HRAVÁ MATEMATIKA JMÉNO ŠKOLA

HRAVÁ MATEMATIKA

9

JMÉNO

ŠKOLA

TŘÍDA

Úlohy označené

ŠKOLNÍ ROK

mají vyšší náročnost.

I. OPAKOVÁNÍ Z 8. ROČNÍKU II. SOUSTAVY ROVNIC III. FUNKCE IV. LOMENÉ VÝRAZY V. OPAKOVÁNÍ Z GEOMETRIE VI. PODOBNOST VII. JEHLAN, KUŽEL, KOULE VIII. GONIOMETRIE IX. FINANČNÍ MATEMATIKA

2 13 27 43 62 72 80 93 105

Pracovní sešit pro 9. ročník ZŠ 1. vydání, 2014 Vydal:

Taktik International, spol. s r.o.,

P. O. BOX 326, Jindřišská 14, 111 21 Praha 1

Autoři:

Mgr. Jana Presová, Mgr. Jana Davidová, Mgr. Dana Hermochová

Lektoři: Mgr. Alena Hronová, Mgr. Markéta Vlková, Ing. Květa Tošnerová Spolupracovníci: RNDr. Ivana Šimurdová, Mgr. Monika Pavlíková, Mgr. Jan Podpěra, Mgr. Eva Slezáková, Mgr. Michal Malík, Mgr. Alena Máslová Grafická úprava:

Bc. Marek Bárta, Jan Kubeš, MgA. Josef Tauš

Projektový manager:

Ing. Valerián Stec

Produktový manager:

Michaela Červená, Růžena Samková

Všechna práva vyhrazena. Kopírování a šíření tohoto díla i jeho části bez písemného souhlasu vydavatele je trestné. ISBN 978-80-87881-21-7

CELÁ ČÍSLA A ZLOMKY 1.

Najdi v nabídce nejmenší společné násobky a největší společné dělitele daných čísel. 3 9 15 27 36 72 81 360 450 720 810 900 1440

2.

a)

n (9, 24) = 72

D (9, 24) = 3

b)

n (81, 270) = 810

D (81, 270) = 27

c)

n (72, 144, 180) = 720

D (72, 144, 180) = 36

Která čísla zbyla? Když je sečteš, získáš tajný kód k trezoru.

3255 Kód k trezoru je ...................... .

Převeď zlomky na desetinná čísla. 3 = 8

3.

60 = 40

1,5

57 = 125

0,456

Uprav složený zlomek na základní tvar. 1 – 1 3 –2

4.

0,375

= 1 5

Je dán zlomek 23 a smíšené číslo –2 52 . Podle pokynů v tabulce sestav příklady a vypočítej je. Zachovej pořadí zlomků. Tyto výsledky uspořádej podle velikosti od nejmenšího k největšímu. Ve stejném pořadí pak zapiš slova u každého příkladu a vyjde ti tajenka. –111 Součet zlomků není 15 3 1 Rozdíl zlomků má ráda 15 –13 Součin zlomků víc než 1 5 – 5 Podíl zlomků když tě ta 18 –111 Podíl rozdílu a součinu zlomků 100 12 1 7 Součet rozdílu a součinu zlomků 1 15

100 není víc než 1, když tě ta 1 má ráda. Tajenka: .....................................................................................................................................

2

POMĚR A PROCENTA 1.

3.

Porovnej jednotlivé výsledky. Vypočítej. 2. 30 % z 200

=

75 % z 80 25 % z 2 km = 500

m

20 % z 45

<

90 % z 12

3500 70 % z 5 t =

kg

1 % z 500

>

4300 25 % z 8 5 % z 86 kg =

g

40 % z 70

=

1,32 70 % z 40 12 % z 1 100 l =

hl

Na narozeninovou párty připravujeme koktejly. Ze smetany, ananasového džusu a kokosového sirupu chceme vyrobit 3,4 l Virgin Colady. Koktejl obsahuje 17 % smetany, 20 % kokosového sirupu. Kolik ml jednotlivých složek koktejl obsahuje? smetana 578 ml kokos. sirup 680 ml ananas. džus

5.

Změň číslo v daném poměru. Nejprve rozhodni, zda se číslo zvětší nebo zmenší. Poměr

Zvětšení / zmenšení

Výsledné číslo

100

2:8

zmenší se

25

3

4:5

zmenší se

2,4

4,5

9:3

zvětší se

13,5

24

12 : 2

zvětší se

144

Délky stran trojúhelníku ABC jsou v daných poměrech. Vyjádři je postupným poměrem.

6.

Původní číslo

a : b = 5 : 4 b:c=3:4

a : b : c = 15 : 12 : 16

Mozek vorvaně patří mezi největší savčí mozky. Jeho hmotnost je 9 kg. Vzhledem k hmotnosti sloního mozku se dá vyjádřit poměrem 3 : 2. Poměr hmotnosti lidského mozku vzhledem ke slonímu je 1 : 4. V jakém poměru je hmotnost lidského mozku vzhledem k vorvaňovu mozku? Urči hmotnost lidského mozku. Hmotnosti lidského a vorvaňova mozku jsou v poměru 1 : 6. Hmotnost lidského mozku je 1,5 kg.

I. OPAKOVÁNÍ Z 8. ROČNÍKU

4.

2142 ml

3

MOCNINY A ODMOCNINY 1.

2.

Vypočítej a výsledky seřaď podle velikosti od nejmenšího po největší.

–1 a) (–1)7 =

c)

–36 –62 =

b) 23 = 8

d)

(–2)3 = –8

–36, –8, –1, 8, 16, 27 ..................................................................................................................................

b) (–1)8 = 1

c)

70 = 1

5.

6.

i)

(–2)0 = 1

B, C, E, F, G, I 1

Vypočítej příklady bez použití kalkulačky. 5 4 20 · · = 1 3 16 25 9

a)

(√64 · √9) : 4 = 6

c)

b)

√0,36 : 0,1 = 6

52 · √4 · 9 d) = –5 √32 · (– √100)

Vypočítej co nejjednodušším způsobem. Výsledek zapiš ve tvaru mocniny.

35 · 37 a) = 36 36

b)

c)

1 –4· –1 2 2

)

ANO

NE

(

3 2

= 1

25 · 54 · 125 = 59

Jsou následující rovnosti pravdivé?

×

a)

√3,58 + √2,42 = √6

b)

√5 · √4 = √20

c)

√50 – √14 = √50 – 14

×

d)

22 + 52 = (2 + 5)2

×

×

Monika má zrcadlo ve tvaru čtverce, které zakrývá 665,64 cm2 stěny pokoje. Jak dlouhá je jedna strana zrcadla? Strana zrcadla je dlouhá 25,8 cm.

4

–14 = –1

h)

18 = 1

–1

4.

g) (–6)0 = 1

e) – (–1)5 = 1 f)

· 92 = 27

f)

Vypočítej. Pak příklady se stejnými výsledky zapiš do bublin. d) –40 = a) (–1)5 = –1 –1

A, H, D

3.

e) (–4)2 = 16

UŽITÍ PYTHAGOROVY VĚTY 1.

Urči, jaká je výška stanu s přední stěnou tvaru rovnoramenného trojúhelníku, jehož šířka je 3,8 m a boční hrana má 2,6 m.

Výška strany je 1,8 m.

2.

3.

Zjisti, které trojúhelníky jsou pravoúhlé. a) a = 2,5 cm; b = 3,4 cm; c = 4,9 cm

není pravoúhlý

b)

k = 6 cm; l = 6,1 cm; m = 1,1 cm

je pravoúhlý

c)

o = 4,4 cm; p = 3,1 cm; q = 2,9 cm

není pravoúhlý

d)

x = 1,5 dm; y = 0,8 dm; z = 1,7 dm

je pravoúhlý

Matěj si chce koupit nový tablet. U tabletu ve tvaru obdélníku se stranami 13 cm a 18 cm prodejce tvrdí, že má úhlopříčku dlouhou přesně 22 cm. Matějovi se to nezdá. Ověř, jestli má prodejce pravdu. u = 22,2 cm Prodejce nemá pravdu.

5.

Vypočítej třetí strany trojúhelníků tak, aby byly pravoúhlé. Bude-li potřeba, výsledky zaokrouhli na dvě desetinná místa. Vypočítej přeponu.

Vypočítej odvěsnu.

a) a = 5,5 cm; b = 4,8 cm; c = ..........

b) x = 2,9 dm; y = 5,6 dm; z = ..........

c = 7,3 cm

z = 4,8 dm

Je dán kvádr s podstavou 7 cm x 3,9 cm a tělesovou úhlopříčkou 9 cm. Urči výšku kvádru a délku úhlopříčky podstavy. Výsledky zaokrouhli na jedno desetinné místo.

Výška kvádru je 4,1 cm a délka úhlopříčky podstavy je 8 cm.


4.

5

6.

Poloměr kruhu na obrázku je 8 cm.

a) Vypočítej délku strany, obvod a obsah červeně ohraničeného čtverce. S´= 64 cm2, a´= 8 cm, o´= 32 cm

b) Vypočítej obsah zeleně ohraničeného čtverce. S = 128 cm

VÝRAZY A MNOHOČLENY 1.

Zapiš výrazem, kolik každý z chlapců měří, jestliže Petr měří x cm. Potom vypočítej jejich výšky, když víš, že Petr měří 178 cm. Kuba je o 3 cm vyšší než Petr.

(x + 3) cm

Milan je o 15 cm menší než Kuba.

(x – 12) cm

Hynkova výška zvětšená o 172 cm je rovna dvojnásobku výšky Petra.

(2x – 172) cm

Kuba: 181 cm Milan: 166 cm Hynek: 184 cm

2.

Zjednoduš výrazy. a) 2x 2+ 3x – 5 – 7y + 4x + 6 – 2y = 2x2 + 7x – 9y + 1 b) 12x – 8(2x + 3y ) + 36y = –4x + 12 y c) 17y 2– 15y + 4 – 22x + 16 – 9 + 4x = 17y2 – 18x – 15y + 11 d) (2x – 3y)(x 2+ 5) + 3(x 2y + 5y ) + x 3 – 5x = 3x2 + 5x

6

3.

Spoj výrazy, které jsou si rovny.

4.

(a – 1) · (a + 2) (a – 3) · (a + 1)

a 2 – 3a – 4

(a – 3) · a + 4

a · (a + 1) – 2

a · (a – 2) – (a + 4)

a 2 – 2a – 3

a 2 – 3a + 4

a 2 – a – 2

a 2 + a – 2

Rozlož výrazy na součin mnohočlenů.

a)

(x – 1)2 x 2 – 2x + 1 =

c)

2 9x 2 + 24xy + 16y 2 = (3x + 4y)

b)

(a + b) (a – 3) a 2 + ab – 3a – 3b =

d)

a 4 – a 6 = a4 (1 – a) (1 + a)

LINEÁRNÍ ROVNICE Vyřeš rovnice a proveď zkoušky.

a)

5(x – 2) – 7(x + 1) = 3(1 – 2x) x=5 L = P = –27

b)

(2x – 3) (x + 2) = 2(x 2 – 1) + 4x – 7 x=1 L = P = –3

c) 3x – 4 – x + 2 – 2x = 1,2 5 6 3 x = –10 L = P = 1,2


1.

7

2.

Zjisti, pro která x ∈ {–1; 0; 1; 3; 5} jsou si výrazy 3x – 6ax 2 – 2x – 6 rovny. Výrazy jsou si rovny pro x = 0 a x = 5.

3.

Tři studentky si na letní brigádě dohromady vydělaly 1 780 Kč. Částku si rozdělily podle toho, jak dlouho pracovaly. Pavlína dostala o třetinu méně než Hanka. Eva dostala o sto korun méně než Hanka. Kolik dostala každá z nich? Hanka dostala 705 Kč, Pavlína 470 Kč a Eva 605 Kč.

4.

Neoprenové tričko bylo zlevněno o 100 Kč. Původní cena trička zvýšená o 1 Kč je šestkrát vyšší než výše slevy. Kolik stálo tričko před zlevněním a kolik po zlevnění? Před zlevněním stálo tričko 599 Kč a po zlevnění 499 Kč.

5.

Kamarádi o víkendu hráli paintball. Vendelín během 10 minut vystřílel polovinu kuliček ze zásobníku. Za dalších deset minut přišel o 23 zbytku a za dalších pět minut vystřílel i zbývajících 35 kuliček. Kolik kuliček měl Vendelín v zásobníku původně? Vendelín měl v zásobníku celkem 210 kuliček.

8

STATISTIKA A PRAVDĚPODOBNOST

florbal

40 žáků

lyžování

72 žáků

tenis

15 žáků

plavání

29 žáků

cyklistika

44 žáků

florbal (20 %) lyžování (36 %) tenis (7,5 %) plavání (14,5 %) cyklistika (22%)

Nakresli sloupcový diagram k dané tabulce. Tabulka vyjadřuje, kolik telefonů určité značky se prodalo v elektroprodejně za měsíc. Vypočítej modus a medián značek prodaných telefonů. Kolik kusů telefonů se průměrně prodalo od jedné značky? Značka

Počet kusů

Samsung

20

Nokia

10

Siemens

15

Apple

30

Motorola

7

Sony

8 Sam.

3.

Nok.

Sie.

App.

Mot.

Son.

V užším výběru Miss World porotci zjišťovali barvu očí finalistek. Výsledky zapsali do následující tabulky. Urči modus. Barva očí Počet finalistek

Hnědá

Zelená

Modrá

Černá

Šedá

12

5

3

4

1

Modus: hnědá

4.

značka

Urči pravděpodobnost, že na hrací kostce padnou daná čísla.

a)

číslo větší než 4

Pravděpodobnost je 1 3

b)

sudé číslo

Pravděpodobnost je 1 2


2.

Dvě stě žáků ze základní školy vyplnilo anketu, kterému z nabízených sportů se věnovali v životě nejvíce. Výsledky jsou znázorněny pomocí kruhového diagramu. Urči, kolik žáků se věnovalo jednotlivým sportům.

počet kusů

1.

9

VYJÁDŘENÍ NEZNÁMÉ ZE VZORCE 1.

2.

Tvoje spolužačka Vendula chce vysvětlit, jak se vyjadřuje neznámá ze vzorce. Co musí udělat nejdřív, aby ze vzorce x 3 – 2y 2 – 5 = 0 vyjádřila y ? Zapiš pořadí, ve kterém bude provádět jednotlivé kroky. 1.

a)

převede se na druhou stranu 2y 2

3.

b)

odmocní

2.

c)

vydělí rovnici dvěma

Ze vzorce pro výpočet obsahu obdélníku vyjádři stranu b a pak ji vypočítej. Obsah obdélníku je 150 dm2 a strana a = 300 cm.

b = 50 cm

Vyber správnou možnost. a) Zakroužkuj vyjádření neznámé x ze vzorce.

5.

Ze vzorce pro výpočet objemu válce vyjádři výšku a pak ji vypočítej. Objem válce je 157 cm3 a poloměr podstavy je 2 cm. v = V2 πr v = 12,5 cm

b= S a

4.

3.

b) Zakroužkuj vyjádření neznámé y ze vzorce. y 2

x 2 – 5y = 2 – x 2 2y – x =

•

1 + 2,5y

•

y=–

2 + 5y • 2

•

y = 2x 3

•

•

y=

2 + 5y : 2

2x 3

2x + y 4

Kruh i čtverec na obrázku mají stejný obsah. Vyjádři závislost délky strany čtverce a na poloměru kruhu r a pak závislost poloměru kruhu r na délce strany čtverce a.

a= πr r= a π

10

a

+

r

SOUHRNNÝ TEST

1.

Vypočítej a výsledek zapiš jako desetinné číslo. a)

b)

2.

– 2 = 0,95 (2 14 + 35 ) · ( 11 15 5 ) 1 – 5 3 = –2,4 1+1 6 9

Zoologická zahrada ve své výroční zprávě zveřejnila přehled chovaných zvířat z podkmene obratlovců. a) Doplň tabulku. Počet kusů chovaných druhů

Počet chovaných druhů v %

Ryby

45

22,5

Obojživelníci

12

6

Plazi

38

19

Ptáci

59

29,5

Savci

46

23

200

100

Třída

Celkem

b) V jakém poměru jsou počty chovaných druhů ryb a obojživelníků? Poměr uprav na základní tvar. Ryby a obojživelníci jsou chované v poměru 15 : 4. c) Dokonči kruhový diagram.

19 %

23 % 22,5 %

obojživelníci plazi ptáci ..................... savci .....................

6 %

3.

ryby

Vypočítej a výsledky znázorni na číselné ose. 23 =

–(–1)6 = 23 · 25 = 27

–32 = –9 × –10

√ 0,25 = √50 · √2 = 2

–1 ×

0,5 × 0

2 ×

5 ×

8 ×

10


29,5 %

11

4.

Z jedné obdélníkové desky chce truhlář vytvořit dvě stejné desky tvaru trojúhelníku. Deska má rozměry 12 dm a 9 dm. Vypočítej délku řezu. Délka řezu desky je 15 dm.

5.

Uprav výrazy. O správnosti svého postupu se přesvědč dosazením za b = –3 do původního a upraveného výrazu. a) (b + 2) · (2b – 3) = 2b2 + b – 6 = –9

b) (b – 2)2 – b · (b – 3) = –b + 4 = 7

6.

Kastelán počítal návštěvnost hradu ve druhém čtvrtletí roku 2014. Zjistil, že v dubnu přišlo o 70 návštěvníků méně než v květnu a oproti červnu byla dubnová návštěvnost poloviční. Celkem v těchto třech měsících hrad navštívilo 870 lidí. Jaká byla návštěvnost v jednotlivých měsících? Návštěvnost byla v dubnu 200, v květnu 270 a v červnu 400 návštěvníků.

7.

Ve skupině angličtinářů byli z písemného testu hodnoceni žáci těmito známkami: 2, 1, 1, 3, 5, 2, 2, 1, 3, 1, 3, 1. a) Zapiš četnost známek do tabulky. Známka

1

2

3

4

5

Četnost

5

3

3

0

1

b) Urči medián a modus.

8.

Medián: 2

a výsledek zaokrouhli na setiny. Aritmetický průměr známek je 2,08.

Modus: 1

Z každého vzorce pro obsah obrazce vyjádři proměnnou a. S=a·b 2 S=a·b

12

c) Vypočítej aritmetický průměr známek

a = 2S b a=S b

S = a2

a= S

S=a+c ·v 2

a = 2S – c v

OPAKOVÁNÍ ZNALOSTÍ O ROVNICÍCH 1.

Rozhodni, zda se jedná o ekvivalentní úpravy rovnice. K oběma stranám rovnice přičteme /odečteme stejné číslo.

ANO ×

Obě strany rovnice vynásobíme libovolným stejným číslem.

×

K levé straně rovnice přičteme libovolné číslo různé od nuly.

×

Od obou stran rovnice odečteme stejný mnohočlen.

× ×

Pravou stranu rovnice můžeme vynásobit číslem –1. Obě strany rovnice můžeme vydělit stejným číslem různým od nuly.

2.

×

Vypočítej rovnice a proveď zkoušku. a) 9 m – 18 = 6 m – 42

3.

NE

1 1 b) 5 · ( z + 6) = 3 · ( z – 2)

m = –8

z = 14

L = P = –90

L=P=4

Znak X označuje určitý stejný počet kusů jablek. Podle váhy zapiš rovnici, využij ekvivalentních úprav a z rovnice zjisti, kolik je X jablek. Proveď zkoušku. x=3 L = P = 13

4.

X X

X

X jsou 3 jablka.

X

1 Piráti si dělili ukradené zlaťáky. První dostal 3 zlaťáků, druhý 24 zlaťáků a třetí 40 % z celkového počtu zlaťáků. Kolik zlaťáků piráti ukradli? Piráti uloupili 90 zlaťáků.

II. SOUSTAVY ROVNIC

X

13

CO JE TO SOUSTAVA ROVNIC 1.

Najdi alespoň tři dvojice čísel x a y, které jsou řešením rovnice o dvou neznámých. Proveď zkoušku.

5x – 3y = 2 VOŽ

2.

Doplň tabulku dvojic čísel tak, aby byly řešením rovnice 3x + 2y = 4. – 2 0 –1 11 2 x 3 y

3.

5

–1

2

0

3,5

Z každé rovnice postupně vyjádři obě neznámé. b) m + 3n = 5 2

a) 3x + y = 7 x= 7–y

m = 10 – 6n

y = 7 – 3x

n = 10 – m

3

4.

5.

Řeš soustavy rovnic a proveď zkoušku. x = 2y – 6

a + b = 3

x = 4 y – 10

a – b = 1

[–2; 2]

[2; 1]

Urči, která z uspořádaných dvojic čísel je řešením obou rovnic. x + y = 3 3x – y = 5

14

6

[2; 2]

[1; 1]

[2; 1]

[1; 2]

DOSAZOVACÍ METODA

Nacvič si výpočet soustavy rovnic metodou dosazovací. Jednu neznámou představuje a druhou neznámou představuje . Nejprve si vyjádři z první rovnice a potom ho dosaď do druhé rovnice. Proveď zkoušku.

+

3 ·

2.

– 2 ·

= 9

=

= 2

=4

L1 = P1 = 9

=5

L2 = P2 = 2

Vypočítej soustavy rovnic metodou dosazovací. Urči, která soustava rovnic má jedno, žádné a nekonečně mnoho řešení. Pokud je to možné, proveď zkoušku. a) 2x + y = 7 c) 2a – b = –13 3y + 5x = 17 6a – 3b = –7 [4; –1]

nemá řešení

L1 = P1 = 7 L2 = P2 = 17

7 x – 1 x b) y + = 3 d) = – 2 y 2 3 8 x – 3 y x + = 1 = 2 – y 3 3 9

nekonečně mnoho řešení [a, 3 – a]; a ∈ R 3

[3; –5] L1 = P1 = 10 L2 = P2 = 7

II. SOUSTAVY ROVNIC

1.

