"'~~~=~~'I!'~A~~~A~G~N L

.

"'~~~=~~'I!'~A~~~A~G~NL i'·:Jl. C.i,umbuleuit 94~.- Band~ng . .

..

... TANAH

..

SEBZ~GAI

BAHAN Yl\.,.NG

ELJ~STIS

disadur dari : B.C. Punmia

Soil Mechanics and Foundations

sebagai bahan persiapan untuk

.

.

.

..

penyelidikan dibidang tanah

. oleh

Ir. Pramono Rahardjo

Bandung, Sept, 1980

"'

TANAH

SEBAGAI

BAHAN

YANG

ELASTIS

l. Keadaan tegangan pada sebuah titik Sistim gaya yang bekerja pada suatu bahan yang elastis dalam keadaan setimbang ada dua macam : body forces dan surface forces. Gaya

yang disebarkan keseluruh permukaan -

bahan, seperti tekanan dari suatu butir kepada yang lainnya, tekanan hidrostatis dll. disebut surface forces. Gaya gaya tsb. bekorja dari arah luar pada batas suatu bahan dan dari tinjauan dimensi, gaya permukaan ( surface force sikan sebagai gaya per satuan luas.

Gaya yang

) didefini

dise~arkan

ke

seluruhvolume bahan seperti gaya gravitasi, gaya magnit, gaya seepage atau dalam hal bahan didalam gerak, gaya inersia disebut body forces. Dari tinjauan dimensi, body force adalahgaya per satuan volume. Tegangan total pada suatu elemen. berdimensi tiga di .., i

tentukan oleh tegangan tegangan sbb. :

~1l

"t"",.,

r,.,"

<1",.

t'z"

r%Y

r~ z

~~ Cf.::.

Ke sembilan komponen tegangan ini, yang di tul'1skan da lam bentuk matrix tegangan, adalah komponen komponen

dari -

kesautan matematis yang disebut tensor stress yang berupa rna

"'

trix simetris. Dia0onal utama dari stress tensor, adalah komponen tegangan normal sedang unsur lainnya adalah tegangan geser. fvlasing masing komponen tegangan menunjukkan besarnya, arahnya dan juga posisinya pada bidang dimana tegangan itu l

"'

.

bekerja. Misalnya ~K adalah tegangan normal yang bekerja pa da muka elemen yang tegak lurus sumbu

dan tegangan itu be

XI

irx 1

kerja dalam arah X. Begitu juga tegangan geser

menunjuk-

kantegangan yang bekerja pada muka elemen yang tegak lurus sumbu X

.

1

dan tegangan itu bekerjadalam aray Y. Jadi pada su-

crX

atu titikterdapat 3 tegangan normal : dan 6 tegangan geser :

't~y

1

r y~ -c,_% 1

r:z,

1

1

1

tr,

(f%.

,dan

-r"_%. t".L% 1

seper-

t

ti ditunjukkan oleh gambar l.l.a •

. ;z:.

