4
II. TINJAUAN PUSTAKA
Dalam bab ini akan dijelaskan pengertian tentang distribusi Weibull, maximum likelihood estimation, penyensoran, bias relatif, penduga parameter distribusi Weibull dan beberapa istilah lain yang berkaitan dengan bahasan dalam penelitian ini.
2.1 Distribusi Weibull
Distribusi Weibull diperkenalkan oleh seorang matematikawan yang bernama Wallodi Weibull. Distribusi Weibull sering digunakan dalam pemodelan analisis kelangsungan hidup yang memiliki daerah fungsi peluang densitas positif dengan Peubah Acak kontinu. Distribusi Weibull memiliki dua parameter, yaitu: = parameter bentuk (shape)
yaitu menggambarkan bentuk distribusi pada
distribusi Weibull.
= parameter skala (scale) yaitu menggambarkan sebaran data pada distribusi Weibull.
Menurut Kungdu dan Mangalick (2004), fungsi kepekatan peluang dari suatu Peubah Acak Weibull ( , ) adalah sebagai berikut:
5
( )=
−
0;
;
> 0,
> 0,
>0
Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull didefinisikan sebagai: ( ) = 1 − exp[−
].
Rata-rata (mean) dari distribusi Weibull adalah ( ) =
Г
+( ) .
Ragam (variance) distribusi Weibull adalah ( ) =
{Г
+
− Г
+
}.
2.2 Jenis Penyensoran
Suatu data dikatakan tersensor jika lamanya hidup seseorang yang ingin diketahui atau diobservasi hanya terjadi pada periode waktu yang telah ditentukan (interval pengamatan), sedang info yang ingin diketahui tidak terjadi pada interval tersebut. Dengan demikian kita tidak memperoleh informasi apapun yang diinginkan selama interval pengamatan. Ada tiga jenis penyensoran yaitu sensor kanan (right censoring), sensor kiri (left censoring) dan sensor selang (interval censoring). Right cencoring, terjadi jika individu yang diamati masih tetap hidup pada saat waktu yang telah ditentukan. Left cencoring, terjadi jika semua informasi yang ingin diketahui dari seorang individu telah dapat diperoleh pada awal studi. Interval cencoring, jika informasi yang dibutuhkan telah dapat diketahui pada kejadian peristiwa didalam selang pengamatan (Klein dan Moeschberger, 1997).
6
Misalkan, penelitian tentang waktu munculnya kembali tumor setelah operasi. Tiga bulan setelah operasi pasien diuji apakah tumor muncul lagi. Ternyata pada beberapa orang pasien, tumor belum juga muncul hingga waktu tiga bulan berakhir (waktu munculnya tumor lebih besar dari tiga bulan). Sehingga waktu munculnya tumor untuk pasien tersebut adalah tersensor kanan. Namun pada beberapa orang pasien, tumor telah muncul sebelum tiga bulan (waktu munculnya tumor lebih kecil dari tiga bulan). Sehingga waktu munculnya tumor untuk pasien tersebut adalah tersensor di kiri. Pasien diamati bebas tumor pada waktu tiga bulan pertama tapi tumor muncul ketika diuji enam bulan setelah operasi, berarti waktu daya tahan pasien diketahui antara tiga sampai enam bulan, maka waktu daya tahan pasien tersebut merupakan sensor selang (Lee, 1992).
2.3 Tipe-Tipe Penyensoran
Jenis penyensoran dapat dibagi lagi menjadi tipe-tipe penyensoran. Menurut Johnson (1982), tipe-tipe penyensoran terdiri dari : 1. Penyensoran Tipe I Pada penyensoran sebelah kanan tipe I, penelitian diakhiri apabila waktu pengamatan yang ditentukan tercapai. Jika waktu pengamatan sama untuk semua unit maka dikatakan penyensoran tunggal. Jika waktu pengamatan untuk setiap unit berbeda maka dikatakan penyensoran ganda. Pada penyensoran sebelah kiri tipe I, pengamatan dilakukan jika telah melampaui awal waktu yang ditentukan. Karakteristik penyensoran tipe I adalah bahwa kegagalan adalah acak.
