TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Tentamen Fysische Transportverschijnselen voor W (3B470) op donderdag 5 juli 2012, 09.00-12.00 uur. Het tentamen levert maximaal 30 punten op, waarvan de verdeling hieronder is aangegeven. SVP AANGEVEN OP HET TENTAMENPAPIER: het practicum FTV is uitgevoerd in jaar ........ Opgave 1 Beantwoord de volgende vragen met “ja” of “nee” en geef daarbij een korte argumentatie. Bij een goed antwoord met goede argumentatie krijgt men per vraag 1 punt. Bij een ernstige fout in de argumentatie wordt geen punt toegekend. (a) Gegeven een instationair twee-dimensionaal (dimensieloos) snelheidsveld v = (u, v) in het x, y-vlak met u = xt2 + yt v = xt − yt2 . Kan deze stroming met een stroomfunctie Ψ worden beschreven? (b) Is de stroming van onderdeel (a) rotatievrij? (c) Beschouw weer de stroming van onderdeel (a). Is het waar dat een vloeistofdeeltje dat zich op tijdstip t = 1 in het punt (x, y) = (1, 2) bevindt, een versnelling ondervindt ter grootte a = (6, 1)? (d) Is het waar dat de reksnelheidstensor D voor de stroming van onderdeel (a) de volgende vorm heeft? ( 2 ) t t D= −t −t2 (e) Mag de wet van Bernoulli worden toegepast in een stationaire Stokesstroming?
1
(f) Beschouw een ontwikkelde turbulente kanaalstroming (zie figuur). Is het waar dat de tijdsgemiddelde druk p aan de wanden groter is dan in het midden van het kanaal?
(g) Beschouw een vlakke plaat met lengte L en breedte B(< L) die met constante snelheid V door een viskeuze vloeistof (dichtheid ρ, kinematische viscositeit ν) wordt getrokken. De plaat beweegt hierbij in z’n eigen vlak. Aan onder- en bovenzijde zijn grenslagen aanwezig. Volgens de Blasius-oplossing is de wandschuifspanning aan elke plaatzijde gegeven door τwand (x) = 0, 332ρV 2 ν − 2 x− 2 , 3
1
1
met x de co¨ordinaat gemeten vanaf de voorrand van de plaat.
Is het waar dat de plaat in geval (a) (figuur links) een grotere weerstand ondervindt dan in geval (b) (figuur rechts)? (h) Is het waar dat bij koud weer een vliegtuig bij opstijgen een korter deel van de startbaan nodig heeft dan bij warm weer? [Het vliegtuig heeft in deze situaties hetzelfde ladingsgewicht en dezelfde startsnelheid.] (i) Is de turbulente viscositeit νt een vloeistofeigenschap? 2
(j) Beschouw de vloeistofstroming door een buis (met diameter D) waarin lokaal een vernauwing (met diameter d) is aangebracht. De vloeistof heeft een dichtheid ρ (kg/m3 ) en een kinematische viscositeit ν (m2 /s). De over de doorsnede gemiddelde stroomsnelheid is u (m/s). Over de vernauwing meet men een drukval ∆p [kg/ms2 ]. Is het waar dat dit probleem door drie kentallen (dimensieloze parameter-clusters) wordt beschreven?
3
Opgave 2 Beschouw de twee-dimensionale, stationaire niet-viskeuze stroming in de geschetste kanaalgeometrie:
(1 pnt) (2 pnt)
Water stroomt met een snelheid V0 in negatieve x-richting binnen, en verlaat het ombuigstuk met snelheid V1 , in positieve x-richting. Voor de doorsnede-oppervlakken geldt: A1 = 21 A0 . De in- en uittredende waterstralen zijn ’aangepast’. (a) Bepaal V1 als de functie van de andere parameters in dit probleem. (b) Bepaal de kracht (Fx , Fy ) die men op het ombuigstuk moet aanbrengen om dit op z’n plaats te houden. Het ombuigstuk wordt vervolgens aangesloten op een lang 2D kanaal met breedte H (de afmeting ⊥ op het vlak van tekening is B, zodat HB = A1 ).
