Influence of Terrain Shape on Diffraction Loss Calculations

ˇ ´ vysoke ´ uc ˇen´ı technicke ´ v Praze Cesk e ´ Fakulta elektrotechnicka ´ho pole Katedra elektromagneticke

Vliv tvaru pˇ rek´ aˇ zky na v´ ypoˇ cet difrakˇ cn´ıch ztr´ at Influence of Terrain Shape on Diffraction Loss Calculations Diplomov´ a pr´ ace

Studijn´ı program:

Komunikace, multimédia a elektronika

Studijn´ı obor:

Bezdrátové komunikace

Vedouc´ı práce:

prof. Ing. Pavel Pechaˇc, Ph.D.

Odborn´ y konzultant:

Ing. Pavel Valtr, Ph.D.

Petr Jirsák Praha 2014

Prohl´ aˇ sen´ı Prohlaˇsuji, ˇze jsem pˇredloˇzenou práci Vliv tvaru pˇrekáˇzky na v´ ypoˇcet ” difrakˇcn´ıch ztrát“ vypracoval samostatnˇe a ˇze jsem uvedl veˇskeré pouˇzité informaˇcn´ı zdroje v souladu s Metodick´ ym pokynem o dodrˇzován´ı etick´ ych princip˚ u pˇri pˇr´ıpravˇe vysokoˇskolsk´ ych závˇereˇcn´ ych prac´ı.

V Praze 5.1.2015

Podˇ ekov´ an´ı Rád bych podˇekoval vedouc´ımu práce prof. Ing. Pavlu Pechaˇcovi, Ph.D. za vstˇr´ıcnost a odborné pˇripom´ınky a Ing. Pavlu Valtrovi, Ph.D. za mnohé rady zejména v oblasti parabolické rovnice a bˇehem fináln´ıch u ´prav práce.

Obsah ´ Uvod

8

1 Teoretick´ yu ´ vod 1.1 Vlnová rovnice . . . . . . . . . . . ˇıˇren´ı vlny nad rovinnou a sférickou 1.2 S´ 1.3 Difrakce . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Refrakce a index lomu . . . . . . .

. . . zem´ı . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

9 . 9 . 10 . 10 . 12

2 Modely ˇ s´ıˇ ren´ı elektromagnetick´ e vlny 2.1 Doporuˇcen´ı ITU-R . . . . . . . . . . 2.2 Dvoupaprsková metoda . . . . . . . . 2.3 Parabolická rovnice . . . . . . . . . . 2.4 Jiné modely - Bullington, Deygout .

pro pozemn´ı spoje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

14 14 16 17 18

3 Parabolick´ a rovnice - model 3.1 Základn´ı odvozen´ı . . . . . 3.2 Metoda split-step . . . . . 3.3 Základn´ı algoritmus . . . . 3.4 Okrajové podm´ınky . . . . 3.5 Modelován´ı zdroje . . . . 3.6 Modelován´ı terénu . . . . 3.7 Pˇresnost modelován´ı . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

20 20 22 23 26 27 30 31

. . . . .

32 33 42 44 49 52

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

4 Vliv tvaru pˇ rek´ aˇ zky a geometrie spoje na difrakˇ cn´ı ztr´ aty 4.1 Vliv tvaru pˇrekáˇzky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Vliv délky spoje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Vliv polohy pˇrekáˇzky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Relativita m´ıry zast´ınˇen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Porovnán´ı modelu s namˇeˇren´ ymi daty . . . . . . . . . . . . . Z´ avˇ er

57

5

Literatura

58

A Parabolick´ a rovnice - k´ od

61

B Doplˇ nuj´ıc´ı funkce

64

6

Anotace Vliv tvaru pˇ rek´ aˇ zky na v´ ypoˇ cet difrakˇ cn´ıch ztr´ at V této práci je ˇreˇsena predikce difrakˇcn´ıch ztrát na pˇrekáˇzce. Hlavn´ı problematikou je vliv tvaru pˇrekáˇzky a geometrie spoje na difrakˇcn´ı ztráty. Pro ˇreˇsen´ı je pouˇzito modelu parabolické rovnice s metodou split-step, kter´ y je implementován v prostˇred´ı Matlab. Je ukázáno, ˇze je moˇzné geometrie spoj˚ u do jisté m´ıry zobecnit na základˇe znalosti délky spoje, um´ıstˇen´ı pˇrekáˇzky, jej´ı ˇs´ıˇrky a tvaru. V závˇeru jsou srovnávány v´ ysledky z´ıskané modely s aproximac´ı terénu jednoduch´ ym tvarem, s pouˇzit´ım v´ yˇskového profilu terénu a namˇeˇren´ ymi daty. ˇıˇren´ı elektromagnetick´ Kl´ıˇ cov´ a slova: S´ ych vln, difrakce, tvar pˇrekáˇzky, parabolická rovnice, split-step

Influence of Terrain Shape on Diffraction Loss Calculations In the thesis prediction of diffraction losses is discussed. The main topic is effect of obstacle shape and position of transmitter and receiver influence. Parabolic equation split-step method implemented in Matlab software is used for the prediction model. It is shown that the main problem can be generalized using the parameters of the link. In the end there is comparison of simple shape terrain aproximation model prediction, precise terrain model prediction and measured data. Keywords: Electromagnetic wave propagation, diffraction, obstacle shape, parabolic equation, split-step

7

´ Uvod Práce se zab´ yvá difrakc´ı elektromagnetického vlnˇen´ı na pˇrekáˇzce. Polem zájmu jsou bezdrátové mikrovlnné pevné spoje, tedy spoje provozované na vzdálenosti jednotek aˇz des´ıtek kilometr˚ u. V práci je ˇreˇsena pouze problematika difrakce na jedné pˇrekáˇzce. Nˇekteré modely ˇreˇs´ıc´ı v´ıcenásobnou difrakci jsou uvedeny pouze na okraj pro doplnˇen´ı vˇseobecného pˇrehledu. Existuje ˇrada model˚ u pro odhad difrakˇcn´ıch ztrát, které vycházej´ı z analytického ˇreˇsen´ı difrakce na noˇzové pˇrekáˇzce. Terénn´ı profil se pak dle zvolené metody rozdˇel´ı na jednu nebo v´ıce noˇzov´ ych pˇrekáˇzek a odhadnou se difrakˇcn´ı ztráty. Parabolická rovnice pˇres svoji nároˇcnˇejˇs´ı implementaci umoˇzn ˇuje vytvoˇren´ı velmi pˇresného modelu terénu a uvaˇzován´ı nˇekter´ ych atmosférick´ ych jev˚ u jako je refrakce. Je tedy schopna do modelu zahrnout okoln´ı vlivy p˚ usob´ıc´ı na v´ ysledné pole. C´ılem práce bylo vytvoˇrit program v prostˇred´ı Matlab, kter´ y bude schopen ˇreˇsen´ım parabolické rovnice predikovat difrakˇcn´ı ztráty na mikrovlnn´ ych spoj´ıch pro rozliˇcné scénáˇre. K ˇreˇsen´ı parabolické rovnice byla pouˇzita metoda split-step vyuˇz´ıvaj´ıc´ı Fourierovy transformace. S pomoc´ı tohoto modelu byl zkoumán vliv tvaru pˇrekáˇzky a geometrie spoje na velikost difrakˇcn´ıch ztrát. Z´ıskané poznatky byly pouˇzity pro vytvoˇren´ı modelu konkrétn´ıho pevného spoje, kter´ y byl mˇeˇren [6], a v´ ysledky porovnány s namˇeˇren´ ymi hodnotami.

8

Kapitola 1 Teoretick´ yu ´ vod 1.1

Vlnov´ a rovnice

Základem pro odvozen´ı parabolické rovnice (3.2), která je podstatou celého algoritmu pouˇzitého pro vytvoˇren´ı modelu ˇs´ıˇren´ı elektromagnetické vlny a odhad difrakˇcn´ıch ztrát, je obecná vlnová rovnice ve tvaru ∂ 2E ∂E − µε 2 = 0, ∇ E − µσ ∂t ∂t 2

(1.1)

kde E je vektor intenzity elektrického pole, µ je permeabilita, ε je permitivita, σ je vodivost a t je ˇcas. Za pˇredpokladu, ˇze se elektromagnetické pole bude mˇenit harmonicky je moˇzné rovnici (1.1) pˇrepsat do tvaru ∇2 E + k2 E = 0,

(1.2)

kde k je vlnové ˇc´ıslo. Vlnová rovnice je parciáln´ı diferenciáln´ı rovnice 2. ˇra´du, která je odvozena z Maxwellov´ ych rovnic a obecnˇe je moˇzné ji ˇreˇsit pro soustavu o tˇrech prostorov´ ych sloˇzkách. V rámci zjednoduˇsen´ı, která jsou uvedena v [2] a umoˇzn ˇuj´ı numerické ˇreˇsen´ı rovnice, bude dále ˇreˇsen pˇr´ıpad se dvˇema prostorov´ ymi sloˇzkami a atmosférou popsanou komplexn´ım indexem lomu p p (1.3) n(x, z) = ε(x, z) = εr (x, z) + jσ(x, z)ωε0 . Rovnˇeˇz, aby bylo moˇzné povaˇzovat ˇcelo ˇs´ıˇr´ıc´ı se vlnoplochy za rovinné, pˇredpokládá se délka spoje λ. Transverzáln´ı charakter vlnˇen´ı pak umoˇzn ˇuje zjednoduˇsen´ı vektoru elektrické intenzity E pro vlnu ˇs´ıˇr´ıc´ı se podél osy x na E = E0 e−ikx . (1.4)

9

1.2

ˇ ıˇ S´ ren´ı vlny nad rovinnou a sf´ erickou zem´ı

Nejjednoduˇsˇs´ım pˇr´ıpadem ˇs´ıˇren´ı elektromagnetické vlny, kter´ y se objevuje u pozemn´ıch spoj˚ u, je ˇs´ıˇren´ı nad rovinnou zem´ı na pˇr´ımou viditelnost (LOS Line Of Sight). Pˇr´ımá viditelnost v tomto pˇr´ıpadˇe znamená absenci libovolné pˇrekáˇzky v 1. Fresnelovˇe zónˇe, která je dle [3] definována jako r d1 d2 λ , (1.5) b1 = d1 + d2 kde d1 je vzdálenost vyˇsetˇrovaného m´ısta od vys´ılac´ı antény, d2 je vzdálenost vyˇsetˇrovaného m´ısta od pˇrij´ımac´ı antény a λ je vlnová délka. 1. Fresnelova zóna tak tvoˇr´ı v dvourozmˇerném pˇr´ıpadˇe elipsu s vys´ılac´ı a pˇrij´ımac´ı anténou v ohniskách a délkou spoje rovnou dvojnásobku excentricity. V tomto pˇr´ıpadˇe se ˇs´ıˇren´ı elektromagnetické vlny bl´ıˇz´ı ˇs´ıˇren´ı ve volném prostoru, kde jedin´ ym rozd´ılem je odraz od zemˇe. Pro rovinn´ y povrch bude tato u ´loha ˇreˇsena v 2. kapitole dvoupaprskovou metodou. Mal´ y rozd´ıl pak m˚ uˇze zp˚ usobit i zast´ınˇen´ı vyˇsˇs´ıch Fresnelov´ ych zón. Pro spoje s délkou v ˇra´du des´ıtek kilometr˚ u je nutné zahrnout do u ´vahy vliv zakˇriven´ı Zemˇe. To je moˇzné nˇekolika zp˚ usoby. Jedn´ım je pˇripoˇcten´ı kulového vrchl´ıku mezi vys´ılac´ı a pˇrij´ımac´ı anténou k profilu terénu [3]. Dalˇs´ım je transformace povrchu Zemˇe na rovinnou zemi. Tento zp˚ usob bude bl´ıˇze popsán v následuj´ıc´ıch kapitolách spoleˇcnˇe s vlivem indexu lomu na ˇs´ıˇren´ı elektromagnetické vlny. Vzhledem k zamˇeˇren´ı práce se bude dále objevovat zejména pˇr´ıpad, kdy je 1. Fresnelova zóna zast´ınˇena pˇrekáˇzkou. V takovém pˇr´ıpadˇe se jiˇz v´ yraznˇe projevuj´ı ztráty vlivem difrakce. Tento pˇr´ıpad bude bl´ıˇze popsán v následuj´ıc´ı kapitole.

1.3

Difrakce

Pokud je pˇr´ımá viditelnost mezi vys´ılac´ı a pˇrij´ımac´ı anténou zast´ınˇena pˇrekáˇzkou, pak se signál mezi anténami ˇs´ıˇr´ı pomoc´ı difrakce, kdy je moˇzné komunikovat s anténou, která leˇz´ı v optickém st´ınu za pˇrekáˇzkou. Tento jev je vysvˇetlován Huygensov´ ym principem (viz obr. 1.1). Analytické ˇreˇsen´ı difrakce pro obecn´ y tvar pˇrekáˇzky neexistuje, proto se pouˇz´ıvá ˇrada r˚ uzn´ ych metod jako GTD, UTD, parabolická rovnice a r˚ uzné jiné numerické metody pro ˇreˇsen´ı r˚ uzn´ ych tvar˚ u pˇrekáˇzek. Aby bylo moˇzné porovnávat v´ ysledky ze spoj˚ u s r˚ uznou geometri´ı a r˚ uzn´ ymi frekvencemi, zavád´ı se veliˇcina m´ıra zast´ınˇen´ı ν, která je defi-

10

ˇıˇren´ı vlny za pˇrekáˇzku Obrázek 1.1: S´

nována v [4] jako s 2 1 1 ν=h + , λ d1 d2

(1.6)

kde λ je vlnová délka a veliˇciny h, d1 a d2 jsou patrné z obr. 1.2. Za pˇredpokladu, ˇze plat´ı h d1 resp. d2 je moˇzné napsat rovnici (1.6) s pouˇzit´ım rovnice (1.5) √ h (1.7) ν= 2 . b1 √ Hodnota m´ıry zast´ınˇen´ı pak ukazuje násobek 2 z poˇctu zast´ınˇen´ ych Fresnelov´ ych zón. Záporné znaménko oznaˇcuje pˇrekáˇzku pod pˇr´ımou spojnic´ı vys´ılaˇce a pˇrij´ımaˇce a naopak kladné znaménko oznaˇcuje pˇrekáˇzku, která je nad pˇr´ımou spojnic´ı vys´ılaˇce a pˇrij´ımaˇce. Dodrˇzen´ı v´ yˇse zm´ınˇeného pˇredpokladu, kter´ y vzniká rozd´ılnou definic´ı veliˇcin d1 a d2 v rovnic´ıch (1.5) a (1.6), nen´ı pro pevné spoje s délkou v ˇra´dech kilometr˚ u problém.

