Historie vzniku Rozhledů matematicko-fyzikálních

150 let JČMF Historie vzniku Rozhledů matematicko-fyzikálních Jaroslav Zhouf, Pedagogická fakulta UK, Praha Abstract. Hundred and fifty years ago, the professional organization the Union of Czech Mathematicians and Physicists (Jednota českých matematiků a fyziků) was established. As one of its initial activities, the Union published a professional periodical called Časopis pro pěstování matematiky a fyziky, out of which the journal Rozhledy matematicko-fyzikální was singled ninety years ago. Therefore, this year, we celebrate an important anniversary of this journal as well. The article describes the birth of the journal Rozhledy matematicko-fyzikální and the first years of its life.

V letošním kalendářním roce si připomínáme 150. výročí založení naší profesní organizace Jednoty českých matematiků a fyziků (krátce Jednoty). O této události z roku 1862 je stručná informace v článku [1], podrobnější informace převážně o zakladatelích Jednoty (tehdy ještě pod názvem Spolek pro volné přednášky z mathematiky a fysiky) jsou v publikaci [2]. Z mnoha důležitých aktivit, které tato organizace během své existence vyvíjela a nadále vyvíjí, si nyní připomeneme publikační činnost pomocí odborných časopisů. Prvním časopisem vydávaným Jednotou byl Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky (krátce Časopis). Titulní stránka prvního ročníku je na obr. 1. a je převzata ze sborníku [3] a i několik informací pro tento článek je čerpán z tohoto sborníku. Z této stránky je vidět, že vydávání začalo v roce 1872, takže i zde se jedná o kulaté výročí. Vydávání bylo skutečně načasováno na desetileté výročí existence Jednoty. Jeho existence skončila v roce 1950, neboť vydávání všech odborných časopisů převzal stát a Časopis byl rozdělen na Časopis pro pěstování matematiky a obsahově nezávislou anglickou verzi Czechoslovak Mathematical Journal a na Československý časopis pro fyziku a jeho anglickou verzi Czechoslovak Journal of Physics a ruskou verzi (český přepis z ruštiny) Čechoslovackij fizičeskij žurnal. Jednota pak začala opět vydávat v roce 1957 svůj časopis, a sice Pokroky matematiky, fyziky a astronomie (krátce Pokroky). Ročník 87 (2012), číslo 3

1

150 let JČMF

Obr. 1

2

Rozhledy matematicko-fyzikální

150 let JČMF

Zaměření Časopisu popisuje sborník [3, s. 35–37]: Od prvního ročníku ” je zřejmá jeho určitá strukturální linie. Vedle hlavních článků charakteru přehledného, resp. odborného (které později převažovaly) je patrná snaha po sdělování nových poznatků formou zpráv v rubrice Drobné zprávy a seznamování čtenářů s novinkami literatury v rubrice Věstník literární. Na středoškolské studenty je pamatováno články elementárního charakteru a rubrikou Úlohy, kde se, především pro studenty, zveřejňovaly problémy. . . . Mezi řešiteli z řad středoškoláků (odměněných odbornými knihami) nalezneme velkou řadu jmen pozdějších vysokoškolských profesorů. Podle našeho soudu lze Úlohy hodnotit jako důstojného a zasloužilého předchůdce dnešních matematických či fyzikálních olympiád.“ Od 22. ročníku (1893) si Časopis vytvořil přílohu, která měla elemen” tárnější náplň a byla určena studentům středních škol“ [3, s. 40]. Tato rubrika se nazývala prostě Příloha k Časopisu pro pěstování mathematiky a fysiky (krátce Příloha). V roce 1921 na podzim, tj. od 51. ročníku Časopisu se Příloha od Časopisu odděluje jako samostatný časopis Rozhledy matematickopřírodovědecké (krátce Rozhledy). Celý název nového časopisu byl Roz” hledy matematicko-přírodovědecké, přílohy k Časopisu pro pěstování matematiky a fysiky pro studující středních škol“. V Časopise se od 55. ročníku vytvořila nová příloha určená středoškolským profesorům a nazvaná Příloha didakticko-metodická a o rok později přejmenovaná na Vyučování – Zprávy – Literatura. Podobnou podobu časopisu mají nyní Pokroky. Tato příloha se v roce 1948 také oddělila od Časopisu jako Matematika a fysika ve škole. Nyní se více zabývejme samotnými Rozhledy. Všimneme si jen několika prvních ročníků, globálnější pohled na tento časopis může být předmětem dalšího článku. Při vzniku Rozhledů byl ustanoven vedoucím redaktorem Vladimír Ryšavý. Jelikož byly Rozhledy stále součástí Časopisu, i když již samostatnou, je třeba uvést i Bohumila Bydžovského jako vedoucího redaktora Časopisu, Karla Petra, Františka Závišku a Augusta Žáčka jako redaktory. Od 10. ročníku Rozhledů je redigoval Jan Schuster , od 13. ročníku František Vyčichlo a Alois Wangler atd. První ročník Rozhledů sestával ze čtyř čísel, z nichž první vyšlo v roce 1921 a další tři v roce 1922. Titulní stránka prvního vydaného čísla Rozhledů je na obr. 2 (na této kopii je zajímavé, že odběratelem byl známý matematik Fr. Hradecký). První a druhé číslo prvního ročníku mělo po 40 stranách, třetí číslo 32 stran a čtvrté 50 stran. Ročník 87 (2012), číslo 3

3

150 let JČMF

Obr. 2

4


150 let JČMF

Jednotlivá čísla v dalších asi deseti ročnících měla téměř vždy vzájemně různý počet stran, ale celkový počet stran za celý ročník byl okolo 170–200 stran. V další dekádě Rozhledů se celkový počet stran snížil asi na 140–150, posílila však část didakticko-metodická v Časopisu. Náplň prvního ročníku je patrná z obsahu na obr. 3. Články nejsou v časopise tematicky uspořádány, takže se střídají články z matematiky, deskriptivní geometrie, fyziky a astronomie. V dalších ročnících již k tematickému uspořádávání postupně docházelo. V prvních ročnících převažovaly články fyzikální, dokonce se objevila čísla jen s fyzikálními články. Matematické články byly většinou z geometrie, která byla v té době velmi oblíbená (porovnejme to se současností!). Obsah prvního ročníku také ještě není tematicky členěn, od druhého ročníku již existuje členění podle čtyř uvedených témat a k tomu tam jsou ještě úlohy, které, jak bylo řečeno, svojí náročností připomínají úlohy současných odborných olympiád. Úlohy byly určeny čtenářům jako soutěž, za kterou byli ti nejlepší odměněni. Na konci ročníku byl pak uveden seznam řešitelů, kterých bylo v prvním ročníku přesně 50. Ve druhém ročníku bylo také 50 řešitelů, mezi nimiž byli Karel Hruša, František Vyčichlo a další. Ve třetím ročníku bylo 58 řešitelů, mezi nimiž byl již zmíněný František Hradecký, ale dále také Stanislav Horák, Emil Kašpar, Rostislav Košťál, Ota Setzer a další. V průběhu dalších let byly zadávané úlohy vloženy do rubriky Naše soutěž , která také po několik let nedávného období neexistovala, nyní byla ale opět obnovena, jak se mohou čtenáři přesvědčit např. na konci tohoto čísla Rozhledů. Z obsahů jednotlivých ročníků Rozhledů lze též vysledovat francouzské názvy článků. Šlo o pochopitelný záměr, aby se časopis prosadil také do zahraničí. Takováto snaha je neustálá, jak si můžeme všimnout i ze současné podoby časopisu, kde je zase abstrakt psán v jazyce anglickém. Na závěr si už jen řekněme, proč má článek v názvu pojednání o Rozhledech matematicko-fyzikálních, které držíme v současnosti v rukách, přitom ale až doposud článek hovořil o Rozhledech matematickopřírodovědeckých. Až do 30. ročníku ve školním roce 1950/51 šlo skutečně o Rozhledy matematicko-přírodovědecké. V té době však státní orgány rozhodly, že časopis, jenž doposud sloužil poměrně úzkému okruhu čtenářů, změní ” podstatně svoje zaměření. Má ode dneška pomáhat co nejširším lidovým vrstvám, má pomáhat pracujícím v továrnách i na polích, všem bojovníkům za šťastný socialistický zítřek naší vlasti“ [4, s. 1]. Ročník 87 (2012), číslo 3

5

150 let JČMF

Obr. 3

6


150 let JČMF

Časopis proto od 31. ročníku v kalendářním roce 1952 začal publikovat už ne odborné články, ale články populární, a to z matematiky, fyziky, ale i chemie. Jednou z důležitých změn bylo také uzavření rubriky s úlohami pro čtenáře. Toto je třeba považovat za krok zpátky, neboť se tak omezila péče o talentované žáky. Časopis se měl více podobat např. časopisu Vesmír, což bylo škoda, protože Vesmír již existoval a nebylo třeba vytvářet druhý takový časopis. Aby se poukázalo na tuto změnu a aby se mluvilo vlastně o jiném časopisu, byl mu přidělen název Matematicko-přírodovědecké rozhledy. Matematicko-fyzikální komunita s tím ale nebyla spokojena a prosadila, že se časopis zase vrátí ke své dřívější náplni. Stalo se tak od 35. ročníku. Tato snaha si vyžádala jeden rok, proto časopis vyšel až v kalendářním roce 1957. A aby se opět demonstrovala změna, začal se časopis nazývat Rozhledy matematicko-fyzikální, což trvá dodnes. To už se ale dostáváme do vzdálenějšího období od vzniku Rozhledů, kterému se můžeme případně věnovat v dalším článku. Literatura [1] Šolcová, A.: O vzniku Jednoty českých matematiků a fyziků. Rozhledy matematicko-fyzikální 87, č. 1, s. 1–4.

[2] Bečvářová, M.: Z historie Jednoty. Prometheus, Praha, 1999. [3] Brdička, M., Schwabik, Š.: Časopis pro pěstování matematiky a fyziky a jeho pokračovatelé. In: Pátý, L. (ed.), Jubilejní almanach, Jednota čs. Matematiků a fyziků, Jednota československých matematiků a fyziků, Praha, 1987, s. 30–83. [4] Redakce: Úvodník. Matematicko-přírodovědecké rozhledy 31, č. 1, s. 1.

Ročník 87 (2012), číslo 3

7

MATEMATIKA Důkaz dvojitou indukcí ve dvou příkladech Emil Calda, MFF UK Praha Abstract. The article explains a method of proving statements which depend on two natural variables. The method is used in two examples.

Důkaz dvojitou indukcí Metoda důkazu matematickou indukcí je vám jistě známá. Chceme-li dokázat, že nějaká věta V (n) platí pro všechna přirozená čísla n (nebo pro všechna přirozená čísla počínaje jiným číslem než jedničkou), postupujeme tak, že dokážeme: platí V (1) a pro každé přirozené číslo n platí V (n) ⇒ V (n + 1). Jak však postupovat, chceme-li dokázat, že věta V (m, n) s přirozenými proměnnými m, n platí pro všechna přirozená čísla m, n? Dokázat, že platí V (1, 1) a že pro všechna přirozená m, n platí implikace V (m, n) ⇒ ⇒ V (m + 1, n + 1), zřejmě nestačí! Tímto způsobem bychom dokázali jen to, že tato věta platí pro m = n = 1, m = n = 2, m = n = 3 atd., nikoliv třeba pro m = 5, n = 3. Podaří-li se nám však dokázat, že pro všechna přirozená m platí V (m, 1), jsme na dobré cestě, neboť pak stačí dokázat už jen to, že při jakékoli volbě čísla m pro všechna n platí V (m, n). Řečeno podrobněji: Při důkazu, že věta V (m, n) platí pro všechna přirozená čísla m, n, postupujeme takto: 1. Dokážeme indukcí, že pro všechna m platí V (m, 1), tj. dokážeme: a) platí V (1, 1), b) pro všechna m platí V (m, 1) ⇒ V (m + 1, 1). 2. Dokážeme indukcí, že pro libovolné, ale pevné m platí V (m, n) pro všechna n, tj. dokážeme: a) platí V (m, 1), b) pro všechna n platí V (m, n) ⇒ V (m, n + 1). Poznámka: Všimněte si, že bod 2a) tohoto postupu nemusíme provádět, pokud se nám podařilo dokázat bod 1. Konkrétní užití si ukážeme v následujícím příkladu, v němž odvodíme dvě tvrzení, ve kterých vystupují přirozená čísla m, n; tato tvrzení pak dokážeme. 8


MATEMATIKA

Úloha s dvěma tvrzeními a jejich přímé důkazy Konvexní n-úhelník, v němž je dáno m vnitřních bodů, je pokryt nepřekrývajícími se trojúhelníky, jejichž vrcholy jsou podle obr. 1 v m daných bodech a ve vrcholech n-úhelníku. Určete počet těchto trojúhelníků a počet všech úseček, které jsou jejich stranami.

Obr. 1: n = 6, m = 4

Řešení: K určení počtu t těchto trojúhelníků vyjádříme dvěma způsoby součet S všech jejich vnitřních úhlů. Je zřejmě S = t · 180◦ a protože součet vnitřních úhlů n-úhelníku je (n − 2) · 180◦ , platí dále S = (n − 2) · 180◦ + m · 360◦ . Z rovnosti

t · 180◦ = (n − 2) · 180◦ + m · 360◦

snadno vypočteme t = 2m + n − 2. Poznámka: Všimněte si, že podle tohoto výsledku závisí počet trojúhelníků, na něž je daný n-úhelník rozložen, pouze na číslech m, n a nikoli na způsobu, kterým je rozklad proveden. Uveďme ještě, že počet těchto trojúhelníků se dá určit pomocí Eulerova vzorce pro rovinné grafy, viz [1]. Počet p všech úseček, které jsou stranami těchto trojúhelníků, určíme takto: úseček, které jsou společnou stranou dvou trojúhelníků, je 3t−n a jsou počítány dvakrát, úseček, které jsou stranou jediného trojúhelníku, je n a jsou počítány jednou. Znamená to, že platí p=

3t + n 3t − n +n= , 2 2

odkud dosazením za t dostaneme p = 3m + 2n − 3. Ročník 87 (2012), číslo 3

9

MATEMATIKA

Ověřte podle obr. 1, že pro hodnoty m = 4, n = 6 je t = 12, p = 21, což je v souladu se získanými výsledky: t = 2 · 4 + 6 − 2 = 12,

p = 3 · 4 + 2 · 6 − 3 = 21.

