Ideiglenes példatár az Intelligens rendszerek I. kurzus 1. zárthelyi dolgozatához

Ideiglenes példatár az Intelligens rendszerek I. kurzus 1. zárthelyi dolgozatához Gerzson Miklós 2015. december 8.

2

Tartalomjegyzék Bevezetés

5

1. Kötelező kérdések 1.1. Kötelező kérdések a Kalman-féle rendszermodell témaköréből . . . . . . . . . . . 1.2. Kötelező kérdések a formális nyelvek és automaták témakörből . . . . . . . . . .

7 7 10

2. Folytonos idejű rendszerek stabilitása 2.1. Elméleti áttekintés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Stabilitás definíciók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Stabilitásvizsgálati módszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Kidolgozott feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Stabilitás meghatározása pólusok közvetlen meghatározása alapján 2.2.2. Stabilitás meghatározása Hurwitz-kritérium alapján . . . . . . . . 2.2.3. Stabilitásvizsgálat gyökhelygörbe segítségével . . . . . . . . . . . . 2.3. Gyakorló feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Stabilitás meghatározása pólusok közvetlen meghatározása alapján 2.3.2. Stabilitás meghatározása Hurwitz kritérium alkalmazásával . . . . 2.3.3. Stabilitás meghatározása gyökhelygörbe alapján . . . . . . . . . . . 2.3.4. Megoldások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

11 11 11 13 16 16 18 20 28 28 29 31 32

3. Kálmán-féle rendszermodell 3.1. Elméleti áttekintés . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. A Kálmán-féle rendszermodell elemei . . . 3.1.2. A Kálmán-féle rendszermodell definíciója 3.1.3. A rendszerek osztályozása . . . . . . . . . 3.1.4. Az állapottérmodell jellemző alakjai . . . 3.1.5. A bemenet–kimenet modell . . . . . . . . 3.1.6. Az állapottérmodell tulajdonságai . . . . 3.2. Kidolgozott feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Gyakorló feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Ellenőrző kérdések . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3. megoldások . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

39 39 39 41 42 43 45 46 52 58 58 59 61

3

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

Bevezetés Tisztelt Hallgatók,

az órán elhangzottaknak megfelelően, ez az ideiglenes példatár az Intelligens rendszerek 1. zárthelyi dolgozatára való felkészülést hivatott segíteni. Három fejezetet tartalmaz a példatár. Az első a kötelező kérdéseket és a rájuk adandó válaszokat tartalmazza. A másodikban a bemenet – kimenet modellek stabilitásvizsgálata található, míg a harmadikban a Kálmán-féle rendszermodell. A két utóbbi fejezet elején egy rövid elméleti összefoglalót találnak, majd kidolgozott példák következnek, végül gyakorlásra szánt példák megoldással. Mint az órán is jeleztem, lehetnek még hibák, elírások a jegyzetben, így ha valami nem jön ki, akkor kérem jelezzék!

Gerzson Miklós

5

6

BEVEZETÉS

1. fejezet

Kötelező kérdések 1.1.

Kötelező kérdések a Kalman-féle rendszermodell témaköréből

1. Adja meg a Kalman-féle rendszermodellben szereplő az állapot-átmeneti függvény definícióját! Az állapot-átmeneti függvény: ϕ:T ×T ×X ×Ω→X x(t2) = ϕ(t2 , t1 , x(t1 ), u(t)/t ∈ (t1, t2]) , ahol T – időhalmaz; t2 , t1 ∈ T – időpontok; X – állapothalmaz, x ∈ X; Ω – lehetséges bemenet-idő függvények halmaza u(t) ∈ Ω.

2. Adja meg lineáris, időinvariáns, folytonos idejű bemenet-kimenet modellt! A lineáris, időinvariáns, folytonos idejű bemenet/kimenet (I/O) modell: an y (n) (t) + an1 y (n−1) (t) + · · · + a1 y (1) (t) + a0 y(t) = bm u(m) (t) + · · · + b0 u(t) , ahol u(t) – a bemenő jel; y(t) – a kimenő jel; an , . . . , a0 , bm , . . . , b0 – paraméterek; (i) y (i) (t) = d dty(t) – az időszerinti differeciálhányados rövidítése; i n, m – deriválási fokszámok maximális értéke.

7

8

1. KÖTELEZŐ KÉRDÉSEK 3. Adja meg lineáris, időinvariáns, folytonos idejű állapottér modellt! A lineáris, időinvariáns, folytonos idejű állapottér modell: x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t) x(t0 ) = x0 y(t) = Cx(t) + Du(t) , ahol x(t) – a belső állapotok vektora; u(t) – a bemeneti vektor; y(t) – a kimeneti vektor; A – az állapot-átmeneti mátrix; B – a bemeneti mátrix; C – a kimeneti mátrix; D – a segédmátrix.

4. Adja meg az átviteli függvény definícióját! Az átviteli függvény: L(y(t)) G(s) = , L(u(t)) z.k.f azaz a kimenet Laplace transzformáltja osztva a bemenet Laplace transzformáltjával, zérus kezdeti feltételek mellett.

5. Mit értünk pólusok és zérusok alatt? Az átviteli függvény – számlálójának gyökei: zérusok, zérushelyek; – nevezőjének gyökei: pólusok. G(s) =

Y (s) b(s) z(s) = = . U (s) a(s) p(s)

6. Adja meg a súlyfüggvény definícióját! A súlyfüggvény az egységimpulzus (δ(t)) bemenetre adott válaszfüggvény.

7. Adja meg az átmeneti függvény definícióját! Az átmeneti függvény az egységugrás (1(t)) bemenetre adott válaszfüggvény.

1.1. KÖTELEZŐ KÉRDÉSEK A KALMAN-FÉLE RENDSZERMODELL TÉMAKÖRÉBŐL9 8. Adja meg BIBO (korlátos bemenet – korlátos kimenet) stabilitás definícióját folytonos bemenet-kimenet modellekre! Egy lineáris időinvariáns modellt BIBO stabilnak nevezünk, ha korlátos bemenet esetén, azaz |u(t)| < M1 , valamely −∞ < t0 ≤ t < ∞ időintervallumon, a kimenete is korlátos: |y(t)| < M2 , a t0 ≤ t < ∞ időintervallumon, ahol M1 , M2 < ∞ véges korlátok, és t0 a kezdőidőpont.

9. Adja meg a nulla-bemeneti vagy aszimptotikus stabilitás definícióját folytonos idejű bemenet – kimenet modellekre! Egy lineáris időinvariáns modellt tetszőleges, nem minden esetben zérus kezdeti feltételek esetén nulla-bemeneti stabilitásúnak vagy aszimptotikusan stabilnak nevezzük, ha megválasztható egy M korlát ∃M (y(t0 ), y (1) (t0 ), . . . , y (n−1) (t0 )) > 0 , úgy, hogy |y(t)| ≤ M < ∞,

∀t ≥ t0 ,

és lim y(t) = 0 .

t→∞

10. Adja meg a belső stabilitás definícióját folytonos idejű állapottér modellekre! Legyen adott az alábbi modell x(t) ˙ = Ax(t) x(t0 ) = x0 6= 0 t > t0 , azaz legyen a bemenet zérus, a kezdeti feltételek pedig nullától különbözőek. Az így megadott modellt belső stabilitásúnak nevezzük, ha az x(t) megoldás kielégíti az alábbi feltételt: lim x(t) = 0 ,

t→∞

azaz az állapotvektorban szereplő valamennyi változó értéke zérushoz tart.

10

1. KÖTELEZŐ KÉRDÉSEK

1.2.

Kötelező kérdések a formális nyelvek és automaták témakörből

1. Adja meg a formális nyelvek definícióját! Egy adott ábécéből alkotott szavak tetszőleges halmazát formális nyelvnek nevezzük. Másképpen egy L halmazt pontosan akkor nevezünk formális nyelvnek, létezik olyan VL ábécé, melyre L ⊆ VL∗ .

2. Adja meg a generatív grammatikák definícióját! Egy G generatív grammatikán a következő rendezett négyest értjük: G =< V, W, S, P > , ahol V – a terminális jelekből álló ábécé; W – a nemterminális jelekből álló ábécé; S ∈ W – a kezdőszimbólum; S P olyan < α, β > rendezett pároknak a véges halmaza, melyeknél α és β (V W )∗ -ből alkotott szavak, és α-nak legalább egy betűje nemterminális jel. P elemeit helyettesítési szabályoknak nevezzük, jelölési mód: α → β azaz α szó helyettesíthető β szóval.

3. Adja meg a determinisztikus, véges, felismerő automata definícióját! A-t a V ábécével működő determinisztikus, véges automatának nevezzük, ha A az alábbi rendezett ötös: A =< K, V, δ, q0 , F > , ahol – K a belső állapotok véges, nemüres halmaza, az ún. állapothalmaz; – V a bemenő jelek véges halmaza, a bemenő ábécé; – δ egy K-ba képező függvény, melynek értelmezési tartománya a K ×V valamely része, az átmeneti függvény; – q0 ∈ K, a kezdőállapot; – F ⊆ K, a végállapotok halmaza.

2. fejezet

Folytonos idejű rendszerek stabilitása 2.1.

Elméleti áttekintés

2.1.1.

Stabilitás definíciók

BIBO stabilitás Egy rendszert korlátos bemenet - korlátos kimenet (röviden BIBO) stabil nak nevezünk akkor, ha korlátos bemenőjelet alkalmazva egy tetszőleges vizsgálati időintervallumban: |u(t)| < M1 ,

−∞ < t0 ≤ t < ∞,

a tag kimenetén megjelenő jel is korlátos lesz: |y(t)| < M2 ,

t0 ≤ t < ∞,

ahol M1 , M2 < ∞ tetszőleges pozitív értékek, és t0 a kezdeti időpont. A BIBO stabilitást szokás gerjesztés - válasz stabilitásnak is nevezni. Aszimptotikus stabilitás Egy lineáris, időinvariáns rendszert tetszőleges, nem minden esetben zérus kezdeti feltételek esetén aszimptotikusan stabil nak nevezünk, ha a t0 időpontban magára hagyott, azaz u(t) = 0, t ≥ t0 bemenettel jellemezhető rendszer esetében megválasztható a kezdeti értékek függvényében egy olyan M korlát, hogy a kimenet abszolút értéke ezt ne lépje át: ∃M (y(t0 ), y (1) (t0 ), ..., y (n−1) (t0 )) > 0

⇒

|y(t)| ≤ M < ∞, ∀t ≥ t0 ,

és lim y(t) = 0 .

t→∞

Ha egy aszimptotikusan stabil rendszert zérus kezdeti feltételek mellett egységugrás bemenettel gerjesztünk, akkor a kimenetének az erősítése által meghatározott értékhez kell tartania. Az aszimptotikus stabiltású rendszereket szokás nulla bementi stabilitású vagy röviden stabil rendszernek nevezni. Egy tag vagy tagcsoport stabilitását a következő tétel alapján lehet ellenőrizni. 11

12

2. FOLYTONOS IDEJŰ RENDSZEREK STABILITÁSA – Ha a tag vagy tagcsoport eredő átviteli függvény minden pólusára igaz, hogy Re(pi ) < 0, azaz minden pólusának a valós része negatív, vagy másképpen az eredő átviteli függvénynek csak baloldali – komplex sík bal oldalán elhelyezkedő – pólusai vannak, akkor a vizsgált rendszer aszimptotikusan stabil. Az aszimptotikus és a BIBO stabiltás definíciót összevetve belátható, hogy az aszimptotikusan stabil rendszer BIBO stabil is, így a csak negatív valós részű pólusokkal rendelkező tagra vagy tagcsoportra mind az aszimptotikus, mind a BIBO stabilitás teljesül. Aszimptotikusan stabil rendszer pólusainak helye a komplex síkon:

– Ha a tag vagy tagcsoport eredő átviteli függvényének pólusai között van nulla vagy nulla valós részű póluspár, de nincs pozitív valós pólus vagy pozitív valós részű póluspár, akkor a vizsgált rendszerre az aszimptotikus stabilitás nem teljesül, de a BIBO stabilitás igen. Ábrázolva a pólusokat, ebben az esetben azok nemcsak a komplex sík bal oldalán helyezkednek el, hanem a képzetes tengelyen is lehetnek. Csak BIBO stabil rendszer pólusainak helye a komplex síkon:

– Ha a tag vagy tagcsoport eredő átviteli függvényének pólusai között van pozitív valós pólus vagy pozitív valós részű póluspár, akkor a vizsgált rendszer sem aszimptotikus, sem BIBO értelemben nem stabil, tehát instabil vagy labilis. Instabil rendszer pólusainak helye a komplex síkon:

2.1. ELMÉLETI ÁTTEKINTÉS

13

Megjegyzés: a stabilitásvizsgálatot csak az oksági feltételeknek megfelelő átviteli függvény esetén végezzük el. Így, ha a számlálóban szereplő polinom fokszáma nagyobb, mint a nevezőben lévőé, akkor az ilyen tagot nem realizálhatónak tekintjük, és nem vizsgáljuk a stabilitását.

2.1.2.

Stabilitásvizsgálati módszerek

Bár a stabilitás definíciókból következően az átviteli függvény pólusai alapján egyértelműen eldönthető egy tag vagy tagcsoport stabilitása, a pólusok meghatározása gyakorlatilag csak első vagy másodrendű rendszer, illetve ezek tiszta soros kapcsolata esetén végezhető el közvetlenül. Magasabb rendű rendszerek esetében a következő módszerek segítségével lehet a stabilitást eldönteni. Hurwitz kritérium Az alkalmazás menete: 1. Határozzuk meg a vizsgálni kívánt tagcsoport eredő átviteli függvényét! A Hurwitz-kritérium alkalmazásakor mindig arra tagra vagy tagcsoportra nézve döntünk a stabilitásról, aminek az eredő átviteli függvényét felírtuk. 2. Vizsgáljuk meg a felírt eredő átviteli függvény nevezőjében szereplő polinom együtthatóit! Ha valamennyi együtthatója pozitív, akkor továbbléphetünk. Ha az ellenőrzést paraméteresen végezzük, akkor a fizikai megfontolások figyelembe vételével adjuk meg azt a tartományt, amelyben a paraméteresen megadott együttható értéke pozitív lesz. Ha valamelyik együttható negatív, vagy nem adható meg a megfelelő tartomány, akkor a rendszer instabil. 3. A nevező együtthatóinak an−1 an−3 an−5 an an−2 an−4 0 an−1 an−3 .. .. .. . . . 0 0 ...

felhasználásával írjuk fel a következő determinánst: . . . 0 . . . 0 . . . 0 . .. . .. . . . a0

A rendszer stabilitásának másik feltétele, hogy az így kapott determináns főátlójára támaszkodó aldeterminánsok mindegyikére pozitív értéket kell kapni. an−1 an−3 an−5 an−1 an−3 , ∆3 = an an−2 an−4 , . . . ∆1 = an−1 , ∆2 = an an−2 0 an−1 an−3 an−1 an−3 an−5 . . . 0 an an−2 an−4 . . . 0 an−1 an−3 . . . 0 ∆n = 0 .. .. .. . .. . . .. . . 0 0 . . . . . . a0 ∆1 , ∆2 , ∆3 , . . . , ∆n > 0 Ha az aldeterminánsok valamelyike negatív, akkor a vizsgálatot nem kell tovább végezni, mert a rendszer instabil lesz. Paraméteres vizsgálat esetén valamennyi részdetermináns

14

2. FOLYTONOS IDEJŰ RENDSZEREK STABILITÁSA esetén meghatározzuk, hogy a kérdéses paraméter milyen értékei mellett lesz a vizsgált rendszer stabil, majd ezeket a tartományokat összevetve határozzuk meg azt a legszűkebb tartományt, amelyre az aszimptotikus stabilitás teljesül.

