Analisis Kombinatorial

Analisis Kombinatorial Chandra Novtiar S.Si.,M.Si. 085794801125 [email protected]

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP) SILIWANGI BANDUNG

28 Februari 2017

Garis Besar Pembahasan Analisis Kombinatorial Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si.

SUB POKOK PEMBAHASAN

SUB POKOK PEMBAHASAN ATURAN PERKALIAN

ATURAN PERKALIAN

NOTASI FAKTORIAL PERMUTASI

NOTASI FAKTORIAL

KOMBINASI EKSPANSI BINOMIAL

PERMUTASI

DAFTAR PUSTAKA

KOMBINASI EKSPANSI BINOMIAL DAFTAR PUSTAKA

19

08 September 2016

Sub Pokok Pembahasan Analisis Kombinatorial Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. 3


1. Aturan Perkalian


2. Notasi Faktorial

KOMBINASI

3. Permutasi

EKSPANSI BINOMIAL

4. Kombinasi

DAFTAR PUSTAKA

5. Ekspansi Binomial

19

08 September 2016

Sub Pokok Pembahasan Analisis Kombinatorial Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. 3


1. Aturan Perkalian


2. Notasi Faktorial

KOMBINASI

3. Permutasi

EKSPANSI BINOMIAL

4. Kombinasi

DAFTAR PUSTAKA

5. Ekspansi Binomial

19

08 September 2016

Aturan Perkalian Secara Khusus Analisis Kombinatorial Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si.

Definisi Jika suatu proses terdiri dari 2 tahap, tahap pertama dapat dilakukan dalam n1 cara, dengan masing-masing cara ini tahap kedua dapat dilakukan dalam n2 cara, maka proses itu kesseluruhannya dapat dilakukan dalam n1 xn2 cara.

SUB POKOK PEMBAHASAN 4

ATURAN PERKALIAN NOTASI FAKTORIAL PERMUTASI KOMBINASI EKSPANSI BINOMIAL DAFTAR PUSTAKA

19

08 September 2016


Definisi Jika suatu proses terdiri dari 2 tahap, tahap pertama dapat dilakukan dalam n1 cara, dengan masing-masing cara ini tahap kedua dapat dilakukan dalam n2 cara, maka proses itu kesseluruhannya dapat dilakukan dalam n1 xn2 cara.


ATURAN PERKALIAN NOTASI FAKTORIAL PERMUTASI KOMBINASI EKSPANSI BINOMIAL

Contoh

DAFTAR PUSTAKA

Sekelompok wisatawan akan melakukan perjalanan ke kota wisata A, B, dan C . Para wisatawan tersebut dapat mencapai kota-kota tersebut melalui tiga jenis pengangkutan kota yaitu kereta api, bus dan pesawat terbang. Berapakah cara para wisatawan melakukan perjalanan wisata tersebut?

19

08 September 2016

Aturan Perkalian Secara Khusus Analisis Kombinatorial Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN

Penyelesaian

5

Proses pada soal ini adalah perjalanan wisatawan ke kota wisata. Tahap pertama disini adalah kota wisata yang dituju yaitu A, B, dan C , sehingga n1 = 3. Tahap kedua berupa pengangkutan kota yang digunakan untuk perjalanan ke kota wisata tersebut yaitu kereta api, bus, dan pesawat terbang, sehingga n2 = 3 Oleh karena itu, oara wisatawan dapat menuju kota wisata dalam n1 xn2 = 3x 3 = 9 cara


19

08 September 2016


Diagram Pohon



19

08 September 2016


Diagram Pohon



19

08 September 2016

Aturan Perkalian Secara Umum Analisis Kombinatorial Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN 7

Definisi

ATURAN PERKALIAN NOTASI FAKTORIAL

Jika suatu proses terdiri dari k tahap, tahap pertama dapat dilakukan dalam n1 cara, dengan masing-masing cara ini tahap kedua dapat dilakukan dalam n2 cara, dengan masing-masing cara ini tahap ketiga dapat dilakukan dalam n3 cara dan seterusnya sampai tahap ke-k dapat dilakukan dalam nk cara, maka proses itu kesseluruhannya dapat dilakukan dalam n1 xn2 xn3 x · · · xnk cara.

PERMUTASI KOMBINASI EKSPANSI BINOMIAL DAFTAR PUSTAKA

19

08 September 2016

Aturan Perkalian Secara Umum Analisis Kombinatorial Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si.

Latihan 1 Sebuah rumah makan menyediakan menu makanan pagi yang terdiri atas nasi, telur, kerupuk, dan minum. Nasi terdiri dari nasi putih, nasi kuning dan nasi goreng. Telur terdiri dari telur dadar, telur ceplok, telur asin dan telur rebus. Kerupuk terdiri dari kerupuk udang, kerupuk ikan, kerupuk melinjo. Minum terdiri dari air putih, air kopi, air susu, air kopi susu dan teh. Berapa banyak susunan menu makanan pagi yang bisa dihidangkan?



