Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel • na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; • znázornění: přímka reálných čísel (reálná osa); • zápis ve formě intervalu: 𝐑 = (−∞, +∞). • rozšíření: 𝐑∗ = 𝐑 ∪ −∞, +∞ • „hodnoty“ −∞, +∞ … nevlastní body. Otázka: Jaká je „velikost nekonečna“?? (→ spočetná, nespočetná množina …) Definujeme: (a) velikost: −∞ = +∞ = +∞; (b) uspořádání: ∀𝑥 ∈ 𝐑: −∞ < 𝑥, 𝑥 < +∞ .
Početní operace v 𝐑∗ Sčítání: definujeme • pro 𝑥 ∈ 𝐑: 𝑥 + +∞ = +∞, 𝑥 + −∞ = −∞ ; • +∞ + +∞ = +∞, −∞ + −∞ = −∞ ; • +∞ + (−∞) není definováno.
Odčítání = přičítání hodnoty s opačným znaménkem; • − +∞ = −∞, − −∞ = +∞ ; • +∞ − (+∞) a −∞ − (−∞) není definováno.
Násobení: definujeme • pro 𝑥 > 0: 𝑥 ⋅ +∞ = +∞, 𝑥 ⋅ −∞ = −∞ ; • pro 𝑥 < 0: 𝑥 ⋅ +∞ = −∞, 𝑥 ⋅ −∞ = +∞ ; • 0 ⋅ (+∞) a 0 ⋅ (−∞) není definováno.
Dělení = násobení převrácenou hodnotou 1 0
• nelze dělit nulou – výraz není definován (nemá smysl);
• definujeme • výraz
±∞ ±∞
1 +∞
=
1 −∞
=0;
není definován.
Úloha: Určete hodnotu výrazů
𝑥 𝑥 +∞ , , +∞ −∞ 𝑥
pro 𝑥 ∈ 𝐑.
Neurčité výrazy: • výrazy (zkráceně) typu ∞ − ∞, 0 ⋅ ∞,
∞ ∞
… nejsou definovány;
• vyskytují se při výpočtu limit; • mohou vést na „libovolnou“ hodnotu z 𝐑∗ ; • další typy: např. 1
∞
0 0 ,0 , . 0
Okolí bodu v 𝐑∗ Pro 𝑎 ∈ 𝐑 a 𝛿 > 0 definujeme: • • • •
𝑈𝛿 𝑎 = (𝑎 − 𝛿, 𝑎 + 𝛿) … okolí bodu a o poloměru 𝜹; 𝑃𝛿 𝑎 = 𝑈𝛿 𝑎 − 𝑎 … prstencové okolí; značíme též krátce 𝑈 𝑎 , 𝑃(𝑎); 𝑃+ 𝑎 = 𝑎, 𝑎 + 𝛿 , 𝑃− 𝑎 = (𝑎 − 𝛿, 𝑎) … levé a pravé okolí.
Pro hodnoty +∞, −∞ definujeme: • 𝑈 +∞ = 𝑃 +∞ = (𝑐, +∞) pro 𝑐 ∈ 𝐑; • 𝑈 −∞ = 𝑃 −∞ = (−∞, 𝑑) pro 𝑑 ∈ 𝐑.
Užití: • 𝑥 ∈ 𝑈(𝑎) … vyjadřuje, že hodnota x je „blízká“ hodnotě a; • 𝑥 ∈ 𝑃(𝑎) … hodnota x je blízká hodnotě a, ale 𝑥 ≠ 𝑎.
IV.2. Extrémy množin v R Def: Řekneme, že číslo 𝑎 ∈ 𝐑 je maximum [minimum] množiny 𝑀 ⊂ 𝐑, jestliže 𝑎 ∈ 𝑀 a platí 𝑥∈𝑀⟹𝑥≤𝑎 𝑥∈𝑀⟹𝑥≥𝑎 . Značíme 𝑎 = max 𝑀 𝑎 = min 𝑀 .
