Ian Stewart: A természet számai. Kulturtrade 1995. p. 141
2. FEJEZET
Mire jó a matematika? Megalapoztuk hát a vitathatatlan tételt: a természet tele van mintákkal. De mihez kezdünk ezzel a felismeréssel? Megtehetjük, hogy leülünk és csodáljuk őket. Beszélgetni a természettel, ez mindannyiunknak jót tesz: emlékeztet arra, miből vagyunk. A festő, a szobrász és a költő a világ és önmagunk iránti érzéseket fejezik ki. A vállalkozót ösztöne a természet kiaknázására hajtja. A mérnököt a megváltoztatására. A tudóst a megértésére, működésének megismerésére. A matematikust a megértés folyamatának átstrukturálására, olyan általánosítások keresésére, amelyek átszabják a világ kézenfekvő felosztását. Mindegyik ösztönből van bennünk valami, s mindegyik ösztönnek van jó és rossz oldala. Meg szeretném mutatni önöknek, mit használt a matematikus ösztön az emberi értésnek, de előbb rá szeretnék mutatni az emberi kultúrában játszott szerepére. Mielőtt megveszünk valamit, általában meglehetősen világos elképzelésünk van arról, hogy mire használjuk. Ha hűtőgép, akkor persze élelem tartósítására, de valójában sokkal több dolgot végiggondolunk. Mennyi élelem tárolható benne? Hova illik a lakásban? Ez nem mindig hasznosság kérdése: gondolhatunk mondjuk festmény vásárlására is. Megkérdezzük magunktól, hová fogjuk akasztani, és vajon az esztétikai értéke arányos-e az árával. Ugyanez a helyzet a matematikával - és minden más intellektuális világszemlélettel, legyen az természettudományos, politikai vagy vallásos. Mielőtt megveszünk valamit, bölcs dolog eldönteni, mire akarjuk használni. Tehát, mire jó a matematika? A természet minden mintája rejtvény, és majdnem mindig nehéz. A matematika ragyogóan tud segíteni a rejtvényfejtésben. Többé-kevésbé szisztematikus módszer ez arra, hogy megtaláljuk a törvényeket és struktúrákat, amelyek egy megfigyelt minta vagy szabályosság mögött rejlenek, és ezek segítségével megmagyarázza a történéseket. Valóban, a matematika és a természet megértése egymás mellett, egymást erősítve fejlődtek. Említettem Kepler elemzését a hópelyhekről, de az ő leghíresebb felfedezése a bolygópályák alakja volt. Miután matematikailag elemezte Tycho Brahe, a kortárs dán csillagász megfigyeléseit, Kepler egyértelműen arra a következtetésre jutott, hogy a bolygók ellipszispályán mozognak. Az ellipszis tojás alakú görbe, amelyet az ókori görögök sokat tanulmányoztak, de a bolygópályák leírásához ők inkább köröket és körrendszereket használtak, így Kepler modellje a maga korában gyökeresen újnak számított. Az emberek mindig annak fényében értelmezik az új felfedezéseket, hogy mit tartanak fontosnak. Amikor Kepler új ideájáról tudomást szereztek, a csillagászok számára ez azt jelentette: a görög geometria sokáig elhanyagolt fogalmai segítségükre lehetnek a bolygómozgások előrejelzésében. Nem volt szükségük nagy fantáziára ahhoz, hogy felmérjék, milyen óriási előrelépés Kepler felismerése. Mindenfajta csillagászati jelenség, napfogyatkozás, holdfogyatkozás, meteorhullás, üstökösök, ugyanolyan fajta matematikára vezetnek. Az üzenet a matematikusok számára ezzel szemben egészen más volt. Mégpedig: az ellipszisek valóban érdekes görbék. Nekik sem volt nagy képzelőerőre szükségük, hogy felmérjék: a görbék általános elmélete még érdekesebb volna. Sikerült módosítaniuk az ellipszishez vezető geometriai szabályokat, hogy más görbéket is kapjanak. Hasonlóképpen, mikor Isaac Newton megtette diadalmas felfedezését, amely szerint valamely tárgy mozgása leírható a testre ható erők és a gyorsulása közötti matematikai összefüggéssel, a matematikusok és a fizikusok megint csak más-más tanulságot vontak le. Mielőtt azonban ezekre a tanulságokra rátérek, el kell magyaráznom, mi a gyorsulás. A gyorsulás ravasz fogalom: nem alapmennyiség, mint a hossz vagy a tömeg, hanem egy változás mértéke. Valójában egy változásmérték változásának mértéke. Valamely test sebessége - a gyorsaság, amivel adott irányban halad - változásmérték: annak mértéke, ahogyan a test adott ponttól vett távolsága változik. Ha egy autó óránként 90 km-es állandó sebességgel halad, akkor a kiindulópontjától mért távolsága minden órában 90 km-rel változik. A gyorsulás a sebesség változásának mértéke. Ha a kocsi sebessége óránként 90 km-ről óránként 100 km-re nő, a kocsi meghatározott mértékben gyorsul. Ez a mérték nemcsak a kezdeti és végsebességtől függ, hanem attól is, milyen gyorsan következett be a változás. Ha a kocsinak egy órára volt szüksége, hogy sebességét óránként 10 km-rel növelje, a gyorsulás nagyon kicsi; ha ugyanez csak tíz másodpercet igényel, a gyorsulás sokkal nagyobb.
