TESIS
IDENTIFIKASI FAKTOR SIGNIFIKAN RANCANGAN FAKTORIAL FRAKSIONAL TANPA PENGULANGAN DENGAN METODE BISSELL, LENTH, DAN FANG
Oleh:
ADNAN SAUDDIN NRP. 1304 201 008
PROGRAM STUDI MAGISTER JURUSAN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER 2006
IDENTIFIKASI FAKTOR SIGNIFIKAN RANCANGAN FAKTORIAL FRAKTIONAL TANPA PENGULANGAN DENGAN METODE BISSELL, LENTH, DAN FANG Tesis ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Magister Sains (M.Si.) di Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya Oleh: ADNAN SAUDDIN NRP. 1304 201 008 Tangal Ujian : 31 Juli 2006 Periode Wisuda: September 2006 Disetujui Oleh Tim Penguji Tesis:
1. Prof. Dra. Susanti Linuwih, M.Stat., Ph.D NIP. 130 368 808
(Pembimbing 1)
2. DR. Drs. Purhadi, M.Sc NIP. 131 843 382
(Pembimbing 2)
3. Prof. Drs. Nur Iriawan, MIkom., Ph.D NIP. 131 782 011
(Penguji)
4. DR. Drs. I Nyoman Budiantara, M.Sc NIP. 131 843 382
(Penguji)
5. DR. Drs. Sony Sunaryo, M.Si NIP. 131 883 380
(Penguji)
6. Ir. Mutiah Salamah, M.Kes NIP. 131 283 368
(Penguji)
Direktur Program Pascasarjana Prof. Ir. Happy Ratna S., M.Sc., Ph.D. NIP. 130 541 829
IDENTIFIKASI FAKTOR SIGNIFIKAN RANCANGAN FAKTORIAL FRAKSIONAL TANPA PENGULANGAN DENGAN METODE BISSELL, LENTH, DAN FANG
Oleh : Adnan Sauddin Pembimbing : Prof. Dra. Susanti Linuwih, M.Stat., Ph.D Co. Pembimbing : Dr. Purhadi, M.Sc ABSTRAK Rancangan faktorial dengan jumlah faktor yang sangat besar tidak memungkinkan untuk diterapkan didunia industri atau di bidang lainnya. Untuk mengatasi hal tersebut, digunakan rancangan faktorial fraktional. Dalam penelitian, penentuan faktor mana dari sejumlah faktor yang dinyatakan potensial memberikan informasi terhadap masalah yang diteliti menjadi lebih sulit jika pengukurannya dilakukan tanpa pengulangan untuk setiap kombinasi perlakuan. Hal tersebut disebabkan oleh tidak adanya rata-rata kuadrat error yang dapat diperoleh pada sebagian besar rancangan faktorial fraksional tanpa pengulangan. Untuk mengatasi hal tersebut, dalam penelitian ini dihasilkan statistik uji metode Bissell, Lenth, dan Fang beserta penaksir-penaksirnya yang memberikan suatu analisis formal tentang bagaimana menentukan suatu faktor signifikan atau tidak dalam rancangan faktorial fraksional tanpa pengulangan. Juga diperoleh funsi power dari ketiga metode tersebut, yang digunakan untuk membandingkan kekuatan uji masing-masingnya. Power uji menunjukkan metode Lenth dan Fang lebih kuat banding metode Bissell, dan antara metode Lenth dan Fang tidak memberikan indikasi adanya perbedaan kekuatan uji. Kata kunci :
Fraksional Faktorial, fungsi power, metode Lenth, metode Fang, metode Bissell.
iii
IDENTIFICATION SIGNIFICANT FACTORS OF UNREPLICATED FRACTIONAL FACTORIAL DESIGN BY USING BISSELL, LENTH, AND FANG METHODS
By : Adnan Sauddin Supervisor : Prof. Dra. Susanti Linuwih, M.Stat., Ph.D Co. Supervisor : Dr. Purhadi, M.Sc ABSTRACT Factorial design with number of factors very large is impossible to be apply in industrial world. To avoid such a problems, fractional factorial design is used instead. However, to select the right factor which should be used in order to supply information about the problem being analyzed will be difficult when we running each treatment combination without replication. That is causes by due to absence of mean square error in any analysis of most unreplicated fractional factorial design. In this research, statistical test of Bissell, Lenth, and Fang methods, including their estimation and the power function are resulted. The power function that resulting used to comparing power test of these methods, the result are Lenth and Fang method more powerfull than Bissell method, and Lenth and Fang methods showed with no indication of resulting different power test. Key words:
fractional factorial, power function, unreplicated, Bissel method, Lenth method, Fang method.
iv
DAFTAR ISI
HALAMAN PENGESAHAN
iii
ABSTRAK
iii
ABSTRACT
iv
DAFTAR TABEL
vii
DAFTAR GAMBAR
viii
DAFTAR LAMPIRAN
ix
KATA PENGANTAR
x
BAB I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang . . . . 1.2 Permasalahan . . . . . 1.3 Tujuan Penelitian . . . 1.4 Manfaat Penelitian . . 1.5 Batasan Permasalahan
. . . . .
1 1 2 2 3 3
. . . . . . . . . . .
4 4 4 7 8 9 10 10 14 17 20 21
BAB III. METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Bahan dan Alat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27 27 27
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
BAB II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Model Linier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Estimasi Kontras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Distribusi dari β 2.1.3 Penaksir σ b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Pengujian Hipotesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Rancangan Fraksional Faktorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Fraksional Faktorial Dua-Level, 2k−p . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Identifikasi Struktur Alias . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Fraksional Faktorial Tiga-Level . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Identifikasi Struktur Alias . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Beberapa Definisi dan Teorema Berkaitan dengan Pembahasan
v
. . . . .
. . . . . . . . . . .
BAB IV. 4.1
4.2
PEMBAHASAN
31
Statistik uji dari Metode Bissell, Fang dan Lenth Serta Penaksirnya 31 4.1.1
Statistik Uji Metode Bissell dan Penaksirnya . . . . . . . .
31
4.1.2 4.1.3
Penaksiran Parameter dengan Metode Lenth . . . . . . . . Penaksiran Parameter dengan Metode Fang . . . . . . . .
33 37
4.1.4
Fungsi Power Metode Bissell, Lenth dan Fang . . . . . . .
39
Perbandingan Power Uji Metode Bissell, Lenth dan Fang . . . . .
41
4.2.1 4.2.2
42 45
BAB V.
Kasus Rancangan Faktorial Fraksional 2-Level . . . . . . . Kasus Rancangan Faktorial Fraksional 3-Level . . . . . . .
KESIMPULAN DAN SARAN
49
5.1
Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
5.2
Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
DAFTAR PUSTAKA
53
LAMPIRAN
54
Lampiran A. 1.1 1.2
Matriks Rancangan dan Data
Data Eksperimen Permainan Golf . . . . . . . . . . . . . . . . . . Data Pembakaran pada Boiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lampiran B.
Hasil Analisis untuk Identifikasi Faktor Signifikan
55 55 55 57
2.1
Permainan Golf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
2.2
Pembakaran Pada Boiled 3-Level . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
Lampiran C.
Hasil Penghitungan Power dan Kurva Kuasa Metode Bissell, Lenth, dan Fang untuk Permainan Golf
Lampiran D. Listing Program 4.1 Listing Program Iterasi Bissell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2
Listing Program Perhitungan Metode Lenth dan Fang . . . . . . .
vi
62 66 66 68
DAFTAR TABEL
2.1
Susunan Rancangan Faktorial 23
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.2
Susunan Rancangan Faktorial 23−1 . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2
2.3
Algoritma Yate untuk Rancangan 3
. . . . . . . . . . . . . . . .
19
4.1
Rangkuman Hasil Analisis Varian . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
4.2
Rangkuman Hasil Analisis Varian . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
1.1
Faktor dan Level-level untuk Permainan Golf
. . . . . . . . . . .
55
1.2
Matriks Rancangan Eksperimen Permainan Golf . . . . . . . . . .
55
1.3
Faktor dan Level-Level data Pembakaran pada Boiler . . . . . . .
55
1.4
Matriks Rancangan Fraksional Faktorial 3-Level Data Pembakaran pada Boiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
2.1
Nilai Statistik Bissell, Metode Lenth dan Fang untuk Permainan
2.2
Golf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hasil Perhitungan Metode Bissell, Lenth dan Fang . . . . . . . . .
58 60
2.3
Hasil Perhitungan Metode Bissell, Lenth dan Fang . . . . . . . . .
61
3.1 3.2
Power Metode Bissell untuk Permainan Golf . . . . . . . . . . . . Power Metode Lenth untuk Permainan Golf . . . . . . . . . . . .
62 63
3.3
Power Metode Fang untuk Permainan Golf . . . . . . . . . . . . .
64
vii
DAFTAR GAMBAR
4.1
Kurva Kuasa Metode Bissell, Lenth, dan Fang untuk Permainan Golf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
46
Kurva Kuasa Metode Bissell, Lenth dan Fang untuk Permainan Golf 65
viii
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran A: Matrik Rancangan dan Data 1.1 Data Eksperimen Permainan Golf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Pembakaran pada Boiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lampiran B: Hasil Analisis untuk Identifikasi Faktor Signifikan
55 55 55 57
2.1 Permainan Golf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
2.2 Kasus Pembakaran Pada Boiled 3-Level . . . . . . . . . . . . . . .
58
Lampiran C: Hasil Perhitungan Power dan Kurva Kuasa Metode Bissell, Lenth, dan Fang Lampiran D : Listing Program
62 66
4.1 Listing Program Iterasi Bissell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Listing Program Perhitungan Metode Lenth dan Fang . . . . . . .
ix
66 68
Kata Pengantar
Segala puji hanya milik Allah, hanya kepada-Nya kami berlindung dan hanya kepada-Nya kami memohon ampunan, kami berlindung kepada-Nya dari keburukan diri kami dan kejelekan amalan-amalan kami. Bahwa, barang siapa diberi petunjuk oleh Allah SWT, tidak seorang yang dapat menyesatkannya dan barang siapa yang disesatkan oleh-Nya, tidak seorang yang dapat memberinya petunjuk. Saya bersaksi bahwa tidak ada illah yang berhak diibadahi kecuali Allah SWT, dan aku bersaksi bahwa Muhammad rasulullah SAW adalah rasul-Nya. Alhamdulillah, penulis dapat menyelesaikan tesis ini dengan judul ”Identifikasi Faktor signifikan Rancangan Faktorial Fraksional tanpa Pengulangan Dengan Metode Bissell, Lenth, dan Fang”. Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk mendapatkan gelar Magister Sains (M. Si.) pada Jurusan Statistika, Program Pascasarjana Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Penulis menyadari sepenuhnya bahwa tesis ini masih sangat jauh dari kesempurnaan dan dalam penyelesaiannya tidak terlepas dari bantuan, bimbingan, dan arahan dari berbagai pihak, oleh karenanya pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih dan penghargaan yang setinggi tingginya kepada yang terhormat: 1. Bapak Dr. Drs. I Nyoman Budiantara, M.S. selaku Koordinator Program Studi S2 Jurusan Statistika Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. 2. Prof.
Dra.
Susanti Linuwih, M.Stat., Ph.D, selaku pembimbing satu
yang telah meluangkan waktu memberikan arahan dan bimbingan kepada penulis. x
3. Dr. Purhadi, M.Sc, selaku pembimbing dua yang telah meluangkan waktu memberikan arahan dan bimbingan kepada penulis. 4. Para staf dosen Program Studi Statistika, Institut Teknologi Sepuluh November Surabaya yang telah membekali penulis dengan ilmu pengetahuan. 5. Semua pihak yang telah banyak membantu dan tidak sempat penulis sebutkan namanya satu persatu. Surabaya, Maret 2006
Penulis
xi
BAB I PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Penggunaan rancangan faktorial fraksional telah diperkenalkan oleh Tip-
pett (Box dan Meyer, 1986), dan sejak Tahun 1980 - an telah menjadi perhatian. Voelkel dan Rochester (2004), dalam penelitiannya menyimpulkan bahwa rancangan ini relatif lebih efisien. Eksperimen yang didasarkan pada rancangan faktorial, dimaksudkan untuk menentukan faktor mana diantara sejumlah faktor yang secara potensial memberikan efek pada respon. Namun, pada rancangan faktorial dengan jumlah faktor yang besar dan diikuti oleh jumlah kombinasi perlakuan yang besar, eksperimen menjadi tidak efisien untuk dilakukan. Untuk menurunkan jumlah kombinasi perlakuan, digunakan rancangan faktorial fraksional. Jika terdapat lebih dari satu unit eksperimen untuk setiap perlakuan, maka digunakan analisis varian untuk menguji efek utama dan efek interaksi dalam model. Semua uji tersebut memerlukan rata-rata kuadrat error (mean squares error, M SE ), sebab estimasi dari varians error didasarkan pada variabilitas data yang diperoleh dari hasil pengukuran atau pengamatan yang dilakukan secara berulang-ulang untuk setiap perlakuan. Pertanyaan yang kemudian muncul adalah, bagaimana jika hanya terdapat satu pengamatan pada tiap-tiap perlakuan?. Kelemahan eksperimen tanpa pengulangan adalah tidak terdapat derajat bebas untuk mengestimasi σ 2 , tidak ada error dalam setiap perlakuan, yang berakibat pada sulitnya melakukan interpretasi terhadap efek yang dimungkinkan berpengaruh, dan semua yang berkaitan dengan rata-rata kuadrat untuk uji signifikan statistik. Dalam menaksir efek faktor yang signifikan dari rancangan faktorial frak-
1
2 sional tanpa pengulangan, telah dikemukakan beberapa metode, diantaranya; Lenth (1989) menggunakan nilai margin of error atau batas kesalahan, simultan margin error dan pseudo sparsity of error untuk menentukan faktor yang signifikan yang didasarkan pada distribusi t, Hamada dan Balakrishnan (1998) mengemukakan bahwa kelemahan dari metode Lenth adalah lemah dalam mengontrol kesalahan type I. Dong (1993) memodifikasi metode Lenth, yaitu mengganti nilai s0 dengan s1 yang merupakan trimmed median. Bissell (1989, 1992), mengadopsi uji dispersi Cochran (1954) dalam mengkonstruksi uji statistik untuk mengidentifikasi faktor yang signifikan. Menurut Hamada dan Balakrishnan (1998), kelemahan dari metode Bissell adalah power ujinya akan mengalami penurunan tatkala terdapat banyak faktor yang signifikan. 1.2
Permasalahan Berdasarkan latar belakang yang dijelaskan di atas, rumusan masalah
dari penelitian adalah sebagai berikut: 1. Bagaimana menentukan statistik uji dari metode Bissell, Lenth, dan Fang serta penaksirnya dalam mengindentifikasi faktor yang signifikan dalam faktorial fraksional tanpa pengulangan 2. Bagaimana menentukan faktor yang signifikan dalam rancangan faktorial fraksional 2k dan 3k tanpa pengulangan dengang menggunakan metode Bissell, Lenth, dan Fang. 1.3
Tujuan Penelitian Dari permasalahan yang dikemukakan di atas, tujuan penelitian dapat
dirumuskan sebagai berikut: 1. Menentukan penaksir dan statistik uji untuk mendapat faktor yang signifikan dengan metode Bissell, Lenth, dan Fang.
