III. Áramkör számítási módszerek, egyenáramú körök A villamos áram a villamos töltések rendezett áramlása (mozgása) a fellépő erők hatására. Az áramlás iránya a pozitív töltéshordozók áramlásának iránya, amelyek a nagyobb potenciálú helyről az alacsonyabb potenciálú felé haladnak a vezetőkben. A töltések valamilyen villamos vezetőben áramlanak (fém, folyadék, gáz), a vezető határai egyben az áramlási tér határai. A villamos áram az egységnyi idő alatt átáramló töltésmennyiség, jelölése: I. Ha T idő alatt Q töltés áramlik át egy adott keresztmetszeten, az áram átlagértéke I = vagy általánosan i(t ) =
Q , T
dQ(t ) , SI mértékegysége Ampère1 tiszteletére: [I] = A = amper. dt
Definíció Ha két párhuzamos, egymástól 1 m távolságra levő vezetőben 1 A áram folyik, akkor a vezetők 1-1 m-es szakaszára ható erő F= 2·10-7 N. Azonos áramiránynál vonzó, ellentétes áramirány esetén taszító erő lép fel. Az áramlás lehet egyirányú, állandó- vagy változó sebességgel (pl. egyenáram) és lehet változó irányú, változó sebességgel (pl. periodikus váltakozó áram). Az állandósult (stacionárius) állapot elérése átmeneti (tranziens) folyamaton keresztül történik. A villamos tér által egy Q nagyságú töltés l távolságra mozgatásakor végzett munka: W = ∫ Fd l = ∫ QEdl = QU = UIT , általános esetben W = ∫ u(t )i(t )dt . l
l
t
A munka SI villamos mértékegysége: [W]= Ws=VAs=J=Nm. Az időegység alatt végzett munka a teljesítmény: W P= = UI , a teljesítmény pillanatértéke: p(t ) = u(t ) ⋅ i(t ) . T A teljesítmény SI villamos mértékegysége Watt2 tiszteletére: J Nm [P]= W = watt = VA = = . s s Ohm3 törvénye Vezető anyag valamely áram által átjárt szakaszán a fellépő feszültség arányos az átfolyó árammal. Az arányossági tényező az ellenállás, jelölése: R. U U=RI, amiből R = . I V Az ellenállás SI mértékegysége Ohm tiszteletére: [R]= Ω = ohm = . A 1
Ampère, Andrè-Marie (1775-1836) francia fizikus, matematikus, vegyész Watt, James (1736-1819) skót gépészmérnök 3 Ohm, Georg Simon (1789-1854) német fizikus 2
VIVEA002 Elektrotechnika
2014
Az ellenállás általában nem állandó, függhet az áramtól, a feszültségtől, a hőmérséklettől, a mágneses indukciótól stb. R=f(I, τ, U, B, ...). Fém vezetőknél az ellenállás állandó hőmérsékleten rendszerint állandó, vagy állandónak tekinthető. Ohm törvénye más megfogalmazásban: valamely vezető szakaszon az átfolyó áram arányos a vezető szakaszra kapcsolt feszültséggel. Az arányossági tényező a vezetés, jelölése: G. I 1 I=GU, G = = . U R A A vezetés SI mértékegysége Siemens4 tiszteletére: [G]=S = siemens = (=mho). V Az ellenállás hőfokfüggése A fémek többségének ellenállása a hőmérséklet függvényében lineárisan változik (az alkalmazási tartományban). R1 R2 ϑ + ϑ2 = , amiből R2 = R1 kr . ϑkr + ϑ1 ϑkr + ϑ2 ϑkr + ϑ1
R R2 R1
ϑkr
ϑ1
ϑ2
τ(K) ϑ(C°)
Fém vezető ellenállásának tipikus hőmérséklet-függése