Nyquist-, Bode-féle kritérium Mindkét módszer esetében az az alapelv, hogy az alkalmas helyen felvágott kör frekvenciatartománybeli vizsgálata alapján döntünk a visszacsatolt rendszer stabilitásáról. Az egyszerűsített Nyquist-kritérium a következő: – Ha a felnyitott kör amplitúdó-fázis görbéje - miközben a frekvencia 0 ≤ ω < ∞ tartományban változik - éppen áthalad a komplex számsík valós tengelyének a −1 pontján, azaz létezik olyan ω0 frekvencia, melyre G(jω0 ) = −1, akkor a visszacsatolt kör a stabilitás határán van. – Ha a felnyitott kör amplitúdó-fázis görbéje nem metszi a valós tengelyt, vagy ez a metszéspont a -1 és 0 között van, akkor a visszacsatolt kör aszimptotikusan stabil. – Ha a felnyitott kör amplitúdó-fázis görbéje a valós tengelyt a -1 ponttól balra metszi, akkor a visszacsatolt kör instabil. A Bode-kritérium: Határozzuk meg, hogy az amplitúdóviszony lefutása milyen frekvenciaértéknél lesz pontosan 0 dB. Állapítsuk meg, hogy ehhez a frekvenciaértékhez milyen fázisszög tartozik. A kapott fázisszög értéke alapján a visszacsatolt rendszer stabilitásáról a következő megállapításokat tehetjük: – ha a fázisszög értéke nagyobb, mint -180◦ , akkor a visszacsatolt rendszer stabil; – ha pontosan egyenlő -180◦ -kal, akkor a stabilitáshatárán van; – ha kisebb, mint -180◦ , akkor instabil lesz a rendszer viselkedése. Gyökhelygörbe A gyökhelygörbe a zárt rendszer pólusainak mértani helye a komplex síkon, miközben a rendszer valamely paraméterét nulla és végtelen között változtatjuk. A gyökhelygörbe felvázolását és értelmezését a következő tulajdonságok segítik: 1. A gyökhelygörbének annyi ága van, mint amennyi a zárt rendszer pólusainak száma. 2. A gyökhelygörbe mindig szimmetrikus a valós tengelyre nézve. 3. Legyen a pólusok száma n, a zérushelyek száma m a felnyitott körben, ekkor – ha n > m, akkor a gyökhelygörbe a felnyitott kör pólusaiból indul ki, és m számú ág a felnyitott kör zérushelyeibe, n − m számú ág a végtelenbe tart; – ha n = m, akkor valamennyi ág a felnyitott kör zérushelyeibe tart (a gyökhelygörbe teljesen véges tartomámyban van); – ha n < m, akkor zárt kör pólusainak száma m, és m − n számú ág a végtelenből indul ki, és valamennyi ág a felnyitott kör zérushelyeibe tart. (Megjegyzés: az ilyen rendszer fizikailag nem realizálható, viszont a gyökhelygörbe kiterjesztett alkalmazásánál felírandó ekvivalens kifejezések esetében kaphatunk ilyen átviteli függvényt.)


15

4. A valós tengelyen akkor és csak akkor lehetnek gyökhelygörbe szakaszok, ha a vizsgált ponttól jobbra a pólusok és a zérushelyek együttes száma páratlan. 5. A gyökhelygörbe aszimptótáinak irányszögét a következő kifejezés segítségével lehet meghatározni: ±l · 180◦ , n−m

α=

l = 1, 3, 5, . . . , 2(n − m) − 1

6. A gyökhelygörbe aszimptótái a valós tengelyt az alábbi összefüggés által meghatározott ún. súlypontban metszik. Jelölje pi a felnyitott kör i-edik pólusát, zj a felnyitott kör j-edik zérushelyét. Ekkor a súlypont értéke: Pn Pm i=1 pi − j=1 zj S= n−m 7. A gyökhelygörbe és a képzetes tengely metszéspontja, vagyis a stabilitás határát jelentő erősítési értékhez tartozó pólusok a korábban ismertetett Hurwitz kritérium segítségével határozhatók meg. 8. A gyökhelygörbe kilépése a valós tengelyből - vagyis a valós tengelynek az az x pontja, ahol többszörös gyököket kapunk - a következő egyenlet segítségével határozható meg: n X i=1

m

X 1 1 − =0 x − pi x − zj j=1

9. A gyökhelygörbe kilépése a komplex pólusokból a szögfeltétel segítségével határozható meg. Vegyünk egy pontot az egyik komplex pólushoz közel, és oldjuk meg arra nézve a szögfeltételt: n X

∠γk −

i=1

m X

∠δi = l · 180◦ ,

l = 1, 3, 5, ˙,2(n − m) − 1

j=1

A gyökhelygörbe módszert alapesetben az erősítés értékétől függő stabiliásvizsgálatokra és tranziens tulajdonságok ellenőrzésére alkalmazzuk. Ahhoz, hogy az eljárást más paraméterek a stabilitásra hatását ellenőtizni tudjuk, sok esetben az átviteli függvényt át kell alakítanunk, úgy hogy a vizsgált paraméter az úgy nevezett ekvivalens tag számlálójában szerepeljen. Erre példaként végezzük el egy PI szabályozó irányított kör átalakítását úgy, hogy az integráló tag paraméterének a hatását tudjuk vizsgálni. Legyenek adottak a szabályozó körben szereplő tagok átviteli függvényei a következő alakban: 1 a szabályozott objektum átviteli függvénye +s+1 GP (s) = KP a szabályozó arányos (P) tagjának átviteli függvénye KI GI (s) = a szabályozó integráló (I) tagjának átviteli függvénye s Go (s) =

s2

A szabályozó eredő átviteli függvénye a párhuzamos csatolás miatt: Gc (s) = KP +

KI . s

16

2. FOLYTONOS IDEJŰ RENDSZEREK STABILITÁSA A visszacsatolt kör eredő átviteli függvénye pedig: 1 (KP + KsI ) s2 +s+1 Kp s + KI Gc (s)Go (s) Ge (s) = = == 3 K 2 1 I 1 + G( s)Go (s) s + s + (KP + 1)s + KI 1 + (KP + s ) s2 +s+1

A kapott alakban nem tudjuk az intehráló tag paraméterének, KI -nek a hatását közvetlenül vizsgálni, ezért alakítsuk át a következő módon: Kp s+KI

Kp s + KI s3 +s2 +(KP +1)s Ge (s) = 3 = KI 2 s + s + (KP + 1)s + KI 1 + s3 +s2 +(K P +1)s Az így kapott alak nevezőjében szereplő kifejezést nevezzük ekvivalens tagnak, mivel ennek visszacsatolása esetén kapott kifejezés nevezője megegyezik az eredeti visszacsatolt tag nevezőjével, tehát alkalmas KI hatásának vizsgálatára: P GK ekv (s) =

s3

+

s2

KI + (KP + 1)s

A vizsgálathoz természetesen KP értékét rögzíteni kell, ezt jelzi a felső indexben szereplő kifejezés. A vizsgálat menete a kiterjesztett gyökhelygörbe módszer esetében a következő: 1. Első lépésként általában az erősítés hatásának vizsgálatát végezzük el. Ehhez a többi vizsgálandó paraméter hatását lehetőség szerint ki kell iktatni, vagy egy meghatározott alapértékre kell állítani. Például, ha PID szabályozónál az erősítés mellett az integráló és a deriváló tag paraméterének a hatását is vizsgálni akarjuk, akkor ezeket hagyjuk figyelmen kívül az eredő átviteli függvény felírásakor. Ha az szabályozott objektum valamely paraméterének, például időállandójának vagy csillapítási tényezőjének a hatását teszteljük, akkor ezeket állítsuk a technológia által meghatározott minimum értékre. Írjuk fel az eredő átviteli függvényt, majd végezzük el a gyökhelygörbe felvázolását a leírt módon. 2. A kapott gyökhelygörbén válasszuk ki azt az erősítési értéket, amely a technológia működtetése szempontjából megfelelő. A választott erősítésnek megfelelő pólusokat jelöljük meg a gyökhelygörbe valamennyi ágán. Ezek a pontok lesznek a következő lépés kiinduló pontjai. 3. A következő vizsgálandó paraméter hatásának figyelembe vételéhez írjuk fel az eredő átviteli függvényt úgy, hogy ezt a paramétert is tartalmazó tagot is figyelembe vesszük az eredő átviteli függvény felírásánál. Végezzük el az átviteli függvény ekvivalens alakra történő átalakítását a fentiekben leírt módon. A kapott ekvivalnes tagra végezzük el a gyökhelygörbe vizsgálatot ismét. 4. Ha van további vizsgálandó paraméter, akkor a 2.-3. pontot megismételjük.

2.2. 2.2.1.

Kidolgozott feladatok Stabilitás meghatározása pólusok közvetlen meghatározása alapján

1. Döntse el az alábbi tagokról, hogy stabilak-e aszimptotikus, illetve BIBO értelemben!

2.2. KIDOLGOZOTT FELADATOK

17

2s2 − 1 4s2 − 8 A megoldás menete: Az átviteli √ függvény nevezője alapján a pólusok: p1,2 = ± 2 Miután az egyik pólus nagyobb nullánál, így a tag instabil.

(a) G1 (s) =

2s + 1 + 2s + 6 A megoldás menete: Az átviteli függvény nevezője alapján a pólusok: √ 1 23 p1,2 = − ± j 4 4 Miután a pólusok valós része negatív, így a tag aszimptótikusan stabil és így BIBO stabil is.

(b) G2 (s) =

4s2

(s + 1)3 4s2 + s + 2 A megoldás menete: Miután az átviteli függvény számlálójának a fokszáma nagyobb, mint a nevezőé, így a tag nem realizálható, azaz nem felel meg valós fizikai rendszer átviteli függvényének.

(c) G3 (s) =

4 +9 A megoldás menete: Az átviteli függvény nevezője alapján a pólusok: p1,2 = ±j3 Miután a pólusok valósrésze 0, így a tag a stabilitás határán van, azaz BIBO stabil, de nem aszimptótikusan stabil.

(d) G4 (s) =

s2

2. Határozza meg az alábbi tagcsoportok stabilitását! (a) .

1 1 Gc (s) = s 2s + 1 A megoldás menete: A visszacsatolt kör eredő átviteli függvénye: s+1 Ge (s) = 2 2s + 2s + 1 Az eredő átviteli függvény nevezője alapján a pólusok: 1 1 p1,2 = − ± j 2 2 Miután a pólusok valós része negatív, így a visszacsatolt kör aszimptótikusan stabil és így BIBO stabil.

Gc (s) = 1 +

(b) .

18

2. FOLYTONOS IDEJŰ RENDSZEREK STABILITÁSA

1 1 H(s) = s 2s + 1 A megoldás menete: A visszacsatolt kör eredő átviteli függvénye: 2s2 + 2s + 1 Ge (s) = 2 2s + 2s + 1 Az eredő átviteli függvény nevezője alapján a pólusok: 1 1 p1,2 = − ± j 2 2 Miután a pólusok valós része negatív, így a visszacsatolt kör aszimptótikusan stabil és így BIBO stabil.

G(s) = 1 +

2.2.2.

Stabilitás meghatározása Hurwitz-kritérium alapján

1. Döntse el az alábbi tagról, hogy aszimptotikus stabil-e! 4 G(s) = 3 s + 2s2 + 3s + 4 A megoldás menete: I. felétel, a nevezőben szereplő együtthatók előjelének ellenőrzése: ∀ai > 0, i = 0, 1, 2, 3 teljesül. II. feltétel, a Hurwitz determináns ellenőrzése: A Hurwitz determináns a feladatnak megfelelően felírva a2 a0 0 2 4 0 H3×3 = a3 a1 0 = 1 3 0 0 a2 a0 0 2 4 A főátlóhoz tartozó aldeterminánsok ellenőrzése: 41 = |a2 | = 2 > 0 , a2 a0 = a2 a1 − a0 a3 42 = a3 a1 2 42 = 1 a2 43 = a3 0

4 =2·3−4·1=2>0 , 3 a0 0 a3 a1 a1 0 a3 0 − a0 a1 0 = a2 0 a0 + 0 0 a2 = a2 a0 a2 a0

= a2 (a1 a0 − a2 0) − a0 (a3 a0 − 0) + 0(a3 a2 − a1 0) = a0 (a2 a1 − a0 a3 ) így 43 = 4(2 · 3 − 4 · 1) = 8 > 0 Tehát a Hurwitz kritérium mindkét feltétele teljesült, azaz minden együttható pozitív és a főátlóhoz tartozó valamennyi aldetermináns (beleértve a teljes mátrix determinánsát)


19

pozitív, így a tag aszimptotikusan stabil és ebből következően BIBO értelemben is stabil. (Megjegyzés: Belátható, hogy 3×3 mátrix esetében elegendő csak a 42 2×2 aldeterminánst ellenőrizni.) 2. Csatolja vissza negatívan az alábbi tagot és döntse el, hogy a kapott rendszer aszimptotikus stabil-e! 4 G(s) = 3 s + 2s2 + 3s + 4 A megoldás menete: A visszacsatolás után kapott zárt kör eredő átviteli függvénye: 4 G(s) 4 3 2 Ge (s) = = 3 = s +2s +3s+4 4 2 1 + G(s) s + 2s + 3s + 8 1 + s3 +2s2 +3s+4 Hurwitz kritérium alapján: I. feltétel: a nevező minden együtthatója pozitív, ∀ai > 0, i = 0, 1, 2, 3 teljesül. II. feltétel, a Hurwitz determináns ellenőrzése: A Hurwitz determináns:

H3×3

a2 a0 0 2 8 0 = a3 a1 0 = 1 3 0 0 a2 a0 0 2 8

A főátlóhoz tartozó 2. aldetermináns ellenőrzése (az előző feladat végén tett megjegyzésének megfelelően): a2 a0 = a2 a1 − a0 a3 42 = a3 a1 2 8 = 2 · 3 − 8 · 1 = −2 ≯ 0 42 = 1 3 Miután a 42 aldeterminánsra nem teljesül az előírt feltétel, ezért a visszacsatolt kör nem lesz aszimptotikusan stabil. 3. Csatolja vissza negatívan az alábbi tagot K erősítéssel, és döntse el, hogy a kapott rendszer milyen K erősítés mellett lesz aszimptotikus stabil! 4 G(s) = 3 s + 2s2 + 3s + 4 A megoldás menete: A visszacsatolás után kapott zárt kör eredő átviteli függvénye: K s3 +2s24+3s+4 KG(s) 4 Ge (s) = = = 3 4 2 1 + KG(s) s + 2s + 3s + 4 + 4K 1 + K s3 +2s2 +3s+4 Hurwitz kritérium alapján: I. feltétel: a nevező a3 , a2 , a1 együtthatója pozitív, az a0 együttható esetén 4 + 4K > 0 azaz K > −1 feltételt kell előírni. Azonban a negatív erősítést mellőzve, a feltétel legyen K > 0. II. feltétel, a Hurwitz determináns ellenőrzése: A Hurwitz determináns:

H3×3

a2 a0 0 2 4 + 4K 0 3 0 = a3 a1 0 = 1 0 a2 a0 0 2 4 + 4K

20

2. FOLYTONOS IDEJŰ RENDSZEREK STABILITÁSA A főátlóhoz tartozó 2. aldetermináns ellenőrzése: a2 a0 = a2 a1 − a0 a3 42 = a3 a1 2 4 + 4K = 2 · 3 − (4 + 4K) = 2 − 4K > 0 , 42 = 1 3 innen K < 0, 5. (Belátható, hogy ebben az esetben is elhagyható a 41 és 43 aldeterminánsok ellenőrzése.) Azaz a visszacsatolt rendszer akkor lesz stabil, ha az erősítés értéke 0 < K < 0, 5 között lesz.

