Hubungan antara kejadian dengan ruang contohnya Representasi secara grafis untuk mengilustrasikan logical relations di antara kejadian kejadian

3/28/2012

Diagram Venn.

 Hubungan antara kejadian dengan ruang contohnya  Representasi secara grafis untuk mengilustrasikan logical relations di antara kejadian – kejadian

S = Himpunan bilangan asli A = Himpunan bilangan ganjil A’= Himpunan bilangan genap

EKO EFENDI

1

3/28/2012

Diagram Venn mempermudah memahami himpunan • Diagram Venn digunakan untuk menggambarkan himpunan-himpunan dan bag aimana hubungan antar himpunan-himpunan tersebut. • Gabungan dari dua himpunan adalah himpunan yang mengandung semua angg ota yang dimiliki oleh himpunan pertama atau himpunan kedua. Misalkan A = {1, 2,3,4,5} dan B = {1,3,5,7}, maka gabungan dari A dan B dinotasikan dengan A  B = {1,2,3,4,5,7} • Irisan dari dua himpunan adalah himpunan yang mengandung anggota yang ad a pada himpunan pertama dan juga sebagai anggota pada himpunan kedua. Mi salkan A = {1,2,3,4,5} dan B = {1,3,5,7}, maka irisan dari A dan B dinotasikan denga n A  B = {1,3,5}. • Komplemen atau pelengkap dari suatu himpunan adalah himpunan yang memili ki anggota, dimana gabungan dari himpunan dan komplemennya adalah himpu nan semesta dan irisan himpunan dengan komplemennya adalah himpunan kos ong. Misalkan A adalah munculnya mata dadu ganjil dari sebuah dadu standar, maka A = {1,3,5}. Karena S = {1,2,3,4,5,6}, maka komplemen dari A, dituliskan den gan notasi Ac = munculnya mata dadu genap dari dadu standar, atau Ac = {2,4,6}.

EKO EFENDI

2

3/28/2012

1

3/28/2012

Pengolahan kejadian  Pengolahan kejadian itu dapat berbentuk irisan kejadian, kejadian saling bebas, gabungan kejadian, dan komplemen kejadian

EKO EFENDI

3

3/28/2012

Irisan  Irisan dua kejadian A dan B dilambangkan dengan A Π B, adalah kejadian yang mengandung semua unsur persekutuan kejadian A dan B.

A Π B = daerah arsir hitam

EKO EFENDI

4

3/28/2012

2

3/28/2012

Saling bebas (terpisah)  Dua kejadian C dan D dikatakan saling bebas (terpisah) bila CΠD = φ , artinya kejadian C dan kejadian D tidak memiliki unsur persekutuan.

EKO EFENDI

5

3/28/2012

Paduan (union) dua kejadian A dan B dilambangkan dengan A U B adalah kejadian yang mencakup semua unsur atau anggota A dan b atau keduanya.

 A U B = daerah arsiran hitam

EKO EFENDI

6

3/28/2012

3

3/28/2012

Komplemen suatu kejadian  Komplemen suatu kejadian A relatif terhadap S adalah himpunan semua anggota S yang bukan anggota A. Kita lambangkan komplemen A dengan A’ A’ = daerah yang diarsir hitam Beberapa persamaan dalam diagram venn akibat definisi-definisi di atas adalah. A Πφ = φ S’ = φ A U A’ = S AUφ=A φ’ = S A Π A’ = φ (A’) = A

EKO EFENDI

7

3/28/2012

Mencacah titik contoh  Prinsip dasar mencacah = kaidah penggandaan Kaidah penggandaan :  Bila suatu operasi dapat dilakukan dalam n1 cara dan setiap cara tersebut dapat dilakukan dengan n2 maka kedua operasi tersebut dapat dilakukan dalam n1 n2 cara.

