ší ší šířen ší ší ení Modelování Klasifikace modelů podle formy podobnosti Sestavení fyzikálního modelu

Modelování

Inženýrství chemicko-farmaceutických výrob

» Náhrada studovaného objektu modelem na základě podobnosti » Smysl » studium originálu prostřednictvím modelu

Modelování, klasifikace a odvozování modelů

» idealizovaný » jednodušší » dostupnější „All models are wrong, but some are useful.“ - George E. P. Box, 1979

Inženýrství chemicko-farmaceutických výrob Modelování, klasifikace a odvozování modelů

Klasifikace modelů podle formy podobnosti

» Fyzikální

Sestavení fyzikálního modelu » Obvykle zmenšenina originálu se zachováním geometrické podobnosti » Další požadavky

o k ja é a k r c i to g u a lo o m l n e h á as eri tec l í h at o n u e o m ick ř í s š e j ní m í s š l o í di h e a ž c matematických n d modleů u stu yKlasifikace á o Sestavení matematického modelu a sl ý kol e. m káz t en kov é š Praz čelů e za m lň ok v j ú u a p s k o r y m o o d t ý V d ů in au o j r t o n k su e b í o T it hla ž u i u ou d o p zs tu s o e h b e ke J » model je fyzickou „zmenšeninou“ originálu

» Matematický

» model je matematickou reprezentací originálu » podobnost je matematická, často omezená jen na některé vlastnosti

» Hybridní

» kombinace matematického a fyzikálního modelování

» zachování kinematické podobnosti

» podobnost rychlostních polí v originálu a modelu

» zachování dynamické podobnosti

» podobnost silového působení v odpovídajících bodech originálu a modelu





podle aplikovaných znalostí

» Matematický model

» charakterizuje určité vlastnosti modelovaného systému » za pevně stanovených podmínek

» (pro jeden systém může být více různě zaměřených modelů)

» vzájemné závislosti jednotlivých vlastností se popíší matematickými rovnicemi » na základě teoretického poznání » na základě zobecnění pozorování » úpravy a zlepšování modelu

» matematické rovnice obsahují parametry

» Teoretické znalosti

» z přírodních zákonitostí (zákony zachování, sdílení tepla, hmoty) » mechanistické modely (modely bílé schránky)

» Empirické znalosti

» odvozeny z výsledků experimentů, zkušeností » empirické modely (modely černé schránky)

» Kombinovaný přístup (obvyklý) » modely šedé schránky

» semiempirické, semimechanistické





1

Empirické modely

Identifikace matematického modelu

» Výběr empirických vztahů, které mají formálně podobnou odezvu jako studovaný systém » Neexistuje obecný postup výběru

» Model

» metoda pokusu a omylu » zkušenost

» Typické rovnice

» obecný tvar rovnic ~ kvalitativní a semikvalitativní chování systému » hodnoty parametrů ~ kvantitativní popis chování systému

» Identifikace modelu

» přímka, polynom » exponenciální závislost

» proces přizpůsobení modelu tak, aby se model choval co nejpodobněji originálu

» Specializované aparáty

» úpravy rovnic » nastavení hodnot parametrů » REGRESNÍ ANALÝZA

» umělé neuronové sítě Inženýrství chemicko-farmaceutických výrob




Regresní analýza » Řeší základní otázky

o k ja é a k r c i to g u a lo o m l n e h á as eri tec l í h at o n u e o m ick ř í s š e j ní m í s š l o í di h e a ž c funkce d án u stu yÚčelová Rozdělení regresních úloh lo a áz l e. s o ý t ov šk z ům ak n a el e k z r é e č P k m ň j l so v ú u a p k o r y m o o d t ý V d ů in au o j r t o n k su e b í o T it hla ž u i u ou d o p zs tu s o e h b e ke J Inženýrství chemicko-farmaceutických výrob Identifikace modelů, regresní analýza

» S jakými parametry popisuje daný regresní model nejlépe experimentální data? » S jakou spolehlivostí lze předpovědět výsledky měření? » Je navržený model lepší než variantní modely? » Není daný model zbytečně složitý? » Má smysl navržený model zdokonalovat?


LINEÁRNÍ REGRESE Model je lineární vzhledem ke všem odhadovaným parametrům, např.

y

b1

b2 x

JEDNODUCHÁ REGRESE Model obsahuje pouze jednu nezávisle proměnnou, např.

y

b1

b1

b1

b1 exp( b2 x)

VÍCENÁSOBNÁ REGRESE Model obsahuje dvě popř. více nezávisle proměnných, např.

y

b1

b2 x1

b3 x 2

VÍCEODEZVOVÁ REGRESE Model obsahuje dvě popř. více závisle proměnných, např.

b2 x

REGRESE ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Model obsahuje algebraické popř. transcendentní rovnice, např.

y1

y

b2 x

JEDNOODEZVOVÁ REGRESE Model obsahuje pouze jednu závisle proměnnou, např.

y

NELINEÁRNÍ REGRESE Model je nelineární alespoň k jednomu s odhadovaných parametrů, např.

y1

b1

b2 x

y2

b3

b4 x

REGRESE DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC Model obsahuje diferenciální popř. integrální rovnice, např.

b2 x

dy dx

» Otázka:

S jakými parametry popisuje daný regresní model nejlépe experimentální data?

» Dílčí otázka

S jakými parametry popisuje daný regresní model experimentální data lépe a s jakými hůře?