2.2.3.

Stabilitásvizsgálat gyökhelygörbe segítségével

1. Határozza meg az alábbi visszacsatolt kör gyökhelygörbéjét és ennek alapján válaszolja meg a további kérédéseket!

G(s) =

2 s2 + 5s + 4

– Határozza meg a kritikus csillapításhoz tartozó K erősítés értékét! – Milyen K értéknél lesz az eredő erősítés Ke = 1? – Milyen K értéknél lesz az átmeneti függvény esetén a kimenet eltérése a bemenettől legfeljebb 5%? – Határozza meg az előző pontban kapott K értéknél a visszacsatolt kör további paramétereit! A megoldás menete:

(a) A visszacsatolt kör gyökhelygörbéje – A visszacsatolt kör eredő átviteli függvénye: Ge (s) =

s2

2K + 5s + 4 + 2K

– A visszacsatolt kör nevezője másodfokú polinom, így két pólusa van, és a gyökhelygörbének is két ága lesz. – Az átviteli függvény nevezője alapján a felnyitott kör pólusai: p1 = −1,

p2 = −4 .

A gyökhelygörbe két ága a felnyitott kör pólusaiból indul ki, és miután nincs zérushely, ezért mindkét ág a végtelenbe tart. – A valós tengelyen a [−4, −1] intervallumban lesz gyökhelygörbe szakasz.


21

– A gyökhelygörbe végtelenbe tartó ágaihoz tartozó érintők a valós tengellyel α1 =

3 · 180◦ 1 · 180◦ = 90◦ ésα2 = = 270◦ 2 2

szöget zárnak be. – A végtelenbe tartó ágak érintői az S=

(−4) + (−1) = −2, 5 2

súlypontban metszik egymást. – Miután a végtelenbe tartó ágak párhuzamosak a képzetes tengellyel, így a tag tetszőleges erősítés mellett aszimptotikusan stabil marad.

(b) Határozza meg a kritikus csillapításhoz tartozó K erősítés értékét! Kritikus csillapítása ott lesz a rendszernek, ahol a visszacsatolt kör ξe eredő csillapítási tényezőjének az értéke 1. A gyökhelygörbén ez a pont ott található, ahol a két pólus egybeesik, azaz kétszeres gyököt kapunk, vagyis ahol a gyökhelygörbe kilép a valós tengelyből. Ebben a pontban a pólusokat meghatározó képletben a diszkrimináns értéke 0 lesz, amiből K értéke meghatározható: p −5 ± 25 − 4(4 + 2K) p1,2 = 2 25 − 4(4 + 2K) = 0

⇒

K = 1, 125

Ekkor a visszacsatolt rendszer eredő erősítése, vagyis a hurok átviteli tényező értéke: Ge (s) =

s2

2 · 1, 125 + 5s + 4 + 2 · 1, 125

⇒

Ke = 0, 36 .

(c) Milyen K értéknél lesz az eredő erősítés Ke = 1? Ha a visszacsatolt kör eredő erősítése, azaz hurok átviteli tényezője 1, akkor az átmeneti függvényének 1-hez kell tartania. A végértéktétel alapján: lim y(t) = lim sY (s) = lim sG(s)U (s) .

t→∞

s→0

s→0

Kihasználva, hogy ha u(t) = 1(t), akkor U (s) = 1s : lim G(s) = lim

s→0

s→0

2K . s2 + 5s + 4 + 2K

A gyökhelygörbe vizsgálata során beláttuk, hogy a visszacsatolt rendszer tetszőleges K erősítés esetén stabil, így a határérték meghatározása elvégezhető: lim y(t) = ... = lim

t→∞

s→0

s2

2K K = . + 5s + 4 + 2K 2+K

22

2. FOLYTONOS IDEJŰ RENDSZEREK STABILITÁSA Az y(t) kimenet csak akkor tart 1-hez, ha a visszacsatolt körben szereplő erősítés értéke K → ∞. (d) Milyen K értéknél lesz az átmeneti függvény esetén a kimenet eltérése a bemenettől legfeljebb 5%? Ahhoz, hogy egységugrás bemenet esetén a kimenet legalább 0,95-ös értéket vegyen fel, az eredő erősítésnek az előző kérdésnél levezetetteknek megfelelően legalább 0,95nek kell lennie. Így Ke = 0, 95 =

2 4 + 2K

⇒

K = 38 .

(e) Határozza meg az előző pontban kapott K értéknél a visszacsatolt kör további paramétereit! A visszacsatolt kör átviteli függvénye K = 38 esetén Ge (s) =

2 Ke ωn,e 76 = 2 s2 + 5s + 80 s2 + 2ξe ωn,e s + ωn,e

Innen ωn,e = 8, 94,

ξe = 0, 28 ,

tehát a tag a kicsi eredő csillapítási tényező miatt jelentős túllendüléssel, de a nagy természetes frekvencia miatt viszonylag gyorsan beáll az erősítés által meghatározott végértékre.

2. Határozza meg az alábbi visszacsatolt kör gyökhelygörbéjét!

G1 (s) = 1 +

1 , s

G2 (s) =

1 2s + 1

– Határozza meg a kritikus csillapításhoz tartozó K erősítés értékét! – Milyen K értéknél lesz az eredő erősítés Ke = 1? A megoldás menete:

(a) A visszacsatolt kör gyökhelygörbéje – A visszacsatolt kör eredő átviteli függvénye: Ge (s) =

2s2

K(s + 1) + (K + 1)s + K


23

– A visszacsatolt kör nevezője másodfokú polinom, így két pólusa van, és a gyökhelygörbének is két ága lesz. – Az átviteli függvény nevezője alapján a felnyitott kör pólusai: p1 = 0,

p2 = −

1 . 2

A számláló polinomja alapján a visszacsatolt kör zérushelye: z1 = −1 A visszacsatolt kör pólusai K függvényében: p −(K + 1) ± (K + 1)2 − 8K pv;1,2 = 4 A gyökhelygörbének tehát két ága lesz, melyek a felnyitott kör pólusaiból indulnak ki. Az erősítés növelésével az egyik ág a −∞-be, a másik a felnyitott kör zérushelyébe tart. – A valós tengelyen a ]−∞, −1] és [−0, 5, 0] intervallumokban lesznek gyökhelygörbe szakaszok. – A gyökhelygörbe végtelenbe tartó ágához tartozó érintő a valós tengellyel α1 =

1 · 180◦ = 180◦ 1

szöget zár be, azaz a végtelenbe tartó ág a valós tengely mentén haladva tart a −∞-be. – Az egy végtelenbe tartó ág miatt nem lesz súlypont. – A visszacsatolt pólusokat meghatározó képlet alapján belátható, hogy tetszőleges pozitív K erősítés esetén a visszacsatolt körnek negatív valós vagy negatív valós részű gyökei vannak, így a visszacsatolt rendszer aszimptotikusan stabil. – A gyökhelygörbe ott kilép a valós tengelyből, ahol a pólusokat meghatározó képlet diszkriminánsa zérus: K 2 − 6K + 1 = 0

⇒

K1 = 0, 17 és K2 = 5, 83

. A valós tengelyen meghatározott gyökhelygörbe szakaszok alapján K1 kilépési pont lesz, míg a K2 visszatérési pont. A pontok koordinátái: s1 = −0, 29 és s2 = −1, 71 .

24

2. FOLYTONOS IDEJŰ RENDSZEREK STABILITÁSA (b) Határozza meg a kritikus csillapításhoz tartozó K erősítés értékét! Kritikus csillapítása ott lesz a rendszernek, ahol a visszacsatolt kör ξe eredő csillapítási tényezőjének az értéke 1. A gyökhelygörbén ez a pont ott található, ahol a két pólus egybeesik, azaz kétszeres gyököt kapunk, vagyis ahol a gyökhelygörbe kilép a valós tengelyből. Ezek pontok a gyökhelygörbe tulajdonságainál levezetetteknek megfelelően K1 = 0, 17 erősítésnél az s1 = −0, 2 pont és a K2 = 5, 83 erősítésnél a s2 = −1, 71 pont. (c) Milyen K értéknél lesz az eredő erősítés Ke = 1? A visszacsatolt kör eredő átviteli függvény alapján belátható, hogy tetszőleg K > 0 értéknél a hurok átviteli tényező, vagyis az eredő erősítés értéke 1.

3. Végezze el a kiterjesztett gyökhelygörbe vizsgálatot az alábbi szabályozó körre! GP (s) = KP KI GI (s) = s Go (s) =

s2

1 + 3s + 2

Az integráló tag vizsgálatához válasszon olyan erősítést, ahol a visszacsatolt kör csillapítási tényezője 0,5! A megoldás menete: (a) Első lépésként határozzuk meg a szabályozott objektum paramétereit: Go (s) =

0, 5 1 = s2 + 3s + 2 0, 5s2 + 1, 5s + 1

√ azaz az objektum erősítése Ko = 0, 5, időállandója To = 0, 5 = 0, 707 és csillapítási tényezője ξo = 1, 06. Ha csak a szabályozó erősítő tagjának a hatását kívánjuk vizsgálni, akkor írjuk fel az eredő átviteli függvényt az integráló tag figyelembe vétele nélkül: G1e (s) =

GP (s)Go (s) KP = 2 1 + GP (s)Go (s) s + 3s + 2 + KP

A gyökhelygörbe felvázolásához menjünk végig annak tulajdonságain: i. A gyökhelygörbének két ága lesz, mivel a visszacsatolt rendszer nevezőjében másodfokú polinom szerepel. ii. (szimmetria a valós tengelyre) iii. A felnyitott kör pólusainak száma n = 2; melyek a p1 = −1 és p2 = −2 pontokban találhatók, és nincs zérusa, azaz m = 0. Ennek megfelelően gyökhelygörbe mindkét ága a felnyitott kör pólusaiból fog kiindulni és a végtelenbe fognak tartani. iv. A valós tengelyen csak a [−2, −1] intervallumban lesz gyökhelygörbe szakasz, mivel csak itt teljesül, hogy a valós tengely egy adott pontjától jobbra a pólusok és zérusok együttes száma páratlan.


25

v. A végtlenbe tartó ágak iránytangenseinek meghatározása: αi =

l · 180◦ , n−m

aholl = 1, 3, . . . , 2(n − m) − 1

általános képlet alapján: 1 · 180◦ α1 = = 90◦ 2 3 · 180◦ α2 = = 270◦ 2 azaz a gyökhelygörbe két ága párhuzamos lesz a képzetes tengellyel. vi. A végtelenbe tartó ágak érintői a súlypontban metszik egymást. Ennek meghatározás az általános képlet alapján: P P Repi − Rezi (−1) + (−2) S= = = −1, 5 n−m 2 vii. A gyökhelygörbe ágak és a képzetes tengely metszéspontjának meghatározására, azaz Hurwitz-kritériummal történő stabilitásvizsgálatra ebben a rendszerben nincs szükség. viii. A gyökhelygörbe valós tengelyből való kilépési pontjának meghatározása: n X i=1

m

X 1 1 − =0 x − pi x − zj j=1

1 1 + =0 x+1 x+2 2x + 3 1 + = 0, ⇒ x = 1, 5. (x + 1)(x + 2) x + 3 A tag másodrendű jellege miatt a súlypont és a kilépési pont megegyezik, és ehhez a ponthoz tartozik a kritikus csillapítási tényező is, azaz itt lesz az visszacsatolt kör csillapítási tényezőjének értéke ξe = 1. Az ehhez tartozó erősítési érték meghatározása: – A visszacsatolt kör karakterisztikus egyenlete: s2 + 3s + 2 + KP = 0 – A kilépési pontban kétszeres valós gyököket kapunk, ezért a gyökökre felírt megoldó képlet diszkriminánsának zérusnak kell lennie: p −3 ± 9 − 4(2 + KP ) p1,2 = 2 9 − 4(2 + KP ) = 0 ⇒ KP = 0, 25 – Ugyanezt az értéket kapjuk, ha a visszacsatolt kör paramétereinek a meghatározásából indulunk ki: Ge (s) =

KP = s2 + 3s + 2 + KP

KP 2+KP 1 2 2+KP s

+

3 2+KP

s+1

26

2. FOLYTONOS IDEJŰ RENDSZEREK STABILITÁSA Innen az eredő csillapítási tényező: 2Te ξe =

3 2 + KP

Behelyettesítve az időállandót és ξe = 1 értéket: 2√

1 3 = 2 + KP 2 + KP

p 2 + KP = 1, 5 ⇒ KP = 0, 25 ix. A kiindulási pólusok között nincs komplex, így a kilépési szöget nem kell meghatározni. (b) Határozzuk meg azt az erősítést, amelynék a visszacsatolt kör csillapítás ξe = 0, 5! A megoldás megegyezik az előzőekkben bemutatott ξe = 1 értékhez tartozó erősítés meghatározásának menetével: Ge (s) =

KP = s2 + 3s + 2 + KP

KP 2+KP 1 2 2+KP s

+

3 2+KP

s+1

Innen az eredő csillapítási tényező: 2Te ξe =

3 2 + KP

Behelyettesítve az időállandót és ξe = 0, 5 értéket: 1 3 = 2 + KP 2 + KP p 2 + KP = 3 ⇒ KP = 7 √

A kiszámolt erősítési értékhez tartozó gyökhelygörbe pontok, azaz a visszacstolt kör pólusai KP = 7 esetén: √ 3 2 2 s + 3s + 2 + KP = s + 3s + 7 = 0 ⇒ p1,2 = −1, 5 ± j1, 5 2 (c) Az integráló tag paraméterének vizsgálatához írjuk fel a visszacsatolt szabályozási kör eredő átviteli függvényét valamennyi tag figyelembe vételével: Ge (s) =

(KP + KsI (GP (s) + GI (s))Go (s) KP s + KI = = 3 1 2 + (2 + K )s + K 1 + (GP (s) + GI (s))Go (s) s + 3s P I s2 +3s+2

Behelyettesítve az előző pontban kiszámolt KP = 7 értéket, a gyökhelygörbe viszgálatot az alábbi átviteli függvényre kell elvégezni: Ge (s) =

s3

7s + KI + 3s2 + 9s + KI

Rendezzük át ezt az átviteli függvényt az összefoglaló részben leírt módon ekvivalens alakra KI vizsgálatához: Ge (s) =

1

7s+KI s3 +3s2 +9s KI + s3 +3s 2 +9s


27

innen az ekvivalens tag: KP =7 Gekv =

s(s2

KI + 3s + 9)

