í MÁT x;h N S bg MÁTRIXOK ÉS DIFFERENCIÁLEGYENLET RENDSZEREK Obádovics J. Gyula l'ko S 'U K SCOLAR B M IO M IK K OBADOVICS TANODA

l'KO

B M IO M IK K

í 42.070 MÁT

A szerző 1927-ben született Baján. Hobbija a kertészkedés, a horgászás és az írás. Jelenleg Balatonszárszón él feleségével. Tizenkét unokája van, három lánya szintén matematikával foglalkozik.

Természettudományi, műszaki doktor, a matematika tudom ányok kandidátusa. 20 könyv, 30 egye temi jegyzet, 52 tudományos publikáció szerzője. A magyar A könyv bőséges példa anyaggal ismerteti a mátrixok, vektorok, lineáris operátorok, állandó és változó együtthatójú lineáris differenciál egyenlet-rendszerek gyakorlati és elméleti témaköreit. Az első két rész az új rendszerű felsőoktatási alapképzés tananyaga. A harmadik rész az állandó együttha tójú lineáris differenciálegyenlet rendszerek klasszikus megoldásánál lényegesen egyszerűbb - korábbon még teljes egészében nem pu b liká ltObádovics-módszert, a negyedik rész 0 differenciálegyenlet-rendszerek elméletének - új eredményeket tar ta lm a zó -tárg ya lá si lehetőségét ismerteti, melyet a mester ill., doktori képzéshez ajánlunk.

S S U^ O M

x;h N S bg ®/l § S c u H

W

Obádovics J. Gyula

S 'U K

MÁTRIXOK ÉS DIFFERENCIÁLEGYENLET RENDSZEREK

számítástechnika-oktatás egyik megteremtője.

OBADOVICS TANODA matematikaoktatás alap-, közép- és felsőfokon telefon; 38 5 -3 2 -8 0

SCOLAR

O b á d o v ic s J , G y o la

MÁTRIXOK És

DIFFERENCIÁLEGYENLET RENDSZEREK

§ S

C

0

L A

K i a d ó

R

ELŐSZÓ Lektorálta

Farkas Miklós egyetemi tanár a matematikai tudományok doktora

Dr. Szarka Zoltán egyetemi docens

© DR. OBÁDOVICS J. GYULA, 2005 © SCOLAR KIADÓ, 2005

M inden jog fenntartva, beleértve a sokszorosítást, a mű bővített, illetve rövidített változatának kiadási jogát is.

ISBN 963- 9534-24-2

Kiadja a SCOLAR KIADÓ 1114 Budapest, Bartók Béla út 7. Tel./fax: (06-1) 466-7648 E-mail: [email protected] Felelős kiadó és felelős szerkesztő: Érsek Nándor A borítót tervezte: M áthé Hanga A Könyv ábráit rajzolta: Érsek-Obádovics Robin, Horváth Virág A szerzőt fotózta: Szécsi Ildikó Készült a Dürer Nyomda Kft.-ben, Gyulán Ügyvezető igazgató: Megyik András

A könyvet a műszaki egyetemek hallgatóinak, a természettudományi és gazdaságtudományi karokon a matematikát igénylő szakok hallgatóinak, valamint az e területeken tudományos képzésben résztvevőknek ajánljuk. A könyv első részének három fejezete egyrészt arra szolgál, hogy az Olvasók a már korábban megszerzett ismeretek - halmazok, függvények, mátrixok, vektorok, metrikus és normált terek - témaköreit felfrissíthessék, és megalapozzák a második, harmadik és negyedik részben felhasználásra kerülő fogalmakat. A második rész a lineáris operátorok elméletének ele meit, a harmadik rész az állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet rendszerek megoldásának egy új módszerét tartalmazza. A negyedik rész a differenciálegyenlet-rendszerekkel kapcsolatos kezdeti- és peremfeltételek vizsgálatával foglalkozik egy jól definiált függvénytérben, majd bizonyítja a minimalizáló polinomvektorsorozat konvergenciáját. A műszaki- és term észettudom ányok számos fejezetének problémái mátrix sajátértékeinek, sajátvektorainak, ill. operátorok sajátelemeinek, sa játfüggvényeinek meghatározását, továbbá tetszőleges függvények sajátfüggvények szerinti sorának előállítását igénylik. Ezt szem előtt tartva, a második rész a lineáris operátorok elemeit olyan módon tárgyalja, hogy az felhasználható legyen a műszaki- és természettudomány különböző terüle tein, különös tekintettel a matematikai fizika, kvantummechanika tárgykö reire. Az első és a második rész megírásához nagy segítséget jelentettek azon kollégák egyetemi és szemináriumi előadásai, melyeket az elmúlt 50 évben különböző tanszékek és intézetek keretei között tartottak, valam int ezek alapján készített vázlatok, feljegyzések, jegyzetek [KI 8 ], melyek felhasz nálásához hozzájárultak. Előadásaikban a matematika stílusának pontos, de egyszerűbb, élvezhetőbb módját ismerhettem meg, melyet a könyv írásakor újra átéltem, és alkalmazni igyekeztem. M indannyiuknak ezúton is köszönetem fejezem ki. A harmadik rész, valamint a negyedik rész fejezetei új eredményeket tartalmaznak, könyvben itt jelennek meg először. Célom az volt, hogy az állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek megoldására Lagrange- és Hermite-féle mátrixpolinomok felhasználása nélkül, pusztán az együtthatómátrixra alapozott mátrixműveletekkel találjak megoldást. A 2001-ben megjelent Lineáris algebra példákkal c. könyvemben az állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszer modálmátrixszal történő megoldására mutattam néhány példát. E könyv harmadik része részletesen

Előszó

6___________

elemzi ennek az új módszernek, a modálmátrixszal történő megoldásnak az alkalmazhatóságát, lineáris és nem lineáris tényezőket tartalmazó mi ni máiegyenlet esetére is. Bevezeti az olyan közelítő mátrix fogalmát (nevezhet nénk „mankómátrixnak”), amelynek már a rendjével megegyező számú sajátvektora van, és így alkalmazhatóvá teszi a modálmátrixszal történő közelítő megoldást akkor is, amikor a klasszikus differenciálegyenlet-rendszerek elmélete az H erm ite-íélt mátrixpolinomokkal való megoldást írja elő. Új a Jordan-féle normálalak egyértelmű előállítására, valamint a transzformáció mátrixának egyszerűbb meghatározására kidolgozott eljá rás, ha ismertek a sajátértékek és a sajátvektorok. Példák szem léltetik, hogy a transzform áció mátrixával és az exponenciális mátrixfüggvény norm álalakjával miként adható meg a többszörös multiplicitású minimálegyenlettel rendelkező együtthatóm átrix esetében a differenciálegyenlet kezdeti feltételt kielégítő megoldása. A kezdeti feltételt kielégítő közelítő megoldás hibájának becslésére kidolgozott egyszerű formula mind a stabil mind a nemstabil rendszerre jól alkalmazható. A negyedik részben tárgyalt differenciálegyenlet-rendszerek elmélete sajátérték- és peremértékproblémáinak a szokásostól egyszerűbb felépíté séhez definiáltunk egy W" -nek elnevezett függvényvektor teret, amely pusztán valósfüggvénytani eszközökre szorítkozik. A bevezetett W" -tér, valam int az e térben definiált ekvivalens norm ák az integrálegyenlet rendszer és a C auchy-pw hlém a m egoldásának egzisztencia és unicitás tételére a korábbiaknál egyszerűbb bizonyítást tett lehetővé. A differenciál egyenlet-rendszerek kezdetiértékproblémáit -térbe tartozó együttható függvényekkel vizsgálva a klasszikus eredmények lényeges általánosításá ra volt mód, s eredményként kaptuk, hogy az együtthatóktól függően a megoldás egy meghatározott függvény-öanac/i-térben nyerhető. A negyedik rész 3. fejezete a peremértékproblémák közelítő megoldá sával foglalkozik. Bevezeti a minim alizáló polinom vektor fogalm át és megmutatja a polinomvektor-sorozatnak a perem értékprobléma m egoldá sához való konvergenciáját. Az eredmények, a korábban e témakörben meg jelent cikkekben közölt eredményektől eltérően, nemcsak Hilbert-térhen érvényesek, továbbá lényegesen jobb konvergenciát biztosítanak, és Ln tér ben a kidolgozott algoritmus számítógépes megoldást is lehetővé tesz. Köszönettel tartozom Farkas Miklós és Szarka Zoltán lektoroknak a kéz irat hibáinak kiszűrésére tett javaslataikért. Értékes bíráló megjegyzéseiket maradéktalanul igyekeztem felhasználni. Balatonszárszó, 2004. június 10.

Dr. Ohádovícs J. Gyula

TARTALOMJEGYZEK E LŐ SZÓ ........................................................................................... ..................... 5 TARTALOM JEGYZÉK....................... .................................. ...... ....... ............7 11 JELEK ÉS RÖVIDÍTÉSEK....................................... ............................. I. RÉSZ Ö S S Z E F O G L A L Ó AZ ANA LÍZIS ÉS A L IN EÁ R IS A LG EBR A E L E M E IB Ő L

15

1. FE JE Z E T ........................................................................................................ 15 Halmazok, függvények, mátrixok és vektorok................................... ...........15 1.1 Halmazelmélet.... .................................................................................15 1.1.1 Műveletek halm azokkal.... ..................... .............................. 17 1.2 Függvények.... ................................................... ............... ........... 20 1.3 Mátrixok, vektorok................... ................................. ........ ............... 23 1.3.1 Műveletek m átrixokkal.................................. ........................ 26 1.3.2 D eterm inánsok............. ...................... ................................. . 32 1.3.3 A négyzetes mátrix inverze................................................... 35 1.3.4 A négyzetes mátrix hatványa................ .............................. 46 1.4 V ek to rtér.............................. ................. ..............................................51 1.4.1 Bázis és bázistranszform áció................... .............................56 1.5 Lineáris egyenletrendszerek............... .......................... ............... . 63 1.5.1 G auss-m ódszer............................................ ....................... . 66 1.5.2 A CT-felbontás....................... ............................................ . 69 1.5.3 Az LU-felbontás és kapcsolata a CT-felbontással............. 74 1.6 Leképezés............................................................................................. 79 1.7 Sajátértékek, sajátvektorok.... ......................................... ..................86 1.8 Bilineáris és kvadratikus alak ................................................... ....... 88 1.9 M átrixfüggvénysorok.................................. ................... ............ 89 1.10 Mátrixok minimálpolinomja.................. ......................................... 91 1.11 Mátrixhatványsorok............ .................................................... . 93 1.12 Az Hermite~Lagrange-fé\e interpolációs polinom ................. 96 1.13 Függvénymátrix deriváltja és integrálja.................................. 101 2. FE JE Z E T ............................ ..........................................................................105 Metrikus és normált te re k ............................................ ....................... ........ . 105 2.1 Metrikus terek .............. ................ ............................................... . 105 2.2 Lineáris terek..................................... ............................................... 111 2.2.1 A lté r.................................... ........................................ ............114 2.2.2 Alterek direkt összege...... .................................................... 116

_____________ _____________ Mátrixok és differenciálegyenlet-rendszerek 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

Normált terek......................................................................................117 Példák metrikus, lineáris és normált terekre.................................119 Kompakt halmazok metrikus terekben..........................................122 Függvények metrikus terekben....................................................... 124 Folytonos függvények összefüggő és kompakt halmazokon.......... 128

3. FE JE Z E T .......................................................................................................131 Euklideszi te re k ................................................................................................ 131 3.1 Az euklideszi tér értelm ezése..........................................................131 3.2 Példák euklideszi terekre..................................................................133 3.3 Ortonormált rendszerek....................................................................141 3.4 G ram-Schmidt-féle ortogonalizációs eljárás................................142 3.4.1 Gyengén meghatározott egyenletrendszer m egoldása............................................................................... 146 3.5 Alterek ortogonális összege............................................................. 153 3.6 Ortonormált bázis szerinti kifejtés..................................................155 II. RÉSZ B EV E Z E T É S A L IN EÁ R IS O P E R Á T O R O K E L M É L E T É B E

159

1. FE JE Z E T .......................................................................................................159 A lineáris operátor és inverze......................................................................... 159 1.1 Alapfogalmak és jelölések............................................................... 159 1.2 Izomorf terek, izomorf leképezések.............................................. 160 1.3 Lineáris operátorok............................................................................164 1.4 Műveletek lineáris operátorokkal...................................................166 1.5 Lineáris operátorok inverze. M agtér.............................................. 169 2. FE JE Z E T .......................................................................................................174 Lineáris teret önmagára leképező lineáris operátorok................................174 2.1 Az A ;X X lineáris operátor..................................................... 174 2.2 Lineáris operátor véges dimenziós té rb e n .................................... 175 2.3 Lineáris operátor polinomja.............................................................180 2.4 Inverz operátor.................................................................................. 182 2.5. Lineáris operátorok sajátértékei..................................................... 186 2.6 Mátrix által generált operátor sajátértékei.................................... 189 3. FE JE Z E T .......................................................................................................192 Lineáris operátorok véges dimenziós euklideszi terek b en ........................192 3.1 Bevezetés.............................................................................................192 3.2 Lineáris és kvadratikus funkcionálok............................................ 193 3.3 Adjungált operátor.............................................................................197 3.4 Unitér operátorok..............................................................................199 3.5 Önadjungált operátorok....................................................................204 3.6 Ortogonális vetítő operátorok (projekciók).................................. 208

Tartalomjegyzék

9

3.7 Lineáris operátorok mátrixreprezentációja................................... 210 3.8 Új bázisra való áttérés...................................................................... 216 3.9 Sajátértékek és sajátelem ek............................................................. 219 3.10 Diagonizálható operátorok............................................................ 222 3.10.1 Önadjungált operátorok egyidejű diagonalizálása......... 227 3.11 Önadjungált operátorok diagonahzálásának alkalm azásai.......233 III. RÉSZ Á LLA ND Ó E G Y Ü T T H A T Ó JÚ L IN EÁ R IS D IF F E R E N C IÁ L E G Y E N L E T -R E N D SZ E R E K

245

1. FE JE Z E T .......................................................................................................245 Állandó együtthatójú differenciálegyenlet-rendszer megoldása modál mátrixszal................................................................................................ 245 Bevezetés................................................................................................... 245 1.1 A differenciálegyenlet-rendszer mátrixalakja és stabilitása.......247 1.2 Differenciálegyenlet-rendszer megoldása m odálm átrixszal......251 1.2.1.Az A mátrix minimálpolinomjának zémshelyei egyszeresek.............................................................................. 253 1.2.2 Megoldás Lagrange-íé\t alappohnom okkal......................263 2. FE JE Z E T .......................................................................................................267 Egy kísérletező m ódszer................................................................................. 267 2.1 Közelítő megoldás, ha a gyöktényezők nem lineárisak..............267 2.2 A közelítő megoldás hibabecslése..................................................273 2.3 Megoldás H ermite-féit mátrixpolinommal................................... 289 3. FE JE ZE T .......................................................................................................298 A Jordan-féle mátrix alkalm azása..................................................................298 3.1 Az exponenciális m átrixfüggvény..................................................298 3.2 A mátrix Jordan-féle alak ja............................................................. 299 3.3 Az exponenciális mátrixfüggvény norm álalakja......................... 302 3.4 A mátrix Jordan-féle alakjának előállítása.................................... 306 3.5 A transzformációs mátrix kiszám ítása........................................... 315 3.6 Megoldás a Jordan-féle normálalak felhasználásával................ 325 3.6.1 Komplex sajátértékek és sajátvektorok............................. 344 3.7 Feladatok.............................................................................................353 IV. RÉSZ K IE G É S Z ÍT É S A D IF F E R E N C IÁ L E G Y E N L E T R EN D SZ E R E K E L M É L E T É H E Z

357

Bevezetés....................................................................................................357 l. F E JE Z E T .......................................................................................................359 A Cauchy-féle probléma általános vizsgálata..................................................359

10

M átrixok és differenciálegyenlet-rendszerek 1.1 Jelölések, elnevezések, definíciók..................................................359 1.2 A W^^l\a,b] függvénytér..................................................... ............365 1.2.1 Normák a

p

JELEK ÉS RÖVIDÍTÉSEK

térben............................. ............................368

1.2.2 Ekvivalens normák a

térben.................. .................. 370

<, <

>, > 1.2.3 A W p ^ \a ,b ) tér teljessége..................................................377 1.3 C auchy-problém a.............................. ............... ............................... 379 1.3.1 Visszavezetés integrálegyenlet-rendszerre....................... 382 1.4 Az integrálegyenlet-rendszer megoldásának egzisztenciája és unicitása..................................... ........................... 386 1.5 A Cauchy-probléma megoldásának egzisztenciája és unicitása........... .................................................... 393 1.6 A Cauchy-féie probléma megoldása.............................................. 396 1.7 A mátrix-differenciálegyenlet vizsgálata.......................................401 1.8 A megoldás függése a param étertől.... ...........................................408 2. FE JE ZE T ...................................................................................................... 41 1 Peremérték- és sajátérték-problém ák.................... .......................................411 2.1 Perem feltételek....................... ........................................................... 411 2.2 Perem érték-problém a.................... ......................... ....... ................ 414 2.3 Sajátérték-probléma.......... .............. ..................................... ...........417 2.4 A Green-féle függvénym átrix......................................................... 420 2.5 A peremérték-probléma és a Green-féle függvénym átrix.......... 428 2.6 Az L operátor inverzének vizsgálata............................................. 433 3. FE JE ZE T ..,.................................................................................................. 439 Minimalizáló polinomvektor-sorozat konvergencia vizsgálata................439 3.1 Általánosított polinom vektorok...................................................... 439 3.2 Adott peremfeltételt kielégítő polinomvektorok tere................. 441 3.3 Minimalizáló polinom vektor-sorozat............................. .............. 444 3.4 A minimalizáló polinomvektor-sorozat konvergenciája.......... 446 IR O D A LO M JEG Y ZÉK .... ....... .............■.................................................... 453 K önyvek.... ........ ............... ............................. ........................................ 453 D olgozatok............................................................ ......................... . 458 NÉV- ÉS TÁRGYM UTATÓ.... ............................................ ....................... 465

e, g 3

V

k iseb b , mint; k iseb b vagy eg y en lő n agy ob b , m int; n a g y o b b vagy egyenlő eg y en lő ; k ö zelítő leg eg y en lő , azo n o san e g y en lő nem e g y en lő elem e, ill. nem elem e

létezik o ly a n ...; van leg aláb b egy o ly a n ...

C

m in d e n ... a term é sz e te s szám o k h a lm aza az eg ész szám o k h a lm aza a rac io n á lis szám o k h alm aza az irracio n ális szám o k h a lm a z a a valós szám o k h a lm aza a k o m p lex szám o k h alm aza

z + ,i

a p o zitív , ill. a n eg atív eg ész szám o k h alm aza

N

Z Q R

a nem negatív, ill. a n em pozitív egész szám ok h alm aza í=

im ag in áriu s (k ép zetes) egy ség

(UUl

zárójelek fl-tól b -ig terjed ő zárt in terv allu m {a < b)

{ a ,h \ \a ,h

a-tó l b -\g terjed ő n y ílt intervallum {a < b)

1 1

az a szám ab szo lú t érték e

n\

olv.: en fak to riá lis, (1 • 2 • 3 •... • (n - 1 ) •« )

ín] \kJ

b in o m iá lis eg y ü tth ató , (ri alatt a /c) =

k\in~k)l

n valamennyi

összege, ( ci] + 02 + ... + a „ )

/rr] n

n«,

v alam en n y i cij sz o rzata ( ű] ■CI2 ■ . • a„ )

A, B, C

h alm az je le : d ő lt n a g y b etű k

Mátrixok és differenciálegyenlet-rendszerek

12

A ez B az A Au B az A Ar\B cizA A\B az A (A,*), (A,+,-)

a 5 részhalmaza és 5 halmazok egyesítése és B halmazok metszete és B halmazok különbsége egy, ül. kétműveletes algebrai struktúra

AxB az A és B hahuaz Descartes-szoxzaio. f g, ... függvények jelölése D( f ) vagy D f az/függvény értelmezési tartománya /?(/) vagy Rf u, V, a A, B, C (xi, X2 )

az /függ v én y értékkészlete

vektor jele: félkövér kisbetűk mátrix jele: félkövér nagybetűk rendezett pár (számkettes), két komponensű vektor x ,j)

szám-n-es, n komponensű vektor

Jelek és rövidítések

A B , AB az A és B mátrix szorzata A©B az A és B mátrix direkt összege A^ A^

az A mátrix transzponálja

A ”^* az A mátrix inverze A az A mátrix konjugáltja A, B, ... operátorok jelölése A*, ill. A * az A mátrix, ill az A operátor adjungáltja --j' A = A , ill. A* = A az A mátrix, ill. az A operátor ekkor ön adj ungált (hermitikus) det A, 1A^ az A mátrix determinánsa IIAII

az A mátrix normája

Sp A

nxn

=u

13

négyzetes mátrix spurja (nyoma) í=!

n komponensű oszlopvektor

'

az A mátrix

-adik sorainak

-adik elemeiből

képzett minormátrix (/: = 1, 2,..., m) [x[, a'2, .. . , x„] = u

n komponensű sorvektor detM

a V egységvektora T

az ij indexű elemhez tartozó minormátrix

T

.

.

U V, U • V , UV, U V , (u ,v )

az u és V vektor skaláris szorzata

I v|, ||v|| = V(v, v)

a V vektor abszolút értéke, euklideszi normája

/?(u,v) = llu - v||

az u és V vektorok távolsága

r(A ), ránk ( A ) ,

c/]]

a \2

a\n

^22

<^2n

ill. [a íjimn

mxn-QS mátrix

^m l ^rn2

a mátrix általános eleme diag(di],d 22, ■■■,d^,i)

diagonális mátrix

az A mátrix rangja

adj A

az A mátrix adjungáltja

A ~B A/(A)

az A és B hasonló, ekvivalens mátrixok az A transzformáció magtere, az Ax = 0 megoldásvek

N.

torainak halmaza az A nullitása

az u és Vvektor diadikus szorzata ^21

az ij indexű elemhez tartozó minor

f (x, y) :V x V —> T

kétváltozós függvény

\ Ay

bilineáris alak

xÂ x ^ (x )

kvadratikus alak lineáris alak T felett értelmezett n-dimenziós lineáris tér két altér összege

E, E„

egységmátrix, n-edrendű egységmátrix

V n iT )

A+B

az A és B mátrix összege

v f +V.5

14


Vf n

két altér metszete

VjI' ©

két aitér direkt összege

dimV p .V

a V tér dimenziója mátrix indexe mátrix szignaturája

d e td ’E - A) = 0

1. RÉSZ

ÖSSZEFOGLAXÓ AZ ANALÍZIS ÉS A LINEÁRIS ALGEBRA ELEM EIBŐL

az A karakterisztikus egyenlete

Á —■űi }

...

~ ü ín

-

iE -A =

1. FEJEZET az A karakterisztikus

Halmazok, függvények, mátrixok és vektorok

-a ,

mátrixa 1.1 H alm azelm éleí

p{Á), k(X) karakterisztikus poünom p{K)

mátrixpolinom

m{Á) , //(/c)

minirnálpolinora

di,^ (Á)

karakterisztikus mátrix m-edik deterrainánsosztója

eiji(Á)

karakterisztikus mátrix invariáns faktora

Ax

=

Rayleigh-féle hányados

dx j t ) át

x(t) függvény /-szerinti deriváltja

Cn

n-szer folytonosan differenciálható függvények halmaza

dxjt) x(í) vektor í-szerinti deriváltja dt F'(0 = UÍjiO] az F(/-) = ífijit)] mátrix deriváltja, fijif) e Ci{a,b) |F(x>ix =

lf!j(x)dx

az F (/)e C[a,b] függvénymátrix integrálja

X=t,j

D{A)

az A operátor értelmezési tartománya

R{A)

az A operátor értékkészlete

At

e" '

exponenciális mátrixfüggvény

{x„ |, (x„)

végtelen sorozat jele

A halmazt nem definiáljuk, alapfogalomnak tekintjük [K38]. Más szavakkal körülírhatjuk, pl. bizonyos értelemben egyértelműen m eghatározható dolgok összessége: halm az. Vizsgálataink során előfordulnak: számok halmaza, sík, ill. térbeli pontok halmaza, [a,b] intervallumon értelmezett folytonos függvények halmaza, konvergens valós számsorozatok halmaza stb. A halraazbeli dolgo kat elem eknek nevezzük. Az elemek száma lehet véges, iiiegszámlálhatóaii végtelen, és nem m egszám lálliatóan végtelen. Pl. a természetes számok halmaza megszámlálhatóan végtelen, a valós számok halmaza, a sík pontjainak halmaza nem megszámlálhatóan végtelen. Pl. a tíznél kisebb pozitív páros számok halmaza: 2, 4, 6, 8 véges számú elemből áll. A matematikában szokásos jelölése: {2,4,6,8}. Ha hivatkozni akarunk erre a halmazra, akkor az ábécé A, B, C,

X, Y, Z dőlt nagy betíii közül választunk egyet és A :={2,4,6,8}

alakban jelöljük. Az A halmazt tehát a 2, 4, 6, 8 elemek alkotják. A halmaz általános elemeit az ábécé a, b, c, ..., .r, y, z kis betűivel je löljük. Valamely a' elemnek egy H halmazhoz tartozását xe H szimbólummal jelöljük, pl. 4 g A (azt mondjuk, hogy 4 eleme az A halmaznak, vagy 4 benne van A-ban, vagy A tartalmazza 4-et). Ha

16

I. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

az X nem eleme a H halmaznak, akkor azt jc í H módon jelöljük. Az egyetlen elemet sem tartalmazó speciális hal mazt üres halmaznak nevezzük, jelölése: 0 . Például üres halmaz a 71 -vei maradék nélkül osztható egész számok halmaza. Az A és B halmazt egyenlőnek mondjuk, ha ugyanazon elemek tartoznak A-ba is, 5-be is, azaz, ha minden x g A-ra. x e B is igaz, és fordítva, minden w e 5 -re w e A is igaz. Ekkor a két halmazt az egyenlőségjelével kötjük össze: A=B. Ha az A halmaznak mindegyik eleme a B halmaznak is eleme, akkor az A halmazt a B halmaz részének, vagy részhalmazának mondjuk, és ezt Aq B módon jelöljük. Ha hangsúlyozni akarjuk, hogy A részhalmaza Bnek, de A ^ B , akkor ennek szokásos jelölése: AczB. Minden halmaz részhalmaza önmagának. Az A halmazt és az üres halmazt az A halmaz nem valódi részhalmazának mondjuk, az A többi részhalmazát A valódi részhalmazának nevezzük. Például a J5 := {l,3,5,...,2n + 1,...} halmaz, a páratlan egész számok megszámlálhatóan végtelen hal maza, az N természetes számok valódi részhalmaza, azaz B czN . Hasonlóan, a pozitív páros számok, az 5-tel osztható pozitív szá mok megszámlálhatóan végtelen halmaza is valódi részhalmaza Nnek, azaz C := { 2 ,4 ,6 ,...,2 n ,...} c N , D := {5 ,1 0 ,1 5 ,...,5 n ,...}c N . A B , C, D halmazok minden eleme egy-egy állításnak, ill. tulaj donságnak is eleget tesz, így ezek a halmazok e tulajdonságok felhasználásával is megadhatók: B \ - { x & NI X páratlan}, C := { x e N | x osztható 2-vel}, D := { XG NI X osztható 5-tel}.

1.1.1 Műveletek halmazokkal

17

Általánosan, az A halmaz elemei közül a ^{x) tulajdonságúak halmazát {x| x e A, ^(x)}, ill. {X: Xe A, í^(x)} módon jelöljük. Például A = {x |x e R, |x| < 2} jelenti a - 2 és a 2 közé eső valós számok halmazát, azaz amelyek re a - 2 < X < 2 egyenlőtlenség teljesül. Gyakran X-szel vagy 7-nal jelölt, ún. alaphalmaz részhalmaza iról lesz szó. Az alaphalmazt térnek is nevezzük. Az olyan hal mazt, amelynek elemei valamely X tér bizonyos részhalmazai, általában halmazosztálynak mondjuk. A halmazosztályok jelölésé re aláhúzott dőlt nagybetűket használunk, pl. F, G, H betűket. 1.1.1 Műveletek halmazokkal Az A, B, C, ... halmazok unióján (egyesítettjén, összegén) azt a halmazt értjük, amely az A, B, C, ... halmazok minden elemét (és csak ezeket) tartalmazza. Az unió jele: u . Pl. az 1.1 pontban defi niált B, C, D halmazok uniója: 5 u C u Z ) = N . Az unió halmaz ban (mint bármely halmazban) minden elem csak egyszer fordul elő. Például {a,b,c} u {b,c,d,e} = {a,b,c,d,e}. Az A, B, C, ... halmazok metszetén (közös részén, szorzatán) azt a halmazt értjük, amely az A, B, C, ... halmazok közös elemeit (és csak ezeket) tartalmazza. A metszet művelet jele: n . Például {a,b,c] n {b,c,d] = [b,c]. C n Z ) = { x e N :x 5-tel osztható, páros} Diszjunktnak nevezünk két halmazt, ha nincs közös elemük, metszetük az üres halmaz: B n C = 0 . Az unió és metszet müvelettulajdonságai: 1. Mindkét művelet kommutatív: A u B - B \ j A,

Ar\B = B nA.

2. Mindkét művelet asszociatív: (A u B )u C = Au{BuC), (A n B )n C = An(B nC ).

1. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

18

3. Mindkét művelet disztributív a másik műveletre:

I . I . l Műveletek halmazokkal

Az értelmezés szerint;

A u (5 n C) = (A u 5) n (A u C), A n (5 u C) = (A n 5) u (A n C). 4. Mindkét művelet ídem potens: A u A = A,

A n A = A.

5. Mindkét műveletre érvényes az elnyelést tulajdonság'. A u (A n 5) = A, A n (A u 5 ) = A. Gyakran lesz szó nemcsak véges számú, hanem megszámlálhatóan végtelen sok halmaz egyesítéséről és metszetéről is. Erre a következő jelölésmódot használjuk. Legyen F = { a , egy tetszőleges indexhalmaz és te gyük fel, hogy mindegyik y e T indexhez hozzá van rendelve az X tér valamely Hy részhalmaza, ekkor a

halmazok egyesí

tésének, ill. metszetének jelölésére az y&r

A ^ : = { x : x e H és x í Aj. H a A d H , B c : H , akkor A = A;

A\B =AnB:

A u A ^H -

A n A = 0;

A u ( B n F ) = A;

de M o rg a n -a zo n o ssá g o k: A u B = A n 5 ; u

yer

n

yer

j/gT '

A n ( B u B ) = A. A n B = A ( j B , ill. u ^ r

yeV

H atvány halm az: egy H h alm az ö sszes ré s z h a lm a z a in a k h a lm a zát H hatványhalm azának n ev ezzü k , je lö lése: P(H). H a H ele m e inek száma n, a k k o r a P( H) elem ein ek a szám a 2' \ P é ld á u l az A ~ { a ,b ,c } h atv án y h alm aza:

Y&r

szimbólumok szolgálnak. A és B halmaz A \ B alakban jelölt különbséghalmazán A azon elemeit értjük, amelyek nem tartoznak 5-hez, azaz A \ B : = { x \ x e Aés

B].

Például {a, b, c, d } \ {b, d , e, f ] = {a, c \ A különbség műveletére vonatkozó összefüggések: A \B ^B \A -

19

P(Á) = (0, {a}, {b}, {ej, {a, b}, {b, c], {a, c}, {a, b, c}}. A z e le m e k szám a: 2^ = 8 . A z A h alm az ekvivalens a B h alm azzal, ha van o ly an füg g v én y , amely az A -t k ö lcsö n ö sen e g y é rtelm ű en lek ép e zi a B h alm azra, je lö lé se : A ~ B.

Például a term é sz e te s szám o k N h a lm aza ek v iv alen s a f í := { 2 ,4 ,6 ,...,2 n ,...}

A\BczA; p o zitív p áro s szám o k h alm azáv al: B ~ N .

A \ 0 = A;

0 \A = 0;

A \A = 0 ; ( A \ B ) n ( B \ A ) = 0 ;

(A \5 )u 5 = A u 5 ; (A \B )n C = A n C \ B nC; ha B ez A, akkor ( A \ B ) u B = A; ha A n B = 0 , akkor A \ B = Aés B \ A = B\ ha A ^ B , akkor (A \ fi) u (5 \ A) ^ 0 . Ha A d H, akkor a H \ A halmazt A-nak H-ia vonatkozó ki egészítő vagy komplementer halmazának nevezzük, jelölése: A f j , vagy ha nem érthető félre, akkor A .

A z A és B h a lm az d irek t v agy Descartes-féle szorzata az öszszes o ly an (x, y) re n d e z e tt elem p árb ó l álló h alm az, a m e ly ek n él x e A és y e B, je lö lé s: A x B , teh át A x B : = {(x,y) x E A, y e b ]. Például {a,b}x {u, v, w} = {(a,u), (a, v), (a, w), (b, u), (b, v), (b, w)}. A d ire k t szo rzat n em k o m m u tatív:

A x B ^ B x A. H a fi = A, a k k o r h a szn á lh a tó az A x A - A ^ je lö lé s is.

20


7.2 Függvények

21

Értelmezhető több halmaz Descartes-s,zovzdX2i is, így X] X ^2 X ... X

= {(Xi, X2,..., x„) I Xi G X^}.

1.2 Függvények

f '(B) = { x |x e D ( /) , f ( x ) e B } . Ezt az /

(B) c X halmazt a B halmaz ősképének, vagy inverz

képének nevezzük. Most is előfordul, hogy / ~ \ b ) - 0

pl., ami

kor B n R(f) = 0 . Ismertnek tételezzük fel egy X halmazon értelmezett és egy Y hal mazbeli értékeket felvevő függvény fogalmát [K17], [K93]. A függvény, a leképezés vagy az operátor szavakat a továbbiakban azonos értelműnek tekintjük. E gy/függvény értelmezési tartományát D { f ) -fel vagy D j -fel, értékkészletét R { f ) -fel vagy Rf -feljelöljük. Az

A halmazok képével és ősképével kapcsolatos azonosságok: Legyen / : X -> Y egy tetszőleges leképezés, A c Z egy tet szőleges halmaz, ha /(A ) = B, akkor A n D ( f ) c: r \ B ) .

(3)

Speciáhsan, ha f : X - ^ Y olyan leképezés, amelyre D ( f ) = X , akkor ha

jelölés azt jelenti, h o g y /e g y olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya X-ben, értékkészlete 7-ban fekszik, vagyis D { f ) d X, R( f) d Y.

/(A ) = 5, úgy A d / \B).

Tetszőleges f : X ~^Y leképezés és bármely B czY halmaz esetén ha A=/

Ha D ( f ) = X , akkor az X-en értelmezett függvényről beszé lünk. Különbséget teszünk az / és f { x ) jelölés között: / magát a

Legyen / : X

Vj5), akkor /(A ) c B.

(5)

Y tetszőleges leképezés,

függvényt jelenti, míg f ( x ) az x e D ( f ) elemhez rendelt 7-beli függvényérték, amelyet az x elem képének vagy x képelemének (képpontnak) nevezünk. Legyen f : X - ^ Y egy tetszőleges függvény és legyen A az Z

(4)

A^dX, B ^ aY ireT ) tetszőleges halmazok, akkor /(U

egy tetszőleges részhalmaza (nem tételezzük fel, hogy az A halmaz a D ( / ) -nek is részhalmaza). Jelölje /( A ) az A n D ( f ) halmaz

^ )=

(6)

U

f ( f ] A^) Cl f) f(Ay) , yiET r

(7)

ban lévő elemek képpontjainak halmazát, vagyis r \

f(A )--{f(x)\je A nD (f)l

u By)= [j r \ B y ) ,

( 8)

yer

Ezt az /( A ) c Y halmazt az A halmaz képének nevezzük ( a z /

r

\

n 5r) = n

r \ B

y i

(9)

leképezésre vonatkozólag). Előfordulhat, hogy f ( A ) = 0 , például, amikor A n D ( f ) - 0 . Legyen most B az Y egy tetszőleges részhalmaza, és jelentse mindazon D ( f ) -beli elemek halmazát, amelyeknek képe a B halmazban fekszik, vagyis

Valamely f : X

Y leképezést kölcsönösen egyértelmű vagy

invertálható leképezésnek nevezünk, ha a leképezés különböző D( f ) -beli pontokhoz különböző képpontokat rendel, vagyis ha X] és X2 G D(f), xj ^ X2, akkor /(X|) ^ f ( x 2).

22

!. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

L eg y en /k ö lcsö n ö sen egyértelmű függvény. Jelölje /

L 3 Mátrixok, vektorok

23

^ azt a

függvényí, amely minden egyes y g R{f ) ponthoz azt a D { f ) -

1.3 M átrixok, vektorok Legyen m, n e N. Az m sorba és n oszlopba rendezett valós vagy

beli X elemet rendeli, amelyre f {x) = y. Az ilyen módon értelmezett r':Y ~> X

függvényt az / : X -~^Y függvény in¥erz függYéiiyéiiek nevez zük. Ekkor « / - ' ) = « ( / ) és R ( r ' ) = D{f). továbbá minden x e D(J') esetén r \ f ( x ) ) = x,

komplex számok, a továbbiakban elemek, téglalap alakú szögletes zárójelbe foglalt táblázatát m x n típosú m átrix n ak nevezzük [K59], [K30], [K72]. Ha nem szükséges megkülönböztetni, hogy az elemek valós vagy komplex számtest elemei, akkor a számtestet R~ rel, ha csak valós elemek jöhetnek számításba, akkor a számtestet R-rel, ha pedig hangsúlyozni akarjuk, hogy az elemek komplex számtestből valók, akkor a számtestet C-vel jelöljük. Mátrixra általában félkövér álló nagybetűvel, elemeire pedig két indexes dőlt kisbetűvel hivatkozunk, például üli ű]2 ... a|,j A = <^^21 «22 ••• ^2n

és minden y e R( f ) esetén f ( . r ' ( y ) ) = y. Ha az / : X

^ml ^^ni2 ' •• ^mn de rövidebb jelölésére

olyan invertálható leképezés, amelyre

A = [ ű y ] ,ilk

D{ f ) = X és R( f ) = Y , azaz az / függvény kölcsönösen egyértelmű módon leképezi az X halmazt az Y halmazra, akkor tetszőleges A c X részha!m.azra f(A)Y=f(A)^,

( 10)

Legyenek X, F , Z é s ¥ tetszőleges halmazok, és legyenek g:X -~^Yésf:Z-^V tetszőleges leképezések, ahol R{g) n D{ f ) # 0 , akkor a h(x) = f ( g { x ) ) egyenlőséggel értelmezett h : X F függvényt a z / é s g függvé nyek kom pozíciójának (összetett vagy közvetett függvénynek) nevezzük és / ° g ^vel jelöljük, azaz

( / ° i")(4

f i g(x)),

D ( f o g)::={xE D(g)\g(x)G D (/)}

(1*)

alakot is használjuk, ahol az ciij a mátrix általános elemét jelöli, az első index (i) a sor, a második index (/) az oszlop sorszáma. Az az A /-edik sorának j~edik oszlopában álló elem. Az R test feletti mátrixok m x n ~ e s halmazát i?'"^” -nel jelöljük. Ha R valós hal maz, akkor valós mátrixról, ha R komplex halmaz, akkor komplex mátrixról beszélünk. Az egy oszlopból álló m x 1 típusú mátrixot oszlop m átrixnak, vagy oszlopvekíornak, az egy sorból álló í x n típusú mátrixot pedig so rm átrix n ak vagy sorvektoriiak nevezzük. A vektorokat általában félkövér álló kisbetűvel, elemeit pedig egyindexes dőlt kisbetűvel jelöljük:

h = f og. Az f o g definícióját röviden is megadhatjuk;

( 1)

Vl, V2 ,

24

/. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

A vektorok elemeit komponenseknek mondjuk. Ha az (1) mátrix minden eleme 0, azaz űy = 0, í = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n, akkor az A mátrixot nullamátrixnak (zérusmátrixnak) nevezzük, jelölése: A = 0. 0 0" 0 0 0 egy 3 x 3 típusú nullamátrix. 0 0 0 Az A = [öy ],„xn és a B =

]pxí? mátrixokat egyenlőknek mon

dunk, ha típusuk megegyező, azaz p - m, q = n, és ha A minden íj indexű eleme egyenlő a B ugyanazon ij indexű elemével, azaz ülj - bjj. A mátrixok ugyanazon ij indexű elemeit megfelelő ele meknek nevezzük. Az A és B mátrixok egyenlőségét A=B jelöli.

1.3 Mátrixok, vektorok

Az

25

elemek az n-edrendű A mátrix fődia-

gonálisát (főátlóját) alkotják. Ha egy kvadratikus mátrix fődiagonálisán kívül valamennyi elem nulla, akkor azt diagonális (átlós) mátrixnak mondjuk. Ha a diagonális mátrix főátlójában lévő elemek mindegyike 1, akkor azt egységmátrixnak nevezzük, rendszerint E-vel jelöljük s ha szükséges, alsó indexszel megadjuk típusát is. Például ”1 0 0“

E= 0 1 0 _0 0 1 _

egy harmadrendű egységmátrix, E 3 . A diagonális mátrixot latin betűkkel írt dőlt betűs diag vagy fél kövér diag szórövidítéssel és utána zárójelben a diagonális elemek vesszővel elválasztott felsorolásával is jelöljük. Például az A n-edrendű diagonális mátrix jelölése: ayi

Azt az A -vei jelölt mátrixot, melyet az A mátrixból úgy ka punk, hogy oszlopait és sorait felcseréljük transzponált mátrix nak nevezzük. így például az m x n típusú A = [öy],„xn mátrix 0

transzponált mátrixa n x m típusú: Ha a diagonális mátrix mindegyik a

" = i

1 2' 1 3 5‘ Például, ha A = 3 4 , akkor transzponált]a: A = 2 4 6 5 6 Egy y vektor alapértelmezésünk szerint mindig oszlopvektor, azaz m x l típusú, ezért a megfelelő sorvektort transzponáltként ér telmezzük és így az Ix m típusú:

Ha a mátrix oszlopainak száma egyenlő sorainak számával, azaz m = n , akkor négyzetes (kvadratikus) mátrixról beszélünk. Az n x n -es mátrixot röviden «-edrendű mátrixnak nevezzük.

0

...........

Ű22

0

0

ÍÍ33

0

0 eleme egyenlő egymás

sal, akkor ezt a mátrixot skalármátrixnak mondjuk. Az egységmátrix jelölésére a ] alakot is használjuk, ahol

[0, ha i ^ j az ún. Kronecker-féle szimbólum. Például az n-edrendű egységmát rixjelölése: Azt az n-edrendű mátrixot, amelynek fődiagonáhsa alatti min den eleme 0, felső háromszögmátrixnak, azt pedig amelynek fődiagonálisa feletti minden eleme 0, alsó háromszögmátrixnak nevezzük. Például

26

/.

Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

A=

0

ü

22

y

0

0

Ö2;i

Legyenek k és r valós vagy komplex számok. Az A és B

egy felső háromszögmátrix,

azonos típusú mátrixokra érvényesek a következő

(A, B g

0 ^2\ ^22 •••

27

Például, ha “1 2“ 10”' “6 12" A= , akkor 5 • A = , és A + 5A = _3 4^ J 5 20^ J 8 24^

üli ű|2 ... ai,i 0

i.3.1 Műveletek mátrixokkal

0

0

®

... k. ^nl ^r,2 •••

pedig egy alsó iiároraszögmátrix. Egy felső háromszögmátrixból az elemek fődiagonálisra vaió tükrözésével alsó háromszögmátrixot kapunk és fordítva. Ha egy háromszögmátrix fődiagoiiálisában minden elem 1-gyel egyenlő, akkor a típustól függően egység alsó- vagy felsőhárom szöginátrlxról beszélünk.

tulajdonságok: 1. (7c + r) A = kA + rA: 2.

/c(A + B) = /vA + /cB;

3.

k(rA') = (kr)A;

4.

1 •A = A;

5.

0 -A = 0 .

Minden A mátrixnak létezik -A -val jelölt ellentettje: ^ A E E é l)A = h ű y ] , amelyre

1.3.1 M áveieíek m átrixokkal Az azonos m x n típusii A és B mátrix m X n típusú C összegmáírix án ak és kiiíöiibségináírixáíiak elemeit a két mátrix megfelelő elemeinek összege, ill. különbsége állítja elő, azaz C = A ± B = [ ű ,.± & y .U „ .

A =a \

ekkor

, és

ferdén szim m etrlkes, ha megegyezik transzponáltjának (-1)szeresével, azaz ha A = -A

Az összeadás kommutatív és asszociatív: A + B = B + A; A + (B + C) = (A + B) + C, továbbá a mátrixösszeg transzponált]a a transzponált mátrixok összegével egyenlő, azaz

A + (-A ) = (-A ) + A = 0.

Az fí-edrendű A mátrix szim m etrikus, ha megegyezik transzponáltjával, azaz, ha

Például az

i

, .ekkor

= -ci j i , és a,-,- = 0 .

1 2 3' A= 2 4 5 3 5 6

(A + f i f - A^^+B^. Az összeadás euileleme a 0-val jelölt (megfelelő méretű) nulla mátrix: A + 0 = 0 + A = A. Az A mátrix tetszőleges k e R szám m al vak) szorzásának formulája: kA = Ak = [k-aij], azaz a mátrix minden elemét megszorozzuk a k számmal.

^ •

0 -1

T

mátrix szimmetrikus, A = A , míg a B =

1

-2 ferdén szimmetrikus, ui. ~ 0 1 -2^ T 0 3 = ( - 1) -1 2 -„.3 0

=

0 -4 1 0 -2 3

2’

0 -3

3

0

2“ , vagyis B = (-1) 0

mátrix

2<5


1.3.1 M űveletek mátrixokkal

Két mátrix AB szorzata akkor képezhető, ha a bal oldali A mátrixnak annyi oszlopa van, mint ahány sora van B-nek. Az ilyen mátrixokról azt mondjuk, hogy kompatibilisek vagy komformábilisak a szorzás szempontjából. Ha A = [ö,,],„xn , B = n ’ akkor szorzatuk az az m x p tí

ti

A= Si §2 S3

pusú C = [cik\nxp mátrix, melynek elemeit C = AB = l.aiibjk U '=1

= \Cik \i-xp ’

=

=

mxp

formula szerint képezzük, azaz a szorzat mátrixban az /-edik sor kadik eleme az A mátrix z-edik sorvektorának és a B mátrix k-adik oszlopvektorának skaláris szorzatával egyenlő. Például, ha A = Ü21 022 ’ B = _«31 <^32_

1 + Uy 2^>21 «1 A l + a\ i h l

\ h 3 + ^ 12^23

^22^22 ^21^13

^22^3

_a3 ] ^ l l + 032^21 <^31^2 + ^ 3 2 ^ 2 <^31^3 + '^32^23 _

az A mátrix és a 2 x 1 típusú x oszlop vektor szorzata 3x1 típusú oszlopvektor: «ll ÖI2 ’ " 4 “ “0 1 1 X1 + 0 1 2 ^2 " = 0 2 1 - ^ 1 + ^ 21^2 Ö2 2 _'^2 _ _«31 fl32_ _«31^1 + «32-«2_ A mátrixok szorzását áttekinthetőbb formában Ax =

« 21

! B I A I AB i " - - + -------- 1- -

I t

bi 2 ^3 ^21 ^22 *^23

öli ai2 ÍÍ21 ^22 <^32

S]ti Sit2 Sit3 S2tl S2Í2 S2Í3 S3t] S3t2 S3t 3

= AB

vektorait, az s,-t^ skaláris szorzat pedig az AB szorzatmátrix eleme it jelöli. S3t 2 = [<332, 033] h i ^ - <^32^ 2 + <^33^22 • P ii.

h l h3 p 2 i h l ^23_

oszlopvektor, akkor a 3 x 2 típusú A és a 2 x 3 típusú B mátrix AB mátrixszorzata 3 x 3 típusú mátrix: űl

Í3

B -

^1

X = [Xj. X2^

AB = 0-2 ]f\ 1 ^22^1 ^21^2

t2

ahol S],S2,S3 az A mátrix sorvektorait, t^,t2, t 3 a B mátrix oszlop

Például

ö li <^12

29

I

A mátrixszorzás tényezői - kivételes esettől eltekintve - nem cse rélhetők fel, a mátrixszorzás nem kommutatív művelet: AB ^ BA . ~1 2" '5 -1 -3 “ “5 6" Például, ha A = , B= , c = _3 4_ 6 7 8_ 1 8_ akkor az A, B mátrixok AB sorrendben kompatibilisek, szorzatuk képezhető: 5 -1 - 3 (B) 6 7 8 (A) 1 2 17 13 13 (AB) 3 4 39 25 23 de B, A sorrendben nem kompatibilisek, a BA nem képezhető. Az A, C mindkét sorrendben kompatibilis mátrixok és így az AC és a CA szorzat is képezhető, de AC CA : 5 6 (C) 1 2 (A) 7 8 3 4 (A) 1 2 19 22 (AC) ’ (C) 5 6 23 34 (CA) 3 4 43 50 7 8 31 46

I

elrendezés szerint végezhetjük [K103] (Falk-mód&zemek is nevezik):

AC-

"18 22" _43 50_

”23 34” = CA. 31 46_

Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

I.3. I M űveletek mátrixokkal

Példáui, ha A n-edreridü mátrix, E pedig n-edrendű egységmát rix, akkor az A és E mátrixtényezők felcserélhetök: AE = EA = A. Az E egységmátrix a mátrixszorzás egységeleme, ha E mérete megfelelő. Mint látni fogjuk a mátrixhatványsorok téma ismertetésénél, a mátrixszorzat tényezői felcserélhetök, ha azok egy n-edrendü mát rix hatványai. Ha egy mátrixszorzat bal oldali tényezője oszlopmátrix (osz lopvektor), a jobb oldali pedig sormátrix (sorvektor), akkor diadikes szorzásról beszélünk.

2" Például, ha A = 3 4 5 6

30

/.

Például, ha a = [űi aj 03]"^, szorzatuk (a 3x1 , a b

T

31

•2 5 0’ , akkor 3 14 - 2 3' 5 1 0 4

1 3 5‘ 2 4 6

és

-4 7 8 “ l - ( - 2 ) + 2-3Í 1-5 + 2-lí 1-0 + 2 - 4 ' AB = 3-(-2 ) + 4- 3Í 3- 5 + 4 - l i 3 . 0 + 4 - 4 = 6 19 16 5 -(-2 ) + 6- 3Í 5-5 + 6 - l Í 5- 0 + 6 - 4 8 31 24

4 6 8" ~4 6 (AB)^ = 7 19 31 , tehát BÂ^ = 7 19 31 - ( A B ) ^ 8 16 24 8 16 24

bj b ^ , akkor a diadikus

1x3 típusú) 3 x 3 típusú mátrix:

ah aih a o b = CI2 [b\ h b^] = ajbi ajbi a^bj Egy mátrix és a megfelelő típusú nullamátrix szorzata nulla mátrixot ad: AO = 0.

Az A = [ay]eC'

mátrix komplex elemeinek konjugáltjait

képezve az A komplex konjugáltját kapjuk, jelölése: A —íîjJmxn • Az A mátrix komplex konjugáltjának transzponáltját az A mátrix Hermite-féle-konjugált mátrixának, a továbbiakban hermitikus-konjugált mátrixának nevezzük, jelölése:

A mátrixszorzás tulajdonságai (A, B, C ebben a sorrendben kompatibilis mátrixok, k, r tetszőleges számok): 1. A(BC) = (AB)C; (asszociatív) 2. (A + B)C = AC + BC;

A(B + C) = AB -f- AC; (disztributív)

3. /c(AB) = (M )B = A (® ). A mátrixok sorrendjét az L, 2., 3. egyenlőség két oldalán meg kell tartani. A szorzatmátrix transzponálja a mátrixok transzponáltjának fordított sorrendben történő szorzatával egyenlő: (AB)^^ = b ’^ A^; Továbbá fennállnak a következő egyenlőségek: A "Í = a;

(kA + r B f = k A^ + rB^ .

A —A —[cijilyixmTulajdonságai (A, B összeadásra, szorzásra kompatibilis mátrixok): 1.

(A*)* = A;

2.

(A + B)* = A*+B*;

3.

(AB)* = B * A * .

Azt a kvadratikus A mátrixot, amelynek adjungáltja egyenlő az A mátrixszal, azaz A* = A, önadjungált mátrixnak nevezzük. Ekkor az n-edrendű A mátrix elemeire «// = öy- (i, j = 1,2,..., n) egyenlőség áll fenn, így a fődiagonális elemei valós számok. Például az A =

3 i-sr 1 + 5/ 7

mátrix önadjungált, mivel


32

].3.2 Determinánsok

3 1 -5 T 3 \ + 5f ^ t T - A* = A. es A = _l + 5i 7 1 -5 Í 7 _ A valós számokból felépített A e R

det A =

T

T

A A , mindig szimmetrikus. ’l 3“ “1 2" , akkor A^ = , es Például, ha A = 2 4_ _3 4_ A Â =

■] 2‘ 3 4

40 14" szimmetrikus mátrix. 14 20

a,, a, 2 ^2\ ^^22

—űiíCln'-) UioClo

Például ha 2 -3 "2 -3 A= , akkor det A = = 2 - 5 - ( - 3 - 4 ) = 22. 4 5_ 4 5

mátrix akkor és csak

akkor önadjungált mátrix, ha szimmetrikus, azaz A' = A. Egy kvadratikus mátrix transzponáltjával képzett szorzata,

33

A determináns bármelyik sora vagy oszlopa szerint is kifejthe tő. Jelöljük -val azt az eggyel alacsonyabb rendű determinánst, amely azon n -1 -edrendű mátrix determinánsa, melyet A-ból annak i-edik sora és yt-adik oszlopa elhagyásával nyerünk. Ez az ciif. elemhez tartozó aldetermináns. A (-1)'"^^ tényezővel szorzott aldeterminánsokat előjelhelyes aldeterminánsoknak mondjuk, és % -val jelöljük, azaz

1.3.2 Determinánsok Az A=

«11 «12 ••• ^\n Cl2 i Ö22 ... a2n ttni ö„2 ... Clnn_

A determinánst kifejtjük, ha egy sor vagy oszlop elemeit rendre megszorozzuk a hozzájuk tartozó előjelhelyes aldeterminánsokkal és az így kapott szorzatokat összeadjuk. Az A determináns z-edik sora szerinti kifejtése: det A = üiiAfi + ai2Ai2 + ... + . A kifejtés bármelyik sor vagy oszlop szerint elvégezhető. ail a]2 a|3 Például az A = ű2 1 ^ 2 2 ‘^23 harmadrendű mátrix determinán_Ö3i Ű32 Ö33_

n-edrendű (kvadratikus) mátrix n-edrendű determinánsán a det A =

a,, a ,2 în Ü22 ■■■ í«2n Cl,^^ Ctn-l •. •

sának első sora szerinti kifejtése:

számot értjük, ahol az összegezést az 1, 2, ..., n számok valamennyi permutációjára kiterjesztjük [K7]. P a sorindexek, S az oszlopinde xek permutációjában szereplő inverziók számát jelöli. A determi náns főátlóját az űj j, 022, elemek, m ellékátlóját pedig a űl„, Ö2

1+1 <^22 ^23

-I- ű] 3 • (-1)

o-nl elemek alkotják.

A másodrendű mátrix determinánsának kifejtését a föátló ban lévő elemek szorzatának és a mellékátlóban lévő elemek szor zatának különbsége adja. a ii a i 2

J +2 ^21 ^23

+ Ö12 - ( - l )

^32 «33

"31 «33

1+3 ^21 ^22 = ö] i(ö22Ö33 " ^23^32) ~ ^3\ ^32

-(312(021033 ~ <^23^31) +<^13(^21*^32 “ <^22^3l) ’ harmadik oszlopa szerinti kifejtése: det A= a| 3 • (-1) ^2\ ^22 +Ü23 • ( - 1)' ö li ai2 + 033-(-1/ ö li Ü3i a^2

másodrendű mátrix determinánsa; -

Ö31 Ű32

«12

<^21 «22

ö13(ö2]«32 ~ <^22^3l) “ ^ 2 3 ^ 1*^32 “ ^12^31) + <^33(<^í\^22 ~ ^\ 2^2 ])-

34


A példa oszlop szerinti kifejtésében az első tag a sor szerinti ki fejtés harmadik tagjával egyenlő. A második és harmadik tagból üli és -<3i2 tényező kiemelésével a sor szerinti kifejtés első, ill. második tagja áll elő. A kétféle kifejtés tehát egyenlő. Azonos rendű kvadratikus mátrixok determinánsaira érvényes a determinánsok szorzástétele: det(AB) = det(BA) = det A • detB. Az A = [ö,y]„x77 rnátrix -

-

transzponáljának determinánsa a mátrix determinánsával egyenlő, azaz det A^ = det A, konjugáltjának determinánsa determinánsának konjugáltjával egyenlő, azaz det A = det A

-

Á:-szorosának determinánsa

1.3.3 A négyzetes mátrix inverze

majd első sorát 3-mal szorozzuk és kivonjuk a harmadik sorából, az első sor változatlan hagyásával, és kifejtjük az első oszlop szerint, akkor 2 2 4 2 2 4 -1 - 3 det A = 4 3 5 0 -1 - 3 = 2 = 2 -(-2 -(-3 )) = 2 1 2 6 7 14 0 1 2 (Az első oszlop szerinti kifejtés a két 0 eleme miatt előnyös). M egjegyzés. A mátrix és determináns, mint a fentiekben láttuk, különböző matematikai fogalmak. A mátrix az g R elemek ren dezett táblázata, a determináns pedig egyetlen R-heli elemet jelent. Mondható, hogy a determináns értéke egy szám. 1.3.3 A négyzetes mátrix inverze Az A (n-edrendű) kvadratikus mátrixot invertálhatónak nevezzük,

det A -val egyenlő, azaz

det(kA) = k ’^detA, Ha az A mátrix - valamely sorának vagy oszlopának minden eleme 0, akkor det A = 0 , - valamely sorának vagy oszlopának minden elemét k szám mal szorozzuk, akkor determinánsa is A:-val szorzódik, - két sorát, ill. két oszlopát felcseréljük, akkor determinánsa ( - 1) -szeresére változik, egy sorának, ill. oszlopának elemeit hozzáadjuk egy másik sor, ill. oszlop elemeihez determinánsa nem változik, - két sorvektora, ill. két oszlopvektora egyenlő vagy arányos, akkor a determinánsa 0 (az előzőekből következik). A mátrix determinánsára felsorolt tulajdonságokat felhasználva a determinánsokkal kapcsolatos műveletek egyszerűbbé tehetők.

ha van olyan A~' -gyei jelölt (szintén n-edrendű, kvadratikus) mát rix, amelyre -1

A 'A = AA~ =E ,

( 1)

ahol E az A-val megegyező rendű egységmátrix. Ekkor az A ” ^ mátrixot az A mátrix (kétoldali) inverzének hívjuk. Egy n-edrendű A mátrixot nemszingulárisnak (nemelfajulónak) vagy regulárisnak mondunk, ha a determinánsa zérustól kü lönböző, azaz ha det A ^ 0, és szingulárisnak (elfajulónak), ha det A = 0.

-

’2 2 4 “ 2 2 4 Például ha az A = 4 3 5 mátrix det A = 4 3 5 6 7 14 6 7 14

35

Minden reguláris mátrixnak van inverze, melyet A-l _ adj A det A

( 2)

formula szerint kiszámíthatunk, ahol az adjA -val jelölt adjungált mátrix: A ll A 2

determi adjA —

An

^2 1 ^ 2 2 ••• ^2n

nánsának első sorát 2-vel szorozzuk és kivonjuk a második sorából, _Aii A i 2


36


melynek ij ii, y = 1,2,..., n) eleme az A mátrix aji eleméhez tarto a " ‘a

zó Aji előjeles aldetermináns. Például, ha

'- 1 2 - í '3 2 r '1 0 0‘ -1 0 1 4 3 1 = 0 1 0 7 -6 1 3 4 1 0 0 1

=í

Ha A és B n-edrendű reguláris mátrixok, akkor

’3 2 r A= ^ 3 í 3 4 I

1. (AB)~^ =

akkor detA = 2?í:0, tehát A reguláris, van inverze. Oszloponként képezzük az elemekhez tartozó Aji -vei jelölt előjeles aldeterminánsokat:

2. d etA ^ ’ = (d e tA )“ ^ = - 3 - L ; det A 3. { A - Y = ( A ^ ) - \ Például (az előző példa A

21 21 31 A i - 4 1 - - 1; A2 j - - 4 1 = - ( - 2 ) = 2 ; A3 i = 3 1

= -

1;

4 3 _7* 4 1 31 31 - 0; A32 - = 1; 4 3 A i - - 3 1 - -1; ^22 4 1 34 31 32 32 = 1. = - 6; A33 = A23 = 4 3 34 Az adjungált mátrixba az oszloponként kiszámított aldeterminánsok értékeit soronként írjuk be: ■-1

2 -í

adj A = - 1 0 7 -6

.-1 _ adj A _ detA

1 , és így 1

-1

2 -1

-1

0

7 -6

1 1

37

-1

mátrixának minden sorából kieme

lünk ^ -e t):

det A * = det

1 1 2 1 0 2 7 -3 2

r 2 1 2 1 2

I l i 2 2 ‘2

d etA ” ^ =

-1

2 -1

-1

0

7 -6

1

1

detA

2'

1 1

Összefüggések (A és B n-edrendü mátrixok): 1. A ■(adjA) = (det A) • E = {adjA) ■A; 2. det(űí//A) = (detA )"”^; 3. adj{AW) = a4/B ■adjA\

_ i

i_ i

4. Ha A szinguláris, akkor A • {adjh) = (adjA) • A = 0.

_ i

0

Ha egy Q valós kvadratikus mátrixra fennáll a

2 2

2

7 -3

2

1

2

i

2

Q“ ^= Q ^ egyenlőség, akkor a Q-t ortogonális mátrixnak nevezzük.

Ellenőrzésül számítsuk ki A és A ^, valamint A ^ és A szorzatát: "3 2 f ■-1 2 -1 '1 0 0“ AA"^ = 4 3 1 . 1O - 1 0 1 = 0 1 0 z 3 4 1 1 0 0 1 7 -6

Az ortogonális mátrix transzponáltja tehát a mátrix inverzével egyenlő. —1 T

Az ortogonális mátrix inverze is ortogonális és így Q = (Q ) . Az ortogonális mátrix determinánsa +1 vagy - 1 , detQ = 1.

38


1 Például, ha A =

, akkor det A = 4- + 4 = 1. 4 4

V3

39

1. Sp(AB) = Sp(BA);

V3‘

2


2. Sp(Â -t- rB) = kSp A -i- rSpB ; (k, r valós vagy komplex szá mok),

L2 1 V3 2 2 adjk. = V3 1 ’^ L 2 2J

r 1 .

1 V3] 2 2 S 1 2 2J

1 V31 2 2 PJ V3 1 L 2 2J r

3. SpA^ = S p A ; Sp(AA*) = S p(A A ^)= j =\ i=\

Például, ha A =

és így látható, hogy A ’ = A ^, tehát A ortogonális mátrix. A kvadratikus U mátrixot, melyre fennáll az

'1 2

3 4

AB =

,B =

-1 r , akkor 5 6

■ 9 13' ■ 2 2' és BA = 17 27 23 34

U” ‘ = U* (= egyenlőség, unitér mátrixnak nevezzük. Az unitér mátrix deter minánsának abszolút értéke 1, azaz |detU| = 1. Az unitér mátrix in verze is unitér és így

Például az A =

és l számú oszlopa (l < / < n - 1) törlésével előállított részmátri

V2 •

2

2

unitér mátrix, mivel

r

V2 2

_

2 ^

V2 V2 . 1 2 2 2 V2 V2 , V2 2 J_ 2 ^ 2 _

A *A = A ^ A =

Sp(AB) = Sp(B A ). Egy A = [ciijlfnxn mátrixból annak k számií sora (1 < ^ < m -1 )

detUT-l “ = 1. V2

Sp(AB) = 9 + 27 = 36 , Sp(BA) = 2 + 34 = 36 , azaz

r

'1 0

xot, amely m - k sorból és n - l oszlopból áll, az A mátrix minormátrixának {részmátrixának) nevezzük. A kvadratikus minormátrix determinánsát minornak mondjuk. 1 2 3' Például, ha A = 4 5 6 , akkor a 2. sor és az 1. oszlop elhagyá7 8 9 sával kapott B =

2 3‘ mátrix az A-nak, az 021 = 4 eleméhez tar 8 9

tozó minormátrixa, és mivel ez kvadratikus, így a minor;

0 1

Az n-edrendű kvadratikus mátrix föátlójában álló elemek őszszegét a mátrix spurjának, nyomának vagy trace-ének nevezzük, és SpA -val vagy TrA-val jelöljük, azaz Sp A = Tr A = X

, ( A = [a^]„xn )•

A:=l

Ha A és B azonos rendű kvadratikus mátrixok, akkor

detB = 1 8 - 2 4 = - 6. A mátrix rangja. Az

A = [űylmxn típusú mátrix rangja

r = r(A ), ha a kiválasztható r-edrendűnél magasabb rendű kvadra tikus minormátrixokhoz tartozó minorok mindegyike zérus, de az redrendűek között van legalább egy zérustól különböző. A nulla mátrix rangja r - r(0) = 0. A vektortér című részben további rang definíciót is adunk.

40


'1 2 2 4 Például, ha A = 2 4 4 2 , akkor a 3 x 4 -típusú A mátrix

0 0 0 1 rangjának megállapításához képezzük rendre a harmadrendíi mát rixok minorjait: 12 2 2 4 4 = 0, 0 0 0

12 4 12 2 4 2 = 1= 0, 2 4 0 0 l

2 24 2 2 4 4 2 = 1= 0. 4 4 0 0 1

Mivel a harmadrendíi mátrixok minorjai mind 0-val egyenlők, az A mátrix rangja 3-nál kisebb. Képezzük a másodrendű mátrixok minorjait: 1 2

24

= 4 - 4 = 0,

1 2

24

= 0,

14 = 4-S = -4^0, 2 4


41

Ha az A mátrixból elemi transzformációk sorozatával előállítha tó a B mátrix, akkor azt mondjuk, hogy az A és B mátrix ekviva lens egymással: A ~ B . Az ekvivalens mátrixok rendje és rang ja azonos. Például, ha ~2 3 5 ' A= 3 2 6 _4 6 10_ akkor az 1. oszlopvektorának 2-szeresét kivonva a 3. oszlopvekto"2 3 rából a B = 3 2 0 mátrixot, a B mátrix 1. sorvektorának 24 6 2 2 3 l szeresét kivonva a 4. sorvektorából a C = 3 2 0 mátrixot kapjuk.

tehát van 0-tól különböző másodrendű minor, így az A mátrix rang ja r(A) = 2 .

melyből látható, hogy det C = 0 , tehát A rangja, r(A) < 3 . Mivel

Az m x n -es A mátrix rangjára érvényes a következő egyenlőt lenség és egyenlőség:

A, B, C ekvivalens mátrixok és a C mátrixnak van zérustól külön böző másodrendű minora.

r(A) < min(m,n),

0 0 0

T

r(A) = r(A ).

Ha az A és B mátrixok kompatibilisek, akkor r(AB) < r(A) és r(AB) < r(B ), azaz a szorzatmátrix rangja nem nagyobb a tényezők rangjánál. Ha az A mátrixból a B mátrix úgy keletkezik, hogy - az A mátrix valamely sorát vagy oszlopát megszorozzuk egy nullától különböző számmal, - az A mátrix két sorát vagy oszlopát felcseréljük, - az A mátrix valamely sorához vagy oszlopához hozzáadjuk a tőlük különböző sor vagy oszlop számszorosát, akkor az így előállított B mátrix rangja az A rangjával egyenlő, azaz r(A) = r(B ). A felsorolt átalakításokat a mátrix elemi sor-, ill. oszlop transzformációinak nevezzük.

det

2 3' = 4 - 9 = - 5 ^ 0 , ezért r(A) = 2 . 3 2

Ha az A mátrix minormátrixát az ii,Í 2 ,...,ip -edik sorainak jl, j j, -. ., jq -adik elemei alkotják, akkor annak szokásos jelölése:

A^'i >í 2. ••’Áy _

a: ; hJi a: i ÎJ] a; i '■pj\

% h

■

% h

• ■••

Cl i i ‘iJq a: i îJq

/ ‘-pJq

Természetesen az A mátrix maradék soraiból és oszlopaiból képzett részmátrix szintén A minormátrixa. Egy A mátrix

eleméhez tartozó M y -vei jelölt m inormát

rixát megkapjuk, ha elhagyjuk az /-edik sor és a j-edik oszlop összes elemét:


42

fl,l Ö21

a i2

a\n ’ «2 «

0-22


T X Ax - [xi,x 2,x^]

43 1

- 1

- 1 0

0

2 -

" Xi

- 1

^2

2

3 -

1

= (xj —x2)x^ + i~x^ + 2.X2 -X'^)x2 + {-X2 + î+l,n

= (X] - Xof' + (X2 ~ ‘^hnl

^m2

melyből látható, hogy az egyenlőtlenség Vx^, X2, X3 -ra teljesül.

Az «-edrendű A mátrix

A sarokminorok:

ú!]l a i2 Ö13 flll Ű12 , M3 = M | = l a i i |, M 2 = «2l <^22 <^23 0.21 ^22 ^31 ^32 ^33 űil a]2 ... În Ö21 ^22 ■CÍ2n - det A

nevezzük, ha bármely n elemű x

1 -1 = 1> 0, M3 = d etA = l > 0 , -1 2

rendre pozitívak. T

minorjait főminoroknak vagy sarokminoroknak nevezzük. Az Mq -val jelölt minort definíció szerint 1-nek vesszük. Az n-edrendű szimmetrikus A

M | = 1, M 2 -

Minden reguláris A mátrixszal képzett B = A A mátrix szim metrikus és pozitív definit. Például legyen

ű„l a„2 •••■ann

0 mátrixot pozitív defínitnek

'9 ’l 0 3' 2 2‘ T A = 2 3 4 akkor A = 0 3 5 és A ^ A = 16 2 5 7 3 4 7 _25

0 vektorral képzett x Ax szor

25"

34

47

47

74_

Az A A mátrix pozitív definit, ui.:

vektor esetén Ml = 9 > 0, M 2 = det

xÂ x > 0 .

A pozitív definit mátrix mindegyik sarokminorja pozitív, azaz M,- > 0, (í = 1,2,..., n ) . ‘ 1 -1

íüll fl|2 I

0"

2 -1

0-1

2_

szimmetrikus mátrix pozitív definit, ui. ha X = [X[, X2, X3 ] 5^0 ,

9 16 = 5 0 > 0 ,d e tA 'A = 1 6 9 > 0 . 16 34

A mátrix sorpárhuzamos és oszloppárhuzamos egyenesekkel való felosztását particionálásnak, a particionálással előállított részmátrixokat blokkoknak nevezzük. Például

Például az A = -1

16

T

zata pozitív, azaz bármely x^ = [x], ^2,...,

akkor

+ X'^ > 0 ,

j

- 1 L 3 2 _ { f 23

A= iPnű ^m2 I^hn3 • A mátrix oszloponkénti particionálásával előálló blokkok az oszlopmátrixok (oszlopvektorok), soronkénti particionálásával előálló blokkok a sormátrixok (sorvektorok). Egy mátrix többféle

44_____________ /■ Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből


módon is particionálható. Az elmondottak értelemszerűen a sorvek torok (sormátrixok), ill. az oszlopvektorok (oszlopmátrixok) particionálására is érvényesek.

A (2) alakú mátrixot, vagyis az olyan mátrixot, amelynek ele mei is mátrixok, hipermátrixnak, a (3) alakú vektor elemű vektort pedig hipervektornak is nevezzük. Ha az A és B mátrix minden íj indexű blokkjai azonos méretűek (a megfelelő blokkok azonos típusúak), azaz

Példa 3 -6 3 0 1 5 Az A = 2 9 -4 7 1 1

0 4 5 8-

1 1 3 2

3 0

akkor

0

1

3 0 í ^ 5 4 1

2 7

'2 9

21-

1

1

^22 -

-4 1

5

3

8 -2

re konformábilisak, akkor az AB szorzatmátrix kiszámítható a blokkokkal végzett mátrixszorzásokkal:

42

,^ 2 1

‘‘22 J

T 2

b ) Az X = 3 oszlopvektor 3 4 4 5 5 ,

2

(2)

X2 = 4

Minden r(A) > 0 rangú A mátrix elemi transzformációkkal az 0 0 0

particionálásával

[E , 01

ún. normálalakok valamelyikére redukálható [K72], ahol az E^ blokk az r-edrendű egységmátrix, a 0 blokk pedig nullamátrix, ill. nullavektor. Az A mátrix rangja a normálalakjában lévő E^ egységmátrix rangjával egyenlő.

‘3'

T

AB = IP

A,i

2

A ± B = [A ^,± B ,

Tehát azonos típusú blokkokból álló A és B mátrix összege, ill. különbsége kiszámítható a blokkokkal végzett műveletekkel. Ha az Aj.p, B^^, blokkok a mátrixszorzás szempontjából rend

9 Í-4 5 3 l! 1 8 - 2

jelölést, akkor az adott mátrixot az alábbi tömör formába írhatjuk:

“r

J^ml ■•• ^mn.

0 _ _ l l ________ 5 4

Ha bevezetjük a blokkokra az A ]2 -

-[A jB A _A,î . •• ^mn_

vonalakkal négy blokkra bontjuk: A =

3 -6

'B ii . ■■

;• ^\n

4x5 típusú mátrixot szaggatott

3 -61

An =

45

részvektorokkal

_5_

Például, ha egy 4 x 5 -ös A mátrix normálalakja: r

2 x=

3^

4 5 alakban írható fel.

'Xj” ^ 2_

“1 0 0 _0

(3)

akkor r(A) = 3.

0 1 0 0

0 |0 o lo 1 110 0“|0

0" 0 0 0_

E 3 0‘ 0 0

1. Összefoglaló az. analízis és a lineáris algebra elemeiből

46

2 4 6 8" Például, ha A = 1 3 3 4 , akkor elemi sor- és oszloptransz4 8 12 16 (3) '2 0 0 0" (4) '2 0 0 0" (2) “2 0 0 0" formációkkal A- 1 1 0 0 ~ 0 1 0 0 ~ 0 1 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 4 0 0 0 1 O'iO 0'

(5)

o_l!o_P 0 oTo 0

1.3.4 A négyzetes mátrix hatványa .

47

A °= E . Az A ” tehát egyértelmíien meghatározott, mint az A mátrix ntényezős szorzata. A mátrixok pozitív egészkitevős szorzatára is kiterjeszthetők az algebrai kifejezések hatványozására érvényes alábbi szabályok: A'".A"=A'"+" és (a '”) ”= A '”''

E 2 0‘ (6)

Az A'" és A ” mátrixhatványok szorzata egymással felcserél

0 0

hető, azaz A " ^ A " = A " • A'^ = Ha A reguláris, akkor

normálalakot kapjuk, mely szerint az A mátrix rangja: r(A) = 2 . Az alkalmazott transzformációk elsőként az A mátrixra, majd az egymás után előálló mátrixokra vonatkoznak: - Az 1. oszlopvektor 2-szeresét, 3-szorosát, 4-szeresét rendre kivontuk a 2., 3., 4. oszlopvektorból. —> (2) -

A 2. oszlopvektort kivontuk az első oszlop vektorból. -> (3)

-

Az 1. sorvektor 2-szeresét kivontuk a 3. sorvektorból.

-

Az 1. sorvektort osztottuk 2-vel. —> (5)

-

Felírtuk az A mátrix normálalakját. —> (6)

(4)

A “ '^ = (A ” ^)'^

Mivel a kvadratikus mátrix a szorzás szempontjából önmagával konformábilis és a mátrixszorzás asszociatív, így a kvadratikus m átrixok pozitív egészkitevős hatványát is értelm ezhetjük az alábbiak szerint: V =A A^ = A -A A^ = A ^ - A A " = A "-^ -A

ahol n tetszőleges pozitív egész szám. A mátrix 0 kitevőjű hatvá nyát egységmátrixként értelmezzük, azaz

(r > 0 egész s z ám ).

Az A^ = A összefüggést kielégítő kvadratikus mátrixot idem potens vagy projektor mátrixnak nevezzük. '2 - 2

f

Például az A = 1 - 1 1 mátrix idempotens, mert 0 '2 -2 r A^ =

1.3.4 A négyzetes mátrix hatványa

.

1 -11 0 0 1

0 1

"2 -2 1] ^■2 -2 r 1 ~ 1 1 = 1 -11 = A. 0 0 1 0 0 1

Az A kvadratikus mátrixot nilpotens mátrixnak nevezzük, ha valamely pozitív egész kitevőjű hatványa a 0 mátrixszal egyenlő. Az A ^ = 0 , A ^~^ ^ 0

összefüggést kielégítő kvadratikus mátrixokat p indexű nilpotens mátrixoknak mondjuk. Azt a nilpotens mátrixot, amelynek indexe megegyezik a mátrix rendszámával nemderogatórius nilpotens mátrixnak mondjuk, ha pedig kisebb az indexe a rendszámánál, akkor derogatórius nilpotens mátrixnak nevezzük. 0 5 2 Például az A = 0 0 2 mátrix 3 indexű nilpotens mátrix, mert

0 0 0

I. összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

'0 0 0‘ 0 0 10" AA = A = 0 0 0 és AAA = AA^ = A^ = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Mivel az A mátrix rendszáma is és indexe is 3, ezért nemderogatórius nilpotens mátrix. 1 -1 r - 3 3 - 3 mátrix 2 indexű nilpotens mátrix, ui. -4 4 -4

1.3.4 A négyzetes mátrix hatványa

Legyenek A és B azonos rendíí felcserélhető mátrixok, azaz AB=BA, akkoi az elemi algebrából ismert binomiális tétel alkalmazható (A + B)" kifejtésére V n e N számra, azaz (A + B)"=. r

vOy

A "B %

A "-^B + v ly

v2 y

-3 -4

1-1

í

1 -1

3 -3 4 -4

-3 _4

f

3 -3 4 _4

0 0 0' 0 0 0 = 0. 0 0 0

Mivel a B mátrix rendszáma 3, indexe 2, így a B derogatórius nilpotens mátrix. A kvadratikus A mátrixot periodikusnak nevezzük, ha

kl(n-k)l'

Az elemi algebrában megismert hatványozási műveletek általá ban formálisan nem alkalmazhatóak mátrixokra. így például A ^ - B ^ ^ ( A - B ) ^ (kG Z + ). Például, ha

A=

-1 Például az A =

3 -2\

2 -2

mátrix periódusa 2 , mivel

9 _4“

A ^ = - 6 10 - 4 ,A ^ =

-6

9 -3

-1 3 - 2 ‘ - 5 9 - 4 ” ■-1 3 - 2 “ 2 -2 0 - 6 10 - 4 = 2 - 2 0 6 -9 3 6 -9 3 -6 9 -3

vagyis A^ = A^"^^ = A , tehát k - 2 . A kvadratikus mátrixok hatványának értelmezéséből követke zik, hogy kvadratikus mátrixok polinomja is definiálható. A cq, ci , . . . , c^ (c,j ^ O) tetszőleges számokkal képzett /? ^ (A ) — C Â

2“

akkor

(A B )2

-5 5 - 8' 17 - 3 6

,

"1

6'

_5

7_

, B=

A ^B ^ -

-183 -454' 415 1018

azaz Az A

[ülj] m átrix [| A || normáján azt a nemnegatív számot

értjük, amely kielégíti a következő feltételeket:

6 -9 -_ 5

"-1

_ 3 -4 _

A^+^ = A

( 1) ahol a k pozitív egész szám. Azt a legkisebb k pozitív egész számot, amelyre (1) teljesül, az A mátrix periódusának mondjuk. A A: = 1 speciális esetben A idempotens.

A ° B '" ,

n\

ahol '

n

+ C ^_jA ^

+ . . . + C-yA. + C qE

kifejezést, ahol az A mátrix és az E = A^ egységmátrix azonos n-edrendíi kvadratikus mátrix, n-edfokú mátrixpolinomnak nevezzük.

1. II0 II = 0, és fordítva, ha ||A || = 0, akkor A = 0; 2 . IIA:A II = I/: IIIA ||, ahol a k tetszőleges komplex szám; 3. IIA + BII < IIAII + IIB ||, ahol az A és B mátrixok az összeadás szempontjából konformábilisak; 4. II AB II < IA ||||B ||, ahol az A és B mátrixok a szorzás szem pontjából konformábilisak. Gyakrabban használt mátrix- és vektornormák

IIA III = rnax Y, ay ; | x ||j = max| '

J

i

|;

X=


50

L 4 Vektortér

51

Azonos típusú mátrixokra bevezethetjük a kisebb-nagyobb fo galmat is. Legyen A = > B = [%]„xm ^ akkor A < B , ha Vfly < bij .

1.4 Vektortér Mindhárom norma kielégíti az 1-4. feltételt [K2] . Jelölje R a valós vagy komplex számok halmazát. Az 12 3 Például számítsuk ki az A = 4 2 1 3 5 3

valós mátrix || A UII

normáját. Az A mátrix elemeinek négyzetösszege:

X = (xj,x2,...,x „) Xi& R (/= l,2 ,...,n ) rendezett szám n-eseket n dimenziós vektoroknak tekintjük, az számokat az x vektor komponenseinek mondjuk. A vektorokat általában félkövér latin kisbetíikkel, az R elemeit (skalárokat) dőlt latin kisbetűkkel jelöljük [K27], [K72], [K83], [K71].

1 + 4 + 9 + ... + 25 + 9 = 7 8 , és

■«1 ^2

14 11 22 A ^ A = 11 21 25 ,íg y Sp(AÂ) = n , 22 25 43 1 vagyis ||A ||jjj= X

H

= (Sp A* A )2 = VT8 = 8,831760866 .

oszlopvektor, ill. x - [x^, xj, ..., x„]

Xn,

sorvektor alakot és elnevezést használjuk, és mint oszlopmátri xokra, ill. sormátrixokra értelmezzük az összeadást és a számmal való szorzást: ha

hJ

■^1 + 3^1

M átrixnorm ákra vonatkozó, gyakrabban használt egyenlőtlen ségek:

X=

-^2

,y =

y_2 , akkor x + y = x 2 + y i

Xn + yn_

Jn_

V

kxi

Í A -B 1 < 1 |A || + 1 B | |1 A ||- ||B |||< ||A - B ||. Az A = [ülj] mátrix abszolút értékét az absA = [| öy |] egyenlőséggel értelmezzük.

es

kx = xk = kx2 kx„

ahol a k tetszőleges valós vagy komplex szám. Tehát két vektor összegének komponenseit a két vektor megfelelő komponenseinek összege adja, és egy számmal szorzott vektor komponenseit a vek tor számmal szorzott komponensei szolgáltatják. Az n dimenziós vektorok i?” halmazát az R számtest felett értelmezett lineáris vektortérnek vagy lineáris térnek nevezzük.


52

ha a halmazban értelmezett összeadás és számmal való szorzás Vx, y,ZG i?” -re kielégíti a következő axiómákat: 1.

1.4 Vektortér

53

vektorok skaláris szorzatának (skalárszorzatának) nevezzük, és jelölésére (x,y) = Z ^ ijf

x + y = y + XGÍ?"

(1)

í- i

2 . (x + y) + z = x + (y + z)g jR" 3.

x

4.

x + 0 = x , Og i?"

5.

/:(x + y) = /:x + /:y G ( V / r G i?),

+ (-1)x = 0g

6. (y^ + /) x = /tx + /xG i?", ( y k J e R ) , 7.

X y

Például, ha

( kl)x^k(lx)G R^,

8. Ix = XG i?", ahol 1 azi? test egységeleme. Általában, a fenti axiómákat kielégítő tetszőleges elemek hal mazát is lineáris térnek nevezzük. Például lineáris tér az m x n típusú mátrixok halmaza a szokásos mátrixösszeadás és számmal való szorzás műveletével. Vektorteret alkotnak az origóra illeszkedő sík vektorai az R valós test felett a szokásos vektorösszeadás és a valós számmal való szorzás mííveletére nézve. Legyen V az mazt zárt.

formulát használjuk, ahol y,- szám az y, komplex konjugáltja. A skalárszorzatot a két vektor közé írt ponttal is jelöljük;

lineáris tér nem üres részhalmaza. A V hal

X

1.

(x, x) > 0, ha X

0, és (x, x) = 0, ha x = 0;

2. (x,y) = (y,x); 3.

(kx,y) - k(x,y),

4.

lex szám; (x + y ,z) = (x,z) + (y,z),

(x,ky) = k(x,y), ahol k tetszőleges komp (z,x + y) = (z,x) + (z,y).

Az X vektor normájának vagy hosszának (abszolút értéké nek) az |x|| = V(x,x)

3

Például az R geometriai térben valódi (nemtriviális) alteret alkotnak az origóra illeszkedő egyenesek és síkok, ha az origóból kiinduló vektorok végpontjukkal adottak. Annak eldöntésére, hogy egy nem üres V e i ? ” halmaz altér-e, elegendő megvizsgálni a míiveletek V-beli zártságát. Az X és y vektorok koordinátáinak szorzatösszegét az x és y

(3)

számot nevezzük.

Ha az y = részhalmaza R^ -nek, akkor V-t i?” valódi alterének nevezzük.

(2)

A. skaláris szorzás tulajdonságai:

egyetlen 0 vektort tartalmazó V = {0} tér is altere R^ -nek. Ezeket i?” triviális (vagy nemvalódi) altereinek mondjuk. Ha V valódi

g R ” , akkor

(x,y) = x -y = XYyl^-X2y 2 +■^■ + Xnyn■

tér lineáris alterének nevezzük, ha az 1- 8. míiveletekre

Az értelmezésből következik, hogy i?” altere önmagának, és az

= [x|,^2, . . . , x^], y = [j|,

T

oszlopvektor transzponáltjára y = y * jelölést

vezetjük be, akkor az (1) skaláris szorzat alakja: (x,y) = y * x .

(1*)

Az (1*) formulából felírhatjuk a Cauchy-Schwarz-féle egyenlőt lenséget |(x,y)|<||y*||||x|| = ||x ||||y ||. (4)

54


Az 1-4. tulajdonságú skaláris szorzattal rendelkező n dimenziós vektorteret komplex euklideszi vagy unitér térnek nevezzük (1. a 3.1 pontot). Ha az n dimenziós vektorok koordinátái valós számok, és a számmal való szorzás valós számmal történik, akkor R ” valós n dimenziós vektortérről beszélünk, melyben a skaláris szorzás tulajdonságai speciálisan a következők: 1. (x, x) > 0, ha

X

2 . (x,y) = (y,x);

X

Például az R geometriai tér két nem kollineáris vektora, mint generátorrendszer által kifeszített sík a két vektor által generált altér. így, általánosan azt mondhatjuk, hogy az xj,x2, . . . , x ^ g i?” vektorokat tartalmazó altér a legszűkebb, mely megegyezik az Xj, X2, ..., x,„ vektorokat tartalmazó összes altér metszetével. Az X|,X2,...,X „G i?” vektorokat lineárisan összefüggőknek

n

vektor normája vagy hossza: || x | = ^(x, x) =

,

m elyet euklideszi norm ának, a vektorteret pedig n dimenziós euklideszi térnek nevezzük, szokásos jelölése: E” vagy V” . Az

n

2] kiXi - 0 , melyből következik, hogy ^ | | ^ 0 . í=i i=l Például az X| =[1,2,3], és X2 = [-2, - 4, - 6] vektorok lineárisan

valós szám;

4. (x + y,z) = (x, z) + (y, z). Az

55

mondjuk, ha valamely nemtriviális lineáris kombinációjuk null vek tort állít elő, azaz

0 és (x, x) = 0, ha x = 0;

3. (kx,y) = k(x,y),

1.4 Vektortér

összefüggők, mert 2X] 4- X2 = 0 . Ellenkező esetben az x j,x2,...,x „ vektorokat lineárisan füg getleneknek nevezzük, azaz ha a vektoroknak csak a triviális kom binációja állítja elő a 0 vektort, vagyis

(5)

Y . k i X i = 0 és X

i=!

vektort az xj,x2, ...,x „ e

vektorok lineáris kombinációjának,

a ki e R (i = 1,2,..., n) számokat a lineáris kombináció együttható inak nevezzük. Ha az együtthatók mindegyike 0, akkor triviális, ha van 0-tól különböző együttható is, akkor nemtriviális lineáris kombinációról beszélünk. Az X],X2,...,X ^ e

vektorokat i?” tér generátorrendszeré

nek nevezzük, ha lineáris kombinációjukkal a tér minden vektora előállítható. A vektortér vektorait a kiválasztott generátorrendszer vektorainak különböző lineáris kombináció is előállíthatják. Az Xj, X2, ..., x ^ G i?” vektorok összes lineáris kombinációinak halmazát az X],X2,...,X ^ e R!^ vektorok által generált altérnek nevezzük. Jelöljük ezt G-vel. G tehát a következő halmaz: G y= { q x i + C2X2 + ... + c „ xJ c i, C 2, . . . , c ^ e R } .

I 1 = 0.

/=!

Egy generátorrendszer vagy általánosan egy vektorrendszer rangjának nevezzük a szóban forgó vektorok között található hneárisan független vektorok számát. Például az X| = [1,2,3], X2 = [-1,3,1], X3 = [2, - 6 , - 2 ] vektor rendszernek Xj és X2 vektora lineárisan független, mert nincs olyan k i ^ O és k2 ^ 0 , hogy ky[l, 2,3] + k2Í - l 3,1] = [ki - k2,2ki

3 ) ^ 2 , + ^^2! = « ,

legyen ui. a k\-k2 -Q 2ki + 3k2 = Q> 3^2 + k2 = 0 homogén lineáris egyenletrendszer ismeretlenjeinek száma és együtthatómátrixának rangja egyenlő ( 2 = 2 ), ezért egyértelmű megoldása van, s ez a triviális megoldás: ki = k2 = 0 . Az X3 az

56

l. Összefoglaló az. analízis és a lineáris algebra elemeiből

1.4.1 Bázis és bázistranszformáció

%2 vektor - 2 - szereseként előállítható; X3 = - 2 • X2 . A rendszer

ahol Xj, ^ 2,...,

x ié s x 3 vektora szintén lineárisan független. így az X[,X2,X3 vek

tái. Az

X

az

X

57

vektor kanonikus bázisban adott koordiná

vektort általában oszlop vektornak tekintjük és

torok között csak két lineárisan független vektor van. A vektorrend szer rangja 2.

•^1 •^2

X =

1.4.1 Bázis és bázistranszformáció alakban, vagy a kevesebb helyet igénylő Az /?" tér n számú lineárisan független e j,e 2 ,...,e„ vektora bá x = h , ^2’

XnV

zist alkot, ha Vx e vektor egyértelműen előállítható e vektorok lineáris kombinációjaként, azaz n

alakban jelöljük.

i=i ahol az Xi számokat az x vektor adott bázisbeli koordinátáinak

akkor az x^ vektor egyértelműen előállítható az így adott bázis

Az előző megfogalmazás értelmében, ha az tér egy B bázi sának vektorai; b i,b 2,...,b ,^ , és x^ egy B bázisban adott vektor, vektorok lineáris kombinációjaként, azaz

nevezzük. A generátorrendszer értelmezése alapján mondhatjuk, hogy az térben bármely lineárisan független n számú vektorból álló generátorrendszer bázist alkot, melynek elemei a bázisvekto rok. A bázisvektorok számát a tér dimenziójának nevezzük és dim /?” -nel jelöljük. Az e |, 6 2 ,..., e„ bázis ortogonális, ha vektorai páronként orto gonálisak, azaz (e j,e ^ ) - Q , i ^ j esetén, és ha (ej,ej) =1 is telje sül, akkor ortonormált. Az

Xg = ijb|

^2^2 + ... + X ^n ’

ahol az x,- (i = l ,2,,..,n ) számok az Xg vektor b j,b 2,...,b „ bázisra vonatkozó koordinátái. Vizsgáljuk meg, hogyan lehet az tér egyik bázisáról áttérni egy másik bázisára. Azt az eljárást, amellyel előállítjuk egy vektor egyik bázisbeli koordinátáinak ismeretében a másik bázisra vonatkozó koordinátáit bázistranszformációnak nevezzük. Tegyük fel, hogy az E és B bázis vektorai közötti kapcsolatot

tér e i , e 2 ,...,e„ kanonikus bázisa ortonormált: (2) ei = [l, 0, .... 0]^, e2 = [0, 1, .... 0]^,

(1)

fejezi ki, ahol a cu^ együtthatókból alkotott C mátrix /:-adik oszlo pa a b^ bázisvektor koordinátáit tartalmazza az E bázisra vonatko

le„ = [0, 0, .... 1]^,

zóan. Az X vektor a két bázisra vonatkozó koordinátákkal

szokásos jelölése: E. A kanonikus bázisban adott bármely x g i?” vektor egyértel műen előállítható a bázisvektorok lineáris kombinációjaként:

x = [ej,

6 2

X = xjC] + ^262 + . . . + Jtê^ ,

alakban megadható.

, ...,ej

- [b|, b2 , ..., b j

(3)

58


1.4.1 Bázis és bázisíranszformáció

Mivel [b |,b 2,...,b ,J felírható

1 1r A bázisvektorok alkotta B mátrix: B = 1 0 1 0 11

q i Ci2 ••• ^\n [bj, b 2 ,

b j = [ e i,

0 2

,

ej

^'21 ^22 ■■■ ^2n

(4) 1 1 r ■9' Az E bázisban x = Bx^ = 1 0 1 6 0 1 1 _7_

alakban, így (4) -et a (3)-ba helyettesítve, az Cl] C]2 ..

x = [e], 62,

e,

•^2 = [ei, 62, . . . , e j <^’21 ^22 ;■•• ^2n

~x{

A kanonikus bázisban adott x = [2,1,3]

h

x^ = B ^x-

_^nl ^n2 •'■■ Cnn. A _

Xn_

59

'22

16 13 vektor B bázisban:

■ 1 0 - f ~2 -f 1 -1 0 1 = 1 -1 1 1 3 2

egyenletet kapjuk. Ebben az x vektor már ugyanabban az E bázis ban van kifejezve, s mivel az i?” tér bármely vektora a bázis vek torainak lineáris kombinációjaként egyértelműen megadható, ezért a koordináták közötti összefüggést az Cii C|2 . ■■ ^\n ^2n

A bázistranszformáció legegyszerűbb esete az, amikor az adott bázisnak csak egy vektorát cseréljük ki. Ezt elemi bázistransz formációnak nevezzük. Például legyen az n-dimenziós vektortér egy vektora az adott B bázisra vonatkozóan

-^2 = <^21 '^‘22 ;

3 .

a = Xjbj + X2b 2 +.. Cseréljük ki a b^ bázisvektort a

S n \ Cn2 ■•• ^nn_ A _

egyenlőség adja. Az Xg vektor kanonikus bázisra vonatkozó koordinátáit, tehát az x=

B x5

Például legyen az R

tér egy bázisa:

b i= [l,l,0 ],b 2 = [l,0 ,l],b 3 = [1,1,1], és ebben a bázisban adott vektor: x^ = [9,6,7].

b = Íib, +Í2b2 + --- + 4bfc+ --- + ^ A ( 4 ^ 0 )

(6)

(8)

vektorral, azaz írjuk fel a (7) vektort az új

(5)

formulával számíthatjuk ki, ahol a B mátrix oszlopait a B bázis bázisvektorai alkotják. Mivel detB 0 , ezért létezik inverze, így a kanonikus E bázis ban adott X vektor B bázisra vonatkozó koordinátás alakját meg kapjuk, ha megszorozzuk a B bázis bázisvektorai által adott B mát rix inverzével: x^ = B ^x

(7)

(9)

bj, b 2 , ..., b^_i, b, b^+i,..., b„

bázisban, és vizsgáljuk meg, hogyan változnak meg (7) koordinátái az új bázisban. A (8)-ból fejezzük ki a b^ vektort: b j= 4 -b - A b i- íb 2 - ...- ib „ , •'■/t

%

Xt

"

helyettesítsük a (7)-be b^ helyére, akkor rendezés után az »=

(^1

-

■^k

-*i)b|+ (X2

eredményt kapjuk.

H

%)b2 +...+

+...+ (x„- f - x„)b„ ( 1 0 )

60

/. Összefoglaló az. analízis és a lineáris algebra elemeiből

1.4.1 Bázis és bázistranszformáció

61

1. A második sort (pivotsort) osztottuk a pivotelemmel, vagyis 3-mal. 2 2. Az első sorból kivontuk a pivotsor -szorosát.

Az ^ = d jelölés bevezetésével az a vektor az új

bázisra vonatkozó koordinátáival;

3. A harmadik sorból kivontuk a pivotsor ^ = 1 -szeresét.

a = [(xi - dxi), (X2 - dx2), . •., (x„ - ű f^ )]. Az x^ elemet generáló elemnek vagy pivotelemnek, az elemi bázistranszformációt pedig plvotálásnak mondjuk. A pivotálást célszerű táblázatba rendezve végezni, különösen akkor, ha több vektor új koordinátáit kell meghatározni. Például az R

a

tér 61, 62,63 kanonikus bázisában adottak az

a i = [2 , 3 , 1 ] , a 2 = [ 3 , 4 , 2 ] , a 3 = [ 2 , 3 , 3 ] , a 4 =[1,1 ,5]

vektorok. Cseréljük ki az

62

vektort az 83 vektorra és számítsuk ki

mindegyik vektor 6 | , 3 3 , 63 új bázisra vonatkozó koordinátáit.

ai

ei

2

62 63

^2

as

a4

ei

®2

63

3

2

1

1

0

0

3

4

[3]

1

0

1

0

1

2

3

5

0

0

1

A generáló elem (pivotelem) a szögletes zárójelbe tett 3. A pivotálás elvégzése után a következő táblázatot kapjuk: Bázis

ai 0

^3

1

63

-2

»2 1 3 4 3

^3

a4

ei

0

1 3 1 3

1

-2

0

1

4

0 0

(ü 3 az eredeti táblázatból a pivotelem oszlopa). A többi vektor koordinátás alakja az új bázisban; a ,= [ 0 .1 ,- 2 ] , a 2 = [ i | , - 2 ] , a 4 = [ i , i 4], e 2 = [ - | l , -1], A új bázis B transzformációs mátrixát az e^, 33, 63 oszlopvekto rok alkotják:

62 2 3 1 3

63

-1

1

0 0

A táblázat elemeit a kezdőtáblázat elemeiből, (lO)-nek megfele lően, a következő műveletek elvégzésével nyertük;

1- f o

1 2 0'

B = 0 3 0 , melynek inverze: B 0 3 1

Megoldás. A vektorrendszer bázistáblázata: Bázis

Az új bázis bázis vektorai: 6j = [1,0,0]^, a3 = [2,3,3]^ , 63 = [0,0,1]^

-1

= 0 ^ 0

0 -1 1

A (6) formulát használva is azonos eredményt kapunk, azaz “ 2 1 0 ’2“ 0“ 1 B '^ a i = 0 0 3 = 1 = a^ stb. 3 0 -1 1 _ 1_ _ - 2_ Megjegyzés 1. A bázistáblázat alkalmas egy vektortérben adott vektorrend szer rangjának a meghatározására is. Ui. ahány vektor kicserél hető a vektorrendszerből a kanonikus bázis vektoraival, az a szám a vektorrendszer lineárisan független vektorainak számával, azaz a yektorrendszer rangjával egyenlő. 2. A bázistáblázattal a mátrix rangja is meghatározható, mivel a mátrix rangja megegyezik a lineárisan független oszlopvektorok, ül. sorvektorok számával.

