Investigasi Numerik Pengaruh Sudut Geser Terhadap Energi Elastisitas dan Pemukaan Menggunakan Adaptive Finite Element Method

IJCCS, Vol.x, No.x, July xxxx, pp. 1~5 ISSN: 1978-1520

Investigasi Numerik Pengaruh Sudut Geser Terhadap Energi Elastisitas dan Pemukaan Menggunakan Adaptive Finite Element Method Sayahdin Alfat*1, Suryawan Asfar2 1

2

Teknik Geofisika, Fakultas Ilmu dan Teknologi Kebumian, Universitas Halu Oleo, Kampus Hijau Bumi Tridharma Anduonohu, Jl. H.E.A. Mokodompit.

Teknik Pertambangan, Fakultas Ilmu dan Teknologi Kebumian, Universitas Halu Oleo, Kampus Hijau Bumi Tridharma Anduonohu, Jl. H.E.A. Mokodompit. e-mail: *[email protected], [email protected]

Abstrak Pemodelan pengaruh sudut geser terhadap energi elastisitas dan permukaan pada fenomena pertumbuhan retakan telah dilakukan dengan baik. Penelitian ini sudah menggunakan persamaan pertumbuhan retakan yang telah dikembangkan oleh Takaishi dan Kimura. Pada penelitian ini, investigasi pengaruh sudut geser sudah dilakukan untuk mengamati perubahan energi elastisitas dan energi permukaan. Disamping itu pula, pengamatan terhadap kelakuan pertumbuhan retakan diamati. Penelitian ini menggunakan Adaptive Finite Element Method dengan dan juga pendekatan Phase Field untuk melihat kelakuan retakan. Dalam memodelkan kasus ini, peneliti menggunakan besar sudut geser () yang bervariasi yakni

    , , dan . Sementara itu, asumsi yang digunakan untuk 2 3 4 6

memodelakan kasus ini yaitu; (1) material dianggap homogen dan isotropik, (2) gaya gravitasi diabaikan, (3) pada keadaan awal (t=0) tidak terjadi dispacement, serta (4) panjang retakan awal   x /  2



x



 0.5  /  1

  x /  2



x



 0.5  /  1

1 e 1 e 2 1 e 1 memenuhi persamaan: z 0 ( x) : e 2 . Hasil penelitian ini sudah mengungkapkan adanya pengaruh besar sudut terhadap perubahan energi elastisitas dan permukaan dari suatu material dan juga pola kelakukan retakan berbeda-beda setiap perubahan besar besar sudut geser (). Penelitian diharapkan dapat dikembangkan lebih luas lagi, seperti untuk kasus material yang sifatnya heterogen (inhomogeneous material) dan meninjau faktor-faktor penyebab retakan lainnya. Kata kunci—Adaptive Finite Element Method, Phase Field, Pertumbuhan Retakan, Energi Elastisitas, Energi Pemukaan,

Abstract Modeling effect of shear angel to elasticity and surface energy in crack propagation phenomena has been done well. This research used the crack propagation model that is developed by Takaishi and Kimura. In this research, investigation effect of shear angel has been done to observe elasticity energy and surface energy. Besides that, behavior of crack propagation is observed. Adaptive Finite Element Method and Phase Field approach were used to observe those. In this modeling, shear angel was varied such as

    , , , and . Asumptions in the modeling are (1) 2 3 4 6

material is homogen and isotropic, (2) there is not gravitational force, (3) displacement is zero at t = 0, and also (4) length of crack satisfied z 0 ( x) : e

  x2 /  2

1  e 



x1  0.5  /  1

Received June 1st,2012; Revised June 25th, 2012; Accepted July 10th, 2012



 e  x2 /   1  e  x1  0.5  /  2



1

.