Dva výsledky, s nimiž jsme se seznámili v předchozím oddílu, ověříme nyní pomocí dvojité matematické indukce; uvědomíme si přitom, že číslo n je rovno aspoň třem. Ověření prvního tvrzení matematickou indukcí Dokážeme nejprve, že pro všechna přirozená čísla m, n, kde n ≥ 3, pro počet t = t(m, n) trojúhelníků platí t(m, n) = 2m + n − 2. 1. Dokážeme indukcí, že pro všechna přirozená m platí rovnost pro t(m, 3): a) pro m = 1, n = 3 je t(1, 3) = 2 · 1 + 3 − 2 = 3, což podle obr. 2 vskutku platí;

Obr. 2: n = 3, m = 1; t = 3

b) budeme předpokládat, že t(m, 3) = 2m + 3 − 2 = 2m + 1 platí, a dokážeme, že t(m + 1, 3) = 2(m + 1) + 3 − 2 = 2m + 3. Připojíme-li tedy k daným m bodům další bod, zvětší se počet trojúhelníků o dva, neboť platí: je-li připojený bod (na obr. 3a je to bod P ) uvnitř některého z uvažovaných trojúhelníků, přibudou tři nové a od” padne“ původní; je-li připojený bod (na obr. 3b je to bod P ) uvnitř 10


MATEMATIKA

strany některého z trojúhelníků, přibudou čtyři nové, ale dva odpad” nou“. Znamená to, že platí t(m + 1, 3) = t(m, 3) + 2 = (2m + 1) + 2 = 2m + 3; bod 1 je tím dokázán.

P

Obr. 3a

P

Obr. 3b

2. Dokážeme indukcí, že pro libovolné číslo m platí rovnost pro t(m, n) pro všechna n ≥ 3: a) podle bodu 1 rovnost pro t(m, 3) platí; b) budeme předpokládat, že t(m, n) = 2m + n − 2 platí, a dokážeme, že t(m, n + 1) = 2m + (n + 1) − 2 = 2m + n − 1. Připojíme-li k n vrcholům n-úhelníku další vrchol, zvětší se počet trojúhelníků o jeden, takže máme t(m, n + 1) = t(m, n) + 1 = (2m + n − 2) + 1 = 2m + n − 1; tím je dokázán i bod 2, takže důkaz dané věty je dokončen. Ověření druhého tvrzení matematickou indukcí Dokážeme dále, že pro všechna přirozená čísla m, n, kde n ≥ 3, pro počet p = p(m, n) úseček, které jsou stranami uvedených trojúhelníků, platí p(m, n) = 3m + 2n − 3. 1. Dokážeme indukcí, že pro všechna přirozená čísla m platí rovnost pro p(m, 3): a) pro m = 1, n = 3 je p(1, 3) = 3 · 1 + 2 · 3 − 3 = 6, což podle obr. 2 platí. Ročník 87 (2012), číslo 3

11

MATEMATIKA

b) budeme předpokládat, že p(m, 3) = 3m + 2 · 3 − 3 = 3m + 3 platí, a dokážeme, že p(m + 1, 3) = 3(m + 1) + 2 · 3 − 3 = 3m + 6. Připojíme-li k daným m bodům další bod, zvětší se počet úseček o tři; je-li totiž připojený bod (na obr. 4a je to bod R) uvnitř některého z uvažovaných trojúhelníků, počet úseček vzroste o tři; je-li připojený bod (na obr. 4b je to bod R) uvnitř některé z původních úseček, přibudou čtyři nové, ale jedna, na níž leží připojený bod, odpadne“. Platí tedy ” p(m + 1, 3) = p(m, 3) + 3 = (3m + 3) + 3 = 3m + 6; tím je bod 1 dokázán.

R

Obr. 4a

R

Obr. 4b

2. Dokážeme indukcí, že pro libovolné m platí rovnost pro p(m, n) pro všechna n ≥ 3: a) podle bodu 1 rovnost pro p(m, 3) platí; b) budeme předpokládat, že p(m, n) = 3m + 2n − 3 platí, a dokážeme, že p(m, n + 1) = 3m + 2(n + 1) − 3 = 3m + 2n − 1. Připojíme-li k vrcholům daného n-úhelníku další vrchol, zvětší se počet úseček o dvě, takže platí p(m, n + 1) = p(m, n) + 2 = (3m + 2n − 3) + 2 = 3m + 2n − 1. Tím je dokázán i bod 2, takže důkaz druhého tvrzení je dokončen. Literatura [1] Calda, E.: Rovinné grafy a počet disjunktních částí roviny, Matematika– fyzika–informatika 11, 2 (2001), s. 65–71.

12


FYZIKA Steve Fossett – americký boháč a dobrodruh? Ivo Volf, PřF UHK, Hradec Králové Abstract. This article is dedicated to the memory of Steve Fossett, an interesting man, sometimes an adventurer, but certainly a researcher, among others, a member of the Royal Geographical Society and a member of the board of one of America’s universities. I came across his name in a newspaper and it attracted my attention as he tried to conquer the world and to overcome himself.

Představení Steva Fossetta Tento článek je věnován památce Steva Fossetta, zajímavého člověka, někdy dobrodruha, určitě však výzkumníka, mj. člena Královské geografické společnosti a člena správní rady jedné z amerických univerzit. S jeho jménem jsem se setkal při četbě novin a zaujal mě právě proto, že se snažil pokořit svět kolem sebe a překonat sám sebe. James Stephen Fossett se narodil 22. dubna 1944 v americkém městě Jackson (USA, Tennessee), ale záhy se rodina přestěhovala do Garden Grove v Kalifornii. Jeho mládí zřejmě hodně ovlivnilo skautské hnutí, které ho přivedlo k lásce k horám. V pozdějším věku v letech 2005–2006 byl dokonce členem Výboru světového skautského hnutí – World Scout Committee. V roce 1966 ukončil studium na Stanford University v oboru ekonomika, roku 1968 získal titul magistra v témže oboru (MBA) na Washington University v Saint Louis (Missouri). Velkou a úspěšnou kariéru udělal na burze ve městě Chicago. Po několika letech založil vlastní firmu, kterou řídil dálkově“, a přestěhoval se do Beaver Creek ve státě Colorado. ” Steve Fossett byl úspěšným praktickým ekonomem, ale tím se nestal světoznámou osobností. Zajímavým byl hlavně poté, co se rozhodl využívat dosaženého bohatství pro splnění svých přání a snů. Postupně zdolával horské vrcholy v různých částech světa, přitom se zúčastnil dvakrát expedice na Mount Everest. Zúčastnil se závodů psích spřežení na Aljašce, Ročník 87 (2012), číslo 3

13

FYZIKA

závodů automobilů ve známém 24 hodin Le Mans a několika velkých závodů ve Spojených státech. V roce 1985 na čtvrtý pokus přeplaval kanál La Manche. Nejznámější jsou jeho úspěchy při riskantních letech v letadlech, v letech aerostatickými balóny a při plavbě na plachetnici. V těchto oborech dosáhl 116 světových rekordů a dalších prvenství. Např. se v roce 1996 pokusil o cestu kolem světa balónem, ale kvůli havarijnímu stavu musel přistát na území Ruska. Ale ve dnech 19. června až 3. července 2002 obletěl sám v balónu zeměkouli, a to mu bylo již 58 let. Na podzim 2004 získal oprávnění řídit vzducholoď a hned 27. října dosáhl světového rekordu v rychlosti letu vzducholodí (přibližně 112 km/h). Ve dnech 1. až 3. března 2005 nasedl Steve Fossett na letišti Salina (Kansas) do speciálního letadla pro jednu osobu opatřeného autopilotem a potřebným objemem leteckého benzinu a během 67 h 2 min a 38 s urazil vzdálenost 36 898 km kolem světa (obr. 1). V únoru 2006 dosáhl Steve Fossett světového rekordu v letu letadla bez přistání (obr. 2) – během 76 h 45 min urazil vzdálenost 41 467,53 km. Fossett vyrazil z Kosmického centra na Floridě dne 8. února a dorazil do Anglie 11. února, kde přistál, a přitom dvakrát přeletěl přes Atlantik (pochopitelně při druhém přeletu hodně riskoval). Do roku 2006 byl Steve Fossett držitelem rekordu v nejrychlejším přeplutí Atlantického oceánu na plachetnici, a to za 4 dny 17 h 28 min. A do února 2005 byl držitelem světového rekordu v nejrychlejším obeplutí světa na plachetnici – 58 dní 9 h 32,5 min. Dne 3. září 2007 se vypravil Steve Fossett na svou poslední cestu ve svém jednomotorovém letadle ze soukromého letiště ve státě Nevada. Za určitou dobu s ním ztratili spojení – paliva měl jen na 4–5 hodin letu, měl s sebou jen jednu láhev vody a nevzal s sebou padák. Fossett nezanechal dispečerům plán letové trasy, vědělo se pouze, že chtěl letět jižním směrem, aby si vyhlédl místo pro další rychlostní závody. Během hledání se uskutečnilo mnoho letů letadel a vrtulníků, bylo prohledáno asi 44 000 čtverečních kilometrů terénu. Za měsíc bylo hledání úplně přerušeno a koncem září bylo stanoveno přibližné místo havárie letadla. Dne 16. února 2008 soud města Chicago prohlásil Steva Fossetta oficiálně za mrtvého, a to na žádost jeho ženy, aby bylo možno operovat s jeho majetkem. Až 2. října 2008 nedaleko městečka Mammot Lakes našli turisté trosky letadla a několik věcí, údajně patřících Stevu Fossettovi: licenci na řízení letadla, osobní průkaz a asi tisíc dolarů. Byly nalezeny lidské kosti, roznesené šelmami po okolí, jež byly předány k analýze DNA; po šesti týdnech se potvrdilo, že jde o ostatky zahynulého Steva Fossetta. 14


FYZIKA

Čím bych já, autor mnoha fyzikálních úloh, mohl vzdát poctu tomuto člověku, než vzpomínkou v několika problémech, které jsem již zadal či ještě třeba zadám fyzikálním olympionikům. Zkuste si je vyřešit a nezapomeňte, že onen dobrodruh, za kterého ho měli novináři a mnozí další lidé, byl ale také člověk toužící zkusit vše, a proto musel ve svém životě vyřešit mnohem více a mnohem vážnějších problémů.

Obr. 1: Americký skaut Steve Fossett přistál za 67 h 2 min 38 s od startu na letišti v Kansaské Salině, kde jeho cesta začala.

Ultralehké letadlo Ultralehké letadlo Global Flyer, s nímž Steve Fossett obletěl svět za méně než 80 h, má dolet za bezvětří 33 800 km, rychlost 440 km/h. Letadlo odstartovalo na letišti Salina (Kansas, USA) a mělo původně plánovanou trasu míst, nad nimiž mělo proletět: Montreal, Londýn, Paříž, Řím, Káhira, Manama (SAE), Karáčí, Kalkata, Šanghaj, Tokio, Honolulu, Los Angeles a zpět letiště Salina. a) Najdi všechna uvedená místa na mapách a vyznač je do jedné mapy světa. Jaké měřítko má mapa a jak se podle mapy zjišťují skutečné vzdálenosti? b) Uveď délku trasy, kterou Fosset naplánoval. Jak dlouho měl být na trase? c) Odhadni, jakou dráhu by Fosset urazil při cestě kolem světa, kdyby Ročník 87 (2012), číslo 3

15

FYZIKA

letěl po 38. rovnoběžce, kolem níž všechna místa přibližně leží? Jak dlouho by mu tato cesta trvala? d) Jaký vliv na let letadla má oblast, kde vane západní vítr? Vysvětli alespoň slovně.

Obr. 2: Fossettovo letadlo při obletu světa bez mezipřistání

Atmosférický tlak Steve Fossett miloval hory; je známo, že dokonce dvakrát zdolal nejvyšší horu světa Mount Everest. Když však horolezci stoupají do hor, mění se jimi měřený tlak vzduchu s rostoucí výškou h (za předpokladu stálé teploty) podle vzorce p = p0 /e0,000125h , kde p0 = 101, 3 kPa je tlak atmosférický v nulové nadmořské výšce. a) Tvrdí se, že ve výšce 5 500 m je atmosférický tlak poloviční než v nadmořské výšce nulové. Ověř toto tvrzení výpočtem. b) Jaký je atmosférický tlak za oknem letadla Jumbo Jet, které letí ve výšce 11,0 km nad povrchem Země? c) Odhadni, jaký je atmosférický tlak na sedmitisícovce. 16


FYZIKA

d) Načrtni změny tlaku p(h) do grafu pro výšky od 0 m do 22 km. Ověř svůj odhad v c). Let balónem Když se Steve Fossett snažil obeplout v balónu zeměkouli, vybral si trasu přibližně na 32◦ jižní šířky a držel se cesty podle této rovnoběžky. Odhadněte, jakou trasu musel balónem uletět (nakreslete si polární řez naší zeměkoulí a určete poloměr kružnice, která představuje tuto rovnoběžku). Let kolem zeměkoule trval 13 dní 8 h 33 min. Odhadněte, jakou průměrnou rychlostí Fossett letěl na zvolené trase. Ve skutečnosti letěl Fossett v průměrné výšce 4 km. O kolik byla trasa v této výšce delší, než je stejná trasa měřená po povrchu Země? Děti kapitána Granta Když děti kapitána Granta hledaly svého otce, měly informaci, že se nachází někde na 37◦ 11 jižní šířky, zeměpisná délka byla ve zprávě nečitelná. Vydaly se proto se svými přáteli na břeh Chile a putovaly zčásti po pevnině, zčásti po oceánech, po této rovnoběžce směrem na východ kolem celé zeměkoule. Poloměr Země je R = 6 370 km. a) Prostuduj ve svém atlase, kterými kontinenty při pátrání prošla skupina záchranářů. b) Jak dlouhou cestu měla skupina před sebou? Kolik z toho procházela pevninou? c) Při své cestě museli záchranáři přejít přes datovou čáru. Vysvětli pojem pásmového času i smysl datové čáry. d) Lodí mohli záchranáři plout průměrně rychlostí 12 uzlů, na pevnině urazili pěšky denně asi 30 km. Jak dlouho by trvalo toto cestování? e) Jak dlouho by cesta trvala balónem letícím rychlostí 32 km/h, kterým chtěl cestu kolem světa přibližně po téže rovnoběžce urazit jeden multimilionář? Ve skutečnosti Steve Fossett urazil v červnu 2002 za 14 dní a 19 hodin vzdálenost 31 380 km. Jakou průměrnou rychlostí se pohyboval? Literatura [1] http://www.stevefossett.com/ [2] http://en.wikipedia.org/wiki/Steve Fossett [3] http://fo.cuni.cz


17

INFORMATIKA Rozdělení napůl Stanislav Trávníček, PřF UP, Olomouc Abstract. The article deals with this problem: Given N objects of different masses, the task is to create a computer program which divides the set of all the objects into two groups so that the sums of the masses in the two groups are as close to each other as possible. The program is also supposed to determine the mass of each of the groups and to list the objects of each of the groups.