62


3, A bázistáblázat elemi sortranszformációk alkalmazásával a lineáris egyenletrendszerek megoldásához, valamint a nemszingu láris mátrixok inverzének kiszámítására is használható, mivel ez a Gaw^í-eliminációs eljárás táblázatos változata. Ha

1.5 Lineáris egyenletrendszerek

63

1.5 Lineáris egyenletrendszerek Az n ismeretlenes n egyenletből álló lineáris egyenletrendszer álta lános alakja, ül iXi +Ü12X2 + ... + a^nXn = ^ 021-^1 + ^22-^2 • + a2nXn = q2

az i?” tér lineárisan független vektorai, valamint

(*)

tet V l + ^n2^2 + • + V n

szőleges számok, akkor az

= qn.

rn

ahol az

/=i

azaz Vöy, qi & R . A (*) egyenletrendszer megoldásának nevezzük

módon előállítható vektorok összessége az X|,X2,...,x ,„ vektorok által kifeszített lineáris teret állítja elő (generálja).

azt a

együtthatók és a qi konstansok az R számtest elemei,

c'i G R ( i - 1 , 2 , . . . , n)

0’ = 1,2,..., n)

Ha valamely V vektorhalmaz az i?" lineáris altere, és V maxi mális számú lineárisan független vektora Xi,X2, ...,x „ j , akkor e

számsorozatot, amely a megfelelő

ismeretlenek helyére rendre beírva mindegyik

egyenletéből egyenlőséget állít elő [K74], [K25],[K30], [K72], A (*) egyenletrendszer mátrix alakja:

vektorok a V tér bázisát alkotják, és V minden vektora a bázisvek torokkal egyértelműen előállítható. Ekkor a V altér dimenziója

ü li a i 2 ^21 (^22

a\n Ö2«

9l -^2

P

dim V —m (0 < m < n). J^n\ ^n2 • • • ^nn_

Például a valós, rögzített koordinátarendszerű

tér minden

origóra illeszkedő síkja és egyenese altér. A sík az tér kétdi menziós, az egyenes pedig egydimenziós altere. Ui. az origóra illeszkedő sík bármely három pontjához tartozó helyvektor komplanáris, és így lineárisan összefüggő, az origóra illeszkedő egyenes bármely két pontjához tartozó helyvektor pedig kollineáris, szintén összefüggő. Az origóra nem illeszkedő többi sík és egyenes nem altér, nincs 0 vektora. Ha az A mátrix oszlopmátrixait az tér vektoraiként fogjuk fel, akkor a mátrix r(A) rangja a kiválasztható lineárisan függet len oszlopvektorok maximális számával egyenlő, mely megegyezik az általuk kifeszített altér dimenziójával. A, számtest feletti szám n-nes elemekből álló vektortér fogalma it, műveleteit és a műveletek tulajdonságait olyan halmazokra is értelmezzük, amelyek elemei tetszőleges elvont objektumok.

ill. röviden jelölve; Ax = q, ahol Ha akkor az

(1)

A e i? " ''" ,x e i?”, q e i?" . , akkor az egyenletrendszert inhomogén, ha q = 0 ,

Ax = 0 (2) egyenletrendszert homogén egyenletrendszernek nevezzük. Ha az A mátrix oszlopai után n + l -edik oszlopmátrixnak a q oszlopvektort beírjuk, akkor az egyenletrendszer ún. bővített B = [A q] mátrixát kapjuk. Az egyenletrendszernek akkor és csak akkor létezik megoldása, ha az egyenletrendszer A mátrixának rangja megegyezik a bővített mátrixának rangjával, azaz r(A ) - r ( B ) .

64


1.5 Lineáris egyenletrendszerek

65

Ez azt is jelenti, hogy az A és B = [A q] mátrixok oszlopvektorai

formula adja, ahol Xp az ( 1) rendszer valamely partikuláris megol

ból képzett mátrixrendszer rangja egyenlő, vagyis a két mátrix line árisan független oszlop vektorainak száma egyenlő. Ha az n x n -es A mátrix reguláris, azaz ha det A 0 , akkor

dása, Cj e R (z = 1,2,..., k) pedig tetszőleges számok. Például oldjuk meg az '1 2 3“ '6 2 3 4 x= 7 3 4 5 8

r(A ) = r(B) = n , és az n ismeretlenes n egyenletből álló egyenletrendszernek egyet len megoldása létezik. A megoldást megkapjuk, ha az A mátrix inverzével megszorozzuk balról az ( 1) rendszert: x = A ~’q

(A “ Â = E ).

Ha (l)-ben detA = 0 , akkor az (1) egyenletrendszer vagy nem oldható meg, vagy a megoldások száma egynél több. Az Ax = 0 n ismeretlenes n egyenletből álló homogén lineáris egyenletrendszerre mindig teljesül az r(A) = r[A O] egyenlőség, ezért mindig van megoldása, éspedig x = 0. Ezt triviális megol dásnak nevezzük. Ha r(A) = n , akkor csak triviális megoldás van. Triviálistól különböző megoldás létezésének szükséges és elégséges feltétele: detA = 0 ( r ( A ) < n ) . Ha r(A) < n , akkor

lineáris egyenletrendszert. Mivel det A = 0 , az együtthatómátrix és a bővített mátrix rangja: r(A) = [A q] = 2 , az ismeretlenek száma és a rang különbsége: k = n - r = 3 - 2 = 1 , így egyszeresen végtelen megoldása van az egyenletrendszernek: x^ = [ - 4 + t , 5 - 2 t , t ] t e R . Az Ax = 0 megoldása: x^ = [í^,-2íi,íj], az A^y = 0 megoldása: y l = \th~2ti,t]\. (Valósban az A* helyett A^ szerepel.) J

^

Az y/, és a q skaláris szorzata: “6

végtelen sok megoldás van. Ekkor a (2) homogén egyenletrend szernek k = n - r ( A ) lineárisan független X|,X2,...,x ^ megoldása van s ezek lineáris kombinációi szintén megoldások. Megjegyzés. Ha a homogén lineáris egyenletrendszer egyenle teinek száma kisebb, mint az ismeretlenek száma, akkor mindig van triviálistól különböző megoldása. Az Ax = 0 egyenletrendszer mellett az A*y = 0

tetszőleges \ -re, tehát az y \

- - 4-

homogén egyenletrendszernek is k számú y [ , y 2^---^yk lineárisan (y/>q) = 0

5 0

+ C]

h - 2t, = [-4 + q?|, 5 - 2q/-], q íjf _

h_

T

ortogonalitási feltétel teljesül, akkor az ( 1) inhomogén lineáris egyenletrendszernek /c-szorosan végtelen megoldását az

i=l

vektorok és a q ortogonálisak.

A C]?! = t jelöléssel a (3) alakban felírt megoldás, az egyenlet-

(i = l , 2,...,k)

x = Xp + J^qXi

+ 8í = 0 ,

Az egyenletrendszer megoldása felírható (3) alakban. Legyen az egyenletrendszer egy partikuláris megoldása í = 0 választással: Xp = [-4,5,0], akkor X = x^, + q x / , =

független megoldása van. Ha az

—6 /]^ “ 1

{ h - 2 ty ,tú

(3)

rendszer x megoldásával egyenlő. Például oldjuk meg az Xi 4- 3x2 ~ 19 4x2 3 x3 = 1 8 X| -I- 3^2 + 3 x3 —16^


66

egyenletrendszert az A ^

J.5.1 Gauss-módszer

67

egyenletrendszerhez jussunk. A (2) előállítása után a megoldást visszahelyettesítéses eljárással kapjuk:

inverzmátrix előállításával.

Xn = Cn

Az egyenletrendszer Ax = q mátrix alakja:

C ,rj_1 ^n-\

X y , ---

^n~lI

“19“ '1 3 4" 1 4 3 ^2 = 18 16 1 3 3 _-«3.

'3 adj A -

1 , Így A 1

0 -1 -1 0

=

-1

0

(3)

Xi - C| - i>12^2 - ^3^3 - •■•- KXn mátrixán célszerű alkalmazni. A bővített mátrixból elemi sor transzformációkkal [T c] mátrixot hozunk létre, ahol T a (2) alakú

3-1

0 -1

3-1

^n-\,n^n

Az eljárást az (1) egyenletrendszerhez tartozó [A q] bővített

Az A mátrix determinánsa: det A = - 1 , tehát van inverze. Az '3

—

1 1

-1

egyenletrendszer egység felső háromszögmátrixa. A megoldást a (3)-nak megfelelő

- 3 --3 1 0 1 -1 1 0 -1

n

(4)

Xi = q -

r - 3 - 3 7“ '19“ = = 2 18 1 1 0 ^2 1 0 - 1 16 _^3_

k=M

algoritmussal számítjuk. Például a

A megoldás tehát: X] = 1, ^ 2 = 2, X3 = 3.

+ 6x2 + 4^3 = 26 2xi + 4x2 + 6x3 = 28 >

Az inverzmátrixszal képzett megoldás műveletszámánál keve sebb művelettel is előállítható az egyenletrendszer megoldása. Az ilyen eljárások közül ismertetünk néhányat.

4xi + 8^2 + 16 x3 = 68 egyenletrendszer bővített mátrixa:

1.5.1 Gauss-módszer

Az

+ ö] 2-^2 + ••• + În^n ~ ^1 ^21^1 + 022-^2 + ••• + = ^2 ^nl^l

^n2^2

^nn^n

‘2 6 4 26” [A q ]= 2 4 6 28 [4 8 16 68_ (1)

^n.

egyenletrendszert az ismeretlenek fokozatos kiküszöbölésével úgy alakítjuk át, hogy vele ekvivalens felső háromszögmátrixú Xi+bi 2X2 +bi^X2 +.. . + binXn=Ci X2 + h3X3 + --- + hnXn = C2

(2)

és det A = -1 6 7^ 0 , tehát van egyértelmű megoldás. A Gaussmódszer alkalmazásakor egy-egy ekvivalens mátrix létrehozásához célszerű több elemi sortranszformációt alkalmazni: "2 6 4 26' 2 4 6 28 4 8 16 68

(l)*

'1

3 2 13'

~ 0 -2 2 2

0 - 4 8 16

(2)^=

“1 3 2 13“ (3)* ‘1 3 2 13“ (4)* ~ 0 1 -1 -1 ~ 0 1 - 1 -1 (5) 0 0 4 12 00 1 3

Az átalakításhoz alkalmazott lépések: 1. az ( 1)* első sorát 2-vel osztjuk, majd ennek 2-szeresét kivon juk a 2. sorából és 4-szeresét kivonjuk a 3. sorából -> (2)*,


68

1.5.2 A CT-felbontás

1 2 3 6‘ [Ab] = 2 3 4 7 , rangja: r([A b ]) = 2 . 3 4 5 8

2. a (2)* 2. sorát osztjuk (-2) -vei, majd ennek 4-szeresét hoz záadjuk a 3. sorához (3)*, 3. a (3)* 4. sorát osztjuk 4-gyel (4)*. A (4)* mátrix az '1 3 2" '1 3 ' 0 1■ - 1 ■«2 -1 0 0 1 _^3_ 3

Az egyenletrendszernek van megoldása, tetszőleges értéket felvevő paraméterrel. Gaw55-módszer alkalmazásával

egyenletrendszer bővített mátrixa. Az egyenletrendszer megoldása visszahelyettesítéssel a (4) algoritmus szerint: ;c3 = 3,

jc2 = - 1 - ( - 1 - 3 ) = 2,

xi= 1 3 - ( 3 - 2

69

+ 2-3) = 1.

[A b ] ~ ...

1 2 3 6' 0 1 2 5 , és így x^ = p e K paraméter választással:

0000 x ^ - p, X 2 = 5 - 2 p , X[ = 6 - 2 ( 5 - 2 p ) - 3 p = - 4 + p .

M egjegyzés. A (4)*ra tovább alkalmazva az elemi sortransz formációkat az együtthatók mátrixa egységmátrixá alakítható. Ui.: ha megszorozzuk a 2. sort -3-m al és hozzáadjuk az első sorhoz, majd a 3. sor -5-szörösét hozzáadjuk az 1. sorhoz, 1-szeresét a 2. sorhoz, akkor a következő alakra jutunk:

A b) 4- ismeretlenes 3 egyenletből rangja és a bővített mátrix n 2 3 [A b ]= 2 3 4 _3 4 5

1 3 2 13~ (4)* ’ l 0 5 16^ (5)* "1 0 0 r (6)* ~ 0 1 --1 - 1 ~ 0 10 2 0 1 --1 - 1 00 1 3 0 0 13 0 0 1 3

rangja egyenlő, akkor van megoldása:

A (6)* alak első 3 oszlopa az együtthatómátrix egységmátrixa, míg az utolsó oszlopa az egyenletrendszer megoldásvektora. Ha egy nemszinguláris A mátrixot egy azonos rendű egységmátrixszal bővítjük és a bővített mátrixra alkalmazott sortranszfor mációkkal A-ból egységmátrixot hozunk létre, akkor az egységmát rixból az A inverze áll elő.

n -r= 3 -2 = l

álló egyenletrendszer. Ha A 4 7' 5 8 6 9_

r(A) = 2 , r([A b]) = 2 , tehát van éspedig 4 - 2 = 2 paraméteres végtelen sok megoldása. A Gauss-módszQT alkalmazásával [Ab]

'1 2 3 4 7‘ 0 1 2 3 6 , és X3 = p G R, JC4 = g G R

00000 X2 = 6 - 2 p - 3q, xi = l - 2 { 6 - 2 p - 3 q ) - 3 p - 4 q = - 5 + p + 2q .

Példa. Oldjuk meg az Ax = b mátrixalakban adott 1.5.2 A CT-felbontás a)

"1 2 3' "6 2 3 4 ■^2 = 1 3 4 5 _^3_ 8

és b)

'1 2 3 4" ■7“ 2 3 4 5 x\ = 8 3 4 5 6 x\ 9

egyenletrendszert. Az a) háromismeretlenes 3 egyenletből álló egyenletrendszer determinánsa: det A = 0 , rangja: r(A ) = 2 , bővített mátrixa:

A lineáris egyenletrendszer megoldását mátrixának szorzattá alakításával tanulmányozták A. L. Cholesky (1916), Th. Banachiewicz (1938), P. D. Crout (1941), P. S. Dwyer 1941), A. M. Turing (1948), A. Zurmühl (1949), és különböző elnevezéssel hivatkoztak az általuk leírt módszerre [K69], [K70]. Tegyük fel, hogy az Ax = q egyenletrendszer mátrixa reguláris, azaz det A

0. Tekintsük az

70


A x - q = C(Tx - k) = 0

(5)

egyenletet, ahol C egy alsó háromszögmátrix, T pedig egy egység felső háromszögmátrix: "Cll 0 c = <^21 ^22 ;■

0" 0

1 í]2 •• ^hi 0 1 •• hn és T =

Igazolható, hogy egy A e R ”^” reguláris mátrixnak akkor és csak akkor létezik CT-felbontása, ha az A mindegyik sarokminormátrixa reguláris. E feltételnek például eleget tesznek a szimmetri kus pozitív definit mátrixok, mivel ezeknek mindegyik sarokminormátrixa pozitív. Ha az A mátrixnak létezik CT-felbontása, akkor ca 0 , és az A determinánsa a C fődiagonálisában lévő elemek szorzatával egyen lő, azaz

_0 0 . .. 1

Cn\ C«2

71


Az (5) egyenletből A = CT

és

q = Ck .

detA = detC =

•

(7)

i=i

A C és T alsó és egység felső háromszögmátrix elemeit az q i 0 0 ... 0 C21 C22 0 ... 0

«12 «13

A=

<^21 «22 «23

^nl ^nl

«2n

Az (5) lineáris egyenletrendszert bővített mátrixként felírva

1 ti2 h3 ■■■ În 0 1 t23 ... t2n

[A q] = [C][Tk] alakot kapjuk. Az algoritmus kényelmesebben alkalmazható, ha be vezetjük a

•••

0 0

Sn\ ^ríl ^n3 •••

0 ...

1

q = <^2,n+l

egyenletből a

Cii = aij-T.Ciktkj^ k=l

(6a)

tii = l

űll

m

^ <j^ i

_^n,n+l_

Jn,n+l_

jelölést. Ekkor a ( 6 a), (6 b), (6 c) formulák változatlanok maradnak, mindössze a ( 6 cí) változik: h j - öii

(6c)

~ ILciktkj k=\ y

a

és k = ^2 ,«+l

(/, j = l,2 ,...,n )

m

Cii = aij-lLciktkj, k=l

^<jî \

formulákkal kiszámíthatjuk. Az A e

mátrix CT-felbontásán, tehát a mátrix (/,= l,2,...,n; j = \, 2,...,n + \)

A = CT szorzattá történő felbontását értjük, ahol C g

alsó három

szögmátrix, T e R”^” pedig egység felső háromszögmátrix.

A T egység felső háromszögmátrix, így a Tx = k egyenletből a megoldást visszahelyettesítéssel az

72


hi,n+\


73

2. Az [A q] mátrix első sorának ™

n X i = K n + \ - Hhk^k ic=í +l

0'< «)-

elemeit (7 > 1) beírjuk a

(8) [C \T k] első sorának megfelelő elemeként, 3. A [ C \tk ] főátlójában és az attól balra álló elemeket, vagyis

algoritmus adja. A számítást táblázatos elrendezésben célszerű végezni, éspedig úgy, hogy az [A q] bővített mátrix elemeinek beírása után a

lő eleméből kivonjuk a [C\ T k] kérdéses eleme sorában és oszlo

[C] [T k] elemeit a C és T mátrix födiagonálisainak fedésbe hozá

pában a balra ill. felette álló összerendelhető elemek szorzatösszegét.

sával ábrázoljuk, s így a T födiagonálisának 1 elemei helyett az összetolt mátrix fődiagonálisában a Cn elemek állnak.

a C mátrix egyes elemeit úgy képezzük, hogy az A mátrix megfele

Például a harmadik sor második eleme: 1 - ( - 2 ) - 1=^3, harmadik eleme: 2 - ( - 2 ) • (-1) - 3 - 2 = -6 .

Szemléltetésként CT-felbontás alkalmazásával oldjuk meg a 2x[ + 2x2 ~ 2-^3 + 4^4 = 16 Xj + 2^2 + X3 + 2x^ —\6

—2x| + ^2 + 2^3 + x^ =10 2 xi - X2 - X3 + X4 = 1 4 ismeretlenes lineáris egyenletrendszert. Az együtthatómátrix determinánsa:

det(A) = - 3 4 , tehát az

egyenletrendszer egyértelműen megoldható. Xl ■«2 ^3 2 2 -2 1 2 1 -2 1 2 2 -1 - 1 2 1 -1 1 1 2

4 2 1 1 2 0 5 -2 3 -6 6 2 -3 7 17 6

q 16 16 10 1 8 8 1 3 68 17

= [Aq]

2 0 0 0 1 1 1 0 0 0 C = -2 3 -6 0 , T = 0 2 - 3 7 17 0 6_ Vegyük észre, hogy det C = det A =

= [C \tk ]

Az [A q] -ból a [ C \ t k] elemeit a következő lépésekkel kapjuk: Az [A q] mátrix első oszlopát beírjuk a [ C \ t k] mátrix első

oszlopába,

Az előállított C alsó háromszögmátrix, T felső háromszögmát rix és k oszlopvektor: 1 -1 1 2 0 1 0 0

8" 8 1 , k= 3 6 68 1 -17_ 2 0

-34.

A Tx = k egyenletrendszer megoldása (8) szerint:

ahol T csak T fődiagonálisa feletti elemeket ábrázolja.

1.

4. A fődiagonálistól jobbra álló sorelemeket úgy képezzük, hogy a 3. utasítás végrehajtása után még osztunk a C fődia gonálisában álló elemmel.

4 ,

_

1

/ 5

17 2 , 20_18_o.

X 2 = 8 - ( 2 - 3 + 0 - 4 ) = 2; x i = 8 - ( 1 - 2 - 1 - 3 + 2 - 4 ) = 8 - 7 = 1.

M egjegyzés. Ha a számítás során valamelyik sorban, pl. a kadikban = 0 vagy abszolút értéke közel 0, akkor az eredeti

74


1.5.3 A z LU-felbontás és kapcsolata a CT-felbontással

együtthatórendszer /c-adik sorát felcseréljük a következő k +1 -edik sorral és a számítást stb. elemekkel újra kezdjük.

h l h l h s ^14 h l ^32 í^33 C34 A l <^42 C43 C44_

ahol

C3 2 -

A témakört tárgyaló mai irodalom az A g LU-felbontását vizsgálja. Ezen a mátrix A = LU szorzattá történő felbontását

, C4 2 -

C4 3 =

, C3 3 -

a^2 <^11 ^32 Ű42

■1 0 0 ö l3 "14 ^13 ^14 _ hl 1 0 Ö33 Ö34 hl h l 1 <343 Ö44_ J 41 k i ^43

0" 0 0 1

Mii “ 11 “ 11 “ 11 0 Mii Un Mii 0 0 ^11 Mi i

0

0

0 «1L

Az L és U mátrix elemeit födiagonálisuk fedésével ábrázoljuk, és az első lépéssorozat utáni mátrixot jelölje: ^11

B = ^21

^12

^13

h l

h 3 h 4 h 3 h 4

h l

h 3 h 4^

=

(< = 2 ,3,4); “ 11

A többi elemet soronként határozzuk meg:

= h j

=

U = 2,3,4); (;■ = 2,3,4);

- ^

41-h j,

’

hl

h l h?> h 4 h l h3

h i

h l ^'31 ^33 ^'34 i h l <^'42 <^43 <^44_

mátrixot, melyben J 43 =

, í/44 = C44 - J 43 •C34. ^■33

A D mátrix elemeiből, a fődiagonális egyeseit pótolva, felírható az L alsó háromszögmátrix és az U felső háromszögmátrix: 1

0

0

0'

^21

1

0

0

h l

C3 2

1

0

,

TUI — -

'h l

h l

h s

h 4

0

h l

h s

h 4

0

0

C3 3

0

0

0

C3 4 ú?4 4 _

A negyedrendű mátrixra bemutatott lépések kiterjeszthetők nedrendíi mátrixra is.

=

híj = Ü2j - h v h p

^^32 ' ^ 2 4

<^44 = ^ 4 4 " <^42 ' ^ 2 4 ■

h l

_^41 <^42 <^43

Ekkor az A és B elemei közötti kapcsolat: «n=% =% .

D=

T, -

h l

“

es minorra ismét alkalmazva a lépéseket, kapjuk a

■

h l

^34 - ^ 4

Az Új elemekkel felírt 3 x 3 -as minor Z?22 eleméhez tartozó 2 x 2 -

^14

p 4i

•^ 2 3 ’

/>33 - C 3 2

C4 2 ■ ^ 2 3 ’

/?43 -

Az LU-felbontás algoritmusát egy 4 x 4 - e s mátrix felbontá sával szemléltetjük: ön 0^21 A = «31 041

^21 ^22 ^23 ^24

C=

1.5.3 Az LU-felbontás és kapcsolata a CT-felbontással

értjük, ahol L g egység alsó, U g r "^'^ pedig felső három szögmátrix [K29], [K78], [D l6], [D54], [D55].

75

( j = 2 , 3 , 4 );

Ugyanezeket a lépéseket ismételten alkalmazzuk a bi j elemhez tartozó 3 x 3 -as minorra, s az így kapott mátrix legyen

T

Ha A = A , azaz A szimmetrikus mátrix, akkor a CT és LU felbontásokat összehasonlítva azt kapjuk, hogy a C és U a T és L

T

valamint

azonos elemíí, azonos típusú háromszögmátrixok, így C = U^ és T = L^ .

■4 3 2 ' Például az A = 3 4 0 mátrix szimmetrikus és pozitív definit.

_2 0 6_ mert a főminormátrixok determinánsai rendre nagyobbak 0-nál:

76


Ml = 4 > 0, AÍ2 =

4 3 = 1 6 - 9 = 7 > 0 , M 3 = d e tA = 2 6 > 0 . 34

Az A mátrix LU-felbontása a fenti algoritmus szerint (a föátlóban álló elemek az alattuk lévő elemek osztói, félkövér szá mokkal jelöltük):

4

q

3 (2)

(3) 1 -1 L2 2

fr,2 = - | = 0 - 1 . 3 ;

2 26 7 7 .

= - | = 0 - |.2 ;

/>33 = 5 = 6 - f 2 .

(3) elemei: első és második sora valamint első oszlopa (2)-vel 7 3 azonos, a (2) eleme osztója az alatta álló elemnek, a (3,3) indexű eleme pedig: r 3 x 35-9 7^'^ 2^ 1 •

7

A (*) fődiagonálisa valamint a felette álló elemek adják az U felső háromszögmátrixot, a fődiagonális alatti elemekkel képezzük az L egység alsó háromszögmátrixot:

1 A = LU ==

0 0 4 3

I 10 i

.2

_

2 Például a (**) ?23 =

7

elemének kiszámítása:

2

0 7 - 3

4 2 6 1 0 0 26 7j 7 .

± ( 0 - 3 -1 ) = - 4 . 3 = _ 6

7^ 0 /^

a C33 = ^

2^

7 2

7’

elemének kiszámítása: A

3 / 6 \

^

26

6 -p -2 -2'(-7)j= 6-a+ 7) =—

Az A mátrix CT-felbontása: a (**) fődiagonálisában és az alatta álló elemek alkotják a C alsó háromszögmátrixot, a fődiagonális fö lötti elemeiből megalkotott egység felső mátrix pedig a T mátrixot: “ 1 3 r 4 0 0 4 2 A = CT = 3 7 0 0 1 6 4 7 1 2 3 26 0 0 2 7 J_ _ A két felbontást összehasonlítva kapjuk, hogy C=

és T =

.

Ha az A mátrixnak van LU- és CT-felbontása, de A nem szimj'

^^

metrikus, akkor az A transzponáltmátrix LU -felbontása és az A mátrix CT-felbontása között az íJ = T ,

Vegyük észre, hogy detU = det A = 26. Az A mátrix CT-felbontása:

7 26

9 _ 1

2

Például (2) első sora A első sorával azonos, 4 osztója A első oszlopában álló 3 és 2 elemének, a további elemek pedig, ha az elemeit bij jelöli; í^3

7 _6

_ 6

5

*22= 7 = 4 - |- 3 ;

1 (« )

1

4

2 0 6

I 4

(*)

4 3 2‘ 3 4 0

77

1.5.3 A z LU-felbontás és kapcsolata a CT-felbontással

kapcsolat áll fenn.

=C,


78

79

Az LU-felbontás kényelmetlenebb, mert az LUx = q egyenlet

'2 0 0 0’ Például az A =

1.6 Leképezés

14 5 6 mátrix nem szimmetrikus, de minden 2 3 6 1 10 0 3

sarokminora pozitív, létezik CT-felbontása, és az A

T

transzponált-

10 0

mátrixnak LÜ -felbontása: A = CT =

2 0 0 0' 14 0 0 0 l |

0"

2 3 |0

0 0 1 10 0 3 0 0 0

9

1

tel ekvivalens Ux = I7^q felső háromszögmátrixií egyenletet kell megoldani. Ha az Ax = q egyenletrendszernek A mátrixa reguláris, azaz det A

0 , de íüi j = 0 , akkor az LU-felbontás algoritmusának al

kalmazásához sorcserével 0-tól különböző elemet hozunk az (1,1) helyre. Ezt minden zérus osztó elem előfordulása esetén megfelelő sorcserével elvégezzük. A szükséges sorcseréket egy P permutációs mátrixszal megvalósíthatjuk. Ekkor PAx = Pq egyenlet PA mát

"1 0 0 0“ '2 1 2 r 0 1 0 0 0 4 3 0 Pl = L U = —o | 1 0 o o | o _0 0 0 3_

rixának LU-felbontását képezzük, és így az Ax = q egyenletrend

T , Ú^ = C . Az A mátrix LU-felbontása (az U föátlójába tartozó elemek félkövér számok):

1.6 Leképezés

_ 2

Í 2L

6

13 6 1

0 0 5

l i o

u =

0 0 1 összehasonlítva a CT-felbontással:

Ebben a pontban a leképezés és a lineáris transzformáció alapjait foglaljuk össze, majd a lineáris operátorok témakörében néhány fontosabb tétel bizonyítására visszatérünk. Ha Vx 6 i?" vektornak megfeleltetünk egy y e R ^

Í3I.

akkor azt mondjuk, hogy értelmeztünk egy R’^-bői

2 0 0

1 0 0 L=

egyenletrendszert oldjuk meg. Ezt az eljárást LUP-felbontásnak nevezik.

Í 0 0 3

0 0 0' es Így

LUx = Pq

_

0 0 0

2 0 0 0 14 5 6 2 3 6 1 10 0 3

9

szerrel ekvivalens

0 4 5

o o |

vektort,

-be vivő

y = Ax leképezést [K27], [K83], [K72].

(1)

Két adott A •' R^ —> R^ és B : i?” az alábbi műveletek:

R^ leképezésre érvényesek

0 0 0 1. (Á + B)x = Áx-hBx; (V x ei?") .

Egyenletrendszer megoldásához a bővített mátrixra alkalmazott CT-felbontás célszerűbb, mert az algoritmus a q jobb oldali vek torból előállítja a k vektort is, és így Tx = k egység felső három szögmátrixból a megoldás visszahelyettesítéssel adódik.

2. (AB)x = Á(Bx);

(V xe 7?")

3. (kA)x = k{Áx), (Vx e R ’^ , k tetszőleges szám). Az Éx = x az egységleképezés, és Öx = 0 a null-leképezés.


80

Ha létezik olyan A ^ leképezés, amely kielégíti az

-et az Á

vektor felírható a B bázisvektorainak lineá

x=

leképezés inverzének

Az Á : /?” -> R'^ leképezést lineárisnak nevezzük, ha eleget tesz a következő feltételeknek: 1. A(kx) - k kx , V x e

81

Egy tetszőleges x e ris kombinációjaként

-1 egyenlőséget, akkor az mondjuk.

1.6 Leképezés

(3)

rj

alakban, ahol Xj, (j = 1,2,..., n) az x vektor koordinátái a B bázis ban. Az A b j (j = 1,2,..., n) vektort, ha koordinátáit ay -vei jelöl jük:

- re, {k tetszőleges szám);

Ab] = öl jb] + <321^2+ ••• +

2. Á (X | + X2) = A x ] + Á x2 , V x i , x 2 e i? ” -re.

^ ^ 2 = 012^1 + 022^2 + ■■• + fl/í2bn

A linearitás feltétele értelmében Á(qxi + C2X2 + ... + c^x^,) = cjÁxj + C2AX2 + ... + c^Áx^

+ 02/2^2 + ••• + ö„„b„

(2)

alakban adhatjuk meg, vagy tömören:

ahol pl. Cl e R, Xi e R ” (i == 1, 2,..., 5) .

i

Ha a lineáris leképezés két vektorterének dimenziója azonos, azaz Á

jR” , akkor lineáris transzformációról beszélünk.

Az ülj jelenti a hj bázisvektor kép vektorának i-edik koordinátáját, azaz

Az Á

üij = ( A b ^ ;.

-> i?'” lineáris leképezés magterének (nullterének)

nevezzük azoknak az x e i?” vektoroknak a halmazát, amelyekre Ax = 0 , vagyis az

nullvektorára képződő elemek halmazát,

képterének pedig az Á xg

Az A =

mátrixot az Á lineáris transzformáció B bá

zisbeli mátrixának nevezzük. Mivel Á lineáris transzformáció, a (3) felhasználásával

vektorok (képelemek) halmazát, y = Áx = Á X xjbj = X X jA hj .

ahol XG R’\ Az Á lineáris leképezés magterének és képterének szokásos jelölése:

J

j

Az Aby = ^ a,--b; behelyettesítésével:

ker(k) , i m ( k ) . Igazolható, hogy kerih) altér i?” -ben, és /m(Á) altér 7?'" -ben. Tetszőleges lineáris Á leképezésre ÁO = 0 , vagyis a 0 eleme a magtérnek. Legyen Á : i?” -> i?” lineáris transzformáció, és bázisa: b i,b 2 ,...,b „ .

egy B

így az y koordinátái a B bázisban: (4) Ha az X és y vektorok a b j ,b 2,...,b „ bázisban koordinátáikkal


82

adott

oszlopvektorok, akkor a (4) formula az y=A x

(5)

mátrixformulával ekvivalens.

R

vektorra Ax = 0

ker(A) = {0}, és képtere im (A) = R^ .

két bázis elemei közötti kapcsolatot a

U=l

vektorhoz hozzárendeli annak x-z síkra vonat

Z2] g R^ , és

cg

(6 )

2 ,. .. . n) .

i

kozó tükörképét, azaz A([xi, y], zi]) = Ui, - jj, Zi]. Az Á leképezés lineáris, ui. ha b = [X2,

xg

Ha az i?” tér két bázisa: b j ,b 2,...,b „ , és Ci,C2,...,c „ , akkor a

Például vizsgáljuk meg azt az Á : R ^ ^ R ^ leképezést, amely Va = [X[, yi, z\] e

83

A leképezés magtere: egy tetszőleges egyenletet csak az x = 0 elégíti ki, tehát

y = [ji,

x = [xi, X2,

7.6 Leképezés

formula adja, ahol híj a h j vektornak az /-edik koordinátája a

R , akkor

Ci,C2,...,c „ bázisban. A H = [/Zy] reguláris mátrixot az átmenet Á(a + b) = Á ([x i + X2, és

Zi + Z2]) = [Xi + X2, - y i ~ y 2, Z] + Z2] ,

A(a) + Á(b) = Á([;c|, y^, Z]]) + M U 2, yi^ Z2]) = = [xi, - Ji, Zi] + [X2, - V2, Z2] = [^1 +

- >^1- ^2’

mátrixának mondjuk. Abban az esetben, ha mindkét bázis ortonormált, azaz

Á(a + b) = Á(a) + Á (b ), valamint A(ca) = Á([cjci, cyi, czi]) = [cx^, - cyi, czj] = c[xi, - y^, z\] = cAa és

_ -'IJ , ÎJ =
h. h, „ ( b í.b j) = <5',7 és

+ Z2] , vagyis

akkor a H unitér mátrix, azaz H* H = E . Ha a b |,b 2,...,b ,j bázisban x = [xj, X2, ..., x„]

, akkor (6) fel-

használásával cÁ(a) = cÁ([xi, ji, zi]) = c[x\, - Ji, Zi\ = [cxi, - cjj, czj] = A(ca). Mivel A(ca) = cÁ(a) is teljesül, ezért A lineáris leképezés. Képezzük az

= [1,0,0], 62 = [0,1,0], 63 = [0,0,1], kanonikus bá

J i i j Az X vektor koordinátái a C|, C2, . . . , c„ bázisban: =

zis képvektorait: Á(ej) = [1, 0, 0],

A(62) = [ 0, - 1, 0],

o '= i , 2,.

Á(e3) = [0,0,1].

Az Á(e|), A(e2), A(e3) kép vektorok kanononikus bázisra vonatko zó koordinátáit kaptuk, melyekkel az Á leképezés A mátrixát felírhatjuk. Például az X = [2,3,4] vektor x-z síkra vonatkozó tükörképe: 2~ '1 0 0' ' 2 ^ Ax = 0 - 1 0 3 = - 3 4 0 0 1 4

es Így

X =

■^2

= Hx.

(7)

Legyen az i?” tér két bázisa: b i ,b 2, . . . , b „ , és Cj,C2,...,c „ , valamint H g (det H

a vektorkoordináták közötti áttérés mátrixa

0), Á : i?” —> i?" pedig lineáris transzformáció, melynek


84

b i ,b 2,...,b „ bázisban a transzformációs mátrixa.

T

, y = [ji,

'1 2 3“ '3 3 r Legyen például B = 2 1 4 , H = 3 4 1 3 2 1 4 3 1

oszlop vektor a b i , b 2,...,b „ bázisban, úgy hogy (8)

y=B x.

85

Legyenek A és B hasonló mátrixok, akkor determinánsuk egyenlő, azaz, ha A = B, akkor det A = det B.

c^,c2,...,c „ bázisban C e R '

Legyen adottx = [x], X2,

1.6 Leképezés

-1 0 í

Ezeknek a C|,C2,...,c „ bázisbeli új koordinátái; x'i, y\ , és az /

^ t

t

/

X =[xi, JC2,

/

p / /

x j , y = [^ 1, J 2,

akkor

/

Az

vektorokat b j , b 2,. •.,b„ bázisbeli vektoroknak tekintve, y ' = C x . ( C e i? ”^”) ,

-1 1 4 3 2 1 - 2 0 0' 4 2 1 15 14 3

(9)

a (7) formulának megfelelően x=H x,

y=Hy.

( 10)

mátrix és a B hasonló mátrixok, det A = detB =16.

A (8) és (10) összefüggésekből kapjuk

Legyenek V és W az R test feletti vektorterek. Ha az

H “ y' = EH” x' és y = HBH x ' . Összehasonlítva a (9) formulával: C = H BH ~^

(11)

A (11) összefüggésnek eleget tevő C és B mátrixokat hasonló mátrixoknak nevezzük, és ezt C s B -vei jelöljük. A lineáris transzformáció tehát különböző bázisokban hasonló mátrixokkal leírható. Legyen A, B, C tetszőleges azonos rendű, nulla mátrixtól kü lönböző, kvadratikus mátrix, és det C 7=^0 . Akkor a B = C”ÂC feltételt kielégítő B és A mátrix hasonló.

lineáris leképezés bijektív (kölcsönösen egyértelmű), akkor azt izomorfizmusnak nevezzük. Ha a y és Z vektortér között y —> X izomorfizmus, akkor azt mondjuk, hogy a V vektortér izomorf az X vektortérrel. Igazolható, hogy egy A : V ~^W lineá ris leképezés akkor és csak akkor izomorfizmus, ha kér A = 0 és ímA = W . Ha X n-dimenziós (n ^ 0) vektortér az R felett, akkor X izomorf az

térrel. Az R feletti X és Y két véges dimenziós vektortér izomorf, ha

A hasonlóság ekvivalenciareláció (A, B, C g 1. A = A (reflexív); 2. ha A s B akkor B = A (szimmetrikus); 3. ha A = B és B ~ C, akkor A s C (tranzitív).

dim X = dim Y ; továbbá, ha Á : X

Y tetszőleges lineáris leképezés, akkor dim kér A + dim lmA = dim X .


86

1.7 Sajátértékek, sajátvektorok

87

x' = Hx ^ 0 , 1.7 Sajátértékek, sajátvektorok Az X

és ez a B hasonló mátrix sajátvektora, mely ugyanahhoz a A saját értékhez tartozik, tehát

0 vektort az Á :/?” —> i?” lineáris transzformáció sajátvek

torának, a A e i? számot pedig sajátértékének nevezzük, ha Ax = Xx. Az Á lineáris transzformáció mátrixa valamely bázisban le gyen A. Feladat az Ax = A x, ül. (A - AE)x = 0 vagy (AE - A)x = 0

( 12)

egyenletből A értékeinek a kiszámítása. A (12) lineáris homogén egyenletrendszernek akkor és csak akkor van nullától különböző megoldása, ha det(A -A E ) = 0 . (13)

(B - E)x = H(A - AE)H“ ^Hx = 0. Ez pedig azt jelenti, hogy az az A transzformáció sajátvektor rendszere sem függ a bázis választásától. Hasonló mátrixoknak azonos számú lineárisan független sajátvektoruk van. Az A transzformációt hermitikus vagy önadjungált transzformációnak nevezzük, ha tetszőleges ortonormált bázisban a transzformáció mátrixa hermitikus, azaz A = A*, ahol A* = Á ^ . (Charles Hermite francia matematikus, 1822-1901) Az egyik ortonormált bázisról egy másikra való áttérés, mint láttuk, egy U unitér mátrix felhasználásával megvalósítható: U* = U ~ * .

A (13) karakterisztikus egyenlet A},Ag,...,A^^ gyökeit az A mátrix (egyúttal az Á lineáris transzformáció) sajátértékeinek, a sajátértékekhez tartozó - (12) egyenletet kielégítő - vektorokat pedig sajátvektorainak nevezzük. Minden sajátvektorhoz csak egy sajátérték tartozik. Egy A sajátértékhez több sajátvektor is tartoz hat. Egy A sajátértékhez tartozó sajátvektorok a 0 vektorral együtt alteret alkotnak, melyet a A -hoz tartozó sajátaltérnek mondunk [K27], [K39], [K72]. A (13) egyenlet gyökei függetlenek a válasz tott bázistól, és az A transzformáció sajátértékeivel megegyeznek. Ha az Á transzformációnak egy másik bázisban B a mátrixa, akkor B = H A H “^ ( d e tH ^ O ) , es Így det(B - AE) = det(HAH~^ - A H E H "' ) = = det H det(A - AE) det

= det(A - AE).

Hasonlóan, ha x az A mátrix sajátvektora A sajátértékkel kielé gíti a (12) egyenletet, akkor

Felhasználva a B = UAU~^ = UAU* , A* = A összefüggést, kapjuk B* = (UAU*)=^ = (U(AU*))* = (AU*) *U* = UA* U* = UAU* = B . Tehát, ha azÁ transzformáció hermitikus valamely ortonormált bázisban, akkor hermitikus lesz egy tetszőleges másik ortonormált bázisban is. A valós hermitikus mátrix szimmetrikus. Az hermitikus transzformációra érvényes tételek: 1. Az hermitikus transzformáció minden sajátértéke valós szám. 2. Az hermitikus transzformáció különböző sajátértékeihez tar tozó sajátvektorai páronként ortogonálisak. 3. Minden hermitikus transzformációhoz megadható a sajátvek torok által alkotott ortonormált bázis, melyben a transzformáció mátrixa diagonális és valós.

/. összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

1.9 Mátrixfüggvénysorok

1.8 Bilineáris és kvadratikus alak

ill. negatív definitnek mondjuk, attól függően, hogy

A Q(x) - (Ax, x)

Legyen

a

komplex

C"

tér két

vektora

x és y,

(A = A) valós kvadratikus alakot pozitív, ö (x ) > 0

X

0 mellett

Q(x) < 0

X 0 mellett.

továbbá

A = [öy ]„xn • Az

Megjegyezzük, hogy Q(0) = 0. (Ax, y) = X (Ax),- yi = 2 aijX j yi i ij

(1)

skaláris szorzatot bilineáris alaknak, az A-t pedig a bilineáris alak mátrixának nevezzük [K27], [K72]. Az (1) összeg az indexek jelölésétől független, tehát (Ax, y ) = X ^jiî iJ

ji y

A Q(x) kvadratikus alak akkor és csak akkor pozitív definií, ha az A mátrix összes sajátértéke pozitív, valamint akkor és csak ak kor negatív definit, ha az A mátrix összes sajátértéke negatív. Ha A tetszőleges reguláris mátrix, akkor A* A hermitikus, és mivel

= (A * y , X),

(A* Ax,x) = (Ax, Ax) = |Ax|^ ,

iJ

ahol A* = [0 ^7] az A mátrix hermitikus konjugáltja (A transzpo nált] ának konjugáltja), így

így A

0 esetén a A* A sajátértékei mind pozitívak, ha A = 0,

akkor pedig nullával egyenlők. A mátrix egyik normája:

(2)

(A x,y) = ( x , A * y ) .

l|A ||- V /ím a x ’

Ha az A mátrix hermitikus (valósban szimmetrikus), akkor ahol

(Ax,y) = (x,A y).

A* A szorzatmátrix legnagyobb sajátértéke.

Ha x = [x], X2,

Ebben az esetben a

T

i2

, akkor x*x = |x| , és ennek megfele

lően IIXII = IX |. így a korábban bevezetett vektornorma, az értelme

Ö(x) = (Ax, x) = X * Ax = X Ui

zésnek megfelelően, a vektor hosszával egyenlő.

kifejezést hermitikus kvadratikus alaknak mondjuk. Tekintettel a Ö(x) = X i,j

=Z iJ

= Ö(x)

összefüggésre az hermitikus kvadratikus alaknak az értékei valósak. Ha

X

a valós R " tér vektora, A = [aij] pedig valós szimmetri

1.9 Mátrixfüggvénysorok A kvadratikus X mátrix polinomját P(X ) = Ao + AjX + A 2X 2 + ... + A p \ P Q(X) = B o + XBi + X^B2 + ... + X^B^

kus mátrix, azaz A^ = A , akkor a Q(x) hermitikus alak valós kvad

alakban értelmezzük, ahol A,-,B,- állandó mátrixok, és feltesszük,

ratikus alakot állít elő, azaz

hogy az előforduló mátrixműveletek elvégezhetők [K20],

ö(x) = x^ Ax = X aijXiXj (üij = a ji) . iJ

Tegyük fel, hogy a Q(X) nemszinguláris mátrixpolinom, akkor racionális mátrixfüggvény is értelmezhető


90

R j(X ) = P(X )[Q (X )]

1.10 Mátrixok minimálpolinomja

91

mátrixsort abszolút konvergensnek mondjuk, ha a tagok normái val képzett

-1

R 2 (X) = [Q (X )]-'P (X ) 11^1 ll + l l ^ 2 || + --- + ||

alakban. Legyen

1 + ---

sor konvergens. Legyen X kvadratikus mátrix, és tegyük fel, hogy létezik a C í = [ e í ‘ *l (k = h 2 , . . . )

( 1)

azonos típusú mátrixok sorozata. A C = lim

N

^

lim Y j ^ k ^

= [ lim c f h

F (X )= lim Syv(X)= lim f . ^ k ^ —>00 N~ôo k=0

k-ô°

A:—>oo

mátrixot a mátrixsorozat határértékének nevezzük, ha az létezik. Ekkor azt mondjuk, hogy az (1) mátrixsorozat konvergens. A mátrixsorozat konvergenciáj ának fogalmát felhasználva definiál juk az A i + Á2 + ... + A ^ + ... (2)

határértékkel értelmezzük, és jelölésére F (X )= f ; A t X ‘ k =0

alakot használjuk.

mátrixsor konvergenciáját. Azt mondjuk, hogy a (2) mátrixsor konvergens, ha a sor Sj = Aj, S2 = A] + A 2,

Syy = Aj + A 2 + ... + A;y

részletösszegeiböl képzett sorozatnak van határértéke, azaz

1.10 Mátrixok minimálpolinomja Legyen A = [% ] tetszőleges n-edrendű négyzetes mátrix. A négy zetes mátrix hatványai a következő módon értelmezhetők:

S = lim S N N-^c

Az S határértékmátrixot a mátrixsor összegének nevezzük, és ezt a következő módon jelöljük:

határérték, akkor az F(X) mátrixfüggvényt

A ° = E , A ^ = A , a 2 = A - A , . . . , A '^ = A " “ 1 -A ,... Legyen m k=l

k=l A mátrix normáinak értelmezéséből következik, hogy ha

a Á változó egy polinomja, akkor a m P ( A ) = 2 ‘-;íA‘

-> C , akkor

k=l

|C - C ^ II->0 és l Q | - ^ | C | | , h a k - ^ 00 . A numerikus sorok abszolút konvergencia fogalmát mátrixso rokra is értelmezzük. Az Aj + A 2 + ... + A^ + . . .

egyenlőséggel értelmezhető az A mátrix poUnomja. Nyilván p{A) is n x n - e s mátrix (függetlenül a p(X) polinom fokszámától). 1.

definíció. Egy p(Á) polinomot az A mátrix annulláló poli-

nomjának nevezzük, ha p(A) a zérusmátrix, azaz p( A) = 0 .


92

I . l I Mátrixhatványsorok

93

Bizonyítható a következő ún. Cayley-Hamilton-tétel [K72]. Bármely A mátrix

(/,/: = 1 ,2 ,...,n) 2

n számú polinom legnagyobb közös osztóját, akkor [K30] D (/i) = d et(A -A E ) d(X) =

karakterisztikus poiinomja annulláló polinom, azaz D (A ) = 0 . 2. definíció. Az A mátrix legalacsonyabb fokú annulláló polinomját az A mátrix minimálpolinomjának nevezzük Mivel egy n x n - e s mátrix karakterisztikus polinomjának fok száma pontosan n, ezért a Cayley-Hamilton-tétel alapján egy n x n es mátrix minimálpolinomjának fokszáma legfeljebb n. Egy mátrix bármely annulláló poiinomja - így többek között a karakterisztikus polinom is - osztható a minimálpolinommal. Bizonyítás nélkül közöljük a következő eredményeket [K30], [K31], [K72]; Legyen az A mátrix karakterisztikus polinomjának gyökténye zős előállítása D{X) = (/li - /l)"'' •(Á2 -

•... •(A, -

,

itt tehát Xi,X 2 ,...,X^ a D(X) = 0 karakterisztikus egyenlet összes különböző gyökei, továbbá a d(X) jelölje az A mátrix minimálpolinomját, akkor d(X) a következő alakú; d(X) = (/ii - X f ‘ • (X2 - X f ^ - . . . - ( X , - x f - ^ , ahol \ < fii < mi, i = l , 2 , . . . , s , azaz d{X) -bán szerepel a D{X) valamennyi gyöktényezője, csak legfeljebb kisebb hatványon. Ez alapján, ha a D{X) polinom minden gyöke egyszeres multiplicitású, azaz mi = m2 = . . ■- m^ = l , akkor d{X) = D { X ) .

D(X)

q(X)

■

1.11 Mátrixhatványsorok Legyen ( 1) a X komplex változó egy tetszőleges hatványsora, cj^ pedig tetsző leges valós vagy komplex szám. Tegyük fel, hogy található olyan 0 < i? < +00 szám, hogy e hatványsor konvergens minden olyan X ra, melyre

X
és divergens minden olyan

X -ra, melyre

1AI > /?, míg IAI = /? esetén mindkét eset előfordulhat [K20]. Az R sugarú és origó középpontú kört a hatványsor konvergen ciakörének nevezzük. E kör belsejében tehát a hatványsor konver gens (sőt bizonyítható, hogy abszolút és az R - s sugarú körben egyenletesen konvergens, £ > 0 tetszőleges). Jelöljük a konvergen ciakör belsejében a hatványsor összegét / (X) -val, azaz /a )= £ c tA * . k=0 Legyen most A = [auJ tetszőleges n-edrendü négyzetes mátrix és tekintsük a formálisan képzett

A d{X) minimálpolinomot a következő módon állíthatjuk elő:

( 2)

k=0

Jelölje Dii^{X) az k - X E mátrix r-edik sorának ^-adik elemé hez tartozó algebrai aldeterminánsát. Nyilvánvaló, hogy Du^(X)

mátrixhatványsort, ahol q

legfeljebb n - \ -ed fokú polinom.

komplex szám. Természetesen értelmezni kell, hogyan értjük a fenti mátrixhatványsor konvergenciáját és mit értünk a fenti sor összegén.

Jelölje q(X) az összes

(k - 1,2,...)

tetszőleges valós vagy

94

________ /■ Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

Jelölje

a fenti mátrixhatványsor A^-edik szeletét, azaz

jt-0 Nyilván

n x n - e s mátrix, melynek elemei függenek A^-től.

Definíció. Ha az értéke, ( N

+0 0 ) ,

mátrix mindegyik elemének létezik határ azaz létezik a következő határértékmátrix:

1.11 M átrixhatványsorok

95

A fenti tétel alapján az / ( A )

összegmátrix kiszámításához

szükség van az A mátrix összes hatványának kiszámítására, vala mint mint e hatványmátrixok konstansszorosainak összegére, ami - még közelítő számítások esetén is - gyakorlatilag nehezen el végezhető és főképp hosszadalmas feladat. Ezért számítástechnikai szempontból különösen fontos a következő 2. tétel. Az 1. tétel feltételei mellett létezik olyan legfeljebb n - 1 -ed fokú p{Á) polinom, melyre

lim Spj = S = [sii^], /v-^+00

p(A) = f { A ) . A fenti tétel alapján az

akkor azt mondjuk, hogy a

/ ( A ) = 2 cj A ‘ k=0

k :=0

mátrixhatványsor konvergens, és e mátrixhatványsor összegén az S mátrixot értjük, azaz s = f;c jA ‘ . kÔ

mátrixhatványsor Összegének kiszámításához elegendő az A mát rixnak csak az első n - l hatványát ismerni, sőt sok esetben ele gendő alacsonyabb hatványok ismerete is. A fenti tételek igazolásához szükség van az ún. HermiteLagrange-féle interpolációs polinom fogalmára.

A fenti S mátrixot a továbbiakban / ( A ) -val jelöljük, azaz

Megjegyzés. Tegyük fel, hogy az F ( X ) = /(A )= £ c tA ‘

.

k=0

Kimutatjuk, hogy fennáll a következő alapvető 1

. tétel. Ha az f ( Z ) =

függvény X mátrixának

zők, és eleget tesznek a | >%| < /? egyenlőtíenségnek, ahol R az F(x)=

hatványsor konvergenciakörén-edrendü négyzetes mátrix min

den sajátértéke a Á komplex síkon az R sugarú kör belsejébe esik, azaz < R (k , akkor az /(A )= 2 c iA * k=0

mátrixhatványsor konvergens.

( |x |< i ? ) k =0

k=0

nek sugara R > 0 és az A =

mátrixyk=0 (k = l , 2,...,n) sajátértékei különbö

analitikus függvény konvergenciasugara. Ekkor F(X) előállítható az X mátrix polinomjaként a Sylvester-féle formulával, azaz jT(X') = V

(X ~

) ••• (X -

)(X —/l^^] )---(X —A„)

.

96


N

páronként különböző számok. M ind

egyik Ái {i = 1, 2 ,..., s) számhoz legyen hozzárendelve

97

Ezek után térjünk vissza az 1.11 pont L és 2. tételének bizo nyítására. Igazolni kell először, hogy az 1. tétel feltételei mellett létezik

1.12 Az H erm ite-Lagrange4éle interpolációs polinom Legyenek Jíi,

1.12 A z Hermite-Lagrange-féle interpolációs polinom

lim

számú

y clA}.

adott szám. Legyenek ezek 4®,

íi®.

4 '”'" . ( i = u . . , s ) .

(1)

H e rm ite -L a g ra n g e 4 é \Q interpolációs polinomnak nevezzük azt a

legalacsonyabb fokú p ( Á ) polinomot, melyre

Jelöljük % (A)-val az / (Á) =

letét, továbbá legyen D(Á) az A = [an^] n-edrendű négyzetes mát rix karakterisztikus polinomja:

( 2) itt

jelenti a p{Á) polinom/c-adik deriváltját a Xi helyen. Ha mj = m2 = ... =

= 1, akkor a fenti p{Á) polinomot Lag-

range-féle interpolációs polinomnak nevezik [K18], [K83]. Legyen n = + m2 + ... + , akkor a fenti p{Á) polinomot

hatványsor A^-edik szek=ö

D U ) = (A, - /i)'”' ■(^2 -

•... •( 4 -

,

ahol Áj, Á2 ,...,Á^ a D(Á) = 0 egyenlet összes különböző gyökei, és m-i + m 2 + ... + m^ = n . Osszuk % (A) -t D(Á) -val. Ha a hányadospolinomot qf^{X) val, a maradékpolinomot r^(A ) -val jelöljük, akkor

meghatározó (2) feltételek száma éppen n, így a p(Á) polinomot

•-D(A)-t-r^Y (A)

kereshetjük n -1 -ed fokú

(4)

Itt az r^{X) maradékpolinom fokszáma legfeljebb n - l . A fenti előállításból látható, hogy polinom alakjában, ahol az n-számú cq,c'i,C2 ,..-,c„_i ismeretlen együtthatókra a fenti feltételek alapján egy lineáris algebrai egyen letrendszert kapunk. Jelöljük {X) -val azt a speciális H e n n ite-L a g ra n g e-íé\& inter polációs polinomot, melyre az (1) alatti számok az mind zérusok és

osztható

Z)(A) -val, így osztható minden i = 1 ,2 ,..., 5 esetén (Aj ~ Á)'^‘ -vei is, ekkor, mint az analízisből ismeretes, az Sj^ (Á) - r^v (Á) polinom első m, - l számú deriváltja eltűnik a A,- helyen,

kivételével

= 1.

{Á)

uÁ azaz

Az (1) alatti feltételekkel m eghatározott//erm /íe-Lagrange-féle interpolációs polinom előállítható a következő alakban: 5

,,,

/=1 A hi!^(Á) polinomokat alappolinomoknak nevezzük.

=

«: = 0 ,l,2 ,...,m , - l ) .

(5)

Jelentse Pf^(Á) azt az Hermite-Lagrange-féle interpolációs polinomot, melyre az (1) alatti számok a következők: ■Ák) =_ 5' (k) N


98

Minthogy

1.12 A z H ermite-Lagrange-féle interpolációs polinom N

(Á) legfeljebb n - 1 -ed fokú polinom, azért - figye

lembe véve az Hermite-Lagrange-íélt interpolációs polinom unicitását, - (5) alapján kapjuk, hogy = r ^ {Á ) , így (3) és (6)

Mivel

(A) =

A ^, ezért a fentiek szerint k=0

alapján

lim í ,,, rN a)=PN U )^T Z sfadh ika). Í=1 A=0

n)

írjunk (4)-be A helyett A-t, akkor ű (A ) = 0 figyelembevételé vel 5yv (A) = ryv ( A ) , amiből (7) alapján

99

'^CjÂ

létezik, így az 1. tétel igazolást nyert. Másrészt (9)-ből 5 m,; -1 ,/'(A)= lim s^ { A ) = Y, Z f ^ ^ \ ^ i ) h k ( ^ ) ■ ;=1 k=Q

( 10)

Vezessük be a következő jelölést: 5 rrij-l

(8 )

^^yv(A) = X Z i=l k=0

pU ) = x 2; i={ k=0

Ismeretes, hogy az

A (3) formulával adott p(Á) olyan Hermite-Lagrange-féle in terpolációs polinom, amelyre az (1) alatti számok:

/a )= £ c ti k=Q hatványsor a konvergenciakör belsejében tetszőleges sokszor diffe renciálható, így Á < R esetén

Mivel az A mátrix Áj, Aq ,

N-^+oo

(Ái) = /

így (8)-ból látható, hogy

Mivel p(Á) legfeljebb n - l - e d fokú, (10) alapján p( A) = / ( A ) , amiből a 2. tétel is következik. Összefoglalva. /(A ) kiszámítása a fentiek alapján a következő

sajátértékei - azaz a D(Á) = 0

egyenlet gyökei - a feltevés szerint az R sugarú kör belsejébe es nek, azért lim

.

(Ái),(i = l , 2 , . . . , s ; k = 0 , l , 2 , . . . , m/ -1 )

képpen történik: Meghatározzuk az A mátrix karakterisztikus polinomját, majd ennek összes Á2 , ■■■, gyökeit és e gyökök W|, m2,..., multiplicitását. Meghatározzuk azt a legfeljebb n - l - e d fokú p(Á) Hermite-Lagrange-féle interpolációs polinomot, melyre p^'^\Xi) =

lim sj^(A) létezik éspedig

, (í = 1 ,2 ,...,5 ; k ^ Q X 2 ,...,nii - 1 ) .

N->+o=

s m, -l lim ^yv(A) = Z Z k=0

(9)

Itt

adott számok, melyek az f ( Á ) =

hatványsor k=0 összegfüggvényéből nyerhetők. A számítás eredményeként kapjuk, hogy f(A )=p(A ).


JOO

1.13 Függvénymátrix deriváltja és integrálja

Érdemes megjegyezni, hogy a bizonyítás folyamán a D(Á) karakterisztikus polinom tulajdonságai közül csupán azt használtuk fel, hogy Z)(A) = 0 . Az egész bizonyítás végig vihető, ha D(Á)

1 -1 Például legyen

A = -3 -4

1

3 -3 4 -4

akkor

A^=A^=A"^ =

‘ 2-1 í -3 4-3 -4 4-3

helyett az A mátrix d(Á) minimálpohnomját használjuk. d(Á) annyiban különbözik D{X)-ió\, hogy ö?(/l)-ban a

101

Áq_,

gyökök multiplicitása esetleg kisebb, így d (Á) esetleg alacsonyabb fokú, mint D ( /l) . Jelöljük F-vel d(Á) fokszámát, jUi,jU2 ,...,Ms ~ sel a Áj, Á2 , ■■■,

gyökök multiplicitását, tehát

d(Á) = ( Á i - Á f ' -(Á2 - Á f 2 ahol

^

(i = l , 2 , .. . , s ) és //j + //2 + •••+ //^ = v .

l<

Ha a p(Á) Hermite-Lagrange-féle interpolációs polinomot a (A,-) =

(A;), (< = 1,2...... í ; <: = 0, 1, 2,... ,

Megjegyzés 1. A (2) mátrixhatványsor abszolút konvergens minden olyan A mátrixra, amely kielégíti az ||A||<« (11) egyenlőtlenséget. Ui. az (1) skalárhatványsor a | /l| < 7? körön belül egyenletesen konvergens, (1 l)-re tekintettel a

- 1) Í ,h \M kÔ

feltételekkel határozzuk meg, akkor p{Á) legfeljebb v - l - e d fokú és - mint az előbbi tételek bizonyításából látható - jelen esetben is fiA ) = p(A). Figyelembe véve, hogy a minimálpolinom meghatározása is sok számolással jár (1. a 1.11 pontot), azért d(Á) kiszámítása csak akkor gazdaságos, ha előre várható (vagy előre tudjuk), hogy d(Á) valóban alacsonyabb fokú, mint D ( Á ) . Példák Ismeretes, hogy az a

k

S -jT - sinA= 2 ( - l )

így a (2) mátrix hatványsor abszolút konvergens minden adott A-ra. 2. Ha az (I) skalárhatványsor minden A -ra (7? = 00) konver gens, akkor a megfelelő mátrixhatványsor szintén konvergens tet szőleges négyzetes A mátrix mellett.

Legyen F(í) = [/y (í)] C ^ a,/?)-b e tartozó m x n típusú függvény +00 , íg y

minden A =

n-edrendű négyzetes mátrix esetén az alábbi mátrixhatványsorok konvergensek: =

|q A ‘ | | < | c j | | | A f . ( t = 0,1,2,...),


= Z k\' sm

hatványsorok konvergenciasugara R =

sor is konvergens. A norma tulajdonság alapján

mátrix, azaz az álhatók valamely deriváltján a

függvények legyenek folytonosan differenci a < t
intervallumon. A fiiggvénymátrix

^ ^ F 'w = [ 4 ( 0 ] függvénymátrixot értjük.


102

103


A deriválás szabályai:

függvénysor egyenletesen konvergens az (a,b)

dC 1. Ha C konstans mátrix, akkor — ^ = 0; dt

akkor az (a,b) intervallumon érvényes az

2.

intervallumon,

- ^ ( F ( í ) + G ( 0 ) = F '( í) + G '( í) ;

3.

- ^ ( C F ( í ) ) = C F '( 0 ;

- ^ ( F ( / ) C ) = F '(/)C ;

4.

|- ( F ( í ) G ( í ) ) = F '(f) G (r ) + F ( ( ) G '( t) ;

k=:\ k=l egyenlőség. Az F (O g C[a,b] mátrix határozott integrálját fii(T)dT

5. Ha F (í)£ C reguláris mátrix és inverze F ^ ( í) , akkor formulával értelmezzük, ahol Iq, t& [a,b], ill. a mátrix határérték 6. Ha X(r) kvadratikus mátrix, akkor

_(x(oy"J=x(x(of x'(o(x(of

fogalmát felhasználva t F{T)dT =

Ha X(t) és X'{t) felcserélhető mátrixok, akkor (X(,))"■]'= m X '(r)(X (t)r-';

ahol tQ< ti <

és Ar^ =

mátrixok

mátrixsora az (a,b) intervallumon konvergens, k=\ valamint deriváltjainak

t akkor

ÍF ( T ) í/r = < í > ( 0 - ^ ( ío ) ;

2. Ha C konstans mátrix, akkor / t t t (t jCF(T)dT = C jF(T)dT, j¥(T)CdT= jF(T)dT •C ; %

^0

h

\Jo

3. Ha F ( r ) , G ( r ) e C[tQ,t], akkor t

k=í

(fc = 0,1,2,...,n -1).

Az integrál tulajdonságai: 1. H a F ( 0 =

Ha az

,

max|Aí^|-Ô^^Q

to

k=0

n-] lim

t

t

(F(T) + G(T))dT= \F(T)dT+ \G{'V)dv,

mátrixsora egyenletesen konvergens az (a,b) intervallumon, azaz 4. Ha F (t), G (t) e C [tQ,t], akkor a parciális integrál formulája:

az összes

F(T)G\T)dT = F (í)G (0 -F (ío)G (ío) - \F'(T)G(T)dr, k=l


104

5.

jF (r)rfr 2.

M e tr ik u s és n o r m á lt te r e k

7 i(x )’ Tekintsük az f (x) =

/ 2W

FEJEZET

vektorfüggvényt, ahol a kompo 2.1 Metrikus terek

/m (x )

nensek

Legyen X tetszőleges halmaz, melynek elemeit x, y, z stb. latin kisbetűkkel jelöljük. Az X x X Descartes-szorzaUal adott halmazon értelmezett valós értékű p függvényt metrikának nevezzük, ha

Ha /;( x ) e C

1. p(x, v) > 0 Vx, y e X esetén, valamint p(x, j ) - 0 akkor

(/=

akkor a vektorfüggvény x vektor szerinti deriváltját a Jacobi-féle mátrixszal értelmezzük 3 /1

dx = f'(x ) =

5//(x)

3.

(1)

p{x,y) = p{y,x) (szimmetria).

(2)

p{x, _y) < p{x, z) + p{z, y ) , Vx, y , z ^ X -re (háromszögegyenlőtlenség) [K4], [K27].

dxi ^fm

2.

és csak akkor, ha jc = _y (nemnegativitás),

3/m dXn

(3)

Ha az X halmazon értelmezve van a fenti tulajdonságokkal ren delkező p függvény, akkor az { X , p ) együttest metrikus térnek nevezzük (a p távolságra vagy metrikára vonatkozóan). A metri kus tér elemeit geometriai szóhasználattal pontoknak mondjuk. Ugyanabba az X halmazba több módon is bevezethetünk metri kát. Természetesen az ilyen módon keletkezett C ” {X,p\{X ,p"),... metrikus tereket különbözőknek kell tekinteni. Általában, ha az { X , p ) metrikus teret egy meghatározott p metrika esetén vizsgál juk, akkor röviden magát az X halmazt nevezzük metrikus térnek. Például az R ” és a C ” metrikus tér az euklideszi metrikával: p(x,y)=

Y ^ i-rti Vi=\

ahol X = (^1, ^2 - ••-4 ) és j = (//i. 7/2, •■•, ?7„ ) az adott tér két pontja.


106

2.1 Metrikus terek

Ha xj,X2,...,xp. azX halm az tetszőleges elemei, akkor a (3) több szöri alkalmazásával

vagyis

p(x^,Xj,) < p{xi,X2) + P{X2,x^) + ... +

Xj,)

(2a)

egyenlőtlenséget kapjuk. Legyen { X , p ) egy meghatározott metrikus tér, jcq e X egy tetszőleges pont, f > 0 pedig egy tetszőleges szám, akkor az 5(xo;£’) = {x x e X , p { x , X Q ) < e \ egyenlőséggel értelmezett S { x Q \ e ) c : X

halmazt xq középpontú

£ sugarú nyílt gömbnek (röviden: gömbnek) nevezzük. Az 5'(jco;£') gömböt gyakran az xq pont £ sugarú környeze tének is mondjuk. Legyen M a.z X metrikus tér egy tetszőleges részhalmaza. Egy xq pontot az M halmaz belső pontjának nevezünk, ha e pontnak létezik olyan S(xq;£) környezete, amely teljesen M-hez tartozik, vagyis S{xq\£) c M. Ha xq belső pontja M-nek, akkor xqG M . Az X metrikus tér egy G részhalmazát nyílt halmaznak nevez zük, ha G minden pontja belső pontja G-nek. Jelölje G az X metri kus tér összes nyílt halmazaiból álló halmazosztályt. Egyszerűen igazolható az alábbi 1 . tétel. A G halmazosztály rendelkezik a következő tulajdon ságokkal; a) 0 és X e G;

b) véges sok G -beli halmaz metszete is G-beli; c)

P

tetszőleges számú (tehát véges vagy végtelen sok) G-beli

halmaz egyesítése is G-beli. 2. tétel. Bármely nyílt gömb egyúttal nyílt halmaz is. Ui. legyen ^(x o ;^) tetszőleges gömb az X metrikus térben. Kimutatjuk, hogy e gömb minden pontja belső pont. Legyen xG S{ xq\£) tetszőleges pont, azaz p {x , xq) < e . Megmutatjuk, hogy a ő = £ - p {x , xq) jelölés mellett S{x\ő) a S{ xq\£). Ha ui. z e S { x \ ő ) , azaz p { z , x ) < ő, akkor

p

íz ,xq)

( z, xq)

107 < P ( z , X) +

p

( x , x q ) < Ő + P ( x , Xq ) = £ ,

< £, ami azt jelenti, hogy z g

S ( x q -,£).

Az alábbi értelmezések alapvető jelentőségűek a metrikus terek elméletében. Az X metrikus térben a nyílt halmazok komplementer halm a zait z á rt halmazoknak nevezzük. Eszerint egy F ez X halmaz tehát zárt, ha F nyílt. Jelölje F az X metrikus tér összes zárt hal mazaiból álló halmazosztályt, akkor a de Morgan-íovmxxlék felhasz nálásával a 2. tételből következik az alábbi 3. tétel a) 0 és Z

G ^

b) véges sok F-beli halmaz egyesítése is £-beli; c)

tetszőleges számú F-beli halmaz metszete is F-beli.

Egy K ez X halmazt az

xq g

Z pont környezetének nevezünk,

ha az X() pont belső pontja J^-nak, más szóval, ha K halmaz tartal maz olyan nyílt halmazt, amely tartalmazza az halmaz maga is nyílt, akkor e halmazt az

xq

xq

pontot. Ha a á:

pont nyílt környeze

tének nevezzük. Abban az esetben, amikor ki akarjuk tüntetni, hogy a K halmaz környezete az Xq -nak, akkor a K ( x q ) jelölést használjuk. A fentiek értelmében tehát beszélhetünk egy

xq

pont

nak gömb alakú, nyílt, és tetszőleges alakú környezetéről. Egy X() G X pontot valamely M ez X halmaz külső p o n tjá nak nevezünk, ha e pontnak létezik olyan környezete, amely nem tartalmaz M-beli pontot; nyilván Xq£ M. Egy yg e M pontot a M halmaz határpontjának nevezünk, ha jq nem is belső és nem is külső pontja M-nek, más szóval, ha az _yg pont bármely környezete tartalmaz M-hez tartozó és M-hez nem tartozó pontot. Egy zq g X pontot az M halmaz érintkezési pontjának neve zünk, ha e pont bármely környezete tartalmaz M-beli pontot. Az M halmaz érintkezési pontjainak halmazát az M halmaz lezárásának nevezzük és [M] szimbólummal jelöljük. Nyilvánvaló, hogy [M] azonos az M belső pontjainak és M határpontjainak egyesítésével.


108

más szóval [M ] azonos az M külső pontjai halmazának komple menterével. Könnyen látható, hogy az M halmaz külső pontjainak halmaza nyílt, ezért [M ] zárt halmaz. Nyilvánvaló, hogy bármely M halmazra M c [ M ] ,

és egyszerűen igazolható, hogy egy M

2.7 Metrikus terek

109

Igazoljuk például a c) állítást. Tegyük fel az állítással szemben, hogy X() és j o is határértéke az (x„) sorozatnak, azaz x^-^ Xq és

-> jo ’ ha n -> oo .

A (3) szerint fennáll a

halmaz akkor és csak akkor zárt, ha M = [ M ] .

+ p( x, ^, J o )

p{XQ, J q ) < P ( X q ,

(* )

Egy xq pontot az M halmaz izolált pontjának nevezünk, ha xqG M és e pontnak van olyan környezete, amely nem tartalmaz xq -tói különböző M-beli pontot. Egy Xq pontot az M halmaz torlódási pontjának nevezünk, ha e pont bármely környezete végtelen sok M-beli pontot tartalmaz. Könnyen belátható, hogy egy xq pont akkor és csak akkor torlódá si pontja M-nek, ha xq bármely környezete tartalmaz legalább egy Xq -tói különböző M-beli pontot. A fenti értelmezésekből következik, hogy egy M halmaz akkor és csak akkor zárt, ha M tartalmazza valamennyi torlódási pontját. Metrikus térben értelmezhető a pontsorozat konvergenciájá nak a fogalma. Azt mondjuk, hogy az {x„} c Z pontsorozat az xq G X pont

egyenlőtlenség. Ha n -4 oo , akkor a (*) egyenlőtlenség jobb ol dala tart a nullához és így P( xq, _yo) < 0 . M ásrészt a feltevésünk szerint p (xq, Jq) ^ 0 . A két egyenlőtlenségből következik, hogy P(ô> -Vo) = 0 , vagyis ^ = JoKimutatjuk, hogy a p{x, _y) folytonos függvénye x-nek és j nak. Azaz ha x„ A (2a) értelmében

p(x„, y„) pixQ,

<

Jo ) <

-> Jo ’ akkor p(x^, y^) -> p(xg, yg) .

p{x^, Xq) +

P Í X q, y o ) +

PÍXq, x „)

p(x„, y^) + p{y^, y^)

+

piy^, y^)

melyekből Jn) - P(-^0> Jo) ^

yn)

ô) +

pi.^^ yo) - PiXn, yn) ^ PÍXq, x„) + p{y^, y^)

hoz tart (konvergál), ha p(x„,X q)

xq és

0 midőn n —>

az Xq pontot ekkor az {x„} sorozat határértékének nevezzük.

és íg y

\p{xQ, Jo) - /?(X„, j„)| < pixQ, x„) + p{y^, y o ) .

A jobb oldal n ^ o o esetén nullához tart, amiből következik, hogy

Annak kifejezésére, hogy az [x,^] pontsorozat az xq ponthoz tart, a szokásos Xq -

PiXQ, Jo) •

PiXn, yn) Ha

az

{x„} c: X

pontsorozatnak

van

határértéke,

lim , vagy xq = lim x„ , vagy xq n^+°o jelölések szolgálnak. Az alábbi állítások egyszerűen következnek a konvergens pont sorozat értelmezéséből: a) Ha az {x„} pontsorozat konvergens és lim x„ = x , akkor e

tetszőleges e > Q számhoz mindig létezik olyan N szám, hogy

sorozat bármely {jc„,} részsorozata is konvergens és limx„. = x

p(Xp, Xq) -> 0 midőn p és q

b) Az x,^=x (n = 1,2,...) sorozat konvergens és lim x ^ = x . c) Konvergens pontsorozatnak csak egyetlen határértéke van.

lim

=

X

azaz

, akkor (a háromszög-egyenlőtlenségre tekintettel) egy

77—>oo

p{xj^, x ^ ) < £ , hacsak k , m > N . Egy {x„} c: X pontsorozatot Cauchy-sorozatnak nevezünk, ha -f-oo.

4. tétel. Minden konvergens sorozat egyúttal Cauchy-soTozat is.


110

Ui. legyen {x„} konvergens pontsorozat és lim x„ = x , akkor p( x„ ,

,

x) + p { x, x „ ^ ) - ^ 0 midőn né s m - ^

2.2 Lineáris terek

111

7. tétel. Legyen adva az X teljes metrikus térben zárt gömbök nek egy egymásba skatulyázott sorozata, ahol a gömbök sugarai zérus sorozatot alkotnak, akkor e gömböknek létezik egy és csak egy közös pontjuk.

Megjegyezzük, hogy egy metrikus térben általában nem minden Cawc/ty-sorozat egyúttal konvergens is. Egy X metrikus teret teljes metrikus térnek nevezünk, ha e tér ben minden C auchy-sorozaX egyúttal konvergens is. Megjegyezzük, hogy a teljes metrikus terek fontossága lénye gében abban van, hogy egy ilyen térben egy pontsorozat konver genciájához elegendő csupán azt igazolni, hogy e sorozat C a u ch ysorozat; ezt az utóbbi tulajdonságot pedig általában könnyebb iga zolni mint a sorozat konvergenciáját (vagyis a határérték létezését) megmutatni. Tetszőleges metrikus tér esetén egyszerűen igazolható az alábbi

Ebből egyúttal az is következik, hogy egy zárt gömb egyben zárt halmaz is.

5. tétel. Az X metrikus tér valamely M részhalmaza akkor és csak akkor zárt, ha bármely [x,^] a M konvergens pontsorozat

2.2 Lineáris terek

esetén lim

{x |.x e X ,

p

{x , x q ) <

e

]

halmazt értjük. Egyszerűen igazolható, hogy ez a halmaz azonos az S{ xq\£) nyílt gömb lezárásával, vagyis {x\xE Z ,/? (x ,x o )<£•}= [5 (xo;f)].

g M.

Az X metrikus tér valamely M részhalmazának d{M) átmérő jén a p {x, y) felső határát, azaz a d(M)=

sup p { x , y ) x,yeM

egyenlőséggel értelmezett (véges vagy végtelen) számot értjük. Az M halmazt korlátos halmaznak nevezzük, ha d { M ) véges. Egy M halmaz akkor és csak akkor korlátos, ha található olyan S { x q \ Ő ) gömb, hogy M c S { x q \ ő ). A teljes metrikus terek egy alapvető tulajdonságát fejezi ki az alábbi 6. tétel. {Cantor-íé\Q közöspont-tétel). Legyen

A fenti tétellel kapcsolatban megjegyezzük, hogy az X metrikus térben egy xq középpontú és £ sugarú zárt gömbön az

zd F2 3 ... =)

= )... az X teljes metrikus tér nem

üres zárt részhalmazainak egy ún. egymásba skatulyázott sorozata, ahol e halmazok átmérői zérus sorozatot alkotnak, akkor F |,F 2,...,F „ ,... halmazoknak létezik - éspedig egyetlen - közös pontjuk. A fenti tétel következménye az alábbi

A matematika különböző tárgyköreinek vizsgálata során meg határozott elemekből álló halmazokkal foglalkoztunk. így például találkoztunk a valós számoknak, a komplex számoknak, a geomet riai tér vektorainak, az n-dimenziós vektoroknak, a mátrixoknak, az adott intervallumban értelmezett függvényeknek a halmazával. Minden konkrét elemekkel adott halmazban definiáltuk az ele mekre az összeadás és a számmal való szorzás műveletét. Ezek a műveletek - függetlenül azoktól az elemektől, amelyekre alkalmaz tuk - azonos tulajdonságokkal rendelkeztek. A továbbiakban elvo natkoztatunk a konkrét elemektől, és tetszőleges x, y ,..., ill. X],X2,... elemekkel adott halmazokat vizsgálunk [K27], [K83]. R jelentse vagy a komplex (C) vagy a valós számok R halmazát. 1. definíció. Egy R test feletti X halmazt lineáris térnek vagy vek to rtérn ek nevezünk, ha X-en értelmezve van egy összeadásnak nevezett művelet, továbbá értelmezve van a skalárral való szorzás művelete, és ezekre fennállnak az alábbi követelmények: L x + y = y + x e X (az összeadás kommutatív); 2. (x + y) + z - x + (y + z ) e X (az összeadás művelete asszociatív);


112

3. létezik olyan O g X elem, hogy minden x g X mellett X + 0 = x; (neutrális elem) 4 . minden x elemhez létezik olyan - x g X elem, hogy X + (-x) = 0; ( X ellentettje)

nyek terét. A C[a, b^ tér xj = sin^ t, x^ = cos^ f, X3 = ^ vektorai össze függők. (Ui. X| + X2 - 3x3 = 0 , sin^ t + cos^ í - 3 ~ = 0,1 - 1 = 0.)

7. Ix = x; (1 az R egységeleme) =

113

Példa. Jelölje C{a, b] az [a,b] intervallumon folytonos függvé

5. kx = x k e X minden kG Rés x e X mellett; 6 . k (c x) - (k c) xe X, k é s c e R, x e X\ 8 . k(x+ y)

2.2 Lineáris terek

kx + kyG X-,

9. {k + c)x = kx + e xG X; M egjegyzés. A 3. követelményben szereplő 0 elemet zérus elemnek, a 4 . követelményben szereplő x “ ’ elemet az x elem (ad ditív) inverzének nevezzük, és minden művelet eredménye is az X halmazba tartozik. A fenti követelmények alapján egyszerűen iga zolhatók az alábbi következmények:

3. definíció. Az X vektortér dimenzióján az X-ben lévő lineá risan független elemek maximális számát értjük (feltéve, hogy ez véges), és ezt a számot dim X -szel jelöljük; ha pedig minden n mellett létezik X-ben n számú lineárisan független elem, akkor X-et végtelen dim enziós vektortérnek mondjuk. Egy n dimenziós vektortér n számú lineárisan független elemét a vektortér bázisának nevezzük. Tétel. Ha e ,, ^2,..., bármelyik alakban:

xg

10. a) - x = (-l)x;

az n dimenziós X vektortér bázisa, akkor

X elem (vektor) egyértelműen előáll a következő

X - q e i + €262 + . . . +

Megjegyezzük, hogy az X vektortér elemeit szokás vektorok nak, az R elemeit pedig skalároknak nevezni. Abban az esetben, amikor 7? = R , az X vektorteret a valós szá mok feletti vektortérnek, vagy röviden valós vektortérnek nevez zük, amikor pedig R —C , akkor X-et a komplex számok feletti vektortérnek, vagy röviden komplex vektortérnek nevezzük [K72]. definíció. Az X vektortér x^, ^ 2 ,. •.,

elemeit lineárisan

egyenlőség csak

= C2 = ••• =

A tételben szereplő Cj, C2,...,

számokat az x vektor koordi

nátáinak nevezzük az ej, ^2,• •• , bázisra vonatkozólag. Ui. Legyen

xg

X tetszőleges elem, akkor az x,ei,e 2,...,e^

összesen n +1 számú elem lineárisan összefüggő, így léteznek nem csupa zérus értékű a,aj, k o m p l e x számok, amelyekre ax + asei+a 2e2 +. .. + a„e„ = ö.

függetleneknek nevezzük, ha a q x j -F C 2 X 2 + ... + c„x„ = 0

( 2)

i=l

b) Ox = 0 (itt 0 a zérus szám).

2.

Cí ^í ,

= £

(1)

= 0 esetén lehetséges. Ha létezik

olyan nem csupa zérus értékű q ,c 2,...,c „ szám n-es, amely mellett

Ha a ~ 0 volna, akkor az g], ^2,...,

(3)

elemek lineárisan össze

függők volnának, ami nem lehetséges, így a ^ O . A (3) egyenlősé get a-val osztva és x-et kifejezve: fli flo a ^ a

az ( 1) egyenlőség fennáll, akkor az Xi,X2,...,X „

a„ a "

Jelöljük Cl -vei az e,- együtthatóit, akkor elemeket lineárisan függőknek mondjuk. X

= qej 4- €262 + . . . + c,jí?„

.


114

2.2.1 Altér

Kimutatjuk, hogy az x előállítása egyértelmű: Ui. ha az x elemnek volna két X

=

+

€ 2 6 2

+ . . .

+

és x = c[ei + € 2 6 2

1. minden x és y& X ' esetén x + yG X ' , 2. + . . .

+

0 = (q - q > | + (C2 - 4)^2 ••• + (c„ - c je „ egyenlőséget kapjuk. Mivel ei,e 2 ,...,e^ lineárisan függetlenek, azért , - 6'^ = 0,

amiből az egyértelmű előállítás következik. Fontos szerepet töltenek be a lineáris terek közül azok, ame lyekben értelmezve van egy skaláris szorzat. Ezeket euklideszi tereknek nevezzük (1. a 3.1 p o n to t). Példa Egy tetszőleges lineáris tér elemének bázisa és koordinátái is az R" térhez hasonlóan értelmezhetők. Például minden 3-nál nem magasabb fokú polinom előállítható az 1, í, í , í

függvényekkel:

Legyen például P(t) = 5 + 4t ~3t'^ + 2 ? . Határozzuk meg e harmadfokú polinom koordinátáit a követke ző bázisban: q = 1, ^2 = ^ ~ 2, 03 = (í - if', e^ = { t - i f A koordinátákat a P{t) polinom t = 2 helyhez tartozó Taylorpolinomjának együtthatói szolgáltatják: P (2)= 17; P'(0 = 4 - 6 í + 6í V 2 = 16; P \ t ) = - 6 + 12t[^2 = 18; P"(0 = 12, vagyis

minden

c'ê„

előállítása, akkor a két egyenlőséget kivonva egymásból;

c\ - c [ = 0 , C2 - C 2 - O

115

x e

X' és tetszőleges a komplex szám esetén a x e X'.

Belátható, hogy az X ' altérre teljesülnek a lineáris tér axiómái pont), többek között az X tér nulleleme egyúttal az X ' altér nek is nulleleme lesz, s így X ' maga is lineáris teret alkot. Annak eldöntéséhez, hogy X' ez X nemüres részhalmaz altér-e, elegendő a műveletekre vonatkozó zártságot ellenőrizni. Tetszőle ges lineáris térben ún. triviális alteret képez az egész tér és a csak 0 vektorból álló részhalmaz. (2.2

Példák 1. Az R " térben például alteret alkotnak azok a vektorok, amelyeknek első koordinátái zérusok. 2. Ha A £

egy m x n -es rögzített mátrix, akkor kerA = {x e i?" |Ax = 0} altér i?" -ben,

imA = {A xjxe /?”} = {y g i?'” I3 x e i?" Ax = y} altér

-ben.

E két tér az A mátrix magtere, ill. képtere. 3. A C[a, b] térben alteret alkotnak azok a függvények, ame lyek az x = a helyen zérus értéket vesznek fel. 4. Ha m < n , akkor az m-ed fokú polinomok P^ tere, altere az n-ed fokú polinomok P" terének. 5. Legyen X tetszőleges hneáris tér és legyenek

Pit) = 17 + 16(í - 2) + %t - 2 f + 2{t - 2 f .

Tehát a P{t) polinom koordinátái az adott bázisban: 17, 16, 9, 2.

tetszőleges elemek. Jelöljük X' -vei ezen

62 , . . .,

elemek

összes lehetséges lineáris kombinációinak halmazát, azaz a 2.2.1 Altér Ebben a pontban egy tetszőleges X lineáris tér alterét értelmezzük. Legyen X tetszőleges lineáris tér. Az X tér valamely X' ( z X nemüres részhalmazát az X tér alterének nevezzük, ha ő maga is lineáris tér, azaz

n

i=] alakú elemek halmazát. Az X' alteret alkot, melynek dimenziója: dim X' < n . A dim X ' - n egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha í |, ^2, . .., lineárisan függetlenek.

116


2.3 Normált terek

117

2.2.2 Alterek direkt összege

2.3 Normáit terek

Legyenek X' és X" az X lineáris tér tetszőleges olyan alterei, amelyeknek csak egyedül a 0 (nullelem) az egyetlen közös eleme. Jelöljük F-nal az összes lehetséges y elemek halmazát, melyek y - X + x" alakúak, ahol x e. X' és x"e X" .

1. definíció. Egy X halmazt lineáris normált térnek (röviden; normált térnek) nevezünk [K4], [K27], [K19], ha

Ezen Y alteret az X' és X" alterek ún. direkt összegének ne vezzük (műveleti jele: © ): Y = X'@ X".

jelölt valós szám, amelyet az x vektor normájának nevezünk, és amelyre fennállnak az alábbi követelmények: a) minden

xe

X

Tétel. Legyen X véges dimenziós lineáris tér és X ' c: X tetsző leges altér, akkor létezik olyan X" a X altér, hogy J'sf és X" altereknek csak a nullelem az egyetlen közös eleme és direkt össze gük X-szel egyenlő, azaz

csak akkor, ha

x =

0,

L X vektortér, IL Minden x g X vektorhoz hozzá van rendelve egy ||x||-val

esetén |x || > 0, emellett |x || = 0 akkor és

b) IexII = IcI• IIX||, CG R,

xe

X, (homogenitás),

c) ||x + y ||< ||x || + ||_y|| (háromszög-egyenlőtlenség). Ha az X normált térben az x és _y elemek távolságát a

Bizonyítás. Legyen dim X = n és á i m X ' = k (k < n ) , legyen továbbá €1, 62 , - . . , 6]^ tetszőleges bázis X ' -ben. Egészítsük ki ezt a bázist az X tér további elemeivel úgy, hogy az 61, 62 ,

elemek együttesen az X tér bázisát képezzék. Jelöljük X '-v e l az 6k+\,ek+ 2 ^---^^n elemek összes lineáris kombinációi halmazát, ügy X" altere Z-nek és nyilvánvaló, hogy X = X' ® X " . Ha az Xi és X 2 két altér X-ben és csak a 0 elem az egyetlen közös elemük, és direkt összegük X-szel egyenlő, azaz X = X i ® X 2 , akkor a két alteret egymás kiegészítő alterének nevezzük, és ekkor dimX = dimX| -1- dimX2 . Például a valós háromdimenziós vektortérben minden, az origón átmenő egyenes egydimenziós alteret alkot. Az origón át menő két különböző egyenes, X' és X" alterek direkt összege X' ® X ^ , azonos a két egyenes által meghatározott síkkal.

/7(x,y) = ||x - y ||

(1)

egyenlőséggel értelmezzük, akkor egyszerűen igazolható, hogy az ilyen módon értelmezett p függvény eleget tesz az I. fejezet 1. pontban bevezetett metrika követelményeinek, így az X normált tér az (1) metrikával metrikus teret alkot. Ezért egy normált térben is értelmezhetők mindazok az alapvető fogalmak, amelyeket a metri kus terekben értelmeztünk, így többek között a gömb, a környezet, a nyílt és zárt halmaz fogalma, a pontsorozat konvergenciája, stb. Megemlítjük, hogy egy (x„) pontsorozatnak az x ponthoz való konvergenciája azt jelenti, hogy x —x„ —> 0 , ha n —> -1-00. Ez esetben azt mondjuk, hogy az

( x„)

sorozat normában tart az x

ponthoz. A metrikus terekhez hasonlóan értelmezhető a normált terek tel jességének fogalma. Az X normált teret teljesnek nevezzük, ha Z-ben minden Cauchy-sorozat konvergens is, vagyis abból, hogy | x„ | —> 0, következik, hogy létezik olyan x g X elem, amelyre ||x - x„ || -^ 0.

l. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

118

2. definíció. Egy R test feletti teljes lineáris normált teret Banach-térnek nevezünk [K58], Az alábbi lemma gyakran használatos normált terekben való kü lönféle becsléseknél. 1 , akkor

lemma. Legyenek x és y az X normált tér tetszőleges elemei,

I U - > l a | l k l h l l > ’ll|-

(2)

Ui. az jc = (jc - j ) + j azonosságra alkalmazzuk a háromszögegyenlőtlenséget: amiből Hasonlóan és a két utóbbi egyenlőtlenségből a (2) egyenlőtlenség már követ kezik. Következmény. Ha x„ —> x, akkor || x„ | —> || x ||. Valóban, a (2) egyenlőtlenség alapján X -

2.

< l |x - x „ l - > 0 .

x„

lemma. Ha az X normált térben x„ —> x, és

Xn + yn -> x-t- _y; ha pedig

-> c és x„

—> y, akkor

3. definíció. Az X vektortérbe bevezetett //

ilx|! és \\x\\ normákat ekvivalens normáknak nevezzük, ha léteznek olyan 0<m<M <

119

állandók, hogy minden 0 ^ x& X mellett m <

X

ir<M .

Az X vektortérből ekvivalens normákkal nyert normált terek azonos módon viselkednek, így pl. ha az X tér az egyik normával teljes, akkor a vele ekvivalens normával is teljes; ha az {x„} soro zat az egyik normában tart az x vektorhoz, akkor a vele ekvivalens normában is tart e sorozat az x vektorhoz. Megjegyzés. Vegyük észre a lényeges különbséget egy metri kus és egy normált tér között. Egy metrikus térben csupán az ele mek távolsága van értelmezve, de nincs definiálva elemek közötti művelet, így egy metrikus tér nem feltétlen vektortér is. Egy normált tér viszont egyidejűleg vektortér is és metrikus tér is, ahol a metrika a norma segítségével van definiálva. Ezzel kapcso latban felmerül az a probléma, hogy ha egy X tér egyidejűleg vektortér is és metrikus tér is valamely p metrikával, akkor e met rika segítségével értelmezhetünk-e normát X-ben a természetesnek látszó ||x|| = /7(x,0) egyenlőséggel? A következő pont 4. példájában megmutatjuk, hogy az ilyen módon képzett kifejezés általában nem tesz eleget a norma követelményeknek.

x, akkor c„x„ —> ex.

Ezek a norma tulajdonságaiból következnek. Ha valamely X vektortérben értelmezünk egy tetszőleges, a), b), c) normatulajdonságokkal rendelkező normát, akkor azt mondjuk, hogy az X vektortérbe normát vezettünk be. Ugyanabba az X vek tortérbe természetesen több féle képen lehet normát bevezetni. Az így nyert normált tereket természetesen különbözőknek tekintjük. /

2.4 Példák metrikus, lineáris és normált terekre

2.4 Példák metrikus, lineáris és normált terekre 1. A valós R ” , és a komplex C” tér lineáris normált tér (1. a 3.2 pontot). 2. Az n-edrendű mátrixok halmaza a szokásos összeadás és számmal való szorzás műveletével kielégíti az 1-8. axiómákat, tehát lineáris teret alkot. 3. C[a,h{ -tér. Legyen [a,b] tetszőleges véges és zárt interval lum, és jelentse C[a,b] az [a,b] intervallumban értelmezett foly tonos, valós értékű függvények halmazát. Ha a C[a,b] -beli / és g

120


függvények összegét, valamint a c g R valós számnak az / függ vénnyel való szorzatát a szokásos módon értelmezzük, akkor könynyen igazolható, hogy a C{a,b\ függvényhalmaz vektorteret alkot. E tér zéruseleme nyilvánvalóan az azonosan 0 függvény. Mivel az

2.4 Példák metrikus, lineáris és normált terekre

4. Az Ip -tér. Legyen p > \ tetszőleges rögzített valós szám és jelölje Ip azoknak a komplex számokból álló (x i,x 2,...,x „ ,...) számsorozatoknak a halmazát, amelyekre

l,jc ,x ^ ,...,x ” ,... függvények C [ a ,- b e lie k és közülük bármely véges sok függvény lineárisan független, azért a C[a,b] vektortér végtelen dimenziós. Értelmezzük az f e C[a,b] függvény normáját az

121

Y

konvergens.

n=l

Jelöljünk egy ilyen számsorozatot ismét csak egyetlen jc betűvel, akkor tehát lp = {x\x = (xi,x2, . . . , xn, . . .) ,xn^c,

<+°°} •

1/ 1 = m a x | / ( x ) | xe [a, b]

egyenlőséggel, akkor az ilyen módon értelmezett norma eleget tesz a norma axiómáknak. A fenti norma segítségével az / é s g függvé nyek távolságát az ||/ - g ||=

max |/ ( x ) - g ( x ) | xe[a,b\

egyenlőséggel értelmezhetjük. Egy { /„ } c C [a ,^ ] függvénysoro

Az R ” vagy a C ” térhez hasonlóan az Ip elemeit is vektorok nak nevezzük, csak jelen esetben egy x e Ip vektornak végtelen sok koordinátája van. Értelmezzük az x == (jcj ,^ 2, . . . , , . . . ) és az y = { y i , y 2 ,---,yn,---)

Ip -beli vektorok összegét, valamint az x

vektornak a k e C komplex számmal való szorzatát az x + y ^ ( x i + y i , x 2 + y 2 ,...,xn+yn^---),

zatnak az f e C[a,b\ függvényhez való konvergenciája a fenti normában azt jelenti, hogy az {/„} függvénysorozat egyenletesen tart az / függvényhez az [a,b] intervallumban. Ebből már könnyen

kx - {kxi, kx2

egyenlőségekkel, továbbá az x vektor normáját az

igazolható, hogy C{a,b] a fenti normával Banach-tertt alkot. (A tér teljessége abból az ismert tételből következik, hogy folytonos függvényekből álló egyenletesen konvergens függvénysorozat határfüggvénye is folytonos). Megjegyezzük, hogy a C[a,b] függvénytérben más módon is értelmezhetünk normát, így pl. az ll/lh

kx^ ,...)

/ oo

A^

Vn=l

^

14=

egyenlőséggel. Igazolható, hogy a fent bevezetett műveletekkel, ill. normával Ip Banach-tevQt alkot. A fentiekben szereplő terek valamennyien normált terek voltak. Befejezésül mutatunk példát olyan metrikus térre, amely nem nor mált tér. 5. A C(-oo,-l-oo)-tér. Jelölje C(-o=, + o°) a (~oo,+ oo) interval

egyenlőség segítségével, azonban ezzel a normával a C[a,b] függ vénytér már nem lesz teljes, vagyis e normával a C[a,b] tér csak normált teret (de nem Banach-teret) alkot.

lumban értelmezett folytonos függvények halmazát. E függvény halmaz a szokásos műveletekkel vektorteret alkot. Mivel egy f G C(-oo, + o°) függvény általában nem korlátos, azért e függ vénytérben nem értelmezhető norma a maximum-normához hasonlóan.


122

2.5 Kompakt halmazok metrikus terekben

Értelmezhető azonban e függvénytérben metrika a következő módon. Tetszőleges/és ge. + és n = \,2,... mellett legyen 1

1

/

ma x \ f { x ) - g ( x ) \ xe[ -n, n]

123

M d \J Gy, yer akkor található véges sok olyan Y\,Y2^---^Tn index a T index halmazban, hogy N

es

p(f^g) - Z

Md[jGy.. /=!

