Hidak és Profunktorok

Hidak és Profunktorok Pécsi Bertalan Doktori disszertáció 2012

Pécsi Bertalan: Hidak és Profunktorok Doktori disszertáció Javított verzió, 2013. ELTE TTK, Matematika Doktori Iskola Elméleti Matematika Program Témavezető: Sain Ildikó

ELTE TTK, Algebra és Számelmélet Tanszék, Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet. 2012.

Tartalomjegyzék Bevezető

2

0. Alapvetések

7

1. Bikategóriák

20

2. Profunktorok

32

3. Ekvivalenciahidak

39

4. Morita-összefüggések

42

5. Kettős kategóriák

46

6. Kolaza/laza adjunkciók

67

A. Függelék: Bénabou-féle bikategóriák

73

B. Függelék: Verity-féle kettős kategóriák

76

Tárgymutató

81

Hivatkozások

82

1

Bevezető Jelen értekezés tárgya a bikategóriák, kettős kategóriák és a köztük menő laza, kolaza funktorok egy alternatív, koherencia-ötszögtől és különbözeti celláktól mentes felépítése, és néhány további, ezekhez kapcsolódó struktúra vizsgálata. Az axiomatikus felépítésben Tom Leinster egyik irányvonalát követjük, továbbá profunktorokat és reflexiókat használunk. Nagy vonalakban leírva, a következő kategóriaelméleti struktúrákat fogjuk tanulmányozni: • Amikor két adott kategória (A és B) közt mehetnek (A-n és B-n kívüli) külső nyilak, úgynevezett heteromorfizmusok, amik komponálhatóak A és B nyilaival [persze csak ha a végpont és a kezdőpont stimmel]. Ilyen általánosságban ezt úgy hívjuk, hogy híd; az irányított (A Û B) esetet pedig hogy profunktor, avagy magyarul ág. (2.1. def.) Egy A Û B ág önmagában rejthet akár egy A Ñ B funktort [ha minden A-beli objektumnak van reflexiója B-ben], akár egy B Ñ A funktort [ha minden B-beli objektumnak van koreflexiója A-ban], s ha mindkettőt, akkor ez a két funktor adjungált egymáshoz. (2.4. def. és 2.7. tétel.) • Amikor egy kategória nyilai között is mehetnek morfizmusok (úgynevezett 2-cellák), amiket, ha a széleik passzolnak, „vízszintesen” és „függőlegesen” is össze lehet fűzni. Ha csak párhuzamos nyilak között mennek 2-cellák, akkor bikategóriáról beszélünk (1.1. def.), egyébként kettős kategóriáról (angolul „double category”, 5.3. def.) Sajnos számos fontos példában a nyilak eredeti kompozíciója nem asszociatív a szigorú értelemben véve, csak izomorfizmus 2-cella erejéig (ez a fajta gyenge asszociativitás megfigyelhető például a halmazok Descartes-szorzatánál: az pAˆBqˆC és AˆpBˆCq halmazok nem egyenlőek egymással, csak természetesen izomorfak). Ez a bikategória axiomatikus definíciójánál bonyodalmakat okoz, amire számos feloldás született már, jelen írásban mi Tom Leinster „unbiased” bikategória definíciójának ([Leinster]) egy változatát ismertetjük: a kétváltozós gyengén asszociatív kompozíció művelet helyett egy (szintén gyengén, azaz csak izomorfizmus erejéig) asszociatív műveletcsaládot veszünk alapul, lásd 1.1. def). Az A. függelékben ezt összevetjük az eredeti, Bénabou-féle definícióval. • Kettős ágak bikategóriák illetve kettős kategóriák közt (angolul „double profunctors", 5.6. és 5.1. def). Ezek teljesen analóg módon viselkednek, mint a hagyományos kategóriák közti ágak: segítségükkel jellemezhetjük a laza- és kolaza- funktorokat, sőt a kolaza/laza adjunkciókat is (angolul „lax” és ”colax functor”). (5.11, 5.13, 6.6. tételek.) • A kategóriák közti ágak mint vízszintes nyilak egy bikategóriát határoznak meg, amiben egy A é B híd a két „ága” (A Û B és B Û A) által éppen 2

egy híres diagram-féleséget határoz meg, amit úgy hívnak, hogy Moritakontextus avagy Morita-összefüggés, és bármely bikategóriában definiálható. A 0. fejezetben áttekintjük a szükséges kategóriaelméleti hátteret. Az 1. fejezetben, Tom Leinster „unbiased bicategory” definiciójának [Leinster] egy elemi interpretációját adjuk, valamint felvázolunk néhány bikategórián belül értelmezhető fogalmat (úgymint adjungált nyílpár vagy belső monoid, monoidhatás). A 2. fejezetben bevezetjük a 3.-ban és 4.-ben használt „híd” fogalmat, és ennek egyirányú változatát, az „ág”-at, valamint igazoljuk, hogy az ágak és a profunktorok egyértelműen meghatározzák egymást. Bevezetjük a kategóriák és ágak Prof bikategóriáját, majd a kategóriák és funktorok Cat bikategóriájának két kanonikus, Prof -ba való beágyazását taglaljuk. A 3. fejezetben a kategóriák ekvivalenciáját és Morita ekvivalenciáját jellemezzük bizonyos fajta hidakkal. A 4. fejezetben a gyűrűk köréből ismert ún. Morita-összefüggések és a hidak közös általonísátását vezetjük be, tetszőleges bikategóriában. Az 5. fejezetben a vízszintesen gyengén asszociatív kettős kategóriát definiáljuk, mint egy „függőleges struktúrával kibővített” bikategóriát, majd a 2. fejezetben írtak 2 dimenziós analógiájaként, reflexiókkal illetve koreflexiókkal adunk egy elegáns jellemzését a bi- és kettős kategóriák elméletében alapvető szerepet játszó kolaza illetve laza funktoroknak. A 6. fejezetben egy konkrét, mindkét irányban gyengén asszociatív kettős kategória közbenjárásával kiterjesztjük a két kanonikus Cat ãÑ Prof beágyazást kettős kategóriákra, majd ezt felhasználva egy tollvonással megmutatjuk, hogy a [Gran-Pare2]ban értelmezett kolaza/laza adjunkciók hogyan jellemezhetők kettős ágakkal, vö. [Fio-Gam-Kock]. Végül, az A. függelékben összevetjük a Bénabou-féle és az itt interpretált Leinsterféle bikategóriákat, valamint, a B. függelékben a felépített saját apparátussal definiáljuk az utolsó fejezethez a Verity-féle, mindkét irányban gyengén asszociatív kettős kategóriákat. ————–o————– Saját eredményeim: - A híd fogalma, mint szimmetrikus profunktor: 2.1. def., avagy mint Moritaösszefüggés a profunktorok körében: 3.2. - A kategóriák Morita-ekvivalenciájára vonatkozó 3.9. tétel elemi bizonyítása. - A 3.4. tétel, mely a kategóriaekvivalenciának egy híddal való jellemzése, és ami alapvető építőköve Mark Lawson félcsoportok Morita elméletéről szóló egyik cikkének: [Lawson]. 3

- A 2.9. következmény, miszerint minden adjungált funktorpár előáll egy koreflektív és egy reflektív adjunkció kompozíciójaként. ([Pecsi]-ben azt is igazoltam, hogy ez egy gyenge faktorizációs rendszert határoz meg.) - Egy adott bikategória Morita-összefüggéseinek bikategóriájának néhány tulajdonsága, például, hogy ugyanazok az objektumok lesznek ekvivalensek egymással, mint az eredeti bikategóriában (4.7. tétel és 4.8. és 4.9. következmények.) - A bikategóriák illetve kettős kategóriák közti laza- és kolaza funktoroknak (ko-)reflexiókkal való egyszerű jellemzése, kettős ágon belül, koherencia feltételek és különbözeti cellák nélkül: ezek a kettős ág struktúrába bele vannak kódolva. (5.11, 5.13. tételek.) Ezt a 6.6. tétel egy alternatív bizonyításához is használni fogjuk. - A [Gran-Pare2] cikk egyik központi kettős kategóriájának, ami a laza és kolaza funktorokat mint vízszintes és függőleges nyilakat tartalmazza, teljes beágyazása a kettős ágak bikategóriájába (ami a laza funktorokon kontravariáns, 6.5. tétel). - A [Verity]-ben értelmezett mindkét irányban gyengén asszociatív kettős kategória (‘double bicategory’) egy, [Morton]-étól eltérő kompakt definíciója: B.1. ————–o————– Terminológia és jelölés. Minthogy a bikategóriák, kettős kategóriák és profunktorok elmélete viszonylag fiatal a matematikán belül, a fogalmak – pláne magyarul! – még nem mind szilárdultak meg teljesen. Ha egy faág két rügypontnál vett transzverzális metszetét tekintjük, illetve az ezek közt futó rostokat, az olyasmi ábrázolatú, amilyennek egy általános profunktort mint irányított hidat szokott az ember a táblára vagy a jegyzetébe rajzolni (vagy akár egy páros gráfot). Ez ihlette az ‘ág’ elnevezést, melyet még azelőtt találtam ki, hogy megismertem volna az ugyanerre alkalmazott ‘profunktor’ kifejezést (ami mellett még a ‘(bi-)modulus’, és ‘disztribútor’ szavak is valamennyire elterjedtek). Precízen, a 2.1.-beli ‘ág’ egy profunktor kollázsának felelne meg, ld. pl. [Gran-Pare], ami azonban könnyen láthatóan meghatározza magát a profunktort, ld. még 2.3. tétel. Mindazonáltal, meghagyjuk az ágakra az egyik legelterjedtebb profunktor jelölésmódot, az áthúzott nyilat: F : A Û B, ugyanakkor magát F-et is kategóriának tekintjük, ami megkönnyíti a tárgyalásmódot. Egy közös halmazból induló függvénypárt (

u zuu

E II I$

„villa diagramot”, A B angolul ‘span’-t) páros gráfnak fogunk tekinteni, ilyenkor A-t és B-t diszjunktnak 4

ábrázoljuk, ez a két ‘ponthalmaz’ (ha van közös elemük, azt mindkét oldalon külön szerepeltetjük), E elemeit élekként fogjuk fel, és a két függvény minden élnek kijelöli a kezdő- és végpontját. Nyilak kompozícióját összefűzésnek is nevezzük. Gyakran írjuk azt valamiféle nyílról, hogy „X és Y közti”. Ezt úgy értjük, hogy ay adott nyíl kezdőpontja X és végpontja Y . Általánosabban is, a kijelölt irányok mindenütt az olvasás irányai: balról jobbra, illetve fentről lefele. Ezt szem előtt tartva legtöbbször megspóroljuk az ábrákban a 2-cellák, cellák, de néha még a nyilak irányításának a jelölését is. Megjegyzendő, hogy ezen lerögzíteett „haladási irányok” mellett az Ehresmann-féle kvintett-konstrukció (5.3.7. pl.) szükségszerűen megfordítja a két irány egyikét, nálunk a vízszinteset: / {   / Ez összhangban van azzal, hogy a 2.10. és a 6.5. tételekben szereplő beágyazások mindegyike kontravariáns, pontosan az egyik irányban. Kategóriákat A, B, C, F,. . . , funktorokat F, G, U, V ,. . . , bikategóriákat A, B, C,. . . , kettős kategóriákat , , , ,. . . , cellákat és 2-cellákat α, β, γ,. . . betűtípussal fogunk jelölni. A nyilakat általában vegyesen kis latin vagy görög betűkkel. Emellett, α P A azt fogja jelenteni, hogy α egy nyíl az A kategóriában, és β P B azt, hogy β egy 2-cella a B bikategóriában, legalábbis eleinte.

ABDF

A 2-cellákat (nyilak közötti nyilakat) absztraktan mindig dupla nyíllal jelöljük: α : f ùñ g, de konkrét példákban, például, ha a 2-cellák valamiféle funktorok vagy bimodulus-morfizmusok, akkor maradunk a szimpla nyílnál. Nyilak vízszintes kompozíciót egymás mellé írással, 2-cellák vízszintes kompozícióját a ˛ jellel jelöljük, és a b jelet meghagyjuk a gyűrűk közti (fölötti) bimodulusok tenzorszorzatára. Mivel – a függeléket nem számítva – végig ezekkel fogunk dolgozni, az egyszerűség kedvéért lehagyjuk a Leinster-féle „unbiased bicategory”, „unbiased lax functor” elnevezések „unbiased” előtagját, valamint a „pszeudo kettős kategóriá”-ból a „pszeudo” előtagot. A belső monoidokat (‘internal monoid’) gyakran ‘monádok’-nak hívják, ha bikategórián belül van, de monoidális kategórián belül (ami lényegében az egy objektumú bikategória) viszont inkább ‘(internal) monoid’-nak. Ami azért ellentmondásos kicsit, mert minden bikategóriabeli ‘monád’ egy objektumon van értelmezve, így ha arra az objektumra megszorítjuk a bikategóriát, egy monoidális kategóriát kapunk, amin belül a monád már ‘monoid’-nak nevezhető. Eredendően a Cat 2-kategóriábeli belső monoidokat hívják monádoknak. Az 5. fejezetben megjelennek a függőleges nyilak, ezekre az A Ó B jelölést 5

alkalmazzuk, ami tehát egyik esetben sem vesszőkategória (‘comma category’). [Gran-Pare]-val ellentétben nálunk, a bikategóriás jelöléseket és terminológiát követve, a vízszintes kompozíció a gyengén asszociatív, és a függőleges irány a szigorúan asszociatív. A vízszintes kompozíciót itt is ˛ jelöli, a függőleges kompozícióra viszont a ‘törtjelet’ vezetjük be, követve [Gran-Pare]-t, viszont ezt a jelölést a függőleges nyilakra is f kiterjesztjük: ha f : A Ó B és g : B Ó C, akkor összefűzöttjük az : A Ó C függőleges g nyíl lesz. A kolaza funktorokat helyenként ‘oplax functor’-nak is szokták nevezni, nálunk a ’ko’ prefix összhangban van azzal, hogy a függőleges ellentettet co jelöli. A [Verity]-ben és [Morton]-ban ‘double bicategory’-nak nevezett fogalom nálunk Verity-féle kettős kategória néven van definiálva (B.1). Noha a definíció valóban tartalmaz két bikategóriát, a fogalom mégis inkább a vízszintesen és függőlegesen is gyengén asszociatív kettős kategóriákat kívánja megfogni (‘doubly weak double category’). Amit az 1. és 5. fejezetekben α¨pϕ ˛ ψq¨β-val jelölünk, az a B. függelékben már az α " emeletes ϕ ˛ ψ írásmódba megy át, merthogy ez voltaképpen α „felülről” illetve β !

β „alulról” való hatása (a ϕ ˛ ψ vízszintes kompozíción). Ugyanakkor, megtartjuk a ¨ -t az itt felbukkanó bal és jobb oldali hatásokra. ————–o————– A mű elkészüléséért köszönetemet fejezem ki témavezetőmnek, Sain Ildikónak, továbbá Böhm Gabriellának, Márki Lászlónak, Szlachányi Kornélnak, valamint Gyenis Zalánnak, Horváth Ramónnak, Pintér Gergőnek.

6

0. Alapvetések Az alábbiakban egy rövid halmazelméleti megalapozás után tömören összefoglaljuk a későbbi fejezetekhez szükséges hátteret. E fejezetben felsorolt fogalmak, állítások mindegyike megtalálható a legtöbb kategóriaelméleti bevezető könyvben (pl. [MacLane], [Freyd-Sced], [JoyCat]), helyenként némi – ekvivalens – átfogalmazással. A matematika szinte minden területe valamiféle „struktúrákról” szól: ezek rendszerint egy vagy több alaphalmazra épülnek, amin vagy amiken az adott struktúrafajtákra jellemző operációk és/vagy relációk vannak értelmezve. Például a monoidok, a gráfok vagy a kategóriák (ld. 0.4, 0.1. def.) mind struktúrafajták. A kategóriaelmélet, mint nyelv, általánosságban képes beszélni a struktúrákról, a „struktúratartó” függvények (ún. „morfizmusok”) segítségével. ————–o————– Használni fogjuk a @x: Dx: D!x : P _ Q: P ^ Q: P ñ Q: P ðñ Q: x P y: x Ď y: xa1 , a2 , . . . , an y:

hagyományos halmazelméleti és logikai jeleket: ‘minden x-re’ (pl. „@x P X : P ” olvasata: „minden X-beli x-re teljesül P ”), ‘létezik olyan x, hogy’, ‘pontosan egy x létezik, amire’, ‘P vagy Q’ (ahol P , Q kijelentések) ‘P és Q’ ‘P -ből következik Q’, ‘P és Q ekvivalensek’, azaz pP ñ Qq ^ pQ ñ P q, ‘x eleme y-nak’, ‘x részhalmaza y-nak’, rendezett elem n-es.

Ahogy az a halmazelméleti felépítésekben szokás, egy rendezett párokból álló f halmazt függvénynek vagy leképezésnek nevezünk az A és B halmazok közt (jelben f : A Ñ B), ha @a P A D!b P B : xa, by P f és @x, y : pxx, yy P f ñ x P Aq. Egy adott A halmazhoz tartozó txa, ay | a P Au identitás függvényt idA jelöli. Ha f : A Ñ B és g : B Ñ C függvények, a kompozíciójukat balról jobbra írjuk, és egymás mellé írással vagy ¨ -tal jelöljük, így: f ¨g :“ txa, cy | Db P B : pxa, by P f ^ xb, cy P gqu. Ha egy adott a P A elemhez b az egyetlen elem, amire xa, by P f , akkor azt mondjuk, hogy f az a-hoz b-t rendeli hozzá (jelben a ÞÑ b), ugyanekkor b-t az a elem f függvénynél vett képének is nevezzük, és f -et az a jobb felső indexébe helyezve

7

jelöljük, így: af , összhangban a kompozíció balról jobbra menő írásmódjával. Tehát, def b “ af ðñ xa, by P f, és így af ¨g “ paf qg . Egy f : A Ñ B függvény értékkészlete a tb P B | Da P A : af “ bu halmaz (Ď B), és ha ez megegyezik B-vel (azaz ha @b P B Da P A : af “ b), akkor azt mondjuk rá, hogy szürjektív. ` ˘ Továbbá, f -et injektívnek nevezzük, ha @a, a1 P A : af “ a1 f ñ a “ a1 . Ha mindkettő teljesül, akkor f bijektív. Legyen X Ď A és f : A Ñ B egy függvény, ennek az X-re vett megszorítását jelölje F æX , ez tehát egy X Ñ B függvény lesz: az X Ñ A identikus beágyazás (X Q x ÞÑ x P A) és f kompozíciója. Egy I indexhalmazzal indexelt xxi yiPI sorozat alatt azt az f : I Ñ X függvényt értjük, amire if “ xi minden i P I-re. Speciálisan, egy rendezett elem n-es az egy, az t1, 2, 3, . . . , nu halmazon értelmezett függvényként interpretálható. ————–o————– A konstrukciókban használni fogjuk a kiválasztási axiómát (amikor majd egy adott gráf bizonyos pontjaihoz lerögzítünk valahogy bizonyos éleket, pl. 2.7. tétel vagy 5.10. állítás). Valamint gyakran előfordul majd egy halmaz (vagy struktúra) több, egymástól diszjunkt, izomorf példányba való lemásolása. A későbbi példákban elvétve előfordulnak olyan közismertebb struktúrafajták, kifejezések, melyeket itt nem vezetünk be. Ezek a következők: - a 0.4. részben ismertetett monoidok és biaktok additív megfelelői: az (egységelemes) gyűrűk, és a gyűrűk közti bimodulusok; - Abel-csoportok, biaktok, valamint bimodulusok tenzorszorzata; - csoportok, azok kommutátor részcsoportjaik; - testek fölötti vektorterek, illetve csoportok lineáris reprezentációi; - ekvivalenciarelációk és velük való lefaktorizálás; - metrikus terek; - Boole-algebrák és relációalgebrák. Ezeknek a fogalmaknak a nagy része a legtöbb egyetemi jegyzetben szerepel, és mindegyik megtalálható a következő könyvek valamelyikében: [Kiss-Freud], [Simon], [Hirsh-Hod].

8

————–o————– Az értekezésben sok helyen említünk olyan példát, amik a szó legtágabb értelmében a (Zermelo-Fraenkel féle, röviden ZFC) halmazelméletben nem állják meg a helyüket, például alább a 0.1. részben a halmazok kategóriájában (Set -ben) az objektumok összessége intuitíve az összes halmaz lenne, ami azonban nem alkot halmazt ZFCben! Az efféle problémák feloldhatók úgy, hogy a ZFC axiómarendszerhez az alábbiak szerint hozzáveszünk még egy axiómát,1 és a példákat megszorítjuk egy, az új axióma szerint létező ún. „Grothendieck univerzum” halmazaira. Definíció. Egy U halmazt Grothendieck univerzumnak nevezzük, és elemeit kis halmazoknak hívjuk, ha 1. Kis halmazok elemei is kis halmazok: @x, y : x P y P U ñ x P U , 2. Egy vagy két kis halmaz halmaza kis halmaz: @x, y : x, y P U ñ tx, yu P U , 3. Kis halmaz hatványhalmaza kis halmaz: @x : x P U ñ ty | y Ď xu P U , 4. Kis halmaznyi sok kis halmaz uniója is¸kis halmaz: ˜ ď ` ˘ @I P U : @i P I : xi P U ñ xi P U . iPI

Ezek a feltételek többek között biztosítják, hogy ha x, y P U , akkor az összes x-ből y-ba menő függvényt tartalmazó halmaz is kicsi. Ez elegendő ahhoz, hogy a kis alaphalmazokon értelmezett struktúrák és a köztük menő „struktúratartó” leképezések lokálisan kis kategóriát alkossanak a 0.1.-ben adott definíció értelmében. A ZFC-hez hozzáveendő axióma ekkor így szól: ‚ Minden X halmazhoz van olyan U Grothendieck univerzum, amire X P U . Ettől a kibővített axiómarendszer ekvikonzisztens marad a ZFC-vel, azaz ugyanannyira ellentmondásmentes. (Lásd pl. [Sonner], [Fef-Krei]). Most két példán keresztül bemutatjuk, hogy halmazelméletileg milyen limitálásokkal értelmezendőek a később bevezetésre kerülő kategóriák, bikategóriák, kettős kategóriák. 1 Szokás még például a Gödel-Bernays-féle halmazelmélet keretrendszerében dolgozni (ld. pl. [Bernays]), amelyben tárgynyelvi szinten beszélhetünk valódi osztályokról és halmazokról: ebben a megközelítésben egy H összességre vonatkozó ’kis’ jelző úgy olvasandó, hogy H halmaz. Egy harmadik feloldási mód, hogy olyan halmazelméletbe helyezzük a témakört, amelyben megengedettek az efféle totális konstrukciók, mint pl. minden halmaz halmazát tekinteni. Ilyen halmazelmélet létezik, ld. pl. Quine ’New Foundation’ rendszere, [Holmes].

9

Először is, rögzítsünk le egy U Grothendieck univerzumot, ami tartalmaz végtelen halmazt, elemeire továbbra is kis halmazokként hivatkozunk. Tekintsük a fentebb említett és a 0.1. utáni 2. példában bevezetett Set kategóriát, továbbá a 1.1.7. példában bevezetett Span bikategóriát: mindkettőnél azt írjuk, hogy „az objektumai a halmazok”, de ezt igazából (e (kibővített ZFC) + rögzített U rendszeren belül) úgy értjük, hogy Set -nek és Span-nek is az objektumai a kis halmazok. Vagyis, ObSet “ U és ObSpan “ U . Span nyilai a kis páros gráfok, azaz olyan A Ð E Ñ B függvénypárok, ahol A, E, B P U . A definíció utáni megjegyzés következtében ekkor maga a két, kezdőés végpontot kijelölő függvény is U -ban van.

0.1. Kategóriák Egy irányított gráf alatt pontok és élek összességét értjük, ahol minden élnek meg van adva a kezdő- és végpontja. Formálisan tehát ez egy xP, E, k, vy négyes, ahol P és E halmazok, P elemeit „pontoknak”, E elemeit „éleknek” mondjuk, és k és v mindketten E Ñ P függvények: k

E v

*

4P .

Az α P E élhez hozzárendelt αk pontot α „kezdőpontjaként”, illetve az αv pontot α „végpontjaként” említjük. Azt a tényt, hogy egy α élre αk “ A és αv “ B, α leggyakrabban ezzel a jelöléssel szoktuk kifejezni: α : A Ñ B vagy A Ñ B, illetve egyéb nyílrajzulattal, attól függően, hogy a szóban forgó gráfban éppen hogy jelöljük az éleket. (Tehát az α : A Ñ B jelölés nem feltétlenül bármiféle halmazok közti függvényt takar.) Megengedjük, sőt használjuk a hurokéleket (α : A Ñ A) és párhuzamos éleket is (α, β : A Ñ B esetén α “ β nem feltétlenül teljesül). Két él, α és β, ilyen sorrendben egymást követő, ha α végpontja megegyezik β kezdőpontjával, azaz αv “ β k . Éleknek egy xα1 , α2 , . . . , αn y sorozatát n hosszú A-ból B-be menő (A B) útnak hívjuk, ha ezek ilyen sorrendben egymást követőek, valamint α1 kezdőpontja A és αn végpontja B. Egy A pontot 0 hosszú (A A) útnak is tekintünk. Hasonlóan, egy A és egy B halmaz közti (irányított, egyirányú) páros gráf alatt formálisan egy xA, B, E, k, vy ötöst értünk, ahol E az „élek” halmaza, és k : E Ñ A, v : E Ñ B függvények. Mivel az A és B „ponthalmazok” kitüntetett szerepűek, sokszor diszjunktként tekintünk rájuk2 – innen a név –, noha ezt explicite nem 2 Precízen,

vehetünk mondjuk A helyett t0u ˆ A-t és B helyett t1u ˆ B-t, ezek már biztos

diszjunktak.

10

követeljük meg. (Sőt, figyeljük meg, hogy pl. az A “ B szerepválasztás visszaadja az irányított gráf definícióját.) k u E IIv I$ , Egy ilyen páros gráfot az ún. „villa” diagrammal ábrázolunk: zuu A B vagy olykor röviden csak így jelöljük: E : A ´ B. A rá való hivatkozásnál néhol azonosítjuk a páros gráfot E-vel. 0.1. Definíció. Kategóriának nevezünk egy xG, ¨y párt, ha G egy irányított gráf, és ¨ az egymást követő élpárjain adott „lokálisan egységelemes” asszociatív művelet, amit kompozíciónak (avagy „összefűzésnek”, helyenként „szorzásnak”) nevezünk. Ez a művelet tehát minden xα, βy 2 hosszú A C úthoz (azaz, egymást követő élpárhoz) egy α¨β-val jelölt A Ñ C élt rendel úgy, hogy pα¨βq¨γ “ α¨pβ¨γq, minden xα, β, γy 3 hosszú útra, valamint a gráf minden A pontján van egy (1A -val jelölt) A Ñ A lokális egységelem, amire minden A-ba érkező α-ra α¨1A “ α, és minden A-ból induló β-ra 1A ¨β “ β teljesül. Ha minden A, B pontpárra az A-ból B-be menő nyilak halmaza kicsi, a kategóriát lokálisan kis kategóriának nevezzük. Ez a feltétel a legtöbb példánkban teljesülni fog, igazi jelentősége pedig a hamarosan bevezetésre kerülő hom-funktor értelmezésénél lesz. A pontokat objektumoknak, az éleket nyilaknak vagy (homo-)morfizmusoknak is nevezzük. Az 1A egységnyilat úgy is hívjuk, hogy A identitása. Egy A kategória objektumainak összességét ObA jelöli, a nyilak összességét meg maga A. Ha ez kis halmaz, A-ról azt mondjuk, hogy kis kategória. Az A Ñ B nyilak halmazát hom-halmaznak hívjuk és ApA p Bq-vel jelöljük, esetleg csak pA p Bq-vel, ha a szóban forgó kategória világosan kiderül a szövegből. A kompozíciót alapjában véve minden kategóriában balról jobbra értjük, összhangban a fentebb bevezetett függvénykompozícióval. (Illetve a későbbiekben helyenként felülről lefele is.) Ha egy kategória két egymást követő élpárjára α¨β “ γ¨δ, akkor azt mondjuk, α/ γ hogy az  /  β négyzet kommutál. Ezt rajzban a # szimbólummal jelöljük, így: δ

γ



α

/

#

/

δ

β

Példák. 1. Bármely halmazra tekinthetünk mint „ponthalmaz”, és elláthatjuk „formális” identitásnyilakkal, így egy ún. diszkrét kategóriához jutunk (amiben minden nyíl 11

identitásnyíl). Precízen, ha adott az A halmaz, tekintsük az xA, A, idA , idA y gráfot, ebben az „élek” (akárcsak a pontok) A elemei, az a P A „élnek” a kezdőpontja és a végpontja is az a „pont”, tehát az egymást követő élpárok csak az xa, ay párok lehetnek, a kategóriában a kompozíció pedig xa, ay ÞÑ a. 2. A halmazok kategóriáját jelölje Set : ennek az objektumai a (kis) halmazok, a nyilai a függvények, az összefűzés a függvénykompozíció. Mivel a fenti értelmezés szerint, ha f : A Ñ B egy függvény és B Ď C, akkor ugyanúgy f : A Ñ C is írható. Hogy a végpont leképezés mégis egyértelmű legyen, formálisan a függvények helyett az xA, f, By hármasokat szokás Set morfizmusainak tekinteni, ahol f : A Ñ B függvény, és A, B kis halmazok. Hasonlóan értelmezendőek a további példák is. 3. A csoportok kategóriájában az objektumok a (kis halmazokon értelmezett) csoportok, a nyilak a homomorfizmusok, az összefűzés függvénykompozíció. 4. Analóg módon értelmezhető bármely algebrai struktúrafajták kategóriája, pl. az Abel-csoportok, az egységelemes gyűrűk, vagy a monoidok kategóriája. 5. Az irányított gráfok kategóriájában az objektumok az irányított gráfok, és a nyilak az úgynevezett gráfmorfizmusok: olyan függvények, amik ponthoz pontot, élhez élt rendelnek, és megtartják a kezdő- és végpontokat. Precízen, ha G “ xP, E, k, vy és G1 “ xP1 , E1 , k1 , v1 y irányított gráfok, akkor egy f : G Ñ G1 alatt egy f “ xfP , fE y függvénypárt értünk, ahol fP : P Ñ P1 és fE : E Ñ E1 , valamint E

k

/P

 E1

#

 / P1

fE

k1

fP

és

/P

E

v

 E1

 fP . / P1 v1

fE

#

6. Hasonlóan, egy E : A ´ B páros gráfból egy E1 : A1 ´ B1 -be menő (páros gráf)-morfizmus alatt egy xfA , fE , fB y függvényhármast értünk, amelyre E pp NNNNN & xppp fE A B #  # . fA fB E1 LL LL&   xrrrr A1 B1 Ñ

7. Egy A kategória nyílkategóriája az az A , aminek pontjai az A nyilai és nyilai az A kommutatív négyzetei, tehát, f

/

#

/

Ñ

A pf p gq :“ txα, βy | f ¨β “ α¨g, azaz

12

α



g

β

u.