 ISSN: 1978-1520 The results of this research have ilustrated that there was effect of shear angel on changing elasticity and surface energy and than different of cracking behavior in the material. At the future, this reasearch will be developed again, such as; material is assumed as inhomogeneous material and the other factors of crack issolved. Keywords—Adaptive Finite Element Method, Phase Field, Crack Propagation, Elasticity Energy, Surface Energy

1. PENDAHULUAN

Secara teknis pengamatan secara eksperimen atau dengan kata lain uji laboratorium enomena pertumbuhan retakan (crack memiliki keterbatasan yakni alat uji yang dibutuhkan harus presisi dan secara ekonomi propagation) merupakan fenomena alam membutuhkan biaya yang cukup mahal [9]. yang sering terjadi. Memahami fenomena ini Sedangkan pengujian/investigas melalui sangatlah penting karena dapat meminimalisir metode numerik dianggap sebagai alternative akibat yang ditumbulkan dari kejadian ini. karena dari sisi ekonomi tidak melibatkan Investigasi mengenai laju pertumbuhan banyak biaya dan dari segi hasil dianggap bisa retakan (crack propagation) pada suatu merempresentasi fenomena fisis yang hendak material merupakan salah satu riset utama diteliti [12]. dalam mekanika struktur [1, 2], mekanika Adaptive finite element method (AFEM) batuan [3], dan geodinamika [3, 4]. merupakan salah satu varians dari metode Pengamatan laju pertumbuhan retakan pada elemen hingga (finite element method) yang suatu material tidak hanya diamati melalui merupakan salah satu metode numerik [10, pertambahan panjang retakan (crack 11]. Varian ini sangat bagus karena dari hasil evolution) pada setiap pertambahan waktu, yang diperoleh ketelitiannya sangat baik, namun dapat dilihat juga melalui perubahan secara otomatis mendeteksi arah retakan dan energi elastisitas dan energi permukaannya. kecepatan pertumbuhan retakan [13], mudah Menurut Griffith [5], pertambahan untuk didiskritisasi dan waktu komputasi yang pertumbuhan retakan memiliki hubungan dibutuhkan lebih cepat [14]. dengan perubahan energi permukaannya Pendekatan phase field merupakan suatu disamping itu pula dapat pula dilihat atau bentuk pendekatan matematika yang sangat diamati dengan cara lain yakni dengan melihat bagus untuk memvisualisasikan suatu fenomena seperti pertumbuhan kristal [15], perubahan energi elastisitasnya. sistem multiseluler [16], aliran fluida tak Salah satu faktor yang menyebabkan temampatkan (incompressible fluids) [17], dan terjadinya peningkatan laju pertumbuhan juga pertumbuhan retakan (crack propagation) retakan (crack propagation) selain faktor [14,10]. Pendekanan ini mempunyai dua nilai bahan material juga karena pengaruh besar yang berbeda yaitu; bernilai 1 ( z  1 ) maka sudut geser yang diberikan ke suatu bahan retak dan bernilai 0 ( z  0 ) jika tidak retak. material. Berdasarkan hal tersebut di atas, maka pada riset ini bertujuan untuk menginvestigasi pengaruh variasi besar sudut terhadap perubahan energi elastisitas dan permukaan. Selain itu juga, riset melihat kelakuan/pola retakan (behavior of crack) dengan menggunakan pendekatan phase field jika diberikan besar sudut geser yang bervariasi. Gambar 1 Fenomena pertumbuhan retakan Secara umum penelitian ini didasarkan oleh pada kapal [6] (kiri) dan bangunan [7] (kanan) Takaishi-Kimura model [10]. Tulisan ini terdiri atas 8 bagian. Bagian Pengamatan pertumbuhan retakan (crack 1 menjelaskan seberapa penting penelitian ini propagation) terbagi atas 2 metode besar dan menggambarkan penelitian-penelitian yakni pengamatan secara eksperimen [8, 9] yang sudah dilakukan sebelumnya. Metode dan melalui pemodelan matematik [3,4,10]. phase field yang digunakan pada penelitian ini IJCCS Vol. x, No. x, July 201x : first_page – end_page

