik. Innen szuprémumra térve ´ at iii) m´ ar következik.

Megjegyzések A korl´ atos v´ altoz´ as´ u sorozat fogalma komplex sorozatokra is kiterjeszthet˝ o. Akkor mondjuk, hogy a (zn = xn + yn ı, n ∈ N) sorozat korl´ atos v´ altoz´ as´ u, ha a Vn (z) :=

n X

|zk − zk−1 |

(n ∈ N)

k=0

sorozat korl´ atos, ahol — mint kor´ abban is — defin´ıci´ o szerint z−1 := 0. A max { |a|, |b| } 5 |a + bı| 5 |a| + |b| egyenl˝ otlens´ egek alapj´ an max { Vn (x), Vn (y) } 5 Vn (z) 5 Vn (x) + Vn (y).

48

2.4. Konvergens sorozatok

Innen nyilv´ anval´ o, hogy z akkor ´ es csak akkor korl´ atos v´ altoz´ as´ u sorozat, ha (xn , n ∈ N) ∈ V, (yn , n ∈ N) ∈ V.


A matematikai anal´ızis egyik legfontosabb fogalma a határérték. A következ˝okben a határérték legegyszer˝ ubb t´ıpus´ aval, a sorozatok határértékével foglalkozunk.

Az (1/n, n ∈ N∗ ) sorozat a k¨ ovetkez˝ o tulajdonsággal rendelkezik: a 0 szám bármely K (0) k¨ ornyezetén k´ıv¨ ul a sorozatnak véges szám´ u (legfeljebb [1/]) tagja van. A ((−1)n , n ∈ N) sorozat nem rendelkezik hasonló tulajdonsággal. Ebben az esetben ui. b´ armely sz´ amnak van olyan környezete, amelyen k´ıv¨ ul az utóbbi sorozatnak végtelen sok tagja van. Ezt a tényt u ´gy szoktuk kifejezni, hogy az (1/n, n ∈ N∗ ) sorozat konvergens és hat´ arértéke 0, a ((−1)n , n ∈ N) sorozat pedig nem konvergens, m´ as sz´ oval: divergens.

Defin´ıci´ o. Legyen x = (xn , n ∈ N) egy valós, vagy komplex számsorozat, azaz xn ∈ K (n ∈ N). Akkor mondjuk, hogy az x sorozat konvergens, ha létezik olyan α ∈ K szám, hogy ennek bármely környezetén k´ıv¨ ul a sorozatnak legfeljebb véges sok tagja van. Logikai jelölésekkel: (4)

∃α ∈ K ∀ > 0 :

{n ∈ N : xn ∈ / K (α)} véges halmaz.

Az az áll´ıtás, hogy az {n ∈ N : xn ∈ / K (α)} halmaznak legfeljebb véges sok eleme van, a következ˝ ovel egyenérték˝ u: létezik olyan N ∈ N, pl. az N := max{n ∈ N : xn ∈ / K (α)} sz´ am (max ∅ := 0), hogy minden N -nél nagyobb index˝ u tagra xn ∈ K (α) teljes¨ ul. Ezért gyakran haszn´ aljuk az alábbi, (4)-gyel ekvivalens definiciót:

2. Számsorozatok

49

Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy az (xn , n ∈ N) sorozat konvergens, ha létezik olyan α ∈ K sz´ am, amelyre a következ˝o teljes¨ ul: minden > 0 számhoz létezik olyan N ∈ N index, hogy ha az n = N , akkor |xn − α| < , vagy ami ezzel ekvivalens: xn ∈ K (α). Ugyanez logikai jelölésekkel: (5)

∃α ∈ K ∀ > 0 ∃N ∈ N

∀ n ∈ N, n = N :

|xn − α| < ,

∀ n ∈ N, n = N :

xn ∈ K (α).

ill. egy m´ asik v´ altozatban: (6)

∃α ∈ K ∀ > 0 ∃N ∈ N

Sorozatokkal kapcsolatban szok´ asos a k¨ ovetkez˝o szóhasználat: ha egy sorozat tagjaira vonatkoz´ o´ all´ıt´ as legfeljebb véges sok tagot kivéve minden tagra teljes¨ ul, akkor azt mondjuk, hogy a sz´ oban forg´ o´ all´ıt´ as majdnem minden tagra, vagy majdnem minden indexre teljes¨ ul. Ezt felhaszn´ alva a konvergens sorozat értelmezésének egy u ´jabb átfogalmaz´ as´ at adjuk: egy sorozat pontosan akkor konvergens, ha van olyan szám, amelynek bármely k¨ ornyezete a sorozat majdnem minden tagját tartalmazza. Most megmutatjuk, hogy tetsz˝ oleges x sorozat esetén legfeljebb egy eml´ıtett tulajdonság´ u α sz´ am létezik.

3.Tétel. Ha az x sorozat konvergens, akkor egyetlen olyan α ∈ K létezik, amelyre (4) teljes¨ ul. ´s. A tételt indirekt m´ Bizony´ıta odon igazoljuk. Tegy¨ uk fel, hogy létezik két olyan szám α, β ∈ K, amelyre (4) teljes¨ ul. Legyen ρ := |α − β| > 0. Alkalmazzuk a (4) áll´ıtást az := ρ/2 sz´ amra. Ekkor a határérték defin´ıciója szerint a sorozatnak legfeljebb véges sok tagja van a K (α) környezeten k´ıv¨ ul. Az választásából következik, hogy a K (α) és K (β) k¨ ornyezetek diszjunktak, következésképpen K (β) a K (α) k¨ ornyezet komplementerének része, s ezért az utóbbi környezetben is csak véges sok tagja lehet a sorozatnak. Ekkor viszont a β számmal nem teljes¨ ulhet (4). Ezzel az ellentmond´ assal a tételt bebizony´ıtottuk. A most igazolt tétel alapj´ an értelmezhetj¨ uk a sorozat határértékét.

Defin´ıci´ o. Az x konvergens sorozathoz a (4) defin´ıció szerint létez˝o egyetlen α sz´ amot a sorozat hat´ ar´ ert´ ek´ enek vagy limesz´ enek nevezz¨ uk. Azt, hogy az x = (xn , n ∈ N) sorozatnak az α szám a határértéke, az alábbi

50


szimbólumok valamelyikével jel¨ olj¨ uk: lim x = α,

lim xn = α,

n→∞

xn → α (n → +∞),

L(x) = α,

és u ´gy olvassuk, hogy limesz x, vagy limesz xn , ha n tart +∞-hez egyenl˝o α-val, ill. xn tart α-hoz, ha n tart +∞-hez.

Defin´ıci´ o. Ha egy sorozat nem konvergens, akkor azt mondjuk, hogy divergens. Azt, hogy az x sorozat divergens, pl. a (4) áll´ıtás tagadásával, logikai jeleket használva a következ˝ o form´ aban fogalmazhatjuk meg: ∀α ∈ K ∃ > 0 ∀N ∈ N

∃ n ∈ N, n = N :

|xn − α| = .

A (4) tagadás´ aval az x sorozat divergenciájára az alábbi, el˝oz˝ovel ekvivalens megfogalmazás ad´ odik: ∀α ∈ K ∃ > 0 :

(7)

{n ∈ N : xn ∈ / K (α)} végtelen halmaz.

Az alábbiakban megfogalmazzuk a hat´ arérték defin´ıciójának néhány egyszer˝ u következményét.

1. K¨ ovetkezmény. Ha majdnem minden n indexre xn = yn , akkor az x sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha y is konvergens, s ebben az esetben L(x) = L(y). Valóban, ha xn = yn majdnem minden n-re, akkor az xn ∈ K (α) és yn ∈ K (α) feltételek majdnem minden n-re vagy egyszerre teljes¨ ulnek, vagy egyszerre nem teljes¨ ulnek. Könnyen beláthat´ o, hogy a konvergens sorozatok halmaza a korlátos sorozatok halmazának egy val´ odi részhalmaza.

2. K¨ ovetkezmény. Minden konvergens sorozat korlátos, de van olyan korlátos sorozat, amely nem konvergens. Valóban, ha az x sorozat konvergens és határértéke α, akkor pl. az = 1 esetben alkalmazva a (4) defin´ıci´ ot azt kapjuk, hogy létezik olyan N ∈ N index, amelyre n = N esetén |xn − α| < 1 teljes¨ ul. K¨ ovetkezésképpen |xn | 5 |(xn − α) + α| 5 1 + |α| (n = N ). Legyen R := max { |α| + 1, |x0 |, |x1 |, · · · , |xn | }.

2. Számsorozatok

51

Ekkor minden n természetes sz´ amra |xn | 5 R, azaz x valóban korlátos. A ((−1)n , n ∈ N) sorozat korl´ atos, de nem konvergens. A divergencia (7) alatti defin´ıcióját haszn´ alva k¨ onnyen bel´ atható, hogy bármely valós számnak van olyan környezete, amely az 1 és a −1 sz´ amok köz¨ ul legfeljebb egyet tartalmaz, következésképpen ezen a k¨ ornyezeten k´ıv¨ ul a sorozatnak végtelen sok tagja van.

3. K¨ ovetkezmény. Konvergens sorozat bármely részsorozata konvergens és hat´ arértéke az eredeti sorozat határértékével egyenl˝o. Ha az x sorozat hat´ arértéke α, akkor minden > 0 számra {n ∈ N : xn ∈ / K (α)} , legfeljebb véges halmaz. B´ armely ν indexsorozatra az {n ∈ N : xνn 6∈ K (α)} halmaz az el˝ oz˝ o halmaznak nyilv´ an részhalmaza, következésképpen szintén legfeljebb véges. A most megfogalmazott k¨ ovetkezményb˝ ol azonnal adódik, hogy ha valemely sorazat két részsorozata k¨ ul¨ on-k¨ ul¨ on konvergens, de a határérték¨ uk k¨ ulönböz˝o, akkor az eredeti sorozat divergens. Ennek alapján is azonnal adódik, hogy a ((−1)n , n ∈ N) sorozat divergens.

Megjegyzések 1. Konstans sorozat. Legyen α ∈ K ´ es (n ∈ N).

xn := α

Ez az u ń. konstans sorozat konvergens ´ es a hat´ ar´ ert´ eke α, hiszen az α sz´ am b´ armely k¨ ornyezete a sorozat valamennyi tagj´ at tartalmazza. 2. Harmonikus sorozat. Egyszer˝ uen bel´ athat´ o, hogy az (1/n, n ∈ N∗ ) sorozat konvergens ´ es lim

n→∞

1 = 0. n

Ehhez pl. az (5) defin´ıci´ ot haszn´ alva el´ eg azt megmutatni, hogy ∀ > 0

∃ N ∈ N∗

∀ n ∈ N, n = N :

|

1 1 − 0| = < . n n

Minthogy 1/n < , ha n = 1 + [1/] > 1/, az´ ert az N := 1 + [1/] sz´ am eleget tesz a k´ıv´ ant felt´ eteleknek. 3. M´ ertani sorozatok. A (q n , n ∈ N) m´ ertani sorozat pontosan akkor konvergens, ha vagy |q| < 1, vagy pedig ha q = 1, ´ es ( lim q n =

n→∞

0,

ha

|q| = 1

1,

ha

q = 1.

i) Legyen el˝ osz¨ or 0 < |q| < 1. Ekkor 1/|q| > 1, s ´ıgy az 1/|q| =: 1 + h (h > 0) sz´ amra alkalmazva a Bernoulli-f´ ele egyenl˝ otlens´ eget 1 ≥ 1 + nh > nh |q|n

(n ∈ N)

52

2.5. M˝ uveletek határértékekkel

ad´ odik. K¨ ovetkez´ esk´ eppen |q|n <

1/h n

(n ∈ N∗ ).

Innen az ´ all´ıt´ as m´ ar ugyan´ ugy igazolhat´ o, mint a harmonikus sorozat eset´ en. ii) Ha q = 0 vagy q = 1, akkor az ´ all´ıt´ as k¨ ovetkezik a konstans sorozatok hat´ ar´ ert´ ek´ evel kapcsolatos el˝ oz˝ o megjegyz´ esb˝ ol. iii) Ha |q| > 1, akkor — amint azt m´ ar kor´ abban l´ attuk — a m´ ertani sorozat nem korl´ atos, teh´ at divergens. iv) Ha |q| = 1 ´ es q 6= 1, akkor a sorozat divergens. Ha q val´ os, akkor sz¨ uks´ egk´ eppen q = −1, s ekkor — amint ezt m´ ar kor´ abban bel´ attuk — a sorozat divergens. Ha q ∈ C ´ es q 6= 1, a m´ ertani sorozat akkor is divergens. Ez az ´ all´ıt´ as azonban m´ ar nem igazolhat´ o olyan egyszer˝ uen, mint a val´ os esetben. Erre k´ es˝ obb m´ eg visszat´ er¨ unk.

2.5. M˝ uveletek határértékekkel Közvetlen¨ ul a hat´ arérték defin´ıci´ oja alapj´ an általában csak nehezen dönthet˝o el egy sorozatról, hogy konvergens-e, vagy divergens. Még nehezebb az értelmezésb˝ol ´ kiindulva megtal´ alni mag´ at a hat´ arértéket. Eppen ezért nagyon fontosak és hasznosak azok a tételek, amelyek seg´ıtségével egyszer˝ ubb sorozatok konvergenciájából az azokból algebrai vagy egyéb m˝ uveletekkel felép´ıtett bonyolultabb sorozatok konvergenciájára és hat´ arértékére tudunk k¨ ovetkeztetni. A továbbiakban több ilyen jelleg˝ u tételt igazolunk, tov´ abb´ a foglalkozunk a határérték és a 5 reláció kapcsolatával. Ezekhez a vizsg´ alatokhoz célszer˝ u bevezetni a zérus- vagy nullsorozat fogalmát.

Defin´ıci´ o. Azokat a konvergens számsorozatokat, amelyek határértéke 0, zérus-sorozatoknak vagy nullsorozatoknak nevezz¨ uk. A konvergens sorozatok halmaz´ at C-vel, a nullsorozatok halmazát N -nel fogjuk jelölni. Számos, a konvergenci´ aval kapcsolatos kérdés visszavezethet˝o nullsorozatokra. Erre ad lehet˝ oséget a k¨ ovetkez˝ o

4.Tétel. Az (xn , n ∈ N) számsorozatnak akkor és csak akkor α ∈ K a határértéke, ha (xn − α, n ∈ N) nullsorozat. Valóban, minthogy az |xn − α| < és az |(xn − α) − 0| < feltételek egymással ekvivalensek, azért — pl. az (5) defin´ıci´ o alapján — az áll´ıtás azonnal következik. Többször felhaszn´ aljuk majd a k¨ ovetkez˝ o áll´ıtást, amely a nullsorozat értelmezéséb˝ol közvetlen¨ ul ad´ odik.

2. Számsorozatok

53

4.K¨ ovetkezmény. Legyen x egy számsorozat, y egy nullsorozat és tegy¨ uk fel, hogy majdnem minden n indexre |xn | 5 yn . Ekkor x is nullsorozat. Valóban, a feltétel szerint a 0 b´ armely k¨ ornyezetét véve, ebbe az y sorozat majdnem minden tagja beleesik. Az x sorozatra tett feltétel alapján ez az x sorozat majdnem minden tagj´ ara is igaz. Nullsorozatokra vonatkozik az al´ abbi

5.Tétel. Legyen x és y két nullsorozat és z egy korlátos sorozat. Ekkor i) x + y ii) x · z

nullsorozat, nullsorozat.

. ´s. Legyen > 0 adott sz´ Bizony´ıta am. Mivel x, y ∈ N , azért a határérték (5) defin´ıcióját helyett /2-re alkalmazva azt kapjuk, hogy létezik olyan N1 és N2 index, amelyre |xn | < /2

|yn | < /2

(n = N1 ),

(n = N2 )

teljes¨ ul. Legyen N := max {N1 , N2 }. Ekkor |xn + yn | 5 |xn | + |yn | <

+ = , 2 2

ha n = N . Ez pontosan azt jelenti, hogy x + y is nullsorozat. ii) Legyen K > 0 a (|zn |, n ∈ N) sorozatnak egy fels˝o korlátja, azaz |zn | 5 K

(n ∈ N).

Alkalmazzuk az (5) defin´ıci´ ot az x nullsorozatra helyett az /K számot véve. Ekkor létezik olyan N ∈ N index, hogy minden n = N indexre |xn | < /K. Következésképpen |xn zn | = |xn | |zn | < · K = , K ha n = N . Ezzel bel´ attuk, hogy xz zérussorozat. A most igazolt tételre vezetj¨ uk vissza a k¨ ovetkez˝ot, amely az algebrai m˝ uveletek és a határéték kapcsolat´ ara vonatkozik.

54


6.Tétel. Legyenek x és y konvergens sorozatok és λ ∈ K. Ekkor i) x + y ∈ C

és

L(x + y) = L(x) + L(y)

ii) λ · x ∈ C

és

L(λ · x) = λL(x)

iii) x · y ∈ C

és

L(x · y) = L(x)L(y) x L(x) L = y L(y) yn 6= 0 (n ∈ N) és

iv)

x ∈C és y feltéve, hogy

L(y) 6= 0.

´s. Legyen L(x) = α, L(y) = β. Ekkor (xn −α, n ∈ N) és (yn −β, n ∈ N) Bizony´ıta nullsorozatok. Alkalmazzuk ezekre az el˝ obb igazolt tételt. i) Mivel (xn − α) + (yn − β) = (xn + yn ) − (α + β)

(n ∈ N),

azért (xn + yn − α − β, n ∈ N) két nullsorozat összege, következésképpen maga is nullsorozat. A 4. Tétel alapj´ an x + y konvergens és L(x + y) = α + β. ii) Felhasználva a λ(xn − α) = λxn − λα

(n ∈ N)

azonosságot és az 5.Tételt azt kapjuk, hogy a jobb oldalon álló sorozat is nullsorozat. A 4.Tétel alapj´ an teh´ at λx konvergens és határértéke λα. iii) A szorzatra vonatkoz´ o ´ all´ıt´ as igazol´ as´ ahoz felhasználjuk az alábbi azonosságot: xn yn − αβ = (xn − α)yn + (yn − β)α (n ∈ N). A jobb oldalon ´ all´ o sorozatok mindegyike egy nullsorozat és egy korlátos sorozat szorzata, következésképpen az 5.Tétel alapj´ an a sorozatok maguk és összeg¨ uk is nullsorozat. A 4.Tétel alapj´ an azt kapjuk, hogy az xy sorozat konvergens és határértéke αβ. iv) A hányadosra vonatkoz´ o´ all´ıt´ as igazol´ asához felhasználjuk, hogy az 1/y sorozat korlátos. A hat´ arérték defin´ıci´ oj´ at az := |β|/2 számra fel´ırva azt kapjuk, hogy létezik olyan N ∈ N index, amelyt˝ ol kezdve |yn − β| < |β|/2 (n = N ). A háromszög-egyenl˝ otlenséget felhaszn´ alva az y sorozat n = N index˝ u tagjaira az |yn | = |β − (β − yn )| = |β| − |β − yn | > |β| − |β|/2 = |β|/2 alsó becslés adódik. Reciprokra térve ´ at azt kapjuk, hogy 1 2 ≤ |yn | |β|

(n = N ).

2. Számsorozatok

55

Legyen K := max

1 1 1 2 , ,··· , , |y0 | |y1 | |yn | |β|

.

Ekkor minden n ∈ N indexre 1/|yn | 5 K, azaz az y sorozat reciproka valóban korlátos. A iv) áll´ıtás igazol´ as´ ahoz felhaszn´ aljuk az xn α 1 α − = (xn − α) + (β − yn ) yn β yn βyn

(n ∈ N)

azonosságot. A jobb oldalon ´ all´ o két tag mindegyike egy korlátos és egy nullsorozat szorzata, következésképpen ezek és ezek ¨ osszegei is nullsorozatok. Ismét az 4.Tételt alkalmazva adódik az ´ all´ıt´ as. Az 4.Következmény alapj´ an egyszer˝ uen igazolható az alábbi áll´ıtás, amely valós és komplex számsorozatok hat´ arértéke k¨ oz¨ ott teremt kapcsolatatot.

7. Tétel. A zn := xn + yn ı (n ∈ N) komplex számsorozat akkor és csak akkor konvergens, ha a val´ os és képzetes részekb˝ol alkotott x = (xn , n ∈ N), y = (yn , n ∈ N) sorozatok k¨ ulön-k¨ ulön konvergensek és L(z) = L(x) + ıL(y). ´s. Ha a z sorozat konvergens és határértéke L(z) = α + βı (α, β ∈ R), Bizony´ıta akkor a max { |xn − α|, |yn − β| } 5 |zn − L(z)| (n ∈ N) egyenl˝otlenség és a 4. K¨ ovetkezmény alapj´ an (xn − α, n ∈ N), (yn − β, n ∈ N) nullsorozatok, k¨ ovetkezésképpen x, y ∈ C és L(x) = α, L(y) = β. Megford´ıtva, ha x, y ∈ C és γ := L(x) + L(y)ı, akkor a |zn − γ| 5 |xn − L(x)| + |yn − L(y| (n ∈ N) egyenl˝otlenség alapj´ an (zn − γ, n ∈ N) nullsorozat. Innen következik, hogy z ∈ C és L(z) = L(x) + L(y)ı. Valós számsorozatok k¨ oz¨ ott bevezett¨ uk a 5 relációt, és amint ezt beláttuk, SR erre nézve parci´ alisan rendezett halmaz. E rendezés és a határérték kapcsolatára vonatkozik az al´ abbi

8.Tétel. Legyen x és y két konvergens, valós számsorozat. i) Ha L(x) < L(y), akkor xn < yn majdnem minden n-re. ii) Ha majdnem minden n-re xn 5 yn , akkor L(x) 5 L(y).

56


´s. i) Legyen := (L(y) − L(x))/4. Ekkor L(x) + < L(y) − . A Bizony´ıta határtérték defin´ıci´ oja alapj´ an létezik olyan N1 és N2 index, hogy L(x) − < xn < L(x) + , ha n = N1 , L(y) − < yn < L(y) + ,

ha n = N2 .

Innen minden n = max {N1 , N2 } indexre xn < L(x) + < L(y) − < yn következik. Ezzel az ´ all´ıt´ as els˝ o részét bel´ attuk. ii) A második rész igazol´ as´ ahoz — az ´ all´ıtással ellentétben — tegy¨ uk fel, hogy L(x) > L(y). Ekkor a m´ ar igazolt els˝ o rész alapján x és y szerepét felcserélve adódik, hogy majdnem minden n-re xn > yn . Ez nyilván ellentmond a ii)-ben szerepl˝o feltételnek. A most igazolt tételb˝ ol egyszer˝ uen ad´ odik az

5.K¨ ovetkezmény. Legyenek x, y, z valós számsorozatok, amelyekre xn 5 yn 5 zn majdnem minden n-re. Ha x és z konvergens és L(x) = L(z), akkor y is konvergens és L(y) = L(x). Jelj¨ uk α-val az x és a z k¨ oz¨ os hat´ arértékét. Ekkor a feltétel alapján egyrészt 0 5 yn − xn 5 zn − xn majdnem minden n-re, m´ asrészt z − x nullsorozat. Innen a 4. Következmény alapján adódik, hogy y − x is nullsorozat. Vég¨ ul a 6. Tételt is figyelembe véve azt kapjuk, hogy az y sorozat, amely az x ∈ C és az y − x ∈ N sorozat összege, maga is konvergens és L(y) = L(x) + 0 = L(x). A 6.Tételben megfogalmazott ´ all´ıt´ asok r¨ oviden szólva azt fejezik ki, hogy az algebrai m˝ uveletek és a hat´ arérték kisz´ am´ıt´ asa egymással felcserélhet˝ok. Hasonló a helyzet a maximum, minimum és az abszol´ ut érték képzéssel kapcsolatban.

9.Tétel. i) Tetsz˝oleges z ∈ C számsorozatra |z| ∈ C és L(|z|) = |L(z)|. ii) Bármely két val´ os x, y ∈ C sz´ amsorozatra x ∨ y, x ∧ y ∈ C

és

L(x ∨ y) = L(x) ∨ L(y),

L(x ∧ y) = L(x) ∧ L(y).

2. Számsorozatok

57

´s. i) Legyen α := L(z). A h´ Bizony´ıta aromszög-egyenl˝otlenség alapján ||zn | − |α|| 5 |zn − α| (n ∈ N). Minthogy a bal oldalon ´ all´ o sorozat nullsorozat, azért a jobb oldalon álló is az. Innen következik, hogy a |z| sorozat konvergens és limesze |α|. ii) A háló m˝ uveletekre vonatkoz´ o ´ all´ıt´ asok az i) rész és a szóban forgó m˝ uveleteknek az abszol´ ut értékkel val´ o kapcsolat´ at (lásd 1.2. (1)) és a határérték linearitását felhaszn´ alva k¨ onnyen ad´ odnak. Val´ oban, |x − y| + (x + y) L(|x − y|) + (L(x) + L(y)) L(x ∨ y) = L = = 2 2 |L(x) − L(y)| + (L(x) − L(y)) = L(x) ∨ L(y). = 2 Ezzel az áll´ıtás els˝ o részét bebizony´ıtottuk, a második rész hasonlóan igazolható.

