Hatane Semuel
FAKULTAS EKONOMI UNIVERSITAS KRISTEN PETRA
TEORI EKONOMI, MATEMATIKA EKONOMI, DAN STATISTIKA
• Teori Ekonomi mengungkapkan hubungan antar variabel ekononomi secara kualitatif • Misalnya, jika harga naik/turun kuantitas permintaan berkurang/naik • Teori Ekonomi tidak memberikan ukuran kekuatan hubungan secara tegas antara variabel ekonomi tersebut. • Matematika Ekonomi dapat membantu menyederhanakan hubungan tersebut dalam model matematika, misal Q = f(P), dengan Q adalah kuantitas permintaan dan P harga yang kemudian dapat diperjelas dengan model linear Q = a + bP • Sehingga model teori ekonomi yang kualitatif dapat didekati dengan model kuantitatif matematika.
TEORI EKONOMI, MATEMATIKA EKONOMI DAN STATISTIKA • Menemukan nilai parameter a dan b dalam persamaan matematika Q = a + bP di atas dapat didekati dengan konsep matematika maupun statistika • Untuk itu dalam matematika ekonomi perlu dipelajari konsep-konsep persamaan, pertidaksamaan, dan konsep lainnya yang dibutuhkan.
PERSAMAAN DERAJAT SATU DENGAN SATU VARIABEL • SEBUAH PERNYATAAN PERSAMAAN ADALAH KESAMAAN DARI DUA EKSPRESI ALJABAR, DAPAT DINYATAKAN DALAM SATU ATAU LEBIH VARIABEL sebagai contoh : 3x – 10 = 22 – 5x (satu variabel derajat satu)
2r − 5s + 8t = 100 3 (tiga variabel derajat satu)
w2 – 5w = -16
(satu variabel derajat 2)
JAWABAN PERSAMAAN • JAWABAN DARI SEBUAH PERSAMAAN TERDIRI ATAS ANGKA ATAU BILANGAN, KETIKA DISUBSTITUSI UNTUK VARIABEL DALAM PERSAMAAN AKAN MENJADI BENAR • BILANGAN ATAU NILAI DARI VARIABEL YANG MEMBUAT PERSAMAAN ITU MENJADI BENAR DISEBUT DENGAN AKAR PERSAMAAN
IDENTIFIKASI JENIS PERSAMAAN • PERSAMAAN YANG BENAR UNTUK SETIAP NILAI UNTUK VARIABEL DALAM PERSAMAAN 5(X+Y) = 5X + 5Y • PERSAMAAN YANG HANYA MEMPUNYAI NILAI TUNGGAL UNTUK VARIABEL X+3=5
• PERSAMAAN YANG MERUPAKAN PERNYATAAN YANG SALAH, TIDAK TERDAPAT SATU NILAIPUN YANG MEMENUHI X=X+5
ATURAN MANIPULASI PERSAMAAN • NILAI JAWABAN PERSAMAAN TIDAK BERUBAH JIKA KEDUA SISI PERSAMAAN DITAMBAH DENGAN BILANGAN YANG SAMA • NILAI JAWABAN PERSAMAAN TIDAK BERUBAH JIKA KEDUA SISI PERSAMAAN DIKALIKAN ATAU DIBAGI DENGAN BILANGAN KONSTAN YANG SAMA (≠ 0) • KEDUA SISI PERSAMAAN DIKUADRATKAN ATAU DIAKARKAN ATAU DILAKUKAN OPERASI YANG SAMA (LOGARITMA) • KEDUA SISI PERSAMAAN DAPAT DIBAGI DENGAN VARIABEL YANG SAMA, DENGAN SYARAT NILAINYA ≠ 0
PERSAMAAN LINEAR
BEBERAPA ALASAN PERLUNYA PERSAMAAN LINEAR
• KEBANYAKAN FENOMENA NYATA DAPAT DIREPRESENTASIKAN SECARA MATEMATIK, SALAH SATUNYA ADALAH HUBUNGAN LINEAR, ATAU PALING TIDAK DAPAT DIDEKATI SECARA LINEAR • APLIKASI KONSEP LINEAR CUKUP LUAS PENERAPANNYA • LEBIH MUDAH MENGINTERPRETASI HUBUNGAN LINEAR DIBANDING NON LINEAR
KARAKTERISTIK PERSAMAAN LINEAR
• BENTUK UMUM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL ax + by = c; x,y adalah variabel a,b dan c konstante • LINEAR KARENA PANGKAT VARIABEL DALAM PERSAMAAN ADALAH PANGKAT SATU (1) DAN TIDAK TERDAPAT BENTUK PERKALIAN ANTAR VARIABEL
REPRESENTASE MENGGUNAKAN PERSAMAAN LINEAR • SUATU PERSAMAAN LINEAR ax+by=c MEMPUNYAI HIMPUNAN JAWABAN PASANGAN TERURUT (x,y) YANG MEMENUHI PERSAMAAN TERSEBUT • JIKA S ADALAH HIMPUNAN JAWABAN DAPAT DITULIS; S = {(x,y)/ax + by = c}
PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR
• UNTUK MENDAPATKAN NILAI PASANGAN TERURUT (x,y) ASUMSIKAN SALAH SATU NILAI DAN SUBSTITUSIKAN KE PERSAMAAN UNTUK MENDAPATKAN PASANGAN NILAINYA contoh: persamaan 2x + 4y = 16; untuk x = -2; y = 5 untuk y = 0; x = 8
APLIKASI PADA BIDANG PRODUKSI
• SEBUAH PERUSAHAAN MEMPUNYAI DUA JENIS PRODUK; YAITU A DAN B, MINGGU DEPAN PERUSAHAAN ALOKASIKAN 120 JAM KERJA UNTUK MENGHASILKAN DUA PRODUK TERSEBUT. DALAM MENGEJAR TARGET, PERUSAHAAN MENGALOKASIKAN WAKTU 3 JAM UNTUK PRODUK A DAN 2.5 JAM UNTUK PRODUK B. BAGAIMANA MODEL PERSAMAANNYA?
