Univerzita Palackého v Olomouci Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie
BAKALÁŘSKÁ PRÁCE
Interaktivní pomůcky pro vyučování matematice
Vypracoval: Petr Haloda Studijní program: B1701 Fyzika Studijní obor: Fyzika - Matematika Forma studia: Prezenční Vedoucí bakalářské práce: prof. RNDr. Josef Molnár, CSc. Termín odevzdání práce: květen 2012
Prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou bakalářskou práci vypracoval samostatně pod vedením prof. RNDr. Josefa Molnára, CSc. a že jsem použil zdrojů, které cituji a uvádím v seznamu použitých zdrojů.
V Olomouci dne 22. května 2012 ................................. Petr Haloda
Bibliografická identifikace Jméno a příjmení autora Petr Haloda Název práce Interaktivní pomůcky pro vyučování matematice Typ práce Bakalářská Pracoviště Katedra algebry a geometrie Vedoucí práce prof. RNDr. Josef Molnár, CSc. Rok obhajoby práce 2012 Abstrakt Bakalářská práce se zabývá motivací žáků, jak je přimět ke studiu matematiky a přírodních věd. Popisuje science centra, vysvětluje jejich význam pro motivaci a výuku a mapuje jejich stav v České republice. Popisuje interaktivní pomůcky používané v science centrech, vysvětluje jejich princip. Navrhuje interaktivní pomůcky, které se v science centrech dají použít. Klíčová slova motivace, science centrum, interaktivní pomůcky Počet stran 30 Počet příloh 0 Jazyk český
Bibliographical identification Autor’s first name and surname Petr Haloda Title Interactive tools for math teaching Type of thesis Bachelor Department Department of Algebra and Geometry Supervisor prof. RNDr. Josef Molnár, CSc. The year of presentation 2012 Abstract The bachelor thesis deals with motivation of students to encourage them into study of mathematics and science. It describes science centers and their situation in the Czech Republic, explains their significance for motivation and education. It also describes interactive tools used in such science centers and explains their principle. It designs interactive tools which can be used in science centers. Keywords motivation, science center, interactive tools Number of pages 30 Number of appendices 0 Language czech
Obsah Úvod
6
1 Motivace 1.1 Co je motivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Motivace žáků při výuce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Proč se žáci (ne)chtějí učit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 7 8 8
2 Science centra 2.1 iQpark science centrum v Liberci . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Techmania science centrum v Plzni . . . . . . . . . . . . . 2.3 Moravian Science Centre Brno . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Svět techniky – Science and Technology Centrum Ostrava 2.5 Pevnost poznání v Olomouci . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
10 10 11 11 13 13
3 Interaktivní pomůcky 3.1 Pravděpodobnost . . . . . . 3.1.1 Hod jednou kostkou . 3.1.2 Hod dvěma kostkami 3.1.3 Poločas rozpadu . . . 3.1.4 Galtonovo prkno . . 3.2 Kuželosečky - kreslení . . . 3.2.1 Elipsa . . . . . . . . 3.2.2 Hyperbola . . . . . . 3.2.3 Parabola . . . . . . . 3.3 Kuželosečky - kulečník . . . 3.3.1 Elipsa . . . . . . . . 3.3.2 Parabola . . . . . . . 3.4 Délka kružnice . . . . . . . 3.5 Nejkratší cesta . . . . . . . 3.6 Pythagorova věta . . . . . . 3.7 Eukleidova věta . . . . . . . 3.7.1 O výšce . . . . . . . 3.7.2 O odvěsně . . . . . . 3.8 Möbiův list . . . . . . . . . 3.8.1 Papír . . . . . . . . . 3.8.2 Plast . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15 15 15 16 17 18 19 19 20 22 23 23 23 24 24 25 26 26 26 27 27 28
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Závěr
29
Literatura
30 5
Úvod Na střední škole jsem se vždycky těšil na výchovné koncerty, přednášky cestovatelů, návštěvu divadla, třídní výlety a jiné výchovně zábavné činnosti, které narušily jinak stále stejně plynoucí vyučování. Přestože jsem se na těchto akcích nemusel nutit k pozornosti, mnohé z nich si pamatuji dodnes, což se nedá říct o spoustě vyučovacích hodin předmětů, které mě nebavily. Motivace nebo zájem o matematiku může být vhodně zvýšena zajímavými úlohami, úlohami z praxe a také návštěvou science centra, které se snaží zábavnou formou zvýšit zájem o matematiku a další přírodní vědy. Science centra se začala rozmáhat už i v České republice. V práci mapuji jejich stav v naší zemi a popisuji jejich činnost. Tato centra by se neobešla bez interaktivních exponátů, které jsou jejich pravým kořením. Vyzkoušet si chemický pokus, vyřešit matematický hlavolam, vytvořit blesk v laboratoři určitě někdy chtěl každý. V science centrech jsou exponáty dělány přímo pro tyto zvídavé lidi. Snažím se tyto exponáty popsat a navrhnout nové, které by se daly použít v science centru a vzbudily by zájem návštěvníků o matematiku. Práce je rozdělena na tři hlavní kapitoly: 1. Motivace 2. Science centra 3. Interaktivní pomůcky Dohromady popisují nová science centra v Česku, jejich rozmáhaní, náplň a význam pro přírodovědné obory. V práci jsou doslovné citace z literatury uvedeny kurzívou.
6
Kapitola 1 Motivace Podle [1] je motivace pojem používaný hlavně v psychologii, zatím nejednoznačně definovaný. Nejčastěji bývá chápán jako vnitřní proces zvýšení aktivity potřebný k tomu, aby jedinec jednal a měl zájem vykonávat nějakou činnost.