11

Obrázek 1.2: Definice parametr˚ u h, d1 a d2 pro v´ ypoˇcet ν

1.4

Refrakce a index lomu

Vzhledem ke zmˇenám hodnot indexu lomu n v prostoru, m˚ uˇze docházet k zakˇrivován´ı trajektorie ˇs´ıˇrené elektromagnetické vlny tzv. refrakci. Index ˇ e lomu je mimo závislosti na poloze v prostoru také závisl´ y na ˇcase. Cast´ zjednoduˇsen´ı je brát v potaz pouze v´ yˇskovou závislost indexu lomu. Toto zjednoduˇsen´ı je pouˇzito i v modelu. Pro lepˇs´ı práci s indexem lomu, jehoˇz bˇeˇzná hodnota v atmosféˇre je velmi bl´ızko hodnotˇe 1 a mˇen´ı se v ˇrádu 10−6 aˇz 10−4 , se zavád´ı veliˇcina refraktivita jako N = (n − 1)106 , (1.8) která je udávána v N-jednotkách. Pˇres znaˇcnou promˇenlivost indexu lomu existuje statisticky v´ yznamn´ y v´ yˇskov´ y profil hodnoty refraktivity, kter´ y plat´ı pro tzv. standardn´ı atmosféru, a je definován v´ yˇskov´ ym gradientem dN = −40N/km, dh

(1.9)

kde h je v´ yˇska na povrchem Zemˇe v kilometrech. Pro tuto hodnotu refraktivity docház´ı k zakˇriven´ı trajektorie vlny vyzáˇrené s elevac´ı bl´ızkou 0 ◦ smˇerem k zemi. Pro tento pˇr´ıpad tzv. standardn´ı refrakce je polomˇer zakˇriven´ı trajektorie vˇetˇs´ı neˇz polomˇer Zemˇe, takˇze se vzdálenost trajektorie od povrchu Zemˇe se vzdálenost´ı od vys´ılac´ı antény zvˇetˇsuje. Pro hodnoty v´ yˇskového prodN filu refraktivity dh < −40N/km je zakˇriven´ı vˇetˇs´ı neˇz u standardn´ı refrakce a analogicky pro dN > −40N/km. dh Jak bylo zm´ınˇeno v kapitole 1.2, tak pro modelován´ı ˇs´ıˇren´ı nad sférickou zem´ı je moˇzné transformovat povrch Zemˇe na rovinn´ y. V tomto pˇr´ıpadˇe je moˇzné pouˇz´ıt modifikovaného indexu lomu m a modifikované refraktivity M

12

k tˇemto u ´ˇcel˚ um. Ty jsou definovány rovnicemi (1.10) a (1.11) m=n+

h , Rz

(1.10)

h 6 10 , (1.11) Rz kde h je v´ yˇska nad povrchem Zemˇe a Rz je polomˇer Zemˇe. Pouˇzit´ım modifikovaného indexu lomu nam´ısto indexu lomu se do v´ ypoˇctu zahrne zakˇriven´ı Zemˇe. To bude pouˇzito dále v modelu predikce difrakˇcn´ıch ztrát. M =N+

13

Kapitola 2 Modely ˇ s´ıˇ ren´ı elektromagnetick´ e vlny pro pozemn´ı spoje Jak jiˇz bylo ˇreˇceno, tak ˇreˇsen´ı predikce difrakˇcn´ıch ztrát na obecné pˇrekáˇzce nen´ı jednoduchá u ´loha a existuje ˇrada zp˚ usob˚ u jak ji ˇreˇsit. R˚ uzná ˇreˇsen´ı jsou k dispozici pro pevné spoje na dlouhou vzdálenost, mˇestskou zástavbu nebo prostˇred´ı uvnitˇr budov. Modely mohou b´ yt empirické, stochastické nebo deterministické, které se kromˇe pˇresnosti modelován´ı daného scénáˇre liˇs´ı mnoˇzstv´ım vstupn´ıch parametr˚ u a v´ ypoˇcetn´ı nároˇcnost´ı. Tato kapitola nebude vˇenována popisu dostupn´ ych zp˚ usob˚ u modelován´ı ˇs´ıˇren´ı elektromagnetické vlny pro r˚ uzné scénáˇre, ale ve zkratce pop´ıˇse metody pouˇzité v této práci. Tedy se omez´ı na metody vhodné pro pevné spoje o délce jednotek aˇz des´ıtek kilometr˚ u.

2.1

Doporuˇ cen´ı ITU-R

Pro ˇreˇsen´ı ˇs´ıˇren´ı elektromagnetické vlny existuje sada doporuˇcen´ı vydávan´ ych ITU-R (International Telecommunication Union - Radiocommunication), která spadaj´ı do odd´ılu P (Radiowave propagation). Zde jsou doporuˇcen´ı tématicky rozdˇeleny do jednotliv´ ych odborn´ ych ˇclánk˚ u a oznaˇceny ˇc´ıslem. ˇ Clánky, které jsou upravovány a rozˇsiˇrovány, jsou volnˇe dostupné na internetov´ ych stránkách organizace ITU (www.itu.int). Zásadn´ım doporuˇcen´ım pro odhad difrakˇcn´ıch ztrát je ITU-R P.526 (Propagation by diffraction) [4], které se vˇenuje difrakci na r˚ uzn´ ych typech pˇrekáˇzek vˇcetnˇe v´ıcenásobné difrakce. Zde je popsána difrakce na noˇzové pˇrekáˇzce (knife-edge), která hraje v´ yznamnou roli pro odhad difrakˇcn´ıch 14

ztrát a bude v kapitole 4 pouˇzita pro porovnán´ı simulovan´ ych a namˇeˇren´ ych kˇrivek difrakˇcn´ıch ztrát. Noˇzovou pˇrekáˇzku je zde tˇreba chápat jako nekoneˇcnˇe tenkou polorovinu, která je orientována kolmo ke smˇeru ˇs´ıˇren´ı vlny. Pro v´ ypoˇcet kˇrivky se pak pouˇz´ıvá vztahu

J(ν) = −20 log

! p [1 − C(ν) − S(ν)]2 + [C(ν) − S(ν)]2 , 2

(2.1)

kde J(ν) jsou difrakˇcn´ı ztráty jako funkce m´ıry zast´ınˇen´ı ν, C(ν) a S(ν) jsou reálnou a imaginárn´ı ˇca´st´ı Fresnelova integrálu, kter´ y je moˇzno ˇreˇsit numerickou integrac´ı Zν Fc (ν) =

2 πs exp i ds = C(ν) + iS(ν), 2

(2.2)

0

kde

Zν C(ν) =

cos

πs2 2

ds

(2.3)

ds.

(2.4)

0

a

Zν S(ν) =

sin

πs2 2

0

Jednoduˇsˇs´ım ˇreˇsen´ım je aproximace rovnice (2.1) vztahem p (ν − 0, 1)2 + 1 + ν − 0, 1 , J(ν) = 6, 9 + 20 log

(2.5)

kter´ y je platn´ y pro ν > −0, 78. Obˇe kˇrivky z rovnic (2.1) a (2.5) jsou znázornˇeny na obr. 2.1. Graf na obr. 2.1 má obrácenou osu x z d˚ uvodu jednotnosti zobrazen´ı s literaturou napˇr. [3] nebo [4]. Dále v textu bude stejná kˇrivka zobrazována s klasickou osou x pro lepˇs´ı ˇcitelnost v´ ysledk˚ u. Zároveˇ n kˇrivka z rovnice (2.5) nemá pro ν < −0, 78 hodnoty difrakˇcn´ıch ztrát 0dB. Tato u ´prava znázornˇená v grafu lépe vystihuje skuteˇcné chován´ı difrakˇcn´ıch ztrát. Dále se v textu objevuje kˇrivka difrakˇcn´ıch ztrát zp˚ usoben´ ych sférick´ ym povrchem Zemˇe také z doporuˇcen´ı ITU-R P.526. Jej´ı v´ ypoˇcet je o poznán´ı delˇs´ı neˇz u noˇzové pˇrekáˇzky. Vzhledem k tomu a zároveˇ n vzhledem ke snadné dostupnosti doporuˇcen´ı ITU-R P.526, kde je srozumitelnˇe podán, zde tento v´ ypoˇcet nebude uveden. 15

Obrázek 2.1: Difrakˇcn´ı ztráty na noˇzové pˇrekáˇzce

2.2

Dvoupaprskov´ a metoda

Dvoupaprsková metoda (2-ray) je zjednoduˇsené ˇreˇsen´ı ˇs´ıˇren´ı elektromagnetické vlny nad rovinnou zem´ı. Principem je geometrická pˇredstava ˇs´ıˇren´ı paprsku od vys´ılac´ı antény k pˇrij´ımac´ı anténˇe dvˇema cestami, jak je ukázáno na obr. 2.2. Rozd´ılnost délky drah pˇr´ımého a odraˇzeného paprsku pak zp˚ usobuje fázov´ y posun v m´ıstˇe antény, kde se dopadaj´ıc´ı paprsky sˇc´ıtaj´ı. T´ım vzniká navlnˇen´ y“ pr˚ ubˇeh difrakˇcn´ı ztrát v závislosti na délce spoje d a v´ yˇsce ” pˇrij´ımac´ı antény hRx . Amplituda intenzity elektrického pole v m´ıstˇe pˇrij´ımac´ı antény je dle [2] dána vztahem −iks1 e e−iks2 u=A +ρ , (2.6) s1 s2 kde A je normovac´ı konstanta, k je vlnové ˇc´ıslo, ρ je koeficient odrazu od

16

zemˇe a s1 a s2 jsou délky pˇr´ımého a odraˇzeného paprsku definované p s1 = d2 + (hT x − hRx )2 s2 =

p d2 + (hT x + hRx )2 ,

(2.7) (2.8)

kde d je délka spoje, hT x je v´ yˇska vys´ılac´ı antény a hRx je v´ yˇska pˇrij´ımac´ı antény. Této metody bude dále pouˇzito pˇri nastavován´ı zdroje v modelu parabolické rovnice.

Obrázek 2.2: Schéma dvouparskové metody

2.3

Parabolick´ a rovnice

ˇ sen´ım parabolické rovnice, která vycház´ı z vlnové rovnice a je aproximac´ı Reˇ Helmholtzovy rovnice, je moˇzné efektivnˇe ˇreˇsit u ´lohu ˇs´ıˇren´ı elektromagnetické vlny. Náznak odvozen´ı a ˇreˇsen´ı je souˇcást´ı kapitoly 3. Metoda byla objevena uˇz ve 40. letech 20. stolet´ı, ale znaˇcná nároˇcnost numerického ˇreˇsen´ı neumoˇznila jej´ı plné vyuˇzit´ı. Od konce 90. let uˇz v´ ypoˇcetn´ı v´ ykon nen´ı problém a metoda se stala sofistikovan´ ym nástrojem pro predikci ˇs´ıˇren´ı elektromagnetick´ ych vln v troposféˇre. Pro ˇreˇsen´ı parabolické rovnice se pouˇz´ıvá bud’ metoda koneˇcn´ ych diferenc´ı nebo metoda split-step, která je v´ıce popsána dále. Metoda koneˇcn´ ych diferenc´ı (FDM - Finite Diference Method) pouˇz´ıvá k ˇreˇsen´ı parabolické rovnice aproximaci parciáln´ıch derivac´ı diferencemi ∂u u(x + ∆x, z) − u(x, z) ≈ , ∂x ∆x 17

(2.9)

kde x a z jsou souˇradnice polohy v modelovaném prostoru a ∆x je velikost kroku v ose x. Nev´ yhodou implementace parabolické rovnice metodou koneˇcn´ ych diferenc´ı oproti metodˇe split-step je vyˇsˇs´ı v´ ypoˇcetn´ı nároˇcnost a s t´ım spojen´ y v´ ypoˇcetn´ı ˇcas (viz [2]). Nároˇcnost implementace a nutnost správného nastaven´ı mnoha vstupn´ıch parametr˚ u u obou metod je vykoupena moˇznost´ı zahrnout do modelu ˇradu vliv˚ u jako je refraktivita, sférick´ y povrch zemˇe nebo terénn´ı profil prakticky libovolného tvaru.

2.4

Jin´ e modely - Bullington, Deygout

Z dalˇs´ıch metod, které jsou pouˇz´ıvané pro predikci difrakˇcn´ıch ztrát, je moˇzné uvést Bullingtonovu metodu, která je také souˇcást´ı posledn´ıho vydán´ı doporuˇcen´ı ITU-R P.526-13 [4]. V´ ypoˇcet je zaloˇzen na znalosti v´ yˇskového profilu na dané trase. Bez ohledu na poˇcet pˇrekáˇzek nebo jejich tvar jsou pak vytvoˇreny teˇcny z m´ıst vys´ılac´ı a pˇrij´ımac´ı antény k terénu (viz obr. 2.3). Pr˚ useˇc´ık pak urˇcuje vrchol noˇzové pˇrekáˇzky, která nahrad´ı terénn´ı profil trasy. Fináln´ı v´ ypoˇcet je shodn´ y s ˇreˇsen´ım difrakce na noˇzové pˇrekáˇzce za pouˇzit´ı rovnice (2.1) nebo (2.5).