• Jawaban : • Jika didefinisikan variabel: y = banyak unit produk A yang diproduksi x = banyak unit produk B yang diproduksi Maka alokasi jam produksi untuk dua jenis produk tersebut adalah : 2.5 x + 3 y = 120 Jika produksi produk B, x = 30 unit, maka produk A diproduksi, y = 15 unit
PERSAMAAN LINEAR DENGAN n VARIABEL
• Persamaan linear dengan n variabel meliputi x1, x2, x3, …….., xn, mempunyai bentuk umum : a1x1+ a2x2+ a3x3+ ……..+ anxn = b, dengan a1 , a2 , a3, ………… ,an dan b adalah bilangan konstan dan a1 , a2 , a3, ………… ,an tidak semuanya nol. Sebagai contoh: (1).3x1- 2x2+ 5x3 = 0; (2). 2x1+ 5x3+ 2x4+ 4x5 = 10
JAWABAN PERSAMAAN LINEAR
•
Jawaban Persamaan linear dengan n variabel adalah mentukan himpunan S = {(x1,x2,x3, ….., xn)| a1x1+ a2x2+ a3x3+ ..+ anxn = b}
Contoh: diberikan persamaan linear 2x1+ 3x2 - x3+ x4 = 16, a. Berapakah derajat bebas persamaan ? b. Tentukan himpunan jawaban untuk setiap kombinasi nilai tiga variabel yang sama dengan nol.
KARAKTERISTIK GRAFIK PERSAMAAN LINEAR • Suatu persamaan linear yang mengandung dua variabel digambarkan sebagai grafik garis lurus dalam dua dimensi. • Garis lurus dapat digambarkan melalui dua pasangan titik (x,y) yang memenuhi persamaan linear • Pasangan titik (x,y) yang terletak pada garis akan merupakan kombinasi x dan y yang memenuhi persamaan, artinya tidak ada jawaban tunggal.
CONTOH GRAFIK PERSAMAAN LINEAR
• Buat grafik dari persamaan 2x + 4y = 16 y
(0,4) (8.0)
x
• Gambarkan grafik 4x-7y = 0 y
4
4x
y= 7 -
0
(7,4)
x 7
PERSAMAAN KONSTAN
• PERSAMAAN x = k y
x=k
(k,0)
x
PERSAMAAN KONSTAN
• PERSAMAAN y = k y (0,k)
y=k x
SLOPE GARIS LURUS
• Sebuah garis lurus kecuali garis vertikal , dapat dikarakterisasi berdasarkan slope garisnya. • Dengan slope garis dapat diketahui garis bergerak naik atau turun dari kiri ke kanan sepanjang sumbu x • Slope garis lurus dapat positip, nol, negatip, atau tidak terdefenisikan.
SLOPE GARIS LURUS y
(+) x
y
(-) x
y
(tidak didefinisikan)
y (0)
x
x
• PERSAMAAN KUADRAT
PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRAT SATU VARIABEL • BENTUK UMUM DARI PERSAMAAN KUADRAT DENGAN SATU VARIABEL X SEBAGAI BERIKUT: ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 Identifikasi nilai a, b, dan c dari persamaan berikut: 6x2- 2x + 1 = 0; 3x2- 12= 0; 2x2-1= 5x+9 • SEBUAH PERSAMAAN KUADRAT DAPAT MEMPUNYAI KONDISI JAWABAN (AKAR PERSAMAAN): 1. TIDAK MEMPUNYAI JAWABAN NYATA 2. MEMPUNYAI SATU JAWABAN NYATA 3. MEMPUNYAI DUA JAWABAN NYATA
PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRAT SATU VARIABEL
• TERDAPAT BEBERAPA PROSEDUR YANG DAPAT DIGUNAKAN UNTUK MENENTUKAN AKAR PERSAMAAN KUADRAT. • PROSEDUR YANG SANGAT UMUM DIGUNAKAN ADALAH METODE FAKTORISASI DAN PENGGUNAAN RUMUS abc. • METODE FAKTORISASI MENCOBA MEMBUAT PERSAMAAN KUADRAT MENJADI PERKALIAN DARI DUA FAKTOR SAMA DENGAN NOL, SEHINGGA HASIL PERKALIAN TERSEBUT DAPAT TERJADI KARENA PALING SEDIKIT SALAHSATU FAKTOR SAMA DENGAN N0L
PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRAT SATU VARIABEL • CONTOH: AKAR PERSAMAAN X2 – 4X = 0, DIFAKTOR X(X-4) = 0; SEHINGGA X = 0 ATAU X-4=0, ATAU X=4. UNTUK MEMBEDAKAN KEDUA AKAR PERSAMAAN DISEBUT X1 = 0, DAN X2 = 4 • AKAR PERSAMAAN X2 – 10X + 24 = 0, DIFAKTORKAN (X-4)(X-6)=0; SEHINGGA, (X-4)=0 ; X1 = 4; ATAU (X-6)=0 ; X2=6.
PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRAT SATU VARIABEL
• PENGGUNAAN RUMUS abc Akar-akar persamaan kuadrat: ax2 + bx + c = 0, adalah:
− b ± b − 4 ac = 2a 2
x1, 2
b2 – 4ac disebut Diskriminan atau D
INTERPRETASI DISKRIMINAN D • Jika D > 0, terdapat dua akar nyata • Jika D = 0, terdapat satu akar nyata • Jika D < 0, tidak ada akar nyata Tentukan akar-akar persamaan: 1. x2 + 3x + 1 = 0 2. 3x2 - 2x + 5 = 0 3. x2 + 10x + 25 = 0
KETIDAKSAMAAN • Ketidaksamaan adalah ekspresi dua kuantitas yang tidak sama. Satu cara untuk menyatakan hubungan ketidaksamaan adalah “<“ (lebih kecil) atau “>” (lebih besar)
Ketidaksamaan
Interpretasi
3<5
3 kurang dari 5
x > 100
Nilai x lebih besar dari 100
0
Nilai y lebih besar dari 0 dan kurang dari 10
INTERVAL TERBUKA DAN TERTUTUP • Notasi interval terbuka; (a,b) = {x/a<x
PENYELESAIAN KETIDAKSAMAAN • • • • • • •
2X + 3 ≥ -5 , JAWAB [-4,~) -3 < x-2 < 2, JAWAB (-1,4) 3X + 14 ≤ 5x, JAWAB [7, ~) 2x – 5 ≥ 3x + 2, JAWAB (-~,-7] (x-2)(x-3) ≤ 0, JAWAB [2,3] X2 + x – 12 ≥ 0
x − 2 ≤ 0 x − 3
(x−2) ≤0 (x −3)(x +1)
NILAI ABSOLUT • NILAI ABSOLUT ADALAH SEBUAH BILANGAN SEBAGAI JARAK, YANG HARUS LEBIH BESAR ATAU SAMA DENGAN NOL, ATAU DARI NOL KE SEBUAH BILANGAN NYATA PADA GARIS BILANGAN • NILAI ABSOLUT DARI a DITULIS |a| • DEFINISI DARI NILAI ABSOLUT a ADALAH: a jika a>0 |a| = 0 jika a=0 -a jika a<0
SIFAT NILAI ABSOLUT • • • • •
|a| ≥ 0 |-a| = |a| |X-Y| = |Y-X| |ab| = |a||b| a b
=
a b
HIMPUNAN
Ruang Lingkup
• • • • •
Pengertian Himpunan Penyajian Himpunan Himpunan Universal dan Himpunan Kosong Operasi Himpunan Kaidah Matematika dalam Operasi Himpunan
HIMPUNAN Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau obyek yang didefinisikan dengan jelas. Benda atau obyek yang dimuat suatu himpunan disebut anggota himpunan atau elemen.
Notasi Himpunan Himpunan : Suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah obyek. • Secara umum himpunan dilambangkan Æ A, B, C, ...... Z
- A
A Æ p anggota A
∩
- p
B Æ A himpunan bagian dari B
-
∩
- A = B Æ himpunan A sama dengan B ∩
• Notasi :
∩
• Obyek dilambangkan Æ a, b, c, ..... z
= Æ ingkaran
Penyajian Himpunan • Penyajian Himpunan a. cara deskripsi (kata-kata) A= {himpunan bilangan prima kurang dari 10} b. cara daftar (roster) Æ A = {1,2,3,4,5} berarti himpunan A beranggotakan bilanganbilangan bulat positif 1,2,3,4, dan 5. c. cara kaidah (rule) Æ A={x / 0 < x < 6; x bil bulat} berarti himpunan A beranggotakan obyek x, dimana x adalah bilangan-bilangan bulat positif yang lebih besar dari nol tetapi lebih kecil dari enam.