3 2. Membandingkan fungsi power metode Bissell, Lenth, dan Fang dalam mengidentifikasi faktor yang signifikan dari rancangan faktorial fraksional 2k tanpa pengulangan pada kasus permainan golf. 3. Membandingkan fungsi power metode Bissell, Lenth, dan Fang dalam mengidentifikasi faktor yang signifikan dari rancangan faktorial fraksional 3k tanpa pengulangan pada kasus pembakaran pada boiler. 1.4
Manfaat Penelitian Manfaat dari penelitian ini adalah:
1. Menambah wawasan keilmuan menyangkut masalah penaksiran efek faktor pada rancangan faktorial fraksional tanpa pengulangan 2. Untuk memberikan alat analisis dalam menetapkan faktor yang signifikan dalam eksperimen rancangan faktorial fraksional tanpa pengulangan. 1.5
Batasan Permasalahan Karena keterbatasan waktu dan mengacu pada rumusan masalah, peneli-
tian ini dibatasi pada masalah pengidentifikasian faktor yang signifikan rancangan faktorial fraksional dua level dan tiga level.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1
Model Linier Diberikan variabel respon y dari rancangan faktorial fraksional yang penga-
matannya dilakukan tanpa pengulangan untuk tiap kombinasi perlakuan, dan x1 , x2 , . . . , xk , variabel input yang berkaitan dengan faktor independen. Hubungan antara variabel-variabel tersebut dapat digambarkan dalam persamaan berikut: y = β0 + β1 x1 + β2 x2 + · · · + βk xk +
(2.1)
Jika dilakukan pengamatan sebanyak n kali, maka persamaan (2.1) menjadi: yi = β0 + β1 x1i + β2 x2i + · · · + βk xki + i ;
i = 1, 2, · · · , n
Model terakhir ini dapat dituliskan dalam model linear, sebagai berikut: y = Xβ +
(2.2)
dimana; y = [y1 y2 · · · yn ]T adalah vektor pengamatan berukuran n × 1, β = [β0 β1 β2 · · · βk ]T adalah vektor dari parameter X adalah matriks berukuran n × (k + 1), dan = [1 2 · · · n ]T adalah vektor error berukuran n × 1 dan berdistribusi Nn (0, σ 2 I). Persamaan (2.2) y1 1 y2 1 . = . . . . . yn 1 2.1.1
dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut: x11 x21 · · · xk1 β0 1 x12 x22 · · · xk2 β1 2 .. .. .. .. . + . . . . . .. .. x1n x2n · · · xkn βk n
Estimasi Kontras Pada analisis variansi dua arah rancangan faktorial fraksional dua faktor
tanpa pengulangan dengan model sebagai berikut: yij = µ + τi + θj + ij ;
i = 1, 2; j = 1, 2 4
(2.3)
5 dengan syarat τ1 + τ2 = 0 ⇒ τ1 = −τ2 dan θ1 + θ2 = 0 ⇒ θ1 = −θ2 . Model tersebut juga dapat dituliskan dalam bentuk persamaan regresi linier, yaitu yi = β0 + β1 x1 + β2 x2 + i ;
i = 1, 2, 3, 4
(2.4)
untuk x1 bernilai (−1, +1) dan x2 bernilai (−1, +1). Keterkaitan antara kedua model tersebut dalam menetapkan kontras untuk penaksir efek faktor dapat ditunjukkan sebagai berikut. Dari syarat τ1 = −τ2 dan θ1 = −θ2 serta nilai dari x1 (−1, +1), dan x2 (−1, +1), selanjutnya y11 y12 y21 y22
= µ + τ1 + θ1 + 11 = µ + τ1 − θ1 + 12 = µ − τ1 + θ1 + 21 = µ − τ1 − θ1 + 22
y1 y2 dan y1 y1
= β0 + β1 + β2 + 1 = β0 + β1 − β2 + 2 = β0 − β1 + β2 + 3 = β0 − β1 − β2 + 4
karena (2.3) dan (2.4) ekuivalen, maka y11 = y1 ⇒ µ + τ1 + θ1 = β0 + β1 + β2
(2.5)
y12 = y2 ⇒ µ + τ1 − θ1 = β0 + β1 − β2
(2.6)
y21 = y1 ⇒ µ − τ1 + θ1 = β0 − β1 + β2
(2.7)
y22 = y1 ⇒ µ − τ1 − θ1 = β0 − β1 − β2
(2.8)
Persamaan (2.5) dan (2.6) dijumlahkan µ + τ1 + θ1 = β0 + β1 + β2 µ + τ1 − θ1 = β0 + β1 − β2 + 2µ + 2τ1 = 2β0 + 2β1
(2.9)
Persamaan (2.5) dan (2.7) dijumlahkan µ + τ1 + θ1 = β0 + β1 + β2 µ − τ1 + θ1 = β0 − β1 + β2 + 2µ + 2θ1 = 2β0 + 2β2
(2.10)
6 Persamaan (2.6) dan (2.7) dijumlahkan µ + τ1 − θ1 = β0 + β1 − β2 µ − τ1 + θ1 = β0 − β1 + β2 + 2µ = 2β0 ⇒ µ = β0
(2.11)
Selanjutnya, dengan mensubtitusikan persamaan (2.11) ke persamaan (2.9) dan (2.10), diperoleh τ1 = β1
dan θ1 = β2
Dengan demikian, menaksir parameter-paramter pada model anova adalah sama dengan melakukan penaksiran parameter-parameter pada model regresi. Estimasi kontras dari model pada persamaan (2.2), yaitu: y = Xβ + dapat diperoleh dengan menggunakan metode kuadrat terkecil (Ordinary Least Square Method ), yaitu dengan mengambil turunan pertama dari jumlah kuadrat error terhadap β dan menyamakannya dengan nol yang dijelaskan sebagai berikut: y = Xβ + = y − Xβ L = T = (y − Xβ)T (y − Xβ)
(2.12)
persamaan (2.12) merupakan jumlah kuadrat error. Selanjutnya, ambil turunan pertama dari L terhadap β ∂L = −2XT (y − Xβ) ∂β = −2XT y + 2XT Xβ ∂L = 0 ⇒ −2XT y + 2XT Xβ = 0 ∂β XT Xβ = XT y b = (XT X)−1 XT y β
(2.13)
7 T −1 T b dengan syarat X X tidak singular, diperoleh β = (X X) X y yang merupakan T
penaksir dari β. 2.1.2
b Distribusi dari β
b a. Ekspektasi β b = (XT X)−1 XT y. Untuk Dari hasil sebelumnya, penaksir dari β adalah β menentukan apakah estimasi dari β bias atau tidak, dilakukan dengan langkahlangkah sebagai berikut b = E{(XT X)−1 XT y} E(β) = E{(XT X)−1 XT (Xβ + )} = E{(XT X)−1 XT Xβ + (XT X)−1 XT )} Karena (XT X)−1 XT X = I dan E() = 0, maka b =β E(β) b = β, maka β b merupakan estimator tak bias dari β Karena E(β) b b. Varians β b = V ar{(XT X)−1 XT y} V ar(β) = {(XT X)−1 XT }V ar(y){(XT X)−1 XT }T = {(XT X)−1 XT }σ 2 I{(XT X)−1 XT }T = σ 2 {(XT X)−1 XT }{(XT X)−1 XT }T = σ 2 {(XT X)−1 XT X(XT X)−1 } Karena (XT X)−1 XT X = I, maka b = σ 2 (XT X)−1 . V ar(β) b merupakan kombinasi linear dari y1 , y2 , . . . , yn yang berdistribusi Oleh karena β b adalah normal, sehingga distribusi dari β b ∼ N (β, σ 2 (XT X)−1 ) β
(2.14)
8 2.1.3
Penaksir σ b
2
Selanjutnya, untuk menentukan M SE , diketahui b b = Xβ y dan b b) = (y − y b)T (y − y b) SSE = (y − y b T (y − Xβ) b = (y − Xβ) b −β b T XT y + β b T XT Xβ b = yT y − yT Xβ b juga merukarena β T XT y adalah skalar, dan transposnya, (β T XT y)T = yT Xβ pakan suatu skalar, dan b XT y = XT Xβ maka b T XT y + β b T XT Xβ b SSE = yT y − 2β T
T
b XT y + β b XT y = yT y − 2β b T XT y = yT y − β dengan demikian jumlah kuadrat error adalah b T XT y SSE = yT y − β
(2.15)
Dari persamaan (2.13), b = (XT X)−1 XT y β b = X(XT X)−1 XT y Xβ andaikan matriks X(XT X)−1 XT = P dan In − P simetri dan idempoten, maka b = Py, sehingga Xβ b = (In − P)y y − Xβ b T (y − Xβ), b maka karena SSE = (y − Xβ) SSE = ((In − P)y)T ((In − P)y) = yT (In − P)T (In − P)y
9 T
= y (In − P)y b = Xβ b dan E(yT (In − P)y) = tr((In − P)Σ + µT (In − P)µ) karena PXβ dengan demikian diperoleh E(SSE ) = E(yT (In − P)y) = σ 2 Itr(In − P) + (Xβ)T (In − P)Xβ E(SSE ) = σ 2 (n − p) sehingga, suatu estimator tak bias dari σ 2 diberikan sebagai berikut SSE n−p SSE M SE = df σ ˆ2 =
= 2.1.4
b T (y − Xβ) b (y − Xβ) n−p
Pengujian Hipotesis Untuk mengetahui faktor-faktor yang signifikan, tentunya perlu dilakukan
pengujian hipotesis. Pengujian koefisien regresi atau efek faktor dari suatu model anova dalam mempengaruhi variabel responnya, dapat dilakukan secara serentak dan satu persatu. Pengujian secara serentak menggunakan uji sebagai berikut: 1. Hipotesis: H0 : βi = 0;
i = 1, 2, 3, . . . , k
H1 : Paling sedikit terdapat satuβi 6= 0 2. Statistik uji yang berkaitan adalah Fhitung =
M SR M SE
3. Berkaitan dengan keputusan yang diambil, diberikan Daerah penolakan Tolak H0 jika Fhitung > Fv1 ,v2 ;α , untuk v1 sebagai derajat bebas untuk faktor perlakuan dan v2 sebagai derajat bebas dari error.
10 Sedangkan untuk menguji apakah suatu faktor atau koefisien regresi secara individu berpengaruh secara nyata atau tidak terhadap variabel repsonnya, dilakukan dengan menggunakan uji t sebagai berikut: 1. Hipotesis: H0 : βi = 0;
i = 1, 2, 3, . . . , k
H1 : βi 6= 0 2. Statistik uji yang berkaitan adalah thitung =
b β i b se(β i )
3. Berkaitan dengan keputusan yang diambil, diberikan Daerah penolakan Tolak H0 jika |thitung | > tα/2,db . 2.2
Rancangan Fraksional Faktorial Dalam suatu eksperimen, rancangan faktorial adalah suatu rancangan yang
mengikutkan seluruh kombinasi perlakuan dari k faktor atau variabel input. Apabila jumlah dari k faktor ini cukup besar, maka akan berakibat pada besarnya jumlah kombinasi perlakuan yang akan dilakukan, dan ini tidak cukup efisien. Rancangan yang sering digunakan untuk menanggulangi hal tersebut, adalah dengan menggunakan rancangan faktorial fraksional dalam rangka menurunkan jumlah kombinasi perlakuan, dan beberapa diantaranya dilakukan tanpa pengulangan. 2.3
Fraksional Faktorial Dua-Level, 2k−p Secara umum, notasi yang digunakan dalam rancangan faktorial fraksional
mengikuti notasi yang digunakan dalam rancangan faktorial. Untuk keperluan interpretasi hasil dari eksperimen, akan dijelaskan beberapa pengertian yang berkaitan dengan penyusunan rancangan eksperimen faktorial fraksional.
11 Tabel 2.1: Susunan Rancangan Faktorial Kontras Kombinasi Perlakuan I A B AB C AC (1) + – – + – + a + + – – – – b + – + – – + ab + + + + – – c + – – + + – ac + + – – + + bc + – + – + – abc + + + + + +
23 BC + + – – – – + +
ABC – + + – + – – +
a. One-Half Fractional dari Rancangan 2k Andaikan eksperimen dengan tiga faktor, masing-masing terdiri atas dua level. Karena suatu kondisi, hanya sebagian kombinasi perlakuan yang dapat dilakukan dalam eksperimen, yaitu empat dari delapan kombinasi perlakuan. Tabel 2.2: Susunan Rancangan Faktorial 23−1 Kontras Kombinasi Perlakuan I A B AB C AC BC a + + – – – – + b + – + – – + – c + – – + + – – abc + + + + + + + ab + + + + – – – ac + + – – + + – bc + – + – + – + (1) + – – + – + +
ABC + + + + – – – –
Pada Tabel 2.1, jika dipisahkan interaksi tingkat tingginya, berdasarkan tanda plus dan minusnya, maka akan terbentuk dua kelompok kontras yang masingmasing terdiri dari empat kombinasi perlakuan, sebagaimana yang ditunjukkan pada Tabel 2.2. Dimana, kolom kontras berkaitan dengan efek faktor, sedangkan kolom I mewakili mean total untuk pengamatan dan disebut kolom identitas dan −ABC dan +ABC disebut generator atau defining relation.