Pan Koumal se vydal na velký nákup. Byl úspěšný, a tak se mu v nákupním vozíku navršila hromada potřebných věcí, které si po zaplacení rozdělil do dvou tašek a vydal se na cestu domů. Za chvíli zjistil, že jedna taška je o dost těžší než ta druhá, a tak se zastavil a začal věci přerovnávat. Teď už to bylo lepší, ale stejně se po nějaké chvíli znovu zastavil a znovu obsah tašek přerovnával. To ho přimělo k zamyšlení, jak si měl nákup rozdělit, aby obě tašky byly skoro stejně těžké. Tento problém mu nedal pokoje a jelikož uměl trochu programovat pro počítač, řekl si, že se pokusí vyřešit jej ve spolupráci s počítačem. Napřed si však ujasnil, čeho chce dosáhnout. Problém 1. Máme N věcí o hmotnostech M1 , M2 , . . . , MN . Chceme je rozdělit na dvě skupiny, jejichž hmotnost by se lišila co nejméně, a chceme návod, kterou věc dát do které skupiny. Pokud je takových možností více, stačí jedna z nich. Také chceme znát hmotnost obou skupin a údaj, o kolik je jedna skupina těžší než druhá. Začátek programu (nazval jej Vyvážení) byl panu Koumalovi celkem jasný – musí se zadat vstupní data, tedy N (kolik je celkem věcí), a pak je třeba zadat a uložit hmotnosti jednotlivých věcí do pole (nazval je) M , tedy M [I], I = 1, 2, . . . , N . Také si uvědomil, že hmotnosti věcí nebude možno vyjádřit přirozeným číslem, takže počítal s tím, že pro prvky pole M zvolí typ Real. Ke způsobu práce připravovaného programu si pan Koumal řekl, že nezpochybnitelný (tedy správný) výsledek dostane jen tehdy, když vyzkouší všechny možnosti rozdělení věcí na dvě skupiny, a vypočítal, že 18


INFORMATIKA

N -tic jedniček a dvojek je 2N . Dále řešil, jakým způsobem jednotlivé případy zaznamenávat, aby bylo jasné, která věc se má zařadit do 1. skupiny a která do 2. skupiny. Věděl, že musí k poli M zvolit další pole, nazval je Ano, a považoval za velmi zdařilé pravidlo, že by na místech příslušných k prvkům pole M byly jedničky či dvojky, které by značily číslo skupiny, kam příslušná věc patří. Musí tedy vytvořit z jedniček a dvojek všechny možné N -tice. Ale jak získat všechny případy? Princip mu byl jasný: Seřadíme N -tice tak, že nejprve vezmeme ty, kde Ano[1] = 1 (to bude první polovina případů), a pak ty, kde Ano[1] = 2. V té první polovině vezmeme nejprve případy, kde Ano[2] = 1, a pak ty, kde Ano[2] = 2. Stejně budeme postupovat ve druhé polovině případů. Stejný postup zvolíme pro Ano[3], Ano[4] atd. až pro Ano[N ]. Ale jak tento princip přenést do programu? Užití iterací typu for I := 1 to 2 do pan Koumal zavrhl, protože by jich muselo být N ; to se však volí až za chodu programu. A tu ho napadla rekurze (pan Koumal nebyl v programování příliš zběhlý, takže ho ta rekurze napadla až po chvíli). Hledanou rekurzivní proceduru nazval Rozloz a hned si zapsal její řídicí část, která postupně zajistí vytvoření všech možných N -tic jedniček a dvojek: procedure Rozloz(J: Integer) begin Ano[J] := 1; Rozloz(J - 1); Ano[J] := 2; Rozloz(J - 1) end; Teď si pan Koumal uvědomil, že jednotlivé případy budou seřazeny jinak, než si řekl, tedy odzadu; nejprve budou případy, kdy Ano[N ] = 1, atd., ale to na věci nic nemění. Pak na chvíli opustil úvod procedury a zamýšlel se nad tím, jaké akce a výpočty je třeba provádět v každém jednotlivém případu. Nejprve zjistíme hmotnosti obou skupin; označil je TSk1 a TSk2 (aby mu označení napovědělo, že takové hmotnosti jsou právě teď) a pak absolutní hodnotu TR jejich rozdílu. Zjištění výsledné nejmenší hodnoty je klíčová akce, uložíme ji do proměnné Rozdil. Na počátku, uvažoval pan Koumal, dáme do proměnné Rozdil nesmyslně velikou hodnotu a pak se vždy budeme ptát, zda TR < Rozdil. Když ano, tak jsme narazili na Ročník 87 (2012), číslo 3

19

INFORMATIKA

zatím nejlepší řešení, přesuneme obsah TR do proměnné Rozdíl a také musíme uchovat obsah pole Ano v dalším poli, nazvěme ho TakJeTo, a v Sk1 a Sk2 uchováme hmotnosti TSk1, TSk2 obou skupin. Po průchodu všemi N -ticemi tak získáme všechny údaje požadované úlohou. Takže posledním problémem pro pana Koumala byl krok od vytvoření N -tice uložené v poli Ano k jejímu zpracování. Ale to se nakonec ukázalo docela jednoduché. Jestliže se totiž v rekurzivním procesu narazí na požadavek Rozloz (0), znamená to, že se právě dospělo k Ano[1], tedy nová N -tice je v poli Ano již vytvořena, takže v této chvíli se přejde na zpracování nového případu. K tomu stačí nastavit podmínky pro J; pro J > 0 se nový případ tvoří, pro J = 0 se zpracuje a pak se použije rozhodování: procedure Rozloz(J: Integer) if J>0 then begin { vytvářeni nového případu } end else begin { zpracování vytvořeného případu } end Samotný program už nedal žádnou práci: načtou se vstupy, zvolí se hodnota proměnné Rozdil, zavolá se rekurzivní procedura a vytisknou se výsledky. Pan Koumal si však řekl, že by jeho program měl být co nejracionálnější. Tak si třeba uvědomil, že vlastně nepotřebuje všechny N -tice, protože každý případ se tak probírá dvakrát, jen se obě skupiny zamění. Stačilo by tedy vyšetřovat jen 2N −1 N -tic, tedy jen (tu správnou) polovinu případů. A tak si řekl: N -tou věc dám vždycky do 1. skupiny, tedy pevně zvolím Ano[N ] = 1, takže budu vytvářet jen (N − 1)-tice pro věci 1 až N − 1. Avšak ještě nebyl spokojený. Napadlo ho totiž, že by se chod programu mohl ukončit okamžitě, pokud by v jeho průběhu nastala rovnost Rozdil = 0. Protože si dopředu stanovil, že stačí najít jen jedno optimální uspořádání, a pro Rozdil = 0 takové již má, bylo by proto vytváření dalších případů již zbytečné, takže procedura Rozloz se může zastavit, a to zcela jednoduše, když jako první dá příkaz: if Rozdil = 0 then Exit; 20


INFORMATIKA

Uveďme nyní výpis programu Vyvážení, jak jej vytvořil pan Koumal. program Vyvazeni; var N, I: Integer; Rozdil, Sk1, Sk2: Real; Ano, TakJeTo: array [1..100] of Integer; M: array [1..100] of Real; procedure Rozloz(J: Integer); var TR, TSk1, TSk2: Real; I: Integer; begin if Rozdil = 0 then Exit; if J > 0 then begin Ano[J] := 1; Rozloz(J-1); Ano[J] := 2; Rozloz(J-1); end else begin TSk1 := 0; TSk2 := 0; Ano[N] := 1; for I := 1 to N do if Ano[I] = 1 then TSk1 := TSk1 + M[I] else TSk2 := TSk2 + M[I]; TR := Abs(TSk1 - TSk2); if TR < Rozdil then begin Rozdil := TR; Sk1 := TSk1; Sk2 := TSk2; TakJeTo := Ano end end end; begin {program} Write(’Pocet veci: ’); ReadLn(N); Ročník 87 (2012), číslo 3

21

INFORMATIKA

WriteLn(’Hmotnosti veci:’); for I:=1 to N do ReadLn(M[I]); Rozdil := 1000; Rozloz(N - 1); WriteLn(’Hmotnost 1. skupiny je ’,Sk1:0:3); for I := 1 to N do if TakJeTo[I] = 1 then Write(’ ’,I); WriteLn; WriteLn(’hmotnost 2. skupiny je ’,Sk2:0:3); for I := 1 to N do if TakJeTo[I] = 2 then Write(’ ’,I); WriteLn; Write(’Rozdil je ’); WriteLn(Rozdil:0:3); ReadLn end Pan Koumal měl velikou radost, že se mu stanovený problém podařilo zdárně vyřešit, i když mu bylo jasné, že v praxi, po nákupu v obchodě a při rozdělování věcí do dvou tašek, by takový postup nemohl uplatnit. Viděli jsme, jak si počínal pan Koumal. Avšak vy, kteří umíte programovat lépe než on, se můžete pokusit najít alternativu jeho řešení nebo snad i zlepšit použitou rekurzivní proceduru.

(Autorkou ilustračního obrázku je Mgr. Jaroslava Čermáková.) 22


HISTORIE Listy z kalendára Dušan Jedinák, Trnavská univerzita v Trnave Blaise PASCAL — (19. 6. 1623 – 19. 8. 1662) Meno Pascal si určite pamätáte nielen podľa pomenovania jednotky tlaku v sústave SI, ale aj podľa Pascalovho zákona: Tlak v kvapalinách sa šíri vo všetkých smeroch rovnako. Blaise Pascal, francúzsky matematik, fyzik, filozof, spisovateľ, opísal hydrostatický paradox, zákon spojených nádob a princíp hydraulického lisu. Dokázal, že tlak vzduchu závisí od nadmorskej výšky, teploty a vlhkosti vzduchu. V teórii prirodzených čísiel odhalil základné pravidlá deliteľnosti, skúmal kužeľosečky, poznal usporiadanie kombinačných čísel a ich využitie pre rozklad mocnín dvojčlena. Patrí k zakladateľom teórie pravdepodobnosti i predchodcom diferenciálneho a integrálneho počtu. Skonštruoval sčítací stroj, predchodcu mechanických kalkulačiek. Pochopil význam axiomatickej metódy pre matematiku. Priblížil človeka k pochopeniu nekonečna. Vedel, že matematikou sa nedokáže všetko, ale čo sa dokáže, to je jednoznačné. Uznal, že príroda zjavne manifestuje Boha, ale zároveň ho aj skrýva. Silu rozumu doplnil silou srdca, v ktorom ten, kto verí, nič nemôže stratiť a všetko môže získať. Bol obdivuhodný v množstve i rôznorodosti postrehov o ľudskej osobnosti. Jeho Penseés (Myšlienky) vynikajú silou predstavivosti i expresivitou. Sú pozoruhodným filozofickým, ale aj dôstojným literárnym dielom francúzskej literatúry. Pascal vnímal paradoxy človeka v jeho biede i veľkosti, medzi absolútnou hodnotou i zbytočnou ničotou, v spojení rozumu s vierou, v milosti i zatratení. Z myšlienok • Najistejšou vlastnosťou ľudskej existencie je rozpor. • Len tam, kde cítime, máme istotu; tam, kde odvodzujeme, sme plní neistoty. . . Ročník 87 (2012), číslo 3

23

HISTORIE

• Pravdu spoznávame nielen rozumom, ale tiež srdcom. Srdce má svoje dôvody, ktoré rozum nepozná. . . Pravda poskytuje istotu, ale už aj samotné jej hľadanie poskytuje pokoj. • Myšlienka je čosi obdivuhodné a neporovnateľné vo svojej podstate. . . Myšlienka tvorí veľkosť človeka. . . Človek je zjavne stvorený pre to, aby myslel. . . Celá naša dôstojnosť spočíva v myslení. V ňom sa musíme vzopnúť, nielen v priestore a čase, ktoré nedokážeme naplniť. Usilujme sa teda, aby sme mysleli správne. V tom je princíp mravnosti. • Spravidla nás presvedčujú viac tie dôvody, ktoré sami objavíme, než tie, na ktoré prišli iní. • Náhoda pomáha tým, ktorí sú na ňu pripravení. • Nemožno popierať existenciu všetkého, čo nie je pochopiteľné. • Rozpornosť nie je známkou nesprávnosti, rovnako ako neprítomnosť rozporu nie je známkou pravdy. • V tejto dobe je pravda tak zatemnená a lož tak zavedená, že pravdu môže poznať iba ten, kto ju miluje. • Spravodlivosť a moc musia byť jedno, aby sa spravodlivosť stala mocou a moc spravodlivosťou. • Boha nemožno dokazovať, Boha možno jedine cítiť v srdci (Dieu sensible au coeur). Henri POINCARÉ — (29. 4. 1854 – 17. 7. 1912) Henri Poincaré bol veľmi známy francúzsky matematik a teoretický fyzik, jeden z posledných univerzálnych matematikov, člen viac než 35 akadémií vied a vedeckých spoločností. Ovládal mimoriadne bohatú oblasť problémov čistej i aplikovanej matematiky. Napísal asi 1 300 odborných statí a 30 knižných publikácií, napr. Veda a hypotéza (1902), Hodnota vedy (1906), Veda a metóda (1908); jeho zobraté spisy, publikované v rokoch 1916 až 1954, obsahujú 10 zväzkov. Svojimi výskumami ovplyvnili teóriu diferenciálnych rovníc, matematickú fyziku, teóriu pravdepodobnosti. Zaviedol základné pojmy kombinatorickej topológie. Sformoval ideu princípu relativity a rozvinul dôsledky relativistickej koncepcie fyziky. Štu24