7
2. Penyensoran Tipe II Pada penyensoran tipe II, pengamatan diakhiri setelah sejumlah kegagalan yang telah ditetapkan diperoleh, atau dapat dikatakan banyaknya kegagalan adalah tetap dan waktu pengamatan adalah acak. Pada sensor kanan jenis II, jumlah individu pada saat awal ditentukan dan waktu penelitian ditentukan sampai terjadinya kematian dengan jumlah tertentu. Pada sensor kiri jenis II, titik awal penelitian dilakukan saat waktu kegagalan terurut ( < ).
3. Penyensoran Maju (Progressive Censoring) Pada penyensoran maju, suatu jumlah yang ditentukan dari unit-unit bertahan dikeluarkan dari penelitian berdasarkan kejadian dari tiap kegagalan terurut. Secara konseptual, hal ini sama dengan suatu praktek yang dikenal sebagai sudden-death testing, dimana tes secara serempak memuat beberapa pengetesan dan apabila terjadi kegagalan pertama maka seluruh pengetesan dianggap gagal. (Johnson, 1982).
2.4 Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Estimation)
Misalkan X adalah Peubah Acak kontinu (atau diskrit) dengan fungsi kepadatan peluang ( ; ) dengan ,
,…,
adalah satu parameter yang tidak diketahui. Misalkan
merupakan sebuah sampel acak berukuran n.
Maka fungsi kemungkinan (likelihood function) dari sampel acak itu adalah: ( )=
( ; ) ( ; )… (
; )
8
Dalam hal ini, fungsi kemungkinan adalah fungsi dari parameter ( ) yang tidak diketahui. Biasanya untuk memudahkan penganalisisan, fungsi kemungkinan ( ) diberi ln (Nar Herrhyanto, 2003). Fungsi ln-Likelihood dideferensiasikan terhadap
=
ln ( )
=
ln ( 1: )
yaitu:
=0
Dengan mencari solusi dari persamaan di atas maka akan ditemukan penduga yang memaksimumkan fungsi Likelihood (Hogg dan Craig, 1986).
2.5 Ketakbiasan
Menurut Herrhyanto (2003),
Sebaliknya
dikatakan penduga tak bias bagi parameter , jika : =
dikatakan penduga bias bagi parameter , jika: ≠
2.6 Metode Kemungkinan Maksimum pada Distribusi Weibull
Parameter yang diduga pada distribusi Weibull adalah
dan
. Metode
kemungkinan maksimum (maximum likelihood estimation) diawali dengan membentuk fungsi kemungkinan (likelihood estimation) dari distribusi Weibull, yaitu sebagai berikut:
9
( , )=
( ; , )
Dimana fungsi kepekatan peluang dari Weibull adalah: ( ; , )=
0
;
−
;
> 0,
> 0,
>0
Sehingga fungsi kemungkinan yang dapat dibentuk dari fungsi kepekatan peluang distribusi Weibull adalah: ( , )= ∏ =
( )
∏
∑
Untuk mempermudah penganalisisan, fungsi kemungkinan tersebut diberi fungsi logaritma natural, sehingga diperoleh: ln
( , ) =
ln − n β ln + ln ∏
∑
−
=
ln − n β ln + (β − 1) ln
−
=
ln − n β ln + (β − 1) ln( .
