Jan Prachař, Lenka Zdeborová a kolektiv. Fyzikální korespondenční seminář

Jan Prachař, Lenka Zdeborová a kolektiv

Fyzikální korespondenční seminář 1997 – 2007

Obsah Předmluva

7

O semináři

9

Historie

11

Akce pořádané FYKOSem Den s experimentální fyzikou . . . Týden s aplikovanou fyzikou . . . Výjezdní soustředění s exkurzí do FYKOSí Fyziklání . . . . . . . . . . . Soustředění . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

16 16 16 17 19 19

. . . . . .

27 29 31 32 33 35 35

. . . . . .

37 39 40 42 43 48 50

. . . . . .

53 55 57 61 62 63 64

Ročník XI II . E kadeřnictví v rukou fyzika III . P záplavy ve vesmíru . . . . . V . 1 dvojpíst . . . . . . . . . . . . . . V . P se samopalem na krychli . VI . 2 transport izotopu . . . . . . VI . 3 uchopit či neuchopit . . . . Ročník XII I . 3 fontána . . . . . . . . . . . . II . 4 čočka ve vodě . . . . . . . III . 4 drtivý dopad . . . . . . . III . E tloušťka vlasu . . . . . . V . 1 jehla na vodě . . . . . . . VI . 4 míček v kondenzátoru

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

....... ....... CERNu ....... .......

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

Ročník XIII I . 3 zahřívání a ochlazování . . . . . . . . . II . E sloupec cukru . . . . . . . . . . . . . . . . III . 4 My name is James Bond . . . . . . . IV . 1 nabité kuličky . . . . . . . . . . . . . . . IV . P jablko nepadá daleko od baobabu VI . 4 vodíková nádoba . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

Ročník XIV 66 I . P jedna paní povídala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3

FYKOS 1997–2007 II . 3 nabitá šroubovice IV . 4 zvířátko . . . . . . . V . 2 dělo na lodi . . . . VI . 3 počítání galaxií . VI . P domino . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

Ročník XV I . 3 žhavil elektron drát . . . . . II . 2 tyč na prstech . . . . . . . . . II . E elektrostatické pole Země III . 4 přesnost GPS . . . . . . . . IV . 4 inteligentní zavlažování . V . P samolet . . . . . . . . . . . . . Ročník XVI II . 3 zase jde vo prachy . . III . 1 vítr na dálnici . . . . . III . 4 rychlá smrt v Apollu IV . 4 ekvipotenciály . . . . . IV . E od medvídka Pú . . . V . P pramínek vody . . . . . Ročník XVII I . 4 autíčko závodník . . . . I . P led a kyselina . . . . . . I . E absolutní nula . . . . . . V . 3 slezští havíři reloaded V . P zpomalující Měsíc . . VI . 3 padající komín . . . .

. . . . . .

. . . . . .

Ročník XVIII I . 1 ošklivé kačátko . . . . . . . II . 4 zoufalí trosečníci . . . . . III . 4 světroněm přes kanál . V . 4 neposlušná gravitace . . VI . 4 nezastavitelný chodec VI . E chyťte foton . . . . . . . Ročník XIX I . 1 opravdu Saturn plave? II . P dechové nástroje . . . V . 3 účinnost elektrárny . . V . E babiččiny palačinky . 4

. . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . .

69 70 72 72 73

. . . . . .

. . . . . .

77 79 80 82 84 85 86

. . . . . .

88 . 90 . 91 . 92 . 95 . 98 . 101

. . . . . .

102 . 103 . 104 . 105 . 109 . 110 . 111

. . . . . .

113 . 115 . 118 . 119 . 120 . 123 . 125

. . . .

128 . 130 . 131 . 133 . 135

Obsah VI . 2 kukačky na lanech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 VI . 3 roztáčíme elektromotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Ročník XX I . P výška stromů . . . . . . . I . E sbírání šišek . . . . . . . II . 4 jak je daleko Slunce? III . 2 přistání na Titanu . . IV . 4 Kochova vločka . . . . VI . 3 čtverák čtverec . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

Seriál o teorii relativity 1. Klasická fyzika a relativita . . . . . . . . . . . . 2. Lorentzova transformace a její důsledky I . 3. Lorentzova transformace a její důsledky II 4. Relativistická dynamika . . . . . . . . . . . . . . 5. Energie a zákony zachování . . . . . . . . . . . 6. Elektromagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Obecná teorie relativity . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

143 . 145 . 148 . 150 . 153 . 157 . 160

. . . . . . .

162 . 162 . 167 . 174 . 180 . 185 . 190 . 195

5

6

Předmluva Milí čtenáři, již je tomu dvacet let, co studenti Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy v Praze organizují Fyzikální korespondenční seminář (FYKOS). A právě proto vyœ chází tato publikace, která shrnuje druhé desetiletí jeho existence od roku 1997 do roku 2007. V řadách organizátorů se vystřídalo mnoho nadšených studentů fakulty a mezi řešiteli ještě více zanícených studentů středních škol. Za těch deset let se toho mnoho událo a vznikla spousta zajímavých fyzikálních úloh a textů, které seznamovaly řešitele semináře s fyzikou a na konci každého ročníku plnily stránky ročenek FYKOSu. Cílem této publikace je vybrat a předvést vám z nich to nejlepší. Kromě toho bychom vás chtěli seznámit s naším seminářem a jeho historií a v neposlední řadě najít mezi studenty středních škol naše budoucí řešitele a mezi učiteli naše příznivce. Na začátku publikace vám podrobně představíme náš seminář, jeho historii a akce pořádané FYKOSem (uvádíme seznam všech soustředění, jejich účastníků a organizátorů). Následuje přehled jednotlivých ročníků od jedenáctého po dvacátý. U každého ročníku stručně shrnujeme dění, vracíme se k nejzajímavějším úlohám a uvádíme kompletní zadání a řešení šesti vybraných úloh. Kromě toho zde také najdete nejúspěšnější řešitele každého ročníku. Na konec publikace jsme se rozhodli přidat úspěšný seriál z 15. ročníku o teorii relativity. Pokud máte připomínky a postřehy k této publikaci, nějaké zajímavé fyzikální problémy či jakékoli podněty k naší činnosti, budeme rádi, když nás kontaktujete. Přejeme vám příjemné čtení.

FYKOS UK v Praze, Matematicko-fyzikální fakulta Ústav teoretické fyziky V Holešovičkách 2 180 00 Praha 8 tel: +420 221 912 504 (doc. Pavel Krtouš, Ph.D.) www: http://fykos.mff.cuni.cz e-mail: [email protected]

7

FYKOS 1997–2007

Poděkování Při příležitosti dvacátého výročí našeho semináře bych se chtěl jeho jménem rozœ loučit s generací organizátorů, která pro něj v posledních letech udělala opravdu mnoho práce. Zadáno bylo mnoho krásných úloh a napsáno bylo mnoho poučných řešení. Mezi řešiteli bylo vždy dost velice chytrých kluků a děvčat, kteří si s úlohami skvěle poradili. Vznikly výjimečné seriály o statistické a kvantové fyzice. Pravidelně jsme se každý týden scházeli, abychom vymýšleli úlohy do série a program soustřeœ dění, a kolik legrace jsme přitom zažili! Na speciálních vánočních besídkách bývalo veselo až do rána, kdy už někteří museli odcházet měřit praktikum. Do smrti budeme vzpomínat na kouzelnou atmosféru soustředění, na společné (někdy neuvěřitelné) zᜠžitky při hrách a jejich přípravě, nenuceně přátelský vztah s řešiteli. Poslední den soustředění končil tanečním večerem, kde jsme se loučili a nikomu se nechtělo ráno odjíždět domů. Jeli jsme také do CERNu, do Ženevy a vystoupali jsme až na vrœ cholky Alp. Každý z nás musí s radostí vzpomínat na tu báječnou cestu. Leč čas se naplnil, brzy opustíme školu a rozejdeme se každý svou cestou. Naše přátelství a vzpomínky na FYKOS snad zůstanou navždy. Děkuji ti, Jardo, Jirko, Kájínku, Matouši, Pavle, Pet, Robine, i vám ostatním. Honza Prachař

8

O semináři Fyzikální korespondenční seminář (FYKOS) je nejstarší a největší fyzikální koœ respondenční seminář v České republice. Je určen všem zájemcům o fyziku ze všech ročníků a typů středních škol kdekoliv ve světě, kteří jsou schopni komunikovat česky, slovensky nebo anglicky. Seminář je nepřetržitá soutěž probíhající během celého školního roku dle jednoœ duchého schématu. Šestkrát do roka dostanou řešitelé poštou tzv. sérii se zadáním sedmi fyzikálních úloh. Na řešení úloh dle svého výběru mají přibližně jeden měsíc času. Nejpozději do předem stanoveného termínu odešlou svá řešení organizátorům semináře, ať už poštou nebo prostřednictvím internetu. Organizátoři úlohy opraví, obodují a okomentují a odešlou je zpět soutěžícím spolu se vzorovým řešením a zaœ dáním další série úloh. Po každé sérii je sestavováno průběžné pořadí a na konci ročníku jsou nejlepší řešitelé náležitě odměněni. Za každou úlohu udělujeme podle míry správnosti řešení určitý počet bodů daný obtížností úlohy (experimentální úloha je bodována nejštědřeji). Pokud někdo vyœ myslí originální způsob řešení či zašle skvěle vypracovanou úlohu, může získat tzv. bonus, určitý počet bodů navíc k bodům standardním. Slušný bodový zisk lze obœ držet i za jen částečně či neúplně vyřešenou úlohu, pokud se v ní objeví nějaká správná myšlenka. Také nijak nepenalizujeme, pokud řešitel udělá chybu ve výpoœ čtu jen z nepozornosti, přitom jinak celý postup a logická úvaha je správná. Seminář je tak zajímavá možnost, jak si prohloubit své chápání fyziky. Snažíme se zadávat zajímavé úlohy, které vzbudí zvědavost řešitelů. Jednak zadáváme jedœ nodušší úlohy, k jejichž řešení by měla stačit znalost středoškolské fyziky, je však potřeba se zamyslet více než třeba při písemce z fyziky a nezaleknout se někdy delší logické úvahy. Většina úloh vyžaduje, aby se studenti o fyziku zajímali troœ chu hlouběji. Pro zkušenější řešitele někdy zadáváme i obtížnější úlohy, k jejichž řešení pomůže například chytrá knížka či které vyžadují pokročilejší matematické znalosti. Dále zadáváme tzv. problémovou úlohu, ta se většinou týká situací přímo ze života, v čemž však spočívá největší obtíž. Řešitel se totiž musí rozhodnout, jaký model pro situaci navrhne, co všechno si dovolí zanedbat. I samotný výpočet může skýtat úskalí. Právě proto jsou problémové úlohy blízké skutečným fyzikálním proœ blémům. Ve fyzikálním semináři nemůže chybět ani experimentální úloha. Očekává se, že zadaný experiment řešitelé nejen teoreticky navrhnou, ale i prakticky zrealizují a z naměřených hodnot vyhodnotí výsledek a jeho chybu. Důležité je také diskutovat přesnost a vhodnost použité metody a zamyslet se nad výsledky. Tím však činnost FYKOSu nekončí. Během každého ročníku vychází spolu se zadáním úloh seriál na pokračování, který se věnuje vybrané oblasti fyziky a tu se snaží účastníkům srozumitelně přiblížit. K seriálu je rovněž zadávána jedna úloha. Jako téma seriálu vybíráme buď partii fyziky vyučovanou na středních školách (klaœ sická mechanika, elektromagnetismus), snažíme se ji však vysvětlit více do hloubky a svá tvrzení neformulujeme jako pravdy, nýbrž je vždy zdůvodňujeme či dokazuœ jeme. Jindy se seriál zabývá tématem, které řešitelé ze škol vůbec neznají (teorie 9

FYKOS 1997–2007 relativity, teoretická mechanika, statistická fyzika). O to je potom obtížnější daný obor studentům přiblížit, aby byli schopni řešit předložené problémy. Vždy se však najde dost zvídavých a trpělivých řešitelů, kteří zvládnou celý seriál od začátku do konce, což nás těší. Dvakrát do roka organizujeme pro nejlepší řešitele týdenní soustředění a také další akce (viz dále). Seminář organizují studenti a zaměstnanci Matematicko-fyzikální fakulty Univerœ zity Karlovy v Praze a je podporován Ústavem teoretické fyziky. Seminář zastřešuje Oddělení pro vnější vztahy a propagaci MFF UK pod vedením PhDr. Aleny Havlíčœ kové. Samozřejmě nás najdete i na internetu na adrese http://fykos.mff.cuni.cz. Na našich stránkách zveřejňujeme zadání a řešení úloh, průběžné pořadí, fotky a reœ portáže z našich akcí. Je zde také možné diskutovat s ostatními řešiteli a organizátory semináře. Řešitele se zájmem o fyziku se snažíme aktivně vyhledávat. Naši řešitelé patří k těm lepším studentům na Matematicko-fyzikální fakultě i jinde, často se z nich rekrutují noví organizátoři. A v životě nemívají problém s uplatněním, protože chytœ rých lidí si všude cení. Stát se naším řešitelem je úplně jednoduché, stačí poslat řešení některých úloh z aktuální série a základní informace o své osobě (jméno, příœ jmení, datum narození, adresu, školu a kategorii) na naši adresu. Samozřejmě je možné připojit se kdykoliv během roku. Podrobná pravidla a vyčerpávající inforœ mace o FYKOSu najdete na našich webových stránkách.

FYKOS UK v Praze, Matematicko-fyzikální fakulta Ústav teoretické fyziky V Holešovičkách 2 180 00 Praha 8 tel: +420 221 912 504 (doc. Pavel Krtouš, Ph.D.) www: http://fykos.mff.cuni.cz e-mail: [email protected]

10

Historie Vznik semináře Korespondenční semináře mají v České a Slovenské republice dlouhou tradici. Prvním na území bývalého Československa byl Košický matematický korespondenční seminář, který vznikl v roce 1976. Tento seminář měl velký úspěch, brzy nato proto začaly vznikat další – bratislavský (1978) a pražský (1980) matematický koresponœ denční seminář. Soutěže byly zpočátku lokálního charakteru, postupně se však začali zapojovat řešitelé z celé republiky, kteří se vzájemně poznávali na soustředěních poœ řádaných semináři. Nové semináře zakládali většinou samotní bývalí řešitelé jiných seminářů pod záštitou vysokých škol, kde studovali. Začátky nebyly často snadné, ať už získávání prostředků na soustředění nebo množení zadání, které prošlo vývojem od opisování na psacím stroji s desítkou kopíráků, přes skoro nečitelný cyklostyl, pokoutné rozmnožování v podnicích ochotných rodičů organizátorů seminářů až po současnou plnou podporu zastřešujících vysokých škol. V polovině osmdesátých let začaly vznikat vedle již zavedených matematických korespondenčních seminářů také semináře fyzikální a později i programovací. Ve školním roce 1986/87 se skupina studentů Matematicko-fyzikální fakulty Uniœ verzity Karlovy v Praze (dále MFF) soustředěná kolem Leoše Dvořáka (tehdy věœ decký pracovník na katedře teoretické fyziky) a Davida Vokrouhlického (tehdy stuœ dent katedry astronomie) rozhodla po vzoru matematického semináře začít na MFF organizovat fyzikální korespondenční seminář pro středoškolské studenty (dnes naœ zývaný FYKOS). V tomto roce ovšem proběhlo méně sérií než později a nebylo organizováno soustředění. Nicméně se již tehdy semináře účastnilo kolem stovky studentů. Tento rok byl později nazván nultým ročníkem FYKOSu. O aktivitách Leoše Dvořáka se o rok později dozvěděla skupina nadšených stuœ dentů ve složení Pavel Krtouš, Přemysl Dědic a Tomáš Kopf, kteří seminář převzali do svých rukou a dali mu z velké části dnešní podobu. Zajímavostí je, že u zrodu matematického korespondenčního semináře, který byl vzorem pro Davida Vokrouhœ lického při zakládání FYKOSu, stál starší bratr Pavla Krtouše Zdeněk Krtouš.

Ročník I–III (1987–1990) Hlavním organizátorem je Pavel Krtouš. Vedoucím semináře je až do roku 1995 Leoš Dvořák. Aby nedošlo k mýlce, vysvětleme, že pojmem hlavní organizátor máme na mysli studenta MFF, který koordinuje ostatní organizátory a stará se o běh celého semináře. Vedoucí semináře je oproti tomu funkce spíše formální, může jím být jedině zaměstnanec fakulty, který zajišťuje zejména finance a oficiální komunikaci. V těchto dobách, kdy se FYKOSu ještě neříkalo FYKOS, byly finance získávány přes FV SSM (fakultní výbor Socialistického svazu mládeže). K tomu, jak se psala zadání i vzorová řešení, se vyjádřil Pavel Krtouš takto: „Když jsme u technických detailů, tak psací stroj, na kterém se seminář začal dělat, byla taková stará úžasná remingtonka se speciálně dodělávanými českými a matematickými znaky (tj. byla 11

FYKOS 1997–2007 předělaná některá kladívka s původně německými znaky na znaky nové, a to s ohleœ dem i na to, že na tom stroji brácha chtěl psát matematický seminář).ÿ Série se pak (hlavně v pozdějších ročnících) kopírovaly v reprografickém středisku v budově MFF na Malé Straně. V prvních ročnících často i pokoutně v podniku, kde tehdy pracoval otec Pavla Krtouše. Důvod byl ten, že povolení ke kopírování na MFF muselo projít přes dlouhotrvající administrativu. Pro databázi řešitelů se využíval program Přemysla Dědice, psaný na ZX Spektru. Seminář řešilo 110–150 řešitelů. V prvním ročníku byly odeslány čtyři série po sedmi příkladech, v druhém ročníku pět sérií po šesti příkladech a ve třetím šest sérií po pěti příkladech. Ve druhém ročníku se pravidelně objevovala experimentální úloha a poprvé se objevila tzv. tematická úloha – tématem tohoto ročníku byl vekœ torový počet a transformace souřadnic (autor Pavel Krtouš). Tématem pátých úloh třetího ročníku byl elektromagnetismus (autor Tomáš Kopf). První soustředění proœ běhlo na podzim roku 1988. Ve druhém ročníku proběhlo rovněž jedno soustředění (u Sečské přehrady) a od třetího ročníku již probíhala pravidelně dvě soustředění – jedno na jaře a druhé na podzim, které se vždy váže k předchozímu ročníku.

Ročník IV–V (1990–1992) Během třetího ročníku šéfování semináři po Pavlu Krtoušovi přebral Jan Slovák. Po Sametové revoluci financování semináře přešlo pod Jednotu českých matemaœ tiků a fyziků. Tematickým úlohám se začalo říkat seriál na pokračování. Vzhledem k tomu, že většina organizátorů byli studenti teoretické fyziky, začali k úřadování poœ užívat počítačovou učebnu katedry. Důsledkem toho v pátém ročníku program T602 začal nahrazovat nepohodlný psací stroj. Také databáze řešitelů se přepsala pro PC. V červnu roku 1993 Honza Slovák, David Maxera, Petr Hellinger a Marek Polášek obdrželi cenu ministra školství za organizaci FYKOSu. Počet řešitelů se pohyboval v rozmezí 130–140. Ve čtvrtém ročníku bylo odesláno šest sérií po pěti příkladech, v pátém ročníku pět sérií po šesti příkladech. Tématem seriálu na pokračování ve čtvrtém ročníku byl diferenciální počet a v pátém ročníku elektrické obvody, autorem obou seriálů byl Honza Slovák. V pátém ročníku se také na výsledkové listině poprvé objevuje na prvním místě legendární Student Pilný.

Ročník VI–VIII (1992–1995) Již během pátého ročníku seminář organizoval i tým Vojtěcha Pravdy, tomu bylo šéfování předáno na podzim roku 1992. Během šestého ročníku semináře se zcela přeœ šlo na tvorbu komentářů pomocí počítače. Od šestého ročníku bylo opravovatelům povoleno dávat za skvěle vyřešené úlohy více bodů než Studentu Pilnému. Filip Münz, který semináři šéfoval od sedmého ročníku, a jeho tým přinesli do semináře několik zásadních změn. Díky Filipovi byl sedmý a následující dva ročníky psány v editoru Word. Od té doby máme elektronický archiv, za což budiž Filiœ povi věčná sláva. Databáze řešitelů byla převedena do Excelu, což vydrželo až do patnáctého ročníku. V osmém ročníku se také díky Filipovi, Petru Žemlovi a Peœ tru Macháčkovi začal pořádat každý týden kroužek fyziky pro středoškoláky z okolí Prahy. Tentýž rok se začaly vydávat ročenky se zadáním a řešením všech úloh. Za Filipova působení získal seminář (alespoň neoficiálně) místnost číslo 1121 na katedře 12

Historie teoretické fyziky. Tam se každou středu scházel tým organizátorů. V osmém ročníku jako v jediném se při výpočtu celkových bodů zohledňoval věk a zkušenosti řešitele. Počet řešitelů FYKOSu v tomto období byl 60–100. V šestém ročníku bylo odeœ sláno pět sérií po pěti příkladech. V sedmém ročníku bylo odesláno 6 sérií, což až dodnes zůstává tradicí, po šesti příkladech. Příchod nových organizátorů v sedmém ročníku přinesl nově pátou, problémovou úlohu. Problémová úloha opět zmizela v osmém ročníku, nicméně počet příkladů zůstal na šesti. Tématem seriálu v šestém ročníku byly transformace souřadnic (autoři Vojtěch Pravda a Alena Pravdová), v sedmém ročníku relativita (autor Filip Münz) a v osmém ročníku numerické výœ počty ve fyzice (autor opět Filip Münz).

Ročník IX–X (1995-1997) Poslední období prvních deseti let pod vedením Mirka Beláně (Halefa) bylo v mnoha ohledech převratné. V devátém ročníku se část nákladů semináře hraœ dila z grantu Nadace Charty 77. V desátém ročníku financování semináře přešlo pod Oddělení pro vnější vztahy a propagaci MFF UK, což znamenalo lepší zázemí a méně obav, že toho kvůli penězům budeme muset nechat. S druhou sérií devátého ročníku byla uspořádána soutěž o logo semináře, zvítězil obrázek Svatavy Vyviaœ lové. Maskotem FYKOSu se stal návrh Matouše Jiráka – pterodaktyl, bez něhož už si zadání sérií ani nedovedeme představit. 21. 2. 1996 uspořádal Radek Lopušník první Den s experimentální fyzikou, jehož tradice také vydržela dodnes. Ve dnech 31. 3.–6. 4. 1996 proběhl díky iniciativě Haœ lefa zájezd nejúspěšnějších řešitelů do CERNu. Do sérií se díky Halefovi vrátila pátá, problémová úloha. Na popud Petra Žemly se začala pravidelně zadávat experimenœ tální úloha. Výsledková listina se začala dělit na čtyři kategorie podle ročníků na čtyřletém gymnáziu. V neposlední řadě se na počátku devátého ročníku stal novým vedoucím semináře Jan Obdržálek, nyní zaměstnanec Ústavu teoretické fyziky. V devátém ročníku Halef zavedl hromadnou korespondenci, motivací byl klesající počet řešitelů a z toho plynoucí nedostatek organizátorů. Zároveň proběhla osobní propagace na většině pražských gymnázií. V roce 1997 Filip Münz naprogramoval Automatický expediční systém oddělení propagace (AESOP), databázi kontaktů na učitele, studenty a školy. Pomocí AESOPa propagační oddělení rozesílá hromadnou korespondenci dodnes. Kroužek fyziky vedl Mirek Beláň s Filipem Münzem a Toœ mášem Kočkou. V desátém ročníku šéfování přebral Honza Hradil. Honzovi do zásluh kromě toho, že byl výborný tahoun soustředění, připadá zejména to, že začal semináři říœ kat FYKOS a rozšířil povědomí o něm i mezi internetovou komunitu, jelikož to byl právě on, kdo v desátém ročníku po pokusech Filipa Münze i Pavla Krtouše uděœ lal FYKOSí webové stránky, ze kterých se vyvinuly i ty nynější. Emailová adresa [email protected] se poprvé objevila v zadání páté série desátého ročníku. V listoœ padu 1997 také vznikla emailová konference pro organizátory, bez které si dnes také nedovedeme organizaci představit. Kroužek fyziky vedl Luboš Zrnečko s výpomocí Jindry Kolorenče. V desátém ročníku dostala zadání a řešení úloh novou tvář, neboť Halef se je odhodlal začít tvořit v TEXu, což se také děje dodnes, a brožurky FYKOSu po 13

FYKOS 1997–2007 typografické stránce mohou konkurovat vědeckým časopisům. Hlavním TEXařem se stal Karel Houfek. Devátý ročník začalo řešit doposud rekordních 354 středoškoláků, v desátém ročníku 214 studentů. Úlohy byly v každé sérii čtyři běžné, jedna problémová, expeœ rimentální a příklad seriálový – a tak je tomu dodnes. Tématem seriálu v devátém ročníku byla molekulová fyzika (autor Michal Hvězda), v desátém ročníku astrofyœ zika (autor Saša Kupčo spolu s Andreou Budovičovou a Janou Kašparovou).

Ročník XI–XX (1997–2007) FYKOS byl nadále financován Oddělením pro vnější vztahy a propagaci MFF UK, které vede PhDr. Alena Havlíčková, a částečně Jednotou českých mateœ matiků a fyziků. Na začátku jedenáctého ročníku se stal vedoucím semináře bývalý organizátor a zakladatel FYKOSu Pavel Krtouš (tehdy odborný asistent v Ústavu teoretické fyziky), který jím byl až do dvacátého ročníku. Hlavními organizátory semináře byli Jan Hradil (XI), Jiří Franta (XII–XIII), Jan Prokleška (XIV–XV), Jan Houštěk (XVI–XVII) a Jan Prachař (XVIII–XX). FYKOS byl nadále podporován Ústavem teoretické fyziky MFF, který mu poskytl výborné zázemí – vybavenou místnost, kde se mohli organizátoři pravidelně schᜠzet, uchovávat věci a tisknout, a rovněž jeho zaměstnanci rádi jezdili přednášet na soustředění. Počet sérií se ustálil na šesti a počet příkladů v sérii na sedmi. První čtyři úlohy jsou teoretické, pátá je problémová, šestá experimentální a sedmá se týká seriálu na pokračování. Jednotlivé úlohy jsou označovány dvěma čísly – první, římské je číslo série a druhé označuje příklad (1, 2, 3, 4, P, E, S). Řešitelé byli rozděleni do čtyř kategorií podle roku maturity, pro každou kategorii bylo pořadí sestavováno zvlášť. Ve výsledkové listině byl vždy na prvním místě legendární Student Pilný. Databáze řešitelů byla až do patnáctého ročníku udržována v Excelu. Od šestnácœ tého ročníku má FYKOS díky Tomáši Matouškovi novou SQL databázi řešitelů. Je společná s databází propagačního oddělení i ostatních korespondenčních seminářů, má webové rozhraní, takže se do ní můžeme dívat odkudkoliv a kdykoliv. Každý rok byly pořádány dvě soustředění a Den s experimentální fyzikou (DSEF). Organizační tým FYKOSu se v drtivé většině rekrutoval z řad bývalých řešitelů. Letáky byly děœ lány v TEXu. Pravidelně každý rok vycházela ročenka se zadáním a řešením všech úloh. Zadání úloh, letáky, pořadí řešitelů, fotky ze soustředění i další aktuality byly zveřejňovány na webových stránkách http://fykos.mff.cuni.cz. Bližší podrobnosti k tomuto období najdete dále u jednotlivých ročníků.

Bývalí organizátoři Vybrali jsme vzorek bývalých organizátorů a řešitelů FYKOSu, abychom vás seznámili s jejich osudy poté, co opustili řady organizátorů semináře. Pavel Krtouš Jeden ze zakladatelů semináře a hlavní organizátor v 1.–3. ročníku. V letech 1993–1997 byl na postgraduálním studiu na University of Alberta v Edmontonu v Kanadě. Poté působil jako odborný asistent na Ústavu teoretické fyziky MFF UK. Zároveň byl vedoucím semináře. V roce 2007 byl habilitován docentem. Vědecky se 14

Historie zabývá klasickou obecnou relativitou, dále kvantovou teorií pole v křivých prostoœ ročasech, kvantovou gravitací a interpretací kvantové mechaniky. Filip Münz Hlavní organizátor semináře v 7. a 8. ročníku, byl také autorem seriálů o relaœ tivitě a numerické matematice. V letech 1998–2003 absolvoval doktorské studium astrofyziky na univerzitě v Paříži. Od roku 2003 je pracovník Astronomického ústavu Akademie věd ČR, kde se zabývá astrofyzikou vysokých energií či experimentálními metodami v astronomii gama záření. Miroslav Beláň Hlavní organizátor semináře v 9. a 10. ročníku. V roce 2005 získal doktorát z teoœ retické fyziky na MFF UK. Od roku 2001 je IT analytikem. Nyní působí jako konzulœ tant (vedoucí týmu) v Adastra s. r. o., kde se specializuje v bankovním a finančním plánování či modelování ekonomických procesů s využitím vědeckých ekonomických metod. Jiří Franta Hlavní organizátor ve 12. a 13. ročníku. V roce 2005 získal doktorát z kvantové optiky a optoelektroniky na MFF UK. V rámci svého postgraduálního studia byl dva roky na stáži v institutu Maxe Plancka v Halle v Německu. Od roku 2005 pracuje jako konzultant u McKinsey. Jaroslav Trnka Autor seriálu o elektromagnetismu, teoretické mechanice a kvantové fyzice. Magisterské studium na MFF UK úspěšně ukončil o rok dříve. Od roku 2008 poœ kračuje v doktorských studiích na Princeton University v USA. Předmětem jeho vědeckého zájmu je teorie superstrun.

15

Akce pořádané FYKOSem Den s experimentální fyzikou Den s experimentální fyzikou (DSEF) je tradiční celodenní akce FYKOSu, kteœ rou pořádáme pro naše řešitele, event. jejich přátele a pedagogický doprovod, a to samozřejmě bez ohledu na výsledky v naší soutěži. Účastníci dostanou jedinečnou příležitost prohlédnout si nejrůznější zařízení, se kterými fyzikové pracují, seznámit se s aktuální problematikou a nejnovějšími poznatky v experimentální fyzice a také poznat pracovníky Matematicko-fyzikální fakulty. Během dne většinou navštívíme několik fyzikálních pracovišť, kde nasloucháme vyprávění vědeckých pracovníků o své badatelské činnosti. Kromě prohlídky experiœ mentálního zařízení bývají připraveny i demonstrace. K nejpopulárnějším bezesporu patří pokusy s kapalným dusíkem a heliem. Účastníci jsou rozděleni do malých skuœ pin tak, aby měli na všechno dobrý výhled, přičemž každá skupinka je vedena zkuœ šeným organizátorem. První DSEF proběhl 21. 2. 1996, od té doby jsme navštívili kromě snad všech praœ covišť Matematicko-fyzikální fakulty také Fyzikální ústav Akademie věd ČR v Cukœ rovarnické a na Slovance, Ústav jaderného výzkumu a Ústav jaderné fyziky AV ČR v Řeži u Prahy, Ústav fyziky plazmatu AV ČR na Slovance a několikrát školní reaktor Vrabec v Praze.

Týden s aplikovanou fyzikou V týdnu 2.–5. dubna 2007 proběhl první ročník akce pro řešitele FYKOSu a jeho organizátory – Týden s aplikovanou fyzikou (TSAF). Nová akce navázala na tradiční každoroční událost Den s experimentální fyzikou. TSAFu se účastnilo 28 pozvaných nejlepších řešitelů FYKOSu, asi třetina byly dívky. První dva dny jsme byli ubyœ továni na koleji UK Větrník, a program proto probíhal v Praze. Navštívili jsme například závod Siemens kolejová vozidla, s. r. o. ve Zličíně. Pro účastníky připravil doc. Podolský (ÚTF MFF UK) přednášku s titulem „James Clerk Maxwell a zrození dynamické teorie elektromagnetického poleÿ. Ve středu 4. dubna jsme vlakem odcestovali do Ondřejova. Tento den byl totiž vyhrazen návštěvě Astronomického ústavu AV ČR v Ondřejově. V odpolední části se účastníci seznámili s technickým vybavením a aktuálně řešenou problematikou na těchto pracovištích: dvoumetrový dalekohled Stelárního oddělení, zenit-teleskop (PZT) a robotizovaný dalekohled (BART). Exkurze vedli přední čeští odborníci, kteří dokázali zodpovědět zvídavé dotazy středoškoláků i organizátorů. Díky vyjasœ nění oblohy mohly po večerní přednášce na Stelárním oddělení proběhnout návštěva vědeckého měření na dvoumetrovém dalekohledu a pozorování oblohy v historické západní kopuli. Na čtvrtek 5. dubna byla naplánována exkurze do jaderné elektrárny Dukovany. Ještě před jejím začátkem jsme si prohlédli fotovoltaickou sluneční elektrárnu v areœ álu elektrárny. S průvodci jsme absolvovali prohlídku informačního centra, poté 16

Akce pořádané FYKOSem následovala samotná exkurze – po bezpečnostní kontrole při vstupu jsme prošli areœ álem elektrárny a navštívili halu se strojovnou. K vidění bylo mnoho zajímavého, že jsme všechno ani nestačili vstřebat. Na závěr exkurze jsme se dobře naobědvali v místní kantýně. Odpoledne jsme ještě přejeli do přečerpávací vodní elektrárny Dalešice, kde se zrovna pracovalo na výměně jedné z turbín. Organizátoři Bednář Jan, Brom Pavel, Kučka Zdeněk, Lalinský Ján, Lipovský Jiří, Podolník Aleš, Prachař Jan, Suková Petra, Sýkora Petr, Tůma Karel. Účastníci Baxová Jana, Baxová Katarína, Benda Jakub, Bogár Ján, Bogár Ondrej, Cagaš Petr, Cimpl Lukáš, Figulová Jana, Formánek Martin, Hakl Michael, Hermann Jan, Chleœ bounová Zuzana, Ledvina Lukáš, Malina Lukáš, Nečada Marek, Paschkeová Helena, Pechal Radim, Pechová Alžběta, Pospíšilová Lucie, Suchomelová Dana, Svobodová Helena, Šedivý Petr, Šimsa Daniel, Tintěra Tomáš, Trudič Pavel, Vais Zdeněk, Výška Martin.

Výjezdní soustředění s exkurzí do CERNu Na jaře roku 2006 jsme pořádali netradiční soustředění zopakované po deseti letech. Naši účastníci měli možnost navštívit CERN, velké a proslulé vědecké střeœ disko. Následující řádky napsal jeden z účastníků Marek Scholz . CERN CERN – evropské centrum pro jaderný výzkum sídlící na švýcarsko-francouzské hranici – je zajímavé v mnoha směrech a pyšní se několika nej. Je to jedno z nejœ větších, nejdražších, nejmodernějších a nejmezinárodnějších vědeckých pracovišť, co na světě stojí. V obrovských podzemních urychlovačích dva vstřícné svazky protonů dosahují téměř rychlosti světla a při následné srážce těchto svazků vzniká spousta fyzikální „havětiÿ, tedy různé typy záření a hlavně další nově vzniklé částice. Vědci tuto havěť chytají a zkoumají. Dokonce se čas od času objeví dosud zcela neznámý a nepopsaný typ částice – to pak výzkumníci jásají a třeba se i udělují Nobelovy ceny. Není bez zajímavosti, že v současné době mají fyzikové v CERNu spadeno na jedno obzvláště vypečené „zvířátkoÿ z mikrosvěta, a sice Higgsův boson, jehož obœ jevení by pomohlo takříkajíc zalepit mnoho děr v našem současném fyzikálním chᜠpání světa. To je sice pěkné, řeknete si možná, ale co z toho? Poznatky získané výzkumem mají obrovskou škálu praktického uplatnění například v chirurgii, mateœ riálovém výzkumu, diagnostice, energetice. Kromě toho ale nové poznatky pomáhají hledat odpovědi na otázky filozofické: Je vesmír jednoduchý a elegantní? Co je to náhoda a existuje vůbec? Je člověk schopen pochopit fungování světa? Co je to hmota? A my si rádi klademe otázky, a proto jsme se vydali do Švýcarska podívat se na to, jak je třeba možné hledat odpovědi. Exkurze na LHC Se žlutými helmami na hlavě sjíždíme výtahem asi sto metrů pod povrch země. Tam se nám teprve otevírá opravdový pohled do této továrny na vědu. A skutečně, 17

FYKOS 1997–2007 továrna na vědu je přiléhavý název – mohutné železné konstrukce, tlustá potrubí, spletité elektrické rozvody, jeřáby, . . . a jako dominanta toho všeho stojí uprostřed podzemní haly obrovský detektor ve tvaru prstence. Detektor je právě jeden z klíœ čových článků celého výzkumného procesu, ve kterém se zmíněná fyzikální havěť chytá – odsud putuje ohromující množství informací do výpočetních středisek, kde se vše zpracuje a analyzuje. Teprve při pohledu zblízka poznáváme, že detektor je neœ uvěřitelně komplikovanou změtí tenoučkých drátů, destiček a vůbec všeho možného a zůstává rozum stát nad tím, že tento kolos je schopen zachytit byť i jednu jedinou subatomární částici a ještě ke všemu nám jazykem elektřiny rozumně povědět, co že to bylo zač. Sympatický cernský technik nám také ukazuje další pozoruhodnou věc – kryotechnologie neboli mrazicí technologie, které zde při teplotách blízkých abœ solutní nule zajišťují supravodivost elektromagnetů sloužících k rozběhnutí svazků částic. Kapitola sama pro sebe je samozřejmě již výše zmíněné výpočetní středisko. Ve spolupráci s mnoha počítači na celém světě se zde zpracovává více dat, než co v elektronické podobě produkuje celá střední Evropa. Zde si můžeme všimnout zásadní věci. Svět je možné zkoumat hloubáním, dedukcí či indukcí, domýšlením se; v CERNu však vsadili na jiné karty. Takzvaná hrubá výpočetní síla a velmi mohutné technologie nám umožňují nahlédnout do těch nejtitěrnějších rozměrů za hranice lidského poznání. Technické muzeum v Mnichově Ovšem cestou do CERNu nelze projet půlkou Evropy a nezastavit se aspoň na některých mimořádně zajímavých místech. Ve fyzikálním duchu naší výpravy první zastávka patřila muzeu v Mnichově, které je jedno z nejrozsáhlejších v Evropě. Číst v knize je dobré, prohlížet obrázky ještě lepší, ale skutečně vidět a vyzkoušet je nejlepší – motory, parní stroje, letadla, turbíny, těžební soupravy, transformátory, . . . I zarytému netechnikovi by zasvítily oči. K návštěvě Mnichova patřila samozřejmě i procházka městem. Ženeva a Alpy Městem, ve kterém jsme se zdrželi déle, bylo místo našeho ubytování, Ženeva. Ženeva má kouzlo přímořského lázeňského města a to je o to zajímavější, že u moře neleží. A samozřejmě nelze vynechat procházku po alpských kopcích a pokud možno poznat přírodu a podrobit se jejím rozmarům. Tak jsme také učinili a řádně skrz naskrz promokli, zanadávali si a znovu promokli. Konečně každý z nás věděl, co je to alpské jaro. Nádherným zážitkem byla návštěva masivu Mont Blanc. Z podmračného deštiœ vého údolí jsme lanovkou vyjeli na bezmála 4000 m vysoký vrchol Aiguille du Midi. Vymetená obloha, slunce zářivější než jindy, osamocené vrcholy majestátních hor a hluboká údolí všude pod námi. Kdo neviděl, neuvěří. Já jsem si připadal jako na střeše světa. Dalším příjemným zpestřením našeho programu byly zajímavé a poœ učné večerní besedy s panem doktorem Dolejším a studenty Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy na témata fyzikální i nefyzikální, ze života. Naplno prožitých pět dní už je však za námi a mohu si dovolit krátké zhodnoœ cení. Zájezd do CERNu považuji za cennou zkušenost. Za pět dní jsme se mnoho 18

Akce pořádané FYKOSem dozvěděli, mnoho viděli, rozšířili si obzory. Co je však důležitější, poznali jsme nové „zapálenéÿ lidi, získali jsme motivaci do dalšího studia a chuť dozvídat se nové věci. Hymna soustředění Viz YouTube http://www.youtube.com/watch?v=LeKDNAREpQc. Organizátoři RNDr. Jiří Dolejší, Pavel Brom, Jan Prachař, Jiří Lipovský, Petra Suková, Karel Tůma, Jaroslav Trnka. Účastníci Katarína Baxová, Tomáš Bednárik, Jakub Benda, Peter Berta, Ondrej Bogár, Lukáš Cimpl, Lukáš Drápal, Petr Dvořák, Martin Formánek, Juraj Hartman, Karel Havlíœ ček, Jan Jelínek, Hana Jirků, Iva Kocourková, Petra Malá, Lukáš Malina, Jakub Miœ chálek, Pavel Motloch, Marek Nečada, Marek Pechal, Radim Pechal, Pavol Pšeno, Marek Scholz, Lukáš Stříteský, Libor Šachl, Daniel Šimsa, Jan Váňa, Lukáš Vítovec.

FYKOSí Fyziklání Fyziklání je soutěž v řešení příkladů z fyziky pro studenty středních škol. Poprvé se konala 20. 12. 2006 v učebně F1 Matematicko-fyzikální fakulty UK v Praze. Soutěže se zúčastňují libovolná družstva ze středních škol nejen České republiky s nejvýše pěti členy. Na začátku soutěže dostane každé družstvo 7 příkladů, které mohou hned řešit. Za každý správně vyřešený příklad dostane družstvo body a nový příklad. Příklady se hodnotí stupnicí bodů podle toho, na kolikátý pokus je výsledek správný. Samotná soutěž probíhá 3 hodiny. Prvního Fyziklání se zúčastnilo 21 týmů. Zvítězilo družstvo z gymnázií Jana Keplera a Nad Alejí v Praze (ve složení Michal Rolínek, Karel Pajskr, Dalimil Mazáč, Martin Výška, Matěj Peterka).

Soustředění Od samého počátku k semináři neodmyslitelně patří tradiční soustředění. Souœ středění trvá vždy týden dvakrát do roka – na podzim a na jaře – a vždy v jiném koutě naší vlasti. Za celou historii jsme například navštívili Posázaví, Krušné hory, Šumavu, Českomoravskou vrchovinu, Jeseníky, Orlické hory, Krkonoše. Soustředění, na které zveme asi třicet nejlepších řešitelů semináře, má celý týden nabitý program. Dopoledne organizátoři i pozvaní hosté z Matematicko-fyzikální fakulty přednášejí o rozmanitých oblastech fyziky a matematiky. Snažíme se, aby si účastníci prohloubili své znalosti ze středních škol a nasytili svou zvídavost. Jedno odpoledne je věnováno experimentům, kdy jsou účastníci rozděleni do asi tříčlenných skupin, ve kterých řeší zadaný experimentální úkol. Večer se pak koná konference, kde má každá skupinka příspěvek s prezentací svých výsledků. Jiný večer se řeší vybrané fyzikální úlohy. Aby nebyla intelektuální zátěž veliká, odlehčujeme program hrami, sportem a soutěžemi, při kterých si všichni užijí spoustu zábavy. Právě při hrách účastœ níci lépe poznají nové přátele a utuží vzájemné vztahy. Není výjimkou, že vzniklá přátelství vydrží ještě dlouho i během studia na vysoké škole. 19

FYKOS 1997–2007 Soustředění je také vhodná příležitost k odměnění úspěšných řešitelů hezkými knižními cenami. Celé soustředění kromě dopravy je hrazené z prostředků FYKOSu. Dále uvádíme přehled všech konaných soustředění od 11. do 20. ročníku.

Stříbrná (Krušné hory, 16.–22. 11. 1997) Organizátoři Mirek Beláň, Matouš Jirák, Jan Hradil, Jiří Franta, Michal Fabinger, Luboš Zrnečko, Michal Hvězda, Tomáš Drbohlav, Václav Porod, Radek Lopušník, Jana Gřondilová. Účastníci David Ambrož, Michal Bittner, Jakub Černý, Miroslav Černý, Filip Drsek, Marœ tina Gřondilová, Pavol Habuda, Jan Holeček, Karel Honzl, Viktor Johanis, Miroslav Kašpar, Martin Kempa, David Kubizňák, Štěpánka Kučková, Jiří Kvita, Jarmila Mulačová, Miroslav Musil, Lucie Petráčková, Daniel Sprinzl, Miroslav Staněk, Peter Svrček, Michaela Šípalová, Michal Šitina, Martin Vokoun, Přemysl Volf.

Samopše (Posázaví, 10.–16. 5. 1998) Organizátoři Andrea Budovičová, Jan Hradil, Jiří Franta, Karel Výborný, Rudolf Sýkora, Václav Porod. Účastníci Miroslav Černý, Lukáš Filip, Karel Honzl, Petr Chovanec, Jan Janský, Hedvika Kadlecová, Ondřej Kafka, Karel Kouřil, Roman Kováčik, Jakub Kulaviak, Jakub Levic, Marek Libra, Lukáš Linhart, Martin Marec, Klára Maturová, Miroslav Musil, Petr Němec, Jan Pacák, Miroslav Pištěk, Lukáš Poul, Karel Řezba, Jiří Samek, Ondřej Souček, Jiří Svoboda, Kateřina Šetková, Lukáš Uhl, Martin Wokoun, Petr Zasche, Lenka Zdeborová.

Lomy u Kunžaku (15.–21. 11. 1998) Organizátoři Michal Fabinger, Jiří Franta, Jana Gřondilová, Jan Hradil, Dan Kráľ, Pavel Krtouš, Jiří Libra, Václav Porod, Rudolf Sýkora, Karel Výborný. Účastníci Miroslav Černý, Daniel Fiala, Stanislav Hampl, Karel Honzl, Jan Janský, Ondřej Kafka, Karel Kouřil, Milan Křápek, Jakub Levic, Klára Maturová, Miroslav Musil, Jan Pacák, Andrej Pavlík, Miroslav Pištěk, Lukáš Poul, Jiří Samek, Daniel Sprinzl, Jiří Svoboda, Kateřina Šetková, David Šumský, Jaroslav Tykal, Lukáš Uhl, Lenka Zdeborová. 20

Akce pořádané FYKOSem

Lhota u Olešnice (9.–15. 5. 1999) Organizátoři Jakub Černý, Michal Fabinger, Jiří Franta, Jana Gřondilová, Jiří Libra, Tomáš Ostatnický, Ondřej Pejchal, Václav Porod, Jan Prokleška, Rudolf Sýkora, Karel Výborný. Účastníci Pavel Augustinský, Michal Bareš, Ľuboš Bednárik, Martin Beránek, Milan Berta, Matej Dubový, Dáša Eisenmannová, Stanislav Hampl, Jan Houfek, Jan Houštěk, Jaœ romír Chalupský, Pavel Janda, Hedvika Kadlecová, David Kolovratník, Karel Kouřil, Tomáš Linhart, Vít Marek, Klára Maturová, Petr Nečesal, Miroslav Pištěk, Ondřej Plašil, Jan Pšikal, Juraj Suchár, Kateřina Šetková.

Nové Hutě (Šumava, 13.–19. 11. 1999) Organizátoři Miroslav Brož, Jakub Černý, Michal Fabinger, Jiří Franta, Jana Gřondilová, Jan Hradil, Petr Janeček, Miroslav Kladiva, Pavel Krtouš, Jiří Libra, Tomáš Ostatnický, Jan Prokleška. Účastníci Petra Adamová, Pavel Augustinský, Michal Bareš, Martin Beránek, Milan Berta, Peter Čendula, Dáša Eisenmannová, Stanislav Hampl, Jan Houfek, Jaromír Chaœ lupský, Pavel Janda, David Kolovratník, Karel Kouřil, Jakub Levic, Tomáš Linhart, Tomáš Matoušek, Zdeněk Moravec, Petr Nečesal, Miroslav Pištěk, Ondřej Plašil, Juraj Suchár, Kateřina Šetková, Jaroslav Tykal, Jiří Vlach.

Valdek (8.–14. 5. 2000) Organizátoři Michal Fabinger, Jiří Franta, Jana Gřondilová, Karel Honzl, Miroslav Kladiva, Jiří Libra, Slavomír Nemšák, Tomáš Ostatnický, Václav Porod, Jan Prokleška, Rudolf Sýkora, Lenka Zdeborová. Účastníci Petra Adamová, Michal Bareš, Martin Beránek, Lenka Beranová, Václav Cviček, Petra Dobroucká, Dáša Eisenmannová, Jan Fröhlich, Miroslav Frost, Miroslav Hejna, Petr Houštěk, Jan Houštěk, Jaromír Chalupský, Petr Kavánek, Michael Komm, Luboš Matásek, Václav Matouš, Ondřej Novák, Ondřej Plašil, Miroslav Šulc, Karel Tůma, Tibor Vansa, Václav Varvařovský, Karel Žídek.

Janov (Jizerské hory, 13.–19. 11. 2000) Organizátoři Jiří Franta, Jana Gřondilová, Karel Honzl, Miroslav Kladiva, Jiří Libra, Slavomír Nemšák, Tomáš Ostatnický, Jan Prokleška, Rudolf Sýkora, Karel Výborný, Lenka Zdeborová. 21

FYKOS 1997–2007 Účastníci Petra Adamová, Michal Bareš, Martin Beránek, Lenka Beranová, Václav Cviček, Petra Dobroucká, Dáša Eisenmannová, Jan Fröhlich, Miroslav Frost, Vladimír Fuka, Mirek Hejna, Petr Houštěk, Michael Komm, Iva Kouřilová, Luboš Matásek, Ondřej Plašil, Petr Šimek, Miroslav Šulc, Karel Tůma, Tibor Vansa, Václav Varvařovský.

Chlumětín (29. 4.–5. 5. 2001) Organizátoři Pavel Augustinský, Milan Berta, Karel Honzl, Jan Houfek, Jan Houštěk, Miroslav Kladiva, Karel Kouřil, Slavomír Nemšák, Jan Prokleška, Lenka Zdeborová. Účastníci Michal Bareš, Ľuboš Bednárik, Lenka Beranová, Tomáš Buchta, Václav Cviček, Matej Dubový, Jan Fröhlich, Miroslav Frost, Barbora Galaczová, Jakub Galgonek, Michal Hajn, Petr Houštěk, Lukáš Chvátal, Iva Kouřilová, Luboš Matásek, Václav Matouš, Jan Prachař, Eva Skopalová, Petr Šimek, Vít Šípal, Miroslav Šulc, Jaroslav Trnka, Karel Tůma, Tibor Vansa.

Chrastice (Jeseníky, 10.–17. 11. 2001) Organizátoři Pavel Augustinský, Jiří Dolejší, Jiří Franta, Karel Honzl, Jan Houštěk, Miroslav Kladiva, Ondřej Pejchal, Jan Prokleška, Lenka Zdeborová. Účastníci Michal Bareš, Lenka Beranová, Lukáš Chvátal, Václav Cviček, Miroslav Frost, Barœ bora Galaczová, Michal Hajn, Miroslav Havelka, Miroslav Hejna, Petr Houštěk, Alexandr Kazda, Michael Komm, Luboš Matásek, Jan Prachař, Vít Šípal, Eva Skoœ palová, Miroslav Šulc, Jaroslav Trnka, Karel Tůma, Marek Vyšinka.

Jalovec u Číchova (27. 4.–4. 5. 2002) Organizátoři Pavel Augustinský, Peter Čendula, Karel Honzl, Jan Houštěk, Miroslav Kladiva, Ondřej Pejchal, Jan Prokleška, Lenka Zdeborová. Účastníci Michal Bareš, Václav Cviček, Petr Dostál, Miroslav Frost, Barbora Galaczová, Paœ vel Hála, Miroslav Hejna, Petr Houštěk, Lukáš Chvátal, Alexandr Kazda, Michael Komm, Vojtěch Krejčiřík, Eva Lovíšková, Jana Matějová, Zdeněk Moravec, Jan Prachař, Matouš Ringel, Zuzana Rozlívková, Martin Rybář, Martina Smolová, Luœ cie Strmisková, Vít Šípal, Miroslav Šulc, Jaroslav Trnka, Karel Tůma, Tibor Vansa. 22

Akce pořádané FYKOSem

Horní Bradlo (2.–9. 11. 2002) Organizátoři Pavel Augustinský, Karel Honzl, Jan Houštěk, Miroslav Kladiva, Michael Komm, Ladislav Michnovič, Ondřej Pejchal, Lenka Zdeborová. Účastníci Jana Babováková, Michal Bareš, Barbora Galaczová, Boris Gažovič, Miroslav Hejna, Petr Houštěk, Lukáš Chvátal, Alexandr Kazda, Vojtěch Krejčiřík, Jiří Lipovský, Eva Lovíšková, Jana Matějová, Ivan Patáčik, Jan Prachař, Matouš Ringel, Zuzana Rozlívková, Martin Rybář, Lucie Strmisková, Vít Šípal, Jaroslav Trnka, Karel Tůma, Matěj Týč, Tibor Vansa.

Stebno (26. 4.–3. 5. 2003) Organizátoři Pavel Augustinský, Pavol Habuda, Karel Honzl, Jan Houštěk, Miroslav Kladiva, Michael Komm, Ladislav Michnovič, Jan Pacák, Lenka Zdeborová. Účastníci Jan Bednář, Lukáš Chvátal, Petr Dostál, Peter Greškovič, Pavel Hála, Petr Houštěk, Michal Humpula, Alexandr Kazda, Tereza Klimošová, Vojtěch Krejčiřík, Jana Maœ tějová, Jan Olšina, Jan Ondruš, Matouš Ringel, Zuzana Rozlívková, Martin Rybář, Lenka Rychtrová, Michal Sivák, Vladimír Sivák, Lucie Strmisková, Hana Suchomeœ lová, Mária Šedivá, Martin Takáč, Karel Tůma, Jan Valášek.

Sloup v Čechách (8.–15. 11. 2003) Organizátoři Pavel Augustinský, Michal Bareš, Pavel Brom, Lukáš Chvátal, Karel Honzl, Jan Houštěk, Miroslav Kladiva, Ondřej Pejchal, Jan Prachař, Jaroslav Trnka. Účastníci Kateřina Balcarová, Jan Bednář, Petr Dostál, Peter Greškovič, Pavel Hála, Hynek Hanke, Petr Houštěk, Michal Humpula, Pavlína Karníková, Markéta Kavalírová, Alexandr Kazda, Tereza Klimošová, Pavel Koucourek, Vojtěch Krejčiřík, Zdeňek Kučka, Jiří Kulda, Eva Lovíšková, Petra Malá, Jan Ondruš, Anton Repko, Michal Růžek, Martin Rybář, Lenka Rychtrová, Michal Sivák, Vladimír Sivák, Lucie Strœ misková, Petra Suková, Daniela Svobodová, Martin Takáč, Jan Valášek, Markéta Vilimovská, Jana Vrábelová.

Bartošovice (Orlické hory, 29. 5.–5. 6. 2004) Organizátoři Pavel Augustinský, Pavel Brom, Jan Houštěk, Miroslav Kladiva, Jiří Lipovský, Jan Prachař, Jaroslav Trnka, Karel Tůma.

23

FYKOS 1997–2007 Účastníci Tomáš Bednárik, Jan Bednář, Jakub Benda, Ondřej Bílka, Ondrej Bogár, Pavlína Böhmová, Daniel Božík, Michal Humpula, Štěpán Jeřábek, Monika Josieková, Marœ kéta Kavalírová, Martin Konečný, Zdeněk Kučka, Tomáš Mánik, Pavel Motloch, Peter Perešíni, Aleš Podolník, Marek Scholz, Michal Sivák, Vladimír Sivák, Petr Smital, Petra Suková, Martin Takáč, Slavomír Takáč, Jan Valášek, Markéta Viliœ movská, Jana Vrábelová.

Horní Bradlo (16.–23. 10. 2004) Organizátoři Pavel Augustinský, Jan Houštěk, Miroslav Kladiva, Michael Komm, Jiří Lipovský, Jan Prachař, Matouš Ringel, Jaroslav Trnka, Karel Tůma, Lenka Zdeborová. Účastníci Tomáš Bednárik, Jan Bednář, Jakub Benda, Ondřej Bílka, Pavlína Böhmová, Petr Dvořák, Roman Fiala, Peter Greškovič, Petr Houštěk, Michal Humpula, Tomáš Jiœ rotka, Monika Josieková, Markéta Kavalírová, Martin Konečný, Zdeněk Kučka, Paœ vel Motloch, Aleš Podolník, Jana Przeczková, Anton Repko, Lukáš Severa, Přemysl Šrámek, Slavomír Takáč, Jan Valášek, Markéta Vilimovská, Hana Vítová.

Rapotín (Jeseníky, 23.–30. 4. 2005) Organizátoři Pavel Augustinský, Pavel Brom, Michael Komm, Jiří Lipovský, Jan Prachař, Matouš Ringel, Petra Suková, Jaroslav Trnka, Karel Tůma. Účastníci Katarína Baxová, Tomáš Bednárik, Jakub Benda, Ondřej Bílka, Ondrej Bogár, Petr Bezmozek Dvořák, Martin Formánek, Beáta Hergelová, Miroslav Hrubý, Miroslav Janáček, Tomáš Jirotka, Monika Josieková, Zuzana Jungrová, Martin Konečný, Jana Lochmanová, Lukáš Malina, Pavel Motloch, Radim Pechal, Zuzana Pôbišová, Aleš Podolník, Lucie Pospíšilová, Jana Przeczková, Katarína Rozvadská, Marek Scholz, Libor Šachl, Zdeněk Vais, Jenda Valášek.

Jablonec nad Jizerou (15.–22. 10. 2005) Organizátoři Pavel Brom, Michael Komm, Jiří Lipovský, Jan Prachař, Matouš Ringel, Petra Suœ ková, Jaroslav Trnka, Karel Tůma. Účastníci Tomáš Bednárik, Jan Bednář, Jakub Benda, Petr Bezmozek Dvořák, Martin Formᜠnek, Beáta Hergelová, Miroslav Hrubý, Tomáš Jirotka, Monika Josieková, Zuzana Jungrová, Iva Kocourková, Martin Konečný, Jaroslava Lavková, Jana Lochmanová, Lukáš Malina, Vojtěch Molda, Pavel Motloch, Petra Navrátilová, Radim Pechal, Zuzana Pôbišová, Aleš Podolník, Lucie Pospíšilová, Jakub Prouza, Jana Przeczková, Marek Scholz, Libor Šachl, Daniel Šimsa, Zdeněk Vais.

24

Akce pořádané FYKOSem

Dobrá Voda u Třebíče (1.–8. 4. 2006) Organizátoři Pavel Brom, Zdeněk Kučka, Jiří Lipovský, Jan Prachař, Matouš Ringel, Petra Suœ ková, Petr Sýkora, Jaroslav Trnka, Karel Tůma. Účastníci Katarína Baxová, Jakub Benda, Peter Berta, Vladimír Boža, Tomáš Bzdušek, Lukáš Cimpl, Alžběta Černeková, Lukáš Drápal, Petr Bezmozek Dvořák, Martin Formᜠnek, Hana Jirků, Tomáš Jirotka, Iva Kocourková, Jana Lochmanová, Jakub Michᜠlek, Vojtěch Molda, Marek Nečada, Aleš Podolník, Richard Polma, Lucie Pospíšilová, Jana Przeczková, Pavol Pšeno, Marek Scholz, Lukáš Stříteský, Helena Svobodová, Libor Šachl, Daniel Šimsa, Zdeněk Vais, Jenda Valášek, Lukáš Vítovec.

Škrdlovice (14.–21. 10. 2006) Organizátoři Pavel Brom, Roman Fiala, Tomáš Jirotka, Zdeněk Kučka, Jiří Lipovský, Aleš Podolœ ník, Jan Prachař, Matouš Ringel, Petra Suková, Petr Sýkora, Jaroslav Trnka, Karel Tůma. Účastníci Katarína Baxová, Jakub Benda, Peter Berta, Ondrej Bogár, Marek Bukáček, Martin Formánek, Juraj Hartman, Jan Hermann, Jan Jelínek, Hana Jirků, Iva Kocourková, Lukáš Ledvina, Jana Lochmanová, Lukáš Malina, Dalimil Mazáč, Pavel Motloch, Marek Nečada, Radim Pechal, Lucie Pospíšilová, Pavol Pšeno, Helena Svobodová, Jan Šedek, Petr Šedivý, Daniel Šimsa, Kryštof Touška, Zdeněk Vais.

Budišov u Třebíče (21.–28. 4. 2007) Organizátoři Jan Bednář, Pavel Brom, Roman Fiala, Tomáš Jirotka, Zdeněk Kučka, Aleš Podolœ ník, Jan Prachař, Petr Sýkora, Jaroslav Trnka, Vojtěch Molda, Marek Scholz, Ján Lalinský. Účastníci Jana Baxová, Katarína Baxová, Ján Bogár, Lukáš Cimpl, Michael Hakl, Jan Herœ mann, Lukáš Ledvina, Lukáš Malina, Dalimil Mazáč, Marek Nečada, Radim Peœ chal, Alžběta Pechová, Lucie Pospíšilová, Helena Svobodová, Tomáš Tintěra, Kryšœ tof Touška, Zdeněk Vais, Martin Výška.

Chrastice (Jeseníky, 20.–27. 10. 2007) Organizátoři Jan Bednář, Pavel Brom, Peter Greškovič, Zdeněk Kučka, Ján Lalinský, Lukáš Maœ lina, Aleš Podolník, Jan Prachař, Marek Scholz, Lukáš Stříteský, Petr Sýkora, Tomáš Tintěra. 25

FYKOS 1997–2007 Účastníci Jana Baxová, Katarína Baxová, Ján Bogár, Petr Cagaš, Lukáš Cimpl, Michael Hakl, Jan Hermann, Zuzana Chlebounová, Tereza Jeřábková, Airidas Korolkovas (Litva), Simona Laňková, Lukáš Ledvina, Michal Maixner, Jakub Marian, Dalimil Mazáč, Jakub Michálek, Marek Nečada, Alžběta Pechová, Tereza Steinhartová, Peter Vanya, Martin Výška.

26

Ročník XI Jedenáctý ročník ve školním roce 1997/98 začalo řešit 132 studentů, poslední sérii poslalo 35. Tématem seriálu byla kvantová fyzika, autorem byl Michal Fabinger. Na podzim 16.–22. 10. 1997 bylo soustředění ve Stříbrné v Krušných horách, na jaře v Samopších u Sázavy ve dnech 10.–16. 5. 1998, obě vedl Jan Hradil. TEXařem byl Karel Houfek.

Nejúspěšnější řešitelé jméno Student Pilný

škola MFF UK

Σ 215

G G G G G G

Sušice Bardejov Košice Košice Jana Palacha, Mělník Hranice na Moravě

196 138 124 107 104 100

G G G G G G G

Brno Mikulášské nám., Plzeň Brno Dačice Brno Kutná Hora Brno

167,5 166 124,5 119,5 110 108,5 102,5

Kategorie čtvrtých ročníků 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Karel Kolář Martin Tamáš Matúš Medo Miroslav Kladiva Jakub Černý Jiří Kvita

Kategorie třetích ročníků 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Lukáš Poul Lenka Zdeborová Lukáš Uhl Daniel Sprinzl Jan Mysliveček Miroslav Černý David Holec

Kategorie druhých ročníků 1. David Šumský 2. Karel Kouřil

G Třinec G Blansko

83,5 75

Organizátoři Jan Hradil (hlavní organizátor), Pavel Bubák, Michal Fabinger, Jiří Franta, Jana Gřondilová, Karel Houfek, Michal Hvězda, Matouš Jirák, Přemysl Kolorenč, Daniel Kráľ, Martin Krsek, Jiří Libra, Václav Porod, Rudolf Sýkora, David Stanovský, Karel Výborný a další.

27

FYKOS 1997–2007

Vybrané úlohy Úloha II . E . . . kadeřnictví v rukou fyzika Změřte pomocí fénu (ručního elektrického vysoušeče vlasů) tepelnou kapacitu vzduchu. Poznámka. Připomínáme, že experimentální úloha je od slova experimentovat. Proto neváhejte a místo teoretických výpočtů se chopte fénu a opravdu si to zkuste. Kromě experimentálních zážitků budete oceněni i tím, že experimentální úloha je hodnocena tradičně více body než ostatní úlohy. (řešení str. 29) Úloha III . P . . . záplavy ve vesmíru Uvažujme vesmír se stejnými fyzikálními zákony, který je však vyplněn z větší části kapalnou vodou. Ve vodě se vyskytují drobné bublinky plynu, jejichž hustota je značně menší, než je hustota vody. Budou se tyto bublinky vzájemně přibližovat nebo vzdalovat? (řešení str. 31) pa x Úloha V . 1 . . . dvojpíst S1 Na obrázku 1 vidíte dva spojené písty o ploše S1 a S2 a celkové hmotnosti m zasunuté do pouzdra, p které je na obou stranách otevřené. Celé zařízení je v rovnováze a je umístěno v tíhovém poli g. Vně pístů je atmosférický tlak pa , uvnitř je 1 kmol ideálœ g ního plynu o tlaku p. O kolik stupňů Celsia musíme plyn mezi písty ohřát, aby se písty posunuly o x S2 směrem vzhůru? (řešení str. 32) Obr. 1. Dvojpíst Úloha V . P . . . se samopalem na krychli Rozhodněte, jak těžkou krychli lze převrátit střelbou ze samopalu (či spíše menœ šího děla) o parametrech 50 střel za sekundu, rychlost střely 500 m·s−1 , hmotnost střely 100 g. Krychle má hranu dlouhou 1 m, po podložce neklouže. (řešení str. 33) Úloha VI . 2 . . . transport izotopu Na pracoviště nukleární medicíny byla doručena zásilka izotopu A. V dokumenœ tech, které přišly spolu s izotopem, bylo uvedeno, že 11,5 min po vyndání z reakœ toru, kde tento izotop vzniká v čisté formě, byla aktivita zásilky 1000 rozpadů γ za sekundu. Když přeměřil aktivitu doručené zásilky bezpečnostní technik, zjistil, že je také 1000 rozpadů γ za sekundu. Určete dobu transportu zásilky, když víte, že se A rozpadá β rozpadem s poločasem 23 minut na B, které se s poločasem 23 dní rozpadá za emise β a γ na stabilní nuklid C. (řešení str. 35) Úloha VI . 3 . . . uchopit či neuchopit Když se pokusíme uchopit kostku tak, jak je naznaœ čeno na obrázku 2, ne vždy se nám to povede. Určete podmínku, za které se to podaří. (řešení str. 35)

28

Obr. 2. Kostka

Ročník XI Další zajímavé úlohy V první sérii (I.4) řešitelé zdůvodňovali, proč nápady synovců strýčka Skrblíka na perpetua mobile nefungují. Ve druhé sérii (II.4) zase určovali rychlost vlaku podle úhlu stop kapek deště na jeho skle. Náročnější úloha III.1 se ptala, do jaké maximální výšky může jeřáb vytáhnout lano a jakou rychlostí se lano bude pohybovat. Řešitelé v úloze V.2 také házeli kámen do hradní studny a měřili tak její hloubku. Novopečený majitel zoologické zahrady plánoval atrakci do pavilónu opic (V.4) a řešitelé měli vypočítat její parametry. V šesté sérii se určoval odpor nekonečné sítě (VI.1) a napětí na kovovém disku rotujícím v magnetickém poli (VI.4).

Úloha II . E . . . kadeřnictví v rukou fyzika Změřte pomocí fénu (ručního elektrického vysoušeče vlasů) tepelnou kapacitu vzduœ chu. Poznámka. Připomínáme, že experimentální úloha je od slova experimentovat. Proto neváhejte a místo teoretických výpočtů se chopte fénu a opravdu si to zkuste. Kromě experimentálních zážitků budete oceněni i tím, že experimentální úloha je hodnocena tradičně více body než ostatní úlohy. Uvedeme dvě nejčastější (a zároveň nejsmysluplnější) metody měření. Nejprve si řekněme, jaký aparát chceme použít, tedy i jaké veličiny chceme měřit. Energie E dodaná fénem je E = Pt, kde P je výkon dodávaný vzduchu a t je čas, po který vzduch zahříváme. Měrná tepelná kapacita vzduchu potom ukazuje, kolik energie (tepla) Q je vzduch schopen pojmout Q = mc(Tk − Tp ) , kde c je měrná tepelná kapacita vzduchu, m je hmotnost vzduchu, kterou určíme z objemu V a hustoty vzduchu % = 1,2 kg·m−3 jako m = %V , Tp a Tk jsou počáteční a konečná teplota vzduchu. Pokud předpokládáme, že energie dodaná fénem ohřívá vzduch, tj. E = Q, potom jednoduchými úpravami dostaneme c=

Pt . (Tk − Tp )%V

(1)

Potřebujeme tedy změřit objem vzduchu, který se ohřeje za určitý čas, a počᜠteční a konečnou teplotu vzduchu.

29

FYKOS 1997–2007 První metoda Nalezneme co nejlépe tepelně izolující nádobu, do které uzavřeme fén s teploměœ rem. Proces měření je zřejmý. Fén zapneme na určitou dobu, sledujeme, o kolik se ohřál vzduch v nádobě. Objem nádoby změříme. Zřejmě není příliš vhodné použít místnost, neboť ta není příliš dobře tepelně izolovaná, a než fén ohřeje takové množství vzduchu, tak se vzduch stěnami místnosti stačí ochladit. Navíc my sami ovlivňujeme teplotu vzduchu. Použili jsme skříň s rozměry v × h × b v = (0,33 ± 0,01) m ,

h = (0,39 ± 0,01) m ,

b = (0,41 ± 0,01) m

a měřili jsme po dobu deseti sekund t = (10,00 ± 0,05) s. (Odhady chyb plynou z toho, že jsme měřili pravítkem a stopovali vteřinovou ručičkou na hodinkách. Jde o chyby střední, tzn. že hodnota naměřené veličiny leží na 99 % v intervalu určeœ ném trojnásobkem této střední chyby (tzv. mezní chyba).) Hodnotu měrné tepelné kapacity jsme nejprve vypočetli orientačně z prvního pokusu (tabulka 1), přičemž jsme použili hodnotu příkonu udanou výrobcem fénu P = 1 200 W (hodnotu by bylo samozřejmě nejlepší zjistit přímým měřením napětí a proudu v obvodu, my předpokládáme střední chybu uvedené hodnoty 5 %). Ze vztahu (1) vyplyne hodnota c ∼ 30 000 J·kg−1 ·K−1 , což je o řád a půl větší než hodnota z tabulek (c = 1 003 J·kg−1 ·K−1 ). Podrobnější proměření a výpočty včetně výpočtů chyb tedy zřejmě nemají své opodstatnění. Důležité ovšem je provést ještě alespoň dvě měření, abychom zjistili, zdali to jedno provedené měření nebylo úplně špatně – viz tabulka 1. Tabulka 1 č. m. Tp [◦C] Tk [◦C] 1 21,5 28,0 2 24,0 30,0 3 23,5 30,0

t [s] 10,0 10,0 10,0

Měření rozdílu teplot ovšem provádíme v určité výšce nad dnem nádoby. Samoœ zřejmě čím výše, tím teplejší vzduch. Ve skříni vzniká tedy gradient teploty, jehož proměřováním se celý pokus komplikuje. Můžeme použít nádobu malé výšky, ale jednodušší a lepší je měřit druhou metodou. Druhá metoda Měříme přímo u výstupu fénu, na jakou teplotu se vzduch fénem ohřeje. Potom je ovšem třeba určit ještě objemový průtok V /t vzduchu fénem. Nejlepší by samozřejmě bylo určit rychlost vycházejícího vzduchu, např. lopatœ kovým kolem. To se ale nutně nemusí točit takovou rychlostí, jakou vychází vzduch z fénu, neboť pohyb vzniká odporem vzduchu. Rychlost otáčení zřejmě ovlivňuje také turbulentní proudění okolo lopatek. Navíc není jednoduché ani určení frekvence otáčení kola. 30

Ročník XI Nejjednodušší a nejdostupnější je přivázat na hrdlo fénu igelitový sáček, sledovat, za jak dlouho se naplní, a potom změřit jeho objem. Naše měření touto cestou jsou uvedena v tabulce 2. Tabulka 2 č. m. t [s]

1 2 3 4 5 průměr ∆0 t 0,660 0,640 0,710 0,600 0,710 0,664 0,042

Měření jsme prováděli pomocí malého programu, který určoval časový rozdíl mezi dvěma stisky klávesy, které jsme stiskli současně se zapnutím a vypnutím fénu. Je to metoda velmi nepřesná, proto jsme provedli jen pět měření (mělo by jich být alespoň osm), přičemž ke směrodatné odchylce ∆0 t vzešlé ze statistického zpracování připočítáváme ještě odhad chyby ∆00 t = 0,050 s takto ∆t =

p (∆0 t)2 + (∆00 t)2 = 0,065 s .