j y

U.z

!?>

A

I

~

~~~

vlz

"t

.

Y;:.

a)tegangan bekerja pada pusat elemen

}\\

-cz;-To-.ldy

1>1

b) pandangan bid. y-z \:;z;><

B

~,~\. ')(

131

Tx

T~z

Cfx

\:>'7~

!n

1 l--7

d.:.

i I ''"

d:x

-r

)I

t".z:"

1

I

"[IX' (f,l(

":_1

,.. y

.! t~, L:>?l .

D1 ~

02

c) pandangan bid. x-z d) pandangan bid.x-y Gambar

1.1

Bidang tegangan 3 dimensi

2

Dengan meninjau kesetimbangan elemen dan mengambil mo

.

men terhadap sumbu Z diperoleh persamaan :

= 0 (

2.. M z

= 0 ) , dari gambar l.l.d

"ryx-d"-dz) dy • ('"C"Y' c:{,-.Jz. )d,c

Txy :; t,.-x Dengan cara yang sama terhadap sumbu X dan Y pada gambar l.l.b. dan l.l.c. diperoleh :

T Y% • "tz; y

r%",

.

r~%

Sehingga dari 6 tegangan geser dapat diredusir menjadi 3 buah saja sehingga total ada 6 besaran tegangan ( 3 tegangan normal dan 3 tegangan geser ) 2. Persamaan kesetimbanqan

Gambar 2.2 menunjukkan suatu volume elemen dengan u-

.

kuran

dx, dy, dz. dengan 9 komponen tegangan yang bekerja

padanya.

:z

y

/

/ /

/ / /

l(

Tegangan pada masing masing permukaan sama dengan tegangan dipusat elemen ditambah atau dikurangi dengan hasil kali jarak permukaan kepusat dan turunan spasial ( spatial deri+

.

vative ) dari tegangan. Misalnya, komponen tegangan normal ,yang bekerja pada pusat bertambah menjadi (~y+ di daripada permukaan BDD B , dan berkurang menjadi ( 1 1 '2)(1",...., ~) pada permukaan Acc A • 1 1 ~y 2.

~ g"'-y

4'11,.,

.,,..

z.

.--.-, ---)

cr -

"

Bila komponen X, Y, Z menurrjukkan komponen bodyforces persatuan vo.lume, dalam ketiga arah, maka persama3

maan kesetimbangan yang diperoleh dengan menjumlahkan semua

dan karena

r"~ ':,

ty"

T 4~

=

1" ""'~

1

, dengan membagi per

samaan diatas dengan dx.dy.dz diperoleh :

~ \J;c + ~ -c,.,~ ~X

+ ~

Lz.% ~%,

';,;;t

-f.)<

=0

.

secara analog dihasilkan persamaan kesetimbangan sbb.

-

~()xa<;(

~

•

+

T_,..y ~X'

"

"'f,14.t,

~X'

~ ly14 ~y ~O"y

+

~y

+

-+ " T z.-,t '3~

+

+ '3 '~,.- + d%.

) t' YZ ~y

+

~0'"%. ~.4

X=o

Y:

0-

. . z=

0,

Untuk menyelesaikan 6 parameter komponen tegangan itu dibutuhkan persamaan kompatibilitas yang akan dibahas dalam pasal 5, yang merupakan persamaan kesepadanan defoimasi. Jelas ba.hwa problem elastisitas mempunyai sifat tak tentu,

• dan harus diingat bahwa setelah hasil akhir diperoleh, harus dipenuhi keadaan syarat syarat batas ( boundary conditions )

4

•

3. Persamaan kesetimbangan untuk elemen tanah yang jenuh air \ saturated soil body )

...

Persamaan kesetimbangan yang diperoleh pada pasal ter dahulu memenuhi baik untuk tegangan total maupun tegangan efektip yang bekerja pada tanah yang jenuh air dalam kesetimbangannya. c/) Tegangan total

...

Bila persamaan kesetimbangan dirumuskan dalam tegangan to tal,termasuk tekanan air atau seepage force, maka bodyforces akan sama dengan gaya akibat gravitasi pada arah yang bersangkutan. Bila arah Z vertikal kebawah maka kita mendapatkan

X

0, Y = 0 dan Z =

=

D,

maka,persama-

an kesetimbangan menjadi

-

~ox

'"Z'x

z,-u,.,. _..,

-+

- ~" o-!'"z +

~,

d "tz,..7>Z

•C

~ ry.: . ;. ~tfz + 1 ~ o,

"y

~"


dimana ~, Cfy , dan seepage forces

~%.

~y

cT"y

...

• z, "rz" · 0

?J 't"yx

4-

-z,i:

adalah tegangan total ( termasuk

). Jadi persamaan diatas merupakan persa-

maan kesetimbangan un·tuk tegangan total.


-t-

u.

0'~ +' 1~ ( h-he)

f.!