————–o————– Funktor alatt két kategória közt egy olyan gráfmorfizmust értünk, ami identitáshoz identitást rendel, és megtartja az összefűzést, vagyis, F egy funktor A-ból B-be (jelben F : A Ñ B), - ha α P A, α : A Ñ A1 esetén αF : AF Ñ A1 F , - ha α, β P A egymást követőek, akkor pα¨βqF “ αF ¨β F , - minden A P ObA-ra 1A F “ 1AF . A kategóriák és funktorok maguk is kategóriát alkotnak, jelöljük ezt Cat -tal: ennek az objektumai a kis kategóriák, a nyilai a köztük menő funktorok, és az összefűzés a függvénykompozíció. Azt mondjuk, hogy B teljes részkategóriája A-nak, ha „feszített részgráf”, azaz B Ď A és minden B, B1 P ObB és α : B Ñ B1 P A esetén α P B. Általánosabban, ha egy B Ď A nyílhalmaz zárt az összefűzésre, és minden β P B, β : X Ñ Y esetén 1X és 1Y benne van B-ben, akkor (ObB :“ tX P ObA | 1X P Bu objektumhalmazzal együtt) A-nak egy részkategóriáját alkotja. Az F : B Ñ A funktor [teljes] beágyazás, ha F injektív (a pontokon és a nyilakon is), és értékkészlete [teljes] részkategória A-ban. Egy kategória ϕ : A Ñ B nyila balinvertálható, ha van olyan ψ : B Ñ A, hogy ψ¨ϕ “ 1B . Duálisan értelmezzük a jobbinvertálható nyilat. Egy kategória két objektuma, A és B izomorf (jelben A – B), ha van köztük egy mindkét oldalról invertálható ϕ : A Ñ B nyíl. Könnyen adódik, hogy ekkor ϕ bármely balinverze megegyezik bármely jobbinverzével, tehát egyetlen egy, mindkét oldali inverze van, amit ϕ -1 jelöl. Az invertálható nyilakat izomorfizmusoknak is hívjuk. Az izomorf objektumokat kategóriaelméletileg (azaz „a nyilak nyelvén”) nemigen tudjuk megkülönböztetni egymástól: ha A – A1 , akkor az A-ból induló [ill. Aba érkező] nyilak egy az egyben megfelelnek az A1 -ből induló [ill. oda érkező] nyilaknak. Legyenek A1 , .., An egy adott A kategória objektumai. Ezek direkt szorzata alatt egy olyan P P ObA objektumot értünk, amihez adva vannak pi : P Ñ Ai úgynevezett ‘projekció’-nyilak (i “ 1, .., n), hogy akárhogy is veszünk egy közös X P ObA objektumból induló pfi qi nyílcsaládot (fi : X Ñ Ai ), az egyértelműen átvezethető a ppi qi nyílcsaládon, úgy értve, hogy D!s : X Ñ P : @i : pfi “ s¨pi q Ez, izomorfizmus erejéig egyértelműen definiálja P -t, már ha létezik, és ekkor ezt ‘a’ P -t A1 ˆ A2 ˆ . . . ˆ An -nel jelölik. Ha n “ 0-val elismételjük a fentieket, a végobjektum fogalmához jutunk: P végobjektuma az A kategóriának, ha minden X objektumból pontosan egy nyíl megy P -be: D!s : X Ñ P . 13

Egy ilyen n tényezős direkt szorzatot szinte minden konkrét példában a megfelelő elem n-esekből álló struktúra jeleníti meg, a végobjektumot ugyanakkor az egyelemű struktúra. Nincs ez másként a kategóriák kategóriájában, Cat -ben sem: Ha A1 , .., An P ObCat , akkor az A1 ˆ . . . ˆ An direkt szorzat pontjai legyenek az xA1 , . . . , An y pontsorozatok, az ilyenek közti nyilak a (koordinátánként köztük menő) xα1 , . . . , αn y nyílsorozatok (αi P Ai ), ezzel összhangban xα1 , . . . , αn yk :“ xα1k , . . . , αnk y,

xα1 , . . . , αn yv :“ xα1v , . . . , αnv y,

és az összefűzés is koordinátánként értelmezett. Az üres direkt szorzat pedig legyen az egy objektumú diszkrét kategória (Cat végobjektuma). A direkt szorzatot ugyanígy fogjuk használni esetlegesen nem kis kategóriákra is. Ha egy A kategória nyilait és vele együtt az összefűzést is megfordítjuk, akkor az A ellentett kategóriáról beszélünk, ennek tehát a ˝ kompozícióját a g ˝ f :“ f ¨ g határozza meg, és a ‘végpont’ és ‘kezdőpont’ A Ñ ObA függvények értelemszerűen felcserélődnek. op

Minden lokálisan kicsi A kategória meghatároz egy Aop ˆ A Ñ Set funktort, a hom-funktort, amely az xA, By objektumpárhoz az ApA p Bq hom-halmazt rendeli (ami kis halmaz, így valóban Set objektuma), és az xα, βy nyílpárhoz az f ÞÑ α¨f¨β függvényt. Az ellentett-kategória révén jön egy kézenfekvő dualitás a kategóriaelméletben: Ha valamely fogalmat a nyilak (-ból kirakott diagramok) nyelvén meg tudunk fogalmazni, annak rögvest ott van a duális fogalma, amit néhány kivételtől eltekintve mindig a fogalom neve elé helyezett ko- előtag jelez. A direkt szorzat duálisa (koszorzat avagy koproduktum) a kategóriák körében éppúgy mint a halmazok vagy gráfok körében, a diszjunkt unió: fogjuk a szóban forgó kategóriák egy-egy egymástól diszjunkt izomorf példányát, és ezek unióját vesszük, jelben A \ B. Ñ

Legyen adott egy A kategória, és képezzük ennek az A nyílkategóriáját. Jön Ñ dom / / A : az egyik (dom) a baloldal funktor, két egyszerű, de fontos funktor A cod

Ñ

a másik (cod) a jobboldal funktor, melyek egy A Ñ B nyílhoz mint A -beli objektumhoz A-t illetve B-t rendelik, egy kommutatív négyzethez pedig annak a bal illetve jobb oldalát. Azt mondjuk, hogy ϕ : F ùñ G természetes transzforÑ máció az F, G : A Ñ B funktorok közt, ha ϕ voltaképpen egy A Ñ B funktor (A pontjaihoz B-beli nyilakat rendel) úgy, hogy ϕ¨dom “ F és ϕ¨cod “ G. Ekkor tehát Aϕ : AF Ñ AG minden A P ObA-ra, és ezen Aϕ nyilak összessége, ha meg

14

van adva F és G, már meghatározza ϕ-t. A ϕ : F ùñ G és ψ : G ùñ H természetes transzformációk (függőleges) kompozíciója alatt az A ÞÑ Aϕ ¨Aψ természetes transzformációt értjük. Ñ

Egy ϕ : A Ñ B természetes transzformációt természetes izomorfizmusnak nevezünk, ha minden A P ObA objektumhoz a hozzárendelt Aϕ nyíl egy B-beli izomorfizmus.

0.2. Reflexiók 0.2. Definíció. Legyen B teljes részkategóriája A-nak, és legyen A P ObA. Ekkor egy f : A Ñ B nyílról azt mondjuk, hogy A reflexiónyila B-be, ha B P ObB és minden B-be menő g : A Ñ B1 nyíl egyértelműen átvezethető f -en, azaz D!h P B : g “ f ¨h. /B AA AA AA A D! h @g AA  B1 f

Ugyanekkor a B-beli B pontot illetve a h nyilat az A illetve a g (f általi) vetületének hívjuk. Ugyanezt a jelenséget úgy is szokták fogalmazni, hogy f univerzális tulajdonságú az A-ból induló B-be érkező nyilak között. Azt mondjuk, hogy B reflektív részkategória A-ban, ha A minden objektumának van vetülete B-ben. A duális fogalmak a ko-vetület avagy koreflexió, illetve a koreflektív részkategória. Tehát A ko-vetülete a B a B teljes részkategóriában, ha van olyan f : B Ñ A (koreflexió-) nyíl, amire @g : B1 Ñ A D!h P B : g “ h¨f . Központi jelentőségű lesz a következő ismert tény: egy objektum vetülete izomorfizmus erejéig egyértelmű. 0.3. Állítás. Legyen B Ď A teljes részkategória. Ekkor a következők érvényesek: a) Amennyiben B és B1 is vetülete A-nak B-ben, úgy B – B1 . b) Legyen f : A Ñ B egy reflexiónyila A-nak B-be. Ekkor egy f1 : A Ñ B1 nyíl (ahol B1 P ObB) pontosan akkor lesz szintén reflexiója A-nak, ha van egy t : B Ñ B1 izomorfizmus, amire f¨t “ f1 . Az ilyen t ekkor mindig egyértelműen meghatározott. c) Tegyük fel, hogy A – B, B P ObB. Ekkor B az A vetülete B-ben. Bizonyítás. Az a) és c) állítás mindkettő közvetlen folyománya b)-nek, így elegendő azt megmutatni. Tegyük fel először, hogy adott egy A-ból induló másik reflexiónyíl, f1 : A Ñ B1 . Mivel f reflexiónyíl és B1 P ObB, van egyetlen t P B az f1 -hez, hogy f¨t “ f1 , és f hez is csak egy ilyen van, méghozzá az 1B . Hasonlóan, minthogy f1 is reflexiónyíl, D!t1 P B : f1 ¨t1 “ f , de akkor f ¨t¨t1 “ f1 ¨t1 “ f “ f ¨1B miatt t¨t1 “ 1B . Ugyanígy 15

t1 ¨t “ 1B1 . Tehát t1 “ t -1 . Ha meg f1 “ f ¨t egy t : B Ñ B1 izomorfizmusra, akkor tetszőleges g : A-ból B-be menő nyílhoz D!h : g “ f¨h, így ez f1 -en is egyértelműen vezethető át: g “ f1¨t -1¨h. Példák. 0.2.1. Tekintsük a csoportok (és homomorfizmusaik) kategóriájának az Abel csoportok Ab teljes részkategóriáját. Ekkor egy G csoport vetülete Ab -ban a G {rG, Gs kommutátor szerinti faktorcsoportja (illetve minden ezzel izomorf csoport), a reflexiónyíl pedig a kanonikus G Ñ G {rG, Gs leképezés. 0.2.2. Legyen adva egy A kategória két ugyanoda menő nyila: f : B Ñ D és g : C Ñ D, tekintsük ezekhez az A kategóriának egy fiktív, mondjuk ˚-gal ?B ?f  ? jelölt objektumával vett Pf,g bővítését, amelyben az A Ñ ˚ nyilak az A ?? ?D  g C kommutatív négyzetek, és ˚-ból az identitáson kívül nem indul nyíl. Az összefűzés értelemszerű. Ebben a Pf,g kategóriában a ˚ pont A-ban vett ko-vetületét úgy hívják, hogy pullback: ezen tehát minden f, g jobbalsó szélű kommutatív négyzet egyértelműen átvezethető. Set -ben egy f : B Ñ D és g : C Ñ D nyílpár pullback-je reprezentálható a txb, cy P B ˆ C | bf “ cg u halmazzal. A pullback duálisát, az egy pontból induló f, g nyílpár pushout-ját jelen tézisben nem használjuk. 0.2.3. Hasonlóan, bármely diagram limeszét lehet így koreflexióval, kolimeszét pedig reflexióval jellemezni (ld.pl. [JoyCat], 13.27). Amit még használni fogunk, f

az egy adott A kategóriabeli párhuzamos X

g

// Y

nyílpár koegyenlítője:

ehhez az A-t bővítsük megint egy ˚ objektummal, amiből indulva a ˚ Ñ A nyilak legyenek azon t : Y Ñ A A-beli nyilak, amelyekre f ¨t “ g¨t, és vegyük a bővített kategóriában a ˚ pont A-beli reflexióját (már ha létezik). Ezt Set -ben reprezentálja az a halmaz, amit úgy kapunk, hogy az Y -beli xf és xg elemeket azonosítjuk egymással (minden x P X esetére): f

X

g

// Y

/ Y {„

ahol tehát „ az a legszűkebb ekvivalenciareláció, amire @x : xf „ xg . A fenti pullback tehát ‘megkérdezi B-t és C-t’, hogy az f és a g hol egyenlő, a koegyenlítő pedig ‘felszólítja Y -t’, hogy f és g legyenek egyenlőek.

0.3. Idempotensek Egy e : A Ñ A nyilat idempotensnek hívunk, ha e¨e “ e. 16

Figyeljük meg, hogy ha valamely x f , g y nyílpár kompozíciója egyik irányból az AÑBÑA

identitás (azaz f ¨ g “ 1A ), akkor a másik irányból, g ¨ f idempotens [ugyanis: g ¨ f ¨ g ¨ f “ g ¨ 1A ¨ f “ g ¨ f ]. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy a g¨f : B Ñ B idempotens felhasad (az A objektumon keresztül, g-re és f -re). Az A kategória idempotensen teljes (avagy, Cauchy-teljes 3 ), ha minden idempotens nyila felhasad. Minden kategória kibővíthető egy idempotensen teljes kategóriává, erre a 3. fejezetben szükségünk lesz. 0.4. Definíció. Egy adott A kategória idempotens bővítése alatt azt az Aid kategóriát értjük, aminek objektumai az A idempotens nyilai, és amiben e, f P ObAid közt akkor megy az eredeti α P A nyíl, ha e, α, f összefűzhetőek és e és f bal- ill. jobbegységként viselkedik α-ra nézve: e¨α¨f “ α. Hogy a nyilak eleje és vége Aid -ben meghatározott legyen, precízen ezen xe, α, f y nyílhármasokat szokás venni: Aid :“ txe, α, f y | e¨α¨f “ αu. Az összefűzés marad az eredeti: xe, α, f y¨xf, β, gy :“ xe, α¨β, gy, az egységnyilak (identitások) az xe, e, ey hármasok lesznek. Az A ÞÑ 1A (és nyilakon

α

AÑB

ÞÑ x1A , α, 1B y) megfeleltetés A-nak egy teljes

beágyazása Aid -be, s minthogy az összefűzést A-tól örökli, Aid -ben ugyanazok a nyilak lesznek idempotensek, és ezek Aid -ben immár mind felhasadnak: ha e : A Ñ A idempotens, akkor x1A , e, 1A y “ x1A , e, ey ¨ xe, e, 1A y. Aid tehát idempotensen teljes. 0.5. Állítás. Egy A kategória e : B Ñ B idempotense pontosan akkor hasad fel az A objektumon keresztül, ha Aid -ben 1A – e. Bizonyítás. Mindkét állítás olyan A-beli x f , g y nyílpár létezéséről szól, melyre AÑBÑA

g ¨f “ e és f ¨g “ 1A (ez már maga után vonja azt is, hogy x1A , f, ey P Aid és xe, g, 1A y P Aid , mármint hogy 1A ¨f ¨e “ f és e¨g¨1A “ g). ————–o————–

0.4. Monoidok Monoidnak, avagy egységelemes félcsoportnak nevezünk egy asszociatív művelettel ellátott halmazt, amelyre nézve a halmazban van egy egyszersmind bal és jobb oldali egységelem. A műveletet egyszerűen egymás mellé írással jelöljük, az egységelemet “ ‰ metrikus terek háromszögegyenlőtlensége dpa, bq ` dpb, cq ě dpa, cq és a kategóriák “ ‰ összefűzés művelete pA p Bq ˆ pB p Cq Ñ pA p Cq közti analógia explicitté tehető – lásd [Lawvere] –, és e tekintetben a kategóriák idempotens teljességének a metrikus terek Cauchy-teljessége felel meg, amikor is minden Cauchy-sorozat konvergens. 3A

17

1-gyel. Tehát minden x, y, z elemére xpyzq “ pxyqz és 1x “ x “ x1 teljesülnek. Legyenek A és B monoidok. Egy f : A Ñ B függvény homomorfizmus köztük, ha az A-beli egységelemet a B egységelemébe viszi, és minden a, a1 P A elemekre paa1 qf “ af a1 f . Természetesen a monoidok és homomorfizmusaik is kategóriát alkotnak, a monoidok kategóriáját. Az A és B monoidok közti két oldali hatás vagy idegen szóval biakt, az egy M halmaz, ellátva egy A ˆ M Ñ M és egy M ˆ B Ñ M függvénnyel (amiket szintén egymás mellé írással jelölünk), úgy, hogy 1m “ m, m1 “ m, pamqb “ apmbq, a1 pamq “ pa1 aqm és pmbqb1 “ mpbb1 q teljesül minden a, a1 P A, m P M , b, b1 P B elemekre. Egy A és B monoidok közti biaktot röviden így jelölünk: M : A ´ B. Ha M : A ´ B és N : C ´ D monoidok közti biaktok, f : A Ñ C és g : B Ñ D monoidhomomorfizmusok, akkor egy h : M Ñ N leképezést f, g menti biakthomomorfizmusnak nevezünk, amennyiben minden a P A, m P M, b P B elemekre pambqh “ af mh bg . Gyakran használt speciális esetben A “ C, B “ D és f és g is identitás. Ezeket a konfigurációkat később így is ábrázoljuk: A

M

 C

h

f

N

B g

 D

M

illetve

A

h

)

5B

N

Példák. 1. Minden A monoid tekinthető A ´ A biaktnak: a bal és jobb oldali hatást is az eredeti monoidműveletként értelmezve. 2. Bármely, egységelemes gyűrűk közti bimodulus magában foglal egy biaktot, amit úgy kapunk, hogy az additív struktúrákat egyszerűen figyelmen kívül hagyjuk. 3. Hasonlóan, egy G csoport K test feletti lineáris reprezentációja egy V vektortéren (jobboldali hatással) meghatároz egy K ¨ ´ G biaktot: a vektortér struktúrából adódóan K multiplikatív monoidja balról hat V -n, míg G a reprezentáció szerint jobbról. A két hatás felcserélhetősége (a fenti ’pamqb “ apmbq’ kitétel) abból következik, hogy G minden eleme V -nek egy lineáris transzformációját határozza meg a reprezentációban. Legyenek A, B, C monoidok, M egy A-B-biakt, és N egy B-C-biakt. Értelmezzük ekkor az M ˆ N tenzorszorzatot az alábbi módon: B

M ˆ N :“ M ˆ N {„ B

18

ahol is „ az a legszűkebb ekvivalenciareláció, amelyre xmb, ny „ xm, bny teljesül bármely m P M, n P N, b P B esetén. Az ilyen helyzetekben a faktorhalmaz elemeit továbbra is xm, ny párokkal jelöljük. Ugyanezt megfogalmazhatjuk az alábbi két M ˆ B ˆ N Ñ M ˆ N függvény koegyenlítőjeként is: xm, b, ny ÞÑ xmb, ny és xm, b, ny ÞÑ xm, bny. Az M ˆ N tenzorszorzat örökli az A monoid M -en való baloldali hatását, és a C B

monoid N -en való jobboldali hatását, tehát egy A ´ C biakt lesz. Vegyük észre, hogy gyakorlatilag egy monoid nem egyéb, mint egy egy objektumú kategória: a monoid elemeinek az egy objektumú kategória nyilai felelnek meg, az összefűzés asszociatív, és bármely két nyíl összefűzhető. Ugyanekkor a monoidok közti homomorfizmusok épp a megfelelő egy objektumú kategóriák közti funktorok lesznek, a biaktok pedig a később bevezetendő ágaknak avagy profunktoroknak felelnek meg, ld. 2.1 és 2.2. def. Ezen túlmenően, a későbbiekben (1.11.–1.13. def.) a monoid, monoidhatás, biakt fogalmak további általánosítását ismertetjük, és a tenzorszorzatot a fenti koegyenlítővel fogjuk definiálni.

19

1. Bikategóriák 1.1. Definíció (Bikategória). Legyen adott egy G irányított gráf, és G minden A, B pontpárjához egy pA p Bq-val jelölt (ún. hom-) kategória, amire ObpA p Bq “ tA Ñ B

G-beli éleku.

pA p Bq morfizmusait 2-celláknak hívjuk, G pontjait és éleit objektumoknak és nyilaknak (0- és 1-cellák). Legyenek f, g P ObpA p Bq, egy köztük menő ϕ : f ùñ g f

2-cellát így rajzolunk: A

ϕ

)

5 B (mindig felülről lefelé irányul).

g

Legyen adott továbbá minden n P N természetes számhoz és minden A0 , A1 , . . . , An pontsorozathoz egy ♦A0 ,...,An : pA0 p A1 q ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ pAn´1 p An q ÝÑ pA0 p An q funktor, az úgynevezett vízszintes kompozíció. Ez tehát G minden xf1 , f2 , .. , fn y : A0 An útjához egy A0 Ñ An nyilat rendel, amit a továbbiakban egyszerűen csak f1 f2 . . . fn jelöl, valamint, ha ϕi P pAi´1 p Ai q 2-cellák i “ 1, 2, . . . , n , akkor az általuk alkotott n-es ♦A0 ,...,An funktornál vett képét ϕ1 ˛ . . . ˛ ϕn jelölje: f1 f2 . . . fn :“ xf1 , f2 , . . . , fn y♦A0 , .. ,An ϕ1 ˛ ϕ2 ˛ . . . ˛ ϕn :“ xϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn y♦A0 , .. ,An Fontos ide érteni az n “ 0 esetet is: ♦A0 az üres direkt szorzatból (az egy objektumú diszkrét kategóriából) megy pA0 p A0 q-ba, magyarul, kijelöl egy ottani elemet, amit az A0 objektum vízszintes egységének hívunk és 1 A0 -val jelölünk. Ez az alant taglalt zárójelezhetőségi kritériumok [azaz az asszociativitási feltétel] miatt ténylegesen egységként fog viselkedni, izomorfizmus erejéig. Azt is feltételezzük, hogy minden 1 hosszú út vízszintes kompozíciója önmaga4 , azaz ♦A,B “ idpApBq . Legyenek f1 , . . . , fn egymást követő nyilak, i P t1, . . . , nu és ϑ : fi ùñ gi . Ekkor a ϑ-hoz hozzáfűzött f1 , .., fi´1 , fi`1 , .., fn nyilak alatt a következő 2-cellát értjük: f1 ..fi´1 ϑfi`1 ..fn :“ 1f1 ˛ .. ˛ 1fi´1 ˛ ϑ ˛ 1fi`1 ˛ .. ˛ 1fn Ez magában foglalja a következő, gyakrabban előforduló rövidítéseket: f ϑ :“ 1f ˛ ϑ,

ϑg :“ ϑ ˛ 1g ,

f ϑg :“ 1f ˛ ϑ ˛ 1g .

Ily módon, ha ϑ : u ùñ v, akkor f ϑ : f u ùñ f v, f ϑg : f ug ùñ f vg, stb. 4 Igazából,

bizonyos példákban volna értelme felvetni, hogy egy tag „zárójelezése” (egyváltozós kompozícója) is csak izomorf önmagával, nem feltétlenül identikus. Érdemben nem változtatna semmit, csak egy fokkal komplikálná a tárgyalást. Leinsternél nincs is kikötve, [Leinster].

20

Az egyértelmű megkülönböztethetőség miatt az eredeti pA p Bq kategóriákban adott (ún. függőleges) kompozíciót mindig ¨ jelöli, a vízszintes kompozíciót meg ˛ vagy egymás mellé írás, a fentiek szerint. Vegyük észre, hogy a függőleges kompozíció élben találkozó óó />  2-cella-párokon van értelmezve, míg a vízszintes ó 9$ ó 9 $ 2-cella-párokon, valamint nyilakon. kompozíció pontban találkozó Megköveteljük továbbá, hogy ez a ♦A0 ...An funktorokból álló műveletcsalád izomorfizmus erejéig asszociatív legyen, méghozzá koherens módon. Azt, hogy izomorfizmus erejéig asszociatív, úgy értjük, hogy minden xf1 , f2 , . . . , fn y : A0 An útra és minden i, j indexpárra (0 ď i ´ 1 ď j ď n) f1 . . . fn – f1 .. pfi .. fj q .. fn . Míg azt, hogy koherens módon, úgy értjük, hogy ezek közt lerögzíthetők bizonyos természetes izomorfizmusok5 , ιA0 .. An ,i,j : f1 . . . fn ùñ f1 .. pfi .. fj q .. fn , méghozzá úgy, hogy ha két zárójelpárt teszünk be egy ilyen n tényezős vízszintes kompozícióba (a ι-k mentén), akkor mindegy, melyiket tesszük be először. Azaz, Koherencia axióma: Minden xf1 , f2 , . . . , fn y : A0 An út esetén, ha az i ď j`1 indexekre helyezett zárójelpár diszjunkt a k ď l ` 1 zárójelpártól [l ă i vagy j ă k], vagy pedig teljesen magában foglalja [i ď k és l ď j], akkor a rögzített ι izomorfizmusokból keletkező alábbi diagramok kommutálnak az pA0 p An q homkategóriában6 : f1 f2 . . . fn

ιij

+3 f1 .. pfi .. fj q .. fn ιk 1 l 1

ιkl

 f1 .. pfk .. fl q .. fn f1 f2 . . . fn

 +3 f1 .. pfi .. fj q .. pfk .. fl q .. fn

ιij ιij

+3 f1 .. pfi .. fj q .. fn

ιkl

 f1 .. pfk .. fl q .. fn

f1 .. ιk1 l1 .. fn

 +3 f1 .. pfi .. pfk .. fl q .. fj q .. fn

ιij 1

Az i “ j esetben az pfi q “ fi feltétellel összhangban megköveteljük, hogy minden ιii identitás legyen. Ugyanígy, minden n-re (és A0 , .. , An objektumokra) ι1n -ről is – ami az egész kompozíciót bezárójelezné egy taggá – feltesszük, hogy identitás. ´ ¯ ♦A0 ,...,An és a idpA0 pA1 q ˆ . . . ♦Ai´1 , .. ,Aj ¨ ¨ ¨ ˆ idpAn´1 pAn q ¨ ♦A0 , .. ,Ai´1 ,Aj , .. ,An funktorok között. 6 A felső ábra a j ă k esetet illusztrálja, ahol is k 1 “ k ´ pj ´ iq és l1 “ l ´ pj ´ iq. Az alsó ábra az i ď k és l ď j esetet, itt j 1 “ j ´ pl ´ kq, k1 “ k ´ i ` 1 és l1 “ l ´ i ` 1. Innentől fogva, a jobb áttekinthetőség érdekében az ι-k indexébe már nem tesszük be az A0 , . . . , An objektumokat ill. a megfelelő (Ai , . . . , Aj , stb.) részhalmazait. 5A

21

Megjegyezzük továbbá, hogy – mivel az Aj objektumon elhelyezett üres zárójel (amikor i “ j ` 1) az Aj Aj üres út ♦Aj általi „összefűzöttjét”, az 1 Aj vízszintes egységnyilat jelenti –, ιj`1,j egy f1 f2 . . . fn ùñ f1 . . . fj 1 Aj fj`1 . . . fn izomorfizmust ad, ami egyszersmind tanúsítja, hogy 1 Aj valóban egységként működik.