ϑkr – anyagjellemző, az a hőmérséklet, amelynél az R(ϑ) egyenes metszi a vízszintes tengelyt. A hőmérséklet hivatalos SI mértékegysége Kelvin5 tiszteletére: [τ]= K= kelvin, az ellenállás hőfokfüggését gyakran Celsius6 fokban skálázzák. A hőmérsékleti együttható Az ellenállás hőmérséklet függésének összefüggéséből kis átalakítással: ϑ + ϑ2 + ϑ1 − ϑ1 ϑ − ϑ1 R2 = R1 kr = R1 1 + 2 . ϑkr + ϑ1 ϑkr + ϑ1 1 Az α1 = értéket a ϑ1 hőmérséklethez tartozó hőmérsékleti együtthatónak (vagy hőϑkr + ϑ1 foktényezőnek) nevezik, rendszerint 20 C° vagy 75 C° hőmérsékletre adják meg. A hőmérsékleti együttható anyagjellemző, tulajdonképpen az egységnyi hőmérséklet-változás hatására bekövetkező ellenállás-változás. Ezzel az ellenállás hőfokfüggése: R2=R1(1+α1∆ϑ). 4
von Siemens, Ernst Werner (1816-1892) német mérnök, kutató Lord Kelvin - Thomson, William (1824-1907) brit fizikus, matematikus 6 Celsius, Anders (1701-1744) svéd csillagász, meteorológus 5
2
III. Áramkör számítási módszerek, egyenáramú körök A pozitív hőmérsékleti együtthatójú anyagok (általában a fémek) ellenállása a hőmérséklet növekedésével nő, a negatív hőmérsékleti együtthatójú anyagoké (egyes félvezetők, elektrolitok, villamos ív) pedig csökken. Vannak speciális ötvözetek (pl. manganin, konstantán), amelyek jelentős hőmérséklet tartományban termikusan stabilisak, ellenállásuk nem változik. Ezeket alkalmazzák pl. méréstechnikai célra. Állandó és változó ellenállás Állandó ellenállás esetén az U(I) kapcsolat lineáris, változó ellenállás esetén nemlineáris. A nemlineáris függvénykapcsolat jeltorzító hatású. x(t)
y(t)
y=f(x)
R
i(t)
u(t)
Az U(I) összefüggés mint függvénykapcsolat illusztrálása Általában, egy lineáris y=f(x) átviteli függvénnyel jellemzett elem, eszköz alakhű jelátvitelt biztosít, a nemlineáris pedig torzítja a jelalakot. A konkrét esetben x(t)=i(t) és y(t)=u(t). y
y
x
t1 t2
t3
t4
t5
t1 t2 t3 t4
t5
t
Lineáris x(t) → y(t) jelátvitel lineáris y=f(x) függvény esetén
3
t
VIVEA002 Elektrotechnika
2014
y
y
x
t1 t2
t3
t4
t5
t
t1 t2 t3 t4
t5
t
Nemlineáris x(t) → y(t) jelátvitel nemlineáris y=f(x) függvény esetén
A fajlagos ellenállás Egy vezető konkrét ellenállása függ a geometriai kialakításától: egyenesen arányos annak hosszával és fordítottan arányos a keresztmetszetével. Az arányossági tényező – az egységnyi hosszúságú és egységnyi keresztmetszetű vezető ellenállása – a fajlagos ellenállás, ami anyagállandó, jelölése: ρ. l A R = ρ , amiből ρ = R . A l Ωmm 2 A fajlagos ellenállás mértékegysége: [ρ]= Ωm, a gyakorlati mértékegysége: [ρ]= , m Ωmm 2 Ωmm 2 1 = 10 −6 Ωm , vagy 1 Ωm = 10 6 . m m A fajlagos ellenállást rendszerint 20 C° vagy 75 C° hőmérsékletre adják meg, hőfokfüggése az ellenállás hőfokfüggésének megfelelő és hasonlóan ábrázolható. Joule7 törvénye Adott I= állandó áram hatására egy R ellenálláson t idő alatt W= I2Rt nagyságú hő(veszteség) keletkezik. További alakjai Ohm törvényének felhasználásával: U2 W = UIt = t. R Időben változó mennyiségek esetén: 7
Joule, James Prescott (1818-1889) angol fizikus
4
III. Áramkör számítási módszerek, egyenáramú körök u(t ) W = ∫ i(t ) Rdt = ∫ u(t )i(t )dt = ∫ dt . R 0 0 0 A különböző villamos és nem villamos folyamatok villamos áramkörrel (hálózattal) történő modellezésénél a súrlódási és más veszteséget, valamint a mechanikai munkát ellenálláson keletkező hőenergiával képezik le. t
t
t
2
2