Himpunan Universal dan Himpunan Kosong U adalah himpunan universal atau himpunan besar dan dapat terdiri dari beberapa himpunan bagian { } atau Ø adalah himpunan kosong (tidak punya satu anggota), selain itu himpunan kosong juga merupakan himpunan bagian dari setiap hipunan apapun. U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 } A = {0,1,2,3,4} B = {5,6,7,8,9 } C = {0,1,2,3,4 }
Contoh Soal – Soal : 1. Dari kumpulan hewan dibawah ini, manakah yang merupakan himpunan yang memiliki anggota atau himpunan kosong. a. Kumpulan hewan melata b. Kumpulan hewan herbivora c. Kumpulan hewan langka d. Kumpulan hewan yang hidup di air e. Kumpulan hewan berkaki tiga f. Kumpulan hewan bermata satu
Pembahasan : Yang merupakan himpunan yang memilki anggota : a. Kumpulan hewan melata b. Kumpulan hewan herbivora c. Kumpulan hewan yang hidup di air d. Kumpulan hewan langka
Yang merupakan himpunan kosong: a. Kumpulan hewan berkaki tiga b. Kumpulan hewan bermata satu
2. Nyatakan himpunan dibawah ini dengan : metode deskripsi, metode rule, metode Roster a. A adalah himp bilangan genap positip kurang dari 12 b. B adalah himp bilangan prima kurang dari 8 c. C adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 8 d. D adalah himpunan huruf vokal
Pembahasan : A adalah himp bilangan genap kurang dari 12 A = { himpunan bilangan genap kurang dari 12 } A = { x | x himp bilangan genap kurang dari 12 }
A = { 2, 4, 6, 8, 10 }
Pembahasan : B adalah himp bil. prima kurang dari 8 B = { himpunan bil. prima kurang dari 8} B = { x | x himp bil. prima kurang dari 8}
B = { 2, 3, 5, 7 }
Pembahasan : C adalah himp bilangan cacah kurang dari 8 C = { himpunan bilangan cacah kurang dari 8 } B = { x | x himp bilangan cacah kurang dari 8}
C = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }
Pembahasan : D adalah himpunan huruf vokal D = { himpunan huruf vokal } D = { x | x himpunan huruf vokal } D = { a, e, i, o, u }
LATIHAN - 1 • P = { faktor dari 30 yang habis dibagi 3 }. Pernyataan yang benar dibawah ini adalah… • a. 6 ∉ P • b. 9 ∈ P • c. 12 ∉ P • d. 15 ∈ P
Pembahasan • Faktor 30 yang habis dibagi 3 adalah bilangan kelipatan 3 yang habis membagi 30 yaitu : 3, 6, 12, 15, 30. Jadi : • P = { 3,6, 15, 30 }, maka : • 6 ∉ P ( salah ) • 9 ∈ P ( salah ) • 12 ∉ P ( salah ) • 15 ∈ P ( benar ).
LATIHAN - 2 • Q = { huruf pembentuk kalimat “ SAHABAT SAYA BAIK SEKALI “ }. Nilai n(Q) = . . . • a. 10 • b. 12 • c. 15 • d. 21
Pembahasan • Kalimat : SAHABAT SAYA BAIK SEKALI, • Huruf penyusunnya : • S, A, H, B, T, Y, I, K, E, L • P = { s, a, h, b, t, y, i, k, e, l } • n ( Q ) = 10 • Jadi jawabannya adalah A
LATIHAN - 3 • Diketahui K = { bilangan asli kuadrat kurang dari 60 } . Himpunan K dinyatakan dengan Roster adalah . . . • a. { 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 } • b. { 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 } • c. { 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 } • d. { 4, 9, 16, 25, 36, 49 }
Pembahasan • K = { bilangan asli kuadrat kurang dari 60 } • K = { 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72 }. • K = { 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 } • Jadi jawaban yang benar adalah C
Operasi Himpunan • Gabungan (Union) A U B = {x; x Є A atau x Є B} • Irisan (Intersection) A ∩ B = {x; x Є A dan x Є B} • Selisih A - B = A|B = {x; x Є A tetapi x ∉ B} • Pelengkap (Complement) Ā = {x; x Є U tetapi x ∉ A} = U – A
Diagram Venn Gabungan ( A U B )
Irisan
Lanjutan ........ • Selisih ( A – B = A|B )
• Pelengkap / complement ( Ā )
Kaidah-kaidah Matematika dalam Pengoperasian Himpunan
Kaidah Idempoten a. A U A = A b. A ∩ A = A Kaidah Asosiatif a. ( A U B ) U C = A U ( B U C ) Kaidah Komutatif a. A U B = B U A
b. ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )
b. A ∩ B = B ∩ A
Kaidah Distributif a. A U ( B ∩ C ) = ( A U B ) ∩ ( A U C )
b. A ∩ ( B U C ) = ( A ∩ B ) U ( A ∩ C )
Lanjutan ............ Kaidah Identitas a. A U Ø = A
b. A ∩ Ø = Ø
c. A U U = U
d. A ∩ U = A
Kaidah Kelengkapan a. A U Ā = U
b. A ∩ Ā= Ø
c. ( Ā ) = A
d. U = Ø
Ø=U
Kaidah De Morgan a. (A U B)= Ā ∩ B
b. (A ∩ B) = Ā U B
Soal 1. Gambarkan sebuah diagram venn untuk menunjukkan himpunan universal U dan himpunan-himpunan bagian A serta B jika : U = {1,2,3,4,5,6,7,8 } A = {2,3,5,7} B = {1,3,4,7,8 } Kemudian selesaikan : (a) A – B (c) A ∩ B (b) B – A (d) A U B
(e) A ∩ B (f) B ∩ A
Soal 2. Dari 200 mahasiswa fakultas ekonomi ada yang mengikuti semester pendek, paling banyak mengambil 3 mata kuliah, yaitu A, B, dan C. Data yang diperoleh adalah sebagai berikut : Mengikuti mata kuliah A sebanyak 45 mahasiswa Mengikuti mata kuliah B sebanyak 50 mahasiswa Mengikuti mata kuliah C sebanyak 75 mahasiswa Mengikuti mata kuliah A dan B sebanyak 20 mahasiswa Mengikuti mata kuliah A dan C sebanyak 15 mahasiswa Mengikuti mata kuliah C dan B sebanyak 20 mahasiswa Mengikuti mata kuliah A,B, dan C sebanyak 10 mahasiswa Tentukan : a) Jumlah mahasiswa yang tidak kuliah semester pendek b) Jumlah mahasiswa yang hanya mengambil 1 mata kuliah c) Jumlah mahasiswa yang hanya mengambil 2 mata kuliah
GAMBARAN DIAGRAM VENN S 75 A
20 10
20
10
B
10
5
50
C
n(AUBUC) = 125 n(AUBUC)’ = n(S) – n(AUBUC) =200 -125 = 75
CARTESIAN PRODUCT (PERKALIAN KARTESIAN)
• Notasi: A × B = {(a, b) ⏐ a ∈ A dan b ∈ B } (i) Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka C × D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) } (ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka A × B = himpunan semua titik di bidang datar
CARTESIAN PRODUCT (PERKALIAN KARTESIAN)
• Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: ⏐A × B⏐ = ⏐A⏐ . ⏐B⏐. • Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) ≠ (b, a). • Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A × B ≠ B × A dengan syarat A atau B tidak kosong. • Jika A = ∅ atau B = ∅, maka A × B = B × A = ∅
CARTESIAN PRODUCT (PERKALIAN KARTESIAN)
Contoh : Misalkan A = himpunan makanan = { s = soto, g = gadogado, n = nasi goreng, m = mie rebus } B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es dawet } Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun dari kedua himpunan di atas? Jawab: 4 x 3 = 12 yaitu {(s, c), (s, t), (s, d), (g, c), (g, t), (g, d), (n, c), (n, t), (n, d), (m, c), (m, t), (m, d)}.