Egy, a fenti tulajdonságokat teljesítő pG, tpA p BquA,B , t♦A0 .. An u, tιA0 .. An ,i,j uq rendszert bikategóriának nevezünk (vö. „unbiased bicatgeory”: [Leinster]). Egy B bikategória objektumainak (azaz a G gráf pontjainak) a halmazát ObB jelöli, az összes 2-cella halmazát pedig maga B. Megj. Ha B-nek csak egy objektuma van, akkor az lényegében egy „monoidális kategória”, pl. [Leinster] értelmében; ugyanúgy, ahogy egy egy objektumú kategória lényegében monoid.

Az egyes példákban a koherencia-izomorfizmusok kézenfekvően fognak adódni, ld. 1.1.1. pl. Speciálisan, ha egy adott A objektumon vett 0 hosszú útra felírjuk a koherencia axiómat (az egyetlen lehetséges) i “ k “ 1 és n “ j “ l “ 0 értékekkel, akkor azt kapjuk, hogy ι10 ¨ ι10 “ ι10 ¨ ι21 , ahol, a fentiek értelmében, mivel minden n-re ι1n identitás, ι10 “ 1 1 A , következésképp a két 1 A ùñ 1 A 1 A koherencia-izomorfizmus, ι10 és ι21 egybeesik. A vízszintes kompozíció funktorialitásából adódik többek közt a következő, gyakran használt összefüggés, mely a ‘bikategória-kalkulus’ központi eleme, a felcserélési tulajdonság: f

A

ϕ f1

)

g

5B

ψ g1

)

5C

esetén f ψ¨ϕg1 “ ϕ ˛ ψ “ ϕg¨f1 ψ.

(1)

Ugyanis, a fent bevezetett rövidítésekkel a bal oldal: f ψ¨ϕg1 “ p1f ˛ ψq¨pϕ ˛ 1g1 q “ p1f ¨ϕq ˛ pψ¨1g1 q “ ϕ ˛ ψ , használván, hogy a ˛ művelet (azaz ♦ABC ) funktor. Ugyanígy jön a másik oldal is. ————–o————– A koherencia axióma azért jó és azért kell, hogy bármely n tényezős vízszintes kompozíció bármely két zárójelezése közt legyen pontosan egy kijelölt izomorfizmus,7 ami mentén átjárhatunk a különféle sorrendben elvégzett részkompozíciók 7 Ez

amúgy MacLane nevezetes koherencia tétele, [MacLane], mely a mi (redundáns) definíciónkból közvetlenül adódik, teljes indukcióval. Ld. még az A. Függeléket.

22

kompozíciói közt, és ezáltal egyértelmű értelmet nyernek az alábbi példákhoz hasonló, az elkövetkezendőkben gyakran alkalmazott, kissé „pongyola” megfogalmazások: 1. Ha egy B bikategóriában egy adott % : f g ùñ u 2-cellához egy jobbról hozzáfűzhető h nyilat fűzünk (értsd: % ˛ 1h ), akkor egy %h : f gh ùñ uh 2-cellát kapunk. 2. Ha egy ϑ : f gh ùñ 1 A 2-cellához balról hozzáfűzünk egy v nyilat, akkor egy vϑ : vf gh ùñ v 2-cellát kapunk. Noha precízen az 1.-ben szereplő %h voltaképp pf gqh ùñ uh, ezt kell komponálni balról a megfelelő ι12 : f gh ùñ pf gqh izomorfizmussal, hogy f gh ùñ uh-t kapjunk, valamint a 2.-beli vϑ szigorúan véve vpf ghq ùñ v 1 A alakú 2-cella, amit balról a megfelelő ι24 : vf gh ùñ vpf ghq-val, jobbról pedig a ι21-1 : v 1 A ùñ v-vel kell komponálni, hogy ténylegesen a jelölt vf gh ùñ v 2-cellához jussunk. Noha ezek a ιij „zárójelezési” (avagy koherencia) izomorfizmusok elég fontos szerepet játszanak a bikategóriák axiomatikus elméletében, az olvashatóság érdekében mégis le szokás hagyni őket. Minden zárójel átrendezésnél implicite oda kell érteni a köztük menő, ι-kból egyértelműen felépíthető izomorfizmust. Ahol „felépítés” alatt, egy rögzített út esetén, a következő műveletek egymásutánját értjük: - függőleges kompozíció, (¨) - inverz, ( -1 ) - az adott útban szereplő nyilak hozzáfűzése. Példaként vegyük egy xf1 , f2 , f3 , f4 , f5 y út két zárójelezését, f1 p1 B f2 pf3 f4 qqf5 -et és pf1 f2 q1 C pf3 f4 f5 q-et. Az ezek közt menő koherencia-izomofizmust megkaphatjuk a zárójelek (ι-k menti) felbontásával, például így: -1

-1

f1 ι10 f5

-1

f1 ι23 f5

ι24

f1 p1 B f2 pf3 f4 qqf5 ùñ f1 pf2 pf3 f4 qqf5 ùñ f1 pf2 f3 f4 qf5 ùñ f1 f2 f3 f4 f5 ùñ f1 f2 1 C f3 f4 f5 ùñ pf1 f2 q1 C f3 f4 f5 ùñ pf1 f2 q1 C pf3 f4 f5 q ι32

ι12

ι35

A koherencia axióma biztosítja, hogy bármilyen sorrendben is bontjuk fel a zárójeleket, az ezen felbontásokat „megvalósító” koherencia-izomorfizmusok kompozíciója mindig ugyanazt adja. Hogy azonban a precizitást egy fokkal jobban megtartsuk, bevezetjük a következő rövidítéseket: Ha egy α 2-cellának a végpontja az f :“ xf1 , f2 , .. , fn y útnak valamely zárójelezett vízszintes kompozíciója, és egy β 2-cellának a kezdőpontja ugyanezen útnak esetleg egy máshogyan zárójelezett vízszintes kompozíciója, akkor az α és a β végső soron

23

összefűzhető lesz, a megfelelő ι-kból felépített egyértelmű izomorfizmus közbeékelésével. Jelölje If az f út különféleképpen zárójelezett vízszintes kompozíciójai közt menő, ι-kból a fentiek szerint felépített izomorfizmusok halmazát, és jelölje ekkor egyszerűen csak ᨨβ az α¨ι¨β szorzatot a megfelelő ι P If -fel. Ezenkívül, ha most az α és β 2-celláknak az eleje ugyanazon u út valamely zárójelezése, és mindkettejük vége ugyanazon v út valamely zárójelezése akkor α l β jelentse azt, hogy léteznek olyan ι P Iu , ι1 P Iv izomorfizmsok, amikre α¨ι1 “ ι¨β. A konkrét alkalmazások mindegyékénél a szereplő kezdő u, köztes f és végző v utak mind értelemszerűek lesznek a szövegkörnyezetből. Figyeljük meg, hogy ha α l β, és az elejük és végük ugyanannak az útnak ugyanazon zárójelezése, akkor α “ β. Amennyiben a vízszintes kompozíció szigorúan asszociatív, azaz mindegyik ιij nyíl identitás – az ilyet 2-kategóriának hívják –, akkor ténylegesen ᨨ⠓ α¨β és pα l βq ô pα “ βq. A későbbiekben implicite használni fogjuk a következő állítást, amelyben az If ekről tulajdonképpen csak annyit használunk, hogy az elemei izomorfizmusok. 1.2. Állítás. Tegyük fel, hogy a fenti értelemben ᨨβ l γ. a) Ha γ jobbinvertálható, akkor α is. b) Ha γ balinvertálható, akkor β is. Bizonyítás. a): A feltétel szerint megfelelő ι, ι1 , ι2 invertálható 2-cellákkal α¨ι¨β¨ι1 “ ι2 ¨ γ. Legyen ϑ egy jobbinverze γ-nak, akkor jobbról ϑ ¨ ι2 -1 -vel szorozva egységet kapunk: α ¨ pι¨β¨ι1 ¨ϑ¨ι2 -1 q “ 1f . Ugyanígy igazolható a b) is. Példák. 1.1.1. pSet , ˆq: Vegyünk egy darab „fiktív” objektumot, jelöljük mondjuk ˚-gal. A (˚ Ñ ˚) nyilak legyenek a halmazok, a 2-cellák pedig a függvények közöttük. A vízszintes kompozíció legyen a direkt szorzás: H1 H2 . . . Hn halmazokhoz H1 ˛ ˚Ñ˚Ñ˚

Ñ˚

H2 ˛ . . . ˛ Hn :“ H1 ˆ H2 ˆ . . . ˆ Hn , (aminek a xh1 , h2 , . . . , hn y alakú elem-n-esek az elemei, hi P Hi ). Ez értelemszerűen kiterjed a 2-cellákra. Az 1 ˚ egységnyíl pedig legyen egy rögzített egyelemű halmaz (ami valóban egységként viselkedik: txu ˆ A – A – A ˆ txu). A koherencia-izomorfizmusokat az elem n-esek átcsoportosításai adják: ιij : H1 ˆ H2 ˆ . . . ˆ Hn ÝÑ H1 ˆ .. pHi ˆ . . . ˆ Hj q .. ˆ Hn xh1 , h2 , . . . , hn y ÞÝÑ xh1 , .. , xhi , . . . , hj y, .. hn y . 24

A 0 hosszú út esetében (amikor i “ j ` 1), a j. és az i. hely közé bekerül még 1 ˚ egyetlen, x-szel jelölt eleme: xh1 , h2 , . . . , hn y ÞÝÑ xh1 , h2 , .. , hj , x, hi , .. , hn y. 1.1.2. Cat: A kategóriák, funktorok és természetes transzformációk 2-kategóriája. Ebben a nyilak (vagyis a funktorok) kompozíciója szigorúan asszociatív: pF GqH “ F pGHq. Ha A

F ϕ F1

( 6B

G ψ

(

6 C természetes transzformációk, akkor a ϕ˛ψ vízszintes kompozíció

G1 AF ψ/ ϕ

ϕ ψ

az A P ObA objektumhoz rendelje az A nyílhoz adott pA q :

AϕG



#

/

AϕG1

AϕF1 Fψ

ϕG1

kommutatív négyzetbeli A ¨ A kompozíciót, azaz ϕ ˛ ψ az (1) azonossággal értelmezhető, a többváltozós vízszintes kompozíció pedig a szigorú asszociativitás révén. 1.1.3. Egy adott A kategóriát minden további nélkül elláthatunk a nyilakhoz tartozó identikus 2-cellákkal, ezáltal egy 2-kategóriát kapunk (szigorúan asszociatív bikategóriát). Ebben tehát ha ϑ : f ùñ g 2-cella, akkor f “ g és ϑ “ 1f . 1.1.4. pAb , bq: Akárcsak 1.1.1.-ben, vegyünk egy (újfent ˚-gal jelölt) fiktív objektumot, a nyilak legyenek az Abel-csoportok, és a 2-cellák a köztük menő csoporthomomorfizmusok. A nyilak összefűzése legyen a szóban forgó Abel-csoportok tenzorszorzata. Az 1 ˚ egységnyíl pedig legyen az egész számok Z Abel-csoportja. 1.1.5. Biact: Ezt lényegében felvezettük a 0.4. részben: a pontjai legyenek a monoidok, nyilai a köztük értelmezett biaktok, 2-cellái pedig a speciális biakthomomorfizmusok. A nyilak összefűzése a biaktok tenzorszorzata. 1.1.6. Bimod: Az előbbinek az additív megfelelője: pontjai az egységelemes gyűrűk, nyilai a bimodulusok, 2-cellái a bimodulus-homomorfizmusok. A nyilak összefűzése megint csak a tenzorszorzás. 1.1.7. Span: A halmazok, a páros gráfok és a köztük menő gráfmorfizmusok bikategóriája. Ebben a nyilak (a páros gráfok) összefűzése a villa diagramok pullbackjeként értelmezhető, vagy elemien: az E : A´B és F : B ´C páros gráfok kompozíciójának az élei az egymást követő xe, f y élpárok (e P E, f P F és ev “ f k P B). Analóg módon értelmezhető minden n-re az n-szeres kompozíció: élei az egymást követő él-n-esek, illetve n “ 0-ra, egy adott A objektum (mint 0 hosszú út) kompozíciója idA u A IIidA I$ az identikus páros gráf. zuu A A Ha E és F is páros gráf (élhalmaza) az A és B halmazok közt, akkor egy E Ñ F függvény akkor lesz Span-beli 2-cella, ha megtartja a kezdő- és végpontokat, azaz, 25

ha xidA , f, idB y (páros gráf)-morfizmus a 0.1. def. 6. pl. értelmében, tehát a pontok helyben maradnak. Használni fogjuk, hogy Span minden hom-kategóriájában léteznek koegyenlítők (ld. 0.2.3. pl.), és hasonlóan konstruálhatóak, mint Set -ben.8 Egy B bikategória nyilainak a kategóriáját jelölje B : ennek objektumai a B nyilai, és B 2-cellái a morfizmusok köztük. Mivel csak párhuzamos nyilak között Ñ mehetnek 2-cellák, B az pA p Bq kategóriák diszjunkt uniója, A, B P ObB. Ñ

1.3. Definíció. Ha egy B bikategória 2-celláit és azok függőleges kompozícióját megfordítjuk, akkor a Bco függőleges ellentett bikategóriához jutunk, ebben tehát Bco pA p Bq :“ pBpA p Bqqop . Ha B nyilait – és vízszintes kompozícióját – fordítjuk meg, akkor pedig a Bop vízszintes ellentett bikategóriához jutunk, amire Bop pA p Bq :“ BpB p Aq, minden A, B P ObB-re. 1.4. Definíció. Egy f : A Ñ B, g : B Ñ A nyílpár ekvivalencia, ha f g – 1 A az pA p Aq hom-kategóriában és gf – 1 B a pB p Bq hom-kategóriában. Ekkor azt mondjuk, hogy az A és B objektumok ekvivalensek (jelben: A » B), és hogy f ekvivalencianyíl, és g egy inverze. Mivel a definíció szimmetrikus, g is ekvivalencianyíl.

Cat-ban

az ekvivalencianyilakat ekvivalenciafunktoroknak hívjuk. Nem nehéz belátni, hogy ha F egy ekvivalenciafunktor A Ñ B, úgy egy α P A pontosan akkor bal- illetve jobbinvertálható, ha αF az. (Sőt, F tulajdonképpen minden diagramokkal megfogható tulajdonságot megőriz, vö.[Freyd-Sced].) 1.5. Lemma. Legyenek f, g : A Ñ B nyilak és ϕ : f ùñ g egy 2-cella. Ekkor minden C pontra az f ˛ és a g˛ műveletek pB p Cq Ñ pA p Cq funktorok, és ϕ˛ közöttük menő természetes transzformáció lesz pf ˛q ùñ pg˛q. Ugyanúgy, ˛ϕ is p˛f q ùñ p˛gq természetes transzformáció. Bizonyítás. Legyen u, v : B Ñ C és ψ : u ùñ v, ekkor ϕ ˛ ψ : f u ùñ gv az (1) ϕu f u / gu azonosság miatt épp az

fψ



gψ

 f v ϕv / gv

kommutatív négyzetet adja.

Kicsit továbbmenve, ez abból következik, hogy bikategóriákra is értelmezhető a hom-funktor, ami – egy adott B bikategória esetében – egy Bop ˆ B Ñ Cat bikategóriák közti úgynevezett pszeudofunktor lesz: ponthoz pontot, nyílhoz nyilat, 2-cellához 2-cellát rendel; megtartja a nyilak és 2-cellák kezdő- és végpontját, 8 Valójában

Span-ben lokálisan:

minden limit és kolimit létezik konstrukciókkal megadhatóak, ld. pl.[Borceux].

26

explicit, „koordinátánkénti”

a 2-cellák függőleges kompozícióját, és izomorfizmus erejéig a nyilak vízszintes kompozícióját is, koherens módon. Ez itt most többek közt azt jelenti, hogy ha Bop ˆ B-ben veszünk egy egymást követő xe, f y, xe1 , f1 y nyílpárt, azaz e1 , e és f, f1 ilyen sorrendben egymást követő nyilai B-nek, mondjuk e1 e : A ùñ C és f f1 : X ùñ Z, akkor a két keletkező pC p Xq Ñ pA p Zq funktor, γ ÞÑ pe1 eqγpf f1 q és γ ÞÑ e1 peγf qf1 természetesen izomorf egymással. A pszeudofunktor pontos definícióját lásd: 5.12. def. A függőleges kompozíció megtartásából az is következik, hogy ha α : f ùñ g és β : g ùñ h, akkor a ˛pα¨βq : p˛f q ùñ p˛hq természetes transzformáció épp a ˛α és ˛β kompozíciója, izomorfizmus erejéig. 1.6. Állítás. Ha f : A Ñ B ekvivalencianyíl egy bikategóriában, akkor minden rögzített C objektumra az f ˛ : pB p Cq Ñ pA p Cq funktor ekvivalenciafunktor, s hasonlóan ˛f : pC p Aq Ñ pC p Bq is. Bizonyítás. Legyen g : B Ñ A egy inverze f -nek, ϕ : f g ùñ 1 A és ψ : gf ùñ 1 B izomorfizmusokkal, akkor az előzőek alapján ˛ϕ : p˛f gq Ñ p˛1 A q is természetes izomorfizmus, és így az alábbi kompozíció is az: -1

p˛f q¨p˛gq

ι12 ¨ι23

ùñ

˛ϕ

-1

ι21

p˛f gq ùñ p˛1 A q ùñ idpCpAq .

pCpAqÝÑpCpAq

Hasonlóan p˛gq¨p˛f q is természetesen izomorf idpCpBq -vel. 1.7. Definíció. Legyenek f : A Ñ B és g : B Ñ A. Azt mondjuk, hogy xf, gy adjungált nyílpár (jelben f % g), ha adott hozzájuk egy η : 1 A ùñ f g 2-cella, és egy ε : gf ùñ 1 B 2-cella, amikre ηf ¨¨ f ε l 1f

és

gη ¨¨ εg l 1g .

Ezen η-t az adjunkció egységének, ε-t pedig a koegységének szokás nevezni. Precízen egy adjunkció, az egy ilyen xf, g, η, εy négyes (még precízebben pedig az xA, B, f, g, η, εy hatos). Később, a 6. fejezetben általánosabban bizonyítjuk, hogy bármely nyílnak, izomorfizmus erejéig legfeljebb egy bal- illetve jobbadjungáltja lehet: 6.2. tétel.

Megj. Nem nehéz belátni, hogy az 1.6. állítás megfelelője ugyancsak igaz adjunkciókra: ha f % g egy B bikategóriában, f : A Ñ B, akkor minden C-re a ˛f : pC p Aq Ñ pC p Bq baladjungáltja lesz ˛g : pC p Bq Ñ pC p Aq-nak Cat-ben, valamint g˛ is baladjungáltja lesz f ˛-nak (balról hozzáfűzve fordul a sorrend). 1.8. Lemma. Legyen h : A Ñ A nyíl és ϑ : 1 A ùñ h 2-cella. Ekkor a) ϑ¨¨ϑh “ ϑ¨¨hϑ. 27

b) Ha ϑ balinvertálható,9 akkor ϑh l hϑ. c) Ha ϑ invertálható függőlegesen, akkor vízszintesen is: ϑ ˛ ϑ -1 l 1h l ϑ -1 ˛ ϑ. Bizonyítás. a): Alkalmazzuk (1)-et a ϑ ˛ ϑ vízszintes kompozícióra. b): Szorozzuk be balról a)-t ϑ balinverzével. c): Alkalmazzuk (1)-et a ϑ ˛ ϑ -1 illetve a ϑ -1 ˛ ϑ vízszintes kompozíciókra: ϑ ˛ ϑ -1 “ 1 A ϑ -1 ¨ϑ1 A l ϑ -1 ¨ϑ l 1h . A következő alapvető tétel megtalálható többek között a [Baez-Lauda] könyvben is. f

1.9. Tétel (Adjungált ekvivalencia tétele). Legyen A i

)

B egy ekvivalencia,

g

ekkor léteznek olyan ϕ : f g ùñ 1 A és ψ : gf ùñ 1 B izomorfizmusok is, hogy pf, g, ϕ -1 , ψq adjunkció. Bizonyítás. A bizonyításban felhasználjuk néhányszor az (1) azonosságot, és az előző lemmát. Feltétel szerint tehát vannak ϕ : f g ùñ 1 A és ξ : gf ùñ 1 B izomorfizmusok. Legyen akkor ψ :l gf ξ -1 ¨¨ gϕf ¨¨ ξ. Azt állítjuk, hogy ez jó lesz: (a)

ϕ -1 f ¨¨f ψ l ϕ -1 f ¨¨ f gf ξ -1 ¨¨ f gϕf ¨¨ f ξ l -1 f ξ ¨¨ ϕ -1 f gf ¨¨ f gϕf ¨¨ f ξ l f ξ -1 ¨¨ 1f g f ¨¨ f ξ l 1f . (b)

Ahol is (a)-nál a ϕ -1 ˛ f ˛ ξ -1 illetve (b)-nél a ϕ -1 ˛ ϕ ˛ f vízszintes kompozícióra alkalmaztuk (1)-et, illetve a lemma c) pontját. Rajzban (az 1 A és 1 B nyilakat csak vonallal jelölve): n7 PPgP -1 fn P' ξ n n ϕ PP PP ϕ n7 f PP' nng n f PP' -1

ξ

Az adjunkció másik követelménye (miszerint gϕ -1 ¨¨ ψg l 1g ) hasonlóan igazolható, miután felhasználjuk az előző lemma b) pontját, amiből ξ -1 gf l gf ξ -1 , tehát ψ l ξ -1 gf ¨¨ gϕf ¨¨ ξ alakba is írható. ————–o————– A továbbiakban bevezetünk néhány ismert fogalmat a bikategóriák köréből, amelyeket a későbbiekben használni fogunk. 1.10. Definíció. Általában, ha egy kategóriákra értelmezhető T tulajdonság egy adott B bikategória minden hom-kategóriáján teljesül, azt mondjuk, hogy B lokálisan T tulajdonságú. Ezzel összhangban, egy F : A Ñ B pszeudofunktorról azt mondjuk, 9 Elég

feltenni, hogy ϑ epimorfizmus, azaz balról mindig egyszerűsíthetünk vele.

28

hogy lokálisan teljes beágyazás (jelben F : A ãÑ B), ha minden A, A1 P ObA objektumpárhoz az F megszorítása ApA p A1 q Ñ BpAF p A1 F q-re egy kategóriák közti teljes beágyazás. 1.11. Definíció. Legyen adott egy B bikategória, annak egy A objektuma, egy a : A Ñ A nyila, valamint egy µ : aa ùñ a (úgynevezett „művelet”) 2-cella. Az xa, µy párt (belső) félcsoportnak hívjuk az A objektumon, ha µ „asszociatív”, úgy értve, hogy aµ ¨ µ l µa ¨ µ . apaaqùñaaùña

paaqaùñaaùña

Továbbá, egy xa, µ, ηy hármast (belső) monoidnak hívunk, ha xa, µy félcsoport és η : 1 A ùñ a „egység” a µ-re nézve, értendő ezalatt, hogy aη ¨ µ a1 A ùñaaùña

l 1a l

ηa ¨ µ

.

1 A aùñaaùña

Példák. 1.11.1. pSet , ˆq-ben a belső félcsoportok (illetve monoidok) éppen a hagyományos félcsoportok (illetve monoidok). 1.11.2. Analóg módon, pAb , bq-ban egy A Abel-csoporton értelmezett belső félcsoport (illetve monoid) az éppen egy gyűrű (illetve egységelemes gyűrű) lesz, A additív csoporttal. 1.11.3. Tekintsük egy adott A kategória identikus 2-cellákkal való bővítését (1.1.3. példa): az ebben lévő belső félcsoportok éppen az A idempotens nyilai, a monoidok pedig az identitások. Így a bikategóriában értelmezett félcsoport egyfajta általánosítása a kategóriában az idempotens nyílnak. 1.11.4. A halmazok közti páros gráfok

Span bikategóriájában (1.1.7. példa) egy

E : H Ñ H nyíl voltaképpen egy, a H „ponthalmazon” értelmezett

k t E JJv J$ ztt

H H irányított gráf. Ezen egy monoidstruktúra pedig éppen egy kategória struktúrát határoz meg a xH, E, k, vy gráfon. 1.11.5. Minden xA, B, f, g, η, εy adjunkció meghatároz egy monoidot az f g : A Ñ A nyílon: a monoid egysége egybeesik az adjunkció egységével, η-val, és a művelet az f εg : f gf g ùñ f g 2-cella lesz. 1.12. Definíció. Legyen a :“ xa, µ, ηy egy monoid az A objektumon és m egy A Ñ B nyíl. Ekkor egy σ : am ùñ m 2-cella a monoidnak az m-en való bal oldali hatása, amennyiben aσ ¨ σ l µm ¨ σ és ηm ¨ σ l 1m

29

teljesülnek.10 Duálisan értelmezhető egy b monoid δ : mb ùñ m jobb oldali hatása m-en. Amennyiben egy σ bal oldali hatás felcserélhető egy δ jobb oldali hatással, mármint σb ¨ δ l aδ ¨ σ is teljesül, akkor az m :“ xσ, m, δy hármast az a és b közti (belső) bimodulusnak nevezzük. 6 a

/=

m σ m

6

δ

/

m

a

b

δ m

σ

3

l

m

b

*3 

m

A monoidok egységeit használva könnyű látni, hogy ez az amb ùñ m 2-cella egymagában meghatározza az egész bimodulus struktúrát. 1.13. Definíció (BimodpBq). Ha egy adott B bikategória összes BpA p Bq homkategóriájában minden koegyenlítő létezik, és a vízszintes kompozíció megtartja a koegyenlítőket, akkor a B-beli monoidok közti bimodulusok meghatároznak egy újabb bikategóriát, BimodpBq-t:

Ennek az objektumai legyenek B monoidjai, a nyilai a köztük lévő bimodulusok, a 2-cellái pedig a „bimodulus-homomorfizmusok”, azaz, egy xσ, m, δy és egy xσ1 , m1 , δ1 y a-b bimodulus között az olyan B-beli ϑ : m ùñ m1 2-cellák, amelyek kommutálnak ezekkel a hatásokkal: aϑ ¨ σ1 “ σ ¨ ϑ és ϑb ¨ δ1 “ δ ¨ ϑ . A nyilak összefűzését a bimodulusok „tenzorszorzataként” értelmezzük: ha m : a Ñ b és m1 : b Ñ c két nyíl BimodpBq-ben, az összefűzöttjük,

xσ,m,δy

xσ1 ,m1 ,δ1 y

mm1 , legyen valamely rögzített BpA p Cq-beli koegyenlítője a δm1 és mσ1 nyílpárnak: mbm1

δm1 mσ1

+3+3 mm

χ 1

+3 mm1 ,

amin indukálódik egy a-c bimodulus struktúra, ugyanis, a feltétel szerint a lent szereplő aχc koegyenlítő lesz az alábbi diagramon, ami ezáltal egyértelműen kiegészíthető a hiányzó 2-cellával: ambm1 c

. aδm1 c

amσ1 c

&.

$ amm1 c aχc

σδ1

+3 mm1 χ

  apmm1 qc _ _ _ +3 mm1 10 Ezek

pl. pSet , ˆq-ben az xpysq “ pxyqs illetve 1x “ x egyenleteket jelentik éppen (ahol is x, y, 1 P a, s P m és µ-t és σ-t is csak egymás mellé írással jelöltük).

30

Egy a monoidhoz tartozó egységnyíl legyen a önmaga, a monoidművelet egyszersmind bal- és jobb oldali hatás lesz, az asszociativitás miatt felcserélhető önmagával. Az am – m koherencia izomorfizmust az m-hez adott σ : am ùñ m hatás határozza µm +3+3 am 2-cella párnak, mert egyrészt meg: ez ugyanis koegyenlítője az aam aσ

ηm ¨ σ l 1m alapján balinvertálható, másrészt ha valamely ϕ : am ùñ f 2-cellára µm¨ϕ l aσ¨ϕ, akkor, használva, hogy ηa¨µ l 1a : ϕ l ηam¨µm¨ϕ l ηam¨aσ¨ϕ l pη ˛ σq¨ϕ l σ¨ηm¨ϕ , tehát ϕ átvezethető σ-n. Egy n tényezőből álló, xm1 , m2 , . . . , mn y : a0 közvetlenül, az alábbi koegyenlítőként: m1 a1 m2 a2 . . . an´1 mn

δ1 δ2 ...mn m1 σ2 ...σn

an út összefűzése is értelmezhető

+3+3 m m . . . m 1 2 n

+3 m1 m2 . . . mn .

