ii PRAKATA
Buku ini menyajikan pembahasan dasar mengenai getaran mekanik dan ditulis untuk mereka yang baru belajar getaran. Getaran yang dibahas di sini adalah getaran linier, yaitu getaran yang persamaan geraknya merupakan persamaan diferensial linier. Buku ini diperuntukkan bagi mahasiswa S-1 semester V jurusan Teknik Mesin, Teknik Sipil, serta jurusan Fisika FMIPA yang berkeinginan mengambil spesialisasi di bidang getaran mekanik. Penyajian dalam buku ini ditekankan pada penyusunan model matematik dari model fisik dan interpretasi fisik dari solusi yang diperoleh. Contoh penyelesaian soal diberikan untuk memperjelas teori yang dibahas. Sebagai soal latihan dipilihkan soal yang dapat dipakai untuk menguji diri mengenai penguasaan materi yang dipelajari. Pemahaman materi yang disajikan di sini merupakan dasar untuk dapat mempelajari teori getaran lanjut yang merupakan modal untuk pemecahan masalah getaran nyata dan kompleks. Bab-bab dalam buku ini disusun berurutan sehingga membentuk kesatuan yang lengkap. Maka pembaca wajib mengerti bab-bab awal sebelum beranjak ke bab berikutnya. Dengan demikian, pembaca tidak boleh melompat ke bab yang diinginkan, tanpa mengerti bab sebelumnya. Hal ini perlu dimengerti agar didapat pengertian yang menyeluruh mengenai getaran mekanik. Buku ini diawali dengan pengenalan istilah dasar beserta pengertiannya yang disajikan dalam Bab I. Sistem getaran yang paling sederhana, yaitu sistem satu derajat kebebasan, disajikan dalam Bab II dan Bab III yang masing-masing membahas getaran bebas dan getaran paksa. Sistem getaran dua derajat kebebasan dibahas dalam Bab IV dan sistem getaran banyak derajat kebebasan dibahas dalam Bab V. Pada Bab VI dibahas sistem getaran dengan massa terdistribusi merata dan pada Bab VII diberikan sebuah pengantar untuk pengukuran getaran dan juga penulis telah memasukkan sebuah kasus sederhana untuk dilakukan pengujian di laboratorium. Selajutnya pada Bab VIII akan dibahas sebuah studi kasus mengenai getaran poros sebagai sistem kontinum yang pernah penulis lakukan ketika menjadi mahasiswa S-1 di jurusan Teknik Mesin, Unsyiah. Bab IX membahas lebih lanjut tentang pemanfaatan data hasil pengujian
iii getaran untuk dianalisis sesuai dengan kebutuhan. Dan akhirnya pada Bab X diberikan sebuah pengantar kepada getaran acak. Penulis berterima kasih yang sebesar-besarnya kepada Ir. Zachlul Raden, MSME (alm), yang telah merintis penulisan awal buku ini. Terima kasih disampaikan pula kepada semua pihak yang telah memberikan banyak saran yang berguna demi kesempurnaan isi buku ini. Akhirnya penulis mengucapkan terima kasih kepada orang tua penulis yang telah banyak memberikan dorongan dan pengertian yang tanpa itu, buku ini tidak akan terwujud. Kritik dan saran sangat penulis harapkan demi perbaikan buku ini.