Az ekvivalens tag meghatározása után következhet a gyökhelygörbe felvázolása tulajdonságai segítségével: i. A kiterjesztett gyökhelygörbének három ága lesz, mivel az integráló tag hatására egy, az origóban elhelyezkedő pólus jelenik meg visszacsatolt rendszer nevezőjében. ii. (szimmetria a valós tengelyre) iii. A felnyitott kör pólusainak száma n = 3; melyek a p1 = 0 és p2,3 = −1, 5 ± j2, 6 pontokban találhatók, p2,3 az erősítés alapján felvett gyökhelygörbe ágain. Zérus nincs, azaz m = 0. Ennek megfelelően gyökhelygörbe mindhárom ága a felnyitott kör pólusaiból fog kiindulni és a végtelenbe fognak tartani. iv. A valós tengelyen a ] − ∞, 0] intervallumban lesz gyökhelygörbe szakasz, mivel csak itt teljesül, hogy a valós tengely egy adott pontjától jobbra a pólusok és zérusok együttes száma páratlan. v. A végtlenbe tartó ágak iránytangenseinek meghatározása: αi =

l · 180◦ , n−m

aholl = 1, 3, . . . , 2(n − m) − 1

általános képlet alapján: 1 · 180◦ = 60◦ α1 = 3 3 · 180◦ α2 = = 180◦ 3 5 · 180◦ α3 = = 300◦ 3 azaz a gyökhelygörbe második ága a valós tengely mentén tart a −∞-be, míg a másik két a képzetes tengelyt metszve tart szintén a végtelenbe. vi. A végtelenbe tartó ágak érintői a súlypontban metszik egymást. Ennek meghatározás az általános képlet alapján: P P Repi − Rezi 0 + (−1) + (−2) S= = = −1 n−m 3 vii. A stabilitásvizsgálathoz induljunk ki az eredeti, tehát az ekvivalens átalakítás elötti átviteli függvény nevezőjéből. s3 + 3s2 + 9s + KI = 0 Hurwitz-kritérium első feltétele, hogy a karakterisztikus polinom minden együthatója legyen pozitív, itt csak a konstans esetében kell kikötni: KI > 0, de figyelembe véve a gyakorlat adta feltételeket, ez triviálisan teljesül, hiszen az időállandó nem lehet negatív mennyiség. A második feltétel a determináns felírása és ellenőrzése:

28


H3×3

a2 a0 0 3 KI = a3 a1 0 = 1 9 0 a2 a0 0 3

0 0 KI

A főátlóhoz tartozó 2. aldetermináns ellenőrzése: a2 a0 = a2 a1 − a0 a3 42 = a3 a1 3 KI = 3 · −1 · KI > 0 42 = 1 9 Innen KI < 27. viii. A gyökhelygörbe nem lép ki valós tengelyből, így nincs szükség a kilépési pontok meghatározására. ix. A kiindulási pólusok között van egy konjugélt komplex gyökpár, így ezek kilépési szögének meghatározás: δ1 = 120◦ ,

δ2 = a keresett kilépési szög,

−(120◦ + δ2 + 90◦ ) = −3 · 180◦

δ3 = 90◦

⇒ δ2 = 330◦

Az 2.1 ábra tartalmazza a vizsgálat eredményét: barna színnel látható a csak erősítés esetén felvázolt gyökhelygörbe, míg kék görbék a kiterjesztett gyökhelygörbe menetét mutatják.

2.3.

Gyakorló feladatok

2.3.1.

Stabilitás meghatározása pólusok közvetlen meghatározása alapján

1. Határozza meg az alábbi tagok stabilitását mindkét stabilitási definíciónak megfelelően! (a) G1 (s) = (b) G2 (s) = (c) G3 (s) = (d) G4 (s) = (e) G5 (s) = (f) G6 (s) = (g) G7 (s) = (h) G8 (s) =

2s2 − 3 s2 − 4 2s − 3 2 s + 4s + 6 2s 2 4s + 2s 2s3 − 3 2 4s + 2s + 3 2s + 1 4s2 + 2 3 2 4s − 2s + 2 2 3 4s + 3s2 + 2s 6s 2 8s − 2

2.3. GYAKORLÓ FELADATOK

29

2.1. ábra. Kiterjesztett gyökhelygörbe

2. Határozza meg a 8y (2) (t) + 10y (1) (t) + 2y(t) = 6u(2) (t) + 4u(1) (t) + 6u(t) bemenet/kimenet modellel jellemzett rendszer stabilitását! 3. Határozza meg az alábbi tagok stabilitását! G1 (s) =

1 , 2s

G2 (s) =

3 2s + 1

Csatolja sorba a két tagot, majd a kapott tagcsoportot csatolja vissza negatívan, és határozza meg a zárt kör stabilitását! 4. Határozza meg a 4y (2) (t) + 16y (1) + y(t) = u(1) + 5u(t) bemenet/kiemenet modellel jellemzett rendszer stabiltását! Határozza meg erősítését, csillapítási tényezőjét, természetes frekvenciáját, és vázolja fel a súlyfüggvényét! 5. Határozza meg a 2y (2) (t) + 8y (1) + 32y(t) = 6, 4u(t) bemenet/kiemenet modellel jellemzett rendszer stabiltását! Határozza meg erősítését, csillapítási tényezőjét, természetes frekvenciáját, és vázolja fel az átmeneti függvényét!

2.3.2.

Stabilitás meghatározása Hurwitz kritérium alkalmazásával

Határozza meg az alábbi tagok stabilitását a Hurwitz kritérium segítségével! 1. (a) Határozza meg az alábbi tag stabilitását! G1 (s) =

4 4s3

+

3s2

+ 2s + 1

30

2. FOLYTONOS IDEJŰ RENDSZEREK STABILITÁSA (b) Csatolja vissza negatívan a tagot, és határozza meg így is a stabilitást! (c) Csatolja vissza a tagot K erősítéssel az alábbi ábrának megfelelően, és határozza meg, hogy milyen erősítési tartományban lesz stabil a visszacsatolt kör!

2. (a) Határozza meg az alábbi tag stabilitását: G2 (s) =

4s3

4s + 1 + 3s2 + 2s + 1

(b) Csatolja vissza negatívan a tagot, és határozza meg így is a stabilitást! (c) Csatolja vissza a tagot K erősítéssel az 1. példabeli ábrának megfelelően, és határozza meg, hogy milyen erősítési tartományban lesz stabil a visszacsatolt kör! 3. (a) Határozza meg az alábbi tag stabilitását: G3 (s) =

2s4

+

4s + 2 + 3s2 + 2s + 1

4s3

(b) Csatolja vissza negatívan a tagot, és határozza meg így is a stabilitást! (c) Csatolja vissza a tagot K erősítéssel az 1. példabeli ábrának megfelelően, és határozza meg, hogy milyen −∞ < K < ∞ erősítési tartományban lesz stabil a visszacsatolt kör! 4. (a) Határozza meg az alábbi tagok stabilitását! G1 (s) =

3 , 6s

G2 (s) =

4s2

3 + 2s + 1

(b) Csatolja sorba a két tagot, majd a kapott tagcsoportot csatolja vissza negatívan, és határozza meg a zárt kör stabilitását! (c) Legyen a G1 tag átviteli függvénye: G1 (s) =

1 , TI s

és határozza meg milyen TI értékre lesz stabil a rendszer! 5. (a) Csatolja párhuzamosan a két tagot, majd a kapott tagcsoportot csatolja vissza negatívan, és határozza meg a zárt kör stabilitását! G1 (s) =

3 , 6s

G2 (s) =

4s2

3 + 2s + 1

(b) Tegyen a visszacsatolt kör előremenő ágába egy K erősítő tagot, és határozza meg, hogy milyen értékeire lesz a rendszer stabil!


31

6. Mekkora lesz az alábbi tagnál a stabilitás határán a k értéke? G1 (s) =

4 4s3 + 3s2 + 2s + k

7. Tekintse az alábbi rendszert:

Adja meg, hogy milyen K értékre lesz a rendszer aszimptotikusan stabil! 8. Adja meg, hogy az alábbi kör milyen erősítés érték esetén lesz a csillapítás határán!

2.3.3.

Stabilitás meghatározása gyökhelygörbe alapján

1. Vázolja fel a 8y (2) (t) + 10y (1) (t) + 2y(t) = 6u(t) bemenet/kiemenet modellel jellemzett rendszer átmeneti függvényét és gyökhelygörbéjét! 2. Rajzolja fel annak a tagnak a gyökhelygörbéjét, amelynek a felnyitott kör pólusai −1 és −3-ban, zérushelye pedig −2-ben van! Adja meg az átviteli függvényt is! 3. Vázolja fel az alábbi tag gyökhelygörbéjét! G(s) =

(s + 1) (s + 2)(s2 + s + 1)

Mit tud mondani a visszacsatolt tag stabilitásáról? 4. Vázolja fel az alábbi tag gyökhelygörbéjét! Mit tud megállapítani a zárt kör stabilitásáról? G(s) =

(s2

0.8s + s + 4)(s + 0.2)

5. (a) Adja meg annak a tagnak az I/O modelljét, amelyiknek a pólusai −2 ± j-ben, zérushelyei pedig −1-ben és −2-ben vannak! (b) Rajzolja fel a tag gyökhelygörbéjét! (c) Adja meg a kritikus csillapításnál az erősítés és a pólusok értékét!

32

2. FOLYTONOS IDEJŰ RENDSZEREK STABILITÁSA 6. Tekintse az alábbi rendszert!

(a) Rajzolja fel a rendszer gyökhelygörbéjét! (b) Mennyi K értéke, ha a zárt kör pólusai −1 ± j2? 7. Vázolja fel annak a rendszernek a gyökhelygörbéjét, amelynél a felnyitott kör pólusai −4±jben, zérushelye pedig −2-ben van! Adja meg a tag I/O modelljét!

2.3.4.

Megoldások

Stabilitás meghatározása pólusok közvetlen meghatározása alapján 1. (a) p1,2 = ±2 → egyik gyök pozitív valós, a tag instabil. √ 10 (b) p1,2 = −2 ± j → negatív valós részű komplex gyökpár, a tag aszimptotikusan 2 stabil, és így BIBO stabil is. 1 (c) p1,2 = − → negativ valós gyök, a tag aszimptotikusan stabil, és így BIBO stabil 2 is. (d) A számláló fokszáma nagyobb, mint a nevezőé, ezért a tag nem realizálható. √ 2 (e) p1,2 = ±j → nulla valós részű komplex gyökpár, a tag aszimptotikusan nem 2 stabil, de BIBO stabil. √ 1 28 (f) p1,2 = ± j → pozitív valós részű komplex gyökpár, a tag instabil. 4 2 √ 3 23 (g) p1,2 = − ± j → negatív valós részű komplex gyökpár, a tag aszimptotikusan 8 8 stabil, és így BIBO stabil is. 1 (h) p1,2 = ± → egyik gyök pozitív valós, a tag instabil. 2 1 3 2. p1 = − , p2 = − 2 4 BIBO stabil is.

→ két negativ valós gyök, a tag aszimptotikusan stabil, és így

3. pG1 = 0 → 0 gyök, a tag BIBO stabil, de aszimptotikusan nem stabil. 1 pG2 = − → negativ valós gyök, a tag aszimptotikusan stabil, és így BIBO stabil is. 2 G1 (s)G2 (s) 3 Ge (s) = = 2 1 + G1 (s)G2 (s) 4s + 2s + 3 √ 1 11 peredő,1,2 = − ± j → negatív valós részű komplex gyökpár, a visszacsatolt rendszer 4 2 aszimptotikusan stabil, és így BIBO stabil is.


33

1 s+5 , K = 5, T = 2 / ωn = , ξ = 4, Tsz = 0, 2 + 16s + 1 2 Pólusok: p1 = −3, 936; p2 = −0, 064 → két negatív valós pólus, a tag aszimptotikusan stabil, és így BIBO stabil is. A súlyfüggvény lefutása az elsőrendű tagokéhoz hasonló a számláló zérusa miatt.

4. G(s) =

4s2

6, 4 3, 2 1 = 2 , K = 0, 5, T = / ωn = 4 , ξ = 0, 5 2s2 + 8s + 32 s√+ 4s + 16 4 Pólusok: p1,2 = −2 ± j2 3; → negatív valós részű komplex gyökpár a pólus, a tag aszimptotikusan stabil, és így BIBO stabil is. Az átmeneti függvény lefutása: felfutási szakaszon van infelxiós pont, és túllendüléssel áll be az erősítés által meghatározott értékhez.

5. G(s) =

Stabilitás meghatározása Hurwitz kritérium alkalmazásával 1. (a) A tag aszimptotikusan stabil. (b) A visszacsatolt kör instabil. (c) 0 < K <

1 8

értékekre lesz a visszacsatolt kör szimptotikusan stabil.

2. (a) A tag aszimptotikusan stabil. (b) A visszacsatolt kör aszimptotikusan stabil. (c) 0 < K < 2 értékekre lesz a visszacsatolt kör szimptotikusan stabil. 3. (a) A tag BIBO stabil. (b) A visszacsatolt kör instabil. (c) Nincs olyan K > 0 érték, amire a visszacsatolt kör stabil lenne, de −0, 5 < K < 0-ra igen. 4. (a) A G1 tag BIBO stabil, a G2 tag aszimptotikusan stabil. (b) A visszacsatolt kör instabil. (c) TI > 6 értékekre lesz a visszacsatolt kör aszimptotikusan stabil. 5. (a) A visszacsatolt kör stabil. (b) Tetszőleges K > 0 értékre a visszacsatolt kör aszimptotikusan stabil. 6. A tag 0 < k < 1, 5 értékek esetén stabil. 7. A visszacsatolt kör eredő átviteli függvénye: Ge (s) =

s3

+

2s2

Ks + (2 + K)s + 1

A kör tetszőleges K érték esetén stabil. 8. A visszacsatolt kör eredő átviteli függvénye: Ge (s) =

Ks + K s3 + 3s2 + (3 + K)s + 1 + K

A kör tetszőleges K érték esetén stabil.

34


Stabilitás meghatározása gyökhelygörbe alapján Megjegyzés: A megoldások során több helyen a VisSim programból kivágott diagramot alkalmaztam a gyökhelygörbék megjelenítésére. Mint a gyakorlatokon jeleztem, a program a tengelyeket nem a megszokott formában, hanem az ablakok keretein jeleníti meg, másrészt nem jelöli a zérushelyeket. Kérem, vegyék ezt figyelembe a feladatok ellenőrzésekor! 1. A tag átviteli függvénye: G(s) =

8s2

6 3 3 = 2 = , + 10s + 2 4s + 5s + 1 (4s + 1)(s + 1)

azaz a pólusai p1 = −1; p2 = −0, 25. A paraméterei K = 3, T = 2, ξ = 1, 25 Ezek alapján az átmeneti függvénye és a gyökhelygörbéje a 2.2 ábrán látható.

2.2. ábra. Az 1. feladatban szereplő tag átmeneti függvénye és gyökhelygörbéje

2. A tag átviteli függvénye: G(s) =

s+2 s+2 = 2 , (s + 1)(s + 3) s + 4s + 3

a gyökhelygörbéje a 2.3 ábrán látható.

2.3. ábra. A 2. feladatban szereplő tag gyökhelygörbéje

3. A tag zérushelye z = −1, pólusai p1 = −2, p2,3 = − 12 ± j A visszacsatolt kör eredő átviteli függvénye: Ge (s) =

s3

+

3s2

K(s + 1) , + (3 + K)s + 2 + K

√

3 2 .


35

A gyökhelygörbe felvázolását végezzük el a tulajdonságok alapján (lásd elméleti összefoglaló): (a) A zárt kör eredő átviteli függvényének is 3 gyöke van, így a gyökhelygörbének is 3 ága lesz. (b) (szimmetria) (c) 2 ág tart a végtelenbe, 1 ág a felnyitott kör zérusába. (d) A valós tengelyen csak a [−2, −1] intervallumban van gyökhelygörbe szakasz. (e) A végtelenbe tartó ágak érintőinek szögei: α1 = 90◦ , α2 = 270◦ . (f) A súlypont koordinátája: S = −1. (g) Az ágak nem metszik a képzetes tengelyt. (h) Nincs kilépési pont. (i) Kilépési szög 98◦ . A gyökhelygörbe a 2.4 ábrán látható. A zárt rendszer tetszőleges K erősítési érték esetén stabil marad.