Příklad: • 𝑀1 = 0, 1 : max 𝑀1 = 1, min 𝑀1 = 0; • 𝑀2 = 0, 1): min 𝑀2 = 0, max 𝑀2 neexistuje (není definováno); • 𝑀3 =
1 ;𝑛 𝑛
= 1, 2, 3, … : max 𝑀3 = 1, min 𝑀3 neexistuje.
Zobecnění: supremum a infimum množiny M; značíme sup 𝑀 , inf 𝑀.
Supremum a infimum množiny Def: Řekneme, že číslo 𝐾 ∈ 𝐑∗ je supremum množiny 𝑀 ⊂ 𝐑 (značíme 𝐾 = sup 𝑀), jestliže platí: (a) 𝑥 ∈ 𝑀 ⟹ 𝑥 ≤ 𝐾; (b) ∀𝐾1 < 𝐾 ∃𝑥 ∈ 𝑀: 𝑥 > 𝐾1 . (Hodnota K je „nejmenší horní závora“ množiny M.) Řekneme, že číslo 𝐿 ∈ 𝐑∗ je infimum množiny 𝑀 ⊂ 𝐑 (značíme 𝐿 = inf 𝑀), jestliže platí: (c) 𝑥 ∈ 𝑀 ⟹ 𝑥 ≥ 𝐿; (d) ∀𝐿1 > 𝐿 ∃𝑥 ∈ 𝑀: 𝑥 < 𝐿1 . (Hodnota L je „největší dolní závora“ množiny M.)
Supremum a infimum - vlastnosti
Věta: Nechť 𝑀 ⊂ 𝐑 je neprázdná množina. Pak platí: (a) Existují jednoznačně určené hodnoty 𝐾 = sup 𝑀, 𝐿 = inf 𝑀, přičemž 𝐿 ≤ 𝐾. (b) Jestliže existuje max 𝑀, pak sup 𝑀 = max 𝑀. (c) Jestliže existuje min 𝑀, pak inf 𝑀 = min 𝑀. Úloha: Určete supremum a infimum množin: • 𝑀1 , 𝑀2 , 𝑀3 z výše uvedeného příkladu; • 𝑀4 = 𝑛2 + 1; 𝑛 = 1, 2, 3, … ; • 𝑀5 = 𝑦 = sin 𝑥 ; 𝑥 ∈ (0, 𝜋2 ; • 𝑀6 = 𝑥 ∈ 𝐑; 𝑥 2 + 4 < 8 .
V. Posloupnosti reálných čísel V.1. Základní pojmy Def: Posloupností reálných čísel (krátce: posloupností) nazýváme zobrazení množiny N do R. Každému číslu 𝑛 ∈ 𝐍 je přiřazena jediná hodnota 𝑎𝑛 ∈ 𝐑. Posloupnost zapisujeme ve tvaru 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … nebo jen 𝑎𝑛 , číslo 𝑎𝑛 je tzv. n-tý člen posloupnosti. Příklady: • aritmetická posloupnost: 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 𝑑 pro 𝑛 ≥ 1, 𝑎1 (počáteční člen) a d (diference) jsou dány; • geometrická posloupnost: 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 ⋅ 𝑞 pro 𝑛 ≥ 1, hodnoty 𝑎1 a q (kvocient) jsou dány; • Fibonacciova posloupnost: 𝑎1 = 𝑎2 = 1, 𝑎𝑛+2 = 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛+1 pro 𝑛 ≥ 1.
Vlastnosti posloupností
Def: Řekneme, že posloupnost 𝑎𝑛 je • omezená shora, jestliže existuje takové 𝐾 ∈ 𝐑, že platí 𝑎𝑛 ≤ 𝐾 pro všechna 𝑛 ∈ 𝐍; • omezená zdola, jestliže existuje takové 𝐿 ∈ 𝐑, že platí 𝑎𝑛 ≥ 𝐿 pro všechna 𝑛 ∈ 𝐍; • omezená (ohraničená), je-li omezená shora i zdola.