A további koherencia-izomorfizmusok, miután minden úthoz rögzítettünk egy összefűzést a fentiek szerint, a koegyenlítők univerzális tulajdonsága alapján egyértelműen adódnak. Példák. 1.13.1.

BimodppSet , ˆqq “ Biact,

1.13.2.

BimodppAb , bqq “ Bimod.

31

2. Profunktorok A továbbiakban a BimodpSpanq bikategóriát építjük fel és vizsgáljuk: Span-nek a belső monoidjai ugyanis pont a kategóriák (ld. 1.11.4. példa), egy A és B közti bimodulusa pedig egy ObA és ObB közti páros gráf, aminek élei a monoidhatások által „összefűzhetőek” balról az A, jobbról a B nyilaival. Ez tehát meghatároz egy, az A-t és B-t önmagában foglaló nagyobb kategóriát. 2.1. Definíció. A H kategóriát hídnak nevezzük az A és B kategóriák közt, ha A és B [vagy izomorf példányaik] diszjunkt teljes részkategóriák H-ban, és H-nak nincs más objektuma, azaz ObH “ ObA Y ObB. Azon H-beli nyilakat, melyek nincsenek se A-ban se B-ben, átmenő nyilaknak vagy heteromorfizmusoknak hívjuk, ezek tehát mind A Ñ B vagy B Ñ A alakúak (A P ObA, B P ObB). Jel.: H : A é B. A H hidat A-ból B-be menő irányított hídnak vagy röviden ágnak hívjuk, ha minden átmenő nyila A Ñ B alakú. Jel.: H : A Û B. Példák. 2.1.1. Az A \ B diszjunkt unió az üres híd A és B között, ennek nincsenek átmenő nyilai, tehát ez egyszersmind A Û B és B Û A ág is (üres ág). 2.1.2. Egy adott A kategóriához tartozó A é A identitáshíd: átmenő nyilai legyenek az A eredeti nyilai, mindkét irányban (így A minden objektumát 2 és minden nyilát 4 példányban kell venni: egy nyíl az A bal oldali példányában, egy a jobb oldaliban, egy megy balról jobbra, egy pedig jobbról balra). Ha ezt megszorítjuk csak a balról jobbra menő heteromorfizmusokra, az A : A Û A identikus ágat kapjuk.

l

2.1.3. Hasonlóan, ha A teljes részkategóriája B-nek, kapunk egy A é B „beágyazás-hidat”, amiben az átmenő nyilak az A-beli nyilak példányai. 2.1.4. A diszkrét kategóriák közti ágak éppen a páros gráfok (ld. 1.1.7. példa). 2.1.5. Tekintsük azt a Set Û Grp ágat a halmazok és a csoportok kategóriája közt, aminek a heteromorfizmusai a H Ñ G függvények a H halmazból a G csoport elemeinek a halmazába. Ebben minden G csoportnak van koreflexiója Set -ben, a G elemeinek a halmaza (a koreflexiónyíl az identitás függvény), és minden H halmaznak van reflexiója Grp -ben, a H által generált szabad csoport. Ez egy tipikus példája a későbbiekben ismertetett adjungált ágnak (ld. 2.4). 2.1.6. A [Pecsi2] (gyengén reprezentálható) relációalgebrákkal foglalkozó publikációm implicit módon több ágat is alkalmaz. Jelölje e rövidke példa erejéig RA a relációalgebrák és hagyományosan értelmezett homomorfizmusainak a kategóriáját, 32

és tekintsük azt az RA Û RA ágat, aminek az átmenő nyilai a [Pecsi2]-ben bevezetett szemimorfizmusok, amik megőrzik a relációkompozíció, egység, relációinverz és a metszet műveleteket, de az uniót és komplementert nem feltétlenül. Ahhoz, hogy ez valóban ág legyen, annyi kell, hogy ha egy szemimorfizmust akár jobbról, akár balról homomorfizmussal komponálunk, az ismét szemimorfizmus lesz. ————–o————– Legyenek H, K : A é B hidak. Ekkor egy ϕ : H Ñ K funktort hídmorfizmusnak hívunk, ha ϕ identikus A-n és B-n is. Következésképpen ez az átmenő nyilakat tartalmazó hom-halmazok közt HpA p Bq Ñ KpA p Bq és HpB p Aq Ñ KpB p Aq függvényeket indukál, amikre minden h : A Ñ B és ehhez fűzhető α P A, β P B nyilakra pα ¨ h ¨ βqϕ “ α ¨ hϕ ¨ β, illetve hasonlóan a másik irányú átmenő nyilakra is. Ha H és K speciálisan ágak, akkor ágmorfizmusról beszélünk. Vegyük észre, hogy az ágmorfizmusok egy az egyben megfelelnek a Span bikategória belső bimodulusai közti bimodulus-homomorfizmusoknak (ld. 1.13. def). A fejezet további részében csak az irányított hidakkal foglalkozunk, a nem irányított esetbe pedig a következő fejezetben pillantuk bele. Az 1.13. definíció értelmében egy F : A Û B és egy G : B Û C ág kompozíciója a következő két Span-beli FBG Ñ FG 2-cella koegyenlítőjeként értelmezett tenzorszorzattal adható meg: xf, β, gy ÞÑ xf β, gy illetve xf, β, gy ÞÑ xf, βgy. Elemien leírva, az immáron BimodpSpanq-beli FG : A Û C kompozíció átmenő nyilai az x f , g y átmenő nyílpárok (A P ObA, B P ObB, C P ObC), amelyek közül AÑBÑC

minden xf ¨β, gy azonosítva van xf, β¨gy-vel (f P F, β P B, g P G). Az FG jelölést ezentúl erre az ágkompozícióra alkalmazzuk, amennyiben F és G ágak. ————–o————– 2.2. Definíció. Egy Aop ˆ B Ñ Set funktort A-ból B-be menő profunktornak neveznek. 2.3. Tétel. Az A-ból B-be menő profunktorok és a köztük menő természetes transzformációk egy az egyben megfelelnek az A Û B ágaknak és a köztük menő ágmorfizmusoknak. Bizonyítás. Adott F : A Û B ághoz tekintsük az F op ˆ F Ñ Set hom-funktornak az Aop ˆ B-re (azaz a heteromorfizmusokra) vett megszorítását. Fordítva, adott

33

F : Aop ˆ B Ñ Set profunktorhoz definiáljunk egy F : A Û B ágat, aminek minden adott A P ObA-ra és B P ObB-re az A Ñ B heteromorfizmusai legyenek épp az xA, ByF halmaz elemei, az összefűzést F-ben pedig definiáljuk így: F Adott x P xA, ByF , α és β esetén α¨x¨β :“ xpxα,βy q P xA1 , B1 yF . Legyen A1 ÑA

BÑB1

most η : F ùñ G természetes transzformáció, ekkor ez egy xA, By P Ob pAop ˆ Bq objektumpárhoz egy xA, ByF Ñ xA, ByG függvényt rendel, amikre együttesen pα¨ x¨βqη “ α¨xη ¨β (mindahányszor ez a kompozíció értelmes): xA,Byη

xA, ByF xα,βyF

/ xA, ByG xα,βyG

 xA1 , B1 yF

 / xA1 , B1 yG η

xA1 ,B1 y

Ha tehát η-t kiterjesztjük A-ra és B-re identikusan, akkor egy F Ñ G ágmorfizmust kapunk. Fordítva, ha adott egy F Ñ G funktor az F, G : A Û B ágak között, mely A-ra és B-re megszorítva identitás, akkor a funktor által adott FpA p Bq Ñ GpA p Bq homhalmazok közti leképezések együttesen egy természetes transzformációt alkotnak a megfelelő profunktorok között. Ennél a tételnél több is igaz: még az ágak kompozíciója is megfelel a profunktorok „kompozíciójának”, amit a Yoneda beágyazás menti Kan-kiterjesztéssel lehet értelmezni, de ezt a megközelítésmódot jelen értekezésben nem tárgyaljuk. Vö. [Gran-Pare], 3.1. bekezdés, illetve [Benabou2] vagy [Borceux]. Jelölje a továbbiakban Prof a kategóriák és ágak bikategóriáját. Azaz, Prof objektumai a kategóriák, nyilai az ágak (amik voltaképpen megfelelnek a profunktoroknak), 2-cellái a köztük menő ágmorfizmusok, vagyis a két szélen identikus funktorok. A fentiek értelmében Prof azonosítható BimodpSpanq-nel. 2.4. Definíció. Egy adott F : A Û B ágról azt mondjuk, hogy – funktoriális, ha B reflektív részkategória F-ben. – ko-funktoriális, ha A koreflektív részkategória F-ben. – adjungált ág, ha egyszerre funktoriális és ko-funktoriális. Ezen elnevezéseket a 2.7. tétel indokolja majd: F funktorialitása esetén ugyanis minden A P ObA-hoz rögzíthetünk egy reflexiónyilat, aminek a végpontját A-hoz rendelve egy A Ñ B funktort kapunk (a megfeleltetés A nyilaira a reflexiónyilak univerzális tulajdonsága alapján terjed ki, ld. 0.2. def). Hasonlóan a ko-funktoriális esetben. A precíz tárgyalásmódhoz előbb azonban nézzük meg, hogyan határoz meg egy adott F : A Ñ B funktor egy funktoriális és egy ko-funktoriális ágat11 : 11 Ez

a procedúra egyébként teljes mértékben analóg azzal, ahogy egy adott f : A Ñ B monoidvagy gyűrűhomomorfizmus (B alaphalmazán) meghatároz egy A ´ B és egy B ´ A biakt vagy bimodulus struktúrát.

34

ν

A AF új alapnyilak minden Vegyünk fel átmenő nyilakat A-ból B-be: legyenek A Ñ A P ObA-ra, és ezeket szorozzuk jobbról szabadon B nyilaival.

Formálisan, F˚ :“ A \ B \ txA, βy | β : AF Ñ Bu, ebben az A-hoz tartozó alapnyíl νA :“ xA, 1AF y. Az összefűzés F˚ -ban pedig így menjen: α

A1 ÑA

¨ xA, βy ¨ β1 :“ xA1 , αF ¨β¨β1 y. X

Ez azt is jelenti, hogy az alapnyilakkal épített

 A

α

/ XF

νX

 β négyzet akkor és csakis / AF νA

akkor kommutál, ha β “ αF : ugyanis, az egyik kompozíció xX, βy, a másik meg xX, αF y lesz. Duálisan konstruálható F „ellenága”: F ˚ :“ B \ A \ txβ, Ay | β : B Ñ AF u, ebben az alapnyilak υA :“ x1AF , Ay, és az α-hoz tartozó kommutatív négyzet: υX /X XF  AF

αF

υA

α. /A

2.5. Megjegyzés. Az F˚ : A Û B ág megfelel az xA, By ÞÑ BpAF p Bq profunktornak (Aop ˆ B Ñ Set ), és hasonlóan, F ˚ megfelel a xB, Ay ÞÑ BpB p AF q profunktornak (B op ˆ A Ñ Set ). 2.6. Definíció. Az F : A Ñ B funktor baladjungált a G : B Ñ A funktorhoz, ha F˚ – G˚ az A Û B ágak kategóriájában. Ugyanekkor G-t az F jobbadjungáltjának, valamint az xF, Gy funktorpárt adjunkciónak hívjuk. Jelben: F % G. Ez, az előző megjegyzés és a 2.3. tétel értelmében azzal ekvivalens, hogy az xA, By ÞÑ BpAF p Bq és xA, By ÞÑ BpA p B G q funktorok természetesen izomorfak (ez a klasszikus definíció). Később, a 6.6. tétel utáni megjegyzés alapján látni fogjuk, hogy ez egybeesik a Cat 2-kategóriában értelmezett adjunkció fogalmával is (1.7. def.), ld. még pl. [JoyCat], 19. fejezet. 2.7. Tétel. Legyen F : A Û B egy ág. Ekkor: a) Van olyan F : A Ñ B funktor, hogy F – F˚ ðñ F funktoriális. b) Van olyan G : B Ñ A funktor, hogy F – G˚ ðñ F ko-funktoriális. c) F adjungált ág ðñ F magában rejt valamely F, G adjungált funktorpárt (úgy értve, hogy F˚ – F – G˚ ). Bizonyítás. a): Először is, megállapíthatjuk, hogy minden F : A Ñ B funktorra F˚ funktoriális ág: egy A objektum reflexiója az xA, 1AF y P F˚ átmenő nyíl lesz, vetülete AF . Az is könnyen látható, hogy egy reflexiónyíl ágizomorfizmusnál vett képe szintén reflexiónyíl. 35

Fordítva, ha valamely F : A Û B ág funktoriális, akkor rögzítsünk minden A P ObA-hoz egy νA reflexiónyilat, és ennek a végpontja legyen AF . Ha most α : A Ñ A1 egy nyíl A-ban, vegyük az α¨νA1 F-beli kompozíciót, ez egyértelműen átvezethető νA -n, azaz α¨νA1 “ νA ¨β valamely β : AF Ñ A1 F nyílra, és ez legyen α F -képe (αF :“ β). Ez az F valóban funktor lesz, ráadásul F minden átmenő nyila egyértelműen írható νA ¨β alakba (A P ObA, β P B), így a νA ¨β ÞÑ xA, βy megfeleltetés ágizomorfizmus lesz F Ñ F˚ . A b) állítás ugyanígy igazolható, a c) pedig ezek közvetlen folyománya. 2.8. Állítás. Legyen A egy teljes részkategóriája B-nek. Ekkor az I : A ãÑ B beágyazásnak a) pontosan akkor van jobbadjungáltja, ha A koreflektív részkategóriája B-nek. b) pontosan akkor van baladjungáltja, ha A reflektív részkategóriája B-nek. Bizonyítás. Az eddigiekből és a definíciókból könnyen adódik: az a) esetben az I˚ : A Û B ág ko-funktorialitásáról van szó, vagyis hogy minden B-beli objektumnak van koreflexiója A-ra az ágban, mely a beágyazás mentén a B oldalban foglalt Aban is megjelenik; a b) eset pedig az I ˚ : B Û A ág funktorialitásáról szól. 2.9. Következmény. Tekintsük azt az Adj kategóriát, aminek objektumai a kategóriák, és A-ból B-be menő nyilai az adjungált funktorpárok x F , G y : F % G. AÑBÑA Tekintsük továbbá ennek a következő két részkategóriáját: Corefl :“ txF, Gy P Adj | F teljes beágyazásu Refl :“ txF, Gy P Adj | G teljes beágyazásu Ekkor Adj “ Corefl ¨ Refl , azaz @ F % G adjunkcióhoz D F1 % G1 és F2 % G2 , hogy F “ F1 F2 , G “ G2 G1 , és F1 és G2 teljes beágyazások. Bizonyítás. Adott xF, Gy adjunkcióhoz vegyük a hozzátartozó F :“ F˚ – G˚ ágat, és legyenek F1 : A ãÑ F illetve G2 : B ãÑ F a beágyazások. G1 -et definiáljuk úgy, hogy B-n megegyezzen G-vel, A-n legyen identitás, az átmenő nyilak képét pedig a koreflektív tulajdonság alapján értelmezzük: egy G˚ -beli B G Ñ B alap átmenő nyíl F-beli megfelelője is B G Ñ B koreflexiónyíl (az ágmorfizmusok csak az átmenő nyilakat mozgatják), így egy f : A Ñ B átmenő nyílhoz az e menti A Ñ B G ko-vetületet rendelje. Hasonlóan definiáljuk F2 -t. Könnyen látszik, hogy F1 % G1 , F2 % G2 , és hogy F “ F1 F2 és G “ G2 G1 . Megj. Valamivel több is igaz ennél: Corefl és Refl egy úgynevezett gyenge faktorizációs rendszert képez Adj -ban. További részletek erről: [Pecsi].

36

2.10. Tétel. a) Az F ÞÑ F˚ hozzárendelés egy lokálisan teljes beágyazást indukál (ld. 1.10. def.), mely kontravariáns a 2-cellákon, azaz Catco ãÑ Prof . b) Hasonlóan, az F ÞÑ F ˚ hozzárendelés is egy lokálisan teljes beágyazást indukál, mely azonban a nyilakon kontravariáns, azaz Catop ãÑ Prof . Mindkét beágyazás megőrzi a 2-cellák kompozícióját, valamint a nyilak kompozícióját izomorfizmus erejéig (ezek ún. pszeudofunktorok, ld. 5.12).

l

Bizonyítás. Először is, jegyezzük meg, hogy a (2.1.2. példában deklarált) A identikus ágra A – pidA q˚ – pidA q˚ . Adott F, G : A Ñ B funktorok esetén egy ϕ : F ùñ G természetes transzformációhoz egy ϕ˚ : G˚ Ñ F˚ valamint egy ϕ˚ : F ˚ Ñ G˚ ágmorfizmus tartozik:

l

xA,

ϕ˚

y ÞÝÑ xA, Aϕ ¨β y

β

AF ÑB

AG ÑB ϕ˚

x β , Ay ÞÝÑ x β¨Aϕ, Ay BÑAF

BÑAG

Azonnal látszik, hogy pϕψq˚ “ ψ˚ ϕ˚ , illetve hogy pϕψq˚ “ ϕ˚ ψ ˚ . Ahhoz, hogy ez az F ÞÑ F˚ lokálisan teljes beágyazás legyen, az kell, hogy minden ϑ : G˚ Ñ F˚ ágmorfizmushoz D! ϕ : F ùñ G hogy ϕ˚ “ ϑ. Adott ϑ-hoz és A P ObA-hoz tekintsük tehát a νA “ xA, 1AG y átmenő alapnyíl νA ϑ : A Ñ AG képét: minthogy ez F˚ egy átmenő nyila, egyértelműen átvezethető az F˚ -beli xA, 1AF y alapnyílon, ez definiálja Aϕ -t: AF Ñ AG . Könnyen ellenőrizhető, hogy ϕ valóban természetes transzformáció lesz, amire ϕ˚ “ ϑ. Hasonlóképpen, minden ϑ : F ˚ Ñ G˚ ágmorfizmushoz D!ϕ : F ùñ G hogy ϕ˚ “ ϑ. Hátravan még annak igazolása, hogy F : A Ñ B és G : B Ñ C esetén F˚ G˚ – pF Gq˚ , valamint G˚ F ˚ – pF Gq˚ : Ez azon múlik, hogy az F˚ G˚ ágkompozíció @ D átmenő nyilai mind egyértelműen írhatók xA, 1AF y, xAF , ζy alakba (A P ObA, ζ P C), ami pF Gq˚ xA, ζy átmenő nyilának felel meg, illetve hasonlóan G˚ F ˚ @ D átmenő nyilai xζ, AF y, x1AF , Ay alakba. Ugyanis, F˚ és G˚ egy-egy tetszőleges egymást követő xA, β y és xB, γ y eleméből kiindulva AF ÑB

B G ÑC

xxA, βy, xB, γyy “ xxA, 1AF y ¨ β, xB, γyy “ xxA, 1AF y, β ¨ xB, γyy “ @ D “ xA, 1AF y, xAF , β G ¨γy .

2.11. Állítás. Legyen F : A Ñ B egy funktor. Ekkor, az 1.7. def. értelmében, F˚ % F ˚

Prof -ban.

37

Bizonyítás. Jelöljük F˚ alap átmenő nyilait νA -val, νA : A Ñ AF és F ˚ -éit υA : AF Ñ A-val. Minden α P A esetére, a következő négyzetek kommutálnak F˚ -ban illetve F ˚ -ban: νA υA / AF /A A AF F F α # # α  és α α  F F / / A1 νA A1 A1 υ A AF 1

1

Emiatt, az alábbi (csak heteromorfizmusokra kiírt) leképezések jólértelmezett ágmorfizmusok, és könnyen ellenőrizhetően eleget tesznek 1.7. követelményeinek.

lA Ñ F˚F ˚, ε : F ˚ F˚ Ñ l B ,

η:

α

AÑA1

ÞÑ xνA , αF ¨υA y

xβ¨νA , υA ¨β1 y ÞÑ β¨β1

Megj. Ez a tétel lényegében megfordítható: ha az F : A Û B ág baladjungáltja G : B Û A-nak Prof -ban, akkor van olyan F : A Ñ B id , hogy F˚ megszorítva B id helyett B-re – F és F ˚ megszorítva B-re – G. Ld. pl. [Borceux].

38

3. Ekvivalenciahidak Emlékeztetünk a kategóriák közti híd fogalmára (2.1. def). 3.1. Definíció. Ha egy H : A é B hídból kitöröljük a B Ñ A alakú átmenő nyilakat (A P ObA, B P ObB), akkor egy A Û B irányított hidat kapunk, amit H jobbra menő ágának hívunk és Hą -val jelölünk. Hasonlóan keletkezik a H híd balra menő ága is: Hă : B Û A. Ezenfelül, H-ról azt mondjuk, hogy valódi híd, ha egyik ága sem üres, azaz mindkét irányban van átmenő nyila. 3.2. Tétel. Egy F : A Û B és egy G : B Û A ág pontosan úgy tapasztható össze egy A é B híddá (aminek ágai épp F és G), hogy adva vannak melléjük olyan µ : FG Ñ A és ν : GF Ñ B ágmorfizmusok, amelyekre µF l Fν és Gµ l νG.

l

l

Bizonyítás. Tekintsük az F Y G nyílhalmazt, amely többek között A-t és B-t is magában foglalja. Ahhoz, hogy ez kategória legyen, egy asszociatív összefűzést kell biztosítani. Az A-n illetve B-n belüli összefűzések már adottak, valamint az α¨f ¨β és β ¨ g ¨ α alakúak is, F illetve G által (α P A, β P B, f P F, g P G). Amik hiányoznak, azok az f ¨g és a g¨f alakú összefűzések. Ezeket hivatottak kijelölni a µ és a ν: f ¨ g :“: xf, gyµ ,

g ¨ f1 :“: xg, f1 yν

pf, f1 P F, g P Gq.

Az asszociativitás pedig pontosan a µF l Fν és Gµ l νG feltételek teljesülését jelenti [minthogy ezek épp az pf ¨ gq ¨ f1 “ f ¨ pg ¨ f1 q és g ¨ pf ¨ g1 q “ pg ¨ f q ¨ g1 egyenlőségek], valamint hogy xf ¨ β, gyµ “ xf, β ¨ gyµ és xg ¨ α, f yν “ xg, α ¨ f yµ (egymást követő f P F, β P B, g P G illetve g P G, α P A, f P F nyílhármasokra), azaz hogy µ és ν jóldefiniáltak az FG illetve GF ágkompozíciókon. 3.3. Definíció. Egy H : A é B hidat bal-beágyazáshídnak nevezünk, ha minden A P ObA izomorf valamely B P ObB-vel H-ban. Fordítva, H jobb-beágyazáshíd, ha minden B P ObB izomorf valamely A P ObA-val. Ha mindkettő teljesül, akkor H-ról azt mondjuk, hogy ekvivalenciahíd. 3.4. Tétel. Két kategória, A és B, pontosan akkor ekvivalens egymással Cat-ban, ha létezik köztük egy A é B ekvivalenciahíd. Bizonyítás. Ha A » B Cat-ban, akkor az adjungált ekvivalencia (1.9.) tétele szerint vannak olyan F, G funktorok, és ϕ : F G ùñ idA és ψ : GF ùñ idB természetes izomorfizmusok, amelyekkel még xF, G, ϕ -1 , ψy adjunkció is. Ekkor az ezekhez tartozó G˚ , F ˚ ágak a 2.10. és a 3.2. tétel szerint, a ϕ˚ : G˚ F ˚ Ñ A és ψ ˚ : F ˚ G˚ Ñ B ágmorfizmusok segítségével, egy A é B híddá tapadnak össze, amelyben minden B G Ñ B és AF Ñ A alapnyíl könnyen ellenőrizhetően

l

l

39

invertálható. Fordítva, ha adott egy ekvivalenciahíd, rögzítsünk benne minden X objektumhoz (X P ObA Y ObB) egy X-be érkező invertálható átmenő tX nyilat. Ez, mivel minden izomorfizmus reflexió, a kezdőpontok révén meghatározza az F : A Ñ B és G : B Ñ A funktorokat, valamint az F G ùñ idA és GF ùñ idB természetes tB tA tB tA A és B GF ÑG B G Ñ izomorfizmusokat is: AF G ÑF AF Ñ B. 3.5. Következmény. Legyenek A, B kategóriák. A következő állítások ekvivalensek: a) Van köztük egy A é B bal-beágyazáshíd. b) A ekvivalens B valamely teljes részkategóriájával. c) Van köztük egy B é A jobb-beágyazáshíd. Bizonyítás. a) ðñ c): a szimmetria miatt (egy A é B híd egyszersmind tekinthető B é A hídnak is). a)ñb)-hez tekintsük B-nek a tB P ObB | DA P ObA : A – Bu pontok által feszített teljes részkategóriáját, ez az előző tétel szerint ekvivalens lesz A-val. b)ña): Vegyünk egy H0 : A é B 1 ekvivalenciahidat valamely B 1 Ď B teljes részkategóriával: A 2.1.3. példa alapján keletkezik egy H1 : B 1 é B bal-beágyazáshíd (aminek mindkét irányú heteromorfizmusai a B-beli nyilak (másolatai)), és ekkor könnyen láthatóan a H0ą H1ą és H1ă H0ă ágkompozíciók összetapadnak híddá – ez általánosan is így van bármely két hídra, ld. 4.3. –, amely bal-beágyazáshíd marad. ————–o————– 3.6. Definíció. Egy M : A é B hidat Morita-hídnak nevezünk, ha minden identitásnyila felbontható átmenő nyilak kompozíciójára. Vegyük észre, hogy ekkor A és B minden nyila felírható átmenő nyilak kompozíciójaként. (Ugyanis, adott α : A Ñ A1 nyílhoz vehetjük az 1A feltétel szerinti 1A “ f ¨ g felbontását, s akkor α “ f ¨g¨α már az f és g¨α heteromorfizmusok kompozíciója.)