12 b. Estimasi Efek Perlakuan Karena hanya akan dilakukan pengamatan sebanyak 23−1 = 4 kombinasi perlakuan, maka akan terdapat d.fT otal = 4−1 = 3 derajat bebas untuk menaksir efek faktor. Estimasi efek didasarkan pada koefisien kontras. sebagai contoh, dari Tabel 2.2 untuk defining relation positif, I = ABC. Namun sebelum menentukan penaksir efek dari masing-masing faktor terlebih dahulu akan ditentukan kontras untuk masing-masing faktor, baik faktor utama maupun faktor interaksinya. KontrasA = CA = (a − b − c + abc) KontrasB = CB = (−a + b − c + abc) .. . KontrasBC = CBC = (a − b − c + abc) Dari kontras tiap faktor tersebut kemudian dapat ditentukan penaksir efek dari masing-masing faktor, sebagai berikut ini, • Estimasi efek utama, 1 CA = (a − b − c + abc) 2 1 1 b= B CB = (−a + b − c + abc) 3−2 2 2 1 1 b= CC = (−a − b + c + abc) C 23−2 2 b= A
1
23−2
• Estimasi efek interaksi dua faktor, 1 CA = (a − b − c + abc) 2 1 1 d= AC CB = (−a + b − c + abc) 3−2 2 2 1 1 d= AB CC = (−a − b + c + abc) 23−2 2
d= BC
1
23−2
Dari Penaksir efek di atas, nampak bahwa penaksir efek utama A dan interaksi BC, B dengan interaksi AC, dan C dengan interaksi AB adalah sama, sehingga tidak mungkin untuk menyatakan ada perbedaan antara A dan BC,
13 B dan AC, dan C dan AB. Oleh karena itu, A disebut alias dengan BC, atau dibaurkan (confounded ), demikian halnya dengan B alias dengan AC, dan C alias dengan AB. c. Alias dan Kombinasi Linear dari Efek Faktor Struktur alias untuk rancangan faktorial fraksional dapat diperoleh melalui defining relation. Dalam contoh sebelumnya, rancangan 23 dengan a, b, c dan abc sebagai kombinasi perlakuan yang diamati dan I = ABC didefinisikan sebagai defining relation Untuk mendapatkan alias dari suatu efek dapat dilakukan dengan mengalikan kolom dari suatu efek tertentu dari matriks rancangan dengan defining relation, akan diperoleh alias untuk efek tersebut. Sebagai contoh, untuk mendapatkan alias untuk AB, kalikan AB dengan I = ABC, maka:
AB.I = AB.ABC = A2 B 2 C = C d. Jenis Khusus Rancangan Fraksional Faktorial 2k Rancangan faktorial fraksional dibagi dalam beberapa jenis, yaitu (i) Rancangan resolusi III, dimana tidak ada efek utama yang dibaurkan dengan efek utama yang lainnya, tapi efek utama dibaurkan dengan interaksi dua faktor. sebagai contoh 23−1 rancangan resolusi III. (ii) Rancangan resolusi IV, dimana tidak ada efek utama yang dibaurkan dengan efek utama yang lain atau efek interaksi dua faktor, tapi interaksi dua faktor dibaurkan dengan sesamanya. Contoh 24−1 rancangan resolusi IV. (iii) Rancangan resolusi V, dimana tidak ada efek utama atau interaksi dua faktor yang dibaurkan efek faktor utama dan interaksi dua faktor yang lainnya. Tapi interaksi dua faktor dibaurkan dengan interaksi tiga faktor. Contoh 25−1 rancangan resolusi V.
14 Secara umum, suatu rancangan resolusi R adalah keadaan dimana tidak ada efek faktor p yang dibaurkan dengan efek lainnya yang memuat kurang lebih R − p faktor. Untuk mengidentifikasi resolusi dari rancangan faktorial fraksional, digunakan angka romawi sebagai indeks. 2.3.1
Identifikasi Struktur Alias Box dan Wilson (1951), Bisgaard (1991) menunjukkan bahwa konsep alias
didasarkan pada struktur kelompok antara kolom-kolom ekuivalen yang memungkinkan adanya penyimpangan dari penaksir kuadrat terkecil dari efek utama yang muncul akibat dari dihilangkannya efek interaksi tingkat tinggi. Selanjutnya, struktur alias dari rancangan dapat diperoleh dengan menggunakan defining relation. Misalkan, rancangan faktorial fraksional 23 , dengan faktor-faktornya A, B, dan C. Defining relation dari rancangan tersebut adalah interaksi tingkat tingginya yaitu, ABC, dengan mengalikan setiap faktor utama dengan ABC dan faktor interaksi, maka akan diperoleh faktor yang akan diikutkan dalam perhitungan selanjutnya dan struktur alias dari faktor tersebut. Akan tetapi, metode penentuan struktur alias dengan menggunakan defining relation hanya dapat bekerja dengan baik pada rancangan yang sederhana, dan tidak dapat digunakan pada rancangan yang kompleks, seperti irregular fraction dan partial fold-over design. Lebih lanjut, terdapat beberapa rancangan faktorial fraksional yang tidak mempunyai defining relation, seperti Plackett-Burman designs, sedemikian hingga metode ini, tidak mungkin untuk digunakan. Dalam suplemen buku Design and Analysis of Experiment, Montgomery (2005) mengemukakan bahwa, terdapat suatu metode yang secara umum dapat bekerja dengan baik dalam banyak keadaan. Metode tersebut menggunakan polynomial atau model regresi yang merupakan representasi dari model. Secara formal, faktor yang diikutkan dalam penelitian adalah β 1 dan X1 matriks rancangan yang berkaitan dengan β 1 . Diberikan model linear sebagai berikut ; y = X1 β 1 +
15 dimana y vektor respon n × 1, X1 matriks berukuran n × p1 yang memuat rancangan matriks yang telah diperluas pada model yang ditetapkan oleh peneliti berdasarkan faktor yang dipilih, β 1 vektor dari parameter model berukuran p1 ×1, dan vektor error. Diketahui taksiran dari β 1 adalah βb1 = (XT1 X1 )−1 XT1 y Andaikan model lengkapnya adalah y = X1 β 1 + X2 β 2 + dimana X2 matriks berukuran n×p2 yang memuat variabel tambahan yang tidak diikutkan dalam model dan β 2 vektor berukuran p2 × 1 dari parameter yang berkaitan dengan variabel yang terpilih. Struktur aliasnya dapat ditunjukkan sebagai berikut: b 1 = (XT X1 )−1 X1 y β 1 b 1 ) = E{(XT X1 )−1 X1 y} E(β 1 = (XT1 X1 )−1 X1 E(y) = (XT1 X1 )−1 X1 E(X1 β 1 + X2 β 2 + ) = (XT1 X1 )−1 X1 E(X1 β 1 ) + (XT1 X1 )−1 XE(X2 β 2 ) + (XT1 X1 )−1 X1 E() = (XT1 X1 )−1 X1 X1 β 1 + (XT1 X1 )−1 X1 X2 β 2 + 0 = β 1 + (XT1 X1 )−1 X1 X2 β 2 b ) = β + (XT X1 )−1 (XT X2 )β E(β 1 1 2 1 1 Ambil (XT1 X1 )−1 (XT1 X2 ) = A, selanjutnya persamaan di atas menjadi b ) = β + Aβ E(β 1 1 2 dengan A disebut matriks alias. Contoh penerapannya, pada Tabel 2.2 diberikan rancangan faktorial fraksional 23−1 , dengan I = ABC atau I = x1 x2 x3 sebagai defining relation, dengan mengacu pada persamaan (2.2), bahwa model yang hanya memperhatikan faktor
16 utama, dapat dinyatakan sebagai berikut: y = β0 + β1 x1 + β2 x2 + β3 x3 + dimana x1 merupakan komponen kolom faktor A, x2 komponen kolom faktor B, dan x3 komponen kolom faktor C yang dinyatakan dalam bentuk matriks X1 . Model diatas dapat dinyatakan
β0 β 1 β1 = , β2 β3
1 −1 −1 1 1 1 −1 −1 dan X1 = 1 −1 1 −1 1 1 1 1
Andaikan bahwa, model yang sebenarnya memuat seluruh interkasi dua faktor, sedemikian hingga modelnya adalah y = β0 + β1 x1 +β2 x2 + β3 x3 + β12 x1 x2 + β13 x1 x3 + β23 x2 x3 +
(2.16)
dan untuk bagian interaksi dua faktor dari persamaan (2.16), dimana x1 x2 , x1 x2 , dan x2 x3 berturut menyatakan komponen kolom faktor AB, AC, dan BC, yang dinyatakan dalam bentuk matriks X2 , yaitu
β12 β 2 = β13 , β23
1 −1 −1 −1 −1 1 dan X2 = . −1 1 −1 1 1 1
Selanjutnya, diketahui bahwa
(XT1 X1 )−1
0 1 0 = I dan XT1 X2 = 4 0 4
Oleh karena itu, b 1 ) = β 1 + (XT X1 )−1 XT X2 β 2 E(β 1 1
0 0 4 0
0 4 0 0
17 b0 β0 0 β β b β1 1 0 E 1 = + b 2 β2 4 0 β b β β3 4 3 β0 β + β 1 23 = β2 + β13
0 0 4 0
0 β12 4 β13 0 β23 0
β3 + β12 2.4
Fraksional Faktorial Tiga-Level Konsep rancangan faktorial fraksional dua level dapat diperluas menjadi
rancangan faktorial fraksional tiga-level. Bagian terbesar dari faktorial fraksional 3k adalah rancangan faktorial fraksional 3k−1 , rancangan dibagi ke dalam tiga blok, dimana tiap blok dapat dipilih sebagai rancangan yang akan digunakan. Jika Aα1 B α2 C α3 · · · K αk merupakan komponen interaksi yang akan digunakan untuk mendefinisikan blok, maka I = Aα1 B α2 C α3 · · · K αk disebut defining relation dari rancangan faktorial fraksional. Tiap estimasi efek utama atau efek interaksi mempunyai dua alias yang dapat diperoleh dengan mengalikan efek dengan I dan I 2 modulo 3. Secara umum, untuk melakukan pembauran dalam rancangan 3k diberikan suatu prosedur umum untuk mengkonstruksi suatu defining contrast, yaitu: L = α1 x1 + α2 x2 + · · · + αk xk
mod(3)
dimana αi pangkat dari faktor ke i dalam efek yang akan dibaurkan dan xi level dari faktor ke i dalam tiap kombinasi perlakuan. a. One-third fraction dari Rancangan 3k Andaikan rancangan faktorial 33 yang faktor-faktornya A, B dan C, masingmasing terdiri dari tiga level. Karena suatu kondisi, hanya sebagian kombinasi perlakuan yang dapat dilakukan, maka akan terbentuk empat kelompok kontras yang masing-masing terdiri dari delapan kombinasi perlakuan, sebagaimana ditunjukkan dalam Tabel 2.3. Sebagaimana pada rancangan faktorial fraksional
18 dua level, interaksi tingkat tinggi yaitu, ABC, AB C, ABC , AB C , selanjutnya 2
2
2
2
disebut defining relation b. Estimasi Efek Perlakuan Karena hanya akan dilakukan pengamatan sebanyak 34−1 = 27 kombinasi perlakuan, maka akan terdapat d.ftotal = 27 − 1 = 26 derajat bebas untuk menaksir efek faktor. Estimasi efek didasarkan pada kontras dari tiap faktor dan untuk menentukannya digunakan metode yates sebagaimana dijelaskan berikut: 1. Kombinasi perlakuan dituliskan berdasarkan kolom dengan urutan standar 2. Keseluruhan pengamatan ditempatkan dibawah kolom respon dengan urutan kombinasi perlakuan 3. Kolom satu dihitung dari (a) Tiga baris pertama memuat jumlah dari ketiga kombinasi perlakuan tersebut, yaitu 00, 10, 20 (b) Tiga baris kedua diperoleh dengan minus dari kombinasi perlakuan pertama ditambahkan dengan kombinasi perlakuan ketiga pada tiaptiap kelompok kombinasi perlakuan (c) Tiga baris ketiga diperoleh dengan kombinasi perlakuan pertama dikurangi dengan dua kali kombinasi perlakuan ketiga dari ketiga kelompok pengamatan (d) Kolom kedua (2) dihitung dengan cara yang sama pada kolom satu (1) dengan menggunakan kolom (1) sebagai acuan.