Obrázek 2.3: Aproximace terénn´ıho profilu - Bullingtonova metoda

18

V doporuˇcen´ı ITU-R P.526-13 je tato metoda souˇca´st´ı metody pro urˇcen´ı difrakˇcn´ıch ztrát na obecném spoji (Method for a general terrestrial path). Ta se skládá ze dvou ˇca´st´ı, kde prvn´ı byla popsána v´ yˇse jako Bullingtonova metoda a druhá zahrnuje do modelu vliv zakˇriven´ı zemˇe. V doporuˇcen´ı se uvád´ı, ˇze metoda je urˇcena pro automatické zpracován´ı, kde na vstupu v´ ypoˇcetn´ıho algoritmu jsou data popisuj´ıc´ı terén mezi vys´ılaˇcem a pˇrij´ımaˇcem a na v´ ystupu jsou difrakˇcn´ı ztráty. Tato metoda ze své podstaty nem˚ uˇze dosahovat stabilnˇe pˇresnosti modelován´ı parabolickou rovnic´ı. Vzhledem k jednoduchosti implementace a minimu vstupn´ıch parametr˚ u je vhodná sp´ıˇse pro rychl´ y odhad difrakˇcn´ıch ztrát na daném spoji. Velmi rozˇs´ıˇrená je i Deygoutova metoda pro odhad difrakˇcn´ıch ztrát jedné a v´ıce pˇrekáˇzek. Metoda zaloˇzena na Deygoutovˇe zp˚ usobu odhadu difrakˇcn´ıch ztrát byla do verze P.526-12, která byla vydána v u ńoru 2012, souˇca´st´ı doporuˇcen´ı ITU-R. Princip metody je v nahrazen´ı vrcholu s nejvyˇsˇs´ı m´ırou zast´ınˇen´ı ν spojnice vys´ılaˇc-pˇrij´ımaˇc a jeho nahrazen´ı noˇzovou pˇrekáˇzkou. V pˇr´ıpadˇe na obr. 2.4 je to vrchol A. Dále pokud je nˇekterá ze spojnic vys´ılaˇc-vrchol A nebo pˇrij´ımaˇc-vrchol A zast´ınˇena dalˇs´ım vrcholem, situace se opakuje. Tento postup se dá aplikovat pro ˇradu menˇs´ıch vrchol˚ u v okol´ı hlavn´ıho vrcholu. Celá metoda je podrobnˇe popsána v [18].

Obrázek 2.4: Princip Deygoutovy metody

19

Kapitola 3 Parabolick´ a rovnice - model 3.1

Z´ akladn´ı odvozen´ı

Parabolická rovnice je speciáln´ım pˇr´ıpadem parciáln´ı diferenciáln´ı rovnice 2.ˇrádu, tedy diferenciáln´ı rovnice s neznámou funkc´ı dvou a v´ıce promˇenn´ ych obsahuj´ıc´ı derivace aˇz 2. ˇrádu. Obecnˇe je moˇzné ji zapsat ve tvaru ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u ∂ 2u +C 2 +D +E + F u + G = 0, A 2 +B ∂x ∂xy ∂y ∂x ∂y

(3.1)

kde A, B, C, D, E, F a G jsou konstanty. Rovnice (3.1) se naz´ yvá parabolická tehdy, pokud plat´ı, ˇze konstanty B 2 − 4AC = 0. Dále bude pouˇzita pouze parabolická rovnice popisuj´ıc´ı dvourozmˇerné elektromagnetické pole v Kartézsk´ ych souˇradnic´ıch [1] tzv. Helmholtzova rovnice ∂ 2ψ ∂ 2ψ + 2 + k 2 n2 ψ = 0, (3.2) 2 ∂x ∂z kde ψ(x, z) reprezentuje nenulovou skalárn´ı sloˇzku elektromagnetického pole Ey (x, z) resp. Hy (x, z) pro horizontáln´ı resp. vertikáln´ı polarizaci, k je vlnové ˇc´ıslo a n je index lomu, kter´ y je obecnˇe komplexn´ı a mˇen´ı se s ˇcasem i polohou. Zároveˇ n se pˇredpokládá ˇs´ıˇren´ı vlny podél osy x, kterou lze chápat jako rovinnou aproximaci 1 povrchu Zemˇe. D´ıky tomu je moˇzné zavést promˇennou u, která má v´ yznam amplitudy vlny u(x, z) = e−ikx ψ(x, z). 1

(3.3)

Pro jednoduchost se zde pˇredpokládá rovinn´ y povrch Zemˇe. V kapitole 1.4 bylo uk´ az´ ano jak s pomoc´ı modifikovaného indexu lomu transformovat sférick´ y povrch zemˇe na rovinn´ y. Tento zp˚ usob je aplikován v implementaci parabolické rovnice (viz Pˇr´ılohy).

20

Dosazen´ım do rovnice (3.3) z´ıskáme skalárn´ı vlnovou rovnici promˇenné u ∂ 2u ∂u ∂ 2 u + + 2ik + k 2 (n2 − 1)u = 0. ∂x2 ∂x ∂z 2

(3.4)

Tato rovnice popisuje vlnu ˇs´ıˇr´ıc´ı se obˇema smˇery podél osy x. Omezen´ım na vlnu ˇs´ıˇr´ıc´ı se pouze v kladném smˇeru osy x a rozvojem nˇekter´ ych ˇca´st´ı do Taylorova polynomu 1. ˇra´du (viz napˇr. [1], [2], [5]) lze z´ıskat standardn´ı parabolickou rovnici 2 1 ∂ u ∂u 2 2 = + k (n − 1)u , (3.5) ∂x 2ik ∂z 2 která je pro promˇennou x diferenciáln´ı rovnic´ı 1. ˇra´du. Pro znám´ y poˇca´teˇcn´ı vektor u(x0 , z) je moˇzné z´ıskat ˇreˇsen´ı rovnice (3.5) v omezeném prostoru, kdy lze z vektoru u(x0 , z) vˇzdy vypoˇc´ıtat následuj´ıc´ı vektor u(x0 + ∆x, z) s krokem ∆x.

Obrázek 3.1: Chyba parabolické rovnice pro r˚ uzné u ´hly ˇs´ıˇren´ı θ

21

Aproximace provedené pro z´ıskán´ı rovnice (3.5) maj´ı za následek chybu závislou na u ´hlu ˇs´ıˇren´ı vlny θ [2],[5] sin2 θ . e = 1 − cos θ − 2

(3.6)

Chyba zp˚ usobená aproximac´ı je pro malé u ´hly ˇs´ıˇren´ı zanedbatelná, jak je vidˇet z obr. 3.1. Pro troposférické spoje na dlouhé vzdálenosti, které se ˇs´ıˇr´ı pˇri povrchu Zemˇe, nezp˚ usob´ı chyba ˇzádné v´ yrazné omezen´ı. Pro u ´hel ˇs´ıˇren´ı ◦ 90 je jiˇz chyba kolem 50%. Je tedy nutné zváˇzit praktiˇcnost této metody pro kratˇs´ı spoje. Existuje i ˇreˇsen´ı parabolické rovnice, které má zanedbatelnou chybu i pro vysoké u ´hly ˇs´ıˇren´ı θ. To ale nen´ı souˇcást´ı této práce.

3.2

Metoda split-step

Metoda split-step je jedn´ım z moˇzn´ ych ˇreˇsen´ı rovnice (3.5) a byla pouˇzita pro model vytvoˇren´ y v prostˇred´ı Matlab. Kromˇe metody split-step je moˇzné se setkat s ˇreˇsen´ım rovnice (3.5) metodou koneˇcn´ ych diferenc´ı zaloˇzenou na nahrazen´ı parciáln´ıch derivac´ı diferencemi. Na rozd´ıl od toho metoda splitstep vyuˇz´ıvá k ˇreˇsen´ı parciáln´ı diferenciáln´ı rovnice pˇrevod pomoc´ı Fourierovy transformace do u ´hlové oblasti. V té se rovnice vyˇreˇs´ı a pˇrevede se inverzn´ı Fourierovou transformac´ı zpˇet do v´ yˇskové oblasti. Pro promˇennou u(x, z) bude dále Fourierova transformace definována jako Z ∞ F{u(x, z)} = u(x, z)e−ipz dz, (3.7) −∞

tedy pro pˇr´ıpad, kdy x je konstantn´ı. Dále je také nutné uvaˇzovat index lomu n(x, z) jako nezávisl´ y na vzdálenosti x. Pouˇzit´ım Fourierovy transformace na rovnici (3.5) lze pak z´ıskat ik 2 i 2 ∂U = (n − 1) − p U, (3.8) ∂x 2 2k coˇz je parciáln´ı diferenciáln´ı rovnice, která má ˇreˇsen´ı [10] U (x, p) = e

ik(n2 −1)x 2

e

−ip2 x 2k

(3.9)

Pˇri aplikaci v algoritmu numerického modelu je vhodné vyjádˇrit v´ ypoˇcet elektromagnetického pole ve vzdálenosti ∆x od pole vypoˇcteného rovnic´ı (3.9). U (x + ∆x, p) = U (x, p)e 22

ik(n2 −1)∆x 2

e

−ip2 ∆x 2k

(3.10)

Pro návrat do v´ yˇskové oblasti se pouˇzije inverzn´ı Fourierova transformace a v´ ysledná rovnice je hledan´ y vztah. T´ım je moˇzné z poˇca´teˇcn´ıho L-prvkového vektoru amplitud u(x0 , z) ve v´ yˇskách z0 , z0 +∆z, . . . , z0 +(L−1)∆z vypoˇc´ıtat vektor u(x0 + ∆x, z) a s krokem ∆x zmapovat celou poˇzadovanou oblast. Ta pochopitelnˇe z d˚ uvodu konvergence doby trván´ı v´ ypoˇctu mus´ı b´ yt omezená jak v ose z tak v ose x. ik(n2 −1)∆x −ip2 ∆x −1 2 2k F e F{u(x, z)} (3.11) u(x + ∆x, z) = e

3.3

Z´ akladn´ı algoritmus

V následuj´ıc´ı kapitole bude popsán zp˚ usob implementace v´ yˇse popsané metody split-step v prostˇred´ı programu Matlab. Kód bude popisován nikoliv ˇra´dek po ˇra´dku jak je napsán, ale chronologicky po ˇcástech jak vznikal. Cel´ y funkˇcn´ı kód a pomocné pouˇzité funkce jsou uvedeny v pˇr´ıloze práce. Základem celého kódu je algoritmus zaloˇzen´ y na rovnici (3.11). Zde je jedin´ ym zásadn´ım rozd´ılem pouˇzit´ı sinovy Fourierovy transformace nam´ısto klasické Fourierovy transformace. 2 ik(n2 −1)∆x −iπ 2 p2 ∆x −1 2 2k S S{u(x, z)} (3.12) e u(x + ∆x, z) = e Vzhledem k numerické povaze v´ ypoˇct˚ u je nutné v kódu pouˇz´ıt diskrétn´ı sinovu Fourierovu transformaci (DST) L X

pz U (x0 , p) = S {u(x0 , z)} (p) = u(x0 , z) sin π L+1 z=1

(3.13)

pro p = 1, ..., L a inverzn´ı diskrétn´ı Fourierovu transformaci (IDST) u(x0 , z) = S

−1

L 2 X pz {U (x0 , p)} = U (x0 , p) sin π L + 1 p=1 L+1

(3.14)

pro z = 1, ..., L, které obsahuj´ı na rozd´ıl od diskrétn´ı Fourierovy transformace (DFT) pouze reálné koeficienty shodné s imaginárn´ımi koeficienty DST. Funkce DST ani IDST nejsou v základn´ı sadˇe funkc´ı pro Matlab R2012b. Do prostˇred´ı Matlab je moˇzné ji pˇridat jako souˇcást Partial Differential 2

Rozd´ılné exponenty u druhé exponenciály rovnice (3.12) a implementovaného kódu vznikly d´ıky odliˇsnému zp˚ usobu v´ ypoˇctu hodnot promˇenné p. Jde pouze o odliˇsnost form´ aln´ıho z´ apisu, kter´ a nem´ a ˇz´ adn´ y vliv na funkci v´ ypoˇcetn´ıho algoritmu.

23

Equation Toolbox vydávan´ ych pˇr´ımo spoleˇcnost´ı MathWorks, nebo je moˇzné sehnat pouze jednotlivé implementace funkc´ı DST a IDST. V´ yslednou matici amplitud intenzity elektromagnetického pole o L ˇra´dc´ıch a K + 1 sloupc´ıch lze z´ıskat cyklick´ ym opakován´ım v´ ypoˇctu rovnice (3.12). Z poˇcáteˇcn´ı podm´ınky u(0, z) se v sérii K krok˚ u dostane algoritmus do vzdálenosti xmax = K∆x, coˇz odpov´ıdá sloupci u(xmax , z). Poˇcet bod˚ u v obou osách, kter´ y je velmi u ´zce spjat s krokem ∆x a ∆z, je zásadn´ı pro pˇresné modelován´ı a mus´ı b´ yt vhodnˇe zvolen kompromisem mezi v´ ypoˇcetn´ı dobou a pˇresnost´ı modelu. V literatuˇre (napˇr. [1], [5], [11]) je moˇzné se setkat s r˚ uzn´ ymi doporuˇcen´ımi na volbu parametr˚ u ∆x a ∆z. V modelu byla striktnˇe dodrˇzena podm´ınka z [1] ∆z ≤

λ , 2 sin θmax

(3.15)

kde θmax je zvolen´ y u ´hel ˇs´ıˇren´ı, kter´ y, jak bylo zm´ınˇeno dˇr´ıve, zanáˇs´ı do v´ ypoˇctu také chybu.

Obrázek 3.2: Model s vlivem zakˇriven´ı Zemˇe a indexu lomu

24

S promˇennou z je u ´zce svázána promˇenná p, která ji nahrazuje pˇri pˇrechodu do u ´hlové oblasti. Podm´ınka (3.15) se tedy do jisté m´ıry vztahuje i na ∆p. V kódu je pak dodrˇzen´ı této podm´ınky zaruˇceno posloupnost´ı v´ ypoˇct˚ u 2π sin θmax (3.16) pmax = λ ∆z = L=

π pmax zmax ∆z

(3.17) (3.18)

pmax (3.19) L kde maximáln´ı v´ yˇska zmax se zvol´ı s ohledem na geometrii modelovaného spoje. Zpravidla se jedná o des´ıtky aˇz stovky metr˚ u. ∆p =

Obrázek 3.3: V´ yˇsková závislost refraktivity z modelu na obr. 3.2

25

Volba ∆x uˇz nen´ı tak kritická jako v pˇr´ıpadˇe ∆z. V´ yznam parametru ∆x radikálnˇe vzroste aˇz pˇri modelován´ı sloˇzitˇejˇs´ıch tvar˚ u pˇrekáˇzek, jak bude zm´ınˇeno pozdˇeji v kapitole Modelován´ı terénu. V kapitole 1.4 byla uvedena transformace na rovinnou zem pouˇzit´ım modifikovaného indexu lomu m. Zároveˇ n je moˇzné vloˇzit do modelu mapu indexu lomu resp. modifikovaného indexu lomu pro pˇresnˇejˇs´ı odhad. Vˇetˇsinou je vˇsak známa pouze v´ yˇsková závislost indexu lomu, která je v tomto pˇr´ıpadˇe vektorem o L prvc´ıch s hodnotami n resp. m. Ty jsou dosazeny do rovnice (3.12). V´ ysledn´ y model s v´ yˇskovou závislost´ı refraktivity z obr. 3.3 je na obr. 3.2. Zde je dobˇre patrn´ y vliv zakˇriven´ı Zemˇe.