Ez tehát azt jelenti, hogy: 3.7. Állítás. Egy M : A é B híd pontosan akkor Morita-híd, ha az M-beli összefűzés által adott Mą Mă Ñ A és Mă Mą Ñ B ágmorfizmusok szürjektívek.

l

l

A következő klasszikus tétel (3.9.a)ôc)) az idempotens bővítés segítségével (ld. 0.4. def.) jellemzi a Prof bikategóriabeli ekvivalenciát (amit Morita-ekvivalenciának szoktak nevezni). Erre hidak közbenjárásával és a 3.4. tétel alkalmazásával egy elemi bizonyítást adunk. Lásd még pl. [Elkins].

l

3.8. Lemma. Ha egy adott H : A é B hídnak a µ : Hą Hă Ñ A szorzása szürjektív, akkor már izomorfizmus. Szimmetriaokokból ugyanez áll a másik, Hă Hą Ñ B szorzásra is.

l

40

h

k

Bizonyítás. Elég belátni, hogy µ injektív. Először is, legyenek A Ñ B és B Ñ A1 H-beli átmenő nyilak (A, A1 P ObA, B P ObB). Ekkor h¨k p“ xh, kyµ q P A, valamint µ szürjektivitása folytán 1A -hoz van olyan xf, gy P Hą Hă , hogy f ¨g “ 1A , így a Hą Hă ágkompozícióban. Használva, hogy g¨h P B, xh, ky “ xpf ¨gq¨h, ky “ xf, g¨h¨ky . Ha tehát, xh, kyµ “ xh1 , k1 yµ , azaz h¨k “ h1¨k1 H-ban, akkor xh, ky “ xf, g¨h¨ky “ xf, g¨h1 ¨k1 y “ xh1 , k1 y. 3.9. Tétel. Az alábbi feltételek ekvivalensek bármely adott A, B kategóriákra: a) A » B Prof -ban. b) Létezik egy A é B Morita-híd. c) Aid » B id Cat-ban. Bizonyítás. a)ñb): Az 1.9. tétel alapján ekkor van A és B között adjungált ekvivalencia is Prof -ban, ami a 3.2. tétel miatt egy M : A é B hidat határoz meg, amiben az Mą Mă Ñ A szorzás és párja épp az adjunkció koegységével és egységének inverzével vannak megadva, s minthogy ezek ágizomorfizmusok, szürjektívek is.

l

b)ñc): Vegyük a feltétel szerinti M : A é B Morita-hídnak mint kategóriának az Mid idempotens bővítését, belátjuk, hogy ez ekvivalenciahíd. Legyen először A egy tetszőleges pontja A-nak, ennek az identitása felbontható átmenő morfizmusok kompozíciójára: 1A “ f ¨ g , B P ObB. AÑBÑA

Ekkor g ¨f egy B-beli idempotens nyíl lesz, ami épp A-n keresztül hasad fel M-ben, tehát a 0.5. tétel szerint Mid -ben 1A – g ¨ f . Innen már tetszőleges e : A Ñ A idempotenshez definiálható kézenfekvő módon egy vele Mid -ben izomorf B-beli idempotens, tehát Mid bal-beágyazáshíd. Szimmetria miatt egyszersmind jobbbeágyazáshíd is, tehát ekvivalenciahíd. c)ñb): Feltétel szerint van egy E : Aid é B id ekvivalenciahíd. Vegyük ennek az A és B pontjaira (precízen: identitásaira) megszorított E0 teljes részkategóriáját. Ezen E0 egy A é B Morita-híd lesz: egy adott A P ObA objektum (identitása) ugyanis E-ben izomorf valamely e P B idempotenssel, tehát léteznek f : 1A Ñ BÑB e, g : e Ñ 1A heteromorfizmusok, hogy f ¨ g “ 1A és g ¨ f “ e. Ekkor, közbeékelve az e˛ :“ xe, e, 1B y : e Ñ 1B és e˛ :“ x1B , e, ey : 1B Ñ e B id -beli nyilakat, pf ¨e˛ q¨pe˛ ¨gq “ 1A , ami már E0 -beli heteromorfizmusok kompozíciója. Ugyanígy, minden 1B is előáll heteromorfizmusok kompozíciójaként (B P ObB). b)ña) Ha M egy Morita-híd, akkor a lemma alapján, épp az M-beli szorzások által, Mą Mă – A és Mă Mą – B , vagyis, Mą , Mă egy ekvivalencia nyílpár Prof -ban.

l

l

41

4. Morita-összefüggések Ha a bikategóriákban értelmezett adjunkció definíciójában (def.1.7) az adjunkció egységét „formálisan invertáljuk”, akkor lényegében a Morita-összefüggés definíciójához jutunk: 4.1. Definíció. Egy adott bikategóriában az xA, B, f, g, µ, νy hatost (vagy néha rövidebben csak az xf, g, µ, νy négyest) Morita-összefüggésnek hívjuk, ha f : A Ñ B, g : B Ñ A nyilak, µ : f g ùñ 1 A és ν : gf ùñ 1 B 2-cellák (az ún. alkotó 2-cellák), hogy µf l f ν és gµ l νg . Egy A és B objektumok közti xA, B, f, g, µ, νy Morita-összefüggést többnyire csak így jelölünk: : A é B.

f

f

Egy Morita-összefüggésről azt mondjuk, hogy szigorú, ha mindkét alkotó 2-cellája invertálható. Azok az “ xf, g, µ, νy Morita-összefüggések, amelyeknél µ invertálható, egy az egyben megfeleltethetőek az invertálható egységű adjunkcióknak (µ helyett µ -1 -et kell venni, illetve viszont: vö. 1.7. def). Ugyanígy, a szigorú Morita-összefüggések pedig éppen az adjungált ekvivalenciáknak felelnek meg. Egy “ xA, B, f, g, µ, νy Morita-összefüggés ellentettje legyen az ` :“ xB, A, g, f, ν, µy hatos, ami szimmetriaokokból szintén Morita-összefüggés.

f

f

f

Példák. 4.1.1. A 3.2. tétel szerint az ágak bikategóriájában (Prof -ban) a Morita-összefüggések nem egyebek mint a 2.1. def. szerinti hidak. 4.1.2. Ugyanezt szem előtt tartva, s tekintettel arra, hogy a monoidok pontosan az egy objektumú kategóriák, azonnal adódik, hogy Biact-ban a Morita-összefüggések a két objektumú kategóriák. 4.1.3. A Morita-összefüggések elsődleges származási helye a gyűrűk és bimodulusok Bimod bikategóriája. Egy ilyen Morita-összefüggés két (egységelemes, asszociatív) gyűrűből, R-ből és S-ből áll, köztük egy R MS és egy S NR bimodulus, két „együttesen asszociatív szorzással” ellátva: M b N Ñ R és N b M Ñ S. Akárcsak a S

R

kategóriáknál, ez az információ egyetlen nagy gyűrűbe, úgynevezett általánosított mátrixgyűrűbe foglalható, aminek az elemei az p nr m s q alakú 2x2-es mátrixok (rendre r P R, m P M , n P N , s P S). Egy adott B bikategória belső monoidjai közt menő Morita-összefüggés alatt egy BimodpBq-beli Morita-összefüggést értünk. 4.2. Megjegyzés. Az adjunkciókkal ellentétben egy Morita-összefüggés két nyila nem határozzák meg egyértelműen egymást: Vegyünk például egy valódi hidat két

42

kategória közt (legyen ez H : A é B), tartsuk meg ennek mondjuk a jobbra menő ágát, Hą : A Û B-t, ez önmagában is egy híd, aminek a balra menő ága üres, tehát nem izomorf Hă -val. 4.3. Tétel (El Kaoutit tétele). Minden B bikategóriához természetes módon értelmezhető az az MrtB bikategória, amelynek a nyilai a B-beli Morita-összefüggések, és ObpMrtBq “ ObB. Biz.vázlat. Megkonstruáljuk az MrtB bikategóriát. Legyenek

f “ xf, g, f gùñ1 µ , ν y és gf ùñ1 f 1 “ xf 1, g1, µ1, ν 1y Morita-összefüggések, f , f 1 : A é B. Köztük az f ùñ f 1 2-cellák B

A

MrtB-ben azok a x ϕ , ψ y f ùñf 1 gùñg 1

B-beli 2-cella-párok legyenek, amelyekre12

pϕ ˛ ψq ¨ µ1 “ µ és pψ ˛ ϕq ¨ ν 1 “ ν.

f

ff

Ha 1 “ xf1 , g1 , µ1 , ν1 y egy B é C közti Morita-összefüggés, akkor az 1 vízszintes kompozíció legyen az xf f1 , g1 g, µ ˜, ν˜y : A é C Morita-összefüggés, ahol is µ ˜ :l f µ1 g ¨¨ µ

és

ν˜ :l g1 µf1 ¨¨ ν1

f

Az egyik ellenőrizendő azonosság, miszerint µ ˜f f1 l f f1 ν˜, következik az -re és 1 -re kirótt azonosságokból:

f

µ ˜f f1 l f µ1 gf f1 ¨¨ µf f1 l f µ1 gf f1 ¨¨ f νf1 l f pµ1 ˛ νqf1 l l f f1 g1 νf1 ¨¨ f µ1 f1 l f f1 g1 νf1 ¨¨ f f1 ν1 l f f1 ν˜ . A másik azonosság szerepcserével igazolható. Analóg módon értelmezhető egy tetszőleges x 1 , 2 , . . . , n y út vízszintes kompozíciója, az f1 f2 . . . fn és gn gn´1 . . . g1 nyilakon. A vízszintes kompozíció kézenfekvő módon kiterjeszthető a 2-cellákra. A koherencia-izomorfizmusok B-ből öröklődnek. Speciálisan, egy A objektum vízszintes egysége MrtB-ben

f f

f

lA :“ x1 A, 1 A, ι, ιy ahol ι az egyetlen 1 A 1 A ùñ 1 A koherencia-izomorfizmus. Részletesebben, lásd [El Kaoutit].

f

4.4. Állítás. Minden “ xA, B, f, g, µ, νy B-beli Morita-összefüggés indukál egy saját MrtB-beli Morita-összefüggést, az xA, B, , ` , xµ, µy, xν, νyy hatost.

ff Bizonyítás. Az állítás lényegi része, hogy xµ, µy : ff ` ùñ lA morfizmus (és persze xν, νy is). Ehhez pedig az ff ` és lA alkotó 2-cellái közt fennálló összefüggést kell

igazolni, nevezetesen, hogy f νg¨¨ µ l pµ˛µq¨ι, ami a Morita-összefüggés tulajdonság miatt teljesül: f νg ¨¨ µ l µf g ¨¨ µ l µ ˛ µ. Ugyanígy, gµf ¨¨ ν l νgf ¨¨ ν l ν ˛ ν. 12 Ez

összhangban van a hidak, mint – vö. 2.1. def.

Prof -beli Morita-összefüggések közti hídmorfizmusokkal 43

A következő állítás a 3.8. lemmával analóg, és a gyűrűk és Abel kategóriák közti egzakt funktorok Morita elméletében is megjelenik, hasonló formában, ld. pl. [Chifan]. 4.5. Állítás. Legyen xA, B, f, g, µ, νy egy Morita-összefüggés. Ha most µ balinvertálható, akkor invertálható is. A szimmetria miatt ugyanez igaz ν-re. Bizonyítás. Legyen % : 1 A ùñ f g egy balinverze µ-nek. Ekkor 1f g l 1f ˛ 1g ˛ 1 1 A “ f gp%¨µq “ pf g%q¨pf gµq l pf g%q¨¨pf νgq l l pf g%q¨¨pµf gq l µ ˛ % “ pµ1 A q¨p1 A %q l µ¨% tehát µ-nek van jobbinverze is, szóval µ invertálható. f

4.6. Lemma. Legyen A

α f1

)

g

5B

β g1

)

5 C egy B bikategóriában, hogy f, f1 , g, g1

mindegyike ekvivalencianyíl, és még az α ˛ β : f g ùñ f1 g1 is invertálható. Ekkor α és β külön-külön is izomorfizmusok. Bizonyítás. Felhasználva (1)-et: α ˛ β “ f β ¨αg1 “ αg¨f1 β, ami a feltétel szerint invertálható, adódik, hogy f β és αg jobbinvertálható, míg αg1 és f1 β balinvertálható. Mivel az f ˛, f1 ˛ mint pB p Cq Ñ pA p Cq és ˛g, ˛g1 mint pA p Bq Ñ pA p Cq funktorok ekvivalenciafunktorok, megtartják és megőrzik a bal- és jobbinvertálhatóságot, így α és β is mindkét irányból invertálható.

f

4.7. Tétel. A következő feltételek ekvivalensek egy “ xA, B, f, g, µ, νy Moritaösszefüggésre: a) szigorú. b) Valamely szigorú Morita-összefüggésből megy egy MrtB-beli 2-cella -be. [Egy ilyen 2-cella ekkor mindenképpen izomorfizmus.] c) egy ekvivalencianyíl MrtB-ben. [Ekkor ` -vel együtt adjungált ekvivalenciát alkot.]

f

h

f

f

f

Bizonyítás. a)ñb): Vehetjük a

h f

h :“ f szereposztást, az identitással.

b)ña): Legyenek alkotó 2-cellái η és ζ (invertálhatóak), és legyen xϕ, ψy egy morifzmus ùñ . Ekkor definíció szerint pϕ ˛ ψq ¨ µ “ η, illetve pψ ˛ ϕq ¨ ν “ ζ, amikből következik, hogy µ és ν balról invertálható, így az előző állítás (4.5) miatt invertálhatóak is. Ez esetben viszont ϕ ˛ ψ is invertálható, valamint és nyilai ekvivalencianyilak, így a lemma szerint ϕ és ψ külön-külön is invertálható, következésképpen a xϕ, ψy morfizmus is.

h

h f

f

ff

l

a)ñc): Ha szigorú, akkor a 4.4. állítás alapján xµ, µy : ` ùñ A valamint xν, νy : ` ùñ B Morita-összefüggések közti izomorfizmusok, így valóban egy szigorú Morita-összefüggést, azaz adjungált ekvivalenciát alkotnak MrtB-ben.

f f

l

44

g

f

l

fg

c)ña): Legyen “ xB, A, v, u, γ, δy egy inverze -nek MrtB-ben. Akkor A – és B – miatt, a b)ña) alapján és mindketten szigorúak, tehát az alkotó 2-cellái invertálhatóak, többek közt f γg¨¨ µ és gδf ¨ ν is, amiből megint az következik, hogy µ és ν balinvertálhatóak.

l

gf

fg gf

4.8. Következmény. Két objektum pontosan akkor ekvivalens MrtB-ben, ha már B-ben ekvivalensek voltak. Bizonyítás. Ha B-ben A » B, akkor az (1.9.) tétel alapján van köztük adjungált ekvivalencia, azaz szigorú Morita-összefüggés is, ezt felhasználva az állítás az előző tétel a) ðñ c) része. 4.9. Következmény. Az MrtB bikategóriában minden adjunkciónak invertálható az egysége (következésképp Morita-összefüggésnek is tekinthető). Bizonyítás. Egy adjunkció egysége η : szigorú és η izomorfizmus.

lA

45

ùñ

fg

alakú, következésképpen

fg

5. Kettős kategóriák Egyes bikategóriák esetében természetes módon lehet – és sokszor hasznos is – értelmezni a nem feltétlenül párhuzamos nyilak közötti morfizmusokat. /B A ϕ Az ilyen 2-cellák általában valamiféle A Ñ A1 és B Ñ B1 „homomorfizmusok”  / B1 A1 mentén definiálhatóak, például Bimod-ban gyűrűhomomorfizmusok, Prof -ban funktorok mentén: egy F : A Û B és egy G : A1 Û B1 ág közti 2-cella egyszerűen egy T : F Ñ G funktor legyen, amely A-t A1 -be és B-t B1 -be képezi, így bal oldalon a T æA , jobb oldalon a T æB funktor mentén megy. Ez általánosan is így van: ha továbbra is megköveteljük a vízszintes egységnyilak létezését, és alkalmas értelemben definiáljuk a 2-cellák vízszintes kompozícióját, akkor ezek a „homomorfizmusok”, amik a 2-cellák bal és jobb oldalán „megjelennek”, definiálhatóak lennének, mint azon kitüntetett 2-cellák, amik a vízszintes kompozícióra nézve lokális egységként viselkednek. A továbbiakban tehát egy olyan struktúrát kívánunk definiálni egy adott B bikategória „fölött”, amiben adottak valamiféle további „homomorfizmusok” az objektumok között, amiket függőleges nyíllal fogunk jelölni, és ezek mentén mehetnek további 2-cellák (a későbbiekben csak: cellák) B nyilai közt: b / A B Ñ   ϕ:  b, b1 P ObB .  /  A1 B b1

Az így bővített bikategóriát (pszeudo) kettős kategóriának hívjuk („pseudo double category” az angol nyelvű irodalomban), ahol a „pszeudo” előtag arra utal, hogy az egyik kompozíció (nálunk a vízszintes) csak gyengén asszociatív. Minthogy a mi vizsgálódásunk tárgya ez, a rövidség kedvéért a későbbiekben legtöbbször elhagyjuk ezt a „pszeudo” előtagot. A szigorúan asszociatív (azaz, 2-kategóriára épülő) kettős kategória definiálható szimplán, mint egy „kategória objektum” a kategóriák és funktorok Cat kategóriájában: Bármely kategóriában értelmezhető ugyanis az irányított gráf objektum fogalma, ) ami egy E 5 P párhuzamos nyílpár (ld. 0. fejezet), illetve, bármely pullbackkel bíró A kategóriában értelmezhető a villa-diagramok („páros gráf objektumok”) kompozíciója, ami egy – SpanpAq-val jelölt – bikategória, lényegében Span A-beli megfelelője. Ekkor egy A-beli kategória objektumot (avagy „belső kategóriát”) egy SpanpAq-beli monoidként értelmezhetnénk, az 1.11.4. példa analógjára. Bővebben lásd pl. [Ehresmann] vagy [Betti]. A pszeudo kettős kategória egy lehetséges definíciójához követhetnénk ezt az utat is, bevezetve a „gyengén asszociatív” avagy „pszeudo-kategória” objektumot –

46

amelyet már csak a bikategóriák szintjén lehet értelmezni –, illetve, hogy konzisztensek maradjunk, ennek az n-hosszú összefűzésekkel vett verzióját, többszörös pullbackekkel. Vö. [Gran-Pare]. 7.1. Ehelyett a már bevezetett bikategóriabeli gyenge asszociativitásra és koherencia axiómára támaszkodva építkezünk: Először bevezetjük a bikategóriák közti kettős ág fogalmát, ami lényegében az „egysoros” kettős kategória: az adott bikategóriák pontjai és nyilai közt heteromorfizmusok mehetnek, amiket függőleges nyilaknak illetve celláknak fogunk hívni, majd egy általános kettős kategóriát úgy értelmezünk, mint egy belső monoid ezen kettős ágak bikategóriájában, a monoidműveletet függőleges kompozíciónak tekintve. 5.1. Definíció. Legyenek A, B bikategóriák, és legyen F : A Û B egy ág a nyílkategóriáik között. Ennek az átmenő nyilait a továbbiakban (átmenő) celláknak Ñ hívjuk, és megkülönböztetésül az a ó b jelölést alkalmazzuk rájuk (a P ObA , Ñ b P ObB ). Legyen adva továbbá egy F0 : ObA Û ObB ág az A illetve B pontjai által meghatározott diszkrét kategóriák közt (azaz egy ObA ´ ObB páros Ñ Ñ gráf), valamint két funktor, bal és jobb : F Ñ F0 , melyek A -ra illetve B ra megszorítva épp az ottani nyilak kezdő- és végpontját adják meg. F0 éleit függőleges nyilaknak hívjuk, és ennek megfelelően f : A Ó B -ként jelöljük. Egy a / ϑ : a ó b cellát így rajzolunk: f ϑ g , ami azt is hivatott kifejezni, hogy ϑbal “ f  / Ñ

Ñ

b

és ϑjobb “ g. Egy ϑ cellához (jobbról) hozzáilleszthető a % cella, ha ϑjobb “ %bal . Legyen adott továbbá egy vízszintes összefűzés az egymáshoz illeszthető cellapárokon, 1A / valamint minden f P F0 függőleges nyílhoz egy 1 f : f   f (vízszintes egység-) / AÓB 1B

cella, a következőképpen: (i) Legyen F p2q a jobb és bal funktorok pullback-je: objektumai az A -ból illetve BÑ -ból szedett xa1 , a2 y illetve xb1 , b2 y összefűzhető nyílpárok, nyilai pedig az ezek közt menő vízszintesen összefűzhető xα1 , α2 y meg xβ1 , β2 y 2-cella-párok, valamint egymáshoz illeszthető xϕ1 , ϕ2 y cellapárok: Ñ

α1 a1 ϕ1



b1 β1

5% ); 

α2 a2 ϕ2 b2 β2

5% ); 

(ii) A vízszintes összefűzés egy ugyancsak ♦-val jelölt F p2q Ñ F funktor, ami az AÑ párjaira illetve BÑ párjaira megszorítva épp az A-beli illetve B-beli kéttényezős vízszintes kompozíció. Ahogy eddig, jelölje ϕ1 ˛ϕ2 a xϕ1 , ϕ2 y cellapárra alkalmazott ♦ eredményét. 47

(iii) Ha ϕ, ψ, ϑ ilyen sorrendben egymáshoz illeszkedő cellák, akkor a megfelelő A-beli és B-beli ι12 és ι23 zárójelezési izomorfizmusokkal -1

-1

ι12 ¨ pϕ ˛ ψq ˛ ϑ ¨ ι12 “ ι23 ¨ ϕ ˛ pψ ˛ ϑq ¨ ι23

(erre, az 1. fejezetben bevezetettekkel összhangban a pϕ˛ψq˛ϑ l ϕ˛pψ ˛ϑq jelölést alkalmazzuk), lásd még a következő ábrát. (iv) Hasonlóképpen (a megfelelő A-beli ill. B-beli ι10 és ι21 izomorfizmusok beiktatásával értve), ha ϕbal “ f és ϕjobb “ g, akkor ϕ l 1 f ˛ ϕ és ϕ l ϕ ˛ 1 g .

F

Egy, a fentieknek eleget tevő “ xF, F0 , bal, jobb, ♦y adathalmazt az A és B bikategóriák közti kettős ágnak (angol nyelven „double profunctor”), vagy röviden csak ágnak hívunk.13 Jel.: : A B Û

F

Egy kettős ágban tehát, az F : A Û B ág révén, a cellákhoz „felülről” A-beli, „alulról” B-beli 2-cellákat lehet hozzáfűzni (persze csak ha a széleik passzolnak), szigorúan asszociatív módon – ezt nevezzük felülről illetve alulról való hatásnak is –, valamint, ♦ által, a cellákat vízszintesen egymáshoz lehet fűzni, gyengén asszociatív módon, az A és B koherencia-izomorfizmusait használva. Ñ

Ñ

a1 a2 a3 α

ι12

/

a1 a2

ϕ

 β

/F 

ϕ ˛ ψ



/

a3

/

b1 b2

a1 a2 a3

ϑ b3

-1

/! /= 

a1 “

ι23

/

a2 a3

ϕ



b1

/

ψ ˛ ϑ b2 b3 -1

ι12

ι23

b1 b2 b3

b1 b2 b3

/! /= 

pai , α P A, bi , β P Bq 5.2. Állítás. Legyenek ϕ1 , . . . , ϕn jobb- és bal széleikkel összepasszoló cellák. Ezekhez egyértelműen értelmezhető a ϕ1 ˛ . . . ˛ ϕn n tényezős (zárójelmentes) vízszintes kompozíció. Bizonyítás. Teljes indukció, (iii)-t és az A-beli és B-beli koherencia axiómát alkalmazva. (Az n “ 0 eset is releváns, mint egy, a függőleges nyilak és cellák gráfjából való 0 hosszú út, azaz egy f P F0 függőleges nyíl, a hozzá tartozó zárójelmentes ♦ kompozíció az 1 f vízszintes egységcella.) 13 Értelmezhető bikategóriák közt egy másfajta profunktor fogalom is, az úgynevezett biprofunktor, ami az adódó op ˆ Ñ hom-funktorok mintájára egy op ˆ Ñ pszeudofunktorként van definiálva, azonban ez picit más: a kettős ágban ugyanis nincs megkövetelve a vízszintes és függőleges nyilak egymással vett kompozíciója. Ld. [Lawler].

Cat

B

B

Cat

48

A

B

Jelöljük BicProf -fal a bikategóriák és a köztük menő kettős ágak bikategóriáját, ehhez még a következők kellenek:

F

G

Û

Ha “ xF, F0 , ♦y és “ xG, G0 , ♦y is A B kettős ágak, akkor egy köztük menő 2-cella ((kettős ág)-morfizmus), az egy olyan x ϑ , ϑ0 y ágmorfizmus F ÑG

F0 ÑG0

pár legyen, ami kommutál a bal, jobb és a ♦ funktorokkal, valamint megőrzi a függőleges nyilak egységcelláit: F ϑ

 G

bal

#

/ F0

F

ϑ0

bal

ϑ

 / G0

 G

jobb

#

/ F0

F p2q ϑp2q

ϑ0

jobb

 / G0

♦

#



G p2q

♦

/F  /G

ϑ

p1 f qϑ “ 1 f ϑ0 (itt ϑp2q értelemszerűen mindkét koordinátán ϑ-ként hat).

F

G FG

F

G

Û

Û

FG

Û

Ha az “ xF, F0 , ♦y és “ xG, G0 , ♦y ágak így mennek: : A B és : B C, akkor értelmezzük az ágösszefűzést (A C): :“ xFG, F0 G0 , ♦y, ahol is ♦ koordinátánként értelmezett: xϕ, ψy ˛ xϕ1 , ψ1 y :“ xϕ ˛ ϕ1 , ψ ˛ ψ1 y ,

FG

amennyiben ezeknek a megfelelő szélei passzolnak. Az összefűzött ág függőleges nyilai ezek szerint az x f , g y alakú (függőleges nyíl)-párok (f P F0 , g P G0 ), AÓB BÓC

a cellái pedig az x ϕ , γ y alakú cellapárok (ϕ P F, γ P G, a, b, c meg rendre az aób bóc

A, B, C-ből való nyilak), akik közt mindegyik xϕ¨β, γy alakú cellapár azonosítva van a xϕ, β¨γy cellapárral (β P B). Ugyanígy, egy n hosszú, kettős ágakból álló xF1 , F2 , .., Fn y út összefűzöttjében az átmenő cellák legyenek a függőlegesen egymást követő xϕ1 , ϕ2 , .., ϕn y (átmenő cella)-n-esek, a fentihez analóg azonosításokkal. Az n “ 0 esetére pedig, egy adott B bikategóriához tartozó identikus kettős ág legyen az az B : B B, amelyben minden B P ObB objektumból egyetlen függőleges nyíl indul ki, amit identitásként veszünk fel, B Ó B alakú, és a cellái legyenek B 2-cellái. Az összefűzések értelemszerűek.

F

Û

I

I F ι F ι FI

Û

10 21 Adott : A B kettős ág esetén az A Ð Ñ B izomorfizmusok a felülről illetve alulról való hatások által vannak definiálva. Hogy ezek valóban invertálhatóak, az abból látszik, hogy A -ben minden x α , ϕy cella egyértelműen írható x1u , ϕ1 y

IF

uóv

alakba (méghozzá ϕ1 “ α¨ϕ). A többi koherencia-izomorfizmus a szokásos xϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn y ÞÑ @ D ϕ1 , .., xϕi , .., ϕj y, .., ϕn alakú az átmenő cellákon.

F

F

49

F

Û

F

Û

Û

Egy adott : A B kettős ághoz is vehetjük annak vízszintes és függőleges ellentettjét: az előbbit op jelöli, op : Aop Bop , az utóbbit co : Bco Aco .

————–o————–

BicProf bikategóriában. Egy kettős kategória tehát egy D : B B kettős ág egy B bikategória „fölött”,

DD

D

Û

5.3. Definíció (Kettős kategória). Egy belső monoid a

I

D

ellátva egy µ : ÝÑ monoidművelettel és egy ahhoz tartozó η : B Ñ egységgel (ld. 1.11. def). A monoidműveletet függőleges kompozíciónak fogjuk tekinteni.

Û

D-nek ebből adódóan vannak pontjai avagy objektumai (ezek B-nek a pontjai), összességüket jelölje ObD, függőleges nyilai és cellái (mivel D : B B kettős ág). B nyilait a D vízszintes nyilainak hívjuk. Egy cellát alul-felül egy-egy vízszintes, jobb- és baloldalt pedig egy-egy függőleges nyíl határol, a (széleiknél passzoló) cellákat vízszintesen és függőlegesen is össze lehet fűzni, a vízszintes összefűzés (ami a ágban van adva) gyengén asszociatív a B-beli zárójelezési izomorfizmusok mentén, de a függőleges összefűzés (ami µ) már szigorúan asszociatív. Megjegyzendő, hogy a vízszintes és függőleges nyilak egymással való összefűzése nem követelmény.

D

Az objektumokhoz tartozó vízszintes egységnyilak (az A objektumhoz 1 A ) már B/

1A

ben jelen vannak, az f : A Ó B függőleges nyilak

f

1f



/

f

egységcelláit a

D ág

1B

biztosítja, az objektumok függőleges egységnyilait (A-hoz lA -t) a monoidstruktúra u/ η l l egysége ( B Ñ ) adja, éppúgy, mint az u : A Ñ B vízszintes nyilak A  u  lB /

I

D

u

egységcelláit: az lu cella legyen a B-beli 1u identikus 2-cella (pontosabban, az ehhez tartozó B -beli átmenő cella) η-nál vett képe:

I

lu :“ p1u qη . Az 5.5.b) állításból következni fog, hogy ez valóban egységként viselkedik. Sőt, η voltaképpen „beágyazza” 14 az egész B bikategóriát -be: u / u ) minden A α 5 B 2-cellához egy lA αη lB cellát rendel.  / v v / Az ilyen lA ϑ lB alakú cellákat, amiket bal és jobb oldalon függőleges egységnyíl  / határol, (vízszintes) speciális celláknak hívjuk, és rendszerint megtartjuk számukra $ ϑ 9 jelölésmódot. A monoidműveletre, azaz a cellák és függőleges nyilak a függőleges kompozíciójára, a Grandis-Paré cikkek [Gran-Pare] jelölését követve „újrahasznosítjuk” a törtjelet, függőleges irányultsága miatt. Így a továbbiakban f α jelöli a -beli függőleges f, g nyilak, és a -beli α, β cellák függőleges g β összefűzöttjét. Azonban, a B alulról illetve felülről való hatására -n továbbra is

D

D

14 η

D

injektivitása nincs garantálva, de nem is használjuk sehol.

50

D

fenntartjuk a ¨ jelet, egészen az 5.5. állítás b) részéig, ahol kiderül, hogy ezek a hatások kiválthatóak a függőleges kompozícióval. Példák. 5.3.1. Bármely A kategória tekinthető kettős kategóriának (mondjuk függőlegesen), ha csak az identikus (1 A alakú, A P ObA) vízszintes nyilakat és az identikus (1 f alakú, f P A) cellákat vesszük hozzá. 5.3.2. Bármely B bikategória tekinthető kettős kategóriának, amelyben minden függőleges nyíl identitás, azaz minden cella speciális. Formálisan ez nem más, mint az B identikus kettős ágon indukált monoidstruktúra. Ezáltal a kettős kategóriák valóban a bikategóriák általánosításai, így minden fogalom, tétel, amit rájuk bevezetünk, bikategóriákra és köztük menő kettős ágakra is ugyanúgy érvényes (pl. laza, kolaza, pszeudo funktorok – vö. 5.12. def).

I

F

Û

5.3.3. Továbbá, ha A és B bikategóriák, minden : A B kettős ág is kettős kategóriának tekinthető, az A \ B diszjunkt unió fölött, aminek a függőleges nyilai az A és B objektumaihoz tartozó identitásokon kívül az függőleges nyilai, és a cellái az A és a B 2-cellái (ezek mind speciális cellák), valamint az cellái. A kompozíciók értelemszerűek.