Veszteség, hatásfok Az áramköri veszteség a nem hasznosított, általában meleggé alakuló teljesítmény vagy energia. Ha W1 - bevezetett (felvett) energia, P1 - bevezetett (felvett) teljesítmény, W2 - leadott (hasznosított) energia, P2 - leadott (hasznosított) teljesítmény, akkor a veszteségi energia: Wveszt=W1-W2, a veszteségi teljesítmény: Pveszt=P1-P2. A hatásfokot rendszerint a teljesítményekből számítják: P P2 P − Pveszt P η= 2 = = 1 = 1 − veszt . P1 P2 + Pveszt P1 P1 Időben változó mennyiségek esetén az átlagos hatásfok eltérhet a pillanatnyi értéktől. Egyenáramú hálózatok Egyenletes áramlás hosszú, kis keresztmetszetű vezetőkből álló, lineáris elemeket tartalmazó hálózatokban. - csomópont - ág az ágak zárt lánca a hurok
Az áramkör részei Az áramkör számítás feladata: az egyes ágak áramának, a csomópontok közötti feszültségeknek és az áramköri elemek teljesítményének meghatározása. Egyszerű energiaforrások Az ideális feszültségforrás (feszültséggenerátor) jellemzője a terheléstől (áramtól) független feszültség. Rövidrezárt állapota nem értelmezhető. Az ideális áramforrás (áramgenerátor) jellemzője a terheléstől (lezáró ellenállástól) független áram. Terheletlen, nyitott állapota nem értelmezhető. A rajzon Ug - az ideális feszültséggenerátor (belső) feszültsége, Ig - az ideális áramgenerátor (belső) árama, 5
VIVEA002 Elektrotechnika
2014
E - elektromotoros erő - tulajdonképpen a belső töltés-szétválasztó térerősség, UR - a terhelő ellenállás (fogyasztó) feszültsége.
I
+
+
Ug UR
E -
+ Ug
R
Ug
-
UR
Ig
Ig
R
-
Ug=állandó
Ig=állandó
Ideális feszültség- és áramgenerátor, jelölések Pozitív irányok Az elektrotechnikában általában a „fogyasztói” pozitív irányokat használják, a fogyasztott energia pozitív előjelű, a termelté negatív. Az egyenleteket mindig a pozitív irányok figyelembevételével kell felírni. Mivel az áram iránya a definíció szerint a pozitív töltések áramlási irányával egyezik meg, tulajdonképpen az áram a magasabb potenciálú ponttól az alacsonyabb potenciálú felé folyik. Az energiaforrás teljesítménye a felvett fogyasztói pozitív irányokkal negatív előjelű, a fogyasztott teljesítmény pozitív. Pforrás=-UgI, Pfogyasztó=URI. („Termelői” pozitív irányokkal a termelt energia pozitív előjelű.) A valóságos feszültséggenerátor Uk kapocsfeszültsége eltér az ideálisétól (az árammentes állapot kivételével), a valóságos áramgenerátorI árama eltér az ideálisétól (a rövidrezárt állapot kivételével):
Rb + Ug
A I Uk UR
A I Ig
R
-
Ib
UR
Rb
B
B
Uk= Ug-IRb
I= Ig-Ib
R
Valóságos feszültség- és áramgenerátor, Rb - a belső ellenállás Néhány villamos energiát előállító (egyenáramú) feszültség (energia) forrás: - mechanikai energiából: egyenáramú generátor, dinamó, - kémiai energiából: akkumulátor, galvánelem, - fényenergiából: fotocella, napelem, - villamos energiából (a villamos energia különböző formái és paraméterei közötti átalakítás): egyenirányító áramkör, elektronikus átalakító. Az áramkör számítás legfontosabb szabályai Csomóponti törvény (Kirchhoff8 I. törvénye) A töltésmegmaradás elve szerint egy csomópontba beáramló és az onnan kiáramló töltések mennyisége azonos, a csomópontban töltés nem keletkezik, nem vész el, nem halmozódik fel.