15

3.

Lenka přepisovala soustavu rovnic ze sešitu na papír. Přitom však udělala několik chyb. Najdeš je? Proveď zkoušku.

3x + y 9 = 2 / . 9 x + 2 = –3y 3x + y = 18 x + 2 =–3y x = –3y – 2 3. (–3y +– 2) + y = 18 8 –9y – 63 +– y = 1 –8y = 18 + 6 – 8y = 24 /: (–8) y = –3 [7; –3] x = – 3 . (-3) – 2 x = 9 –+ 2 x = 7 4.

Zk.: 1. rovnice L1 = P1 = 2 2. rovnice L2 = P2 = 9

V obchodě IKEA prodávají celkem 29 stolů. Psacích je o 5 více než jídelních. Kolik prodávají stolů psacích a kolik stolů jídelních? Vypočítej metodou dosazovací. Psacích stolů je 17, jídelních je 12.

5.

Zapletalovi se vracejí z dovolené ve Francii a v peněžence jim zbývá několik drobných euro mincí v hodnotě 2 € a 1 €. Celkový počet kusů mincí je 58 a jejich celková hodnota je 89 €. Kolik mají mincí v hodnotě 2 € a kolik v hodnotě 1 €? 2€ mincí je 31; 1€ mincí je 27.

6.

Tomáš má dvě přihrádky s CD-ROMy. Aritmetický průměr počtu CD v obou přihrádkách je 30. Kdyby přidal do první přihrádky dalších 10 CD, bylo by jich zde 1,5 krát více než ve druhé přihrádce. Kolik CD je v každé přihrádce? V první přihrádce je 32 CD, ve druhé je 28 CD.

16

SČÍTACÍ METODA 1.

Soustava rovnic je řešená sčítací metodou. Chybějící údaje doplň do kroužků. Proveď zkoušku.

7 x – 2 y = –1 / ·

5 x + 4 y = 21

2

4y 14 x – = –2

7·1 – 2 y = –1

5 x + 4 y = 21

7 – 2 y = –1

14 x + 5x – 4 y + 4 y = –2 + 21 19 x = 19

ZK: L1 =

–2 y = –1 – 7

P1 =

–2 y = –8

L2 =

y = 4

P2 =

x = 1

[1;

4

]

L1 = P1 = –1 L2 = P2 = 21

Vypočítej soustavy rovnic sčítací metodou. Proveď zkoušky.

a) 6 m + 2 n = 20 m – 4 n = –1

b)

c) 3 x + 1,7 = – y 5 x – 0,9 = 0,2 y

[3; 1]

[0,1; –2]

L1 = P1 = 20

L1 = P1 = 2

L2 = P2 = –1

L2 = P2 = –0,4

2 a + 5 = 10 4 a – 2 b = –10 [–1,25; 2,5] L1 = P1 = 10 L2 = P2 = –10

d) 2 · (2 t + 3) + s = 4 3 · (4 t + s) = –7 nemá řešení

II. SOUSTAVY ROVNIC

2.

17

3.

Počet obyvatel Londýna je o 5 939 376 vyšší než počet obyvatel Paříže. Čtyřnásobný počet obyvatel Paříže je o 762 078 nižší než počet obyvatel Londýna. Jaký je počet obyvatel Londýna a Paříže?

V Londýně žije 7 665 142 a v Paříži 1 725 766 obyvatel.

4.

V sále se svítí 14 žárovkami. Některé z nich jsou staré klasické s příkonem 60 W. Ostatní již byly vyměněny za nové moderní LED žárovky s příkonem 9 W. Kolik je již vyměněno žárovek, jestliže příkon sálu je nyní 432 W? Vyměnilo se 8 žárovek.

SROVNÁVACÍ METODA 1.

Zopakuj si vyjadřování neznámé x z daných rovnic.

2.

a)

3 y + 4 x = 7

b)

5 x + 4 y = –2

x=

–2 – 4y 5

Ze všech rovnic vyjádři neznámou a tvoř soustavy rovnic vždy s rovnicí v rámečku. Řeš metodou srovnávací. Proveď zkoušky. 3 x – 2 y = –7

a)

2 x + 6 y = –1

x =

[–2; 0,5] L1 = P1 = –1 L2 = P2 = –7

18

7 – 3y 4

x =

3 x – y = 5 2 x =

b)

nemá řešení

ŘEŠENÍ SOUSTAV ROVNIC 1.

Řeš soustavy rovnic danými metodami a proveď zkoušku. a) metoda sčítací a dosazovací 3 x + y = 18 x + 3 y = –2

2.

b) metoda dosazovací a srovnávací x + 5 y = –2 2 x + 9 y = –2

[7; –3]

[8; –2]

L1 = P1 = 18

L1 = P1 = –2

L2 = P2 = –2

L2 = P2 = –2

Při dostavbě dálnice D8 byli investoři nuceni novou část stavby rozdělit na dva úseky. První úsek je 3,5 krát delší než druhý. Celková délka obou úseků dálnice je 54 km. Jakou délku mají oba úseky dálnice? Vypočítej libovolnou metodou.

1. úsek je dlouhý 42 km, 2. úsek je dlouhý 12 km.

Na večírek přišlo o 10 chlapců méně než děvčat. Po odchodu sedmi chlapců a jedné slečny zbylo na večírku dvakrát více děvčat než chlapců. Kolik chlapců a kolik děvčat přišlo na večírek? Na večírku bylo 33 dívek a 23 chlapců.

II. SOUSTAVY ROVNIC

3.

19

4.

Řeš rovnice. a) 4s + 2t = –14 s – 3t = 7

4 x – y = 13 3 3y – 4x = –17

c)

[–2; –3]

nemá řešení

L1 = P1 = –14 L2 = P2 = 7

d) 5 · (2y – 1) + 12x = –27 2 · (5y – 6) = 3x – 4

b) 6 – 2y = 15x + 10 6y + 15 = 3 – 7x [0; –2]

[–2; 0,2]

L1 = P1 = 10

L1 = P1 = –27

L2 = P2 = 3

L2 = P2 = –10

SLOVNÍ ÚLOHY O SMĚSÍCH A ROZTOCÍCH 1.

V prodejně Oxalis prodávají míchané čaje. Bylinky do čajů vykupují od dodavatele za ceny uvedené v zelené tabulce. Do modré tabulky doplň ceny směsí bylinných čajů. V čaji jsou složky obsaženy ve stejném množství. Bylinka Cena za 1 kg v Kč

Složky čajů Cena za 1 kg směsi v Kč

20

Meduňka lékařská

Máta kadeřavá

Pelyněk pravý

Andělika lékařská plod

Heřmánek římský

150

100

70

130

450

Meduňka + máta

Meduňka + heřmánek

Pelyněk + andělika

Meduňka + máta + heřmánek

125

300

100

233

2.

Jana koupila na zeleninový salát rajčata cherry v ceně 81 Kč za 1 kg a ledový salát v ceně 48 Kč za 1 kg. Kolik kg rajčat a kolik kg salátu Jana koupila, jestliže zaplatila 95 Kč za 13 kg zeleniny? 9 Jana koupila 7 kg rajčat a 2 kg salátu. 9 3

3.

V luxusní pralinkárně připravili 12 kg směsi dvou druhů bonbónů v ceně 270 Kč za 1 kg. Marcipánové bonbóny stojí 345 Kč/kg a nugátové 255 Kč/kg. Kolik kilogramů každého druhu bonbónů bylo použito? Marcipánu bylo 2 kg, nugátu bylo 10 kg.

V nemocnici v Kladně dezinfikují přístroje v nádobě, do které se vlévá 25 litrů dezinfekčního roztoku o koncentraci 1,5 %. Sestra má k dispozici šestilitrový kanystr se 100% dezinfekčním prostředkem. Na kolik nádob jí takový kanystr vystačí?

Kanystr vystačí na 16 nádob.

II. SOUSTAVY ROVNIC

4.

21

SLOVNÍ ÚLOHY O POHYBU 1.

Výletní parník míří z Jamajky na ostrov vzdálený 6 km. Vyplouvá rychlostí 15 km/h. Potom svou rychlost zvýší na 30 km/h. Na ostrov dorazí přesně za 14 minut. Kolik minut pluje zvýšenou rychlostí? Se zvýšenou rychlostí pluje 10 minut.

2 .

Vzdušná vzdálenost Praha–Berlín je 280 km. Letadlo z Prahy do Berlína letí rychlostí 450 km/h. Druhé letadlo letí z Berlína do Prahy. Obě letadla se minou po 20 minutách letu. Jaká je rychlost letadla letícího do Prahy, jestliže obě letadla vzlétla současně?

Berlín

Praha

Letadlo z Berlína letí rychlostí 390 km/h.

3.

Z Prahy vyjíždí Pendolino. Ve stejný čas vyjíždí rychlík z Pardubic. Oba vlaky míří do Olomouce. Rychlík jede průměrnou rychlostí 65 km/h, Pendolino jede průměrnou rychlostí 115 km/h. Vzdálenost Praha–Pardubice je 104 km. Za jak dlouho Pendolino dostihne rychlík? Praha

Pardubice Olomouc

Vlaky se potkají za 2,08 hodiny.

4.

Na Mistrovství světa v atletice se právě chystá start běhu mužů na 1 500 metrů. Běžec Michal Šneberger vyběhl rychlostí 6,5 m /s, běžec Bernard Lagat dosahující lepších výsledků vyběhl až 5 s po startu, jeho rychlost byla 7 m /s. Dohoní běžec Lagat běžce Šnebergera? Pokud ano, tak na kterém metru a za kolik sekund? Lagat dohoní Šnebergera na 455 m po 65 s svého běhu (70 s od startu).

22

5.

Televize Prima uspořádala soutěž snoubenců. Pro svatbu v televizi se musí co nejdříve setkat v centru města. Snoubenci jsou od sebe 6 km daleko. Nevěsta vyšla v 9:30 rychlostí 6 km/h, po 200 m ji na čtvrt hodiny zdrželo hledání cesty. Ženich vyběhl v 9:30 rychlostí 9 km/h a po celou dobu běžel stejnou rychlostí. V kolik hodin se oba snoubenci setkali? Kolik km ušla nevěsta a kolik km uběhl ženich?

Setkali se v 10:00. Ženich uběhl 4,5 km, nevěsta 1,5 km.

6.

Technické muzeum potřebovalo přesunout tank T 34/85 do Pardubic na výstavu. Nákladní auto s tankem vyrazilo v 8:30 rychlostí 45 km/h. Za půl hodiny za ním vyrazila dodávka s dalšími drobnými exponáty rychlostí 75 km/h. V kolik hodin a v jaké vzdálenosti od muzea dodávka nákladní auto dohonila?

Potkají se v 9:45, tj. 56,25 km od muzea.

SLOVNÍ ÚLOHY O PRÁCI LIDÍ A VÝKONU STROJŮ Dva kronikáři mají za úkol přepsat do počítače Kroniku města Jičína. Prvnímu by tato práce trvala 8 hodin, druhému 10 hodin. a)

Jak velkou část práce by udělali společně za 1 hodinu?

9 40

b)

Jak velkou část práce by udělali společně za 2 hodiny?

9 20

c)

Jak velkou část práce by udělali společně za x hodin?

9 x 20

II. SOUSTAVY ROVNIC

1.

23

2.

3.

Manažerka Karolína by marketingový plán podniku sama zpracovávala k hodin, její kolega Marek by jej sám zpracovával m hodin. Jejich společná práce trvala x hodin. Vyber správnou rovnici vyjadřující jejich společnou práci a poté z ní vyjádři x.

(

)

a)

1 – 1 = x k m

c)

x· 1 + 1 =1 k m

b)

1 – 1 = 1 k m x

d)

x· 1 + 1 =1 k m

x=

k · m m+k

Na dovolené v Egyptě tě požádali místní údržbáři, abys jim pomohl s výpočty. „Když do nádoby na pitnou vodu přivedeme jeden pramen, naplní se nádoba za 6 hodin. Druhý pramen vody naplní nádobu za 9 hodin. Za jak dlouhou dobu se naplní nádoba při napojení obou pramenů?“ Oba prameny naplní nádobu za 3,6 h.

4.

V ZOO Praha potřebují vědět, jak dlouho vystačí ovoce pro gorily. Zásoba ve skladu by samici Kambě vystačila na 25 dní, samci Richardovi na 20 dní a malému Nuru dokonce na 40 dní. Na jak dlouho zásoba vystačí, pokud z ní budou krmeni všichni?

Zásoby vydrží na 8,7 dne.

5.

Pan Karel zvládne postavit parní saunu za 10 dní. Pan Jaroslav se nabídl, že mu se stavbou pomůže. Společně postavili saunu za 6 dní. Jak dlouho by trvalo postavit saunu, pokud by pracoval pouze pan Jaroslav? Pan Jaroslav by saunu stavěl 15 dní.

24

SOUHRNNÝ TEST

1.

Pětinásobek neznámého čísla zmenšený o 7 se rovná dvojnásobku téhož čísla zvětšeného o 8. Jaké je neznámé číslo?

Neznámé číslo je 5.

Pro kterou soustavu dvou rovnic o dvou neznámých je řešením uspořádaná dvojice [3,1]? Správnou dvojici zakroužkuj. a)

3.

4.

x–y=2

b) 2x + y = 7

5x – 6y = 9

x – 2y = 0

Martinovi zůstalo na skladě v prodejně několik kusů chytrých telefonů v hodnotě 150 € / kus a tabletů v hodnotě 180 € / kus. Celkem měl na skladě 12 kusů oboží o hodnotě 1 950 €. Kolik chytrých telefonů a kolik tabletů měl na skladě? Doplň tabulku. Řeš dosazovací metodou.

Počet

Cena za ks v €

Cena celkem v €

Telefony

7

150

1050

Tablety

5

180

900

Celkem

12

–––

1950

Řeš soustavy rovnic sčítací metodou a zapiš řešení. 3x – y = 5

–3x = 5y + 1

5x – 2y = 4

x+y=3

0 = 6x + 10y

10x – 6y = 5

[2; 1]

nemá řešení

[1,4; 1,5]

II. SOUSTAVY ROVNIC

2.

25

5.

Ve sběrně za dopoledne vykoupili tolik červeného rybízu, že byl o 40 kg lehčí než osminásobek množství černého rybízu. Jana ale spočítala, že totéž množství červeného rybízu může zapsat jako pětinásobek množství černého rybízu zvětšený o 32 kg. Kolik červeného a černého rybízu vlastně ve sběrně vykoupili? Řeš srovnávací metodou.

Červeného rybízu bylo 152 kg, černého 24 kg.

6.

Při nákupu granulí pro kočku Lízu se Jakub rozhodl koupit dražší granule po 90 Kč za 1 kg a levnější za 55 Kč za 1 kg. Prodavačka navážila celkem 1,2 kg granulí, za které Jakub zaplatil 83,50 Kč. Kolik kilogramů každého druhu granulí Jakub koupil?

Dražších koupil 0,5 kg, levnějších 0,7 kg.

7.

Při fyzikálním pokusu sledovali žáci rovnoměrný přímočarý pohyb dvou kuliček na vodorovné podložce. Černá kulička se pohybovala rychlostí 10 cm za 1 s a bílá rychlostí 15 cm za 1 s. Žáci začali měřit čas, když se černá kulička nacházela v bodě A. Bílá kulička se stejným bodem A prokutálela o 20 s později. Za jak dlouho předhoní bílá kulička černou? Kolik metrů přitom urazí?

Bílá kulička dožene černou za 40 s od doby, kdy projela bodem A a bude od něj vzdálená 6 m.

8.

V hrnčířské dílně potřebují splnit zakázku do deseti dnů. Zakázku začne plnit pracovnice, která by ji sama dokončila za 15 dní. Po uplynutí jednoho dne se k ní přidá druhá, která by sama celou zakázku od začátku dokončila za 20 dní. Za jak dlouho splní zakázku, budou-li od této chvíle pracovat společně? Podaří se jim dodržet termín?

Zakázka bude hotová za 9 dní.

26

ZÁVISLOSTI, PŘIŘAZOVÁNÍ, PŘEDPISY 1.

Podle obrázku vytvoř pravdivá tvrzení. Následně do soustavy souřadnic Oxy vyznač body B [0; 2,3], C [–1; 21 ], D [3; 0], E [4; –1], F [–1; –1].

ZÁVISLOSTI, PŘIŘAZOVÁNÍ, PŘEDPISY Čísla 2, 1 v zápise A [2; 1] určují

počátek soustavy souřadnic.

Číslo 1 je v zápise A [2; 1]

polohu bodu A v soustavě souřadnic.

Y-ová souřadnice počátku soustavy souřadnic se rovná Bod O [0; 0] se nazývá Osa x je

3.

3 2

nule.

C

vodorovná osa soustavy souřadnic.

–1

F

y-ová souřadnice bodu A.

B A [2; 1]

1

D 0

1

2

3

5 x

4

E

–1

Doplň tabulku, která udává, kolik dávek a kolik ml L-Carnitinu musí profesionální veslař Michal Vabroušek vypít během různě dlouhých tréninků. Během jedné hodiny musí vypít 3 dávky L-Carnitinu po deseti mililitrech. Počet hodin tréninku

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

Počet dávek

3

4,5

6

7,5

9

10,5

12

13,5

Objem L-Carnitinu v ml

30

45

60

75

90

105

120

135

Běžkař Bauer trénuje na světový pohár v Krušných horách. Aplikace na mobilním telefonu mu umožnila zaznamenat počet uběhnutých kilometrů v průběhu tréninku. a) Kolik kilometrů běžkař Bauer celkem uběhl? b) Jak dlouho během celé trasy odpočíval? c) Jak dlouho byl v pohybu?

y (km) D

f) Jaká byla jeho průměrná rychlost, započítáš-li i přestávky?

E F

20

d) Kdy běžel nejrychleji? Kdy nejpomaleji? e) Jakou měl průměrnou rychlost, neuvažuješ-li přestávky?

G

30

B 10

C

A 0

1

2

3

4

5 x (h)

a) 32 km b) 1,5 h c) 3 h d) nejrychleji FG, nejpomaleji DE e) v = 7,1 km/h f) v´ = 10,7 km/h

III. FUNKCE

2.

y

27

CO JE A CO NENÍ FUNKCE 1.

Rozhodni, zda následující tabulky definují funkce. Pokud ano, zapiš jejich definiční obor a obor hodnot.

a)

b)

2.

x

3

1

4

0

2

y

–1

– 2

– 3

– 4

–1

{0, 1, 2, 3, 4} D = .......................................................................... {–1, –2, –3, –4} H = ..........................................................................

x

–1

– 4

– 2

–1

– 3

není funkce D = ..........................................................................

y

0

1

2

3

4

H = ..........................................................................

Rozhodni, zda jsou na obrázcích znázorněny grafy funkcí. Grafy funkcí zakroužkuj. a)

b)

c)

d) y

–2

–1

y 4

y 4

y 4

4

3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1

0

1

2

x

3

–2

–1

–1

0

1

–2

–2

x

–1

0

1

2

3

x

–2

0

1

2

3

x

–1 –2

Ano

Ano

Ne

Urči definiční obor a obor hodnot u funkcí, které jsou zadány grafem. b)

y

–2

–1

4

3

3

2

2

1

1

0

>

y

4

1

2

3

–2

x

–1

0

–1

–1

–2

–2

D = (–2, 3

>

1

D = R – {0}

H = (0, 2,5

2

3

x

H = R – {0}

Funkce je dána následující tabulkou. x

–3

–2

–1

0

1

2

y

–2

–1

0

1

2

3

y 3 2

a) Zapiš definiční obor funkce. D = {–3, –2, –1, 0, 1, 2} ...................................................................................................... b) Zapiš obor hodnot funkce. –3 H = {–2, –1, 0, 1, 2, 3} ...................................................................................................... c) Urči hodnotu funkce, která je přiřazena číslům –3 a 0. f (–3) = –2; f (0) = 1 ...................................................................................................... d) Sestroj graf funkce v pravoúhlé soustavě souřadnic O[x; y].

28

–1

–2

–2

a)

4.

3

–1

Ne 3.

2

–1

1 –2

–1

0 –1 –2 –3

1

2

3 x

PŘÍMÁ ÚMĚRNOST 1.

Urči, který z grafů je graf přímé úměrnosti. a)

b)

c)

x

0

x

0

Ne

y

y

y

y

2.

d)

x

0

Ne

x

0

Ano

Ano

Přiřaď předpisy funkcí k jednotlivým grafům. a) y = 2x y

b) y = 0,5x c) y = 0,25x d) y = 4x

A

D

4

E B

3

C

e) y = x 2 1

0

2

3

4

5

6

x

Sestroj grafy funkcí. b) y = 1,2x

a) y = –x

y

c) y = – 3x

6 4 2 –6 –4 –2 0 –2 y

–4

6

–6

4 2 –6 –4 –2 0 –2

2

4

6 x y 6 4 2

2

4

6 x

–6 –4 –2 0 –2

–4

–4

–6

–6

2

4

6 x

III. FUNKCE

3.

1

29

4.