F

 akan dijelaskan pada bagian 2, sedangkan pada bagian 3 menjelaskan model pertumbuhan retakan (crack propagation) yang sudah dibangun oleh Takaishi dan Kimura [10] yang didasarkan oleh Francfort-Marigo [18] dan regulasi Ambrosio-Tortorelli [19]. Gambaran umum dan persamaan yang digunakan akan dijelaskan pada bagian 4. Untuk bagian 5 secara spesifik menjelaskan adaptive finite element method yang akan diaplikasikan pada persamaan (1) – (2) serta juga aplikasi software yang digunakan. Bagian 6 akan menampilkan hasil perhitungan dan menginterpretasinya. Sedangkan bagian 7, dan 8 secara berturut-turut menyampaikan kesimpulan serta saran. 2. MODEL PERTUMBUHAN RETAKAN Secara umum proses pertumbuhan retakan (crack propagation) dapat dikategorikan menjadi 3 type mode (lihat gambar 3) yakni; (a) mode I atau mode tetakan terbuka (opening mode); (b) mode II atau mode geser (sliding mode); dan (c) mode III atau mode sobekan (tearing mode). Disamping ketiga mode tersebut, biasanya ada mode yang disebut sebagai mode campuran (mixed mode), seperti mode I + II [20]. Retakan dapat dijelaskan dengan persamaan diferensial parsial orde 2. Ada banyak metode numerik untuk menyelesaikan atau memprediksi pertumbuhan retakan. Menurut Francfort dan Marigo, evolusi retakan (crack evolution) dinyatakan dalam perubahan energi elastisitas [11]. Berdasarkan hal tersebut maka Takaishi dan Masato dengan mudah menyatakan dalam reaction-diffusion system [10].

ISSN: 1978-1520

 div u   f x 

x1 , x2  

(1)

Maka energi elastisitasnya dapat didefinisikan ke dalam bentuk:

E u  

1  u : eu dx   f x   u x dx 2  

(2)

Dimana e[u] := (eij[u](x)) memenuhi:

 u j 1  u  eij u x    i x   x   2  x j xi  i, j  1,2

(3)

Jika tensor elastis cijkl(x) adalah simetris, maka cijkl(x)= cklij (x) = cjikl (x) dan stress tensor didefinisikan:

 ij u x   cijkl x ekl u x 

(4)

Untuk memvisualisasikan pertumbuhan retakan, kita memperkenalkan fungsi z(x) untuk x   sebagai variabel kerusakan. Asumsi bahwa z x, t   0,1 , jika z x   1 maka retak dan z x   0 maka tidak retak. Pada riset ini. fungsi z(x) disebut sebagai phase field. Dari asumsi ini tersebut, stress tensor dapat didefinisikan:

~u  : 1  z 2  u 

(5)

Dari persamaan ini, diperoleh modifikasi dari energi elastisitas dan juga energi permukaan pada suatu retakan: 1 2 E1 (u , z )   1  z   u  : eu dx   2 (6)  f x, t  u x dx 

E2 ( z )  (a)

(b)

(c)

Gambar 3 Ilustrasi model retakan pada suatu material (a) mode I, (b) mode II, dan (c) mode III [21] Jika persamaan kesetimbangan untuk linear elastisitas untuk suatu material 2 dimensi adalah:

1 1  2   x   z  z 2 dx  2   

(7)

Menurut Ambrosio dan Tortorelli, nilai   0 namun bernilai sangat kecil. Berdasarkan kedua bentuk energi tersebut maka persamaan pertumbuhan retakan (crack propagation) dapat diungkapkan dalam bentuk reaction-diffusion sistem[10]: u 2 1  div 1  z   u   f x, t  (8) t

