INTEGRASI Matematika Industri I

INTEGRASI Matematika Industri I TIP – FTP – UB

Matematika Industri I

Pokok Bahasan • Pendahuluan • Fungsi dari suatu fungsi linear x • Integral berbentuk  f ' ( x) dx dan  f ( x). f ' ( x)dx f ( x)

• Integrasi hasilkali – Integrasi per bagian • Integrasi dengan pecahan parsial • Integrasi fungsi-fungsi trigonometris Matematika Industri I

Pokok Bahasan • Pendahuluan • Fungsi dari suatu fungsi linear x • Integral berbentuk  f ' ( x) dx dan  f ( x). f ' ( x)dx f ( x)

• Integrasi hasilkali – Integrasi per bagian • Integrasi dengan pecahan parsial • Integrasi fungsi-fungsi trigonometris Matematika Industri I

Pendahuluan • Integrasi adalah kebalikan dari diferensiasi d 3 ( x )  3 x 2 and dx

2 3 3 x dx  x C 

• C merupakan konstanta integrasi

Matematika Industri I

Pendahuluan • Integral-integral standar d n ( x )  nx n 1 dx d 1 (ln x)  dx x d x (e )  e x dx d kx (e )  kekx dx

x n 1  x dx  n  1  C 1  x dx  ln x  C n

x x e dx  e C 

e kx  e dx  k  C kx

d x (a )  a x ln a dx d (cos x)   sin x dx d (sin x)  cos x dx d (tan x)  sec2 x dx

Matematika Industri I

ax  a dx  ln a  C x

 sin xdx   cos x  C  cos xdx  sin x  C 2 sec  xdx  tan x  C

Pendahuluan d (cosh x)  sinh x dx d (sinh x)  cosh x dx d 1 (sin 1 x)  dx 1  x2 1 d (cos1 x)  dx 1  x2

 sinh xdx  cosh x  C  cosh xdx  sinh x  C  

1 1  x2 1 1  x2

dx  sin 1 x  C dx  cos 1 x  C d 1 (tan 1 x )  1  x2 dx 1 d (sinh 1 x)  dx x2  1 d (cosh 1 x)  dx

1

x2  1 d 1 (tanh 1 x)  dx 1  x2

Matematika Industri I

1 1 tan dx  xC  1  x2 1 1 sinh dx  xC  x2  1 1 1 dx  xC cosh  x2  1 1 1  1  x 2 dx  tanh x  C

Pokok Bahasan • Pendahuluan • Fungsi dari suatu fungsi linear x • Integral berbentuk  f ' ( x) dx dan  f ( x). f ' ( x)dx f ( x)

• Integrasi hasilkali – Integrasi per bagian • Integrasi dengan pecahan parsial • Integrasi fungsi-fungsi trigonometris Matematika Industri I

Fungsi dari Suatu Fungsi Linear x • Jika • Maka

 f ( x ) dx  F ( x )  C



F ( ax  b ) f ( ax  b ) dx  C a

• Contoh: 7 x 6 x  dx  7  C so that

7 (5 x  4) 6 (5 4) x  dx  C  75

Matematika Industri I

Pokok Bahasan • Pendahuluan • Fungsi dari suatu fungsi linear x • Integral berbentuk  f ' ( x) dx dan  f ( x). f ' ( x)dx f ( x)

• Integrasi hasilkali – Integrasi per bagian • Integrasi dengan pecahan parsial • Integrasi fungsi-fungsi trigonometris Matematika Industri I

Integral berbentuk a) 

f ' ( x) dx dan  f ( x). f ' ( x)dx f ( x)

f ( x ) 1 dx   df ( x)  ln f ( x)  C f ( x) f ( x)

Contoh:

2x  3 d ( x 2  3 x  5) 2 dx   x  3x  5  C ln   x 2  3x  5  x 2  3x  5 f ( x)  f ( x)df ( x) 

2

b)  f ( x) f ( x)dx   Contoh:

2

C

tan 2 x  tan x sec xdx   tan xd (tan x)  2  C 2

Matematika Industri I

Pokok Bahasan • Pendahuluan • Fungsi dari suatu fungsi linear x • Integral berbentuk  f ' ( x) dx dan  f ( x). f ' ( x)dx f ( x)

• Integrasi hasilkali – Integrasi per bagian • Integrasi dengan pecahan parsial • Integrasi fungsi-fungsi trigonometris Matematika Industri I

Integrasi Hasilkali – Integrasi per Bagian • Rumus bagian  u ( x)dv( x)  u ( x)v( x)   v( x)du ( x) • Contoh:  xe dx   u ( x)dv( x)  u ( x)v ( x )   v ( x )du ( x) where x

u ( x)  x so du ( x)  dx

dv( x)  e x dx so v ( x )  e x  x.e x   e x dx  xe x  e x  C Matematika Industri I

Pokok Bahasan • Pendahuluan • Fungsi dari suatu fungsi linear x • Integral berbentuk  f ' ( x) dx dan  f ( x). f ' ( x)dx f ( x)

• Integrasi hasilkali – Integrasi per bagian • Integrasi dengan pecahan parsial • Integrasi fungsi-fungsi trigonometris Matematika Industri I

Integrasi dengan Pecahan Parsial • Jika integran merupakan pecahan aljabar yang dapat dipisahkan ke dalam bentuk pecahan-pecahan parsialnya maka pecahan parsialnya dapat diintegralkan secara terpisah x 1 2   3 dx   • Contoh:  x  3x  2   x  2 x  1  dx 2



 3 2 dx   dx  x2 x 1  3ln( x  2)  2ln( x  1)  C

Matematika Industri I

Pokok Bahasan • Pendahuluan • Fungsi dari suatu fungsi linear x • Integral berbentuk  f ' ( x) dx dan  f ( x). f ' ( x)dx f ( x)

• Integrasi hasilkali – Integrasi per bagian • Integrasi dengan pecahan parsial • Integrasi fungsi-fungsi trigonometris Matematika Industri I

Integrasi Fungsi-fungsi Trigonometris • Banyak integral dengan integran trigonometik dapat dipecahkan setelah menggunakan identitas trigonometrik • Contoh: sin 2 xdx  1 1  cos 2 x  dx



2

1 1   dx   cos 2 xdx 2 2 x sin 2 x   C 2 4 Matematika Industri I

Hasil Pembelajaran • Mengintegrasi fungsi-fungsi standar dengan menggunakan tabel bentuk-bentuk standar • Mengintegrasi fungsi yang berbentuk linear • Menghitung integral yang integrannya berbentuk f’(x)/f(x) dan f(x).f’(x) • Mengintegrasi per bagian • Mengintegrasi dengan menggunakan pecahan parsial • Mengintegrasi fungsi-fungsi trigoometrik Matematika Industri I