8
Kirchhoff, Gustav Robert (1824-1887) német fizikus, matematikus
6
III. Áramkör számítási módszerek, egyenáramú körök Ebből következik, hogy egy csomópontba befutó ágak áramának (előjeles) összege minden pillanatban zérus, ΣI=0. Pozitív irányok Rendszerint a csomópontba befolyó vagy onnan elfolyó áramot tekintik pozitívnak (de természetesen minden ágra külön-külön is előírható a pozitív áramirány – ami bonyolítja a számítást). pozitív irány
I2
I2
valóságos irány
I1
I1
I3
I3 I4
I4
I1−I2+I3+I4=0
−I1+I2−I3−I4=0
A csomóponti törvény illusztrálása Az egyenlet és annak megoldása csak a felvett pozitív irányok ismeretében értelmezhető. Ha egy hálózatban ncs-számú csomópont van, akkor (ncs-1) számú független csomóponti egyenlet írható fel. Huroktörvény (Kirchhoff II. törvénye) Az Ohm-törvény, mint egyetlen ellenállásból álló hálózatra vonatkozó törvény általánosítása.
Ub3
R4
I4 R1
I3 I2
+
I1
I1R1+Ub1- I2R2-Ub3+I4R4=0
R2
Ub1 A huroktörvény illusztrálása
Zárt hurokban az ellenállásokon eső UR feszültségek és az Ub forrásfeszültségek együttes öszszege zérus. Ez akkor is igaz, ha az egyes ágak árama eltérő. ∑ U Ri + ∑ U bi = ∑ Ri I i + ∑ U bi = 0 . i
i
i
i
Az összefüggés ebben az alakban csak egyenáramú körök állandósult állapotára érvényes, váltakozó áram esetén ki kell egészíteni az induktív és a kapacitív feszültségekkel, vagyis a huroktörvény szerint az egy hurokban lévő összes feszültség eredője zérus: ∑Uh = 0 . h
A pozitív irányt itt az ún. "körüljárási" irány jelöli. A huroktörvény nyitott áramkörben is alkalmazható, ha a nyitott pontok közé feszültségmérő műszert, illetve az általa mutatott feszültséget képzeljük:
7
VIVEA002 Elektrotechnika
2014
Ub3 U4 V
I3 I2
+
R1 I1
I1R1+Ub1- I2R2-Ub3+U4=0
R2
Ub1 Feszültségmérő műszerrel lezárt hurok
Ha egy hálózatban nh-számú hurok van, akkor (nh-1) számú független hurokegyenlet írható fel. Néhány áramkör számítási módszer Hurokáramok módszere A hurokáram egy hurok mentén folyó feltételezett (fiktív) áram, amivel felírható a hurokegyenlet. Egy hálózatban (nh-1) számú független hurokáram definiálható olyan módon, hogy minden ágon legalább egy hurokáram legyen, valamennyi ág feszültsége legalább egy egyenletben szerepeljen. Mivel a szuperpozíció elvét alkalmazza (közös ágban a hurokáramok összegeződnek), ezért a hurokáramok módszere csak lineáris áramkörök számítására használható. Ideális áramgenerátort tartalmazó hurokban a hurokáram nem térhet el a generátor áramától. Példa Rb1
I3
R3
I1
A
J3 U1
Uk R2
J1
I2
Ib4
I5
R5
J2 Helytelen hurokáram választás
A fenti hurokáramok választásánál az áramgenerátor miatt csak J2=Ib4 és J3= -Ib4 lehet, ezért I5= -J2= -Ib4 és I3= -J3= Ib4 és az A csomópontban nem teljesül a csomóponti törvény. Rb1