F

CAT : Prof Prof kettős ágat, amelynek a függőleges Û

5.3.4. Tekintsük azt a

U

/

ϕ

/

{

nyilai a funktorok, és

F

F



{

V

G

cellái, mint a felvezetésben is utaltunk rá, azok a

ϕ : U Ñ V funktorok, amelyekre ϕ æA “ F és ϕ æB “ G. A funktorok összefűzése, az eredeti ágmorfizmus definíciójával összhangban (a 2.1. def. alatt) egy monoidstruktúrát hatátoz meg -on, ez a kategóriák kettős kategóriája.

CAT

Û

Û

5.3.5. Hasonlóképpen keletkezik a monoidok MND : Biact Biact, és a gyűrűk RING : Bimod Bimod kettős kategóriája is: ezekben a függőleges nyilak a M

monoid- illetőleg gyűrűhomomorfizmusok,

f



ϕ



g

cellái pedig az f, g homomorfizmusok

N

menti ϕ : M Ñ N biakt/bimodulus-morfizmusok.

CAT SET

5.3.6. Ha a kettős kategóriát megszorítjuk csak a diszkrét kategóriákra, akkor lényegében a kettős kategóriához jutunk: ennek objektumai a halmazok, vízszintes nyilai a páros gráfok, függőleges nyilai a függvények és cellái a (páros gráf)-morfizmusok. Figyeljük meg, hogy az irányított gráfok közti gráfmorfizmusok /B A épp a -beli f  ϕ  f alakú cellák. /B A

SET

5.3.7. Amennyiben a B bikategória vízszintes kompozíciója szigorúan asszociatív (vagyis B 2-kategória), akkor meghatároz egy másik számottevő, szintén szigorúan 51

asszociatív kettős kategóriát: a B-beli négyzetek avagy (Ehresmann-féle) kvintettek pBq kettős kategóriáját (ld. [Ehresmann]), aminek a függőleges és vízszintes nyilai a/ is B nyilai, és f  /  g cellái az ag ùñ f b 2-cellák.

Q

b

Az összefűzések értelemszerűek. Speciálisan, ha B-nek csak identitás 2-cellája van (azaz egy B kategóriából kaptuk az 1.1.3. példa alapján), akkor pBq cellái éppen a B kategória kommutatív négyzetei lesznek.

Q

Q

Megj. Ezt a pBq konstrukciót tulajdonképpen egy gyengén asszociatív B bikategóriára is lehet értelmezni, csakhogy akkor a kapott „kettős kategória” már vízszintesen és függőlegesen is gyengén asszociatív lenne. Az ilyet [Morton] nyomán Verity-féle kettős kategóriának nevezzük, ld. még B. függelék, vagy [Verity].

D kettős kategória számos struktúrát rejt még magában, többek között: a) Ha D műveleteiről megfeledkezünk, egy úgynevezett kettős gráf struktúrát

Egy

kapunk: az ilyennek pontjai, vízszintes és függőleges nyilai, valamint cellái vannak, ellátva határoló információkkal (vízszintes nyilak bal- és jobb oldala egy-egy pont, celláké egy-egy függőleges nyíl, függőleges nyilak teteje és alja egy-egy pont, celláké egy-egy vízszintes nyíl.) Precízen, ha P jelöli a pontok, V a vízszintes nyilak, F a függőleges nyilak és C a cellák halmazát, akkor egy kettős gráf, az egy alábbi Set -beli diagram: t a

C

b j

39 V %+

b j

9

t

F

+3% P

.

a

Két kettős gráf közti morfizmus alatt egy olyan leképezést értünk, ami pontokhoz pontokat, vízszintes nyilakhoz vízszintes nyilakat, függőleges nyilakhoz függőleges nyilakat, és cellákhoz cellákat rendel, valamint kompatibilis a határoló információkkal.

D

‚ b) Pontok függőleges kategóriája, jelben: . Ennek a nyilai a függőleges ‚ nyilak. Például “ Set . (A vízszintes nyilakkal csak akkor kapunk kategóriát, ha a vízszintes összefűzés is szigorúan aszzociatív.)

SET

D

Ñ

c) Vízszintes nyilak függőleges kategóriája, jelben: . Ennek az objektumai a vízszintes nyilak, nyilai a cellák. Az invertálható nyilait (függőleges) izocelláknak hívjuk.

Dñ

d) Speciális cellák vízszintes bikategóriája, jelben ô . Ennek a nyilai a vízszintes nyilak, és 2-cellái a speciális cellák. Ez lehet „bővebb” vagy valamelyest más felépítésű, mint a kiindulási B bikategória. Az mindenesetre könnyen ñ ñ igazolható, hogy ô bikategória, és hogy egyszersmind a ô felett is

D

D

52

D

Dñ

monoid. Ilyen szempontból, a B “ ô feltevés nem megy az általánosság ñ ô rovására. Például, “ Span. Megjegyezzük még, hogy ha -nek nem csak identikus függőleges nyilai Ñ ñ vannak, akkor ô nyílkategóriája valódi része az iménti -nak.

SET

D

D

D

D

ñ ô

D

. Nyilai a e) Függőlegesen speciális cellák függőleges 2-kategóriája, jelben függőleges nyilai, és 2-cellái a függőlegesen speciális cellák, azaz, az 1 A ó 1 B alakúak. Tegyük fel, hogy a B bikategória feletti kettős kategória. A vízszintes kompozíciója beli függőleges kompozíció (a monoidművelet), ami lesz, szigorúan asszociatív. A pA p Bq kategória kompozíciója a koherenciaizomorfizmusok segítségével értelmezhető: legyenek α : f ùñ g és β : g ùñ h -ben, f, g, h : A Ó B -beli függőleges nyilak közt, ekkor a 2-cellák megfelelő B-beli ιA : 1 A ùñ 1 A 1 A és ιB : 1 B ùñ 1 B 1 B koherenciaizomorfizmusokkal:

D

D

ñ ô

D

ñ ô

D

D

ñ ô

D

1A 1A -1

α ¨ β :“ ιA ¨ pα ˛ βq ¨ ιB :

f



ιA

/

1A

α

g

β

1B

/  -1

1B

ιB

/# ;/ 

h

1B

Ez is szigorúan asszociatív lesz, az 5.1. def. (iii) feltétele és a koherencia axióma miatt.

D

B-re vonatkozó

5.4. Definíció (Kettős kategória ellentettjei). Jelölje a kettős kategória vízszintes ellentett kettős kategóriáját op , és a függőleges ellentettjét co . Ezek alatt a következő BicProf -beli monoidokat értjük:

D

Û

Dop :“ pBop Bopq

D

D

amiben a vízszintes kompozíció értelemszerűen a -beli vízszintes kompozíció ellentettje, a függőleges kompozíció (vagyis a monoidművelet) pedig változatlan. Valamint, co :“ pBco Bco q Û

D

B

Û

A B

Û

amiben az átmenő cellák és függőleges nyilak végpontjai és a monoidművelet fordul co kettős ághoz természetes módon adódik co –, meg – ahogy minden míg a vízszintes kompozíció változatlan marad.

D

A

I

D

α˛β α β “ ˛ . γ˛δ γ δ 53

Û

5.5. Állítás (Kettős kategóriák alaptulajdonságai). Legyen adott egy : B B kettős kategória az η : B Ñ egységgel. a) Felcserélési tulajdonság. Tegyük fel, hogy az α, β, γ, δ cellák következő vízszintes α β és függőleges összefűzései léteznek (széleik passzolnak): α ˛ β, γ ˛ δ, és . Ekkor γ δ

D ágban adott alulról illetve felülről való hatás kiváltható D-beli függőleges v / kompozícióval: ha α : u ùñ v és β : w ùñ z B-beli 2-cellák, és ϑ :  egy D-beli /

b) A

w

αη ϑ cella, akkor α¨ϑ “ és ϑ¨β “ η . ϑ β c) Egy adott A objektum vízszintes illetve függőleges egységnyilából kiinduló függőleges illetve vízszintes egységcella egybeesik: l 1 A “ 1 lA . Ezt ezentúl 1˝A jelölje. d) Legyenek f és g egymáshoz fűzhető függőleges, u és v egymáshoz fűzhető vízszintes nyilak, ekkor az egységcelláikra 1f “ 1 f valamint lu ˛ lv “ luv . 1g g

DD

D

Bizonyítás. Jelöljük µ-vel a Ñ monoidműveletet (ez maga a függőleges kompozíció). Az a) egyszerűen azon múlik, hogy µ – mint bármely kettős ágak közti morfizmus, definíció szerint – kommutál a illetve ágakban adott vízszintes kompozíciókkal.

DD

D

D

D

A b) nem más, mint a monoidstruktúra egységére kirótt η ¨ µ l idD l η ¨ µ követelmény, miután alkalmaztuk a B – – B koherencia-izomorfizmusokat (xϑ, βy ÞÑ ϑ¨β ; α¨ϑ Ð[ xα, ϑy).

DI

D ID

A c) az előző két állításból következik: Jelöljük a rövidség kedvéért csak 1-gyel a függőleges lA nyílhoz tartozó 1 lA egységcellát, valamint l-gyel a vízszintes 1 A nyílhoz tartozó l 1 A egységcellát, majd tekintsük az / 

l



1

/ /

1

/

/

l

/

cellaelrendezést. Mivel b)-ből adódóan l (“ l 1 A “ p1 1 A qη ) egység a függőleges l 1 kompozícióra nézve, “ 1 “ . Másrészt viszont az ágstruktúra követelményeként 1 l 1 (koherencia-izomorfizmusok mentén) a vízszintes kompozícióra nézve viselkedik egységként, l ˛ 1 l l l 1 ˛ l. Ezeket összevetve: 1l1˛1“

l 1 l˛1 l ˛ “ l “l 1 l 1 ˛l l

Mivel pedig mind az 1, mind az l cellának az A objektumon lévő 0 hosszú vízszintes út ugyanazon 1 A „zárójelezése” a teteje és az alja, az 1 l l maga után vonja, hogy effektíve 1 “ l (ld. 1.2. állítás előtti megj.). A d) első fele megint csak azon múlik, hogy µ kettős ágak közti morfizmus, és így megtartja a függőleges nyilakhoz tartozó egységcellákat; a második fele pedig már a B bikategóriabeli u, v nyilakhoz tartozó 1u , 1v egységekre igaz volt (1uv “ 1u ˛ 1v ), 54

így ezek η-képeire is igaz marad, mert η, mint (kettős ág)-morfizmus, megőrzi a vízszintes kompozíciót. Ezek után, a kettős ág fogalmat kiterjeszthetjük kettős kategóriákra is, akár belső bimodulusaként, akár a 2.1.-hez analóg módon, egy kettéosztott kettős kategóriaként értelmezve:

BicProf

F

5.6. Definíció. Egy kettős kategóriát függőleges kettős ágnak (vagy röviden csak ágnak) hívunk az és kettős kategóriák között, ha és (vagy ezek izomorf példányai) diszjunkt teljes részei -nek, és minden ezeken kívüli cellája a ó b alakú (valamely a -beli és b -beli vízszintes nyilakra), ezeket átmenő celláknak hívjuk. Jelölés: : .

A B

A B

F

Û

A B FA B

F

Vegyük észre, hogy a definícióból közvetlenül adódik, hogy ekkor -nek nem lehet átmenő (v : A Ñ B alakú) vízszintes nyila, hiszen akkor a hozzátartozó egységcella, lv : v ó v se nem -beli, se nem -beli, se nem a ó b alakú. Azonban, az átmenő cellák bal és jobb oldalai mindig függőleges átmenő nyilak lesznek.

A

B

Û

FA B

5.7. Megjegyzés. Másképp megközelítve, egy : kettős kategóriák közti ág valóban tekinthető belső bimodulusnak BicProf -ban az és belső monoidok között: ha ugyanis az kettős kategória eleget tesz az 5.6. definíciónak, az átmenő celláinak a halmazán felülről és alulról hat, a BicProf -beli ÝÑ és ÝÑ 2-cellák által, melyek monoidműveletének (azaz, függőleges kompozíciójának) a megszorításai. Ugyanez a megfeleltetés fordítva is működik, az 5.3.3. példa mintájára.

FB

F A

F

A B

B

F

AF

F

Ennek fényében DbProf :“ BimodpBicProf q, aminek az objektumai a kettős kategóriák, nyilai a köztük lévő kettős ágak, egy : és egy : közti 2-cellái a felülről illetve alulról való hatásokat megőrző BicProf -beli 2-cellák (ld. 1.13. def.), amik megint csak olyan Ñ kettős kategóriák közti leképezésekként értelmezhetőek, amik -ra és -re megszorítva identikusak, továbbá megtartják a vízszintes és függőleges kompozíciókat (ún. erős funktorok, ld. 5.12), tehát A Ó B alakú -beli függőleges átmenő nyilakhoz -beli A Ó B függőleges átmenő nyilakat és a ó b alakú -beli átmenő cellákhoz -beli a ó b átmenő cellákat rendelnek Ñ Ñ (A P Ob , a P Ob , B P Ob , b P Ob ).

A

F

B

GA B Û

Û

FA B

F G

G G B

F

Û

Û

A A B Az F : A B és G : B C kettős ágak kompozíciójában az átmenő függőleges

f s nyilak az xf, gy egymást követő (átmenő függőleges nyíl)-párok, az x , gy “ xf, y s g azonosításokkal (f P , s P , g P függőleges nyilak), és hasonlóan átmenő cellái ϕ β a xϕ, ψy (átmenő cella)-párok ϕ P , ψ P , a x , ψy “ xϕ, y azonosításokkal β ψ (β P cella).

B

B

G F

G

F A B Û

F

Egy f átmenő függőleges nyilat reflexiónyílnak hívunk az : kettős ‚ ‚ ágban, ha az egy reflexiónyíl a Ď teljes részkategóriára vonatkozólag,

B

F

55

továbbá egy ϕ átmenő cellát reflexiócellának hívunk, ha az egy reflexiónyíl a Ñ Ñ Ď teljes részkategóriára vonatkozólag (azaz minden olyan cella, ami ϕ tetejétől megy -be, egyértelműen átvezethető ϕ-n). Duálisan értelmezzük az ( -ra vonatkozó) koreflexiónyilakat és koreflexiócellákat.

B

F

B

A

F

5.8. Definíció. Egy x , pkA qA , pκa qa y hármast reflektív kettős ágnak hívunk, ha : kettős ág, amiben minden A P Ob objektumhoz adott egy Aból induló kA függőleges reflexiónyíl, és minden a P vízszintes nyílhoz egy

A

Û

F A B

A

AÑA1

a

κa :

kA



/ /

kA1

reflexiócella.

F

Duálisan, egy x , plB qB , pλb qb y hármast koreflektív kettős ágnak nevezünk, ha : , amiben mindegyik lB egy B végpontú függőleges koreflexiónyíl és / lB  /  lB1 alakú koreflexiócella. mindegyik λb egy Û

F A B

b

D

5.9. Definíció. Egy kettős kategóriáról azt mondjuk, hogy vízszintesen invariáns, ha minden u : A Ñ B vízszintes nyíl és f : A Ó A1 , g : B Ó B1 függőleges u/ izomorfizmusok esetén van -ben egy velük határolt f ϕ g függőleges izocella.  / (Vö. [Gran-Pare].)

D

Példa. Minden bikategória vízszintesen invariáns, hiszen csak identikus függőleges nyila van. Sőt mitöbb, a jelen tézisben érintett összes kettős kategória vízszintesen invariáns. Vannak azonban nem vízszintesen invariáns kettős kategóriák is, ld. pl. [Gran-Pare].

B egy vízszintesen invariáns kettős kategória, és legyen F A B ág, amelyben:

A

Û

5.10. Állítás. Legyen adott egy olyan :

- Minden -beli vízszintes nyílnak van olyan reflexiócellája, amelynek mind a bal-, mind a jobb oldala függőleges reflexiónyíl. Ekkor

F reflektív kettős ággá tehető.

A

Bizonyítás. Először is megállapíthatjuk, hogy a feltételből következik, hogy minden A objektumából van egy függőleges reflexiónyíl -be: alkalmazzuk ugyanis a feltételt bármely A-ból induló (mondjuk az 1 A ) vízszintes nyílra. Rögzítsünk le minden A-hoz egy ilyen reflexiónyilat, kA -t. Ezek után, egy adott a : A Ñ A1 vízszintes nyílhoz vegyünk először egy tetszőleges a/ f α0 :  /  f1 reflexiócellát, amely teljesíti a feltételt, azaz f az A-nak, f1 az A1 -

B

b0

F

nek reflexiónyila. Mivel azonban kA illetve kA1 is ugyanezek reflexiónyilai, az f f1 pontjainak ‚ függőleges kategóriájában kA “ , illetőleg kA1 “ valamely s, s1 s s1

F

56

[immáron

B-beli] függőleges izomorfizmusokkal. A

a

/ A1

f

α0



f1

b0

/

τ

s1

kA

s



kA1



Ekkor a vízszintes invariancia szerint a b0 vízszintes nyíl az s, s1 függőleges izomorfizmusok α0 mentén kiterjed valamely τ függőleges izocellává, amivel a κa :“ cella szintén τ reflexiója lesz a-nak, és épp kA , kA1 mentén.

FA B Û

F

5.11. Tétel. Legyen x , pkA qA , pκa qa y egy reflektív kettős ág ( : ). Ez meghatároz egy K : ÝÑ (kettős gráf)-morfizmust, amely megtartja a cellák és függőleges nyilak függőleges kompozícióját, valamint minden vízszintes

A

B

pa1 a2 ...an qK %a1 , .. ,an

nyilakból álló összefűzhető xa1 , a2 , . . . , an y n-eshez adódik egy a1

K

a2

K

...an

5)

B-

K

beli speciális cella (n “ 0-ra, minden A ponthoz, mint 0 hosszú úthoz, adott egy p1 A qK %A

9 $ ), amiknek az összessége:

1 pAK q a1

(i) természetes: minden x  n-esre:

α1 x1

/

an

,...,  /

αn xn

/

y vízszintesen egymáshoz fűzhető cella/

pα1 ˛ . . . ˛ αn qK %a1 ,...,an “ . α1 K ˛ . . . ˛ αn K %x1 ,...,xn

Az n “ 0 – egy objektum és vízszintes egységnyilának – esete is ide értendő: minden f : A Ó A1 függőleges nyílra %A 1 pf K q

“

p1 f qK ; %A1

(ii) koherens: Az 1 hosszú út esetére mindegyik %a “ laK , illetőleg, amennyiben a1 , . . . , an egymáshoz fűzhető vízszintes nyilak, és 0 ď i´1 ď j ď n egy zárójelpárt jelöl ki, akkor a megfelelő -beli illetve -beli ιij koherencia izomorfizmusokkal -ben:

A

B

la1 K

B

pιij qK %a ,a ,...,an %a1 , .. pai , .. ,aj q .. ,an “ 1 2 ιij ˛ la2 K ˛ .. ˛ %ai , .. ,aj ˛ .. ˛ lan K

5.12. Definíció. Azokat a kettős kategóriák közti (kettős gráf)-morfizmusokat, amelyek eleget tesznek a tétel állításában foglaltaknak, kolaza funktoroknak, és az ehhez tartozó %a1 , .. ,an és %A speciális cellákat (kolaza) különbözeti celláknak nevezzük. Vö. [Gran-Pare], vagy „unbiased lax functor” [Leinster]-ben. 57

A kolaza funktor (függőleges) duálisa a laza funktor, ennek a különbözeti cellái K tehát a1 K ˛ . . . ˛ an K ó pa1 ˛ . . . ˛ an q illetve 1 pAK q ó p1 A qK alakú speciális cellák, amik az (i)–(ii) feltételek duális megfelelőinek tesznek eleget. Ha mindegyik különbözeti cella invertálható (függőlegesen), akkor pszeudofunktorról beszélünk, ami tehát egyaránt tekinthető laza és kolaza funktornak is. Ha speciálisan egy F pszeudofunktor különbözeti cellái függőlegesen identitások, akkor F -et erős funktornak hívjuk, és ekkor szükségszerűen a1 F ˛ . . . ˛ an F “ F pa1 ˛ . . . ˛ an q . Teljes indukcióval könnyen igazolható, hogy a koherencia [(ii) feltétel] miatt a 2 és a 0 változós esetre vett összes %a1 ,a2 és %A különbözeti cellák együttesen már meghatározzák a többi %a1 , .. ,an cellákat (n ą 2).

F

A tétel bizonyítása. Az adott x , pkA qA , pκa qa y reflektív ágból kiindulva konstruálunk Ñ egy K : ÝÑ kolaza funktort, a 2.7. tétel a) részét alkalmazva az ‚ és kategóriákra:

A

B

F

F

A

A pontokon: Minden egyes -beli A objektumhoz a rögzített, A-ból induló kA függőleges reflexiónyíl ( -beli) végpontja legyen AK . Tehát kA : A Ó AK .

B

A

A függőleges nyilakon: Ha h : A Ó A1 függőleges nyíl -ban, akkor a reflexió h tulajdonság miatt egyértelműen átvezethető kA -n, ez az egyértelmű nyíl legyen kA1 h kA h képe: “ K. kA1 h A vízszintes nyilakon: Minden egyes -beli a : A Ñ A1 vízszintes nyílhoz a rögzített kA , kA1 menti κa reflexiócella alja (ami egy -beli vízszintes nyíl) legyen az aK . Tehát, κa : a ó aK . α A cellákon: Minden α : a ó a1 cella esetén az egyértelműen átvezethető κa1 α κa κa -n, -beli vetületét jelöljük αK -val: “ K. κa1 α

A

B

B

A 2.7. tétel alkalmazásával látszik, hogy ez a K leképezés megtartja mind a függőleges nyilak, mind a cellák függőleges kompozícióját (és a függőleges identitásokat is), így többek között egy függőleges izocella képe újfent függőleges izocella lesz.

A

Az adott xa1 , . . . , an y -beli vízszintes úthoz tartozó %a1 ,...,an különbözeti cella szintén a reflexiók révén jön: tekintsük ugyanis a κa1 ˛. . .˛κan vízszintes kompozíciót, ez egy a1 a2 . . . an ó a1 K a2 K . . . an K átmenő cella, és mint ilyen, egyértelműen átvezethető a κa1 a2 ...an reflexiócellán. Hasonlóan keletkezik %A : p1 A qK ó 1 pAK q is: κa1 ˛ . . . ˛ κan “

κa1 a2 ...an %a1 ,...,an

illetve

1 kA “

κ1A %A

Az ezekre tett természetességi és koherencia kitételek is a reflexió tulajdonság miatt érvényesek. A %A -k természetessége abból adódik, hogy ha f : A Ó A1 , akkor – az 58

f K értelmezése szerint – át a κ 1 A cellán:

f kA 1 kA 1f “ , tehát “ , és mindkettőt vezessük fK kA1 1 pf K q 1 kA1

κ1A κ1A 1f %A “ 1 kA “ 1 f “ κ 1 A “ p1 f qK 1 1 pf K q 1 kA1 1 pf K q %A1 %A1

ùñ

%A 1 pf K q

“

p1 f qK %A1

Hasonlóan, az n hosszú utak esetére: ha αi : ai ó xi vízszintesen egymáshoz fűzhető -beli cellák, akkor – az αi K értelmezése szerint – κan α1 αn α1 ˛ . . . ˛ αn κa1 ˛ . . . ˛ κan κa1 ˛ ... ˛ “ ˛ ... ˛ “ “ K α1 K ˛ . . . ˛ αn K α1 αn K κx1 κxn κx1 ˛ . . . ˛ κxn

A

amit, ha átvezetünk κa1 a2 ...an -n, a kívánt (i)-beli összefüggéshez jutunk. A (ii): koherencia feltételt csak az n “ 3, i “ 1, j “ 2 esetre vezetjük le, az átláthatóság kedvéért, de pont ugyanígy lehet az általános esetben is. Egyrészt, a %a,b,c definíciójából kapjuk az alábbi egyenlet bal oldalát, másrészt az kettős kategória cellái vízszintes kompozíciójának zárójelezéséből kapjuk a jobb oldali egyenlőséget: ι12 κabc pκ ˛ “ κa ˛ κb ˛ κc “ a κb q ˛ κc . %a,b,c ι12-1 κab Ezt tovább alakíthatjuk, felhasználva %a,b definícióját, κa ˛ κb “ , s utána a %a,b κab ˛ κc “ felcserélési tulajdonságot, valamint a %ab,c definícióját: pκa ˛ κb q ˛ κc “ %a,b ˛ lcK κpabqc %ab,c : %a,b ˛ lcK ι12 κabc ι12 κabc K %a,b,c “ κa ˛ κb ˛ κc “ κab ˛ κc “ κpabqc “ ι12 % % ab,c ab,c ι12 %a,b ˛ lcK ι12 %a,b ˛ lcK %a,b ˛ lcK

F

amiből már következik az állítás.

A

B

Lényegében tehát az ÝÑ kolaza funktorok azonosíthatók a rögzített refkettős ágakkal. lexiónyilakkal és azok menti reflexiócellákkal ellátott

5.13. Tétel (Az 5.10. és 5.11. duálisai). A következők érvényesek: 1.) Legyen egy vízszintesen invariáns kettős kategória, és legyen adott az kettős ág, amelyben:

B

A

F:A

Û

Û

A B

B

- Minden -beli vízszintes nyílnak van olyan koreflexiócellája, amelynek mind a bal-, mind a jobb oldala függőleges koreflexiónyíl.

F-en értelmezhető egy koreflektív kettős ág struktúra. 2.) Minden koreflektív kettős ág A B meghatároz egy L : B ÝÑ A laza funktort. Û

Ekkor

59

Ugyanúgy, ahogy egy funktorból funktoriális illetve ko-funktoriális ágat lehet konstruálni formális alap átmenő nyilak hozzávételével, lehet értelmezni egy K kolaza- illetve egy L laza funktorból keletkező, a fentieknek megfelelő reflektív illetve koreflektív kettős ágat. 5.14. Definíció (K˚ konstrukciója). Legyen K : ÝÑ egy tetszőleges kolaza funktor. Értelmezzük az ehhez tartozó K˚ : kettős ágat a következőképpen: az átmenő nyilai legyenek az xA, gy párok (A P Ob , g : AK Ó B (g P ), B P Ob ), átmenő cellái pedig az xa, βy Ñ Ñ párok (a P Ob , β : aK ó b, (β P ), b P Ob ). Egy ilyen xa, βy átmenő cella bal oldala legyen az xA, gy átmenő nyíl, jobb oldala az xA1 , g1 y, amennyiben Û

A A B

a : A Ñ A1 és

B

A A

B

aK/ g



β b

/

g1

B

B

B

.

Legyenek az alap átmenő nyilak (a koreflektív struktúra alkotó nyilai) a kA :“ xA, lAK y nyilak: mindegyik átmenő nyíl egyértelműen írható

kA alakban. Hasonlóan, a g

κa :“ xa, laK y

A

cellák legyenek az alap átmenő cellák. -nak a felülről való hatása, akárcsak a 2.7. esetben, a szóban forgó -beli cella/függőleges nyíl K képén át értelmezendő:

A

A kA

xa, βy “

 AK g

a κa aK

/ A1 kA1

 / AK 1

g1

β

 b

a1

α αK :“ xa1 , y xa, βy β

/

α

f

 

a κa aK

/

a1 κa1

f1

/ “  /

fK



αK aK

/ / /

f1K

Az átmenő nyilak vízszintes egységcelláit és az átmenő cellák vízszintes kompozícióját a K-val együtt adott %p .. q különbözeti cellák segítségével értelmezzük: %A y 1g xa1 , β1 y ˛ . . . ˛ xan , βn y :“ xa1 .. an , 1 xA,gy :“ x1 A ,

%a1 , .. ,an y. β1 ˛ .. ˛ βn

A különbözeti cellákra vonatkozó természetességi és koherencia feltételek biztosítják, hogy K˚ valóban kettős ág lesz.

B

A

A B

A

60

Û

Duálisan konstruálható egy L : ÝÑ laza funktorhoz tartozó L˚ : kettős ág is, xf, By alakú átmenő nyilakkal és xα, by alakú átmenő cellákkal (B, b P , f B L -be menő függőleges nyíl -ban, α pedig egy cella, aminek alja bL ).

B

————–o————– Példák.

RING

MND

5.14.1. Megadható egy ÝÑ laza funktor (ld. 5.3.5. példa), ami „elfelejti” az additív struktúrát. Ha M : R ´ S és N : S ´ T bimodulusok (R, S, T egységelemes gyűrűk), az M ˆ N biakt tenzorszorzat és az M b N bimodulus S

S

tenzorszorzat között egy M ˆ N Ñ M b N irányú leképezés (biakt-morfizmus) S

S

adódik, ez lesz a %M,N különbözeti cella. Û

MND RING

Az ehhez tartozó kettős ágnak az átmenő A Ó R függőleges nyilai a monoidhomomorfizmusok A Ñ xR, ¨y, az átmenő cellái a bal és jobb szélen adott homomorfizmusok menti biakt-morfizmusok, amiknek a vízszintes kompozícióját a fenti %M,N -ek segítségével értelmezhetjük. 5.14.2. Hasonlóan keletkezik egy 5.3.4. és 5.3.6. példák).

