Inovace studijního oboru Dopravní a manipulační technika s ohledem na potřeby trhu práce

Projekt CZ.1.07/2.2.00/15.0383 Inovace studijního oboru Dopravní a manipulační technika s ohledem na potřeby trhu práce

Mechanika vozidel Doprovodný učební text

Jaromír Švígler

2013

2

Obsah Předmluva............................................................................................................................. 5 Úvod ..................................................................................................................................... 6 Hlavní použitá označení ....................................................................................................... 7 1 Valení automobilového kola ............................................................................................ 11 1.1 Základní pojmy ....................................................................................................... 11 1.2 Kinematika valení kola ........................................................................................... 14 1.2.1 Geometrické parametry kola ...................................................................... 14 1.2.2 Základní případy valení kola...................................................................... 18 1.3 Silové poměry při rovnoměrném valení kola ......................................................... 20 1.4 Pohybové stavy kola, tok výkonů ........................................................................... 25 1.5 Silové poměry při nerovnoměrném valení kola ...................................................... 28 2 Valení pneumatiky na tuhém podkladu ............................................................................ 30 2.1 Valení bez působení boční síly ............................................................................... 30 2.1.1 Silové poměry v dotykové plošce .............................................................. 30 2.1.2 Soudržnost pneumatiky s vozovkou........................................................... 30 2.1.2.1 Součinitelé soudržnosti .............................................................. 34 2.2 Valení při působení boční síly ................................................................................ 41 2.2.1 Ustálené stavy valení.................................................................................. 44 2.2.1.1 Valení nenaklopené pneumatiky po přímé dráze ....................... 44 2.2.1.2 Valení naklopené pneumatiky po kruhové dráze ....................... 47 2.2.1.3 Valení pneumatiky při působení boční a podélné síly ............... 49 2.2.1.4 Mezní součinitelé soudržnosti .................................................... 51 2.2.1.5 Pneumatika na mezi bočního smyku .......................................... 52 2.2.2 Neustálené stavy valení .............................................................................. 54 3 Statická analýza vozidlových mechanismů ...................................................................... 57 3.1 Vektorová analýza .................................................................................................. 57 3.2 Maticová analýza .................................................................................................... 60 4 Kinematická analýza vozidlových mechanismů .............................................................. 68 4.1 Vektorová analýza .................................................................................................. 70 4.1.1 Řešení univerzálního Hookeova kloubu .................................................... 70 4.1.2 Řešení sférických mechanismů .................................................................. 74 4.2 Maticová analýza .................................................................................................... 78 4.2.1 Rychlost bodu tělesa .................................................................................. 82 4.2.2 Zrychlení bodu tělesa ................................................................................. 83 5 Kinematická syntéza vozidlových mechanismů ............................................................... 96 5.1 Blochova metoda komplexních čísel ...................................................................... 96 5.2 Maticová metoda postupných oprav ....................................................................... 99 5.2.1 Maticová metoda určení polohy mechanismu ............................................ 99 5.2.2 Matice oprav ............................................................................................. 100 5.2.3 Syntéza mechanismu ................................................................................. 101 5.2.3.1 Základní rovnice syntézy .......................................................... 102 5.2.3.2 Určení rozměrů mechanismu .................................................... 103 5.3 Kinetická metoda ................................................................................................... 103 5.3.1 Středy křivosti trajektorií a obálek ............................................................ 104 5.3.2 Závěsná zařízení kol automobilů .............................................................. 107 5.3.2.1 Nezávislá zavěšení .................................................................... 108 5.3.2.2 Závislá zavěšení ........................................................................ 110 5.3.2.3 Rejdová osa ............................................................................... 111 5.3.3 Syntéza zavěšení předního kola automobilu ................................ 116 5.3.4 Syntéza mechanismu řízení .......................................................... 121 Literatura ............................................................................................................................ 126

3

Předmluva Tato skripta jsou určena pro posluchače předmětu Mechanika vozidel, který se přednáší na katedře mechaniky na Fakultě aplikovaných věd na Západočeské univerzitě v Plzni. Cílem skript je dát studentům teoretický základ použitelný jak v silničních vozidlech, tak i ve vozidlech železničních a vytvořit tak potřebný předpoklad pro porozumění principům a navazujícím postupům, které se při konstruování vozidel používají a dále poskytnout nezbytně nutné množství znalostí pro další samostatné hlubší studium a zkoumání jevů, které se v konstrukci a provozu vozidel vyskytují. V daném rozsahu skript nebylo možné zachytit celý široký teoretický základ tak složitých mechanismů, jakými vozidla nepochybně jsou a proto bylo nutné některé, byť i významné části teoretického základu vypustit, případně silně redukovat. Budu vděčen za jakékoliv připomínky k předkládanému učebnímu textu.

Autor

4

Úvod Obsah skript je rozdělen do 10 kapitol, ze kterých čtyři kapitoly 1, 2, 5, 7 jsou úzce zaměřeny na silniční vozidla, další čtyři kapitoly 3, 4, částečně 5, 6, mají obecný charakter a jsou věnované teorii soustav těles a mechanismům a dvě kapitoly 8, 9 jsou věnovány kolejovým vozidlům. Kapitola 10, která se zabývá dynamikou vozidel ve svislém směru, je společná pro vozidla silniční a kolejová. Důraz při výkladu látky v jednotlivých kapitolách je kladen na teoretický základ a na jeho přiblížení studentům formou aplikace na vozidlové, nebo jim blízké mechanismy. Měl by tak vzniknout základ pro použití v konstrukčních předmětech, které na teorii mohou navazovat, nebo se s ní prolínat. Vektory jsou ve skriptech označovány tučnými písmeny a skalární veličiny písmeny s normální tloušťkou. Složky vektorů ve směru příslušných souřadnicových os jsou značeny, stejně jako skalární veličiny, normální tloušťkou. Pro studium skript se předpokládají znalosti odpovídající absolvování základních kurzů mechaniky pro studenty strojní fakulty ZČU v Plzni, tedy předměty Mechanika I. a II.

5

Hlavní použitá označení

1

Valení automobilového kola

α .......................................... úhel směrové úchylky kola

Ro ≡ ( i o , jo , k o ) ..................... základní souřadnicový systém Rv ≡ ( i v , jv , k v ) ...................... souřadnicový systém vozidla ω k , v k .................................... kinematické veličiny kola Fx ......................................... tečná obvodová síla Fk ......................................... tečná hnací síla Fz ......................................... normálová síla O f ........................................ odpor valení f v ......................................... součinitel odporu valení δ .......................................... měrný skluz kola µ x , µ k .................................. součinitel obvodové a hnací síly

µ v = ϕ ................................... součinitel adhese µ s = f ................................... součinitel podélného tření (součinitel soudržnosti skluzu) 2

Valení pneumatiky na tuhém podkladu

µ x i ........................................ stacionární elementární součinitel soudržnosti µ y i ........................................ stacionární elementární součinitel příčné soudržnosti µ s i ........................................ třecí elementární součinitel soudržnosti u ........................................... směrová tuhost pneumatiky

η ........................................... pneumatický závlek µ x v ....................................... součinitel stacionární podélné soudržnosti µ yv ....................................... součinitel stacionární příčné soudržnosti µ x ......................................... součinitel soudržnosti valení (stacionární součinitel soudržnosti) κ x ......................................... součinitel posunutí obvodové síly Fx

κ z ......................................... součinitel posunutí radiální reakce Fz k y ......................................... boční tuhost pneumatiky

k z .......................................... radiální (vertikální) tuhost pneumatiky

ξ z ......................................... vratná tuhost rotující pneumatiky kolem svislé osy

6

ξ zo ........................................ vratná tuhost stojící pneumatiky kolem svislé osy t k , t b ...................................... tečny ke střednici kostry a k běhounu pneumatiky v bodě

náběhu pneumatiky na vozovku

σ .......................................... relaxační délka pneumatiky σ ∗ ......................................... odvozená relaxační délka pneumatiky Fy i ........................................ elementární boční síla v dotykové plošce Fz i ........................................ elementární radiální síla v dotykové plošce f y ......................................... součinitel příčného tření

∆z ......................................... radiální deformace pneumatiky ∆y ......................................... boční deformace pneumatiky ∆ xi , ∆ yi ................................. podélné a boční deformace elementu pneumatiky

α .......................................... úhel směrové úchylky M F α mez ,α mez ............................... mezné úhly směrové úchylky pro vratný moment pneumatiky

M z a pro boční sílu Fη v ........................................... rychlost bodu hrany dotykové plošky při směrové úchylce α kr , ξ zr ................................... konstanty pro určení boční síly Fy a vratného momentu M z při valení pneumatiky po kruhové dráze

Statická analýza vozidlových mechanismů

3 R

F=

[

R

Fx , R Fy , R Fz

]

T

[

]

, R M = R M x , R M y , R M z T …… vektory síly a momentu vyjádřené v maticovém tvaru v souřadnicovém systému R

S Ri R j (ψ ) ..................... matice pootočení souřadnicového systému Ri vzhledem k systému R j .............................. jednotková matice Ri rL .............................. polohový vektor bodu L v souřadnicovém systému Ri

I

[

]

xL , Ri y L , Ri z L ..... bod L určený v prostoru Ri svými souřadnicemi

Ri

L

Rj

rΩi ............................ polohový vektor počátku souřadnicového systému Ri vyjádřený

Ri

v souřadnicovém systému R j Rj

rOi L ........................... polohový vektor bodu L vzhledem k bodu Oi vyjádřený v prostoru R j

~ TRi R j ............................ transformační

matice

silových

účinků

(souřadnicového systému) Ri do prostoru R j 7

F

a

M

z prostrou

R Ri R j ........................... matice paralelního posunutí síly F z prostoru Ri do prostoru R j ~ T ... matice silových účinků F a M vyjádřených v prostoru Ri Ri FF , M = Ri F, Ri M

[

]

Ri ≡ (i i , ji , k i ) ............... prostor Ri určený souřadnicovým systémem s jednotkovými vektory i i , ji , k i (F ) ............................... posunutý vektor síly M BA ............................. moment síly v bodě B k bodu A

Kinematická analýza vozidlových mechanismů

4

................................... počet stupňů volnosti vázané mechanické soustavy ................................... kinematická dvojice j-té třídy σ ......................................počet stupňů volnosti odebraných vazbou = počet neznámých silových účinků ve vazbě R ≡ (i, j, k ) ........................ základní, nehybný, souřadnicový systém Rξ ≡ (i ξ , jξ , k ξ ) .................. souřadnicový systém pevně spojený s tělesem při sférickém pohybu i j

R1 ≡ (i1 , j1 , k1 ) .................... souřadnicový systém vzniklý při sférickém pohybu ze systému R otočením kolem osy z o úhel precese ψ R2 ≡ (i 2 , j2 , k 2 ) .................. souřadnicový systém vzniklý při sférickém pohybu ze systému R1 otočením kolem osy x1 o úhel mutace υ R j ≡ ( j e1 , j e 2 , j e3 ) ............ souřadnicový systém j-tého prostoru, stručně také nazývaný j-tý prostor, určený bází jednotkových vektorů j ei I ....................................... jednotková matice S Ri R j ................................. matice pootočení prostoru Ri vzhledem k prostoru R j Ri

rL ................................... polohový vektor bodu L v prostoru Ri

Ri

uL = r =

Ri L

TRi R j

T

Ri Ri

xL , Ri yL , Ri z L ,1 . polohový vektor bodu L vyjádřený v prostoru Ri

xL , Ri y L , Ri z L ,1 T ..polohový vektor bodu L vyjádřený v prostoru Ri rozšířenými

(homogenními) souřadnicemi ................................. transformační matice vyjadřující pohyb prostoru Ri vzhledem k prostoru R j

e ..................................... jednotkový vektor i-té souřadnice prostoru R j

j i

VR2 R1 ................................. matice rychlosti prostoru R2 vzhledem k prostoru R1 Ω R2 R1 ≡ Ω R21 ...................... matice úhlové rychlosti prostoru R2 vzhledem k prostoru R1

A R2 R1 ................................ matice zrychlení prostoru R2 vzhledem k prostoru R1 J R2 R1 ≡ J R1 ......................... matice úhlového zrychlení prostoru R2 vzhledem k prostoru R1 ~ A R1 R2 ................................ matice úplného zrychlení prostoru R2 vzhledem k prostoru R1 x, y ................................... rovina určená souřadnicovými osami x, y

8

Kinematická Syntéza vozidlových mechanismů

5

Blochova metoda komplexních čísel

e

................................... jednotkový vektor, e = e =1

i ................................... imaginární jednotka v Gaussově rovině komplexních čísel ~ a = a e iϕ ............................ komplexní tvar vektoru a otočného o úhel ϕ Maticová metoda určení polohy mechanismu TRb Ra = Tba ....................... transformační matice mezi členy b, a, respektive mezi prostory Rb , Ra , kde a ∈ Ra , b ∈ Rb ~ ~ TRb Ra = Tba ....................... matice opravená, která udává změnu polohy členu b způsobenou změnou souřadnic polohy a změnou rozměrů. Při syntéze se uplatní jenom změna rozměrů N

Π TRbi Rai ........................... součin transformačních matic mezi prostory Rbi , Rai , i =1 ÷ N i

e , e j .............................. a =1 ÷ n, b =1 ÷ m, i, j =1 ÷ 3 , jednotkové vektory souřadnicových

a i b

bází prostorů Ra , Rb Ra

rL ................................... polohový vektor bodu L vyjádřený v souřadnicovém systému, prostoru, Ra

Ob′ b ................................... matice oprav mezi členy b′, b , která udává jak změnu polohy členu b′ způsobenou změnou souřadnic tak i změnu rozměrů vzhledem ke členu b. Při syntéze se uplatní jenom změna rozměrů S Ri R j ................................. matice protočení prostoru Ri vzhledem k prostoru R j q j ..................................... zobecněný parametr souřadnic polohy a rozměrů

∆q j ...................................změna zobecněného parametru souřadnic polohy a rozměrů q jo .................................... nezávislý zobecněný parametr q jo (t ) ................................ nezávislý zobecněný parametr s předepsaným průběhem

ρ p , p = 1 ÷ l ....................zobecněný parametr geometrických rozměrů mechanismu ∆ρ p , p = 1 ÷ l .................. změna nebo oprava zobecněného parametru geometrických rozměrů mechanismu Syntéza zavěšení předního kola automobilu qi ...................................... zobecněná souřadnice polohy závěsného mechanismu nezávisle zavěšeného předního kola ∆ qi ...................................změna funkční hodnoty zobecněné souřadnice R ≡ (i, j, k ) ......................... souřadnicový systém ve středu S posunutého kola d ∆ qi = ∆qi′ ....................... derivace změny zobecněné souřadnice d zs

9

κ i 1 = ∆ qi′O , κ i 2 = ∆ qi′′O ........derivace změny zobecněné souřadnice v bodě rozvoje do Mc Laurinovy řady

Syntéza mechanismu řízení

ϕ ......................................požadované natočení kola ϕ~ ......................................natočení kola realizované řídícím mechanismem w(ϕ m ) ............................... váhový koeficient, kterým připisujeme odchylkám reálných konstrukčních parametrů od požadovaných hodnot, různý význam ri = ri (li ,α i , β i , γ i ) i =1 ÷ 7 je polohový vektor členu mechanismu řízení určený svojí velikostí

li a směrovými úhly α i , β i γ i e10 ..................................... jednotkový vektor hlavní páky řízení v poloze pro přímou jízdu

e1 ...................................... jednotkový vektor hlavní páky řízení v poloze natočené o úhel ϕ m O ...................................... jednotkový vektor osy rejdového čepu e30 ..................................... jednotkový vektor ramene řízení v poloze pro přímou jízdu e3 ...................................... jednotkový vektor ramene řízení v natočené poloze

10

1 VALENÍ AUTOMOBILOVÉHO KOLA

Úloha kola je pro pohyb silničního vozidla mimořádně důležitá, neboť zprostředkuje kontakt mezi vozidlem a podložkou a v dotykové plošce mezi pneumatikou a podložkou se realizuje přenos všech silových účinků, které určují pohyb vozidla a jeho okamžitý jízdní stav.

1.1 Základní pojmy Uvažujeme nehmotné nenakloněné kolo u automobilu pohybujícího se přímočaře po vodorovné podložce. U kola mohou nastat dva základní případy znázorněné na obrázku 1. V prvním případě nepůsobí na kolo boční síla a směr pohybu středu kola je shodný se směrem odvalování kola. Ve druhém případě na kolo působí boční síla Fη a směr pohybu středu kola je odchýlen od směru odvalování kola o úhel směrové úchylky α . V tomto případě vzniká mezi pneumatikou a vozovkou tečná boční síla Fy, která je posunuta vzhledem k ose kola ok o míru ρ . Pro snadnější výklad i pozdější orientaci zavedeme některé důležité

dotyková ploška

Valení bez působení boční síly 11

směr pohybu kola směr odvalování kola

¨

Valení za působení boční síly Obr. 1 Valení automobilového kola a souřadnicové systémy pojmy a označíme hlavní souřadnicové systémy, někdy je budeme nazývat prostory, které budeme používat v celém rozsahu skript. Situace je zachycena na obr. 1, kde R o ≡ (i o , j o , k o ) je základní souřadnicový systém spojený s vozovkou, R v ≡ (i v , j v , k v ) je souřadnicový systém vozidla umístěný v těžišti, jehož osa xv splývá s podélnou osou vozidla, ve kterém je určena poloha kola. Souřadnicový systém Rξ ≡ (e ξ , e η , e ζ ) je spojený se středem kola, kde osa η ≡ oK je osou rotace kola, R ≡ (i, j , k ) je souřadnicový systém v teoretickém bodě dotyku kola s vozovkou. Na obrázku je rovněž vyznačen úhel směrové úchylky α , který je velmi významný zejména z hlediska stability vozidla a dále kinematické veličiny určující pohybový stav kola, kterými jsou ω k , α k pro rotační pohyb kola, vk , ak pro posuvný pohyb středu kola Ok a dále ω x , ϕ x pro naklápění kola kolem osy x a ω z , ϕ z pro natáčení kola kolem osy z. Jak jsme se již zmínili, automobilové kolo přenáší, kromě vlastní tíhové síly, silové účinky z vozidla na vozovku a naopak. Situace je, pro rovnoměrný pohyb kola, vk = konst. , znázorněna na obr. 2, kde jsou vyznačeny reakční síly RA , RB působící v místech uložení kola 12

A, B v karoserii vozidla, kroutící moment M k přenášený na kolo a reakční síly N, T v dotykové plošce, které obecně tvoří vektorový kříž. Protože uvažujeme rovnoměrný pohyb kola, nejsou na obrázku uvedeny setrvačné silové účinky. Pro snadnější psaní podmínek

Obr. 2 Silové účinky na hnacím kole

Obr. 3 Složky silových účinků v souřadnicových systémech kola a dotykového bodu 13

Silové účinky v místě kontaktu pneumatiky s podložkou: Fx ................... obvodová síla Fy

..................

boční síla (odstředivá síla, boční vítr)

Fz ........... radiální síla M x .......... klopný moment M y .......... obvodový moment M z ........... vratný moment (při působení boční síly) Silové účinky ve středu kola: Fξ ........... dopředná síla Fη ........... axiální síla Fζ ............ svislá, zátěžná síla M ξ .......... klopný moment M ζ ......... natáčecí moment M k ........... kroutící moment Obr. 3 Složky silových účinků v souřadnicových systémech kola a dotykové plošky rovnováhy a provádění následných výpočtů je výhodné vyjádřit silové účinky, akční i reakční, jejich složkami ve zvolených souřadnicových systémech tak, jak je ukázáno na obr. 3, kde ve středu kola Ok ≡ Ω ξ působí síly Fξ , Fη , Fζ a momenty M ξ , M η , M ζ , které reprezentují silové účinky působící z vozidla na kolo, případně z kola na vozidlo. Hodnota kroutícího momentu M k určuje pohybové stavy kola. Pro M k = 0 je kolo vlečené, pro

M k > 0 ∧ sgn M k = sgn ωk je kolo v hnacím režimu jízdy a pro kolo v brzdícím stavu je M k < 0 ∧ sgn M k ≠ sgn ωk . V dotykové plošce, kterou jsme nyní nahradili dotykovým bodem C ≡ Ω , působí síly Fx , Fy , Fz a momenty M x , M y , M z , které představují reakční silové účinky působící z podložky na kolo.

1.2 Kinematika valení kola Při studiu valení automobilového kola po podložce budeme uvažovat, stejně jako v základním kurzu mechaniky, že střední rovina kola, která je kolmá k podložce, je totožná s rovinou xz, uvedenou v horní části obr. 1 a pohybový stav kola je určen posuvným pohybem středu kola s kinematickými veličinami vk , ak a rotačním pohybem kolem osy kola ok s kinematickými veličinami ωk , α k . Dále předpokládáme, že všechny silové účinky působí v této střední rovině a že vratné, i klopné momenty jsou nulové.

1.2.1 Geometrické parametry kola Základním geometrickým parametrem kola je jeho poloměr. Protože kolo sestává z tuhého disku a z poddajné pneumatiky, zavádíme následující poloměry, obr. 4, které nám pomohou vyjádřit jednotlivé pohybové stavy kola, případně i některé vlastnosti kola: 14

Tuhá podložka:

Poddajná podložka:

rs - za klidu rd - za pohybu

pružná radiální deformace pneu pružná deformace vozovky

pružná radiální deformace pneu

plastická deformace vozovky

Obr. 4 Specifikace poloměrů používaných u kola v závislosti na deformaci pneumatiky a podložky

r j … jmenovitý poloměr:

ro … volný poloměr:

je to poloměr nezatíženého nerotujícího kola při jmenovitém huštění (normy, katalogy výrobků). je to poloměr nezatíženého kola s vlivem výrobních odchylek, opotřebení, odstředivé síly při rotaci a změn tlaku huštěním.

rs , rd … statický, dynamický poloměr: je to provozní poloměr zatíženého kola daný vzdáleností středu kola od roviny podložky při statickém, rs , nebo dynamickém, rd , stavu, který je závislý

na

radiálním

zatížení

kola

Fζ ,

Fζ ↑ ⇒ rs , rd ↓ a na tlaku huštění pk . Dynamický poloměr je navíc ještě závislý na rychlosti, vk ↑ ⇒ rd ↑ . Pro osobní automobily je orientačně rd / ro =& 0,94

u

diagonálních

pneumatik

a

rd / ro =& 0,92 u radiálních pneumatik.

rvo … poloměr vlečeného kola:

je to valivý poloměr vlečeného kola, kdy na kolo působí dopředná síla rovná velikosti valivého odporu.

rv … valivý poloměr:

je to poloměr myšleného kola, které se valí beze skluzu, tedy splňuje kinematickou podmínku valení v k = ω k rv , takže je rv = v k / ω k nebo rv = s / 2π rv , kde s je dráha středu kola. Je to poloměr hybné polodie, nebo jinak řečeno, je to vzdálenost středu kola od pólu pohybu. Jedná se o veličinu kinematickou, nikoliv geometrickou. Poloměr valení závisí na řadě faktorů, jako je deformace pneumatiky, vyvolaná radiálním zatížením kola Fz a tlakem p , rychlost v k a moment M k přenášený na kolo, případně tečná 15

reakční síla Fx . Závislost poloměru rv na deformaci pneumatiky, vyvolané radiální silou Fz a tlakem v pneumatice p , je ukázána na obr. 5. U diagonálních pneumatik je tato závislost výrazně větší než u pneumatik radiálních. Valivý poloměr rv je rovněž závislý na přenášeném kroutícím momentu M k , nebo na tečné síle Fk tímto momentem vyvolané a na rychlosti kola v k .

Obr. 5 Závislost rv na radiální síle Fz a tlaku p

kolo brzdící

kolo hnací

Obr. 6 Závislost rv na kroutícím momentu M k Kroutící moment resp. jím vyvolaná tečná síla Fk , ovlivňuje charakter kontaktu pneumatiky s podložkou. V dotykovém bodě, který byl až doposud také pólem pohybu, dochází k obvodové pružné deformaci pneumatiky kombinované částečným skluzem 16

pneumatiky po podložce a v případě poddajné podložky rovněž k plastické deformaci podložky v obvodovém směru. Vliv skluzu je patrný ze závislosti valivého poloměru na kroutícím momentu, která je ukázána na obr. 6. U hnacího kola klesá při dosažení maximální hodnoty přenášeného kroutícího momentu, M k max , hodnota valivého poloměru rv k nule,

rv → 0 , neboť kolo se roztočí a jeho dopředná rychlost klesá k nule. Pól pohybu se přemisťuje do středu kola a dojde k prokluzu, nebo též jinak řečeno, k hnacímu skluzu kola. U brzdícího kola je při dosažení obvodového smyku, nebo též brzdného skluzu, hodnota přenášeného momentu minimální, M k min a valivý poloměr dosáhne nekonečně velké hodnoty, rv → ∞ neboť kolo se přestane otáčet a začne se jenom posouvat. Na obr. 6 je vyznačen dynamický poloměr r d a jemu příslušná hodnota kroutícího momentu M k d a dále volný poloměr r o s odpovídající hodnotou kroutícího momentu M k o . Hodnota rv o označuje poloměr valení, kdy kroutící moment M k= 0 a dopředná síla Fζ působící ve středu kola, vyvolá obvodovou sílu

Fx , která je právě rovna síle valivého odporu, Fx = O f . Vzájemná souvislost zavedených poloměrů je dobře patrná na obr. 7, kde jsou uvedeny tři základní případy valení kola konstantní rychlostí po tuhé podložce s vyznačenými póly pohybu. V případě a leží pól pohybu pod rovinou podložky. V případě b leží pól právě v rovině podložky a v případě c,

a)

b)

c)

rv > rd ⇒ M k < M kd

rv = rd ⇒ M k = M kd

rv < rd ⇒ M k > M kd

Obr. 7 Vzájemná souvislost poloměrů ro , rv , rd který odpovídá větší hodnotě kroutícího momentu M k potřebného k udržení konstantní rychlosti, leží pól P nad rovinou podložky. Dalším faktorem, který ovlivňuje velikost poloměru kola, je rychlost. Závislost změny volného poloměru ro a dynamického poloměru rd na rychlosti kola v k je ukázána na obr. 8. Abychom situaci zjednodušili a zabránili případným nedorozuměním a záměnám, zavedeme výpočtový poloměr r , se kterým budeme v dalším výkladu pracovat. r… výpočtový poloměr:

za výpočtový poloměr se volí poloměr vlečeného kola, tedy r = rv o , který je závislý pouze na rychlosti. Na ostatních faktorech nezávisí.

17

diagonální pneu

radiální pneu

Obr. 8 Závislost volného a dynamického poloměru na rychlosti

1.2.2 Základní případy valení kola V základním kurzu mechaniky jsme se zabývali valením kružnice po přímce, při kterém mezi dopřednou rychlostí středu kola a jeho úhlovou rychlostí platil vztah v = rω , který představoval kinematickou podmínku valení. Ve skutečnosti je ale situace poněkud složitější. Základní případy, které mohou nastat při valení kola po tuhé podložce, jsou uvedeny na obr. 9.

Čisté valení nastane pro r = rv , kdy pól pohybu P leží v rovině podložky a dopředná rychlost kole je dána vztahem vk = r ωk . (1) Valení s prokluzem nastane pro případ r > rv , kdy pól pohybu leží nad rovinou podložky a jeho vzdálenost od středu kola S je rv . Důsledkem je, že v místě dotyku kola s podložkou vzniká skluz a proto dopředná rychlost kola je snížena o skluzovou rychlost vδ a její velikost je v k = rω k − vδ = rv ω k . (2) Pro případ, že rv = 0 ⇒ P ≡ S , bude v k = 0 a nastane čistý prokluz, kdy kolo, rotující úhlovou rychlostí ω k , bude mít nulovou dopřednou rychlost. K valení s prokluzem dochází u hnacího kola.

18

Čisté valení:

Valení s prokluzem:

Valení se smykem:

skluzová rychlost

r = rv = rv o případ vlečeného kola

r > rv případ hnacího kola

r < rv případ brzdícího kola

Obr. 9 Základní případy valení kola

Valení se smykem nastane v případě, že r < rv , kdy pól pohybu P leží pod rovinou podložky a jeho vzdálenost od středu kola S je rv . Podobně jako v předcházejícím případu, vzniká v místě dotyku kola s podložkou skluz, který způsobuje, že dopředná rychlost kole je zvýšena o hodnotu skluzové rychlosti vr > 0 a její velikost je vk = r ωk + vδ = rv ωk .