Nem kívánom taglalni a gyorsulás mérését. Amit én itt meg szeretnék értetni, az általánosabb: a gyorsulás egy változásmérték változásának mértéke. Távolságokat akár zsinórmértékkel is kiszámíthatunk, de sokkal nehezebb kiszámítani valamely távolság változási mértékének változási mértékét. Ezért volt szüksége az emberiségnek oly hosszú időre, no meg Newton zsenialitására, hogy a mozgás alaptörvényét felfedezze. Ha a minta a távolságok egyszerű jellemzője lett volna, történelmünkben a mozgást sokkal korábban leírták volna. Hogy a változás mértékével kapcsolatos kérdéselvet megoldják, Newton és tőle függetlenül Gottfried Leibniz német matematikus felfedezték a matematika új ágát, a kalkulust (vagyis a differenciálszámítást). Ez megváltoztatta a Föld arculatát - szó szerint és átvitt értelemben egyaránt. De az ötletek, amiket ez a felfedezés csiholt, megint csak nagyon eltérőek voltak a különböző foglalkozásúak esetében. A fizikusok új természeti törvények keresésére indultak, amelyek a természeti jelenségeket a változás mértékének nyelvén magyarázzák meg. Találtak is jócskán - a hő, hang, fény, folyadékdinamika, rugalmasság, elektromosság, mágnesesség területén. Még az elemi részecskék legmisztikusabb modern elméletei is a matematikának ezt a fajtáját aknázzák ki, habár az értelmezés - és bizonyos értelemben a mögöttes világszemlélet - más. Akárhogy is, a matematikusok tökéletesen más kérdéskomplexummal foglalkoztak. Mindenekelőtt hosszasan viaskodtak azzal, mit is jelent valójában a „változás mértéke". Hogy egy mozgó tárgy sebességét kiszámítsuk, meg kell mérnünk, hol van, meg kell állapítanunk, hogy nagyon rövid idő elteltével hova kerül, és el kell osztanunk a távolságot az eltelt idővel. Ha viszont a test gyorsul, az eredmény függ a választott időintervallumtól. A matematikusoknak és a fizikusoknak ugyanaz a sejtésük volt arról, hogyan kell megoldani ezt a problémát: a választott intervallumnak a lehető legkisebbnek kell lennie. Minden tökéletesen rendben volna, ha használhatnánk zérus hosszúságú intervallumot, de sajnos ez nem megy, mivel mind a befutott távolság, mind az eltelt idő zérus, és a változás mértékét megadó hányados 0/0, ami értelmetlen. A nem zéró intervallumokkal az a baj, hogy bármelyiket választjuk, mindig választhatnánk nála kisebbet, hogy pontosabb eredményt kapjunk. Amire valójában kíváncsiak vagyunk, az a legkisebb nemzéró időintervallum - de ilyen nincs, mert bármely nemzéró számra a fele is nemzéró. Minden könnyen kiszámítható volna, ha létezne végtelenül kicsiny intervallum - „infinitezimális". Sajnos nehéz logikai paradoxonok következnének az infinitezimális fogalmából; speciálisan, a szó szokásos értelmében vett számok körében pedig ilyen nincs is. Így idestova két évszázada az emberiség különös helyzetben van a kalkulus tekintetében. A fizikusok nagy sikerrel használták, hogy megértsék a természetet és megjósolják, hogyan