„ 1 + II f _ f-S

Igazolható, hogy a fenti p függvény kielégíti a metrika köve telményeit, így e metrikával C(-°<=, + oo) metrikus teret alkot. Könnyen látható, hogy

e g y (/;•) c: C ( -° o , + oo)

függvénysorozatnak

egy / G C{-oo, + oo) függvényhez való konvergenciája a fenti met rikában azt jelenti, hogy az (fi) függvénysorozat egyenletesen tart az / függvényhez minden véges intervallumban (de nem az egész számegyenesen). Megemlítjük, hogy a

kifejezés nem tesz eleget a norma követelményeinek, ui. nem telje sül a p(kf, 0) = I I• /? (/, 0) egyenlőség. 2.5 Kompakt halmazok metrikus terekben Az alábbi eredmények normált terekben is érvényesek, mivel egy normált tér egyben metrikus tér is. Legyen T = { a , t e t s z ő l e g e s (nem feltétlen megszám lálható) indexhalmaz. Azt mondjuk, hogy az X metrikus tér bizo nyos részhalmazaiból álló H = halmazosztály az M dX

halmaz egy lefedése, ha M <= |J Hy. /eV

1. definíció. Az X metrikus tér egy M részhalmazát kompakt halmaznak nevezzük, ha az M halmaznak nyílt halmazokkal való bármely lefedéséből kiválasztható véges elemíi fedőrendszer, vagyis ha [Gy}y^r nyílt halmazok egy tetszőleges olyan osztálya, amelyre

2. definíció. Az X metrikus tér valamely M részhalmazát soro zatkompakt - röviden í-kom pakt - halmaznak nevezzük, ha min den {x„} d M sorozatból kiválasztható konvergens {x„.} rész sorozat. (Nem követeljük meg, hogy az x = limx„. határelem is Mhez tartozzék) [K4], 3. definíció. Az X metrikus tér valamely M részhalmazát telje sen korlátos halmaznak nevezzük, ha bármely £■> 0 esetén az M halmaz lefedhető véges sok legfeljebb e átmérőjű halmazzal. Bizonyítható a következő, gyakran alkalmazható 1. tétel. Ha X teljes metrikus tér, akkor a következő állítások ekvivalensek: a) az M d X halmaz kompakt; b) az M d X halmaz zárt és ^-kompakt; c) zz M d X halmaz zárt és teljesen korlátos. 1. következmény. Az X metrikus tér minden kompakt részhal maza korlátos és zárt halmaz. Megjegyezzük, hogy egy halmaz korlátosságából és zártságából általában nem következik e halmaz kompaktsága, amint ezt az alábbi példa mutatja. Példa korlátos és zárt, de nem kompakt halmazra. Tekintsük a korábban értelmezett Ip teret pl. p = 2 esetén, és legyen 1 2

M -

, ahol

n - 1 n n+l

= (0 ,0 ,..., 0 ,1 , 0 ,...) .

Mivel minden n = l , 2,... mellett ||e„|| = l, azért M nyilván korlátos halmaz I2 -ben, azonban M nem ^-kompakt, ui. bármely m ^ n esetén

így az {é?,j} sorozatból nem lehet ki

124

l. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

választani konvergens részsorozatot. Megjegyezzük, hogy M nyilván valóan zárt halmaz, ui. M-nek egyetlen torlódási pontja sincs. 2. következm ény. Ha X egy tetszőleges véges dimenziós lineá ris normált tér (pl. X = R ” ), akkor egyszerűen igazolható, hogy egy M ez X halmaz akkor és csak akkor teljesen korlátos, ha kor látos, ezért nyivánvaló az alábbi 2. tétel. Legyen X tetszőleges véges dimenziós lineáris normált tér, akkor egy M a X halmazra vonatkozólag az 1. tétel a), b) és c) állításaival ekvivalens az alábbi állítás is: M d X korlátos és zárt halmaz. A 2. és 1. tételekből következik az un. 3. Borel-íéle lefedési tétel. Legyen M az tér egy tetszőleges korlátos és zárt részhalmaza, akkor e halmaznak nyílt halmazokkal való bármely lefedéséből kiválasztható véges elemű fedőrendszer. Bizonyítás nélkül megjegyezzük, hogy érvényes a 2. tételnek az alábbi értelemben való megfordítása is. 4. tétel. Ha valamely X normált térben minden korlátos és zárt halmaz kompakt, akkor X véges dimenziós. A fentiekben egy X metrikus tér valamely M részhalmazának kompaktságát, ■s'-kompaktságát és teljesen korlátosságát értelmez tük. Természetesen ezek az értelmezések változtatás nélkül átvihe tők magára az egész X térre is. így az 1. tétel az egész X térre vo natkozóan a következőképpen módosul. 5. tétel. A következő állítások ekvivalensek: a) X kompakt metrikus tér, b) X ^-kompakt metrikus tér, c) X teljesen korlátos és teljes metrikus tér. 2.6 Függvények metrikus terekben Legyenek X és Y tetszőleges metrikus terek a /7^,ill. Py metrikával (speciálisan X és Y tetszőleges normált terek is lehetnek). Megje gyezzük, hogy a jelölések egyszerűsítése érdekében - hacsak félre értésre nem ad alkalmat - mindkét metrikát egyszerűen csak p -val jelöljük.

125

2.6 Függvények metrikus terekben

1. definíció. Legyen f : X - ^ Y egy tetszőleges leképezés és legyen xq a D ( f ) értelmezési tartomány egy tetszőleges torlódási pontja (nem szükséges, hogy xq e D ( f )

legyen). Azt mondjuk,

hogy az f függvénynek az Xq pontban létezik határértéke éspedig az jo ^ ^ pont, ha az jq pont bármely Vq a Y környezetéhez található az xq pontnak olyan Uq ez X környezete, hogy minden xe

U q n D( f ) , x ^ Xq esetén f ( x ) G Vq.

Megjegyezzük, hogy a fenti definícióban szereplő Uq és Vq környezetek nem feltétlen gömb alakúak és nem feltétlen nyíltak (de természetesen mindegyik környezet tartalmaz xq , ill. Jq kö zéppontú gömböt). Ha az 1. definícióban szereplő környezeteket gömb alakúra választjuk, akkor a definíció a következőképpen módosul: 2. definíció. Azt mondjuk, hogy az f \ X ~^Y függvénynek a D { f ) valamely xq torlódási pontjában létezik határértéke, éspe dig az yg G Y pont, ha bármely £ > 0 számhoz található olyan ő - 5{£) > 0,

hogy minden olyan

xg D(f)

esetén, amelyre

0 < p ( x , xq) < 5 , fennáll, hogy /? (/(x ),y o )< e. Ha Xq e D ( f ) , akkor a határérték fenti értelmezésében az xq beli / ( xq) függvényértéknek semmilyen szerepe sincs. Annak kifejezésére, hogy az f

függvénynek az xq pontban

jO a határértéke, a szokásos lim f ( x ) = yQ, vagy / ( x ) -> jq X->Xq jelölések szolgálnak. Megemlítjük, hogy a 2. definíció - látszólagos speciális volta ellenére is - természetesen ekvivalens az 1. definícióval. 3. definíció. Egy f : X - ^ Y függvényt az Xq g D ( / ) pontban folytonosnak mondunk, ha az /(x q ) képpont bármely (nem feltét len nyílt) Vq környezetéhez található az xq pontnak olyan ( Vq -tói

126


2.6 Függvények metrikus terekben

127

egy metrikus térnek tekinthető, másrészt a D { f ) értelmezési tar

függő) U q környezete, amelyre f (Uq) czVq, azaz minden X6 t/g n D ( / ) mellett / ( x J e Vq.

tományon folytonos / függvényre az X - £ > ( /) halmaz pontjainak

Mivel egy pont tetszőleges környezete tartalmaz e pont körüli gömböt, azért a következő definíció ekvivalens a fentivel. 4. definíció. Az f : X - > Y függvény az Xq g D ( f ) pontban

nincs hatása. Ezért a továbbiakban feltételezzük, hogy a függvé nyek az egész metrikus téren értelmezve vannak.

folytonos, ha az / ( x q ) képpont bármely e sugarú gömb alakú Vq = S{f(xQ)-,£) környezetéhez található az jtg pontnak olyan ő-ő(£)

sugarú Uq = S(xq;ő) környezete, hogy f(UQ)c:VQ,

azaz minden x e D( f ) ,

p

(x , xq) < Ő

esetén p { f ( x ) , f ( x Q) ] < £ .

A fenti értelmezésekből azonnal következik, hogy ha az Xq e D { f ) pont izolált pontja D { f ) -nek, ak k o r/fo ly to nos az Xq pontban. Ha pedig az xq e D { f ) pont torlódási pontja D { f ) -nek, úgy az / függvény akkor és csak akkor folytonos az xq -bán, ha e pontban az / függvénynek létezik határértéke, és ez megegyezik az /( x q ) helyettesítési értékkel, vagyis lim f { x ) = f(xQ). X^Xq Egy függvény folytonosságának fogalmát visszavezethetjük pontsorozatok konvergenciájára is. 1. nos

az

6. definíció. Az X metrikus teret önmagába leképező f : X- ^ X leképezést kontrakciónak vagy kontraháló leképezésnek nevezzük, ha létezik olyan 0 < ^ < 1 állandó, hogy minden x és y e X mellett p{f(x),f(y))
/ ( x q )

=

xq.

2. tétel (Kontrakciós, Banach-Cacciopoli). Ha f : X

Bizonyítás. Legyen xj g X egy tetszőleges pont, és vezessük be az X2 = f ( Xi ) , X2=f ( X2) , jelölést. Megmutatjuk, hogy az {x^} c X

Xq e D ( f )

sorozat. M inthogy/kontraháló leképezés, így

ha bárhogy

választunk

olyan

{ x „ } c D ( / ) sorozatot, amelyre x , ^ X q , akkor f { x , i ) - ^ f { x Q) . 5. definíció. Ha az f : X - > Y függvény a H ez X halmaz minden pontjában folytonos, akkor az f függvényt a H halmazon folytonos függvénynek mondjuk. Megjegyzés. A továbbiakban látni fogjuk, hogy a folytonos függvényekre vonatkozó állítások kimondása és bizonyítása egy szerűbbé válik, ha feltételezzük, hogy a függvény az egész metrikus téren értelmezve van. Ha az / : Z —> 7 függvényt csupán a folyto

X az

X teljes metrikus téren értelmezett kontrakció, akkor /-nek létezik egyetlen fixpontja.

tétel. Egy f : X -> Y függvény akkor és csak akkor folyto pontban,

X leképezés fix

= /( x „ ) , ... pontsorozat Cauchy-

P(xk >Xk+]) = p(/U fc_ i), f ( xk) ) < q •

),

amiből egyszerű rekurzióval P(Xk,Xk+])
(/c = l,2 ,...) ,

egyenlőtlenséget kapjuk. n > m esetén a háromszög-egyenlőtlenség felhasználásával P (x ,„ , X „ ) < p ( x „ , X „,+ 1) + P (x „ ,+ | , X„,^2 ) + •■• +

h, ) S

nosság szempontjából vizsgáljuk, akkor a D ( f ) = X feltétel nem jelent semmilyen lényeges megszorítást az / függvényre vonatko zóan, ui. ha D ( f ) d X , akkor egyrészt az X-en értelmezett p metrikának a D ( f ) halmazra való leszűkítésével D ( f ) maga is

amiből q < 1 alapján már következik, hogy ) -> 0 ha n és m -> +c<>. Mivel az X tér teljes, azért a fenti [x,^] a X Cawc/zy-sorozatnak

128


létezik határértéke, legyen ez x o = lim x „ . Az / kontraháló leké pezés folytonos is, azért lim /( x „ ) = / ( xq), így az egyenlőségből

= / (x„)

esetén az x q ^ / íxq) egyenlőséget kap

juk, ami azt jelenti, hogy az xq pont fixpontja az/leképezésnek. Tegyük fel, hogy az / leképezésnek létezik két különböző fix pontja, legyenek ezek Xq és };o,azaz /( x o ) = xq és f { yQ) = yo^ akkor P( xq, yo) = p{f(xQ),/(yo)) < q • p{xQ, yo), azaz p(xq, Jo) ^ ^ ‘ P (^ 0 ’ Vo)’ amiből a 0-tól különböző p(xQ, yo) számmal való osztás után az 1 < ^ egyenlőséget nyerjük, ami el lentmondás, mivel q-róí feltettük, hogy 0 < q < l állandó. 2.7 Folytonos függvények összefüggő és kompakt halmazokon

2.7 Folytonos függvények összefüggő és kompakt halmazokon

129

2. tétel. Legyen f : X —>Y az X metrikus tér valamely össze függő M részhalmazán értelmezett folytonos függvény, akkor az M halmaz f { M ) képe is összefüggő halmaz az Y térben, (röviden; összefüggő halmaz folytonos képe is összefüggő). Például a számegyenes valamely részhalmaza akkor és csak ak kor összefüggő, ha e halmaz egy (véges vagy végtelen, nyílt, zárt vagy félig nyílt) intervallum. Ebből a fenti tétel figyelembe vételé vel adódik az alábbi 3. tétel. (Bolzano) L e g y e n /a számegyenes valamely (nyílt, zárt vagy félig nyílt) intervallumán értelmezett folytonos valós értékű függvény, akkor e függvény R ( f ) értékkészlete maga is valami lyen intervallum. Vizsgáljuk meg ezután a kompakt halmazon értelmezett folyto nos függvények tulajdonságait. 4. tétel. Legyen / : X —> 7 az X metrikus tér valamely kom

Ebben a pontban a folytonos függvényekre vonatkozó alapvető tételeket ismertetjük. 1. definíció. Az X metrikus tér valamely M részhalmazát össze függő halmaznak nevezzük, ha az M halmaz nem fedhető le két olyan diszjunkt nyílt halmazzal, amelyek mindegyikében van az M halmaznak pontja, vagyis nem léteznek olyan Gj és G 2 nyílt hal mazok, amelyekre

Gi n G j = 0 , M d G [ u G 2, M n O \ ^ 0 , M n 0 2 ^ 0

pakt M részhalmazán értelmezett folytonos függvény, akkor az M halmaz f ( M ) képe is kompakt halmaz (röviden: kompakt halmaz folytonos képe is kompakt). 3. definíció. Az f : X - ^ Y függvényt korlátos függvénynek nevezzük, ha e függvény R ( f ) képtere korlátos halmaz az Y térben. Mivel egy kompakt halmaz korlátos is, azért a 4. tétel nyilván való következménye az alábbi

volna. Természetesen beszélhetünk magának az egész X térnek az öszszefüggéséről is. Ebben az esetben a fenti definíció a következő egyszeríibb alakot veszi fel:

5. tétel. Az X metrikus tér valamely kompakt részhalmazán ér telmezett folytonos függvény korlátos is.

2. definíció. Az Z metrikus teret összefüggő metrikus térnek nevezzük, ha X nem állítható elő két nem üres diszjunkt nyílt hal maz egyesítéseként. Az alábbi tétel közvetlenül adódik a fenti definícióból.

valamely kompakt M részhalmazán értelmezett folytonos függvény; jelölje h, ill. H az/fü g g v én y alsó, ill. felső határát az M halmazon, vagyis h = inf / , H = su p / , akkor léteznek olyan xi és jc2 e M M ^

1. tétel. Egy X metrikus tér akkor és csak akkor összefüggő, ha az 0 és az X az egyedüli olyan halmazok X-ben, amelyek egyszerre nyíltak és zártak.

6. tétel. (Weierstrass) Legyen / : X ^ R az X metrikus tér

pontok, hogy f{x^) = h, és f { x 2 ) = H. (röviden: kompakt halma zon folytonos függvénynek van legkisebb és legnagyobb értéke).


130

7. tétel. ( f~^ folytonosságáról). Az X metrikus tér valamely kom pakt M részhalm azán értelm ezett folytonos és invertálható f : X - ^ Y leképezés

inverze is folytonos.

Megjegyzés. Ha X nem kompakt metrikus tér, akkor abból, hogy az f : X - ^ Y függvény folytonos és invertálható, általában még nem következik, hogy 4. definíció. Az f : X - ^ Y

3.

FEJEZET

E u k lid eszi te r e k 3.1 Az euklideszi tér értelmezése

inverz függvény is folytonos. függvényt (leképezést) homeo-

morfizmusnak vagy homeomorf leképezésnek nevezzük, ha f kölcsönösen egyértelmű (invertálható) leképezés, továbbá az f és

Tetszőleges elemek bizonyos V halmazát euklideszi (vagy más képp unitér) térnek nevezzük [K27], [K72], ha I. y lineáris tér, II. minden két x és y e V elemhez hozzá van rendelve egy

f~^ leképezések folytonosak. H a /o ly a n homeomorfizmus, amely

(x, y) -nal jelölt komplex szám - melyet a két elem skaláris szor

re D ( f ) = X és R { f ) = Y, akkor az / leképezést az X térnek az Y

zatának nevezünk, továbbá fennállnak a következő axiómák:

térre való homeomorfízmusának nevezzük. 5. definíció. Az X és Y metrikus tereket hom eom orf tereknek nevezzük, ha e két tér között létezik homeomorfizmus, azaz olyan invertálható f : X - ^ Y leképezés, amelyre D ( f ) = X, R ( f ) = Y ésf, valamint

folytonosak.

A fenti elnevezés bevezetésével a 7. tétel a következő módon is kimondható. 8. tétel. Az X metrikus tér valamely kompakt részhalmazán ér telmezett folytonos és invertálható leképezés homeomorf leképezés.

1. (x, y) - (y,x) ( a felső vonal itt komplex konjugált képzést je lent, melyet néha *-gal is jelölnek), 2. (x + y , z) = {x, z.) + (y, z ) , azaz a skaláris szorzás az első tényezőjére nézve disztributív, 3. (ex, y) = c- (x, y ) , ahol c tetszőleges komplex szám, 4. Bármely 0-tól különböző elemnek önmagával való skaláris szorzata pozitív legyen, azaz (x, x) > 0 , míg (0,0) = 0 legyen. Következmények: a) ( x , y + z) = (x,y) + ( x , z ) , b) { x , c y ) ^ c { x , y ) , c) (0,x) = 0 minden x e V esetén. Az a) alapján a skaláris szorzat a második tényezőre nézve is disztributív, míg b) azt jelenti, hogy a skaláris szorzat második tényezőjében fellépő komplex szorzót komplex konjugált képzéssel lehet kiemelni. A ^(x,x) számot az x g V elem normájának nevezzük és |[x|j alakban jelöljük, azaz \\x\\ = ^{x,x)

( 1)


132

amiből gyökvonás után kapjuk a 3.

Kimutatjuk, hogy fennállnak a kővetkező tulajdonságok.

||x + } ;||< ||x || + ||};||

1. ||jc ||> 0, h a x ^ 0, míg ||0 || = 0 2 . II ex I = Ic I•IIXII, c komplex szám, 3 .

| | x +

y | | <

l x l |

+

133

3.2 Példák euklideszi terekre

| | y | | .

Az 1. tulajdonság a II. 4. axióma nyilvánvaló következménye. A 2. tulajdonság is könnyen belátható, ui.

egyenlőtlenséget, melyet háromszög-egyenlőtlenségnek nevezünk. Az euklideszi terek fogalma nyilvánvalóan a közönséges két vagy háromdimenziós vektorterek fogalmából származik absztrak ció utján. Ismeretes, hogy pl. háromdimenziós valós vektortérben két X és y vektor skaláris szorzatán a két vektor abszolút értékének és a közbezárt szög koszinuszának szorzatát értjük, azaz

IIex Ip = (ex, ex) = cc • (x, x) = Ic f • (x, x) = Ic p •II Xf

(x,y) = |x |- |y |- c o s ^ .

A 3. tulajdonság igazolásához szükséges a kővetkező egyenlőt lenség, melyet Cauchy-Schwarz-féle egyenlőtlenségnek nevez nek (1. az 1.4 pont (4) formuláját):

Ha az R térben ortonormált bázisban az x és y vektorok koor dinátái X], X2, X3 , ill. yi, V2, ^3 , akkor a két vektor skaláris szor zata - a vektoralgebrából ismert módon - a megfelelő koordináták szorzatösszegeként képezhető, azaz

Bizonyítás. Legyen c egyelőre tetszőleges szám, akkor

(x,y) = xiyi + x2y2 + x^y2,

I I + cy II = (x + cy, X + cy) - (x, x) + c(y, x) + c (x, y) + cc(y, y) = = IIXf + c{y, X) + c ((x, y) + c|| y f ) Válasszuk most a c értéket úgy, hogy a fenti egyenlőségben a c együtthatója zérus legyen, azaz

továbbá egy vektor abszolút értéke a koordináták négyzetösszegé ből vont négyzetgyökként kiszámítható, azaz I

XI = -yj( x ,

x )

=

'\jx\ + X2 + X ^ .

3

feltéve, hogy y ^ Q . A c

Az R valós vektortérben a vektorok koordinátái valós szá mok, így az (x, y) skaláris szorzat is valós szám.

ilyen speciális választása esetén a fenti egyenlőség átmegy a következőbe:

Az euklideszi terekben a II. alatti skaláris szorzat axiómái a fen ti háromdimenziós vektortérben értelmezett skaláris szorzat tulaj donságait a tetszőleges elemekre értelmezi és általánosítja.

l^x^y^ + c \ \ y \ f = 0 , amiből c = \y\.

2 IX

+

c v

iP

=

IIX iP

>0,

-


KV amiből átrendezéssel adódik az (2) egyenlőtlenség. (2) alapján a 3. egyenlőtlenség is igazolható: \ x ^ y f = {x + y, x + y) = 1x f + (x, y) + (y. *-) + < ||x |p + |(x ,} ;)| + |(y ,x )| + < 11x 11+ 11x 1

<

1. Valós euklideszi R'^ tér. Jelölje R" a valós számok R halma zának önmagával való n-szeres Descartes-szorzatát, vagyis a valós szám n-esek halmazát. Egy ( x |,x 2 ,...,x „ ) valós szám n-est a továbbiakban egyetlen x betíivel jelölünk: R ” - { x x = (x^,x2,...,x „ ), Xj e R (i = 1,2,..., n ) }.

]. Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

134

Az így értelmezett szám n-eseket szokásos módon vektoroknak nevezzük és az /-edik helyen álló x,- számot az x vektor /-edik koordinátájának mondjuk.


135

Az euklideszi térben két nem zérus vektorhoz hozzárendelhet jük egy szög koszinuszát a

1<

-

<1

Az alábbi egyenlőségekkel az R ” -beli x=

egyenlőtlenségre való tekintettel, mivel létezik olyan (p szög, melyre

és y = {yi,y 2^...,yn)

vektorok összegét;

cos g) = —

x + y = {xi + yx,X2 + y2,---,Xn + J „ ),

azX vektornak a c e R valós számmal való szorzatát: Az R^ tér két vektora merőleges, ha skaláris szorzatuk 0, azaz

ex = (cXj, C X 2 , cx„)

(x,y) = 0 . E fogalomnak megfelelően az

és a két vektor skaláris szorzatát: n

{x, y) = {x^yi, X2y2, •••, x , j „ ) = X ^íJ i=\

R ” vektorokra az

R " vektortérben azt mondjuk, hogy ortogonálisak, ha skaláris szorzatuk zérus, azaz

í

értelmezzük. Igazolható, hogy az ilyen módon definiált összeadással, skalárral való szorzással és skaláris szorzással az R ” euklideszi vektorte ret alkot. Megjegyezzük, hogy a 0 = (0 ,0 ,..., 0) vektor az R ” vektortér

(x, }^) = 0 . Megjegyezzük, hogy az R'" vektortérben más módon is ér telmezhetünk normát. Igazolható, hogy az alábbi egyenlőségekkel értelmezett normák mindegyike eleget tesz a normakövetelmé nyeknek:

zérus-eleme. Minthogy a lineárisan független

/-I

ej = ( l , 0, . . . , 0) ,e 2 = (0’l ’0- - - 0) - - - ^ n = ( 0, 0, . . . , 1)

H = max(|xj|,|x 2 |,...|x,J),

vektorok bázist alkotnak R “ -ben, így d im R ” = n. Az X = (x],JC2,...,x „ ) vektor skaláris szorzat által létesített

n

X = I Ví=I

normáját az

\ P^ P

(P> 1).

/

Vizsgáljuk meg, hogy mit jelent egy R ” -beli vektorsorozatnak (*)

egy R'" -beli vektorhoz való konvergenciája például az euklideszi normában.

egyenlőséggel értelmezzük. Igazolható, hogy az ilyen módon ér telmezett norma valóban kielégíti a norma követelményeket. A (*) formulával értelmezett normát euklideszi normának, az ezzel a

Legyen x^^^ = ( x f ^ \ ...,4 ^ ) ) (^ = 1,2,...) egy tetszőleges vek

V /= i

V i= i

normával ellátott R ” teret n-dimenziós valós euklideszi térnek nevezzük. Az euklideszi norma a vektor hosszát is jelöli.

torsorozat R" -ben, és legyen X = (X i,X 2 ,...,X „)


136

egy tetszőleges vektor. Az x és az lideszi normával


vektorok távolsága az euk

(3) egyenlőséggel, az x vektor normáját pedig

.(k) V/=i amiből leolvasható, hogy minden i = \ , 2, . . . , n mellett Tehát az

x -x

.(.k)

=

I----

_

-> Xj midőn k + ° o .

ez R ” vektorsorozatnak az x = (X], ^2,...,

)

sorozat mindegyik koordináta sorozata kon

Vi=l

az R " -ben értelmezett tetszőleges két norma egymással ekviva lens).

x = {xi,x2,...,xn) és y^( . y[ , y 2,---,yn) vektor esetén U i yi I + U 2 3^21+• •• + 1 ^

+. . . + \ x J i n f

i+ i= i p 9 egyenlőséget kielégítő szám. Az analízisből ismert alakban: Xzí

Y.^kyk k=\

={x x = (xi,x2,...,xfj), x êC ,/= l,2 ,...,n }.

és egy C ” -beli vektornak bármely c e C komplex számmal való szorzata. Ezáltal C" is egy n-dimenziós vektortér lesz. Ha

mely p = 2 megy át.

\k=^\

y u=]

mellett a Cauchy-Schwarz-féle egyenlőtlenségbe

Minkowski-féle egyenlőtlenség a Hölder-íélt egyenlőtlenség következménye:

x = (xi,x2,...,x„),y = ( yi, y2, --. , yn)^^''’ akkor a skaláris szorzatot

+. . . + \ y J .

ahol p > 1 adott valós szám, q pedig az

2. K om plex euklideszi C" tér. Jelentse C" a komplex számok C halmazának önmagával való n-szeres Descartes-szorzatát, vagyis

Az R'^ -hez hasonlóan értelmezhető két C ” -beli vektor összege

KM

Hölder-íéle egyenlőtlenség: A Cauch-Schwarz-féle egyenlőt lenség általánosítása. Tetszőleges

Egy R ” -beli vektorsorozat konvergenciája a fentiekben értel mezett többi normában is ugyanazt jelenti, mint az euklideszi nor mában, így R ” a többi normával is Banach-tevei alkot. Igazolható, hogy a fentiekben bevezetett normák egymással ekvivalensek (sőt

2

egyenlőséggel értelmezzük, akkor a C " szintén Banach-teret alkot. Az n-dimenziós euklideszi terekben is jól használhatók az aláb bi egyenlőtlenségek:

vergál az X vektor megfelelő koordinátájához. Ezt felhasználva igazolható, hogy az R " tér az euklideszi normával Banach-teret alkot.

”

= , ZxiXi = X k / '

0 akkor és csak akkor, ha

vektorhoz való konvergenciája az euklideszi normában ekvivalens azzal, hogy az

137

U=l

U-1


138

3. I2 -tér. Jelöljük I2 -vei azon

komplex

számokból álló számsorozatok összességét, melyekre X U iP /=! vergens, vagyis


139

A lineáris tér további axiómáinak fennállása szintén igazolható, speciálisan az I2 -tér nullaeleme a 0 = (0 ,0 ,. . . , 0 , ...) vektor. Defi niáljuk most az x

= (jci,x2,...,x „ ,...) és y = { y y , y 2 , . . . , y n , - - ) ^ h

vektor skaláris szorzatát a következő módon: í=i Tekintsünk egy ilyen számsorozatot végtelen koordinátájú vek

k= \

Először természetesen igazolni kell, hogy a fenti végtelen sor konvergens minden x és y e I2 vektor esetén. Legyenek ui. a, b

tornak és ugyanúgy, mint az R ” térben használjuk az X = (Xi,X2,...,X„,...)

tetszőleges komplex számok, akkor fennáll az

jelölést. Definiáljuk két vektor

\ a h \ < { { a f ■, \bf]

X = (X],X2,...,X ,J,...) és y = (y i,y 2 ---> 'n ---)G I2

egyenlőtlenség, amiből a = xj^, b - yj^ esetén

Összegét és vektor számmal való szorzatát a következő szokásos módon: x + y = (xi + y|,X 2 + y 2 »--->-^« + >'«’•••), ex = {cxi, CX2 ,..., cx^

k= \

k= \

ami azt jelenti, hogy a

Kimutatjuk, hogy I2 lineáris tér, azaz a fenti műveletekre fenn állnak a lineáris tér axiómái (1. a 2. fejezet 2.2 pontját). Először igazolni kell, hogy ha x és yG I2 , akkor x + y e I2 ,

sor abszolút konvergens. k= \

Igazolható, hogy a skaláris szorzat axiómái teljesülnek, továbbá nyilvánvaló, hogy egy x = (jC|, X 2 , . . . , x ^ , . . . ) g I2 vektor normája:

azaz, hogy a Y\x]^ + y k f sor is konvergens. Ez azonban nyilván1*1= S k /

k= \

V i= l

való következménye az | a -l- p < 2(| a p + 1Z?p) egyenlőtlenségnek, mely fennáll minden a és ^ komplex szám esetén. Valóban, ha ebbe az egyenlőtlenségbe a = , b —yj^ értékeket helyettesítünk, akkor \^k^ykf -

P + 1yk P

amelyből

4.

L2(-<^,+°°) -tér. Az L2(-°o,-1-oo)-tér jelentse a ( - 00,-t-oo) in

tervallumon értelmezett komplex értékű folytonos függvények összességét, melyeknek abszolút értékben Ríemann szerinti improprius négyzetintegrálja véges, azaz amelyekre

f If(x) f dx < +00 . < k= i

U=1

k^\

.

Kimutatjuk, hogy L2(-°o,+°o) lineáris tér.

140


Legyenek f és g e

, és igazoljuk, hogy

3.3 Ortonormált rendszerek

141

tartoznak, amelyekre az

J /^

.

f + ge

korlátos számhalmaz, és

Bármely a és b komplex számra fennáll az

/

g

L2(M) , akkor az

\a + b f < l [ a f + \bf^

í/^ M

egyenlőtlenség. Helyettesítsük a-i f -fel, b-i g -v e i, akkor

Lebesgue-integráí is létezik [K93]. Igazolható, hogy a függvények összegének és számmal való szorzatának szokásos értelmezésével hj i M) lineáris tér.

-oo í +00 -1-00 \ \ f { x ) + g { x ) f d x < 2 \ \ f { x ) f d x + \ \ g{ x) f dx < -1-00 .

Az f , g e L2(Aí) függvények skaláris szo rzatát az

Továbbá, ha / e L2(-<^,+°^), akkor tetszőleges c állandó mellett

(/,< ?)= í/g >

c / e L 2 ( —CXD^-|-00) _

M

Az előbbiek alapján már igazolható, hogy a lineáris tér összes axiómái teljesülnek. A zéruselem itt az azonosan zérus függvény. Definiáljuk most f és, gG L2(-°o,-h°o) függvény skaláris szor

egyenlőséggel értelmezzük, az/n orm áján pedig az Il/I = ,ílr \M

zatát a következő módon:

nemnegatív számot értjük.

+00

(f,g)=

Lebesgue-lntegrál létezik. Ha M

M

f(x)-g(x)dx.

(*) 3.3 Ortonormált rendszerek

A (*) integrál létezése az

Legyen V tetszőleges euklideszi tér. 1.

egyenlőtlenségből adódik, figyelembe véve, hogy g = g ■ A fentiekből következik, hogy a definiált skaláris szorzatra tel jesülnek a 3.1 pontban kimondott II. alatti axiómák. A (*) skaláris szorzat által meghatározott norma: 1

Megjegyzés. Általánosan is definiálhatjuk a négyzetesen integ rálható függvények terét. Legyen M valós számokból álló Lebesgue-méxhQiö halmaz. Az L2(M) -mel jelölt négyzetesen integrál ható függvények teréhez azok az f egyváltozós valós függvények

definíció. Azt mondjuk, hogy x és y e V elemek egymásra

ortgonálisak (merőlegesek), ha (x, j ) = 0 . Az ortogonalitás jele: x±y . A 0 elem a tér minden elemére ortogonáhs. Ha x és j ortogoná lisak egymásra, akkor az (x, y) = 0 feltételből következik, hogy (y,x) = (x,y) = 0. Nyilvánvaló, hogy az ortogonalitás fogalma (1. a 3.2 pontot) a közönséges háromdimenziós valós vektortérben értelmezett merő legesség fogalmának általánosítása. ^

3

Ui. ha két R -beli vektor skaláris szorzata zérus, úgy ez geo metriailag valóban azt jelenti, hogy a két vektor egymásra ortogo nális (merőleges). Egyéb euklideszi terekben már nem lehet két


142

elem ortogonalitásának szemléletes geometriai jelentést tulajdoní tani.

3.4 Gram-Schmidt-féle ortogonalizációs eljárás

143

teljesüljön. Mivel (ei,í?i) = ||e , f = 1 , ezért c = - ( ^ 2 ’^l) • Ezzel a c értékkel az j 2 és

ortogonálisak, azaz 3^2

Például az L 2(-1,D térben az f ( x ) = x és g{x) = x^ függvé nyek ortogonálisak. Ui. e két függvény skaláris szorzata: 1

1

if^g)^]f(x)-gix)dx =

X- X d x =

-1

’o X dx ~ -1

-1

1 =-(l-l) = 0 4

Most legyen 62 =

. Ekkor igazolni kell, hogy ^2 ^ 0 , ha

ui. y 2 = ^ , úgy |} '2 Í| = 0 , és így 62 nem képezhető, mert

ér

telmetlen. Valóban, J 2 ^ 0 >iriert ellenkező esetben az

s ennek nem lehet semmilyen szemléletes geometriai értelmet tu lajdonítani. 2. definíció. Egy x g V elemet normált elemnek nevezünk, ha

y2=X2 + cei=^X2 +

c

egyenlőségből az következne, hogy x^ és ^2 lineárisan függők volnának.

||x|| = l . A normált elem fogalma a valós fogalmának felel meg.

3^2

vektortérben az egységvektor

3. definíció. Azt mondjuk, hogy az g|, ^2,...,

... e V elemek

ortonormált rendszert alkotnak a V euklideszi térben, ha mindegyik elem normált és bármely két különböző elem egymásra ortogonális, azaz I ei II = 1, í = 1,2,3,... és (e,-, ej^) = 0, h s i i ^ k .

Mivel 1^211 = 1 és (.y2>í'i) = 0 , ezért (62,^1) = 0 , azaz e2 ± e i , továbbá látható, hogy ^2 ’ és így 62 is az xj és X2 lineáris kom binációja. Legyen most

= x^ + €262 + q e j , ahol a C2 és q

komplex

számokat úgy választjuk, hogy ^3X 02 és yj - Lei , azaz (^ 3,^2) = 0 , (j3 ,g j) = 0 legyen. A két feltétel

3.4 Gram-Schmidt-féle ortogonalizációs eljárás Legyenek X|,X2, . . . , x „ , . . . e V

olyan elemek, melyek közül bár

mely véges sok elem lineárisan független, akkor megadható olyan e-i,€2 , ortonormált rendszer, hogy minden n = l , 2 ,3 ,... esetén

az xi , x 2 ,...,x,^ elemek egy lineáris kombinációja. A kö

vetkezőkben a Gram-Schmidt-féle, ortogonalizációs eljárás lépéseit szemléltetjük [K72]. Az €i = T - ^ jelölés bevezetésével, | é?i || = 1. •^1 Legyen J 2 ~ -^2 + • A c komplex számot úgy választjuk,

mellett teljesül. Az J 3 az Xy,X2 ,x^ elemek egy nem triviális lineá ris kombinációja, így y^ Legyen

.

, ekkor 3^3 e^Le2, ej l e i , 1^31 = 1

és ej is xi , x 2 , xj elemek lineáris kombinációja. Ha a fenti eljárást folytatjuk, akkor megkapjuk a kívánt e j, ^2 ’ •••, rendszert.

• ortonormált

Tétel. Ha V n-dimenziós euklideszi tér, úgy létezik V-ben orto normált bázis, azaz «-elemü ortonormált rendszer.

hogy (V2,e]) = 0 legyen, vagyis (x2 +cei , ei ) = 0,

C2 = -(x3,í>2), q =-(x^,ei)

(X2 ,ei) + c{ei,

)=0


144

Az ortonormált rendszer

Xj g R ”

(í - 1 , 2 , , ni)

lineárisan

3.4 G ram-Schmidt-féle ortogonalizációs eljárás

A vt'2 vektor tehát

független vektorrendszerre úgy is előállítható, hogy először az

W 2 = [l,0 ,l,0 ]-i[2 ,2 ,2 ,2 ] = [ i , - i 1 , - 1 ] , (1)

'^1 "■

'”■*

145

Az ortogonalitás ellenőrzéséhez képezzük a két vektor skaláris szorzatát:

yiyi

(w,,W2)=[2,2,2,2f[1 - i i - l ] = l_ l + i-i= o .

formulával meghatározzuk az ortogonális rendszert, majd a

Mivel IW] I = VÍ6 = 4, j W2 1= ^ 4 --^ - 1 . így az ortonormált vektorok;

(i = l , 2,...,m ) Ji formulával képezzük az ortonormált rendszert.

w ?

=

i [ 2 , 2 . 2 , 2 ]

=

! i

i

i

i ] ,

é s

w

^

[

i

-

i

i

-

i

]

,

Az ortonormált vektorok hossza:

P éldák 1. Az ej = ( 1, 0, 0, . . . , 0), 62 = ( 0, 1, 0, . . . , 0) ,..., e„ = ( 0 , 0, 0, . . . , 0, 1) vektorrendszer ortonormált bázist alkot az R ” n-dimenziós eukli deszi vektortérben. Ui. |e ;| = l (í = l,2 ,...,n ), és Ve,-ey = 0, ha 2. Az R"^ tér valamely ortonormált bázisában adott a

0 Wi — W20 Skaláris szorzatuk:

(wf,w^) = i ( 2 - | - 2 - l + 2 - i - 2 - | ) = 0 . 3. A (-;r,;7) intervallumon értelmezett % + aj cos t +

v t= [ 2 ,2 ,2 ,2 f és V2 = [l,0,l , 0f vektor. Határozzuk meg a Vj, V2 vektorok által kifeszített tér orto normált bázisát. Feltesszük, hogy az R"^ tér bázisában a skaláris szorzat a kö vetkező: (x, y) = xiyi + X2J 2 + ^33^3 + ^43^4 • A

1 V2/r

( w i,w i)

16

sin nt cosnt 'sju ^

{ x, y) = \x{t)y{t)dt ~Tt

=0,

formulával skaláris szorzást definiálunk. A következő In +1 elem 1,

4

^ sin ? ^ cos? sin 2t cos2i 'sÍjÜ yíjr

vénytérben, ha a C{r7t,n) térben az

melyből (V2^Wl) -

sin mi

trigonometrikus polinomok a C(-;r,;r) függvénytér alterét képezik, ahol m < n és /i rögzített szám. Igazolható, hogy az

jelölés bevezetésével és (W2,w i) = 0 feltétel mellett

_

cos mi +

függvényrendszer ortonormált rendszert képez a C(-;r,;z-) függ

= W2 = V2 + CWi

(V2, Wi) + c(W i, W i)

sin t + aj cos 2r + ^ sin 2t +...+

4 ■

cosí, sin/, cos 2/, sin 2/, ... cos nt, sin nt

ebben a térben ortogonális bázist alkot.

146


XJí.hsLin és q egész számok, akkor n jcos mt cos qtdt = 0, ha m ■n -7C

^

7t

Jsin mt sin qtdt = 0,h?nn^ q -Kn nT Jsin mt cos qtdt = 0. Az ortogonális bázist normalizálhatjuk, ha mindegyik elemét elosztjuk az elem abszolút értékével. Az elemek abszolút értékét

formulával számítjuk. Mivel

-n

Az ilyen tulajdonsággal rendelkező egyenleteket ill. lineáris egyenletrendszereket, gyengén meghatározott vagy rosszul kon dicionált egyenleteknek nevezzük [K69], [K104]. Az Ax = b n egyenletből álló n ismeretlenes lineáris egyenlet rendszer A e mátrixának determinánsa, ha nagyon közel esik a nullához, akkor várható, hogy az együtthatók kicsi megváltoztatá sa is az egyenletrendszer megoldásában nagy eltérést okozhat. Az A mátrix és inverzének összehasonlítása alapján azt mondjuk, hogy az inverzmátrix stabil, ha az A elemeinek „kicsi” megváltoztatása az inverzmátrix elemeiben „kis” változást hoz létre, ellenkező eset ben pedig instabil. Ha az A ~‘ stabil, akkor A jól kondicionált, ha

N = ^N(A)(A\

Jcos m tdt - Jsin mtdt=7T, -re -n

sint cost sin 2^ c o s2? ’ 4 tc ’ 4 tü ’ 4 tí ’ 4 ^ ’

sin nt cosnt ’ 4^ ’ 4 ^

3.4.1 Gyengén meghatározott egyenletrendszer megoldása

M

( 1)

képleteket, J. Todd pedig a max min

így az ortonormált bázis valóban 1

147

A * instabil, akkor A gyengén kondicionált. A mátrix kondicionáltságának egyetlen számmal való jellem zé sére Neumann vizsgálatait figyelembe véve A. M. Turing az

]\x{t)fdt

d t ~ l 7t,


( 2)

képleteket javasolta, ahol N{A) = y[sp(A^ A),

M (A) = • maxj í íj

A Gram-Schmidt-íé\t ortogonalizációs eljárás alkalmazható a gyen gén meghatározott lineáris egyenletrendszerek megoldásához. A valós folyamatokat közelítő lineáris egyenletrendszerek együtt hatói általában kerekített mért értékek. A mérés pontosságától és a kerekítés mértékétől függően előfordulhat, hogy a különböző pon tossággal mért együtthatókkal, vagy különböző jegyszámra kerekí tett együtthatókkal az együtthatók determinánsa egyszer zérustól különböző nullához közeli, másszor akár zérussal egyenlő értéket is adhat. Ez a megoldás teljes bizonytalanságát idézi elő. Az alkalma zás szempontjából viszont el kell dönteni, hogy melyik megoldást fogadjuk el a lényegesen különböző megoldások közül.

továbbá Ai~k az A mátrix sajátértékei, jUi és //„ az AÂ szor zatmátrix legnagyobb és legkisebb sajátértéke, Sp(AÂ) az AÂ szorzatmátrix nyomát, főátlójában lévő elemek összegét jelenti. A kondicionáltságot jellemző N, M, P és //értékekre fennállnak az N < M < n^N,

N < H
egyenlőtlenségek. Szemléltető példaként vizsgáljuk meg a 4xj + 4,000001^2 = 0] 4 xj+4^2 = 1 /

P

148

2jci-1,9 jc2 = -1 5 X i- X 2 = -

es a

(4)


149

lentkezö metszéspont az ö]2 együttható kicsi megváltoztatásával kb. xi =1000000 értéknél, ill. xj = 333333,3333 értéknél áll elő.

kétismeretlenes egyenletrendszereket. A (3) egyenletrendszernél tegyük fel, hogy az .-6 aj2 = 4,000001±2-10 pontossággal adott. A (3) egyenletrendszer determinánsa 4-10

A=

az

,

4 4,00000 r 4

4

mátrix legnagyobb elméhez képest kicsi. Az egyenletrendszer meg oldása: =1000000, X2 = -9 9 9 9 9 9 . A (3) megoldása ay2 = 4,000001 - 2 -10“^ = 3,999999 együttha tóval: = -9 9 9 999,7500,

^2 = 1000 000,

l. ábra. A (3) egyenletrendszer egyenesei

A (3) egyenletrendszer

4 4,000001 0' bővített mátrixának 4 4 1

Sj = [4, 4,000001,0], S2 = [4,4,1] sorvektorait ortogonalizáljuk, akkor

a két gyök felcserélődött, és a^2 “ 4,000001 + 2-10 ^ = 4,000003 együtthatóval: xj = 333333,3333,

jc2

= -333333,0833 ,

a két gyök mindkét esetben ugrásszerű változást szenvedett. Az A determinánsa kicsi, A inverze: -M O"" MO" MO^ -M O ^ Az A és A ^ elemei között nagy a különbség, az N, M, P, H kondicionáltságot jellemző számok: N = 0,8000001000-10^,

M = 0,8000004000-10^,

P = 0,1600000198-10^

íf =0,6881965067-10^.

nagyok, tehát minden jellemző azt mutatja, hogy a (3) egyenlet rendszer rosszul kondicionált. Grafikusan szemléltetve (1. ábra): a két egyenlet által adott egye nesek majdnem párhuzamosak, így a kb. xi - —1000 000 értéknél je-

[4, 4,000001, 0] és [0,5-10~^, -0 ,5 -1 0 “^, 1] vektorokat kapjuk. Az így előállított új egyenletrendszer: 4 4,000001 ■ 0,5-10“ ^ -0 ,5 -1 0 “ ^ U 2.

0“ 1

melynek megoldása: xi = 1000 000,125-,

JC2 = -9 9 9 999,8750,

az ai 2 = 3,999999 változtatással a megoldás: = 999999,8750,

^2 = -1 0 0 0 000,125 ,

az üy2 = 4,000003 változtatással a megoldás: = 1000 000,375,

JC2 = -9 9 9 999,6250.

Egészre kerekítve a megoldások egyenlők. Az ortogonalizált egyenletrendszer együtthatójának kicsi megváltoztatása tehát nem változtatja ugrásszeríien a megoldást. Vizsgáljuk meg az előző oldali (4) egyenletrendszert.


150

A (4) egyenletrendszer egyenleteihez tartozó egyenesek majd nem fedésben vannak (2. ábra), így a metszéspont koordinátáit pon tatlanul lehet kiolvasni, a grafikus megoldás nehézkes.

151


A két egyenes metszéspontjának koordinátái, az egyenletrend szer megoldása, a 3. ábrából megfelelő pontossággal kiolvasható. Az öl 2 együttható 0,04-dal való megváltoztatásával kapott egyenlet: 2 -1,94 -0,065302438 0,012037316_ _^2_ melynek megoldása:

= 1,953076463,

-15 _-0,010231718_ %2 = 9,745439653. Egész

re kerekítve a megoldások egyenlők, nem következett ugrásszeríí változás. Érdemes összehasonlítani a (3) és (4) egyenletrendszernek a determinánsát, kondicionáltság számait és inverzmátrixát. A (4) mátrixának determinánsa -0,1, N, M, P, H értéke: A (4 )

rendszer megoldása: Xj =

Az a\ 2 =

- 1 ,9 4

2,

N = 48,05000000, M = 80, P = 11,91607978, H = 96,08959306,

X2 - I O .

változtatással az egyenlet megoldása:

jci = 8 ,6 6 6 6 6 6 6 7 0 ,

es mverze:

^2 = 1 6 ,6 6 6 6 6 6 6 7 ,

vagyis ugrásszerű változást szenved. Ha a ”2 - 1 ,9 - 1 5 “

1 -1 - 8 2

- 1 ,9

- 0 , 0 6 5 3 0 2 4 3 8 0 ,0 1 2 0 3 7 3 16_ _-^2 _

-1 5 _ - 0 ,0 1 0 2 3 1 7 1 8 _

egyenletrendszert kapjuk, melynek megoldása: = 2,000000038, X2 = 10,00000004. A (*) egyenletrendszer egyenleteinek képe (3. ábra).

(*)

10

-1 9

10

-2 0

A (3) egyenletrendszerhez képest a (4) egyenletrendszernek a leg nagyobb együtthatóhoz képest nem túl kicsi a determinánsa, a kondicionáltságot jellemző számok sem túl nagyok, az inverzmátrix elemei sem túl nagyok, mégis az egyenletrendszer gyengén kondicionált, érzékeny az együtthatók kis megváltoztatására is. Az n egyenletből álló n ismeretlenes egyenletrendszer, ha gyen gén kondicionált, a bővített mátrix sorvektorainak ortogonalizálásával stabilizálható. A kondicionáltságot a páronkénti sorvektorokhoz tartozó cos aij érték kiszámításával is vizsgálhatjuk. Megvizsgáljuk pél dául, hogy S/, Sj sorvektorokhoz tartozó cos

négyzete na-

gyobb-e 0,9-nél: cos

2

SiSj

> 0,9,

ha nagyobb, az azt jelenti, hogy gyengén kondicionált az egyenlet rendszer (két ismeretlenes egyenletrendszernél közel párhuzamosak az egyenesek), ha pedig nullához közeli értékkel egyenlő, akkor közel ortogonálisak a vektorok (két ismeretlenes egyenletrendszer

152


nél közel merőlegesek az egyenesek), jól kondicionált az egyenlet rendszer. A (3) egyenletrendszer egyenesei által bezárt szög koszinuszá nak négyzete: cos^ a = 0,9696969691 >0,9, tehát eszerint is (3) gyengén kondicionált, a (4) egyenletrendszerre. cos^ a = 0,9999316054 > 0 ,9 , tehát a (4) egyenletrendszer is gyengén kondicionált. A (3) rendszer ortogonalizált egyenletrendszerénél; cos^

= 0,7812498045 • 10"^^ - 0 ,

a (4) rendszer ortogonalizált egyenletrendszerénél pedig: cos^ a = 0,3900952327 •10"^^ - 0 , azaz mindkét ortogonalizált egyenletrendszer egyenesei közel me rőlegesek. Példa Oldjuk meg az Ax = b alakban adott ■-0,499995 -1 - 6 1 -2 -3 -1 1 0 -1 -1 - 5

2,000f 0 •^2 1 ■^3 _X4_ 3

■-12,499595’ -1 2 5 —6

egyenletrendszert. Megoldás. Mivel det A = 0,000110 közel esik a 0-hoz, ezért megvizsgáljuk a mátrix kondicionáltságát J. Todd képleteivel ki számított értékek felhasználásával. Az A mátrix sajátértékei: ^ = -1,280683125, ;Í2 = 0,7807981303 , = -0,0001100049514, Á4 = 1,0. Az AÂ mátrix sajátértékei: //| = -0,319344580-10“^ , /I2 = 0,542856327 ,

3.5 Alterek ortogonális összege

//3 = 8,530837320,

153

= 85,17670116 .

J. Toí/J-képletekkel képzett számok: P=

max min

= 11642,04982; H =

max|//;= 516452,8464. mm A-

A zérushoz közeli determináns, a viszonylag nagy P és H érté kek, valamint a bővített mátrix első és második sorvektora által be2 zárt szög koszinuszának négyzete: cos a = 0,9206864141 > 0,9 is gyengén meghatározott egyenletrendszerre utalnak. Az eredeti egyenletrendszer (x) valamint az 044 = 2.0 -ra kere kített elemű mátrixszal képzett (x) megoldásvektorok nagyon el térnek egymástól:

X=

“0,9999527303" 1,999976367 2,999999999 3,999976363

, X =

”81,01417244" 42,00708615 3,000000040 44,00708629

Az egyenletrendszer valóban gyengén meghatározott. Ha az eredeti egyenletrendszer bővített mátrixának első sorvek torából kiindulva ortogonalizálunk, akkor az így előállított egyen letrendszer (x^), és 044 = 2.0 -ra kerekített elemű egyenletrendszer megoldásvektora (x^): 0,9998909195' 1,999945464 2,999999997 3,999945455

0,9998645955" 1,999892809 2,999911897 3,999848244

vagyis nincs ugrásszerű eltérés. 3.5 Alterek ortogonális összege Legyen V tetszőleges euklideszi tér, és legyenek V' és V" ez V olyan alterek, hogy a V' altér bármely eleme ortogonális a V" altér minden elemére. Ez esetben azt mondjuk, hogy V' altér ortogo nális a V" altérre. Jele: V'±V". Ha V'±V" , úgy e két altérnek

154


egyedül a 0 elem az egyetlen közös eleme, ha ui. x e V ' és egyúttal x e V" volna, úgy a 'Ijc , azaz (x,x) = 0 volna, ami csak x = 0 esetben lehetséges. Két ortogonális altérnek képezhető a direkt összege, azaz ha V'XV"', úgy képezhető V' + V"', mely az 1.2 pont alapján szintén altere V-nek. Ez esetben a V' + V ' direkt összeget a két altér ún. ortogonális összegének nevezzük és V'+V" helyett V' ®V" alak ban jelöljük. Ortogonális kiegészítő altér. Legyen V tetszőleges euklideszi tér, V' Cl V tetszőleges altér l/-ben. Jelöljük -vei az összes olyan V-beli elem halmazát, mely ortogonális V' -re. A

is altere

V-nek. Ui. ha jc és y &V ^ , ami azt jelenti, hogy minden x g V' esetén (x, x') = 0 és (_y, / ) = 0 , akkor

3.6 Ortonormált bázis szerinti kifejtés

elemekkel úgy, hogy az együttes ' ^2 ’ ■••’

elemek összes lineáris kombinációinak halma zát. A

c X alteret képez, továbbá V[±V' és V - V'@V[_. Az

így nyert

altér azonos az V' altér ortogonális kiegészítő

alterével. A V' és

alterek dimenzióinak összege a véges di

menziós V tér dimenziójával egyenlő, azaz dim V = dim V' + dim

.

Megjegyzés. Ha V végtelen dimenziós euklideszi tér, és y ± c : V altere V-nek, a V' ortogonális kiegészítő altere, akkor előfordulhat, hogy V ' ® V ^ ^ V . 3.6 Ortonormált bázis szerinti kifejtés

így x + y is és ex is merőleges V' -re, azaz x 4- j g V[ és exeVj_, altere V-nek.

A V' altérre ortogonális V -beli elemek halmazát, a

’ ^m+l ’ ^m+2 ’ •••>

elemrendszer ortonormált bázis legyen V-ben. Jelöljük V[ -vei az

(jc + y , x ) - {x, x ) + (}', / ) = 0 és {ex, x ) = c{x, x') = 0.

amiből már következik, hogy

155

Legyen V tetszőleges n-dimenziós euklideszi tér és tetszőleges ortonormált bázis a V térben, azaz

alteret,

a W' altér ortogonális kiegészítő alterének nevezzük. Mivel V és ortogonális kiegészítő altere, V [ , egymásra orto gonális alterek, ezért képezhető az Y = V' ©V'i ortogonális összeg.

IISi I = l, (ei,6 0 = 0, ha í ^ k,

A 2. fejezet 2.2 pont 1. tétele alapján minden x e V elem egy értelmű módon előállítható a következő alakban: x = CYi +C2e2+. . . + eê^,

Az Y = V'©V'i összeg is altere V-nek. Felmerül az a probléma, hogy fennáll-e az V' @V[_ = V egyenlőség? Tétel. Legyen V véges dimenziós euklideszi tér, V' d V tetsző leges altér, legyen a V' altér ortogonális kiegészítő altere, ak

i,k = 1,2, ... ,n .

(**)

ahol a c j,c 2,...,c „ komplex számokat az x elem koordinátáinak neveztük az

,
bázisra vonatkozólag.

Ebben esetben e koordinátáknak és a (**) előállításnak szemlé letesjelentése van. A (**) alapján

kor y ' e v [ = v . Bizonyítás. Legyen dimV = n, dim V ' = m így m < n . Vegyünk

(x,ei) = c^(e^,ei) + C2{e2,ei) + ... + c^{e„,ei),

fel V'-b en egy epe 2,... ,efê V' ortonormált bázist. A Gram-

és mivel k ^ i esetén

Schmidt-féle eljárás alapján ez kiegészíthető az

{x, €i) = C;. Másrészt II^ f = (x, x) = {x,

, e,-) = 0 , továbbá {e^, e,-) = || ei |p = 1, ezért

-t- C2^2 + ... +

= q(x, ey)

C2Íx, 82) +

156

/■ Összefoglaló az analízis és a lineáris algebra elemeiből

+ . . . + c„(x,

= q q + C2C2 +

...

+ c„c„ =

| q

f

+ |c 2 | +--- +

ill. 3/,, y 2 ,.. . , y n ,

ortonormált bázis az n-dimenziós

X euklideszi térben és legyenek egy jc g V elemnek e bázisra vo natkozó koordinátái q , C2, , azazx = q e i + C262 + •■•+ akkor q = (x,e,), í = l , 2,...,n ,

akkor

vagyis az x elem és az ortonormált bázis elemeinek skaláris szorza ta rendre előállítja az jc elem koordinátáit. A fenti tétel geometriai jelentésének megvizsgálása érdekében vektorteret. E térben az

ei = ( 1, 0, 0), 62 = ( 0, 1, 0), 63 = ( 0, 0 , 1) vektorok, mint ismert, ortonormált bázist alkotnak. A fenti vekto rok tekinthetők egy háromdimenziós derékszögű koordináta rend szer tengelyei irányába mutató egységvektoroknak. Ekkor minden

+

ill.

y

= y i e i + y 2e 2 +. . . + yê^,

(x,_y) = xiJi +X2J 2 + ... + x^y^ =

k=l Bizonyítás. Felhasználva a skaláris szorzat disztributív tulajdon ságát:

| = | q f + ^ 2 ^ + --- + k « P ’

tekintsük a valós háromdimenziós

157

| c „ |

azaz x = xiq + ^ 2^2

azaz fennáll a következő 1. tétel. Legyen

XG

3.6 Ortonormált bázis szerinti kifejtés

(-^,y)= ^ X i e i , Y y k e k /c=l

mert

(g.,

=

É

>

y

= 0, ha i ^ k, és (q, e^-) = || e- f = 1.

^ M egjegyzés. Jelöljük I-vel a y és R " tér közötti azt a leképezést, mely V x g V elemhez hozzárendeli ezen elemnek az ei,e2,...,en ortonormált bázisra vonatkozó X |,X 2 ,...,X „ koordiná táiból álló vektort, azaz, ha X = Xjgj -I- X262 + ... -I- X,j6^

és X = (X], X2,..., x„) , akkor jelentse I azt a leképezést, melyre

vektor előállítható X = Xi6| + X262 + -X363

alakban, ahol Xi,jc2 ,X3 az x vektor végpontjának derékszögű ko

I(x) = x . Az I izomorf leképezés F é s R ” között (1. az 1.6 pontot). Legyen y e V egy másik tetszőleges elem,

ordinátái. Ha az X vektornak a koordinátatengelyekkel alkotott szögeit

akkor y = (}î, y 2 , ---,y„) jelöléssel, I(y) = y .

öfj, 0^2, 0^3 jelöli, akkor X- = |x |- c o s ^ - = lx |-|e j|-c o s « - = (x,e,), i = l , 2 , 3 , I

és

y = y\ei + J 2«2 + •■■+ yn^n ■

I X I

i2

2

2

= Xi + X2 +

2

Az x = (x ],x 2,...,x „ ) és y = (J i, J 2’---’ J«) vektorok skaláris szorzatát i?” -ben a következő módon értelmeztük;

,

ami nyilván a térbeli Pitagomsz-iét&\. A (*) alatti egyenlőségek hasonló geometriai értelmet tükröznek az R ” térben. 2. tétel. Legyen q , ^2,...,

Ezek után a fenti I izomorfizmus segítségével a fent bizonyított 2 . tételt a következő alakban is kimondhatjuk; ortonormált bázis a V n-dimen-

ziós euklideszi térben, továbbá legyenek az x és y g V elemeknek a fenti bázisra vonatkozó koordinátái

3. tétel. Legyenek x és _yg V tetszőleges elemek, I(x) = X, 1( 3;) = y , akkor (x, y) = (x , y ) .


]5S

1. definíció. Legyenek V és W euklideszi terek. Azt mondjuk, hogy V izometrikus W-vel, ha V és W elemei között létesíthető olyan I izomorf leképezés, melyben a megfelelő elemek normái azonosak, azaz, ha x e V és y = I ( x ) , (nyilván y e W ) , akkor

IL RÉSZ B

E

V

E

Z

E

Ik lIv H b llw (Mivel a V és W két tetszőleges euklideszi tér, azért természetesen a skaláris szorzat és az általuk definiált norma a két térben teljesen különböző lehet, így a V térbeli normát \\x\\y -vei, a W térbeli nor mát II y

A

4, tétel. Minden n-dimenziós euklideszi tér izometrikus R -nel. Bizonyítás. Legyen V n-dimenziós euklideszi tér. Jelentse I a 2. tétel utáni Megjegyzésben szereplő leképezést V és R ” között. Láttuk, hogy I izomorf leképezés. Legyen x& V tetszőleges elem, l(x) = X , akkor a 3. tétel alapján {x, x) = (x, x ) , azaz || x |f = || x |f , amiből || -x:|| = 1x | , ami azt jelenti, hogy I izometrikus (távolságtartó) leképezés V és R ” között. M egjegyzés. Mivel

g. =0-ei+0-e2 +... + 0-ei_i+l-ei +0-e,+i+... + 0-í?„ , ezért

I(^í) = (0, 0,

0, 1, 0,

tehát az I izometrikus leképezés a V-beli

0) , ortonormált

báziselemekhez az = ( 1, 0, 0, . . . , 0), 62 = ( 0, 1, 0, . . . , 0), ..., e^ = ( 0 , 0, 0, . . . , 0, 1) R " -beli ortonormált báziselemeket rendeli.

É

S

A L IN E Á R IS O P E R Á T O R O K ELM ÉLETÉBE

1. FEJEZET

-vei jelöltük).

A Vés W terek közti olyan izomorf leképezést, melyben a megfele lő elemek normái azonosak, izometrikus leképezésnek nevezzük.

T

lin eáris op erátor és in verze L1 Alapfogalmak és jelölések

A második rész témaköreinek tárgyalásához felhasználjuk az első részben összefoglalt ismeretanyagot, de az 1.6 pont fogalmainak ismétlésére - a mérnöki szemlélethez közelebb állóan ~ is sor kerül, így ez a rész önállóan is tanulmányozható. 1. definíció. Legyenek X és 7 tetszőleges halmazok. Az X hal mazon értelmezett operátornak nevezünk egy olyan leképezést (hozzárendelést vagy utasítást), amely minden egyes x g X elem hez az Y halmaz egy meghatározott y e Y elemét rendeli. Az ope rátorokat a továbbiakban nyomtatott nagybetűvel - A, B, C stb. betűkkel - jelöljük. Annak kifejezésére, hogy egy A operátor az x e X elemhez az _ye 7 elemet rendeli, az y = A(x) jelölés hasz nálatos. Az x-hez rendelt A(jr) elemet az x elem képének nevezzük. Magát a X halmazt az operátor értelmezési tartományának, a képelemek összességét pedig az operátor értékkészletének nevezzük. Az operátor értelmezési tartományát a továbbiakban D(A) val, értékkészletét R(A) -val jelöljük [K84], [K66], [K64]. Tehát az értelmezés szerint D(A) = X, R(A) c 7 . (Vegyük észre: R(A) nem biztos, hogy 7-nal egyenlő. Csak annyit mondhatunk, hogy R(A) részhalmaza 7-nak.) Azt mondjuk, hogy valamely A operátor a D(A) értelm ezési

11. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

160

tartományt kölcsönösen egyértelmű módon képezi le az R{h)

1.2 Izom orf terek, izom orf leképezések

Az 1 tehát olyan operátor [K15], [K18], melyre

értékkészletre, ha az operátor különböző D(A) -beli elemekhez kü lönböző R{A) -beli elemeket rendel, azaz, ha %i ^X 2 ,

és ^2 e D (A ), akkor A(xj)

161

/)(!) = X, R(J) - Y és

létezik,

amely művelettartó, azaz ha A(x2) .

Ebben az esetben tetszőleges j g R{k) elemhez egy és csak egy olyan x g D(A) elem található, amelyhez az A operátor ezen j elemet rendeli, azaz amelyre A(x) = j . Jelöljük A~^-gyel azt az operátort, amely minden y e R ( A ) elemhez hozzárendeli azt az x g D{A) elemet, amelyhez az A

Xj

Tehát A “ ' olyan operátor, amely az A operátor képelemeihez visszarendeli az eredeti elemet. Ezt az A ^ operátort az eredeti A operátor inverz operátorának vagy röviden inverzének nevezzük. Az inverz operátor értelmezési tartománya azonos az eredeti operá tor értékkészletével, azaz D(A^b = R(A) ,

Vegyük észre, hogy az A operátornak csak akkor van inverze (a definíció szerint), ha A kölcsönösen egyértelmű leképezést léte sít D(A) és R(A) között.

X és

=

I(X i), J 2

l ( a- x) = a - y . A fenti I leképezést (operátort) izomorf leképezésnek vagy röviden izom orfizm usnak nevezzük. A fentiek értelmében az I operátor az X tér nullelemét (jelöljük 0 j -szel) az Y tér nullelemébe (jelöljük Oy -nal) viszi át, azaz l(0;^) = 0y . Az 1 operátor Z-beli lineárisan függő elemeket az Y térben line árisan függő elemekbe viszi át, azaz ha / i , / 2, •••,/„ g X lineári san függő elemek, és S i = K f i ) , g 2 =Kf i ) ^ •••, 8 n = K f n ) a megfelelő képelemek 7-ban, akkor ezek is lineárisan függők. Ui., ha

+ a 2Í 2 + ... +

= O j , akkor

I(a]/, +0^2/ 2+- •-+C(nfn) = (^181 + 0^282 +••• + 0!^8 n = P x ) = azaz ^ \ 8 \ + 0(282 +--- + (^n8 n

1.2 Izomorf terek, izomorf leképezések 1. definíció. Legyenek X és F lineáris terek. E két teret izom orf tereknek nevezzük, ha a két tér elemei között létesíthető egy köl csönösen egyértelmű, művelettartó leképezés, ami azt jelenti, hogy létezik olyan I leképezés - avagy más szóval operátor (1.1 pont) - , amely az X teret kölcsönösen egyértelmű módon leképezi az Y térre.

= 1(^2)

I(xi-hx2) = Ji + y2 > amely minden X-beli elem számszorosát a képelem számszorosába viszi át, azaz, ha x g Z , « tetszőleges komplex szám, 3; = I(x) az X elem képe az Y térben, akkor

és az inverz operátor értékkészlete azonos az eredeti operátor ér telmezési tartományával, azaz 7Í(A"') = D(A).

X2 G

az Y tér megfelelő képelemei, akkor

operátor az y elemet rendelte, azaz minden y g R(A) esetén A “ ^ (j) = x, ha A(x) = y .

és

>

.

Igazolható, hogy az is izom orf leképezés, azaz 1“ ^ olyan operátor, amely az Y teret kölcsönösen egyértelmű és művelettartó módon képezi le Z-re. Ebből következik, hogy az I operátor az X tér lineárisan független elemeit az Y tér lineárisan független elemeibe viszi át. A fentiekből adódik a következő fontos tétel: 1. tétel, Izomorf terek dimenziója megegyezik.

II. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

162

Speciális esetben, ha X és 7 véges dimenziós izomorf terek és az I operátor izomorf leképezést valósít meg X és 7 között, akkor I bármely X-beli bázist az Y térben is bázisba visz át. 1. megjegyzés. Legyenek az X és F izomorf terek. Ha az X tér elemeire valamilyen tételt bebizonyítunk, és a bizonyításban csak az elemek közötti művelet, elemek lineáris függősége vagy függet lensége szerepel, akkor az izomorfizmus miatt e tétel érvényes lesz az Y térben is. Az izomorfizmus jelentősége tehát abban áll, hogy az egymással izomorf lineáris terek közül elegendő egyetlen konk rét lineáris térrel foglalkozni, mert a térre kimondott állítások iga zak lesznek a vele izomorf terekben is.

1.2 Izom orf terek, izom orf leképezések

163

Tehát minden x g R " vektor megtalálható az I operátor értékkész letében. Kimutatjuk, hogy I művelettartó operátor. Legyenek x és y & X tetszőleges elemek és legyen ezen elemek bázis előállítása X Xié-J + X2Ő2 + ... + x,ê^,

y = yêi + j 2é?2 + ... + yê,^ ■

Legyen X = (XI,X2,...,X„),

y = (y],y2,...,yn),

akkor

I(x) = x és I(_y) = y .

2. tétel. Minden n-dimenziós lineáris X tér izomorf az R ” térrel.

Mivel

x + y = ( xi +y^) e ^+( x 2 + y 2 )e2 +. . . + (x^ + y,^)e„ ,

Bizonyítás. Legyen X tetszőleges n-dimenziós lineáris tér és ^2, É'n legyen egy tetszőleges bázis X-ben. Ekkor az L rész

ezért I(x + y) = (x, + y\ , X 2 + y 2 ,... ,x^ + y,^)^(x-^,x 2 , . . . , x j +

2. fejezet 2.2 pont 1. tétele alapján minden x g X elem egyértelmű módon előállítható X = Xiei+X2e2 +. . . + Xn6n alakban, ahol az x i , x 2 , .. .,xn komplex számokat az x elem koor dinátáinak nevezzük az gj, ^2,. •.,

bázisra vonatkozólag.

Jelöljük I-vel azt az operátort, mely minden x e X elemhez hozzárendeli ezen elem , ^2,..., koordinátáiból álló X = (xi, X 2 ,. .- , x ^ ) e R ”

vektort, azaz l(x) = x . (Vegyük észre, hogy itt jc és x teljesen más természetű dolog, XG

X tetszőleges elem, míg x g R " egy vektor.) Fentiek alapján I olyan operátor, melyre D(I) = X és R(l) c R " .

Kimutatható, hogy R(l) ez R ” . Ui. legyen x = (x^, X2,...,

+ (}^l,};2,...,y„) = x + y Továbbá OGc = ODcêi -h 0x 262 + . . . +

,

amiből I(a-x) = (ax^,ax2 ,... ,ax^) = a ( x i , x 2 , . . . , x ^ ) ^ a - x . Tehát

I(x -Hj ) = X + y és l ( a- x ) = a - x ,

amiből már következik, hogy I művelettartó leképezés. Végül kimutatjuk, hogy I különböző X-beli elemekhez különbö ző R ” -beli vektorokat rendel. Legyenek x és y e X , melyekre x ^ y . Legyen ezen elemek báziselőállítása X = Xjî + X2^2 + ... + x„e„ és J = yi 6i + y 2^2 + • ••+ yn^n ’ ekkor I(x) = (x j,x 2,...,x „ ) = x és l (y) = { y i , y 2 ,---,yn) = y ■ Ha x==y volna, akkor xi = y^, X2 = y 2 , x „ azt jelentené, hogy x = y , ami ellentmondás.

= yn volna, ami

A fentebbiekből következik, hogy I izomorf leképezés X és R ” között, így X és R” izomorf terek.

g

R" tetszőleges vektor, akkor az

I(x) = x

2. megjegyzés 1. A fenti I izomorfizmus függ az X-beli

, ^2 ,...,

bázistól.


164

2.

Az I izomorfizmus inverze: ha x = (xj, X2,...,

e R ” tetsző

1.3 Lineáris operátorok

165

továbbá, ha XG X tetszőleges elem, }’ = Ax

leges vektor, akkor I

(x) = Xie]+X2e2+... + Xnen-

a megfelelő képelem az Y térben, továbbá a tetszőleges komplex szám, akkor A{ a- x) = a - y .

1.3 Lineáris operátorok Definíció. Egy A operátort az X teret az Y térbe leképező lineá ris operátornak nevezünk [K22], ha D(A) = X, R(A) c 7 és 1. A (x i+ X 2) = A(X|) +A(jc2) minden xj és X2 & X esetén,

Világos, hogy az 1.2 pontban definiált I izomorf leképezés is lineá ris operátor. Minden A ; X Y lineáris operátor az Z-beli nullaelemet ( O x ) az Y-beVi nullaelembe (Oy) viszi át, ui.

2. A(or-x) = ör-A(x) minden x e X és tetszőleges öí komplex szám esetén. Tehát a lineáris operátor az operátoroknak az a speciális esete, midőn az operátor értelmezési tartománya lineáris tér, értékkészlete valamely - általában - másik lineáris térben fekszik (nincs feltéve, hogy R{A) = Y ), továbbá teljesül a fenti 1. és 2. tulajdonság. Az operátor 1. alatti tulajdonságát - tehát, hogy az operátort elemek összegére szabad tagonként képezni - úgy mondjuk, hogy az operátor additív. Az A operátor 2. alatti tulajdonságát - azaz, hogy konstans szorzót az operátor elé ki lehet emelni - úgy mondjuk, hogy az A operátor homogén. A továbbiakban X jelölje az X lineáris teret az Y térbe le képező összes lineáris operátorok halmazát, így az A : X - > 7 jelentse azt, hogy A olyan lineáris operátor, melyre D(A) = X, R(A) ez Y . Állapodjunk meg abban, hogy lineáris operátorok esetében - hacsak félreértésre nem ad okot - az A(x) helyett Ax -et írunk, azaz a zárójelet elhagyjuk. Nyilvánvaló, hogy egy A ; X Y lineáris operátor ún. míivelettartó leképezés (1.2 pont) ui., ha Xi és X2 & X tetszőleges ele mek és Ax| = yi, Axj = J 2 ’ akkor A (x i+ x 2 ) = yi + y 2 ’

AOx = A ( Ö x - O x ) = AOx - A ö x

=öy .

Hasonlóan igazolható, hogy minden A: X ~>Y R (A) képtere (értékkészlete) altere az Y térnek.

operátor

Teljes indukcióval igazolható, hogy ha A : X - ^ Y és x i , x 2 , . . . , x ^ e X tetszőleges elemek, a i , a 2 ,...,a ^ akkor

tetszőleges komplex számok,

A(aixi + 0:2X2 +. . . + a^Xn) = ay ■A x i + a 2 -Ax 2 + . . . + vagy röviden ; ( n

\

v'=i

y

A

• Ax„,

n

= H îî • i=l

Példák 1.

Differenciáloperátor. Jelölje Q[a, b] az egyszeresen folyto

nosan deriválható függvények terét, D-vel pedig azt az operátort, mely tetszőleges y{x)& Cyla, b] függvényhez hozzárendeli e függ vény deriváltját, azaz D_y(x) = — vagy rövidebben D_y = — . dx dx A D operátor értelmezési tartománya: Z)(D) = Q[a, b] és értékkészlete: i?(D) c: C[a, b] (bizonyítható, hogy i?(D) = C[a,b] ), és nyilvánvaló, hogy D lineáris operátor.


166

2. Határozatlan integráloperátor. A zárt [a,b] intervallumon folytonos / függvény egyik határozatlan integrálja, - más néven primitív függvénye, - előállítható az

1.4 M űveletek lineáris operátorokkal

167

értjük, amelyre Cx = (A + B)x = Ax + Bx minden x g X esetén, és X = a^X] + &2X2 , akkor

C

:X

F lineáris operátor. Ui. legyen

F(x) = l f ( t ) d t a

képlettel. (Az összes primitív függvény F(x) + C alakban állítható elő, ahol C tetszőleges állandó.) Jelentse A azt az operátort, mely minden f e C[a,b] függvény hez hozzárendeli a függvény fenti primitív függvényét, azaz X

Af{x)^lf(t)dt. a

Nyilvánvaló, hogy D(A) = C[a,^] és R(A) ez C[a,b] (sőt isme retes, hogy R(A) c Ci[a,b] ), és A lineáris operátor. 3. Q-operátor. A kvantummechanikában fontos szerepet játszik az az operátor, mely minden f e C[a,b] függvényhez hozzárendeli ezen függvény x-szeresét. Jelöljük ezt az operátort Q-val, azaz Qf(x) = x - f ( x ) . Nyilvánvaló, hogy D(Q) = C [a, b] , - ahol [a, b] lehet véges vagy végtelen intervallum, - és R(Q) c C[a, b] , valamint Q lineáris operátor [KI 8],

C(ö!jX| + CC2X2) —A(ö|X^ + 0^X2) + B(ö']X| + Ö2X2) = = 0^1Axj + 0^2Ax2 + ö'iBxi + Ö2BX2 = ai(Axi + Bxj) + 02{P^2 + 6 x2) = = Of|Cxj + ö^Cx2Az A lineái'is operátor és egy a komplex szám szo rzatán azt a B = « A operátort értjük, melyre Bx = (öA)x = (xAx , és öA : X —> F is lineáris operátor. Jelöljük 0-val azt az operátort, mely minden x g X elemhez a Oy e F elemet rendeli, azaz Ox = O y. Ezt az O operátort nulla operátornak vagy zérusoperátornak nevezzük. Az O: X is lineáris operátor és minden A ; Z F esetén A 4 -0 = A . Igazolható, hogy a lineáris operátorok között értelmezett fenti műveletek kielégítik a lineáris terek 1- 10. axiómáit, így az Z-et az F-ra leképező lineáris operátorok Z -> F halmaza maga is lineáris teret képez. Definiáljuk most lineáris operátorok szorzatát. Legyen X, Y, Z három tetszőleges lineáris tér, B : Z —> F és A : F -> Z tetszőleges lineáris operátorok. A C = AB operátor alatt azt az operátort értjük, melyre Cx = (AB)x = A(Bx), XG Z ,

1.4 M űveletek lineáris operátorokkal Két lineáris operátor összegét, lineáris operátornak számmal való szorzatát és két lineáris operátor szorzatát olyan módon definiáljuk, hogy az eredmény operátor továbbra is lineáris operátor legyen. Legyenek Z és F tetszőleges lineáris terek, A és B : Z 7 tet szőleges lineáris operátorok. Az A és B operátorokat egyenlőknek mondunk, ha A x - B x tetszőleges x e X mellett [K84]. Az A és B operátorok C = A + B összegén azt az operátort

azaz, AB operátort egy x g Z elemre úgy értelmezzük, hogy elő ször a B operátort alkalmazzuk az x g Z elemre, majd a kapott B x g F képelemre alkalmazzuk az A operátort. Két lineáris operátor szorzata szintén lineáris operátor. Ui. C(öTjXi -í- 0^2X2) = A(B(<2iXi + 0:2X2)) = A(qBxi + Ö2BX2) = =

A (B x j ) -h 0^2A ( B x 2 ) = OC-[Cx\ -h 0^2C x 2 .

Látható, hogy AB olyan lineáris operátor, melyre D(AB) = Z és R(AB) c Z , azaz A B ; Z -> Z .


168

Könnyen belátható, hogy h a B é s C : X - > F é s A : F —> Z , akkor A(B + C) = AB + A C , azaz az operátor szorzás disztributív, továbbá ha C : X ~^Y , ^ \ Y

k\Z->W ,

ahol X, Y, Z, W tetszőleges lineáris terek, akkor (A B)-C = A -(B C ), azaz az operátor szorzás asszociatív. Megjegyezzük még, hogy az operátorszorzás általában nem kommutatív, tehát AB BA , sőt, ha B :X

, A :y -> Z ,

akkor a BA operátor nem is értelmezhető, ha az X, Y, Z különböző lineáris terek. Megjegyzés Az operátorokra értelmezett műveletek tulajdonságainak vizsgá latához az algebra ismert fogalmait használjuk. Ismeretes, hogy minden halmazt, melyben egy vagy több művelet van értelmezve, algebrai struktúrának nevezünk [K72]. Könyvünk szempontjából a legfontosabb struktúrák, amelyekben értelmezett műveletek bizo nyos axiómáknak tesznek eleget a következők; félcsoport, csoport, gyűrű és test. Új algebrai struktúrák képzésének fontos eszköze a homomorfizmus. Ha például az A és B algebrai struktúrákban a szorzás művelete értelmezve van, akkor az A-nak B-re való leképe zését A-nak B-re való hom om orfizm usának nevezzük, ha a szor zat képe a tényezők képeinek szorzata, azaz

1.5 Lineáris operátorok inverze. Magtér

1. példa. Az egész számok a szorzásra nézve félcsoportot al kotnak. Rendeljünk minden természetes számhoz -i-l -et, minden negatív egész számhoz -1 -et, a 0-hoz pedig önmagát. Ekkor eme félcsoportnak egy homomorfizmusát kapjuk a + 1 ,0 , - 1 elemek ből álló félcsoportra. 2. példa. Az egész számok additív csoportjának egy izomorfiz musát kapjuk a páros számok csoportjára, ha minden egész szám hoz annak kétszeresét rendeljük hozzá. 3. példa. Az egész számok additív csoportjának egy automorfizmusát kapjuk, ha minden elemhez a negatívját rendeljük hozzá. 1.5 Lineáris operátorok inverze. Magtér Tegyük fel, hogy az A : X - ^ Y lineáris operátor kölcsönösen egyértelmű módon képezi le a D(A) = X értelmezési tartományt az R(A) értékkészletére. Ez esetben, - amint azt az I .l pontban láttuk - az A operátornak létezik A~^ inverze, azaz A “ ^ olyan operátor, melyre D (A 'b = R(A),

R(A'^) = D(A)

és minden _ye R(A) esetében A~^y = jc, ha Ax = y . 1. tétel. Ha az A : Z —> 7 lineáris operátornak létezik A” ^ in verze, akkor az inverz operátor is lineáris. Bizonyítás. Legyenek

{x ■y)' - X ■y , ahol x , y e A . Az A-nak a B algebrai struktúrára vonatkozó olyan homomorfizmusát, melynél különböző elemek képe különböző, izomorfiz musnak, az A-nak önmagával való izomorfizmusát pedig automorfízmusnak nevezzük. Az algebra az izomorf struktúrák között nem tesz különbséget, csak olyan tulajdonságait vizsgálja, amelyek az izomorfizmussal szemben nem változnak, azaz invariánsak. Ilyen algebrai invariáns pl. a kvadratikus formák rangja, szignatúrája stb.

169

és 3^2 e D(A~^) = R(A) . Ha az

A “ V l = x i, A~^y2=-X2 jelölést alkalmazzuk, akkor az inverz operátor definíciója alapján = Axj és V2 = Ax 2 . Mivel A lineáris operátor, azért 3^1 +

M

+X 2 )

,

így A “ ’ definíciója alapján A '( J i + ^ 2) = -^! +^2 = A ~^ji +A~^y2, amiből már következik, hogy A “ ^ additív operátor.


170

Hasonlóan igazolható, hogy homogén operátor. Az inverz operátor fogalma, különösen a lineáris operátorok in verze igen fontos szerepet tölt be a matematika különféle ágaiban fellépő (algebrai-, differenciál-, integrál-) egyenletek megoldásánál. Legyen A : X 7 tetszőleges lineáris operátor és tekintsük az (*)

Ax = f

1.5 Lineáris operátorok inverze. M agtér

171

2. tétel. Annak szükséges és elegendő feltétele, hogy egy A: X - ^ Y lineáris operátornak létezzék inverze, az, hogy az Ax = Oy homogén egyenletnek csak az x = 0^ megoldása legyen. Bizonyítás. Tegyük fel először, hogy A~^ létezik és legyen X az egyenlet egy tetszőleges megoldása, azaz A x q = Oy ,

xq g

egyenletet, ahol f &Y adott elem, míg x az ismeretlen elem. A (*) egyenletet elsőfajú lineáris egyenletnek nevezzük. Ha / = Oy , akkor az egyenlet homogén, ha f ^ akkor pedig inhomogén.

akkor xq = A Ôy = Ojs^^, ui. A ^ lineáris operátor és lineáris ope rátor nullaelemet nullaelembe visz át. így a homogén egyenletnek valóban csak a 0;^ elem az egyetlen megoldása. Megfordítva, tegyük fel, hogy az Ax = Oy egyenletnek csak az

Egy x = 0;j'

XG D(A) = X elemet az egyenlet megoldásának nevezzük, ha x kielégíti az egyenletet, azaz Ax = / . Nyilvánvaló, hogy annak szükséges és elegendő feltétele, hogy az Ax = / egyenletnek létezzék (legalább egy) megoldása, az,

megoldása van. Kimutatjuk, hogy A~^ létezik. Ha ui.

A * nem létezne, azaz A nem kölcsönösen egyértelmű módon képezné le D (A )-t R{A) -ra, akkor léteznének x ^ ^ x 2 , xj és X2 G Z)(A) elemek, melyre Ax^

/ G R(A) feltételen kívül még A~^ is létezzen, azaz A kölcsönö sen egyértelmű módon képezze le D(A) -t R(A) -ra. Ha / g R(A)

és A “ ^ létezik, akkor az Ax = /

egyenlet

(egyetlen) megoldása:

volna, ami azt jelentené, hogy az x = x y - X2

=

A

" V

.

tehát az inverz operátor ismeretében az egyenlet megoldását meg kapjuk, ha az inverz operátorral balról megszorozzuk az egyenlet mindkét oldalát. Ha az A : Z -> y lineáris operátor kölcsönösen egyértelmű módon képezi le D(A) -t R{A) -ra, akkor létezik inverze. Ennek vizsgálata általában nem könnyű, de a következő tétel egyszerű módszert ad az inverz operátor létezésének eldöntésére.

elem megoldása

volna az Ax = Oy egyenletnek, ami ellentmondás. Definíció. Egy A : Z —> F lineáris operátor magtere (nulltere) alatt azoknak az x g X elemeknek az összességét értjük, mely elemeket A az 7 térbeli Oy elembe viszi át. Jelöljük az A operátor magterét AÂ'^^^’ ^zaz

x

Ax2 volna. Ekkor

Axj - Ax2 = Oy , azaz A(X[ - X 2) = Oy

hogy / G R(A) legyen, továbbá annak szükséges és elegendő felté tele, hogy az egyenletnek egyetlen megoldása létezzék, az, hogy az

=

azon

xg

X elemekből áll, melyekre

Ax = Oy . Nyilvánvaló, hogy 0;^

g

•

3. tétel. Bármely A: X - ^ Y lineáris operátor Nj^ magtere al teret alkot az X térben. Bizonyítás. Legyenek x^ és X2 g

’ tehát

Ax] = Oy, Axj = Oy, akkor A(xi + X2 ) = Axi -f- AX2 = Oy + Oy = Oy , S így Xi + X2 G

.


172

Hasonlóan igazolható, hogy ha x e

tetszőleges komplex

1.5 Lineáris operátorok inverze. M agtér

173

A 3. példában már nem látható, hogy milyen függvények alkot

szám, akkor a x & Np^. A 2. tétel a magtér figyelembevételével így is fogalmazható:

ják a Q operátor értékkészletét. Pl. a -sfx függvény nem tartozik i?(Q) -ba, de a sin x igen, mert sin x e /?(Q ).

4. tétel. Egy A : X F lineáris operátornak akkor és csak ak kor létezik inverze, ha Aâ csak a O j elemet tartalmazza.

Lényegesen egyszerűbb azoknak az A lineáris operátoroknak a vizsgálata, amelyek egy adott X lineáris teret kölcsönösen egyértelmű módon képeznek le egy másik adott F lineáris térre, azaz olyan A ; X -> F lineáris operátorokról van szó, melyekre

Példák 1. Az 1.3 pont 1. példájában szereplő D operátornak nincs in verze, mert a Dy(x) = 0 , azaz az y \ x ) = 0 differenciálegyenletnek létezik a 0 elemtől ( vagyis az azonos zérus függvénytől) különböző megoldása, nevezetesen y{x) = c , ahol tetszőleges állandó. 2. Jelöljük C jV ^ ]-v a l azon y{x)&Câ,b\ függvények halma zát, amelyekre y{a) = 0 . Értelmezzük a Dy(x) = y'{x) differenci áloperátort csak ezekre a függvényeki'e, azaz legyen D(D) = C i i a M . Mivel a Dy(x) = 0 , vagyis az y \ x ) = 0 egyenletnek csak az _y(x) = 0

megoldása van a

cf[a,^]

függvénytérben, azért a

C\[a,b\ -ben értelmezett D operátornak létezik inverze és D “ ‘/( - í) = [/(')< * ■ 3.

Tekintsük a Q f i x ) ^ x - f ( x ) operátort, értelmezve például a

D(Q) = C[0,1] függvénytérben, (azaz a [0,1] intervallumon folyto nos függvények halmazán). Nyilvánvaló, hogy Q’^ létezik és JC Ha valamely A : X -> F lineáris operátornak létezik is inverze, még mindig nehéz kérdés annak vizsgálata, hogy mely elemek al kotják az A operátor értékkészletét. A 2. példában D(D) = cf[a,ö ] és így könnyen belátható, hogy R(D) = C[a,b].

D{A) = Z , R{A) = Y és A~^ létezik. Ilyen operátorok esetén az Ax = f egyenletnek minden / g F mellett létezik, éspedig egyetlen megoldása, nevezetesen x = A "V . Az ilyen tulajdonságú operátorokat neveztük az 1.2 pontban izomorf leképezéseknek vagy izomorfizmusnak.

2.2 Lineáris operátor véges dimenziós térben

175

Azt a P operátort, mely az jc elemhez j = xêi + X262 + ••• + Xjêj^ G X

2. FEJEZET

elemet rendeli, az e\,e2 ,...,ei. elemek által kifeszített térre vetítő

L in eá ris teret ön m a g á ra lek ép ező lin eá ris op erá to ro k

(projektor) operátornak nevezzük, azaz Vie^xi + é'2-^2 + •••+

2.1 Az A

-> X lineáris operátor

A lineáris operátorok egy igen fontos speciális esetét képezik azok az A lineáris operátorok, melyek egy adott X lineáris teret önmagá ra képeznek le, azaz amelyekre A :X

+ . . . -I- e^Xfi) = eix^ -I- €2X2 + . . . + cj^xj^ ,

ahol k < n. Amint látható a P operátor hatása az jc elemre ekviva lens a kifejtés utolsó n —k tagjának nullával való kicserélésével. Egyszerűen igazolható, hogy a P projektor operátor lineáris. 3. Az [a,b] intervallumon végtelen sokszor differenciálható függvények C°°[a, b\ terében a

•

Az ilyen lineáris operátorok halmazát az eddigieknek megfelelően X -> X alakban jelöljük [K84], Jelöljük E-vel azt az operátort, mely minden x e X elemhez önmagát rendeli, azaz Ex = x, minden x g X esetén. Ezt az E operátort egységoperátornak nevezzük. Az E : X -> Z egység operátor lineáris operátor, továbbá minden A : X -> X lineáris operátor esetén fennáll: AE = EA = A . Példa 1. Legyen például A olyan operátor, amely \/ x g X elemhez az X -beli Áx elemet rendeli, azaz

Dx(t) = x'(t) differenciáloperátor lineáris operátor, a szokásos deriválási szabá lyokkal. 2.2 Lineáris operátor véges dimenziós térben Legyen az X véges dimenziós tér bázisa e^,e2,...,e^ , és A a tér egy lineáris operátora, azaz A : X ^ X [K66], Alkalmazzuk a bázis elemekre az A operátort: Aé?i = = fí] 1^1 + 021^2+••• + ^nl^n A^2 = g 2 = 012^1 + 022^2 +•■• +

A x = Axg X ,

ahol Á rögzített szám. Az A-t hasonlósági nyújtó operátornak is nevezzük. A nyújtó operátor lineáris. Ui. az X = Á^xi + ÁqX'i elemre alkalmazva az A operátort: A {Á \X i + ^ 2-^2 ) ~ ^ i ^ X ^ 4- ^ 2 X 2 ) = A i(A x i) +

2. Legyen ei,e2 ,...,e^ az X tér bázisa, és x egy tetszőleges elem;

= 8n = ain€i + a2n€2 + •• • + mely tömörebben Ae j = 8 j = Z îfi i=l

’

melyből látható, hogy a linearitás feltétele teljesül.

U = 12,.. ., n)

+••• +

(2)

alakban írható. A (2)-vel adott gj elemek az ej,e2,...,e „ bázis elemek képei az

€2, . . . , e,^ bázisban.

Egy tetszőleges x e X elem az e^,^2, . . . , bázisban: X = Xêi + X2^2 + ••• +

( 1)

II.

176

Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

X = XyBi + X262 + ... +

Legyen most A = [a^]

, ekkor

Ax = y = A(jí:]é?i + ^202 + ••• +

•

(3)

Felhasználva az A operátor linearitását és az (1) összefüggést; Ax = y = xÂe^ + X2Ae 2 + ... + xÂe,^ = Xigj + ^2^2 + ••• + x^gn = = Xi(ai lei + Ö21^2 + •• •+ + -^2(«12«l + «22^2 + ••• + ö«2^«) + •• • + + ... + Xn(ai„ei + Ű2nÉ'2 + •••+ V n ) = = (aj 1^1 + ai 2^2 + ... + ai„x„)ei + (021-^1 + ^22^2 + •• •+ «2«^«)^2 + ••• + + {aj^[X[ + ö,^2-^2 + •■• + A (3)-mal adott elem koordinátáit

-vei jelölve:

y\ 1-^1 + <312-^2 + ••• + În^n yi - '^21-^1 + ^22-^2 + ••• + <^2n^n


177

egy tetszőleges kvadratikus mátrix,

melynek rendje a tér dimenziójával egyenlő. Az A operátort a (4) formula alapján képezzük, vagyis feltesszük, hogy A x= j , ahol az elem koordinátái a (4) szerint számíthatók az x elem koordinátái ból, rögzített bázis mellett. Az ilyen operátor lineáris, és minden Xe X vektorhoz előállít egy y e X vektort. A (4) formula a véges dimenziós tér lineáris operátorának általános alakját adja. A (*) egyenletrendszerből látható, hogy az 3; = Ax elem koor dinátái az X elem koordinátáiból lineárisan előállíthatok. Azt is mondhatjuk, hogy az yi számok az Xj számoknak az A = [a^] mátrixszal létrehozott lineáris leképezése. Az A = [ülj] mátrix a lineáris leképezés mátrixa.

(*) Példa

Vn ~~ ^n\^\

^n2^2 + ••• + ^nn^n

1. A zérus operátornak (0x=0) a bázis választásától függetlenül a zérus mátrix felel meg, ui.

amelynek mátrix alakja: ai2 .. 72 = Ü2\ Ö22 .. Ö2« Jn_

^2

^0"

Xi

0

^2

^nl <^«2 •• ^nn_

vagy rövidebb jelöléssel: (4)

y = [ö/,]x. Eredményül kaptuk tehát, hogy az ei, ^2, •••,

bázisban az

csak Vűy = 0 esetén állhat fenn. 2. Az egység operátornak (Ex = x) tetszőleges bázisválasztás mellett az egység mátrix felel meg, ui.

xi koordinátákkal adott x elem, és az yi koordinátákkal adott y = Ax elem felhasználásával előállított (4) formula szerint az y oszlopvektor előállítható az x oszlopvektorból. Az A lineáris operá tornak az ei, 62, . . . , bázisban A = [öy] mátrix feleltethető meg. Ezt a mátrixot az A operátor

^2 ,...,

bázisbeli mátrixának

nevezzük, és A^ -vei jelöljük, ahol az alsó index a szóban forgó bázist jelöli. A mátrix első oszlopában az első bázisvektor képének koordinátái állnak, a második oszlopában a második bázisvektor képének koordinátái állnak, és így tovább.

^2

^2

csak akkor áll fenn, ha [a,y] az n-edrendű egységmátrix. 3. Az A hasonlósági nyújtás operátorának {Ax = Áx) tetsző leges bázisban az


178

A(x + y) = A -(x-t-y) = A- x + A- y = A(x) -h A(y) 0 0 .. •

és

mátrix felel meg, ui. a ÁX\

= K -]

A(cx) = A • (ex) = c •Ax = c • A ( x ).

Tehát az (5) egyenlőséggel definiált A operátor olyan lineáris operátor, melyre

4

ÁX2

^2

D(A) = R ”, i?(A) c R" , így A ; R " -> R " .

ÁXn

Összefoglalva: minden A mátrix az (5) egyenlőség alapján

egyenlőség csak akkor áll fenn, ha a, / = ^ ‘J [0

meghatároz (generál) egy A ; R " -> R " lineáris operátort. Az (5) egyenlőség által meghatározott A operátort az A mátrix által ge nerált operátornak nevezzük . A következő fejezetben megmutatjuk, hogy megfordítva, min

. j eseten

4. A P projektor operátornak a (4) formula alapján az "Xj"

179

Az (5) egyenlőséggel definiált A operátor lineáris, ui. a mátrixszorzás disztributivitása alapján;

'Á 0 .. . 0 ” O Á .. . 0

A =


"

'

•^2

X2

Xk 0

^k Xk+l

0

. Xn .

den A ; R "

R ” lineáris operátorhoz található egy olyan A mát

rix, hogy minden x e R'^ esetén A(x) = A • x . Megjegyzés. Mivel az (5) egyenlőség által definiált A egy line áris operátor, ezért a korábbi megállapodásunk alapján a zárójelet elhagyjuk.

egyenlőség felel meg, mely csak akkor teljesül, ha [ö,y] olyan n-

A továbbiakban megvizsgáljuk az (5) egyenlőséggel definiált A operátor tulajdonságait.

edrendű blokkmátrix, melynek sarokmátrixa fc-adrendű egységmát rix, a többi blokkja pedig (n - k) -adrendű zérus mátrix;

Mindenekelőtt megjegyezzük, hogy az R ” -> R ” leképezés

A=

% -k) ^{n-k) \n -k )

szerepét. Ui. E • x = x minden x g R ” esetén.

A projektor operátor mátrixa, az előző példáktól eltérően, függ a bázistól. A fentieket R ” térre a következő módon is megfogalmazhatjuk: Legyen A = [an^] adott n-edrendű négyzetes mátrix. Jelöljük Aval azt az operátort, mely bármely x e R'* vektorhoz az A •x e R ” vektort rendeli, azaz

A(x) = A -x

ben, azaz R ” -t R'^ -re leképező lineáris operátorok halmazában az E egységmátrix által generált operátor veszi át az egységoperátor

(5)

1. tétel. Annak szükséges és elegendő feltétele, hogy valamely A mátrix által generált Ax = A • X operátornak létezzék inverze, az, hogy det A

0 legyen.