HISTORIE

doval problémy stability dráh planét. Zaoberal sa aj teóriou potenciálov, optikou, vedením tepla, elektromagnetizmom, hydrodynamikou, nebeskou mechanikou. Z matematických a fyzikálnych štúdií vyvodzoval všeobecné filozofické závery, ktoré ovplyvnili chápanie postavenia prírodných vied. Zanechal originálne podnety pre rôzne matematické disciplíny, psychológiu i filozofiu matematiky, teoretickú fyziku i metodológiu vedy. Z myšlienok • Vedec neštuduje prírodu preto, že by to bolo pre neho užitočné, študuje ju preto, že mu to prináša potešenie, a potešenie mu to prináša preto, že príroda je nádherná. Keby nebola nádherná, nestálo by za to vedieť, a keby nestálo za to vedieť, nestálo by za to žiť. • Veda sa robí z faktov ako dom z tehál, no hromada faktov ešte nie je vedou, tak ako hromada tehál nie je domom. • Nie je možné tvoriť vedu iba pre jej aplikácie. Pravdy sú plodné len vtedy, ak medzi nimi existuje vnútorná súvislosť. Ak hľadáte iba také pravdy, od ktorých možno očakávať bezprostredné praktické závery, spájajúci článok sa stratí a reťaz sa rozpadne. • O všetkom pochybovať alebo všetkému veriť, to sú dva postoje rovnako pohodlné, lebo jedno aj druhé nás oslobodzuje od rozmýšľania. • Užitočné kombinácie v matematike sú práve tie najkrajšie. Preto zvláštny estetický cit slúži často ako sito a to dostatočne vysvetľuje, že nikdy nebude skutočným tvorcom ten, kto ho nemá. Pocit matematickej krásy, harmónie čísel a vzorcov, geometrickej elegancie je skutočne estetický pocit, ktorý dobre poznajú všetci praví matematici. • Práca matematika nie je mechanická a nemožno ju zveriť žiadnemu stroju, nech by bol akokoľvek dokonalý. Problém nie je v tom zostaviť pomocou daných pravidiel čo najviac kombinácií. Tieto kombinácie by boli príliš početné, neužitočné. . . Skutočná práca vedca spočíva vo výbere kombinácií tak, aby sa vylúčili neužitočné, no ešte skôr v tom, aby sa neužitočné vôbec nezostavovali. Pravidlá, ktoré je treba pri tom používať, sú tak jemné a presné i okrajové, že ich takmer nemožno vyjadriť slovami: lepšie sa cítia, než formulujú. • Logikou sa dokazuje, intuíciou sa vynachádza. • Matematikom sa nemožno stať, matematikom sa treba narodiť. • Nech je predstavivosť človeka akákoľvek, príroda je tisíckrát bohatšia.


25

PRO ŽÁKY ZÁKLADNÍCH ŠKOL √ √ Dají se výrazy a + b, a − b zjednodušit? Emil Calda, MFF UK Praha Abstract. The proof of the theorem about square roots of expression a ± given. Then, the theorem is used in many examples.

√ b is

V některých sbírkách příkladů, v nichž se procvičuje počítání s odmocninami, se vyskytují úlohy typu: Dokažte, že platí: √ √ √ 7 + 43 7 − 43 + 7+ 6= 2 2 √ √ √ 9 + 76 9 − 76 − 9− 5= 2 2 Proveďme krátce důkaz první rovnosti. Obě strany dokazované rovnosti jsou kladné, takže je ekvivalentně umocníme na druhou: √ √ √ 7 + 43 7 − 43 + 7+ 6= 2 2 √ √ √ √ √ 7 + 43 7 − 43 7 − 43 7 + 43 7+ 6= +2 · + 2 2 2 2 √ 49 − 43 7+ 6=7+2 4 √ √ 7+ 6=7+ 6 Kromě důkazu je užitečné přijít na to, odkud se vzala“ čísla 43 a 76, ” která v obou rovnostech vystupují. Všimneme-li si toho, že je 72 − 6 = 43 a

92 − 5 = 76,

můžeme vytvořit další podobné rovnosti. Použijeme-li například vztahy 112 − 10 = 111 26

a 82 − 51 = 13, Rozhledy matematicko-fyzikální

PRO ŽÁKY ZÁKLADNÍCH ŠKOL

snadno ověříme, že platí √ √ 111 11 − 111 + , 2 2 √ √ √ 8 + 13 8 − 13 + . 8 − 51 = 2 2

√ 11 + 10 =

11 +

tento postup, který umožňuje vyjádřit výrazy Jestliže √ a − b ve tvaru součtu, zobecníme, dostaneme větu:

√ a + b,

Pro všechna kladná čísla a, b taková, že a2 > b, platí √ √ a2 − b a − a2 − b + , 2 2 √ √ √ a + a2 − b a − a2 − b − . a− b= 2 2 √ a+ b=

a+

K jejímu důkazu označíme x=

√ a + b,

y=

√ a− b

a vypočteme √ a + a2 − b 2 , (x + y) = 2 a + a − b = 4 · 2 √ a − a2 − b . (x − y)2 = 2 a − a2 − b = 4 · 2 2

Po odmocnění (s ohledem na to, že čísla x + y, x − y jsou kladná) dostaneme x+y =2

a+


√

a2 − b , 2

x−y =2

a−

√

a2 − b , 2 27


odkud plyne √ √ a2 − b a − a2 − b + , x= 2 2 √ √ a + a2 − b a − a2 − b y= − , 2 2 √ √ a protože x = a + b, y = a − b, je důkaz věty dokončen. obvykle používá ke zjednodušení odmocnin z výrazů se √ Tato√ věta a + b, a − b, je-li a2 − b druhá mocnina přirozeného čísla. Např.: √ √ 6 + 2 5 = 6 + 20 = √ √ 6 + 36 − 20 6 − 36 − 20 6+4 6−4 √ + = + = 5+1 = 2 2 2 2 √ √ 9 − 4 2 = 9 − 32 = √ √ √ 9 + 81 − 32 9 − 81 − 32 = − =2 2−1 2 2

a+

V následující ukázce postupnými úpravami zjednodušíme výraz √ 2 3 + 5 − 13 + 48. Nejprve upravíme √ 13 + 48 = a po další úpravě

13 +

√ √ 121 13 − 121 √ + = 12 + 1 2 2

√ √ 5 − 13 + 48 = 5 − (1 + 12) = 4 − 12 = √ √ 4 + 16 − 12 4 − 16 − 12 √ = − = 3−1 2 2

28

√



dostáváme výsledek

√ √ √ 2 3 + 5 − 13 + 48 = 2 3 + ( 3 − 1) = 2 2 + 3 = √ √ √ 2+ 4−3 2− 4−3 3 1 √ +2 =2 +2 = 6 + 2. =2 2 2 2 2 Na závěr pro zajímavost ukážeme, že větu, kterou jsme dokázali výše, je možno použít k málo obvyklému vyjádření přirozených čísel. Přesvědčte se například, že platí √ √ 2+ 3 2− 3 − , 2 2 √ √ 10 = 100 = 90 + 100 = √ √ 90 + 902 − 100 90 − 902 − 100 + = = 2 2 √ √ √ √ 90 + 8 000 90 − 8 000 90 + 40 5 90 − 40 5 = + = + = 2 2 2 2 √ √ = 45 + 20 5 + 45 − 20 5. √ 1= 2−1=

Pokud máte zájem, můžete si podobných příkladů utvořit celou řadu. Tyto ukázky jsou také odpovědí na otázku, odkud se berou“ důkazové ” úlohy podobné těm, které jsou v úvodu tohoto článku. √ Poznámka: Výrazy typu a ± b se nazývají surdické výrazy. Literatura [1] Hrubý, D.: Surdické výrazy. Učitel matematiky 7, 1 (29) (1998), s. 9–13. [2] Polák, J.: Přehled středoškolské matematiky. Prometheus, Praha, 1998, s. 75.

[3] Trávníček, S.: O jistých složených iracionalitách. Matematika–fyzika– informatika 17, 2 (2007/08), s. 65–70. Ročník 87 (2012), číslo 3

29

SOUTĚŽE 54. ročník Fyzikální olympiády, úlohy 1. kola (Ve všech úlohách počítejte s tíhovým zrychlením g = 9,81m · s−2 .) KATEGORIE A 1. Momenty setrvačnosti Homogenní deska tvaru trojúhelníku o stranách délek a, b, c a o hmotnosti m má vzhledem k ose procházející těžištěm kolmo k rovině desky moment setrvačnosti J0 =

1 m(a2 + b2 + c2 ). 36

(1)

a) Odvoďte vzorec pro moment setrvačnosti homogenní desky tvaru pravidelného šestiúhelníku o straně délky a a o hmotnosti m vzhledem k ose procházející těžištěm. b) Odvoďte vzorec pro moment setrvačnosti homogenní desky tvaru čtverce o straně délky a a o hmotnosti m vzhledem k ose procházející těžištěm. c) Odvoďte vzorec pro moment setrvačnosti homogenní desky tvaru pravidelného n-úhelníku o poloměru r kružnice opsané a o hmotnosti m vzhledem k ose procházející těžištěm. d) Ověřte výsledky úloh a), b) užitím výsledku úlohy c). e) Pomocí výsledku úlohy c) odvoďte vzorec pro moment setrvačnosti homogenní desky tvaru kruhu o poloměru r a o hmotnosti m vzhledem k ose procházející těžištěm. K řešení využijte Steinerovu větu. Všechny momenty setrvačnosti odvoďte vzhledem k ose kolmé k rovině desky. 2. Vrh šikmo vzhůru v radiálním gravitačním poli Země Střela je vystřelena šikmo vzhůru z povrchu Země pod úhlem α vzhledem k tečné rovině povrchu (obr. 1) počáteční rychlostí Ú 0 , jejíž velikost je rovna polovině velikosti 1. kosmické rychlosti. Určete a) největší výšku nad povrchem Země, které střela dosáhne. 30


SOUTĚŽE

b) velikost rychlosti střely v okamžiku, kdy dosáhne maximální výšky. c) Jak by se změnily výsledky úloh a) a b), pokud by těleso bylo vrženo šikmo vzhůru pod stejným úhlem první kosmickou rychlostí? Ú0

α

Obr. 1

Při řešení části a) a b) počítejte se zakřivením povrchu Země (Zemi považujte za kouli). Vliv atmosféry a rotaci Země zanedbejte. Řešte nejprve obecně, potom pro hodnoty α = 30◦ , RZ = 6 400 km. 3. Trojúhelníkové kyvadlo Homogenní desku tvaru rovnoramenného trojúhelníku s ramenem délky b a úhlem u hlavního vrcholu 2ϕ připevníme hlavním vrcholem k vodorovné ose otáčení kolmé k rovině desky, čímž získáme kyvadlo (obr. 2). a) Určete periodu jeho kmitů s malou amplitudou výchylky. b) Určete, jakou velikost musí mít úhel ϕ, aby doba kyvu byla 1,00 s. Úlohu a) řešte obecně, úlohu b) číselně pro b = 1,20 m.

b

O ϕϕ

b

Obr. 2

Pro stanovení momentu setrvačnosti desky můžete použít vzorec (1) uvedený v první úloze. 4. Měření Planckovy konstanty Osvětlíme-li katodu vakuové fotonky zapojenou podle obr. 3 monochromatickým světlem o frekvenci vyšší, než je mezní frekvence f0 , zachycují Ročník 87 (2012), číslo 3

31

SOUTĚŽE

se některé elektrony vyražené z katody na anodě, která se nabíjí záporně. Obvodem prochází nepatrný proud a napětí na fotonce a připojeném kondenzátoru s kvalitním dielektrikem se zvyšuje, až dosáhne brzdného napětí U0 , kdy ani kinetická energie nejrychlejších vyražených elektronů nepostačí k překonání energetického rozdílu U0 e. Napětí měříme voltmetrem s velkým vstupním odporem. Fotonka byla postupně osvětlena paprsky spektra rtuťové výbojky o různých vlnových délkách. Změřené hodnoty brzdného napětí jsou zapsány v tabulce: λ/nm

576,0

546,1

491,6

435,8

404,7

U0 /V

0,405

0,530

0,750

1,120

1,310

hf

A

K

C

RV > 1013 Ω V

100 pF Obr. 3

a) Ověřte, že závislost brzdného napětí na frekvenci světla je lineární v souladu s Einsteinovou rovnicí pro fotoelektrický jev. Vypočítané hodnoty frekvencí a změřené hodnoty brzdného napětí vyneste do grafu v Excelu a získanými body proložte přímku. Její rovnici určete lineární regresí.∗ ) b) Z rovnice určete mezní vlnovou délku λ0 , výstupní práci elektronu W0 a Planckovu konstantu h, včetně chyby měření. c) Je možné fotonku použít v infračerveném oboru záření? 5. Digitální fotoaparát (ke studijnímu textu) Obraz vytvořený objektivem digitální zrcadlovky je zachycen obdélníkovým snímacím čipem CMOS o rozměrech a = 23,7 mm, b = 15,6 mm, ∗

) Použití lineární regrese je podrobně vysvětleno na podobné úloze ve studijním

textu Teplotní závislosti fyzikálních veličin na str. 28 až 31. Text se nachází na webových stránkách FO.