4. A tag zérushelye z = 0, pólusai p1 = −0, 2, p2,3 = − 21 ± j A visszacsatolt kör eredő átviteli függvénye: Ge (s) =

√

15 2 .

K(s + 2) , s3 + 1, 2s2 + (4, 2 + K)s + 0, 8

A gyökhelygörbe felvázolását végezzük el a tulajdonságok alapján (lásd elméleti összefoglaló): (a) A zárt kör eredő átviteli függvényének is 3 gyöke van, így a gyökhelygörbének is 3 ága lesz. (b) (szimmetria) (c) 2 ág tart a végtelenbe, 1 ág a felnyitott kör zérusába. (d) A valós tengelyen csak a [−0, 2 , 0] intervallumban van gyökhelygörbe szakasz. (e) A végtelenbe tartó ágak érintőinek szögei: α1 = 90◦ , α2 = 270◦ .

36

2. FOLYTONOS IDEJŰ RENDSZEREK STABILITÁSA (f) A súlypont koordinátája: S = −0, 6. (g) Az ágak nem metszik a képzetes tengelyt. (h) Nincs kilépési pont. (i) Kilépési szög 95, 7◦ . A gyökhelygörbe a 2.5 ábrán látható. A zárt rendszer aszimptótikus stabilitása megszűnik, ha az erősítés tetszőlegesen nagy értéket vesz fel, azaz K → ∞, és csak a BIBO stabilitás teljesül rá.



(s + 1)(s + 2) s2 + 3s + 2 = 2 , (s + 2 + j)(s + 2 − j) s + 4s + 5

Az I/O modell: y (2) (t) + 4y (1) (t) + 5y(t) = u(2) (t) + 3u(1) (t) + 2u(t) A visszacsatolt kör eredő átviteli függvénye: Ge (s) =

K(s2 + 3s + 2) , (1 + K)s2 + (4 + 3K)s + 5 + 2K

A gyökhelygörbe a 2.6 ábrán látható. A kritikus csillapításnál, azaz ξ = 1-nél kétszeres pólusokat kapunk, ez lesz a gyökhelygörbe valós tengelybe érkezési pontja. Ennél a pontnál a zárt kör pólusait meghatározó képletben a diszkrimináns 0: p −(4 + 3K) ± (4 + 3K)2 − 4(1 + K)(5 + 2K) p1,2 = 2(1 + 2K) 2 (4 + 3K) − 4(1 + K)(5 + 2K) = 0 K 2 − 4K − 4 = 0 K = 4, 82


37

2.6. ábra. Az 5. feladatban szereplő tag gyökhelygörbéje

A pont koordinátája: p1,2 =

−(4 + 3 · 4, 82) ±

p (4 + 3 · 4, 82)2 − 4(1 + 4, 82)(5 + 2 · 4, 82) = −1, 59 2(1 + 2 · 4, 82)


1 1 = , s2 + 2s + 1 (s + 1)2

pólusai p1,2 = −1, gyökhelygörbe a 2.7 ábrán látható.

2.7. ábra. Az 6. feladatban szereplő tag gyökhelygörbéje

Ha a zárt kör pólusai p1,2 = −1 ± 2j és a zárt kör eredő átviteli függvénye G(s) =

s2

K , + 2s + 1 + K

akkor innét K = 4. 7. A tag átviteli függvénye: G(s) =

s+2 s+2 = 2 , (s + 4 + j)(s + 4 − j) s + 8s + 17

38

2. FOLYTONOS IDEJŰ RENDSZEREK STABILITÁSA Az I/O modell: y (2) (t) + 8y (1) (t) + 17y(t) = u(1) (t) + 2u(t) A visszacsatolt kör eredő átviteli függvénye: Ge (s) =

K(s + 2) , s2 + (8 + K)s + 17 + 2K

A gyökhelygörbe a 2.8 ábrán látható. A kritikus csillapításnál, azaz ξ = 1-nél kétszeres


pólusokat kapunk, ez lesz a gyökhelygörbe valós tengelybe érkezési pontja. Ennél a pontnál a zárt kör pólusait meghatározó képletben a diszkrimináns 0: p −(8 + K) ± (8 + K)2 − 4(17 + 2K) p1,2 = 2 2 (8 + K) − 4(17 + 2K) = 0 K 2 + 8K − 4 = 0 K1 = 0, 47 K2 = −8, 4 (K2 nem megoldás). A pont koordinátája: p1,2 = −4, 2 .

3. fejezet

Kálmán-féle rendszermodell 3.1.

Elméleti áttekintés

Ebben a fejezetben áttekintjük a rendszerelméletben széles körben alkalmazott ún. Kálmánféle rendszermodellt és annak legfontosabb, a rendszervizsgálatokhoz kapcsolódó tulajdonságait. A Kálmán-féle rendszermodell az ún. állapottérmodellek csoportjába tartozik, azaz a bemenetek és a kimenetek mellett a rendszer belső működését jellemző állapotváltozókat is figyelembe vesszük a vizsgált objektum leírásánál. Ennek megfelelően a modellek e csoportja a fehér doboz modellek közé tartozik, hiszen a rendszer belső állapotában és a kimeneten történő változásokat a rendszer belső összefüggései és bemenetei alapján határozzuk meg. A modell az elnevezését egyik megalkotójáról, a magyar származású Kálmán Rudolfról kapta. Az általános megközelítésnek megfelelően, először megadjuk a definícióban szereplő elemeket és azok tulajdonságait, majd ezután ismertetjük a rendszerdefiníciót.

3.1.1.

A Kálmán-féle rendszermodell elemei

Időhalmaz jele: T A Kálmán-féle rendszermodell csak időben változó rendszerek leírásával foglalkozik, így az időhalmaz lényeges eleme a definíciónak. Az időhalmazt a leírt rendszernek megfelelően megadhatjuk folytonos halmazként vagy diszkrét – a mintavételezési időpontokat tartalmazó – halmazként. Ugyancsak a vizsgálat céljának megfelelően definiálhatjuk akár egyik, akár másik irányban véges vagy végtelen halmazként. Belső állapotváltozók lehetséges értékeinek halmaza jele: X A belső állapotváltozók a rendszer belső fizikai-kémiai tulajdonságait jellemző, a rendszerben bekövetkező változásokat magyarázó mennyiségek. Az állapotváltozóknak nem kell közvetlenül mérhetőnek lenniük, az is elég, ha a bemenetekből és az állapotváltozók egymás közti kölcsönhatásából meghatározható az értékük. Általában több állapotváltozó segítségével tudjuk jellemezni a rendszereinket, így a halmaz elemei vektorok lesznek. Bemeneti változók lehetséges értékeinek halmaza jele: U A vizsgált rendszer működését a környezete egy vagy több bemeneten keresztül befolyásolja. A lehetséges bemeneti értékek halmaza tartalmazza az egyes bemenetek által felvehető értékeket vagy értéktartományokat. 39

40

3. KÁLMÁN-FÉLE RENDSZERMODELL

Kimeneti változók lehetséges értékeinek halmaza jele: Y A rendszer a környezetét a kimenetein keresztül befolyásolja. Az ezeket a hatásokat leíró fizikai, kémiai mennyiségek lesznek a kimeneti változók. Kimeneti változóként célszerűen olyan mennyiséget adunk meg, amely közvetlenül meghatározható, mérhető. Lehetséges bemenet–idő függvények halmaza jele: Ω Az Ω halmaz tartalmazza a rendszer működése során értelmezhető, alkalmazható bemenetidő függvényeket: Ω = {ω|ω : T → U } . A bemenet–idő függvényekre általában mint bemenő jelekre vagy bemenetekre szokás hivatkozni, és a műszaki gyakorlatban az ω helyett általában az u(t) jelölést alkalmazzuk, ahol u(t) a bemenő jel(ek) értéke a t időpontban. A bemenetek közé egyaránt tartozhatnak különböző típusú tesztjelek vagy zavaró jelek. A bemenetekkel szembeni követelmény, hogy jellegüknek megfelelően valamilyen formában megadhatók legyenek, így a tesztjeleket és a más, a modellező által alkalmazni kívánt jeleket determinisztikus függvényként, a zajokat pedig valamilyen sztochasztikus folyamat felhasználásával írjuk le. Lehetséges kimenet–idő függvények halmaza jele: Γ A Γ halmaz elemei a rendszer működése során lehetséges kimenet–idő függvények: Γ = {γ|γ : T → Y } . A műszaki gyakorlatban általában a kimenő jelek vagy kimenetek elnevezést használjuk és a γ helyett általában az y(t) jelölést alkalmazzuk, ahol y(t) a kimenet(ek) értéke a t időpontban. Állapotátmeneti függvény jele: ϕ Az állapotátmeneti függvény írja le a rendszer működését, tehát azt, hogy hogyan kerül át a rendszer az egyik állapotából egy másik állapotába. Megadásához vezessük be a bemenetszegmensek és azok szétvághatóságának fogalmát. Bemenetszegmens Legyen adott egy (t1 , t2 ] ⊂ T intervallum. A bemenetszegmens az u(t) függvény leszűkítése erre az intervallumra: u(t) | t ∈ (t1 , t2 ] vagy u(t)(t1 ,t2 ] . Szétvághatóság Legyen adott (t1 , t2 ] ⊂ T intervallum és az erre leszűkített u(t)(t1 ,t2 ] bemenetszegmens. Vegyünk fel egy t0 időpontot a (t1 , t2 ] intervallum belsejében: t1 < t0 < t2 . Ekkor az u(t) bemenetszegmens a t0 időpont alapján két részre bontható: u1 (t) = u(t) | t ∈ (t1 , t0 ] u2 (t) = u(t) | t ∈ (t0 , t2 ] . Az időintervallum alulról nyílt, felülről zárt módon való megadásával a bemenetszegmens szétvágásakor egyértelműen eldönthető, hogy melyik végpont melyik új szegmens része lesz. Az állapotátmeneti függvényt a következő módon definiáljuk: ϕ:T ×T ×X ×Ω→X x(t2 ) = ϕ(t2 , t1 , x(t1 ), u(t)(t1 ,t2 ] ) .


41

A definíciónak megfelelően az állapotátmeneti függvény megadja, hogy egy x(t1 ) állapotban u(t)(t1 ,t2 ] bemenetszegmenst alkalmazva, a t1 kezdő időpont és a t2 végidőpont figyelembevételével milyen x(t2 ) állapotba kerül át a rendszer. Az állapotátmeneti függvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik: 1. Okozatiság Az állapotátmeneti függvény által az x(t1 ) és x(t2 ) állapotok között megadott kapcsolat csak t2 ≥ t1 időpontokra igaz, azaz fizikai rendszer a múltját nem módosíthatja. 2. Konzisztencia Ha t2 = t1 , azaz az időpontok megegyeznek, akkor a hozzájuk tartozó állapotoknak is meg kell egyezniük: x(t2 ) = x(t1 ). 3. Szakaszolhatóság Ha t0 az időintervallum egy köztes pontja, t1 < t0 < t2 , akkor a bemenetszegmens szétbontásával a t0 pontból is ugyanazt a végállapotot érjük el: x(t2 ) = ϕ(t2 , t1 , x(t1 ), u(t)(t1 ,t2 ] ) = ϕ(t2 , t0 , x(t0 ), u(t)(t0 ,t2 ] ) . 4. Egyértelműség Jelölje egy rendszer két lehetséges működését 1 és 2 index. Tételezzük fel, hogy egy adott t1 időpontra igaz, hogy a kétféle működéshez tartozó állapotok megegyeznek: x1 (t1 ) = x2 (t1 ), és a t1 és t2 időpontok között a működések bemenetei is megegyeznek: u1 (t)(t1 ,t2 ] = u2 (t)(t1 ,t2 ] . Ekkor a végállapotoknak meg kell egyezniük: x1 (t2 ) = x2 (t2 ) . Kiolvasó (kimeneti) függvény jele: η Megadható egy kiolvasó vagy más néven kimeneti függvény, mely a kimeneti változók értékeit határozza meg a pillanatnyi belső állapotok, bemenetek értékei és az időpont alapján, az alábbi képletnek megfelelően: η :T ×X ×U →Y y(t1 ) = η(t1 , x(t1 ), u(t1 )) .

3.1.2.

A Kálmán-féle rendszermodell definíciója

Az állapottérmodellek Kálmán szerinti definíciója a következő: Σ = (T, X, U, Y, Ω, Γ, ϕ, η) , ahol T - az időhalmaz, X - a belső állapotváltozók lehetséges értékeinek halmaza, U - a bemeneti változók lehetséges értékeinek halmaza, Y - a kimeneti változók lehetséges értékeinek halmaza, Ω - a lehetséges bemenet–idő függvények halmaza, Γ - a lehetséges kimenet–idő függvények halmaza, ϕ - az állapotátmeneti függvény, η - a kiolvasó függvény.

42


A definícióban felsorolt elemek a 3.1.1 részben leírt tulajdonságokkal jellemezhetők. A definícióhoz kapcsolódó néhány elnevezés: – A (t, x(t)) párost eseménynek nevezzük. – A T × X halmaz neve eseménytér vagy fázistér. – A ϕ állapotátmeneti függvény az alkalmazási területnek megfelelően lehet trajektória, pálya, folyam, megoldás, megoldási görbe. – Az ω/u(t) bemenet vagy beavatkozás a rendszert az x(t1 ) állapotából átviszi vagy áttranszformálja a ϕ(t2 , t1 , x(t1 ), u(t)(t1 ,t2 ] ) által meghatározott x(t2 ) állapotba, azaz a rendszer működik, időben változtatja az állapotát. – Ha az Ω halmaznak egy eleme van, akkor a Σ rendszert szabad nak nevezzük. – Ha a ϕ függvény nemcsak t2 ≥ t1 esetén értelmezhető, hanem tetszőleges t2 és t1 értékekre, akkor a rendszer reverzibilis. Természetesen a fizikai rendszerek nem reverzibilis módon működnek.

3.1.3.