IJCCS Vol. x, No. x, July 201x : first_page – end_page





x

z   x     div x z   z  t    u  : eu 1  z  x   (9) Untuk menghindari suatu sistem terbalikan atau suatu sistem kembali ke keadaan semula maka pada persamaan (2) dibuat   pada sisi kanan persamaan ini, dimana a   maxa,0 [10]. 3. METODE MATEMATIKA

2

Secara umum pemodelan ini bertujuan untuk melihat perubahan energi, dalam hal ini energi elastisitas dan energi permukaan. Di saat yang sama juga melihat pola atau kelakuan pertumbuhan retakan terhadap variasi besar sudut geser. Pemodelan ini menggunakan sistem koordinat kartesian 2D, dimana domain (Ω) yang digunakan berbentuk persegi empat yang berukuran (-1,1) x (-1,1) seperti yang terlihat pada gambar di bawah ini (Gambar 4).

c. Pada keadaan awal (t=0) tidak terjadi  dispacement atau u  0 . d. Terdapat retakan awal pada material yang memenuhi persamaan:



z0 ( x) : e  x2 /   1  e  x1 0.5 /  2



e  x2 /   1  e 2



1





(10)

 x1 0.5  /  1

3.2

Persamaan Matematika Berdasarkan uraian yang sudah dijelaskan pada bagian Model Pertumbuhan Retakan yang telah dimodelkan oleh Takaishi dan Kimura [10], maka berikut ini adalah persamaan yang digunakan:





u 2 x  div 1 z   u  t z   x  2    div x z   z  t  

1

 u  : eu 1  z  x  

(11)

(12)

Dimana syarat atau kondisi awal (initial condition) yang digunakan didefinisikan sebagai berikut:

u x,0  u 0 x 

x

(13)

z ( x,0)  z 0 x   0,1 x  

(14)

Sementara itu, adapun untuk syarat batas (boundary condition) yang digunakan pada pemodelan ini diatur sehingga:

Gambar 4 Ilustrasi domain yang digunakan, besar gaya geser yang diberikan

3.1

Asumsi Model Ada beberapa asumsi yang digunakan dalam melakukan pemodelan ini, sehingga diperoleh hasil yang mendekati dengan kondisi yang sebenarnya dan juga memudahkan dalam proses perhitungan secara komputasi. Adapun asumsi yang digunakan yakni sebagai berikut: a. Material bersifat homogen dan isotropik, b. Material tidak dipengaruhi oleh gaya gravitasi atau f x, t   0 ,

u  g  x, t 

x  D

(14)

 u n  0

x  N

(15)

z 0 n

x

(16)

Dengan variabel-variabel seperti u ,  [u ] , e[u ] , f x, t  , z , dan n didefinisikan sebagai displacement, tensor stress, tensor strain, gaya eksternal, phase field, dan normal vektor. Untuk u 0 ( x) dan z 0 ( x) dianggap sebagai displacement awal dan phase field awal pada saat t=0.

Title of manuscript is short and clear, implies research results (First Author)

 4. METODE NUMERIK Untuk menyelesaikan persamaan (1) dan (2), kita menggunakan adaptive finite element method dan untuk setiap elemenelemenya diatur sebagai fungsi P2 (continuous piecewise quadratic). Perhitungan ini menggunakan bantuan FreeFEM++ [22]. Solusi numerik (uk,zk) dari persamaan (1) dan (2) diperoleh dengan skema semi implisit (semi-implicit scheme) sehinga diperoleh persamaan sebagai berikut:



  

 2 u k  u k 1    div 1  z k 1  u k  1  ~ k  k 1  z  z   div   x ~ z k   2     x  ~ k z   u k 1 : e u k 1 1  ~ zk    k  z : max ~ z k , z k 1





   







Nilai uk dan zk merupakan perkiraan dari u dan z pada t  k , dengan k merupakan bilangan bulat positif k  0,1,2,3, dan

ISSN: 1978-1520 Penelitian ini menggunakan modulus Young (E) dan Poisson rasio (  ) secara berturut-turut sebesar 50 Gpa dan 0.29. Sehingga dengan menggunakan persamaan (17) – (18) diperoleh konstanta Lame sebesar  = 26.76 dan  = 19.38. Adapun komputer yang digunakan dalam pemodelan ini yaitu Mac mini 2.3GHz, quad-core Intel Core i7, ram 18Gb.