Jedna vstupenka na film Hunger games stojí 180 Kč. Doplň tabulku a sestroj graf přímé úměrnosti, jejíž některé body jsou dány tabulkou. Zvol vhodné měřítko na osách x a y. Počet prodaných vstupenek Celková tržba v Kč

100

200

500

750

1000

18 000

36 000

90 000

135 000

180 000

prodané vstupenky (ks)

180 000 y 144 000 108 000 72 000 36 000 100 200

500 750 tržba (Kč)

1000

x

NEPŘÍMÁ ÚMĚRNOST 1.

Vyber z následujících tabulek ty, které vyjadřují nepřímou úměrnost. Grafy nepřímých úměrností načrtni. a) Počet operátorů v call centru u telefonního operátora

10

15

20

30

40

Čekací doba zákazníka na lince v minutách

12

8

6

4

3

Hmotnost kuřete v kg

1

1,2

1,5

1,8

2

Celková cena v Kč

56

67,20

84

100,80

112

Rychlost auta v km/h

60

80

90

100

120

Čas ujetí stejné vzdálenosti v hodinách

0,6

0,45

0,4

0,36

0,3

Ano

b) Ne

c)

30

Ano

2.

Zakroužkuj grafy nepřímé úměrnosti. a)

b)

c)

y

y

y

x

0

d) y

• •

x

0

•

•

• x

0

3.

Doplň tabulku nepřímé úměrnosti čísly z hvězdiček. Urči její koeficient k tak, aby platilo y = k . x x

–3

–2

–1

1

2

y

–3

–4,5

–9

–9

4,5

4,5

4.

x

0

k=

9

-9

–4,5

9

–3

Načrtni graf nepřímé úměrnosti. a) y = x7 ; pro x = –7; –3,5; –1; 1; 3,5; 7

b) y = –0,5 x ; x ∈ R; x ≠ 0

y

y

10 2 5

–10

–5

0

1 5

10 x

–2

–1

0

1

2

x

–1

–5

–2

5.

Některé body nenáleží grafu nepřímé úměrnosti dané rovnicí y = 4 . Najdeš je? x A [1; –4]

B [2; –2] F [–8; –0,5]

C [–1; –4] G [16; 4]

A, B, G

D [–4; –1] E [–2; –2]

H [–16; –0,25]

III. FUNKCE

–10

31

LINEÁRNÍ FUNKCE A JEJÍ GRAF 1.

Rozhodni, zda jsou uvedená tvrzení pravdivá.

ANO NE Grafem lineární funkce, jejímž definičním oborem jsou všechna reálná čísla, může být × polopřímka. Chceme-li sestrojit graf konstantní funkce, stačí, když známe souřadnice průsečíku jejího grafu s osou y.

×

Lineární funkce je dána vzorcem y = kx + q, kde k a q jsou libovolná reálná čísla. Pokud platí q = 0, jedná se o konstantní funkci. Definiční obor tvoří všechna čísla.

×

Grafem konstantní funkce je rovnoběžka s osou y.

×

K sestrojení grafu lineární funkce stačí znát souřadnice dvou bodů, jimiž graf prochází.

2.

×

Utvoř správné čtveřice pro předpis lineární funkce y = kx + q. y

Konstantní

k≠0

Obor hodnot funkce tvoří

funkce

q∈R

všechna reálná čísla.

0

x

y

Přímá

k=0

Obor hodnot funkce tvoří

úměrnost

q∈R

všechna reálná čísla.

0

x

y

3.

Ostatní

k≠0

Oborem hodnot funkce je

lineární funkce

q=0

jen číslo q.

x

Sestroj grafy lineární funkce. a) y = 2x + 1

b) y = 1,2x – 1

c) y = 3x – 2

y

y

y

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

0

32

0

1

2

3

4

x

x 1 2 3 4 0 0 Grafy záleží na volbě polohy os x a y.

1

2

3

4

x

Urči rovnici lineární funkce, jejíž graf je zobrazen v soustavě souřadnic. a) y = –x + 1 ........................................

1 c) y = x 2 ........................................

e) y = 1,5 ........................................

y 2

y 2

y 2

1

1

1

–2

0

–2

2 x

–1

0

1

2 x

–2

–1

0

–1

–1

–2

–2

–2

1 b) y = x – 1 2 ........................................

d) y = –1 ........................................

y 2

y 2

y 2

1

1

1

–1

0

1

2 x

–2

–1

0

1

f)

1

2 x

y = –2x ........................................

2 x

–2

–1

0

–1

–1

–1

–2

–2

–2

1

2 x

Rozhodni a zapiš, zda body uvedené v tabulce náleží grafům zadaných funkcí. Graf funkce y=x y = 2x + 1 y = –3x

6.

1

–1

–2

5.

–1

Body [0, 0]

ANO ×

× ×

[1, –1] [1, –3] [0, 1]

NE

×

[1, 1]

×

[–6, 2]

×

Do jedné soustavy souřadnic sestroj všechny grafy daných konstantních funkcí. y 2

Graf funkce f, kterému náleží bod [0; 0].

g

Graf funkce g, kterému náleží bod [2; 1,5]. 1

Graf funkce h, která je dána rovnicí y = –1. Graf funkce k, která je dána rovnicí y = 0,5. –2

–1

0 –1 –2

1

k f 2 x h

III. FUNKCE

4.

33

7.

Pomocí dvou zadaných bodů, které leží na grafu lineární funkce, rozhodni, o jakou funkci se jedná. Zapiš do rámečku, zda se jedná o konstantní funkci, funkci přímé úměrnosti nebo o obecnou lineární funkci, a urči její rovnici. a) A [0; –2], B [–4; 0]

b) C [2; 1], D [4; 1]

obecná lineární funkce

konstantní funkce

funkce přímé úměrnosti

......................................................

......................................................

......................................................

–5

y

y

y

5

5

5

0

5 x

–5

0

–5

8.

c) E [0; 0], F [–2; –2]

5 x

–5

0

–5

5 x

–5

Vypočítej průsečíky grafů daných funkcí s osou x a osou y. Pak sestroj grafy těchto funkcí a vyznač průsečíky s osami x a y. Ověř, zda vyznačené průsečíky odpovídají výpočtu. a) y = x – 3

b) y = –2x – 2

c) y = 0,5x + 1,5

[0; –3]

[0; –2]

[0; 1,5]

[3; 0]

[–1; 0]

[–3; 0]

Grafy záleží na volbě polohy os x a y. y

y

0

1

x

y

1 0

x

1 0

34

x

ROSTOUCÍ A KLESAJÍCÍ FUNKCE 1.

Doplň věty. zvětšují Pro rostoucí funkci platí: zvětšují-li se hodnoty proměnné x, .................................. se hodnoty funkce. zmenšují Pro klesající funkci platí: ............................... se hodnoty proměnné x, zmenšují se hodnoty funkce y.

Rozhodni, jestli jsou funkce rostoucí (R), klesající (K), nebo ani rostoucí ani klesající (ARAK). a)

–10

b)

–5

4.

y 10

y 10

y 10

5

5

5

5

0

5

10 x

–10

–5

10 x

5

0

–10

–5

0

5

10 x

–10

–5

–5

–5

–5

–10

–10

–10

–10

K

ARAK

5

0

–5

10 x

R

Obecná lineární funkce má předpis y = kx + 3. Napiš tři libovolné hodnoty k pro tuto funkci s danou vlastností. a) klesající funkce

– VOŽ – záporná čísla

b) rostoucí funkce

– VOŽ – záporná čísla

Přiřaď správné charakteristiky k jednotlivým funkcím. Rostoucí lineární funkce:

D

Klesající lineární funkce:

a) hodnota k a q je vždy kladné číslo.

F

d) hodnota k je vždy kladné číslo, q může být libovolné číslo.

b hodnota k je vždy záporné číslo a q vždy

e) hodnota k a q je vždy záporné číslo.

kladné číslo. c) hodnota k je vždy kladné číslo a q vždy

f) hodnota k je vždy záporné číslo, q může

záporné číslo. 5.

d)

y 10

K

3.

c)

být libovolné číslo.

Roztřiď předpisy lineárních funkcí do složek. a) y = 3x – 5

c) y = –5

b) y = –2x

d) y = 3(4x + 3) – 12x

e) y = 3,5 – 7x 8 14x f) y = 13

A, F

B, E

C, D

rostoucí funkce

klesající funkce

konstantní funkce

III. FUNKCE

2.

35

LINEÁRNÍ FUNKCE V TEORII I V PRAXI 1.

Lineární rovnicí vyjádři závislost: a) obvodu rovnostranného trojúhelníku (y ) na délce jeho strany (x), b) velikosti jedné strany obdélníku (y ) na straně druhé (x), jestliže jeho obvod je 120 cm, c) délky strany čtverce (y ) na jeho obvodu (x), d) obvodu čtverce (y ) na délce jeho strany (x), e) obvodu obdélníku (y ) na délce jeho strany (x), jeho druhá strana je o 4 cm delší, f) délky kružnice (y ) na jejím poloměru (x).

2.

Alza.cz obdržela novou zásilku iPadů. Jeden se prodává za akční cenu 6 500 Kč. a) Vyjádři vzorcem závislost tržby v Kč na počtu prodaných iPadů.

y (Kč) 3 500

y = 6500 · x

x∈N

3 000

b) Alza.cz dostane od výrobce za každý prodaný iPad 5 % z jeho ceny jako bonus za zprostředkování prodeje. Zapiš vzorcem a graficky znázorni závislost odměny na počtu prodaných iPadů.

2 500 2 000

y = 325 · x

1 500 1 000

c) O jaké funkce se jedná? Jde o přímé úměrnosti.

500

0

3.

x∈N

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 x (ks)

Benzinová sekačka má objem palivové nádrže 0,9 l. Její průměrná spotřeba paliva je 1 l benzínu na 500 m2 posečeného trávníku. a) Na kolik m 2 bude stačit plná nádrž benzínu? Nádrž bude stačit na 450 m2 trávníku. b) Zapiš vzorcem, jak se mění stav benzínu v nádrži (y) na počtu posečených m2 trávníku (x). Začínáme sekat s plnou nádrží. y = 0,9 – x · 0,002

36

4.

Horolezec Michal si potřebuje před zájezdem do Alp pořídit nové čtyřicetimetrové lano značky Singing rock. V e-shopu nabízejí toto lano v ceně 42 Kč/m. Ke každé objednávce si e-shop účtuje 250 Kč za poštovné a balné. Pokud ho koupí v obchodě, zaplatí 49 Kč za každý metr lana. Sestroj graf závislosti celkové zaplacené ceny na počtu metrů lana pro oba prodejce. Pak odpověz na otázky. a) Kde uvedené lano sežene výhodněji?

y (Kč)

Přes e-shop.

2 000

b) Od kolika metrů se vyplatí si lano objednat přes internet?

1 500 1 000

s e-

ho

p

ob

500

10

0

o ch

Vyplatí se mu to od 36 m.

d

20

30

50 x (m)

40

GRAFICKÉ ŘEŠENÍ SOUSTAVY DVOU ROVNIC Jsou dány soustavy dvou rovnic o dvou neznámých. Nejprve si vyjádři ze všech rovnic y a pak k daným soustavám přiřaď správný obrázek s grafickým řešením. 0,5x + y = 3

2x + y = 6

x + y = 4

x+y=4

y = 3 – 0,5x

y = 6 – 2x

y=4–x

y=4–x

y

y

b

a

5

–5

0

–5

5

5

x

–5

0

–5

5

x

III. FUNKCE

1.

37

2.

Soustavy rovnic řeš graficky i výpočtem. Proveď zkoušku. a) 2x + y = 5

b)

x+y=4

2x – y = 6

a)

y

2x + 2y = 0

[1; 3]

[2; –2]

L1 = P1 = 5

L1 = P1 = 6

L2 = P2 = 4

L2 = P2 = 0 x

b) x

y

3.

Z Louisiany vypluje v 9 hodin plachetnice Grece stálou rychlostí 18 km/h. V 9:30 hodin vypluje za ní ze stejného místa motorový člun, který bude plout stálou rychlostí 54 km/h. a) Vyjádři rovnicí a graficky znázorni závislost délky ujeté dráhy jednotlivých dopravních plavidel na čase. b) Z grafu urči, kdy motorový člun dostihne plachetnici. c) Výpočtem urči, kdy motorový člun dostihne plachetnici. Výsledek porovnej s grafickým řešením. y

y … km

y = 54x – 27

x…h

Počáteční stav 9:00. Motorový člun dohoní plachetnici v 9:45.

90

vzdálenost (km)

y = 18x

72 54 36 18

9

38

9.30

10 10.30 čas (h)

11 x

KVADRATICKÉ FUNKCE 1.

Obtáhni paraboly na obrázcích.

2.

Přiřaď ke každému grafu odpovídající rovnici kvadratické funkce. b) f2: y = –x 2

5

c) f3: y = 0,5x 2 d) f4: y = –0,5x

a) f1

4

2

3

e) f5: y = 2x 2 f) f6: y = –2x

e) f5

y 6

a) f1: y = x 2

c) f3

2

2

1

–1

–2

0

1

2

x

–1

d) f4

–2 –3 –4

b) f2

Na každý lístek napiš body, které náleží grafu dané funkce.

y=x

2

y = –2x 2

A, E, F

B, H, I

y = –5x 2

y = –0,4x 2

D, G

C

A [0,1; 0,01]

E [2; 4]

B [–0,5; –0,5]

F [–1; 1]

G [1; –0,4]

C [4; –80]

D [–1; –0,4]

H [1; –2]

I [3; –18]

III. FUNKCE

3.

f) f6

39

4.

5.

6.

Urči číslo a tak, aby graf funkce y = ax 2 procházel daným bodem. a) [1; 4]

a=4

c) [5; 100]

a=4

b) [2; –8]

a = –2

d) [–3; 27]

a=3

Doplň tabulku funkčních hodnot kvadratické funkce zadané rovnicí y = 0,5x 2. x

–2

–1

0

1

2

3

y

2

0,5

0

0,5

2

4,5

Načrtni grafy kvadratických funkcí. a) y = 1,5x 2, x ∈ R

c) y = 2x 2, x < 0

b) y = –x 2, x > 0

d) y = –2x 2, x < 0 y

c

0

d

7.

40

a

x

1

b

Rozhodni, zda je tabulkou zadána kvadratická funkce y = ax 2. x

–5

–1

0

2

4

y

–87,5

–3,5

0

–14

–56

Ano, jedná se o kvadratickou funkci.

SOUHRNÝ TEST

1.

Urči, zda jsou následující tabulky předpisem funkce. Pokud ano, urči definiční obor D a obor hodnot H. a)

b) x

–4

–2

3

5

x

0

4

4

6

x

–1

–2

–3

–4

y

0

7

–8

–2

y

–5

–5

3

2

y

2

2

2

2

Ano

2.

c)

Ano

Není funkce

D = {–4; –2; 3; 5}

D = {–4; –3; –2; –1}

H = {–8; –2; 0; 7}

H = {2}

Do tabulky přímé úměrnosti se vloudila chyba. Dokážeš ji najít a nesprávný údaj opravit? Zapiš rovnici přímé úměrnosti, která je určena správnou tabulkou, a sestroj její graf. nebo 3

y

x

0

2

4

5

y

0

4

6

10

10

y = 2x

8 6

8

4 2 –6

–4

–2

0

2

4

6

x

–2

3.

Koeficient rovnice nepřímé úměrnosti je 3. Zapiš rovnicí tuto nepřímou úměrnost a načrtni její graf. Které z bodů A [1; 3], B [–3; –1], C [2; 6], D [0; 0], E [6; 1 ] leží na grafu této funkce? 2

y

Na grafu funkce leží A, B, E.

6

y=3 x

4 2 –6

–4

–2

0

2

4

6

x

–2 –4

4.

Kuchař má zásobu 13,5 l oleje. Na jak dlouho mu toto množství oleje vystačí, spotřebuje-li denně na přípravu jídel tři čtvrtě litru oleje? Olej vystačí na 18 dní.

III. FUNKCE

–6

41

5.

Rostoucí funkci zakroužkuj, klesající dej do rámečku. Jak se říká lineární funkci, kterou jsi nedal ani do rámečku ani do kroužku? y = 7x – 1

6.

x–y=5 y=x–5

9 = x – 2y y = 1x – 9 2 2

y – 10 = 0 y = 11 – 4x y = 10 konstantní funkce

Doplň tabulky a načrtni grafy lineárních funkcí f, g, h, i do jedné soustavy souřadnic. Jaká je vzájemná poloha grafů těchto funkcí? Doplň dvojice grafů funkcí do správného rámečku. f: y = 0,5x + 2 x

0

2

y

x

y

h: y = x – 2 x

3

6

5

4

y

g: y = –x –2

1

y

7.

–x – 4y = 0 y = – 1x 4

2 –6

i: y = x – 1 2 x –4 0

–4

–2

0

2

4

6

x

–2 –4 –6

y

kolmice

rovnoběžky

g, h

f, i

různoběžky f, g ¦¦ i, h i, g ¦¦ f, h

Soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých řeš grafickou metodou. x – 3y = 6 y=x–4

řešení: [3; –1]

8.

42

Zakroužkuj předpis kvadratické funkce.

9.

Co je grafem kvadratické funkce?

a) y = 3x – 0,9

a) hyperbola

b) y = –5x 2

b) parabola

c) y = 4 x

c) přímka

d) y = 2 2x

d) jiná křivka

OPAKOVÁNÍ – MOCNINY

Políčka se správnou odpovědí označují bezpečnou cestu přes ledovcové trhliny. Naviguj horelezce až na vrchol hory.

Jaký je výsledek čtvrté mocniny Příklad 2 5 · 27 · 2 3 vypočítám tak, záporného čísla? že číslo 2 umocním na kladný

250 vypočítám tak, 210 že číslo 2 umocním na

2.

rozdíl exponentů.

a

2 · 35.

1

2a r

a

ar as

a r + s

a r–s

ar · as

a0

a r + a r

a–1

Vyplň jednotlivá políčka tak, že vždy použiješ základ mocniny z prvního políčka daného řádku. 23 (–3)4 3

4.

325.

V pexesu najdeš dvojice, které jsou si rovny. Vybarvi je stejnou barvou. Proměnná a je libovolné reálné číslo; a ≠ 0; proměnné r, s jsou libovolná přirozená čísla; r > s . a1

3.

Výsledek číselného výrazu 35 + 35 je stejný jako výsledek číselného výrazu

Příklad

podíl exponentů.

součet mocnitelů.

součin mocnitelů.

záporný

5

· 25

28

: 24

24

· 26

210

· 28

218

· 33

37

: 36

3

2

32

8

316

1 2

10 : 12

1 2

1 2

15

: 12

3

1 2

12

· 12

4

16

6

Splň zadané úkoly. a) Zapiš jako součin mocnin se základem 2 a 3.

b) Zapiš jako mocninu se základem 2.

[(–3)2 ]5 · (–2)8 (–2 4)· 8 · = –32 · 21 66 · 23 9 · 25

14

(2 – 4)3 · [3 – 2 · (1 – 2)2]5 · (23)2 · (5 – 7)5 = 2

IV. LOMENÉ VÝRAZY

1.

43

ZNALOSTI O MNOHOČLENECH 1.

Spoj mnohočleny s jejich názvy. x 2y – 2x 3 + y 2 – 4 7x – 7xyz 3

2.

3.

jednočlen

– 8x – 2y + 7

trojčlen

čtyřčlen

a 3b · c 7 dvoučlen

Doplň tabulku. x

y

z

x 2

2y 2

(x – yz)2

x 3 – xyz

4

– 2

0,3

16

8

21,16

66,4

5

4

–2

25

32

169

165

Když dosadíš za x libovolné číslo v následujícím výrazu, vyjde vždy stejný výsledek. Jaký? Zdůvodni. 5 · (2x – 4) + (x – 2)2 – (x 2 – 4x ) + 52 – 10x Po dosazení jakéhokoliv čísla vyjde výsledek 9, protože úpravou výrazu dostanu výsledek 9.

4.

Uprav mnohočleny na nejstručnější tvary. Pak vypočítej jejich hodnotu pro a = π . Výsledky zaokrouhlené na tři desetinná místa dopiš do displeje na kalkulačce. a) 4a – 5a 3 + a – (2a – 3a 3 – 4a ) = –2a3 + 7a

–39, 938 a) ........................ –49, 298 b) ........................

b) –(a 2 – 3a 3 ) – 5a 2 + (a 2 – a 3 )

5.

Vynásob mnohočleny, výsledky dosaď do barevných obdélníků a dopočítej výsledek. a2 · (a – 3) a3 – 3a 2

44

= – 5a2 + 2a3

(a + 3) · (7 – a)

4a – a2 + 21 +

3a · (–2 + a2)

–6a + 3a3 –

=

–2a3 – 4a2 + 10a + 21

6.

7.

Uprav na součin.

a)

21x 3y 2 – 14x 2y 7 = 7x2y2 · (3x – 2y5)

b)

5a 6 – 15a 5 + 20a 3 = 5a3 · (a3 – 3a2 + 4)

c)

25x 2 – 16y 2 = (5x – 4y) · (5x + 4y)

d)

64x 3 – 64x = 64x · (x – 1) · (x + 1)

e)

100 – 36a 2 = (10 – 6a) · (10 + 6a)

f)

16x 2 – 8xy + y 2 = (4x – y)2

g)

y 3 – 2y 2 + y = y · (y – 1)2

Doplň čísla na místa teček tak, aby dané rovnosti platily.

a)

( a – ............ 2b )2 = a 2 – ............ 4ab + 4 b 2

b)

5 ( x 2y + ............ )2 = ............ x4y2 + ............ 10x2y + 25

c)

4 a2 ( ............ – 4) · ( ............ a2 + 4) = a – ............ 16

d)

2 3 4 2 2abc · ( ............ 2ac 2 – ............ 10a3b ) = 4 a bc – 20 a b c

PŘÍPRAVA NA LOMENÉ VÝRAZY 1.

