Rektor Sianturi, Interpretasi Kombinatorial Bilangan… Interpretasi Kombinatorial Bilangan Euler
Rektor Sianturi1
Abstrak Kombinatorial bilangan Euler ialah suatu proses yang menghitung banyaknya alternatif permutasi dari himpunan bilangan dengan jumlah genap. Interpretasi kombinatorial bilangan Euler membutuhkan pemahaman dasar mengenai penurunan (descent) dan kenaikan (ascent) dalam permutasi. Beberapa artikel dan buku membahas tentang bilangan Euler, kombinatorial bilangan Euler, barisan bilangan Euler, bentuk umum bilangan Euler dengan berbagai metode. Dalam penelitian ini akan membahas lebih lanjut bagaimana bentuk umum interpretasi kombinatorial bilangan Euler yang didefinisikan pada progres aritmatika umum {a, a + d, a + 2d, …} kemudian membentuk algoritmanya. Kata kunci : Bilangan Euler, Kombinatorial, Permutasi.
1
Rektor Sianturi, Mahasiswa
[email protected]
ISSN 2086 – 1397
S2
Matematika,
FMIPA,
Universitas
Sumatera
Utara,
Email:
Volume VI Nomor 1. Januari – Juni 2015 | 102
Rektor Sianturi, Interpretasi Kombinatorial Bilangan…
pi+1. Descent menotasikan posisi p bukan entri
Pendahuluan Kombinatorial (Combinatoric) adalah cabang
matematika
pengaturan
yang
objek-objek
mempelajari tanpa
dari p (Bona, 2004). Kombinatorial Bilangan Euler
harus
Sejak tahun 1950an, ahli matematika
mengenumerasi terlebih dahulu. Solusi yang
telah
ingin diperoleh adalah jumlah cara pengaturan
bilangan Euler kuno dan q-bilangan Euler
objek-objek tertentu di dalam himpunannya.
secara kombinatorial. Kombinatorial bilangan
Pengaturan yang dimaksud adalah bagaimana
Euler dapat dipahami melalui tahapan definisi
objek-objek
kenaikan (ascent), cara perhitungan kenaikan
berbagai
dapat
dikombinasikan
susunan
atau
urutan
dalam yang
berhasil
menginterpretasi
bilangan-
(ascent) seperti pada Definisi 1 dan 2.
menghasilkan output yang berbeda. Konsep
Definisi 1. Diberikan suatu bilangan bulat
kombinatorial
positif n, dan n didefinisikan sebagai
yang
dugunakan
dalam
penelitian ini salah satunya adalah permutasi.
himpunan semua permutasi dari [n] = {1, 2, 3,
Permutasi adalah salah satu bentuk
..., n}. Pada suatu permutasi = p1p2p3....pn
umum dari kombinatorial. Permutasi r dari n
n, i disebut sebuah kenaikan (ascent) dari
elemen adalah jumlah kemungkinan urutan r
jika p1 < pi+1; i disebut kelebihan yang lemah
buah elemen yang dipilih dari n buah elemen,
dari jika p1 ≥ i.
dengan r ≤ n, yang dalam hal ini, pada setiap
Perlu diketahui bahwa suatu bilangan
kemungkinan urutan tidak elemen yang sama.
Euler kuno An,k
Selain itu, terdapat pula bentuk permutasi yang
permutasi n yang mempunyai k buah
lebih khusus yaitu kombinasi. Kombinasi r elemen dari n elemen, atau C (n, r), adalah jumlah pemilihan yang tidak terurut r elemen yang diambil dari n buah elemen. Dalam
kaitannya
bilangan
Euler
dengan muncul
kombinatorik, khusus
dari himpunan bilangan dengan jumlah genap. Interpretasi
kombinatorial
bilangan
kelebihan yang lemah (Riordan, 1958) dan An,k memenuhi pengulangan : A n , k kA n 1 , k n 1 k A n 1 , k 1 (1 k n )
(1) Selain rumus rekursif pada persamaan
ketika
menghitung banyaknya alternative permutasi
Euler
dapat diperoleh setelah memahami pengertian
merupakan banyaknya
(1) An,k dapat dihitung secara langsung melalui rumus analitik berikut (Bona, 2004) : k 1
An ,k
i0
n 1 i n (1 k n ) ( 1 ) ( k i ) i
(2)
permutasi.