c. Alias dan Kombinasi Linear dari Efek Untuk mendapatkan alias dari suatu efek dapat dilakukan dengan mengalikan kolom dari suatu efek tertentu dari matriks rancangan dengan defining relation. Sebagai contoh, untuk mendapatkan alias dari faktor yang diperhatikan, dapat dilakukan dengan memilih sembarang komponen dari interaksi ABC untuk
19 Tabel 2.3: Algoritma Yate untuk Rancangan 32 Run
Respon
00 10 20 01 11 21 02 12 22
y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9
(1) h1 h2 h3 h4 h5 h6 h7 h8 h9
= y1 + y2 + y3 = y4 + y5 + y6 = y7 + y8 + y9 = −y1 + y3 = −y4 + y6 = −y7 + y9 = y1 − 2(y2 ) + y3 = y4 − 2(y5 ) + y6 = y7 − 2(y8 ) + y8
(2)
Efek
h 1 + h 2 + h3 h 4 + h 5 + h6 h 7 + h 8 + h9 −h1 + h2 −h4 + h4 −h7 + h9 h1 − 2(h2 ) + h3 h4 − 2(h5 ) + h6 h7 − 2(h8 ) + h9
AL AQ BL ABL×L ABQ×L BQ ABL×Q ABQ×A
Pembagi 2r 3t n
JK
21 × 31 × 4 21 × 32 × 4 21 × 32 × 4 22 × 30 × 4 22 × 31 × 4 21 × 32 × 4 22 × 31 × 4 22 × 32 × 4
mengkontruksi rancangan, yaitu ABC, AB 2 C, ABC 2 atau AB 2 C 2 . Selanjutnya, akan terdapat 12 perbedaan one-third fraction dari rancangan 33 yang didefinisikan dengan α1 x1 + α2 x2 + α3 x3 = u(mod 3) dimana α = 1 atau 2 dan u = 0, 1 atau 2. Andaikan dipilih komponen AB 2 C 2 , masing-masing bagian yang dihasilkan rancangan 33−1 akan memuat dengan tepat 32 = 9 kombinasi perlakuan yang memenuhi x1 + 2x2 + 2x3 = u(mod 3) dimana u = 0, 1 atau 2, dan struktur alias yang dihasilkan adalah A = A(AB 2 C 2 ) = A2 B 2 C 2 = ABC A = A(AB 2 C 2 )2 = A3 B 4 C 4 = BC B = B(AB 2 C 2 ) = AB 3 C 2 = AC 2 B = B(AB 2 C 2 )2 = A2 B 5 C 4 = ABC 2 C = C(AB 2 C 2 ) = AB 2 C 3 = AB 2 C = C(AB 2 C 2 )2 = A2 B 4 C 5 = AB 2 AB = AB(AB 2 C 2 ) = A2 B 3 C 2 = AC AB = AB(AB 2 C 2 )2 = A3 B 5 C 4 = BC 2
20 2.4.1
Identifikasi Struktur Alias Sebagaimana yang telah diuraikan pada bagian 2.3 tentang metode umum
untuk mendapatkan struktur alias yang berkaitan dengan rancangan faktorial fraksional dua level, metode tersebut juga dapat diterapkan pada rancangan faktorial fraksional tiga level. Contoh penerapannya, diberikan rancangan faktorial fraksional 32 , andikan model yang akan diuji dengan faktor-faktornya adalah y = β0 + β1 x1 + β2 x2 + β12 x1 x2 + β11 (x21 − x¯21 ) + β22 (x22 − x¯22 ) + Model tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk vektor β 1 dan matriks X1 sebagai berikut
β0 β1 β2 β1 = β , 12 β11 β22
1 −1 −1 1 1/3 1/3 1 −1 0 0 1/3 −2/3 1 −1 1 −1 1/3 1/3 1 0 −1 0 −2/3 1/3 dan X1 = 1 0 0 0 −2/3 −2/3 1 0 −2/3 1/3 1 0 1 1 −1 −1 1/3 1/3 1 1 0 0 1/3 −2/3 1 1 1 1 1/3 1/3
Andaikan model lengkapnya adalah y = β0 + β1 x1 + β2 x2 + β12 x1 x2 + β12 (x21 − x¯21 ) + β22 (x22 − x¯22 ) + β111 x21 + β222 x22 + β122 x1 x22 + dengan 1 1 1 1 X2 = 1 1 1 1 1
−1 −1 −1 0 −1 −1 0 0 0 0 , 0 0 −1 1 −1 0 −1 1
Selanjutnya, diketahui bahwa
β111 β 2 = β222 β122
21 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 6 0 4 0 0 6 0 0 0 0 6 0 T T X1 X1 = dan X1 X2 = 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 Oleh karena itu, nilai ekspektasi dari parameter model adalah b = β + (XT X1 )−1 XT X2 β E(β) 2 1 1 −1 b β0 β0 9 0 0 0 0 0 0 b β1 β1 0 6 0 0 0 0 6 βb2 β2 0 0 6 0 0 0 0 E = + 0 b β β 0 0 0 4 0 0 12 12 b β11 β11 0 0 0 0 2 0 0 βb22 β22 0 0 0 0 0 2 0 Diperoleh matriks alias sebagai berikut 0 0 0 1 0 2/3 0 1 0 A= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Matrix A di atas bermakna
0 0 6 0 0 0
0 4 β111 0 β222 0 β122 0 0
E(βb0 ) = β0 E(βb1 ) = β1 + β111 + (2/3)β122 E(βb2 ) = β2 + β222 E(βb12 ) = β12 E(βb11 ) = β11 E(βb22 ) = β22 2.5
Beberapa Definisi dan Teorema Berkaitan dengan Pembahasan Untuk memberikan arah pada bagian pembahasan dipandang perlu untuk
menurunkan beberapa definisi dan teorema yang berkaitan dengannya, sebagai berikut:
22 Definisi 2.1 (Power). Peluang menolak H0 ketika H1 benar disebut power uji, dituliskan sebagai: 1 − β = P (Tolak H0 |H1
Benar)
Definisi 2.2 (Distribusi t). Jika Z ∼ N (0, 1) dan U ∼ χ2n , dimana kedua adalah independen, maka distribusi √Z U/n
dikatakan berdistribusi t dengan derajat bebas n
Definisi 2.3 (Distribusi χ2 ). Jika Z ∼ N (0, 1) dan jika U = Z 2 , maka U berdistribusi chi-kuadrat dengan derajat bebas 1. Jika U1 , U2 , . . . , Un adalah variabel random yang berdistribusi P chi-kuadrat dengan derajat bebas 1, maka V = ni=1 Ui berdistribusi chi-kuadrat dengan derajat bebas n, dinyatakan dengan χ2n Beberapa sifat-sifat distribusi chi kuadrat 1. E(V ) = n dan V ar(V ) = 2n. 2. Jika X1 , X2 , . . . , Xn berdistribusi IIDN (µ, σ 2 ) maka
X1 −µ , . . . , Xnσ−µ 2 σ2
adalah
IIDN (0, 1), sehingga n 1 X (Xi − µ)2 ∼ χ2n σ 2 i=1
Definisi 2.4 (Distribusi Nonsentral t). Misalkan X berdistribusi normal dengan rata-rata ∆ dan varian 1, dan misalkan kS 2 berdistribusi chi kuadrat dengan derajat bebas k. Andaikan bahwa X dan S 2 saling bebas. Distribusi dari tk (∆) =
X S
disebut distribusi noncentral t dengan
derajat bebas k dan parameter noncentral ∆, dituliskan P (−∞ ≤ tk (∆) ≤ 0) = Φ(−∆), dimana Φ(.) merupakan distribusi normal. Selanjutnya, untuk sembarang nilai, dimana t > 0, untuk P (0 < tk (∆) ≤ t), fungsi distribusi dari tk (∆) dituliskan sebagai berikut P (tk (∆) ≥ t) = Φ(−∆) + P (0 < tk (∆) ≤ t)
23 ∞ 1 n n ∆ 1X Pi Ix i + , + √ Qi Ix i + 1, , = Φ(−∆) + 2 i=1 2 2 2 2 dimana, Ix (a, b) menyatakan fungsi beta incomplete yaitu Z Γ(a + b) x a−1 Ix (a, b) = t (1 − t)b−1 dt, Γ(a)Γ(b) 0 Pi = e−∆
2 /2
(∆2 /2)i /i!
dan 2
Qi =
e∆ /2 (∆2 /2)2 Γ(i + 3/2)
Definisi 2.5 (Definisi Nonsentral χ2 ). Misalkan X1 , X2 , . . . , Xn variabel random independen normal dengan rata-rata n X µi ; i = 1, 2, . . . , n dan varian 1. Distribusi dari Xi2 berdistribusi chi kuadrat dengan db = n dengan β =
n X
i=1
µ2i sebagai parameter nonsentral, ditulis
i=1 ∞ X eβ/2 (β/2)i e−x/2 xn/2+i−1 ∼ χ2n , g(x) = n/2+i Γ(n/2 + i) i! 2 i=0
x>0
(2.17)
Dari persamaan (2.17) diberikan fungsi distribusi kumulatif dari chi kuadrat nonsentral sebagai berikut: P (χ2n
≤ x) = =
∞ X e−β/2 (β/2)i i=0 ∞ X i=0
i!
P (χ2n+2i ≤ x)
e−β/2 (β/2)i Ix/2 (n/2 + i), i!
(2.18)
dimana 1 Iy (a) = Γ(a)
y
Z
ex xa−1 dx,
a > 0,
x>0
0
merupakan ditribusi gamma tak lengkap Teorema 2.1 (Wasserman). Jika X1 , X2 , . . . , Xn berdistribusi IIDN (µ, σ 2 ), maka (n − 1)S 2 ∼ χ2n−1 σ2 Bukti. Dari persamaan (2.19), (n − 1)s2 σ2
(2.19)
2
diketahui bahwa s =
1 n−1
24 ¯) , dengan mengalikan kedua ruas dengan i=1 (xi − x
Pn
2
(n − 1) dan membaginya dengan σ 2 , diperoleh Pn 1 ¯)2 (n − 1) n−1 (n − 1)s2 i=1 (xi − x = σ2 σ2 Pn (xi − x¯)2 = i=1 2 Pn σ (xi − µ + µ − x¯)2 = i=1 σ2 Pn ((xi − µ) − (¯ x − µ))2 = i=1 σ2 2 n X (xi − µ) (¯ x − µ) = . − σ2 σ2 i=1 Misalkan
(2.20)
(xi − µ) (¯ x − µ) = zi dan = z¯, persamaan (2.20) dapat ditulis 2 σ σ2 n X (zi − z¯)2 . i=1
Selanjutnya 2 n X xi − µ i=1
σ2
=
n X xi − µ i=1
σ2
x¯ − µ x¯ − µ − + σ2 σ2
2
sebagaimana telah dinyatakan sebelumnya, persamaan di atas dapat dituliskan sebagai n X
zi2
=
i=1
n X
(zi − z¯ + z¯)2
i=1
=
n X
(zi − z¯) + z¯)2
i=1
=
n X
2
(zi − z¯) + 2¯ z
n X
i=1
karena
Pn
i=1 (zi
i=1
(zi − z¯) +
n X
z¯2
i=1
− z¯) = 0, maka =
n X
2
(zi − z¯) +
i=1
=
n X
n X
z¯2
i=1
(zi − z¯)2 + n¯ z2
(2.21)
i=1
Pn
¯)2 dan n¯ z 2 saling bebas. i=1 (zi − z P Fungsi pembangkit momen dari ni=1 zi2 dapat dinyatakan dengan fungsi pemdimana
bangkit momen dari persamaan (2.21), yaitu MPni=1 zi2 (t) = MPni=1 (zi −¯z)2 +n¯z2 (t)
25 diketahui bahwa MPni=1 (zi −¯z)2 +n¯z2 (t) = MPni=1 (zi −¯z)2 Mn¯z2 (t) sehingga MPni=1 zi2 (t) = MPni=1 (zi −¯z)2 Mn¯z2 (t), maka diperoleh MPni=1 zi2 (t) MPni=1 (zi −¯z)2 = . Mn¯z2 (t) Pn 2 n 2 Diketahui bahwa i=1 zi ∼ χn dengan mgf (1/(1 − 2t)) . Demikian halnya √ √ 2 z adalah normal standar, oleh karena itu ( n¯ z ) = n¯ z2 dengan z¯ ∼ N (0, n1 ), k¯ 1
berdistribusi χ21 dengan mgf (1/(1 − 2t)) 2 . Karena itu (1/(1 − 2t))n/2 (1/(1 − 2t))1/2 (n−1)/2 1 = 1 − 2t
MPni=1 (zi −¯z)2 (t) =
(2.22)
Persamaan (2.22) merupakan fungsi pembangkit momen dari variabel random chi-kuadrat dengan derajat bebas n − 1, karena itu n X (xi − x¯)2 berditribusi χ2n−1 i=1
Definisi 2.6 (Halaand dan O’Connell (1995)). Diberikan efek penaksir dari suatu rancangan faktorial fraksional, penaksir yang berhubungan dengan hal tersebut dijelaskan dalam dua tahapan, yaitu: i. Estimasi awal, s0 , merupakan σ b0 dari σ (selanjutnya digunakan simbol s0 ), didefinisikan sebagai berikut b i |; i = 1, 2, . . . , k} s0 (q) = a0 (q) × kuantil{q : |β dimana; b |; i = 1, 2, . . . , k adalah nilai mutlak dari efek penaksir , β b ,β b ,··· ,β b . |β i 1 2 k b i } adalah kuantil ke q dari β b i dengan 0 < q < 1. kuantil{q : β b 1, β b 2, · · · , β b . yang dihitung secara langsung dari β k ii. Estimasi akhir diperoleh dalam dua tahapan,
26 (a) Ukuran penaksir robust, selanjutnya dinyatakan sebagai Pseudo Standart Error (PSE) yang dihitung setelah menghilangkan efek-efek yang besar dibanding s0 , penaksir ini disebut, σ bP SE , didefinisikan sebagai berikut b | ≤ b × s0 (q))} b i | : (|β σ bP SE (q, b) = aP SE (q, b) × median{|β i dimana aP SE merupakan konstanta yang digunakan pada penaksir awal, q nilai yang diambil dari s0 dan b konstan yang diperoleh melalui simulasi (b) Ukuran penaksir efisien, dihitung setelah menghilangkan efek yang besar dibanding s0 , penaksir ini disebut, s1 yang didefinisikan sebagai berikut: s σ bs1 (q, b) = as1 l−1
X
b2 β i
b |≤b×s0 (q) |β i
dimana as1 (q, b) merupakan konstanta yang digunakan pada penaksir b | ≤ b × s0 (q), dan b nilai konstan yang diperoleh awal, l jumlah dari |β i melalui simulasi.
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
3.1
Bahan dan Alat Bahan dan alat yang digunakan dalam penelitian ini adalah:
1. Jurnal dan buku referensi yang terkait dengan permasalahan di atas. 2. Software Minitab 14 dan software lain yang mendukung 3. Kasus yang akan digunakan adalah, Pertama, Faktor-faktor yang mempengaruhi jarak yang ditempuh bola golf pada permainan golf dengan respon jarak tempuh dalam yard (diestimasi dengan langkah terdekat dari 100-yard), faktor-faktorya adalah Kemampuan, Bola, Club, Lapangan, dan Tongkat. Kedua, Pembakaran pada Boiler, selengkapnya dapat dilihat pada Lampiran A 3.2
Metode Penelitian Adapun langkah-langkah penelitian dapat disusun sebagai berikut:
1. Menaksir dan menentukan statistik uji untuk; (a) Metode Bissell i. Diberikan Model sebagai berikut: y = Xβ + ε ii. Menentukan mean square β iii. Menentukan statistik uji dari metode Bissell iv. Menentukan distribusi statistik uji dari metode Bissell v. Mencari nilai harapan dari statistik Bissell.