Bizonyítás. Az 1.5 pont 2. tétele alapján A “ * akkor és csak akkor létezik, ha az Ax = A x = 0 egyenletnek csak x = 0 megol dása van. A lineáris egyenletrendszerek elméletéből ismeretes, hogy az


180

ü li ai2 • Ű A -x = 21 022 • ^n2

•

X2

^nn_

3_

2.3 Lineáris operátor polinomja

181

A + B : X - ^ X és

“o" = 0

a A : X ~^X , továbbá jelen esetben definiálható az AB és BA szorzatoperátorok mindegyike az ( AB) xÂ( Bx) ill. (BA)x = B(Ax)

0

vagy koordinátánként felírva, a

egyenlőségekkel. Definiáljuk egy lineáris operátor hatványait:

n

k=l homogén lineáris egyenletrendszernek akkor és csak akkor létezik X ííi 0 megoldása, ha det A = 0 . így annak szükséges és elegendő feltétele, hogy az egyenletrendszernek csak az x = 0 megoldása legyen, az, hogy det A 0 legyen. Ebből a tétel már következik. 2. tétel. Ha det A

0 , akkor az

a " = e , a ' = a , a ^ = a . a ,..., a " = a . a "-‘ = a ""‘ . a

Ezután definiálható minden A : X szőleges polinomja. Legyen /?(A)

+■

X lineáris operátor tet

A” ^ ... -f (2|A+ (3q

tetszőleges polinom, írjunk itt X helyett „formálisan” A-t, akkor

A -X = a p(A) = űÂ” -iegyenlet minden a e R " esetén egyértelműen megoldható, mégpe dig a megoldás: x = A.-1 a. Bizonyítás. Szorozzuk meg az A ■x = a egyenletet A

-1

mát

rixszal, akkor A 'A x = A 'a . Ebből A ^ A = E alapján kapjuk. SZi hogy

A^ ^ -H... -t- ú!|A -i- öqE .

Ennek az egyenlőségnek a jobb oldala egy jól definiált operátor. Ezt az operátort értjük p{ A) alatt és ezen p(A ) : X - ^ X operátort nevezzük az A operátor polinomjának. Megjegyezzük, hogy a p(Á) polinom utolsó (állandó) tagja ÜQ =

Következm ény, det A

0 esetén az A mátrix által generált

Ax = A • x operátor inverze azonos az A nerált operátorral, azaz A “ ^x = A -1

-1

inverzmátrix által ge-

X .

2.3 Lineáris operátor polinomja Legyenek A és B : X X tetszőleges operátorok. Az 1. fejezet 1.4 pontjának megfelelően definiálható ezen operátorok összege, számmal való szorzata és nyilván

alakban írható, ahova Á helyett A-t téve, az üqA^ = üqE tagot kapjuk. Igazolható, hogy ha p{ A) és ^(A ) az A operátor polinomjai, akkor p ( A) - q ( A) = q{A)- p ( A ) .

Továbbá ha p(Á) és q(Á) tetszőleges polinom és r(Á) = p(Á) • q(Á) , akkor r(A ) = p( A) ■q( A) .


182

2.4 Inverz, operátor

183

másrészt ABx = Ex = a: , így jc = 0 , tehát a Bjc = 0 egyenletnek 2.4 Inverz operátor A szorzatoperátor segítségével az X-et Z-re leképező operátorok körében az inverz operátor fogalma egyszerűen jellemezhető. Le gyen A : X -> X olyan lineáris operátor, amelyre A~^ létezik, azaz A kölcsönösen egyértelmű módon képezi le a D{A) = X teret az R{A) c X

értékkészletre. Ekkor az inverz operátor definíciója

csak X = 0 megoldása van, így B“ ^ létezik. A következőkben véges dimenziós terekben értelmezett operá torok inverzeit vizsgáljuk. Ehhez szükségünk lesz a következő tételre, amely összefüggést ad egy A ; X -» X operátor magteré nek (1.5 pont) és képterének dimenziója között. 1. tétel. Legyen X véges dimenziós lineáris tér. A : X szőleges lineáris operátor, akkor dim X = dim Njs^ + dim R{A) .

alapján: minden ye. i?(A) esetén -1

Bizonyítás. Mivel N

A y - X, \\& iKx = y . E két egyenlőségből xeD(A)-X

nyerjük,

X tet

hogy

-1

A Ax = x , minden

és AA“ ^_y = _y minden y e R ( A ) esetén, azaz, az

A *A operátor minden x e X elemhez önmagát, míg AA operátor minden y g R(A) elemhez önmagát rendeli. így

-1

A “ Â = E . Az A A “ * általában nem azonos E-vel, mert AA “ ^ csak R(A) -

altere X-nek, ezért az I. rész 2.2.2 pont

tétele alapján létezi olyan X | c X altér, amelynek csak a 0 eleme közös N

-val és amelyre X = N

+ X j.

Kimutatjuk, hogy az A operátor X^ -et kölcsönösen egyértelmű módon leképezi R{A) -ra. Tekintsük ugyanis az Ax = 0 egyenletet az X j altérben. Ennek az egyenletnek csak az x = 0 megoldása lehet X^ -ben. Ui., ha létezne x^ e X], xi^^S megoldás, úgy Ax] = 0 alapján xy e N

bán van értelmezve és R(A) általában nem része X-nek.

volna, azaz X] -nek és N

Ha azonban az A : X X lineáris operátor az egész X teret az egész X-re kölcsönösen egyértelmű módon képezi le, vagyis ha

elemük, ami nem lehetséges. Mivel az Ax = 0 egyenletnek csak az jc = 0 megoldása van az Xj -ben, ezért az 1.5 pont 2. tétele alapján az X^ téren értelmezett

D(A) = X, R(A) = X és A” ^ létezik, akkor az A operátor inverzére fennáll: A A “ ^ = A '^ A = E . Néha szokásos a fenti egyenlőséggel definiálni az operátor inver zét, azonban meg kell jegyezni, hogy e definíció csak akkor alkal mas, ha A értelmezési tartománya és értékkészlete az egész X tér. Megjegyezzük, hogy ha az A : X X lineáris operátorhoz ta lálható olyan B : Z -> X lineáris operátor, hogy AB = E , akkor ebből általában nem következik, hogy A-nak létezik inverze. Az AB = E egyenlőségből csak az következik, hogy B “ ^ létezik, ui. ha valamely x e X elemre Bj: = 0 , akkor egyrészt ABx = AO = 0 ,

-nak létezne 0-tól különböző közös

A operátornak létezik inverze. Kimutatjuk, hogy az Xj téren ér telmezett A operátor értékkészlete azonos az egész X-en értelmezett A operátor R{A) értékkészletével. Ehhez igazolni kell, hogy min den R{A) -beli elem megkapható, mint egy Xj -beli elem képe. Legyen

y g R{A) , azaz

y = Pu

alakú, ahol

x & X . Az

X = A/^©Xi direkt összeg alapján felbontható x = xq + jcj alakban, ahol xq g

N j^ , JCi g

Xj , így

y = Ax = Axg + Ax^ = 0 + Ax^ = Ajcj , azaz >’ = A xj, ahol tehát x^ g Xj , amiből az állítás következik.


Tehát az A operátor az

teret kölcsönösen egyértelmű mó

don leképezi R{K) -ra, ami azt jelenti, hogy A izomorf leképezés az Z j és R{h) lineáris terek között. Az 1.2 pont 1. tétele alapján dim Z] = dim7?(A), így az X = N p ^ ® X i lembevételével dim X = dim 2.

2.4 Inverz, operátor

185

Definíció. Legyen X véges dimenziós tér, A : Z -> X tetszőle ges operátor, akkor az = dim R(A) számot az A operátor rang jának nevezzük.

direkt összeg figye

Az A operátor rangja tehát egyelő a képterének dimenziójával.

-i- dim R ( A ) .

3.

A 2. tétel a következő módon is megfogalmazható: -i- dim X[ = dim

tétel. Ha az X véges dimenziós lineáris tér és A : X —> X tet

szőleges lineáris operátor, úgy A"”^ akkor és csak akkor létezik, ha R(A) = X . Bizonyítás. Tegyük fel, hogy A~^ létezik, akkor N

csak 0

elemből áll, így dimA^^ = 0 , de akkor az 1. tétel alapján

tétel. Legyen X n-dimenziós lineáris tér és A : X —> X tet

szőleges lineáris operátor, úgy A~^ akkor és csak akkor létezik, ha r p ^ - n , vagyis ha az X képterének dimenziója megegyezik az X tér dimenziójával. 3. megjegyzés. A 2. tétel általában nem igaz, ha X végtelen dimenziós, azaz végtelen dimenziós X térben létezik olyan A : X -> X lineáris operátor, amelyre A “ ^ létezik, de R { A ) valódi része X-nek, azaz R{A) ^ X .

dim X = dim R(A) ,

Tekintsük pl. az

és mivel X véges dimenziós, ezért ebből R(A) = X . Megfordítva, ha R(A) = X , akkor dim R(A) = dim X , így a dim X = dim egyenlőségből dim

+ dim R{A)

= 0 , ami azt jelenti, hogy

^ ®

operátort, amelyre legyen D(A) = C[a, b]. Az adott A operátor minden f e C [a, b] függvényhez hozzárendeli e függvény primitív

elemből áll, így A “ ^ létezik. 1. megjegyzés. Az 1. tétel és a 2.1 pont 1. tétele értelmében an nak szükséges és elegendő feltétele, hogy az A mátrix által generált

függvényét (határozatlan integrálját), nevezetesen azt a F(x) pri

Ax = A • X operátor R{A) értékkészlete az egész R ” legyen, az,

Ismeretes az analízisből, hogy a F(x) függvény mindenütt dif

hogy det A

0 legyen.

ferenciálható és F'(x) = f { x ) , így F(x) is folytonos. Ebből követ

2. megjegyzés. Ha X véges dimenziós lineáris tér, akkor az AB = E egyenlőségből következik, hogy

mitív függvényt, amelyre F(a) = 0 .

kezik, hogy F G cf[a, b] . Ezek alapján

=A. R(A) ez Ci[a,b] ez C [a, b],

Ui. az AB = E egyenlőségből B “ ^ létezése következik, de akkor a most bizonyított 2. tétel alapján R(B) = X , így BB~‘ = B ” ^B = E , de akkor az AB = E egyenlőséget jobbról B“ ^ -gyei megszorozva: ABB“ ^ = EB"^ = B“ ^ , melyből A = B“ ^

így A “ ^ létezik, éspedig A~^F(x) = F'(x) . Tehát A : C [ a , b ] - ^ C[a,b], A~^ létezik, de R(A) ^ C[ a , b ] .

186


2.5. Lineáris operátorok sajátértékei

187

Az 1.5 pont 3. tétele alapján fennáll a következő 2.5. Lineáris operátorok sajátéríékei 1. definíció. Ha van olyan Á komplex szám és x az A lineáris operátorra az Ax = Áx

0 elem, hogy

Ezt az Aâ-1e alteret a Á sajátértékhez tartozó sajátaltérnek

egyenlőség fennáll, akkor az jc-et az A operátor sajátelemének, a Á számot pedig az A operátor sajátértékének nevezzük. Az A operátor sajátértékeinek összességét az A spektrumának mondjuk. Legyen az A operátor az X lineáris metrikus teret önmagára le képező operátor, azaz A : X X . Ekkor is az A sájátértékének nevezzük a Á számot, haX -ben van olyan x ^ O elem (sajátelem), hogy Ax = Áx . A Á számot regulárisnak nevezzük, ha az A;i=A-ÁE operátornak van korlátos inverz operátora, A^^ = (A - AE) * = K , ellenkező esetben pedig a Á számot szingulárisnak nevezzük. Ha Á reguláris, akkor az A x - Á x = f , ill. (A - ÁE)x = f egyenletnek van megoldása, éspedig x = K f= A ~ x 'f

nevezzük, és ezen altér dimenzióját a sajátérték rangjának mond juk. Ez alapján a sajátérték rangja a sajátértékhez tartozó lineá risan független sajátelemek maximális számát jelenti. Természe tesen előfordulhat, hogy egy sajátérték rangja végtelen. Egy sajátértékhez tartozó sajátaltérnek a következő fontos geo metriai tulajdonsága van: ha jVa-/IE >akkor Ax = Áx , azaz, az A operátor az Aâ-AE altér elemeit „ /I-szorosukra nyújtja”. Nyilván való továbbá, hogy az operátor az Aâ-AE alteret önmagára képezi le. 2. definíció. Egy X' c: X alteret az A : X X lineáris operá torra nézve invariáns altérnek nevezünk, ha minden x e X' ese tén A xe X ' , vagyis az A operátor az X' alteret önmagára képezi le. Ez esetben ha az A operátort csak az X' térben tekintjük, úgy nyilván A: X' X'. A fentiek alapján egy sajátértékhez tartozó sajátaltér invari áns altér. A sajátértékekhez tartozó invariáns alterek: ^ A -A ,E = k e r (A -Á i,E f

(*)

A K operátort az A operátor rezolvensének, ill. a (*) egyenlet rezolvensének nevezzük. Az 1.5 pont 1. definíciója értelmében mondhatjuk, hogy egy Á szám akkor és csak akkor sajátértéke egy lineáris A operátornak, ha az A - Á E operátor Aâ-2E magtere, nem csak a 0 elemből áll, azaz ker(A - ÁE) ^ 0 , vagyis az A - Á E operátor szinguláris. Ez esetben az Aâ -AE magtér elemei alkotják a sajátértékhez tartozó összes sajátelemek halmazát.

1. tétel. Ha A az A : X —> Z operátor sajátértéke, úgy e saját értékhez tartozó összes lehetséges sajátelemek halmaza, - azaz az AÂ-AE magtér - alteret alkot Z-ben.

ahol a Áj^ sajátérték multiplicitása a minimálpolinomban

. A tj^

érték a /l^ sajátérték rangja. Ha A az A operátor sajátértéke, akkor - mint láttuk - az A -A E operátornak nincs inverze, így A minden sajátértéke A spektrumába tartozik. Különösen fontos azoknak az operátoroknak a vizsgálata, ame lyeknek spektruma csak sajátértékekből áll. A továbbiakban meg mutatjuk, hogy véges dimenziós térben minden lineáris operátor spektruma ilyen. Végtelen dimenziós térben azonban előfordul, hogy az operátor spektrumában sajátértékeken kívül egyéb pontok is vannak, sőt léteznek olyan lineáris operátorok is, amelyeknek egyetlen sajátértékük sincs.


188

Példa Tekintsük a Ci[a, b] térben értelmezett, Dy = / ( x ) operátort

2.6 Mátrix által generált operátor sajátértékei

Vonjuk ki ezen utóbbi egyenlőségből az első egyenlőség A| szeresét:

vény osztályban. Ui. az y'(x) = Xy{x) differenciálegyenlet általá nos megoldása mint ismeretes jCx) = c e ^

ahol c tetszőleges állandó, de mivel a megoldást a Ci[a,b] osztály

®•

Mivel S2 .s'2 ,---,s„ az a operátornak a Á2 ,Á^,...,Á„^ m - 1 számú páronként különböző sajátértékeihez tartozó sajátelemei, azért az indukciós feltevés alapján ezek lineárisan függetlenek, így az utóbbi egyenlőségből következik, hogy C2 = C3 = ... = =0, amit a

,

+

^2 (h.

(l. az 1.5 pont 2. példáját). A Y)y = Xy azaz y \ x ) = ^y{x) egyen letnek egyedül az azonosan zérus megoldása van a c f [a,Z?] függ

189

+ ^ 2*^2 + ... + c,„5„j = 0 egyenlőségbe beírva,

=0,

amiből q = 0 .

ban kell keresni, ezért y{ x) -re teljesülni kell az 2.6 Mátrix által generált operátor sajátértékei

y{d) = c e ^ = 0 feltételnek, ami csak c = 0 esetén állhat fenn. így a Dy = Áy

Legyen A =

egyenletnek bármely Á esetén csak az y = 0 (azonosan zérus

gyen A az A mátrix által generált operátor, azaz Ax = A • x . Amint azt a 2.5 pontban definiáltuk, ezen A operátor sajátértékének olyan Á számot neveztünk, amely mellett az Ax = Áx egyenletnek léte zik X 5^ 0 megoldása. Ugyanott láttunk példát olyan operátorra, melynek egyetlen sajátértéke sincs. Az Ax = Áx egyenlet

függvény) megoldása van, tehát a Ci[a,b] függvényosztályban értelmezett D operátornak egyetlen sajátértéke sincs. Teljes indukcióval igazolható a következő 2. tétel. Lineáris operátor páronként különböző sajátértékeihez tartozó sajátelemek lineárisan függetlenek. Bizonyítás. Legyenek

/I2, a

z

A; X -> X

operátor páronként különböző sajátértékei,

lineáris e sajátér

tékekhez tartozó 0-tól különböző sajátelemek, azaz Asi = ÁiSi,

i = 1,2,

Ál ^

i^k.

m = 1 esetén a tétel nyilvánvaló. Tegyük fel, hogy a tétel érvényes m - 1 számú sajátérték esetén és igazoljuk, hogy fennáll a tétel m számú sajátérték esetén is. Igazolni kell, hogy a CiS^+C2S2+--- + CmSm=^ egyenlőség csak q = C2 = ... =

A • X = Ax, vagy (A - ÁE)x = 0

mazzuk ui. a fenti egyenlőségre az A operátort, akkor =0.

(2)

alakban írható, ami x-re nézve egy homogén lineáris algebrai egyenletrendszer. 1. definíció. Azt a Á komplex számot, amely mellett a (2) egyenletnek létezik x ^ 0 megoldása, az A mátrix sajátértékének nevezzük, míg magát az x 0 megoldást a Á sajátértékhez tartozó sajátvektornak hívjuk. Az A mátrix sajátértékei azonosak az A mátrix által generált fenti A operátor sajátértékeivel. A (2) egyenletrendszer részletesen kiírva; ű ll - / I ai2

= 0 esetén állhat fenn. Alkal

C\ÁiSi + C2Á2 S2 +••• +

tetszőleges n-edrendű négyzetes mátrix, és le

(A -A E )x = ^21 üni

. . .

^ 2 2 ~ ^ ■■■ ^2n üj^2

• • • ^nn ~

“ 0' ^2 = 0 _0_


190

2.6 M átrix által generált operátor sajátértékei

191

rátör magterével) és az r,- = dim Si szám a A,- sajátérték rangja és a Xi - mint a D(X) = 0 egyenlet gyökének - multiplicitása között az

Jelölés; D{X) = det(A - M ) = -X Ezt a D{Á) n-ed fokú polinomot az A mátrixhoz tartozó ka rakterisztikus polinomnak nevezzük. Mivel (A - AE)x = 0

alterek lineárisan függetlenek így az 81 ® 8 2 ® . . . ® 8 ^ = 8 direkt összeg képezhető. Nyilván 8 c z(f lineáris altér. (1. az 1.2 pontot).

homogén lineáris egyenletrendszernek akkor és csak akkor van X 0 megoldása, ha ezen egyenletrendszer determinánsa zérus, ezért fennáll a következő Tétel. Valamely X komplex szám akkor és csak akkor sajátér téke az A mátrixnak, ha X gyöke a D{X) = 0 n-ed fokú algebrai egyenletnek. A D{X) = 0 egyenletet az A mátrixhoz tartozó karakteriszti kus egyenletnek nevezzük. Jelölje a D{X) = 0 n-ed fokú egyenlet összes különböző gyöke it Xi,X2 ,...,X^.. Mint ismeretes, egy n-ed fokú algebrai egyenlet nek legfeljebb n különböző gyöke lehet, így s < n . Jelölje a gyö kök multiplicitását m^,ni2, , akkor a D(X) polinom - mint ismeretes - előállítható a következő, ún. gyöktényezős alakban: D(X)

=

(Xi -

•

ahol nyilván m i + m 2 +

+

(X2 -

•

...

• (1 ,

-

x y ^ ^ -,

=n.

A fentiek szerint a Xi, X2 , X ^

számok adják az A mátrix ösz-

szes sajátértékeit, tehát minden i = 1, 2 , . . . , s esetén az (A -A E )x = 0 egyenletnek létezik x 0 megoldása. Jelölje Si a Xi sajátértékhez tartozó sajátalteret, azaz a Xi sa játértékhez tartozó sajátvektorok összességét. Láttuk, hogy Si alte re az C” térnek, (

r i <mi , i = \ , 2 , . . . , s egyenlőtlenség áll fenn. A 2.5 pont 2. tétele következménye alapján az 81 , 8 2 ,

azonos az A - AjE mátrix által generált ope-

Különösen fontos az az eset, midőn 8 = C'^. Ez nyilván akkor következik be, amikor = m,-, i = l , 2, . . . , s .

3.2 Lineáris és kvadratikus funkcionálok

3. FEJEZET L in eá ris op erá to ro k véges d im en zió s eu k lid eszi terek b en 3.1 Bevezetés

lineáris operátorokra is, azonban sok esetben lényegesen kihasznál juk az X tér euklideszi voltát, nevezetesen azt, hogy a térben van skaláris szorzat és ennek alapján a térben létezik ortonormált bázis. Az alább bizonyított tételek nagy része átvihető tetszőleges euklideszi terekben vagy Hilbert-tevekbm értelmezett lineáris ope rátorokra is. Ez főleg azokra a tételekre vonatkozik, melyek bizo nyításánál nem használtuk ki, hogy a tér véges dimenziós, vagy nem használtuk ki a tér teljességének fogalmát.

Ebben a 3. fejezetben, ha mást nem mondunk, X tetszőleges n-dimenziós euklideszi teret, ei , e 2 ,---,e^ pedig egy tetszőleges ortonormált bázist jelent X-ben, tehát =

Uk=\,2,...,n .

Foglalkozni fogunk ezen X teret önmagára leképező lineáris operátorokkal és ezek tulajdonságaival [K84], Ismeretes, hogy minden x & X elem egyértelmű módon előál lítható X = X\e\ + ^2^2 + ... + alakban, ahol az neveztük az

számokat az x elem koordinátáinak

, ^2,...,

bázisra vonatkozólag, továbbá

Xi - (x,ei), í = 1 , 2 , n (1. az I. rész 3. fejezet 3.6 pont 1. tételét). Jelentse I azt a leképezést, mely minden x e X elemhez hozzá rendeli ezen elem fenti Xi,X2 , ...,x^ koordinátáiból álló x oszlop

193

3.2 Lineáris és kvadratikus funkcionálok 1, definíció. Az X n-dimenziós euklideszi térben értelmezett funk cionálnak nevezünk minden olyan operátort, mely X-et a komplex számsíkra képezi le. Funkcionálok jelölésére dőlt nagy betűt (F, K, stb.) használunk. így egy F funkcionál minden x e X elemhez egy F(x) komplex (vagy valós) számot rendel. A lineáris operátoroknak megfelelően beszélhetünk lineáris funkcionálokról is. Lineáris funkcionálnak olyan F(x) funkcionált nevezünk, melyre 1. F( x + y) = F(x) + F{y), minden xés yG X esetén, 2. F(cx) = c • F( x) , minden c komplex szám és x e X esetén. A lineáris operátorokkal ellentétben a lineáris funkcionáloknál az F és az X elem közötti zárójelet megtartjuk. Példa Legyenek q , c 2,...,c „ adott komplex számok és legyen egy

vektort, azaz

I ( x ) = X,

ahol X =

tetszőleges x e X elemnek az e^,e2,...,e „ segítségével való előállítása X = Xie^ + X 2 ^ 2 + •• • +

ortonormált bázis

•

Legyen A II. rész 1.2 pontjában láttuk, hogy I izomorf és izometrikus leké pezés X és R " között. E fejezet folyamán nyert eredmények egy része átvihető tetsző leges véges dimenziós lineáris terekre és ilyen terekben értelmezett

F(x) = qxi -f-C 2 X 2 + ... +

.

Nyilván, minden x e X esetén F(x) egy komplex szám és könnyű belátni, hogy F(x) lineáris funkcionál az X térben.

194


Ha bevezetjük az

195

M egjegyzés e = Ciei+C2e2+... + c„e„

jelölést (a felső vonal komplex konjugált képzést jelent), akkor (^, e) = JCjCi + X2C2 + ... +

,

amiből már leolvasható, hogy F{x) lineáris funkcionál. Kimutatjuk, hogy az Z-ben értelmezett minden lineáris funkcio nál előállítható a fenti alakban, azaz fennáll a következő tétel. Legyen F{x) tetszőleges lineáris funkcionál az X n-

dimenziós euklideszi térben, akkor létezik, éspedig egyetlen olyan e e X , hogy minden x e X esetén F{x) = ( x , e ) . Bizonyítás. Legyen egy tetszőleges x € : X elem báziselőállítása + X2€2 + ... +

,

akkor felhasználva, hogy F lineáris funkcionál: x = xiF{ei) + X2F{e2) + ... + x^F{en). Cl = F(ei) (/ = 1 ,2 ,..., n) jelölés bevezetésével F(ei) = c,-, így

1. F ( x + y) = F { x ) + F ( y ) , x és y e X , 2. F(cx) = cF (x), x e X, c komplex szám. 3. definíció. Az X térben értelmezett „kétváltozós” K ( x , y ) funkcionált (itt x és y e X ) kvadratikus funkcionálnak nevez zük, ha 1. minden rögzített y e X esetén K ( x , y) mint az x e X elem függvénye lineáris funkcionál, 2. minden rögzített x e X esetén K ( x , y ) mint az y e X

, akkor e e X és nyilván

elem

függvénye kvázilineáris funkcionál. Ha X], X 2 , y \ , y 2 e X

tetszőleges elemek, a ^ , a 2 , by , 02 tetsző

leges komplex számok, akkor K (ű i^ i +Ü2 X2, b iy i +Z?2^2) = a ib i K ( x i,

>J 2 ) +

+ a2p^K{x2, y i) + a2p2K{x2, ^2) •

X = Xjq + X2C2 + ... + XfiCfj. Legyen e = €^6^+ ^2^2 + ... +

definíció. Az X térben értelmezett F ( x ) funkcionált kvázi-

lineáris funkcionálnak nevezzük, ha

F{x)^{x,e),

.r =

A fenti tétel lényege az, hogy minden - az X térben értelmezett - lineáris funkcionál megadható mint az X elemeinek egy rögzített elemmel való skaláris szorzata. 2.

így F{x) a következő alakba írható:

1.

3.2 Lineáris és kvadratikus funkcionálok

Példa

F(x) = (x,e).

Legyen A ' . X - ^ X tetszőleges lineáris operátor. Tetszőleges jt és y e X esetén legyen

Kimutatjuk, hogy a fenti e elem egyetlen. Ui. tegyük fel, hogy van két e' és e'^G X , melyre

K(x,y) = (Ax,y).

F(x) = (x,e') és F(x) = (x,e")

Könnyű belátni, hogy K ( x , y ) kvadratikus funkcionál az X térben. Nevezzük a fenti K { x , y ) kvadratikus funkcionált az A operá

minden x e X

esetén, ekkor ( x, e) = (jc,e" ) , azaz ( x , é - e") - 0 ,

melyből e' - e"lX következne, ami csak e '- e " = 0 esetén lehet séges, tehát / /f e =e ,

tor által generált kvadratikus funkcionálnak. Megfordítva, megmutatjuk, hogy minden, - az Z térben értel mezett - kvadratikus funkcionál előállítható ilyen alakban, azaz fennáll a következő

196


2,

197

3.3 Adjungált operátor

tétel. Legyen K (x, _y) tetszőleges kvadratikus funkcionál az

X térben, akkor található, éspedig egyetlen olyan A: X

3.3 Adjungált operátor

X lineáris

operátor, hogy minden x és y & X esetén K(x,y)^(Ax,y). Bizonyítás. Legyen x e X tetszőleges, de egyelőre rögzített elem és legyen y e X változó elem. Az F( y) = K( x, y ) értelmezésből látható, hogy F{ y) lineáris funkcionál az X térben, így az 1. tétel alapján létezik, éspedig egyetlen e e X elem, melyre

1. tétel. Legyen A : X X tetszőleges lineáris operátor, akkor létezik, éspedig egyetlen olyan A * : X —> X lineáris operátor, hogy minden x és y g X esetén (Ax, y) = (x,A *}^). Bizonyítás. Jelöljük K(x, y) = ( x , A y ) , ahol x é s y e X tetsző leges elemek. A K{ x , y ) az x változóban lineáris, az

változóban

kvázilineáris funkcionál, így K( x, y ) kvadratikus funkcionál. Ek

F(_y) = (v,é’) , minden y e X esetén.

kor az 3.2 pont 2. tétele alapján létezik, éspedig egyetlen lineáris operátor - jelöljük ezt A*-gal melyre

Minthogy F{ y) funkcionál, így maga az e elem is függ az x elem

K(x,y) = ( A* x , y ) minden x , y e X esetén.

választásától, így célszerű e = e^ jelölést alkalmazni, tehát F( y) = ( y , e , ) , y G X . Jelöljük A-val azt az operátort, mely minden x e X elemhez a fenti egyenlőség által meghatározott eê X elemet rendeli, azaz Ax = e^. Igazolható, hogy A : X —> X lineáris operátor, és a fenti egyen lőség F { y ) - { y , e ^ ) = (y, Ax) alakba írható, vagy figyelembe véve F{ y) definícióját: K{ x , y ) = {y, A x ), amiből K {x ,y) = {y,Ax) = {Ax,y) . Kimutatjuk, hogy a fenti A operátor egyetlen. Ui. ha a fenti A operátoron kívül létezne egy B : Z —> Z operátor is, melyre K{ x , y ) = {Bx,y) volna minden x é ^ y e X esetén, akkor (Ax, y) = (Bx, j ) , azaz (A x-B j,_y) = 0 minden x é s y e X esetén, ami azt jelenti, hogy minden x g X esetén A x - B x lX , azaz Ax:- Bx = 0 , vagyis Ax = B x , amiből már következik, hogy A = B .

A

K (x, y)

definíciója

alapján

(x. A j) = (A * x , y ) ,

vagy

(Ay, x) = ( y , A * x ) minden x , y e X esetén, ill. az x és j változó kat felcserélve (Ax, _y) = (x, A * y) minden x é s y e X esetén. 1. definíció. Az 1. tételben szereplő A* operátort az A operátor adjungált operátorának nevezzük. Az adjungált operátor fogalma alapvető szerepet játszik a lineá ris operátorok elméletében. Különösen fontos azoknak az operáto roknak a vizsgálata, amelyeknek adjungáltja azonos az eredeti operátorral. 2. definíció. Az A : X -> X lineáris operátort önadjungált operátornak nevezzük, ha az operátor megegyezik az adjungáltjával, azaz ha A = A *. Ha A önadj ungált operátor, akkor minden x és y g X esetén (Ax, j ) = (x,A}>). Az önadj ungált operátort más szóval szokás hermitikus vagy szimmetrikus operátornak is nevezni.


m

2. tétel. Legyenek A és B : X —> X lineáris operátorok, akkor a) (A + B)* = A * + B * , b) (cA)* = c • A * (c komplex szám ),

199

J.4 Unitér operátorok

Végül kimutatunk egy érdekes összefüggést egy tetszőleges lineáris operátor értékkészlete és az adjungált operátor magtere között.

c) (AB)* = B * A * ,

3. tétel. Legyen A : X ^ X tetszőleges operátor, akkor az R(A) értékkészlet-altér ortogonális kiegészítő altere azonos az A*

d) (A*)* = A ,

operátor

magterével, azaz

e) Ha A “ ^ létezik, akkor (A*)""^ is létezik és ( A * r ^ = ( A “ ^)*. Bizonyítás. Az a), b), c), d) egyenlőségek igazolása lényegében azonos módon történik, így elegendő az egyiket, például az a) egyenlőséget igazolni. a) Minthogy egyrészt ((A + B)x, j ) ) = (x,(A + B) * _y), másrészt ((A + B)x, y) = (Ajc + Bx, y) = (Ax, y) + (Bx, y) = = (x,A * y) + (j:, B * j ) = (x, a * _y+ B * y) = (x, (A * +B*)y) azaz ((A + B)x, y) = (x, (A * + B *)y), amit a fenti egyenlőséggel egybevetve, kapjuk, hogy (A + B)* = A * + B * . e) igazolása. Mivel X véges dimenziós tér, ezért, ha A~^ léte zik, úgy a 2.4 pont 2. tétele alapján R(A) = X , így a 2.4 pontban mondottak alapján AA~^ =A ~Â = E , amiből (AA“ ^)* = (A~’A ) * = E * . Mivel (E jc, y) = (x ,E y ), ezért E* = E , így a fenti egyenlőségből a c) alatti egyenlőség figyelembevételével; (A ~ ’ )*-A* = A * -(A “ ^)* = E , amiből a 2.4 pont alapján már következik, hogy (A*) ^ létezik és (A * r^ = (A “ ^)*.

R(A) ®Np^* = X . Bizonyítás. Először kimutatjuk, hogy R(A)lNj^-^:. Legyenek ui. y g R(A) és z e Np,* tetszőleges elemek, akkor egyrészt létezik olyan

xe X

elem, hogy

y = Ajc, másrészt

A * z = 0 , így (y, z) = {Ax, z) = (x, A * z) = (x,0) = 0 , azaz yLz , tehát valóban R{A)l.Np^*. Jelöljük az R{A) altér ortogonális kiegészítő alterét (i?(A))j_ val, akkor a fentiek alapján

c (i?(A))j_.

Kimutatjuk, hogy (i?(A))j_ c

.

Legyen ui. z e (i?(A))j_ tetszőleges elem, akkor z ± R{ A) , azaz (Ax,z) = 0 minden x e X esetén, de akkor 0 = (Ax,z) = (x ,A * z ) minden x e X esetén, ami azt jelenti, hogy A^ z- LX , ami csak úgy lehet, ha A * z = 0 , azaz z e N

.

A fentiekből már következik, hogy (i?(A))j_ =

.

3.4 Unitér operátorok 1. definíció. Egy U : X —> Z lineáris operátort izometrikus ope rátornak nevezünk, ha minden x e X esetén

l|u^ll = lkll. azaz, ha az U operátor nem változtatja meg az elemek normáit. Az izometrikus operátornak létezik inverze és az inverz operátor is izometrikus. Valóban, ha U izometrikus operátor és xq egy tetszőleges meg


200

oldása az Ux = 0 egyenletnek, azaz Uxq = 0 , akkor

= T t U(^ + y) IP - 1U(x - j.) ip + i II U(x + iy) Ip - i II U(x - iy) f ) =

ll-«bll = l|UAo||=||Ol = 0,így x o = 0 . Tehát az Ux = 0 egyenletnek csak az x = 0 megoldása van, így az 1.5 pont 2. tétele alapján létezik és igazolható, hogy U ^ is izometrikus operátor. Fentiek alapján egy izometrikus operátor izomorf és izomet rikus leképzése Z-nek önmagára. 2,

definíció. Egy U : Z

tornak nevezünk, ha

X lineáris operátort unitér operá

létezik és

= U * , azaz, ha

UU* = U * U = E . 1. tétel. Ha U : X yG X esetén

X unitér operátor, akkor minden x és

■iyf-i\\x-iyfj=(x,y) , azaz minden x és j g X esetén fennáll az (U x,U j) = (x,};) azonosság, amit (x, U * U_y) = (x, y) alakban is írhatunk, amiből következik,

hogy

U * U = E , amiből

már következik,

hogy

U* = U ^*, azaz U unitér operátor. Megjegyzés. A fenti tétel bizonyításában lényegesen kihasz náltuk azt a tényt, hogy X véges dimenziós. Ui. az U * U = E egyenlőségből csak véges dimenziós X tér esetén következik, hogy u -^ = U * .

(U.í:, U_y) = (x, j ) és ||Ux|| = ||x ||. Bizonyítás. (Ux, U j) = (x, U * Uy) = (x, Ey) = (x, y ) , azaz (Ux, Uy) = (x, y ) , amiből x = y

esetén

(Ux, Ux) = (x, x ) ,

vagyis I Ux |p = | x |p , és ebből || Ux | = | .x ||. Következmény. Unitér operátor egyúttal izometrikus operátor is. A fenti tétel szerint egy unitér operátor nem változtatja meg elemek skaláris szorzatát és az elemek normáit. 2. tétel. Legyen U ; X X tetszőleges izometrikus operátor, akkor U egyúttal unitér operátor is. Bizonyítás. Egyszerű számolással igazolható, hogy bármely két X és _yG X esetén fennáll a következő azonosság: ( x , y ) = ^ ^ { \ x + y f - \ \ x - y f + i\\x + i y f - i \ \ x - i y f Ha U izometrikus operátor, akkor a fenti azonosság alapján: (Ux,U>.)=i

201

3.4. Unitér operátorok

'“ II U x-U y I +í||Ux+íU_y I - í | U x -iU j I j =

Az 1. és 2. tételeket összevetve, adódik a következő 3. tétel. Egy U : X X lineáris operátor akkor és csak akkor unitér, ha U izometrikus, azaz az unitér és izometrikus operátor fogalma azonos. A következő tétel az unitér operátorok egy igen fontos jellemző tulajdonságát mondja ki: 4. tétel. Ha U : X —> X unitér operátor, akkor U minden X-beli ortonormált bázist ugyancsak ortonormált bázisba visz át, azaz ha ej, é"2,..., ortonormált bázis X-ben, és e{^Ve„e2^\]e2,...,e',=Ûe^, akkor e{, e'2 , ..., e'^ is ortonormált bázist alkot X-ben. Megfordítva, ha U : X

X olyan lineáris operátor, mely valamely ey,e 2 ,...,e^

ortonormált bázist ugyancsak ortonormált bázisba visz át, akkor U unitér operátor. Bizonyítás. Legyen először U unitér operátor, akkor az 1. tétel alapján ( e l 4 ) = (Uí?,,Ue^) = (e^,é?^) = őik , amiből már következik, hogy e[, e'2 , .. ■,

ortonormált bázis X-ben.


202

Megfordítva, legyen most U : X ^ X olyan lineáris operátor, amely egy 61, 62 ,..., ortonormált bázist átvisz / i , / 2, •••>/« ugyancsak ortonormált bázisba, azaz /l= U e i,/2 = U e 2

—

C |ő j

+

C'262 +

. . . +

,

akkor az I. rész 3.6 pont 1. tétele alapján

203

A fenti bizonyított tételek alapján a valós vagy vektor térben értelmezett unitér operátoroknak egyszerű és szemléletes geometriai jelentés tulajdonítható. Például az R

—

Kimutatjuk, hogy U unitér operátor. Legyen x g X tetszőleges elem és legyen ezen elemnek az , 02,..., ortonormált bázis segítségével való előállítása X

3.4. Unitér operátorok

vektortérben egy x vektor normája azonos a

vektor abszolút értékével. Ha U ; R^ —> R^ tetszőleges unitér ope rátor, akkor az ||U x|| = ||x|| egyenlőség azt jelenti, hogy U nem változtatja meg a vektorok hosszait, másrészt (Ux, Uy) = (x,y) is fennáll, ami ||U x||-|| Uy ||-c o s^ = ||x||-||y||-cosí/^ alakba írható, ahol ^ jelenti az Ux és Uy képvektorok által alko tott 0° és 180° közé eső szöget, míg y/ jelenti az x és y vektorok

i=l Másrészt, Ux = qU ei + C2Ue2 + ... +

= q / i + C2/2 + •••+

,

amiből ismét az I. rész 3.6 pont 1. tétele alapján l |u x f = i |c , . p , /=! így II Vx Ip = II A'Ip , vagyis | U;c || = | -^| | , ami azt jelenti, hogy U izometrikus operátor, de akkor a 2. tétel alapján U unitér is. 5. tétel. Unitér operátor minden sajátértéke egységnyi abszolút értékű, azaz minden sajátérték a komplex sík egységkörének kerü letén fekszik. Bizonyítás. Legyen U : X -> X tetszőleges unitér operátor és legyen A az U operátor egy sajátértéke, legyen továbbá xq a /I sajátértékhez tartozó tetszőleges, de 0-tól különböző sajátelem, azaz Ua'o = Á - X q ,

által bezárt 0° és 180° közé eső szöget. Mivel ||Ux|| = ||x|| és ||U y ||- ||y ||, ezért a fenti egyenlőséget egyszerűsítve, cos g) = cosi / / , amiből következik, hogy ^

^ . Ez azt jelenti, hogy az Ux és Uy kép

vektorok által alkotott szög azonos az x és y vektorok által alkotott szöggel, tehát az unitér operátor ún. szögtartó operátor. Tehát egy U : R -> R unitér operátor olyan leképezés, amely változatlanul hagyja a vektorok hosszát és bármely két vektor által bezárt szöget. így például unitér operátor az R^ tér vektorainak egy adott szöggel való elforgatása valamely, az origón átmenő adott egyenes körül, vagy a tér vektorainak egy - az origón átmenő egyenesre vagy síkra való - tükrözése. M egjegyzés. Ha X valós n-dimenziós euklideszi tér, (ekkor természetesen bármely két elem skaláris szorzata is valós), akkor

akkor felhasználva, hogy U egyúttal izometrikus operátor is, kap juk, hogy I I I = jiQ ’ másrészt Uxo|| = |l|-||xo||,így |A|||xo|| = Xo

és mivel Xq

0 , ezért ebből már következik, hogy |A | = 1.

U :X unitér operátort szokás ortogonális operátornak vagy ortogonális transzformációnak is nevezni.

204


205

3.5 Önadjungált operátorok

2. tétel. Önadjungált operátor minden sajátértéke valós. 3.5 Önadj ungált operátorok E pontban az önadj ungált operátorok tulajdonságait fogjuk meg vizsgálni. A 3.3 pontban, egy A : X X lineáris operátort önadjungált operátornak neveztünk, ha A* = A , azaz minden x és y & X esetén fennáll:

Bizonyítás. Legyen /I az A : X X önadjungált operátor egy sajátértéke és legyen xq e sajátértékhez tartozó tetszőleges saját elem, tehát A X q = Á - Xq .

Szorozzuk meg a fenti egyenlőséget skalárisán xq -val, úgy

(Ax, y) = ( x , A y ) . (Axq, X q ) = 1.

tétel. Ha A : X ~ ^ X

I|2

(ÁXq, X q ) = Á - (Xq,

Xq) = A ' | Xq | ,

önadjungált operátor, akkor (Ajc,x)

valós szám minden x g X esetén. Megfordítva, ha A: X X olyan lineáris operátor, amelyre (Ax,x) valós szám minden x e X

w'2,

ahol II Xq II ^ 0 , így X -t kifejezve: . _ (Axq, ^ )

esetén, akkor A önadjungált operátor.

~

Összefoglalva: egy A : X —> X lineáris operátor akkor és csak akkor önadjungált, ha (Ax, x) valós szám minden x e X esetén. Bizonyítás. Legyen először A önadjungált, akkor egyrészt (Ax,x) = (x, A x ), másrészt a skaláris szorzat tulajdonsága alapján

II

N i

l|2

’

amiből az 1. tétel alapján már következik, hogy X valós szám. 3. tétel. Önadjungált operátor különböző sajátértékeihez tartozó sajátelemek egymásra ortogonálisak.

(x, Ax) = (Ax, x) . így a fenti két egyenlőségből (Ax, x) = (Ax, x ) ,

Bizonyítás. Legyen A : X -> X önadjungált operátor és legyen Xi ^ Xq az A operátor két sajátértéke és legyenek x^ és xq e saját

ami azt jelenti, hogy (Ax,x) valós szám.

értékekhez tartozó 0-tól különböző sajátelemek, azaz

Megfordítva: legyen A : X -> X olyan lineáris operátor, mely re (Ax,x) valós szám minden x e X esetén. Ekkor

Axi = XiXi, Ax2 = X2 X2 . Szorozzuk az első egyenletet skalárisán xq -vei jobbról, a máso

(Ax, x) = (Ax, x) azaz (Ax, x) = (x, Ax) . Legyenek x és

e X tetszőleges elemek. Alkalmazzuk a fenti

azonosságot először x-t- _y, majd x -h iy elemek esetén, akkor (A(x

-h j

), X

j) =

(x

+ y, A (x + j ) )

dikat xj -gyei balról, akkor (Axj,X2) = /li(X|,X2) , (x^, AX2) = X2 Íxi,X2 ) (itt X2 valós szám) Mivel A önadjungált, azért a fenti egyenlőségek bal oldala azonos, így a két egyenlőséget kivonva egymásból:

(A(x + iy), x + iy) = (x + iy, A(x -t- i y)) . Felhasználva a skaláris szorzat disztributív tulajdonságát, vé gezzük el a fenti egyenlőségekben a szorzást, majd egyszerűsítés után adjuk az első egyenlőséghez a második egyenlőség /-szeresét, akkor rövid számolás után kapjuk, hogy (A x ,j) = (x,A};), amiből már következik, hogy A önadjungált operátor.

0 = (Xi - X i ) • (.^1,^ 2) ’ és mivel X ^ - X q ^ O , ezért (xi, X2) = 0, azaz X1-LX2 . Következmény. Legyen X^^ Xq az A : X ^ X önadjungált operátor két sajátértéke, és legyen tozó sajátaltér, akkor

_LS2 ■

ill. Sq e sajátértékekhez tar


206

Szimmetrikus kvadratikus funkcionálok. Az X térben értel mezett K{x, y) kvadratikus funkcionált szimmetrikusnak nevez zük, ha minden jcés y e X esetén

3.5 Önadj ungált operátorok

207

(Ax, x) > 0, ill. (Ax, x) < 0 , míg az A operátort pozitív, ill. negatív szemidefínit operátornak nevezzük, ha minden x e X esetén

K{ x, y) = K{ y , x ) .

(Ax, x) > 0, ill. (Ax, x) < 0 .

Ha K{x, y) szimmetrikus, akkor K{x,x) = K( x , x ) , ami azt jelenti,

A pozitív defmit és a pozitív szemidefínit operátorokat közös néven pozitív operátoroknak nevezzük. Tehát, ha A pozitív operá tor, akkor minden x g X esetén

hogy K(x,x) valós szám minden x e X esetén. A 3.2 pontban megmutattuk, hogy minden K( x , y ) kvadratikus funkcionálhoz található egyértelműen meghatározott olyan A: X X lineáris operátor, hogy minden x és y e X elempárra fennáll:

(Ax,x) > 0 . Pozitív operátorok jelölésére az A > 0 jelölést használjuk. (Hason lóan definiálhatók a negatív operátorok is.) 5. tétel. Pozitív operátor minden sajátértéke nemnegatív.

K( x, y ) = (Ax, y).

kvadratikus funkcionál szimmetrikus legyen, az, hogy e kvadrati kus funkcionál által generált A operátor önadjungált legyen.

Bizonyítás. Legyen Z az A > 0 operátor egy tetszőleges saját értéke, xq a Á sajátértékhez tartozó 0-tól különböző sajátelem, akkor AXq = Á- X q , amiből

A szimmetrikus kvadratikus funkcionálokat, ill. az általuk gene rált önadj ungált operátorokat a következő módon lehet osztályozni;

és ebből

Ha K{x, y) szimmetrikus, akkor a K{x, x) = {Ax,x) egyenlőség figyelembevételével az 1. tétel alapján fennáll a következő 4.

tétel. Annak szükséges és elegendő feltétele, hogy a K (x, j)

( A

^ ,

X o )

=

/lo

• (-«

0

>^ o )

=

^

• I k o

f

>

a) Egy K(x, y) szimmetrikus kvadratikus funkcionált pozitív, ill. negatív defínitnek nevezzük, ha minden xi^Q esetén K{ x , x) >Q, ill. K{ x , x ) < Q . b) A K{x, y) szimmetrikus kvadratikus funkcionált pozitív, ill. negatív szemidefinitnek nevezzük, ha minden

x

g

X esetén

K{ x, x) >Q, ill. iT (x ,x )< 0 . c) A K (x, y) szimmetrikus kvadratikus funkcionált indefinitnek nevezzük, ha létezik olyan xj és X2 g X , melyekre iT(X i,X i)>0, ill. K{ X2, X2) <0. A fentieknek megfelelően egy A : X - ^ X önadj ungált operá tort pozitív, ill. negatív defínit operátornak nevezzük, ha minden X 0 esetén

IIÎP 6. tétel. Önadj ungált operátor minden páros hatványa pozitív operátor. Ha A: X

X tetszőleges lineáris operátor, akkor az AA* és

A*A operátorok mindegyike önadj ungált és pozitív operátor. Bizonyítás. Legyen A önadj ungált operátor, akkor (A^x, x) = (A(Ax), x) = (Ax, Ax) = || A x|p > 0 , amiből már következik, hogy A^ > 0 . Hasonlóan bizonyítható, hogy A^^ > 0 minden k - 1, 2 , 3 , . . . esetén.


208

Legyen most A : X -> X tetszőleges lineáris operátor, akkor (AA*)* = (A*) * -A* = AA * , tehát (AA*)* = AA * , ami azt jelenti,

3.6 Ortogonális vetítő operátorok (projekciók)

209

Px = x', P j = y' es (Px, y) = (x', y) = (x, y' + j" ) = (x', y ) = (x' + x", y') = (x, P y ) ,

hogy A A* önadj ungált operátor. Az (AA * X, x) = (A * X, A * x) = IA * XIp > 0 egyenlőtlenségből pedig következik, hogy AA* > 0. A bizonyítás hasonlóan végezhető az A*A operátorra is.

azaz (P x ,j) = (x,P y), amiből már következik, hogy P önadj ungált. Legyen x e X tetszőleges elem, akkor Pxg X ' , így

3.6 Ortogonális vetítő operátorok (projekciók)

P^x = P(Px) = P x ,

A 3.3 pont 2. tételében megmutattuk, hogy ha X véges dimenziós euklideszi tér, X 'c X tetszőleges altér, jelenti az X ' altér

amiből következik, hogy P^ = P , így a 3.5 pont 6. tétele alapján P>0. Kimutatjuk, hogy fennáll a fenti tétel megfordítása is:

ortogonális kiegészítő alterét, akkor

2. tétel. Ha P : X Ez azt jelenti, hogy minden

xg

X elem egyértelműen felbontható

X= X + X alakban, ahol

x e.

X' és x^ _LX, azaz x

g

Xj_ .

Az X elemet az x elemnek az X' altérre való ortogonális vetületének nevezzük. Definíció. Legyen X ' c X tetszőleges altér. Jelöljük P-vel azt az operátort, mely bármely x g X elemhez hozzárendeli ezen elem nek az X ' altérre való x ortogonális vetületét, azaz Px = x ' , ahol tehát x = x' + x , x e. X', x^’J-X . Ezt a P operátort az X ' altérbe vetítő ortogonális vetítő operá tornak, vagy más szóval projekciónak nevezzük. 1. tétel. A fent definiált P : X -> X operátor lineáris és önadjungált operátor, melyre P^=P, amiből következik, hogy P pozitív operátor. Bizonyítás. Nyilvánvaló, hogy P lineáris operátor. Legyenek X és y G X tetszőleges elemek, X = x' + x", y = y ' + y " , ahol x 'é s j ' g X', x"és y " l X ' , akkor

X olyan önadjungált operátor, melyre

P = P , akkor P egy ortogonális vetítő operátor, mégpedig olyan, amely az R(F) altérbe vetít. Bizonyítás. A P operátor i?(P) értékkészlete - mint ismeretes altere X-nek. Ekkor minden x g X elem egyértelmíi módon előál lítható x = x ' + x" alakban, ahol x ' g R(F) és x "li? (P ) . A tétel bizonyításához elegendő kimutatni, hogy Px = x ' . A P operátor lineáris, azért Px = Px' + Px". Mivel x ' g R(P) , azért léte zik olyan

zg

X elem, melyre x' = Pz , ebből

Px' = P(Pz) = P^z = Pz = x ' , azaz Px' = x ' . Továbbá tetszőleges y e X

esetén

(Px", y) = (x',P};) = 0 , mert x "l/? (P ) . így (Px", y) = 0 minden y e X esetén, ami azt je lenti, hogy P x " lX , ami csak P x" = 0 esetén lehetséges. Tehát Px' = x' és Px" = 0 , így a Px = Px' + Px" egyenlőségből következik, hogy Px = x ' .


210

3.7 Lineáris operátorok mátrixreprezentációja

211

Következésképpen 3.7 Lineáris operátorok mátrixreprezentációja

y i ={ Ax, e i ) =

A 2.2 pontban láttuk, hogy ha A = [ajj^] tetszőleges n-edrendű négyzetes mátrix, akkor az

azaz

Ax = A • X,

X

k= l

egyenlőséggel definiált A olyan lineáris operátor, melyre

A fenti A operátort az A mátrix által generált operátornak ne vezzük. Megmutatjuk, hogy tetszőleges n-dimenziós X euklideszi térben bizonyos értelemben fennáll a fenti állítás megfordítása, azaz minden A : X X lineáris operátorhoz hozzárendelhető egy mátrix, amelynek segítségével az A operátor jól jellemezhető. 1. tétel. Legyen ej, ^2. ••• >

adott ortonormált bázis az X n-

dimenziós euklideszi térben. Jelentse I az X és R ” közötti, - e fejezet elején említett, - izomorf és izometrikus leképezést. Ekkor minden A : X -> X lineáris operátorhoz található egy olyan A mátrix, melyre ha x e X esetén X,

akkor I(Ax) = A •x .

Az A mátrix elemei a következőképpen vannak értelmezve: = (Aej^,ei),

i,k = l , 2 , . . . , n .

Bizonyítás. Legyen egy tetszőleges

xg

X elem báziselőállítása;

X = Xi6i + ^2^2 + ••• +

’

és legyen az Ax g X báziselőállítása: Ax = Jiei +J2«2

melyből

+

3

j

és I(Ax) =

= y-

.

M egjegyzés. Az 1. tétel alapvető jelentőségű. Ui. az X térben értelmezett A operátort az I izomorfizmus az R ” vektortérben egy mátrixszal való szorzásra redukálja, így a fenti tétel alapján az X térben értelmezett operátorok tanulmányozásánál elegendő az R ” vektortérben a mátrixszal való szorzást - mint operátort - tanulmá nyozni. Az 1. tétel más megfogalmazásban a következő módon is ki mondható: Ha valamely x g X elemnek az ei , e 2 ,...,e^ ortonormált bá zisra vonatkozó koordinátái x i,x 2, . . . , x „ , akkor az A xg X kép elemnek e bázisra vonatkozó koordinátái azonosak az Ax oszlop vektor koordinátáival. 1.

definíció. Az 1. tételben értelmezett A - [ a u J mátrixot az

A :X X lineáris operátor által generált mátrixnak nevezzük az 6], ^2, •••, ortonormált bázisra vonatkozólag. E mátrix elemei függenek az ui.

Xj = X

jelölés bevezetésével kapjuk,

hogy yi - ^ ciik^k^ amiből már adódik, hogy k=l y = A • X és I(Ax) = A •x

yi=(Ax,ei).

Ekkor I(x) = ^2

= (A e^ ,e,) és A =

n

A :R "

I(jc) =

J /= H^kiAek,ei),

G R"

- (Ae^., ) ,

, ^2,...,

ortonormált bázistól,

(i,k = l , 2 , . . . , n ) .

Jelöljük az A operátor A mátrixát (a bázisra indexszel utalva) a következő alakban: A = [A ],.


212

Alkalmazzuk az 1. tételt az R ” vektortérben értelmezett lineá ris operátorokra, éspedig abban a speciális esetben, midőn R ” -ben a következő ortonormált bázist tekintjük:


213

tétel. Legyen A = [an^] tetszőleges n-edrendű négyzetes

3.

mátrix g j,^2, . . . , tetszőleges adott ortonormált bázis az X ndimenziós euklideszi térben, akkor létezik olyan A ; X —> X lineá ris operátor, melynek mátrixa a fenti ortonormált bázisban éppen a megadott A mátrix. Bizonyítás. Jelöljük A-val azt a lineáris operátort, mely az

n ej^G X báziselemhez a

g

X elemet rendeli, azaz

/=! Legyen

x=

G R ” tetszőleges oszlopvektor, akkor az Aej^ - Y j i=l

X vektornak a fenti bázisra vonatkozó koordinátái éppen az X|, X2,..., számok lesznek. Ekkor az 1. tételben szereplő I izomorfizmus megfelelője olyan operátor, mely minden x e R ” vektorhoz hozzárendeli e vektornak az e i ,e 2,...,e „ ortonormált bázisra vonatkozó koordinátáiból álló R ” -beli oszlopvektort, azaz I az X vektorhoz önmagát rendeli, így I azonos az R'^ -beli egységoperátorral, azaz í = E . Legyen most

A ;R ”

R”

Alkalmazzuk az 1. tételt az -

tetszőleges lineáris operátor. Z = R ” esetére,

= (A e^,ej),

A , ill. A = [a] g jelölésekkel. Ekkor minden

xg

R ” esetén

I(Ax) = A •X, amiből I = E alapján kapjuk, hogy Ax = A • x , tehát tétel. Minden A : R " -> R " lineáris operátorhoz található

olyan A mátrix, hogy minden x g R ” esetén Ax = A •x . Az 1. tétel alapján tehát minden R ” -et R ” -re leképező lineáris operátor generál egy A mátrixot úgy, hogy az A operátornak egy XG R ” vektorra való alkalmazása azonos az A mátrixnak az x oszlopvektorral való mátrixszorzásával. Az 1. tétel éppen a 2.2 pontban nyert eredmény megfordítása.

(*)

(Azáltal, hogy az q , ^2, . . . , báziselemeken definiáltuk az A operátort, az operátor teljesen meghatározott. Ui. minden x e X elem egyértelműen előállítható jc = + X2C2 + ... + xê^ alakban, amiből Ax = XjAej + xÂe^ + ... + x„Ae„ .) A (*) egyenlőséget skalárisán szorozva amiből leolvasható, hogy [A] g= A =

-vei: (A e^,gj) =

,

.

Ezek után vizsgáljuk meg azt a kérdést, hogy operátorokkal végzett műveletek esetén az eredményoperátor mátrixa hogyan állítható elő az eredeti operátorok mátrixaival. 4. tétel. Legyenek A és B : X —> X tetszőleges lineáris operá torok, E az X-beli egységoperátor, O a zérus operátor, továbbá legyen , ^2 >•••> adott ortonormált bázis X-ben, akkor az

fennáll a következő 2.

k = 1,2, ... ,n .

A = [A], és B = jelölés bevezetésével fennállnak a következő állítások: Cl)

[a

"h B]

A + B,

b) [cA] g= cA, (c komplex szám), c) [AB]^=A-B, d )[E ],= E és [O]

0, ahol E az egységmátrix, 0 a zérusmátrix ,

e) ha A~^ létezik, úgy [A’’^ = A’”^


214

f ) [a *]

A*, ahol A* =

_

îk ~ ^ki ■

~ ^ki ■ Bizonyítás. Az a) és b) állítások bizonyítása nyilvánvaló. c) igazolása. Legyen A = [aj^]és B = [%] n-edrendü négyzetes mátrix, akkor

aij = (Aej , ei ) és bjj^ ~ (Bej^,ej). Mivel a

elemnek

ortonormált bázisra

koordinátája

vonatkozó ;-edik

(Be]^,ej) = bjj^ (1. a 3.6 pont 1. tételét), ezért

n

Megfordítva, ha az A operátor mátrixa önadjungált mátrix, akkor A önadjungált operátor. A fenti állítások azonnali következményei a 4. tétel/) pontjának. Unitér operátorok mátrixa. Legyen U : X unitér operátor és legyen U = [ui^] = [U]g .

j=i mátrixának /,/c-adik eleme: n

(ABe^ , 6 ;) = X b jk ( A e j ’ ^ /) = E

U“ ^ = U * , azaz unitér operátor mátrixának inverze azonos a mátrix adjungáltjával. 2.

n

X tetszőleges

Mivel U~^ = U * , ezért a 4. tétel e) és f) pontjai alapján

n

’ ebből ABe^ = Y^bjÂej , amiből az AB operátor

Bek -

215

ortonormált bázisra vonatkozóan, akkor A önadjungált mátrix, azaz

az A mátrix adjungáltja, azaz

^


definíció. Egy U = [% ] n-edrendü négyzetes mátrixot uni

tér mátrixnak nevezzük, ha

jk >

U"^ = U * . ami viszont azonos az AB szorzatmátrix /,A:-adik elemével. d) igazolása. Az E operátor mátrixának i,k-SLdik eleme (Eek,ei) = ( e k , e i ) - S i k , míg a O zérusoperátor mátrixának i,kadik eleme: {Oe^ , ^/) = (0,

) = 0.

e) igazolása. Ha A “ ^ létezik , úgy AA~^ = A ” Â = E . A C = [A~*]g jelölés bevezetésével c) alapján [AA~^] g= AC

és

[A Â] g= CA , amiből az A A -1* = A -1Â = E alapján:

A fentiek alapján egy unitér operátor mátrixa unitér mátrix. Meg fordítva, ha valamely U : X -> X lineáris operátor mátrixa unitér mátrix, úgy nyilván U unitér operátor. Vizsgáljuk meg, milyen tulajdonsággal rendelkeznek az unitér mátrixok. Legyen U = [uuJ tetszőleges n-edrendíi unitér mátrix. Figye lembe véve, hogy U* = [% ], ahol

= ujî , az

UU* = U * U = E

AC = CA = E ,

egyenlőségből kapjuk, hogy minden i,k = 1,2,...,n esetén:

ami azt jelenti, hogy az A mátrix inverze a C mátrixszal egyenlő, azaz

n

tt

C = A“^ f) igazolása. Az A* operátor mátrixának /,A:-adik eleme: (A *

, ei) =

, k e i ) = (Ae;,

vagyis

.

Önadjungált operátor mátrixa. Ha A : X -> Z önadjungált operátor és A = az A operátor mátrixa valamely , ^2 >•••>

Z “ ü ^kj = îk és j kUj i = Sík j=l jî

.


216

3.8 Uj bázisra való áttérés

217

Ha Uj -vei jelöljük az U mátrix í-edik sorának elemeiből álló R ” -

Vizsgáljuk meg azt a kérdést, hogy ha az eredeti e j, ^2, • ••,

beli vektort és Vj -vei az U mátrix i-edik oszlopának elemeiből álló

ortonormált bázis helyett egy g j,e 2,...,e „ másik ortonormált bá

R ” -beli vektort, akkor az utóbbi egyenlőségek a következő alakba írhatók: = és = A fenti tulajdonságok alapján fennáll a következő

zist vezetünk be, akkor hogyan fognak megváltozni valamely x e X elem koordinátái és egy A '.X - ^ X operátor mátrixának elemei? írjuk fel egy x€.X elemnek mindkét bázisra vonatkozó előállítását: x = JCiei+X2í?2+... + x„e„

5. tétel. Unitér mátrix sorvektorai is és oszlopvektorai is ortonormált rendszert (így ortonormált bázist is) alkotnak az R ” vek tortérben. A fenti számítást visszafelé elvégezve, kapjuk, hogy ha egy U mátrix sorvektorai is és oszlopvektorai is ortonormált rendszert alkotnak R ” -ben, akkor U unitér mátrix, azaz

jc =

+ X2S2 + ... + x„e„,

ahol a 3.6 pont 1. tétele alapján Xi = (x, 6i) és Xi = (jc, él), / = 1 ,2 ,...,« . Állapítsuk meg, milyen összefüggés van az x elemnek a két különböző ortonormált bázisra vonatkozó Xl,X2,...,X „ és Íi,X 2,...,X „

=U * . A fenti állítás a következő módon élesíthető; 6. tétel. Ha U =

olyan mátrix, melynek sorvektorai (vagy

koordinátái között? írjuk fel az ,^ 2, . . . , elemeket az e j,^2, bázis segítségével, azaz legyen

oszlopvektorai) ortonormált rendszert alkotnak R " -ben, akkor egyúttal e mátrix oszlopvektorai (sorvektorai) is ortonormált rend

/=!

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy U sorvektorai ortonormált rend

__

= Sik, j=l

, «2^ k o m p l e x számok az

elemnek az

bázisra vonatkozó koordinátái. Az u = [% ]

*

vagy Ukj = Ujj, alapján

ahol tehát az 61, 62 ,...,

szert alkotnak R ” -ben, akkor minden i,k = l,2, . . . , n esetén __

ortonormált

n

szert alkotnak R ” -ben, U tehát unitér mátrix.

n

.

= Sn,,

mátrixról kimutatjuk, hogy unitér mátrix. Jelöljük ui. U-val azt az X X -beli lineáris operátort, mely az 6i , 62 , . . . , 6^ ortonormált báziselemekhez az éi , e 2 ,. .., é^ orto

j=i

ami azt jelenti, hogy UU* = E , amiből már következik, hogy

normált báziselemeket rendeli, azaz melyre

= U *.

Ue^ = é^, 3.8 Új bázisra való áttérés Egy x e X elemnek valamely ey, e2,...,e^ ortonormált bázisra vo natkozó koordinátái függenek a bázistól. Hasonlóan, egy A : X lineáris operátor mátrixának elemei is függenek a bázistól.

X

k = l , 2, . . . , n .

Az első rész 3.4 pont 4. tétel második része értelmében U : X -> Z unitér operátor. írjuk fel az U operátornak az 61, 62 , . . . , 6^ ortonormált rend szerre vonatkozó mátrixát. A mátrix i,k-adik eleme


218

(Ué-^, e^) = (é^, 6i) =

UikCi, ei) =

3.9 Sajátértékek és sajátelemek

A=

,

í=l amelyből következik, hogy az U operátor mátrixa éppen a fenti U= mátrix, amiből már valóban következik, hogy U unitér

= [A]g, itt tehát

219

= (A e^, e,)

Á = f e ] = [A] ^ , itt tehát áij, = (A ^ ,e, ) . Vizsgáljuk meg, milyen összefüggés van az A operátornak a két különböző bázisra vonatkozó A és Á mátrixai között? Mivel az előbbiek szerint

mátrix. Továbbá n

n

Xi = (x, 6i) = ( X 4 4 , ei) = X k=l

6i) ,

k=l

h =

, így

- (Ae^, e,.) = (A U e^,Ue,) = (U * AUe^, e,-) ,

amiből az következik, hogy Á = [U * AU]^ , másrészt

azaz [U * A U ]^ = U * A U ,

n Xi = Y

j

Uí Á

így megfogalmazható a következő

’

^=1 így kimondható a következő: 1. tétel. Ha az

2.

és az e i,e 2 ,...,e ^ ortonormált bá-

ziselemek között fennáll az

Á = U * AU , vagyis [A]

n

k = l , 2, . . . , n 1=1 összefüggés, akkor az U = [u^j^] előállítású mátrix, unitér mátrix és minden

xe X

elemnek az

ei , e 2 ,.--,e^

ortonormált bázisokra vonatkozó

^2,

és az és i i , ^2’•••’

koordinátái között a következő összefüggés áll fenn: n Xi =

Í = l,2,...,n;

k=l

vagy

^2 = u - %

Mivel U “ = U *, ezért a fenti egyenlőségből az x i , x 2 ,... ,x^ koordináták könnyen kifejezhetők az xj,X2, k o o r d i n á t á k segítségével. Legyen most A : X

tétel. Ha A és Á jelenti az A: X X lineáris operátornak az , ^2. • • •, és ei, e 2 ,..., ortonormált bázisokra vonatkozó mátrixát, akkor

X tetszőleges lineáris operátor és legyen

A és Á mátrix a következő módon adott:

[U * AU] ^ .

Definíció. Valamely A és Á mátrixokat unitér ekvivalens mátrixoknak nevezünk, ha létezik olyan U unitér mátrix, hogy Á =U *A U . A fentiek szerint az A : Z —> X lineáris operátornak két külön böző ortonormált bázisra vonatkozó mátrixai unitér ekvivalensek. Az új bázisra való áttéréssel kapcsolatban felmerül az a problé ma, hogy lehet-e az X térben olyan ortonormált bázist találni, mely bázisra vonatkozólag az A operátor mátrixa aránylag egyszerű alakú. Erre a kérdésre a továbbiakban még visszatérünk. 3.9 Sajátértékek és sajátelemek A 2.5 pontban láttunk példát olyan lineáris operátorra, amelynek egyetlen sajátértéke sincs. Ebben a pontban megmutatjuk, hogy végesdimenziós térben értelmezett lineáris operátornak mindig van legalább egy sajátértéke. Legyen A : X —> X tetszőleges lineáris operátor, ei , e 2 ,...,e^ tetszőleges ortonormált bázis X-ben és legyen

220

fi. Bevezetés a lineáris operátorok elméletébe

A. = {ai^\ = [ A \

.

Ha Á tetszőleges komplex szám, akkor nyilvánvaló hogy [A-ÁE]~A-ÁE. Jelentse I a 1.2 pontban tárgyalt, X és R ” közötti izomorf és izometrikus leképezést. Ha x e X tetszőleges elem és I(x) = x a megfelelő képelem R ” -ben, akkor a 3.7 pont 1. tétele alapján l( ( A - /iE ) x ) = ( A - /lE ) x , így az 1 leképezés az ( A -;iE )x = 0

(1)

(A -lE )x = 0

(2)

egyenletet átviszi az homogén lineáris algebrai egyenletrendszerbe. Ha X sajátértéke az A operátornak, akkor az (1) egyenletnek létezik xq e X , xq 0

3.9 Sajátértékek és sajátelemek

Megjegyzés. Az 1. tétel lényege abban van, hogy az X térben értelmezett A operátor sajátértékeinek kiszámítását visszavezettük egy mátrix sajátértékeinek kiszámítására, ami már jól ismert feladat. Itt felhívjuk a figyelmet egy látszólagos ellentmondásra: Az A ' . X - ^ X operátor sajátértékeit - minden bázistól függet lenül - úgy definiáltuk, mint olyan komplex számokat, melyek mellett az A x - A x egyenletnek létezik x ^ % megoldása. A fenti ekben az A operátor sajátértékeinek kiszámítását visszavezettük egy mátrix sajátértékeinek kiszámítására, mely mátrix azonban függ az ortonormált bázis választásától. Más ortonormált bázis esetén a mátrix elemei más számok lesznek és így esetleg elképzel hető, hogy a kapott új mátrix sajátértékei mások lesznek. Evvel kapcsolatban igazoljuk a következő tételt: 2.

tétel. Legyen e j, é?2,...,

I(xo) = x q , akkor Xq?^0, és nyilván Xq megoldása a (2) egyen

játértékhez tartozó sajátvektor, azaz ( A - / l E ) x o = 0 , Xq ^ ú , ak kor nyilvánvaló, hogy az xq = P ^ (x o ) X-beli elem kielégíti az (1) egyenletet. Tehát az A operátornak ugyanazok a sajátértékei, mint az A mátrixnak. Fentiek alapján fennáll a következő 1. tétel. Ha X n-dimenziós euklideszi tér, akkor minden A ' . X - ^ X lineáris operátornak létezik legalább egy sajátértéke. Ha A = K -J = [A]g, akkor az A operátor összes sajátértéke azonos az A mátrix sajátér tékeivel, ami viszont azonos D (/i) = d e t(A -/iE ) = 0 karakterisztikus egyenlet gyökeivel.

és 6], ^2, •• •>

két tetszőleges

ortonormált bázis az X térben, és legyen egy A : X operátornak a bázisokra vonatkozó mátrixai

X lineáris

A = [a ] g és Á = [a ] I ,

megoldása, azaz ( A- ÁE) x q = 0 . Az I(jíq)-t jelöljük XQ-val, azaz letnek. Ez azt jelenti, hogy az A operátor minden sajátértéke egyút tal az A mátrixnak is sajátértéke. Megfordítva, ha. Á az A mátrix egy sajátértéke és Xg a A sa

221

továbbá vezessük be a D(A) = det(A -A E ) és ű (;i) = det(Á - A E), jelöléseket, akkor D(X) = b { X ) . Bizonyítás. A 3.8 pont 2. tétele alapján létezik olyan U unitér mátrix, hogy A = U * AU , így á

- / I e = u * a u - ; lu * e u = u *( a - /I E ) u .

Mivel a mátrixok szorzatának determinánsa azonos az egyes té nyezőmátrixok determinánsainak szorzatával, a fenti egyenlőségből b{ X) = det(Á - AE) = det U * •det(A - AE) • det U = d e tU * -D U ).d e tU . Mivel U * U = E , azért det(U * U) = det E , azaz det U * •det U = 1, így a fenti egyenlőségből azonnal adódik, hogy D{X) = D(A) min den Á esetén, ami azt jelenti, hogy D(Á) = D( Á) .


222

Megjegyzés. A 2. tétel alapján valamely k : X ~ ^X operátor különféle ortonormált bázisokra vonatkozó mátrixaihoz tartozó karakterisztikus polinom független az ortonormált bázis választásá tól, így célszerű e karakterisztikus polinomot az A operátorhoz tartozó karakterisztikus polinomnak nevezni.

3.10 Diagonizálható operátorok

223

Bizonyítás. Mivel S az A operátor mátrixa az

, ^2,...,

ortonormált bázisra vonatkozólag, azért e mátrix í,^-adik eleme {As^,si) = jUiSi!,. Rögzített k mellett az (Asj^,si) (k = l , 2, . . . , n) számok az As^. elemnek az 5], 52,...,

3.10 Diagonizálható operátorok Egy n-dimenziós X euklideszi térben új ortonormált bázisra való áttéréssel kapcsolatban felmerül az a probléma, hogy egy A : X - > X lineáris operátorhoz lehet-e a térben olyan ortonormált bázist találni, melyre vonatkozólag az A operátor mátrixa aránylag egyszerű alakú. Különösen érdekes azoknak az A : X -> X lineáris operátorok nak a vizsgálata, melyekhez található olyan ortonormált bázis Xben, mely bázisra vonatkozólag az A operátor mátrixa tiszta diagonális mátrix lesz (azaz a födiagonálison kívül a mátrix minden eleme zérus). Az ilyen operátorokat diagonalizálható operátorok nak nevezzük. 1. tétel. Legyen A : X -> X diagonalizálható lineáris operátor, azaz létezik olyan 5 i , 5 2 , . . . , 5„

0 . .. 0 ' 0 Ml 0 . .. 0 0 0 M3 • .. 0 = Adri 0

0

0

í=i amiből a tétel következik. 2. tétel. Legyen A : X -> X olyan lineáris operátor, melynek létezik n egymásra merőleges 0-tól különböző sajáteleme, azaz léteznek 5], ^2,..., 0-tól különböző és páronként merőleges sajátelemek és ju^, fi 2 ,. .. , jJ. „ sajátértékek (ezek nem feltétlen különbözők), hogy ^^k =Mk^k ( k = l , 2 , . . . , n ) , akkor az A operátor diagonalizálható. ségnormájúak (ellenkező esetben mindegyiket elosztjuk a normájá val), ekkor s i , s 2 ,-..,s^ ortonormált bázist alkot X-ben. írjuk fel az A operátor mátrixát e bázisra vonatkozóan, akkor e mátrix /,Á:-adik eleme (Asj^, s^) = (jUk^k^ s^) = jUj^őn^, azaz

[A].= számok

sajátértékei az A operátornak és az 5|, 5 2 ,...,

ortonormált bázis

elemek e sajátértékekhez tartozó sajátelemek, azaz (k =1,2,

n

.

0 0 . .. 0 ' 0 M l 0 . .. 0 0 0 M3 •.. 0

>1

0 . ■■Mn_

aiakban, akkor az S fődiagonálisában álló

Asj^=/lj^si^

natkozó koordinátái s mivel ezek azonosak a Miîk ( k - U 2 , . . . , n ) számokkal, ezért

Bizonyítás. Feltehető, hogy az s i , s 2 ,..., s^ sajátelemek egy-

ortonormált bázis Z-ben, mely bázisra vonatkozólag az A operátor mátrixa tiszta diagonális mátrix. Jelöljük ezt az n-edrendű négyze tes mátrixot

S - [ a ],=

ortonormált bázisra vo

0

0

0 .

Mn.

A fenti két tételt összefoglalva, kapjuk, hogy egy A : X X lineáris operátor akkor és csak akkor diagonalizálható, ha létezik A-nak n ortonormált sajáteleme, azaz ha létezik X-ben sajátelemekből álló ortonormált bázis.


224

Ezek szerint, ha valamely operátorról el akarjuk dönteni, hogy diagonalizálható-e, úgy azt kell megvizsgálni, létezik-e az operátor nak n egymásra merőleges sajáteleme (itt n = d im X ). Ha ilyen létezik, akkor az operátor diagonalizálása úgy történik, hogy felír juk az operátor mátrixát a sajátelemek ortonormált rendszerében. Példa Állítsuk elő a

3.10 Diagonizálható operátorok

A t értéke | S] | = | S2 | = | S3 |=

225

= 1 egyenletből: t = ~ .

Az ortonormált sajátelemek (abszolút értékük 1): e, = rL3l , - 13 ^3j i ] , -e. 2 1 h

13,’i3 ’, _ l-, 3^-1 ’ „3 _- Ir 3l >23 >2. U 3J •

Az ortonormált modálmátrix és inverze:

2 Q{x, x) =

2 r 12 1 --2 2

kvadratikus alak kanonikus alakját, az operátor ortonormált sajátT

elemrendszerét és számítsuk ki az M AM mátrixszorzatot, ahol M az ortonormált modálmátrix (a modálmátrix oszlopvektorait az A mátrix sajátvektorai alkotják [K72]). Megoldás. A kvadratikus alak mátrixa és karakterisztikus egyenlete: 4 -A -4 0' ■ 4 -4 0 - 4 2 - / 1 - 4 = 0 , melyből det 2 -4 A = -4 0 - 4 -/L 0 -4 0 i - ó f -24 /1 + 64 = 0 .

“2 ■ -2 r 2 1 --2 3 1 2 2

M = 4 -2

+ 2^2 - 8x]X2 - 8x2x3

(*)

Az egész együtthatós harmadfokú normál egyenlet gyökeit a 64 tényezői között kereshetjük, így például az egyik gyök /^ = 8 ,

Az operátor mátrixa a sajátelemek ortonormált bázisában: “8 0

0"

0 2

0

0 0 -4 azaz tiszta diagonális mátrix, melynek főátlójában az A mátrix sajátértékei állnak. 3. tétel. Minden A : Z —> X önadjungált operátor diagonalizálható, azaz minden önadj ungált operátornak létezik n egymásra ortogonális sajáteleme. A tétel bizonyításához szükséges a következő Lemma. Legyen A.: X

X önadj ungált operátor és legyen 6']

az A operátor valamely //| sajátértékéhez tartozó sajáteleme, akkor

ugyanis kielégíti a (*) egyenletet: 8 ^ - 6 - 8 ^ - 2 4 - 8 + 64 = 0 .

az 5'j -re ortogonális X-beli elemek halmaza alteret alkot Z-ben, mely az A operátorra nézve invariáns altér lesz.

(Á - 8) -cal osztva a (*) egyenletet

+ 2A - 8 = 0 másodfokú

egyenletet kapjuk, melynek gyökei: Á2 = 2 és /I3 = - 4 . Tehát a

Bizonyítás. Jelöljük X^ -gyei az elemek halmazát, azaz

kvadratikus alak kanonikus alakja:

elemre ortogonális X-beli

azon x e X elemekből áll, melyekre (x,^l) = 0 .

Q(x, x) - 8wf + 2 a | - 4 w |. A saját elemek kiszámításához helyettesítsük be a karakteriszti kus egyenletbe a sajátértékeket: /l} = 8 behelyettesítésével a megoldásvektor: S| = [2t, - 2t, /];

Az X| altere Z-nek. Ha ui. x és _yg Z j , azaz (x, 5| ) = 0 és ( y, í’i) = 0 , akkor ( x + y , s i ) = (x, î) + (};,^]) = 0

I 2 = 2 behelyettesítésével a megoldásvektor: S2 = [2 t,t,-2 t] ;

alapján x + j e Z j , továbbá ( e x , = c(x,î) = 0 alapján

A3 = - 4 behelyettesítésével a megoldás vektor: S3 = [t, 2t, 2t] .

amiből már következik, hogy Z j altér Z-ben.

cxg

Zj ,


226

3.J0.] Önadjungált operátorok egyidejű diagonalizálása

227

Tekintsük az Si elem által meghatározott egydimenziós alteret, 3.10.1 Önadjungált operátorok egyidejű diagonalizálása

azaz a c • 5] alakú elemek összességét, ahol c tetszőleges komplex szám - akkor ezen egydimenziós altér ortogonális kiegészítő altere azonos X j-gyei. Igazoljuk, hogy Xy invariáns altér az A operátor ra nézve, azaz, ha x e

, akkor A xg

. Ha ui. x g Z j , akkor

(x, ^l) = 0 . Mivel Aî = jUis^, azért (Ajc, így

) = (x,

) = (x, jUiSi) = Hl(x,

Ax _L^1, azaz Ajc g

)=0,

.

A fenti lemma alapján a 3. tételt a következőképpen láthatjuk be: A 3.9 pont 1. tétele alapján az A operátornak létezik legalább egy sajátértéke. Jelöljük ezt a sajátértéket jUi -gyei és legyen a sajátértékhez tartozó sajátelem, azaz A^^ =

-et választhat

juk egységnormájúnak). Jelöljük Z ]-g y ei az Si elemre ortogonális X-beli elemek halmazát, úgy a lemma alapján Xi invariáns altere A-nak, továbbá nyilvánvaló, hogy dimX^ = n - 1

.

Legyen A és B : Z Z két önadjungált operátor. A 3.10 pont 3. tétele alapján mindegyik operátornak van n elemű ortonormált sajátelemrendszere. Ha ezen saj átelemrendszerekben - mint orto normált bázisokban - felírjuk az operátorok mátrixait, úgy e mátri xok tiszta diagonálisok lesznek. Természetesen e sajátelemrendszerek különbözőek a két operátorra. Vizsgáljuk meg, hogy milyen esetben létezik a két operátorra közös ortonormált sajátelemrendszer, azaz mikor létezik Z-ben olyan ortonormált bázis, melyre vonatkozólag mindkét operátor mátrixa egyidejűleg tiszta diagonális lesz? Először tisztázzuk, hogy két önadjungált operátor szorzata mi kor lesz ismét önadjungált operátor? 1. lemma. Annak szükséges és elegendő feltétele, hogy két A és B : Z -> Z önadjungált operátor szorzata is önadjungált legyen, az hogy A és B felcserélhetőek legyenek, azaz, hogy fennálljon AB = B A . Bizonyítás. Tegyük fel először, hogy AB = BA , akkor

Mivel az A operátor az Xi -et önmagára képezi le, azért A te kinthető mint Xi -> X^-beli operátor, továbbá nyilván az

(AB)* = B*-A* = BA = A B,

tér

ben értelmezett A operátor is önadjungált. Alkalmazzuk a 3.9 pont 1. tételét az A : -> Z j operátorra, úgy A-nak létezik legalább

azaz (AB)* = AB , így AB önadjungált. Megfordítva, ha AB önadjungált operátor, akkor (AB)* = AB ,

egy sajátértéke, legyen ez //2 é s 52 g Z j e sajátértékhez tartozó 0tól különböző (pl. normált) sajátelem. Jelöljük Z 2 -vel az 52-re

de

ortogonális Z j-b e li elemek halmazát, úgy Z 2 ismét invariáns

így az előbbi egyenlőségből BA = A B , tehát A és B felcserélhetők.

altere A-nak és

2. lemma. Legyen A és B : Z Z két tetszőleges (nem szük ségképpen önadjungált) operátor, melyekre AB = BA . Legyen

dim Z 2 = n - 2 . A fenti eljárást n lépésig folytatva, előállítjuk az Si, S2 ,..., s,^ sajátelemeket, melyek páronként egymásra ortogonálisak.

(AB)* = B*-A* = B A ,

az A operátor sajátértéke, akkor

a jUy sajátértékhez tartozó sajátaltér,

invariáns altere B-nek.

Bizonyítás. Legyen jcg 5]. Bizonyítandó, hogy B xg x g 5 i , azért Ax = Hix , ebből AB = BA alapján

. Mivel


228

A(B;c) = ABx = BAx = B(Ax) = B(//ix) =

3.10.1 Önadjungált operátorok egyidejű diagonalizálása

Tekintsük A és B operátorokat csak az X^ altérben értelmezve:

,

A : X] —> X |, B : Xj —> Xj és AB = BA ,

azaz A(Bx) = //^ • Bx , ami azt jelenti, hogy B x e Si. 3. íem m a. Legyenek A és B : X -> X tetszőleges, egymással felcserélhető operátorok, azaz AB = BA , akkor az A és B operáto roknak létezik közös sajátelemük. Bizonyítás. Legyen //j az A operátor egy sajátértéke, Si a megfelelő sajátaltér, akkor a 2 . lemma alapján

így e lemma ismételt alkalmazásával, kapjuk, hogy az X^ -ben értelmezett A és B operátoroknak létezik X^ -ben közös sajátele mük, - legyen ez 5-2 e X j . Jelöljük X 2 -vei az S2 -re ortogonális X^ -beli elemek halmazát.

invariáns altere

B-nek. Tekintsük a B operátort csak az 5] altérben értelmezve, aldcor B:S^ -^S^, így a 3.9 pont 1. tétele alapján az 5^ térben

A fenti eljárást n lépésig folytatva kapunk egy s i , s 2 ,. .., s„ ortonormált rendszert, melynek minden eleme egyszerre sajáteleme A-nak és B-nek, azaz

értelmezett B operátornak létezik legalább egy sajátértéke, legyen ez Ál és legyen 5^ e a -hez tartozó sajátelem, azaz

Bsk~\sk,

Bî = Aj • 5'] . Mivel 5] G

, ezért

egyidejűleg az A operátornak is sajáteleme: A5| = //] • 5] ,

amiből a lemma már következik. 1. téteL Legyenek A é s B ; X - > Z önadjungált operátorok. Annak szükséges és elegendő feltétele, hogy létezzék X-ben egy közös ortonormált bázis, melyben az A és B operátorok mátrixa egyidejűleg tiszta diagonális mátrix lesz, az, hogy A és B felcserélhetők legyenek. Bizonyítás. Tegyük fel először, hogy AB = B A . Ekkor a 3. lemma alapján az A és B operátoroknak létezik közös sajátelemük, jelöljük ezt si -gyei és legyen jU[, ill. az A, ill. B operátor meg felelő sajátértéke, azaz Aî

Bî = ÁiSi .

Itt feltehető, hogy || 5J = 1, mert ellenkező esetben osszuk s^ -et az ő normájával, akkor a kapott elem egységnormájú sajátelem. Jelöljük Xj -gyei az -re ortogonális X-beli elemek halmazát, akkor a 3.10 pont 3. tételében szereplő lemmára tekintettel X^ invariáns altere mind A-nak mind B-nek.

229

így

(

1, 2,.

A 0 [A].= 0 Ml

A 0 .. . 0 ‘ 0 ^ •; . 0 [B]. =

_0 0

0 0 .. • 4 .

Megfordítva, tegyük fel, hogy létezik olyan közös ortonormált bázis, melyben az A és B operátorok mátrixa tiszta diagonális mát rix. Jelöljük az A és B operátoroknak e bázisra vonatkozó mátrixát A-val, ill. B-vel. Mivel A és B tiszta diagonális mátrixok, azért AB = BA . Mivel AB az AB operátor mátrixa, BA a BA operátor mátrixa, azért AB = BA . M egjegyzés. A fent bizonyított tétel természetesen több operá tor esetén is igaz, azaz, ha ( a ^ ) : X X a p paramétertől függő önadjungált operátorok egy véges vagy végtelen halmaza, akkor annak szükséges és elegendő feltétele, hogy létezzék X-ben egy ortonormált bázis, melyben valamennyi A p egyidejűleg diagonalizálható, az, hogy az A p operátorok páronként felcserélhetők legyenek. Ezek után vizsgáljuk meg azt a kérdést, hogy az önadjungált operátorokon kívül még mely operátorok diagonalizálhatók? 2. tétel. Annak szükséges és elegendő feltétele, hogy egy A :X X lineáris operátor diagonalizálható legyen, az, hogy A


230

3.10.1 Önadjungált operátorok egyidejű diagonalizálása

231

A A *=A *A .

Definíció. Egy A : X - ^ X operátort normális operátornak nevezünk, ha A felcserélhető A*-gal, azaz

(Ekkor A-nak n elemű páronként ortogonális sajátelemrendszere van).

AA* = A * A .

és A* felcserélhetők legyenek, azaz

Bizonyítás. Tegyük fel először, hogy A A *=A *A . Vezessünk be két operátort a következő módon: A i = |- ( A + A*) és A 2 = ^ ( A - A * ) . Az így értelmezett A] és A j önadjungált operátorok. Ui.

A 2. tétel e definíció alapján a következőképpen is fogalmazható: Annak szükséges és elegendő feltétele, hogy egy A : X X lineáris operátor diagonalizálható legyen, az, hogy A normális operátor legyen. Nyilván minden önadjungált operátor normális operátor, továb bá normális operátor minden unitér operátor is, ui., ha U : X —> X unitér operátor, akkor UU* = U * U = E . így a 2. tétel alapján fennáll a következő

A | = |- ( A + A*)* = i( A » + A ) = A ,, A j = - ^ ( A - A*)» = - ^ ( A * -A ) = - i ( A - A») = A 2 . Mivel A és A* felcserélhetők, azért nyilván Aj és A 2 is felcserél hetők, így az 1. tétel alapján létezik Z-ben olyan ortonormált bázis, melyben Aj és A 2 mátrixa egyidejíileg tiszta diagonális mátrix lesz, de akkor az Aj + iA j operátor e bázisra vonatkozó mátrixa is tiszta diagonális mátrix lesz és mivel A | + /A 2 = A , azért a fenti bázisban az A operátor mátrixa tiszta diagonális, tehát A diagonalizálható. Megfordítva, legyen A : X -> X diagonaUzálható operátor, azaz ekkor létezik X-ben olyan ortonormált bázis, melyben az A operátor mátrixa tiszta diagonális. Jelöljük A-val az A operátor e bázisra vonatkozó mátrixát, akkor A a következő alakú:

A=

>1 0

0 . .. 0 " .. 0 , amiből A* =

Ó ó

. ••

_

0

0

Megjegyzés. Legyen A diagonalizálható operátor és legyen

A 0 ... 0 A = 0 Ml ••• 0 0 0 ... Mn] az A operátor tiszta diagonális mátrixa. Mint előzőleg láttuk, a mátrix fődiagonálisában az A operátor sajátértékei állnak. Ez alapján A akkor és csak akkor önadjungált operátor, ha a fődiagonálisban álló /^ i,//2,...,//„ számok valósak, A akkor és csak akkor unitér operátor, ha a fődiagonálisban álló /z^,//2, ...,

... 0

számok egység abszolút értékű komplex (vagy valós) számok. Ha a fődiagonálisban álló számok nem ilyenek, akkor A normális operátor. Megjegyezzük még, hogy a fenti A mátrix fődiagonálisában álló számok között azonosak is lehetnek. Mivel e

0

számok az A operátor sajátértékei, ezért nyilvánvaló, hogy mind egyik /ii annyiszor lép fel a fődiagonálisban, mint amennyi a //j

0 ... 0 0

3. tétel. Minden U : X -> X unitér operátor diagonalizálható, vagy ami evvel ekvivalens, minden unitér operátornak létezik n páronként ortogonális sajátelemrendszere.

tehát A* is tiszta diagonális, így AA*=A*A, de akkor AA* = A * A , azaz A és A* operátorok felcserélhetők.

sajátérték rangja. A diagonalizálható operátorok által létesített leképezésnek igen fontos és „szemléletes” geometriai jelentése van.

3.11 Önadjungált operátorok diagonalizálásának alkalmazásai


232

Legyen ui. k \ X X tetszőleges diagonalizálható operátor, azaz létezik X-ben ortonormált bázis, melynek minden eleme saját eleme A-nak. Jelöljük e bázist -nel, a megfelelő sajátértékeket / / l , // 2,..., //„ -nel, azaz Asj^ =

(k = \ , 2, . . . , n) .

Ekkor, mint a fentiekben láttuk, az A operátornak az 5 i,5 2 ,...,5 „ ortonormált bázisra vonatkozó mátrixa tiszta diagonális mátrix, ahol a födiagonálisban éppen a ju^, jU2,...,Mn sajátértékek állnak. Legyen x g X tetszőleges elem, legyen ezen elemnek a fenti bázisra vonatkozó előállítása + X2S2 + ... + X^Sfj,

X =

X; = (x, Si )

Aí'i + X2AS2 + ... +

Ax -

4.

Megjegyezzük még, hogy az 1. tétel unitér operátorokra is igaz, vagyis fennáll a következő 5. téteL Legyenek U és V : X —> X unitér operátorok. Annak szükséges és elegendő feltétele, hogy létezzék X-ben egy közös ortonormált bázis, melyben U és V mátrixa egyidejűleg tiszta dia gonális mátrix lesz, az, hogy U és V felcserélhetők legyenek. E tétel bizonyítása az 1. tétel bizonyításához hasonlóan történik. Vegyük észre, hogy a 1. tétel bizonyításában az A és B operátorok önadjungáltságát csak a 3.10 pont 3. tételében szereplő lemma alkalmazásakor használtuk ki, így lényegében elegendő e lemmát igazolni unitér operátorokra: Lemma. Ha U : X —> X unitér operátor, //| az U operátor sajátértéke,

X a //j -hez tartozó 0-tól különböző sajátelem,

X] az 5 |-re ortogonális X-beli elemek halmaza, úgy X^ invariáns altere U-nak.

A5„ =

—X[//|5| + -^2/^2‘^2

233

Bizonyítás. Legyen x e Xj tetszőleges elem, azaz x l s i , iga

•

téteL Ha A : X -> X diagonalizálható, és si, S2,...,s^ az A

ortonormált sajátelemrendszere, jUy,fi 2 ,...,fin ^ megfelelő saját

zolni kell, hogy U xe X j, azaz

Egyrészt (Uî, Ux) = (.V], x) = 0 , másrészt (U.S1, Ux) = (//j

értékek, azaz ^k=MkSk’

. = /i^si alapján

, Ux) = //i (íj , U x ), így

jUi(si, Ux) = 0, de IjUi I = 1, így (^j, Ux) = 0, azaz U x li-j.

úgy, ha tetszőleges x e X elem báziselőállítása X=

+ ^2^2 + ••• +


>

akkor Ax = /J.[XiS\

^

^

A (*) képletből jól látható az A operátor struktúrája: az operátor az Si,S2 ,-..,s^ ortonormált báziselemeket jUi,jU2,--.,Mn -szere sükre „nyújtja” és ha egy x e X elemnek e bázisra vonatkozó ko ordinátái jcj, JC2,..., Jc„ , akkor az Ajc képelemnek e bázisra vonat kozó koordinátái / i ^ x i , JU2X2 , M n ^ n ’ ^ h á t az operátor minden x elemnek a fenti bázisra vonatkozó koordinátáit is /íi, /Í2’■■■’Mn" szeresre nyújtja.

A matematika mííszaki alkalmazása gyakran egyszerűsíthető, ha az önadjungált operátorok diagonalizálhatóságát felhasználjuk. 1. tétel. Legyen A =

tetszőleges n-edrendű önadjungált

mátrix, azaz , akkor létezik olyan U = unitér mátrix, hogy az

n-edrendű

Á =U *A U mátrix tiszta diagonális mátrix lesz, ahol a födiagonálisban éppen az A mátrix sajátértékei állnak, mégpedig mindegyik sajátérték annyiszor szerepel, amennyi a rangja.


234

3 .H önadjungált operátorok diagonalizálásának alkcdmazásai

235

Bizonyítás. Legyen X tetszőleges n-dimenziós euklideszi tér (pl. X = R " ), és legyen

,^2 v ■• ■>^n tetszőleges ortonormált bázis X-

x = ^2 ,

y = J2

ben akkor a 3.7. pont 3. tétele alapján létezik olyan A ; X -> Z lineáris operátor, melyre [A]^,= A . Mivel A önadjungált mátrix,

_

Ekkor ha I jelenti a már említett izomorf és izometrikus leképezést

azért A önadjungált operátor, így a 3.10 pont 3. tétele alapján létezik Z-ben olyan Si,S2 ,...,Sn ortonormált bázis, melyre vonatkozólag az

X és R ' között, úgy I(x) = x, l(y) = y , és - mint az 2.6 pont

A operátor mátrixa tiszta diagonális mátrix lesz. Ha az A operátor ortonormált bázisbeli mátrixa: Á = [A] ^ ,

tétele után álló Megjegyzés alapján

1. tételéből ismeretes - I(Ax) = A • x , akkor az L rész 3.6 pont 2.

akkor az Á mátrix a következő alakú:

(Ax,

//l 0 0 ... 0 0 //2 0 ... 0 A - 0 0 //3 ... 0

azaz

V)

= (A x,y) = 'Z(Ajc)^yi = í=l /=! k=\

,

K(x, y) = (Ax, y) = Z X ‘îk^kyi ■ i= U = l

0 0

0

A fenti kifejezés jobb oldalát a K{ x, y ) kvadratikus funkcionál

ahol a födiagonálisban az A mátrix sajátértékei állnak, éspedig mindegyik annyiszor szerepel, mint amennyi a rangja. Jelentse U azt az unitér operátort, mely az eredeti é?j,^2,•••, ortonormált bázishoz S\,S2 ,---, deli, azaz

ortonormált báziselemeket ren

= S j ^ , { k - 1 ,2 ,...,n ) , és az U = [uuJ = [U]^ jelölés

sel a 3.7 pont 3. tétele alapján

azaz Á = U * AU . Legyen most X tetszőleges n-dimenziós euklideszi tér, e i,e 2,...,e „ egy ortonormált bázis X-ben és legyen K( x, y ) tet szőleges kvadratikus funkcionál, akkor a 3.2 pont 2. tételében lát tuk, hogy létezik egyetlen olyan A : X —> X lineáris operátor, melyre K( x, y ) = i Ax, y) . = [A]g és legyenek az x és y e X

elemek

báziselőállítása, valamint x és y oszlopvektorok: X =

-F X

2C2

+ . . . + X„e„

bázisra vonatkozólag. Az itt fellépő

és y - y\ei

+ ^ 2 ^ 2 +■■• + y n ^ n ’

számokat, vagyis az A

mátrix elemeit, a kvadratikus funkcionál együtthatóinak mondjuk. Nyilvánvaló, hogy a K( x, y ) kvadratikus funkcionál fenti koor dinátás alakja függ az ej, ^2,..., Legyen most K( x, y )

[A],= [U * A U ],,

Legyen A =

koordinátás előállításának nevezzük az e i, e 2 ,...,e,^ ortonormált

ortonormált bázis választásától.

szimmetrikus kvadratikus funkcionál,

akkor az általa generált A operátor önadjungált, így az A mátrix is önadjungált mátrix. Ismeretes, hogy ez esetben K(x, x) = (Ax,x) valós szám minden x g X koordinátás előállítása:

esetén. A fenti képletből a K{x, x)

n n K (x, x) ^ { k x , x ) = Y .Y a îkXkXi , i=l k=l

(1)

melynek jobb oldalát az x i , x 2 , . . . , x ^ változók kvadratikus alak jának is nevezzük. Pelmerül az a probléma, hogy lehet-e olyan ortonormált bázist találni az X térben, melyre vonatkozólag a K(x, x) koordinátás alakja csak az x elem koordinátái négyzetét tartalmazza.