A rendszerek osztályozása

A vizsgált rendszerek modelljeit, a Kálmán-féle rendszerdefinícióban felsorolt halmazok és függvények adott rendszer esetében meghatározott tulajdonságai alapján, különböző osztályokba sorolhatjuk. Folytonos idejű – diszkrét idejű rendszerek A T időhalmazt a rendszer vizsgálata során tekinthetjük folytonos intervallumnak vagy diszkrét időpontokat tartalmazó halmaznak. A fizikai rendszerek folytonos idejűek, tehát a jellemző értékeik a vizsgálat időtartományának tetszőleges pontjában meghatározhatóak. A mintavételezéses irányítási rendszerek esetében ez az információáram szaggatott, emiatt diszkrét idejűnek tekinthetjük az ilyen rendszereket. Számszerű – nem számszerű rendszerek Fizikai rendszerek változói között lehetnek olyanok, melyekhez nem tudunk, vagy nem akarunk számszerű értéket rendelni, nagyságukat csak nyelvi változóval jellemezzük. Az ilyen rendszereket nevezzük nemszámszerű rendszereknek. A fuzzy szabályozási rendszerekben találkozhatunk ilyen nyelvi kifejezésekkel jellemzett változókkal. A definícióban szereplő X, U és Y halmazok elemei egyaránt tartalmazhatnak nem számszerű értékeket. Véges állapotú – végtelen állapotú rendszerek Ha a vizsgált rendszernek csak véges sok különböző állapota lehet, akkor véges állapotúnak, ha nincs korlát az állapotok számára, akkor végtelen állapotúnak nevezzük. Véges állapotú rendszerek esetében az X halmaznak véges sok különböző eleme lehet, tehát véges halmaz, míg végtelen állapotú rendszereknél az X halmaz végtelen halmaz. Lineáris – nemlineáris rendszerek Ha az X, U , Y , Ω és Γ halmazok lineáris terek, akkor lineáris rendszerről beszélünk. Legyen egy ’1’ jelű működés kezdő állapota x1 (t1 ), a bemenete u1 (t)(t1 ,t2 ] , és a működés eredményeként jöjjön létre az x1 (t2 ) állapot és az y1 (t1 ) kimenet. Legyenek egy másik, ’2’ jelű működés esetében ezek a változók rendre x2 (t1 ), u2 (t)(t1 ,t2 ] , x2 (t2 ) és y2 (t1 ). Lineáris rendszer esetében a két működéshez tartozó kezdő állapotok és


43

a beavatkozások lineáris kombinációjával előállított x(t1 ) kezdő állapot és u(t)(t1 ,t2 ] bemenetre kapott x(t2 ) végállapot és y(t1 ) kimenet megegyezik a két működés esetében kapott végállapotok és kimenetek lineáris kombinációjával: x(t1 ) = λ1 · x1 (t1 ) + λ2 · x2 (t1 ) u(t)(t1 ,t2 ] = λ1 · u1 (t)(t1 ,t2 ] + λ2 · u2 (t)(t1 ,t2 ] x(t2 ) = ϕ(t2 , t1 , x(t1 ), u(t)(t1 ,t2 ] = λ1 · x1 (t2 ) + λ2 · x2 (t2 ) y(t1 ) = η(t1 , x(t1 ), u(t1 )) = λ1 · y1 (t1 ) + λ2 · y2 (t1 ) , ahol λ1 és λ2 valós számok. A valós fizikai rendszerek általában csak egy szűk intervallumban tekinthetők lineárisnak. Idővariáns és időinvariáns rendszerek Mind az idővariáns, mind az időinvariáns rendszerek esetében a belső állapotváltozók, a bemeneti és a kimeneti változók az idő függvényei. Az idővariancia a csillagászati időtől való függésre vagy annak látszatára utal. Az idővariáns rendszer esetében a végállapot és a kimenet értéke nemcsak a kezdő állapottól és a bemeneti szegmenstől függ, hanem a kísérlet időpontjától is. Ennek megfelelően egy idővariáns rendszer esetében különböző időpontokban elvégzett kísérletek eredményei, azaz a rendszer végállapota és kimenet eltérő lesz annak ellenére, hogy ugyanabból a kezdő állapotból indítva ugyanazzal a gerjesztéssel vizsgáltuk a rendszer működését. Az időinvariáns rendszerek esetében a végállapot és a kimenet csak a kezdő állapottól és a bemeneti szegmenstől függ, azaz, ha különböző időpontban, de ugyanabban a kezdő állapotban ugyanazt a gerjesztést alkalmazzuk, akkor ugyanazt a végállapot és kimeneti értékeket kell kapnunk. Az idővariancia általában a modellezés során elkövetett egyszerűsítési hiba következménye, vagyis amiatt lép fel, mert egy vagy több, a rendszer működését befolyásoló hatást nem vettünk figyelembe. Pontosabb modellezésnél a paramétertől (például hőmérséklettől) való függést alkalmazzuk. Determinisztikus és sztochasztikus rendszerek Ha a változásokat létrehozó kölcsönhatások determinisztikus függvényekkel jellemezhetők, akkor determinisztikus rendszerről beszélünk. Valós rendszerek esetében a zajok, zavarások hatását általában csak valószínűségi változó segítségével tudjuk leírni, így ezeknek a rendszereknek a viselkedése véletlenszerűnek, azaz sztochasztikusnak tekinthető. Véges és végtelen dimenziós rendszerek Bizonyos fizikai rendszerek esetében egyszerűsítésként feltételezhetjük, hogy egy, az állapotát leíró jellemző értéke a vizsgálati tér minden pontjában azonos, így elegendő egy jól megválasztott pontban meghatározni az értékét. Az ilyen modellek csak közönséges differenciálegyenleteket tartalmaznak, és azokat koncentrált paraméterű rendszer nek nevezzük. Ha ez a feltételezés nem teljesül, akkor meg kell vizsgálni, hogy a jellemző változását a tér hány koordinátája szerint kell figyelembe venni. Ilyenkor elosztott paraméterű rendszer ekről beszélünk, és parciális, azaz az időtől és a helytől függő differenciálegyenletekkel tudjuk leírni őket.

3.1.4.

Az állapottérmodell jellemző alakjai

A következőkben megadjuk a Kálmán-féle rendszerdefinícióban szereplő állapotátmeneti függvény és kiolvasó függvény konkrét alakját néhány, előzőekben bemutatott modelltulajdonság esetében.

44

3. KÁLMÁN-FÉLE RENDSZERMODELL Az állapotátmeneti és a kiolvasó függvények általános alakja: x(t2 ) = ϕ(t2 , t1 , x(t1 ), u(t)(t1 ,t2 ] ) , y(t1 ) = η(t1 , x(t1 ), u(t1 )) .

A nemlineáris, folytonos idejű, idővariáns rendszer modellje a következő általános alakban adható meg: x(t) ˙ = f (t, x(t), u(t)) y(t) = g(t, x(t), u(t)) . A nemlineáris, folytonos idejű, időinvariáns rendszer modelljének általános alakja: x(t) ˙ = f (x(t), u(t)) y(t) = g(x(t), u(t)) . A lineáris, folytonos idejű, idővariáns rendszer modellje: x(t) ˙ = A(t)x(t) + B(t)u(t) y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) . Idővariáns rendszerek esetében az A, B, C, D együttható mátrixok elemei között van legalább egy időtől függő. A lineáris, folytonos idejű, időinvariáns rendszer modellje: x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) . Az együttható mátrixok szokásos elnevezései: A - állapotátviteli mátrix; B - bemeneti mátrix; C - kimeneti mátrix; D - segédmátrix. A lineáris, diszkrét idejű, időinvariáns rendszer állapottér modelljének az általános alakja: x((k + 1)T0 ) = Φx(kT0 ) + Γu(kT0 ) y(kT0 ) = Cx(kT0 ) , ahol Φ - a diszkrét állapoátviteli mátrix; Γ - a diszkrét bemeneti mátrix; C - a kimeneti mátrix; T0 - a mintavételezési periódusidő; k - a mintavételezés sorszáma. Egy folytonos idejű rendszer modelljének diszkrét időtartományra történő átalakítása során belátható, hogy a Φ és Γ mátrixok a folytonos idejű modellhez tartozó A és B mátrixokból származtathatóak.


3.1.5.

45

A bemenet–kimenet modell

A Kálmán-féle rendszermodell általános alakjából kiindulva levezethetjük az ún. bemenet– kimenet modellt. Ezt a típusú modellt akkor alkalmazzuk, ha a vizsgált rendszer belső viszonyait nem tudjuk vagy nem akarjuk matematikai összefüggésekkel jellemezni, viszont a bemenetek és a kimenetek közötti összefüggés megfigyelhető és egy megfelelően megválasztott függvénnyel leírható. Hagyjuk el az eredeti definícióból a belső állapotokra vonatkozó elemeket, így a belső állapotváltozók lehetséges értékeit tartalmazó X halmazt, a ϕ(t) állapotátmeneti függvényt, és az η(t) kiolvasó függvényt. Vezessük be az A indexhalmazt és az F függvénycsaládot a következő módon: F = {fα | fα : T × Ω → Y, α ∈ A} . Az F függvénycsalád tagjai azok az fα bemenet–kimenet függvények, amelyek megadják a t időpillanatban az u(t) bemenet hatására kialakuló y(t) kimenetet az α kísérlet esetében: y(t) = fα (t, u(t)) . A bemenet–kimenet függvények a következő tulajdonságokkal rendelkeznek: – Az idő iránya Létezik az ι : A → T leképezés úgy, hogy az fα (t, u(t)) függvény definiált ∀t ≥ ι(α)-ra. – Okozatiság Legyen τ, t ∈ T és τ < t. Ha u(t), u0 (t) ∈ Ω és u(t)(τ,t] = u0 (t)(τ,t] akkor fα (t, u(t)) = fα (t, u0 (t)) ∀α-ra úgy, hogy τ = ι(α) . A bemenet–kimenet modell definíciója: ΣI/O = (T, U, Y, Ω, Γ, F ) , ahol a szimbólumok megfelelnek egyrészt a Kálmán-féle rendszermodellben, másrészt az F definíciójában megadottaknak. A bemenet–kimenet modell tehát a kísérletek során alkalmazott bemenetek és az azokra kapott válaszok összefoglalása. Az α paraméterrel megcímkézett kísérletek az ω vagy u(t) bemenetből és az y(t) megfigyelt kimenetből állnak. Dinamikus rendszerek esetében az alábbi általános, differenciálegyenlet típusú modellt kapjuk: f (y(t), y (1) (t), ..., y (n) (t), u(t), u(1) (t), ..., u(m) (t), t) = 0 , ahol a y (i) (t) a kimenet (ill. a bemenet) időszerinti i-dik deriváltjának rövidített jelölése: y (n) (t) =

di y(t) . dti

(3.1)

A lineáris, idővariáns, folytonos idejű bemenet–kimenet modell alakja: an (t)y (n) (t) + an−1 (t)y (n−1) (t) + ... + a1 (t)y (1) (t) + a0 (t)y(t) = = bm (t)u(m) (t) + ... + b0 (t)u(t) .

46


A lineáris, időinvariáns, folytonos idejű bemenet–kimenet modell általános alakja az alábbi n-ed rendű differenciálegyenlet: an y (n) (t) + an−1 y (n−1) (t) + ... + a1 y (1) (t) + a0 y(t) = bm u(m) (t) + ... + b0 u(t) , ahol u(t) – a bemenő jel, y(t) – a kimenő jel, an , ..., a0 , bm , ..., b0 – paraméterek, i x(t) ahol x = u, y – a bemenet vagy kimenet i-dik differenciálhányadosát jelenti. x(i) = d dt i Diszkrét időtartományban kétféle modellt szokás alkalmazni: az előrefelé vett differenciákon és a visszafelé vett differenciákon alapuló modelleket. A lineáris, időinvariáns rendszerek előrefelé vett differenciaegyenleten alapuló modelljének általános alakja: an y((k + n)T0 ) + an−1 y((k + n − 1)T0 ) + ... + a1 y((k + 1)T0 ) + a0 y(kT0 ) = = bm u((k + m)T0 ) + ... + b0 u(kT0 ) , a visszafelé vett differenciaegyenlet alapú modell: a0 y(kT0 ) + a1 y((k − 1)T0 ) + ... + an−1 y((k − n + 1)T0 ) + an y((k − n)T0 ) = = b0 u((k − d)T0 ) + ... + bm u((k − d − m)T0 ) , ahol mindkét esetben az y(kT0 ) jelenti a meghatározandó, vagyis a jelenhez tartozó kimeneti értéket, és d = n − m.

3.1.6.

Az állapottérmodell tulajdonságai

A lineáris, folytonos idejű, időinvariáns rendszer modellje a Kálmán-féle rendszerdefiníciónak megfelelően: x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) . A továbbiakban, az állapottérmodell tulajdonságainak vizsgálata során mindig lineáris, időinvariáns folytonos idejű rendszermodellt tételezünk fel. Az állapottérmodellben szereplő változók és együttható mátrixok dimenziói A modellben szereplő mátrixok és vektorok dimenziója a modellezés során figyelembe vett állapotváltozók, bemenetek és kimenetek számától függ. Az állapotváltozók száma általában nagyobb egynél. A bemenetek, kimenetek száma alapján alapvetően két csoportra oszthatjuk a rendszereinket: ún. SISO vagy egybemenetű–egykimenetű, illetve MIMO, azaz többbemenetű– többkimenetű rendszerekre. E csoportosítás alapján a modell elemeinek dimenziói a következők:

dim(x) dim(u) dim(y) dim(A) dim(B) dim(C) dim(D)

SISO n 1 1 n×n n×1 1×n 1×1

MIMO n p r n×n n×p r×n r×p


47

3.1. ábra. Kálmán-féle rendszermodell blokkdiagramja

(Megjegyzés: a példatárban nem hivatkozunk az aláhúzással a vektorokra, kettős aláhúzással a mátrixokra, mivel ismerve a belső állapotváltozók, a bemenő változók és a kimenő változók számát, ezek dimenziói a fenti táblázat alapján egyértelműen eldönthetők.) Tehát, ha SISO rendszernek írjuk fel a modelljét, akkor B mátrixból b oszlopvektor, míg a C mátrixból cT sorvektor, a D mátrix pedig a d skalár szám lesz. Az állapottérmodell blokkdiagramja a 3.1 ábrán látható. A diagramnak és a modellegyenleteknek megfelelően a rendszer működését az integrálblokk jeleníti meg, aminek a bemenete az integrálás eredményeként kapott és visszacsatolt állapotvektor (x(t)), a bemenő jel (u(t)) és az induló állapotot megadó x(t0 ) kezdeti feltétel. A kimenő jel (y(t)) az állapotvektor (x(t)) és a bemenő jel (u(t)) C és D mátrixokkal súlyozott összege. A D mátrix értéke akkor nem lesz nulla, ha a bemenet a rendszer belső működését megkerülve, közvetlenül is hat a kimenetre. Állapotérmodell megoldása Induljunk ki a rendszeregyenletből: x(t) ˙ = Ax(t) + BU (t),

x(0) = x0 .

Laplace-transzformáljuk ezt az egyenletet x0 kezdeti feltételek mellett: sX(s) − x0 = AX(s) + BU (s) , majd átrendezve: sX(s) − AX(s) = x0 + BU (s) (sI − A)X(s) = x0 + BU (s) X(s) = (sI − A)−1 x0 + (sI − A)−1 BU (s) , ahol I az n × n dimenziós egységmátrix. Az (sI − A)−1 kifejezést a következő módon értelmezhetjük: (sI − A)

−1

1 = s

A −1 1 A A2 I− = I + + 2 + ... . s s s s

48


A sorba fejtéssel kapott kifejezést inverz Laplace-transzformálva: 1 L−1 (sI − A)−1 = I + At + A2 t2 + · · · ≡ eAt , 2! ahol az eAt az ún. mátrixexponenciális és t ≥ 0. E jelölés bevezetésekor azt használjuk ki, hogy az inverz Laplace-transzformációval kapott sorba fejtett alak formailag megfelel az eat sorba fejtésének, ahol a tetszőleges skalár szám, t ≥ 0 pedig az időváltozó. A kapott eredményt felhasználva inverz-Laplace transzformálhatjuk az X(s) = (sI − A)−1 x0 + (sI − A)−1 BU (s) egyenletet: At

Z

x(t) = e x0 +

t

eA(t−τ ) Bu(τ )dτ .