27
28 (b) Metode Lenth i. Diberikan Model sebagai berikut: y = Xβ + ε ii. Menentukan penaksir efek dari model iii. Menentukan penaksir dari metode Lenth iv. Menentukan statistik uji dari metode Lenth (c) Metode Fang i. Diberikan Model sebagai berikut: y = Xβ + ε ii. Menentukan penaksir efek dari model iii. Menentukan penaksir dari metode Fang iv. Menentukan statistik uji dari metode Fang 2. Menghitung fungsi power rancangan faksional faktorial 2k−p tanpa pengulangan untuk kasus permainan golf (a) Menghitung fungsi power untuk metode Bissell, dengan langkah-langkah sebagai berikut i. Diberikan model rancangan fraksional faktorial 2k−p , yaitu y = Xβ + ε ii. Menghitung rata-rata kuadrat, iii. Menghitung nilai statistik Bk , iv. Menghitung P (Bk < χ2α/2;(k−1)|H0 + P (Bk > χ21−α/2;(k−1) |H0 ) = α v. Menghitung P rob(Bk | > χ2k−1;α/2 |H1 ) = δ, (b) Menghitung fungsi power untuk metode Lenth, dengan langkah-langkah sebagai berikut:
29 k−p
i. Diberikan model rancangan fraksional faktorial 2
, yaitu
y = Xβ + ε ii. Menghitung taksiran β, iii. Menghitung s0 , Pseudo Standar Error (PSE), iv. Menghitung tσbP SE ,j v. Menghitung P rob(|tσbP SE ,i | > IERα |H0 ) = α, untuk i = 1, . . . , J. vi. Menghitung P rob(|tσbP SE ,i | > IERα |H1 ) = δ, untuk i = 1, . . . , I. (c) Menghitung fungsi power untuk metode Fang, dengan langkah-langkah sebagai berikut: i. Diberikan model rancangan fraksional faktorial 2k−p , yaitu y = Xβ + ε ii. Menghitung taskiran β, iii. Menghitung s0 , σ bs1 , iv. Menghitung tσbs1 ,i v. Menghitung P rob(|tσbs1 ,i | > IERα |H0 ) = α, untuk i = 1, . . . , I. vi. Menghitung P rob(|tσbs1 ,i | > IERα |H1 ) = δ, untuk i = 1, . . . , I. 3. Menghitung fungsi power untuk rancangan faksional faktorial 3k−p , langkahlangkah yang digunakan sama dengan pada rancangan fraksional faktorial 3k−p tanpa pengulangan untuk kasus pembakaran pada Boiler (a) Menghitung fungsi power untuk metode Bissell, dengan langkah-langkah sebagai berikut i. Diberikan model rancangan fraksional faktorial 2k−p , yaitu y = Xβ + ε ii. Menghitung rata-rata kuadrat,
30 iii. Menghitung nilai statistik Bk , iv. Menghitung P (Bk < χ2α/2;(k−1)|H0 + P (Bk > χ21−α/2;(k−1) |H0 ) = α v. Menghitung P rob(Bk | > χ2k−1;α/2 |H1 ) = δ, (b) Menghitung fungsi power untuk metode Lenth, dengan langkah sebagai berikut: i. Diberikan model rancangan fraksional faktorial 3k−p , yaitu y = Xβ + ε ii. Menghitung taksiran β, iii. Menghitung s0 , σ bP SE (Pseudo Standar Error (PSE)), iv. Menghitung tσbP SE ,i v. Menghitung P rob(|tσbP SE ,i | > IERα |H0 ) = α, untuk i = 1, . . . , I. vi. Menghitung P rob(|tσbP SE ,i | > IERα |H1 ) = δ, untuk i = 1, . . . , I. (c) Menghitung fungsi power untuk metode Fang, dengan langkah sebagai berikut: i. Diberikan model rancangan fraksional faktorial 3k−p , yaitu y = Xβ + ε ii. Menghitung taksiran β. iii. Menghitung s0 , σ bs1 , iv. Menghitung tσbs1 ,i v. Menghitung P rob(|tσbs1 ,i | > IERα |Ho ) = α, untuk i = 1, . . . , I. vi. Menghitung P rob(|tσbs1 ,i | > IERα |H1 ) = δ, untuk i = 1, . . . , I.
BAB IV PEMBAHASAN
4.1
Statistik uji dari Metode Bissell, Fang dan Lenth Serta Penaksirnya Pada bagian ini akan dijelaskan tiga metode yang akan memberikan statistik
uji dalam mengidentifikasi apakah suatu faktor signifikan atau tidak. 4.1.1
Statistik Uji Metode Bissell dan Penaksirnya Diberikan rancangan faktorial fraksionl berjumlah k faktor dengan β 1 , β 2 ,
β 3 , . . . , β k sebagai efek faktor dan R1 , R2 , R3 , . . . , Rk rata-rata kuadrat yang saling bebas masing-masing mempunyai derajat bebas v. Hipotesis yang akan diuji adalah H0 : βi = 0 H1 : βi 6= 0;
i = 1, 2, 3, . . . , k
Selanjutnya, diketahui k 1 X (yi − y¯)2 ∼ χ2k 2 σ i=1
dan untuk rata-rata kuadrat dari masing-masing faktor diberikan sebagai berikut k X (yi − y¯)2 R= vR =
i=1
v k X
(yi − y¯)2
i=1
dengan mengalikan kedua ruas dari persamaan terakhir dengan k X
vR = σ2 Karena
1 σ2
k X
1 , diperoleh σ2
(yi − y¯)2
i=1
σ2
(yi − y¯)2 berdistribusi chi kuadrat, maka
1 σ2
Pk
i=1 (yi
− y¯)2 juga
i=1
berdistribusi chi kuadrat, akibatnya
vR juga berdistribusi chi kuadrat dengan σ2 31
32 derajat bebas v. Dengan demikian untuk Ri i = 1, 2, 3 . . . k, yaitu vR1 ∼ χ2v ; σ2 vR2 ∼ χ2v ; σ2 .. . vRk ∼ χ2v ; σ2
db = v db = v .. . db = v
vR berdistribusi chi kuadrat dengan derajat bebas v, maka dapat dinyσ2 vR atakan ekspektasi dan varian dari 2 berdasarkan definisi 2.3, yaitu σ vR v E = v ⇒ 2 E(R) = v 2 σ σ
Karena
E(R) = σ 2
vR V ar σ2
= 2v ⇒
v2 V ar(R) = 2v (σ 2 )2 2(σ 2 )2 V ar(R) = v
Jika m merupakan faktor skala dari distribusi chi kuadrat, maka V ar(R) =
2m2 v
(4.1)
dan jika s2 merupakan penaksir variansi dari sampel, maka: (k − 1)s2 ∼ χ2k−1 σ2
(4.2)
dari persamaan (4.1) dan (4.2) diperoleh 2
m V\ ar(R) = σ b2 = 2 v maka
(k − 1)s2 (k − 1)s2 = σ b2 2m2 /v 2 (k − 1)v s = 2 m yang selanjutnya dinyatakan sebagai nilai dari statistik Bissell, yaitu: Bk =
(k − 1)v (s/m)2 . 2
(4.3)
Karena persamaan (4.2) berdistribusi chi kuadrat, dan nilai statistik Bk dikonstruksi dari persamaan tersebut, maka dapat simpulkan bahwa Bk =
(k − 1)v (s/m)2 ∼ χ2k−1 . 2
33 selanjutnya, dengan definisi (2.3) sifat 1, dapat dinyatakan estimasi dan variansi dari statistik bissell sebagai berikut E(Bk ) = k − 1 Untuk menentukan apakah suatu faktor signifikan atau tidak, diuji hipotesis dibawah H0 untuk setiap nilai Bk yang diperoleh, dengan kriteria Tolak H0 jika P (Bhitung < χ2α/2;k−1 |H0 ) atau P (Bhitung > χ21−α/2,k−1 |H0 ) dimana α = P (Bk < χ2α/2;k−1 |H0 ) + P (Bk > χ21−α,k−1 |H0 ) 4.1.2
Penaksiran Parameter dengan Metode Lenth Diberikan model rancangan faktorial fraksional untuk k variabel input y = Xβ +
masing-masing faktor terdiri dari dua level dan pada tiap-tiap kombinasi perlakuan hanya dilakukan satu kali pengamatan, dengan kontras untuk tiap faktor, b 1, β b 2, · · · , β bk. β 1 , β 2 , · · · , β k , dan penaksir yang berkaitan dengannya adalah β Hipotesis yang berkaitan dengan suatu faktor signifikan atau tidak dalam memberikan pengaruh terhadap variabel respon, dirumuskan sebagai berikut: H0 : βi = 0 H1 : βi 6= 0;
i = 1, 2, . . . , k
Untuk menguji hipotesis tersebut, sebelum mengkonstruksi statistik uji terlebih dahulu ditentukan penaksir. Dalam metode Lenth, dikemukakan dua bentuk penaksir untuk mengidentifikasi kontras yang signifikan, yaitu penaksir awal dan penaksir akhir. Untuk keperluan tersebut, digunakan definisi yang dikemukakan oleh Halaand dan O’Connell (1995) sebagaimana dituliskan pada definisi 2.6. Dari definisi 2.6, diketahui a0 (q) =
1 Φ−1 0 (q)
34 dimana Φ−1 0 (q)
=Φ
−1
q+1 2
dan Φ adalah fungsi distribusi kumulatif dari distribusi normal standar. a. Estimasi Awal, s0 Dengan menggunakan definisi tersebut, dapat diperoleh penaksir awal, s0 , dari metode Lenth sebagi berikut: Andaikan ambil nilai q = 0, 5, maka b |} s0 (0, 5) = a0 (0, 5) × median{q : |β i selanjutnya a0 (0, 5) =
1 Φ−1 0 (0, 5)
diketahui q+1 =Φ 2 −1 −1 0, 5 + 1 Φ0 (0, 5) = Φ 2 0, 5 + 1 Φ−1 =z 2 Φ−1 0 (q)
−1
Φ−1 (0, 75) = z z = 0, 6745 a0 (0, 5) =
1 0, 6745
= 1, 4825797 ≈ 1, 5 Dengan demikian penaksir awal dari metode Lenth adalah b |}; s0 = 1, 5 × median{|β i
i = 1, 2, . . . , k
b. Estimasi Akhir, (Pseudo Standart Error (P SE)) Untuk mendapatkan estimator akhir dari metode Lenth, langkah selanjutnya adalah menentukan nilai aP SE (q, b) dan b. Untuk nilai q diambil dari nilai q yang digunakan pada s0 , sedangkan nilai b ditentukan dari simulasi. Namun,
35 pada bagian ini, penulis tidak akan melakukan simulasi untuk menentukan nilai tersebut, akan tetapi, penulis akan menggunakan nilai tersebut berdasarkan simulasi yang telah dilakukan oleh Haaland dan O’Connell (1995), yaitu 2, 5 sehingga penaksir akhir dari metode Lenth diperoleh b |; σ bP SE = 1, 5 × median |β i
i = 1, 2, . . . , k
(4.4)
b |<2,5s0 |β i
Selanjutnya akan dikonstruksi suatu statistik uji, dimana diketahui distribusi dari b sebagaimana yang diberikan pada persamaan (2.14), yaitu β, b ∼ N (β, σ 2 (XT X)−1 ) β Pengujian hipotesis dibawah H0 bi β ∼ tk ; i = 1, 2, 3, . . . , k se(β)
(4.5)
dengan persamaan 4.4 sebagai estimasi varian metode lenth, sedemikian hingga statistik uji sebagaimana diberikan pada persamaan (4.5) menjadi b i| |β tσbpse = ; i = 1, 2, 3, . . . , k σ bP SE sebagai statistik uji metode Lenth c. Batas Kesalahan (Margin Error (ME)) Untuk menentukan batas kesalahan dari metode Lenth, yaitu M E, terlebih dahulu ditentukan nilai kritis berdasar pemilihan α dan jumlah k. Hipotesis H0 : β i = 0; i = 1, 2, · · · , k H1 : β i 6= 0 Untuk nilai kritis c = c(k, α), sehingga α = P (|t| ≥ c(k, α)|H0 ) atau 1 − α = P {tk < c(k, α)|H0 }
36 Kasus k cukup besar . P {tk ≤ c|H0 } =
b |β| ≤ c; σ bP SE
i = 1, · · · , k|H0
(4.6)
= [Φ(c) − Φ(−c)]k = [2(Φ(c) − 21 )]k dimana Z k 1 2 Φ(k) = √ e−u /2 du 2π −∞ ∗ Didefinisikan c = c(k, α) dengan : k ∗ 1 1 − α = 2 Φ(c (k, α)) − 2 dengan ∗
c (k, α) = Φ
−1
1 2
+
(1−α)1/k 2
(4.7)
Dari persamaan (4.6), dengan memilih k dan α untuk suatu nilai c, diperoleh P(
b| |β i < tα/2; d ) = 1 − α σ bP SE
b|<σ P (|β bP SE × tα/2; d ) = 1 − α i
(4.8)
Untuk α = 0, 05 b|<σ P (|β bP SE × t0,025; d ) = 0, 95 i untuk d = k3 , sedemikian hingga σP2 SE × t0,025;d merupakan batas kesalahan (margin of error ) ditulis ME = σ bP SE × t0,025,
d
(4.9)
dimana, nilai 0,025 merupakan kuantil ke 0,975 dari distribusi t dan dengan demikian interval kepercayaan untuk metode Lenth adalah b ± t0,025; d × σ β bpse d. Batas Kesalahan Simultan, (Simultant Margin Error (SM E)) Dari persamaan (4.6) dan (4.7) dapat dinyatakan SME dari metode Lenth sebagai berikut ∗
c (k; α) = Φ
−1
1 2
+
(1−α)1/k 2
37 Untuk suatu α = 0, 05, maka c∗ (k; 0, 05) =
(1 + 0, 951/k ) 2
andaikan c∗ (k; α) = γ, maka c∗ (k; 0, 05) = γ=
(1+0,951/k ) 2 1/k
(1 + 0, 95 2
dapat dituliskan menjadi
)
dengan demikian diperoleh batas kesalahan simultan b| |β P ( i < tγ;d ) = 0, 95 σ bP SE b | < tγ;d × σ P (|β bP SE ) = 0, 95 i
SM E = tγ,d × σ bP SE 4.1.3
(4.10)
Penaksiran Parameter dengan Metode Fang Dengan cara yang sama pada metode Lenth, bahwa sebelum mengkon-
struksi statistik uji dari metode Fang, terlebih dahulu dirumuskan hipotesis yang berkaitan dengan signifikan atau tidak pengaruh suatu faktor terhadap variabel respon. Hipotesisnya dirumuskan sebagai berikut: H0 : βi = 0 H1 : βi 6= 0;
i = 1, 2, . . . , k
Untuk menguji hipotesis tersebut, terlebih dahulu ditentukan estimasi dari metode Lenth, yang dijelaskan sebagai berikut: a. Estimasi awal Dengan cara yang sama pada penaksir metode Lenth, penaksir awal dari metode Fang dapat dituliskan sebagi berikut: b |}; s0 = 1, 5 × median{|β i
i = 1, 2, . . . , k
b. Estimasi Akhir Dengan cara yang sama pada penaksir akhir dari metode Lenth, penaksir akhir dari metode Fang dapat diturunkan dari definisi (2.6) sebagai berikut: s X b |2 σ bs1 (q, b) = l−1 |β i b |≤2,50×s0 |β i
38 (4.11) b i | ≤ 2, 50 × s0 . dimana l merupakan jumlah dari |β Untuk uji statistik, Fang menggunakan suatu statistik uji yang menyerupai statistik uji-t, sebagai berikut tσs1 =
b i| |β σ bs1
c. Batas Kesalahan (Margin Error, ME ) Menentukan batas kesalahan pada metode Fang adalah sama dengan apa yang dikerjakan pada metode Lenth, perbedaan hanya pada pemilihan nilai α. Pada metode Lenth, dipilih α = 0, 05, sedangkan pada metode Fang, dipilih α = 0, 02. Dengan demikian, dari persamaan (4.8), b i| < σ P (|β bs1 × tα/2;l ) = 1 − α b|<σ P (|β bs1 × t0.01;l ) = 0, 98 i b ≤ 2, 5s0 sedemikian hingga σ untuk d = l, dimana l adalah banyaknya β bs1 × t0.01;l merupakan batas kesalahan (margin of error ), ditulis ME = σ bs1 × t0.01;l d. Batas Kesalahan Simultan, (Simultantoue Margin Error, SM E) Dari persamaan (4.6) dan (4.7) dapat dinyatakan SME dari metode Fang sebagai berikut ∗
c (k, α) = Φ
−1
1 2
+
(1−α)1/k 2
Untuk suatu α = 0, 02, maka (1 + 0, 981/k ) 2
c∗ (k; 0, 02) =
andaikan c∗ (k, α) = γ, maka c∗ (k; 0, 02) =
(1+0,981/k ) 2 1/k
(1 + 0, 98 2
γ=
dapat dituliskan menjadi
)
dengan demikian diperoleh batas kesalahan simultan b |β i | P < tγ;l = 0, 98 σ bs1 b | < tγ;l × σ P (|β bs ) = 0, 98 i
1
39 (4.12)
SM E = tγ,l × σ bs1 dengan df = l 4.1.4
Fungsi Power Metode Bissell, Lenth dan Fang Pada bagian ini akan diturunkan fungsi power dari metode Bissell, Lenth