Je dán výraz 2x 2 – 6x + 4. Dosaď čísla z nabídky za x a vypočítej hodnotu daného výrazu. Tato čísla zařaď do složek tak, aby pro hodnotu výrazu platilo to, co je napsáno pod složkou. –3 –1 0 1 1,5 2 3

2.

<0

–3; –1; 0; 3

1; 2 =0

>0

Zjisti, pro které hodnoty proměnné u se výraz rovná nule.

a) z · (z – 13)

b) (z + 1) · (2 – z) z = –1; z = 2

z = 0; z = 13

c) 16 – z 2 z = ±4

d) (9z 3 – 4z 2 ) · (z – 0,5) z = 0; z = 4; 9 z = 0,5

IV. LOMENÉ VÝRAZY

1,5

45

3.

Urči 3 různé dvojice hodnot proměnných x a y, pro které je hodnota výrazu rovna nule.

4.

a)

2 x – 4 y VOŽ

b)

0,5 x + 7 y

Ze vzorce vyjádři proměnnou uvedenou v závorce. s v = (t ) t

V = π r 2h (h)

V = a · b · c (b)

t= s

b = V

v

h = V 2 πr

ac

LOMENÝ VÝRAZ 1.

2.

Utvoř správné dvojice.

Kdy nemá lomený výraz smysl?

Když je čitatel roven nule.

Kdy je lomený výraz roven 0?

Když je jmenovatel roven nule.

Výraz zapiš ve tvaru lomeného výrazu a urči, kdy má smysl. a)

53 2x

159 : 6 x

b)

x≠0

3.

c)

b≠0

Urči hodnotu lomeného výrazu

(3 p – 2) : (5 p + 10)

3p –2 5p + 10

p ≠ –2

64x 2 pro daná x. Uveď podmínky, za kterých má výraz smysl. x · (x + 4)

a)

x = – 2 = –64

c)

x = 0 nemá smysl

b)

x = –1 = –211 3

d)

x = 1 = 124 5

x ≠ 0; x ≠ –4 … x ∈ R \ { 0; –4}

46

4a 5b

4 a : 5 b

4.

Ve městě pracuje x lékařů. Město má y občanů. a) Kolik občanů připadá na jednoho lékaře? Na jednoho lékaře připadá xy občanů. b) Kolik lékařů připadá na jednoho občana? Na jednoho občana připadá yx občanů. c) Kolik domácností připadá na jednoho lékaře, jestliže má jedna domácnost průměrně z členů? y občanů. Na jednu domácnost připadá xz

5.

6x + 4

Může být výraz 3x + 2 pro některé x roven 0? Pokud ano, napiš pro které. Pokud ne, napiš proč. Výraz nemůže být roven nule, protože x= – 2 je zakázané podmínkou. 3

Napiš, pro která a, b má daný výraz smysl. a)

b) a ≠ –b

b ≠ 2a a≠b 2

b ≠ –a

7.

c) 3b ≠ –2a b ≠ – 2 a 3 a ≠ – 3 a 2

Čísla, pro která je lomený výraz roven nule, vybarvi v tabulce červeně. Hodnoty, pro které nemá lomený výraz smysl, vybarvi v tabulce žlutě.

a)

e)

6

–5

– 4,5

4

b)

f)

1,5

0,4

7

5

c)

g)

11

–3

0

–6

1

–1

-8

–2

d)

h) –11

8

–7

3

IV. LOMENÉ VÝRAZY

6.

47

ROZŠIŘOVÁNÍ A KRÁCENÍ LOMENÝCH VÝRAZŮ 1.

2.

Zkrať lomené výrazy a uveď podmínky, za kterých mají výrazy smysl.

=2 x∈R a)

d)

= 3ab 2

= 3y y∈R b)

e)

= 33 4 xy

c) = 4 x, y ≠ 0 xy

f)

13 9 l, e, s ≠ 0 = e 36s a) l

x, y ≠ 0

= 2ab2c

=

d)

n≠0 = 3m b) 2n n≠m

e)

= – 2,5 p ≠ 0 c) 1,2p p≠1

f)

a, b, c ≠ 0

–1 a(a+b)

=4 x

+

=1 4


= 4 a) x–y

m ≠ –n b) =m–n m+n

48

a, b ≠ 0


3.

2

x≠y

x≠0 = 7 c) 2y y≠0 x ≠ –2

a≠0 a ≠ ±b

x≠0 x≠ y 2 2 x≠ y 2

Daný výraz rozšiř barevně zvýrazněným výrazem. Uveď podmínky, za kterých mají výrazy smysl.

a)

– 3

=

9 186x

x≠0

– 4x

= 64xy 80x

x≠0

b)

4

c) x – y

= 8x5y 2 – 8x 4y 3 2x y – 2x y

x ≠ 0; y ≠ 0; x ≠ y

d) c – 4

2 = c2 – 4c + cd – 4d c – 4c – cd + 4d

c ≠ 4; c ≠ d

e) x + 3

2 + 15 = x + 8x –x2 + 9

x ≠ –3; x ≠ 3

5.

6.

Rozšiř, popřípadě zkrať zadané lomené výrazy tak, aby ve jmenovateli nebyla odmocnina. Uveď podmínky, za kterých mají výrazy smysl.

a)

5x = 5x2 + 5x 2 x2 – 2 x– 2

x ≠ 2; x ≠ – 2

b)

2 x – 3 = 1 2 x – 3

x ≠ 3; x ≠ – 3 2 2

c)

x ≠ 3; x ≠ – 3 2 2

5 = 5 8x 2+ 5 6 8x – 6 8 x – 6

Doplň takové číslo nebo výraz, aby platila daná rovnost. Uveď podmínky, za kterých mají výrazy smysl. a–b

a)

14 =

b)

z≠0 = 24z

e)

=

c)

y≠0 = 24y 2

f)

=

7.

3 2

d)

= 6b5h5 5

a≠b b ≠ 0; h ≠ 0 k ≠ 5 l; k ≠ – 5 l 2 2

Dané dvojice lomených výrazů uprav tak, aby měly stejné jmenovatele. Uveď podmínky, za kterých mají výrazy smysl. , , , a – 7 3 xy

7x2 xy

x ≠ 0; y ≠ 0

9a + 63 (a –7)(a + 7)

21 – a (a –7)(a + 7)

a ≠ ±7

5m 2 – 11 (2m –3)(2m + 3)

m ≠ ± 3 2

m2 – 2 (2m –3)(2m + 3)

IV. LOMENÉ VÝRAZY

4.

49

SČÍTÁNÍ LOMENÝCH VÝRAZŮ 1.

Vypočítej. Uveď podmínky, za kterých mají výrazy smysl.

a)

+

b)

3x = 2

d)

+

= x – 4y

e)

+

= 7 x≠0

f)

+

= – 7 2x

+

=

x≠0

7x y–7

x≠0

= x+1

x ≠ –1

2.

c)

+


a)

4a2 + 3b 2 = 12ab

+

d)

+

b)

+

8x – 2y (x + y)2(x – y) x ≠ ±y

a ≠ 0; b ≠ 0

=

6z + z 3 = x2 – xy

e)

+

= 2x (x + 2) (x + 1)2 x ≠ –1

x ≠ 0; x ≠ y

c)

+

2 = 3x +2 5x + 3 x –1

x ≠ ±1

3.

Doplň sčítací pyramidu. Výrazy na dalších řádcích získáš tak, že vždy sečteš dva nejbližší výrazy, které se nacházejí o patro níže. Př. +

8x 2 + 112 7x

=

2x 2 + 18 3x 3 + x2 3x

50

10x 2 + 210 21x x 2 + 15 3x

35 + x2 7x

4.

5.

Vypočítej příklady s více sčítanci. Uveď podmínky, za kterých mají výrazy smysl. +

+

= 13 12x

a)

b)

+

+

c)

+

+

x≠0

=

7(x + 1) (x – 2)(x + 2)

x ≠ ±2

2 = 5x + 16x – 212 (x – 3)(x + 3)

x ≠ ±3

Doplň chybějící údaje ve výpočtech. Uveď podmínky, za kterých mají výrazy smysl.

a)

b)

+

11

=

+

x ≠ –1

x 6 =

+

9

=

x ≠ – 3 ; x ≠ – 7 2 3

c)

5x = = (x – 2)(x + 2)

+

x ≠ ±2

x2 – 4

ODČÍTÁNÍ LOMENÝCH VÝRAZŮ Vypočítej. Uveď podmínky, kdy mají výrazy smysl.

a)

–

a = 30

c)

–

= p≠0 – 1 7p

d)

a = 3b – 2c

f)

e)

–

b ≠ 2c 3 3b c≠ 2

b)

= 3x + 12y 8

–

= – 17 8x

–

–

=

x≠0

1 x–1

x≠1

IV. LOMENÉ VÝRAZY

1.

51

2.

3.

4.

5.


a)

–

b)

–

c)

–

=

=

x≠1

3x – 29 (x + 2)(2x – 3)

2 2 = 2xy – 2y –2 7x x(x – y)

x ≠ –2; x ≠ 3 2

x ≠ 0; x ≠ y


a)

–

b)

–

–2a2 – 7ab a ≠ ±b = a2 – b2 2 = x – 12x +2 4 (x + 2)

x ≠ –2

Přiřaď výsledky ke správným úlohám v tabulce. V pravém sloupci uveď podmínky, za kterých mají výrazy smysl. Výsledky Podmínky 3a b–1

–

2+a 1–b

0

b≠1 2

a – 3 4b – 2

–

3–a 2 – 4b

a 2 – 3a – 6 3ab

a, b ≠ 0

a 3b

–

a + 2 ab

a 2 + b2 a 2 – b 2

a ≠ ±b

a a – b

–

b a + b

–a – 4 (a + 1)2

a ≠ –1

4a + 1 a 2 + 2a + 1

–

5 a + 1

4a + 2 b–1

b≠1

Myslím si výraz. Když k němu přičtu zlomek, v jehož čitateli je součet druhých mocnin proměnných a a b, ve jmenovateli druhá mocnina proměnné a, dostanu číslo 5. Který výraz si myslím? Ověř výpočtem. 2 2 Myslím si výraz 4a –2 b . a

52

5x x–1

NÁSOBENÍ LOMENÝCH VÝRAZŮ 1.

2.

3.

Vynásob a zjednoduš. Uveď podmínky, za kterých mají výrazy smysl.

a)

b)

7 = y≠0 5y

·

a b≠0 = 20

·

c)

·

d)

·

5 = k8 l

=

k, l ≠ 0 f4 e

e, f ≠ 0


a)

·

1 a, b, c ≠ 0 = 7 2 6 abc

b)

·

=

c)

·

2x13 3c 6y

a, c, y ≠ 0

5 = – h20 g

g, h ≠ 0

Doplň násobící pyramidu tak, že vždy vynásobíš výrazy v políčkách vedle sebe a výsledek napíšeš do políčka nad nimi. Předpokládej, že a, b, c, d jsou čísla různá od nuly. ab17c7 d26 a5b7 c 3d 13

b10c10 a4d 13


a)

·

= 25a

b)

= –3y x ≠ –1 x≠ 3 2

a, b ≠ 0 a ≠ –b

5.

·

Uveď podmínky, za kterých mají výrazy A, B, C smysl a vypočítej zadané příklady.

ax 2 – ay 2 A = a + b

a 2 – b 2 B = a · (x 2 – 2xy + y 2)

A · B = (x + y) (a – b) x– y b) A · C = (x + y) (a + b) 4(x – y) a)

C=

a 2 + 2ab + b 2 4a · (x 2 – 2xy + y 2)

a ≠ 0; x ≠ y

IV. LOMENÉ VÝRAZY

4.

53

6.

7.


a)

b)

c)

d)

3f 15(2v – 3f) = v ≠ – 2 4(2v + 3f)

·

·

a ≠ 0; x ≠ ±y

= 4a

2 2 = 4u – 3u 4u + v

·

·

=

a ≠ 0; v ≠ – 4u 1 5a – 3b

x ≠ y; a ≠ 3b 5


a)

b)

1–

t2 = (t +1)8

·

+

·

=

t ≠ ±1

1 v

v ≠ 0; v ≠ –1

DĚLENÍ LOMENÝCH VÝRAZŮ

1.

2.

3.

Zapiš převrácené výrazy k zadaným výrazům. Uveď podmínky, za kterých mají oba výrazy smysl.

135 a) 52

k – 1 k ≠ ±1 c) k+1

b a, b ≠ 0 b) ab

d)

x ≠ ±y

Vyděl a zjednoduš. Uveď podmínky, za kterých mají výrazy smysl.

a)

b)

: :

y = x, y ≠ 0 21x

c)

a = b≠0 20

d)

k 16 = l 13

: :

=

k, l ≠ 0 e4 200f 4

e, f ≠ 0


a)

:

bd 3 = a7c 4 a, b, c, d ≠ 0

54

x(x – y) x–y

b)

:

=

x 28y 35 u 26v 48 x, y, u, v ≠ 0

5.


a)

:

b)

:

=

1 a

a, b ≠ 0; b ≠ 2a

=

Zjisti, kolikrát je výraz

7.

8.

x ≠ 0; x ≠ ±2; x ≠ 3

menší než výraz y x2

6.

x+2 –3y(x – 2)

. Napiš, za jakých podmínek.

x ≠ 0; y ≠ –1


a)

:

b)

:

c)

= =

:

=

x – y (x + y)2

–x 4(2x – y)

x ≠ –y x, y ≠ 0; y ≠ ±2x

4a(x – y) (x + y)

a ≠ 0; x ≠ –y


a)

b)

–

:

+ + 2 :

= 1 uv

u, v ≠ 0; u ≠ ±v =

y(x + y)2 (m + n)2

x, y ≠ 0; m ≠ –n

Radek se zaradoval, protože našel sbírku řešených úloh, ze kterých paní učitelka připravuje test. Bohužel se mu na část příkladů vylila voda a příklady se rozmazaly. Doplň příklady tak, aby byly správně.

a)

b)

d 4e3f 2 : 4 c u12v 23 x20y 27

:

= =

IV. LOMENÉ VÝRAZY

4.

55

SLOŽENÝ VÝRAZ 1.

Zakroužkuj všechny složené výrazy.

2.

3.

a b c2

a b

a2 – b2

s 5 7 s

3 5

a + b a – b

Výrazy uprav na základní tvar. Uveď podmínky, za kterých mají výrazy smysl.

a)

b = a, b ≠ 0 5a

b)

49x x, y ≠ 0 = 9

2

c)

8

d)

l3 2k

=

=

k, l ≠ 0

7a b

b ≠ 0; a ≠ –b

Přiřaď výrazům jejich výsledky z nabídky. Uveď podmínky, za kterých mají výrazy smysl. 3a –2 –1 –a 8 10

4.

a)

= – a a, b ≠ 0 10

c)

b)

– 1 = a ≠ 1; a ≠ 4 8

d)

x, y ≠ 0 –12xy 2 =

a)

Rozšiř výraz

56

= –2

a ≠ ±2

a ≠ –2b; a ≠ 3b

Uprav složené výrazy. Uveď podmínky, za kterých mají výrazy smysl.

5.

= 3a

·

c)

2 = 2ax 2b 3y

αa, b, x, y ≠ 0

výrazem x + y a uprav. Uveď podmínky, za kterých má výraz smysl.

=

xy (x – y) (x + y)

y ≠ 0; x ≠ ±y

6.

Vypočítej a výsledné složené výrazy uprav na jeden zlomek. Uveď podmínky, za kterých mají výrazy smysl.

7.

a)

21x 2y 3y 2 = 52 2 3 3 2x y 14x y 2 5y

x, y, s ≠ 0

b)

a2 – b ab a+b a

b 3y 2 + = 2(a – b) 2 b b 2 (a – b)

a, b ≠ 0; a ≠ ±b

c)

1 x–y 1 x+y

x –y x · = yx x– y x2– y2 2 x y

x, y ≠ 0; x ≠ ±y

za podmínek a ≠ 0, b ≠ 0, a ≠ b, a ≠ – b větší než výraz

Kolikrát je výraz

?

a+b b

8.

Uprav složené výrazy. Uveď podmínky, za kterých mají výrazy smysl.

9.

a)

= 1 a ≠ b, b ≠ 0

Pan Plachý má měsíční plat

b)

= 1 s– 1

s≠2 s≠1

, jeho žena má měsíční plat o 4 m – 2 n menší než on. Peníze

2 Příjem paní Plaché je (m – n) . n

10.

Třída 9. A jela do aquaparku. Akce se zúčastnilo x osob a bylo domluveno, že při počtu x osob nemusí 3 lidé platit. Paní učitelka zaplatila celkem Kč. Kolik stojí jedna vstupenka bez hromadné slevy? Vstupenka stojí 2a . b(x – 3)

IV. LOMENÉ VÝRAZY

si rozdělují rovnoměrně. Jaký je měsíční příjem paní Plaché?

57

ROVNICE S NEZNÁMOU VE JMENOVATELI 1.

Vypočítej rovnice. Zapiš podmínky, za kterých mají dané rovnice smysl. Proveď zkoušku.

a)

= 15 4 = x 15

2.

b)

x≠0

– 7 = –9 –1 = x

x≠0

Vypočítej rovnice, kde se vyskytují výrazy se stejnými jmenovateli. Zapiš podmínky, za kterých mají dané rovnice smysl. Proveď zkoušku.

a)

+ 1 = c = 2 3

b)

b = –30

c≠1

b≠5

L = P = – 3 2

L = P = –1

+ 2 =

3.

Vypočítej rovnice. Zapiš podmínky, za kterých mají dané rovnice smysl. Proveď zkoušku.

a)

+

= 0

nemá řešení

58

x ≠ ±1

b)

= x = 10 L = P = 7 8

x ≠ 3; x ≠ –4

4.

Pro které hodnoty proměnné x je součin výrazů – 2 = x 3

5.

,

roven jejich součtu?

x ≠ ±4

Je dán zlomek, jehož jmenovatel je o 3 větší než jeho čitatel. Když čitatele i jmenovatele tohoto zlomku zvětšíme o 5, dostanete . Který zlomek má tuto vlastnost? Tuto vlastnost má zlomek 10 . 13

Vypočítej rovnici. Zapiš podmínky, za kterých má daná rovnice smysl. Proveď zkoušku.

–

+ = y = 3 = 0,6 5 L = P = – 20 3

7.

y ≠ 0; y ≠ 1

Martin počítal rovnice. Prohlédni si jeho řešení a oprav případné chyby. Proveď zkoušku.

x + 3 = 1 x+2 x–3 x(x – 3) + 3(x + 2) = 1 (x + 2)(x – 3)

x · (x – 3)2 + 3 · (x + 2) = (x2 + 2) · (x – 3) x – 3x + 3x + 6 = x –x–6 2 12 = x – 2x x = –12 0

Zk.:

L=P=1

IV. LOMENÉ VÝRAZY

6.

59

SOUHRNNÝ TEST

1.

Mocniny uprav a vyjádři jako celé číslo. a) 10 · (–5)3 · 202 = –4 40 · 55 2

b) (4 – 1)4 · 27 · 63 · 12 = 162 18

2.

Uprav výrazy na součin a zjisti, kdy se rovnají nule. Výsledek napiš do tabulky. 42s 2 – 21s = 21s(2s – 1) 2

4p – 25 = (2p – 5)(2p + 5) tu + 2t + 4u – 8 = (t – 4)(u + 2) 2

2

60x 5yz 3 5x 2y = z 12x 3z 4

p 2 = –2,5

t=

u = –2

4

r= 0

x, z ≠ 0

b)

x 3z – x 3 = x 3 z 2 – 2z + 1 z – 1

z≠1

c)

5a 2 – 5b 2 = 5(a – b) (a + b) a 2 + 2ab + b 2

a ≠ –b

d)

kl – 3l – 3m + km = l + m 5 5k – 15

k≠3

Výrazy rozšiř na výrazy s uvedeným jmenovatelem. Urči podmínky, za kterých mají dané výrazy smysl. a) b)

60

p1 = 2,5

Výrazy zkrať na základní tvar. Urči podmínky, za kterých mají dané výrazy smysl. a)

4.

s 2 = 0,5

q = –7

2q r + 28qr + 98 r = 2r(q + 7) 3.

s1 = 0

–5uv 2 25u v 2 = 4x 20ux –2y y+3

=

– 2y(y + 3) y 2 + 6y + 9

u, x ≠ 0

c)

a – 5 (5 – a)(2 + a) = 4 – a 2 a–2

a ≠ ±2

y ≠ –3

d)

u–1 u2 – 1 = 3u 3u 2 + 3u

u ≠ 0; u ≠ –1

5.

Výrazy uprav na co nejjednodušší tvar a urči podmínky, za kterých mají smysl. a)

d + –2d = d d – 1 d2 – 1 d + 1

+ 6 = 2(x + 2) b) 2x + 1 + 3x 2 x x x + 2x

6.

d ≠ ±1

x ≠ 0; x ≠ –2

Výrazy uprav na co nejjednodušší tvar a urči podmínky, za kterých mají smysl. 2 uv – v = 2(u 2+ 21) a) 36u 2– 336 · uv 9u 2 – 18u + 9 2u v

b)

7.