(3)

V případě, že rv → ∞ ⇒ P → ∞ valivý pohyb kola se změní na pohyb posuvný. Potom nastane

čistý skluz, kdy kolo se posouvá dopřednou rychlostí v = vδ a úhlová rychlost kola ω k = 0 . Příčinami vzniku prokluzu, případně skluzu, jsou obvodová poddajnost pneumatiky, skluz v dotykové plošce a případně deformace podložky. Pojem valení, který byl zaveden v základním kurzu mechaniky a týkal se čistého valení, jsme nyní rozšířili o valení s prokluzem. Tento jev můžeme vyjádřit pomocí následujících dvou veličin. Měrný skluz je bezrozměrná veličina definovaná vztahem

δ=

so − s vo − v ϕk − ϕko ωk − ωk o = = = , so vo ϕk o ωk o

(4)

kde δ ∈〈 0 , ±1〉 . Veličiny s indexem „o“ přísluší pohybu bez skluzu. Pokud je δ < 0 , hovoříme o měrném skluzu, nebo také o smyku a označujeme δ = δ b . Pokud je δ > 0 , označujeme

δ = δ h a jedná se o měrný prokluz hnacího kola. Pro δ = 0 nastává čisté valení, kdy v dotykovém bodu nedochází ke skluzu a pro δ = 1 nastává čistý skluz, respektive prokluz. Skluzová účinnost kola je definována vztahem

η ±1 =

v , vo

kde kladný exponent platí pro hnací kolo a záporný pro kolo brzdící. 19

(5)

1.3 Silové poměry při rovnoměrném valení kola Při zkoumání silových poměrů na kole, které se valí rovnoměrně, ω k = konst., v k = konst. , budeme předpokládat, že tíhová síla kola je buď nulová, nebo že je zahrnuta do vnější síly Fo působící na kolo z vozidla. Dále nebudeme uvažovat čepové tření, takže síla Fo bude procházet středem kola Ok . Situace pro tři základní pohybové stavy kola je ukázána obr. 10, kde jsou znázorněny silové poměry u vlečeného kola, hnacího kola a kola brzdícího. Na obrázcích na levé straně jsou nakresleny výsledné působící silové účinky a reakce a na prostředních a pravých obrázcích jsou ukázány možné náhrady akčních a reakčních sil pomocí jejich složek. Akční síla Fo je nahrazena složkami Fξ , Fζ , reakce R je nahrazena složkami Fx , Fz a momentem M f = Fz e , kde e je rameno valivého odporu. Poněkud nezvyklé označení složek reakce R, porovnejte obr. 10 a 3, je vyvoláno tradičním značením těchto sil v oboru silničních i železničních vozidel, které budeme respektovat.

Vlečené kolo:

Fx = O f Hnací kolo:

Fx = Fk − O f

20

Fk > 0, O f < 0

Brzdící kolo:

Fx = Fk + O f

Fk < 0, O f < 0 Obr. 10 Silové poměry při rovnoměrném valení kola Síla O f reprezentuje odpor valení, Fξ je dopředná hnací, případně brzdící, síla a Fk = M k / r je teoretická tečná síla příslušná krouticímu momentu M k , která ale není rovna tečné reakci

Fx , neboť platí vztah Fx = Fk ± O f ,

(6)

kde O f je odpor valení. Při řešení silových poměrů na kole píšeme tři podmínky rovnováhy tak, jak bylo ukázáno v základním kurzu mechaniky při řešení rovnováhy tělesa, tedy obvykle dvě rovnice složkové a jednu rovnici momentovou. Uvedeme pro přehlednost ještě jednou souhrnně silové veličiny uvedené na obr. 10, neboť jsou pro porozumění sil působících na vozidlo při jeho pohybu, velmi důležité.

M f = Fz e = O f r

je moment odporu valení, kde e je rameno valivého odporu.

Of =Of p +Of i

je odpor valení, je to myšlená síla vyjadřující ztráty, které vznikají při valení kola v důsledku deformace podložky a deformace pneumatiky. Pro hnací kolo je O f 〈 0 a v našich úvahách budeme předpokládat, že O f je nezávislá na kroutícím momentu M k . Odpor valení je způsoben zejména vnitřním třením při deformaci pneumatiky (hystereze), třením ve styku pneumatiky s vozovkou a přisáváním pneumatiky k podložce. Rozdělíme ho na dvě nejvýznamnější složky. O f p je myšlená síla vyjadřující ztrátu tečné síly Fk vzniklou deformací podložky. Pro tuhou podložku je O f p = 0 . O f i je myšlená síla vyjadřující hysterezní ztrátu tečné

Fz Fx = Fk ± O f Fk = R

Mk r

síly Fk vzniklou deformací pneumatiky. Tvoří až 90% odporu. je radiální složka reakce R. je tečná složka reakce R, je to síla posouvající kolo. Záporné raménko platí pro kolo hnací, kladné znaménko pro kolo brzdící. je tečná hnací, případně brzdící, síla na obvodu kola. je výsledná reakce vozovky. 21

Momenty M k , M f

jsou momenty silových dvojic. Pro rovnovážný stav musí platit

M k = Fo l = R z e , kde R z = Fz . U vlečeného kola je M k = 0 . Vztah mezi obvodovou reakční silou Fx , odporem valení O f a tečnou hnací, případně brzdící silou Fk je patrný ze závislosti

Fx , Fk = f (M k ) , která je graficky znázorněna na obr. 11, ve kterém jsou dobře pozorovatelné silové poměry u jednotlivých základních pohybových stavů kola.

kolo:

brzdící

neutrální

hnací

vlečené

volné

Obr. 11 Závislost obvodové reakce Fx , hnací (brzdící) síly Fk a odporu valení O f na momentu M k

Bezrozměrné silové parametry Pro porovnání silových veličin pro různé typy pneumatik a různá zatížení je účelné zavést následující bezrozměrné parametry: F součinitel obvodové síly µx = x , Fz součinitel hnací síly

µk =

Fk , Fz

součinitel odporu valení

fv =

Of Fz

.

(7)

Potom můžeme obvodovou sílu Fx vyjádřit výrazem

µx = µk − fv .

22

(8)

Hodnoty součinitele odporu valení f v závisí na řadě vlivů, kterými jsou:

• • • •

tlak huštění, rychlost jízdy, teplota pneumatik, radiální zatížení.

Největší význam mají první tři vlivy, které jsou znázorněny na obr. 13.

Závislost na rychlosti

Závislost na tlaku v pneumatice

Závislost na teplotě pneumatiky Obr. 13 Závislost součinitele odporu valení na rychlosti, na nahuštění a na teplotě

Orientační hodnoty součinitele odporu valení f v pro kvalitní živičnou nebo betonovou vozovku a pro tlak nahuštění p = 0,15 ÷ 0,2 MPa jsou u osobních automobilů: radiální pneumatika

0,012 ÷ 0,017 ,

diagonální pneumatika

0,015 ÷ 0,02 .

Souhrnně můžeme říci, že hodnoty součinitele odporu valení se pohybují v mezích f v = 0,01 (živičný povrch) až 0,3 (blátivý povrch). 23

Závislost silových a kinematických parametrů Závislosti valivého poloměru rv na radiální síle Fz a na přenášeném kroutícím momentu

M k , nebo jím vyvolané síle Fk , byly již uvedeny na obr 5 a 6. Protože jsou tyto závislosti z hlediska kinematiky valení kola významné, podíváme se na ně podrobněji. Pro praktické použití se uvedené závislosti vyjadřují dvojím způsobem. První způsob vyjádření První vyjádření je dáno závislostí poloměru valení rv na momentu M k , případně na síle Fk , tedy závislostmi rv = rv ( M k ) , případně rv = rv ( Fk ) , tak, jak je znázorněno na obr. 6. Pro zjednodušení výpočtů provedeme linearizaci této závislosti v celém rozsahu momentů 〈 M k min , M k max 〉 následujícím vztahem rv = rv o − λ M M k = rv o − λ F Fk ,

[ ]

[

]

(9)

kde λM N −1 , λ F N −1 m jsou součinitelé změny valivého poloměru. Pro představu se

[

součinitel λF pohybuje v rozmezí λ F ∈〈 0,001 ÷ 0,01〉 kN −1 m

]

v závislosti na velikosti

jmenovitého poloměru kola r j a tvaru pneumatiky. Pro r j ↑ ∧ H / B ↓ ⇒ λ F ↓ , kde H je výška a B je šířka profilu pneumatiky.

Druhý způsob vyjádření Druhý způsob vyjádření provedeme pomocí závislosti měrného skluzu δ , viz rov. (4), na tečné síle Fk , nebo na tečné reakci Fx , které zapíšeme jako Fk (δ ) nebo Fx (δ ) a které jsou znázorněny na obr. 14. Na obrázku je uveden jak případ měrného prokluzu δ h u hnacího kola,

kolo:

brzdící

hnací

vlečené

volné

neutrální

Obr. 14 Závislost tečných sil Fk , Fx na měrném skluzu 24

tak i měrného smyku δ b u kola brzdícího. Velmi často se ale místo silových veličin Fk , Fx

používají bezrozměrní součinitelé µ k (δ ), µ x (δ ) a potom závislosti µ k (δ ), µ x (δ ) nazýváme skluzovými charakteristikami, jejichž průběh je zachycen na obr. 15, kde na levé straně je situace pro hnací kolo a na pravé straně pro kolo brzdící. Součinitel odporu valení vlečeného kola je označen f v o a součinitel odporu valeni, rov. (8), je dán rozdílem hodnot µ k a µ x .

hnací kolo

brzdící kolo Obr. 15 Skluzové charakteristiky

Součinitel soudržnosti kola s podložkou Hodnota součinitele obvodové síly µ x , obr. 15, má velký význam, neboť určuje hnací či brzdící sílu, kterou je kolo schopné přenést na podložku. Nejdůležitější jsou dva body na této křivce, kterým přísluší veličiny µ v a µ s . Součinitel µ v označujeme jako součinitel

soudržnosti valení, který určuje maximální obvodovou sílu Fx , kterou je valící se kolo schopno přenést. Součinitel µ s , nazývaný součinitel soudržnosti skluzu (nebo také pro hnací kolo prokluzu a pro kolo brzdící smyku), určuje maximální tečnou sílu Fx , kterou kolo přenese při čistém skluzu, kdy δ = 1 . V běžném životě označujeme hodnotu µ v jako součinitel přilnavosti, nebo jako součinitel adhese. Hodnota µ s je označována jako součinitel tření. Z hlediska pohybu automobilu po vozovce se jedná o veličiny mimořádné důležitosti a proto se k nim ještě vrátíme. Pro orientaci si zapamatujte, že součinitel adhese, neboli součinitel soudržnosti valení, se na živičné vozovce pohybuje v rozmezí 0,1 (vlhký led) ÷ 1,0 (suchá drsná živice). Poměr µv / µ s je velmi důležitým parametrem při návrhu protismykových zařízení brzd. Hodnoty µ v a µ s se mohou při stejné rychlosti u různých druhů suchých vozovek značně lišit (až o 50%). Reálný povrch vozovky má rozdílné vlastnosti v místech stoupání, klesání a zatáčení, kde dochází k vyhlazení povrchu.

1.4 Pohybové stavy kola, tok výkonů Podle velikosti a smyslu sil Fk , Fx , O f působících v bodě dotyku kola s vozovkou, které jsou uvedeny na obr. 10, rozeznáváme pět pohybových stavů vozidlového kola, o kterých 25

jsme se již zmínili na obr. 11. Nyní se k této problematice ještě jednou vrátíme a hlouběji ji probereme. Situace je souhrnně znázorněna na obr. 16, kde je uvedeno všech pět pohybových stavů valícího se kola se zakreslenými toky výkonů, které přes kolo procházejí. Ukážeme si jednotlivé stavy s tím, že Pk = M k ω k ∧ M k = Fk r je výkon na hřídeli kola, Pv = Fξ v k je výkon předávaný z kola na vozidlo, nebo z vozidla na kolo, přes uložení kola a Pξ je ztrátový výkon mařený při valení kola.

Vlečené kolo: Pk = M k ω k výkon na hřídeli kola, M k = Fk ⋅ r

Hnací kolo:

Brzdící kolo:

26

Pv = Fξ vk

výkon předávaný vozidlu

Pζ

ztrátový výkon, mařený při valení

Volné kolo:

Neutrální kolo:

Obr. 16 Tok výkonů při valení kola po podložce

Vlečené kolo:

valení kola je uskutečňováno silou Fξ působící na osu kola. Platí vztahy

M k = 0, Fk = 0, Fx = O f . Hnací kolo:

valení kola je uskutečňováno silou Fx vyvolanou momentem M k . Platí vztahy M k > 0, Fk > O f , Fx > 0 .

Brzdící kolo:

valení kola je uskutečňováno silou Fξ = Fk + O f působící z vozidla na osu kola. Platí vztahy M k < 0, Fk < O f , Fx < 0 .

Volné kolo:

valení kola je uskutečňováno silou Fk , vozidlu se nepředává žádná síla. Platí vztahy M k > 0, Fk = O f , Fx = 0 .

Neutrální kolo:

valení kola je uskutečňováno silou Fk i silou Fξ působící na osu kola. Platí vztahy M k > 0, Fk < O f , Fk + Fξ = O f ,

Největší význam mají první tři případy. 27

Fx < 0 .

1.5 Silové poměry při nerovnoměrném valení kola U nerovnoměrného pohybu kola, ω k ≠ konst. , musíme při řešení silových poměrů uvažovat hmotu kola. Stejně jako u pohybu rovnoměrného, neuvažujeme čepové tření. Situace u hnacího kola, které se pohybuje s dopřednou rychlostí vk = x& a s dopředným zrychlením a k = &x& je znázorněna na obr. 17, kde Dk = mk ak a I k α k , α k = ϕ&&k , jsou setrvačné účinky kola, jehož hmota je mk a setrvačný moment je I k . Síla přenášená z kola na vozidlo je

Fζ a Fx je obvodová síla, která představuje, viz obr. 10, vodorovnou složku reakce v bodě dotyku. Gk = mk g je tíhová síla kola.

ω k = ϕ& k α k = ϕ&&k v k = x& a k = &x&

Obr. 17 Silové poměry u nerovnoměrného valení kola Z podmínek rovnováhy

Fζ + Gk − Fz = 0 , Fx − Fξ − mk &x& = 0 , M k − Fx r − I k ϕ&&k − M f = 0 ,

(10)

kde Fx = Fk − O f a M f = O f r , nebudeme pro další řešení uvažovat první rovnici, která představuje statickou podmínku rovnováhy ve svislém směru. Ze zbývajících dvou podmínek dynamické rovnováhy, za předpokladu, že platí kinematická podmínka valení x = r ϕ k , můžeme psát

Fx =

Mk − I k ϕ&&k − M f = Fξ + mk &x& . r

(11)

S využitím podmínky valení dostaneme pro tažnou sílu Fξ výraz

Fξ =

&x& Mk − O f − I k 2 − mk &x& ∧ &x& = ϕ&&k r , r r 28

(12)

který upravíme na konečný tvar

Fξ =

Mk I   − O f −  mk + k2  &x& . r r  

(13)

Poslední výraz na pravé straně představuje redukovanou setrvačnou sílu, o kterou se zmenšuje síla Fξ přenášená na vozidlo oproti ustálenému pohybu.

29

2 VALENÍ PNEUMATIKY NA TUHÉM PODKLADU V předcházející kapitole jsme se zabývali elementárními pojmy, které se z hlediska mechaniky týkaly pohybu pneumatik po tuhém podkladu a které jsou nezbytné pro pochopení dějů, které při pohybu pneumatiky nastávají. Jak bylo již řečeno, tyto děje mají přímý a velmi bezprostřední vliv na jízdní vlastnosti automobilu. Nezmiňovali jsme odchylky, které vzniknou při valení pneumatiky po poddajném podkladu a z úvah jsme rovněž vyloučili síly, které nepůsobily v čelní rovině kola. Nyní se k této problematice ještě vrátíme a rozšíříme náš pohled na valení pneumatiky po tuhém podkladu. Budeme rozlišovat dva případy. Valení pneumatiky bez bočních sil a valení s působením bočních sil.

2.1 Valení bez působení boční síly V kapitole 1. 3 jsme jednak ukázali silové poměry na kole, které se rovnoměrně valí a dále jsme ukázali závislost tečných sil přenášených z kola na vozovku, případně obráceně, na radiálním zatížení kola reprezentované radiální silou Fz. Rovněž jsme se zmínili, že dotyk pneumatiky s podložkou není v bodě, nýbrž v jisté dotykové plošce, ve které dochází ke vzniku jak sil soudržných, nebo také adhezních, tak i sil třecích. Důsledkem je vznik skluzu kola, který jsme vyjadřovali pomocí skluzových charakteristik, obr. 15 a zavedli jsme dva důležité pojmy: součinitel adheze a součinitel tření. Nyní se budeme tomuto jevu věnovat trochu podrobněji.

2.1.1

Silové poměry v dotykové plošce

Rozdělení obvodových a normálových sil v dotykové plošce běhounu pneumatiky s tuhou rovnou podložkou a průběh skluzové rychlosti v této plošce, můžeme znázornit [1] tak, jak je ukázáno na obr. 18. Z obrázku je patrné, že výsledné radiální síly Fz a obvodové síly Fx jsou složeny z elementárních sil působících v jednotlivých elementech pryžového běhounu, přičemž tyto elementy se vzhledem k podložce nacházejí v klidu, nebo jsou v relativním pohybu. Soudržnost pneumatiky s vozovkou nastává v dotykové plošce současně pro případ nulové i nenulové relativní rychlosti.

2.1.2 Soudržnost pneumatiky s vozovkou

Z předcházející kapitoly vyplývá, že při valení pneumatiky existuje v dotykové plošce jistá oblast kontaktu [1], ve kterém je relativní rychlost mezi pryžovými elementy běhounu a tuhou podložkou nulová a pak hovoříme o stacionární soudržnosti a současně je v dotykové plošce další kontaktní oblast, kde je relativní rychlost mezi elementy a podložkou nenulová, dochází zde ke skluzu a jedná se o třecí soudržnost. Ke ztrátě soudržnosti pneumatik s podložkou dojde v okamžiku, kdy v celé dotykové plošce existuje pouze třecí soudržnost, tedy v celé plošce není žádný element, který by se vzhledem k podložce nepohyboval. Existence obou těchto oblastí je pro valení pneumatiky a tím i pro přenos tečných sil mezi pneumatikou a podložkou typická a hovoříme o silách stacionárních a o silách třecích. 30

radiální reakce:

obvodová reakce:

relativní skluzová rychlost elementů běhounu ∆v rel vůči podložce:

Hnací kolo

Brzdící kolo

Obr. 18 Rozložení tečných a radiálních sil v dotykové plošce Vznik soudržnosti v dotykové plošce mezi pneumatikou a podložkou je principiálně ukázán na obr. 19, který znázorňuje kontakt elementární plošky dezénu pneumatiky s podložkou. Působením obvodové síly Fx dochází k deformaci pneumatiky v tečném směru. Vlivem statické radiální síly Fς vznikne radiální reakce Fz , která způsobí deformaci ∆ z . Závislost Fz (∆ z ) , která se nazývá radiální deformační charakteristikou, je nelineární a má tvar [1] hysterezní smyčky znázorněné na obr. 20 pro různé tlaky nahuštění pneumatiky. Plocha hysterezní smyčky představuje ztrátovou disipativní energii způsobenou přeměnou mechanické energie na teplo. Hysterezní ztráty jsou závislé na vlastnostech pryže a na smykových deformacích. Radiální deformace pneumatiky je závislá nejenom na statickém zatěžování silou Fζ , nýbrž i na zatěžování dynamickou silou vznikající při pohybu kola. Potom je radiální síla působící mezi podložkou a pneumatikou, obr. 3, dána vztahem

Fz = k z ∆ z + bz ∆ z& ,

31

(14)

kde k z je konstanta radiální tuhosti pneumatiky a bz je konstanta tlumení. Do frekvencí budících sil ω = 20 ÷ 25 Hz , se plášť pneumatiky chová jako nehmotné těleso. Hlouběji tyto záležitosti nyní studovat nebudeme. Rovněž se nebudeme zabývat neustálenými stavy valení pneumatiky, které mohou být u hnací pneumatiky vyvolány torzními kmity v pohonném systému kola, nebo při brzdění působením antiblokovacího zařízení.

Obr. 19 Vznik soudržnosti u elementu běhounu pneumatiky

hysterze v závislosti na p [MPa]

Obr. 20 Deformační charakteristiky pneumatiky

Stacionární soudržnost je způsobena: • deformací elementů pryže běhounu pneumatiky, kdy nerovnosti podložky vnikají do pryže a působí jako zuby. Označme elementární sílu příslušnou této složce FdiS , kde S znamená stacionární, d označuje deformaci pryže, při které dochází k hysterezi způsobené jejími viskoelastickými vlastnostmi a i označuje element běhounu.

32

• adhezí, kdy dochází ke vzniku molekulárních sil mezi pryží běhounu a povrchem podložky. Tyto síly mohou vzniknout pouze za předpokladu, že povrchy elementu běhounu a podložky jsou čisté a že se molekuly obou povrchů dostanou do dosahu molekulárních sil. K tomu je nutný dostatečně velký místní měrný tlak, přibližně 3-7 MPa. Elementární sílu příslušnou této složce označíme FaSi , kde a označuje adhezi.

Třecí soudržnost je způsobena: • deformací elementů pryže běhounu pneumatik vnikáním mikronerovností podložky do pryže, podobě jako u stacionární soudržnosti, ale v tomto případě se tak děje za pohybu, kdy se elementy deformují při relativním pohybu vůči podložce. Elementární síla příslušná této složce je FdTi , kde T znamená třecí sílu. V tomto případě stoupá význam hysterezní třecí složky, kde práce potřebná k deformaci pneumatiky je větší než práce získaná jejím roztažením. • adhezí, kdy i za relativního pohybu elementů pryže vůči podkladu, dochází ke vzniku molekulárních sil podobně jako u stacionární soudržnosti. Vzniklá elementární síla je FaTi . Podmínkou jejího vzniku je, že vzdálenost obou ploch je menší než 10-6 mm, takže kontaktní plochy musí být hladké a čisté. • abrazí, kdy dochází k vytrhávání částic pryže z běhounu. Tato složka vyvolá elementární sílu FrTi , která způsobuje opotřebování běhounu pneumatiky.

1 2 3 1 23 1 23 suchý čistý suchý znečistěný mokrý znečistěný olejem

Obr. 21 Vliv stavu povrchu podložky na elementární síly soudržnosti Celková elementární tečná síla soudržnosti je dána součtem jednotlivých elementárních sil

33

Ft i = Fd i + Fa i + Fr i ,

(15)

kde Fd i = FdSi + FdTi , Fa i = FaSi + FaTi , Fr i = FrTi jsou jednotlivé elementární síly příslušející statické (S) a třecí (T), soudržnosti. Z hlediska snížení opotřebení dezénu pneumatiky je žádoucí, aby elementární síla Fr i způsobující abrazi byla co nejmenší a aby hlavními částmi celkové elementární síly byly síly Fd i a Fa i . Závislost těchto elementárních sil na stavu povrchu vozovky [1] je ukázána na obr. 21, ze kterého je patrné, že u suchého, čistého povrchu je elementární adhezní síla Fa i podstatně větší než síla vzniklá deformací, případně hysterezí, elementu běhounu. Při klesající teplotě stoupá tvrdost pryže, pryž křehne a hysterezní složka soudržnosti se snižuje. Významnou vlastností zimních pneumatik je, že jejich pryž běhounu si zachovává velkou hysterezi i při teplotách pod bodem mrazu.

2.1.2.1 Součinitelé soudržnosti Při přenosu sil z pneumatiky na podložku dochází vždy k deformaci pneumatiky a tím ke vzniku místních deformací elementů běhounu. Pokud při deformaci nedojde ke smyku, tedy pokud elementární tečná síla nepřekročí elementární stacionární sílu soudržnosti, je element běhounu vůči podložce v klidu. Pokud dojde k překročení této meze, dojde k relativnímu pohybu mezi elementem a podložkou. Tyto stavy vyjadřujeme pomocí elementárních součinitelů soudržnosti.

Elementární součinitelé soudržnosti Součinitel soudržnosti elementu budeme definovat podobným postupem, který jsme použili v rov. (7), tj. poměrem maximální tečné elementární síly soudržnosti k elementární normálové síle. Budeme hovořit o stacionárním, nebo o třecím, elementárním součiniteli soudržnosti.

Stacionární elementární součinitel soudržnosti Tento součinitel je definován vztahem

µxi =

Ft i max Fz i

∧ v rel = 0 ,

(16)

kde Ft i max pro v rel = 0 je maximální hodnota celkové tečné elementární síly soudržnosti z rov. (15) při které ještě nedojde k relativnímu pohybu, mezi elementem pneumatiky a vozovkou a Fz i je normálová síla působící na element. Pokud platí, že Ft i ≤ µ x i Fz i , dochází ke stacionární elementární soudržnosti.

34

(17)

Třecí elementární součinitel soudržnosti V případě, že tečná elementární síla Ft i překročí podmínku stacionární elementární soudržnosti určenou rov. (17), dojde k relativnímu pohybu mezi elementem běhounu a podložkou. Stacionární elementární součinitel soudržnosti µ x i se změní na třecí elementární součinitel soudržnosti µ s i pro který platí vztah

µsi =

Ft i max Fzi

∧ v rel ≠ 0 .

(18)

Součinitel elementární třecí soudržnosti µ s i je silně závislý na velikosti relativní rychlosti skluzu elementu běhounu vzhledem k podložce, neboť při stoupající rychlosti se hysterezní složka deformace elementu zvyšuje, ale současně dochází ke snižování adhezní složky elementární síly. Závislost elementárního součinitele třecí soudržnosti na relativní rychlosti mezi elementem běhounu a podložkou je ukázána na obr. 22.

suchý povrch

mokrý povrch

Obr. 22 Závislost třecího elementárního součinitele soudržnosti µ s i na relativní rychlosti Mechanické pochody, o kterých jsme hovořili a které se odehrávají v elementu běhounu pneumatiky, jsou pro představu schematicky znázorněny pro jízdní režim brzdění na obr. 23, kde jsou uvedeny délky oblastí, na kterých k těmto jevům dochází. Všimněte si různých měřítek délek.

Hysterezní tření:

Částice běhounu prochází při svém průchodu dotykovou plochou pneumatiky s podložkou oběma stavy soudržnosti. Za běžných podmínek valení dosahují rychlosti smýkání elementů běhounu při třecí soudržnosti, ale bez prokluzu celé pneumatiky, řádově 10 −2 ms −1 . Při prokluzu celé pneumatiky dosahují rychlosti vozidla, řádově 101 ms .−1 .

35

Deformace, zubový efekt:

Adheze:

Obr. 23 Mechanické jevy v elementu běhounu při přenosu síly v režimu brzdění při třecí soudržnosti

Součinitelé soudržnosti dotykové plochy Elementární součinitelé soudržnosti µ x i , µ s i jsou odlišní od součinitelů soudržnosti µ x , µ s uvedených dříve, které se vztahovaly suchý beton k celkovým tečným a normálovým silám působícím na pneumatiku v dotykové plošce a o kterých jsme se již mokrý beton Diagonální pneu zmínili v kapitole 1.3 v souvislosti se Fz = 3kN , p = 0,16 Mpa skluzovými charakteristikami. v = 30 kmh −1 Ze skluzových charakteristik uvedených na obr. 15 má tvrdý sníh z hlediska bezpečnosti jízdy význam skluzová větší náledí charakteristika pro brzdící kolo. Ukážeme nyní [6] jaký vliv na tvar této charakteristiky má materiál Obr. 24 Vliv materiálu podkladu na skluzovou povrchu vozovky, rychlost charakteristiku pohybu kola a radiální zatížení pneumatiky. Závislosti jsou uvedené na obr. 24, 25 a 26. V prvních dvou případech byla použita diagonální pneumatika Dunlop 5,90 – 15 zatížená radiální silou 3kN a nahuštěná na tlak p = 0,16 MPa . Na třetím obrázku je případ pneumatiky 6,00 – 15 nahuštěné na tlak 0,17 MPa , která se valí na ocelovém válci rychlostí 100 kmh-1.

36

suchá živice

p = 0,17 MPa, v = 100 kmh −1

mokrá živice

Diagonální pneu Fz = 3 kN , p = 0,16 Mpa

Pneu 6,00 – 15 na ocelovém válci,

Obr. 25 Vliv rychlosti na skluzovou charakteristiku

Obr. 26 Vliv radiálního zatížení na skluzovou charakteristiku

Na konci kapitoly 1.3, obr. 15, jsme se zmínili o velkém významu dvou bodů skluzové charakteristiky brzděného kola, jejichž hodnoty jsme označili µ v a µ s . Budeme se nyní těmto hodnotám věnovat podrobněji:

µ v ........................ je maximální hodnota součinitele soudržnosti valení µ x , kterou v běžném životě označujeme ϕ a nazýváme ho součinitelem adheze

ϕ ≡ µ v = max µ x .

(19)

Tato hodnota určuje maximální tečnou brzdící sílu, kterou je brzdící rotující kolo schopné přenést na vozovku

µ s ........................ je součinitel soudržnosti skluzu, který opět v běžném životě označujeme f a nazýváme ho součinitelem tření

f ≡ µs .