5. HASIL DAN PEMBAHASAN Bagian ini merupakan bagian yang paling penting untuk ditampilkan karena merupakan hasil numerik yang telah dilakukan dan sesuai dengan asumsi-asumsi serta metode numerik yang sudah dibangun. 5.1

Energi Elastisitas dan Permukaan

Perlakukan dengan menggunakan variasi besar sudut sudah dilakukan. Dari hasil grafik yang ditampilkan pada gambar 5 dan 6 terlihat adanya perbedaan energi elastisitas maupun energi permukaan jika dilakukan variasi besar sudut geser.

zk pertambahan waktu   0 . Untuk nilai ~ diatur dalam rentang 0,1 . Pemodelan ini menggunakan variasi sudut geser () yaitu

 , 2

   , dan , dimana di setiap variasi ini 3 4 6 ukuran mesh minimum adalah 2  10 3 dan maksimum jumlah titik simpul (number of vertices) tidak lebih dari 20000. Waktu simulasi yang digunakan yaitu tmax = 4 dengan interval waktu dianggap sangat kecil   0.001 [10]. Disamping itu pula, nilai-nilai beberapa variabel yang ada di dalam persamaan dinyatakan sebagai berikut;   10 3 , 1  0 , dan  2  10 3 . Sedangkan

nilai fracture toughness bernilai  x   0.5 , karena material bersifat isotropik.

E  21    E  1   1  2 

Gambar 5 Grafik perubahan energi elastisitas suatu material dengan variasi besar sudut geser () Peningkatan energi elastisitas terbesar terjadi pada penggunaan sudut geser yang sangat kecil. Untuk besar sudut geser yang lain seperti  =

(17) (18)

   , , dan , besar energi 2 3 4

elastisitasnya terlihat memiliki kemiripan, namun perubahan energi elastisitasnya berbeda-beda. Pada besar sudut geser  =

 2

perubahan energi elastisitasnya sangat cepat, IJCCS Vol. x, No. x, July 201x : first_page – end_page

disusul oleh  = =

 . 4

 dan selanjutnya adalah  3

material sudah rusak dan sudah terbagi menjadi 2 bagian. 5.2

Jika dilihat dari gambar 5, secara keseluruhan trend grafiknya hampir sama. Dimana pada waktu tertentu energi elastistasnya akan menurun secara drastis. Perubahan energi elastisitas ini disebabkan pada material sudah mengalami kerusakan, ini ditandai dengan munculnya retakan baru pada material. Trend grafik ini (gambar 5) juga memperlihatkan adanya pola, dimana di saat tertentu energi elastisitasnya seimbang. Fenomena ini sebenarnya disebabkan karena material yang digunakan sudah terbagi menjadi 2 bagian. Sama halnya dengan energi elastisitas, energi permukaan (surface energy) juga mengalami perubahan dalam hal ini terjadi peningkatan, namun di waktu tertentu mengalami keadaan setimbang. Jika dilihat pada gambar 6, perubahan energi elastisitas

Pola Pertumbuhan Retakan

Pola pertumbuhan retakan (crack propagation) memiliki kelakuan atau pola yang berbeda-beda. Hal ini terlihat untuk kasus variasi besar sudut geser yang diberikan pada suatu material elastis 2 dimensi pada penelitian ini. Jika pada bagian sebelumnya (Energi Elastisitas dan Permukaan) menjelaskan pengaruh besar sudut geser yang diberikan pada D (Dirichlet boundary) terhadap energi elastisitas dan energi permukaan, maka pada bagian ini akan menjelaskan pengaruhnya terhadap pola atau kelakuan pertumbuhan retakan.