u = tekanan pori/pore pressure

~, hw

=

...

=

P141 (

h- he)

h = total head pada titik itu h

e

= elevation head, yang merupakan fungsi dari z

Dengan menurunkan secara parsiil terhadap x, diperoleh

...

analog

-

~O'"y

::;

DY

~O'z.

-

~z

-

f

~6y

=

-cy-

-

"36~ '3z 5

...

+1w-~J,

~?(

-iw + 1w- ~ (Jz

l ()~" 1).

persamaan ini disubstitusikan kepada persamaan kesetimbangan :

.

.. b) Tegangan efektip persamaan kesetimbangan untuk tegangan efektip

ozr~ • ~ -rl"',. o't'-4" + ~ = o 3y

Z' t'""y

..

~"

?J

+

Z,..t.

~lYy'

+

o T~y ..,. v1-""' _ _...

--;,y

r".::. ~"

"'~Y.%.

+

~y

~

ocr~ 7 - o +-+"'-'~%.

dalam mana body forces diberikan dari persamaan

..

.,/

-"

()h

X ~ t" ' w : "w' 0 "

..

..

..

( seepage

1

Dapat disimpulkan bahwa persamaan kesetimbangan yang diturunkan pada pasal 2 ( hal 4 ) berlaku untuk tegangan -

o-, ,

total maupun tegangan efektip. Bila fx,

dan

o;

pada

persamaan itu dimaksudkan untuk tegangan total rnaka body forces yang bersangkutan adalah X = 0

..

tetapi bila ~~

~Y

1

Y = 0 dan

1

dan ~ dimaksudkan

I

Z

=1

sebagai tegangan

efektip maka body forces yang bersangkutan menjadi : f

1+

, 2-::

'

,..,

~h

lw'{}z

4. Komponen komponen regangan : strain tenor Misalkan

U

1

v dan w masing masing peralihan tempat

displacements ) berturut turut dalam arah x, y dan

Zo

Da

lam hal dimensi tiga maka didapat 6 komponen regangan :

i" t,_, I

I

fz,

I

r""

I

t,:;.

dan

I

1z..sc

0

Tiga komponen regang-

an linier adalah

Untuk memperoleh tiga komponen regangan yang lain (

.

disebut komponen regangan tar yanci ukurannya dx

1

geser ), tinjau suatu lamina da-

dy pada biddng x-y.

Garis OA dan OB

semula saling tegak lurus beralih posisi menjadi 0 1 A 1 dan 0 I B I . Regangan geser sama dengan perubahan sudut di 0 peralihan A pad a arah X =

..

""

peralihan A pad a arah y =

" ...

v = u

l'y

3v ,

"" =

....

~64

~y

perubahan sudut total di 0

-- ix.,-

analog :

.

1yz 1Z')(

:::.

- •

~w

"' " ' -

-

a"

+ -"v -&y

peralihan B pad a arah y

peralihan B pada. arah X

3u ,

\.4+

C'hc 2).::,.

7

+

~y

-

~.%.

-z.w

-

~~

::.

d"

-~Y

- +""'-

~v

~X

~y

.

d'l c\ u t - · ,)(

d;<

""'

0

. ><

f

A v

I

vi"

I

I Idy

'dv

.qx

"bJ-

A' u

. '0

1/-t-~· d.y by

il' \

.

....

lt

+

au - . d y. Dy

~

Dapat ditunjukkan bahwa regarrgan linier dari

su~tu

agonal sama dengan separoh dari regangan geser. Jadi bila

ty~

,

di

t~~

dan ~%~ merupakan regangan linier dari diagonal lamina

tsb. maka

Oleh karena itu strain tensor terdiri dari 9 komponen regang

.

an sbb. :

IEx~ \

.

-E",.,

t~,:.

\

~YA

f"'..,

tyz

\

tr.,~

-E-.ty

i':.z.

)

8

..

t" 7

~

1%y

i~~

t 11z.

-t,.,

\ 1:."

i 1z' tz.

{: Pyz.

5. Persamaan kompatibilitas Persamaan persamaan yang dihasilkan dari penggunaan persamaan p~rsamaan

regangan disebut persamaan kompatibilitas atau Saint Venannt.

Persamaan regangan pada pasal 4 diturunkan

..

t"

s

ir

"u -~"

-t

-

~

;,z-e~

~%

~v

~

~,.,

~;!~"

- -

~.,1.

oz-e, -

~'I

~.%.%,.

.

oz-t%,. g 'Q~(

€-":: -

Z,\4

~,..,

7)v

..

f-t.y::,

h

()'i

1'

"%.

~ -t

~~v 11':'

~y,

?v

o"Y ~ ;-,;

.

~z

-€ 7'

""1,.

--

+

--

~2. ?'~.,

- ~" ~,..,

z,t. (YL

~z.e-" ~

z:.

-

~r

3.z.

~7..

ir."

~%. 0"

-Ex

vy~z

P 'L"f J'Y ~:Z..'~" ~

9

.

~" ,~y

3y

~

~y~

+

-%.

J"