(20)

Tato veličina určuje maximální tečnou brzdící sílu, kterou je brzdící nerotující kolo schopno přenést na vozovku při čistém smyku nebo prokluzu. Platí důležitý vztah mezi oběma veličinami, kdy f < ϕ . Ukážeme, na čem významně závisí hodnoty součinitelů adheze ϕ a podélného tření f. Protože vyšších hodnot koeficientů se dosahuje při brzdění a protože režim brzdění je rovněž důležitější z hlediska bezpečnosti provozu, uvádějí se hodnoty koeficientů ϕ a f pro brzdící kolo. Jejich závislost na rychlosti a na povrchu vozovky je uvedena [6] na obr. 27. 37

suchý

suchý

mokrý mokrý

suchý

suchý

mokrý

mokrý

beton

živice

Obr. 27 Závislosti koeficientů adheze a tření na povrchu vozovky a rychlosti Vliv výšky profilu dezénu pneumatiky pro mírně ojetý živičný povrch střední zrnitosti [1] u diagonální pneumatiky zatížené radiální silou Fz = 2,5 kN a pro tlak nahuštění p = 0,18 MPa je ukázán na obr. 28, kde tloušťka vodní vrstvy na živičném povrchu je 1mm. Závislost součinitele adheze na rychlosti jízdy a na výšce profilu při jízdě na mokrém živičném povrchu s tloušťkou vodní vrstvy 2 ÷ 3 mm je ukázána na obr. 29. K podstatné změně součinitele adheze dochází na začátku deště, kdy se suchý povrch vozovky mění na mokrý. Tato závislost je zachycena na obr. 30 pro mírný déšť.

38

suchý povrch

mokrý povrch (tloušťka vodní vrstvy 1 mm)

Obr. 28 Vliv výšky profilu dezénu na součinitele adheze a tření

výška profilu [mm]

Obr. 29 Závislost součinitele adhese na rychlosti jízdy a na výšce profilu při tloušťce vodního filmu 2 ÷ 3 mm .

39

Rovněž při pohybu na ledu je součinitel adheze významně závislý na jeho teplotě, jak je patrné z obr. 31. Uvedené závislosti nejsou zdaleka jediné, ale můžeme je zařadit mezi nejvýznamnější. Na součinitel adheze mají vliv i další okolnosti, jako je teplota pneumatiky a podkladu, kdy soudržnost pneumatiky se vzrůstající teplotou klesá, makro a mikronerovnosti vozovky, které souvisí s nerovnoměrným opotřebením povrchu vozovky, materiál povrchu vozovky a pod. Připomeneme ještě vznik aquaplaningu, ke kterému dochází při kombinaci rychlosti jízdy, výšky profilu dezénu pneumatiky a tloušťky vodní vrstvy. Schematické znázornění tohoto nežádoucího a nebezpečného jevu je na obr. 32. Při dosažení plného aquaplaningu, kdy vymizí kontakt mezi pneumatikou a podložkou je vozidlo neovladatelné. Hranice neovladatelnosti jsou určeny mezními křivkami aquaplaningu, které jsou přibližně ukázány na obr. 33.

sucho

začátek deště

sucho

konec deště

Obr. 30 Časový průběh součinitele adheze na počátku deště

Obr. 31 Závislost součinitele adheze na teplotě ledu

kontakt

kontakt

Obr. 32 Vznik aquaplaningu 40

kontakt

aquaplaning plná výška vzorku sjetá pneu.

Obr. 33 Mezní křivky aquaplaningu v závislosti na výšce vodního filmu h.

výška vodní vrstvy plný profil

žádný profil

Obr. 34 Závislost součinitele tření na rychlosti a na tloušťce vodního filmu pro plnou a nulovou výšku profilu Na obr. 34 je ještě zobrazena závislost součinitele tření na rychlosti při různé tloušťce vodního sloupce pro plnou a nulovou výšku profilu běhounu pneumatiky osobního automobilu zatížené radiální silou Fς = 3 kN a nahuštěné na tlak 0,15 MPa .

2.2 Valení při působení boční síly V této kapitole ukážeme vznik vratného momentu vyvolaného boční silou u pneumatiky, která se valí po tuhé podložce. Základní představu získáme nejdříve u nerotující pneumatiky zatížené radiální silou Fζ , obr. 35 a boční silou Fη působící z vozidla na kolo [1]. Působením boční síly se pneumatika bočně deformuje a její původní teoretický dotykový bod se posune o ∆ y do nové polohy. Deformace ∆ y se skládá z deformace kostry a z deformace běhounu. Kostra pneumatiky je zatížená silami, které na ní přenáší běhoun v délce dotykové plošky pneumatiky s vozovkou. Deformace kostry je největší ve středu dotykové plošky a po obvodě klesá k nule, kterou dosáhne v úhlu cca ±150° , obr. 35, měřeno od středu dotykové plošky. 41

deformace běhounu

střednice kostry

Obr. 35 Boční síla a vratný moment u stojící nerotující pneumatiky U radiální pneumatiky je boční tuhost kostry nižší, ale v důsledku větší tuhosti bočního obvodového pásu se rozkládá na větší část obvodu. Deformace běhounu vůči kostře je nepatrná. Svislá reakce Fz nepůsobí ve středu dotykové plošky, ale ve vzdálenosti κ z ∆y , obr. 35, kde κ z je součinitel posunutí, který závisí [1] na svislé reakci a na nahuštění pneumatiky. Pro diagonální pneumatiku je závislost znázorněna na obr. 36. Obr. 36 Závislost součinitele κ z na zatížení pneumatiky a na tlaku Boční síla

Fy = k y ∆y ,

(21)

kde k y je boční tuhost pneumatiky, vyvolaná silou Fη roste až k mezi bočního prokluzu, kdy dojde k bočnímu smyku pneumatiky. Potom je Fz f y ∆ y max = , (22) ky kde f y je součinitel příčného tření. Boční tuhost pneumatiky k y se s radiální silou mění málo [1]. Závislost boční tuhosti na tlaku nahuštění je ukázána na obr. 37 pro diagonální i radiální pneumatiku 155 – 44 zatíženou radiální silou Fz = 2,2 ÷ 5 kN . Na obr. 38 je ukázána závislost poměru radiální a boční tuhosti k z / k y na tlaku nahuštění pneumatik. Působíme-li na stojící pneumatiku momentem M ζ , obr. 39, natočí se pneumatika o úhel α tak, že kostra 42

diagonální pneu

radiální pneu radiální pneu diagonální pneu

Obr. 37 Závislost boční tuhosti na tlaku nahuštění

Obr. 38 Závislost poměru radiální a boční tuhosti na tlaku nahuštění

pneumatiky se zdeformuje do tvaru „S“ a stejně, ale méně významně se zdeformuje vůči kostře i střednice běhounu. Současně dojde i k podélné deformaci elementů běhounu. Deformací plošky vznikne mezi pneumatikou a vozovkou vratný moment

M z = ξ zo α ,

(23)

kde ξ zo je vratná tuhost stojící pneumatiky. Vratná tuhost, která je u radiální pneumatiky běžně větší než diagonální, stoupá s rostoucí silou Fz . Dosažitelný mezní moment se udává vztahem 1 a  (24) M z max =& Fz f y 1,5 b +  , 4 2 

kde a, b jsou rozměry dotykové plošky a f y , jak bylo již řečeno, je součinitel bočního tření.

deformace kostry

deformace běhounu

Obr. 39 Vznik vratného momentu M z 43

2.2.1 Ustálené stavy valení Uvažujeme nyní pneumatiku, která se valí po tuhé podložce konstantní rychlostí v ustáleném stavu. Ustáleným stavem budeme rozumět stav, kdy kinematické veličiny kol jsou konstantní minimálně 10s. Situace u rotujícího kola je odlišná od situace kola stojícího [1], neboť průběh deformace kostry nad dotykovou ploškou pneumatiky i deformace běhounu vůči kostře jsou závislé na čase. Pro další úvahy budeme uvažovat jednak nenaklopenou pneumatiku, která se odvaluje přímočaře za působení konstantní boční síly Fy a svislého momentu M ζ a jednak naklopenou pneumatiku valící se po kruhové dráze. V obou případech zatím neuvažujeme hnací nebo brzdící síly Fx .

2.2.1.1 Valení nenaklopené pneumatiky po přímé dráze Deformace kostry pneumatiky při valení je podobná deformaci kostry u stojící pneumatiky s tím rozdílem, že maximální deformace je posunuta v podélném směru za střed dotykové plošky. Element běhounu dosedá na vozovku v počáteční hraně dotykové plošky s vozovkou v nedeformovaném stavu vůči kostře, která je již deformována. Při postupu dozadu při rotaci kola se element začíná bočně deformovat a tím vznikají elementární boční síly Fy i . Element se tedy neposunuje rovnoběžně s čelní rovinou kola, nýbrž pod jistým

úhlem směrové úchylky α , obr. 40, který určuje směr valení kola při působení boční síly Fη .

deformace běhounu deformace kostry

Obr. 40 Deformace běhounu a kostry pneumatiky při valení se směrovou úchylkou Situace je znázorněna na obr. 41, ze kterého je patrné, že úhel směrové úchylky α svírá tečna t b ke střednici běhounu v bodě náběhu pneumatiky na podložku s přímkou symetrie p ≡ x , která je průsečnicí roviny symetrie kola a podložky. Úhel α je proto tvořen jednak úhlem který svírá zmíněná průsečnice p s tečnou t k ke kostře pneumatiky a dále úhlem, který svírá tečna t b ke střednici běhounu s tečnou t k ke kostře. Průsečík Q tečny t k s přímkou p vytíná na přímce p relaxační délku σ , na které přibližně klesne boční deformace kostry pneumatiky na 44

nulu při měření na obvodě kola. Při stanovení relaxační délky jsme neuvažovali boční deformaci běhounu pneumatiky vůči kostře. Relaxační délka σ je délka subtangenty k průhybové čáře kostry pneumatiky v bodě náběhu. Podobná situace platí i pro zadní část pneumatiky. Pro diagonální pneumatiku je σ =& (1,7 ÷ 2,0)b a pro radiální je σ =& (2,0 ÷ 3,0 )b , kde b je délka dotykové plošky. Pro přesnější a detailnější řešení se zavádí odvozená relaxační délka σ ∗ , obr. 41, která zahrnuje i boční deformaci běhounu pneumatiky vůči kostře a závisí na boční síle Fy . Pro Fy → Fz je σ ∗ =& (0,4 ÷ 0,5) σ . bod náběhu pneu na vozovku tečna ke kostře tečna ke střednici běhounu

Obr. 41 Vznik relaxační délky Elementární boční síly Fy i , které se vyskytují po délce dotykové plošky, nemohou překročit hodnotu danou elementárním zatížením Fz i a elementárním bočním součinitelem smykové soudržnosti µ y i , takže musí platit Fy i ≤ µ y i Fz i

(25)

a maximální možná boční deformace elementu běhounu potom je ∆

yi

=

µ y i Fz i k yi

,

(26)

kde k y i je boční tuhost elementu. Protože rozložení elementárních radiálních sil Fz i po délce dotykové plošky má [1] přibližně parabolický tvar, obr. 42, má i průběh boční deformace elementů běhounu podobný tvar. V zadní části dotykové plošky jsou ale boční deformace elementů běhounu největší. Dojde-li k překročení maximálně možné deformace elementů, dojde ke smyku elementů po vozovce tak, jak je ukázáno na obr. 42. Pro malé úhly směrové úchylky α ≤ 3° je ale prokluz v zadní části dotykové plošky malý, takže velikost boční síly roste přibližně úměrně s růstem úhlu α . Proto můžeme přibližně psát Fy =& u α ,

(27)

kde u je konstanta úměrnosti tohoto růstu, které říkáme směrová tuhost pneumatiky. Deformaci ve středu dotykové plošky můžeme potom pro malé α vyjádřit podle obr. 41 vztahem 45

b  ∆ y =  + σ  α ∧ α =& tg α . 2 

(28)

střednice běhounu využitelná boční deformace běhounu ∆yi

smyk

měrné radiální zatížení Fzi

Obr. 42 Vznik smyku elementů běhounu Protože je také ∆ y = F y / k y , můžeme vzhledem k rov. (27) psát b  Fy = u α = ∆ y k y =  + σ  α k y , 2 

(29)

odkud pro směrovou tuhost pneumatiky dostaneme b  u =  +σ  k y . 2 

(30)

Při zvětšování úhlu směrové úchylky α se zvětšuje deformace běhounu v zadní části dotykové plošky a v určité vzdálenosti od jejího počátku, obr. 42, dojde k dosažení adhezní elementární síly µ y i Fz i , rov. (25). Od tohoto místa dále se již elementární boční síly Fy i nezvětšují. Celková boční síla Fy se při dalším zvětšování úhlu směrové úchylky α ještě F mírně zvětšuje až do jisté mezní hodnoty α mez , kdy přestane růst a naopak mírně poklesne,

obr. 43. Protože výslednice všech elementárních bočních sil Fy i neleží v rovině symetrie kola, obr. 40, ale za ní, vyvolá k vertikální ose kola vratný moment M z =η Fy ,

(31)

kde rameno η je, pneumatický závlek. Smysl vratného momentu je takový, že se snaží ztotožnit čelní rovinu kola se směrem valení kola. Závislost vratného momentu M z na úhlu směrové úchylky α je silně nelineární, obr. 44 a může mít pro velké hodnoty úhlu α i

46

negativní vliv, kdy se snaží úhel α zvětšovat. Směrnice křivky vratného momentu M z v počátku d Mz   , (32) ξ z =   d α α = 0 se nazývá vratnou tuhostí rotující pneumatiky. Lze určit, že je přímo úměrná radiálnímu zatížení pneumatiky Fz . Vratná tuhost nerotující pneumatiky ξ zo byla zmíněna v rov.(23). Platí poměr ξ z o / ξ z =1,5 ÷ 2 , neboť u stojící pneumatiky vznikají i podélné smykové deformace elementů běhounu, které se u rotující pneumatiky nevyskytují. Při zvětšování úhlu směrové úchylky, kdy dochází v zadní části dotykové plošky ke zvětšování oblasti prokluzu, posouvá se, v důsledku změny boční deformace kostry i běhounu, působiště boční síly Fy dopředu. Největší hodnotu dosahuje pneumatický závlek pro α = 0 . Protože je podle obr. 43 závislost boční síly Fy na α nelineární, je zřejmé, že průběh M z na úhlu směrové úchylky bude více nelineární. Při úplném bočním smyku je α = π / 2 a M z = 0 .

Obr. 43 Průběh boční síly v závislosti na úhlu α

Obr. 44 Závislost vratného momentu na úhlu α

2.2.1.2 Valení naklopené pneumatiky po kruhové dráze Uvažujme pneumatiku valící se rychlostí v k po kruhové dráze k o poloměru R, která je sklopená od svislé přímky o úhel ψ . Pokud by dotykový bod C měl být pólem pohybu, musela by se pneumatika pohybovat po kružnici k t o poloměru Rt , obr. 45, která má střed

Ot ve vrcholu kužele tvořeného dotykovou přímkou pneumatiky p a osou kola o K . Úhlová rychlost valení kužele ω v je dána v tomto případě součtem dvou úhlových rychlostí

ωv = ωk + ωt ,

(33)

kde ω k je úhlová rychlost kola a ω t je úhlová rychlost rotace kolem svislé osy ot . Kolo koná sférický pohyb složený z těchto dvou rotací. Protože ale kolo zatáčí kolem osy o z a pohybuje se tak po kružnici k o poloměru R < Rt úhlovou rychlostí ω , musí se navíc otáčet kolem svislé osy z přídavnou úhlovou rychlostí ∆ω z = ω − ω t , (34) která je relativní úhlovou rychlostí mezi pneumatikou a podložkou. Po dosazení dostaneme 47

Obr. 45 Kinematika pohybu nakloněné pneumatiky po kruhové dráze

 1 sinψ ∆ω z = v k  − rd R

  . 

(35)

Vlivem úhlové rychlosti ∆ω z se budou elementy běhounu pneumatiky uvnitř dotykové plošky, obr. 46, deformovat rychlostí v i = ∆ω z × ri . (36) Body na náběžné hraně plošky nejsou touto deformační rychlostí zatížené a jejich deformace je nulová. Z uvedeného popisu je zřejmé, že pneumatika naklopená o úhel ψ a valící se po kruhové dráze o poloměru R < Rt bude podrobena jisté boční síle Fy a vratnému momentu M z , které jsou vyvolány boční a podélnou nesymetrickou torzní deformací elementů běhounu. Běhoun nabíhá na vozovku v nezatíženém nedeformovaném stavu. V příčném, bočním, smyku jsou největší deformace ve středu dotykové plošky a v podélném směru na konci plošky při výběhu elementů.

Obr. 46 Rychlost bodu D dotykové plošky 48

Pro malé hodnoty úhlu ψ , sinψ =& ψ , můžeme [1] použitím rov. (35) přibližně psát

1 ψ Fy = kr  −  R rd

1 ψ M z = ξ zr  −  R rd

  , 

  , 

(37)

b =& 1,0 ÷ 1,5 jsou konstanty [1] a výraz v závorce je 2 rozdíl křivostí reálné a teoretické kruhové dráhy. Pro pneumatiku naklopenou o úhel ψ a pohybující se po dráze R → ∞ , směřuje boční síla Fy ve směru naklopení horní části

kde kr = k y b 2 =& 0,25 ÷ 0,6 a ξ zr = ξ zo

pneumatiky a moment M z se snaží dráhu napřímit. Při uvedených úvahách jsme neuvažovali úhel směrové úchylky. Jestliže se valí kolo naklopené o úhel ψ po kruhové dráze o poloměru R s konstantním úhlem směrové úchylky α , jsou výsledné deformace elementů běhounu dány součtem deformací příslušných jednotlivým účinkům, tedy boční deformaci, torzní deformaci a deformaci od směrové úchylky. Protože největší příčné deformace vznikají při valení naklopené pneumatiky, ψ ≠ 0 po kruhové dráze, R ≠ 0 , uprostřed dotykové plošky, zatímco při valení pneumatiky pod úhlem směrové úchylky α v zadní části dotykové plošky, obr. 42, ovlivňují ψ a R při malých úhlech α velikost prokluzové oblasti v zadní části dotykové plošky jen málo. Můžeme proto použít zákon superpozice a přibližně psát, rov. (37) a rov. (27) a rov. (32) pro boční sílu a vratný moment vztahy

1 ψ Fy = −u α + kr  −  R rd

1 ψ M z = ξ z α + ξ zr  −  R rd

  , 

  , 

(38)

kde u, rov. (27), je směrová tuhost a ξ z , rov. (32), je vratná tuhost rotující pneumatiky.

2.2.1.3 Valení pneumatiky při působení boční a podélné síly Uvažujeme nenaklopenou pneumatiku zatíženou radiální silou Fζ , boční silou Fη a kroutícím momentem M k , který vyvolává obvodovou sílu Fx , obr. 3. Pneumatika zatížená těmito silovými účinky se odvaluje při dopředném pohybu s měrným skluzem δ , rov. (4) a obr. 14. Rozložení radiálních a obvodových sil v dotykové plošce pneumatiky pro přímý pohyb bez působení boční síly je ukázáno na obr. 18. Nyní k těmto silám ještě připojíme síly boční. Rozložení elementárních sil v dotykové plošce je znázorněno na obr. 47. Přibližné rozložení radiálních sil Fzi je ukázáno v horní části obrázku. V níže položeném obrázku je znázorněno rozložení tečných sil Fti , které se skládají z elementárních bočních sil Fyi a elementárních podélných sil Fxi podle vztahu Fti = Fxi2 + Fyi2 .

(39)

Elementární síly Fyi vzniknou v důsledku boční deformace elementů běhounu ∆yi , obr. 41, vlivem valení pod úhlem směrové úchylky α . Elementární síly Fxi vzniknou podélnou deformací ∆ xi elementů běhounu jak je ukázáno na spodní části obrázku, která znázorňuje 49

situaci při brzdění se vznikem měrného skluzu δ . Za zjednodušujícího předpokladu, že střednice kostry pneumatiky je v oblasti dotykové plošky rovnoběžná s osou x, platí pro příčnou deformaci elementu běhounu ∆ yi a pro elementární tečnou sílu Fxi vztahy

∆ yi = j α ,

(40)

Fti = µ v Fzi ,

kde µv , kap. 1.3, je součinitel adheze a j je vzdálenost elementu od náběžné hrany dotykové plošky. Pro j = jm je dosažen limitní bod soudržnosti ve kterém tečná síla Fti dosáhla své maximální hodnoty Fti mez . Pro j > jm nastává lokální smyk a dostáváme se do oblasti prokluzu.

uvažovaný průběh střednice kostry střednice kostry

brzdění

Oblast prokluzu

Obr. 47 Závislost elementárních sil na úhlu směrové úchylky α a měrném skluzu δ 50

Při dalším zvyšování elementárních sil se oblast prokluzu rozšíří na celou dotykovou plochu a nastává smyk pneumatiky po vozovce. Při působení hnací síly F x se vratný moment M z skládá ze dvou složek M z = M ′z + M ′z′ , (41) kde složka M z′ je vyvolána zkřivením kostry pneumatiky způsobeném úhlem směrové úchylky α , obr. 39. Druhá složka M ′z′ vzniká v důsledku bočního posunutí obvodové síly Fx ke kterému dojde, obr. 48, při boční deformaci střednice kostry pneumatiky, obr. 35 a 40. Síla Fx neleží potom na ose x, ale je rovnoběžně posunutá o míru κ x ∆ y . Situace je patrná z obr. 48, ze kterého můžeme pro moment M ′z′ psát vztah M z′′ = Fx κ x ∆ y .

(42)

Protože platí Fy = k y ∆ y , můžeme rov. (42) přepsat do tvaru M z′′ =

Fx κ x Fy ky

.

(43)

Obr. 48 Boční posunutí obvodové síly Fx V důsledku nerovnoměrného rozložení elementárních vertikálních sil Fzi a podélné i příčné deformace běhounu a kostry, jsou skutečné poměry v dotykové plošce komplikovanější.

2.2.1.4 Mezní součinitelé soudržnosti Součinitelům soudržnosti u pneumatiky valící se bez působení boční síly a to jak na elementární úrovni tak i na celé dotykové ploše, byla věnována kap. 2.1.2. Nyní se zmíníme o součinitelích soudržnosti u pneumatiky, která se valí za působení boční síly. Budeme uvažovat maximálně dosažitelné hodnoty součinitelů soudržnosti v podélném a v příčném směru. Součinitel boční soudržnosti µ yv je vždy nižší než součinitel podélné soudržnosti µ xv . Mezní součinitelé soudržnosti pneumatiky při valení jsou rozdílní pro režim brzdění a pro hnací režim. Větší rozdíl je u pneumatiky diagonální než u radiální. Mezní hodnoty součinitelů soudržnosti pro různé rychlosti a různé tloušťky vodní vrstvy na povrchu vozovky, jsou ukázány [1] pro diagonální pneumatiku na obr. 49 ze kterého je patrný odlišný tvar křivek pro brzdění a pro hnaní. Viditelný je i nepravidelný tvar křivek. V předcházejícím výkladu jsme zavedli dva důležité pojmy a to elementární součinitel soudržnosti pro element dezénu pneumatiky a součinitel soudržnosti pro celou dotykovou plochu. Pro lepší zapamatování a odlišení, uvedeme nyní jejich přehled.

Elementární součinitelé soudržnosti µ xi .................... stacionární součinitel soudržnosti, µ si .................... třecí součinitel soudržnosti 51

Součinitelé soudržnosti µ x ..................... stacionární součinitel soudržnosti, vyskytující se při valení, µ s ..................... třecí součinitel soudržnosti, nebo také součinitel soudržnosti skluzu, který běžně nazýváme součinitelem tření a označujeme písmenem f, takže f = µ s , µv = max µ x ..... je mezní hodnota stacionárního součinitele soudržnosti, který běžně nazýváme součinitelem adheze, obr. 15 a označujeme ϕ = µv , vyskytuje se při valení, µ yv ..... součinitel příčné, boční, soudržnosti při valení,

µv µ xv ..... součinitel podélné soudržnosti při valení, f y = max µ yv .... součinitel příčného tření.

diagonální pneu Fz = 2,5 kN p = 0,15 Mpa vzorek běhounu 100%

tloušťka vodní vrstvy v mm 1 ..... 0 mm (sucho) 2 ..... 0,2 mm 3 ..... 1,0 mm 4 ..... 2,0 mm

hnaní

brzdění

Obr. 49 Mezní součinitelé soudržnosti pro brzdící a hnací režim jízdy

2.2.1.5 Pneumatika na mezi bočního smyku Pohybuje-li se pneumatika vlivem působících sil s velkými úhly směrových úchylek α a s velkými měrnými skluzy δ , může nastat situace, kdy se celá dotyková plocha pneumatiky s vozovkou dostane do oblasti smyku. Potom model dějů který jsme doposud uváděli, přestává platit a zjednodušeně si můžeme představit, že dotyková ploška degenerovala do 52

bodu C. Uvažujeme, obr. 50, že pneumatika rotující úhlovou rychlostí ωk se pohybuje dopředu rychlostí v = vk cos α pod úhlem směrové úchylky α , kde v k = ω k r . Pneumatika se může nacházet v brzdícím nebo v hnacím režimu jízdy, které jsou znázorněny na obr. 51, kdy se celá dotyková ploška nachází ve smyku. Potom se v místě dotyku pneumatiky s vozovkou vyskytne v podélném směru smyková rychlost vsx . Při brzdění je dopředná skluzová rychlost dána vztahem v sx = (ω k − ω s ) rd , (44) kde ω k je úhlová rychlost kola při

čistém valení a ω s odpovídá skluzové rychlosti v podélném směru. Podobně je tomu i při hnacím režimu jízdy, kde dochází k prokluzu kola jak je ukázáno v kap. 1.2.2. Pokud jsou hodnoty α a δ takové, že složka rychlosti vsy je již na hranici bočního skluzu, je výsledná rychlost skluzu vs odchýlena od osy x o úhel τ a její velikost je v s = v sx2 + v sy2 .

(45)

Obr. 50 Pohyb pneumatiky pod úhlem směrové úchylky α

brzdící režim jízdy

hnací režim jízdy

Obr. 51 Pohyb pneumatiky na mezi bočního smyku Na její nositelce musí ležet výsledná tečná síla Ft složená ze síly dopředné Ftx a boční Fty . Připomeňme si, že dopředná síla Fx působící na obvodu kola, kap. 1.3, je kreslena tak, jak je uváděno v základním kurzu mechaniky, jako reakční síla působící z vozovky na kolo. Stejná úvaha platí i pro tečnou sílu Ft . Analogická situace platí i při hnacím režimu jízdy, kdy dochází k prokluzu kola. 53

2.2.2

Neustálené stavy valení

Ustálenými stavy valení pneumatiky rozumíme jízdní stavy, které se nemění po dobu minimálně 10 s a mají na tomto intervalu statický charakter. Skutečnost je ale taková, že k této situaci prakticky nedochází a ke změně jízdních stavů dochází v mnohem kratších intervalech. Při reálném pohybu pneumatiky dochází k jejímu natáčení řidičem s frekvencí 0 ÷ 0,75 Hz, k bočnímu a vertikálnímu posouvání, naklápění a natáčení vlivem pérování s frekvencemi 1 ÷ 2,5 Hz a 7 ÷ 14 Hz a k bočnímu posouvání a natáčení v důsledku kmitání řízení s frekvencí 5 ÷ 14 Hz. Již při frekvenci 0,1 Hz dochází k fázovému posunu mezi vstupní výchylkou a vznikem sil a momentů. To je základ neustáleného jízdního stavu valení pneumatiky, která se trvale nachází v přechodu z jednoho jízdního stavu do druhého, při kterém na kolo působí vratné momenty. Důsledkem je, že úhel směrové úchylky α se mění v závislosti na čase. Časovou změnu α můžeme vyjádřit buď pro bod ležící na středu dotykové plošky, nebo na její hraně. Pro demonstraci nestacionárního pohybu pneumatiky použijeme [1] matematický model von-Schlippeho, kdy uvažujeme, obr. 52, bod L náběžné hrany dotykové plochy pneumatiky, která se valí po vozovce stálou úhlovou rychlostí ωk a je v daném okamžiku natočena od přímého směru jízdy o úhel β ≤ 12o . Kromě dopředné rychlosti se bod L pohybuje v bočním směru v důsledku nerovnosti vozovky rychlostí y& c , v důsledku boční síly rychlostí ∆y& a v důsledku natáčení pneumatiky kolem svislé osy procházející bodem C o úhel β , rychlostí přibližně b / 2 β& . Takže jeho boční rychlost je přibližně v y = − y& c − ∆y& +

b & β . 2

Obr. 52 Okamžitý úhel směrové úchylky α při nestacionárním pohybu Potom můžeme podle obr. 52 přibližně psát

54

(46)

−

tg (α + β ) =&

dy c dβ b d∆y + − dt dt 2 dt . vk

(47)

V tomto vztahu, vzhledem k malým hodnotám α a β , uvažujeme, že rychlost příslušná rotaci β& leží v ose y. Z důvodu malých hodnot α a β můžeme pro úhel α z rov. (47) psát

α =& − β +

Současně můžeme přibližně psát pro

1 vk

 dy c dβ b d∆ y  − + − dt 2 dt  dt

b <σ 2

∆y

tg α =& α =

  . 