CAT ÝÑ SET

„felejtő" laza funktor is (ld.

Û

Û

5.14.3. Ahogy azt az 1. fejezetben láttuk, minden B bikategóriához a hom-kategóriák révén adódik egy homB : Bop ˆ B ÝÑ Cat pszeudofunktor. Ez a fentiek értelmében meghatároz egyfelől egy pBop ˆ Bq Cat kettős ágat, másfelől egy Cat pBop ˆ Bq kettős ágat. A következő állítás leírja a laza funktorokat néhány igen egyszerű (2-) kategóriából. Ezek a laza különbözeti cellákkal direktben is levezethetőek, azonban mi az előző tétel fényében, koreflektív ágakkal kívánjuk szemléltetni. A c). részben választ adunk Böhm Gabriella egy, a Rényi Intézetben tartott algebra szemináriumon felvetett kérdésére. Figyelmeztetünk, hogy amikor alább leírjuk

BimodpBq-t, akkor implicite feltételezzük, hogy a B bikategóriában lokálisan léteznek a koegyenlítők; ezt azonban csak az említett c) pontban kell ténylegesen felhasználni. 5.15. Állítás. Vegyük az alábbi kategóriákból csak identikus 2-cellák hozzávételével (az 1.1.3. példa alapján) nyert 2-kategóriákat, illetve az ezekből az 5.3.2. példa alapján készített kettős kategóriákat, csak identikus függőleges nyilakkal (az objektumokhoz tartozó 1 Z , 1 X , 1 Y egységnyilakat nem jelöltük): » fi „  ” ı f f + Y fl / Y , Izo :“ – X l Egy :“ Z , Nyil :“ X f

D

-1

Legyen adott egy kettős kategória, és legyen B a vízszintes bikategóriája (B :“ ñ ô ). A következők érvényesek: a) Az Egy-ből -be menő laza funktorok épp a B-beli belső monoidoknak felelnek meg, azaz BimodpBq objektumainak.

D

D

61

D

b) A Nyil-ból -be menő laza funktorok épp a B-beli belső bimodulusoknak felelnek meg, azaz BimodpBq nyilainak. c) Az Izo-ból -be menő laza funktorok épp a B-beli monoidok közti Moritaösszefüggéseknek felelnek meg, azaz BimodpBq Morita-összefüggéseinek.

D

L

LD

Û

Bizonyítás. a) Legyen adva egy x , l, λy koreflektív kettős ág ( : Egy). Ebben tehát l az Egy objektumának, Z-nek a koreflexiónyila, és λ az identitásának, az a / 1 Z nyílnak a koreflexiócellája. Jelölje a :“ p1 Z qL , ez tehát λ teteje: l  λ  l , és λ / 1Z

vízszintesen önmaga mellé illeszthető. Ekkor a koreflexivitásból adódóan minden n-re az n-szeres vízszintes kompozíció, λ ˛ λ ˛ . . . ˛ λ egyértelműen átvezethető µn λ-n: λ ˛ λ ˛ . . . ˛ λ “ , méghozzá egy speciális µn cellával (voltaképpen µn “ λ % 1 Z ,1 Z , .. ,1 Z a laza különbözeti cella). Az

L vízszintes bikategóriájának koherencia axiómájából (avagy a különbözeti

µ2 ˛ lm lm ˛ µ2 l µ3 l , µ2 µ2 félcsoport művelet lesz a-n, és hasonlóan, hogy µ0 p“ %Z q hozzá az

cellákra vonatkozó koherencia kritériumból) adódik, hogy azaz µ2 egység.

Fordítva, tetszőleges belső monoidot hozzárendelhetünk 1 Z -hez, az egy laza funktort határoz meg, aminek a különbözeti cellái az egységéből és a műveletéből származtathatóak a fenti módon.

L

LD

D

Û

b) Legyen x , plX , lY q, pλX , ϑ, λY qy egy koreflektív kettős ág ( : Nyil). Ahogy előbb, 1 X és 1 Y koreflexiója egy-egy monoid lesz -ben, jelölje ezeket a : A Ñ A és b : B Ñ B, ekkor λX és λY a hozzájuk tartozó koreflexiócellák. Ugyanakkor, u/ L legyen u az f koreflexiója (u :“ f ), a ϑ koreflexiócellával: lX  ϑ /  lY . f

Ekkor a λX ˛ϑ és a ϑ˛λY vízszintes kompozíciók mind egyértelműen átvezethetők ϑ-n, és a kovetületek rendre a bal oldali és a jobb oldali hatást határozzák meg u-n: σu :“ % 1 X ,f és u δ :“ %f,1 Y . Hogy ezek valóban hatások (az 1.12. def. értelmében), az a λX ˛ λX ˛ ϑ valamint a ϑ ˛ λY ˛ λY átvezetéséből és kétféle zárójelezéséből következik, és ugyanígy, a λX ˛ ϑ ˛ λY átmenő cella mutatja, hogy egymással felcserélhetőek. Hasonló gondolatmenettel látható, hogy fordítva, egy B-beli bimodulus is meghatároz egy Nyil ÝÑ laza funktort (a különbözeti cellák a monoidműveletek és monoidhatások lesznek).

D

L

LD

D

62

Û

Izo), ahol c) Legyen x , plX , lY q, pλX , ϑ, λY , νqy egy koreflektív kettős ág ( : is, a fenti jelöléseket folytatva, ν jelöli az f -1 nyíl koreflexiócelláját, és jelöljük továbbá v-vel ennek a tetejét (v :“ pf -1 qL P ). Ekkor tehát az előbbiek alapján v is belső bimodulus lesz a b és a monoidok közt (hatásokkal ellátva vastag

B

betűvel írjuk: v). Jelöljük ezeket a ( -ben élő) bal- és jobb oldali hatásokat a következőképpen: σu : au ó u,

u δ : ub

ó u, σv : bv ó v,

v δ : va

ó v.

(Ezek mellékesen rendre a % 1 X ,f , %f,1 Y , % 1 Y ,f -1 és %f -1 ,1 X laza különbözeti cellák.) Mivel f ˛f -1 “ 1 X , a ϑ˛ν vízszintes kompozíció uv ó 1 X alakú, ami átvezethető 1 X ϕ0 koreflexióján, λX -en, legyen ϕ0 :“ %f,f -1 : uv ó a. Tehát ϑ ˛ ν “ . Ugyanígy, λX a ν ˛ ϑ vízszintes kompozíció λY -n való átvezetésével kapjuk a ψ0 :“ %f -1 ,f : vu ó b speciális cellát. Csakhogy BimodpBq-ben u és v vízszintes kompozíciója nem az uv nyíl, hanem egy koegyenlítővel nyert tenzorszorzat (ld. 1.13. def.), vagyis ϕ0 -t még át kell vezetni az uv ùñ uv koegyenlítőn és ugyanúgy ψ0 -t is a vu ùñ vu -n. Tekintsük ehhez a ϑ ˛ λY ˛ ν kétféle átzárójelezését: uδ v lv uδ v “ “ ϕ0 ϑ ν ϑ˛ν λX u σv lu ˛ σv ϑ ˛ λY ˛ ν l ϑ ˛ pλY ˛ νq “ “ ϕ0 ϑ˛ν λX

ϑ ˛ λY ˛ ν l pϑ ˛ λY q ˛ ν “

uδ

˛

(Cellákkal lerajzolva:) u lA



lX



/

b

uδ

/

v

lB

u

/

ϑ

lY

lv v

/

ν

/

f

/

f

-1

/

u

lA

l lX



ϑ f

/ /

b λY 1Y

/

v

/

lA

ν

/ f

-1

/

l



lX



u

/

lu

lB

b

/

v

σv

/ lA

u

/

v

/

ϑ

lY

ν

lX

f

/

f

-1

/

Azt kapjuk, hogy a B bikategóriában u δ v ¨ ϕ0 l u σv ¨ ϕ0 , vagyis hogy ϕ0 valóban áthalad az uv-n. Innen adódik a keresett Morita-összefüggés ϕ : uv ó a alkotó cellája, ami (a-a-bimodulus)-morfizmus, és persze duálisan ennek a párja, ψ, a ψ0 : vu ó b -ből kiindulva. Már csak a Morita-összefüggés tulajdonságot kell belátni, miszerint ϕu l uψ, illetve ennek a v bimodulussal vett párját. Ehhez vegyük most a pϑ ˛ νq ˛ ϑ l ϑ ˛ pν ˛ ϑq két oldalának koreflexióját. Ez oda ϕ0 u uψ0 l , amiből már egyenesen következik a kívánt állítás, vezet, hogy B-ben σu uδ tekintve, hogy az au – u és ub – u koherencia-izomorfizmusok definíció szerint a σu és u δ hatásokkal adhatók meg. Fordítva, a fentiek alapján minden BimodpBq-beli Morita-összefüggéshez értelmezhetünk egy Izo ÝÑ laza funktort.

D

63

A B

SET a halmazok kettős SET laza funktorok egy az

5.16. Állítás. Legyenek és kettős kategóriák, és kategóriája (ld. 5.3.6. pl). Ekkor az co ˆ Ñ egyben megfeleltethetőek az kettős ágaknak.

A

Û

Û

A B F:A B

B

Bizonyítás. Egy adott kettős ágból kiindulva egy neki megfelelő co : ˆ koreflektív kettős ágat adunk meg, amihez az 5.13. tétel értelmében egy laza funktor tartozik. Adott X P Ob és xA, By P Obp co ˆ q közti X Ó xA, By függőleges nyilak -ban legyenek az X Ñ ‚ pA p Bq függvények. E / s , hogy E : X ´ Y páros gráf, x a , t b y Valamint, ha adottak -ban  / AÑA1 BÑB1

B

Û

U SET A

SET

U

A

F

B

U

xa,by

vízszintes nyílpár, és t : X Ó xA, By és s : Y Ó xA1 , B1 y imént bevezetett átmenő Ñ nyilak, akkor egy -beli cella köztük egy olyan E Ñ pa p bq leképezés legyen, a/ amely E minden e : x Ñ y élét egy -beli xt  /  ys cellába viszi. A függőleges

U

F

F

b

összefűzés (felülről és alulról való hatás) kézenfekvő: felülről egyszerű függvénykompozíció, alulról pedig egy t : X Ó xA, By és egy x f , g y P p co ˆ q függőleges nyíl, A1 ÓA BÓB1

A

B

valamint egy Φ : E ó xa, by átmenő cella és egy x α , β y cella kompozíciója: a1 óa bób1

¨ ˛ α Φ :“ ˝e ÞÑ eΦ ‚ . xα, βy β

¨ ˛ f t :“ ˝x ÞÑ xt ‚, xf, gy g

A vízszintes kompozíció hasonlóképpen jön, az kompozícióinak a segítségével: X

E

t

Φ

 xA, By

U

xa,by

E1

X1 t1

 / xA1 , B1 y

Φ1

F-beli átmenő cellák vízszintes

X2 t2

 / xA2 , B2 y

xa1 ,b1 y

xe, e1 y _ Φ˛Φ1

 eΦ ˛ eΦ1

Ez az kettős ág szemmel láthatólag koreflektív: egy xA, By objektum koreflexiója az ‚ pA p Bq függőleges hom-halmaz, egy xa, by : xA, By Ñ xA1 , B1 y Ñ vízszintes nyílé pedig az a ó b cellák pa p bq „hom-gráfja” ‚ pA p Bq ´ ‚ pA1 p B1 q. Tehát az 5.13. tétel értelmében ez egy co ˆ Ñ laza funktornak felel meg.

F

F

A

B SET

F

F

Fordítva, ha adott egy ilyen laza funktor, F , akkor tekintsük az xA, ByF halmaz elemeit függőleges átmenő A Ó B nyilaknak és az xa, byF gráf éleit a ó b celláknak, ezáltal egy kettős ágat értelmezhetünk, amiben a vízszintes kompozíció a laza különbözeti cellákból, – avagy ekvivalensen, a megfelelő koreflektív kettős ág vízszintes kompozíciójából – adódik. Û

A B

64

A

B

Legyenek F, G : ÝÑ laza funktorok. [Gran-Pare] 7.3. alapján egy Ψ : F ó G függőleges transzformáció alatt egy olyan hozzárendelést értünk, amely minden A P Ob ponthoz egy AΨ : AF Ó AG függőleges nyilat és minden a : A Ñ A1 P

A

vízszintes nyílhoz egy aΨ :

A

aF / AΨ

 G

/

AΨ 1

cellát rendel úgy, hogy

a

F F 1. Minden xa1 , . . . , an y vízszintes úthoz (n ě 0) adott %F a1 ,..,an : a1 . . . an ó F G G G G pa1 . . . an q és %a1 ,..,an : a1 . . . an ó pa1 . . . an q különbözeti cellákkal: Ψ %F aΨ a1 ,..,an 1 ˛ .. ˛ an “ . pa1 . . . an qΨ %G a1 ,..,an

2. Minden α : a ó a1 P

A cellára

αF aΨ “ . αG aΨ 1 Függőleges transzformációk kolaza funktorok között is értelmezhetőek, duális feltételekkel.

A következőkben a 2.10. tételt interpretáljuk a kettős kategóriák körében, több aspektusból. Először is belátjuk, hogy az imént értelmezett (ko-)laza funktorok közti függőleges transzformációk kölcsönösen megfelelnek az általuk meghatározott kettős ágak közti morfizmusoknak (DbProf -beli 2-celláknak). 5.17. Tétel. Legyenek

A

B

A

B

A és B kettős kategóriák. A következő állítások teljesülnek:

(i) Ha F, G : ÝÑ laza funktorok, akkor az F ó G függőleges transzformációk és az F ˚ Ñ G˚ (kettős ág)-morfizmusok kölcsönösen egyértelműen meghatározzák egymást. (ii) Ha F, G : ÝÑ kolaza funktorok, akkor az F ó G függőleges transzformációk és a G˚ Ñ F˚ (kettős ág)-morfizmusok kölcsönösen egyértelműen meghatározzák egymást.

B A B

A

Û

Bizonyítás. (i) Ha F, G laza funktorok, akkor F ˚ és G˚ mindkettő kettős ág. ˚ ˚ Legyen ϑ : F Ñ G (kettős ág)-morfizmus, vagyis egy -ra és -re megszorítva β identikus erős funktor (5.7. megj). F ˚ átmenő cellái egyértelműen írhatóak ϕa alakba, ahol ϕa “ xlaF , ay P F ˚ alap átmenő cella ( Q β : b ó aF ), ezért ϑ-t meghatározzák a pϕa qϑ képek – ezek a széleikkel már az xlAF , Ay : AF Ó A alap β átmenő nyilak képeit is meghatározzák –, amik viszont egyértelműen írhatóak γa alakba (γa “ xlaG , ay P G˚ ). Ezek a -beli β : aF ó aG -k alkossák a keresett Ψ : F ó G függőleges transzformációt (azaz, aΨ :“ β). Hasonlóan értelmezhetjük az AΨ : AF Ó AG függőleges nyilakat (A P Ob ).

B

B

A

Fordítva, adott Ψ : F ó G függőleges transzformációhoz a ϑ : F ˚ Ñ G˚ (kettős ág)-morfizmust az alap átmenő cellákra és függőleges nyilakra értelmezhetjük a Ψ 65

A-ra és B-re identikusan. G˚ q, mindkettő A B kettős ág, Û

segítségével a fentiek szerint, és ez automatikusan kiterjed

(ii) Ha F, G kolaza funktorok, akkor F˚ és amiben az alap átmenő cellák a ó aF illetve a ó aG alakúak. Most egy ϑ : G˚ Ñ F˚ (kettős ág)-morfizmus fog meghatározni F ó G függőleges transzformációt, ugyanis az a ó aG alap átmenő cella ϑ-nál vett F˚ -beli képe megint a ó aG alakú, aminek a vetülete egy aF ó aG -beli cella.

B

66

6. Kolaza/laza adjunkciók Akárcsak a 2.7. tételnél, kettős ágra is igaz, hogy ha egyszerre reflektív – ami által egy kolaza – és koreflektív – ami által egy laza funktort határoz meg –, akkor az egy adjunkciónak felel meg. A továbbiakban előkészítjük a szükséges fogalmakat a Grandis-Paré féle kolaza/laza adjunkció definíciójához, és bebizonyítjuk, hogy az valóban ekvivalens a fentivel. Az elegáns bizonyításhoz azonban kilépünk a Verity-féle (mindkét irányban gyengén asszociatív) kettős kategóriák körébe, melyeket akkurátusan csak a függelékben vezetünk be, a köztük menő pszeudofunktorokkal együtt, ld. B.1 és B.3. def. Mint látni fogjuk, a 6.1. definíció és a 6.2–6.3. állítások némi megfontolással Verity-féle kettős kategóriákra is kiterjeszthetőek lesznek. 6.1. Definíció. Legyen f : A Ó B egy függőleges és u : A Ñ B egy vízszintes nyíl egy kettős kategória ugyanazon két objektuma között. Azt mondjuk, hogyf vízszintes kísérője az u (idegen szóval „companion”-ja), ugyanakkor u függőleges u/ 1A / f kísérője az f , amennyiben adott hozzájuk egy η : lA  f és egy ε :  /  lB /

D

1B

u

cella, amelyekkel

η “ 1f . ε Ha a definíciót vízszintesen megfordítjuk (azaz az adott η ˛ ε l lu és

D

D kettős kategória helyett

annak op vízszintes ellentettjében nézzük), a kettős kategóriabeli (ortogonálisan) adjungált nyilak definíciójához jutunk. Tehát, egy f : A Ó B függőleges nyíl v / 1A / vízszintes adjungáltja a v : B Ñ A, ha adottak hozzájuk f  η  lA és lB  ε /  f / 1B

v

cellák, amelyekre ε ˛ η l lv

η “ 1f . és ε

Ezek után, [Gran-Pare2] egy kolaza- és egy laza funktor adjungált voltát úgy értelmezi, mint egy adott kettős kategóriabeli adjunkciót, ahol is objektumai a pszeudo kettős kategóriák, vízszintes nyilai a laza funktorok, és függőleges nyilai op a kolaza funktorok. A cellái – alkalmazva a 6.5. tételben írt ãÑ pDbProf q beágyazást – felfoghatóak DbProf -beli 2-cellákként is, azaz (kettős ág)-morfizmusokként, vö. 6.4. def.

Dbl

Dbl

Dbl

Q

D

6.2. Állítás. Legyen f : A Ó B egy függőleges nyíl egy adott kettős kategóriában. Ekkor f kísérője illetve adjungáltja, ha létezik, speciális függőleges izocella erejéig egyértelmű. Bizonyítás. Elég az adjunkcióra vonatkozó állítást belátni: /

1A

/

1A 1

Legyen v és v : B Ñ A is vízszintes adjungáltja f -nek,

67

f



η v

/

lA

,

f



η1 v1

/

lA

egységekkel és

lB



v

/

ε

/

f

,

v1 / lB

1B

/

f

koegységekkel.

1B

Legyenek ϕ :l ε ˛ η 1 és vóv 1

ε1



ψ :l ε1 ˛ η, mindketten speciális cellák. Megmutatjuk, v 1 óv

hogy ezek egymás inverzei: η1 ϕ ε ˛ η 1 ˛ 1˝A ˛ η “ ε ˛ 1 f ˛ η l ε ˛ η l lv l ˝ “ ε ˛ ψ 1B ˛ ε1 ˛ η ε1 Mivel pedig az lv cellának és Ugyanígy,

ϕ ϕ -nek is ténylegesen a v az alja és a teteje is, “ lv . ψ ψ

ψ “ lv1 . ϕ

Dñ

Megjegyzendő, hogy fordítva is igaz ez, ha v – v 1 a ô vízszintes bikategóriában, és f függőleges adjungáljta v-nek, akkor v 1 is az lesz: az adjunkció egységét és koegységét az adott izomorfizmus 2-cellával kell komponálni megfelelőképpen. Ugyanez igaz kísérő párokra, valamint a függőleges-vízszintes irányok megcserélésével. ————–o————– Az 5.3.7. példában bevezetett Ehresmann-féle kvintett konstrukció, ahogy ott is jeleztük, értelmezhető bikategóriára is, csakhogy akkor a kapott kettős kategória mindkét irányban gyengén asszociatív lesz, ami nem tesz eleget az 5.3. definíciónak (mivel a monoidműveletnek szigorúan asszociatívnak kell lennie). A következő egyszerű állításnak, mely a 6.6. tétel egyik alappillére, az egzakt tálalásához tehát ki kell tekintenünk a B. függelékben bevezetett Verity-féle kettős kategóriák körébe.

Q

6.3. Állítás. Legyen B egy bikategória, és pBq a négyzeteinek (kvintetteinek) Verity-féle kettős kategóriája. Ekkor egy-egy B-beli f , g nyílra a következők teljesülnek: 1. f vízszintes adjungáltja g-nek 2. f kísérője g-nek

Q

QpBq-ben ô f és g adjungáltak B-ben: f % g.

QpBq-ben ô f és g izomorfak B-ben: f – g.

Bizonyítás. A pBq-beli adjunkciót B-ben felírva egy az egyben az adjunkció bikategóriában értendő definícióját kapjuk (1.7. def), az 1 A ùñ 1 A 1 A és 1 B ùñ 1 B 1 B koherencia-izomorfizmusokkal tarkítva. A másik állításhoz az f ùñ f 1 B , g ùñ g 1 B és az 1 A f ùñ f , 1 A g ùñ g koherencia-izomorfizmusokat kell használni, ezekkel komponálva ε-t és η-t, a kapott f ùñ g és g ùñ f 2-cellák egymás inverzei lesznek.

Dbl

Dbl

6.4. Definíció ( ,[Gran-Pare]). Legyenek a kettős kategória objektumai a kettős kategóriák, vízszintes nyilai a laza-, függőleges nyilai a kolaza funktorok. Ha most , , , kettős kategóriák, köztük K : Ñ és K 1 : Ñ kolaza,

ABCD

A C

68

B D

A Ñ B és L1 : C Ñ D laza funktorok, akkor egy Dbl-beli A B ϕ: K  K cella egy olyan xϕ0 , ϕy (természetes transzformáció)-pár legyen C L /D az LK 1 és KL1 által meghatározott A‚ Ñ D‚ és A Ñ D funktorok közt, valamint L : L /

1

1

Ñ

Ñ

amely eleget tesz a következőknek:

A

D

1

1. Ha a : A Ñ A1 egy -beli vízszintes nyíl, akkor az aϕ -beli aLK ó aKL1 cella bal oldala az Aϕ0 és jobb oldala az A1 ϕ0 -beli függőleges nyíl.

D

A

2. Minden -beli vízszintes xa1 , . . . , an y úthoz a következő hatszög kommutál: K1

D

Ñ

nyílkategóriabeli

ϕ

p% q 1 pa1 .. an q L K 1 _ _L _ _/ paL q pa1 .. an qLK _ _ _ _/ pa1 .. an qKL1 1 .. a  n    %K 1  #  p%K qL1    % LK 1 LK 1 _ _ _ _/ KL1 K K L1 KL1 _ _L1_ _/ a1 .. an a pa .. a .. a nq n 1 ϕ 1 ϕ a1 ˛ .. ˛an

D

Ahol tehát mindegyik nyíl egy -beli cellát jelöl, és %L , %K 1 , %K és %L1 rendre az L-hez adott %a1 , .. ,an laza, a K 1 -höz adott %aL1 , .. ,aLn kolaza, a K-hoz adott %a1 , .. ,an kolaza és az L1 -hez adott %aK K laza különbözeti cellák. 1 , .. ,an Speciálisan, n “ 0-ra, egy adott A objektum esetére, ez így értendő: K1

ϕ

1 p1 A q 1 p%L q p1 AL qK _ _ _/ p1 A qLK _ _ _/ p1 A qKL1     L1 %K 1 #  p%K q  %L1 1 ALK 1 _ _ ϕ_ _/ 1 AKL1 _ _ _/ p1 AK qL1

1A

0

Ha adva vannak az alábbi ϕ “ xϕ0 , ϕy, ψ “ xψ0 , ψy és ϑ “ xϑ0 , ϑy cellák:

A

ϕ

K



C

T

/

L



E

B

U

1

ψ

K



D

/

L1 ϑ

/

L2



T

U1

/ /

X 

K2

Y

1

F

ϕ függőleges kompozícióját a következőképpen akkor ezek ϕ ˛ ψ vizszintes és ϑ értelmezzük: Ñ Egy adott A P Ob objektumhoz és a P Ob vízszintes nyílhoz:

A

A

Aϕ˛ψ :“ ϕ Aϑ

L ψ0

pA q pAϕ0 qU1

aϕ˛ψ :“

1

:“

pAϕ0 qT pAK qϑ0

ϕ aϑ

69

paL qψ paϕ qU1 1

:“

paϕ qT paK qϑ

A (ko-)laza funktorok kompozíciója, valamint a cellák függőleges és vízszintes kompozíciója is szigorúan asszociatív (mivel a fenti -beli illetve -beli függőleges kompozíción alapszanak), így is szigorúan asszociatív lesz.

Y

Dbl

F

A következő tétel előtt megemlítjük, hogy a 2.11. állítás szerint minden F F / G funktorok, akkor funktorra F˚ % F ˚ , valamint a 2.10. tétel alapján, ha U  / V

az F G ùñ U V természetes transzformációk megfelelnek az U˚ V˚ Ñ F˚ G˚ avagy a G˚ F ˚ Ñ V ˚ U ˚ ágmorfizmusoknak. Másrészt, ha alkalmazzuk az adjungáltak 1.6. utáni megjegyzésben írt tulajdonságait a funktorokból nyerhető Prof -beli adjunkciókra, speciálisan, hogy ˛pV˚ q % ˛pV ˚ q, és pF ˚ q˛ % pF˚ q˛, azt kapjuk, hogy ezek az U˚ V˚ Ñ F˚ G˚ ágmorfizmusok továbbá megfeleltethetőek az U˚ Ñ F˚ G˚ V ˚ , majd az F ˚ U˚ Ñ G˚ V ˚ ágmorfizmusoknak is.

Dbl

Q

op 6.5. Tétel. A kettős kategória lokálisan teljesen beágyazható a pDbProf q Verity-féle (mindkét irányban gyengén asszociatív) kettős kategóriába.

Dbl

A B B A A C

C

Û

A

Û

Bizonyítás. Az objektumok megegyeznek. Egy -beli L : ÝÑ vízszintes nyílhoz, azaz laza funktorhoz, kontravariánsan az L˚ : kettős ágat, egy kettős ágat K : ÝÑ függőleges nyílhoz, azaz kolaza funktorhoz, a K˚ : rendeljük hozzá. Ha ϕ : LK 1 ùñ KL1 , mint fent, egy tetszőleges cella -ben, akkor ő egy

QpDbProf q-beli

B A  ϕ˜  K DL /C

Dbl

L˚ /

1 K˚

˚

cellát, azaz egy

L˚ K˚ Ñ K˚1 L˚1

(kettős ág)-

˚ 1

morfizmust határoz meg, a következőképpen: Jelöljük L˚ alap átmenő celláit λa -val (λa : aL ó a), K˚ -éit κa -val (κa : a ó aK ), Ñ minden a P Ob vízszintes nyílhoz. A konstrukció alapján (??. def.) az L˚ K˚ kompozíció minden átmenő cellája β κa x , y alakban írható (β P , γ P ), s mivel -nek a felülről való- és λa γ nek az alulról való hatását meg kell őrizze ϕ˜ (másképpen mondva, -re és -re megszorítva identikus), elég a xλa , κa y : aL ó aK alakú átmenő cellákra értelmezni: B 1 F κaL 1 ϕ ˜ xλa , κa y ÞÝÑ ,λ K , aϕ a

A

B

C

B

B

C

C

1

ahol κ1aL a K 1 alap átmenő cellája: aL ó aLK , és λ1aK az L1 alap átmenő cellája: aKL1 ó aK . Teljesen analóg módon értelmezhető ϕ˜ a függőleges átmenő nyilakra.

Dbl

Hogy ϕ˜ jóldefiniált, azt ϕ természetessége garantálja, míg a celláira kirótt 2. feltételnek köszönhetően ϕ˜ megőrzi az átmenő cellák vízszintes kompozícióját: 70

β κa β1 κa1 , y és x , y átmenő cellák ilyen sorrendben vízszintesen egymás λa γ λa1 γ1 mellé helyezhetőek, akkor az L˚ és K˚ konstrukciója alapján β jobb oldala megegyezik β1 bal oldalával, és γ jobb oldala γ1 bal oldalával: Ha a x

/

/



β

/



λa

/

a κa

 

γ

/ /

β1 λa1 a1 κa1 γ1

/ / / /

úgyhogy megint elég a xλa , κa y alakú párokra belátni, hogy ϕ ˜

pxλa ˛ λa1 , κa ˛ κa1 yq “ xλa , κa yϕ˜ ˛ xλa1 , κa1 yϕ˜

Dbl

Ez pedig már adódik a -beli cellák definíciójában a 2. feltételből, ha alkalmazzuk L az L-lel együtt adott %a,a1 és a K-val együtt adott %K a,a1 különbözeti cellák segítségével felírt definíciót: λa ˛ λa1 “

%L κaa a,a1 és κa ˛ κa1 “ K 1 . λaa1 %a,a1

Ez a ϕ ÞÑ ϕ˜ eljárás megfordítható: tetszőleges ψ : L˚ K˚ Ñ K˚1 L˚1 (kettős ág)-morfizmus is meghatároz egy -beli cellát (LK 1 ùñ KL1 ), méghozzá a ψ 1 xλa , κa y átmenő cellának a κaL -n és λ1aK -n való átvezetésével.