15k 2l 5 : 20kl 4 = 3 2k 3l 4 (3k 2l 3)2 18l

u, v ≠ 0; u ≠ 1

k, l ≠ 0

Řeš rovnici s neznámou ve jmenovateli. Když z trojúhelníku vyškrtneš všechna čísla, pro které rovnice nemá smysl, zůstane ti správné řešení. 5 + 2 = 8 x–1 x x

0

x=6

6 1

8.

Výrazy uprav na co nejjednodušší tvar a urči podmínky, za kterých mají smysl.

a)

4x 2 + 24x + 36 –x 2 – 3x = 2 3– x 2x 2 – 18 x

x ≠ ±3; x ≠ 0

b)

5x 2 – 5 x2 – x = 5(2x + 1) (x + 1) x + 1 2x + 1 x

x ≠ 0; x ≠ ±1; x ≠ –0,5

IV. LOMENÉ VÝRAZY

L = P = 1 1 3

61

ÚHLY, TROJÚHELNÍKY 1.

2.

Doplň barevná políčka. 32°20´

+

27°40´

=

60° …………..

68°12´

+

49° 6´ …………..

=

117°18´

108°50´

–

25°30´

=

83° 20´ …………..

150° …………..

–

95°10´

=

54°50´

34°15´

·

4

=

137° …………..

15°20´

·

3 …………..

=

46°

142°

:

5

=

28° 24´ …………..

121° 30´ …………..

:

6

=

20°15´

Urči bez měření velikost úhlů α, β, γ. β

α = 55°

•

γ

β = 20°

3.

62

75°

Sestroj bez použití úhloměru úhly ρ = 45° a σ = 60°. Pak sestroj úhel ε, pro který platí ε =

ρ

4.

α

35°

γ = 110°

σ+ρ 2

ε

σ

Dopočítej údaje v tabulce pro různé typy trojúhelníků. Trojúhelník

Δ rovnostranný

Δ rovnoramenný

Δ obecný

Strany trojúhelníku

a = 82 mm

rameno r = 1m základna z = 1,2 m

a = 69 cm b = 56 cm c = …..…. 61 cm

Výška trojúhelníku

va = 71 mm

výška vz = …………… 0,8 m

vb = 58 cm

Obvod trojúhelníku

o = …………… 246 mm

o = …………… 3,2 m

o = 186 cm

Obsah trojúhelníku

2911 mm2 S = ……………

S = 0,48 m2

1624 cm S = ……………

2

.

SOUMĚRNOST, SHODNOST 1.

Každý obrázek spoj čarou s pravdivým tvrzením zapsaným uprostřed. U středově souměrných obrazců střed souměrnosti označ S. U osově souměrných obrazců napiš počet jejich os souměrnosti. S +

4

středově souměrné S ×

1 osově souměrné

5

Na obrázku je bod B vzor a bod B´ je jeho obraz v osové souměrnosti. Sestroj osu této osové souměrnosti a označ ji o. Rozhodni, zda jsou dané dvojice bodů nebo útvarů osově souměrné podle osy o. ANO O(o): A → A´

Ε

NE ×

× × × × ×

O(o): C → C´ O(o): F → F´ O(o): D → D´ O(o): ∆ CDE → ∆ C´DÉ´ O(o): k1 → k2

k2

c

d

Ε B´

D e

C

o A´

A

k1 C´

c´

F´

D´

B F

e´ d´

3.

2

E´

Narýsuj obraz trojúhelníku ABC ve středové souměrnosti se středem S a obraz kosodélníku KLMN v osové souměrnosti s osou o. A´

o M´

L´

S

C

M

B

C´

L

N

N´ B´

4.

A

K

K´

Kažkou dvojici shodných trojúhelníků vybarvi jinou barvou a napiš, podle které věty jsou trojúhelníky shodné. C 3,6 m A

sss 4 m

T 6 m

B

usu 77° 63° S R 6 m

L

6 m sss 3,6 m

G

Z

K 4 m

sus 4,2 m

M

48° 3,6 m X

Y

6 m V 63° E usu 77° 48° 3,6 m 4,2 m W F

sus U

V. OPAKOVÁNÍ Z GEOMETRIE

2.

S ×

63

ČTYŘÚHELNÍKY, TROJÚHELNÍKY 1.

Pozemek Tošnerových má tvar čtverce se stranou délky 30 m. Pozemek Musilových má tvar obdélníku s rozměry 24 m a 36 m. Spočítej, o kolik m2 se liší jejich obsahy a o kolik m se liší jejich obvody. Obsahy pozemků se liší o 36 m2 (pozemek Tošnerových je větší). Obvody pozemků jsou stejné.

2.

Čtverec má stejný obvod jako kosodélník se stranami délky 17,2 cm a 26,3 cm. Vypočítej obsah čtverce v dm2. S = 4,73 dm2

3.

Rogalo na obrázku má rozpětí 10,4 m a plochu 13 m2. Rozpětí považujeme za základnu rovnoramenného trojúhelníka. Jaká je výška trojúhelníkové plachty? Výška trojúhelníkové plachty je 2,5 m.

4.

V obrázku s lichoběžníkem dopočítej úhly označené řeckými písmeny. 116°

β

88°

ε

ε = 54° β = 38° δ = 26°

δ 38°

5.

Plážová taška je sešitá ze dvou stejných dílů ve tvaru rovnoramenných lichoběžníků. Základny lichoběžníku měří 40 cm a 50 cm. Výška je 30 cm. Při jejich výrobě je potřeba počítat 15 % tkaniny navíc. Kolik m2 tkaniny je potřeba na zhotovení deseti tašek? Na zhotovení 10 tašek je potřeba 3,105 m2 tkaniny.

64

6.

Pravoúhlý trojúhelník má odvěsny délky 8 cm a 6 cm. Jaký je poloměr kružnice opsané tomuto trojúhelníku? Poloměr kružnice opsané trojúhelníku je 5 cm.

7.

Kosočtverec má úhlopříčky dlouhé 10 cm a 16 cm. Vypočítej jeho obvod a obsah. S = 80 cm2 o = 37,72 cm

KRUŽNICE, KRUH A JEJICH ČÁSTI

1.

Spoj správné názvy s jejich barevným znázorněním. průměr kružnice

poloměr kružnice

tětiva kružnice

kruhová výseč

kruhová úseč

mezikruží

středový úhel

oblouk kružnice

α

3.

Dopočítej údaje v tabulce pro 3 kruhy. Nezapomeň na jednotku u každého výsledku. Použij kalkulačku. Zaokrouhli na celé jednotky. Údaj

Poloměr

Průměr

Obvod

Obsah

1. kruh

7 cm

14 cm

44 cm

154 cm2

2. kruh

12 mm

24 mm

75 mm

452 mm2

3. kruh

4m

8m

25,12 m

50 m2

Zahrada má tvar obdélníku s rozměry 20 m a 12 m. Trampolína má poloměr 157 cm, bazén má poloměr 2,5 m. Kolik procent zahrady zaujímá trampolína s bazénem dohromady? Trampolína s bazénem zaujímají 11 % zahrady.


2.

65

4.

Závodníci při biatlonu střílejí buď vleže na kruhové terče o průměru 45 mm, nebo vstoje na terče o průměru 115 mm. O kolik mm se liší obvody a o kolik mm2 se liší obsahy obou terčů? Obvody se liší o 22 cm. Obsahy se liší o 88 cm2.

5.

Uprostřed kruhového objezdu je trávník lemovaný hnědým chodníkem. Jaké obsahy zaujímají trávník, chodník a asfaltová vozovka? Výsledky zaokrouhluj na metry čtvereční. Obsah zeleně je 113 m2, hnědého chodníku je 64 m2 a vozovky 314 m2. 5 m 1,5 m

×

6.

6 m

Kousek pizzy má tvar kruhové výseče se středovým úhlem 45° a poloměrem 20 cm. Na 5 cm2 plochy pizzy připadá průměrně 1 g sýru. Kolik sýru je zapotřebí na výrobu tohoto kousku? Je potřeba 31,4 g sýra.

7.

Do kruhu s průměrem 8 cm byl vepsán pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník. Vypočítej obsah tohoto trojúhelníku. Jakou část plochy kruhu vyjádřenou v procentech trojúhelník zaujímá? Trojúhelník tvoří 32 % obsahu kruhu.

66

KONSTRUKČNÍ ÚLOHY 1.

Přiřaď k obrázkům čísla konstrukcí. Pod obrázek dopiš, jak se nazývá barevně označená přímka.

(1)

(2)

(3)

(4)

|AV| = |VB| α = | AVB| k1 (B, r) k2 (A, r) O1 ∈ k1 ∩ k2 ↔ O1V

a || b; p ⊥a; A ∈ p ∩ a B ∈ p ∩ b k1 (A, r) k2 (B, r) O1, O2 ∈ k1 ∩ k2 ↔ O1O2

k (A, r) A ∈ ↔ o ↔ O1O2 O1, O2 ∈ k ∩ o

AB k1 (B, r) k2 (A, r) O1, O2 ∈ k1 ∩ k2 ↔ O1O2

O2 k1

A

k2

V B

A

k1

B

O1

O2

A

k2

A

k1 O1

b

B

1 – osa úhlu

O1

p

o 4 – osa úsečky

O2

k2

a

O1

o

2 – osa rovnoběžek

k o

3 – průměr kružnice osa kružnice

částečně VOŽ 2.

Narýsuj Δ ABC s danými rozměry.

a) a = 0,4 dm, β = 45°, c = 32 mm

b) c = 43 mm, vc = 35 mm, b = 38 mm C2

C1 C

3.

B

B

A

Sestroj kružnici vepsanou trojúhelníku FGH. H k

S G


A

F

67

4.

Tři družstva hrají hru. Pozice jednotlivých družstev jsou označeny písmeny A, B, C. Pro tuto hru je potřeba najít místo, ke kterému to budou mít všechna družstva stejně daleko. Narýsuj toto místo do obrázku a označ ho bodem S. B

C A

5.

×S

Sestroj všechny takové přímky, které procházejí bodem M a s kružnicí k mají právě jeden společný bod. t2 k M

O

t1

HRANOLY, VÁLCE 1.

Doplň chybějící údaje v tabulce.

Název tělesa

Pravidelný čtyřboký hranol

Trojboký hranol s podstavou tvaru pravoúhlého trojúhelníku

Čtyřboký hranol s kosočtvercovou podstavou

Rozměry hran

a = 4 dm, v = 8 dm

a = 3 dm, b = 4 dm, c = 5 dm, v = 2 dm

a = 5 dm, v = 3 dm

Do každého hranolu dokresli barevnou tužkou zadané údaje.

68

v a

v

c

v b

a

a

Obsah podstavy

16 dm2

6 dm2

Sp = 24 dm2

Obsah pláště

128 dm2

24 dm2

60 dm2

Povrch hranolu

160 dm2

36 dm2

108 dm2

2.

Délka podstavné hrany pravidelného trojbokého rozkladného hranolu je 38 mm. Jeho výška je 24 mm. Vypočítej objem a povrch hranolu. Jeho objem je 15,0 cm3 a povrch je 39,9 cm2.

3.

Láhev na pití má tvar válce s průměrem 8 cm a výškou 18 cm. Vejde se do lahve čtvrt litru pití? Objem láhve je 0,9 l, proto se do láhve 1 l pití vejde. 4

4.

Hokejový puk má tvar válce s průměrem 76 mm a výškou 25 mm. Vypočítej objem puku v cm3. Jaká je hmotnost puku, jestliže hustota materiálu je 1,5 g/cm3? Objem puku je 113 cm3 a jeho hmotnost je 170 g.

Připravuješ dárek babičce k narozeninám z vlastnoručně nasušeného čaje. Jakou krabičku si zvolíš, pokud chceš, aby se do ní vešlo co nejvíce čaje?

Podstava

Výška

Kruh o poloměru 6 cm

Rovnoramenný trojúhelník se základnou 10 cm a výškou příslušnou k základně 18 cm

Srdce o obsahu 315 cm2

8 cm

9 cm

3 cm

Nejvíce čaje se vejde do krabičky ve tvaru srdce.


5.

69

SOUHRNNÝ TEST

1.

Urči velikosti zbývajících označených úhlů. Do rámečků zapiš dvojice úhlů označených v obrázku.

δ

β

Vrcholové

ε, δ

Střídavé

γ, ε

Souhlasné

δ, γ

Vedlejší

γ, α

ε

90°

γ

α = 157º

ε = 23° β = 67° γ = 23° δ = 23°

2.

U daných obrazců vyznač všechny středy a osy souměrnosti.

S

3.

S

S

S ×

Rovnostranný trojúhelník ABC se stranou délky a = 0,9 m má stejný obvod jako rovnoramenný trojúhelník KLM se základnou m = 12 dm. Kolik centimetrů měří rameno k trojúhelníku KLM? Rameno měří 75 cm.

4.

70

Kruh o poloměru 2,4 dm je písmenem Y rozdělen na tři části. Všechny úsečky vycházejí ze středu kruhu. Nejmenší úhel, který úsečky svírají, je 30°. Vypočítej obsahy jednotlivých částí takto rozděleného kruhu. Jaké části obsahu kruhu tvoří jednotlivé výseče? Části vyjádři zlomkem i procentem. Obsahy částí kruhu jsou 1,51 dm2, 8,29 dm2. Části kruhu jsou 1 (8,3 %), 6 25 (45,8 %) a 25 (45,8 %). 6 6

5.

Jsou dány kružnice k 1 (S 1; r1 = 2,7 cm) a k 2 (S 2; r2 = 1,5 cm). Kružnice se protínají ve dvou bodech A, B; |AB| = 2 cm. Načrtni obrázek a zapiš, v jaké vzdálenosti od bodů A a B leží bod S2 . Kružnice sestroj. Jaký typ trojúhelníku tvoří body ABS2?

A S2

S1

Vzdálenost bodů A, B, od bodu S2 je 1,5 cm.

B

Body ABS2 tvoří rovnoramenný trojúhelník.

6.

Obora pro daňky má tvar kosočtverce. Délka první úhlopříčky je 12 km a délka druhé úhlopříčky je 5 km. Kolik km pletiva je třeba k oplocení obory? Jaká je výměra této obory? Je potřeba 26 km pletiva a výměra je 30 km2.

7.

Je dán trojboký kolmý hranol s výškou 20 cm a podstavou tvaru pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnou dlouhou 8 cm. Vedle něj stojí stejně vysoký kvádr s podstavou o rozměrech 4 cm a 6 cm. Obě tělesa mají stejný objem. Určete chybějící rozměry trojúhelníku v podstavě trojbokého hranolu.

8.

Kouřovod tvaru válce má průměr 15 cm a délku 2 m. Při výměně kamen se zjistilo, že průměr tohoto kouřovodu potřebujeme zmenšit na 12 cm. Řemeslník rouru rozstřihl, oddělil část plechu a znovu svařil na rouru se správným průměrem. Kolik m² materiálu mu zbylo? Výsledek zaokrouhli na setiny m². Zbylo 0,19 m2 materiálu.


Chybějící rozměry v trojúhelníku jsou 6 cm a 10 cm.

71

PODOBNOST GEOMETRICKÝCH ÚTVARŮ 1.

Označ stejným písmenem podobné šipky. D

F

G

E

E

G

C B

A

D

A

2.

C

B

F

Zakroužkuj správná zakončení vět. a) Číslo, které vyjadřuje poměr podobnosti, označujeme písmenem k / p. b) Podobné útvary mají shodné odpovídající si strany / úhly. c) Podobné útvary mají ve stejném poměru délky / velikosti odpovídající si stran / úhlů. d) Podobné jsou si každé dva čtverce / kruhy / obdélníky / trojúhelníky.

3.

Rozhodni, která z kamarádek narýsovala větší útvar. Obě dvě sestrojily lichoběžníky podobné s daným lichoběžníkem v různém poměru.

Beáta: „Koeficient podobnosti mého lichoběžníku je 1,8.“

Natálie: „Můj lichoběžník jsem změnila tak, že koeficient podobnosti je 7.“ 4

Větší útvar narýsovala Beáta. 4.

Roztřiď do košů poměry a koeficienty podobnosti z nabídky. 1,5 4 : 9 1 7 7 : 14 0,75 12 : 5 3 2

Zvětšení

Zmenšení

4:9; 1; 7:14; 0,75 3

1,5; 7; 12; 5 2 5.

Je dán kosodélník K se stranou a = 4 cm a výškou va = 8 cm. Urči délku kratší strany a k ní příslušné výšky v kosodélnících K1, K 2, K 3, které jsou podobné s původním kosodélníkem K v daném poměru.

a) K : K1 = 1

72

b) K : K2 = 0,5

a1 = 4 cm

a3 = 8 cm

v1 = 8 cm

v3 = 16 cm

c) K : K 3 = 1,5 a2 = 8 cm 3 v2 = 16 cm 3

6.

Překresli do čtvercové sítě následující útvary v daném poměru podobnosti.

0,5 2 3 3:4

2 1,5

Zjisti, zda jsou útvary o zadaných rozměrech podobné. Pokud ano, urči poměr podobnosti. ANO

NE

×

0,75 k = ............

×

k = ............

×

1 10 k = ............

×

k = ............

50 7 k = ............

a) čtverec (a = 0,2 dm)

čtverec (a´= 15 cm)

b) obdélník (a = 23 mm, b = 6,5 cm)

obdélník (a´= 13 cm, b´= 0,46 dm)

a) trojúhelník (a = 3 cm, b = 0,4 dm, c = 50 mm)

trojúhelník (a´= 0,3 cm, b´= 4 mm, c´= 0,05 dm)

c) lichoběžník (a = 60 mm, b = 2 cm, c = 0,5 dm, d = 15 mm)

lichoběžník (a´= 0,3 dm, b´= 0,5 cm, c´= 25 mm, d´= 3 cm)

e) kruh (r = 0,35 cm)

kruh (r´= 2,5 cm)

×

VI. PODOBNOST

7.

73

PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ 1.

Narýsuj trojúhelník podobný s trojúhelníkem ABC s koeficientem podobnosti k = 0,5. V trojúhelníku A´BĆ´ popiš a stejnou barvou vyznač všechny shodné a podobné prvky. Zapiš podobnost trojúhelníků. C γ

C´

a

b

b´ β

α A

∆ 2.

B

c ABC

~ ∆

A´

γ´

a´

α´

β´ c´

B´

A´BĆ´

Vypočítej obvod trojúhelníku KLM, který je podobný trojúhelníku ABC a k = 3. V trojúhelníku ABC platí: a = 12 cm, b = 4 cm, c = 8,4 cm. o´= 73,2 cm

3.

Dva rovnoramenné trojúhelníky mají při vrcholu naproti základně stejný úhel. První z nich má základnu dlouhou 12 cm a rameno 9 cm. Druhý má základnu dlouhou 16 cm. Vypočítej obvod druhého trojúhelníka.

o = 40 cm

4.

Najdi a vybarvi červeně dva trojúhelníky, které jsou podobné podle věty sss, modře dva trojúhelníky, které jsou podobné podle věty sus, a zeleně dva trojúhelníky, které jsou podobné podle věty uu. 5 cm 7 cm 43º

5 cm

4 cm

7 cm 43º

4 cm

6 cm

6 cm

3 cm

9 cm

74

17º 73º

6 cm

23º

43º 2 cm

6 cm

4 cm

4 cm

Je dán poměr podobnosti dvou podobných trojúhelníků. Vypočítej délky jejich zbývajících stran. b) ∆KLM ~ ∆PQN; k = 5, 4 m = 8 cm; p = 12 cm; q = 10 cm

a) ∆ABC ~ ∆DEF; k = 3:5, a = 2,5 cm; b = 4 cm; f = 5 cm d = 25 cm; e = 20 cm; f = 25 cm; c = 3 cm 6 3 3

6.

∆ ABC a ∆ A´BĆ´ jsou podobné podle vět o podobnosti trojúhelníků. Doplň písmena ve správném pořadí. C´BÁ´ a) c´: a = b´: b = a´: c ∆ ABC ~ ∆................... BĆÁ´ ∆ ABC ~ ∆................... AĆ´B´ ∆ ABC ~ ∆...................

b) α = β´; c´: b = a´: c c) β = γ´; γ = β´

7.

k = 15 cm; l = 12,5 cm; n = 6,4 cm

Najdi a oprav chyby v konstrukci.

8.

Rozděl úsečku AB v poměru 2 : 5 : 3.

Úsečka CD je rozdělena bodem Y v poměru 3 : 2 Y

C

× ×

Y

D

A

B

VI. PODOBNOST

5.

75

UŽITÍ PODOBNOSTI 1.

Fotograf fotí na klasický film. Jedno políčko filmového negativu má rozměry 24 mm × 36 mm. Rozhodni, které níže uvedené rozměry fotografických papírů jsou podobné s políčkem filmového papíru. Pokud budou podobné, zapiš, jaký je jejich poměr podobnosti.

a) 6 mm × 9 mm

ANO ×

b) 7 mm × 10 mm

×

c) 9 mm × 13 mm

×

d) 10 mm × 15 mm

2.

×

NE k=4

k = 2,4

Cestovatel Lukáš chce zjistit, jaká je výška sekvoje v Národním parku Redwood v USA. Změřil, že stín sekvoje je dlouhý 69 m. Jeho stín je ve stejnou chvíli dlouhý 1,08 m. Jak vysoká je sekvoj, jestliže Lukáš měří 1,8 m? Sekvoj je vysoká 115 m.

3.

Viktor zjišťuje, kolik měří jeho přítelkyně Daniela. Změřil, že když stojí vedle sebe, její stín je o 20 cm kratší. Viktor je vysoký 180 cm a jeho stín je dlouhý 200 cm. Kolik měří Daniela?

Daniela měří 162 cm.