Megjegyzések 1. A 6. T´ etel h´ anyadosok hat´ ar´ ert´ ek´ ere vonatkoz´ o r´ esz´ enek a megfogalmaz´ as´ an´ al gyakran elhagyj´ ak az yn 6= 0 (n ∈ N) felt´ etelt. Ez az apr´ o pontatlans´ ag nem vezet f´ elre´ ert´ eshez. Az L(y) 6= 0 felt´ etelb˝ ol ui. k¨ ovetkezik, hogy az y sorozatnak csak v´ eges sok tagja lehet 0. Ezeket megv´ altoztatva mindig el´ erhet˝ o, hogy teljes¨ ulj¨ on a mondott t´ etelben szerepl˝ o felt´ etel. Minthogy ez a v´ altoztat´ as sem az y sorozat konvergenci´ aj´ at, sem annak a hat´ ar´ ert´ ek´ et nem befoly´ asolja, az´ ert a mondott kieg´ esz´ıt´ essel a t´ etel az yn 6= 0 (n ∈ N) felt´ etel n´ elk¨ ul is ´ erv´ enyes. 2. A sz´ amsorozatok halmaza line´ aris teret alkot a sorozatok k¨ oz¨ ott ´ ertelmezett ¨ osszead´ as ´ es a sz´ ammal val´ o szorz´ as m˝ uveletekkel. A korl´ atos sorozatok halmaza ennek a t´ ernek egy line´ aris altere. A 6. T´ etel szerint k´ et konvergens sorozat ¨ osszege ´ es konvergens sorozatok sz´ amszorosa is kovergens. Minthogy minden konvergens sorozat egyben korl´ atos is, az´ ert a konvergens sorozatok halmaza a korl´ atos sorozatok ter´ enek egy line´ aris altere. Az ¨ osszeg ´ es a sz´ amszoros hat´ ar´ ert´ ek´ ere vonatkoz´ o szab´ aly — a line´ aris algebra terminol´ ogi´ aj´ at haszn´ alva — pontosan azt fejezi ki, hogy az L : C → K hat´ art´ ek vagy limesz funkcion´ al line´ aris. A nullsorozatokra vonatkoz´ o 2. T´ etelb˝ ol pedig az k¨ ovetkezik, hogy N a C-nek egy line´ aris altere. ¨ Osszefoglalva a mondottakat: N ⊂ C ⊂ K ⊂ S, ahol mindegyik t´ er az el˝ oz˝ o val´ odi line´ aris altere. 3. A sorozatok k¨ or´ eben ´ ertelmezve van m´ eg egy harmadik m˝ uvelet is, sorozatok egym´ assal val´ o szorzata. Az S erre a h´ arom m˝ uveletre (az ¨ oszead´ asra, a sz´ ammal val´ o szorz´ asra ´ es sorozatok szorz´ as´ ara) n´ ezve kommutat´ıv algebr´ at alkot. Minthogy a sorozatok k¨ ozti szorz´ as m˝ uvelete sem vezet ki sem a korl´ atos, sem a konvergens, sem pedig a nullsorozatok ter´ eb˝ ol, az´ ert K az S-nek, C a K-nak ´ es N a C-nek r´ eszalgebr´ aja. V´ eg¨ ul az az ´ all´ıt´ as, hogy korl´ atos sorozat ´ es nullsorozat szorzata nullsorozat, a line´ aris algebra nyelv´ en a k¨ ovetkez˝ ok´ eppen fogalmazhat´ o meg: N a K-ban ´ es a C-ben egy ide´ al. A szorzat hat´ ar´ ert´ ek´ ere vonatkoz´ o szab´ alyt pedig u ´ gy szok´ as kifejezni, hogy az L : C → K limesz funkcion´ al multiplikat´ıv. 4. Teljes indukci´ oval egyszer˝ uen bel´ athat´ o, hogy az ¨ osszegre ´ es a szorzat hat´ ar´ ert´ ek´ ere vonatkoz´ o szab´ aly kett˝ on´ el t¨ obb tagra, ill. t´ enyez˝ ore is ´ erv´ enyes. Nevezetesen, ha n ∈ N, n > 1 ´ es

58

2.6. Monoton sorozatok határértéke

x(1) , x(2) , · · · , x(n) ∈ S, akkor x(1) + x(2) + · · · + x(n) ∈ S, x(1) · x(2) · · · · · x(n) ∈ S ´ es L(x(1) + x(2) + · · · + x(n) ) = L(x(1) ) + L(x(2) ) + · · · + L(x(n) ), L(x(1) · x(2) · · · · · x(n) ) = L(x(1) ) · L(x(2) ) · · · · · L(x(n) ). 5. A 8. T´ etelb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy ha az x, y val´ os sz´ amsorozatokra x 5 y , akkor L(x) 5 L(y). Speci´ alisan, ha Θ 5 y, akkor 0 5 L(y). Ez azt jelenti, hogy az L funkcion´ al monoton, ill. pozit´ıv. K¨ onnyen igazolhat´ o, hogy line´ aris funkcion´ alok eset´ en ez a k´ et tulajdons´ ag, azaz a monotonit´ as ´ es a pozitivit´ as egym´ assal ekvivalensek. 6. A 8. T´ etel ii) r´ esze nem pontos megford´ıt´ asa az i)-nek. Az i)-ben ui. az L(x) < L(y) szigor´ uan nagyobb rel´ aci´ ob´ ol indulunk ki, m´ıg a ii)-ben csak az L(x) 5 L(y) rel´ aci´ ora tudunk k¨ ovetkeztetni. Enn´ el t¨ obbet m´ eg akkor sem tudunk mondani, ha a t´ etelben szerepl˝ o felt´ etel helyett a szigor´ ubb xn < yn (n ∈ N) felt´ etellel ´ el¨ unk. Ezt mutatja az xn := 1 − 1/n, yn := 1+1/n (n ∈ N∗ ) sorozatok p´ eld´ aja, amelyekre xn < yn (n ∈ N), ugyanakkor L(x) = L(y) = 1. 7. Az 5. K¨ ovetkezm´ enyt — utalva annak szeml´ eletes tartalm´ ara — k¨ ozrefog´ asi elvnek is szok´ as nevezni.

2.6. Monoton sorozatok határértéke Monoton sorozatok konvergenci´ aj´ ara vonatkozóan egy egyszer˝ u és jól használható sz¨ ukséges és elégséges feltétel adhat´ o. Ezzel kapcsolatos az alábbi

10.Tétel. Legyen x egy monoton, valós számsorozat. Az x sorozat pontosan akkor konvergens, ha korl´ atos és L(x) = sup{xn : n ∈ N},

ha x monoton növ˝o,

L(x) = inf{xn : n ∈ N},

ha x monoton fogyó.

´s. Csak monoton n¨ Bizony´ıta ov˝ o sorozatokkal foglalkozunk. Minthogy monoton fogyó sorozat −1-szerese monoton n¨ ov˝ o , azért a áll´ıtás második része — felhasználva a hat´ arértékre vonatkoz´ o m˝ uveleti szabályokat és sup{−xn : n ∈ N} = − inf{xn : n ∈ N} azonoss´ agot — az els˝ ob˝ ol következik. Legyen α := sup{xn : n ∈ N}. Ekkor a fels˝o határ értelmezése alapján a sorozat minden tagjára xn 5 α. M´ asrészt minden > 0 számhoz létezik olyan N ∈ N index, hogy xN > α − . Mivel az x sorozat monoton növ˝o, azért minden n = N indexre is xn > α − . Azt kaptuk teh´ at, hogy ∀ > 0

∃n ∈ N

∀ n ∈ N, n = N :

Ez pontosan azt jelenti, hogy L(x) = α.

α − < xn 5 α.

2. Számsorozatok

59

Minden korlátos v´ altoz´ as´ u sorozat el˝ o´ all´ıtható két korlátos, monoton sorozat k¨ ulönbségeként. A most igazolt tétel alapján tehát minden korlátos változás´ u sorozat konvergens, azaz V a C-nek egy line´ aris altere. A 10. Tételb˝ ol kiindulva val´ os sz´ amsorozat szuprémumát és infimumát monoton sorozatok hat´ arértékeként tudjuk el˝ o´ all´ıtani. Nevezetesen, tetsz˝oleges x valós számsorozat esetén vezess¨ uk be az Xn := max{x0 , x1 , · · · , xn },

Yn := min{x0 , x1 , · · · , xn } (n ∈ N)

sorozatokat. Ekkor minden n ∈ N indexre inf {xk : k ∈ N} 5 Yn 5 xn 5 Xn 5 sup {xk : k ∈ N}. Felhasználva az als´ o és fels˝ o hat´ ar monotonitását, innen inf{Yn : n ∈ N} = inf{xn : n ∈ N},

sup{Xn : n ∈ N} = sup{xn : n ∈ N}

következik. Minthogy az (Xn , n ∈ N) monoton növ˝o és (Yn , n ∈ N) monoton fogyó, felhasználva a 10.Tételt ad´ odik a

6.K¨ ovetkezmény. Tesz˝oleges x valós számsorozatra sup x = lim x0 ∨ x1 ∨ · · · ∨ xn , n→∞

inf x = lim x0 ∧ x1 ∧ · · · ∧ xn . n→∞

Ha λ > 0, akkor — amint az egyszer˝ uen belátható — (λx0 ) ∨ (λx1 ) ∨ · · · ∨ (λxn ) = λ(x0 ∨ x1 ∨ · · · ∨ xn ), (λx0 ) ∧ (λx1 ) ∧ · · · ∧ (λxn ) = λ(x0 ∧ x1 ∧ · · · ∧ xn ). Innen határátemenettel a 6. K¨ ovetkezmény alapján adódik a

7.K¨ ovetkezmény. Bármely x valós számsorozatra és minden λ > 0 valós számra sup (λx) = λ sup x,

inf (λx) = λ inf x.

A 10.Tétel és a monoton részsorozat létezésére vonatkozó 1.Tétel alapján egyszer˝ uen igazolható az al´ abbi u ń.

Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel. Minden korlátos számsorozatnak van konvergens részsorozata.

60

2.6. Monoton sorozatok határértéke

´s. Ha a sz´ Bizony´ıta oban forg´ o korl´ atos sorozat valós, akkor az 1.Tétel alapján ennek van monoton és korl´ atos, teh´ at konvergens részsorozata. Tekints¨ unk most egy korl´ atos, komplex sz´ amsorozatot: z = (zn , n ∈ N) = (xn + yn ı, n ∈ N). Minthogy |xn | 5 |zn | , |yn | 5 |zn | (n ∈ N), azért az x = (xn , n ∈ N), y = (yn , n ∈ N) sorozatok k¨ ulön-k¨ ulön korlátosak. A most igazolt, valós sorozatokra vonatkoz´ o kiv´ alaszt´ asi tétel szerint az x sorozatnak létezik egy x ◦ ν konvergens részsorozata. Az y sorozat ν-vel vett részsorozata nem biztos, hogy konvergens. Korl´ atos lévén, ennek is van konvergens részsorozata. Létezik tehát olyan µ indexsorozat, hogy az (y ◦ ν) ◦ µ részsorozat konvergens. Minthogy az (x◦ν)◦µ sorozat a m´ ar konvergens x◦ν-nek részsorozata, azért a 3. Következmény alapján maga is konvergens. Vég¨ ul felhaszn´ alva a 7.Tételt azt kapjuk, hogy a z sorozat ν ◦ µ indexsorozattal képzett részsorozata konvergens, hiszen ennek mind a valós-, mind a képzetes része konvergens. A monoton sorozatok konvergenci´ aj´ ara vonatkozó tétel alapján egy u ´jabb bizony´ıtást adunk pozit´ıv sz´ amok m-edik gy¨ okének a létezés´ e√re. M´ıg az 1.3. pontban — a szétválaszt´ asi axi´ oma felhaszn´ al´ as´ aval — csak az n α létezését igazoltuk, addig most egy numerikusan is j´ ol haszn´ alható u ń. konstrukt´ıv eljárást adunk a gyök el˝oáll´ıtására.

11. Tétel. Legyen m ∈ N, m > 1 és α > 0 adott valós szám. Tetsz˝oleges x0 > 0 val´ os sz´ amb´ ol kiindulva az alábbi rekurzióval képezz¨ uk az (xk , k ∈ N) sz´ amsorozatot: 1 xk := m

(8)

!

α xm−1 k−1

+ (m − 1)xk−1

(k ∈ N∗ ).

Ekkor (xk , k ∈ N) konvergens és lim xk =

k→∞

√

m

α.

´s. Bizony´ıta Az x sorozat értelmezéséb˝ ol teljes indukcióval következik, hogy xk > 0 (k ∈ N). El˝oször megmutatjuk, hogy az (xk , k ∈ N∗ ) sorozat monoton fogyó. A (8) egyenletet xk−1 -gyel osztva xk 1 α 1 = +1− m xk−1 m xk−1 m adódik. Innen k¨ ovetkezik, hogy i)

xk 51 xk−1

⇐⇒

ii)

α 5 xm k−1

(k ∈ N, k > 1).

2. Számsorozatok

61

A ii) egyenl˝otlenség (8)-b´ ol azonnal ad´ odik, a β1 :=

α , β2 := · · · =: βm =: xk−1 xm−1 k−1

számokra alkalmazva a sz´ amtani és mértani középre vonatkozó egyenl˝otlenséget: m β1 + β2 + · · · + βm m = β1 β2 · · · βk = α (k ∈ N∗ ). xk = m Az i) és az xk−1 5 xk (k ∈ N, k > 1) ´ all´ıt´ asok egymással ekvivalensek, következésképpen az x sorozat a m´ asodik tagt´ ol kezd˝ od˝ oen valóban monoton fogyó. Minthogy xk > 0 (k ∈ N), azért az x konvergens. Legyen ξ := L(x). ii)-b˝ ol és a hatérértékre vonatkozó m˝ uveleti szabályokból következik, hogy 0 < α 5 ξ m , s ezért ξ > 0. Ismét alkalmazva az eml´ıtett szabályokat, (8)-b´ ol ! 1 α + (m − 1)xk−1 = ξ = lim xk = lim k→∞ k→∞ m xm−1 k−1 1 α + (m − 1)ξ = m ξ m−1 adódik. Innen átrendezés ut´ an ξ m = α,

azaz

ξ=

√

m

α.

Ezzel a tételt bebizony´ıtottuk.

Megjegyzések 1. A fels˝ o´ es az als´ o hat´ arral kapcsolatban — a 6. K¨ ovetkezm´ ennyel ¨ osszhangban — az al´ abbi jel¨ ol´ eseket is szok´ as haszn´ alni: ∨∞ n=0 xn := sup x,

∧∞ n=0 xn := inf x.

Ezt az ´ ertelmez´ est u ´gy tekinthetj¨ uk, mint a h´ al´ o m˝ uveleteknek v´ egtelen sok tagra val´ o kiterjeszt´ es´ et. 2. A 11.T´ etelben k¨ oz¨ olt algoritmus egy ´ altal´ anos numerikus elj´ ar´ asnak, az u ´ n. Newton-f´ ele m´ odszernek egy speci´ alis esete. odszer konvergenci´ aj´ anak a sebess´ eg´ et j´ ol szeml´ elteti √ A m´ az al´ abbi p´ elda, amelyben az 2 k¨ ozel´ıt˝ o kisz´ am´ıt´ as´ ara haszn´ altuk a k¨ oz¨ olt iter´ aci´ ot, x0 := 2 ´ ert´ ekb˝ ol kiindulva: x0 = 2.00000000000000...,

x1 = 1.50000000000000...,

x2 = 1.41666666666666...

x3 = 1.41421568627451...,

x4 = 1.41421356237469...,

x5 = 1.414213562373095...

3. A sz´ oban forg´ o elj´ ar´ as m´ asodrendben konvergens. Ez szeml´ eletesen sz´ olva azt jelenti, hogy a kapott sorozatban a pontos tizedesjegyek sz´ ama minden l´ ep´ esben nagyj´ ab´ ol megdupl´ az´ odik.

62

2.7 A Cauchy-féle konvergencia kritérium

Ezt az al´ abbi t´ abl´ azat is j´ ol mutatja, ahol dupla pontoss´ ag´ u aritmetik´ at haszn´ alva a fenti sorozatban csak azokat a jegyeket t¨ untett¨ uk fel, amelyek a k¨ ovetkez˝ o l´ ep´ esben m´ ar nem v´ altoznak: x1 = 1............................... x2 = 1.41.......................... x3 = 1.41421..................... x4 = 1.41421356237.......... x5 = 1.414213562373095...

2.7. A Cauchy-féle konvergencia kritérium Valamennyi eddig ismertetett konvergencia defin´ıcióban explicit formában el˝ofordul a határérték. Ezek alapj´ an teh´ at valamely sorozat konvergenciáját csak akkor tudjuk igazolni, ha m´ ar ismerj¨ uk a határértéket. Az alábbiakban egy olyan — általános érvény˝ u — kritériumot adunk, amellyel a sorozat konvergenciája a határérték ismerete nélk¨ ul is eld¨ onthet˝ o. Ehhez bevezetj¨ uk az alábbi fogalmat.

Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy az x = (xn , n ∈ N) számsorozat Cauchy-sorozat vagy szab´ alyos sorozat, ha bármely > 0 számhoz létezik olyan N ∈ N sz´ am, hogy minden m, n ∈ N, n = N, m = N indexre |xn − xm | < , vagy logikai jel¨ olésekkel: ∀ > 0

∃N ∈ N

∀ m, n ∈ N, n, m = N :

|xn − xm | < .

E defin´ıció alapj´ an r¨ oviden megfogalmazható az alábbi tétel, amelyet Cachy-féle konvergencia kritériumnak is szok´ as nevezni.

12.Tétel. Az x számsorozat akkor és csak akkor konvergens, ha x Cauchy-sorozat. ´s. i) El˝ Bizony´ıta osz¨ or megmutatjuk, hogy minden konvergens sorozat egyben Cauchy-sorozat is. Legyen teh´ at x ∈ C és ´ırjuk fel a határérték defin´ıcióját > 0 helyett az /2 sz´ ammal: ∀ > 0

∃N ∈ N

∀ m, n ∈ N, n, m = N : |xn − L(x)| < , |xm − L(x)| < . 2 2 Innen a háromsz¨ og-egyenl˝ otlenség alapj´ an |xn − xm | = |(xn − L(x)) + (L(x) − xm )| 5 5 |xn − L(x)| + |xm − L(x)| < + = , 2 2

2. Számsorozatok

63

ha m, n = N , következésképpen x Cauchy-sorozat. ii) Most tegy¨ uk fel, hogy x Cauchy-sorozat, és igazoljuk, hogy konvergens. Ehhez els˝o lépésként megmutatjuk, hogy x korl´ atos. A Cauchy-sorozat defin´ıci´ oj´ ab´ ol := 1 v´ alasztás mellett azt kapjuk, hogy ∃N ∈ N

∀ n, m ∈ N, n, m = N :

|xn − xm | < 1.

Innen speciálisan m = N esetén |xn | 5 |xn − xN | + |xN | 5 |xN | + 1 következik. Legyen K := max { |x1 |, |x2 |, · · · , |xN −1 |, |xN | + 1 }. Ekkor minden n ∈ N indexre |xn | 5 K, teh´ at x valóban korlátos. A Bolzano-Weierstrass-féle kiv´ alaszt´ asi tétel szerint x-nek van egy x ◦ ν konvergens részsorozata. Legyen α := lim xνk . k→∞

Megmutatjuk, hogy x konvergens és α az x-nek is határértéke. Ehhez egyrészt felhasználjuk, hogy a hat´ arérték éretelmezése alapján ∀ > 0

∃ N1 ∈ N

∀ k ∈ N, k = N1 :

|xνk − α| <

. 2

Másrészt, mivel x Cauchy-sorozat ∀ > 0

∃N ∈ N

∀ m, n ∈ N, m, n = N :

|xn − xm | <

. 2

Válasszunk olyan k > N1 indexet, hogy νk = N teljes¨ uljön. Mivel a ν indexsorozat fel¨ ulr˝ol nem korl´ atos, azért ilyen k val´ oban létezik. A fenti két egyenl˝otlenségb˝ol m = νk választással minden n = N indexre |xn − α| 5 |xn − xνk | + |xνk − α| <

+ = . 2 2

Ez pontosan azt jelenti, hogy x konvergens és L(x) = α.

64

2.8. Tágabb értelemben vett határérték

Megjegyzések 1. A Cauchy-f´ ele konvergencia krit´ eriumot — amiatt, hogy benne a hat´ ar´ ert´ ek explicit form´ aban nem szerepel — gyakran bels˝ o konvergencia krit´ eriumnak is nevezik. 2. A Cauchy-f´ ele konvergencia krit´ eriumban sorozatok konvergenci´ aj´ ara egy sz¨ uks´ eges ´ es el´ egs´ eges felt´ etelt adtunk meg. Ezt a krit´ eriumot ez´ ert gyakran a k¨ ovetkez˝ o form´ aban is szokt´ ak fogalmazni: ahhoz, hogy egy sorozat konvergens legyen, sz¨ uks´ eges ´ es el´ egs´ eges, hogy a sorozat Cauchy-sorozat legyen. ´ 3. Altal´ aban a sorozatok konvergenci´ aj´ ara vonatkoz´ o t´ eteleket — pontosabban azok felt´ eteleit — szokt´ ak konvergencia krit´ eriumoknak nevezni. Aszerint, hogy egy felt´ etel teljes¨ ul´ ese a konvergenci´ ahoz sz¨ uks´ eges, el´ egs´ eges, vagy sz¨ uks´ eges ´ es el´ egs´ eges, szok´ as sz¨ uks´ eges, el´ egs´ eges, ill. sz¨ uks´ eges ´ es el´ egs´ eges krit´ eriumr´ ol besz´ elni. Sz¨ uks´ eges krit´ eriumot fogalmaztunk meg pl. a 2. K¨ ovetkezm´ enyben. A 10.T´ etelben el´ egs´ eges felt´ etelt adtunk sorozatok konvergenci´ aj´ ara. Ez ut´ obbi t´ etel nyilv´ an ´ıgy is megfogalmazhat´ o: ahhoz, hogy egy val´ os sz´ amsorozat konvergens legyen, el´ egs´ eges, hogy monoton ´ es korl´ atos legyen. 4. A Cauchy-f´ ele konvergencia krit´ erium kapcsolatban van a teljess´ eg fogalm´ aval. Akkor mondjuk, hogy valamely F rendezett sz´ amtest teljes, ha minden xn ∈ F (n ∈ N) Cauchy-sorozat konvergens ´ es hat´ ar´ ert´ eke F-ben van. Ezt a fogalmat haszn´ alva a most igazolt Cauchy-f´ ele konvergencia krit´ erium azzal ekvivalens, hogy a val´ os ´ es a komplex sz´ amok teste teljes. √ A racion´ alis sz´ amok teste nem teljes. Ismeretes, hogy pl. 2∈ / Q. A gy¨ ok¨ ok el˝ o´ all´ıt´ as´ ara szolg´ al´ o´ es az x0 := 2 kezdeti ´ ert´ ekkel indul´ o (8) elj´ ar´ ast erre az esetre fel´ırva

xn =

xn−1 + x 1 n−1 2

(n ∈ N∗ )

√ ad´ odik. Innen nyilv´ anval´ o, hogy xn ∈ Q (n ∈ N) ´ es a 11.T´ etel alapj´ an limn→∞ xn = 2. Az x teh´ at olyan Q-beli Cauchy-sorozat, amelynek hat´ ar´ ert´ eke nem racion´ alis. Ezzel bel´ attuk, hogy a racion´ alis sz´ amok teste nem teljes. Az irracion´ alis sz´ amok bevezet´ es´ ere — az anal´ızis szempontjait tekintve — els˝ osorban az´ ert van sz¨ uks´ eg, mert Q nem teljes; viszont kib˝ ov´ıtve az irracion´ alis sz´ amokkal, teljess´ e v´ alik. Ezt a t´ enyt u ´ gy szoktuk kifejezni, hogy az irracion´ alis sz´ amok bevezet´ es´ evel a racion´ alis sz´ amok test´ et teljess´ e tessz¨ uk.

2.8. Tágabb értelemben vett határérték Az eddig megismert hat´ arérték mellett — amit szokás sz˝ ukebb értelemben vett határértéknek is nevezni — fontos szerepet játszik a határértéknek egy másik t´ıpusa. A határérték most bevezetésre ker¨ ul˝o kiterjesztése során célszer˝ u a valós és a komplex sz´ amsorozatokkal k¨ ul¨ on-k¨ ul¨ on foglalkozni. A határérték kiterjesztése során olyan sorozatokat is figyelembe fogunk venni, amelyek tagjai a +∞ és a −∞ értékeket is felvehetik. A tov´ abbiakban az ilyen x : N → R leképezéseket valós sorozatoknak nevezz¨ uk, megk¨ ul¨ onb¨ oztetve ezeket az eddig is vizsgált valós számsorozatoktól. I. Tekints¨ uk el˝ osz¨ or a val´ os sorozatokat.

2. Számsorozatok

65

Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy a valós x = (xn , n ∈ N) sorozatnak plusz v´ egtelen a hat´ ar´ ert´ eke (m´ as szóval: x tart a +∞-hez), ha ∀P ∈ R

∃N ∈ N

∀ n ∈ N, n = N :

xn > P.

Ha az áll´ıt´ asban a > rel´ aci´ o helyett a < relációval teljes¨ ul, azaz ha ∀P ∈ R

∃N ∈ N

∀ n ∈ N, n = N :

xn < P,

akkor azt mondjuk, hogy az x sorozat hat´ ar´ ert´ eke m´ınusz v´ egtelen (más sz´ oval: x tart −∞-hez. Azt, hogy az x sorozatnak plusz végtelen, ill. m´ınusz végtelen a határértéke, az alábbi szimbólumok valamelyikével jel¨ olj¨ uk: lim xn = +∞,

n→∞

L(x) = +∞,

xn → ∞ (n → ∞),

ill. lim xn = −∞,

n→∞

L(x) = −∞,

xn → −∞ (n → ∞).

Az (n, n ∈ N) sorozat nyilv´ an a +∞-hez tart, a (−n2 , n ∈ N) sorozatnak −∞ a határértéke, m´ıg a ((−1)n · n, n ∈ N) sorozatnak nincs határértéke. Ha valamely val´ os sz´ amsorozatnak +∞ vagy −∞ a határértéke, akkor azt fogjuk mondani, hogy a sorozat tágabb értelemben konvergens. A tágabb értelemben vett határtérték igen sok vonatkoz´ asban hasonl´ o a ”közönséges” határértékhez (azaz, amikor a határérték egy sz´ am). Van azonban néhány tétel, ilyen pl. a Cauchyféle konvergencia kritérium, amely csak sz˝ ukebb értelemben (tehát 2.4. szerint) konvergens sorozatokra érvényes. A két fajta határérték megk¨ ulönböztetésére az alábbi szóhasználatot fogjuk k¨ ovetni: az a kijelentés, hogy egy sorozat konvergens, a jöv˝oben mindig azt jelenti, hogy a sorozatnak szám a határértéke. Ha valamely sorozat sz˝ ukebb, vagy t´ agabb értelemben konvergens, akkor azt mondjuk, hogy a sorozatnak van határértéke. A sz˝ ukebb értelemben vett határérték defin´ıciójához hasonlóan most is célszer˝ u geometriai értelmezést is adni. A környezet fogalmának kiterjesztésével a két fajta hat´ arértékre egy egységes értelmezést tudunk megfogalmazni.

Defin´ıci´ o. Legyen > 0. Ekkor a 1 K (+∞) := ( , +∞],

1 K (−∞) := [−∞, − )

R-beli intervallumokat a +∞ pont 1/ kezd˝opont´ u környezetének, ill. a −∞ pont −1/ végpont´ u k¨ ornyezetének nevezz¨ uk.

66


A környezet fogalm´ anak ezt a kiterjesztését használva a határérték létezésére az alábbi egységes, a véges és végtelen határértéket egyaránt magában foglaló értelmezés adhat´ o.

Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy az x valós sorozatnak van határ´ ert´ eke, ha létezik olyan α ∈ R elem, hogy ennek bármely környezetén k´ıv¨ ul a sorozatnak legfeljebb véges sok tagja van. Ezzel ekvivalens megfogalmaz´ as logikai jel¨ oléseket használva: ∃α ∈ R

∀ > 0

∃N ∈ N

∀ n ∈ N, n = N :

xn ∈ K (α).

A határértékre vonatkoz´ o tételek és m˝ uveleti szabályok nagy része a tágabb értelemben vett hat´ arértékre is érvényes. Ezek egyszer˝ u megfogalmazásához kiter¯ halmazra az alábbi táblázat szerint: jesztj¨ uk az algebrai m˝ uveleteket az R − ∞ + α := α + (−∞) := −∞ (α ∈ [−∞, +∞)) + ∞ + α := α + (+∞) := +∞ (α ∈ (−∞, +∞]) + ∞ · α := α · (+∞) = +∞ (α ∈ (0, +∞]) + ∞ · α := α · (+∞) = −∞ (α ∈ [−∞, 0)) − ∞ · α := α · (−∞) = −∞ (α ∈ (0, +∞]) − ∞ · α := α · (−∞) = +∞ (α ∈ [−∞, 0)) α α := := 0 (α ∈ (−∞, +∞)) +∞ −∞ 1 α := α · ((α, β) ∈ (−∞, +∞) × {−∞, +∞} ∪ [−∞, +∞] × (R{0})). β β Megjegyezz¨ uk, hogy nem értelmezt¨ uk a +∞ és a −∞, ill. a −∞ és a +∞ elemek o¨sszegét, a 0-nak a +∞-nel és a −∞-nel val´ o szorzatát, valamint nem definiáltuk az α/β hányadost, ha β = 0, vagy, ha α, β ∈ {+∞, −∞}. A most bevezetett értelmezéseket felhaszn´ alva a határértékre vonatkozó m˝ uveleti szabályok az alábbi egységes form´ aban adhatók meg.

13.Tétel. Tegyük fel, hogy az x és y valós számsorozatoknak van határértéke. Ha ∗ jelenti a +, −, ·, / szimbólumok valamelyikét és L(x) ∗ L(y)-nak a fentiek szerint van értelme, akkor az x ∗ y sorozatoknak is van hat´ arértéke és L(x ∗ y) = L(x) ∗ L(y).

´s. Minthogy az L(x), L(y) ∈ R esetet már korábban igazoltuk, azért Bizony´ıta feltessz¨ uk, hogy a két hat´ arérték k¨ oz¨ ul legal´ abb az egyik nem véges.

