II. FUNGSI
2.1 Pendahuluan A. Tujuan Setelah mempelajari bagian ini diharapkan mahasiswa dapat: 1. menyebutkan definisi fungsi; 2. menyebutkan macam-macam variabel dalam fungsi; 3. membedakan antara variabel bebas dan variabel terikat; 4. menyebutkan syarat-syarat suatu fungsi; 5. membedakan antara relasi yang merupakan fungsi dan relasi yang bukan fungsi; 6. menentukan daerah definisi fungsi; 7. menentukan daerah hasil fungsi;
B. Deskripsi Singkat Isi Bab Bab ini berisi uraian tentang: 1. definisi fungsi; 2. definisi daerah definisi fungsi; 3. definisi daerah hasil fungsi.
Kata kunci: fungsi, daerah definisi, daerah hasil
1.2 Definisi -Definisi Definisi fungsi
Diketahui A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong. Suatu fungsi dari A ke B adalah suatu aturan yang memetakan setiap elemen di A dengan tepat satu elemen di B.
Hal-hal yang perlu diperhatikan dari definisi fungsi adalah: 1. Kalimat “ … memetakan setiap elemen di A ….” berarti semua elemen di A, tanpa terkecuali, harus memiliki peta. 2. Kalimat “ … memetakan setiap elemen di A dengan tepat satu elemen di B.” artinya semua elemen di A, tanpa terkecuali, harus memiliki satu peta (tidak lebih) di B.
Contoh: 1. Apakah f(x) = 3x + 2 merupakan suatu fungsi? Jika f(x) adalah fungsi tentukan f(2), f(4a), f(5 + h)!
Penyelesaian: Pernyataan f(x) = 3x + 2 sama artinya dengan pernyataan f(x) = 3x + 2, x R, yang berarti f(x) didefinisikan pada semua bilangan real. Karena f(x) ada untuk setiap x R maka f(x) adalah fungsi. f(2) = 3.2 + 2 =8 f(4a) = 3(4a) + 2 = 12 + 2 f(5 + h) = 3(5 + h) + 2 = 15 + 3h + 2 = 3h + 17
2. Apakah g ( x )
1 merupakan fungsi? Jika bukan fungsi, bagaimana caranya x 9 2
menjadikannya suatu fungsi?
Penyelesaian: Pernyataan g ( x )
1 1 sama artinya dengan pernyataan g ( x ) 2 , x R. x 9 x 9 2
g(x) ada untuk setiap x R, kecuali untuk x 3 , karena untuk x 3 nilai g(x)
tak terdefinisi. Jadi g(x) bukan fungsi. Agar
g( x)
1 menjadi fungsi maka x 9 2
x 3 harus tidak menjadi anggota daerah definisi. Jadi g(x) berikut ini adalah fungsi,
g( x)
1 , x R dan x 3 x 9 2
3. Apakah h( x) x , x 0 merupakan fungsi? Jika bukan, bagaimana caranya agar h(x) menjadi fungsi!
Penyelesaian: Untuk setiap x > 0 akan memberikan dua harga h(x). Sebagai contoh untuk x = 4 akan didapat h(4) = -2 dan h(4) = 2. Karena ada satu elemen daerah definisi yang memiliki lebih dari satu peta jadi h(x) bukan fungsi. Agar h(x) menjadi fungsi maka harus dipecah menjadi dua pernyataan yaitu, h( x) x , x 0 atau h( x) x , x 0
Definisi daerah definisi fungsi (Df)
Daerah definisi fungsi y = f(x) adalah himpunan semua nilai x sehingga nilai y ada.
Definisi daerah hasil fungsi (Rf)
Daerah definisi fungsi y = f(x) adalah himpunan semua nilai y dengan x berasal dari daerah definisi.
Contoh: 1. Tentukan daerah definisi dan daerah hasil fungsi y = x + 2.