R3
I1
I3 Ib4
U1
J1
Uk R2
I2
I5
J2
J3 A hurokáramok lehetséges választása
8
R5
III. Áramkör számítási módszerek, egyenáramú körök A körüljárási irányt a hurokáramokkal megegyezően választva a hurokegyenletek: U1 + R2(J1-J2-J3) + Rb1J1 =0, R2(J2+J3 -J1) + R5(J2+J3) + R3J3 =0 (az áramgenerátor feszültsége megegyezik R3 feszültségével!), Az áramgenerátor miatt J2=Ib4, így csak két ismeretlen hurokáram van. A valóságos ágáramok a hurokáramokból számíthatók: I1= -J1, I2= -J1 + J2 + J3, I3= -J3, I5= -J2 -J3. Csomóponti potenciálok módszere Egy referencia ponthoz (0 potenciálú csomópont) viszonyított feszültség meghatározása (ncs-1) számú csomópontra, lineárisan független csomóponti egyenletekkel. Nemlineáris áramköröknél is használható, mert a szuperpozíció elvét nem alkalmazza. Ha egy csomópont és a referenciapont közötti ágban csak ideális feszültséggenerátor van, akkor a csomópont potenciálja nem térhet el a generátor feszültségétől. Példa A
Rb1
R3
I1
B
Uk R2
U1
I3
I2
Ib4
C
I5
R5
D A csomópontok lehetséges megválasztása A D csomópontot tekintve referenciának (potenciálját nullára választva VD=0) az A csomópont potenciálja a feszültség generátor miatt csak VA=U1 lehet. A csomóponti egyenletek: VB − U1 VB VB − VC + + − I B4 = 0 , Rb1 R2 R3 VC − VB V + I B4 + C = 0 . R3 R5 A csomópontok potenciáljából az ágáramok számíthatók: V − U1 V V − VC V I1 = B , I 2 = B , I3 = B , I5 = C . Rb1 R2 R3 R5 Ellenállások soros kapcsolása
I
R1
R2
U1
U2
I
Re U
U Soros kapcsolású ellenállások eredője
9
VIVEA002 Elektrotechnika
2014
A csomóponti törvény értelmében soros áramkörben minden elem árama azonos. U=I(R1+R2)=IRe, Re=R1+R2, általánosan Re = ∑ Ri . i
Soros kapcsolású ellenállások (ellenállás lánc) egyik tagjának feszültségét a teljes feszültségből a feszültségosztás képletével határozhatjuk meg. Mivel U1 U 2 = és U=U1+U2. R1 R2 1 U1 U U1 R + R2 U R1 1 U = − = → U1 + = → U1 = U . → U1 1 R1 R2 R2 R1 R2 R2 R1 + R2 R1 R2 R2 Általános esetben a feszültség az x-dik soros ellenálláson: Rx U Ux=I Rx, I= , Ux = U . ∑ Ri ∑ Ri i
i
Alkalmazási példa: feszültségmérő műszer előtét ellenállása. Az ún. alapműszereket (mérőműveket) rendszerint kis méréshatárra készítik. Legelterjedtebb a lengőtekercses, egyenáramot mérő (Deprez) alapműszer, pl. 5 mA/60 mV méréshatárral. Nagyobb áram vagy feszültség mérésére külső ellenállásokkal teszik alkalmassá. Az univerzális és a több méréshatárú műszerek több külső ellenállást is tartalmaznak. Az Im=5 mA és a Um=60 mV összetartozó, a műszer végkitéréséhez tartozó értékek, ezekből számítható a műszer Rm belső ellenállása: U 60 mV Rm = m = = 12 Ω . Im 5 mA
U Um Re
Rm