19

08 September 2016

Aturan Perkalian Secara Umum Analisis Kombinatorial Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si.

Latihan 1 Sebuah rumah makan menyediakan menu makanan pagi yang terdiri atas nasi, telur, kerupuk, dan minum. Nasi terdiri dari nasi putih, nasi kuning dan nasi goreng. Telur terdiri dari telur dadar, telur ceplok, telur asin dan telur rebus. Kerupuk terdiri dari kerupuk udang, kerupuk ikan, kerupuk melinjo. Minum terdiri dari air putih, air kopi, air susu, air kopi susu dan teh. Berapa banyak susunan menu makanan pagi yang bisa dihidangkan?



Penyelesaian

19

08 September 2016

Aturan Perkalian Secara Umum Analisis Kombinatorial

Latihan 2 Misalkan ada enam buah angka yaitu 2, 3, 5, 6, 7, 9. Kemudian, dari angka-angka tersebut dibentuk sebuah bilangan yang terdiri atas tiga angka dan setiap angka hanya digunakan sekali saja. I

Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN 9

Berapakah banyak bilangan yang dibentuk dengan syarat bernilai paling besar 500?

ATURAN PERKALIAN NOTASI FAKTORIAL PERMUTASI KOMBINASI

I

Berapakah banyak bilangan yang dibentuk dengan syarat bilangannya ganjil?

EKSPANSI BINOMIAL DAFTAR PUSTAKA

19

08 September 2016

Aturan Perkalian Secara Umum Analisis Kombinatorial

Latihan 2 Misalkan ada enam buah angka yaitu 2, 3, 5, 6, 7, 9. Kemudian, dari angka-angka tersebut dibentuk sebuah bilangan yang terdiri atas tiga angka dan setiap angka hanya digunakan sekali saja. I

Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN 9

Berapakah banyak bilangan yang dibentuk dengan syarat bernilai paling besar 500?

ATURAN PERKALIAN NOTASI FAKTORIAL PERMUTASI KOMBINASI

I

Berapakah banyak bilangan yang dibentuk dengan syarat bilangannya ganjil?


Penyelesaian

19

08 September 2016

Notasi Faktorial Analisis Kombinatorial Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN

Definisi

ATURAN PERKALIAN

Jika n adalah bilangan bulat positif, maka perkalian bilangan bulat dari 1 sampai dengan n dinamakan n faktorial atau dapat dinotasikan dengan n! atau dapat dituliskan sebagai

10

NOTASI FAKTORIAL PERMUTASI KOMBINASI EKSPANSI BINOMIAL

n! = 1x 2x 3x · · · x (n − 3)x (n − 2)x (n − 1)xn atau n! = nx (n − 1)x (n − 2)x (n − 3)x · · · x 3x 2x 1 dan 0! = 1

DAFTAR PUSTAKA

19

08 September 2016


Contoh Soal Hitunglah

ATURAN PERKALIAN 11

NOTASI FAKTORIAL

6!

PERMUTASI

I 7! 5!

KOMBINASI

I


19

08 September 2016


Contoh Soal

ATURAN PERKALIAN

Hitunglah

11

NOTASI FAKTORIAL

6!

PERMUTASI

I 7! 5!

KOMBINASI

I


Penyelesaian I

6! = 6x 5x 4x 3x 2x 1 = 720

I 7! 5!

=

7x 6x 5x 4x 3x 2x 1 5x 4x 3x 2x 1

= 7x 6 = 42

19

08 September 2016

Permutasi Analisis Kombinatorial Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN ATURAN PERKALIAN NOTASI FAKTORIAL

Definisi

12

PERMUTASI KOMBINASI

Permutasi adalah susunan dari sekumpulan objek yang berbeda dengan memperhatikan urutan


19

08 September 2016

Permutasi Analisis Kombinatorial

Jenis Permutasi I

Permutasi tanpa Pengulangan I I

I

Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN

Semua objek dibentuk : Pnn = P(n, n) = n! n! Sebagian objek dibentuk : Pkn = P(k, n) = (n−k)!

Permutasi dengan Pengulangan Jika kita memiliki n objek, dengan n1 adalah banyak objek pertama yang sama, n2 adalah banyak objek kedua yang sama, · · · , nk adalah banyak objek ke−k yang sama, maka banyak permutasi yang dapat dibentuk adalah

ATURAN PERKALIAN NOTASI FAKTORIAL 13

PERMUTASI KOMBINASI EKSPANSI BINOMIAL DAFTAR PUSTAKA

n! n1 !·n2 !·n3 !···nk ! I

Permutasi Melingkar (Siklis) : (n-1)!