1.1
Co je motivace
V pedagogickém slovníku [3] najdeme tuto definici motivace: Motivace je souhrn vnitřních i vnějších faktorů, které: • vzbuzují, aktivují, dodávají energii lidskému jednání a prožívání, • zaměřují toto jednání a prožívání určitým směrem, • řídí jeho průběh, způsob dosahování výsledků, • ovlivňují též způsob reagování jedince na své jednání a prožívání, jeho vztahy k ostatním lidem a ke světu. O výkonu jedince dále říká: Výkon jedince je motivován jednak vnitřními faktory (zejména potřebami), jednak faktory vnějšími (tzv. incetivami). Chování jedince, jehož cílem je dosáhnout určitého výkonu, probíhá v několika fázích: 1. vzbuzení některých potřeb, 2. posouzení vlastních možností výkonu dosáhnout, 3. očekávání, že potřeba bude uspokojena, 4. rozhodnutí vykonat příslušnou činnost. Mezi výkonové potřeby žáka mimojiné patří: potřeba samostatnosti, potřeba kompetence, potřeba úspěšného výkonu, potřeba vyhnutí se neúspěchu a někdy (paradoxně) i potřeba vyhnutí se úspěchu. Vidíme tedy, že motivace je jakýmsi motorem, kvůli kterému lidé vůbec chtějí provádět různé činnosti. Lidé bez motivace nevidí důvod vykonávat činnost. Zaměstnanec v práci má motivaci minimálně vnější - dostane za svou práci plat. Nicméně pokud má i vnitřní motivaci, tedy práce ho naplňuje, dělá věci, které ho opravdu baví, tak může dosáhnout mnohem lepších výsledků. 7
Žáci a studenti na základních a středních školách mají k různým předmětům také různý vztah. Některé je baví, jiné jsou jim vzdálené mnohem více. U těchto vzdálených předmětů mají aspoň vnější motivaci - budou za své výkony oznámkováni. U předmětů, které je baví, mají motivaci vnitřní a na hodiny se těší, protože se dozví další nové poznatky a jejich výsledky jsou tedy lepší.
1.2
Motivace žáků při výuce
Slovník [3] definuje také motivaci žáků při výuce: Motivace žáků při výuce je výsledek procesu motivování, na němž se podílí jednak žák sám, jednak učitel, rodiče, spolužáci. Učitel může ovlivňovat motivaci svých žáků mnoha způsoby. Patří k nim: 1. vytváření adekvátního obrazu o žácích, 2. učitelovo očekávání vůči žákům → Pygmalion-efekt → Golem efekt, 3. probouzení poznávacích potřeb žáků (problémové úlohy), 4. probouzení sociálních potřeb žáků (sociální klima ve třídě), 5. probouzení výkonové motivace (sociální norma, individuální norma), 6. využití odměn a trestů, 7. eliminování pocitu nudy 8. předcházení strachu ze školy, z určitého předmětu, ze zkoušení. Učitel má tedy hodně možností, jak působit na své žáky. Je potom už na samotném učiteli, aby tyto možnosti využil, žáky dostatečně motivoval a své znalosti efektivně předal. V knize [2] najdeme: Zkušení i začínající učitelé pokládají motivaci za předpoklad úspěšného učení a pro mnoho z nich je největším úkolem přimět své žáky k tomu, aby se učit chtěli. Jestliže se žáci učit nechtějí, může jejich učení být natolik neefektivní, že se případně nenaučí vůbec nic.
1.3
Proč se žáci (ne)chtějí učit
Podle Geoffrey Pettyho [2] existuje 7 hlavních důvodů, které mohou přimět žáky, aby se chtěli učit. Jsou to: 1. Věci, které se učím, se mi hodí. 2. Kvalifikace, kterou studiem získám, se mi hodí. 3. Při učení mívám obvykle dobré výsledky a tento úspěch mi zvyšuje sebevědomí. 4. Když se budu dobře učit, vyvolá to příznivý ohlas mého učitele nebo mých spolužáků. 5. Když se nebudu učit, bude to mít nepříjemné (a dosti bezprostřední) důsledky.
8
6. Věci, které se učím, jsou zajímavé a vzbuzují moji zvídavost. 7. Zjišťuji, že vyučování je zábavné. Na druhou stranu mají žáci nespočet důvodů se neučit nebo nedávat pozor. Například: • Těší se, až škola skončí a doma si sednou za počítač k oblíbené hře. • Dopisují si s kamarádem přes posílané papírky. • Doufají, že z předmětu aspoň nějak prolezou se čtyřkou. Bohužel ve škole nejsou všechna probíraná témata (obzvláště v oblasti matematiky a fyziky) velmi zábavná a pro žáky přitažlivá. Proto se nemůžeme moc divit, že žáci nemají motivaci. Na podporu motivace k matematice a fyzice proto také vznikají různá science centra, která se snaží prezentovat různé problémy zábavnou formou, vzbuzují zájem návštěvníků a přitom se je snaží něco i naučit. Podle bodů 6 a 7 tedy mohou přimět žáky k většímu zájmu o matematiku a případně zlepšit jejich výsledky.
9
Kapitola 2 Science centra Jako Science centrum se označuje areál, ve kterém se prezentují různé fyzikální, matematické či jiné zákonitosti poutavou formou, která má zaujmout, zvednout zájem o danou problematiku a pomoci pochopit tyto zákonitosti. Science centra mají své kořeny už v 19. století, kdy vznikli jejich první předchůdci. Největší rozmach přišel až na konci 60. a začátku 70. let 20. století hlavně v USA a Kanadě. Jedno z prvních bylo Pacific Science Center v Seattlu, které se otevřelo roku 1962. Následovalo Oppenheimer’s Exploratorium v San Franciscu a Ontario Science Center u Toronta v roce 1969 [13]. Postupně získavala na popularitě a rozšířila se po celém světě. V České Republice jsou zatím otevřena dvě, zároveň běží několik dalších projektů, které mají za cíl vybudovat další science centra. Science centrum může být také chápáno jako muzeum. Pouze s podstatným rozdílem, že ve většině muzeí je zakázáno se exponátů dotýkat (většinou kvůli jejich stáří a nemožnosti je replikovat), v science centrech je to přímo vyžadováno. Vystavené exponáty jsou interaktivní - návštěvník má tedy možnost sám s exponáty manipulovat. Může tedy pokus provést, ovlivnit jeho výsledek nastavením jiných počátečních podmínek a diskutovat s ostatními návštěvníky či lektory, proč se tak děje. Učení je zde postaveno na vlastním prožitku, díky čemuž návštěvník danou problematiku pochopí a zapamatuje si mnohem snadněji. V Science centrech se pořádají také prohlídky pro školy s výkladem od kvalifikovaného lektora. Školy využívají těchto prohlídek pro zatraktivnění učiva či jako výplň školních výletů.