fog viselkedni; a matematikusok még azt sem tisztázták, mit jelent ez a kalkulus, és hogyan építsék fel helyes matematikai elméletként; a filozófusok pedig kifejtették, hogy az egész zagyvaság. Gyakorlatilag minden megoldódott, ha a hozzáállásban erős különbségek is érezhetők. A kalkulus története két dolgot mindjárt megmutat, amire a matematika használható: eszközöket nyújt, amelyekkel a természettudósok kiszámítják, mi történik a természetben, és új kérdéseket szolgáltat a matematikusoknak, hogy kedvükre válogassanak belőle. Az imént vázoltak a matematika külső és belső szempontjai; gyakran úgy hivatkoznak rájuk, mint alkalmazott és elméleti matematikára (nem szeretem ezeket a jelzőket, a belőlük következő szétválasztást még kevésbé). Ebben az esetben megtörténhet, hogy a fizikusok kimondják: ha a kalkulus módszerei beválnak, kit érdekel, hogy miért? Hasonló felfogást vallanak, akik ma büszkén pragmatistának mondják magukat. Elismerem, sok tekintetben igazuk van. A hídtervező mérnökök joggal alkalmaznak bizonyos szabványos matematikai módszereket, ha nem is ismerik ezeknek a módszereknek a részletes és sokszor misztikusan hangzó igazolását. A magam részéről mégis kényelmetlenül érezném magam, ha végig kellene hajtanom egy ilyen hídon, amennyiben tudomásomra jutna, hogy senki nem tudja, mi igazolja a fenti módszereket. Tehát egy bizonyos kulturális szint fölött megéri, hogy tartsanak néhány embert, aki tépelődik a gyakorlati módszerek fölött és megpróbál rájönni, mitől válnak be. És ez többek között a matematikusok dolga. Élvezik, az emberiség többi része pedig élvezi munkájuk sokféle gyümölcsét, amint azt látni fogjuk. Röviden, nem sok múlik azon, vajon a matematikusok elégedettek-e a kalkulus logikai helyességével vagy sem. Hosszú távon azonban azok az új ötletek, amelyekhez a matematikusok jutottak, miközben ezeken a belső nehézségeken törték a fejüket, a külvilág számára roppant hasznosnak bizonyultak. Newton idejében lehetetlen volt megjósolni, miben áll majd ez a haszon, de úgy gondolom, azt már akkor tudni lehetett, hogy lesz ilyen. A matematika és a „való világ" közti kapcsolatban a legfurcsább, de egyben a legszilárdabb tény: a jó matematika, bármi legyen is a forrása, végül hasznosnak is bizonyul. Sokfajta elmélet született, hogy ezt megmagyarázza, az emberi elme felépítésének boncolgatásától ama feltevésig, miszerint az univerzum kis matematikai morzsákból épül fel. Nekem az az érzésem, hogy a válasz valószínűleg egészen egyszerű: a matematika a minták∗ tudománya, a természet pedig kihasználja minden egyes mintájának létezését. Bevallom, sokkal nehezebben * Az alakulóban lévő magyar terminológia miatt a „minta" és „mintázat" egyaránt használható. (A szaklektor megj.) ** Ezt a magyarázatot és egyebeket a Jack Cohennel közösen írt, The Collapse of Chaos (A káosz összeomlása) című könyvben tárgyaljuk (Viking, New York, 1994).