EKO EFENDI

8

3/28/2012

4

3/28/2012

Peluang suatu Peristiwa  Peluang adalah suatu nilai diantara 0 dan 1 (inklusif) yang menggambarkan besarnya kesempatan akan munculnya suatu kejadian tertentu pada kondisi tertentu. Istilah lain dari peluang adalah probabilitas.  Metode Klasik / a priori  Metode Frekuensi / a posteriori  Subyektif (hanya boleh digunakan apabila kedua cara diatas tak dapat dihitung)

EKO EFENDI

9

3/28/2012

Aksioma Peluang Aksioma merupakan bukti diri yang secara umum telah diterima kebenarannya. Terdapat tiga aksioma dasar dalam semua penghitungan peluang yang akan disarikan disini yang berhubungan dengan ruang contoh S dan kejadian A dan B. Notasi untuk menyatakan peluang digunakan P( ). 1. 2. 3.

EKO EFENDI

Ketidaknegatifan. Setiap kejadian memiliki peluang yang tidak negatif. P(A)  0. Kepastian. Peluang ruang contoh adalah 1. P(S) = 1. Gabungan. Peluang gabungan dari dua kejadian yang saling lepas adalah jumlah peluang dari tiap kejadian. P(AB) = P(A)+P(B) jika AB=.

10

3/28/2012

5

3/28/2012

Penentuan Peluang: Metode Klasik / a priori

 Metode Klasik atau A Priori. Jika diketahui bahwa kejadian A dapat muncul dalam m cara dan total seluruh kemungkinan kejadian adalah n, maka peluang sebenarnya kejadian A dinotasikan dengan P( A) 

banyaknya cara A m  total semua cara n

Bisa ditentukan tanpa harus melakukan percobaan atau menggunakan catatan masa lalu

EKO EFENDI

11

3/28/2012

Penentuan Peluang: Metode Frekuensi / a posteriori • Metode Frekuensi atau A Posteriori. Jika kejadian serupa A mun cul m kali dalam total percobaan n, maka peluang pengamata n A dapat dinyatakan dengan

P( A) 

banyaknya A muncul m  total percobaan n

Ditentukan dengan melakukan percobaan atau menggunakan catatan masa lalu EKO EFENDI

12

3/28/2012

6

3/28/2012

Beberapa Peluang Peubah Diskrit Nama Peubah Diskrit

Notasi dan Parameter

X

P(X=x) dan x dimana P(X=x) terdefinisi

2X

Seragam

X ~ SD(N)

1/N x=1,2,3,…,N

(N+1)/2

(N2-1)/ 12

Bernouli

X ~ Bin(1,p) 0
pxq1-x x=0,1

P

Pq

Binomial

X ~ Bin(n,p) 0
x=0,1,2,…,n

Np

Npq

Geometrik

X ~ Geo(p) 0
pqx-1 x=1,2,…

1/p

q/p2

Negatif Binomial

X ~ NB(r,p) 0
x=r,r+1,r+2,…

r/p

rq/p2

Hipergeometrik

X ~ Hyp(n,M,N) n=1,2,…,N M=0,1,2,…,N

x=0,1,2,…,n

NM/N

n(M/N)(1-M/N) *((N-n)/(N-1))

Poisson

X ~ Poi() >0

x=0,1,2,…





EKO EFENDI

13

3/28/2012

Beberapa Peluang Peubah Kontinu Nama Peubah Kontinu

Notasi dan Parameter

Seragam

X ~ SK(a,b) a
Normal

X ~ N(,2) 2 > 0

Gamma

X ~ Gam(,) 0< 0<

Eksponensial

X

fX(x) dan x dimana fungsi terdefinisi*

(a+b)/2

(b-a)2/12





0<x



2

X ~ Exp() 0<

0<x



2

Eksponensial 2-Parameter

X ~ Exp(,)

< x

+

2

Eksponensial Ganda

X ~ EG(,)



22

Weibul

X ~ Wei(,)

0<x

(1+1/ )

2[(1+2/)2(1+1/)]

Pareto

X ~ Par(,)

0<x

/(-1) >1

(2) / ((-2)(-1)2) >2

Beta

X ~ Beta(a,b) 0
0<x<1

EKO EFENDI

1/(b-a) a<x
2X

14

3/28/2012

7

3/28/2012

Beberapa aturan peluang       

EKO EFENDI

Nilai peluang adalah antara 0 dan 1 0≤P≤1 P(E) = 0 → peristiwa E pasti tidak terjadi P(E) = 1 → peristiwa E pasti terjadi Jika E’ menyatakan bukan peristiwa E P(E’) = 1 – P(E) P(E) + P(E’) = 1

15

3/28/2012

Beberapa hubungan dalam peluang.