2.1
iQpark science centrum v Liberci
iQpark science centrum je součástí Centra Babylon, což je kongresový, hotelový a zábavní komplex v centru města Liberec. Jeho celková plocha je 30.000m2 a nachází se zde aquapark, lunapark, zrcadlové bludiště, wellness centrum a již zmiňovaný iQpark. iQpark má otevřeno denně, je otevřený pro širokou veřejnost. Na své si zde přijdou všechny věkové kategorie. Navíc také nabízí speciální programy prohlídek pro školy: • Klasik - program obsahuje úvodní instrukce lektorky a upozornění na zajímavosti. • List - program obsahuje navíc samostatnou práci s pracovním listem. Vyhodnocení pracovního listu proběhne ve škole s pedagogem. • Lektor - program obsahuje lektorský program, který je zaměřen na určitou věkovou skoupinu a má tematicky zaměřený obsah. 10
Obrázek 2.1: Centrum Babylon
2.2
Techmania science centrum v Plzni
Původně regionální technické muzeum o. p. s. změnilo svůj název 1. 9. 2010 na Techmania Scince Center o. p. s., kterou založila společnost ŠKODA INVESTMENT a. s. a Západočeská univerzita v Plzni. Projekt se snaží reagovat na klesající zájem o technické obory. Science centra vnímají jako ve světě osvědčený způsob vedoucí k posílení zájmu o vědu a techniku. Techmania má otevřeno denně od 9 do 17 hodin, hlavní cílovou skupinou jsou děti a mládež. Techmania pro své návštěvníky pravidelně chystá celou řadu vědecko-technických show, které populárním způsobem demonstrují fyzikální nebo chemické jevy. Nabízí se zde široká možnost využití např. pro školní skupiny a pro učitele prakticky všech oborů základních a středních škol napříč osnovami. Názvy některých nabízených programů: • Tekutý dusík • Zajímavá atmosféra • Balónková estráda • Seznamte se s polymery • Století létání Součástí tohoto projektu je i tzv. Edutorium - webová stránka, na které jsou různé fyzikální články, či články o významných vědcích a vynálezcích, ale také různé informace související s exponáty v Techmanii.
2.3
Moravian Science Centre Brno
V Brně v současné době běží projekt Moravian Science Centre Brno (nadále jen „MSCBÿ), který ma za cíl vytvořit v Brně dle [5]: jedinečné, interaktivní a vysoce atraktivní centrum popularizace, propagace a medializace vědy a výzkumu.
11
Obrázek 2.2: Budova Techmanie
Obrázek 2.3: Vizualizace MSCB
Je spolufinancován z fondů Evropské unie, které pokrývají 85% předpokládaných nákladů. Celkové plánované náklady projektu jsou necelých 599 miliónů Kč. Zodpovědnost za přípravu, realizaci a provoz science centra na sebe vzal Jihomoravský kraj. Jako partner s finanční spoluúčastí vystupuje město Brno. Dále se k partnerství na personální a odborné úrovni zavázaly univerzity sídlící v Brně a další instituce. Otevření MSCB se plánuje na září 2014. Expozice bude rozdělena do 4 hlavních tematických celků: 1. Planeta 2. Civilizace 3. Člověk 4. Mikrosvět Součástí také bude Dětské science centrum pro návštěvníky od 2 do 6 let a Herna, kde budou nejzábavnější exponáty ze všech tematických celků. 12
2.4
Svět techniky – Science and Technology Centrum Ostrava
V Ostravě vzniká a do podzimu 2014 má být vybudováno populárně naučné centrum, které se stane zásadní novinkou pro oživení celého moravskoslezského regionu v oblasti vzdělávání volného času. Projekt realizuje zájmové sdružení právnických osob Dolní oblast Vítkovice. Projekt je podporován fondy Evropské unie (pokrývají 70% plánovaných nákladů) a rozpočtem České republiky (12% plánovaných nákladů). Celkové výdaje projektu přesahují 687 miliónů Kč. Partnerem projektu je Vysoká škola báňská - Technická univezita Ostrava a další místní firmy. Všechny umístěné interaktivní exponáty, hry a soutěže budou ve třech jazycích - česky, anglicky a polsky. Plánují se čtyři stále expozice: • Dětský svět • Svět vědy • Svět přírody • Svět civilizace Ve Světě techniky se plánují tyto programy: • Návštěvnický program • Pedagogický program • Partnerský program
2.5
Pevnost poznání v Olomouci
V Olomouci byl v prosinci 2011 oficiálně zahájen projekt Pevnost poznání, který se začal připravovat již v únoru roku 2010. Jeho cílem je vybudování návštěvnického centra, které přilaká děti i mládež k přírodovědným i společenským naukám. Vznikne přestavbou muničního skladu v areálu Korunní pevnůstky v centru Olomouce. Kromě interaktivních expozic budou součástí i laboratoře, ateliéry a studia, které vytvoří zázemí pro školy z blízkého i širokého okolí, pro rodiče či prarodiče s dětmi a pro turisty z domova či zahraničí. Nositelem projektu je Univerzita Palackého v Olomouci ve spolupráci s Městem Olomouc, Olomouckým krajem a dalšími subjekty. Projekt je spolufinancován Evropskými fondy (85% plánovaných nakládů) a rozpočtem České republiky (15% plánovaných nákladů. Maximální výše dotace je necelých 150 miliónů Kč. Vybudování návštěvnického centra má na starosti Přírodovědecká fakulta Univerzity Palackého. Na vzniku jednotlivých expozic se podílí přibližně padesát lidí nejen z Přírodovědecké fakulty. Do pevnosti poznání se chystají expozice s těmito názvy: • Světlo a tma • Voda v krajině
13
Obrázek 2.4: Vizualizace Pevnosti poznání a současný stav
• Do hlubin lidského těla • Věda v pevnosti • Vědecké dílny Ukončení projektu a otevření centra je naplánováno na konec roku 2014.
14
Kapitola 3 Interaktivní pomůcky V této časti práce navrhnu samotné exponáty vhodné pro použití v science centrech. Popis těchto exponátu je pouze návrhem, pro skutečné použití je lze upravit v závislosti na velikosti místa pro expozici, množství finančních prostředků, apod. Každý exponát bude popsán ze tří stran - z hlediska návštěvníka, z hlediska výrobce a z hlediska lektora. Hledisko návštěvníka: Popisuje exponát jako samotný, vysvětluje, jak s exponátem pracovat a na co si dát pozor. Snaží se návštěvníka přilákat, aby si s exponátem pohrál a upozorňuje na možné aplikace demonstrované zákonitosti. Hledisko výrobce: Popisuje, jak by mohl být exponát vyroben (materiál, přibližné rozměry). Hledisko lektora: Blíže vysvětluje princip exponátu - proč to funguje, proč to funguje právě tak, jak to vysvětlit co nejlépe návštěvníkům.