2. Számsorozatok

67

i) Az összegre vonatkoz´ o ´ all´ıt´ as igazol´ asához feltessz¨ uk, hogy L(x) = +∞, L(y) ∈ (−∞, +∞], megjegyezve, hogy az L(x) = −∞, L(y) ∈ [−∞, +∞) eset hasonlóan tárgyalhat´ o. Megmutatjuk, hogy ekkor L(x + y) = +∞. A határérték defin´ıci´ oja alapj´ an érvényes a következ˝o: ∀ P1 < L(y)

∃ N2 ∈ N

∀ n ∈ N, n = N2 :

yn > P1 ,

ill. ∀P ∈ R

∃ N1 ∈ N

∀ n ∈ N, n = N1 :

xn > P − P1 .

Rögz´ıtve egy P1 < L(y) sz´ amot azt kapjuk, hogy minden n = max {N1 , N2 } indexre xn + yn > P1 + (P − P1 ) = P, és ez pontosan azt jelenti, hogy L(x + y) = +∞. A k¨ ulönbségre vonatkoz´ o´ all´ıt´ as hasonl´ oan igazolható. ii) A szorzatra vonatkoz´ oa ´ll´ıt´ ast az L(x) = +∞, L(y) > 0 esetben igazoljuk. A másik három eset ugyan´ ugy t´ argyalhat´ o. A határérték értelmezéséb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy ∀ 0 < P1 < L(y)

∃ N2 ∈ N

∀ n ∈ N, n = N2 :

yn > P1 ,

ill. ∀0 < P ∈ R

∃ N1 ∈ N

∀ n ∈ N, n = N1 :

xn >

P . P1

Ekkor viszont minden n = max{N1 , N2 } indexre xn · yn > P2 ·

P = P, P2

azaz valóban L(x · y) = +∞. iii) A hányadosra vonatkoz´ o´ all´ıt´ as a szorzatra és a reciprokra vonatkozó tétel ´ következménye. Eppen ezért elég azt megmutatni, hogy ha L(y) ∈ {+∞, −∞}, akkor L(1/y) = 0. Tegy¨ uk fel pl., hogy L(y) = +∞. Ekkor majdnem minden n ∈ N esetén yn 6= 0, tov´ abb´ a ∀ > 0

∃N ∈ N

∀ n ∈ N, n = N :

Innen következik, hogy 1 < , yn

ha n = N.

yn >

1 .

68


Ezzel az L(y) = +∞ esetben megmutattuk, hogy L(1/y) = 0. Az L(y) = −∞ esetben az áll´ıt ´ as hasonl´ on igazolhat´ o. A motonoton sorozatok konvergenci´ aj´ ara vonatkozó tétel – tágabb értelemben vett határértéket is megengedve – a k¨ ovetkez˝oképpen módosul.

14.Tétel. Bármely valós monoton sorozatnak van határértéke és lim x = sup x,

ha x monoton növ˝o,

lim x = inf x,

ha x monoton fogyó.

´s. A tételt korl´ Bizony´ıta atos sz´ amsorozatokra már korábban igazoltuk. Ha x monoton növ˝o és nem korl´ atos, akkor a fels˝ o határ korábbi értelmezésének megfelel˝oen sup x = +∞. Ez azt jelenti, hogy ∀P ∈ R

∃N ∈ N :

xN > P,

ahonnan az x sorozat monoton n¨ ovekedését figyelembe véve xn > P (n = N ) következik. Azt kaptuk teh´ at, hogy ∀P ∈ R

∃N ∈ N

∀ n ∈ N, n = N :

xn > P,

s ezzel az L(x) = +∞ ´ all´ıt´ ast igazoltuk. Monoton fogyó sorozatokra a tétel hasonlóan igazolhat´ o. II. Komplex számsorozatok k¨ orében is szokás tágabb értelemben vett határértéket bevezetni. A komplex sz´ ams´ıkot egyetlen ideális elemmel, a végtelennel szokták kib˝ov´ıteni, és a kib˝ ov´ıtett sz´ ams´ıkot a C := C ∪ {∞} szimbólummal jel¨ olni. Ezzel ¨ oszhangban a komplex számsorozatokra vonatkozóan egyetlen ”végtelen” hat´ arértéket vezet¨ unk be.

Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy a z = (zn , n ∈ N) komplex számsorozatnak ∞ a hat´ arértéke, ha a |z| := (|zn |, n ∈ N) valós számsorozatnak +∞ a hat´ arértéke. Ugyanez logikai jelölésekkel: ∀P ∈ R

∃N ∈ N

∀ n ∈ N, n = N :

|zn | > P.

Bevezetve a ∞ k¨ ornyezetét ez a defin´ıci´ o geometriai alakban is átfogalmazható. Tetsz˝oleges > 0 sz´ am esetén a C kib˝ ov´ıtett száms´ık K (∞) := {z ∈ C : |z| >

1 } ∪ {∞}

2. Számsorozatok

69

részhalmazát a ∞ pont -sugar´ u k¨ ornyezetének nevezz¨ uk. A környezet fogalm´ at felhaszn´ alva komplex számsorozatok esetén is adhatunk egy, a tágabb értelemben vett hat´ arértéket is magában foglaló defin´ıciót: a z = (zn , n ∈ N) komplex sz´ amsorozatnak akkor van határértéke, ha ∃α ∈ C

∀ > 0

∃N ∈ N

∀ n ∈ N, n = N :

xn ∈ K (α).

A (q n , n ∈ N) mértani sorozatnak |q| > 1 esetén ∞ a határértéke, hiszen |q|n = |q|n → +∞,

ha n → ∞.

Megjegyzések 1. Nem korl´ atos val´ os sz´ amhalmaz als´ o ´ es fels˝ o hat´ ar´ at az 1.4. ponthoz f˝ uz¨ ott megjegyz´ esben ´ ertelmezt¨ uk. Az ottani defin´ıci´ o c´ elszer˝ us´ eg´ et a 11.T´ etel is al´ at´ amasztja. 2. Ha a 13.T´ etelben szerepl˝ o m˝ uveletek valamelyik´ enek nincs ´ ertelme, akkor az egyenl˝ os´ eg bal oldal´ an ´ all´ o sorozat hat´ ar´ ert´ ek´ enek a l´ etez´ es´ er˝ ol ´ altal´ aban semmit sem tudunk mondani. Ezeket a kritikus eseteket r¨ oviden a ∞ − ∞, 0 · ∞, ∞/∞ szimb´ olumokkal szoktuk jel¨ olni. Ezekben az esetekben nincs ”´ altal´ anos szab´ aly”. Pl. az L(x) = +∞, L(y) = −∞ esetben az x ´ es y sorozat megv´ alaszt´ as´ at´ ol f¨ ugg˝ oen el˝ ofordulhat, hogy az x + y sorozatnak van v´ eges, vagy van v´ egtelen hat´ ar´ ert´ eke, de az is el˝ ofordulhat, hogy az ¨ osszegnek nincs hat´ ar´ ert´ eke. Hasonl´ o a helyzet a t¨ obbi kritikus esetben is. Ezzel ¨ osszef¨ ugg´ esben l´ asd a 17. Feladatot. Vannak azonban olyan elj´ ar´ asok, amelyekkel az eml´ıtett kritikus esetek egy jelent˝ os r´ esze is kezelhet˝ o. Ilyen a differenci´ alhat´ os´ ag fogalm´ ara ´ ep¨ ul˝ ou ´ n. L’Hospital-szab´ aly, amelyet k´ es˝ obb fogunk t´ argyalni. 3. A konvergens sorozatokra megfogalmazott 1. ´ es 3. K¨ ovetkezm´ eny valamint a 10.T´ etel t´ agabb ´ ertelemben konvergens sorozatokra is ´ erv´ enyes, ugyanakkor a 12.T´ etel csak akkor ´ all fenn, ha v´ eges a hat´ ar´ ert´ ek. 4. A komplex sz´ amokat a sz´ ams´ık helyett n´ eha az u ń. Riemann-f´ ele sz´ amg¨ omb¨ on is szok´ as szeml´ eltetni. A k´ etfajta ´ abr´ azol´ as k¨ oz¨ ott vet´ıt´ essel (az u ń. sztereografikus projekci´ oval) tudunk kapcsolatot teremteni. Helyezz¨ unk a komplex sz´ ams´ıkra egy egys´ eg sugar´ u g¨ omb¨ ot, u ´gy, hogy az a 0 pontban ´ erintse a sz´ ams´ıkot. A g¨ omb 0-val ´ atellenes pontj´ ab´ ol vet´ıts¨ uk a sz´ ams´ık pontjait a g¨ omb fel¨ ulet´ ere. Ezzel – a vet´ıt´ esi pontot kiv´ eve – a komplex sz´ ams´ık pontjai ´ es a sz´ oban forg´ o g¨ ombfel¨ ulet pontjai k¨ oz¨ ott k¨ olcs¨ on¨ osen egy´ ertelm˝ u megfeleltet´ est l´ etes´ıtett¨ unk. Ezt a lek´ epez´ est felhaszn´ alva a komplex sz´ amokat az eml´ıtett g¨ ombfel¨ ulet, az u ń. Riemann-f´ ele sz´ amg¨ omb pontjaival ´ abr´ azolhatjuk. Ha a vet´ıt´ esi pontnak a ∞ elemet feleltetj¨ uk meg, akkor a sz´ oban forg´ o g¨ ombfel¨ ulet ´ es a C k¨ oz¨ ott egy bijekci´ ot l´ etes´ıtett¨ unk.

2.9. Sorozat als´ o és fels˝ o határértéke Eddig f˝oleg olyan sorozatokkal foglalkoztunk, amelyeknek van határértéke. Ha valamely valós sorozatnak nincs hat´ arértéke, akkor is kiválasztható bel˝ole egy

70

2.9. Sorozatok alsó és fels˝o határértéke

monoton, következésképpen hat´ arértékkel rendelkez˝o részsorozat. Tekints¨ uk valamely rögz´ıtett x val´ os sz´ amsorozat ¨ osszes véges, vagy végtelen határértékkel rendelkez˝o részsorozat´ at, és az ezekhez tartoz´ o határértékek halmazát jelölj¨ uk H-val. ¨res halmaz t¨ obb vonatkozásban is jellemzi az x sorozatot. NyEz a H ⊆ R nem u ilvánvaló, hogy H pontosan akkor egy elem˝ u, ha x-nek van határértéke. Ha a H-nak egynél több eleme van, akkor a lehetséges részsorozat határértékek között van két kit¨ untetett. Megmutatjuk ui., hogy a H-nak mindig van legkisebb és legnagyobb eleme. A legkisebb elemet az x sorozat alsó határértékének vagy limesz inferiorjának, a legnagyobb elemet pedig az x fels˝o határértékének vagy limesz szuperiorjának nevezz¨ uk, és ezeket a lim xn ,

lim inf xn , n→∞

L(x),

ill. a

n→∞

lim sup xn , n→∞

lim xn ,

n→∞

L(x)

szimbólumok valamelyikével fogjuk jel¨ olni. Az alábbiakban nem a most eml´ıtett, hanem egy ezzel ekvivalens konstrukt´ıv defin´ıcióbol indulunk ki, és majd megmutatjuk, hogy az ´ıgy értelmezett alsó és fels˝o határérték rendelkezik a bevezet˝ oben eml´ıtett szemléletes tulajdonságokkal. Tetsz˝oleges val´ os x sz´ amsorozatb´ ol kiindulva képezz¨ uk az

(9)

Xn := sup{xk : k = n, n + 1, n + 2, · · · }

(n ∈ N),

Yn := inf{xk : k = n, n + 1, n + 2, · · · }

(n ∈ N)

sorozatokat. Ha az x fel¨ ulr˝ ol nem korl´ atos, akkor az X sorozat minden tagja +∞, ha x alulról nem korl´ atos, akkor Yn = −∞ minden n ∈ N indexre, s ezért ezek határértéke +∞, ill. −∞. Minthogy {xk : k = n} ⊇ {xk : k = n + 1} (n ∈ N), azért Xn = Xn+1 , Yn 5 Yn+1 nak létezik a hat´ arértéke.

(n ∈ N), k¨ ovetkezésképpen az X és az Y sorozat-

Defin´ıci´ o. Tetsz˝oleges x = (xn , n ∈ N) valós számsorozatra legyen L(x) := lim sup xn := lim Xn , n→∞

n→∞

L(x) := lim inf xn := lim Yn , n→∞

n→∞

ahol X és Y a (9)-ben értelmezett sorozatokat jelenti. Az alábbi áll´ıt´ asban ¨ osszefoglaljuk az alsó és a fels˝o határérték legfontosabb tulajdonságait.

2. Számsorozatok

71

15. Tétel. Legyen x = (xn , n ∈ N) egy valós számsorozat. Ekkor amn´ al x-nek végtelen sok tagja nagyobb i) Tetsz˝ oleges s < L(x) sz´ és minden S > L(x) elemnél x-nek legfeljebb véges sok tagja nagyobb. ii) Tetsz˝ oleges s < L(x) elemnél az x sorozatnak legfeljebb véges sok tagja kisebb és minden S > L(x) számnál az x-nek végtelen sok tagja kisebb. iii) Ha a ν indexsorozat ´ altal generált x ◦ ν részsorozatnak létezik a hat´ arértéke, akkor L(x) 5 L(x ◦ ν) 5 L(x). iv) Van olyan ν és ν indexsorozat, hogy L(x) = L(x ◦ ν),

L(x) = L(x ◦ ν).

´s. Az al´ Bizony´ıta abbiakban csak a lim sup-ra vonatkozó áll´ıtásokat igazoljuk, megjegyezve, hogy a lim inf-fel kapcsolatos ´ all´ıtások – értelemszer˝ u módos´ıtásokkal – hasonlóan adódnak. i) Legyen s < L(x) és az ´ all´ıt´ assal ellentétben tegy¨ uk fel, hogy az x sorozatnak legfeljebb véges sok tagja nagyobb s-nél. Ekkor létezne egy N ∈ N index, hogy xn 5 s, ha n = N , k¨ ovetkezésképpen Xn 5 s minden n = N index esetén. Innen az X sorozat hat´ arértékére L(X) = L(x) 5 s adódik, ami nyilván ellentmond a kiindulásul tekintett s < L(x) feltételnek. Az áll´ıtás második részének az igazol´ as´ ahoz tekints¨ unk egy S > L(x) = L(X) számot. Ekkor a hat´ arérték értelmezése alapján van olyan N index, hogy XN = sup{xk : k = n} < S, k¨ ovetkezésképpen xk < S minden k = N indexre. Ezzel az i) áll´ıtást teljes egészében bebizony´ıtottuk. iii) Tegy¨ uk fel, hogy az x ◦ ν részsorozatnak van határértéke. Az X és az Y sorozat értelmezéséb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy minden n ∈ N esetén Yνn 5 xνn 5 Xνn . Innen, felhasználva a hat´ arérték monotonit´ asát, az L(x) = L(Y ) 5 L(x ◦ ν) 5 L(X) = L(x) bizony´ıtandó áll´ıt´ ast kapjuk. iv) A fels˝o hat´ arérték i)-ben igazolt tulajdonsága alapján az α := L(x) bármely környezetébe az x-nek végtelen sok tagja esik, hiszen a környezet baloldali végpontjánál végtelen sok tagja nagyobb, jobboldali végpontjánál viszont legfeljebb

72

2.9. Sorozatok alsó és fels˝o határértéke

véges sok tagja nagyobb. Ennek alapj´ an , véve a K1/n (α) (n ∈ N)∗ környezeteket, alhatunk, hogy minden n ∈ N∗ indexre rekurzióval olyan ν indexsorozatot defini´ xν n ∈ K1/n (α) teljes¨ ul. Ez azt jelenti, hogy az x ◦ ν részsorozatnak az α a határértéke. A lim sup és a lim inf a hat´ arérték egyfajta általános´ıtásaként is felfogható. Ezt támasztja alá a k¨ ovetkez˝ o

16.

Tétel. Az x valós számsorozatnak akkor és csak akkor van határértéke, ha L(x) = L(x) = L(x).

´s. Bizony´ıta uk ezt a közös értéket α-val. El˝oször tegy¨ uk fel, hogy L(x) = L(x), és jelölj¨ Minthogy az X és az Y értelmezése alapj´ an Yn 5 xn 5 Xn

(n ∈ N),

és a feltétel szerint L(Y ) = L(X) = α, azért az x-nek is van határértéke és az α-val egyenl˝o. Az áll´ıtás megford´ıt´ as´ at indirekt m´ odon igazoljuk. Ha L(x) 6= L(x), akkor a 15.Tétel iv) része szerint x-nek van két olyan részsorozata, amelyeknek k¨ ulönbözik a határértéke. Ekkor viszont x-nek nyilv´ an nincs határértéke. A 7.Következmény alapj´ an b´ armely λ > 0 számot véve λ · Xn = sup{λxk : k = n} (n ∈ N), s innen, felhaszn´ alva a lim sup defin´ıci´ oj´ at és a sorozat számszorosának a határértékére vonatkoz´ o szab´ alyt, ad´ odik az al´ abbi

4.K¨ ovetkezmény. Bármely pozit´ıv λ számra L(λ · x) = λ · L(x).

Megjegyzések 1. Az als´ o´ es a fels˝ o hat´ art a 15.T´ etel i) ´ es ii) r´ esz´ eben megfogalmazott tulajdons´ agaik alapj´ an is szok´ as defini´ alni. A mondott tulajdons´ ag´ u, R-beli elemek l´ etez´ ese a sz´ etv´ alaszt´ asi axi´ oma alapj´ an igazolhat´ o. 2. A 15.T´ etel iii) ´ es iv) r´ esz´ eben megfogalmazott ´ all´ıt´ as az als´ o ´ es a fels˝ o hat´ ar´ ert´ eknek azt a szeml´ eletes tulajdons´ ag´ at fejezi ki, amelyet a bevezet˝ oben eml´ıtett¨ unk. 3. Az als´ o´ es a fels˝ o hat´ ar´ ert´ eket – a hat´ ar´ ert´ ekhez hasonl´ oan – c´ elszer˝ u f¨ uggv´ enyk´ ent felfogni: L : SR → R,

L : SR → R.

2. Számsorozatok

73

A sup ´ es inf tulajdons´ agait felhaszn´ alva egyszer¨ uen igazolhat´ ok a sz´ oban forg´ o f¨ uggv´ enyek al´ abbi tulajdons´ agai: b´ armely k´ et val´ os x, y sz´ amsorozatra ´ es minden λ > 0 sz´ amra L(x + y) 5 L(x) + L(y),

L(x + y) = L(x) + L(y),

L(λ · x) = λ · L(x),

L(λ · x) = λ · L(x).

Az els˝ o sorban ´ all´ o egyenl˝ otlens´ egeket u ´ gy szoktuk szavakban kifejezni, hogy a lim sup funkcion´ al szubadditiv, a lim inf funkcion´ al szuperadditiv. A m´ asodik sorban megfogalmazott tulajdons´ agok pedig azt jelentik, hogy a sz´ oban forg´ o funkcion´ alok pozitiv homog´ enek.

2.10. Feladatok 1. Határozzuk meg az al´ abbi sorozatok als´ o és fels˝o határát, legkisebb és legnagyobb tagját, ha azok léteznek:

a)

(n, n ∈ N)

b)

(1, −1, 2, −2, · · · )

n

1 1 − (−1) , n ∈ N) d) ( , n ∈ N∗ ) 2 n 1 1 1 3 1 3 (−1)n , n ∈ N∗ ) f) ( , , , , , , · · · ) e) ( 3 3 4 4 5 5 n 8n + 3 1 g) ,n ∈ N h) (n − , n ∈ N∗ ) 5n + 4 n n n (−1) i) 1 + (−1)n + , n ∈ N∗ j) n(−1) , n ∈ N n 1 k) 3(1 − ) + 2(−1)n , n ∈ N∗ n 1 1 1 3 1 2n − 1 n `) , , , ,··· , n, ,··· . 2 2 4 4 2 2 c)

(

2. Az alábbi sorozatok k¨ oz¨ ul melyek monoton sorozatok:

a) c)

1 ∗ , n ∈ N n2 5n + 1 ,n ∈ N n − 11.5 1+

d) x = (xn , n ∈ N),

b)

1−

ahol x0 < x1

(−1)n , n ∈ N∗ n

és

xn+2 = xn+1 + 5x2n (n ∈ N).

74

2.10. Feladatok

3. A határérték defin´ıci´ oja alapj´ an igazoljuk az alábbi egyenl˝oségeket: a) c) e)

1+n 1 = b) 1 + 2n 2 −3n2 + 2 = −∞ d) lim n→∞ n+1 1−n 1+n +ı = 1 − ı. lim n→∞ n n lim

n→∞

lim (n + (−1)n ) = +∞

n→∞

lim

n→∞

1+

ı =1 n

(ı :=

√

−1)

4. Igazoljuk, hogy az al´ abbi sorozatok divergensek: a) c)

((−1)n + 1, n ∈ N) b) 1 1 1 1 + + + · · · + , n ∈ N∗ . 2 3 n

((−n)n , n ∈ N)

5. Adjuk meg az al´ abbi sorozatok egy monoton részsorozatát: n (−1)n + , n ∈ N∗ . a) (−1)3n+2 , n ∈ N b) n n − 100.5 6. Igazoljuk, hogy ha az (xn , n ∈ N∗ ) val´ os számsorozat monoton, akkor a σn :=

x1 + x2 + · · · + xn n

(n ∈ N∗ )

sorozat is monoton. 7. Az alábbi sorozatok k¨ oz¨ ul melyek az (n, n ∈ N) sorozat részsorozatai: a)

(1, 2, 3, · · · )

c)

(2, 1, 4, 3, 6, 5, · · · ) d)

b)

(2, 4, 6, 8, · · · ) (1, 1, 2, 2, 3, 3, · · · ).

8. Határozzuk meg az (1/n2 , n ∈ N∗ ) sorozatnak az alábbi ν = (νn , n ∈ N) indexsorozatokhoz tartoz´ o részsorozatait: a) ν := (11, 12, 13, · · · )

b) ν := (5, 10, 15, 20, · · · )

c) ν := (1, 4, 7, 10, 13, · · · ). 9. Igazoljuk, hogy minden p ∈ N, p > 2 sz´ amra √ lim p n = +∞. n→∞

10. Igazoljuk, hogy tetsz˝ oleges α ∈ R, α > 0 számra √ lim n α = 1. n→∞

√ ´ Utmutat´ as: legyen el˝ osz¨ or α > 1, n α = 1 + hn (hn > 0, n > 1). Alkalmazzuk az α = (1 + hn )n sz´ amra a Bernoulli-féle egyenl˝otlenséget.

2. Számsorozatok

75

11. Határozzuk meg az al´ abbi sorozatok hat´ arértékét: n−2 a) , n ∈ N∗ n n + 1994 ∗ , n ∈ N b) n2 (n + 4)3 − n(n + 6)2 ∗ , n ∈ N c) n3 a0 + a1 n + · · · + ap np d) , n ∈ N (p ∈ N∗ , a0 , · · · , ap , b0 , · · · , bp ∈ K) b 0 + b1 n + · · · + bq n q 1 + 2 + ··· + n n e) − ,n ∈ N n+2 2 1 + 3 + 5 + · · · + 2n − 1 ∗ f) , n ∈ N n3 2 1 + 22 + · · · + n2 ∗ g) , n ∈ N n3 2 1 + 32 + · · · + (2n − 1)2 ∗ , n ∈ N h) n3 1 · 2 + 2 · 3 + · · · + n(n + 1) ∗ i) , n ∈ N n3 n 2 + 2−n j) , n ∈ N 2−n + 3n αn k) , n ∈ N (α ∈ K) 1 + αn √ √ `) ( n + 1 − n, n ∈ N) √ √ √ m) n( n + 1 − n − 1), n ∈ N∗ ! √ √ 4 n3 + n − n √ n) ,n ∈ N n+2+ n+1 n √ ,n ∈ N o) √ n− n+1 3 ∗ √ p) , n ∈ N 1− n2 √ n q) 3n + 2n , n ∈ N n α r) ,n ∈ N (α ∈ K) n! 1 1 1 ∗ s) + + ··· + ,n ∈ N 1·2 2·3 n(n + 1) √ √ √ 4 2n t) 2 · 2··· 2, n ∈ N .

76

2.10. Feladatok

12. Igazoljuk, hogy az

1 1+ n

n

(n ∈ N∗ )

sorozat monoton n¨ ov˝ o és fel¨ ulr˝ ol korl´ atos. ´ Utmutat´ as: a monotonit´ as igazol´ as´ ahoz az 1 n

uk := 1 +

(k = 1, 2, · · · , n),

un+1 := 1

számokra alkalmazzuk a sz´ amtani és mértani középre vonatkozó egyenl˝otlenséget. A korl´ atoss´ ag igazol´ as´ ara legyen vk := 1 +

1 n

(k = 1, 2, · · · , n),

vn+1 := vn+2 :=

1 2

és ezekre alkalmazzuk a sz´ amtani és mértani középre vonatkozó egyenl˝otlenséget. 13. Legyen 1 e := lim (1 + )n . n→∞ n Mutassuk meg, hogy 1 1 lim (1 − )n = . n→∞ n e 14. Határozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o sorozatok határértékét: r q ! q √ √ √ 2, 2 2, 2 2 2, · · · a)

b)

√

α,

q

α+

√

r α,

α+

q

α+

√

! α, · · ·

(α > 0).

15. Az α ∈ R paraméter milyen értékére lesznek konvergensek az alábbi, rekurzióval megadott (xn , n ∈ N) sorozatok: a) x0 := 0, b) x0 := 0, c) x0 := 0, d) x0 := 1,

xn+1 := α + x2n (n ∈ N) α xn+1 := (n ∈ N) 1 + xn √ xn+1 := α + xn (n ∈ N) 1 α xn+1 := xn + (n ∈ N). 2 xn

16. Legyen x0 := α > 0, y0 := β > 0 és rekurzióval képezz¨ uk az xn+1 :=

√

xn yn ,

yn+1 :=

xn + yn 2

(n ∈ N)

2. Számsorozatok

77

sorozatokat. Igazoljuk, hogy mindkét sorozat konvergens és L(x) = L(y). Megjegyzés. A µ(α, β) := L(x) = L(y) k¨ oz¨ os határértéket a pozit´ıv α, β számok számtani-mértani k¨ ozepének nevezz¨ uk. Ez a közép kapcsolatban van az u ń. elliptikus integr´ alokkal, amelyek mind a matematikában, mind a fizikában fontos szerepet játszanak. Ebb˝ ol kiindulva az x, y sorozatokat felhasználva közel´ıt˝o eljárást adhatunk az eml´ıtett integr´ alok kiszám´ıtására. 17. Legyenek x és y divergens sz´ amsorozatok. El˝ofordulhat-e, hogy a) x + y,

b) x · y

konvergens ? 18. Legyen x egy nullsorozat, y egy tetsz˝ oleges számsorozat. Igaz-e, hogy ekkor x · y nullsorozat ? 19. Tegy¨ uk fel, hogy az x és az y sz´ amsorozat x·y szorzata nullsorozat. Következik-e ebb˝ol, hogy vagy az x, vagy az y nullsorozat ? 20. Igazoljuk, hogy b´ armely két val´ os x, y sz´ amsorozatra a) L(x) + L(y) 5 L(x + y) 5 L(x) + L(y) b) L(x) + L(y) 5 L(x + y) 5 L(x) + L(y), feltéve, hogy az itt szerepl˝ o¨ osszegeknek van értelme. 21. Legyenek x, y nem-negat´ıv sorozatok. Igazoljuk, hogy a) L(x) · L(y) 5 L(x · y) 5 L(x) · L(y) b) L(x) · L(y) 5 L(x · y) 5 L(x) · L(y), feltéve, hogy az itt szerepl˝ o szorzatoknak van értelme. 22. Igazoljuk, hogy ha x val´ os, pozit´ıv sz´ amsorozat, akkor 1 =L L(x)

1 , x

1 =L L(x)

1 . x

78

3.1. Végtelen sorok konvergenciája

3. Végtelen sorok és végtelen szorzatok Az összeadást és a szorz´ ast eddig véges sok tag, ill. véges sok tényez˝o esetén értelmezt¨ uk. Célszer˝ u mindkét m˝ uveletet kiterjeszteni végtelen sok tagra ill. végtelen sok tényez˝ ore. Ebben a pontban — a határérték fogalmára támaszkodva — elvégezz¨ uk ezt a kiterjesztést, bevezetve a végtelen sor, ill. a végtelen szorzat fogalmát, és megvizsg´ aljuk, hogy a véges ¨ osszegekre, ill. szorzatokra ismert számolási szabályok igazak-e a kiterjesztett esetekben. Ebben a pontban olyan végtelen sorokat, ill. végtelen szorzatokat vizsgálunk, amelyeket számsorozatokb´ ol ´ all´ıtunk el˝ o. Ezért ezeket a sorokat számsoroknak vagy numerikus soroknak nevezz¨ uk. Ezzel elnevezésben is k¨ ulönbséget tesz¨ unk ezek, és a kés˝obb bevezetésre ker¨ ul˝ o, m´ as t´ıpus´ u végtelen sorok, mint pl. a vektorsorok, vagy a f¨ uggvénysorok k¨ oz¨ ott.