tudom megokolni miért viselkedik így a természet. Talán ezt a kérdést meg kellene fordítanunk: az ilyen kérdéseket feltevő lények csak ilyen univerzumban tudnak élni.** Bármi legyen is az oka, a matematika feltétlenül hasznos módszer a természetről való gondolkodásra. Mit várunk tőle: mit mondjon el nekünk a megfigyelt mintákról? Sokféle felelet van. Meg akarjuk érteni mikéntjüket és miértjüket, ami nem ugyanaz; a legkielégítőbb módon rendszerbe foglalni az alapvető mintákat és szabályosságokat; megjósolni a természet viselkedését; saját céljainknak megfelelően irányítani a természetet; valamint gyakorlati hasznot húzni abból, amit világunkról megtudtunk. A matematika mindehhez hozzásegít, sőt gyakran nélkülözhetetlen is ebben. Vegyük példának okáért a csigaház spirális alakját. Hogy a csiga hogyan készíti a házát, kémiai és genetikai kérdés. Anélkül, hogy a finom részletekbe belemennénk, a csiga génjei tartalmazzák a recepteket speciális vegyszerek előállítására, továbbá utasításokat, hogy azok hova kerüljenek. Itt a matematika molekuláris könyvelést készít, amely megadja a végbemenő kémiai reakciók értelmét; leírja a csigaház anyagának szilárdságát, illetve merevségét a csiga testének puhaságához, illetve hajlékonyságához viszonyítva, és így tovább. Valójában, matematika nélkül soha nem győződtünk volna meg arról, hogy az anyag atomokból áll, és nem számíthattuk volna ki az atomok elrendeződését. A gének és később a DNS, az örökítőanyag molekuláris szerkezetének felfedezése nagymértékben matematikai kulcsok felismerésén múlott. Gregor Mendel szerzetes csinos számszerű összefüggéseket vett észre abban, ahogyan a különböző jellemzőkkel, így például a más színű maggal bíró növények aránya változik keresztezéskor. Ez vezetett a genetika alapeszméjéhez - hogy minden organizmusban tényezők rejtélyes kombinációja fejti ki hatását, amely meghatározza fizikai felépítésének számos jellemzőjét, és hogy ezek a tényezők valahogyan összekeverednek és kicserélődnek, amikor a szülőkből az utódba jutnak. A matematikának több különböző ága is szerepet játszott annak felfedezésében, hogy a DNS szerkezete a híres kettős spirál. Meglátásaik olyan egyszerűek voltak, mint Chargaff szabályai - az ausztriai születésű Erwin Chargaff biokémikus észrevette, hogy a DNS-molekula négy bázisának előfordulási aránya összefügg - és olyan magas szintűek, mint a diffrakciós törvények, amiket arra használtak, hogy a DNS-kristályok röntgenképéből megállapítsák molekuláris felépítésüket. A kérdés, hogy miért spirális a csigaház, egészen más jellegű. Többféle szempontból is felvethetjük - rövid távon, mondjuk a biológiai fejlődés szempontjából, vagy hosszú távon, az evolúció szemszögéből. A fejlődéstörténet számára a fő matematikai jellemző a spirál általános alakja. Alapjában véve a fejlődéstörténet egy olyan élőlény geometriájáról szól, amelyik lényegében folyamatosan egyformán viselkedik, miközben egyre nagyobb lesz. Képzeljünk el egy apró állatkát, apró hozzáilleszkedő ős-házzal. Majd az állat növekedni kezd. A legkönnyebben annak az iránynak a mentén tud növekedni, amerre házának nyitott pereme mutat, minden más irányban akadályozza őt a ház. Ha azonban kicsit már növekedett, a házát is meg kell növelnie, védelem céljából. Így persze a ház újabb anyaggyűrűt növeszt a pereme körül. Ahogy ez a folyamat továbbhalad, az állat egyre nagyobb lesz, és a perem mérete is nő. A legegyszerűbb megoldás a problémára kúp alakú ház volna, amit a tengeri csigánál találunk. Ha viszont az egész rendszer kis csavarodással kezdődik, ami fölöttébb valószínű, akkor a ház növekvő széle lassan el is fordul növekedés közben, és a középponttól távolodva mindinkább elfordul. Az