=
ln − n β ln + (β − 1) ∑
…
ln x −
1 ) −
1
∑
(2.1)
Selanjutnya penduga kemungkinan maksimum dari distribusi Weibull diperoleh dengan cara mencari turunan pertama dari logaritma natural fungsi kemungkinan terhadap
dan
sebagai berikut:
dan menyamakan dengan nol. Penduga untuk
dan
diuraikan
10
2.6.1 Penduga untuk
Penduga
parameter
dari
distribusi
Weibull
dapat
diperoleh
dari
memaksimumkan logaritma natural fungsi kemungkinan dari distribusi Weibull yaitu dengan turunan pertama λ dari logaritma natural fungsi kemungkinannya yang sama dengan nol. Yaitu sebagai berikut: ( , )
=0
Persamaan (2.1) disubstitusikan ke persamaan di atas, sehingga didapat: ( , )
=
=0
ln − n β ln + (β − 1) ∑
ln x −
∑
Untuk mempermudah proses perhitungan maka digunakan permisalan berikut ini: =−
1
= −
(
= =
(
) )
Selanjutnya, −
+
(
)
∑
=0 −
(2.2)
= − =
(
(
)
)
11
. = =
n= = =
(
∑
.
)
∑
∑ ∑
Maka diperoleh penduga parameter
=
pada distribusi Weibull sebagai berikut:
∑
(2.3)
Untuk melihat apakah
=
∑
dibuktikan turunan kedua dari ( , )
merupakan titik maksimum dari adalah kurang dari nol, yaitu :
<0
Persamaan (2.2) disubstitusikan ke persamaan diatas, sehingga didapat: ln
( , ) −
=
− (
( + 1) −
+ )
( + 1) ∑ (
)
(
<0
)
<0 <0
maka
12
Karena turunan kedua
dari logaritma natural fungsi kemungkinan dari distribusi
Weibull kurang dari nol maka terbukti bahwa penduga yang maksimum pada .
=
∑
merupakan
2.6.2 Penduga untuk
Penduga
parameter
dari
distribusi
Weibull
dapat
diperoleh
dari
memaksimumkan logaritma natural fungsi kemungkinan dari distribusi Weibull yaitu dengan turunan pertama
dari logaritma natural fungsi kemungkinannya
yang sama dengan nol. Yaitu sebagai berikut: ( , )
=0
Persamaan (2.1) disubstitusikan ke persamaan diatas, sehingga didapat: ln
( , )
=
ln − n β ln + (β − 1)
ln x −
=
ln − n β ln + (β − 1)
ln x −
=0
1
Karena untuk menurunkan persamaan di atas tidak mudah maka digunakan permisalan: = ln
= ln
13
ln
=
1
ln
= ln
=
ln
=
ln
Sehingga diperoleh, −
ln +
−
ln
ln
− −
ln
+
ln ln +
ln −
ln( ) −
=0
= − =
ln
ln
ln +
ln −
=
ln
Persamaan (2.3) disubstitusikan ke persamaan diatas, sehingga didapat:
∑ ∑
∑ ∑ ∑
ln ln
ln
− – –
ln + =
1
=
ln
−
= ∑
ln
ln ∑
ln
Nilai dugaan parameter bagi
(2.4) diperoleh melalui pendeketan iterasi metode
Newton – Raphson dengan menganggap bahwa: ( )=
( , )
=0
14
Langkah-langkah metode Newton-Raphson untuk mencari dugaan parameter adalah sebagai berikut: 1. Menentukan nilai awal 2. Menentukan persamaan ( )=
∑
ln
∑
–
( )
1
−
∑
(
∑
)
∑
ln
( ) adalah
Dan turunan pertama dari ( ) ( )=
∑
∑
3. Masukkan persamaan
+
( ) dan turunan pertamanya
( ) ke dalam
rumus metode Newton-Raphson =
−
=
−
(
(
)
)
Sehingga diperoleh nilai dugaan parameter bagi
=
−
(
(
∑
sebagai berikut:
)
) ∑
∑
∑
Persamaan (2.5) adalah penduga
ln
–
1
−
(ln ) − ∑
∑
∑
ln
ln
+
1
(2.5)
bagi distribusi Weibull (Sinurat, 2008).
15
2.7 Fungsi Kemungkinan Maksimum pada Distribusi Weibull Tersensor Kiri
Menurut Engelhardt dan Bain (1991), fungsi kemungkinan maksimum Distribusi Weibull pada data tersensor kiri adalah: ( )=
( ; ) .
( )