I

Permutasi dengan sampel yang diurutkan I I

Dengan pengembalian : nxnxnx · · · xn = nr Tanpa pengembalian : n! nx (n − 1)x (n − 2)x · · · x (n − (r − 1)) = (n−r )! 19

08 September 2016

Kombinasi Analisis Kombinatorial Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN ATURAN PERKALIAN

Definisi

NOTASI FAKTORIAL

Kombinasi adalah susunan dari sekumpulan objek yang berbeda tanpa memperhatikan urutan. Kombinasi k dari n disimbolkan dengan Ckn dengan

PERMUTASI 14

KOMBINASI EKSPANSI BINOMIAL DAFTAR PUSTAKA

Ckn = C (k, n) =

n! k!(n−k)!

19

08 September 2016

Ekspansi Binomial Analisis Kombinatorial Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN

Rumus Ekspansi Binomial Newton n

(x + y ) =

ATURAN PERKALIAN

Pn

n n−k k y k=0 Ck x


dengan n bilangan bulat positif.

KOMBINASI 15


19

08 September 2016

Ekspansi Binomial Analisis Kombinatorial Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN

Rumus Ekspansi Binomial Newton n

(x + y ) =

ATURAN PERKALIAN

Pn

n n−k k y k=0 Ck x


dengan n bilangan bulat positif.

KOMBINASI 15

Contoh


Tentukan ekspansi binomial newton dari I

(x + y )6

I

(2x − y )4

19

08 September 2016

Soal-soal Latihan Analisis Kombinatorial

1. Berapa macam hidangan dapat disajikan bila masing-masing hidangan terdiri atas sop, nasi goreng, bakmi dan soto, dan apabila tersedia 4 macam sop, 3 macam nasi goreng, 5 macam bakmi dan 4 macam soto ? 2. Nyatakan bentuk-bentuk berikut ke dalam faktorial: 2.1 157x 156x 155 2.2 8!(9x 10) 2.3 n(n − 1)(n − 2)

3. Tentukan nilai n dari (n + 3)! = 10(n + 2)! 4. Sebuah gudang memiliki 7 pintu. Seseorang akan masuk gudang tersebut kemudian keluar dengan pintu yang berbeda. Berapa macam rute yang dapat ia lalui ? 5. Tersedia angka 1, 2, 3, 4, 5, dari angka-angka tersebut akan dibuat bilangan yang terdiri dari 4 angka. Ada berapa banyak susunan angka-angka jika tidak boleh ada angka yang sama ? 6. Berapa banyak permutasi dapat dibentuk dari kata MATEMATIKA ?

Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN ATURAN PERKALIAN NOTASI FAKTORIAL PERMUTASI KOMBINASI 16


19

08 September 2016

Soal-soal Latihan Analisis Kombinatorial Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si.

1. Dalam rapat mahasiswa yang dihadiri oleh 6 orang yang duduk mengelilingi meja bundar. Berapa posisi duduk yang dapat terjadi ? 2. Dengan berapa cara kita mengambil 3 kartu bridge dari 52 kartu bridge : 2.1 Dengan pengembalian 2.2 Tanpa pengembalian

SUB POKOK PEMBAHASAN ATURAN PERKALIAN NOTASI FAKTORIAL PERMUTASI KOMBINASI 17

3. Dari 7 siswa akan dipilih 4 siswa untuk menjadi pengurus kelas, yaitu ketua, wakil ketua, sekretaris dan bendahara. Berapa banyak susunan pengurus apabila setiap calon pengurus mempunyai kemungkinan yang sama untuk dipilih dan tidak ada pengurus yang rangkap ?


4. Dengan menggunakan ekspansi binomial, hitunglah (3x − 2y 2 )3 19

08 September 2016

Daftar Pustaka Analisis Kombinatorial Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN ATURAN PERKALIAN

I

I

I

N. Herrhyanto dan T.Gantini, Pengantar Statistika Matematik, Bandung, Yrama Widya, 2009.

NOTASI FAKTORIAL PERMUTASI KOMBINASI

J.E. Freud and R.E. Walpole,Mathematical Statistics, New Jersey,Prentice Hall Inc., 1980. M.R. Spiegel,Theory and Problems of Probability and Statistics, Singapore, McGraw-Hill, 1982.

EKSPANSI BINOMIAL 18

19

DAFTAR PUSTAKA

08 September 2016

Analisis Kombinatorial Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN ATURAN PERKALIAN

Terima Kasih

NOTASI FAKTORIAL PERMUTASI KOMBINASI EKSPANSI BINOMIAL

Chandra Novtiar S.Si.,M.Si. 085794801125 [email protected]

19

19

DAFTAR PUSTAKA

08 September 2016

Analisis Kombinatorial

Recommend Documents