236

E probléma megoldásához az elözö pontban mondottakat fel használjuk. Legyen ui. 5,, ^2,..., s,^ az az ortonormált bázis X-ben, melyre vonatkozólag az A önadjungált operátor mátrixa tiszta diagonális mátrix. Itt az báziselemek mindegyike sajáteleme az A


máit báziselemeket rendeh, azaz gyen U =

[a [A].=

^2 = u-

0 ... 0

0 ^2 ■■■ 0

, ^ 2’ •••’'?«

koordinátái között a következő

,azaz xi = fûiu^k, (í = 1 , 2 , ( 4 ) k=\

= W ik \-

0 0 Legyenek

= 5^ {k = \,2,-..,n) és le

= [U]^ akkor a 3.8 pontból ismeretes, hogy az jc elem

X|, a'2,...,x „ , ill. összefüggés áll fenn;

operátornak, így az A mátrixa:

237

Tehát, ha az X |,^2, . . . , x,, koordináták helyébe, a (4) alatti xe .

X

elemnek az

, ^2, •••, ■s,j

bázisra vonatkozó koordinátái, akkor a K{x, x) kvadratikus funkcio nál e bázisra vonatkozó koordinátás előállítása; _

n n

”

K(x, x) = {Ax,x) =

_

2.

’ i=U=:l

tétel (főtengelytétel). Legyen A=[a,-^] tetszőleges n-ed-

rendü önadjungált mátrix, akkor létezik olyan U = unitér mátrix, hogy az

Í= \

azaz K{x,x) = i Ax, x) =f , j Ui \ î f ,

összefüggéseket írjuk a (3) egyenlőség bal oldalába, és az így nyert kifejezést a , ^2 >•••^ változók szerint rendezzük, úgy nyilván a (3) egyenlőség jobb oldalát nyerjük. Fentiek alapján fennáll a következő ún.

n-edrendű

n

(2 )

(í = 1, 2 ,..., n) k=]

tehát K(x, x) valóban az x elemnek az

bázisra vonat

kozó .^2’ •••’ koordinátáinak csak négyzeteit tartalmazza. Ezt az eredményt az alábbi módon is megkaphatjuk: Mivel az (1) és (2) alatti kifejezések jobb oldala ugyanazon K(x,x) kvadratikus funkcionálnak két különböző bázisra vonatko

unitér transzformáció az Xi,x 2 ,. . .,x„ változók n n (5) /=] k=^l kvadratikus alakját ún. tisztanégyzetes kvadratikus alakká transz formálja, mégpedig

zó előállítása, azért É /=u=i

=

i=i

(3)

Z íla^kXiXk V/=U=l k=\

Itt tehát xi , X 2 ,...,x„ :ú \.

,^ 2>• •- 4

valamely x e X elem

nek ej, ^2,..., , ill, ^2 ’ •••’ ortonormált bázisokra vonatko zó koordinátái. Jelöljük ismét U-val azt az unitér operátort, mely az 6], ^2 ’ • •■’ ortonormált báziselemekhez az í'[ , ^2, • ••, *?« ortonor-

ahol a pi\,fi 2 ,...,fin együtthatók az A mátrix sajátértékei, éspedig mindegyik annyiszor szerepel, mint amennyi a rangja. Figyelembe véve a (2) előállítást, kimondhatjuk a következő tételt;

II. B evezetés a lineáris operátorok elméletébe

238

3.1 ] Önadjungált operátorok diagonalizálásának alkalmazásai

Az (I) egyenlet kvadratikus része:

3. tétel. Annak szükséges és elegendő feltétele, hogy valamely szimmetrikus K{x, y) kvadratikus funkcionál, vagy az általa gene rált A : X

U >•] «11 «12 '[‘^‘'21 «22_

X lineáris operátor

- pozitív definit legyen, az, hogy az A operátor minden sajátér téke pozitív legyen;

239

(7)

a (II) egyenlet kvadratikus része: r

- pozitív szemidefinit legyen, az, hogy A-nak ne legyen nega tív sajátértéke (a 0 lehet sajátérték);

1

[x. y. z]

’«ii ^12 ^13 X «2] «22 ^23 y = X^Á44X «31 ^32 “^33_

( 8)

továbbá K{x, y ) , ill. A akkor és csak akkor

alakú, ahol A33 az A33, A44 pedig az A 44 szimmetrikus operá

- indefmit, ha A-nak létezik mind pozitív, mind negatív saját értéke. A míiszaki problémák megoldásához gyakran

tor mátrixa az adott bázisban. Ezek az ^.^]3^3 , ill. az [ a ,j 4x4

ül öj

-f 2ai2xy + 022)"^ +

+ ^^23y + «33 = 0 ,

A főtengely tétel alapján a (7) felírható

(I)

(9) alakban, a (8) pedig felírható

+ 2ai 2^y + ü22y^ + 2ai3xz + 2 ü2^yz + 033^^ + + 2ö} 4X -I- 2ü24y + 2ű34Z + Ü44 = 0

együtthatómátrixok ^33, ill. 044 elemeihez tartozó minormátrixok.

2 . .

(II)

Á û i

2

- i- A 2 U 2

+

A 3 M3

(A i

^

A 2

^

A3 )

( 1 0 )

alakú másodfokú egyenletek vizsgálatára van szükség. Az i, j , ill.

alakban, ahol

az i, j, k ortonormált bázissal adott koordinátarendszerek tengelye

sajátvektorokkal meghatározott koordinátarendszert. Az új koordi nátarendszer tengelyei párhuzamosak a görbe, ill. a felület tenge lyeivel.

inek metszéspontja legyen a 0 pont, akkor az (I) egyenletet kielégí tő (x, y) pontok mértani helyét másodrendű görbének, a (II) egyenletet kielégítő (x, y, z) pontok mértani helyét pedig másod

jelöli a sajátértékeket,

Ha az (I) egyenlet centrális görbe egyenlete, akkor

rendű felületnek nevezzük. Az (I) görbe az együtthatókból alkotott '^11 ^12 ^13 «21 ^22 ^23 iîk _íZ3i Ö32 Ö33_

^kd

(la)

+ Á^Ü2 + a = 0 alakra transzformálható, ahol kei és

harmadrendíí szimmetrikus mátrixszal, a (II) felület pedig az ^ll üli [a,l]4x4 - Ö31 0-41

«12 022 Ű32 Ü42

%3 ^23 ‘^24 iîk Ö33 Ö34 043 Ü44_

negyedrendű szimmetrikus mátrixszal jellemezhető.

illa)

( 11)

az A33 minormátrix sajátérté

detA 33 vagy

^kd

pedig az ortonormált

(12)

■/I2 7^0 esetén _ det A A1A2

( 13)


240

Az (1) egyenlet - ellipszis egyenlete, ha det[a,-^]3x3 < 0 és det A33 > 0 ;

Önadjungált operátorok diagonalizáláisának alkalmazáisai

alakra transzformálható, ahol értékei, és

241

az A44 minormátrix saját

- hiperbola egyenlete, ha det[a,-^]3x3 ^ 0 és det A33 < 0 ; (18)

- parabola (nem centrális görbe) egyenlete, ha det[%]3x3 ^ 0 és detA33 = 0 ;

vagy Áy ^2 '

esetén

- metsző egyenespár, ha det[a;^]3x3 = 0 és det A33 < 0.

fl= -d e tA A^2^3 ■

A sajátértékek ismeretében a ( 11) egyenlet - ellipszis egyenlete, ha mindkét sajátérték pozitív, azaz

A (17) egyenletből a sajátértékek és

\ > Q , Á2>0; - hiperbola egyenlete, ha a sajátértékek különböző előjelűek, azaz • /?2 < 0 ;

det A det A 44 îsmeretében a felület jellegét az alábbi táblázatból megállapíthat-

- két párhuzamos egyenes egyenlete, ha az egyik sajátérték 0, a másik pedig pozitív. Ha det A33 ^ 0 , akkor centrális másodrendíi görbe középpont Előjelek

jának koordinátáit _ det A31 -^0 = -det A33

_ det A32 det A 33

+

+

Előjelek

M egjegyzés Ha az A33 mátrix sajátvektorait ismerjük, és Q-val jelöljük a modálmátrixot, M-mel pedig az ortonormált modálmátrixot, akkor a másodrendű görbe ( 11) egyenletét + d S Í^ = 0 det A33

[ül M2]M Â 33M U\

det A 33

_«2j

+

2

2

Előjelek

Valós ellipszoid (4. ábra)

+

Egyköpenyü hiperboloid (5. ábra)

+

Előjelek

(16) Előjelek

(17)

+

Kétköpenyű hiperboloid (6. ábra)

+

0 0

Valós kúp (7. ábra) Elfajult ellip szoid

+ +

Előjelek

Ha a (II) egyenlet centrális felület egyenlete, akkor + Û2 + ^3^3 + ö = 0

+ +

+

+

(15)

formulákkal is előállíthatjuk [K72],

2

A felület jellege

(14)

formulákkal számíthatjuk ki.

L“2j

det A /d e t A 44 +

+

h W2IQ ^^33Q

(19)

+

+

+

+

4-

+

+

0 0

Elfajult kúp

II. Bevezetés a lineáris o p e rá torok elméletébe

242


243

Ha det A44 ^ 0 , akkor a centrális másodrendű felület közép pontjának koordinátáit Xo =

det A/ det A44 ’

det A42 det A44

_ det A43 "0 ~ det A 44

(21)

formulákkal számíthatjuk ki. Megjegyzés 5. ábra. Egyköpenyű hiperboloid

4. ábra. Ellipszoid

Ha det A 44 = 0 , az egyik sajátérték 0 és a másik két sajátérték

Ha az A44 mátrix sajátvektorait ismerjük, és Q-val jelöljük a modálmátrixot, M-mel pedig az ortonormált modálmátrixot, akkor a másodrendű felület (17) egyenletét

azonos előjelű, akkor a felület elliptikus paraboloid (8. ábra), ha kü lönböző előjelű, akkor hiperbolikus paraboloid (9. ábra).

Ul

[m] U2 «3]Q *A44Q U2 L«3J

A paraboloid általános egyenletét (8. ábra) i 2

det A

z= 0

det A 44

(22)

'u\

(20)

[W] LI2 M3]MÂ44M Ü2 «3.

alakra egyszerűsíthetjük.

det A 44

(23)

formulákkal is előállíthatjuk. Példa Vizsgáljuk meg a Descartes-fé\e derékszögű koordinátarend szerben a Ix^ - 4xy + 2x z -1- 10/ - 4JZ + 7z^ - 4 = 0 egyenlettel adott másodrendű felületet és az egyenletet hozzuk kanonikus alakra. 7. ábra. Kúp

Megoldás. A másodrendű felület együtthatómátrixa és az A44 minormátrixa: ' 1 -2 1 0' 7 -2 r - 2 10 - 2 0 A= , A44 - - 2 10 -2 1 - 2 7 0 1-2 7 0 0 0 -4 Az A44 mátrix sajátértékei; Á^ - 1 2, .^3 = 6 ; saj átvektorai: Sj = [1, - 2, 1], S2 = [2, 1, 0], S3 = [ - 1, 0, 1].

8. ábra. Elliptikus paraboloid

9. ábra. Hiperbolikus paraboloid (nyeregfelület)


244

A detA = -1728.detA 44 = 4 3 2 , a

^

= - 4 < 0 és

III. RÉSZ

a sajátértékek mindegyike pozitív, tehát a felület ellipszoid. Az ellipszoid egyenletének kanonikus alakja:

Á L L A N D Ó E G Y Ü T T H A T Ó J Ú L IN E Á R IS D IF F E R E N C IÁ L E G Y E N L E T -R E N D S Z E R E K

12x^ + 6 / + 6 z ^ - 4 = 0 , ill. (*) Ellenőrzésként végezzük el modálmátrixszal is a számítást: Mivel S(-S2 = S i'S 3 = 0 , de S2 -S3 ;^0 , ezért a sajátvektorok nem alkotnak ortogonális rendszert. A modálmátrix oszlopvektorait a sajátvektorok alkotják: 1 -2 f 2 -f 1 0 , melynek inverze: Q ^= 4 2 2 2 0 -1 2 5 10 1

1

Q = -2

[ui il2 «3]Q 'a Q U2 L^3_ és így

1

2uf + 6uj

+

'12 0 0"" Ui det A _= [m] Ü2 M3] 0 6 0 ll2 - 4 = 0 det A44 0 0 6 _^3_ =

4 , ill.

+

1

w f

+

1

m ?

=

1

a

megegyező, ha a koordináta tengelyeket mj, ü2, W3 jelöli.

( * )

Á llan d ó eg yü tth atójú d ifferen ciá leg y en let-ren d szer m eg o ld á sa m o d álm átrixszal Bevezetés

A (22) formula alkalmazásával

u\

1. FEJEZET >>

alakkal

A harmadik rész három fejezete az állandó együtthatójú differenciálegyenlet-rendszerek mátrix alakra való átírása és Ljapunov-féle stabilitásának rövid összefoglalója után két új megoldási eljárást mutat be. Az egyik pusztán az együtthatómátrix vagy egy közelítő együtt ható mátrix (mankómátrix) rendjével megegyező számú lineárisan független sajátvektor létezése esetén alkalmazható. A másik pedig az együtthatómátrix Jordan-íé\t normálalakjának direkt felírását és a transzformációs mátrixának kiszámítását, valamint az exponenci ális mátrixfüggvény normálalakjának előállítását igényli. Az új megoldási módszer keresésének indokoltságát a követke ző, három ismeretlen függvényt tartalmazó állandó együtthatójú ho mogén lineáris differenciálegyenlet-rendszer megoldásakor jelent kezett nehézségek bemutatásával szemléltetjük. Állítsuk elő az i(0 = - 4 y - 2z y(,t) = - 3 x - z z(t) = - y - z differenciálegyenlet-rendszer 4 0 ) = 1, y{ 0) ^ 0 , z(0) = l kezdeti feltételrendszert kielégítő megoldását.


244

A detA = -1728.detA 44 = 4 3 2 , á =

d etA 44

432

^ - 4 < 0 és

III. RÉSZ

a sajátértékek mindegyike pozitív, tehát a felület ellipszoid. Az ellipszoid egyenletének kanonikus alakja: 12 x^ +

Á L L A N D Ó E G Y Ü T T H A T Ó J Ú L IN E Á R IS D IF F E R E N C IÁ L E G Y E N L E T -R E N D S Z E R E K

+ 6z^ - 4 = 0 , ill. (*)

Ellenőrzésként végezzük el modálmátrixszal is a számítást: Mivel Sj • S2 = Sj • S3 = 0 , de S2 •S3 0 , ezért a sajátvektorok nem alkotnak ortogonális rendszert. A modálmátrix oszlopvektorait a sajátvektorok alkotják: Q = -2

1 -2 r 12 -f 1 0 , melynek inverze: Q ^= v 2 2 2 0 -1 2 5 10 1

A (22) formula alkalmazásával ‘12 0 0" Ml 0 6 0 U2 - 4 = 0 , 0 0 6 _«3_

Uy [m| «2 M3]Q *AQ Ü2

és így \2ui + 6u\ +

= 4 , ill. 3«f +

= 1 a (*) alakkal

megegyező, ha a koordináta tengelyeket M], U2, M3 jelöli.

1. FEJEZET Á llan d ó együ tth atójú d ifferen ciá leg y en let-ren d szer m eg o ld á sa m o d á lm átrixszal Bevezetés A harmadik rész három fejezete az állandó együtthatójú differenci álegyenlet-rendszerek mátrix alakra való átírása és Ljapunov-féle stabilitásának rövid összefoglalója után két líj megoldási eljárást mutat be. Az egyik pusztán az együtthatómátrix vagy egy közelítő együtt ható mátrix (mankómátrix) rendjével megegyező számú lineárisan független sajátvektor létezése esetén alkalmazható. A másik pedig az együtthatómátrix Jordan-féle normálalakjának direkt felírását és a transzformációs mátrixának kiszámítását, valamint az exponenci ális m átrixfüggvény normálalakjának előállítását igényli. Az új megoldási módszer keresésének indokoltságát a követke ző, három ismeretlen függvényt tartalmazó állandó együtthatójú ho mogén lineáris differenciálegyenlet-rendszer megoldásakor jelent kezett nehézségek bemutatásával szemléltetjük. Állítsuk elő az x{t)^-4y-2z y(t)^-3x-z z(t) = - y - z differenciálegyenlet-rendszer x(0) = l, j ( 0) = 0,z (0) = l kezdeti feltételrendszert kielégítő megoldását.

246_____ III. Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

l . I A dijferenciálegyenlet-rendszer mátrixalakja és stabilitása________ 247

Az A együtthatómátrix Áf sajátértékeinek és

6400*Psqrt(3)*( 172+12*P sqrt(9413) *sqrt(3))^( l/3)+9*( 172+12*1 *sqrt(9413)*sqrt(3))^(2/3)*sqrt(9413)+43*Psqrt(3)*(172+12*Psq rt(9413)*sqrt(3))^(2/3))*t).

sajátvektorainak

ismeretében, a modálmátrix felhasználásával képzett megoldás (1. az 1.2.1 pont 2 . példáját): x(í) = QDQ-^Xo =

Ezt a bonyolult négyzetgyökökkel és törtkitevös alakokkal tíízdelt komplex z(t) függvényt a harmadrendíi differenciálegyenlet

0,3943569149e^^ +0,8808807525é'^^ -0,2752376672e'^ -0,375 8 1 9 8 1 2 k ^^ +0,737856270k^^ -0,3620364580í?^

harmadfokú karakterisztikus egyenletének gyökei okozzák. A x(t) és y(t) előállításához kétszer kell deriválni a z(t) függvényt s azt

0,0858728557k^^ +0,2523826236é''^-' +0,661744520& ^

követően már felírhatjuk az y(t) = ~ z ~ z és x{t) =

ahol Q a modálmátrix, és D = diag(e'^^\e^\e^^) az alaprendszer diagonális mátrixa, xq a kezdeti feltétel vektora. A MAPLE V Release 5 egyenletrendszert megoldó módszere 20 perces programfutás után sem adott eredményt, a 9.5 pedig 29 oldalon közölte az eredményt. Próbálkozhatunk a hagyományos eljárásnak megfelelő magasabbrendű differenciálegyenletre való visszavezetéssel. A lineáris differenciálegyenlet-rendszert z + z - 1 3i; - 6z = 0 állandóegyütthatójú harmadrendű homogén differenciálegyenletté alakítva az általános megoldást a z(t) függvényre a M APLE prog ram a következő alakban írta ki: z(t)=_Cl*exp(-l/38400*(6400*(172+12*P sqrt(28239)ni/3)+ 3*P(172+12*Fsqrt(28239)) ^(2/3)*sqrt(28239)43*(172+12*Psqrt(28239)r(2/3)+12800)n)+C2*exp(l/76800*(6400*(172+12*I*sqrt(9413)*sqrt(3)r(l/3)+3*P(172+12*I*sqrt(9 413)*sqrt(3))^(2/3)*sqrt(9413)*sqrt(3)43 *( 172+12*Psq rt(9 4 13)*sqrt(3))^(2/3)25600+6400*Psqrt(3)*(172+12*Psqrt(9413)*sqrt(3))^(l/3)9*( 172+12 *P sqrt(9413)*sqrt(3))'^(2/3)*sqrt(9413)43*P'sqrt(3)*(172+12*Psqrt(9413)*sqrt(3))^(2/3))n)+C3*exp(l/7 6800*(6400*(172+12*Psqrt(9413)*sqrt(3))^(l/3)+3*P(172+12*Psqrt(9 413)*sqrt(3))^(2/3)*sqrt(9413)*sqrt(3)43 *(172+ 12*Psqrt(9413)*sqrt(3))^(2/3)-25600-

+ z - z)

függvényeket. A kezdeti feltételt kielégítő megoldáshoz még - nem kevés számítással - a Cj, C2, C3 konstansok konkrét meghatározá sára is szükség van. A Jordan-féle normálalak és az exponenciális mátrixfüggvény normálalakjának felhasználása is hasonlóan bonyo lult megoldásfüggvényt állít elő. Ugyanakkor a további pontokban részletesen kidolgozott modálmátrixos módszer előnye az, hogy áttekinthető, egyszeri! exponenciális függvényekből álló megoldást ad. Az 1.2.1 pont 2. példája bemutatja jól követhető számítási eljá rással, a modálmátrix felhasználásával, mennyivel egyszerűbb elő állítani a kezdeti feltételt kielégítő megoldását ugyanennek a diffe renciálegyenlet-rendszernek. 1.1 A differenciálegyenlet-rendszer mátrixalakja és stabilitása A közönséges differenciálegyenlet-rendszer normálalakja 0' = l,2, . . . , n ) ,

= melynek vektorikus felírása dx dt

(*) ~fiit,X)

ahol

X = -^2 , f(í,x) = f l M

dx ’ dt

~x{ h

248

III. Állandó együtthatójú lineáris dijferenciálegyenlet-rendszerek

Azt az

X =

1.1 A differenciálegyenlet-rendszer mátrixalakja és stabilitása

249

x(í) valós vagy komplex függvényvektort, amely (1)

értelmezve van valamely ia,b) intervallumon ( a < t < b ) és kielé gíti a (*) egyenletrendszert, a (*) differenciálegyenlet-rendszer megoldásának nevezzük.

ahol A az állandó együtthatókból alkotott n x n - e s mátrix. A megoldást

Definíció. A (*) differenciálegyenlet-rendszer ^ = ^(t) megol dását ( a < t < ^ )

Ljapunov szerint stabilnak nevezzük t —> -l-oo

mellett, ha tetszőleges £• > 0 és íg ^

x = e'^'v alakban keressük. Behelyettesítve az (1) egyenletbe:

esetén létezik olyan

Í f f i s A í . '^ 'v + e ' ^ ' ^ = Aí.'^'v, dt dt

ő = ő{s, 0 > 0 , hogy a) a (*) rendszer minden x = x(í) megoldása kielégíti a

amelyből / '^ = o , dt

||x ( í o ) - W l l < ^ (íG[ío,oo)) feltételt; b) és ezekre a megoldásokra ÍQ mellett teljesül a ||x(0 - ^(í)|| < £ egyenlőtlenség. A következőkben állandó együtthatójú lineáris differenciál egyenlet-rendszerrel foglalkozunk: = ül

és mivel kt így az e mátrix reguláris. A (2) egyenletből ekkor dt

+ ai 2X2Ít) + ... +

(2)

= 0,

és ebből megoldásként a v = c n x l típusú konstans oszlopvektort kapjuk. Az (1) állandó együtthatójú differenciálegyenlet-rendszer álta lános megoldása:

dt + an2X2Ít) + ... + ahol X] = x i(í), X2 = X2 Í t ) , x ^ -

(í) ismeretlen függvények,

(/,k - l , 2 , .. ., n) adott számok.

Xq = e^^°c , melyből c = e~^^°XQ ,

Vezessük be a következő jelöléseket: xi(t) X2Ít) _Xn{t)_

Ha a kezdeti feltétel: x(íq) = Xq , akkor

dx\(t) dt dx(t) ^ dx2Ít) dt dt dx^jt) L dt J

ekkor az előbbi differenciálegyenlet-rendszer alakja:

és így a kezdeti feltételt kielégítő megoldás: x=e

Aí

-e

- A ía

A(í-ín)

°Xq = Í? ^ °^Xq ,

ahol az exponenciális mátrixfüggvény. Ljapunov szerint stabil az (1) állandó együtthatójú homogén differenciálegyenlet-rendszer, ha az A mátrix sajátértékeinek valós része nempozitív, azaz Re ; í j <0 , ( / - 1 , 2 , . ( 3 )

250_____ III. Állandó együtthatójú lineáris dijferenciálegyenlet-rendszerek

és a zérus valós részű sajátértékek egyszeresek, továbbá aszimpto tikusan stabil, ha mindegyik sajátértéke negatív, azaz R e ;ij< 0 ,(í = l,2 ,...,n ) . Az első esetben az (1) minden x(0

(4)

megoldása korlátos a

intervallumon, a (4) feltétel teljesülése esetén pedig

íQ
1.2 Differenciálegyenlet-rendszer megoldása modáImátrixszal R Q Á i< 0 ,( i = \,2 ,...,n )

feltételnek teljesülni kell. Ha az (1) rendszer stabil, akkor a. íqG (-°o, + oo) kezdőértékre vonatkozólag egyenletesen stabil. Ui. a stabil (1) rendszer megoldása korlátos, így < c , minden í > 0

mindegyik megoldása határértékben a 0-hoz tart, azaz lim x ( 0 = 0 .

esetén. Legyen x(t) az (1) rendszer tetszőleges megoldása. Ekkor a

f--> + oo

A feltétel elégséges. Ui. ha az A mátrix r számú sajátértéke a + i(3 komplex szám, azaz + (k , és 5'

kezdeti értékvektorral adott megoldás:

számú

és t>ÍQ mellett

, sajátértéke mind egyszeres (tiszta

=

képzetes szám), akkor az ( 1) rendszer általános megoldásvektora:

r X(0 = E

l|x (0 ||s

s (cos

+ i sin

+ Z (cos y j + i siny^t)c^

k -\

(5)

m=l

alakú, ahol

251

konstans vektor, p^(í) pedig a \

tiplicitásánál alacsonyabb fokú polinomvektor. Az

sajátérték mul < 0 feltétel

miatt

(í-ío)A

||x(ío)||
es választással látható, hogy a ő nem függ a íq értéktől. Ez viszont azt jelenti, hogy az x = 0 triviális megoldás egyenletesen stabil t mellett, sőt az ( 1) rendszer minden megoldása egyenletesen stabil t —> oo mellett. Megjegyzés. Az (1) rendszer aszimptotikusan stabil, ha a

másrészt cos y ^t + i sm y„i t = 1, tehát mindegyik x(t) megoldás korlátos a ÍQ
d e t(A -;iE ) = 0 intervallumon.

A feltétel szükséges. Legyen az (1) rendszer stabil. Ekkor az A mátrix mindegyik sajátértékének a valós része nempozitív. Ui. tegyük fel, hogy az A mátrixnak van olyan Á = a + i^ sajátértéke,

karakterisztikus egyenletének minden

1 .2

hogy Re /I = « > 0. Ekkor az (1) rendszernek van x(í) = e^c alakú nemtriviális megoldása, ahol | c | X

=

0 . így

Át

vagyis a megoldás nem korlátos. Ez pedig ellentmond az (1) stabili tásának, ezért

gyökére Re /íj- < 0 telje

sül, (/ = 1, 2,..., n ) , vagyis ha minden sajátérték valós része negatív. Differenciálegyenlet-rendszer megoldása modálmátrixszal

Ebben a pontban és e fejezet következő pontjaiban ismertetésre kerülő új módszerek az állandó együtthatójú lineáris differenciál egyenlet-rendszer megoldásához nem teszik szükségessé sem a Lagrange-fé\&, sem az Hermite-féle mátrixpolinomok klasszikus módon való előállítását. Két esettel kell foglalkoznunk. Az együtthatómátrix minimálpolinomjának zérushelyei egyszeresek vagy többszörösek.

252

III. Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

Az eljárás alkalmazható w-ismeretlenes n egyenletből álló kö zönséges elsőrendű állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerre is, de a módszert három, ill. négy ismeretlen függ vényt tartalmazó dx (l**) = Ax, x(?o) = Xq dt homogén rendszer, ill. dx = Ax + f(0 dt

x(ío) = Xq

(2**)

inhomogén rendszer megoldásával szemléltetjük. Az itt javasolt új módszert, a modálmátrixos megoldási eljárást valamint az ex ponenciális mátrixfüggvény normálalakját felhasználó eljárást összevetjük a differenciálegyenlet-rendszerek elméletét tárgyaló szakirodalomban leírt Lagrange- és Hermite-féle mátrixpolinomokat használó megoldási módszerekkel, valamint a M APLE V Release 5 programcsomag által előállított megoldással. A modálmátrixos megoldási eljárás pontos, ha a minimálpolinom egyszeres zérushelyekkel előállítható, más szóval, ha az állan dó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszer n x /i- e s A mátrixának van n számú lineárisan független sajátvektora. A modálmátrixos megoldás közelítő, ha a minimálegyenlet gyökei között kétszeres gyök is előfordul, mivel ekkor az együttha tómátrixot olyan közelítő mátrixszal (mankómátrixszal) helyettesít jük, melynek van n számú lineárisan független sajátvektora. Abban az esetben, ha a minimálegyenlet gyökeinek multiplici tása kettőnél nagyobb, akkor az Hermite-íélt mátrixpolinom előál lítása helyett az exponenciális mátrixfüggvény normálalakjá nak felhasználása javasolható a pontos megoldás előállítására, mely az A mátrix Jordan-íélQ normálalakjának és transzformációs mátri xának ismeretében felírható. Ezzel a módszerrel a mátrixszorzatok az eredményt rendezett formában állítják elő. A pontos modálmátrix alkalmazásával előállított megoldás a Jordan-fé\& normálalak felhasználásával képzett megoldás speciális esete, ha a megoldást az általam adott szabályok betartásával vé gezzük. (1. a 3.6 pontot).

1.2.1 A z A mátrix minimálpolinomjának zérushelyei egyszeresek

253

1.2.1 Az A mátrix minimálpolinomjának zérushelyei egyszeresek Kiszámítjuk a differenciálegyenlet-rendszer A együtthatómátrixá nak sajátértékeit és sajátvektorait, és bemutatjuk a modálmátrix al kalmazásának előnyét az irodalomban javasolt Lagrange-íéXt mát rixpolinom alkalmazásával szemben. Érdekes, hogy az e tárgykört feldolgozó elméleti és gyakorlati szakkönyvek erre az egyszeri! módszerre nem utalnak, pedig ismert, hogy a sajátvektorok bázisá ban a differenciálegyenlet-rendszer A mátrixa diagonálissá transz formálható [K83]. 1. tétel. Ha A e az (1**) homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszer együttható mátrixa, az A mátrix sajátértékei, V p [Vi

V,jif, ¥2= [Vi2, V22, ••• >V„2f, ••■, V„= [Vi„, V2„,...,

a megfelelő sajátvektorok, Q pedig a sajátvektorokból alkotott mo dálmátrix, azaz Vll Vi2 ^21 ^22

V\n ^2n ,( d e t Q : ^ 0 ),

valamint / " ')

B = diag(e^\

(1)

az alaprendszernek a sajátvektorok modálmátrixba írt sorrendje szerint rendezett diagonálmátrixa, akkor az (1**) általános megoldás-függvény vektora x(í) = Q D c , (2) az x(0 ) - X q = [^1, X2, ...,

kezdeti feltételt kielégítő partikulá

ris megoldás-függvény vektora pedig -1

x(í) = Q - D - Q ^ x o ,

(3)

254______III. Állandó együtthatójú lineáris dijferenciálegyenlet-rendszerek

ahol c = [q, c'2, .. •,

T

a tetszőleges konstansok oszlop vektora, és Q “ ^-xo=Co

(4)

a kezdeti feltételt kielégítő megoldás együtthatóinak oszlopvektora. A tétel a differenciálegyenletek elméletében bizonyított tételek, valamint a megoldás skaláris egyenletrendszereinek mátrix alakra való átírásával, továbbá az exponenciális mátrixfüggvényekre vo natkozó összefüggések alapján belátható (1. a 3. fejezetet). 2. tétel. Ha az (1**) homogén hneáris differenciálegyenlet rendszerhez tartozó együtthatómátrix karakterisztikus egyenletének többszörös gyökei is vannak, de minimálegyenletének gyökei egy szeresek, akkor az (1**) differenciálegyenlet-rendszer megoldása a Lagrange-féle mátrixpolinomok nélkül, az 1. tétel szerint előállít ható. Ui. az n-edrendű A együttható mátrixnak ebben az esetben is van n lineárisan független sajátvektora. Az inhomogén differenciálegyenlet-rendszer x(fo) = Xq kez deti feltételt kielégítő megoldása, ha a minimálegyenlet gyökei egy szeresek az x(0 = Q D

Xo+ J Q •D„ • U=ÍQ

•f(u)du

(5)

formulával előállítható, ahol az integrálban lévő D„ diagonális

1.2.1 Az A mátrix minimálpolinomjának zérushelyei egyszeresek

255

1. eset. Az A mátrix sajátértékei különbözők, sajátvektorai lineárisan függetlenek. Ekkor a Q modálmátrix kiszámításával meggyőződhetünk, hogy detQ verzmátrix létezik.

0 feltétel teljesül, s így a

in

1. példa. Határozzuk meg a ^

= x(t) + 2 y(t),

dy _ dt dt

= x(t) + 3y(t) + z(t)

elsőrendű homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszer általános megoldását és az 0" [40)1 Xo = y( 0) = 2 z( 0) -3 kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldását. Megoldás. A három ismeretlen függvényt tartalmazó homogén differenciálegyenlet-rendszer együtthatómátrixa és determinánsa: ’l 2 0“ A = 2 1 0 , detA = - 3 . 1 3 1 Az A mátrix karakterisztikus polinomja és gyöktényezős egyenlete:

mátrix D„ = diag{exp(A^(t - u)),exp{A2 Ít - u)),. . . , e x p (4 (í - u)))

(6)

alakban veendő fel. Az inhomogén rendszer általános megoldása pedig a homo gén rendszer általános megoldása és az inhomogén rendszer egy partikuláris megoldása összegeként kapható: (5*)

Á -1 -2 0 det(Ê - A) = - 2 Á - 1 0 = £ - 3 á^ - á + 3, -1 - 3 Á - 1 ( Á - { )( Á -3 ) (Á + 1) = 0 A karakterisztikus egyenlet gyökei egyszeresek, tehát a minimál egyenlet gyökei is egyszeresek. A sajátértékek: Á^^l, Á2 = 3, Á ^ - -1.

M=ín ahol c tetszőleges konstans vektor.

A sajátvektorok: V] = [0,0,1] , V2 = [1,1,2] , V3 = [1, - 1, 1]^.

256

111. Állandó együtthatójú lineáris dijferenciálegyenlet-rendszerek

^0 1 1 A modálmátrix: Q = 0 1 -1 . detQ = - 2 _1 2 1_

0, tehát a sajátvekto-

1.2.1 Az A mátrix minimálpolinomjának zérushelyei egyszeresek

tehát a homogén differenciálegyenlet-rendszer kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldásfüggvényei: Xp -

rok lineárisan függetlenek. Az alaprendszer diagonálmátrixa az 1, 3 , - 1

sajátértékek fel-

használásával: D = diag{e\e^\e~^). Ha Q oszlopvektorait V3( - l) , Vi(l), V2(3) sorrendre változtat juk, akkor D = d i a g ( e ^ ^ , (a diagonális elemek megfelelte tése a Q oszlopvektorai sorrendjében történik). Cl A tetszőleges állandók vektora: c = <^'2 L^sJ

y>p =

12

~xit) yit) z.{t)

0

0

0

q

0

0 0

_C3_

+ cê ^ 3t

-t

t , rs 3t , -t q e + IC2S + ^3^

0 1 1 0 1 -1 12 1

e {) 0 0 0

101 (

0 -4 .

-t

2. példa. A bevezetésben adott differenciálegyenlet-rendszer együtthatómátrixa valamint A determinánsa:

dók értékét a (4) formula alkalmazásával: -4 0 2 = 1 -1 -3

0" 2 -3

1 0 0' QQ ' = 0 1 0 0 0 1

PvL Xq kezdeti feltételvektort kielégítő partikuláris megoldáshoz

r-3 - 1 f

-3 -1 r 1 10 1 -1 0

Ha a Lagrange-féle mátrixpolinommal is elvégezzük a számí tást és az együtthatók közötti összefüggést megállapítjuk, akkor rendezés után az általános megoldásra is, és a kezdeti feltételt ki elégítő megoldásra is ugyan ezeket a megoldásfüggvényeket kapjuk. A modálmátrix és inverzének szorzata, ha közelítő eljárást al kalmazunk, akkor általában nem tiszta egységmátrixot - ún. szem e tes egységm átrixot - ad eredményül. Ha pontos egész értékekkel végezzük a számítást, akkor a modálmátrix és inverzének szorzata mindig tiszta egységmátrixot állít elő:

x{t) = £,'2^^^+ C3^ \ y(t) = 626^^-636 \ z(t) = Cie + 2c2e^^ + cê \

1

Q 0 -t

e ~e 3t , - t e t , ^ 3t -t 3 + 2e - e

Tehát az általános megoldásfüggvények:

kiszámítjuk a modálmátrix inverzét, Q~^-et, majd a q , C2, C3 állan

.

= Q -D -Q ^Xo =

3í

e

1

+ e ~ \ Zp - -A e + 2 e ^ -

Ha csak a kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldásfüggvényvektorra van szükség, akkor a (3) formulát használjuk:

A homogén differenciálegyenlet-rendszer általános megoldásfüggvényvektora a (2) formula szerint: "0 1 r 'x(ty yit) = Q D c - 0 1 -1

257

A=

-3

-2 '

0 -1

0 -1 -1

det A = 6.

258

111. Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

Az A mátrix sajátértékei (/^) és sajávektorai (v^):

ahol a kitevőkbe a

Vj =[-0,7150861437, 0,6814728739, -0 ,1 5 5 7 1 2 9 7 7 0 f, V2 =[-0,7563510515, -0,6335458735, -0 ,2 1 6 7 0 3 4 0 9 9 f, V3 =[-0,3811396997, -0,5013356939, 0,9163611595]^. __9

Megjegyzem, hogy a M APLE a 2. és 3. sajátértéknél --0,2-10 i képzetes részt - „szemetet” - is feltüntett. A Q modálmátrix oszlopvektorait a kiszámított sajátvektorok képezik, és mivel detQ = 1,000000001, ezért a sajátvektorok lineá risan függetlenek. Képezzük a modálmátrix inverzét és a modál mátrix és inverzének szorzatát:

D = diag(e

,e

,e

Xo

-0,452905997í.

).

■f = 0 _1

feltétel vektort kielégítő megoldás vektort a következő alakban kapjuk: ~x{t) y (t)

=Q D Q

-1

38,9812071 r -37,09143913 8,275815795

3. példa. Határozzuk meg az '- 1 0 r j( 0 = - 1 - 2 - 1 -2 -2 -3

re 'Át) y{t) + 0 0 _z(t)_ kezdeti

Megoldás. Az A mátrix determinánsa: det A = - 6. Az A mátrix sajátértékei és a megfelelő sajátvektorok:

A megoldást a (3) formula szerint képezve a kezdeti x(0) =

38,98120714' -37,09143919 , 8,275815806 b

feltételt kielégítő megoldás-függvény vektorát.

melyből arra lehet következtetni, hogy a modálmátrixszal képzett megoldás 8-9 jegyre pontos értékeket ad (1. a 2.2 pontot). Az alaprendszer diagonális mátrixa: -3,923562085?

helyett a kiszámított sajátértékeket kell írni.

inhom ogén differenciálegyenlet-rendszer x(0) = [0,2, - 3]

,-10

0,1-10 0,4-10 1,0 0,1-10 -1 -1 0 “ “ 1,0 QQ'= -9 0,3-10 0,9999999999 0

r 3,376468085;

Xi,

259

Ha behelyettesítjük a megoldásvektort az eredeti egyenletrend szerbe és kiszámítjuk a bal és jobb oldali vektor komponenseit pél dául a / = 1 helyen, akkor látjuk, hogy közel azonos a két vektor:

= 3,376468085, Z2 = -3,923562085, I 3 = -0,452905997 ,

^


’Xn =

z(t)

0,3943569149e^ ^+ 0,8808807525^^^^ -0,2752376672é?^^ -0 ,3 7 5 8 1 9 8 1 2 l/‘^-h0,737856270k^^ -0,3620364580e^^ 0,0858728557k'^ ^+ 0,2523826236^^ ^+ 0,6617445206e^ ^

-1> V, = [1, - 1, O f; ^2= -2 , V2 = [-2 ,1,2 f \

-3, V3 = [-1,1,2 f .

Mindhárom sajátérték negatív, tehát a rendszer stabil. A Q modálmátrix, det Q és Q înverze : [o 1 - f -1 - 2 - r Q = 1 1 1 , detQ = 2 , Q ^ = - 1 - 1 0 0 2 2 ^ 1 1 i2_ A modálmátrix és inverzének szorzata: '1 0 0' Q Q -‘ = 0 1 0 0 0 1 s mivel tiszta egységmátrixot kaptunk, ezért a javasolt új eljárással, a modálmátrixos módszerrel, ennek a feladatnak is pontos megol dását állíthatjuk elő (1. a 2.2 pontot). A zavaró tagot jelentő f(í) =

0,0]^ , így í{u) = [e~"^“,0,0]^ .


260

Az alaprendszeri tartalmazó diagonális mátrixok: D = diag[e^\e~^\e^^^~\, és

A megoldás: x(í) = Q D

1 - t , . -2 t

+ 4e

1 - t

2"

1 -3f

--ê

o -2 í , 1 -3í

-2 ^

+2"

•Xq + |Q ■D„ ■

]( 2e

-2t+2u

- e

•f {u)du =

-3 í +3mn

) ■e

-4« T


Mivel ebben az esetben a 2-es multiplicitású sajátértékhez található két lineárisan független sajátvektor, ezért lényegesen egyszerűbb számolással jár az előző pontban bemutatott modálmátrixos mód szer, a Lagrange-féle mátrixpolinomok alkalmazásával szemben. Szemléltetésként a következő példát ebben a pontban modálmátrix alkalmazásával a következő pontban pedig a Lagrange-féle mátrixpolinomok alkalmazásával is megoldjuk, hogy a két megol dási eljárás számítási munkáját kiértékelhessük. 4. példa. Határozzuk meg a

du

u=0 t

J(-e

í j í = 2x(t) + 2 y ( t ) + z ( t ) ,

-2t+2u , -3í+3mx

-4«

^

= 4 t) + 3y(i) + z(t)

u~0

j(-2e

-2í+2m . ^ -3t+3u~,

+ 2e

)- e

^—0,5e ^+ (e - l)e

33e~' - 2e~'^^ +

í ^ = x(t) + 2y(t) + 2z(t)

-4m t

0‘ ^40)“ Xo = 3^(0) = 1 0 2(0)

du

_M=0 - 3,5e ^+4e

261

elsőrendű homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszer általános megoldását, és a kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldását.

-3t

•e -e

Megoldás. A három ismeretlen függvényt tartalmazó homogén differenciálegyenlet-rendszer együtthatómátrixa és determinánsa: ”2 2 \ A= 1 3 1 1 2 2

A vektorok egyenlőségének értelmében, rendezés után, a kezde ti feltételt kielégítő megoldásfüggvények: xit) = -3,5e~^ + 5e~'^^ - \,5e~'^\ yit) = 3,5e“ ^ - 2,5e"^^ + \,5e~^^ - 0,5e^'^\

Karakterisztikus polinomja: i-2

-2

-1

-1

A -3

-1

-1

-2

Á -2

Í^\ c -2 í , O “ 3Í z(í) = —5e + 3e - e -4 í

Ha a klasszikus, Lagrange-féle mátrixpolinomok alkalmazásá val is előállítjuk a megoldást, akkor látjuk, hogy az a rendezés után a modálmátrixos megoldással azonosan egyenlő. 2. eset. Az A mátrix karakterisztikus egyenletének van több szörös gyöke is, de a minimálegyenletének csak egyszeres gyö kei vannak. Ekkor az elmélet általában a Lagrange-íélt mátrixpolinomokkal való megoldást javasolja. Háromismeretlenes homogén lineáris differenciálegyenlet-rend szerre mutatunk példát, ha az egyik sajátérték m ultiplicitása 2 .

det A = 5.

-IÁ } + l U - 5 = ( X - 5 ) ( X - l f

A karakterisztikus polinom zérushelyei között többszörös is van, de a minimálpolinom zérushelyei: - 6Á + 5 - ( Á - 5 ) ( Á -1 ) egyszeresek. A

^ és a /I3 = 5 sajátértékekhez tartozó sajátvektorok li

neárisan függetlenek:

262

ILI. Állandó együtthatójú lineáris dijferenciálegyenlet-rendszerek

Megjegyzés. Háromismeretlenes rendszer klasszikus megoldá sához, kétszeres gyök esetén, a lineárisan független alaprendszert formálisan

-1 -2 1 1 , ¥3 = 1 0 , V2 = 1_^ 1 0

Á\ t , Áat

Ao t

, te ^ , e ^

A sajátvektorokból alkotott modálmátrix:

módon kell megválasztani. A modálmátrix alkalm azása esetén a

■-1 - 2 r Q = 0 1 1 . detQ = - 4 ^ 0 , _ 1 0 1

diagonális alaprendszer mátrixában nem kell

tehát a sajátvektorok valóban lineárisan függetlenek. Az alaprendszer diagonálmátrixában a többszörös gyöknek megfelelően, az fordul elő:

263

1.2.2 Megoldás Lagrange-féle alappolinomokkal

függvényt hasz

nálni, csak annyiszor írjuk be az függvényt, ahányszoros gyök a Ál sajátérték, ha a /^-hez multiplicitásával megegyező számú független sajátvektor tartozik.

a gyök multiplicitásával azonos számszor 1.2.2 Megoldás Lagrange-f él e alappolinomokkal D = diag{e\e\e^^). Az alappolinom kiszámításához az

Az általános megoldás függvényvektora: -1 - 2 r 0 0 c\ ~x(t) 0 Cl y(t) = QDc = 0 11 0 _z{t)_ 1 01 0 0 e ^ ^ -^3.

(í = l,2 ,...,v )

( - q ~ 2c2)e +

C'ie + t , 5t qe +C3Ő

formulát használjuk, ahol ju(w) a

és így az általános megoldásfüggvények: x(r) = ( - q - 2c2) / + c 3e^^ y(t) = C2e^+

z(t) = qe +

(1)

(*).

az A mátrix egyszeres gyököket tartalmazó minimálpolinomjának Á = w helyettesítésével felírt alakja, ju'(Á^) a jU(w) polinom deri váltjának a w = Ál helyen vett értéke.

Az Xq kezdeti feltételt kielégítő megoldáshoz kiszámítjuk a Cj, c'2, 63 állandók értékét a (4) formula szerint:

A homogén rendszer általános megoldását a Lagrange-féle. mátrixpolinom segítségével

r <^‘1 = q “^- xo 4 1^3,

-1 - 2 3" “0" -1 2 -1 1 1 2 1 0

x(t) = Z e ^ % ( A ) - c Í=1

2

1 2

1 2_

formulával, az

^10 ^20 Xq = x (íq) =

tehát a kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldás: JnOÁ kezdeti feltételt kielégítő megoldást az

(2)

264

III. Állandó együtthatójú lineáris díjferencíálegyenlet-rendszerek

7.2.2 Megoldás Lagrange-féle alappolinomokkal

3e + t , 5t —e + e t . 5t -e+ e

(3) i=\

formulával, az inhomogén rendszer megoldását pedig x.(0 = f • xo + i ]e^^'-^^LiiA)f(u)du /=] i=Uo formulával állítjuk elő [K83].

(4)

1. példa. Az előző pont 4. példája homogén differenciálegyen let-rendszerének megoldását állítsuk elő a Lagrange-féle L^(A)

265

—2e +

-e +

- Z£ + j£

5e + e

ry t . ^ 5t t , 5t Z£ + Ze ~e + e t . ^ St ^ t . 5t

Az általános megoldás függvényvektorát, ill. megoldásfüggvé nyeit az exponenciális mátrixfüggvény és a c konstansvektor szor zataként állíthatjuk elő: Tq 1

(3e^ + e^^)C[ + {—2e + 2e^^)c'2 + {-e H-

x(0 = / ^ - c'2 = ^ -

(-e + e ^ % + (2e^+ 2e ^ % + (-e + e ^ % + ( - 2 / -t- 2e^^)c2 + ( ie + e^^)c^

{-e +

mátrixpolinomok segítségével. Megoldás. A kiszámított minimálpolinom és a sajátérték szerin ti deriváltja:

Át) =

= f - 6 / l + 5 = a - 5 ) ( / i - l ) , //' = 2 A - 6 .

(-| q - ^ C2 - j C3) +

q -t- ^ C2 + -^ C3),

y{t) = e \ - ^ c x + ~ C 2 - ^ C 2) +

Minthogy Aj =5, A2 = 1 , így

+ j C 2 +jC-^),

z(t) = e \ - ^ c y - ^ C 2 + JC 2) +

//'(/ll) = 2 - 5 - 6 = 4,

/ / '( ^ ) = 2 - l - 6 = ~4,

és ez, az együtthatók közötti kapcsolat alapján, felírható

és az alappolinomok: x{t) = { - C j - 2 C2)e +Cê^\ y(t) = €26 + Cê^\ z{t) = Cê + _ 1 (^ _ 5) ^ L ,{ 5) = Qí, = ..^ fi (/^)(w —/^) —4(w —1)

4

^

alakban, amely a modálmátrixszal előállított megoldással egyező. A kezdeti feltételt kielégítő megoldás:

Aí

Az exonenciális mátrixfüggvényt a kiszámított alappolino mok felhasználásával - i e‘(A - 5E) + i «='(A - E) = - ^ (5E - A) + alakban kapjuk, azaz / "5 0 0' "2 2 r 0 5 0 - 1 3 1 4 0 0 5 1 2 2 V

?>e + e^^ —2e + 2e^^ - e + e^^ - e + e^^ 2e + 2e^^ - e + e^^ - e + e^^ - 2e + 2e^^ l>e -1-

(A - E)

'

/

5t

4 y

1 í ^ 1 5t‘

-2 ^ + 2 ^

\ ”2 2 r "1 0 0' 131 - 0 1 0 0 0 1/ V 12 2

1 í , \

2 azaz

2

5t

266


Xp

1 í , 1 5í —• 2 ^ + '2 ^ "

l t , l 5t ~ 2^ 2^ ^

_ ~

1 í I 1 5í 2 2 ’ 2.

A két módszerrel számított megoldásfüggvények azonosan egyenlők egymással. Megjegyzés. A modálmátrixos módszernél nem kell a minimálpolinom deriváltjait képezni, nem kell alappolinomokat és mátrixpolinomokat előállítani, nem kell az együtthatók közötti kapcsolat vizsgálatát az egyszerűsítéshez elvégezni, ugyanakkor a modálmát rixos módszer a m egoldást rendezett alakban adja, sőt az együtt hatómátrix minimálpolinomjának kiszámítása el is hagyható, ele gendő a detQ ^ 0 vizsgálata, ha van az együtthatómátrix rendjével azonos számú sajátvektor.

FEJEZET

E gy k ísé rle te z ő m ód szer 2.1 Közelítő megoldás, ha a gyöktényezők nem lineárisak Ebben a pontban egy olyan speciális közelítő megoldás módszeré nek alkalmazását mutatjuk be, amely jól használható, ha az együtt hatómátrix minimálegyenletének az egyszeres gyökökön kívül van egy kétszeres gyöke is. Ebben az esetben ezzel az eljárással előál lítható a mátrix rendszámával megegyező számú lineárisan függet len sajátvektor, és így az Hermite-íélQ mátrixpolinom kiszámítása nélkül, a modálmátrix felhasználásával, a differenciálegyenlet rendszer közelítő megoldása megkapható. A közelítő megoldás hi bájának becslésével a 2.2 pontban foglalkozunk. 1. példa. Az eljárást a ^

= -x(t)-2y{t)-3z{t)

^

= 2x(t) + 3y(t) + 4z{t) , x(0) =

dz _ dt homogén differenciálegyenlet-rendszer adott kezdeti feltételt kielé gítő megoldásával szemléltetjük. A rendszer mátrixa: A =

karakterisztikus egyenlete: minimálegyenlete: azaz Si

-1 - 2 - 3 2 3 4 , det(A) = 0, -1 - 1 - 1 -1 ) = 0 ,

2 Á (Á-l) - 0 ,

egyszeres, a A ^ -O pedig kétszeres gyök. így az A

mátrixnak csak két lineárisan független sajátvektora van:

268

HL Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

r -4166,894332

v i= [-1,1,0]^ és V2 = [ l , - 2 , í f ,

-1,00000009 -2,000000009 - 3 ' 2 3 4 _1 _i -1

,-7

det(Ai) = -0,72-lÖ

Ál = - 0 , 0 0 0 2 6 8 3 7 3 A2 = 0,0002682830^ 0 , Á^= 1,000000000 sajátértékeihez tartozó sajátvektorok: - 2,000000000" 2082,888212” --0,4473096038” 2,000000322 ,V3= -4166,894331 0,8943791805 , V2= Vl= 2083,447166 -0,4471895903 -0,161-10“^ A2, /I3 sajátértékekhez

tartozó sajátvektorok koordinátái alkotják: '-0 ,4 4 7 3 0 9 6 0 3 8 2082,888212 - 2,000000000"^ Q= 0,8943791805 -4166,894331 2,000000322 -0,4471895903 2083,447166 -0,161-10“ ^ det(Q) = 1,000000

0, tehát a sajátvektorok lineárisan függetlenek.

Az alaprendszer diagonálmátrixa: . -0,000268373í

D-diag(e

A Q modálmátrix inverze:

,e

0,0002682830í

-4168,011567 ~

0

0,5000002000

1,000000000 _

A kezdeti feltételt kielégítő közelítő partikuláris megoldás függ vényvektora: 'x{t) y{t) z{t)

= Q - D - Q ^.x(0) =

3728,283456^^^^ - 3725,283455e"^^ - 7454,566308e^^ + 7452,566306e^^ + 2,000000322e^‘

közelítő mátrixot, ún. m ankóm átrixot választva, a karakterisztikus egyenlet gyökei egyszeresek, és így a minimálegyenletnek is egy szeres gyökei vannak. Ennek a módszernek az alkalmazását a mé rési eredménnyel kapott együtthatók kerekítési hibáinak feltételezé se teszi elfogadhatóvá. Az A] mátrix

A Q modálmátrix oszlopait rendre a

-4166,893997

269

Q ' = -0,8953791806 -0,8943791086 -0,8941390094

tehát modálmátrix nem hozható létre. Kísérletezéssel az A mátrix egy vagy több elemét zérushoz kö zeli értékkel megváltoztatva elérhető, hogy a karakterisztikus egyenletnek, és így a minimálegyenletnek is egyszeres gyökei le gyenek. Az így előállított mátrixhoz a rendjével azonos számú lineárisan független sajátvektort kaphatunk. Például az A mátrix helyett az A, =

2.1 Közelítő megoldás, ha a gyöktényezők nem lineárisak

,e

l,000000000íx

).

3727,283154é''^^ -3726,283154?'^^ -0,161 OOOOOOOe^^ ahol Ál, Á2, Áj helyébe a kiszámított sajátértékeket kell helyettesíteni. Számítsuk ki a modálmátrix és inverze szorzatát, és vizsgáljuk meg az egységmátrixtól való eltérését. A főátlón kívüli elemekből a megoldás pontosságára nyerhetünk információt. A szorzatként előálló r.-6 1,000001 -0,600-10“^ 0 -0,1-10~^ 0,999999561 -0,678-10“ ^^ 0 -0,805-10“ ^ 0,9999998390 un. ,szemetes” egységmátrixban a főátlón kívüli elemek közül ab szolút értékben a legnagyobb az 1 • 10 ^ elem, melyből arra követ keztethetünk, hogy a közelítő megoldás legalább a 6. jegyig jó kö zelítés ad, (figyelem! a pontosság nem 1-10“^ ) figyelembe véve, hogy a megváltoztatott elemek csak a 8-9. jegyben térnek el az eredeti elemtől. (1. a 2.2 pontot).

A pontos megoldás: x(í) =

~ 2t-2e+ 3 4t + 2e‘ - 2 ~ 2t + l

Például a t = 1 és t = 2 érték behelyettesítésével a pontos és a közelítő megoldás, csak a hetedik jegyben tér el:

270

III. Állandó együtthatójú lineáris dijferenciálegyenlel-rendszerek x(l) = -4,436563656, y(l) = 7,436563656,

x^{\) = -4,436562656, = 7,436563531, z^(l) = -1,000001438.

x(2) = -15,778112220, v(2) = 20,77811220, z(2) = -3 „

x^(2) = -15,77811220, };^(2) = 20,77811458, z^(2) = -3,000002190.

Az új módszer állandóegyütthatójú inhomogén lineáris diffe renciálegyenlet-rendszer megoldására is alkalmazható. 2. példa. Állítsuk elő = 3x{t) - 3yit) + lz{t) + sin 2t,

2.1 Közelítő megoldás, ha a gyöktényezők nem lineárisak

271

tehát a sajátvektorok lineárisan függetlenek. '0,7071067809 -2,121320343 1,414213562 0,7071067809 0,7071067809 0 0 -1,0000000000 1,000000000 .-9 0,9999999996 -0 ,2 -1 0 “^ 0 0 1,000000000 0 Q -Q “ 0 0 1,000000000

A

mátrixból arra következtethetünk, hogy a modálmátrixos megoldás közel egyenlő a pontos megoldással, mivel a szemetes egységm át rix főátlón kívüli legnagyobb eleme

,-9

-0,2-10

x(0 ) = A megoldásvektor: x(/) = j í = ~x(t) + 3y(t) + e^’

jQ • D„ • M=0

•í{u)du ,

ahol inhomogén differenciálegyenlet-rendszer adott kezdeti félté tel vek tort kielégítő megoldását. Megoldás. Az együtthatómátrix és determinánsa: '3 - 3 2 A = -1 5 - 2 , det(A )=16. - 1 3 0_ A homogén rendszer kezdeti feltételt kielégítő megoldása 0 vektor, így csak az inhomogén rendszer kezdeti feltételt kielégítő megoldását kell előállítani. Az A mátrix karakterisztikus egyenletének kettős gyöke van: a -4 )a -2 )^ = o , de a minimálegyenletének gyökei egyszeresek: {X - 4){Á - 2) = 0. Ekkor van három lineárisan független sajátvektor, melyekkel a modálmátrix és determinánsa: 0,7071067812 0,7071067812 -0,9999999998“ Q = -0,7071067812 0,7071067812 0,9999999998 -0,7071067812 0,7071067812 2,0000000000_

det(Q) = 1,000000000,

= ú?íö^(exp(4(í - m)), exp(2(í - «)), exp(2(í - u))). A pontos és közelítő megoldás értékei pl. t = \ helyettesítéssel: 41) = 16,73333363; j(l) = -13,91209323; z(l) = -7,620301153;

jc^(l) = 16,73333363; y^(l) = -13,91209322; z^(l) = -7,620301153

megegyeznek. A következő differenciálegyenlet-rendszer megoldásával szem léltetem azt az esetet, amikor a sajátértékek közelítő kiszámításakor a komplex sajátértékek képzetes része abszolút értékben közel esik a nullához. -_1 _2 - 2 ^ ~x(ty 3. példa. Határozzuk meg az j( 0 = 0 - 2 - 1 y(t) diffe1 -2 -2 renciálegyenlet-rendszer x(0) = [1,1, - i f kezdeti feltételt kielégítő megoldását. Megoldás. Az A mátrix egész értékű sajátértékei: A = -1, /Í2,3 = ~2 .

272

III. Á llandó együtthatójú lineáris dijferenciálegyenlet-rendszerek

A minimálpolinom (1 + DU + 2) ^ tehát A-nak kétszeres zérushe

2.2 A közelítő m egoldás hibabecslése

273

Xp(t) - 0,9999999925e \ yît) = 0,9999999925e~^

lye van a - 2 helyen, így csak két sajátvektora van az A mátrixnak; = - l , Vj

= -0,999999993

; >^,3 = -2 , V2 = [2,1,0].

Ha közelítő számítással keressük a gyököket (MAPLE), akkor a valós gyök mellett konjugált komplex gyökpár is fellép:

A MAPLE programcsomaggal számított kezdeti feltételt kielé gítő pontos megoldásfüggvények: (0 = e \

2 = -2,000000000± 0,00006308724118/, /I3 = -1,000000001.

Mivel a valós rész negatív, a rendszer stabil. A modálmátrix valós sajátvektorokkal áll elő: '-0,003639828088 10,76062210 2,236067975 Q = -0,001819914041 5,380311039 2,236067975 0,0003394289844 0,101 M 0 ~ ^ -2,236067976

1,000000002 0,2-10“^ -0,5475750426-10 -0 ,5 0 -1 0 “^ 0,999999990 0,475750426-10'' 0,9999999926 -0 ,8 -1 0 00 szorzatmátrix eléggé szemetes egységmátrixnak, de a főátlóbeli értékek közel 1-gyei egyenlők, a föátlón kívüli értékek közül abszo lút értékben pedig a legnagyobb 0,5475750426-10 ^ , így jó közelí tő megoldást kaphatunk a 8. jegyig bezárólag. A modálmátrix alkalmazásával kiszámított, kezdeti feltételt ki elégítő megoldás függvényvektora: "0,6 •10~ê“^ Hr 0,9999999925^“^ [4 0 ] yit) = QD Q V 0 ) = 0,2 - 10"ê"^^ + 0,9999999925e“ ' - 0,999999993 zit) p és így a megoldásfüggvények, a közel 0 első tagok elhanyagolásával:

zm (t)

=

,

melyek a modálmátrixos megoldás egész jegyre kerekítésével is előállíthatok. 2.2 A közelítő m egoldás hibabecslése Legyen A a stabil állandó együtthatójú differen ci ál egy enl et-ren d szer «-edrendű invertálható együtthatómátrixa. Képezzünk

A modálmátrix determinánsa: detQ = 0,004083582707 ^ 0 , inverze: -2946,124106 5892,248165 2946,124059 -0,8106766684 1,807216181 0,9965395120 -0,4472135933 0,8944271883 0,2448830039-10'

yM (0 =

%

+

(i,k = l, 2 ,...,n)

elemekkel egy n-edrendű B mátrixot. A B mátrix is invertálható, ha eleget tesz az n ae < l feltételnek, ahol á = max |

(*)

) az A inverzének maximális eleme

\
és £ = max | Aan^ | . Ekkor az inverz mátrixok elemeinek abszolút \
különbségére fennáll az 2.2 % -4

l - n de

egyenlőtlenség, ahol a bn^ számok a B inverzének elemei, azaz hk. - Tegyük fel, hogy a B mátrixnak létezik rendjével megegyező számú lineárisan független sajátvektora. 1. tétel. Legyen A egy állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszer együttható mátrixa. Az A valós sajátértékű, mimmálegyenletének gyökei legyenek egyszeresek, B pedig legyen az ezt közelítő rendszernek a (*) feltételt kielégítő együttható mátrixa. Az A modálmátrixát Q, az alaprendszerének diagonális mátrixát

274

Hl. Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

D, a közelítő B modáimátrixát mátrixát

2.2 A közelítő megoldás'hibabecslése

275

alaprendszerének diagonális

jelölje.

A kezdeti feltételt kielégítő pontos és közelítő megoldásvektor koordinátáinak különbségét stabil rendszernél (i = 1, 2 ,..., n ) , (0 < t Q < t < +'=o)

(1)

egyenlőtlenséggel, nem stabil rendszernél pedig

1

i=i

% ki

egyenlőtlenséggel becsülhetjük, ahol x,„ a kezdeti feltételvektor

h l

hn

H = Q Q - '- Q * Q - ' = h l h l

hn

(4)

abszolút értékben legnagyobb koordinátája, M a D é s d i a g o n á lis mátrixokban előforduló függvények felső korlátja az adott inter vallumban és

Jh%l k i l • ■■ km_

Legyen az Xq kezdeti feltételvektor szolút értékben a legnagyobb

Bizonyítás. A feltételből következik, hogy mind az eredeti mind a közelítő mátrixnak (mankómátrixnak) van modálmátrixa. Ekkor csak alakú függvények képezik az alaprendszert. A kezdeti feltételt kielégítő pontos és közelítő megoldásvektorok: x(í) = QDQ xq ; x^(r) =

xq .

A két megoldásvektor különbsége: x(0 - x^(0 = QDQ“ xo -

=

(QDQ“ ^-

V o • (3)

koordinátái közül ab

, azaz = maxj xi I, i

akkor a pontos és közelítő megoldásvektorok különbségének koor dinátáira a

hl hl

hn

hl h l

hn

\ \

hi 2

^mY.hj 7=1 n

>

^ ml L h j j=y

r

^ in^

Stabil rendszer együtthatómátrixának sajátértékei nempozitívak, így alaprendszerének

(íÔ ) alakú elemei a maximális

értéket í = 0 helyettesítéssel veszik fel (10. ábra), vagyis a / = 0 behelyettesítésével D is is egységmátrixot állít elő, azaz

M összefüggés alapján az (1) hibabecslést kapjuk, azaz (i = l, 2 , . . . , n ) , (0 < ÍQ < / < +oo).

I>i=o =

=E .

Jelöljük H-val és nevezzük hibamátrixnak a A = 0 helyettesí téssel kapott zárójeles részt, akkor

A nem stabil homogén állandó együtthatójú lineáris differenciál egyenlet-rendszernél tekintsük a % e Uh és t i < t < t 2 véges

III Á llandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

276

intervallumot. Az ^ minden véges intervallumban korlátos. Le gyen a pontos megoldás alaprendszerére

277

2.2 A közelítő m egoldás hibabecslése

A kezdeti feltételt kielégítő közelítő megoldás helyes jegyeinek számát a max[Q^Q^^];y , ill. M max[Q^Q^^],y y y

Mp = max(e^'^), t e [ti,Í2]

elem kitevőjének abszolút értékéből becsülhetjük. a közelítő megoldás alaprendszerére pedig

2. Ha az A mátrixhoz két, B| és B2 , közelítő mátrixot képe

= max(e^'^), t e [íi,í2l • i Ekkor

M =max(Mp,Mk)

választással a D és

helyett M -E helyettesíthető a (3) formulá

ba, és így a

(QDQ '-Q iD iO í‘)xo formuláról .-K (QAÍEQ-^ -QfcM EQfcVo = M (Q Q ^ - Q k Q k > 0 formulára térünk át, melyből a H hibamátrix: H = M ( Q Q " '- Q * Q íV

(5)

Legyen az Xq kezdeti értékvektor koordinátái közül abszolút értékben a legnagyobb

, azaz

= max] x, | , akkor (5)-re való i tekintettel a nem stabil rendszernél a kezdeti értéket kielégítő pon tos és közelítő megoldásvektorok különbségének koordinátáit a (2) egyenlőtlenséggel becsülhetjük, azaz \x,(t)-X i,ît)\< M

-X,

Megjegyzés 1.

Feltételezhetjük, hogy Q Q “ ^ közelítőleg az egységmátrix

szal egyenlő, ezért a (4) helyett H = H t= E -Q iQ t ‘ ,

(4*)

3. Abban az esetben, ha az A mátrix minimálegyenletének csak egyszeres és kétszeres gyöke van, akkor egy vagy több együttható „kicsi” megváltoztatásával, vagy egész elemek esetén egy tizedes pont beütésével, olyan mankómátrixot állíthatunk elő, amelynek minimálegyenlete a mátrix rendjével megegyező számú egyszeres gyököket és lineárisan független sajátvektorokat tartalmaz. A man kómátrix alkalmazásával képzett modálmátrixos eljárás megbízható eredményt azonban csak akkor ad, ha a mankó mátrix sajátértékei valósak és az eredeti mátrix sajátértékeitől a 4-5. jegytől kezdve eltérnek. (2. példa) Ha az A minimálegyenletének kettőnél nagyobb multiplicitású gyökei is vannak, akkor célszerííbb a Jordan-íéle. blokkokat az általam megadott módszerrel előállítani és utána az exponenciáhs mátrixfüggvény normálalakjával képezni a megoldást, melyet a 3.6 pontban részletesen ismertetünk. 1. példa. Négy ismeretlen függvényt tartalmazó lineáris differenciálegyenlet-rendszer A együttató mátrixát mérési sorozattal kaptuk: ^0 5,0000004 1,0000007 6,' 0 10, -1,0000003 10, A= 0 -3 9 , 0 -4 0 , 1, - 20, 2,0000001 - 20, ^

az (5) helyett pedig H -

zünk, melyeknek rendjükkel megegyező számú lineárisan független sajátvektoruk van, (1. példa), akkor a modálmátrixszal előállított megoldásaiknak egymáshoz viszonyított hibabecslésére (4), ill. (5) hibamátrixot használhatjuk.

T

Állítsuk elő az x(0) = [1,0,1,1] = M (E -Q ^ Q ^ b = MRk

h ib a m á trix o t alk alm azh atju k .

(5*)

kezdeti feltételt kielégítő meg

oldást az A mátrix és az A mátrixot közelítő A^ mátrix felhaszná-

278.


2.2 A közelítő megoldás hibahecslése

Áki - -1, Áj^2 -

lásával, melyben az elemek egészre kerekítve szerepelnek; 0 5 1 6 0 10 - 1 10 Az, — 0 -3 9 0 -4 0 1 -2 0 2 -2 0 Megoldás. Ezzel a példával azt az esetet szemléltetjük, amikor mindkét mátrixnak van a rendjükkel azonos számú független saját vektoruk. Az A mátrix sajátértékei, a sajátvektorokkal felírt modálmátrix és ennek inverze: ;i^ = -0,999992139, ^2 = -2,000050089, Í 3 = -4,000041935,

-

Az alaprendszer diagonális mátrixa:

A megoldásvektor: x ( 0 = QDQ~^Xq =

4,16654935 - 2,333291

ahol Ai, Á2,

10,002044 lOfe^

25,330040279fe^ 0,00015 17362284í;^

.

7 3 27 2 29 2 67 6

17 6

7 14‘ 3 3 9 -1 5 2 7 -1 5 2 13 34 6 3_

=diag(e \ e

e

e

.

A kezdeti feltételt kielégítő megoldásvektor:

^/((O -

-

Mivel

Q i , Q i , = diag(l,\,l,í),

+

_ 1 |9 ^-3/

l | g ^-4/

azaz egységmátrix, így az A és A^, mátrixokkal képzett megoldás vektor pontos értéket adó jegy számát a

-0,999992139/ -2.000050089/ -4,000041935/ -2,999915831/s D = diag(e ’ . , e ,e ,e J.

4,000669412e^

14 3 15 2 5

8 3

-7,422014671 3,710918311 -3,711003341 7,421956521 ' 3,666880423 -6,600597583 2,200148524 -7,333944586 0,7184086134 -2,831406073 0,5493725840 -2,873664591 0,07245479480 -0,2101124414 0,05071783861 -0,2173582884

2,499952924;^

- -4 ,

Az alaprendszer diagonális mátrixa:

■ 0,7185522460 6,818418066 15,77350067 -414,0655842 0,6736490165 -2,727266179 0,0000944877 69,01762941 -1,122737891 -12,27327096 -39,43394286 897,1293575 0,6287395655 2,045405612 -3,943527741 -0,0093748752

- 2,666591570e^

- "3,

8 10 - 6 - 4 7 JT. 15 4 1 0 14 3 25 - 6 13 10 14 1 1 0 i_

;i4 = -2,999915 831.

Q

279

38,9990382&^41 6,500470630e^4 ^

^ +18,003 8531 ^ + 63,32631400e^ ^ - 8 4 , 4 9 6 7 1 6 1 ^ 1 3,000437476e^ 6,332845709^^^ 0,00088297876 le^4'

/I4 kitevők a megfelelő sajátértékekkel helyettesí-

tendők. Az egész értékekre kerekítéssel előállított A^ mátrix sajátérté kei, modálmátrixa és ennek inverze:

. . ,. . ^-6 0,9-10'.-7 -0 ,4 1 4 0 “ 0 r^-7 -0,19 10 ' 0,99999994 -0,8-10~° -0,1-10.-7 -0,8-10~^ QQ ' = -0,61-10"^ -0,3-10” ^ 0,99999995 0,10 •10“ ^ .-7 ..- 8 ,^-7 -0,336589-10“ ' -0,2084-10“ ^ 0,115926-10“ ' 1,000000047

1,00000021

hibamátrix főátlón kívüli, legnagyobb abszolút értékű elemének ki tevőjéből becsülhetjük, mely 10 ^ , vagyis 6 jeggyel bezárólag pon tos megoldást kapunk. Az alaprendszer exponenciális függvényei e

alakúak, (a > 0), melynek gráfjából ( jellegét a 10. ábra szem

lélteti) látható, hogy a becslés minden / > 0 mellett helyes ered ményt ad. Például a t - 1 helyen számított megoldások és különbségük:

280


■-0,856665437" 1,137423727 x(l) = 0,921849794 -1,148392107

■-0,8566651942" 1,137423792 0,921849289 -1,148392166 -0,2 4 2 8 -1 0 “^ -0 ,6 5 -1 0 “ ^ 0,505 •10"^ 0,59-10“ ^

A legnagyobb eltérés ==5-10^, a 3. koordinátában jelentkezik, mely 10" ^ -nál kisebb. 2. példa. Számítsuk ki annak a lineáris differenciálegyenlet rendszernek a kezdeti feltételt kielégítő megoldásvektorát, melynek kezdeti feltétele: x(0) = [1, 0, 1, 1] , és együtthatómátrixa; -1 15 -1 16 0 1 0 -1 11 A= 1 -3 7 2 -3 9 1 -1 8 2 -1 9 Megoldás. Az A mátrix karakterisztikus- és minimálpolinomja és sajátvektorai; k(X) = a + l)(/l + 3)(Á + i f ,

2.2 A közelítő megoldás hihahecslése

281

1,719734345 -0,8417716020 45,72761414 -5,300658408 ' 0,4299335772 1,052214045 -0,0048978808 -0,0005673839571 -3,869402282 2,314871604 -100,6002618 11,66150529 -0,8598671617 -0,8417711837 -9,140135335 1,060755824

'11,63143997 4,752648563 1021,175927 8812,290353

-33,73129916 -2,376485143 -1837,799514 -15864,85840

8,142044712 2,376314602 612,6727517 5287,657275

-31,40494125' -2,376361188 -1633,575293 -14102,30630

Az alaprendszer diagonális mátrixa; D^=diag(e^', A megoldásvektor;

.

- 20,003015346'^ ^ - 4,000605380é’^ ^+12,50127é>'^ ^ +12,502252é-"^41 - 5,000753727^^^^ +5,00075455í?^^ -0,00139010e^^ + 0,001338273/ 4 ' 45,00678455í?^ ^ + 1 l,00166336e^ ^ - 27,50272e"^31 _ 273Q562e^4 ^ 10,00150755e^ ^ - 4,000603392^^ ^- 2,498781e^ ^ - 2,501975^^41

A pontos megoldásvektor (1. a 3.6 pontot);

x(0 =

m(X) = ( Í + 1)U + 3)(/l + 2)^ ,

V, (-1M 1, - - ■- — . 1]^. V2 ( - 3 H 4 ,1 - 9 - 2 f , v ( - 2 H - 5 , 0,11, i f • 4 4 A sajátértékek nullánál kisebbek, a rendszer stabil. A - 2 kétszeres sajátérték. A lineárisan független sajátvektorok száma 3. A modálmátrix nem írható fel. Próbáljuk meg valós közelítéssel meghatá rozni a sajátértékeket és sajátvektorokat. Ehhez elegendő például az első elem 1.0 alakra hozásával a MAPLE programmal elvégeztetni a számítást. A sajátértékek, a sajátvektorokkal felírt modálmátrix és inverze; = -2,99999991A, ;i2 = -1,000000127, A3 = -1,999732272, Á4 = -2,000267647.

‘1,00015

-0,00039 0,00003 -0,00001 0,22 • 10~^ 0,999999932 - 0,6 •10"^ 0,66 10r^-7 0,0001 1,00008 0 0,0007 >-5 ............. - .- 5 0,5-10“ ^ 0,00023 -0 ,7 -1 0 “^ 1,00015 szemetes egységmátrix föátlón kívüli elemeiből arra következtethe tünk, hogy a közelítő megoldásvektor koordinátái a 4 . jegyig a kerekítési hibakorláton belül pontosak. A t = 1 helyen a pontos megoldás- és a közelítő megoldásvektor; x(l) = [0,916122948,1,590461864, -1,156348646, -1,650323497]^, X/t(l) = [0,916263412,1,590701485, -1,156528564, -1,650572466]^,

282


2.2

közelítő megoldás hibabecslése

A két megoldás különbsége 6 jegyre kerekítve:

x(t) y(t)

x ( l ) - x ^ ( l) = [-0,000140, -0 ,0 0 0 2 4 0 0,000180 0 ,0 0 0 2 5 0 f .

283

= Q D Q -'xo =

Z{t)

Példa 1. Számítsuk ki az (í)l

-1 - 2 ir x ( í) ' (0 = - 2 - 4 - 2 y{t) (í)J [ - 2 - 1 - 2 j [ z ( í ) .

'1 - 1 r r e - 6t 0 2 0 -2 0 1 1 1 0 0

[-2

(I)

0 0

1

4

-2

1 r T 0 2 0 1 -1 1 1

differenciálegyenlet-rendszer és az au elem módosításával előálló

'i(O l

-2,000000001 -1 - 2 *40

y(t) =

-2 -4 -2

y(t)

(II)

- 2 -1 - 2 _^(0.

differenciálegyenlet-rendszer x(0) —[1,0,1]

kezdeti feltételt kielé

gítő megoldásvektorát. Képezzük modálmátrix alkalmazásával az (I) pontos és a sajátértékek, sajátvektorok közelítő megoldásával képzett megoldásvektorát, valamint a (II) közelítő megoldásvekto rát. Becsüljük meg a megoldások koordinátáinak hibakorlátját, és vessük össze a megoldások t = l és í = 3 helyettesítéssel kapott értékeit. Megoldás. Az (I) rendszer mátrixának pontos eljárással számí tott sajátértékei és sajátvektorai; ^ - - 6, vi = [1, 2, i f ; Á2 = 0, V2 = [ - 1, 0, i f ;

1 det Q = 8

\ = -6,000000014, Á2 = 0,706 • 10“ ^°, ^ = -2,000000000, V] = [0,4082482884,0,8164965806,0,40824829 l o f ; V2 = [-0,8660253994, 0,11 • 10“^ 0,8660254033]^ ; V3 =[0,3535533931, -0,7071067782, 0,3535533889f. Az (I) rendszer kezdeti feltételt kielégítő közelítő megoldásának függvényvektora:

= - 2 , V3 = [1, - 2, i f . y(t) .2(0 .

A modálmátrix és determinánsa: 1 -1 Q= 2 0 -2 1 1 1

Az (I) közelítő módszerrel számított sajátértékei és sajátvektorai a számítógép maximális jegyszámával:

0.

0.4 9 9 9 9 9 M 5 7 « ^ “ ™ »< > »'*+ 0,9 ■ 0,999999996Cfc-^“ " ™ « ’« ' - 0,11,

' 1 I í -2 0 2 1 -1 1 A kezdeti feltételt kielégítő - a Lagrange-féle mátrixpolinomos megoldással megegyező - modálmátrixos módszerrel előállított pontos megoldás:

+ 0 ,5 0 0 0 0 0 0 0 3 & ^ 2 .*

_ o,99999g9960e^^''>‘

0,4999999989,-“ ™ ““ "•'+0,8.10-V»-’“ '">"'"'+0,500000002k'2..0< A (II) rendszer közelítő módszerrel számított sajátértékel és sajátvektorai a számítógép maximális jegyszámával:

m, = -5,999999992, ni2 = 0,43077-10“^

= -2,000000000,

285

2.2 A közelítő megoldás hihahecslése 111 Állandó együtthatójú lineáris dijferenciá l e g y e ^ ^

284 w , =

A pontos értékek és közelítő eljárással meghatározott értékek valóban csak a 9. jegyben térnek el.

[0 ,4 0 8 2 4 8 2 8 9 3 ,0 ,8 1 6 4 9 6 5 8 1 9 ,0 ,4 0 8 2 4 8 2 9 1 6 ]^ ;

W

2

=

W

3

= [0 ,3 5 3 5 5 3 3 9 1 4 , - 0 ,7 0 7 1 0 6 7 8 2 7 , 0 ,3 5 3 5 5 3 3 8 8 9 ]

[ - 0 ,8 6 6 0 2 5 4 0 3 6 , 0 ,1 - 1 0 '^

Megjegyzés Mivel közelítő eljárással végeztük a számításokat, így a modálmátrix és inverzének szorzata szemetes egységmátrixot ad:

0 ,8 6 6 0 2 5 4 0 6 3 f ;

.

Az (II) rendszer kezdeti feltételt kielégítő közelítő megoldásá nak függvényvektora:

Q/Q7' =

0 ,1

'x{t) yit)

r

=

0

-

0, M 0~^

-1 0 ,1 - 10 “ ^ H = Q,Q7 -Q //Q // 0 ,1 - 10 " ^

0 -

0 -

0 ,1 - 10 ' ^

^-9

0 ,1 -1 0 0

OJ ■10“’ , alapján arra követke-ztethetUnk, hogy a pontos és a közelítő megoldások koordinátái legfeljebb a 9. jegyben f ^ ^ Hasonlítsuk össze a pontos, az (I), valammt a (II) megoldások í = 1 és í = 3 helyettesítéssel számított értékeit.

0 ,0 6 8 9 0 7 0 1 7 6 9 ,

* ,= 0 ,0 6 8 9 0 7 0 1 9 0 ,

= -0 1 3 2 8 5 6 5 3 1 0 ,

y , = -0 .1 3 2 8 5 6 5 3 0 5 ,

^ " = 0 .0 6 8 9 0 7 0 1 7 6 9 ,

z , =

l ” -0 0 0 l2 3 9 3 8 3 7 0 4 ; :

0002478736W

í;:0 ,r 2 3 9 3 8 3 7 0 4 ;

- 1 0 “^^ 1 ,0

"1 -1 r ■ 1 1 r '1 0 0' = 2 0 2 2 0 2 0 1 0 QQ"' = 4A 1 1 1 1 -1 1 0 0 1

A hibaraátrix elemeiből a legnagyobb abszolút értékű elem,

?

0

0 0 ,1

Az egész számokkal direkt eljárással végzett számítással Q Q ^ eredménye valóban az egységmátrix, azaz:

Az (1) és (II) rendszer megoldásvektorai különbségéhez tartozó

=

0 1 ,0

átlón kívüli elemek 10^^*^ ~ 0 értékkel helyettesíthetők, tehát a hiba mátrixot E - E = 0 mátrixnak vehetjük.

hibamátrix;

/

- 0 ,1 - 1 0 ”'^ 0 "1 , 0 1 ,0 • 1 0 ~‘^ 0 1 ,0 . Q«Q7;' = 0 lO -1 0 -^^ - 0 ,1 -1 0 “^ 1 , 0

A gyakorlati számítások szempontjából ebben az esetben a fő-

-5,999999992r in-^g-O^SOTT-lO ^ q^ q00000014; 0,49909999994é? -Ü4-1U e - - 5 ,9 9 9 9 9 9 9 9 2 f p ,. ,a-19 -043077-10 _i000000003e l,5000000022e +0,4-10 e _ 0,5ü00000022.r^’‘' ‘' ‘'‘^‘'‘'''‘'"^ + 0,4999999979e ’

7

0 ,1

0 ,0 6 8 9 0 7 0 1 7 1 ,

* , = 0 ,0 0 1 2 3 9 3 8 4 6 1 2 ; ;

--0 ,1 3 2 8 5 6 5 z „

,

= 0 .0 6 8 9 0 7 0 1 7 9 .

x „ = 0 ,0 0 1 2 3 9 3 8 3 3 0 7 ,

v = - 0 , 0 0 2 4 7 8 7 3 6 9 3 7 ; y„ = - 0 , 0 0 2 4 7 8 7 3 6 9 5 4 ; ; ”

= 0 ,0 0 .2 3 9 3 8 2 m

.„

= 0 ,0 0 1 2 3 9 3 8 3 9 9 8 .

Összefoglalva, most vizsgáljunk meg egy olyan esetet, amikor a rendszer mátrixához tartozó minimálpolinomnak is többszörös zé rushelye van, így nincs a mátrix rendjével megegyező számú lineá risan független sajátvektor, tehát a modálmátrixos eljárás közvetle nül nem alkalmazható. Ilyenkor általában próbálkozhatunk egy olyan mankómátrixszal (közelítő mátrixszal), amelynek már van a rendjével megegyező számú sajátvektora. Az A mátrix egyik elemének |A a| < 10""^ , ( m > 6 , m e N ) értékkel való megváltoztatásával képzett B mátrix, akkor állít elő az invertálhatóság feltételének kielégítése mellett - jó közelítő mát rixot, ha a B közelítő mátrix sajátértékei az A sajátértékeivel azo nos előjelűek maradnak, (kivétel a többszörös 0 sajátérték közelíté sének esete), és nem lesznek azonosak az A mátrix sajátértékeivel, mert ebben az esetben általában nem kapunk közelítő megoldásokat a differenciálegyenlet-rendszer megoldásvektorának mindegyik függvénykoordinátájára. Kísérletezéssel általában találhatunk olyan űy elemet, melynek Aa -val való megváltoztatása olyan B mátrixot

286


hoz létre, melynek sajátvektoraival képzett modálmátrixszal elő tu dunk állítani olyan függvényvektort melynek függvénykoordmátái jó közelítései a pontos megoldásvektor függvénykoordinátáinak. Abban az intervallumban, melyben az alaprendszer elemei korláto sak, a helyettesítési értékek általában 4-5 jegy pontossággal megad já k ’a kezdeti feltételt kielégítő megoldásfüggvény vektor koordinátáit. A B közelítő mátrixszal képzett kezdeti feltételt kielégítő megol dásvektor koordinátái és az Hermite-íélo. mátrixpolinommal előállí tott megoldás vektor koordinátái összehasonlításával szemléltethető a közelítő modálmátrixos eljárás alkalmazhatósága. Példa x{ty

1. Számítsuk ki az

m _ z(tl

-2 -1 = 0 -2 L

3

2 -3

r '4 0 (I)

1 y(t) -J

x{t) y(t) z{t)

287

det(;iE - A) = 0, melyből {X + 5)(Á +1)^ = 0 , tehát kettős gyöke van. Az (I) rendszer kezdeti feltételt kielégítő Hermite-félQ mátrixpolinomos megoldása: Xp(t) = e~\ y ^ { t ) ^ t e ' \ Zp(t) = e~^ +te~^. Megjegyzés Ha az (I) rendszer A mátrixának valamely elemét tizedes pont tal, (pl. - 2 .) alakban vesszük fel, akkor a MAPLE V Release 5. programcsomag közelítő eljárással állítja elő a megoldást. E példá ban valós és a konjugált komplex sajátértékekhez, valós sajátvektorokat számít ki. Az így kapott modálmátrix determinánsa nagyon közel van a nullához: det Q = 0,00005557512924, a közelítő gyökök: A = -5,0; /Í23 = -1,000000001 ± 0,00040/;

rendszer és az a i3 + 0,000000001 elemmódosítással kapott 1,00000000f -2 -1 'kit) = 1 2 0 y (0 2 -3 3

2.2 A közelítő megoldás hibahecslése

(II)

valós része az A mátrix sajátértékeivel azonosnak vehetők, a képzetes rész is közel 0, így jó közelítést a modálmátrixos módszerrel nem kaphatunk. Ha előállítjuk a megoldást a modálmátrix felhasz nálásával. tapasztaljuk, hogy az .x, y, z függvények közül az

rendszer, valamint az a|3 + 0,00000001, úigi+ 0,0000000001 elem módosítással kapott K t)

1,0000000 r x{t) -1 y{t) 1 -2 0 3,0000000001 2 - 3

-2

^x(t)

—

(III)

differenciálegyenlet-rendszerek x(0) = [l,0, l f kezdeti feltételt kie légítő megoldásait. Képezzük az (I) pontos, valamint modálmátnx alaklmazásával a (II) és (III) közelítő megoldását. Becsüljük meg a megoldások koordinátáinak hibakorlátját, és vessük össze a megol dások t = \ és t = 3 helyettesítéssel kapott értékeit. Megoldás. Az (I) rendszer pontos eljárással számított sajátérté kei és sajátvektorai; Ál = -5 , V] = [ -j, 1, - 3 f ; ^23 = -1, V23 = [0,1,1] • A minimálegyenlet megegyezik a karakterisztikus egyenlettel:

megoldás gyakorlatilag minden t > 0 értékre zérust ad. A (II) rendszer mátrixát az (I) rendszer mátrixából megkapjuk, ha az ö]3 elemét Aö = MO~^° értékkel növeljük. A (II) rendszer közelítő módszerrel számított sajátértékei és sajátvektoraival felírt modálmátrixa, valamint Q /; determinánsa a számítógép maximális jegyszámával: n = -5,000000008, T2 = -0,9999835690,

= -1,000016432,

■-0,3885143453 -0,0000127530 -0,4145463308 Q / / = -0,2913857599 -0,7760568158 25230,71649 _ 0,8741572762 -0,7760695678 25230,30191 det Q /; = -1 ,0 0 0003483^0. A sajátértékek előjelhelyes jó közelítései az (I) rendszer mátrixához tartozó sajátértékeknek és a modálmátrix determinánsa zé-

288


rustól különböző, tehát a sajátvektorok lineárisan függetlenek, a modálmátrixos megoldási eljárás alkalmazható. A (II) rendszer kezdeti értéket kielégítő megoldás függvény vek torát a

2.3 Megoldás Hermite-féle mátrixpolínommal

A megoldások közelítő pontosságának becsléséhez a becslő formulák közül a (4*)-ot használva:

h

Xp(0 = Q //D //Q //x(0) formulával képezve, a megoldásfüggvényeket a következő alakban kapjuk (a sajátértékeket röviden rj, T2, jelöli): x^^(t) = 0,4535 •

+ 0,5000431484e''2^ + 0,4999563984í'3í

- 30428,567

A (III) rendszer közelítő módszerrel számított sajátértékei és sajátvektoraival felírt modálmátrixa, valamint Q//j determinánsa a számítógép maximális jegyszámával; m, = -5,000000006; m2 = -0,9999109473;

0 H /;; - E - QjjjQiii =

0.

A kezdeti feltételt kielégítő megoldásfüggvények a modálmátrixos módszeixel képezve (a sajátéitékeket röviden mj, m2, m-i, jelöli): x(t) = -0,3200 ■

+ 0,5000407064e"^-' + 0,4999596138e"^3'

y{t) = -0,2400 ■10~^/^'' + 5614,800232e"^2í _ 551430023 z{t) = 0,7201 • 10“

-0,1-10

,-5

0

,-9'

-0,1-10 0 0

hibamátrixot is alkalmazhatjuk, mivel stabil a rendszer. M indkettő ből arra következtethetünk, hogy a megoldások 5 jegyre pontosak. Hasonlítsuk össze az (I) pontos, a (II) és a (III) megoldások t ~ 1 és t = 3 helyettesítéssel számított értékeit: t = l:

= -1,000089048.

-0,3885143465 -0,0000691116 -0,4145603838 -0,2913857571 -0,7760324766 4655,723532 Qm = 0,8741572760 -0,7761015853 4655,308956 detQ /// = -0,9999995859

0 0 -0,1-10"^ , / = e - q „ q 7; = 0 0,1-10“ ^ 0,1-10“^ 0 0,1 • 10“^ 0,1-10"^

hibamátrixot, ill.

y^(t) = 0,3400-10“ ^ / '' +30429,06717e''2' -30429,06717/3', = -0,10202 • 1 0 '^ / ’' + 30429,567

289

+ 5615,300253e'”2' - 5614,800253/^^'.

A (II) és (III) eredményeinek összehasonlítására szolgáló hiba mátrix: 0 0 ,-5 ,-5 0,1-10 H = Q ;„Q 7 ;;-Q ;;Q 7 /‘ = 0,1-10

X[ = 0,3678794412; xjj = 0,3678792779; Xjjj = 0,3678795617; yj = 0,3678794412; yjj = 0,36788; yjjj = 0,367879; Z} = 0,7357588824; zji = 0,73575; z m = 0,735759. t = 3: X[ = 0,04978706837; Xjj = 0,04978704601; Xju = 0,04978708751; yj = 0,1493612051; y^ = 0,149360; yjjj = 0,1493612; Zi = 0,1991482735; z// = 0,199147; zju = 0,1991483. Amint látható az (I) rendszer Hermite-féle polinomokkal kapott megoldásfüggvényeinek helyettesítési értékei valamint a két közelí tő mátrix felhasználásával előállított modálmátrixokkal képzett (II) és (III) rendszer megoldásainak helyettesítési értékei a hibamátrix alapján becsülhető 5 jegyre megegyeznek. 2.3 Megoldás Hermite-féle mátrixpolinommal Az előző pontokban többször említettük, hogy ha a homogén lineá ris differenciálegyenlet-rendszer A együtthatómátrixának karakte risztikus pohnomja mellett a minimálpolinomnak is többszörös

290

Hl. Á llandó együtthatójú lineáris dijferenciálegyenlet-rendszerek

zérushelye van, akkor nem létezik n számú lineárisan független sajátvektor. Ez esetben a klasszikus analízis az Hermite-féle mátrixpolinomok létrehozásával képezi a megoldást [K83]. Most az Hermite-íé\& mátrixpolinom alkalmazását három isme retlen függvényt tartalmazó rendszer megoldásával szemléltetjük, és alkalmazzuk a modálmátrixos megoldást is, amelyet közelítő együtt hatómátrixból képezünk. A következő pontban az 1. példát a Jordan-alakot előállító transzformáció mátrixának és az exponenciális mátrixfüggvény normálalakjának felhasználásával is megoldjuk. 1.

példa. Határozzuk meg a

2.3 Megoldás Hermite-féle mátrixpolinommal

291

A Híj (A) alappolinomokat a következő módon számítjuk ki: A Hiq(w) = (aw + b)(w- 2 ) alappolinom a, b együtthatóit H^q(- 2) = ] és HÍo(-2) = 0 feltételekből, a Hl i{w) = c(w + 2)(w - 2) alappolinom együtthatóját a ^ íl( - 2 ) = l , H 2q(w) = d(w + 2)^

^ együtthatóját pedig a

^ 2 o(2 ) = 1

homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszer általános és az

feltételből határozzuk meg. A

rx o )] ■f Xo = y(0) = 2 1 z(0)

H io (-2) = (~2a + b )(-4) = : l H j'o(-2) = a (-4) ~ 2a + b = 0

kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldását.

egyenletrendszerből a =

Megoldás. Az együtthatómátrix és determinánsa: ~0 1 0“ A= 0 0 1 det A = 8 4 -2

8

A

A

/Í2 o(2) = 16 í/ = 1

H\o{w)

= 2.

terisztikus polinommal, tehát a - 2 kétszeres zérushelye.

alakban állítjuk elő.

|-)(w - 2 ) , Hli(w) = ~ ^ ( w + 2) ( w - 2 ) , H 2q{w) = ~ ( w + 2 )^ .

Az alappolinomok ismeretében felírhatjuk a mátrixpolinomokat:

mátrixfüggvényt

i(A) +

= c(-4 )+ 0 = 1,

Az alappolinomok:

A minimálpolinom: jU(Á) = ( Á - 2)(Á + 2 f , megegyezik a karak

Az

8

feltételből pedig

k -1 0' 0 k - l = £ + 2Á ^ - 4A - 8 = ( Á - 2)(A + 2f det(/Ê -A ) = - 8 - A k +2 = -2,

h ;,(-2)

b=

egyenletből

.

Az A mátrix karakterisztikus egyenlete:

A sajátértékei:

16

(1)

292

IN. Állandó együtthatójú Imeáris differenciálegyenlet-rendszerek ■

z( t )- e

1 0 -i

« 1 i(A) = - t (A + 2 E )(A -2 E ) = - 2 0

1

40

-1

293

( - q —C2+-|-C3)+fó ^\Aci~c-^)+e^\ci+C2 +^c^)

rendezett alakjában az exponenciális tagok zárójeles együtthatóit bi, bj, -mai jelölve, a homogén rendszer általános megoldás függvényei: x{t) = j ((^ +

>1 i í '20(A)


= i^ ( A - 2 E ) " = Í - 2 2 I y(0 ~ "2 ^

4 4 1

“ ^2^^

z{t) - b\6~^^ + h2té~^ -h bê^\ A kiszámított mátrixpolinomokkal megadhatjuk az (l)-nek megfe lelő exponenciális mátrixfüggvényt:

^ 10-il

■ 3 -1 4 1 At e- 2t e =-

-2

2-1

-4 -4

+ te

- 2t

- í

2t

i

2 z 2 z -í2

4 0 -1

4 4 1

-20

3 _

.

Az általános megoldást megkapjuk, ha elvégezzük az összevo-

A kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldást megkapjuk, Á.t ha az e mátrixfüggvényt megszorozzuk az Xq kezdeti fel tételvektorral: XF At yp —e _Zp_

16 4 2 — g3 -. 2 / - J3t ,e - 2t 1 _ 4

nást és az így kapott mátrixot a c = C2 konstans vektorral jobbról L^3J szorozzuk:

16 13 2l 4

_

és a megfelelő komponensek egyenlőségéből a partikuláris megol dásfüggvények:

3 -It - 2t ^ 1 2t + te + T4 6 x(0 = \4

^2 +

z(t) = (-e

+ 4te ^ + e^)c[ + { -e

H Összevonva és a

4

^C2 + ,C3-

Most vizsgáljuk meg, hogy milyen lépésekkel állíthatjuk elő modálmátrix felhasználásával a kezdeti feltételt kielégítő közelítő megoldásvektort. A modálmátrix felírásához három lineárisan független sajátvek torra van szükség. Ennek előállításához az A együtthatómátrix helyett az

294


0 0,99999999 0 A ,= 0 0 1 8 4 -2

(*)


elem, így a számítógép maximális jegy számának 5. jegyéig pontos, 6. jegyéig kerekített értéket várhatunk. A kezdeti értéket kielégítő megoldásvektor: 'x(t) y(t) ^ Q D Q - % = z(t)

mankómátrixszal (közelítő mátrixszal) kísérletezünk. A determináns értéke 8-ról 7,99999992 -re változott. Az

mátrix sajátértékei valósak és különbözők (általában jó

közelítővektort kaphatunk, ha a 4-5. jegytől különböznek az A sajátértékeitől): = -1,99987901 l;A2 = -2,000120991; I 3 = 1,999999999; így van három lineárisan független sajátvektor is.

3099,53630k^^ -3099,348804^^^ -1-0,81249980706^^ - 6198,697634^'^ ^ + 6 1 99,072638e^ ^ + l,624999625e^' 12396,64527/*' -12398,69529^^^^ +3,249999258e^^ ahol /Íj, /Í2, /I3 helyére a megfelelő sajátértékeket kell írni.

-0,718070328" 8170,30394’ ~-0,440247748'" Vj= 0,880442237 ; V2= -16341,59650 ; V3= -1,436140665 2,872281337 32685,17012 -1,760777947

Például a kezdeti feltételt kielégítő megoldásvektor a t - l he lyen vett pontos és közelítő koordinátái: f6,130484908' = 11,85496397 yp 24,11593378 J-P,

amelyek alkotják a modálmátrixot; Q=

'-0,4402477481 8170,303936 -0,7180703276 0,8804422370 -16341,59650 -1,436140665 [-1,760777947 32685,17012 -2,872281337 _

és mivel a detQ = - 10,00000 lineárisan függetlenek. A modálmátrix inverze:

0 , így a sajátvektorok valóban

'6,130483349“ = 11,85496108 yk 24,11592682 ^k^

A közelítés 6 jegy pontossággal elfogadható. Az M (E -Q ^Q ^ ^) becslő formulát alkalmazva pl. a -1 < í < 1 intervallumon, durvább hibakorlátot kapunk, ui. a = 7,389056099,

M = max

-9387,816459 0,2839310000 2346,812128 -0,5057602618 -0,0000152994 0,1264477139 -0,3481560000 -0,3481550000 -0,08703850000 Az alaprendszer diagonális mátrixa: D = j;^g(g-l>999879011f ^-2,000120991/

295

1,999999999/s ).