dan Fang. Fungsi power yang diperoleh selanjutnya akan digunakan untuk membanding kekuatan uji dari ketiga metode tersebut. Power uji dari metode Bissell diturunkan dari distribusi chi kuadrat noncentral yang didasarkan pada statistik uji dari metode ini, sedangkan untuk metode Lenth dan Fang, fungsi powernya diturunkan dari distribusi t noncentral, hal tersebut juga didasarkan pada statistik uji dari keduanya. a. Fungsi Power dari Metode Bissell Fungsi power dari metode Bissell dibawah hipotesis H1 diberikan sebagai berikut: 1 − δ = P (Tolak H0 |H1 Benar) = P {Bk (βi ) ≥ χ2k−1;α/2 |β 6= 0; i = 1, 2, . . . , k} dimana Bk (βi ) berdistribusi noncentral χ2k−1 dengan β sebagai parameter noncentral. Dari definisi (2.5), diberikan fungsi padat peluang dari distribusi chi kuadrat non central sebagai berikut: i ∞ X 1 β xa/2+i−1 e−x/2 f (x) = e−β/2 a/2+i i! 2 2 Γ(a/2 + i) i=1 sebagaimana yang diturunkan pada Benton., D dan Krishnanmoorthy (2005), dapat diturunkan nilai kritis dibawah hipotesis H1 , sebagai berikut 2 (k − 1)v s 2 2 P (Bk (βi ) ≤ χk−1;α/2 |H1 ) = P ≤ χk−1;α/2 |H1 2 m andaikan χ2k−1;α/2 = x, diperoleh i ∞ X 1 β x a −β/2 P (Bk ≤ x|H1 ) = e IG ; + i i! 2 2 2 i=1 dimana 1 IGy (a) = Γ(a)
Z 0
y
ex xa−1 dx,
a > 0,
x>0
40 Selanjutnya, fungsi power 2 (k − 1)v s 1−δ =P ≥ χ2k−1;α/2 H1 2 m ∞ X1 β i x a −β/2 e IG ; + i =1− i! 2 2 2 i=1
dengan β > 0 sebagai parameter noncentral, x > 0 dan a > 0 b. Fungsi Power dari Metode Lenth Fungsi power dari metode Lenth, dibawah hipotesis H1 , 1 − δ = P (Tolak H0 |H1 Benar) = P tk (β) ≥ c(k, α), i = 1, 2, . . . , k|H1 b |β i | =P ≥ c(k, α), σ bP SE
i = 1, 2, . . . , k|H1
dimana tk (β) adalah distribusi noncentral t dengan β sebagai parameter noncentral. Untuk nilai kritis dibawah hipotesis H1 b |β| ≤ c(k, α), P {tk ≤ c(k, α)|H1 } = P σ bP SE
i = 1, 2, . . . , k|H1
diperoleh P {t1 ≤ c(k, α)|H1 } = [Φ(k − β) − Φ(−k − β)]. Selanjutnya, Fungsi power b |β| 1 − δ(k, α, β) = P ≥ c(k, α), σ bP SE
i = 1, 2, . . . , k|β
= 1 − [Φ(k − β) − Φ(−k − β)] = 1 − [Φ((k, α) − β) − Φ(−(k, α) − β)] dimana Φ(x) =
Rk −∞
φ(x)dx
i i/2 2 ∞ X v v/2 e−β /2 v+i+1 β 2x2 φ(x) = v √ Γ Γ( 2 ) π(v + x2 )(v+1)/2 i=1 2 i! v + x2 untuk − ∞ < x < ∞,
v > 0,
dan
−∞<β <∞
c. Fungsi Power dari Metode Fang Fungsi power dari metode Fang, dibawah hipotesis H1 , 1 − δ = P (Tolak H0 |H1 Benar)
41 = P tk (β) ≥ c(k, α), b |β| ≥ c(k, α), =P σ bs1
i = 1, 2, . . . , k|H1 i = 1, 2, . . . , k|H1
dimana tk (β) adalah distribusi noncentral t dengan β sebagai parameter noncentral. Untuk nilai kritis dibawah hipotesis H1 b |β| P {tk ≤ c(k, α)|H1 } = P ≤ c(k, α), i = 1, 2, . . . , k|H1 σ bs1 diperoleh P {t1 ≤ c(k, α)|H1 } = [Φ(k − β) − Φ(−k − β)}. Selanjutnya, Fungsi power b |β| 1 − δ(k, α, β) = P ≥ c, σ bs1
i = 1, 2, . . . , k|β
= 1 − [Φ(k − β) − Φ(−k − β)] = 1 − [Φ((k, α) − β) − Φ(−(k, α) − β)] dimana Z
k
φ(x)dx
Φ(x) = −∞
i i/2 2 ∞ X v v/2 e−β /2 v+i+1 β 2x2 φ(x) = v √ Γ Γ( 2 ) π(v + x2 )(v+1)/2 i=1 2 i! v + x2 dimana − ∞ < x < ∞, v > 0, 4.2
dan
− ∞ < β < ∞.
Perbandingan Power Uji Metode Bissell, Lenth dan Fang Sebagaimana yang telah dijelaskan pada bagian 4.1.4, bahwa fungsi power
yang diperoleh akan digunakan untuk membandingkan kekuatan uji dari ketiga metode tersebut. Pada bagian ini, dengan menggunakan kasus yang diberikan, yaitu faktor yang mempengaruhi jarak tempuh bola golf dalam permainan golf untuk rancangan faktorial fraksional 2-level dan faktor yang mempengaruhi pembakaran pada boiler untuk rancangan faktorial fraksional 3-level.
42 4.2.1
Kasus Rancangan Faktorial Fraksional 2-Level Sebelum melakukan perbandingan power uji antara metode Bissell, Lenth,
dan Fang, terlebih dahulu dilakukan analisis terhadap faktor-faktor yang diikutkan dalam model, apakah signifikan atau tidak. Data yang digunakan sebagai ilustrasi dari kemampuan metode Bissell, Lenth, dan Fang dalam mengidentifikasi faktor yang signifikan adalah percobaan Permainan Golf. Contoh ini diambil dari Anonim (2003) dengan faktor-faktornya kemampuan (A), bola (B), Club (C), Lapangan (D), dan Teeing (E), yang disusun dalam rancangan faktorial fraksional 25−1 atau rancangan resolusi V dengan defining relation E = ABDC dan jumlah run 16 dengan model y =β0 + β1 x1 + β2 x2 + β3 x3 + β4 x4 + β5 x5 + β12 x1 x2 + β13 x1 x3 + β14 x1 x4 + β15 x1 x5 + β23 x2 x3 + β24 x2 x4 + β25 x2 x5 + β34 x3 x4 + β35 x3 x5 + β45 x4 x5 + Model dengan 15 kontras, pengujian dengan menggunakan metode klasik tidak memungkinkan untuk digunakan dengan tidak adanya nilai dari jumlah kuadrat error. Tanda (*) yang muncul pada tabel anova disebabkan oleh, pertama tidak adanya pengulangan untuk tiap kombinasi perlakuan, kedua terdapat 16 kombinasi perlakuan, jumlah kuadra total mempunyai 15 derajat bebas, 5 diantaranya untuk faktor utama dan 10 lainnya untuk interaksi dua faktor, sehingga derajat bebas untuk error adalah 0. Hipotesis yang akan diuji adalah Tabel 4.1: Rangkuman Sumber Variansi DF Efek Utama 5 Interaksi 2-faktor 10 Kesalahan 0* Total 15
Hasil Analisis Varian SS MS F P 27127 5425,5 * * 1812 181,2 * * * * 28939
H0 : β i = 0 lawan H1 : β i 6= 0 dimana i = 1, 2, 3, . . . , 15 Pengujian hiptesis dengan menggunakan ketiga metode tersebut dijelaskan sebagai berikut:
43 1. Metode Bissell, Dilakukan perhitungan dengan iterasi sebagai berikut; (a) Dari hasil perhitungan diperoleh rata-rata(m) 1929,33 dan standar deviasi 3628,93 dari rata-rata kuadrat. (b) Dengan menggunakan persamaan (4.3), untuk k=15 diperoleh nilai Bk = 24, 8 dengan p-value dari chi-kuadrat 0,0369 untuk α = 0, 05 dengan df = 14, hasil ini dinyatakan signifikan. Selanjutnya ratarata kuadrat dengan nilai terbesar dihilangkan untuk keperluan perhitungan selanjutnya, yaitu untuk k = 14. (c) k = 14 diperoleh nilai Bk = 31, 23 dengan p-value 0,003 untuk α = 0, 05 dengan df = 13, hasil ini dinyatakan signifikan. Demikian seterusnya hingga untuk suatu k dengan Bk tidak signifikan, perhitungan dihentikan. Nilai yang dihilangkan dari perhitungan pada setiap iterasi dalam metode ini dinyatakan sebagai faktor yang signifikan, yaitu faktor Ground, Teeing dan Ability. 2. Metode Lenth, Dengan menggunakan nilai dari penaksir efek, dihitung: b i |} = 1, 5 × 4, 6250 = 6, 9375 (a) s0 = 1, 5 × median{|β b |} = 5, 4375 (b) σ bP SE = 1, 5 × median{|β i b ≤2,5 β i
(c) M E = t0,025 × σ bP SE = 13, 9775 (d) SM E = tγ,d × σ bP SE = 28, 3764 Untuk menyatakan faktor signifikan dari metode Lenth, bahwa nilai mutlak dari penaksir efek yang lebih besar dari SM E, faktor tersebut yang dinyatakan signifikan, yaitu faktor Ability, groung dan teeing. 3. Metode Fang, Dengan cara yang sama pada metode lenth, penetapan faktor yang sig-
44 nifikan adalah dengan mengambil nilai dari penaksir efek yang lebih besar dari nilai SM E. Faktor yang dinyatakan signifikan pada metode ini sama dengan yang teridentifikasi pada metode Lenth. Hasil perhitungan yang lengkap dapat dilihat pada Lampiran B Tabel 2.1. Dari tabel tersebut, terlihat untuk metode Bissel, faktor-faktor yang signifikan adalah ground, teeing dan ability, untuk metode Lenth dengan menggunakan SM E diperoleh faktor signifikan sama dengan faktor yang teridentifikasi pada metode Bissell. Dengan menggunakan metode Fang, diperoleh faktor signifikan ground, ability, teeing. Selanjutnya, untuk mengetahui kekuatan uji dari metode Lenth dan Fang dalam mengidentifikasi faktor signifikan, digunakan fungsi power dari masingmasing metode dengan nilai noncentral (β) yang berbeda. Dari hasil analisis statistik, dapat dijelaskan sebagai berikut: Dari kasus, diperoleh nilai power untuk metode Bissell bahwa untuk suatu nilai parameter nonsentral yang ditetapkan, β, mempunyai nilai yang lebih kecil dari nilai statistik Bk memberikan power yang cenderung kecil. Dengan kata lain, semakin nilai statistik Bk power cenderung membesar. Akan tetapi, bahwa dari hasil ini juga memperlihatkan bahwa untuk suatu nilai Bk yang dinyatakan signifikan, dimana nilai nonsentral yang diberikan lebih besar, maka akan memperlihat nilai power yang kecil. Dari kasus, untuk Bk = 24, 766, nilai ini dinyatakan signifikan dengan nilai P sebesar 0,03 untuk α = 0, 05 dari distribusi chi kuadrat, juga diberikan nilai power untuk suatu parameter noncentral, β = 10 yaitu 0,579, suatu nilai power yang cukup kecil dalam untuk pengambilan keputusan. Jika dikaitkan dengan kesalahan dalam pengambilan keputusan secara statistik, bahwa untuk statistik Bissell jika jumlah faktor semakin banyak atau k besar, dengan α yang sama cenderung melakukan kesalahan dalam menyatakan suatu faktor signifikan dalam keadaan faktor tersebut tidak signifikan atau cenderung melakukan kesalahan jenis I, yaitu menerima H0 saat H0 salah. Dari hasil tersebut juga memberikan nilai power untuk metode Lenth bahwa
45 b untuk suatu nilai β yang ditentukan lebih kecil dari β power cenderung kecil, seb ≤ β(9) mempunyai power yang kecil keadaan ini mempunyai bagai contoh β 2 b ≥ β kecenderungan yang sama dengan metode Fang. Pada kasus dimana β menunjukan kecenderungan nilai power besar, walaupun faktor tersebut dinyatakan tidak signifikan. Sebagai contoh; Bk ≥ β(9) , Bk = 40, 758, secara lengkap disajikan pada Lampiran C Tabel 3.1, Tabel 3.2, dan Tabel 3.3. Dalam kasus ini, untuk faktor yang signifikan mungkin tidak menjadi masalah yang berarti oleh karena hasil uji yang menunjukkan power yang besar. Tetapi yang perlu diperhatikan dari kasus ini adalah pada saat faktor tersebut dinyatakan tidak signifikan, baik dengan menggunakan metode Lenth maupun Fang, kecenderungan keduanya memberikan suatu power yang besar. Jika hal tersebut dikaitkan dengan kesalahan yang mungkin terjadi dalam setiap pengujian hipotesis, yaitu kesalahan type II. Kondisi dimana terjadi penerimaan H0 saat H1 benar, diberikan contoh dari hasil analisis, βb2 = −4, 875 (tidak signifikan , baik metode Lenth maupun Fang) dengan β = −8, 38652 diberikan nilai power sebesar 0,99957 (Lampiran C Tabel 3.2), dengan peluang terjadi kesalahan type II sebesar 0,00043 suatu tingkat kesalahan yang mungkin sangat kecil. Melalui uraian kasus di atas, baik metode Lenth maupun metode Fang cenderung memberikan nilai power yang sama untuk suatu parameter noncentral yang ditetapkan dan lebih kuat jika dibandingkan dengan metode Bissell, kecuali pada keadaan dimana parameter nonsentral yang diberikan semakin besar dibanding dengan efek dari suatu faktor terlihat perbedaan antara kedua metode ini (Lenth dan Fang), dimana metode Fang cenderung lebih kuat dibandingkan dengan metode Lenth dan Bissell. Gambar 4.1 berikut memberikan gambaran power dari ketiga metode tersebut. 4.2.2
Kasus Rancangan Faktorial Fraksional 3-Level Pada kasus ini, kasus yang digunakan adalah proses pembakaran pada
boiler dengan faktor-faktornya (1) sudut pengarah nosel (A), distribusi udara (D),kombinasi elemen nosel (C), dan tarikan udara pada furnace (D) disusun
46
(a) Kurva Kuasa untuk β i ; i = 1, 2, 3, 4 (b) Kurva Kuasa untuk β i ; i = 5, 6, 7, 8
(c) Kurva Kuasa untuk β i ; i = 9, 10
Gambar 4.1: Kurva Kuasa Metode Bissell, Lenth, dan Fang untuk Permainan Golf 4−1 dalam rancangan faktorial fraksional 3IV atau rancangan resolusi IV dengan
defining relation I = AB 2 CD dan jumlah run 27. dengan model yang akan diuji y = β0 + β1 x1 + β2 x2 + β3 x3 + β4 x4 + β12 x1 x2 + β13 x1 x3 β23 x2 x3 + Model dengan 7 kontras, dari hasil analisis diperoleh tabel analisis variansi sebagai berikut Hipotesis yang akan diuji adalah H0 : β i = 0 lawan H1 : β i 6= 0 dimana i = 1, 2, 3, . . . , 7
47 Tabel 4.2: Rangkuman Hasil Analisis Varian Sumbe variansi DF SS MS F P Regresi 7 1301,2 185,9 0,37 0,908 Kesalahan 19 9500,9 500,0 Total 26 10802,1 pengujian hipotesis dengan menggunakan metode klasik, sebagaimana yang ditunjukkan pada tabel ANOVA diatas, tidak dapat digunakan oleh karena model yang diberikan tidak signifikan. Dalam hal ini, pengujian secara klasik tidak dapat digunakan untuk menetapkan faktor mana di antara sejumlah faktor yang memberikan pengaruh pada proses pembakaran pada boiler. Pengujian hipotesis dengan menggunakan ketiga metode tersebut, dijelaskan sebagai berikut: 1. Metode Bissell, Dilakukan perhitungan dengan iterasi sebagai berikut: (a) Dari hasil penghitungan rata-rata sebesar 185,886 dan standar deviasi sebesar 335,397 dari rata-rata kuadrat (b) Dengan menggunakan persamaan (4.3), untuk k=7 diperoleh nilai Bk = 9, 76667 dengan p-value dari chi kuadrat 0,57 untuk α = 0, 05, hasil ini menyatakan faktor A tidak signifikan. Dari keseluruhan iterasi yang diberikan dalam metode Bissell tidak satupun dari faktor yang mempengaruhi proses pembakaran pada boiler yang dinyatakan signifikan. 2. Metode Lenth, Dengan menggunakan nilai dari penaksir efek, dihitung: b | = 2, 1833 (a) s0 = 1, 5 × median |β i b = 2.1666 (b) σ bP SE = 1, 5 × median |β| b |β|<2.5×s 0
(c) M E = t0,025 × σ bP SE = 6, 5210 (d) SM E = tγ, d × σ bP SE = 14, 2538 Untuk menyatakan faktor signifikan dengan menggunakan metode Lenth,
48 bahwa nilai multak dari penaksir efek yang lebih besar dari SM E. Dari hasil tersebut tidak satupun dari faktor yang dinyatakan signifikan 3. Metode Fang, Dengan yang sama pada metode fang, penetapan faktor yang signifikan adalah dengan mengambil nilai dari penaksir efek yang lebih besar dari nilai SM E. Dari hasil perhitungan, tidak satupun dari faktor yang ada dinyatakan signifikan.