eredmény olyan kúp, amely folyton növekvő spirál alakban csavarodik. Használhatunk matematikát a fenti geometriai jelenség valamennyi változójának - mint a növekedési ráta, valamint a középponttól való távolság növekedése - leírására. Ha ehelyett evolúciós magyarázatot keresünk, inkább a ház szilárdságára kell figyelnünk, amely az evolúcióban előnyt jelent, s azt kell kiszámítanunk, vajon egy hosszú vékony kúp erősebb vagy gyengébb-e, mint egy szorosan feltekert spirál. Ha nagyratörőbbek vagyunk, matematikai modelleket alkothatunk magáról az evolúciós folyamatról, a véletlen genetikai változással - azaz a mutációkkal - és a természetes kiválasztódással kombinálva. Figyelemre méltó példa ebből a fajtából a szem evolúciójának számítógépes szimulációja, amelyet Daniel Nilsson és Susanne Pelger végeztek el, és 1994-ben publikáltak. Emlékeztetünk arra, hogy a hagyományos evolúciós elmélet az állatok alakjában bekövetkezett változásokat véletlen mutációk eredményének tekinti. Ezt követi azoknak az egyedeknek a kiválasztódása, amelyek a leginkább alkalmasak a túlélésre és fajtájuk szaporítására. Amikor Charles Darwin ezt az elméletet közzétette, az első fölmerülő ellenvetések azzal érveltek, hogy az összetett struktúrák (amilyen a szem) teljesen ki kell fejlődjenek, különben képtelenek valóban működni (a szem egyik fele semmire se jó), ám annak esélye, hogy a véletlen mutáció komplex változások megfelelő sorozatát hozza létre, elhanyagolható. Az evolúcionisták azzal vágtak vissza, hogy míg a szem egyik fele nem sokra jó, egy félig kifejlődött szem annál inkább. Egy szem retinával, de mondjuk lencse nélkül, össze fogj a gyűjteni a fényt, és így követni fogj a a külső mozgást; s minden javulás a ragadozók észrevételében evolúciós előnyt jelent az egyednek. Mindez szóbeli ellenvetés az elmélettel szemben, és szóbeli felelet rá. De a friss számítógépes elemzés sokkal tovább megy.
Sejtekből alkotott sík felület matematikai modelljéből indul ki, és különféle „mutációkat" enged meg. Egyes sejtek érzékenyebbé válhatnak a fényre, vagy a sejtfelület hajlított alakot vehet fel. A matematikai modellt számítógépes programként állították fel, amely elvégzi a fenti véletlen változtatásokat, és kiszámítja, mennyire alkalmas a kapott struktúra a fény követésére, illetve a „látott" minták felismerésére. Mindig azt a változást választja ki, amely növeli ezeket a képességeket. Egy szimuláció során, amely körülbelül négyszázezeréves periódusnak felel meg - evolúciós mértékkel mérve egyetlen szemvillanás -, a sejtfelület gömbbé hajlik, rajta apró, szivárványhártyaszerű nyílással, és ami a legdrámaibb, lencsével. Ráadásul, akár a mi szemünk lencséinél, ennek a lencsének a törésmutatója - annak mértéke, amennyire megtöri a fényt - pontról pontra változik. Mi több, a törésmutató változásának mintája, amit a számítógépes szimulációval nyertek, hasonlít a miénkhez. A matematika tehát megmutat] a, hogy a szem feltétlenül képes fokozatosan és természetes módon fejlődni, növekvő túlélési esélyt biztosítva minden fázisban. S ami ennél több: Nilsson és Pelger munkája demonstrálj a, hogy ha adottak bizonyos kulcsfontosságú biológiai képességek, ez (úgymint a sejtek fényérzékenysége és mozgékonysága) a szemhez határozottan hasonló struktúrák kialakulását vonja maga után - Darwin természetes kiválasztódási elméletével teljes összhangban. A matematikai modell sok további részletet is kiad, amit a darwini érvelés csak sejtés formájában tartalmazott, és a modell révén sokkal nagyobb biztonsággal állíthatjuk, hogy az elmélet korrekt.
1. ábra: A szem evolúciójának számítógépes modellje. A számítás minden lépése kb. kétszáz év biológiai evolúciónak felel meg.