Banda Aceh, Nopember 2008
Sabri, ST., MT
i
iv DAFTAR ISI
Prakata ...................................................................................................................... ii Daftar Isi .................................................................................................................... iv
BAB I. PENDAHULUAN ...................................................................................... 1 1.1 Sifat Dasar Getaran .................................................................................. 1 1.2 Fungsi Periodik ........................................................................................ 2 1.3 Fungsi Harmonik....................................................................................... 6 1.4 Kinetika : Hukum Newton tentang Gerak................................................. 8 1.5 Klasifikasi Getaran ................................................................................... 9 1.6 Istilah – Istilah dalam Getaran ............................................................ ..... 10
BAB II. GETARAN BEBAS SATU DERAJAT KEBEBASAN ........................ 13 2.1 Getaran Bebas tanpa Redaman ................................................................ 13 2.1.1
Sistem Massa - Pegas ................................................................... 14
2.1.2
Ayunan Matematik ...................................................................... 19
2.1.3
Ayunan Fisik ................................................................................ 20
2.1.4
Getaran Torsi ............................................................................... 24
2.1.5
Getaran Lentur ............................................................................. 26
2.2 Getaran Bebas dengan Redaman............................................................... 30 2.3 Peredaman Coulomb ................................................................................ 34
BAB III. GETARAN PAKSA ............................................................................... 40 3.1 Gangguan Harmonik ................................................................................ 40 3.2 Gangguan berupa simpangan yang bekerja pada pegas ........................... 43 3.3 Gangguan berupa simpangan yang bekerja pada peredam ...................... 44 3.4 Gangguan berupa simpangan yang bekerja pada landasan ...................... 45 3.5 Fungsi perbesaran dan beda fasa .............................................................. 46 3.6 Gangguan berupa gaya harmonik paksa .................................................. 50 3.7 Transformasi Laplace................................................................................ 64
Daftar Isi
v
BAB IV. GETARAN DUA DERAJAT KEBEBASAN ....................................... 68 4.1 Koordinat Kopling..................................................................................... 76 4.2 Ayunan Dua Derajat Kebebasan (2 DK) .................................................. 84 4.3 Getaran Harmonik Paksa........................................................................... 87 4.4 Absorber Dinamik tanpa Peredam Hidrolik.............................................. 89 4.5 Absorber Dinamik dengan Peredam Hidrolik ........................................... 94
BAB V. GETARAN BANYAK DERAJAT KEBEBASAN ............................... 104 5.1 Frekuensi Pribadi dan Modus Getaran ..................................................... 104 5.2 Sifat Orthogonal Eigenvektor ................................................................... 108 5.3 Matriks Modal dan Sistem Koordinat Modal ........................................... 108 5.4 Sistem Batang Kontinu ............................................................................. 111 5.4.1 Metode Rayleigh ........................................................................... 111 5.4.2 Dalil Dunkerley ............................................................................. 113
BAB VI. SISTEM KONTINU ............................................................................... 119 6.1 Getaran Tali .............................................................................................. 119 6.2 Getaran Torsi ............................................................................................ 122 6.3 Getaran Batang Lentur ............................................................................. 124
BAB VII. PENGUKURAN GETARAN ............................................................... 131 7.1 Analisis Modal ......................................................................................... 133 7.2 Metode Titik Setengah Daya (Half Power Point) ................................... 135 7.3 Parameter Dinamik .................................................................................. 136 7.4 Pengukuran Uji Modal ............................................................................. 140 7.5 Setting Pengukuran .................................................................................. 140
BAB VIII. KECEPATAN KRITIS POROS SEBAGAI SISTEM KONTINU..153 8.1 Penentuan Nilai Eksak Kecepatan Kritis ................................................. 154 8.2 Metode Pendekatan Untuk Menentukan Nilai Kecepatan Kritis ............. 159
Daftar Isi
vi