3.1
Pravděpodobnost
3.1.1
Hod jednou kostkou
Pro návštěvníky Hrajete rádi stolní hry? Máte pocit, že se nikdy nemůžete dočkat šestky, abyste mohli opustit domeček v „Člověče, nezlob seÿ? Jak moc jsou tyto subjektivní pocity založeny na faktech? Vemte kostku a hoďte. Jaké číslo vám padlo? Zaznamenejte ho na dotykovém monitoru. Opakujte pro dostatek hodů (podle vlastního uvážení a množství času). Nakonec si nechte zobrazit graf četností vašich hodů (a případně graf četností všech hodů za den/týden/měsíc). Jak bude tento graf vypadat? Bude na pozici četnosti čísla šest propad? Každý přece ví, že šestky padají jen těm ostatním. Nebo bude málo jedniček? Pro výrobce Kostka je klasická šestistěnná hrací, nesmí být „cinkláÿ. Pokud by kostky ležely jen na stole, hrozí nebezpečí krádeže. Toto by šlo vyřešit např. uzavřením kostky do větší krychle (o hraně cca 20 cm), vyrobené z průhledného, odolného materiálu. Potom by stačilo s touto průhlednou krychlí zatřepat/hodit a bylo by možné přečíst hodnotu na kostce. 15
Pro zpracování výsledků je potřeba počítač s dotykovým monitorem - pro jednoduché vkládání výsledků. V počítači musí být software na vkládání a grafickou prezentaci výsledků. Měl by umět zobrazovat graf četností jednotlivých hodnot pro návštěvníka (začal by nové měření), pro tento den/týden/měsíc/za celou dobu. Pro lektory Hod kostkou je příkladem náhodného jevu, kdy každá hodnota má stejnou šanci, že padne. Tím se odlišuje například od součtu dvou hodů kostek, viz dále. Návštěvníky je dobré upozornit, že statistická rovnováha nastane až při velkém počtu hodů a že není nijak neobvyklé, když nám padnou tři (nebo více) stejná čísla po sobě.
3.1.2
Hod dvěma kostkami
Pro návštěvníky Znáte stolní hru „Osadníci z Katanuÿ? Kam je výhodné umístit si počáteční vesnice? Vedle malých nebo velkých čísel? Přesvědčte se sami! Hoďte dvěma kostkami a součet hodnot, který na nich padl zaznamenejte na dotykovém monitoru. Opakujte pro dostatek hodů (podle vlastního uvážení a množství času). Nakonec si nechte zobrazit graf četností vašich hodů (a případně graf četností všech hodů za den/týden/měsíc).
Pro výrobce Kostky jsou klasické šestistěnné hrací, nesmí být „cinkléÿ. Pokud by kostky ležely jen na stole, hrozí nebezpečí krádeže. Toto by šlo vyřešit např. uzavřením kostek do větší krychle (o hraně cca 20 cm), vyrobené z průhledného, odolného materiálu. Potom by stačilo s touto průhlednou krychlí zatřepat/hodit a bylo by možné přečíst hodnoty na kostkách. Pro zpracování výsledků je potřeba počítač s dotykovým monitorem - pro jednoduché vkládání výsledků. V počítači musí být software na vkládání a grafickou prezentaci výsledků. Měl by umět zobrazovat graf četností jednotlivých součtů pro návštěvníka (začal by nové měření), pro tento den/týden/měsíc/za celou dobu. Pro lektory Při sčítání hodnot padlých na dvou kostkách je situace složitější než při hodu jednou kostkou. Např. součet hodnot 2 dostaneme pouze, pokud na obou kostkách padne číslo 1 - uspořádaná dvojice [1,1]. Tedy na první kostce musí padnout jedno konkrétní číslo z šesti (pravděpodobnost 61 ), pro druhou kostku je situace stejná. Tyto hodnoty musí padnout zaráz, tedy pravděpodobnost, že v součtu vyjde číslo 2 je 1 1 1 P2 = . = . (3.1) 6 6 36 Pro součet 3 už máme možností více. Zapsáno uspořádanými dvojicemi [1,2], [2,1], tedy dvě možnosti. Pravděpodonost pro součet 3 tedy bude 1 1 = . 36 18 Ostatní hodnoty přehledně ukazuje obrázek 3.1. P3 = 2.
16
(3.2)
Obrázek 3.1: Pravděpodobnost součtu 2 kostek
3.1.3
Poločas rozpadu
Pro návštěvníky Hoďte všemi kostkami na stole. Kostky, na kterých padne liché číslo, poskládejte do jednoho sloupce na okraj stolu. Se zbývajícími kostkami házejte dále a vždy odstraňte ty, na kterých je liché číslo. Kolik kostek se odstraní při každém hodu? Kolik hodů bude potřeba na odstranění všech kostek? Pro výrobce Na stole jsou připraveny drážky pro odkládání kostek. Kostky jsou šestistěnné hrací, je jich větší množství. Například více jak 20. Pro lektory Při každém hodu se odstraní přibližně polovina kostek, protože je 50% šance, že na kostce padne liché čislo. Jeden hod je tedy náš poločas rozpadu, protože počet kostek se zmenšil na polovinu. Po prvním hodu tedy zbude cca 10 kostek, po druhém přibližně 5, atd. Experiment se dá provádět s větším počtem kostek, nebo s jinými podmínkami. Můžeme odstraňovat pouze kostky, na kterých padne číslo 6. Pravděpodobnost, že na jedné kostce padne číslo 6 je P6 = 61 , tedy po jednom hodu odstraníme přibližně šestinu původního počtu kostek. Pokud označíme Nn počet kostek po n hodech, N0 počet kostek na začátku a P pravděpodobnost odstranění kostky při hodu, pak můžeme psát: Nn = N0 (1 − P )n .
17
(3.3)
Konkrétně pro N0 = 20, P =
1 6
dostáváme: Nn = 20(5/6)n
(3.4)
Výsledky pro některá nastavení ukazuje tabulka 3.1. Hodnoty jsou zaokrouhleny na celá čísla. Z tabulky lze vyčíst, že poločas rozpadu pro pravděpodobnost P6 = 16 jsou
P =
1 6
P =
1 2
n Nn Nn Nn Nn
0 20 30 20 30
1 17 25 10 15
2 3 4 5 6 7 8 14 12 10 8 7 6 5 21 17 15 12 10 8 7 5 3 1 1 0 0 0 8 4 2 1 1 0 0
9 10 4 3 6 5 0 0 0 0
Tabulka 3.1: Teoretický počet zbývajících kostek přibližně 4 hody.