Azt mondtam, a matematika további feladata, hogy az alapvető mintákat és szabályosságokat a legkielégítőbb módon rendszerbe szervezze. Ennek megvilágítására térjünk vissza az első fejezetben fölvetett kérdésre. Melyik minta jelentős (ha egyáltalán valamelyik az): az Orion-öv csillagainak három-egy-sorban mintája vagy a három-egy-sorban minta a Jupiter holdjainak keringési periódusában? Először foglalkozzunk az Orionnal. Az antik civilizációk az égen látható csillagokat állatok és mitikus hősök képeibe szervezték. Ezekben a képekben az Orion három csillagának egy vonalba esése fontos, különben a hősnek nem volna öve, amiből kardját előhúzza. Ha azonban háromdimenziós geometriát használunk szervező elvként, és a három csillagot valódi pozíciójukba helyezzük, azt találjuk, hogy a Földtől igencsak eltérő távolságban vannak. Hogy a Földről úgy látszanak, mint egymástól azonos távolságra levő pontok, csak véletlen, a nézőpont következménye. Maga a „konstelláció" (együttállás) szó is félrevezető tetszőleges nézőpont esetén. Az Io, Európa és Ganümédesz keringési periódusainak numerikus összefüggése ugyanígy lehetne a nézőpont esetleges megválasztásának következménye. Honnan gondoljuk, hogy a „keringési periódus" a természetben bármiféle jelentőséggel bír? Ám ez a numerikus összefüggés egy bizonyos dinamikus keretbe nagyon is beleillik. Példa ez az ún. rezonanciára, amely periodikusan mozgó testek közt fennálló viszonyrendszer, ebben ciklusaik szorosan összefüggnek, úgyhogy szabályos intervallumokban a testeknek ugyanazt az egymáshoz viszonyított pozíciót kell felvenniük. Ezt a közös ciklusidőt a rendszer periódusidejének nevezzük. Az egyes testeknek lehet különböző, de egymással összefüggő periódusa. Ki tudjuk számítani a köztük fennálló összefüggést. Ahol a rezonancia jelensége fellép, a szóban forgó összes testnek megszabott viszonyítási pozícióba kell kerülnie, miután a ciklusok egész számú többszöröse letelt - de ezek az egész számok különbözők is lehetnek. Így van a rendszernek valamilyen közös periódusa, s minden egyes test periódusa ennek egész számú osztója. Ebben az esetben a Ganümédesz periódusa 7,16 nap. Az Európa periódusa nagyon közel van a Ganümédeszének a feléhez, az Io-é pedig az egynegyedéhez. Az Io négyszer kerüli meg a Jupitert, amíg az Európa kétszer, és a Ganümédesz egyszer, miután mindannyian az eredeti pozícióba kerülnek vissza. Ezt 4:2:1 rezonanciának nevezzük. A Naprendszer dinamikája tele van rezonanciákkal. A Hold forgási periódusa (bizonyos csekély eltérésektől eltekintve, amit más testek perturbációja okoz) ugyanannyi, mint a Föld körüli keringés periódusa - ez tehát 1:1 rezonancia a forgási és a keringési periódus között. Ezért mindig ugyanazt az oldalát látjuk a Holdnak, a „túlsó oldalát" soha. A Merkúr 58,65 nap alatt fordul meg a tengelye körül, és a Napot 87,97 nap alatt kerüli meg. Mármost, 2 x 87,97=175,94 és 3 x 58,65 =175,95, tehát a Merkúr forgási és keringési periódusai 2:3 arányú rezonanciában vannak. (Valójában hosszú ideig úgy hitték, hogy ez a rezonancia 1:1, és mindkét szám körülbelül 88, mivel nehéz egy bolygót megfigyelni, ha ennyire közel kering a Naphoz. Ez okozta a hiedelmet, mely szerint a Merkúr egyik oldala hihetetlenül forró, és a másik hihetetlenül hideg, ami nem igaz. Rezonancia viszont mégiscsak van - ráadásul érdekesebb, mint a puszta egyenlőség.) A Mars és a Jupiter között helyezkedik el a kisbolygók öve. Ez egy apró testek ezreit tartalmazó széles zóna, amelyben e testek nem egyenletesen oszlanak el. A Naptól bizonyos távolságokra „kisbolygó-övecskéket" találunk; más távolságokban alig. A magyarázat mindkét esetben a Jupiterrel való rezonancia. A Hilda kisbolygócsoport, az