(1 pnt) (2 pnt)
In dit kanaal plaatst men een cirkelcilinder, die met een dunne staaf bevestigd wordt aan ´e´en van de kanaalwanden, zie tekening. Vlak achter de cilinder stelt zich een lineaire snelheidsverdeling u(y) = α|y| in, met α een constante, terwijl u(y = ± 12 H) = Vˆ . De viskeuze effecten aan de kanaalwanden kunnen worden verwaarloosd. De drukken in de doorsneden (1) en (2) zijn p1 resp. p2 . (c) Geef een uitdrukking voor de massaflux door het kanaal. (d) Bepaal - met gebruikmaking van de integrale massabalans - de constante α als functie van V1 . 4
(2 pnt)
(e) Leid m.b.v. de integrale impulsbalans een uitdrukking af voor de kracht (per eenheid van lengte loodrecht op het vlak van tekening) die de cilinder op de stroming uitoefent. De weerstandskracht Fw die de stroming op de cilinder uitoefent kan geschreven worden als Fw = CD
(2 pnt)
1 ρV12 BD , 2
met D de diameter van de cilinder, B de kanaalbreedte (= lengte cilinder), en CD de weerstandsco¨effici¨ent. Er is gegeven: D = 16 H, en CD ≃ 1, 0 voor de Re-waarden van de beschouwde stroming. (f) Leid - in combinatie met het bij (e) gevonden resultaat - een uitdrukking af voor het drukverschil (p1 −p2 ) in termen van de grootheid ρV12 .
5
Opgave 3 Beschouw√twee ’oneindig lange’ coaxiale cilinders met straal R1 = R en R2 = 2R. De cilinder-assen zijn parallel met de z-as. Tussen beide cilinders bevindt zich een Newtonse vloeistof met dynamische viscositeit µ. De dichtheid van de vloeistof is ρ. De binnenste cilinder roteert met een hoeksnelheid Ω1 , en de buitenste met een hoeksnelheid Ω2 . De stroming tussen de cilinders mag als stationair en incompressibel beschouwd worden. Neem aan dat de zwaartekracht verwaarloosd mag worden. In poolco¨ordinaten geformuleerd luiden de r en θ-component van de Navier-Stokes-vergelijking, met v(r, θ) = (u(r, θ), v(r, θ)): ) ( ∂u ∂u v ∂u v 2 1 ∂p 2 ∂v u 2 , +u + − =− +ν ∇ u− 2 − 2 ∂t ∂r r ∂θ r ρ ∂r r r ∂θ ) ( ∂v ∂v v ∂v uv 1 ∂p 2 ∂u v 2 +u + + =− +ν ∇ v− 2 + 2 , ∂t ∂r r ∂θ r ρr ∂θ r r ∂θ met: ∇2 =
∂2 1 ∂ 1 ∂2 + + , ∂r2 r ∂r r2 ∂θ2
Incompressibiliteit geeft: ∇·v =
∂u u 1 ∂v + + =0. ∂r r r ∂θ
6
en ν = µ/ρ
(1 pnt) (2 pnt) (1 pnt) (2 pnt) (2 pnt)
(a) Beargumenteer waarom de vloeistofsneldheid v en de druk p niet afhangen van de azimutale co¨ordinaat θ, dus dat geldt: v = (u(r), v(r)). (b) Stel de benodigde randvoorwaarden voor u en v op. (c) Toon aan dat v = (0, v(r)), ofwel dat er alleen een azimutale snelheidscomponent is. (d) Leid de gereduceerde Navier-Stokes vergelijking af en geef argumenten voor de vereenvoudigingen. (e) Toon aan dat de snelheidsverdeling is gegeven door v(r) = Ar +B/r. Bepaal de constanten A en B. Controleer uw antwoord voor v(r) aan de hand van de volgende twee speciale gevallen: (1) Ω1 = Ω2 = Ω, dan v(r) = Ωr . (2) Ω1 = 2Ω2 = Ω, dan v(r) = ΩR2 /r . Uiteraard zijn we ge¨ınteresseerd in de wrijvingskracht die op de cilinders wordt uitgeoefend. De componenten van de viskeuze spanningstensor in poolco¨ordinaten hebben de volgende vorm: ( ) ∂u 1 ∂v u τrr = 2µ ; τθθ = 2µ + ; ∂r r ∂θ r ( ) 1 ∂u ∂v v τrθ = µ + − . r ∂θ ∂r r
(1 pnt) (1 pnt)
(f) Bepaal met de relevante componenten (en vereenvoudig deze) de schuifspanning τ aan het oppervlak op de binnenste cilinder. (g) Bepaal het totale krachtmoment per eenheid van lengte op de binnenste cilinder en het benodigd vermogen om de cilinders draaiend te houden.