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1
Kesimpulan Dari hasil pembahasan, diperoleh beberapa kesimpulan sebagai berikut:
1. Statistik uji dan penaksir parameter untuk metode Bissel, Lenth dan Fang sebagai berikut: (a) Statistik uji untuk Metodel Bissell adalah 2 (k − 1)v s Bk = 2 m yang merupakan suatu statistik berdistribusi chi kuadrat dengan penaksirnya E(Bk ) = k − 1 (b) Penaksir dan statistik uji dari Metode Lenth adalah i. Penaksir dari Metode Lenth b |} sebagai penaksir awal yang akan di• s0 = 1.5 × median{|β i gunakan untuk menentukan penaksir akhir. b |} sebagai penaksir akhir. • σ bP SE = 1, 5 × median {|β i b |≤2,5×s0 |β i
• ME = σ bP SE × t0,025,d sebagai batas kesalahan • SM E = tγ,d × σ bP SE sebagai batas kesalahan simultan, merupakan statistik yang digunakan untuk menetapkan apakah suatu faktor signifikan atau tidak, yaitu estimasi efek faktor yang lebih besar dari SM E dinyatakan sebagai faktor yang signifikan. ii. Statistik uji Metode Lenth b β sebagai statistik uji • tk = σ bP SE 49
50 (c) Penaksir dan statistik uji dari Metode Fang adalah i. Penaksir Metode Fang b |} sebagai penaksir awal yang akan di• s0 = 1.5 × median{|β i gunakan untuk menentukan penaskir akhir. s X b |2 sebagai penaksir akhir |β • σ bs1 = l−1 i b |≤2,5×s0 |β i
• ME = σ bs1 × t0,025,l sebagai batas kesalahan • SM E = tγ,l × σ bs1 , sebagai batas kesalahan simultan, merupakan statistik yang digunakan untuk menetapkan apakah suatu faktor signifikan atau tidak, yaitu estimasi efek faktor yang lebih besar dari SM E dinyatakan sebagai faktor yang signifikan. ii. Statistik uji metode Fang b β sebagai statistik uji • tk = σ bs1 2. Kekuatan uji untuk metode Metode Lenth dan Fang memberikan indikasi yang lebih kuat dibandingkan dengan metode Bissell. Untuk Metode Lenth dan Fang, memberikan kecenderungan yang sama dalam hal nilai power yang diberikan untuk setiap parameter nonsentral. Namun, kekuatan uji metode ini untuk suatu parameter yang noncentral yang diberikan semakin besar, memperlihat metode Fang lebih kuat dibanding dengan metode Lenth. 5.2
Saran Dengan penggunaanya yang cukup luas dalam berbagai bidang, rancangan
fraksional faktorial cukup menarik untuk dikembangkan lebih lanjut. Metode yang berkaitan dengan rancangan ini telah banyak dikembangkan dan terus didiskusikan, pada penelitian ini hanya mengemukakan tiga metode, yaitu Metode Bissell, Lenth dan Fang. Bagi pembaca yang tertarik, disarankan untuk meninjau metode-metode tersebut apakah dengan jumlah faktor fraksional yang berbedabeda atau melalui simulasi atau mengkhususkan pada rancangan fraksional fak-
51 torial 3-level.
DAFTAR PUSTAKA Anonim, 2003. http://www.maths.napier.ac.uk/ jeff/golf.txt Antony, J dan Capon, 1998. ”Teaching Experimental Design Techniques to Industrial Engineers” Internatioan. Journal. Engeering Ed. Vol. 14, No. 5, pp. 335 - 343. Benton., D dan Krishnamoorthy, K. 2005. ”Computing Discrete Mixture of Continuous Distributions: Noncentral Chisquare, Noncentral t and Distribution of the Square of the Sample Multiple Correlation Coefisient”. Departement of Mathematics, Universitu of Louisianan at Lafayette, Lafayette, USA. Bisgaard, 1991. ”A Methode for Identification Defining Contrasts for 2K−P Design”. Report Series No. 72 of Center for Quality and Productivity Impovement, University of Wisconsin, Madison. Bissell, A. F. 1989. ”Interpreting Mean Squares In Saturated Fractional Design”. Journal of Applied Statistics 16, Vol. 1, pp.447 Bissell, A. F. 1992. ”Mean Squares In Saturated Fractional Design Revisied”. Journal of Applied Statistics 19, Vol. 3, pp.447 Box, G. E. P. dan Meyer, R. D. 1986. ”An Analysis for Unreplicated Fractional Factorials”. Technometrics. 28. 1 pp. 11-18 Cochran, W.G. 1954. ”Some Methods For Strengthening the Common χ2 Test”. Biometric, pp. 418-450 Dodgson, J.H. 2003. ”A Graphical Method for Assessing Mean Square in Saturated Fractional Designs”. Journal of Quality Technology, 35, No. 2, pp. 206212. Dong., F. 1993. ”On the Indentification of Active Contrasts in Unreplicated Fractional Factorial”. Statistics Sinica 3, pp 209-217. Halaand, D.P dan O’Connell, M.A. ”Inference for Effect-Saturated Fractional Factorials”. Technometrics 37, 1, pp. 82-93 Hamada, M. dan Balakrishnan, N. 1998. ”Analizyng Unreplicated Factorial Experiments: A Review With Some New Proposals”. Statistics Sinica 8, pp 1-41 Lenth, R.V. 1989. ”Quick and Easy Analysis of Unreplicated Factorial”. Technometrics 31, pp 469-473. Luftig, J., 1991. ”Special Techniques For The Analysis Of Unreplicated Fractional Factorial (Screening) Designs, Luftig & Warren International. 52
53 Montgomery, 2005. supplemental text material for each chapter of the 6th edition of Design and Analysis of Experiments. http://www.wiley.com/ college/montgomery Voelkel, G. J dan Rochester, CQAS, R.I.T., 2004. The Efficiencies of Fractional Factorial Designs, Technical Report 2004-1. 30 November 2005. http://www.rit.edu/ ∼636www/about/TR2004-1.pdf.
LAMPIRAN
54
Lampiran A Matriks Rancangan dan Data
1.1
Data Eksperimen Permainan Golf Tabel 1.1: Faktor dan Level-level untuk Permainan Golf Faktor
Low level (-1) High level (+)
A Ability (handycap) B Ball C Club D Ground E Teeing
Run 1 2 3 4 5 6 7 8
8 Balata Wood soft no tee
4 two piece metal hard tee
Tabel 1.2: Matriks Rancangan Eksperimen Permainan Golf A B C D E Distance Run A B C D E Distance -1 1 -1 1 -1 1 -1 1
-1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 1 1 1 -1 -1
211 195 150 232 160 236 222 204
9 10 11 12 13 14 15 16
-1 1 -1 1 -1 1 -1 1
-1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
-1 1 1 -1 1 -1 -1 1
183 285 242 260 276 264 200 301
Sumber: Dodgson, J.H. 2003. ”A Graphical Method for Assessing Mean Square in Saturated Fractional Designs”. Journal of Quality Technology, 35, No. 2, pp. 206- 212.
1.2
Data Pembakaran pada Boiler
Tabel 1.3: Faktor dan Level-Level data Pembakaran pada Boiler Faktor Level 0 (rendah) Level 1 (tengah) Level 2 (Atas) A(Sudut Pengarah Nosel) B(Distribusi Udara) C(Kombinasi Elemen Nosel) D(Sudut Pengarah Nosel)
-10 Elevasi sudut atas -1,2mbar -10
55
0 tengah 0mbar 0
10 bawah 1,6mbar 10
56
Tabel 1.4: Matriks Rancangan Fraksional Faktorial 3-Level Data Pembakaran pada Boiler Run A B AB C AC BC D y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0 -1 0 -1 0 -1 1 -1 1 -1 1 0 -1 0 -1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1
-1 -1 -1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 -1 -1 -1
-1 0 1 -1 0 1 -1 0 1 -1 0 1 -1 0 1 -1 0 1 -1 0 1 -1 0 1 -1 0 1
-1 0 1 -1 0 1 -1 0 1 0 1 -1 0 1 -1 0 1 -1 1 -1 0 1 -1 0 1 -1 0
-1 0 1 0 1 -1 1 -1 0 -1 0 1 0 1 -1 1 -1 0 -1 0 1 0 1 -1 1 -1 0
-1 60,0 0 78,0 1 100,0 0 52,0 1 50,0 -1 42,0 1 98,0 -1 66,0 0 88,0 0 70,0 1 60,0 -1 60,0 1 38,0 -1 10,0 0 30,0 -1 58,0 0 54,0 1 74,0 1 80,0 -1 72,0 0 92,0 -1 46,0 0 62,0 1 62,0 0 90,0 1 86,0 -1 82,0
Lampiran B Hasil Analisis untuk Identifikasi Faktor Signifikan
2.1
Permainan Golf
Factorial Fit: Distance versus Ability; Ball; Club; Ground; Teeing Estimated Effects and Coefficients for Distance (coded units) Term Effect Coef Constant 226,313 Ability 41,625 20,813 Ball 0,125 0,062 Club 13,125 6,562 Ground 50,125 25,062 Teeing 48,625 24,313 Ability*Ball 4,125 2,063 Ability*Club -4,875 -2,437 Ability*Ground 10,625 5,313 Ability*Teeing -15,875 -7,937 Ball*Club -2,375 -1,187 Ball*Ground -1,375 -0,687 Ball*Teeing -2,875 -1,437 Club*Ground 4,625 2,312 Club*Teeing 3,125 1,562 Ground*Teeing 0,625 0,312 S = * Analysis of Variance for Distance (coded units) Source MainEffects 2-Way Interactions Residual Error0 Total
DF 5 10 * 15
Seq SS 27127 1812 * 28939
57
Adj SS 27127 1812 *
Adj MS 5425,5 181,2
F * *
P * *
58 Tabel 2.1: Nilai Statistik Bissell, Metode Lenth dan Fang untuk Permainan Golf Run
Efek Ref
Ability 41,625 Ball 0,125 Club 13,125 Ground 50,125 Teeing 48,625 Ability*Ball 4,125 Ability*Club -4,875 Ability*Ground 10,625 Ability*Teeing -15,875 Ball*Club -2,375 Ball*Ground -1,375 Ball*Teeing -2,875 Club*Ground 4,625 Club*Teeing 3,125 Ground*Teeing 0,625 s0 Metode Lenth
Metode Fang
6,9375 σ bP SE ME SM E σ bs1 ME SM E
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 = = = = = =
MS
Reford
6930,6 0,1 689,1 10050,1 9457,6 68,1 95,1 451,6 1008,1 22,6 7,6 33,1 85,6 39,1 1,6
4 5 1 9 3 8 7 13 6 14 12 10 11 15 2
Bk
Pvalue
24,7662 31,2315 40,7580 13,7841 13,5729 12,6369 3,3778 3,3073 2,9810 2,3178 2,4452 2,5132 1,6793 0,8521 *
0,0369474 0,0031184 0,0000538 0,2451737 0,1933798 0,1797348 0,9084655 0,8551988 0,8112249 0,8036538 0,6544835 0,4729036 0,4318616 0,3559671 *
5,4375 13,9975 28.3764 7,2187 16,6226 29,9595
2.2 Pembakaran Pada Boiled 3-Level Seluruh Faktor utama dan Interaksi Dua Faktor Regression Analysis: y versus x1; x2; ...x3x4 The regression equation is y = 64,8 + 0,11 x1 + 1,22 x2 + 1,44 x3 + 7,22 x4 - 1,47 x1x2 - 3,60 x1x3 - 0,71 x1x4 - 2,49 x2x3 + 0,40 x2x4 - 3,47 x3x4 Predictor Constant x1 x2 x3
Coef 64,815 0,111 1,222 1,444
SE Coef 4,654 5,700 5,700 5,700
T 13,93 0,02 0,21 0,25
P 0,000 0,985 0,833 0,803
VIF 1,0 1,0 1,0
59 x4 x1x2 x1x3 x1x4 x2x3 x2x4 x3x4
7,222 -1,467 -3,600 -0,711 -2,489 0,400 -3,467
S = 24,1844
5,700 7,210 7,210 7,210 7,210 7,210 7,210
R-Sq = 13,4%
1,27 -0,20 -0,50 -0,10 -0,35 0,06 -0,48
0,223 0,841 0,624 0,923 0,734 0,956 0,637
1,0 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1
R-Sq(adj) = 0,0%
Analysis of Variance Source Regression Residual Error Total
DF 10 16 26
SS 1443,9 9358,2 10802,1
No replicates. Cannot do pure error test. Source x1 x2 x3 x4 x1x2 x1x3 x1x4 x2x3 x2x4 x3x4
DF 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Seq SS 0,2 26,9 37,6 938,9 65,3 147,0 21,3 69,7 1,8 135,2
MS 144,4 584,9
F 0,25
P 0,985
60 Tabel 2.2: Hasil Perhitungan Metode Bissell, Lenth dan Fang Ref
MS
Reford
Bk
Pvalue
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1712,15 1631,26 928,20 76,94 145,48 94,71 186,65 14,42 67,56
1 2 3 7 5 6 4 9 8
6,70844 7,63956 6,51795 0,96941 0,70381 0,44522 0,40509 0,42017 *
0,568392 0,365446 0,367732 0,964995 0,950858 0,930751 0,816648 0,516851 *
Metode Lenth s0 σ bP SE ME SM E Metode Fang σ bs1 ME SM E
2.1833 = 2.1666 = 6.5210 = 14.2538 = 4.9011 = 8.7678 = ...