 , 2  sedangkan pada besar sudut geser  = 6 tercepat terjadi pada besar sudut geser  =

terjadi sangat lambat.

Gambar 6 Grafik perubahan energi permukaan suatu material dengan variasi besar sudut geser () Jika diperhatikan pada gambar 6, keempat variasi besar sudut tersebut memiliki kecenderungan yang sama, dimana pada waktu tertentu grafik energinya mulai stabil. Sama halnya dengan fenomena untuk energi elastisitas, fenomena ini disebabkan karena

Gambar 7 Pola pertumbuhan retakan (crack propagation) pada waktu t = 0.4, 1.2, 2, 3.2, dan 4 dengan menggunakan besar sudut geser () = . (mesh (kiri), z (tengah), u (kanan)).

Title of manuscript is short and clear, implies research results (First Author)



ISSN: 1978-1520 Pada perlakuan dengan menggunakan

Pada perlakuan dengan menggunakan besar sudut  =

    , , dan , terlihat 2 3 4 6

bahwa laju pertumbuhan retakan yang paling dominan terjadi pada besar sudut yang paling

  besar yakni  = dan pada  = 2 6

laju

pertumbuhan retakannya sangat pelan atau lambat. Pada besar sudut geser  =

 , terlihat 6

bahwa munculnya retakan baru setelah waktu t = 3. Antara selang waktu (t) = 0 – 3 tidak terjadi retakan namun pada selang waktu ini besar energi elastisitasnya meningkat. Dari sisi pola atau kelakuan retakan terlihat bahwa sudut retakan yang ditimbukan pada suatu material sangat besar, hal ini diakibatkan oleh besar sudut geser yang sangat kecil.

besar sudut  =

 , retakan baru yang terjadi 4

pada material terjadi setelah t = 2. Namun jika dibandingkan dengan besar sudut geser  =

 6

laju pertumbuhan retakannya lebih cepat dan pola retakannya pun berbeda. Jika dilihat pada gambar 8, besar sudut retakan yang dihasilkan relatif cukup kecil jika dibandingkan dengan yang menggunakan  =

 . 6

Gambar 9 Pola pertumbuhan retakan (crack propagation) pada waktu t = 0.4, 1.2, 2, 3.2, dan 4 dengan menggunakan besar sudut geser () = . (mesh (kiri), z (tengah), u (kanan)). Gambar 8 Pola pertumbuhan retakan (crack propagation) pada waktu t = 0.4, 1.2, 2, 3.2, dan 4 dengan menggunakan besar sudut geser () = . (mesh (kiri), z (tengah), u (kanan)).

Investigasi yang paling menarik adalah ketika material diberikan gaya dengan besar sudut geser () =  2 . Pada gambar 10, pola pertumbuhan retakan berbeda dengan pola retakan yang lain. Pola retakan dengan besar sudut () =  2 membentuk garis lurus

IJCCS Vol. x, No. x, July 201x : first_page – end_page

horizontal dan perkembangannya sangat cepat. Retakan baru sudah terjadi pada waktu t = 1.2 dan pada t  2.4 material sudah terbagi menjadi dua bagian. Hal menarik yang terjadi juga pada perlakuan ini adalah pada ujung retakan terjadi percabangan, walaupun percabangan yang terjadi sangat kecil. Pada pemodelan variasi besar sudut geser, secara tidak langsung kita memodelkan 2 jenis mode retakan. Pertama, mode I atau mode terbuka, mode ini terjadi pada besar sudut () =  2 . Sehingga hasil ini secara kualitatif konsisten dengan hasil eksperimen. Kedua, mode I + II atau mode campuran, mode ini terjadi pada besar sudut geser  =

 , 3

  dan . Jika dibandingkan dengan hasil 4 6 eksperimen sama dengan hasil numerik.