BAB IX. RESPONS DALAM DOMAIN FREKUENSI .....................................163 9.1 Respons dari Pembebanan yang dinyatakan oleh Deret Fourier ............. 163 9.2 Koefisien Fourier untuk Bagian-bagian Fungsi Linier ............................ 166 9.3 Analisis Diskrit Fourier ............................................................................168 9.4 Transformasi Fourier Cepat (Fasf Fourier Transform) ........................... 171 BAB X. GETARAN ACAK ...................................................................................178 10.1 Deskripsi Statistik dari Fungsi Acak ………………………............... 179 10.2 Distribusi Normal ...................................................................................182 10.3 Distribusi Rayleigh ................................................................................ 185 10.4 Korelasi ................................................................................................. 187 10.5 Transformasi Fourier ............................................................................. 189 10.6 Analisis Spektrum .................................................................................. 191 10.7 Fungsi Densitas Spektrum ..................................................................... 194 10.8 Proses Acak dari “Narrow Band” dan “Wide Band” ............................. 197 10.9 Respons dari Eksitasi Acak ....................................................................201 DAFTAR PUSTAKA .............................................................................................. 205
BIODATA PENULIS
vii
DAFTAR GAMBAR Gambar 1.1 Fungsi periodik (ciri 1) ...................................................................... 2 Gambar 1.2 Fungsi periodik (ciri 2) ..................................................................... 3 Gambar 1.3 Fungsi harmonik sederhana ............................................................... 6 Gambar 1.4 Fungsi harmonik dengan beda fasa ................................................ 7 Gambar 2.1 Sistem massa – pegas ...................................................................... 14 Gambar 2.2 Diagram benda bebas sistem massa – pegas ................................... 15 Gambar 2.3 Gerak osilasi sistem massa – pegas ................................................. 18 Gambar 2.4 Ayunan matematik .......................................................................... 19 Gambar 2.5 Ayunan fisik (metoda I) .................................................................. 21 Gambar 2.6 Ayunan fisik (metoda II) ................................................................. 22 Gambar 2.7 Getaran torsi .................................................................................... 25 Gambar 2.8 Model getaran lentur ....................................................................... 26 Gambar 2.9 Cerobong Asap dan model getarannya ............................................ 29 Gambar 2.10 Model getaran mesin bubut ........................................................... 29 Gambar 2.11 Model getaran antena radio teleskopik .......................................... 30 Gambar 2.12 Gerak aperiodik ............................................................................. 32 Gambar 2.13 Gerak teredam kritis ...................................................................... 33 Gambar 2.14 Gerak teredam dengan peluruhan osilasi ...................................... 34 Gambar 2.15 Model getaran dengan redaman coulomb ..................................... 35 Gambar 3.1 Osilator tak teredam yang dipengaruhi secara harmonik ................ 41 Gambar 3.2 Model sistem getaran teredam dengan gangguan simpangan harmonik pada pegas ...................................................................... 43 Gambar 3.3 Model sistem getaran teredam dengan gangguan simpangan harmonik pada peredam .................................................................. 45 Gambar 3.4 Model sistem getaran teredam dengan gangguan simpangan harmonik pada landasan .................................................................. 46 Gambar 3.5 Beda fasa untuk berbagai nilai D .................................................... 48
viii
Gambar 3.6 Fungsi perbesaran untuk berbagai nilai D berdasarkan persamaan (3.28) ............................................................................ 48 Gambar 3.7 Fungsi perbesaran untuk berbagai nilai D berdasarkan persamaan (3.29) ............................................................................ 49 Gambar 3.8 Fungsi perbesaran untuk berbagai nilai D berdasarkan persamaan (3.30) ............................................................................ 49 Gambar 3.9 Model sistem getaran teredam dengan gangguan berupa gaya harmonik ......................................................................................... 50 Gambar 3.10 Hubungan vektor untuk getaran paksa dengan redaman ............... 54 Gambar 3.11 Hubungan vektor pada getaran paksa ............................................ 55 Gambar 4.1 Model sistem getaran dengan dua derajat kebebasan ...................... 68 Gambar 4.2 Modus getar pertama ........................................................................ 72 Gambar 4.3 Modus getar kedua ........................................................................... 72 Gambar 4.4 Sistem 2 DK dengan satu buah massa ............................................. 76 Gambar 4.5 Diagram benda bebas ...................................................................... 77 Gambar 4.6. Modus getar ayunan 2 DK (a) modus pertama, (b) modus kedua .. 86 Gambar 4.7. Getaran paksa dua derajat kebebasan ............................................. 87 Gambar 4.8. Respon amplitudo sistem dua derajat kebebasan ........................... 88 Gambar 4.9 Absorber dinamik tanpa peredam hidrolik ..................................... 90 Gambar 4.10. Frekuensi pribadi sistem gabungan ............................................ 92 Gambar 4.11 Perbesaran amplitudo massa utama dan massa absorber ............ 93 Gambar 4.12 Sistem utama dengan absorber dinamik berperedam ................... 94 Gambar 4.13 Fungsi perbesaran amplitudo massa utama untuk μ = 0,05 dan f = 1 ...................................................................................... 96
ix