32


SOUTĚŽE

na kterém se nachází 16,2 · 106 citlivých bodů, pixelů, tvořících čtvercovou síť. Na objektivu zrcadlovky je vyznačeno, že optickým zoomem můžeme ohniskovou vzdálenost měnit od f1 = 18 mm do f2 = 105 mm. Světelnost objektivu se přitom mění od 1 : 1,35 do 1 : 5,6. Zjednodušeně si můžeme objektiv představit jako tenkou spojku a světelnost pak chápat jako poměr průměru D otvoru, do kterého je vsazena, k ohniskové vzdálenosti f . Při průchodu světla objektivem dochází k Fraunhoferovu ohybu na kruhovém otvoru, v jehož důsledku se bodový zdroj monofrekvenčního světla nezobrazí ani při přesném zaostření úplně ostře, ale jako světlý kroužek. a) Určete vzdálenost středů sousedních pixelů. b) Určete poloměr světlého kroužku, který vznikne na čipu zobrazením vzdáleného bodového zdroje zeleného světla o vlnové délce 550 nm nezacloněným objektivem 1) při volbě ohniskové vzdálenosti f1 , 2) při volbě ohniskové vzdálenosti f2 . Velikost kroužku porovnejte s rozměry pixelu. c) Posuďte, co může velikost interferenčního kroužku ovlivnit. 6. Praktická úloha: Měření indukčnosti cívky Úkoly: a) Sestavte obvod podle obr. 4. Použijte zdroje o napětí přibližně 5 V (například plochou baterii), cívku 1 200 závitů z rozkladného transformátoru, výkonovou diodu, stejnosměrný ampérmetr, stejnosměrný voltmetr, kvalitní kondenzátor o kapacitě alespoň 8 μF (ne elektrolytický) a páčkový spínač. Měření proveďte: • na cívce s uzavřeným jádrem, • na cívce s rovným jádrem, • na cívce bez jádra. Kapacitu kondenzátoru změřte některou běžnou metodou (např. pomocí voltmetru a ampérmetru v obvodu střídavého proudu). Voltmetr by měl mít co největší odpor a rozsahy např. 20 V a 200 V. b) Při sepnutém spínači změřte proud I procházející cívkou a napětí U1 na kondenzátoru. Pak přepněte voltmetr na vyšší rozsah (používáte-li ručkový přístroj, změňte také jeho polaritu) a rozepněte spínač. Dojde k překmitnutí obvodu LC a na kondenzátoru se objeví velké naRočník 87 (2012), číslo 3

33

SOUTĚŽE

pětí opačné polarity, které se bude zvolna zmenšovat v důsledku vybíjení kondenzátoru přes voltmetr. Změřte napětí U2 bezprostředně po rozepnutí spínače. Pro každý typ cívky měření několikrát zopakujte . c) Odvoďte vztah pro výpočet indukčnosti cívky z kapacity C kondenzátoru, napětí U1 , U2 a proudu I. Ztráty energie během překmitnutí na odporu cívky a na diodě zanedbejte. d) Vypočtěte indukčnosti cívky s uzavřeným jádrem, s rovným jádrem a bez jádra.

A V

C

L, R

D

S Obr. 4

7. Rutherfordův model atomu helia (ke studijnímu textu) V Rutherfordově modelu je atom hélia tvořen jádrem, složeným ze dvou protonů a dvou neutronů, a dvěma elektrony kroužícími kolem jádra po společné kružnici ve vzájemné vzdálenosti 2r (obr. 5). Ionizační práce potřebná k odtržení jednoho elektronu z atomu je W1 = 24,6 eV, ionizační práce potřebná poté k úplné ionizaci je W2 = 54,4 eV.

−e r +2e −e

Obr. 5

a) Určete velikost F výsledné síly působící na každý z elektronů, poloměr r trajektorie elektronů a frekvenci f , se kterou obíhají kolem jádra. b) Podle zákonů klasické elektrodynamiky by měl Rutherfordův model vyzařovat elektromagnetické vlnění o stejné frekvenci, s jakou obíhají elektrony kolem jádra. Určete jeho vlnovou délku ve vakuu λ. c) Po odtržení jednoho elektronu vznikne tzv. vodíkupodobný ion, jehož elektron v Rutherfordově modelu rovněž obíhá po kružnici. Určete její poloměr r . 34


SOUTĚŽE

KATEGORIE B 1. Trestný kop Fotbalista kope trestný kop ze vzdálenosti d = 25 m a chce zasáhnout místo, které je ve výšce h = 2,40 m nad zemí. a) Jakou nejmenší rychlost musí udělit míči, aby vybrané místo zasáhl? Jaký přitom musí zvolit elevační úhel a jaká bude doba letu míče? b) Pod jakým úhlem musí míč kopnout, aby vybrané místo zasáhl při počáteční rychlosti míče v0 = 18 m · s−1 a aby přitom doba letu míče byla co nejkratší? Rozměry míče a odpor prostředí zanedbejte. 2. Kapilární trubice Kapilární trubice, jejíž vnitřní průměr se plynule mění tak, že vnitřní stěna kapiláry tvoří kuželovou plochu s vrcholovým úhlem 2α = 0,4◦ , je ponořena do kapaliny o hustotě a povrchovém napětí σ tak, aby v úrovni okolní hladiny byl poloměr kapiláry r0 = 0,30 mm. Jakou výšku h zaujme hladina kapaliny v kapiláře, je-li ponořena svisle a) užším koncem dole (obr. 1a), b) užším koncem nahoře (obr. 1b)?

a)

b)

Obr. 1

Řešte nejprve obecně, pak pro vodu o hustotě 1 = 1 000 kg · m−3 a povrchovém napětí σ1 = 73·10−3 N·m−1 a líh o hustotě 2 = 790 kg·m−3 a povrchovém napětí σ2 = 22 · 10−3 N · m−1 . Předpokládejte, že obě kapaliny stěny kapiláry dokonale smáčí. 3. Dopplerův jev Nepohyblivý pozorovatel vnímá zvukové vlny z přibližujícího se zdroje zvuku v rychlejším sledu než zvukové vlny ze vzdalujícího se zdroje. Jev popsal v roce 1842 Christian Doppler a podle svého objevitele nese název Dopplerův jev. Vyhledejte na internetu, v Tabulkách nebo v jiné literatuře příslušný vzorec a řešte následující úlohy: a) Policista s absolutním hudebním sluchem zaznamenal, že výška tónu motocyklu během průjezdu se zmenšila přesně o jednu malou tercii, což odpovídá v přirozeném ladění poměru frekvencí 6 : 5. Určete velikost rychlosti motocyklu. Ročník 87 (2012), číslo 3

35

SOUTĚŽE

b) Při tréninku F1 mikrofon umístěný v bezprostřední blízkosti vozovky dlouhého rovinného úseku snímal zvuk vozu projíždějícího rychlostí 306 km/h. O kolik půltónů se v temperovaném ladění snížila výška zvuku motoru během průjezdu kolem mikrofonu? Výškový interval jedné oktávy se skládá z 12 půltónových intervalů, tj. obsahuje třináct tónů s frekvencemi f0 až f12 , přičemž poměr krajních frekvencí je f12 : f0 = 2 : 1. Frekvence jednotlivých tónů tvoří v temperovaném ladění geometrickou posloupnost. Obě úlohy řešte za bezvětří při teplotě 24 ◦ C, kdy rychlost zvuku ve vzduchu je 346 m/s. 4. Kyvadlo Těleso zanedbatelných rozměrů o hmotnosti m je upevněno na konci dvou spojených tyčí, které navzájem svírají úhel 2α, každá z nich má také hmotnost m a jejich délka je l. Konce tyčí jsou upevněny na závěsu, který umožňuje kývání kolem osy, procházející jejich koncovými body. Budeme předpokládat, že amplituda kmitů je malá. a) Jaká bude doba kmitu tohoto kyvadla, je-li osa vodorovná (obr. 2)? b) S jakou dobou kmitu bude toto kyvadlo kmitat, bude-li osa, na níž jsou tyče zavěšeny, svírat s vodorovnou rovinou úhel β < 90◦ (obr. 3)?

m, l

m, l αα m Obr. 2

β Obr. 3

Řešte nejprve obecně, pak pro hodnoty: α = 20◦ , β = 60◦ , l = 20 cm. 5. Rezistory Na obr. 4 je znázorněno zapojení 5 rezistorů o odporech R, resp. 2R. Po určité době provozu dojde k přepálení jednoho z těchto rezistorů, což způsobí změnu celkového odporu mezi body A a B. a) Určete odpor mezi body A a B pro všechny možné situace, které mohou nastat. 36


SOUTĚŽE

b) Na základě řešení části a) stanovte, který z rezistorů je poškozen, jestliže je celkový odpor obvodu 1. co nejmenší, 2. co největší. c) Určete, jaký byl odpor RAB obvodu, než došlo k poškození rezistoru. d) O kolik procent se může celkový odpor obvodu přepálením jednoho rezistoru změnit 1. nejméně, 2. nejvíce. 2R A

R

R

B

R

R Obr. 4

6. Praktická úloha: Skákání pružného míčku Úkoly: a) Stáhněte si po internetu volně dostupný program AUDACITY z adresy http://audacity.sourceforge.net/, nainstalujte jej do počítače vybaveného mikrofonem a seznamte se v potřebném rozsahu s jeho ovládáním. b) Nahrajte zvuky, které vzniknou při skákání pingpongového míčku nebo hopíku puštěného z výšky asi půl metru na podlahu. c) Ze záznamu určete časy t1 až t11 , ve kterých došlo k prvním 11 odrazům míčku od podlahy, a zapište je do tabulky v Excelu, ve kterém provedete následující výpočty. odraz

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

t/s τ /s

—

h/m

—

τi+1 /τi

průměr

směrodatná odchylka d) Vypočítejte doby trvání τi = ti+1 − ti jednotlivých poskoků a ověřte, že tvoří geometrickou posloupnost. Určete její kvocient q. Ročník 87 (2012), číslo 3

37

SOUTĚŽE

e) Z doby trvání prvního poskoku τ1 a kvocientu q vypočítejte celkovou dobu poskakování míčku jako součet nekonečné geometrické řady a porovnejte ji s dobou odečtenou ze záznamu. f) Zdůvodněte, proč kvocient q je roven koeficientu restituce, který je definován jako poměr rychlosti po odrazu ku rychlosti při dopadu. g) Vypočítejte výšky jednotlivých poskoků a sestrojte graf jejich závislosti na pořadí odrazu. Poznámky k provedení záznamu: Záznam zvuku spusťte tlačítkem Record Stop

a ukončete tlačítkem

. Měli byste získat podobný průběh:

Pomocí nástroje Lupa

roztáhneme graf ve vodorovném směru:

Tlačítkem Výběr upravíme kurzor a umístíme jej na záznam prvního odrazu. Po kliknutí se v dolní části obrazovky objeví příslušný čas. Stejně určíme i časy dalších odrazů. 7. Zavěšený disk Okolo válcového disku o poloměru R = 20 cm a hmotnosti m = 2 kg opatřeného po obvodu jemnou drážkou byl těsně ovinut ocelový drát o průměru d = 0,60 mm, pod drát byla provléknuta nit a disk byl zavěšen na háček (obr. 5). Ocel, ze které je vyroben drát, má modul pružnosti v tahu E = 220 GPa a mez úměrnosti 300 MPa. Za předpokladu, že normálové napětí drátu před zavěšením disku bylo zanedbatelné, určete a) vzdálenost x bodu upevnění nitě od obvodu disku, b) normálové napětí drátu po zavěšení disku, c) délku té části drátu, která se nedotýká disku. 38


SOUTĚŽE

Tření mezi drátem a diskem se během deformace drátu neuplatní.

x

R

Obr. 5

Při řešení využijte aproximace goniometrických funkcí sin α ≈ α, 3 tg α ≈ α + α3 . KATEGORIE C 1. Dopravní nehoda Při rekonstrukci dopravní nehody na železničním přejezdu bylo zjištěno: Rychlík pohybující se rychlostí 33,6 m·s−1 začal intenzivně brzdit stálou silou ve vzdálenosti 340 m před překážkou na přejezdu. V čase 5,0 s po začátku brzdění byl vlak ve vzdálenosti 192 m před překážkou. Obě vzdálenosti jsou měřeny od předku lokomotivy. a) Určete velikost zrychlení vlaku. b) Určete čas měřený od začátku brzdění, v němž došlo k nárazu do překážky. c) Sestrojte graf závislosti dráhy na čase v časovém intervalu od okamžiku začátku brzdění do času 30 s. V grafu vyznačte čas a dráhu v okamžiku nárazu a v okamžiku zastavení vlaku. Předpokládejme, že náraz nijak neovlivnil pohyb rychlíku, tedy velikost zrychlení byla konstantní až do úplného zastavení vlaku. 2. Plovoucí váleček a) Homogenní váleček, jehož průměr je menší než jeho výška, byl položen na hladinu vody o hustotě 1 = 1 000 kg · m−3 v široké kádince Ročník 87 (2012), číslo 3

39

SOUTĚŽE

tak, že jeho podélná osa je rovnoběžná s hladinou. Nad hladinu přitom vyčnívají 25 poloměru válečku (obr. 1). Určete hustotu materiálu válečku. b) Na hladinu vody pak opatrně nalijeme další kapalinu, která se s vodou nemísí, o hustotě 2 < 1 tak, aby váleček byl zcela pod její hladinou. Rozhraní obou kapalin se nyní nachází ve výšce 34 poloměru od nejnižšího bodu válečku (obr. 2). Určete hustotu 2 přilité kapaliny. 2 r 5

2 r

r

1

3 r 4

1

Obr. 1

Obr. 2

Řešte nejprve obecně, potom pro dané hodnoty. 3. Zavěšení lampy Nad ulicí mezi domy, která má šířku l = 10 m, chceme zavěsit lampu o hmotnosti m = 15 kg na ocelovém lanku délky L = 13 m upevněném v protilehlých bodech A a B, přičemž bod B je o h = 2 m výše než bod A. l 2

l

A

x

B h

D

l 2

D

A

B h

d C

C

Obr. 3

40

Obr. 4 Rozhledy matematicko-fyzikální

SOUTĚŽE

a) V jaké vzdálenosti x od stěny s bodem A se bude lampa nacházet, zavěsíme-li ji pomocí malé kladky, která sjede do nejnižšího bodu (obr. 3)? b) V jaké vzdálenosti d od bodu A musíme lampu připevnit k lanku, aby se nacházela uprostřed mezi domy (obr. 4)? V obou případech určete velikosti sil, kterými bude lanko působit v bodech A a B. Úlohu a) včetně velikosti sil řešte obecně i číselně, v úloze b) stačí konečné řešení číselné. Hmotnost lanka je v porovnání s hmotností lampy zanedbatelná. 4. Automobil Automobil Felicia o hmotnosti 1 600 kg jede za bezvětří po vodorovné silnici rychlostí 90 km·h−1 . Průměr kol automobilu je 65 cm, maximální výkon motoru automobilu udávaný výrobcem je 40 kW. Při pohybu působí na automobil odporová síla prostředí daná vztahem F =

1 CSv 2 , 2

kde C = 0,35, S = 2,4 m2 , a valivý odpor. Tření v ložiskách kol neuvažujte.