Seluruh Faktor Utama dan Interaksi AB, AC, dab BC Regression Analysis: y versus x1; x2; x3; x4; x1x2; x1x3; x2x3 The regression equation is y = 64,8 + 0,11 x1 + 1,22 x2 + 1,44 x3 + 7,22 x4 - 2,33 x1x2 - 3,50 x1x3 - 2,67 x2x3 Predictor Constant x1 x2 x3 x4 x1x2 x1x3 x2x3
Coef 64,815 0,111 1,222 1,444 7,222 -2,333 -3,500 -2,667
SE Coef 4,304 5,271 5,271 5,271 5,271 6,455 6,455 6,455
T 15,06 0,02 0,23 0,27 1,37 -0,36 -0,54 -0,41
P 0,000 0,983 0,819 0,787 0,187 0,722 0,594 0,684
VIF 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0
61 S = 22,3617
R-Sq = 12,0%
R-Sq(adj) = 0,0%
Analysis of Variance Source Regression Residual Error Total
DF 7 19 26
SS 1301,2 9500,9 10802,1
MS 185,9 500,0
F 0,37
P 0,908
No replicates. Cannot do pure error test. Source x1 x2 x3 x4 x1x2 x1x3 x2x3
DF 1 1 1 1 1 1 1
Seq SS 0,2 26,9 37,6 938,9 65,3 147,0 85,3
Tabel 2.3: Hasil Perhitungan Metode Bissell, Lenth dan Fang Ref
MS
Reford
Bk
Pvalue
1 2 3 4 5 6 7
0,2 26,9 37,6 938,9 65,3 147,0 85,3
4 6 7 5 3 2 1
9,76667 1,83889 1,18834 1,03030 0,79769 0,97070 *
0,134828 0,870959 0,880014 0,793922 0,671094 0,324506 *
62
24,7662 31,2315 40,7580 13,7841 13,5729 12,6369 3,3778 3,3073 2,9810 2,3178 2,4452 2,5132 1,6793 0,8521
Bk
0,941941 0,990186 0,999507 0,462393 0,446725 0,376641 0,001215 0,001078 0,000593 0,000133 0,000183 0,000216 0,000018 0,000000
1
0,915733 0,983313 0,998948 0,396737 0,381832 0,316320 0,000815 0,000722 0,000393 0,000086 0,000120 0,000142 0,000011 0,000000
2 0,884624 0,973836 0,998000 0,337581 0,323691 0,263607 0,000546 0,000483 0,000261 0,000056 0,000078 0,000093 0,000007 0,000000
3 0,849012 0,961419 0,996507 0,285036 0,272315 0,218107 0,000366 0,000323 0,000173 0,000037 0,000051 0,000061 0,000005 0,000000
4 0,809458 0,945808 0,994287 0,238944 0,227473 0,179260 0,000245 0,000215 0,000114 0,000024 0,000033 0,000040 0,000003 0,000000
5
β 0,766639 0,926848 0,991140 0,198966 0,188759 0,146418 0,000164 0,000144 0,000076 0,000015 0,000022 0,000026 0,000002 0,000000
6 0,721306 0,904490 0,986853 0,164638 0,155664 0,118898 0,000109 0,000096 0,000050 0,000010 0,000014 0,000017 0,000001 0,000000
7
Tabel 3.1: Power Metode Bissell untuk Permainan Golf
0,674242 0,878790 0,981209 0,135431 0,127626 0,096024 0,000073 0,000064 0,000033 0,000006 0,000009 0,000011 0,000001 0,000000
8
0,626221 0,849906 0,973995 0,110788 0,104066 0,077152 0,000049 0,000042 0,000022 0,000004 0,000006 0,000007 0,000000 0,000000
9
0,577984 0,818089 0,965014 0,090155 0,084417 0,061690 0,000032 0,000028 0,000014 0,000003 0,000004 0,000005 0,000000 0,000000
10
Hasil Penghitungan Power dan Kurva Kuasa Metode Bissell, Lenth, dan Fang untuk Permainan Golf
Lampiran C
-15,8750 -4,8750 -2,8750 -2,3750 -1,3750 0,1250 0,6250 3,1250 4,1250 4,6250 10,6250 13,1250 41,6250 48,6250 50,1250
βb
0,0000 0,0023 0,0174 0,0318 0,1138 0,5473 0,7203 0,9869 0,9954 0,9971 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
1 0,0000 0,0002 0,0017 0,0034 0,0162 0,1893 0,3452 0,9258 0,9706 0,9808 0,9995 0,9998 1,0000 1,0000 1,0000
2 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0010 0,0301 0,0838 0,7553 0,8858 0,9214 0,9974 0,9991 1,0000 1,0000 1,0000
3 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0020 0,0091 0,4844 0,7092 0,7857 0,9908 0,9965 1,0000 1,0000 1,0000
4 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,2272 0,4699 0,5784 0,9745 0,9899 1,0000 1,0000 1,0000
5
β 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0750 0,2484 0,3550 0,9425 0,9762 0,9999 1,0000 1,0000
6 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0172 0,1028 0,1782 0,8897 0,9518 0,9998 0,9999 0,9999
7
8 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0027 0,0331 0,0726 0,8141 0,9138 0,9995 0,9998 0,9998
Tabel 3.2: Power Metode Lenth untuk Permainan Golf
0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0083 0,0239 0,7179 0,8605 0,9992 0,9996 0,9997
9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0016 0,0064 0,6075 0,7919 0,9986 0,9993 0,9994
10
63
-15,8750 -4,8750 -2,8750 -2,3750 -1,3750 0,1250 0,6250 3,1250 4,1250 4,6250 10,6250 13,1250 41,6250 48,6250 50,1250
βb
0,0001 0,0002 0,0070 0,0175 0,0971 0,5487 0,7282 0,9956 0,9993 0,9997 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
1 0,0000 0,6957 0,0004 0,0013 0,0118 0,1902 0,3502 0,9603 0,9914 0,9960 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
2 0,0000 0,0127 1,1077 0,4027 0,0006 0,0303 0,0843 0,8148 0,9432 0,9698 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
3 0,0000 0,0001 0,0134 0,0565 1,3370 0,0020 0,0089 0,5183 0,7869 0,8688 0,9997 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
4 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0012 5,3022 0,0004 0,2129 0,5085 0,6470 0,9983 0,9998 1,0000 1,0000 1,0000
5
β 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0054 0,0674 0,0514 0,2291 0,3618 0,9924 0,9989 1,0000 1,0000 1,0000
6 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0046 0,0070 0,0675 0,1417 0,9738 0,9955 1,0000 1,0000 1,0000
7
8 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0005 0,0126 0,0375 0,9292 0,9856 1,0000 1,0000 1,0000
Tabel 3.3: Power Metode Fang untuk Permainan Golf
0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 2,1065 0,0015 0,0066 0,8451 0,9625 1,0000 1,0000 1,0000
9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0466 0,0001 0,0008 0,7172 0,9173 1,0000 1,0000 1,0000
10
64
65
(a) Kurva Kuasa untuk β = 1, 2, 3, 4
(b) Kurva Kuasa untuk β = 5, 6, 7, 8
(c) Kurva Kuasa untuk β = 9, 10
Gambar 3.1: Kurva Kuasa Metode Bissell, Lenth dan Fang untuk Permainan Golf
Lampiran D Listing Program
4.1 Listing Program Iterasi Bissell # Macro: BTAUTO.MAC # Deskripsi: Menyatakan nilai dari statistik Bk dan p-value yang # berkaitan untuk tiap mean square, dan plot Bk dengan # k-1 # Input: DF - Derajat bebas # Ref - kolom referensi label # MS - kolom Mean square # Output: Reford - Kolom referensi label yang diurutukan berdasarkan mean square # Bk - Kolom nilai Bk # PValue - Kolom p-value # Calls: Call makro BTEST.MAC MACRO BTAUTO DF REF MS REFORD BK PVALUE MCONSTANT DF K CVT PV I J L MCOLUMN REF MS REFORD BK PVALUE MSORD KMIN1 LET K=N(MS) SORT REF MS REFORD MSORD; BY MS; DESCENDING MS. %BTEST DF MS CVT PV LET BK(1) = CVT LET PVALUE(1) = PV DO I = 1:K - 2 LET MSORD(I) = ’*’ %BTEST DF MSORD CVT PV LET J = I + 1 LET BK(J) = CVT LET PVALUE(J) = PV ENDDO LET BK(K)=’*’ LET PVALUE(K) = ’*’ LET L = K - 1 SET KMIN1 L:1* END 66
67 NAME BK ’Bk’ NAME KMIN1 ’k - 1’ PLOT BK*KMIN1; LINE KMIN1 KMIN1. ENDMACRO # # # # # # #
Macro: Deskripsi: Input: Output
BTEST.MAC Menyatakan statistik Bk dan p-value yang berkaitan untuk satu mean square DF - derajat bebas MS - mean square Bk - Statistik Bk PVALUE - p-value
MACRO BTEST DF MS BK PVALUE MCONSTANT DF BK PVALUE K L CV QVALUE MCOLUMN MS LET K = N(MS) LET L = K - 1 LET CV = STDEV(MS)/MEAN(MS) LET BK = 0,5*L*DF*CV**2 CDF BK QVALUE; CHISQUARE L. LET PVALUE = 1 - QVALUE ENDMACRO # # # # #
Macro: Deskripsi: Input: Output:
EFFTOMS.MAC Menyatakan mean square dari efek untuk eksperimen 2**k EFFECTS - kolom efek MS - kolom mean square
MACRO EFFTOMS EFFECTS MS MCOLUMN EFFECTs MS LET MS = (EFFECTS**2)*(N(EFFECTS)+1)/4 ENDMACRO
68 4.2
Listing Program Perhitungan Metode Lenth dan Fang
clc clear effect = [-15.875;-4.875;-2.875;-2.375;-1.375;0.125;0.625; 3.125;4.125;4.625;10.625;13.125;41.625;48.625;50.125] PERMAINAN GOLF So = 1.5 * median(abs(effect)) % ========================================================= % Perhitungan Metode Lenth % ========================================================= k = length(effect); m = 0; for i=1:k if abs(effect(i))<2.5 *So m = m + 1; hasil1(m) = effect(i); end end PSE MEL gammaL SMEL
= = = =
1.5 * median(abs(hasil1)) tinv(0.975,k/3) * PSE (1 + (0.95)^(1/k) )/ 2; tinv(gammaL,k/3) * PSE
% =========================================================== % Perhitungan Power Metode Lenth % =========================================================== for i=1:k; lower=-MEL; upper=+MEL; dh =(upper-lower)/10; j = 1; delta =lower; for j=1:10 power(i,j) = nctcdf(effect(i),k/3,delta); delta = delta + dh; del(i,j) =delta; end end % =========================================================== % Perhitungan Metode Fang
69 % =========================================================== w = 0; for i=1:k if abs(effect(i))<2.5 *So w = w + 1; hasil2(w) = effect(i)^2; end end l =length(hasil2); jum = sum(hasil2); S1 = sqrt((jum)/l) MEF = tinv(0.98,l) * S1 gammaF = (1 + (0.98)^(1/k) )/ 2; SMEF = tinv(gammaF,l) * S1 for i=1:k; bawah=-MEL; atas=+MEL; dhf =(atas-bawah)/10; t = 1; deltaf =bawah; for t=1:10; powerf(i,t) = nctcdf(effect(i),l,deltaf); deltaf = deltaf + dhf; delf(i,t) =deltaf; end end %=========================================================== % Mencentak Power Methode Lenth dan Fang %=========================================================== display1 = [effect del]; disp(’===================================================’); disp(’beta delta ’); disp(’===================================================’); disp(num2str(display1)); disp(’===================================================’); display = [effect power]; disp(’===================================================’); disp(’beta power ’); disp(’===================================================’); disp(num2str(display)); disp(’===================================================’); display2 = [effect delf];