egyik övecske, 2:3 rezonanciában van a Jupiterrel. Azaz éppen olyan távolságban, hogy minden Hilda-beli kisbolygó háromszor kerüli meg a Napot, amíg a Jupiter kétszer. A legészrevehetőbb hézagok a 2:1, 3:1, 4:1 és 7:2 rezonanciáknál találhatók. Az olvasó fennakadhat rajta, hogy a rezonanciákkal magyarázzuk mind a besűrűsödés, mind a ritkulás jelenségét. Az ok: minden egyes rezonanciának sajátos dinamikája van; egyesek sűrűsödést okoznak, mások az ellenkezőjét. Minden a rezonancia pontos értékén múlik. A matematika további szerepe az előrejelzés. Az égitestek mozgásának megértése tette lehetővé a hold- és napfogyatkozások, valamint az üstösök visszatérésének előrejelzését. A csillagászok tudták, merre irányítsák távcsövüket, hogy megtaláljanak olyan kisbolygókat, amelyek a Nap mögé kerültek; s amelyek megfigyelése különben lehetetlen volt. Mivel az árapály jelenségét lényegében a Napnak és a Holdnak a Földhöz viszonyított pozíciója vezérli, az apályt és dagályt sok évre előre tudták jelezni. (A fő bonyolító tényező ilyen jóslatoltnál nem csillagászati jellegű; az egyik a kontinensek alakja, a másik az óceánok medrének terepviszonyai, ami késleltetni vagy siettetni tudja a dagályt. Ugyanakkor ezek egy évszázad alatt nemigen változnak, így módosító hatásuk rutinszerűen beszámítható.) Ezzel szemben az időjárást sokkal nehezebb előre jelezni. Ugyanannyit tudunk az időjárás matematikájáról, mint az árapályéról, de az időjárás alapvetően jósolhatatlan. Ennek ellenére a meteorológusok hatékony rövid távú előrejelzéseket tudnak adni az időjárási mintákra - körülbelül három-négy napra előre. Az időjárás jósolhatatlanságának ugyanakkor semmi köze a véletlenhez - ezt a témát a 8. fejezetben taglaljuk, amikor a káosz fogalmát tárgyaljuk. A matematika szerepe messze túlmegy a puszta előrejelzésen. Ha megértettük, hogy egy adott rendszer hogyan működik, nem kényszerülünk passzív megfigyelésre. Megkísérelhetjük vezérelni a rendszert, hogy az
történjen benne, amit mi akarunk. Túl nagy ambíciókat nem érdemes táplálnunk: az időjárás-vezérlés például gyerekcipőben jár - nemigen tudunk esőt csinálni, még akkor sem, ha körös-körül esőfelhők vannak. A rendszerek vezérlésére példák széles skáláját hozhatjuk fel, a bojler vízhőmérsékletét szabályozó termosztáttól egészen az erdőirtásig. Bonyolult matematikai vezérlő rendszer nélkül az űrhajó úgy repülne, mint a tégla hiszen annak is tekinthető mivel egy pilóta sem képes elég gyorsan korrigálni szükségszerű instabilitási tényezőket. A szívbetegek elektronikus pacemakere a vezérlés egy másik példája. E példák mutatják meg a matematika legföldhözragadtabb aspektusát: a gyakorlatban alkalmazhatósággal bizonyítja a matematika, hogy érdemes művelni. Világunk matematikai alapon nyugszik, és a matematika elválaszthatatlanul beleágyazódott egész kultúránkba. Azért nem vesszük mindig észre, mennyire erősen érinti életünket, mert - érthetően - lehetőleg minél jobban a színfalak mögött tartják. Amikor elmegyünk az utazási irodába és befizetünk egy útra, nem kell értenünk a bonyolult matematikai és fizikai elméleteket, amelyek lehetővé teszik számítógépek és telefonvonalak tervezését. vagy az optimalizáló eljárásokat, amelyek segítségével a lehet legtöbb repülőjáratot ütemezik be egy repülőtérre, vagy a jelfeldolgozási módszereket, amelyek pontos radarképeket adnak a pilótáknak. Amikor egy tv-műsort nézünk, nem kell értenünk a képernyőn speciális effektusok létrehozására használt háromdimenziós geometriát, a mesterséges holdakkal televíziós jelek továbbításához alkalmazott kódolási módszereket, a mesterséges hold Föld körüli mozgását leíró egyenletek matematikáját és a matematika ezernyi különböző alkalmazását: melyeket