.

σ

(48)

(49)

Tento vztah platí přesně pro úhel α měřený od čelní roviny, obr. 41, takže v našem případě platí přibližně. Po dosazení do rov. (48) dostaneme ∆y

σ

vk +

d∆ y dt

= −β vk −

dy c dβ b − . dt dt 2

(50)

b <σ , 2

(51)

Protože je, rov. (21) a (30), Fy = k y ∆ y , k y =&

u

pro

σ

kde u je směrová tuhost, můžeme pro boční posunutí psát vztah ∆y =

Fy ky

=

Fy σ u

.

(52)

Po dosazení do rov. (50) dostaneme d Fy σ Fy σ d d b u + vk = −β vk − yc + β / . dt u uσ dt dt 2 σ

(53)

Po úpravě dostaneme výsledný tvar diferenciální rovnice pro změnu boční síly v závislosti na čase dFy v dy u dβ b  + Fy k =  − β v k − c + (54) . σ σ dt dt dt 2  Pro vk = konst. je dx = v k dt a můžeme rovnici upravit na tvar dFy dx

+ Fy

1

σ

=

dy u dβ b  − β − c +  . σ dx dx 2 

(55)

Rov. (55) určuje hledanou závislost Fy ( x ) = 0 . Vlivem působení síly Fy ( x ) vznikne na kole vratný moment 55

M ź = M ′z + M z′′ ,

[

]

(56)

kde M ′z Fy (α ) je moment vyvolaný změnou úhlu směrové úchylky α a M z′′ (β ) je moment vyvolaný zkřivením kostry pneumatiky vlivem jejího natáčení kolem svislé osy. Popsaná situace je ve skutečnosti složitější, neboť veličiny v rovnicích nejsou konstantní.

56

3. STATICKÁ ANALÝZA VOZIDLOVÝCH MECHANISMŮ Statickou analýzu vozidlových mechanismů provádíme stejně jako řešení soustav vázaných těles, které bylo probíráno v základním kursu mechaniky, tedy uvolňováním jednotlivých členů soustavy. Podle typu a složitosti řešené úlohy můžeme k řešení použít vektorový způsob, který je vhodný pro méně náročné prostorové úlohy, nebo způsob maticový, který je vhodný pro řešení složitějších prostorových mechanismů s využitím počítačové podpory. Ukážeme si stručně oba způsoby, ale více se zaměříme na řešení s využitím matic. V dalším budeme hovořit o vektorové a o maticové analýze. Z našich úvah vyloučíme princip virtuálních prací, daný vztahem δA = ∑ Fi ⋅ δ ri = 0 , kde

δ ri je virtuální dosunutí, který vyjadřuje rovnováhu aktivních silových účinků Fi působících na soustavu s holonomními (integrovatelnými) vazbami. Tato metoda je při řešení prostorových úloh náročná na vyjádření potřebných geometrických závislostí a navíc neumožňuje určení reakčních sil ve vazbách. 3.1 Vektorová analýza Zaměříme se na těleso uložené v prostoru, případně na prostorové soustavy, neboť řešení rovinných soustav bylo již prováděno v základní výuce mechaniky. Pro rovnováhu tělesa v prostoru musí opět platit podmínka rovnováhy akčních (FA , M A ) a reakčních FR , M R silových účinků, kterou tvoří dvě vektorové rovnice

FA + FR = 0 ,

M A + MR = 0 ,

(57)

které po rozepsání vytvoří soustavu šesti skalárních rovnic. Protože princip a postup řešení byl již zmiňován v předcházející výuce při hledání rovnovážné polohy tělesa, bude situace nejlépe patrná z uvedených příkladů. Příklad 1 Určete reakce působící na tuhou nehmotnou hnací nápravu automobilu, obr. 58, zatíženou tíhovými silami karoserie a kroutícím momentem, jestliže je dáno S1 , S 2 , FA , FR , F0 , a, b, c, r , rs . Hledáme RA , RB , N1 , N 2 , T . Řešení tohoto jednoduchého případu provedeme za předpokladu, že na obou kolech působí stejná tečná síla T. Reakce působící na nápravu jsou R Ax , R Az , RBx , RB y , RB z , T . Nápravu a kola uvažujeme jako nehmotná tělesa a proto platí RAz = N1 , RB z = N 2 . Pro přesnější výpočet by bylo nutné provést její uvolnění od kol a uvažovat hmotu nápravy a hmoty kol. Jedná se o prostorovou soustavu sil, pro kterou píšeme ve zvoleném souřadnicovém systému R ≡ (i, j, k ) tři složkové a tři momentové podmínky rovnováhy

∑F

= 0 : RAx + RB x − 2T − F0 = 0 ,

∑F

= 0 : FA − RB y = 0 ,

∑F

= 0 : RAz + RB z − S1 − S2 − FR = 0 ,

x

y

z

57

∑M

x

= 0 : rs FA + c S 2 − b S1 + (a + b ) N1 − (a + c ) N 2 = 0 ,

∑M

y

= 0 : − rs F0 + 2r T + e ( N1 + N 2 )e = 0 ,

∑M

z

= 0:

(a + b )T − (a + c )T + b RA

x

− c RB x = 0 .

(58)

Obr. 53 Silové účinky působící na tuhou nápravu Ze šesti skalárních rovnic můžeme určit hledané neznámé R Ax , R Bx , RB z , N1 , N 2 , T . Ještě jednou zopakujme, že při řešení jsme neuvažovali hmotu neodpružených částí, tj. nápravy a kol. Všimněte si, že konkávní strana zubu pastorku zabírá s konvexní stranou zubu talířového kola.

Příklad 2 Určete reakce v uložení převodové skříně s kuželovým soukolím u elektrické lokomotivy E49, jestliže jsou dány následující silové účinky a rozměry:

M H = 10 222 Nm je hnací moment přiváděný od motoru, M 2 = 4 581 Nm je kroutící moment přenášený na druhou převodovku, M K = 13 243,5 Nm je kroutící moment přenášený na dvojkolí l = 1,15 m, d = 0,27 m, e = 0,524 m Hledáme: S , RAx , RA y , RAz , RB x , RB y Poznámka: Jedná se o letmo uloženou kuželo-čelní převodovku, obr. 54, kde převodová skříň uložená v místech A, B na hřídeli dvojkolí, je uchycena na závěsné tyči. Hmotu převodovky neuvažujeme.

58

Řešení provedeme ve zvoleném souřadnicovém systému R ≡ ( x, y, z ) a v pomocném souřadnicovém systému R′ ≡ ( x′, y′, z′) . Protože můžeme složkové podmínky rovnováhy nahradit podmínkami momentovými, napíšeme podmínky rovnováhy v následující formě, která nám umožní přímé určení hledaných reakcí.

Obr. 54 Silové účinky působící na letmo uloženou převodovou skříň elektrické lokomotivy

MK =& 11 516 N , l

∑M

z

= 0: MK − Sl = 0 , S =

∑M

x

= 0 : M H + M 2 − RB y e − S d = 0 ,

∑M′ = 0: x

∑M

y

y

∑F

z

M H + M 2 − RA y e − S ( d + e ) = 0 ,

= 0 : RB x ⋅ e = 0 ,

∑M′ = 0:

RBy =

R Ax ⋅ e = 0 ,

= 0 : RA z = 0 ,

− Sd + M H + M 2 =& 22 316 N , e

R Ay =

S (d + e ) − M H − M 2 =& −10 800 N , e

RB x = 0 , R Ax = 0 , R Az = 0 .

(59)

Výsledná reakce ve směru y od uložení v bodech A a B je

R y = RBy + R Ay = 22 316 − 11 516 = 11 516 N a její vzdálenost od počátku určíme z rovnosti momentů

59

(60)

Ry ⋅ z = RB y ⋅ e

⇒ z=

RB y ⋅ e Ry

= 102 cm

(61)

Obr. 55 Grafické znázornění silových účinků Vidíme, že reakce R y a S tvoří silovou dvojici. Situace je graficky znázorněna na obr. 55 jak prostorově, tak i v rovině xz. Podle obrázku můžeme psát

M = M K2 + (M H + M 2 ) , 2

M R = Ry m

Protože jsme řešili rovnováhu jenom převodové skříně, byly reakce RAx a RBx nulové. Tyto reakce získáme řešením statické rovnováhy dvojkolí. Ze statického hlediska demonstruje uvedený příklad rovnováhu dvojicových momentů.

3.2 Maticová analýza Vyjadřování silových účinků u složitějších případů je výhodné provádět použitím maticového počtu. Nechť náhrada prostorové soustavy sil definované v prostoru R3 v bodě B ≡ Ω 2 ≡ Ω 3 je F, M . Chceme vyjádřit tyto silové účinky v prostoru R1 . K řešení použijeme pomocný prostor R2 , který vznikl paralelním posunutím, obr. 56, prostoru R1 . V následujících vztazích budeme vektory síly F a momentu M zapisovat ve tvaru matic. Dále bude platit, že zápisem Ri F , i = 1, 2 je rozuměn vektor F Obr. 56 Uspořádání prostorů vyjádřený v souřadnicové soustavě

60

Ri , kterou budeme někdy jednoduše nazývat prostorem Ri . Sílu F a dvojicový moment M

můžeme vyjádřit v prostoru R2 pomocí transformačního vztahu SR R , 0 R2 F R3 F = 3 2 , 0, S R 3 R 2 R3 M R2 M

(63)

kde R3 R3

F=

Fx

Fy , R3 Fz

R3

R3 R3

M=

Mx

My , R3 M z

(64)

R3

jsou matice silových účinků a matice směrových kosinů při transformaci z prostoru R3 do R2 je i 2 ⋅ i 3 , i 2 ⋅ j3 , i 2 ⋅ k 3

S R3 R2 (ψ ) = S R3 R2 = j2 ⋅ i 3 , j2 ⋅ j3 , j2 ⋅ k 3 . k 2 ⋅ i 3 , k 2 ⋅ j3 , k 2 ⋅ k 3 Je to matice ortogonální a platí pro ní

(65)

S R3 R2 = S −R12 R3 = STR2 R3 .

(66)

Z uvedených vztahů je patrné, že se jedná o transformaci mezi pootočenými souřadnicovými systémy. Známe nyní silové účinky v prostoru R2 a provedeme jejich vyjádření v prostoru R1 nebo jinak řečeno provedeme transformaci z prostoru R2 do prostoru R1 . Prostory R2 a R1 jsou vzájemně posunuty. To znamená, že síla F se nezmění, neboť se jedná o první vektorový invariant prostorové soustavy sil, ale změní se moment M. Pro silové účinky vyjádřené v R1 platí transformační vztah

F I = R R2 R1 R1 M R1

0 ⋅ I

F , R2 M R2

(67)

kde I je jednotková matice a R R2 R1 je matice, která vyjadřuje posunutí síly F a kterou určíme následujícím způsobem. Uvažujme nyní, že F je libovolná síla ležící v prostoru R2 , obr. 57. Moment síly F k bodu A, podle poznámky platí R1 F = R2 F = F , můžeme, obr. 57, vyjádřit buď přímo pomocí polohového vektoru r1 nebo, v případě, že síla F leží obecně v prostoru R2 , zprostředkovaně pomocí vektorů rB a r2 následujícím způsobem i1 ,

R1

j1 ,

M A = r1 × F = (rB + r2 ) × F = rB × F + r2 × F = x B , y B , 123 123 R1 M BA R2 M B Fx , Fy ,

k1 zB + Fz

R2

MB .

(68)

kde M B je moment síly F k bodu B v prostoru R2 a M BA je moment síly F, posunuté do bodu B, k bodu A. Rov. (68) má po rozepsání determinantu tvar

61

Obr. 57 Moment síly F k bodu A y B Fz − z B Fy R1

0 ,

M A = − x B Fz + z B Fx + x B Fy − y B Fx

R2

M B = zB , − yB ,

− zB ,

yB

0 , xB ,

− xB 0

Fx Fy + Fz

R2

MB .

(69)

Rov. (69) můžeme vyjádřit v maticové symbolice následujícím způsobem R1

M A = R R2 R1

R2

F + R2 M B ,

(70)

kde R R2 R1 je matice vyjadřující paralelní posunutí síly, jejíž konkrétní tvar je

− zB ,

0, R R2 R1 = z B , − yB ,

0, xB ,

yB − xB . 0

(71)

Vyznačení prostoru R2 u vektoru F je formální, neboť, jak jsme řekli, síla je vzhledem k prostorům R2 a R1 invariantní. Dosazením rov. (63) do rov. (67) dostaneme transformační vztah mezi silovými účinky v prostoru R3 a R1 . R1 R1

F

M

=

I , R R2 R1

0 0 S R3 R 2 , 0 , S R3 R 2 , I

R3

F

R3

M

=

I S R3 R 2 ,

0

R R2 R1 S R3 R2 , I S R3 R2

R3

F

R3

M

= (72)

=

S R3 R 2 ,

0

R R2 R1 S R3 R2 , S R3 R2

R3

F

R3

M

.

Stručně můžeme tento výraz zapsat formálně takto R1

~ ~ FF , M = TR3 R1

R3

~ FF , M ,

(73)

~ ~ kde FF , M je hypermatice složená ze sloupcových matic F a M a TR3 R1 je hypermatice, která se skládá ze submatic S R3 R2 a R R2 R1 . Rovnice (72), případně (73), vyjadřuje transformaci

62

~ obecné prostorové soustavy sil z prostoru R3 do základního prostoru R1 . Matice FF , M je ~ sloupcová matice silových účinků. Transformační matice TR3 R1 není ortogonální a k ní inverzní matice je I, 0 STR R , 0 STR3 R2 I , 0 STR3 R2 , 0 ~ ~ . TR1 R3 = TR−31 R1 = 3 2 = T T T T T T T T 0, S R3 R2 R R 2 R 2 , I S R3 R2 R R2 R1 , S R3 R2 I S R3 R2 R R2 R1 , S R3 R2 (74) Uvedený obecný postup bude zřejmý z následujících příkladů.

Příklad 3 Určete reakce v místech uložení hřídele vyvolané silou F definovanou v prostoru R2 , jestliže jsou dány následující silové a geometrické veličiny: F , ϕ , δ , x2 , y2 , z2 , xO2 , yO2 , zO2 , a, b, ψ Situace je znázorněna na obr. 58, ze kterého je zřejmé, že síla F je určena svými složkami v souřadnicovém systému R2 ≡ (i 2 , j2 , k 2 ) . Řešení provedeme ve dvou krocích. Nejdříve nahradíme sílu F v bodě O ≡ Ω1 a následně napíšeme podmínky rovnováhy v prostoru R1 ≡ (i1 , j1 , k 1 ) . Pro snadnější řešení zavedeme pomocný prostor R1′ ≡ (i1′ , j1′ , k 1′ ) , který je paralelní s prostorem R1 . Náhradu síly F v bodě O, spočívající v paralelním posunutím F, zapíšeme symbolickou vektorovou rovnicí

Obr. 58 Zatížení hřídele silou F

63

R1

kde síla

R2

F = S R2 R1

R2

F ,

(75)

F a transformační matice S R2 R1 jsou dány výrazy

F cos ϕ cos δ

Fx 2

R2

cosψ , − sinψ , 0

F = Fy 2 = F sin ϕ , Fz 2 F cos ϕ sin δ

S R2 R1 = sinψ , 0,

cosψ , 0,

0 . 1

(76)

Nezapomeňme, že prostory R1 a R1′ jsou paralelně posunuty a proto platí S R2 R1 ≡ S R2 R1′ . Po dosazení do rov. (75) dostaneme

Fx1

R1

F cos ϕ cos δ cosψ − F sin ϕ sinψ

F = Fy1 = F cos ϕ cos δ sinψ + F sin ϕ cosψ Fz1 F cos ϕ sin δ

.

(77)

Pro určení momentu M O potřebujeme znát polohové vektory počátků souřadnicových systémů, pro které platí

r = xO2 , yO2 , 0

T

R1 O 2

,

r

R2 O 2 L

= x2 , y2 , z2

T

.

(78)

Aplikací rov. (68) můžeme vyjádřit moment vzniklý posunutím síly F do bodu O

(

)

M O = rL × F = rO2 + rO2 L × F = rO2 × F + rO2 L × F = M 1 + M 2 .

(79)

Všimněte si, že v rov. (79) nejsou u vektorů uvedeny prostory, neboť rovnice je platná obecně bez ohledu na vyjádření vektorů, které ale musíme respektovat při konkrétním výpočtu ve zvoleném prostoru. Náš finální výpočet, kterým je určení statické rovnováhy provádíme v prostoru R1 a proto do tohoto prostoru přetransformujeme rov. (79). Vyjádříme proto jednotlivé výrazy na pravé straně rovnice v příslušných souřadnicových systémech. Pro druhý člen na pravé straně můžeme psát

R2

y2 Fz 2 − z2 Fy 2

i2 ,

j2 ,

k2

M 2 = R2 rO L ×R2 F = x2 ,

y2 ,

z2 = − x2 Fz 2 + z2 Fx 2 =

2

Fx 2 , Fy 2 , Fz 2

x2 Fy 2 − y2 Fx 2

(80) y2 F cos ϕ sin δ − z2 F sin ϕ

M 2 x2

= − x2 F cos ϕ sin δ + z2 F cos ϕ cos δ = M 2 y 2 . x2 F sin ϕ − y2 F cos ϕ cos δ

M 2 z2

a po transformaci do prostoru R1 , s využitím pomocného prostoru R1′ , dostaneme M 2 x 2 cosψ − M 2 y 2 sinψ

R1

M 2 = S R2 R1 M 2 = M 2 x 2 sinψ + M 2 y 2 cosψ . M 2 z2 64

(81)

Nyní vyjádříme první člen na pravé straně rov. (79)

i 1 , j1 , k 1 y O2 Fz1 − z O2 Fy1 0 , − z O2 , y O2 Fx1 y O2 , z O2 = − xO2 Fz1 + xO2 Fx1 = 0 , 0 , xO2 Fy1 .(82) R1 M 1 = R1 rO2 × R1 F = x O2 , Fx1 , Fy1 , Fz1 xO2 Fy1 − y O2 Fx1 − y O2 , xO2 , 0 Fz1 144 4 424444 3 R R 2 R1

Po dosazení do rovnice (79) dostaneme

(

) ( F ) sinψ + (− x

) ) cosψ

y O2 Fz1 − z O2 Fy1 + y 2 Fz2 − z 2 Fy2 cosψ − − x 2 Fz2 + z 2 Fx2 sinψ R1

(

M O = − xO2 Fz1 + z O2 Fx1 + y 2 Fz2 − z 2 y2 2 Fz 2 + z 2 Fx2 xO2 Fy1 − y O2 Fx2 + x 2 Fy2 − y 2 Fx2

. (83)

Uvedený postup ověříme na jednoduchém ilustračním případu, kdy nejprve pro dané hodnoty určíme moment v bodě O, vzniklý posunutím síly Fy 2 přímo a potom použitím rov. (83). Pro číselné hodnoty xO2 = 4 m , yO2 = 2 m , zO2 = 0, x2 = 2 m, y2 = 0 , z2 = 0 , ψ = 0,

δ = 0, ϕ =

π

, Fx 2 = 0, Fy 2 = 4 N , Fz 2 = 0, 2 můžeme, obr. 59, je moment síly Fy 2 k bodu O dán vztahem R1

(

Obr. 59 Ilustrační případ pro ověření

)

M O = xO2 + x2 Fy 2 = (4 + 2 ) 4 = 24 Nm .

(84)

Použitím rov. (77) a (83) dostaneme po dosazení

0 R1

0 + (0 − 0) − (0 + 0) ⋅ 0

0

F = Fy 2 = 4 0 0

,

R1

MO =

0 4 ⋅ 4. − 0 + 2 ⋅ 4 − 0

0 =

0 . 24

(85)

Vidíme, že oba postupy dají stejné výsledky. Uvedené ověření je ovšem možné provést pouze pro velmi jednoduchý ilustrační případ. Tímto jsme splnili první krok a nyní zbývá sestavit podmínky statické rovnováhy. Jedná se, podobně jako v příkladu 1, o prostorovou soustavu sil, pro kterou píšeme šest podmínek rovnováhy, které symbolicky zapíšeme takto R1

kde

R1

R=

R1

R A,

R1

RB

T

a

R1

F = R1 R = 0 ,

MR =

R1

M RA ,

R1

R1

M O + R1 M R = 0 ,

M RB

T

(86)

jsou matice reakčních silových účinků.

Je zřejmé, že moment pro rovnováhu bude mít pouze složku v ose x1 . Rozepsání vektorové rovnice (86) do skalárních rovnic již provádět nebudeme.

65

Příklad 4 Určete reakce v místech uložení prostorového mechanismu zavěšení automobilového kola, jestliže jsou dány následující silové a geometrické veličiny: R

Gk ,

R1

B

[

R1

R

Ok

[

R

xOk , R y Ok , R z Ok

]

], T

R1

C

[

R1

xc ,

R1

yc ,

]

T

R1

zc ,

R0

F=

R0

Fx ,

R0

Fy ,

T

R0

Fz ,

s = cos α ξ1 , cos βη1 , cos γ ζ1

T

,

xB , 0 , 0 , α 0 , ψ .

Z obr. 57, na kterém je mechanismus zavěšení znázorněn, je patrné, že reakčními účinky budou síly v místech A, B, C, které představují vnější reakce. Abychom se vyhnuli zdlouhavému počítání, spokojíme se s naznačením postupu výpočtu. Hledáme reakce RA , RB a sílu v pružině Q a proto řešení provedeme v prostoru R1 ≡ (i1 , j1 , k 1 ) . Pomocné prostory Rξ ≡ (i ξ , jξ , k ξ ) a Rξ1 ≡ i ξ1 , jξ1 , k ξ1 jsou paralelní, prostor Rξ je vzhledem k prostoru

(

)

Rx ≡ (i, j, k ) natočen o úhel ψ kolem osy ξ . Rovnováhu sil působících na lichoběžníkový závěs můžeme vyjádřit, viz rov. (72), rovnicí 0   Rξ Q   S Rx R1 , 0   Rx F   R1 R A   R1 R B   S Rξ1 R1 , 1 + + +   0   M  R     = 0 , (87)  R1   R1 B   Rξ1 R1 S Rξ1 R1 , S Rξ1 R1   R1 0  R Rx R1 S Rx R1 , S Rx R1   0 

Obr. 60 Mechanismus zavěšení kola

66

kde S Rξ

1

R1

(

je matice směrových kosinů mezi prostory Rξ1 ≡ i ξ1 , jξ1 , k ξ1

)

a R1 ≡ (i1 , j1 , k 1 ) ,

S R x R1 je matice směrových kosinů mezi prostory Rx ≡ (i, j, k ) a R1 . RRξ R1 je transformační 1

matice vyjadřující paralelní posunutí síly z prostoru Rξ1 do R1 . Podobně matice RR x R1 vyjadřuje posunutí síly z prostoru Rx do R1 . Maticovou rovnici (87) můžeme zapsat stručněji pomocí hypermatic

kde

R1

~ FR A , 0 =

[

R1

R A / R1 , 0

R1

~ ~ ~ FRA + R1 FRB , M B + TRξ

]

,

T

1

R1

~ FRB , M B =

[

R1

R1 Rξ 1

~ ~ FQ + TRx R1

R A / R1 , M B

]

T

,

Rξ1

Rx

~ FF = 0 ,

~ F0 =

[

Rξ1

Q, 0

(88)

]

T

jsou matice silových

0  ~ 0   S Rξ1 R1 ,  S Rx R1 , ~ účinků a TRξ R1 =  = T    jsou transformační R R x 1 1 R Rξ1 R1 S Rξc R1 , S Rξ1 R1  R Rx R1 S Rx R1 , S Rx R1  matice. Rozepsáním rov. (87), nebo rov. (88) dostaneme šest rovnic pro šest neznámých R Ay1 , RAz1 , RBx1 , RBy1 , RBz1 , Q .

67

4. KINEMATICKÁ ANALÝZA VOZIDLOVÝCH MECHANISMŮ Mechanismy, které tvoří konstrukční základ různých vozidlových ústrojí a zařízení, jsou tvořeny soustavou těles, která jsou vzájemně vázána kinematickými dvojicemi. Tělesa spojená kinematickými dvojicemi vytvářejí kinematické řetězce, které mohou být uzavřené, otevřené, nebo smíšené. Stane-li se v uzavřeném kinematickém řetězci některý člen rámem, hovoříme o vázaném kinematickém řetězci, nebo také běžněji o mechanické soustavě, případně o mechanismu. Počet stupňů volnosti [4] prostorové mechanické soustavy určíme pomocí vazbové rovnice 5

i = 6 (n − 1) − ∑ j d j ,

(89)

j =1

kde 6 je počet stupňů volnosti tělesa v prostoru, n je počet členů soustavy včetně rámu, d j je počet kinematické dvojice j-té třídy a j je dvojice j-té třídy, která snižuje pohyblivost soustavy o j stupňů volnosti. Vazbová rovnice pro rovinné soustavy těles byla uvedena v základním kurzu mechaniky. Můžeme ovšem použít i rov. (89) s tím, že těleso v rovině má 3 stupně volnosti. Vzájemná poloha sousedních členů vázané mechanické soustavy je určena souřadnicemi příslušných kinematických dvojic, které vytvářejí kinematické vazby, které mohou být holonomní nebo neholonomní, případně reonomní, tj. závisí na čase, nebo skleronomní, na čase nezávislé. O holonomních vazbách hovoříme tehdy, jestliže se ve vazbové podmínce neobjeví rychlost. Vyskytuje-li se ve vazbové podmínce rychlost, hovoříme o vazbě neholonomní. Přehled kinematických dvojic pro rovinné vázané kinematické řetězce je uveden v [9]. Přehled základních kinematických dvojic pro prostorové vázané soustavy je ukázán na obr. 61, kde i je počet stupňů volnosti a σ je počet reakčních účinků ve vazbě. U nižších kinematických dvojic dochází k dotyku v ploše, kdežto u vyšší kinematické dvojice je dotyk dvou sousedních těles v bodě, nebo v křivce. Nižší kinematické dvojice

i = 2o , σ = 4 válcová dvojice

i = 3o , σ = 3 sférická dvojice

i = 1o , σ = 5 rotační dvojice

i = 1o , σ = 5 posuvná dvojice

68

i = 1o , σ = 5 šroubová dvojice Vyšší kinematické dvojice

nekongruentní plochy i = 5o , σ = 1 obecná dvojice

kongruentní plochy

Obr. 61 Kinematické dvojice prostorových vázaných soustav Určení stupňů volnosti prostorového mechanismu si ukážeme na následujícím vázaném mechanickém systému obr. 62, který představuje uložení neřízeného automobilového kola v lichoběžníkovém závěsu. Příklad 5 Určete počet stupňů volnosti nakresleného mechanismu zavěšení automobilového kola.

Obr. 62 Neřízené kolo na lichoběžníkovém závěsu 69

Počet stupňů volnosti prostorového mechanického systému na obr. 62 určíme pomocí rov. (89), kde n = 5 je počet členů soustavy, j = 4 ∧ d 4 = 3 je počet sférických dvojic, j = 2 ∧ d 2 = 5 je počet rotačních dvojic. Po dosazení dostaneme i = 6 (5 − 1) − 4 ⋅ 3 − 2 ⋅ 5 = 2o .

(90)

Výsledkem jsou dva stupně volnosti. Jeden stupeň volnosti přísluší rotaci dolního ramene ϕ 2 , případně horního ramene ϕ3 , neboť oba pohyby jsou vzájemně pevně kinematicky svázány a druhý stupeň volnosti náleží rotaci členu 5 kolem své osy, kterou nazveme parazitní rotací, neboť z hlediska pohyblivosti soustavy nemá význam. Reálným, technicky použitelným výsledkem je proto i = 1o . (91)

Je potřebné si uvědomit, že z kinematického hlediska je každý ze členů 2 a 3 uložen v jednom radiaxiálním ložisku. To znamená, že čárkovaně označená radiální ložiska nebereme při určování stupňů volnosti v úvahu. Z technického hlediska je takovýto letmý způsob uložení ale nepřijatelný a proto při konstrukční realizaci je nezbytné radiální ložiska použít. Vidíme, že kinematický a technický pohled nemusí být nutně stejný. Vždy ale platí, že technické řešení musí respektovat závěry kinematického řešení. Člen 5, který stabilizuje polohu kola, představuje, při případném připojení kola k řídícímu ústrojí, rameno řízení, viz kap. 5. Kinematickou analýzu můžeme provádět použitím • analytické geometrie, • vektorového počtu, • maticového počtu Použití některé z metod závisí na složitosti a typu řešení úlohy. Důležitým hlediskem je, zda se jedná o úlohu rovinnou nebo prostorovou. S metodou založenou na analytické geometrii jste se seznámili v základních předmětech mechaniky, kde se provádělo kinematické řešení rovinných mechanismů trigonometrickou metodou a rovněž se začala používat metoda vektorová. Budeme se nyní zabývat kinematickou analýzou prostorových mechanismů pomocí vektorového a maticového počtu a tyto analýzy nazveme krátce vektorovou a maticovou analýzou.