3.1.4
Galtonovo prkno
Pro návštěvníky Ve které přihrádce skončí kulička, když ji vpustíte do tohoto stroje? Tento stroj se nazývá Galtonovo prkno a demonstruje jedno z rozdělení náhodné veličiny - normální nebo Gaussovo rozdělení. Kulička má na každém kolíku stejnou šanci, jestli se vydá vpravo nebo vlevo. A protože do přihrádek, které jsou umístěné uprostřed, vede nejvíce možných cest, naplní se tyto nádoby nejvíc. Zatímco krajní zůstanou téměř prázdné. Pro výrobce Podoba Galtonova prkna je na obrázku 3.2. Pro naše účely je vyhovující, ale počet řad kolíků se může snížit nebo zvětšit, může se změnit šířka mezi kolíky a tedy i šířka přihrádek, atd. Propadnuté kuličky se dají vysypat do zásobníku, odkud by se vytáhly a návštěvníci by je mohli sypat buď po jedné (a sledovat dráhu jedné kuličky) nebo po hrstech (a demonstrovat normální rozdělení) opět do stroje. Kuliček musí být dostatečné množství. Pro lektory Dráhu kuličky můžeme zapsat pomocí posloupnosti písmen L a P. Kulička na každém kolíku pokračuje buď doleva (L) nebo doprava (P). Při počtu 13 kolíků při cestě dolů to bude tedy posloupnost o 13 písmenech (např. LPPLPLPPPLPLL). V takovém případě by nám stačilo 14 přihrádek, do kterých může kulička spadnout (na obrázku 3.2 je jich více, protože občas kulička s velkou rychlostí přeskočí do strany o více než na sousední kolík). Pokud tyto přihrádky označíme pi , kde i = 0,1, . . . ,13, potom vhozená kulička skončí v přihrádce pi , právě když v posloupnosti její cesty bude P (odbočila doprava) právě i-krát. Proto pro p13 existuje jediná cesta, zapsaná: PPPPPPPPPPPPP. Obdobně pro p0 . Pro ostatní přihrádky existuje už více kombinací. Jejich počet se dá zapsat kombinač ním číslem 13i . Z vlastností kombinačních čísel vidíme, že nejvíce cest existuje pro 18
Obrázek 3.2: Galtonovo prkno
prostřední přihrádky, proto budou nejvíce zaplněné kuličkami.
3.2 3.2.1
Kuželosečky - kreslení Elipsa
Pro návštěvníky i) Vemte rydlo, napněte s ním provázek mezi stojany a při napnutém provázku vykreslete v písku obrazec. ii) Položte čistý papír na podložku, zabodněte dva bodce spojené provázkem. Tužkou napněte provázek a vykreslete na papír obrazec. Jaký obrazec vznikne? Jak se změní, když prodloužíme délku provázku? Jak se změní, když posuneme stojany? Pro výrobce i) Na podlaze je umístěna ohrada (např. ze dřeva) naplněná pískem. Ve dvou místech jsou nainstalovány stojany. Stojany je možné přemístit, aby se změnila vzdálenost ohnisek. Mezi stojany je natažen provázek, jehož délka se dá zvětšit či zmenšit utažením na stojanu. Rydlo může být dřevěnná imitace rýče, kterým návštěvník vyznačí elipsu. V uvažované výšce uchycení provazu má násada zářez pro lepší zachycení provázku. ii) Podložka je vyrobena z materiálu, který je možno opakovaně probodávat - zapichávat bodce. Mezi dvěma bodci je natažen provázek s regulovatelnou délkou.
19
Pro lektory Výše uvedená konstrukce elipsy se většinou nazývá zahradnická. Vychází to z jednoduchosti, se kterou se tento postup dá aplikovat i doma (pro milovníky eliptických záhonů). Při konstrukci se využívá faktu, že elipsa je křivka, pro jejíž body platí, že součet vzdáleností každého bodu od obou ohnisek je konstantní - je to zároveň délka provazu mezi oběma stojany: |AX| + |BX| = 2a, (3.5) kde A,B jsou hlavní vrcholy, X je bod elipsy, a je délka hlavní poloosy elipsy a 2a se rovná délce našeho provázku. Při prodloužení provázku se zvětší také a, zatímco excentricita e, která určuje vzdálenost ohniska od středu√elipsy se nezmění (protože se stojany jsme nehýbali). Protože platí e = konst. a e = a2 − b2 , kde b je délka vedlejší poloosy, musí se se zvětšením a také zvětšit b. V limitním případě, když zvětšujeme délku provázku, bude platit e a a e b, tedy excentricita bude zanedbatelně malá vůči délce hlavní a vedlejší poloosy a tedy a ≈ b, což je speciální případ elipsy - kružnice. Při prodloužení provázku tedy dojde k „zakulaceníÿ elipsy. Při přiblížení stojanů (ohnisek) k sobě, dojde opět k „zakulaceníÿ. Argumentovali bychom stejně jako v minulém případě - v limitním připadě by excentricita byla zanedbatelně malá v porovnání s délkou hlavní a vedlejší poloosy a ohniska by splynula v jedno. Naopak při oddálení stojanů od sebe se excentricita zvětší při zachování délky hlavní poloosy - elipsa bude „šišatějšíÿ. Je potřeba dát pozor na možnou chybu při vykreslování elipsy: Musí se kreslit od hlavního vrcholu přes půlelipsu k druhému hlavnímu vrcholu a poté přehodit provázek přes stojan (bodec), aby se nezamotal.
3.2.2
Hyperbola
Pro návštěvníky i) Rameno přibližte ke stojanu, rydlem napněte provázek a přiložte k ramenu. Postupně tlačte na rameno a zároveň udržujte provázek napnutý. Opakujte na druhé straně od stojanu. ii) Položte čistý papír na podložku, zabodněte bodec s provázkem. Přichyťte také pravítko a přiložte ho k bodci. Tužkou napněte provázek a přiložte k pravítku. Tlačte na pravítko a zároveň udržujte provázek napnutý. Opakujte pro druhou stranu od bodce. Jaký obrazec vám vznikne? Pro výrobce i) Na podlaze je umístěna ohrada (např. ze dřeva) naplněná pískem. Na jednom místě (v ohnisku hyperboly) je stojan s namotaným provázkem s regulovatelnou délkou. V druhém ohnisku je druhý stojan s ramenem. Ramenem se dá otáčet okolo stojanu. Na konci ramene je upevněn druhý konec provázku. ii) Podložka je vyrobena z materiálu, který lze opakovaně probodávat. Bodec má na sobě namotaný provázek s regulovatelnou délkou. V druhém ohnisku je připevněno
20
Obrázek 3.3: Konstrukce hyperboly
(přišroubováno či jinak uchyceno) pravítko tak, aby se s ním kolem ohniska dalo otáčet. Na konci pravítka je připevněn druhý konec provázku. Pro lektory Výše uvedená konstrukce je ekvivalentem k zahradnické konstrukci elipsy. Pro hyperbolu platí: ||F1 X| − |XF2 || = 2a,
(3.6)
kde F1 ,F2 jsou ohniska, a je délka hlavní poloosy. Konstrukce je na obrázku 3.3. Proč to funguje? Délka provázku je p = |F2 X| + |XT |, (3.7) délka pravítka je t = |F1 X| + |XT |.