a mesterséges hold pályára állításához használt űrhajó gyártásának minden egyes lépésekor találnánk. Amikor a farmer új burgonyafajtát ültet, nem kell ismernie a genetika statisztikus elméleteit, amelyek segítségével azonosították az adott fajtát a betegségekkel szemben ellenállóvá tevő géneket Mindazonáltal egyszer a múltban valakinek meg kellett értenie mindezt, különben az utasszállító repülőgépeket, a televíziót, az űrhajót, az ellenálló burgonyafajtát mind nem találtáll volna fel. És valakinek most is kell értenie hozzájuk, különben, nem üzemelnének tovább. Azután valakinek új matematikát kell felfedeznie a jövőben, meg kell tudnia oldani eddig fel sem merült, vagy megoldhatatlannak tartott problémákat, különben társadalmunk lemarad, amikor a változás megoldás követel új problémákra, vagy új megoldást a régiekre. Ha matematika és minden, ami rajta nyugszik, valahogyan hirtelen kivonódna világunkból, az emberi társadalom egy pillanat alatt összeomlana. És ha a matematika befagyna, s egyetlen lépést sem haladna előre, civilizációnk elkezdene visszafejlődni. Nem kívánhatjuk az új matematikától, hogy azonnal pénzben mérhető hasznot hozzon. Beváltani egy matematikai ötletet valamire, ami egy gyárban vagy egy lakásban hasznot hoz, ehhez időre van szükség. Sok időre: nemritkán egy évszázadra is. Az 5. fejezetben látni fogjuk, hogy a hegedűhúr rezgésének vizsgálata a 17. században hogyan vezetett el háromszáz évvel később a rádióhullámok felfedezéséhez, majd pedig a rádió, a radar és a televízió feltalálásához. Gyorsabban is elvezethetett volna, de nem sokkal gyorsabban. Ha azt gondoljuk - ahogyan egyre inkább menedzser stílusú kultúránkban sokan gondolják -, hogy a tudományos kutatás folyamata felgyorsítható, ha az alkalmazásra koncentrálunk és mit sem törődünk a „kuriózumok felé forduló" kutatással, súlyosan tévedünk. Valójában magát a „kuriózumok felé forduló kutatás" kifejezést nemrég találták ki fantáziaszegény bürokraták, az elméleti szakemberek szándékos elhallgattatása céljából. Vágyuk csinos kis projektek után, amelyek garantált és gyors profitot kínálnak, túlságosan is naiv, mert a célorientált kutatás csak megjósolható eredményeket hoz. Látnunk kell a célt ahhoz, hogy megcélozhassuk. De amit látunk, azt a versenytársaink is látják. A biztos kutatás szorgalmazása mindannyiunkat egyszerre szegényít el. A valóban fontos áttörések mindig megjósolhatatlanok. Éppen a megjósolhatatlanságuk teszi őket fontossá: olyan módon változtatják meg világunkat, ahogyan nem számítottunk rá. A célorientált kutatás ráadásul gyakran egyszer csak „falnak ütközik", és nemcsak a matematikában. Például, hozzávetőleg nyolcvan évbe és intenzív mérnöki erőfeszítésbe került a fénymásoló gép kifejlesztése, miután a xeroxozás alapelvét a tudósok már felfedezték. Az első fax nagyjából egy évszázaddal ezelőtt elkészült, de nem működött elég gyorsan és megbízhatóan. A holográfia elvét (nézzük csak meg a háromdimenziós képet a hitelkártyákon) több mint egy évszázada felfedezték, de senki sem tudta, hogyan kell a hozzá szükséges koherens fénynyalábot előállítani - olyan fényt, amelyben a hullámok együtt haladnak. Az effajta késlekedés nem ritka az iparban, az intellektuálisabb kutatási területeket nem is említve, és a zsákutcából általában csak akkor jutnak ki, mikor váratlanul új ötletek jelennek meg. Nincs semmi rossz a célorientált kutatásban, ha konkrét, elérhető célokért folyik. De az álmodozóknak és különcöknek is kell adni valamennyi szabadságot. Világunk nem statikus: folyton új problémák merülnek fel, és a régi válaszok sokszor elavulnak. Ahogy Lewis Carroll Vörös Királynőjének, nekünk is nagyon gyorsan kell futnunk, hogy nyugodtan állhassunk.