Pada seluruh visualisasi yang sudah diberikan hampir seluruh retakan (untuk seluruh variasi besar sudut) terlihat relatif cukup teratur. Hal ini disebabkan karena material yang digunakan menggunakan asumsi homogen dan isotropik. Dan juga disebabkan karena gaya geser yang digunakan sangat kecil dalam rentang waktu cukup kecil 3 t  1  10 . Jika gaya yang digunakan cukup besar dan interval waktunya sangat besar maka hampir di seluruh permukaan material akan terjadi retakan.





6. KESIMPULAN Secara umum, metode phase field dan adaptive finite element method telah berhasil menyelidiki pengaruh besar sudut geser terhadap energi elastisitas dan energi permukaan serta pola kelakuan retakan suatu material. Berdasarkan hasil dan pembahasan di point sebelumnya, maka ada beberapa hal yang dapat disimpulkan yakni sebagai berikut: 1. Semakin besar sudut geser () yang digunakan maka energi elastisitas suatu bahan akan semakin cepat menurun. Adapun untuk energi permukaan akan meningkat dengan cepat pada sudut geser () besar dan melambat pada sudut geser () kecil. 2. Semakin besar sudut geser () maka akan mempercepat laju pertumbuhan retakan (crack propagation). Di saat yang sama pola kelakukan retakan yang dihasilkan untuk setiap variasi sudut geser () berbeda-beda. 7. SARAN

Gambar 10 Pola pertumbuhan retakan (crack propagation) pada waktu t = 0.4, 1.2, 2, 3.2, dan 4 dengan menggunakan besar sudut geser () = . (mesh (kiri), z (tengah), u (kanan)).

Fenomena retakan tidak hanya disebabkan karena faktor tekanan, melainkan oleh faktor temperatur, kelembapan, difusi gas (hydrogen embrietlement), tekanan fluida dan reaksi kimia. Sehingga kedepannya sangat menarik jika meninjau faktor-faktor tersebut. Disamping itu pula, sangat baik jika tinjauannya adalah material yang sifatnya sifatnya heterogen (inhomogeneous material). Salah satu yang menarik dari penelitian ini adalah menggunakan metode numerik dalam hal ini adaptive finite element method. Metode ini sangat bagus karena akan diperoleh

Title of manuscript is short and clear, implies research results (First Author)

 hasil yang sangat akurat, namun disisi lain kekurangan metode ini yakni dibutuhkan komputer dengan spesifikasi tinggi yang secara ekonomi memerlukan biaya yang cukup mahal. Salah satu alternatif yang dapat dicoba yakni dengan metode pararelisasi.

ISSN: 1978-1520

[8]

UCAPAN TERIMA KASIH Penulis mengucapkan terima kasih kepada Professor Masato Kimura yang telah memperkenalkan mengenai metode elemen hingga (MEH) yang diaplikasikan dalam penyelesain kasus-kasus analisis struktur dan geodinamika. Disamping itu juga, penulis berterima kasih kepada Professor Takesi Takaishi yang secara tidak langsung mengajarkan penulis tentang bahasa pemograman.

[9]

[10]

DAFTAR PUSTAKA [1] B. N. J. Persson, dan E. A. Brener . 2005, Crack propagation in viscoelastic solids, Physical Review, ed. 71. [2] R. O. Ritchie. 1999, Mechanisms of fatigue-crack propagation in ductile and brittle solids, International Journal of Fracture, vol 100, hal 55-83. [3] Luis Arnaldo. M. Comones, Euripedes d, Amaral Vargas Jr., Rodrigo Peluci de Figueredo, dan Raquel Quadros V. 2013, Application of the discrete element method for modeling of rock crack propagation and coalescence in the steppath failure mechanism, Engineering Geology, vol 153, hal 80-94. [4] Griffiths, D. V. dan Lane, P. A. 1999, Slope stability analysis by finite elements, Geotechnique, vol 49, hal 387403. [5] Griffith, A, 1920, The phenomena of rupture and flow in solids, Phil. Trans. Roy. Soc. London CCXII-A, hal 163-198. [6] Murray, Charles, 2015, Engineering Disasters: SS Schenectady, a Lesson in Brittle Fracture, https://www.designnews.com/materialsassembly/engineering-disasters-ssschenectady-lesson-brittlefracture/173702193545746, diakses tanggal 20 Maret 2017. [7] Herald, Chronicle, 2003, Strong Earthquake in Taiwan kills 1, injures at