"" + - ~ ~~ 1~,.,

~z ~.:..

~z.

1

-s

~'lft'~Y

,fy

-4'1<:..

~

.

"'~"'

-

uyz

~;..., ~

j ";y-.

+

~~v

-

~"z.. ~ 7

~t~: ~2.€-,...

2

"'

~yJz

~

Z,Lt

-

y

~" ~.%

~

~

+ "J i:z.," +

~"

- ( - ~t"~ -- or

- -1.. "" ~r

~z

(-

~%

diyz.

+

~y

~

7J-t;c, )

~r

0

"'%.-6:.

"'

or,....%.

(-

+

0"

~i~y +

~i"Y)

"%

o7,4 + o_i..tz.) or

-ax

"%.

,

persamaan diatas disebut persamaan kompatibilitas. 6. Persamaan syarat batas ( Boundary condition equations Solusi lengkap dari problem elastisitas diperoleh de-

"'

ngan solusi kesetimbangan dan persamaan kompatibilitas, tepersamaan tapi hasil akhir harus memenuhivsyarat batas Untuk menurunkan persamaan syarat batas, tinjau suatu bidang batas ABC ponen

dengan arah l, m, n. Misalnya Xj Y, Z

adalah kom

dari gaya permukaan persatuan luas dari luas elemen-

ter ABC. Gambar dibRwah menunjukkan ke 9 komponen tegangan pada bidang OBC, OAC, dan OAB. Bila volume elemen dipandang amat kecil, maka kesembilan komponen tegangan itu dapat dianggap bekerja pada satu titik.

"' 0'"1 (-

"Zy)

""C;<:t

,.'[

f- -----r"'

--(' I

T

. l

-·

,

/

BovNDAl'
10

"'

-

l(

t"x"-

- - - - - - --T:-z.t-

x

~---r"

-c z.y

"'

J

I

+

,.~

I

I

. ·p:.

!

1

c. ---7

'r

Misal luas ABC = ds

•

=

luas

OBC

ds. cos

N,x

=

ds.l

lua,s

OAB = ds. co a

N,y

=

ds.m

luas

OAC

N,z

=

ds. n

=

ds. cos

Dengan menguraikan gay a gay a pad a arah X dan mengambilZ% = 0

zx

=

0

=

X ds

diperoleh

•

" = y::

analog :

- '!'_," ds .m

- ((" .ds .1

t +

cr'J(

tf'Y ,

z .. OZ

+

n+

"ty~ ~

- 't4 ~ ds. n

+ 't.z." n

r%.,., .... 't'xz

R+

1:"1'

t

7yz m,

bila syarat bat as ditulis dalam bentuk matrix

~\ ~)

•

I ~~ \ r,., rft'~

-ry" (]'.,-

-"ty.:..

7. Hukum Hooke digunakan secara umum

f.-

't~J' 't~y

~

\ ~~

(T~

homogenitas & iso -

trophi Secara paling sederham , hukum Hooke mengatakan : pada batas batas elastis, tegangan adalah berbanding lurus dengan regangan. Pemakaian hukum nooke secara umum :

f" = Cu cr

:1(

+Cu. o-,., +C, 70".t. + c14 t' ~ r + c,~ 1: ,.~ +

c," t"A.J'

€ y :: Ca.' a-" +C2-t. (.1".,.. + Cz ~ <1"z.. + (z.4 r"Y + C%.s- t,-.z.. + Cz, T4J' .e- z : c~,
c4,cr".,. c41.a-1., C4;6"z. + c-44-r"Y

+-

oy 4 =c.,, <.f" -+ Cs-,. a-r + c.,-;~* + C>4 T".,""'() ;:,. ;<. =~...{, ~- I cr~ .- c-' :. cr.,..+~,o~ + c&S'4 r"r+ 11 -

"'

c4~ T r~ +-

+c;, r.z.-"

C~ Tyi- + CS' TL)C

c66

"Cy~

+CbG

-c-l"~-

•

Persamaan persamaan ini mengandung 36 konstanta elas tis yang independen. Suatu bahan disebut elastis apabila ha nya ada 36 konstanta elastis, dan konstanta itu sama

•

disemu

a titik dalam suatu daerah. Sebuah titik dari tanah disebut isotropis bila semua konstanta elastisnya

~

dalam semua

arah pada satu titik. Dengan pemutaran sumbu berturut turut dapat disederhanakan jumlah konstanta elastis itu menjadi 2 untuk bahan yang homogen san isotropiso Persamaan itu dapat disederhanakan

•

t" ::: C,. cr" iy ~ L-

+ C1:.

Cu (jy +

.

(

"Z:.

fl

(

Ctt.

ffy+ ~z)

((f"z.+Cfx)


4-

(f"'f /

}

1r. 'Y : z ( c,. - c11. ) r "r iyz.= :z.(Cu-Cu. )T,..4

i %..?'

4- (

=-

Ct~ -CJ1.) !.z"

.untuk menghitung nilai

dua konstanta

c 11 dan c 12 ki-

ta tinjau kasus tegangan satu sumbu ( uni axial ) ( seperti pada unconfined compression test ) pada arah X dengan

• 0

t

#

,..

;

(

,.:;"

u v

-;4

_,

(.,

I" "C'"K

:::.

O'",c