3.1. Végtelen sorok konvergenciája Legyen x = (xn , n ∈ N) egy val´ os, vagy komplex számsorozat. Ebb˝ol kiindulva képezz¨ uk az alábbi form´ alis végtelen ¨ osszeget: x0 + x1 + x2 + · · · =

(1)

∞ X

xn .

n=0

Az xn számot az (1) sor n-edik tagjának nevezz¨ uk. Az a célunk, hogy ennek a végtelen numerikus sornak vagy végtelen számsornak (röviden: végtelen sornak) összeget tulajdon´ıtsunk. Ehhez bevezetj¨ uk az alábbi fogalmat.

Defin´ıci´ o. Az (2)

Xn := x0 + x1 + · · · + xn

(n ∈ N)

utas´ıtással értelmezett X = (Xn , n ∈ N) sorozatot az (1) végtelen sor r´ eszlet¨ osszegei sorozat´ anak nevezz¨ uk. A (2) definici´ o — rekurzi´ ot haszn´ alva — nyilván fel´ırható az alábbi, (2)-vel

3. Végtelen sorok és szorzatok

79

ekvivalens form´ aban: (3)

X0 := x0 ,

Xn := Xn−1 + xn

(n ∈ N∗ ).

Ezzel az utas´ıt´ assal minden x sz´ amsorozathoz, vagy a bel˝ole képzett (1) végtelen sorhoz egy u ´jabb, az X sz´ amsorozatot rendelt¨ uk. A most értelmezett S3x→X∈S leképezés egy bijekci´ o, amelynek inverzét (3) alapján az x0 = X0 ,

xn = Xn − Xn−1

(n ∈ N∗ )

rekurzióval adhatjuk meg. Ezzel a bijekci´ oval a végtelen számsorok és a számsorozatok között egy k¨ olcs¨ on¨ osen egyértelm˝ u megfeleltetést létes´ıtett¨ unk. Ezt felhasználva a sorokra vonatkoz´ o fogalmakat és áll´ıtásokat — a sor részletösszegeinek sorozatát véve — visszavezetj¨ uk sorozatokra. Néha célszer˝ u az (Xn , n ∈ N) sorozat helyett a (2) leképezésben neki megfelel˝ o X0 + (X1 − X0 ) + (X2 − X1 ) + · · · sort vizsgálni és a sorozatokra vonatkoz´ o eredményeket erre átfogalmazni. A végtelen sor konvergenci´ aj´ at visszavezetj¨ uk a részletösszegek konvergenciájára.

Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy az (1) végtelen sor konvergens, ha a (2) részlet¨ osszegek sorozata konvergens. A részletösszegek sorozatának a hat´ arértékét az (1) végtelen sor ¨ osszeg´ enek nevezz¨ uk. Azt, hogy az (1) sor konvergens és ¨ osszege az α szám, ´ıgy jelölj¨ uk: x0 + x1 + x2 + · · · = α

vagy

∞ X

xn = α.

n=0

A sorozatokra vonatkoz´ o tételek a legt¨ obb esetben egyszer˝ uen átfogalmazhatók végtelen sorokra. Péld´ aul az X részlet¨ osszegek sorozatára alkalmazva a Cuchy-féle konvergencia kritériumot, ad´ odik a sorokra vonatkozó

Cauchy-féle konvergencia kritérium. Az (1) végtelen sor akkor és csak akkor konvergens, ha minden > 0 számhoz létezik olyan N ∈ N, hogy minden n, m ∈ N, n ≥ m ≥ N indexre (4)

|xm + xm+1 + · · · + xn | < .

80

3.1. Végtelen sorok konvergenciája

Alkalmazzuk a most megfogalmazott konvergencia kritériumot az n = m esetben, feltéve, hogy (1) konvergens. Ekkor azt kapjuk, hogy ∀ > 0 ∃ N ∈ N ∀ n ∈ N, n = N : |xn | < , s ez pontosan azt jelenti, hogy limn→∞ xn = 0. Ezzel a következ˝o áll´ıtást igazoltuk:

1. K¨ ovetkezmény. Ha az (1) sor konvergens, akkor x nullsorozat. Láttuk, hogy ha az x, y sz´ amsorozatokra xn = yn majdnem minden n-re, akkor az x és az y egyszerre konvergens, vagy divergens. A sorokra vonatkozó Cauchy-féle konvergencia kritériumb´ ol k¨ ovetkezik, hogy ugyanilyen feltétel mellett az x és az y sorozatból képzett végtelen sorok is egyszerre konvergensek, vagy divergensek. Valóban, az eml´ıtett esetben létezik olyan N0 ∈ N index, hogy minden n ≥ N0 indexre xn = yn , k¨ ovetkezésképpen |xm + xm+1 + · · · + xn | = |ym + ym+1 + · · · + yn |, ha n ≥ m ≥ N0 . Innen nyilv´ anval´ o, hogy a sz´ oban forgó két sorra egyszerre teljes¨ ul, vagy nem teljes¨ ul a Cauchy-féle konvergencia kritérium. Ebb˝ol adódik az alábbi

2. K¨ ovetkezmény. Ha xn = yn majdnem minden n-re, akkor a ∞ X

xn

és a

n=0

∞ X

yn

n=0

sorok egyszerre konvergensek, vagy divergensek. Néha olyan végtelen sorokat is tekint¨ unk, ahol a tagok indexe 1-gyel kezd˝odik. Ilyenkor az ∞ X x1 + x2 + · · · , ill. a xn n=1

jelöléseket haszn´ aljuk. Az (1) sor mellett gyakran vizsg´ aljuk majd az x sorozat abszol´ ut értékéb˝ol alkotott sort. Ezzel kapcsolatos a k¨ ovetkez˝ o

Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy az (1) végtelen sor abszol´ ut konvergens, ha a (5)

∞ X n=0

sor konvergens.

|xn |


81

Minbthogy tetsz˝ oleges n ≥ m ≥ N indexre |xm + xm+1 + · · · + xn | 5 |xm | + |xm+1 | + · · · + |xn |, azért ha az (5) sorra teljes¨ ul a (4) feltétel, akkor az (1)-re is. Innen a Cauchy-féle konvergencia kritérium alapj´ an ad´ odik a

3. K¨ ovetkezmény. Ha az (1) sor konvergens, akkor egyúttal abszolút konvergens. Megjegyezz¨ uk, hogy az ut´ obbi a ´ll´ıt´ as ford´ıtottja nem igaz. Kés˝obb megmutatjuk, hogy pl. a ∞ X (−1)n n=1

n

sor konvergens, de nem abszol´ ut konvergens.

Megjegyzések 1. Az 1+

∞ X 1 1 1 + + ··· = 2 3 n n=1

v´ egtelen sort harmonikus sornak nevezz¨ uk. Egyszer˝ uen igazolhat´ o, hogy a harmonikus sor divergens. A sz´ oban forg´ o sor (sn , n ∈ N∗ ) r´ eszlet¨ osszegeire ui. nyilv´ an s2k − sk =

1 1 1 + + ··· + k+1 k+2 2k

teljes¨ ul. A jobb oldalon ´ all´ o k tag mindegyik´ et az utols´ o taggal helyettes´ıtve s2k − sk = k ·

1 1 = 2k 2

(k ∈ N∗ )

ad´ odik. A most kapott egyenl˝ otlens´ eg alapj´ an, = 1/2, m = k, n = 2k v´ alaszt´ as mellett, a k¨ ovetkez˝ ot ´ all´ıthatjuk: ∃ > 0 ∀ N ∈ N ∃ n ≥ m ≥ N : |sn − sm | ≥ , k¨ ovetkez´ esk´ eppen a harmonikus sor nem tesz eleget a Cauchy-f´ ele konvergencia krit´ eriumnak. Ezzel megmutattuk, hogy a harmonikus sor val´ oban divergens. 2. Legyen q ∈ C. Az (6)

1 + q + q2 + · · · =

∞ X

qn

n=0

sort v´ egtelen geometriai vagy v´ egtelen m´ ertani sornak nevezz¨ uk. Megmutatjuk, hogy az (5) sor |q| < 1 eset´ en abszol´ ut konvergens, |q| ≥ 1 eset´ en pedig divergens. Ez ut´ obbi ´ all´ıt´ as abb´ ol k¨ ovetkezik, hogy a |q| ≥ 1 esetben |q n | = |q|n ≥ 1 (n ∈ N), s ez´ ert a (6)

82

3.2. Végtelen szorzatok

sor tagjai nem tartanak 0-hoz. A v´ egtelen m´ ertani sor n-edik r´ eszlet¨ osszeg´ et — az u ń. v´ eges m´ ertani sor k¨ oz´ episkol´ ab´ ol is ismert ¨ osszegk´ eplet´ et felhaszn´ alva — sn := 1 + q + · · · + q n =

1 − q n+1 1 1 = − −q n+1 · . 1−q 1−q 1−q

Minthogy a |q| < 1 esetben limn→∞ q n = 0, az´ ert az (sn , n ∈ N) sorozat konvergens ´ es lim sn =

n→∞

∞ X

qn =

k=0

1 . 1−q

3. Az 1. K¨ ovetkezm´ eny ´ es az ahhoz f˝ uz¨ ott megjegyz´ es alapj´ an a limn→∞ xn = 0 az (1) sor konvergenci´ aj´ anak sz¨ uks´ eges, de nem el´ egs´ eges felt´ etele. P P 4. Azt, hogy a ∞ es csak akkor konvergens, ha ∞ n=0 xn sor akkor ´ n=0 yn is konvergens, gyakran u ´gy is kifejezik, hogy a sz´ oban forg´ o k´ et sor ekvikonvergens. 5. Jel¨ olj¨ uk S-sel a (2) alatt bevezetett lek´ epez´ est: S 3 x → S(x) := X ∈ S. Az ´ ertelmez´ es alapj´ an vil´ agos, hogy S line´ aris, azaz b´ armely k´ et x, y ∈ S sorozatra ´ es minden λ ∈ K sz´ amra S(x + y) = S(x) + S(y), S(λx) = λS(x) teljes¨ ul. Az S(x) sorozat n-edik tagj´ at, vagyis az (1) sor n-edik r´ eszlet¨ osszeg´ et Sn (x)-szel is fogjuk jel¨ olni.

3.2. Végtelen szorzatok Legyen z = (zn , n ∈ N) egy val´ os vagy komplex számsorozat. A (7)

z0 · z 1 · z2 · · · =

∞ Y

zn

n=0

végtelen szorzat konvergenci´ aj´ anak az értelmezéséhez — a végtelen sorokkal kapcsolatban követett m´ odszerhez hasonl´ oan — képezz¨ uk az alábbi sorozatot: Zn := z0 z1 · · · zn

(n ∈ N).

A Z sorozatot a (7) végtelen szorzat részletszorzatai sorozatának nevezz¨ uk. Ez a defin´ıció nyilván ekvivalens az al´ abbi rekurz´ıv értelmezéssel: Z0 := z0 ,

Zn := Zn−1 · zn

(n ∈ N∗ ).


83

Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy a (7) végtelen szorzat konvergens, ha a részletszorzatok Z sorozata konvergens. A Z sorozat β := limn→∞ zn határértékét a (7) szorzat´ anak nevezz¨ uk, és ´ıgy jelölj¨ uk: z0 z1 z2 · · · = β

vagy

∞ Y

zn = β.

n=0

A zn számot a (7) n-edik tényez˝ ojének nevezz¨ uk. Ha a z sorozat valamelyik tagja 0, akkor egy indext¨ ol kezdve a Z sorozat valamennyi tagja 0 , s ekkor határértéke is nyilván 0. A tov´ abbiakban ezt a nyilv´ anvaló esetet ki fogjuk zárni, és csak z : N → K∗ alak´ u sorozatokat vizsg´ alunk. A sorozatokra vonatkoz´ o Cauchy-féle konvergencia kritériumból egyszer˝ uen következik a végtelen szorzatokra vonatkoz´ o

Cauchy-féle konvergencia kritérium. i) Ha a (7) végtelen szorzat konvergens és a hat´ arértéke nem 0, akkor (8)

∀ > 0 ∃ N ∈ N ∀ m, n ∈ N, n > m ≥ N : |zm+1 · zm+2 · · · · · zn − 1| < .

ii) Ha a z sorozatra teljes¨ ul a (8) kritérium, akkor a (7) végtelen szorzat konvergens. ´s. i) Ha a (7) végtelen szorzat konvergens és L(Z) 6= 0, akkor létezik Bizony´ıta olyan 0 < α szám, hogy α 5 |Zn |

(9)

minden n ∈ N indexre. Ezt az ´ all´ıt´ ast a h´ anyados határértékére vonatkozó tétel igazolásakor már bebizony´ıtottuk. (L´ asd a 2. pont 6.Tételének a bizony´ıtását.) Az áll´ıtás i) részének a bizony´ıt´ as´ ahoz alkalmazzuk a Cauchy-féle konvergencia kritériumot a Z sorozatra helyett az α sz´ amot véve. Ekkor létezik olyan N ∈ N index, hogy |Zm − Zn | < α, ha n ≥ m ≥ N. Innen — osztva az egyenl˝ otlenséget Zm -mel és felhasználva a (9) egyenl˝otlenséget — minden n > m ≥ N indexp´ arra |1 −

α Zn | = |1 − zm+1 zm+2 · · · zn | < 5 Zm |Zm |

adódik. Ezzel az ´ all´ıt´ as els˝ o részét bel´ attuk.

84

3.2. Végtelen szorzatok

ii) A második rész igazol´ as´ ahoz el˝ osz¨ or megmutatjuk, hogy (8)-ból a Z sorozat korlátossága következik. Val´ oban, (8)-ban az = 1 számot választva létezik olyan N1 ∈ N index, hogy minden n > N1 esetén |zN1 +1 · · · zn − 1| < 1, következésképpen |zN1 +1 · · · zn | = |1 + (zN1 +1 · · · zn − 1)| 5 2

(n > N1 ).

Ez utóbbi egyenl˝ otlenséget szorozva |ZN1 |-gyel |Zn | 5 2|ZN1 | (n > N1 ) adódik. Ha a β sz´ amot β := max{|Z0 |, |Z1 |, · · · , |ZN1 , 2|ZN1 |} szerint választjuk, akkor nyilv´ an |Zn | 5 β

(10)

(n ∈ N)

teljes¨ ul. Az ii) igazolás´ ahoz tegy¨ uk fel, hogy a z sorozatra teljes¨ ul a (8) feltétel, következésképpen (10) is fenn´ all. Alkalmazzuk a (8) áll´ıtást helyett az /β számra. Ekkor létezik olyan N ∈ N index, hogy minden n > N esetén |zm+1 · · · zn − 1| <

. β

Innen, megszorozva az egyenl˝ otlenséget |Zm |-mel és figyelembe véve (10)-et |Zn − Zm | < |Zm |

5 , β

azaz Z Cauchy-sorozat, k¨ ovetkezésképpen konvergens. A (8) áll´ıtást m + 1 = n esetén fel´ırva azt kapjuk, hogy ∀ > 0 ∃ N ∈ N ∀ n ∈ N, n > N : |zn − 1| < , s ez pontosan azt jelenti, hogy limn→∞ zn = 1.

4. K¨ ovetkezmény. Ha a (7) végtelen szorzat konvergens és értéke nem 0, akkor a szorzat tényez˝ oi tartanak 1-hez: lim zn = 1.

n→∞


85

Megjegyzések 1. A 4. K¨ ovetkezm´ enyt figyelembe v´ eve c´ elszer˝ u a v´ egtelen szorzat t´ enyez˝ oit zn = 1 + xn (n ∈ N) alakban fel´ırni, s ennek megfel˝ oen (7) helyett az (1 + x0 )(1 + x1 )(1 + x2 ) · · · =

∞ Y

(1 + xn )

n=0

v´ egtelen szorzatokat vizsg´ alni. Ekkor az L(z) = 1 felt´ etel a lim xn = 0

n→∞

felt´ etellel ekvivalens. 2. N´ eha olyan v´ egtelen szorzatokat is vizsg´ alunk, amelyekben a t´ enyez˝ ok indexe 1-gyel kezd˝ odik. Ilyen pl. az ∞ Y 1 1 1 1 (1 + ) (1 + )(1 + )(1 + ) · · · = 1 2 3 n n=1 v´ egtelen szorzat. Ennek a r´ eszletszorzatai 1 1 1 1 )(1 + )(1 + ) · · · (1 + ) = 1 2 3 n 2 3 4 n+1 = · · ··· = n + 1 (n ∈ N∗ ). 1 2 3 n

Zn = (1 +

Innen k¨ ovetkezik, hogy a sz´ oban forg´ o v´ egtelen szorzat divergens. 3. A logaritmus f¨ uggv´ enyeket felhaszn´ alva a v´ egtelen szorzatokat visszavezethetj¨ uk v´ egtelen sorokra, ´ es megford´ıtva, az exponenci´ alis f¨ uggv´ enyek seg´ıts´ eg´ evel v´ egtelen sorokb´ ol v´ egtelen szorzatokat k´ esz´ıthet¨ unk. Ez az ´ eszrev´ etel lehet˝ ov´ e teszi, hogy a sorokra vonatkoz´ o eredm´ enyeket ´ atvigy¨ uk v´ egtelen szorzatokra. Minthogy ebben a jegyzetben nem k´ıv´ anunk t´ amaszkodni az eml´ıtett f¨ uggv´ enyekre, az´ ert a v´ egtelen szorzatokat is k¨ ul¨ on t´ argyaljuk.

3.3. Nevezetes sorok Ebben a pontban a val´ os végtelen soroknak három fontos osztályát tárgyaljuk. Ezekben az esetekben egyszer˝ u, j´ ol ellen˝ orizhet˝o feltétellel lehet garantálni a vizsgált végtelen sorok konvergenci´ aj´ at.

3.3.1. Pozit´ıv tag´ u sorok El˝oször olyan val´ os végtelen sorokat vizsgálunk, amelyek tagja nem negat´ıvak, azaz xn ≥ 0 (n ∈ N).

86

3.3. Nevezetes sorok

Az ilyen sorokat — nem teljesen k¨ ovetkezetesen — pozit´ıv tag´ u soroknak nevezik. Minthogy ilyen sorok részlet¨ osszegeire nyilv´ an Xn 5 Xn + xn+1 = Xn+1

(n ∈ N)

teljes¨ ul, azért pozit´ıv tag´ u sorok részlet¨ osszegeinek a sorozata monoton növ˝o. Megford´ıtva, ha a részlet¨ osszegek sorozat´ ara Xn+1 ≥ Xn ≥ 0 minden n ∈ N indexre, akkor (3) alapj´ an a sor tagjai nyilv´ an nem-negat´ıvak. Ez az észrevètel más szavakkal azt jelenti, hogy a 3.1. pontban bevezetett S : SR → SR bijekciónak a nem-negativ sorozatok halmaz´ ara való lesz˝ uk´ıtése egy bijekció az S emlitett részhalmaza és a nem-negativ monoton növ˝o sorozatok halmaza között. A monoton sorozatok konvergenci´ aj´ ara vonatkozó áll´ıtásból közvetlen¨ ul adódik a

3. Tétel. Egy pozit´ıv tagú sor akkor és csak akkor konvergens, ha részletösszegeinek a sorozata korl´ atos. Ennek alapján k¨ ovetkezik az al´ abbi egyszer˝ u, u ń. összehasonl´ıtó kritérium. Tegy¨ uk fel, hogy az x, y val´ os sz´ amsorozatokra 0 5 x 5 y teljes¨ ul. Ekkor az ezekb˝ol alkotott sorok részlet¨ osszegeire Xn := x0 + x1 + · · · + xn 5 Yn := y0 + y1 + · · · + yn

(n ∈ N).

Innen, felhasználva a 1.Tételt, ad´ odik az

¨ Osszehasonlit´ o kritérium. Tegyük fel, hogy az x, y valós számsorozatokra (11)

0 5 xn 5 yn

(n ∈ N).

P∞ P∞ HaPa n=0 xn sor konvergens, akkor n=0 yn is konvergens, ha pedig P ∞ ∞ a n=0 xn sor divergens, akkor n=0 yn is divergens. Nyilvánvaló, hogy a most megfogalmazott összehasonl´ıtó kritérium akkor is érvényes, ha a (11) feltétel csak majdnem minden tagra áll fenn.

Megjegyzések 1. A most t´ argyalt v´ egtelen sorok oszt´ aly´ anak l´ etezik pontos megfelel˝ oje a v´ egtelen szorzatok k¨ or´ eben. Nevezetesen tekints¨ uk azoknak a z val´ os sz´ amsorozatoknak az ¨ osszess´ eg´ et, amelyekre zn ≥ 1

(n ∈ N).

Az ezekb˝ ol alkotott v´ egtelen szorzatok r´ eszletszorzatai monoton n¨ ov˝ o sorozatot alkotnak. Megford´ıtva, ha valamely monoton n¨ ov˝ o sorozat minden tagja 1-n´ el nagyobb vagy egyenl˝ o, akkor az sz´ armaztathat´ o a most eml´ıtett m´ odon, a mondott tulajdons´ ag´ u z sorozatb´ ol. A monoton


87

sorozatok konvergenci´ aj´ ara vonatkoz´ o t´ etelt erre az esetre alkalmazva megkaphatjuk a 4.T´ etel megfelel˝ oj´ et v´ egtelen szorzatokra. 2. Pozitiv tag´ u sorok r´ eszlet¨ osszegeinek mindig l´ etezik hat´ ar´ ert´ eke. Ha ez v´ eges, akkor a sor konvergens ´ es ¨ osszege ez a hat´ ar´ ert´ ek. Ha a hat´ ar´ ert´ ek +∞, akkor a sor divergens. Ezzel oszhangban azt, hogy az (1) pozitiv tag´ ¨ u sor konvergens, a ∞ X

xn < ∞

n=0

jel¨ ol´ essel is ki szokt´ ak fejezni.

3.3.2. Leibniz-t´ıpus´ u sorok A szóban forg´ o sorok a váltakoz´ o el˝ ojel˝ u soroknak egy alosztályát alkotják.

Defin´ıci´ o. Legyen x egy nem-negat´ıv, monoton fogyó számsorozat. Ekkor a ∞ X

(12)

(−1)n xn

n=0

sort Leibniz-tipus´ u sornak nevezz¨ uk. Ilyen sorok konvergenci´ aj´ra vonatkozik a

2. Tétel. A (12) Leibniz-tipusú sor akkor és csak akkor konvergens, ha lim xn = 0.

n→∞

´s. Minthogy L(x) = 0 a (12) végtelen sor konvergenciájának sz¨ Bizony´ıta ukséges feltétele, azért elég azt megmutatni, hogy az L(x) = 0 feltételb˝ol a (12) végtelen sor konvergenciája k¨ ovetkezik. Mivel minden n ∈ N indexre 0 5 xn+1 5 xn , azért a (12) végtelen sor páros index˝ u részletösszegeire s0 := x0 ≥ x0 − (x1 − x2 ) =: s2 ≥ · · · ≥ ≥ x0 − (x1 − x2 ) − · · · − (x2n−1 − x2n ) =: s2n

(n ∈ N∗ ),

azaz az (s2n , n ∈ N) sorozat monoton fogy´ o. Másként csoportos´ıtva a tagokat s1 := x0 − x1 5 (x0 − x1 ) + (x2 − x3 ) =: s3 5 · · · 5 5 (x0 − x1 ) + (x2 − x3 ) + · · · + (x2n−2 − x2n−1 ) =: s2n−1

(n ∈ N∗ ),

88


tehát az (s2n+1 , n ∈ N) sorozat monoton n¨ ov˝o. Minthogy s0 ≥ s2k ≥ s2k − x2k+1 = s2k+1 ≥ s1

(k ∈ N),

azért a részletösszegek p´ aros- és p´ aratlan index˝ u részsorozatai korlátosak, következésképpen ezek k¨ ul¨ on-k¨ ul¨ on konvergensek. Legyen α := lim s2k+1 , k→∞

β := lim s2k . k→∞

mivel s2k − s2k−1 = x2k

(k ∈ N),

azért az x-re tett feltétel alapj´ an 0 = lim x2k = lim s2k − lim s2k−1 = β − α, k→∞

k→∞

k→∞

azaz α = β. Ennek a k¨ oz¨ os értéknek b´ armely környezetén k´ıv¨ ul a sorozatnak véges sok páros és véges sok p´ aratlan index˝ u tagja van, következésképpen ez a szám az s sorozatnak is hat´ arértéke. Ezzel a tételt bebizony´ıtottuk. A bizony´ıtás alapj´ an az (s2k , k ∈ N) sorozat monoton fogyólag, az (s2l+1 , k ∈ N) sorozat pedig monoton n¨ oveked˝ oen tart a k¨ ozös α határértékhez. Ezért s2k+1 ≤ α 5 s2k

(k ∈ N),

következésképpen |s2k+1 − α| 5 |s2k+1 − s2k | = x2k+1

(k ∈ N),

illetve |s2k − α| 5 |s2k+1 − s2k | = x2k+1 5 x2k

(k ∈ N).

A most kapott két egyenl˝ otlenséget egybefoglalva adódik a Leibniz-t´ıpus´ u sorok konvergencia sebességére vonatkoz´ o al´ abbi

5. K¨ ovetkezmény. A (12) sor (sn , n ∈ N) részletösszegeinek és összegének eltérésére |sn − α| 5 xn teljes¨ ul.

(n ∈ N)


89

Megjegyzések 1. A sz´ am´ıt´ og´ epekben a val´ os sz´ amokat — a haszn´ alt aritmetik´ at´ ol f¨ ugg˝ oen — csak bizonyos pontoss´ aggal lehet ´ abr´ azolni. A matematikai anal´ızisban a val´ os sz´ amokat gyakran v´ egtelen sor ¨ osszegek´ ent adj´ ak meg. A gyakorlatban — a v´ egtelen sok tag helyett v´ eges sokat v´ eve — a v´ egtelen sor ¨ osszeg´ et olyan r´ eszlet¨ osszeg´ evel helyettes´ıtik, amelynek az ”osszegt˝ ol vett elt´ er´ ese a haszn´ alt” sz´ am´ abr´ azol´ as hib´ aj´ an bel¨ ul van. Ilyenkor nagyon hasznos, ha rendelkez´ esre ´ all a r´ eszlet¨ osszegek ´ es az ¨ osszeg elt´ er´ es´ ere egy egyszer˝ u, k¨ onnyen kezelhet˝ o hibabecsl´ es. Ilyen hibabecsl´ est ´ altal´ aban nem k¨ onny˝ u megadni. Legyen az α ∈ K val´ os vagy komplex sz´ amot az al´ abbi v´ egtelen sor ¨ osszege: (13)

y0 + y1 + · · · + yn + · · · = α.