Penyelesaian: Untuk semua nilai x dalam interval terbuka (-, +) akan diperoleh nilai y. Nilai y yang diperoleh juga interval terbuka (-, +). Jadi daerah definisi dan daerah hasil fungsi di atas adalah interval terbuka (-, +).
2. Tentukan daerah definisi dan daerah hasil fungsi y = log x.
Penyelesaian: Logaritma terdefinisi pada selang terbuka (0, +). Nilai log x untuk 0 < x < 1 adalah negatip, untuk x = 1 adalah nol dan untuk x > 1 adalah positip. Dengan demikian daerah hasil fungsi di atas adalah selang terbuka (0, +).
3. Tentukan daerah definisi dan daerah hasil fungsi y x 2 2 x 2 .
Penyelesaian: Fungsi di atas terdefinisi pada selang terbuka (-, +), karena itu daerah definisi fungsinya adalah selang terbuka (-, +). Untuk menentukan daerah hasilnya dilakukan manipulasi sebagai berikut:
y x 2 2x 2 y ( x 1) 2 3
Bentuk kuadrat pada ruas kanan selalu bernilai tak negatip dan paling kecil adalah nol, sehingga nilai terkecil adalah -3. Karena itu daerah hasil fungsi di atas adalah selang (-3, +).
4. Tentukan daerah definisi dan daerah hasil fungsi y 9 x 2
Penyelesaian: Agar hasil akar kuadrat menghasilkan bilangan real maka bilangan di dalam tanda akar harus tak negatip, yaitu, 9 x 2 0 . Pertidaksamaan ini menghasilkan
3 x 3 yang tidak lain adalah daerah definisi fungsi di atas. Untuk menentukan daerah hasil fungsi dilakukan manipulasi sebagai berikut,
3 x 3 , kuadratkan dari pertidaksamaan ini menghasilkan,
0 x 2 9 , Kalikan masing-masing suku dengan -1 diperoleh,
9 x 2 0 , Kurangi masing-masing suku dengan 9 diperoleh, 0 9 x 2 9 , Masing-masing suku di akar kuadratkan diperoleh, 0 9 x 2 3 , Karena y 9 x 2 , maka
0 y3 Jadi daerah hasil fungsi adalah interval [0,3]
Rangkuman 1. Diketahui A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong. Suatu fungsi dari A ke B adalah suatu aturan yang memetakan setiap elemen di A dengan tepat satu elemen di B. 2. Daerah definisi fungsi y = f(x) adalah himpunan semua nilai x sehingga nilai y ada. 3. Daerah definisi fungsi y = f(x) adalah himpunan semua nilai y dengan x berasal dari daerah definisi.
Latihan 1. Tuliskan definisi fungsi! 2. Jika diketahui y = f(x) = x2 + 5x + 10, sebutkan variabel bebas dan variabel terikatnya! 3. Sebutkan apakah persamaan-persamaan di bawah ini suatu fungsi atau bukan dan berilah penjelasannya! a) y = 5x + 6 b) y2 = x + 6 c) y =
x
d) x2 + y2 = 16 e) y =
5 , x6
f) y =
2 x3
x -6
4. Jika f(x) = 2x2 + 6x -1, Hitunglah: a) f(-3) b) f(-2) c) f(0) d) f(1/2) e) f(3) 5. Tentukan daerah definisi dan daerah hasil fungsi-fungsi dibawah ini: a) y = x - 3 b) y = 3x + 8, 0 < x < 16 c) y = x2 + 5x + 12 d) y = -x2 - 2x + 8, 20 x 0 e) y = ln(x + 2) f) y =
x
g) y =
8 x9
Daftar Pustaka Martono, K., 1985, Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik I, Penerbit Angkasa, Bandung.
Soemartojo, N., 1985, Kalkulus, Penerbit Erlangga, Jakarta.
Spiegel, M.R., 1956, Theory and Problem of College Algebra, McGraw-Hill, Inc. New York.
Pengarang, tahun, judul, penerbit, kota terbit, halaman