Dalam setiap permutasi , difinisikan jumlah
Misalkan p = p1, p2, p3,….., pn adalah sebuah
penurunan (descent) atau kenaikan (ascent)
permutasi,
sebagai :
penurunan
(descent)
i
dikatakan
dalam
suatu
penurunan
(descent) dari pihak p jika pi >pi+1, yang sama juga berlaku i dikatakan naik (ascent) jika pi <
ISSN 2086 – 1397
Definisi 2. Diberikan suatu permutasi = p1p2p3...pn n, definisikan fungsi:
Volume VI Nomor 1. Januari – Juni 2015 | 103
Rektor Sianturi, Interpretasi Kombinatorial Bilangan…
maj
(b) Cycle berada dalam urutan naik dari (3)
j,
elemen terbesarnya
p j p j 1
A(n, k, i) = ≠ {|ma j = i & memiliki k kenaikan (ascent)} Sejak tahun 1950an, Carlitz (1954, 1975) telah membentuk generalisasi hasil
Penjelasan lengkapnya, jika diberikan permutasi ditulis dalam suatu bentuk cycle representasi standar, definisikan fungsi f sebagai f() menjadi permutasi yang diperoleh
penelitian Euler ke-q barisan {1, q, q2, q3, ...}.
dari melalui penghapusan tanda kurung.
berdasarkan definisi Carlitz, q-bilangan Euler
Kemudian f dikenal sebagai fungsi bijektif
An,k (q) diberikan sebagai:
fundamental dari n ke dirinya sendiri (Bona,
k ( m k 1)
A n ,k ( q ) q
( m k 1 )( m k ) / 2
a (n, n k , i)q
2
(4)
2004). Selain itu, invers pemetaan f-1 dari fungsi fundamental f juga dikenal dalam
i0
Dimana fungsi a(n, k, i) didefinisikan dalam
ilustrasi hubungan antara kenaikan (ascent)
Definisi 2.
dan kelebihan lemahnya (Bona, 2004).
Interpretasi Kombinatorial Bilangan Euler
Proposisi 1. Fungsi f-1 memberikan bijeksi
Umum
antara himpunan permutasi pada [n] k Konsep-konsep dan sifat-sifat yang
digunakan
untuk
menginterpretasikan
kenaikan dan himpunan Ln,
k+1
(Xiong et al.,
2014).
kombinatorial bilangan Euler adalah sebagai
Contoh :
berikut :
Representasi standard permutasi = 5243716 adalah
adalah (2)(43)(7615) 7 dan f() =
himpunan n permutasi dengan k kelebihan
2437615; Q7() = 5; = 5243716 mempunyai
yang lemah. Selanjutnya didefinisikan |Ln,k| =
3
An,k (yakni banyaknya n permutasi dengan k
(5243)(716) = 6453271 W7,4 mempunyai 3
Definisi 3. definisikan bahwa Ln,
k
kelebihan yang lemah sama dengan bilangan Euler
kuno).
Kemudian,
pada
sebuah
permutasi = p1p2p3...pn, misalkan Qn () = 1 dimana Pi=n.
buah
kenaikan,
sementara
f-1()
=
+ 1 = 4 kelebihan yang lemah karena p1 = 6 > 1, p2 = 4 > 2, p3 = 5 > 3, dan p6 = 7 > 6. Penjelasan
contoh:
sesuai
dengan
penjelasan dalam Stanley (1996), bahwa suatu
Sebuah permutasi n dapat ditulis
permutasi dapat dituliskan dalam bentuk cycle
sebagai sebaris = p1p2p3...pn, atau dapat
standar sehingga = 5243716 mempunyai
juga ditulis sebagai gabungan yang saling
salah satu permutasi (2)(43)(7615) (berbentuk
lepas dari cycle-cycle yang berbeda. Jika
cycle), masing-masing cycle bermula dari
ditulis dalam suatu bentuk cycle,
elemen
maka
terbesarnya,
perhatikan
f-1()
=
selanjutnya dapat menggunakan representasi
(5243)(716)(cycle) = 6453271 (tanda kurung
standar melalui penulisan. (Stanley, 1996):
dihapus). Permutasi 6453271 mempunyai 4
(a) Setiap cycle terbesarnya ISSN 2086 – 1397
bermula dari elemen
penurunan (descent) yaitu 6 ke 4, 5 ke 3, 3 ke 2, dan 7 ke 1. Selain itu, memiliki 4 kelebihan Volume VI Nomor 1. Januari – Juni 2015 | 104
Rektor Sianturi, Interpretasi Kombinatorial Bilangan… yang lemah karena p1 = 6> 1, p2 = 4 > 2, p3 =
n
j0
5 > 3, dan p6 = 7 > 6. Sekarang andaikan akan dibentuk
membagi n bilangan bulat positif tersebut ke dalam
k
i0
( 1 ) [( k 1 i ) i
n
barisan yang terdiri dari k bar vertikal dan n bilangan bulat positif. Kemudian k bar vertikal
C
n ,k
j0
semua bilangan yang didaftar dalam urutan menurun, perhatikan Definisi 4 (Bona, 2004).