(Statistické zpracování spočívá ve výpočtu průměru hodnot, hodnoty by měly leœ žet v intervalu určeném trojnásobkem směrodatné odchylky (tzv. 3σ kritérium). Směrodatná odchylka je zároveň chyba průměrné hodnoty.) Objem igelitového sáčku jsme změřili tak, že jsme do něj napustili vodu, když jsme ho předtím vložili do kýblu. Není to příliš přesné měření s výsledkem V = = (0,0070 ± 0,0005) m3 . Měření jsme provedli v místnosti se vzduchem o teplotě Tp = (26,5 ± 0,2) ◦C tak, že jsme teploměr umístili co nejblíže ústí fénu. Naměřili jsme teplotu Tk = = (110,0 ± 10,0) ◦C, přičemž teplota velmi kolísala. Jelikož absolutní chyby hodnot se při součtu či rozdílu hodnot sčítají, je Tk − Tp = (80 ± 10) ◦C. Pro chyby součinu nebo podílu hodnot se sčítají relativní chyby, relativní celková chyba tudíž je ∆(Tk − Tp ) ∆P ∆t ∆V ∆c = + + = 0,05 + 0,099 + 0,126 + 0,071 = 0,346 . + c P t Tk − Tp V Výsledná hodnota je c = (1,1 ± 0,4) kJ·kg−1 ·K−1 (hodnotu uvádíme tak, aby chyba byla na jednu platnou cifru, poslední platná cifra hodnoty je řádu platné cifry chyby). Hodnota je přijatelná vzhledem k hodnotě v tabulkách. Můžeme diskutovat příœ kon fénu. Rozhodně se u druhé metody nespotřebuje celý příkon, dodávaný do fénu. To ale neznamená, že získaná hodnota je kvůli tomu větší. To při dané chybě měření nemůžeme rozhodnout.

31

FYKOS 1997–2007

Úloha III . P . . . záplavy ve vesmíru Uvažujme vesmír se stejnými fyzikálními zákony, který je však vyplněn z větší části kapalnou vodou. Ve vodě se vyskytují drobné bublinky plynu, jejichž hustota je značně menší, než je hustota vody. Budou se tyto bublinky vzájemně přibližovat nebo vzdalovat? Mějme vodu v celém prostoru, aby ve stavu bez bublin nepůsobily žádné síly. Pokud ještě omezíme své pozorování pouze na dvě bubliny, oprostíme náš problém zcela od jevů, které nechceme bezprostředně zkoumat. Když do libovolného místa vložíme jednu bublinu, vytvoří okolo sebe gravitační pole, jehož siločáry budou z bubliny vycházet, resp. intenzita gravitačního pole směœ řuje od bublinky (miniaturní tělísko bude od bublinky odpuzováno). To ukážeme jednoduše tak, že se pokusíme sečíst všechny gravitační síly, které působí na tělísko. Pokud budeme sčítat elementární síly, které na tělísko působí, vždy můžeme tyto síly spárovat tak, že se při vektorovém sčítání vždy dvě opačně orientované ve výsledném součtu navzájem vyruší. Jediná síla, která k sobě nemá opačný ekvivalent, je v tom směru, kde leží naše bublinka. Na straně naší bublinky není hmotnost, kdežto na protější straně je hmotnost vody. Tj. síla na tělísko bude směrem od bubliny. Co se děje s normální bublinkou, pokud ji umístíme do libovolného gravitačœ ního pole? Začne se pohybovat proti směru intenzity gravitačního pole, a to díky Archimédovu zákonu. Stejně tak se bude chovat druhá bublinka, kterou vložíme do zatopeného vesmíru. A vzhledem k tomu, že první bublinka vytváří pole s intenzitou směrem od sebe, bude se druhá bublinka pohybovat proti této intenzitě, tedy k první bublině. To tedy znamená, že se bublinky budou přitahovat.

Úloha V . 1 . . . dvojpíst Na obrázku 3 vidíte dva spojené písty o ploše S1 a S2 a celkové hmotnosti m zasunuté do pouzdra, které je na obou stranách otevřené. Celé zařízení je v rovnováze a je umístěno v tíhovém poli g. Vně pístů je atmosférický tlak pa , uvnitř je 1 kmol ideálního plynu o tlaku p. O kolik stupňů Celsia musíme plyn mezi písty ohřát, aby se písty posunuly o x směrem vzhůru? Nejprve si vyjádřeme tlak p uvnitř dvojpístu. Na dvojpíst působí okolní vzduch silou o velikosti pa (S1 −S2 ) dolů a plyn uvnitř dvojpístu působí na něj silou o velikosti p(S1 − S2 ) nahoru. Dále na něj působí tíhová síla pa x o velikosti mg. Tedy platí S1 p

g S2 Obr. 3. Dvojpíst

32

p(S1 − S2 ) = mg + pa (S1 − S2 ) , mg p = pa + . S1 − S2 Označme p, V a T tlak, objem a teplotu plynu před začátkem ohřívání a p0 , V 0 a T 0 po ohřátí plynu. Ze stavové rovnice plyne pV p0 V 0 nR = = . T T0

Ročník XI Jestliže i po ohřátí bude soustava v rovnováze, musí platit p0 = pa + mg/(S1 − S2 ), a tedy i p = p0 . Objem se posunutím pístu zvětšil o (S1 − S2 )x, tedy platí V 0 = = V +(S1 −S2 )x. Teplota se zvýšila o ∆T , tedy T 0 = T +∆T . Dosazením do stavové rovnice získáme p(V + (S1 − S2 )x) pV = T T + ∆T

⇒

V ∆T = T (S1 − S2 )x .

Ze stavové rovnice vypočteme T a dosadíme do posledního vztahu T = pV /nR, „ « p pa mg ∆T = (S1 − S2 )x = + (S1 − S2 )x = nR nR (S1 − S2 )nR =

pa (S1 − S2 ) + mg x. nR

Úloha V . P . . . se samopalem na krychli Rozhodněte, jak těžkou krychli lze převrátit střelbou ze samopalu (či spíše menšího děla) o parametrech 50 střel za sekundu, rychlost střely 500 m·s −1 , hmotnost střely 100 g. Krychle má hranu dlouhou 1 m, po podložce neklouže. Nejvýhodnější bude zřejmě střílet na krychli kolmo k úhlopříčce tak, aby ji střely zasáhly v hraně ležící proti hraně, okolo níž se bude krychle natáčet (jelikož krychle po podložce neklouže, můžeme si tam představit třeba pant). Takto letící střely budou mít vůči ose otáčení největší moment hybnosti. Pro jednoduchost uvažujme, že samopalem můžeme v průběhu střelby otáčet tak, aby se moment hybnosti střel neměnil, a že se střely odrážejí, tj. hmotnost krychle je konstantní. Předpokládejme též, že se odrážejí ve směru úhlopříčky, takže jejich výsledný moment hybnosti je nulový. To lze zdůvodnit tím, že rychlost bodu krychle, na nějž střela dopadne, bude malá oproti rychlosti střely, a bude tedy platit zákon dopadu a odrazu. Při dopadu střely platí zákon zachování momentu hybnosti √ mv 2a = Jω 0 , kde m je hmotnost střely, v její rychlost, a délka hrany krychle, J moment setrvačœ nosti krychle vzhledem ke hraně a ω 0 získaná úhlová rychlost. Moment setrvačnosti určíme buď pomocí tabulek a Steinerovy věty, nebo přímou integrací Z aZ aZ a J= (x2 + y 2 )% dx dy dz = 0

0

0

»»» „ 3 «–a –a –a x y3 2 2 =% z y+x = % a5 = M a2 . 3 3 3 3 0 0 0 Krychle tedy na začátku získá úhlovou rychlost ω 0 , po dobu T = 1/f , kde f je frekvence střelby (kadence), se pohybuje podle pohybové rovnice pro otáčení v tíhoœ vém poli až do dopadu na podložku, převrácení se nebo příletu další střely, pak se 33

FYKOS 1997–2007 její rychlost opět skokem změní o ω 0 a tak pořád dokola. Pokud si parametrizujeme polohu krychle úhlem natočení její spodní stěny oproti podložce α, má pohybová rovnice pro ono mezidobí mezi přílety dvou střel tvar “π ” a Jα ¨ = −M g √ cos +α , 4 2 kde M je hmotnost krychle. Výraz na pravé straně představuje moment tíhové síly vzhledem k ose otáčení. Tato rovnice je kvůli přítomnosti goniometrické funkce anaœ lyticky neřešitelná, budeme se tedy muset uchýlit k aproximacím. Pokud nahradíme √ kosinus v prvním přiblížení konstantou cos (π/4) = 1/ 2, redukuje se problém poœ hybu krychle po příletu první střely na variaci na téma volný pád. Řešením je 1 M ga 2 t , 2 2J M ga ω = ω0 − t. 2J α = ω0 t −

Kulminace nastane v čase √ √ 2Jω 0 2 2 mva 2 2 mv τ = = = M ga M ga Mg a dopad zpět v čase dvojnásobném. Mezní perioda střelby leží mezi těmito dvěma časy, neboť střela, která přiletí před kulminací, krychli určitě převrátí (moment tíhové síly pro druhou střelu je o trošičku menší než pro první a krychli zbyla ještě nějaká rychlost směrem nahoru), ale střela, která přiletí po dopadu, už bude jenom opakovat to, co dělala ta před ní. Získáváme tak nerovnosti √ √ 2 2 mv 4 2 mv
√ √ 2 2 mv 4 2 mv <M < . Tg Tg

Číselně 720 kg < M < 1440 kg. Zpětným dosazením do výrazu pro α vidíme, že oba dva členy jsou řádu 10−3 radiánu, díky čemuž je v tomto oboru hmotností naše aproximace korektní. Výsledek, který jsme obdrželi, není nijak slavný. Rozmezí je široké a my se můœ žeme jen dohadovat, zda se skutečná mezní hmotnost bude blížit spíš dolní, nebo horní hranici. Pokud prodloužíme naši aproximaci i tam, kde už prokazatelně nemá co dělat, tedy nahradíme skutečný moment tíhové síly konstantou −M ga/2 i pro další střely, vidíme, že přírůstek natočení ∆αn = αn − αn−1 , kde αn je poloha krychle v okamžiku příletu střely, závisí pouze na počáteční úhlové rychlosti krychle a ta je s rostoucím n menší a menší, přilétají-li střely až za kulminací. V reálném případě bude tedy závislost αn na n zprvu konkávní a pro hmotnosti blízké 720 kg se krychle dostane tak vysoko, že snížení momentu tíhové síly vlivem natočení tento efekt převáží, závislost se změní na konvexní a krychle přepadne. Numerické řešení (např. v programu Famulus) ukazuje, že skutečná mez leží okolo 740 kg. 34

Ročník XI Někteří z vás řešili tuto úlohu pomocí zákona zachování energie. To je bohužel špatně. Pokud totiž krychle stačí dopadnout dříve, než ji zasáhne další střela, vešœ kerou získanou energii ztratí a začíná zase od nuly. Při pružné i při nepružné srážce se navíc nepředá krychli celá kinetická energie střely. Závěrem ještě odpověď dvěma či třem řešitelům, kteří se pozastavili nad paraœ metry zbraně. Ptal jsem se na to, prý existuje letecký kanón GAU 8 s kadencí 70 ran za sekundu nebo protiraketový systém Phalanx s šesti hlavněmi v jednom svazku a 100 ranami za sekundu.

Úloha VI . 2 . . . transport izotopu Na pracoviště nukleární medicíny byla doručena zásilka izotopu A. V dokumentech, které přišly spolu s izotopem, bylo uvedeno, že 11,5 min po vyndání z reaktoru, kde tento izotop vzniká v čisté formě, byla aktivita zásilky 1000 rozpadů γ za sekundu. Když přeměřil aktivitu doručené zásilky bezpečnostní technik, zjistil, že je také 1000 rozpadů γ za sekundu. Určete dobu transportu zásilky, když víte, že se A rozpadá β rozpadem s poločasem 23 minut na B, které se s poločasem 23 dní rozpadá za emise β a γ na stabilní nuklid C. Počet rozpadů γ za jednotku času je podle zadání a definice aktivita látky B. Ta je úměrná počtu částic B ve vzorku v daném čase. V čase 11,5 min po vyndání z reaktoru můžeme zanedbat rozpad látky B na látku C a uvažovat pouze rozpad A na B, který se děje podle exponenciálního zákona NA = NA0 e−λt ,

NB = NA0 (1 − e−λt ) .

Poločas rozpadu T je definován vztahem e−λT = 12 , po 11,5 minutách (polovině poločasu rozpadu A) byl tedy počet částic látky B " „ «1/2 # 1 NB = NA0 1 − . 2 Číslo v závorce je zhruba 0,293, to znamená, že výsledek úlohy bude řádově stejný jako poločas rozpadu B na C. Můžeme tedy předpokládat, že A se rozpadlo téměř celé v prakticky nulovém čase, a rozpad B tedy probíhá opět exponenciálně 0

0

NB = NB0 e−λ T . Protože zaniknutím jedné částice A vznikne jedna částice B, rovnají se NA0 a NB0 . Chceme, aby počet částic byl stejný jako v čase 11,5 min, což při uvážení definice poločasu rozpadu vede na rovnici „ «1/2 „ «τ /T 0 1 1 = , 1− 2 2 kterou vyřešíme logaritmováním

√ ´ ` ln 1 − 1/ 2 . τ = −T = 41 dní . ln 2 0

35

FYKOS 1997–2007

Úloha VI . 3 . . . uchopit či neuchopit Když se pokusíme uchopit kostku tak, jak je naznačeno na obrázku 4, ne vždy se nám to povede. Určete podmínku, za které se to podaří. Abychom udrželi kostku v rovnováze, musíme především dosáhnout rovnováhy sil. Ve vodorovném směru spolu soupeří síly FB a třecí síla v místě A, která může nabýt maximální hodnoty f FA (f je koeficient klidového tření), tedy f FA ≥ FB .

(2)

Ve svislém směru máme tři síly a rovnice rovnováhy je Obr. 4. Kostka

f FB − FA ≥ mg .

(3)

Dosazením (2) do (3) dostáváme FA (f 2 − 1) ≥ mg . Pokud budeme chtít tuto nerovnici splnit, můžeme volit FA libovolně velké kladné, ale splnit se nám ji podaří jen v případě (mg je kladné), že i f 2 −1 je kladné. Protože koeficient tření je také kladný, splní to jen f > 1. Ačkoœ A liv se některým z vás zdálo podivné, že koeficient tření může být větší než 1, není na tom nic divného. Zkuste FA si třeba namazat stůl vhodným lepidlem (doporučujeme dovozový Chemopren) a táhněte po stole něco lehkého. B FB Sice to pojede, ale tažná síla bude mnohonásobně větší 0 než vlastní hmotnost tělesa. A právě ten poměr je koeœ x mg ficient tření. y Aby byla kostka v dokonalé rovnováze, je třeba Obr. 5. Síly působící na diskutovat ještě její rotační pohyby. Z těchto rovnic kostku neplyne nic objevného, co by vyvážilo jejich složitost, a proto je zde neuvedeme.

36

Ročník XII Hlavní organizátor Jiří Franta podnikl pokus o propagaci semináře do anglicky mluvících zemí. Začaly se pořádat FYKOSí vánoční besídky. TEXařem byl Petr Janeček. Kroužek fyziky vedla Jana Gřondilová a Pavel Bubák. Dvanáctý ročník ve školním roce 1998/99 začalo řešit 166 studentů, poslední sérii poslalo 50. Tématem seriálu byla optika, autorem byl Honza Hradil s Miroslavem Brožem. Na podzim 15.–21. 11. 1998 bylo soustředění v Lomech u Kunžaku, na jaře ve Lhotě u Olešnice ve dnech 9.–15. 5. 1999, organizaci obou zaštiťoval Jiří Franta.

Nejúspěšnější řešitelé jméno Student Pilný

škola MFF UK

Σ 204

G Mikulášské nám., Plzeň G Dačice G Voděradská, Praha

158 147 137

G Pelhřimov G Blansko G Veľké Kapušany G Dubnica nad Váhom GOA Sedlčany GOA Sedlčany G Uherské Hradiště

206 153 147 113 107 107 103

G Moravské Budějovice G Liptovský Mikuláš G Ohradní, Praha SPŠS Chrudim G Sušice

166 162 124 105 102

Kategorie čtvrtých ročníků 1. Lenka Zdeborová 2. Daniel Sprinzl 3. Petr Klenka Kategorie třetích ročníků 1. 2. 3. 4. 5.–6.

Jan Houštěk Karel Kouřil Milan Berta Juraj Suchár Tomáš Linhart Miroslav Pištěk 7. Jan Houfek

Kategorie druhých ročníků 1. 2. 3. 4. 5.

Petr Nečesal Peter Čendula Martin Beránek David Kolovratník Jaromír Chalupský

Kategorie prvních ročníků 1. Michal Bareš

G Mikulášské nám., Plzeň

62

Organizátoři Jiří Franta (hlavní organizátor), Michal Bittner, Miroslav Brož, Pavel Bubák, Jakub Černý, Libor Dener, Michal Fabinger, Jana Gřondilová, Jan Hradil, Petr Janeček, Miroslav Kladiva, Karel Kolář, Daniel Kráľ, Jiří Kvita, Jiří Libra, Ladislav Michnovič, Slavomír Nemšák, Tomáš Ostatnický, Ondřej Pejchal, Václav Porod, Jan Prokleška, Libor Sedláček, Rudolf Sýkora a další. 37

FYKOS 1997–2007

Vybrané úlohy Úloha I . 3 . . . fontána Na obrázku je nakreslen důmyslný systém nᜠdržek (h1 = 5 m, h2 = 0,5 m a h3 = 25 m). Vypočtěte rychlost vody vystřikující z trubky 3. Viskozitu vody zanedbejte. (řešení str. 39)

h2

pa

3

h1

h3 Úloha II . 4 . . . čočka ve vodě Tenká, ploskodutá čočka je ponořená do vody ve vodorovné poloze dutou stranou dolů, jak ukaœ zuje obrázek 7. V duté části se vytvoří vzduchová bublina. Celková optická mohutnost takto vytvoœ řené optické soustavy je D = −2,6 dioptrií. Urœ čete poloměr křivosti skleněné čočky (n1 = 1,5; n2 = 1,33; n3 = 1). (řešení str. 40)

1

2

Obr. 6. Fontána

n2 n1 n3 Obr. 7. Čočka ve vodě Úloha III . 4 . . . drtivý dopad Z „nekonečnéÿ vzdálenosti se k Zemi blíží meteoroid počáteční rychlostí v0 . Vzdᜠlenost meteoroidu od přímky, která je rovnoběžná s vektorem rychlosti v0 a prochází středem Země, je na začátku rovna a. Určete, jaký vztah musí platit mezi velikostí v0 a a, aby meteoroid nezasáhl Zemi. (řešení str. 42) Úloha III . E . . . tloušťka vlasu Změřte tloušťku lidského vlasu více metodami, výsledky a chyby jednotlivých metod porovnejte. Vzorek vlasu přiložen. (řešení str. 43) Úloha V . 1 . . . jehla na vodě Určete maximální průměr ocelové jehly, která se ještě udrží na vodní hladině. Jehla je pokryta tenkým olejovým filmem, aby ji voda nesmáčela. Znáte hustotu oceli, vody a povrchové napětí vody. Pokud řešení problému závisí na délce jehly, pokládejte ji za známou a diskutujte její vliv. (řešení str. 48)

38

Ročník XII Úloha VI . 4 . . . míček v kondenzátoru Malá kovová kulička o hmotnosti m = 3,0 g je zavěšena na tenkém hedvábném vlákně délky l = 30 cm tak, aby se dotýkala svislé kovové desky. Kuličku vychýlíme o úhel α a uvolníme. Po odrazu od desky se kulička vychýlí o úhel β < α (obr. 8). Při druhém pokusu umístíme do vzdálenosti d = 5,0 cm od první desky druhou stejně velkou. Závěs kuličky α prodloužíme tak, aby byl mnohem delœ ší než vzdálenost desek. Připojíme-li β desky ke zdroji vysokého napětí U = = 20,0 kV a závěs vychýlíme, kulička se rozkmitá a naráží střídavě na leœ vou a pravou desku (obr. 9). Perioda nárazů se brzy ustálí na hodnotě T = = 0,45 s. Jak se mění při druhém pokusu rychlost kuličky mezi dvěma nárazy na desky? Jaký náboj nese kuœ lička během letu mezi deskami? Obr. 8 Obr. 9 (řešení str. 50) Další zajímavé úlohy V první úloze (I.1) tohoto ročníku se určovalo, jak dlouho je schopná autobaterie konat stejnou práci jako lidské srdce (výsledek 11 dní). Zajímavá úloha z mechaniky tuhého tělesa (I.P) vyžadovala numerické řešení pohybových rovnic. V druhé sérii se například řešilo, kolik vody zbyde v papiňáku (II.1) po ohřátí na 100 ◦C, a diskuœ tovalo se o návrhu vzduchového brždění výtahu (II.P). Zajímavá byla úloha III.1, kde řešitelé zjišťovali rovnovážnou polohu plavající krychle, a v úloze III.3 určovali hmotnost zemské atmosféry. Hezká spíše geometrická úloha (IV.2) byla o špionážní družici, která sleduje povrch Země. Elegantně byla vyřešená úloha VI.2 o rotujíœ cím dipólu v magnetickém poli. V poslední experimentální úloze (VI.E) se měřil atmosférický tlak.

39

FYKOS 1997–2007

Úloha I . 3 . . . fontána Na obrázku je nakreslen důmyslný systém nádržek (h1 = 5 m, h2 = 0,5 m a h3 = = 25 m). Vypočtěte rychlost vody vystřikující z trubky 3. Viskozitu vody zaneœ dbejte.

h2

pa

3

h1

h3 1

Tato úloha byla poměrně jednoduchá. Obœ vykle si stačilo uvědomit, že v trubce 2 je vzduch. Z důvodu řešitelnosti musíme zavést rozumná zaœ nedbání. Viskozitu jsme zanedbali už v zadání, dále musíme předpokládat, že průřez trubek je mnohem menší než povrch hladiny v jednotlivých nádobách (zřejmé z obr. 10). Za těchto předpoœ kladů můžeme pohyb vody v trubkách považovat za ustálený a k řešení použijeme Bernoulliho rovœ nici

2

pa = p − h3 %g , 1 p − ∆p − h2 %g − h1 %g = pa + %v 2 . 2 Rychlosti hladin lze považovat za nulové, p je tlak vzduchu nad hladinou v dolní nádobě a ∆p je Obr. 10. Fontána úbytek tlaku vzduchu způsobený tíhovým polem Země. Řešením této soustavy rovnic získáme p v = 2g(h3 − h2 − h1 − ∆p/%g) . Nyní již musíme určit jen hodnotu ∆p. Jako odhad nám postačí 0 ≤ ∆p ≤ (h3 − h1 )%v g , kde %v je maximální hustota vzduchu. Tu určíme ze stavové rovnice %v = Platí

(pa + h3 %g)Mm pMm = . RT RT

(pa + h3 %g)Mm ∆p ≤ (h3 − h1 ) . %g %RT Číselně je ∆p/%g < 9 cm  h3 −h2 −h1 , a proto je tento člen zanedbatelný. (Molární hmotnosti plynů jsou řádově stejné, proto je možno zanedbat ∆p i pro jiný plyn.) Rychlost v našem případě vychází 20 m·s−1 . K došlým řešením máme několik poznámek. Hodně řešitelů vycházelo ze zákona zachování energie. V tomto případě se však neobešli bez předpokladu, že objem vody, který vyteče z horní nádoby, je roven objemu vody, který stříká z trubky 3 (uvažujte např. průřez trubky 3 větší než průřez trubky 1; ani v tomto případě se nejedná o perpetuum mobile – energie se čerpá z tlakové energie vzduchu ve spodní baňce).

40

Ročník XII

Úloha II . 4 . . . čočka ve vodě Tenká, ploskodutá čočka je ponořená do vody ve vodorovné poloze dutou stranou dolů, jak ukazuje obrázek 11. V duté části se vytvoří vzduchová bublina. Celková optická mohutnost takto vytvořené optické soustavy je D = −2,6 dioptrií. Určete poloměr křivosti skleněné čočky. (n1 = 1,5; n2 = 1,33; n3 = 1) n2 n1 n3 Obr. 11. Čočka ve vodě Úlohu lze řešit mnoha způsoby — například můžeme využít toho, že celková optická mohutnost tenkých čoček těsně k sobě přiložených je rovna součtu optických mohutností jednotlivých čoček, nebo pomocí paraxiálních paprsků. Protože se první způsob při znalosti vztahu pro výpočet ohniskové vzdálenosti tenké čočky (uveden ve většině tabulek či učebnic fyziky) redukuje na vyjádření neznámé ze jmenovatele, věnoval bych se způsobu druhému. Stejně jako první způsob předpokládá, že se čočka nachází v nevelké hloubce a vzduchová bublina není zakřivená. Paprsek rovnoběžný s optickou osou dopadá „shoraÿ na čočku. Na rozhraní voda–sklo se neláme (dopadá kolmo), na rozhraní sklo–vzduch dopadá pod úhlem α a láme se pod úhlem β, na rozhraní vzduch–voda dopadá pod úhlem β − α a láme se pod úhlem γ. Vzhledem ke zjednodušením uvedeným výše a v zadání (paraxiální paprsky, rozhraní voda–sklo a vzduch–voda jsou rovnoběžná, tenká čočka) budou úhly α, β, γ malé a můžeme využít rovnosti

n3

n1

n2

r γ

S

α

β −α β α

α d F

Obr. 12. Průchod paprsku čočkou

41

FYKOS 1997–2007 sin ϕ ≈ tg ϕ ≈ ϕ (pro úhel ϕ zadaný radiánech). Z obrázku je patrno, že sin γ = . = d/f = γ, a ze zákona lomu plyne n2 sin γ = n3 sin(β − α), a tedy β−α=

γn2 dn2 = . n3 f n3

(4)

Dále platí (zákon lomu pro rozhraní voda–sklo) n1 sin α = n3 sin β, a tedy αn1 = = βn3 ⇒ β = αn1 /n3 a po dosazení z trigonometrického vztahu sin α = d/r ≈ α dostáváme β = dn1 /rn3 , což můžeme dosadit do (4), tedy dn1 dn2 d − = rn3 r f n3 a s využitím toho, že f = 1/D, dostaneme výsledný vztah r=

n1 − n3 . Dn2

Číselně vychází pro zadané hodnoty r = −14,5 cm. Zápornost výsledku je způsobena znaménkovou konvencí.

Úloha III . 4 . . . drtivý dopad Z „nekonečnéÿ vzdálenosti se k Zemi blíží meteoroid počáteční rychlostí v0 . Vzdáleœ nost meteoroidu od přímky, která je rovnoběžná s vektorem rychlosti v0 a prochází středem Země, je na začátku rovna a. Určete, jaký vztah musí platit mezi velikostí v0 a a, aby meteoroid nezasáhl Zemi. Úlohu řešme v soustavě spojené se Zemí (v této soustavě byla úloha rovněž zadána). Neuvažujeme-li působení Měsíce, Slunce a dalších těles sluneční soustavy, potom na meteoroid působí pouze gravitační síla Země. Silové působení meteoroidu na Zemi lze zanedbat, neboť jeho hmotnost je vzhledem k hmotnosti Země nepatrná. Gravitační pole Země je polem centrálním. Pohyb meteoroidu bude tedy poœ hybem rovinným a plošná rychlost meteoroidu bude během pohybu konstantní (2. Keplerův zákon). Předchozí tvrzení jsou důsledkem zákona zachování momentu hybnosti, který platí v každém centrálním poli (centrální síla má vůči centru pole nulový moment). Gravitační pole je konzervativní. Pro jeho popis lze tedy užít potenciální enerœ gii, která je dána vztahem −κmM/r. Z konstantnosti plošné rychlosti a ze zákona zachování mechanické energie je již možné určit, na jakou minimální vzdálenost se meteoroid přiblíží k Zemi. Označme M hmotnost Země, m hmotnost meteoroidu a r vzdálenost meteoroidu od středu Země. Rychlost meteoroidu je výhodné rozložit do dvou směrů: do směru radiálního a do směru k němu kolmého. Velikost radiální složky označme vr a velikost složky k ní kolmé vϕ .1 Pro velikost rychlosti meteoroidu v potom platí vztah v 2 = 2 = vr2 + vϕ . Plošnou rychlost w meteoroidu můžeme vyjádřit jako 21 rvϕ . Ze zadaných údajů vyplývá, že w = 12 av0 . Platí tedy “ ”2 2 2 a av0 = rvϕ ⇒ vϕ = v0 . r 1)

42

Pokud bychom použili polární souřadnice, pak by platilo vr = dr/ dt a vϕ = rdϕ/ dt.

Ročník XII Ze zákona zachování mechanické energie plyne následující rovnost » “ ”2 – κmM 1 1 2 2 2 a mv0 = m vr + v0 − . 2 2 r r Vyjádříme-li z této rovnice vr2 , potom dostaneme vztah vr2

=

v02

»

– 2κM a “ a ”2 1+ − . av02 r r

V minimální vzdálenosti rm meteoroidu od středu Země platí, že vr = 0 (dr/ dt = 0). Minimální vzdálenost rm tedy splňuje následující rovnici κM a = + rm av02

s 1+

κ2 M 2 . a2 v04

Vzdálenost rm je skutečně minimální, neboť pro a/r > a/rm vychází vr2 < 0. Aby meteoroid nezasáhl Zemi, musí platit, že rm > R, kde R je minimální možná vzdᜠlenost meteoroidu, při které ještě nedojde k zasažení Země. Dosazením za rm a úpravami předchozí nerovnosti získáme výslednou nerovnost mezi a a v0 s a>R

1+

2κM . v02 R

Jelikož již ve výšce 200 km nad povrchem Země obíhají družice, lze za hodnotu R zvolit poloměr Země, tedy R = 6 400 km. Použitelnost výsledku závisí na tom, v jaké vzdálenosti od Země jsou udány poœ čáteční hodnoty v0 a a. Pokud se jedná o vzdálenosti, které lze ve srovnání s R považovat za „nekonečnéÿ a ve kterých je gravitační síla Slunce kompenzována seœ trvačnou silou (soustava spojená se Zemí je neinerciální), potom za předpokladu, že se meteoroid výrazně nepřiblíží k Měsíci, lze uvedenou nerovnost považovat za reálný výsledek. Gravitační síla Slunce je kompenzována setrvačnou silou zhruba do vzdáleností přibližně 1 000 000 km od Země. Podobně lze určit minimální popř. maximální vzdálenost tělesa od centra pole i v jiných případech, kdy potenciální energie působících sil a plošná rychlost (moment hybnosti) tělesa jsou funkcemi pouze vzdálenosti r. Výhodou tohoto postupu je, že není třeba znát trajektorii pohybujícího se tělesa.

43

FYKOS 1997–2007

Úloha III . E . . . tloušťka vlasu Změřte tloušťku lidského vlasu více metodami, výsledky a chyby jednotlivých metod porovnejte. Vzorek vlasu přiložen. Třetí experimentální úloha se evidentně těšila velké oblibě, sešlo se nám na 23 různých řešení, z nichž jste mnohá přímo provedli nebo je jen z bláznivosti navrhli. Nejprve pár obecných poznámek. Tloušťku vlasu můžeme měřit přímo (mikrometœ rem), popř. určitým způsobem zjistit mocnost více vlasů. Můžeme však také využít jiných vlastností, např. ohybové jevy, lehkost a malý odpor při pádu atd. a také sáhnout k projekčním a optickým (zvětšovacím) metodám. Zde je však nutné se poœ zastavit nad geometrií vlasu, který je většinou metod považován za kruhový v průœ řezu, hladký, rovný, nestlačitelný, homogenní, konstantního průměru, tvarovatelný apod., což však vždy zajistit nemůžeme a je nutné to uvážit. Co se týče populační statistiky, uvádíme údaje Jana Houfka. „Tloušťka vlasů populace ČR se pohybuje mezi 15 až 138 µm . U žen je průměrná tloušťka 68,17 µm, u mužů 66,39 µm. Nejtlustší vlasy rostou v oblasti temene a týlu. Nejtenčí v oblasti spánkové a čelní. Světlovlasí lidé mají asi 150·103 vlasů, tmavovlasí asi (80–100) · 103 .ÿ Nyní stručně k nejčastějším metodám: 1. Mikrometr — prosté řešení, otázkou však zůstává deformace vlasu, rovnost čelistí a proměnnost průřezu. Můžeme tedy měřit na různých částech vlasu i ploch měœ řidla a vlas udržovat patřičně uvolněný. Též neškodí proměřit nulovou hodnotu mikrometru, diskutabilní je pokusit se odhadovat další dělení jdoucí za nejjemœ nější dílky měřidla. Průměr vámi naměřených hodnot je 53 µm. Snad nejčastější metoda, bohužel někdy jediná, přestože v zadání stálo „více způsobyÿ. 2. Závity — další rozšířený způsob. Vlas těsně navineme na drát (špejli, tuhu, jehlu), ze známého počtu závitů a změřené délky příslušného úseku prostým dělením získáme průměr vlasu. Problémem je ukotvení vlasu na jednom konci, těsnost závitů atd. V této fázi též můžeme změřit průměr tyčinky s vlasem a porovnat s původní tloušťkou – získáme dvojnásobek hledané hodnoty. Do stejné skupiny patří nastříhání vlasu na kratší úseky, ty vedle sebe nalepit na izolepu, popř. je namočit a opět měříme mocnost více vlasů. FYKOSácký průměr je 65 µm. 3. Projekční metody — vlas upevníme do rámečku na diapozitivy a promítneme jej spolu s nějakým délkovým měřítkem (nebo si rysky můžeme sami vytvořit). Změříme velikost stínu vlasu, porovnáním skutečné a projektované délky pokusœ ného dílku získáme zvětšení a tloušťku snadno dopočteme. Můžeme samozřejmě použít i meotar, musíme si však dávat pozor na zachování měřítka v potřebných směrech. Objevily se též návrhy promítnout pouze vlas, změřit vzdálenost stíœ nítka a vlasu od zdroje světla a užít podobnosti trojúhelníků, první metoda je však přesnější (měřím dvě veličiny namísto tří), někdo též použil laser (a rušily ho ohybové proužky), jiní kombinovali čočky a počítali zvětšení. Průměr u této metody je 56 µm. 4. Mikroskop — může mít zabudovanou stupnici, podle které tloušťku odečteme, popř. ze známého zvětšení a odhadu relativní velikosti zvětšeného obrazu určíme průměr vlasu. Jedná se ale většinou o méně přesné metody. 44

Ročník XII 5. „Pramínek vlasů . . . ÿ — změříme obvod těsného svazku vlasů o, známe-li jeœ jich počet n, rozpočteme plochu (kruhového) průřezu S na jednotlivé vlasy, kdy mezery mezi nimi považujeme za zanedbatelné, pak S=

o2 d2 = nπ , 4π 4

odkud

d=

o √ . π n

Lenka Zdeborová si tak spočítala, že má přibližně 80 000 vlasů (v dobré shodě s fakty uvedenými výše). Jest také možno provést korekci na mezery mezi vlasy, vypočítat, nakolik je plocha využita oproti periodickému pokrytí šestiúhelníky. Metoda bezesporu zajímavá, ale potřebuje více vlasů, a to dlouhých. 6. Pozorovací metody — zjistíme si minimální zorný úhel vlastního oka tak, že si nakreslíme malý bod známého poloměru a změříme největší vzdálenost, z které je ještě pozorovatelný. Pak si odstřihneme menší kousek vlasu (samotný vlas je dosti dlouhý a pozorovatelný na větší vzdálenost) a maximální vzdálenost vidiœ telnosti stanovíme i pro něj, výsledky porovnáme. Problémem je barva vlasu, lesk, volba délky úseku. Další možností je prosté přiložení vlasu k měřítku a odœ had, kolikrát se „vejdeÿ do 1 mm, na pomoc si můžeme vzít i lupu. Dále máme-li k dispozici vlasy známých a různých tlouštěk, můžeme komparační metodou určit nejpravděpodobnější průměr. Jedná se však pouze o řádové výsledky. 7. Rolovací metoda — vlas umístíme mezi dvě sklíčka tak, aby jedním koncem přesahoval. Horní sklíčko smýkáme po druhém, vlas se odvaluje. Ze známého počtu otáček (určíme dle konce) a vzdálenosti, o kterou jsme jej odvalili, zjistíme jeho tloušťku, uvažujeme-li kruhový průřez. Problémem je však prokluzování, prohýbání vlasu, ale zajímavá metoda. X

s1

l

s2 d α

nulté maximum

L

Obr. 13. Difrakce na vlasu V autorském řešení budeme dále prezentovat dvě další metody: 1. „HighTechÿ — ohyb laserového paprsku na vlasu. Vlas má dostatečně malé rozměry, aby byl pozorovatelný ohybový jev, což nám často práci ztěžuje, ale zároveň tak získáme efektivní metodu měření. Teorie S užitím Huyghensova principu dopadají paprsky do bodu X s dráhovým rozdílem s2 − s1 .

s22

„ «2 d = l+ + L2 , 2

s21

„ «2 d = l− + L2 , 2 45

FYKOS 1997–2007 2dl dl ≈ √ 2 s2 + s1 L + l2 (v součtech zanedbáváme d) a pro l  L s2 − s1 =

dl . L Pro maximum pak z geometrického názoru plyne s2 − s1 = kλ, tedy např. d = = kLλ/l. Pro dvě sousední maxima (minima) vzdálená x na stínítku pak platí s2 − s1 =

Lλ . (5) x Při odvození též můžeme vyjít z úhlů a dojdeme k témuž. Nyní k samotnému měření. d=

Pomůcky Školní He-Ne laser Uniphase 1508-2 (λ = 632,8 nm, rozsah výrobce neudᜠval, min. výkon 0,5 mW, průměr paprsku 0,48 mm), vlas, pravítko, pásmo, nit, izolepa, kruhová úchytka na čočku, papír. Postup Laser ve vodorovné poloze zaměříme pokud možno kolmo na stínítko (tabuli), blízko ústí paprsku přistavíme držák s vlasem. Provázkem změříme vzdálenost L vlasu od tabule. Na stínítko připevníme papír a po spuštění laseru zakresluœ jeme polohu maxim/minim. Pokud jsme nebyli oslněni jasným středem obrazu, dala se rozeznat maxima až 8. řádu. Změřením vzdáleností sousedních maxim a dosazením do (5) získáme tloušťku vlasu. Zde je však nutné podotknout, že vztah (5) je pouhou aproximací obcházeœ jící jinak nutnou integraci. Závislost intenzity na vzdálenosti l lze vyjádřit funkcí I = A[(sin x)/x]2 , kde x je relativní proměnná rovná (π/λ)dl. Z toho mimo jiné vyplývá, že maxima jsou nesouměrná, jejich relativní vzdálenosti od nultého maœ xima jsou po řadě 1,43 π, 2,45 π, 3,47 π, 4,48 π. Není tedy dobré měřit vzdálenosti maxim od středu, ale mezi sebou, v dobrém přiblížení je pak vzdálenost sousedœ ních maxim stejná a toho jsme právě využili při měření, přičemž se středem jsme nepočítali. Dodejme, že u minim k takovým problémům nedochází, následují po sobě zcela pravidelně. Otázkou je, co se nám lépe pozoruje. Nelze také proměřit vzdálenost k-tého maxima vlevo a vpravo od osy a x určit jako podíl l/2k, pro minima je to však vcelku dobrý postup. Zakreslování jsme provedli celkem třikrát a určili polohu po řadě pěti, sedmi a osmi maxim po obou stranách osy, určili jsme šest průměrných hodnot x a pro každou vypočítali d, výsledky jsme sestavili do tabulky. Vzdálenost L byla (2,066 ± 0,005) m. Tabulka 1 x ¯ [mm] 16,60 16,40 16,43 16,57 16,86 16,50 46

d [µm] 78,66 79,62 79,40 78,80 77,46 79,13

∆d [µm] 0,20 −0,76 −0,62 0,06 1,40 −0,27

Ročník XII ¯ = 78,86 µm, Průměr d s = 0,78 µm — k hrubé chybě nedošlo, sstat = 0,32 µm. Chyba při určení L je přibližně δ L = 0,24 %, x jsme měřili s přesností 0,5 mm, odkud δ x = 3,0 %. Bohužel nemůžeme započítat neurčitost ve vlnové délce (dala by se odhadnout v jednotkách nanometrů). Celková chyba pak bude q . δ = 3δ 2stat + δ 2L + δ 2x = 3,5 . Závěr Výsledná hodnota d = (79 ± 3) µm. Relativní chyba nám vyšla poměrně malá, otázkou je však znalost vlnové délky. Problémem byla i jemná struktura jednotlivých maxim (dána nerovnostmi na okrajích vlasu), proto se těžko odhaœ dovala jejich přesná poloha. Nicméně je to metoda zajímavá, stává se dostupnější s rozšiřováním školních laserů. Průměr vámi naměřených hodnot je 75,8 µm. 2. „LowTechÿ — ale zato velice zajímavá, řekněme kapková, metoda. Touto metoœ dou měřili pouze tři z vás. Teorie Mějme kapku vody známého objemu. Naneseme ji na sklíčko, kolem ní stoœ číme do kroužku vlas. Přikryjeme dalším sklíčkem, přičemž kapka nám vytvoří skvrnu. Snažíme se, aby nedošlo ke kontaktu vlasu s kapalinou, a naší prioritou je vytvoření skvrnky kruhového tvaru, změříme její průměr D. Pak voda přibližně zaujímá tvar velmi nízkého válce, jehož výška je však rovna tloušťce vlasu! Ze známého objemu kapky V (odkapeme si typicky 100 kapek) určíme vzdálenost sklíček a tedy průměr vlasu d. Měření Použili jsme školní byretu, z jejíž stupnice jsme mohli poměrně přesně odečíœ tat objem odkapané vody. Jako podložní sklíčko posloužilo rovné kapesní zrcátko, krycí pak sklo z rámečku na fotografie. Rozměry skel: 58×88 mm, 149×99×2 mm. Tabulka 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9

¯ [mm] d [µm] D 30,6 63,9 28,7 72,6 29,6 69,1 30,3 66,4 31,9 60,1 29,3 71,3 31,2 62,9 30,4 66,0 30,5 65,7

V [10−2 ml] ∆d [µm] 4,7 2,5 4,7 −6,2 4,7 −2,7 4,8 0,0 4,8 6,3 4,8 −4,9 4,8 3,5 4,8 0,4 4,8 0,7

¯ = 66,4 µm, Průměr d s = 3,9 µm — bez hrubé chyby, sstat = 1,3 µm, tedy δ stat = 2,0 . 47

FYKOS 1997–2007 Chyba p při měření D je asi 1 mm, čemuž odpovídá δ d = 3,3 %. Celková chyba . δ celk = 3δ 2stat + δ 2d = 4,8 %, odtud scelk = 3,2 µm. d = (66 ± 3) µm . Diskuse Je dobré si ověřit chování kapky mezi sklíčky bez přítomnosti vlasu. Skutečně se rozšíří po celé ploše, jak to má být. Problémem je často velmi nepravidelný tvar kapek, roztřepené okraje skvrnky, vlas též může být stlačen vahou horního skla. Ale metoda je to velice jednoduchá, vtipná a nevyžaduje náročné vybavení, můžeme kapat i s pomocí tyčinky. Nikdo jiný než vy, řešitelé, jste dokázali, jaké nepřeberné množství způsobů lze vymyslet při měření zdánlivě jednoduché úlohy. Naší snahou bylo také demonstrovat různost vztahů lišících se mírou aproximace, které můžete při zpracování experiœ mentu použít. Mnoho nápadů bylo nereálných, ale alespoň pobavily a svědčí o vaší přemýšlivosti. Ohyb na vlákně pak také ukázal, že některé teoretické výsledky neœ musí být vždy ve shodě s praxí a vysvitly i mnohem hlubší okolnosti úlohy. Nakonec je snad jasné, že nedostatek experimentálního vybavení vůbec nemusí být překážkou dobrého měření, jak říkáme: Nezáleží nám tolik na přesné hodnotě výsledku jako na hezkém nápadu a těch se sešlo opravdu dost!

Úloha V . 1 . . . jehla na vodě Určete maximální průměr ocelové jehly, která se ještě udrží na vodní hladině. Jehla je pokryta tenkým olejovým filmem, aby ji voda nesmáčela. Znáte hustotu oceli, vody a povrchové napětí vody. Pokud řešení problému závisí na délce jehly, pokládejte ji za známou a diskutujte její vliv. Jehlu považujme za válec o výšce l a poloměru r, přičemž platí l  r. Hustotu oceli, z které je jehla vyrobena, označme %o a hustotu vody %. Povrchová napětí značme: rozhraní voda–vzduch σ 1 ≡ σ, voda–jehla σ 2 a vzduch–jehla σ 3 . y F1

F3

F3

ϑ

ϕ

r

A

F1 ϕ

B

F2

F2

Obr. 14. Příčný řez

48

x h

Ročník XII Situace, kdy se jehla drží na vodní hladině, je nakreslena na obr. 14 – řez rovinou kolmou na osu jehly. Tíha jehly G je kompenzována výslednicí F sil, kterými na jehlu působí voda a vzduch. Jsou to jednak tlakové síly působící na povrch jehly a jednak povrchové síly působící v bodech A a B. Tlakové síly jsou způsobeny hydrostatickým tlakem a zakřivením rozhraní voda–jehla a vzduch–jehla. My ukážeme, že výsledek ovlivní podstatně pouze rozhraní voda–vzduch. Z podœ mínek rovnováhy v bodech A a B lze pro úhel ϑ odvodit F1 cos ϑ + F3 = F2

⇒

cos ϑ =

σ2 − σ3 . σ1

Příspěvek Fp povrchových sil k celkové výslednici F tedy činí Fp = −2F1 sin ϑ cos ϕ = −2lσ 1 sin ϑ cos ϕ . Výslednice Fk1 tlakových sil způsobených zakřivením rozhraní voda–jehla je dána vztahem Fk1 = 2lσ 2 sin ϕ .

ϕ

Podobně lze vypočítat i výslednici Fk2 tlakových sil způsobených zakřivením rozhraní vzduch–jehla

r

A

h B

Fk2 = −2lσ 3 sin ϕ . Obr. 15. Výpočet Výslednici hydrostatických tlakových sil působíœ hydrostatické síly cích na jehlu mezi body A a B označme Fh . Tuto sílu je možné spočítat následujícím „trikemÿ. Uvažme těleso, jehož řez rovinou rovœ noběžnou s podstavami je zobrazen na obr. 15. Výsledná vztlaková síla působící na toto těleso je rovna výslednici tlakových sil působících na plochu mezi body A a B. Tato výslednice je však rovna Fh . Pro Fh tedy platí » „ «– 2ϕ 2 1 Fh = 2hr sin ϕ + πr − 2r sin ϕ · r cos ϕ l%g . 2π 2 Pro výslednou sílu F tak dostáváme vztah F = Fh + Fk1 + Fk2 + Fp = ˆ ` = 2l [(σ 2 − σ 3 ) sin ϕ − σ 1 sin ϑ cos ϕ] + 2hr sin ϕ + r2 ϕ −

1 2

sin 2ϕ

´˜

l%g .

Využijeme-li vztahu pro cos ϑ, lze předchozí rovnici upravit na následující tvar ´˜ ˆ ` F = 2lσ sin (ϕ − ϑ) + 2hr sin ϕ + r2 ϕ − 12 sin 2ϕ l%g . Z toho vidíme, že rozhraní voda–jehla a vzduch–jehla rovnováhu ovlivňují prostředœ nictvím úhlu ϑ, v případě, že voda jehlu dokonale nesmáčí (ϕ = 12 π a ϑ = 0), rovnováhu neovlivňují vůbec. Síla F je v případě rovnovážné polohy jehly rovna tíze jehly G, která je dána vztahem G = πlr2 %o g . 49

FYKOS 1997–2007 Zbývá ještě určit hodnotu h. Je-li R poloměr křivosti vodní hladiny, potom zaœ křivení hladiny způsobí v tomto místě tlak, který je roven σ/R. Tento tlak je komœ penzován hydrostatickým tlakem. Funkce y(x), která popisuje tvar vodní hladiny, tedy splňuje tuto diferenciální rovnici σy 00 3

(1 + y 02 ) 2

= y%g .

Tato rovnice nezávisí explicitně na x. Položme tedy z = y(x) a y 0 = p(z) = p(y(x)). Funkce p(z) musí řešit rovnici p0 p (1 + p2 )

3 2

=

%g z. σ

Separací proměnných získáme rovnost 1 1 %g 2 p =C− z . 2 2 σ 1+p Konstantu C určíme z okrajových podmínek. Pro y → 0 je i y 0 → 0. To znamená: z → 0 ⇒ p(z) → 0, a tedy C = 1. V bodě B platí y 0 = p(−h) = tg (ϕ − ϑ). Dostáváme tak následující vyjádření pro h r 2σ [1 − cos (ϕ − ϑ)] . h= %g Z vyjádření h a F plyne, že maximální hodnota síly F nastává pro ϕ = 21 π a ϑ = 0 (voda jehlu dokonale nesmáčí). Pro maximální poloměr rm jehly, při kterém se jehla ještě udrží na hladině, platí p 2 2 %g . πrm %o g = 2σ + 2rm 2σ%g + 12 πrm Vyřešením této rovnice získáme výsledný vztah pro maximální průměr jehly p i p 4 σ/g hp dm = 2% + 2π%o − (π − 2) % . π (2%o − %) Číselně vychází dm = 2,0 mm. Pokud bychom neuvažovali hydrostatický tlak, pak by výsledný vzorec vypadal následovně (do předchozího vzorce stačí dosadit % = 0) r 8σ dm = . π%o g Číselně potom vychází dm = 1,6 mm. Ve skutečnosti však bude dm o něco menší, neboť při ϕ = 21 π je jehla v nestabilní poloze (pokud se úhel ϕ zvětší, potom se jehla definitivně potopí). Pokládáme-li jehlu na vodní hladinu, potom maximální průměr jehly musí být také menší, neboť při úhlech ϕ blízkých 12 π snadno dojde k porušení povrchové vrstvy vody. Uvedené výsledky platí za předpokladu l  r. Předměty nazývané jehla tento předpoklad obvykle splňují. Pokud by jevy vznikající na koncích jehly nešlo zaœ nedbat, potom bychom tento problém nemohli převést do roviny a řešení by bylo podstatně komplikovanější.

50

Ročník XII

Úloha VI . 4 . . . míček v kondenzátoru Malá kovová kulička o hmotnosti m = 3,0 g je zavěšena na tenkém hedvábném vlákně délky l = 30 cm tak, aby se dotýkala svislé kovové desky. Kuličku vychýlíme o úhel α a uvolníme. Po odrazu od desky se kulička vychýlí o úhel β < α (obr. 16). Při druhém pokusu umístíme do vzdálenosti d = 5,0 cm od první desky druhou stejně velkou. Závěs kuličky α prodloužíme, aby byl mnohem delší než vzdálenost desek. Připojíme-li desky ke β zdroji vysokého napětí U = 20,0 kV a závěs vychýlíme, kulička se rozkmitá a naráží střídavě na levou a pravou desku (obr. 17). Perioda nárazů se brzy ustálí na hodnotě T = 0,45 s. Jak se mění při druhém pokusu rychlost kuličky mezi dvěma nárazy na desky? Jaký náboj nese kulička během letu mezi deskami? Obr. 16 Obr. 17 Nejprve určíme tzv. koeficient restiœ tuce, to je poměr rychlosti odrazu a dopadu K = vodr /vdop . K tomu využijeme zákona zachování mechanické energie 1 mv 2 2

= mgl(1 − cos α) .

Tuto rovnici napíšeme jak pro vdop , α, tak pro vodr , β, vydělíme je a dostaneme r K=

1 − cos β . 1 − cos α

V kondenzátoru bude homogenní elektrické pole, nabitá kulička se mezi desœ kami bude pohybovat rovnoměrně zrychleně se zrychlením a, počáteční rychlostí vp a koncovou rychlostí vk . Průměrná rychlost je dána jako průměr počáteční a koncové rychlosti v k + vp d = . 2 T Při odrazu se změní náboj na kuličce na opačný a rychlosti budou opět v poměru vp =K. vk Řešením posledních dvou rovnic dostaneme vk =

2d , T (1 + K)

vp =

2dK , T (1 + K)

a=

2d(1 − K) vk − vp = 2 . T T (1 + K)

Zrychlení kuličky je a=

F QE QU = = . m m md 51

FYKOS 1997–2007 Dosadíme za zrychlení a vyjádříme absolutní hodnotu náboje Q=

2md2 (1 − K) . U T 2 (1 + K)

Omylem nebyly zadány úhly α a β. Bylo možné je odečíst z obrázku třeba jako α = 25◦ , β = 12◦ . Po dosazení těchto a zadaných hodnot dostaneme vp = 0,072 m/s, vk = 0,150 m/s, a = 0,172 m/s2 a Q = 1,29 · 10−9 C.

52

Ročník XIII Ve třináctém ročníku ve školním roce 1999/2000 začalo řešit 187 studentů, poœ slední sérii poslalo 58. Tématem seriálu byly polovodiče, autorem byl Tomáš Ostatœ nický. Na podzim 13.–19. 11. 1999 bylo soustředění v Nových Hutích na Šumavě, na jaře ve Valdeku u Rumburka ve dnech od 8. do 14. 5. 2000, organizaci obou opět zaštiťoval Jiří Franta. TEXaře dělal Karel Honzl.

Nejúspěšnější řešitelé jméno Student Pilný

škola MFF UK

Σ 202

Kategorie čtvrtých ročníků 1. Jan Houštěk 2. Jiří Chaloupka 3. Pavel Augustinský 4. Milan Berta 5. Jakub Kulaviak 6. Tomáš Matoušek 7. Karel Kouřil

G G G G G G G

Pelhřimov Židlochovice Havířov Veľké Kapušany Blansko Karlovy Vary Blansko

174 155 136 133 123 120 118

Kategorie třetích ročníků 1. Peter Čendula 2. Jan Kunc 3. Karel Žídek 4. Martin Beránek 5. Jaromír Chalupský 6. Petr Nečesal 7. Vladimír Fuka

G G G G G G G

Liptovský Mikuláš Kolín Opava Ohradní, Praha Sušice Moravské Budějovice Rakovník

163 130 128 125 124 115 99

Kategorie druhých ročníků 1. Jan Fröhlich

G Mezi školami, Praha

97

Kategorie prvních ročníků 1. Miroslav Hejna 2. Petr Houštěk 3. Michal Bareš 4. Luboš Matásek 5. Václav Cviček

G G G G G

F. M. Pelcla, Rychnov n. Kněžnou Pelhřimov Mikulášské nám., Plzeň Mikulášské nám., Plzeň Petra Bezruče, Frýdek-Místek

179 112 108 73 66

Organizátoři Jiří Franta (hlavní organizátor), Jana Gřondilová, Pavol Habuda, Karel Honzl, Jan Hradil, Miroslav Kladiva, Karel Kolář, Jiří Libra, Ladislav Michnovič, Slavomír Nemšák, Tomáš Ostatnický, Ondřej Pejchal, Václav Porod, Jan Prokleška, Libor Sedláček, Rudolf Sýkora, Lenka Zdeborová a další.

53

FYKOS 1997–2007

Vybrané úlohy Úloha I . 3 . . . zahřívání a ochlazování Do nádoby s vodou dáme ponorný ohřívač a zapneme jej do zásuvky. Závislost teploty na čase po zapnutí ohřívače vidíme v grafu na obrázku 18. Poté, co teplota dosáhne 60 ◦C (trvalo to tři minuty), ohřívač vypneme. S poœ mocí grafu odhadněte, za jak dlouho nádoba s vodou vychladne na 50 ◦C. A za jak dlouho na 30 ◦C? Tepelnou kapacitu a tepelnou setrœ vačnost ohřívače neuvažujte. (řešení str. 55)

◦

C

60

50

40

Úloha II . E . . . sloupec cukru 30 Jistě víte, že když ponořujete kostkový cukr do čaje, voda do kostky vzlíná. Je na vás, abyste vymysleli vhodnou aparaturu a 20 proměřili, do jaké výšky kapalina vystoupí, 0 1 2 3 min máte-li hodně vysoký sloupec kostek cukru Obr. 18. Graf zahřívání (pokud budete mít chuť, tak třeba i závislost výšky na čase). Navrhněte nějaký fyzikální model. Ve vodě se ale cukr rozpouští, takže se záhy rozpadne. Použijte tedy raději benzín, líh či jinou kapalinu, ve které se cukr nerozœ pouští. (řešení str. 57) Úloha III . 4 . . . My name is James Bond Představme si autíčko, které jede po letišti rovnoměrně přímočaře (vzhledem k letištní hale) rychlostí v . Kromě autíčka stojí na letišti sličná letuška, nestojí však na přímce, po které se pohybuje autíčko. V okamžiku, kdy je autíčko letušce nejblíže (tj. spojnice autíčko–letuška je kolmá na v ), se řidič rozhodne, že dojede leœ tušku navštívit. Autíčko dokáže v libovolném směru vyvinout zrychlení o maximální velikosti a. Za jaký nejkratší čas se autíčko dostane k letušce? Čas se počítá od okaœ mžiku fatálního rozhodnutí. Předpokládejte, že auto u letušky nebude zastavovat ani přibržďovat. (Nápověda: Uvažujte různé vztažné soustavy.) (řešení str. 61) Úloha IV . 1 . . . nabité kuličky Tři stejné kuličky o hmotnosti m, nabité nábojem q, jsou spojeny lehkými neœ roztažitelnými nitěmi tak, že tvoří rovnostranný trojúhelník o straně délky d. Pokud jednu z nití přestřihneme, soustava se začne pohybovat. Určete maximální rychlost „prostředníÿ kuličky během nastalého pohybu. (řešení str. 62) Úloha IV . P . . . jablko nepadá daleko od baobabu Starý baobab roste na rovníku a na jeho nejvyšší větvi ve výšce h je baobabí jablko. Jablko se rozhodne, že spadne. Vypočtěte, jak daleko od kmene dopadne. Řešení jedna. Dívá-li se na situaci pozorovatel z inerciální soustavy nespojené s povrchem Země, vidí, že ve výšce h letí jablko rychlostí ω(RZ + h) ve směru 54

Ročník XIII rovnoběžně s povrchem (ω je úhlová rychlost rotace Země). Povrch se pohybuje p v témže směru rychlostí ωRZ . Rozdílpje tedy ωh. Jablko letí dobu t = 2h/g, a dopadne tedy ve vzdálenosti s = ωh 2h/g od kmene. Řešení dva. Díváme-li se na situaci ze soustavy spojené s povrchem Země, zdají se nám nehybné předměty, které ve výšce x letí rychlostí ω(RZ + x). Jablko letí stále rychlostí ω(RZ + h), a tedy vzhledem k pozorovateli na Zemi rychlostí ω(h − x). Pro x platí x = h − gt2 /2, a tedy v = ωgt2 /2. Po zintegrování (kdo neví, copto je, nechť přijme, že plocha pod grafem funkce y = x2 je x3 /3) vyjde s = (ωh/3) 2h/g. Na vás je, abyste rozhodli, který z výsledků je správně, a opravili chybný postup. (řešení str. 63) Úloha VI . 4 . . . vodíková nádoba Představme si podle obrázku nádobu s ideálním plynem rozdělenou dvěma přeœ pážkami na tři části. Napravo se udržuje teplota T a tlak p, nalevo 2T a p. Určete, jaká teplota a tlak je v prostřední části, víte-li, že celý systém je v dynamické rovnováze. (řešení str. 64) T, p 2T , p ? Další zajímavé úlohy V první problémové úloze (I.P) se měl co Obr. 19. Vodíková nádoba nejrychleji přesunout stůl s hrníčkem, aniž by samozřejmě hrníček spadnul. V úloze II.1 se hledala kruhová orbita elektronu ve válcovém kondenzátoru. Mnoho řešitelů zaujala hezká úloha (II.4) o železničářích z Lipky. Další problémové úlohy studovaly zatmění a fakt, že sluneční nastávají častěji než měsíční (II.P), a frekvenci pohybu atomů v krystalu soli (III.P). Řešitelé se potápěli a vypouštěli bublinu v zajímavé úloze IV.3. V brožurce se čtvrtou sérií našli řešitelé dráteček a měli určit, z jakého materiálu byl vyroben (byl ze stříbra). V úloze V.4 jsme se dívali na rychle letící tyč. Náročnější byla pátá experimentální úloha (V.E), kde řešitelé měřili modul pružnosti vlasu. Koho zajímalo, jak dlouho by vydržela zásoba kyslíku v atmosféře, řešil úlohu VI.3 (sta tisíce let).

55

FYKOS 1997–2007

Úloha I . 3 . . . zahřívání a ochlazování Do nádoby s vodou dáme ponorný ohřívač a zapneme jej do zásuvky. Závislost teploty na čase po zapnutí ohřívače vidíme v grafu na obrázku 20. Poté, co teplota dosáhne 60 ◦C (trvalo to tři minuty), ohřívač vypneme. S pomocí grafu odhadněte, za jak dlouho nádoba s vodou vychladne na 50 ◦C. A za jak dlouho na 30 ◦C? Tepelnou kapacitu a tepelnou setrvačnost ohřívače neuvažujte. Při řešení této úlohy použijeme následující předpoklady: výkon ohřívače P a teœ pelná kapacita vody C jsou konstanty a zaneœ ◦ C dbáváme vypařování vody. Při ohřívání se jen část dodané energie spotřebuje na ohřátí vody, 60 zbytek unikne do okolí. Označme Pz ztrátový výkon (je to energie, která unikne do okolí za jednotku času). Platí rovnice 50 P t − Pz t = C∆T , kde t je čas, za který se voda ohřeje o teplotu ∆T . Ztrátový výkon Pz je přibližně úměrný rozdílu teploty okolí a vody. Při ohřívání z 20 ◦C na 30 ◦C je tento rozdíl malý, můžeme si tedy dovolit ztráty v tomto úseku zanedbat (Pz1 = 0 W). Díky tomu odhadneme výkon ohřívače jako P =C

∆T1 , t1

40

30

20

0

1 2 3 min Obr. 20. Graf ohřívání

∆T1 a t1 vyčteme z grafu. Při dalším ohřívání už Pz zanedbat nelze. Řekněme, že v každém z intervalů 30 ◦C až 40 ◦C, 40 ◦C až 50 ◦C a 50 ◦C až 60 ◦C je Pz přibližně konstantní, pak platí „ « ∆Ti ∆T1 ∆Ti Pzi = P − C =C − , i = 2, 3, 4 . ti t1 ti Když vypneme ohřívač, voda se z 60 ◦C na 50 ◦C ochladí výkonem Pz4 za čas t∗4 , z 50 ◦C na 40 ◦C výkonem Pz3 za t∗3 a konečně ze 40 ◦C na 30 ◦C výkonem Pz2 za t∗2 . Přitom platí „ « ∆Ti ∗ ∆T1 ∗ Pzi ti = C − ti = C∆Ti , i = 2, 3, 4 , t1 ti ∆T1 = ∆T2 = ∆T3 = ∆T4 = 10 ◦C, a tedy se pokrátí. Po úpravě vyjde t∗i =

t 1 ti . ti − t1

Z grafu vyčteme tyto hodnoty: t1 = 15 s, t2 = 30 s, t3 = 45 s, t4 = 90 s. Po dosazení dostaneme, že na 50 ◦C se voda ochladí asi za t∗4 = 18 s a na 30 ◦C za t∗4 +t∗3 +t∗2 = 70 s. 56

Ročník XIII Ve skutečnosti ztráty v prvním úseku nebudou nulové, tedy skutečný výkon vařiče bude větší, proto i ztrátové výkony budou větší a časy chladnutí kratší. Někteří úlohu řešili tak, že graf ohřívání otočili kolem osy odpovídající 40 ◦C a tento považovali za graf chladnutí. Dostali tak odhad t∗4 = 15 s a t∗4 + t∗3 + t∗2 = 90 s. Ne všichni si ovšem uvědomili, že takto by úloha šla řešit pouze v případě, že by teplota okolí byla 20 ◦C a voda by byla ohřívána dostatečně dlouho (aby se ztrátový výkon vyrovnal ohřívacímu) a dostatečně malým výkonem (aby se voda nevypařila). Další možnost pro ty, kteří umí řešit diferenciální rovnice, je, že předpokládáme ztrátový výkon přímo úměrný rozdílu teploty vody a okolí (T0 ). Vyřešíme rovnici P dt − K(T − T0 ) dt = C dT . Je-li T0 i počáteční teplota vody, vyjde ” P “ −K t C T = 1−e + T0 . K Konstanty hledáme tak, aby graf v zadání tuto rovnici splňoval. Přibližně vychází 1 −1 T0 = 20 ◦C, P/K = 45 ◦C a K/C = 80 s . Pro ochlazování řešíme −K(T − T0 ) dt = C dT

⇒

t=−

T − T0 C ln ∗ , K T − T0

kde T ∗ je teplota na počátku chladnutí, tedy 60 ◦C. Číselně vychází, že ochlazování na 50 ◦C trvá 23 s a na 30 ◦C asi 110 s, což je více než v předchozích odhadech. Těžko ovšem můžeme říci, který z odhadů je nejlepší, neboť o ohřívání a ochlaœ zování nevíme nic bližšího. Nedá se tedy jednoznačně určit, které ze zanedbání, jež jsme provedli, vnáší do výsledku větší chybu.

57

FYKOS 1997–2007

Úloha II . E . . . sloupec cukru Jistě víte, že když ponořujete kostkový cukr do čaje, voda do kostky vzlíná. Je na vás, abyste vymysleli vhodnou aparaturu a proměřili, do jaké výšky kapalina vystoupí, máte-li hodně vysoký sloupec kostek cukru (pokud budete mít chuť, tak třeba i závislost výšky na čase). Navrhněte nějaký fyzikální model. Ve vodě se ale cukr rozpouští, takže se záhy rozpadne. Použijte tedy raději benzín, líh či jinou kapalinu, ve které se cukr nerozœ pouští. Teorie Kostka cukru je slisovaná z velmi malých krystalků, mezi kterými jsou ovšem ještě mezírky. Můžeme se o tom jednoduše přesvědčit. Změříme-li průměrnou husœ totu kostky cukru, vyjde asi 1020 kg·m−3 , kdežto tabulková hodnota hustoty sachaœ rózy je 1580 kg·m−3 . V kostce cukru je tedy asi 35 % (objemových) vzduchu. Zkusíme nyní odhadnout, jak velké jsou krystalky, ze kterých je kostka slisovaná. Na 1 cm dlouhé hraně jsme napočítali asi třicet krystalků. Uvážíme-li vzduchové mezírky mezi nimi, je průměrný rozměr krystalku 0,2 mm a mezírky 0,1 mm. Nyní můžeme řádově odhadnout, jak vysoko do sloupečku cukru se kapalina dostane. Výška výstupu h bude právě taková, aby se kapilární tlak vyrovnal s hydœ rostatickým, neboli « „ 1 1 + , h%k g = σ r1 r2 kde %k je hustota kapaliny a σ její povrchové napětí (pro líh je %k = 790 kg·m−3 a σ = 22 · 10−3 N·m−1 ), r1 a r2 jsou poloměry zakřivení hladiny kapaliny v mezírkách. Odhadneme, že r1 = r2 = r a to se rovná asi dvěma třetinám rozměru mezírky. Po dosazení vychází h = 8 cm, což je, jak později uvidíme, vcelku dobrý odhad. Nyní se pokusíme popsat průběh vzlínání. Na sloupec kapaliny v kostce cukru působí tíha FG = α%k gxS, kde x je výška kapalinového sloupce, S obsah podstavy cukru a α objemový podíl kapaliny v cukru. Dále působí síla kapilární Fk = αS (2σ/r). A ještě Newtonova síla, která díky viskozitě (míře vnitřního tření) kapaliny brání jejímu pohybu vzhůru ∆v ∗ FN = η S , ∆r kde η je dynamická viskozita kapaliny (pro líh η = 1,2 · 10−3 kg·m−1 ·s−1 ), ∆v/∆r je rozdíl rychlosti na kraji a uprostřed mezírky dělený rozměrem mezírky, který odhadneme jako (2/r)(dx/ dt), a S ∗ je plocha styku kapaliny s cukrem S ∗ = lx, kde l = 8rnS je délka styku cukru, vzduchu a kapaliny (n je počet mezírek ve čtverečním metru, odhadněme n = 1000 cm−2 ). Tyto síly způsobují změnu hybnosti kapaliny za čas. Dostáváme tedy pohybovou rovnici ve tvaru dx dm d2 x m 2 + = Fk − FG − FN , dt dt dt Po dosazení a úpravě " „ «2 # d2 x dx 2σ dx α% x + = α − α% gx − 16ηnx . k dt2 dt r dt 58

Ročník XIII v [mm/s] 30

h [mm] 60

20 40 10 0

20 0

5

10

15

t [s]

Obr. 21. Teoretická závislost rychlosti stoupání na čase

0

0

5

10

15

20

25 t [s]

Obr. 22. Teoretická závislost výšky kapaliny na čase

Takovou složitou diferenciální rovnici bychom exaktně těžko řešili, ale s pomocí programu Famulus to není problém. Na grafech (obr. 21 a 22) vidíte závislosti výšky a rychlosti stoupání na čase. Teorie je tedy poněkud komplikovaná, musíme hodně věcí zanedbat a odhadnout, ale jak uvidíme, opravdu přibližně popisuje danou situaci. Ač v zadání bylo řečeno, že máte navrhnout nějaký fyzikální model vzlínání, pokusilo se o to jen pět řešitelů. Ostatní se spokojili s konstatováním, že za všechno může kapilarita, nebo se teorií nezabývali vůbec, za což ovšem mnoho bodů nezískali. Měření Konečně se dostáváme k samotné realizaci pokusu. Nejvíce z vás použilo jako kapalinu technický líh, ani my tedy neuděláme jinak. Dále budeme potřebovat kostœ kový cukr (konkrétně kilogramové balení z cukrovaru Hrochův Týnec, velikost jedné kostky je 1,1 × 1,8 × 2,2 cm), misky, milimetrové měřítko, gumičky na zpevnění sloupečků cukru, stopky, hodí se vhodné barvivo (např. inkoust), neboť čirý líh se v bílém cukru špatně rozezná. Do misky postavíme sloupeček cukru stažený gumičkou, připevníme k němu milimetrové měřítko, přičemž se snažíme, aby jednotlivé kostky na sebe co nejlépe doléhaly. Do misky nalijeme líh a v okamžiku, kdy se dotkne spodní kostky, spustíme stopky a zapisujeme hodnoty. My jsme měření provedli třikrát, přičemž jsme kostky stavěli na různé podstavy. Jak to všechno dopadlo, můžete vidět v tabulkách a v grafu na obr. 23. 1. Kostky ležely na nejmenší stěně. h [mm] 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 t [s] 0,7 3 5 12 20 29 35 60 140 300 600 2. Kostky ležely na prostřední stěně. h [mm] 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 t [s] 1 4 6 18 27 39 45 90 180 450

59

FYKOS 1997–2007 3. Kostky ležely na největší stěně. h [mm] t [s]

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 1 3 10 18 33 44 59 80 190 300 800

h [mm] 60

50

40

30

20

10

0

0

100

200

300

400

500

600

700 t [s]

Obr. 23. Naměřené hodnoty: plné kolečko – kostky na nejmenší stěně, prázdné kolečko – kostky na prostřední stěně, křížek – kostky na největší stěně Po asi dvou hodinách vypadal stav takto: V případě jedna byla výška 6,6 cm, do čtvrté kostky se už kapalina nedostala. V případě dva se kapalina zastavila už ve výšce 5,9 cm, tj. v páté kostce. Ve třetím sloupečku kapalina vyšplhala do výše 6,3 cm. Je tedy vidět, že maximální dosažená výška výstupu nezávisí na ploše podœ stavy, což potvrzuje teorii. Naopak rychlost výstupu na ploše podstavy závisí, to se dá ovšem vysvětlit tím, že když kostky stojí na širší podstavě, musí kapalina překoœ nat více předělů mezi jednotlivými kostkami. Každý předěl vzlínání kapaliny hodně zpomalí. Kdybychom měli jednolitý sloupec cukru, tento nedostatek by nevznikal. Diskuse a závěr O chybách měření řekneme jen to, že nejnepřesnější bylo určování výšky, neboť kapalina byla v různých částech kostky různě vysoko. Nějaké statistické chyby měœ ření zde nemá příliš velký smysl počítat, neboť jsme na to provedli málo měření. Provádět desítky měření také nemá smysl, neboť s jiným cukrem či jinou kapalinou by vycházely výsledky odlišné. Nyní ještě srovnání teorie s praxí. Vidíme, že výšku výstupu 8 cm jsme předpoœ věděli hodně přesně. Křivka závislosti h na t také zhruba odpovídá. Ta teoretická má sice asymptotu níže, než je naměřená hodnota, ale vzhledem k tomu, že jsme hodně zanedbávali a neuvažovali předěly mezi kostkami, je to výsledek dobrý. 60

Ročník XIII Došlá řešení Někteří z vás potvrdili i jiná teoreticky předpovězená fakta. Zkoušeli jste napříœ klad měřit pro více druhů kapalin a skutečně vám vycházelo, že kapalina s menším povrchovým napětím či větší hustotou vystoupá níže. Jeden řešitel dokonce měřil s různě jemnými cukry a vyšlo mu, že v jemnějším cukru je h větší. Závěrem trocha statistiky, vypočítali jsme průměr a statistickou chybu maxiœ málních výšek výstupu, které naměřili řešitelé, kteří získali alespoň 3 body, a zde je výsledek: hprům = 6,2 cm a ∆h = 0,3 cm.