(3.8)
Protože provázek se neodmotává a pravítko se nedeformuje, hodnoty p a t jsou konstantní. Pro plánovanou hyperbolu bude platit: 2a = t − p.
(3.9)
Při změně parametrů (například při použití delšího provázku) samozřejmě dojde ke změně tvaru hyperboly, ale to nám nevadí. Po dosazení 3.7 a 3.8 do 3.9 dostáváme: 2a = |F1 X| + |XT | − |F2 X| + |XT |,
(3.10)
2a = |F1 X| − |F2 X|,
(3.11)
tedy což je (až na vnější absolutní hodnotu, která zajištuje druhou větev hyperboly) přesně definice hyperboly 3.6.
21
3.2.3
Parabola
Pro návštěvníky i) Přibližte kreslící rameno ke stojanu, přiložte rydlo ke kreslícímu ramenu a napněte provázek. Tlačte na rameno a zároveň udržujte provázek napnutý. Opakujte na druhé straně od stojanu. ii) Položte čistý papír na podložku, zabodněte bodec s provázkem. Přiložte T-pravítko k okraji podložky a nohou přisuňte k bodci. Tužku přiložte k pravítku a napněte provázek. Tlačte pravítko pomocí tužky na jednu stranu a zároveň udržujte napnutý provázek. Opakujte pro druhou stranu od bodce. Jaký obrazec vznikne? Pro výrobce i) Na podlaze je umístěna ohrada (např. ze dřeva) naplněná pískem. Na jednom místě je stojan s namotaným provázkem. Okraj ohrady musí být rovný, vyčnívá z něho rameno, na jehož konci je upevněn druhý konec provázku. Provázek je dlouhý stejně jako vyčnívající rameno. S ramenem se dá pohybovat podél okraje ohrady. ii) Podložka je vyrobena z materiálu, který lze opakovaně probodávat. Bodec má na sobě namotaný jeden konec provázku. Na kraji podložky je zvednutá hrana pro opření T-pravítka. Na konci „nohyÿ T-pravítka je upevněn druhý konec provázku. Provázek má stejnou délku jako „nohaÿ T-pravítka. Pro lektory Výše uvedená konstrukce je ekvivalentem k zahradnické konstrukci elipsy. Pro parabolu platí: |F X| = |Xd|,
(3.12)
kde F je ohnisko paraboly (náš stojan/bodec), X je bod paraboly a d je řídící přímka (u nás okraj ohrady/podložky). Konstrukce je na obrázku 3.4. Proč to funguje? Délka provázku je p = |F X| + |XT |, (3.13) délka pravítka je t = |P X| + |XT |.
(3.14)
Řekli jsme si, že provázek bude mít délku stejnou jako délka pravítka, tedy p = t.
(3.15)
Dosazením 3.13 a 3.14 do 3.15 dostáváme |F X| + |XT | = |P X| + |XT |. Po odečtení |XT | dostáváme přesně rovnici 3.12, což je definice paraboly. Porovnání Klady
Zápory
i) Názornější Větší obrazce Všechno na jednom pískovišti Rozházený písek Prostorově náročné 22
ii) Prostorově nenáročné Návštěvník získá suvenýr Potřeba papír a propisky
(3.16)
Obrázek 3.4: Konstrukce paraboly
3.3 3.3.1
Kuželosečky - kulečník Elipsa
Pro návštěvníky Hrajete rádi kulečník? Zahrajte si ho na neobvyklém stole. Položte si kouli kamkoliv na stůl a zkuste ji potopit odrazem od hrany stolu! Jak moc záleži na vaší šikovnosti a jak moc na poloze koule? Pro výrobce Stůl je dřevěný, má tvar elipsy a zvedlé okraje (jako u klasického kulečníkového stolu), ale nemá na okrajích díry na potápění koulí. Poloha jednoho ohniska je vyznačena jinou barvou než barvou plátna, na místě druhého ohniska je díra na potopení koule. Pro lektory Exponát využívá vlastnosti elipsy - každý paprsek vycházející z jednoho ohniska se odrazí do druhého ohniska. Proto každá koule zahraná z ohniska dopadne do toho druhého. Je potřeba upozornit, že rotace koule samozřejmě může tuto vlastnost naprosto zrušit. Proto je potřeba trefit kouli do středu, vyvarovat se úderům na kraj.
3.3.2
Parabola
Pro návštěvníky Vyzkoušeli jste kulečník na stole ve tvaru elipsy? Nuže, zkuste to také na tomto stole ve tvaru paraboly. Položte si kouli kdekoliv na vyznačenou čáru a opět ji zkuste potopit odrazem od hrany stolu.
23
Pro výrobce Stůl je dřevěný, má tvar paraboly a zvedlé okraje (jako u klasického kulečníkového stolu). Na straně, kde se parabola rozevírá, je ukončen, aby nebyl otevřený. Kousek od ukončení je vyznačena „startovní čáraÿ. Na místě ohniska je díra na potopení koule. Pro lektory Všechny paprsky paraboly rovnoběžné s její osou se po odraze odráží do ohniska. Proto je také potřeba šťouchnout do koule rovně. Nezáleží na tom, jak moc je koule posunuta do strany. Nicméně stále je potřeba snažit se eliminovat boční rotace udané kouli při odpalu.