A hibamátrix: -6 -0,23579-10 -6' 0,9999984930 -0,9565-10 0,5293-10“ ^ 1,000001020 H = QQ“' = 0,9894-10r6 .-5 ^-5 0,9999980592 - 0,8019 •lO"-' -0,38261-10 -5

A főátlón kívül, abszolút értékben 0,8019 -10

a legnagyobb

tehát a hibamátrix: H = M(E - Qi^Qj^ ^ = 0,000011135308 ■0,7310732104-K 0,000059252841

0,7067632159-10 -0,753683722-10' 0,000028271268

-5

0,1742265538-10'-5 -0,3911027393-10,-5 0,000014340680

melyből arra következtethetünk, hogy az 5. jegyben lehet eltérés a pontos és közelítő megoldás komponenseiben. Ezt a H -x o =

= [0,00002701283740, -0,00002629543393, 0,0001301360560f vektor komponensei is szemléltetik.

296


A kidolgozott példánál két sajátérték negatív, és egy pozitív szám. Az ilyen alaprendszerből következik, hogy a pontosság nem romlik t pozitív növekedésével, mindaddig, amíg a pozitív kitevös tag a pontosság megkövetelte korlát alatt marad. M egjegyzés. A MAPLE V RELEASE 5. differenciálegyenlet rendszert megoldó programja által kiszámított megoldás vektor és a modálmátrixos módszer megoldásvektora közötti eltérést, ha mind két eljárásnál azonos együtthatómátrixot használunk, mindig jól megadja a hibamátrix. Ennek szemléltetésére a (*)-gal jelölt mátrixú rendszer megoldás vektorait hasonlítsuk össze az öi2 = 1 elem 0,9999999 tizedesjegyíi közelítésével kezdve 0,9 közelítésig, mindig egy-egy jeggyel csökkentve a tizedes jegyek számát. Csak a H = E -Q Q ~ ^ hibamátrix legnagyobb értékét (m-mel jelöljük), továbbá a MAPLE programmal előállított és a modálmátrixszal képzett kezdeti felté telt kielégítő megoldást soroljuk fel. A kezdeti feltétel vektora: x(0) - X q - [1,2,1]. A MAPLE megoldásvektort p indexszel, a mo dálmátrixos megoldásvektort k indexszel különböztetjük meg. 1.

2 =0,9999999 . 771 = 0,13236-10

; 5-6 jegyre pontos:

' 6,1304509 ' ' 6,1304832 “ 11,8549615 ; H = 11,85496503 24,11593554 24,11592819 -6 2. a j2 = Q,999999 . m = 0,638 -10 ; 6 jegyre pontos: ’6,130480034' '6,130477229' 11,85495706 ; H = 11,85496280 24,11592584 24,11591458 3. 012 = 0,99999. m = 0,982-10

-7

; 7 jegyre pontos:

'6,130426372' '6,130426744' 11,85493252 ; ^k = 11,85493185 24,11591538 24,11591704


4. Ö12 = 0,9999. m = 0,81 • 10 ^ ; kerekítve 8 jegyre pontos '6,129898829' '6,129898849' Xp = 11,85464034 ; H = 11,85464049 24,11474784 24,11474801 5. «i2 - 0,999. m = 0,82 • 10 ^ ; kerekítve 8 jegyre pontos; '6,124625695' 11,85172941 24,10407912

'6,124625750' 11,85172960 24,10407940

_g 6. űi2=0,99. m = 0,4-10

; kerekítve 8 jegyre pontos:

'6,071961786' "6,071961802 11,82263471 ; H = 11,82263474 23,99747522 23,99747522 8 0,9. m - 0,14 •10— ; 8 j egyre pontos: '5,551986100' “5,551986119 11,53300653 ; H = 11,53300648 23,93952612 23,93952605

297

3.2 A mátrix Jordan-féle alakja

299

H ‘(X + Y)H = H “ ^XH + H ^ Y H és 3.

FEJEZET

^ X H f = H r-l/ '(XöfcX'^)H = Hr-1 ~ V jX ) H .

X H )= k=0

Az exponenciális m átrixfüggvény

3.1

, így

u~\xY)B. =

A J o r d a n - f é le m á tr ix a lk a lm a z á s a

k=0

Mivel

lim F„JX) = F(X),

Az exponenciális mátrixfüggvényt az (1)

k\

így fennáll a (3) formula. Ha az Y és X hasonló mátrixok, azaz Y = H 'X H (d e tH ^ O ),

formulával értelmezzük, ahol X = [Xy] n-edrendű mátrix. Az (1)

akkor a (3) alkalmazásával:

mátrixsor tetszőleges kvadratikus mátrixra konvergens, sőt abszolút konvergens. Ui. X k=0

\k

■

k=\

X k\

< oo

kÔ

kô'^-

(2) azaz

(4)

A mátrixnorma értelmében ||E || = 1, és így 3.2 A mátrix Jordan-féle alakja

X ■- e k\ Tekintsük az

Á -aii F (X )=

k(Á) = det ~^21

k=0

^nl

mátrix hatványfüggvényt, mely

-ai2

...

-öi„

^-<^22 ••• - ^ 2n

^n2 •

^

= d e ta E -A ) = 0

(1)

^nn_

karakterisztikus egyenletének gyökei (az A mátrix sajátértékei) tartományon analitikus függvény. Ha az F(X) az X mátrix függvénye, akkor egy tetszőleges

Áf ( / = l , 2 , . . . , n ) .

Az A mátrix karakterisztikus egyenletének (l)-gyel ekvivalens alakja det(A -A E ) = 0.

H~^XH (detH íÔ ) hasonló mátrixra is értelmezve van, és érvényes az F (H “ ^XH) = H “ ^F(X)H formula. Ui. a hasonlósági transzformáció tulajdonságai alapján

(3)

Minden kvadratikus A mátrixhoz található olyan nem szingulá ris T mátrix, mellyel A hasonlósági transzformációval

300

3.2 A mátrix Jordan-féle alakja

III. Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-r e n ^ ^

kvázidiagonális Jordan-féle alakra hozható: Bi(A) 0 0 B 2 (^ ) • • _ 0 ahol (J < «), és B j ( 4 )

tt X

0

tényezőket az A mátrix elemi osztóinak nevezzük. Ha egy A mát rix karakterisztikus egyenletében valamelyik sajátértéknek a mul tiplicitása 2 vagy 2-nél nagyobb, mint a minimálegyenletében, akkor az A mátrix Jordan-féle normálalakbeli blokkját, ill. blokkja it a Frobenius-féle formulával egyértelműen meghatározhatjuk (1. a 3.4 pont (3), (4), (5) formuláját). Ha minden sajátértékhez tartozik lineáris elemi osztó, azaz - 1, akkor a Jordan-féle J mátrix

0 0

..

típusú mátrixok az ún

J o rd a n -fé le

egyszerű diagonális mátrix:

blokkok, melyeknek az alakja: 4 1 0 .. . 0 ' 0 4 1 .. . 0 B fc (4 )0 _o

0 0 .,.. 0 ' 0 /ín 0 0 J = 0 0 ^3 .. 0 = diag[\,Á^,...,Xn^,

(2)

0 0 .. . 1 0 0

ahol Xt multiplicitása t„, E ,, egy C,

0 0

x

típusú egységmátrix,

pedig 0 1 0 0 0 1

típusú mátrix.

(3)

0 Ó 0 0 0 0

(6)

0 .:.4 _

melyben a sajátértékek nem feltétlen különbözők. Ekkor a transzformáció mátrixának oszlopvektorait az A mátrix sajátvektorai alkotják. (1. az 1.2 pontot). A sajátvektorok, mint oszlopvektorok, a sajátértékek sorrendjét követik. A hasonló mátrixok karakterisztikus polinomjai és sajátértékei azonosak, így Jordan-féle alakjuk is megegyező. Ui., ha A = B , akkor van olyan nemszinguláris G mátrix, hogy A = G^^BG és A E -A = G ~ \A E -B )G , melyből

Azt a bázist, amelyben a mátrix felveszi a J o r d a n - M e normalalakot, a mátrix J o rd a n -b á zis á n a k nevezzük. A hasonlosagi transz formáció tehát a bázis, ill. a koordinátarendszer transzformaciojat jelenti. Tekintettel a összefüggésekre a k{X) -val jelölt (1) karakterisztikus polinom felírható a következő alakban; k(Á ) = d et(lE - J) = ( ^ -

• • • (^ - 4 ) '

(4)

(ti+t2+.-- + t s = n ) , ahol Ái (i = 1 ,2 ,..., s) az A mátrix sajátértékei. A (fc = i,2 ,...,5 )

det(AE - A) = det G “ ‘ det(AE - B) det G = det(/iE - B ) , és ha

A = T JT ~ ^,

ahol J az A Jordan-féle alakja, akkor

AE = T /IT " ' és A = T J T " '

a - 4 /'

301

(5)

B = GAG~^ = G T JT “ ’g “ ^ = (GT)J(GT)^’ , tehát J a B mátrixnak is Jordan-féle alakja. A matematika alkalmazása során számos feladatban szerepel olyan mátrix, melynek Jordan-féle mátrixának és transzformációs mátrixának ismeretében a feladat megoldása lényegesen egyszerű síthető. A Jordan-féle mátrixnak a hagyományos eljáráshoz képest egyszerűbb kiszámítására és a transzformáció mátrixának meghatá rozására a 3.4 és a 3.5 pontok adnak eljárást.

302

///. Á llandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

3.3 Az exponenciális mátrixfüggvény normálalakja

0 1 0 .. 0‘ 0 0 1 .. 0

3.3 Az exponenciális mátrixfüggvény normálalakja

-

Jelöljük T-vel azt az n-edrendű nemszinguláris mátrixot, aniely az n-edrendű A mátrixhoz hasonlósági transzformációval előállítja a J Jordan-fé\e normálalakot, azaz T"ÂT = J

(d e tT ^ O ).

0 0 0 '. 1 0 0 0 .,,. 0_ alakií k-aá rendű mátrix. Az

(D _

Ha az (1) egyenlőséget T-vel balról, T ^-gyel pedig jobbról szo rozzuk, akkor az A mátrixot ismert J esetén A = T JT “^

£ t (^k^k + Q ,i) l\ 1=0

egyenlőség jobb oldala kifejtés és rendezés után

(2) (4)

alakban kapjuk. Legyenek az A mátrix sajátértékei Á2 ,

303

p=oP(tn
alakra hozható, ahol C^ q =

. A (3) és (4) formulák az exponen

amelyekhez az A mátrix J Jordan-íé\& normálalakjában a

ciális mátrixfüggvény normálalakját adják. Helyettesítsünk í = 1 -et a (3) és (4) formulákba. Ekkor látjuk, hogy ha az A mátrixnak A2, ..., (m < n) számok a sajátér

különböző blokkjai tartoznak. Jelölje g], 62,

tékei, akkor

a blokkok rend

jét. A J mátrixot kvázidiagonális mátrixnak tekintjük, és így

J=

B i(^) 0 ... 0 6 2 (^12) ••• 0

0

0 0

=

6 2 (^2)’•• •’B m (4 ))

...

jelölést használjuk (m < n) (1. a 3.2 pontot). Ekkor t paraméterrel adott

exponenciális mátrixfüggvényt

=T•

•••,

alakra hozhatjuk. Mindegyik

blokk

J- T '

B ^ (4 ) = 4 E ^ + Q ,1 (k = í , 2,...,m) alakú, ahol

fc-ad rendű egységmátrix, és

(3)

számok az exponenciális mátrix sajátértékei, és A valamint mátrixok megfelelő Jordan-h\ 6 kk\m azonos rendűek. Az állandó együtthatójú elsőrendű lineáris differenciálegyenletíAl rendszer megoldása az e exponenciális mátrixfüggvény normál alakjával is előállítható. Alkalmazzuk a (4) formulát általános alakban A egy olyan Jorí/an-blokkjára, amely egy q multiplicitású X sajátértékhez tar tozik, azaz írjuk fel az exponenciális mátrixfüggvény rögzí tett X sajátértékéhez tartozó blokkjának q-&ú rendű normálalak ját melyet

-val jelölünk:

tk{X) Át e ^ -e E + ffC i + ^ C 2 + . . . +

fq-í

304

=e


Át

0 0" '0 1 0 0 1 ... 0

1 0 0 1

0 0 0 ... 1 _0 0 0 ... 0_

_0 0 . ••

-

\ L l Ü li' 1! 2! ••• (^ -1 )! iq-2) =e

Át

1! ••• { q - 2 ) \ 0 0...

(5)

1

0 0 ... 0

1

1. példa. írjuk fel az etA , eíB exponenciális mátrixfüggvények '4 1 0' "3 r , B= 0 4 1 A= _0 3_ 0 0 4

1 E + — C. = e 3í 0 l! ^/ VL '1

t

0

1

0

+t

1J

L

0

1

0

0J /

akkor az

exponenciális mátrixfüggvény normálalakja: 0

0

0

0 . 4í te

0

0

0

0

0

0

0

2. példa. írjuk fel az é mái alakj át, ha

íA

e

0 0

h

At 0

v reAt e

exponenciális mátrixfüggvény nor-

“-3 2 -5 ' A = - 6 - 5 -3 0 1 0 3

te^^' ’

_0

At

-

0

Mivel A a A = 3 kétszeres multiplicitású sajátértékhez tartozó Jordan-hlokk, ezért

At

te 1!

At

Ha egy G mátrix Jordan-íélt normálalakja az A és B blokkok ból álló J mátrix, azaz "3 1 0 0 0“ 0 30 0 0 J= 0 0 4 1 0 0 0 0 4 1 ^0 0 0 0 4_

“ 3t ^ 3í e te 3t 0 e

normálalakját, ha

305

A. te * 4í t2 e 4t' 4í 1! 2!

1 t 1! 2! 4t = e 0 1 t .= 1! 0 0 1

0 0 .. 1 0 0 . , .. 0

+ ...+

0 0

3.3 A z exponenciális mátrixfüggvény normálalakja

B pedig Á = 4 háromszoros sajátértékhez tartozó Jordan-blokk, ezért

Megoldás. Az A mátrix Jordan-íélt normálalakjának felírásá hoz ki kell számítani az A sajátértékeit.

e® = e ‘^ \ E + ~ C ^ + — C2) = l! 2!

Az A mátrix karakterisztikus polinomja és minimálpolinomja:

/ - e

At

"1 0

V0

0

0”

0

1 0 +t 0

0

0

0

0

1

\

'0

0

r

1 -j----- 0 2! 0 0

0

0

0

0 /

1 0"

k a ) = a + m ^ + 2 f , m a ) = a + i ) a + 2 f , k(Á)=m(Á). A Aj = -1 egyszeres gyök, /^3 = - 2 kétszeres gyök. Az A mátrix Jordan-alakjánok blokkjai:


306

=

, B2 =

-1 0 0" 0 -2 1 0 0 -2

Az exponenciális mátrixfüggvény normálalakja a J mátrix blokkjai szerint: e

íA

-í

- e

‘1 0 0 -2t 0 0 0 +e 0 0 0

0 0 0 0 0 0' 0 1 0 +t 0 0 1 0 0 0 0 0 1

307

is, hogy a Jordan-féle mátrix és az együtthatómátrix sajátvektorai felhasználásával, az elemi lineáris algebra ismereteire támaszkodva, a lehető legkevesebb művelettel állítsuk elő a differenciálegyenlet rendszer megoldásához szükséges transzformációs mátrixot. Az eljárás szükségessé teszi az együtthatómátrix Jordan-féle normálalakjának egyértelmű felírását [D21], [D22], [D28], [D53].

-2 1 0 -2

tehát az A mátrix Jordan-féle normálalakja;

J =

3.4 A mátrix Jordan-féle alakjának előállítása

0^ 0f r, -2t , -2t 0 e7 te -2t 0 e

Tehát, ha ismert az íA

exponenciális mátrixfüggvény A mátrixának Jordán-íé\& normál alakja, akkor közvetlenül felírható az exponenciális mátrix függvény normálalakja. A következő pont a Jordan-íé\t normálalak előállítására a ha gyományos módszer helyett egy egyszerűbb eljárást mutat be. 3.4 A mátrix Jordan-féle alakjának előállítása Az állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek megoldása az együtthatómátrix Jordan-féle alakjának és transzfor mációs mátrixának ismeretében mátrixok szorzataként közvetlenül előállítható. A magasabbrendíi állandó együtthatójú differenciál egyenletekre is alkalmazható a következő pontokban kidolgozott eljárás, ha felhasználjuk a Frobenius-féle (kísérő) mátrixot. A Jordan-íélt mátrix és transzformációs mátrixának előállításá ról az Irodalomjegyzékben felsorolt több száz dolgozat és könyv ad áttekintést. Az ott leírtaktól eltérő módszert ismertetünk, amely az együtthatómátrix gyöktényezős alakban felírt karakterisztikus polinomjának és minimál polinomjának ismeretében a Jordan-féle. mát rix felírását mindig egyértelműen lehetővé teszi. Célul tűztük ki azt

Ha az A e mátrix sajátértékei valósak, akkor a Jordanféle normálalakját a mátrix sajátértékeinek ismeretében az alábbi szabályok szerint egyértelműen előállíthatjuk: 1. eset. Az n-edrendű A mátrix m indegyik

sajátértéke

különböző. A karakterisztikus polinom egyenlő a minimálpolinommal: k{X) - m{X), Aj ^ (i = l , 2 , . . . , n - l ) . A Jordan-féle normálalak olyan diagonális mátrix, melynek fődiagonálisában a sajátértékek állnak, éspedig abszolút értékük monoton növekvő sorrendjében. Abszolút értékben egyenlő saját értékek esetén a negatív sajátérték megelőzi a pozitív sajátértéket. Ebben az esetben tehát minden Jordan-hlokk 1x1 -es, azaz (i = l,2,...,n). Például, legyenek egy A g

mátrix sajátértékei:

-3, -1, 2, 1, - 2 , azaz különbözők, ekkor e mátrix karakterisztikus polinomjának és minimálpolinomjának gyöktényezős alakja azonos, gyöktényezői elsőfokúak: k(Á) = m(Á) = a + 3 ) a + 1)(Á - 2)(Á - l)(Á + 2). Az A mátrix Jordan-féle normálalakja, a sajátértékek |- 1 |< |1 |< |- 2 |< |2 |< |- 3 | monoton növekvő sorrendjére tekintettel r-1 0 J= 0 0 0

0 0 0 0' 1 0 0 0 0 -2 0 0 . 0 0 2 0 0 0 0 -3

(1)

308


2. eset. Az A mátrix karakterisztikus egyenletének van több szörös multiplicitású gyöke, de a minimálegyenletének csak egy szeres multiplicitású gyökei vannak. A Jordan-fé\e normálalak ekkor is tiszta diagonális mátrix. A karakterisztikus polinomot és a minimálpolinomot tényezőkre bontott alakban vizsgáljuk. A J Jordan-féle mátrix födiagonálisának elemeit a minimálpolinom gyökeinek felhasználásával az 1. eset szabálya szerint beírjuk. Majd a karakterisztikus polinomnak a minimálpolinom kiegészítő tényezői alapján folytatjuk a blokkok képzését ugyancsak az 1. szabály szerint. Lineáris tényezőkből álló minimálpolimom esetén minden blokk 1x1 -es. A Frobenius-fovmuld. (3) felhasználásával ellenőriz hetjük a blokkok méreteit. Például legyen egy A mátrix karakterisztikus polinomjának gyöktényezős alakja; k(Á) = (Á + l f ( Á - 2 ) ^ , és minimálpolinomjának gyöktényezős alakja: m(Á) = (Á + í)(Á~2}. A minimálpolinom szerint kapjuk a

= [-1], B2 = [2] blokko

kat, majd a karakterisztikus polinom másodfokú tényezőjéből kapjuk a B3 = [ - 1], a harmadfokú tényezőjéből pedig a B4 = [2], B5 = [2] blokkot.


karakterisztikus polinomja: k{X) = minimálpolinomj a:

illetve 5 x 5 -ös alakja: -1 0 J = 0 0 0

0 0 0 0' 2 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2

Legyen például egy A mátrix

-15)(Á + i f ;

m(Á) = Á(Á + 1)(Á - 1 5 ) ,

akkor az A mátrix Jordan-fé\& normálalakjának blokkjai: Bi = [0], B2 = [-1], B3 = [15], B4 = [0], B5 = [-1], Bg = [0]

és a Jordan-mSiiv\x\

"0 0 0 0 0 0 ~1 0 0 0 0 0 15 0 0 J = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0

0" 0 0 0 0 Oj

3. eset. Az A mátrix karakterisztikus polinom jának és minimálpolinomjának is többszörös multiplicitású gyöktényezői vannak. Ha k(A) ^ m(X), akkor először a minimálpolinom tényezőivel képezzíik a blokkokat, az | Áf | monoton növekedése és a blokkok méretének növekedése sorrendjét betartva, továbbá a karakterisz tikus polinom kiegészítő tényezői alapján folytatjuk a J mátrix előállítását. Összehasonlítjuk a k(Á) és m{Z) tényezőit és azokhoz a tényezőkhöz, amelyeknek kitevője 1-nél nagyobb eltérést mutat, a blokkok méretének megállapításához, ha közvetlenül nem állapít ható meg, felhasználjuk a sajátértékekhez tartozó invariáns sajátalterek dimenziójára vonatkozó Frobenius-féle formulát [K33]:

Az A mátrix /oráan-alakja diagonális mátrix (a minimálpoli nom lineáris tényezők szorzata): J = diag{ - 1 , 2 - 1 . 2 , 2 ) ,

309

B(s) = 2• d i m - d i m ahol

=ker(A-Á,Êf

- d i m ^ (5 = 1,2,3,...) (5 = 0 ,l,2 ,...,í^ ),

(3) (4)

a pedig a sajátérték minimálpolinomban lévő tényezőjének fokszáma. Nyilvánvaló, hogy = 0 és ha s>tj^, akkor

.

(5)

Kiszámítjuk ahhoz a sajátértékhez az invariáns alterek dimen ziószámát, amelynek a karakterisztikus polinomban nagyobb a multiplicitása, mint a minimálpolinomban és alkalmazzuk a (3) formulát a

3 10

HL Állandó együtthatójú lineáris dijferenciálegyenlet-rendszerek

értékek kiszámítására. A

sajátértékhez afi(l) értéke az 1x1 -es,

5 (2) értéke a 2 x 2 -es,

Bitj^) értéke a

méretű blokkok

szám át adja meg. A blokkok méretének megállapítása és a Jordánmátrix felírása akkor is így történik, ha k(Á) = m(A) és mindkét

Például az

0 0 0 1 1

tehát a Á2 = 2 sajátértékhez nem tartozik 1x 1 -es blokk. B(2) = 2 - d 2 - d 3 ~ d i = 2 - 4 ~ 4 - 2 = 2 , tehát a /Í2 = 2 sajátértékhez 2 darab 2 x 2 -es blokk tartozik. Egyet már felhasználtunk, ezért a J mátrix harmadik blokkja: B3 = 2 l 0 2 és az A mátrix Jordan-félt normálalakja;

polinom tényezőinek 1-nél magasabb fokszáma azonos. 0 0 0 3 1 0 -1 1 0 1 1 3 - l -1 -1

'1 0 J = 0 0 0

(6)

mátrix sajátértékei: a ^ =1 sajátérték 1-szeres, a ^ = 2 sajátérték 4-szeres multiplicitású.

0 2 0 0 0

0 0 10 2 0 0 2 0 0

0' 0 0 1 2

H a k(Á) = m(Á) és a tényezők között magasabb fokszámúak

Karakterisztikus polinomja: k{Á) = ( X - 1)(Á - z f , minimálpolinomja:

311

= 2 - d i - d 2 - d Q = 2 - 2 - 4 - 0 = 0,

B(\), B(2), B(3), B(4 ), . .. , B( tk )

1 2 A = -1 1 -1


m(Á) = { X - l)(/l - 2) .

is vannak, akkor a sajátértékekre és a blokkméretekre vonatkozó szabályok szerint járunk el. Például, ha

A minimálpolinom alapján két blokk azonnal felírható: B i= [l],

B2 =

'2 r 0 2

k(Á) = m{Á) = (Á + 5)(Á + 2f ( Á - 2) \ á + 4)^ , akkor a blokkok a -5, - 2 , +2, - 4

A k(Á), m(/l) tényezőit összehasonlítva látjuk, hogy a (/I - 2) tényező kitevői között 2 a különbség, így egy 2 x 2 -es vagy két 1x1 -es blokk következhet. Mivel a minimálpolinom ( Á - 2 ) té nyezőjének fokszáma

= 2 , így a (3) formulát elég s =1,2 esetre

alkalmazni. Számítsuk ki a 2 sajátértékhez tartozó invariáns sajátalterek dimenzióit ( E = diag(l, 1, 1, 1, 1)):

sajátértékeknek és a tényezők által meghatározott méreteknek meg felelő sorrendben következnek. A -5 -h ö z I x l - e s , a-2 -h ö z (2. tényező) 2 x 2 -es, a 4-2-höz (3. tényező) 2 x 2 - e s , a-4 -h e z 3 x 3 -as blokk tartozik ( a/orJaw -féle mátrixban a blokkokat most szaggatott vonalakkal kiemeljük): r - 5 l

0

" 0 l - 2 “

O l O O l

dQ = 0, dl = dim(êr(A - A2E)) = dim(/cer(A - 2E)) = 2,

_ P ; _ P _ - 2 [ o

d 2 = áim{ker(A - 2E)^) = 4,

_ P 1 _ P _ _ P I 0

d i = A i > 2.

0

0

p | _ p _ _ p _ _ p

o[2 l | 0

0

0

2 | _ p _ _ p _ _ p

010 01-4 1 oloo! 0 - 4

A (3) formula szerint: 5(1) = 2 ■dim ^ 2 - dim

0] 0

p _ _ 0 _ _ p '

lío o!' 0

- dimW]"^ =

010 Oi 0

0 -4

312

111 Állandó együtthatójú lineáris dijferenciálegyenlet-rendszerek

írjuk fel annak a mátrixnak a Jordan-méAxixéX, amelynek karak terisztikus polinomja és minimálpolinomja: k{X) - m(Á) =

+ 1 )^ .


313

A (/i + 5) tényező 2-vel kisebb a minimálpolinomban, ezért a maradék blokkok méretét a Frobenius-íoxxxwXwdX kiszámítjuk: í/ q =

0,

J) = dim(ker(A -h 5 • E)) = 3, Bj a 0 sajátértékhez tartozó 2 x 2 -es blokk;

= Ú2 = dim(ker(A + 5 •E)^) = 4,

1 í B2 az 1 sajátértékhez tartozó 2 x 2 -esblokk: 62 = 0 1^ -1 1 0' B3 a -1 sajátértékhez tartozó 3 x 3 -as blokk: B3 = 0 - 1 1 0 0 -1 tehát a kérdéses mátrix Jorí/an-alakja:

'- 2 3 0 -1 8 - 9 -2 7 43 - 5 45 24 66 -1 3 0 -2 0 - 9 -2 1 00 3 -3 2 A= -2 0 0 1 - 4 5 0 0 -2 4 16 0 18 11 23

BO) = 2 - d i ~ d 2 ~ d Q = 2 - 3 - 4 - 0 = 2, 5(2) = 2-ű?2- ^ 3 -^ 1 = 2 - 4 - 5 - 3 = 0, fí(3) = 2 - í / 3 - í / 4 - ^ 2 = 2 - 5 - 5 - 4 = 1,

blokk tartozik. A 3x3 -as blokkot már a minimálpoUnom alapján felhasználtuk, így 6 3 = [-5], 8 4 = [-5], A (6) mátrix k(Á) -beli maradékának másodfokú tényezőjéhez

-3 9 -3 0 ' 94 73 -2 9 -2 3 2 2 mátrix - 2 -2 3 5 34 23

Jordan-félQ normál alakj át, melynek

egy 2 X 2 -es blokk tartozott, most pedig a másodfokú tényezőhöz két 1x 1 -es blokk tartozik. Az A mátrix Jordan-féle normálalakja: r- 2 1 0 0 0 0 - 2 0 0 0 0 0-5 1 0 J= 0 0 0 -5 1 0 0 0 0 -5 0 0 0 0 0 -5 0 0 0 0 0 0-

0 0 0 0 0 0 5

2

5

A Jordan-féle normálalak felírásakor figyelemmel kell lenni a blokkméret szerinti növekvő sorrendre is, az \Xj^ \ monoton növe

2

3

kedő sorrend betartása mellett. Ekkor is érvényes az azonos méretű blokkokra az a szabály, hogy az egyenlő méretűek közül a nagyobb abszolút sajátértékkel rendelkező követi a kisebbet, ha pedig egyen lő abszolút értékűek a sajátértékek, de az egyik negatív, akkor a negatív sajátértékű blokk megelőzi a pozitív sajátértékű blokkot.

karakterisztikus polinomja: k(Á) = (Á + 2) (/^ + 5) , minimálpolinomja:

d i= 5 i>3.

tehát a Aq - - 5 sajátértékhez két darab 1x1 -es, és egy 3 x 3 -as

0 '0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 0 0 0 0 0 1 0 J = 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 -1

írjuk fel az

í/3 =dim (ker(A + 5-E)^) = 5,

m{Á) - ( Á + 2) (A + 5) .

Az alacsonyabb fokszámú minimálpolinom alapján felírható két ■-5 1 Q ■-2 r 1 0 -5 B, = blokk: 0 -2_ , B2 = 0 0 -5

314

H l Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

3.5 A transzformációs mátrix kiszámítása

315

Például ha k(Á) = Á(Á - Í)(Á + 6 f ( Á + 4 f ( Á + í) \ á - 3 f és


m(Á) = Á(Á —Í)(Á + l)(Á + 6)^(Á + 4) (X —3) ,

Az állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek megoldásához az A együtthatómátrix Jordán-fé\& normálalakja mellett arra a reguláris T mátrixra is szükség van, amellyel végzett hasonlósági transzformáció előállítja az A mátrix J-vei jelölt

akkor a Jordan-féle normálalak blokkjai a minimálpolinom ténye zői alapján: Bj 4 -1 ],B 2 = [1 L B 3 4 0 ], -4 0

1 -4

,B .

-6 0

1 -6

'3 1 0' 0 3 1 0 0 3

A -1 sajátértékhez tartozó utolsó blokk vagy blokkok egyér telmű beírását a Frobenius-formulávsá kiszámított = 3, Z?2 = 3 értékek alapján döntjük el. Mivel fi(l) = 2 • 3 - 3 - 0 = 3 , így a -1 sajátértékhez 3 darab 1x1 -es blokk tartozik. Egyet már felhasznál tunk, így az utolsó két blokk: B7 = [ - 1] és B 8 = [-1 ]. A mátrix Jordan-féle normálalakja: -1 0 0 0 0 0 J= 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0“ 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 0 0 0 0 -- 4 1 0 000 0 0 0 0 0 0 -- 4 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 -- 6 0 0 0 0 0 -- 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 10 0 0 00 0 0 0 00 3 1 0 0 0 0 0 0 0 000 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0--1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1

J= T Â T . (1) Jordan-féle mátrixát. Az (1) helyett tekintsük az AT = T J (2) egyenletet. A (2) egyenletből egy n-edrendíi A mátrix Jordan-mátrixra való ^ 2 transzformációj ához a T transzformációs mátrix n számú ismeretlen eleme n számú n ismeretlenes lineáris egyenletrendszer megoldásá val adható meg, ha A és J elemei ismertek. A kevesebb művelettel való J mátrix létrehozásához a nemderogatórius és a derogatórius nilpotens mátrixok (1. az I. rész 1.3.4 pontját) transzformációj ára a vektorlánc, ill. fővektor eljárás alkalmazható [K83]. Az itt bemuta tásra kerülő módszer alkalmazásához nem kell tekintettel lenni arra, hogy a transzformálandó mátrix derogatórius vagy nemderogató rius. Egy kvadratikus A mátrix vizsgálatához felhasználhatjuk a kö vetkező összefüggést: nemderogatórius, ha minimálpolinomja meg egyezik a karakterisztikus polinomjával, ellenkező esetben pedig derogatórius. Az alábbiakban a hasonlósági transzformáció T mátrixának meghatározására olyan eljárást ismertetünk, amely feltételezi az A mátrix sajátértékeinek és sajátvektorainak ismeretét. A módszer különösen előnyösen alkalmazható, ha a megoldandó feladathoz a sajátvektorok kiszámítása egyébként is szükséges. 1. lépés A J mátrixot a 3.4 pont szabályai szerint az A mátrix sajátérté kei felhasználásával létrehozzuk. 2 . lépés a) Ha az n-edrendű A mátrixnak n számú különböző sajátértéke van, akkor az A lineárisan független sajátvektorainak száma meg-

316


egyezik rendszámával. Ekkor a sajátvektorok alkotják a T mátrix oszlopvektorait, éspedig olyan sorrendben, amilyen sorrendben köve tik a sajátértékek egymást a J mátrixban. Ebben az esetben tehát T minden elemét a sajátvektorok koordinátái adják, vagyis a transzform áció T m átrixa megegyezik a m odálm átrixszal. Azt is mond hatjuk, hogy a T mátrix oszlop vektorai alkotják azt a bázist (Jordanbázist), amelyben az A mátrix felveszi Jordan-féle normálalakját. Például, ha az n-edrendű A mátrix sajátértékeire fennáll, hogy Ái ^

(í = 1,2,..., n - 1 ) ,

akkor az A Jordan-íélt normálalakja egyszerű diagonális mátrix: 0 ... 0 0 .0 ahol a födiagonális

0 ... elemei | Af | növekvő sorrendjét követik.

Ha az A mátrix sajátértékeihez tartozó lineárisan független sa játvektorokat v(/íi), v(/Í2), y{ \i ) jelöli, akkor a T transzformációs mátrix oszlopvektorait a \Ái\ növekvő sorrendjének megfelelő sajátvektorok alkotják:


317

Az A mátrix szabályosan felírt Jordan-féle normálalakja és transzformációs mátrixa: "-1 1 2‘ "6 0 0' J = 0 12 0 , T = [vi(6) v(12) V2(6)]= 0 - 2 1 0 0 6 L 1 10 A T mátrix inverze és a számítás eredményének ellenőrzése: -1 1 -6 2 -- 2 0 ” 6 5 1 6^ — J-

.

"6 0 0' T“ÂT = 0 12 0 0 0 6

b) Ha az A mátrix hneárisan független sajátvektorainak száma kisebb, mint rendszáma, a minimálpolinomnak is van 1-nél na gyobb multiplicitású gyöktényezője, akkor általában a T mátrixba az 1 multiplicitású sajátértékekhez tartozó sajátvektorokat a sajátér tékek J mátrixbeli 1x1 -es blokkjainak megfelelően vesszük fel, továbbá a k x k - s blokkok sajátértékeinek sajátvektorait az első oszlopaik J-beli oszlopainak megfelelően vesszük fel. Ezt követően a többi oszlopba ismeretlen koordinátájú oszlopvektorokat teszünk. A T mátrix ismeretlen elemeinek számát, az A mátrix sajátvek torait felhasználva, csökkentjük. Az ismeretlen elemekre felírt AT = T J vagy

T = [v(^) v (Í2) ... v rt,)] és így J = r ‘A T .

A T -T J= 0

Ha az A mátrix karakterisztikus polinomjának van többszörös gyöktényezője, de a minimálpolinom mindegyik gyöktényezője első fokú, akkor a szabály szerint felírt Jordan-mátvix fődiagonálisában lévő sajátértékeknek megfelelően kell a sajátvektorokat elhelyezni a transzformáció T mátrixába.

egyenletek megoldása lineáris egyenletrendszer megoldására vezet hető vissza. 2 -3 1 -3 “ -1 - 6 - 3 - 6 Például az A = mátrix karakterisztikus és -3 -3 -4 -3 2 6 4 6

' 7 - 2 1 Például az A = - 2 10 - 2 mátrix karakterisztikus és mini1-2 7 málpolinomj a: k(Á) = ( Á - l 2)(Á - 6) ; m(Á) = (Á-12)(Á - 6). Az A mátrix sajátértékeihez tartozó sajátvektorok: vi(6) = [ - 1, 0, 1], V2(6) = [2, 1, 0], v(12) = [1, - 2, 1].

(3)

minimálpolinomja: k(Á) = £ ‘(Á + í f ' , m(Á) = Á(Á + 1)^ . Az A mátrix sajátértékeihez tartozó lineárisan független sajátvek torok (a -1 kétszeres sajátértékhez csak egy sajátvektor tartozik): vi(0) = [ 3 ,0 ,- 3,1]^, V2(0) = [3 ,1 ,-3 ,0 ]^ , v (-l) = [-2 ,1 ,3 ,- 2 f .

318

III Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek


A p paramétert úgy kell megválasztani, hogy lineárisan függet len vektorrendszert kapjunk. Például p = 1 választással

Az A mátrix Jordan-íé\& normálalakja: 0 0 0 0 0 -1 10 J = 0 0 -1 0 0 0 0 0

és a hasonlósági transzformáció T mátrixa: 3 - 2 - j -9

Transzformációs mátrix oszlopvektorainak sorrendje: a 0 saját értékhez tartozó vektorokat az 1. és 4. oszlopba, a -1 sajátértékhez tartozó vektort a 2. oszlopba, az ismeretlen x vektort pedig a 3. oszlopba kell helyezni, azaz a sorrend: V i( 0), v ( - l ) , X = [Xi, X2, X2, x ^ f , V 2 (0 ) .

A transzformáció mátrixának feltételezett alakja

:

0 0

1

0

0 , tehát T oszlopvektorai lineárisan függetlenek.

9 3 -2 ~ 2 - 6 0 -5 " 2 -3 1 -3 ' 9 3 1 6 3 6 -1 - 6 - 3 - 6 0 1 1 1 T AT = 0 -6 -2 -6 -3 -3 -4 -3 -3 3 11 - 3 2 -1 1 -1 0 2 6 4 6 1 -2 -3 0_

3xi - 3x2 + x ^ - 3 x 4 + 2 0

‘0

0

0 -1 (* )

2 xj -t- 6 x 2 + 4^3 -1- 7 x 4 -f-2 0_

melyben szükséges, hogy az ismert vektoroknak megfelelő oszlo pok minden eleme 0 legyen. A (*) egyenletből felírható a 3x^ —3x2 -i- ^3 —3x^ + 2 = 0 - xj - 5x2 - 3x3 - 6x4 - 1 = 0 ^ - 3xi - 3x2 - 3^3 - 3^4 - 3 = 0 2xj + 6x2 + 4^3 -H7 X4 + 2 = 0 egyenletrendszer, melynek triviálistól különböző egyparaméteres megoldásvektora: x = [ - 1 - 2 / 7 , ^ + 3p, - 2 p - l f .

1 1 1 3 ^ - 3

1 - 2 - 3

0 0

- X i ~ 5 x 2 “ ^^3 ~ ^^4 - 1 0 = 0, 0 0 - 3xi - 3x2 ~ 3 x 3 - 3 ^4 - 3 0

0 -3

3

Ellenőrzésként T ^ kiszámításával végezzük el a hasonlósági transzformációt:

és az AT^ - T^J = 0 egyenlet:

A T ,-T J =

T=

A d etT =

' 3 - 2 xi 3 0 1x2 1 -3 3 X3 - 3 1 - 2 X4 0

0 0

319

0 0~

1 0

0

0 -1 0

0

0

=J

0 0

A szabály szerint felírt J és a kiszámított J azonos. M egjegyzés. Ha a mátrix rendszáma és sajátvektorainak száma között nagy az eltérés, akkor a mátrix 2-nél nagyobb multiplicitású sajátértékéhez tartozó invariáns sajátalterei bázisvektorainak felhasználásával T oszlopvektorai közül néhányat előállítva csökkent hetjük az ismeretlen oszlopvektorok számát. Természetesen a nemderogatórius és a derogatórius nilpotens mátrix /orJan-alakot előál lító T transzformációs mátrixának mindegyik oszlopvektora a fővektorok megkonstruálásával is előállítható.

"21 r 1. példa. írjuk fel az A = 1 2 1 0 0 4 transzformációs mátrixát.

mátrix Jordan-mátnxái és

320


Az A mátrix karakterisztikus- és minimálpolinomja: k{Á) = ( Á - l)(Á - 3){Á - 4 ), m{Z) = a - l)(Á - 3)(Á - 4).

3.5 A transzformációs m átrix kiszámítása

321

Az A mátrix sajátvektorai; v(10) = [ | , l , - 3 ] ,

v(2) = [0,1,1],

Az A sajátvektorai; v(l) = [1, -1 ,0 ], v(3) = [1,1,0], v(4) = [1,1,1]. A sajátértékek különbözők, a sajátvektorok lineárisan függetlenek, ebben az esetben mind a Jordan-mátrix, mind a transzform ációs m átrix felírása egyszerű. A Jordan-mátvix diagonális, a főátlóban a sajátértékek monoton növekvő sorrendben követik egymást, a transzformáció T mátrixának oszlopvektorai pedig ennek megfele lően v(l), v(3), v(4) sorrendben helyezkednek el; 1 0 0' J= 0 3 0 0 0 4

I l i T = -1 1 1 0 0 1

a lineái isan független vektorok száma 1-gyel kevesebb a rendszám nál, mert a 2 sajátértékhez csak 1 sajátvektor tartozik. A J mátrix blokkjai; Bj =[10], B 2 = A T transzformáció mátrix

-val jelölt kísérleti mátrix első osz

lopába v(l 0) = [ - |, 1, - 3] vektort, a második oszlopába v(2) = [0,1,1] vektort, a harmadik oszlopába pedig az x = [jc^, ^3, ^3]^ ismeretlen vektort tesszük, azaz

A T mátrix inverze létezik (oszlopvektorai lineárisan függetlenek); i „ 2 1 2 0

l 0 2 i„ i 2 0 1

A transzformáció T mátrixszávai képezzük a J Jordan-mátnxot: l _ i o' 2 2 ^ 21 r

1 1 f ’l 0 0" -1 11 = 0 3 0 0 0 4 0 0 1 1 0 0 4 121

j = T ÂT = 0

A szabály szerint felírt J és a kiszámított J mátrix azonos. 4 2 ~2" 2. példa. írjuk fel az A = 0 4 - 2 mátrix Jordan-mátnxát -6 -4 6_ és a transzformáció T mátrixát. Az A mátrix karakterisztikus- és minimálpolinomja egyenlő; k(Á) = m(Á) = U - l O ) ( Á - 2 f

"10 0 0" "2 r , tehát J = 0 2 1 _0 2_ 0 0 2

I 0 T, =

1 1 ^2 - 3 1 X3

A (3) egyenletformát használva; 0 0 2x^+ 2x2 ~ 2 x^ 0 0 2^2 - 2 ^ 3 - 1 =0 0 0 - 6xj - 4:^2 + 4^3 - 1_ egyenletet kapjuk, melyből 2x\ + 2x2 ~ 2-^3 = 0 2x2 2^3 = 1 - 6x1- 4X2 + 4x3 = 1 Az egyenletrendszernek csak két egyenlete független, van triviális tól különböző megoldása, például x^ = p választással; _ - ^1. X2 = 2 + P é s x i = Ha p-t 1-nek választjuk, akkor a

mátrix harmadik oszlopának 1 a lineárisan független vektora: Vo = [— 2 2’ ■

322


Tehát a transzformáció mátrixa: T =

=

" -3 1


-1 0 X] 0 í - 1 X2 ^ 0 1 JC3 0 0 0 X4 - 1 0 0 X5 1

I 1

Próba:

323

yi y2 3^3 J4 J5

A (3) egyenletformát használva: 10 0 0' 0 2 1 = J. 0 0 2

2 -2 3 3 -3 ' ' 4 11 0 4 -2 33 1 15 io 6 -3 1 -2 4 8 -8 -6 -4 1 2 3. példa. írjuk fel az A = - 1 1 -1 -1

0 1 1 1 •1

0 0 0 3 -1

0 0 0 mátrix Jordan1 1

mátrixát és a transzformáció T mátrixát. Az A mátrix karakterisztikus- és minimálpolinomja, valamint sajátvektorai: k(Á) = ( Á - l)(Á - 2 f ,

0 0 0 0

-Xi 2xj + ^2 + X3 +1 0 0 -X 1 -X 2 -X 3 - I 0 0 Xi + X2 + x^ + X4 + X5 ^0 0 - X j - .« 2 - ^ 3 “ ^4--^5

= 2xi + X2 + X3 = - X i- X 2 - ^ 3 = xi + X2 + x-^ + + x^ = - ^2 - X3 - X4 - X5 =

X =

(A 2 sajátértékhez 4 helyett 2 sajátvektor tartozik). A J mátrix blokkjai és J:

'2 í = [1],B2 = 0 2

2 1 0 2

0 0 10 2 0 0 2 0 0

0' 0 0 1 2

Most a T mátrixot formálisan két ismeretlen oszlopvektorral tudjuk felírni, az első oszlopba v(l) -et, a második oszlopba V]^(2) -t, a harmadik oszlopba az ismeretlen x vektort, a 4. oszlopba V2(2) -t, az 5. oszlopba az ismeretlen y vektort helyezzük:

0

.

Az ismeretlenek együtthatói mindkét egyenletrendszerben azo nosak, csak a konstans tagok különböznek:

Vj (2) = [0, -1 ,1 ,0 ,0 ]^ , V2(2) = [0 ,0 ,0 ,-1 ,1 ]^, v(l) = [-1,1,0,0,0]^ .

0 2 0 0 0

- yi 2y^ + }^2 }’3 0 - ^3 = 0 yi + 3^2 + )^3 + 3^4 + >^5 0 - J l - J 2 - y 3 “ 3^4-J5.

0 -1 1 0 0

- 3^1 = 0 2 + 3^2 + J3 = 0 - Jl - }^2 - J3 = 0 + >'2 + J3 + )^4 + 3^5 = 0 - Jl - J2 - J3 - }^4 - 3^5 = 0.

A triviálistól különböző kétparaméteres megoldásvektorok:

m(Á) = ( Á - 1)(Á - 2 f ,

1 0 J = 0 0 0

0 0

0 0 -\-p ~p > y= p p \-q -l-q _ ^ - ^

_

Például p = \,q-==\ választással olyan két lineárisan független vektort kapunk, amelyek az A mátrix 3 sajátvektorával együtt lineá risan független vektorrendszert alkotnak. A T mátrix a kiszámított vektorokkal és inverze: -1 1 0 0 0

0 0 0 0" -1 -- 2 0 - 1 1 1 0 1 , 0 0 •- 1 -- 2 1 1 1 0

■-1 0 0 0 0“ 2 2 3 1 1 T ^ = -1 -1 -1 0 0 2 2 2 1 2 - 1 -1 •- 1 -1 -1

324


1 0 0 0 0

Ellenőrzés:

0 2 0 0 0

0 0 10 2 0 0 2 0 0

0" 0 0 = 1 2

3.6 Megoldás a Jordan-féle normálalak felhasználásával

325

Az 5. oszlopvektor, pedig a k 23 = [0,0,0,0,1]. A transzformáció T mátrixa, inverze és a számítás ellenőrzése: J .

A vektorlánc előállításával is megkapható a derogatórius A mátrixhoz a transzformáció T mátrixa. Képezzük a Á - 2 sajátérték (A - 2E) és (A - 2E)^ sajátalterének bázisvektorait (E az A mátrixszal azonos rendű egységmátrix): L : k e r ( A - 2 E ) : { [0 ,0 ,0 ,-1 ,1 ]^ , [ 0 ,- l,l,0 ,0 ]^ },

-1 0 0 0 0" ■-1 0 0 0 0“ 1 0 1 10 0 0 1 10 0 0 0 2 T - 0 --1 1 0 0 , T‘ = 1 1 1 0 0 , T ÂT= 0 0 0 10 10 - 1 --1 0 1 0 00 0 --1 0 - 1 1 0 00 1 1 ^0 0

0 1 2 0 0

0 0 0 2 0

0' 0 0 = J. 1 2

A két úton nyert T különböző, de azonos eredményt szolgáltat, mint az, a hasonlósági transzformáció tulajdonságából következik.

(*)


k2 -. k e r ( A - 2 E ) ^ : {[0,0,1,0,0]^, [0,0,0,1,0]^, [0,0,0,0,1]^, [0,1,0,0,0]^: Mivel a minimálpolinomban a 2 sajátértékhez tartozó gyöktényező foka 2, így a ker(A - 2E)- ,

a k2 -vei már megegyezők, kiszámí

tásuk elhagyható. A T mátrix első oszlopa a A = 1 sajátértékhez tartozó sajátvek tor (fő vektor):

v(l) = [ - 1,1,0,0,0], Jelöljük a k2 bázis bázisvektorait k.21 -vei. A T mátrix 2. oszlop vektorát V2 = (A - 2E)k2( vektor adja, ahol k 2/ a ^2 bázisvektorai közül az, amely különbözik a k] bázis vektorai tói. Ilyen például a k 2i = [0, 0, 1, 0, 0] és a k 24 = [0, 1, 0, 0 , 0]^ vektor. Mindkettő ugyanazt a vektort származtatja, azaz

A

= Ax állandóegyütthatójú lineáris differenciálegyenlet-rend

szer A mátrixa függ a lineáris tér bázisának megválasztásától. Ha az egyik bázisról a másik bázisra való áttérés mátrixa S (detS ^ 0), akkor az új bázisban B = S~ÂS

(1)

lesz a A megfelelő mátrixa. Mivel A és B hasonló mátrixok, így sajátértékeik azonosak és a lineárisan függetíen sajátvektoraik száma is megegyező, ezért célszerű olyan bázist választani amelyben az A mátrix a lehető legegyszerűbb. Ezt a követelményt jól ki tudjuk elégíteni pl. a Jordan-féle normálalak előállításával (1. a 3.4 pontot). Legyen T az A Jordan-féle normálalakját előállító átmeneti mátrix, azaz a hasonlósági transzformáció mátrixa, akkor J = T“ Â T, és (2)

V2 = ( A - 2E )k 2i = ( A - 2 E ) k 2 4 = [ 0, l , - l , l , - l f . A 3. oszlopvektor például a felhasznált k 2i vektor. A T mátrix 2 4 . oszlop vektorát V4 = (A - 2E) k 2/ vektor adja, amely eleget tesz

Az állandóegyütthatójú homogén lineáris differenciálegyenlet rendszer általános megoldásában fellépő exponenciális mátrix függvény (2) felhasználásával a következő alakú:

az előző feltételnek, ilyen például a k 23 = [0, 0, 0, 0, 1] , mellyel

t =

V4 - (A - 2E)^k23 = [0, 0, 0, 1, - 1]^ .

T

(3)

326


Ha a diagonális mátrix elemeinek a kitevőiben


plicitása

B ^ (4 ) = 4 E ,^ + C ,^ , ik = l,2,...,s)

327

felírható a következő módon (1. a 3.3 pont 1. pél

dáját):

helyettesítést elvégezzük; Aí

(4)

4?/^ , t , t if"* \ ‘ e - e (E3+-jyCi^3 + ^ C 2 ,3 )- e 2! 1!

J=0

o io í “1 0 0' 0 0 ^ 0 1 0 + o0 0o4j7í + 0 0 0 00 0 0 0 0 V0 0 1

akkor kifejtés, rendezés és "‘ í 2! At e 0 1 t .= 1! 0 0 1

=e

I felhasználásával:

(5) m-Q

egyenlőséget kapjuk, ahol

, rj^ a Jordan-íéle blokk

rendje. Az (5) kifejtése és kényelmesebben alkalmazható mátrix alakja multiplicitású sajátérték esetén:

n-At 1 C I! At 0 e 0

2!

0

1! e

(*) At

Általában tehát a többtagú mátrixösszeg képzése nélkül, minden ior
x(ío) = xq

állandóegyütthatójú homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszer megoldásvektorának meghatározására, tekintettel az exponenciális mátrixfüggvénnyel adott 1—— 1! 2! ••• =e

h-t

x(t) = (6)

0 1^... 7 0 0 0 ...

1

Például, ha 4 1 0' A= 0 4 1 0 0 4 At

akkor az e exponenciális mátrixfüggvény normálalakja, mivel az adott A egy Jordan-íéle blokk, a sajtértéke Á = 4, melynek multi-

általános és

kezdeti értéket kielégítő megoldására. A kezdeti feltételt kielégítő megoldásvektort x(0 = T diag(e^'‘- ^'^~ ‘°^./

2

(-l2 )(< - 'o ),_/.(^ K '-'o ))T “‘x(%) =

= TDT“‘x((o)

(11)

alakban kapjuk, ahol T az A együtthatómátrix Jordan-íéle nor málalakját előállító átmeneti mátrix, azaz J = T~Â T, a D pedig blokkdiagonáhs mátrix, melynek blokkjai az A mátrix sajátértékei-

328



hez tartozó exponenciális mátrixfüggvények. A transzformáció T mátrixát a 3.4 és 3.5 pontokban leírtak alapján célszerű előállítani, ha a feladathoz egyébként is szükséges a sajátvektorok kiszámítása. Példák 1. Határozzuk meg az 2.3 pont 1. példájában szereplő differenciálegyenlet-rendszer megoldását az exponenciális függvény nor

329

2xi + X 2 = l 2x2 -^3 ~ + 4x2 - 4 A paraméteres megoldás: x = [p, - 2 p + 1, 4/? - 4], melyből p = 1 választással a T felírható és

kiszámítható:

málalakjának felhasználásával, ha Xq = [1,2,1]^. 1 1 í T = 2 - 2 -1 4 4 0

Az '0 1 0“ A= 0 0 1 _8 4 -2 _ mátrix karakterisztikus és minimálpolinomja azonos:

Ellenőrzés: 2 0 0' T *AT = 0 - 2 1 =J 0 0 -2

p(Á ) = (A - 2)(Á + i f ; m (Á) = (/I - 2)(Á + i f ,

a sajátvektorok pedig: v(2) = [1,2,4]^; V2 3 ( - 2) = [1 ,-2 ,4 ^ Az A Jordan-alakja közvetlenül felírható: ‘2 0 0^ 1 J = 0 -2 0 0 -2

2

_4

Aí

1 X| - ■ 2 X2

r 2t e

és a D mátrix:

D=

0 0

0 0 2xi + X2~1 A T - T J = 0 0 2x2 + Xs + 2 = 0 _0 0 Sx i + 4 x2 ~ 4 mátrixegyenletből határozzuk meg, (a megoldhatósághoz szüksé ges, hogy az ismert sajátvektorok oszlop vektorai helyén 0 legyen), mely a következő egyenletrendszer megoldásával azonos:

~-2

r

0 -2

2írn -2t “1 f e [1], e 0 1

4 ^3_

Az ismeretlen vektor koordinátáit az

exponenciális mátrixfügg

így a (10) formulát blokkonként alkalmazva:

azaz "1

T=

A J mátrix felhasználásával az e vény normálalakjai felírhatók, mivel

Bi =[2], és B2 =

A transzformáció T mátrixának első oszlopa a 2 sajátértékhez tartozó vektor, a második oszlopa a - 2 sajátértékhez tartozó vek tor, a harmadik oszlopa az ismeretlen vektor: T = [v(2)

'T'—l —J_ - 1 - 1 1 "4 4 0 -1

0

e

0

~lt , -2t te A 0 e-2í

A differenciálegyenlet-rendszer kezdeti feltételt kielégítő meg oldása (11) szerint: ~x{ty T = TDT"^ 2 y{t) 1 Z(t)

16 4 16 I3 ^ 2 < _ 3 „ -2 < + 3^-2. 8 2 8 4

4


330

amely azonosan megegyezik az Hermite-íé\& mátrixpolinommal előállított megoldással. 2.

T

Határozzuk meg az x(0) = [1,2,1]

kezdeti feltételt kielégítő


megegyezik a modálmátrixos megoldásnál alkalmazott alaprend szer diagonálmátrixával. A kezdeti feltételt kielégítő megoldásvektor:

megoldást, ha a homogén differenciálegyenlet-rendszer együttható mátrixa: '4 2 -2 ' ’4 4 2^ 0 4 -2 a) Aj = 2 6 2 , b ) A 2 = 2 4 4 -6 -4 6 = 10, ^ 2,3 = 2 ; 2 karakterisztikus polinomja: k{X) = ( Á - 2 ) ( Á - 10),

b)

m(Á) = ( Á - 2)(Á - 10),

tehát van 3 lineárisan független sajátvektora, mert a kétszeres saját értékhez, a 2-höz, két független sajátvektor tartozik: v ( l 0 )

=

[1,1, i f

,

v , ( 2 )

=

[ - 2 , 1 , O

f .

V2(2) = [ - 1 , 0 ,

i f

.

Az A] Jordan-mátrixa a minimálpolinomra figyelemmel: ‘2 0 0“ J = 0 10 0 0 0 2

~-2 1 - í T= 1 1 0 es mverze: T.-1 1 0 1 1

1 4

-r ■-1 2 ■ 1 2 1 -1 - 2 3

2 0 0' A Jordan-íé\e normálalak: J = T A^T = 0 10 0 0 0 2 A minimálpolinom gyökei egyszeresek, az exponenciális mát rixfüggvény normálalakja: “ 2t

e ‘ =

0 0

0 0

1 2í , 3 lOí' 2"^ 2^ 1 2í

3 Wt

Az A 2 mátrix sajátértékei azonosak az Aj mátrix sajátérté

keivel, de a minimálpolinomjának kétszeres zérushelye van, azaz gyöktényezős alakja: k(Á) = a - 1 0)(/l - 2 f , m(Á) = (A - 1 0)(Á - 2 f , tehát nem kapunk 3 lineárisan független sajátvektort: v(10) = [ - | , l , - 3 f , V23(2) = [ 0 ,l,lf Az Aj és A2 nem hasonló mátrixok.

A Jordan-fé\& normálalakot előállító transzformáció T mátrixá nak oszlopvektor sorrendje: T = [ v | ( 2 ) v ( 1 0 ) V 2( 2) ]

A ,t

'x(t)~ 7. ^ '2t lOí 2í\ np—1 y(t) = 1 diag{e ,e ,e ) l ■ 2 1 z(t)

Ha a megoldást modálmátrixszal végezzük akkor is ugyanezt az eredményt kapjuk (T = Q ) .

a) Az A] mátrix sajátértékei:

és minimálpolinomja:

331

0 0

10 0 0' Az A 2 Jordan-íélt normálalakja: J = 0 2 1 0 0 2 Az egy ismeretlen oszlopvektort tartalmazó T mátrix: 4 3 0 T=

11X2 - 3 1 X3

Az ismeretlen oszlopvektor koordinátáit az 0 0 2x] 4- 2^2 - 2^3 A o T -T J = 0 0 2;c2 - 2x3 - 1 = 0, 0 0 - 6x1 - 4X2 + 4^3 - 1_ mátrix egyenletből felírható

332



2x[ + 2x2 - 2^3 = 0 2x2 ~ 2^3 = 1 - 6xi - 4x2 + ‘^■^3 “ 1

Ali. —

egyenletrendszer paraméteres megoldásaként kapjuk:

333

■4.00000009 2 - 2 0 4 -2 -6 -4 6

Az A[^ mátrix sajátértékei:

1 2

= 10,00000003, %2 = 2,000051415, ^^3 = 1,999948654. A sajátvektorokkal felírt modálmátrix és inverze: -03885143490 0,0000199500 -0,4143092597' Q = -0,2913857581 -0,7760709367 -16137,54378 0,8741572745 -0,7760509852 -16137,95806

p = 1 választással: T =

" I1 -3 1

és es 1

=—

'3 3 -3 ' 33 1 15 -2 4 8 -8

A Jordan-félQ normálalak a kiszámított T mátrixszal képezve:

-0,6434788527 -0,6434762252 0,6434762264 ' 18809,08889 -6270,179261 6269,535413 -0,9045366466 0,3014889663 -0,3015199702 A hibamátrix: 0,9999999994 0 -0 ,M O ^-5 H = Q Q -' = 0,00001 0,999999 - 0 ,M 0 ‘ 0,00001 0 0,999998

"10 0 0“ 0 2 1 0 0 2 Az exponenciális mátrixfüggvény normálalakja a (10) formula szerint: lOí 0 0 Ao t 0 0 0 A kezdeti feltételt kielégítő megoldásvektor:

r 10/ 0 0 e fxit)] 2t = T 0 e y(t) 2t zit) 0 0 e

Az alaprendszer diagonális mátrixa: D ^ j^-^^(gl0,00000003í ^2,000051415/' ^l,999948654í^

A szemetes egységmátrix föátlón kívüli elemei közül abszolút értékben a legnagyobb: 10~^ elem. A kezdeti feltételt kielégítő megoldásvektor komponenseinek első 5 jegye pontosnak várható: 'x(0 yit) = QD Q “ ^Xo = zit)

1 lOí , 1 2t

T 2 1

2"

+2^

0,5000005138e^>^ +0,2501384023e^2í +o,2498610832é?^3í 0,3750003807e^‘^ -9730,583666e^2í +9732^208674e^3í

A modálmátrixhoz hiányzik a 3 lineárisan független sajátvektor, ezért kísérletezzünk egy alkalmasan választott mankómátrixszal. Legyen az A2 mátrix mankómátrixa:

-1,125001142e^‘^ -9 7 3 0 ,333504?^2í +9732^45g512f.^3í A

helyére a kiszámított sajátértékeket kell helyettesíteni.

334



—2xj -l- X3 = 0 3X2 ~ 2x3 = 1 —4xj + 2x3 = 0

A p indexszel jelölt pontos és a modálmátrixszal képzett, k in dexszel jelölt közelítő megoldás í = l helyen: =11016,92743; 3;^ =8264,542831; z, =-24771,46132;

=11016,93908; = 8264,55142; =-24771,48732.

X=

A pontos és közelítő komponensek értékei a becslés szerinti várha tó 5 jegyre megegyeznek. ■-3 0 r 3 - 1 - 2 mátrixszal adott diffe4. Határozzuk meg az A = -4 0 1 renciálegyenlet-rendszer x(0) = [l,0, l f kezdeti feltételt kielégítő megoldását. Megoldás. Az A mátrix minimálpolinomja, megegyezik a ka rakterisztikus polinommal: k(Á) = m(X) = { A - í ) , azaz a

2,3 = 1

335

~- l ■ -r p és p = l választással: x = 1 ~2_ -2

A második egyenletrendszer az x megoldásvektor felhasználásával: - 2_yi 4- _y3 = -1 - 2 J3 = 1 > - 4 ji -H2^3 = - 2 melynek paraméteres megoldása: T ■f y = P , és /? = 1 választással: y = 1 1_ 1 A transzformáció mátrixa és inverze:

-1 1 0' zik: Vi2 3 = [0 4 . 0f - A JorJan-m átrix: J = 0 - 1 1 0 0 -1 A transzformáció T mátrixát a sajátvektor felhasználásával: 0 Xi T = 1 ^2 ^2 .0 ^3 )'3_ alakban keressük. Az ismeretlen oszlopvektorok koordinátáinak ki számításához az 0 —2xj + X3 —'lyi + ^3 "" -^1 ^2 = 0 A T - T J = 0 3 x1- 2x3 - 1 _0 -4 x 1 + 2x3 “ 4 ji + 2j 3 -X 3_ egyenletrendszerből két egyenletrendszert írhatunk fel. Az együtt hatók mindkét egyenletrendszernél ugyan azok, de az első jobb ol dala [0,1,0]^ vektor, a második egyenletrendszer jobb oldala pedig az első egyenletrendszer megoldásvektora lesz. Az első egyenletrendszer és megoldása:

0 -ir - 3 1 2' T = 1 11 , T“ ^ = 1 0 - 1 0 -2 1 2 0 -1 A Jordan-féle normálalak a kiszámított transzformációs mátrixokkal: -1 1 0’ 0 --1 1 0 0 -1

J = T^ÂT =

Az e exponenciális mátrixfüggvény normálalakja, mivel a J egy Jordan-blolík:

e

At

=

0 0

te 0

A differenciálegyenlet-rendszer kezdeti feltételét kielégítő megol dásvektora:

336


x(t) y(t) = T zit)

n-1

r 0

- t e ^+ e ^ te~^

L^J

e~^-2te~^


Például az

■-0,1353352832' 0,5413411328 -0,4060058496

(*)

Az előállított megoldásvektor azonosan egyenlő az Hermite-félQ mátrixpolinommal előállított megoldásvektorral. Kísérletezhetünk a modálmátrixos megoldással is: -3,00000009 0 r A ,= 3 -1 -2 - 4 0 l

pontos (*) és az

A sajátvektorokkal felírt modálmátrix és inverze: 0,0 -0,4472894933 -0,0004238593052' Q = 1,0 -1053,265417 1,0 0,0 - 0,8943892381 -0,0008478984578_

közelítő megoldás, ha t = 2: ■-0,1353353' 0,5420 -0,4060058

M egjegyzés. Az f(t) = tê'^\ k \ függvény a maximumát, az /max =

függvényértéket, a t,„ = - | - helyen veszi fel.

Ha \ k \ > n, k < Q , akkor a 0 < / <

A sajátértékek: A i=-1,0; ^= -1 ,0 0 0 4 2 4 3 0 9 ; /I3 =-0,999575781.

és t >

Mivel így te~^ függvény (11. ábra) a t = l helyen veszi fel a maximális értékét: 0,3678794412,

■1,000 0 0 , így 3 jegy pontosság A hibamátrix: QQ ^= 0,003 1,000 0 0 0 1,000 várható. t

-l,000424309í

,e

-0,999575781/x

)■

xi ^2 = QDQ ‘x„ = .•^3. 1179,0 1 1 3 1 & ^ ^ -1178,011316^' -0,55555553-10^

tartományokon a

hibabecslő formula a t^ helyen számított hibánál pontosabb érté keket szolgáltat.

1,0 0,5555557331-10^ -0,111111266-10 0,0 2634,784138 -5270,686240 0,5559681123-10^ 0,0 -0,2780430317-10^

D = diag{e , e

337

27763045-10^ e ^ '+ 0 ,2 7 7 9 2 5 0 8 -1 0 ^ e ^ '

2357,522472^^ ^ - 2356,522472e^ ^ 12. ábra. ^ e ‘ függvény

338


2 a

függvény (12. ábra) pedig a r = 2 helyen: 0,2706705664,


A transzformáció T mátrixát a két sajátvektor felhasználásával 1 xi - 2 yj

ezért a hibabecslés t > 2 értékekre sem romlik. 8 9 8 0' 5 6 6 0 együtthatómát5. Határozzuk meg az A = -1 9 - 2 0 -1 9 1 _ 2 1 1 -1_ rixszal adott elsőrendű differenciálegyenlet-rendszer kezdeti felté telt kielégítő megoldását, ha x(0) = [1, 0, 1, 1]^ . Megoldás. A negyedfokú karakterisztikus egyenletnek két kü lönböző kétszeres valós gyöke van, a minimálegyenletnek a gyök tényezői is azonosak: k(Á) = a + 2 ) \ á -h i f , m(Á) = (Á + 2 f ( A + i f ,

339

T=

1

^2

y

- 9 XJ

2

1 1

__-3 X4

alakban keressük. Az ismeretlen oszlopvektorok koordinátáit az A T -JT = 0 9 x i+ 9x2+ 8x3 - 1 0 5x] + 7x2 + 6x3 - 7 0 -19xj -20x2 -1 8^3 +^4 +9 _0 2x, + X2 + X3 + 3

0 10};i+93;2 + 8y3 + 2 0 5yi + 83^2 + 6^3 + 4 =0 0 - 1 9 } ; ,- 203^2 “ 17^3 + ^4 - 7 0 2 + ^2 + 3^3 + J 4 - 1

egyenletből felírható két négyismeretlenes egyenletrendszerből ki számítva:

a sajátvektorok: Vj2( - l) = [1,1 , - 9 , - 3]^, V34( - 2) = [ - 2 , - 4,7 ,1]^, tehát nincs 4 lineárisan független sajátvektor. A Jordan-íélt normálalak közvetlenül felírható: -1 1 0 - 1 J = 0 00 0 ahol a Jordan-hlokkok: Bj =

0 0' 0 0 2 1 0 -2

-1 1 0 -1

Bo =

-2 í 0 -2

'1 t Bjí P-t “1 t ^— , cP82? —cP-2t c0 ^ — —c 0 1 0 1 melyek felhasználásával a diagonális hipermátrix:

D=

7 p

+

2

5

. - 9

p

- 2

8

, - 3

p

- 1

3

f ,

y

=

( 2 - 2 p , 2 - 4 p , - 5

+

7

p

, p f .

A paraméter p = 1 választásával a transzformáció mátrixa és inverze: 1 1 -2 0' 7 32 4 2 T= - 9 -3 7 7 2 - 3 -1 6 1 1

A blokkoknak megfelelő exponenciális mátrixfüggvények nor málalakja a ( 10) formula szerint;

0 0 0 0 - 2í , -2t e te 0A -2í e

x 4 A

-1 0 5 - 2 14 1 -1 0 -2 -5 2 - 1 6 -9 -3 -5 5

A kezdeti feltételt kielégítő megoldás-vektorfüggvény: _1_

~x{t) yit) = TD T“ ' • 0 z(t) 1 y{t)_ 1

e~^ -te~^ + -18é> ^- lte~^ + 1 8e“^ + 36íe“ ^^ 19e~^ + 9te~^ - 18e“ ^ - 63te~^ 1 + ?>te~^ - 9e^^^ - 9te~^^

mely megegyezik a direkt Hermite-fé\e mátrixpolinom előállításá val képzett megoldással.

340



341

A mátrixegyenletrendszer:

M egjegyzés

A T -T J =

Ha közelítő mátrixként az 8 0“ “8,0000009 9 6 6 0 5 - 2 0 -1 9 1 -1 9 1 1 -1 2 mankómátrixot alkalmazzuk, akkor 4 lineárisan független sajátvek tort kapunk. A modálmátrixos módszerrel csak 2-3 jegy pontosság gal kapunk közelítő megoldást (a minimálegyenletnek két gyöke is kétszeres). 5 6 -1 0 r -5 -4 9 -6 együtthatómát6. Határozzuk meg az A = -3 -2 6 -4 -3 -3 7 -5_

0 0 4X14- 6x2 —10X3 -1- 7X4 - ^

4ji-H 6j 2 ~ 10j 3 4-7^4 —x^

0 0 - 5xi - 5x2 + 9x3 - 6x4 - 1 -

- 5j2 + 93^3 - 6y^ - X2

=0’

0 0 - 3xi - 2x2 + 5X3 - 4x4 - — - 3yi ~ 2^2 4- 5 J 3 - 4>^4 - X3 _0 0 —3x| —3x2

~ 6x4 —1 —3yi —3^2 4- 7y^ —6y^ —X4

melyből felírható két 4 ismeretlenes egyenletrendszer (az első meg oldásvektora lesz a második egyenletrendszer szabad vektora). ^=hj+jp,i+p,j^jp.pf. y==hí+ip.i+p.-i+4p.pfA megoldás vektorok p = 1 választással:

rixszal adott lineáris homogén differenciálegyenlet-rendszer megT

oldás-függvény vektorát, ha Xq = [1, 0, 1, 1] . Az A mátrix karakterisztikus polinomja, minimálpolinomja és

tehát a transzformáció T mátrixa és inverze:

sajátvektorai: k{X) = (Á + l)(/l -1)^, m{/í) = (Á + 1){Á - 1)^, v (-l) = [-3, Ü, 1,4 f , V|,23 = [ i , 1,1 , i f . T=

A karakterisztikus és minimálpolinom azonos és csak két lineárisan független sajátvektor van. Az e

J =

0 B2_

0 1 0 0

0 0' 10 11 0 1

-3 i T=

2 ^ 2 3 5 -7 4 ; ^5 - 4 -5

At

exponenciális mátrixfüggvény normálalakja (10) szerint: e ^ 0 0

Az A mátrix Jordan-fé\e normálalakja és a T mátrix: -1 0 0 0

1 4 0

11 1 ü 2 4 8 4 1 1 1

A A 4-1 tényezőnek megfelel a B i= [-1 ] blokk, a ( Á - l f ’ té1 1 0' nyezönek pedig a B 2 = 0 1 1 ' blokk. 0 0 1

1 - i _5' 2 4 8 0 I

0 1 ^2 ^2 1 I ^3 ^3 4 1 X4 y4_

D=

0 0

t , t t

0

2

0 e íe — e t A

0 0 0

te

Az egyenletrendszer megoldás-függvényvektora:

342

Uh Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

3.6 Megoldás a Jordán-féle normálalak felhasználásával

343

A transzformáció mátrixai különböznek: 1 -1 1 0“ 1 -1 -1 - r 0 1 -1 0 0 1 1 1 T, = . T2 = - 1 -1 0 0 0 '/ 1 -1 1 1_ 1 -1 -1 0

'Át) y{t) = TD T zit) v(t)

de a differenciálegyenlet-rendszer megoldása mindkettővel azono san egyenlő:

amely azonosan megegyezik az Hermit-íélt mátrixpolinom felhasz nálásával képzett megoldás-függvényvektorral. 7. Határozzuk meg az 2 1 3 0“ -3 -2 -3 0 A= 2 2 10 1 1 3 1_

M egjegyzés. A ker{X - 1 • E)^ magtér bázisának b 3 vektorát is fel

együtthatómátrixszal adott hneáris homogén differenciálegyenlet-

használhatjuk T előállítására: T = [vj x b3 V2] oszlopvektor elren

T

rendszert, ha Xq = [1, 0,1, 1] . Az A mátrix karakterisztikus és minimálpolinomja: k(Á) = (A -t- 1)(A - 1)^ m{Á) = (A + m

'x(0 ' z{t) v(0

dezésben. így csak egy ismeretlen vektor kiszámítására van szük ség. Ekkor a transzformációs mátrix alakja: 1 0 0" 0 ^2 0 0 T= - 1 JC3 1 0 1 JC4 0 1

- \f .

A minimálpolinom 1-gyel alacsonyabb fokú, a sajátvektorok száma 3: v i(-l) = [ 1, 0 , - 1, i f , V2(l) = [ 0 , 0 , 0 ,

i f ,

V3(l) = [ - 1, 1,0 , 0 ] ^ .

Annak eldöntésére, hogy az 1-hez tartozó mindkét sajátvektor V2 és V3 felhasználható-e egyszerre a T előállításához, képezzük az 1 sajátérték invariáns altereinek bázisvektorait: ker(A - 1 •E) magtér bázisa: b i = [ 0, 0, 0, l f , b 2 = [ - l , l , 0, 0f ,

és így az 0 X] + ^2 + 3x3 3 - jci 0 - 3xj -3x2 “ 3x3 - 3 - X 2 A T -T J = 0 2xj + 2x2 -X 3 _0 x^ + X2 + 3x3 3 —X4

A két altérben bj és b 2 valamint V2 és V3 azonos, így csak két sajátvektor írható a T mátrixba. A T oszlopvektorainak a sorrendje: Ti = [vi X y V2] vagy T2 = [vi x y V3] .

0 0 =0 0 0

egyenletet kapjuk, melynek 3. oszlopából közvetlenül kiolvashatók az X vektor koordinátái:

ker(A - 1 • E)^ magtér bázisa: bi = [0,0,0, i f , b 2 = [-1 ,1,0, O f, b 3 = [0,0,1, o f .

e ^-i- 6te —6te t . t - e +2e _ e ^ -f- 6te

x = [ a - 3 ,o ,3 r melynek felhasználásával: 1 0T= -1 1

3 0 0' 3 00 0 10 3 0 1

344


3.6.1 Komplex sajátértékek és sajátvektorok

3.6.1 Komplex sajátértékek és sajátvektorok Az előző pontokban leírtak értelemszerűen alkalmazhatók olyan ál landóegyütthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszer megoldá sára is, amelynél az együtthatómátrix sajátértékei között komplex számok is vannak, és sajátvektorai komplex komponenseket is tar talmaznak. Abban az esetben, ha a mátrix sajátértékei különbözők, akkor a modálmátrixos eljárás közvetlenül alkalmazható. Ha a minimálegyenletnek egyszeres komplex gyökei mellett többszörös va lós gyökei vannak, akkor a transzformáció T mátrixának ismeretlen oszlopvektorai a 3.5 pontban leírtak szerint kiszámíthatók. A Jordan-íé\t normálalak felírását ebben az esetben is az egyszeres blokkokkal kell kezdeni, majd a 2 x 2 stb blokkokkal kell folytatni, kivétel a 0 többszörös sajátértékhez tartozó blokk, amelyet első blokknak kell beírni.

/I3 = —1,

/?4 = 1,

=

7

11

1

, V2 ( - 2í H - l + ^ 3 r

’

-

2/ 0 0 2/

Az A mátrix rendjével megegyező számú lineárisan független sajátvektor van, ezért felírhatjuk a modálmátrixot és kiszámíthatjuk az inverzét: 7 n ~ l - |/ “ 6 7 3 3 11 2 2 . 2 _^ 2 .. 3+ 3Í 6 3 3 Q= i 1 1 2 4 1 1 1 7 3 3_ _3 5

5 -1 1 10 10 9 3 9 , 3 10 2 0 ' 10 5 ' 5 ^ + -1 ,- _ 9 ._ 3 . 6 L 1 0 ^ 2 0 ' 10 5 ' 5

X

és sajátvektorait: Vj (2 0 4 -1 - - í, - + - i, 1, 3 3 3 3

00 00

_

3 5 11

10 6 6, 20' 5 J_. 6_6. 2 0 ' 5 5 '.

xi(0 X2{t) A megoldás vektor: x{t) = = Q D Q -‘x(, X^{f) x^{t)_

Megoldás. Kiszámítjuk az A mátrix sajátértékeit: Á2 ——2i,

0 0

Az alaprendszer mátrixa: D = diag(e ~t \ e J, e -2ti,e 2ti.).

és a kezdeti feltétel vektora: x(0) =xq = [1, 0, 1, 2]^ .

= 2i,

0 0'

0 1

J=

Példa 1. Határozzuk meg annak a homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszernek a megoldását, amelynek együtthatómátrixa: " 7 4 6 1“ - 6 - 4 - 5 -1 A= -3 0 -2 3 _ 2 1 1 - 1_^

-1 0

345

11

3

i, 1, - - f , 3 3 4 r

v ,(l) = [ - - ^ , U , - / .

A sajátértékek sorrendjére vonatkozó szabály szerint felírjuk a Jordan-féle normálalakot:

g -í

,

121

í _ ^

-2ti

9 .-iti

59

2ti

9 . 2ti

- 1 1 J + 22 -2ri _ 8 . -2n- 22 2tí 8 . 2(í 10 5 5 + T 1“ 77 j , 9 --2t/ 21 . -2f, 9 2 „ '_ 2 1 . 2/i 1 0 *’ lO"^ +2* 10“ 3 - t , 22 J 3 ~2ti 7 : - 2 t i 3 2ti , 7 • 2ti 10 3 -I

346



= 39,69599377, ^2 =-27,90728141, X3 =-20,96740625, X4 =12,15659182 M egjegyzés. A számítógép

X2,

—9 értékeknél = 10 i képze

tes részt is kiírt. A komplex számokra vonatkozó Euler-íéXo. képletek alkalmazá sával a megoldás valós alakra hozható: î(0 = ^ ■^2(0 = - ^ x^(t) = -

- T e' ^

^ ^

x^(t) = ^ e

J =

^ ^ 5 cos 2í - ^ sin 2t,

+ 9 cos 2í + - y sin 2t, - 3 c o s 2 t - ^ s i n 2t.

A í = 1 helyen vett helyettesítési értékek csak az X2 és x^ utol

0 1

0 0'

00

0 0

347

0 0 -2 / 0 0 0 0 2/

Az A mátrix rendjénél eggyel kevesebb számú lineárisan füg getlen sajátvektor van, ezért először a transzformáció T mátrixát számítjuk ki az ismert sajátvektorok felhasználásával. Az első oszlopba a 0 sajátértékhez tartozó sajátvektor, a máso dik oszlopba az ismeretlen vektor, a harmadik oszlopba a -2i sa játértékhez tartozó vektor, a negyedik oszlopba a 2i sajátértékhez tartozó vektor kerül (ez felel meg a J oszlopaiban lévő sajátértékek sorrendjének): -2 q -1 -1 1 -2 C2 1 T= 2 c-3 1 1 1 C'4 1 _ 1 4 4 4 4 J Képezzük az AT - T J = 0 mátrixegyenletet:

só jegyében térnek el: xi =39,69599311, ^2 =-27,9072814,

0 - 2 q - 5c2 - 3c3 - 8C4 + 2 0 0~ 3q + 5c2 + 4c3 + 8C4 +2 0 0

0 X3 = -20,96740625, JC4 = 12,15659181 2. Határozzuk meg annak a homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszernek a megoldását, amelynek együtthatómátrixa: ■-2 - 5 - 3 - 8' 3 5 4 8 , és a kezdeti feltétel vektora: x(0) =Xq = A= 2 5 3 8 _ 3 - 4 -4 -6 Megoldás. Kiszámítjuk az A mátrix sajátértékeit és sajátvektorait: ^ 2 = 0 (kétszeres sajátérték,

ro I =

0 0

0 _0

2c] + 5c2 + 3c3 + 8C4 —2 0 0 - 3q - 4c2 - 4^3 - 6C4 - 1 0 0

A mátrixegyenletböl az egyenletrendszer és megoldásvektora: - 2c} - 5c2 - 3c3 - 8C4 = 3q + 5c2 + 4c'3 + 8C4 = 2q + 5c2 + 3c3 -f- 8C4 = - 3q - 4c2 - 4c3 - 6C4 =

A Jordan-íélQ normálalak felírásához vegyük figyelembe a 0 sajátérték kétszerességét:

-2

-1 9 -2 p - 1- 2/? ■, c = 2 í5 + 2p

—2 1

.

P

p = 0 választással:

), Á^ = 2i, /I4 ——2í ,

iT V i,2 = [-2 .- 2 ,2 ,lf.V 3 = [-U ,l,- | + i f , y 4 = [ - l , l , l . - | - j f .

= 0,

- 2 -1 9 T=

-1

-1 1 2 15 1 1 1 0 - i3 —j1i - t3 ,+1t í, 4 4 4 4 J

-2

-1

1

Kiszámítjuk a T mátrix inverzét:

_

348

HL Állandó együtthatójú lineáris dijferenciálegyenlet-rendszerek


349

3. Határozzuk meg annak a homogén lineáris differenciálegyen let-rendszernek a megoldását, amelynek együtthatómátrixa; 8 9 -1 - r -1 0 -1 0 1 2 A= - 1 7 -1 8 1 2 , a kezdeti feltétel vektora; x(0) =Xq = Í “ f ‘ l “ Í '' Az alaprendszer D mátrixa: '1 t D=

0 1 0

0

0 0

0 0

0

0

xiit) X2Ít) =TDT ^Xq = A megoldásvektor; x(í) = x^(t) _X4Ít)_

0

0

0 -1

Megoldás. Kiszámítjuk az A mátrix sajátértékeit; = 3i, A2 - ~3i, A = - l (kétszeres gyök) és sajátvektorait; r 19 3 . 20 9 T vi(3í) = — — + — z,-----------/ , l , 0 f , 37 37 37 37 v (- l) = [0 ,l,9 ,0 Í , r 19 3 . 20 9 T V 2(-3/)= ------------ 1, — + — í , l , o f , 37 37 37 37 A sajátértékek sorrendjére vonatkozó szabály szerint felírjuk a Jordan-féle normálalakot;

5+

J =

A í = 1 helyen felvett értékek; xi = -2,337684348, ^2 = 5,337684348, X3 = 4,337684348, X4 = -6,556964488. A komplex számokra vonatkozó Euler-íé\& képletek alkalmazá sával a megoldás itt is valós alakra hozható; ;cj(/) =5 + /- 4 c o s 2 í- lls in 2 í,

Mii) = I - i ( - i c o s 2t - ^ s i n 2í. A helyettesítési értékek a í = 1 helyen csak az utolsó jegyben térnek el; X] = -2,337684344 ^2 = 5,337684344 X3 = 4,337684344, X4 = -6,556964489.

0

0

o'

0

3/

0

0

0

0

-1

1

0

0

0

1

Az A mátrix rendjénél eggyel kevesebb számú lineárisan füg getlen sajátvektor van, ezért először a transzformáció T mátrixát számítjuk ki az ismert sajátvektorok felhasználásával.

T=

37 20 37

9 . 1 0

;c2(í) = - 4 + í + 4 cos 2í +11 sin 2í, x^{t) = -3 - í + 4cos 2í +11 sin 2í,

-3 /

2 0 _ A ,37 37

1

C2 9 C3 0 C4_

Képezzük az AT - T J = 0 mátrixegyenletet; 0 0 0 9q + 9 c 2 -c 3 -c 4 0 0 0 —1Ocj —96'2 + <73-1- 2(?4 = ~ 1 =0 0 0 0 —17c|—18c2 + 2C3 -i-2c'4 —9

0 0 0

0

A megoldásvektor; c = [9, p,71 + 9p,10]^.

III. Á llandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

350

A p = 0 választással lineáris oszlopvektort kapunk, és így meg kapjuk a T mátrixot: _ i 9 __3_, _ i 37 37 37 T=

37

37

37

1 0

9 37

1

37


A komplex számokra vonatkozó Euler-féle képletek alkalmazá sával a megoldás itt is valós alakra hozható:

0 9

■^1(0 = -•jCO s3í + ^ s in 3 í-) --|-e ’’^,

1 0

X2Ít) =

9 71

xît) = - ^ cos 3? -

0 10

0

143 ■ __9_ 60 20 20 20 + H + 143 • - ^ 20 20 20 +' 60 J_ J_ 10 10 0 0

21

31 _1 + 43 20 60 50 300 _ 1 19 ■ 43 , 3\^ j20 60 50 300 49 JL “ 50 10 J_ 0

10

?-3it 0

e

0 3it

0

0

0

0

0

0

0 -í

0

e

0

A megoldásvektor:

x(0

cos 3í - ^

X](t) •^2(0 =TDT 'x„ = xît) _X4(í)_

sin 3í + - |

-h

A í = 1 helyen vett helyettesítési értékek csak az utolsó egy-két jegyben térnek el: = 2,244449037, X2 = -3,870127279, X3 = -0,6559431837, x^ = 0,7357588824. M egjegyzés. Az állandó együtthatójú lineáris differenciál egyenlet-rendszer megoldása azonosan előállítható, akkor is, ha az együtthatómátrixhoz tartozó Jordan-féle normál alak blokkjait az 3.4 pontban leírt szabályoktól eltérően, tetszőleges sorrendben vesszük fel és betartjuk az alábbi passzítási szabályt: Passzítás szabálya. A Jordan-féle J normálalak blokkjainak sorrendjéhez kell passzítani a transzformáció T mátrixában a saját vektorok, ill. az ismeretlen oszlopvektor(ok) sorrendjét, valamint egyszeres sajátértékek esetén az alaprendszer D j diagonálmátrixában, ill. többszörös gyökök esetén az exponenciális mátrixfüggvény Dg normál mátrixában fellépő blokkok sorrendjét. Példa

2 Számítsuk ki az A = -2 -3 renciálegyenlet-rendszer 2e“ ' A í = 1 helyen felvett értékek: X] = 2,244449037 ,

sin 3í + y te~^ ~ 25

xît) = 2e ^

Kiszámítjuk a T mátrix inverzét:

Az alaprendszer D mátrixa: D =

351

X2 = -3,870127280,

A-3 = -0,6559431842, X4 = 0,7357588824.

-1 1 együtthatókkal adott diffe2

Xq = [ 1, 0, 1]


megoldását szabályos és nem szabályos J felhasználásával. Megoldás 1. Az A sajátértékei és sajátvektorai: 4 = 6 ; vi 2 = [5,1,7], V3 = [0,1,2].

352


"6

0

0'

0 0

és a megoldás: x(r) = T„D T ' xq =

1 '0

0

te^ , és T = 1

0 0

2

0

Az AT - T J = 0 megoldása; [-6 + Síj, 0

5

-6

1 1

0

2

353

1 1 , és a hozzá passzított

A szabályosan felírt: J = 0

0

3.7 Feladatok

7

- (7 e ^ -2 e ^ ^ ) 5

5 1 ^2 7

előző megoldással. 3.7 F eladatok

-1 1 + 7í] ], melyből 1.

írjunk fel egy harmadrendű A mátrixot, melynek

sajátértékei:

-1 1

si - 1, 5"2 = -1, ^3 = 3;

sajátvektorai: Vi(l) = [0, 0, i f , V2(-l) = [1, -1 , i f , ¥3(3) = [1,1,2 f . -1 0 O':

és a megoldás: x(í) = TD^T

’l 2. A J , = 0 0

0

0 1 0 , T = [V2, V j, V3]

=

00 3

5

~ 10 r “1 2 0" -1 0 1 , A = T J T ” ^ = 2 1 0 1 12 13 1

'- 1 -3 1 0 -3 0 2. Határozzuk meg az A = 1-3-1 -1 0 1

2' 3 mátrix J Jordan4 -1

alakját és a transzformáció T mátrixát.

6 5

0 , és

0

= 0

=

Xq =

alakban felírt Jordan-féle normálalakhoz

1 0

0 Az AT^ -

(J =

1 0"

te^ passzított

-1

azonos az

5

X|

0*"

_7

X3

2_

0 megoldása: [-6 + 5 / i , í i , - l l + 7 í J , mely

ből ti = 0 választással: '5 T ,=

-6

0”

1

0

1

7

-1 1

2

- -3, ■S'2 = -3 ,

= 0; 54 = 0:

- 3 -hoz egy, 0-hoz két sajátvektor tartozik:

= 1 X 2 ^

0

( k{ Á) ~ £ ' (Á + 3)^, m(X) = Á(Á + 3)^ ;

vi (-3) = [ 1, 1, 1, 0 ] ^ ,

0

0

V 2 ( 0)

00

0 -3 10 , T= J= 0 0 -3 0

0

0

= [ l , 0, l , 0] ^ ,

00

[V 2 V j X V 3] =

V 3 = [ - 1, 1, 0 , 1] ^ .

11 -1 0 1 .X2 1

1 1 X3

0

_0 0 X4,

1_

Az A T - T J = 0 egyenletből x = [ ^ ,- ,0 ,- ~ ] ^ .)

354


“9 0 -7 - 6 ' 6 1 -6 -5 3. Határozzuk meg az A = -6 -5 0 7 ■ 6 5 -6 -9

mátrix J Jordan-

alakját és a transzformáció T mátrixát.

355

3.7 Feladatok

4 1 3 -2" ~xi(ty - 3 -1 - 2 2 Xiit lineáris -3 0 -2 3 x^(t) 2 1 1 - 1 j4Ít)_

5. Határozzuk meg a

differenciálegyenlet-rendszer Xq = [1,0,1,2]

2 0 ( k{X) = a + Af { X - i f , m(Á) = (Á + 4 f ( Á - 2 f . J = 0 0

1 0 0' 2 0 0 1 0 -- 4 0 0 -- 4

gítő megoldását. (/l, =

- 1, Í2

=

I. /I3

=

A,

= i.

1. 2 1., í r - í , ------- 1, 1, — ] , V4 3 3 3 3

1

xi(0 =

T = [v2 XVj y] = 0 X2 l y2 . Az AT - T J = 0 egyenletből

1 ^3 1 J3

4. Határozzuk meg a

■ 2 - 2 -4" ~x(t) dx(t) ^ -1 3 4 y ( t lineáris diffedt 1 - 2 - 3 zit)_

renciálegyenlet-rendszer xq = [1,0,1]


megoldását. ( k{X) = Á(Á - 1)^, m(Á) = Á(Á - 1) lineáris tényezőjű, a J főátlóján kívül csak 0 elemek állhatnak:

0 0 0'

, , = [ - 1

—

1. 2

+ 3 3 3

1.,

17 — ] 3

+ ~ e ^ - - y cosí - - j s i n t,

X2Ít) -

~ ^ e -1- 4 cosí -H^sin t,

xît)

-

+ ^ c o s í + 3 sin t,

+ ~ e - - “ C o sí-sin t.)

xît)

6, let-rendszernek a megoldását, amelynek együtthatómátrixa: ■ 2 -3 1 -3" -1 - 6 - 3 - 6 A= , a kezdeti feltétel vektora: x(0) =Xg = -3 -3 - 4 -3 2 6 4 6

(k(X) = £(A + 1)^ m(i) = A(Á + 1)^ ;

J = 0 1 0 . v,(l) = [2,1, o f , V2W = [4,0, i f , V3(0) = [1, -1, i f . 0 0 1 ' 1 2 4“ e® ' 0 0 0 e 0 x(t) =MDM 'xo= - 1 1 0 10 1 0 0 e

,

T

Va = [-1

_0 X4 1 y4_

Vi

v 2 = [ 2, - i , - i , i r ,

A sajátértékekhez egy-egy sajátvektor tartozik:

1

kezdeti feltételt kielé

3 - 2/ -1 2 4 T -1 3 4 0 = -3 -h 3 e 1 -2 -3 1 3-2e

V o i = [ 3, l , -

3, o

f , V o 2 = [3 ,0 ,^ 3 ,lf,

x{t) y{t) Pontos megoldás: z(t) _u(t)_

v ,_ i) = [ - 2 .1 ,3 .^ 2 f .

-15-t-16e ^+ I6te ^ - 2 + 2e~^ 15-Ue~^ -24te~^ -3-1-4e ^+I6te

356


2,00000009 - 3 -1 -6 Mankómátrix: A = -3 -3 2 6

1 -3 -3 -6 -4 -3 4 6

IV . R É S Z

A sajátértékek, a modálmátrix és a diagonális alaprendszer mátrixa:

KIEGÉSZÍTÉS A DIFFERENCIÁLEGYENLET RENDSZEREK ELMÉLETÉHEZ

-6

/Ij --1,000131449, /Í2 =-0,9998687169, /I3 = 0,2528277126-10 ;i4 = -0,2704190115-10 ■-0554679153 0,2773851129 M= 0,8320643184 -0,5547338171

-5981,657550 2990,337593 8971,995685 -5981,068342

-1 0

4,038075289 0,05427235695 ‘ -1,425394097 -6,837204861 -4,038074957 -0,05427236062 2,771419088 6,855295650

D

A megoldás:

x(í)' y(t) zit) u(t)

-60891,12405/^^ + 60907,12429e'^^ -15,05821410?"^^ +0,0580683229ó/4Í 30450,56076í?'^ ^ - 3044a56077é-'^ ^ + 5,315376249te^ ^ - 7,31541879^'^4í 91341,69032^'^ ^ - 91355,69057e^ ^ +15,05821286e^ ^ - 0,05806832689^^ - 60897,12467^1 ^ + 60901,1247&í^ ^ - 10,33478056e^ ^ + 7,334774904e^4

A hibamátrix legnagyobb eleme: 8 10 ^ , így az ötödik jegyig jó megoldást kapunk, pl. í = 1 helyettesítéssel: ■-3,22785788 ' -4,207276647 1,02058123 4,357588824

■-3,227869587' -4,207351199 1,020558343 4,357681734

Bevezetés A matematika alkalmazásai igen gyakran vezetnek lineáris diffe renciálegyenlettel kapcsolatos kezdetiérték-, peremérték- és sajátértékproblémák megoldásának igényéhez. E problémák területén végzett vizsgálatok eredményeit felhasználhatjuk differenciálegyenlet-rendszerekkel összefüggő problémák tárgyalására is, ha az egyenletrendszert visszavezetjük egyetlen magasabb rendű dif ferenciálegyenletre. A differenciálegyenlet-rendszer egyetlen egyenletté való redu kálása azonban mind elméleti, mind gyakorlati szempontból kifo gásolható. Elméleti szempontból pl. nehézséget okoz, hogy az egyenletrendszerben szereplő függvények (együttható és sajátfügg vények) olyan magasabb rendű deriváltjainak létezését is fel kell tenni a redukció elvégzéséhez, melynek létezése nincs szükségkép pen biztosítva. Gyakorlatilag pl. az okozna nehézséget, hogy a redukált egyenlet bonyolultsága miatt a sajátértékek használható becslésére nem számíthatnánk. Ezek meggondolása alapján célsze rűnek mutatkozott az egyetlen n-edrendű közönséges lineáris diffe renciálegyenlettel kapcsolatos kezdetiérték-, peremérték- és sajátértékproblémákra részletesen kidolgozott elméleteket a közönséges 77-edrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerrel összefüggő kez deti érték-, peremérték- és sajátértékproblémákra általánosítani. E témakör egyes részproblémáit számos cikk és könyv tárgyal ja. M. E. Bounitzky [DIO] megadta a elsőrendű differenciálegyenlet-rendszerrel kapcsolatos n lineáris peremfeltételből álló peremértékprobléma Green-fé\& mátrixának felépítését abban az esetben, amikor a differenciálegyenletek együtthatói a független változó folytonos függvényei, és a peremfeltételek együtthatói konstansok. M. Bőcher [D9] a magasabb rendű adjungált rendszerekkel foglal

358

IV. Kiegészítés a differenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

kozik, melynek együtthatói Bounitzky által tárgyalt típusúak, M. C. Carrnan [D ll] pedig másodrendű peremértékproblémákat tárgyal. Az elsőrendű peremértékproblémák területén elért eredményeket tartalmaznak A. Schur [D67], G. D. Birkhoff'- R. S. Langer [D6], G. A. Bliss [D7], [D8], W. T. Reid [D60], [D61], [D62], R. E. Langer [D33] és W. M. Whyhurn [D71] szerzők cikkei. Megemlítendő, hogy Whyhurn olyan elsőrendű differenciálegyenlet-rendszerre adta meg a Green-függvényt, amelynek együtt hatói nem folytonosak, csak Lebesgue szerint integrálható függvé nyei a független változónak. Hasonló együtthatókkal vizsgálta Reid [58] a végtelen elsőrendű differenciálegyenleteket és az ezekhez tartozó peremértékproblémákra kiterjesztette Birkhoff és Langer, valamint Bliss véges rendszerre kapott néhány eredményét. Bliss és Reid a variációszámítás szempontjából vizsgálták a perem érték problémák önadjímgáltságát és annak újabb meghatározását ad ták. Langer [D32] a differenciálegyenlet-rendszerrel kapcsolatos sajátértékprobléma eredményeit kiterjesztett komplex változós esetre. Az n-edrendű differenciálegyenlet-rendszerrel kapcsolatos önadjungált sajátértékprobléma vizsgálatával foglalkozó cikkek [D17], [D45], A differenciálegyenlet-rendszerek mátrix módszerrel való tár gyalásával is számos szerző foglalkozott és azok közül /. A. LappoDanilevszkij [K55], Rózsa Pál [K83], M. A. Najmark,. [K66], Makai E. [D38], Bajcsay P. [D2], [D3] munkáira utalunk. A 3. rész fejezeteiben a lineáris algebra, a funkcionálanalízis és a differenciálegyenletek elméletében szokásos jelöléseket és elne vezéseket használjuk, de ezek mellett az egyszerűbb és tömörebb tárgyalási mód érdekében újabb jelöléseket is bevezetünk. Sz. L. Szoboljevtöl [K92] eltérően definiálunk egy egyváltozós függvény vektorokból álló

1. FEJEZET A C auchy-féle problém a általános vizsgálata 1.1 Jelölések, elnevezések, definíciók Ebben a részben E,^ jelöli az m-dimenziós euklideszi teret. Az tér elemeit - vagyis a komplex számokból álló [ai,a 2 ,...,a„^) rendezett szám m-eseket - a továbbiakban oszlopvektor (oszlop mátrix) alakban írjuk fel. Az oszlopvektorokat (röviden vektorokat) félkövér kisbetűvel jelöljük. így például az koordiná tájú vektorra az a\ «2 a=

( 1)

jelölést használjuk. 1. alatti a e

definíció. Ha p > \ tetszőleges véges szám, akkor az (1) vektor/?-abszolút értékén az

|f | „ =

1 1 % \p V U=i

( 2)

egyenlőséggel értelmezett számot értjük. Ha /? -> -i-oo , akkor (3)

függvényvektorteret. Ebben a térben értel

mezett három ekvivalens norma alapján az n-edrendű differenciálegyenlet-rendszerrel kapcsolatos Cauchy-íélt problémát, perem érték- és sajátértékproblémát egységesen tárgyaljuk a klasszikus feltételeknél lényegesen általánosabb feltételek mellett. Általános feltételek mellett definiáljuk a Green-félt függvénymátrixot, a polinomvektort és megvizsgáljuk a minimalizáló polinomvektor sorozat konvergenciáját.