n 1 n n j x (d a ) ( k i ) a i j
n n j ( j ) ( d a ) a j
j
j
Dimana k
C n ,k ( j )
( 1) ( k 1 i ) i
n j
i0
k + 1 bagian. Dalam setiap bagian,
tidak terdapat satupun bolangan atau terdapat
n j
n 1 j , (0 j n ) ( k i ) i
(7) Berikut
penjelasan
tentang
interpretasi
kombinatorial untuk koefisien Cn,k(j) (0 ≤ j ≤ n) Andaikan bilangan Euler An,k(a,d)
Definisi 4. Suatu bar disebut asing jika : (a) Segera diikuti oleh bar yang lain, atau (b) Setiap bagian sisa baik kosong atau
ditulis seperti pada persamaan (7), maka Cn,k(j) = f { Ln,k+1,( j< Qn () ≤ n)} + f{
berisi bilangan bulat berada dalam
Ln, k, (1 < Qn() ≤ j)}
urutan menurun jika bar ini dihapus.
Persamaan (8) dapat dibuktikan untuk dua
(8)
Contoh: Misalkan n = 7, k = 4 maka
nilai j = 0 dan j = n adalah benar sehingga
susunannya sebagai berikut :
diperoleh : 32|1||7654|,
bar pertama, kedua dan keempat saling asing. Sehingga
diperoleh
interpretasi
kombinatorial bilangan Euler An, k(a, d) dengan catatan pertama bahwa : k 1
An ,k
i0
n 1 i n ( 1 ) [( k 1 i ) d a ] i
Jika
j
k
1 k i
i0
Jika
=
j
k
=
1 k i
i0
1 i
i
n
n
0,
Cn,k
n i 1
A n ,k 1 ;
n,
Cn,k
n i 1
(0)
=
(n)
=
An ,k
Oleh karena itu, persamaan (8) benar untuk j = 0, dan j = n Secara umum, untuk (1 ≤ j ≤ n – 1),
(5) menyiratkan bahwa An,
k
(a, d) merupakan
polinomial homogen berderajat n
yang
tuliskan k
bar dengan k + 1 bagian
diantaranya. Tempatkan setiap elemen dari [n] ke dalam suatu bagian. Jika tidak terdapat k
berhubungan ke a dan d. Selain itu,
bar asing, maka susunan dipasangkan ke k
An ,k ( a , d )
i0
n 1 ( 1 ) [( k 1 i ) d a ] i i
n
permutasi dengan k kenaikan. Misalkan B himpunan susunan dengan paling banyak satu bar asing pada bagian ujung dan tidak terdapat bilangan bulat {1, 2, 3, ..., j} dalam bagian
k
i0
n 1 i n ( 1 ) [( k 1 i )( d a ) ( k i ) a ] i
(6) ISSN 2086 – 1397
akhir. Akan ditunjukkan bahwa Cn,k(j) = |B|. Tujuan
dapat
tercapai
dengan
menggunakan Prinsip Inklusi Eksklusi. Ada Volume VI Nomor 1. Januari – Juni 2015 | 105
Rektor Sianturi, Interpretasi Kombinatorial Bilangan… (k+1)n-jkj cara meletakkan n bilangan ke dalam
yaitu untuk merepresentasi kedua susunan
k +1 bagian dengan elemen-elemen {1, 2, 3,
himpunan B dan permutasi pada [n]. Sekarang
..., j) yang menghindari bagian-bagian akhir.