Úloha III . 4 . . . My name is James Bond Představme si autíčko, které jede po letišti rovnoměrně přímočaře (vzhledem k leœ tištní hale) rychlostí v . Kromě autíčka stojí na letišti sličná letuška, nestojí však na přímce, po které se pohybuje autíčko. V okamžiku, kdy je autíčko letušce nejblíže (tj. spojnice autíčko–letuška je kolmá na v ), se řidič rozhodne, že dojede letušku navštívit. Autíčko dokáže v libovolném směru vyvinout zrychlení o maximální veliœ kosti a. Za jaký nejkratší čas se autíčko dostane k letušce? Čas se počítá od okamžiku fatálního rozhodnutí. Předpokládejte, že auto u letušky nebude zastavovat ani přiœ bržďovat. (Nápověda: Uvažujte různé vztažné soustavy.) Jak už bylo napovězeno, je vhodné k řešení úlohy použít nějakou výhodnou inerœ ciální soustavu. Nejvýhodnější je inerciální soustava, v níž je autíčko ve chvíli, kdy je letušce nejblíže, v klidu. Tato soustava se vůči soustavě spojené s letuškou bude pohybovat rychlostí o velikosti v. Letuška se tedy bude v této soustavě pohybovat rychlostí také o velikosti v, ale opačného směru. Všechny následující úvahy budeme dělat v této soustavě. Nejrychleji autíčko letušku dostihne, bude-li se pohybovat po přímce s maximálœ ním zrychlením. Že je tato dráha nejrychlejší, je zřejmé z toho, že dráha bude po přímce nejkratší, a také proto, že zrychlení bude stále ve směru pohybu. Za čas t urazí dráhu 21 at2 . Letuška za tuto dobu urazí dráhu o délce vt. Označíme-li d vzdᜠlenost letušky od autíčka v čase t = 0, bude v okamžiku, kdy auto letušku dostihne, platit d2 + (vt)2 = ( 21 at2 )2 . To je vlastně kvadratická rovnice pro t2 . Jejím jediným kladným řešením je p √ 2v 2 + 2 v 4 + a2 d2 t= . a Závěrem můžeme podotknout, že stejné řešení lze získat i v soustavě spojené s leœ tuškou, ale v této soustavě není zřejmá časová výhodnost řešení.

61

FYKOS 1997–2007

Úloha IV . 1 . . . nabité kuličky Tři stejné kuličky o hmotnosti m, nabité nábojem q, jsou spojeny lehkými nerozœ tažitelnými nitěmi tak, že tvoří rovnostranný trojúhelník o straně délky d. Pokud jednu z nití přestřihneme, soustava se začne pohybovat. Určete maximální rychlost „prostředníÿ kuličky během nastalého pohybu. Zvolme soustavu souřadnic následujícím způsobem. Osu x ve směru přestřiœ žené nitě a osu y kolmou na osu x a procházející „prostředníÿ kuličkou. Osu z není nutné uvažovat, neboť se jedná o rovinný proœ y blém. Dále vidíme, že pohyb kuliček bude symetœ rický vůči ose y. Velikosti složek rychlosti „postranœ níchÿ kuliček označme vx ve směru osy x a vy ve směru osy y. „Prostředníÿ kulička se bude pohyboœ d vat v ose y rychlostí v. Okamžitou vzdálenost „poœ stranníchÿ kuliček označme l. Při pohybu kuliček se bude zachovávat jejich celœ ková energie, neboť elektrostatické pole je konzervaœ x tivní a celková vykonaná práce tahových sil nití je nulová Obr. 24. Situace po přestřižení spodní nitě ´ ` q2 1 q2 = mv 2 + m vx2 + vy2 + . 4πε0 d 2 4πε0 l Dále platí zákon zachování hybnosti soustavy kuliček, který má ve směru osy y tvar (kuličky se ve směru osy y přibližují) 2mvy = mv . Dosazením za vy ze zákona zachování hybnosti do zákona zachování energie dostaœ neme „ « 3 q2 1 1 2 mv = − − mvx2 . 4 4πε0 d l Vidíme tedy, že „prostředníÿ kulička bude mít maximální rychlost v okamžiku, kdy jsou všechny kuličky v přímce (l = 2d a vx = 0) r vmax =

q2 . 6πε0 md

Po dosažení maximální rychlosti se rychlost „prostředníÿ kuličky začne zmenšoœ vat a kulička se zastaví v okamžiku, kdy kuličky budou tvořit opět vrcholy rovnoœ stranného trojúhelníku o straně délky d. Soustava se pak začne pohybovat stejným způsobem jako na začátku, pouze v opačném směru, a dostane se tak do původœ ního stavu. Pohyb soustavy je tedy periodický. Někteří řešitelé chybně uvedli, že výsledný pohyb soustavy bude harmonický. Pohyb je harmonický pouze v případě, že potenciální energie je tvaru Ep = kx2 (odpovídající síla je pak F = −2kx), kde k je konstanta a x výchylka z rovnovážné polohy. To však v našem případě není splněno. 62

Ročník XIII V řešení jsme předpokládali, že elektromagnetické pole v každém okamžiku odœ povídá elektrostatickému poli. Ve skutečnosti však vlivem pohybu kuliček vzniká také pole magnetické (pohyb nabitých částic odpovídá elektrickému proudu). Kuœ ličky se pohybují se zrychlením. Dochází tedy k vyzařování elektromagnetických vln na úkor mechanické energie kuliček. To znamená, že pohyb kuliček bude tlumen a kuličky se zastaví v rovnovážné poloze, což je poloha, kdy kuličky leží v přímce. Vliv uvedených efektů roste s rychlostí kuliček a s frekvencí jejich pohybu. Budou-li rychœ losti kuliček podstatně menší než rychlost světla a frekvence jejich pohybu nebude příliš velká, pak lze uvedené efekty zanedbat. Několik řešitelů uvažovalo také gravitační síly mezi kuličkami. Gravitační síly musí být menší než elektrické. V opačném případě by totiž došlo ke zhroucení kuliček do těžiště rovnostranného trojúhelníku ještě před přestřižením nitě. V tomto případě je postup zcela stejný – stačí nahradit potenciální energii systému kuliček výrazem „ 2 « q 1 2 Ep = − κm . 4πε0 l

Úloha IV . P . . . jablko nepadá daleko od baobabu Starý baobab roste na rovníku a na jeho nejvyšší větvi ve výšce h je baobabí jablko. Jablko se rozhodne, že spadne. Vypočtěte, jak daleko od kmene dopadne. Řešení jedna. Dívá-li se na situaci pozorovatel z inerciální soustavy nespojené s povrchem Země, vidí, že ve výšce h letí jablko rychlostí ω(RZ + h) ve směru rovnoběžně s povrchem (ω je úhlová rychlost rotace Země). Povrch se pohybuje p v témže směru rychlostí ωRZ . Rozdílpje tedy ωh. Jablko letí dobu t = 2h/g, a dopadne tedy ve vzdálenosti s = ωh 2h/g od kmene. Řešení dva. Díváme-li se na situaci ze soustavy spojené s povrchem Země, zdají se nám nehybné předměty, které ve výšce x letí rychlostí ω(RZ + x). Jablko letí stále rychlostí ω(RZ + h), a tedy vzhledem k pozorovateli na Zemi rychlostí ω(h − x). Pro x platí x = h − gt2 /2, a tedy v = ωgt2 /2. Po zintegrování (kdo neví, cop to je, nechť 2 3 přijme, že plocha pod grafem funkce y = x je x /3) vyjde s = (ωh/3) 2h/g. Na vás je, abyste rozhodli, který z výsledků je správně, a opravili chybný postup. Opravíme nejprve chybnou úvahu v řešení jedna. Představme si tyč kolmou na povrch, z jejíhož konce ve výšce h padá jablko. Povrch Země letí v horizontálním směru (dále budeme-li mluvit o rychlosti, myslíme tím její průmět do tohoto směru, nebude-li řečeno jinak) rychlostí ωRZ (kde ω je úhlová rychlost rotace Země). Konec tyče (resp. jablko před pádem) letí rychlostí ω(RZ + h). V zadání jsme postupovali následovně: Rozdíl rychlostí je stále ωh, doba pádu t, a tedy posunutí od dolního konce tyče ωht. To by ovšem znamenalo, že v každé výšce (kupříkladu i na začátku pádu) je rozdíl rychlosti jablka a části tyče, kolem níž právě prolétá, ωh, což viditelně není. Ve výšce x nad povrchem je rychlost odpovídající části tyče ω(RZ +x), rychlost jablka stále ω(RZ + h), rozdíl je tedy ω(h − x), což odpovídá řešení dva v zadání. Ke stejné opravě řešení jedna lze dospět i úvahou využívající faktu, že úhlová rychlost jablka ve výšce x je „ «„ « „ « ω(RZ + h) h x h−x ∗ ωx = ≈ω 1+ 1− ≈ω 1+ . RZ + x RZ RZ RZ 63

FYKOS 1997–2007 Zde (a i v pozdějším textu) využíváme faktu, že pro h/RZ  1 dostatečně přesně platí (1 + h/RZ )−1 ≈ (1 − h/RZ ). Rozdíl vzdáleností po dopadu pak vyjde t

Z s = RZ ∆ϕ = RZ

(ω ∗x − ω)dτ = ω

0

t

Z

3

(h − x)dτ = 0

ωgt ωh = 6 3

s

2h , g

(6)

neboť h − x = gτ 2 /2 je délka volného pádu za čas τ . Nyní by se tedy zdálo, že řešení dva je správně. Ale není tomu tak. Dosud jsme uvažovali, že vodorovná rychlost jablka je ω(h + RZ ) nezávisle na výšce x, ve které se právě během pádu nachází. Kdyby toto platilo, nemohla by krasobruslařka dělat svoje piruety, neutronové hvězdy by nerotovaly tak úžasně rychle a pan Kepler by neodvodil svůj druhý zákon nebeské mechaniky. Díky izotropii prostoru platí totiž zákon zachování momentu hybnosti, který říká, že v soustavě bez vnějších momentů sil zůstává moment hybnosti konstantní. Počáteční moment hybnosti jablka L = = |r × p| = mω(RZ + h)2 se tedy v průběhu pohybu zachovává, a proto pro úhlovou rychlost ve výšce x platí »

ω jx

RZ + h = RZ + x

–2

»„ ω≈

h 1+ RZ

«„ «–2 „ « x h−x 1− ω ≈ 1+2 ω. RZ RZ

Stejným p postupem jako v (6) se dobereme konečně ke správnému výsledku s = = 2ωh/3 2h/g. Ještě odvodíme jeden důsledek našich úvah. Rozdíl rychlosti jablka a tyče ve výšce x je v = (ω jx − ω)(RZ + x) ≈ 2

h−x (RZ + x)ω ≈ 2ω(h − x) . RZ

V čase τ od začátku pádu se tedy jablko vzhledem k tyči pohybuje rychlostí v = = ωgτ 2 . Pozorovatel, který stojí na zemi pod tyčí a neví nic o otáčení Země, by toto nedokázal vysvětlit. Zdálo by se mu, že na jablko působí nějaká podivná síla o velikosti F = m dv/ dτ = 2mωgτ = 2mωv ∗ , kde v ∗ je svislá rychlost pádu. My ale víme, že to je zdánlivá Coriolisova síla, která působí na tělesa v neinerciálních rotujících soustavách. A na závěr trocha statistiky: 20 (19) řešitelů se domnívalo, že správně je řešení jedna (dva), dostali celkem 5 (39) bodů; 10 řešitelů tvrdilo, že obě řešení jsou špatně, na správný důvod ovšem přišli jen čtyři z nich, z čehož jen Honza Houštěk a Miroslav Hejna dospěli ke správnému výsledku.

64

Ročník XIII

Úloha VI . 4 . . . vodíková nádoba Představme si podle obrázku nádobu s ideálním plynem rozdělenou dvěma přepᾜ kami na tři části. Napravo se udržuje teplota T a tlak p, nalevo 2T a p. Určete, jaká teplota a tlak je v prostřední části, víte-li, že celý systém je v dynamické rovnováze. Typická špatná úvaha na začátku většiny řešení zněla: Tlak v prostřední nádobě bude stejný jako v obou krajních, protože kdyby T, p 2T , p ? byl například menší, proudil by do této části plyn z obou částí krajních, a soustava by tedy nebyla v dynamické rovnováze. Ještě jednou Obr. 25. Vodíková nádoba opakuji, že tato úvaha není správná. To, že je v jedné části soustavy větší tlak, ještě neznamená, že plyn musí proudit ven z této části, záleží totiž i na teplotách (resp. rychlostech molekul). Při řešení vyjdeme z toho, že pokud je soustava v dynamické rovnováze, musí se všude zachovávat počet částic a jejich celková vnitřní energie. Ze stavové rovnice plyne pro počet molekul na jednotku objemu plynu NV ∼ p/T . Střední je stejně jako jejich střední kvadratická rychlost úměrná √ rychlost molekul 2 v ∼ T (neboť mv ∼ kT , kde k je Boltzmannova konstanta). Počet částic ∆N , které vyletí otvorem o průřezu S za jednotku času, je počet částic v objemu vS/6 (jen 1/6 částic letí správným směrem, to je ale pro naši úlohu nepodstatné) p ∆N ∼ vNV ∼ √ . T Do prostřední části (její teplota a tlak jsou T ∗ a p∗ ) musí vnikat totéž, co z ní uniká (předpokládáme-li, že otvory v obou přepážkách jsou stejné) p 2p∗ p √ +√ = √ . T 2T T∗

(7)

Energie jedné částice je úměrná kT , energie ∆N√částic, které vyletí za jednotku času z oblasti o teplotě T , je tedy úměrná E ∼ p T . V prostřední části se musí zachovávat energie, z čehož √ √ √ p T + p 2T = 2p∗ T ∗ .

(8)

Z rovnic (7), (8) již snadno vyjádříme √ 1+ 2 . √ p = 1,015p , p = 242 ∗

T∗ =

√ 2T .

Vidíme, že tlak v prostřední části je skutečně jiný než v obou krajních.

65

Ročník XIV Ve čtrnáctém ročníku ve školním roce 2000/2001 začalo řešit 171 studentů, poœ slední sérii poslalo 39. Tématem seriálu byla mechanika, autory byli Honza Houštěk a Lenka Zdeborová. Na podzim 13.–19. 11. 2000 bylo soustředění v Janově v Jiœ zerských horách, na jaře v Chlumětíně u Svratky ve dnech 29. 4.–5. 5. 2001, obě organizačně zaštiťoval Jan Prokleška. O sazbu letáků a ročenky v TEXu se staral Kaœ rel Honzl spolu s Janem Prokleškou. Webmasterem se stal Ondra Pejchal. Kroužek fyziky byl předán pod katedru didaktiky fyziky.

Nejúspěšnější řešitelé jméno Student Pilný

škola MFF UK

Σ 202

G Kolín

140

G Poprad G Ústí nad Labem G Jana Keplera, Praha

138 90 87

G F. M. Pelcla, Rychnov n. Kněžnou G Mikulášské nám., Plzeň G Brno-Bystrc G Petra Bezruče, Frýdek-Místek Matiční G Ostrava G F. M. Pelcla, Rychnov n. Kněžnou Matiční G Ostrava

176 117 115 97 96 91 89

G Nad Alejí, Praha G Pelhřimov

111 89

Kategorie čtvrtých ročníků 1. Jan Kunc Kategorie třetích ročníků 1. Eva Skopalová 2. Miroslav Šulc 3. Michael Komm Kategorie druhých ročníků 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Miroslav Hejna Michal Bareš Lukáš Chvátal Václav Cviček Tibor Vansa Jan Prachař Karel Tůma

Kategorie prvních ročníků 1. Alexandr Kazda 2. Petr Houštěk

Organizátoři Jan Prokleška (hlavní organizátor), Pavel Augustinský, Milan Berta, Jiří Franta, Pavol Habuda, Karel Honzl, Jan Houštěk, Miroslav Kladiva, Karel Kolář, Karel Kouřil, Jiří Libra, Ladislav Michnovič, Ondřej Pejchal, Miroslav Pištěk, Lenka Zdeœ borová a další.

66

Ročník XIV

Vybrané úlohy Úloha I . P . . . jedna paní povídala Jeden krátkozraký kamarád mi říkal, že když si z prstů před okem utvoří malý otvor, tak vidí věci kolem sebe ostřeji než normálně. Je na tom něco pravdy, nebo si vymýšlí? Svůj názor fyzikálně zdůvodněte. (řešení str. 68) Úloha II . 3 . . . nabitá šroubovice Mějme nekonečný drát stočený do pravotočivé šroubovice (helixu). Drát je rovœ noměrně nabitý a osa helixu je totožná s osou z. Do vzniklého pole pošleme nabitou částici (drát je tenký, takže do něj částice nenarazí). V jistém časovém okamžiku známe její pz a Lz , tedy z-ové komponenty hybnosti a momentu hybnosti. Můžeme v jiném okamžiku určit pz , známe-li v tomto okamžiku Lz ? (Problém lze vyřešit zcela exaktně. Naproti tomu není určitě nezajímavé zkusit situaci počítačově simulovat a dostat tak hledanou závislost v podstatě experimenœ tálně, případně ověřit teoretickou předpověď.) (řešení str. 69) Úloha IV . 4 . . . zvířátko Představte si zvířátko, jehož charakteristický rozměr je L. Odhadněte, jak na L závisí vzdálenost, kterou je schopné urazit po poušti. A jak závisí na L jeho rychlost běhu po rovině a do kopce? Určete také, jak závisí na velikosti zvířátka výška jeho výskoku. Nápověda. Uvažte, že s = vt. Dále například uveďme, jak závisí hmotnost zvíœ řátka na L. Víme, že m = %V , kde % uvažujme konstantní a V je úměrné L3 , tedy m ∼ %L3 ∼ L3 , hmotnost zvířátka tedy závisí přímo úměrně na L3 . (řešení str. 70) Úloha V . 2 . . . dělo na lodi Děla na bitevních lodích se nabíjejí následujícím způsobem. Do hlavně se dá střela o hmotnosti M a za ní určitý počet balíků s výbušninou (objem jednoho balíku je V0 ) podle toho, jak daleko chceme střílet. Kolikrát se zvětší dostřel takového děla, když nabijeme dvojnásobné množství výbušniny? Výbuch si představujte tak, že najednou se místo výbušniny objeví dvouatomový plyn o teplotě T0 a tlaku p0 . Ráže děla je deset palců. Odpor vzduchu zanedbejte. (řešení str. 72) Úloha VI . 3 . . . počítání galaxií Začátkem století existoval kosmologický model vesmíru, podle kterého byl vesmír homogenní (v každém místě stejný) a izotropní (v každém směru stejný). Takový vesmír v sobě zahrnoval rovnoměrně rozmístěné galaxie. Předpokládejme, že všechny galaxie jsou co do množství vyzařovaného světla stejné. Vypočtěte, kolikrát více galaxií uvidíme, jestliže se místo pouhým okem buœ deme dívat na oblohu triedrem, kterým lze pozorovat objekty s magnitudou až 8,5. Magnitudou se v astronomii měří jasnost objektu. Čím větší magnituda, tím slabší objekt vidíme. Slunce má −27mag , Měsíc v úplňku −13mag , nejjasnější hvězdy 0mag a nejslabší hvězdy viditelné pouhým okem mají 6mag . Pomoci vám může Pogsonova rovnice, která porovnává magnitudy a pozorované intenzity dvou objektů „ « I1 . m1 − m2 = −2,5 log I2 67

FYKOS 1997–2007 Zamyslete se nad tím, jak se změní řešení, když budou galaxie vyzařovat různé množství světla. (řešení str. 72) Úloha VI . P . . . domino Určitě už jste si někdy hráli s dominem, tedy kvádry postavenými v řadě za sebou, které po shození prvního z nich lavinovitě padají. Pokuste se odhadnout rychlost, kterou se tato vlna šíří, a jak tato rychlost závisí na rozměrech a hmotnosti kvádrů, vzdálenosti kvádrů, případně dalších parametrech. Popište podrobně model, který ve svých úvahách použijete, a posuďte, nakolik odpovídá realitě. (řešení str. 73) Další zajímavé úlohy Mnoho řešitelů bylo v první sérii zaskočeno úlohou (I.3): Proč se paprsky jdoucí skrz mezery v mracích rozbíhají? A mnoho řešitelů se také bavilo bláznivou úlohou (I.E): Změřte modul pružnosti vařených špaget. Další zajímavá problémová úloha (III.P) seznámila řešitele s občasnými prameny. Docela náročná experimentální úloha (III.E) dávala řešitelům za úkol změřit elektrické kapacitu člověka (0,1 µF). Hezká problémová úloha IV.P o míčku v trubce s vodou vyžadovala nápadité řešení. V poslední sérii se kromě domina řešil kondenzátor s feroelektrikem (VI.1) a rychlý proton (VI.4).

Úloha I . P . . . jedna paní povídala Jeden krátkozraký kamarád mi říkal, že když si z prstů před okem utvoří malý otvor, tak vidí věci kolem sebe ostřeji než normálně. Je na tom něco pravdy, nebo si vymýšlí? Svůj názor fyzikálně zdůvodněte. Podstata ostrosti vidění je v tom, že bod (u vzdálenějších předmětů malá ploška) pozorovaného předmětu se zobrazí na sítnici jako bod. Tedy paprsky vycházející z pozorovaného bodu jsou čočkou v oku lámány tak, aby se setkávaly na sítnici opět v jednom bodě. Je třeba podotknout, že narozdíl od skleněných čoček oční čočka netrpí přílišnou otvorovou vadou. Předpokládáme tedy, že paprsky se protínají skutečně v jednom bodě. Krátkozrakost spočívá v tom, že čočka nedokáže pomocí akomodace posunout své ohnisko až na úroveň sítnice. Při pozorování vzdálených předmětů se téměř rovnoběžné paprsky po průchodu čočkou (Č) setkávají v ohniskové rovině (F0 ) ve vzdálenosti f 0 a pak se dál rozbíhají, než dopadnou na sítnici (S) ve vzdálenosti s od čočky, kde vytvoří místo bodu kroužek o průměru D0 , který vyjadřuje „neostrostÿ (viz obr. 26). Je-li „neostrostÿ srovnatelná s rozlišovací schopností sítnice, je obraz zcela ostrý. „Neostrostÿ je dána jednoduchým vztahem (z podobnosti trojúhelníků) D0 = D

s − f0 . f0

Pokud si tedy kamarád dal před oko clonu v podobě otvoru z prstů (O), zmenšil tak průměr otvoru d, kterým do oka vniká světlo, a tím se i podle uvedeného vztahu zmenšila „neostrostÿ d0 . Současně však snížil intenzitu světla vytvářející obraz, což 68

Ročník XIV ale tolik nevadí, protože oko je schopno svoji citlivost zvýšit až 10 000krát. Toto odůvodnění jsme považovali za správné (fyzikální). Svůj vliv má samozřejmě i soustředěnost na menší část obrazu, jsou-li zastíněny některé části zorného úhlu, to však podle odborníků platí jen u někoho a jen v urœ čitém věkovém rozmezí, tedy to zkrátka nelze považovat za pravidlo. Navíc máme vyzkoušeno, že lze vytvořit clonu (ne z prstů) tak blízko oka, že neomezuje zorný úhel, a efekt přesto funguje. Lze tak například pozorovat předměty pro zdravé oko příliš blízké na zaostření. Mnozí z vás také psali, že je příčina v ohybu světla. Ohyb světla jistě hraje svoji roli, sice malou, ale díky svým vlastnostem je spíše nežádoucí, než aby přispěl k zostření obrazu. O

Č

f0

F0

s − f0

S

D d d0 D0

Obr. 26. Chod paprsků krátkozrakým okem

Úloha II . 3 . . . nabitá šroubovice Mějme nekonečný drát stočený do pravotočivé šroubovice (helixu). Drát je rovnoœ měrně nabitý a osa helixu je totožná s osou z. Do vzniklého pole pošleme nabitou částici (drát je tenký, takže do něj částice nenarazí). V jistém časovém okamžiku známe její pz a Lz , tedy z-ové komponenty hybnosti a momentu hybnosti. Můžeme v jiném okamžiku určit pz , známe-li v tomto okamžiku Lz ? (Problém lze vyřešit zcela exaktně. Naproti tomu není určitě nezajímavé zkusit situaci počítačově simulovat a dostat tak hledanou závislost v podstatě experimenœ tálně, případně ověřit teoretickou předpověď.) Tato úloha měla za cíl demonstrovat postup řešení fyzikální úlohy na základě symetrie. Toto částečně všichni řešitelé pochopili (mimo jiné proto, že se to zdá velmi přirozené). Bohužel nikdo nenašel symetrii úlohy zadané, ale jen úlohy zjednodušené, kde vzniká symetrie daleko nápadnější. Šlo o zanedbání hlavní vlastnosti spirály – toho, jak vlastně vypadá – má závity. Většina z vás z ní totiž udělala symetrický nabitý válec (tedy velice hustá spirála), u kterého se pak z důvodu, že budí pěkné axiální pole nezávislé na z-ové souřadnici, zachovává nezávisle pz i Lz .2 Pro zadanou úlohu bylo podstatné všimnout si následující symetrie. Když jsme v nějakém bodě a otočíme se o jistý úhel ϕ (pro jednoduchost v kladném smyslu) 2)

Podél osy z nepůsobí na částici žádná síla, zachovává se pz ; síla působící na částici míří vždy ve směru procházejícím osou, má tedy nulový moment vůči ose, což je příčinou zachování Lz .

69

FYKOS 1997–2007 okolo z-ové osy (zachovajíce vzdálenost od osy) zároveň s tím, že se ve shodě se stouœ páním spirály ještě posuneme mírně nahoru (pro pravotočivou spirálu), dostaneme se do bodu, ve kterém vše vypadá stejně jako v bodě původním. Tím myslíme to, že se při takovém posunutí nezměnil potenciál. Ale to také znamená, že podél směru „dokola šikmo nahoruÿ nepůsobí síla! Kdyby působila a my se posunuli popsaným způsobem, konali bychom práci, což by bylo v rozporu s konstantností potenciálu. A toho teď využijeme, napíšeme kolmost síly na náš směr matematicky. Sílu působící na částici v určitém bodě ve vzdálenosti r od osy můžeme rozložit na složky ve válcových souřadnicích Fr , Fϕ a Fz (Fr je složka síly ve směru kolmo od osy, Fϕ leží stejně jako Fr v rovině kolmé na osu a je na Fr kolmá, obíhajíc osu v kladném smyslu, Fz je složka rovnoběžná s osou). V těchto souřadnicích můžeme směr „dokola šikmo nahoruÿ psát v daném bodě jako vektor s válcovými souřadnicemi (0, 2πr, h), kde h je stoupání spirály.3 Závěr o kolmosti síly na tento směr vyjádříme nulovostí skalárního součinu (Fr , Fϕ , Fz ) · (0, 2πr, h) = 0 . Dále si už jen uvědomíme, že platí Fz = dpz / dt a rFϕ = Mz = dLz / dt. Pak se předchozí rovnice píše 1 dLz dpz 2πr + h = 0. r dt dt Dostáváme tedy Lz + pz

h = konst. , 2π

což je hledaná souvislost mezi Lz a pz . Pokud by se tedy někdo pokusil úlohu úspěšně modelovat (simuloval by let částice a kreslil by v různých časech graf např. Lz proti pz ), měl by dostat body okolo přímky.

3)

To, že je (0, 2πr, h) správný vektor, poznáme z toho, co říká – když půjdete kousek podél mě, zvednete se na tomto kousku o správnou vzdálenost, která odpovídá faktu, že při otočení dokola musí následovat zdvih h.

70

Ročník XIV

Úloha IV . 4 . . . zvířátko Představte si zvířátko, jehož charakteristický rozměr je L. Odhadněte, jak na L závisí vzdálenost, kterou je schopné urazit po poušti. A jak závisí na L jeho rychlost běhu po rovině a do kopce? Určete také, jak závisí na velikosti zvířátka výška jeho výskoku. Nápověda. Uvažte, že s = vt. Dále například uveďme, jak závisí hmotnost zvíœ řátka na L. Víme, že m = %V , kde % uvažujme konstantní a V je úměrné L3 , tedy m ∼ %L3 ∼ L3 , hmotnost zvířátka tedy závisí přímo úměrně na L3 . Předpokládejme, že zvířátko je savec, dále předpokládejme, že frekvence kroků zvířátka nezáleží na jeho velikosti (tj. na L) a že zvířátka se neliší v tělesné stavbě, nýbrž pouze ve velikosti. Nejdříve se zabývejme otázkou, jak daleko je schopno dojít na poušti. Pravděœ podobně nejvíce limitujícím faktorem pro zvířátko je voda (například člověk bez jídla vydrží asi tak měsíc, bez vody nanejvýš pět dní), tu zvířátko jdoucí po poušti spotřebovává hlavně na ochlazování svého organismu. Množství vody v těle zvířátka je úměrné jeho objemu Mvod ∼ L3 . Hlavním zdrojem ohřevu organismu zvířátka je teplo, které se v něm uvolňuje (pokud zanedbáme slunce – jeho vliv se dá těžko popsat, nevíme, kde poušť je, jak dlouho tam trvá den atd.), množství uvolněného tepla je zřejmě úměrné objemu organismu, a tudíž dostáváme vztah Q ∼ L3 . Toto odpadní teplo je třeba odvést právě pomocí vody. Pro hmotnost ztracené (vypocené) vody za jednotku času tedy dostáváme Mvyp ∼ L3 . Vidíme tedy, že doba, po kterou je zvířátko schopno jít po poušti, nezávisí na L (zásoby vody jsou úměrné L3 a rychlost, s jakou je zvířátko ztrácí, také). Jediné, v čem se tedy zvířátka budou lišit, je délka kroku, ta je úměrná L. Pro celkovou vzdálenost tedy můžeme psát s ∼ L (všechna zvířátka udělají stejný počet kroků, které mají délku přímo úměrnou L). Nyní se zabývejme tím, jak rychle je zvířátko schopno běžet. Pravděpodobně nejvýraznější vliv na rychlost zvířátka má maximální frekvence kroků zvířátka. Poœ kusme se určit, jak závisí na L. Na to, aby zvířátko udělalo krok, musí posunout končetinu směrem dopředu, tento pohyb je obecně nerovnoměrně zrychlený. Hmotnost končetiny je úměrná L3 , síla, která ji urychluje, je úměrná L2 (síla svalu závisí na počtu svalových vláken, a tedy na jeho průřezu), celkově tedy pro zrychlení máme a ∼ L−1 . Pokud použijeme vztah pro rovnoměrně zrychlený pohyb (řekněme, že si pohyb končetiny „rozsekámeÿ tak, p že v jednotlivých částech celkového pohybu se pohybuje rovnoměrně zrychleně) t = 2s/a a uvědomíme si, že s ∼ L, dostaneme pro délku trvání kroku T ∼ L. Protože délka kroku je rovněž přímo úměrná L, zjišťujeme, že z tohoto pohledu rychlost nezávisí na L. Pokud započítáváme odporovou sílu, musíme si uvědomit, že Fodp ∼ L2 · v 2 . Pro sílu, kterou je schopno působit zvířátko, platí F ∼ L2 , a tedy dostáváme, že rychlost nezávisí na L. Při běhu do kopce se ve vyjádření odporové síly objeví další člen popisuœ jící sklon kopce, dostaneme tedy Fodp ∼ L2 · v 2 + L3 sin α. Pro rychlost máme √ v ∼ k1 − k2 L sin α, kde k1 , k2 jsou konstanty. Při výskoku musí platit zákon zachování energie, tedy to, že práce vykonaná zvířátkem se spotřebuje na jeho přemístění do větší výšky. Pro práci W = F s při 71

FYKOS 1997–2007 uvážení F ∼ L2 a s ∼ L dostaneme W ∼ L3 . Při změně potenciální energie zvířátka ∆E = mgh víme, že m ∼ L3 . Celkově tedy opět dostáváme, že výška výskoku nezávisí na L.

Úloha V . 2 . . . dělo na lodi Děla na bitevních lodích se nabíjejí následujícím způsobem. Do hlavně se dá střela o hmotnosti M a za ní určitý počet balíků s výbušninou (objem jednoho balíku je V0 ) podle toho, jak daleko chceme střílet. Kolikrát se zvětší dostřel takového děla, když nabijeme dvojnásobné množství výbušniny? Výbuch si představujte tak, že najednou se místo výbušniny objeví dvouatomový plyn o teplotě T0 a tlaku p0 . Ráže děla je deset palců. Odpor vzduchu zanedbejte. Nejdříve určíme, jak daleko je vlastně možné dostřelit, pokud je počáteční rychœ ◦ lost střely v. Maximálního dostřelu dosáhneme, √ pokud vystřelíme pod úhlem 45 k vodorovné rovině, střela poletí po dobu t = 2v/g a dopadne do vzdálenosti s = = v 2 /g. Tedy dostřel je přímo úměrný počáteční energii náboje (s ∼ E = 12 mv 2 ). Nyní určíme, jakou energii získá náboj v hlavni. Výbuch je věc poměrně rychlá (každý, kdo už nějaký viděl, jistě souhlasí), takže nejlepší přiblížení toho, co se děje s plynem v hlavni při výstřelu, je adiabatický děj. Při výbuchu je tlak plynu v hlavni řádově větší než atmosférický, takže ten se může s klidem zanedbat. Předpokládejme, že hlaveň má délku l, průřez S a že jeden balík výbušniny má délku x0 . Na střelu v hlavni působí síla F = pS, pro tlak máme z rovnice pro adiabatický děj vztah p = p0 V0κ /V κ . Pokud ještě označíme x vzdálenost zadní strany střely od začátku hlavně, můžeme pro sílu působící na střelu psát F =S

p0 xκ 0 . κ x

Energii střely dostaneme jednoduchou integrací E = střely, pokud dáme do hlavně jeden balík výbušniny, je E1 =

Rl x0

1 1−κ Sp0 xκ − x1−κ ), 0 (l 0 1−κ

a pokud tam dáme dva E2 =

1 Sp0 (2x0 )κ (l1−κ − (2x0 )1−κ ) . 1−κ

Takže pro poměr dostřelů dostáváme l1−κ − (2x0 )1−κ s2 E2 = = 2κ 1−κ , s1 E1 l − x1−κ 0 což už je požadované řešení.

72

F dx. Tudíž energie

Ročník XIV

Úloha VI . 3 . . . počítání galaxií Začátkem století existoval kosmologický model vesmíru, podle kterého byl vesmír homogenní (v každém místě stejný) a izotropní (v každém směru stejný). Takový vesmír v sobě zahrnoval rovnoměrně rozmístěné galaxie. Předpokládejme, že všechny galaxie jsou co do množství vyzařovaného světla stejné. Vypočtěte, kolikrát více galaxií uvidíme, jestliže se místo pouhým okem buœ deme dívat na oblohu triedrem, kterým lze pozorovat objekty s magnitudou až 8,5. Magnitudou se v astronomii měří jasnost objektu. Čím větší magnituda, tím slabší objekt vidíme. Slunce má −27 mag , Měsíc v úplňku −13 mag , nejjasnější hvězdy 0 mag a nejslabší hvězdy viditelné pouhým okem mají 6 mag . Pomoci vám může Pogsonova rovnice, která porovnává magnitudy a pozorované intenzity dvou objektů „ « I1 m1 − m2 = −2,5 log . I2 Zamyslete se nad tím, jak se změní řešení, když budou galaxie vyzařovat různé množství světla. Jestliže dosadíme do vzorečku v zadání za rozdíl magnitud 2,5mag (oko vidí do 6mag , triedr do 8,5mag ) I8,5 2,5mag = −2,5 log , I6 dostaneme pro podíl intenzit I8,5 = 0,1 . I6 Triedrem uvidíme tedy objekty desetkrát slabší. Intenzita klesá s druhou mocœ ninou vzdálenosti, I8,5 r2 = 26 = 0,1 I6 r8,5

⇒

√ r8,5 = 10 . r6

√ Uvidíme jím tedy objekty 10krát vzdálenější. Jestliže jsou galaxie ve vesmíru rovœ noměrně rozděleny, potom počet galaxií, které vidíme, je přímo úměrný té části vesmíru, ve které je můžeme vidět. Tedy poměr počtu galaxií je V8,5 p= = V6

„

r8,5 r6

«3 = 31,6 .

Pokud by každá galaxie vyzařovala různé množství světla, řešení se nezmění. Rozdělme si všechny galaxie do přihrádek, kde v každé budou jenom galaxie s blízœ kou jasností. Pak v každé přihrádce uvidíme triedrem 31,6krát více galaxií než volœ ným okem. Protože toto platí pro každou přihrádku, bude to platit i pro všechny dohromady.

73

FYKOS 1997–2007

Úloha VI . P . . . domino Určitě už jste si někdy hráli s dominem, tedy kvádry postavenými v řadě za sebou, které po shození prvního z nich lavinovitě padají. Pokuste se odhadnout rychlost, kterou se tato vlna šíří, a jak tato rychlost závisí na rozměrech a hmotnosti kvádrů, vzdálenosti kvádrů, případně dalších parametrech. Popište podrobně model, který ve svých úvahách použijete, a posuďte, nakolik odpovídá realitě. Řešení této úlohy bychom asi těžko hledali v nějaké běžné sbírce příkladů z fyziky. Uspokojivé, vyčerpávající a dostatečně jednoduché řešení totiž zřejmě neexistuje. Toto je bohužel častým rysem úloh vycházejících z praxe. Nicméně je třeba se umět i s takovými úlohami vyrovnat a v následujících odstavcích se o to pokusíme. Nejprve učiníme několik pozorování, která úlohu poněkud zjednoduší. Předně pokud (jak předpokládáme) stojí kostky ekvidistantně, v jedné přímce a jednotlivé kostky nejsou vůči této přímce natočené, lze úlohu řešit jen jako rovinný problém, na rozměru kostky ve směru kolmém na tuto rovinu nezáleží. Dále zřejmě nezáleží na hmotnosti kostek (pochopitelně předpokládáme, že kostky jsou homogenní a že hmotnost všech je stejná). To plyne například z rozměœ rové analýzy. Vstupními parametry úlohy je jistě tíhové zrychlení g, výška kostek h, poměr β = b/h mezi tloušťkou kostky b a její výškou, poměr α = a/h mezi vzdᜠleností těžišť sousedních kostek a a výškou kostky, hmotnost kostky m a pak řada bezrozměrných parametrů popisujících interakci podložky a kostek a jednotlivých kostek mezi sebou (vlastnosti nárazů a tření). Jaké budeme uvažovat tření a nárazy, upřesníme později. Nyní tedy máme k disœ pozici čísla g, h, α, β, m a naším cílem je vypočíst ustálenou rychlost v šíření vlny. Snadno si rozmyslíme, že jediná možnost, jak to zařídit, je p v = f (α, β) gh . Nadále tedy uvažujme h = 1, g = 1, m = 1 a hledejme rychlost šíření vlny v závislosti na tloušťce kostky β a vzdálenosti kostek α. Nejschůdnější cesta k výsledkům vede přes energetické úvahy (abych byl upřímný, nic jiného mě nenapadlo). Předpokládáme ustálený stav, tedy velmi dlouhou řadu, ve které šířící se vlna už nezrychluje ani nezpomaluje. Uvažme děj od okamžiku, kdy do dosud stojící kostky narazí vlna, do chvíle, kdy tato kostka narazí na další stojící kostku. Při tomto ději se potenciální energie systému v důsledku poklesu těžišť kostek snížila o hodnotu, kterou označíme ∆E. Pro její výpočet naštěstí neœ musíme počítat změnu polohy všech kostek, uvědomíme-li si, že ke stejnému poklesu potenciální energie dojde, nahradíme-li jednu stojící kostku ležící kostkou. Platí ” p 1 β 1 β “ 1 2 2 1+ α −β , ∆E = − sin ϕ∞ − cos ϕ∞ = − 2 2 2 2 2α kde ϕ∞ je sklon ležící kostky vůči podložce. Protože předpokládáme ustálený stav, musí být kinetická energie na konci uvaœ žovaného děje stejná jako na začátku, a tedy se někde během děje musí odevzdat teplo ∆E. Učiníme první speciální předpoklady (dosud jsme dělali jen naprosto obecné úvahy) a prohlásíme, že veškeré toto teplo se odevzdá při nárazu na stojící kostku, vliv tření mezi jednotlivými kostkami považujeme za zanedbatelný. Dále 74

Ročník XIV prohlásíme srážky za nepružné, tedy že po nárazu jsou již kostky v trvalém konœ taktu a do třetice uvažujeme, že hrubost podložky je dostatečná, aby hrany, kolem kterých se kostky otáčí, zůstaly stále na místě. Úvahu o tom, nakolik jsou takové předpoklady opodstatněné, přenecháme laskavému čtenáři. Nechť se dopadající kostka otáčí s úhlovou rychlostí ω 1 . Po nepružném nárazu stojící kostka získá úhlovou rychlost, kterou označíme ω 0 . Podaří-li se nám vyjádřit pomocí ω 0 úbytek kinetické energie soustavy při nárazu, budeme schopni srovnáním tohoto úbytku s ∆E dopočíst ω 0 , pomocí kterého již budeme přímo moci soudit na rychlost šíření vlny. Po této poněkud obsáhlejší přípravě se konečně pustíme do výpočtu. Splňují-li kostky podmínky, že sousední kostky jsou neustále v kontaktu a že hrany, kolem kteœ rých se otáčejí, jsou neustále v kontaktu s podložkou a sousední mají vzdálenost α, platí pro úhel sklonu jednotlivých kostek vůči podložce ze sinové věty ϕn+1 = ϕn − arcsin (α sin ϕn − β) . Přitom ϕ0 = π/2 je úhel sklonu stojící kostky, do které právě naráží vlna. Nyní pomocí ω 1 vyjádříme kinetickou energii kostek těsně před nárazem. K tomu nejprve vyjádříme poměr mezi úhlovými rychlostmi sousedních kostek. ω n+1 λn = = ωn

dϕn+1 dt dϕn dt

=

dϕn+1 α cos ϕn . =1− q dϕn 2 1 − (α sin ϕn − β)

Dále vyjádříme moment setrvačnosti kolem hrany, kolem které se kostky otáčí. Nahlédneme-li do poslední kapitoly seriálu, můžeme po krátké úvaze bez potřeby složitých výpočtů psát I = (1 + β 2 )/3. Nyní již snadno vyjádříme kinetickou energii. ` ´ ` ´ T = 21 I ω 21 + ω 22 + ω 23 + · · · = 12 Iω 21 1 + λ21 + λ21 λ22 + λ21 λ22 λ23 + · · · = 21 ΛIω 21 . Výpočet Λ je technicky nejobtížnější částí úlohy, nicméně s využitím počítače to zjevně není větší problém, zejména uvědomíme-li si, že významně přispívá pouze několik prvních kostek. Teoreticky nejobtížnější částí úlohy bude popis nepružné srážky. Během srážky na sebe padající a stojící kostka působí krátkou dobu velkými silami ve vodorovném směru. Podstatné pro nás je, že se jedná o akci a reakci, tedy časový průběh velikostí obou sil je stejný. Nejprve zjistíme, jak se při krátkodobém působení konstantní síly F ve vodorovném směru chová padající část kostek (tedy kostky 1, 2, . . .). Působící síla odpovídá potenciální energii V = F cos ϕ1 . Použijeme-li zákon zaœ chování energie (to je v pořádku, protože kromě síly F na soustavě žádná síla práci nekoná), dostáváme T + V = konst.

⇒

T˙ + V˙ = ΛIω 1 ω˙ 1 − F ω 1 sin ϕ1 = 0

⇒

ω˙ 1 =

F sin ϕ1 . ΛI

Ve výrazu by měl ještě figurovat člen s časovou derivací Λ, avšak po snadné úvaze zjistíme, že při uvažovaném krátkodobém působení velké síly tento člen odpadá. 75

FYKOS 1997–2007 Nyní podobně odvodíme, jak působení síly F ovlivní kostku s n = 0. Potenciální energie v tomto případě je V0 = −F sin ϕ1 cos ϕ0 − F β sin ϕ0 , kde ϕ1 uvažujeme konstantní. Platí tedy T˙ 0 + V˙ 0 = Iω 0 ω˙ 0 + F ω 0 sin ϕ1 sin ϕ0 = 0

⇒

ω˙ 0 = −

F sin ϕ1 I

(na několika místech jsme v tomto výpočtu dosadili ϕ0 = π/2). V každém okamžiku tedy pro velikosti úhlových zrychlení platí ω˙ 0 /ω˙ 1 = Λ. Stejný vztah bude platit i pro celkové změny úhlových rychlostí. Výsledná úhlová rychlost nulté kostky je ω 0 a první kostky λ0 ω 0 . Pišme tedy „ « ω 1 − λ0 ω 0 1 1 = ⇒ ω1 = + λ0 ω 0 . ω0 Λ Λ Nyní je již výpočet snadný. Pro úbytek kinetické energie platí „ « 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 + 2λ0 − 1 . ∆E = ΛIω 1 − ΛIλ0 ω 0 − Iω 0 = Iω 0 2 2 2 2 Λ Z tohoto vztahu již lze dopočíst ω 0 . Dosazovat za jednotlivé veličiny nemá větší smysl, neboť minimálně Λ budeme stejně muset dopočíst numericky. Zbývá pomocí ω 0 určit rychlost v. V nejjednodušším případě můžeme položit v = ω 0 , lepší je nějakým způsobem zkombinovat ω 0 a ω 1 , buď jako aritmetický průměr, nebo jako na základě složitějšího modelu odvozený vztah 1/ω = (2/ω 0 + 1/ω 1 )/3. První možnost bude dávat nižší rychlost, než je skutečná, druhá zase zejména pro malé α bude poněkud nadsazená. Tím je řešení úlohy hotové. Kdo se prokousal až sem a úloha ho zaujala, jistě si sám pro nějaké parametry rychlost vlny vypočítá. Zejména zajímavá je závislost na α při pevném β. Je ovšem na místě upozornit i na jeden teoretický aspekt. Vztah pro úbytek části kinetické energie jsme odvodili pomocí dvojího aplikování zákona zachování energie! Rozmyšlení, že je to skutečně v pořádku a proč se energie v našem modelu ztratila, nechávám na hloubavém čtenáři.

76

Ročník XV Rozmach internetu na středních školách způsobil, že jsme v 15. ročníku umožnili řešitelům posílat svá řešení elektronicky. Také na podzim vznikla emailová konœ ference pro řešitele [email protected]. Makra pro sazbu letáků v TEXu nově přepsal Honza Houštěk. Na Ústavu teoretické fyziky jsme dostali novou (menší) místnost č. 1106. Patnáctý ročník ve školním roce 2001/2002 začalo řešit 130 studentů, poslední sérii poslalo 33. Tématem seriálu byla relativita, autorem byl Karel Kolář. Na podœ zim 10.–17. 11. 2001 bylo soustředění v Chrasticích v Jeseníkách, na jaře v Jalovci u Číchova ve dnech 27. 4. – 4. 5. 2002, přípravu programu na obě dvě vedla Lenka Zdeborová.

Nejúspěšnější řešitelé jméno Student Pilný

škola MFF UK

Σ 200

Kategorie čtvrtých ročníků 1. Sergej Maroz 2. Eva Skopalová 3. Pavel Kvasnička

G L. Pika, Plzeň G Poprad G Josefa Ressela, Chrudim

108 101 97

Kategorie třetích ročníků 1. Miroslav Hejna 2. Jan Prachař 3. Jaroslav Trnka 4. Tibor Vansa 5. Karel Tůma 6. Lukáš Chvátal 7. Václav Cviček

G F. M. Pelcla, Rychnov n. Kněžnou G F. M. Pelcla, Rychnov n. Kněžnou G Na Pražačce, Praha Matiční G Ostrava Matiční G Ostrava G Brno-Bystrc G Petra Bezruče, Frýdek-Místek

184 142 127 116 110 108 89

Kategorie druhých ročníků 1. Matouš Ringel 2. Alexandr Kazda 3. Boris Gaľovič

G Broumov G Nad Alejí, Praha G L. Svobody, Humenné

141 105 94

Kategorie prvních ročníků 1. Anton Repko

G Sv. Mikuláša, Prešov

62

Organizátoři Jan Prokleška (hlavní organizátor), Pavel Augustinský, Milan Berta, Peter Čenœ dula, Jiří Franta, Vladimír Fuka, Pavol Habuda, Karel Honzl, Jan Houštěk, Miroslav Kladiva, Karel Kolář, Karel Kouřil, Ladislav Michnovič, Ondřej Pejchal, Miroslav Pištěk, Lukáš Schmiedt, Lenka Zdeborová a další.

77

FYKOS 1997–2007

Vybrané úlohy Úloha I . 3 . . . žhavil elektron drát Máme žárovku, která svítí při výkonu 100 W. Chceme vyrobit žárovku pro výkon 60 W a použít stejný materiál vlákna přitom, aby obě žárovky svítily „stejněÿ (měly stejnou spektrální vyzařovací charakteristiku). Jaké rozměry musí mít vlákno v 60W žárovce vzhledem k tomu ve 100W? (řešení str. 79) Úloha II . 2 . . . tyč na prstech Představte si metrovou ideálně homogenní tyč, kterou na krajích ve vodorovné poloze podepřete prsty. Prsty pomalu začnete přibližovat k sobě (směrem ke středu tyče), udržujete je pořád ve stejné výšce. Součinitel klidového tření mezi prsty a tyčí je fk , smykového fs , přičemž fk > fs . Následný děj podrobně popište. (řešení str. 80) Úloha II . E . . . elektrostatické pole Země Změřte velikost elektrostatického pole Země. Návod. Můžete buď přímo měřit potenciálový rozdíl mezi zemí a izolovaným voœ dičem v určité výšce (pozor však, musíte zařídit, aby se potenciál tohoto vodiče stihl vyrovnat s potenciálem vzduchu v příslušné výšce – zkuste např. do vzduchu umístit nádobu s vodou tak, aby voda mohla odkapávat a odnášet tak s sebou přeœ bytečný náboj). Druhý způsob využívá faktu, že Země má svůj povrchový náboj. Umístíme-li do blízkosti povrchu vodivou desku a uzemníme ji, objeví se na ní náboj. Přikryjeme-li tuto desku jinou uzemněnou deskou, objeví se náboj na ní a z původní vymizí, což můžeme galvanometrem změřit. (řešení str. 82) Úloha III . 4 . . . přesnost GPS Tzv. Global Positioning System (GPS) pracuje na jednoduchém principu. Druœ žice pohybující se na 12-ti hodinových drahách vysílají přesně synchronizovaně sigœ nály, které přijímač detekuje. Protože na přijímači nejsou absolutně přesné hodiny, lze měřit jen rozdíly vzdáleností od různých satelitů. Čtyři satelity stačí na dopočtení polohy. Poloha satelitů se změří ze Země stejným způsobem. Zdůvodněte, proč je přesnost GPS v horizontálním směru znatelně vyšší než ve vertikálním směru. (řešení str. 84) Úloha IV . 4 . . . inteligentní zavlažování Zahrádkář chce udělat zavlažovací zařízení na svůj záhonek, a to následujícím způsobem. Vedle řady rostlinek bude hadice s otvory, kterou položí tak, že u každé rostlinky bude dírka. Poraďte zahrádkáři, jak velké mají být dírky, aby ke každé rostlince teklo stejné množství vody. (řešení str. 85) Úloha V . P . . . samolet Představte si drátěnou konstrukci ve tvaru hranice válcové plochy rozříznuté napůl rovinou, v níž leží osa rotační symetrie válce (viz obr. 27). Na tuto konstrukci napneme mýdlovou bublinu, která zaujme tvar půlválce. Tato bublina se má tendenci smrsknout, tedy působí na půlkružnice opačnými silami, které se vyruší, a na příčky 78

Ročník XV silami směrem nahoru, tedy konstrukce v principu může vzlétnout. Vypočtěte, jakou rychlostí vzlétne. Nebo myslíte, že se tak stát nemůže? V tom případě vysvětlete proč. (řešení str. 86)

Obr. 27. Tvar drátu Další zajímavé úlohy V první sérii (I.4) řešitelé zjišťovali odchýlení paprsku po průchodu trojhranným hranolem. Ve druhé sérii byla náročnější, ale o to zajímavější úloha II.P. Mělo se přijít na to, zda je výhodnější, aby v chladiči ze dvou souosých trubek tekla chladicí a chlazená voda souběžně, či protiběžně. V úloze III.1 se přetahoval obr a trpasœ lík o lano omotané kolem stromu. Jaký tvar bude mít rampouch na kolotoči, nás zajímalo v úloze III.3. V jedné ze zajímavých experimentálních úloh (III.E) měli řešitelé za úkol změřit odrazivost alobalu. V úloze V.3 padal žebřík opřený o stěnu a v úloze V.4 kmital nafouknutý balónek. V poslední sérii tohoto ročníku bylo někoœ lik pěkných úloh. V první úloze (VI.1) bylo za úkol odhadnout, jak velkou vertikální silou je nadlehčováno Lamborghini Murcielago, jede-li rychlostí 320 km·h−1 . Ve třetí úloze (VI.3) se určovalo stáří Země na základě poměru počtu atomů produktů rozœ padu uranu v uranové rudě. A v problémové úloze (VI.P) se hledala optická soustava kompenzující chromatickou vadu.

79

FYKOS 1997–2007

Úloha I . 3 . . . žhavil elektron drát Máme žárovku, která svítí při výkonu 100 W . Chceme vyrobit žárovku pro výkon 60 W a použít stejný materiál vlákna přitom, aby obě žárovky svítily „stejněÿ (měly stejnou spektrální vyzařovací charakteristiku). Jaké rozměry musí mít vlákno v 60W žárovce vzhledem k tomu ve 100W ? Nejdříve ke značení. Všechny veličiny, které se budou vztahovat k 100W žárovce, budeme značit indexem 1 a všechny k 60W žárovce indexem 2. Aby se nezměnila vyzařovací charakteristika žárovky, je nutné, aby teploty vláken v obou žárovkách byly stejné (T1 = T2 ). Rozměry vlákna žárovky budeme charakterizovat poloměœ rem r a délkou l. Vyzařovací výkon vlákna žárovky lze popsat vztahem P = S · f (T ), kde f je pro obě vlákna stejná funkce teploty. Pro poměr vyzářených výkonů dostáváme 2πr1 l1 f (T1 ) P1 r1 l1 = = . P2 2πr2 l2 f (T2 ) r2 l2

(9)

Odpor vlákna žárovky můžeme vyjádřit jako R=

%(T )l , πr2

kde %(T ) je měrná vodivost, která obecně závisí na teplotě, ale protože T1 = T2 , bude v obou žárovkách stejná. Výkon elektrického proudu vyjádříme jako P = U 2/R. Opět porovnáme poměry výkonů, U 2 πr12 P1 r12 l2 %l1 = 2 2 = 2 . P2 r2 l1 U πr2 %l2

(10)

Nyní z rovnic (9) a (10) dostaneme r2 = r1

„

P2 P1

«2/3 ,

l2 = l1

„

P2 P1

«1/3 .

Žárovky o výkonu 60 W musí mít oproti žárovce o výkonu 100 W vlákno zhruba 0,84krát kratší a 0,71krát tenčí.

80

Ročník XV

Úloha II . 2 . . . tyč na prstech Představte si metrovou ideálně homogenní tyč, kterou na krajích ve vodorovné poœ loze podepřete prsty. Prsty pomalu začnete přibližovat k sobě (směrem ke středu tyče), udržujete je pořád ve stejné výšce. Koeficient klidového tření mezi prsty a tyčí je fk , smykového fs , přičemž fk > fs . Následný děj podrobně popište. Jak jste při experimentování mohli zjistit, dochází ke střídání vzájemného poœ hybu jednoho prstu a tyče, přičemž druhý prst zůstává vůči tyči v klidu. Oba prsty se setkají v těžišti tyče. Zanedbáme-li (při dostatečně malé vzájemné rychlosti prstů a tyče) hybnost tyče, můžeme považovat změny pohybu tyče za okamžité a předpoœ kládat tak platnost podmínek statické rovnováhy. V počátečním okamžiku je každý z obou prstů na opačném konci tyče. Vzᜠjemnému pohybu prstů a tyče brání klidová třecí síla Tk . Vlivem různých faktorů (nesouměrnost prstů, náhoda – neboť oba prsty k sobě nezačneme přibližovat ve stejný časový okamžik) překoná jeden prst sílu klidového tření dříve a tyč se vůči tomuto prstu začne pohybovat. Proti pohybu nyní působí smyková třecí síla Ts , přiœ čemž zřejmě platí Ts < Tk , takže druhý prst se zatím vůči tyči nepohybuje, neboť musí překonat větší třecí sílu. S pohybem tyče se mění rozložení tlakových sil, kterými oba prsty působí na tyč. První prst se přibližuje k těžišti, a proto tlaková síla tyče na první prst roste na úkor tlakové síly tyče na druhý prst. Úměrně změnám tlakových sil se také mění třecí síly mezi tyčí a prsty a v určitém okamžiku dosáhne Ts u prvního prstu velikosti Tk u druhého prstu. V tomto okamžiku se začne tyč pohybovat vzhledem ke druhému prstu, a protože třecí síla působící mezi druhým prstem a tyčí bude menší než u prvního prstu (vzdálenost druhého prstu od těžiště tyče bude větší), pohyb tyče se vůči prvnímu prstu zastaví. Popsaný děj se opakuje a my pozorujeme střídavý pohyb tyče vůči prvnímu a druhému prstu. Označme vzdálenosti prstů od těžiště tyče a1 a a2 . Prsty působí na tyč tlakovými silami F1 a F2 . Třecí síly působící na tyč označme T1 a T2 . Z podmínek silové a momentové rovnováhy dostaneme F1 + F2 = mg , F1 a1 = F2 a2 , kde mg je velikost tíhové síly tyče. Z rovnic vyplývá F1 = mg

a2 , a1 + a2

F2 = mg

a1 . a1 + a2

Na počátku je druhý prst ve vzdálenosti a2 = l/2 od těžiště tyče (délku tyče označíme l), vůči které je v klidu, zatímco první prst se pohybuje. V okamžiku obratu a11 , kdy se první prst zastaví, platí pro velikost třecích sil Ts1 = Tk2 a tedy mg

⇒

fs F1 = fk F2 ,

a1 a2 fs = mg fk . a1 + a2 a1 + a2 81

FYKOS 1997–2007 Z toho plyne, že pro první bod obratu platí a11 =

l fs . 2 fk

Nyní se pohybuje druhý prst, zatímco první je v klidu v bodě a1 = a11 . Obdobně jako první bod obratu určíme i druhý bod obratu a21

l = 2

„

fs fk

«2 ,

a tedy obecně pro n-té body obratu platí a1n

l = 2

„

fs fk

«2n−1 ,

a2n

l = 2

„

fs fk

«2n .

Úloha II . E . . . elektrostatické pole Země Změřte velikost elektrostatického pole Země. Návod. Můžete buď přímo měřit potenciálový rozdíl mezi zemí a izolovaným voœ dičem v určité výšce (pozor však, musíte zařídit, aby se potenciál tohoto vodiče stihl vyrovnat s potenciálem vzduchu v příslušné výšce – zkuste např. do vzduchu umístit nádobu s vodou tak, aby voda mohla odkapávat a odnášet tak s sebou přeœ bytečný náboj). Druhý způsob využívá faktu, že Země má svůj povrchový náboj. Umístíme-li do blízkosti povrchu vodivou desku a uzemníme ji, objeví se na ní náboj. Přikryjeme-li tuto desku jinou uzemněnou deskou, objeví se náboj na ní a z původní vymizí, což můžeme galvanometrem změřit. Teorie Jak změřit elektrostatické pole Země, když se jeho hodnota mění v blízkosti vodivých předmětů (tedy i nás lidí, domů, stromů atd.)? V zadání jsme vám stejně jako Richard P. Feynman ve svých Přednáškách navrhli dva způsoby. První z nich byl založený přímočaře na změření potenciálu mezi dvěma místy v různých výškách. To je ovšem natolik technicky náročné, že se ani nikomu z řešitelů ani nám nepodařilo touto metodou nic naměřit. Uvědomme si, že předmět zavěšoœ vaný do výšky h musí být dost veliký, aby se na něm indukoval náboj dostatečný na to, aby se nevybil při prvním dotyku svorek voltmetru. Pak také musí být daœ leko od vysokých vodivých objektů, jako jsou stromy a domy (nemůžeme zavěšovat z okna nebo z větve stromu), neboť v blízkosti takových objektů se elektrostatické pole deformuje a pod větví stromu či pod oknem je typicky mnohem menší než na volném prostranství. Dalším problémem je, za co předmět zavěsit, aby byl dokonale izolován. Provaz či dřevo zvlhnou od vzduchu. Ideální by bylo někde na poli postaœ vit konstrukci ze skla či porcelánu a tam provést měření. Nebo vyrobit balón, který vyletí do určité výšky, tam nějakou dobu zůstane a pak zase sletí dolů. Na to jsme však neměli prostředky. 82

Ročník XV Druhý způsob byl na realizaci mnohem přijatelnější. Pokud existuje elektrické pole Země, musí být na povrchu Země náboj. Citujme z Feynmana: „Umístíme-li do blízkosti zemského povrchu rovnou kovovou desku a uzemníme ji, objeví se na ní záporné náboje. Přikryjeme-li tuto desku jinou uzemněnou vodivou deskou, objeví se náboje na ní a z původní desky vymizí. Když odměříme náboj, jenž prochází z první desky k zemi při jejím zakrývání, můžeme zjistit povrchovou hustotu náboje, která na něm byla, a tím i elektrické pole.ÿ Zde zůstává problémem, jak změřit onen prošlý náboj. Vhodný galvanometr nemáme. Procházející proud je mnohem menší, než je citlivost běžného ampérmetru. Zbývá měřit napětí u(t) na odporu voltmetru R, pak pro prošlý náboj platí ∆t

Z Q=

∆t

Z i(t) dt =

0

0

u(t) dt . R

Čas, po který se na milivoltmetru nějaká výchylka drží, je velmi krátký. Proto nejsme schopni měřit závislost u(t). Integrál, a tedy i hodnotu náboje budeme tedy aproxiœ movat vztahem ∆U ∆t Q= , R kde ∆U je střední výchylka voltmetru, která se na přístroji drží po dobu ∆t. Uvěœ domme si, že touto aproximací vnášíme do měření obrovskou chybu (možná i více než 100 %); lépe to ovšem v našich podmínkách neumíme. Elektrické pole nad povrchem koule o plošné hustotě náboje σ je E = σ/ε0 , kde ε0 je permitivita vakua (vzduchu). Je-li tedy plocha měřené desky S, dostáváme pro intenzitu elektrického pole nad povrchem Země vztah E=

∆U ∆t . ε0 SR

(11)

Postup měření a výsledky K měření jsme použili dva plechové pláty o rozměrech 30 × 70 cm, uprostřed zaœ hrady jsme do země zarazili zemnící drát, k němu uzemnili první plech přes digitální multimetr a druhý přímo. Na zem jsme položili skleněnou desku (šířky asi 3 mm), aby náboj z prvního plechu nemohl utíkat jinudy než přes voltmetr. Na sklo jsme položili první plechový plát, na něj druhou skleněnou desku (opět kvůli izolaci). Souœ stavu jsme přikrývali a odkrývali druhým plechem a přitom pozorovali následující: Při nasouvání plechu se údaj na voltmetru (skoro nula) zvětšil o 1–2 mV, zůstal na voltmetru dobu srovnatelnou s dobou nasouvání plechu, tj. asi 1 s. Při odsouvání plechu jsme pozorovali totéž, jen údaj na displeji se o danou hodnotu zmenšil. Na spodním plechu byla připojena záporná svorka voltmetru. Při nasouvání tedy z desky odcházely záporné náboje, což odpovídá teorii. Dosaďme do vztahu (11) hodnoty ∆U = 1,5 mV, ∆t = 1 s, R = 10 MΩ podle manuálu k multimetru, S = 0,21 m2 . Dostaneme hodnotu elektrického pole Země E = 80 V·m−1 . Závěr Naměřenou hodnotu intenzity pole považujeme vzhledem k výše uvedené aproœ ximaci integrálu za velmi přibližnou, chybu odhadněme asi na 100 %. Ostatní chyby 83

FYKOS 1997–2007 jsou vůči této zanedbatelné. V literatuře se uvádí, že za klidného počasí je intenzita elektrického pole nad povrchem Země kolem 120 V·m−1 , což se s naším výsledkem v rámci možné chyby měření velmi dobře shoduje.

Úloha III . 4 . . . přesnost GPS Tzv. Global Positioning System (GPS) pracuje na jednoduchém principu. Družice pohybující se na 12-ti hodinových drahách vysílají přesně synchronizovaně signály, které přijímač detekuje. Protože na přijímači nejsou absolutně přesné hodiny, lze měřit jen rozdíly vzdáleností od různých satelitů. Čtyři satelity stačí na dopočtení polohy. Poloha satelitů se změří ze Země stejným způsobem. Zdůvodněte, proč je přesnost GPS v horizontálním směru znatelně vyšší než ve vertikálním směru. Udělejme si jasno, jak systém GPS funguje. Dvanáctihodinové době oběhu družic GPS odpovídá vzdálenost přibližně 4RZ od středu Země. Družice vysílají synchroœ nizované signály s kódovanou pozicí a časem emitace. Tento čas odčítávají ze svých atomových hodin na palubě, jejichž nepřesnost se pohybuje kolem 3 ns. Přijímač zaznamená signál od satelitu a na svých hodinách odečte čas příjmu, který je vzhledem k menší přesnosti jeho hodin zatížen větší chybou než čas měřený satelity. Lidé našli způsob, jak obejít nedosažitelnost přesnosti srovnatelné s atoœ movými hodinami na běžném přijímači. Stačí měřit rozdíly časů, čímž se eliminuje systematická chyba hodin přijímače a přesnost stoupne na úroveň atomových hodin. Z těchto rozdílů určí přijímač svou pozici, jen když má k dispozici 4 satelity (kdyby měl jen dva, věděl by, že je někde na ploše rotačního hyperboloidu, v případě tří by mu ještě zbývaly nějaké blíže neurčené křivky). Teď se podívejme na to, jak závisí přijímačem měřený rozdíl vzdáleností od dvou satelitů, např. S1 a S2 , na posunu přijímače v horizontálním, resp. vertikálním směru. Zajímá nás poměr vertikální a horizontální změny rozdílu jejich vzdáleností. Pro bod na zemském povrchu je vzdálenost k satelitu minimální v nadhlavníku – 3RZ a maximální pro satelit nad horizontem – 3,9RZ . Vyšetřeme vertikální posun o δ, řádově menší, než je vzdálenost od satelitů. Dráhy signálů pro původní polohu přijíœ mače P i novou polohu P0 jsou pak téměř rovnoběžné (obr. 28). Vzdálenost přijímače od S2 se zmenší o δ sin α2 , od S1 poœ dobně o δ sin α1 . Rozdíl vzdáleností se tedy změní o S1 S2 P0 ∆xv = −δ sin α2 + δ sin α1 . δ α2 α1 Analogickou úvahou pro horizontální P změnu o δ zjistíme změnu rozdílu Obr. 28. Geometrie posunu ∆xh = δ cos α2 + δ cos α1 . Užitím vztahu pro rozdíl sinů a součet kosinů dvou úhlů dostaneme pro jejich poœ měr p vztah “α − α ” ∆xv 1 2 p= = tg . ∆xh 2 84

Ročník XV Vertikální přesnost je menší než horizontální, je-li −1 < p < 1, tedy −π/2 < < α1 − α2 < π/2. To ale platí pro všechny možné α1 , α2 , které jsou z intervalu (0, π/2). Hrubým odhadem je hodnota p někde ve středu, což znamená, že GPS je průměrně dvakrát přesnější horizontálně než vertikálně. Ještě by bylo zajímavé vypočítat, o kolik se průměrně liší jednotlivé přesnosti, určit střední hodnotu absolutní hodnoty poměru p. Pomůže nám poměrně jednoœ duchá úvaha. Měli bychom udělat průměr přes všechny dvojice úhlů α1 , α2 . Pro tyto dvojice jsou ale opačné α = (α1 − α2 )/2 stejně početné. Tedy střední hodnotu poměru p počítáme jako Z π/4

hpi =

tg α dα . 0

Substitucí t = cos α okamžitě dostaneme primitivní funkci (− ln cos α). Po dosazení mezí 0 a π/4 vyjde hpi = 4 ln 2/π ≈ 0,44. Můžeme tedy konstatovat, že vertikální přesnost je průměrně přibližně poloviční. Zajímavé je, že do přesnosti GPS mnoho mluví i obecná teorie relativity. Totiž jak hodiny satelitů, tak i přijímače se pohybují a jsou v centrálním gravitačním poli Země. Kdyby se nedělaly výpočty s užitím Schwarzschildovy metriky, která popisuje plynutí času v pohybující se soustavě v centrálním gravitačním poli, nebylo by možné zaměřit nic s přesností lepší než pár kilometrů.