CARTESIAN PRODUCT (PERKALIAN KARTESIAN)
Contoh : Daftarkan semua anggota himpunan berikut: (a) P(∅) (b) ∅ × P(∅) (c) {∅}× P(∅) (d) P(P({3})) • Penyelesaian: (a) P(∅) = {∅} (b) ∅ × P(∅) = ∅ (ket: jika A = ∅ atau B = ∅ maka A × B = ∅) (c) {∅}× P(∅) = {∅}× {∅} = {(∅,∅)) (d) P(P({3})) = P({ ∅, {3} }) = {∅, {∅}, {{3}}, {∅, {3}} }
CARTESIAN PRODUCT (PERKALIAN KARTESIAN) Perkalian Cartesian himpunan A dan B ditulis A x B = {(a,b)/ a є A dan b є B} 1.Jika A = { a1,a2,a3} dan B = { b1,b2 } Tentukan himpunan AxB AxB = {(a1,b1), (a1,b2), (a2,b1), (a2,b2), (a3,b1), (a3,b2)} 2. Jika A = {x/x bilangan ganjil 2 < x < 10} B = { y/y bilangan kelipatan 3 dengan 0 < y < 10} tentukan himpunan A x B A = {3,5,7,9};
B = {3,6,9}
AxB = {(3,3), (3,6), ……………., (9,9)}
FUNGSI •
Dalam model matematika, relasi khusus dapat direpresentasikan dengan fungsi matematika atau fungsi. • Definisi Fungsi Suatu fungsi dapat ditunjukan sebagai suatu proses input menjadi output.
“input”
fungsi
“output”
Defenisi fungsi •
•
Jika y = x2 + 2x + 1, maka akan ditemukan sebagai berikut : Input Hubungan Output Jika x =1 y = (1)2 + 2(1) + 1 = 4 Jika x = -1 y = (-1)2 + 2(-1) + 1 = 0 Jika x = 2 y = (2)2 + 2(2) + 1 = 9 Persamaan di atas menunjukan suatu aturan yang mentransformasikan satu nilai dari x kepada satu nilai y
•
Jadi defenisi fungsi adalah : merupakan suatu aturan yang menghubungkan setiap nilai input kepada satu dan hanya satu nilai output
•
Defenisi Domain/Range Domain dari sebuah fungsi adalah suatu himpunan yang terdiri dari seluruh nilai input yang dimungkinkan. Range dari sebuah fungsi adalah suatu himpunan yang terdiri dari seluruh nilai output yang dimungkinkan.
PENGERTIAN FUNGSI
• Definisi : Misalkan A dan B dua himpunan takkosong. Fungsi dari A ke B adalah aturan yang mengaitkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. • ATURAN : – setiap anggota A harus habis terpasang dengan anggota B. – tidak boleh membentuk cabang seperti ini.
A
B
ILUSTRASI FUNGSI A
f
Input
Kotak hitam
B Output
Ditulis f : A → B, dibaca f adalah fungsi dari A ke B. A disebut domain, B disebut kodomain (range). Elemen a A disebut argumen dan f(a) B disebut bayangan(image) dari a. Himpunan Rf:= { y B : y = f(x) untuk suatu x A } disebut daerah jelajah (range) fungsi f dalam B. Bila S A maka himpunan f(S) := { f(s) : s S } disebut bayangan (image) himp S oleh fungsi f.
ILUSTRASI FUNGSI (LANJ) A
B
Fungsi
Bukan fungsi, sebab ada elemen A yang mempunyai 2 kawan.
Bukan fungsi, sebab ada elemen A yang tidak mempunyai kawan.