untuk B, yang lain :
Misal
B,
menotasikan
banyaknya
1. (Kasus 1) tidak terdapat bar asing dan
susunan bilangan dengan ciri-ciri sebagai
{1, 2, 3, ..., j} tidak berada pada
berikut :
bagian akhir atau
(1) tidak ada {1, 2, 3, ..., j} dalam bagian
2. (kasus 2) hanya ada satu bar asing di
akhir
bagian akhir Jika berada dalam kasus 1, maka
(2) setiap susunan bilangan Bi paling sedikit memiliki satu bar asing
mempunyai k buah kenaikan karena setiap bar
(3) dalam setiap susunan Bi, ada bar asing yang
diletakkan
tidak
saling
bersebelahan satu sama lain.
tidak saling asing dan pada bagian akhir dari tidak kosong. Oleh karena itu, cycle akhir fungsi f-1() menjadi (n...p9). Dengan kata lain,
Selanjutnya, prinsip Inklusi dan Eksklusi menunjukkan bahwa:
Qn(f-1()) = p9 > j karena tidak terdapat (1,2...,j) pada bagian akhir. Berdasarkan
|B| = (k+1)n-jkj- B1 + B2 + ...+ (-1)kBk
proposisi 1. f-1()Ln,k+1.
(9) Sekarang,
pertimbangan
nilai
Bi,
dengan syarat (1 ≤ i ≤ k). Andaikan bahwa ada k+1-i bagian dengan k – i bar diantaranya, sehingga ada (k + 1 – i)n-j
(k - i)j cara ini
memasukkan n bilangan ke dalam k + 1 – i bagian dengan menghindari j bilangan bulat pertama masuk ke bagian akhir dan daftar komponen bilangan bulat yang berada dalam urutan menurun. Kemudian masukkan i bar asing secara terpisah ke dalam n +1 posisi, sehingga diperoleh: Bi = (k + 1 – i)n-j(k – i)j
n 1 i
Jika berada dalam kasus 2, maka mempunyai k – 1 kenaikan karena hanya bar akhir yang asing. Dengan catatan bahwa dalam kasus ini, susunan dengan tidak adanya elemen (1, 2, ...,j) dalam bagian akhir atau bagian akhir yang tidak kosong telah dihapus dengan menggunakan
Prinsip
Inklusi
Eksklusi.
Dengan arti yang sama, paling sedikit satu bilangan dari (1, 2,...,j) harus berada dalam bagian kedua ke bagian akhir. Jadi, cycle fungsi f-1() menjadi (n...pi) dan Qn (f-1()) = pi ≤ j berdasarkan proposisi 1. f-1()Ln,k. Gabungan semua hasil pada kasus 1 dan 2, membuktikan persamaan (8) benar.
(10)
Berikut menjelaskan beberapa sifat
Substitusi persamaan (10) ke dalam persamaan
penting koefisien Cn,k.
(9), maka diperoleh Cn,k(j) = |B| Diberikan susunan B, hapus bar sehingga diperoleh permutasi . Oleh karena itu, hanya gunakan notasi yang sama ISSN 2086 – 1397
Misalkan koefisien Cn,k seperti yang dituliskan pada persamaan (8), maka: 1.
k i0
C n , k ( j ) n ! untuk 0
≤j≤n
Volume VI Nomor 1. Januari – Juni 2015 | 106
Rektor Sianturi, Interpretasi Kombinatorial Bilangan… Cn,k(j) = Cn, n - k(n - j) untuk semua 0 ≤
2.
j, k ≤ n
= Cn,n - k (n – j) untuk semua 0 ≤ j ≤ n dapat dibuktikan dengan cara :
Koefisien
Cn,k
membutuhkan
lemma
persamaan (11) sebagai :
Langkah pertama, melalui persamaan (8), diperoleh:
Lemma 1. Jika terdapat n bilangan positif maka:
n
n
C n ,k ( j )
k 0
f { L n , k 1 , j Q n ( ) n }
k 0
F{ Ln,k & Qn() = j} = f{ Ln,n+1-k & Qn() = n + 1 – j}
n
(11)
f { L n , k ,1 Q n ( ) j } +
k 0
dengan syarat 1≤ k, j ≤ n.
n
Pembuktian. Langkah awal, diberikan n
f { L n , k } |
n
| n !