Dbl

Dbl

Q

op Hátravan még, hogy az itt közölt ãÑ pDbProf q beágyazás megtartja a vízszintes és függőleges kompozíciót, legalábbis izomorfizmus erejéig (pszeudofunktor). Ez azonban belátható egy az egyben a 2.10. tétel mintájára: ha K : ÝÑ és 1 1 1 K : ÝÑ kolaza funktorok, akkor pKK q˚ – K˚ K˚ , illetve, ha L, L1 laza funktorok, pLL1 q˚ – L˚1 L˚ , méghozzá a pDbProf q-beli koherencia-izomorfizmusokkal kommutáló (kettős ág)-izomorfizmusokkal.

B

A

C

B

Q

6.6. Tétel. Egy K kolaza és egy L laza funktor pontosan akkor adjungáltak a kettős kategórában, ha K˚ – L˚ a DbProf bikategóriában.

Dbl

Dbl

Q

op Bizonyítás. Tekintve a ãÑ pDbProf q beágyazást, a kontravariancia miatt a -beli adjunkciókból kísérő párok lesznek, és akkor a 6.3. állítás alapján készen is vagyunk:

Dbl

K%L

Dbl-ben

ðñ K˚ -nak vízszintes kísérője az L˚ ðñ K˚ – L˚ DbProf -ban.

71

QpDbProf q-ban

A [Fio-Gam-Kock] valamint a [Pare] cikkekben gyakorlatilag ezt is bizonyítják, miután figyelembe vettük a 5.16. állításbeli megfeleltetést.

Dbl Q

Q

op Megj. A fenti (6.5. tételbeli) ãÑ pDbProf q beágyazás egy dimenziós op megfelelője az a pCatq ãÑ pProf q (szintén lokálisan teljes) beágyazás, amit a 2.10.-ben tárgyalt Catop ãÑ Prof és Catco ãÑ Prof beágyazások összetevéséből nyerhetünk. Erre alkalmazva az iménti tétel megfelelőjét, világossá válik az adjungált funktorpár kétféle definíciójának ekvivalenciája (ld. 2.6. def): ha F : A Ñ B és G : B Ñ A funktorok, úgy

Q

Q

F % G Cat-ban ðñ F % G pCatq-ban ðñ F˚ -nak vízszintes kísérője a G˚ pProf q-ban ðñ F˚ – G˚

Q

72

Prof -ban.

A. Függelék: Bénabou-féle bikategóriák A bikategória eredeti, Bénabou-féle definíciója annyiban különbözik a Leinsterféle (1.1.) definíciótól, hogy ott a nyilak kompozíciója egy kétváltozós, gyengén (azaz koherens izomorfizmusoktól eltekintve) asszociatív művelet (lásd: [Benabou]), és külön kell kezelni a vízszintes egységeket. Az asszociativitáshoz tartozó koherencia axióma a négytényezős vízszintes kompozíció különféle zárójelezései közt biztosítja az egyértelmű átjárást, és a MacLane-féle koherenciatétel alapján ebből következően már akárhány tényezős vízszintes kompozícióra is egyértelműek lesznek a „zárójelezési” izomorfizmusok. A.1. Definíció. Legyen adott egy G irányított gráf, és minden A, B pontpárjához egy pA p Bq kategória, aminek az objektumai a G-beli A Ñ B élek (a továbbiakban: nyilak), és a morfizmusait 2-celláknak hívjuk. Továbbá minden A, B, C ponthármashoz legyen adott egy ♦A,B,C : pA p BqˆpB p Cq Ñ pA p Cq funktor, a kéttényezős vízszintes kompozíció, amit objektumok (nyilak) esetén egymás mellé írás és 2-cellák esetén közbeékelt ˛ jelöl: f g :“ xf, gy♦A,B,C , ϕ ˛ ψ :“ xϕ, ψy♦A,B,C . A gyenge asszociativitás biztosítására minden f, g, h egymást követő nyílhármashoz adott egy αf,g,h : pf gqh ùñ f pghq (koherencia-) izomorfizmus, úgynevezett „asszociátor”, hogy egyrészt együttesen természetes transzformációkat alkotnak a megfelelő két pA p BqˆpB p CqˆpC p Dq Ñ pA p Dq funktor között, másrészt minden e, f, g, h egymást követő nyílnégyesre a keletkező ötszög kommutál, vagyis hogy a megfelelő indexelésű α-kat véve az alábbi 2-cellák kompozíciója az identitás (ld. még a következő ábra külsejét): α

-1

αh

α

eα

α

-1

pef qpghq ùñ ppef qgqh ùñ pepf gqqh ùñ eppf gqhq ùñ epf pghqq ùñ pef qpghq

Ezen túlmenően legyen adott minden A ponthoz egy 1 A egységnyíl: A Ñ A, ellátva a bal- és jobbegységséget biztosító λf : f ùñ 1 A f és %f : f ùñ f 1 B koherencia-izomorfizmusokkal (f : A Ñ B), amikre a keletkező f g ùñ pf gq1 C ùñ f pg 1 C q ùñ f g és f g ùñ 1 A pf gq ùñ p1 A f qg ùñ f g kompozíciók mindig az identitást adják ki (f : A Ñ B és g : B Ñ C). A jelen tézisben tárgyalt Leinster-féle megközelítés (1.1. def.) ezzel szemben egy redundásabb adathalmazból indul ki (mely adathalmazt azonban ugyanolyan kézen fekvő megadni az egyes konkrét példákban), cserébe, a nullás index figyelembe vételével, egyben tudja kezelni az összefűzés és az egység jelenségét, és még a koherencia axióma is egy természetesebbnek tűnő követelmény. [Már csak azért is mert ötszögek helyett négyzetek kommutálását követeljük.]

73

A két definíció azonban alapvetően ekvivalens egymással: A következőkben megmutatjuk, hogyan lehet átjárni egyikről a másikra. ————–o————– Legyen először A egy Leinster-féle bikategória az 1.1. def. értelmében. Ebben egyszerűen „felejtsük el” a kettőnél több tényezős kompozíciókat, és az αf,g,h -1

ι12

ι23

asszociátorokat értelemszerűen az pf gqh ùñ f gh ùñ f pghq koherencia-izomorfizmusoknak válasszuk, hasonlóan a λf és %f 2-cellákat. Így egy A5 Bénabou-féle bikategóriát kapunk, amelyben az e, f, g, h egymást követő nyilakra felírt koherencia ötszög kommutál, mert a definíció miatt az ábrán mindegyik háromszög, és az 1.1.-beli koherencia axióma miatt mindegyik paralelogramma kommutatív: α

h

e,f,g / pepf gqqh ppef qgqh iSSSS O ** O k5 k k S k SSSS ** kk k k   SSS k kk ** k **   pef gqh O **   ** **   αef,g,h  **αe,f g,h  pef qgh epf gqh ** k 3 X f X f X XXXXX 77 fff f f    f X f X XXX 77 ** ffff  77 ** ef gh    55 77 **  55 77 *    55 77 **  5    7 * 5 55 55 pef qpghq kXXX ff3 eppf gqhq MMM XXXXXX 5 fffff qqq f XXXX  f f MMM f ff qq MMM ef pghq epf ghq qqq MMM q 99 q  q MMM 99 qqq  qeα 99  q αe,f,gh MMM f,g,h q  MMM q  qqqq MMM 999  q 9  MMM 9 q &   xqqq epf pghqq

Hasonlóan igazolhatjuk az egységekre vonatkozó alábbi koherencia diagramokat. %f g 6 pf gq1 C ll l l ll αf,g, 1 C f g RRR # RRR  ( f %g f pg 1 C q

λf g 6 1 A pf gq ll l l ll -1 α 1 ,f,g f g RRR # A RRR  ( λf g p1 A f qg

Fordítva, ha B-ben csak a nulla- és kétváltozós kompozíciók vannak adva, minden xf1 , f2 , . . . , fn y úthoz rögzítsünk valahogyan annak egy zárójelezését, mondjuk mindig balról [p..ppf1 f2 qf3 q . . .q], és értelmezzük a kompozíciót akképpen. A MacLaneféle koherencia tétel ([MacLane], [Leinster]) szerint B-ben egy út két olyan zárójelezése 74

közt, amelyben minden kompozíció végső soron kéttagú, a B-beli koherenciaizomorfizmusokból (a fenti α-kból, λ-kból és %-kból) és inverzeikből komponálással és nyíl hozzáfűzésével felépített 2-cellák egybeesnek. Következésképp, az 1.1. def.beli koherencia axióma is teljesül. ————–o————– Ha egy direkt szorzattal rendelkező A kategóriából képzett pA, ˆq monoidális kategóriát tekintjük, akkor ebben végső soron nincs kijelölve egyértelműen az objektumok szorzata, csak izomorfizmus erejéig. Az ilyen jelenségek számos bikategória esetében megfigyelhetők, és ez motiválja többek között a multitóp megközelítést, (ld. pl. [Leinster]), vagy hogy a bikategória (kétváltozós) vízszintes kompozícióját pA p Bq ˆ pB p Cq Ñ pA p Cq funktorok helyett pA p Bq ˆ pB p Cq Û pA p Cq funktoriális ágak határozzák meg. Na de erről majd legközelebb. . .

75

B. Függelék: Verity-féle kettős kategóriák

D

Ha egy (vízszintesen gyenge) kettős kategória vízszintesen speciális celláit vesszük / ñ ( lA  /  lB alakúakat), azok egy bikategóriát határoznak meg ( ô ), ami már tartalmazza az összes vízszintes kompozícióhoz tartozó koherencia-izomorfizmus cellákat. Ezt az észrevételt használtuk az 5. fejezetbeli felépítésnél, eleve egy „vízszintes” bikategóriából kiindulva (ld. 5.3. def).

D

/

1A

Ha azonban a függőlegesen speciális ( 

alakú) cellákat tekintjük, azok egy 2/

1B

kategóriát határoznak meg, mivel a függőleges kompozíció szigorúan asszociatív. Viszont az A Ó B függőleges nyilak közti 2-cellák összefűzéséhez alkalmazni kell a 1 A ùñ 1 A 1 A és 1 B ùñ 1 B 1 B koherencia-izomorfizmusokat (ld. 5.3.7. pl. utáni szakasz, e) pont). Egy mindkét irányban gyengén asszociatív kettős kategóriában a függőlegesen speciális cellák is bikategóriát fognak meghatározni, amiben az egyik fajta kompozíciókat a vízszintes egységnyilak közti vízszintesen speciális koherenciacellák segítségével lehet csak értelmezni, ami komplikációkat okoz. Verity megoldásában két bikategória hat gyakorlatilag egy kettős gráfon, az egyik vízszintesen, a másik függőlegesen; a kettős gráf celláin adott egy vízszintes és egy függőleges kompozíció, ami a bikategória-hatásokkal kompatibilis, valamint adottak megfelelő egységcellák. ld. [Verity], ‘double bicategory’. Morton mindezt egy speciális, több helyen is elfajuló 4 dimenziós gyengén asszociatív kategóriaként interpretálta: [Morton]. Û

Egy másik lehetséges mód volna a B B kettős ágak monoidális 2-kategóriáját tekinteni, [Day-Street] értelmében, amiben a 2-cellák a (kettős ág)-morfizmusok közti ún. vízszintes transzformációk lennének, s akkor ebben egy – ugyancsak [Day-Street] szerinti – x , µ, ηy pszeudomonoid objektum felelne meg egy, a B vízszintes bikategória feletti Verity-féle kettős kategóriának. Ebben a vízszintes irányból ható másik bikategória implicit jelenne meg, a függőlegesen speciális cellák révén.

D

Mi mindezek helyett ötvözni fogjuk Verity ötletét az 5. fejezet gondolatmenetével. Kihasználjuk, hogy az 5.1. szerint a bikategóriák közti kettős ágak már rendelkeznek egy cellakompozíció művelettel, mely az 5.2. állítás értelmében, koherencia-izomorfizmusoktól eltekintve asszociatív. B.1. Definíció (Verity-féle kettős kategória). Legyen adott egy G kettős gráf, ObG ponthalmazzal, valamint két bikategória, A és B, amelyekre egyrészt ObA “ ObB “ ObG, másrészt A nyilai egybeesnek G függőleges nyilaival és B nyilai G vízszintes nyilaival. A nyilait ennek megfelelően függőlegesen és 2-celláit ekképpen 76

fogjuk rajzolni:

.  Legyen adva továbbá egy : A A és egy : B B kettős ág úgy, hogy átmenő nyilai a G vízszintes nyilai (B nyilai), átmenő nyilai a G-beli függőleges nyilak (A nyilai), és és cellái egyaránt a G cellái, a megfelelő határoló információkkal. Az eddigiekre merőlegesen ábrázolt kettős ág szolgáltatja a függőleges kompozíciót, és A hatásait balról-jobbról, illetve szolgáltatja a vízszintes kompozíciót, meg B hatásait alulról-felülről. ñ

V

F V

F

V

F

Û

Û

F

V

Ha α, α1 P A, β, β1 P B 2-cellák, és δ, δ1 , δ2 G-beli cellák, amik az alábbi ábra szerint egymáshoz illeszthetőek, akkor a megfelelő -beli és -beli hatásokat, cellakompozíciókat a következőképpen jelöljük: /

F

V

/

F-ben:

α

&

δ

α1

/x

δ



: α ¨ δ, δ ¨ α1

δ1

 β

V-ben:

δ



β1

/ /E 

/ : δ δ1 /

/ :

β

/

δ

", ! δ β1

δ



δ2

/

/

: δ ˛ δ2

Legyenek még a függőleges és vízszintes 2-cellák beágyazva a cellák közé, egy ζ : A Ñ és egy η : B Ñ (kettős ág)-morfizmus által. ( A celláit azonosíthatjuk az A 2-celláival.)

I

F

I

V

I

A következő feltételeknek kell még ezeknek eleget tenniük:

I

0, Minden A P ObG objektumra, az A -ban hozzátartozó egyetlen átmenő A Ñ A képe ζ-nál épp az A B-ben adott 1 A egységnyila. 1A A / Tehát voltaképpen egy

a α a1

 B

2-cellához egy

a

αζ



1B

/

cellát rendelünk

a1

hozzá.

I

0’ Duálisan, minden A P ObG objektumra, az B -ben hozzátartozó egyetlen átmenő nyíl képe η-nál épp az A A-ban adott egységnyila, amit a továbbiakban lA jelöl.

F

1, Ha egy α P A 2-cella és egy δ P cella balról illetve jobbról összefűzhető, ζ akkor -ben α¨δ l α ˛ δ, illetve δ¨α l δ ˛ αζ , azaz

V

/

A α

!  B

/ esetén

δ

/



α¨δ

77

/

“

" αζ ˛ ! -1

ι10

/!

ι10

ι10

1A

δ : 

αζ 1B

/

/

δ -1

ι10

=/ 

.

V-beli hatás is felírható cellák függőlegesη kompozíciójával, az F

1’ Duálisan, a

β

koherencia-izomorfizmusainak a segítségével:

"

β, β1 P B.

δ

l

δ β δ , illetve ! l η , ha δ β1 β1

2, (Felcserélési tulajdonság): Ha δ, ϑ, γ, % cellák, és az alábbi egyenlet mindkét oldala értelmezett (a megfelelő cellaszélek passzolnak), akkor az egyenlőség fennáll. δ˛ϑ δ ϑ “ ˛ γ˛% γ %

F V, ζ, ηy sokast Verity-féle kettős kategóriának

Ha mindezek teljesülnek, a xG, A, B, , nevezzük, vö. [Verity] vagy [Morton].

D

F V, ζ, ηy egy Verity-féle kettős kategória.

B.2. Állítás. Legyen “ xG, A, B, , Ekkor a következők fennállnak:

a, Ha egy α P A 2-cellára és ϑ, δ cellákra a ϑ¨α és α¨δ léteznek, akkor pϑ¨αq ˛ δ “ ϑ ˛ pα¨δq. a’ Duálisan a függőleges hatásokra és függőleges kompozícióra, ha az alábbi cellák és β 2-cella szélei összepasszolnak, akkor ϑ

ϑ “ β . β " δ δ b, A függőleges ( -ben adott) és vízszintes ( -ben adott) hatások is felcserélhetőek egymással, azaz, ha az α P A, β P B 2-celláknak és δ cellának az elhelyezkedése valamelyik alábbi ábra szerinti, akkor a megfelelő egyenlet érvényes. !

V

β α

&

δ

F

/ /

β δ



/ / α

/x



δ β

β β α¨"“ " δ α¨δ

δ

β

β “"¨α δ¨α δ

!

"

β

/ α

α

/E  x

¨α“

&

δ β

δ¨α

/E 

α¨δ

δ “α¨! β β

!

!

β

c, Legyen A egy pont, és tekintsük ennek az A-beli lA és a B-beli 1 A egységnyilát. Ezek identikus 2-celláinak a ζ és η által vett képeik megegyeznek: 1ζlA “ 1η1 A (vö. 5.5.c)).

D

d, Ha A szigorúan asszociatív, akkor -n megadható egy B feletti kettős kategória struktúra az 5.3. értelmében. Forditva, minden kettős kategória is indukál egy Verity-féle kettős kategória struktúrát, szigorúan asszociatív függőleges bikategóriával. Bizonyítás. A a, Tegyük fel, hogy ϑ : b ó b1 és δ : y ó y1 (b,b1 ,y,y1 PObB ), és α : Ñ

78

ñ

 B

. Ekkor

pϑ ¨ αq ˛ δ és ϑ ˛ pα ¨ δq mindkettejük teteje by, alja b1 y1 . A ι21 : b ùñ b1 A és ι21-1 : b1 1 B ùñ b1 koherencia-izomorfizmusokkal, felhasználva az 1, feltételt és a -ben adott vízszintes kompozíció funktorialitását: ¨ ι ˛ ι21 y

V

21 "

"

ζ ζ‹ ˚ pϑ¨αq ˛ δ “ ˝ϑ ˛!α ‚˛ δ “ pϑ ˛ α q ˛ δ l ϑ ˛ αζ ˛ δ l ¨ ¨ ¨ “ ϑ ˛ pα¨δq. ! -1 -1 ι21 ι21 y1

b, Elég az első állítást belátni. Nevezzük a δ bal felső sarkában ülő objektumot X-nek. Az α-val való balról hatást az 1, feltétel alapján írjuk át. Megint csak a -beli vízszintes kompozíció funktorialitása miatt,

V

1X β β 11X β 11 ˛ β “ " . αζ ˛ " “ " ˛ " “ X" δ δ αζ ˛ δ αζ αζ ˛ δ Ezt és a koherencia-izomorfizmusok természetességét használva, ι10

ι10

β

"

"

" ι10 " αζ ˛ !

1X β β ζ β β “ " . α ¨ " “ α ˛ " “ ζ" “ δ δ α ˛ δ α¨δ δ ! ! -1 -1 -1 ι10 ι10 ι10

β

1X



αζ



δ

β

/  “

/



αζ



'/ δ

;/ 

c, Az előző pont felhasználásával egy az egyben az 5.5.c) állítás mintájára igazolható, az alábbi konfiguráció segítségével, ahol is a nem jelölt 2-cellák a megfelelő koherenciaizomorfizmusok, és minden ábrán szereplő nyíl az A objektum egységnyila. (/ /  

1η1 A 1ζl

A

/ /

1ζl A 1η1

A

/ 6/  

VV

V

ϑ d, Az a’ alapján a xϑ, δy ÞÑ hozzárendelés egy jóldefiniált µ : Ñ δ (kettős ág)-morfizmust határoz meg. Ha A szigorúan asszociatív, azaz koherenciaizomorfizmusai egytől egyig identitások, akkor a függőleges kompozíció is szigorúan asszociatív, így µ az η : B Ñ egységgel monoidot alkot.

I

V

Megfordítva, ha adott egy kettős kategória az 5.3. értelmében, azaz egy B bikategória feletti : B B kettős ág, ellátva monoidstruktúrával, akkor legyen :“ , a függőleges speciális cellák által meghatározott 2-kategória (ld. 5.3.7. pl. utáni szakasz, e) pont), és innentől minden további struktúraelem kézenfekvő módon adódik, a feltételek könnyen ellenőrizhetően teljesülnek. Û

A

79

V

ñ ô

V

Tetszőleges B bikategóriából kiindulva az Ehresmann-féle kvintett konstrukció (ld. 5.3.7. példa) egy pBq Verity-féle kettős kategóriát határoz meg, a fenti definíció értelmében, aminek a vízszintes és a függőleges bikategóriája is B.

Q

Ezen túlmenően, a kísérő illetve adjungált nyílpárok ugyanúgy értelmezhetőek (ld. 6.1. def.): Az f : A Ó B függőleges nyíl kísérője az u : A Ñ B vízszintes nyílnak, ha adott u/ 1A / f ψ ϕ hozzájuk egy lA  -ben és f és egy  /  lB cella, amelyekkel ϕ ˛ ψ l lu /

V

1B

u

F-ben. Továbbá érvényben marad (értelmet nyer) a 6.3. állítás. Legyen D “ xG, A, B, F, V, ζ, ηy egy Verity-féle kettős kategória. Az 5.3.3. pl. alapján a V : B B meghatároz egy kettős kategóriát, ami B minden nyilát két Û

ϕ l 1f ψ

példányban tartalmazza, egyszer „felül”, egyszer „alul”; cellái a G-beli cellák, de a tetejük meg az aljuk „külön van választva”, valamint a B szintén két példányban jelen lévő 2-cellái, mint speciális cellák. Ebben a (által meghatározott) kettős kategóriában a cellákat tehát függőlegesen csak a B-beliekkel lehet összekomponálni (alulról az alsó B-beliekkel, felülről a felső B-beliekkel).

V

D

F V

D

F

B.3. Definíció. Legyenek i “ xGi , Ai , Bi , i , i , ζi , ηi y Verity-féle kettős kategóriák, i “ 1, 2, és T : G1 Ñ G2 egy (kettős gráf)-morfizmus. Azt mondjuk T -ről, hogy pszeudofunktor 1 ÝÑ 2 , ha T , mint 1 ÝÑ 2 leképezés, pszeudofunktor az 1 és 2 kettős ágak által meghatározott kettős kategóriák közt, és T , mint 1 ÝÑ 2 leképezés ugyancsak pszeudofunktor.

V

F

F V

D

F

E két feltétel a fenti megjegyzés értelmében voltaképp annyit tesz, hogy egy e szerinti pszeudofunktor külön-külön megtartja a vízszintes nyilak és cellák vízszintes, és a függőleges nyilak és cellák függőleges kompozícióját, különbözeti izomorfizmusok erejéig, amik megfelelő irányú speciális cellák 2 -ben illetve 2 -ben, és teljesítik az 5.11.-ben kirótt természetességi és koherencia axiómákat.

F

80

V

81

Hivatkozások [JoyCat]

J. Ádamek, H. Herrlich and G. Strecker. Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats. Reprints in Theory and Applications of Categories, No. 17, (2006), pp. 1–507.

[Baez-Lauda]

J. C. Baez and A. D. Lauda. Higher-Dimensional Algebra V: 2Groups. Theory and Applications of Categories, vol.12, (2004), pp. 423–491.

[Benabou]

J. Bénabou. Introduction to Bicategories Reports of the Midwest Category Seminar, Lecture Notes in Mathematics, vol.47, (1967), pp. 1–77.

[Benabou2]

J. Bénabou. Distributors at Work. Lecture Notes by Thomas Streicher. TU Darmstadt, (2000). http://www.entretemps.asso.fr/maths/Distributors.pdf

[Bernays]

P. Bernays. Axiomatic Set Theory. Dover Publications, (1991).

[Betti]

R. Betti. Formal Theory of Internal Categories. Le Matematiche, vol.51, (1996), pp. 35–52.

[Borceux]

F. Borceux. Handbook of Categorical Algebra: Vol. 1. Basic Category Theory, Encycl. of Math. and its Appl., vol.50, (1994).

[Chifan]

N. Chifan, S. Dăscălescu and C. Năstăsescu. Wide Morita Contexts, Relative Injectivity and Equivalence Results. Journal of Algebra, vol.284, (2005), pp.705–736.

[Day-Street]

B. Day, R. Street. Monoidal bicategories and Hopf algebroids. Advances in Mathematics, vol.129, (1997), pp.99–157.

[Ehresmann]

C. Ehresmann. Catégories Structurées III: Quintettes et Applications Covariantes. Cahiers Top. Géom. Diff. Cat., vol.5, (1963), pp. 1–22.

[El Kaoutit]

L. El Kaoutit. Wide Morita Contexts in Bicategories. Arab. J. Sci. Eng. vol.33, (2008), pp. 153–173. http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0608/0608601v1.pdf

[Elkins]

B. Elkins, J.A. Zilber. Categories of Actions and Morita Equivalence. Journal of Mathematics, vol.6, (1976), pp. 199– 226.

82

[Fef-Krei]

S. Feferman and G. Kreisel. Set-Theoretical Foundations of Category Theory. Reports of the Midwest Category Seminar III. Lecture Notes in Mathematics, vol.106, (1969), pp. 201–247.

[Fio-Gam-Kock]

T. M. Fiore, N. Gambino and J. Kock. Double Adjunctions and Free Monads. preprint, (2011). http://arxiv.org/abs/1105.6206v2

[Freyd-Sced]

P. J. Freyd and A. Scedrov. Holland, Amsterdam, (1990).

[Gran-Pare]

M. Grandis and R. Paré. Limits in Double Categories. Cahiers Top. Géom. Diff. Cat., vol.40, (1999), pp. 162–220.

[Gran-Pare2]

M. Grandis and R. Paré. Adjoint for Double Categories. Cahiers Top. Géom. Diff. Cat., vol.45, (2004), pp. 193–240.

[Hirsh-Hod]

R. Hirsch and I. Hodkinson. Relation Algebra by Games. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, vol.147, Elsevier Science, (2002).

[Holmes]

Randall Holmes. Naive Set Theory with a Universal Set. Cahiers du Centre de Logique. Bruylant-Academia, Louvain-la-Neuve, Belgium. (1998).

[Kiss-Freud]

Kiss Emil és Freud Róbert. Bevezetés az Algebrába. Budapest, Typotex, Budapest, 2007.

[Koslowski]

J. Koslowski. Monads and Interpolads in Bicategories. Theory and Applications of Categories, vol.3 No. 8, (1997), pp. 182-212.

[Lawler]

Finn Lawler. PhD thesis, előkészületben. Trinity College Dublin. http://ncatlab.org/finnlawler/show/biprofunctor

[Lawson]

Mark V. Lawson. Morita Equivalence of Semigroups with Local Units. Journal of Pure and Applied Algebra, vol.215, Issue 4, (2011), pp. 455–470.

[Lawvere]

F.W. Lawvere. Metric Spaces, Generalized Logic, and Closed Categories. Seminario Matematico e Fisico di Milano, 43, (1973), pp. 135–166

[Leinster]

T. Leinster. Higher operads, higher categories. University Press, Cambridge 2004.

83

Categories, Allegories.

North-

Cambridge

[MacLane]

S. MacLane. Categories for the Working Mathematician, (second edition). Graduate Texts in Mathematics, vol.5, Springer, (1998).

[Morton]

Jeffrey Morton. Double Bicategories and Double Cospans. Journal of Homotopy and Related Structures, vol.4, (2009), pp. 389-428. http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0611/0611930v3.pdf

[Pare]

Robert Paré. Yoneda Theory for Double Categories. Theory and Applications of Categories, vol.25, No. 17, (2011), pp. 439–489.

[Pecsi]

Pécsi B. On Morita Context in Bicategories. Applied Categorical Structures, vol.20, (2012), pp. 415–432.

[Pecsi2]

Pécsi B. Weakly Representable Relation Algebras Form a Variety. Algebra Universalis vol.60, (2009), pp. 369–380.

[Simon]

Simon Péter. Fejezetek az analízisből. egyetemi tankönvyv, ELTE, (2000).

[Sonner]

Johann Sonner. On the Formal Definition of Categories. Mathematische Zeitschrift, vol.80, Issue 1, (1962/63), pp. 163– 176.

[Verity]

Dominic Verity. Enriched Categories, Internal Categories and Change of Base. (1992). Reprints in Theory and Applications of Categories, No.20, (2011), pp. 1–266.

84