3.4

Okrajov´ e podm´ınky

Pˇrestoˇze je model z velké ˇca´sti urˇcen rovnic´ı (3.11) je nutné omezit modelovan´ y prostor a definovat chován´ı vlny, která dopadá na vytyˇcenou hranici. Proto je nutné definovat okrajové podm´ınky. V tomto pˇr´ıpadˇe, kdy se vlna ˇs´ıˇr´ı pouze jedn´ım smˇerem podél osy x a obˇema smˇery podél osy z, jsou hlavn´ım problémem horn´ı a spodn´ı okraj, v kterém je pole modelováno, resp. v´ yˇsky zmin a zmax . V ose x ˇrada problém˚ u odpadá d´ıky ˇs´ıˇren´ı vlny pouze v kladném smˇeru osy x. Jedno z moˇzn´ ych nastaven´ı spodn´ı okrajové podm´ınky je uvedeno v [1], kdy je v rovnici (3.11) pouˇzita sinova Fourierova transformace nam´ısto klasické Fourierovi tranformace, ˇc´ımˇz vznikne rovnice (3.12). To jiˇz bylo uvedeno v pˇredchoz´ı kapitole. Zde je tˇreba doplnit, ˇze v rovnici (3.12) je nav´ıc implementována Dirichletova okrajová podm´ınka u(x, 0) = 0;

x≥0

(3.20)

a Sommerfeldova vyzaˇrovac´ı podm´ınka [9]. T´ım je do modelu pˇridána dokonale vodivá rovina vymezuj´ıc´ı doln´ı hranici modelovaného prostoru, neboli dokonale vodivá zem ve v´ yˇsce z = 0. Protoˇze model vznikl za u ´ˇcelem srovnán´ı simulovan´ ych v´ ysledk˚ u s namˇeˇren´ ymi hodnotami je nutné zm´ınit, ˇze povrch Zemˇe obecnˇe nen´ı moˇzné povaˇzovat za dokonale vodiv´ y. Elektrické vlastnosti povrchu Zemˇe jsou dány zejména permitivitou ε, permeabilitou µ a vodivost´ı σ. Dle doporuˇcen´ı ITU-R P.527 [12] je moˇzné pro vˇetˇsinu aplikac´ı povaˇzovat hodnotu permeability µ rovnou permeabilitˇe vakua µ0 . V tomto doporuˇcen´ı jsou také uvedeny grafy zobrazuj´ıc´ı pr˚ ubˇehy σ a ε pro r˚ uzné frekvence a typy povrch˚ u, kde je moˇzné odeˇc´ıst elektrické vlastnosti pro dan´ y typ povrchu a uˇzitou frekvenci. Pro dlouhé spoje je moˇzné odeˇc´ıst potˇrebná data z vodivostn´ıch map povrchu Zemˇe v doporuˇcen´ı ITU-R P.832 [13]. Mimo vodivostn´ıch map svˇetad´ıl˚ u, jsou zde i mapy jednotliv´ ych 26

zem´ı. Bohuˇzel v aktuáln´ı verzi doporuˇcen´ı P.832-3 z u ńora roku 2012 zat´ım ˇ e republiky. chyb´ı vodivostn´ı mapa povrchu Cesk´ Pˇresto, jak ukázalo uskuteˇcnˇené mˇeˇren´ı nˇekolika mikrovlnn´ ych spoj˚ u v rozliˇcn´ ych terénech popsané v [6], které bylo následnˇe srovnáno s modely vytvoˇren´ ymi parabolickou rovnic´ı na katedˇre elektromagnetického pole ˇ CVUT v Praze, je v´ yˇse uvedené zjednoduˇsen´ı vodivosti povrchu zemˇe na ideáln´ı vodiˇc dostateˇcnˇe pˇresné pro vytvoˇren´ı funkˇcn´ıho modelu. Poˇzadavek na okrajovou podm´ınku horn´ıho okraje modelované oblasti je nulov´ y odraz od hranice modelu, která je um´ıstˇena v koneˇcné v´ yˇsce zmax . Zde je zˇrejmé, ˇze pro modelován´ı venkovn´ıho pevného spoje je zcela neˇzádouc´ı z´ıskávat libovoln´ y pˇr´ıspˇevek v´ ysledného pole odraˇzen´ım od horn´ıho okraje modelované oblasti. Implementovan´ y algoritmus je zaloˇzen na pˇridán´ı absorpˇcn´ı vrstvy nad modelovanou oblast. Postupn´ ym filtrován´ım resp. tlumen´ım ˇs´ıˇreného elektromagnetického pole se zamezuje odraz˚ uv od horn´ıho okraje modelované oblasti zupperbound > zmax . Zde je nutné, aby u ´tlumová kˇrivka byla bez rychl´ ych zmˇen, na kter´ ych by docházelo k neˇzádouc´ım odraz˚ um. V [1] je doporuˇceno pouˇzit´ı Hannova okna φ(t) =

1 + cos(πt) 2

pro

t=

z − zmax zupperbound − zmax

(3.21)

Obdobn´ y pˇr´ıstup je uveden v [2], kde je pro v´ yˇsku z > zmax pˇridána k indexu lomu n(x, z) imaginárn´ı ˇca´st, která tlum´ı ˇs´ıˇr´ıc´ı se vlnu. Poˇcáteˇcn´ı podm´ınka pro u(0, z) je podrobnˇeji popsána v kapitole Modelován´ı zdroje a koncová podm´ınka pro u(xmax , z) je vyˇreˇsena jednosmˇern´ ym ˇs´ıˇren´ım vlny.

3.5

Modelov´ an´ı zdroje

Vzhledem k charakteru v´ ypoˇctu modelovaného pole metodou split-step je zˇrejmé, ˇze ke správné funkci algoritmu je nutné správnˇe nastavit poˇca´teˇcn´ı podm´ınku u(0, z). Ta je v tomto pˇr´ıpadˇe vektorem o L prvc´ıch ve vzdálenosti x = 0. Zdroj je dále popsán svou v´ yˇskou hT x , elevac´ı antény θ0 a ˇs´ıˇrkou hlavn´ıho svazku BW . Vektor u(0, z) je pak pro Gaussovu vyzaˇrovac´ı charakteristiku bez zpˇetn´ ych lalok˚ u dán vztahem BW 2

u(0, z) = Ge−ikθ0 e− 8 log 2 k

2 (z−h ) t

,

(3.22)

kde G je normovac´ı koeficient. V literatuˇre ([5], [11]) je také moˇzné setkat se s vytváˇren´ım vyzaˇrovac´ı charakteristiky antény ve frekvenˇcn´ı oblasti a následn´ y pˇrechod zpˇet do oblasti ˇcasové. 27

Obrázek 3.4: Ukázka nastaven´ı zdroje modelu parabolické rovnice dvoupaprskovou metodou

Pˇri praktické aplikaci vztahu (3.22) v modelu vyvstává nˇekolik u ´skal´ı. Pro pevné spoje na dlouhé vzdálenosti je potˇreba správnˇe volit ˇs´ıˇrku svazku. Zpravidla pokud je pˇr´ıliˇs velká, zvˇetˇsuj´ı se v´ ypoˇcetn´ı nároky d´ıky vˇetˇs´ımu mnoˇzstv´ı energie vyzaˇrovaného do absorpˇcn´ı vrstvy. Ta mus´ı b´ yt ˇsirˇs´ı a to se projev´ı v kaˇzdém cyklu v´ ypoˇctu. Pokud je u ´hel ˇs´ıˇren´ı θ menˇs´ı neˇz ˇs´ıˇrka hlavn´ıho paprsku BW , docház´ı ke z´ uˇzen´ı vyzaˇrovaného kuˇzelu (ve 2D sp´ıˇse troj´ uheln´ıku) na u ´hel θ. V tu chv´ıli je rozd´ıl intenzit elektrického pole vyzaˇrovac´ı charakteristiky < 3dB a pro θ << BW je vyzaˇrované pole v tomto v´ yseku témˇeˇr shodné s polem izotropn´ıho záˇriˇce. Standardn´ı volba pro dlouhé spoje je ale zpravidla θ > BW . Nejvˇetˇs´ım u ´skal´ım je volba normovac´ıho koeficientu G. Zde je tˇreba vyuˇz´ıt nˇekter´ y z dobˇre popsan´ ych analytick´ ych model˚ u a nastavit normovac´ı koeficient G tak, aby se ˇreˇsen´ı pomoc´ı parabolické rovnice shodovalo s analy28

tick´ ym ˇreˇsen´ım. Existuje ˇrada moˇznost´ı jak koeficient G nastavit. Jednou ze základn´ıch je pomoc´ı dvoupaprskového (2-ray) modelu. Dvouparsková metoda byla popsána v kapitole 2.2 a za dodrˇzen´ı urˇcit´ ych podm´ınek je moˇzné pouˇz´ıt ji k nastaven´ı zdroje v modelu parabolické rovnice. Je nutné, aby se v modelu s parabolickou rovnic´ı neprojevovalo zakˇriven´ı zemˇe a zároveˇ n se neprojevoval vliv refraktivity N . To lze jednoduˇse udˇelat zvolen´ım indexu lomu n = 1 pro celou modelovanou oblast. Nastaven´ı zdroje modelu parabolické rovnice se provád´ı zmˇenou koeficientu G dokud nejsou v´ ysledky obou metod srovnatelné. To je ukázáno na obr. 3.4, kde je vynesena intenzita elektrického pole E ku intenzitˇe elektrického pole pro voln´ y prostor E0 v logaritmické m´ıˇre. Na ose x je pak vynesena v´ yˇska pˇrij´ımac´ı antény v metrech. V´ yˇska vys´ılac´ı antény je 30m a frekvence 7GHz. Vzhledem k diskrétn´ımu ˇreˇsen´ı obou metod odhadu difrakˇcn´ıch ztrát jsou viditelné minimáln´ı odchylky, které nemaj´ı pro pˇresnost nastaven´ı ˇzádn´ y v´ yznam. Implementace dvoupaprskové metody do prostˇred´ı Matlab je uvedena v Pˇr´ıloze. Zároveˇ n jsou tato a nˇekteré dalˇs´ı metody nastaven´ı zdroje bl´ıˇze popsány v literatuˇre napˇr. [7].

Obrázek 3.5: Model parabolické rovnice pro nastaven´ı zdroje

29

Rozloˇzen´ı intenzity elektromagnetického pole E v logaritmické m´ıˇre je uvedeno na obr. 3.5. Zde je patrn´ y typick´ y vzor stˇr´ıdaj´ıc´ıch se maxim a ostr´ ych minim v závislosti na v´ yˇsce nad zem´ı. Ta vznikaj´ı sˇc´ıtán´ım sloˇzek pˇr´ım´ ych a odraˇzen´ ych od zemˇe, které vlivem rozd´ılné délky dráhy ˇs´ıˇren´ı maj´ı rozd´ılnou fázi.

3.6

Modelov´ an´ı ter´ enu

Posledn´ım krokem pˇri vytváˇren´ı modelu je pˇridán´ı reliéfu terénu. Opˇet je v literatuˇre nab´ızena ˇrada moˇznost´ı jak model terénu vytvoˇrit [1], [2], [14]. Zvolená metoda je z pohledu implementace jednoduchá, ale pro správnˇe zvolen´ y krok ∆x je plnˇe funkˇcn´ı. V´ yraznou v´ yhodou modelován´ı terénu v modelu parabolické rovnice na rozd´ıl od aproximace terénu r˚ uzn´ ymi tvary [3], [4], [18] je moˇznost volby parametr˚ u atmosféry, které ve zjednoduˇsen´ ych modelech nejsou zahrnuty.

Obrázek 3.6: Schéma v´ ypoˇctu pro pˇrekonán´ı terénn´ı pˇrekáˇzky Zvolená tzv. schodiˇst’ová metoda modelován´ı terénu je zaloˇzena na zjednoduˇsen´ı reliéfu terénu na obdéln´ıky o ˇs´ıˇrce ∆x a v´ yˇsce l∆z pro l = 0, 1, 2, ..., L. Pro vektor t(xK ); xK = 1, 2, ..., K, kter´ y symbolizuje v´ yˇsku pˇrekáˇzky ve vzdálenosti xK ∆x, se implementace samotná nezbytnˇe dˇel´ı podle toho, zda následuj´ıc´ı terénn´ı segment je vyˇsˇs´ı neˇz ten pˇredchoz´ı t(x0 ) < t(x0 + ∆x) nebo niˇzˇs´ı neˇz ten pˇredchoz´ı t(x0 ) > t(x0 + ∆x). Pokud je segment stejnˇe vysok´ y jako ten pˇredchoz´ı t(x0 ) = t(x0 + ∆x), pro v´ ypoˇcet dalˇs´ıho cyklu se nic nemˇen´ı.

30

Pokud plat´ı t(x1 ) < t(x1 + ∆x), pak se pro v´ ypoˇcet vektoru u(x1 , z) nic nemˇen´ı. Dalˇs´ı krok u(x1 + ∆x, z) je poˇc´ıtán ze zkráceného vektoru u(x1 , z) pro z > t(x1 ), kter´ y je doplnˇen shora nulami. Situace je znázornˇena graficky na obr. 3.6. V opaˇcném pˇr´ıpadˇe, kdy plat´ı t(x2 ) > t(x2 + ∆x), je zkrácen´ y vektor u(x2 , z) pro z > t(x2 ) ale shora doplnˇen´ y na délku L zkrácen znovu u(x2 , z) pro z > 0 a pro v´ yˇsky z ≤ t(x2 ) je doplnˇen odspodu nulami. Situace je opˇet zjednoduˇsenˇe znázornˇena na obrázku 3.6. Veˇskeré hodnoty u(x, z) pro ∀x a z > zmax jsou pak zahozeny a m´ısta, kde t(x) > 0, jsou vyplnˇena nulami do v´ yˇsky terénu z = ∆zt(x).