Ekkor, az α helyett a sz´ oban forg´ o sor n-edik r´ eszlet¨ osszeg´ et v´ eve, az elt´ er´ es maga is egy v´ egtelen sor ¨ osszegek´ ent ´ırhat´ o fel: rn := α − sn = yn+1 + yn+2 + · · ·

(n ∈ N).

Az (rn , n ∈ N) sorozatot a (13) konvergens sor marad´ ek¨ osszeg sorozat´ anak nevezz¨ uk. Ha valamely ε = (εn , n ∈ N) monoton fogy´ o sz´ amsorozatra |rn | 5 εn

(n ∈ N)

teljes¨ ul, akkor azt mondjuk, hogy az ε az (rn , n ∈ N) elt´ er´ eseknek egy hibabecsl´ ese. Az 5. K¨ ovetkezm´ eny szerint Leibniz-t´ıpus´ u sorok eset´ en maga az x sorozat a marad´ ek¨ osszegeknek egy hibabecsl´ ese. 2. A Libniz-t´ıpus´ u sorok megfelel˝ oi a v´ egtelen szorzatok k¨ or´ eben a k¨ ovetkez˝ ok´ eppen ´ırhat´ ok le: legyen zn ≥ 1 (n ∈ N) egy monoton fogy´ o sz´ amsorozat. Ekkor a z0 · z1−1 · z2 · z3−1 · · · v´ egtelen szorzatot Leibniz-t´ıpusunak nevezz¨ uk. A 3.T´ etelhez hasonl´ oan igazolhat´ o, hogy ez a v´ egtelen szorzat akkor ´ es csak akkor konvergens, ha limn→∞ zn = 1.

3.3.3. Számok végtelen t¨ ort el˝ oáll´ıtása Rögz´ıts¨ unk egy p ∈ N, p > 1 természetes számot. Ebben a pontban olyan pozit´ıv tag´ u sorokat vizsg´ alunk, amelyeket (14)

x : N → P := {0, 1, · · · , p − 1}

alak´ u sorozatokb´ ol kiindulva a k¨ ovetkez˝ o m´ odon képez¨ unk: (15)

∞ X x0 x1 xn xn + 2 + · · · + n+1 + · · · = . p p p pn+1 n=0

90


Ezek a sorok b´ armely (14) alak´ u sor esetén konvergensek. Valóban, mivel (14) alapján p−1 xn 5 n+1 (n ∈ N) pn+1 p és az 1/p kvóciens˝ u mértani sor konvergens, továbbá p−1 p−1 1 (1 + p−1 + p−2 + · · · ) = · p p 1−

1 p

= 1,

azért — a pozit´ıv tag´ u sorokra vonatkoz´ o o¨sszehasonl´ıtó kritérium alapján — a (15) sor bármely (14) alak´ u sorozatb´ ol kiindulva konvergens és összege a [0, 1] intervallumba esik. Megmutatjuk, hogy a most megfogalmazott áll´ıtás megford´ıtása is igaz

5. Tétel. Bármely α ∈ [0, 1) számhoz létezik olyan (14) alakú x számsorozat, amelyre ∞ X xn = α. pn+1 n=0 ´s. Osszuk fel a [0, 1) intervallumot p egyenl˝o hossz´ Bizony´ıta uság´ u részintervallumra, azaz tekints¨ uk a hk k + 1 , p p

(k = 0, 1, · · · , p − 1)

részintervallumokat. Ezek p´ aronként diszjunktak és egyesités¨ uk a [0, 1) intervallum. Ebb˝ol következik, hogy ezek k¨ oz¨ ott pontosan egy olyan intervallum van, mondjuk az x0 -adik, amely az α sz´ amot tartalmazza: x0 x0 + 1 5α< . p p Ismételj¨ uk meg az elj´ ar´ ast a [0, 1) helyett a most kapott intervallumra. Ekkor p db páronként diszjunkt 1/p2 hossz´ us´ ag´ u intervallumot kapunk: hx

0

p

+

k x0 k + 1 , + p2 p p2

(k = 0, 1, · · · , p − 1).

Minthogy ezek egyes´ıtése [s0 , t0 ) :=

x0 + 1 p p

hx

0

,


91

és ennek az intervallumnak az α sz´ am eleme, azért az α az utóbbi részintervallumok köz¨ ul pontosan egyhez, mondjuk az x1 -edikhez tartozik. Jelölje [s1 , t1 ) :=

hx

0

p

+

x1 x0 x1 + 1 , + p2 p p2

ezt az intervallumot. Ezt az eljárást folytatva, rekurzi´ oval egy ([sn , tn ), n ∈ N) intervallumsorozatot definiálhatunk, amelyre sn =

x0 xn x0 xn + 1 x1 x1 + 2 + · · · + n+1 5 α < + 2 + · · · + n+1 =: tn p p p p p p

és xn ∈ P (n ∈ N). Az ´ıgy kapott x sorozattal képzett (15) sor részletösszegeinek sorozata éppen (sn , n ∈ N). A fenti egyenl˝ otlenségb˝ol 0 5 α − sn <

1 pn+1

(n ∈ N),

következik, s ´ıgy a (15) sor val´ oban konvergens és összege α. A most igazolt tétel alapj´ an minden α ∈ [0, 1) valós számhoz egy (14) t´ıpus´ u sorozatot rendelhet¨ unk, méghozz´ a egyértelm˝ uen, ha a tétel bizony´ıtása során használt eljárást követj¨ uk. Az α sz´ amhoz ilym´ odon hozzárendelt (13) végtelen sort az α szám p-alap´ u végtelen t¨ ort el˝ oáll´ıtásának, az xn számokat pedig az el˝oáll´ıtás jegyeinek nevezz¨ uk.

Megjegyzések 1. Egyszer˝ u sz´ amelm´ eleti meggondol´ asok alapj´ an ad´ odik, hogy minden n ∈ N term´ eszetes sz´ am egy´ ertelm˝ uen ´ all´ıthat´ o el˝ o r X n= nk pk k=0

alakban, ahol nk ∈ P ´ es r ∈ N. Ezt ¨ osszevetve az el˝ oz˝ o t´ etelben megfogalmazott ´ all´ıt´ assal azt kapjuk, hogy minden α ≥ 0 sz´ am el˝ o´ all´ıthat´ o α=

∞ X

xn p−(n+1)

n=−`

alakban, ahol ` ∈ N ´ es xn ∈ P minden n ∈ Z, n ≥ −` eg´ esz sz´ amra. Ezt az el˝ o´ all´ıt´ ast az α ≥ 0 sz´ am p-alap´ u v´ egtelen t¨ ort el˝ o´ all´ıt´ as´ anak nevezz¨ uk. 2. Ha valamely nem-negat´ıv sz´ am fenti el˝ o´ all´ıt´ as´ aban a jegyek egy indext˝ ol kezdve mind 0-val egyenl¨ ok, akkor azt mondjuk, hogy a sz´ oban forg´ o sz´ am p-adikusan racion´ alis. Ezeknek k´ et p alap´ u v´ egtelen t¨ ort el˝ o´ all´ıt´ asa is l´ etezik. Nevezetesen az eml´ıtett α = x−` p`−1 + · · · + x−1 p0 + x0 p−1 + · · · + xn p−n−1 + 0 · p−n−2 + 0 · p−n−3 + · · ·

92

3.4. M˝ uveletek sorokkal

0 jegyekkel v´ egz˝ od˝ o el´ all´ıt´ as mellett az x−` p`−1 + · · · + x−1 p0 + x0 p−1 + · · · + (xn − 1) · p−n−1 + (p − 1) · p−n−2 + (p − 1) · p−n−3 + · · · v´ egtelen sornak az ¨ osszege is α. Ha a p-adikusan racion´ alis sz´ amok k´ etf´ ele el˝ o´ all´ıt´ asa k¨ oz¨ ul — a fenti t´ etel bizony´ıt´ as´ aval ¨ osszhangban — csak az el˝ obbit haszn´ aljuk, akkor a a nem-negat´ıv val´ os sz´ amok ´ es azok p-alap´ u v´ egtelen t¨ ort el˝ o´ all´ıt´ asai k¨ oz¨ ott egy k¨ olcs¨ on¨ osen egy´ ertelm˝ u megfeleltet´ est l´ etes´ıthet¨ unk. 3. A gyakorlatban leggyakrabban a val´ os sz´ amoknak a p = 10 alapnak megfelel˝ o, u ń. v´ egtelen tizedest¨ ort el˝ o´ all´ıt´ as´ at haszn´ alj´ ak. A sz´ am´ıt´ og´ epekben a p = 2 esetnek megfelel˝ oen az u ń. diadikus el´ allit´ asukkal reprezent´ alj´ ak az eg´ esz sz´ amokat.

3.4. M˝ uveletek végtelen sorokkal A számsorozatokhoz hasonl´ oan a végtelen sorok körében is célszer˝ u algebrai m˝ uveleteket bevezetni. Ezzel kapcsolatos az alábbi

Defin´ıci´ o. Az x = (xn , n ∈ N), y = (yn , n ∈ N) valós, vagy komplex számsorozatokkkal és a λ ∈ K sz´ ammal képzett ∞ X

(16)

(xn + yn )

n=0

sort a

P∞

n=0

xn és a

P∞

n=0

yn sor ¨ osszeg´ enek, ill. a ∞ X

(17)

λxn

n=0

sort a λ sz´ am és a

P∞

n=0

xn végtelen sor szorzat´ anak nevezz¨ uk.

A sorozatok hat´ arértékére vonatkoz´ o m˝ uveleti szabályokat a szóban forgó (16) és (17) sorok részlet¨ osszegeire alkalmazva egyszer˝ uen igazolható az alábbi P∞

P∞ xn , n=0 yn sorok konvergensek és összeg¨ uk rendre αP és β, akkor a (16) sor is konvergens és összege α + β. ∞ ii) Ha a n=0 xn sor konvergens és ¨ osszege α, akkor a (17) sor is konvergens és ¨ osszege λα.

4. Tétel. i) Ha a

n=0

´s. Legyen Bizony´ıta Xn := x0 + x1 + · · · + xn ,

Yn := y0 + y1 + · · · + yn

(n ∈ N).


93

Ekkor nyilván (x0 + y0 ) + (x1 + y1 ) + · · · + (xn + yn ) = Xn + Yn , λx0 + λx1 + · · · + λxn = λXn . Mivel a feltétel szerint limn→∞ Xn = α és limn→∞ Yn = β, azért limn→∞ (Xn + Yn ) = α + β és limn→∞ λXn = λα. Ez éppen azt jelenti, hogy a (16), (17) sorok konvergensek és ¨ osszeg¨ uk az áll´ıtásban adott szám. Most megvizsg´ aljuk, hogy a véges ¨ osszegek asszociat´ıv tulajdonsága milyen formában érvényes végtelen sorokra. Ezzel kapcsolatos az alábbi

Defin´ıci´ o. Legyen (xn , n ∈ N) egy valós, vagy komplex számsorozat és ν = (νn , n ∈ N) egy indexsorozat. Ezekkel képezz¨ uk az α0 : = x0 + · · · + xν0 , α1 : = xν0 +1 + · · · + xν1 , .. . αn : =

νn X

xk

(n ∈ N∗ )

k=νn−1 +1

sorozatot. Ekkor a (18)

∞ X

αn

n=0

sort a (19)

∞ X

xk

k=0

sor egy z´ ar´ ojelezett sor´ anak nevezz¨ uk. Az elnevezés arra utal, hogy (18) sor a (19)-b˝ol nyilván az alábbi zárójelezéssel adódik: (x0 + · · · + xν0 ) + (xν0 +1 + · · · + xν1 ) + · · · . Minthogy a (18) z´ ar´ ojelezett sor n-edik részletösszegére Tn : = α0 + α1 + · · · + αn = = (x0 + · · · + xν1 ) + · · · + (xνn−1 +1 + · · · + xνn ) = = x0 + x1 + · · · + xνn = Xνn

(n∈N)

94


teljes¨ ul, azért Tn a (19) sor νn -edik részlet¨ osszegével egyenl˝o. Innen adódik, hogy ha a (19) sor konvergens, akkor részlet¨ osszegeinek (Xνn , n ∈ N) részsorozata, következésképpen a (18) sor is konvergens és a két sor összege megegyezik. Ezzel az alábbi ´ all´ıt´ ast igazoltuk:

5. Tétel. Konvergens sor bármely zárójelezése is konvergens és a sor összege a z´ ar´ ojelezéssel nem v´ altozik. Megjegyezz¨ uk, hogy a most igazolt tétel megford´ıtása általában nem igaz, mert pl. az (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + · · · sor nyilván konvergens, de a z´ ar´ ojelek elhagyásával kapott 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ··· sor divergens. Bizonyos esetekben azonban az 5.Tétel megford´ıtható.

6. Tétel. Ha a (18) sor konvergens és i) (νn+1 − νn , n ∈ N) korl´ atos sorozat, valamint ii) limn→∞ x = 0, n P∞ akkor a n=0 xn sor is konvergens. ´s. Legyen n > ν0 tetsz˝ Bizony´ıta oleges index és K az (νk+1 − νk , k ∈ N) sorozat egy fels˝o korlátja. Nyilv´ an egyetlen olyan k ∈ N létezik, amelyre νk 5 n < νk+1 teljes¨ ul. Az Xn := x0 + x1 + · · · + xn és a Tk := α0 + α1 + · · · + αk részletösszegekre az αk értelmezése alapj´ an azt kapjuk, hogy |Xn − Tk | = |xνk +1 + · · · + xn | 5 K sup{|x` | : ` ≥ νk }. Minthogy a fels˝ o hat´ arérték értelmezése szerint az k := sup{|x` | : ` ≥ νk } (k ∈ N) sorozatra lim sup{|x` | : ` ≥ νk } = lim sup |xn | = lim |xn | = 0, k→∞

n→∞

n→∞

azért |Xn − Tk | 5 Kk → 0, ha n (és ezzel egy¨ utt) k → ∞. Ezzel megmutattuk, hogy a (Xn , n ∈ N) sorozat konvergens és limn→∞ Xn = limk→∞ Tk , amivel a tételt igazoltuk. Most megvizsg´ aljuk, hogy az ¨ osszead´ as kommatat´ıv tulajdonsága milyen feltételek mellett érvényes végtelen sorokra. Ehhez bevezetj¨ uk az alábbi fogalmat.


95

Defin´ıci´ o. Legyen p = (pn , n ∈ N) : N → N a természetes számok egy permutáci´ oja. Ekkor a ∞ X

(20)

xpn

n=0

P∞ végtelen sort a n=0 xn sor egy ´ atrendez´ es´ enek vagy permut´ acioj´ ´ anak nevezz¨ uk. Az átrendezett sor konvergenci´ aj´ ara vonatkozik az alábbi P 7. Tétel. Ha a ∞ ut konvergens, akkor bármely n=0 xn sor abszol´ átrendezése is abszol´ ut konvergens és a sor összege az átrendezéssel nem változik. ´s. Jel¨ Bizony´ıta olj¨ uk Tn -nel a (20) sor n-edik részletösszegét: Tn := xp0 + xp1 + · · · + xpn . i) El˝oször megmutatjuk, hogy ha minden n ∈ N indexre xn ≥ 0, akkor akkor a (20) sor b´ armely p permut´ aci´ o esetén konvergens és ∞ X

xpn ≤

n=0

∞ X

xn .

n=0

Tetsz˝oleges n ∈ N indexre legyen Nn := max{p0 , p1 , · · · , pn }. Ekkor az XNn = x0 + x1 + · · · + xNn o¨sszeg tagjai köz¨ ott a Tn valamennyi tagja el˝ofordul, következésképpen minden n ∈ N indexre ∞ X Tn 5 XNn 5 sup{Xk : k ∈ N} = xk . k=0

Minthogy az átrendezett sor is pozit´ıv tag´ u és a részletösszegeinek sorozata korlátos, azért konvergens és az ¨ osszegére (21)

∞ X

xpn = sup{Tn : n ∈ N} ≤

n=0

s ezzel a mondott ´ all´ıt´ ast bebizony´ıtottuk.

∞ X n=0

xn ,

96


ii) Els˝o lépésben a tételt pozit´ıv tag´ u sorokra igazoljuk. Ha minden n ∈ N indexre xn ≥ 0, akkor az i)-ben igazoltak alapján a (20) sor konvergens és összegére (21) teljes¨ ul. Az ´ atrendezett (20) sorb´ ol kiindulva a p permutáció inverzét felhasználva, átrendezéssel visszakapjuk az eredeti sort. Erre az esetre alkalmazva az i)-ben igazolt (21) egyenl˝ otlenség megfelel˝ ojét, a (21) becslés ford´ıtottját kapjuk. Ez a (21)-gyel egy¨ utt a bizony´ıtand´ o´ all´ıt´ ast jelenti. P∞ Ha a most mondottakat a n=0 |xn | sorra alkalmazzuk, az átrendezett sor abszol´ ut konvergenci´ aj´ ara vonatkoz´ o´ all´ıt´ as ad´ odik. iii) Legyen most x = (xn , n ∈ N) egy val´ os számsorozat. Jelölje α+ és α− az α valós szám pozit´ıv-, ill. negat´ıv részét: α+ :=

ha α ≥ 0,

α, 0,

ha

α− :=

α<0

−α, 0,

ha α < 0, ha

α≥0

Ekkor α = α+ − α− , |α| = α+ + α− . P∞ Ezt felhasználva bontsuk fel a ıv és negat´ıv rész¨ uk n=0 xn sor tagjait pozit´ k¨ ulönbségére. Minthogy a sz´ oban forg´ o sor abszol´ ut konvergens és 0 5 x− n 5 |xn | (n ∈ N)

0 5 x+ n 5 |xn |,

azért az összehasonl´ıt´ o kritérium alapj´ an az ezekb˝ol alkotott sorok k¨ ulön–k¨ ulön konvergensek. Legyen α :=

∞ X

x+ n,

β :=

n=0

∞ X

x− n.

n=0

Ekkor a végtelen sorok k¨ ul¨ onbségére vonatkozó azonosság alapján ∞ X

xn =

n=0

∞ X

− (x+ n − xn ) = α − β.

n=0

Másrészt — a tagok pozit´ıv- és negat´ıv részeib˝ol alkotott pozit´ıv tag´ u sorokra alkalmazva a tételt — azt kapjuk, hogy ezek bármely átrendezése is konvergerns és összeg¨ uk α, ill.β: ∞ ∞ X X x+ x− pn = β. pn = α, n=0

n=0

Ezekre az átrendezett sorokra alkalmazva a sorok k¨ ulönbségére vonatkozó m˝ uveleti szabályt ∞ ∞ ∞ X X X + xpn = xpn − x− pn = α − β n=0

n=0

n=0


97

adódik. Ezzel valos sz´ amsorokra is igazoltuk a tételt. iv) Vég¨ ul legyen xn = un + ıvn (n ∈ N) egy komplex számsorozat. Minthogy a valós (un , n ∈ N), (vn , n ∈ N) sz´ amsorozatokra |un | 5 |xn |,

|vn | 5 |xn | (n ∈ N),

P∞ P∞ ul¨ on-k¨ ul¨ on abszol´ ut konvergensek. Ezekre a azért a n=0 un , n=0 vn sorok k¨ valós számsorokra alkalmazva a tétel m´ ar bebizony´ıtott részét azt kapjuk, hogy ezek bármely átrendezése is konvergens és ∞ X

upn =

n=0

∞ X

un ,

n=0

∞ X

vpn =

n=0

n=0

xpn =

∞ X n=0

upn + ı

∞ X

vpn =

n=0

∞ X

vn

n=0

a természetes sz´ amok b´ armely p permut´ aciójára. vonatkozó m˝ uveleti szab´ alyokat a bizony´ıtandó ∞ X

∞ X

Ismét alkalmazva a sorokra

un + ı

n=0

∞ X n=0

vn =

∞ X

xn

n=0

egyenl˝oséget kapjuk. A most igazolt tételben az abszol´ ut konvergenciára vonatkozó feltétel sz¨ ukségességét mutatja az al´ abbi, Riemannt´ ol származó tétel, amelyet itt csak valós számsorozatokra fogalmazunk meg.

8. Tétel. os számsorozat. P∞Legyen (xn , n ∈ N) egy val´ i) Ha a n=0 xn sor nem abszol´ ut konvergens, akkor van olyan átrendezése, amely P∞ divergens. ii) Ha a n=0 xn végtelen sor konvergens, de nem abszol´ ut konvergens, akkor bármely γ val´ os sz´ amhoz létezik a szóban forgó sornak olyan konvergens ´ atrendezése, amelynek ¨ osszege γ. P ´s. Ha a ∞ Bizony´ıta all´ıtás els˝o része nyilvánvalóan n=0 xn sor divergens, akkor az ´ fennáll. Ezért mindkét ´ all´ıt´ as bizony´ıt´ asakor feltehetj¨ uk, hogy a szóban forgó sor konvergens, de nem abszol´ ut konvergens. El˝oször megmutatjuk, hogy a most eml´ıtett két feltételb˝ol következik, hogy a ∞ X n=0

x+ n,

∞ X

x− n

n=0

P∞ sorok mindegyike divergens. Val´ oban, minthogy a konvergens n=0 xn sor a fenti két sor k¨ ulönbsége, azért ha ezek k¨ oz¨ ul valamelyik konvergens volna, akkor — a sorokra vonatkoz´ o m˝ uveleti szab´ alyok alapj´ an — a másik is az volna. Ekkor viszont

98


az összeg¨ uk is konverg´ alna, k¨ ovetkezésképpen az eredeti sor abszol´ ut konvergens volna. Feltehetj¨ uk, hogy az x sorozat egyetlen tagja sem 0. Valóban, minthogy a végtelen soroknak sem a konvergenci´ aja, sem az összege nem változi, ha tagjai köz¨ ul a 0-val egyenl˝ oket elhagyjuk, vagy 0-val egyenl˝o tagokat hozzávesz¨ unk, azért a most eml´ıtett feltétel nem jelenti az ´ altal´ anosság megszor´ıtását. Az x pozit´ıv és negat´ıv tagjaiból alkotott részsorozaira vezess¨ uk be az (αn , n ∈ N),

(βn , n ∈ N)

jelöléseket. Ekkor minden N ∈ N indexre (22)

∞ X

∞ X

αk = +∞,

k=N

−βn = +∞.

k=N

i) Az áll´ıtás els˝ o részének az igazol´ as´ ahoz megmutatjuk, hogy van az eredeti sornak egy olyan ´ atrendezése, amelyre nem teljes¨ ul a sorokra vonatkozó Cauchy féle konvergencia kritérium. Legyen (νn , n ∈ N) olyan indexsorozat, amelyre ν0 = 0 és minden k ∈ N indexre νk+1 −1

X

α` > 1.

`=νk

Ilyen indexsorozat létezése (22) alapj´ an rekurzióval igazolhat´ o. Ezt felhasználva P ∞ tekints¨ uk az eredeti sornak azt az ´ atrendezését, amelyet a ol u ´gy n=0 αn sorb´ kapunk, hogy ennek νn -edik tagja elé beiktatjuk a βn tagot (n ∈ N). Ennek az átrendezésnek a (Tn , n ∈ N) részlet¨ osszegeire a konstrukció alapján ννn+1 −1

|Tνn+1 +n−1 − Tνn +n | =

X

αk > 1

(n ∈ N)

k=νn

teljes¨ ul. Ezzel bel´ attuk, hogy az eredeti sor most tekintett átrendezése nem tesz eleget a Cauchy-féle konvergencia kritériumnak. ii) Tegy¨ uk fel, hogy γ ≥ 0. A P γ < 0 eset értelemszer˝ u módos´ıtásokkal ha∞ sonlóan tárgyalhat´ o. Minthogy a α sor divergens, azért léteznek ennek n=0 n olyan részletösszegei, amelyek nagyobbak γ-nál. Vegy¨ uk ezek köz¨ ul a legkisebb index˝ ut: S0 := α0 + · · · + αν + . 0

Erre nyilván S0 − αν + 5 γ < S0 0


99

teljes¨ ul. Ismételj¨ uk meg a most alkalmazott eljárást (értelemszer˝ u módos´ıtással) γ P∞ helyett a γ − S0 < 0 sz´ amra a n=0 βn negat´ıv tag´ u sort véve. Ekkor ennek létezik olyan ν0− index˝ u részlet¨ osszege, R0 , hogy R0 < γ − S0 5 R0 − βν − , 0

azaz S0 + R0 < γ 5 S0 + R0 − βν − . 0

Ezt a kétlépésesPelj´ ar´ ast ismételj¨ uk meg el˝oször a γ − (S0 + R0 ) > 0 számmal a ∞ szintén divergens k=ν + +1 αk sort véve. Ekkor létezik olyan ν1+ > ν0+ index, hogy 0 a pozit´ıv tagokb´ ol alkotott sor +

S1 :=

ν1 X

αk

k=ν0+ +1

szeletére S1 − αν + 5 γ − (S0 + R0 ) < S1 1

teljes¨ ul. Második lépésben tekints¨ uk a γ − (S0 + R0 + S1 ) < 0 számot és a divergens ∞ X

βk

k=ν0− +1

sort. Ekkor az el˝ oz˝ oekhez hasonl´ oan létezik olyan ν1− > ν0− index, hogy a negat´ıv tagokból alkotott sor ν1− X βk R1 := k=ν0− +1

szeletére R1 < γ − (S0 + R0 + S1 ) 5 R1 − βν − , 1

azaz S0 + R0 + S1 + R1 < γ 5 S0 + R0 + S1 + R1 − βν − 1

teljes¨ ul. Ezt a konstrukci´ ot folytatva rekurzi´ oval két olyan (νn+ , n ∈ N) és (νn− , n ∈ N) indexsorozatot defini´ alhatunk, hogy az ezekkel képzett −

+

Sn :=

νn X + k=νn−1 +1

αk ,

Rn :=

νn X − k=νn−1 +1

βk

(n ∈ N∗ )

100


szeletekre S0 + R0 + · · · + Sn − ανn+ 5 γ < S0 + R0 + · · · + Sn ,

(23) illetve (24)

S0 + R0 + · · · Sn + Rn < γ 5 S0 + R0 + · · · Sn + Rn − βνn−

+ − teljes¨ ul. Ezek az egyenl˝ otlenségek n = 0 esetén is érvényesek, ha ν−1 = ν−1 = −1.

A (23) egyenl˝ otlenség els˝ o része és a (24) második része alapján −ανn+ 5 γ − (S0 + R0 + · · · + Sn ) 5 Rn − βνn− , következésképpen −Rn = |Rn | 5 ανn+ + |βνn− | (n ∈ N).

(25)

A (23) els˝o részét és a (24) m´ asodik részét n helyett n − 1-re felhasználva az el˝oz˝okhöz hasonl´ oan azt kapjuk, hogy Sn − ανn+ 5 γ − (S0 + R0 + · · · + Sn−1 + Rn−1 ) 5 −βν − , n−1

következésképpen Sn 5 ανn+ + |βν − | (n ∈ N).

(26)

n−1

Minthogy az eredeti sor konvergens, azért tagjai nullsorozatot alkotnak, következésképpen lim αn = lim βn = 0. n→∞

n→∞

Innen és (23) -b´ ol k¨ ovetkezik, hogy a a z´ ar´ ojelezett ∞ ∞ X X (αν + +1 + · · · + ανn+ + βν − +1 + · · · + βνn− ) = (Sn + Rn ) n−1

n−1

n=0

n=0

végtelen sor konvergens és ¨ osszege γ. A konstrukció alapján az is nyilvánvaló, hogy ez utóbbi sorból a z´ ar´ ojelek elhagy´ as´ aval kapott végtelen sor az eredetinek egy átrendezése. Minthogy az ´ atrendezett sor részlet¨ osszegeinek (Tνn+ +νn− , n ∈ N) részsorozata a zárójelezett sor részlet¨ osszegeinek a sorozatával azonos, azért ezek γ-hoz konvergálnak. Ha valamely m indexre + νn+ + νn− < m 5 νn+1 + νn−

vagy

+ + − νn+1 + νn− < m < νn+1 + νn+1

teljes¨ ul, akkor az els˝ o esetben |Tm − Tνn+ +νn− | 5 |Sn |, a másodikban pedig |Tm − Tν +

− n+1 +νn+1

| 5 |Rn |.