Def: Řekneme, že posloupnost 𝑎𝑛 je • • • •
rostoucí, jestliže pro každé 𝑛 ∈ 𝐍 platí 𝑎𝑛 < 𝑎𝑛+1 ; neklesající, jestliže … 𝑎𝑛 ≤ 𝑎𝑛+1 ; nerostoucí, jestliže … 𝑎𝑛 ≥ 𝑎𝑛+1 ; klesající, jestliže … 𝑎𝑛 > 𝑎𝑛+1 .
V.2. Limita posloupnosti Def: Řekneme, že posloupnost 𝒂𝒏 má limitu 𝒂 ∈ 𝐑∗ , jestliže platí: ∀𝑈 𝑎 ∃𝑛0 ∈ 𝐍: 𝑛 ≥ 𝑛0 ⟹ 𝑎𝑛 ∈ 𝑈(𝑎) . Zapisujeme lim 𝑎𝑛 = 𝑎 (nebo jen lim 𝑎𝑛 = 𝑎). 𝑛→+∞
Poznámky: • Členy 𝑎𝑛 jsou pro „dostatečně velká n“ (𝑛 → +∞) „blízké“ hodnotě a. • Existence ani hodnota limity nezávisí na konečném počtu členů posloupnosti (na určité „počáteční části“). • Každá posloupnost může mít nejvýše jednu limitu.
Konvergentní, divergentní a vybraná posloupnost Posloupnost 𝑎𝑛 nazveme • konvergentní, jestliže lim 𝑎𝑛 = 𝑎 ∈ 𝐑; • divergentní, jestliže není konvergentní. Poznámka: Je-li posloupnost 𝑎𝑛 divergentní, pak buď • nemá žádnou limitu, nebo • má nevlastní limitu (lim 𝑎𝑛 = +∞ nebo lim 𝑎𝑛 = −∞). Def: Nechť 𝑎𝑛 je daná posloupnost, 𝑛𝑘 je rostoucí posloupnost přirozených čísel. Pak posloupnost 𝑎𝑛𝑘 = 𝑎𝑛1 , 𝑎𝑛2 , 𝑎𝑛3 , … se nazývá vybraná z 𝑎𝑛 . Věta: Má-li posloupnost 𝑎𝑛 limitu 𝑎 ∈ 𝐑∗ , pak také každá posloupnost vybraná z 𝑎𝑛 má tutéž limitu.
Určování limity posloupnosti Poznámky: • V jednoduchých případech lze limitu určit z definice (např. 1 posloupnosti tvaru 𝑎𝑛 = , 𝑎𝑛 = 𝑛, 𝑎𝑛 = 𝑛2 , …). 𝑛
• Jestliže z posloupnosti 𝑎𝑛 lze vybrat dvě posloupnosti, které nemají stejnou limitu, pak lim 𝑎𝑛 neexistuje.
Věta: Nechť lim 𝑎𝑛 = 𝑎, lim 𝑏𝑛 = 𝑏. Pak platí: (i) lim 𝑎𝑛 ± 𝑏𝑛 = 𝑎 ± 𝑏, (ii) lim 𝑎𝑛 𝑏𝑛 = 𝑎𝑏, (iii)
𝑎𝑛 lim 𝑏𝑛
𝑎 𝑏
= ,
mají-li výrazy vpravo smysl a v případě (iii) je 𝑏𝑛 ≠ 0 pro všechna 𝑛 ∈ 𝐍 dostatečně velká.
Určování limity - pokračování Poznámka: Při výpočtu limity užitím předchozí věty musí obě posloupnosti mít limitu, vpravo jsou vyloučeny neurčité výrazy.