Gambar 5.1 Model getaran sistem 2 derajat kebebasan .................................... 106 Gambar 6.1. Diagram benda bebas tali ............................................................. 120 Gambar 6.2. Diagram benda bebas elemen batang sepanjang dx ..................... 123 Gambar 6.3. Batang dan elemen batang lentur ................................................. 124 Gambar 6.4 Batang kantilever ......................................................................... 127 Gambar 6.5. Bentuk modus getar batang kantilever ......................................... 128 Gambar 7.1. Model fungsi respon frekuensi ..................................................... 134 Gambar 7.2. Kurva FRF untuk MDOF yang merupakan gabungan dari beberapa kurva FRF SDOF ......................................................... 135 Gambar 7.3. Kurva pendekatan (curve-fitters) alternatif .................................. 136 Gambar 7.4. Kurva modus getar ....................................................................... 137 Gambar 7.5. Penampang struktur uji ................................................................ 139 Gambar 7.6. Setting pengukuran ....................................................................... 141 Gambar 7.7. Skema perangkat pengukuran ...................................................... 142 Gambar 7.8 Beberapa teknik untuk menumpu shaker ...................................... 145 Gambar 7.9 Peralatan pengeksitasi (a) hammer, (b) impactor .......................... 146 Gambar 7.10 Force transducer .......................................................................... 147 Gambar 7.11 Accelerometer ............................................................................. 148 Gambar 7.12 Impedance head ........................................................................... 149 Gambar 7.13 Kurva FRF11 terhadap frekuensi : eksitasi dilakukan di titik x1 dan respon diamati di titik x1 ....................................... 150 Gambar 7.14 Modus pertama, eksitasi di x1 dan respon diukur di x1 ............... 150 Gambar 7.15 Modus kedua, eksitasi di x1, respon di x1 .................................... 151 Gambar 8.1. Balok lentur .................................................................................. 154 Gambar 8.2. Elemen balok lentur sepanjang dx ............................................... 155 Gambar 8.3. Penentuan kondisi batas geometrik .............................................. 157 Gambar 8.4 Kurva defleksi untuk frekuensi dasar (modus getar I) .................. 160 Gambar 8.5 Balok lentur dengan sebuah piringan ............................................ 161 Gambar 9.1 Osilator tak teredam yang dipengaruhi oleh gaya periodik ........... 166
x
Gambar 9.2 Bagian-bagian gaya dari fungsi linier .......................................... 167 Gambar 9.3 Waktu yang dibutuhkan oleh Transformasi Fourier dengan menggunakan metode konvensional dan metode cepat .... 173 Gambar 10.1 Rekaman dari sebuah fungsi waktu acak (non deterministik) ..... 179 Gambar 10.2 Sebuah ensambe dari fungsi-fungsi waktu yang acak ................. 179 Gambar 10.3 Fungsi beban untuk contoh soal 10.1 .......................................... 181 Gambar 10.4 Sebagian dari rekaman fungsi waktu acak yang ditentukan secara teori probabilitas .............................................................. 183 Gambar 10.5 Fungsi densitas probabilitas normal ............................................ 184 Gambar 10.6 Fungsi densitas probabilitas normal standar ............................... 185 Gambar 10.7 Fungsi densitas probabilitas Rayleigh ......................................... 186 Gambar 10.8 Korelasi antara x1(t) dan x2(t) ...................................................... 188 Gambar 10.9 Otokorelasi antara x(t) dan x(t + τ) ............................................. 188 Gambar 10.10 Proses acak “wide-band” x(t) dan fungsi otokorelasinya R(τ) .. 189 Gambar 10.11 Proses acak “narrow-band” x(t) dan fungsi otokorelasinya R(τ) 189 Gambar 10.12 Fungsi densitas spektrum yang menggambarkan luas yang sama dengan nilai purata kuadrat .......................................... 195 Gambar 10.13 Fungsi densitas spektrum untuk sebuah proses “random narrow-band” ............................................................ 198 Gambar 10.14 Proses wide – band. (a) time history, (b) fungsi densitas spektrum ...................................................... 198 Gambar 10.15 Otokorelasi pada sebuah proses random narrow-band ............. 199 Gambar 10.16 Otokorelasi suatu proses random wide-band yang menjadi sebuah fungsi delta Dirac untuk white noise ............................... 201 Gambar 10.17 Sistem berderajad kebebasan tunggal yang dieksitasi dengan suatu gaya acak pada selang waktu yang sama ......... 203
xi
DAFTAR TABEL
Tabel 8.1 Data perolehan modus getar balok dengan penampang seragam ...... 161 Tabel 10.1 Distribusi Normal ............................................................................ 185 Tabel 10.2 Harga-harga spesifik untuk densitas probabilitas ........................... 187
xii
DAFTAR ISTILAH
f : Frekuensi T : Perioda
A : Amplitudo
: Frekwensi sudut n atau f n : Frekuensi pribadi d : Frekuensi pribadi teredam f atau : Frekuensi rangsangan/eksitasi
x : Simpangan x : Kecepatatan x : Percepatan
: Kecepatan sudut : Percepatan sudut
: Defleksi statis δ : Defleksi dinamis D : Operator diferensial I : Momen inersia massa J0 : Momen inersia polar FI : Gaya inersia Ft : Gaya tangensial G : Modulus geser K : Kekakuan puntir k : Kekakuan lentur E : Modulus elastisitas Fd : Gaya redam dashpot c : Konstanta redaman viskus : Rasio redaman
μ : Koefisien gesekan N : Gaya normal
xiii
F(t) : Gaya eksitasi ø : Beda fasa
cc : Redaman kritis T : Torsi : Amplitudo modus getar
c.g : Titik berat μ : rasio massa Tmaks : Energi kinetik maksimum Umaks : Energi potensial maksimum [I] : Matriks satuan [M] : Matriks massa FRF : Fungsi respon frekuensi g : Percepatan grafitasi bumi RMS : Akar purata kuadrat σ : Standar deviasi