3.7

Pˇ resnost modelov´ an´ı

V této kapitole budou zm´ınˇeny nˇekteré moˇzné chyby, které vznikaj´ı zejména zjednoduˇsován´ım Helmholtzovy rovnice (3.2) a diskretizac´ı, které umoˇzn ˇuj´ı numerické ˇreˇsen´ı parabolické rovnice. Hned na u ´vod je potˇreba poˇc´ıtat s t´ım, ˇze tento model je definován pouze ve dvou prostorov´ ych osách a tedy modeluje pouze zvolen´ y ˇrez terénem. Zároveˇ n bylo zanedbáno zpˇetné ˇs´ıˇren´ı vlny, které by se mohlo pro jisté velmi specifické pˇr´ıpady projevit ve v´ ysledném poli. Správná volba u ´hlu ˇs´ıˇren´ı θ uˇz byla zm´ınˇena v kapitole 3.1. K té se váˇze i elementárn´ı geometrická u ´vaha, kde je nutné zvolit správn´ yu ´hel ˇs´ıˇren´ı θ, aby se pole mohlo ˇs´ıˇrit do m´ısta pˇrij´ımac´ı antény, které m˚ uˇze b´ yt bezprostˇrednˇe za pˇrekáˇzkou nebo mimo hlavn´ı lalok vys´ılac´ı antény. Dalˇs´ım zdrojem chyb je diskretizace spojitého prostoru, která je nutná pro ˇc´ıslicové zpracován´ı modelu. Rozdˇelen´ı celé modelované oblasti na rastr s krokem ∆x a ∆z jiˇz bylo zm´ınˇeno v kapitole 3.3. Volba parametr˚ u ∆x nen´ı jednoznaˇcná a je nutné vˇenovat ji pozornost. Mnoho r˚ uzn´ ych doporuˇcen´ı pro nastaven´ı je moˇzno nalézt v literatuˇre. Napˇr´ıklad v [2] se uvád´ı ∆x = 10λ aˇz 100λ nebo v [5] a [8] jsou shodnˇe uvedeny hodnoty ∆x = 2k(∆z)2 . Podobnˇe pˇri nastaven´ı zdroje signálu je nutné vˇenovat velkou pozornost volbˇe normovac´ıho koeficientu G . Ten je závisl´ y na mnoha veliˇcinách jako je ˇs´ıˇrka hlavn´ıho svazku BW , elevace θ0 , frekvence λ a u ´hel ˇs´ıˇren´ı θ pˇri jejichˇz zmˇenˇe je nutné opˇetovné nastaven´ı normovac´ıho koeficientu G. V posledn´ı ˇradˇe je pˇri v´ ypoˇctu ˇcasto nutné zaokrouhlován´ı zejména v´ yˇsek. To je samozˇrejmˇe pˇr´ım´ ym d˚ usledkem diskretizace prostoru. Vˇsechny v´ yˇsky antén, pˇrekáˇzek a terénn´ıch profil˚ u mus´ı nab´ yvat hodnot v násobc´ıch ∆z, aby s nimi bylo moˇzné pracovat.

31

Kapitola 4 Vliv tvaru pˇ rek´ aˇ zky a geometrie spoje na difrakˇ cn´ı ztr´ aty V minulé kapitole vytvoˇren´ y model byl pouˇzit pro modelován´ı nˇekter´ ych scénáˇr˚ u, které mohou nastat zejména na pevn´ ych mikrovlnn´ ych spoj´ıch. Zvolené frekvence 7, 23 a 38GHz jsou jen reprezentativnˇe zvolená trojice, která pokr´ yvá bˇeˇznˇe pouˇz´ıvané frekvence provozované na pevn´ ych spoj´ıch u nás [15] i v zahraniˇc´ı [16]. Na modelu byla provedena nˇekterá zjednoduˇsen´ı a idealizace s c´ılem vylouˇcit z modelu jevy, které pˇr´ımo nesouvis´ı s difrakˇcn´ımi ztrátami, na které je tato práce zamˇeˇrena. Mezi tyto patˇr´ı za prvé pˇridán´ı absorpˇcn´ı zóny pod spodn´ı hranici modelu, tak aby nedocházelo k odraz˚ um od zemˇe a ovlivˇ nován´ı v´ ysledné u ´tlumové kˇrivky. Pˇredcház´ı se t´ım zejména závislosti u ´tlumové kˇrivky na v´ yˇsce vys´ılac´ı antény, délce spoje, u ´hlu ˇs´ıˇren´ı a vyzaˇrovac´ı charakteristice vys´ılac´ı antény. Za druhé provádˇen´ı vˇsech simulac´ı mimo povrch Zemˇe, tedy bez jakéhokoliv vlivu zakˇriven´ı Zemˇe na vzdálenosti v ˇra´dech des´ıtek kilometr˚ u a vyˇsˇs´ı. Za tˇret´ı se jedná o nastaven´ı indexu lomu n(x, z) = 1; ∀x, z. To implikuje ˇs´ıˇren´ı elektromagnetické vlny ve vakuu, takˇze nedocház´ı k jej´ımu zakˇriven´ı jako je tomu v troposféˇre bˇeˇzné. V kapitolách 4.1 aˇz 4.5 budou postupnˇe prezentovány v´ ysledky práce s vytvoˇren´ ym modelem, které popisuj´ı chován´ı difrakˇcn´ıch ztrát pro r˚ uzné tvary pˇrekáˇzek, frekvence, vzdálenosti a obecnˇe pro r˚ uzné geometrie spoj˚ u.

32

4.1

Vliv tvaru pˇ rek´ aˇ zky

Prvn´ım krokem pˇri simulac´ıch bylo zjiˇstˇen´ı vlivu tvaru pˇrekáˇzky na difrakˇcn´ı ztráty. Tento krok je pro dalˇs´ı práci s modelem zásadn´ı, a proto je nutné zavést parametry jednoznaˇcnˇe definuj´ıc´ı danou pˇrekáˇzku. Tyto parametry budou pouˇzity i v dalˇs´ıch kapitolách. Model jako takov´ y umoˇzn ˇuje vytvoˇrit témˇeˇr libovolnou pˇrekáˇzku, tedy umoˇzn ˇuje pro takˇrka libovoln´ y spoj vytvoˇrit adekvátn´ı terénn´ı model. Nen´ı c´ılem této práce pro r˚ uzné terénn´ı reliéfy zjiˇst’ovat v´ ysledné elektromagnetické pole v m´ıstˇe pˇrij´ımac´ı antény, ale sp´ıˇse zobecnit v´ ysledky mˇeˇren´ı do jednoduˇsˇs´ıch pravidel t´ ykaj´ıc´ıch se difrakˇcn´ıch ztrát. Z tohoto d˚ uvodu bylo zvoleno ˇsest r˚ uzn´ ych tvar˚ u pˇrekáˇzek, které jsou definovány nejv´ yˇse 2 parametry (vyjma v´ yˇsky pˇrekáˇzky). Tvary jsou zobrazeny na obr. 4.1, kde jsou parametry vyznaˇceny.

Obrázek 4.1: Ukázky pouˇzit´ ych tvar˚ u pˇrekáˇzek

U noˇzové pˇrekáˇzky je jedin´ ym parametrem v´ yˇska pˇrekáˇzky. Je nutné ale vn´ımat, ˇze pˇrekáˇzky jsou v ose x modelovány s rozliˇsen´ım ∆x. Noˇzová 33

pˇrekáˇzka tedy nen´ı nekoneˇcnˇe u ´zká, ale je to obdéln´ık se ˇs´ıˇrkou ∆x. Pro pˇresné modelován´ı je vhodné volit ∆x co moˇzná nejniˇzˇs´ı. Elipsovitá pˇrekáˇzka je definována jako r b2 b2 telipse (x) = 2 x − 2 x2 , (4.1) a a kde a je délka hlavn´ı poloosy, která je rovnobˇeˇzná s osou x a urˇcuje ˇs´ıˇrku pˇrekáˇzky ve v´ yˇsce z = 0. b je délka vedlejˇs´ı poloosy, která je kolmá na osu x a urˇcuje v´ yˇsku pˇrekáˇzky. Troj´ uheln´ıková a obdéln´ıková pˇrekáˇzka je definována ˇs´ıˇrkou základny a v´ yˇskou pˇrekáˇzky. Pˇrekáˇzka ve tvaru Gaussovy funkce je definována x (4.2) tgauss (x) = be− 2σ2 , kde b je v´ yˇska pˇrekáˇzky a σ je parametr urˇcuj´ıc´ı ˇs´ıˇrku pˇrekáˇzky. Pˇrekáˇzka typu obdéln´ık-gauss je pak spojen´ı obdéln´ıkové pˇrekáˇzky a pˇrekáˇzky ve tvaru Gaussovy funkce. Zde je pro definován´ı potˇreba kromˇe v´ yˇsky také ˇs´ıˇrka podstavy obdéln´ıkové pˇrekáˇzky a parametr σ Gaussovy funkce. Simulace s tˇemito pˇrekáˇzkami byly provedeny na jiˇz zm´ınˇen´ ych frekvenc´ıch 7, 23 a 38GHz nejprve na vzdálenost 2km, kde pˇrekáˇzka je um´ıstˇena uprostˇred spoje. R˚ uzné m´ıry zast´ınˇen´ı ν byly z´ıskávány zmˇenou v´ yˇsky pˇrij´ımac´ı antény pro konstantn´ı v´ yˇsku pˇrekáˇzky. Druh´ y zp˚ usob, kter´ y se nab´ız´ı, je zmˇena v´ yˇsky pˇrekáˇzky pro konstantn´ı v´ yˇsku pˇrij´ımac´ı antény. Ten je v´ ypoˇcetnˇe nároˇcnˇejˇs´ı, protoˇze pro kaˇzdou hodnotu m´ıry zast´ınˇen´ı ν je nutné vymodelovat cel´ y prostor. V´ yhodou je, ˇze pˇrij´ımac´ı anténa je neustále v maximu vyzaˇrovac´ı charakteristiky vys´ılac´ı antény, a tedy touto vyzaˇrovac´ı charakteristikou nen´ı nijak ovlivnˇena. Kromˇe zm´ınˇeného jsou obˇe metody rovnocenné.

Obrázek 4.2: Profil trasy pro hraniˇcn´ı kˇrivky difrakˇcn´ıch ztrát: sférick´ y povrch a noˇzová pˇrekáˇzka

34

Pro usnadnˇen´ı porovnáván´ı difrakˇcn´ıch ztrát pro r˚ uzné pˇr´ıpady bylo pouˇzito dvou hraniˇcn´ıch kˇrivek. Tento model byl inspirován doporuˇcen´ım ITU-R P.530 [17], kde je pouˇzit pro vyhodnocen´ı difrakˇcn´ıch ztrát pro obecn´ y pˇr´ıpad. Nejpˇr´ıznivˇejˇs´ı pˇr´ıpad pˇrekáˇzky, tedy ten s nejniˇzˇs´ımi difrakˇcn´ımi ztrátami ˇ sen´ı pro zvolenou m´ıru zast´ınˇen´ı ν, je ideáln´ı noˇzová pˇrekáˇzka (knife-edge). Reˇ pro noˇzovou pˇrekáˇzku je moˇzné z´ıskat pomˇernˇe jednoduch´ ym v´ ypoˇctem uveden´ ym v kapitole 2.1 nebo [4]. Nejménˇe pˇr´ızniv´ y pˇr´ıpad jsou difrakˇcn´ı ztráty zp˚ usobené sférick´ ym povrchem Zemˇe (v´ ypoˇcet viz [4]). Zde byla zvolena délka spoje 70km, kde je jiˇz zakˇriven´ı Zemˇe na spoji dobˇre patrné. Tato kˇrivka pak byla pouˇzita ve vˇsech grafech, kter´ ych se tato problematika t´ yká, a je oznaˇcena jako ”sférická zemˇe ITU-R P.526”. Takto definovaná hranice je sp´ıˇse orientaˇcn´ı, protoˇze, jak bylo uvedeno dˇr´ıve, zemské zakˇriven´ı nen´ı souˇcást´ı modelu. Pˇresto je vhodné vymezit prostor, kde se difrakˇcn´ı ztráty pro r˚ uzné pˇrekáˇzky mohou pohybovat. Pro názornost je spoj s obˇema pˇrekáˇzkami: sférick´ y povrch a noˇzová pˇrekáˇzka zobrazen na obr. 4.2. Schéma pro vˇetˇs´ı názornost nen´ı v mˇeˇr´ıtku. Zakˇriven´ı povrchu nen´ı na 70km dlouhém spoji tak velké. V´ ysledky simulac´ı pro zvolenou geometrii spoje jsou na obr. 4.3 - 4.5. Zde jsou patrné rozd´ıly zejména mezi dvˇema skupinami. V prvn´ı skupinˇe, kde je troj´ uheln´ıková, eliptická a gaussovská pˇrekáˇzka, je zhorˇsen´ı difrakˇcn´ıch ztrát oproti noˇzové pˇrekáˇzce pro zadané parametry < 3dB. Ve druhé skupinˇe, kde jsou obdéln´ıková pˇrekáˇzka a pˇrekáˇzka typu obdéln´ık-gauss, je zv´ yˇsen´ı difrakˇcn´ıch ztrát jiˇz velmi dobˇre patrné. Pro m´ıru zast´ınˇen´ı ν = 1 je to kolem 9dB. Pˇri porovnán´ı v´ ysledk˚ u pro r˚ uzné frekvence je vidˇet m´ırnou frekvenˇcn´ı závislost difrakˇcn´ıch ztrát. U vyˇsˇs´ıch frekvenc´ı docház´ı ke zmenˇsován´ı rozd´ılu mezi jednotliv´ ymi tvary a k m´ırnému sn´ıˇzen´ı difrakˇcn´ıch ztrát celkovˇe. V´ yznam frekvenˇcn´ı závislosti ale nen´ı pro potˇreby plánován´ı pevn´ ych spoj˚ u nijak zásadn´ı, protoˇze zmˇeny difrakˇcn´ıch ztrát se pohybuj´ı v ˇrádu desetin decibelu. Pro dalˇs´ı simulace bude ˇcasto pouˇz´ıvána pouze pˇrekáˇzka typu obdéln´ıkgauss. Prvn´ım d˚ uvodem jsou nejvyˇsˇs´ı difrakˇcn´ı ztráty z prezentovan´ ych tvar˚ u, coˇz je vhodné pro potˇreby plánován´ı pevn´ ych spoj˚ u. Dalˇs´ı v´ yhodou je znaˇcná variabilita volby tvaru dána dvˇema parametry, které umoˇzn ˇuj´ı vytvoˇrit pˇri vhodné volbˇe parametr˚ u gaussovskou pˇrekáˇzku, obdéln´ıkovou pˇrekáˇzku, noˇzovou pˇrekáˇzku a samozˇrejmˇe pˇrekáˇzku typu obdéln´ık-gauss. V posledn´ı ˇradˇe lze ˇr´ıci, ˇze nejde o vykonstruovanou pˇrekáˇzku, která nen´ı aplikovatelná na obecn´ y krajinn´ y reliéf, ale vcelku pˇrirozen´ y tvar. Tato pˇrekáˇzka byla nadále zkoumána ve smyslu vlivu volby parametr˚ u (ˇs´ıˇrka pˇrekáˇzky w a parametru σ) na difrakˇcn´ı ztráty ve zvoleném intervalu 35