4.

V historickém kině se promítá ze svitku, na kterém má každé políčko rozměry 66 × 48 mm, na plátno široké 22 m. Jak vysoké je toto plátno? Plátno je vysoké 16 m.

76

5.

Zdeněk má doma modely významných budov. Urči jejich skutečnou výšku. U každého modelu je napsaná jeho výška a poměr, ve kterém je zmenšený. Skylone Tower

Eureka Tower

99,1 mm

1 : 3 000 6.

297,3 m

Empire State Building

79,25 mm

1 : 2 000 158,5 m

76,2 mm

1 : 5 000 381 m

Novomanželé si zařizují byt. Doplň plánek ložnice ve správném poměru do sítě s rozměrem čtverečku 1 × 1 cm. Postel 2 m × 1,6 m Koberec 1,2 m × 1,4 m Stolek 0,6 m × 0,6 m Květináč – kruhová podstava o poloměru 20 cm Skříň 0,4 m × 1,2 m 1 : 40 Měřítko plánku: .............................

dveře

Plavecký bazén má délku 25 m. Na jednom konci je hluboký 0,9 m na druhém 1,8 m. Dno klesá rovnoměrně. V jaké vzdálenosti od konce bazénu s nejmenší hloubkou je hloubka 130 cm? 25 m 0,9 m

Hloubka 130 cm je ve vzdálenosti 11,1 m od konce bazénu.

1,3 m

1,8 m

VI. PODOBNOST

7.

77

SOUHRNNÝ TEST

1.

Přiřaď k sobě podobné geometrické útvary.

2.

Vypočítej všechny strany pravoúhlého trojúhelníku A´BĆ´, který je podobný pravoúhlému trojúhelníku ABC s odvěsnami délky 15 cm a 8 cm v poměru 1,5. V jakém poměru jsou obsahy obou trojúhelníků? Strany ∆ A´BĆ´jsou 22,5 cm, 12 cm a 25,5 cm, poměry obsahů jsou 9 : 4.

3.

Výměra golfového hřiště tvaru čtverce je 324 ha. Jaké rozměry bude mít tato plocha na plánku v měřítku 1 : 20 000? Na plánku bude mít hřiště rozměry 9 cm × 9 cm.

4.

Při hodině matematiky dala paní učitelka žákům za úkol nastříhat z papíru tři dvojice podobných trojúhelníků. Katce se ale nastříhané trojúhelníky pomíchaly. Pomoz jí. Přiřaď k sobě podobné trojúhelníky a zapiš větu o podobnosti, podle které jsou podobné. Urči poměry podobnosti u všech dvojic trojúhelníků. k = 3 ; sus 10 F A B C D E 12

12

4

•

•

40

6

9 10

10

32°

18

30 58°

k = 1 ; uu 2 k = 2 ; sss 3

78

5

15

5.

6.

5. Je dána úsečka MN; | MN | = 7,2 cm. Rýsuj podle zadání. a) Zmenši úsečku MN v poměru 3 : 5.

4,32 cm

b) Zvětši úsečku MN v poměru 5 : 3.

12 cm

c) Rozděl úsečku MN v poměru 3 : 5.

4,5 cm

Jakub si podle plánku v časopise vyrobil papírového draka. Když se sešel s kamarády na louce, zjistil, že některý z nich má draka podobného tomu jeho. Který to je? Urči poměr podobnosti vzhledem k plánku u všech podobných draků. Plánek

Jakub

Jirka

Pavel

Honza

6 cm

54 cm

0,48 m

6 dm

720 mm

◉ ◉

◉ ◉

◉ ◉

◉ ◉

◉ ◉

8 cm

8 cm

72 cm

72 cm

0,64 m

0,62 m

6 dm

6 dm

960 mm

960 mm

Honza má s Jakubem podobného draka, Jakubův je zvětšený v poměru 9 : 1 a Honzův je zvětšený 12 : 1.

Horolezci měli za úkol změřit vzdušnou vzdálenost dvou skalních věží Havran a Orel. Věž Havran je od základního tábora vzdálená 2,6 km a Orel 3,9 km. Ze základního tábora vyrazily dvě skupiny S1 a S2 pod úhlem, jehož ramena směřují k úpatím skalních věží. Když skupina S1 urazila 150 m a skupina S2 100 m, obě skupiny se zastavily a změřily vzdálenost mezi sebou, která činila 95,3 m. Pak obě skupiny pokračovaly v přímé cestě k úpatím skalních věží. Mohli horolezci z náčrtku vypočítat vzdálenost věží Orel a Havran? Zdůvodni a vypočítej. HAVRAN

•

2,5 km S2

X

100 m

95,3 m OREL

•

základní tábor 3,75 km

S1

150m

Věže jsou od sebe vzdálené 2,48 km.

VI. PODOBNOST

7.

79

JEHLAN – ZÁKLADNÍ POJMY 1.

Narýsuj pravidelný čtyřboký jehlan s délkou podstavné hrany a = 5 cm a výškou v = 6 cm. Jeho vrcholy a strany popiš podle náčrtku. Pak doplň tabulku. V

s v va V

D

C S0

S A

a

B

Hlavní vrchol

s

V

Vrcholy podstavy

v

A, B, C, D

Boční hrany

BV, CV, DV, AV

Podstavné hrany

AB, BC, CD, DA

Boční stěny

D

Podstava

ABCD

Výška jehlanu

v (SV) va (S0V)

Úhlopříčky v podstavě

AC, BD

a

B

Doplň tabulku. trojboký

čtyřboký

šestiboký

n-boký

trojúhelník

čtverec

šestiúhelník

n-úhelník

Počet vrcholů

4

5

7

n+1

Počet hran

6

8

12

2n

Počet bočních stěn

3

4

6

n

Podstava

V pravidelném čtyřbokém jehlanu známe velikost úhlopříčky v podstavě u = 4 cm. Výška jehlanu je v = 5 cm. Vypočítej velikost boční hrany a podstavné hrany jehlanu. Velikost jeho boční hrany je √29 cm a velikost jeho podstavné hrany je √8 cm.

80

S0

S

Výška stěny jehlanu

Pravidelný jehlan

3.

C

∆ABV, ∆BCV, ∆CDV, ∆ADV

A

2.

va

POVRCH A SÍŤ JEHLANU 1.

Marek má na matematické soutěži zakroužkovat čtyři obrázky, které představují sítě jehlanů. Které to jsou? Zakroužkuj je.

D

H

B

A

E

C

G F

Narýsuj síť pravidelného čtyřbokého jehlanu s délkou podstavné hrany a = 2 cm a stěnovou výškou vs = 3 cm.

4.

Pyramida v Louvru představuje pravidelný čtyřboký jehlan s podstavnou hranou dlouhou 35 m a s výškou 20,6 m. Vypočítej pomocí Pythagorovy věty výšku boční stěny. Následně vypočítej povrch skleněného pláště. Výška boční stěny je 27 m. Obsah pláště je 1890 m2.

3.

Narýsuj síť čtyřstěnu s délkou podstavné hrany a = 3 cm.

VII. JEHLAN, KUŽEL, KOULE

2.

81

5.

Vypočítej povrch pravidelného šestibokého jehlanu s podstavnou hranou dlouhou 5 cm a s výškou 12 cm. S = 256,35 cm2

OBJEM JEHLANU 1.

Vypočítej objem čtyřbokého jehlanu s obdélníkovou podstavou o rozměrech 6 m x 4 m. Vrchol je 5 m nad podstavou. Objem čtyřbokého jehlanu je 40 m3.

2.

Vypočítej objem trojbokého jehlanu s podstavou tvaru pravoúhlého trojúhelníku s rozměry 6 cm, 8 cm, 10 cm a výškou 9 cm. Objem jehlanu je 72 cm3.

3.

Vypočítej objem jehlanu, který vznikl z krychle s hranou dlouhou 12 cm. Kolik procent tvoří jeho objem z objemu dané krychle? VK = 1728 m3 VJ = 576 m3 Objem jehlanu tvoří 33,3 % objemu krychle ( 1 ). 3

82

4.

Vrcholy podstavy pravidelného šestibokého jehlanu leží na kružnici s poloměrem 10 cm. Výška jehlanu je 12 cm. Jaký je jeho objem? Jeho objem je 1039,2 cm3.

5.

Je dán pravidelný čtyřboký jehlan s výškou 3,75 cm a objemem 320 cm3. Jaká je délka podstavné hrany tohoto jehlanu? Délka podstavné hrany je 16 cm.

6.

Transamerica Pyramid je nejvyšší mrakodrap v San Franciscu. Mrakodrap je pravidelný čtyřboký jehlan s podstavnou hranou dlouhou 85 metrů. Celkový objem mrakodrapu je 626 160 m3. Jaká je výška mrakodrapu? Zaokrouhli na metry.

7.

Petr si z dovolené v Egyptě přivezl model pyramidy ve tvaru pravidelného čtyřbokého jehlanu. Změřil si, že její podstavná hrana má délku 7 cm a boční hrana má délku 10 cm. Model má hmotnost 1 kg a je vyroben z neznámého kovu. Z jakého kovu je model vyroben? Pomůže ti tabulka hustot. Kov

Hustota v g/cm3

Olovo

11,34

Stříbro

10,5

Zinek

7,06

Železo

7,60

Model je vyroben ze zinku.


Výška mrakodrapu je přibližně 260 m.

83

KUŽEL – ZÁKLADNÍ POJMY 1.

Spoj názvy s částmi kužele. Co ke kuželu nepatří? V

hrana

poloměr

podstava

s průměr

v

výška

r

d

vrchol

strana

2.

Očísluj do rámečků jednotlivé kroky konstrukce kužele v pořadí, ve kterém po sobě následují. Kužel podle daného postupu načrtni.

4

1

2

3.

K obrazu podstavy načrtneme tečny. 3

Vyznačíme vrchol kužele.

5

Vyznačíme viditelnost částí kužele silnou čarou.

Načrtneme obraz podstavy ve tvaru elipsy. Vyznačíme střed podstavy.

V

Pavlína si chce z dovolené na Valašsku přivézt svíčku z včelího vosku ve tvaru kužele s poloměrem podstavy 5 cm a délkou strany 10 cm. Vypočítej výšku kužele. Vejde se jí kužel do krabičky s výškou 9 cm × 11 cm × 11 cm? Výška kužele je 8,7 cm. Vejde se jí do krabičky.

4.

Jaká bude výška a jaký bude poloměr kužele, který vznikne rotací daného trojúhelníku ABC?

a)

rotace podle kratší odvěsny B

Výška kužele bude 5 cm, poloměr 12 cm.

b)

12

rotace podle delší odvěsny

5

Výška kužele bude 12 cm, poloměr 5 cm. A

84

13

C

POVRCH A SÍŤ KUŽELE Rozhodni, která tvrzení jsou pravdivá.

ANO

Síť kužele tvoří kruhová výseč.

Síť kužele je tvořena rozvinutým pláštěm kužele a podstavou ve tvaru kruhu.

NE ×

× ×

Poloměr rozvinutého pláště kužele je roven délce strany kužele.

× ×

Délka oblouku kružnice na rozvinutém plášti je větší než obvod podstavy kužele. Délka oblouku kružnice na rozvinutém plášti je rovna obvodu podstavy kužele.

2.

Které sítě mohou být sítěmi kužele? Zakroužkuj je. a)

Ne

b)

Ne

3.

Sestroj síť kužele s rozměry r = 2 cm, v = 3 cm.

4.

Vypočítej povrch kužele se zadanými rozměry.

a)

b)

c)

délka strany s = 50 mm; poloměr r = 0,4 dm S = 678,24 cm2 průměr podstavy d = 1,8 dm; výška v = 12 cm S = 113,04 cm2

Ano

d)

Ne


1.

85

5.

Vypočítej povrch rotačního kužele, jehož síť je i se zadanými údaji na obrázku. S = 82,425 cm2

8 cm 5 cm

V

6.

Marie si chce ušít na maškarní ples čarodějnický klobouk ve tvaru kužele. Kolik materiálu bude potřebovat, když počítá s obrubou tvaru mezikruží s průměry 28 cm a 44 cm? Délka strany klobouku je 30 cm. Připočítej 5% materiálu na zapošití. Zaokrouhli na cm2. Marie bude potřebovat 6568 cm2 materiálu.

OBJEM KUŽELE

1.

Pro dětské pískoviště je připravena hromada písku ve tvaru kužele s výškou 1 m a průměrem 1,6 m. Jaký objem písku zaujímá tato hromada? Bude zaujímat objem 0,67 m3.

2.

Urči objem a povrch kužele, který vznikne rotací rovnoramenného trojúhelníka kolem osy o. Objem kužele je 0,37 m3, povrch kužele je 3,14 m2. o

1 m

86

1,5 m

3.

Sklenka na zmrzlinový pohár má tvar kužele. Její výška bez nožičky je 9 cm a poloměr je 5 cm. Šimon si koupil osm kopečků zmrzliny, které mu na slunci všechny roztály. Jeden kopeček zmrzliny má objem 32 cm3. Kolik cm3 rozteklé zmrzliny vyteče přes okraj? Přes okraj vyteče 20,5 cm3 zmrzliny.

5.

Doplň tabulku s údaji rozměrů kužele. Zaokrouhli na dvě desetinná místa. Použij kalkulačku. Poloměr/průměr podstavy

Výška

Délka strany

Povrch

Objem

r = 13 cm

v = 1,4 dm

s = ................. 1,91 dm

S = ................. 13,10 dm2

V = ................. 2,5 dm3

r = ................. 9,95 cm

v = 1,5 dm

s = 180 mm

S = ................. 873,24 cm2

V = ................. 1,55 dm3

d = ................. 16,5 cm

v = 16 cm

s = ................. cm 18

S = ................. 680,01 cm2

V = 1 139,82 cm3

Model hradu má střechu ve tvaru kužele. Strana kužele je 45 cm dlouhá a poloměr podstavy je 27 cm.

a)

Jaký je objem střechy?

b)

Kolik dm2 tapety se spotřebuje na polepení střechy, tedy pláště kužele?

c)

Jaká je hmotnost střechy, jestliže je vyrobena ze dřeva o hustotě 0,56 g/cm3? Zaokrouhli na desetiny kilogramu.

a) Objem střechy je 27 469 cm3. b) Na polepení střechy se spotřebuje 38,15 dm2 tapety. c) Hmotnost střechy je 15,4 kg.


4.

87

POVRCH KOULE 1.

Odpověz na otázky, doplň tabulku a načrtni graf.

1. Zapiš vzorec pro výpočet povrchu koule o poloměru r.

2. Vypočítej povrchy koulí pro dané poloměry. r (cm)

0,5

1

1,5

2

S (cm2)

3,14

12,56

28,26

50,24

S = 4πr 2

3. Závislost povrchu koule na jejím poloměru je vyjádřena

4. Podle tabulky načrtni graf závislosti povrchu koule na jejím poloměru.

a) lineární funkcí.

b) kvadratickou funkcí.

c) nepřímou úměrností.

S (cm2) 60 50 S

40

r

30 20 10 0

2.

88

0,5

1

1,5

2

2,5

3 r (cm)

Dopočítej chybějící údaje v tabulce.

Poloměr koule

Průměr koule

Povrch koule

6 cm

12 cm

452,16 cm2

1,2 m

2 m 4 dm

18,09 m2

1,95 cm

3,9 cm

48 cm2

1,46, dm

2,92 dm

26,7 dm2

3.

Povrch Země je přibližně 510 072 000 km². Jaká je délka rovníku? Zemi považujeme za kouli. Délka rovníku je 40 020 km.

4.

Fotbalový míč musí mít podle pravidel obvod od 68 cm do 71 cm. Urči interval, ve kterém se pohybuje povrch tohoto míče. Povrch míče je 1472,6 cm2 až 1605,4 cm2.

5.

Koule má povrch 68,5 dm2. Zapiš, jaký bude její povrch, jestliže nastanou dané situace. a) Její poloměr se zdvojnásobí. b) Její průměr se zčtyřnásobí. c) Její poloměr se zvětší o 3 dm.

S = 274 dm2 ..................................................

S = 1096 dm2 ...............................................

S = 357,5 dm2 ....................................................

OBJEM KOULE

2.

Vyplň tabulku závislosti objemu koule na jejím poloměru.

r (m)

0,5

1

2

3

5

10

20

V (m3)

0,523

4,19

33,49

113,04

532,3

4186,7

33493,33

Přiřaď poloměry nebo průměry ke správným objemům koulí. Údaje si můžeš převést na vhodnější jednotky. Poloměr r = 22 mm

4,19 dm3

44,6 cm3

Poloměr r = 1,6 dm Průměr d = 105 mm Průměr d = 20 cm

606 cm3

17,2 dm3


1.

89

3.

Děti chtějí postavit sněhuláka ze tří koulí, přičemž každá koule bude mít průměr půl metru. Sníh musí přenést ve vědru tvaru válce s průměrem 30 cm a výškou 40 cm. Kolik věder sněhu musí děti donést na stavbu celého sněhuláka? Potřebují donést 7 věder sněhu (vychází 6,94 vědra).

4.

V krabici se čtvercovou podstavou jsou 4 stejné kulové vánoční ozdoby. Vypočítej povrch a objem kulové části jedné ozdoby.

1,4 dm

Povrch jedné koule je 153,86 cm2 a objem je 179,5 cm3.

5.

Povrch koule je 65 cm2. Vypočítej její objem. Její objem je 49,3 cm3.

6.

Nejdelší proužek na míči na obrázku má délku 1 m. Vypočítej, jaký objem vzduchu je potřeba k nafouknutí míče.

DJe potřeba 16,8 l vzduchu.

90

SOUHRNNÝ TEST

1.

Obecný vzorec pro výpočet objemu jehlanu uprav tak, aby vyjadřoval, že podstavou jehlanu je obrazec dle zadání. V = 1 a2v 3 b) obdélník se stranami a, b V = 1 abv 3 c) pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami a, b a přeponou c d) kosočtverec se stranou a a výškou va V = 1 avav 3 a) čtverec o straně a

2.

Ke každé síti zapiš, kolikabokému jehlanu patří.

není to síť jehlanu

3.

V = 1 abv 6

(pravidelný) čtyřboký

tříboký čtyřstěn

(pravidelný) šestiboký

čtyřboký

Babička Rézi se rozhodla ušít vnoučatům plátěný stan na hraní. Stan má tvar jehlanu s podstavou tvaru obdélníku s rozměry 2 m a 1 m, výška stanu je 150 cm. Kolik jejích vnoučat si ve stanu může hrát, počítáme-li s objemem 0,2 m³ na 1 dítě? Kolik m2 plátna babička na výrobu stanu potřebuje?

4.

Ze vzorce pro výpočet objemu kužele vyjádři poloměr r a výšku v. v = 3V2 πr

√

r=

3V πv


Do stanu se vejde 5 dětí. Babička potřebovala 6,97 m2 plátna.

91

5.

V chemické laboratoři mají plastovou pomůcku na tvarování filtračního papíru tvaru rotačního kužele s podstavou o průměru 12 cm a výškou 15 cm. Nádoba má i dno. Vypočítej, kolik dm² plastu bylo třeba na zhotovení pomůcky. Zaokrouhli na setiny. Je potřeba 4,17 dm2 plastu.

6.

7.

Doplň tabulku s údaji o kouli. Zaokrouhli na setiny. r

d

S

V

8,7 cm

17,4 cm

950,67 cm2

2756,93 m3

0,5 m

1 m

3,14 m2

0,52 m3

2,01 dm

4,02 dm

50,6 dm²

34 dm3

Vypočítej, kolik m2 plachtoviny potřebuješ na ušití teepee tvaru kužele. Rozměry teepee jsou na obrázku. Teepee má na zemi udusanou hlínu. Na švy a založení látky je potřeba 5 % plachtoviny navíc. Na ušití teepee je potřeba 57,7 m2 plachtoviny.

5 m

6 m

8.

Batyskaf na pozorování podmořského světa má zásobu kyslíku v nádrži tvaru koule o průměru 80 cm. Vypočítej, na jak dlouho vystačí zásoba kyslíku pro 4 osoby, jestliže má jedna osoba spotřebu 350 ml kyslíku za minutu. Zaokrouhli na celé minuty a převeď na hodiny a minuty. Zásoba kyslíku vydrží 3 h a 11 minut.

92

FUNKCE SINUS 1.

Jsou dány pravoúhlé trojúhelníky s vyznačeným pravým úhlem a úhlem α. Vyznač barevně názvy stran v trojúhelnících podle barvy rámečku. protilehlá odvěsna k úhlu α

α

přilehlá odvěsna k úhlu α α přepona

Pojmenuj strany trojúhelníků malými písmeny. Spoj čarou správný zápis funkce sinus vyznačeného úhlu v nakresleném trojúhelníku s odpovídajícím poměrem stran. R

ρ

s

r t S

3.

4.

5.

C

r t

T

b d t sin ρ = s δ D B c r s

b c sin δ =

d c c d

Chybné výpočty označ ✘, správné ✔. Použij kalkulačku. ✔

sin 24° = 0,4067

✔ sin α = 0,866;

✔

sin 72°40´ = 0,9546

✘ sin γ = 0,0456; γ = 2°10´

✘

sin 8°20´ = 0,929

✔ sin δ = 1,2333; δ neexistuje

✘

sin 47,5° = 0,7412

✘ sin ε = 0;

α = 60°

ε = 90°

Spoj čarou výrazy, které se rovnají. Použij kalkulačku. sin 12°35´

0,9525

sin 49°05´

0,7564

sin 72°16´

0,9535

sin 34°21´

0,7557

sin 12°24´

0,2179

sin 34°15´

0,5642

sin 72°28´

0,2147

sin 49°09´

0,5628

Bez měření vypočítej hodnoty označených úhlů β v pravoúhlých trojúhelnících. Jejich velikost urči pomocí kalkulačky s přesností na minuty. B B β β = 53° 8´ β = 28° 4´ β 6 cm

C

10 cm

8 cm

A

17 dm

1,5 m

A

C

8 dm

VIII. GONIOMETRIE

2.