Előtét ellenállás alkalmazása a méréshatár kibővítésére U > Um feszültség méréséhez a műszerrel sorosan kapcsolt Re ún. előtét ellenállást alkalmaznak. A feszültségosztó láncot úgy kell méretezni, hogy a mérendő legnagyobb U feszültség esetén a műszerre legfeljebb csak Um feszültség jusson. U Rm U − Um Um = U , ebből Re = Rm = Rm − 1 . Rm + Re Um Um Ellenállások párhuzamos kapcsolása
I
I1
R1
I2
R2
I
Re U
U
Párhuzamos kapcsolású ellenállások eredője 10
III. Áramkör számítási módszerek, egyenáramú körök
A huroktörvény értelmében párhuzamos áramkörökben minden ág feszültsége azonos. I1R1= I2R2= IRe=U I1+ I 2= I U U U 1 1 1 + = → + = . R1 R2 Re Re R1 R2 Általánosan: 1 1 =∑ . Re i Ri vagy a vezetésekkel felírva: Ge = ∑ G i . i
Párhuzamos kapcsolású ellenállások egyikének áramát a teljes áramból az áramosztás képletével határozhatjuk meg: R2 I1R1=(I-I1)R2=IR2-I1R2 → I1 = I . R1 + R2 A vezetésekkel felírva: I1 I = 2 , G1 G2 1 I1 I G1 I I 1 + → I1 = I = − 1 → I1 . = G1 G2 G2 G1 + G2 G1 G2 G2 Általánosan, az x-dik ágra: Gx Ix = I . ∑ Gi i
Alkalmazási példa: árammérő műszer sönt ellenállása.
I Im
Rs Um Rm
Sönt ellenállás alkalmazása a méréshatár kibővítésére I > Im áram méréséhez a műszerrel párhuzamosan kapcsolt Rs ún. sönt ellenállást alkalmaznak. Az áramosztó láncot úgy kell méretezni, hogy a mérendő legnagyobb I áram esetén a műszeren legfeljebb csak Im áram folyjon át. Rs Im Im = I , ebből Rs = Rm . Rm + Rs I − Im A szuperpozíció elve Csak lineáris rendszerekben alkalmazható. Lineáris rendszerekben a különböző nagyságú hatások eredőjének következménye megegyezik az egyes hatások következményeinek eredőjével: f(a)+f(b)=f(a+b). 11
VIVEA002 Elektrotechnika
2014
A linearitás feltételének megfelelő villamos áramkörök számítása során külön-külön vizsgálhatjuk az egyes energiaforrások hatását, majd ezeket a hatásokat (feszültségeket, áramokat) előjel-helyesen összegezzük. Például, az R ellenálláson folyó I' és I" áram által keltett feszültségre: U' = R(I'+I") = RI' + RI" = U' + U". A rész-számítás során figyelmen kívül hagyott feszültség-generátort rövidzárral, az áramgenerátort szakadással kell kiiktatni, a generátorok belső ellenállásai maradnak a hálózatban. Teljesítmény nem számítható szuperpozícióval, mert pl. az I2 függvény nemlineáris, ezért R(I'+I")2 ≠ RI'2 + RI"2. Példa Rb1
R3
I1
Uk R2
U1
I2
I3
I5
R5
I’5
R5
Ib4
A számítandó áramkör vázlata
Rb1
R3
I’1
U’k R2
U1
I’2
Ib4
I’3
Az áramgenerátor kiiktatása
Rb1
U1
R3 I”3
I”1
U”k R2
I”2
Ib4
I”5
R5
A feszültséggenerátor kiiktatása Az eredő ágáramokat az egyszerűsített áramköröknél számított áramok előjel-helyes összegezésével kapjuk. A módszer természetesen kettőnél több forrás esetén is alkalmazható.