~~~~~ ,e,l,o...s~t~

:: c,:.


-• ..L

eo

-- ..Le ..1.

12

::.

f:

t-"

_!_.

=e

O"y =

. 8. Problem dua dimensi a. Plane stress Bila plat tipis atau lapisan tanah

.

dibebani merata oleh

gaya pada bidang batas sejajar bidang plat

Dy = ~y= 7,_,..:. =

xz ) , maka komponen tegangan sepo2rti itu da adalah ""

misal bid, 0 • Kedjadian

disebut plane stress. Komponen tegangan yang a 1


dan

J

r"g ~

yang tidak tergantung y ( kea

rah y tidak berubah ). Pers amaan Hooke

t'z :

( (}" -;« (jz ) -'! ( O"z - j4
6-y :r

4 (

e"

.

~

~

:. ( l

~" + ""z)

tel, r".:;

r:r

b. PlaiiB strain Ada banyak masalah mekanika teknik dalam dinding penahan tanah dengan gaya lateral, pondasi menrus, terowongan dalam mana satu dimensi ( misal arah Y ) amat besar di banding dimensi lainnya. Bila keadaan itu dibebani gaya gaya yang tegaklurus elemen secara longitudinal ( sepanjang arah Y ) dan tidak berubah sepanjang itu, seluruh -

..

penampang akan berada dalam-kondisi yang sama. Kasus ini disebut plane-strain. Komponen regangan 6-y, Ol(y, dan Ozy a kan = 0. Komponen lain

dan ~L diberikan oleh per

--€", f.z,,

samaan dengan hukum Hooke sbb.

t ,., =o ~ ~ ( ~,.

t- " , -

s.

(JY -

;« t <1z 1- ~ ) J

;t( ffz- cr)()

t'( ~

{

(1'""' - /t4 (f,.q- ~ -

t

(jz -

13

·

;u

~}

(f

j41 ( J" f cr;z. )

r

.

Persamaan

kesetimba~gan

Baik untuk plane stress maupun plane. strain, persama an kesetimbangan yang berlaku adalah :

3 ~}(

---.4-

~x

.

"l..

~ 't' 'b"'

9. Persamaan kompatibilitas untuk kasus dua dimensi Untuk kasus ini, 6 persamaan kompatibilitas berkurang menjadi satu persamaan : ~·

..

Persamaan

ko~?atibilitas

dalam strain diatas dapat diubah

menjadi persamaan kompatibilitas dalam stress. Akan kita tin jau untuk plane stress maupun plane strain : ~r1' ~,

~2

-

"~1.

~(a +tu ~

p t.t1

( ~"- ;U~z) -1-

~ -1- ~~"~ + ":. ~"

~,%.

c\ ~\Amb.h ~ 2 01. -r"~ ~~ ~

z.

:

- 14 -

.

0...,

~\~"~ -thd. ,

'?(

•

...

•

•

•