k 0
bilangan bulat positif, didefinisikan fungsi g : n n
(13)
Untuk = p1,p2,...,pn n
Langkah kedua,
g(n) = (n + 1 – p1) (n + 1 – p2)... (n + 1 – pn)
Cn,k (j)
(12)
=
untuk tingkat pertama, = 13452 5 g() = 53214, g merupakan fungsi bijektif dari n ke
j
n
f { L n , k 1 ,Q n ( ) i }
i j 1
dirinya sendiri.
f { L n , k ,Q n ( ) m }
m 1
j
n
Sekarang untuk variabel tetap 1 ≤ k, j ≤ n, anggap Skj = { Wn,k &Qn() = j} dan Tkj = { Wn,n+1-k &Qn() = n + 1 – j}. Untuk sebarang Skj tulis dalam bentuk representasi cycle
standard. Jadi =
(pu...)...(n...j) dan f() = pu...n...j mempunyai
f { L n , n k ,Q n ( ) n 1 i }
i j 1
m 1
♯ { L n , n 1 k Qn() = n + 1 – m} Oleh lemma 4.5 = f{ Ln,k,1 ≤ Qn() ≤ n – j} + ♯{ Ln,n+k,n-j < Qn() ≤ nj}=Cn, n-k(n – j) (14)
(k-1) kenaikan (ascent). Sekarang komposisi fungsi
f()
dengan fungsi bijektif g
terdefinisi. Kemudian g (f()) mempunyai n + -1
Hasil Pembahasan Berdasarkan ulasan-ulasan bilangan Euler dan
1- k kelebihan yang lemah sehingga f g(f())
kombinatorialnya
Ln, n +1 –k. Suatu catatan bahwa cycle akhir f
sebelumnya diperoleh bahwa bilangan Euler
-
yang
telah
dijabarkan
g(f()) telah menjadi (n...n+1 – j). Oleh
kuno An,k merupakan banyaknya permutasi
karena itu, f g(f()) Tkj. Oleh karena kedua
n yang mempunyai k buah kelebihan yang
1
-1
-1
fungsi f dan g adalah fungsi bijektif, f gf juga
lemah (Riordan, 1958) dan An,k memenuhi
bijektif antara Skj dan Tkj.
pengulangan :
Dengan demikian, koefisien Cn,k yang
k i0
C n , k ( j ) n!
ISSN 2086 – 1397
untuk 0 ≤ j ≤ n dan Cn,k (j)
An,k memenuhi pengulangan : An,1 = 1, (n ≥ 1) An,k = 0, (k > n)
Volume VI Nomor 1. Januari – Juni 2015 | 107
Rektor Sianturi, Interpretasi Kombinatorial Bilangan… An,k = kAn-1,k + (n +1- k)An-1, k-1 (1 ≤ k ≤
Koefisien
n)
dapat dibentuk ke dalam suatu permutasi
n k 0
Cn,k
C n , k ( j ) n!
mempunyai
untuk 0 ≤ j ≤ n dan Cn,k (j)
= Cnk-k,(n – j) untuk semua 0 ≤ j, k ≤ n
kemudian didefinisikan:
Hasil penelitian menunjukkan bahwa ma j =
j
pj p
j 1
Selanjutnya, standar
melalui
bilangan Euler dapat direpresentasikan dalam bentuk gunakan
penulisan
representasi setiap
kombinatorial,
pemisahan
bilangan dengan menggunakan bar asing
cycle
sehingga lebih mudah dipahami.
bermula dari elemen terbesarnya dan cycle
Algoritma
berada
Bilangan Euler
dalam urutan naik dari
cycle,
elemen
terbesarnya. Perhatikan bar asing dengan
Interpretasi
Interpretasi
Kombinatorial
kombinatorial
bilangan
aturan bahwa bar tersebut segera diikuti oleh
Euler yang telah dijabarkan sebelumnya, akan
bar yang lain, atau sietiap bagian sisa baik
lebih informatif jika dituangkan dalam suatu
kosong atau berisi bilangan buat berada dalam
algoritma.
urutan menurun jika bar ini dihapus. Oleh
pemahaman
karena itu, diperoleh interpretasi kombinatorial
kombinatorial bilangan Euler. Algoritmanya
bilangan Euler umum sebagai :
adalah sebagai berikut:
k 1
An,k =
i0
n 1 i n ( 1 ) [( k 1 i ) d a ] i k
An,k(a,d) =
i0
interpretasi
Output : interpretasi kombinatorial bilangan
n 1 i n ( 1 ) [( k 1 i ) d a ] i
Euler Langkah
1
:
didefinisikan
An,k
sebagai banyak permutasi n yang
n 1 i n ( 1 ) [( k 1 i )( d a ) ( k i ) a ] i
i0
bagaimana
memudahkan
Input : Permutasi n = { = p1p2...pn}
1.
ialah
Algoritma
= k
Tujuannya
mempunyai k kelebihan yang lemah 2.