12
III. Áramkör számítási módszerek, egyenáramú körök Kétpólus Kétpólusnak nevezzük egy tetszőleges hálózat tetszőleges számú elemből álló, két kapocspont közötti részét. Az elemek elrendezésére nincs előírás. A helyettesítő feszültség-generátor tétele Bármilyen bonyolult hálózat egy tetszőleges ága számára helyettesíthető egyetlen Ub feszültségű ideális generátorból és egy vele sorosan kapcsolt Rb belső ellenállásból álló kétpólussal.
A
Rb
A
RAB
+ Ub
RAB
-
B
B Összetett áramkör feszültség generátoros helyettesítése
Ub - a szóban forgó ág csatlakozó pontjai között mérhető (üresjárási) feszültség (U0), Rb - az ugyanezen pontok között - a források kiiktatása után - mérhető ellenállás. A helyettesítendő áramkör feszültség-forrásainak kiiktatása azok rövidre zárásával, az áramgenerátorok kiiktatása szakadással való helyettesítéssel történik. A helyettesítő áram-generátor tétele Bármilyen bonyolult hálózat egy tetszőleges ága számára helyettesíthető egyetlen Ib áramú ideális generátorból és egy vele párhuzamosan kapcsolt Rb belső ellenállásból álló kétpólussal.
A
A RAB
RAB
Rb B
B Összetett áramkör áram-generátoros helyettesítése
Ib - a szóban forgó ág csatlakozó pontjai között mérhető rövidzárási áram (Iz), Rb - az ugyanezen pontok között – a források kiiktatása után – mérhető ellenállás. A két helyettesítő kapcsolás átalakítható egymásba: feszültség-generátor → áram-generátor átalakítás U I z = Ib = b Rb=Rb, Rb áram-generátor → feszültség-generátor átalakítás U0=Ub=IbRb Rb=Rb.
13
Ib
VIVEA002 Elektrotechnika
2014
Ellenőrző kérdések 1. Hogyan számítják a villamos munkát (energiát), mi a mértékegysége? 1. Hogyan számítják a villamos teljesítményt, mi a mértékegysége? 3. Milyen kapcsolat van a villamos ellenállás és a villamos vezetés között, mi ezek mértékegysége? 4. Írja fel és ábrázolja fémes anyagok ellenállásának hőmérséklet-függését. 5. Mi a fajlagos ellenállás, mi a mértékegysége? 6. Milyen a lineáris és a nemlineáris ellenállás? 7. Hogyan határozza meg Joule törvénye az ellenállás veszteségét? 8. Mit fejez ki Kirchhoff csomóponti törvénye? 9. Mit fejez ki Kirchhoff hurok törvénye? 10. Mi a hurokáramok módszere, hogyan alkalmazzák? 11. Mi a csomóponti potenciálok módszere, hogyan alkalmazzák? 12. Hogyan számítja ki sorosan kapcsolt ellenállások eredőjét? 13. Hogyan számítja ki párhuzamosan kapcsolt ellenállások eredőjét? 14. Hogyan alkalmazza a feszültség osztás összefüggését? 15. Hogyan alkalmazza az áramosztás összefüggését? 16. Milyen méréstechnikai célt szolgál az előtét ellenállás? 17. Milyen méréstechnikai célt szolgál a sönt ellenállás? 18. Hogyan alkalmazható villamos áramkörben a szuperpozíció tétele? 19. Mi a helyettesítő feszültséggenerátoros kétpólus, hogyan határozza meg paramétereit? 20. Mi a helyettesítő áramgenerátoros kétpólus, hogyan határozza meg paramétereit?