GRAFIK FUNGSI • Misalkan f: A Æ B. Grafik fungsi f adalah himpunan pasangan terurut {(a,f(a))/a A} • Contoh: Misalkan A = {1, 2, 3} dan B = {1, 2}, fungsi f didef sbg f(1)=1, f(2)=2, f(3)=1. Maka grafik fungsi f dapat digambarkan sbb: B
A
CONTOH FUNGSI 1. Fungsi kuadrat f : R → R, dimana f(x) := x2+x+1. ⎧ x jika x ≥ 0 2. Fungsi nilai mutlak f : R → R+ , dimana f ( x) := ⎨ ⎩ − x jika x < 0 fungsi ini ditulis juga f(x) := |x|. 3. Misalkan A = himpunan semua negara di dunia dan B = himpunan semua kota di dunia, f : A → B dimana f(x) := ibukota negara x. Bila x = Malaysia maka f(x) = Kuala Lumpur, f(Inggris) = London. 4. Misalkan A = himpunan semua buku di perpustakaan dan diberikan perintah “diberikan buku b dan hitung banyak tanda koma pada buku b tsb”. Ini mendef. fungsi f : A → Z+ dimana f(x) = banyak koma yang ada pada buku x. 5. Misalkan A = himpunan semua string bit dan B = himpunan bil bulat positif Fungsi f : A Æ B dimana f(S) = banyaknya bit 1 pada string S. Bila S = (1001101) maka f(S) = 4. 6. Bila f(S) = posisi bit 1 pada string S, apakah f merupakan fungsi ?
FUNGSI FLOORING dan CEILING 1.
Fungsi flooring f : R → Z, dimana f(x):= bil bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x. Ditulis juga f(x) = ⌊ x ⌋.
2.
Fungsi ceiling f : R → Z, dimana f(x):= bil bulat terkecil yang lebih dari atau sama dengan x. Ditulis juga f(x) = ⌈ x ⌉. CONTOH : Beberapa nilai fungsi flooring dan fungsi ceiling: ⌊0.5⌋ = 0, ⌈0.5⌉ = 1, ⌊-0.5⌋ = -1, ⌈-0.5⌉ = 0 ⌊3.1⌋ = 3, ⌈3.1⌉ = 4, ⌊ 6 ⌋ = 6, ⌈ 6 ⌉ = 6.
Grafik flooring
Grafik ceiling
SIFAT-SIFAT FUNGSI FLOORING DAN FUNGSI CEILING 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
⌊x⌋ = n bila n ≤ x < n+1 ⌈x⌉ = n bila n-1< x ≤ n ⌊x⌋ = n bila x-1 < n ≤ x ⌈x⌉ = n bila x ≤ n < x+1 x-1 < ⌊x⌋ ≤ x ≤ ⌈x⌉ < x+1 ⌈-x⌉ = - ⌊x⌋ ⌊-x⌋ = -⌈x⌉ ⌊x+n⌋ = ⌊x⌋+n ⌈x+n⌉ = ⌈x⌉ + n
•
CONTOH: Data yang disimpan pada komputer biasanya dinyatakan dalam suatu string byte. Tiap byte tersusun atas 8 bit. Berapa byte yang dibutuhkan untuk menyimpan data dengan 100 bit. PENYELESIAN: Karena satuan byte bilangan bulat maka harus dibulatkan ke atas, yaitu dibuthkan ⌈100/8⌉ = ⌈12.5⌉ = 13 byte.
•
CONTOH: Pada protokol komunikasi menggunakan backbone network, data disusun dalam sel ATM yang terdiri dari 53 byte. Berapa sel ATM data yang dapat ditransmisikan dalam waktu 1 menit jika dengan kecepatan rata-rata 500 kilobyte per detik. PENYELESAIAN: Dalam 1 menit dapat ditransmisikan data sebesar 500,000 * 60*8 = 240,000,000 bit. Padahal tiap ATM memuat 53 byte, masing-masing ATM memuat 53 * 8 = 424 bit. Jadi banyak ATM yang dapat ditransmisikan harus dibulatkan ke bawah, yaitu ⌊240,000,000/424⌋ = 70,754 ATM.
OPERASI ALJABAR FUNGSI • Misalkan f, g : A → B maka fungsi f + g , cf dan f g didefinisikan oleh : (f+g)(x):= f(x)+g(x), (cf)(x):=cf(x), (fg)(x):=f(x) g(x). • Contoh: misalkan f, g : R → R dimana f(x) = x2 dan g(x) := x – x2. Diperoleh (f+g)(x) = x, (fg)(x) = x3-x4. • Fungsi f dan g dikatakan sama jika domain dan kodomainnya sama dan f(x) = g(x) untuk setiap x dalam domainnya. • Apakah fungsi f(x):=x-2 dan g(x):=(x2-4)/(x+2) sama ?
FUNGSI SATU-SATU (INJEKTIF) Fungsi f dikatakan satu-satu atau injektif bila hanya bila [f(x) = f(y) → x = y ], atau [x y → f(x) f(y)]. Bila kita dapat menunjukkan bahwa kuantor berikut TRUE: x y [f(x) = f(y) Æ x = y] atau x y [x y → f(x) f(y)] maka fungsi f disimpulkan satu-satu. Namun, bila ada x dan y dengan x y tetapi f(x) = f(y) maka f tidak satu-satu.
•
A
B
satu-satu
A
B
tidak satu-satu
•
CONTOH: Diberikan fungsi f dari {a, b, c, d} ke {1, 2, 3, 4, 5} dengan f(a)=4, f(b)=5, f(c)=1 dan f(d) = 3 merupakan fungsi injektif ? PENYELESAIAN: karena tidak ada anggota B yang mempunyai pasangan ganda pada A mk fungsi ini injektif.