4.1 Vektorová analýza Analýza prostorových mechanismů prováděná pomocí vektorů je relativně jednoduchá, neboť klade minimální nároky na prostorovou představu, jako je tomu při použití sférické a prostorové geometrie a současně dává, a to je její velká přednost, názorný obraz řešeného problému. Použití vektorového počtu ukážeme při určování převodových funkcí prostorových a sférických mechanismů, které se vyskytují u silničních a železničních vozidel. Provedeme řešení univerzálního Hookeova kloubu v nejobecnějším tvaru s minoběžnými osami a s mimoběžným křížem a dále vybraných sférických mechanismů.

4.1.1 Řešení univerzálního Hookeova kloubu Hookeův kloub v obecném tvaru představuje čtyřčlenný prostorový mechanismus, obr. 63, u kterého je člen 3 tvořen mimoběžnými osami o32 , o34 a dále dvěma mimoběžnými osami o21 , o41 . Člen 3 koná obecný prostorový pohyb.

70

Pro dané veličiny ω21 , l , m, δ chceme určit závislost ϕ 41 = ϕ 41 (ϕ 21 ) , kde ϕ 21 je pootočení hnacího hřídele 2 a ϕ 41 pootočení hnaného hřídele 4, dále axiální posuv p hnaného, výstupního, hřídele a relativní posuvy s1 , s2 kříže 3 vůči členům 2 a 4. Počáteční polohu ∧

mechanismu, ve které vidlice 4 leží v rovině σ // yz , je vyznačena čárkovaně. Významné body počáteční polohy jsou A0 , B0 , C0 , které při otočení vidlice 2 o úhel ϕ 21 přejdou do bodů A, B, C v obecné poloze vyznačené plnými čarami. Vzdálenost roviny σ ve které leží osa o41 , která svírá se svým půdorysným průmětem úhel δ , od počátku Ω je m. Osy kříže o32 a o34 jsou vzájemně kolmé mimoběžné se střední příčkou l = BC = B0 C 0 . Vstupní a výstupní hřídele s osami o21 , o41 jsou mimoběžné s příčkou m. Posunutí bodů A0 , B0 , C0 do nových poloh A, B, C vyjádříme pomocí polohových vektorů m = im,

s1 = −i s1 cos ϕ 21 + j s1 sin ϕ 21 , s 2 = −i s 2 sin ϕ 41 + j s 2 cos ϕ 41 cos δ + k s 2 cos ϕ 41 sin δ , p = j p sin δ − k p cos δ .

Obr. 63 Hookeův kloub Vzdálenost bodů A0 , B0 ve výchozí poloze je 71

(92)

l 2 = −k

l . cos δ

(93)

Vektor l střední příčky v čase t můžeme vyjádřit vektorovým součtem dílčích vzdáleností

l = m + l 2 + p + s 2 − s1 = i (m + s 2 sin ϕ 41 + s1 cos ϕ 21 ) +   (94) l + j ( p sin δ + s 2 cos ϕ 41 cos δ − s1 sin ϕ 21 ) + k  − − p cos δ + s 2 cos ϕ 41 sin δ  .  cos δ  Výrazy (92) až (94) jsme vyjádřili vektory, které v mechanismu kloubu tvoří uzavřený obrazec. Uvedené vztahy obsahují hledané neznámé ϕ 4 , s1 , s 2 , p , pro jejichž určení potřebujeme čtyři rovnice. Tři rovnice získáme z podmínek kolmosti vektorů

s1 ⋅ s 2 = 0 , s1 ⋅ l = 0 , s2 ⋅ l = 0

(95) (96) (97)

a čtvrtou rovnici získáme ze skutečnosti, že l je příčkou os o32 a o34 , takže pro vektor l můžeme psát s ×s l= 1 2 l . (98) s1 × s 2 Vektor tvořený zlomkem představuje jednotkový vektor úsečky l = BC . Provedeme naznačené skalární součiny a dostaneme následující závislosti. Z rovnice s1 ⋅ s 2 = 0 získáme

− s1 s2 cos ϕ 21 sin ϕ 41 + s1 s2 sin ϕ21 cos ϕ 41 cos δ = 0 , odkud po úpravě dostaneme

tg ϕ 41 = tgϕ 21 cos δ .

(99) (100)

Z rovnice s1 ⋅ l = 0 , použitím rov. (92), (94) a vydělením s1 , dostaneme

− m cos ϕ 21 − s 2 cos ϕ 21 sin ϕ 41 + p sin ϕ 21 sin δ + s 2 sin ϕ 21 cos ϕ 41 cos δ − s1 = 0 . (101) Po dosazení za cos δ z rov. (100) získáme posunutí s1

s1 = − m cos ϕ 21 + p sin ϕ 21 sin δ .

(102)

Podobně z rovnice s 2 ⋅ l = 0 a s využitím vztahu (98), dostaneme výraz pro posunutí s2 ve tvaru s2 = l tgδ cos ϕ 41 − m sin ϕ 41 . (103) Pro určení axiálního posunutí p členu 4 upravíme nejprve výraz v rov. (98), kde využijeme, že platí s1 × s 2 = s1 s 2 sin

π

2

= s1 s 2 , takže dostaneme

72

i, j, k s1 × s 2 l l= l= − s1 cos ϕ 21 , s1 sin ϕ 21 , 0 = s1 × s 2 s1 s 2 s 2 sin ϕ 41 , s 2 cos ϕ 41 cos δ , s 2 cos ϕ 41 sin δ (104) sin ϕ 21 cos ϕ 41 sin δ cos ϕ 21 cos ϕ 41 sin δ

=l

.

− cos ϕ 21 cos ϕ 41 cos δ − sin ϕ 21 sin ϕ 41 Tento vektor musí být shodný s vektorem příčky z rov. (94), takže po skalárním vynásobení obou rovnic jednotkovým vektorem k dostaneme

k ⋅ l = k (m + l 2 + p + s 2 − s1 ) .

(105)

Po dosazení za jednotlivé vektory, po pronásobení a jednoduché úpravě, dostaneme axiální posunutí členu 4 p=

1 cos δ

  1  2 l  cos ϕ 21 cos ϕ 41 cos δ + sin ϕ 21 sin ϕ 41 − cos δ + cos ϕ 41 tgδ sin δ  −   

m  − sin 2ϕ 41 sin δ  . 2 

(106)

Rovnice (100), (102), (103) a (106), které určují hledané veličiny, byly sestaveny pro prostorové uspořádání Hookeova kloubu. Úpravu pro jednodušší a v reálném technickém světě častěji se vyskytující případy, provedeme velmi lehce následujícím způsobem.

Mimoběžné osy, různoběžný kříž: l = 0, m ≠ 0 Po dosazení do uvedených rovnic dostaneme

tg ϕ 41 = tgϕ 21 cos δ .

(109)

s1 = p sin ϕ 21 sin δ − m cos ϕ 21 ,

(110)

3 extrém s1 = ± m je pro ϕ 21 = 0 , ϕ 21 = π . 2

s2 = − m sin ϕ 41 , extrém s2 = ± m je pro ϕ 21 =

π

3 , ϕ 21 = π . 2 2 p=−

extrém p = ±

(111)

m tgδ sin 2 ϕ 41 , 2

m π 3 tgδ je pro ϕ 41 = , ϕ 41 = π . 2 4 4 73

(112)

Různoběžné osy, mimoběžný kříž: l ≠ 0, m = 0 Stejným způsobem jako v předcházejícím odstavci dostaneme

tg ϕ 41 = tgϕ 21 cos δ ,

(113)

s1 = p sin ϕ 21 sin δ ,

(114)

1  π 3  extrém s1 = ± l tgδ 1 −  je pro ϕ 21 = , ϕ 21 = π . 2 2  cos δ 

s2 = l tgδ cos ϕ 41

,

(115)

extrém s 2 = ± l tgδ je pro ϕ 21 = 0 , ϕ21 = π .

p=

l cos δ

extrém p =

  1  cos ϕ 21 cos ϕ 41 cos δ + sin ϕ 21 sin ϕ 41 − + cos 2 ϕ 41 tgδ sin δ  , (116) cos δ  

l (cos δ − 1) π 3 je pro ϕ 21 = , ϕ 23 = π . 2 cos δ 2 2

Různoběžné osy, různoběžný kříž: l = 0, m = 0 Po dosazení máme tg ϕ41 = tg ϕ 21 cos δ ,

s1 = s2 = p = 0 .

(117) (118)

Uvedené vztahy pokrývají širokou škálu technických variací univerzálního Hookeova kloubu. U vozidel, kde používáme Cardanův hřídel který má na svých koncích Hookeovy klouby, musíme tyto klouby vzájemně nastavit tak, abychom na výstupním konci získali konstantní otáčky.

4.1.2

Řešení sférických mechanismů

Sférickými mechanismy, které jsou zvláštním a nutno dodat jednodušším případem prostorových mechanismů, rozumíme takové mechanismy, u kterých některý člen koná sférický pohyb. Připomeňme, že těleso vykonává sférický pohyb, jestliže jeden bod tělesa zůstává trvale v klidu. Sférický pohyb tělesa obvykle řešíme použitím Eulerových kinematických a dynamických rovnic, které získáme rozložením pohybu tělesa na precesi, nutaci a rotaci s následným zavedením úhlů precese ψ nutace ϑ a rotace ϕ , které označujeme jako Eulerovy úhly. Situace je znázorněna na obr. 61, který znázorňuje zmíněna tři otočení, kterými se souřadnicový systém Rϕ ≡ (iϕ , jϕ , k ϕ ) , pevně spojený s tělesem reprezentovaným rotačním kuželem, přemístí z výchozí polohy, ve které splývá se souřadnicovým systémem R ≡ (i, j, k ) , do obecné polohy. Prvním otočením o úhel precese ψ kolem osy z, přejde souřadnicový systém R do systému R1 ≡ (i1 , j1 , k 1 ) . Druhým otočením o úhel nutace ϑ kolem osy x1 , přejde souřadnicový systém R1 do systému R2 ≡ (i 2 , j2 , k 2 ) . 74

Třetím otočením kolem osy z2 ≡ ζ o úhel rotace ϕ přejde souřadnicový systém R2 do systému Rϕ ≡ (i ϕ , jϕ , k ϕ ) , který určuje obecnou polohu tělesa se kterým je pevně spojen. Osa

z2 ≡ ζ , která vznikla otočením osy z1 o úhel nutace ϑ , je osou vlastní rotace tělesa. Známeli časové derivace jednotlivých Eulerových úhlů, můžeme, podle obr. 64 vyjádřit vektor výsledné úhlové rychlosti tělesa následujícím vztahem

ϑ& cosψ − ϕ& sin ϑ sinψ ω = ψ& + ϑ& + ϕ& = ϑ& sinψ − ϕ& sin ϑ cosψ . ψ& + ϕ& cos ϑ

(119)

Pokud existují i druhé derivace jednotlivých rotačních pohybů, získáme vektor zrychlení derivací rov. 119. Tím se ale nyní nebudeme zabývat. Pomocí rov. (119) lze provádět kinematické řešení sférických mechanismů. Je ale možné použít k řešení jednodušší a velmi názorný způsob využitím skalárního součinu vektorů. Všimněme si rov. (95) v předcházející kapitole, která říká, že skalární součin dvou vzájemně kolmých vektorů s1 a s 2 je roven nule. Využijeme této rovnice s jejíž pomocí můžeme bez použití sférické trigonometrie určit převodovou funkci sférického mechanismu, která je jedním z nejdůležitějších vztahů, neboť na jejím základě můžeme určit i pohyby jednotlivých členů. Vektory s1 , s 2 , s výhodou je možné uvažovat jednotkové vektory, které musí obsahovat úhly rotace vstupního Obr. 64 Sférický pohyb tělesa a Eulerovy úhly a výstupního členu, vybereme podle konstrukčního uspořádání konkrétně řešeného mechanismu. Uvedeme příklady použití u následujících vybraných mechanismů.

Příklad 6 U nakresleného mechanismu kyvné vidlice, obr. 65, převádějícího rotační pohyb členu 2 na rotačně vratný pohyb členu 4, určete převodovou funkci ϕ 41 = ϕ 41 (ϕ 21 ) , jestliže je dáno δ , ω21 = konst .

Obr. 65 Mechanismus kyvné vidlice

75

V mechanismu vyznačíme navzájem kolmé vektory s1 , s 2 , které jsou v souřadnicovém systému R ≡ (i, j, k ) určeny následujícími vztahy

s1 = i s1 cos δ + j s1 sin δ sin ϕ 21 − k s1 sin δ cos ϕ 21 , s 2 = −i s2 sin ϕ 41 + j s2 cos ϕ 41 .

(120)

Po dosazení do rov. (95) dostaneme

s1 s2 cos δ sin ϕ 41 + s1 s2 sin δ sin ϕ21 cos ϕ 41 = 0 ,

(121)

odkud po úpravě získáme převodovou funkci

tg ϕ41 = tg δ sin ϕ 21 .

(122)

Příklad 7 U nakresleného mechanismu převádějícího rotační pohyb členu 2 na pohyb členu 4, obr. 66, určete závislost ϕ 4 = ϕ 4 (ϕ 2 ) , jestliže je dáno δ , ω21 = konst . o32 ⊥ o34 o34 ⊥ o41

Obr. 66 Mechanismus sférického kloubu Zavedeme opět vektory s1 , s 2 , které jsou v souřadnicovém systému R ≡ (i, j, k ) určeny výrazy s1 = −i s1 sin δ cos ϕ 21 + j s1 sin δ sin ϕ21 + k s1 cos δ ,

s 2 = j s2 cos ϕ 41 − k s2 sin ϕ 41 .

(123)

Po dosazení do rov. (95) obdržíme vztah

s1 s2 sin δ sin ϕ 21 cos ϕ 41 − s1 s2 cos δ sin ϕ41 ,

(124)

ze kterého získáme převodovou funkci

tg ϕ41 = tg δ sin ϕ 21 . 76

(125)

Příklad 8 U mechanismu šikmé desky, obr. 67, přenášejícího rotační pohyb členu 2 přes pohyb desky 3 na vratný pohyb pístu 6, určete převodovou funkci ϕ31 = ϕ31 (ϕ 21 ) , jestliže je dáno

δ ,ω21 = konst . Šikmá deska 3, která má tvar kruhového kotouče, koná sférický pohyb kolem bodu Ω . V bodě A, který se pohybuje po kružnici k, je k desce připojena ojnice 5, která uděluje pístu 6 posuvně vratný pohyb. Písty 6, kterých je po obvodu kruhového kotouče umístěno více, buď stlačují atmosférický vzduch a jsou zdrojem tlakového vzduchu nebo tlakové kapaliny pro motor nebo pro jiné zařízení, nebo může ve válci expandovat nasátá směs a písty jsou zdrojem rotačního pohybu členu 2. Tento princip byl využíván u leteckých motorů. V pravé části obr. 67 je znázorněna okamžitá úhlová rychlost ω32 desky 3, která je určena vektorovým součtem úhlových rychlostí rotačních pohybů 32 a 21, takže je ω 31 = ω 32 + ω 21 . Pro pohyb bodu A je využita pouze složka úhlové rychlosti ω31Z . Obr. 67 Mechanismus šikmé desky Podobně jako u předcházejících případů vyznačíme v mechanismu vektory s1 , s 2 a vyjádříme je jejich složkami v souřadnicovém systému R ≡ (i, j, k ) , takže dostaneme s1 = i s1 cos ϕ 31 + j s1 sin ϕ 31 ,

s 2 = −i s 2 sin δ cos ϕ 21 + j s 2 cos δ + k s 2 sin δ sin ϕ 21 .

(126)

Po dosazení do rov. (95) dostaneme skalární rovnici − s1 s2 sin δ cos ϕ 21 cos ϕ31 + s1 s2 cos δ sin ϕ31 = 0 ,

(127)

odkud získáme hledanou převodovou funkci

tg ϕ31 = tg δ cos ϕ 21 .

(128)

Příklad 9 U nakresleného sférického mechanismu otočné kulisy, obr. 68, určete pohyb kulisy 3, jestliže je dáno δ ,ω21 = konst . Kulisa vykonává rotačně vratný pohyb, který je určen převodovou funkcí ϕ31 = ϕ31 (ϕ 21 ) . Pro její určení použijeme opět vektory s1 a s 2 . Vektor s 2 leží na povrchové přímce rotačního 77

kužele opisovaného přímkou p členu 2 a vektor s1 je kolmý na rovinu ρ proloženou přímkami p , o31 , takže s1 ⊥ ρ ∧ ρ ≡ p, o31 . Složky obou vektorů v souřadnicovém systému

R ≡ (i, j, k ) jsou

s1 = i s1 sin ϕ 31 − k s1 cos ϕ 31 ,

s 2 = −i s2 cos δ + j s2 sin δ cos ϕ 21 − k s2 sin δ sin ϕ 21 .

(129)

Obr. 68 Mechanismus otočné kulisy Stejně jako v předcházejících případech dosadíme do rov. (95) a získáme skalární rovnici − s1 s2 cos δ sin ϕ31 + s1 s2 sin δ sin ϕ21 cos ϕ31 = 0 ,

(130)

ze které získáme hledanou převodovou funkci

tg ϕ31 = tg δ sin ϕ 21 .

(131)

4.2 Maticová analýza

Analýza uzavřených prostorových vázaných kinematických řetězců, které stručně nazýváme prostorové mechanismy, pomocí maticového počtu je velmi výhodná, neboť, kromě přehledného symbolického zápisu a snadného přechodu na soustavu skalárních rovnic, umožňuje provádět transformace mezi jednotlivými prostory a rychlé použití počítačových softwarů. Použití maticové symboliky k vyjádření vektorů je výhodné nejen z hlediska potřebných transformací, ale i z hlediska použití maticového počtu. Tento postup je velmi vhodný pro složitější prostorové úlohy. Podobně jako u statické analýzy budeme i zde j-tý souřadnicový systém R j nazývat j-tým prostorem a jednotlivé vektory reperu souřadnicového 78

systému označíme j e i , i = 1 ÷ 3 ∧ j = 1 ÷ n , kde i označuje jednotkový vektor souřadnicové báze a j označuje souřadnicový systém. Uvažujme bod L tělesa T, obr. 69, které koná v prostoru R2 ≡ ( 2 e1 , 2 e 2 , 2 e3 ) obecný prostorový pohyb, přičemž prostor R2 se současně

pohybuje vzhledem prostoru R1 ≡ (1 e1 , 1e 2 , 1e3 ) rovněž obecným prostorovým pohybem. Chceme vyjádřit pohybový stav bodu L, který je určen v R2 polohovým vektorem R2

rO2 L =

T R2

xO2 L ,

R2

yO2 L ,

R2

zO L

,

v

2

prostoru R1 , který je základním prostorem. Polohu bodu L vyjádříme v tomto prostoru symbolickým zápisem [4] ve tvaru R1

rL (t ) = R1 rO2 (t ) + R1 rO2 L (t ) ,

(132)

kde r

R1 O2

(t ) =

R1

xO2 (t ) , R1 yO2 (t ) , R1 zO2 (t )

T

je polohový vektor počátku O2 prostoru R2 . V dalším postupu nebudeme pro zjednodušení zápisu, nebude-li to nezbytně nutné, uvádět čas t. Polohový vektor R2 rO2 L určující polohu bodu L v prostoru R2 , přetransformujeme do prostoru R1 vztahem r

R1 O2 L

Obr. 69 Uspořádání prostorů = S R2 R1

r

R2 O2 L

,

(133)

kde matice pootočení, nebo také jinak matice směrových kosinů je

e ⋅ 2 e1 ,

1 1

S R2 R1 = 1 e 2 ⋅ 2 e1 , 1 e3 ⋅ 2 e1 ,

e ⋅ 2 e2 ,

1 1

e ⋅ 2e2 , 1 e3 ⋅ 2 e 2 ,

1 2

e ⋅ 2 e3

1 1

e ⋅ 2 e3 1 e3 ⋅ 2 e 3

1 2

,

(134)

kde j ei , i = 1 ÷ 3 ∧ j = 1, 2 jsou, jak bylo řečeno v úvodu této kapitoly, jednotkové vektory souřadnicových bází prostorů R1 a R2 . Vidíme, že matice (134) je určena skalárními součiny těchto jednotkových vektorů pro které platí, že j e i ⋅ k e q = cos α iq je kosinus úhlu, který svírá osa q k-tého souřadnicového prostoru s osou i j-tého prostoru, kde q = 1, 2 , 3 ∧ i = 1, 2 , 3 . Po dosazení rov. (134) do rov. (133) a následně do rov. (132) dostaneme R1 R1

rL =

xL

cos α 11 , cos α 12 , cos α 13

y L = cos α 21 , cos α 22 , cos α 23 cos α 31 , cos α 32 , cos α 33 R1 z L

R1

79

R2

xO2 L

y O2 L + R2 z O2 L

R2

R1

xO2

y O2 . R1 z O2

R1

(135)

Pro další řešení vyjádříme [4], z důvodu kompaktního a jednoduchého zápisu transformačních vztahů, polohové vektory v rozšířených, nebo také jinak v homogenních, souřadnicích následujícím způsobem u u R1 u L , R2 rO2 L = R1 O2 L , R1 rO2 = R1 O2 , (136) R1 rL = 1 1 1 kde

R1

u O2 L = R1

u O2 =

u=

R1

R1

xO2 L ,

R1

xO2 ,

xL , R1

R1

yL ,

y O2 L ,

y ,

R1 O2

z

T

z

R1 O2 L

z

T

R1 L

R1 O2

T

je

polohový

vektor

bodu

L

v prostoru

R1 ,

je polohový vektor bodu L v prostoru R2 a konečně

je polohový vektor bodu O2 , který je počátkem prostoru R2

v prostoru R1 . Matice směrových kosinů S R2 R1 = cos α iq , rov. (134), je maticí ortogonální, která udává natočení prostoru R2 vzhledem k prostoru R1 . Nakonec zavedeme transformační matici udávající polohu prostoru R2 vzhledem k R1 ve tvaru TR2 R1 =

S R2 R1 ,

R1

0 ,

u O2

1

,

(137)

kde 0 je nulová matice. Nyní můžeme rov. (135) zapsat buď v nerozšířených souřadnicích ve tvaru (138) R1 u L = S R2 R1 R2 u O2 L + R1 u O2 , nebo jednodušeji a kompaktněji v rozšířených, homogenních, souřadnicích ve tvaru R1

r L = TR2 R1

R2

r O2 L .

(139)

Při dalším řešení mohou nastat dva případy, které se odlišují postavením bodu L v prostoru R2 . Pro jejich odlišení zavedeme nyní do zápisu opět časovou závislost.

První případ Bod L je bodem tělesa 3 pevně spojeného s prostorem R2 , 3 ≡ 2 , který se pohybuje v R1 . Potom je (140) R1 r L (t ) = TR2 R1 (t ) R2 r O2 L . Druhý případ Bod L je bodem tělesa, které se pohybuje v prostoru R2 , který se pohybuje v R1 . Potom platí pro polohu bodu L vztah (141) R1 r L (t ) = TR2 R1 (t ) R2 r O2 L (t ) . K uvedeným vztahům poznamenejme, že bod L nemusíme vázat na těleso a můžeme ho uvažovat jako izolovaný bod . Rov. (140) vyjadřuje pohyb bodu L tělesa 3, L ∈T ≡ 3 , pevně spojeného s prostorem R2 , který koná obecný prostorový pohyb v prostoru R1 . Tento pohyb můžeme použitím základního rozkladu pohybu rozložit na unášivý pohyb posuvný 21 určený pohybem bodu O2 a na druhotný sférický pohyb 32 kolem tohoto bodu, který zapíšeme symbolickým zápisem 31 = 32 + 21 . Tento pohyb popisuje rov. (138). Rov. (141) vyjadřuje

80

pohyb bodu L tělesa 3 pohybujícího se v prostoru R2 , který opět koná obecný prostorový pohyb v prostoru R1 . Jedná se o současné pohyby tělesa 3, pro které opět platí symbolický zápis 31 = 32 + 21 , kde ale pohyby 32 a 21 jsou jiné než v předcházejícím případě, neboť představují obecné prostorové pohyby a jedná se tedy o případ podstatně složitější. Můžeme samozřejmě postupovat i obráceně, kdy známe polohu bodu L v prostoru R1 a chceme tuto polohu vyjádřit v prostoru R2 . K tomu použijeme opačnou transformaci, pro kterou budeme potřebovat inverzní transformační matici, kterou získáme následujícím způsobem. Vynásobením rov. (141) zleva inverzní transformační maticí, vynecháme v zápisu opět čas, dostaneme TR−21R1 R1 r L = TR−21R1 TR2 R1 R2 r O2 L (142) 14243 =1

a tím získáme transformační vztah R2

r O2 L = TR−21R1

R1

rL .

(143)

Součin matice původní a matice inverzní je roven jedné neboť původní matice je regulární. Tvar inverzní transformační matice určíme ze vztahu

TR2 R1 TR−21 R1 = I .

(144)

kde I je jednotková matice. Protože rov. (144) představuje identitu, musí mít všechny matice stejné vnitřní formální uspořádání, Upravíme-li tedy podle rov. (137) i zbývající dvě matice, můžeme rov. (144) zapsat symbolicky následovně S R2 R1 , 0,

R1

u O2 A , B

1

C, D

=

I, 0 0, 1

.

(145)

Po pronásobení dostaneme soustavu rovnic S R2 R1 A + R1 u O2 C = I , S R2 R1 B + R1 u O2 D = 0 , 0 A = 1C = 0 , 0 B + 1D = 1 ,

ze které určíme hledané matice

(146)

C=0 ,

D =1 , A = S R2 R1 , B = −S R2 R1

81

R1

u O2 .

(147)

Protože matice směrových kosinů S R2 R1 je ortogonální, platí S −R12 R1 = S TR2 R1 . Na základě znalosti matic v rov. (147) můžeme po dosazení do druhé matice na levé straně rov. (145) určit hledanou inverzní transformační matici

TR−21R1 =

4.2.1

A B S −1 , − S R2 R1 R1 u O2 = R2 R1 C D 0, 1

.

(148)

Rychlost bodu tělesa

Pro další výklad budeme uvažovat rov. (140), ve které R2 r O2 L není funkcí času. Rychlost bodu L získáme časovou derivací rov. (140), pro tento zápis použijeme označení časové závislosti, ze které dostaneme & & & (149) R1 v L (t ) = R1 rL (t ) = TR2 R1 (t ) R2 rO2 L + TR2 R1 (t ) R2 rO2 L , kde

R2

r&O2 L = 0 a

R1

v L (t ) = R1 r& L (t ) =

R1

u& L (t ) , 0

T

=

R1

x& L (t ) ,

R1

y& L (t ),

R1

z& L (t ), 0

T

je rozšířený

vektor rychlosti bodu L zapsaný v homogenních souřadnicích prostoru R1 . V dalších zápisech čas opět uvádět nebudeme. Derivaci transformační matice můžeme zapsat následujícím způsobem & T (150) R 2 R1 = TR2 R1 VR2 R1 , kde matici VR2 R1 = TR−21 R1 T& R2 R1 (151) nazveme maticí rychlosti. Po dosazení za TR−21 R1 z rov. (148) a po následném derivování dostaneme S −1 , − S R2 R1 R1 u O2 S& R2 R1 , R1 u& O2 S −1 S& , S −R12 R1 R1 u& O2 = R2 R1 R2 R1 (152) VR2 R1 = R2 R1 0, 1 0, 0 0, 0 Podobně jako v rov. (150) pro transformační matici, můžeme pro matici směrových kosinů psát S& R2 R1 = S R2 R1 Ω R2 R1 (153) kde

Ω R2 R1 = S −R12 R1 S& R2 R1

(154)

je matice úhlové rychlosti. Je to matice antisymetrická nebo také polosouměrná, protože Ω TR2 R1 = − Ω R2 R1 a singulární, neboť její hodnost je menší než její řád. Později uvidíme, rov. (173) a rov. (198), že této matici přísluší vektor úhlové rychlosti ω 21 . Protože S R2 R1 S´RT2 R1 = I , je matice S R2 R1 ortogonální a platí S −R12 R1 = STR2 R1 . Rov. (149) můžeme potom zapsat následovně (155) R1 v L = TR2 R1 VR2 R1 R2 rO2 L ,

82

kde matice rychlosti je s použitím rov. (154)

VR2 R1

Ω R2 R1 , S TR2 R1 R1 u& O2 = . 0, 0

(156)

Dosadíme-li do rov. (155) za jednotlivé matice výrazy kterými jsou určeny, tedy rov. (137), rov. (156) a vektory vyjádříme v homogenních souřadnicích, dostaneme R1 v L =

R1

u& L 0

S R2 R1 ,

=

R1

0,

=

S R2 R1 Ω R2 R1

=

S R2 R1 Ω R2 R1

Ω R2 R1 , S TR2 R1

u O2

0,

1 S R2 R1 S TR2 R1

0

R1

u& O2

R2

u& O2 L

R2

u& O2 L 1

R1

u& O2

0

=

=

1

u O2 L + S R2 R1 S TR2 R1

u& O2

0

0

R2

R1

(157)

.