Innen — felhaszn´ alva a (25), (26) egyenl˝ otlenségeket — következik, hogy az átrendezett sor részlet¨ osszege sorozata konverg´ al, és az átrendezett sor összege valóban γ.


101

Megjegyzések 1. A sorok ´ atrendez´ es´ ere vonatkoz´ o 7.T´ etel a kommutativit´ as szab´ aly´ anak v´ egtelen ¨ osszegre vonatkoz´ o analogonj´ anak (megfelel˝ oj´ enek) tekinthet˝ o. A 7. ´ es a 8.T´ etelt gyakran a k¨ ovetkez˝ o ¨ osszevont alakban is meg szokt´ ak fogalmazni: valamely v´ egtelen sor b´ armely ´ atrendez´ ese akkor ´ es csak akkor konvergens, ha az illet˝ o v´ egtelen sor abszol´ ut konvergens. 2. Sorok ´ atrendez´ es´ evel kapcsolatos az al´ abbi fogalom is. Akkor mondjuk, hogy egy v´ egtelen sor felt´ etlen konvergens, ha b´ armely ´ atrendez´ ese konvergens. Az 1. pontban megfogalmazott all´ıt´ ´ as alapj´ an az abszolut konvergens ´ es a felt´ etlen konvergens sorok oszt´ alya azonos. Ha valamely v´ egtelen sor konvergens, de nem abszol´ ut konvergens, akkor azt mondjuk, hogy felt´ etelesen konvergens. 3. Tekints¨ uk valamely val´ os konvergens sor ¨ osszes konvergens ´ atrendez´ es´ et ´ es ezek ¨ osszegeinek a halmaz´ at. Ekkor k´ et eset lehets´ eges. Ha a sor abszol´ ut konvergens, akkor ez a halmaz egyetlen pontb´ ol ´ all. Ha a sor felt´ etelesen konvergens, akkor a 8.T´ etel alapj´ an ez a halmaz az R-rel egyenl˝ o. 4. A 7.T´ etelt komplex sz´ amsorokra is igazoltuk, a 8.T´ etel els˝ o r´ esze pedig a val´ os esthez hasonl´ oan igazolhat´ o ilyen v´ egtelen sorokra. Az ´ all´ıt´ as m´ asodik r´ esze komplex sz´ amsorokra altal´ ´ aban m´ ar nem igaz. Ezzel kapcsolatos Steinitz al´ abbi t´ etele. Valamely komplex tag´ u konvergens sor konvergens ´ atrendez´ eseit v´ eve, h´ arom eset lehets´ eges: az ¨ osszegek halmaza vagy egyetlen pontb´ ol ´ all, vagy a komplex sz´ ams´ık egy egyenes´ evel, vagy a teljes komplex sz´ ams´ıkkal egyenl˝ oP . Azt, hogy a m´ asodik eset is el˝ ofordulhat, a k¨ ovetkez˝ o ∞ egyszer˝ u p´ elda is mutatja. Legyen P ut konvergens komplex v´ egtelen sor, k=0 zk egy abszol´ amelynek ¨ osszege α. Legyen tov´ abb´ a ∞ etelesen konvergens val´ os v´ egtelen sor k=0 xk egy felt´ ´ es λ 6= 0 egy tesz˝ oleges komplex sz´ am. Ekkor a ∞ X

(zk + λ · xk )

k=0

sor is felt´ etelesen konvergens ´ es a konvergens ´ atrendez´ esekkel ad´ od´ o ¨ osszegek halmaza — a 8.T´ etel alapj´ an — a komplex sz´ ams´ık {α + λs : s ∈ R} egyenes´ evel egyenl˝ o. Hasonl´ o m´ odon lehet olyan felt´ etelesen konvergens sort megadni, amelyre v´ eve a konvergens ´ atrendez´ eseket, azok ¨ osszegeinek a halmaza C-vel egyenl˝ o. Annak az igazol´ as´ at´ ol, hogy a h´ arom eseten k´ıv¨ ul m´ as nem fordulhat el˝ o, itt eltekint¨ unk.

3.5. Konvergencia kritériumok A 3.2. pontban megfogalmazott ¨ osszehasonl´ıtó kritériumok alapj´ P∞an, ha az x, y sorozatokra |xn | 5 y teljes¨ u l majdnem minden indexre, akkor a n n=0 yk sor konP∞ vergenciájából a k=0 xk sor abszol´ ut konvergenciája következik. Az alábbiakban a vizsgálandó sorokat az yk := q k (k ∈ N) mértani sorral hasonl´ıtjuk össze, és az eml´ıtett áll´ıtást alkalmazva j´ ol haszn´ alhat´ o konvergencia kritériumokat kapunk.

102

3.5. Konvergencia kritériumok

Cauchy-féle gyök kritérium. Ha a ∞ X

(27)

xn

n=0

végtelen sor tagjaira lim sup

p n

|xn | < 1,

n→∞

akkor a (27) végtelen sor abszol´ ut konvergens. Ha lim sup

p n

|xn | > 1,

n→∞

akkor a (27) sor divergens. ´s. Tegy¨ Bizony´ıta uk fel el˝ osz¨ or, hogy lim supn→∞ olyan q számot, amelyre

lim sup

p n

|xn | < 1, és rögz´ıts¨ unk egy

p n |xn | < q < 1.

n→∞

Ekkor a fels˝o hat´ arérték ismert tulajdons´ aga alapján majdnem minden n indexre p n |xn | < q teljes¨ ul. Minthogy az ut´ obbi a´ll´ıtás azzal ekvivalans, hogy |xn | < q n majdnem minden n-re, azért a bevezetésben eml´ıtett összehasonl´ıtó kritérium alapján az áll´ıtás els˝ o része nyilv´ anval´ o.

Ha

lim sup

p n |xn | > 1,

n→∞

p akkor a fels˝o hat´ arérték egy m´ asik tulajdonsága alapján n |xn | > 1 végtelen sok n-re. Következésképpen |xn | > 1 végtelen sok n-re, s ezért x nem nullsorozat. Ezzel bebizony´ıtottuk, hogy a (27) sor divergens.

Egy másik fontos, j´ ol haszn´ alhat´ o feltételt tartalmaz a


103

D’Alambert-féle hányados kritérium. Tegyük fel, hogy a (27) végtelen sor tagjai k¨ oz¨ ul egyik sem 0. Ha lim sup n→∞

|xn+1 | < 1, |xn |

akkor a (27) sor abszol´ ut konvergens, ha pedig lim inf n→∞

|xn+1 | > 1, |xn |

akkor (27) divergens. ´s. Az ´ Bizony´ıta all´ıt´ as els˝ o részének az igazolásához rögz´ıts¨ unk egy olyan q valós számot, amelyre |xn+1 |
(n ∈ N)

adódik. Innen, a bevezet˝ oben eml´ıtett ¨ osszehasonl´ıtó kritérium alapján az áll´ıtás els˝o része már k¨ ovetkezik. Ha lim inf n→∞

|xn+1 | > 1, |xn |

akkor az alsó hat´ arérték ismert tulajdons´ aga alapján létezik olyan N index, hogy minden n ≥ N egész sz´ amra |xn+1 | > 1, |xn | következésképpen |xn | ≥ |xN | > 0

(n ≥ N ).

104

3.6. Kett˝os sorozatok és sorok

Innen nyilvánval´ o, hogy x nem nullsorozat, s ezért a (27) sor valóban divergens. A most igazolt kritériumokb´ ol speci´ alis esetként adódik a

6. K¨ ovetkezmény. Ha létezik az α := lim

n→∞

p n |xn |

határérték és α < 1, akkor a (27) végtelen sor abszol´ ut konvergens, ha pedig α > 1, akkor (27) divergens. A D’Alambert-féle konvergencia kritériumból adódik a

7. K¨ ovetkezmény. Ha (27)-ben minden tagra |xn | > 0 és létezik a β := lim

n→∞

|xn+1 | |xn |

határérték, akkor β < 1 esetén a (27) sor abszol´ ut konvergens, β > 1 esetén pedig a sz´ oban forg´ o sor divergens. Megjegyezz¨ uk, hogy a Cauchy-féle gy¨ ok kritérium a p lim sup n |xn | = 1 n→∞

esetben, a D’Alambert-féle h´ anyados kritérium pedig a lim inf n→∞

|xn+1 | |xn+1 | 5 1 ≤ lim sup |xn | |xn | n→∞

esetben nem ny´ ujt felvil´ agos´ıt´ ast a (27) sor konvergenciájáról. Tekints¨ uk például a ∞ X 1 , 2 n n=1

∞ X 1 n n=1

sorokat. Mindkét esetben lim

n→∞

p n

|xn | = 1,

lim

n→∞

|xn+1 | = 1, |xn |

ugyanakkor az els˝ o sor konvergens, a m´ asodik pedig divergens. Ezekben az u ń. kritikus esetekben a most bebizony´ıtott kritériumok nem használhatók a konvergencia, ill. a divergencia kimutatására. Ilyenkor más, a most ismertetettnél hatékonyabb m´ odszert célszer˝ u használni, vagy — figyelembe véve az adott sor speci´ alis tulajdons´ agait — valamilyen egyedi eljárást alkalmazni.


105

3.6. Kett˝ os sorozatok és kett˝ os sorok A továbbiakban célszer˝ u olyan ”sorozatokat” és ”sorokat” vizsgálni, amelyekben a tagok indexe nem természetes sz´ am, hanem természetes számokból alkotott rendezett számp´ ar. Ennek megfelel˝ oen az x : N2 := N × N → K f¨ uggvényt kett˝os vagy két index˝ u sorozatnak nevezz¨ uk. Az x f¨ uggvénynek a (k, `) ∈ N2 helyen felvett értékét x(k, `)-lel, vagy gyakrabban xk` -lel fogjuk jelölni, az x kett˝os sorozatra pedig az x = (xk` , (k, `) ∈ N2 ) jelölést fogjuk haszn´ alni. Ez a defin´ıci´ o¨ osszhangban van a sorozat fogalmának a F¨ uggelékben bevezetett ´ altal´ anos´ıt´ as´ aval. Az ott szerepl˝o index halmaznak ebben az esetben az N2 felel meg. Az N2 halmazt célszer˝ u a s´ık els˝o negyedének {(k, `) ∈ R × R : k, ` ∈ N} részhalmazával, az u ń. rácspontok halmazával szemléltetni. Az N2 halmazon t¨ obbféleképpen is szok´ as parciális rendezést bevezetni. Kett˝os sorokkal kapcsolatban a k¨ ovetkez˝ ot célszer˝ u használni: tetsz˝oleges m = (m1 , m2 ), n = (n1 , n2 ) ∈ N2 r´ acspont p´ arra legyen m5n

⇔

m1 5 n1

és

m2 5 n2 .

Könnyen ellen˝ orizhet˝ o, hogy ezzel egy parciális rendezést értelmezt¨ unk az N2 2 halmazon és bármely két m, n ∈ N r´ acsponthoz létezik olyan ` ∈ N2 , hogy m ≤ ` és n ≤ `. Ilyen pl. az `1 := max{m1 , n1 }, `2 := max{m2 , n2 } utas´ıtással értelmezett ` rácspont. Ez azt jelenti, hogy az N2 indexhalmaz a most értelmezett parciális rendezéssel egy felfelé irány´ıtott halmaz, következésképpen az N2 halmazon értelmezett f¨ uggvények val´ oban sorozatnak tekinthet˝ok a mondott értelemben. A kett˝os sorozatokat végtelen m´ atrixszokkal is hangban a x x01 x02 · · · 00  x10 x11 x1,2 · · ·  .  x =  ..   xk0 xk1 xk2 · · · .. .

szokták azonos´ıtani. Ezzel összx0` · · ·  x1` · · ·      xk` · · · 

jelölést is fogjuk haszn´ alni. A kett˝ os sorozat tagjaiból kiindulva többféleképpen is kész´ıthet¨ unk olyan végtelen sort, amelynek a tagjai az x kett˝os sorozat tagjaival egyenl˝ok. Az al´ abbiakban a négy leggyakrabban el˝oforduló esettel foglalkozunk.

106


Defin´ıci´ o. A (28)

∞ X

X

xk`

n=0 max{k,`}=n

végtelen sort az x kett˝ os sorozatb´ ol alkotott t´ egl´ anysornak, a (29)

∞ X X

xk`

n=0 k+`=n

sort pedig az x-b˝ ol alkotott Cauchy-sornak nevezz¨ uk. A (28) sort az x m´ atrix´ ab´ ol u ´gy kapjuk, hogy a sarok négyzetek mentén lév˝o tagokat gy˝ ujtj¨ uk ¨ ossze egy tagba, m´ıg a (29)-ben az eml´ıtett négyzetek átlói mentén álló tagokat csoportos´ıtottuk. Egy csoporton bel¨ ul a tagokat olyan sorrendben ´ırjuk fel, amelyben az els˝ o index n˝ o, a m´ asodik pedig csökken. Ha a (zárójelek nélk¨ uli) (28), ill. (29) sor abszol´ ut konvergens, akkor azt fogjuk mondani, hogy a (28), ill. a (29) sor abszol´ ut konvergens. Az x sorozatb´ ol — bizonyos esetekben — más t´ıpus´ u sort is kész´ıthet¨ unk.

Defin´ıci´ o. Tegyük fel, hogy minden k ∈ N indexre a szóban forgó mátrix k-adik sor´ ab´ ol kész´ıtett végtelen sor konvergens és legyen Xk :=

∞ X

(k ∈ N).

xk`

`=0

Ha az (Xk , k ∈ N) sorozattal képzett ∞ X

(30)

Xk

k=0

végtelen sor konvergens, akkor azt mondjuk, hogy a (31)

∞ ∞ X X k=0

! xk`

`=0

kett˝ os sor konvergens ´ es ¨ osszege a (30) sor ¨ osszeg´ evel egyenl˝ o. A sorok és oszlopok szerepét felcserélve hasonlóan értelmezhetj¨ uk a ! ∞ ∞ X X (32) xk` `=0

k=0


107

kett˝os sor konvergenci´ aj´ at.

Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy a (31) sor abszolút konvergens, ha minden k ∈ N indexre Tk :=

∞ X

|xk` | < ∞

`=0

és

∞ X

Tk < ∞.

k=0

Hasonló értelemben fogjuk haszn´ alni az abszol´ ut konvergencia fogalmát a (32) sorral kapcsolatban is. A következ˝o tételben elégséges feltételt adunk arra, hogy a (28)–(32) végtelen sorok konvergensek legyenek és ¨ osszeg¨ uk megegyezzen.

9. Tétel. i) A (28) sor akkor és csak akkor abszolút konvergens, ha a (31) kett˝os sor abszol´ ut konvergens. ii) Ha a (28) sor abszol´ ut konvergens, akkor a (29), (31) és (32) sorok is abszol´ ut konvergensek és ¨ osszeg¨ uk a (28) sor összegével egyenl˝o. ´s. i) El˝ Bizony´ıta osz¨ or a tétel els˝ o részét igazoljuk. Legyen αk` := |xk` |

((k, `) ∈ N2 ),

és az α = (αk` , (k, `) ∈ N2 )-b´ ol képzett tégl´ anysorral kapcsolatban vezess¨ uk be az Yn :=

n X

X

αk` =

i=0 max{k,`}=i

n n X X

|xk` | (n ∈ N)

k=0 `=0

sorozatot. Az áll´ıtás els˝ o részének az igazol´ as´ ahoz tegy¨ uk fel, hogy az α-ból kész´ıtett téglánysor konvergens. Legyen γ := sup{Yn : n ∈ N} a szóban forgó sor ¨ osszege. Minthogy minden n, k ∈ N esetén n X `=0

αk` 5 Yk 5 γ,

108

azért a


P∞

`=0

αk` végtelen sor konvergens. Legyen Tk :=

∞ X

αk`

(k ∈ N).

`=0

Rögz´ıts¨ unk egy m természetes sz´ amot. Ekkor minden n ≥ m számra – figyelembe véve a tagok pozitivit´ as´ at – m X n X

αk` ≤

k=0 `=0

n X n X

αk` 5 Yk∨n ≤ γ.

k=0 `=0

Felhasználva az ¨ osszead´ as és a hat´ arérték kapcsolatára vonatkozó szabályt, innen n → ∞ határátmenettel m X Tk ≤ γ (m ∈ N) k=0

adódik, azaz az α (31) alak´ u kett˝ os sora konvergens és ! ∞ ∞ X X αk` ≤ γ. k=0

`=0

A ford´ıtott ir´ any´ u´ all´ıt´ as igazol´ as´ ahoz induljunk ki abból, hogy Tk :=

∞ X

αk` < ∞ (k ∈ N) és

`=0

n X n X k=0 `=0

Tk < ∞.

k=0

Minthogy Yn :=

∞ X

αk` ≤

n X k=0

Tk ≤

∞ X

Tk

(n ∈ N),

k=0

azért az α-ból képzett tégl´ anysor is konvergens és az összegére γ := sup{Yn : n ∈ N} ≤

∞ X

Xk

k=0

teljes¨ ul. Ezzel a tétel i) részével egy¨ utt az alábbi áll´ıtást is bebizony´ıtottuk:ha valamely pozit´ıv tag´ u sorozatb´ ol kész´ıtett téglánysor konvergens, akkor a (31) alak´ u kett˝os sor is konvergens és a két sor ¨ osszege megegyezik. ii) Az áll´ıtás m´ asodik részét el˝ osz¨ or pozit´ıv tag´ u sorokra igazoljuk. Ha a (27) sor konvergens, akkor a bizony´ıtás i) részéhez f˝ uzött megjegyzés alapján a (29) kett˝ os sor konvergenci´ aja k¨ ovetkezik, és a két sor összege megegyezik.


109

Minthogy (29) a (28)-b´ ol ´ atz´ ar´ ojelezéssel és átrendezéssel megkapható, azért (29) is konverges és öszege egyenl˝ o a (28) sor ¨ osszegével. Vég¨ ul alkalmazzuk a (31) sor konvergenciájára vonatkoz´ o, m´ ar igazolt ´ all´ıt´ ast az x helyett az x∗k` := x`k (k, ` ∈ N) sorozatra. Ekkor Yn∗ :=

n X n X

x∗k` =

k=0 `=0

n X n X

xk` = Yn ,

k=0 `=0

következésképpen a (32) sor is konvergens és összege a (28) sor összegével egyenl˝o. Ezzel a tételt pozit´ıv tag´ u sorokra igazoltuk. Legyen most x tetsz˝ oleges val´ os kett˝ os sorozat és — a sorok átrendezésére vonatkozó tétel bizony´ıt´ as´ ahoz hasonl´ oan — bontsuk fel az x tagjait pozit´ıv és − negat´ıv rész¨ uk k¨ ul¨ onbségére: xk` = x+ etel i) részét felhasználva a (28) k` − xk` . A t´ sor abszol´ ut konvergenci´ aj´ ab´ ol (31) abszol´ ut konvergenciája következik. Mivel x+ k` ≤ |xk` |, azért

∞ X

x+ k` < ∞,

k=0 ∞ X

∞ X

k=0

`=0

2 x− k` ≤ |xk` | (k, ` ∈ N ),

∞ X

x− es k` < ∞ ´

k=0 ∞ ∞ X X

! x+ k`

< ∞,

k=0

! x− k`

< ∞.

`=0

− 2 2 Ha a tétel már igazolt részét az (x+ ıv kett˝os k` , (k, `) ∈ N ), (xk` , (k, `) ∈ N ) pozit´ sorozatokra alkalmazzuk, ∞ ∞ X X k=0

=

=

! x+ k`

−

∞ ∞ X X

! x− k`

k=0 ∞ X

k=0 `=0 ! ∞ ∞ X X x+ x− k` − k` `=0 `=0 ! ∞ X

k=0

`=0

=

`=0

∞ X

xk`

=

∞ ∞ X X k=0

! − (x+ k` − xk` )

=

`=0

.

adódik. Ez pontosan azt jelenti, hogy a (31) kett˝os sor konvergens és az összege a (28) összegével egyenl˝ o. Hasonl´ oan igazolhat´ o a másik két sorra vonatkozó áll´ıtás. Komplex tag´ u sorokra — véve a tagok valós és képzetes részét — az áll´ıtás hasonlóan igazolhat´ o.

110

3.7. Végtelen sorok szorzása

Megjegyzések 1. A most igazolt t´ etelt gyakran a k¨ ovetkez˝ o alakban szokt´ ak megfogalmazni: ha X X |xk` | < ∞, n=0 max{k,`}=n

akkor

∞ X

X

xk` =

n=0 max{k,`}=n

=

∞ X

∞ X

k=0

`=0

xk` =

n=0 k+`=n

! xk`

∞ X X

=

∞ X

∞ X

`=0

k=0

! xk`

.

2. A (31) kett˝ os sort, azaz az (x00 +x01 +· · ·+x0` +· · · )+(x10 +x11 +· · ·+x1` +· · · )+· · ·+(xk0 +xk1 +· · ·+xk` +· · · )+· · · kett˝ os sort a (28) sor egy — nem a kor´ abban defini´ alt ´ ertelemben vett — ´ atrendez´ es´ enek is szokt´ ak tekinteni. Ezzel ¨ osszhangban a 9.T´ etelt nagy ´ atrendez´ esi t´ etelnek is nevezik.

3.7. Végtelen sorok szorzása Korábban már értelmezt¨ uk végtelen sornak (végtelen összegnek) számmal való szorzatát, és láttuk, hogy ebben az esetben is érvényes a véges összegekre vonatkozó disztribut´ıvitási szab´ aly. Most megvizsg´ aljuk, hogy a véges összegek szorzatára vonatkozó m n m X n X X X ( xk )( yk ) = xk y` k=0

`=0

k=0 `=0

ismert azonosság milyen form´ aban terjeszthet˝o ki végtelen sorokra. Ehhez bevezetj¨ uk a következ˝ o fogalmat:

Defin´ıci´ o. Legyen (xn , n ∈ N), (yn , n ∈ N) két számsorozat. i) Az x × y := (xk y` , (k, `) ∈ N2 ) kett˝os sorozatot az x és az y sorozat Kronecker-szorzat´ anak nevezz¨ uk. P∞ ii) Az x × y kett˝ os sorozatb´ ol alkotott téglánysort a es a n=0 xn ´ P∞ egtelen sor t´ egl´ anyszorzat´ anak nevezz¨ uk. n=0 yn v´ iii) Az x × y kett˝ os sorozatb´ ol alkotott Cauchy–sort a szóban forgó k´ et sor Cauchy–szorzat´ anak nevezz¨ uk. A nagy átrendezési tétel k¨ ovetkezményeként adódik az alábbi


111

P∞ xn és a n=0 yn sorok abszol´ ut konvergensek, akkor a Cauchy–szorzatuk és a tégl´ anyszorzatuk is abszolut konvergens és mindkét szorzatsor ¨ oszege a kiindul´ asul tekintett két sor öszegének a szorzat´ aval egyenl˝ o.

10. Tétel. Ha a

P∞

n=0

´s. Legyen Bizony´ıta ∞ X

|xn | =: α < ∞,

n=0

∞ X

|yn | =: β < ∞.

n=0

Alkalmazzuk az αk` := |xk ||y` | ((k, `) ∈ N2 ) kett˝os sorozatra a nagy ´ atrendezési tételt. Mivel ∞ X

αk` = |xk |

`=0

és

|y` | = |xk | β < ∞ (k ∈ N)

`=0

∞ ∞ X X k=0

∞ X

! αk`

=β

`=0

∞ X

|xk | = αβ < ∞,

k=0

azért az eml´ıtett tétel els˝ o része szerint a két sor téglányszorzata is abszol´ ut konvergens. A szóban forg´ o tétel m´ asodik része szerint a két sor Cauchy–szorzata is abszol´ ut konvegens és mindkét szorzatsor ¨ osszege egyenl˝o az x×y (31) alak´ u kett˝os sorának az összegével. Ez ut´ obbi pedig, felhasználva a végtelen sorok számmal való szorzatára vonatkoz´ o szab´ alyt és a ∞ X

xk =: A,

n=0

`=0

yn =: B

n=0

jelöléseket, a következ˝ oképpen ´ırhat´ o: ! ∞ ∞ ∞ X X X xk y` = xk k=0

∞ X

k=0

∞ X

! y`

`=0

=

∞ X

Bxk = AB.

k=0

Ezzel a tételt bebizony´ıtottuk. Ha a két konvergens sor k¨ oz¨ ul csak az egyik abszol´ ut konvergens, akkor általában sem a téglányszorzatuk, sem a Cauchy–szorzatuk nem lesz abszol´ ut konvergens. Tekints¨ uk pl. az (23)

(−1)n xn := yn := √ n+1

(n ∈ N)

112


sorozatokból alkotott konvergens, de nem abszol´ ut konvergens Leibniz-t´ıpus´ u sorokat. Ekkor a z´ ar´ ojelezett Cauchy-szorzat n-edik tagja zn :=

X

xk y` = (−1)n

k+`=n

n X

1 p

k=0

(k + 1)(n + 1 − k)

(n ∈ N).

A zárójelezett sor abszol´ ut értékére — a fenti ¨ oszegben minden tag helyett 1/(n+1)et véve — a 1 |zn | ≥ (n + 1) · =1 (n ∈ N) n+1 alsó becslés ´ırhat´ o. A z´ ar´ ojelezett Cauchy-szorzat tagjai következésképpen nem tartanak 0-hoz, teh´ at a szorzatsor divergens. Hasonlóan igazolhat´ o, hogy a fenti sorok téglányszorzata nem abszol´ ut konvergens (lásd a 17. feladatot). A Cauchy-szorzat kapcsolatban van egy, a sorozatok körében értelmezett fontos m˝ uvelettel, az u ń. konvol´ uci´ oval.

Defin´ıci´ o. Tetsz˝oleges x = (xn , n ∈ N) és y = (yn , n ∈ N) számsorozatra legyen zn :=

n X

xk yn−k

(n ∈ N),

x ∗ y := (zn , n ∈ N).

k=0

Az x ∗ y sorozatot az x és az y konvol´ uciójának nevezz¨ uk. Az értelmezés alapj´ an egyszer˝ uen bel´ atható, hogy a sorozatok terén most bevezetett ∗ bináris m˝ uvelet kommutat´ıv, asszociat´ıv és disztribut´ıv: x ∗ y = y ∗ x,

x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z,

x ∗ (y + z) = x ∗ y + x ∗ z

(x, y, z ∈ S).

Az e := (1, 0, 0, 0, · · · ) ∈ S sorozat egységelem a konvol´ uci´ ora nézve: x∗e=x

(x ∈ S).

Most bebizony´ıtunk egy konvol´ uci´ oval kapcsolatos áll´ıtást, amelyet Cauchyszorzatok vizsgálat´ ara kés˝ obb fel fogunk használni. P 11. Tétel. Tegyük fel, hogy a ∞ egtelen sor abszol´ ut konvern=0 xn v´ gens és legyen y egy nullsorozat. Ekkor x ∗ y is nullsorozat.


113

´s. Az |x| sorozatb´ Bizony´ıta ol alkotott sor maradékszeleteinek az értelmezését kissé módos´ıtva vezess¨ uk be a ∞ X

ρn :=

|xk | (n ∈ N)

k=[n/2]

jelölést, ahol [n/2] az n/2 egész részét jel¨ oli, és legyen n := sup{|yk | : k ≥ [n/2]} (n ∈ N). Ekkor lim ρn = 0,

n→∞

0 = lim |yn | = lim sup |yn | = lim n . n→∞

n→∞

n→∞

Ezeket felhasználva a konvol´ uci´ o n-edik tagj´ ara a következ˝o becslés adódik:

|

n X

[n/2]

xk yn−k | 5

k=0

X k=0

[n/2]

5 n

X

|xk yn−k | 5

k=[n/2]+1 n X

|xk | + 0

k=0

n X

|xk yn−k | +

|xk | 5 n ρ0 + 0 ρn

(n ∈ N).

k=[n/2]+1

Innen nyilvánval´ o, hogy x ∗ y nullsorozat. A 10.Tétel feltételeit gyeng´ıtve a k¨ ovetkez˝ot áll´ıthatjuk.