Úloha IV . 4 . . . inteligentní zavlažování Zahrádkář chce udělat zavlažovací zařízení na svůj záhonek, a to následujícím způœ sobem. Vedle řady rostlinek bude hadice s otvory, kterou položí tak, že u každé rostlinky bude dírka. Poraďte zahrádkáři, jak velké mají být dírky, aby ke každé rostlince teklo stejné množství vody. Řešení této úlohy si zjednodušíme několika předpoklady: 1. Vodu považujme za ideální kapalinu bez viskozity, její hustotu označme %. 2. Hadici uvažujme jako vodorovnou, na druhém konci uzavřenou, s konstantním průřezem po celé své délce. 3. Kruhové otvory v hadici nechť jsou umístěny na boku hadice a jejich vzájemná vzdálenost ať je velká ve srovnání s průměrem každého otvoru. 4. Průřez hadice nechť je dost malý na to, abychom mohli zanedbat hydrostatický tlak způsobený sloupcem vody nad otvorem. Po zjednodušení je zřejmé, že musí platit následující rovnost Qk−1 = Q + Qk , kde Q je objemový průtok vody v k-tém otvoru v hadici, Qk−1 je průtok hadicí před a Qk za tímto otvorem. Označíme-li vk−1 (respektive vk ) rychlost vody v hadici před k-tým otvorem (respektive za ním) a S konstantní průřez hadice, můžeme výše uvedený vzorec přepsat na tvar Svk−1 = Q + Svk . 85

FYKOS 1997–2007 Má-li být každá květina zalévána stejným množstvím vody, musí být Q stejné pro všechny otvory. Z toho plyne konst. = Q = Svk−1 − Svk = S(vk−1 − vk ) = Sc , kde rozdíl rychlostí vk−1 a vk je konstantní a označili jsme jej c. Jeho hodnotu určíme z celkového průtoku Qc = Sv0 = Qn = Sc n, odkud plyne c=

v0 . n

Označíme Sk∗ průřez k-tého otvoru a napíšeme pro tento otvor Bernoulliho rovnici 1 % 2

„

Q Sk∗

«2 = p0 +

1 2 %v0 , 2

odtud vyjádříme Sk∗ 1 Q Sv0 p Sk∗ = p = . n v02 + 2p0 /% v02 + 2p0 /% Vidíme, že všechny otvory musí mít stejnou velikost, která je určena pouze průœ řezem S hadice, vstupními parametry vody (její hustotou %, počáteční rychlostí v0 a přetlakem p0 ) a dále počtem otvorů v hadici. Zmenšování rychlosti vody v hadici v místech otvorů (mezi dvěma vedle sebe se nacházejícími otvory zůstává rychlost stejně jako tlak konstantní) je kompenzováno zvyšováním tlaku, což jsme mohli v důsledku platnosti Bernoulliho rovnice předpokládat. Ilustračním příkladem moœ hou být různá otočná zavlažovací zařízení tvořená dvěma řadami trysek, která lze spatřit zejména v létě na travnatých plochách, v parcích, na fotbalových hřištích, popřípadě v Brně na strojírenském veletrhu.

86

Ročník XV

Úloha V . P . . . samolet Představte si drátěnou konstrukci ve tvaru hranice válcové plochy rozříznuté napůl rovinou, v níž leží osa rotační symetrie válce (viz obr. 29). Na tuto konstrukci naœ pneme mýdlovou bublinu, která zaujme tvar půlválce. Tato bublina se má tendenci smrsknout, tedy působí na půlkružnice opačnými silami, které se vyruší, a na příčky silami směrem nahoru, tedy konstrukce v principu může vzlétnout. Vypočtěte, jakou rychlostí vzlétne. Nebo myslíte, že se tak stát nemůže? V tom případě vysvětlete proč.

Obr. 29. Tvar drátu Na první pohled by se zdálo, že na vysvětlení paradoxu se samoletem stačí zákon akce a reakce neboli jemu ekvivalentní zákon zachování hybnosti. Ale uvědomme si, že pomocí těchto principů vysvětlíme jen, proč nezvedneme desku, na které stojíme (spolu s tahovou silou na desku přibude větší tlak nohou), ale nevysvětlíme nesprávœ nost silové bilance na drát. Jaká další síla kromě tíhy a oné v zadání popisované na něj bude působit? Naši situaci je lépe přirovnat ke stlačené pružině, kterou přestaneme náhle stlaœ čovat. Vzápětí bude jasné proč. Mýdlová blána se snaží zaujmout takový tvar, aby měla co nejmenší povrch. Pro naši konstrukci ovšem tímto tvarem není půlválec. Matematicky se to dá ukázat pomocí variačního počtu, názorně si to může každý ověřit tak, že si danou konstrukci vyrobí. Ve stabilní poloze bude blána napnutá tak, že se prohne směrem k ose válce, čímž vertikální složka síly působící na půlkružnice nebude nulová, nýbrž přesně vyruší sílu působící na rovné části konstrukce. Pokud tedy na začátku napneme blánu do tvaru půlválce, může celá konstrukce při návratu do stabilní polohy maximálně poskočit stejně jako ona stlačená pružina. Pokud již je blána od začátku ve stabilní poloze, je chyba úvahy v zadání v tom, že blána nezaujímá tvar půlválce.

87

Ročník XVI Začátek školního roku 2002/2003 byl ovlivněn velkou povodní v Praze. FYKOS i hromadná korespondence fakulty se rozesílaly mnohem později než obvykle. V šestœ náctém ročníku začalo řešit 107 studentů, poslední sérii poslalo 28. Tématem seriálu byly matematické metody ve fyzice, autorem byl Pavel Augustinský. Na podzim 2.–9. 11. 2002 bylo soustředění v Horním Bradle u Trhové Kamenice, na jaře ve Stebně u Blatna ve dnech 26. 4. – 3. 5. 2003. Čím dál tím více se na soustředěních podílel celý tým, tudíž nelze vyzvednout nikoho jako hlavního organizátora. Série v TEXu připravoval hlavní organizátor Honza Houštěk.

Nejúspěšnější řešitelé jméno Student Pilný

škola MFF UK

Σ 194

G Na Pražačce, Praha G Brno-Bystrc G F. M. Pelcla, Rychnov n. Kněžnou

164 118 81

G Broumov SPŠ Chrudim G Nad Alejí, Praha G J. K. Tyla, Hradec Králové

181 134 129 69

G Sv. Mikuláša, Prešov G Pelhřimov G Svidník

104 64 57

Kategorie 4. ročníků 1. Jaroslav Trnka 2. Lukáš Chvátal 3. Jan Prachař Kategorie 3. ročníků 1. 2. 3. 4.

Matouš Ringel Jana Matějová Alexandr Kazda Jan Moláček

Kategorie 2. ročníků 1. Anton Repko 2. Petr Houštěk 3. Peter Greškovič Kategorie 1. ročníků 1. Tereza Klimošová 2. Jan Valášek

G Lanškroun G Broumov

51 41

Organizátoři Jan Houštěk (hlavní organizátor), Pavel Augustinský, Jiří Franta, Pavol Habuda, Karel Honzl, Miroslav Kladiva, Michael Komm, Ladislav Michnovič, Ondřej Pejchal, Lukáš Schmiedt, Miroslav Šulc, Lenka Zdeborová a další. 88

Ročník XVI

Vybrané úlohy Úloha II . 3 . . . zase jde vo prachy Mějme dvě prášková dielektrika o permitivitách ε1 a ε2 . Smísíme je tak, že poměr jejich hmotností bude m1 : m2 , poměr jejich objemů bude V1 : V2 a poměr jejich látkových množství bude n1 : n2 . Jaká bude výsledná permitivita této směsi? (řešení str. 90) Úloha III . 1 . . . vítr na dálnici V autoškole každého upozorňují na nebezpečí bočního větru při vjezdu ze závětří na otevřené prostranství. Zejména nebezpečné je to prý na dálnici při velké rychlosti. Uvažujte konstantní rychlost bočního větru a vypočtěte, jak se mění síla působící z boku v závislosti na rychlosti auta. Tvar auta předpokládejte takový, abyste úlohu dokázali vyřešit. Diskutujte vliv větru na následný pohyb vozidla. (řešení str. 91) Úloha III . 4 . . . rychlá smrt v Apollu V modulu Apollo letí astronauti na Měsíc, skrz okno jim proletí meteoroid a udělá v něm dírku o poloměru r = 1 mm. Jak se bude měnit teplota a tlak v kabině o objemu V = 60 m3 , pokud původní podmínky jsou t = 20 ◦C a normální tlak. Jako bonus se pokuste odhadnout, za jak dlouho začnou mít astronauti vážné problémy. (řešení str. 92) Úloha IV . 4 . . . ekvipotenciály Zjistěte poměr velikostí nábojů dvou částic. Ekvipotenciály jejich elektrického pole vidíte na obrázku 30 na straně 96. Zkuste také odhadnout přesnost vaší metody. (řešení str. 95) Úloha IV . E . . . od medvídka Pú Výzkumný ústav medvídka Pú při AV ČR vypsal grant ve výši osmi (výjimečně více) bodů na změření závislosti viskozity medu na teplotě. Nezapomeňte uvést druh medu, který používáte. (řešení str. 98) Úloha V . P . . . pramínek vody Jaký je geometrický tvar (průřez) kapaliny vytékající z kohoutku v závislosti na vzdálenosti od hrdla? Pokuste se také odhadnout, v jaké vzdálenosti se proud vody začne trhat. (řešení str. 101) Další zajímavé úlohy Mezi zajímavými úlohami zmíníme pohádkovou úlohu II.1, ve které se mělo odhadnout, jak daleko se nachází nechvalně proslulé obydlí ještě nechvalněji proslulé okultistky a gurmánky Jagy Babové od Jeníčka vylezlého na stromě a hledícího do dáli. Povodňově tematicky byla zařazena úloha (II.4) o tom, jak závisí výška hladiny na průtoku řekou. V originální experimentální úloze II.E se měřila difúze v kapalině. Zajímavá a poučná úloha III.P se týkala velikosti elementárních částic. „Může se mezihvězdným prostorem šířit zvuk?ÿ ptala se úloha IV.1. O galaktickém paradoxu, že hvězdy vzdálenější od středu galaxie obíhají rychleji, byla úloha IV.2. V úloze V.E se ověřovala historka, že horká voda zmrzne v mrazáku dříve než studená. Naopak 89

FYKOS 1997–2007 v úloze VI.3 se vyvracela legenda, že tabulky oken ve starých kostelech jsou u dolní strany tlustší kvůli tečení skla.

Úloha II . 3 . . . zase jde vo prachy Mějme dvě prášková dielektrika o permitivitách ε1 a ε2 . Smísíme je tak, že poměr jejich hmotností bude m1 : m2 , poměr jejich objemů bude V1 : V2 a poměr jejich látkových množství bude n1 : n2 . Jaká bude výsledná permitivita této směsi? Nejdříve se zamyslíme nad tím, co vlastně chceme vypočítat. Víme, že permiœ tivita je konstanta úměrnosti mezi elektrickou indukcí D a intenzitou elektrického pole E . To v sobě vlastně skrývá, že odezva látky na vnější pole (elektrická indukce) je úměrná intenzitě tohoto pole. Proto když smícháme dvě látky, které mají lineární odezvy, očekáváme, že jejich odezva ve směsi bude také lineární. A tento koeficient úměrnosti určuje výslednou permitivitu. Na to, abychom s permitivitou mohli jednoduše pracovat, si představíme deskový kondenzátor. Pro něj platí εS C= . d Nyní bychom chtěli vypočítat kapacitu kondenzátoru, ve kterém je směs dvou látek s různou permitivitou. Tato úloha se bohužel nedá řešit jednoznačně, pokud neznáme přesné prostorové rozložení jednotlivých složek. Kdybychom chtěli počítat přímo pro rovnoměrně rozloženou látku, museli bychom definovat, co přesně tím rovnoměrným rozložením myslíme. Podrobněji to rozebereme níže. Nyní se pokusíme odhadnout hodnoty alespoň pro krajní případy. Pásy látek se střídají rovnoběžně z deskou kondenzátoru V tomto případě si můžeme představit, že máme n za sebou sériově zapojených kondenzátorů n n X X 1 di 1 = = , C C Sε i i i=1 i=1 kde di je šířka i-tého pásu a εi je buď ε1 , nebo ε2 podle toho, z jaké látky je daný pruh. Při daných objemech jednotlivých složek víme, že součet délek di pruhů ze stejných materiálů je V1 /S, resp. V2 /S. Po dosazení dostáváme „ C=

V1 V2 + V ε1 V ε2

«−1

S , d

kde V je celkový objem. Takže pro celkovou permitivitu dostáváme „ εk =

f1 f2 + ε1 ε2

«−1 ,

kde f1 , resp. f2 jsme označili objemový podíl dané látky.

90

Ročník XVI Pásy látek se střídají příčně na desku kondenzátoru V tomto případě uvažujeme stejný postup jako předtím – s tím rozdílem, že teď se kondenzátory chovají jako paralelně zapojené. A také platí, že součet ploch pruhů ze stejných látek je V1,2 /d. Výsledek, který potom dostaneme, je ε⊥ = f1 ε1 + f2 ε2 .

Vidíme, že výsledné permitivity nevyšly v obou případech stejně. Možná by se na první pohled zdálo, že problém je v rozložení látky, které jsme uvažovali. Skutečnost ukazuje, že řešení tohoto problému bohužel není zdaleka tak jednoduché, jak by se na první pohled zdálo. Zde se vám pokusíme složitost tohoto problému nastínit. Například pro kuličky látky 2 rovnoměrně rozložené v objemu látky 1 se dá dostat výsledek εMG1 − ε2 ε1 − ε2 = f1 , εMG1 + 2ε2 ε1 + 2ε2 kde εMG1 je výsledná permitivita pojmenovaná po objevitelích tohoto vztahu Maxœ wellovi a Garnettovi a 1 značí, která látka je chápána jako dominantní. Jak viœ díme, toto není obecné řešení, protože když vyměníme látky, výsledek se změní. Pokud bychom navíc neměli kuličky, ale nějakou úplně jinou strukturu směsy, doœ stali bychom jiný výsledek. Avšak až tak beznadějné to není. Výsledek vlastně závisí na tom, jak moc se změní elektrická intenzita. Pro intenzitu všude stejnou (což je druhý případ, proœ tože permitivita ve směru pole je pořád stejná a nevznikají rozhraní, na kterých by se hromadil náboj) máme výsledek ε⊥ . A pro často se měnící intenzitu (to je první případ, protože vznikají rozhraní s různou permitivitou, a tím i polarizací, a na rozhraních se hromadí náboj) je výsledek εk . V každém jiném případě se čáry intenœ zity ohýbají a část se jich rozhraním vyhne. Takže skutečná výsledná permitivita je mezi ε⊥ a εk , což je pro blízké permitivity přibližně stejné. Chytré knížky říkají, že v izotropním případě bude výsledek mezi εMG1 a εMG2 . Na závěr bychom ještě zdůraznili fakt, že výsledná permitivita bude záviset na objemových podílech (jak nám vyšlo) a ne na podílu látkových množství či hmotností daných složek. Plyne to mimo jiné i z toho, že pro energii elektrického pole platí W = 21 E · DV . Jak vidno, ne všechny úlohy mají ve fyzice jednoduchá a přímočará řešení. Snad vás tento fakt příliš nerozladil a těší vás, že jste přičichli k ještě živému problému fyziky.

91

FYKOS 1997–2007

Úloha III . 1 . . . vítr na dálnici V autoškole každého upozorňují na nebezpečí bočního větru při vjezdu ze závětří na otevřené prostranství. Zejména nebezpečné je to prý na dálnici při velké rychlosti. Uvažujte konstantní rychlost bočního větru a vypočtěte, jak se mění síla působící z boku v závislosti na rychlosti auta. Tvar auta předpokládejte takový, abyste úlohu dokázali vyřešit. Diskutujte vliv větru na následný pohyb vozidla. Odporová síla při pohybu auta vzduchem se řídí Newtonovým vztahem Fodp = = CS%v 2 /2, kde C je bezrozměrná konstanta daná tvarem, S je plocha auta promítœ nutá do roviny kolmé na směr pohybu, v je rychlost pohybu a % je hustota vzduchu. Jede-li auto rychlostí v a fouká boční vítr rychlostí u, bude vzájemná rychlost 2 vzduchu a auta mít velikost vrel , pro kterou platí vrel = v 2 + u2 . Síla, kterou pomocí této rychlosti z Newtonova vzorce získáme, má velikost Fodp = CS%(v 2 + u2 )/2. Se směrem pohybu auta ovšem svírá úhel, pro který platí tg ϕ = u/v. Pro složku síly Fodp kolmou na směr pohybu auta pak dostáváme √ Fb = Fodp sin ϕ = 21 CS%u v 2 + u2 .

(12)

Diskutujme nyní, jak se Fb mění s rychlostí v. Už samotný fakt, že ve vztahu (12) vystupuje závislost na v, stojí za povšimnutí. Je to umožněno nelineární (zde konœ krétně kvadratickou) závislostí odporové síly na rychlosti. Dále se ovšem mění směr ϕ a s ním i S (z boku má auto větší průřez) a C (tvar auta je relativně dobře aeroœ dynamický při pohybu dopředu, což zřejmě neplatí pro pohyb do strany). Nicméně uvážíme-li, že rychlost větru bude někde v intervalu 10–40 km·h−1 a rychlost auta 100–200 km·h−1 , nebudou změny směru příliš výrazné a můžeme C a S považovat za konstantní. Pokud navíc uvážíme u  v (což zejména v druhé mocnině bude celkem dobře splněno), zredukuje se závislost boční síly na rychlosti na vztah Fb = Fodp sin ϕ = 21 CS%uv ∼ v . Lze tedy říct, že v jisté aproximaci platí, že velikost boční síly je úměrná rychlosti auta. Otázka je, jak se to projeví na řízení. Začne-li síla náhle působit, zareaguje řidič až za určitý čas. Za tu dobu způsobí boční síla vychýlení automobilu o vzdálenost, která je úměrná její velikosti. Tedy s rostoucí rychlostí auta roste i účinek větru na jeho pohyb. Navíc při vyšší rychlosti je auto hůře ovladatelné, a tedy i stejný účinek je při větší rychlosti pro řidiče horší.

92

Ročník XVI

Úloha III . 4 . . . rychlá smrt v Apollu V modulu Apollo letí astronauti na Měsíc, skrz okno jim proletí meteoroid a udělá v něm dírku o poloměru r = 1 mm. Jak se bude měnit teplota a tlak v kabině o objemu V = 60 m3 , pokud původní podmínky jsou t = 20 ◦C a normální tlak. Jako bonus se pokuste odhadnout, za jak dlouho začnou mít astronauti vážné problémy. Na řešení této úlohy se dá vysvětlit hned několik důležitých poznatků z moœ lekulové fyziky a termodynamiky. Proto se nelekejte, že je poněkud delší, než je obvyklé. Jako v téměř každé fyzikální úloze i zde se nejprve zabývejme zjednodušujícími předpoklady, bez kterých bychom úlohu neuměli vyřešit. Předně budeme plyn v moœ dulu považovat za ideální. Dále předpokládejme, že všechny děje jsou rovnovážné, tj. v každém okamžiku můžeme systém popsat zákony, které platí pro plyn v terœ modynamické rovnováze (např. stavovou rovnicí). A konečně vakuum vně modulu považujme za dokonalé. Plyn z modulu uniká proti nulovému tlaku, nekoná tedy žádnou práci. Nedochází ani k tepelným výměnám s okolím, neboť okolím je vakuum. Proto se podle prvního termodynamického zákona nemění ani vnitřní energie plynu jako celku (včetně toho, co unikl). Víme ale, že vnitřní energie ideálního plynu závisí pouze na počtu částic N a termodynamické teplotě T , na obojím lineárně U = 52 N kT , kde 25 je faktor pro dvouatomové molekuly plynu a k je Boltzmannova konstanta. Proto nemění-li se vnitřní energie plynu, nemění se ani jeho teplota. Někdo by však mohl začít šťourat a ptát se, odkud víme, že průměrná enerœ gie připadající jedné uniknuvší molekule je stejná jako energie připadající na jednu molekulu, která zůstane. Je pravda, že toto jsme ještě pořádně nezdůvodnili. Uděœ láme to vzápětí po odvození vztahu pro počet molekul, které uniknou z modulu za element času ∆t. Ze samotných principů statistické fyziky, která popisuje chování mnohačásticoœ vých systémů, plyne vztah pro rozdělení částic v ideálním plynu podle velikosti rychlosti. Platí, že pravděpodobnost, se kterou se vybraná molekula o hmotnosti m ideálního plynu pohybuje rychlostí o velikosti v intervalu (v, v + dv), je „ « 4 “ m ”3/2 2 mv 2 dv . g(v) dv = √ v exp − 2kT π 2kT

(13)

Tomuto vztahu se říká Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení rychlostí. Po chvilce integrování se dá vypočítat, že střední, resp. střední kvadratická rychlost molekuly plynu je r

∞

Z v¯ =

vg(v) dv = 0

8kT , πm

∞

Z resp.

v2

v 2 g(v) dv =

= 0

3kT . m

Počítejme nyní, kolik molekul unikne z modulu za čas ∆t infinitezimálně malým otvorem o ploše ∆S. Následující odstavec je založen na znalosti poněkud pokročilejší 93

FYKOS 1997–2007 matematiky, pokud mu nerozumíte, spokojte se s výsledným vztahem (15), který je pochopitelný intuitivně až na faktor 14 . Vezměme ∆t mnohem menší, než je průměrný čas mezi dvěma srážkami jedné molekuly s jinými. Díky tomu můžeme předpokládat, že v časovém intervalu (0, ∆t) nedochází k žádným srážkám. Zvolme systém sférických souřadnic tak, že osa z vede kolmo na otvor. Od osy z určujeme úhel ϑ a od libovolně zvoleného směru v rovině z = 0 určujeme úhel ϕ. Omezme se zatím jen na molekuly pohybující se rychlostí v intervalu (v, v + dv). Z bodu A o souřadnicích (r, ϑ, ϕ) molekula otvorem unikne, pokud v∆t > r a pokud letí do správného prostorového úhlu. Prostorový úhel, pod kterým je ploška ∆S vidět z bodu A, je ∆Ω =

cos ϑ∆S . r2

Jelikož z okolí bodu A letí do každého směru stejně molekul, letí vybraná molekula do směru ∆Ω s pravděpodobností ∆Ω/4π. Z geometrických úvah si odvoďte, že objem oblasti, jejíž body mají souřadnice v intervalu (r, r + dr), (ϕ, ϕ + dϕ), (ϑ, ϑ + dϑ), je dV = r2 sin ϑ dϑ dϕ dr. Označíme-li ještě %V objemovou hustotu počtu molekul, můžeme napsat, že za čas ∆t unikne ploškou ∆S z modulu dN (v) molekul, jejichž rychlost má velikost mezi (v, v + dv). Z v∆t Z 2π Z π/2 ∆S cos ϑ dN (v) = g(v) dv%V r2 sin ϑ dϑ dϕ dr = 2 4πr 0 0 0 1 (14) = ∆S∆t%V g(v)v dv . 4 Integrovali jsme přes element objemu dV , g(v) je hustota pravděpodobnosti ze vztahu (13). Nezávisle na rychlosti tedy unikne Z ∞ Z ∞ 1 1 ∆N = dN (v) = ∆S∆t%V g(v)v dv = ∆S∆t%V v¯ . 4 4 0 0 Celou plochou S tedy za malý čas ∆t unikne z modulu ∆N = 14 S∆t%V v¯

(15)

molekul. Hustota %V molekul se samozřejmě mění s časem. Střední rychlost molekul v plynu v¯ na čase nezávisí, nezávisí-li na čase teplota plynu. To ukažme v následuœ jícím odstavci. Jak jsme řekli výše, potřebujeme ukázat, že průměrná energie připadající jedné uniknuvší molekule je stejná jako energie připadající na jednu molekulu, která zůstane. Víme, že energie molekuly je úměrná kvadrátu její rychlosti E ∼ v 2 , resp. dE ∼ v dv. Proto podle vztahů (14) a (13) můžeme psát, že počet uniknuvších molekul s energií mezi (E1 , E1 + dE) je dN (E1 ) = c1 E1 e−c2 E1 dE , c1 , c2 jsou nedůležité konstanty. Poměr počtu uniknuvších molekul o energiích E1 a E2 bude dN (E1 ) E1 e−c2 E1 = , dN (E2 ) E2 e−c2 E2 94

Ročník XVI což je přesně poměr počtu molekul o energiích E1 a E2 v plynu, tudíž je i stejné rozložení počtu molekul podle energie, resp. rychlosti. A to je přesně to, co jsme potřebovali dokázat, abychom přesvědčili každého, že pokud je v modulu ideální plyn, jeho teplota se nebude měnit. U reálného plynu nezávisí vnitřní energie pouze na teplotě, tudíž by vše bylo složitější a ukázalo by se, že u reálného plynu by se teplota měnila. Vraťme se k výpočtu závislosti tlaku na čase. Využijeme stavovou rovnici ideálœ ního plynu pV = N kT a vztah (15), tedy dp = −

kT kT 1 S¯ v dN = − S%V v¯ dt = − p dt . V V 4 4V

Kromě času a tlaku jsou v této rovnici samé konstanty, tudíž separací proměnných dostaneme pro tlak a zadané hodnoty S¯ v

p = p0 e− 4V t = p0 e−6,06·10

−6

{t}

.

Pokusme se zodpovědět otázku, kdy začnou mít kosmonauté problémy. Na vyœ sokých horách je asi poloviční atmosférický tlak a i trénovaný člověk většinou poœ třebuje dýchací přístroj. V modulu tlak na polovinu klesne asi za 31 hodin. Tudíž mají kosmonauti spoustu času na ucpání dírky nebo nasazení dýchacích přístrojů. A závěrem několik poučných poznámek k vašim řešením. Někteří z vás neodvoœ zovali vztah (15) tak pečlivě jako my a po vzoru odvození tlaku působícího na stěny nádoby v plynu napsali p 1 ∆N = 6 S∆t%V v 2 . V tomto případě je ale správně námi získaný vztah. Sami se podívejte do středoœ školských učebnic a srovnejte, kde se u odvození tlaku vezme šestina místo čtvrtiny a střední kvadratická rychlost místo střední rychlosti.

95

FYKOS 1997–2007

Úloha IV . 4 . . . ekvipotenciály Zjistěte poměr velikostí nábojů dvou částic. Ekvipotenciály jejich elektrického pole vidíte na obrázku 30. Zkuste také odhadnout přesnost vaší metody.

Obr. 30. Naměřený tvar ekvipotenciál elektrického pole dvou částic Náboj vlevo označme Qa , vpravo Qb . Z obrázku je vidět, že oba náboje musí mít stejné znaménko, jinak by ekvipotenciály byly hustější mezi náboji a ty, které jsou nábojům nejblíže, by byly protaženy nahoru, nikoliv do stran. Potenciál bodového náboje Q ve vzdálenosti r od něj (volíme-li nulovou hladinu v nekonečnu) je ϕ = kQ/r, kde k je konstanta závislá pouze na volbě jednotek. Elektromagnetické pole je aditivní, tudíž potenciál od dvou nábojů je roven součtu potenciálů od každého z nich. V našem případě tedy « „ Qb Qa + , ϕ=k ra rb kde ra,b je samozřejmě vzdálenost levého, resp. pravého náboje od zvoleného bodu. Označíme-li poměr nábojů q = Qa /Qb , pak pro všechny body jedné ekvipotenciály platí q 1 konst. = + . (16) ra rb Při proměřování obrázku se pro jednoduchost omezíme na body na horizontální ose, kterou s dostatečnou přesností získáme např. po přeložení obrázku napůl. Nulu 96

Ročník XVI zvolme kdekoliv na této ose. Označíme-li sa , sb polohy nábojů, r, r0 polohy dvou bodů na jedné ekvipotenciále, např. té vnější, dostaneme ze vztahu (16) pro poměr nábojů q 1 1 − 0 s r − sb b −r q= . (17) 1 1 − 0 sa − r r − sa Zásadním problémem úlohy je, že neznáme polohu nábojů. Můžeme ji jen odœ hadnout jako přibližný střed nejmenších ekvipotenciál. Fyzik se ovšem s takovým odhadem nespokojí. Nejprve přemýšlí nad chytřejší metodou, ke které by středy nᜠbojů nepotřeboval. Napadne ho změřit si rozměr další ekvipotenciály a sestavit tři rovnice pro tři neznámé sa , sb a q. Vždy se však dostane k rovnicím, které neumí vyřešit jinak než numericky. Numerické řešení je lepší než odhad, zde i v mnoha jiných případech je to asi nejšikovnější možnost. My se v řešení ovšem pro ilustraci přikloníme k postupu, jehož schéma se doneœ konečna opakuje zejména v kvantové mechanice či v teorii pevných látek a jemuž se říká poruchový počet. Jeho výhodou od čistě numerického výpočtu je alespoň částečná další použitelnost. (0) (0) Označme sa , sb odhadnuté polohy částic a q (0) poměr nábojů z nich vypočtený (0) podle vztahu (17). Dále hledejme první opravu k polohám nábojů ∆a,b . Přesnější polohy nábojů označme (1) (0) (0) sa,b = sa,b + ∆a,b . (18) (0)

(0)

Předpokládejme, že ∆a,b jsou velmi malé oproti sa,b . Pak můžeme přibližně psát 1 1 ∆ = ∓ 2. s±∆ s s

(19)

Napíšeme nyní rovnici (16) pro dva body r1 , r10 první vnější a dva body r2 , r20 např. páté vnější ekvipotenciály. Zlomky přepíšeme pomocí přibližného vztahu (19), dejte přitom zvláštní pozor na znaménka ! (0) (0) ∆b ∆ 1 1 a (0) + (0) q − (0) − (0) = (0) sa − r1 (sa − r1 )2 sb − r1 (sb − r1 )2 ! (0) (0) ∆b 1 ∆ 1 a + + + , = q (0) (0) (0) (0) (0) r10 − sa (r10 − sa )2 r10 − sb (r10 − sb )2 ! (0) (0) ∆b 1 ∆a 1 (0) q − (0) + (0) − (0) = (0) sa − r2 (sa − r2 )2 sb − r2 (sb − r2 )2 ! (0) (0) ∆b 1 ∆ 1 a (0) =q + + + . (20) (0) (0) (0) (0) r20 − sa (r20 − sa )2 r20 − sb (r20 − sb )2 (0)

(0)

To jsou dvě lineární rovnice pro dvě neznámé ∆a a ∆b , které každý umí vyřešit. Podle vztahu (18) vypočteme přesnější polohy nábojů, podle (17) pak přesnější poœ měr nábojů q (1) a tak dále, až se další výsledky nebudou příliš lišit, pak máme důvod 97

FYKOS 1997–2007 se domnívat, že se blížíme přesnému řešení. Poznamenejme ještě, že o konvergenci této metody by šlo napsat mnoho stránek. Zvolíme-li však počáteční polohy nepříliš daleko od skutečných, konverguje uspokojivě. Následují námi naměřené hodnoty v milimetrech: r1 = 0,0,

r10 = 117,6;

r2 = 23,9,

r20 = 100,7;

s(0) a = 45,0,

sb = 92,5.

(0)

Podle (17) dostaneme q (0) = 3,44 pro r1 , r10 a q (0) = 3,65 pro r2 , r20 , v dalším použijeme průměr q (0) = 3,54. Vyřešením rovnic (20) dostaneme pro opravy na polohu nábojů (0)

∆a = 0,89, (0) ∆b = −0,74, q (1) = 3,47,

(1)

∆a = −0,19, (1) ∆b = +0,18, q (2) = 3,47,

(2)

∆a = +0,0055, (2) ∆b = −0,0051, q (3) = 3,47.

Vzhledem k tomu, že používaný metr měří s přesností asi 0,5 mm, obrázek je hrbatý atd., nechali jsme proběhnout výpočet pro několik nepatrně jiných hodnot r. Z výsledků je možno usoudit, že chyba námi získaného poměru nábojů je asi 4 %. Tedy výsledek q = 3,47 ± 0,13. Graf v zadání byl generován pro hodnotu q = 3,5, tedy shoda je výborná. K nejpřesœ nějšímu výsledku q = 3,49 ± 0,15 se z řešitelů dostal Matouš Ringel , patří mu za to prémiový bod. Podotkněme, že chybu by bylo možno eliminovat změřením bodů na více ekvipotenciálách.

98

Ročník XVI

Úloha IV . E . . . od medvídka Pú Výzkumný ústav medvídka Pú při AV ČR vypsal grant ve výši osmi (výjimečně více) bodů na změření závislosti viskozity medu na teplotě. Nezapomeňte uvést druh medu, který používáte. Metody měření Nejčastějšími postupy byla měření doby pádu tělíska v medu a průtoku medu kapilárou, ale objevily se i originálnější nápady, jako například měření doby, za jakou skápne med ze lžičky nebo za jak dlouho steče po nakloněné rovině. Bohužel v těchto případech se chování medu nedá popsat jednoduchým modelem a získané výsledky se dají použít jen kvalitativně. Vzhledem k velmi rozdílným naměřeným hodnotám jsme se rozhodli použít úplně jinou metodu měření než všichni řešitelé. Jádrem našeho experimentu byl model rotačního viskozimetru, tj. dva souosé rotační válce, mezi kterými je nalitý med. Vnější válec o poloměru r1 (v našem případě obyčejná kádinka) je pevně uchycen a ponořen ve vodní lázni. Na vnitřním válci o poloměru r2 je v horní části natočená nit, která vede na kladku, a na jejím konci visí závažíčko o hmotnosti m. Tuto část aparatury nebyl problém sestavit ze stavebnice LEGO. Pokus potom vypadal následovně. Pustili jsme závažíčko a to roztočilo vnitřní válec. Díky viskozitě medu tak vznikla odporová síla Fm , která pohyb závažíčka brzdila. Zároveň samozřejmě působila i odporová síla Fo aparatury vzniklá třením v ložiscích. Tu jsme odhadli jako úměrnou rychlosti pohybu závažíčka a koeficient úměrnosti k získali tak, že jsme nechali závažíčko padat, když ještě mezi válci nebyl med. Vzhledem k tomu, že Fm s rychlostí roste, dospěje systém po chvíli do rovnoœ vážného stavu mg = Fo + Fm a závaží se bude pohybovat rovnoměrným pohybem. Teorie Pro smykové napětí τ v kapalině o viskozitě η mezi válcovými vrstvami o poloœ měru r navzájem vzdálenými ∆r bude platit vztah τ =

ηr∆ω . ∆r

Moment síly M , který působí na válcové ploše o poloměru r a výškou h lze získat tak, že vynásobíme smykové napětí ramenem síly r a plochou 2πrh 2πηr3 h∆ω M = 2πr hτ = . ∆r 2

Jelikož je proudění medu ustálené, musí být výsledný moment síly, který působí na vrstvu medu o poloměru r, nulový (je v rovnováze se stejně velkým momentem působícím na vrstvu v opačném směru ve vzdálenosti r + ∆r). Uvažovaný moment tedy musí být nezávislý na r, a proto ∆ω A = 3. ∆r r Po zintegrování bude úhlová rychlost ω=−

A +B. 2r2 99

FYKOS 1997–2007 Konstanty A a B získáme z počátečních podmínek ω = ω1

při

r = r2 ,

ω=0

při

r = r1 .

Výsledný vztah pro moment síly potom bude 4πr12 r22 M= 2 ηhω 1 . r2 − r12 Dosadíme-li za ω 1 = L/tr2 , kde L je délka dráhy, po které se závažíčko pohybovalo, a t čas, za který tuto dráhu urazilo (pohyb se dá považovat za rovnoměrný), a za moment síly M = r2 (mg − kL/t), vyjde η=

(mgt − kL)(r12 − r22 ) . 4πhr12 Lt

Je třeba dbát na to, aby ω nepřekročila mez laminárního proudění medu. Tato hranice je obvykle charakterizovaná tzv. Reynoldsovým číslem. Pro naše uspořádání bude % Re = (r1 − r2 ) ωr2 < 1900. η Výsledky měření T [◦C] 12 30 η[Pa·s] 209,5 75,9 σ η [Pa·s] 2,9 2,0 T [◦C] 86 η[Pa·s] 2,49 σ η [Pa·s] 0,10

40 42 45 56 70 30,94 24,13 17,62 16,27 6,80 0,81 0,63 0,46 0,42 0,43

80 4,78 0,18

83 3,63 0,13

87 88 89 90 91 92 94 97 1,557 1,181 0,773 0,575 0,382 0,252 0,237 0,233 0,071 0,048 0,040 0,032 0,029 0,018 0,015 0,015

η [Pa·s]

200 150 100 50 0

0

20

40

60

80

Obr. 31. Naměřená závislost viskozity medu na teplotě

100

100 T [◦C]

Ročník XVI Snadným výpočtem se přesvědčíme, že jsme opravdu mez laminárnosti nepřeœ kročili, a náš fyzikální model je tedy platný. Jak je patrné z grafu, tvar závislosti je klesající, největší pokles pozorujeme při teplotách do 40 ◦C. Teoretické vysvětlení pozorované závislosti se nám nepodařilo nalézt, domníváme se ale, že pokud nějaké existuje, bude značně složité.

Úloha V . P . . . pramínek vody Jaký je geometrický tvar (průřez) kapaliny vytékající z kohoutku v závislosti na vzdálenosti od hrdla? Pokuste se také odhadnout, v jaké vzdálenosti se proud vody začne trhat. Předpokládejme, že tvar potrubí a tlak v něm jsou takové, že voda z kohoutku o kruhovém průřezu vytéká laminárně počáteční rychlostí v0 . Jen v takovém případě bude mít vytékající pramínek kruhový zužující se průřez. Předpokládejme, že rychœ lost v dané výšce je v celém průřezu konstantní. Pak bude platit rovnice kontinuity v nejjednodušším tvaru, tj. průřez krát rychlost v dané výšce bude konstanta. Dále předpokládejme, že voda je dokonalá tekutina a její proudění je nevířivé, což obojí platí dostatečně přesně. Pak můžeme napsat Bernoulliho rovnici, tj. pro vzdálenost h od kohoutku, hustotu vody %, rychlost proudění v, tlak p v daném místě a tíhové zrychlení g 1 %v 2 2

− h%g + p = 21 %v02 + p0 .

Posledním předpokladem nutným pro vyřešení je položení p = p0 , neboli že tlak uvnitř pramínku je všude stejný. Nyní je výpočet průměru proudu ve vzdálenosti h od kohoutku otázkou pouhého dosazení a vyjádření. S0 v0 v= = S

q v02 + 2hg

s ⇒

d = d0

v0 p . 2 v0 − 2hg

Ač na první pohled jsme provedli mnoho přiblížení, ve skutečnosti jsou všechna dobře splněna a tento výsledek souhlasí se skutečností. Naproti tomu druhá část úlohy, tj. odhad vzdálenosti, ve které se pramínek začne trhat, je značně komplikoœ vaný. Vysvětleme tedy pouze kvalitativně, proč se pramínek vůbec trhat začne. Užší pramínek má větší povrchové zakřivení, a tudíž je v něm větší kapilární tlak. Kapalina má tedy tendenci z místa o užším průměru vytékat. Při zužování pramínku v důsledku pádu se to samozřejmě neprojeví, kapalina nepoteče nahoru. Nesmíme ovšem zapomenout na všudypřítomné povrchové fluktuace, které budou pro dostatečně úzký pramínek natolik významné, že zúžení v jejich důsledku se díky kapilárnímu tlaku zvětší, až se pramínek zcela roztrhne. Popsat tento jev kvantitaœ tivně dá ovšem mnoho práce, pokud byste se o něm chtěli něco dozvědět, hledejte v literatuře pojem Rayleighova-Taylorova nestabilita. Závěrem pochvala pro Maœ touše Ringela, který se jako jediný nezalekl a vymyslel, byť velmi zjednodušený, model dávající rozumné výsledky. 101

Ročník XVII V sedmnáctém ročníku ve školním roce 2003/2004 řešilo 122 studentů, poslední sérii jich poslalo 27. Seriál o elektromagnetismu napsali Jaroslav Trnka a Honza Houštěk. Podzimní soustředění se konalo 8.–15. 11. 2003 ve Sloupu v Čechách, jarní soustředění bylo 29. 5. – 5. 6. 2004 v Bartošovicích v Orlických horách. Webmasterem našich stránek se stal Karel Tůma.

Nejúspěšnější řešitelé jméno Student Pilný

škola MFF UK

Σ 200

G Broumov G Prešov

157 92

G Sv. Mikuláša, Prešov G U Balvanu, Jablonec n. N.

150 76

Kategorie 4. ročníků 1. Matouš Ringel 2. Róbert Sedlák Kategorie 3. ročníků 1. Anton Repko 2. Stanislav Vosolsobě Kategorie 2. ročníků 1. Slavomír Takáč 2. Tomáš Bednárik 3.–4. Martin Konečný Aleš Podolník 5. Monika Josieková 6. Tereza Klimošová

G Nové Zámky Masarykovo G, Vsetín G Boskovice G Kapitána Jaroše, Brno G Český Těšín G Lanškroun

90 88 62 62 61 52

G Petra Bezruče, Frýdek-Místek G Jana Nerudy, Praha

86 48

Kategorie 1. ročníků 1. Pavel Motloch 2. Jakub Benda

Organizátoři Jan Houštěk (hlavní organizátor), Pavel Augustinský, Pavel Brom, Karel Honzl, Miroslav Kladiva, Jiří Lipovský, Jan Prachař, Jaroslav Trnka, Karel Tůma, Miroslav Šulc, Lenka Zdeborová a další.

102

Ročník XVII

Vybrané úlohy Úloha I . 4 . . . autíčko závodník Auto zrychlí z klidu na 100 km·h−1 za půl minuty, přičemž ujede kilometr. Určete průběh rychlosti tak, aby se minimalizovala maximální velikost zrychlení, kterého auto během pohybu dosáhne. (řešení str. 103) Úloha I . P . . . led a kyselina Na jeden kilogram ledu o teplotě 0 ◦C nalijeme 900 g 66% kyseliny sírové, taktéž o teplotě 0 ◦C. V jakém stavu se systém ustálí, pokud víte, že skupenské teplo tání ledu je větší než teplo uvolněné při smísení použité kyseliny a jednoho litru vody? (řešení str. 104) Úloha I . E . . . absolutní nula S experimentálním vybavením dostupným v době Lorda Celsia změřte teplotu absolutní nuly (v Celsiově stupnici). Poradíme vám, že pro měření můžete využít například vlastností ideálního plynu. (řešení str. 105) Úloha V . 3 . . . slezští havíři reloaded Slezští havíři z úlohy z minulé série nažhavili opět své krumpáče a prokopali se skrz Zemi, tentokrát ne na Nový Zéland, ale do Tichého oceánu. Do vytvořeného tunelu začne téct voda. Rozhodněte, zda v Petřvaldě v dolu Fučík vystříkne voda do vzduchu. Svou odpověď dostatečně zdůvodněte. (řešení str. 109) Úloha V . P . . . zpomalující Měsíc Přesnými měřeními je dokázáno, že rychlost oběhu Měsíce kolem Země klesá a jeho vzdálenost od Země se zvětšuje. Zamyslete se nad tím, jaká síla to způsobuje. (řešení str. 110) Úloha VI . 3 . . . padající komín Silný vítr dul do stěn komínu. Přitom vychýlil komín ze svislé polohy. Komín začal padat a v určitém místě se rozlomil. Pokuste se určit, kde ke zlomu došlo. (řešení str. 111) Další zajímavé úlohy Nad problémovou úlohou (II.P), jak velká hliníková mince se ještě udrží na hlaœ dině, dumali řešitelé ve druhé sérii. Ve třetí sérii (III.E) si zase řešitelé zaexperimenœ tovali při určování zeměpisné šířky svého bydliště. Ve čtvrté experimentální úloze (IV.E) se roztáčelo na tvrdo uvařené vejce a v úloze V.2 se měla vypočítat rychlost parníku vůči vodě, aby jeho spotřeba uhlí byla minimální. A v poslední sérii jsme se zabývali meotarem (VI.2) a stabilitou planety obklopené mořem (VI.4).

103

FYKOS 1997–2007

Úloha I . 4 . . . autíčko závodník Auto zrychlí z klidu na 100 km·h−1 za půl minuty, přičemž ujede kilometr. Určete průběh rychlosti tak, aby se minimalizovala maximální velikost zrychlení, kterého auto během pohybu dosáhne. Logické by bylo uvažovat pohyb s konstantním zrychlením, protože potom by byla také velikost zrychlení konstantní a zřejmě i nejmenší (to bychom již lehko doœ kázali). Problém je v tom, že takový pohyb nesplňuje okrajové podmínky pro dráhu a rychlost. Lehko se můžeme přesvědčit, že auto ujede méně než 1 km, má-li dosáhœ nout rychlosti 100 km·h−1 za půl minuty. Je tedy jasné, že auto nejdříve zrychlí na nějakou rychlost v1 za čas t1 a poté zpomalí na koncovou rychlost v2 = 100 km·h−1 v čase t2 = 30 s. Přirozené je vzít konstantní zrychlení o velikosti a, kterým bude v prvním úseku zrychlovat a v druhém zpomalovat. Potom je i maximální velikost zrychlení rovna a. Je třeba dokázat, že tento pohyb skutečně odpovídá podmínkám zadání. Nechť existuje pohyb s maximální velikostí zrychlení a0 , která je ostře menší než a. Potom pro rychlost při zrychlování platí v10 ≤ a0 t1 < at1 . Při zpomalování bude analogicky platit v20 ≤ v10 − a0 (t2 − t1 ) < v1 − a(t2 − t1 ). To znamená, že rychlost bude po celou dobu pohybu menší než v případě s konstantním zrychlením a autíčko ujede méně než 1 km. Stejný důkaz by se dal použít pro pohyby, kdy auto chvíli zrychluje a chvíli zpomaluje. Přistupme teď k výpočtu. Uvážíme-li, že v1 = at1 , dostaneme pro pohyb vztahy s = 21 at21 + at1 (t2 − t1 ) − 21 a(t2 − t1 )2 , v2 = at1 − a(t2 − t1 ) = a(2t1 − t2 ) . To je soustava dvou rovnic pro dvě neznámé t1 , a. Řešením je t1 =

2v2 t2 − 2s +

p 4s2 − 4sv2 t2 + 2v22 t22 , 2v2

a=

v2 . 2t1 − t2

Po dosazení zadaných hodnot dostaneme t1 = 19,8 s, a = 2,9 m·s−2 . Auto nejdříve zrychluje se zrychlením a po dobu t1 , poté zpomaluje se zrychlením −a až do času t2 .

104

Ročník XVII

Úloha I . P . . . led a kyselina Na jeden kilogram ledu o teplotě 0 ◦C nalijeme 900 g 66% kyseliny sírové, taktéž o teplotě 0 ◦C. V jakém stavu se systém ustálí, pokud víte, že skupenské teplo tání ledu je větší než teplo uvolněné při smísení použité kyseliny a jednoho litru vody? Úlohu můžeme vyřešit na základě pozorování z běžného života, bez složitých termodynamických úvah. Nejprve si musíme uvědomit, že led je pevná látka jako každá jiná, ačkoliv na něj podvědomě nahlížíme jako na „zmrzlou voduÿ, narozdíl od látek jako například kuchyňská sůl, kterou si asi málokdo z nás představuje jako zmrzlou taveninu NaCl. Všichni víme, že pokud nasypeme do vody sůl (pevnou látku 780 ◦C pod boœ dem tání), rozpustí se. Porovnáme-li měrná skupenská tepla tání 519 J·g−1 (NaCl) a 334 J·g−1 (H2 O), zjistíme, že jsou srovnatelná. Sůl se tedy rozpouští ve vodě, přesœ tože tento proces „spotřebujeÿ velké množství energie. A protože mezi rozpouštěním NaCl v H2 O a H2 O (s) v H2 SO4 není žádný kvalitativní rozdíl (snad jen s výjimkou toho, že H2 O a H2 SO4 se mísí v libovolném poměru), a dokonce i všechny „mateœ riálové konstantyÿ jsou řádově stejné, můžeme usoudit, že tyto systémy se budou chovat stejně. Z těchto úvah vyplývá, že se všechen led rozpustí a systém se ustálí při teplotě nižší než 0 ◦C. Fundamentální příčinou tohoto chování je to, že libovolný systém s danou energií (což směs vody a kyseliny je, protože ji můžeme považovat za tepelně izolovanou) se ustálí ve stavu s nejvyšší možnou entropií. Entropie se rozpuštěním ledu a smícháním s kyselinou rapidně zvýší (zvětší se neuspořádanost, resp. počet možných realizací stavu). Snížením teploty se sice entropie naopak o něco sníží (menší tepelný pohyb molekul znamená menší neuspořádanost), ale ve výsledku bude stav, kdy je led rozpuštěn a směs chladnější, entropicky výhodnější. Pokud vám přijde divné, že při rozpouštění soli ve vodě nepozorujeme žádné podchlazení, je to tím, že rozpustnost kuchyňské soli ve vodě je poměrně malá. Pokud však do vody nasypeme například NH4 NO3 , CaCl2 · 6H2 O či jinou ve vodě dobře rozpustnou sůl, podchlazení pozorovat budeme, a to velmi výrazné (tento pokus si můžete sami vyzkoušet). Dodejme ještě, že popsaného jevu se využívá například pro chlazení na nízké teploty za laboratorních podmínek (se zadanou směsí lze dosáhnout teplot až několika desítek stupňů pod nulou) či pro úpravu pozemních komunikací (známé solení zasněžených silnic).

105

FYKOS 1997–2007

Úloha I . E . . . absolutní nula S experimentálním vybavením dostupným v době Lorda Celsia změřte teplotu abœ solutní nuly (v Celsiově stupnici). Poradíme vám, že pro měření můžete využít naœ příklad vlastností ideálního plynu. Ke změření absolutní nuly využijeme vlastností ideálního plynu. Budeme měœ řit jeho stavové veličiny při nějakém ději. Tato metoda je relativně málo náročná a vystačíme si se stejnými prostředky, které byly dostupné Lordu Celsiovi. Teorie Pokusme se pojmout teorii ve stylu Lorda Celsia. V době Lorda Celsia ještě nebyla žádná teorie pro ideální plyn, proto by například měřil, jak se mění objem plynu při stálém tlaku v závislosti na jeho teplotě. Pokud by byl dostatečně pečlivý, a to on jistě byl, vyšla by mu závislost lineární, jejímž grafem je přímka. Když by tuto přímku prodloužil, tak by v nějaké teplotě protnula nulu na teplotní ose. Při této teplotě by musel mít plyn nulový objem, což je zjevně nemožné. Obdobně by jistě postupoval i s jinými plyny, a ač by sklon této přímky byl jiný, překvapivě by mu vyšlo totéž, přímka by protínala teplotní osu stále ve stejném bodě. Z toho by usoudil, že onen bod bude absolutní fyzikální nula. Úvaha Lorda Celsia je správná, neboť podle stavové rovnice pro ideální plyn platí pV = nRT . Lord Celsius udržoval konstantní tlak plynu v uzavřené soustavě. Potom můžeme napsat nR V = ·T , tedy V = C(t − t0 ) = Ct − Ct0 , (21) p kde C je konstanta, t je teplota v Celsiově stupnici a t0 teplota absolutní nuly v Celsiově stupnici. Graf závislosti V = f (T ) protíná osu x v 0 K, proto graf V = = f (t) protne osu x právě v hodnotě teploty absolutní nula. Z (21) víme, že závislost V = f (t) je lineární, neboli V = at + b . Z našich naměřených hodnot určíme koeficienty a a b. Porovnáním s (21) dostáváme b t0 = − . a teploměr

vzduch voda U-trubice Obr. 32. Použitá aparatura

106

Ročník XVII Postup měření Jako plyn použijeme vzduch, který se vlastnostmi blíží ideálnímu plynu. Plyn jsme uzavřeli do skleněné nádoby. Nádobu jsme zajistili korkovou zátkou s otvorem, kterým vychází trubička spojená s U-trubicí (viz nákres na obrázku 32). Pokud není dostupná přímo U-trubice, dá se použít i něco jiného, co funguje stejně. Zátku jsme zakapali voskem pro zlepšení utěsnění. Celá nádoba je ponořená do vodní lázně, kterou zahříváme a jejíž teplotu měříme. Abychom nádobu udrželi pod vodou, bylo nutné ji zatížit, horní strana byla těsně pod hladinou. V U-trubici je voda. Protože chceme v nádobě udržet konstantní tlak, musí být rozdíl výšek vody v obou ramenech U-trubice během měření stejný. Na U-trubici jsme si dále vyznačili rysku, od které jsme měřili výšku hladiny v ramenech. Objem nádoby a objem trubice až po rysku označme V0 , vnitřní průměr trubice je d. Je-li voda ve výšce h, je objem plynu V = V0 − 41 πd2 h .

(22)

Vodní lázeň jsme zahřáli a do U-trubice nalili co nejméně vody (hladina je těsně nad ryskou). Systém jsme nechali ustálit, aby se zahřál i plyn v nádobě. Nyní jsme nechali vodní lázeň a s ní i plyn v nádobě chladnout. Vodu jsme promíchávali, aby v ní nevznikaly rozdíly teplot. Chladnutí probíhalo pomalu, aby se stihla ustavit teplotní rovnováha mezi vzduchem a vodou. V nádobě bylo třeba neustále udržoœ vat konstantní tlak, což jsme realizovali dokapáváním vody do otevřeného konce U-trubice tak, aby byla výška vody v obou ramenech stejná. To mělo výhodu, tlak v nádobě byl stejný jako atmosférický, tudíž žádný plyn neunikal ani žádná voda nevnikala do nádoby případnými netěsnostmi. Jak teplota vzduchu klesala, zaznaœ menávali jsme v určitých intervalech výšku h vodní hladiny v U-trubici. Měření Objem V0 jsme určili pomocí injekční stříkačky V0 = (136 ± 3) ml. Vnitřní průœ měr trubičky jsme změřili posuvným měřítkem d = (6,0 ± 0,2) mm. Naměřili jsme několik hodnot [t, h], z h jsme poté vypočetli V . Pro lepší přesnost výsledku by mělo být rozmezí měřených teplot co největší a počet naměřených bodů [t, h] také co největší. Dále budeme určovat chybu V , který počítáme podle vztahu (22). Na chybu ∆V0 na chvíli zapomeneme, protože má při všech měřeních stejnou hodnotu. Relativní chyby d a h jsou δd =

0,2 ∆d = = 0,033 d 6

a

δh =

∆h 5 mm = . h h

Chybu ∆h jsme se snažili odhadnout tak, aby v ní byla zahrnuta chyba měření tepœ loty i výšky hladiny a chyba systematická. Hodnota δh je tedy pro každé měření jiná. S využitím (22) a obecného vztahu pro výpočet chyby veličiny, pokud ji počítáme z jiných veličin měřených s chybou, ∆V =

∂V ∂V ∆h + ∆d , ∂h ∂d

dostáváme ∆V =

1 πd2 h(2δd 4

+ δh) =

1 πd2 ∆h 4

+ 12 πdh∆d . 107

FYKOS 1997–2007 Vidíme, že k chybě ∆V nejvíce přispívá ∆d, zvláště pro větší hodnoty h, proto jsme průměr d měřili posuvným měřítkem. Hodnoty h, V a ∆V pro 17 měřených teplot jsou v následující tabulce. t[◦C] h[mm] V [ml] ∆V [ml]

36 7 135,8 0,2

35 19 135,5 0,2

34 38 134,9 0,2

33 52 134,5 0,2

32 67 134,1 0,3

31 86 133,6 0,3

30 101 133,1 0,3

29,5 110 132,9 0,3

t[◦C] h[mm] V [ml] ∆V [ml]

28,5 120 132,6 0,4

28 131 132,3 0,4

27,5 140 132,0 0,4

27 149 131,8 0,4

26,5 152 131,7 0,4

26 162 131,4 0,4

25,5 169 131,2 0,5

25 180 130,9 0,5

29 115 132,7 0,4

Hodnoty [t, V ] vyneseme do grafu, chyby ∆V vyznačíme chybovými úsečkami. Naměřené hodnoty jsou označeny křížkem (viz obr. 33). Těmito body proložíme přímku, protože podle teorie předpokládáme závislost V = at + b. To můžeme proœ vést od ruky nebo nám křivku může vypočítat počítač. V grafu je regresní přímka vyznačena tučně. Dále si vyznačíme, jak může tato přímka vypadat v krajních příœ padech (v grafu jsou čárkovaně), k tomu využijeme chybové úsečky. Z našeho grafu odečteme a a b pro regresní přímku a a1,2 , b1,2 pro mezní případy. a = 0,443 ml·K−1 ,

b = 120 ml,

a1 = 0,38 ml·K−1 ,

b1 = 122 ml,

a2 = 0,48 ml·K−1 ,

b2 = 118 ml.

Odtud máme a = (0,44 ± 0,06) ml·K−1 ,

b = (120 ± 2) ml.

Nesmíme ale zapomenout na chybu ∆V0 , která ovlivňuje polohu naměřených hodnot v grafu ve svislém směru. Chyba ∆V0 tedy přispívá k chybě b. Celkově dostáváme b = (120 ± 5) ml. Relativní chyby a a b jsou δa =

0,06 = 0,14 0,44

a

δb =

5 = 0,042. 120

Pro teplotu absolutní nuly v Celsiově stupnici jsme odvodili t0 = −b/a, t0 = −272,7 ◦ C,

δt0 = δa + δb = 0,18

⇒

∆t0 = 48 ◦C.

Naše naměřená hodnota absolutní nuly je t0 = (−270 ± 50) ◦C. 108

Ročník XVII V [ml] 136 135 134 133 132 131 130 24

26

28

30

32

34

36

t [◦C]

Obr. 33. Graf naměřených hodnot závislosti V na teplotě Závěr Chyba výsledku vyšla dost velká. To je dáno tím, že jsme závislost V = f (t) proměřovali pro teploty hodně vzdálené od absolutní nuly. Jen náhodou jsme se „trefiliÿ tak blízko skutečné hodnoty. Všechny chyby měření jsme zmínili již dříve, jedná se o chybu měření h, d, V0 a teploty. K těmto chybám přistupují chyby systematické. Vzduch v trubici mimo nádobu má nižší teplotu než vzduch v nádobě. Měříme teplotu vody, vzduch může mít teplotu jinou, pokud není zcela ustavena rovnováha. Z nádoby může unikat vzduch a do vzduchu v nádobě se může vypařovat voda. Vzduch není ideální plyn. Poznámky k došlým řešením Všichni řešitelé se zabývali ději plynů v uzavřené soustavě a s využitím jejich vlastností určili absolutní nulu. Byly tři možnosti provedení měření: udržovat konœ stantní tlak (takto jsme postupovali my, V ∼ T ), udržovat konstantní objem (muœ síme znát hodnotu atmosférického tlaku, p ∼ T ) nebo měřit, jak se mění tlak a objem plynu při změnách teploty (pV ∼ T ). p Jiný způsob byl měřit rychlost zvuku ve vzduchu, pro kterou platí v = K/%, kde K je modul objemové pružnosti vzduchu. Ze stavové rovnice pro hustotu máme % = pM/RT (M je molární hmotnost vzduchu). Celkově tedy pro rychlost zvuku platí r KR v= T. pM Závislost v = f (T ) jsme mohli obdobně jako při ději ideálního plynu pro několik teplot proměřit. 109

FYKOS 1997–2007

Úloha V . 3 . . . slezští havíři reloaded Slezští havíři z úlohy z minulé série nažhavili opět své krumpáče a prokopali se skrz Zemi, tentokrát ne na Nový Zéland, ale do Tichého oceánu. Do vytvořeného tunelu začne téct voda. Rozhodněte, zda v Petřvaldě v dolu Fučík vystříkne voda do vzduchu. Svou odpověď dostatečně zdůvodněte. Úlohu snadno vyřešíme pomocí zákona zachování energie. V momentě, kdy hlaœ dina dosáhne petřvaldského konce štoly, bude potenciální energie veškeré vody ve štole určitě menší než před vykopáním štoly, kdy se všechna tato voda nacházela na povrchu planety. Sloupec vody uzavřený v tunelu tedy musí mít podle zákona zachování energie nenulovou rychlost, takže hladina vody se v tomto bodě určitě nezastaví, ale vytryskne do vzduchu obrovskou rychlostí (i bez jakýchkoliv výpoœ čtů je patrné, že maximální výška, které takto vzniklý gejzír dosáhne, bude řádově srovnatelná s rozměrem Země)! Někteří řešitelé se nechali zmást tím, že upustíme-li do šachty jeden předmět (například horníka), proletí tunelem a na jeho druhém konci se zastaví. V případě, že do tunelu začne téct voda, je však situace odlišná. Na objemový element vody, který již dosáhl bodu, kde by osamocený horník svou pouť k protinožcům završil, totiž zespodu stále „tlačíÿ voda, která tohoto bodu ještě nedosáhla.

Úloha V . P . . . zpomalující Měsíc Přesnými měřeními je dokázáno, že rychlost oběhu Měsíce kolem Země klesá a jeho vzdálenost od Země se zvětšuje. Zamyslete se nad tím, jaká síla to způsobuje. Důvodem zpomalování Měsíce jsou slapové jevy na Zemi. Při slapových jevech dochází k přesunu velkých mas vody, přičemž tření při těchto přesunech ubírá energii. Tuto energii ztrácí Země ze své rotační energie, a tím se zpomaluje rotace Země okolo vlastní osy. Abychom zjistili, jaký to má vliv na pohyb Měsíce, použijeme zákon zachování momentu hybnosti. Pro Měsíc obíhající okolo Země po kruhové dráze o poloměru r platí v2 κM = 2 , r r kde M je hmotnost Země. Pro rychlost dostáváme r κM v= . r Jelikož Země zpomalila, její moment hybnosti klesl, tím pádem musel vzrůst moment hybnosti Měsíce. (Měsíc rotuje ve stejném směru, jako je směr rotace Země.) A jelikož moment hybnosti Měsíce je √ J = mvr = m κM r , jeho zvýšení odpovídá zvětšení poloměru, a tedy také snížení rychlosti. Tím bychom odhalili slapové jevy jako příčiny zodpovědné za zpomalování a vzdalování Měsíce, takže zbývá už jen vyšetřit problém z pohledu sil. Tedy najít sílu, která má za následek ono zvýšení momentu hybnosti Měsíce takto na dálku. 110

Ročník XVII Slapové síly způsobují vzedmutí oceánů směrem k Měsíci. Třecí síly však toto vzedmutí chtějí rotovat ve směru rotace Země. Rovnovážná poloha vzedmutí potom bude vychýlená ze spojnice středů Země a Měsíce (viz obr. 34). Také hmota vzedmutí má gravitační účinky, tedy jejich přitažlivá síla F1 + F2 působící na Měsíc získá i složku, která nepůsobí ve směru spojnice Měsíce s bodem, okolo kterého obíhá (těžiště soustavy Země–Měsíc), a která tudíž urychluje Měsíc. Jenže toto urychlení posunuje Měsíc na vyšší oběžnou dráhu (protože není kompenzované odstředivou silou), dokud Měsíc nedosáhne rovnovážné dráhy. A jak jsme vypočítali, s vyšším poloměrem je rychlost na kruhové orbitě nižší. Tím jsme vysvětlili mechanismus, jakým se realizuje zákon zachování momentu hybnosti v daném případě.

F1

F1 +F2

F2 Země

Měsíc

Obr. 34. Pohled od severního světového pólu

Úloha VI . 3 . . . padající komín Silný vítr dul do stěn komínu. Přitom vychýlil komín ze svislé polohy. Komín začal padat a v určitém místě se rozlomil. Pokuste se určit, kde ke zlomu došlo. Aproximujeme si komín tenkou tyčkou, aby bylo možné úlohu rozumně vyřešit. Označme L délku komínu a m jeho hmotnost. Pokud komín vychýlíme z rovnovážné polohy, začne padat. Úhlové zrychlení ε v závislosti na úhlu ϕ, který svírá komín s vodorovnou podložkou, vypočteme z 2. impulzové věty M = Jε, kde M = F r = = 21 mg cos ϕL je moment tíhové síly. Pro moment setrvačnosti vůči bodu otáčení platí J = 13 mL2 . Po dosazení dostaneme 1 1 mL2 ε = mgL cos ϕ 3 2

⇒

ε=

3g cos ϕ . 2L

Označme x vzdálenost nějakého bodu od vrcholu komína. Tento bod si můžeme představit jako střed otáčení té části komína, která je nad ním. Potom z druhé impulzové věty dostaneme M1 = J1 ε1 . Pro moment síly M1 bude platit M1 = F1 r1 =

1 mgx2 cos ϕ m1 gx cos ϕ = , 2 2L

kde m1 = mx/L je hmotnost té části komína nad bodem x. Moment setrvačnosti bude analogicky 1 mx3 J1 = m1 x2 = . 3 3L Po dosazení dostaneme pro zrychlení ε1 ε1 =

M1 3g cos ϕ = . J1 2x 111

FYKOS 1997–2007 Tímto zrychlením by se část komína od bodu x nahoru měla otáčet, ale nemůže, protože jí v tom brání pevnost materiálu. Co to tedy znamená? V bodě x působí moment síly M1 = J1 ε1 , ale na otáčení se uplatní pouze moment M2 = J1 ε (z druhé impulzové věty – komín se celý otáčí s úhlovým zrychlením ε). Rozdíl těchto momentů je mg cos ϕ M = M1 − M2 = J1 (ε1 − ε) = 2L 0

„ « x3 2 x − . L

To je tedy moment, který v bodě x působí na deformací komína. Kde jinde by měl komín rupnout než v bodě, kde bude tento moment největší. Pro bod maxima funkce M 0 = M 0 (x) platí mg cos ϕ dM 0 = dx 2L

„ « 3x2 2x − =0 L

⇒

x = 0,

x = 23 L .

Dostáváme dvě řešení: x = 0, což je minimum, a x = 23 L, což je hledané maximum. Vzdálenost bodu zlomu od paty komína je potom 13 L.

112

Ročník XVIII Osmnáctý ročník ve školním roce 2004/2005 řešilo 126 studentů, poslední séœ rii poslalo 43 středoškoláků. Seriál o teoretické mechanice napsali Honza Prachař a Jaroslav Trnka. Podzimní soustředění se konalo 16.–23. 10. 2004 opět v Horním Bradle u Trhové Kamenice, jeho legendu připravil Jarda Trnka. Jarní soustředění bylo 23.–30. 4. 2005 v Rapotíně v Jeseníkách, autorem legendy byl Michael Komm. Organizaci Dne s experimentální fyzikou a přípravu experimentů na soustřeœ děních převzal Pavel Brom. Účast na Dni s experimentální fyzikou se díky němu výrazně zvýšila, poprvé bylo možné přihlašovat se přes webový formulář. DSEF zaœ vítal také do Ústavu fyziky plazmatu v Praze na Slovance. TEXařem se stal nový hlavní organizátor Honza Prachař. Ročenka 18. ročníku vyšla poprvé v nakladatelœ ství MatfyzPress. Společným úsilím Karla Tůmy, Jiřího Litevského a Honzy Praœ chaře vznikla databáze úloh FYKOSu, sedmým ročníkem počínajíc. Na jaře Honza Prachař naprogramoval pro webové stránky diskusní fórum. Na webových stránkách se také nově začala objevovat řešení jednotlivých úloh alespoň o týden dříve, než došla řešitelům poštou.

Nejúspěšnější řešitelé jméno Student Pilný

škola MFF UK

Σ 200

G Jablonec n. Nisou G Sv. Mikuláša, Prešov Masarykovo G, Plzeň

173 125 103

Masarykovo G, Vsetín G Boskovice SPŠ Jihlava

136 122 89

G Petra Bezruče, Frýdek-Místek G Jana Nerudy, Praha G Uherské Hradiště

171 128 85

Kategorie 4. ročníků 1. Stanislav Vosolsobě 2. Anton Repko 3. Bedřich Roskovec Kategorie 3. ročníků 1. Tomáš Bednárik 2. Martin Konečný 3. Petr Dvořák Kategorie 2. ročníků 1. Pavel Motloch 2. Jakub Benda 3. Martin Formánek Kategorie 1. ročníků 1. Zdeněk Vais 2. Jan Valášek 3. Katarína Rozvadská

G Boskovice G Zborovská, Praha G Ľudovíta Štúra, Trenčín

67 55 48

113

FYKOS 1997–2007

Vybrané úlohy Úloha I . 1 . . . ošklivé kačátko

Obr. 35. Kačátko na rybníku

Opuštěné ošklivé kačátko zůstalo osamoœ cené uprostřed kruhového rybníku. Chce se doœ stat za svými sourozenci a matkou kachnou, ale na břehu rybníka na něj číhá liška. Kačátko je ještě mladé, proto dokáže vzlétnout pouze z pevné země. Určete maximální poměr rychœ lostí běhu lišky a plavání kačátka, aby stihlo doplavat na břeh a z něj lišce uletět. Poraďte také kačátku, jakou strategii má zvolit. (řešení str. 115)

Úloha II . 4 . . . zoufalí trosečníci Trosečníci na severním pólu si chtějí zpříjemnit chvíli před blížící se smrtí poœ sledním šálkem kávy. Poraďte jim, jak si mají ohřát vodu, aby se jí dostalo na co nejvíce z nich. Se svými skromnými technickými prostředky mohou ohřev realizovat následujícími způsoby: a) Akumulátor o vnitřním odporu 2R přímo připojí k topné spirále o odporu R. b) Tentýž akumulátor připojí do série s topnou spirálou a kondenzátorem. Pokaždé, když se kondenzátor nabije, jej z obvodu vytáhnou a připojí obráceně. c) Tímtéž akumulátorem budou střídavě nabíjet kondenzátor a vybíjet ho přes topœ nou spirálu. (řešení str. 118) Úloha III . 4 . . . s větroněm přes kanál Jeden známý letec se rozhodl ve větroni přeletět kanál La Manche. V Calais se nechal vyvléci do výšky h = 3 km a z této výšky se přímým klouzavým letem vypravil do Anglie. Jako dobrý pilot ví, kterak při ustáleném letu vypadá závislost klesací rychlosti vkles na dopředné rychlosti vdop (viz graf na obr. 36). Poraďte mu, jak rychle má letět, aby doletěl co nejdál. Když je ve třech čtvrtinách cesty do Anglie, začne od ostrovů fučet silný vítr o rychlosti 10 m·s−1 . Rozhodněte, jak rychle má letět nyní, aby se dostal co nejdál. Jaká by musela být rychlost větru, aby mu znemožnila přistát na pevnině, případně aby mu umožnila návrat do Francie? (řešení str. 119) Úloha V . 4 . . . neposlušná gravitace Při dlouhodobém pozorování zákrytů Jupiterova měsíce Io bylo zjištěno, že naœ měřená doba oběhů měsíčku kolem planety (např. od předchozího do následného začátku zákrytu) pravidelně kolísá mezi hodnotami 42 h 28 min 21 s a 42 h 28 min 51 s (s chybou měření 2 s). Pokuste se jak kvalitativně, tak kvantitativně vysvětlit pozorované změny. Kvanœ titou rozumíme určení „velikosti této příčinyÿ na základě měření samozřejmě s odœ hadem chyby! (řešení str. 120) 114

Ročník XVIII 40 0

60

80

100

120

140

vdop km·h−1

2

4

vkles m·s−1 Obr. 36. Závislost klesací rychlosti na dopředné Úloha VI . 4 . . . nezastavitelný chodec Vraťte se na chvíli do Atén na loňské olympijské hry a určete, jaká je teoretická maximální rychlost chodce. Chodec nebude diskvalifikován, pokud se každý rozhodčí (pozorovatel) shodne na tom, že alespoň jedna noha chodce stojí v každém okamžiku na zemi. (řešení str. 123) Úloha VI . E . . . chyťte foton Změřte rychlost světla ve vakuu. Provést to můžete libovolným způsobem, pouœ žijte třeba i mikrovlnnou troubu. (řešení str. 125) Další zajímavé úlohy Před rychle jedoucím autem se objeví překážka, dokáže se jí auto vyhnout? O tom pojednávala problémová úloha (II.P) druhé série. Nabitá krychle vystupoœ vala v pěkné úloze III.3. Zajímavá úloha III.P se zabývala nekonečnou soustavou po sobě jedoucích vozíčku. Jak dostat dlouhou limuzínu do malé garáže aneb relativisœ tický paradox měl úspěch v úloze IV.3. V jiné problémové úloze IV.P se vysvětloval jev rezonující skleničky, po jejíž hraně pohybujeme mokrým prstem. Zajímavá byla experimentální úloha (IV.E), ve které se určovalo, do jaké míry přispívají k chladnutí čaje děje vypařování, záření a vedení tepla. Analogie optiky a mechaniky se řešila v úloze V.2. Poslední série byla tematicky věnována Světovému roku fyziky 2005 (uplynulo 100 let od doby, kdy A. Einstein vysvětlil fotoelektrický jev, a 90 let od formulace obecné teorie relativity), úlohy byly z oblastí, které A. Einstein sám stuœ doval. V VI.2 jsme proto určovali kritickou hustotu různě hmotných černých děr a úloze VI.P byly jako zadání fotografie z kosmické lodě letící rychlostí blízkou rychlosti světla, rychlost rakety se měla právě z oněch obrázků určit.