Obr. 5

a) Určete tahovou sílu a výkon motoru automobilu: 1. v zimě, když má automobil na disky kola nasazeny zimní pláště s ramenem valivého odporu ξ = 0,003 m a = 1,22 kg·m−3 ; 2. v létě, když má automobil nasazeny na disky letní pláště, kdy ξ = 0,001 6 m a = 1,02 kg·m−3 . b) Je z technického hlediska možné, aby automobil za podmínek uvedených v a) jel po vodorovné silnici rychlostí 150 km · h−1 v zimě i v létě? c) Po určité době jízdy se ráz silnice změní a vodorovná silnice přechází ve svah o stoupání 4 %. Automobil pokračuje dál ve své jízdě rychlostí 90 km·h−1 . Určete tahovou sílu a výkon motoru automobilu při jízdě do tohoto kopce, jede-li rovnoměrným pohybem. Ročník 87 (2012), číslo 3

41

SOUTĚŽE

d) Aby řidič snížil spotřebu při jízdě v létě, rozhodl se vyměnit původní letní pláště za kvalitnější, čímž došlo ke snížení valivého odporu o 10 % původního. Určete, jak se změní rameno valivého odporu po této výměně a jak tato výměna plášťů ovlivní spotřebu benzinu v létě při jízdě po rovině vzhledem k původnímu stavu. 5. U-trubice Trubice tvaru písmene U má stejně dlouhá ramena délky L = 20 cm o stejném průřezu S = 0,50 cm2 . Trubice je do poloviny výšky naplněna rtutí (obr. 6). Pravé rameno trubice nahoře uzavřeme a levé rameno za stálé teploty 20 ◦ C doplníme rtutí až po okraj (obr. 7). a) Jaká bude výška x vzduchového sloupce v pravém rameni? b) Jaká bude výška y vzduchového sloupce v pravém rameni, když se teplota trubice zvýší z 20 ◦ C na 80 ◦ C? c) Určete hmotnost rtuti, která při tomto zvýšení teploty z trubice vyteče. Teplotní roztažnost skla a kapilární jevy můžeme zanedbat. Atmosférický tlak pa = 1,00 · 105 Pa. Hustota rtuti při 20 ◦ C je 1 = 13 546 kg · m−3 . Teplotní součinitel objemové roztažnosti rtuti β = 0,20 · 10−3 K−1 .

x

L 2 L

L Obr. 6

Obr. 7

6. Praktická úloha: Určení výsledné tuhosti dvou pružin spojených paralelně a sériově Pomůcky: Dvě pružiny o různé tuhosti, několik větších závaží s háčky, váhy a sada závaží, stopky, kousek drátu. 42


SOUTĚŽE

Teorie: Mechanický oscilátor tvořený pružinou o tuhosti k a hmotnosti m0 , na které je zavěšeno těleso o hmotnosti m, kmitá s periodou T = 2

m + m30 . k

(∗)

Úkoly: a) Na dvě různé pružiny zavěšujte postupně závaží o různé hmotnosti a změřte periody kmitání takto získaných oscilátorů. Užitím vztahu (∗) určete experimentálně tuhosti obou pružin. b) S použitím výsledků získaných v úkolu a) určete teoreticky výslednou tuhost obou pružin, jsou-li spojeny: 1) sériově, 2) paralelně. c) Na obě pružiny spojené 1) sériově, 2) paralelně zavěšujte různá závaží a stejným způsobem jako v úkolu a) určete experimentálně výslednou tuhost spojených pružin. Získané hodnoty porovnejte s výsledky výpočtů v úkolu b). Poznámka k provedení: Na paralelně spojené pružiny zavěšujte závaží pomocí delšího dvojitého háčku, který si zhotovíte z kousku drátu (obr. 8). Tím dosáhnete, že obě pružiny budou deformovány stejně. Jsou-li délky nezatížených pružin různé, připravíme dvojháček nesymetrický. Hmotnost dvojháčku přičtěte k hmotnosti závaží.

Obr. 8

7. Kruhový děj Hélium o látkovém množství n se nachází ve stavu p0 , V0 a T0 v uzavřené nádobě s pohyblivým pístem. Tento plyn se nejprve rozpíná za stálého tlaku, až jeho objem dosáhne čtyřnásobku původního objemu (stav 1), pak se tento plyn ochladí tak (stav 2), aby následujícím adiabatickým stlačením dosáhl původního stavu. a) Vyjádřete tlak, teplotu a objem ve stavech 1 a 2 pomocí počátečních veličin p0 , V0 , T0 . b) Načrtněte ve vhodném měřítku tento děj do p -V diagramu. c) Určete účinnost tohoto kruhového děje. Poissonova konstanta je κ = 53 . Ročník 87 (2012), číslo 3

43

SOUTĚŽE

KATEGORIE D 1. Regionální vlak Regionální vlak se rozjížděl ze zastávky tak, že rovnoměrně zrychleným pohybem dosáhl za dobu t1 = 40 s rychlosti o velikosti v = 63 km · h−1 . Poté se touto rychlostí pohyboval rovnoměrně a na dráze s3 = 280 m rovnoměrně zpomaleným pohybem v další stanici zastavil. Celková dráha uražená vlakem mezi stanicemi je 4,20 km. a) Určete velikost a1 zrychlení vlaku během rozjíždění a velikost a3 zrychlení vlaku během brzdění. b) Určete dráhu s1 uraženou během rozjíždění a čas t3 , po který vlak brzdil. c) Sestrojte graf závislosti rychlosti na čase. d) Určete průměrnou rychlost vp jízdy vlaku mezi stanicemi. Úlohy a), b) řešte nejprve obecně, pak pro dané číselné hodnoty. 2. Zavěšené těleso Pevné vlákno zanedbatelné hmotnosti je svými konci zavěšeno na vodorovném trámku. Na vlákně je uzlík, z něhož vychází další vlákno se zavěšeným tělesem o hmotnosti m = 2,7 kg. a) Uzlík je ve středu vlákna. Napnuté části horního vlákna svírají úhel α (obr. 1a). Určete velikosti sil, jimiž jsou levá a pravá část vlákna napínány v případech, kdy α = 20◦ , 60◦ , 90◦ , 135◦ , 160◦ . Při jakém úhlu α je každá část horního vlákna napínána stejnou silou jako dolní vlákno? b) Uzlík rozděluje horní vlákno na dvě části s poměrem délek 2 : 1, přičemž horní konce jsou zavěšeny v takové vzdálenosti, že části vlákna svírají pravý úhel (obr. 1b). Určete velikosti sil, jimiž jsou levá a pravá část vlákna napínány.

α

m Obr. 1a 44

m Obr. 1b Rozhledy matematicko-fyzikální

SOUTĚŽE

3. Dva sudy Na vodorovné rovině stojí vedle sebe dva sudy stejné výšky h0 = 1,00 m. První sud má objem V1 = 600 l a průměr d1 , druhý má průměr d2 = d1 /2. Oba sudy jsou propojené ve třetině výšky vodorovnou trubicí s uzávěrem. a) Velký sud je zcela naplněný vodou, druhý prázdný. Určete objem vody, která proteče do menšího sudu po otevření uzávěru. b) Malý sud je zcela naplněný vodou, velký prázdný. Určete objem vody, která proteče do většího sudu po otevření uzávěru. c) Určete v obou případech změnu potenciální energie vody při protečení. Hustota vody je = 1 000 kg · m−3 . Tloušťku pláště a dna obou sudů zanedbejte.

4. Posouvání bedny Na podlaze leží bedna o hmotnosti m = 35 kg. Součinitel smykového tření mezi bednou a podlahou je f = 0,51. Tři chlapci chtěli bednu posunout co nejdále. Marek působil na bednu silou 140 N po dobu 6,0 s, poté Dan silou 180 N po dobu 4,0 s a nakonec Jarda silou 220 N po dobu 2,0 s. Určete dráhu, kterou bedna urazila působením každého z chlapců. Směr působení všech tří sil na bednu je vodorovný.

5. Házení míčkem Chlapci házejí vodorovným směrem tenisový míček z balkónů v prvním, třetím a pátém patře nad sebou do koše, který se nachází ve vzdálenosti d = 15,0 m od kolmice spuštěné z místa hodu k vodorovné rovině. Počáteční výšky hodů nad okolní rovinou jsou h1 = 4,0 m, h2 = 10,0 m, h3 = 16,0 m. a) Určete velikosti počátečních rychlostí v01 , v02 , v03 tak, aby míček dopadl do koše. Velikosti rychlostí porovnejte a zdůvodněte. b) Určete velikosti rychlostí vd1 , vd2 , vd3 dopadu míčku do koše. Velikosti rychlostí porovnejte a zdůvodněte. c) Určete u jednotlivých hodů úhly α1 , α2 , α3 , které svírají rychlosti dopadu s vodorovným směrem. Řešte nejprve obecně, pak pro dané hodnoty. Odpor vzduchu zanedbejte. Ročník 87 (2012), číslo 3

45

SOUTĚŽE

6. Praktická úloha: Měření hmotnosti pomocí Archimédova zákona Úkol: Změřte pomocí zkumavky plovoucí ve vodě s využitím Archimédova zákona průměrnou hmotnost diaboly. Pomůcky: Diaboly, zkumavka, nádoba s vodou, milimetrové měřítko, lepicí páska, posuvné měřidlo. Návod : Do zkumavky dáme takový počet diabol, aby zkumavka po vnoření do vody dosáhla svislé polohy. Tím získáme nulovou čáru ponoru, od níž budeme ve směru svisle vzhůru měřit hloubku y ponoru. Po přidání počtu N diabol, každé o hmotnosti m, dosáhne zkumavka hloubky y ponoru splňující podle Archimédova zákona rovnici N mg = Syg, kde S = d2 /4 je obsah vnějšího příčného řezu zkumavky a hustota vody. Z rovnice po dosazení plyne závislost hloubky y ponoru na počtu N diabol: 4m (∗) y = 2 N. d Provedení: Průměr d zkumavky změříme posuvným měřidlem na několika místech v horní části zkumavky. Budou-li se hodnoty lišit, použijeme jejich aritmetický průměr. Jako měřítko je možné použít pásek milimetrového papíru, na němž pro lepší čitelnost stupnici tužkou nebo tenkým fixem zvýrazníme. Pásek lepenkou přilepíme na vnitřní povrch zkumavky. Zkumavku zatížíme diabolami ve vodě tak, aby dosáhla svislé polohy. Úroveň hladiny podle stupnice zaznamenáme. Nyní budeme do zkumavky přidávat vždy jednu diabolu a na stupnici s přesností na milimetry zjistíme hloubku y ponoru vzhledem k nulové čáře. Postup opakujeme do okamžiku, kdy horní okraj zkumavky dosáhne hladiny. Zpracování výsledků: Pomocí počítačového grafického programu, např. Excelu, sestrojíme graf závislosti hloubky y ponoru na počtu N diabol. V případě Excelu si 46


SOUTĚŽE

vytvoříme tabulku a zapíšeme do ní naměřená data, tj. hodnoty N a y, a to včetně dvojice N = 0, y = 0. Kurzorem označíme dvojici sloupců s daty a vložíme Graf . Zvolíme typ grafu XY bodový, podtyp bodový (tj. bez spojnic datových bodů), čímž se zobrazí soustava izolovaných bodů. Po kliknutí pravým tlačítkem myši na libovolný z nich z nabídky zvolíme Přidat spojnici trendu a vybereme Typ trendu a regrese lineární. V nabídce Možnosti volíme y = 0. Tím se zobrazí přímka vycházející z počátku, která proloží zobrazené body v grafu. Zobrazíme též Rovnici regrese, tj. rovnici získané přímky. Ta se zobrazí ve tvaru y = ax, což je rovnice přímé úměrnosti s konstantou (směrnicí) a. Podle rovnice (∗) je směrnice přímky a=

4m . d2

Vyjádřením hmotnosti dostaneme m=

2 d a. 4

Do vzorce dosadíme změřený průměr zkumavky, hustotu vody (z tabulek podle teploty), směrnici přímky získanou počítačovým programem a vypočteme hmotnost diaboly. Hmotnost diaboly ověříme vážením na technických vahách. 7. Rozpad střely Střela skládající se ze dvou částí o hmotnostech m1 = 0,6 kg a m2 = = 0,9 kg obsahuje pružinový systém nastavitelný tak, že během letu se obě části v podélné ose střely od sebe oddělí. Energie stlačených pružin je E = 72 J. Těleso bylo vystřeleno ze země prakem svisle vzhůru počáteční rychlostí o velikosti v0 = 20 m·s−1 . Podélná osa střely zachovává během celého letu svislý směr, přičemž část střely o hmotnosti m1 je nahoře. V nejvyšší poloze se pružinový systém aktivuje, čímž se obě části od sebe odmrští. a) Určete velikosti v1 a v2 rychlostí obou částí vzhledem k zemi bezprostředně po odmrštění. b) Určete nejvyšší výšku h1 nad zemí, do které vystoupí horní část střely. c) Určete velikosti vd1 a vd2 rychlostí dopadu obou částí tělesa. Odpor vzduchu zanedbejte. Řešte nejprve obecně, pak pro dané hodnoty. V obecném řešení úloh b), c) považujte v1 , v2 za dané. Ročník 87 (2012), číslo 3