12. Tétel. i) Konvergens sorok téglányszorzata is konvergens és a szorzatsor ¨ osszege a sorok ¨ osszegének a szorzatával egyenl˝o. ii) Egy abszol´ ut konvergens és egy konvergens sor Cauchy-szorzata konvergens és a szorzatsor ¨ osszege a sorok összegének a szorzatával egyenl˝o. ´s. Jel¨ Bizony´ıta olje Xn :=

n X

xk ,

Yn :=

k=0

n X

y`

(n ∈ N)

`=0

a tételben szerepl˝ o két sor részlet¨ osszegeit és A := lim Xn , n→∞

a sorok összegeit.

B := lim Yn n→∞

114


i) A zárójelezett tégl´ anyszorzat részlet¨ osszegeire nyilván ! n n X X Tn := xk y` = Xn Yn (n ∈ N). k=0

`=0

Innen következik, hogy a z´ ar´ ojelezett sor konvergens és az összege lim Tn = A B.

n→∞

Most megmutatjuk , hogy a z´ ar´ ojelek elhagyhatók. Ehhez azt kell igazolnunk, hogy a ` ` X X tn := max | xn yj |, rn := max | xi yn |, (n ∈ N) 0≤`5n

05k5n

j=0

i=0

sorozatok 0-hoz tartanak. Minthogy tn 5 |xn | K,

rn 5 |yn |K,

ahol K := max{sup |Xn |, sup |Yn |}, n∈N

n∈N

azért innen már k¨ ovetkezik, hogy lim tn = lim rn = 0.

n→∞

n→∞

Ezzel a tétel i) részét igazoltuk. P∞ P∞ ii) Tegy¨ uk fel, hogy a k=0 xk végtelen sor abszol´ ut konvergens, a `=0 y` sor pedig konvergens. A részlet¨ osszegekre és a sorok összegeire korábban bevezetett jelöléseket haszn´ alva el˝ osz¨ or megmutatjuk, hogy az (Xn B, n ∈ N) sorozat és a zárójelezett Cauchy-szorzat (Cn , n ∈ N) részletösszegeinek a k¨ ulönbsége egyenl˝o az alábbi konvol´ uci´ oval: (34)

Rn := BXn − Cn =

n X

xk ρn−k

(n ∈ N),

k=0

ahol ρm :=

∞ X

y`

(m ∈ N).

`=m+1

Ennek az igazol´ as´ ahoz el˝ osz¨ or is vegy¨ uk figyelembe, hogy Cn :=

n X X j=0 k+`=j

xk y`

(n ∈ N)


115

részletösszegek defin´ıci´ oj´ aban a s´ık (0, 0), (n, 0), (0, n) cs´ ucsokkal rendelkez˝o derékszög˝ u háromszögébe es˝ o r´ acspontjaira ¨ oszegez¨ unk, az átfogóval párhuzamos egyenesek szerint csoportos´ıtva a tagokat. Írjuk fel ugyanezt az összeget u ´gy, hogy a második koordin´ ata tengellyel p´ arhuzamos egyenesekre es˝o rácspontokat gy˝ ujtj¨ uk össze: n n−k n n−k X X X X Cn = xk y` = xk y` . k=0 `=0

k=0

`=0

Ezt felhasználva az eml´ıtett k¨ ul¨ onbségre Xn B − Cn =

n X

xk

B−

k=0

n−k X

! y`

`=0

=

n X

xk ρn−k

k=0

adódik, s ezzel a (34) egyenl˝ oséget igazoltuk. A (34) alapján — felhaszn´ alva a 11.Tételt — AB = lim Xn B = lim (Cn + Rn ) = lim Cn , n→∞

n→∞

n→∞

azaz a zárójelezett Cauchy-szorzat val´ oban konvergens és az összege AB. Vég¨ ul megmutatjuk, hogy rn := max | 05j5n

j X

xk yn−k | (n ∈ N),

k=0

nullsorozat, következésképpen a z´ ar´ ojel nélk¨ uli Cauchy-szorzat is konvergens és az összege AB. Minthogy rn 5

n X

|xk ||yn−k | (n ∈ N),

k=0

és a jobb oldalon ´ all´ o sorozat az |x| és az |y| sorozat konvol´ uciójával egyenl˝o, azért a 11.Tétel alapj´ an |x| ∗ |y|, s ezzel egy¨ utt (rn , n ∈ N) is nullsorozat. Ezzel a tétel ii) részét is bebizony´ıtottuk.

Megjegyzések 1. A t´ etel ii) fel´ eben szerepl˝ o, az egyik sor abszol´ ut konvergenci´ aj´ ara vonatkoz´ o felt´ etel nem helyettes´ıthet˝ o konvergenci´ aval, amint ezt a (33) alatt ismertetett p´ elda mutatja. 2. A sorozatok line´ aris tere a most bevezetett konvol´ uci´ oval egy egys´ egelemes, kommutat´ıv algebr´ at alkot. Megjegyez¨ uk, hogy ugyanezen a line´ aris t´ eren v´ eve a sorozatok k¨ or´ eben szok´ asos (tagonk´ enti) szorzatot, egy m´ asik kommutat´ıv, egys´ egelemes algebr´ at kapunk. Ez ut´ obbi szorz´ asra n´ ezve az azonosan 1 sorozat lesz az egys´ egelem.

116

3.8. Feladatok

3.8. Feladatok 1. Igazoljuk, hogy az al´ abbi sorok konvergensek és határozzuk meg az összeg¨ uket. 1 1 1 (−1)n−1 + ··· + − + ··· + 2 4 8 2n−1 1 1 1 1 1 1 b) ( + ) + ( 2 + 2 ) + · · · + ( n + n ) + · · · 2 3 2 3 2 3 1 5 2n − 1 3 c) + 3 + ··· + + ··· + 2 22 2 2n 1 1 1 1 d) + + + ··· + + ··· 1·2 2·3 3·4 n(n + 1) 1 1 1 e) + + ··· + + ··· . 1·4 4·7 (3n − 2)(3n + 1) a)

1−

2. Az alábbi sorok k¨ oz¨ ul melyek konvergensek: a) b) c) d) e) f) g)

1 − 1 + 1 − 1 + · · · + (−1)n + · · · √ √ √ 3 n 0.1 + 0.1 + 0.1 + · · · + 0.1 + · · · 1 1 1 + + ··· + + ··· 1! 2! n! 1 1 1 1 1 + + + + ··· + + ··· 3 5 7 2n − 1 1 1 1 1 + + + ··· + + ··· 1001 2001 3001 1000 · n + 1 2 3 n 1 + + + ··· + + ··· 3 5 2n − 1 1 1 1 1 √ + √ + √ + ··· + √ + ··· n n−1 2 2 3 3 4 n−1

x2 x4 x2 x + + + · · · + + ··· h) 1 − x2 1 − x4 1 − x8 1 − x2n 1000 1000 · 1001 1000 · 1001 · 1003 i) + + + ··· 1 1·3 1·2·3 (2)2 (n!)2 (1!)2 j) + 4 + · · · + n2 + · · · 2 2 2 4 4 · 7 4 · 7 · 10 k) + + + ··· 2 2 · 6 2 · 6 · 10 ∞ X √ √ √ 5 2n+1 3 `) (2 − 2)(2 − 2) · · · (2 − 2) n=1

m)

1000 10002 1000n + + ··· + + ··· . 1! 2! n!


117

3. Igazoljuk, hogy ha xn ≥ 0 (n ∈ N) és konvergens.

P∞

n=0

xn konvergens, akkor

P∞

n=0

x2n is

4. Igazoljuk, hogy ha xn > 0 (n ∈ N) és az (xn , n ∈ N) sorozat monoton fogyó, akkor a ∞ ∞ X X xn , 2n x2n n=0

n=0

sorok ekvikonvergensek. (Cauchy-féle kondenz´ aci´ os elv.) 5. Igazoljuk, hogy ha xn ≥ 0 (n ∈ N) és az (xn , n ∈ N) sorozat monoton fogyó, továbbá az (yn , n ∈ N) sorozatra

sup{|

n X

yk | : n ∈ N} < ∞

k=0

P∞ teljes¨ ul, akkor a n=0 xn yn végtelen sor konvergens (Dirichlet-lemma). 6. A 4. feladat ´ all´ıt´ as´ at felhaszn´ alva igazoljuk, hogy

a)

ha

α > 1,

akkor

∞ X 1 α n n=1

konvergens,

b)

ha

α 5 1,

akkor

∞ X 1 α n n=1

divergens.

7. Igazoljuk, hogy ha a pozit´ıv, monoton fogyó számsorozatból kész´ıtett sor konvergens, akkor

P∞

n=0

xn

lim nxn = 0.

n→∞

8. a) Írjuk fel az 1/3, 2/5, 4/9 sz´ amokat diadikus tört alakban. b) Írjuk fel p/q (p, q ∈ N) alakban az al´ abbi, diadikus tört alakban adott számokat: 1 1 1 1 1 1 + + 6 + 12 + · · · + 5k−4 + 5k + · · · 2 25 2 2 2 2 1 1 1 1 + + 5 + · · · + 2k+1 + · · · 2 23 2 2 1 1 1 + 20 + · · · + 10k + · · · 210 2 2

118

3.8. Feladatok

9. Az alábbi sorok k¨ oz¨ ul melyek konvergensek: ∞ X

1 1 + n2 n=0

b)

c)

∞ X (n!)2 (2n)! n=0

d)

e)

∞ X n! n 2 n=0

f)

g)

∞ X 2n + 1 3n n=1

h)

i)

∞ X (−1)n (4n + 8) (2n + 3)(2n + 5) n=0

a)

k)

2 ∞ X 2n n! n=0

∞ X n=1 ∞ X

`)

n(1 + n2 ) 3

((n + 2)!) (2n)!(n − 1)! n=1 ∞ X n2 2n n=1 ∞ X

1 p

n=1

j)

1 p

n(n + 1)

∞ X (−1)n √ n n=1 k ∞ X 1 1 + . 2 k

k=1

10. Az x szám milyen értékére konvergensek az alábbi sorok: 2

a) x +

12 2 (1 · 2)2 3 ((n − 1)!) n x + x + ··· + x + ··· 2! 4! (2(n − 1))!

∞ X

b)

x2n 1 + x4n n=0

c)

∞ X 2n−1 xn . 2n − 1 n=1

11. Igazoljuk az al´ abbi egyenl˝ oségeket: 1 1 3 1 1 a) 1 + 2 + 2 + · · · = 1 + 2 + 2 + ··· 3 5 4 2 3 1 1 1 1 1 b) 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + · · · = 2 3 5 7 9 15 1 1 1 1 = 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ··· . 16 2 3 4 5 12. Az alábbi sorok k¨ oz¨ ul melyek abszol´ ut konvergensek és melyek feltételesen


119

konvergensek: 1 1 1 1 + 2 − 2 + 2 + ··· 32 5 7 9 1 1 1 1 1 − 1 + √ − √ + √ − √ + √ + ··· 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 1 + − + ··· − 2 2 22 3 23 4 24 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − − + − − + − − + ··· . 2 3 4 5 6 7 8 9 1−

a) b) c) d)

13. Adjunk meg két olyan divergens sort, amelyek összege konvergens. 14. Határozzuk meg az al´ abbi sorok ¨ osszegét: X ∞ ∞ X (−1)n (−1)n+1 1 1 + + + a) 3n n3 3n+1 n3 n=1 n=1 ∞ X (−1)n 1 b) + 2n 3n n=1 c)

∞ X

n+1 n x[ 2 ] y [ 2 ] .

n=0

15. Igazoljuk, hogy tetsz˝ oleges z ∈ C komplex számra az alábbi sorok abszol´ ut konvergensek: a)

∞ X zn n! n=0

b)

∞ X (−1)n z 2n (2n)! n=0

c)

∞ X (−1)n x2n+1 (2n + 1)! n=0

d)

∞ X z 2n (2n)! n=0

f)

∞ X z 2n . (n!)2 n=0

e)

∞ X

z 2n+1 (2n + 1)! n=0

16. Igazoljuk az al´ abbi azonoss´ agokat: ! ! ∞ ∞ ∞ X X X xn (x + y)n yn a) = (x, y ∈ C) n! n! n! n=0 n=0 n=0 ! ∞ ! ∞ X X (−1)n an an b) = 1 (a ∈ C, a = 0 esetén n! n! n=0 n=0 !2 ∞ ∞ X X n c) q = (n + 1)q n (q ∈ C, |q| < 1). n=0

n=0

00 := 1)

120

3.8. Feladatok

17. Igazoljuk, hogy az 1−

∞ n X 3 n=1

2

és az

1+

∞ n X 3

2

n=1

(2n +

1 ) 2n

divergens sorok Cauchy-szorzata konvergens. 18. Igazoljuk, hogy a ∞ X (−1)n n+1 n=0 konvergens sor ¨ onmag´ aval val´ o tégl´ anyszorzata nem abszol´ ut konvergens, önmagával vett Cauchy-szorzata konvergens, de nem abszol´ ut konvergens. 19. Az alábbi komplex tag´ u sorok k¨ oz¨ ul melyek konvergensek: a)

∞ X n(2 + ı)n 2n n=1

b)

c)

∞ X n(2ı − 1)n 3n n=1

d)

e) g)

∞ X

1 n + ı n=1 ∞ X

1 √ (n + ı) n n=1

f) h)

∞ n X ı n n=1 ∞ X n=1 ∞ X

√

1 n+ı

1 n(3 + ı)n n=1 ∞ X

1 . (n + (2n − 1)ı)2 n=1

20. Az alábbi feladatokban adjunk fels˝ o becslést a sor összegének és az n-edik részletösszege k¨ ul¨ onbségének az abszol´ ut értékére: 1 1 1 1 + + + ··· + + ··· 1·2 2·3 3·4 n · (n + 1) 1 1 1 1 b) + 2 + 2 + ··· + 2 + ··· 12 2 3 n 1 1 1 c) 1 + + 2 + · · · + n + · · · 3 3 3 1 1 1 (−1)n d) 1 + − + + · · · + + ··· . 2! 3! 4! n! a)

21. Legyen 2 n 1 1 1 + ··· + + ··· , 2 n! 2 2 n 1 1 1 1 1 sn := + + ··· + (n ∈ N∗ ). 2 2! 2 n! 2 1 1 s := + 2 2!


121

Igazoljuk, hogy |s − sn | 5

1 2n (2n + 1)n!

(n = 1, 2, · · · ).

22. Legyen 1 1 1 + + ··· + + ··· , 2! 3! n! 1 1 1 (n ∈ N). sn := 1 + + + · · · + 2! 2! n! s := 1 +

Igazoljuk, hogy |s − sn | 5

n+2 (n + 1)(n + 2)!

(n ∈ N).

23. Írjunk programot az al´ abbi végtelen sorok összegének el˝ore adott pontossággal történ˝o meghat´ aroz´ as´ ara:

a) c) e)

∞ X

n (2n + 1)5n n=1 2n−2 ∞ X 1 n 4 n=1 ∞ X (−1)n (2n)! 3n n=0

b) d) f)

∞ X 1 np n=1

(p > 1)

∞ X

1 n n!4 n=0 ∞ X

(−1)n . (2n + 1)! 5n n=0

24. Felhasználva a nagy ´ atrendezési tételt, igazoljuk az alábbi azonosságokat: a) b)

∞ ∞ X X axn (ax)k = (|a| 5 1, |x| < 1) k 1−x 1 − axn n=1 k=1 ∞ ∞ ∞ X X X n n−k n k x = (x − a) a (|x| < 1, |x − a| + |a| < 1). k n=0 k=0

n=k

122

4.1. Relációk

4. F¨ uggelék Ebben a fejezetben ¨ osszefoglaljuk azokat az alapvet˝o halmazelméleti és algebrai fogalmakat, amelyeket ebben a k¨ onyvben felhasználunk. Ezekkel a sorozat további köteteiben részletesebben foglalkozunk. E r¨ ovid összefoglalóban csak a legfontosabb fogalmakat tárgyaljuk els˝ osorban azért, hogy a kötet önmagában is érthet˝o legyen. Nem foglalkozunk a halmazelmélet felép´ıtésével. Az ezzel kapcsolatos legfontosabb fogalmakat és m˝ uveleteket ismertnek tételezz¨ uk fel. Az a ∈ A, ill. A 3 a jelölésekkel azt fejezz¨ uk ki, hogy az a elem az A halmazhoz tartozik, más szóval a eleme az A halmaznak. Az u ¨res halmazt az ∅ szimb´ olummal, az A és B halmazok egyes´ıtését, közös részét, ill. az A és B halmazok k¨ ul¨ onbségét az A ∪ B,

A ∩ B,

A\B

szimbólumokkal fogjuk jel¨ olni. Az A részhalmazainak halmazára, azaz az A hatványhalmazára a P(A) jel¨ olést haszn´ aljuk. Azt, hogy az A halmaz a B halmaznak része — más szóval azt, hogy a B halmaz tartalmazza az A halmazt — ´ıgy jelölj¨ uk: A ⊆ B, vagy B ⊇ A. Ha A ⊆ B és A 6= B, akkor azt mondjuk, hogy az A a B valódi része, s ezt ´ıgy jel¨ olj¨ uk: A ⊂ B, vagy B ⊃ A. A legfontosabb jel¨ oléseket a jel¨ olésjegyzékben foglaltuk össze. E kérdéskör részletesebb tárgyal´ asa megtal´ alhat´ o e sorozatnak ”Matematikai bevezetés” c´ım˝ u kötetében.

4.1. Reláci´ ok A reláció fogalm´ anak értelmezéséhez felhasználjuk halmazok direkt szorzatának, vagy Descartes-féle szorzatának a fogalm´ at. Legyen A és B két nem-¨ ures halmaz. Az A és B halmazok Descart-féle szorzat´ at mindazok az (a,b) elempárok alkotják, amelyekre a ∈ A és b ∈ B teljes¨ ul. A sz´ oban forgó direkt szorzatot az A × B szimbólummal jel¨ olj¨ uk, azaz A × B := {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}. Nyilvánvaló, hogy az A×B és B ×A halmazok általában k¨ ulönböznek egymástól. Abban a speciális esetben, amikor A = B, akkor az A × B tartalmazza az (a, a)

4. F¨ uggelék

123

alak´ u elemeket, ahol a ∈ A. Az A × A halmaz {(a, a) : a ∈ A} részhalmazát az A × A halmaz átl´ ojának nevezz¨ uk. Az A × A halmazt szokás az A2 szimbólummal is jel¨ olni.

Defin´ıci´ o. Legyen A és B két nem u¨res halmaz. Az A × B nem u¨res részhalmazait rel´ aci´ oknak nevezz¨ uk. Legyen S ⊆ A×B egy rel´ aci´ o. Azoknak az a ∈ A elemeknek az összességét, amelyekhez létezik olyan b ∈ B, hogy (a, b) ∈ S az S reláció értelmezési tartományának nevezz¨ uk. Azoknak a b ∈ B elemeknek a halmazát, amelyekhez létezik olyan a ∈ A, hogy (a, b) ∈ S, az S rel´ aci´ o értékkészletének nevezz¨ uk. Az S reláció értelmezési tartom´ any´ at a DS , értékkészletét pedig az RS szimbólummal jel¨ olj¨ uk, azaz DS := {a ∈ A | ∃b ∈ B : (a, b) ∈ S},

RS := {b ∈ B | ∃a ∈ A : (a, b) ∈ S}.

Azt, hogy (a, b) ∈ S, szavakban u ´gy fejezz¨ uk ki, hogy az a és a b elem S relációban áll, és ezt az a S b jel¨ oléssel is kifejezésre juttatjuk. Speciálisan, ha S ⊆ A2 nem u ¨res, akkor azt mondjuk, hogy S egy bináris vagy binér reláció az A halmazon. Legyen S egy bin´ aris rel´ aci´ o az A halmazon. Ha S tartalmazza az A2 átlóját, akkor azt mondjuk, hogy az S rel´ aci´ o reflex´ıv. Ha az S relációra (a, b) ∈ S ⇔ (b, a) ∈ S teljes¨ ul, akkor azt mondjuk, az S rel´ aci´ o szimmetrikus. Ha az S relációra (a, b) ∈ S

és

(b, a) ∈ S ⇒ a = b

teljes¨ ul, akkor az S rel´ aci´ ot antiszimmetrikusnak nevezz¨ uk. Ha (a, b) ∈ S,

(b, c) ∈ S ⇒ (a, c) ∈ S,

akkor azt mondjuk, hogy az S rel´ aci´ o tranzit´ıv. Az alábbiakban néh´ any fontos speci´ alis relációt ismertet¨ unk.

124

4.1. Relációk

4.1.1. Ekvivalencia reláci´ ok Defin´ıci´ o. Ha valamely bináris reláció reflex´ıv, szimmetrikus és tranzit´ıv, akkor azt ekvivalencia rel´ aci´ onak nevezz¨ uk. Ha E egy ekvivalencia rel´ aci´ o az A halmazon, akkor ezzel az A elemeit u ń. ekvivalencia osztályokba sorolhatjuk a k¨ ovetkez˝o módon. Tetsz˝oleges a ∈ A elemre vezess¨ uk be az Aa := {b ∈ A : (a, b) ∈ E} halmazt. Minthogy az E rel´ aci´ o reflex´ıv, azért a ∈ Aa , következésképpen egyetlen Aa halmaz sem u ¨res. A szimmetria alapj´ an pedig minden c ∈ Aa elemre (a, c) ∈ E,(c, a) ∈ E teljes¨ ul. Megmutatjuk, hogy az ekvivalencia rel´ aci´ o defin´ıciójából (1)

Aa ∩ Ab 6= ∅ ⇒ Aa = Ab .

adódik. Ennek az igazol´ as´ ahoz megmutatjuk, hogy Aa ⊆ Ab és Ab ⊆ Aa . Valóban, legyen c ∈ Aa ∩ Ab . Ekkor b´ armely x ∈ Aa elemre (x, a) ∈ E, és mivel (a, c) ∈ E, azért a tranzitivit´ as alapj´ an (x, c) ∈ E. M´ asrészt a c ∈ Ab feltételb˝ol (c, b) ∈ E következik és ismét felhaszn´ alva a tranzitivit´ ast (x, b) ∈ E, azaz x ∈ Ab adódik. Ezzel megmutattuk, hogy Aa ⊆ Ab . A ford´ıtott irány´ u tartalmazás hasonlóan igazolható. Az Aa (a ∈ A) halmazokat az E rel´ aci´ o´ altal indukált ekvivalencia osztályoknak nevezz¨ uk. (1) alapj´ an két ekvivalencia oszt´ aly vagy egymással azonos, vagy diszjunkt. Minthogy az Aa (a ∈ A) halmazok egyes´ıtése nyilván A, ezért azt szoktuk mondani, hogy az ekvivalencia oszt´ alyok az A halmaz egy felbontását adják. Megford´ıtva, ha az A halmazt el˝ o´ all´ıtjuk páronként diszjunkt részhalmazainak egyes´ıtéseként, akkor ez a felbont´ as egy ekvivalencia relációt generál. Valóban, legyen aEb , ha a és b ugyanabba a részhalmazba esik. Könnyen ellen˝orizhet˝o, hogy E ekvivalencia rel´ aci´ o és az E ´ altal indukált ekvivalencia osztályok azonosak a kiindulásul vett részhalmazokkal. Gyakran vizsg´ aljuk azt a halmazt, amelynek elemei valamely E ekvivalencia reláció által gener´ alt ekvivalencia oszt´ alyok. Ezt a halmazt az A halmaznak az E reláció szerinti faktor halmazának nevezz¨ uk, és az A/E szimbólummal jelölj¨ uk.

4. F¨ uggelék

125

4.1.2. Rendezési reláci´ ok A bineáris rel´ aci´ ok egy m´ asik fontos t´ıpus´ at alkotják a rendezési relációk.

Defin´ıci´ o. Legyen R egy bináris reláció az A halmazon. Akkor mondjuk, hogy R egy parci´ alis rendez´ es (röviden: rendezés), ha R reflex´ıv, antiszimmetrikus ´ es tranzit´ıv. Ha ezenk´ıv¨ ul még bármely két a, b ∈ A elemre vagy (a, b) ∈ R vagy (b, a) ∈ R teljes¨ ul, akkor az R relációt line´ aris vagy teljes rendez´ esnek nevezz¨ uk. Ha az (a, b) ∈ R és (b, a) ∈ R ´ all´ıt´ asok köz¨ ul legalább az egyik fennáll, akkor azt mondjuk, hogy a és b ¨ osszehasonl´ıthat´ ok, ellenkez˝o esetben az a és b elemeket összehasonl´ıthatatlanoknak nevezz¨ uk. Ezzel a szóhasználattal élve azt mondhatjuk, hogy egy parci´ alis rendezés pontosan akkor lineáris rendezés, ha bármely két elem összehasonl´ıthat´ o. A rendezési rel´ aciókat gyakran a , ≤ kisebb-egyenl˝o szimbólumok valamelyikével jel¨ olj¨ uk. Ilyenkor a kissé szokatlan (a, b) ∈ helyett az a b jelölést haszn´ aljuk, és azt mondjuk, hogy a kisebb-egyenl˝o b-nél. Ha a b és a 6= b, akkor azt mondjuk, hogy a kisebb b-nél, és ezt ´ıgy jelölj¨ uk: a ≺ b. Azt, hogy egy (parci´ alis) rendezés az halmazon, gyakran u ´gy szokás kifejezni, hogy A parciálisan rendezett halmaz a rel´ acióra nézve, vagy rövidebben: (A, ) rendezett halmaz. Egyszer˝ uen bel´ athat´ o, hogy tetsz˝ oleges A halmaz esetén a ⊆ tartalmazási reláció egy parciális rendezés a P(A) hatv´ anyhalmazon. Ez a rendezés azonban nem lineáris, ha A legal´ abb kételem˝ u. Legyen egy parci´ alis rendezés az A nem u ¨res halmazon. Ha létezik olyan a ∈ A elem, hogy minden x ∈ A elemre x a teljes¨ ul, akkor az a elemet a A halmaz legnagyobb elemének nevezz¨ uk. Ha valamely b ∈ A elemre és minden x ∈ B elemre b x , akkor a b elemet az A halmaz legkisebb elemének nevezz¨ uk. Könnyen igazolhat´ o, hogy legfeljebb egy legnagyobb és legfeljebb egy legkisebb elem létezik. Val´ oban, tegy¨ uk fel, hogy a és a ¯ az A-nak két legnagyobb eleme. Ekkor a a ¯ és a ¯ a, k¨ ovetkezésképpen a = a ¯. Legnagyobb és legkisebb elem nem mindig létezik. Pl. a természetes számok halmazának a szok´ asos rendezésre nézve van legkisebb eleme, a 0 szám, de nincs legnagyobb eleme. A m´ ar kor´ abban eml´ıtett P(A) halmaznak, a ⊆ parciális rendezést véve, van legisebb eleme (az u ¨res halmaz) és van legnagyobb eleme (maga az A halmaz). Legyen (A, ) rendezett halmaz és X ⊆ A. Ha valamely a ∈ A elemre és minden x ∈ X elemre x a teljes¨ ul, akkor azt mondjuk, hogy a az X halmaz fels˝o korlátja vagy majoránsa. Ha valamely b ∈ A elemre és minden x ∈ X elemre b x teljes¨ ul, akkor a b-t az X halmaz als´ o korlátjának vagy minoránsának nevezz¨ uk.