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

IJCCS Vol. x, No. x, July 201x : first_page – end_page

least 19, http://thechronicleherald.ca/world/11186 82-strong-earthquake-in-taiwan-kills-1injures-at-least-19, diakses tanggal 20 Maret 2017. Lucjan Witek, 2009, Experimental crack propagation analysis of the compressor blades working in high cycle fatigue condition, Fatigue of Aircracft Strucures, vol. 1. Poland, hal 195-204. Hirokazu Tanaka, Yuuichi Aoki, dan Shigeharu Yamamoto, 1997, The mechanism of solder cracking, ESPEC Technology, no. 3. Japan, hal 25-29. M. Kimura, dan T. Takaishi, 2004, A phase field approach to mathematical modeling of crack propagation. A mathematical approach to research problems of science and technology, Theoretical basis and developments in mathematical modeling, The Institute of Mathematics for Industry (IMI), Kyushu University. M. Kimura, H. Komura, M. Mimura, H. Miyoshi, T. Takaishi, dan D. Ueyama. Quantitative study of adaptive mesh FEM with localization index of pattern. Proc. Of the Czech-Japanese Seminar in Applied Mathematics 2006, COE lecture note vol. 6, Faculty of Mathematics, Kyushu University, 2007. T. Metivet, V. Chabannes, V. Doyeus, M. Ismail, dan C. Prud’homme, 2016, 3D simulation of two-fluid flows using a finit element/level-set method. Application to two drop benchmarck, HAL Archivesouvertes.fr. C.A. Duarte, O.N. Hamzeh, T.J. Liska, W.W. Tworzydlo, 2001, A generalized finite element method for simulation of three dimensional dynamic crack propagation, Compt. Methods Appl. Enggineering, vol. 190, hal 2227-2262. M. Kimura, dan T. Takaishi, 2009, Phase field model for mode III crack growth in two dimensional elasticity, Kybernetika, vol 45, no. 4, hal 605-614. Japan. Ryo Kobayashi, 1993, Modeling and numerical simulation of dendritic crystal growth, Physica D, vol 63, hal 410-423, Japan. Makiko Nonomura, 2012, Study on multicellular systems using a phase field model, goo.gl/gRHmLz.

[17] Chun Liu dan Jie Shem, 20103, A phase field model for the mixture of two incompressible fluids and its approximation by a fourier-spectral method, Physica D, vol. 179, hal 211228. [18] G.A. Francfort dan J.J. Marigo, 1998, Revisiting brittle fracture as an energy minimization problem, Journal Mech. Phys. Solids, vol 46, hal 1319-1342. [19] L. Ambrosio dan V.M. Tortorelli, 1992, On the approximation of free discontinuity problems, Boll. Un. Mat. Ital Journal Mech. Phys. Solids, vol 46, hal 1319-1342. [20] Alfat, Sayahdin, 2016, A phase field model of crack propagation in thermoelasticity, Tesis, Program S2 Computational Mathematics, Kanazawa University, Japan. [21] M. Patricio dan Robert M.M. Mattheij., Crack Propagation Analysis, Eindhoven University of Technology, Belanda. [22] Hecht, F., 2016, FreeFEM++, Third Edition, Version 3.51, Universite Pierre et Marie Curie, Paris.

Title of manuscript is short and clear, implies research results (First Author)