Obrázek 4.3: Difrakˇcn´ı ztráty v 7GHz pro r˚ uzné tvary pˇrekáˇzek a parametry: ˇs´ıˇrka pˇrekáˇzky 200m, σ = 100

36


37


38

m´ıry zast´ınˇen´ı ν. S ohledem na v´ yˇse prezentované v´ ysledky n´ızké frekvenˇcn´ı závislosti difrakˇcn´ıch ztrát budou dále uvádˇeny v´ ysledky pro 23 a 38GHz pouze bude-li to m´ıt nˇejak´ y zásadn´ı d˚ uvod. Pro pˇrehlednost graf˚ u byl nejprve zkoumán vliv ˇs´ıˇrky obdéln´ıkové ˇca´sti pˇrekáˇzky w (viz obr. 4.6) se σ = 100, kdy geometrie spoje z˚ ustává stejná jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe. V grafu jsou pˇridány hodnoty ˇs´ıˇrky obdéln´ıkové ˇca´sti w v metrech k jednotliv´ ym kˇrivkám pro lepˇs´ı ˇcitelnost. Difrakˇcn´ı ztráty se pak pro r˚ uzné ˇs´ıˇrky pˇrekáˇzky w pohybuj´ı od kˇrivky gaussovské pˇrekáˇzky (w = 0m), která je nejpˇr´ıznivˇejˇs´ım pˇr´ıpadem, po ˇs´ıˇrku obdéln´ıkové ˇca´sti pˇrekáˇzky typu obdéln´ık-gauss w = 500m. Zde je potˇreba ˇr´ıci, ˇze pro vyˇsˇs´ı hodnoty ˇs´ıˇrky w, by difrakˇcn´ı ztráty pˇrekroˇcily hodnoty ztrát pro sférickou Zemi, které byly uvedeny jako nejhorˇs´ı moˇzn´ y pˇr´ıpad. To je dáno ne zcela robustn´ı definic´ı m´ıry zast´ınˇen´ı ν, které bude vˇenována jedna z následuj´ıc´ıch kapitol. Nasnadˇe je i otázka potˇreby provozován´ı pevného spoje, kde v´ıce neˇz 25% délky spoje je tvoˇreno pˇrekáˇzkou.

Obrázek 4.6: Difrakˇcn´ı ztráty v 7GHz pro r˚ uzné ˇs´ıˇrky pˇrekáˇzky (σ = 100)

39

Obrázek 4.7: Difrakˇcn´ı ztráty v 7GHz pro r˚ uzné ˇs´ıˇrky w a r˚ uzné hodnoty parametru σ pˇrekáˇzky obdéln´ık-gauss

Vliv ˇs´ıˇrky w je tedy znaˇcn´ y a v jedné z následuj´ıc´ıch kapitol bude jeˇstˇe zm´ınˇen v kontextu délky spoje. Pokud se zvol´ı ˇs´ıˇrka pˇrekáˇzky w konstantn´ı a bude se mˇenit druh´ y z parametr˚ u: σ, tak rozd´ıly nejsou zas tak patrné. To je ukázáno na obr. 4.7. Pro kaˇzdou ze ˇs´ıˇrek w = 10, 200 a 500m se mˇenil parametr σ = 10, 100 a 200. Protoˇze nen´ı jednoduché si pod hodnotami bezrozmˇerného parametru sigma pˇredstavit konkrétn´ı tvar, jsou na obr. 4.8 ukázány tvary gaussovské pˇrekáˇzky pro spoj dlouh´ y 2km s pˇrekáˇzkou uprostˇred a hodnotami sigma parametru σ = 10, 100 a 200. Pˇrestoˇze tvary Gaussovsk´ ych funkc´ı jsou celkem rozd´ılné, tak kˇrivky difrakˇcn´ıch ztrát pro r˚ uzné σ zobrazené na obr. 4.7 jsou si velmi podobné. Nejvˇetˇs´ı rozd´ıl zp˚ usob´ı zmˇena parametru σ u n´ızk´ ych hodnot ˇs´ıˇrky w, kde dosahuje aˇz kolem 1, 2dB. I tak je to celkem malá zmˇena, která je v porovnán´ı se zmˇenami pr˚ ubˇeh˚ u na obr. 4.6 zanedbatelná. 40

Obrázek 4.8: Gaussovská pˇrekáˇzka pro r˚ uzné hodnoty parametru σ

41

4.2

Vliv d´ elky spoje

V minulé kapitole byly zavedeny základy pro posuzován´ı difrakˇcn´ıch ztrát ˇcistˇe na základˇe tvaru pˇrekáˇzky. V této kapitole bude ˇreˇsena zejména otázka vlivu délky pevného spoje na difrakˇcn´ı ztráty. Nejprve bude zkoumám pˇr´ıpad, kdy pro stále stejnou pˇrekáˇzku um´ıstˇenou uprostˇred pevného spoje bude mˇenˇena vzdálenost mezi vys´ılaˇcem a pˇrij´ımaˇcem. Zvolená pˇrekáˇzka bude jako v mnoha pˇr´ıpadech v pˇredchoz´ı kapitole pˇrekáˇzka typu obdéln´ık-gauss s parametry w = 200m, σ = 100m. Délky pevn´ ych spoj˚ u byly zvoleny 2, 5, 10, 20, 50 a 100km. To by mˇelo pokr´ yt velkou vˇetˇsinu délek provozovan´ ych pevn´ ych spoj˚ u.

Obrázek 4.9: Difrakˇcn´ı ztráty pro r˚ uzné délky spoje

V´ ysledky jsou patrné z obr. 4.9. S rostouc´ı délkou pevného spoje klesá vliv tvaru pˇrekáˇzky a kˇrivka difrakˇcn´ıch ztrát se bl´ıˇz´ı k difrakˇcn´ım ztrátám noˇzové pˇrekáˇzky. Toto plat´ı samozˇrejmˇe i pro vˇsechny tvary pˇrekáˇzek, kde nejsou rozd´ıly mezi jednotliv´ ymi kˇrivkami tak v´ yrazné. Lze pˇredpokládat, 42

ˇze kˇrivka difrakˇcn´ıch ztrát noˇzové pˇrekáˇzky je zde opravdu hraniˇcn´ı poloha, kdy ˇs´ıˇrka pˇrekáˇzky je zanedbatelná v porovnán´ı s délkou spoje. Jin´ ym pˇr´ıstupem je zmˇena ˇs´ıˇrky pˇrekáˇzky u ´mˇernˇe ke zmˇenˇe délky spoje. Na spoj´ıch délky 2, 5, 10, 20, 50 a 100km, bylo mˇeˇreno 8 r˚ uznˇe ˇsirok´ ych obdéln´ıkov´ ych pˇrekáˇzek. Ty byly zvoleny nam´ısto obvykle pouˇz´ıvan´ ych pˇrekáˇzek typu obdéln´ık-gauss kv˚ uli nejasné hodnotˇe parametru σ, která by se mˇela mˇenit u ´mˇernˇe vzhledem k délce spoje. Volba konstantn´ıho parametru σ by pak zp˚ usobila zv´ yˇsen´ı difrakˇcn´ı ztráty u kratˇs´ıch spoj˚ u. To bylo ukázáno ˇ v pˇredchoz´ı kapitole na obr. 4.7. S´ıˇrky pˇrekáˇzek byly z praktick´ ych d˚ uvod˚ u vyjádˇreny procentem z délky spoje (viz obr. 4.10).

Obrázek 4.10: Rozd´ıl difrakˇcn´ıch ztrát zp˚ usoben´ ych obdéln´ıkovou a noˇzovou pˇrekáˇzkou, ˇs´ıˇrka pˇrekáˇzky je vyjádˇrena procentem z délky spoje V´ ysledné kˇrivky difrakˇcn´ıch ztrát pro r˚ uzné délky spoj˚ u, ale shodné procentuáln´ı vyjádˇren´ı ˇs´ıˇrky pˇrekáˇzky, jsou si velmi podobné. Lze tedy usuzovat, ˇze ˇs´ıˇrka pˇrekáˇzky m˚ uˇze b´ yt dostateˇcnˇe pˇresnˇe vyjádˇrena procentem z celkové délky spoje, které zauj´ımá, bez ohledu na samotnou délku 43

spoje. V tomto svˇetle je tedy moˇzné pro r˚ uzné scénáˇre definované délkou spoje, tvarem pˇrekáˇzky a jej´ımi parametry urˇcit pouh´ ym odeˇcten´ım z obr. 4.10 a pˇripoˇcten´ım difrakˇcn´ıch ztrát noˇzové pˇrekáˇzky z doporuˇcen´ı ITU-R P.526 odhad pˇredpokládan´ ych difrakˇcn´ıch ztrát. U pˇrekáˇzek s ménˇe strmou nábˇeˇznou a sestupnou hranou se u kratˇs´ıch spoj˚ u projev´ı nár˚ ust difrakˇcn´ıch ztrát vlivem tvaru pˇrekáˇzky, kter´ y pro delˇs´ı spoje nebude tak v´ yrazn´ y.

4.3

Vliv polohy pˇ rek´ aˇ zky

Prozat´ım vˇsechny simulace vycházeli z geometrie, kdy pˇrekáˇzka je pˇresnˇe v polovinˇe délky spoje. Pro bliˇzˇs´ı prozkoumán´ı vlivu pozice pˇrekáˇzky na v´ yslednou kˇrivku difrakˇcn´ıch ztrát bylo provedeno nˇekolik simulac´ı na spoji délky 2km s pˇrekáˇzkami s parametry w = 100m, σ = 100. Stˇred pˇrekáˇzky se pˇri tom pohyboval od vzdálenosti 500m do vzdálenosti 1500m od vys´ılaˇce s krokem 100m.

Tabulka 4.1: Maximáln´ı rozd´ıl difrakˇcn´ıch ztrát vlivem zmˇeny polohy pˇrekáˇzky Tvar pˇrekáˇzky Rozd´ıl ztrát (dB) Noˇzová

0,04

Elipsovitá

0,25

Troj´ uheln´ıková

0,05

Obdéln´ıková

1,80

Gauss

0,25

Obdéln´ık-gauss

1,87

Protoˇze jsou si v´ ysledné kˇrivky velmi podobné, v´ ysledn´ y graf by nebyl pˇr´ıliˇs pˇrehledn´ y. V´ ysledky jsou proto vyneseny do tabulky 4.1, kde je pro kaˇzd´ y tvar pˇrekáˇzky vynesena pouze maximáln´ı odchylka od situace um´ıstˇen´ı pˇrekáˇzky uprostˇred spoje. Maximáln´ı odchylky od difrakˇcn´ıch ztrát pˇrekáˇzky um´ıstˇené uprostˇred spoje dosahuje zpravidla pˇrekáˇzka nejv´ıce vzdálená, tedy v tomto pˇr´ıpadˇe shodnˇe pˇrekáˇzka um´ıstˇena v 500m a 1500m od vys´ılaˇce. Pro frekvence 23 a 38GHz jsou v´ ysledky témˇeˇr totoˇzné. Rozd´ıly jsou v ˇra´du setin aˇz jedné desetiny decibelu.

44

Pro dalˇs´ı u ´vahy bude zavedena bezrozmˇerná veliˇcina l, která pˇredstavuje vzdálenost pˇrekáˇzky od vys´ılac´ı antény v násobc´ıch délky spoje. l=

xp , xmax

(4.3)

kde xp je vzdálenost stˇredu pˇrekáˇzky od vys´ılac´ı antény v metrech a xmax je délka spoje v metrech. Zde l = 0 oznaˇcuje pozici vys´ılac´ı antény a l = 1 oznaˇcuje pozici pˇrij´ımac´ı antény, coˇz jsou zároveˇ n i minimáln´ı a maximáln´ı hodnota veliˇciny l. Pak pro r˚ uzné délky spoj˚ u se stejn´ ym pomˇerem ˇs´ıˇrky pˇrekáˇzky ku délce spoje a stejn´ ym l jsou v´ ysledné kˇrivky difrakˇcn´ıch ztrát stejné, nanejv´ yˇs s rozd´ılem v ˇra´du desetin decibelu. V návaznosti na pˇredchoz´ı kapitolu se zdá b´ yt vhodné rozˇs´ıˇren´ı obrázku 4.10, kde je pˇrekáˇzka um´ıstˇena uprostˇred spoje, o obrázky 4.11 - 4.13, kde jsou stˇredy pˇrekáˇzek um´ıstˇeny ve vzdálenostech l = 0, 4; 0, 3 a 0, 2. Zároveˇ n ˇrada simulac´ı potvrdila, ˇze dvojice l = 0, 4 a l = 0, 6; l = 0, 3 a l = 0, 7; l = 0, 2 a l = 0, 8 jsou si v´ ysledkovˇe velmi podobné, coˇz vzhledem k jisté symetrii nen´ı aˇz tak pˇrekvapivé. T´ım je zároveˇ n pokryta celkem ˇsiroká ˇskála moˇzn´ ych um´ıstˇen´ı pˇrekáˇzek. Lze zároveˇ n oˇcekávat nár˚ ust difrakˇcn´ıch ztrát pro l < 0, 2 resp. l < 0, 2. Tato situace vˇsak pro spoje kratˇs´ıch neˇz 50km nejsp´ıˇs nebude pˇr´ıliˇs obvyklá.