126

4.2. F¨ uggvények

Nyilvánvaló, hogy b´ armely fels˝ o korl´ atn´ al nagyobb elem is fels˝o korlát és bármely alsó korlátnál kisebb elem is als´ o korl´ at. Ha az X fels˝ o korlátjaib´ ol alkotott halmaznak van legkisebb eleme, akkor ezt az X halmaz fels˝ o határának vagy szuprémumának nevezz¨ uk, és a sup X szimbólummal jelölj¨ uk. Ha az X als´ o korlátjaib´ ol alkotott halmaznak van legnagyobb eleme, akkor azt az X halmaz als´ o határának vagy infimumának nevezz¨ uk. Ezt az elemet az inf X szimb´ olummal szok´ as jel¨ olni. A fels˝o és als´ o hat´ ar még line´ arisan rendezett halmazok körében sem mindig létezik. Legyen péld´ aul A a racion´ alis sz´ amok halmaza a szokásos ≤ rendezéssel, X pedig azoknak a pozit´ıv racion´ alis sz´ amoknak a halmaza, amelyek négyzete kisebb 2-nél. Ennek a X halmaznak nincs fels˝o határa. Egyszer˝ uen bel´ athat´ o, hogy ha az X halmaznak van legnagyobb eleme (mondjuk az a ∈ X elem), akkor X-nek létezik szuprémuma és sup X = a. Hasonló áll´ıtás érvényes az infimum és minimum kapcsolat´ ara vonatkozóan. Ha X nem u ¨res, akkor inf X sup X, tov´ abbá, ha X és Y az A két részhalmaza és X ⊆ Y , akkor sup X sup Y és inf Y inf X, feltéve, hogy az áll´ıtásban szerepl˝o alsó és fels˝ o hat´ arok léteznek. A sorozat fogalm´ anak egyik ´ alt´ anos´ıt´ asa a felfelé irány´ıtott halmaz. Akkor mondjuk, hogy az (A, ) rendezett halmaz felfelé irány´ıtott, ha bármely a ∈ A, b ∈ A elempárhoz létezik olyan c ∈ A, hogy a c és b c . Nyilvánvaló, hogy minden lineárisan rendezett halmaz felfelé ir´ any´ıtott.

4.2. F¨ uggvények Az általunk legt¨ obbet haszn´ alt rel´ aci´ ok a f¨ uggvények.

Defin´ıci´ o. Az F ⊆ A × B nem u¨res relációt függvénynek nevezzük, ha tetsz˝oleges a ∈ DF elemhez egyetlen olyan b ∈ B létezik, amelyre (a, b) ∈ F teljes¨ ul. Ezzel nyilván ekvivalens a k¨ ovetkez˝ o értelmezés: az F ⊆ A × B relációt f¨ uggvénynek nevezz¨ uk, ha (a, b) ∈ F

és

(a, ¯b) ∈ F ⇒ b = ¯b.

Legyen F egy f¨ uggvény. Ekkor minden a ∈ DF elemhez egyetlen olyan b ∈ RF elem létezik, amelyre (a, b) ∈ F . Ezt a b ∈ B elemet az F f¨ uggvény által a-hoz rendelt vagy a-nak megfeleltetett elemnek nevezz¨ uk. E szóhasználattal élve azt mondhatjuk, hogy az F f¨ uggvény az értelmezési tartományának minden eleméhez

4. F¨ uggelék

127

egy értékkészletbeli elemet rendel. F¨ uggvény helyett — vele azonos értelemben — gyakran leképezésr˝ ol, operátorr´ ol vagy transzformációról beszél¨ unk. Az a ∈ DF elemhez hozzárendelt b értéket a f¨ uggvény a helyen vett értékének vagy a pontbeli helyettes´ıtési értékének nevezz¨ uk, és F (a)-val vagy Fa -val jelölj¨ uk. Azt, hogy az F f¨ uggvény értelmezési tartom´ any´ anak egy a eleméhez a b-t rendeli, az alábbi jelölések valamelyikével fogjuk kifejezésre juttatni: b = F (a),

a → b,

a → F (a) = b,

a → Fa = b.

A megfeleltetésb˝ ol vagy ennek szinonim´ aiból, a hozzárendelésb˝ol, leképezésb˝ol vagy transzformáci´ ob´ ol kiindulva gyakran (pl. a középiskolában) a következ˝o értelmezést szokták adni. Legyen A és B két tetsz˝ oleges nem u ¨res halmaz. Azt mondjuk, hogy F az A halmazon értelmezett B-beli értékeket felvev˝o f¨ uggvény, ha adott olyan el˝ o´ır´ as (képlet, szab´ aly stb.), amely A minden eleméhez hozzárendeli a B egy elemét. Ez az értelmezés a rel´ aci´ o seg´ıtségével megfogalmazott f¨ uggvény defin´ıcióval o¨sszhangban van. A kétfajta megk¨ ozel´ıtés között azonban van fogalombeli k¨ ulönbség. A most ismertett felfog´ as szerint a f¨ uggvény egy hozzárendelés, a bevezetésben ismertett defin´ıci´ o alapj´ an pedig rel´ aci´ onak tekintj¨ uk, azaz az A×B bizonyos részhalmazával azonos´ıtjuk. Az F : A → B jel¨ oléssel azt a tényt juttatjuk kifejezésre, hogy F olyan f¨ uggvény, amelynek értelmezési tartom´ anya az A halmaz, értékkészlete pedig a B valamely részhalmaza, rövidebben sz´ olva: F az A-nak B-be való leképezése. A most bevezetett helyett az F f¨ uggvény jel¨ olésére gyakran az alábbiakat is használjuk : (F (x), x ∈ A),

(Fx , x ∈ A).

Megjegyzések 1. Legyen F ´ es G k´ et f¨ uggv´ eny. A halmazok egyenl˝ os´ eg´ enek ´ ertelmez´ es´ eb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy F = G akkor ´ es csak akkor ´ all fenn, ha DF = DG ´ es minden x ∈ DF = DG elemre F (x) = G(x). 2. DF ´ e RF elemeit f¨ uggetlen, ill. f¨ ugg˝ o v´ altoz´ onak is nevezik. 3. A f¨ uggv´ enyek jel¨ ol´ es´ ere a felsoroltakon k´ıv¨ ul m´ as jel¨ ol´ esi m´ odok is haszn´ alatosak. Pl. az F f¨ uggv´ eny helyett gyakran szok´ as az F (x), ill az y = F (x) f¨ uggv´ enyr˝ ol besz´ elni. E jel¨ ol´ eseknek az a h´ atr´ anyuk, hogy nem tesznek k¨ ul¨ onbs´ eget a f¨ uggv´ eny ´ es a f¨ uggv´ eny helyettes´ıt´ esi ´ ert´ eke k¨ oz¨ ott. Ezeket a jel¨ ol´ eseket – a mondott f´ elre´ erthet˝ os´ eg miatt – ker¨ ulni fogjuk. 4. Legyen F : A → B egy adott f¨ uggv´ eny. Az A × B halmaz graf F := {(x, F (x)) : x ∈ A} egyenl˝ os´ eggel ´ ertelmezett r´ eszhalmaz´ at az F f¨ uggv´ eny grafikonj´ anak vagy gr´ afj´ anak nevezz¨ uk. Az F grafikonja nem m´ as, mint az F f¨ uggv´ enyt megad´ o F rel´ aci´ o.

128

4.2. F¨ uggvények

5. A f¨ uggv´ enyeket gyakran ´ ertelmez´ esi tartom´ anyukkal ´ es a hozz´ arendel´ esi szab´ aly le´ır´ as´ aval szokt´ ak megadni. A hozz´ arendel´ es legt¨ obbsz¨ or k´ eplettel (formul´ aval), valamilyen utas´ıt´ assal, grafikonnal vagy t´ abl´ azattal t¨ ort´ enik. Gyakran tal´ alkozunk olyan f¨ uggv´ eny megad´ asi m´ oddal is, ahol explicit m´ odon az ´ ertelmez´ esi tartom´ any nincs felt¨ untetve. Ilyenkor a f¨ uggv´ eny ´ ertelmez´ esi tartom´ anya – meg´ allapod´ as szerint – az a legt´ agabb halmaz, amelyen a kij¨ olt el˝ o´ır´ asnak ´ ertelme van. Pl. az x → f (x) := 1/(1 − x) utas´ıt´ assal adott f f¨ uggv´ eny ´ ertelmez´ esi tartom´ anya az R \ {0} halmaz.

4.2.1.M˝ uveletek f¨ uggvényekkel Legyen F és G két f¨ uggvény. Akkor mondjuk, hogy F a G lesz˝ uk´ıtése (vagy G az F kiterjesztése), ha DF ⊆ DG és minden x ∈ DF elemre F (x) = G(x). A G f¨ uggvénynek valamely ∅ = 6 A ⊆ DG halmazra való lesz˝ uk´ıtését, azaz G-nek azt a lesz˝ uk´ıtését, amelynek értelmezési tartománya A, GA -val vagy G|A -val fogjuk jelölni. Legyen F : A → B egy adott f¨ uggvény, C ⊆ A és D ⊆ B adott halmazok. Az F [C] := {F (x) : x ∈ C} ⊆ B halmazt a C halmaz F f¨ uggvény ´ altal létes´ıtett képének nevezz¨ uk. Az F −1 [D] := {x ∈ A : F (x) ∈ D} ⊆ A halmazt a D halmaz F ´ altal létes´ıtett ˝ osképének nevezz¨ uk. Ezzel a szóhasználattal élve azt mondhatjuk, hogy a f¨ uggvény értelmezési tartománya az értékkészletének az ˝osképe, értékkészlete pedig az értelmezési tartományának a képe. Ha D ∩ RF = ∅, akkor nyilván F −1 (D) = ∅. Adott F : A → B, G : C → B f¨ uggvényekb˝ol kiindulva, bizonyos esetekben egy u ´j f¨ uggvényt, az F és G k¨ ozvetett vagy összetett f¨ uggvényét értelmezhetj¨ uk. Tegy¨ uk fel, hogy RF ⊆ C. Ekkor b´ armely x ∈ A esetén F (x) ∈ C, következésképpen tekinthetj¨ uk a G f¨ uggvénynek az F (x) helyen vett értékét, azaz a G(F (x))et. Azt a f¨ uggvényt, amelynek értelmezési tartománya A és amely minden x ∈ A elemhez a G(F (x)) elemet rendeli, a G és F f¨ uggvény közvetett vagy összetett f¨ uggvényének nevezz¨ uk, és a G ◦ F szimb´ olummal jelölj¨ uk: DG◦F := A,

(G ◦ F )(x) := G(F (x))

(x ∈ A).

A közvetett f¨ uggvény képzésének m˝ uveletét f¨ uggvény-kompoz´ıciónak nevezz¨ uk. Ha az F és G f¨ uggvényekre az RF ⊆ DG feltétel nem teljes¨ ul, akkor az x → G(F (x)) hozzárendelésnek nem minden x ∈ DF elemre van értelme. Ilyenkor az F f¨ uggvény

4. F¨ uggelék

129

lesz˝ uk´ıtésével elérhetj¨ uk, hogy a k¨ ozvetett f¨ uggvény képzéshez sz¨ ukséges feltétel teljes¨ uljön. Nevezetesen, ha RF ∩ DG 6= ∅, akkor legyen ennek a halmaznak az F által létes´ıtett ˝ osképe E. Ekkor a G és az F |E f¨ uggvényeknek már létezik a közvetett f¨ uggvénye. Akkor mondjuk, hogy az F : A → B f¨ uggvény kölcsönösen egyértelm˝ u leképezést létes´ıt (vagy m´ as sz´ oval F injekt´ıv), ha x, y ∈ A, x 6= y ⇒ F (x) 6= F (y). Ha az F : A → B f¨ uggvény értékkészlete B, akkor azt mondjuk, hogy az F f¨ uggvény egy leképezés A-r´ ol B-re, m´ as sz´ oval: F sz¨ urjekt´ıv. Ha az F : A → B leképezés injekt´ıv és sz¨ urjekt´ıv, akkor azt mondjuk, hogy F kölcsönösen egyértelm˝ u leképezés A és B között, m´ as sz´ oval: bijekt´ıv (bijekci´ o). Bijekt´ıv leképezésb˝ ol kiindulva értelmezhetj¨ uk az inverz f¨ uggvény vagy más szóval inverz leképezés (inverz operátor) fogalmát. Legyen F : A → B egy bijekció. Azt a f¨ uggvényt, amelynek értelmezési tartománya B és amely az y ∈ B elemhez azt az x ∈ A elemet rendeli, amelyre F (x) = y teljes¨ ul, az F f¨ uggvény inverzének nevezz¨ uk, és az F −1 szimb´ olummal jelölj¨ uk. Tehát DF −1 = B,

F −1 (y) = x

⇔

F (x) = y.

A bijekt´ıv leképezéseket — a most bevezetett fogalommal összhangban — invertálhatóknak is nevezik. Az inverz f¨ uggvény értelmezéséb˝ ol k¨ ovetkeznek az alábbi azonosságok: F −1 (F (x)) = x (x ∈ DF = RF −1 ) ,

F (F −1 (y)) = y

(y ∈ DF −1 = RF ).

Legyen H egy tetsz˝ oleges nem u ¨res halmaz. Azt a f¨ uggvényt, amelynek értelmezési tartománya H és amely a H minden eleméhez önmagát rendeli, a H halmaz identikus leképezésének nevezz¨ uk, és az IH szimbólummal jelölj¨ uk, azaz DIH := H,

IH (x) := x (x ∈ H).

Az identikus leképezés és a k¨ ozvetett f¨ uggvény fogalmát felhasználva a fent eml´ıtett, az F : A → B bijekci´ o és inverze k¨ ozötti kapcsolat az F ◦ F −1 = IB

,

F −1 ◦ F = IA

formában is fel´ırhat´ o. Nyilv´ anval´ o tov´ abb´ a, hogy bármely F : A → B bijekció esetén (F −1 )−1 = F teljes¨ ul. A matematik´ aban gyakran haszn´ aljuk az u ń. konstans f¨ uggvényeket és halmazok karakterisztikus f¨ uggvényét. Legyen c ∈ B egy rögz´ıtett elem. Ekkor az F (x) :=

130

4.3. Algebrai strukt´ urák

c (x ∈ A) utas´ıt´ assal értelmezett F : A → B f¨ uggvényt konstans f¨ uggvénynek nevezz¨ uk. Legyen H ⊆ A. A χH (x) :=

1,

ha x ∈ H,

0,

ha x ∈ A \ H

utas´ıtással értelmezett χH : A → R f¨ uggvényt a H halmaz karakterisztikus f¨ uggvényének nevezz¨ uk.

4.3. Algebrai strukt´ urák A számok körében szok´ asos m˝ uveletek (¨ osszeadás, szorzás) fogalmát általános´ıtva eljuthatunk az algebrai m˝ uvelet defin´ıciójához.

Defin´ıci´ o. Legyen A egy nem u¨res halmaz. Az A × A halmaznak A-ba való leképezéseit az A halmaz bels˝ o m˝ uveleteinek nevezz¨ uk. Jelölje ∗ az A halmaz egy bels˝ o m˝ uveletét. Ennek a leképezésnek az (a, b) ∈ A×A helyen felvett értékét az a∗b szimb´ olummal jelölj¨ uk. Azt, hogy ∗ egy bels˝o m˝ uvelet az A halmazon, gyakran az A × A 3 (a, b) → a ∗ b ∈ A jelöléssel is kifejezésre juttatjuk. Ha bármely a, b, c ∈ A elemre (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) teljes¨ ul, akkor azt mondjuk, hogy a ∗ m˝ uvelet asszociat´ıv. Ha minden a, b ∈ A esetén a∗b=b∗a teljes¨ ul, akkor azt mondjuk, hogy a sz´ oban forgó m˝ uvelet kommutat´ıv. Ismeretes péld´ aul, hogy az ¨ osszead´ as (+) és a szorzás (·) is kommutat´ıv és asszociat´ıv m˝ uvelet a val´ os sz´ amok R halmazán. Az ∪, ∩ halmazm˝ uveletek bels˝o m˝ uveletek a most bevezetett értelemben b´ armely halmaz hatványhalmazán. E m˝ uveletek mindegyike kommutat´ıv és asszociat´ıv. A valós számok halmazán bevezetett alsó- és fels˝ o burkol´ o képzés (∧, ∨) m˝ uvelete szintén kommutat´ıv és asszociat´ıv.

4. F¨ uggelék

131

Az e ∈ A elemet a ∗ m˝ uveletre vonatkoz´ oan egységelemnek nevezz¨ uk, ha minden a ∈ A elemre a∗e=e∗a=a teljes¨ ul. Könnyen igazolhat´ o, hogy legfeljebb egy egységelem létezhet. Valóban, ha e és e0 két egységelem, akkor ezekre a = e0 , ill. a = e esetén fel´ırva a fenti defin´ıciót e0 ∗ e = e,

ill.

e0 ∗ e = e0

adódik, következésképpen e = e0 . Tegy¨ uk fel, hogy e ∈ A az A-nak az egységeleme a ∗ m˝ uveletre nézve. Akkor mondjuk, hogy az a ∈ A elemnek van inverze a ∗ bels˝o m˝ uveletre nézve, ha létezik olyan a0 ∈ A elem, hogy a ∗ a0 = a0 ∗ a = e. Egyszer˝ uen igazolhat´ o, hogy ha a ∗ m˝ uvelet asszociat´ıv és A-nak van egységeleme a ∗ m˝ uveletre nézve, akkor b´ armely a ∈ A elemnek legfeljebb egy inverze létezik. Valóban tegy¨ uk fel, hogy a0 , a◦ ∈ A az a ∈ A elem két inverze. Ekkor felhasználva az egységelem és az inverz defin´ıci´ oját azt kapjuk, hogy a◦ ∗ (a ∗ a0 ) = a◦ ∗ e = a◦ . Hasonló meggondol´ assal ad´ odik, hogy (a◦ ∗ a) ∗ a0 = e ∗ a0 = a0 . Vég¨ ul felhasználva a ∗ m˝ uvelet asszociat´ıvitását, a bizony´ıtandó a◦ = a0 áll´ıtást kapjuk. Az R-nek a + m˝ uveletre nézve van egységeleme a 0 szám, és bármely a ∈ R számnak létezik az (´ un. addit´ıv) inverze ( a −a ∈ R szám) az összeadásra nézve. Az R∗ := R \ {0} sz´ amhalmaznak a szorz´ asra nézve van egységeleme (az 1 szám), és bármely a ∈ R∗ elemnek van (´ un. multiplikat´ıv) inverze, az 1/a szám. Legyen H egy nem u ¨res halmaz és tekints¨ uk az A := P(H) hatványhalmazt a ∪, ∩ m˝ uveletekkel. Nyilv´ anval´ o, hogy a H halmaz az A-nak egységeleme az ∪ m˝ uveletre nézve és az u ¨res halmaz az A-nak egységeleme a ∩ m˝ uveletre nézve. Számos olyan halmaz fordul el˝ o a matematikában, amelyen egynél több bels˝o m¨ uvelet van értelmezve. Ezeket a m˝ uveleteket általában bizonyos szabályok kapcsolják össze. Ilyen pl. a disztributivit´ as szab´ alya. Legyen A egy nem u ¨res halmaz

132


és , két bels˝ o m˝ uvelet az A-n. Akkor mondjuk, hogy a a m˝ uveletre nézve, ha b´ armely a, b, c ∈ A esetén (a b)

c = (a

c) (b

c) és

c

(a b) = (c

m˝ uvelet disztribut´ıv

a) (c

b).

A szorzás m˝ uvelete (az R-en) disztribut´ıv az összeadásra nézve, viszont az összeadás nem disztribut´ıv a szorz´ asra nézve. Ugyanakor valamely nem u ¨res halmaz hatványhalmazán értelmezett ∪, ∩ m˝ uveletek mindegyike disztribut´ıv a másikra nézve. Valamely nem u ¨res A halmazt a rajta értelmezett egy vagy több bels˝o m˝ uvelettel algebrai strukt´ urának nevezz¨ uk. A bels˝ o m˝ uveleteket algebrai m˝ uveleteknek is szokás nevezni és pl. a , két m˝ uvelet esetén a szóban forgó algebrai strukt´ urát az (A, , ) szimb´ olummal jel¨ olj¨ uk. Bizonyos esetekben nem célszer˝ u algebrai strukt´ urák között k¨ ulönbséget tenni. Ezt kétm˝ uveletes algebrai strukt´ ur´ akkal kapcsolatban részletezz¨ uk, megjegyezve, hogy a bevezetésre ker¨ ul˝ o fogalmak értelemszer˝ u módos´ıtásokkal egyéb algebrai srukt´ urákra is átvihet˝ ok.

Defin´ıci´ o. Legyen (A, +, ·) és (A , , ) két algebrai struktúra. Akkor mondjuk, hogy ezek izomorfak, ha létezik olyan F : A → A bijekció, hogy minden a, b ∈ A esetén F (a + b) = F (a) F (b) ,

F (a · b) = F (a)

F (b)

teljes¨ ul. Ha két algebrai strukt´ ura egym´ assal izomorf, akkor — algebrai szempontból — azonosnak tekintj¨ uk ˝ oket. Az egyik legegyszer˝ ubb és legfontosabb algebrai strukt´ ura a csoport.

Defin´ıci´ o. Legyen G egy nem u¨res halmaz és ∗ egy bels˝o m˝uvelet a G-n. A (G, ∗) p´ art csoportnak nevezz¨ uk, ha a ∗ m˝ uvelet asszociat´ıv, létezik egységelem és b´ armely G-beli elemnek létezik inverze a ∗ m˝ uveletre nézve. Ha ezenfel¨ ul a m˝ uvelet kommutat´ıv, akkor a szóban forgó strukt´ ur´ at kommutat´ıv vagy Abel-csoportnak nevezz¨ uk. Ha a G valamely G0 részhalmaza a ∗ m˝ uveletre nézve csoportot alkot, akkor ezt a (G, ∗) csoport részcsoportjának nevezz¨ uk. Nyilvánvaló, hogy bármely csoport esetén az egységeleméb˝ ol alkotott egyelem˝ u részhalmaz egyben részcsoport is. A C, az R, a Q és a Z sz´ amhalmazok mindegyike kommutat´ıv csoportot alkot az összeadásra nézve. Az Rn veltortér is csoport a vektorok körében értelmezett összeadásra nézve. A C∗ := C \ {0}, az R∗ és a Q∗ := Q \ {0} számhalmazok kommutat´ıv csoportot alkotnak a szorz´ asra nézve.

4. F¨ uggelék

133

Nem kommutat´ıv csoportoknak egy ´ altalános osztálya a következ˝o. Legyen A egy tetsz˝oleges nem u ¨res halmaz és jelj¨ uk G-vel az A-nak önmagára való bijekcióinak összességét. Egyszer˝ uen ellen˝ orizhet˝o, hogy G a f¨ uggvény-kompoz´ıcióra nézve csoport, amelynek egységeleme az A identikus leképezése és bármely g ∈ G elem inverze a g f¨ uggvény inverz f¨ uggvénye.

A kétm˝ uveletes algebrai strukt´ ur´ ak egyik fontos t´ıpusát alkotják a gy˝ ur˝ uk.

Defin´ıci´ o. Legyen R egy nem u¨res halmaz, + és ∗ két bels˝o m˝uvelet az R-en. Akkor mondjuk, hogy az (R, +, ∗) algebrai strukr´ ura gy˝ ur˝ u, ha i) (R,+) kommutat´ıv csoport, ii) a ∗ m˝ uvelet asszociat´ıv és disztribut´ıv a + m˝ uveletre nézve. Ha a szóban forg´ o gy˝ ur˝ uben a ∗ m˝ uvelet kommutat´ıv, akkor azt kommutat´ıv gy˝ ur˝ unek nevezz¨ uk. Pl. az egész sz´ amok halmaza az összeadásra és a szorzásra nézve kommutat´ıv gy˝ ur˝ ut alkot.

A kommutat´ıv gy˝ ur˝ uk egy fontos aloszt´ alyát alkotják a testek.

Defin´ıci´ o. Legyen K egy nem u¨res halmaz, + és ∗ két kommutat´ıv bels˝o m˝ uvelet a K-n. A (K, +, ∗) algebrai strukt´ urát testnek nevezz¨ uk, ha i) (K, +) kommutat´ıv csoport, a 0 (addit´ıv) egységelemmel, ii) K ∗ := K \ {0} kommutat´ıv csoport a ∗ m˝ uveletre nézve, iii) a ∗ m˝ uvelet disztribut´ıv a + m˝ uveletre vonatkozóan. A komplex sz´ amok, a val´ os sz´ amok és a racionális számok halmaza testet alkot az összeadásra és szorz´ asra nézve. Tov´ abbi példák az 1.1. ponthoz f˝ uzött megjegyzésekben találhat´ ok.

Bizonyos algebrai strukt´ ur´ akon u ń. k¨ uls˝ o m˝ uveleteket is használunk. Ha A és B két nem u ¨res halmaz, akkor a B ×A 3 (λ, a) → λ·a ∈ A leképezést az A halmaznak B-re vonatkozó k¨ uls˝ o m˝ uveletének nevezz¨ uk. Az egyik legfontosabb, bels˝o és k¨ uls˝o m˝ uvelettel ellátott algebrai strukt´ ura a vektortér, amely a matematika k¨ ulönböz˝o fejezeteiben és a fizik´ aban is fontos szerepet játszik.

134


Defin´ıci´ o.

Legyen X egy lin´ aris tér és (K, +, ·) egy test, továbbá legyen egy bels˝ o m˝ uvelet az X-en, pedig egy k¨ uls˝o m˝ uvelet az Xen K-ra vonatkoz´ oan. Az (X, , ) algebrai srukt´ urát vektort´ ernek vagy line´ aris t´ ernek nevezz¨ uk a K-ra vonatkozóan, ha I. (X, ) kommutat´ıv csoport, II. Az X-beli és a K-beli m˝ uveleteket az alábbi szabályok kapcsolják össze: i) λ (x y) = λ x λ y (x, y ∈ X, λ ∈ K) ii) (λ + µ) x = λ x µ x (x ∈ X, λ, µ ∈ K) iii) λ (µ x) = (λ · µ) x (x ∈ X, λ, µ ∈ K) iv) e x = x (x ∈ X), ahol e a K test egységelemét jelenti a · m˝ uveletre nézve.

´ Altal´ aban nem szoktak jel¨ olésben k¨ ul¨ onbséget tenni az X-beli és a K testen értelmezett m˝ uveletek k¨ oz¨ ott. Ennek megfelel˝oen az (X, +, ·) szimbólumot is használjuk. Legyen K egy tesz˝ oleges test és n ∈ N∗ . Jelölj¨ uk K n -nel a K elemeib˝ol alkotott rendezett elem n-esek halmaz´ at: K n := {x = (x1 , x2 , · · · , xn } : x1 , x2 , · · · , xn ∈ K}. A K n elemeit vektoroknak is nevezik. Vezess¨ uk be a K n -ben az összeadást és a K-beli elemekkel val´ o szorz´ ast a k¨ ovetkez˝ oképpen. Tetsz˝oleges x = (x1 , x2 , · · · , xn ), y = (y1 , y2 , · · · , yn ) ∈ K n vektorokra és λ ∈ K elemre legyen x + y := (x1 + y1 , x2 + y2 , · · · , xn + yn ), λ · x := (λ · x1 , λ · x2 , · · · , λ · xn ). Könnyen ellen˝orizhet˝ o, hogy (K n , +, ·) vektortér a K számtestre vonatkozóan. Egy másik fontos vektorteret kapunk, ha valamely nem u ¨res A halmazon értelmezett és K-ba képez˝ o f¨ uggvényeket tekintj¨ uk a szokásos m˝ uveletekkel: (f + g)(x) := f (x) + g(x),

(λ · f )(x) := λ · f (x)

(x ∈ A, λ ∈ K, f, g : A → K).

Egyszer˝ uen igazolhat´ o, hogy a X := {f | f : A → K} f¨ uggvényosztály a most bevezetett m˝ uveletekkel lineáris tér.

4. F¨ uggelék

135

Irodalom

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

Recommend Documents