1.Jika K buah peristiwa saling eksklusif (E1, E2, … Ek) Peluang terjadinya E1 atau E2 atau …. Ek adalah jumlah peluang masing-masing peristiwa. P(Etot) = P(E1) + P(E2) …… + P(Ek) 2. Peluang terjadinya E1 dan E2 dan … Ek adalah P(Etot) = P(E1) - P(E2) …… P(Ek)

EKO EFENDI

16

3/28/2012

8

3/28/2012

3. Dua peristiwa dikatakan mempunyai hubungan bersyarat jika peristiwa yang satu menjadi syarat peristiwa yang lain.

4. Hubungan inklusif dua peristiwa (A,B) berlaku hubungan atau A atau B atau keduanya terjadi. P(A dan atau B) = P(A) + P(B) – P (A dan B) EKO EFENDI

17

3/28/2012

Kaidah Penjumlahan dalam peluang  Dalil 1 : Bila A dan B adalah dua kejadian sembarang maka : P (A U B) = P(A) + P(B) – P(A Π B). Bila A dan B saling eksklusif P (A U B) = P(A) + P(B) Umumnya  Bila A1, A2, A3, …. Saling eksklusif maka  P(A1 U A2 U A3 U … U Ak) = P(A1) + P(A2) + … + P(Ak). EKO EFENDI

18

3/28/2012

9

3/28/2012

 Dalil 2 :  Bila A dan A’ adalah dua kejadian yang satu merupakan komplemen lainnya maka P(A) + P(A’) = 1

EKO EFENDI

19

3/28/2012

Contoh : 1. Peluang seorang mahasiswa lulus matematika adalah 2/3 dan peluang ia lulus statistik dasar adalah 4/9. Bila peluang lulus sekurang-kurangnya satu mata kuliah adalah 4/5, berapa peluang ia lulus kedua mata kuliah tersebut ? Jawab :  M = lulus matematika  D = lulus statistik dasar  M U D = lulus matematika atau statistik dasar (minimal satu)  M Π D = lulus kedua mata kuliah  Jadi berdasarkan dalil 1 :  P(MΠ D ) = P(M) + P(D) – P(M U D)

EKO EFENDI

20

3/28/2012

10

3/28/2012

PELUANG BERSYARAT

Contoh : Perhatikan eksperimen pelemparan dadu B = kejadian munculnya bilangan kuadrat murni A = bilangan yang muncul lebih dari 3 EKO EFENDI

21

3/28/2012

 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  Jika dadu dibuat sedemikian hingga peluang muncul bilangan genap dua kali lebih besar dari bilangan ganjil  P(1) = 1/9 P(2) = 2/9  P(3) = 1/9 P(4) = 2/9  P(5) = 1/9 P(6) = 2/9  P(A) = 5/9  P(A Π B) = 2/9 EKO EFENDI

22

3/28/2012

11

3/28/2012

EKO EFENDI

23

3/28/2012

Kejadian Bebas  Jika A adalah suatu kejadian, maka adanya keterangan tentang suatu kejadian lain, misal kejadian B, dapat memperkecil atau memperbesar atau tidak mengubah besarnya peluang kejadian A.  Jika besarnya peluang kejadian A tidak berubah karena adanya keterangan bahwa kejadian B telah terjadi, maka A dan B adalah dua kejadian yang saling bebas

EKO EFENDI

24

3/28/2012

12

3/28/2012

Definisi Kejadian Saling Bebas : Kejadian A dan B disebut dua kejadian yang saling bebas jika dan hanya jika P(A ∩ B) = P(A) P(B) Example: A ball is drawn at random from a box containing 6 red balls, 4 white balls, and 5 blue balls. Determine the probability that the ball drawn is (a) red, (b) white, (c) blue, (d) not red, and (e) red or white.

EKO EFENDI

25

3/28/2012

EKO EFENDI

26

3/28/2012

13

3/28/2012

 Three balls are drawn successively from the box of above. Find the probability that they are drawn in the order red, white, and blue if each ball is (a) replaced and (b)not replaced.