45

Obrázek 4.11: Rozd´ıl difrakˇcn´ıch ztrát zp˚ usoben´ ych obdéln´ıkovou a noˇzovou pˇrekáˇzkou, ˇs´ıˇrka pˇrekáˇzky je vyjádˇrena procentem z délky spoje, l = 0, 4

46


47


48

4.4

Relativita m´ıry zast´ınˇ en´ı

M´ıra zast´ınˇen´ı ν byla zat´ım pouˇzita pro srovnáván´ı difrakˇcn´ıch ztrát vˇsech typ˚ u i velikost´ı pˇrekáˇzek. Tento parametr vˇsak nen´ı zcela dobˇre definován pro pˇrekáˇzky jejichˇz rozmˇery v horizontáln´ı rovinˇe jsou v´ yraznˇe odliˇsné od noˇzové pˇrekáˇzky. D˚ uvodem je v´ ypoˇcet m´ıry zast´ınˇen´ı ν v m´ıstˇe osy pˇrekáˇzky jako by se jednalo o noˇzovou pˇrekáˇzku. To nen´ı nijak velk´ y problém pro pˇrekáˇzky, které maj´ı v´ yrazné maximum a poté ostˇreji klesaj´ı v obou smˇerech osy x. Problém nastává u pˇrekáˇzek se ˇsirˇs´ım vrcholem, jako je obdéln´ıková pˇrekáˇzka nebo pˇrekáˇzka typu obdéln´ık-gauss. Zde se m˚ uˇze objevit jev, kter´ y je vyobrazen na obr. 4.14. M´ıra zast´ınˇen´ı vypoˇc´ıtaná ze stˇredu pˇrekáˇzky neodráˇz´ı skuteˇcnou m´ıru zast´ınˇen´ı, která nastává u tohoto konkrétn´ıho spoje. Na vˇsech obrázc´ıch 4.14a - 4.14c je vyobrazen spoj s m´ırou zast´ınˇen´ı ν = 0, coˇz znamená, ˇze vrchol pˇrekáˇzky by mˇel b´ yt na pˇr´ımé spojnici vys´ılac´ı a pˇrij´ımac´ı antény. To plat´ı pouze u obr. 4.14b, u zbyl´ ych obrázk˚ u je vrchol pˇrekáˇzky (resp. jeho ˇca´st) nad touto spojnic´ı. Na obr. 4.15 jsou vyobrazeny kˇrivky difrakˇcn´ıch ztrát pro 14km dlouh´ y spoj na frekvenci 7GHz, kdy pro konstantn´ı m´ıru zast´ınˇen´ı ν = 0 se mˇenila vzájemná v´ yˇska vys´ılac´ı a pˇrij´ımac´ı antény, podobnˇe jako je vyobrazeno na obr. 4.14. Simulace probˇehla na 6 r˚ uznˇe ˇsirok´ ych pˇrekáˇzkách typu obdéln´ıkgauss se ˇs´ıˇrkami 0, 1400, 2800, 4200, 5600 a 7000m, vyjádˇreno v procentech z délky spoje 0, 10, 20, 30, 40 a 50%, a parametrem σ = 200. V´ yraznˇejˇs´ı vliv tohoto jevu na uvedeném spoji se projevuje aˇz u pˇrekáˇzek o ˇs´ıˇrce 40 a 50% z délky spoje a pˇri znaˇcném relativn´ım v´ yˇskovém posunut´ı antén. U pˇrekáˇzek ze skupiny troj´ uheln´ıková, gausovská a elipsovitá pˇrekáˇzka jsou rozd´ıly v´ yraznˇe niˇzˇs´ı a u noˇzové pˇrekáˇzky je tento jev pozorovateln´ y pouze d´ıky nahrazen´ı nekoneˇcnˇe u ´zké pˇrekáˇzky obdéln´ıkem o ˇs´ıˇrce ∆x. Zároveˇ n se nepodaˇrilo vysledovat chován´ı, které by vedlo k pˇr´ıpadnému zobecnˇen´ı problému jako v kapitolách 4.2 a 4.3. Jedin´ ym vypozorovan´ ym znakem je v´ yrazné zv´ yˇsen´ı vlivu tohoto jevu pro kratˇs´ı spoje, kdy u spoje dlouhého 2km je pro ν = 0 ˇs´ıˇrku pˇrekáˇzky 200m a relativn´ı posunut´ı antén hRx − hT x = −20m rozd´ıl oproti stavu, kdy jsou obˇe antény stejnˇe vysoko, > 5dB. Toto nen´ı problém vˇetˇsiny spoj˚ u, ale sp´ıˇse upozornˇen´ı na moˇzn´ y zdroj chyb pˇri odhadu difrakˇcn´ıch ztrát. V pˇredchoz´ıch kapitolách byly uvádˇeny pˇr´ıpady, kdy vliv tohoto jevu je stˇeˇz´ı pozorovateln´ y na nˇekter´ ych mezn´ıch pˇr´ıpadech. Jen pro pˇredstavu, na 2km spoji s pˇrekáˇzkou uprostˇred, kdy vys´ılac´ı anténa a vrchol pˇrekáˇzky jsou v rovinˇe, je v´ yˇska pˇrij´ımac´ı antény pro m´ıru zast´ınˇen´ı ν = 1, 4 o pˇribliˇznˇe 12m n´ıˇze neˇz vys´ılac´ı anténa a pro m´ıru zast´ınˇen´ı ν = −0, 7 o pˇribliˇznˇe 4,5m v´ yˇse neˇz vys´ılac´ı anténa.

49

Obrázek 4.14: Problematika definice m´ıry zast´ınˇen´ı ν

50

Obrázek 4.15: Difrakˇcn´ı ztráty pro ν = 0 v závislosti na vzájemné poloze pˇrij´ımac´ı a vys´ılac´ı antény

51

4.5

Porovn´ an´ı modelu s namˇ eˇ ren´ ymi daty

Závˇerem budou z´ıskané poznatky aplikovány pˇri porovnán´ı s hodnotami ˇ ach, provedené namˇeˇren´ ymi na spoji Pˇredboj - Chloumek ve stˇredn´ıch Cech´ ˇ katedrou elektromagnetického pole na CVUT v Praze. Celé mˇeˇren´ı na tomto a nˇekolika dalˇs´ıch spoj´ıch je podrobnˇe popsáno v [6]. V prvn´ım kroku bude spoj bl´ıˇze definován z dostupn´ ych informac´ı. Následnˇe bude analyzován na základˇe poznatk˚ u prezentovan´ ych v kapitolách 4.1 - 4.4, aby se urˇcilo, zda je moˇzné odhadnout difrakˇcn´ı ztráty na základˇe uveden´ ych zjednoduˇsen´ı terénu. A nakonec bude reliéf terénu implementován do prostˇred´ı Matlab a namˇeˇrené v´ ysledky budou porovnány s modelem.

Obrázek 4.16: V´ yˇskopis spoje Pˇredboj-Chloumek s aproximac´ı terénu elipsovitou pˇrekáˇzkou Délka spoje, kter´ y vede z Pˇredboje (50◦ 130 32.9900 N; 14◦ 280 43.4500 E) do Chloumku (50◦ 210 03.0700 N; 14◦ 300 27.1900 E), je 14 041m. Vys´ılac´ı anténa je um´ıstˇena v nadmoˇrské v´ yˇsce 212 m n.m. a pˇrij´ımac´ı anténa je v nadmoˇrské v´ yˇsce 184 m n.m. V´ yˇska vys´ılac´ı antény je konstantnˇe ve v´ yˇsce 16,8m nad povrchem Zemˇe. V´ yˇska pˇrij´ımac´ı antény se bude mˇenit a bude upˇresnˇena pro konkrétn´ı mˇeˇren´ı. Vˇsechna vybraná mˇeˇren´ı prob´ıhala na frekvenci 6,5GHz. 52

Terénn´ı profil mˇeˇreného spoje i s aproximac´ı elipsovitou pˇrekáˇzkou je na obr. 4.16.

Obrázek 4.17: Rozd´ıl difrakˇcn´ıch ztrát zp˚ usoben´ ych elipsovitou a noˇzovou pˇrekáˇzkou, ˇs´ıˇrka pˇrekáˇzky je vyjádˇrena procentem z délky spoje, l = 0, 9

Spoj obsahuje jednu v´ yraznou pˇrekáˇzku s vrcholem kolem vzdálenosti 12,25km od vys´ılac´ı antény. Tvar pˇrekáˇzky je z pˇrekáˇzek na obr. 4.1 nejv´ıce podobn´ y eliptické pˇrekáˇzce s parametry a = 221m, b = 3000m (viz rovnice (4.1)). To znamená, ˇze ˇs´ıˇrka pˇrekáˇzky w je kolem 21% délky spoje. Um´ıstˇen´ı pˇrekáˇzky je dle v´ yˇse zavedené veliˇciny l = 0, 87. Chyba zp˚ usobená definic´ı m´ıry zast´ınˇen´ı ν zm´ınˇená v kapitole 4.4 se u této pˇrekáˇzky projev´ı v minimáln´ı m´ıˇre. Pomoc´ı pro tento terén pˇripraveného obrázku, kter´ y je ve své podstatˇe shodn´ y s obr. 4.11 - 4.13, budou odhadnuty difrakˇcn´ı ztráty mˇeˇreného spoje. Obrázek 4.17 zobrazuje rozd´ıl difrakˇcn´ıch ztrát elipsovité a noˇzové pˇrekáˇzky pro r˚ uzné ˇs´ıˇrky pˇrekáˇzky w v procentech délky spoje ve vzdálenosti l = 0, 9 a pro ˇsirˇs´ı interval m´ıry zast´ınˇen´ı ν. 53

Obrázek 4.18: Model spoje Pˇredboj-Chloumek s terénn´ım profilem

54

Teoretické ztráty, které jsou uvedeny v tabulce 4.2 a vyneseny do grafu na obr. 4.19, vznikly seˇcten´ım difrakˇcn´ıch ztrát na ideáln´ı noˇzové pˇrekáˇzce z kapitoly 2.1 nebo doporuˇcen´ı ITU-R P.526 [4] a rozd´ılu difrakˇcn´ıch ztrát na elipsovité a noˇzové pˇrekáˇzce, které jsou na obr. 4.17. Tato elipsa je pochopitelnˇe aproximac´ı terénn´ıho profilu na spoji Pˇredboj-Chloumek z obr. 4.16. Teoretické ztráty jsou spoleˇcnˇe s v´ ysledky mˇeˇren´ı [6], modelov´ ymi ztrátami z´ıskané simulac´ı s implementovan´ ym modelem terénu v prostˇred´ı Matlab, v´ yˇskou pˇrij´ımac´ı antény a odpov´ıdaj´ıc´ı m´ırou zast´ınˇen´ı ν pro mˇeˇren´ y spoj v tabulce 4.2. Kromˇe toho je také u kaˇzdé v´ yˇsky pˇrij´ımac´ı antény uvedena refraktivita atmosféry, která se projev´ı pouze u namˇeˇren´ ych a modelov´ ych ztrát. U aproximace elipsovitou pˇrekáˇzkou byl zvolen index lomu n = 1 pro celou modelovanou oblast. Kˇrivky namˇeˇren´ ych, modelov´ ych a teoretick´ ych ztrát jsou zároveˇ n vyneseny do grafu závislosti difrakˇcn´ıch ztrát na v´ yˇsce pˇrij´ımac´ı antény hRx (obr. 4.19). Je zde pˇridána i pomocná osa x, která zobrazuje m´ıru zast´ınˇen´ı spoje ν. Oproti zvyklostem z pˇredchoz´ıho textu je zde otoˇcena orientace osy tak, aby hodnoty m´ıry zast´ınˇen´ı ν odpov´ıdaly hodnotám v´ yˇsky pˇrij´ımac´ı antény. Model pro odhad difrakˇcn´ıch ztrát s terénn´ım profilem spoje PˇredbojChloumek je na obr. 4.18, kde je vynesena do celé modelované oblasti intenzita elektromagnetického pole E v logaritmickém mˇeˇr´ıtku. Barevná stupnice intenzit elektrického pole v decibelech je v pravé ˇca´sti obrázku.