=
Langkah 2 : Hitung maj sebagai banyaknya penurunan (descent) dalam
n
k
j0
( 1) ( k 1 i ) i
n j
i0
n 1 n n j x (d a ) ( k i ) a i j
permutasi
j
3.
Langkah 3 : Gunakan representasi standar penulisan permutasi dalam bentuk
n
=
C
n ,k
j0
n n j ( j ) ( d a ) a j
cycle dimana setiap cycle bermula dari
j
elemen terbesarnya dan cycle berada dalam
dengan
naik
dari
elemen
terbesarnya.
Cn,k (j)
4.
k
=
urutan
( 1 ) [( k 1 i ) i
i0
ISSN 2086 – 1397
n j
n 1 j , (0 j n ) ( k i ) i
Langkah 4: Perhatikan adanya bar asing dengan aturan bahwa bar tersebut segera diikuti bar lain, atau setiap bagian Volume VI Nomor 1. Januari – Juni 2015 | 108
Rektor Sianturi, Interpretasi Kombinatorial Bilangan… sisa baik kosong ataupun berisi, bilangan
Penutup
bulat berada dalam urutan menurun jika
Dalam tesis ini, penulis mengulas bentuk
bar itu dihapus.
kombinatorial bilangan Euler, dimulai dari
5.
Langkah 5 : Diperoleh interpretasi kombinatorial
bilangan
Euler
secara
umum sebagai : k 1
An ,k
i0
6.
diteliti
oleh
prinsip
inklusi-eksklusi
1.
tujuan akhir diperoleh Berdasarkan tersebut,
terdahulu
dan
Diperoleh interpretasi kombinatorial bilangan Euler secara umum: k 1
An ,k
untuk menjabarkan langkah 5 sehingga
algoritma
ilmuwan
menuangkan hasil penelitian sebagai berikut :
n 1 i n ( 1 ) [( k 1 i ) d a ] i
Gunakan
pengulasan bilangan Euler kuno yang telah
i0
2. Untuk langkah-langkah
untuk
mempermudah
memahami kombinatorial bilangan Euler dapat
n 1 i n ( 1 ) [( k 1 i ) d a ] i
mempermudah
kombinatorial digunakan
bilangan
memahami Euler
algoritma
dapat
interpretasi
kombinatorial bilangan Euler.
digunakan algoritma interpretasi kombinatorial bilangan Euler.
ISSN 2086 – 1397
Volume VI Nomor 1. Januari – Juni 2015 | 109
Rektor Sianturi, Interpretasi Kombinatorial Bilangan… Daftar Pustaka Bona, M, 2004, Combinatorics of Permutations.Discrete Mathematics and its Applications. Boca Raton : Chapman & Hall/CRC. Carlitz, L. 1954. Q-bernoulli and Eulerian Numbers. Transaction of the American Mathematical Society, 76: 332-350. Carlitz, L. 1975. A Combination Property of q-Eulerian Numbers. The American Mathematical Monthly, 82:51-54 Khattri, S.K., Witkowski, A. 2012. Euler’s Number and Some Means*. Tamsui Oxford Journal of Information and Mathematical Sciences, 28(4) : 369-377 Riordan, J. 1958. An Introduction of Combinatorial Analysis. Wiley Publication in Mathematical Statistics. New York : John Wiley & Sons. Stanley, R.P. 1996. Enumerative Combinatorics, vol 1. Of Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press, Cambridge, UK. Xiong, T. Tsao, H.P. and Hall, J.I. 2013, General Eulerian Numbers and Eulerian Polynomials, Journal of Mathematics, Article ID 629132, 9 pages. Xiong, T. Tsao, H.P and Hall, J.I. 2014. Combinatorial Interpretation of General Eulerian Numbers, Journal of Discrete Mathematics, Article ID 870596, 6 pages.
ISSN 2086 – 1397
Volume VI Nomor 1. Januari – Juni 2015 | 110