7
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE VAKGROEP TRANSPORTFYSICA Uitwerking Tentamen FTV voor W (3B470) van 5 juli 2012.
Opgave 1 (a) Ja. De stroming voldoet aan de (incompressibele) continu¨ıteitsvergelijking ∂u ∂v + =0, ∂x ∂y dus er kan een stroomfunctie worden gedefinieerd. ∂v (b) Nee, immers ωz ≡ ∂x − ∂u = t − 2 ̸= 0 in het algemeen. ∂y (c) Ja. De versnelling van een deeltje wordt gegeven door de materi¨ele afgeleide van de snelheid v: Dv ∂v = + (v · ∇)v . Dt ∂t Voor de x- en y-componenten vindt men in het punt (x, y) = (1, 2) op t = 2: ∇·v =
Du Dt Dv Dt
= ∂u + u ∂u + v ∂u = ∂t ∂x ∂y 2 = 2xt + y + (xt + 2y)t2 + (xt − yt2 ) · t = · · · = 6 ∂v ∂v = ∂v + u ∂x + v ∂y = ∂t = (x − 2yt) + (xt2 + yt) · t + (xt − yt2 ) · −t2 = ··· = 1 .
(d) Nee. Voor deze twee-dimensionale stroming is de reksnelheidstensor ( 2 ) t t D= . t −t2 (e) Nee. Een Stokes-stroming is wrijvingsgedomineerd, terwijl de wet van Bernoulli alleen geldt voor een niet-viskeuze stroming. (f) Ja. Integratie van de y-component van de tijdsgemiddelde NavierStokes-vergelijking (met y de co¨ordinaat loodrecht op de stromingsrichting) levert: p p0 + (v ′ )2 = ρ ρ met p een referentiedruk. Aan de wanden zijn de fluctuaties v ′ ≈ 0, en dus is de druk daar hoger dan in het midden van het kanaal. 8
(g) Nee. De totale wrijvingsweerstand van de plaat in geval (a) is: ∫ L BL Fw (a) = 2B τwand (x)dx = 1, 328ρV 3/2 ν −1/2 BL1/2 ∼ √ L 0 terwijl die in geval (b) gelijk is aan: ∫ B BL Fw (b) = 2L τwand (x)dx = 1, 328ρV 3/2 ν −1/2 LB 1/2 ∼ √ . B 0 Aangezien L > B is de wrijvingsweerstand in geval (b) dus groter. (h) Ja. De liftkracht op de vleugels hangt volgens Joukowski direct af van de dichtheid ρ van de lucht: |Lift| = |ρV Γ| , met V de snelheid t.o.v. de lucht en Γ de circulatie rond de vleugels. Bij gelijkblijvende V en Γ is de lift bij koud weer (grotere ρ) dus groter dan bij warm weer. (i) Nee. De turbulente viscositeit νt is een kunstmatige koppeling tussen de fluctuatie-componenten in een turbulente stroming en het tijdsgemiddelde snelheidsveld. De waarde van deze koppelingsconstante wordt helemaal bepaald door de aard van de turbulente stroming, en kan dus van plaats tot plaats verschillen. (j) Ja. Dit stromingsprobleem wordt beschreven door 6 parameters (∆p, d, D, ρ, ν, u), waarin 3 dimensies (massa M , lengte L, tijd T ) voorkomen. Volgens het Buckingham π-theorema kan het probleem worden beschreven met 6 − 3 = 3 onafhankelijke kentallen. De dimensieloze drukval kan men bijvoorbeeld schrijven als ( ) ∆p L uD =f , . D ν ρu2