Ezért bevezetjük az |a|oo=

:=max|a^| U=l

jelölést.

J

k

IV. Kiegészítés differenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

360

E megállapodás mellett az a e

vektor ;?-abszolút értékét

minden \ < p < + ° ° mellett a (2) egyenlőség definiálja. A szokásos módon igazolható, hogy a (2) egyenlőséggel értel mezett p-abszolút érték eleget tesz a normaaxiómáknak, azaz 1. IIa 1\ p > 0 minden a e E„" esetén és | a |^ = 0 akkor és csak akkor, ha a = 0 , 2. \oca\p = I ÖT11 a I^

3. |a + b|^^ <|a|^^ + |b |^ m in d e n a é s b e

r

p' p m r m > <
m

r=l ó’=l

± ^ FD ( m

J^ml ^ml ••• ^mmj (r,s = \ ,2,...,m) ele

mei tetszőleges komplex számok lehetnek.

J

vs=l

J

= \% H Legyenek fi,

fm tetszőleges, komplex értékű függvé

nyek valamely [a,b] intervallumon értelmezve, akkor az (1) jelö lésnek megfelelően az

(m m 1"^ |A |p = |S S |a „ |y

A (4) alatti A mátrix és az (1) alatti a e

nyek az [a, b] intervallumon, akkor az

oszlop vektor mát

rixszorzatát a szokásos módon értelmezzük, tehát (r = l,2 ,...,m ). ( 6)

egyenlőtlenség, ahol —- + — = 1, és megállapodás szerint p = l ese-

(8)

_fm\ Ím2 •• • fm

(5)

egyenlőséggel értelmezett számot értjük ( l < p < +°°) .

(V)

vektort a továbbiakban függvényvektornak nevezzük. Hasonlóan, ha / „ (r,5 = l,2 ,...,m ) komplex értékű függvé

/ l l /l2 ••• fim f F = i i f i i ■■■ fim

2. definíció. A (4) alatti A mátrix p-abszolút értékén az

A -a l/J < I Ai\p -\ a \q

± p P-

« „ r

f = ( / l . / 2 . - . / j ’' (4)

I

1 '

\ű

esetén.

A=

Fennáll az

szim

bólum mindig a 0 számot jelentse. A (6) egyenlőtlenség a Hölder-egymíöÜenséghöl [K lO l], azonnal következik ui.

I

Megjegyezzük, hogy valamely vektorsorozat ;?-abszolút érték ben való konvergenciája azt jelenti, hogy a vektorsorozat mind egyik koordináta sorozata konvergens. Egy m x m típusú A mátrix jelölésére az

szimbólumot használjuk, ahol a mátrix

1

tén legyen q = +°o, továbbá p = -t-oo esetén q = l , és az

tn

« tetszőleges komplex szám),

361

1.1 Jelölések, elnevezések, definíciók

mátrixot függvénymátrixnak nevezzük. A (7) függvényvektorról, ill. a (8) függvénymátrixról azt mond juk, hogy az [a,b] intervallumon folytonos, differenciálható, integ rálható stb., ha a függvényvektor, ill. a függvénymátrix elemei (mindegyik külön-külön) az [a, b] intervallumon folytonosak, differenciálhatók, integrálhatók stb. Ha a (7) alatti f függ vény vektor /-szer differenciálható, akkor iedik deriváltján (vagy i-edik derivált vektorán) az

függvényvektort értjük.


362

Ha a (7) alatti f függvényvektor (valamilyen értelemben) integ rálható, akkor integrálján az b

|

fb

f

b

b

= J/i(j:)dx, j f 2Íx)dx,...,

a

\a

a

dx

Igazolható, hogy a függvény vektorokból álló C„[a, b] tér a (9)

{f^)GC,[a,b] (/c-1 ,2 ,...)

értelemszerű módosítással átvisszük függvényvektorokra, ill. függ vénymátrixokra is. Mint ismeretes, általánosan Q [a,ö]-vel jelöljük az [a,b] intervallumon n-szer folytonosan differenciálható függvé nyek halmazát. A jelölést függvényvektorokra és függvénymátrixok ra is megtartjuk, így C„[íí,/?]-vei jelöljük valamely [a,b] intervallu mon n-szer folytonosan differenciálható (7) alatti függvényvektorok halmazát, továbbá ugyanígy jelöljük az [a,b] intervallumon n-szer folytonosan differenciálható (8) alatti függvénymátrixok halmazát is. definíció. Legyen l < p <

363

(vagy vele azonos (10)) normával Banach-ieret alkot (1. az I. rész 2.3 pontját). Megjegyezzük, hogy egy

a

(konstans) vektort értjük. A függvények körében használatos Q[a,Z)], Lp[a,b] jelöléseket

3.

I .l Jelölések, elnevezések, definíciók

tetszőleges rögzített szám. Va

lamely (7) alatti f e C,^[a,b] függvény vektor normáján az (9)

függvény vektor-sorozatnak (a továbbiakban az (f^) függvényvektor-sorozatot jelöl) valamely feCi^[a,b] függ vény vektorhoz való norma szerinti konvergenciája azt jelenti, hogy a függvényvektor sorozat és ennek összes derivált sorozata n-edrendig bezárólag egyenletesen tart a határfüggvény vektorhoz, ill. ennek megfelelő deriváltjaihoz. Legyen p > 1 tetszőleges véges szám. Ebben a részben egyidejűleg hp[a,b\ -vei jelöljük azoknak a komplex értékű függvényeknek a halmazát, amelyek abszolút érté keinek p-edik hatványa Lebesgue-értelemhon integrálható, valamint azoknak a (7) alatti függvényvektoroknak, ill. függvénymátrixok nak az összességét, melyeknek elemei Lp[a,b] -beli függvények. A fentiek értelmében a (7) alatti f függvényvektor, ill. a (8) alatti F függvénymátrix akkor és csak akkor tartozik Lp[a,b] -hez, ha az

egyenlőséggel értelmezett számot értjük. (A C,^ p jelölésben a p i f | „ )

index arra utal, hogy az fÁi) ^ deriváltvektorok p-abszolút értékét kell tekinteni). Ha n = 0 , akkor CQ[a,b] helyett a C[a,b] jelölést használjuk, így ha f £ C[a, b] , akkor '

f L = max fW lp xs[a,b

Ez alapján egy f g C,la,b] függvény vektor (9) egyenlőséggel

Ál )

i=0

alakban is felírható.

függvények az [a, b] intervallumon Lebesgue-értelemhen integrálhatók. Jelentse L^[a,b] azoknak a komplex értékű függvényeknek, ill. függvény vektoroknak vagy függvénymátrixoknak az összességét, amelyeknek abszolút értéke, ill. <>o-abszolút értéke majdnem min denütt korlátos az [a,b] intervallumon. 4.

értelmezett normája az

(10)

•ill- ( |F |p

definíció. Valamely f g Lp[a, b] (7) alatti függvényvektor

L p -normáján \ < p <

esetén az


364

b,

p

2. Az előző részek alapján ismertnek tételezzük fel, hogy a függvény vektorokból álló L^[a, b] tér a (1 1) normával minden

mb

|f IIl = i

365

1.2 A Wp^\a,b] függvénytér

( 11)

j z fi A W f d x \k=\a

1 < p < +00 mellett teljes lineáris normált tér, azaz Banach-tév (1. az I. rész 2.3 és 3.2 pontját).

egyenlőséggel értelmezett számot, míg p = +°o esetén az

3. Valamely A operátor értelmezési tartományát D( A) -val, IflL

=

inf

sup

( 12)

|f w L

egyenlőséggel értelmezett számot (ún. lényeges szupremumot) értjük, ahol m{H) a H cz[a,b] halmaz Leêí^we-mértékét jelenti.

értékkészletét R{A) -val jelöljük. 4. Ha X és 7 tetszőleges lineáris vagy lineáris normált terek, úgy X - ^ Y szimbólummal jelöljük mindazon A operátorok halmazát, amelyekre D(A) ez X és R(A) c Y .

Igazolható, hogy 1.2 A Wp^\a,b] függvénytér

I™ l |f l LP = l l f l L '

p^+ oo

így célszerű megállapodni abban, hogy az 1

Definíció. Tetszőleges l < p <+oo mellett jelentse

intervallumon értelmezett olyan (7) alatti f függvényvektorok hal mazát, amelyek (n -1) -szer differenciálhatók az [a, b] intervallu

szimbólum a továbbiakban mindig a (12) egyenlőséggel értelmezett

mon, továbbá f (így f

számot jelentse. így valamely f e 'Lp[a,b\ függvényvektor

-

normáját minden 1 < p <+'=<> mellett a (11) egyenlőséggel értel A fenti megállapodásnak megfelelően minden 1 < p < +oo mel lett értelmezhető egy F e hp[a,b\ (8) alatti függvénymátrix

b/

\

= J i f ' w ü ' ’*

\p

\ m mb

= z z ji/„ w r*

|n

(13)

azoknak az f g

vábbiakban mindig hp[a,b\ -t jelent.

tér a szokásos műve

függvény vektoroknak a

halmazát, amelyekre =0

(í = l , 2 , . . . , « - l ) .

lineáris altere a

térnek.

Vezessük be a következő (a továbbiakban gyakran fellépő) operátort: V t(p= J-

jelölés - hacsak mást nem mondunk - a to

e Lp .

letekkel lineáris tér [D49] .

Nyilvánvaló, hogy

1

Megjegyzés 1. A rövidebb

Igazolható, hogy az így értelmezett

-

normája is a következő módon:

iif i Il

abszolút folytonos függvényvektor [a, b] -ben

majdnem mindenütt létezik) és f

Jelentse

mezhetjük [D50].

1

az [a,b]

k\

(14)

Értelm ezzük a V^ ún. Volterra-űp\xsú integráloperátort az

3(56

/V. Kiegészítés a differenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

].2 A WÍ'^\a,b] függvénytér

367

analóg módon belátható, hogy bármely f e

Lp térbe tartozó függvény vektorok halmazán, vagyis legyen

függvényvektor

mellett fennáll az általános Taylor-fovmula az ún. integrál maradék taggal, éspedig Nyilvánvaló, hogy bármely

(pe

függvény vektor mellett a fW = l ' í ^ ( x - a ) ' + /=0

\j/ = V/,(p függvényvektor k-^zox differenciálható,

(17)

Vezessük be a V % ) = -4(V t9) = ] % ^ ( p ( í ) * dx

(í = 0,l,2,...,*:) (15) p « -iW = Z — / = o

továbbá a

'•

jelölést, akkor a (14) egyenlőséggel értelmezett operátor segítségé vel (17) a következő alakban írható: f(x )= p „ _ |(x ) + V„_,f<"\ egyenlőség alapján

abszolút folytonos és

(18)

feW j;'\

= 9 majdnem Megjegyezzük, hogy a (18) formulában p„_i(x) olyan legfel

mindenütt [a,/?]-ben.

jebb (n -1 ) -edfokú polinomvektor, melyre

Látható továbbá, hogy V '\ a ) = 0

P® ,(«) = f®(a)

(/ = 0,1,2,...,/:),

(i = 0 ,l ,2 ,...,n - l ) .

2. lem m a. Legyenek Co,Cj,...,c„_] tetszőleges

és a fentiek alapján

-beli kons

tans vektorok, továbbá legyen cpe L^ tetszőleges függvény vektor, akkor bevezetve a

Értelmezzük a V_j operátort a V _ i(p -

egyenlőséggel, akkor a (15) egyenlőség figyelembevételével fenn áll a következő 1. lem m a. Minden epe

( i = it + l

(19)

legfeljebb (n -1 ) -edfokú polinomvektort, az f(x )= p ,_ i(x ) + V„_iCp

mellett V ^ípeV ^^^^^ és minden

(20)

egyenlőséggel értelmezett f függvényvektorra fennállnak a követ kező feltételek:

i = 0 ,1 ,2 ,...,/c,/: + l esetén í/'

P « -lW = Z - í i x - a ) ' í=0

(p,

7(V fc9)= V ^-i9

(16)

mellett a (16) egyenlőség csak majdnem minden

x e [a,b] mellett áll fenn). A függvényekre vonatkozó általános Taytor-formula, igazolásával

I. II. III.

= Ci =

cp

(/ = 0 ,l,2 ,...,n - l) ,

majdnem mindenütt az [a,b] intervallumban.

368


1.2.1 Normák a

Bizonyítás. Az 1. lemmából következik.

térben

(«) = 0 , akkor egyrészt minden

rin) Ezek után vizsgáljuk meg azt a kérdést, hogyan lehet a W'p

f ^*\ű) = 0 , másrészt

térben normát értelmezni. 1.2.1 Normák a

térbe többféle módon vezetünk be normát. Tetszőleges

f e Wp^ függvény vektor esetén vezessük be a következő jelöléseket: n-1 . . . = I 'w i=0 n pii) ■(«) (=0

(21)

I. IIf II > 0 és IIf II = 0 akkor és csak akkor, ha f = 0,

konstans vektor [a,b]-ben (ha egy abszolút folytonos függvény A fentiek alapján f legfeljebb (n -1 ) -ed fokú polinomvektor, és = 0

(z = 0 , 1 , 2 , . , . , n - l )

nyilvánvaló,

hogy

Megjegyezzük, hogy a megfelelő állítás igazolása a (22) és (23) normákra nyilvánvaló.

es az

jc e [a, b] ;

és tetszőleges komplex

minden f és g(x) e

, ezért

(23)

a szám mellett; mellett.

A II. és III. normatulajdonságok nyilvánvalóan teljesülnek a (21), (22) és (23) egyenlőségekkel értelmezett normák mindegyiké re, így az I. normatulajdonságnak az a része szorul bizonyításra, hogy ha ||f || = 0 , akkor f = 0 . Igazoljuk ezt az állítást például a (21) egyenlőséggel értelmezett norma esetében: Tegyük fel, hogy valamely f e

azonosan

f ^ 0, XG [a,b]. Ezzel az állítás igazolást nyert.

a, b, c felső indexeket elhagyva);

||f + g ||< ||f i | + i

hogy

abszolút folytonos függvényvektor, melynek de

A fentiek alapján a

zett normák eleget tesznek a normaaxiómáknak, azaz (a Wp

III.

következik,

(22)

Igazolható, hogy a (21), (22) és (23) egyenlőségekkel értelme-

e

amiből

riváltja majdnem mindenütt zérus [a, b] -ben, ezért

mivel

llc(n-l).P

II. Ilöf ll = |a M |f II minden f

= 0,

mellett

deriváltja majdnem mindenütt zérus, akkor a függvény állandó). p(n)

in) 'W(;i)

Jn)

/ = 0 ,1 ,2 ,..., n - 1

majdnem minden x e [a , b] mellett.

térben

Mivel f A

369

függvényvektor esetén

függvényvektortér mindhárom beve

zetett normával lineáris normált tér. Vizsgáljuk meg a bevezetett normák által indukált konvergenci át. Nevezzük a (21), (22) és (23) normák által indukált konvergen ciát (e normákban szereplő megfelelő felső indexek után) a-, b-, ill. c-konvergenciának. (n)

Valamely

függvényvektor-sorozatnak az f e Wp

függvényvektorhoz való a-, b-, c-konvergenciája rendre azt jelenti, hogy a-konvergenda esetén: (n) í'y\a) —>f''"-'(a) minden í= 0 ,l,2 ,...,n -l mellett, és - > f?(n) Lp -normában, ha v

-hoo ;

ö-konvergenda esetén: fW -

>

Lp -normában, ha v —> -t-°o , minden í = 0 ,1 ,2 ,...,n

m ellett;

c-konvergencia esetén:

IV. Kiegészítés a differenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez.

370

fy ^ —> f

egyenletesen

[a, b] -ben,

ha

í = 0 , L 2 , . . . , n - l mellett, továbbá V

+00

v

, minden


térben

lensek, éspedig minden a e egyenlőtlenség:

vektor mellett fennáll a következő

-normában, ha

i„i

1 <

.

Első látásra úgy tűnik, hogy az a-, b-, ill. c-konvergencia egy mástól teljesen különböző konvergencia a

térben, annyi

azonban azonnal látható, hogy a c-konvergenciából az a- és ö-konvergencia következik. A következő pontban megmutatjuk, hogy a három látszólag különböző konvergencia azonos.

1 P<mP

(24)

P

m

Bizonyítás. A (2) és (3) egyenlőségek alapján, hogy 1

1

I a \pI / < m ^ • I a I < w ^ • I a IpI , I

i

lo o

I

’

amiből —


371

a

térben

<

(25)

p

Cseréljük fel (25)-ben a p és p számokat, úgy az Definíció. Valamely X lineáris térbe bevezetett ||f ||“ és ||f ||^ nor mát egymással ekvivalensnek nevezzük, ha léteznek olyan 0<m<M < állandók, hogy minden í e X elem esetén fennáll az Ili « <M

m S \\P

egyenlőtlenség. A definícióból következik, hogy ekvivalens normák azonos konvergenciát indukálnak az X térben, azaz, ha valamely (f^)e X

l«l a

den norma ekvivalens. Ezzel kapcsolatban megmutatjuk a követke ző nyilvánvaló segédtételt; 1.

2.

lemma. Legyen f az [a,b] intervallumon tetszőleges Lebes-

iâe-integrálható függvényvektor, akkor bármely 1 < p<+oo esetén fennáll a következő egyenlőtlenség: \t{x)clx

(27)

Bizonyítás. Legyen először f folytonos függvényvektor az [a,b] intervallumon és legyen a~XQ<Xi<X2<...<Xj^ = b az \a, b] intervallum egy tetszőleges felosztása, és pedig tetszőleges pont, akkor

lemma. Legyenek p > \és p ' > \ tetszőleges véges vagy vég

telen számok, akkor az

térben az |a |^ é s la |^ / normák ekviva-

(26)

p

egyenlőtlenséget nyerjük, végül (24) azonnal következik (25) és (26) formulából.

elemsorozat az a -normában valamely f e X elemhez konvergál, akkor ez az elemsorozat a (5 -normában is konvergál ugyanezen f elemhez és megfordítva. Ebből az is következik, hogy ha az X tér valamelyik normára nézve teljes, akkor a vele ekvivalens másik normára nézve is teljes. Igazolható, hogy az m-dimenziós eukleidészi térben min

1 P-<mP

t=.i

k=l

372_________ IV. Kiegészítés a differenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

amiből max(x^

- > 0 határátraenet után a (27) egyenlőtlen


térben

373

Bizonyítás. A (28) egyenlőtlenség alkalmazásával

ig

séghez jutunk. Legyen most f tetszőleges Lebesgue-\x)Xtgvéi\\m.i6 függvényvektor az [a,b\ intervallumon, akkor található olyan (f^-) folytonos

!v ,( p |,=

{x~tf k^. cp(0

< (x -ű )^ <

k\

dt

függvényvektor-sorozat, amelyre lim f y = f , ( JcG {a,b\ majdnem mindenütt), és \p < |f i i/y

(jű £ [a, b]).

amiből az

Mivel a (27) egyenlőtlenség folytonos függvényvektorokra már igazolást nyert, azért minden v = 1,2,... mellett

^+k k\

i\W \d x ,

lfy(x)dx

jelölés bevezetésével a (29) egyenlőtlenséget kapjuk. Következmény. Létezik olyan csak p-töl, k-tól és az [a,b] in

amiből V -> +00 mellett a függvénysorozatok integrálására vonat kozó Lebesgue-íéle tétel felhasználásával az f Lebesgue-iniegrdlható függvény vektorokra is adódik a (27) egyenlőtlenség [K93]. Következmény. Legyen l < p <

(28)

jf{x)dx

(megállapodásszerűen a z ----- szimbólumon a zérus számot értjük). oo

Bizonyítás. Következik a (27) egyenlőtlenségből a Hölder-fé\& egyenlőtlenség felhasználásával. a (14) egyenlőséggel értelmezett operá tetszőleges szám. Akkor tetszőleges

egyenlőtlenség, ami azt jelenti, hogy

(30)

:L ^ ->

lineáris kor

{xe[ a, b\),

Bizonyítás. A (16) egyenlőség alapján a (29) egyenlőtlenség felhasználásával: d‘ dx

= IV,
ahol Ai (i = 0,1,2,..., ^) csak k-ió\, /7-től és az [a, b] intervallum tól függő állandó. k Vezessük be a K jelölést, akkor a (31) egyenlőtlenség ből kapjuk, hogy

(pG Lp függvény vektor esetén fennáll a (29)

egyenlőtlenség, ahol A csak a p-tö\, k-tól és az [a,b] intervallumtól függő állandó.

l|V/t9|lc,K,p ^ 4 9 |Il p

látos operátor.

1

3. lem m a. Jelentse

torra fennáll a

tetszőleges szám, akkor bár

mely f G Lp függvény vektorra fennáll a következő egyenlőtlenség:

tort és legyen 1< p<+o o

tervallumtól függő K állandó, hogy minden cpG L^ függvényvek

l|Vsip||c

''

d' = Z rnax 7(Vt
s ezzel a (30) egyenlőtlenség bizonyítást nyert.

4 ‘p IIl .

374

IV. Kiegészítés a dijferenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

1.2.2 Ekvivalens normák a Wp

térben

375

Ebből leolvasható, hogy létezik olyan csak />-től és az [a,b]

Tétel. A (21), (22) és (23) egyenlőségekkel értelmezett normák

intervallumtól függő K q állandó, melyre

ekvivalensek a w!:\a,h] térben. Biz.onyítás. Legyen f g

p(0

tetszőleges függvényvektor, akkor i=Q

bármely f = 0 ,1 ,2 ,...,n - l mellett

így létezik olyan csa k p-tö\ és [a,b]-tö\ függő ( xé [a,b] ) ,

||f

amelyből

állandó, amelyre (32)

11^

(Itt és a továbbiakban a

indexet a (21), (22) és (23) normák

mellől elhagyjuk, ha nem akarjuk valamelyik szerepét kiemelni). Legyen ismét / = 0 ,1 ,2,..., n - 1 tetszőleges index, akkor

a A (28) egyenlőtlenség felhasználásával 1 < f® (x)

+ p

p

a

I

+ ( í . - a ) ‘í f

1 ,

E

(xE[ű,fcl).

1'l „

Integráljuk a kapott egyenlőtlenség mindkét oldalát [a,b] interval

Ái)

Í= 0

i+ I

b

dx + ( b - a ) ^

f® W

I’ <(b-af

< max

—n-1 <{b - a)^ Yj max f ® ( x ) l-Qxe[a,b^

A (18) egyenlőség alapján az f e fO'+l)

p(0

-+ l p(í+i) +(b-af

amiből (b - a) -val való osztás után az <(b-a)'> egyenlőtlenséghez jutunk.

||f®

(33)

|| f ||* < í : j f | r

függvényvektor előállítható

<

(«)

P

»

yib-áf,

és ebből következik, hogy létezik olyan K 2 állandó, amellyel

lumon az X változó szerint, akkor a Hölder-egyenlöŰenség felhasz nálásával { b - a ) í^ \a )

dx

xe [a, b

n~\

< f® W

\P

f% )

amiből

amiből következik, hogy f® (0)

bí

L J a ,x ]

P

P

Ai)

+ ( x - a ) ‘^ fO'+l)

alakban, ahol P n-lW = Z — — ( x - a ) ' . i=0

így + {b~af

.(/+!)

V„-if

(n)

Pn- 1

p<"> + t’n-l


376

V„-if

(«)

in)

1.2.3 A W p ^ \a ,b ) tér teljessége

(34)

377

1.2.3 A W p ^ \ a , b ) tér teljessége

dx

'n -lp

Az előző pontban láttuk, hogy a (21), (22) és (23) egyenlőségek kel értelmezett normák ekvivalensek, így ha valamelyik normával

Mivel dx

igazoljuk a

valamint a (30) egyenlőtlenségből k = n - l , és (p = f ‘'”^ mellett kapjuk a

tér teljességét, akkor a tér a másik két normával

is teljes lesz. (n)

^

V„-if

1. tetei. A Wp

< K Án)

(«) íl-i,

tér a (21) alatti a normára nézve teljes lineáris

normált tér, azaz Banach-tér.

p

Bizonyítás. Legyen

egyenlőtlenséget, melynek alapján (34)-ből

(fv)e Lp

{n) if r s ip „ - ,ic „ _ ,_ _ + ( íí- + i)

(35)

olyan függvény vektor-sorozat, amelyre

Mivel

0 , ha

^jU n -l

n-]

z

-« )"■ '

(i),

—> 0, ha

(j= 0 , 1 . 2 , 1 ) ,

+00 ,

(38)

másrészt -^ 0 , ha V, jU-^+o<=. (36)

/-o

A (35) és (36) egyenlőtlenségek alapján pedig létezik olyan

(38)-ból következik, hogy minden í = 0 ,1 ,2 ,.. . , n - l

(37)

(39) esetén az

(a) függvényvektor-sorozat a p-abszolút érték normában kon vergens, így létezik olyan

állandó, melyre iif i r ^ ^ 3 i i f ir '

V,

/=0

ezért létezik olyan M állandó, melyre l|P«~illc..... n- \,p

.

A (21) norma értelmezéséből következik, hogy egyrészt

Í P « - l l l c n - ,i p = j I^ Q x em[ aa, bx_ p I,-1 • és = I ir^ , ‘=J

V , / / - > + 00

e

vektor, melyre

Ci~íy\a)

(40)

A (32), (33) és (37) egyenlőtlenségekből az 1. tétel már következik. Következmény. A (21), (22) és (23) egyenlőségekkel értelme zett normák által indukált konvergenciák azonosak a (1. az 1.2.1 pontot).

térben

Másrészt (39)-ből következik, hogy az (fy j függvényvektor-sorozat az hp normában önmagában konvergens, így a Riesz-Fischertétel alapján [K93] létezik olyan epe

függvényvektor, amelyre


378

p(«)

].3 Cauchy-probléma

(41) L,

1.3 C auchy-problém a

Legyen n-l. V n-l(x)=J^^(x-ay

Legyenek az ,

í=o ■

és

379

F ,=

f W = P n - l W +V„_iíp

akkor az 1.2 pont 2. lemmája alapján

f\\

f\i

••• f L

fii

fii

■■■ f i n

JnA

fnil

fmmj

függvénymátrixok í = 0 , l , 2 , . . . , n - l és

+ j(n) _^(«)

9 -f

= 2 ; 'c ,- - f ® w í=0

zessük be az m x m típusú egységmátrixra az

HL.

F =

(n)

mivel a

Legyen

+00, ■^2

tér teljességét igazoltuk. függvény vektortér a (22) és (23) nor

L.^mJ és értelmezzük a következő n-edrendű közönséges lineáris diffe renciáloperátort;

mára is teljes. A fenti tételből nyilvánvalóan következik az alábbi 2. tétel. A

= [S,

jelölést, ahol <5^^ a szokásos Kronecker-íéle szimbólum.

11“^ —> 0, ha V

K övetkezm ény. A

1 0 ••• 0' 0 1 ... 0 _0 0 ... 1

amiből (40) és (41) alapján következik, hogy IIf -

mellett L^[a,^]-beU függ

vénymátrixok azaz F^- e L^[ö,b ] , (i = 0 , l , 2 , . . . , n - l ) , továbbá ve

= 9 majdnem mindenütt az [a,b] intervallumon, így «-l if-fv ir= z í=0

frs

tér a bevezetett normákra nézve zárt line

áris altere a wjj^^ térnek.

L y = SF iy® = y'”>+ F„_|y<""‘>+ ... + Fiy'+Foy /=0

(43)

Az F,; függvénymátrixokat az L differenciáloperátor együttha tómátrixainak nevezzük.

Megjegyezzük, hogy ha f

Válasszuk az L operátor értelmezési tartományául a wjf^[a, b] -

G

beli függvényvektorok halmazát, vagyis legyen

egy tetszőleges függvény vektor, akkor Iff =

p (n )

(42)

An P


380

Tétel. Minden y e

1.3 Cauchy-probléma

függvényvektor esetén

Ly G Lp és L :

' í í ¥ i(x)y ^'\x)

->

lineáris koriátos operátor, vagyis létezik olyan K állandó, hogy mellett

P

—,

F,-y®

minden y g

381

egyenlőtlenség adódik, így (45)-ből max y % )

+ K J: \ \ F i I

l|Ly| P

(44)

|Ly|lí. ^ ^ l | y | U

p d x > < K i m ax y ^ '\x ) JG [ö, b Pj

Vezessük be a i^2 =

xe[a,b

i= \

F / á l l a n d ó t , akkor az

ahol ||y ||^(«) a (21), (22), (23) egyenlőséggel értelmezett bármelyik normát jelenti.

+ ^2l|y|lc n-\,p

Bizonyítás. Legyen y e L y

, akkor =

y<">

+

2 F

egyenlőtlenséget kapjuk, amiből már leolvasható, hogy létezik olyan K állandó, amelyre

, y ®

.

|Ly||,

i=\

amiből n -l

y<"'

, +(=,1 s

F,-y®

(45)

Lp

iK\\y\

(«)

IV,

és ebből az 1.2.2 pont tétele alapján a bizonyítandó tétel már kö vetkezik. Legyen f

g

L^ adott függvény vektor, akkor az

A (6) egyenlőtlenség felhasználásával F.y

(0

,(0

< F;

y^”^ + F„_iy*'''' '^ + ... + Fjy' + Fgy = f

(46) vagy röviden az

A (24) egyenlőtlenségből a = y^^\x) és p' = q esetén nyerjük, hogy

1 q

A Ki =

1

< m ‘^ y®

p

<m^ max y® xe[a,b_

jelölés mellett (46)-ból (47) alapján az F ,y ®

< /C ,|F i |

p

m ax

^ xe[a,b

egyenlőtlenséget kapjuk, melyből az

XO

(47)

Ly=f

(48)

egyenletet /z-edrendű közönséges lineáris (m ismeretlen függvény vektort tartalmazó) differenciálegyenlet-rendszernek, vagy röviden «-edrendű differenciálegyenletnek nevezzük. Ha f ^ 0, akkor a (48) egyenletet homogén differenciálegyenlet-rendszernek mondjuk. A differenciálegyenlet-rendszerek klasszikus tárgyalásánál álta lában felteszik, hogy a (48) egyenlet jobb oldalán szereplő f függ vényvektor, valamint az L differenciáloperátor együtthatómát rixai (i = 0,1,2,..., n - 1 ) , folytonosak az [a, b] intervallumon. A differenciálegyenlet-rendszerekre vonatkozó klasszikus egzisztencia- és unicitástételek e folytonossági feltételek mellett nyer-

382

/V. Kiegészítés a differenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

nek igazolást. Mivel a mi esetünkben az f és az F^- együtthatómát rixok 'Lp\a,b] -beliek, ezért az említett egzisztencia- és unicitástételek jelen esetben nem alkalmazhatók. Az előző tételből következik, hogy az f és

J.3.1 Visszavezetés integrálegyenlet-rendszerre

mának létezik megoldása, úgy e megoldásból előállítható az integrálegyenlet-rendszernek is egy megoldása és megfordítva. a)

F; G L^[ ö,^],

(i = 0,1,2,..., n -1 ) feltételek mellett (amit a továbbiakban egyszer

383

Tegyük fel először, hogy a 1.3 pontban kitűzött Cauchy-

problémának létezik legalább egy y g

megoldása, vagyis az

y függvényvektorra fennáll az

s mindenkorra kikötünk) a (48) egyenlet megoldását célszerű a Ly = y^”^ + 2 i=0

W^^\a,b] függvény vektortérből keresni. Mivel ebből a tételből csak az következik, hogy az L operátor értékkészlete

-ben

(49)

azonosság, valamint y eleget tesz az

fekszik, azaz

y^'â)= c,-

R{L) c= Lp[a, b] ,

{ xe [a, b])

(/ = 0 , l , 2 ,...,n - l )

(50)

kezdeti feltételeknek.

ezért az eddigiekből természetesen nem következik, hogy a (48) (n) egyenletnek minden f g esetén létezik y g megoldása.

Alkalmazzuk az y függvényvektorra a (18) alatti általános Taylor-formulát, akkor az

A későbbiek folyamán kimutatjuk, hogy R(L) = Lp[a,b] (1. az 1.5 pontot), amiből már következik a (48) egyenlet Wp'^\a,b]-beli

y(-^)= p„_l(^) + V„_iy^”)(x)

(51)

egyenlőséget nyerjük, ahol az (50) kezdeti feltételek figyelembevé telével

megoldásának létezése minden f g Lp[a, b] mellett. Definíció. A (48) egyenletre vonatkozó Cauchy-félt, vagy más szóval kezdeti érték problémán a következő feladatot értjük: Keressük a (48) egyenlet olyan y g Wp

P « - lW =

(^ -ö )'

(52)

í=0 és .n-1

megoldását, amelyre

teljesülnek az alábbi feltételek; y®(a) = c,, ahol Cq, C], C2, ..., c„_j adott

(í = 0 ,l ,2 ,...,n - l) , -beli vektorok.

A (49) és (51) egyenlőségekből az

Ly = Lp„_,(x) + L V „ V " V ) a f azonosságot kapjuk, ahol bevezetve a

1.3.1 Visszavezetés integrálegyenlet-rendszerre Ebben a pontban megmutatjuk, hogy az 1.3 pontban kitűzött Cauchy-féle probléma megoldása ekvivalens egy alkalmas módon választott lineáris integrálegyenlet-rendszer megoldásával. Az ekvi valenciát itt úgy kell érteni, hogy amennyiben a Cawc/zy-problé-

g = f-L p „ _ i(x )

(53)

jelölést, a következő azonossághoz jutunk: (54) A (16) egyenlőség figyelembevételével

3 8 4 _________IV. Kiegészítés a differenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

J.3.] Visszavezetés integrálegyenlet-rendszerre

385

n -\

i V ( x ,0 |„ < M .E |F ,|^ , ‘

Vezessük be a

;-n

M=

‘

max Q
k\

amiből az együtthatómátrixokra tett feltevés alapján az állítás már következik. (55)

jelölést, akkor

b) Tegyük fel most, hogy az (57) integrálegyenlet-rendszernek létezik legalább egy ípe Lp[a,^] függvény vektor megoldása. Jelentse p„_|(jí) az (52) egyenlőséggel értelmezett polinom-

LV„_,y''" = y < '" -JV fe O y '" '(í)* ,

vektort, akkor megmutatjuk, hogy az

a

y = Pn-l(^) + Vn,i9

amelyből (54) alapján a következő azonosságot kapjuk: dt = g(x),

{x G [ a , ).

(56)

a Az (56) azonosság fennállása azt jelenti, hogy az y*'”^ függvény kielégíti a

egyenlőséggel értelmezett y függvényvektor megoldása a Cauchyproblémának. Az 1.2 pont 2. lemmája alapján yeW^^^[a,b\

y ^ \ a ) = Ci

(/ = 0 , 1 , 2 , . - 1 ) ,

(60)

továbbá a (16) egyenlőség figyelembevételével (57)

ún. Volterra~fé\e integrálegyenlet-rendszert, ahol

n-\ Ly=Lp„_i-t-LV„_i(p=Lp„_i+(p+XF,-V„_,-_i(p, (=0 amiből (55) alapján Ly = Lp„_i(x) + 9 - jV(x,í)íp(Oí/t

az ismeretlen függvényvektor, g az (53) egyenlőséggel értelmezett függvényvektor, V (x,í) az (55) egyenlőséggel definiált m x m tí pusú függvénymátrix. A g függvény vektor, valamint a Y(x,t) függvénymátrix az Ly = f

(59)

differenciálegyenlet-rendszer együtthatómátrixaiból, jobb

oldalából és a kezdeti feltételekből egyértelműen meghatározott. Megjegyezzük, hogy az 1.3 pont tétele alapján g E L p [ a , b ] , továbbá könnyen igazolható, hogy létezik olyan v e Lp[a,b] függ vény, amelyre \Y(x,t)\^
{x,tG[a,b]).

A V (x,í) függvénymátrix (55) alatti értelmezéséből pedig

(58)

(61)

Mivel a feltevés szerint a cp függvényvektor megoldása az (57) integrálegyenlet-rendszernek, azért (61)-ből Ly = Lp„_i(x) + g, amelyből a g függvényvektor (53) alatti értelmezése alapján az L y = f,

{xe[aM)

egyenlőséghez jutunk, amiből (60) figyelembevételével már kö vetkezik, hogy az y függvényvektor megoldása a Cauchy-^xobXémának. A fenti a) és b) alpontokban kapott eredményeket összefoglal va. fennáll a következő tétel:


386

Tétel, Ha valamely y g W^p\a, b] függvény vektor megoldása

1.4 Az int.egyenlet-rendszer megoldásának egzisztenciája és unidtása

Legyen a V operátor értelmezési tartománya D{V) = Lp[a,b].

a fenti (48) egyenletre vonatkozó CöMc/iy-problémának, akkor a (p =

függvény vektor

'Lpia, b\ -beli megoldása az (57) in-

tegrálegyenlet-rendszernek; megfordítva, ha valamely (pe 'Lp[a,b] függvényvektor kielégíti az (57) integrálegyenlet-rendszert, akkor az (59) egyenlőséggel értelmezett y függvény vektor

387

1. lemma. Létezik olyan K > 0 állandó, hogy bármely (pG Lp[a,b] függvényvektor esetén fennáll a következő egyen lőtlenség: IVíp| < ^ • v(x) II íp(01 dí

-beli

{x G [a, b])

(65)

megoldása a (48) egyenletre vonatkozó Cűwc/zj-problémának. Bizonyítás. Legyen (pG L^[a,/?] tetszőleges függvényvektor, akkor a (27) egyenlőtlenség alapján

1.4 Az integrálegyenlet-rendszer megoldásának egzisztenciája és unidtása

|V
< Í|V(x,í)
( 66)

Legyenek A (6) és (63) egyenlőtlenségek figyelembevételével az a < x < b ,

a < t
négyzetben értelmezett olyan komplex

értékű kétváltozós mérhető függvények, amelyekhez létezik olyan v ( x ) g 'Lp[a,b] nemnegatív függvény, hogy a Vii(x,0 V2 i ( x , t )

Vi2ÍX,t) ... Vi^(x,0 V22ÍX,t) ... V2,n(x,t)

= [vrs(x,t)]

(62)

(p = ((pi,(p2>---,q>m)^

amiből a K = m^^ jelölés mellett (66) felhasználásával (65)-höz jutunk.

(63)

egyenlőtlenség. Megjegyezzük, hogy az (55) egyenlőséggel értelmezett függ vénymátrix az (58) egyenlőtlenség alapján rendelkezik a fenti tu lajdonságokkal. A (62) magmátrix segítségével értelmezzük a következő ún. Voltérra-iípu&ú integráloperátort: V(p= \Y(x,t)(^t)dt,

(p(r) |

vény az [a, b] intervallumon és legyen /j = 1 és

egyenlőséggel értelmezett függvénymátrixra fennáll a {x, t G [a, b])

< I V (x, t) I • I íp(01 < v(x) •

2. lemma. Legyen f ( t ) tetszőleges Lebesgue-mi&grálhdiXó függ

yjni{x,t) Vfjj2(x,t) ...

IV(x, t) 1^ < v(x)

1

I V(x,r)íp(01

(64)

4 = l/« n )

J /(í* -2 )-

U m h

k-2

át k - h

{k - 2 , 3 , . . . é s tjê [a,b]), akkor minden ^ = 1,2,3,... és bármely tj^ g [a,b] mellett a fennáll a következő azonosság: c-1 1 (^ -1 )!

(67)

388


1.4 Az int. egyenletrendszer megoldásának egzisztenciája és unicitása

X

Bizonyítás. Nyilvánvaló, hogy a (67) azonosság ^ = 1 és k = 2 mellett fennáll. Tegyük fel, hogy (67) fennáll valamely k > 2 ter mészetes egész szám mellett. Legyen e [a,b] tetszőleges pont és szorozzuk meg a (67)

389

í k -2 dt,k - \

4 (j) = jv(í^_i) j v(í^_2)--V Cl

a Mivel

azonosság mindkét oldalát f ( t 0 -val, majd az így nyert egyenlősé get tj^ szerint integráljuk az

intervallumon, akkor az itt

dth

4 + 1 = 7 ^ ^ í fik) 'a

egyenlőséget nyerjük. Mivel majdnem minden d dti

ezért (65)-ből

-sk-l (xe[a,b]]

(68)

\a

ami azt jelenti, hogy a (70) egyenlőtlenség fennáll k =1 mellett. Tegyük fel, hogy (70) fennáll valamely k természetes egész szám mellett. Alkalmazzuk a (65) egyenlőtlenséget (p(x) helyett

e [a,b] esetén

V^(p(x) -re, úgy az \a = V(V^íp)

ezért (68)-ból következik, hogy

4+1

-

P

\a

t,.=a

P

egyenlőtlenséget nyerjük, amiből az indukciós feltevés alapján

h+i l m dl

(^ -1 )!

dti

< í:-v ( x )Í v V í,t) P

Va

ami azt jelenti, hogy a (68) azonosság k + l mellett is fennáll. 3. lem m a. Léteznek olyan K q és M nemnegatív állandók, hogy minden (pe Lp[a,b] függvényvektor mellett fennáll a következő ami azt jelenti, hogy a (70) egyenlőtlenség k + l mellett is fennáll. A 2. lemma alapján minden k =1,2,... és x e [a,b] mellett

egyenlőtlenség: V^(J < K q f f ...x.IMIl •v(^)> p

!

P

(^ = 2 ,3 ,...,

xe{aM )

\k-l

(69) =

Bizonyítás. Először megmutatjuk, hogy létezik olyan K állandó, melyre minden x g [a,b} és = 1 ,2 ,... mellett fennáll a
:o i/í- v ( x ) - 4 ( x )

(70)

\v{t)dt

melynek alapján (70)-ből a

. b

V^íp

1

b

v ‘<

p

. J|(p(0 | p * . v w . ^ ^

egyenlőtlenséghez jutunk. Itt vezessük be az

Jv(f)dí


390

1.4 Az int.egyenletrendszer megoldásának egzisztenciája és unicitása

amiből 2l K\ = ôll îi jelölés bevezetésével a "Lp

M = K-\vit)dt

v^(p

jelölést, akkor a k-\

,k-\ < K, M (^ -1 )!'

(74)

b

(71)

egyenlőtlenséget kapjuk. A (74) egyenlőtlenségből egyrészt következik, hogy

egyenlőtlenséget nyerjük. Végül a Hőlder-egyerúöÜenség alapján b

391

1

y-.hp-^hp lineáris korlátos operátor, másrészt fennáll a következő egyenlőt lenség:

| | ( p ( ( ) | / í < ( i > - a ) ‘* -||< p |lL .

<

Igya Ko -0 = K { b - a f

(^ = 1 ,2 ,...)

A (75) egyenlőtlenség alapján a ^ V k=0

jelölés bevezetésével (71)-böl (69) már következik. 1. tétel. Jelentse V a (64) egyenlőséggel értelm ezett Volterratípusú integráloperátort, akkor tetszőleges g e h p [ a , b ] függvényvektor mellett a (p-V (p = g

rk-l

M l_ _ , '( ^ - 1 ) !

konvergens (itt

(73)

-> Lp -ben),

így a sor összege lineáris korlátos operátor. Jelentse S a sor összegét, azaz +00

s= k=0

akkor nyilván D{S) - Lp, S : < P = S v ‘g k=0

sor operátor normában

= I , ahol I az egységoperátor

(72)

Volterra-ű^ViSÚ integrálegyenlet-rendszernek létezik - éspedig egyetlen - (pe 'Lp{a,b\ megoldása, és e megoldás előállítható

(75)

lineáris korlátos operátor

és egyszerűen igazolható, hogy S ( I - V ) = ( I - V ) S = I,

alakban, ahol a sor Lp -normában is és majdnem minden x g [a, b] amiből következik, hogy (I-V )"* létezik, és

mellett közönséges értelemben is konvergens. Bizonyítás. A (69) egyenlőtlenség értelmében 9 G Lp[a, b] függvényvektor mellett

tetszőleges

( í - v r ’= s= kÔ Ezek után tekintsük a (72) integrálegyenlet-rendszert, amely az (I-V )(p = g

V^(p

J 1v ‘ (p 1J dxi

(76)

alakban írható. Fentiek alapján nyilvánvaló, hogy a (76) integrálegyenlet-rendszernek minden gG Lp[a, b] függvényvektor mellett

392_________IV. Kiegészítés a dijferenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

7.5 A Cauchy-probléma megoldásának egzisztenciája és unicitása

létezik - éspedig egyetlen - (p e L^[a, b] megoldása, mely előállít

max v(x) -et írva , látható, hogy a (77) sor egyenletesen konverXE.[a,b\

ható

393

gens [a,b]-ben. Mivel a sor tagjai folytonos függvényvektorok, (77)

< i ) = ( i - v r ‘g = x v ‘‘g k=0 alakban, ahol a sor

2. tétel. Ha a (62) egyenlőséggel értelmezett Y{x,t) magmátrix

normában konvergens.

folytonos az a < x < b , a < t < b négyzetben, továbbá a (72) integ-

Mivel a (69) egyenlőtlenség alapján

p

M'

azért a sor összege is folytonos, így fennáll a következő

rálegyenlet-rendszer jobb oldalán álló g függvényvektor is folyto

c-l IlL,

(78)

V (X )

nos [a, b] -ben, akkor a (72) integrálegyenlet-rendszernek létezik egy és csak egy folytonos megoldása.

azért a (77) sor közönséges értelemben is konvergens minden olyan X G [a, b\ mellett, amelyre v(x) < +»=, ami a v e hp{a, b\ feltevés

1.5 A Cauchy-probléma megoldásának egzisztenciája és unicitása

miatt majdnem minden x g [a,b\ mellett teljesül. K övetkezm ény. A bizonyított tételből következik, hogy a (64) egyenlőséggel értelmezett V operátor teljesíti a következő feltételeket: a) V :

—>

^) I - V

leképezi az egész

Ly = i F J® = f , i=0

lineáris korlátos operátor, teret az egész

Az 1.3.1 pontban láttuk, hogy az

térre kölcsö

y®(a) = c,-, (i = 0,1,2,...,« -1 )

(79)

Cauchy-féle probléma megoldhatósága ekvivalens a

nösen egyértelmű módon, c) (l -

(p- l\(x,t)(^t)dt = g

Lp lineáris korlátos operátor.

1. megjegyzés. Az értelmezése szerint p =

(80)

a

térben a normában való konvergencia

Volterra-űpusú integrálegyenlet-rendszer megoldhatóságával, ahol

esetén a (72) egyenlet (73) alatti meg (81)

oldását előállító sor majdnem minden x g [a,b] mellett egyenlete sen konvergens.

g = f-L p „ _ i,

2. megjegyzés. Ha a (62) alatti \ ( x j ) magmátrix folytonos az

(82)

amelyben

a < x < b , a < t < b négyzetben, akkor nyilvánvalóan létezik az [a, b] intervallumon folytonos olyan v(x) függvény, mely mellett a (63) egyenlőtlenség fennáll. Tegyük fel továbbá, hogy a (72) integrálegyenlet-rendszer jobb oldalán álló g(x) függvényvektor is foly tonos [a, b] -ben. Ebben az esetben az 1. tétel bármely l < p < +°o mellett alkalmazható és a (78) egyenlőtlenségben v ( x )

helyett

(83) /=0 A 1.4 pontban kapott eredmények alapján már igazolható a következő 1. tétel. Legyen l < p < +00 tetszőleges rögzített szám, legyenek F/G L„[a,b] (/ = 0,1,2,..., n - 1)

394


adott függvénymátrixok, f e hp[a,b] adott függvény vektor, és

1.5 /4 Cauchy-probléma megoldásának egzisztenciája és unicitása

395

függvényvektorra az Lyo = 0,

Co,Cj,...,c,j_i adott vektorok, akkor a (79) Cauchy-fé\e problémá

(x€ [a,b])

y®(fl) = 0,

nak létezik egy és csak egy y g wj^\a,b] megoldása.

(i = 0,1,2,... , « - l )

feltételek teljesülnek, ami azt jelenti, hogy yo megoldása volna

Bizonyítás. Tekintsük a (81) magmátrix által indukált

egy olyan (79) Cauchy-fé\t feladatnak, amelyben

X

V (p - JV(x,Ocp(0^í

f = 0, és Cl = 0,

(84)

a

Voltérra-típusú integráloperátort, értelmezve a függvényvektorok ból álló Lp[a,b] térben, azaz Ű(V) = Lp[a,b]. Figyelembe véve az

(/ = 0 , l , 2 , . . . , n - l ) .

Az 1.3.1 pont tétele első felének értelmében ekkor a cp-yg”^ függvényvektor kielégítené a (80) integrálegyenlet-rendszert, mely ben most (82) és (83) alapján g = 0 .

(58) egyenlőtlenséget, a (84) operátorra alkalmazhatók az 1.4. pontban nyert eredmények, így az 1.4 pont 1. tétele alapján a (80) integrálegyenlet-rendszernek létezik egy és csak egy (pe Lp[a,b]

ján pedig (p =

megoldása, mely előállítható

amiből könnyen belátható, hogy yg legfeljebb ( n - l ) - e d fokú

A (80) integrálegyenlet-rendszer megoldásának unicitása alap = 0 volna majdnem minden xg [a,^] mellett,

polinom, de akkor (88) alapján (85)

íp = ( I - V ) ^ g =

alakban. Ekkor az 1.3 pont tétele alapján az

yo = 0, azaz yj = y2 • M egjegyzés. Ha az F/,

( 86)

y = p „ _ i + V „ _ i(p

egyenlőséggel értelmezett függvény vektor W^p\a,b'\ -beli megoldá sa a (79) Cűi^c/iy-problémának, amivel megmutattuk, hogy a (79) Cí3tíc/íy-problémának létezik legalább egy megoldása. Megjegyezzük, hogy (86)-ban a (83) egyenlőséggel értel

(/ = 0 ,1 ,2 ,...,n -1 ) együtthatómátrixok

és az f függvényvektor folytonosak az [a, b} intervallumon, akkor a (81) egyenlőséggel értelmezett V(x,í)

magmátrix és a (82)

egyenlőséggel értelmezett g függvényvektor folytonos az [a,b] intervallumon, így az 1.4 pont 2. tétele alapján a (80) integrálegyenlet-rendszer cp megoldása is folytonos [a, b] -ben, és így a (86) egyenlőséggel értelmezett y függvényvektor n-szer folytono

mezett polinomvektort jelenti, míg V „ _ i(p = ]< ^ ~ jl-- ( p ( ( ) A

(87)

san differenciálható megoldása a (79) Cauchy-feladatnak. így fenn áll a következő klasszikus 2. tétel. Ha

Megmutatjuk, hogy a (79) Cawc/zy-problémának csak egyetlen megoldása létezik. Tegyük fel ugyanis, hogy két yi és létezik, akkor az

e

megoldás

f és F, g C[ö,H

akkor (79) Cawc/zj-feladatnak létezik egy és csak egy yeCja,b] megoldása.

yo = y i - y 2

(/ = 0 ,l , 2 , . . . , n - l ) ,


396

1.6 A Cauchy-féle probléma megoldása

397

Bizonyítás. Az 1.6 A Cauchy-féle probléma megoldása

Ly = 0,

Állítsuk elő a (79) Cauchy-ié\& probléma megoldását a differen ciálegyenlet-rendszerben szereplő ismert függvények segítségével. A (82), (85) és (86) egyenlőségek alapján a (79) alatti Cauchyprobléma megoldása előállítható a következő alakban [D51]: y = p„_,(x) + ahol p„_i(x)

- v r ‘(f - L p „ -iW ).

a (83) alatti polinomvektort,

(89)

y^îa) = 0,

(i = 0,1,2,., . , n -1 )

Cauchy-féle problémának (90) egyenlőség alapján csak az y{x) ^ 0 a megoldása. így az Lgy ==0 egyenletnek csak y = 0 megoldása van a

térben, amiből már

létezése következik.

Legyen f g L^[a,Z?] tetszőleges függvény vektor, akkor az

a (87) alatti

Vo/tórra-típusú integráloperátort jelenti. A (89)-ből egyszerű átala kítással a CöMc/zy-probléma megoldását a következő alakban kap juk: y = (l - V„_,(I - V r ‘L)p„_,W + V„_,(I ^ v r ' f .

(/ = 0 ,l,2 ,...,n - l )

Cauchy-féle probléma megoldása (90) alapján előállítható y (í) = v „ .|( i “ v ) - 'f

(90)

alakban, amiből egyrészt következik, hogy R(Lq) =

Értelmezzük az L q operátort a következő módon: Lo = ZF,(J:)y®. (F„(í) = I).

L y = f , y^% ) = 0,

(93) , másrészt

Lo‘ = V i ( I - V ) " '.

(91)

Fentiek alapján az L q operátor kölcsönösen egyértelmű módon es ahol

jelenti a

D (L o )= V f,

képezi le az egész

tér 1.2 pontban definiált alterét. Nyilván

térre, amiből Banach tétele alapján már következik, hogy

való, hogy az L q operátor leszíikítése 1.

lineáris korlátos operátor. Ez közvetlenül is leolvasható az L q^ (92)

altérre.

L^ tetszőleges függvényvektor, akkor

V

inverze, mégpedig

/?(Lq) lineáris korlátos operátor.

íp G

az 1.2 pont 1. lemmája alapján

D(Lo)=V;;"> és fi(Lo) = Lp.

L Í = V „ j(I-V )-‘ ,

. lemma. V „_]: Lp-^^Wp^^ hneáris korlátos operátor.

Bizonyítás. Legyen

-> Lp lineáris korlátos operátor, melyre

b) Az Lq operátornak létezik

egyenlőséggel értelmezett alakjából az alábbi lemma felhasználásával: 1

állnak a következő állítások:

ahol L q’ :

T-l Lq .T • Lp--^ Wp

térben értelmezett L operátor

tétel. A (91) egyenlőséggel értelmezett L q operátorra fenn

a) Lq :

Banach-ierei az egész hp{a,b\ Banach-

(92)

p

és majdnem minden xG[a,b] mellett

’


398

1.6 A Cauchy-féle probléma megoldása

399

( I - L o 'L ) y e M 'W ,íg y I - L ö'L :1 v W dx^'

lineáris operátor, melyről könnyen látható, hogy korlátos is.

amiből a (21) egyenlőséggel értelmezett norma felhasználásával V,

d' dx

Jelentse P„_i[a,b] az [a,b] intervallumon értelmezett legfeljebb (n -1 ) -ed fokú polinom vektorok halmazát.

■(V„-iíp) = m

Legyen

azaz

p„ = ^ {x -a Y , 5-! ahol e,- jelenti azt az

így az 1.2.2 pont tétele alapján létezik olyan K > 0 állandó, hogy a (21), (22), (23) egyenlőségekkel értelmezett bármely normára - ^ I |9 Í l p • M egjegyzés. Igazolható, hogy

(r = l,2 ,...,m ;

5 = 0 ,l,2 ,...,n - l) ,

-beli vektort, melynek r-edik koordiná

tája 1, a többi pedig zérus. Igazolható, hogy a ( p „ ,W 2

. . , m

polinomok bázist alkotnak a P^_i[a,b] térben, amiből következik,

továbbá

hogy P^_^[a,b] nm dimenziós lineáris vektortér. inverz operátor létezik, mégpedig V~i] = D ” , ahol Tekintsük most az I - L q^L operátort csak a P„__i térben értelmezve. A fentiek alapján

és D (D '^)= V ^"^

(«) Érdekes megemlíteni, hogy a fentiek figyelembe vételével (92) alapján a következő azonosságot nyerjük: Lo = ( I - V ) D \

P

A

Ui. legyen p e P,^_i[a,b] olyan polinomvektor, melyre

Az Lq operátor bevezetésével a (79) Cauchy-féle probléma (90) alatti megoldása a következő alakba írható: y = ( I - L ö ‘L )p „_ i+ L ö 'f .

(94)

tetszőleges függvény vektor, akkor Ly = LoJ , így (I-Lo^L)y = 0 .

(95)

P = Lq’Lp . Mivel p(x) G

=0w(«) Lo^Lp(x)e^]y^”^, ezért a (95) egyenlőség alapján

, amiből következik, hogy

p(x) = 0 , és így

az

( I - L q^L) ^ létezése már következik.

Ez azt jelenti, hogy az I - L q'L operátor a operátor, továbbá, hogy tetszőleges y g

(I-LÖ ^L)p = 0, akkor ebből

Vizsgáljuk meg a (94) egyenlőségben szereplő I - L q^L operátort. Ha

térben értelmezett I - Lq^L operátornak létezik inverze.

téren a zérus esetén

Mivel egy invertálható operátor lineárisan független elemeket lineárisan független elemekbe visz át, ezért a fentiek alapján nyil vánvaló a következő


400

2. lemma. A R ( l - Vq^ L )

térben értelmezett

képtere nm dimenziós altere

I-L q ^ L

operátor

r{r térnek. p

(96)

ún. homogén egyenletre vonatkozó Cauchy-féle problémát. A (94) egyenlőség alapján a (96) alatti CaMC%-probléma meg oldása előállítható y = {I-Lo'L)p„_i (97)

p^_] e

p„-,

tétel. Ha f és F^' e C[a, b\ , (/ = 0,1,2,..., n - 1 ) , akkor az

Ly —0 egyenlet minden megoldása n-szer folytonosan differenci

Ly = 0, y®(a) = Cj, (/= 0,1,2,...,n -1)

ahol

a

(83)

alatti polinomvektor,

ha

tehát

álható [a, b] intervallumon. így az alaprendszer tagjai n-szer foly tonosan differenciálható függvények. Az ] .6 pont 2. és 3. tétele következményeként adódik az alábbi Következmény. Legyen y i, Y2,

egyenlőséggel értelmezett y függvényvektor kielégíti az Ly - 0 egyenletet. Ui. nyilvánvaló, hogy

nm

alakban, ahol q , c‘2, ...,

tetszőleges állandók.

1.7 A mátrix-differenciálegyenlet vizsgálata Tekintsük az

Ly = L ( I - L q'L ) p = L p -L L g ^L p = 0 .

Ly =

előállítható

=0

homogén differenciálegyenlet-rendszert, ahol az előbbiekhez ha sonlóan = I és F} e Lp[a,b], (/ = 0 ,1 ,2 ,...,n -1 ) adott m x m típusú függvénymátrixok.

y = ( l-L ö ‘L)pW alakban, ahol p(x) g P„_i .

1. definíció. A (98) homogén differenciálegyenlet-rendszerhez tartozó mátrix-differenciálegyenleten az

Figyelembe véve 1.6 pont 2. lemmáját adódik a következő,

L Y = £ f ,-Y®=0

3. tétel. Az Ly = 0 egyenletnek pontosan nm számú lineárisan -beli megoldása van.

Definíció. Az Ly = 0 egyenlet tetszőleges nm számú lineárisan független

(98)

Í= 0

így kimondható a következő, 2. tétel. Az Ly = 0 egyenlet minden y e Wp^\a, b] megoldása

egyenlet

y = Ic /y / /=!

, így

LLÖ^Lp = L qL o'L p = Lp , amiből

y„;„ az Ly = 0

tetszőleges alaprendszere, akkor az egyenlet minden y megoldása előállítható

egy tetszőleges polinomvektor, akkor az

y=

független

401

Az 1.6 pont 3. tétele tehát azt fejezi ki, hogy alaprendszer létezik. Az 1.5 pont 2. tétele alapján kimondható a következő klasszikus, 4.

Ezek után tekintsük az

alakban,

J-.7A mátrix-differenciálegyenlet vizsgálata

-beli megoldását alaprendszernek nevezzük.

egyenletet értjük, ahol Y 1. mely

(99)

mXm típusú ismeretlen függvénymátrix.

lemma. Annak szükséges és elegendő feltétele, hogy vala YeW Í% ,b]

402_________ IV. Kiegészítés a dijferenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

1.7. A mátrix-differenciálegyenlet vizsgálata

függvénymátrix megoldása legyen a (99) mátrix-differenciál egyenletnek az, hogy az Y függ vény mátrix mindegyik oszlopvek tora megoldása legyen a (98) differenciálegyenlet-rendszernek.

(c i, C2,...,C „

M egjegyzés. Valamely Y

m x m típusú függvénymátrixról ér

telemszerűen akkor mondjuk, hogy W^\a,b\-htW, ha e mátrix valamennyi oszlopvektora

-beli függ vény vektor.

Bizonyítás. Legyen Y

egyelőre tetszőleges m xm típusú

függvénymátrix, és legyenek

Ji, Yi,

Ym a függvénymátrix

oszlopvektorai. Könnyen látható, hogy a F,Y^'^ szorzatmátrix redik sorának 5-edik eleme azonos az

vektor r-edik kompo

nensével, azaz

403

-beli konstans vektorok) azonosságból követke

zik. hogy valamennyi Cj (i = 1,2,..., n) a zérus vektor. Vektorok lineáris függetlenségére, valamint az 1. és 2. definíci ókra tekintettel kimondható a következő 2. lemma. Annak szükséges és elegendő feltétele, hogy a (100) függvénymátrixok a mátrixszorzásra nézve jobbról lineárisan füg getlenek legyenek az, hogy a függvénymátrixok a vektorszorzásra nézve jobbról lineárisan függetlenek legyenek. 1. tétel. A (99) homogén mátrix differenciálegyenletnek létezik n számú, a mátrixszorzásra nézve jobbról lineárisan független Yj, Y2, ..., Y„ Bizonyítás. Legyen

Wp \ a, b] -beli megoldása. y2, ..., y„^ a (98) differenciálegyenlet

rendszer egy tetszőleges alaprendszere. Az 1.6 pont 3. tétele alapján (FiY®)„ = (Fiy® ),,

y,-e Wp\ a, b]

amiből összegezéssel adódik, hogy (L Y )„ = (L y J ^

(/ = 1 ,2 ,...,nm) . Jelentse Yj azt a függvénymátri

xot, melynek oszlopvektorai y^, y2, ...,

(r,5 = l,2 ,...,m ) ,

jelentse azt a függvénymátrixot, melynek oszlopvektorai az y,n+b Im+I^ yim függvény vektorok stb., általában Y^- jelentse azt a függvénymátrixot, melynek oszlopvektorai az

amelyből a lemma azonnal következik. 2. definíció. Azt mondjuk, hogy az m xm típusú Y], Y2, ..., Y„ x e {a , b ]

függvényvektorok, Y2

(100)

y(i~l)m+h •••’ ylm (í = 1,2,..., n)

függvénymátrixok az [a,b] intervallumon a mátrixszorzásra nézve

vektorok. Ilyen módon n számú Yj, Y2, ..., Y„ függvénymátrixot

jobbról lineárisan függetlenek, ha a

nyerünk, melyek mindegyike az 1.7 pont 1. lemmája alapján meg oldása a (99) mátrix-differenciálegyenletnek. Megmutatjuk, hogy az Y|, Y2, ..., Y„ mátrixok a mátrixszor

Í Y , - q = 0, i=l (C j,C 2,...,C „

mXm

{xG[a,b])

típusú konstans mátrixok) azonosságból

következik, hogy valamennyi C, (/ = 1 ,2 ,...,n) zérus mátrix. 3. definíció. Azt mondjuk, hogy a (100) függvénymátrixok az a,b] intervallumon a vektorszorzásra nézve jobbról lineárisan

zásra nézve jobbról lineárisan függetlenek. Az 1.7 pont 2. lemmája alapján elegendő megmutatni, hogy e függvénymátrixok a vektor szorzásra nézve jobbról lineárisan függetlenek. Legyenek ui. Cj, C2, ..., c,j olyan -beli állandó vektorok, melyekre X X 'C /= 0 , i=l

függetlenek, ha a egyenlőség teljesül. XYjC-= 0,

{xe[a,b])

{xG [a,b])

(101)

404


Legyenek a c,- g

1.7 A mátrix-differenciálegyenlet vizsgálata

vektor komponensei

Xn-DU

D

vábbá látható, hogy

mn

(x e [a,Z?])

ami viszont azt jelenti, hogy c,- = 0,

= 0,

->

to-

lineáris operátor.

Megjegyezzük, hogy a bevezetett jelölés segítségével az

i=\

alakban írható, amiből következik, hogy

(103)

Nyilvánvaló, hogy rögzített xq g [a, b] mellett D''” Xq

akkor könnyen belátható, hogy a (101) azonosság a = 0,

405

(k=l,2,...,nm) ,

(/ = 1,2,..., n ) , vagyis az

Y i,Y 2 ,...,Y „ függvénymátrixok a vektorszorzásra nézve jobbról valóban lineári san függetlenek. 4. definíció. A (99) homogén mátrix-differenciálegyenlet n számú, jobbról lineárisan független Y^, Y2, ..., Y„

(fi)

Wp {a,b\ -beli

L y = f,

y®(a) = c,-

(i = 0 ,l ,2 ,...,n - l )

Cawc/iy-probléma a következő módon fogalmazható: Keressük az Ly=f egyenlet olyan y e Wp^\a,b] megoldását, melyre CG

adott vektor, (c tekinthető olyan „hipervektornak”, amely

nek komponensei a Cq, Cj, C2, ..., c„_i

megoldását az egyenlet alaprendszerének nevezzük. Az 1. tétel azt fejezi ki, hogy a (99) homogén mátrix-differenciálegyenletnek létezik alaprendszere. A fentieket felhasználva igazolható a következő

c , ahol

Jelentse

g

-beli vektorok).

azt a vektort, melynek /^-adik koordinátája 1,

a többi pedig zérus (A: = 1 ,2 ,...,n m ) . Legyen yj, j 2, ...,

a (98)

egyenlet olyan alaprendszere, melyre

3. lem m a. Ha Yj, Y2, ..., Y„ a (99) egyenlet tetszőleges alap-

’ (A = 1,2,..., nm) .

rendszere, akkor a (99) egyenlet bármely Y megoldása előállítható Legyen Y = Í Y ,- q

(102)

i=\

alakban, ahol C|, C2, ..., C„ konstans mátrixok, és megfordítva,

Y^-, (í = l,2 ,...,n ) az az m x m

típusú

függvénymátrix,

melynek oszlopvektorai az y(/-i)«+i’ y(/-i)«+2> •

lim

ha C], C2, ..., C„ tetszőleges konstans mátrixok, akkor a (102)

függvényvektorok, akkor az 1. tételben láttuk, hogy Y^, Y2, ..., Y„

egyenlőséggel értelm ezett Y függvénymátrix kielégíti a (99) egyenletet. n Megjegyezzük, hogy az Y = ^Q Y ,- függvénymátrix általában

függvénymátrixok alaprendszerét alkotják a (99) egyenletnek. Vezessük be a következő jelölést:

i=l

nem elégíti ki a (99) egyenletet. Vezessük be a következő - a továbbiak szempontjából is hasz n o s-jelö lé st: Tetszőleges y e

függvény vektor mellett legyen

W =

Yi y;

y;

Y„ ■ y;

(104)

Nyilvánvaló, hogy W olyan mXm típusú függvénymátrix, amely nek k-üdik oszlopvektora azonos


406

D

( n -l)

- val

=

oszlopvektora megoldása legyen az

I 0 ... 0“ 0 I ... 0

(105)

0 0 ... I

ahol I az m x m típusú egységmátrix, a 0 pedig az I-vel azonos típusú nullmátrix. A (105)-ből azonnal leolvasható, hogy az Y, függvénymátrix kielégíti a következő kezdeti feltételeket Y,í*’(a) = 0, ha

407

kezdetiérték-problémának az, hogy az Y mátrix mindegyik

n m) .

A (104) egyenlőséggel értelmezett mátrixot a szokásos módon Wronski-íé\t mátrixnak nevezzük. A fentiek alapján nyilvánvaló, hogy

W(a) =

1.7 A mátrix-differenciálegyenlet vizsgálata

yf(a)=cCauchy-prohlémának. A fenti lemma alapján a (106)-(107) mátrix-differenciálegyen letre vonatkozó kezdetiérték-probléma ekvivalens m számú diffe renciálegyenlet-rendszerre vonatkozó kezdetiérték-problémával, így nyilvánvaló a következő 2. egy Y G

tétel. A (106)-(107) CaMc/iy-problémának létezik egy és csak b] megoldása.

Megjegyezzük még, hogy ha Y^, Y2, ..., Y„ az LY = 0 mátrix

= 0 ,l,...,í- 2 ,i,...,« - l;

differenciálegyenlet egy alaprendszere, akkor az Ly = 0

Y ,Í'" V ) = I. A differenciálegyenlet-rendszerre vonatkozó Caac/iy-probléma helyett - néhány alkalmazásban - célszerűbb a megfelelő mátrix differenciálegyenletre vonatkozó Cauchy-íé\& feladatot vizsgálni, amely a következő módon fogalmazható meg: Legyen F e L ^[a,b\ adott m xm típusú függvénymátrix és

differenciálegyenlet-rendszer minden megoldása előállítható

legyenek Cg, Q , ..., C„_j adott m xm típusú konstans mátrixok.

A differenciálegyenletek elméletében szokásos bizonyítási eljá rással könnyen igazolható a következő

Keressük az LY = F mátrix-differenciálegyenlet

olyan

(106) YG

mátrixmegoldását.

(108) k=í alakban, ahol Ci, C2, ..., c„ tetszőleges

3. tétel. Ha W jelenti a (104) egyenlőséggel értelmezett Wronski-féle függvénymátrixot, akkor detW ^tO ,

amely kielégíti az Y®(a) = q kezdeti feltételeket. Legyenek f^, f2, ...,

( í= 0 ,l,2 ,...,n - l)

(107)

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy valamely

az F

mátrix oszlopvektorai, továbbá

D

lem m a. Annak szükséges és elegendő feltétele, hogy az mátrix megoldása legyen a (106)-(107)

'^0

vektorok lineárisan függők, azaz léteznek olyan

nyításával analóg módon belátható az alábbi

m x m típusú Y g

{xG[a,b])-

det W = 0 . Ez azt jelenti, hogy a

c|, ej, ..., c f a Cl mátrix oszlopvektorai, akkor az 1. lemma bizo 4.

-beli konstans vektorok.

c^, számok, melyekre

(A; = 1,2,..., nm)

XQG[a,Z?]

pontban


408

nm

nm

alakban, ahol p tetszőleges, legfeljebb ( n - l ) - e d fokú polinom-

,

és

V ,t= 0 ,

vektor és (92) alapján

k=\

k=\

409

1.8 A megoldás függése a paramétertől

\-l

amiből E c^yf(-ô) = 0, k=^

(i = 0,1,2,..., n -1).

(109)

( 111)

A'

ahol a

( 112)

Vacp= Í V i ( ^ ,0 9 ( 0 ^ í

következik. Bevezetve az y = Yu^kyk jelölést, nyilvánvaló, hogy Ly = 0 k=i

és (109) alapján

Voltérra-típusú integráloperátor magmátrixa a (81) egyenlőséggel értelmezett magmátrixtól csak annyiban tér el, hogy az ott szereplő Fo(x) függvénymátrix helyett most Fq - 1 1 függvénymátrix áll, azaz

y(')(jCQ) = 0,

(/ = 0,1,2,.. . , n - l ) .

■Figyelembe véve a Caac/zy-probléraa unicitását, kapjuk, hogy nm

I

y = 0, ami a X k /t ^ feltétel alapján azt jelentené, hogy az k^\ (A: = 1,2,..., nm) függvény vektorok lineárisan függőek lennének.

1,8 A megoldás függése a paramétertől

(x, t) = \ { x j ) + X

(n-1)!

■I ,

(113)

ahol V (x,0 a (81) egyenlőséggel értelmezett magmátrix. így a (112) egyenlőséggel értelmezett Vo/íerra-típusú operátor a követ kező alakban írható fel: V^ = V + AV„_1, (114) ahol V a (84) egyenlőséggel, a V„_i pedig a (14) egyenlőséggel

Jelentse L az eddigiekben szereplő (43) alatt definiált differenciál operátort, és legyen X tetszőleges komplex paraméter. Jelentse I a

értelmezett Vo/terra-típusú integráloperátor a k = n - \ mellett. Mivel a (85) egyenlőség alapján

-beli egységoperátort. í:=0

Vezessük be a következő jelölést:

azért (11 l)-ből és (114)-ből

L^ = L - A I . A továbbiakban szükségünk lesz a következő eredményre, amely jó! ismert a differenciálegyenletek klasszikus elméletében: Tétel. Az L^y = 0 bármely y(x, X) megoldása a X komplex

L l l = Z V „-,(V + A V „ _ /. k=0

így az L ^ y = 0 egyenlet minden megoldása (110) alapján a következő alakban állítható elő:

változó analitikus függvénye. Bizonyítás. Az 1.6 pont 2. tétele alapján az L;|^y = 0 egyenlet

y(i,A ) = p (x )- X V „-i(V + ;iV„_i)*L^p(4.

minden megoldása előállítható yU,>.) = (I-L■i^;,LJp

(115)

(110)

A rövidség kedvéért vezessük be az

(116)

410


jelölést. Nyilvánvaló, hogy

2.

FEJEZET

P erem érték - és sa já térték -p rob lém ák lineáris korlátos operátor, továbbá látható, hogy

^ ^ komplex

2.1 Perem feltételek

változó polinomja. (1 16)-ból +00

Az első fejezet jelöléseinek megfelelően e fejezetben is használjuk az

y(x, A) = p(x) - E A a P W ’ k=o

L y = Í F ,.y ® !=0

+00

alakba írható, ahol a X sor normában konvergens, k^Q amiből a (23) egyenlőséggel értelmezett c-norma alapján következik, hogy a sor egyenletesen konvergens [a,l?]-ben minden |A |< i? mellett, ahol R > 0 tetszőleges valós szám. Mivel a sor tagjai A komplex változónak analitikus függvényei (polinomjai), azért a sor összege, és így az y(x, X) függvény vektor is a A komplex változó analitikus függvénye az origó körüli R sugarú körben. Mivel R tet szőleges, így y(x,A) az egész komplex síkon analitikus függvény.

jelölést, ahol - az előbbiekhez hasonlóan - F„ = I és F,- g hp[a,b] (í = 0 ,1,2,..., n -1 ) adott m x m típusú függvénymátrixok. Az L differenciáloperátor értelmezhető az egész Wp^\a,b\ tér ben, azonban az L operátor értelmezési tartományát később alkal mas módon fogjuk megválasztani. Legyenek A,-^, és

(í = l,2 ,...,v , y fc = 0 ,l,2 ,...,n -l)

adott m x m típusú konstans mátrixok. Vezessük be az U ,y = z W ® ( a ) + B . - t y k=0

(k)

(1)

r(n)\a, b\ tetszőleges függvényvektor. Nyilvánvaló, jelölést, ahol y e Wp hogy U ;:

lineáris operátor, melyre

Legyen í e h p { a , b \ adott függvény vektor, továbbá legyenek c,- e

(/ = 1,2,..., v) adott konstans vektorok.

Definíció. Az n-edrendű differenciálegyenlet-rendszerre vonat kozó peremérték-problémán a következő feladatot értjük:

412


Keressük az Ly=f egyenlet olyan y g

(2)

2.1 Peremfeltételek

jelölést. A

U,-y = c,-

( í = l ,2 ,...,v ) .

(3)

Az (1) peremfeltételek tömörebb jelölése érdekében vezessük be az “Ci' [u r

u=

Ü2

és

E jelölések bevezetésevel a (3) peremfeltételek, vagy a vele ekviva lens (3a) peremfeltétel a következő alakban írhatók: Uy = AD<;-»y + B D < ''-'V = c .

y(fl)

c = C2

y\a) p = [A B ],

lineáris operátor és cg

(a)

y(b) y\b)

konstans vektor. E jelölések bevezeté jelöléseket. Itt P vmx2nm típusú mátrix, míg

sével a (3) peremfeltételek az Uy = c

(3fl)

alakban írhatók. Sok esetben célszerű a peremfeltételeket más alak ban is felírni. Ennek érdekében vezessük be az ^10 A ll ^ 2 0 A 21

D Í;r'V = DÍf^'V D

p

TT •

(6)

Végül vezessük be a

vektorokat. Nyilvánvaló, hogy az

A yi

szintén lineáris operátor, melyre

b] megoldását, mely eleget tesz a követ

kező, ún. perem feltételeknek:

A=

413

;• ^ 2 , n - l ,B =

®10 B i i ®20 B 21

âb • ^2nm lineáris operátor. E jelölésekkel a (6) peremfeltétel tömören

.

u y = PDÍ,V‘V = c

.

és részletesebben pedig (4)

y(a) y\a)

_®vO Bi/1 • •• ®v,n-l_

.

hipermátrixokat, melyek mindegyike vmxnm típusú mátrix. To vábbá, rögzített XQe[a,b] mellett vezessük be az 1. fejezet 1.7

Ajo A ll vo

pontjában már használt y (^ ) y '(^ )

(6a)

(5)

\n -l

B 1,77-1

^v,n~\ ®)/0

B v,n~\

C] y(b) y'ib) /" \h )

alakba írható.

^.2 lCkj


414

2.2 Peremérték-probléma

415

A továbbiakban egyszer s mindenkorra feltesszük, hogy a peremfeltételekben szereplő (1) alatti U,- (z = l,2 ,...,v ) operátorok lineá

2. típusú probléma megoldása, akkor az 1. probléma megoldása előállítható a következő alakban:

risan függetlenek, ami egyrészt azt jelenti, hogy v < 2n , másrészt a P = [A B] mátrix oszlopvektorai lineárisan függetlenek, ami ekvi

yi = yo - Y2 •

valens azzal, hogy a P mátrix rangja v - n , azaz

Legyen most y o e w f \ a , b ] olyan tetszőleges függ vény vektor,

r(P) = V-n . Megjegyezzük, hogy a feltevés a P ; £’2«m rátorra nézve azt jelenti, hogy R{V) =

Megfordítva, megmutatjuk, hogy a 2. probléma is visszavezet hető az 1. problémára.

^vm lineáris ope

.

mely eleget tesz az Uyo = c peremfeltételnek, továbbá vezessük be az fo = Lyo jelölést. Ha

az Ly = fo,

2.2 P erem érték-problém a A 2.1 pontban definiált általános peremérték-probléma helyett te kintsük a következő két egyszerűbb típusú peremérték-problémát: 1. problém a (inhomogén egyenlet homogén peremfeltétellel): Keressük az Ly = f egyenlet olyan y g Wp^\a,b] megoldását, mely eleget tesz az U y=0 peremfeltételnek. 2. problém a (homogén egyenlet inhomogén peremfeltétellel): Keressük az Ly = 0 egyenlet olyan y e Wp \a ,b ] megoldását, mely eleget tesz az U y=c peremfeltételnek. A fenti két peremérték-probléma egymással ekvivalens, azaz bármelyik a másikra visszavezethető. Először megmutatjuk, hogy az 1. probléma visszavezethető a 2. problémára. Legyen

yQeWp\a,b]

egy tetszőleges megoldása az Ly = f

egyenletnek, továbbá legyen Cq = Uyg . Ha y 2 az Ly = 0,

Uy=C()

Uy = 0

1. típusú probléma megoldása, akkor a 2. probléma megoldása elő állítható a következő alakban: = yo - yi • Amennyiben ismeretes az 1. és 2. problémák y, és dása, úgy a 2.1 pontban definiált Ly - f,

megol

Uy = c

általános peremérték-probléma megoldása előállítható

y = y i + y2 alakban. A fentiek alapján a továbbiakban elegendő csak az 1. probléma részletes tárgyalására szorítkozni. E fejezetben az L differenciáloperátor értelmezési tartományát a következő módon definiáljuk: D(L) jelentse azoknak a

-beli y függvény vektoroknak az

összességét, melyek eleget tesznek az Uy = 0 homogén peremfel tételnek, azaz D(L) = ( y |y e lV ,f 'lU y = o ) . Igazolható, hogy a D(L) zárt,

(7)

lineáris altere W p -nek. A D(L)

zártságát legegyszerííbb az 1. fejezet (23) egyenlőségével értel mezett norma segítségével igazolni. Legyen ui.

416


y te D ( L ) Iy -

=

I

417 cr

y ew j l' ^é s

c = C2 0, ha A; -> +00, lC . j

ekkor / = 0,1,2,..., n - 1 mellett y^'^ -> y*''^ egyenletesen [a, b] -ben, amiből következik, hogy y^'^íz)

2.3 Sajátérték-probléma

y l \ b ) -> y^^\b), midőn ^

Figyelembe véve a (6) egyenlőséget, a (9) peremfeltétel a követke ző alakban is előállítható UY = AD

+00,

amiből a peremfeltételek (6) alakja figyelembe vételével már könynyen következik, hogy Uy^ - ^ U y ,

Sok esetben célszerű a differenciálegyenlet-rendszeri'e vonatko zó peremérték-probléma helyett a megfelelő mátrix-differenciál egyenletre vonatkozó peremértékproblémát tekinteni, mely általá nos esetben a következő módon fogalmazható: Legyen F g 'Óp\a,b] adott m x m típusú függ vény mátrix, és C

+ b d ["~^^y = c ,

( 11)

Y(.xo) («-l) Y = D Xo

{xE[a,b]). Án-l)

amiből Uy^ = 0 alapján következik, hogy Uy = 0, így y e D (L ). Ezek után a továbbiakban vizsgálatra kerülő 1. probléma a következő módon is fogalmazható; Keressük az Ly = f egyenlet D(L) -beli megoldását.

y

ahol

Könnyen belátható, hogy valamely Y függvénymátrix akkor és csak akkor megoldása a (8)-(9) mátrix-peremértékproblémának, ha az Y függvénymátrix yj, y2, y ^ oszlopvektorai megoldásai a következő peremértékproblémának: LY, ahol f], Í2, ...,

U y, = c,,

(5 = l,2,...,m ),

a F mátrix oszlopvektorai, q , C2, ...,

mátrix oszlopvektorai, (c,

g

a C

£■„„).

adott vnixm típusú konstans mátrix. Keressük az

mátrix-differenciálegyenlet olyan Y e

2.3 Sajátérték-problém a

( 8)

LY = F

megoldását, mely ele

get tesz az

Definíció. Egy Á komplex számot a (7) egyenlőséggel megadott D(L) d

UY = C

(9)

peremfeltételnek. Megjegyezzük, hogy a (9) peremfeltétel (l)-nek megfelelően az

altéren értelmezett L operátor sajátértékének nevez

zük, ha az Ly = /ly

(12)

egyenletnek létezik y g D(L) nem azonosan zérus megoldása. U ,:Y = 'E (A ,tY ® (a) + B,tY®(fc))=Cj,

(i = 1,2,..., v)

k=0

alakban írható, ahol Q m x m típusú mátrix (i = 1,2,..., v) és

(10)

E pontban megvizsgáljuk, mi annak a szükséges és elegendő feltétele, hogy valamely Á komplex szám az L operátornak sajátér téke legyen. Jelentse I a

-beli egységoperátort és vezessük be az

418


2.3 Sajátérték-probléma

419

vagy részletesebben az

L ;t= L -/iI jelölést. Legyen

U,;Y = 0, (y/(x, X)\

homogén differenciálegyenlet-rendszer alaprendszere. Ekkor L^y = 0

(/ = l,2 ,...,v )

peremfeltétel mellett. Legyen Yi(x,Á), Y 2(x,X) , ..., Y„(x,Á) a (14) egyenlet alaprend

i ~ l, 2, . . . ,nm az LjiJ - 0

(13)

szere, akkor (108) alapján a (13) egyenlet minden megoldása elő állítható

egyenlet minden megoldása előállítható y(x,Á)= jYj,{x,X)Cj,

nm

(15)

y = y(x,A)= í=\ alakban, ahol q, C2, t e t s z ő l e g e s állandók. Ezeket figyelembe véve a (12) vagy a vele ekvivalens (13) egyenletnek akkor és csak akkor létezik zérustól különböző y e D(L) megoldása, ha léteznek olyan nem csupa zérus értékű q , c'2, ...,

alakban, ahol Cj, C2,

c„ tetszőleges konstans vektorok.

így a (13) egyenletnek akkor és csak akkor létezik zérustól különböző y e Z)(L) megoldása, ha léteznek nem csupa zérus vek torból álló Cl, C2, ..., c„ vektorok, melyekre U,-y = i U,.(Y^(x, A)c^) = 0, k=\

állandók, amelyekre nm

Uy = Iq U y ,- = 0 ,

(i = 1,2,..., V),

amiből - tekintve, hogy U^- lineáris operátor - a c^, C2, ..., c„ nem csupa zérus vektorokra a következő egyenletrendszert nyerjük:

vagy a (6 ű) jelölés figyelembe vételével nm

,

z c ,'Pd ;

" -\= o.

Í U i( Y tf e A ) ) - q .= 0 , k=l

(i = l,2 ...... V)

(16)

Vezessük be a következő jelölést: A fentiekből adódik a következő eredmény: 1. tétel. Annak szükséges és elegendő feltétele, hogy valamely X komplex szám az L operátor sajátértéke legyen, az hogy a

u (/i)=

Ui(Yi(x,^)) ... Ui(Y„(x,l))‘ ; : : . U^(Yi(x,A)) ... \]y(Y^(x,Á)l

(i7)

Az U(A) vmxnm típusú mátrix. A fentieket figyelembe véve ér -beli vektorok lineárisan függőek legyenek. A fenti feltétel analitikus megfogalmazása érdekében célszerű tekinteni az L^Y = 0 (14) homogén mátrix-differenciálegyenletet az UY = 0

vényes a következő: 2. téteL Annak szükséges és elegendő feltétele, hogy valamely X komplex szám az L operátor sajátértéke legyen az, hogy a (17) mátrix rangja nm-nél kisebb legyen, azaz r{lJ(Á)} < n m

Vizsgáljuk meg külön-külön a V < n és a v > n eseteket.


420

1. Ha V < n , akkor bármely komplex X mellett r{U(Á)) < n m .

2.4 A Green-féle függvénym átrix

Definíció. A (18) peremérték-problémához tartozó Green-féle függvénymátrix olyan

így ez esetben az L operátorra minden komplex szám sajátérték. 2. Ha v > n , úgy r{lJ(Á))
vmxnm típusú mátrix minden nm-edrendű aldeterminánsa

421

G{x,<^;Á) =

‘G ||{x,f;/l) Gí2(x,í;A) ... G, „( x. íUy C 2 iU ,f;l) G22(x,í;A) ... G2„(j . í ;X) _G „|{x,í;i) G„2(x .Í-.X) ... G „ „ {x 4a )

azonosan eltűnik. Ekkor két eset lehetséges, vagy az U(^) mátrix minden nm-edrendű aldeterminánsa eltűnik, akkor minden komplex A szám sajátértéke az L operátornak, vagy az U(/l) mátrix vala

alakú függvénymátrix, amelyre teljesülnek a következő feltételek:

melyik nm-edrendű aldeterminánsa nem azonosan zérus, akkor az L operátor sajátértékei azonosak azokkal a Á komplex számokkal, amelyek egyrészt gyökei a fent említett nem azonosan zérus aldeterminánsnak, másrészt, amelyek gyökei az összes többi nm-ed rendű aldeterminánsnak is. Gyakorlatilag legérdekesebb az az eset, araikor v = n . Ekkor (17) alatti U(Á) mátrix négyzetes mátrix ( n m x nm -edrendű), így

a<^
1. G{x,(^;Á) függvénymátrix értelmezve van az a < x < b négyzetben, és minden rögzített

(ê[a,b]

és

mellett

G(x,<^',Á) mint X függvénye legyen ( n - 2 )-szer folytonosan diffe renciálható az [a,b] intervallumban. 2. Minden rögzített

[a,b] mellett az és b] interval0/1— lumban külön-külön létezzék a -------- -- derivált függvény-

ebben az esetben a d(Á) = á&tU{Á) függvény gyökei szolgáltatják mátrix, mely legyen abszolút folytonos az [ö,^] és [<^,b] interval

az L operátor összes sajátértékét.

lumban, továbbá legyen 2.4 A G reen-féle függvénym átrix a"~’G(^ + 0, a A) Legyen L az előbbiekben szereplő differenciáloperátor, Á tetszőle ges komplex szám, f e Lp[a,b] adott függvény vektor. A 2.2 pont

- 0,

Á)

j

dx^ ^ ahol I azonos rendű egységmátrix.

beli megállapodás értelmében a továbbiakban az (18)

Megjegyzés. Mivel a -------- ■ függvény abszolút folytodx^

peremérték-probléma megoldhatóságát vizsgáljuk, azt a gyakorlati lag legfontosabb esetet tekintve, amikor v - n , vagyis midőn a peremfeltételeket generáló U operátor

nos külön-külön [a,£] és [^,b] intervallumban, azért ------■■

L^y = L y -A y = f , Uy = 0

létezik majdnem minden [a,^] és [i^,b] mellett, így majdnem min U=

Ui U2

u., alakú, ahol U,- (/ = 1,2,..., n) az (1) egyenlőséggel értelmezett line áris operátor.

den x e [ a , b] mellett is. 3. Minden rögzített

[a,b] mellett legyen d"G(x,<^;Á)

-G LJa,b]

.

422


4.

Minden rögzített

{a,b) mellett G(x,^;A) függvénymátrix

423


nak mint x függvényének folytonosnak kell lenni [a, b] intervallu

mint X függvénye az [a,b] intervallumon tegyen eleget az UG = 0

mon minden i - l , 2 , . . . , n - 2 esetén, ami azt jelenti, hogy fenn kell

peremfeltételnek és majdnem minden ^ g [a, b] mellett G(x,^;A)

állni a

elégítse ki az L^y = 0 egyenletet, azaz

i Y « (í, 1 ) (A ,© + B t© ) = t Y f'(í, /l)(A ,(f) - B ^© ), k=l k=]

L^G = L G - ^ G = 0 .

azaz a Tétel. Ha a A komplex szám nem sajátértéke a D(L) a altéren értelmezett L lineáris operátornak, akkor létezik egy és csak egy G(x, Á) Green-féle függvénym átrix. Bizonyítás. Legyen Yi{x,Á),Y 2(x,Á),...,Y,^(x,Á) az

=0

mátrix-differenciálegyenlet olyan alaprendszere, melyre a

W (x,A) =

Y](x,yi) Y[{x,X)

Y2(x,/1) Y'2 {x,X)

... ...

\„{x,X) Y'^{x,X)

Z Y ® (f, /l)B t© = 0, k=[

egyenleteknek. Figyelembe véve a Green-féle függvénymátrixra tett 2. köve telményt, a fentieken kívül teljesülni kell a i Y

(19)

(21)

(í = 0,1,2 ,.... n - 2)

f

- B t© ) - t

^ )(A t© + B t© ) = I

,

/C= i

azaz a ^yI"~^\x,á) Y^2~^\x,X)

...

rix. Az 1. fejezet alapján nyilvánvaló, hogy ilyen alaprendszer létezik. Keressük a G(x, Á) Green-féle függvénymátrixot a következő alakban: Í Y t f e i ) ( A t © + B j© ), G (x ,^ ;A )- k=l n X Y ,(x,A )(A ^(^)-B ,(^)), U=i ahol az A^(i^) és B^(^)

egyenlőségnek. A (21) és (22) egyenlőségek együttesen a következő alakban írhatók: Yi(^,l) YfeA)

Y2(^4) Y 2 (a )

....

....

Y „(ei) ■ ■ B i(0 ■ y ;(^. a) B 2®

" 0 0

B iL „— -i(ö•' . K iö _

0

(23)

(20) x>^,

(k = l,2,...,n) egyelőre ismeretlen függ

vénymátrixok, melyeket úgy próbálunk választani, hogy teljesülje nek a Green-féle függvénymátrixra tett 1. követelmények. A Green-féle függvénymátrixra tett 1. követelmény alapján

A kapott egyenletrendszer mátrixa azonos a (19) mátrixszal az x = ^ helyen. Mivel az Yi(x,X),Y 2Íx,X), ...,Y^(x,l) mátrixok alaprendszert alkotnak, azért az 1.7 pont 3. tétele alapján a detW((f,/l) ^ 0, így a (23) egyenletrendszer Bj(^), B 2(^), ..., B„(^) ismeretlen mátrixokra megoldható.

minden rögzített ^ e [a, b] mellett a

függvénymátrixdx

( 22)

ÍY f-« © ;i)B t© = -ii

jelölés mellett W(a,Á) - I , ahol I az mnxmn típusú egységmát

424


Vegyük figyelembe, hogy az egyenletrendszer megoldásából nyert B;(^) { i - \ , 2 , . . . , n ) mátrixok A-nak is függvényei, azon

C(^,/i) =

ban a yí. -tói való függést nem tüntetjük fel. Ha tehát a B„(^) mátrixokat a (23) egyenlet rendszer megoldásának választjuk, akkor a (20) egyenlőséggel értelmezett G (x,^;A ) függvénymátrixra már teljesülnek a Greenféle függ vény mátrixra tett 1. és 2. feltételek. Mivel Y^(x,X)G

Aj(^), A 2(^), ..., A„(^) mellett a (20) egyenlőséggel értelmezett

alakban írható, ahol C ,(^,X) (/ = 1 ,2 ,...,n)

esetén L^G = 0 . Megmutatjuk, hogy az Ai(,^), Á 2( ^ ) , A „ ( ^ )

mátrixok vá

m x m típusú mátrixok.

A (24) egyenlet a (11) egyenlőség alapján Í v Y , - A ^ i ^ ) = C(g,X) k^\ alakban írható, amely azonos a következő egyenletrendszerrel: ■U,Y, ■■■ U|Y„- A |( í) '

G(x,<^;Á) függvénymátrix eleget tesz a Green-íélt függvénymát rixra tett 3. követelménynek is, továbbá nyilvánvaló az is, hogy tetszőleges rögzített ^&[a,b\ mellett majdnem minden xG[a,b]

Ci(^,A)C2(S,l) C„(f,A)_

(k = 1,2,-.. . , n ) , azért nyilvánvaló, hogy

a fenti módon meghatározott B|(^), B2( ^ ) , B „ ( ^ ) és tetszőleges

425


C |(f ,/l) ' (26)

U„Y| ... U„Y„_ A „(í).

c „ (l\

A (26) egyenletrendszer mátrixa azonos a (17) egyenlőséggel defi niált U(/l) mátrixszal v = n és x = ^ mellett. Mivel X nem saját

laszthatók olyan módon, hogy a (20) egyenlőséggel értelmezett G(x,^-,Á) függvény mátrixra teljesüljön az UG = 0 peremfeltételis.

értéke az L operátornak, ezért a 2.3 pont 1. tétele alapján a (26) egyenletrendszer determinánsa zérustól különböző, így az egyenlet rendszer az A](^), A 2(<^), ..., A„(^) mátrixokra nézve megoldható.

Az UG = 0 peremfeltétel a (11) egyenlőség alapján a követke ző alakba írható:

Az eddigiekből már következik, hogy ha az A,-(^) és B,-(^)

^G =0

(/ = 1,2,..., n) mátrixokat a fentieknek megfelelő módon választjuk, akkor a (20) egyenlőséggel értelmezett G(x,<^;X) függvénymátrix

azaz n

eleget tesz a Green-féle függvénymátrixra tett valamennyi köve telménynek, amivel a Green-féle függvénymátrix egzisztenciáját igazoltuk. A fenti eljárásból az is világosan látható, hogy az A;(^) és

A-=l amiből

B;(^) 2 (AD<""«Yj + k=l

= C (í. X).

(24)

- ADÍ'’'^«Y t)Bt(í).

(25)

ahol

nak definiálva, amiből következik a Green-féle függvénymátrix unicitása is. 1.