Po přepsání do homogenních souřadnic dostaneme pro rychlost bodu L tělesa spojeného s prostorem R2 , L ∈ T ≡ 3 v prostoru R1 vztah R1

kde

4.2.2

R1

u& L = S R2 R1 Ω R2 R1

R2

u O2 L + R1 u& O2 ,

(158)

u& O2 je rychlost počátku O2 souřadnicového systému R2 v R1 .

Zrychlení bodu tělesa

Rovnicí (149) je určena rychlost bodu L. Časovou derivaci této rovnice, použijeme opět označené časové funkce, získáme vztah pro zrychlení bodu R1

kde opět

r&

R2 O2 L

=0 a

&& (t ) r + T & & a L (t ) = R1 v& L (t ) = T R2 R1 R2 O2 L R2 R1 (t ) R2 rO2 L ´, R1

a L (t ) =

R1

&& L , 0 u

T

=

R1

&x&L (t ) ,

&y& (t ) ,

R1 L

(159)

&z& (t ) , 0

R1 L

T

je rozšířený

vektor zrychlení vyjádřený v homogenních souřadnicích prostoru R1 . Derivací rov. (150) získáme

&& & & T R2 R1 = TR2 R1 VR 2 R1 + TR2 R1 VR2 R1 .

(160)

& & Označíme-li matici V R2 R1 = A R2 R1 jako matici zrychlení a matici Ω R2 R1 = ℑ R2 R1 jako matici úhlového zrychlení, můžeme rov. (160) upravit s použitím rov. (150) na následující tvar

(

)

2 && T R2 R1 = TR 2 R1 VR 2 R1 VR2 R1 + TR 2 R1 A R2 R1 = TR 2 R1 VR 2 R1 + A R 2 R1 ,

83

(161)

kde matice zrychlení je určena derivací rov. (156)

A R2 R1

& Ω S& TR2 R1 R2 R1 , = 0,

R1

u& O2 + S TR2 R1 0

R1

&& O2 u

.

(162)

Potom můžeme po dosazení do rov. (159) vyjádřit zrychlení bodu L, již opět bez označení časové závislosti, výrazem R1

(

a L = TR2 R1 VR22 R1 + A R2 R1

)

r

R1 O2 L

,

(163)

kde ještě potřebujeme vyjádřit matici zrychlení a kvadrát matice rychlosti. Pro úpravu matice zrychlení určíme nejdříve derivaci STR2 R1 tak, že použijeme rov. (154), ve které nahradíme

S −R12 R1 = S TR2 R1 a dostaneme Ω R2 R1 = S TR2 R1 S& R2 R1 .

(164)

Ω TR2 R1 = S& TR2 R1 S R2 R1 ,

(165)

Po transpozici dostaneme rovnici

kterou vynásobíme zprava maticí S TR2 R1 a dostaneme Ω TR2 R1 S TR2 R1 = S& TR2 R1 S R2 R1 S TR2 R1 = S& TR2 R1 . 14243

(166)

I

& Po dosazení do rov. (162), s tím, že Ω R2 R1 = ℑ R2 R1 je, podle poznámky u rov. (160), matice úhlového zrychlení, dostaneme matici zrychlení ve tvaru A R2 R1

ℑ R2 R1 , Ω TR2 R1 S TR2 R1 = 0,

R1

u& O2 + S TR2 R1 0

R1

&& O2 u

.

(167)

Pro vyjádření kvadrátu matice rychlosti použijeme rov. (156), podle které můžeme psát

V

2 R2 R1

Ω , = R2 R1 0,

S TR2 R1

R1

0

u& O2

Ω R2 R1 , 0,

S TR2 R1

R1

0

u& O2

Ω 2R2 R1 , = 0,

Ω R2 R1 S TR2 R1 0

R1

u& O2

.

(168) S použitím rov. (167) a (168) vyjádříme součet matic v závorce v rov. (163), s tím, že podle poznámky u rov. (154) je Ω TR2 R1 = − Ω R2 R1 a dostaneme [4] úplnou matici zrychlení ve tvaru

84

Ω 2R2 R1 + ℑ R2 R1 , Ω R2 R1 S TR2 R1 ~ A R2 R1 = 0,

R1

u& O2 − Ω R2 R1 S TR2 R1

R1

u& O2 + S TR2 R1

0

R1

&& O2 u

= (169)

=

Ω 2R2 R1 + ℑ R2 R1 , S TR2 R1

0,

R1

&& O2 u

0

.

Rov. (163) můžeme potom použitím úplné matice zrychlení zapsat zkráceně R1

~ a L = TR2 R1 A R2 R1

r

(170)

R2 O2 L

a po provedeném násobení dostaneme pro zrychlení konečný výraz

R1

aL =

S R2 R1 ,

R1

0,

Ω 2R2 R1 + ℑ R2 R1 , S TR2 R1

u O2 1

0,

(

R1

0

)

&& O2 S R2 R1 Ω 2R2 R1 + ℑ R2 R1 , S R2 R1 S TR2 R1 R1 u 1442443 = I 0, 0

=

&& O&& u 2

(

)

S R2 R1 Ω 2R2 R1 + ℑ R2 R1 ,

R1

0,

&& O2 u

r

R2 O2 L

0

r

R2 O2 L

r

R2 O2 L

=

=

(171)

.

Vektor zrychlení v rov. (171) je vyjádřen v rozšířených, homogenních, souřadnicích R1

aL =

R1

&& L , 0 u

T

. Rov. (171) má v nerozšířených souřadnicích tvar

R1

(

&& L = S R2 R1 Ω 2R2 R1 + ℑ R2 R1 u

)

r

R2 O2 L

&& O2 . + R1 u

(172)

Rov. (172) a (158) vyjadřují vektory zrychlení a rychlostí bodu L tělesa T spojeného s prostorem R2 , který se pohybuje v prostoru R1 vyjádřené v nerozšířených souřadnicích prostoru R1 . Rozšíření uvedených vztahů na libovolný počet prostorů je formálně jednoduché, neboť stačí vytvořit další analogické transformační vztahy a začlenit je do stávajících rovnic. U rov. (154) jsme uvedli, že matici úhlové rychlosti Ω R2 R1 = Ω 21 přísluší vektor úhlové rychlosti ω 21 . Totéž platí i pro matici úhlového zrychlení ℑ R2 R1 = ℑ 21 , které přísluší vektor zrychlení α 21 . Těmto maticím můžeme přiřadit vektory úhlových rychlostí a úhlového zrychlení následujícím způsobem 0, Ω 21 = ω 21z , − ω 21 y ,

− ω 21z , 0,

ω 21x ,

ω21x ω 21 y − ω 21x , kde ω 21 = ω21 y , 0 ω21z 85

(173)

α 21x α 21 y − α 21x , kde α 21 = α 21 y , α 21z 0

− α 21z ,

0, ℑ21 = α 21z , − α 21y ,

0,

α 21x ,

(174)

neboť stačí pronásobit rovnici Ω 21 r = ω 21 × r , podobně i pro zrychlení a získáme složky vektorů ω, α v maticích úhlové rychlosti a úhlového zrychlení. V dalším výkladu uvedeme několik případů použití vyložené teorie. Jedná se o jednoduché případy, které bychom mohli velmi dobře řešit méně náročným postupem, avšak pro aplikaci vyložené teorie jsou vhodné.

Příklad 10 Určete rychlost bodu L tělesa T rotujícího kolem osy x1 konstantní úhlovou rychlostí ω , obr. 67, jestliže je dána poloha bodu L 0, R2 yL , R2 z L a úhlová rychlost ω21 = konst.

[

]

Zavedeme základní nehybný prostor R1 , ve kterém chceme rychlost určit a prostor R2 , který spojíme s tělesem T. Oba prostory mají společný počátek Ω . Poloha bodu L ∈ T v prostoru R2 ≡ ( 2 c1 , 2 c 2 , 2 c3 ) , rotujícího kolem osy x2 ≡ x1 , je určena jeho souřadnicemi, takže s použitím homogenních souřadnic můžeme psát R2

rL =

R2

uL , 1

= 0,

R2

yL ,

R2

zL , 1

T

, (175)

kde R2 yL , R2 z L jsou dané hodnoty, které pro zjednodušení zápisu přeznačíme v dalším výkladu na 2 yL , 2 z L . Pro řešení si připravíme potřebné matice. Matice směrových kosinů má podle rov. (134) tvar

1,

0,

0

S R2 R1 = 0 , cosϕ 21 , − sin ϕ 21 0 , sin ϕ 21 , cosϕ 21

.

Obr. 70 Rotace tělesa T

(176)

Pro transformační matici podle rov. (137) platí 1, TR2 R1 =

S R2 R1 , 0,

R1

u O2 1

=

0,

0 ,

0

0 , cosϕ 21 , − sin ϕ 21 , 0 0 , sin ϕ 21 , 0,

Matice úhlové rychlosti je podle rov. (154)

86

0,

cosϕ 21 ,

0

0,

1

.

(177)

1,

0,

0

0,

0,

0

0, 0,

0

Ω R2 R1 = S TR2 R1 S& R2 R1 = 0 , cosϕ 21 , sin ϕ 21 0 , sin ϕ 21 , cos ϕ 21

0 , − sin ϕ 21 , − cos ϕ 21 ϕ& 21 = 0 , 0 , − 1 ϕ& 21 . 0 , cosϕ 21 , − sin ϕ 21 0 , 1, 0 (178) Nyní můžeme podle rov. (156) určit matici rychlosti. V našem případě je polohový vektor R1 u O2 = 0 a proto dostaneme 0, 0, VR2 R1 =

Ω R2 R1 , S TR2 R1

0,

R1

u O2

0

0,

0

0 , 0 , − 1, 0

=

0 , 1,

0,

0

0, 0,

0,

1

ϕ& 21 = D (ϕ ) ϕ& 21 , 21

(179)

kde matici D(ϕ 21 ) nazveme [4] maticovým diferenciálním operátorem, který určuje rotační pohyb kolem osy x1 ≡ x2 . Zavedení matice D usnadňuje výpočty, neboť umožňuje formálně nahradit složitou strukturu hypermatice s derivací jednoduchou čtvercovou maticí. Rychlost bodu L ∈ T prostoru R2 vzhledem k prostoru R1 můžeme podle rov. (155) vyjádřit následujícím vztahem R1

v L = TR2 R1 VR2 R1

r

R2 O2 L

= TR2 R1 D (ϕ 21 ) ϕ& 21

r

R2 O2 L

.

(180)

Po dosazení za jednotlivé matice dostaneme 1, 0, 0, 0 , cos ϕ 21 , − sin ϕ 21 , R1 v L = 0 , sin ϕ 21 , cos ϕ 21 , 0, 0, 0,

0 0 0 1

0, 0, 0, 0,

0, 0, 0 , − 1, 1, 0 , 0, 0,

0 0 ϕ& 21 0 1

0 R2 R2

yL zL

0 − y sin ϕ 21 − R2 z L cos ϕ 21 ϕ& 21 . = R2 L R2 y L cos ϕ 21 − R2 z L sin ϕ 21 0

(181)

Pro ϕ 21 = 0 je 0 R1

vL =

− R2 z L ϕ& 21 & R2 y L ϕ 21

.

(182)

0 Protože se jedná o jednoduchý případ rotace, je ověření výsledku podle obr. 70 ihned zřejmé.

Příklad 11 Určete rychlost bodu L ramena robotu [4], jestliže je dáno r , h(t ), ϕ (t ), ϑ (t ), x(t ) . Situace je znázorněna na obr. 71, který zachycuje bod L ramena 4 v obecné poloze. Pro zlepšení přehlednosti je v obrázku vyznačena pouze báze jednotkových vektorů základního nehybného prostoru R1 . Rameno 4 má tři stupně volnosti. Kromě základního prostoru R1 zavedeme další pomocné prostory R2 , R2′ , R3 , R4 . Polohový vektor bodu L vyjádřený v maticovém tvaru v prostoru R1 je 87

rL = TR2 R1 TR2′ R2 TR3 R2′ TR4 R3

R1

R4

rL = TR4 R1

R4

rL .

(183)

Pro další postup musíme určit polohový vektor vodu L a jednotlivé transformační matice. Polohový vektor vyjádřený v prostoru R4 v homogenních souřadnicích má tvar

r = [r , 0, 0, 1] T .

(184)

R4 L

Matice směrových kosinů rotačních pohybů 43 a 21 jsou

S R4 R3 (ϑ ) =

cosϑ ,

0 , sin ϑ

cosϕ , − sin ϕ , 0

0, 1, 0 − sin ϑ , 0 , cosϑ

,

S R2 R1 (ϕ ) = sin ϕ , 0,

cosϕ , 0,

0 1

(185)

a jim příslušné transformační matice mají tvar cos ϕ , TR4 R3 =

0,

0 , sin ϕ , 0 1,

0,

0

,

− sin ϕ , 0 , cosϕ , 0 0,

0,

0,

1

cos ϕ , − sin ϕ , 0 , 0 TR2 R1 =

sin ϕ ,

cos ϕ ,

0, 0

1,

0,

1, 0

0,

0,

0, 1

.

(186) Matice směrových kosinů S R3 R2′ a S R2′ R2 posuvných pohybů 32′ a 2′2 jsou jednotkové, takže můžeme psát

1, 0 , 0 S R3 R2′ ≡ S R2′ R2 = 0 , 1, 0 0, 0, 1

(187)

Obr. 71 Rameno robotu

a příslušné transformační matice jsou 1, 0 , 0 , x TR3 R2′ =

0 , 1, 0 , 0 0 , 0 , 1, 0

1, 0 , 0 , 0 TR2′ R2 =

,

0, 0, 0, 1

0 , 1, 0 , 0 0 , 0 , 1, h 0, 0, 0, 1

88

.

(188)

Celková transformační matice TR4 R1 je podle rov. (183) určena součinem dílčích transformačních matic. Postupným násobením dostaneme S R4 R1 , TR4 R1 =

x cosϕ

cosϕ cosϑ , − sin ϕ , cosϕ sin ϑ , x cosϕ

x sin ϕ

=

h

0, 0, 0 ,

sin ϕ cosϑ ,

cosϕ ,

sin ϕ sin ϑ ,

x sin ϕ

− sin ϑ ,

0,

cosϑ ,

h

0,

0,

0,

1

1

,

(189)

kde S R4 R1 je celková matice směrových kosinů, kterou můžeme také získat součinem dílčích matic S R4 R1 = S R2 R1 S R2′ R2 S R3 R2′ S R4 R3 . Dosazením rov. (189) do rov. (183) dostaneme polohový vektor bodu L vyjádřený v základním prostoru R1 v homogenních souřadnicích

r =

R1 L

R1

xL

R1

yL =

R1

zL

(x + r cosϑ )cos ϕ (x + r cosϑ )sin ϕ h − r sin ϑ

.

(190)

1

Rychlost bodu L můžeme určit buď přímou derivací rov. (190) nebo použitím matice rychlosti VR4 R1 uvedené v rov. (156).

Výpočet přímou derivací Derivací rov. (190) dostaneme

( (

) )

vL x x& − r ϑ& sin ϑ cos ϕ − ( x + r cos ϑ )sin ϕ ϕ& x& − r ϑ& sin ϑ sin ϕ + ( x + r cosϑ )cos ϕ ϕ& R1 vL y & v = r = = . R1 L R1 L − r cosϑ ϑ& R1 vL z 0 0 R1

(191)

Výpočet pomocí matice rychlosti Rychlost bodu L je určena rov. (155), kterou pro náš řešený příklad přeznačíme, tím, že pro zjednodušení zavedeme podle obr. 71 rO4L = rL na tvar R1

v L = TR4 R1 VR4 R1

r

R4 L

,

(192)

kde matice rychlosti, rov. (156), je

VR4 R1

Ω R4 R1 , STR4 R1 R1 u& O4 = 0, 0,

∧ Ω R4 R1 = S −R14 R1 S& R4 R1 .

(193)

Po provedení derivace a transpozice matice směrových kosinů z rov. (189), nezapomeňme, že S −R14 R1 = STR4 R1 , dostaneme

89

cos ϕ cosϑ , sin ϕ cosϑ , − sin ϑ S TR4 R1 =

S& R4 R1

− sin ϕ , cos ϕ , cos ϕ sin ϑ , sin ϕ sin ϑ ,

0 cosϑ

.

(194)

− ϕ& sin ϕ cosϑ − ϑ& cosϕ sin ϑ , − ϕ& cosϕ , − ϕ& sin ϕ sinϑ + ϑ& cosϕ cosϑ = ϕ& cosϕ cosϑ − ϑ& sin ϕ sinϑ , − ϕ& sin ϕ , ϕ& cosϕ sin ϑ + ϑ& sin ϕ cosϑ . (195) − ϑ& cosϑ , 0, − ϑ& sin ϑ

Po dosazení do druhého výrazu na pravé straně v rov. (193), můžeme vyjádřit, viz rov. (154), matici úhlové rychlosti − ϕ& cosϑ ,

0,

ϑ&

ϕ& sinϑ 0, Ω R4 R1 = ϕ& cosϑ , 0 − ϑ& , − ϕ& sin ϑ ,

.

(196)

Vidíme, že matice úhlové rychlosti Ω R4 R1 je podle poznámky u rov. (154) skutečně maticí antisymetrickou. Pro vyjádření součinu transponované matice směrových kosinů a derivace nerozšířeného polohového vektoru počátku O4 , který je R1

uO4 = S R2 R1

R2

uO4 = S R2 R1 x, 0 , h

T

= x cosϕ , x sin ϕ , h , T

(197)

určíme nejdříve derivaci polohového vektoru

x& cosϕ − x ϕ& sinϕ & & & R1 uO4 = x sin ϕ + x ϕ cosϕ 0

.

(198)

Potom po pronásobení rov. (194) a (198) dostaneme

T R4 R1 R1

S

x& cosϕ u& O4 = x ϕ& x& sinϑ

.

(199)

Konkrétní tvar matice rychlosti dostaneme po dosazení do rov. (193)

VR4 R1

ϑ& , 0, − ϕ& cosϑ , x& cosϑ ϕ& cosϑ , ϕ& sinϑ , 0, xϕ& = − ϑ& , − ϕ& sinϑ , 0, x& sinϑ 0, 0, 0, 0

.

(200)

Nyní můžeme dosadit do rov. (192) a po postupném pronásobení matic dostaneme nejdříve dílčí součin 90

x& cosϑ VR4 R1

R4

u& L =

rϕ& cosϑ + x ϕ& − r ϑ& + x& sin ϑ

,

(201)

0 kde vektor R4 rL je určen rov. (184) a posléze celkovou matici vektoru rychlosti v homogenních souřadnicích x& − r ϑ& sinϑ cosϕ − ( x + r cosϑ )sin ϕ ϕ& x& − r ϑ& sin ϑ sin ϕ + ( x + r cosϑ ) cosϕ ϕ& v = T V r = , (202) R1 L R4 R1 R4 R1 R4 L − r cosϑ ϑ&

( (

) )

0 kterou je určena rychlost bodu L. Porovnáním s rov. (191) vidíme shodu obou výrazů.

Příklad 12 Určete pohyby členů univerzálního Hookeova kloubu [4] v závislosti na poloze hnacího členu 2, je-li dáno h, α , ω21 = konst.

Obr. 72 Hookeův kloub

Řešení Hookeova kloubu, který je znázorněn na obr. 72, jsme již provedli pomocí vektorové analýzy a nyní ukážeme postup při použití maticové analýzy. Uvažujeme podle obr. 72 kloub s mimoběžnými osami o21 , o41 a s různoběžným křížem s osami o32 , o43 ve výchozí poloze, která je na obrázku vyznačena. Při přemístění kříže tvořeného členem 3, dojde k následujícím pohybům. Člen 2 se otočí o úhel ϕ21 , člen 3 se vzhledem ke členu 2 91

otočí o úhel ϕ32 a posune o délku ζ 32 a rovněž vzhledem ke členu 4 se otočí o úhel ϕ43 a posune o délku η43 a člen 4 se otočí a posune o míry ϕ41 a ζ 41 . Situace je znázorněna na obrázku. Použitím rozkladu pohybu pro člen 4 ve tvaru 41 = 43 + 32 + 21 získáme následující maticovou rovnici mechanismu tvořenou transformačními maticemi T41 = T21 T32 T43 .

(203)

Jednoduchý postup řešení spočívá v tom, že rovnice pro nás představuje identitu, takže matice na obou stranách rovnice vyjádříme samostatně a jejich vzájemným porovnáním získáme skalární rovnice pro určení veličin popisujících pohyby jednotlivých členů. Pohyb 21 Pohybem 21 je rotace 2 kolem osy o21 , kterou vyjádříme transformační maticí

cosϕ21 , − sin ϕ21 , 0 , 0 T21 (ϕ21 ) =

sin ϕ21 ,

cosϕ21 ,

0, 0

0,

0,

1, 0

0,

0,

0, 1

,

(204)

kde submatice vyznačená čárkovaně je matice směrových kosinů získaná podle schematického obrázku vpravo u rov. (204). Pohyb 32 Pohyb 32 je složen z rotace ϕ32 členu 3 kolem osy o32 a z posuvu ξ32 podél této osy. Vyjádříme ho proto součinem dvou dílčích transformačních matic, připomeneme si, že na pořadí matic při násobení nezáleží T32 (ξ 32 , ϕ32 ) = T32 P (ξ 32 ) T32 R (ϕ32 ) ,

(205)

kde index P označuje posuv a index R rotaci. Po sestavení dílčích transformačních matic, čárkovaně jsou opět vyznačeny matice směrových kosinů, dostaneme

1, 0, T32 (ξ 32 , ϕ 32 ) = 0, 0,

=

0, 1, 0, 0,

0 , ξ 32 0, 0 1, 0 0, 1

1, 0, 0, 0 , cos ϕ 32 , − sin ϕ 32 , 0 , sin ϕ 32 , cos ϕ 32 , 0, 0, 0,

1, 0, 0, ξ 32 0 , cos ϕ 32 , − sin ϕ 32 , 0 0 , sin ϕ 32 , 0, 0,

cos ϕ 32 , 0,

0 1

0 0 = 0 1

,

(206) kde opět submatice směrových kosinů určující rotaci ϕ32 je určena na základě schematického obrázku u rov. (206). 92

Pohyb 43 Pohyb 43 je opět složen z rotace ϕ43 členu 4 kolem osy o43 a z posuvu η 43 podél této osy. Podobně jako v předcházejícím případě vyjádříme tento pohyb součinem transformačních matic T43 (η 43 , ϕ 43 ) = T43P (η 43 ) T43R ( ϕ 43 ) ,

(207)

kde indexy P, R mají stejný význam jako v rov. (205). Po sestavení dílčích matic a jejich násobení dostaneme

1, 0, T43 (η 43 , ϕ 43 ) = 0, 0,

=

0, 1, 0, 0,

0, 0 0 , η 43 1, 0 0, 1

cos ϕ 43 , 0,

cosϕ 43 , 0, − sin ϕ 43 , 0,

0 , sin ϕ 43 , 0 1, 0, 0 = 0 , cos ϕ 43 , 0 0, 0, 1

0 , sin ϕ 43 , 0 1, 0, η 43

− sin ϕ 43 , 0 , cos ϕ 43 , 0, 0, 0,

0 1

(208)

Submatice směrových kosinů, neboli submatice pootočení je opět určena podle schematického obrázku u rov. (208). Určili jsme transformační matice dílčích pohybů na pravé straně rov. (203) a můžeme přistoupit k určení transformační matice na levé straně. Pohyb 41 Pohyb 41 je složen z rotace ϕ 41 členu 4 kolem osy o41 a z posunutí ζ 41 podél této osy. Člen 4 se nejdříve ze základního prostoru R1 posune a natočí o předepsané míry h , α do své výchozí polohy, ze které se přemístí do obecné polohy zmíněnou rotaci ϕ 41 a posunutím ζ 41 . Přemístění členu 4 ze základní do obecné můžeme vyjádřit součinem jednotlivých transformačních matic

T41 (h, α , ζ 41 , ϕ41 ) = T41P (h) T41R ( α ) T41P ( ζ 41 ) T41R ( ϕ41 ) ,

(209)

kde symbolika značení je stejná jako v předchozích rovnicích. Sestavíme jednotlivé matice a provedeme dílčí součiny

1, 0, T41P ( ζ 41 ) T41R ( ϕ 41 ) = 0, 0,

=

0, 1, 0, 0,

0, 0 0, 0 1, ζ 41 0, 1

cos ϕ 41 , − sin ϕ 41 , sin ϕ 41 , cos ϕ 41 , 0, 0, 0, 0,

cos ϕ 41 , − sin ϕ 41 , 0 , sin ϕ 41 , cos ϕ 41 , 0 , 0, 0,

0, 0,

0 0

1, ζ 41 0, 1

0, 0, 1, 0,

0 0 = 0 1

,

(210) 93

kde y1(α ) na schematickém obrázku vpravo u rov. (210) představuje souřadnicovou osu y1

otočenou kolem osy x1 o úhel α . To samé platí i pro jednotkový vektor 1 e(2α ) . Další dílčí součin tvoří první dvě matice na pravé straně rov. (209).

1, 0, T41P ( h ) T41R ( α ) = 0, 0,

=

0, 1, 0, 0,

0, 0, 1, 0,

0 0 0 1

1, 0, 0, 0 , cos α , − sin α , 0 , sin α , cos α , 0, 0, 0,

1, 0, 0, h 0 , cos α , − sin α , 0 0 , sin α , 0, 0,

cos α , 0,

0 0 = 0 1

,

0 1

(211) kde submatice směrových kosinů je opět určena podle schematického obrázku. Pronásobením rov. (210) a (211) dostaneme výslednou transformační matici T41 , která má následující tvar cosϕ41 , T41 =

− sin ϕ41 ,

0,

h

cosα sin ϕ41 , cosα cosϕ41 , − sin α , − ζ 41 sin α sin α sin ϕ41 ,

sin α cosϕ41 ,

cosα ,

ζ 41 cosα

0,

0,

0,

1

,

(212)

Po provedení součinů na pravé straně rov. (203) dostaneme cos ϕ 21 cos ϕ 43 − − sin ϕ 21 sin ϕ 32 sin ϕ 43 , T41 =

sin ϕ 21 cos ϕ 43 + + cos ϕ 21 sin ϕ 32 sin ϕ 43 ,

− sin ϕ 21 cos ϕ 32 ,

cos ϕ 21 cos ϕ 32 ,

cos ϕ 21 sin ϕ 43 +

ξ 32 cosϕ 21 − + sin ϕ 21 sin ϕ 32 cos ϕ 43 , − η 43 sin ϕ 21 cos ϕ 32

sin ϕ 21 sin ϕ 43 − − cos ϕ 21 sin ϕ 32 cos ϕ 43 ,

ξ 32 sin ϕ 21 + η 43 cosϕ 21 cosϕ 32

− cos ϕ 32 sin ϕ 43 ,

sin ϕ 32 ,

cos ϕ 32 cos ϕ 43 ,

− η 43 sin ϕ 32

0,

0,

0,

1

.

(213)

Porovnáním jednotlivých členů matic v rov. (212) a (213) získáme následujících dvanáct transcendentních rovnic cos ϕ 41 = cos ϕ21 cos ϕ43 − sin ϕ 21 sin ϕ32 sin ϕ 43 ,

(a)

sin ϕ 41 = sin ϕ 21 cos ϕ32 ,

(b)

0 = cos ϕ 21 sin ϕ 43 + sin ϕ 21 sin ϕ32 cos ϕ 43 ,

(c)

cos α sin ϕ 41 = sin ϕ 21 cos ϕ 43 + cos ϕ 21 sin ϕ32 sin ϕ 43 ,

(d)

cos α cos ϕ 41 = cos ϕ 21 cos ϕ32 ,

(e)

94

− sin α = sin ϕ 21 sin ϕ 43 − cos ϕ 21 sin ϕ32 cos ϕ 43 ,

(f)

sin α sin ϕ 41 = − cos ϕ32 sin ϕ 43 ,

(g)

sin α cos ϕ 41 = sin ϕ32 ,

(h)

cos α = cos ϕ32 cos ϕ 43 ,

(ch)

h = ξ32 cos ϕ 21 − η 43 sin ϕ 21 cos ϕ32 ,

(i)

− ζ 41 sin α = ξ32 sin ϕ 21 + η 43 cos ϕ 21 cos ϕ32 ,

(j)

ζ 41 cos α = −η42 sin ϕ32 ,

(k) (214)

pro šest neznámých ϕ 32 , ξ 32 , ϕ 43 , η 43 , ϕ 41 , ζ 41 při daném úhlu natočení ϕ 21 členu 2. Prvních devět rovnic v soustavě (214) náleží submatici směrových kosinů S 41 , transformační matice T41 , která reprezentuje tři otočení. Proto pouze tři z nich jsou nezávislé. Z rovnic (b) a (e) dostaneme

tg ϕ41 = tg ϕ21 cosα ,

(215)

tg ϕ32 = tg α cosϕ21 ,

(216)

sinϕ43 = −tg ϕ41 tg ϕ32 = − sinϕ21 sinα .