Organizátoři Jan Prachař (hlavní organizátor), Pavel Augustinský, Pavel Brom, Jan Houštěk, Miroslav Kladiva, Michael Komm, Jiří Lipovský, Matouš Ringel, Jaroslav Trnka, Karel Tůma, Petra Suková, Peter Zalom, Lenka Zdeborová a další. 115

FYKOS 1997–2007

Úloha I . 1 . . . ošklivé kačátko Opuštěné ošklivé kačátko zůstalo osamocené uprostřed kruhového rybníku. Chce se dostat za svými sourozenci a matkou kachnou, ale na břehu rybníka na něj číhá liška. Kačátko je ještě mladé, proto dokáže vzlétnout pouze z pevné země. Určete maximální poměr rychlostí běhu lišky a plavání kačátka, aby stihlo doplavat na břeh a z něj lišce uletět. Poraďte také kačátku, jakou strategii má zvolit. Mějme kačátko, nechť jeho rychlost je 1 a rychlost lišky v (bude pak rovna přímo hledanému poměru). Není obtížné nahlédnout, že je-li kačátko dostatečně blízko středu rybníku, může dosáhnout stejné či větší úhlové rychlosti rotace kolem středu než liška obíhající po břehu. Skutečně, je-li kachnička ve vhodné vzdálenosti r a liška ve vzdálenosti R od středu, úhlová rychlost kačátka je ωK =

vK 1 v vL = > = = ωL . r r R R

Nerovnost platí pro r/R < 1/v. Odtud již přímo plyne, že se kačátko může dostat do situace, kdy je ve vzdálenosti r = R/v od středu a liška se nachází na přesně opačné straně rybníku, tj. spojnice liška–oběť prochází středem kružnice. Ovšem ihned vyvstává otázka: „Co dál?ÿ Nejjednodušší odpověď může znít: „Kačátko by mělo plavat po co nejkratší cestě ke břehu.ÿ Přinejmenším bude na břehu za nejkratší čas. Nicméně toto je jen jedna strana mince! Druhá říká: „Podívej se na lišku.ÿ Ona totiž nezahálí, nýbrž usilovně sprintuje směrem k očekávanému přístavišti zvířátka. Měli bychom tedy alespoň popřemýšlet, zda by nebylo lepší, aby kachnička plavala poněkud od lišky. Liška vidí kačátko na opačné straně a nyní se musí rozhodnout, kam poběží. Samozřejmě se nezastaví, to by kačátku poskytla náskok. Liška se může rozběhnout, kam chce (ze symetrie). Nyní určíme, jak se zachová kačátko. Pochopitelně, poplave více méně na druhou stranu než liška (otáčí se ve stejném smyslu). Poplave po přímce, neboť kdyby plavalo po křivce z bodu A do B, mohlo by plavat přímo z A do B, čímž by ušetřilo čas. Budeme předpokládat, že liška jednou se rozběhnuvší se již neotočí, což zdůvodníme později. √ Z obrázku 37 určíme dráhu lišky R(π+ϑ) a dráhu kačátka R2 + r2 − 2Rr cos ϑ. V mezním případě se budou rovnat doby, za které liška a kačátko tyto dráhy urazily. To nám poskytne závislost v na ϑ. Nám zbývá najít maximum této funkce. Při úpravě využijeme vztah uvedený výše (R/r = v). B √ A R(π + ϑ) = v R2 + r2 − 2Rr cos ϑ , p π + ϑ = v 1 + (r/R)2 − 2(r/R) cos ϑ , ϑ √ π + ϑ = 1 + v 2 − 2v cos ϑ , r 0 = v 2 − 2v cos ϑ + 1 − (π + ϑ)2 . R Odtud určíme Obr. 37 116

q v = cos ϑ + (π + ϑ)2 − sin2 ϑ ,

(23)

Ročník XVIII přičemž znaménko plus použijeme, aby bylo v kladné. Zbývá určit polohu maxima, tj. vztah derivovat podle ϑ a položit derivaci rovnu nule dv π + ϑ − sin ϑ · cos ϑ = − sin ϑ + p = 0. dϑ (π + ϑ)2 − sin2 ϑ Po několika přímočarých úpravách se radostně dobereme stavu π+ϑ + 1−2 tg ϑ

„

π+ϑ tg ϑ

«2 = 0,

odkud přímo plyne tg ϑ = π + ϑ .

(24)

Tuto rovnici nelze řešit analyticky. Tímto postesknutím práce fyzika nesmí skončit! Samozřejmě neočekáváme, že by student střední školy měl v malíčku numerické metody. Ale každý má počítač, který takové věci umí provádět. Stačí najít vhodný software (např. Excel), jenž řeší rovnice či kreslí grafy. A dokonce i když člověk s počítačem nekamarádí, nemusí se vzdát, má-li chytrou hlavu. Co třeba následující úvaha. Když se mi podaří najít ϑ tak, že tg ϑ < π + ϑ a vzápětí jiné ϑ, ovšem splňující tg ϑ > π + ϑ, zjistil jsem, v kterém intervalu leží správné ϑ, splňující rovnici (24). Je-li tento interval příliš široký, provedu hledání znovu, ϑ budu ale vybírat z tohoto nového intervalu. Interœ valy zužuji tak dlouho, dokud nejsou dostatečně úzké. Je to sice poněkud pracné, ale najdu alespoň přibližnou hodnotu ϑ. Prakticky je nejlépe rovnici upravit na tvar tg ϑ − π − ϑ = 0 a sledovat znaœ ménko nové levé strany. Vyberu na začátku interval, pro který platí, že vlevo je levá strana záporná a vpravo kladná (nebo naopak). Pak se podívám na hodnotu levé strany uprostřed intervalu. Je-li kladná, vezmu za nový interval levou polovinu, je-li záporná, vezmu pravou polovinu, a postup opakuji tak dlouho, dokud není inœ terval pro mé účely dostatečně úzký. V každém kroku se zmenší na polovinu, tj. konvergence je rychlá. Touto metodou se dá získat odhad ϑ ≈ 1,352

⇒

v ≈ 4,601 ,

který je správným řešením úlohy. Bylo by dobré se ještě podívat, co to znamená geometricky. Dokážeme, že se vlastně jedná o tečnu k malé kružnici! Je-li totiž onen trojúhelník pravoúhlý (tedy jde-li o tečnu), musí pro něj platit Pythagorova věta. Vyjádřeno rovnicí R2 = r2 + R2 + r2 − 2Rr cos ϑ

⇒

R 1 = = v. cos ϑ r

Nicméně dosadíme-li do našeho výrazu (23) pro v podmínku nulové derivace (24), zjistíme totéž q 1 v = cos ϑ + tg2 ϑ − sin2 ϑ = cos ϑ + sin ϑ · tg ϑ = . cos ϑ 117

FYKOS 1997–2007 Tedy trojúhelník je pravoúhlý. Zbývá nám malý restík, totiž diskutovat, co se stane, otočí-li se liška. Liška se nejdřív musí vrátit do své původní pozice. Když je vpravo od ní a kačátko plavalo po tečně, přímka střed–liška leží vlevo od kačátka. Bude-li se liška vracet, pak kačátko tuto přímku protne. Máme situaci jako na začátku, jenže kačátko je nyní dále od středu než předtím. Čili liška si uškodila.

Úloha II . 4 . . . zoufalí trosečníci Trosečníci na severním pólu si chtějí zpříjemnit chvíli před blížící se smrtí posledním šálkem kávy. Poraďte jim, jak si mají ohřát vodu, aby se jí dostalo na co nejvíce z nich. Se svými skromnými technickými prostředky mohou ohřev realizovat násleœ dujícími způsoby: a) Akumulátor o vnitřním odporu 2R přímo připojí k topné spirále o odporu R. b) Tentýž akumulátor připojí do série s topnou spirálou a kondenzátorem. Pokaždé, když se kondenzátor nabije, jej z obvodu vytáhnou a připojí obráceně. c) Tímtéž akumulátorem budou střídavě nabíjet kondenzátor a vybíjet ho přes topœ nou spirálu. Trosečníci si na severní pól dovezli vskutku nadstandardní vybavení – mají akuœ mulátor, kondenzátor a topnou spirálu. Jako nejjednodušší způsob, jak ohřát vodu, se jeví využít pouze akumulátor a topnou spirálu. Ale bude tento způsob nejúœ činnější? Účinnosti ve třech možných zapojeních si rozeberme podrobně. Počítáme přitom teoretické účinnosti, tzn. skutečné účinnosti zahrnující ztráty na jednotlivých spotřebičích jsou ještě menší. a) Energie zdroje se spotřebuje na zahřátí zdroje o odporu 2R a topné spirály o odœ poru R. Akumulátor a spirála jsou zapojeny do série. Oběma tak prochází stejný proud a toto zapojení funguje jako napěťový dělič. Napětí se rozdělí v poměru odporů. Na akumulátoru bude napětí 2U/3 a na spirále U/3. Výkon se rozdělí ve stejném poměru. U tohoto zapojení jsou tedy trosečníci schopni využít 13 možného výkonu. b) Projdeme si společně jeden cyklus od okamžiku, kdy je na kondenzátoru nulové napětí, do okamžiku, kdy je opět téměř vybitý. Po připojení napájení bude obœ vodem procházet proud I = U/3R, pak bude klesat, než se kondenzátor nabije na napětí U . Zdroj vykoná práci CU 2 . Z toho energii CU 2 /2 získá kondenzátor a zbylá CU 2 /2 se rozdělí v poměru 2:1 mezi akumulátor a topnou spirálu. Na spirálu tedy připadá CU 2 /6. Poté kondenzátor z obvodu vytáhneme a připojíme obráceně. Nyní kondenœ zátor podporuje zdroj ve vykonání práce CU 2 . V obvodu je celková energie 3CU 2 /2, protože do celkové energie musíme započítat i energii nabitého konœ denzátoru CU 2 /2. Po skončení cyklu je kondenzátor vybitý, tj. jeho energie je nulová. Všechna energie se podle zákona zachování energie musela rozdělit mezi akumulátor a spirálu. Obdobně jako v a) v poměru 2:1. V této části cyklu získá topná spirála energii CU 2 /2. Celková energetická bilance říká, že během jednoho cyklu zdroj dodá energii 2CU 2 a spirála přijme 2CU 2 /3. Využitá energie je tedy stejná jako v části a), 118

Ročník XVIII a to 13 celkové energie. Samozřejmě bychom měli vzít v úvahu, že při tomto zapojení budou ztráty větší než při zapojení a). c) Nejdříve zapojíme do obvodu pouze akumulátor a kondenzátor. Z energie CU 2 odebrané z akumulátoru získá kondenzátor energii CU 2 /2. Po nabití kondenzátor odpojíme a necháme jej vybíjet přes topnou spirálu. Té předá kondenzátor svou energii. Tento způsob je nejúčinnější, protože se při něm na spirále 21 možné energie přemění na teplo. Trosečníci by mohli přijít na ještě efektivnější způsob. Nabijí kondenzátor v séœ rii zapojený s topnou spirálou. Následně akumulátor odpojí a kondenzátor nechají vybít. Účinnost by byla 32 .

Úloha III . 4 . . . s větroněm přes kanál Jeden známý letec se rozhodl ve větroni přeletět kanál La Manche. V Calais se nechal vyvléci do výšky h = 3 km a z této výšky se přímým klouzavým letem vypravil do Anglie. Jako dobrý pilot ví, kterak při ustáleném letu vypadá závislost klesací rychlosti vkles na dopředné rychlosti vdop (viz graf na obr. 36). Poraďte mu, jak rychle má letět, aby doletěl co nejdál. Když je ve třech čtvrtinách cesty do Anglie, začne od ostrovů fučet silný vítr o rychlosti 10 m·s −1 . Rozhodněte, jak rychle má letět nyní, aby se dostal co nejdál. Jaká by musela být rychlost větru, aby mu znemožnila přistát na pevnině, případně aby mu umožnila návrat do Francie? vdop Řešení této úlohy je založeno na pozorování, že ϕ bodu P = (vdop , vkles ) křivky odpovídá klesací úhel ϕ, jejž splňuje rovnici tg ϕ = vkles /vdop . Chceme-li z dané vkles v výšky doletět co nejdál, je zřejmě nutné klesat pod co možná nejmenším úhlem. Jak si lze snadno uvědomit, vedeme-li přímku z počátku souřadnic (toho skutečœ P ného počátku, tj. (0, 0), na obrázku není), pak úhel, Obr. 38. Výpočet úhlu jenž svírá s osou x, je roven právě ϕ (pohleďte na obœ klesání rázek 38). Proto chceme najít přímku s co možná nejmenším sklonem, ovšem protínající křivku. Vezmeme nějakou přímku procházející počátkem a budeme ji otáčet. Nejprve bude protínat křivku ve dvou bodech, pak v jednom a nakonec vůbec.4 Správná volba je tudíž přímka protínající křivku v jednom bodě – tečna. Na následujícím obrázku se jedná o přímku a. Měli jsme za úkol zjistit, jakou rychlostí v takovém případě poletíme. Jednoduše . odečteme x-ovou souřadnici průsečíku. Najdeme v ≈ vdop = 76 km·h−1 (zanedbᜠváme malý úhel klesání). V dalším budeme potřebovat znát i tangens úhlu klesání. Ten odměříme nejlépe tak, že zvolíme bod na příslušné přímce, odečteme jeho souœ . řadnice, a vypočítáme tg ϕ podle vzorce výše. Nalezneme tg ϕ = 0,0273. 4)

Toto obecně neplatí. Je nutné, aby se křivka „zatáčelaÿ pořád na stejnou stranu.

119

FYKOS 1997–2007 10

0

20

30

40

50

60

70

80

90

100 110 120

A BC

1

b c

vdop km·h−1

a

2 3 4

d vkles m·s−1 Obr. 39. Konstrukce tečen v různých případech

Rozmysleme si, co se stane, když začne foukat protivítr. Zadaná křivka udává do souvislosti složky rychlosti vůči proudícímu vzduchu. Za bezvětří je křivka platná i vůči zemi, avšak při protivětru ji musíme upravit. Zřejmě nezmění svůj tvar, celá změna se redukuje na posunutí počátku souřadnic ve směru vdop o rychlost větru, neboť letadlo letící stejnou rychlostí vůči vzduchu letí pomaleji vůči zemi. Nyní provedeme úplně stejnou proceduru jako v předchozím bodě, pouze tečnu povedeme z nového počátku souřadnic. Na obrázku tečně odpovídá přímka b. Nejvýhodnější rychlost odečteme rovnu asi 79 km·h−1 . Nyní vypočítáme, v jaké výšce se bude větroň nalézat ve třech čtvrtinách cesty do Anglie. Na mapě můžeme odměřit šířku Kanálu, jenž je okolo Calais široký asi 40 km. . Odtud výška větroně 10 km od pobřeží Anglie bude h0 = 3 km − tg ϕ · 30 km = . = 2,2 km. Má-li vítr zabránit větroni dosáhnout břehu, musí fučet tak rychle, aby úhel klesání letadla byl větší než úhel nutný k dosažení břehu. Tento označíme α a platí pro něj vztah tg α = h0 /10 km. Odtud tg α ≈ 0,22. Jak jsme již podotkli, úhlu klesání odpovídá úhel přímky vedené počátkem souřadnic a bodem křivky, ve kterém se letadlo nachází. Nejmenší úhel odpovídá tečně. Proto mezní rychlost větru bude taková, že tečna ke křivce vedená z nového počátku souřadnic bude mít právě nalezenou směrnici. Jelikož směrnici známe, musíme najít bod na křivce, ve kterém má tečna tutéž směrnici. To se snadno zkonstruuje podobně, jako kreslíme rovnoběžky pomocí dvou pravítek. Na obrázku situaci vyjadřuje přímka c. Rychœ lost větru je x-ová souřadnice průsečíku tečny s osou x, tedy přibližně 50 km·h−1 . Můžete si snadno ověřit, že se větroň může vrátit do Francie při libovolném větru, jinými slovy pilot nebyl zas až takový dobrodruh. Jako bonus zjistěme, kdy větroň může ve vzduchu couvat. Po krátkém přemýšlení si uvědomíme, že větroň musí letět co nejpomaleji a protivítr musí být co nejrychœ lejší. Odtud už snadno odvodíme, že přímka d na obrázku, tedy tečna ke křivce v nejkrajnějším bodě, řeší úlohu. Křivka v zadání byla dosti plochá – odtud plyne jen malý rozdíl v optimálních rychlostech. I když se od křivek výkonných větroňů příliš neliší, přeci jen jsme situaci podcenili, což vám ztížilo (znepřesnilo) konstrukci. 120

Ročník XVIII

Úloha V . 4 . . . neposlušná gravitace Při dlouhodobém pozorování zákrytů Jupiterova měsíce Io bylo zjištěno, že naœ měřená doba oběhů měsíčku kolem planety (např. od předchozího do následného začátku zákrytu) pravidelně kolísá mezi hodnotami 42 h 28 min 21 s a 42 h 28 min 51 s (s chybou měření 2 s). Pokuste se jak kvalitativně, tak kvantitativně vysvětlit pozorované změny. Kvanœ titou rozumíme určení „velikosti této příčinyÿ na základě měření samozřejmě s odœ hadem chyby! V zadání jsme záměrně zatajili, že popsaného jevu si všiml dánský astronom Olaf Römer již v roce 1676, když se v Jupiterově soustavě měsíců snažil najít přesně jdoucí hodiny sloužící námořníkům k měření času. Sám Römer okamžitě předložil správnou interpretaci svých měření. Při analýze problému si musíme uvědomit, že vysvětlujeme experimentálně zjišœ těný údaj, jenž může být ovlivněn nejen vlastním chováním studovaného systému (zde Jupiterovy rodiny měsíců), ale také samotným procesem a okolnostmi měření! Předpokládejme nyní, že oběžná doba T měsíčku Io kolem Jupitera se nemění, a zamysleme se právě nad okolnostmi měření. Pozorujeme harmonický pohyb s periœ odou necelé dva dny. Co může být příčinou malých změn této periody mezi zadanými krajními hodnotami? Jako první by nás měla napadnout změna frekvence v důsledku dobře známého Dopplerova jevu, jehož původem by zde měl především být pohyb pozorovatele (tedy planety Země) a předpoklad, že světlo se šíří konečnou rychlostí. Potom „kvantitouÿ v zadání bychom rozuměli výpočet rychlosti světla z naměřených hodnot T1 = 42 h 28 min 21 s = 152 901 s ,

T2 = 42 h 28 min 51 s = 152 931 s .

Vyšetřeme tedy tento model pro zdroj v klidu a pohybujícího se pozorovatele. Vzájemnou rychlostí bude zřejmě průmět vektoru okamžité rychlosti Země do směru spojnice Země–Jupiter. Máme zadány právě maximální a minimální hodnotu periœ ody, ty budou v našem modelu odpovídat situaci, kdy se Země pohybuje přesně vůči Jupiteru, resp. letí od něj (neboli průmět rychlosti má největší velikost). Poœ tom velikost relativní rychlosti v odpovídá v případě přibližování i vzdalování právě kruhové rychlosti oběhu Země kolem Slunce, jejíž velikost můžeme snadno vypočítat (např. délka kružnice dělená dobou oběhu, popř. jinak) v = 29,8 km·s−1 . Měřená perioda oběhu Ti , i = 1, 2 je z definice doba mezi příchody stejné fáze oběhu měsíce (např. okamžik začátku zákrytu, resp. dobře definovaný okamžik, kdy měsíc vletí do stínu Jupitera). Dvě po sobě jdoucí stejné fáze jsou od sebe vzdáleny o l = cT , kde T je skutečná doba oběhu. Za měřenou kratší dobu T1 jednak Země uletí dráhu vT1 vůči Jupiteru, jednak světelná informace vzdálenost cT1 . Součet těchto vzdáleností musí dát nutně dráhu l čili cT = cT1 + vT1 ,

121

FYKOS 1997–2007 cT1

vZ T1

l vZ 1 AU

vJ,rad 5,2 AU

vJ Obr. 40. Jupiter a Země na oběžné dráze odkud dostáváme známý vztah pro klasický Dopplerův jev pro přibližujícího se poœ zorovatele c T1 = T. c+v Pro nejdelší naměřenou periodu T2 odvodíme analogicky (postačí všude zaměnit znaménko u v) c T2 = T. c−v Jinými slovy za dobu T2 mine pomyslná tyč délky l pozorovatele při relativní rychœ losti (z klasického skládání) c − v. Z obou rovnic vyjádříme T , abychom jej vyloučili, a ze vzniklé rovnice vyjádříme hledanou velikost rychlosti světla c=

T2 + T1 v = 3,04 · 105 km·s−1 . T2 − T1

Je jasné, že perioda pozorovaných změn oběžné doby bude o něco delší než jeden tropický rok, neboť za tuto dobu se Jupiter již znatelně posune. K odhadu chyby můžeme efektivně použít zákona o sčítání relativních chyb. Absolutní chyba čitatele i jmenovatele je stejná a je součtem zadané chyby měœ ření period ∆T1,2 = 2 s, tj. 4 s. Tomu odpovídá relativní chyba čitatele 1,3 · 10−3 % (lze zanedbat) a jmenovatele asi 13,3 %. Relativní chybu hodnoty vzájemné rychœ losti v zahrnující změny v důsledku pohybu Země po eliptické dráze můžeme odhadœ nout 1 %. Uvedené relativní chyby jsou poměrně malé a odpovídají veličinám (resp. celým výrazům) v součinu nebo podílu, proto jejich součet určuje relativní chybu výsledku asi 15 %, jež dává absolutní chybu 4,6 · 104 km·s−1 . Správně zaokrouhlený výsledek je c = (3,0 ± 0,5) · 108 m·s−1 . Při přesném rozboru bychom museli započítat pohyb Jupitera i Země a geometrii včetně analytického nalezení maximální hodnoty relativní rychlosti. Pro radiální složku vektoru oběžné rychlosti Jupitera v našem zjednodušeném modelu vychází velikost přibližně (viz obr. 40) vJ,rad = 122

rZ 1 AU vJ = · 13 km·s−1 = 2,5 km·s−1 . rJ 5,2 AU

Ročník XVIII Pokud bychom chtěli tuto chybu, která odpovídá asi 9 % z v, zahrnout do chyby rychlosti v, bylo by již korektnější chybu výsledku určit pomocí zákona o sčítání kvadrátů, kam můžeme dosadit absolutní chyby vypočtené pomocí parciálních deœ rivací nebo pro zjednodušení vypočtené relativní chyby. Potom relativní chyba výœ sledku bude p . δc = 0,152 + 0,092 = 0,18 = 18 % . Na závěr uveďme, že Römerovi vyšla velikost rychlosti světla o něco menší, proœ tože přesně neznal rychlost pohybu planety Země, resp. správnou vzdálenost Země od Slunce (Newtonova Principia se zákony mechaniky a všeobecné gravitace vyšla až v roce 1687). Nicméně Olaf Römer získal první přesvědčivý a řádově správný odhad rychlosti světla. Pro úplnost je třeba dodat, že měření dob pomocí zákrytů je mnohem přesnější (na zlomky sekundy) a námi uvedená chyba měření byla z peœ dagogických důvodů nadsazena. Z úlohy plyne důležité poučení, že mnohá měření prováděná ze Země je nutné správně korigovat o pohyb Země.

Úloha VI . 4 . . . nezastavitelný chodec Vraťte se na chvíli do Atén na loňské olympijské hry a určete, jaká je teoretická maximální rychlost chodce. Chodec nebude diskvalifikován, pokud se každý rozhodčí (pozorovatel) shodne na tom, že alespoň jedna noha chodce stojí v každém okamžiku na zemi. Pokusme se nejdříve úlohu řešit klasicky, pouze s uvažováním konečné rychlosti šíření světla. Nechť je levá noha v místě o souřadnici 0 a pravá noha právě došlápla do místa vzdáleného a. Chodec bude moci levou nohu zvednout až ve chvíli, kdy svěœ telný paprsek z místa o souřadnici a dorazí k levé noze, ct protože jinak by například rozhodčí stojící za ním uviœ B0 děl zvednutí levé nohy dříve než dopad pravé. Označme tento interval t0 = a/c. Levá noha se bude pohybovat nejvýše světelnou rychlostí, a to po dobu 2t0 . Těžiště chodce se přesune o vzdálenost a za celkový čas 3t0 , při D uvažování pouze tohoto klasického jevu by byla jeho A0 maximální možná rychlost c/3. 3a S Znázorněme nyní situaci v prostoročasovém diaœ gramu (viz obr. 41). Na vodorovnou osu vynášíme B 0 souřadnici x, na svislou osu ct v soustavě S spojené ct a C se zemí. V tomto diagramu je světočára světelného paprsku x = ct přímka, která s osami svírá úhel 45◦ . Vypočítejme, jak v tomto diagramu budou umístěny A souřadnicové osy soustavy S 0 , která se vůči S pohybuje x rychlostí v (ve směru osy x). Napišme si známé vztahy pro Lorentzovu transforœ maci (tu používáme při přechodech mezi inerciálními systémy speciální teorie relativity) x0 “ “ Obr. 41. Světočára v ” v ” x0 = γ x − ct , ct0 = γ ct − x , chodce c c 123

FYKOS 1997–2007 p kde γ = 1/(1 − v 2 /c2 ) je Lorentzův faktor. Osa ct0 je dána rovnicí x0 = 0, ze které dostáváme c ct0 : ct = x , v 0 0 osa x je dána rovnicí ct = 0, odkud v x0 : ct = x . c První pozorování je, že osy se sklápí. Vidíme, že směrnice přímek, které udávají osy soustavy S 0 , jsou navzájem převrácené. To znamená, že svírá-li osa x0 s osou x úhel ϕ (tj. tg ϕ = v/c), potom stejný úhel svírá osa ct0 s osou ct. Připomeneme si důležité pozorování. Události umístěné na přímce rovnoběžné s osou x jsou v soustavě S současné. Analogicky události umístěné na přímce rovœ noběžné s osou x0 jsou současné v soustavě S 0 . Jelikož se osy sklápí, je současnost událostí relativní. Uvažujme extrémní případ, kdy rozhodčí se pohybuje limitně rychlostí −c vůči soustavě S. Jeho klidovou soustavu označíme S 0 . Směrnice os x0 a ct0 jsou podle výše odvozených vztahů rovny −1, budou tedy s osami x a ct svírat úhel −45◦ (viz obr. 41). Jak ukážeme dále, na tohoto rozhodčího si bude muset chodec dávat největší pozor. Délku kroku označme 2a. Světočára levé nohy je ABA0 B0 (události A a A0 předœ stavují položení nohy, události B a B0 představují zvednutí nohy), část světočáry pravé nohy je úsečka CD. Události B a C musí být vůči sobě postavené tak, aby událost C předcházela události B ve všech inerciálních soustavách (tj. aby všichni rozhodčí viděli, že nejprve se dotkne země pravá noha, a pak se teprve zvedne levá noha). To zajistíme tak, že události budou současné v soustavě S 0 (kterou jsme deœ finovali výše), tj. události B a C budou ležet na rovnoběžce s osou x0 . Jak si snadno rozmyslíte, v ostatních soustavách potom bude pořadí událostí náležité. Levá noha se pohybuje nejvýše světelnou rychlostí, proto je úsečka BA0 světelnou světočárou (přímka BA0 svírá se souřadnicovými osami úhel 45◦ ). Při symetrickém pohybu protíná spojnice BA0 úsečku CD v jejím středu S. ct Přímka BA0 je kolmá ke přímce BC; je-li vzdálenost příœ B0 mek AB a CD rovna a, bude délka úsečky CS rovna 2a, délka celé úsečky CD je 4a. Uražení vzdálenosti a na proœ storové ose trvá chodci 3a/c. Rychlost chodce při neuvaœ žování konečného šíření signálu vychází c/3. D Uvažujme kombinaci výše popsaných jevů. Prostoroœ A0 časový diagram je na obrázku 42. Předpokládejme, že S zvednutí pravé nohy nastane dříve – již v bodě E. Do diaœ gramu jsme přerušovanou čárou zakreslili světelné světoœ B čáry, které „nesouÿ informaci o proběhlých událostech E C a B. Požadujeme, aby se každý rozhodčí dozvěděl nejdříve E o události E, a až poté o události B. Rozhodčího do diœ a agram zakreslíme jako prostorupodobnou světočáru (tj. A nikdy se nepohybuje rychleji než c). Snadno si rozmysœ x líme, že každý rozhodčí se dozví o událostech E a B v nᜠležitém pořadí (okamžik, kdy se rozhodčí o události doœ Obr. 42 zví, je určen průsečíkem světočáry rozhodčího a příslušné 124

Ročník XVIII světelné světočáry), dokonce událost E může být identická s událostí C. Maximální rychlost tedy zůstává c/3.

Úloha VI . E . . . chyťte foton Změřte rychlost světla ve vakuu. Provést to můžete libovolným způsobem, použijte třeba i mikrovlnnou troubu. Historický úvod Historie měření rychlosti světla je poměrně obsáhlá kapitola. K realizaci klasicœ kých mechanických experimentů (Fizeauovo měření s ozubeným kolem nebo užití Foucaultova rotujícího zrcadla) si pravděpodobně neobstaráme potřebné zařízení. Kvůli technické i časové náročnosti se nebudeme zabývat zajímavými astronomicœ kými metodami, jako např. Bradleyho měření aberačního úhlu u hvězd nebo poœ mocí zákrytů měsíců některých planet (viz úloha V.4 předchozí série). V řešení buœ deme měřit rychlost vhodného elektromagnetického vlnění, kterým viditelné světlo je, a přitom užijeme teoretického poznatku J. C. Maxwella, že všechno elektromagœ netické záření se ve vakuu šíří stejnou rychlostí, která je prakticky rovna měřené rychlosti světla ve vzduchu. Teorie Mezi vlnovou délkou λ, frekvencí f a rychlostí šíření c elektromagnetického vlnění platí vztah λ c= = λf . T Odtud rychlost světla vypočteme, podaří-li se nám např. změřit vlnovou délku záření o známé frekvenci. Ze zkušenosti víme, že rychlost světla je veliká, proto bychom potřebovali vlnění s poměrně vysokou frekvencí, aby vlnová délka byla měřitelná doœ stupnými prostředky. Vyzkoušejme třeba (podle doporučení v zadání) mikrovlnnou troubu, která dle normy pracuje na frekvenci (samozřejmě v bezlicenčním frekvenčœ ním pásmu) f = 2,45 GHz . Při měření vlnové délky mikrovln využijeme skutečnosti, že vyzářené vlny interœ ferují s vlnami odraženými od stěn a v troubě vzniká tzv. stojaté vlnění. Vlny se musí odrážet; jejich pohlcování ve stěnách je neužitečné a mohlo by znamenat poničení trouby. Mikrovlny samozřejmě nesmí unikat do okolí a ohrožovat kuchaře. U stojaœ tého vlnění existují jednak uzly (tj. místa, kde se vektory elektrické intenzity přímé a odražené vlny nezávisle na čase vyruší), jednak kmitny, v nichž se intenzity sčítají konstruktivně a dosahují největší amplitudy. Právě v místě kmiten se ohřívané látce (která musí být alespoň polární, jako např. voda) předává nejvíce energie a látka se nejrychleji zahřívá. Aby se potravina lokálně nespálila v důsledku pomalého odvodu tepla, talíř se s ní pomalu otáčí. Jistý vliv na ohřev může mít také proudící vzduch. Ve vodě se teplo efektivně rozvádí prouděním (konvekcí). Nepolární látky, jako např. porcelán talíře či sklo, se ohřívají sekundárně od jídla běžným vedením tepla. 125

FYKOS 1997–2007 V teorii potřebujeme zmínit, že sousední kmitny jsou vzdáleny právě o polovinu vlnové délky. Vlnovou délku tedy určíme změřením vzdálenosti d přes celkem n kmiten (včetně měřených krajních) podle vztahu λ=

2d . n−1

Měření Když rozumíme principům funkce mikrovlnné trouby, můžeme se věnovat vlastœ nímu měření. Polohu kmiten zviditelníme látkou, která se snadno nataví (a pokud možno příliš rychle neodvádí teplo, což vede k rozmazání polohy). Organizátoři k toœ muto účelu jednomyslně preferují čokoládu. Jednu nebo dvě tabulky čokolády nožem nařežeme na malé kousky a dostatečně hustě je rozsypeme po rovném skleněném taœ líři z trouby. Je jasné, že musíme potlačit otáčení talíře, tudíž jej do trouby položíme na dva vhodně vysoké hrnky, lépe však na plastový kryt sloužící k přiklopení talířů. Pokud nemáme velké zásoby čokolády a chceme šetřit energii, musíme pokus provᜠdět s rozvahou. Nastavíme střední výkon a spustíme mikrovlnku na 5 až 30 sekund. Poté talíř vytáhneme a špičkou nože vyzkoušíme, kde a do jaké míry se čokoláda rozehřála. Podle množství a jakosti materiálu můžeme pokus opakovat a hledat opœ timální nastavení výkonu a doby ohřevu. Je vhodné dát čokoládu na talíři ztuhnout do lednice a měření opakovat. Vyzkoušeli jsme měření s několika různými mikrovlnkami. Nejlepší dosažený výœ sledek obsahoval n1 = 5 zviditelněných kmiten. Odečtené vzdálenosti di jsou uveœ deny v tabulce s vypočtenou hodnotou rychlosti. Naměřené vzdálenosti kmiten č. m. 1 2 3 4 5

n 5 3 3 3 3

d [cm] 24 ± 1 12 ± 1 12,5 ± 1,0 12 ± 1 12 ± 1

λ [cm] 12,0 ± 0,5 12 ± 1 12,5 ± 1,0 12 ± 1 12 ± 1

rel. chyba [%] 4,2 8,3 8,0 8,3 8,3

c [108 m·s−1 ] 2,94 ± 0,13 2,9 ± 0,3 3,1 ± 0,3 2,9 ± 0,3 2,9 ± 0,3

Relativní chybu měření d můžeme pokládat za rovnou relativní hodnotě výœ sledku c díky přímé úměře. Pokud je první platná číslice absolutní chyby jednička, je možné uvést chybu na dvě platné číslice. Připomeňme, že absolutní chyby vždy bezpečně zaokrouhlujeme nahoru a střední hodnotu zaokrouhlíme standardně ve stejném řádu. Všechny výsledky s ohledem na chyby měření spolu korespondují. V závěru můžeme uvést nejpřesnější měření, popřípadě aritmetický průměr, jenž může být vážený převrácenými hodnotami relativních chyb a vypočten z nezaoœ krouhlených hodnot, jakožto nejlepší odhad střední hodnoty (uveden se standardní odchylkou) c = (2,95 ± 0,09) · 108 m·s−1 . Chybu výsledku vypočítáme dle kvadratického zákona sčítání možné chyby, statisœ tické a případně dalších chyb měření, což je důležité, abychom nepodcenili výslednou 126

Ročník XVIII chybu měření εc =

p . . 0,252 + 0,092 · 108 m·s−1 = 0,266 · 108 m·s−1 = 0,3 · 108 m·s−1 .

Diskuse a závěr S využitím stojatého vlnění v mikrovlnné troubě jsme s chybou 10 % změřili rychlost světla ve vzduchu c = (2,9 ± 0,3) · 108 m·s−1 , . která se velmi dobře blíží tabelované hodnotě c = 3,0 · 108 m·s−1 . Chybu měření navýšilo především nepřesné určení poloh kmiten. Při některých uspořádáních exœ perimentu se kmitny nedaly nalézt, což lze vysvětlit složitými odrazy a pohlcováním mikrovln v troubě. Pokud se však kmitny v přímce zviditelnily, dávaly vždy dobrý a jednoznačný výsledek v souladu s teorií. Všimněte si, že aritmetický průměr je mírně vychýlen od tabelované hodnoty, i když jí v rámci standardní odchylky odpovídá. Jeho uvedením se standardní odœ chylkou, která může být při větším statistickém souboru již hodně malá, bychom se mohli dopustit chyby v závěru. Proto musíme při vyhodnocení chyby započítat také možnou chybu danou hrubostí měření, jak jsme to udělali, abychom neztratili jistotu. Co říci na závěr, je jasné. Po experimentu, poctivém počítání směrodatœ ných odchylek a vyhodnocení chyb a jako odměnu za naše celoroční snažení všechnu čokoládu s chutí sníme!

127

Ročník XIX Devatenáctý ročník ve školním roce 2005/2006 řešilo 112 studentů, poslední sérii poslalo 31 středoškoláků. Do rozpočtu FYKOSu tento rok také přispěla Skupina ČEZ a Rozvojové programy MŠMT. Rozsáhlý seriál o statistické fyzice napsal Matouš Ringel. Podzimní soustředění se konalo 15.–22. 10. 2005 v Jablonci nad Jizerou. Úspěšnou legendu o Rychlých šípech plnou scének a zábavných her připravil Honza Prachař. Jarní soustředění bylo 1.–8. 4. 2006 v Dobré Vodě u Třebíče. Podruhé v historii FYKOSu se podařilo zrealizovat výjezdní soustředění s exœ kurzí do CERNu. Jeho organizátoři byli Honza Prachař a Pavel Brom, hlavním koœ ordinátorem byl však RNDr. Jiří Dolejší, finance zajistila PhDr. Alena Havlíčková. Soustředění se konalo 25.–30. 4. 2006 a zúčastnilo se ho 28 řešitelů. Den s experiœ mentální fyzikou, na který přijelo více než 60 studentů, se tentokrát přesunul do Ústavu jaderného výzkumu v Řeži u Prahy a do Fyzikálního ústavu UK na Karlově. Ročenka vyšla poprvé s barevnou přílohou.

Nejúspěšnější řešitelé jméno Student Pilný

škola MFF UK

Σ 200

Kategorie 4. ročníků 1. Marek Pechal 2. Tomáš Bednárik

G Lesní čtvrť, Zlín Masarykovo G, Vsetín

162 111

Kategorie 3. ročníků 1. Pavel Motloch 2. Jakub Benda 3. Daniel Šimsa 4. Martin Formánek 5. Jan Jelínek

G G G G G

175 141 127 103 99

Kategorie 2. ročníků 1. Jakub Michálek 2. Lukáš Vítovec 3. Juraj Hartman 4. Marek Nečada

G Jana Keplera, Praha PČG Karlovy Vary G Náchod G Jihlava

Kategorie 1. ročníků 1. Lukáš Cimpl 2. Katarína Baxová

G Frenštát pod Radhoštěm G Ľudovíta Štúra, Trenčín

P. Bezruče, Frýdek-Místek Jana Nerudy, Praha J. Jungmanna, Litoměřice Uherské Hradiště Konstantinova, Praha

179 107 70 70 63 50

Organizátoři Jan Prachař (hlavní organizátor), Pavel Brom, Roman Fiala, Peter Greškovič, Michael Komm, Zdeněk Kučka, Ján Lalinský, Jiří Lipovský, Matouš Ringel, Jaroslav Trnka, Karel Tůma, Petra Suková, Petr Sýkora, Peter Zalom a další.

128

Ročník XIX

Vybrané úlohy Úloha I . 1 . . . opravdu Saturn plave? Věříte, že průměrná hustota Saturnu je menší než hustota vody? Sami se můžete na Saturn podívat v dalekohledu. Kromě prstence uvidíte kolem planety několik měsíců, pokud nebudou zrovna v zákrytu. (V takovém případě byste si např. na měsíc Titan museli počkat nejdéle 6 hodin, kolik trvá jeho přechod přes kotouč planety.) Můžete zjistit, že Titan oběhne planetu jednou za 16 dní. Dokážete z pozorování měsíce Titanu určit průměrnou hustotu Saturnu? Pokud ne, zdůvodněte, pokud ano, vypočtěte ji a přesvědčíte se o jedné zajímavosti. (řešení str. 130) Úloha II . P . . . dechové nástroje Pokuste se vysvětlit, proč je možné příčnou flétnu „přefouknoutÿ o oktávu výše (tj. zahrát stejným hmatem i tón s dvojnásobnou frekvencí), zatímco u klarinetu toho dosáhnout nelze. (řešení str. 131) Úloha V . 3 . . . účinnost elektrárny Vypočítejte účinnost stroje, který pracuje mezi dvěma tepelnými lázněmi o tepœ lotách T1 a T2 , T1 > T2 a který dosahuje maximálního možného výkonu. Do výsledœ ného vztahu potom dosaďte data některé známé elektrárny. Uvědomte si, že Carnotův stroj má nulový výkon, protože při izotermickém ději je rozdíl teplot mezi strojem a lázní nekonečně malý, což způsobí nekonečně malý tepelný tok a nekonečně malý výkon stroje. (řešení str. 133) Úloha V . E . . . babiččiny palačinky Rozehřejte pánvičku na plotýnce nebo nad plamenem tak, aby se na ní daly smažit palačinky (asi na 200 ◦C). Pokud na její suchý rozžhavený povrch cáknete kapičku vody, hned se nevypaří, ale bude po něm až minutu rejdit. Proměřte dobu rejdění v závislosti na velikosti kapičky a tento jev se pokuste vysvětlit. (řešení str. 135)

IX X

IV

II VI

Úloha VI . 3 . . . roztáčíme elektromotor Na hřídeli elektromotoru je navinuta nit, na konci které je zaœ věšeno závaží o hmotnosti m. Pokud motor připojíme na ideální zdroj napětí U , závaží pojede vzhůru rychlostí v1 . Jakou rychlostí bude závaží klesat, pokud zdroj odpojíme a vstup elektromotoru zkratujeme? Mechanické tření neuvažujte. (řešení str. 140)

XII I XI III II

Úloha VI . 2 . . . kukačky na lanech Kyvadlové hodiny o hmotnosti M jsou zavěšeny na dvou dlouœ hých rovnoběžných lanech (viz obr. 43). Kyvadlo se skládá ze zᜠvažíčka o hmotnosti m a lehké tyčky o délce l. Určete, o kolik se budou takové hodiny předbíhat (opožďovat) oproti hodinám pevně přibitým na stěně. (řešení str. 140)

VI I VI V

Obr. 43

129

FYKOS 1997–2007 Další zajímavé úlohy Hned v první sérii jsme se zamýšleli (I.P), proč na Bali nastává příliv jen jedou denně. V úloze II.2 se měla vypočítat hmotnost lokomotivy, aby se vlak rozjel bez prokluzování kol po kolejnici. Jak ušetřit a využít teplo z napuštené vany? Nad tím jsme se zamýšleli v úloze III.3. Čtvrtá série se odehrávala v dalekém vesmíru za 1001 hvězdami a jednou černou dírou na planetě Balónků – inteligentních dutých bytostí. Navštívili jsme turnaj Balónků „Čím výš, tím lípÿ (IV.1), pouť v hlavœ ním městě Medicinbaldorfu (IV.3), a dokonce svatbu Pískala s Foukalkou (IV.4), zjišťovali jsme teplotu na tamější planetě (IV.2) a radili jsme Funíkovi, jak změnit svůj objem a teplotu (IV.P). V páté sérii jsme se setkali se samovolně zažehnutým přírodním jaderným reaktorem (V.4). A v poslední sérii řešitelé přemýšleli, proč obœ délníkové zrcátko nedělá obdélníkové prasátko (VI.4) a jak je možné, že dvě kapaliny nalité do kádinky mohou začít vřít při teplotě nižší, než je teplota varu obou kapalin (VI.P).

Úloha I . 1 . . . opravdu Saturn plave? Věříte, že průměrná hustota Saturnu je menší než hustota vody? Sami se můžete na Saturn podívat v dalekohledu. Kromě prstence uvidíte kolem planety několik měsíců, pokud nebudou zrovna v zákrytu. (V takovém případě byste si např. na měsíc Titan museli počkat nejdéle 6 hodin, kolik trvá jeho přechod přes kotouč planety.) Můžete zjistit, že Titan oběhne planetu jednou za 16 dní. Dokážete z pozorování měsíce Titanu určit průměrnou hustotu Saturnu? Pokud ne, zdůvodněte, pokud ano, vypočtěte ji a přesvědčíte se o jedné zajímavosti. Cílem této úlohy je vypočítat hustotu Saturnu pouze s pomocí doby oběhu T jeho měsíce Titanu a doby, po kterou je Titan v jeho stínu. Některé možná překvapí, že na to nepotřebujeme určit hmotnost Saturnu ani jeho objem. Hustota je totiž jenom poměr těchto dvou veličin. Hmotnost můžeme vyjádřit pomocí třetího Keplerova zákona jako závislou veličinu podobně jako objem z doby přechodu stínem. Na začátku se dohodneme, že paprsky určující geometrický stín Saturnu jsou díky velké vzdálenosti Saturnu rovnoběžné. V dalším zjednodušení budeme pokládat dráhu Titanu za kruhovou (čímž rovněž neučiníme větší chybu). Vyjdeme ze vztahu pro rovnost odstředivé a gravitační síly a vyjádříme hmotnost Saturnu M . GM m = mω 2 r r2

⇒

M=

ω2 r3 , G

(25)

kde ω je úhlová oběžná rychlost Titanu, r poloměr jeho oběžné dráhy a G gravitační konstanta. Po dosazení za úhlovou rychlost ω = 2π/T dostáváme 4π2 r3 M= · . G T2 Tím jsme vlastně využili třetí Keplerův zákon. K určení objemu potřebujeme vyjádřit poloměr Saturnu. Využijeme dobu t poœ hybu Titanu v geometrickém stínu Saturnu. Teď můžeme pokračovat dvěma různě přesnými výpočty. 130

Ročník XIX a) Aproximace části dráhy Titanu ve stíœ nu přímkou (neboť díky velké vzdáleœ nosti Titanu od Saturnu je jen málo zakřivená). Průměr Saturnu pak bude d = vt = ωrt, kde t je čas pohybu Tiœ tanu ve stínu. Po dosazení do vztahu pro objem koule získáme pro objem Saturnu V = πω 3 r3 t3 /6. Pomocí (25) vyjádříme hustotu Saturnu takto %=

Titan

Saturn ϕ

r d

6 3T = . 3 Gπωt Gπ2 t3

Číselná hodnota je 625 kg·m−3 . b) Aproximace části dráhy Titanu ve stíœ Obr. 44. Schématický nákres Titanu na nu kružnicí. Poloměr Saturnu můžeœ oběžné dráze (Titan ve skutečnosti me získat následovně. Úhlovou drᜠobíhá v rovině prstenců) hu ϕ, kterou projde Titan ve stínu, určíme ze vztahu ϕ t 2πt = ⇒ ϕ= . 2π T T Pro průměr Saturnu pak bude platit d = 2r sin (ϕ/2) = 2r sin (πt/T ) a pro objem dostaneme „ «3 1 πt 4 πt V = π 2r sin = πr3 sin3 . 6 T 3 T Hmotnost zůstává stejná jako v předchozím případě a pro hustotu získáváme vztah 3π %= . 2 GT sin3 (πt/T ) Dosazením hodnot ze zadání vypočítáme přesnější hodnotu průměrné hustoty Saturnu 626 kg·m−3 . Vidíme, že výsledky se od sebe téměř neliší. Aproximaci jsme tedy zvolili správně. V obou případech jsme pouze z doby oběhu a doby přechodu stínem určili průměrnou hustotu Saturnu. Otázkou zůstává reálnost takového pozorování. Pokud by Titan obíhal Saturn v neměnné rovině prstenců, pak by takové pozorování bylo možné jenom v době, kdy vidíme prstence Saturnu téměř přesně ze strany, tedy dvakrát za jeden oběh Saturnu kolem Slunce, obecně by to však bylo možné ještě méně často. Zkuste si také vypočítat, do jaké vzdálenosti sahá úplný stín Saturnu za jeho vzdálenost od Slunce a kde začíná polostín5 .

5)

Polostín se nachází v takových místech, kde je planetou Saturn zakrytá jen část Sluœ nečního kotouče.

131

FYKOS 1997–2007

Úloha II . P . . . dechové nástroje Pokuste se vysvětlit, proč je možné příčnou flétnu „přefouknoutÿ o oktávu výše (tj. zahrát stejným hmatem i tón s dvojnásobnou frekvencí), zatímco u klarinetu toho dosáhnout nelze. Zvuk, který slyšíme, je periodická změna tlaku vzduchu. U flétny naráží proud vzduchu z úst na hranu otvoru, tím vznikají víry, nehomogenity v tlaku. Dochází k různým odrazům vlnění, přičemž nejvýrazněji se uplatní frekvence, při které slouœ pec vzduchu rezonuje. Flétnu se všemi dírkami ucpanými si můžeme představit jako trubici na obou koncích otevřenou, protože hráč vždy nechává část vstupního otvoru nezakrytou. Vzniká stojaté vlnění, na obou koncích trubice leží kmitny (ve skutečœ nosti se kvůli okrajovým jevům nalézají přibližně o 0,6 poloměru trubice od okraje směrem vně flétny). Vlnová délka základního tónu je dvojnásobná než délka flétny (viz obr. 46), jeho frekvenci určíme ze vztahu f0 =

v v = , λ 2l

kde v je rychlost vlny v trubici. Podmínce kmiten na obou koncích však také vyhovují ostatní vlny na obr. 46. Pro vlnu, jejíž délka je stejná jako délka flétny, platí f=

v v = = 2f0 , λ l

jedná se tedy o druhou harmonickou frekvenci. Vznikne, pokud je proud vzduchu dostatečně silný. Konstrukce klarinetu je odlišná. Tento nástroj obsahuje klínovitý plátek (jaœ zýček), mezi nímž a stěnami trubice je úzká mezera (obr. 45). Silný proud vzduœ chu vyvolá v této mezeře podtlak, jazýček se nadzdvihne, čímž tuto mezeru ucpe. Tím se reguluje proud vzduchu přicházející do trubice. Zvuková vlna rozkmitává jazýček, který budí další kmity vzduchového sloupce v trubici. Obr. 45. Jazýček klarinetu Při vhodném umístění a tlumení plátku je přefouknutí přeci jen možné, nesetkáváme se však se všemi harmonickými frekvenœ cemi. Protože je mezera u jazýčku velmi malá, můžeme trubici považovat na tomto konci za uzavřenou, na druhém (vzdálenějším) konci za otevřenou. Rozšíření trubice na vzdálenějším konci zanedbáme. Vznikají stojaté vlny, které mají na jednom konci kmitnu a na druhém uzel (viz obr. 47). Vlnová délka základního tónu je λ = 4l, odpovídající frekvence je f0 =

v v = . λ 4l

Následující vlna má uvnitř nástroje ještě jeden uzel a jednu kmitnu, pro její frekvenci proto platí v v f= = = 3f0 . λ 4l/3 132

Ročník XIX

f0

f0

2f0

3f0

3f0

5f0

Obr. 46. Vyšší harmonické u flétny

Obr. 47. Vyšší harmonické u klarinetu

Obdobnou úvahou dospějeme k tomu, že mohou vzniknout pouze liché násobky základní frekvence. Třetí harmonické frekvence lze snadněji dosáhnout také otevřeœ ním otvoru ležícího přibližně ve třetině délky rezonanční trubice, změna hmatu ale nebyla v zadání povolena. To, co jsme v tomto řešení nastínili, byl jen přibližný model těchto nástrojů, ve skutečnosti bude vznik tónu ovlivňovat více faktorů.

Úloha V . 3 . . . účinnost elektrárny Vypočítejte účinnost stroje, který pracuje mezi dvěma tepelnými lázněmi o teploœ tách T1 a T2 , T1 > T2 a který dosahuje maximálního možného výkonu. Do výsledœ ného vztahu potom dosaďte data některé známé elektrárny. Uvědomte si, že Carnotův stroj má nulový výkon, protože při izotermickém ději je rozdíl teplot mezi strojem a lázní nekonečně malý, což způsobí nekonečně malý tepelný tok a nekonečně malý výkon stroje. Jak jsme zmínili v zadání, maximální účinnost nemusí být nezbytně to, čeho chceme dosáhnout při konstrukci reálných tepelných strojů. Důležitý je výkon, který je ve sporu s maximální účinností – Carnotův stroj má nulový výkon. Předpokládejme, že chceme odebírat teplo z teplejší tepelné lázně a nějakým způœ sobem získávat práci. Dobře víme, že maximální možné účinnosti dosahuje každý vratný děj (změna celkové entropie je nulová). Jestliže pracovní látka tepelného stroje dosáhne teploty jedné z lázní, bude jí přenos tepla trvat nekonečně dlouhou dobu, a stroj tak bude mít nulový výkon. Pokud však během odebírání tepla z lázně má pracovní látka teplotu nižší než teplota lázně, stává se děj nevratným (na přeœ nesení tepla zpět na teplejší lázeň bychom museli dle druhé termodynamické věty konat práci). Abychom tedy získali nenulový výkon, musí extrakce tepla z teplé lázně (stejně jako odevzdávání přebytečného tepla chladnější lázni) probíhat nevratně6 . Pro další analýzu budeme předpokládat, že izotermy pracovního cyklu budou na teplotách T10 a T20 tak, že platí T1 > T10 > T20 > T2 . Tudíž teplo přechází z teplejší lázně do pracovní látky skrze teplotní rozdíl T1 − T10 a teplo odchází z pracovní látky 6)

Takový stroj, ve kterém dochází k toku tepla nevratně, nazýváme endoreversibilní.

133

FYKOS 1997–2007 do chladnější lázně skrze teplotní rozdíl T20 − T2 , jak je znázorněno na obrázku 48. Tepelný tok je úměrný teplotnímu rozdílu s konstantou úměrnosti κ, kde κ je tepelná vodivost krát plocha děleno tloušťka stěny mezi lázní a pracovní látkou. Jestliže t1 je čas potřebný k přenesení tepla Q1 , pak platí (Q1 je teplo přijaté teplou lázní, proto Q1 < 0) −Q1 = κ 1 (T1 − T10 ) . t1 Podobný vztah platí pro teplo Q2 . Celkový čas, který stroj stráví na obou izoterœ mách, tedy je 1 Q2 1 −Q1 + . (26) t = t1 + t2 = 0 0 κ 1 T1 − T1 κ 2 T2 − T2 Předpokládáme, že čas strávený na obou adiabatách je zanedbatelný vůči t, adiabaœ tické děje totiž musí proběhnout velice rychle, aby pracovní látka nestihla relaxovat, navíc tento čas můžeme libovolně zkrátit. Jelikož pracovní cyklus je vlastně Carnotův cyklus pracující mezi teplotami T10 a T20 , platí W T0 = η = 1 − 20 , −Q1 T1

W W 1 η T0 = = = = 10 − 1 . Q2 −Q1 − W −Q1 /W − 1 1−η T2

Toto využijeme do vztahu (26). „ t=

1 1 T10 1 1 T20 + κ 1 T1 − T10 T10 − T20 κ 2 T20 − T2 T10 − T20

« W.

Výkon našeho stroje je W/t a toto číslo chceme maximalizovat vzhledem k zatím neznámým teplotám T10 a T20 . Po provedení příslušných derivací dostaneme podmínky √ T10 = c T1 , T

T1

a maximální získatelný výkon je

−Q1 T10 W T20 Q2 T2 S Obr. 48. TS-diagram pracovního cyklu

134

√ T20 = c T2

√ «2 „√ T1 − T2 P = κ1 κ2 √ , √ κ1 + κ2 √ √ √ √ kde c = ( κ 1 T1 + κ 2 T2 )/( κ 1 + κ 2 ). Hledali jsme účinnost tohoto stroje vyœ jádřenou pomocí T1 a T2 a ta je T10 ε=1− 0 =1− T2

r

T2 . T1

Pozoruhodné je, že účinnost nezávisí na koeficientech κ 1 a κ 2 .

Ročník XIX Velké elektrárny evidentně pracují tak, že mají téměř maximální výkon, jak ukazují data ze tří elektráren v následující tabulce. Účinnosti elektráren ve srovnání s účinností η Carnotova stroje a s účinností ε Elektrárna West Thurrock (UK), tepelná elektrárna CANDU (Kanada), PHW jad. reaktor Larderello (Itálie), geotermální elektr.

T2 [◦C] ∼ 25 ∼ 25 80

T1 [◦C] 565 300 250

η 0,64 0,48 0,32

ε 0,40 0,28 0,175

pozorovaná 0,36 0,30 0,16

Úloha V . E . . . babiččiny palačinky Rozehřejte pánvičku na plotýnce nebo nad plamenem tak, aby se na ní daly smažit palačinky (asi na 200 ◦C). Pokud na její suchý rozžhavený povrch cáknete kapičku vody, hned se nevypaří, ale bude po něm až minutu rejdit. Proměřte dobu rejdění v závislosti na velikosti kapičky a tento jev se pokuste vysvětlit.

doba ˇzivota kapky [s]

Teorie Vytáhneme z kredence pánvičku, pořádně ji rozehřejeme, kápneme na ni vodu a ona se okamžitě vypaří, přestože zadání tvrdí něco jiného. Kapka podle zadání prý vydrží rejdit na pánvičce až minutu. Takže kde je zakopán pes (přesněji kde jsou ty babiččiny palačinky)? Jakkoli nepřirozené to může někomu přijít, pánvička je jenom příliš studená, přesněji řečeno její teplota nedosáhla okolí tzv. Leidenfrostova bodu. Abychom pochopili, o co se jedná, podívejme na graf na obrázku 49 (převzato z [1]). Tuhle závislost naměřil Jearl Walker z Clevelandské Univerzity v Ohiu, o čemž si můžete přečíst v poměrně známé knížœ Leidenfrostův bod ce [1]. Z této závislosti je zřejmé, že ◦ 70 při jisté teplotě (kolem 200 C) dochází k prudkému růstu doby života kapek 60 s teplotou pánve. Jako Leidenfrostův bod pak označujeme teplotu, při které 50 žijí kapky nejdéle. A to je přesně ta teplota, při které bychom rádi proměřili 40 závislost doby života kapky na jejím obœ 30 jemu (a pekli též babiččiny palačinky). Avšak dříve, než se pustíme do měœ 20 ření a vymýšlení různých teoretických modelů pro délku života kapek v závisœ 10 losti na jejich objemu, měli bychom zjisœ tit, proč se kapka chová takhle podivně. 200 300 Protože nejlepším expertem na rejdící teplota desky [◦C] kapky na horké desce je vzpomínaný Obr. 49. Doba života kapek na horké Jearl Walker, nechejme ho promluvit: desce „Je-li teplota nad Leidenfrostovým boœ dem, spodní povrch kapky se okamžitě 135

FYKOS 1997–2007 vypaří. Tlak této páry ovšem kapku nadnáší, takže se zbytek kapky desky ani nedotkne. Vrstva je stále doplňována vodní párou z dolního povrchu kapky, odœ kud se voda neustále odpařuje díky záření a vedení tepla vrstvou páry. Přestože je tloušťka vrstvy menší než 0,1 mm u hranice a okolo 0,2 mm ve středu, dokáže výrazně zpomalit vypařování kapky.ÿ K tomuto vysvětlení jenom dodáme, že vedení tepla vrstvou páry je o poznání menší, než je tomu při vedení tepla přes rozhraní kapka–pánvička – a to vysvětluje i skutečnost, proč se kapka vypaří tak rychle při nízkých teplotách (myslíme tím teploty menší, než je Leidenfrostův bod), kdy neexistuje tato vrstvička páry v dostatečné míře. A nyní je na řadě slíbený teoretický model. Předpokládejme, že kapka má přiœ bližně kulový tvar (kapka nezaujme přesně kulový tvar, koho by to víc zajímalo, toho můžeme opět odkázat na knihu [1]) a že mezi kapkou a povrchem pánve je vrstva páry. Kapka přijímá teplo od pánve prostřednictvím záření a vedením tepla skrz vrstvičku páry. O teplo přichází kapka díky vypařování, vyzařování a část tepla také odvádí okolní vzduch. Dominantním jevy, které mají vliv na teplotu kapky, jsou odpařování vody z kapky a vedení tepla vrstvičkou mezi pánví a kapkou7 . Pokud bude kapka v každém okamžiku ve stavu tepelné rovnováhy, pro vypařování můžeme napsat rovnici P (T − T0 ) dV −l% =λ . dt d Člen na levé straně rovnice je teplo spotřebované na odpaření objemu8 (− dV ) kapky za čas dt, % je tedy hustota vody a l je měrné skupenské teplo vypařování. Člen na pravé straně vyjadřuje přenos tepla vedením skrz vrstvu páry, ten je úměrný obsahu průřezu kapky P , tepelné vodivosti směsy vzduchu a páry λ, rozdílu teplot mezi pánví a kapkou T − T0 a nepřímo úměrný tloušťce d vrstvy páry. Zdůrazňujeme, že uvedená rovnice je jen hrubý popis toho, co se ve skutečnosti s kapkou děje. Experiment ukáže, jak bude tento teoretický model úspěšný. Pro kulovou kapku platí V = 4πR3 /3 a P = πR2 , kde R je poloměr kapky. Rovnici pro odpařování kapky přepíšeme jenom v proměných V a t (tzn. že P vyjádříme pomocí V ). Po úpravách dostaneme dV − = dt

# "„ √ « 2/3 (T − T0 ) 3 π λ V 2/3 . 4 l%d

Výraz v hranaté závorce označíme K a diferenciální rovnici vyřešíme separací proœ měnných Z 0 Z t dV − = K dt , 2/3 V V 0 kde horní a dolní meze integrálů jsme zvolili tak, aby v čase 0 měla kapka objem V a v čase t objem 0. Počítáme už jenom dané integrály a pro dobu odpařování kapky obdržíme 3 1/3 t= V . K 7) 8)

Experimentální ověření tohoto faktu viz úloha IV.E 18. ročníku FYKOSu. Objem kapky se zmenšuje, proto je dV menší než nula.

136

Ročník XIX Proměřením závislosti doby života kapky na jejím objemu t(V ) můžeme určit konœ stantu K, a tedy koeficient tepelné vodivosti λ dělený tloušťkou d vrstvy páry. λ = d

„

4 √ 3 π

«2/3

3l% T − T0

„

3 K

«−1 .

(27)

Hrubost našeho modelu se projeví ve skutečnosti, že konstanta K bude záviset na objemu kapky, protože se během odpařování mění její tvar, tloušťka polštáře mezí ní a pánví apod. Tato závislost bude obecně složitá. Zvláště při malých objemech kapky, kdy je děj nejvíce dynamický, se bude náš model nejvíce lišit od reality. Při integrování jsme předpokládali, že K na objemu nezávisí a pro dobu vypařování jsme dostali jednoduchý výsledek t ∼ V 1/3 . Takže se podívejme, co ukázal experiment. Postup měření Naším skvělým experimentálním zařízením byla elektrická plotna na koleji, místo pánve jsme ale použili nerezový hrnec, protože na pánvi se nedařilo rejdění pozoroœ vat, pravděpodobně kvůli nízké teplotě pánve nebo možná také kvůli teflonovému povrchu. Injekční stříkačkou objemu 2 ml jsme kapali kapky vody na povrch a stopœ kami na mobilu měřili dobu, kterou kapka na rozpáleném povrchu vydržela. Pro měření jsme použili dva druhy kapek. Velké kapky jsme odkapávali přímo ze stříkačky, malé kapky jsme připravovali tak, že jsme zmenšili otvor stříkačky tak, aby byly kapky menší. Další větší kapky jsme jednoduše vytvářeli rychlým nakapáním více kapek menších. Soustavná chyba měření objemu stříkačkou je asi 2 procenta, jak jsme zjistili měřením hmotnosti natáhnutého objemu vody. Vzhledem k době vypařování (asi 1 min) je měření času dostatečně přesné, bohužel méně přesné je měření objemu kapek. Objem kapky ze stříkačky je možné stanovit tak, že nakaœ páte množství kapek, spočítáte je a za objem kapky pak prohlásíte výsledný objem vydělený počtem kapek. Takto jsme to dělali – při velkých kapkách to celkem šlo (nepřesnost asi 6 %), kdežto při malých to šlo o dost hůř a nepřesnost odhadujeme asi na 14 %. To už je opravdu hodně nepřesné, ale stále lepší, než kdybychom urœ čovali objem měřením poloměru (který má smysl jenom pro malé kapky kulového tvaru). Výsledky měření Naměřené hodnoty jsou shrnuty v tabulce 1. Naměřené hodnoty jsme spolu s jejich chybami vynesli do grafu (viz obr. 50) a nechali proložit závislostí t = AV 1/3 + B s neznámými koeficienty A a B. Oproti teoretické závislosti jsme přidali konstantu B, aby závislost dobře odpovídala i pro malé objemy kapek. Tehdy je náš teoretický model nejvíce špatně. Dostali jsme A = (320 ± 40) s·ml−1/3 ,

B = −(40 ± 15) s .

Teplota kapky T0 je rovna teplotě varu vody, teplota pánve je asi 220 ◦C, takže T − T0 = (120 ± 30) K. Hustotu vody a její skupenské teplo vypařování při 100 ◦C najdeme v tabulkách % = 958 kg·m−3 , l = 2260 kJ·kg−1 . Dosazením do (27) dostaœ neme λ/d = (1400 ± 500) W·m−2 ·K−1 . 137

FYKOS 1997–2007 Z této hodnoty můžeme alespoň odhadnout tloušťku vrstvy mezi pánví a kapkou. V tabulkách najdeme, že tepelné vodivosti plynů jsou řádově 10−2 W·m−1 ·K−1 , takže d ≈ 10 µm. Tabulka 1. Naměřené hodnoty závislosti doby vypařování na objemu kapky č. m. 1 2 V [ml] 0,0182 0,0364 σ V [ml] 0,0026 0,0052 t1 [s] t2 [s] 52 65 47 68 43 70 53 72 49 62 49 68 ti [s] 48,8 67,5 σ ti [s] 1,8 1,8

3 4 5 6 0,0522 0,0545 0,1044 0,1566 0,0033 0,0078 0,0066 0,0099 t3 [s] t4 [s] t5 [s] t6 [s] 88 77 109 134 84 76 108 129 84 82 109 129 84 77 110 131 80 113 129 80 108 123 83,3 78 109,5 129,2 1,6 1,7 1,3 1,8

7 0,2088 0,0132 t7 [s] 153 151 142 147 147 149 148,2 1,9

8 0,2610 0,0155 t8 [s] 168 164 155 156 162 157 160,3 2,3

9 0,3132 0,0188 t9 [s] 174 180 182 192 183 180 181,8 2,6

10 0,3654 0,0221 t10 [s] 194 192 183 185 197 204 192,5 3,4

t [s] 180

140

100

60

Naměřené hodnoty Teoretická závislost t = AV 1/3 + B 0

0,1

0,2

0,3

V [ml]

Obr. 50. Závislost doby rejdění kapky na jejím objemu Diskuse výsledků Největší vliv na celé měření měla nepřesnost stanovení objemu kapek, která se podle grafu na obrázku 50 značně projevila při malých kapkách (všimněte si skoku v naměřeném času mezi třetí a čtvrtou kapkou). Další vlivy na přesnost jsou: proměnlivá teplota povrchu, teplotní roztažnost plastové injekční stříkačky při kapání nad rozpáleným povrchem a z toho vyplývající vliv na objem kapek, 138

Ročník XIX nepřesné stanovení času (kapání více kapek do jedné větší musí být dost rychlé) atd. Dále je zřejmé, že konkrétní časy t = t(V ) závisí na konkrétních podmínkách, jako teplota, čistota a vlastnosti rozpáleného povrchu, složení vody, okolní vlhkost atd. Ale i přesto má měření význam jako informace o průběhu vypařování kapky. Při pohledu na graf na obrázku 50 vidíme, že teoretická závislost (s korekcí pro malé objemy kapek) dobře vystihuje naměřenou závislost. Teoretický model tedy nebyl úplně zcestný. Dokonce se nám podařilo řádově odhadnout tloušťku vrstvy páry mezi kapkou a povrchem pánve. Hodnota 10 µm je reálná, dá se očekávat takový výsledek. To je další skutečnost, která nevyvrací uvedenou teorii. Přesnější experiment by vyžadoval hlavně vymyslet lepší metodu kapání kapek a zejména měření jejich objemu. Možná by také bylo dobré zajistit větší stálost teploty povrchu – při našem měření termostat neustále vypínal a zapínal ohřívání plotny, takže teplota nebyla pořád stejná. Bonus na závěr Pokud kápnete trochu větší kapku (asi 0,5 ml) do malé jamky na plotně (takže vám kapka neuteče), dopadem dalších malých kapek ji trochu rozvibrujete. Pokud chvíli počkáte a ještě máte trochu štěstí, uvidíte něco opravdu krásného – kapka začne kmitat vlastním modem ve tvaru podobném trojcípé, pěticípé nebo i vícecípé hvězdě či mnohoúhelníku, má-li kapka vhodnou velikost. Přitom kapka kmitá tak rychle, že okem neuvidíte okamžitý tvar kapky, ale překryv dvou po sobě následuœ jících kmitů (dva trojúhelníky pootočené o 60◦ ), takže místo trojúhelníku vidíte šestiúhelník! Zajímavé je, že když už tyto kmity začnou, jen tak rychle nezmizí. Jak je to možné, když nějaké byť velmi malé tření mezi kapkou a plotnou (a v neposlední řadě také vnitřní tření v kapce) tam být přece musí, takže dochází ke ztrátám enerœ gie kmitů? Jediným vysvětlením, které se nabízí, je, že kapka si musí brát tepelnou energii od plotny a měnit ji na mechanickou energii svého pravidelného kmitavého pohybu podobně jako tepelný stroj. Pokus je velmi pěkný, určitě si ho vyzkoušejte! Literatura [1] Halliday, D., Resnick, R., Walker, J.: Fyzika. VUT Brno – naklad. VUTIUM, Brno 2000.