» Odpověď

Podle hodnoty kritéria optima – účelové funkce

» Součet čtverců reziduálních odchylek » Metoda maximální věrohodnosti

b1 y





2

Reziduální odchylka (reziduum)

Metoda nejmenších čtverců

»

» minimalizace součtu čtverců reziduí

yi je rozdíl mezi naměřenou hodnotou závisle proměnné (odezvy) a hodnotou závisle proměnné vypočítané z regresního modelu

R

yi

( y ij )2 j 1 i 1

» Metoda nejmenších čtverců je spolehlivá, pokud platí, že:

y2

yi

Nj

min S(b)

f ( x i ,b)

» chyby měření závisle proměnných jsou náhodné veličiny » s normálním rozdělením a konstantním rozptylem přes celou oblast měření » které na sobě vzájemně nezávisí, jsou to nezávislé náhodné veličiny

» nezávisle proměnné jsou nenáhodné veličiny, nejsou proto zatíženy náhodnou chybou. Inženýrství chemicko-farmaceutických výrob




Lineární regrese

Účelová funkce lineárního modelu

» Lineární model

o k ja é a k r c i to g u a lo o m l n e h á as eri tec l í h at o n u e o m ick ř í s š e j ní m í s š l o í di h e a ž c funkce nelineárního n d ámodelu u stu yÚčelová o Řešení lineární regrese a sl ý kol e. m káz t en kov é š Praz čelů e za m lň ok v j ú u a p s k o r y m o o d t ý V d ů in au o j r t o n k su e b í o T it hla ž u i u ou d o p zs tu s o e h b e ke J y

f1( x ) b1 ... fp ( x ) bp

» lineární vzhledem k parametrům (tedy nejen přímka) » např.: 2 y

1 b1

x b2

x

b3

» Maticový zápis výsledků měření y1 . .

f1( x1 ) . .

.

. yN

. f1( xN ) .

.

.

.

.

fp ( x1 ) . .

b1 . .

y1 . .

. fp ( xN )

. bp

. yN

y

X b

y





» Minimalizace SČ = hledání extrému funkce » nutné podmínky S(b) b1

0, ... ,

S(b) bp

0

» lineární model y ij (b) bk

konst

» vede na soustavu lineárních algebracických rovnic, možný přímý výpočet





3

Řešení lineární regrese

Nástroje pro regresní analýzu

» Minimalizace SČ = hledání extrému funkce » nutné podmínky

» Lineární regrese

S(b) b1

S(b) 0, ... , bp

0

» nelineární model y ij (b) bk

konst

» není možný přímý výpočet » iterativní výpočetní postupy

» Excel (omezené možnosti) » Statistica » Matlab, řada dalších

» Nelineární regrese » » » » »

Excel (jednoduché případy, vyžaduje programování) Statistica (jednoduché případy) Matlab ERA (www.vscht.cz/kot/era) použití zpravidla podstatně složitější než u l.r.





Přehled obvyklého využití modelů » Základní využití

o k ja é a k r c i to g u a lo o m l n e h á as eri tec l í h at o n u e o m ick ř í s š e j ní m í s š l o í di h e a ž c modely d án u stu yNávrhové o Simulační modely a áz l ý l e. s o t ov šk z ům ak n a el e k z r é e č P k m ň j l so v ú u a p k o r y m o o d t ý V d ů in au o j r t o n k su e b í o T it hla ž u i u ou d o p zs tu s o e h b e ke J » Simulační studie

Inženýrství chemicko-farmaceutických výrob Použití modelů

» simulace chování aparátu zařízení v různých situacích

» Návrhové studie

» hledání parametrů pro požadované chování zařízení

» Kombinované využití

» Optimalizace procesů » Hledání úzkých míst » Zvětšování (zmenšování měřítka)


» Známé parametry

» parametry zařízení

» rozměry, geometrie, materiál, příslušenství

» základní parametry procesu

» např. typ chemické reakce pro reaktor » charakteristika mísených složek pro mísič » charakteristika tekutiny pro potrubí

» Cíle modelování

» zjistit, jak se bude zařízení chovat za různých podmínek


» Podrobné parametry procesu

» např. typ chemické reakce pro reaktor

» Obecný typ zařízení

» např. vsádkový reaktor

» včetně kapacitních požadavků

» např. je třeba vyrobit 100 kg/den produktu


» Navrhnout detailní parametry zařízení » Navrhnout režim provozu





4

Optimalizační modely

Optimalizační modely


» Typické scénáře použití

» parametry zařízení » základní parametry procesu » stávající podrobné parametry procesu (viz simulační model)

» Cíle modelování » zjistit, jak se bude zařízení chovat za jiných podmínek » snaha o zefektivnění provozu

» Využití zkušeností z provozu existujícího zařízení » Existuje přesnější model než v okamžiku návrhu » Malá změna v technologickém okolí zařízení (např. lepší kvalita suroviny) » Implementace lepšího systému řízení » Malá modifikace zařízení součástí optimalizace

» např. malá změna režimu = zvýšení kapacity o 10 % Inženýrství chemicko-farmaceutických výrob




Hledání úzkých míst

Přenos měřítka » Známé parametry

o k ja é a k r c i to g u a lo o m l n e h á as eri tec l í h at o n u e o m ick ř í s š e j ní m í s š l o í di h e a ž d án u stu y c o a sl ý kol e. m káz t en kov é š Praz čelů e za m lň ok v j ú u a p s k o r y m o o d t ý V d ů in au o j r t o n k su e b í o T it hla ž u i u ou d o p zs tu s o e h b e ke J Mísič

Tabletovačka

» Existují dva nedokonalé fyzikální model požadovaného zařízení

Coater

» často není možné dodržet všechna kritéria podobnosti zároveň

kapacita


rychlost produkce

» Navrhnout matematický model popisující vliv této nedokonalosti na chování zařízení různé velikosti » Extrapolovat chování velkého zařízení z dvou malých fyzikálních modelů





5

ší ší šířen ší ší ení Modelování Klasifikace modelů podle formy podobnosti Sestavení fyzikálního modelu

Recommend Documents