47

ZPRÁVY Ústřední kolo 61. ročníku Matematické olympiády, kategorie A Petr Drahotský, předseda KK MO Královéhradeckého kraje V tomto školním roce vstoupila naše nejstarší předmětová soutěž – Matematická olympiáda – do sedmé dekády své existence. Organizací Ústředního kola jejího 61. ročníku byla pověřena Krajská komise MO Královéhradecké pobočky JČMF. Nesnadného úkolu zajistit tuto významnou akci se ujal ředitel Biskupského gymnázia B. Balbína v Hradci Králové Mgr. Jiří Vojáček . Pro programátorskou část soutěže (kategorie P) využil vstřícného přístupu vedení Fakulty informatiky a managementu Univerzity Hradec Králové, především aktivní pomoci Mgr. Ivy Vojkůvkové. Účastníci soutěže přijeli do Hradce Králové v neděli 25. 3. 2012 odpoledne a ubytovali se v klidném a důstojném prostředí Nového Adalbertina. Zde byla v 19 hodin soutěž slavnostně zahájena. Nejprve přivítal všechny soutěžící, členy ÚK MO, opravovatele úloh a hosty předseda KK MO Mgr. P. Drahotský. Ve svém projevu připomenul přítomným osobnost prof. Eduarda Čecha. Prof. Čech, zakladatel naší MO, totiž pochází ze Stračova, obce ležící pouhých 20 km od Hradce Králové. Poté se režie večera ujal Mgr. J. Vojáček a k účastníkům postupně promluvili: hejtman Královéhradeckého kraje Bc. L. Franc, primátor Hradce Králové MUDr. Z. Fink , prorektorka UHK dr. M. Žumárová, za Královéhradecké biskupství Msgre. K. Moravec a za JČMF její předseda dr. J. Kubát. Pozdravné projevy se střídaly s příjemnou hudbou a písněmi v podání studentů pořádajícího gymnázia; všichni zasvěcení se již těšili, až dostane slovo předseda ÚK MO Doc. J. Šimša. Ten opět nezklamal. Jeho příspěvek o tupoúhlých trojúhelnících byl odměněn nadšeným potleskem. Poté doc. Šimša soutěž oficiálně zahájil. Všichni přítomní byli následně pozváni na raut, kde pro ně bylo připraveno pestré pohoštění. Následující dvě dopoledne se dění soutěže přesunulo do budovy Biskupského gymnázia B. Balbína. Soutěžící kategorie A řešili vždy po třech náročných úlohách. Ve stejný čas se členové ÚK MO sešli na pravidelném zasedání. 48


ZPRÁVY

Ryze pracovní jednání bylo tentokrát zpestřeno milou povinností, gratulací. V den zahájení soutěže totiž oslavil významné životní jubileum doc. L. Boček . Jeho jméno je s Matematickou olympiádou doslova spjato. Z úspěšného řešitele MO se postupně stal dlouholetým předsedou tehdy ÚV MO. Po odchodu z této funkce zůstává doc. Boček nadále aktivním a výkonným členem ÚK MO. Ještě jednou hodně zdraví, nápadů a sil, Leoši! A velké díky! Pro chvíle volna připravili organizátoři pestrý a bohatý doprovodný program. V pondělí odpoledne provedl účastníky historickým centrem Hradce Králové dr. J. Němeček. Pak jim ještě ukázal prostory gotické katedrály sv. Ducha a na závěr s nimi vystoupil na Bílou věž. Večer účastníci shlédli divadelní představení Jánošík“ v divadle DRAK. Po před” stavení následovalo neformální společenské setkání v Labyrintu divadla; to bylo završeno menším pohoštěním. V úterý odpoledne byl uspořádán výlet na nedaleký Kuks. Prohlídka se zasvěceným výkladem, zvláště v lapidáriu zámku a ve Farmaceutickém muzeu, všechny přítomné zaujala. Někteří účastníci Ústředního kola však volno neměli. Opravovatelé úloh opravovali, koordinátoři koordinovali i mnozí další pracovali tak, aby ve středu 28. 3. 2012 ráno bylo vše hotovo. Krátce po deváté hodině bylo v Novém Adalbertinu zahájeno slavnostní vyhlášení výsledků a předávání cen v kategorii A. Vyhlášení výsledků tradičně řídil tajemník ÚK MO dr. K. Horák. Ceny prvním třem soutěžícím předala paní Linda Štraubová za Skupinu ČEZ, zvláštní ocenění soutěžícím věnovali prof. J. Hynek, rektor UHK a za FEL ČVUT Praha doc. J. Novák. Krátký projev předsedy ÚK MO doc. J. Šimši pak oficiálně Ústřední kolo 61. ročníku MO v kategorii A uzavřel. Nakonec zbývá poděkovat všem soutěžícím a všem kolegyním a kolegům, kteří se každoročně na chodu Matematické olympiády podílejí, a všem sponzorům, bez nichž by nebylo možné Ústřední kolo Matematické olympiády v Hradci Králové uspořádat. Jsou to: Královéhradecký kraj, Město Hradec Králové, Skupina ČEZ, Biskupské gymnázium B. Balbína v Hradci Králové, Univerzita Hradec Králové, MŠMT, STAKO stavební firma a další. Největší dík patří celému týmu organizátorů, především řediteli Biskupského gymnázia B. Balbína Mgr. J. Vojáčkovi a kolegyni Mgr. I. Vojkůvkové z FIM UHK a kolegům Mgr. P. Benešovi a Mgr. M. Jackovi z Biskupského gymnázia B. Balbína v Hradci Králové.


49

ZPRÁVY

Úspěšní řešitelé ústředního kola 61. ročníku MO kategorie A: Vítězové: 1. – 3. Ondřej Bartoš (8/8, G Žďár n. S, Neumannova), Michal Kopf (4/4 SG Opava) a Anh Dung Le (4/6 G Tachov, Pionýrská), všichni 29 b. 4. Josef Svoboda (5/6 G Frýdlant n. O.), 28 b. 5. David Hruška (7/8 G Plzeň, Mikulášské nám.), 27 b. 6. Martin Töpfer (4/4 G Praha 7, Nad Štolou), 26 b. 7. Jakub Krásenský (8/8 G Jihlava, Jana Masaryka), 25 b. 8. – 9. Jan Klusáček (8/8 G Třebíč, Masarykovo nám.) a Dominik Steinhauser (4/4 GJK Praha 6, Parléřova), oba 23 b. 10. Michal Buráň (7/8 GJAK Uherský Brod), 22 b. 11. Jan Stopka (4/4 G Brno, tř. Kpt. Jaroše), 21 b. Další úspěšní řešitelé: 12. Ondřej Hübsch (2/4 G Praha 6, Arabská), 20 b. 13. – 14. Tomáš Rusý (8/8 GJK Praha 6, Parléřova) a Ondřej Skácel (6/8 G Šternberk), oba 19 b. 15. – 17. Jan Kuchařík (4/4 G Jihlava, Jana Masaryka), Michal Opler (8/8 MG Vsetín, Tyršova) a Dominik Tělupil (4/4 G Brno, tř. Kpt. Jaroše), všichni 18 b. 18. Ondřej Bouchala (8/8 GK Havířov), 17 b. 19. – 21. Lubomír Grund (7/8 GChD Praha 5, Zborovská), Jan Hadrava (8/8 GChD Praha 5, Zborovská) a Štěpán Šimsa (7/8 GJJ Litoměřice, Svojsíkova), všichni 16 b. Na závěr ještě uveďme, jaké úlohy soutěžící řešili: 1. Najděte všechna celá čísla n, pro něž je n4 − 3n2 + 9 prvočíslo. (Aleš Kobza) 2. Zjistěte, jaký je největší možný obsah trojúhelníku ABC, jehož těžnice mají délky vyhovující nerovnostem ta ≤ 2, tb ≤ 3, tc ≤ 4. (Pavel Novotný) 3. Dokažte, že mezi libovolnými 101 reálnými čísly existují dvě čísla u a v, pro něž platí 100 |u − v| · |1 − uv| ≤ (1 + u2 )(1 + v 2 ). (Pavel Calábek ) 50


ZPRÁVY

4. Uvnitř rovnoběžníku ABCD je dán bod X. Sestrojte přímku, která prochází bodem X a rozděluje daný rovnoběžník na dvě části, jejichž obsahy se navzájem liší co nejvíce. (Vojtech Bálint) 5. Ve skupině 90 dětí má každé aspoň 30 kamarádů (kamarádství je vzájemné). Dokažte, že je lze rozdělit do tří 30členných skupin tak, aby každé dítě mělo ve své skupině aspoň jednoho kamaráda. (Ján Mazák ) 6. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic x4 + y 2 + 4 = 5yz, y 4 + z 2 + 4 = 5zx, z 4 + x2 + 4 = 5xy. (Jaroslav Švrček )

Ústřední kolo 61. ročníku Matematické olympiády – kategorie P Pavel Töpfer, MFF UK Praha Na konci března 2012 se konalo v Hradci Králové ústřední kolo 61. ročníku Matematické olympiády – kategorie A a P. Kategorie P probíhala tradičně ve druhé polovině týdne, od středy 28. 3. do pátku 30. 3. 2012. Organizátorem celého ústředního kola MO bylo Biskupské gymnázium Bohuslava Balbína, na zajištění soutěže v kategorii P se navíc podíleli pracovníci Fakulty informatiky a managementu Univerzity Hradec Králové. V prostorách této fakulty se také celá soutěž odehrávala. Odbornou náplň soutěže zajistili pracovníci a studenti z Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy v Praze. Připravili soutěžní úlohy, zajistili opravování a také soutěžní prostředí na počítačích (testovací data, vyhodnocovací software). V letošním ústředním kole MO kategorie P soutěžilo všech 30 pozvaných nejlepších řešitelů krajských kol. Přitom osm z nich se probojovalo do ústředního kola MO v obou kategoriích A a P. První soutěžní den Ročník 87 (2012), číslo 3

51

ZPRÁVY

ústředního kola je teoretický, probíhá obdobně jako krajské kolo bez použití počítačů. Studenti v této části soutěže řeší tři úlohy zaměřené na návrh efektivního algoritmu pro zadaný problém. Úlohy obvykle tematicky navazují na domácí a krajské kolo, jedna z teoretických úloh vždy pracuje s nějakým neobvyklým výpočetním modelem, který prochází všemi koly příslušného ročníku olympiády. Druhý soutěžní den ústředního kola je praktický, studenti v něm soutěží u počítačů. Řešení dvou praktických úloh je třeba dovést až do podoby odladěných funkčních programů. Odevzdané programy jsou po skončení soutěže testovány pomocí předem připravené sady testovacích vstupních dat, přičemž se hodnotí nejen správnost dosažených výsledků, ale i rychlost výpočtu. Pomocí časových limitů omezujících dobu výpočtu programu lze odlišit kvalitu různých řešení z hlediska časové složitosti zvoleného algoritmu. Praktická část ústředního kola MO-P probíhá v obdobných podmínkách a podle stejných pravidel, jaká se uplatňují i při mezinárodních středoškolských olympiádách v informatice. Za každou teoretickou soutěžní úlohu lze získat maximálně 10 bodů, za každou z praktických úloh nejvýše 15 bodů. V každém ze soutěžních dnů tak může soutěžící obdržet až 30 bodů. Úspěšnými řešiteli letošního ústředního kola se stalo prvních šestnáct účastníků, z nichž šest nejlepších bylo vyhlášeno vítězi ústředního kola. Úspěšní řešitelé ústředního kola 61. ročníku MO kategorie P: Vítězové: 1. Martin Zikmund (8/8 G Turnov), 51 b. 2. Štěpán Šimsa (7/8 G J. Jungmanna, Litoměřice), 48 b. 3. Jiří Eichler (8/8 Slovanské G, Olomouc), 46 b. 4. – 6. Jan-Sebastian Fabík (2/4 G tř. Kpt. Jaroše, Brno), Ondřej Hübsch (2/4 G Arabská, Praha 6) a Martin Raszyk (2/4 G Karviná), všichni 41 b. Další úspěšní řešitelé: 7. Lukáš Folwarczný (8/8 G Komenského, Havířov), 31 b. 8. – 9. Ondřej Bouchala (8/8 G Komenského, Havířov) a Jan Hadrava (8/8 G Ch. Dopplera, Praha 5), oba 28 b. 10. Martin Hora (6/8 G Mikulášské nám., Plzeň), 26 b. 11. – 12. Vojtěch Hlávka (7/8 G a ZUŠ Šlapanice) a Juda Kaleta (5/6 G J. Vrchlického, Klatovy), oba 24 b. 13. Tomáš Kasalický (6/6 G J. Vrchlického, Klatovy), 23 b. 52


ZPRÁVY

14. Mark Karpilovsky (3/4 G tř. Kpt. Jaroše, Brno), 22 b. 15. David Bernhauer (8/8 G Ch. Dopplera, Praha 5), 21 b. 16. Ondřej Cífka (7/8 G Nad Alejí, Praha 6), 20 b. Na základě výsledků dosažených v 61. ročníku Matematické olympiády v kategorii P byli vybráni čtyři reprezentanti, kteří se na konci září 2012 zúčastní v Itálii 24. mezinárodní olympiády v informatice IOI 2012. Další naše čtyřčlenné reprezentační družstvo soutěžilo na 19. středoevropské olympiádě v informatice CEOI 2012, která se uskutečnila v první polovině července v Maďarsku. Družstvo pro IOI je tvořeno čtyřmi nejlepšími řešiteli, do družstva pro CEOI jsou zařazeni další čtyři mladší úspěšní řešitelé, kteří letos ještě nematurují. Podrobnější informace o průběhu celého 61. ročníku MO kategorie P, kompletní výsledkovou listinu, texty soutěžních úloh i jejich vzorová řešení najdete na Internetu na adrese http://mo.mff.cuni.cz/. Na stejném místě se můžete seznámit i se staršími ročníky této soutěže a také se všemi aktuálními informacemi týkajícími se Matematické olympiády – kategorie P.