139

FYKOS 1997–2007

Úloha VI . 2 . . . kukačky na lanech Kyvadlové hodiny o hmotnosti M jsou zavěšeny na dvou dlouhých rovnoběžných lanech (viz obr. 43). Kyvadlo se skládá ze závažíčka o hmotnosti m a lehké tyčky o délce l. Určete, o kolik se budou takové hodiny předbíhat (opožďovat) oproti hodinám pevně přibitým na stěně. Vzhledem k tomu, že délka lana, na kterém jsou zavěšeny kukačky, je velká, lze považovat pohyb kukaček za vodorovný. Situace je tedy ekvivalentní tomu, že hodiny jsou vázány na vodorovnou přímku. Uvažujme proto následující příklad. Mějme vozíček o hmotnosti M na vodorovœ ných kolejnicích, na kterém je zavěšeno matematické kyvadlo o délce l a hmotnosti m (viz obr. 51). Na tuto soustavu působí pouze tíhová síla a reakce kolejí. Tyto síly mají svislý směr. Síly ve vodorovném směru jsou nulové, a proto vodorovná souřadœ nice těžiště této soustavy se podle zákona setrvačnosti nemění. Ve svislém směru kmitá těžiště harmonickým pohybem se stejnou frekvencí jako kyvadlo. Přejděme do neinerciální soustavy spojené s těžištěm soustavy. Zde použijeme druhou impulzovou větu vzhledem k těžišti. Se setrvačnými silami se nemusíme trápit, protože mají působiště v těžišti, a tedy nulový moment vzhledem k těžišti. Také předpokládejme, že výchylky kyvadla jsou dostatečně malé, aby cos α ≈ 1 a sin α ≈ α. Velikost tahové síly vlákna F určíme z rovnováhy sil působících na kyvadlo ve směru rovnoběžném s vláknem F = mg cos α, v tomto směru se totiž kyvadlo nepoœ hybuje. Svislá souřadnice výslednice sil působících na vozík je nulová, neboť se vozík v tomto směru nepohybuje. Vodorovná souřadnice je ovšem nenulová a má hodœ notu −F sin α = −mg cos α sin α (tj. vodorovná složka míří na obrázku 51 doleva). Zbývá vzdálenost kyvadla od těžiště označit lT a máme vše připraveno k napsání druhé impulzové věty. 2 [mlT + M (l − lT )2 ]¨ α = −mglT sin α − mg(l − lT ) cos2 α sin α ≈

N

≈ −mglα Jestliže za vzdálenost těžiště od kyvadla dosadíme lT = = M l/(m + M ), po úpravách dostaneme (M + m)g α = 0. Ml Rovnice kyvadla má tvar α ¨ + ω 2 α = 0, takže úhlová frekœ vence soustavy kyvadla a vozíčku je r (M + m)g ω= . Ml Podíl úhlových frekvencí zavěšených hodin a hodin pevně přibitých na stěně je roven r m ω = 1+ > 1, ωP M α ¨+

tedy zavěšené kukačky se předbíhají oproti těm přibitým.

140

T −F α

Mg

lT

F mg Obr. 51. Síly působící na kyvadlo a vozík

Ročník XIX

Úloha VI . 3 . . . roztáčíme elektromotor Na hřídeli elektromotoru je navinuta nit, na konci které je zavěšeno závaží o hmotœ nosti m. Pokud motor připojíme na ideální zdroj napětí U , závaží pojede vzhůru rychlostí v1 . Jakou rychlostí bude závaží klesat, pokud zdroj odpojíme a vstup elekœ tromotoru zkratujeme? Mechanické tření neuvažujte. Jaký elektromotor máme vlastně uvažovat? Běžné motory na střídavý proud fungují tak, že jejich rotor se snaží otáčet spolu s točivým magnetickým polem uvnitř válce motoru. Úhlová frekvence tohoto pole je stejná jako frekvence napětí, tedy střídavé motory mají většinou konstantní otáčky 3000 ot/min nebo nějaký jeœ jich celočíselný násobek a do zadání tohoto příkladu se moc nehodí. Naproti tomu elektromotory na stejnosměrný proud mají proměnné otáčky (podle zatížení), a jsou tedy ideální pro tuto úlohu. Ten nejobyčejnější stejnosměrný elektromotor (viz obr. 52), jaký možná znáte z rozebraných pohyblivých hraček na baterky a který budeme uvažovat, je složen ze statoru (dva opačné póly magnetu na obvodu), rotoru (osa s třemi navinutými cívkami, kterými teče proud) a komutátoru (ten přepne kontakty cívek ve správný okamžik tak, aby se rotor nezastavil v rovnovážné poloze, ale stále se otáčel). Na čem závisí točivý moment (moment síly, kterým jej můžeme zatížit) takového elektromotoru? Víme, že Lorentzova síla působící na malý kousek proudovodiče v cívce na rotoru v magnetickém poli je úměrná velikosti proudu. Vektorový součet všech sil působících na cívky (a tedy na celý rotor) je sice nulový, neboť rotor zůstává v pouzdře. Výsledný moment těchto sil je však nenulový, a protože je úměrný silám, je také úměrný proudu. Točivý moment D elektromotoru je tedy úměrný protékajícímu proudu a závisí jedině na něm D = konst · I. Na hřídeli elektromotoru je navinutá nit, na ní je zavěšeno těleso, na které působí tíhová síla FG = mg. Teď připojíme stejnosměrné napětí U . Pokud je napětí dosti velké a moment magnetické síly otáčející rotorem bude větší než moment tíhové síly FG , rotor se začne otáčet, nit se bude navíjet a závaží bude zrychlovat směrem nahoru. Jeho rychlost však bude shora omezená – při otáčení rotoru bude vznikat v jeho cívce indukované napětí, které podle Lenzova zákona snižuje proud v cívce rotoru, a tedy i moment síly, který na něj působí. Toto napětí roste s rychlostí otáčení rotoru. Rychlost závaží se tedy po chvíli ustálí na nějaké konečné hodnotě v1 , kdy je všechna energie dodávaná zdrojem do elektromotoru přeměňována na polohovou Vinutí cívek Komutátor Kartáčky

Vinutí cívek (rotor) Komutátor Permanentní magnet a nástavce (stator) Obr. 52. Schéma elektromotoru

Obr. 53. Schéma zapojení vinutí cívek a komutátoru 141

FYKOS 1997–2007 energii závaží a na teplo v elektromotoru. Magnetické pole je nasycené, jeho energie neroste. Pokud proud tekoucí obvodem označíme I a vnitřní odpor elektromotoru R, můžeme napsat U I = RI 2 + mgv1 . Jak je to v druhém případě, kdy zdroj odpojíme, ale obvod necháme uzavřený? Teď místo zdroje napětí pracuje tíhová síla, která táhne závaží dolů. Tělísko zrychœ luje, ale v cívce opět vzniká napětí a proud v obvodu s odporem R ztrácí energii a přeměňuje ji na teplo, takže pohyb se opět ustálí na nějaké koncové rychlosti v2 , při které je energie získávaná pádem přeměňována na teplo mgv2 = RI 2 . Proč je proud stejný jako v prvním případě? Všimněte si, že síla velikosti mg, kteœ rou působí elektromotor na závaží, je v obou případech stejná a nezávisí na velikosti rychlosti nebo na směru pohybu. To znamená, že i moment síly, kterým působí elekœ tromotor na závaží, je stejný, a protože ten je jednoznačnou funkcí proudu tekoucího cívkou, i proudy jsou v obou případech stejné. Z první rovnice vyjádříme I ! r U 4mgR I= 1± 1− v1 . 2R U2 Dostali jsme velmi podivný výsledek, totiž dvě možné hodnoty proudu tekouœ cího cívkou. Krátkou úvahou můžeme dojít k závěru, že obě řešení jsou fyzikálně správná – každé totiž odpovídá jiné konstrukci motoru (poloměr hřídele, počet závitů cívky, . . . ). A jelikož k elektromotoru nemáme bližší specifikace, musíme připustit obě řešení. Vztah pro proud nyní dosadíme do druhé rovnice a obdržíme hledanou velikost rychlosti klesání závaží ! r U2 4mgR v2 = 1± 1− v1 − v1 , 2mgR U2 dopředu však nemůžeme říci, kterou z těchto rychlostí se závaží bude pohybovat.

142

Ročník XX Ve dvacátém ročníku ve školním roce 2006/2007 řešilo 69 studentů, poslední sérii poslalo 25 středoškoláků. Seriál na pokračování byl opět obsáhlý, pojednával o kvantové fyzice a jeho autorem byl Jaroslav Trnka. Podzimní soustředění se konalo od 14. do 21. října 2007 ve Škrdlovicích, autorem Star Trek legendy byl Karel Tůma. Jarní soustředění bylo od 21. do 28. dubna v Budišově u Třebíče, legendu připravil Pavel Brom. TEXařem byl nadále Honza Prachař a webmasterem Karel Tůma. V tomto ročníku se podařilo zorganizovat dvě nové akce. Dne 20. prosince 2006 se konalo první FYKOSí Fyziklání, zúčastnilo se ho 21 pětičlenných týmů. Na traœ diční Den s experimentální fyzikou navázal Týden s aplikovanou fyzikou (TSAF, 2. až 5. dubna 2007), jehož organizátory byli Pavel Brom a Honza Prachař. TSAFu se zúčastnilo 27 rešitelů, mj. jsme navštívili areál Astronomického ústavu AV v Onœ dřejově, jaderné elektrárny Dukovany a vodní elektrárny Dalešice. Do rozpočtu FYœ KOSu tento rok také přispěla Skupina ČEZ za její propagaci na soustředění, TSAFu a v ročence.

Nejúspěšnější řešitelé jméno Student Pilný

škola MFF UK

Σ 200

Kategorie 4. ročníků 1. Jakub Benda 2. Jan Jelínek

G Jana Nerudy, Praha G Konstantinova, Praha

143 112

Kategorie 3. ročníků 1. Dalimil Mazáč 2. Jan Hermann 3. Marek Nečada

G Jana Keplera, Praha G Český Krumlov G Jihlava

125 100 89

Kategorie 2. ročníků 1. Helena Paschkeová 2. Martin Výška 3. Lukáš Cimpl

G Terezy Novákové, Brno G Nad Alejí, Praha G Frenštát pod Radhoštěm

94 94 71

Kategorie 1. ročníků 1. Ján Bogár 2. Petr Cagaš 3. Jana Baxová

G Ľudovíta Štúra, Trenčín G Lesní čtvrť, Zlín G Ľudovíta Štúra, Trenčín

87 87 58

Organizátoři Jan Prachař (hlavní organizátor), Pavel Brom, Roman Fiala, Tomáš Jirotka, Zdeněk Kučka, Ján Lalinský, Jiří Lipovský, Vojtěch Molda, Marek Pechal, Aleš Podolník, Jaroslav Trnka, Karel Tůma, Marek Scholz, Petra Suková, Petr Sýkora, Peter Zalom a další.

143

FYKOS 1997–2007

Vybrané úlohy Úloha I . P . . . výška stromů Odhadněte výšku stromů na neznámé planetě s tíhovým zrychlením g. Uvažte všechna možná hlediska, která mohou výšku stromů ovlivnit. (řešení str. 145) Úloha I . E . . . sbírání šišek Počet spirál tvořených šupinami šišek vycházejících od špičky není libovolný, nýbrž nabývá hodnot 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . To jsou členy tzv. Fibonacciho poœ sloupnosti, v níž další člen získáme sečtením předchozích dvou, přičemž první dva členy posloupnosti jsou 1 a 1. Jako každé pravidlo má však i toto své výjimky. Něœ kdy se totiž stane, že počet spirál je roven 1, 3, 4, 7, 11, . . . , tedy prvku Lucasovy posloupnosti. Získáme ji stejným postupem jako Fibonacciho, začínáme ale s 1 a 3. Vaším úkolem je zjistit, jak často a za jakých podmínek se tato anomálie vyœ skytuje. Prozkoumejte závislost na co nejvíce různých parametrech (např. roste-li strom v lese či volně). (řešení str. 148) Úloha II . 4 . . . jak je daleko Slunce? Vraťte se zpátky do 18. století do doby, kdy ještě nebyla známa konstanta v Newœ tonově gravitačním zákoně ani vzdálenost Země od Slunce či jiných planet. V té době Edmond Halley (astronom, který poznal, že kometa pozorovaná v roce 1682 je stejná jako ta v letech 1456, 1531 a 1607) navrhl určit vzdálenost Slunce od Země proměřením přechodu planety Venuše přes sluneční kotouč. Přechody Venuše se boœ hužel odehrávají nepravidelně. Přicházejí v párech po osmi letech, ale potom k nim nedochází sto let i déle a za Halleyho života nedošlo k žádnému. Myšlenka nezapadla, doutnala, a když se blížil další přechod v roce 1761, vědecký svět byl připraven. Vědci se vydali do sta míst na světě (mj. na Sibiř, do Číny, Jižní Afriky, Indonésie). Byl to první vědecký podnik v historii založený na mezinárodní spolupráci. Po návratu měřičů se dospělo k závěru, že měření přechodu bylo v podstatě neœ zdarem. Ironií je, že jedním z problémů byl příliš velký počet pozorování, která se často ukázala jako protikladná. Úspěšné měření Venušina přechodu naopak uskuœ tečnil kapitán James Cook v roce 1769 z jednoho slunného vrchu na Tahiti. Po jeho návratu měli astronomové dostatek informací, aby vypočítali, že průměrná vzdáleœ nost ze Země ke Slunci činí zhruba 150 miliónů kilometrů. Na vás je, abyste tak jako Edmond Halley vymysleli, jak lze z měření přechodu Venuše určit vzdálenost Země od Slunce. Samozřejmě neznáte jiná než tehdejší data: poloměr Země a dobu oběhu Země a Venuše kolem Slunce z astronomických pozoœ rování. (řešení str. 150) Úloha III . 2 . . . přistání na Titanu V pátek 14. ledna 2005 na povrchu Titanu hladce přistála sonda Huygens, poœ jmenovaná po objeviteli Titanu. Mateřská sonda Cassini ji nesla k Saturnu 7 let. Jedná se dosud o nejvzdálenější přistání umělé sondy v dějinách. Přistávací modul o čisté hmotnosti (bez paliva) m, vybavený reaktivním motoœ rem, se vznášel v klidu nad povrchem měsíce (gravitační zrychlení je zde g). Měl 144

Ročník XX k dispozici palivo o hmotnosti M0 − m a zásobu energie o velikosti E0 , kterou vyœ užíval k urychlování paliva (rychlost a množství paliva vypuzovaného z motoru lze libovolně měnit). Jaká je maximální doba, po kterou se sonda mohla vznášet v konœ stantní výšce? Poraďte řídícímu středisku, jakým způsobem by mělo naprogramovat rychlost a množství vypuzovaného paliva, aby této maximální doby dosáhli. (řešení str. 153) Úloha IV . 4 . . . Kochova vločka Určete moment setrvačnosti Kochovy vločky zhotovené z homogenního plechu vzhledem k ose kolmé na její rovinu a procházející jejím středem. Uvažujte, že vločka má hmotnost m a průměr a. Kochova vločka je útvar vzniklý iterativním lepením vždy třikrát menších rovœ nostranných trojúhelníků na strany předchozího útvaru (viz obr. 54). Průměrem Kochovy vločky rozumíme vzdálenost vrcholů jejích protějších cípů. (řešení str. 157)

Obr. 54. První čtyři iterace při vytváření Kochovy vločky Úloha VI . 3 . . . čtverák čtverec Obvod na obrázku 55 vznikne spojením nekonečně mnoha drátěných čtverců, přičemž každý následující je √ 2krát menší. Drát, ze kterého je obvod vyroben, o délce rovné straně největšího čtverce má odpor R. Určete odpor obvodu mezi krajními body vlevo a vpravo. (řešení str. 160) Další zajímavé úlohy

A

B

Obr. 55. Obvod

V první sérii, která se odehrávala v hlubokém vesmíru roku 2226, došlo ke shluœ kování oblaku tajemné hmoty (I.1). Řešitelé alias posádka měli určit, jak se bude měnit hustota oblaku. Na zámořském parníku připravoval kuchař Thomas pro poœ sádku jídlo a nejvíce ho zajímalo, s jakou frekvencí bude kmitat jeho pružinový podavač na talíře (III.1). V úloze III.2 řešitelé zjišťovali na základě údajů o vizuální dvojhvězdě její vzdálenost. V úloze V.1 vypadl z okna klavírista i s klavírem, který hrál zděšené A. O kolik pater níže odpočíval nebohý umývač oken, jestliže poslední, co slyšel, bylo Ais? V úloze V.3 měli řešitelé navrhnout, jakou sadu rezistorů vyrᜠbět. V šesté sérii se řešila statická rovnováha tří těles (VI.2), atmosféra s podivným indexem lomu (VI.2) a také zákrytová dvojhvězda (VI.4).

145

FYKOS 1997–2007

Úloha I . P . . . výška stromů Odhadněte výšku stromů na neznámé planetě s tíhovým zrychlením g. Uvažte všechna možná hlediska, která mohou výšku stromů ovlivnit. Maximální výšku stromů limituje několik hlavních faktorů. Vyšetřeme nejprve trošku podrobněji, jak může být strom vysoký, aby byl schopen čerpat vodu až k svému vrcholu. Předpokládejme nejprve, že strom transportuje vodu živou tkání. Céva by tak byla realizována sloupečkem nad sebou postavených buněk vzájemně oddělených porézní buněčnou stěnou a polopropustnou membránou (propouští pouze vodu, niœ koli rozpuštěné látky). Transport vody směrem vzhůru je zprostředkován osmózou. Osmotický tlak je přímo úměrný rozdílu koncentrací roztoků mezi sousedními buňœ kami a každá vrchnější buňka musí tedy obsahovat koncentrovanější roztok. Pokud osmotický tlak mezi každými dvěma sousedními buňkami bude roven rozdílu tlaku způsobeného tíhou vody v buňkách, céva bude schopna udržet sloupec vody. Můœ žeme si rozmyslet, že tato rovnováha nastane tehdy, když osmotický tlak způsobený rozdílem koncentrací mezi nejvrchnější a nejspodnější buňkou cévy je roven hydœ rostatickému tlaku vodního sloupce posm = RT ∆C = h%g , kde ∆C je rozdíl molárních koncentrací roztoků, h výška vodního sloupce, % hustota vody. Předpokládejme na chvíli, že nejvrchnější buňka cévy „sneseÿ koncentraci naœ syceného roztoku9 NaCl a nejspodnější buňka obsahuje čistou vodu. V tom případě posm = 3 MPa. To je samozřejmě velmi nadnesené číslo. Osmotický tlak v rostlinách dosahuje maximálně 1,5 MPa. Dosazením této hodnoty do rovnosti a vyjádřením výšky h dostaneme maximální výšku v podmínkách na Zemi hmax =

posm = 150 m . %g

Výška je podle tohoto vztahu nepřímo úměrná gravitačnímu zrychlení, na planetě s polovičním zrychlením by limitující výška byla tedy zhruba 300 m. Ve skutečnosti však transport vody probíhá kombinovaně živou tkání a speciaœ lizovanými pletivy, která jsou tvořena odumřelými buňkami, ze kterých se zachoœ valy pouze části buněčných stěn. Céva je tedy v podstatě dutá trubička, ve které voda nemusí překonávat žádné membrány. Rychlost přenosu vody dutými cévami je o mnoho řádů vyšší než rychlost přenosu živou tkání. Céva se dá přirovnat ke kapiláře. V kapiláře voda v důsledku kapilární elevace vystoupá do výšky h=

2σ cos α , r%g

kde σ je povrchové napětí vody, α úhel smáčení stěny kapiláry (tyto hodnoty lze najít v tabulkách) a r poloměr kapiláry. Při běžné tloušťce cévy 40 µm stoupne voda do 9)

Nasycený roztok NaCl má koncentraci 0,6 M, disociuje na dva ionty, celková koncentrace solutů je tedy 1,2 M.

146

Ročník XX výšky zhruba 37 cm. To není mnoho, řeknete si možná. Hlavní čerpací silou je totiž zmíněná osmóza a kořenový vztlak. Ovšem při tloušťce kapiláry 5 nm, což je šířka pórů v buněčné stěně, dostaneme výšku sloupce téměř 3000 m. Takto tenké cévy by však bylo velmi obtížné realizovat a navíc přenos vody by byl velmi pomalý. Koloběh vody stromem zajišťuje kontinuální odpařování z listů, což vynucuje nasávání vody kořeny. Rychlost odpařování, a tedy i rychlost cirkulace vody je ovlivněna tlakem atmosféry na planetě. Ten lze těžko odhadnout, např. na Marsu je gravitace přibližně třetinová, ale tlak atmosféry při povrchu stokrát menší. Pokud by celková hmotnost svislého sloupce atmosféry na planetě byla stejná jako hmotnost sloupce atmosféry Země, tlak při povrchu by byl poloviční. Tlak při povrchu je totiž přibližně dán tíhou sloupce vzduchu. Z tohoto hlediska by odpařování bylo rychlejší a pro přenos vody by mohly sloužit užší kapiláry, což by nepatrně zvýšilo limitující výšku stromu. Je však otázkou diskuse, jak nižší tlak celkově ovlivní vzrůst stromů. Druhým hlediskem je otázka lámání stromů. To si probereme trochu obecněji. Vítr působí momentem síly M1 vůči patě stromu a vychýlí strom ze svislé polohy. Ohnutý strom v důsledku vlastní tíhy působí momentem síly M2 vůči patě stromu a tento moment je tedy funkcí velikosti prohnutí – čím je strom prohnutější, tím větší je rameno síly. Pro každé prohnutí je pro strom charakteristická síla pružnosti, která se snaží strom vrátit do svislé polohy a působí proti silám větru a tíhy. Síle pružnosti můžeme tedy také přisoudit moment síly M3 vůči patě stromu. Pokud při daném prohnutí jsou vychylující momenty větší než moment síly pružnosti, bude docházet k dalšímu prohýbání. Existuje kritické prohnutí εmax , při kterém se strom láme. Velikost prohnutí ε můžeme definovat jako relativní prodloužení dřevního vlákna na vnějším oblouku prohnutí. Jakožto velké zjednodušení přijmeme předpoklad, že velikost M2 je přímo úměrná ε. Velikost M2 je dále úměrná tíze stromu a ramenu síly M2 = Ah%gS · hε = Ah2 %gSε , kde S je obsah průřezu stromu, % hustota dřeva, A nějaká konstanta shodná pro Zemi i zkoumanou planetu. Velikost M3 je úměrná prohnutí a průřezu stromu M3 = BSε , kde B je opět nějaká konstanta shodná pro Zemi i zkoumanou planetu. Jednoduchým přibližným výpočtem zjistíme, že při prohnutí blízkém εmax je M2 mnohem větší než M1 . Zároveň se však při silnějším větru stromy často lámají, z čehož lze usoudit, že např. smrky by při stejné tloušťce už o mnoho vyšší být nemohly, protože by se lámaly i bez přispění větru. Strom se nezlomí, pokud při prohnutí εmax je M2 < M3 , a tedy r B 1 2 Ah %gSεmax < BSεmax ⇒ h < · . A% g √ Při polovičním g bude výška stromů na planetě 2-krát větší než na Zemi. Při slabœ ším vlivu větru bude výška stromů přirozeně o něco větší, při silnějším větru o něco menší. Můžeme si všimnout, že velmi tlustý strom by se ani při velkých výškách nezlomil. V tom případě by výška byla limitována „vodním kritériemÿ a hlavně – uživit a vybudovat tlustý kmen stojí mnoho energie. 147

FYKOS 1997–2007 To už se ale dostáváme k evolučnímu hledisku. Růst stromu do výšky je hlavně výsledkem konkurenčního boje a tzv. „závodů ve zbrojeníÿ. Evoluční pohled říká, že planetu obývají ty druhy, které jsou schopné se úspěšně rozmnožovat, a to mimo jiné znamená úspěšně soupeřit o živiny. Vysoký strom má dostatek světla, avšak jeho výška s sebou nese mnoho nevýhod a strom na růst spotřebuje mnoho energie, kterou jiné druhy věnují například tvorbě semen. Zemi obývá mnoho druhů rostlin, které se řídí různými strategiemi, a strategie růstu do výšky se ukázala jako jedna z mnoha úspěšných. Debata na toto téma by byla jistě velmi zajímavá a zároveň dlouhá, necháme si ji tedy na jindy. Konečně, někdo by mohl namítnout, že Bůh stvořil život pouze na Zemi a nikde jinde.

Úloha I . E . . . sbírání šišek Počet spirál tvořených šupinami šišek vycházejících od špičky není libovolný, nýbrž nabývá hodnot 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . To jsou členy tzv. Fibonacciho posloupnosti, v níž další člen získáme sečtením předchozích dvou, přičemž první dva členy posloupœ nosti jsou 1 a 1. Jako každé pravidlo má však i toto své výjimky. Někdy se totiž stane, že počet spirál je roven 1, 3, 4, 7, 11, . . . , tedy prvku Lucasovy posloupnosti. Získáme ji stejným postupem jako Fibonacciho, začínáme ale s 1 a 3. Vaším úkolem je zjistit, jak často a za jakých podmínek se tato anomálie vyœ skytuje. Prozkoumejte závislost na co nejvíce různých parametrech (např. roste-li strom v lese či volně). Úvodem řešení uznejme, že se tentokrát nejednalo o klasickou experimentální úlohu, neboť vyžadovala jiné metody řešení, než jsme obvykle byli zvyklí. V tomto textu se nejprve pokusíme vysvětlit cosi o tajemství jevu zvaného phyllotaxe, poœ víme si, jak vše souvisí s Fibonacciho, resp. Lucasovými čísly, a závěrem provedeme zpracování „naměřenýchÿ hodnot. Teorie V zadání úlohy jsme vám prozradili, že se šupinky šišek skládají do spirál, jeœ jichž počet v obou směrech otáčení je vždy roven dvěma po sobě jdoucím číslům z Fibonacciho posloupnosti {Fn }∞ n=1 pro n → ∞. Avšak tak tomu není pokaždé. Oním důvodem je fakt, že zmíněné uspořádání √ 10 souvisí se zlatým řezem (připomeňme jeho hodnotu Θ = (1 + 5)/2), ke kterému konverguje poměr Fn+1 /Fn . Jenže Fibonacciho posloupnost není jediná, jež má tuto vlastnost. Chovají se tak všechny posloupnosti přirozených čísel dané rekurentním vzorcem an = an−1 + an−2 bez ohledu na hodnoty prvních dvou členů. Důkaz je prostý. Předpokládejme, že an = L, lim n→∞ an−1 . Některé zdroje uvádějí též souvislost ze zlatým úhlem ϕ = 360◦ · (2 − Θ) = 137,5◦ , k němuž v nekonečnu konverguje poměr 360◦ · Fn /Fn+2 . Pod tímto úhlem se nacházejí osy dvou po sobě vyrostlých šupinek či lístků. Ale v tomto textu se zlatým úhlem zabývat nadále nebudeme, pouze jej uvádíme jako zajímavost.

10)

148

Ročník XX a dokažme nyní, že L = Θ. Nejprve si rekurentní zadání posloupnosti upravme do tvaru an+1 = an + an−1 a vydělme jej členem an . Tím dostaneme rovnici an+1 an−1 =1+ , an an kde za oba zlomky můžeme v limitě n → ∞ podle předpokladu dosadit L, resp. 1/L. Rovnice se tak zjednoduší do krásného tvaru L=1+

1 . L

√ √ Řešením jsou čísla L1 = (1 + 5)/2 a L2 = (1 − 5)/2, jenže druhý kořen nemá smysl, vždyť všechna čísla v posloupnosti jsou kladná a L2 < 0. Vidíme tedy, že výše uvedený rekurentní vztah vede vždy ke zlatému řezu.11 Naskýtá se tedy otázka, proč šišky, ale i jiné přírodní výtvory (květenství, listy na stonku, . . . ), preferují právě Fibonacciho posloupnost. Odpověď na tuto otázku není známa. Jako by počáteční prvky posloupnosti měly být co nejnižší (v případě Fibonacciho 1, 1; pokud jde o Lucasovu posloupnost 1, 3) a vyšší čísla nebyla pro rostlinky dostatečně přitažlivá, přestože některé takové řady konvergují ke zlatému řezu rychleji. O vysvětlení nejasnosti se máme pokusit počítáním spirál tvořených šupinami šišek. Celosvětová statistika uvádí výskyt v průměru 2–5 % případů čísel z Lucasovy posloupnosti. Abychom i my mohli zpracovávat data nějak rozumně, zkompletujeme veškerá dostupná doručená měření. Tím dostaneme poměrně rozœ sáhlý statistický soubor dat, ve kterém (možná) objevíme nějakou závislost. Postup a výsledky měření Nyní ve stručnosti ještě rozeberme metodu měření. Každá šiška má dva typy spirál – pravotočivé a levotočivé. Jejich počty jsou vždy dva po sobě jdoucí členy výše zmíněných posloupností. Díky tomu jsme schopni rozhodnout i sporný počet 3. Nejvhodnější je počítat spirály po obvodu ve zvolené úrovni tak, že si vždy jednu spirálu zvolíme za výchozí a nějak ji označíme. Budeme zkoumat dva parametry – druh a osamělost (sám či v lese) stromu. Tímto omezením se pokusíme získat ještě větší množství dat, než kdybychom zkouœ mali každou lokalitu zvlášť. Tabulka uvádí počty šišek, jejichž počty spirál odpovídají Fibonacciho, resp. Lucasově posloupnosti, v závislosti na druhu a umístění stromu. Druh Umístění Lucas Fibonacci Relativní počet šišek Lucas [%] Smrk v lese 27 619 4,2 Smrk osamocen 5 179 2,8 Borovice v lese 61 766 7,4 Borovice osamocena 24 136 15,0 Modřín v lese 39 170 18,7 Modřín osamocen 32 109 22,3 Celkem 188 1979 8,8 11)

Obdobného triku využívá i důkaz konvergence 360◦ · Fn /Fn+2 → ϕ.

149

FYKOS 1997–2007 Přestože jsme měli k dispozici data z různých koutů světa (Česko, Slovensko, Francie, Švýcarsko, USA), výskyt anomálních šišek byl všude přibližně stejný. S naœ ším výsledkem 8,8 % jsme se sice dostali lehce nad obecně uznávaný světový průměr, ale vzhledem k malému množství šišek jde spíše o náhodu. Zdá se tedy, že výskyt anomálních šišek je veskrze náhodný jev, nedá se přesně určit nějaká závislost např. na zeměpisné poloze, nadmořské výšce či druhu stromu. Patrně našimi závěry revoluci v biologii nespácháme, i když je třeba zmínit i určité speciální poznatky: • Výskyt lucasovských šišek se zdá vyšší u modřínu a borovice než u smrku. Otázœ kou je, zda-li nedošlo k chybnému zjištění počtu spirál vzhledem k tomu, že modřínové a borovicové šišky jsou častěji deformované a nepravidelné. • Na jednom stromě mohou vyrůst šišky obou typů, neboť nebyl pozorován strom plný výhradně anomálních šišek. • Z předchozího pozorování vyplývá, že typ spirál nezávisí na genetické výbavě daného stromu nebo jeho umístění v krajině. • Radimu Pechalovi (Rožnov p. R.) a Jakubu Michálkovi (t. č. v USA) se podaœ řilo najít smrkovou šišku s počtem spirál 6. Snadno zjistíme, že číslo šest patří do řady 1, 5, 6, 11, . . . nebo 2, 2, 4, 6, . . . , ale takových možností je více. Rozœ hodnout bychom mohli, pokud bychom znali počet spirál v opačném směru. Ale každopádně je to více než anomálie. Námět pro další práci či projekt Pokud by se někdo chtěl tomuto problému věnovat hlouběji, je to dobrý nápad, vzhledem k tomu, že většina informací o phyllotaxi jsou domněnky. Doporučený postup by byl zvolit si nějaký lesík (cca 2 ha) a po několik let tam rok co rok sesbírat veškeré šišky a data takto průběžně zpracovávat.

150

Ročník XX

Úloha II . 4 . . . jak je daleko Slunce? [. . .] Na vás je, abyste tak jako Edmond Halley vymysleli, jak lze z měření přechodu Venuše určit vzdálenost Země od Slunce. Samozřejmě neznáte jiná než tehdejší data: poloměr Země a dobu oběhu Země a Venuše kolem Slunce z astronomických pozoœ rování. Měřením vzdálenosti Země od Slunce se lidé zabývali již ve starověku, nicméně ne s velkým úspěchem. Venuše si lidé všimli dávno, některé národy z ní udělaly božstvo, ale později prohlédly, až nakonec Edmond Halley zveřejnil svůj slavný člᜠnek Nová metoda určení sluneční paralaxy aneb vzdálenosti Země od Slunce. Před jeho vydáním se o změření astronomické jednotky pokoušeli např. Jan Kepler nebo Tycho Brahe, ale nepřesně. Jak Halley píše, k využití přechodu Venuše jej inspiroœ val podobný úkaz – přechod Merkuru – který pozoroval na observatoři na ostrově sv. Heleny. Ověření své teorie se ale nedočkal, protože kvůli mírně nakloněné rovině oběhu Venuše okolo Slunce nastávají přechody vždy v párech po asi 120 letech. My jsme přechod mohli vidět v červnu roku 2004, nejbližší další bude za 6 let a ten následující až v roce 2117. Vzhledem k tomu, že všechny úhly jsou velmi malé a vzdálenosti očekáváme velmi velké, využijeme aproximace tg ϕ ≈ ϕ pro malé ϕ a také, že poměr naměřených úhlových veličin je shodný s poměrem skutečných délkových veličin. Pokud jsou oba pozorovatelé na stejném poledníku vzdáleni o h (h by mělo být kolmé na spojnici Země–Slunce), tvoří pak s Venuší trojúhelník podobný s trojúœ helníkem vzniklým spojením dvou průmětů Venuše na Slunce a Venuší samotnou (viz obrázek 56). Zanedbáme-li to, že Venuše nemusí ležet přímo na spojnici středů Slunce a Země, můžeme určit koeficient podobnosti k z třetího Keplerova zákona „ 2 «1/3 TZ2 RZ − RV TZ RZ3 − 1. = 2 ⇒ k= = 3 RV TV RV TV2 Pokud tedy známe vzdálenost h, dokážeme vypočítat i vzdálenost dvou průmětů Veœ nuše na Slunce, kterou označíme d. Z naměřeného poměru ε mezi úhlovou velikostí Slunce ϕS a úhlovou vzdáleností stop Venuše ϕd potom vypočítáme skutečnou veliœ kost Slunce. Využijeme toho, že pro malé paralaxy blízko spojnice Slunce a Země,

Slunce

Dráha Země Dráha Venuˇse

∆t1

∆t2

Obr. 56. Pozorování přechodu Venuše přes Slunce ze Země

151

FYKOS 1997–2007 konkrétně pro paralaxy ϕS a ϕd platí ε=

ϕS 2rS = , ϕd d

potom h · ε. k Pokud měříme vzdálenost Slunce od Země pomocí paralaxy, použijeme vztahu 2rS = d · ε =

RZ =

2rS rS ≈ , tg (ϕS /2) ϕS

dosadíme za poloměr Slunce a máme výsledný vztah RZ =

hε . kϕS

Zbývá už jen z měření přechodu Venuše vyhodnotit poměr ε. Jednodušší metoda využívá porovnání dvou zakreslených drah. Oba pozorovaœ telé se dohodnou na tom, že si zvolí referenční sluneční disk o poloměru rref . Během pozorování na něj zaznamenají postupně celou trajektorii přecházející Venuše. Poœ tom se sejdou a zjistí, že jsou jejich výsledky posunuté o dref . Hledaný poměr tedy bude ε = 2rref /dref . Druhou metodou je měření doby přechodu Venuše přes sluneční disk, což navrhoœ val i Edmond Halley. Velikost d dokážeme určit při bližším pohledu na situaci. Obě trajektorie vytínají na slunečním disku úsečky, které jsou rovnoběžné a posunuté o d (viz obr. 57). Z Pythagorovy věty určíme d q q 2 2 d = rS − x − rS2 − y 2 , rS 2y rS kde 2x je délka kratší a 2y délka delší úsečky. Jaký je d poměr mezi d a rS ? 2x s s „ «2 „ «2 Obr. 57. K výpočtu d 1 1 1 x y = = 1− − 1− . vzdálenosti d ε 2rS 2 rS 2 rS Zaměřme se nyní na poměry x/rS , resp. y/rS . Můžeme je nahradit za ϕx /ϕS , resp. ϕy /ϕS . Uvažme, že oba pozorovatelé vidí Venuši obíhat kolem Země vůči sluœ nečnímu disku úhlovou rychlostí ω. Její okamžitou hodnotu vypočítáme jako součet úhlové rychlosti zdánlivého oběhu Slunce (ω S ) a úhlové rychlosti oběhu Venuše (ω V ). ω = ωS + ωV =

vV − vZ vZ + . RZ RZ − RV

Upravením dostaneme 2π ω= · k 152

„

1 1 − TV TZ

« .

Ročník XX Pak tedy dosazením všech vztahů vyjde hledané ε s s „ „ «2 «2 ω∆t2 ω∆t1 1 1 1 1− − 1− . = ε 2 ϕS 2 ϕS Časy ∆t1 , ∆t2 jsou naměřené údaje navržené Edmondem Halleyem (viz obr. 56). Měření vzdálenosti mezi pozorovateli na jednom poledníku je docela jednoduché, pokud neuvažujeme sklopení zemské osy. Potom musíme přejít ke korekcím, které umožní získat přesnou hodnotu. Popsaným způsobem však nelze naměřit hodnotu astronomické jednotky přesně. Pokud odstraníme všechny problémy spojené s měřením vzdálenosti pozorovatelů, zůstává ještě jeden – tzv. black drop effect. Přibližuje-li se Venuše okraji slunečního disku, ve chvíli těsně před dotykem se její okraj a okraj Slunce slijí to útvaru, který připomíná černou kapku. Původně to bylo bráno jako důsledek chování Venušiny atmosféry (a také jako důkaz její přítomnosti), nicméně dnes víme, že za tento jev můžou turbulence v atmosféře Země. Proto také z měření v roce 1761 vyplynula hodnota 153 · 106 km.

Úloha III . 2 . . . přistání na Titanu V pátek 14. ledna 2005 na povrchu Titanu hladce přistála sonda Huygens, pojmeœ novaná po objeviteli Titanu. Mateřská sonda Cassini ji nesla k Saturnu 7 let. Jedná se dosud o nejvzdálenější přistání umělé sondy v dějinách. Přistávací modul o čisté hmotnosti (bez paliva) m, vybavený reaktivním motoœ rem, se vznášel v klidu nad povrchem měsíce (gravitační zrychlení je zde g). Měl k dispozici palivo o hmotnosti M0 − m a zásobu energie o velikosti E0 , kterou vyœ užíval k urychlování paliva (rychlost a množství paliva vypuzovaného z motoru lze libovolně měnit). Jaká je maximální doba, po kterou se sonda mohla vznášet v konœ stantní výšce? Poraďte řídícímu středisku, jakým způsobem by mělo naprogramovat rychlost a množství vypuzovaného paliva, aby této maximální doby dosáhli. Označme okamžitou hmotnost paliva vypuzovaného z modulu za jednotku času jako µ, velikost jeho okamžité rychlosti pak v. Je-li v čase t hmotnost modulu i s paœ livem rovna M a modul se nehybně vznáší, je jeho hybnost nulová. V čase t+dt bude hybnost soustavy modul–palivo rovna µv dt, protože během doby dt bylo vypuzeno palivo o hmotnosti µ dt rychlostí v a modul je (podle předpokladů) stále nehybný. Změna hybnosti soustavy je tedy rovna µv dt, to se však má podle Newtonova druœ hého pohybového zákona rovnat impulsu působící síly, tj. M g dt. Srovnáním pak dostaneme µv = M g . Protože nás zajímá, jak se spotřebovává palivo a energie, bylo by vhodnější mít místo okamžité rychlosti paliva ve vzorci okamžitý výkon, tedy energii spotřebovávaœ nou na jeho urychlování za jednotku času. Tu označme obvyklým způsobem jako P . Snadno nahlédneme, že platí P = 21 µv 2 . Vyjádříme-li odtud v, pak dosazením do předchozí rovnice dostáváme p 2P µ = M g . 153

FYKOS 1997–2007 Pro dosažení maximální možné doby vznášení je nejvýhodnější, když modul spoœ třebuje veškerou zásobu paliva i energie. Pokud by totiž na konci procesu zbylo něœ jaké palivo a nezbyla žádná energie, mohli bychom vybrat nějaký časový interval v průběhu vznášení, v němž bychom poněkud zvýšili množství paliva vypouštěného za sekundu (avšak tak, aby stále ještě nějaké na konci zbylo). Potom bychom ovšem pro zachování konstantního tahu motoru museli během tohoto okamžiku o trochu snížit výkon P , a tak bychom uspořili energii, která by spolu se zbytkem paliva umožnila prodloužit dobu vznášení. Jednou z možností, jak popsat průběh procesu, by tedy mohlo být udání závisœ losti množství zbylé energie na hmotnosti modulu (nebo naopak, to však v dalším postupu příliš nehraje roli), tedy určité funkce E(M ), pro kterou platí E(M0 ) = E0 a E(m) = 0 a která musí být zřejmě rostoucí. Dá se ze znalosti průběhu této funkce určit celková doba vznášení T ? Vskutku ano, a to následujícím způsobem. Proveœ deme-li derivaci E(M ) podle času (časové derivace budeme značit tečkami), dostaœ ˙ . Derivace zbylé energie neme pomocí pravidla o derivaci složené funkce E 0 (M )M podle času je však zřejmě rovna záporně vzatému P , stejně tak jako časová derivace hmotnosti modulu podle času je až na záporné znaménko rovna µ. Dostaneme tak rovnost P = E 0 (M )µ. Dosazením do výše odvozené podmínky vznášení s ohledem ˙ pak získáme na rovnost µ = −M −

p dM 2E 0 (M ) = Mg . dt

(28)

Metodou separace proměnných dostaneme pro dobu vznášení (v podstatě jen meœ chanicky osamostatníme dt a vložíme integrační znaménka na obě strany rovnosti) Z T Z mp 0 Z M0 p 0 2E (M ) 2E (M ) dM = dM . − dt ⇒ T = Mg Mg 0 m M0 Snažíme se tedy maximalizovat určitý integrál volbou vhodné funkce E(M ), splňující navíc jisté podmínky, které jsme již uvedli. Zřejmě můžeme při hledání extrému směle zahodit multiplikativní konstanty a hledat tak pouze maximum inœ tegrálu Z M0 p 0 E (M ) dM . (29) M m Úloha, kdy hledáme funkci, pro kterou nějaký integrální výraz nabývá extrémní hodnoty, je asi pro většinu z vás nanejvýš podezřelá. Na střední škole nic takového nepotkáte, ačkoliv jde o velmi užitečný typ úloh.12 Vzhledem k nesmírné užitečnosti tohoto postupu mi snad ti, kdo jej znají třeba z Feynmanových přednášek, odpustí drobné opakování. Takovéto úlohy se řeší v principu podobně jako hledání extrému funkce. To, že jsme našli extrém, zjistíme tak, že pokud se o kousek pohneme libovolným směrem, hodnota funkce se „více méněÿ nezmění. My budeme s naší funkcí také malinko hýbat (variovat ji) přičítáním nějaké poměrně libovolně zvolené malé funkce a budeme sledovat, jak se mění hodnota integrálu. 12)

Kdo někdy nechtěl vědět, proč ze všech křivek dané délky ohraničuje největší plochu právě kružnice?

154

Ročník XX Dosaďme tedy do našeho integrálu místo E(M ) součet E(M ) + η(M ), kde η(M ) bude ona malá funkce. Dostaneme tak Z M0 p 0 E (M ) + η 0 (M ) dM . M m Protože funkci f (x) můžeme v okolí zvoleného bodu x0 poměrně dobře aproximovat výrazem f (x) ≈ f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) (je to jako nahradit graf funkce jeho tečnou v bodě x0 ), dostaneme odtud s

η 0 (M ) ≈ E 0 (M ) « „ p p η 0 (M ) η 0 (M ) 0 0 (M ) + p = ≈ E (M ) 1 + E . 2E 0 (M ) 2 E 0 (M )

p p E 0 (M ) + η 0 (M ) = E 0 (M ) ·

1+

Změna hodnoty integrálu způsobená přičtením malé funkce η(M ) je tedy přibližně rovna Z M0 η 0 (M ) p dM . 2M E 0 (M ) m Integrace per partes dává "

η(M ) p 2M E 0 (M )

#M0

Z

M0

−

η(M ) m

m

d dM

1 p 2M E 0 (M )

! dM .

Všimněme si, že hodnoty E(M ) jsou v bodech m a M0 pevně dané a funkce η(M ) v nich tedy musí být nulová. To ovšem vynuluje první člen v tomto výrazu. Hledáme-li extrém původně uvažovaného integrálu (29), musí být jeho změna jistým způsobem malá bez ohledu na volbu funkce η(M ). Není nic přímočařejšího, než zkusit, zda někdy tato změna (v přiblíženích, která jsme provedli) nebude doœ konce nulová. Všímavější jistě zaregistrují, že se tak skutečně stane, pokud bude výraz pod integrálem v odvozeném vyjádření změny identicky nulový. Protože jsme však funkci η(M ) mohli zvolit tak, že sama není nulová nikde (samozřejmě kromě obou krajních bodů), musí být d dM

1 p 2M E 0 (M )

! = 0.

To už je obyčejná diferenciální rovnice, jejímž integrováním a úpravou dostaneme nejprve 1 = E 0 (M ) 2 2 M C a následně pak E(M ) = A −

1 . M C2 155

FYKOS 1997–2007 Integrační konstanty A a C zvolíme tak, aby bylo E(M0 ) = E0 a E(m) = 0. Dostaœ neme pak hledanou funkci E0 M0 “ m” E(M ) = 1− , (30) M0 − m M E0 M0 m . (31) E 0 (M ) = (M0 − m)M 2 Nakonec vypočítáme závislost všech podstatných veličin na čase. Dosazením (31) do (28) a úpravou získáme r 2 ˙ = −M g M0 − m . M 2E0 M0 m Tuto rovnici dořešíme separací proměnných 1 1 = + tg M (t) M0

r

M0 − m . 2E0 M0 m

Odtud také můžeme dostat dobu T položením M = m. r 1 2E0 (M0 − m) T = . g M0 m

(32)

(33)

Dosazením (32) do (30) získáme s E(t) = E0 − tg

E0 mM0 . 2(M0 − m)

(34)

Zderivováním podle času najdeme vztah pro veličiny P a µ. P (t) =

E0 , T

µ(t) =

T g 2 M02 1 . 2 2E0 (1 + tT g M0 /2E0 )2

(35)

2E0 + gt . T gM0

(36)

Využitím vztahu P = 12 µv 2 dostaneme v(t) =

Vztahy (32) až (36) dávají všechny podstatné informace o ideálním průběhu vznášení modulu, které jsme hledali. Jistě jste si všimli, že jsme nedokazovali, že pro nalezenou funkci uvažovaný inteœ grál (tedy doba vznášení) nabývá skutečně maximální hodnoty. Intuitivně můžeme tento názor podepřít faktem, že hodnota integrálu (29) je shora omezená13 , a tedy 13)

Užijeme Cauchyho-Schwarzovy nerovnosti, podle níž platí “R ”2 R R b f (x)g(x) dx ≤ ba f 2 (x) dx · ba g 2 (x) dx , a

tedy v našem případě !2 Z „ « Z M0 Z M0 p 0 M0 E (M ) 1 1 1 0 dM ≤ E (M ) dM · dM = E0 − . M M2 m M0 m m m

156

Ročník XX by měl být jediný nalezený extrém maximem. Matematicky zcela správný důkaz by byl pravděpodobně docela zdlouhavý.

Úloha IV . 4 . . . Kochova vločka Určete moment setrvačnosti Kochovy vločky zhotovené z homogenního plechu vzhleœ dem k ose kolmé na její rovinu a procházející jejím středem. Uvažujte, že vločka má hmotnost m a průměr a. Kochova vločka je útvar vzniklý iterativním lepením vždy třikrát menších rovœ nostranných trojúhelníků na strany předchozího útvaru (viz obr. 58). Průměrem Kochovy vločky rozumíme vzdálenost vrcholů jejích protějších cípů.

Obr. 58. První čtyři iterace při vytváření Kochovy vločky Prvním možným přístupem k problému určení momentu setrvačnosti je přímé využití jeho definice pomocí integrálu. V případě Kochovy vločky K by však výpočet příslušného integrálu Z I= r2 % dV K

byl zřejmě velmi obtížný. K něčemu však toto vyjádření momentu setrvačnosti přece jen pomůže. Lze z něj totiž jednoduše odvodit, že změníme-li všechny rozměry plošœ ného objektu k-krát (při zachování polohy osy a hodnoty plošné hustoty), změní se hmotnost každého elementu dV k2 -krát a příslušná vzdálenost r od osy k-krát. Moment setrvačnosti se tedy změní k4 -krát. Tuto skutečnost později využijeme. Nevede-li k cíli přímé použití definice, je užitečné prostudovat případné symetœ rie či jiné pravidelnosti. Nejcharakterističtější vlastností Kochovy vločky (a obecně všech fraktálů) je její soběpodobnost. Co to konkrétně znamená? Podíváme-li se na jednu ze „stranÿ Kochovy vločky (kterou budeme dále pro jednoduchost nazývat Kochovou křivkou), snadno nahlédneme, že se skládá ze čtyř na sebe napojených třikrát menších Kochových křivek. Zaveďme si pro Kochovu křivku zjednodušenou grafickou značku14 def

=

.

14)

Schémata použitá v tomto textu v zájmu názornosti neobsahují popisky délek a úhlů. Zjednodušeně řečeno však platí, že to, co vypadá jako úhel 30◦ , 60◦ , resp. 120◦ , jím také skutečně je.

157

FYKOS 1997–2007 Potom můžeme například celou Kochovu vločku znázornit takto

=

.

Zmíněnou soběpodobnost Kochovy křivky vyjadřuje následující „rovnostÿ =

.

Důležité je, že Kochova křivka je jedinou omezenou křivkou, která vykazuje právě popsanou soběpodobnost. Tento fakt ponecháme bez důkazu. Zájemcům můžeme prozradit, že k němu lze použít tzv. Banachovu větu o kontrakci (někdy též zvanou Banachova věta o pevném bodě). To však ještě stále není to, co bychom chtěli, protože jde o soběpodobnost křivky ohraničující Kochovu vločku. My se však zajímáme o samotnou plochu. Hodilo by se tedy nalézt soběpodobnost Kochovy vločky s některými jejími částmi. Zřejmě je rozumné soustředit se na šest cípů vločky. Každý z nich je totiž ze dvou stran ohraničen Kochovou křivkou. Pokud si podobně dokreslíme i třetí strany, dostaneme

=

.

Situace začíná vypadat slibně. Kochova vločka se skládá z šesti třikrát menších vloček a jistého „zbytkuÿ, který taktéž velmi silně připomíná vločku. Jak ale dokᜠžeme, že zbylá vnitřní oblast je skutečně také Kochovou vločkou? K tomu by zřejmě 158

Ročník XX stačilo ukázat, že každá dvojice sousedních stran oblasti tvoří dohromady Kochovu křivku. Zaveďme si pro tyto dvojice následující schématické označení def

=

.

Jednoduše lze ukázat, že takto napojená dvojice Kochových křivek vykazuje přesně stejnou soběpodobnost jako samotná Kochova křivka. Postup důkazu znázorňuje následující série rovností =

=

=

.

První z nich je jednoduše rozepsáním každé značky pro dvojici křivek na dvě značky pro jednotlivé křivky. Druhá plyne ze soběpodobnosti Kochovy křivky (viz obrázek výše) a třetí opět vyjadřuje pouze přechod k symbolu pro dvojici křivek. Jelikož však, jak bylo uvedeno výše, je jedinou omezenou křivkou s touto soběpodobností právě Kochova křivka, musí s ní být skutečně každá dvojice stran uvažované oblasti totožná. Tím jsme korektně15 dokázali něco, co je každému člověku „ jasné z obrázkuÿ, totiž že zbytek po odříznutí Kochových vloček představujících cípy původní vločky je také Kochovou vločkou.

1 a 3 √ 3 a 3

a

1 a 3

Obr. 59. Geometrie Kochovy vločky

15)

I když šlo pouze o hraní s obrázky, daly by se popsané úvahy snadno zformulovat do „skutečnéhoÿ matematického důkazu. Jediným slabým místem je právě již zmíněná otázka jednoznačnosti křivky s uvedenou soběpodobností, jejíž důkaz jsme vynechali.

159

FYKOS 1997–2007 Od vyřešení úlohy nás už dělí jen trocha elementární geometrie (viz obr. 59) a několik jednoduchých úvah. Využijeme skutečnost, že moment setrvačnosti dvojœ rozměrného objektu o dané plošné hustotě roste se čtvrtou mocninou jeho charakœ teristického rozměru (v našem případě průměru vločky). Je-li moment setrvačnosti Kochovy vločky o průměru a (vzhledem k ose o procházející středem) roven I, pak je moment setrvačnosti vnitřní oblasti vzhledem k téže ose roven I/9. Moment setrvačœ nosti každého z cípů vůči ose procházející jeho vlastním středem je I/81 a vzhledem k ose o pak podle Steinerovy věty I/81 + ma2 /81 (hmotnost cípu je m/9). Celkový moment setrvačnosti I ale musí být roven součtu jednotlivých dílčích momentů, tj. `1 ´ 1 I = 91 I + 6 81 I + 81 ma2 . Odtud pak již snadno vyjádříme výsledek I =

1 ma2 . 11

Úloha VI . 3 . . . čtverák čtverec Obvod na obrázku 60 vznikne spojením nekonečně mnoha drátěných čtverců, přiœ √ čemž každý následující je 2krát menší. Drát, ze kterého je obvod vyroben, o délce rovné straně největšího čtverce má odpor R. Určete odpor obvodu mezi krajními body vlevo a vpravo. V prvé řadě si uvědomíme několik skutečností plynouœ cích ze symetrie úlohy. Vedeme-li totiž osu symetrie vstupœ ním a výstupním vrcholem čtverce (označme si je dále A a B), pak kvůli symetrii neteče mezi takto vzniklými půlœ A B kami obvodu žádný proud. Nic se tedy nestane, pokud obœ vod podélně rozdělíme na dva stejné paralelně spojené obœ vody (jak ukazuje první „rovnostÿ ve schématickém obœ rázku 61). Dále si všimneme uzlů ležících na ose úsečky AB. Na těch Obr. 60. Obvod je zřejmě potenciál rovný aritmetickému průměru potenciœ álů ve vrcholech A a B. Ze symetrie vzhledem k řečené ose také plyne, že napětí na vzájemně si odpovídajících úsecích obvodu jsou stejná, a tedy jsou si rovny i proudy protékající odpovídajícími si větvemi. Proto v uvažovaných uzlech neprochází proud mezi čtverci, které se zde stýkají (jinými slovy – proud, který přiteče po straně větœ šího čtverce, po ní také odteče; stejně tak pro menší čtverec). Oba čtverce můžeme tedy od sebe v těchto uzlech oddělit, aniž by se změnil celkový odpor obvodu. Tuto skutečnost vyjadřuje druhá z „rovnostíÿ v obrázku 61.

A

B = A

B = A

Obr. 61. Rozdělení obvodu 160

B

Ročník XX Nyní využijeme toho, že takto upravená půlka původního obvodu, která má odpor 2Rc (označuje-li Rc hledaný odpor celého čtverce), obsahuje jako svou část dvakrát menší kopii sebe sama samozřejmě o dvakrát menším odporu Rc . Pak mají ovšem obvody znázorněné na obrázku 62 stejný odpor, a to právě 2Rc . R 2 R

R 2

√

2

2 R 2

R

√

2

R

4

A

2Rc

B

=

A

B

=

√ 2 4

Rc

A

R 2

B

Obr. 62. Výpočet odporu obvodu Takto dostaneme následující rovnici 2Rc = R +

1 1 + R

1

√ 2 R 2

+

1 + Rc

.

√ 2 R 2

Zavedením označení x pro poměr Rc /R pak získáme √ 1 =1+ 2+ 2x − 1

√

2 2

1 +x

a následnými úpravami předchozí rovnice přejde v kvadratickou √ √ 2( 2 + 1)x2 + 2x − ( 2 + 2) = 0 . Jejími řešeními jsou čísla (použité úpravy vyžadují trochu hraní s rozšiřováním zlomků a odmocninami) q √ √ √ √ −2 ± 4 + 8( 2 + 1)( 2 + 2) 1− 2± 3 √ x= = , 2 4( 2 + 1) z nichž samozřejmě význam řešení zadané úlohy má pouze to se znaménkem plus (jinak by výsledný odpor byl záporný). Dostáváme tak výsledek Rc =

1+

√ √ 3− 2 R. 2

161

Seriál o teorii relativity Tématem seriálu na pokračování v patnáctém ročníku byla teorie relativity. Zaœ bývali jsme se hlavně speciální teorií relativity (STR), která popisuje fyzikální jevy v inerciálních vztažných soustavách. Hlavním důvodem je matematická jednoduœ chost speciální relativity oproti obecnému případu. Teorie relativity je jedním ze základních pilířů moderní fyziky. Jak jistě mnozí víte, relativistická fyzika vznikla na počátku 20. století (spolu s dalším pilířem moœ derní fyziky – kvantovou fyzikou) a její základy položil Albert Einstein. Teorie reœ lativity zásadním způsobem změnila náš pohled na prostor, čas a hmotu.

Kapitola 1: Klasická fyzika a relativita Prostor a čas Klasická fyzika předpokládá, že fyzikální prostor je trojrozměrný euklidovský prostor. Mezi jeho základní vlastnosti patří spojitost, homogenita a izotropie. Zᜠkladem prostorových měření je měření délky (porovnání měřeného předmětu s délœ kovým normálem). Klasická fyzika předpokládá, že prostor je absolutní (ve smyslu měření délek) — vlastnosti prostoru nezávisejí na hmotě a jejím pohybu. Čas je v klasické fyzice jednorozměrný, spojitý, rovnoměrný, jednosměrný, synœ chronizovaný a absolutní. K měření časových intervalů se užívá periodických dějů. Událostí rozumíme to, co se odehrává v určitém místě v prostoru a v určitém časovém okamžiku. K charakterizaci bodové události tedy potřebujeme umět urœ čovat polohu a čas. Polohu bodu v prostoru vždy určujeme měřením vzdáleností tohoto bodu od pevně zvolených těles, jejichž vzájemné vzdálenosti se nemění. Tato vztažná tělesa volíme tak, aby určování polohy bylo jednoznačné. V třírozměrném euklidovském prostoru můžeme za tato tělesa vzít soustavu tří bodových těles neleœ žících na jedné přímce. Vztažná tělesa definují vztažnou soustavu spojenou s daným pozorovatelem fyzikálních dějů. Kromě určování polohy je třeba v dané vztažné soustavě stanovit způsob měření času. Hodiny umístěné v nějakém bodě umožňují bezprostředně určit časový okaœ mžik, ve kterém nastává v tomto bodu určitá událost. Složitější situace však nastane, pokud se událost odehraje ve větší vzdálenosti od hodin a my nemáme k dispozici signál, který by se šířil nekonečnou rychlostí. Řešením je v tomto případě umístění hodin do všech bodů, ve kterých dochází k událostem. Tyto hodiny však musíme synchronizovat, aby v daném časovém okamžiku všechny ukazovaly stejný čas. Synchronizaci hodin můžeme provést například přenosem. Hodiny synchronizuœ jeme na jednom místě a potom je přeneseme tam, kam potřebujeme. Přenos hodin však musíme provést tak, aby neměl vliv na chod hodin. Další možností synchroœ nizace hodin je využití elektromagnetického signálu. Jedny hodiny vybereme za zᜠkladní. Tyto hodiny v čase t0 vyšlou elektromagnetický signál k ostatním hodinám. 162

Seriál o teorii relativity Při obdržení signálu hodinami je pak potřeba nastavit na tyto hodiny čas t = t0 +l/c, kde l je vzdálenost těchto hodin od základních hodin a c je rychlost signálu. Newtonovy pohybové zákony Základem klasické dynamiky jsou Newtonovy pohybové zákony. První Newtonův zákon je vlastně existenčním axiómem: Existuje vztažný systém (nazývá se inerciœ ální), vůči němuž se každý izolovaný hmotný bod (nepůsobí na něj ostatní tělesa) pohybuje rovnoměrně přímočaře. Druhý Newtonův zákon implicitně definuje setrœ vačnou hmotnost a sílu: Pro každý hmotný bod existuje konstanta m a vektorová funkce F taková, že jeho pohyb vůči inerciálnímu systému je určen rovnicí ma = F , kde a je zrychlení hmotného bodu (což je druhá časová derivace polohy; jedná se tedy o diferenciální rovnici pro trajektorii hmotného bodu) v inerciálním vztažném systému. Síla F popisuje působení ostatních těles na daný hmotný bod. Na sílu F obvykle klademe přirozené požadavky: princip superpozice (výsledná síla odpovídaœ jící působení více těles je vektorovým součtem sil popisujících jednotlivá působení) a třetí Newtonův zákon – princip akce a reakce: Působí-li jedno těleso na druhé silou F , potom ve stejném okamžiku působí druhé těleso na první silou F 0 = −F . Princip akce a reakce tedy vyžaduje, aby se všechny interakce šířily nekonečnou rychlostí. Galileiho transformace a Galileiho princip relativity Uvažujme dvě vztažné soustavy S a S0 , které se vůči sobě pohybují rovnoměrným přímočarým pohybem. Kartézské souřadnice zvolme v obou vztažných systémech tak, aby osy x splývaly a aby se soustava S0 pohybovala vůči soustavě S rychlostí v v kladném směru osy x. Osy y a z zvolme tak, aby splývaly v okamžiku, kdy splývají počátky obou soustav. Za časový počátek volme v obou vztažných systémech okaœ mžik, kdy splývají souřadnicové počátky obou soustav. Pokud v dalším textu tohoto seriálu bude uvedeno bez dalšího upřesnění, že se dvě vztažné soustavy S a S0 pohyœ bují vůči sobě rovnoměrným přímočarým pohybem rychlostí v, potom automaticky předpokládáme předchozí volbu kartézských souřadnic a časových počátků. Nyní uvažujme určitou bodovou událost U, jejíž souřadnice ve vztažné soustavě S jsou x, y, z a t. Jaké souřadnice má tato událost v soustavě S0 ? Užitím vlastností prostoru a času, které předpokládáme v klasické fyzice, jednoduše dostaneme násleœ dující transformaci x0 = x − vt ,

y0 = y ,

z0 = z ,

t0 = t .

Tato transformace se nazývá Galileiho transformace. Galileiho transformace je důsledkem absolutnosti času a prostoru a plně odpovídá naší běžné zkušenosti. Z této transformace plyne, že současnost dvou událostí je v obou vztažných systémech absolutní. Soumístnost dvou událostí je však relativní. (Pokud se nějaké dvě nesoučasné události odehrají v počátku soustavy S0 , potom jsou tyto události soumístné v S0 , ale nesoumístné v S.) To tedy znamená, že prostor je „méněÿ absolutní než čas — absolutní je pouze délka předmětu a nikoliv jeho poloha. To souvisí také s tím, že do transformace prostorových souřadnic vstupuje 163

FYKOS 1997–2007 také čas narozdíl od transformace časové souřadnice, do které prostorové souřadnice nevstupují. Existuje tedy jakási asymetrie mezi prostorem a časem. Uvažujme hmotný bod o hmotnosti m, který se pohybuje ve vztažné soustavě S se zrychlením a . Za soustavu S zvolme inerciální systém, který musí podle prvního Newtonova zákona existovat. Podle druhého Newtonova zákona platí ma = F . Z Galileiho transformace vidíme, že pro zrychlení a 0 tohoto hmotného bodu v souœ stavě S0 platí a0 = a . V klasické fyzice předpokládáme, že setrvačná hmotnost je absolutní. Vynásobením předchozí rovnice hmotností hmotného bodu dostáváme pohybovou rovnici tohoto bodu v soustavě S0 ma 0 = F 0 , kde F 0 = F . Vidíme tedy, že v soustavě S0 rovněž platí druhý Newtonův zákon se stejnou silou F a stejnou setrvačnou hmotností m. Z mechanického hlediska jsou tudíž vztažné systémy S a S0 zcela ekvivalentní. To znamená, že na základě meœ chanických pokusů není možno rozhodnout, která ze soustav S a S0 je soustavou inerciální. Tato skutečnost je základem Galileiho principu relativity. Pokud všechny vztažné soustavy, které se vůči inerciálnímu systému z prvního Newtonova zákona pohybují rovnoměrně přímočaře, nazveme inerciálními vztažnými soustavami, poœ tom Galileiho princip relativity říká, že všechny tyto vztažné systémy jsou pro popis mechanických jevů rovnocenné. Pokud tedy existuje alespoň jeden inerciální sysœ tém, pak jich existuje nekonečně mnoho. To znamená, že neexistuje privilegovaný inerciální vztažný systém, a tudíž ani absolutní pohyb a klid. Vztažná soustava, která se vůči inerciálním soustavám pohybuje se zrychlením nebo vůči nim rotuje, nemůže být pro popis mechanických jevů rovnocenná se souœ stavami inerciálními. Pokud je totiž hmotný bod ve stavu klidu nebo ve stavu rovœ noměrného přímočarého pohybu v nějaké inerciální vztažné soustavě (výsledná půœ sobící síla je nulová), potom se v dané vztažné soustavě pohybuje se zrychlením. V tomto vztažném systému tedy nemůže platit druhý Newtonův pohybový zákon (nenulové zrychlení při nulové síle). Soustavy, které nejsou inerciální (vůči nějaké inerciální soustavě se nepohybují rovnoměrným přímočarým pohybem), nazýváme neinerciálními soustavami. V neinerciálních vztažných soustavách působí kromě praœ vých sil (jsou důsledkem interakce s ostatními tělesy) také tzv. zdánlivé síly — jsou důsledkem pohybu vztažné soustavy. Pro zdánlivé síly neplatí princip akce a reakce, neboť jejich původ nespočívá ve vzájemném působení těles. Vyjádření zdánlivých sil pomocí pohybových charakteristik dané vztažné soustavy lze získat z transformačœ ního vztahu pro zrychlení odvozeného z obecné transformace souřadnic mezi dvěma libovolnými vztažnými systémy. Postup je zcela obdobný jako v případě odvození druhého Newtonova zákona v soustavě pohybující se rovnoměrným přímočarým poœ hybem vůči inerciálnímu systému z prvního Newtonova zákona. Pomocí zdánlivých sil je tedy možno rozlišit neinerciální soustavu od soustavy inerciální. (Jste-li ve výœ tahu, potom snadno rozeznáte stav, kdy se výtah rozjíždí nebo brzdí, od stavu, kdy se pohybuje konstantní rychlostí, aniž byste přitom museli pozorovat okolí výtahu.)

164

Seriál o teorii relativity Elektromagnetismus a světlo Klasická mechanika byla vlastně první teorií, která byla schopna dát kvantiœ tativní předpovědi. Ve svých předpovědích byla velmi úspěšnou teorií. Značných úspěchů dosáhla například v astronomii (objasnění Keplerových zákonů, předpoœ věď existence planety Neptun na základě pozorovaných poruch dráhy planety Uran; planeta Neptun byla objevena přesně tam, kde to bylo vypočteno). Současně s mechanikou se vyvíjely i další obory klasické fyziky. Před objevem elektromagnetické povahy světla bylo známo, že světlo vykazuje vlnové jevy. V té době byla všechna známá vlnění mechanické podstaty — jednalo se o vlnění něœ jakého pružného prostředí. Byla proto vytvořena hypotéza, že světelné vlny jsou vlnění všudypřítomného pružného prostředí zvaného éter. Éter by tedy mohl hrát roli význačné vztažné soustavy. V první polovině 19. století bylo učiněno mnoho významných objevů v elekœ tromagnetismu. Jednalo se o jevy ve statických, stacionárních a kvazistacionárních polích. Pozorované jevy byly celkem v souladu s klasickou mechanikou. Ve druhé poœ lovině 19. století zobecnil J. C. Maxwell tehdejší experimentální poznatky do nové teorie, která přinesla mnoho nových myšlenek. Základem této teorie jsou Maxwellovy rovnice, což jsou diferenciální rovnice pro elektrickou intenzitu E a magnetickou inœ dukci B umožňující nalézt elektromagnetické pole, pokud máme zadané zdroje – rozœ ložení elektrických nábojů a proudů. Působení na dálku (tělesa interagují „přímo se sebouÿ; pole je pouze matematickou pomůckou k popisu tohoto působení) uvaœ žované v klasické fyzice bylo nahrazeno působením na blízko — působení na těleso je dáno pouze hodnotou pole v místě tělesa; náboje tedy na sebe působí prostředœ nictvím elektromagnetického pole. Z Maxwellovy teorie vycházelo, že elektromagœ netické pole nese energii, hybnost a moment hybnosti! Je to tedy plnohodnotný fyzikální objekt. Změna pole se podle Maxwellovy teorie šíří konečnou rychlostí (ve vakuu je to rychlost světla c). To tedy znamená, že elektromagnetická interakce se šíří konečnou rychlostí, a proto nemůže platit princip akce a reakce — může platit pouze lokálně. Dalším velkým objevem této teorie byl objev elektromagnetické poœ vahy světla — světlo je vlnění elektromagnetického pole. Všechny tyto pozoruhodné předpovědi byly postupně experimentálně ověřeny. Maxwellovy rovnice však nejsou invariantní vůči Galileiho transformaci (při transformaci změní tvar), neboť by se v souladu s ní nemělo světlo šířit ve všech inerciálních systémech stejnou rychlostí c. To tedy znamená, že existuje význačná vztažná soustava pro popis elektromagneœ tických jevů (je totožná s éterem). V druhé polovině 19. století byla snaha prokázat existenci této vztažné soustavy. Měřila se rychlost světla v různých směrech (Země se vůči této soustavě jistě pohyœ buje). Výsledky měření však byly vždy negativní — světlo se vždy šířilo ve všech směrech konstantní rychlostí c plynoucí z Maxwellových rovnic.