0

Azaz a t időponthoz tartozó x(t) állapotváltozó vektor értékét meghatározhatjuk a kezdeti feltétel (1. tag) és a bemenet (2. tag) függvényében. Az ugyanezen t időponthoz tartozó kimenet értékét az eredeti modell kimeneti egyenlete alapján határozhatjuk meg: y(t) = Cx(t) + Du(t) . Az állapottérmodell és a bemenet–kimenet modell kapcsolata Ha ugyanannak a rendszernek készítjük el az állapottérmodelljét és bemenet–kimenet modelljét, akkor megfelelő modellezés esetén a modellek viselkedésének egyformának kell lennie, azaz, ha ugyanabban az induló állapotban ugyanazzal a bemenettel gerjesztjük, akkor ugyanazt a kimenetet kell kapnunk. Vizsgáljuk meg ennek igazolhatóságát egy SISO rendszer esetében, azaz a B bemeneti mátrix legyen a b n × 1 oszlopvektor, a C mátrix a cT 1 × n sorvektor, a D mátrix pedig a d skalár szám. x(t) ˙ = Ax(t) + bu(t) y(t) = cT x(t) + du(t) . Legyen a kezdő állapot zérus (x0 = 0), és Laplace-transzformáljuk az állapottérmodellt, majd fejezzük ki az első egyenletből az állapotváltozók Laplace-transzformáltját: X(s) = (sI − A)−1 bU (s) Y (s) = cT X(s) + dU (s) . Helyettesítsük be az első egyenletet a második egyenletbe: Y (s) = cT (sI − A)−1 b + d U (s) , és rendezzük át a kapott egyenletet a következő alakra: Y (s) = cT (sI − A)−1 b + d . U (s) Az egyenlet bal oldalán kapott kifejezés, azaz a kimenet Laplace-transzformáltjának és a bemenet Laplace-transzformáltjának a hányadosa megfelel az átviteli függvénynek.


49

Írjuk fel az átviteli függvényt a bemenet–kimenet modell alapján: an y (n) (t) + an−1 y (n−1) (t) + ... + a1 y (1) (t) + a0 y(t) = bm u(m) (t) + ... + b0 u(t) , G(s) =

Y (s) bm sm + · · · + b0 . = U (s) an sn + · · · + a0

Egy rendszer állapottérmodellje és bemenet–kimenet modellje között tehát az átviteli függvény teremti meg a kapcsolatot: bm sm + · · · + b0 Y (s) T −1 = c (sI − A) b + d = , G(s) = U (s) z.k.f. an sn + · · · + a0 ahol a z.k.f. rövidítés a zérus kezdeti feltételekre utal. (Megjegyzés: a szokásos jelölés miatt az állapottérmodell b bemeneti vektorának és a bemenet– kimenet modell bemeneti oldal bi együtthatóinak nagyon hasonló a jelölése, de a két modell más-más elemére utalnak.) Megfigyelhetőség Az állapottérmodell felállításakor állapotváltozónak a rendszer belső összefüggéseit, működését meghatározó mennyiségeket választunk. A kimeneti változók pedig olyan mennyiségek lesznek, amelyeket közvetlenül meg tudunk mérni. Az állapotváltozók viszont nem feltétlenül mérhetők, figyelhetők meg közvetlenül, értékük alakulására a kimeneti változók mérése alapján lehet következtetni. Ezt a lehetőséget, rendszertulajdonságot adja meg a megfigyelhetőség fogalma, melyet az egyszerűsítés kedvéért SISO rendszerekre vezetjük be, és feltételezzük, hogy a bemenetnek nincs közvetlen hatása a kimenetre. A megfigyelhetőség definíciója a következő: Az x(t) ˙ = Ax(t) + bu(t) y(t) = cT x(t) modellel megadott rendszert akkor nevezzük teljesen megfigyelhetőnek, ha tetszőleges t0 = 0 időponthoz tartozó x(t0 ) kezdő állapothoz és u(t) = 0, t ≥ t0 bemenethez létezik olyan t1 > t0 időpont, hogy y(t), t ∈ (t0 , t1 ] kimenet ismerete elegendő x(t0 ) kezdő állapot meghatározásához. A megfigyelhetőség teljesüléséhez az kell, hogy az Z t1 A(t1 −t0 ) x(t1 ) = e x(t0 ) + eA(t1 −τ ) bu(τ )dτ T

t0 T A(t1 −t0 )

y(t1 ) = c x(t1 ) = c e

x(t0 )

egyenletekből x(t0 ) kiszámítható legyen. Kálmán megfigyelhetőségi tételének köszönhetően ez a probléma azonban könnyebben eldönthető. Megfigyelhetőségi tétel : Az x(t) ˙ = Ax(t) + bu(t) y(t) = cT x(t)

50


modellel megadott rendszert akkor és csak akkor megfigyelhető, ha az állapottérmodell A és cT együttható mátrixaiból képzett On−1 megfigyelhetőségi mátrix:   cT  cT A     T 2  On−1 =  c A    ..   . T n−1 c A teljes rangú: r(On−1 ) = n, ahol n az állapotváltozók száma. Tekintve, hogy SISO rendszerek esetében az On−1 megfigyelhetőségi mátrix n × n-es négyzetes mátrix lesz, a teljes rangúság kérdése a megfigyelhetőségi mátrix determináns értékének a meghatározásával eldönthető. Ha az On−1 mátrix determinánsa nem egyenlő nullával, akkor teljes rangú, azaz a modell teljesen megfigyelhető, tehát a kimenetek méréséből visszakövetkeztethetünk az állapotváltozó egy adott időpontbeli értékére. Ha a megfigyelhetőségi mátrix determinánsa nulla, akkor van legalább egy olyan állapotváltozó, aminek az értékét így nem tudjuk meghatározni. A nem megfigyelhető állapotváltozók pontos számához meg kell határozni a On−1 mátrix tényleges rangját. Irányíthatóság A szabályozási feladatok célja, hogy a rendszer előírt állapotba kerüljön. Ez az állapottér modelleknél azt jelenti, hogy az állapotváltozó vektor komponensei vegyenek fel egy meghatározott értéket egy adott időpontban. Az irányíthatóság esetében tehát azt vizsgáljuk, hogy az x(t) ˙ = Ax(t) + bu(t) y(t) = cT x(t) modell állapotváltozóit, adott kezdő állapotból kiindulva, a bemenet megfelelő megválasztásával át lehet-e vinni egy előre megadott végállapotba. Az állapotirányíthatóság definíciója: Az x(t) ˙ = Ax(t) + bu(t) y(t) = cT x(t) modellel leírt rendszert egy adott (t0 , t1 ] időintervallumon teljesen állapotirányíthatónak nevezzük, ha tetszőleges x(t0 ) kezdő állapothoz és tetszőleges x(t1 ) végállapothoz létezik olyan u(t) bemenő jel, ami a rendszert a kezdő állapotból a végállapotba átviszi. Az állapotirányíthatóság teljesüléséhez az kell, hogy az Z t1 A(t1 −t0 ) x(t1 ) = e x(t0 ) + eA(t1 −τ ) bu(τ )dτ t0

összefüggés alapján az u(t) bemenet meghatározható legyen. Ennek vizsgálata helyett, ebben az esetben is Kálmán tételét alkalmazhatjuk az irányíthatóság ellenőrzésére. Irányíthatóság tétele: Az x(t) ˙ = Ax(t) + bu(t) y(t) = cT x(t)


51

modellel leírt rendszer akkor és csak akkor állapotirányítható, ha az állapottérmodell A és b együttható mátrixaiból képzett Cn−1 irányíthatósági mátrix: C = [b Ab A2 b . . . An−1 b] teljes rangú: r(Cn−1 ) = n, ahol n az állapotváltozók száma. Az irányíthatósági mátrix ebben az esetben is n × n-es mátrix lesz, ha SISO rendszert vizsgálunk, tehát rangját a determinánsának meghatározásával ellenőrizhetjük. Így, ha a megfigyelhetőségi mátrix determinánsa nem nulla, akkor a modell teljesen irányítható, azaz a rendszer átvihető tetszőleges végállapotba. Ha az irányíthatósági mátrix rangja nulla, akkor van legalább egy olyan állapotváltozó, amire a bemenő jelnek nem lesz hatása. Stabilitás Az állapottérmodellel leírt rendszerek esetében is nagyon fontos vizsgálati szempont a stabilitás. Kétféle megközelítésből vizsgálhatjuk az ilyen modellek esetében a stabilitást. Az első esetben csak a bemenetek és kimenetek viszonyára teszünk megkötést, és külső stabilitásúnak nevezzük a rendszert, ha korlátos bemenetre a kimenet véges korlátok között marad. Az állapottérmodellek esetében azonban fontosabb az ún. belső stabilitás, amikor az állapotváltozók végértékére teszünk megkötést: A belső stabilitás definíciója: Legyen adott az alábbi állapottér modell x(t) ˙ = Ax(t) x(t0 ) = x0 6= 0 t > t0 , azaz legyen a bemenet zérus, a kezdőfeltételek pedig nullától különbözőek. Akkor nevezzük ezt a modellt belső stabilitásúnak, ha az x(t) megoldás kielégíti az alábbi feltételt: lim x(t) = 0 .

t→∞

A definíciónak megfelelően egy állapottérmodellt akkor tekintünk (belső) stabilnak, ha a magára hagyott rendszer valamennyi állapotváltozójának értéke nullához tart, azaz beáll az egyensúlyi (munkaponti) értékére. A belső stabilitás teljesüléséhez az A állapotátviteli mátrixot kell megvizsgálni. Ehhez vezessük be a stabilitási mátrix fogalmát a következő definíciónak megfelelően. A stabilitási mátrix fogalma: Egy A ∈ Rn×n mátrixot stabilitási mátrixnak nevezünk, ha valamennyi sajátértéke negatív valós vagy negatív valós részű komplex szám: Re{λi (A)} < 0,

i = 1, 2, . . . , n .

A belső stabilitás tétele: Egy adott állapottérmodell akkor és csak akkor belső stabilitású, ha az A állapotátviteli mátrix stabilitási mátrix. Ha az A állapotátviteli mátrix nem stabilitási mátrix, akkor a modell nem lesz stabil, azaz instabil lesz. A tételnek megfelelően, egy állapottérmodell stabilitásának vizsgálatához az A állapotátviteli mátrix sajátértékeit kell meghatározni. A sajátértékeket a |λI − A| = 0 egyenlet megoldásával kaphatjuk meg, azonban belátható, hogy ez általános esetben, már egy három állapotváltozót tartalmazó rendszer esetében is harmadfokú egyenlet megoldását jelenti. A szakirodalomban megtalálható az ilyen esetben alkalmazható Ljapunov-tétel, aminek alkalmazására itt nem térünk ki.

52


3.2.

Kidolgozott feladatok

1. Írja fel az alábbi egyenletek alapján az állapottérmodellt! Határozza meg a modell tulajdonságait is! x˙ 1 (t) = 3x2 (t) − 4x1 (t) + 2u2 (t) x˙ 2 (t) = x1 (t) − x3 (t) + u1 (t) − 3u2 (t) x˙ 3 (t) = x3 (t) y(t) = x1 (t) + 2x2 (t) + 3x3 (t) Megoldás Az egyenletekben szereplő változók indexelése alapján látható, hogy a modellben három belső állapot, két bemenő és egy kimenő változó szerepel. Ennek megfelelően a vektorok és mátrixok dimenziói a következők lesznek: dim(x(t)) = 3 dim(u(t)) = 2 dim(y(t)) = 1 dim(A) = 3 × 3 dim(B) = 3 × 2 dim(cT ) = 1 × 3 dim(dT ) = 1 × 2 . Ennek megfelelően az állapottérmodell a következő lesz:       0 2 x1 (t) −4 3 0 x˙ 1 (t) u (t) 1  x˙ 2 (t)  =  1 0 −1   x2 (t)  +  1 −3  u2 (t) 0 0 x3 (t) 0 0 1 x˙ 3 (t)   x1 (t) u (t) 1 . y(t) = [1 2 3]  x2 (t)  + [0 0] u2 (t) x3 (t) 

A kapott modell folytonos idejű, lineáris és időinvariáns tulajdonságú. 2. Tekintsük a 3.2 ábrán látható egyszerű technológiai rendszert: ahol

3.2. ábra. A 2. példa technológiai rendszere


53

– A1 , A2 az 1., ill. 2. tartály alapterülete, konstans értékek; – h1 (t), h2 (t) az 1., ill. 2. tartályban a folyadékszint magassága, az idő függvényében változó értékek; – Kv1 , Kv2 az 1., ill. 2. szelep ellenállási tényezője, konstans értékek; – Fi (t), F1 (t), Fo (t) a belépő, a két tartály között átfolyó és a kifolyó folyadék térfogatárama, az idő függvényében változó értékek. Egyszerűsítésként tételezzük fel, hogy a tartályokban a folyadéknak sem az összetétele, sem a hőmérséklete nem változik meg, valamint a tartályokból kifolyó mennyiség a tartálybeli folyadékszinttel, illetve folyadékszint-különbséggel egyenesen arányos. Feladatok: (a) Írja fel a technológiai rendszer állapottér modelljét, ha a belépő és kilépő folyadékáram mennyiségét tudja mérni! (b) Írja fel úgy is a modellt, ha a két tartály közötti szakaszon is mérhető a folyadékáram mennyisége! (c) Hogyan kell a technológiát módosítani, hogy a segédmátrix értéke ne legyen nulla? Megoldás: A tartályok működése a következő, ún. mérlegegyenlet segítségével írható le: tartálybeli mennyiség megváltozása = belépő folyadékáram − kilépő folyadékáram. A tartálybeli folyadékmennyiséget, azaz a folyadék térfogatát felírhatjuk az alapterület és a folyadékszint segítségével: V (t) = Ah(t) , ahol az alapterület állandó, míg a szint változik a be- és kilépő áram mennyiségének megfelelően. Figyelembe véve a tartályok működésére, vagyis a bennük lévő folyadék térfogatának megváltozására megadott egyszerűsítéseket, a következő egyenletek írhatók fel: 1 1. tartály V˙ 1 (t) = A1 h˙ 1 (t) = Fi (t) − (h1 (t) − h2 (t)) , Kv1 1 1 (h1 (t) − h2 (t)) − h2 (t) . 2. tartály V˙ 2 (t) = A2 h˙ 2 (t) = Kv1 Kv2 Ha a tartálypark működését a tartályokban lévő folyadékmennyiség alapján jellemezzük, akkor az állapottér modell változóinak a következőket vehetjük fel: h1 (t) – két állapotváltozó lesz, melyek a tartálybeli szintek, ezek lesznek az x(t) = h2 (t) vektor elemei; – egy bemenő változó lesz, u(t) = Fi (t), tehát a bemenet skalár változó lesz; – az (a) kérdésnek megfelelően egy kimenő változó lesz, y(t) = Fo (t), így ez is skalár lesz.