93

6.

a) Podle grafu doplň správné hodnoty do rozcestníku. Úhly zapiš s přesností na celé stupně a hodnoty sinů s přesností na 2 desetinná místa. b) V grafu označ hvězdičkou nejmenší hodnotu funkce sin α a kolečkem největší hodnotu funkce sin α. c) Do poslední cedulky rozcestníku zapiš, jakých hodnot nabývá funkce sin α v uvedeném grafu. sin α 1,0

°

0,9

0,87 sin 60° = .......... 0,5 sin 30° = ..........

0,8

0,34 sin 20° = ..........

0,7 γ = sin α

0,6

sin ............ 80° = 0,98 sin ......... 10° = 0,17

0,5

90° = 1 sin ............

0,4

0 sin 0° = ...............

0,3

H = <0, 1> .........................................

0,2 0,1 0

7.

*

10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90° α

V obrázku je vyznačen pravoúhlý trojúhelník. Do jaké výšky vyleze dítě po šikmé dřevěné plošině? Délka plošiny je 2,1 m a svírá se zemí úhel α = 30°. Dítě vyleze do výšky 1,05 m.

α

FUNKCE KOSINUS 1.

Pojmenuj strany trojúhelníků malými písmeny. Doplň chybějící údaje v rámečcích. C γ

y

b

d Y

94

E

X a

α β B A x D a c cos δ = cos β = x y d b cos γ = cos α = y x c

r

ε

Z

z

ρ

δ

cos ρ cos ε =

r z

= e z

e R

2.

Doplň do tabulky chybějící velikosti úhlů s přesností na celé stupně. Jakých hodnot nabývá funkce cos α v uvedeném grafu? γ 1,0

cos α

α

0,9

1

0°

0,8

0,97

14°

0,87

30°

0,71

45°

0,5

60°

0,26

75°

0

90°

0,7 γ = cos α 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2

H = <0, 1> ................................................

0,1 0

Doplň do čtverečků znaky rovnosti i nerovnosti.

4.

10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90° α

> cos 23°20´ < < cos 64°30´

cos 25°40´

cos 57°50´ cos 13°40´ cos 64°10´

< > cos 0° > cos 26°10´

cos 45°

cos 17° cos 90° cos 62°10´

Doplň prázdné karty pexesa. Správné dvojice mají stejné barvy. Hodnoty funkce cosinus uveď s přesností na čtyři desetinná místa.

cos 21°42´

0,9657

cos 84°15´

0,8579

cos 3°54´

0,3043

cos 57°24´

0,9291

0,1002

0,5388

cos 72°17´

cos 15°3´

0,9977

cos 30°55´

VIII. GONIOMETRIE

3.

95

5.

Odhadni velikosti vnitřních úhlů α, β, γ u trojúhelníku na rýsování. Pak ověř výpočtem, zda byl tvůj odhad přibližně správný. 20 cm γ

β Úhly v trojúhelníku jsou α = 60° 24´ a β = 29° 36´. cm

23

α

FUNKCE TANGENS 1.

Rozhodni o pravdivosti tvrzení. ANO NE ×

Přilehlá odvěsna k úhlu je β strana f.

F d

b

β D

2.

a) tg 25°

0,4663 = ………………

b) tg α = 0,5774

c) tg β = 0,9827

0,2186 30° tg 12°20´= ……………… α = ………………

44° 30´ β = ………………

Dopočítej políčka v diagramech pro pravoúhlý trojúhelník. Velikosti úhlů urči v celých stupních.

a = 3

b=5

a = 3

b=5

B α

b 5 tg α = a + 3

a 3 tg β = b + 5

a

tg α = 1,6667

tg β = 0,6

C

α = 59°

96

Úhel při vrcholu D je pravý.

Doplň příklady. Použij kalkulačku.

3.

× × × ×

b 2 + d 2 = f 2

B

f

×

Protilehlá odvěsna k úhlu je φ strana f. f tg β = b β + φ = 90°

φ

β = 31°

c β b

A

4.

5.

S kalkulačkou urči buď velikost ostrého úhlu ve stupních a minutách nebo hodnotu tangens ostrého úhlu s přesností na 4 desetinná místa. Výsledky dopiš do rámečků.

0,5430 tg 28°30´= ………….

1,0932 tg 47°33´= …………

2,4383 tg 67°42´= ………….

5,7495 tg 80°08´= ………….

41° 20´ = 0,8796 tg ……..…

26´ = 0,2205 tg 12° ……..…

53° 52´ = 1,3697 tg ……..…

79° 14´ = 5,2588 tg ……..…

Na začátku stoupání do kopce uviděl řidič motorky značku, která je znázorněna na obrázku. Počet procent uvedený na dopravní značce udává počet nastoupaných metrů do výšky x ve vzdálenosti l = 100 m. Pro lepší pochopení významu značky je situace nakreslena na náčrtku. Vypočítej, pod jakým úhlem α motorka jede do kopce. Motorka vyjíždí do kopce pod úhlem 6° 51´. xm

% 12

α l = 100 m

VÝPOČTY V PRAVOÚHLÉM TROJÚHELNÍKU Doplň tabulku. Výsledky uveď s přesností na 4 desetinná místa. α

2.

4°50´

25°30´

34°

82°

83°40´

sin α

0,0843

0,4305

0,5592

0,9903

0,9939

cos α

0,9964

0,9026

0,8290

0,1392

0,1103

tg α

0,0846

0,4770

0,6745

7,1154

9,0098

Pro pravoúhlé trojúhelníky spočítej velikosti úhlů α; β; ε; δ ve stupních a minutách. Použij kalkulačku. 12 m α

β

6,7 m

12,8 dm

9 m ε

9 tg α = ............ = 0,75 12 ............

6 m 6 6,7 = 0,8955 sin β = ............ ............

10 dm 10 cos ε = ............ 12,8 = 0,7813 ............

36°52´ = ............ α = ............

63°35´ = ............ β = ............

38°37´ = ............ ε = ............

VIII. GONIOMETRIE

1.

97

3.

Zkontroluj uvedené výpočty pro pravoúhlý trojúhelník ABC. Oprav případné chyby. B

sin 52°=

c = 21 cm a

a 0,788 = 21

1,28 1,23 = 16,5 b

16,5 a =· 15,5 cm

12,9 b =· 20,3 cm

β

52º C A b

4.

ε = 90° – δ

sin ε =

e f

cos δ =

e f

sin δ =

d f

tg δ =

Výpočet strany d

Výpočet strany f

ε = 54° ..............................

d = 8,72 cm ..............................

d = 14,8 cm ..............................

..............................

..............................

..............................

..............................

..............................

..............................

..............................

..............................

..............................

D

d e

e 2 + d 2 = f 2 F

e = 12 cm 36°

d

f ε

E

V obou pravoúhlých trojúhelnících vyznač přeponu a dopočítej její délku. Spočítej velikost zbývajícího ostrého úhlu. F a C B d

62°

d = 15,7 cm

50°

D

f

E

b = 10 m

c

a = 21,3 cm

A

Pod jakým úhlem může střelec trefit pravou tyč brány? Míč se kutálí po zemi. Situace je znázorněná na obrázku. Počítej s přesností na stupně. Pravou tyč brány může trefit pod úhlem 58° 14´.

šířka brány 7,32 m

střelec stojí před levou tyčí brány

98

16,5 b

Výpočet úhlu ε

e = 12 cm

6.

tg 52°=

V pravoúhlém trojúhelníku DEF vypočítej úhel ε a strany d, f. K výpočtům si vyber některý z daných vztahů. δ + ε + 90° = 180°

5.

a 21

β

vzdálenost k pravé tyči brány 8,61 m úhel střely

7.

Pod jakým úhlem stoupá lanová dráha Černohorský Expres v Krkonoších? Potřebné údaje najdeš v mapce. Lanovka stoupá pod úhlem 14° 14´. B délka lanové dráhy je 2303 m

A

A – dolní stanice lanové dráhy je v nadmořské výšce 694 m n. m. B – horní stanice lanové dráhy je v nadmořské výšce 1260 m n. m. Vypočítej pomocí goniometrických funkcí velikosti devíti úhlů pojmenovaných řeckými písmeny v trojúhelnících. Úhly počítej v celých stupních.

σ ε ≐ 21°

φ ≐ 69°

δ ≐ 70°

γ ≐ 20°

21

σ = 90°

20 ρ

10 7 ε

6

β ≐ 28° 16

α ≐ 42°

γ

ω φ

ρ ≐ 62°

α β

δ

16

ω ≐ 49°

VIII. GONIOMETRIE

8.

99

GONIOMETRICKÉ FUNKCE V ROVINĚ A PROSTORU 1.

Vypočítej délku barevně vyznačené úsečky na obrázcích.

t=?

a)

102° r = 35 mm

t = 54,4 mm

b) a

v = ?

v = 7,7 cm

59° a = 9 cm

c = 2 dm

c)

v = ?

r

r

18°

x=?

2.

x = 1 dm v = 3,08 cm

a = 4 dm

Cheopsova pyramida je nejvyšší pyramidou světa. Má tvar pravidelného čtyřbokého jehlanu o základně a = 230 metrů. Úhel sklonu stěn φ je roven 51°50´.

a)

V

Vypočítej výšku pyramidy. Výška pyramidy je 146,3 m. v D

S1

S A

b)

100

a

B

Kolik m2 zlatých plátů by bylo potřeba na pokrytí všech čtyř stěn pyramidy? Na pokrytí pyramidy je potřeba 85 605 m2 zlatých plátů.

C

φ

UŽITÍ GONIOMETRICKÝCH FUNKCÍ 1.

Kolik metrů pojede skateboardista po překážce, když pojede přímo shora dolů. Přiřaď uvedené pojmy do bílých kroužků k trojúhelníku na obrázku. a) rovná část překážky

b) úhel α při vrcholu překážky

c) výška překážky

60°

a

250 cm

b

c Skateboardista pojede po překážce 5 m.

2.

V kině Galaxy si Marek koupil lístky do nejvyšší řady. Schodiště v sále má celkem 24 schodů. Hrany chodů jsou od sebe vzdáleny 4 dm a úhel stoupání je 22°. Jak vysoko vystoupá Marek po schodišti? vzdálenost hran schodů

hrana schodu

úhel stoupání výška schodu Marek po schodišti vystoupá do výšky 3,6 m.

Motorkář se učí jezdit na zadním kole. Do jaké výšky zvedne střed předního kola?

1,8 m 20°

Motorkář zvedne střed předního kola do výšky 0,62 m.

VIII. GONIOMETRIE

3.

101

4.

Na armádní základnu se přesouvá tajný náklad. Vojáci ho museli ukotvit čtyřmi stejně dlouhými lany znázorněnými oranžovými úsečkami.

a) Spočítej délku jednoho lana, když úhel ukotvení je 58° a vzdálenost paty nákladu od ukotvení je 60 cm.

b)

Jaká je celková délka 4 lan potřebných k ukotvení nákladu? lano

a) Délka jednoho lana je 113,2 cm.

úhel ukotvení

b) Celková délka 4 lan je 4, 53 m.

vzálenost nákladu od ukotvení

5.

Správa Krkonošského národního parku vybudovala pro turisty chatky pro přenocování. Kolik korun stálo pokrytí střechy chatky bez štítů, jestliže pokrytí 1 m2 stojí 385 Kč?

Pokrytí střechy přístřešku stálo 15 093 Kč.

80° 4,2 m

6.

6 m

Při stavbě dálnice D3 je potřeba vyhloubit zářez, který má v příčném řezu tvar rovnoramenného lichoběžníku. Do jaké hloubky je nutné vyhloubit zářez? 62 m 40° Zářez bude vyhlouben do hloubky 14,27 m. 28 m

102

SOUHRNÝ TEST

1.

Petr načrtnul tři pravoúhlé trojúhelníky. Všechny pojmenoval ABC. V prvním je pravý úhel u vrcholu A, ve druhém u vrcholu B a ve třetím u vrcholu C. Ke každému trojúhelníku přiřaď správná tvrzení. C Strana a je přepona. A

Strana b je přepona.

B

tg β = b a

C

cos α = c b

A A

2.

C

B

B

Je dán pravoúhlý trojúhelník TRS s pravým úhlem při vrcholu R. Trojúhelník zakresli a popiš. Které goniometrické funkce úhlu σ ( RST) představují následující zlomky? Spoj je se správnou bublinou. s t s r r t

∢

tg σ

cos σ

sin σ

Urči hodnotu goniometrických funkcí ostrého úhlu. Použij tabulky nebo kalkulačku. tg 65° 47´ = 2,2234

4.

cos 18° 40´ = 0,9474

sin 33° 25´ = 0,5507

Je dán trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C; c = 10 cm, b = 5,6 cm. Vypočítej vnitřní úhly α, β a stranu a tohoto trojúhelníku. Vnitřní úhly trojúhelníku ABC jsou 55° 57´ a 34° 3´.

VIII. GONIOMETRIE

3.

103

5.

Na výstavu má zahradník osázet plochu tvaru rovnoramenného trojúhelníka s výškou k základně 5 m a úhlem při základně tohoto trojúhelníku α = 62° 10´. Vypočítej, kolik sazenic vysadí, použije-li na 1 m² 30 sazenic. Vysadí 396 sazenic

6.

Nikola stříhá látku do tvaru kosočtverce se stranou a = 1,4 m a delší úhlopříčkou e = 2,2 m. Pod jakým úhlem α bude látku stříhat? Bude stříhat látku pod úhlem 76° 22´.

α

7.

Vypočítej výšku dřevěného špalíčku tvaru kvádru, jehož tělesová úhlopříčka má délku 17 cm CAG = 51° 10´. Zaokrouhli na desetiny cm. a

∢

H

G

Výška špalíčku je 13,2 cm. E

F u

v •

D φ A

8.

B

Bronzový odlitek má tvar kolmého hranolu s podstavou kosočtverce se stranou a = 2,4 cm. Úhel, který svírají strany kosočtverce je α = 58°. Výška hranolu je 1,5 cm. Jakou hmotnost má tento odlitek, je-li hustota bronzu 8,7 g/cm3?

Odlitek má hmotnost 63,7 g.

104

C

FINANCE A PROCENTA ÚLOHY V KAPITOLE FINANČNÍ MATEMATIKA POČÍTEJ PODLE EVROPSKÉHO STANDARDU.

2.

Doplň tabulku. 100 %

1 %

5 %

10 %

16 %

50 %

216

2,16

10,8

21,6

34,56

108

88

0,88

4,4

8,8

14,08

44

40

0,4

2

4

6,4

20

1262

12,62

63,1

126,2

201,92

631

Urči základ.

3.

640 5 % z ...................... je 32

8,29 % z 5 000 Kč

414,5

100 60 % z ...................... je 60

38,7 % ze 1 300 Kč

503,1

21,3 % ze 70 Kč

14,91

3,17 % z 2 400 Kč

76,08

160 75 % z ...................... je 120 420 10 % z ...................... je 42

4.

Doplň tabulku.

Doplň údaje do modrých rámečků: Monika si chce koupit notebook za 14 200 Kč. Na běžném účtu má sice 19 150 Kč, ale minimálně 40 % částky si musí na účtu ponechat. Od rodičů dostala příspěvek na notebook ve výši 2 000 Kč. Monika má na notebook celkem k dispozici

13 490

Kč.

Od příštího měsíce má být notebook zlevněn o 5%. Po této slevě bude stát Bude si moci po slevě notebook koupit?

Ano

13 490

Kč.

IX. FINANČNÍ MATEMATIKA

1.

105

VĚŘITELÉ A DLUŽNÍCI 1.

Doplň do rámečků pojmy z nabídky. úrok spořicí účet dlužník úroková sazba věřitel Úroková sazba

je podíl úroku získaného za rok a zapůjčené částky vyjádřený v procentech. Spořicí účet je druh bankovního účtu určený ke garantovanému zúročení vkladu. Sjednává se na předem vymezenou dobu (několik dní až několik let). Daň z úroku je 15 %. Úrok je částka, kterou získá věřitel od dlužníka jako odměnu za zapůjčení peněz. Petr

2.

půjčí svému dlužník

švagrovi

10 000 Kč. Vilda věřitel  , zatímco Petr je

 .

1.

2.

3.

4.

5.

Roční úroková míra

9,6 %

15,4 %

8,9 %

16,8 %

13,2 %

Na úrocích zaplaceno

23 040

36 960

21 360

40 320

31 680

Novotní chtějí uložit do banky 2 500 000 Kč na jeden rok. Kolik by vydělal stát na dani z úroků a kolik by vydělali Novotní na úrocích, kdyby peníze investovali do 3 různých bank? Banka

1.

2.

3.

1,77 % (daň 25 %)

1,89 % (daň 15 %)

2,14 % (daň 25 %)

44 250

47 250

53 500

Zaplaceno na dani

11 062,5

7 087,5

13 375

Na úrocích po zdanění vyplaceno

33 187,5

40 162,5

40 125

Roční úroková míra (daň) Úrok před zdaněním

106

je

Kubíčkovi si chtějí půjčit 240 000 Kč na jeden rok. Kolik by museli zaplatit navíc na úrocích u pěti různých bank nabízejících půjčku? Daň z úroku zatím neuvažuj.

Banka

3.

Vildovi

4.

Banka nabízí u svého spořicího účtu roční úrokovou míru 1,55 %. Na účet plánuješ vložit zděděných 160 tisíc korun. Daň z úroku je 15 %. Kolik korun budeš mít na účtě po roce? Na účtu bude po roce 162 108 Kč.

5.

Tomáš chce investovat 300 000 Kč na jeden rok. Rozhoduje se mezi dvěma variantami. Do produktu které banky je výhodnější investovat? • SUPER banka nabízí depozitní certifikát s roční úrokovou mírou 2,04 %. (Daň je 25 %) • EXTRA banka nabízí termínovaný vklad s roční úrokovou mírou 1,8 %. (Daň je 15 %) Výnos z obou bank je stejný.

TERMÍNOVANÉ VKLADY A ÚČTY Podnikatel Lukáš si na termínovaný vklad s 8 měsíční výpovědní lhůtou a roční úrokovou mírou 1,75 % uložil 240 000 Kč. Daň z úroku je 15 %. Jaký je roční úrok před a po zdanění, úrok před a po zdanění za 8 měsíců a daň z úroku zaplacená za 8 měsíců? Rok

8 měsíců

Úrok před zdaněním

4200 Kč

2800 Kč

Daň

630 Kč

420 Kč

Úrok po zdanění

3570 Kč

2380 Kč


1.

107

2.

Doplň informace a zakroužkuj správné možnosti. 30 360 Podle evropského standardu má každý měsíc ................... dní a rok dohromady ................... dní. Podle ČNB se pro výpočet úroku nezapočítává /započítává den výběru peněz, den uložení nikoliv/ano.

3.

Ivan uložil 13. 2. na vkladní knížku s roční úrokovou mírou 0,95 % 40 000 Kč. Z pěti možností vyber částku zaokrouhlenou na celé koruny, kterou mu banka celkem vyplatila 23. 11. téhož roku, je-li daň z úroků 15 %. a) 40 323 Kč

4.

b) 40 296 Kč

c) 40 251 Kč

d) 40 215 Kč

e) 40 692 Kč

Podnikatel vložil do banky s úrokovou mírou 6 % určitou částku. Banka mu za 8 let po odečtení daní 15 % vyplatila částku 26 797,48 Kč. Kolik Kč podnikatel do banky vložil? Složené úročení neber v potaz. Podnikatel vložil do banky 19 032,30 Kč.

5.

Na vkladní knížku s roční úrokovou mírou 1, 5 % bylo 1. 2. uloženo 60 000 Kč. Zjisti, za jak dlouho byly peníze vybrány, jestliže bylo v den výběru i se zdaněnými úroky vyplaceno 60 085Kč. Peníze byly vybrány za 40 dní.

6.

Pan Řezáč si v bance uložil na termínovaný vklad na 1 rok s roční úrokovou mírou 4,1 % částku 500 000 Kč. Daň z úroku je 15 %. Po osmi měsících však potřeboval částku 150 000 Kč na realizaci rodinného wellness centra. Ve smlouvě s bankou bylo uvedeno, že při předčasném výběru banka sníží předčasně vyplacenou částku o 7,5 %. a) O jakou částku bude skutečně banku žádat, aby získal potřebnou částku? b) Vypočítej, kolik Kč na konci roku pan Řezáč vybere z banky po odečtení daně z úroku. Vyplatilo se mu peníze uložit na tento termínovaný vklad? a) Bude žádat o 162 162 Kč. b) Na konci roku vybere 353 380 Kč. Panu Řezáčovi se termínovaný vklad i přes výběr peněz vyplatil.

108

CENNÉ PAPÍRY 1.

2.

Utvoř správné dvojice.

Dluhopis

Majitel získává podíl na vlastnictví podniku se statutem akciové společnosti.

Podílový list

Úrok, který se nevztahuje k vloženému kapitálu. Počítá se z částky, kterou majitel cenného papíru obdrží na konci úrokové doby.

Akcie

Skutečná tržní hodnota, se kterou se obchoduje na kapitálovém trhu.