165

FYKOS 1997–2007

Úloha I . S . . . éter a) Podle klasické fyziky neexistuje omezení na rychlost objektů. Uvažujte světelný zdroj pohybující se rovnoměrným přímočarým pohybem rychlostí v vůči éteru (světlo se vůči éteru pohybuje rychlostí c). Jak závisí prostorový úhel, do kterého zdroj vyzařuje, na jeho rychlosti? b) Zamyslete se nad „nepříjemnýmiÿ důsledky existence éteru.

ct v

2α

Obr. 63. Světelný kužel a) Pokud je rychlost zdroje v menší než rychlost světla c, potom zdroj vyzařuje světlo do celého prostoru. Pro v < c tedy zdroj světla vyzařuje do prostorového úhlu 4π. V opačném případě nemůže zdroj vyzařovat před sebe, neboť se pohybuje příliš rychle. V tomto případě zdroj vyzařuje do kužele (viz obr. 63). Pro úhel α u vrcholu kužele platí sin α = ct/vt = c/v. Tomuto kuželi odpovídá prostorový úhel ! r c2 Ω = 2π (1 − cos α) = 2π 1 − 1 − 2 . v Tento jev se u světla vyskytuje v látkových prostředích. V hmotných proœ středích se světlo šíří menší rychlostí než ve vakuu. Mikročástice se tedy mohou v tomto případě pohybovat větší rychlostí než světlo (tato rychlost však musí být menší než rychlost světla ve vakuu). Vzniklé záření se nazývá Čerenkovovo. b) Pokud by existoval éter, potom by Maxwellovy rovnice platily pouze v soustavě spojené s éterem. Elektromagnetické jevy v dané vztažné soustavě by tedy záviœ sely na rychlosti této soustavy vůči éteru. To by byl poměrně „nepříjemnýÿ jev, neboť celý náš okolní svět i my sami je založen na elektromagnetické interakci. Gravitační interakce se totiž projevuje pouze ve velkém měřítku (stovky kilomeœ trů) a ostatní interakce působí prakticky pouze v atomových jádrech. Cestování rychlostí blízkou rychlosti světla by tak nejspíše bylo zdraví nebezpečné. Předœ měty pohybující se nadsvětelně by v některých směrech nedržely pohromadě, protože vazebné síly jsou elektromagnetické povahy. Mohlo by se nám také stát, že se srazíme s nějakým tělesem ještě dříve, než jej uvidíme. Cestování vesmírem by při existenci éteru bylo mnohem obtížnější, než je za platnosti teorie relativity. 166

Seriál o teorii relativity

Kapitola 2: Lorentzova transformace a její důsledky I Principy speciální teorie relativity Negativní výsledky experimentů týkajících se potvrzení existence éteru vedly k úpravám vlastností éteru. Byla zde například hypotéza, podle které pohybující se tělesa strhávají úplně nebo částečně éter. Tato hypotéza byla však experimenty zamítnuta. K objasnění výsledků provedených experimentů byla vymyšlena celá řada hypotéz (například kontrakce délky ve směru pohybu — jednalo se však o absolutní efekt, neboť zkrácení délky záviselo na pohybu vůči éteru). Vlastnosti hypotetického éteru se s přibývajícími experimenty měnily tak, že existenci éteru nebylo možno prakticky prokázat fyzikálními měřeními. To znamená, že éter je fyzikálně zbytečným pojmem. Z provedených experimentů vyplynulo, že se světlo ve vakuu šíří ve všech inerciœ álních systémech a ve všech směrech konstantní rychlostí c plynoucí z Maxwellových rovnic. Toto je zřejmě ve sporu s klasickým skládáním rychlostí, které plyne z Galiœ leiho transformace. Tato transformace je založena na absolutnosti prostoru a času. K vysvětlení výsledků experimentů bude tudíž nutná zásadní revize našich představ o prostoru a čase, k čemuž na přelomu 19. a 20. století nebyla příliš velká vůle, neboť klasická mechanika byla jinak velice úspěšná. K tomuto kroku se v roce 1905 odhodlal tehdy nepříliš známý Albert Einstein ve své práci „Zur Elektrodynamik bewegten Körperÿ. Nicméně v této době měla již řada fyziků blízko k formulaci speciální teorie relativity. Speciální teorie relativity se zabývá popisem fyzikálních jevů v inerciálních vztažœ ných soustavách. Inerciální soustavy tvoří v klasické mechanice význačnou třídu vztažných soustav: pro popis mechanických jevů jsou zcela rovnocenné a od ostatœ ních vztažných soustav se poznají tím, že v nich nepůsobí zdánlivé síly — volný hmotný bod se v nich pohybuje rovnoměrně přímočaře. Základním principem STR je princip speciální relativity (jedná se o rozšíření Galileiho principu relativity): Všechny fyzikální zákony lze vyjádřit rovnicemi, jež mají stejný tvar ve všech inerœ ciálních vztažných systémech. To znamená, že všechny inerciální soustavy jsou pro popis fyzikálních jevů rovnocenné. Druhým principem STR je princip konstantní rychlosti světla: Ve vakuu se světlo šíří ve všech směrech a vůči všem inerciálním soustavám stejnou rychlostí c. Tento princip je vlastně důsledkem prvního principu, neboť rychlost šíření světla ve vakuu plyne z Maxwellových rovnic. Soustavu spojenou se Zemí je možné pro popis mnoha fyzikálních jevů považovat za inerciální. Prostor a čas mají v této soustavě vlastnosti, které zcela odpovídají vlastnostem prostoru a času v klasické fyzice. Jediným rozdílem ve vlastnostech prostoru a času mezi STR a klasickou fyzikou je tedy to, že prostor a čas nejsou v STR absolutní. Lorentzova transformace Mějme dvě inerciální vztažné soustavy S a S0 , které se vůči sobě pohybují rychœ lostí v. V obou soustavách uvažujme kartézské souřadnice. Naším úkolem je nalézt transformaci souřadnic událostí. Tato transformace se v STR nazývá Lorentzova transformace. Předpokládejme, že Lorentzova transformace je lineární (v kartézœ ských souřadnicích). Lineární transformace je nejjednodušší transformací a nemá problémy s inverzí na celém prostoru událostí (prostoročasu – čtyřrozměrný prostor 167

FYKOS 1997–2007 se souřadnicemi t, x, y, z). Galileiho transformace, která musí být limitním případem Lorentzovy transformace pro malé rychlosti soustav ve srovnání s rychlostí světla ve vakuu, je rovněž lineární transformací. Uvažujme události, které jsou v soustavě S současné a nastávají v rovině kolmé na směr pohybu soustav. V soustavě S0 by tyto události měly být rovněž současné a měly by také nastat v rovině kolmé na směr pohybu soustav, neboť jediným výœ značným směrem je směr vzájemného pohybu soustav. Ze stejného důvodu musí mít tři navzájem kolmé směry v soustavě S, z nichž jeden je rovnoběžný se směrem pohybu soustav, stejné uspořádání i v soustavě S0 . To znamená, že kartézské souœ řadnice a časové počátky lze v obou soustavách zvolit dříve dohodnutým způsobem (viz Galileiho transformace v minulé kapitole). Mějme dvě shodné válcové trubice. Trubice A je v klidu v soustavě S a trubice B v soustavě S0 . Osy trubic splývají a jsou rovnoběžné se vzájemnou rychlostí soustav. Polohy trubic v soustavách jsou takové, že se trubice pohybují proti sobě. Pokud by se příčné rozměry těles s rychlostí zmenšovaly, potom by v soustavě S prošla trubice B trubicí A. V soustavě S0 by to však bylo obráceně — trubice A by prošla trubicí B. Výsledek tohoto pokusu však musí být jednoznačný. Příčné rozměry těles se tedy nemohou s rostoucí rychlostí zmenšovat. Podobně lze ukázat, že se příčné rozměry nemohou s rychlostí zvětšovat. Příčné rozměry těles jsou tudíž nezávislé na rychlosti pohybu tělesa a pozorovatele. Dostáváme tedy vztahy y0 = y ,

z0 = z .

Pro souřadnice x0 a t0 platí x0 = Ax + Bt ,

t0 = Cx + Dt ,

kde A, B, C, D jsou při dané rychlosti soustav konstanty. Ve vztazích pro x0 a t0 nemohou vystupovat souřadnice y, z, neboť události se souřadnicemi x = t = 0 v soustavě S musí mít v soustavě S0 souřadnice x0 = t0 = 0. Pro pohyb počátku soustavy S0 (x0 = 0) v soustavě S platí x = vt. Dostáváme tedy 0 = (Av + B)t

⇒

B = −Av

⇒

x0 = A(x − vt) .

Obdobně dostáváme pro pohyb počátku soustavy S (x = 0) v soustavě S0 rovnici x0 = = −vt0 , z které plyne vztah −Avt = −vDt

⇒

D=A

t0 = Cx + At .

⇒

Uvažujme, že v čase t = 0 vyšleme světelný signál v kladném směru osy x. Pro pohyb signálu potom platí rovnice x = ct a x0 = ct0 . Z těchto rovnic vyplývá A(c − v)t x0 c= 0 = =c t (A + Cc)t

v c Cc 1+ A 1−

⇒

C=−

Dostáváme tedy transformační vztahy x0 = A(x − vt) , 168

“ vx ” t0 = A t − 2 . c

v A. c2

Seriál o teorii relativity Zbývá určit hodnotu koeficientu A. Podle principu relativity získáme inverzní transformaci záměnou v za −v. Platí tedy „ « v2 x 0 0 x = A(−v)(x + vt ) = A(−v) A(v)x − A(v)vt + A(v)vt − A(v) 2 , c odkud A(−v)A(v) =

1 2 . 1 − vc2

Později uvidíme, že koeficientem A je dána změna délky ve směru pohybu. Hodœ nota A tudíž nemůže záviset na znaménku rychlosti v. Dostáváme tedy vztah 1 A(v) = q 1−

≡γ, v2 c2

neboť koeficient A musí být kladný, protože pro v = 0 musí být Lorentzova transœ formace identitou (A = 1) a koeficient A musí být spojitou funkcí rychlosti v. Lorentzova transformace má tedy tvar “ vx ” x0 = γ(x − vt) , y0 = y , z0 = z , t0 = γ t − 2 . (37) c Inverzní Lorentzovu transformaci získáme záměnou v za −v 0

0

x = γ(x + vt ) ,

0

y=y ,

0

z=z ,

„ « vx0 0 t=γ t + 2 . c

(38)

Z tvaru Lorentzovy transformace vidíme, že Galileiho transformace je jejím limitním případem pro v/c → 0. V Lorentzově transformaci jsou čas a prostor rovnoprávní. Důsledkem je, že se v STR objevuje relativita současnosti. (V klasické fyzice je relativní jen soumístnost). Lorentzova transformace byla známa ještě před formulací STR. Byla totiž naœ lezena jako transformace, která zachovává tvar Maxwellových rovnic. Maxwellova teorie elektromagnetického pole je teorií vyhovující STR a nikoliv klasické mechaœ nice. Po objevu Maxwellových rovnic bylo tedy jen otázkou času, kdy dojde k objevu STR. Kontrakce délek Uvažujme dvě inerciální soustavy S a S0 , které se vůči sobě pohybují rychlostí v. Mějme tyč délky l0 rovnoběžnou se směrem pohybu soustav, která je v soustavě S0 v klidu. Souřadnice koncových bodů tyče v soustavě S0 jsou x01 a x02 , l0 = x02 − x01 . Délku tyče měříme v soustavě S v okamžiku t. Pro souřadnice koncových bodů tyče v soustavě S pak platí x01 = γ(x1 −vt) a x02 = γ(x2 −vt). V soustavě S tedy naměříme délku l, která je dána vztahem r l0 v2 x02 − x01 l = x2 − x1 = = = l0 1 − 2 . γ γ c Vidíme tedy, že podélné rozměry těles se s rostoucí rychlostí zkracují. Příčné rozměry těles se však nemění. 169

FYKOS 1997–2007 Dilatace času Mějme dvě inerciální soustavy S a S0 pohybující se vůči sobě rychlostí v. Uvaœ žujme dvě události, které jsou v soustavě S0 soumístné a jejich časový rozdíl činí ∆t0 . V soustavě S pozorovatel naměří časový rozdíl ∆t, pro který platí „ « v(x02 − x01 ) ∆t0 0 0 q ∆t = t2 − t1 = γ t2 − t1 + = γ∆t = . 0 2 c2 1 − vc2 Pohybující se hodiny jdou tedy pomaleji než stejné hodiny, které jsou vůči pozoroœ vateli v klidu. Relativita současnosti Nechť S a S0 jsou inerciální soustavy, které se vůči sobě pohybují rychlostí v. Mějme dvě události, které jsou současné v soustavě S0 . Pro jejich časový rozdíl v soustavě S potom platí „ « v∆x0 v∆x0 0 ∆t = γ ∆t + 2 =γ 2 . c c Vidíme tedy, že tyto události v soustavě S obecně nebudou současné! To je podstatný rozdíl mezi STR a klasickou fyzikou, ve které je současnost událostí absolutní. Souœ časnost dvou událostí je absolutní pouze v případě, kdy jsou tyto události také souœ místné. Z předcházejícího vztahu rovněž plyne, že systém synchronizovaných hodin v soustavě S0 není synchronizovaný v soustavě S.

Úloha II . S . . . paradoxy a) Působením rychlých částic kosmického záření vznikají vysoko v atmosféře částice zvané mezony µ. Tyto částice žijí po dobu τ = 2 · 10 −6 s a pak se rozpadají na jiné částice. Typická rychlost vzniklých mezonů µ je v = 0,998c. Mezony µ tudíž urazí vzdálenost vτ = 600 m. Jak je tedy možné, že jsou detekovány na zemském povrchu, když vznikají ve výškách větších než 6 km? Tento paradox vysvětlete jak z hlediska soustavy spojené se zemským povrchem, tak z hlediska soustavy spojené s mezonem µ. b) Mějme raketu, která odstartuje ze Země k jedné vzdálené hvězdě. Po dosažení hvězdy se opět vrátí zpět na Zemi. Na své cestě se raketa pohybuje konstantní rychlostí v blízkou rychlosti světla. Užitím dilatace času dostaneme, že z hleœ diska pozorovatele na Zemi půjdou pomaleji hodiny na raketě. Podle pozorovaœ tele na raketě však půjdou pomaleji hodiny na Zemi. Tento paradox se nazývá paradoxem dvojčat (hodiny na raketě a na Zemi lze nahradit dvojčaty). Užiœ tím Lorentzovy transformace ukažte, že ve skutečnosti oba pozorovatelé dojdou ke stejnému závěru. Určete, ve kterém případě je dilatace času užita chybně, a vysvětlete proč. c) V mnohých knihách naleznete následující vysvětlení paradoxu dvojčat. Raketa není inerciální soustavou, neboť se alespoň v některých fázích letu musí pohyboœ vat se zrychlením, a proto nelze užít STR. Přeformulujte tedy paradox dvojčat 170

Seriál o teorii relativity tak, aby se vše odehrávalo v inerciálních systémech. (Nápověda. K přenosu inœ formace lze užít například elektromagnetický signál.) a) Pro rychlost 0,998c je hodnota faktoru γ rovna přibližně 16. Uvedená hodnota doby života τ mezonu µ odpovídá případu, kdy je tato částice vůči pozorovateli v klidu. Z hlediska pozorovatele na Zemi bude tedy doba života mezonu µ vlivem dilatace času šestnáctkrát delší. Mezon µ v této soustavě tudíž urazí šestnáctkrát větší vzdálenost. To znamená, že může dorazit až k zemskému povrchu. Ke stejnému výsledku dojdeme i v soustavě spojené s mezonem µ. Vlivem kontrakce délek jsou totiž pro mezon µ všechny podélné „pozemské vzdáleœ nostiÿ šestnáctkrát kratší. Na počátku je tak zemský povrch ve vzdálenosti pouœ hých 375 m od mezonu µ a přibližuje se k němu téměř rychlostí světla. Zemský povrch tedy „dopadneÿ na mezon µ dříve, než se mezon stačí rozpadnout. b) Vzdálenost Země a hvězdy v soustavě spojené se Zemí označme l0 . Celková doba letu je v obou vztažných soustavách rovna dvojnásobku doby letu ze Země ke hvězdě. Stačí se tedy omezit na první polovinu letu. Počátek prostorových souřadnic zvolme na Zemi. Čas t = 0 nechť odpovídá okamžiku startu rakety ke hvězdě. Souřadnice v soustavě spojené s raketou volme tak, aby bylo možné užít speciální Lorentzovu transformaci (transformace odvozená v druhé kapitole). Nejprve řešme problém z hlediska pozorovatele na Zemi. Start rakety má v této soustavě souřadnice x = 0, t = 0. Raketa dorazí ke hvězdě za čas tZ = = l0 /v. Přílet rakety ke hvězdě tedy odpovídá souřadnicím x = l0 , t = tZ . Pomocí Lorentzovy transformace získáme souřadnice těchto událostí v soustavě spojené s raketou. Pro start rakety tak dostáváme x0 = 0, t0 = 0 a pro přílet rakety obdržíme souřadnice „ « „ « l0 l0 vl0 l0 0 0 x = γ l0 − v = 0, t =γ − 2 = . v v c γv Pro pozorovatele na raketě bude tedy doba letu tR rovna tR =

tZ l0 = . γ γv

Za náš vztažný systém nyní zvolme raketu. Start rakety má opět souřadœ nice x = 0, t = 0. Vzhledem ke kontrakci délek je vzdálenost hvězdy a Země v naší soustavě rovna l = l0 /γ. Hvězda i Země se vůči nám pohybují rychlostí −v. Hvězda k nám tedy doletí v čase t = l/v = l0 /γv. Doba letu rakety tR v našem systému je tedy rovna hodnotě l0 /γv. Souřadnice příletu hvězdy v naší soustavě jsou x = 0, t = tR . Lorentzovou transformací obdržíme odpovídající souřadnice v soustavě spojené se Zemí. Startu ze Země opět odpovídají souřadnice x0 = 0, t0 = 0. Souřadnice příletu hvězdy jsou dány vztahy x0 = γv

l0 = l0 , γv

t0 = γ

l0 l0 = . γv v

Pro pozorovatele na Zemi tudíž trvá let rakety po dobu tZ tZ = γtR =

l0 . v 171

FYKOS 1997–2007 Vidíme tedy, že k žádnému paradoxu ve skutečnosti nedochází. Dilatace času je chybně použita pozorovatelem na raketě. Dilataci času lze totiž užít pouze v případě, kdy jsou události v pohybující se soustavě soumístné (přesněji nastᜠvají v rovině kolmé na rychlost), jak plyne z jejího odvození. c) Mějme dvě rakety pohybující se proti sobě po spojnici Země a hvězdy. Obě raœ kety se pohybují rovnoměrně přímočaře rychlostí v vůči Zemi. Na obě rakety a na Zemi umístíme identické hodiny. Počáteční podmínky pohybu obou raket zvolme tak, aby se obě potkaly u hvězdy. V okamžiku, kdy první raketa mine Zemi, nastavíme na hodinách umístěných na první raketě a na Zemi čas nula. Při potkání obou raket u hvězdy nastavíme na hodinách druhé rakety čas z hodin umístěných na první raketě. Informaci o časovém údaji přeneseme z první rakety na druhou pomocí elektromagnetického signálu. V okamžiku průletu druhé raœ kety kolem Země pak přeneseme elektromagnetickým signálem informaci o čase, který uplynul na obou raketách během letu mezi Zemí a hvězdou, a porovnáme jej s časem uplynulým na Zemi. Výsledek tohoto porovnání pak nesmí záviset na volbě vztažné soustavy. Nyní se veškeré „stárnutí dvojčatÿ odehrává pouze v inerciálních systémech. Paradox tedy musí být řešitelný v rámci STR, neboť v opačném případě by STR nebyla vnitřně konzistentní teorií. Země

ct

ct00

ct0

s

s B

x00

x0 D E

x C

O

A

Obr. 64. Prostoročasový diagram Paradox dvojčat lze rovněž objasnit znázorněním celé situace v prostoročasoœ vém diagramu (viz obr. 64). V našem případě vystačíme s dvourozměrným proœ storočasem, neboť vše podstatné se odehrává pouze v jednom prostorovém směru. Nečárkované souřadnice S(x, ct) odpovídají pozorovateli spojenému se Zemí. Inerciœ 172

Seriál o teorii relativity ální soustavy spojené s pozorovatelem na raketě mají čárkované souřadnice. Cestě ke hvězdě odpovídají jednou čárkované souřadnice S0 (x0 , ct0 ). Dvakrát čárkovanými souřadnicemi S00 (x00 , ct00 ) je popsán inerciální systém spojený s raketou při zpátečním letu. Souřadnice v námi uvažovaných systémech jsou zvoleny tak, že světočára (dráha v prostoročasu – celá historie daného objektu) hvězdy splývá s osou ct a světočára pozorovatele na raketě je složena z částí splývajících se světočárou Země a s osami ct0 a ct00 . Do obrázku jsou také zakresleny světočáry označené písmenem s odpovídaœ jící světelným signálům, které přicházejí a opouštějí událost O, což je přílet rakety ke hvězdě. Souřadnice všech inerciálních pozorovatelů jsou vůči světočárám s syœ metrické. To je dáno principem konstantní rychlosti světla. Start rakety ze Země je označen písmenem A. Událost B odpovídá návratu rakety zpět na Zemi. Z obrázku vidíme, že v soustavě S je s událostí O současná událost E, zatímco v soustavě S0 jsou současné události O a C. Platí tedy ∆t0OA = ∆t0CA . K získání vztahu mezi ∆t0CA a ∆tCA můžeme použít dilataci času, neboť události C a A jsou v soustavě spojené se Zemí soumístné. Dostáváme tak vztah ∆tCA =

∆t0OA . γ

Doba odpovídající polovině letu rakety na Zemi je však dána časovým intervalem mezi událostmi A a E. Dilataci času tedy chybně užívá pozorovatel na raketě. Chybějící časový interval mezi událostmi C a E určíme pomocí Lorentzovy transœ formace. Vzdálenost hvězdy a Země je v soustavě S0 dána vztahem l = v∆t0OA . Dostáváme tedy vztah « „ v2 vl 0 ∆tEC = ∆tOC = γ ∆tOC + 2 = γ 2 ∆t0OA . c c Polovina doby letu rakety na Zemi tudíž trvá « „ 2 « „ 2 1 v 1 v 0 ∆tEA = γ 2 + ∆tOA = γ + 2 ∆t0OA = γ∆t0OA . 2 c γ c γ Tento vztah je identický se vztahem, který obdrží pozorovatel na Zemi užitím dilaœ tace času, neboť události E a O jsou v soustavě spojené se Zemí současné a události A a O jsou pro pozorovatele na raketě soumístné. Události, které se nacházejí mezi událostmi C a D na světočáře Země, se v souœ stavě spojené s raketou odehrají v jeden okamžik současně s událostí O. Tento „nesmyslÿ je způsoben nespojitou změnou rychlosti rakety u hvězdy. Pokud budeme uvažovat rychlou, ale spojitou změnu rychlosti rakety, potom se v okolí události O začne rychle natáčet osa x (současnost) pozorovatele na raketě z původní polohy x0 do nové polohy x00 . Události mezi C a D pro pozorovatele na raketě sice opět proběhœ nou velmi rychle, ale v tomto případě již různým událostem mezi C a D odpovídají i různé (s nimi současné) události na raketě. Pokud by na palubě rakety byla lidská posádka, potom by předchozí manévr u hvězdy zřejmě nepřežila z důvodu příliš velkého přetížení. Raketa s lidskou poœ sádkou se tak musí pohybovat se zrychlením po nezanedbatelnou část doby letu. 173

FYKOS 1997–2007 Čas odpovídající letu rakety, který naměří její posádka, lze v tomto případě určit sečtením (integrací) jednotlivých časových intervalů, které posádka stráví ve svých klidových inerciálních soustavách. Ve všech případech vychází, že se posádka rakety vrátí zpět na Zemi mladší, než budou její vrstevníci, kteří zůstanou na Zemi. K toœ muto problému se ještě vrátíme v poslední kapitole seriálu, která bude věnována obecné teorii relativity.

Kapitola 3: Lorentzova transformace a její důsledky II Skládání rychlostí Mějme dvě inerciální vztažné soustavy S a S0 , které se vůči sobě pohybují rychœ lostí v. Nechť se v soustavě S pohybuje těleso rychlostí u, jejíž složky označme ux , uy , uz . Za čas ∆t se souřadnice tělesa v soustavě S změní o hodnoty ∆x = ux ∆t ,

∆y = uy ∆t ,

∆z = uz ∆t .

Odpovídající změny souřadnic v soustavě S0 včetně transformace časového interœ valu ∆t dostaneme užitím Lorentzovy transformace “ ” v 0 0 0 0 ∆x = γ (∆x − v∆t) , ∆y = ∆y, ∆z = ∆z , ∆t = γ ∆t − 2 ∆x . c Pro složky rychlosti tělesa u0 v soustavě S0 tedy platí ∆x0 ∆x − v∆t ux − v = = = v ux v , 0 ∆t ∆t − 2 ∆x 1− 2 c c q 2 0 uy 1 − vc2 ∆y ∆y 0 ” = uy = = “ ux v , v ∆t0 1− 2 γ ∆t − 2 ∆x c c q v2 0 u 1 − z ∆z ∆z c2 ” = u0z = = “ . u v 0 v x ∆t 1 − γ ∆t − 2 ∆x c2 c

u0x

V limitním případě v  c přecházejí obdržené transformační vztahy v klasické skládání rychlostí plynoucí z Galileiho transformace. Prostoročas Čas a prostor jsou v teorii relativity spojeny do jednoho objektu nazývaného proœ storočas, což je čtyřrozměrný prostor všech událostí. Pojem prostoročasu lze zavést i v klasické fyzice. Vzhledem k absolutnosti času se však „klasickýÿ prostoročas pro všechny pozorovatele jednoznačně rozpadá na čas a prostor. V teorii relativity, jak již víme, absolutní čas neexistuje, a proto rozdělení prostoročasu na čas a prostor závisí na pozorovateli. K popisu prostoročasu užíváme souřadnic ct, x, y, z. (Z rozměrových důvodů používáme ct místo t.) Volba souřadnic v prostoročasu je ekvivalentní volbě vztažné 174

Seriál o teorii relativity soustavy. (Přesněji volba časové souřadnice, neboť dvě souřadné soustavy lišící se pouze rotací prostorových souřadnic odpovídají stejné vztažné soustavě.) Vztah mezi dvěma souřadnými systémy je dán Lorentzovou (obecnou) transformací, která je vždy lineární. Lorentzova transformace tedy odpovídá „rotaciÿ souřadnic v proœ storočasu. Námi odvozená Lorentzova transformace v minulé kapitole se obvykle nazývá speciální, neboť předpokládá speciální volbu prostorových souřadnic. V prostoročasu můžeme definovat (podobně jako v prostoru) vektorová popříœ padě tenzorová pole. Transformace složek vektorů je stejná jako transformace odpoœ vídajících souřadnic. Každý vektor v prostoročasu (tzv. čtyřvektor) má tedy čtyři složky – jednu časovou a tři prostorové. Pokud budeme fyzikální zákony formuloœ vat pomocí vektorových (tenzorových) rovnic, potom budou mít tyto rovnice stejný tvar a obsah ve všech souřadnicích, a tedy i ve všech vztažných systémech. Princip relativity pak bude splněn automaticky. Teorii relativity lze skutečně zformulovat pomocí „absolutních objektůÿ, jako jsou prostoročas a tenzorová pole. Měřitelné veœ ličiny (např. čas, vzdálenost, hmotnost, intenzity silových polí) jsou složkami těchto polí. Složky vektorů a tenzorů jsou však relativní, neboť závisejí na volbě souřadnic, a tedy i na volbě vztažného systému. Tato skutečnost dala název celé teorii. Formuœ laci fyzikálních zákonů tímto způsobem se však věnovat nebudeme, neboť pro naše účely není nezbytná. V prostoročasu lze rovněž definovat „vzdálenostÿ dvou událostí. Nechť ∆t a ∆l je časový a prostorový rozdíl mezi dvěma událostmi v dané vztažné soustavě. Prostoročasovou vzdálenost těchto událostí definujeme vztahem ∆s2 = −c2 (∆t)2 + (∆l)2 . Prostorovou vzdálenost ∆l lze vyjádřit pomocí rozdílů prostorových souřadnic znᜠmým způsobem (∆l)2 = (∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2 . Z definice prostoročasové vzdálenosti plyne, že její hodnota může být i záporná nebo nulová pro dvě různé události. Význam této definice spočívá v tom, že tento výraz je invariantní vůči Lorentzově transformaci. Uvažujme dvě vztažné soustavy pohybující se vůči sobě rychlostí v. Prostorové souřadnice v obou soustavách zvolme tak, abychom mohli použít speciální Lorentzovu transformaci (volba prostorových souřadnic neovlivní velikosti prostorových vzdáleností). K důkazu vztahu ∆s2 = ∆s02 tedy stačí dokázat rovnost −c2 (∆t0 )2 + (∆x0 )2 = −c2 (∆t)2 + (∆x)2 . Užitím Lorenœ tzovy transformace dostaneme “ ” v ∆x0 = γ (∆x − v∆t) , ∆t0 = γ ∆t − 2 ∆x . c Dosazením těchto vztahů do levé strany předchozí rovnice obdržíme „ v2 2 0 2 0 2 2 2 2 −c (∆t ) + (∆x ) = γ −c (∆t) + 2v∆t∆x − 2 (∆x)2 + c « v2 2 2 2 + (∆x) − 2v∆t∆x + 2 c (∆t) = c = −c2 (∆t)2 + (∆x)2 . 175

FYKOS 1997–2007 Při odvození speciální Lorentzovy transformace jsme předpokládali její linearitu. Je možné dokázat, že linearita transformace mezi různými volbami souřadnic na proœ storočasu je nutnou podmínkou invariantnosti prostoročasové vzdálenosti. Z prinœ cipu konstantní rychlosti světla pak plyne invariantnost prostoročasové vzdálenosti pro události, které lze spojit světelným signálem. Uvažujme objekt, který se v dané vztažné soustavě pohybuje rychlostí v. Za čas ∆t tedy urazí vzdálenost ∆l = v∆t. Pro prostoročasovou vzdálenost příslušných událostí pak platí vztah ` ´ ∆s2 = − c2 − v 2 (∆t)2 . Z invariantnosti prostoročasové vzdálenosti tak plyne absolutnost relací v < c, v = c, v > c. Pohybuje-li se tedy objekt v jedné vztažné soustavě například podsvětelnou rychlostí, potom se pohybuje podsvětelnou rychlostí ve všech vztažných soustavách. STR a nadsvětelné rychlosti Z tvaru Lorentzovy transformace vidíme, že vzájemná rychlost vztažných souœ stav musí být podsvětelná, aby byl definován faktor γ, a transformace měla tak matematický smysl. Zabývejme se nyní otázkou, zda existuje nějaké omezení na rychlost fyzikálních objektů. Uvažujme dvě události. Prostorové souřadnice zvolme v dané vztažné soustavě tak, aby se obě události odehrály na ose x. Jejich prostorová vzdálenost je tedy rovna |∆x|. Časový interval mezi událostmi označme ∆t > 0. Nechť jsou obě události spojeny signálem. Pro rychlost signálu u potom platí ∆x = u∆t (pro záporné u se signál pohybuje v záporném směru osy x). Uvažujme pozorovatele, který se vůči naší vztažné soustavě pohybuje rychlostí v ve směru osy x. Časový interval mezi uvažovanými událostmi, který naměří pohybující se pozorovatel, je dán Lorentzovou transformací “ ” “ v uv ” ∆t0 = γ ∆t − 2 ∆x = γ 1 − 2 ∆t . c c Tyto události jsou spojeny signálem, a proto spolu mohou příčinně souviset (jedna může být důsledkem druhé). Princip kauzality vyžaduje, aby ve všech vztažných souœ stavách nastala vždy příčina a potom teprve její následek. Musí tedy platit ∆t0 > 0. Z této podmínky tak dostáváme |u| ≤ c (|v| < c). Princip kauzality tedy vyžaduje, aby se všechny informace šířily podsvětelně nebo světelně. Pokud se signál šíří v jedné vztažné soustavě podsvětelně, resp. svěœ telně, potom se podle předchozí podkapitoly šíří podsvětelně, resp. světelně ve všech vztažných systémech. Rychlost světla je tedy maximální rychlostí fyzikálních obœ jektů. Později uvidíme, že těleso s nenulovou klidovou hmotností nelze žádnou silou urychlit na světelnou nebo nadsvětelnou rychlost. Události, které spolu nemohou příčinně souviset (mají kladnou prostoročasovou vzdálenost), mohou mít pro různé pozorovatele různé časové pořadí. Objekty, které nenesou informaci, se však mohou pohybovat nadsvětelně. Příœ kladem může být světelná stopa pohybující se po zdi. Relativistický Dopplerův jev pro světlo Mějme zdroj světla, který ve vztažné soustavě s ním spojené vyzařuje světlo o frekvenci f0 . Jakou frekvenci f naměří pozorovatel, který se ke zdroji světla přiœ bližuje rychlostí v? (Je-li rychlost v záporná, potom se pozorovatel od zdroje vzdaluje rychlostí −v.) 176

Seriál o teorii relativity Nejprve problém řešme v soustavě spojené se zdrojem. Vlnová délka světla je v této soustavě dána vztahem λ0 = c/f0 . Pro časový rozdíl T0 mezi zaznamenᜠním dvou po sobě jdoucích vrcholů světelné vlny pozorovatelem v soustavě spojené se zdrojem platí λ0 = (c + v)T0 . Odpovídající časový rozdíl T v soustavě spojené s pozorovatelem je dán dilatací času q q 2 v2 1 − 1 − vc2 T0 1 c2 T = = λ0 = . γ c+v f0 1 + vc Pozorovatel tedy naměří frekvenci s 1 + vc 1 . f= = f0 T 1 − vc Nyní stejný problém vyřešme z hlediska soustavy spojené s pozorovatelem. Čaœ sový interval T mezi dvěma po sobě jdoucími vrcholy světelné vlny vyzářené zdrojem v soustavě spojené s pozorovatelem určíme užitím dilatace času γ T = . f0 Pro vlnovou délku světla λ v soustavě pozorovatele pak platí λ = (c − v)T . Tomu odpovídá frekvence q 1−

c f = = f0 λ 1−

v2 c2 v c

s = f0

1+ 1−

v c v c

.

V obou případech, jak vidíme, dostáváme stejné vztahy. Relativistický Dopplerův jev pro světlo závisí pouze na vzájemné rychlosti pozorovatele a zdroje. V klasickém případě však máme dva různé vztahy pro Dopplerův jev. Závisí zde totiž na tom, zda se pohybuje zdroj nebo pozorovatel vůči hmotnému prostředí, ve kterém se uvažované vlnění šíří. Pro světelné vlny ale takové prostředí (éter) neexistuje. Právě odvozené vzorce odpovídají tzv. longitudinálnímu (podélnému) Doppleœ rovu jevu. Kromě tohoto jevu existuje v relativitě také tzv. transverzální (příčný) Dopplerův jev, který nemá v klasické fyzice obdoby. Jeho příčinou je dilatace času. Uvažujme zdroj světla, který se pohybuje v soustavě spojené s pozorovatelem rychlostí v kolmo na spojnici s pozorovatelem. V soustavě spojené se zdrojem má vyœ zařované světlo frekvenci f0 . Časový rozdíl T mezi dvěma po sobě jdoucími maximy světelné vlny v soustavě pozorovatele je dán dilatací času γ . T = f0 Pozorovatel tudíž naměří frekvenci r 1 v2 f= = f0 1 − 2 . T c

177

FYKOS 1997–2007

Úloha III . S . . . rychlejší než světlo? V roce 1994 bylo provedeno měření na rádiových vlnách emitovaných složeným zdroœ jem z naší Galaxie. Centrum tohoto zdroje je od nás vzdáleno R = 3,86 · 10 20 m. V rádiovém spektru byly pozorovány dva objekty vzdalující se od centra v naœ vzájem opačných směrech. Naměřené úhlové rychlosti těchto objektů byly ω 1 = = 9,73 · 10 −13 rad·s −1 a ω 2 = 4,42 · 10 −13 rad·s −1 . Tomu odpovídají příčné lineœ ární rychlosti v1 = Rω 1 = 3,76 · 10 8 m·s −1 a v2 = Rω 2 = 1,71 · 10 8 m·s −1 . První zdroj se tedy musí pohybovat nadsvětelnou rychlostí! Jak je to možné? Uvažujte zdroj světla, který se pohybuje v soustavě spojené s pozorovatelem rychlostí v. Rychlost zdroje svírá se spojnicí zdroje a pozorovatele úhel ϕ. Vzdᜠlenost zdroje a pozorovatele je rovna R. Vypočtěte, jakou úhlovou rychlost zdroje uvidí pozorovatel. Kdy bude úhlová rychlost zdroje odpovídat nadsvětelné příčné rychlosti? Užitím předchozího výsledku určete, jakou skutečnou rychlostí se pohybují oba objekty za předpokladu, že rychlosti obou zdrojů jsou stejné. Bod, ve kterém se nachází zdroj světla, označme písmenem Z. Podobně označme polohu pozorovatele bodem P. Vzdálenost bodů Z a P je rovna R. Zdroj se poœ hybuje rychlostí o velikosti v. Směr pohybu Z0 zdroje svírá s úsečkou ZP úhel ϕ. Za malý časový interval ∆t se zdroj světla posune do r v∆t bodu Z0 . Pro vzdálenost r bodů Z0 a P dostaœ neme užitím kosinové věty vztah ϕ ∆ϕ Z P R r2 = R2 + (v∆t)2 − 2Rv∆t cos ϕ = Obr. 65. Nákres situace ! „ «2 v∆t 2v∆t = R2 1 + − cos ϕ . R R Protože je ∆t velmi malé, lze zanedbat člen obsahující jej v druhé mocnině. Užiœ jeme-li dále přibližný vztah (1 + x)α ≈ 1 + αx platný pro x  1, získáme následující rovnost « „ v∆t r =R 1− cos ϕ = R − v∆t cos ϕ . R Za čas ∆t se změní úhlová poloha zdroje vůči pozorovateli o úhel ∆ϕ. Užitím aproœ ximací r ≈ R a sin x ≈ x platných pro x → 0 dostaneme ∆ϕ ≈ sin ∆ϕ =

v∆t sin ϕ . R

Časový rozdíl ∆tp , který zaznamená pozorovatel mezi světlem přicházejícím z bodů Z a Z0 , je dán vztahem “ ” r−R v ∆tp = ∆t + = ∆t 1 − cos ϕ . c c Pro úhlovou rychlost ω zdroje, kterou uvidí pozorovatel, tak platí ω= 178

∆ϕ v sin ϕ · . = ∆tp R 1 − vc cos ϕ

Seriál o teorii relativity Tomu odpovídá příčná lineární rychlost v⊥ = Rω =

v sin ϕ . 1 − vc cos ϕ

Rozborem předchozího vztahu snadno určíme podmínku, kdy bude pozorovaná příčná rychlost v⊥ nadsvětelná. Podmínka v⊥ > c je ekvivalentní nerovnosti v (sin ϕ + cos ϕ) > c . Jednoduchou úpravou (sečtením sinu a kosinu) tak dostáváme podmínku nadsvětelœ nosti pozorované rychlosti zdroje “ π” c cos ϕ − > √ . 4 2v Vidíme tedy, že předchozí podmínku lze splnit i pro podsvětelné rychlosti zdroje. Tento jev je, jak plyne z jeho odvození, způsoben konečnou rychlostí světla. Konečná rychlost šíření světla tedy hraje při posuzování vzhledu objektů velmi výœ znamnou roli. Z druhé kapitoly víme, že pohybující se tyč bude ve směru svého pohybu vlivem kontrakce délek kratší. Dá se však ukázat, že za určitých podmínek bude pozorovaná (viděná) délka tyče větší než v případě, kdy je tyč vůči pozorovateli v klidu! Nyní již můžeme určit skutečnou rychlost v, kterou se pohybují oba pozorované objekty. Naměřené úhlové rychlosti objektů jsou podle předešlého dány vztahy ω1 =

sin ϕ v , · R 1 − vc cos ϕ

ω2 =

v sin ϕ · . R 1 + vc cos ϕ

Vzájemným podělením předchozích rovnic získáme vztah 1+ ω1 = ω2 1−

v c v c

cos ϕ cos ϕ

⇒

v ω1 − ω2 cos ϕ = . c ω1 + ω2

Užitím poslední rovnosti dostáváme 1−

v 2ω 2 cos ϕ = . c ω1 + ω2

Dosazením tohoto vztahu do rovnice pro ω 1 pak obdržíme v sin ϕ =

2Rω 1 ω 2 . ω1 + ω2

Pro rychlost pohybu pozorovaných objektů tak platí s„ «2 „ «2 q 2Rω ω ω − ω 1 2 1 2 v = v 2 sin2 ϕ + v 2 cos2 ϕ = + c2 . ω1 + ω2 ω1 + ω2 179

FYKOS 1997–2007 Dosazením číselných hodnot dostáváme, že skutečná velikost rychlosti (nejen . . příčných složek) pozorovaných objektů je rovna v = 0,87c = 2,60 · 108 m·s−1 . Vidíme tedy, že se oba objekty skutečně pohybují podsvětelně.

Kapitola 4: Relativistická dynamika Závislost hmotnosti těles na jejich rychlosti V této podkapitole se budeme zabývat otázkou, jakou hmotnost naměří pozoroœ vatel u tělesa, které se vůči němu pohybuje. Vliv pohybu těles na jejich setrvačnou hmotnost vyšetříme na případu srážky dvou identických částic. Při řešení tohoto proœ blému budeme předpokládat, že se ve všech vztažných soustavách zachovává celková hmotnost a celková hybnost tohoto systému. O hybnosti částice předpokládáme, že je stejně jako v klasické fyzice dána součinem její hmotnosti a její rychlosti. Mějme tedy dvě identické částice, které se pohybují k sobě. Uvažujme laboraœ torní nyní vztažnou soustavu, ve které se obě částice pohybují stejně rychle. Velikost rychlosti částic v tomto systému označme v0 . Při srážce se obě částice zastaví a poté odlétnou stejnou rychlostí v0 v opačných směrech, než přilétly. Srážku těchto čásœ tic nyní popišme z hlediska pozorovatele, který se vůči našemu vztažnému systému pohybuje rychlostí v ve směru pohybu částic. Rychlost v nechť je kladná, pokud se pozorovatel v laboratorní soustavě pohybuje stejným směrem jako první částice. Užiœ tím vztahů pro skládání rychlostí dostaneme, že rychlost v1 první částice v soustavě pozorovatele je dána vztahem v1 =

v0 − v . 1 − v0 v/c2

Rychlost v2 druhé částice vůči pozorovateli získáme ze vztahu pro v1 záměnou v0 za −v0 −v0 − v . v2 = 1 + v0 v/c2 V soustavě spojené s pozorovatelem nyní na srážku částic aplikujme zákony zachování hmotnosti a hybnosti. Podle zákona zachování hmotnosti platí pro hmotœ nost M objektu vzniklého v okamžiku srážky částic vztah M = m1 + m2 , kde m1 a m2 jsou hmotnosti první a druhé částice vzhledem k pozorovateli. Rychlost tohoto objektu v soustavě pozorovatele je rovna −v, neboť v laboratorní soustavě je v klidu. Užitím zákona zachování hybnosti tedy dostáváme rovnici m1 v1 + m2 v2 = −M v = −m1 v − m2 v . Jednoduchou úpravou získáme vztah m1 (v1 + v) = −m2 (v2 + v). Užitím vztahů pro rychlosti částic vůči pozorovateli dostáváme v1,2 + v =

±v0 − v + v ∓ v0 v 2 /c2 1 − v 2 /c2 ±v0 − v + v = = ±v . 0 1 ∓ v0 v/c2 1 ∓ v0 v/c2 1 ∓ v0 v/c2

Dosazením těchto vztahů do poslední rovnice získáme následující rovnost “ “ v0 v ” v0 v ” m1 1 + 2 = m2 1 − 2 . c c 180

Seriál o teorii relativity Určeme nyní hodnoty faktorů γ, které odpovídají rychlostem částic v systému poœ zorovatele γ 1,2

v0 v c2 r = r = = 2 v1,2 v02 v 2 v02 v0 v v2 v0 v 1∓2 2 + 4 − 2 ±2 2 − 2 1− 2 c c c c c c “ v0 v ” = γ(v)γ(v0 ) 1 ∓ 2 . c 1∓

1

Užitím těchto vztahů tak dostáváme následující rovnici m1 γ 2 = m2 γ 1 . Zvolme nyní pozorovatele, vůči kterému je druhá částice v klidu. Hmotnost druhé částice v tomto případě označme m0 . Tato hmotnost se nazývá klidová, neboť se jedná o hmotnost částice, kterou naměří pozorovatel, vůči kterému se částice neœ pohybuje. Vzhledem k identičnosti částic je klidová hmotnost první částice rovněž rovna hodnotě m0 . Užitím poslední rovnice tak pro setrvačnou hmotnost m pohyœ bující se částice dostáváme vztah m = γm0 , kde m0 je její klidová hmotnost a hodnota γ odpovídá rychlosti částice vůči poœ zorovateli. Vidíme tedy, že hmotnost těles je závislá na pohybu vůči pozorovateli! Tento (z klasického hlediska) pozoruhodný jev byl potvrzen mnoha experimenty na mikročásticích. Při odvození závislosti hmotnosti částice na její rychlosti jsme vycházeli ze zᜠkona zachování hmotnosti. Vzhledem k obdrženým výsledkům se nyní nabízí otázka, zda se zachovává také klidová hmotnost. Na příkladu srážky dvou částic se snadno přesvědčíme, že tomu tak není. V laboratorní soustavě se obě částice pohybovaly stejnou rychlostí v0 . Měly tedy i stejnou hmotnost m, která je větší než jejich klidová hmotnost m0 . Podle zákona zachování hmotnosti je v laboratorní soustavě hmotnost objektu vzniklého v okamžiku srážky rovna hodnotě 2m. Tato hmotnost je klidová, neboť se tento objekt vůči nám nepohybuje. Pokud by platil zákon zachování klidové hmotnosti, potom by hmotnost tohoto objektu byla rovna hodnotě 2m0 . To je však méně než skutečná hodnota 2m. Klidová hmotnost se tedy nezachovává. Relativistická pohybová rovnice Pohybová rovnice hmotného bodu v inerciální vztažné soustavě (druhý Newtoœ nův pohybový zákon) má v STR následující tvar F =

dp , dt

kde F je síla působící na hmotný bod a p = mv je hybnost hmotného bodu, která je rovna, jak již bylo řečeno, součinu jeho hmotnosti a rychlosti. Pokud zapíšeme klasickou pohybovou rovnici pomocí hybnosti, potom má stejný tvar jako relatiœ vistická. Rozdíl spočívá v tom, že v klasické fyzice je hmotnost hmotného bodu 181

FYKOS 1997–2007 konstantní, zatímco v relativitě, jak jsme zjistili, závisí na rychlosti pohybu bodu vůči pozorovateli. Dosadíme-li definiční vztah pro hybnost p do pohybové rovnice hmotného bodu, dostaneme pohybovou rovnici ve tvaru F =

dm v + ma , dt

kde a = dv /dt je zrychlení hmotného bodu. Tato rovnice se od klasického Newtonova zákona liší přítomností členu (dm/dt)v . Jeho původ spočívá v závislosti hmotnosti těles na jejich rychlosti (a tedy i na čase). Tuto pohybovou rovnici se nyní pokusíme přepsat na rovnice podobné druhému Newtonovu pohybovému zákonu. Rychlost v hmotného bodu můžeme vždy zapsat ve tvaru v = vv0 , kde v0 je jednotkový vektor mající stejný směr jako vektor rychlosti v . Hodnota v je pak rovna velikosti rychlosti v . Pro zrychlení a potom platí vztah a =

dv dv0 dv = v0 + v . dt dt dt

První člen má směr rychlosti v . Druhý člen ve výrazu pro zrychlení je na rychlost kolmý, neboť změna jednotkového vektoru je na příslušný jednotkový vektor kolmá. Rozložme tedy zrychlení a na dva navzájem kolmé vektory ak a a⊥ . První vektor nechť má směr rychlosti v . Vektor ak tudíž popisuje tečné zrychlení a vektor a⊥ zrychlení normálové. Obdobně rozložme i působící sílu F na odpovídající složky Fk a F⊥ . Pohybovou rovnici lze tedy přepsat na následující dvě rovnice F⊥ = ma⊥ ,

„ « dm Fk = v + m ak , dv

kde jsme využili vztahu dm/dt = (dm/dv) · (dv/dt). Obě rovnice již mají tvar druhého Newtonova pohybového zákona. Druhou rovnici lze ještě dále upravit. Užiœ tím vztahu pro relativistickou hmotnost snadno vypočteme derivaci, která se zde vyskytuje dm v = mγ 2 2 . dv c Po úpravě tak dostáváme následující tvar druhé pohybové rovnice Fk = mγ

2

„

v2 v2 + 1 − c2 c2

«

ak = mγ 2 ak .

Z právě odvozených vztahů vidíme, že těleso vždy klade větší odpor vůči urychœ lení ve směru pohybu než ve směru kolmém na svou rychlost.

182

Seriál o teorii relativity

Úloha IV . S . . . rovnoměrně zrychlený pohyb Mějme volný hmotný bod, jehož klidová hmotnost je m0 a který je v naší vztažné soustavě v klidu. V čase t = 0 začne na hmotný bod působit konstantní urychlující síla o velikosti F . a) Vypočtěte časovou závislost rychlosti hmotného bodu v dané soustavě. Z této závislosti určete zrychlení hmotného bodu vůči systému. (Řešte pouze pro časy t > 0.) b) V každém okamžiku můžeme s uvažovaným hmotným bodem spojit tzv. klidovou inerciální soustavu. Jak již název napovídá, jedná se o inerciální systém, ve kteœ rém je hmotný bod v daném okamžiku v klidu. S jakým zrychlením se hmotný bod pohybuje ve svých klidových soustavách? Jak velká síla na něj v těchto systémech působí? a) Pohybovou rovnici hmotného bodu lze v tomto případě vyřešit jednoduše, proœ tože je působící síla konstantní. Časová závislost hybnosti p(t) hmotného bodu je tedy dána vztahem (podle zadání řešíme pouze pro t > 0) p(t) = F t

⇒

m0 v(t) q = Ft. v(t)2 1 − c2

Pro rychlost hmotného bodu v naší vztažné soustavě tedy platí vztah Ft m0 c c v=cr “ ”2 = r “ ” . Ft m0 c 2 1+ 1+ m0 c Ft Z tohoto vztahu vidíme, že ani stále působící síla libovolné velikosti není schopna urychlit částici na světelnou, popřípadě nadsvětelnou rychlost. Zrychlení a hmotného bodu získáme derivací jeho rychlosti podle času “ ” m0 c 2 Ft v v dv 1 v 3 2m0 c “ m0 c ” 1 a= =− 2 − 2 = · “ ”2 = · “ ” . m0 c Ft 2 dt 2 c Ft Ft t t 1+ 1+ Ft m0 c b) Okamžitá klidová inerciální soustava pohybujícího se hmotného bodu se vůči nám pohybuje rychlostí v ve stejném směru jako uvažovaný hmotný bod. Za čas dt se rychlost hmotného bodu v naší soustavě zvětší o dv. Odpovídající změnu rychlosti du v klidové soustavě hmotného bodu dostaneme užitím vztahu pro skládání rychlostí du =

(v + dv) − v = γ 2 dv . v2 1 − c2

K této změně rychlosti hmotného bodu v jeho klidové soustavě dojde za čas dτ . Vztah mezi časovými intervaly dt a dτ je dán dilatací času dt = γ dτ , neboť čaœ sový rozdíl dτ odpovídá v klidové soustavě hmotného bodu soumístným událosœ tem (rychlost hmotného bodu je v jeho klidovém systému nulová). Pro zrychlení 183

FYKOS 1997–2007 hmotného bodu a0 v jeho klidové inerciální soustavě tedy platí du du dv =γ = γ3 = γ3a . dτ dt dt

a0 =

Časovou závislost faktoru γ odpovídajícího pohybu hmotného bodu v půœ vodní soustavě získáme dosazením časové závislosti rychlosti hmotného bodu do definičního vztahu faktoru γ

1 γ= q 1−

v2 c2

r “ ” s m0 c 2 „ «2 1+ Ft Ft = = 1+ . m0 c m0 c Ft

Pro časovou závislost zrychlení hmotného bodu v jeho klidovém systému tudíž dostáváme s „ «2 Ft v c Ft F 0 · = = a = 1+ . m0 c t t m0 c m0 Vidíme tedy, že zrychlení hmotného bodu je v jeho klidových soustavách konœ stantní. Proto se tento pohyb nazývá rovnoměrně zrychlený. V okamžitých klidových systémech působí na hmotný bod síla F 0 , jejíž veliœ kost obdržíme užitím pohybové rovnice F0 =

dm 0 v + ma0 = m0 a0 = F . dt

První člen pohybové rovnice je v okamžité klidové soustavě nulový, protože hmotný bod je v tomto systému v klidu. V tomto případě náhodou vyšlo, že působící síla je v okamžitých klidových soustavách stejně velká jako v původní soustavě. Obecně se však při Lorentzově transformaci směr a velikost působíœ cích sil mění, což je například vidět z transformačních vztahů pro sílu získaných v rámci pomalé Lorentzovy transformace. (Při Galileiho transformaci se směr a velikost sil zachovává.)

184

Seriál o teorii relativity

Kapitola 5: Energie a zákony zachování Ekvivalence energie a hmotnosti V této podkapitole odvodíme nejznámější fyzikální vzorec. Uvažujme sílu F půœ sobící na hmotný bod. Při posunutí hmotného bodu o dr tato síla vykoná práci dW danou vztahem dW = F · dr = F · v dt = Fk · v dt = mγ 2 ak · v dt = mγ 2 v

dv dt = mγ 2 v dv , dt

kde jsme využili výsledků z minulé kapitoly. Užitím dalšího vztahu z předcházející kapitoly obdržíme v dm = mγ 2 2 dv c

⇒

dW = mγ 2 v dv = c2 dm .

Získali jsme tedy velmi pozoruhodný vztah ∆W = c2 ∆m . Vykonaná práce je rovna rozdílu kinetických energií W = T2 −T1 . Pro kinetickou energii hmotného bodu tudíž dostáváme vztah (kinetická energie nepohybujícího se tělesa je rovna nule) T = (m − m0 ) c2 . Definujeme-li celkovou energii E tělesa jako součet jeho kinetické a klidové enerœ gie E0 = m0 c2 , potom dostaneme velmi překvapivý vztah, který nemá v klasické fyzice obdoby E = mc2 . Tento vztah vyjadřuje ekvivalenci mezi energií tělesa a jeho setrvačnou hmotœ ností. Takto elegantní vztah jsme však získali díky zavedení tzv. klidové energie. Nicméně experimenty ukazují, že tento krok má své opodstatnění. Při některých srážkách elementárních částic totiž dochází k přeměnám mezi kinetickou a klidovou energií. Na úkor kinetické energie srážejících se částic tak může dojít ke vzniku noœ vých částic. Podobně se v některých případech přeměňuje klidová energie zaniklých částic na kinetickou energii ostatních zúčastněných částic. V první kapitole tohoto seriálu bylo zmíněno, že elektromagnetické pole nese energii a hybnost. Podobně je tomu i v případě ostatních interakčních polí. Naœ bízí se nyní otázka, zda této energii odpovídá také setrvačná hmotnost. Odpověď na tuto otázku lze získat například měřením hmotností atomových jader. Atomová jádra se skládají z protonů a neutronů (nukleonů), které mezi sebou působí tzv. silnou interakcí. Tato interakce je na malých (jaderných) vzdálenostech velmi silná (odtud pochází i její název). Vazebná energie16 jader, což je energie potřebná na rozbití jádra na jednotlivé nukleony, je proto velmi veliká — na jeden nukleon přiœ padá vazebná energie, která řádově odpovídá jednomu procentu jeho klidové energie. 16)

Vazebná energie je rozdíl mezi poklesem energie interakčních polí – poklesem potenciální energie v důsledku vytvoření atomového jádra – a kinetické energie nukleonů vázaných v jádře.

185

FYKOS 1997–2007 Platí-li ekvivalence mezi energií a hmotností i pro interakční pole, potom musí být klidová hmotnost atomových jader menší než součet klidových energií jeho nukleœ onů (v opačném případě by byla hmotnost atomového jádra větší, neboť se v něm nukleony pohybují). Atomové jádro by tak mělo být lehčí o hmotnostní ekvivalent jeho vazebné energie. Naměřené hmotnosti atomových jader tuto skutečnost plně potvrzují. K hmotnostem těles tedy přispívají také interakční pole.17 Na závěr této podkapitoly si ještě ukážeme, že pro rychlosti mnohem menší než rychlost světla dostáváme pro kinetickou energii klasický vztah. Užitím přibližného vztahu (1 + x)α ≈ 1 + αx, který platí pro x  1, obdržíme známý vzorec 0 2

1

1

T = m0 c @ q 1−

„ « 2 1 v 1 − 1A ≈ m0 c 1 + m0 v 2 . − 1 = 2 2c 2 2

v2 c2

Transformace energie a hybnosti Zabývejme se nyní otázkou, jak se mění energie a hybnost částic při přechodu z jedné inerciální vztažné soustavy do druhé. Je možné ukázat, že veličiny E/c, px , py , pz jsou složkami čtyřvektoru. To znamená, že se při přechodu mezi vztažnými systémy transformují stejně jako souřadnice ct, x, y, z. Při speciální Lorentzově transformaci souřadnic tedy dostáváme vztahy „ « vE 0 px = γ px − 2 , p0y = py , p0z = pz , E 0 = γ (E − vpx ) . c Z předchozího víme, že veličina −c2 t2 +x2 +y 2 +z 2 je invariantní vůči Lorentzově transformaci. To znamená, že veličina −(E/c)2 + p2 je také invariantní. Hodnotu tohoto invariantu můžeme vypočítat v libovolné inerciální vztažné soustavě. Nejlepší volbou je vztažná soustava, ve které se uvažované těleso nepohybuje. V této soustavě je hybnost tělesa nulová a jeho energie je rovna klidové energii. Hodnota uvažovaného invariantu je tedy −m20 c2 , kde m0 je klidová hmotnost daného tělesa. Obdrželi jsme tak velmi užitečný vztah E 2 = m20 c4 + p2 c2 . Všechny uvedené vztahy lze samozřejmě odvodit užitím definic příslušných veliœ čin a speciální Lorentzovy transformace pro prostoročasové souřadnice. Zákony zachování a jejich užití Při odvození závislosti setrvačné hmotnosti těles na rychlosti jejich pohybu vůči pozorovateli jsme předpokládali platnost zákona zachování hmotnosti a zákona zaœ chování hybnosti. Vzhledem k ekvivalenci energie a setrvačné hmotnosti vyjadřují zákony zachování hmotnosti a energie tutéž věc. (V klasické fyzice jsou oba zákony nezávislé.) Zákon zachování hybnosti a zákon zachování energie patří mezi nejzᜠkladnější fyzikální zákony. Tyto zákony podstatně omezují možné výsledky srážek částic v mikrosvětě. 17)

Z hlediska kvantové teorie to není nic divného, neboť interakční pole jsou „tvořenyÿ částicemi – v případě elektromagnetismu fotony.

186

Seriál o teorii relativity Jako příklad na využití zákonů zachování energie a hybnosti nyní vyšetříme rozpad jedné částice na dvě nové. Uvažujme částici o klidové hmotnosti M , která se rozpadá na dvě nové částice, jejichž klidové hmotnosti jsou m1 a m2 . Zákony zachování aplikujme v klidové inerciální soustavě původní částice. Užitím zákona zachování hybnosti dostáváme, že se vzniklé částice pohybují v navzájem opačných směrech a velikosti jejich hybností jsou rovny stejné hodnotě p. Pro energie E1 a E2 nových částic tedy platí E12 = m21 c4 + p2 c2 ,

E22 = m22 c4 + p2 c2 .

Ze zákona zachování energie E1 + E2 = M c2 získáme vztah ´ 2 ` 2 2 2 M + m − m 2 1 c E12 = M 2 c4 − 2E2 M c2 + E22 ⇒ E2 = . 2M Umocněním posledního vztahu a dosazením za E22 obdržíme M 2 + m22 − m21 m22 c4 + p2 c2 = 4M 2 `

odtud

´2

c4

,

´ 2 2 2 2 M + m − m − (2M m2 )2 2 2 1 2 c . p = 4M 2 `

Užitím vzorců a2 − b2 = (a + b)(a − b) a (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 dostáváme ` 2 4M 2 p2 2 2´ ` 2 2 2´ = M − 2M m + m − m M + 2M m + m − m 2 2 2 1 2 1 = c2 ` ´` ´ = (M − m2 )2 − m21 (M + m2 )2 − m21 = = (M − m2 − m1 ) (M − m2 + m1 ) (M + m2 − m1 ) (M + m2 + m1 ) = ` ´` ´ = M 2 − (m1 + m2 )2 M 2 − (m1 − m2 )2 . Velikost hybnosti p vzniklých částic je tedy dána vztahem

p=

q q 2 2 M − (m1 + m2 ) M 2 − (m1 − m2 )2 2M

c.

Ze známé hodnoty hybnosti p vzniklých částic již snadno určíme jejich energie E1 a E2 . Pokud by nás zajímalo, jak rozpad částice vypadá v jiné inerciální soustavě, potom stačí užít transformační vztahy pro energii a hybnost. Z obdrženého výsledku plyne, že v případě rozpadu na dvě částice jsou energie vzniklých částic jednoznačně určeny ze zákonů zachování energie a hybnosti. Enerœ getické spektrum vzniklých částic tedy obsahuje pouze jednu hodnotu. Pokud však dochází k rozpadu na tři a více částic, potom zákony zachování energie a hybnosti kladou pouze omezení na možné výsledky srážek a rozpadů částic. Toto omezení má většinou podobu maximální možné energie částic. V tomto případě je energetické spektrum vzniklých částic spojité. Podle tvaru energetického spektra tedy můžeme 187

FYKOS 1997–2007 rozhodnout, zda se jedná o rozpad na dvě částice, nebo na více částic. Tento výsledek má i praktické použití. Volný neutron je nestabilní částice, která se rozpadá na proton a elektron. Při měření energetických spekter vzniklých elektronů se zjistilo, že tato spektra jsou spojitá. To znamená, že se volný neutron musí rozpadat alespoň na tři částice. Rozpady volných neutronů tak poprvé ukázaly na existenci nových elementárních částic, které se nazývají neutrina.

Úloha V . S . . . fotony K vysvětlení fotoelektrického jevu předpokládal Albert Einstein, že energie a hybœ nost světla je nesena částicemi, které se nazývají fotony. Aby se tyto částice mohly pohybovat rychlostí světla, musí být jejich klidová hmotnost nulová 18 . Mezi jejich energií a hybností tak platí jednoduchý vztah E = pc. Energie fotonu závisí na frekœ venci světla ν vztahem E = hν, jak plyne z Planckovy teorie, která objasnila vlastœ nosti tepelného záření absolutně černého tělesa. Hodnota Planckovy konstanty h je rovna 6,626 · 10 −34 J·s. a) Předpokládejte, že energie fotonu je závislá pouze na frekvenci příslušné světelné vlny. Pomocí Dopplerova jevu a transformace mezi energií a hybností ukažte, že tato závislost musí být dána vztahem E = hν, kde h je blíže neurčená konstanta. b) Uvažujte srážku fotonu s částicí, jejíž klidová hmotnost je m0 . Tato částice je v naší soustavě před srážkou v klidu. Vlnová délka fotonu před srážkou je v našem systému rovna λ. Při srážce se foton od původního směru vychýlí o úhel ϕ. Jak závisí změna vlnové délky ∆λ fotonu na úhlu odchýlení ϕ? a) Mějme vztažnou soustavu, ve které se ve směru osy x šíří světelná vlna o frekœ venci ν 0 . Energie fotonů, které jí odpovídají, je pak rovna E(ν 0 ). Uvažujme nyní soustavu, která se vůči naší soustavě pohybuje rychlostí v, která je rovnoběžná se směrem šíření světelné vlny. Rychlost v je kladná, pokud se soustava pohybuje ve stejném směru jako světelná vlna. V pohybující se soustavě je frekvence ν uvažované světelné vlny dána vztahem pro Dopplerův jev s ν = ν0

1− 1+

v c v c

.

Energii E fotonu v pohybující se soustavě získáme užitím transformačních vztahů pro energii a hybnost s „ « 1− E(ν 0 ) E = γ E(ν 0 ) − v = E(ν 0 ) c 1+ 18)

v c v c

.

Tento předpoklad je formální, neboť s fotonem nemůžeme spojit vztažnou soustavu, a proto pojem klidové hmotnosti jakožto hmotnosti v klidovém systému nemá pro foton smysl.

188

Seriál o teorii relativity Platí tedy E(ν 0 ) ν = hν , ν0 kde h = E(ν 0 )/ν 0 . Všechny inerciální soustavy jsou pro popis fyzikálních jevů rovnocenné. To znamená, že vztah mezi energií fotonu a frekvencí příslušné svěœ telné vlny musí být ve všech soustavách stejný. Závislost energie E fotonu na frekvenci ν tedy musí být E(ν) = hν. b) Vlnovou délku fotonu po srážce označme λ0 . Směr pohybu částice po srážce s fotonem nechť svírá s původním směrem pohybu fotonu úhel ϑ. Částice při srážce získá hybnost o velikosti p (viz obr. 66). Ze zákona zachování hybnosti dostáváme vztahy E=

λ0

h h p cos ϑ = − 0 cos ϕ , λ λ h p sin ϑ = 0 sin ϕ . λ Umocněním těchto rovnic a jejich sečtením zísœ káme rovnost „ « 1 2 cos ϕ 1 2 2 p =h − + 02 . λ2 λλ0 λ

λ

m0

ϕ ϑ p

Obr. 66. Nepružný rozptyl fotonu

Užitím zákona zachování energie obdržíme rovnici q hc hc m20 c4 + p2 c2 + 0 = + m0 c2 . λ λ V této rovnici nejdříve osamostatníme odmocninu a pak obě strany umocníme, čímž dostaneme rovnost «2 « „ „ 1 1 1 1 2 2 2 2 m0 c + p = h − 0 + 2hm0 c − 0 + m20 c2 . λ λ λ λ Dosazením za p2 obdržíme 1 2 cos ϕ 1 1 2 1 2m0 c − + 02 = 2 − + 02 + 2 0 0 λ λλ λ λ λλ λ h

„

1 1 − 0 λ λ

« .

Odtud dostáváme vztah 1 − cos ϕ m0 c λ0 − λ = . λλ0 h λλ0 Pro změnu vlnové délky fotonu tedy platí ∆λ =

h (1 − cos ϕ) = λC (1 − cos ϕ) . m0 c

Uvažovaný proces srážky fotonu s částicí se nazývá Comptonův rozptyl. Z odœ vozeného vztahu plyne, že se tento proces uplatňuje zejména při srážce elektronů (malá hmotnost m0 ) s fotony rentgenového a γ záření (velká relativní změna vlœ nové délky). Comptonův rozptyl je jedním z důkazů částicového chování světla. . Rozměr λC = 0,024 nm se nazývá Comptonova vlnová délka. 189

FYKOS 1997–2007

Kapitola 6: Elektromagnetismus Elektromagnetismus v STR V předchozích dílech seriálu již bylo řečeno, že rovnice elektromagnetismu neœ mění svůj tvar při Lorentzově transformaci. (Při Galileiho transformaci však svůj tvar změní.) To znamená, že ve všech inerciálních vztažných systémech jsou elekœ tromagnetické jevy popsány pomocí Maxwellových rovnic (při zadaných zdrojích umožňují vypočítat elektrickou intenzitu a magnetickou indukci) a vztahu pro Loœ rentzovu sílu F = Q (E + v × B) (při zadaném elektromagnetickém poli umožňuje určit sílu, kterou toto pole působí na částici pohybující se rychlostí v a nesoucí elektrický náboj Q). Zabývejme se nyní otázkou, jak se transformují elektromagnetické veličiny při přechodu mezi vztažnými (inerciálními) systémy. Ve vztahu pro Lorentzovu sílu umíme transformovat sílu F a rychlost v . (Příslušné transformační vztahy lze odœ vodit z Lorentzovy transformace pro souřadnice.) Experimentálně bylo zjištěno, že elektrický náboj těles (narozdíl od hmotnosti) nezávisí na jejich pohybu vůči pozoœ rovateli. Z vyjádření Lorentzovy síly tedy můžeme určit transformační vztahy pro elektrickou intenzitu E a magnetickou indukci B. Pokud budeme k popisu fyzikálních jevů v STR užívat tenzorových polí na proœ storočasu, potom je elektromagnetické pole popsáno pomocí antisymetrického tenœ zoru druhého řádu (má celkem šest nezávislých složek). Složkami tohoto tenzoru v daných souřadnicích (v dané vztažné soustavě) jsou složky elektrické intenzity (z rozměrových důvodů dělené rychlostí světla) a magnetické indukce. To znamená, že elektrické a magnetické pole jsou relativní. To, co jeden pozorovatel vidí jako čistě elektrické pole, může jiný pozorovatel vnímat jako kombinaci elektrického a magneœ tického pole. Elektrické a magnetické pole jsou tedy pouze „různé tvářeÿ jediného fyzikálního objektu – elektromagnetického pole. Transformace elektrické intenzity a magnetické indukce Mějme dvě inerciální soustavy S a S0 . Soustava S0 se vůči soustavě S pohybuje rychlostí v , pro jejíž velikost platí v  c. V tomto případě můžeme v Lorentzově transformaci zanedbat všechny členy vyššího řádu než v/c. Mezi systémy S a S0 lze proto užít tzv. pomalou Lorentzovu transformaci r0 = r − vt ,

t0 = t −

r ·v . c2

Tato transformace se od Galileiho liší pouze transformací časové souřadnice. Později uvidíme, že tato skutečnost má významné důsledky. Postupem naznačeným v předchozí části nyní odvoďme transformaci mezi elekœ trickými intenzitami E , E 0 a magnetickými indukcemi B, B 0 v případě pomalé Lorentzovy transformace. V této části seriálu budeme užívat rovnítko i mezi výrazy, které se rovnají pouze do prvního řádu ve členech v/c. Nejprve odvoďme vztah pro transformaci rychlostí. Diferencováním pomalé Loœ rentzovy transformace dostaneme ∆r 0 = ∆r − v ∆t , 190

∆t0 = ∆t −

v ·∆r . c2

Seriál o teorii relativity Pohybuje-li se těleso v soustavě S rychlostí u, potom platí ∆r = u∆t. Dosazením tohoto vztahu do předchozích obdržíme “ u ·v ” 0 0 ∆r = (u − v ) ∆t , ∆t = 1 − 2 ∆t . c Pro rychlost tělesa u 0 v soustavě S0 tedy platí u0 =

∆r 0 = ∆t0

u −v . u ·v 1− 2 c

Ze vztahu pro skládání rychlostí nyní odvodíme transformaci hmotnosti těles. Z poslední formule dostáváme „ « ““ ”2 u ·v ” u2 u2 02 2 2 2 u = 1 + 2 (u − v ) = u + 2 2 u·v − 2u·v + v = u − 2u·v 1 − 2 + v 2 . c c c Platí tedy u2 u ·v u02 1− 2 =1− 2 +2 2 c c c

„ « „ « u2 u2 “ u ·v ” 1− 2 = 1− 2 1+2 2 . c c c

Pro transformaci setrvačné hmotnosti tak dostáváme vztah “ m0 1 u ·v ” m0 r r = = m 1 − m0 = r . c2 u2 u ·v u0 2 1− 2 1+2 2 1− 2 c c c Ze vzorců pro transformaci hmotnosti a rychlosti snadno odvodíme transforœ mační vztah pro hybnost “ u ·v ” u − v = p − mv . p 0 = m0 u 0 = m 1 − 2 c 1 − u·v 2 c Užitím ekvivalence energie a hmotnosti obdržíme p0 = p −

E v. c2

Nyní již můžeme odvodit transformační vzorec pro sílu. Diferencováním transœ formačního vztahu pro hybnost získáme ∆p 0 = ∆p −

∆E v. c2

Pro transformaci sil tedy platí ∆E F ·u ∆p − 2 v F− 2 v c c ∆p F0 = = “ = , ” 0 u ·v u ·v ∆t 1 − 2 ∆t 1− 2 c c 0

191

FYKOS 1997–2007 kde jsme využili toho, že změna energie tělesa je rovna práci vykonané působícími silami ∆E = F ·u∆t. Dosazením vztahu pro Lorentzovu sílu do transformace sil obdržíme (do prvního řádu ve členech v/c platí rovnost u 0 ·v /c2 = u ·v /c2 ) „ « F F ·u E +u ×B E ·u F = − 2 v =Q − 2 v = 1 − u·v c 1 − u·v c c2 c2 „ « (u − v ) × B + v × B u 0 ·v E ·u 0 =Q E+ 2 E− 2 v+ = c c 1 − u·v c2 «« „ „ v ×E 0 . =Q E +v ×B +u × B − c2 0

Elektrická intenzita a magnetická indukce se tedy transformují podle následujících vztahů v ×E E0 = E + v × B , B0 = B − . c2 Tyto transformační vztahy platí pouze pro vztažné soustavy, jejichž vzájemná rychlost v je mnohem menší než rychlost světla ve vakuu. Obecné transformační vztahy lze z obecné Lorentzovy transformace odvodit obdobným postupem. Jediným rozdílem jsou matematicky složitější výrazy. Z odvozených vzorců plyne, že se elektrické a magnetické pole transformují mezi „sebouÿ. Pokud bychom užili Galileiho transformaci a požadovali stejný tvar vztahu pro Lorentzovu sílu ve všech inerciálních vztažných systémech, potom bychom obœ drželi transformační vztahy E 0 = E + v × B a B 0 = B. V tomto případě by bylo magnetické pole nezávislé. Vzájemná provázanost elektrického a magnetického pole je tedy způsobena tím, že do transformace časové souřadnice vstupují také souřadœ nice prostorové. Coulombův zákon a magnetismus Uvažujme náboj o velikosti Q, který se vůči nám pohybuje rovnoměrně přímoœ čaře rychlostí v . Velikost rychlosti v je mnohem menší než rychlost světla ve vakuu. K transformaci elektrického a magnetického pole mezi naší soustavou a klidovou souœ stavou náboje tedy můžeme užít vzorce plynoucí z pomalé Lorentzovy transformace. Ve své klidové soustavě způsobuje náboj elektrostatické pole určené Coulombovým zákonem Q r , B0 = 0 , E0 = 4πε0 r3 kde počátek polohového vektoru r je zvolen v místě náboje. Užitím transformačních vztahů pro elektrickou intenzitu a magnetickou indukci tak pro pole náboje v naší soustavě dostáváme E =

Q r , 4πε0 r3

B=

v ×E Q v ×r = , c2 4πε0 c2 r3

kde počátek polohového vektoru r je v každém časovém okamžiku volen v místě nᜠboje (náboj se v naší soustavě pohybuje). Kromě elektrického pole (již není statické ani stacionární) se v naší soustavě objevuje také magnetické pole, což není nijak 192

Seriál o teorii relativity překvapivé, neboť pohybující se náboj reprezentuje elektrický proud. Zajímavé je, že jsme magnetické pole tohoto proudu získali z Coulombova zákona. Protože je v  c, působí uvažovaný náboj na náboje v našem systému prakœ ticky pouze elektrickým polem. Přesto však existují situace, kdy se magnetické pole „vzniklé v důsledku relativityÿ výrazně projeví. Hmotná prostředí jsou tvořena naœ bitými částicemi. Celkový náboj v libovolné „většíÿ oblasti je však nulový. Proto jsou látková prostředí celkově neutrální. V některých látkách se vyskytují volné naœ bité částice (tyto látky se potom nazývají vodiče). Pokud k takovéto látce přiložíme vnější elektrické pole, potom v ní vznikne makroskopický elektrický proud. Protože je látka celkově neutrální, je její výsledné elektrické pole nulové. To však neplatí pro její magnetické pole. Záporně nabité částice se totiž v elektrickém poli pohybují opačným směrem než kladně nabité částice. Příspěvky kladně i záporně nabitých částic k magnetickému poli tak mají stejný směr, a proto se nevyruší jako příspěvky k elektrickému poli. Projevy výsledného magnetického pole jsou pak snadno pozoœ rovatelné. Příkladem může být situace v následující seriálové úloze.