Összeállította: Kádár István 2014. szeptember
14
III. Áramkör számítási módszerek, egyenáramú körök
Példák, feladatok 1. Számítsa ki az ábrán látható áramkör A és B pontja közötti feszültségkülönbséget. R1=2Ω A + U3=4V U1=2V +
U2=4V + R2=3Ω
R3=3Ω
R4=5Ω
B {UA-B= 3,7 V} 2. Az ábrán látható áramkörben U1=24 V, U2=36 V, R1=R2=R3=10 Ω. Számítsa ki az R3 ellenállás teljesítményét. {P3= 40 W}
R1 R2
+ U1
R3
+ U2
3. Az ábrán látható áramkörben U=15 V, R1= 2 Ω, R2= 8 Ω, R3= 5 Ω, az eredő áram I= 4 A. Számítsa ki az R4 ellenállás valamint az I1 és I2 ágáramok értékét. Mekkora az ellenállásokon keletkező összes veszteségi teljesítmény? {R4= 1 Ω, I1= 1,5 A, I2= 2,5 A, ΣP= 60 W} R1
I1
R2
R3
I2
R4
I
U
15
VIVEA002 Elektrotechnika
2014
4. Az ábrán látható áramkörben U=15 V, Rb=0,6 Ω, R1=1,2 Ω, Rb R2=4 Ω, R3=6 Ω, R4=1,2 Ω. Számítsa ki az egyes ellenállások áramát és teljesítményét, Uk R1 valamint az Uk feszültség érté- U két. {Ib= 10 A, Pb= 60 W, I1= 7,5 A, P1= 67,5 W, I2= 1,5 A, P2= 9 W, I3= 1 A, P3= 6 W, I4= 2,5 A, P4= 7,5 W, Uk= 9 V}
R2
5. Az ábrán látható áramkörben Ib U=50 V, I3=4 A, Rb=0,1 Ω, R1=1 Rb Ω, R2=5 Ω, R4=4 Ω. Számítsa ki az egyes ellenállások áramát, teljesítményét és az Uk feszültUk U R1 ség értékét. { Ib= 48 A, Pb= 230,4 W, I1= 45,2 A, P1= 2043,04 W, I2= 6,8 A, P2= 231,2 W, I4= 2,8 A, P4= 31,36 W, Uk= 45,2 V, PU=-2400 W, PI3=-136 W}
R2
6. Az ábrán látható áramkörben U2=21 V, R1=6 Ω, R2=3 Ω, R3=12 Ω. Mekkora legyen U3, hogy az R1 ellenálláson 6 W veszteségi teljesítmény keletkezzen? Számítsa ki az R3 ellenállás eredő veszteségi teljesítményét. {A veszteségi teljesítmény nem függ az áram irányától, ezért két megoldás van: a) U3= -42 V, P3= 192 W b) U3= -126 V, P3= 1200 W} 7. Az ábra áramkörében I=10 A, U=15 V, Rb=0,6 Ω, R1=1,2 Ω, R3=6 Ω, R4=1,2 Ω. Számítsa ki az Uk feszültség és az R2 ellenállás értékét, valamint és az egyes ellenállá- U sokon mérhető feszültséget. {Uk= 9V, R2= 4 Ω, Ub= 6 V, U1= 9 V, U2= U3=6 V, U4=3 V}
I1
R3 R4
I2
I3
R2 R1
R4
I4
+ U3
+ U2
R3
R2 Rb
I R3 Uk
16
R1
R4
III. Áramkör számítási módszerek, egyenáramú körök 8. Az ábrán látható áramkörben U1=46 V, U2=23 V, R1=15 Ω, R2=40 Ω, R3=10 Ω. Számítsa ki az R3 ellenállás áramát és veszteségi teljesítményét. {I3= 1,3 A, P3= 16,9 W}
+
U1 R2
R1 +
R3
U2 9. Az ábrán látható áramkörben Ig=12 A, Ug=72 V, R1=R2=R3=6 Ω. Számítsa ki az egyes ellenállások áramát és veszteségi teljesítményét, valamint az áram- és a feszültséggenerátor teljesítményét. {I1= 0, P1= 0, I2= 0, P2= 0, I3= 12 A, P3= 864 W, PIg= 0, PUg= -864 W}
R3 R1 Ig
17
R2
Ug +