Další možnosti výpočtu limity: • Nechť lim 𝑎𝑛 = 𝑎 > 0, lim 𝑏𝑛 = 0 a 𝑏𝑛 > 0 od jistého 𝑎𝑛 𝑛0 ∈ 𝐍 počínaje. Pak lim = +∞. 𝑏𝑛
Úloha: Rozmyslete znění obdobného tvrzení při 𝑎 < 0, resp. 𝑏𝑛 < 0. • Nechť platí 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 ≤ 𝑐𝑛 od jistého 𝑛0 ∈ 𝐍 počínaje, lim 𝑎𝑛 = lim 𝑐𝑛 = 𝑎. Pak rovněž lim 𝑏𝑛 = 𝑎. Poznámka: Tzv. „věta o sevřené posloupnosti“. Jejím důsledkem jsou další tvrzení o limitách.
Další tvrzení o limitách • Je-li posloupnost 𝑎𝑛 omezená, lim 𝑏𝑛 = 0, pak lim 𝑎𝑛 𝑏𝑛 = 0. Příklady:
sin 𝑛 lim 𝑛+5
=
arctg 𝑛 0, lim 2 𝑛
= 0.
• Jestliže existuje 𝑐 > 0 a 𝑛0 ∈ 𝐍 takové, že 𝑎𝑛 ≥ 𝑐 pro všechna 𝑛 ≥ 𝑛0 , lim 𝑏𝑛 = +∞, pak lim 𝑎𝑛 𝑏𝑛 = +∞. Úloha: Zformulujte obdobné tvrzení pro 𝑐 < 0, 𝑎𝑛 ≤ 𝑐, resp. lim 𝑏𝑛 = −∞. Příklady: lim 3 + cos 𝑛 ⋅ 𝑛2 + 1 = +∞. lim 𝑛(1
𝜋 + cos 𝑛 ) 2
neexistuje (proč??)
Některá doplňková tvrzení T1: Je-li posloupnost 𝑎𝑛 monotónní, pak má limitu. • Je-li 𝑎𝑛 neklesající, pak lim 𝑎𝑛 = sup 𝑎𝑛 . • Je-li 𝑎𝑛 nerostoucí, pak lim 𝑎𝑛 = inf 𝑎𝑛 .
T2: Nechť platí 𝑎𝑛 ≥ 𝐾 od jistého 𝑛0 ∈ 𝐍 počínaje, lim 𝑎𝑛 = 𝑎. Pak platí 𝑎 ≥ 𝐾. (Platí rovněž pro nerovnost ≤, neplatí pro ostrou nerovnost!)
Úloha: Lze toto tvrzení „obrátit“? Rozmyslete! T3: Jestliže platí lim 𝑎𝑛 = 𝑎, pak lim 𝑎𝑛 = 𝑎 .
Vybrané posloupnosti a jejich limity • aritmetická posloupnost: 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑛 − 1 𝑑; 𝑎1 , 𝑑 ∈ 𝐑 ⟹ lim 𝑎𝑛 závisí na diferenci d; • geometrická posloupnost: 𝑎𝑛 = 𝑎1 𝑞 𝑛−1 ; 𝑎1 , 𝑞 ∈ 𝐑 ⟹ lim 𝑎𝑛 závisí na kvocientu q; • posloupnost 𝑎𝑛 tvaru 𝑎𝑛 = ⟹ lim 𝑎𝑛 = 1;
𝑛
𝑛 1 𝑛 + ) 𝑛
• posloupnost 𝑎𝑛 tvaru 𝑎𝑛 = (1 ⟹ lim 𝑎𝑛 = e (základ přirozených logaritmů, e = 2,718 …); 𝑥 𝑛 + ) ,𝑥 𝑛
• posloupnost 𝑎𝑛 tvaru 𝑎𝑛 = (1 ∈𝐑 ⟹ lim 𝑎𝑛 = exp 𝑥 (hodnota exponenciální funkce).