Celostátní kolo 53. ročníku Fyzikální olympiády Jan Kříž, Ivo Volf, Bohumil Vybíral Ústřední komise FO, PřF UHK, Hradec Králové Organizací celostátního kola 53. ročníku Fyzikální olympiády byla pověřena v roce 2012 Krajská komise Fyzikální olympiády Pardubického kraje. Organizační výbor pracoval pod vedením jejího předsedy KKFO RNDr. Vladimíra Víchy a zhostil se svého úkolu velmi dobře. Na průběhu celostátního kola se podílelo především gymnázium v Pardubicích, Dašická ul., dále Univerzita Pardubice, zejména fakulta chemicko-technologická. Univerzita poskytla především nutné zázemí, tedy ubytování, stravování všech účastníků soutěže, dále prostory pro uskutečnění soutěže, tj. řešení teoretických i praktické, experimentální úlohy. Gymnázium zajistilo organizaci a administrativu soutěže. Celostátní soutěž Ročník 87 (2012), číslo 3

53

ZPRÁVY

navázala na lednová krajská kola, v nichž se FO zúčastnilo 125 soutěžících, z nichž 56 bylo úspěšnými řešiteli a padesátka nejlepších se sjela do Pardubic ve dnech 21. až 24. února. Soutěžení bylo doplněno fyzikálním programem, kam patřily především zajímavé přednášky RNDr. Jiřího Grygara, CSc. a Ing. Dany Drábové, Ph.D., dále návštěva závodu na výrobu počítačů Foxcom, Východočeského musea, hvězdárny aj. Zahájení proběhlo na pardubickém zámku, výsledky soutěže byly vyhlášeny na městské radnici. Záštitu nad soutěží převzal hejtman Pardubického kraje Mgr. Radko Martínek, primátorka města Pardubice MUDr. Štěpánka Fraňková, rektor Univerzity Pardubice prof. Ing Miroslav Ludwig, CSc. a ředitelka gymnázia Ing. Jitka Svobodová. Základem dobré soutěže jsou vhodně vybrané fyzikální úlohy, které zajistila komise pro výběr úloh pod vedením PaedDr. Přemysla Šedivého a PhDr. Miroslavy Jarešové, Ph.D. Čtyři teoretické úlohy, které navrhli RNDr. Josef Jírů, PaedDr. Přemysl Šedivý a RNDr. Jan Thomas, dobře charakterizují jejich názvy: 1. Elektromagnetická indukce v pravoúhlém rámečku (svisle umístěném, který kýval v magnetickém poli různě definovaných směrů), 2. Kondenzátor a rezistor (v elektrickém obvodu se zdrojem střídavého napětí), 3. Vibrátor mobilního telefonu, 4. Mikrotron (urychlovač elektronů, pracující na obdobném principu jako cyklotron). Experimentální úloha podle návrhu RNDr. Vladimíra Víchy se zabývala měřením hustoty a určováním hmotnosti složek vodního roztoku na základě využití Archimédova zákona. Z padesátky soutěžících si nejlépe s úlohami poradil Ondřej Bartoš, loňský bronzový“ účastník MFO v Bangkoku, který vyřešil všechny ” čtyři teoretické úlohy bez ztráty bodu, tedy se ziskem plného počtu 40 bodů, experimentální úlohu vyřešil nejlépe Jakub Klinkovský, který získal 18 z možných 20 bodů. Nejlepším řešitelem první úlohy se stal Jakub Krásenský, druhé úlohy Stanislav Fořt, třetí úlohy Ondřej Bartoš, čtvrté úlohy Martin Raszyk. Za každou správně vyřešenou teoretickou úlohu mohli soutěžící získat 10 bodů, za experimentální 20 bodů, tedy celkový maximální počet udělených bodů mohl být 60. Statistika dosažených výsledků naznačuje, že v každé teoretické úloze dosáhlo několik soutěžících maximálního počtu bodů, ale také, protože byla úloha obtížná, ji někteří ani nezačali řešit. Podle Organizačního řádu Fyzikální olympiády byli na základě bodového hodnocení účastníci celostátního kola rozděleni do tří kategorií. Bylo vyhlášeno 11 vítězů, kteří získali 75 % a více z bodového hodnocení, dále 20 úspěšných řešitelů s výsledkem lepším než 43 % bodového 54


ZPRÁVY

hodnocení (úspěšný řešitel se určuje podle průměrné hodnoty bodového hodnocení první pětice soutěžících) a zbylých 19 účastníků bylo účastníky celostátního kola. Na závěrečném slavnostním shromáždění byly všem účastníkům předány diplomy nebo čestná uznání a knihy, vítězům pak další odměny, zejména získané od sponzorů. Generální partner FO, kterým je ČEZ, věnoval každému z prvních tří vítězů částku 10 tisíc Kč jako podporu pro jejich další studijní činnost, pokud se věnují studiu přírodovědného či technického směru. Na závěr naší zprávy uvedeme seznam vítězů celostátního kola 53. ročníku Fyzikální olympiády v roce 2012: Absolutním vítězem se stal Ondřej Bartoš z G Žďár nad Sázavou (obr. 1), na 2. místě byl Jakub Krásenský z G Jihlava, na 3. místě Jakub Vošmera z G Brno, Lerchova ul., na 4. místě Lubomír Grund z G Ch. Dopplera v Praze, na 5. místě František Petrouš z G České Budějovice, Jírovcova ul. (obr. 2), na 6. místě Martin Raszyk z G Karviná, na 7. místě Michal Karamazov z G Pardubice, Dašická ul., na 8. a 9. místě Jakub Klinkovský z G Blansko a Stanislav Fořt z G P. de Coubertina v Táboře, na 10. místě Lukáš Folwarczný z G v Havířově a na 11. místě Filip Murár z G v Třebíči.

Obr. 1: Ondřej Bartoš, absolutní vítěz 53. ročníku Fyzikální olympiády

Úspěšnými řešiteli se stali: Pavel Trutman (G Bílovec), Jan Bydžovský (G Praha, J. Heyrovského), Petr Jurčo (G Trutnov), Jan Hadrava (G Ch. Dopplera Praha), Martin Prudek (G Plzeň, Mikulášské nám.), Stanislav Skoupý (G Plzeň, Masarykovo nám.), Jan Stopka (G Brno, Ročník 87 (2012), číslo 3

55

ZPRÁVY

tř. kpt. Jaroše), Michal Opler (G Vsetín), Ondřej Bouchala (G Havířov), Jan Štětka (G Klatovy), Petr Bartoň (G J. K. Tyla Hradec Králové), Jakub Kubečka (G Nymburk), Jiří Záhora (G B. Němcové Hradec Králové), Jakub Vančura (G Brno, tř. kpt. Jaroše), Ondřej Švec (G Uherské Hradiště), Jiří Eichler (G Olomouc), Mária Dobřemyslová (G Praha, Na Pražačce), Lukáš Knob (G Kojetín), Jiří Veselý (G Prostějov), Barbora Marková (G Pardubice, Dašická). Ze čtyř zúčastněných dívek v celostátním kole byly dvě úspěšnými řešitelkami. Protože řada účastníků celostátního kola Fyzikální olympiády se ještě koncem března zúčastnila celostátního kola Matematické olympiády, byli po zjištění výsledků vítězové pozváni na Katedru fyziky Přírodovědecké fakulty Univerzity Hradec Králové, kde proběhly výběrové testy (tři teoretické a dva experimentální), a potom bylo nominováno 5 soutěžících pro 43. Mezinárodní fyzikální olympiádu, která v červenci proběhla v Estonsku. Na celostátní kolo příštího ročníku Fyzikální olympiády budou účastníci pozváni do Brna.

Obr. 2: František Petrouš (v pořadí 5. vítěz) při řešení experimentální úlohy

56


NAŠE SOUTĚŽ NAŠE SOUTĚŽ Předkládáme další dvě úlohy Naší soutěže. Můžete je vyřešit a řešení poslat na adresu redakce. Řešení může být v elektronické či papírové podobě. Redakce řešení opraví a opravené vám je zašle zpět. V některém z následujících čísel pak najdete úlohy vyřešené. Za řešení každé úlohy můžete získat až 5 bodů. Soutěž je kontinuální, což znamená, že se výsledky jednotlivých řešitelů sčítají a vede se průběžná výsledková listina (za minulé i letošní ročník dohromady). V listině se nerozlišují úlohy matematické a fyzikální. Nejlepším řešitelům bude každým rokem zaslána odborná literatura. Nyní předkládáme dvě úlohy, jejichž řešení pošlete do 31. prosince 2012 na adresu redakce. Úloha 29. Je dán libovolný konvexní pětiúhelník ABCDE. Na jeho hranici najděte bod X tak, aby úsečka AX rozdělila pětiúhelník na dvě části se stejným obsahem. (Jaroslav Zhouf ) Úloha 30. Umělá družice Země Představte si, že se podařilo vypustit takovou umělou družici Země, N která prolétá střídavě nad severním a jižním zeměpisným pólem (obr. 1). Poloměr oběžné trasy je O 7 000 km, poloměr Země 6 370 km. Družici začneme sledovat v okamžiku, kdy prolétá nad severním zeS měpisným pólem v čase 00:00:00 h směrem nultého poledníku. Hmotnost Země je 6 · 1024 kg, délka dne Obr. 1: Pohyb družice je 23 hod 56 min 04 s. a) Zjistěte, zda z této družice je možno při jejím průletu nad jižním pólem vidět naráz celou Antarktidu. b) Zjistěte zeměpisné polohy míst, nad kterými se nachází družice při třech po sobě následujících průletech nad rovníkem. Ročník 87 (2012), číslo 3

57

NAŠE SOUTĚŽ

c) Podaří se vám stanovit zeměpisnou polohu místa, nad kterým družice prolétá přesně v čase 01:00:00 h? Na mapách GoogleEarth3D stanovte, kde toto místo leží. (Ivo Volf ) Řešení úloh z čísla 1/2012 Úloha 25. Určete všechna přirozená čísla n, pro která je √ √ n − 2012 + n + 2012 číslo celé.

(Jaroslav Zhouf )

Řešení: Číslo

√ √ n − 2 012 + n + 2 012 √ √ má být celé. Dokážeme, že i obě čísla n − 2 012 a n + 2 012 musejí být celá. Kdyby právě jedno z nich bylo racionální a druhé iracionální, byl by √ i jejich součet √ iracionální. Kdyby byla obě čísla iracionální a číslo n − 2 012 + n + 2 012 racionální, bylo by i číslo √ √ √ √ √ n + 2 012 + n − 2 012 − 2 n − 2 012 = n + 2 012 − n − 2 012 iracionální. Pak by číslo √ √ √ √ n + 2 012 + n − 2 012 n + 2 012 − n − 2 012 bylo iracionální. Jelikož je ale √ √ √ √ n + 2 012 + n − 2 012 n + 2 012 − n − 2 012 = 4 024, √ √ docházíme ke sporu. Takže obě čísla n − 2 012 a n + 2 012 musejí být racionální. Jelikož je dále odmocnina z přirozeného čísla √ jedině číslo celé nebo √ iracionální, musejí být i obě čísla n − 2 012 a n + 2 012 celá, a dokonce přirozená. √ Nechť je tedy číslo n − 2 012 = m přirozené. Pak je n = m2 + 2 012, n + 2012 = m2 + 4 024. 58


NAŠE SOUTĚŽ

Toto číslo musí být také druhou mocninou nějakého přirozeného čísla l, takže m2 + 4 024 = l2 , odkud (l − m)(l + m) = 4 024 = 1 · 4 024 = 2 · 2 012 = 4 · 1 006 = 8 · 503. Rozebereme nyní možné případy: 1. l − m = 1 a l + m = 4 024, odkud 2l = 4 025; levá strana poslední rovnosti je sudá, kdežto pravá strana lichá, takže tento případ nemá řešení; 2. l − m = 2 a l + m = 2 012, odkud 2l = 2 014, l = 1 007, m = 1 005, n = 1 012 037; skutečně je √ √ 1 012 037 − 2012 + 1 012 037 + 2012 = 2012; 3. l − m = 4 a l + m = 1 006, odkud 2l = 1 010, l = 505, m = 501, n = 253 013; skutečně je √ √ 253 013 − 2012 + 253 013 + 2012 = 1006; 4. l − m = 8 a l + m = 503, odkud 2l = 511; tento případ nemá řešení. Řešením úlohy jsou tedy dvě čísla n = 1 012 037, nebo n = 253 013. Úloha 26. Na vodorovné rovině leží tři sněhové koule, z nichž má být postaven sněhulák. Největší koule má poloměr r1 , prostřední r2 = kr1 a nejmenší r3 = kr2 . Koule jsou homogenní, hustota sněhu je u všech koulí stejná. Největší koule má hmotnost m1 . Určete a) minimální práci nutnou k postavení sněhuláka, b) výšku těžiště sněhuláka nad vodorovnou rovinou. Řešte nejprve obecně, pak pro hodnotu k = 0,75.

(Josef Jírů)

Řešení: a) Hmotnost prostřední koule je 4 4 m2 = · r23 = · (kr1 )3 . 3 3 Ročník 87 (2012), číslo 3

59

NAŠE SOUTĚŽ

Jelikož m1 = · 43 r13 , platí m2 = k3 m1 . Podobně hmotnost nejmenší koule je m3 = k3 m2 = k6 m1 . K postavení sněhuláka je nutné zvednout prostřední kouli o výšku 2r1 a nejmenší kouli o výšku 2r1 + 2r2 . Hledaná práce tedy je W = m2 g · 2r1 + m3 g · (2r1 + 2r2 ). Po dosazení a úpravě dostaneme W = k3 m1 g · 2r1 + k6 m1 g · (2r1 + 2kr1 ) = 2 k3 + k6 + k7 m1 gr1 . Pro číselné hodnoty je W = 1,47 m1 gr1 . b) Zvolme soustavu souřadnic tak, aby osa souměrnosti sněhuláka byla totožná se svislou osou y a počátek se nacházel v nejnižším bodě sněhuláka. Dále zvolme za osu otáčení vodorovnou přímku procházející počátkem. Podle momentové věty pak platí (m1 + m2 + m3 )gyT = m1 gr1 + m2 g(2r1 + r2 ) + m3 g(2r1 + 2r2 + r3 ), kde yT je svislá souřadnice těžiště sněhuláka. Po dosazení dostaneme m1 1 + k3 + k6 gyT = = m1 gr1 + k3 m1 gr1 (2 + k) + k6 m1 gr1 2 + 2k + k2 , z čehož

1 + 2k3 + k4 + 2k6 + 2k7 + k8 r1 . 1 + k3 + k6 Pro číselné hodnoty je yT = 1,80 r1 . yT =

Stav soutěže po 26 soutěžních úlohách Martin Bucháček (G Luďka Pika, Plzeň) – 26 bodů, Michal Řepík (PedF UK, Praha) – 12 bodů, Ondřej Kincl (G Oty Pavla, Praha 5 Radotín) – 7,5 bodu Ondřej Somič (SPŠ stavební, Opava) – 7 bodů, Jakub Löwit (G Českolipská, Praha 9) – 5 bodů Martina Chamrová (G Oty Pavla, Praha 5 Radotín) – 4,5 bodu Libor Drozdek (G Holešov) – 4 body 60


Historie vzniku Rozhledů matematicko-fyzikálních

Recommend Documents