3.4
Délka kružnice
Pro návštěvníky Představte si dlouhé lano obepínající těsně celou naši planetu. Na jednom místě toto lano rozpojíme, prodloužíme o jeden metr a opět spojíme. Pokud lano opět napneme do tvaru kružnice, jak vysoko nad zemským povrchem bude? Vyzkoušejte si to sami na menších kružnicích. Zatočte lana o délkách 1, 2 a 3 metry do kružnic se společným středem a změřte vzdálenosti jednotlivých kružnic. Jaká bude tato vzdálenost? Pro výrobce Je potřeba připravit lana (silné provazy) o délkách 1, 2, 3 metry (případně další). Dále je potřeba zajistit pravítko/posuvné měřítko. Pro lepší vytvarování kružnic je možné vyrobit i formy z plastu. Pro lektory o . Když tedy Obvod kruhu se vypočítá dle vzorce o = 2πr. Poloměr je tedy r = 2π chceme zjistit rozdíl poloměrů (a tedy vzdálenost obvodů dvou soustředných kružnic), počítáme: o2 − o1 r2 − r1 = . (3.17) 2π Tedy pro rozdíl obvodů o2 − o1 = 1:
r2 − r1 =
1 ≈ 0,16. 2π
(3.18)
Vidíme tedy, že výsledek je nezávislý na původním poloměru a každá další kružnice bude mít poloměr přibližně o 16 cm větší. Proto i prodloužený provaz natažený kolem Země bude viset 16 cm nad povrchem.
3.5
Nejkratší cesta
Pro návštěvníky Beruška leze po povrchu krychle z jednoho vrcholu do druhého vrcholu. Pomozte jí najít nejkratší cestu. Přiložte provázek podél cesty, chyťte ho za oba konce a poté 24
změřte jeho délku. Jak dlouhá bude nejkratší cesta? Jaký bude mít tvar? Pro výrobce i) Krychle je malá (o straně cca 20 centimetrů). Pro vyznačení trasy a zároveň změření vzdálenosti se použije buď provázek, nebo ohebné měřidlo na způsob krejčovského metru. ii) Krychle je větší, velikostí vhodná také na sezení - pro odpočinutí návštěvniků nebo při poslouchání výkladu. Pro změření vzdálenosti se opět použije provázek - návštěvníci si můžou své výsledky porovnat. Pro lektory Nejkratší cesta vede dvěma sousedními stěnami, prochází také středem jejich společné hrany. Nejjednodušeji se to ověří rozložením krychle na její síť a vedením přímky. V rovině je přímka nejkratší spojnice dvou bodů. Celkem těcho nejkratších cest existuje šest. Jejich délka bude d2 = (2a)2 + a2 , √ d = 5a,
(3.19) (3.20)
kde a je délka strany krychle. Poznámka Místo krychle se dá použít také kvádr. Postup i výsledek by byl analogický ke krychli.
3.6
Pythagorova věta
Pro návštěvníky Pythagorova věta: „Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku se rovná součtu obsahů čtverců sestojených nad oběma odvěsnami.ÿ Kdo by tuto větu někdy ve škole neslyšel, ale opravdu platí? Přesvědčte se sami! Pro výrobce Na otočném kruhu je přidělán hranol s podstavou pravoúhlého trojúhelníku. Nad všemi jeho stranami jsou sestrojeny skleněné kvádry s podstavou čtverce o straně jednotlivých stran. Uvnitř je napuštěna obarvená tekutina. Množství tekutiny odpovídá objemu největšího kvádru. Místem, kde se potkávají jednotlivé kvádry, může protékat voda, aby se při otočení přelila z největšího kvádru do obou menších. Výška kvádrů je u všech stejná a je malá v porovnání s ostatními rozměry - slouží pouze k vytvoření nutného objemu. Pro lektory Pythagorova věta platí pro každý pravoúhlý trojúhelník a při obvyklém značení (c je délka přepony, a, b jsou délky odvěsen) se dá zapsat c 2 = a2 + b 2 . 25
(3.21)
3.7 3.7.1
Eukleidova věta O výšce
Pro návštěvníky V pravoúhlém trojúhelníku neplatí pouze Pythagorova věta, ale také Eukleidova věta o výšce. Tato věta není tak populární, nicméně není o tolik těžší na zapamatování. Věta říká: „Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníku sestrojeného z úseků přepony rozseklé výškou.ÿ Pro výrobce Na otočném kruhu je výrazně namalovaný pravoúhlý trojúhelník s výškou. Na výšce je připevněný skleněný kvádr se čtvercovou podstavou o straně délky výšky. Na jednom úseku přepony, která je rozdělena na 2 úseky výškou, je připevněn druhý skleněný kvádr s obdélníkovou podstavou o rozměrech obou úseků přepony. Jeden kvádr je naplněn tekutinou, která může mezi oběma kvádry protékat a tím demonstrovat Eukleidovu větu o výšce. Oba kvádry musí mít stejnou výšku. Pro lektory Označíme strany v pravoúhlém trojúhelníku standartním značením: a, b jsou odvěsny, c je přepona a ca , cb jsou části přepony rozdělené výškou a přilehlé k jedné nebo druhé odvěsně a v je výška (nad přeponou). Eukleidova věta o výšce se dá potom zapsat: v 2 = ca cb .
3.7.2
(3.22)
O odvěsně
Pro návštěvníky V pravoúhlém trojúhelníku neplatí pouze Pythagorova věta, ale také Eukleidova věta o odvěsně. Tato věta není tak populární, nicméně není o tolik těžší na zapamatování. Věta říká: „Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníku sestrojeného z přepony a úseku přepony rozseklé výškou a přiléhající k odvěsně.ÿ Pro výrobce Na otočném kruhu je výrazně namalovaný pravoúhlý trojúhelník s výškou. Na jedné z odvěsen je připevněný skleněný kvádr se čtvercovou podstavou o straně délky odvěsny. Na přeponě je připevněný druhý skleněný kvádr s obdélníkovou podstavou o rozměrech přepony a úseku přepony (rozdělené výškou) přilehlé k odvěsně, u které je první kvádr. Jeden kvádr je naplněn tekutinou, která může mezi oběma kvádry protékat a tím demonstrovat Eukleidovu větu o odvěsně. Oba kvádry musí mít stejnou výšku. Pro lektory Označíme strany v pravoúhlém trojúhelníku standartním značením: a, b jsou odvěsny, c je přepona a ca , cb jsou části přepony rozdělené výškou a přilehlé k jedné nebo druhé
26
odvěsně. Eukleidova věta o odvěsně se dá potom zapsat (podle toho, kterou odvěsnu zvolíme): a2 = cca , b2 = ccb .
(3.23) (3.24)
Poznámky Obě Eukleidovy věty by bylo možné demonstrovat i na pískovišti použitém při konstrukci kuželoseček. Byly b potřeba různé nádoby o rozměrech odvěsen, výšky, přepony a úseků přepony pravoúhlého trojúhelníku, které by se naplnily pískem a tím demonstrovaly Eukleidovu větu. Příklady rozměrů: Trojúhelník: a = 60cm, b = 80cm, c = 100cm. Podstavy kvádrů (v centimetrech): • 48 na 48 • 36 na 64 • 80 na 80 • 100 na 64 • 60 na 60 • 100 na 36 Tyto kvádry by stačily na demonstraci obou vět o odvěsnách i věty o výšce.