9
Opgave 2 (a) Massabehoud: ρV0 A0 = ρV1 A1 , dus V1 = V0 A0 /A1 = 2V0 . (b) De kracht (Fx , Fy ) wordt bepaald m.b.v. de integrale impulsbalans. Omdat er geen impulsfluxen in y-richting zijn, en omdat de druk overal gelijk is aan pa , zien we direct: Fy = 0. De x-impulsbalans luidt voor deze stationaire stroming: ∫∫ ∫∫ u(v · n)dA = − pndA + Fx A
A
boven: n0 = (1, 0), v 0 = (−V0 , 0) → (v 0 · n0 ) = −V0 onder: n1 = (1, 0), v 1 = (+V1 , 0) → (v 1 · n1 ) = V1 De balans wordt: ρV02 A0 + ρV12 A1 = 0 + Fx . Met het resultaat van (a) wordt dit: Fx = 3ρV02 A0 . (c) De massaflux is ϕm = ρV1 A1 = ρV0 A0 = ρV1 HB . (d) Met u(y = 12 H) = α · 12 H = Vˆ vindt men: α = 2Vˆ /H. 1 ∫ 1H H Massabalans: 12 V1 H = 02 αydy = 12 αy 2 |02 = 18 αH 2 . Hieruit volgt: α = 4V1 /H, dus Vˆ = 2V1 . (e) De x-impulsbalans voor deze stationaire stroming luidt: ∫∫ ∫∫ u(v · n)dA = − pndA + Fx A
A
links: n1 = (−1, 0), v 1 = (V1 , 0) → (v 1 · n1 ) = −V1 rechts: n2 = (1, 0), v 2 = (u(y), 0) → (v 2 · n2 ) = +u(y) Hiermee wordt de balans: ∫ 1H 2 2 −ρV1 H + 2 ρu2 (y)dy = (p1 − p2 )H + Fx . 0
10
Uitwerking van de integraal levert 43 ρV02 H, waarmee we krijgen Fx = 13 ρV12 H − (p1 − p2 )H . (f) De weerstandskracht Fw is gelijk aan: [ ] Fw = 1 · 21 ρV12 · DB = −Fx = − 31 ρV12 H − (p1 − p2 )H B D . H Met D = 16 H leiden we af (p1 − p2 ) = → (p1 − p2 ) = 13 ρV12 + 12 ρV12
11
5 ρV12 . 12
Opgave 3 (a) Het probleem is rotatiesymmetrisch, en kan dus niet van de hoek θ afhangen. (b) √ u(R) = 0 , u( 2R) = 0 . √ √ v(R) = Ω1 R , v( 2R) = 2Ω2 R . (c) Incompressibiliteit leidt tot (met gebruik van a): ∂u + ur = ∂r 1 ∂ (ru) = 0, dus u(r) = C/r. Gebruik van de randvoorwaarr ∂r den leidt tot: u(r) = 0. (d) Vergelijkingen zijn onafhankelijk van θ, de radi¨ele snelheidscomponent u is nul, en de stroming is stationair. Dus: v2 1 ∂p v d2 v 1 dv v = , ∇2 v − 2 = 2 + − 2 =0. r ρ ∂r r dr r dr r (e) Stel: v(r) = Arn . Substitutie in de differentiaalvergelijking ∇2 v − rv2 = 0 levert: n(n − 1)Arn−2 + nArn−2 − Arn−2 = 0 ofwel n2 = 1, dus n = ± 1. De algemene oplossing is v(r) = Ar + B/r, en gebruik van de randvoorwaarden levert: v(r) = (2Ω2 − Ω1 )r + 2(Ω1 − Ω2 )R2 /r . (f) (
) ∂v v τrr = 0 ; τθθ = 0 ; τrθ = µ − . ∂r r ( ) ∂v v τ (r = R) = τrθ |r=R = µ − |r=R = −4µ(Ω1 − Ω2 ) . ∂r r (g) Krachtmoment per lengte-eenheid: M1 = R2πRτ (R) = −8πµ(Ω1 − Ω2 )R2 . Benodigd vermogen: P = |M1 Ω1 | = 8πµΩ1 (Ω1 − Ω2 )R2 .
12