C ( í ,i ) = k=l

A C(^,Á) nmxm típusú hipermátrix, azaz

(/ = 1,2,..., n) mátrix együtthatók egyértelmű módon van

megjegyzés. A G(x,

X) Green-féle függvénymátrix (20)

alakjából, valamint az A,-(^) és B^-(^) (i = 1,2,..., n) függvénymát rixok választásából nyilvánvaló, hogy a

426

IV. Kiegészítés a dijférenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

d'G{x,^-X)

427


G 2(x , â ) = X Y^(x,^;/L)B^(a, k=\

(27)

dx

[a,b]),

függvénymátrixok mint az x és ^ változók függvényei folytonosak

ahol az A^(^), ill. Bj,(«^) mátrixok a (26), ill. a (23) egyenletrend

az a < x < b , a < ^ < b négyzetben, sőt minden rögzített x mellett

szer megoldásai.

e függvénymátrixok a

változónak abszolút folytonos függvényei

A (20) egyenlőség alapján G ( x , X) Green-félt függvénymát

az [a,h] intervallumon. Valóban a (23) egyenletrendszer determi

rix a Gi(x,

nánsa a ^ változónak abszolút folytonos függvénye az [a,b] inter

módon fejezhető ki: p/

vallumon, amiből következik, hogy a B,((^) (i = l,2,...,n) függ vénymátrixok is abszolút folytonos függvényei

Á) és G 2Íx,^;Á)

függvénymátrixokkal a következő

j:. 2~.ÍGi(x,^;Á) + G2Íx,<^;Á),

változónak, to

x<^ A ,-> r

vábbá a (25) egyenlőségből leolvasható, hogy a C(^,A) hiper-

Jelöljük U(Á) -val a (26) egyenletrendszer mátrixát ( V(Á) azonos a

mátrix abszolút folytonos függvénye a ^ változónak, így a (26)

(17) egyenlőséggel értelmezett U(/l) mátrixszal v = n mellett),

egyenletrendszer megoldásaként nyert A,(<^)

akkor (26) egyenletrendszerből

(/ = 1,2,..., n) függ

vénymátrixok is abszolút folytonos függvényei ^ változónak. 2. megjegyzés. A Green-féle függvénymátrix (20) alakjából az is következik, hogy a

ahol H ^(^,/i) függvénymátrixok a (26) egyenletrendszer mátrixá

d"~'G(x,í:Á)

val és jobb oldalával kifejezhető m x m típusú mátrixok. Ennek alapján

dx"-' függvénymátrix, mint az x és

(29)

változók függvénye, folytonos az

X < ^ és az X > ^ háromszögtartományon, továbbá az is könnyen belátható, hogy létezik olyan csak az x és Á változóktól függő g(x,Á) függvény, mely mint az x függvénye L^[a, -beli, azaz

ahol

HU

Z) = [Y|fc i ) , Y jíx , i ) , . . . . y „ (x. D ]

g{x,Á) G Lp[a,b] , és fennáll a következő egyenlőtlenség:
{x,<^G[a,b])

(28)

Továbbá a (23) egyenletrendszerből látható, hogy a

B^(
(k = \,2,...,n) előállítható

dx’^ 3. megjegyzés. Vezessük be a következő jelöléseket: G |U ,í;/l) = I Y t U f ; A ) A t ( í ) , i=l

[a.b]].

alakban, ahol az

mXm típusú mátrixok csak a W (^,Á)

mátrix elemeitől függnek, így G 2( x , Á) előállítható

428


f' (y A. 0\ _ M(x,

Á)

(30)

429

2.5 A peremérték-probléma és a Green-féle függvénym átrix

A (32) peremérték-probléma megoldhatósága ilyen módon ek vivalens az L operátor R(L) képterének meghatározásával.

alakban, ahol

Az alábbiakban megmutatjuk, hogy R{L) - L^[a, b] , először azonban igazoljuk a következő segédtételt:

M fc í , Á) = [Y,fc X). Y 2 Í x . á

),...,Y„(x,

A)]

Lemma. Legyen K(x,^) olyan mXm rix, melyhez található olyan g e Lp

függvény, hogy minden

[a, b] mellett

A (29) és (30) előállításából leolvasható, hogy amíg a G](x,i^;/l) függvénymátrix függ az alaprendszertől és a peremfeltétel-rendszertől, addig a G 2(x,^;/l) függvénymátrix csak az alaprendszertől függ.

|K u a lp < « W ,

Kf = jK (x ,í)f(f)d f,

0(K ) = Lp

a

Legyen L az előző pontokban szereplő differenciáloperátor a (7)

egyenlőséggel értelmezett operátorra K : L ^

egyenlőséggel megadott D(L) c

tos operátor.

|K f |^ < J |K f c í ) f © |p á # , a

függvénymátrix, melyre rövidség kedvéért most vezessük be a G ( x , a = G (x,^;0)

(31)

továbbá az 1. fejezet (6) és (24) képletei alapján a (33) felhaszná lásával

E pontban az Ly=f Uy = Oj

(xG [a,b])

IK ( x ,

(32)

±b

Mivel a í/ó7Jer-egyenlőtlenség szerint

megoldását. Mivel Á = 0 nem sajátértéke az L operátornak, ezért a D(L) altéren értelmezett L operátornak létezik

inverze, amiből

nyilvánvaló, hogy az Ly = f egyenletnek csak egyetlen y eD (L ) megoldása létezhet.

1 I„ < IK(x, a y f (a I, ^ ^ ^ 1 m

Így

peremérték-probléma megoldhatóságával és a megoldás előállítá sával foglalkozunk. A fenti peremérték-probléma a következő mó don is fogalmazható: Adott f G Lp mellett keressük az Ly = f egyenlet y g D(L)

Lp lineáris korlá

Bizonyítás. Az 1. fejezet (27) egyenlőtlensége alapján

Tegyük fel, hogy o. X = 0 szám nem sajátértéke az L operátor nak, akkor a 2.4 pont tétele alapján létezik G (x,^;0) Green-íélt

jelölést.

(33)

akkor a

2.5 A peremérték-probléma és a Green-féle függvénymátrix

altéren értelmezve .

típusú függvénymát

azért

I„,

430


2.5 A peremérték-probléma és a Green-féle függvénym átrix

431

ox amiből

amiből differenciálással ellenőrizhetően

1

1

X

b -\n~ ]

l K f |L ^ < m ''( f c - a ) « l í l L j |t |! ^ , n

OX

dx

ahol bevezetve a 1 i C = in^{b-a)Hgl

(36) dx

jelölést,

A (36) egyenlőségből könnyen belátható, hogy y (n-l) függvény vektor abszolút folytonos [a, b] -ben, továbbá az

egyenlőtlenséget kapjuk, melyből a lemma következik.

;c -\«-i

Tétel. Ha a A = 0 szám nem sajátértéke az L operátornak, ak kor a (32) peremérték-problémának minden f g L^[a, b\ függvény-

ŐX

egyenlőségből következik, hogy majdnem minden xG[a,b] mellett in)

vektor mellett létezik, éspedig egyetlen y e W y

megoldása, és e

X -^rir^ /

í-s

-nH-L

+

megoldás előállítható az (34)

y (x )= j G ( x , í ) f ( í ) í i í

+1

alakban. Bizonyítás. Figyelembe véve a Green-íélt függvénymátrix tu lajdonságait, nyilvánvaló, hogy a (34) egyenlőséggel értelmezett y függvényvektor (n - 2) -szer folytonosan differenciálható az [a, b] intervallumban, és

-t e Q f © d f - - —

ai"

3 / '“‘ 3” ‘G( x, x - 0) dx

n-l

(i = 0,1,2,..., n - 2)

(35)

3x” ^ _ 3^ ^G(x + 0,x)

A (35) egyenlőség i = n —\ esetén is érvényes, ui.

dx

n-2

dx

n-2

3” ^G(x, X + 0) dx

n-l

f(x ).

Mivel d’^ ^G(x, X - 0)

y®(x) =

t(x) = j - í í i í i á ) , ax"

3x” ^

3” ^G(x, X + 0) _ n -l

3x^

3”~*G (x-0,x) n-l

3x^

melynek utóbbi kifejezése a Green-féle függvénymátrix 2. tu lajdonsága alapján azonos az m x m típusú egységmátrixszal, így majdnem minden x e [a , b] mellett

IV. K iegészítés a dijferenciálegyenlet-rendszerek elm életéhez

432

433

2.6 Az L operátor inverzének vizsgálata

Következmény. Ha a X komplex szám nem sajátértéke a D(L) (37) dx

altéren értelmezett L operátornak, akkor tetszőleges f g

függ

vényvektor mellett az Mivel a (28) egyenlőtlenség alapján létezik olyan g&hp[a,b] függvény, hogy

L^y = L y - /ly = f,

Uy = 0

(39)

peremérték-problémának létezik egy és csak egy y e D(L) megol
(38)

{x,ê[a,b])

dx

dása, éspedig ha G(x,^;Á) jelenti a 2.4 pontban értelmezett Greenféle liiggvénymátrixot, akkor a (39) peremérték-probléma megoldása:

ezért a 2.5 pont lemmája alapján

(40)

/^^êLp[a,b], így a fentiekből már következik, hogy a (34) egyenlőséggel értel 2.6 Az L operátor inverzének vizsgálata

mezett y függ vény vektor Wp^ -beli. Továbbá (35), (36) és (37) alapján majdnem minden x g [a,b] mellett Ly = y‘"> + Z F .y® = f + ;=0

dx'

á í+

b

+ i=0 a

E pontban tegyük fel ismét, hogy a A = 0 szám nem sajátértéke a D(L) altéren értelmezett L operátornak. Vezessük be a

t ( í) d f = f + JLG(x, m S ) d í. ^

és mivel LG (x,^) = 0 majdnem minden x e [a , b] mellett, azért

(41) integráloperátort, ahol G{x,^) a (31) egyenlőséggel értelmezett Green-íé\e függvénymátrix. Legyen a G operátor értelmezési tartománya D(G) = L^ . A 2.5 pont tétele alapján igaz a következő

maidnem mindenütt Ly = f . Mivel az Uy peremfeltételekben az y függvény vektornak legfel jebb (n -1 ) -edik deriváltjai lépnek fel, azért a (35) és (37) képletek

1.

tétel. A D(L) ez Wp

alterén értelmezett L differenciáloperá

tor kölcsönösen egyértelmű módon képezi le a D(L) alteret az egész hp térre, így az L~^ inverz operátor létezik és

alapján

L” ^ = G ,

U y = jü G (x,m<^)d^’ Cl

ahol tehát

: L^

(42)

Wp^ olyan lineáris operátor, melyre

és mivel U G (x,^) = 0 , azért Uy = 0 , tehát a (34) egyenlőséggel értelmezett y függvényvektor kielégíti a (32) peremérték-problémát, amivel a tétel igazolást nyert.

D(U^) = L„ és R(L^) = D(L) c

.


434

Az 1.3 pont tétele alapján az egész

2.6 Az L operátor inverzének vizsgálata

,(«)

térben értelmezett L a

■p Lp -beli lineáris korlátos operátor, így a (7) egyenlőséggel megadott D(L) c

altéren értelmezett L operátor is hasonló tu

lajdonságokkal rendelkezik. így Banachnak az inverz operátor korlátosságára vonatkozó tétele alapján

Wp’^ is lineáris korlátos operátor.

Megjegyezzük, hogy ez az eredmény Banach ismert tétele nél kül is közvetlenül igazolható, azaz fennáll a következő

435

"p

amiből a tétel már következik. A fentiek folyománya a következő 3.

tétel. Ha Á nem sajátértéke a D(L) c Wp^ alterén értelme

zett L operátornak és bevezetjük a b G ^f(x)= jG (x ,f;/D f® d í, a integráloperátort, ahol a G(x,^-,Á)

2. tétel. Az

= G operátor lineáris korlátos operátor az

ű (G ^ )= L p

a 2.4 pontban értelmezett

Green-féle függvénymátrix, akkor a D{L)

hp -^W^"^-ben.

(45)

altéren értelmezett

= L - Ál operátornak létezik 17^ inverze, és

Bizonyítás. Legyen f e L p tetszőleges függvény vektor és vezes sük be rövidség kedvéért az y = G f jelölést, akkor (35) és (36) alapján

y® W =

^.^ (í = 0 ,1 ,2 ,...,n - 1 ) függvénymátrixok korlátos dx^ (sőt i < n - í esetén folytonos) függvényekből álló mátrixok, azért

max xe [a, b]

állandók, hogy p

peremérték-problémát bármely Á mellett visszavezethessük egy integrálegyenlet-rendszerre. Tegyük fel pl., hogy A = 0 nem sajátértéke az L operátornak, ekkor a 2. tétel szerint Lji = G , ahol G a (41) egyenlőséggel értel

(í = 0 , l ,2 ,...,n - l )

(43)

A (37)-böl és a (38)-ból a 2.5 pont lemmája alapján következik, hogy van olyan állandó, melyre Xn)

A fentiek szerint, ha a D(L) altéren értelmezett L operátornak nem minden Á komplex szám sajátértéke, akkor lehetőség nyílik arra, hogy az L ; j = Ly - Ay = f , Uy = 0 (47)

, (i = 0 , l , 2 , . . . , n - l ) .

Mivel

léteznek olyan

(46)

< K lf

(44)

A (43) és (44) egyenlőtlenségekre tekintettel, létezik olyan K > 0 állandó, hogy

mezett integráloperátor. Alkalmazzuk az L y - l y = f

egyenlet

mindkét oldalára a G operátort, akkor az y - AGy = h integrálegyenlet-rendszert nyerjük, ahol h = G f , vagyis h

(48) e

D(L) .

Vizsgáljuk meg a (47) peremérték-probléma és a (48) integrálegyenlet-rendszer között fennálló kapcsolatot. A (41) egyenlőséggel értelmezett G operátor G(x,^) magmátri xa folytonos az a < x < b ,

a

< b négyzetben, így az integrál

I V. Kiegészítés a dijferenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

436

egyenletek elmélete alapján az

téren értelmezett G operátornak

2.6 Az h operátor inverzének vizsgálata

437

A (49) egyenlőség mindkét oldalára alkalmazva az L operátort az

legfeljebb megszámlálható sok sajátértéke lehet, melyeknek egyet len torlódási helye a zérus szám lehet. Lem m a. Legyen //q a G operátor egy sajátértéke, és y ge egy zérustól különböző fiÂxoz tartozó sajátfüggvény vektor, akkor yo G D (L ). Bizonyítás. Mivel Gyp = // qJ q, ezért jLIq ^ 0 alapján

egyenlőséget nyerjük, ami azt jelenti, hogy — sajátértéke az L A) operátornak. Figyelembe véve a G operátor sajátértékeire fennálló - az integ rálegyenletek elméletéből jól ismert - fentebb említett eredményt, fennáll a következő 5.

amiből következik, hogy yo g R{G) - D(L) . 4.

tétel. A D(L) altéren értelmezett L operátor sajátértékei

azonosak az

téren értelmezett G operátor sajátértékeinek recip-

rokával, míg a megfelelő sajátfüggvény vektorok azonosak. Bizonyítás. Legyen

az L operátor egy tetszőleges sajátértéke

tétel. Ha a D(L) altéren értelmezett L operátorra minden

komplex szám sajátérték, akkor az L operátornak legfeljebb meg számlálható sok sajátértéke lehet, melyeknek nincs végesben fekvő torlódáspontjuk. A 2. tételben megmutattuk, hogy G : Lp

lineáris korlá

tos operátor, ami az 1. fejezet (22) egyenlőséggel értelmezett b norma alapján azt jelenti, hogy létezik olyan K állandó, hogy bár mely f G Lp mellett

(a feltevés szerint /Íq ^ 0 ), és legyen yg e ÁQ-hoz tartozó zérustól (50)

különböző sajátfüggvény vektor, vagyis Lyo = % 0 •

Mivel I Gf

< II Gf ||^(„), ezért az (50) egyenlőtlenségből

Alkalmazzuk mindkét oldalra a G operátort, akkor a

adódik, ami azt jelenti, hogy egyúttal G : L^ -> L^ lineáris korlá egyenlőséget nyerjük, ami azt jelenti, hogy - j - sajátértéke a G operátornak. Megfordítva, legyen //g tetszőleges sajátértéke a G operátornak (//o

tos operátor. Tegyük fel, hogy a / / komplex szám nem sajátértéke a G ope rátornak, ekkor az integrálegyenletek elméletéből ismeretes, hogy a G y - //y = (p

m ertG"^ létezik), és legyen y e L^ egy // q -hoz tartozó

integrálegyenlet-rendszernek bármely (pe Lp mellett létezik, éspe

zérustól különböző sajátfüggvény vektor, azaz Gyo = A)yo ’ akkor a lemma alapján y g e D (L ).

(51)

(49)

dig egyetlen y g

L^

megoldása. Igazolható, hogy amennyiben

ípG D ( L) , akkor az (51) egyenlet megoldása egyúttal D(L) -be is tartozik.

438


Amennyiben a fi szám sajátértéke a G operátornak, úgy az integrálegyenletek elméletéből jól ismert annak szükséges és ele gendő feltétele, hogy az (51) integrálegyenletnek milyen cp függ vényvektorok mellett létezik megoldása. (Természetesen a megol dás ekkor nem egyetlen.) Figyelembe véve, hogy a (48) integrálegyenlet (51) típusú, ezért bármely Á komplex szám esetén a (48) egyenletre ismeretesek a megoldás egzisztenciájának feltételei. (Még abban az esetben is, ha a X komplex szám sajátértéke az L operátornak, vagy ami ugyan

3. FEJEZET

Minimalizáló polinomvektor-sorozat konvergencia vizsgálata 3.1 Általánosított polinomvektorok Legyenek SO’ §h ■■ 8 ji •■•

az, y sajátértéke a G operátornak,) így az integrálegyenletek elméletében használt módszerek se gítségével a (48) egyenlet megoldhatósága eldönthető, és különféle közelítő eljárások segítségével az egyenlet megoldása, vagy közelí tő megoldása, előállítható. Természetesen a kapott megoldás egyút tal a (47) peremérték-probléma megoldását is adja.

adott, lineárisan független skalárfüggvények a w'-pKa.b] skalár függvénytérben. Legyen N tetszőleges nemnegatív egész szám, és legyenek C o,

tetszőleges

Cl, ...,

-beli konstans vektorok, úgy a N

q(x)= Z ^ j g j

( 1)

7=0

-beli függvényvektort N~ed fokú általánosított polinomvektornak (a továbbiakban röviden polinomvektornak) nevezzük. Ha Cyv ^ 0 vektor, akkor a q polinomvektort pontosan A^-ed fokúnak mondjuk [D50]. Legyenek az (1) polinomvektor Cj együtthatóvektorai koordi nátás alakban " c ]/ C2j ,

(j= 0 ,l,...,iV ),

akkor az (1) polinomvektor a következő alakban is írható;


440

■N

3.2 Adott peremfeltételt kielégítő polinomvektorok tere

441

Igazolható, hogy Ö/v lineáris altere a wj!'\a,b] térnek, és

ILcíjgjix) J=0

dim

N

(2)

q = I,C 2jgj{x) j=0

= ( N + í ) -m,

(4)

ui. az “0"

N

HCmjSjix) L;=o A fenti módon bevezetett polinomvektorok egyik legfontosabb esete az, amikor gj{x)^x\

0 '= 0,1,2,...). egy ség vektorok bevezetésével egyszerűen igazolható, hogy a

Ebben az esetben az (1), ill. (2) a következő alakot veszi fel:

0

N

q(jc)=

ill.

‘^r

0

7=0 N

TcijX 7=0 0

N

tc2j X- ’ J=0

(3)

függvényvektorok bázist alkotnak öyv "t*en. 3.2 Adott peremfeltételt kielégítő polinomvektorok tere

J=0 A (3)-ból látható, hogy ebben az esetben a q polinomvektor koor dinátái közönséges, legfeljebb A^-ed fokú polinomok, így a (3) alatti polinomvektort célszerű közönséges polinomvektornak nevezni. A továbbiakban -nel jelöljük a legfeljebb Tv'-ed fokú (álta

Jelentse L az előbbi fejezetekben szereplő n-edrendű lineáris diffe renciáloperátort, értelmezve a 2. fejezet (7) egyenlőségével defini ált Z)(L) értelmezési tartományon, ahol a továbbiakban mindig a V= n esetet tekintjük, azaz Ûi u = U2

lánosított) q polinomvektorok halmazát. A gj(x)

i j = 0,1,2,...) függvényekre tett feltevés alapján nyil

u„ vánvaló, hogy minden (1) alakú q(x) polinomvektor Wp'^\a,b]~ beli függvényvektor, így

amelyben vr.w i">Ê „

ÖN

6],

a 2, fejezet (1) egyenlőségével definiált lineáris operátort jelenti.


442

3.2 A dott peremfeltételt kielégítő polinomvektorok tere

443

Vezessük be az

Nyilvánvaló, hogy T uT •. \y p

Definíció. Jelentse

—7 J7

n -l

■

M y= Ugf{a)k^k + 8 j m i k k=Q

az összes olyan legfeljebb N-ed fokú

jelölést, akkor a (6)-ból a

q(x) polinomvektorok halmazát, amelyek eleget tesznek az

N

XMyCy = 0,

Uq = 0

(f = l,2 ,...,n ),

p erem feltételn ek .

Nyilvánvaló, hogy Öa'

és

Természetesen előfordulhat, hogy

lineáris altere

'^lek.

vagy részletesebben kiírva, az

csak az azonos zérus poli-

M,o M ,, M 20 M 2I

M ia^

M,jo M„j

M nN

^.1

nomvektort tartalmazza, azonban - mint a következő lemmából is kitűnik - minden elég nagy N mellett

tartalmaz zérustól kü

Lem m a. Minden N > n - \ mellett fennáll a következő egyen lőtlenség; (5)

>(N + l-n )-m .

Bizonyítás. Legyen N > n - Í

(7)

0

C/v

egyenlethez jutunk.

lönböző polinomvektorokat is.

d im

0' 0

és legyen q(x) tetszőleges (1)

alakú polinomvektor. Vizsgáljuk meg, hogy az (l)-ben szereplő Cq, q ...,

vekto

rokat hány különböző módon lehet úgy választani, hogy az Uq = 0 feltétel teljesüljön. A 2. fejezet (1) jelölése alapján az Uq = 0 feltétel ekvivalens a

A (7) egyenletrendszer a Cq, Cl

.. . ,

-beli vektorok koordinátáira nézve {N + \)m ismeretlent tar talmazó homogén lineáris algebrai egyenletrendszer. Az egyenlet rendszer mátrixa n m x{ N + \)m típusú mátrix. Ha r jelenti a (7) egyenletrendszer mátrixának rangját, úgy a (7) egyenletrendszer £'(a/+i)ot -beli lineárisan független megoldásvekto rainak száma:

(«) +

w ] = «•

{N + \)m - r .

(í = 1.2,.. ■.«)

kÔ

Figyelembe véve, hogy

egyenlőségek fennállásával, ahová q(x) (1) alatti alakját behelyet tesítve, a ’n-l Í;'U f(ű )A ,v i + 4 % ) B , t J c ; = 0 , j=0\.k=0 egyenlőségekhez jutunk.

N + \>n,

r < nm , így a (7) egyenletrendszer

úgy nyilvánvaló, hogy -beli lineárisan függet

len megoldásvektorainak száma nem kisebb az =

(6)

{N + \)m - nm számnál, amiből az (5) egyenlőtlenség már következik.


442

3.2 A dott peremfeltételt kielégítő polinomvektorok tere

443

Vezessük be az

Nyilvánvaló, hogy TJ •

u . yyp

—r E

n-\ Mi,- = E [ g f (a)A,t + | ; f (6)Bii /t-O

•

Definíció. Jelentse Q% az összes olyan legfeljebb N-tá fokú

jelölést, akkor a (6)-ból a

q(x) polinomvektorok halmazát, amelyek eleget tesznek az (í = l,2 ,...,n ),

Uq = 0 ./-O

peremfeltételnek. Nyilvánvaló, hogy ö!v

Qn és

lineáris altere Ön -nek.

vagy részletesebben kiírva, az M ia, M2 ív

Co ^.1

M„o M„j .. M nN.

C/v

'M io M ii M 20 M 21

Természetesen előfordulhat, hogy Q% csak az azonos zérus poli-

.. ..

nomvektort tartalmazza, azonban - mint a következő lemmából is kitűnik - minden elég nagy N mellett

tartalmaz zérustól kü

(7)

0

egyenlethez jutunk.

lönböző polinomvektorokat is. Lem m a. Minden N > n - \ mellett fennáll a következő egyen lőtlenség: d im ö X ^ > (A ^ + l-n )-m . Bizmyüás. Legyen N > n - \

=

0 0

(5)

és legyen q(x) tetszőleges (1)

alakú polinomvektor. Vizsgáljuk meg, hogy az (l)-ben szereplő Cq, q

vekto

rokat hány különböző módon lehet úgy választani, hogy az Uq = 0 feltétel teljesüljön. A 2. fejezet (1) jelölése alapján az Uq = 0 feltétel ekvivalens a

A (7) egyenletrendszer a Cq, Cl ..., £■„1 -beli vektorok koordinátáira nézve ( N + l)m ismeretlent tar talmazó homogén lineáris algebrai egyenletrendszer. Az egyenlet rendszer mátrixa nm x ( N + \)m típusú mátrix. Ha r jelenti a (7) egyenletrendszer mátrixának rangját, úgy a (7) egyenletrendszer £'(Ar+i)/„ -beli lineárisan független megoldásvekto rainak száma: {N + l)m - r . Figyelembe véve, hogy

egyenlőségek fennállásával, ahová q(x) (1) alatti alakját behelyet tesítve, a

-h 1 > n,

r < n m , így a (7) egyenletrendszer

úgy nyilvánvaló, hogy -beli lineárisan függet

len megoldásvektorainak száma nem kisebb az (N + l)m ~ nm

y=oU=o egyenlőségekhez jutunk.

y

számnál, amiből az (5) egyenlőtlenség már következik.


444

3.3 Minimalizáló polinomvektor-sorozat

445

'dâkkor egyúttal L

3.3 Minimalizáló polinomvektor-sorozat

= 0 , ami azt jelentené, hogy a M=\

E pontban jelentse L a 2. fejezet (7) egyenlőségével definiált D(L) értelmezési tartományon értelmezett differenciáloperátort, amelyről feltesszük, hogy a Á - 0 szám nem sajátértéke az operátornak. Legyen f e Lp[a, b] adott függvény vektor és vezessük be a kö

Öa? -beli függvényvektor kielégíti az Ly = 0 egyenletet. Mivel

vetkező jelölést: % =

inf ||f - L q |L , qeöw "

(A^ = 0,1,2,...).

ezért ^0 -

•

(8)

c: D{ L) , azért a (12) egyenlőséggel értelmezett q

függvényvektor D(L) -beli, amiből az L operátorra az e pont elején tett feltétel következtében q = 0 , de a q^, q 2, ..., q^^ függvény-

Nyilvánvaló, hogy % > 0 , és mivel Öo c: ö ? c ... c;

c : ...,

vektorok lineárisan függetlenek, azért a q = 0 egyenlőségből kö vetkezik, hogy

•

\ =

Tétel. Létezik - éspedig 1 < p < + oo mellett egyetlen - olyan e

( 12)

polinomvektor, amelyre

amiből (11) alapján pedig következik, hogy az f],

...,

függ

Mivel a (9) alatti függvényvektorok bázist alkotnak

-bán,

vényvektorok lineárisan függetlenek.

% = l|f-L q y v llL Biz.onyítás. Legyen
=0,

•

azért minden q g ö/v függvény vektor előállítható

, és legyen (9)

Qb q2»

Z4qA :

(13)

k=l

tetszőleges bázis Ön -bán. Vezessük be az íj^ = Lq^

{k = l,2,...,ú?^)

alakban, ahol ( 10)

komplex számok. Mivel (13)-ból a

(10) jelölés alapján

jelölést. f - z «

Megmutatjuk, hogy az

k=l ■N

( 11)

Lp -beli függvény vektorok lineárisan függetlenek. Ha ui. valamely Á2 ,

számok mellett majdnem minden x g [a,b] esetén d-N 1 4 4 = 0,

ahol az f], f2, ...,

függvényvektorok a fentiek szerint lineá

risan függetlenek, azért az igazolandó tétel ekvivalens olyan Aj, A2 , 4 /^ komplex számok létezésének igazolásával, ame lyek mellett az

!

k=[

k=l

446


kifejezés minimális értéket vesz fel. Az approximáció elmélet is mert tétele alapján [KI] ilyen Ári, k o m p l e x számok léteznek és \ < p < +°o mellett - amikor is az

Tétel. Tegyük fel, hogy Q

447

mindenütt síírün fekszik D(L) -ben,

azaz bármely y e Ö(L) függvényvektorhoz található olyan (y^^),

tér ún. szigorúan

normált tér - e számok egyértelmű módon vannak meghatározva, amivel a tétel igazolást nyert. Definíció. Legyen qyy(x) olyan <2^ -beli polinomvektor, melyre ||f - L q ||^ ,

3.4 A minimalizáló polimnnvektor-sorozat konvergenciája

q(x) G

{N

=

0 , 1 , 2 , . . . )

( f* -beli polinomvektor-sorozat, melyre y -y y v

(«) ^ 0 .

(A norma (21), (22), (23) normák közül bármelyik lehet). Jelentse y* az Ly = f egyenlet D(L) -beli megoldását és le gyen (q^v) (yV = 0,1,2,...) a 3.3 pontban értelmezett minimalizáló

kifejezés minimális értéket vesz fel, azaz (14)

f-L q ^

(ö^^-beli) polinomvektor-sorozat, akkor 0, ha N —^ oo.

akkor a ( q ^ ) polinomvektor-sorozatot minimalizáló polinomvektor-sorozatnak nevezzük ( iV = 0,1,...).

Bizonyítás. Vezessük be a ^ N= inf J |y * - < 1,w. in)

3.4 A minimalizáló polinomvektor-sorozat konvergenciája Legyen (q^) a 3.3 pontban értelmezett minimalizáló polinomvek tor-sorozat. E pontban megvizsgáljuk azt, hogy milyen esetben konvergens a (qyy) pohnomvektor-sorozat, továbbá, hogy mi lesz a polinom vektor-sorozat határfüggvényének vektora. Feltesszük, hogy a D(L) értelmezési tartományon értelmezett L operátornak Á = 0

jelölést és vessük fel azt a problémát, hogy létezik-e olyan polinomvektor, amelyre a yvp

kifejezés minimális értéket vesz fel, más szavakkal, létezik-e olyan * 0 ^.N s Qn polinomvektor, melyre

szám nem sajátértéke. A bizonyítandó tétel megfogalmazása érdekében vezessük be a 0"^= ÜöX' NÔ

(«) •

torok halmazát, amelyek eleget tesznek az Uq = 0 feltételnek.

könnyen látható, hogy Q

c

és egyúttal

(16)

A 3.3 ponthoz hasonlóan legyen df^ - dimgyv >és legyen qb

jelölést, azaz Q jelenti az összes lehetséges olyan q polinomvek-

Nyilvánvaló, hogy

-beli

ez D (L ), továbbá

lineáris (de nem zárt) altere D(L) -nek.

tetszőleges bázis előállítható

-bán, akkor bármely q e Ö /v polinomvektor í/;V q= H M k k=\

448_________ IV. Kiegészítés a dijferenciálegyenlet-rendszerek elméletéhez

3.4 /4 minimalizáló polinomvektor-sorozat konvergenciája

alakban, így a fenti probléma ekvivalens olyan Af,

amiből Ly* = f figyelembevételével

...,

l|y*-
komplex számok meghatározásával, amelyekre a

449

,

azaz (14) alapján ||y * - q ^

(II)

k=i

kifejezés minimális értéket vesz fel. A 3.3. pontban említett appro ximációs tétel alapján ilyen komplex számok léteznek. Igazolható, hogy l < p <00 mellett

Mivel qyv G

^

(19)

•

, azért Sj^ (8) alatti definíciója szerint % - f-L q'yv

tér normált tér, így

1 < p < 00 mellett e komplex számok egyértelmű módon vannak

Mivel az 1. fejezet 1.3 pont tétele alapján az egész Wp

meghatározva. Ezeket figyelembe véve létezik - éspedig 1< p <00

értelmezett

mellett egyetlen - olyan

g

polinomvektor, amelyre a (16)

egyenlőség fennáll.

lineáris korlátos operátor, azért létezik olyan Ki állandó, hogy

Figyelembe véve, hogy a feltevés szerint D(L) -ben, nyilvánvaló, hogy

mindenütt sűrű

IlLylIr ^ ^ i l | y

0,ha N

A 2. fejezet 2.6 pont 2. tétele alapján belátható, hogy létezik olyan K > 0 állandó, amely mellett bármely y g D(L) függvény vektorra

minden y(x) e S m

-1 Valóban, az L operátorra tett feltevés alapján L létezik, és a 2. fejezet 2.6 pont 2 . tétele szerint L"^:

->

lineáris korlátos

< f -L q ^

L y * -L q ^ T Lp

“ IITII^

(18)

Sn < Kiöf^,

I y * ~^N

II y * -
,

( 20)

—>0 alapján a tétel következik.

1. megjegyzés. Figyelembe véve az 1. fejezet (23) egyenlőség gel értelmezett c normát, úgy a bizonyított 3.4 pont tétele szerint

függvényvektorra, így az y = L-1.9 jelölés beveze

tésével (18)-ból a (17) egyenlőtlenség azonnal következik. Mivel \y *-qyv]e /) ( L ) , ezért (17) alapján

(n) ’

így (19)-böl

amiből ^(n)

- ^ 1

azaz (16) alapján

operátor, továbbá R(l7^) = D(L) , így létezik olyan K > 0 állandó, hogy

(«)

mellett, így

(17)

minden (pe

térben

w,(«) amiből következik, hogy qyv -> y

450


egyenletesen [ű, ö] - ben, továbbá

3.4 A minimalizáló polinomvektor-sorozat konvergenciája

lőséggel értelmezett q^y függvényvektorra fennáll a (20) egyenlőt lenség, ami azt jelenti, hogy a q^y polinomvektor

dx

Ly = f,

2. megjegyzés. A bizonyított tétel feltételezi, hogy

minde

nütt sürü D(L)-ben. Nyilvánvaló, hogy a feltétel teljesülése a 3.1 pontban értelmezett g], gj, ■■■, gj,

( j = 0,1,2,...), ligy

Weierstrass approximációs tételéhez hasonlóan igazolható, hogy mindenütt sűrű Z)(L) -ben. 3. megjegyzés. A 3.4 pont tétele lehetőséget nyújt arra, hogy az Ly=f,

Uy = 0

peremérték-probléma közelítő megoldásvektorát előállíthassuk. Ez különösen egyszerű p = 2 mellett, ui. a (q^v) (A^ = 0,1, ...) mini malizáló polinomvektor-sorozatot keressük qyv =

(21) k=\

alakban, ahol qj, q 2, ..., q^^ tetszőleges bázis

l lf - L q A - Í l , = II f I I I - ( f . L q - v ) -

ami a

-

/t=l

k=l

f ) + II

k= lj^\

Uy = 0

peremérték-probléma y * megoldását, ahol az approximáció mér téke nyilvánvalóan a (<5'^) sorozat zérushoz való tartásától függ. A fenti közelítő eljárás gyakorlati alkalmazásához célszerű megvizsgálni a {ő^) sorozat zérushoz tartásának gyorsaságát, ami

függvényektől függ.

Abban a speciális esetben, amikor g j = x \

= l|fH L

normában

approximálja az

dx

egyenletesen az [a,b\ -ben.

^

451

-bán, akkor t, =

(2 2 )

változókban egy kvadratikus függvény, így

egyszerű szélsőérték számítással meghatározható, hogy a (22) kife jezés milyen értékek mellett veszi fel minimális ér tékét. Az ilyen módon számított Xj^ állandók mellett a (21) egyen

adott ^], g 2, ■■■, gj, ... függvények mellett elvégezhető.

IRODALOMJEGYZEK Könyvek [KI] [K2] [K3] [K4] [K5] [K6] [K7] [K8] [K9] [KIO]

[K ll] [K12] [KI 3] [K I4] [K I5] [K I6] [K17] [K 18] [K 19] [K20]

Ahijezer, N. L: Előadások az approximáció elméletéről. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1951 Ahijezer, N. I. - Glazman, /. M.: Teorija linyejnüh operatorov v Hilbertovom prosztransztve. I. „NAUKA” G. R. F. M. L. Moszkva, 1966 Aitken, A. C.: Determinants and Matrices. London, 1948 Alekszxindrov, P. Sz.: Bevezetés a halmazok és függvények általá nos elméletébe. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1952 Angyelity, T. P.: Matrice. Naucsna Knyiga, Beograd, 1962 Beauniont, R. A. - Ball, R. W.: Introduction to modern Algebra and Mátrix Theory. New York, 1954 Beke Manó: Determinánsok. Athenaeum Kiadó, Budapest, 1915 Bel Imán, R.: Stability Theory of Differential Equations. New York, 1954 Bellman, R.: Introduction to Mátrix Analysis. M cG raw -H ill, New York, 1963 Berezanszkij, Ju. M.: Razlozsenyije po szobsztvennüm funkcijam szamoszoprjazsennüh operatorov. Izd. „Naukova dumka”, Kijev, 1965 Bourbaki, N.: Topologicseszkije vektornüje prosztransztva. IL. 1959 Biick, R. C.: Studies in modern analysis. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New York, 1962 Burkill, J. C.: The Lebesgue integrál. Cambridge, New York, 1951 Collatz, L.: Eigenwertaufgaben mit technischen Anwendungen. Akademischen Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1949 Collatz, L : Funktionalanalysis und numerische mathematik. Springer-Verlag, Berlin-Göttingen-Heidelberg, 1964 Cooke, R. G.: Infinite Matrices and Sequence Spaces. London, 1950 Császár Ákos: Valós analízis. I-II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1983 Czách László: Lineáris operátorok elmélete. Tanfolyami jegyzet Day, M. M.: Linyejnüje normirovannüje prosztransztva. IL., 1961 Demulovics, B. P.: Lekcii po matematicseszkoj teorii usztojcsivoszti. „Nauka”, Moszkva, 1967

454

Mátrixok és differenciálegyenlet-rendszerek Dieudonné, J.: Foundations of Modern Analysis. Academic Press. New York, 1960 Diinford, N. - Schwarz, J. T.: Linyejnüe operatorü. Obscsaja teorija, IL. 1963 Edwards, R. E:. Functional Analysis. Theory and Applications. Holt, Rinehart and Winston, New York, ..., London, 1965 Enigin, N. P.: Linyejnüje szisztyemii obükvovennüh differencialnüh uravnyenyij. IÁN BSZSZR, 1963 Fagyajev, D. K. - Fagyajeva, V. N.: Numerische M ethoden dér linearen Algebra. VEB Deutscher Verlag dér W issenschaften, Ber lin, 1965,1966 Fax, L.: Numerical Methods in Linear Algebra. Pergamen, Oxford, 1964 Freud Róbert: Lineáris algebra. ELTE Eötvös Kiadó, 2. javított kiadás. Budapest, 1998 Éried Ervin: Klasszikus és lineáris algebra. Tankönyvkiadó, 2. ki adás. Budapest, 1979 Galántai Aurél: Alkalmazott lineáris algebra. Miskolci Egyetemi Kiadó, Miskolc, 1996 Gantmacher, F. R.: Matrizenrechnung. I. és II. kötet. VEB Deutscher Verlag dér Wissenschaften, Berlin, 1965, 1966 Gáspár Gyula: Mátrixszámítás. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1963 Gelfand, í. M.: Előadások a lineáris algebrából. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1955 Glazman, /. M. - Ljubics, Ju. L: Konyecsnomernüj linyejnüj analiz. „Nauka” , Moszkva, 1969 Gohberg, I. C. - Krejn, M. G.: Vvegyenyije v teoriju linyejnüh neszanioszoprjazsennüh operatorov v hilbertovom prosztransztve. „Nauka”, 1965 Gohberg, /. C. - Krejn, M. G.: Teorija voljteiTovü operatorov v hilbertovom prosztransztve i eé prilozsenija. „Nauka”, 1967 Grijfiths, FI. B. - Hilton, P. J.: A Comprehensive Textbook of Classical Mathematics A Contemporary Interpretation. SpringerVerlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1978 Hadley, G.: Linear Algebra. Addison-W esley, London, 1961 Hajnal András - Hamburger Péter: Halmazelmélet. Tankönyvki adó, Budapest, 1983 Halmos, P. R.: Finite-Dimensional Vector Spaces. 2. kiadás. Van Nostrand, Princeton, N. J., 1958 Halmos, P. R.: Introduction to Hilbert space and the theory o f spectral multiplicity. Chelsea, 1951

Irodalomjegyzék [K41 [K42 [K43 [K44 [K45 [K46 [K47 [K48 [K49 [K50 [K51 [K52 [K53 [K54 [K55

[K56 [K57 [K58 [K59 [K60 [K61

[K62

455

Halmos, P. R.: Measure Theory. Van Nostrand, Princeton, N. J., 1950 Hardy Zs. - Dr. Sólyom M.: Út a modern algebrához. Tankönyvki adó, Budapest, 1972 Householder, A. S.: The Theory of Matrices in Numerical Ana lysis, Blaisdell, New York, 1964 Ince, E. L.: Ordinary Differential Equations. Dover Publications, New York, 1944 Kantorovics, L. V. - Akilov, G. P.: Funkcionalnüj analiz v normirovannüh prosztransztvah. Fizmatgiz, Moszkva, 1959 Kantorovics, L. K. - Krilov, V. I.: A felsőbb analízis közelítő mód szerei. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1953 Kelley, J. L.: General Topology. Van Nostrand, Princeton, N. J., 1955 Kelley, J. L : Introduction to Modern Algebra. Van Nostrand, Princeton, N. J., 1960 Kolmogorojf', A. N. - Fomin, S. V.: Elements o f the Theory of Functions and Functional Analysis. Graylock, New York, 1957 Krejn, Sz. G.: Linyejnüe differencialnüe uravnyenyija v banachovom prosztransztve. „Nauka”, Moszkva, 1967 Krekó Béla: Lineáris algebra. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest, 1976 Kurepa, Gy.: Teorija skupova. Zagreb, 1951 Kuros, A. G.: Felsőbb algebra. Tankönyvkiadó, Budapest, 1967 Lancaster, P.: Theory of Matrices. Academic Press, New York, 1969 Lappo-Danilevszkij, 1. A.: Teorija funkcij ot matric i szisztyemii linyejnüh differencialjnüh uravnyenyij. ÖNTI. G. T.T.I. Leningrád-M oszkva, 1934 Lovass-Nagy Viktor: Mátrixszámítás. Tankönyvkiadó, Budapest, 1966 Lefschetz, S.: Introduction to Topology. Princeton University Press, Princeton, N. J., 1949 Luxenburg, W. / i . B a n a c h function spaces. Delft, 1955 Mac Dujfee, C. C.: The Theory of Matrices. Chelsea Publishing Co., New York, 1946 Mathematics at a Glancé. A Compendium. VEB Bibliographisches Institut Leipzig, 1975 Mikiin, Sz. G.: Integrálegyenletek és alkalmazásuk a mechanika, a matematikai fizika és a technika egyes problémáira. Akadémiai K i adó, Budapest, 1953 Natanszon, I. P.: Konstruktív függvénytan. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1952

456


Neumann János: Matematische Grundlagen dér Quantenmechanik. J. Springer, Berlin, 1932 [K64J Neumann János: Functional operators. Princeton, 1950 [K65] Neumann, J. von - Morgenstern, O.: Theory of games and economic behavior. Princeton Univ. Press, 1953 Najmark, M. A..- Linyejnüe differencialnüje operatorü. I. „NAUKA” G. R. F.-M. L. Moszkva, 1969 Noble, B.: Applied Linear Algebra. Prentice Hall, Englewood Clifft, 1969 Obádovics J. Gyula: Matematika. 17. kiadás. Scolar Kiadó, Buda pest, 2002 Obádovics J. Gyula: Gyakorlati számítási eljárások. Gondolat Kiadó, Budapest, 1972 Obádovics J. Gyula: Numerikus módszerek és programozásuk. 2. kiadás. Tankönyvkiadó, Budapest, 1977 Obádovics J. Gyula - Szarka Zoltán: Felsőbb matematika. Scolar Kiadó, Budapest, 1999 Obádovics J. Gyula: Lineáris algebra példákkal. Scolar Kiadó, Budapest, 2001 Obádovics J. Gyula: Taschenbuch dér Elementar Mathematik, II. Auflag. Akadémiai Kiadó, Budapest, B. G. Teubner V. Leipzig, 1964 Ostrowski, A. M.: Solution of Equations and Systems of Equations. Academic Press, New York, 1960 Petrovszkij, /. G.: Előadások a közönséges differenciálegyenletek elméletéről. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1951 Petrovszkij, f. G.: Lékeii po teorii integralnüh uravnyenyij. Gosztehizdat, 2. K. 1951 Pleszner, A. /.; Szpektralnaja teorija linyeinüh operatorov. „Nauka”, 1965 Ralston, A. - Wilf, H. S.: Mathematical Methods fór Digital Computers. I-II. kötet. John Wiley & Sons, Inc., New York, Lon don, Sydney, 1967, 1968 Rao, C. R. - Mitra, S. K.: Generalized In verse of Matrices and its Applications. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1971 Rédei L : Algebra. Akadémiai Kiadó, 1954 Reuter, G. E. H.: An Introduction to Differential Equations, and Linear Operators. Roudedge and Kegan Paul, London, 1958 Riesz Frigyes - Szőkefalvi-Nagy Béla: Lekcii po funkcionalnomu analizu. IL., 1954 Rózsa Pál: Lineáris algebra és alkalmazásai. 2. kiadás. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1976

/ rodalomjegyzék

457

[K84] Rubljov, A. N.: Linyejnaja algebra. Izdatyeljsztvo ”Vüszsaja skola”, Moszkva, 1968 [K85] Rudin, W.: A matematikai analízis alapjai. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1978 [K86] Rutishauser, H.: Solution of Eigenvalue Problems with the LR Transformation. NBS Appl. Math. Series, No. 49, 1958 [K87] Saaty, T. L : Lectures on Modern Mathematics. Vols I, II, III, Wiley, New York, 1963, 1964, 1966 [K88] Samanszkij, V. E.: Metodü csiszlennovo resenyija krajevüh zadacs naEC V M . I-II. Kijev, 1963, 1966 [K89| Schmeidler, W.: Lineare Operatorén im Hilbertschen Raum. 1954 [K90] Silov, G. E.: Vvegyenyije v teoriju linyejnüh prosztransztv. 2. izd. Gosztehizdat, 1956 [K91] Stone, M. H.: Linear transformations in Hilbert spaces. New York, 1932 [K92] Szoboljev, Sz. L.: Nyekotorüje primenyenyija funkcionáljnovo analiza v matematicseszkoj fizike. Novoszibirszk, 1962 [K93] Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok. 5. ki adás. Tankönyvkiadó, Budapest, 1975 [K94] Sz.tyepanov, V. V..- A differenciálegyenletek tankönyve. Tankönyvkiadó, Budapest, 1952 [K95] Taylor, A. E.: Introduction to functional analysis. New York, 1958 [K96] Varga, R. S.: Mátrix Iterative Analysis. Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1962 [K97] Veress Pál: Valós függvények. Budapest, 1934 [K98] Wilkinson, J. H.: Rounding Errors in Algebraic Processes, Notes on Applied Science No. 32. Her M ajesty’s Stationery Office, Lon don; Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1963 [K99] Wilkinson, J. H.: The Algebraic Eigenvalue Problem. Oxford University Press, London, 1965 [KlOO] Wilkinson, J. H. - Reinsch, C.: Linear Algebra. Springer, Berlin, 1971 [KlOl] Vulih, B. Z.: Vvegyenije v funkcionalnüj analiz, „Nauka” , M oszk va, 1967 [K102] Zunnühl, R.: Matrizen und ihre technischen Anwendungen. Sprin ger Verlag, Berlin-H eidelberg-N ew York, 1964 [KI 03] Yosida, K.: Functional Analysis. Springer V. Berlin-GöttingenHeidelberg, 1965 [K I04] Ki volt igazából Neumann János. Társszerzőkkel. Obádovics J. Gyula: 1. fejezet; Az első számítógép alkalmazásával megjelenő numerikus problémák. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2003

Mátrixok és dijf'erenciálegyenlet-rendszerek

458

Dolgozatok [D l]

[D2]

[D3]

Agmon, S. - Nirenberg, L : Properties of solutions of ordinary differentia! equations in Banach space. Commun. Pure Appl. Math. ! 6. 2 (1963) 121-239. oldal Bajcsay, P.: Anwendung dér Matrizenrechniing zűr Lösung gewöhnlicher, linearer Differentialgleichungssysteme mit variablen Koeffizienten. Periodica Polytechnica, Vol. 3. No. 3. (1959) 2 17231. oldal Bajcsay, P.: Anwendung dér Matrizenrechnung zűr Untersuchung von Systemen allgemeiner, expliziter, gewöhnlicher Differentialgleichungen 77-ter Ordnung. Periodica Polytechnica, Vol. 4. No. 1. (1960) 63-83. oldal

Benedek, A. - Panzone, R.: The spaces L!’ with mixed norm. Duke Math. J. 28 No. 3(1961) [D5] Bickley, W. G. - McNamee, J.: Mátrix and Other Direct Methods fór the Solution of Systems of Linear Difference Equations. Phil. Tran. of the R. S., London 252 A (1959-60) 69-130. oldal [D6] Birkhojf', G. D. - Langer, R. E.: The Boundary Problems and Developments Associated with a System of Ordinary Linear Differential Equations of the First Order. Precedings Americ. Acad. 58. No. 2. (1923) 51-128. oldal [D7] Bliss, G. A.: A Boundary Value Problem fór a System of Ordinary Linear Differential Equations of the First Order. Transaction of the Americ. Math. Soc. Vol. 28. (1926) 561-584. oldal [D8] Bliss, G. A..- Definitely Self-Adjoint Boundary Problems. Trans action of the Amer. Math. Soc. Vol. 44. (1938) 413-428. oldal [D9] Bőcher, M.: Aplications and Generalizations of the Conception of Adjoint Systems. Transaction of the Americ. Math. Soc. Vol. 14. (1 9 1 3 )4 0 3 ^ 2 0 . oldal [DIO] Bounitzky, M. E.: Sur la fonction de Green des équations differentielles lineaires ordinaires. Journal de Math. (6), 5 (1909) 6 5 125. oldal [ Dl l ] Cannan, M. C.: The Expansion Problem fór a Certain System of Ordinary Linear Second Order Differential Equations. Americ. Journal Math. 48. (1926) 169-182. oldal [D12] Day, M.: The spaces Lp with 0< p < i . Bull. Amer. Math. Soc. | D4]

46 (1940)

Irodalomjegyzék

459

[D l3] Egerváiry J.: Mátrix-függvények kanonikus előállításáról és annak néhány alkalmazásáról. MTA III. Osztályának közleményei 3 (1953)417-458. oldal [D l4] Egervár}’ J.: Über eine konstruktive Methode zűr Reduktion einer Mátrix auf Jordansche Normalform. Acta M athematica Academiae Scientiarium Hungaricae 10 (1959) 31-54. oldal [D l5] Forsythe, G. E. - Straus, E. G.: On Best Conditioned Matrices. Proc. Amer. Math. Soc., 6 (1955) 340-345. oldal [D l6] Francis, J. G. F.: The QR Transformation - a Unitary Analogue to the LR Transformation. Parts 1 and 2, Comp. Journal, 4 (1961/62) 265-271. and 332-345. oldal [D l7] Frey Tamás - Obádovics J. Gyula: Differenciálegyenlet-rendsze rekkel kapcsolatos sajátértékproblémák néhány elvi kérdéséről. MTA Számítástechnikai Központ Tájékoztató, 8. kötet (1962) 89124. oldal [D l8] Frey Tamás - Obádovics J. Gyula: O nyeszkolkih principialynüh voproszah zadacs 0 szobsztvennüh znacsenyijah otnoszityelno szisztyem differenciálnüh uravnyenyij. Acta Mathematica Academiae Scientiarium Hungaricae. 1964. 1-2. füzet, 1-28. oldal [D l9] Frobenius, G.: Über unitáre Matrizen. Sitzungsber. Kön. Preuss. Akad. Wiss. XVI (1911) 373-378. oldal [D20] Geljfand, I. M.: Abstrakte Funktionen und lineare Operatorén. Mateni. Szb. 44 (6) No. 2 (1938) [D21] Giesbrecht, M.: Fást Algorithms fór Rational Forms of Integer Matrices. In Proc. ISSAC’94, 305-311. oldal [D22] Gil, L: Computation of the Jordán canonical form of a square mátrix (using the Axiom programing language). In Proc. ISSAC’92, 138-145. oldal, Berkeley, USA, 1992 [D23] Goldstine, H. Fi. - Murray, F. J. - Neumann, J. von: The Jacobi Method fór Reál Symmetric Matrices. J. Assoc. Comp. Mach. Vol. 6 (1959)59-96. oldal [D24] H aar A..- Zűr Theorie dér orthogonalen Funktionensysteme. Math. Ann. 69(1910) [D25] Hille, E.: A note on Cauchy ’s problem. Ann. Soc. Polon. Math. 25 (1952)56-68. oldal [D26] Hille, E.: Probléme de Cauchy: existence et unicité de solutions. Bull. Math. R .P . R. 1 ,2 (1957) 141-143. oldal [D27] Jackson, D.: On the convergence of certain trigonometric and polynomial approximations. Transaction of the A mer. Math. Soc. Vol. 22. (1921) 158-166. oldal

460 [D28]

[D29] [D30]

[D 31j [D32] [D33]

[D34]

[D35] [D36]

[D37]

[D38]

[D39J

[D40]

[D41] [D42] [D43]

M átrixok és cUff'erenciálegyenlet-rendszerek Kaltofen, E. - Krishnainoorthy, M. S. - Saunders, B. D.: Parallel algorithms fór mátrix normál forms. Linear Algebra and its Appli cations 136, 189-208. oldal, 1990 Kantorovics, L. V.: Ob integrálnüh operatorah. UMN 7 vüp. 2 (1956) Karpelevics, F. L: O harakteriszticseszkih kornyah matricü nyeotricatelynümi elementami. Izv. AN SzSzSzR szer. Mát. 15. (1951) 361-383. oldal Kató, T.: On linear differential equations in Banach spaces. Comm. Pure Appl. Math. 9, 3 (1956) 479-486. oldal Kizynski, J.: Sur les opérateurs de Green des probléms de Cauchy abstraitss. StudiaM ath, XXIIl (1964) 285-328. oldal Langer, R. E.: The Boundary Problem of an Ordinary Linear Differential System in the Complex Domain. Transaetion of the Amer. Math. Soc. Vol. 46. (1939) 151-190. oldal Lehmer, D. H.: A Machine Method fór Solving Polynomial Equations. Journal of the Association fór Computing Machinery, 8 (1961) 151-162. oldal Ljuhics, Ju. L: Ob operatornüh normah matric. UMN XVIII. Vüp. 4 (1963) 161-164. oldal Lax, P. D.: Differential Equations, Difference Equations and Mátrix Theory. Communs. Pure Appl. Math, Vol. 11 (1958) 175194. oldal Luxenburg, W. A. J. - Zaanen, A. C.: Notes on Banach function spaces, I-IV . Proc. Nederl. Akad. Wetensch. Ser. A -66 No. 2, 3 (1963) Makai, E.: A Class of Systems of Differential Equations and its Treatment with Mátrix Methode. L, II. Publ. Mát. Debrecen 3. (1957), 5-37 0 . 5 (1958) McEwen, W. H.: Problems of Closest Approximation Connected with the Solution of Linear Differential Equations. Transaetion of the Americ. Math. Soc. Vol. 33. (1931) 979-997. oldal Neumann, J. von: Zűr algebra dér Funktionaloperationen und dér Theorie dér normalen Operatorén. Math. Ann. 102 (1929) 3 70427. oldal Neumann, J. von: Über Funktionen von Funktionaloperatoren. Math. Ann. 32 (1931) 191-226. oldal Neumann, J. von: Allgemeine eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren. Math. Ann. 102 (1929-1930) 49-131. oldal Neumann, J. von: Somé mátrix inequalities and metrization of mátrix space. Izv. In-ta mát. i méh. Tomck.un-ta 1 (1937) 2 86300. oldal

Irodalomjegyzék [D44]

[D45]

[D46]

[D47]

[D48]

[D49]

461

Neumann, J. von - Goldstine, H.: The Numerical Inverting of Matrices of High Order. Bull. Amer. Math. Soc., vol. 53 (1947) 1021-1099. oldal Obádovics J. Gyula: Eigenvalue problems of differential equation systems and the computation of eigenvalues with the use of electronic digital computing machines. N.-ipari Műszaki Egyetem Közi. XXIIL 1964. Obádovics J. Gyula: Die numerische Lösung mit einem Differentialgleichungssystem verbundener Randwertprobleme mit dem programmgesteuerten Ziffernrechenautomaten. W issenschaftliche Zeitschrift dér Technischen Hochschule Magdeburg, 9. 1965. Heft 4 . 401-407. oldal Obádovics J. Gyula: Isszledovanyije nailucsseva priblizsenyija k resenyiju krajevüh zadacs dija szisztyem obüknovennüh linyejnüh differenciálnüh uravnyenyij n-ovo porjadka. Matematikai Világ Kongresszus, Moszkva, 1966. Teziszü 6. 41. oldal Obádovics J. Gyula: Isszledovanyije nailucsseva priblizsenyija k resenyiju krajevüh zadacs dija szisztyem obüknovennüh linyejnüh differenciálnüh uravnyenyij v prosztransztve L^,[a,b], NME Idegennyelvű Közleményei. XXXI. kötet. 1970. 373-379. oldal Obádovics J. Gyula: Opregyelenyije i isszledovanyije prosztransztva vektorfunkcii sz odnoj peremennoj W p \a ,b \. NME Idegen

nyelvű Közleményei. XXXI. kötet. 1970. 381-395. oldal Obádovics J. Gyula: Priblizsenyije polinomialnümi vektorami k resenyiju ki'ajevoj zadacsi szisztyemü differenciálnüh uravnyenyij. Annales Universitatis Scientiarum Budapestinensis de Rolando Eötvös nominatae, separatum Sectio Computatorica, Tomus, 1. 1978. 99-107. oldal [D51] Obádovics J. Gyula: Differenciálegyenlet-rendszerrel kapcsolatos Cauchy-félt probléma Lp[a,b] -beli együtthatófüggvényekkel. [D50J

NME Közleményei IV. sorozat. Természettudományok, 22/1976 kötet, 1-3. füzet, 15-37. oldal. [D52] Ortega, J. M.: An Error Analysis of Householder’s method fór the Symmetric Eigenvalue Problem. Numer. Math. 5 (1963) 211-225. oldal [D53] Ozello, P.: Calcul Exact Des Formes De Jordán et de Frobenius d ’un Matrice. PhD thesis, Université Scientifique Technologique et Medicale de Grenoble, 1987 [D54] Parlett, B. N.: The Development and Use of Methods of LR Type. SIAM Review, 6 (3) (1964) 275-295. oldal

462


Pariéit, B. N.: Convergence of the QR Algorithm. Numer. Math. 7 (1965) 187-193. oldal [D56] Perov, A. /.; O mnogomernüh linyejnüh differencialnüh uravnyenyijah c posztojannümi koefficientami. DÁN SzSzSzR 154 (1964) 1266-1269. oldal [D57] Pustüljnyik, E. L: Ob odnom predsztavlenyii linyejnüh vpolne nyeprerüvnüh operatorov, gyejsztvujuscsih v prosztransztvah Banaha. Izv. viizov, szer. Matem. No. 2 (15) (1960) [D58] Pustüljnyik, E. L: Ob integralnüh operatorah, gyejsztvujuscsih v prosztransztvah Lp . DÁN SzSzSzR 146 No. 6 (1962)

[D55]

[D59] Pustüljnyik, E. L: O szhodimoszti rjadov po szobsztvennüm funkcijam vpolnye nyeprerüvnovo operatora v banahovüh pro sztransztvah. SzMZs 4 No. 3 (1963) [D60] Reid, T.: Properties of Solutions of an Infinite System of Ordinary Linear Differential Equations of the First Order with Auxiliary Boundary Conditions. Transaction of the Americ. Math. Soc. Vol. 32. (1930) 284-318. oldal [D61] Reid, IV. T.: Generalized G reen’s Matrices fór Compatible Systems of Differential Equations. Meric. Journal Math. 53 (1931) 4 4 3 459. oldal [D62] Reid, \y. T.: A System of Ordinary Linear Differential Equations with Tw o-point Boundary Conditions. Transaction of the Americ. Math. Soc. Vol. 44. (1938) 508-521. oldal [D63] Riesz, F.: O linyejnüh funkcionalnüh uravnyenyijah. UMN 1 (1936) 175-199. oldal [064] Riesz, F.: O funkcija ermitovüh operatorov v prosztransztve HUberta. UMN IX (1941) 182-190. oldal [D65] Samanszkij, V. E.: Resenyije obobscsennoj krajevoj zadacsi dija szisztyemü obüknovennüh differencialnüh uravnyenyij sz iszpolzovanyiem zadacs Cauchy. UMZs t. XV. No. 1. (1963) [D66] Storjohann, A. - Villard, G.: Algorithms fór similarity transforms. In Seventh Rhine Workshop on Computer Algebra, Bregenz, 2000 [D67] Schur, A..- Zűr Entwicklung willkürlicher Functionen nach Lösungen von Systemen linearer Differentialgleichungen. Math. Annáién 82 (1921) 213-236. oldal [D68] Tarnarkin, J. D.: On the compactness of the space . Bull. Amer. Math. Soc. 38 (1932) [D69] Traub, J. F.: On Lagrange-Hermite Interpolation. J. Soc. Indust. Appl. Math. 12 (1964) 886-891. oldal [D70] Turing, A. M.: Rounding-Off Errors in Mátrix Procsses. Quart. J. Mech. 1 (1948)287-308. oldal

Irodalomjegyzék

463

Whyburn, W. M.: On the Green’s Funktion fór Systems of Differential Equations. Annals of Math. (2) 28 (1927) 291-300. oldal [D72] Wilkinson, J. H .: Error Analysis of Direct M ethods of Mátrix In version. J. Áss. Comp. Mach. 8 (1961) 281-330. oldal [D73] Wilkinson, J. H.: The Calculation of the Eigenvectors of Codiagonal Matrices. Comput, J. 1 (1958) 148-152. oldal [D74] Zahrejko, P. P.: O nyekotornüh szvojsztvah linyejnüh operatorov, gyejsztvujuscsih v prosztransztvah . DÁN SzSzSSzR 159 No. 5 [D71]

(1964)

NÉV- ÉS TÁRGYMUTATÓ A, Á abszolút - egyenletesen kon vergens, 93 - folytonos függ vényvektor, 365 - konvergens sor, 139 additív operátor, 164, 169 adjungált mátrix, 35 - operátor, 197 --m a g te re , 199 alaphalmaz, 17 alappolinom, 96, 263. 264,291 - együtthatója, 291 alaprendszer, 400 - diagonálmátrixa, 253, 256, 260, 262, 268 aldetermináns, 33 - , előjelhelyes, 33 algebrai invariáns, 168 - struktúra, 168 állandó együtthatójú - differenciálegyenlet-rendszerek, 245 - - mátrixa, 245 - harmadrendű homogén lineáris differenciál egyenlet-rendszer, 245,246 - lineáris differenciálegyenlet-rendszerek, 248

-

megoldásvek tora, 327 alsó háromszögmátrix, 26 általános - megoldás, 250, 292 “ megoldásfüggvé nyek, 256, 262 - megoldás függ vényvektora, 253, 256,262,265 - peremértékprobléma megoldása, 415 általánosított polinomvektor, 439 altér, 62, 114, 116, 396 - dimenziója, 62, 115 - , invariáns, 187 -nullelem e, 115 -, ortogonális kiegé szítő, 154 valódi, triviális, 52 alterek, 153 - dimenzióinak összege, 155 - direkt összege, 116 annuliáló polinom, 92 approximáció mértéke, 451 aszimptotikusan stabil, 251 asszociatív, 17 átmenet mátrixa, 83, 327 automorfizmus, 168, 169

B

Bajcsay P., 358 Banach-iér, 118, 120, 121, 136, 363, 365 -, komplex, 137 Banach-lélú, 434 Banach-Cacciopolitétel, 127 Banachiewicz Th., 69 bázis, 56 -, kanonikus, 56 - , ortogonális, 56 -, ortonormált, 56 báziselöállítás, 163 bázistranszformáció, 57 bázisvektorok, 56 belső pont, 106 bihneáris alak, 88 -m átrixa, 88 binomiális tétel, 49 Birkhoff, C. a , 358 Bliss, G. 358 blokkmátrix, 43 blokkok - méretének meg állapítása, 310 - méretének növe kedési sorrendje, 309 ~ rendje, 302 blokkokkal végzett műveletek, 45 Bőcher, M„ 357 Bolzano tétele, 129 Sore/-féle lefedési tétel, 124 Bounitzky, M. E., 357 bővített mátrix, 63, 67

466

Mátrixok és dijferenciálegyenlet-rendszerek

C{a,b)-iér, 119 Cantor-íé\t közösponttétel, 110 Cauchy- feladat «-szer folytonosan diffe renciálható meg oldása, 395 - féle egyenlőtlen ség, 53 - féle feladat mát rixdifferenciál egyenletre, 406 - féle probléma, 358, 382, 385, 394, 396, 397,398, 405 — , homogén, 400 -sorozat, 109, 127 Cauchy-Schwarz-féle. egyenlőtlenség, 132 Carman, M. C„ 358 Cayley-Hamilton~téte\, 92 centrális görbe, 239 Cholesky, A. L., 69 Crout, P. D„ 69 CT- és LU-felbontás kapcsolata, 77 CT-fel bontás alkalma zása, 72 C-tér, 121

Cs csoport, 169 - , additív, 169 D D operátor, 172 de Morgan~ azonosság, 19

-form ulák, 107 deriváltvektorok p-ahszolűt értéke, 362 derogatórius, 315 - nilpotens mátrix, 47 - transzformációja, 315 Descartes-íélt szorzat, 19, 105, 133 determináns, 32 - főátlója, 32 - í-edik sora szerinti kifejtése, 33 - mellékátlója, 32 determinánsok szor zástétele, 34 diadikus szorzat, 30 diagonális, 25 -m átrix, 25,231,234 - hipermátrix, 338 diagonalizálható operá tor, 222,223, 229 differenciálegyenlet - paramétertől függő megoldása, 408 differenciálegyenlet rendszer, 338, 357 - általános megol dása, 249 - , homogén, 381 - mátrix alakja, 248 - megoldása, 407 - új módszerrel, 251 differenciáloperátor, 165, 172, 188, 379, 381,411,420, 428, 444 dimenzió, 51 direkt összeg, 116, 154, 183,191 direkt szorzat, 19 disztributív, 18

D„ diagonális mátrix, 255 Dwyer, P. S., 69 E ,É egzisztenciatétel, 382 egy közös ortonormált bázis létezése, 233 egyenlet - (egyetlen) megol dása, 170, 173 - , elsőfajú lineáris, 170 ” , homogén, 170 - , inhomogén, 170 egyenlet

Z?]-beli

megoldásának léte zése, 382 egyenletesen stabil, 251 egyenletrendszer, 63 - determinánsa, 68 - egyetlen megol dása, 64 - , gyengén meghatá rozott, 147 -, homogén, 63, 64 -, inhomogén, 63 - mátrix alakja, 63, 423,425 - mátrixának rangja, 443 - mátrixmegoldása, 424 -m egoldása, 180 egyenlőtlenség -, Cauchy-Schwarzféle, 132, 133 - - függvényvek torra, 372 egymásba skatulyázott, 110

egység felső három szögmátrix, 67

Név- és tárgymutató egységleképezés, 79 egységmátrix, 25, 179 -jelölése, 379 szemetes, 271 tiszta, 257 egységoperátor, 174, 177, 179,212,213, 391, 408 egységvektorok, 156 együtthatók - kerekítési hibával, 268 - közötti kapcsolat, 265 együtthatómátrix, 249, 379 - determinánsa, 255 ~ minimálpolinomja, 251 ekvivalenciareláció, 84 ekvivalens ~ mátrixok, 41 - normák, 118, 136, 370 elégséges feltétel, 250 elem - (additív) inverze, 112

- báziselőállítása, 194 - képe, 159 - koordinátái, 156, 162, 192 - koordinátáinak megváltozása, 217 -norm ája, 131 - ortogonális vetülete, 208 elemek - báziselőállítása, 163 lineárisan függő, 112

467 - lineáris kombiná ciója, 143 -távolsága, 117 elemi - bázistranszformá ció, 59 ~ sortranszfomiáció, 67 elnyelési tulajdonság, 18 előjeles aldeterminánsok, 36 elsőfajú lineáris egyen let, 170 értékkészlet, 20 értelmezési tartomány, 20 eukHdeszi - norma, 54, 134, 136 - té r, 54, 114, 131 valós, 133 ------ jelölése, 359 ------ fogalma, 133 -vektortér, 112, 134 exponenciális mátrix sajátértékei, 303 exponenciális mátrix függvény, 249, 298, 302, 325 - normál alakja, 247,303, 305, 306, 326, 327 - í^-adrendű normálalakja, 303

Fa//:-módszer, 28 fedőrendszer, 122 felcserélhető operáto rok, 227, 228 félcsoport, 169 felső háromszögmátrix, 26, 66

fixpont egyetlen, 127 folytonos függvény, 128,129 -inverze, 130 folytonos függvényvektor-sorozat, 372 folytonosan differen ciálható - függvénymátrixok halmaza, 362 - függvényvektorok halmaza, 362 főminor, 42 főtengelytétel, 237 fővektor eljárás, 315 Frobenius~ formula, 308, 309, 313 - féle (kísérő) mát rix, 306 funkcionál, 193 -jelölése, 193 kvadratikus, 195 kvázi lineáris, 195 - , lineáris, 193 függvény, 20 - alsó, ill. felső határa, 129 -, folytonos, 125 -határértéke, 125 - inverze, 22 - , koriátos, 129 -, közvetett, 22 -norm ája, 120 - , összetett, 22 pontban folyto nos, 126 függvények - kompozíciója, 22 - skaláris szorzata, 140, 141 - távolsága, 120 függvényérték, 20

Mátrixok és dijferenciálegyenlet-rendszerek függvénymátrix, 361, 386,411 -normája, 364 - , Lebesgue-érX&l&m-

ben integrálható, 363 függvényrendszer ortonormált, 145 függvény vektor, 361, 388 - deriváltja, 361 - integrálja, 362 - normája, 362 - hp -normája, 363, 364 - -tér, 369 függvényvektor-sorozat, 363, 377 - konvergenciája, 369 függvényvektorok - bázisa, 441 - halmaza, 365

G integrál operátor, 435 G lineáris korlátos operátor, 437 G operátor sajátértékei, 436 CöMíí-eliminációs - eljárás, 62 - módszer, 66 generáló elem, 60 generált altér, 54 generátorrendszer, 54 generátum ortonormált bázisa, 144 görbe középpontjának koordinátái, 240 grafikus megoldás, 148, 150, 151

Gram-Schmidt-íé\t el járás, 146,154 Greew-féle függvény mátrix, 358, 421, 422,423,428, 433 - egzisztenciája, 425 - megadása, 424, 427 - unicitása, 425 Gy gyengén meghatározott egyenletrendszer, 147 gyökök multiplicitása, 190 H

halmaz, 15 -, diszjunkt, 17 - eleme, 15, 16 - határpontja, 107 - inverz képe, 21 - izolált pontja, 108 -jelölése, 15 - képe, 20 -, kompakt, 123 -, korlátos, 110 - külső pontja, 107 - lezárása, 107 - megadása, 16 -, megszámlálhatóan végtelen, 15 - müvelettulajdonságai, 17 -, nyílt, 107 - ősképe, 21 -, összefüggő, 128 -, teljesen korlátos, 123 - torlódási pontja, 108 üres, 16

- , végtelen, 16 zárt, 107 halmazok - , egyenlő, 16 - , ekvivalens, 19 - érintkezési pontja, 107 - metszete, 17 -uniója, 17 halmazon folytonos függvény, 126 halmazosztály, 17, 106, 122

hányadospolinom, 97 háromszög-egyenlőtlenség, 118, 133 háromszögmátrix alsó, 26 - , felső, 26 háromszögtartomány, 426 hasonló mátrixok, 84, 298, 299, 301 hasonlósági transzfor máció, 315 határelem, 123 határértékmátrix, 90, 94 határozadan integrál operátor, 166 hatványhalmaz, 19 hatványsor, 93 -, divergens, 93 - konvergenciaköre, 93 - konvergenciakö rének sugara, 94 -, konvergens, 93 Hermite, CH., 87 - -féle mátrixpolinom, 252, 286, 290 - -féle polinomokkal kapott megoldás függvények, 289

Név- és tárgymutató Hermite-Lxigrange-íé\t interpolációs polinom, 95,97, 100 - előállítása, 96 hermitikus - (önadj ungált) transzformáció, 87 - kvadratikus alak,

88 - mátrix, 87, 89 hibabecslés, 275 hibamátrix, 274, 276, 284, 288, 289, 295 - legnagyobb ab szolút értékű eleme, 284 - vizsgálata, 296 hipermátrix, 45, 412, 424 hipervektor, 45, 405 homeomorf - leképezés, 130 - terek, 130 homeomorfizmus, 130 homogén - differenciálegyen let-rendszer - - kezdeti feltételt kielégítő meg oldásfüggvényei, 257 - alaprendszere, 418 - egyenlet inhomo gén peremfeltétel lel, 414 - lineáris differen ciálegyenlet-rend szer együttható mátrixa, 253 - lineáris egyenlet, 170 - megoldása, 171

- hneáris egyenlet rendszer, 64, 180, 189, 443 - megoldása, 190 - mátrix-differenciálegyenlet, 403, 418 - alaprendszere, 404 - - általános megol dása, 293 - operátor, 170 - rendszer, 252 - általános megol dása Lagrangeféle mátrixpolinommal, 263 homomorfizmus, 168, 169 Hölder-egyerűötienség, 137,361,374, 390

I ,í idempotens, 18 - (projektor) mátrix, 47,48 indexhalmaz, 18, 122, 123 inhomogén differenciálegyenlet-rendszer, 252, 254 - megoldása, 264, 270 - homogén peremfeltétellel, 414 - általános meg oldása, 254 integrál maradéktag, 367 integráloperátor, 166, 433,435 - , Volterra-típusú, 365

integrálegyenlet-rendszer, 385, 391,435 - egy és csak egy megoldása, 394 - megoldása, 383, 385, 386, 393, 394, 437 - megoldásának uni citása, 395 integrálegyenlőtlenség Lebesgue-integrálható függvényvektorokra, 372 interpolációs polinom, 95 intervallum, 129 invariáns - , algebrai, 168 -altér, 187,225 - sajátalterek dimen ziója, 309 invertálható együtt hatómátrix, 273 inverz - mátrixok elemei nek abszolút különbsége, 273 -operátor, 160, 169, 182 - értékkészlete, 160 - létezése, 170 inverzmátrix - által generált ope rátor, 180 - , instabil, 147 - , stabil, 147 izolált pont, 126 izometrikus -leképezés, 158 - operátor, 199, 200, 202

-terek, 158, 162

Mátrixok és dijferenciálegyenlet-rendszerek

470 izomorf - és izometrikus le képezés, 192, 220, 235,200 - leképezés, 157,158, 161, 163, 173, 184 - terek dimenziója, 161 - vektorterek, 85 izomorfizmus, 85, 163, 168, 173,211

Jacobi-fé\c mátrix, 104 jó közelítő mátrix, 285 Jordan-íélo. - blokk, 300 - rendje, 326 - mátrix, 301, 316 - egyszerű diagonális mátrixa, 316, 320 - - transzformációs mátrixa, 302, 306, 320,325, 330 - normálalak, 247 K kanonikus - alak, 224 - képvektorai, 82 - bázis, 56 karakterisztikus egyen let, 86, 190, 224 - gyökei, 86, 220, 299 - kettős gyökkel, 260 - többszörös gyö kökkel, 254 karakterisztikus polinom, 97, 190, 222 - gyöktényezös egyenlete, 255

- gyöktényezős elő állítása, 92 képtér, 80, 115 két függvény skaláris szorzata, 142 két vektor összege, 138 két vektor skaláris szorzata, 133 kezdeti - éitékvektorral adott megoldás, 251 - feltétel, 249 - feltételek, 383, 406 - feltételrendszert kielégítő meg oldás, 245,249 — oszlopvektora. 327, 254 - feltételt kielégítő partikuláris meg oldás, 255, 262, 293 kezdetiérték-probléma megoldása, 407 kiegészítő alterek, 116 klasszikus - egzisztencia- és unicitástételek. 381 - megoldási mód szer, 260 komformábilis, 28 kommutatív, 17 kompakt halmaz, 122, 129 - folytonos képe. 129 kompatibilis, 28 komplementer halmaz. 18, 107 komplex - értékű kétváltozós mérhető függvé nyek, 386

- euklideszi tér, 136 - konjugált képzés, 131,194 - vektortér, 112 kondicionáltság -jellem zése, 147 - vizsgálata, 151 kondicionáltságot jel lemző számok, 148 konjugált komplex gyökpár, 272 konstans oszlopvektor. 249,254 kontrakció (kontraháló leképezés), 127 kontrakciós tétel, 127 konvergencia - euklideszi normá ban, 136 - ekvivalens nor mákban, 370 - értelmezése, 369 - -sugár, 95 - -kör, 93 koordináták, 56 - függése a bázistól. 216 - közötti összefüg gés, 218 korlátos -függvény, 129 -halm az, 110 környezet, 106 közelítő - együttható mátrix, 245, 294 - mátrix, 285 - mankómátrix, 268 — alaprendszere. 276 - megoldás, 334 — helyes jegyeinek száma, 277 — módszere, 267

Név- és tárgymutató - megoldásvektor, 293 - - koordinátáinak különbsége, 274 - megoldásvektorok különbségének koordinátái, 274, 275 közelítővektor, 294 közönséges - n-edrendü lineáris differenciálegyenlet-rendszer, 357 - polinomvektor. 440 közös ortonormált bázis, 228 Kronecker-fé\e szim bólum, 25,379 különbséghalmaz, 18 különbségmátrix, 26 kvadratikus - alak — , negatív definit. '89 — , pozitív definit. 89 — együtthatói, 235 - - koordinátás előállítása, 235 — , szimmetrikus. 206,235 - funkcionál, 195, 196,206,234 - függvény, 450 - mátrix, 46 - - főátlója, 25 - mátrixok polinomja, 48 kvázidiagonális Jordan-féle alak, 300 kvázilineáris funkcio nál, 195,197

471

L differenciáloperátor, 433 - értelmezési tarto mánya, 415 L lineáris korlátos ope rátor, 434 L operátor sajátértéke, 417,418,419, 436 Lo lineáris korlátos operátor, 396 I2 lineáris tér, 138 l2 tér, 138 Lagrange-féle, interpo lációs - polinom, 96 - mátrixpolinom, 253,257, 157, 158, 161,260, 163,264, 173,184 Langer, R. S., 358 Lappo-Danilevszkij, I. 358 - értelemben integ rálható függvény vektor, 363, 371 - integrál, 141 - integrálható függvény, 387 - mérhető halmaz, 140 - mérték, 364 leképezés, 20, 21, 79 - , bijektív, 85 - elem és vektor között, 157 - , folytonos, 127 homeomorf, 130 - , in vertálható, 21, 22 - inverze, 80 - , izometrikus, 158 - , izomorf, 157, 161 kontraháló, 127

- , kölcsönösen egy értelmű, 21, 160, 163 hneáris, 80 leképezés (operátor), 159,160 lényeges szupremum, 364 La lineáris tér, 139 lineáris - altér, 52 - differenciálegyen let-rendszer meg oldása Jordan-íé\Q mátrixszal, 306 - differenciáloperá tor, 379 - egyenletrendszer, 63 -funkcionál, 193, 196 -kom bináció, 54, 81 — , nemtriviális, 54 — , triviális, 54 - normált tér, 117, 119, 369 - operátor, 164,166, 169, 179,420 - által generált mátrix, 211 - diagonalizálhatóságának felté tele, 229, 231 - hatványai, 181 - -, indefinit, 238 - inverze, 184 - magtere, 171 - nulltere, 171 - - sajátvektora, 86 --p o lin o m ja, 181 — , pozitív definit, 238 — , pozitív szemidefinit, 238

M átrixok és dijferenciálegyenlet-rendszerek

472 -

tulajdonságai, 164 - operátorok - halmaza, 164, 174 --je lö lé se , 164 - szorzata, 167 - teret önmagára le képező, 174 -té r, 111,365 - axiómái, 111 — , véges dimen ziós, 116 - transzformáció, 79 - vektortér, 51 lineárisan - független, 55, 112 - - alaprendszer, 263 - függvényvektorok, 445 - megoldás-vekto rok száma, 443 - sajátelemek, 188 - összefüggök, 55 Ljapuno-fé\e stabilitás, 245, 249 l/?-tér, 121 LU-felbontás, 74, 76 - algoritmusa, 74 LUP-felbontás, 79

M magmátrix, 386, 435 magtér (nulltér), 80, 115,171 - elemei, 186 Makai E., 358 mankómátrix (közelítő mátrix), 245, 268, 294, 332, 340 MAPLE program, 246 maradékpolinom, 97 - fokszáma, 97

másodrendű - determináns kifejtése, 32 - felület, 238 - középpontjának koordinátái, 243 - görbe, 238 mátrix, 23, 178 ~, adjungált, 36 - által generált ope rátor, 179, 189, 210

- inverze, 180 - általános eleme, 23 - annulláló polinomja, 91 -, átlós (diagonális), 25 - , bővített, 63 - CT-felbontása, 76 - , derogatórius nilpotens, 48 - -egyenlőtlenségek, 50 - elemei, 360 - elemi osztói, 301 - elemi sor-, ill. oszloptranszfor mációi, 40 - ellentettje, 27 - , ferdén szimmetri kus, 27 - fődiagonálisa, 25 hatványfüggvény, 298 - hermitikus-konjugáltja, 31 - , idempotens, 47 - , invertálható, 35 -jelölése, 23, 360 - Jordan-bázisa, 300 - Jordan-féle alakja, 300

- Jordan-féle. nor málalakjának egy értelmű felírása, 307 - karakterisztikus poUnomja, 92 - (kétoldali) inverze, 35 - komplex konjugáltja, 31 - , kvadratikus, 24 - minimálpolinomja, 92 - , n-edrendü, 25, 27 - , négyzetes, 24 -, nemszinguláris, 35 -, nilpotens, 47 - normája, 49, 89 - normálalakja, 326 - «-tényezős szorzata, 47 - nyoma (spurja), 38 -, ortogonális, 37 - , önadjungált, 31 - -összefüggések, 37 - összes sajátértéke, 190 - p-abszolút értéke, 360 -, p indexű nilpo tens, 47 -, periodikus, 48 - periódusa, 48 - -polinom, 89, 91 - , pozitív definit, 42 - rangja, 39, 45, 61, 62 - , reguláris, 35, 249 - sajátértéke, 86, 189, 221,300 - sajátvektora, 86, 189 - , skalár-, 25

Név- és tárgymutató - spurja (nyoma), 38 - számmal való szorzása, 26 -, szimmetrikus, 27, 32 -, szinguláris, 35 -, transzponált, 24 -, unitér, 38, 83 mátrix-differenciál egyenlet, 401 - alaprendszere, 407,419,422 - megoldása, 402, 406,419 - -re vonatkozó peremértékprobléma, 416 mátrixfüggvény, 101, 264,290,292,293 - deriválási szabályai, 102 - deriváltja, 101 - határozott integ rálja, 103 - integráljának tu lajdonságai, 103 mátrixhatványsor, 93 -, abszolút konver gens, 101 - konvergenciája, 93 -, konvergens, 94 - n-edik szelete, 94 - összege, 94, 95 mátrixnormák, 49 mátrixok - diadikus szorzása, 30 -, egyenlő, 24 - , felcserélhető, 30 ~, hasonló, 84 - hatványa, 46 -, konformábilis, 45 - különbsége, 26 - összege, 26

473 -

polinomja, 48 sorozata, 90 szorzata, 28 szorzatának deter minánsa, 221 mátri x-peremértékprobléma megol dása, 417 mátrixpolinom, 48, 290,291 mátrixsor -, abszolút konver gens, 91, 298 - , konvergens, 90 - összege, 90 mátrixsorozat - határértéke, 90 - , konvergens, 90 mátrixszorzás - egységeleme, 30 - , jobbról lineárisan független, 402 - tulajdonságai, 30 megoldás - , korlátos, 250 - , közelítő, 252 - modálmátrixos módszerrel, 288 - , pontos, 252 megoldások koordiná táinak hibakorlátja, 286 megoldásvektorok koordinátái - különbsége, 274 - különbsége stabil rendszernél, 274 - különbségének becslése, 276 merőleges vektorok, 135 metrika, 105, 122 metrikus tér, 105, 117, 119

- elemei (pontok), 105 - , összefüggő, 128 - , teljes, 110, 111 mindenütt sűrű, 448, 450 minimálegyenlet, 255, 267 - gyökei, 254 minimalizáló polinomvektor-sorozat, 446, 447,450 - konvergenciája, 446 minimálpolinom, 92, 260, 263 - egyszeres zérus helyekkel, 252 - előállítása, 92 - többszörös zérushellyel, 285,290 Minkowski-féle egyen lőtlenség, 137 minor, 39 minormátrix, 39 -jelölése, 41 modálmátrix, 240, 243, 253 - és inverzének szorzata, 257, 269 - inverze, 268 - ortonormált, 240, 243 - oszlopvektorai, 258 modálmátrixos - megoldás, 336 - megoldási eljárás, 252 - módszer, 259, 266 multiplicitás, 261 műveletek mátrixok kal, 26

474

M átrixok és differenciálegyenlet-rendszerek

művelettartó - leképezés, 163, 1Ő4 - operátor, 161, 163 N n dimenziós - euklideszi tér, 213 - vektorok, 51 - vektortér, 54 «-edfokú algebrai egyenlet, 190 «-edrendű - közönséges lineá ris differenciálegyenlet-rendszer, 381 - lineáris differen ciáloperátor, 441 - négyzetes mátrix, 178,210,213 Najmark, M. A., 358 negatív definit, 89 negyedfokú karakte risztikus egyenlet, 338 négyzetesen integrál ható függvények tere, 140 nem stabil differenciálegyenlet-rendszer, 275 nemderogatórius, 315 - mátrix, 315 - nilpotens mátrix, 47 nemtriviális megoldás, 250 Neumann, J., 147 nilpotens mátrix, 47 nm-edrendü aldetermináns, 420 norma, 49 - axiómák, 360, 368

- feltételek, 49 - követelmények, 135 -tulajdonságok, 132 normában konvergens sorozat, 117 normák - által indukált kon vergenciák, 376 ekvivalens, 374 - értelmezése térben, 368 normálalak, 45 normális operátor, 231 normált - elem, 142 -té r, 117, 120 - terek teljessége, 117 normatulajdonságok, 368 nullaelem, 139 nullamátrix, 24 - rangja, 39 nullaoperátor (zérus operátor), 167 Ny nyeregfelület, 242 nyílt gömb, 106 - lezárása, 111 nyílt halmaz, 106, 128 nyújtás operátor, 177 nyújtó operátor, 174

0 ,Ó operátor, 20, 159 additív, 164 - , adjungált, 197 - által generált kvadratikus funk cionál, 195

- , diagonalizálható, 223 -értékkészlete, 159, 165, 183,365 - értelmezési tarto mánya, 159, 160, 365 -, hermitikus, 197 -, homogén, 164, 170 -integrálja, 185 -, inverz, 160, 169, 182 -inverze, 169, 179 -, izometrikus, 199 - képtere, 183, 429 - két különböző bá zisban, 219 - , lineáris, 164 - magtere, 183 -m átrixa, 176 - mátrixának jelö lése, 211 - , müvelettartó, 161 -, normában konver gens, 391 -, normális, 231 - , önadj ungált, 197, 231 - ortonormált sajátelemrendszere, 227 -polinom ja, 181 -, projektor, 175 - rangja, 185 -rezolvense, 186 - sajáteleme, 186, 221 -sajátértéke, 186, 189, 220, 226, 420 -spektrum a, 186 - számmal való szorzata, 167, 180

Név- és tárgymutató -, szimmetrikus (hermitikus), 197 -tulajdonságai, 179 -, unitér, 200 operátorok - közös sajáteleme, 228 - mátrixa -összege, 166, 180 -, páronként felcse rélhető, 229 - szorzása - asszociatív, 168 - disztributív, 168 -, tiszta diagonális, 229 - véges dimenziós terekben, 183 operátorokkal végzett műveletek, 213 operátorszorzás - nemkommutatív, 168 ortogonális - alterek, 154 - bázis, 56, 145 - elemek, 141 - kiegészítő altér, 154,155,199, 226 - mátrix, 37 - operátor (unitér operátor), 203 - összeg, 154 -rendszer, 144 - transzformáció, 203 -vektorok, 135 - vetítő operátor, 208, 209 ortogonalitás jele, 141 ortogonalizációs eljá rás, 146 ortogonalizált egyenlet rendszer, 149

475 ortonormált - bázis, 56, 143, 146, 155,156, 192, 201, 210,212,216 - báziselemek, 217, 218,222 - modálmátrix, 240, 243 -rendszer, 142, 143, 216 oszlopmátrix, 23, 43 oszlop vektorok, 23, 24, 51, 192,359 - összeadása, 51 - számmal való szorzása, 51

Ö,Ö önadj ungált -m átrix, 215, 234 - operátor, 197, 204, 209,215,231,234 — , diagonalizálha tó, 225 --m á trix a , 214, 236 - páros hatványa, 207 — , pozitív, ill. ne gatív definit, 206 — , pozitív, ill. ne gatív szemidefinit, 207 - sajátelemei, 205 - sajátértékei, 205 - operátorok, 230 - diagonalizálhatósága, 233 - szorzata, 227 összefüggő - halmaz, 128, 129 - metrikus tér, 128 -részhalm az, 129 összegmátrix, 26 - kiszámítása, 95

paraboloid általános egyenlete, 242 paraméteres végtelen sok megoldás, 69 páronként - merőleges saját elemek, 223 - ortogonális sajátelemrendszer, 231 particionálás, 43 partikuláris - megoldás, 254, 269,293 - megoldásfüggvé nyek, 254, 293 - megoldásvektor, 253 peremérték-probléma, 411,414 - egyetlen megol dása, 433 - és az integrálegyenlet-rendszer, 435 - közelítő megoldás vektora, 450 - megoldása, 430 - megoldhatósága, 420,428, 429 - visszavezetése integrálegyenlet rendszerre, 435 peremfeltétel, 412, 413, 424 - alakja, 417 periodikus mátrix, 48 Pitagorasz-téte\ - , térbeli, 156 pivotálás, 60 pivotelem, 60 polinom, 91 - deriváltja, 263

476

M átrixok és differenciálegyenlet-rendszerek

- gyöktényezős alakja, 190 - koordinátái, 114 - legnagyobb közös osztója, 93 polinomvektor, 250, 369, 385, 394, 439, 440,444,447, 448 - koordinátái, 440 - -sorozat határfügg vényének vektora, 446 polinomvektorok hal maza, 442 pont nyílt környezete, 107 pontos és közelítő meg oldásvektorok, 274 pontosság, 286 pontsorozat konvergen ciája, 108,117 pozitív definit, 89 - mátrix, 42 - operátor ~ - sajátértéke, 207 pozitív operátorok, 207 -jelölése, 207 primitív függvény, 166 projekció, 208 projektor - mátrix, 47 - operátor, 175, 178

Q Q operátor, 166, 172 R

vektortér, 156 racionális mátrixfügg vény, 89 reguláris, 186 - mátrix, 35 Reid, T., 358

rendezett szám m-esek, 359 részhalmaz, 16 -átm érője, 110 -, valódi, 16 részmátrix, 39, 41 rezolvens, 186 Riemann szerinti improprius négyzet integrál, 139 Riesz-Fischer-tétel, 377 rosszul kondicionált egyenletrendszer, 147 Rózsa Pál, 358

sajátaltér, 187, 190 - geometriai tulaj donsága, 187 sajátelem, 186 sajátérték, 86, 186 - képzetes része ab szolút értékben közel nulla, 271 -rangja, 187, 191 - , reguláris, 186 - , szinguláris, 186 sajátértékekhez tartozó - sajátaltér, 190, 205 - sajátelemek, 222 sajátfüggvény vektor, 436 sajátvektor, 86 sarokminor, 42, 43 Schmidt-féle ortogonalizáció, 142 Schur, A., 358 skalár, 112 skalárfüggvények, 439 skalárhatványsor, 101 skaláris szorzat, 114, 131,139

- által meghatáro zott norma, 140 skaláris szorzás, 53 - axiómái, 131 - komplex térben, 136 - tulajdonságai, 53, 54 skalármátrix, 25 .y-kompakt, 123 sor -, abszolút konver gens, 139 sormátrix, 23 sormátrixok (sorvekto rok), 43 sorozat -határértéke, 108 sorozatkompakt, 123 sorvektorok, 23, 24, 51 - ortogonalizálása, 150 - összeadása, 51 - számmal való szorzása, 51 stabil, 249 - , aszimptotikusan, 250 Sylvester-féle formula, 95 Sz

számsorozatok halmaza, 121

szemetes egységmátrix, 257,269, 271,333 szigorúan normált tér, 446, 448 szimmetrikus kvadrati kus funkcionál - , indefinit, 206 negatív definit, 206 - , pozitív definit, 206

Név- és tárgymutató -, pozitív, ill. nega tív szemidefinit, 206 szimmetrikus kvadrati kus funkcionálok, 206 - mátrixa, 32, 42 -operátora, 197 - osztályozása, 206 szinguláris, 186 - mátrix, 35 Szoboljev, Sz- L,. 358 szorzatmátrix - elemei, 29 - transzponáltja, 30 szorzatoperátorok, 181 szükséges feltétel, 250

Taylor- formula, 366, 383 -polinom , 114 teljes lineáris - normált tér, 117, 365, 377 - metrikus tér, 110, 111,123 teljesen korlátos, 124 - halmaz, 123 tér -, euklideszi, 131 -, metrikus, 117 -, normáit, 117 - teljessége, 120, 377 - zéruseleme, 120 teret önmagára leké pező lineáris operá torok, 192 tiszta diagonális mátrixú operátor, 222 tiszta egységmátrix, 259 Todd, J„ 147 torlódási - hely, 436

477 -p o n t, 125 többszörös multiplicitású gyöktényezők, 309 transzformáció - , hermitikus, 87 transzformációs mátrix, 315, 316 - meghatározása, 315 transzponált mátrix, 24 trigonometrikus poli nom, 145 triviális -a lté r, 115 - megoldás, 64 triviálistól különböző kétparaméteres meg oldásvektorok, 323 Turing, A. M„ 69, 147 U ,Ú

új bázisra való áttérés, 219,222,325 - módszere, 252 unicitástétel, 382 unió, 17 -je le , 17 unitér, 218 - ekvivalens mátrixok, 219 - mátrixok, 38, 215, 217,218,221 --so rv ek to rai, osz lopvektorai ortonormáltak, 216 - - tulajdonságai, 215 - operátor, 200, 201, 202,203,215, 217,231 - mátrixának inverze, 215 - sajátértékei, 202

- szögtartó operátor, 203 - tér (komplex euk lideszi), 54, 131

V lineáris korlátos ope rátor, 392 valódi altér, 52 valós - euklideszi tér, 134 - szám «-es, 133 - vektortér, 112, 134 változók kvadratikus alakja, 235 véges dimenziós lineá ris tér, 183, 201 végtelen dimenziós - euklideszi tér, 155 -té r, 185 - vektortér, 113, 121, 138 vektor, 51, 112 - abszolút értéke, 53,133 - derékszögű koor dinátái, 156 - hossza (abszolút értéke), 53 - komponensei, 24, 51 - koordinátái, 57, 113,134 - normája, 54, 117, 134, 137, 139, 141,203 - számmal való szorzata, 138 - /)-abszolút értéke, 359 vektorfüggvény, 104 - deriváltja, 104 vektorlánc, 315 - előállítása, 324

478 vektornormák, 49 vektorok, 134 - által kifeszített lineáris tér, 62 - által közbezárt sz ö g ,133 -összege, 134 - skaláris szorzata, 53,133,134,157 - számmal való szorzata, 134 -távolsága, 136 - távolsága eukli deszi normával, 136 vektorrendszer rangja, 55,61 vektorsorozat -- konvergenciája, 135 - p-abszolút érték ben való konver genciája, 360

M átrixok és differenciálegyenlet-rendszerek vektorszorzás - , jobbról lineárisan független, 402 vektortér, 111 - bázisa, 113 - dimenziója, 113 háromdimenziós, 116 végtelen dimen ziós, 113,120 vetítő (projektor) ope rátor, 175 Volterra-típusú - integrálegyenlet rendszer, 384, 390,393 - integráloperátor, 365, 386, 390, 394,396,409 - - magmátrixa, 409

W

A Scolar Kiadó matematikakönyv-ajánlata

Weierstrass - approximációs tétele, 450 - tétele, 129 Whyburn, W M.,358 W,/"^ tér, 365 Wronski-féle függvény mátrix, 406, 407

Obádovics J. Gy. - Szarka Z.: Felsőbb matematika A könyv minden, a felsőbb matematikával kapcsolatos képletet tartal maz, azokat érthetően fejti ki és magyarázza. Minden új fogalmat defi niál. A tételek megértését gondosan rajzolt ábraanyag, kidolgozott pél dák és ezekhez hasonló gyakorlófeladatok segítik. Főbb fejezetei: Egy- és többváltozós függvények; Differenciálszámítás; Integrálszá mítás; Végtelen sorozatok, sorok és szorzatok; Lineáris algebra, tér görbék, vektoranalízis; Közönséges differenciálegyenletek; Komplex függvények; Numerikus módszerek.

zárt - gömb, 111 -halm az, 107, 111 - lineáris altér, 378 zavaró tag, 259 zéruselem, 112, 140 zérusmátrix, 24, 91 zérusoperátor (nulla operátor), 167, 177, 213,214 Zurrnühl, A., 69

Obádovics: Felsőbb matematikai feladatgyűjtemény

A könyvben fejezetenként elméleti összefoglaló és képletgyűjtemény, minden feladat végeredménye és új feladattípus megjelenésekor rész letesen kidolgozott mintafeladat található. Fejezetenként az egysze rűbben megoldható feladatok sorozata a begyakorlást, a vizsgára való felkészüléshez az egyes típusfeladatok gyors felismerését és a meg oldáshoz szükséges ismeretanyag rögzítését teszik lehetővé. Obádovics: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika

E köny a középiskolai ismeretekre támaszkodva tárgyalja a valószínű ségszámítás és a matematikai statisztika elemeit. Kidolgozott példái, feladatai a gyakorlati élet különböző területeinek problémáit ölelik fel. A negyedik kiadás néhány új témakörrel és számos - az alkalma zást és a tárgyalt módszer megértését segítő - feladattal gazdagodott. Obádovics: Lineáris algebra példákkal

A könyv felépítése a klasszikus lineáris algebra fejezeteit követi. A mátrixok, determinánsok, vektorok, lineáris egyenletrendszerek, li neáris terek, bilineáris és kvadratikus alakok, karakterisztikus értékek részletes ismertetése után az ismereteket másodrendű görbék és felü letek vizsgálatára, lineáris differenciálegyenlet-rendszerek megoldásá ra alkalmazza. A szerző több esetben is az általában ajánlott mód szernél egyszerűbb számítási eljárással ismerteti meg az olvasót. Obádovics: Matematika

2005-ben jelent meg a tizennyolcadik, teljeskörűen átdolgozott kiadás. A népszerű kézikönyv használhatóságát az eddig eladott több mint 500000 példány, valamint külföldi kiadásai bizonyítják.

í MÁT x;h N S bg MÁTRIXOK ÉS DIFFERENCIÁLEGYENLET RENDSZEREK Obádovics J. Gyula l'ko S 'U K SCOLAR B M IO M IK K OBADOVICS TANODA

Recommend Documents