Diskont

Cenný papír, který vydává investiční společnost.

Cena akcie

Dlužník se zavazuje, že splatí věřiteli dlužnou částku včetně úroku ve stanoveném termínu.

Pan Nešetřil se rozhodl investovat zděděnou částku do diskontního dluhopisu s dobou splatnosti jeden rok o hodnotě 90 000 Kč s diskontní sazbou 2,5 %. a) Kolik Kč za dluhopis zaplatil? b) Jak velký byl zisk z dluhopisu? Daň z diskontu neuvažuj. a) Za dluhopis zaplatil 87 750 Kč. b) Zisk z dluhopisu byl 2 250 Kč.

Pan Tengl zakoupil 24 000 kusů podílových listů ze Švýcarska s kurzem 1,2500 Kč. Po roce prodal podílové listy zpět podílovému fondu. Jejich kurz byl v den prodeje 1,2965 Kč. Pan Nedvěd uložil 30 000 Kč na termínovaný vklad na jeden rok s úrokovou sazbou 1,7 %. Žádné další poplatky spojené s investicemi neuvažuj. a) Vypočítej, kolik stály pana Tengla jeho podílové listy. b) Vypočítej, kolik Kč činí úrok po zdanění 15 % u pana Nedvěda. c) Kdo z dvojice dosáhl vyššího zisku?

a) Podílové listy stály pana Tengla 30 000 Kč. b) Úrok činí 433,50 Kč. c) Vyššího zisku dosáhl pan Tengl.


3.

109

4.

Paní Černá zakoupila 50 kusů akcií po 947 Kč u společnosti Smart Company. Obchodníkovi za zprostředkování ceny zaplatila 1,5 % z nákupní ceny. Kolik Kč stál nákup akcií celkem?

Nákup akcií stál celkem 48 060,25 Kč.

5.

Slečna Kuchařová vlastní 50 000 kusů podílových listů podílového fondu RT Centrain rock. Ke dni 30. 4. byl kurz podílového listu 1,2587 Kč. Ke dni 31. 10. toho roku vzrostl kurz na 1,2599 Kč. O kolik Kč se zvýšila hodnota podílových listů slečny Kuchařové v podílovém fondu? Hodnota podílových listů slečny Kuchařové se zvýšila o 60 Kč.

JEDNODUCHÉ A SLOŽENÉ ÚROČENÍ 1.

Zopakuj si pomocí křížovky základní termíny a získej poslední část vtipu.

1. Ten, kdo někomu půjčí peníze. 2. Pokud se úroky přičítají k počátečnímu kapitálu a spolu s ním se dále úročí, jde o úročení… 3. Částka, kterou věřitel půjčil dlužníkovi. 4. Metoda, která se používá pro výpočet úroků, se nazývá evropský… 5. Pokud se úroky počítají stále z počátečního kapitálu, jde o jednoduché… 6. Roční úroková míra se vyjadřuje v… 7. Ten, kdo si půjčí peníze.

F 1. 2.

S

V

Ě

Ř

I

T

E

L

I

T Á

L O Ž E N É 3.

K

A

P

4.

S T A N D A R D

5.

Ú R O Č E N Í

6.

P R O C E N T E CH

7.

D

L

U

Ž

N

Í

L

K

V chalupě v lese někdo zaťuká na dveře. Rodiče se bojí, že přišel medvěd, tak uvnitř křičí, aby ho FINANČNÍ úřad.“ odehnali pryč. Za dveřmi se ale ozve: „Nebojte se, já nejsem medvěd, jsem jen .........................

110

2.

Doplň tabulku. Majitel podlahového studia má v bance na tříletém termínovaném vkladu uložených 100 000 Kč s roční úrokovou mírou 1,9 %. Banka úročí jednou ročně (na konci roku), užívá složené úročení. Daň z úroku je 15 %. Vypočítej, kolik banka vyplatí v den splatnosti vkladu. Zaokrouhluj na celé koruny. Počáteční kapitál

Roční úrok před zdaněním

Daň z úroku

Roční úrok po zdanění

Kapitál na konci roku po připsání zdaněných úroků

1.

100 000

1900

285

1615

101 615

2.

101 615

1931

290

1641

103 256

3.

103 256

1962

294

1668

104 924

Rok

3.

Do které banky je výhodnější uložit 150 000 Kč na 2 roky? Banky úročí vždy na konci roku. Roční úroková míra

Daň

Úročení

GOLD banka

1,8 %

15 %

jednoduché

SILVER banka

1,7 %

15 %

složené

GOLD:

154 590 Kč

SILVER:

154 366 Kč

4.

Zpěvák vložil do banky částku 120 000 Kč na termínovaný vklad. Roční úroková míra je 1,85 % a vklad je úročen jednou ročně. Jde o složené úročení, daň z úroku je 15 %. Kolik Kč banka zpěvákovi vyplatí za jednotlivá období? a) za 2 roky 123 804

b) za 3 roky 125 750

c) za 4 roky 127 728

Za 2 roky klient obdrží 123 804 Kč, za 3 roky 125 750 Kč a za 4 roky klient obdrží 127 728 Kč.


Je výhodnější využít služby GOLD banky.

111

5.

Paní Janáčková uložila 250 000Kč na termínovaný vklad s roční úrokovou mírou 1,92 %. Po třech letech, v den splatnosti termínovaného vkladu, banka vyplatila paní Janáčkové 262 240 Kč. Zjisti, jestli se jednalo o složené, nebo jednoduché úročení. Banka úročila vždy na konci roku, daň z úroku byla 15%. Jednalo se o jednoduché úročení.

6.

Tomáš má před sebou 4 roky studia na gymnáziu a pak 5 let na vysoké škole. Rodiče by mu rádi po ukončení studia přispěli na vlastní bydlení. Kolik Kč musí uložit do banky na termínovaný vklad, aby v den jeho splatnosti banka Tomášovi vyplatila 150 000 Kč? Jde o složené úročení, banka úročí vždy jednou na konci roku. Roční úroková míra je 2,1 %, daň 15 %. Zakroužkuj správnou možnost. a) 117 680 Kč

b) 122 840 Kč

c) 127 920 Kč

d) 134 630 Kč

Rodiče musí do banky vložit 127 920 Kč.

RŮZNÁ ÚROKOVACÍ OBDOBÍ

1.

Doplň, co znamenají jednotlivé údaje ve vzorci pro výpočet částky na konci m-tého úrokovacího období při složeném úročení.

(

Km = K · 1 + 1 · 0,85 · i k

)

m

(

nebo Km = K · 1 +

t · 0,85 · i 360

)

m

, kde

K

počáteční vklad = kapitál ........................................................................................................... ,

k

počet úrokovacích období za 1 rok .......................................................................................................... ,

i

roční úroková míra .......................................................................................................... ,

zdaňovací koeficient 0,85 .......................................................................................................... ,

112

m

počet úrokovacích období .......................................................................................................... ,

t

počet dní úrokovacího období v roce .......................................................................................................... .

Přiřaď tvar vzorce „K m “ ke způsobu úročení.

(

)

termínovaný vklad na 14 dní, 3× automaticky obnoven

(

)

vklad na 1 rok, úročí se měsíčně

Km = K · 1 + 1 · 0,85 · i 4 Km = K · 1 + 1 · 0,85 · i 4

1

(

Km = K · 1 + 1 · 0,85 · i 12

4

)

)

vklad na 2 měsíce, úročí se denně

(

)

vklad na čtvrt roku, úročí se čvrtletně

Km = K · 1 + 1 · 0,85 · i 360

4.

vklad na 1 rok, úročí se čtvrtletně

(

Km = K · 1 + 1 · 0,85 · i 360

3.

12

3

60

Podnikatel v zemědělství si v bance uložil na konci roku na termínovaný účet na 2 roky částku 280 000 Kč. Roční úroková míra je 3,45 % a daň z úroku je obvyklých 15 %. Banka úročí čtvrtletně. Údaje a výsledky zapiš do připravené tabulky. Počáteční kapitál K

280 000 Kč

Zdaňovací koeficient

0,85

Úroková míra vyjádřená desetinným číslem i

0,0345

Počet úrokovacích období za 1 rok k

4

Celkový počet úrokovacích období m

8

Dosazení do vzorce Km

K8 = 280 000·(1 + 0,85·0,0345)8

Celková částka na konci období

K8 = 296 850

Majitel restaurace si chce uložit 18. února na termínovaný účet částku 120 000 Kč. Den splatnosti má být 30. června téhož roku. Úroková míra v bance AirMoney je 3,05 % a v bance Vindbank 2,9 %. Daň z úroku je vždy 15 %. AirMoney úročí čtvrtletně a Vindbank měsíčně. Úročí se naposledy v den splatnosti. Kolik Kč by banky vyplatily klientovi v den splatnosti termínovaného vkladu?

Banka AirMoney by mu vyplatila 121 152 Kč a banka Vindbank by mu vyplatila 120 784 Kč.


2.

113

SPOŘENÍ

1.

Označ do obdélníčku krátkodobé spořící finanční produkty a do oválku dlouhodobé spořicí finanční produkty. Který produkt je nejvýhodnější pro modernizaci bytu, který slouží k zajištění na stáří, který k zabezpečení rodiny v případě úrazu, který pro zabezpečení trvalých následků po úrazu či úmrtí? termínovaný vklad

podílové fondy

penzijní připojištění

životní pojištění stavební spoření

2.

Prohlédni si tabulku stavebního spoření na 5 let s roční úrokovou mírou 3 % a odpověz na otázky v tabulce. Sumy v první tabulce jsou uvedeny v Kč. Cílová částka

Měsíční vklad

Celkový vklad za 5 let

Celkový výnos (úroky + státní podpora)

Celková úspora po 5 letech

300 000

2 000

120 000

33 000

153 000

240 000

1 500

90 000

30 700

120 700

200 000

1 250

75 000

27 200

102 200

160 000

1 000

60 000

21 900

81 900

120 000

750

45 000

16 400

61 400

80 000

500

30 000

10 900

40 900

Měsíční vklad 1 500 Kč

Měsíční vklad 1 000 Kč

Kolik Kč se naspoří za 1 rok?

18 000 Kč

12 000 Kč

Kolik Kč se naspoří za 5 let?

90 000 Kč

60 000 Kč

Kolik Kč činí zisk na úrocích a státní podpoře za 5 let?

30 700 Kč

21 900 Kč

120 700 Kč

81 900 Kč

Jak vysoká je částka na konci spoření?

3.

spořicí účet

Pan Drábek ukládá v bance na svůj spořicí účet vždy na konci roku 10 000 Kč. Úroková míra 3,9 % je neměnná, daň z úroku je 15 %, úrokovací období je 1 rok, úročí se vždy na konci roku složeným úročením. Vypočítej, kolik peněz bude mít pan Drábek na svém účtu za 2 roky a kolik za 5 let. Předpokládej, že v den ukončení spoření banka již úročila a pan Drábek svůj pravidelný vklad již uložil. Pan Drábek bude mít na účtu za 2 roky 21 005,50 Kč a za 5 let 55 197,80 Kč.

114

4.

Podnikatelka Eva ukládá do banky měsíčně částku 100 € na účet s úrokovou mírou 3,45 % po dobu tří let. Daň z úroku je 15 % a úročí se vždy na konci roku složeným úročením. Doplň tabulku. Počet úročení za celé období Naspořená částka po jednom roce Odhad úroku před zdaněním

VOŽ

Odhad zdaněného úroku Odhad naspořené částky za 3 roky Odhad naspořené částky po připsání úroků a po zdanění za 3 roky Výpočet složeným úročením

Eva si naspoří celkem 3815,29 Kč.

Porovnání odhadu a přesného výpočtu

SPLÁTKY A LEASING Banka nabízí spotřebitelský úvěr ve výši 100 000 Kč s úrokovou sazbou 14,9 % a RPSN 15,97 %. V tabulce je uvedena výše měsíční splátky v závislosti na době splatnosti úvěru. a) Doplň tabulku Počet měsíčních splátek

Počet let splácení

Měsíční splátka

Celková částka

72

6

2 108 Kč

151 776 Kč

60

5

2 372 Kč

142 320 Kč

48

4

2 776 Kč

133 248 Kč

36

3

3 459 Kč

124 524 Kč

b) Vypočítané hodnoty porovnej. Je výhodnější úvěr s kratší nebo delší dobou splatnosti? Úvěr s kratší dobou splatnosti je výhodnější.


1.

115

2.

3.

Mladá rodina si chce vzít hypotéku na koupi rodinného domu. K dispozici mají hotovost ve výši 500 000 Kč a půjčit si potřebují 2 000 000 Kč. Stavební spořitelna jim nabízí hypotéku s fixním typem sazby s fixací na 1 rok a výší úrokové sazby 4,81 %. Vypočítej celkovou výši splátek pro různou dobu splácení. Doba splácení

Výše měsíční splátky

Celková výše splátek

20 let

12 990 Kč

3 117 600 Kč

25 let

11 471 Kč

3 441 300 Kč

30 let

10 505 Kč

3 781 800 Kč

Paní Trousilová si na novou fasádu od banky půjčila na konci roku 100 000 Kč na dobu 18 měsíců s roční úrokovou sazbou 3,9 %. Paní Trousilová bude splácet dluh každý měsíc částkou 6 891 Kč. a) Kolik Kč zaplatí paní Trousilová celkem za 18 měsíců?

b) Kolik Kč je celkový úrok za 18 měsíců? Celkový úrok je 24 038 Kč.

4.

Firma, která vyrábí outdoorové vybavení si koupila na leasing výrobní zařízení v ceně 1 200 000 Kč. Akontace je 30 %. Doba splácení je 36 měsíců, měsíční anuita je 3,5 % z ceny zařízení. Jak vysoká je jedna měsíční splátka? Kolik Kč zaplatila firma celkem za potřebné zařízení? Jedna měsíční splátka činí 42 000 Kč. Celkem firma zaplatila 1 872 000 Kč.

5.

Manželé Nekvindovi a Vaníkovi si kupují nábytek do bytu na leasing v hodnotě 53 999 Kč. Nekvindovi mohou zaplatit akontaci ve výši 50 % a nábytek splatí za 30 měsíců. Měsíční anuita jim vychází na 2,54 % z pořizovací ceny nábytku. Vaníkovi mohou zaplatit akontaci jen 20 %, ale nábytek splatí za 15 měsíců. Měsíční anuita jim vychází na 7,06 % z pořizovací ceny nábytku. Kolik Kč zaplatí celkem Nekvindovi a kolik Vaníkovi? Nekvindovi zaplatí celkem 68 146,74 Kč a Vaníkovi zaplatí celkem 67 984,74 Kč.

116 116

STATISTICKÉ ÚDAJE A GRAFY

1.

Přiřaď názvy k jednotlivým grafům. kruhový spojnicový pruhový sloupcový plošný prstencový y

x y

spojnicový

plošný

pruhový x

y

x

sloupcový

2.

prstencový

kruhový

V tabulce je uvedeno zastoupení různých etnik žijících v New Yorku. Narýsuj sloupcový a kruhový diagram. y Etnikum Zastoupení v % Velikost výseče ve stupních

Běloši

Černoši

Asiaté

Jiná rasa

Míšenci

67

15

7

9

2

241,2

54

25,2

32,4 jiná rasa

7,2

x

míšenci

asiaté

černoši

asiaté

jiná rasa

míšenci

23,47 %

22,11 %

18,15 %

16,29 %

16,07 %

14,83 %

12,63 %

13,28 %

10,86 %

10,58 %

9,02 %

9,83 %

76,53 %

77,89 %

81,85 %

83,71 %

83.93 %

85,17 %

87,37 %

86,72 %

89,14 %

89,94 %

90,98 %

90,17 %

b) V kterém roce od 2000 do 2012 bylo největší zastoupení žen mezi ICT odborníky a kolik % to bylo? Je možné podle grafu odpovědět, jestli se v sledovaném období zvýšil nebo snížil celkový počet žen ICT odbornic?

100% 90% 80% 70% 60 % 50 % 40% 30 % 20 % 10 % 0 %

23,56 %

Počet žen se ve sledovaném období snižuje. Výjimku tvoří roky 2008 a 2012.

0 20 0 01 20 0 20 2 0 20 3 0 20 4 0 20 5 06 20 07 20 0 20 8 0 20 9 10 20 11 20 12

a) Zvyšuje se nebo snižuje se poměr žen v zastoupení ICT odborníků? Které roky tvoří výjimku?

76,44 %

Podle grafu počtu ICT odborníků odpovídej na otázky.

20

3.

černoši

◼ ženy ◼ muži

Nejvíce žen bylo mezi ICT odborníky v roce 2000. Z grafu není možné říci, zda se počet žen ICT odbornic zvyšuje či snižuje, protože neuvádí celkové počty ICT odborníků.


běloši

běloši

117

PRAVDĚPODOBNOST 1.

V loterii na hasičském plese jsou losy s čísly 1 - 20. Vytáhneme náhodně jeden los. Urči pravděpodobnost, že vylosujeme los: a) s číslem 21 c) s číslem dělitelným třemi

P=0 P= 1 2 P = 0,3

d) s prvočíslem

P = 0,4

b) se sudým číslem

2.

Jana má v šuplíku 5 párů bílých a 10 párů černých ponožek. Ráno ráda spí, proto musí chvátat do školy a ze šuplíku si vytáhne náhodně jeden pár ponožek. Jaká je pravděpodobnost, že přijde do školy v bílých ponožkách? Pravděbodobnost je 1 . 3

3.

Ručičkové hodiny ukazují na ciferníku čas 21:00. Jaká je pravděpodobnost, že se vteřinová ručička vyskytuje v ostrém úhlu, který je vymezený velkou a malou ručičkou? Pravděbodobnost je 0,25.

4.

Vojta a Lucka jsou na kajakovém kurzu. Instruktor jim přiděluje různě barevná pádla. Celkem je tam pět modrých, tři žlutá a tři červená pádla. Vojta dostal červené pádlo. Jaká je pravděpodobnost, že Lucka dostane také červené pádlo? Pravděbodobnost, že Lucka dostane červené pádlo je 0,2.

5.

Při hře Osadníci z Katanu každý hráč hází dvěma kostkami v každém tahu. Čísla na obou kostkách se sčítají. Jaká výsledná hodnota se ve hře průměrně objevuje nejčastěji?

Průměrně se nejčastěji objevuje hodnota 7.

118

SOUHRNNÝ TEST

1.

Honza si půjčil od svého bratra 500 Kč. Když Honzovi přišla výplata, tak vrátil celou částku a bratrovi navíc daroval čokoládu, která stála 25 Kč. Kolik procent z půjčené částky investoval při vrácení navíc? Investoval navíc 5 % půjčené částky.

2.

Cena jednoho kilogramu česneku na tržnici byla první týden 119 Kč. Druhý týden byla cena snížena o 5 %. Třetí týden se cena česneku zvýšila o 8 %. O kolik procent se změnila původní cena česneku? Cena se změnila o 2,6 %.

3.

Půjčka i s roční úrokovou sazbou ve výši 10 % byla splacena po 318 dnech. Kolik činily vlastní úroky? Úroky činily 8,53 % půjčky.

4.

Na konci roku uložili rodiče Báře na vkladní knížku 17 000 Kč, úrokovací období je jeden rok. Roční úroková sazba je 2,5 %, daň z úroku činí 15 %. Úroky se připisují na konci roku. Kolik Kč bude mít Bára na knížce po jednom roce?

5.

Pan Průša vlastní 15 000 kusů podílových listů podílového fondu Question-Answer a 18 000 kusů podílového fondu Black Angel. Tabulka udává kurzy uvedených podílových fondů 30. 6. a 31. 12. Vypočítej, zda hodnota majetku pana Průši v podílových fondech během uvedeného půl roku vzrostla nebo klesla. Kurz podílového listu v Kč

Hodnota majetku klesla o 44,4 Kč.

30. 6.

31. 12.

Question-Answer

1,2956

1,3158

Black Angel

1,5312

1,5119


Bára bude mít na knížce po 1 roce 17 361,25 Kč.

119

6.

Podnikatel Antonín uložil na konci roku do banky 400 000 Kč na 1 rok. Úroková sazba je 2,1 %, daň z úroku činí 15 %. Inflace v tomto roce dosáhla 2,0 %. a) Kolik Kč Antonín po roce dostal od banky na svůj účet? b) Jaká je reálná hodnota obdržené částky? a) Antonín dostal od banky 407 140 Kč. b) Reálná hodnota této částky je 398 997,20 Kč.

7.

Pan Fiala si vzal úvěr ve výši 100 000 Kč na dva roky s roční úrokovou sazbou 11,5 %. Splatil jej jednorázově, v den splatnosti. Banka úročila na konci každého měsíce. Jednalo se o složené úročení. Vypočítej, kolik bance pan Fiala v den splatnosti zaplatil. Pan Fiala zaplatí 124 722 Kč.

8.

Ve sloupcovém diagramu jsou uvedeny počty žáků a jejich známka ze čtvrtletní písemky z matematiky. Urči průměrnou známku, modus a medián. Průměrná známka je 2,81.

známky

9.

Napiš všechny možnosti, které mohou nastat, když třikrát po sobě hodíš mincí (např. 1. orel; 2. panna; 3. orel). Jaká je pravděpodobnost, že při těchto hodech padne alespoň na dvou mincích orel? OOO

OPP

OOP

POP

OPO

PPO

POO

PPP

Pravděpodobnost, že padne orel alespoň na dvou mincích, je 0,5.

120


Medián je známka 3.

počet žáků

Modus je známka 3.

HRAVÁ MATEMATIKA JMÉNO ŠKOLA

Recommend Documents