54

3. KÁLMÁN-FÉLE RENDSZERMODELL Az állapottérmodell felírásához az egyenleteket átrendezve: 1 1 1 h1 (t) + h2 (t) + Fi (t) A1 Kv1 A1 Kv1 A1 1 1 1 h1 (t) − + h2 (t) A2 Kv1 A2 Kv1 A2 Kv2 1 h2 (t) . Kv2

h˙ 1 (t) = − h˙ 2 (t) = Fo (t) =

Az egyenleteket mátrix-vektor alakra hozva megkapjuk a rendszer leírását állapottérmodell alakban:        1 1 1 h˙ 1 (t) h (t) − A1 K 1 A1 Kv2 v1   =    +  A1  Fi (t) Kv1 +Kv2 1 ˙h2 (t) − A2 Kv1 Kv2 h2 (t) 0 A2 Kv1 1 h1 (t) . Fo (t) = 0 h2 (t) Kv2 A (b) esetben két kimenő változónk lesz: a két tartály között átfolyó mennyiség, F1 (t) és a második tartály után távozó folyadékáram, Fo (t). A két tartály között átfolyó folyadékáramot a következő egyenlettel adhatjuk meg: F1 (t) =

1 (h1 (t) − h2 (t)) . Kv1

Hozzáadva ezt az egyenletet az (a) pontban felírt modellhez, az állapotváltozást leíró rendszeregyenlet változatlan marad, csak a kimeneti egyenletet kell módosítani:  

h˙ 1 (t)



 − 1  =  A1 Kv1

1 A1 Kv2



h1 (t)





1 A1



 Fi (t)  + Kv1 +Kv2 1 ˙h2 (t) 0 − A2 Kv1 Kv2 h2 (t) A2 Kv1      1 F (t) − K1v1 h (t)  1  =  Kv1  1  . 1 Fo (t) 0 h2 (t) Kv2

A (c) pontban feltett kérdésre, mely szerint milyen technológiai változtatás kell ahhoz, hogy a d értéke ne legyen zérus, az a legegyszerűbb válasz, hogy a belépő folyadékáramot még az 1. tartály előtt meg kell osztani, és egy részét közvetlenül a kimenetre vezetni. 3. Legyen adott egy állapottérmodell rendszeregyenlete a következő adatokkal:     x˙ 1 (t) x1 (t)   = A  + bu(t) , x˙ 2 (t) x2 (t) ahol   −3 0  A= 0 −2



6



b=  . −4


55

Legyen a bemenet u(t) = 1(t) − 1(t − 2), a kezdeti feltétel pedig zérus, x(0) = 0. Határozzuk meg az x1 (t) állapotváltozó értékének alakulását! Megoldás menete: Helyettesítsünk be az állapottérmodell általános megoldásába a zérus kezdeti feltételt is figyelembe véve, majd írjuk fel állapotváltozónként az egyenleteket:    Z t −3(t−τ ) e 0 6     u(τ )dτ , x(t) = 0 0 e−2(t−τ ) −4

t

Z

e−3(t−τ ) (1(τ ) − 1(τ − 2))dτ

x1 (t) = 6 0

Z

t

x2 (t) = −4

e−2(t−τ ) (1(τ ) − 1(τ − 2))dτ .

0

Bontsuk fel az x1 (t) állapotváltozó esetében az időintervallumot a bemenő jel változásának megfelelően és végezzük el az integrálást: Z x1 (t) = 6

t

−3(t−τ )

e

Z 1(τ )dτ −

0

=

t

−3(t−τ )

e

1(τ − 2)dτ

=

0

 R t −3(t−τ )  dτ  6 0 e

, 0≤t≤2 =

R  R  6 t e−3(t−τ ) dτ − t e−3(t−τ ) dτ , 2
=

 −3t 1 3τ t  6e 3 [e ]0

, 0≤t≤2 =

  6 e−3t 31 [e3τ ]t0 − e−3t 31 [e3τ ]t2 , 2 < t

=

 −3t 3t  2e (e − 1)

, 0≤t≤2 =

  2 e−3t (e3t − 1) − e−3t (e3t − e3·2 ) , 2 < t

=

 −3t  2(1 − e )

, 0≤t≤2 =

  2 (1 − e−3t ) − (1 − e−3(t−2) ) , 2 < t

=

 −3t  2(1 − e )

, 0≤t≤2

  −3(t−2) 2(e − e−3t ) , 2 < t . Az x1 (t) állapotváltozó időbeli lefutása a 3.3 ábrán látható.

56


3.3. ábra. 3. mintapélda x1 (t) állapotváltozójának időbeli lefutása

4. Igazoljuk, hogy az        1 x1 (t) −2 −3 x˙ 1 (t)  +   u(t)   =   0 x2 (t) 1 0 x˙ 2 (t)   x1 (t)  y(t) = [0 1]  x2 (t) állapottérmodell és az y (2) (t) + 2y (1) (t) + 3y(t) = u(t) bemenet–kimenet modell ugyanazt a rendszert írja le! Megoldás menete: Ha a két modell ugyanazt a rendszert írja le, akkor ugyanazt az átviteli függvényt kell kapnunk, akár az állapottérmodell, akár a bemenet–kimenet modell alapján írom fel. Írjuk fel először az állapottérmodell alapján az átviteli függvényt! Az összefoglalóban leírtaknak megfelelően: G(s) = cT (sI − A)−1 b + d , ahol a példának megfelelően     −2 −3 1 , b =  , A= 1 0 0

cT = [0 1],

d=0.

Végezzük el először az (sI − A)−1 mátrix invertálását:     s+2 3 s −3     Adj  s −1 s 1 s + 2 Adj(sI − A) 2   = 2 = =  s +2s+3 (sI − A)−1 = 1 det(sI − A) s + 2s + 3 s+2 3 s2 +2s+3  det  −1 s



−3 s2 +2s+3  s+2

s2 +2s+3

.


57

Visszahelyettesítve ezt az átviteli függvényt meghatározó egyenletbe:      −3 s s 1 1 2 2 2 G(s) = cT (sI −A)−1 b = [0 1]  s +2s+3 s +2s+3    = [0 1]  s +2s+3  = 2 . s+2 1 1 s + 2s +3 0 s2 +2s+3 s2 +2s+3 s2 +2s+3 Vezessük le az átviteli függvényt a bemenet–kimenet modellből is. Zérus kezdeti feltételek mellett Laplace-transzformálva az egyenletet: L y (2) (t) + 2y (1) (t) + 3y(t) = L (u(t)) s2 Y (s) + 2sY (s) + 3Y (s) = U (s) . Innen az átviteli függvény G(s) =

Y (s) 1 = 2 . U (s) s + 2s + 3

Összehasonlítva a két levezetés eredményeként kapott átviteli függvényt, megállapítható, hogy a két modell ugyanazt a rendszert írja le. (Megjegyzés: az (sI − A)−1 mátrix invertálását a lineáris algebrából ismert A−1 = Adj(A) det(A) összefüggés segítségével határoztuk meg, ahol Adj(A) az A mátrix adjungáltját jelenti. 2 × 2-es mátrixok esetében az adjungálás megfelel a főátlóbeli elemek felcserélésének és a mellékátlóbeli elemek előjelváltásának, mint ahogy az a megoldás menetében is látszik. Nagyobb dimenziójú négyzetes mátrixoknál ez a művelet ugyanúgy bonyolultabb, mint ahogy a determinánsszámítás.) 5. Legyen adott egy állapottérmodell az együttható mátrixaival:     −3 −2 1  , b =   , cT = [4 5] , d = 0 . A= 1 0 0 Vizsgáljuk meg a modell (a) megfigyelhetőségét; (b) irányíthatóságát; (c) (belső) stabilitását. A megoldás menete: A kérdések megválaszolása előtt határozzuk meg az egyes változók számát! – Miután az A mátrix 2 × 2 mátrix, így az állapotvektornak is két komponense van, azaz n = 2. – A b a példa szerint egy 2 × 1 oszlopvektor, így egy bemenete van a rendszernek. – A cT pedig egy 1 × 2 sorvektor, azaz a rendszernek egy kimenete van. Ezeknek az adatoknak a tisztázása szükséges a feltett kérdések megválaszolásához.

58

3. KÁLMÁN-FÉLE RENDSZERMODELL (a) A megfigyelhetőség vizsgálatához írjuk fel a megfigyelhetőségi mátrixot:     4 5 cT =  . O= cT A −7 −8 Bár ilyen kisméretű mátrixnál könnyű a rangot ellenőrizni, de alkalmazzuk az összefoglalóban említett determináns módszert: det(O) = 4 · (−8) − 5 · (−7) = 3 , azaz az O mátrix determinánsa nem egyenlő nullával, így teljes rangú és ebből következően a modell megfigyelhető. (b) Az irányíthatóság vizsgálatát az irányíthatósági mátrix segítségével végezzük el:   h i 1 −3  . C = b Ab =  0 1 Határozzuk meg a C mátrix determinánsát det(C) = 1 · 1 − (−3) · 0 = 1 , tehát a C mátrix determinánsa nem egyenlő nullával, így az irányíthatósági mátrix teljes rangú, azaz a modell irányítható. (c) A stabilitást az A mátrix sajátértékeinek vizsgálatával végezhetjük el. A tételnek megfelelően akkor lesz a rendszer (belső) stabil, ha az A mátrix valamennyi sajátértékének a valós része negatív. A saját értékeket a következő egyenlet segítségével lehet meghatározni: |λI − A| = 0 . Végezzük el a kijelölt műveletet:       λ 0 −3 −2 λ + 3 2  −  =   = 0 . 0 λ 1 0 −1 λ Kifejtve a determinánst: (λ + 3)λ + 2 = λ2 + 3λ + 2 = 0 . Megoldva az egyenletet, λ1 = −1 és λ2 = −2 gyökök lesznek az A mátrix sajátértékei. Miután mindkét sajátérték negatív valós, így a stabilitási tételnek megfelelően a rendszer állapottérmodellje belső stabilitású.

3.3. 3.3.1.

Gyakorló feladatok Ellenőrző kérdések

1. Adja meg a lineáris, időinvariáns, folytonos idejű állapottérmodellt!


59

2. Adja meg az állapotátmeneti függvény Kálmán-féle rendszermodellben szereplő definícióját! 3. Írja fel a lineáris, időinvariáns, folytonos idejű bemenet–kimenet modellt! 4. Adja meg a folytonos idejű állapottérmodellek megfigyelhetőségének definícióját! 5. Egy rendszer állapottérmodellje és bemenet–kimenet modellje között milyen kapcsolat értelmezhető? 6. Adja meg a lineáris, időinvariáns, folytonos idejű állapottérmodell belső stabilitásának definícióját! 7. Adja meg a folytonos idejű állapottérmodellek megfigyelhetőségének Kálmán-féle tételét! 8. Adja meg a folytonos idejű állapottérmodellek irányíthatóságának definícióját! 9. Mit jelent az, hogy egy állapottérmodell determinisztikus? 10. Mit jelent az, hogy egy állapottérmodell lineáris? 11. Adja meg a folytonos idejű állapottérmodellek irányíthatóságának Kálmán-féle tételét! 12. Adja meg a lineáris, időinvariáns, folytonos idejű állapottérmodell belső stabilitásának tételét!

3.3.2.

Feladatok

1. Egy állapottérmodell A mátrixának dimenziója 3 × 3, a B-nek 3 × 1 a C-nek 2 × 3. (a) Hány állapotváltozója és hány bemenő és kimenő változója van a modellnek? (b) Adja meg a D mátrix dimenzióját! 2. Egy technológiai rendszer állapottérmodellel történő leírása során öt állapotváltozót, három bemenetet és két kimenetet vettünk figyelembe. Adja meg a modell együtthatómátrixainak a dimenzióit! 3. Írja fel az alábbi egyenletek alapján az állapottérmodellt! x(t) ˙ 1 = 2x2 (t) − 3x1 (t) + u(t) x(t) ˙ 2 = x1 (t) + 4u(t) y1 (t) = x1 (t) + 2x2 (t) + 3u(t) y2 (t) = x2 (t) − 4x1 (t) 4. Legyenek az x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) állapottérmodell együttható mátrixai a következők: 2 3 3 0 A= , B= , C = [1 2] . 1 4 0 1 (a) Adja meg az állapotváltozók, bemeneti változók és kimeneti változók számát! (b) Határozza meg a modell stabilitását!

60

3. KÁLMÁN-FÉLE RENDSZERMODELL 5. (a) Határozza meg az alábbi állapottérmodell irányíthatóságát és megfigyelhetőségét: 3 2 3 x(t) ˙ = x(t) + u(t) 10 3 2 y(t) = 3 1 x(t) . (b) Igaz-e, hogy a modellhez tartozó átviteli függvény nevezőjének és számlálójának nincs közös gyöke? (c) Vizsgálja meg a rendszer stabilitását a modell alapján! 6. (a) Határozza meg az állapottérmodell állapot-, bemenő és kimenő változóinak a számát, ha a mátrixok a következők:     1 0 2 2 0 A = 0 2 1 , B = 0 0 , C = [1 2 3] . 1 1 0 0 1 (b) Megfigyelhető-e a modell? 7. (a) Határozza meg az állapottérmodell állapot-, bemenő és kimenő változóinak a számát, ha a mátrixok a következők: 1 4 2 1 2 . A= , B= , C= 4 5 2 3 3 (b) Irányítható-e a modell? (c) Stabil-e a modell? 8. Legyen adott egy állapottér-modell rendszeregyenlete a következő adatokkal: x1 (t) x˙ 1 (t) + bu(t) , =A x2 (t) x˙ 2 (t) ahol

−2 0 A= 0 −3

2 . b= 6

Legyen a bemenet u(t) = 1(t) − 1(t − 1), a kezdeti feltétel pedig zérus, x(0) = 0. Határozzuk meg az x2 (t) állapotváltozó értékének alakulását! 9. Igazolja, hogy az −3 −2 1 x(t) ˙ = x(t) + u(t) 1 0 0 4 y(t) = x(t) 5 állapottérmodell és a 2y (2) (t) + 6y (1) (t) + 4y(t) = 8u(1) (t) + 10u(t) bemenet–kimenet modell ugyanazt a rendszert írja le!


3.3.3.

61

megoldások

1. (a) Az állapotváltozó száma 3, n = 3; a bemenő változók száma 1, p = 1; a kimenő változók száma 2, r = 2. (b) A D mátrix 2 × 1 oszlopvektor lesz. 2. Az A mátrix 5 × 5-ös négyzetes mátrix, a B 5 × 2 mátrix, a C 2 × 5 mátrixa és a D 2 × 3 mátrix lesz. Ha a bemenetek közül egyik sem hat közvetlenül valamelyik kimenetre, akkor D a megfelelő dimenziójú nullmátrix. 3. Az állapottér modell: x˙ 1 (t) −3 = x˙ 2 (t) 1 y1 (t) 1 = y2 (t) −4

x1 (t) 1 + u(t) x2 (t) 0 2 x1 (t) 1 x2 (t)

2 0

4. (a) dim(x)=2; dim(u)=2; dim(y)=1 (b) A sajátértékek: λ1 =1; λ2 =5, tehát nem teljesül az a feltétel, hogy ∀Re(λi ) < 0, így a modell nem stabil. 3 13 5. (a) Irányíthatósági mátrix: C = b Ab = ; determinánsa det(C) = 82. Miután 2 36 det(C) 6= 0, így a mátrix teljes rangú, irányítható. a modell T tehát c 3 1 ; determinánsa det(O) = 8. Miután = Megfigyelhetőségi mátrix: O = T 19 9 c A det(O) 6= 0, így a mátrix teljes rangú, tehát a modell megfigyelhető. (b) Miután a megfigyelhetőség és irányíthatóság együttesen teljesül a modell esetében, ebből következik, hogy ha az együttható mátrixok alapján levezetjük az átviteli függvényt, akkor a kapott racionális törtfüggvény számlálójának és nevezőjének nem lesz közös gyöke. (c) A sajátértékek: λ1 =0,5; λ2 =4,5. Miután ∀Re(λi ) ≮ 0, így a modell instabil. 6. (a) dim(x)=3; dim(u)=2; dim(y)=1   cT 1 2 T    (b) Megfigyelhetőségi mátrix: O = c A = 4 7 cT A2 8 18 Miután det(O) 6= 0, így a mátrix teljes rangú, tehát 

 3 4 ; determinánsa det(O = 21. 15 a modell megfigyelhető.

7. (a) dim(x)=2; dim(u)=1; dim(y)=2 2 14 (b) Irányíthatósági mátrix: C = b Ab = ; determinánsa det(C) = −16. Miután 3 13 det(C) 6= 0, így a mátrix teljes rangú, tehát a modell irányítható. (c) A sajátértékek: λ1 =5; λ2 =-1, azaz van pozitív sajátértéke, ezért a modell instabil.

Ideiglenes példatár az Intelligens rendszerek I. kurzus 1. zárthelyi dolgozatához

Recommend Documents