Tabulka 4.2: Porovnán´ı teoretick´ ych, namˇeˇren´ ych a namodelovan´ ych ztrát V´ yˇska

ν(−)

pˇrij´ımaˇce (m)

Refraktivita

Teoretické

Namˇeˇrené

Modelové

(N/km)

ztráty (dB)

ztráty (dB)

ztráty (dB)

12,8

3,34

-61

37

27,34

39

18,6

2,49

-57

31,7

25,45

34,5

23

1,87

-53

25,3

24,47

26,5

27,5

1,17

-53

19,4

22,84

23,4

33,5

0,34

-53

10,9

13,46

15,2

39

-0,48

-54

2,5

8,86

6,4

55

Obrázek 4.19: V´ ysledné kˇrivky difrakˇcn´ıch ztrát pro spoj Pˇredboj - Chloumek

56

Z´ avˇ er V prostˇred´ı Matlab byl vytvoˇren 2D model pro simulaci ˇs´ıˇren´ı elektromagnetické vlny a následn´ y odhad difrakˇcn´ıch ztrát. V´ ypoˇcetn´ı algoritmus je zaloˇzen na parabolické rovnici a implementován metodou split-step. S modelem byla provedena ˇrada simulac´ı na mikrovlnn´ ych bezdrátov´ ych spoj´ıch s jednou pˇrekáˇzkou, které mˇely za c´ıl prozkoumat vliv tvaru pˇrekáˇzky a geometrie spoje na velikost difrakˇcn´ıch ztrát. Hodnoty byly porovnávány s modely pro v´ ypoˇcet difrakˇcn´ıch ztrát z doporuˇcen´ı ITU-R P.526. V´ ysledky prezentované v kapitolách 4.1 - 4.4 ukazuj´ı n´ızkou závislost difrakˇcn´ıch ztrát na frekvenci pro m´ıru zast´ınˇen´ı ν < 1, 4 a zároveˇ n vysokou závislost na tvaru pˇrekáˇzky. Byly potvrzeny pˇredpoklady, ˇze s rostouc´ı délkou mikrovlnného spoje klesá vliv tvaru pˇrekáˇzky. Zároveˇ n bylo zjiˇstˇeno, ˇze zde nezáleˇz´ı na absolutn´ıch hodnotách délky spoje, ale je dostaˇcuj´ıc´ı znalost pomˇeru ˇs´ıˇrky pˇrekáˇzky ku délce spoje. Dále byly prozkoumány vlivy pozice pˇrekáˇzky a vzájemná poloha vys´ılac´ı a pˇrij´ımac´ı antény. V závˇereˇcné kapitole 4.5 byly srovnány hodnoty z´ıskané jak teoretick´ ymi u ´vahami z kapitol 4.1 - 4.4, tak simulac´ı na modelu s implementovan´ ym terénn´ım profilem na spoji Pˇredboj - Chloumek [6] a srovnány s mˇeˇren´ım na tomto spoji, které bylo provedeno na katedˇre elektromagnetického pole ˇ CVUT v Praze. Z v´ ysledk˚ u je vidˇet celkem dobrá shoda v´ ysledk˚ u simulac´ı a namˇeˇren´ ych hodnot pro ν < 1, 2. Teoretické ztráty nejsou tak pˇresné, coˇz m˚ uˇze b´ yt dáno vlivem refraktivity, která v tˇechto u ´vahách nebyla brána v potaz a index lomu zde nab´ yvá hodnoty n(x, z) = 1; ∀x, z. Model vytvoˇren´ y v prostˇred´ı Matlab je funkˇcn´ım základem pro odhad difrakˇcn´ıch ztrát pˇri n´ızké m´ıˇre zast´ınˇen´ı. Model je celkem snadné rozˇsiˇrovat o dalˇs´ı ˇcásti. Zlepˇsen´ı stávaj´ıc´ıho modelu by bylo moˇzné optimalizac´ı kódu pro zrychlen´ı modelován´ı. Pro hrub´ y odhad difrakˇcn´ıch ztrát je moˇzno vyuˇz´ıt i u ´vah z kapitol 4.1 - 4.4, které vˇsak ze své podstaty nikdy nebudou tak pˇresné.

57

Literatura [1] Levy, M: Parabolic equation methods for electromagnetic wave propagation. London: IEE, 2000. ISBN 0 85296 764 0. [2] Barclay, L.W.: Propagation of radiowaves. London: IEE, 2003, 2nd ed. ISBN 0 85296 102 2 [3] Pechaˇc, P., Zvánovec, S.: Základy ˇs´ıˇren´ı vln pro plánován´ı pozemn´ıch rádiových spoj˚ u. Praha: BEN - technická literatura, 2007. ISBN 978 80 7300 223 7 [4] ITU-R Recommendation P.526: Propagation by diffraction. Geneva: ITU, 2013. [5] Hosseini, S.R., Shirazi, R.S., Kiaee, A, Pahlavan, P., Sorkherizi, M.S.: UHF Propagation prediction in smooth homogenous Earth using Split-step Fourier algorithm. PIERS Proceeding, Kuala Lumpur, March 2012, pp. 685-689. [6] Koˇr´ınek, T., Kviˇcera M., Valtr, P., Pechaˇc, P., Grabner, M., Kviˇcera, V.: Report on the interference experimental campaign - short-term experiments. CTU in Prague, Faculty of Electrical Engineering, Praha, December 2012. [7] Apaydin, G., Sevgi, L.: Groundwave Propagation at Short Ranges and Accurate Source Modeling. IEEE Antennas and Propagation Magazine, Vol. 55, No.3, June 2013, pp. 244-262.

58

[8] Hitney, H.V.: Hybrid Ray Optics and Parabolic Equation Methods for Radar Propagation Modeling. Naval Command, Control and Ocean Surveillance Center, USA, pp. 58-61. ´ [9] Komrska, J.: Difrakce svˇetla. Ustavu fyzikáln´ıho inˇzen´ yrstv´ı Fakulty strojn´ıho inˇzen´ yrstv´ı VUT, Brno, 2000. [10] Pechaˇc, P., Valtr, P,: Tropospheric Refraction Modeling Using Ray-Tracing and Parabolic Equation. Radioengineering, Vol. 14, No. 4, December 2005. [11] Apaydin, G., Sevgi, L.: The Split-Step Fourier and Finite Element Based Parabolic Equation Propagation Prediction Tools: Canonical Tests, Systematic Comparisons and Calibration. IEEE Antennas and Propagation Magazine, Vol. 52, No.3, June 2010. [12] ITU-R Recommendation P.527: Electrical characteristics of the surface of the Earth. Geneva: ITU, 1992. [13] ITU-R Recommendation P.832: World Atlas of Ground Conductivities. Geneva: ITU, 2012. [14] Janaswamy, R.: A Curvilinear Coordinate-Based Split-Step Parabolic Equation Method for Propagation Predictions over Terrain. IEEE transactions on antennas and propagation, Vol. 46, No. 7, July 1998, pp. 1089-1097. [15] The European Table of Frequency Allocations and Aplications in the Frequency Range 8.3 kHz to 3000 GHz (ECA Table). Electronic Communications Committee (ECC), May 2014. http://www.erodocdb.dk/docs/doc98/official/pdf/ERCRep025.pdf [16] Willis, M.: Course notes. http://www.mike-willis.com/Tutorial/PFL.pdf

59

[17] ITU-R Recommendation P.530: Propagation data and prediction methods required for the design of terrestrial line-of-sight systems. Geneva: ITU, 2013. [18] Deygout, J.: Multiple Knife-Edge Diffraction of Microwaves. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, Vol. 14, No. 4, July 1966, pp. 480-489.

60

Pˇ r´ıloha A Parabolick´ a rovnice - k´ od Pˇr´ıloha A obsahuje základn´ı kód pro vytvoˇren´ı modelu parabolické rovnice metodou split-step a spoleˇcnˇe s funkcemi z Pˇr´ılohy B tvoˇr´ı samostatnˇe funkˇcn´ı celek, kter´ y nen´ı potˇreba dále upravovat. Dalˇs´ı doplˇ nuj´ıc´ı funkce, které nejsou pro bˇeh programu zásadn´ı, ale pouze rozˇsiˇruj´ı jeho funkˇcnost, jsou pˇriloˇzeny na CD. %% Z´ akladn´ ı definice freq=6.5e9; theta_max=5;

% frekvence (Hz) % u ´hel s ˇı ´ˇ ren´ ı (deg)

c=3e8; lambda=c/freq; k0=2*pi()/lambda; Rz=6378000;

% % % %

rychlost svˇ etla (m/s) vlnova delka (m) vlnove cislo ve vakuu (1/m) polomer Zeme (m)

%% Definice modelovan´ e oblasti x_max=5000; % maximalni vzdalenost (m) z_max=1000; % maximalni vyska (m) - vˇ cetnˇ e tlum´ ıc´ ı %vrstvy p_max=k0*sind(theta_max); delta_x=20; delta_z=pi()/p_max;

% krok ve smeru osy x (m) % krok ve smeru osy z (m)

K=floor(x_max/delta_x)+1; L=floor(z_max/delta_z);

% pocet kroku ve smeru osy x (m) % pocet kroku ve smeru osy z (m)

delta_p=p_max/L; 61

x=linspace(0,x_max,K); z=linspace(delta_z,z_max,L); p=linspace(delta_p,p_max,L);

% generov´ an´ ı osy x % generov´ an´ ı osy z

dN=315-53.*(z.*10^-3); m=(1+(dN*10^-6))+z./Rz;

% v´ yˇ skov´ y profil refraktivity (N/km) % modifikovany index lomu (-)

%% Definice zdroje antenna_height=100; elevation=0; beam_width=3/360*2*pi();

% v´ yˇ ska ant´ eny (m) % elevace (rad) % s ˇ´ ır ˇka svazku (rad)

u=0.54*source(beam_width,elevation,k0,antenna_height,z); %% Definice pˇ rek´ az ˇky l1=x_max/2; l2=x_max-l1; obstacle_height=100; width=3000; sigma=200;

% % % % %

vzd´ alenost pˇ rek´ aˇ zky od Tx (m) vzd´ alenost pˇ rek´ az ˇky od Rx (m) v´ ys ˇka pˇ rek´ aˇ zky (m) s ˇı ´ˇ rka pˇ rek´ az ˇky (m) parametr sigma gaussovy funkce

teren = zeros(1,K); % teren=knife_edge_obstacle(x, l1, obstacle_height, delta_z, % delta_x); % teren(round(l1/delta_x)+1)=round(obstacle_height/delta_z)-1; % teren=elipse_obstacle(x, l1, obstacle_height, width, delta_z); % teren=triangle_obstacle(x, l1, width, obstacle_height, % delta_z, delta_x, teren); % teren=rectangle_obstacle(l1, width, obstacle_height, delta_z, % delta_x, m); % teren=gauss_obstacle(x, sigma, l1, obstacle_height, delta_z); % teren=rectangle_gauss_obstacle(x,sigma, width, l1, obstacle_height, % delta_x, delta_z); %% V´ ypoˇ cet pole v modelovan´ e oblasti A=exp(1i*k0*(1^2-1)*delta_x/2); %(n=1) a zakˇ riven´ ı Zemˇ e %A=exp(1i*k0.*(m.^2-1).*delta_x/2); %(viz volba dN) a zakˇ riven´ ı Zemˇ e B=exp((-1i*p.^2*delta_x)/(2*k0)); 62

% Nezahrnuje vliv refrakce, % Zahrnuje vliv refrakce

ab=tlum_vrstva(L); for i=1:K-1 grad=teren(i+1)-teren(i); if grad>0 u_temp(1:L-grad)=u(grad+1:L,i); u_temp(L-grad+1:L)=0; u(:,i+1)=A.*idst(B.*dst(u_temp(:)).’); u(:,i+1)=ab.*u(:,i+1); elseif grad<0 u_temp(abs(grad)+1:L)=u(1:L-abs(grad),i); u_temp(1:abs(grad))=0; u(:,i+1)=A.*idst(B.*dst(u_temp(:)).’); u(:,i+1)=ab.*u(:,i+1); else u(:,i+1)=A.*idst(B.*dst(u(:,i)).’); u(:,i+1)=ab.*u(:,i+1); end end for q=2:K % Doplnˇ en´ ı ter´ enu do v´ ysledn´ eho modelu u(:,q)=circshift(u(:,q),teren(q)); u(1:teren(q),q)=0; % Korekce v´ ypoˇ ctu z v´ alcov´ e vlny na kulovou val2kul=1./sqrt(sqrt(x(q)^2+(z-antenna_height).^2)).’; u(:,q)=val2kul.*u(:,q); end u=(lambda/(4*pi()))*u+1e-20;

63

Pˇ r´ıloha B Doplˇ nuj´ıc´ı funkce Vytvoˇ ren´ı zdroje s vyzaˇ rovac´ı charakteristikou ve tvaru Gaussovy funkce function y = source(beam_width,elevation,k0,antenna_height,z) % Vˇ sechny promˇ enn´ e maj´ ı stejn´ y v´ yznam jako v hlavn´ ım k´ odu y=(exp(-1i*k0*elevation*z).*exp(-(beam_width^2/(8*log10(2))) *k0^2*(z-antenna_height).^2)).’; end V´ ypoˇ cet intenzity elektromagnetick´ eho pole dvoupaprskovou metodou function e = two_ray_method(h1, h2, d, lambda) ro=-1; k0=2*pi()/lambda;

% koeficient odrazu (-) % vlnov´ e c ˇ´ ıslo (1/m)

% V´ yznam veliˇ cin h, s1 a s2 je patrn´ y z obr. 2.2. % h1 je v´ ys ˇky vys´ ılac´ ı ant´ eny a h2 v´ ys ˇka pˇ rij´ ımac´ ı ant´ eny s1=sqrt(d^2+(h1-h2).^2); s2=sqrt(d^2+(h1+h2).^2); e=exp(-1i*k0*s1)./s1+ro*exp(-1i*k0*s2)./s2; e=(lambda/(4*pi()))*e+1e-20; end 64

V´ ypoˇ cet difrakˇ cn´ıch ztr´ at na noˇ zov´ e pˇ rek´ aˇ zce podle doporuˇ cen´ı ITU-R P.526 pomoc´ı Fresnelova integr´ alu function knife = ITU526(antenna_height, obstacle_height, z, l1, l2, lambda) % Vstupn´ ı parametry maj´ ı stejn´ y v´ yznam jako v hlavn´ ım k´ odu % V´ yznam veliˇ cin d1, d2 a h je patrn´ y z obr. 1.2 d1=sqrt((antenna_height-obstacle_height)^2+l1^2); d2=sqrt((z-obstacle_height).^2+l2^2); h1=antenna_height+(z-antenna_height).*l1/(l1+l2); h=obstacle_height-h1; v=h.*sqrt(2./lambda.*(1./d1+1./d2));

% m´ ıra zast´ ınˇ en´ ı

% V´ ypoˇ cet difrakˇ cn´ ıch ztr´ at pomoc´ ı Fresnelova integr´ alu for i=1:length(v) C=integral(@(s) cos(pi().*s.^2./2),0,v(i)); S=integral(@(s) sin(pi().*s.^2./2),0,v(i)); diff_loss(i)=20*log10(sqrt((1-C-S)^2+(C-S)^2)/2); end FSL=20*log10(4*pi()*(l1+l2)/lambda); % Ztr´ aty voln´ ym prostorem knife=diff_loss-FSL; end Generov´ an´ı tlum´ıc´ı vrstvy function tlum = tlum_vrstva(delka) % vstupn´ ı parametr d´ elka urˇ cuje d´ elku vektoru, kter´ a by mˇ ela b´ yt % rovna d´ elce v´ yˇ skov´ eho vektoru z w=hann(2*(delka-floor(delka/4))); tlum=[ones(floor(delka/4),1); w(length(w)/2+1:length(w))]; end

65

Influence of Terrain Shape on Diffraction Loss Calculations

Recommend Documents