•
CONTOH: Apakah fungsi f: R Æ R dengan f(x) = x2 satu-satu ? PENYELESAIAN: Ambil x = 1 dan y = -1, diperoleh f(x) = f(y) = 1. Jadi ada x, y dengan x ≠ y tetapi f(x) = f(y). Disimpulkan fungsi ini tidak satu-satu.
•
CONTOH: Apakah fungsi dari R ke R ini g(x) = x+5 injektif? PENYELESAIAN: ambil sebarang x, y dengan x ≠ y , diperoleh x + 5 ≠ y + 5 Æ g(x)≠ g(y). Jadi g injektif.
FUNGSI KEPADA (SURJEKTIF) •
Fungsi f : A → B dikatakan kepada atau surjektif jika setiap y B terdapat x A sehingga y = f(x), yaitu semua anggota B habis terpasang dengan anggota A. Jadi bila kita dapat membuktikan kebenaran kuantor berikut: y B x A sehingga y = f(x) maka f surjektif. Namun, bila ada y B sehingga setiap x A, f(x)≠ y maka f tidak surjektif.
A
B
kepada
A
B
tidak kepada
• CONTOH: Apakah fungsi f(x) = x2 dari R ke R surjektif ? PENYELESAIAN: Ambil y = -1 suatu bilangan real. Maka untuk setiap bilangan real x, berlaku x2 = f(x)≠ y. Jadi, f tidak surjektif. • CONTOH: Apakah fungsi linier h(x)= x-3 dari R ke R surjektif? PENYELESAIAN: Ambil seb bil real y, maka y = x-3 Æ x = y+3 memenuhi h(x) = y. Jadi h surjektif.
INVERS FUNGSI •
Misalkan f : A → B fungsi bijektif. Invers fungsi f adalah fungsi yang mengawankan setiap elemen pada B dengan tepat satu elemen pada A. Invers fungsi f dinyatakan dengan f -1 dimana f -1 : B → A. DKL, y = f(x) ↔ x = f -1 (y) f(a) b=f(a)
f -1(b)=a
A •
f -1(b)
B
Fungsi yang mempunyai invers disebut invertibel.
FUNGSI BIJEKTIF •
Fungsi f : A → B dikatakan bijektif bila ia injektif dan surjektif. Pada fungsi bijektif, setiap anggota B mempuyai tepat satu prabayangan di A. A
B fungsi bijektif
•
CONTOH: Apakah fungsi f:{a,b,c,d}Æ {1,2,3,4} dengan f(a)=4, f(b)=2, f(c)=1 dan f(d)=3 bijektif. PENYELESAIAN: karena semua nilainya berbeda mk fungsi ini satusatu. Karena semua anggota B habis terpasang maka ia surjektif. Jadi fungsi ini bijektif.
• CONTOH: Misalkan f fungsi dari {a, b, c} ke {1, 2, 3} dengan aturan f(a)=2, f(b)=3 dan f(c)=1. Apakah f invertibel. Jika ya, tentukan inversnya. PENYELESAIAN: fungsi f bijeksi sehingga ia invertibel dengan f -1(1)=c, f -1(3)=b dan f -1(2)=a. • CONTOH: Misalkan f fungsi dari Z ke Z dengan f(x) = x2. Apakah f invertibel. PENYELESAIAN: Karena fungsi tidak injektif maupun bijektif maka ia tidak invertibel. Jadi invresnya tidak ada.
KOMPOSISI FUNGSI • Misalkan g: A Æ B dan f: B Æ C. Komposisi fungsi f dan g, dinotasikan f ◦ g adalah fungsi f ◦ g: A Æ C dengan (f ◦ g)(x):= f(g(x)). g f • Bila f: A Æ B dan g: D Æ E maka fungsi komposisi A f ◦ g terdefinisi hanyaB bila f(A) D.C f◦g
FUNGSI MERUPAKAN HUBUNGAN MATEMATIS ANTARA SUATU VARIABEL DENGAN VARIABEL LAINNYA. UNSUR-UNSUR PEMBENTUK FUNGSI ADALAH; VARIABEL, KOEFISIEN, DAN KONSTANTE ATAU PARAMETER. VARIABEL MERUPAKAN UNSUR YANG SIFATNYA BERUBAHUBAH DARI SATU KEADAAN KE KEADAAN LAINNYA, DAN DALAM SUATU RUMUSAN FUNGSI DAPAT DIBEDAKAN MENJADI VARIABEL BEBAS DAN TIDAK BEBAS. VARIABEL BEBAS YAITU VARIABEL YANG DAPAT MENERANGKAN VARIABEL LAINNYA (MEMPENGARUHI) VARIABEL TIDAK BEBAS YAITU VARIABEL YANG DITERANGKAN OLEH VARIABEL BEBAS (DIPENGARUHI)