3.8 3.8.1
Möbiův list Papír
Pro návštěvníky Každý papír má 2 strany, řekněme rub a líc. Existují ale i předměty, které mají pouze jednu stranu? Vezměte si kousek papíru, stočte do kroužku, jeden konec přetočte o 180◦ a oba konce slepte. Nyní obarvěte jednu stranu nějakou barvou. Co se stane? Vezměte si nůžky a začněte stříhat uprostřed podél celého listu. Co vznikne? Co by vzniklo, kdyby jste nestříhali uprosřed, ale v jedné třetině listu? Pro výrobce Pro exponát je potřeba nachystat dlouhé listy papíru, lepidlo a nůžky. Möbiův list si každý návštěvník již vytvoří sám. Möbiovy listy je možné předvyrobit, ale návštěvníci by přišli o názornou ukázku vzniku.
27
Pro lektory Möbiův list je příkladem geometrického útvaru, který má jen jeden povrch. Proto při obarvování nám vystačí jedna barva a obarvíme celý list (narozdíl od obyčejného listu papíru, jehož strany můžeme obarvit každou jinak). Kdybychom chtěli obarvit pouze okraj, vystačíme si také s jednou barvou - Möbiův list má jen jeden okraj (narozdíl od řemínku hodinek, kde jsou dva okraje). Při střihání Möbiova listu vznikají další zajímavé útvary. Při stříhání prostředkem vznikne list, který má proti původnímu dvojnásobnou délku, poloviční šířku a 2 povrchy. Tedy už to není Möbiův list. Nicméně to není ani obyčejný kroužek, protože je dvakrát přetočený (Möbiův list je pouze jednou přetočený). Při střihání v jedné třetině Möbiova listu dostaneme opět list, který má proti původnímu dvojnásobnou délku, ale třetinovou šířku a 2 povrchy, je dvakrát přetočený. Tento kroužek bude spojený (jako řetěz) s druhou částí, kterou je opět Möbiův list se stejnou délkou, ale třetinovou šířkou. Návštěvníci si můžou vzniklé útvary odnést jako suvenýry.
3.8.2
Plast
Pro návštěvníky Sledujete závody silničních vozidel? Chtěli byste také závodit? Vyzkoušejte si závod na této dráze. Co je na ní zvláštního? Kde se ocitnete po jednom okruhu? Co je vlastně jeden okruh na této dráze? Bylo by možné uskutečnit závody na takovémto závodním okruhu? Pro výrobce Möbiův list je vyroben z plastu (nebo jiného vhodného materiálu) a zavěšen v prostoru. Je větší, aby manipulace s ním byla názorná (v průměru aspoň metr a půl). Ve třetině a v polovině šířky jsou vyryty dráhy pro jízdu modelů aut. Modely aut (nebo jiných dopravních prostředků) mohou být ze dřeva, plastu nebo jiných materiálů. Pro lektory Möbiův list opravdu vykazuje některé zajímavé vlastnosti. Například když pojedeme s autem po jednom okraji, musíme kolem listu projít dvakrát, abychom se dostali na původní místo. Je to opět důsledek pouze jednoho povrchu listu. Bohužel závody by určitě nebylo možné uskutečnit, protože by se muselo závodit po obou stranách silnice. To by nebylo možné například kvůli gravitaci (ale také z konstrukčních důvodů).
28
Závěr Science centra jsou v České republice na vzestupu. Podařilo se zajistit dotace z Evropských fondů na jejich vybudování. Můžeme tedy doufat, že opravdu podpoří zájem mladých lidí o přírodní vědy. Navrhl jsem některé z mnoha možných interaktivních pomůcek. Soustředil jsem se na pomůcky demonstrující matematické zajímavosti. Jejich výčet nemůže být úplný, tak jako nemůže být úplný seznam nápadů a inovací, které by studenty přiměly k bližšímu studiu matematiky nebo aspoň zlepšily vztah studentů k matematice.
29
Literatura [1] HARTL, P.: Psychologický slovník, Budka, Praha, 1994 (str. 110). [2] PETTY, G.: Moderní vyučování, Portál, Praha, 1996. [3] PRŮCHA, J.; WALTEROVÁ, E.; MAREŠ, J.: Pedagogický slovník, Portál, Praha, 1995 (str. 122). [4] VLACHOVÁ, M.: MF WEB: Zajímavé úlohy [online]. Citováno 20. 4. 2012. Dostupné z http://mfweb.wz.cz/ulohy/index.htm. [5] DRAŽAN, S.: Úvod @ Moravian Science Centre [online]. Citováno 10. 5. 2012. Dostupné z http://www.mscb.cz/. [6] Techmania [online]. Citováno 10. 5. 2012. Dostupné z http://www.techmania.cz. [7] VLACHOVÁ, M.: Techmania - Edutorium [online]. Citováno 10. 5. 2012. Dostupné z http://www.techmania.cz/edutorium. [8] TROW, P.: The Normal Curve and Galton’s Board [online]. Citováno 16. 5. 2012. Dostupné z http://ptrow.com/articles/Galton_June_07.htm. [9] Binomické rozdělení [online]. Citováno 16. 5. 2012. Dostupné z http://www. george11.eu/matematika/clanky/Binom.pdf. [10] Möbius Strip [online]. Citováno 16. 5. 2012. Dostupné z http://mathworld. wolfram.com/MoebiusStrip.html. [11] Zajímavé topologické útvary [online]. Citováno 16. 5. 2012. Dostupné z http:// hyperkrychle.cz/topologie.html. [12] O projektu — Pevnost poznání [online]. Citováno 18. 5. 2012. Dostupné z http: //www.pevnostpoznani.cz/. [13] Science Center History FAQ [online]. Citováno 18. 5. 2012. Dostupné z http:// www.astc.org/about/pdf/Backgrounders/ScienceCenterHistory2009.pdf. [14] Deutsches Technikmuseum Berlin [online]. Citováno 18. 5. 2012. Dostupné z http: //www.ifh.de/CHEP97/museum.htm. [15] Svět techniky Ostrava [online]. Citováno 18. 5. 2012. Dostupné z http://www. svet-techniky-ostrava.cz/cz/index.php. [16] Fotogalerie — CENTRUM BABYLON LIBEREC [online]. Citováno 21. 5. 2012. Dostupné z http://www.centrumbabylon.cz/cs/babylon/fotogalerie/.
30