(217)

z rovnic (e a (h) máme

a posléze z rovnic (g) a (h) získáme

Tím jsme získali natočení jednotlivých členů. Po dosazení za úhly pootočení do rov. (i), (j), (k) získáme posuvy ξ32 , η 43 , ζ 41 jednotlivých členů i jejich extrémní hodnoty. Prostorový pohyb vnitřního členu 3, který tvoří kříž Hookeova kloubu, popisuje transformační rovnice T31 = T21 T32 .

(218)

Po dosazení za dílčí transformační matice na pravé straně z rovnic (204) a (205) a po provedeném součinu, dostaneme matici vyjadřující pohyb 31 v následujícím tvaru cosϕ 21 , − sin ϕ 21 cosϕ 32 , T31 =

sin ϕ 21 ,

cos ϕ 21 cosϕ 32 ,

0,

sin ϕ 32 ,

0,

0,

sin ϕ 21 sin ϕ 32 ,

ξ 32 cosϕ 21 − cosϕ 21 sin ϕ 32 , ξ 32 sin ϕ 21 cosϕ 32 , 0 0,

,

(219)

1

kde poslední sloupec představuje souřadnice středu kříže v rovině x2 y2 , obr. 72, která je součástí prostoru R2 spojeného se členem 2. Stejně jako u vektorové analýzy, je možné i zde řešit speciální případy, které mají v technické praxi větší využití. 95

5

KINEMATICKÁ SYNTÉZA VOZIDLOVÝCH MECHANISMŮ

Při syntéze mechanického systému požadujeme, aby mechanismus zajistil žádané kinematické veličiny (polohu, případně i rychlost a zrychlení) bodů nebo členů kinematického řetězce. Často chceme, aby určitý bod nebo člen daného řetězce konal požadovaný pohyb ve smyslu zaujmutí předepsaných poloh s případně požadovanými kinematickými veličinami a hovoříme o kinematické rozměrové syntéze. Pro řešení takto chápané syntézy používáme kolokační metody a budeme hovořit o syntéze ve fázích. V teorii automobilů je někdy potřebné zajistit s velkou přesností dodržení požadovaných kinematických veličin řešeného členu ve zvolené poloze jako je tomu u závěsu kol u řídicího systému. Pro rychlé řešení je vhodná kinematická metoda založená na využití kinematických veličin charakterizujících okamžitý pohybový stav členu a pro takto chápanou syntézu budeme hovořit o lokální syntéze. Souhrnně můžeme proto syntézu rozdělit následujícím způsobem: fázová syntéza: • metoda kolokační:

- Blochova metoda komplexních čísel - maticová metoda postupných oprav

lokální syntéza: • metoda kinematická

5.1 Blochova metoda komplexních čísel Jak je řečeno v úvodu, u kolokační metody vyžadujeme [2], aby mechanismus měl požadované kinematické veličiny vybraných členů přesně v jenom v určitých polohách mechanismů a mimo tyto polohy může být požadovaný pohyb realizován přibližně. Před dalším výkladem si připomeneme některé potřebné základní operace s komplexními čísly a připomeneme si, že vektor a můžeme v Gaussově rovině komplexních čísel zapsat třemi způsoby: imaginární osa a = ax + i a y = a (cos α + i sin α ) = a ei α , kde a = a je absolutní hodnota vektoru, e i α = cos α + i sin α je Eulerův vztah, který jsme použili k zápisu v goniometrickém tvaru. Součet vektorů, horní část obr. 70, r = a + b má po rozepsání do souřadnicových os tvar r (cos ϕ + i sin ϕ ) = a (cos α + i sin α ) + b (cos β + i sin β ) . Skalární násobení vektorů r = a⋅ b můžeme vyjádřit pomocí goniometrického tvaru, prostřední část obr. 73, r e i γ = a e i α be i β , kde r = a b, γ = α + β . Vektorový součin vektorů v prostřední části obr. 73.

reálná osa

Součet vektorů imaginární osa

c = a × b je znázorněn reálná osa

Skalární součin vektorů

96

Poznámka Zaveďme jednotkový vektor e, e =1 , který bude mít v goniometrickém zápisu tvar e i ϕ . Potom násobení libovolného vektoru a jednotkovým vektorem e představuje pootočení vektoru a o úhel ϕ , neboť a ⋅ e = a e i α e i ϕ = a e i (α + ϕ ) . a a přiřadíme mu Vektor a v nové poloze označíme ~ komplexní číslo a~ . Situace je ukázána v dolní části obr. 73. Blochova metoda využívá uvedených operací k syntéze poloh kloubových mechanismů.

Vektorový součin vektorů imaginární osa

reálná osa

Obr. 73 Početní operace s vektory

Příklad 13 U čtyřkloubového mechanismu je požadováno navrhnout jeho rozměry tak, aby pro tři dané polohy hnací kliky 2 zaujaly členy 3 a 4 žádané polohy. Jinak řečeno, pro počáteční úhly κ ,α , β a předepsané úhly ϕ i ,ψ i , ξ i , potřebujeme určit délky a, b, c . Situace je znázorněna na obr. 74, kde přírůstky počátečního úhlu sklonu těhlice κ jsou označeny ξ i a přírůstky polohových úhlů α hnacího členu 2 a β hnaného členu 4, jsou

ϕ i ,ψ i , i =1, 2 .

l = O2 O4 = 1

Obr. 74 Syntéza čtyřkloubového mechanismu Počáteční poloha mechanismu je označena plnými čarami, obecná poloha je vyznačena čárkovaně. Podle vektorové metody probírané v základním kurzu mechaniky můžeme psát vektorový vztah a +b = l +c ⇒ a +b −c = l , (219) který vyjádříme v komplexním tvaru pro tři požadované polohy hnacího členu, tedy pro α ,α + ϕ1 , α + ϕ 2 a pro l = 1 a e i α + b e i κ − c e i β =1 e i 0 , , a e i (α + ϕ1 ) + b e i (κ + ξ1 ) − c e i ( β +ψ 1 ) =1 e i 0 , a e i (α + ϕ2 ) + b e i (κ + ξ 2 ) − c e i ( β +ψ 2 ) =1 e i 0 .

97

(220)

Rov. (220), která vyjadřuje pootočení členů 2, 3, 4 o úhly ϕ i , ψ i , ξ i , můžeme zapsat jako násobky jednotkových vektorů ve tvaru ~ a~ + b − c~ =1, ~ a~ eiϕ1 + b ei ξ1 − c~ eiψ 1 = 1, ~ a~ e iϕ2 + b e i ξ 2 − c~ e iψ 2 =1,

(221)

~ kde a~ = a ei α , b = b ei κ , c~ = c ei β jsou hledané neznámé, které určíme použitím Cramerova pravidla. Determinant soustavy je

1,

1,

i ϕ1

i ξ1

−1

Do = e , e , − eiψ1 eiϕ2 , ei ξ 2 , − eiψ 2

(222)

a hledané veličiny jsou určeny vztahy 1,

1, i ξ1

−1 −e

iψ 1

1, e , − e a~ = D0

iψ 2

1, e , i ξ2

1,

1,

−1

i ϕ1

iψ 1

i ϕ2

iψ 2

e , 1, − e =

D1 ~ e , b= D0

, 1, − e D0

1,

1,

i ϕ1

i ξ1

e , =

D2 ~ e ,c= D0

i ϕ2

1

e , 1

, e i ξ2 , 1 D0

=

D3 . D0

(223)

Rekapitulace řešení pro tři polohy hnací a hnané kliky je taková, že pro dané α , β , κ volíme ϕ i ,ψ i , ξ i , i = 1, 2 a určíme a, b, c.

Příklad 14 Pro dané čtyři polohy hnacího členu 2 čtyřkloubového mechanismu požadujeme určit jeho rozměry tak, aby členy 3 a 4 zaujaly při svém pohybu požadované polohy. Platí situace na obr. 74, kde pro počáteční hodnoty úhlů α , β , κ a předepsané úhly ϕi ,ψ i , ξ i , i =1 ÷ 3 potřebujeme určit rozměry mechanismu a, b, c, l , kde opět položíme l = 1 . Platí rov. (219), která přejde pro čtyři požadované polohy hnacího členu 2 na soustavu čtyř komplexních rovnic ~ a~ + b − c~ =1, ~ a~ e i ϕ1 + b e i ξ1 − c~ e iψ 1 =1, ~ a~ e i ϕ2 + b e i ξ 2 − c~ e iψ 2 =1, ~ a~ e i ϕ3 + b e i ξ3 − c~ e iψ 3 =1,

98

(224)

která je analogická soustavě rovnic (221) a rovněž význam všech veličin v obou soustavách je ~ stejný. Veličiny a~, b , c~ určíme z libovolných tří rovnic, třeba z prvních tří. Podmínku pro ~ určené veličiny a~, b , c~ takovou, aby platila i poslední rovnice soustavy (224) získáme, když ~ do čtvrté rovnice dosadíme vypočtené hodnoty a~, b , c~ vyjádřené Cramerovým pravidlem jako podíl, rov. (223), dvou determinantů. Dostaneme rovnici D1 ⋅ e iϕ3 + D2 ⋅ ei ξ3 − D3 ⋅ eiψ 3 = D0 ,

(225)

kterou můžeme pomocí determinantů D1 , D2 , D3 vyjádřit ve tvaru determinantu 1

−1

1 e i ϕ1

e i ξ1

− e iψ 1

1 e i ϕ2

e i ξ2

− e iψ 2

1 e i ϕ3

e i ξ3

− e iψ 3

1 D′ ≡

1

=0

(226)

Rozvedením podle posledního řádku dostaneme rov. (225). Vyčíslením determinantu D′ získáme rovnici pro určení hodnoty jednoho úhlu ξ . Rekapitulací řešení pro určení čtyř poloh hnací a hnané kliky, tedy určení a, b, c, vidíme, že splnění požadavku zaujmutí požadovaných poloh členů 2 a 4, daných úhly α , β , ϕi ,ψ i , i =1 ÷ 3, je splněno úplně a požadavek zaujmutí polohy těhlice 3 je splněn pro dvě polohy, třeba ξ i , i =1, 2 a třetí polohu ξ 3 musíme určit.

5.2 Maticová metoda postupných oprav Výklad rozdělíme na tři části, ve kterých se zmíníme o maticové metodě, dále o matici oprav a posléze o vlastní syntéze mechanismu.

5.2.1

Maticová metoda určení polohy mechanismu

Jak jsme uvedli v úvodu čtvrté kapitoly, jsou mechanismy tvořeny soustavou těles, která jsou vzájemně spojena kinematickými dvojicemi a vytváří rovinné nebo prostorové kinematické řetězce. Polohu mechanismu můžeme [4] určit pomocí matic následujícím postupem. Kinematický řetězec uvažovaného mechanismu, obr. 75, obsahujícího n členů, přerušíme v k-tém členu myšleným řezem. Původní řetězec se rozpadne na dva řetězce s počty členů p1 a p2 , pro které platí p1 =1, 2, 3, ...k − 1, k a p2 =1, n, n − 1, k + 1, k . Bod L členu k koná stejný pohyb ať přiřadíme člen k prvnímu nebo ke druhému řetězci. Musí proto platit identita

TR2 R1 TR3 R2 KTRk Rk − 1

Rk

rL = TRn R1 TRn − 1 Rn KTRk Rk + 1

Rk

rL ,

(227)

která představuje maticovou kinematickou rovnici mechanismu, kde TRb Ra , viz rov. (137), je transformační matice mezi členy b, a , respektive mezi prostory Rb a Ra , ve kterých jsou členy a, b umístěny. 99

Obr. 75 Kinematický řetězec

5.2.2 Matice oprav Vzájemná poloha dvou členů a, b kinematického řetězce je určena transformační maticí TRb Ra . Změní-li těleso b svoji polohu o malé přemístění a přejde do blízké polohy b′ , je přemístění b → b′ určeno maticí TRb′ Rb = O b′ b a transformační matice mezi členem a a novou polohou b′ členu b je TRb′ Ra . Schematicky tuto situaci zapíšeme následujícím způsobem b → a : TRb Ra , b → b′ : TRb′ Rb = O b′ b , b′ → a : TRb′ Ra .

Potom platí

~ TRb Ra = TRb Ra TRb′ Rb = TRb Ra O b′ b ,

(228)

~ kde matici O b′ b budeme nazývat maticí oprav a matici Tb a maticí opravenou. Poznamenejme, že věta o záměnnosti transformačních matic základních pohybů uvedená v kapitole věnované kinematické analýze, platí i v tomto případě. Matici oprav Ob′ b , která vyjadřuje jak změnu souřadnic polohy, tak rovněž i změnu rozměrů, můžeme pro použití rozšířených vektorů napsat ve tvaru − ∆ϕ z , ∆ϕ y , ∆ x   1,  ∆ϕ , 1, − ∆ϕ x , ∆ y  z  Ob′ b = ,  − ∆ϕ y , ∆ϕ x , 1, ∆ z   0, 0, 1   0,

(229)

kde jednotlivá natočení a posuvy rezultují ze změn rozměrů a ze změn souřadnic. Protože každou transformační matici můžeme vyjádřit jako součin dílčích transformačních matic, můžeme pro transformaci mezi členy a, b psát N

TRb Ra = Π TRb j j =1

100

Ra j

(q j ) ,

(230)

kde q j , je zobecněný parametr, N je počet uvažovaných parametrů udávajících polohu b vzhledem k a, j je j-tý parametr a j-tá transformace. S použitím matice oprav můžeme rov. (230) přepsat do tvaru pro změněnou polohu členu b N ~ TRb Ra = Π TRb j Ra j (q j ) O b′ j b j (∆q j ) ,

(231)

j =1

kde O b′ j b j (∆q j ) = TRb′ j Rb j (q j ) , je matice oprav parametru q j , a ∆ q j je oprava parametru q j . Připomeňme si, že z fyzikálního hlediska vyjadřují rovnice (230) a (231) polohu členu b v původní, respektive v pozměněné poloze vzhledem ke členu a. Polohu bodu L′ , obr. 76, kterou v rozšířených souřadnicích vyjádříme formálně vztahem

rL′ = rL + ∆ rL = xL , y L , z L , 1

T

+ ∆ xL , ∆ y L , ∆ z L , 0

T

,

(232)

můžeme potom zapsat v prostoru R1 ve tvaru r =

R1 L′

r + TRa R1 ∆

R1 L

N

Ra

rL = R1 rL + TRa R1 Π TRbj j =1

Raj

(q j ) O b′j b j (∆q j )

(233)

Obr. 76 Přemístění tělesa b

5.2.3 Syntéza mechanismu Metodu syntézy kterou uvedeme, nazýváme maticovou kolokační metodou postupných oprav [4], neboť u ní vyžadujeme, aby vybrané členy řešeného mechanismu dávaly požadované kinematické veličiny, kterými jsou poloha, rychlost a zrychlení bodů a členů mechanismu přesně jen v určitých polohách mechanismu, aby zde kolokovaly. Mimo tyto polohy je předepsaná funkce pohybu realizována jenom přibližně.

101

5.2.3.1 Základní rovnice syntézy V následujícím výkladu budeme mít na paměti, že při syntéze mechanismů se uplatní jenom změny rozměrů. Použitím rov. (227) a (228) můžeme pro k-tý člen kinematického řetězce mechanismu psát základní maticovou rovnici syntézy mechanismu ~ ~ TR2 R1 TR3 R2 .....TRk Rk −1

Rk

~ ~ ~ ~ rL′ = TRn R1 TRn − 1 Rn .....TRk + 1 Rk + 2 TRk Rk +1

Rk

rL′ ,

(234)

ze které získáme identitu ~ ~ ~ ~ ~ ~ TR2 R1 TR3 R2 .....TRk Rk −1 = TRn R1 TRn − 1 Rn .....TRk + 1 Rk + 2 TRk Rk +1

Rk

.

(235)

Do rov. (235) dosadíme rov. (228), případně již rov. (231) za opravené matice rozměrů a uspořádáme podle oprav jednotlivých rozměrů u členů na obou stranách rovnice. Provedeme linearizaci, při které zanedbáme nelineární výrazy vyskytující se v opravách a získaný vztah vyjádříme [4] symbolickou rovnicí M o + M1 ∆ρ1 + ..... + M l ∆ρ l = 0 ,

(236)

kde ∆ρ p , p =1 ÷ l jsou opravy geometrických rozměrů ρ p členů mechanismu a M jsou matice obsahující rozměry členů. U mechanismu s 1° volnosti je ale pouze šest parametrů q j nezávislých. Proto, podobně jako u příkladu 12 ve čtvrté kapitole obsahuje soustava (236) jenom šest nezávislých parametrů, takže v dalším postupu představuje soustavu šesti nezávislých skalárních rovnic. Ještě jednou připomeneme, že máme na mysli rozměrovou syntézu a proto těchto šest nezávislých rovnic vyjádříme v maticovém zápisu vztahem H ∆ρ=h ,

(237)

kde matice H = Η (q j , q j o , ρ p ) obsahuje jednak parametry q j , z toho je šest parametrů q j o nezávislých a jednak rozměry mechanismu

ρ p . Podobně vektor pravých stran je

h = h (q j , q j o , ρ p ) a ∆ρ = ∆ ρ je vektor oprav uvažovaných rozměrů ρ p . Kinematické veličiny členů mechanismu jsou tvořeny jejich rychlostmi a zrychleními, které získáme derivací rov. (237) podle času. První derivací dostaneme vztah vyjadřující rychlost členů mechanismu v závislosti na parametrech ve tvaru 6 ∂H m ∂h  m ∂H  ∂h Σ q& j + Σ q j o  ∆ρ = Σ q& j + Σ q& j o  i =1 ∂ q  j =1 ∂ q i =1 ∂ q ∂ q j j o j j  

(238)

Další derivací, kterou nebudeme pro nedostatek místa provádět, bychom získali vztah pro zrychlení, neboli pro změnu rychlosti členů mechanismu.

102

5.2.3.2 Určení rozměrů mechanismu Předpokládejme, že v obecném případě jsou parametry soustavy q j funkcí nezávislých parametrů q jo , takže platí q j = q j (q jo ) , kde q jo = q jo (t ) na daném intervalu t ∈〈 t1 , t2 〉 . Zobecněním pro všechny parametry q j dostaneme v maticovém zápisu

q j = q j (q jo ) ∧ q jo = q jo (t ) .

(239)

Ještě jednou si připomeneme, že se zabýváme syntézou rozměrů ρ . Časovou derivací rov. (239) dostaneme průběhy rychlostí parametrů q j ve tvaru r

∂q j

i =1

∂pi

&& j = Σ q

p& i (t )

(240)

a pro zrychlení máme s

r

&& j = Σ Σ q

j =1 i =1

∂2 q j ∂p j ∂pi

r

∂q j

i =1

∂pi

p& i (t ) p& j (t ) + Σ

&p&i (t ) ,

(241)

kde pi , p j jsou proměnné veličiny v parametrech q j . Pro vlastní výpočet zvolíme z časového intervalu 〈t1 ,t2 〉 požadované časy a z rov. (239), && j a dosadíme do rov. (237), (238) a do (240) a (241) určíme příslušné vektory q j , q& j , q rovnice pro zrychlení, kterou jsme pro úsporu místa nevytvořili. Počet časových okamžiků musí odpovídat počtu hledaných oprav ∆ρ . Po provedení výpočtu dostaneme vektor oprav ∆ρ . Protože jsme při přechodu z rov. (236) na rov. (237) provedli linearizaci a zanedbali členy s mocninami vyšších řádů, nedosáhneme přesné splnění rov. (237) a postup je nutné opakovat. Pro n-tý iterační krok platí

ρ ( n ) = ρ ( n −1) + ∆ρ ( n −1) .

(242)

Výpočet ukončíme v okamžiku, kdy je splněna podmínka ∆ρ( n −1) 〈 ε , kde ε je zvolená přípustná diference.

5.3 Kinematická metoda Jak bylo řečeno v úvodu kapitoly 5 je kinematická metoda vhodná pro lokální syntézu, při které požadujeme splnění požadovaných kinematických veličin ve vybraných poloze mechanismu. Je samozřejmé, že se nemusí jednat pouze o jednu polohu na uvažovaném časovém úseku, ale tím se nyní nebudeme v této úvodní části zabývat. Při výkladu kinematické metody navážeme na poznatky ze základního kurzu mechaniky, které rozšíříme o nezbytné úvodní znalosti z teorie vytváření geometrických křivek a jejich obálek. V našem výkladu vynecháme vytváření ploch a jim příslušné spoluzabírající a obalové plochy, které jsou velmi důležité v teorii ozubených kol.

103

5.3.1

Středy křivosti trajektorií a obálek

Pojem trajektorie, neboli dráha bodu je běžně známý. Pojmem obálka křivky rozumíme, obr. 77, křivku k o , která vznikne jako obálka jisté, výtvarné, křivky k při jejím pohybu v dané rovině. Stejná úvaha platí i pro plochu a její obálku, ale tím se zabývat nebudeme. Určování středů křivosti křivek, které vznikají jako trajektorie bodů a jejich obálek, je v inženýrské praxi významné jak z hlediska oskulace křivek, tak i z hlediska určování normálových složek zrychlení bodů těles. Z geometrie víme, že poloměr křivosti R rovinné křivky dané explicitním vztahem y = y ( x ) můžeme určit použitím vzorce z diferenciální geometrie

(1 + y′ )

2 3

R=

. Podmínkou použití tohoto vztahu je, že známe rovnici křivky, tedy rovnici y ′′ trajektorie, uvažovaného bodu. Tak tomu ale v řadě případů není. Použitím kinematiky můžeme středy křivosti rovinných křivek určit nejen bez znalosti trajektorie, ale také mnohem rychleji a hlavně snadněji. Středy křivosti můžeme určovat analyticky, tj. početně, nebo graficky. Podobně jako jinde i zde platí, že grafické metody jsou méně přesné, ale jejich velkou výhodou je rychlost a jednoduchost s jakou dosáhneme výsledku. Pro analytické řešení použijeme větu Euler-Savaryho a grafické řešení provedeme pomocí rychlostní konstrukce nebo pomocí Bobillierovy konstrukce. Ještě si připomeneme, že pohyb tělesa konajícího obecný rovinný pohyb můžeme nahradit, obr. 77, valením hybné polodie k H po nehybné polodie k N . Dále zavedeme pojem pár přidružených bodů, který bude pro další výklad užitečný. Tímto pojmem označujeme bod tělesa a jeho střed křivosti. Na obr. 77 je to M a S M . Dalším důležitým pojmem, který nám umožňuje určit střed křivosti obálky k o , obr. 77, vytvořené Obr. 77 Obálková věta pohybem výtvarné křivky k je obálková věta: Střed křivosti S 0 obálky k o křivky k je

totožný se středem křivosti S M trajektorie bodu M, který je středem křivosti výtvarné křivky k. Z obrázku je zřejmé, že výtvarná křivka k je pevně spojena s hybnou polodií k H . Obálková věta má mimořádný význam v teorii ozubených kol.

Věta Euler – Savaryho Věta Euler – Savaryho je dána následujícím vztahem

1 1 1 1  +  sin ϑ = + , r1 r2 r s 104

(243)

kde, obr. 78, r je vzdálenost bodu L od pólu P, s je vzdálenost středu křivosti S L bodu L od pólu, ϑ je úhel který svírá normála bodu L s tečnou t k polodiím a r1 a r2 jsou poloměry nehybné a hybné polodie.

Obr. 78 Věta Euler - Savary

Rychlostní konstrukce Základem rychlostní konstrukce, kterou určujeme středy křivosti graficky, je Hartmanova věta: Koncový bod vektoru rychlosti libovolného bodu tělesa L, jeho střed křivosti S L a koncový bod pravoúhlého průmětu pólové rychlosti ν π do směru kolmého na normálu bodu L, leží na jedné přímce.

Obr. 79 Hartmanova věta

Bobilierova konstrukce Bobillierova grafická konstrukce je založena na následující větě.

Pro libovolné dvě normály n A , nB existuje osa kolineace ok AB , pro jejíž body platí, že se v nich protínají spojnice bodů ležících na obou normálách a spojnice jejich středů křivosti. Osa kolineace svírá s normálou jednoho bodu stejný ale opačně orientovaný úhel jako svírá tečna t k polodiím s normálou druhého bodu. Obr. 80 Bobillierova konstrukce Použití uvedených metod si ukážeme na následujících příkladech. 105

Příklad 15 Určete střed křivosti bodu L k pevně spojeného s kružnicí k H , která se valí po kružnici k N , jestliže je dáno r1 , r2 , m . Situace je znázorněna na obr. 81. Řešení provedeme početně a graficky. Početně pomocí věty Euler – Savaryho 1 1 1 1 + = + , 2r2 + m s r1 r2

(244)

odkud je Obr. 81 Střed křivosti trajektorie bodu L

s=

1 r +r 1 − 1 2 2r2 + m r1 r2

.

(245)

Graficky rychlostní konstrukcí • Zvolíme rychlost bodu O2 , neboť jeho střed křivosti známe, • Určíme ν π , ν L , • Průsečnice spojnice koncových bodů rychlostí ν L a ν π s normálou nL je hledaný střed křivosti. Poznámka: Rychlostní konstrukci používáme zejména pro body ležící na hlavní normále.

Příklad 16 Určete střed křivosti obálky k o vytvářené přímkou p, obr. 82, při valení přímky q po kružnici k N , jestliže je dáno r , α . Řešení provedeme početně a graficky. Početně větou Euler – Savaryho Použitím rov. (243) dostaneme

 1 1 π  1 1 ,  +  sin  − α  = + ∞ s 2  r1 ∞

(246)

odkud je

s = r1 cos α .

(247)

Obr. 82 Střed křivosti obálky kO vytvářené přímkou p

106

Graficky Bobillierovou konstrukcí Postupovat budeme následovně: • přímka q má střed křivosti v nekonečnu, bod Q∞ , který s tímto středem splývá, má střed křivosti v bodě O1 , • střed křivosti výtvarné přímky p je v nekonečnu a splývá s bodem U ∞ , • tečna k polodiím splývá s valivou přímkou q a s hybnou polodií k H a je kolmá na normálu bodu Q∞ , • podle Bobillierovy věty musí být proto osa kolineace bodů Q∞ , U ∞ kolmá na normálu bodu U ∞ , • průsečík spojnice bodů U ∞ Q∞ protne osu kolineace v jejím úběžném bodu K ∞ , • spojnice úběžného bodu K ∞ a bodu S Q∞ s normálou bodu U ∞ je hledaný střed křivosti obálky kO .

Poznámka: Jedná se o princip výroby čelních evolventních ozubených kol odvalovacím způsobem.

Příklad 17 Určete střed křivosti trajektorie bodu L členu 3 mechanismu nakresleného na obr. 83. Řešení proveďte graficky. Mechanismus se nachází v obecné poloze a bod L neleží na hlavní normále. K řešení proto použijeme Bobillierovu konstrukci. Řešení proveďte samostatně a zkontrolujte s obr. 83.

Obr. 83 Střed křivosti trajektorie bodu L

5.3.2

Závěsná zařízení kol automobilů

Pomocí kinematické metody chceme provést syntézu řídícího ústrojí předního nezávisle zavěšeného kola automobilu. Nezbytným předpokladem je provedení syntézy zavěšení kola a proto se stručně zmíníme o způsobech uložení automobilových kol. Kola mohou být k rámu 107

vozidla [2] připojena buď jednotlivě prostřednictvím samostatného závěsu, nebo po dvou prostřednictvím nápravy. Podle toho, zda se kola na jedné nápravě při natáčení vzájemně ovlivňují či nikoliv rozdělujeme zavěšení na nezávislé, závislé a polozávislé. Polozávislým zavěšením se zabývat nebudeme a rovněž se budeme v dalším výkladu zabývat pouze kinematicky určitým zavěšením. Ukážeme si kinematická schémata některých typických způsobů zavěšení.

5.3.2.1 Nezávislá zavěšení Mechanismus nezávislého zavěšení neřízených kol má jeden stupeň volnosti a u řízených kol má dva stupně volnosti. Zavěšení může být provedeno rovinným nebo prostorovým mechanismem. Velmi často se používá zavěšení lichoběžníkové a zavěšení na teleskopické vzpěře nazývané zavěšení Mc Pherson, které jsou v rovinné verzi uvedené na obr. 84.