EKO EFENDI

27

3/28/2012

Jika kejadian A dan B bebas, maka kejadian bersyaratnya tidak merubah nilai peluang

EKO EFENDI

28

3/28/2012

14

3/28/2012

KAIDAH PENGGANDAAN a). Bila dalam suatu percobaan kejadian A dan B keduanya dapat terjadi sekaligus maka P(A I B) = P(A) . P(BΠA)

b). Bila dua kejadian saling bebas maka P(A I B) = P(A) . P(B) secara umum;

EKO EFENDI

29

3/28/2012

Contoh :  Sebuah uang logam tak seimbang sehingga peluang muncul sisi gambar dua kali lebih besar dari sisi angka. Bila uang itu dilemparkan 3 kali, berapa peluang mendapatkan dua sisi angka dan satu sisi gambar ? B = kejadian mendapat dua sisi angka & satu sisi gambar. = {AAG, AGA, GAA}

EKO EFENDI

30

3/28/2012

15

3/28/2012

Latihan : 1. Populasi sarjana dalam suatu kota dikategorikan menurut jenis kelamin dan status pekerjaan.

Berapa peluang seorang laki-laki yang telah bekerja untuk menjadi duta dalam pertemuan nasional ? 2. Peluang seorang dokter mendiagnosis penyakit secara benar adalah 0,7. Bila diketahui dokter tersebut salah mendiagnosis, pasien akan menuntut ke pengadilan adalah 0,9. Berapa peluang dokter salah mendiagnosis dan pasien menuntut ke pengadilan ?

EKO EFENDI

31

3/28/2012

Jawaban 1. M = yang terpilih laki-laki E = yang terpilih telah bekerja

EKO EFENDI

32

3/28/2012

16

3/28/2012

2. A = Diagnosis benar B = Diagnosis salah C = Pasien menuntut kepengadilan

Maka

EKO EFENDI

33

3/28/2012

KAIDAH BAYES  Lihat kembali soal latihan no 1.  Jika ada tambahan informasi bahwa 36 orang yang bekerja menjadi anggota Rotary Club dan 12 orang yang menganggur menjadi anggota Rotary Club. Berapa peluang kejadian A = yang terpilih menjadi duta adalah anggota Rotary Club.

EKO EFENDI

34

3/28/2012

17

3/28/2012

EKO EFENDI

35

3/28/2012

36

3/28/2012

Jadi

EKO EFENDI

18

3/28/2012

Dalam diagram pohon dapat digambarkan sebagai berikut :

Generalisasi dari kasus diatas dinyatakan dalam kaidah eliminasi atau dalil peluang total berikut : “ Bila kejadian-kejadian B1, B2, … ≠ 0 untuk I = 1, 2, … k, maka untuk sembarang kejadian A yang merupakan himpunan bagian S berlaku :

EKO EFENDI

37

3/28/2012

Contoh : Tiga mahasiswa telah dicalonkan menjadi ketua HMJ. Peluang Adam, Brown dan Cony terpilih masing-masing 0,3; 0,5 ; 0,2. Seandainya Adam terpilih peluang kas himpunan bertambah adalah 0,8. Jika Brown atau Cony terpilih, peluang tambahnya kas adalah 0,1 dan 0,4. Berapa peluang kas HMJ bertambah ? Jawab : A = kas HMJ bertambah B1 = Adam terpilih B2 = Brown terpilih B3 = Cony terpilih EKO EFENDI

38

3/28/2012

19

3/28/2012

Dengan menerapkan kaidah eliminasi

Kaidah Bayes “ Jika kejadian-kejadian B1, B2, B3, … Bk merupakan sekatan dari ruang contoh S dengan P(Bi) ≠ 0 untuk i = 1, 2, 3,… ,k maka untuk sembarang kejadian A yang bersifat P(A) ≠ 0

EKO EFENDI

39

3/28/2012

Contoh : Dari contoh kaidah eliminasi, jika ternyata sebelum pemilikan kas HMJ sudah bertambah, berapa peluang Cony terpilih menjadi ketua HMJ ? Jawab : Dengan menggunakan kaidah Bayes

EKO EFENDI

40

3/28/2012

20