Úloha VI . S . . . dva dráty Mějme dva přímé rovnoběžné nekonečně dlouhé koœ vové vodiče zanedbatelného kruhového průřezu, které jsou od sebe ve vzdálenosti r. Směr jednotkového vekœ toru e3 zvolme tak, aby byl rovnoběžný s vodiči. Jedœ notkový vektor, který leží v rovině určené vodiči, je kolmý na e3 a má směr z prvního vodiče k druhému, označme e1 . Jako vektor e2 označujme vektorový souœ čin e3 × e1 . Vektory e1 , e2 a e3 pak definují praœ votočivý souřadný systém. Vodiči protékají elektrické proudy I1 a I2 . Velikost proudů je kladná, pokud mají směr e3 (viz obr. 67). Pomocí transformačních vztahů pro elektrické a magnetické pole ukažte, že první vodič působí na úsek délky l druhého vodiče silou µ0 I 1 I 2 l e1 . Fl = − 2π r

1 I1

2 I2

e3 e2 e1

r

Obr. 67. Dva nekonečné rovnoběžné dráty

K řešení této úlohy užijte následující poznámky. Kovy jsou tvořeny krystalovou mřížkou kladně nabitých iontů, mezi nimiž se pohybují volné elektrony.19 Pokud ke kovu přiložíme vnější elektrické pole, potom se volné elektrony začnou pohybovat proti směru elektrické intenzity. Tím v kovu vzniká elektrický proud. Rychlost uspoœ řádaného pohybu elektronů je při běžných hodnotách proudu velmi malá, méně než metr za sekundu. Elektrostatické pole homogenně nabité přímky s délkovou hustotou náboje λ je ve vzdálenosti r od zdroje popsáno elektrickou intenzitou o velikosti E = λ/(2πε0 r). Vektor elektrické intenzity vždy leží v rovině kolmé na přímkový zdroj a jeho směr 19)

Toto je velmi zjednodušený model struktury kovů. Nicméně pro náš problém je postačující.

193

FYKOS 1997–2007 udává přímka procházející zdrojem a bodem, ve kterém nás zajímá hodnota elektricœ kého pole. Vektor elektrické intenzity směřuje od zdroje, je-li zdroj nabit kladně.20 Z Maxwellových rovnic plyne pro rychlost světla ve vakuu vztah c2 = 1/ε0 µ0 . O platnosti tohoto vzorce se lze snadno přesvědčit dosazením tabulkových hodnot příslušných fyzikálních konstant. Celkový náboj kladných iontů v prvním vodiči na jednotkové délce označme λ1 . Protože je vodič neutrální, je celkový náboj volných elektronů na jednotce délky vodiče roven −λ1 . Délková nábojová hustota kladných iontů ve druhém vodiči nechť je λ2 . Rychlosti uspořádaného pohybu volných elektronů v prvním a druhém vodiči označme v1 a v2 . Tyto rychlosti jsou kladné, pokud mají směr vektoru e3 . Pro proudy ve vodičích tedy platí vztahy I1 = −λ1 v1 ,

I2 = −λ2 v2 .

Kladné ionty prvního vodiče vytvářejí v místě druhého vodiče pouze elektrické pole λ1 Ei = e1 , Bi = 0 . 2πε0 r Podobné pole vytvářejí ve své klidové soustavě i pohybující se volné elektrony prvœ ního vodiče λ1 e1 , Be0 = 0 . Ee0 = − 2πε0 r Pole, které vytvářejí pohybující se elektrony prvního vodiče v místě druhého vodiče, je v soustavě spojené s vodiči (s jejich krystalovou mřížkou) dáno transformací elektrického a magnetického pole z klidové soustavy elektronů λ1 Ee = − e1 , 2πε0 r

λ1 v1 v1 e3 × Ee0 =− Be = e2 . 2 c 2πε0 c2 r

Výsledné pole v místě druhého vodiče získáme sečtením příspěvků od kladných iontů a od volných elektronů I1 E = 0, B= e2 . 2πε0 c2 r První vodič tedy působí na druhý pouze magnetickým polem. To znamená, že půœ sobí pouze na volné elektrony v druhém vodiči. Pro výslednou sílu působící na úsek délky l druhého vodiče tak platí Fl = −λ2 lv2 e3 × B =

I1 I2 l µ0 I1 I2 l e × e = − e1 . 3 2 2πε0 c2 r 2π r

Zcela obdobným postupem bychom dostali, že druhý vodič působí na úsek délky l prvního vodiče silou µ0 I1 I2 l Fl = e1 . 2π r 20)

Tento výsledek lze získat sečtením (integrací) příspěvků od jednotlivých elementů přímœ kového zdroje. Příspěvek elementu zdroje je dán Coulombovým zákonem. Další možností je v tomto případě užití Gaussovy věty, neboť směr elektrické intenzity plyne ze symetrie.

194

Seriál o teorii relativity Vidíme tedy, že je splněn zákon akce a reakce. To nás však nepřekvapuje, neboť se jedná o stacionární situaci. Pomocí právě odvozeného vztahu je definována základní elektromagnetická jedœ notka – jeden ampér. Ampér je stálý elektrický proud, který při průchodu dvěma přímými rovnoběžnými nekonečně dlouhými vodiči zanedbatelného kruhového průœ řezu umístěnými ve vakuu ve vzájemné vzdálenosti jeden metr vyvolá mezi nimi stálou sílu 2·10−7 newtonu na jeden metr délky vodiče.

Kapitola 7: Obecná teorie relativity V předchozích kapitolách seriálu jsme se zabývali speciální teorií relativity. Fyœ zikální jevy jsme popisovali výhradně v inerciálních systémech, ve kterých jsme k popisu prostoru užívali kartézské souřadnice. Jako časovou souřadnici t jsme volili vlastní čas příslušného inerciálního pozorovatele. V poslední kapitole si povíme něco o obecné teorii relativity (OTR) – o jejích základních principech, matematickém aparátu a výsledcích. Obecná teorie relativity vyžaduje oproti speciální teorii relativity mnohem sloœ žitější matematický aparát. Z tohoto důvodu nelze provést výklad obecné teorie relativity v rozsahu umožňujícím provést fyzikální předpovědi přímo z rovnic OTR. Ze stejného důvodu jsou některé části následujícího textu zjednodušeny. Co je nového oproti speciální teorii relativity Rozdíl mezi STR a OTR spočívá ve vlastnostech prostoročasu (prostor všech událostí – „ jeviště fyzikálních dějůÿ). V STR je topologie a geometrie prostoroœ času předem zadána (stejně jako v ostatních fyzikálních teoriích). V OTR je však geometrie prostoročasu součástí dynamiky (pohybových rovnic). Pohyb hmoty je vždy ovlivněn geometrickými vlastnostmi prostoročasu. V STR je geometrie zadaná. To znamená, že zpětný vliv hmoty na prostoročas není možný. Fyzikální interakce jsou však vzájemné (například elektromagnetické pole buzené elektrickými náboji zpětně ovlivňuje jejich pohyb). Tento „nedostatekÿ je tedy v OTR odstraněn. OTR je zároveň teorií gravitace. Gravitační působení je totiž univerzální, a proto jej lze geometrizovat. Gravitační interakce je tak „zprostředkovánaÿ geometrickými vlastnostmi prostoročasu – hmota ovlivňuje geometrii prostoročasu a vlastnosti proœ storočasu pak zpětně ovlivňují pohyb hmoty (podobně jako elektrické náboje a elekœ tromagnetické pole). Protože geometrie prostoročasu v OTR nemusí být eukleidovská, může existovat prostoročas, který je konečný a nemá žádnou hranici! Nové předpovědi OTR úzce souvisí s geometrickými vlastnostmi prostoročasu. Mezi nejvýznamnější předpovědi patří dynamický vesmír, gravitační vlny a černé díry. OTR je třeba použít v případě velmi kompaktních objektů (černé díry, neutroœ nové hvězdy, bílí trpaslíci) a při studiu vlastností celého vesmíru. Výchozí principy obecné teorie relativity Všechny fyzikální interakce můžeme rozdělit do dvou skupin: na diferenciální a univerzální vlivy. Pod diferenciálními vlivy rozumíme interakce, které na různé 195

FYKOS 1997–2007 objekty působí obecně různě. Mezi diferenciální vlivy patří všechny negravitační interakce. Příkladem univerzálních vlivů je gravitace – působí na všechny objekty stejně. Diferenciální vlivy lze narozdíl od univerzálních odstínit. (Pokud například obklopíme elektrický náboj uzemněným vodičem, potom se jeho elektrické pole vně vodiče vyruší.) Vzhledem k nevyrušitelnosti univerzálních vlivů musíme předefinovat některé základní fyzikální pojmy. Pod volným hmotným bodem rozumíme hmotný bod, který není pod vlivem diferenciálních interakcí. Ideální hodiny jsou hodiny, na které nepůsobí diferenciální vlivy. Sada ideálních hodin umístěných vedle sebe se chová stejně – všechny hodiny jdou stejně rychle. Podobně definujeme ideální tuhé tyče jako tyče, které nejsou pod vlivem diferenciálních sil. Stejně jako v STR nazýváme inerciálními vztažnými systémy soustavy, ve kteœ rých se každý volný hmotný bod pohybuje rovnoměrně přímočaře nebo je v klidu. Mezi principy OTR patří oba principy STR: princip speciální relativity (rovnocenœ nost všech inerciálních soustav) a princip konstantní rychlosti světla. Základním principem OTR je princip ekvivalence. Tento princip vychází z expeœ rimentálního poznatku, že setrvačná hmotnost těles (hmotnost vystupující v druhém Newtonově pohybovém zákoně a ve vztazích pro setrvačné zdánlivé síly v neinerciálœ ních systémech) je rovna jejich gravitační hmotnosti (hmotnost vystupující v Newœ tonově gravitačním zákonu). Přesněji se jedná o přímou úměrnost – rovnost se získá vhodnou volbou hodnoty gravitační konstanty G. Setrvačná a gravitační hmotnost těles se tedy v důsledku vzájemné ekvivalence vykrátí v pohybové rovnici. To znaœ mená, že gravitační pole působí na všechny objekty stejně – je to univerzální vliv. Jedním z prvních pokusů potvrzujících ekvivalenci gravitační a setrvačné hmotœ nosti byl známý Galileiho pokus s volným pádem těles ze šikmé věže v Pise. Galilei tehdy zjistil, že všechna volná tělesa padají v gravitačním poli Země se stejným zrychlením. Od té doby bylo provedeno mnoho dalších pokusů testujících princip ekvivalence. V současné době je ekvivalence mezi setrvačnou a gravitační hmotností potvrzena s relativní přesností 10−17 (odchylka jejich poměru od jedné). V páté kapitole tohoto seriálu jsme zjistili, že hmotnosti těles jsou ovlivňovány interakœ cemi. Experimenty plně prokazují, že princip ekvivalence platí také pro interakční příspěvky ke hmotnostem těles. a = −g

g

Obr. 68. Zdviž v gravitačním poli

196

Obr. 69. Zdviž ve volném prostoru

Seriál o teorii relativity Uvažujme homogenní gravitační pole s intenzitou g . V tomto poli mějme zavěœ šenou zdviž (viz obr. 68). Volné hmotné body se v důsledku působení gravitačního pole pohybují vůči zdviži se zrychlením g . Pokud však odstraníme závěs zdviže a necháme ji volně padat, potom bude zrychlení volných hmotných bodů nulové a hmotné body se vůči soustavě spojené se zdviží budou pohybovat rovnoměrně příœ močaře nebo budou v klidu. Zdviž se v tomto případě chová jako inerciální soustava. Mějme nyní obdobnou zdviž ve volném prostoru bez gravitačního pole (viz obr. 69). Nechť se zdviž vůči inerciálním systémům pohybuje rovnoměrně přímočaře nebo je v klidu. Potom je zdviž sama inerciální soustavou a nepůsobí v ní žádné zdánlivé setrvačné síly. Volné hmotné body se vůči ní tedy pohybují s nulovým zrychlením. Pokud nyní začneme zdviž urychlovat s konstantním zrychlením a = = −g , potom se volné hmotné body začnou vůči zdviži pohybovat se zrychlením g . Uvažujme nyní pozorovatele umístěného ve zdviži, který může provádět pouze lokální pokusy (nemůže se dívat ven ze zdviže). Takovýto pozorovatel pak nemůže rozeznat zavěšenou zdviž v gravitačním poli od urychlované zdviže a volně padající zdviž od zdviže umístěné ve volném prostoru pohybující se s nulovým zrychlením vůči inerciálním systémům. Vidíme tedy, že ekvivalence setrvačné a gravitační hmotœ nosti způsobuje také ekvivalenci setrvačných a gravitačních sil. Vhodnou volbou vztažného systému lze vliv setrvačných sil vyrušit (nepůsobí v inerciálních soustaœ vách). Podobně je tomu i s gravitací. Viděli jsme, že volně padající soustava se chová jako inerciální systém. Ve volně padající soustavě by tedy měla platit STR! Doposud se naše úvahy týkaly pouze homogenního pole. Co se stane, pokud budeme uvažovat nehomogenní gravitační pole? Mějme volné hmotné body padající v gravitačním poli Země (viz obr. 70). S bodem O nyní spojme volně padající systém. Vlivem nehomogenity gravitačního pole Země se ve volně padající soustavě objevují slapové síly, které se snaží natáhnout tělesa v radiálním směru a smrštit je ve směru kolmém na radiální. Velikost slapových sil je tím menší, čím blíže jsme k bodu O. Volně padající soustava tedy vykazuje inerciální vlastnosti jenom blízko u bodu O. Princip ekvivalence se obvykle vyjadřuje následovně. V každém bodě libovolného prostoročasu lze zavést lokálně inerciální systém (LIS), v němž v dostatečně malém okolí uvažovaného bodu mají přírodní zákony stejný tvar jako v STR. Výhodou této formulace je možnost jejího praktického využití, které později uvidíme. Gravitační pole lze tedy alespoň lokálně „odtransformovatÿ přechodem do volně padajícího systému. Tento krok je možný díky univerzálnímu charakteru gravitačœ ního působení. Dalším principem OTR je princip oœ O O becné kovariance (relativity). Jde se o zoœ becnění principu speciální relativity. Podle principu obecné kovariance lze fyzikální zᜠkony popsat rovnicemi, které mají ve všech souřadných systémech (tedy i ve všech Země Země vztažných soustavách, neboť již z STR víme, že s volbou souřadnic na prostoœ ročase je spjata také volba vztažné souœ Obr. 70. Zdviž v radiálním poli stavy) stejný tvar (rovnice jsou kovariœ 197

FYKOS 1997–2007 antní). Princip obecné kovariance je v OTR splněn automaticky, neboť fyzikální zákony jsou v OTR formulovány pomocí tenzorových rovnic. K přepisu fyzikálních rovnic z STR do OTR se užívá následující formulace principu obecné kovariance: Pokud fyzikální zákon platí v nepřítomnosti gravitace (v STR) a rovnice jsou kovariantní (nemění svůj tvar při libovolné transformaci souřadnic), potom rovnice platí v libovolných souřadnicích a v libovolném graviœ tačním poli. Tato formulace úzce souvisí s principem ekvivalence. Podle principu ekvivalence platí v lokálním inerciálním systému STR. Pokud tedy převedeme fyziœ kální zákony vyjádřené v souřadnicích lokálního inerciálního systému do souřadnic obecných, potom získáme obecně platné zákony. Uvedené principy nelze chápat jako jednoznačné axiómy. Jedná se spíše o heuœ ristické návody, jak získat rovnice popisující dané jevy v přítomnosti gravitačního pole. Konečné slovo o platnosti rovnic má pak experiment. Například přepis rovnic z STR do OTR není jednoznačný. Do rovnic platných v STR lze totiž přidat členy obsahující křivost prostoročasu, neboť tyto členy jsou v STR (plochý prostoročas) identicky nulové. Při přepisu rovnic se proto užívá další princip – princip minimální vazby: Pokud to není nezbytně nutné, potom do fyzikálních rovnic nevkládáme výœ razy obsahující křivost prostoročasu. Obecná teorie relativity a gravitační rudý posuv V této podkapitole odvodíme některé výsledky OTR, které lze získat přímo z jeœ jích principů a zákonů klasické fyziky. Odvozené výsledky tedy budou mít charakter relativistických korekcí ke klasickým předpovědím. Gravitační interakce je univerzální interakcí. Měla by tedy působit i na světlo. Z předchozího již víme, že fotonu, který odpovídá světelné vlně o frekvenci ν, by měla při platnosti ekvivalence energie a setrvačné hmotnosti odpovídat setrvačná hmotnost hν/c2 . Podle principu ekvivalence by fotonu měla odpovídat také graviœ tační hmotnost stejné velikosti jako setrvačná. Mějme stojícího pozorovatele (v dané vztažné soustavě), který vyšle foton o frekœ venci ν 1 . Uvažovaný pozorovatel se nachází na místě, na kterém je hodnota newtoœ novského gravitačního potenciálu rovna ϕ1 . Na jiném místě s gravitačním potenciœ álem ϕ2 nechť se nachází jiný stojící pozorovatel, který vyslaný foton zachytí jako foton o frekvenci ν 2 . Podle zákona zachování energie by mělo platit hν 1 +

hν 1 hν 2 ϕ1 = hν 2 + 2 ϕ2 . 2 c c

Abychom mohli užít klasickou fyziku, musí být obě frekvence blízké21 ν 1 ≈ ν 2 ≈ ν. To znamená, že rozdíl gravitačních potenciálů ∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 musí být mnohem menší než c2 . V případě gravitačního pole Slunce je tomu tak mezi libovolnými dvěma body. Pro slabá gravitační pole tedy dostáváme ∆ν = ν 2 − ν 1 =

ν (ϕ1 − ϕ2 ) c2

⇒

∆ν ∆ϕ =− 2 . ν c

Pokud se foton pohybuje z místa s nižším gravitačním potenciálem do místa s vyšším potenciálem, potom se jeho frekvence snižuje – foton ztrácí energii 21)

Podle klasické fyziky jsou obě frekvence shodné.

198

Seriál o teorii relativity a „rudneÿ. Tento efekt se nazývá gravitační rudý posuv a byl skutečně pozorován ve spektru hvězd (poměrně dobře je pozorovatelný u bílých trpaslíků). V šedesátých letech minulého století byla experimentálně změřena změna frekvence fotonu při jeho „páduÿ v gravitačním poli Země. Uvažujme pád fotonu z výšky l. Pro relativní změnu jeho frekvence potom platí ∆ν gl = 2, ν c kde g je tíhové zrychlení. Při experimentu foton padal z výšky l ≈ 20 m. Tomu odpovídá relativní změna frekvence 2 · 10−15 . Tuto hodnotu se skutečně podařilo naměřit! Předchozí odvození vztahu pro změnu frekvence fotonu v graœ vitačním poli bylo hodně intuitivní. „Lepšíÿ odvození vychází ze −g skutečnosti, že gravitační pole můžeme simulovat setrvačnými silami. Uvažujme rovnoměrně zrychlenou zdviž se zrychlením g (viz obr. 71). V okamžiku, kdy se zdviž nepohybuje, vyšle pozorovatel A foton B o frekvenci ν 1 . Za čas ∆t tento foton zachytí pozorovatel B, jehož vzdálenost od pozorovatele A je rovna l. Pro čas ∆t přibližně platí, že ∆t = l/c. Za čas ∆t se bude pozorovatel B pohybovat rychlostí v = = g∆t. Vlivem Dopplerova efektu tak pozorovatel B naměří frekvenci l fotonu ν 2 , pro kterou platí „ « “ gl v” ν2 = ν1 1 − = ν1 1 − 2 c c

⇒

∆ν gl ∆ϕ =− 2 =− 2 , ν c c

g

A

kde rozdíl gravitačních potenciálů ∆ϕ = ϕB − ϕA = gl. Poslední Obr. 71 vztah platí obecně pouze pro blízké pozorovatele. Obecný vztah zísœ káme sečtením jednotlivých změn frekvence podél celé dráhy fotonu. Vzhledem k linearitě vztahu pro změnu frekvence na malých vzdálenostech obdržíme formálně shodný vztah, jenž je identický se vztahem, který jsme již dříve obdrželi ze zákona zachování energie. S frekvencemi ν 1 a ν 2 souvisejí periody světelné vlny T1 a T2 , pro které platí T1 = = 1/ν 1 a T2 = 1/ν 2 . Pro jejich relativní rozdíl dostáváme vztah c (ν 1 − ν 2 ) ν ∆T T2 − T1 ∆ν ∆ϕ = = = − = . T T ν2 c ν c2 Vidíme tedy, že rychlost plynutí času v gravitačním poli závisí na poloze pozoroœ vatele. Pokud například bude nějaký pozorovatel každou sekundu vysílat signál do oblasti s vyšším gravitačním potenciálem, potom pozorovatelé v této oblasti naměří mezi jednotlivými signály časové intervaly, které budou delší než jedna sekunda. Tito pozorovatelé budou tudíž stárnout rychleji než pozorovatel vysílající signály. V OTR nelze tedy obecně synchronizovat hodiny stojící na různých místech! O rychlosti plynutí času rozhoduje hodnota gravitačního potenciálu. Nejpomaleji plyne čas v místě, kde je minimum gravitačního potenciálu. V tomto místě je nulová intenzita gravitačního pole, neboť intenzita je derivací potenciálu. Není tedy obecně pravda, že čas plyne pomaleji v silných gravitačních polích. 199

FYKOS 1997–2007 Pokud provedeme výpočet předchozích situací pomocí OTR za předpokladu slabých gravitačních polí a stojících pozorovatelů, poœ tom se ukáže, že předchozí vztahy skutečně platí. Světlo se v inerciálních systémech pohybuje po přímkách. Pokud se však na pohyb světla budeme dívat z urychlené zdviže (viz obœ rázek 72), potom bude dráha světelného paprsku zakřivená. Užitím principu ekvivalence tedy docházíme k závěru, že se světlo v graviœ tačním poli ohýbá. Tento jev byl skutečně pozorován.

−g g

Obr. 72 Matematická formulace obecné teorie relativity OTR užívá poměrně složitý matematický aparát. Není tedy možné, abychom se matematickou formulací OTR zabývali podrobně. V této podkapitole se proto omezíme pouze na několik poznámek, kterých později využijeme k diskusi některých výsledků OTR. Prostoročas je v OTR z matematického hlediska čtyřrozměrnou pseudo-Riemanœ novou varietou. Variety jsou obecnějšími případy eukleidovských prostorů. Můžeme si je představovat jako plochy (obecně zakřivené) vnořené do nějakého eukleidovœ ského prostoru. Příkladem dvojrozměrné variety je povrch koule. Okolí libovolného bodu variety lze vždy popsat pomocí souřadného systému. V případě prostoročasu potřebujeme celkem čtyři souřadnice. Označme je jako x0 , x1 , x2 a x3 . Protože je prostoročas varietou pseudo-Riemannovou, je na něm definována také metrika. Uvažujme dvě „blízkéÿ události (hodnoty jejich souřadnic jsou blízké) se souřadniœ cemi xµ a xµ +dxµ , kde řecký index µ probíhá hodnoty od nuly do tří. Prostoročasový interval („vzdálenostÿ) mezi těmito událostmi je pak dán vztahem ds2 = gµν (xα )dxµ dxν , kde je užita Einsteinova sumační konvence – přes dvojici stejných indexů, kdy jeden z nich je dolní a druhý horní, se sčítá. Následující vztahy, pokud nebude řečeno jiœ nak, již budou zapsány pomocí této konvence. V případě vztahu pro prostoročasový interval tedy sčítáme přes indexy µ a ν od nuly do tří. Funkce gµν (xα ) jsou kovariœ antní složky metrického tenzoru. Hodnota prostoročasového intervalu ds2 může být nulová nebo záporná i pro dvě různé události (stejně jako v STR) — vzdálenost dvou různých bodů variety je vždy kladná pouze v případě Riemannových variet. Prostoročasový interval ds2 je skalární veličinou. To znamená, že jeho hodnota je nezávislá na zvoleném souřadném systému. Geometrie prostoročasu je plně popsána znalostí prostoročasových intervaœ lů ds2 (funkcí gµν ) pro libovolné dvě blízké události. Známe-li totiž metriku (složky metrického tenzoru gµν ), potom je již jednoznačným způsobem definováno derivoœ vání tenzorových polí v daném směru a paralelní přenos tenzorů podél dané křivky. V obecném případě totiž nelze na varietě definovat, co jsou to paralelní vektory ve dvou různých bodech, neboť paralelní přenos vektorů mezi těmito body obecně závisí na křivce, po které přenos provádíme. Tuto vlastnost vykazují zakřivené prostory. Pojem paralelnosti dvou vektorů ve dvou různých bodech má smysl pouze v případě plochých prostorů, kdy paralelní přenos vektorů mezi dvěma body nezávisí na zvolené křivce, po které přenos provádíme. 200

Seriál o teorii relativity V STR, jak již bylo řečeno, je geometrie i topologie prostoročasu předem zaœ daná. Celý prostoročas lze popsat pomocí jediné globální sady souřadnic (souřadœ nice některého inerciálního systému): x0 = ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z. Výraz pro prostoročasový interval již známe ds2 = −c2 dt2 + dx2 + dy 2 + dz 2 . To můžeme zapsat v jednodušším tvaru ds2 = η µν dxµ dxν , kde η µν = −1 pro µ = ν = 0, η µν = 1 pro µ = ν = 1, 2, 3 a η µν = 0 jinak. V této geometrii nezávisí paralelní přenos vektorů mezi dvěma body na zvolené křivce (vekœ tory se přenášejí stejně jako v eukleidovském prostoru popsaném pomocí kartézských souřadnic – nemění se hodnoty složek vektorů). Speciálněrelativistický prostoročas je tedy plochý. Speciálněrelativistická geometrie odpovídá nulovému gravitačnímu poli. STR lze proto užít pouze jako aproximaci pro případ slabých gravitačních polí. Celý prostoročas v STR lze popsat pomocí souřadnic odpovídajících některému inerciálnímu pozorovateli.22 Pomocí inerciálních soustav jsme tedy schopni popsat všechny fyzikální jevy. V rámci STR lze tedy řešit i otázky týkající se urychlených pozorovatelů23 , což jsme viděli v druhé úloze tohoto seriálu, kde jsme paradox dvojœ čat vysvětlili pouze užitím inerciálních soustav v rámci STR. Z principů OTR víme, jak gravitační pole působí na fyzikální objekty (v LIS platí STR). Například z podmínky, že v okamžité lokální inerciální soustavě se volný hmotný bod pohybuje s nulovým zrychlením, vyplývá, že volně padající objekty se v prostoročase „pohybujíÿ po geodetikách (jejich světočáry24 jsou geodetikami). Geœ odetiky jsou křivky, jejichž tečný vektor se podél nich přenáší paralelně. V případě eukleidovského prostoru jsou geodetikami přímky (geodetiky jsou tedy zobecněním přímek do zakřivených prostorů). Z principů OTR však nelze určit zpětný vliv fyziœ kálních objektů na gravitační pole – nelze získat gravitační zákon. Einsteinovy rovnice (gravitační zákon) se v OTR „odvozujíÿ z podmínky, aby v případě slabého gravitačního pole přecházely v Newtonův gravitační zákon a aby byly splněny lokální zákony zachování energie a hybnosti. Výsledné rovnice mají tvar 1 8πG Rµν − Rgµν + Λgµν = 4 Tµν , 2 c kde výrazy Rµν a R popisující křivost prostoročasu jsou jednoznačně určeny z metœ riky. Jedná se o 10 rovnic – obě strany jsou symetrické v indexech µν a oba indexy nabývají hodnot od nuly do tří. Levá strana těchto rovnic je nelineárním diferenœ ciálním výrazem druhého řádu pro metriku gµν , která zcela popisuje gravitační pole. Výraz Tµν stojící na pravé straně Einsteinových rovnic je tenzor energie a 22)

Toto však neplatí v OTR, kde obecně neexistuje globální inerciální systém. Souřadnice jim odpovídající obecně nepokrývají celý prostoročas. Inerciální pozorovaœ telé jsou tedy v STR význační. 24) Světočára je historie daných objektů – křivka v prostoročase, která prochází všemi událostmi (světobody), které se odehrají v místě daného objektu. 23)

201

FYKOS 1997–2007 hybnosti, který popisuje zdroje gravitačního pole. G je newtonovská gravitační konœ stanta (bývá rovněž označována jako κ) a c je rychlost světla. Na levé straně rovnic vystupuje tzv. kosmologická konstanta Λ. Hodnota této konstanty je velmi malá; je třeba ji uvažovat pouze v případě, že se zabýváme celým vesmírem. Je velmi zajímavé, že z Einsteinových rovnic plynou i rovnice pro pohyb hmoty! Tato skutečnost se někdy vyjadřuje slovy: Hmota „říkáÿ prostoročasu, jak se má zakřivovat, a prostoročas „říkáÿ hmotě, jak se má pohybovat. V případě, že uvažuœ jeme pouze gravitační interakci, je v Einsteinových rovnicích obsažena celá fyzika. V ostatních případech je třeba přidat rovnice popisující zbývající negravitační interœ akce. Například pro elektromagnetismus jsou to Maxwellovy rovnice nebo v případě tlaku se jedná o stavovou rovnici. Gravitační interakce je univerzální interakcí. To se projevuje také v tenzoru energie a hybnosti, kde se vyskytují i příspěvky od všech negravitačních fyzikálních objektů. To znamená, že zdrojem gravitace je v OTR například také elektromagneœ tické pole nebo tlak! S univerzalitou gravitace rovněž souvisí složitost Einsteinových rovnic. Metrika gµν totiž nevystupuje pouze na levé straně, která je již dost složitá, ale rovněž také v tenzoru energie a hybnosti a v rovnicích pro negravitační interakce (např. Maxwellovy rovnice). OTR je lokální teorií. Einsteinův gravitační zákon totiž určuje geometrii proœ storočasu pouze lokálně. Podobně i ostatní rovnice popisující fyzikální jevy jsou loœ kální – např. Maxwellovy rovnice. Lokálnost teorie se také projevuje tím, že v OTR není jednoznačně zadána topologie prostoročasu (souvisí se souřadnicovými sadami, s jejichž pomocí pokrýváme prostoročas). Globální veličiny (např. celková energie nelokálního systému) nemají v OTR obecně smysl — lze je zavést pouze v příœ padě, že prostoročas (jeho geometrie) vykazuje nějakou symetrii. Například zákony zachování celkové energie a hybnosti (včetně příspěvků od interakčních polí) fyziœ kálních systémů v STR úzce souvisejí s vysokou symetrií speciálněrelativistického prostoročasu. Vlastní čas pozorovatelů Uvažujme dvě blízké události na světočáře nějakého pozorovatele, které mají souřadnice ξ µ a ξ µ + dξ µ . Pro jejich prostoročasový interval pak platí ds2 = gµν dξ µ dξ ν . Podle principu ekvivalence lze zvolit v libovolném bodě prostoročasu LIS, ve kterém platí STR. V události popsané souřadnicemi ξ µ tedy zvolme počátek tohoto systému. Souřadnice události ξ µ + dξ µ jsou potom v lokálním inerciálním systému rovny dxµ . Prostoročasový interval (nezávisí na volbě souřadnic) lze pak vyjádřit následovně ` ´ ds2 = η µν dxµ dxν = −c2 dt2 + dx2 + dy 2 + dz 2 = v 2 − c2 dt2 , kde v je velikost rychlosti pozorovatele v dané lokální inerciální soustavě. Ze speciální teorie relativity již víme, že se žádný pozorovatel nemůže vůči žádœ nému inerciálnímu systému pohybovat světelně nebo nadsvětelně. To znamená, že světočáry odpovídající fyzikálním pozorovatelům (hmotným objektům) nejsou liboœ volné — pro libovolné dva blízké světobody na světočáře uvažovaného pozorovatele musí platit, že ds2 < 0. 202

Seriál o teorii relativity Pokud LIS zvolíme tak, že je okamžitým klidovým inerciálním systémem daného pozorovatele, potom je rychlost pozorovatele v nulová a vlastní čas pozorovatele τ odpovídá časové souřadnici lokálního inerciálního systému. Mezi uvažovanými udᜠlostmi tak pozorovatel naměří vlastní čas dτ =

1√ 1p −ds2 = −gµν dξ µ dξ ν . c c

Vlastní čas τ mezi libovolnými událostmi na světočáře pozorovatele získáme integrací (sečtením) jednotlivých příspěvků dτ . Mějme pozorovatele, který se v daném globálním inerciálním systému (uvažuœ jeme plochý prostoročas – STR) pohybuje rychlostí v(t). Pro jeho vlastní čas τ mezi událostmi majícími v daném inerciálním systému časové souřadnice t1 a t2 pak platí 1 τ = c

t2

Z

t1

r

dxµ dxν 1 −η µν dt = dt dt c

Z

t2

Z p 2 2 c − v (t) dt =

t1

t2

r 1−

t1

v 2 (t) dt . c2

Z tohoto vztahu vidíme, že pohybující se pozorovatel vždy stárne pomaleji než poœ zorovatel spojený s danou inerciální soustavou, neboť τ ≤ t2 − t1 . Pokud by byl druhý pozorovatel také inerciálním, potom by se zdálo, že docházíme k paradoxu. Není to však pravda. Pokud by totiž byli oba pozorovatelé inerciálními, potom by se mohli potkat nejvýše jednou. Aby pozorovatelé mohli posoudit, který z nich stárne rychleji, musí se potkat alespoň dvakrát. Ale v takovém případě je alespoň jeden z pozorovatelů neinerciálním. Poslední vztah jsme mohli získat i trochu jiným způsobem. V STR lze totiž s každým pozorovatelem spojit okamžitý klidový globální inerciální systém. Vztah mezi časovým intervalem v okamžitém klidovém systému pozorovatele a odpovíœ dajícím časovým intervalem v inerciálním systému, ve kterém máme zadán pohyb pozorovatele, je pak dán dilatací času. Světlo se v každém inerciálním systému šíří rovnoměrně přímočaře konstantní rychlostí c. To znamená, že jemu odpovídající světočáry jsou geodetiky, pro jejichž libovolné dva blízké světobody platí ds2 = 0. Schwarzschildovo řešení Einsteinových rovnic Schwarzschildovo řešení je přesné sféricky symetrické řešení Einsteinových rovnic ve vakuu (tenzor energie a hybnosti je nulový). Je to jedno z nejjednodušších řešení. Popisuje gravitační pole sféricky symetrického centrálního objektu o hmotnosti M , kolem kterého je vakuum (není tam ani elektromagnetické pole). Prostoročasový interval je v případě Schwarzschildova řešení dán vztahem « „ 2GM c2 dt2 + ds = − 1 − 2 c r 2

` ´ dr2 + r2 dϑ2 + sin2 ϑ dϕ2 . 2GM 1− 2 c r

Tyto souřadnice odpovídají soustavě spojené s pozorovateli, kteří vzhledem k cenœ trálnímu objektu stojí. Světočáry těchto pozorovatelů jsou v těchto souřadnicích dány vztahy: r = konst., ϑ = konst., ϕ = konst. a t libovolné. Gravitační pole je v tomto případě stacionární, neboť metrika nezávisí na časové souřadnici t. 203

FYKOS 1997–2007 Pro r  2GM/c2 je geometrie prostoročasu popsána metrikou ` ´ ds2 = −c2 dt2 + dr2 + r2 dϑ2 + sin2 ϑ dϕ2 . To je však speciálněrelativistická geometrie vyjádřená pomocí sférických souřadnic. Provedeme-li totiž transformaci souřadnic x = r sin ϑ cos ϕ , y = r sin ϑ sin ϕ , z = r cos ϑ , potom pro dx, dy a dz platí dx = sin ϑ cos ϕ dr + r (cos ϑ cos ϕ dϑ − sin ϑ sin ϕ dϕ) , dy = sin ϑ sin ϕ dr + r (cos ϑ sin ϕ dϑ + sin ϑ cos ϕ dϕ) , dz = cos ϑ dr − r sin ϑ dϑ , z čehož dostáváme ` ´ dx2 + dy 2 + dz 2 = dr2 + r2 dϑ2 + sin2 ϑ dϕ2 . Ve velké vzdálenosti od centrálního objektu tedy platí STR. To znamená, že proœ storočas je asymptoticky plochý. Z předchozího rovněž plyne geometrický význam souřadnice t. Je to vlastní čas pozorovatele stojícího v nekonečnu.25 Geometrie prostoročasového řezu t = konst. a r = konst. je dána vztahem ` ´ ds2 = r2 dϑ2 + sin2 ϑ dϕ2 . To je geometrie povrchu trojrozměrné koule o poloměru r. Plocha této sféry je dána známým vztahem 4πr2 . Tím je dán geometrický význam souřadnice r. Vzhledem k zakřivenosti prostoročasu však neplatí, že r je rovno vzdálenosti od centra sféœ rické symetrie! Se souřadnicí r lze zacházet jako se vzdáleností od centra pouze v asymptoticky ploché oblasti (r  2GM/c2 ). Ze vztahu pro Schwarzschildovu metriku vidíme, že pro r = 0 a r = 2GM/c2 je tato metrika singulární (dělíme v ní nulou). Pokud však má tato metrika popisovat gravitační pole nějakého nebodového objektu (například hvězdy), potom ji lze užít pouze k popisu gravitačního pole vně tohoto objektu (pro r > r0 ), neboť Schwarzœ schildovo řešení je vakuové (uvnitř tělesa je tenzor energie a hybnosti nenulový). Tudíž k žádným singularitám nedochází, protože souřadnice r0 povrchu centrálního objektu26 je vždy větší než hodnota 2GM/c2 . Později uvidíme, že je to způsobeno 25)

Souřadnice t však není vlastním časem pro pozorovatele stojícího na konečné hodnotě souřadnice r! Je to způsobeno tím, že v gravitačním poli závisí rychlost chodu hodin na jejich poloze, a proto nelze časovou souřadnici zvolit tak, aby byla vlastním časem všech stojících pozorovatelů. 26) Centrální těleso, jak již bylo řečeno v úvodu této podkapitoly, musí být sféricky symeœ trické, abychom měli zaručeno, že i jeho gravitační pole bude sféricky symetrické, a vně objektu bude tedy popsatelné Schwarzschildovou metrikou.

204

Seriál o teorii relativity tím, že pod touto hodnotou nelze stát na konstantním r. Pokud tedy povrch centœ rálního objektu nenalezneme do hodnoty r = 2GM/c2 , potom jej již nenalezneme nikde. Celý prostoročas je pak vakuový a odpovídá Schwarzschildově černé díře. Nyní si odvodíme vztah pro gravitační rudý posuv v případě Schwarzschildovy metriky. Uvažujme dva stojící pozorovatele A a B. Pozorovatel A nechť vysílá svěœ telné signály, mezi nimiž jsou v souřadnicovém čase t časové rozestupy ∆tA . Tyto signály přijímá pozorovatel B. Jaké časové rozestupy ∆tB mezi signály naměří poœ zorovatel B? Pro světočáru světelných signálů platí ds2 = 0. Odtud dostáváme, že s „ « ` ´ 2GM dr2 + 1 − 2 r2 dϑ2 + sin2 ϑ dϕ2 c r 1 dt = . 2GM c 1− 2 c r Vidíme tedy, že dt nezávisí na souřadnicovém čase t, což je dáno stacionaritou Schwarzschildova řešení. Uvážíme-li ještě, že oba pozorovatelé jsou stojící, potom docházíme k závěru, že se světočáry světelných signálů liší pouze o konstantu v souœ řadnicovém čase t. To znamená, že celkový souřadnicový čas (získá se sečtením příspěvků dt) potřebný k překonání vzdálenosti mezi pozorovateli je pro všechny světelné signály stejný. Platí tedy ∆tB = ∆tA . Pro frekvenci ν A signálů, kterou naměří pozorovatel A, platí ν A = 1/∆τ A , kde ∆τ A je vlastní čas pozorovatele A odpovídající souřadnicovému intervalu ∆tA . Obœ dobný vztah lze nalézt i pro frekvenci ν B signálů, kterou naměří pozorovatel B. Dostáváme tedy r 11/2 0 2GM 2GM p 1− 2 1− 2 c rA ∆tA −∆s2A c rA C νB ∆τ A B = r = = p =@ A . 2 2GM νA ∆τ B −∆sB 2GM ∆tB 1− 2 1− 2 c rB c rB Pokud za jednotlivé signály budeme považovat vrcholy světelné vlny, potom doœ stáváme vztah pro gravitační rudý posuv27 . V případě slabého pole, kdy platí r  2GM/c2 , obdržíme GM GM ϕ A − ϕB νB , =1− 2 + 2 =1+ νA c rA c rB c2 což je vztah, který jsme již získali užitím Newtonovy teorie gravitace a prinœ cipů OTR. Co se stane, pokud se jeden z pozorovatelů začne pohybovat? Gravitační pole Země lze z hlediska relativistických efektů poměrně přesně popsat pomocí Schwarzœ schildovy geometrie (Země je s velkou přesností sféricky symetrická). Mějme pozoœ rovatele (označme jej písmenem Z), který stojí na zemském povrchu. Poloměr Země označme R. Ve vzdálenosti r od středu Země nechť se pohybuje po kruhové dráze pozorovatel S. Uvažujme, že pozorovatel S volně padá — kromě gravitace na p něj neœ působí žádné další síly. Pozorovatel S se tedy pohybuje kruhovou rychlostí GM/r, 27)

Skutečný posuv může být i modrý. Termín gravitační rudý posuv zde používáme pro změnu frekvence světelné vlny vlivem gravitačního pole. Tedy i pro případ modrého posuvu.

205

FYKOS 1997–2007 kde M je hmotnost Země. Sférické souřadnice zvolme tak, aby kruhová dráha pozoœ rovatele ležela v rovině ϑ = 21 π. Pro pohyb pozorovatele S tedy platí „ «2 ∆ϕ GM r = . ∆t r Pokud bude vzdálenost obou pozorovatelů maximální nebo minimální, potom bude platit ∆tZ = ∆tS , neboť v tomto případě dvě po sobě jdoucí maxima potřebují stejný čas k proběhnutí dráhy mezi oběma pozorovateli. Pro frekvence, které pozorovatelé naměří, tedy platí (pole je slabé) s s„ « „ «2 2GM 2GM 1 ∆ϕ 2 c2 ∆tS − r2 ∆ϕ2 1− 2 1− 2 − 2 r c r c r c ∆t νZ r r = = = νS 2GM 2GM c∆tZ 1− 2 1− 2 c R c R „ « GM 1 3 =1+ 2 − . c R 2r Pro r = 23 R dostáváme, že ν Z = ν S . To je způsobeno tím, že kromě gravitačního pole má v tomto případě vliv na změnu frekvence světla také pohyb jeho zdrojů. Již v roce 1859 dokázal Leverrier, že stáčení perihelia Merkuru nelze zcela vyœ světlit poruchami od ostatních těles sluneční soustavy. Pozorované stáčení perihelia bylo o 4300 /století větší než vypočtené28 . Pokud budeme vyšetřovat dráhy volných těles ve Schwarzschildově poli, potom v oblasti, kde je pole slabé, dostáváme kepleœ rovské orbity, které však již nejsou uzavřené narozdíl od newtonovského případu. Dochází totiž ke stáčení jejich pericenter. Při jednom oběhu se pericentrum posune o úhel 6πGM , ∆ϕ = 2 c a (1 − e2 ) kde a je hlavní poloosa eliptické dráhy a e je její excentricita. V případě planety Merkur dostáváme přesně hodnotu, která je rozdílem mezi pozorovanou hodnotou a hodnotou plynoucí z newtonovské teorie. Z principu ekvivalence plyne, že by v gravitačním poli mělo docházet k ohybu světla. V případě Schwarzschildovy geometrie lze za předpokladu slabého pole (r  2GM/c2 ) odvodit pro úhel ϕ ohybu světelného paprsku vztah ϕ=

4GM , c2 R

kde R je minimální vzdálenost světelného paprsku od centrálního objektu. Je zaœ jímavé, že pokud bychom ohyb světelného paprsku počítali pomocí nahrazení graœ vitačního pole setrvačnými silami urychlené zdviže, potom bychom dostali pouze poloviční hodnotu pro úhel ohybu. Je to způsobeno tím, že v případě urychlené zdviže je prostoročas plochý (existují v něm globální inerciální systémy), zatímco v případě gravitačního pole centrálního objektu je prostoročas zakřivený. V roce 28)

Stáčení perihelia způsobené poruchami od ostatních těles je více než desetinásobné.

206

Seriál o teorii relativity 1919 provedl Eddington experiment s měřením ohybu světelných paprsků gravitačœ ním polem Slunce.29 Výsledky tohoto experimentu prokázaly platnost předchozího vztahu.30 Po tomto experimentu začala být OTR přijímaná, nicméně astronomové ji přijali až v 60. letech, kdy byly objeveny kvasary a rentgenové zdroje, jejichž zářivé výkony se daly přirozeně vysvětlit pouze pomocí OTR. Při vyšetřování pohybů volných částic v okolí černé díry (popřípadě velmi stlaœ čené hvězdy, aby vakuum bylo až k hodnotám r blízkým 2GM/c2 ) se objevují zcela nečekané výsledky. Například pod 6GM/c2 již neexistují stabilní kruhové orbity. Na hodnotě 3GM/c2 je kruhová dráha pro fotony a pod ní již neexistuje žádná kruhová orbita. Schwarzschildovské pole je dokonce tak silné, že existují energeticky nevᜠzané kruhové dráhy. To znamená, že částice na těchto orbitách má dostatek energie k tomu, aby se mohla dostat až do nekonečna. Tyto dráhy jsou tedy nestabilní. Při jejich poruše částice buď odlétne do nekonečna, anebo skončí v černé díře (popřípadě v centrálním objektu). Černé díry Nejjednodušší černou dírou je Schwarzschildova černá díra, která je popsána Schwarzschildovou metrikou v celém prostoročase. V tomto případě zde nemáme žádné centrální těleso, a celý prostoročas je tedy vakuový. Černou dírou nazýváme oblast prostoročasu, jejíž radiální souřadnice r je menší než 2GM/c2 . Oblast s r = = 2GM/c2 se nazývá horizontem černé díry. Proč je černá díra černá? Uvažujme pozorovatele, jehož světočára má konstantní radiální souřadnici r, která je menší nebo rovna hodnotě 2GM/c2 . Na této světočáře potom platí „ « ` ´ 2GM ds = − 1 − 2 c2 dt2 + r2 dϑ2 + sin2 ϑ dϕ2 . c r 2

To znamená, že uvnitř černé díry je vždy ds2 > 0 a na jejím horizontu je ds2 ≥ 0, přičemž rovnost nastává pouze v případě, že jsou konstantní i ostatní prostorové souřadnice. Uvnitř černé díry a na jejím horizontu nelze tedy stát na konstantní radiální souřadnici. Fyzikální pozorovatel se totiž může „pohybovatÿ pouze po svěœ točáře, na níž pro libovolné dvě blízké události platí ds2 < 0. Stát na horizontu může pouze foton, který se nepohybuje ani v úhlových souřadnicích. Všechny fyzikální objekty se tedy uvnitř černé díry musí pohybovat po světoœ čárách, na kterých klesá radiální souřadnice r. To je způsobeno tím, že pod horiœ zontem hraje úlohu časové souřadnice radiální souřadnice r a nikoliv souřadnice t (záporný člen v metrice stojí před dr2 a nikoliv před dt2 ). Z černé díry tedy nemůže 29)

Při experimentu se měřila vzájemná poloha hvězd v blízkosti slunečního kotouče během jeho zatmění Měsícem. Naměřené hodnoty se porovnaly s hodnotami naměřenými v době, kdy byl sluneční kotouč dostatečně daleko (například na druhé straně oblohy). Úhel ohybu světelných paprsků se potom určil z naměřených rozdílů relativních poloh hvězd. Pro svěœ telný paprsek jdoucí těsně při povrchu Slunce obecná teorie relativity předpovídá hodœ notu 1,7500 . 30) Výsledky měření nebyly příliš přesné, nicméně vylučovaly možnost, že by skutečný úhel ohybu byl poloviční oproti předpovědi OTR.

207

FYKOS 1997–2007 uniknout do vnější oblasti za horizontem žádný fyzikální objekt, ani záření. Proto je černá díra černá. Z předchozí diskuse vidíme, proč musí být hodnota radiální souřadnice povrchu centrálního tělesa větší než 2GM/c2 . V opačném případě by se totiž radiální souœ řadnice povrchu tělesa musela zmenšovat, a těleso by se tak zhroutilo do r = 0. Uvažujme nyní pozorovatele, který se pohybuje (ne nutně volně – mohou na něj působit i negravitační síly) směrem do černé díry (jeho radiální souřadnice klesá). Z podmínky ds2 < 0 dostáváme nerovnost s dt >

1 c

„ « ` ´ 2GM dr2 + 1 − 2 r2 dϑ2 + sin2 ϑ dϕ2 c r 1−

≥−

2GM c2 r

1 c

dr , 2GM 1− 2 c r

kde předpokládáme, že jsme stále mimo černou díru (r > 2GM/c2 ). Záporné znaœ ménko v předchozím výrazu je způsobeno tím, že dr je záporné, protože radiální souřadnice klesá. Nechť v čase t = 0 je hodnota radiální souřadnice uvažovaného pozorovatele rovna r0 . Integrací (sečtením) předchozí nerovnosti dostáváme vztah 1 2GM c2 C 2GM B r0 − r + t> ln @ A. 2GM c c3 r− c2 0

r0 −

Vidíme tedy, že horizontu černé díry dosáhne pozorovatel až v nekonečné hodnotě času t! Tento výsledek nás příliš nepřekvapí, pokud si uvědomíme, že se v blízkosti horizontu „zastavujeÿ čas, což plyne z toho, že pokud přibližujeme zdroj světla k hoœ rizontu černé díry, potom jeho gravitační rudý posuv roste do nekonečna (frekvence světla klesá k nule). Mohlo by se tedy zdát, že pozorovatel horizontu a černé díry nikdy nedosáhne. K tomuto závěru skutečně dochází pozorovatel, který se nachází ve vnější oblasti, neboť pro něj má souřadnice t skutečně význam časové souřadnice. Pokud bude pozorovatel letící do černé díry během svého pohybu vysílat signály, poœ tom je vnější pozorovatel bude registrovat po celou dobu existence vesmíru. Nicméně frekvence těchto signálů velmi rychle poklesne k nule. Zcela k jinému závěru dochází pozorovatel letící do černé díry. Dá se ukázat, že tento pozorovatel dosáhne horizontu v konečné hodnotě vlastního času. Po průletu horizontem mu pak nezbývá nic jiného než se pohybovat po světočáře, na které se zmenšuje radiální souřadnice. Za konečný vlastní čas potom pozorovatel skončí svou historii v r = 0, kde je singularita. V případě volného pádu do černé díry je celý proces z hlediska padajícího pozorovatele velmi rychlý. Již jsme se zmínili o tom, že na horizontu černé díry a pro r = 0 je Schwarzœ schildova metrika singulární. Pokud se někde vyskytne singularita, potom je vždy třeba (zejména v OTR) zkoumat, zda je tato singularita fyzikální nebo je způsobena volbou souřadnic. Pokud v tomto případě vypočítáme některé skalární veličiny (neœ závisejí na volbě souřadnic) charakterizující křivost prostoročasu, potom zjistíme, že divergují pouze pro r = 0, zatímco na horizontu jsou konečné. Dá se ukázat, že fyzikální singularita je pouze v r = 0, kde je singulární geometrie prostoročasu (tím 208

Seriál o teorii relativity pádem jsou singulární i ostatní fyzikální veličiny). O tom, co se děje v singularitě, zatím nic nevíme, neboť v singularitě nelze užít Einsteinovy rovnice a přichází zde ke slovu kvantová fyzika. Schwarzschildovy souřadnice t, r, ϑ a ϕ nejsou vhodné pro popis prostoročasu v černé díře a na jejím horizontu. Viděli jsme, že horizontem černé díry lze v těchto souřadnicích projít pouze přes nekonečnou hodnotu t. Ukazuje se totiž, že oblast r = = 2GM/c2 , t konečné, ϑ a ϕ libovolné je ve skutečnosti pouze dvojrozměrnou obœ lastí. Pro popis schwarzschildovské černé díry jsou vhodnější souřadnice nazývané Kruskalovy, v nichž má metrika následující tvar31 „ « ` 32G3 M 3 c2 r 2 2´ 2` 2 2 2´ ds = exp − −dV + dU + r dϑ + sin ϑ dϕ . c6 r 2GM 2

Z vyjádření Schwarzschildovy metriky v Kruskalových souřadnicích vidíme, že na horizontu černé díry skutečně žádná singularita není. Kruskalovy souřadnice (pokud budeme uvažovat jejich maximální možný rozœ sah) ve skutečnosti popisují dvakrát „většíÿ prostoročas. K jeho pokrytí bychom potřebovali dvě sady schwarzschildovských souřadnic. Toto rozšíření schwarzschilœ dovské variety je dokonce žádoucí, protože původní prostoročas (pouze s jednou sadou schwarzschildovských souřadnic) nebyl geodeticky úplný — některé geodeœ tiky končily mimo singularitu při konečné délce. V rozšířeném prostoročase potom máme dvě vnější asymptoticky ploché oblasti (dva vesmíry), jednu černou díru a jednu tzv. bílou díru. Při diskusi pohybů pozorovatelů uvnitř černé díry jsme doœ spěli k závěru, že se pozorovatelé mohou pohybovat pouze tak, že se jejich radiální souřadnice zmenšuje. Druhou možností by však bylo, že se pozorovatelé pohybují tak, že se jejich radiální souřadnice neustále zvětšuje. Tato možnost se realizuje v bílé díře. To znamená, že z bílé díry musí všechny objekty vyletět. Objekty, které vyletí z bílé díry, se ve vnější oblasti objeví v čase t = −∞. Pro vnějšího pozorovatele tyto objekty tedy existují „od počátkuÿ vesmíru. Dá se ukázat, že není možné, aby se nějaký fyzikální objekt dostal z jednoho vesmíru (vnější asymptotická oblast) do druhého, neboť k tomu je nutné pohybovat se nadsvětelnou rychlostí (ds2 > 0). Pokud černá díra vznikne kolapsem nějakého tělesa, potom se dva vesmíry neobjeví. Je to způsobeno tím, že celý prostoročas není schwarzschildovský (černá díra zde není od začátku). Vraťme se nyní k pádu pozorovatele do černé díry. Předchozí závěry platily pouze pro bodového pozorovatele. Pokud je pozorovatel nebodový, potom je potřeba uvaœ žovat také nehomogenity gravitačního pole, které způsobují slapové síly. Slapové síly rostou směrem k r = 0, kde jsou nekonečné. To znamená, že nebodový pozorovatel do singularity nikdy nedospěje, neboť ještě předtím jej roztrhají slapové síly. Jestliže uvažujeme příliš velkého pozorovatele a málo hmotnou černou díru (má malý rozměr horizontu), potom se takový pozorovatel nemusí dostat ani do černé díry, neboť slaœ pové síly jej zničí ještě dříve, než dosáhne jejího horizontu. Pokud však uvažujeme velmi hmotnou černou díru (například ty, které se nacházejí v centrech galaxií), poœ tom je gravitační pole na jejím horizontu poměrně homogenní (vzhledem k lidským 31)

Je to „smíšenýÿ tvar, neboť zde také vystupuje schwarzschildovská radiální souřadnice r. Ta je však jednoznačnou funkcí Kruskalových souřadnic V , U , ϑ a ϕ.

209

FYKOS 1997–2007 rozměrům). V takovém případě z lokálních experimentů vůbec nepoznáme, že jsme se dostali do černé díry (pod její horizont). To zjistíme až za chvíli, když začne neodvratně „přituhovatÿ. Zatím jsme se zabývali pouze Schwarzschildovou černou dírou, která je zcela charakterizována jediným parametrem – svojí hmotností M . Je možné ukázat, že každá stacionární černá díra je jednoznačně určena zadáním tří parametrů, kterými jsou hmotnost, elektrický náboj a moment hybnosti.32 Prostoročas obecné stacioœ nární černé díry nemusí být vakuový, neboť v něm může být elektromagnetické pole (černá díra může být nabitá). Černé díry mohou vzniknout při gravitačním kolapsu hmotného objektu (napříœ klad velmi hmotné hvězdy na konci jejího života). Takovéto černé díry jistě nebudou stacionární, neboť neexistují od začátku vesmíru. Ukazuje se však, že po vzniku černé díry lze její gravitační pole v jejím okolí popsat pomocí gravitačního pole, které odœ povídá nějaké stacionární černé díře. Výsledný objekt je tedy velmi jednoduchý, neboť jej lze popsat pouze pomocí tří parametrů (v praxi stačí dva, protože celkový náboj makroskopických těles je nulový). Při gravitačním kolapsu se tedy „zvyšujeÿ symetrie. Případné nesymetrie původního objektu jsou „vyzářenyÿ gravitačními vlœ nami při vzniku černé díry. Rotující černá díra vykazuje zajímavé efekty. Lze z ní například získávat energii na úkor její rotace. Zajímavým efektem je také tzv. „vlečeníÿ inerciálních systémů. Rotující černá díra totiž ve svém okolí „strháváÿ geometrii prostoročasu a nutí ji ke korotaci. Pokud bychom nechali z nekonečna volně padat těleso s nulovou počáteční rychlostí, potom toto těleso nespadne do černé díry radiálně — kromě radiálního pohybu vyvolá gravitační pole také pohyb orbitální ve směru rotace černé díry. Tento jev se obecně vyskytuje u všech rotujících zdrojů.33 V OTR je tedy rozdíl mezi gravitačním polem rotujícího a nerotujícího objektu. Naproti tomu v klasické Newtonově teorii je rotace zdroje irelevantní. Geometrie vesmíru Na závěr si stručně povíme něco o geometrii vesmíru. Ke studiu vesmíru jako celku je potřeba užít OTR, protože dominantní silou ve vesmíru je gravitace.34 Ze současných pozorování vyplývá, že vesmír je na dostatečně velkých měřítœ kách homogenní (ve všech místech stejný) a izotropní (ve všech směrech stejný). To znamená, že by měly existovat trojrozměrné prostoročasové řezy, které by měly 32)

Z matematického hlediska jsou ve skutečnosti potřebné čtyři parametry. Čtvrtý paraœ metr však nemá dobrou fyzikální interpretaci, neboť odpovídá magnetickému náboji černé díry. 33) V případě Země je však tento efekt velmi malý, a proto se jej doposud nepodařilo změřit. Nicméně na oběžné dráze Země od roku 2004 obíhá sonda NASA s experimentem Gravity Probe B. Princip experimentu je jednoduchý, na sondě je umístěn gyroskop (rotuœ jící setrvačník), jehož osa je nasměrována na vzdálenou referenční hvězdu. V průběhu let strávených na oběžné dráze se měří odchylka rotační osy gyroskopu. Pro představu – efekt strhávání prostoročasu by měl podle OTR způsobit odchylku 0,0400 za rok. Data jsou stále analyzována a výsledků se pravděpodobně dočkáme v roce 2010. 34) Slabé a silné interakce mají krátký dosah. Elektromagnetická interakce je ve vesmírných měřítkách odstíněna, protože na těchto rozměrech je vesmír elektricky neutrální.

210

Seriál o teorii relativity mít ve všech bodech stejné geometrické vlastnosti. Existují tři základní typy proœ storů s konstantní křivostí, k jejichž rozlišení můžeme použít tzv. index křivosti k nabývající hodnot −1, 0 a +1. Geometrie těchto prostorů je v souřadnicích χ, ϑ a ϕ popsána metrikou ˆ ` ´˜ dl2 = a2 dχ2 + Σ2k (χ) dϑ2 + sin2 ϑ dϕ2 , kde a je konstanta charakterizující rozměr prostoru. Rozsah proměnné χ a funœ kce Σk (χ) závisí na typu prostoru 8 pro k = 1 < sin χ, χ ∈ h0, πi Σk (χ) = χ, χ ∈ h0, ∞) pro k = 0 . : sinh χ, χ ∈ h0, ∞) pro k = −1 Při konstantní souřadnici χ dostáváme geometrii dvojrozměrné sféry, jejíž poloměr je roven aΣk (χ). Ze vztahu pro funkci Σ vidíme, že pro k = 0 dostáváme trojrozměrný eukleiœ dovský prostor, jehož geometrie je vyjádřena ve sférických souřadnicích (radiální souřadnice je rovna aχ). Prostor s k = −1 odpovídá trojrozměrné sedlové ploše (při konstantní souřadnici ϕ má výsledná dvojrozměrná plocha tvar sedla). Prostory s indexem křivosti k = −1, 0 jsou tedy nekonečné. V případě k = 1 dostáváme proœ stor, jehož geometrie odpovídá geometrii trojrozměrné sféry (povrchu čtyřrozměrné koule). To znamená, že pro k = 1 je prostor konečný (nemá ale hranici). Prostoročasová geometrie je tedy popsána metrikou ˆ ` ´˜ ds2 = −c2 dt2 + dl2 = −c2 dt2 + a2 (t) dχ2 + Σ2k (χ) dϑ2 + sin2 ϑ dϕ2 . Časovou závislost parametru a, který charakterizuje prostorové rozměry, je třeba určit z Einsteinových rovnic. Výraz pro prostoročasovou geometrii je poměrně jedœ noduchý. To je způsobené tím, že použité souřadnice vyjadřují vysokou symetrii prostoročasu. Vzhledem k vysoké symetrii prostoročasové geometrie existuje výœ značný čas t, vůči kterému je každý trojrozměrný prostoročasový řez t = konst. prostorem konstantní křivosti. Díky této vlastnosti má smysl mluvit o stáří vesmíru udávaném v časové souřadnici t. Pokud hmotu ve vesmíru budeme považovat za jakousi ideální tekutinu s husœ totou % a se zanedbatelným tlakem p, potom z Einsteinových rovnic při nulové kosmologické konstantě dostáváme, že geometrie vesmíru nemůže být statická! Paœ rametr a se musí vyvíjet s časem. Z dynamických rovnic vyplývá, že existuje nějaké t, pro které a(t) = 0. Tento okamžik odpovídá singulárnímu počátku vesmíru (vzdáleœ nost libovolných dvou bodů je při počátku vesmíru nulová). Další vývoj geometrie vesmíru závisí na jeho indexu křivosti k. Při k = −1, 0 se bude vesmír neomezeně rozpínat (a(t) bude rostoucí funkcí času t). V případě k = 1 bude vesmír expandovat až po dosažení nějaké maximální hodnoty amax . Potom expanzi vystřídá kontrakce, která povede k dalšímu singulárnímu stavu. Vesmír je tedy pro k = 1 konečný nejen v prostoru, ale i v čase.35 35)

Současná pozorování ukazují, že kosmologická konstanta je nenulová. Při nenulové kosœ mologické konstantě může být i vesmír s k = 1 nekonečný v čase (bude stále expandovat).

211

FYKOS 1997–2007 Z pozorování vesmíru víme, že se vzdálené galaxie od nás vzdalují. To znamená, že funkce a(t) je v současnosti rostoucí funkcí času t.36 O tom, jaká je hodnota indexu křivosti vesmíru (jaký je typ geometrie vesmíru), rozhoduje hustota jeho hmoty. Přesnost, s jakou v současnosti známe hustotu vesmírné hmoty, nedovoluje stanovení typu geometrie vesmíru. Skutečná hustota hmoty vesmíru je totiž velmi blízká tzv. kritické hustotě37 , která odpovídá vesmíru s plochým prostorem (k = 0). Pokud je hustota hmoty větší než kritická, potom je vesmír konečný (k = 1). Ve zbývajících případech je index křivosti k roven minus jedné.

36)

Pozorované vzdalování galaxií je totiž způsobeno časovým vývojem parametru a, neboť hmota vesmíru v souřadnicích χ, ϑ a ϕ stojí. Časová souřadnice t tedy odpovídá vlastnímu času pozorovatele spojeného s hmotou vesmíru. 37) Hodnotu kritické hustoty lze získat z naměřených údajů popisujících rozpínání vesmíru. V případě nenulové kosmologické konstanty potřebujeme k určení kritické hustoty změřit dvě veličiny – „rychlostÿ a „zrychleníÿ rozpínání vesmíru.

212

213

Jan Prachař, Lenka Zdeborová a kolektiv Fyzikální korespondenční seminář 1997 – 2007 Předmluva: Jan Prachař O semináři: Jan Prachař, Lenka Zdeborová Historie: Lenka Zdeborová, Jan Prachař Akce pořádané FYKOSem: Jan Prachař, Pavel Brom, Marek Scholz Autoři řešení úloh: Lenka Zdeborová (13.I.3, 13.II.E, 13.IV.P, 13.VI.4, 15.II.E, 15.V.P, 16.III.4, 16.IV.4, 16.V.5), Karel Kolář (12.I.3, 12.III.4, 12.V.1, 13.IV.1), Marek Pechal (20.III.2, 20.IV.4, 20.VI.3), Jan Prachař (17.I.E, 19.V.3, 19.V.E), Pavel Augustinský (17.I.P, 17.V.3), Pavel Brom (18.V.4, 18.VI.E), Michal Hvězda (11.II.E, 11.III.P), Karel Honzl (13.III.4, 15.I.3), Jan Houštěk (14.VI.P, 16.III.1), Jan Hradil (11.III.P, 11.VI.3), Miroslav Kladiva (16.II.3, 17.V.5), Karel Kouřil (14.IV.4, 14.V.2), Ján Lalinský (19.V.E, 19.VI.3), Jiří Lipovský (18.VI.4, 19.II.P), Matouš Ringel (18.I.1, 18.III.4), Lukáš Schmiedt (15.II.2, 15.IV.4), Dalibor Šmíd (11.V.5, 11.VI.2), Jaroslav Trnka (17.I.4, 17.VI.3), Peter Čendula (15.III.4), Jiří Franta (14.VI.E), Peter Greškovič (19.I.1), Pavol Habuda (14.VI.3), Jakub Holovský (14.I.P), Jana Hrudíková (18.II.4), Tomáš Jirotka (20.I.E), Michael Komm (16.IV.E), Daniel Kráľ (11.V.1), Zdeněk Kučka (19.I.1), Jiří Kvita (12.III.E), Ondřej Pejchal (12.I.3), Aleš Podolník (20.II.4), Václav Porod (12.VI.4), Jan Prokleška (12.II.4), Marek Scholz (20.I.P), Rudolf Sýkora (14.II.3), Karel Tůma (19.VI.2), Peter Zalom (19.V.E) Seriál o relativitě : Karel Kolář Sazba: Jan Prachař Obrázky a grafy: Jan Prachař, Marek Pechal, Jana Gřondilová, Jan Houštěk, Jiří Lipovský, Jan Prokleška, Matouš Ringel a Karel Tůma Recenzoval : Jan Prachař Jazykové korektury: Pavel Brom, Jiří Lipovský a další

Fyzikální korespondenční seminář je organizován studenty UK MFF. Je zastřešen Oddělením pro vnější vztahy a propagaci UK MFF a podporován Ústavem teoretické fyziky UK MFF, jeho zaměstnanci a Jednotou českých matematiků a fyziků. 214