Rovinné uspořádání

Lichoběžníkové zavěšení

Obr. 84 Rovinné závěsné mechanismy

Prostorové uspořádání Prostorový závěsný mechanismus umožňuje lepší splnění požadavků kladených na zavěšení kola a řídící ústrojí, neboť má větší počet parametrů. Nevýhodou je komplikovanost a obtížnost kinematického řešení. Na obr. 85 jsou kinematická schémata lichoběžníkového zavěšení a zavěšení Mc Pherson. V dolní části obrázku je případ prostorového lichoběžníkového zavěšení kola se stabilizátorem a pružinou. U prostorových závěsných 108

mechanismů se místo rotačních kinematických dvojic vyskytují sférické dvojice se třemi stupni volnosti. Na obr. 86 je kinematické schéma zavěšení s teleskopickou vzpěrou se sférickými dvojicemi. Rovinné uspořádání lichoběžníkového zavěšení je průmětem prostorového uspořádání do roviny kolmé na podélnou osu vozidla.

Lichoběžníkové zavěšení

Zavěšení Mc Pherson

stabilizátor Obr. 85 Prostorové závěsné mechanismy

Obr. 86 Prostorový závěsný mechanismus se sférickými dvojicemi

109

Příklad 18 Konstrukční provedení nezávislého zavěšení Mc Pherson předního kola u osobního automobilu Škoda Favorit 136L s řídícím mechanismem je ukázáno na obr. 84. Přenos rotačního pohybu na kolo je zajištěn pomocí homokinetického kloubu.

1,2,3 – uchycení pístnice tlumiče na karoserii 4 – přídavná progresivní pružina z polyuretanu 5 – pružina 6 – tlumič 7 – nosič kola 8,9,10 – matice a náboj kola, ložisko 11 – kulový čep příčného ramene 12,13,14,21 – kuličkový kloub 15,17 – spodní trojúhelníkové rameno 16 – kloubový hnací hřídel 18 – řídící tyč 19 – nápravnice 20,23 – kloub Tripode 22 – třmen brzdy Obr. 87 Přední polonáprava Mc. Pherson s hancím hřídelem

5.3.2.2 Závislá zavěšení U závislého zavěšení kol jsou nosiče obou kol spolu vázány tuhým tělesem nazývaným mostem zavěšení Toto zavěšení se běžně nazývá tuhá, nebo také nedělená náprava. Závislé zavěšení musí z kinematického hlediska umožnit: 110

• pohyb mostu ve svislém směru, • natočení mostu kolem osy rovnoběžné s podélnou osou vozidla,

Základní případy čtyřbodového zavěšení

Čtyřbodové zavěšení s Panhardskou tyčí, která zajišťuje přímé vedení

Zavěšení s trojúhelníkovým ramenem

Kinematicky přeurčené zavěšení Obr. 88 Závislé zavěšení kol takže má dva stupně volnosti. Závislé zavěšení tvoří vždy prostorový mechanismus. Základní případy závislého zavěšení kol jsou uvedeny na obr. 88, kde první čtyři případy jsou kinematicky určité a na posledním pátém nákresu je zavěšení kinematicky přeurčené, při kterém jsou požadované pohyby mostu vždy doprovázeny deformacemi v úložných místech.

5.3.2.3 Rejdová osa Vrátíme se nyní zpět k nezávislému zavěšení řízeného předního kola, které se při změně směru jízdy otáčí kolem jisté osy, kterou nazýváme rejdová osa. Tato osa, obr. 89, je buď okamžitá, nebo pevná. Po usnadnění jízdy vozidla v přímém směru, zejména při vyšších rychlostech je nutné, aby řízená kola měla sama tendenci setrvávat v poloze pro přímý směr

111

jízdy. Dále je potřebné, aby se kola po projetí zatáčky sama vracela do neutrální polohy a rovněž se požaduje, aby se kola vracela samočinně do neutrální polohy po vychýlení

okamžitá rejdová osa

pevná rejdová osa Obr. 89 Řízené kolo

nahodilými bočními silami. Těchto účinků se dosahuje polohou rejdové osy, která je realizována rejdovým čepem, nebo též jinak nazývaným čepem nápravy. Poloha rejdové osy, obr. 90, je určena:

• úhlem záklonu β , • úhlem příklonu δ , • úhlem odklonu kola ϑ . Zajímavé je zjištění, že řízené kolo při přímé jízdě automobilu nekoná klidný rotační pohyb kolem své osy otáčení, nýbrž se natáčí kolem rejdové osy

• vlivem řidiče s frekvencí 0 ÷ 75 Hz, • vlivem pérování s frekvencí 1 ÷ 25 Hz a 7 ÷ 14 Hz, • vlivem kmitání s frekvencí 5 ÷ 14 Hz. Již při frekvenci 0,1 Hz dochází k fázovému posuvu mezi vstupní výchylkou a vývinem silových účinků, takže řízené kolo se při pohybu nachází v nestacionárním stavu. Nyní se budeme zabývat podrobněji jednotlivými úhly, které určují polohu osy rejdového čepu. osa rejdového čepu

Obr. 90 Poloha rejdové osy 112

Záklon čepu nápravy Stabilizační účinek záklonu čepu nápravy β spočívá [5] při vychýlení kol z přímého směru, obr. 91, ve vzniku různě velkých momentů od sil valivého odporu, takže vzniklý moment M 1 vrací kola do přímého směru. Další stabilizační účinek spočívá při působení bočních sil u kol odvalujících se se směrovými úchylkami α1 , α 2 ve zvýšení vratného momentu vyvolaného momenty bočních sil Fy1 , Fy 2 na ramenech l1 , l 2 . Vratný moment se tedy skládá ze dvou momentů M 1 a M 2

M 1 = Fx1 y1 − Fx2 y2 , M 2 = Fy2 l 2 + Fy1 l1 .

(244)

Obvykle se volí β ≤ 2 o . rejdová osa

vliv směrové úchylky:

Obr. 91 Záklon rejdové osy U vozidel s pohonem předních kol, kde síla Fx má opačný smysl Fx = Fk − O f , kde

Fk je hnací síla a O f odpor valení, viz kap. 2.2, je situace jiná, neboť síla Fx by měla účinek destabilizační. Provádí se proto nulový, nebo záporný záklon. Příklon čepu nápravy Příklon čepu nápravy δ je hlavní opatření, kterým se dosahuje automatického vracení kol do polohy pro přímou jízdu. Stabilizace je vyvolána tíhovým zatížením přední nápravy, obr. 89. Při natáčení kola se styčná plocha kola s vozovkou pohybuje v rovině σ a dochází k výškové změně přední části vozidla. Velikost vratného momentu M, pro který platí vztah

M = Gk sin δ a sin ϕ , 113

(245)

kde Gk je tíhová síla připadající na kolo, kterým jsou kola vrácena do přímého směru, závisí vedle úhlu příklonu δ i na vzdálenosti a stopníku S rejdové osy v rovině σ od středu kola. Obvykle je δ = 5 ÷ 8 . rejdová osa

rejdová osa

Obr. 92 Příklon rejdové osy

Odklon kola Odklon kola ϑ má příznivý vliv z konstrukčního hlediska. Malá síla Fz sin ϑ zatěžuje trvale osově ložisko, což přispívá k jeho klidnému chodu a zvyšuje bezpečnost axiálního jištění. Dále dochází ke zmenšení vzdálenosti p mezi radiální reakcí vozovky Fz a místem vetknutí čepu kola do třmenu, které je nejvíce namáháno. Obvykle se volí ϑ ≤ 1o 30′ , případně 0o nebo

i < 0 o pro případ, že je třeba zvýšit schopnost kol přenášet boční sílu. Poznámka Kromě polohy rejdové osy se pro docílení stability řízených kol provádí jejich natočení kolem rejdových čepů o úhel cca κ = 20 ÷ 40′ tak, že vzdálenost předních okrajů ráfků disků obou kol je menší než zadních okrajů. Tím vzniknou na kolech malé boční síly, které se snaží natočit kola do přímého směru a jejich momenty vzhledem k rejdovým osám vyvolají v mechanismu řízení trvalé napětí, kterým se vymezí všechny případné vůle a zabraňuje se rozkmitání kol kolem rejdových čepů. Obr. 93 Odklon kola 114

Příklad 19 Jako příklad nezávislého zavěšení kol si ukážeme zavěšení kol přední a zadní nápravy u automobilu Honda Integra R1.8 Vti. U obou kol je nezávislé zavěšení řešeno prostorovým mechanismem, obr. 94, jehož počet stupňů volnosti je uveden na obrázcích, kde „s“ značí sférickou kinematickou dvojici, „p“ posuvnou a „r“ rotační kinematickou dvojici, „n“ je počet členů soustavy. Parazitní rotací je rozuměna rotace příslušných členů kolem svých os, která nemá vliv na pohyblivost soustavy a z kinematického hlediska je bezvýznamná.

Honda Integra Přední náprava:

s=6 p=2 r=2

i = 6 (8 − 1) − 3 ⋅ 6 − 5 ⋅ 2 − 5 ⋅ 2 = = 42 − 38 = 4 o

6, 8 – parazitní rotace Počet stupňů volnosti i = 2o rejdová osa

rejdová osa

Zadní náprava:

i = 6 (8 − 1) − 3 ⋅ 9 − 5 ⋅ 2 = 5o

s=9 p=2 r =0

7, 2, 4, 5 – parazitní rotace Počet stupňů volnosti i = 1o

Obr. 94 Zavěšení kol přední a zadní nápravy u automobilu Honda Integra 115

5.3.3 Syntéza zavěšení předního kola automobilu V předcházejících kapitolách jsme se zmínili, že při změně polohy kola dojde ke změně poloh všech členů závěsného mechanismu. Hovoříme-li o změně polohy kola, máme zde na mysli změnu vzniklou propérováním kola, která je dána změnou vertikální souřadnice zs . Závislosti souřadnic polohy kola, obr. 95, na souřadnici zs můžeme schematicky vyjádřit takto: xs = xs ( z s ), ϕ x = ϕ x ( z s ), y s = y s ( z s ), ϕ y = ϕ y ( z s ), z s , ϕ z = ϕ z ( z s ) , (246) kde Ok je původní a S je nová poloha středu kola. Cílem syntézy je navrhnout místa uložení mechanismu zavěšení kola na karoserii automobilu tak, aby kolo konalo relativní pohyb vůči karoserii odpovídající požadovaným kinematickým charakteristikám.

Obr. 95 Změna polohy kola Základními kinematickými charakteristikami zavěšení kol a řízení rozumíme závislosti uvedené v rov.(246), vztažené případně na dotykový bod kola s vozovkou a dále změny úhlů určujících polohu rejdové osy ve zvoleném souřadnicovém systému v závislosti na propérování určeném změnou souřadnice zs . Syntézu provedeme [3] pro jednu vybranou polohu zavěšení řízeného nezávisle zavěšeného předního kola vozidla, obr. 95, které je zablokováno. Ve středu kola S zavedeme souřadnicový systém R ≡ (i, j, k ) , jehož osa x je rovnoběžná s podélnou osou vozidla. Při propérování kola určeném změnou souřadnice zs dojde ke změně souřadnic xs , ys a k natočení nosiče kola vyjádřenému změnou úhlů ϕ x , ϕ y , ϕ z . Pro zjednodušení dalšího řešení zavedeme zobecněnou souřadnici qi . Po jejím zavedení zapíšeme soustavu (246) ve tvaru qi = qi ( zs ), i = 1 ÷ 5 .

(247)

Rozvedením vztahu (247) do Mc Laurinovy řady v okolí bodu zs = z so = 0 , jedná se o Taylorovu řadu pro bod 0, s tím, že zanedbáme členy třetího a vyšších řádů, dostaneme pro qi ( zso ) = qio 116

qi = qio +

qio′ q ′′ ( z s − z so ) + io ( z s − z so ) 2 . 1 2

Změny funkčních hodnot a jejich derivace

(248)

dqi = qi′ jsou dz s

1 ∆qi = qi − qio = qio′ z s + qio′′ z s2 , 2 ∆qi′ = qio′ + qio′′ z s , ∆qi′′ = qio′′ .

(249)

Pro zdůraznění skutečnosti, že se jedná o hodnoty ve vybraném bodě, provedeme přeznačení qio′ = κ i1 , qio′′ = κ i 2

(250)

a přepíšeme rov. (249) 1 ∆qi = κ i1 z s + κ i 2 z s2 , 2 ∆qi′ = κ i1 + κ i 2 z s , ∆qi′′ = κ i 2 .

(251)

Protože obecně ale je propérování funkcí času, zs = zs (t ) , můžeme první rovnici soustavy (251) vyjadřující změnu zobecněné souřadnice zapsat ve tvaru 1 2

∆qi = κ i1 zs (t ) + κ i 2 zs2 (t ) .

(252)

Potom rychlost a zrychlení této změny jsou vyjádřeny vztahy

∆q&i = κ i1 z&s (t ) + κ i 2 zs (t ) z&s (t ) ,

∆q&&i = κ i1 &z&s (t ) + κ i 2 z&s2 (t ) + κ i 2 zs (t ) &z&s (t ) .

(253)

Poloha kola je ale při zablokovaném řízení funkcí geometrické vazby, tedy změny zs a nikoli rychlosti z&s . Jinými slovy řečeno, kolo může zaujmout změněnou polohu libovolnou rychlostí. Položíme proto z&s = 1 , pak je &z&s = 0 a pro střed kola ve výchozí poloze, zs = 0 , přejdou rov. (252) a (253) na tvar

∆qi = 0,

∆q&i = κ i1 ,

117

∆q&&i = κ i 2 .

(254)

Uvažujme na okamžik, že kolo je uvolněno ze svých vazeb a že může vykonávat obecný prostorový pohyb, který rozložíme na unášivý posuvný pohyb a na druhotný sférický pohyb. Potom je pohybový stav nosiče kola plně určen kinematickými veličinami v s , a s , ω s , α s , které vyjádříme jejich složkami

v S = i vSx + j v Sy + k vSz , ω = i ω x + j ω y + k ω z a S = i aSx + j a Sy + k aSz , α = i α x + j α y + k α z .

(255)

Použitím rov.(254) můžeme složky vektorů v rov.(255) vyjádřit následujícím způsobem vSx = x& S = κ x1 , a Sx = &x&S = κ x 2 , ω x = ϕ& x = κ κϕ 1 , α x = ϕ&&x = κ ϕ x 2 , x

vSy = y& S = κ y1 , aSy = &y&S = κ y 2 , ω y = ϕ& y = κ ϕ y 1 , α y = ϕ&&y = κ ϕ y 2 , vSz = z& S =1,

a Sz = &z&S = 0,

ω z = ϕ& z = κ ϕ 1 , α z = ϕ&&z = κ ϕ 2 . z

z

(256)

Na obr. 96 je naznačeno kinematické schéma nezávislého zavěšení předního kola automobilu. Úkolem syntézy je nalézt bod M, nebo množinu těchto bodů M, ve kterém je nosič kola svým bodem L připojen ke karoserii vozidla, tak, aby připojení pomocí vzpěry LM umožnilo bodu L pohybovat se kinematickými veličinami vL, aL , které odpovídají uvažovanému prostorovému pohybu kola. To umožní středu kola S realizovat jeho přirozený

Obr. 96 Kinematické schéma nezávislého zavěšení předního kola 118

pohyb při propérování vzhledem ke karoserii automobilu. Důsledkem je, že nedojde ke vzniku negativních silových účinků ve vazbách. Vzpěru je nutné realizovat závěsným mechanismem. Řešení provedeme v souřadnicovém systému R, ve kterém je poloha bodu L určena vektorem rL = i xL + j yL + k z L (257) a jeho kinematický stav je určen vztahy

v L = v S + ω × rL a L = a S + α × rL + ω × ω × rL .

(258)

Obr. 97 Určení bodu M nosiče kola LM Geometrické místo takových bodů M, obr. 97, nosiče kola LM, pro které bod L vyhoví rov.(258), je přímka oM procházející středem křivosti S L trajektorie bodu L kolmo na rovinu σ proloženou vektory v L , a L . Rovnice přímky oM je

r = rL + n L ρ + eλ ,

(259)

kde λ je volitelný parametr a jednotkový vektor přímky oM je

e=

vL × aL . vL × aL

Pro jednotkový vektor normály trajektorie bodu L platí 119

(260)

nL =

e× v L . e× v L

(261)

Poloměr křivosti trajektorie bodu L vyjádříme pomocí normálové složky zrychlení

v L2

v L2 a Ln = ⇒ρ = , a Ln ρ

(262)

a normálovou složku zrychlení vyjádříme použitím skalárního součinu a Ln = n L ⋅ a L

(263)

Vektor ρ můžeme potom vyjádřit následovně

v L2 v L2 ρ= nL = nL = n L ⋅a L a Ln

e× v L vL × aL × vL v L2 v L2 = = (e × v L ) e × v L v L × aL × vL vL × aL aL ⋅ aL ⋅ e× v L vL × aL (264)

=

v 2 (v × a L )× v L v L2 ( v L × a L ) × v L = 2L 2 L a L a L ( v L − v L )− v L ( v L ⋅a L aL v L − (aL ⋅ v L )2

[

]

Dosazením do rov.(259) dostaneme r = rL +

v 2L ( v L × a L ) × v L v a +λ L L 2 2 2 a L v L − (a L ⋅ v L ) v L × aL

(265)

V případě potřeby můžeme použít pouze přibližné splnění podmínek v rov.(258) následovně. Bodem M, obr. 94, hlavní normály nL vedeme přímku o′M // oM , pro kterou můžeme psát rovnici

r = rL + ρ + n Lγ + λe ,

(266)

kde γ je volitelný parametr, který splňuje pouze požadavek rychlosti. Této podmínce vyhovuje každý bod roviny σ ležící na normále nL .

Příklad 20 Uvažujme nyní, obr. 98, že zavěšení kola je provedeno teleskopickou vzpěrou, jedná se tedy o zavěšení McPherson a že předchozím řešením jsme určili kinematický stav bodu L nosiče kola a následně i polohu jeho středu křivosti S L ≡ M . Nyní je třeba tento mechanismus zavěšení navrhnout. Použijeme grafické řešení, které nám dá dobrou vizuální představu. K tomuto účelu využijeme Bobillierovu větu uvedenou v kap. 5.3.1, pro jejíž aplikaci máme 120

k dispozici vypočtenou polohu bodu L a jeho střed křivosti S L ≡ M . Situace je patrná na obr. 98. Zvolíme podle naší potřeby, nebo s ohledem na konstrukci, polohu objímky teleskopické vzpěry 5 a počáteční bod A vzpěry. Aplikací Bobillierovy konstrukce určíme uchycení nosiče 4 (bod S A ) na karoserii automobilu následujícím postupem.

Obr. 98 Návrh zavěšení McPherson Pomocí dvou párů přidružených bodů ( L, S L ) a (U ∞ , S u∞ ) určíme prostřednictvím normál nL , nu pól P a osu kolineace ok LU . Pomocí věty Bobillierovy určíme přenesením úhlu α tečnu

k polodiím t. Sestrojíme normálu nA a další aplikací Bobillierovy věty sestrojíme osu kolineace okUA . Průsečík K ′ této osy kolineace spojíme s bodem SU a kde tato spojnice protne normálu n A , leží střed křivosti S A bodu A, který je hledaným koncovým bodem vzpěry 4.

5.3.4 Syntéza mechanismu řízení Mechanismus řízení, obr. 99, slouží k přenosu rotačního pohybu volantu na obě přední kola vozidla tak, aby byly dodrženy kinematické charakteristiky řízení, které určují vztah mezi natočením levého a pravého kola. Tento vztah je limitován -

podmínkami Ackermannovými (Jeautaudovými),

-

podmínkami paralelního řízení.

121

Obr. 99 Mechanismus řízení s hydraulickým přenosem rotačního pohybu Mechanismus řízení převádí natočení hlavní páky řízení ϕ m na otočení ϕ nosiče kola kolem rejdového čepu. Úlohou syntézy je navrhnout mechanismus řízení tak, aby realizoval požadovanou zdvihovou závislost

ϕ = ϕ (ϕ m ) ∧ ϕ m ∈ ϕ m ,ϕ m , o

k

(267)

kde ϕ je požadované natočení kola a ϕ mo ,ϕ mk jsou natočení řídící páky ve výchozí a konečné poloze, které odpovídají maximálnímu rejdu. Mechanismus řízení nerealizuje funkce v rov. (267) přesně v celém intervalu zdvihu. Skutečná zdvihová závislost ϕ~ realizovaná mechanismem závisí na parametrech mechanismu, takže platí vztah

ϕ~ = ϕ (ϕ m , a1 , a2 , ...ar ) ,

(268)

kde ai , i =1, 2,..., r jsou hledané konstrukční parametry. Můžeme je určit [3] např. z podmínky, aby součet kvadrátů odchylek požadované a generované závislosti v n zvolených výpočtových polohách byl s určitou vahou wϕ m co nejmenší n

[

]

S = ∑ w (ϕ m ) (ϕ − ϕ~) 2 i → min . i =1

(269)

Výpočtové polohy rozložíme v intervalu ϕ mk − ϕmo rovnoměrně, takže platí ∆ϕ m =

ϕ m −ϕ m k

n −1

o

, ϕ mi = ϕ mo + (i −1)∆ϕ m .

122

(270)

Váhovou funkcí připisujeme odchylkám v různých výpočtových polohách různý význam. Pro řešení syntézy mechanismu řízení budeme předpokládat, že mechanismus zavěšení kola je na rámu vozidla nehybný a mění se pouze poloha členu zajišťujícího pohyb řídící tyče, takže mechanismus řízení má jeden stupeň volnosti. Schéma mechanismu řízení s rotující hlavní pákou řízení je uvedeno na obr. 100. Uvedeme názvy jednotlivých členů soustavy řízení, které budeme používat

o …..osa rejdového čepu, AB …..hlavní páka řízení, která se otáčí kolem p, BC …..spojovací tyč, CD …..rameno řízení.

Obr. 100 Schema mechanismu řízení V předcházející kapitole jsme provedli uložení kola a syntézou mechanismu zavěšení jsme určili osu o rejdového čepu. Podobně jako jsme určili kinematický stav bodu L, rov. (258), určíme i kinematický stav bodu C, ve kterém je spojovací tyč BC připojena k ramenu řízení DC a určíme střed křivosti Sc trajektorie bodu C, který pro další řešení přeznačíme na K a sestrojíme v něm osu ok , kolmou na rovinu τ proloženou vektory v c , a c . Nyní můžeme přistoupit k vlastní syntéze mechanismu řízení. Pro zjednodušení uvažujeme, že osa talířového kola leží v rovině yz . Úkolem je navrhnout mechanismus řízení kola s požadovanou závislostí ϕ = ϕ (ϕ m ) , rov. (267), jestliže je dáno: 123

OK ≡ Ω K , K [x K , y K , z K ], ok [α k , β k , γ k ], o[α o , β o, γ o ], D[x D , y D , z D ] . Dalším požadavkem je, aby bod B, ve kterém je páka řízení AB napojena na spojovací tyč BC , ležel v poloze řídícího mechanismu pro přímou jízdu, na ose ok . Řešení provedeme v souřadnicovém systému R ≡ (i, j, k ) . Použitím vektorové metody můžeme psát r1 + r2 + r3 + r4 + r5 + r6 + r7 = 0

(271)

Rozepsáním rov. (271) do složek dostaneme l1 cos α + l2 cos α 2 + l3 cos α 3 + l4 cos α 4 + l5 cos α 5 + l6 cos α 6 + l7 cos α 7 = 0 , l1 cos β + l2 cos β 2 + l3 cos β 3 + l4 cos β 4 + l5 cos β 5 + l6 cos β 6 + l7 cos β 7 = 0 , l1 cos γ + l2 cos γ 2 + l3 cos γ 3 + l4 cos γ 4 + l5 cos γ 5 + l6 cos γ 6 + l7 cos γ 7 = 0 .

(272)

Pro každé natočení řídící páky ϕ m musí platit e1 ⋅e10 = cos ϕm ,

(273)

kde e10 je jednotkový vektor hlavní páky řízení pro přímou jízdu, takže je cos α 1 cos α 10 + cos β1 cos β10 + cos γ 1 cos γ 10 = cos ϕ m .

(274)

Dále platí podmínka kolmosti osy p a hlavní páky řízení, obr. 101 e1 ⋅ e p = 0 , (275) takže po dosazení za jednotkové vektory dostaneme cos α 1 cos α p + cos β1 cos β p + cos γ 1 cos γ p = 0 , (276) a z trigonometrie je Obr. 101Kolmost jednotkových vektorů (277) hlavní páky řízení a osy p

cos α1 + cos β 1 + cos γ 1 =1 . 2

2

2

Platí rovněž podmínka kolmosti osy rejdového čepu o a ramene řízení r3 o ⋅r3 = 0 ,

(278)

cos α 3 cos α 0 + cos β 3 cos β 0 + cos γ 3 cos γ 0 = 0 ,

(279)

takže po dosazení dostaneme

a opět platí trigonometrické podmínky cos 2 α 3 + cos 2 β 3 + cos 2 γ 3 =1 ,

cos 2 α 2 + cos 2 β 2 + cos 2 γ 2 =1 .

124

(279)

Pro natočení nosiče kola kolem osy rejdového čepu platí e 3 ⋅ e 30 = cos ϕ 3 ∧ ϕ 3 ≡ ϕ

(280)

cos α 3 cos α 30 + cos β 3 cos β 30 + cos γ 3 cos γ 30 = cos ϕ 3 .

(281)

a po dosazení

Protože B ∈ ok , platí xB = l1 cos α1 + l7 cos α p , yB = l5 − l7 cos β p − l 1 cos β1 , z B = l6 − l7 cos γ p − l1 cos γ 1 .

(283)

Souřadnice bodu B musí vyhovovat rovnicí přímky ok pro přímou jízdu vozidla, takže je xB − xK y B − yK z B − z K = = , cos α M cos β M cos γ M a po dosazení máme

(284)

l1 cos α1 + l7 cos α p − xM l5 cos β p + l1 cos β1 − yM = , cos α M cos β M l1 cos α1 + l7 cos α p − xM l6 − l7 cos γ p − l1 cos γ 1 = . cos α M cos γ M

(284)

Vztahy (272), (274), (276), (277), (279), (280), (282) a (285) dávají celkem 12 rovnic k řešení. Jestliže za vstupní hodnoty vezmeme α p , β p , γ p , x D , y D , z D ,α o , β o , γ o x K , y K , z K , α k ,

( l1 , l2 , l3 , l5 , l6 , l7, β k , γ k ,α 4 , β 4 , γ 4 , l4 zbývá z celkového počtu 21 parametrů α1 , β1 , γ 1 ,α10 , β10 , γ 10 ,α 2 , β 2 , γ 2 ,α 3 , β 3 , γ 3 ,α 30 , β 30 , γ 30 ) 9 volných parametrů, ale pro úhly α10 , β10 , γ 10 ,α 30 , β 30 , γ 30 platí dvě trigonometrické podmínky

3

∑ cos i =1

2

λio =1 ∧ λ ∈ (α , β , γ ) ,

takže k dispozici je celkem 7 volitelných parametrů pro zvolené úhly ϕ m ,ϕ . Možný postup výpočtu můžeme nastínit takto: 1. zvolíme ϕ m ,ϕ , 2. odhadneme konstrukční parametry, 3. určíme neznámé veličiny a ϕ~ , 2 4. určíme odchylku w(ϕ )(ϕ − ϕ~ ) , m

5. měníme konstrukční parametry a výpočet opakujeme (s použitím samostatné optimalizační metody), 6. výpočet opakujeme pro další ϕ m ,ϕ .

125

LITERATURA [1] Apetaur M., Šalamoun Č.: Motorová vozidla II. Skripta ČVUT v Praze. Vydavatelství ČVUT, Praha 1, 1977 [2] Apetaur M., Stejskal V.: Motorová vozidla IV. Skripta ČVUT v Praze. Vydavatelství ČVUT, Praha 1, 1980 [3] Apetaur M., Stejskal V.: Motorová vozidla VI. Skripta ČVUT v Praze. Vydavatelství ČVUT, Praha 1, Husova 5 [4] Brát V.: Maticové metody v analýze a syntéze prostorových vázaných mechanických systémů. ACADEMIA Praha, 1981 [5] Kovařík J.: Mechanika motorových vozidel. SNTL Praha 1966 [6] Mitschke M.: Dynamik der Kraftfahrzeuge. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 1972 [7] Rosenberg J.: Teoretická mechanika. Skripta ZČU v Plzni. Vydavatelství ZČU v Plzni, 2003 [8] Schmidtmayer J.: Maticový počet a jeho použití v technice. TKI, SNTL Praha, 1967 [9] Švígler J.: Mechanika I. Učební text www kme.zcu.cz, Mechanika pro kombinovanou formu. ZČU Plzeň, 2008 [10] Vlk F.: Dynamika motorových vozidel. Nakladatelství a vydavatelství VLK, Brno 2000

126