KOEFISIEN IALAH BILANGAN ATAU ANGKA YANG DILETAKKAN TEPAT DIDEPAN SUATU VARIABEL, DAN TERKAIT DENGAN VARIABEL YANG BERSANGKUTAN. KONSTANTA ADALAH SUATU BESARAN BILANGAN ATAU ANGKA YANG SIFATNYA TETAP DAN TIDAK TERKAIT DENGAN SUATU VARIABEL KONSTANTA DAN KOEFISIEN YANG SIFATNYA UMUM DISEBUT SEBAGAI PARAMETER, ARTINYA BESARANNYA TETAP UNTUK SUATU KASUS, TETAPI BERUBAH PADA KASUS LAINNYA
FUNGSI
FUNGSI NON ALJABAR ATAU TRANSENDEN
FUNGSI ALJABAR
FUNGSI IRRASIONAL
FUNGSI POLINOM FUNGSI LINEAR FUNGSI KUADRAT FUNGSI KUBIK
FUNGSI RASIONAL
FUNGSI PANGKAT
FUNGSI EKSPONEN FUNGSI LOGARITMA FUNGSI TRIGONOMETRI FUNGSI HIPERBOLA
PENGGAMBARAN FUNGSI LINEAR Y
KONSTANTA s ba Y e kb d T
(0,4)
VARIABLE
0
Y
Y
(0,4)
4
+ 2 X
bebas
as eb kb Td
(-2,0)
=
Xbeb
as
KOEFISIEN =
4
–2
X
X 0
(2,0)
PERSAMAAN FUNGSI LINEAR MODEL UMUM FUNGSI LINEAR : Y=a +bX; a, b, konstanta (parameter) X, Y variabel UNTUK MENEMUKAN NILAI a DAN b PADA PERSAMAAN LINEAR DI ATAS DAPAT DILAKUKAN DENGAN 1. ELIMINASI DAN SUBSTITUSI CARA INI MEMBUTUHKAN DUA PERSAMAAN YANG MENGANDUNG DUA NILAI YANG TIDAK DIKETAHUI, YAITU a DAN b, UNTUK ITU DIBUTUHKAN DUA PASANGAN NILAI (X,Y)
PERSAMAAN FUNGSI LINEAR MISAL TERDAPAT HUBUNGAN ANTARA X DAN Y DENGAN KONDISI X = 4, Y = 12, DAN X = 8, Y = 20, JIKA HUBUNGAN ANTARA X DAN Y LINEAR, TENTUKAN PERSAMAAN ; Y=a +
bX
PENYELESAIAN X = 4 ; Y = 12; JADI 12 = a + 4b (1) X = 8 ; Y = 20; JADI 20 = a + 8b (2) -8 = -4b b = 2 SUBSTITUSI b = 2 PADA PERSAMAAN (1) DIPEROLEH ; a = 12 – 8 = 4 PERSAMAAN FUNGSI LINEAR Y = 4 + 2X
PERSAMAAN FUNGSI LINEAR 2. Geometri garis lurus Perhatikan gambar garis di bawah ini: Terlihat bahwa garis lurus melalui pasangan titik (x1,y1) dan (x2,y2), jika perubahan y ditulis ∆y = y2-y1, dan perubahan x adalah ∆x = x2–x1, maka terlihat bahwa tg(β) = ∆y/∆x. Y y2 y y1
y = a + bx ∆y= y2–y1
tgβ =
β ∆x =x2-x1
y-y1
juga tgβ =
x-x1 x1
x x2
∆y y 2 − y1 = ...(1) ∆x x 2 − x1 y − y1 ....(2) x − x1
X
PERSAMAAN FUNGSI LINEAR • Persamaan (1) dan persamaan (2) di atas mempunyai nilai yang sama, sehingga dapat ditemukan : y 2 − y1 x 2 − x1
=
y − y1 x − x1
• atau y − y1 y 2 − y1
=
x − x1 x2 − x1
PERSAMAAN FUNGSI LINEAR • Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (4,12) dan (8,20).
y − y1 y 2 − y1 y −12 20 −12
=
x − x1 x2 − x1
=
x−4 8− 4
Y = 2x + 4
PERSAMAAN FUNGSI LINEAR • Jika tgβ atau slope garis lurus y = a + bx diketahui, maka tgβ = b, dan persamaan garis lurus melalui (x1,y1) di atas dapat ditulis sebagai berikut : y – y1 = b(x – x1)
PERSAMAAN FUNGSI LINEAR • Misal Y = a + bx, mempunyai sifat apabila x berubah satu satuan x maka y berubah 1/2 satuan y, dan untuk x = 2, y = 5. tentukan persamaan linear tersebut. • ∆x = 1, ∆y = ½ , jadi b = ∆y/∆x = ½ , sehingga persamaanya menjadi: y-5 = ½(x-2) y = ½ x -1 + 5 y=½x+4
HUBUNGAN ANTARA DUA GARIS LURUS • Jika terdapat dua garis lurus: y1 = a1 + b1X dan y2 = a2 + b2X maka dapat terjadi : y1 sejajar y2 pada saat b1 = b2 y1 berpotongan y2 jika b1≠b2, dan khusus berpotongan tegak lurus b1 = -1/b2
Gambar Grafik • Garis Sejajar • Y
Y2 = a2 + b2X Y1 = a1 + b1X
α1
a2 a1
Y1 // Y2 α2
b1= b2 atau tg α1 = tg α2 X
Gambar Grafik • Garis Berpotongan tegak lurus Y
a1
Y2 = a2 + b2X
Y1
Y2
b1 = -1/ b2 a2 Y1 = a1 + b1X X
Gambar Grafik • Garis Berpotongan Y
Y2 = a2 + b2X Y1 = a1 + b1X
a1
Y1 X Y2
a2
b1≠ b2 X
Menentukan Titik Potong • Untuk menentukan titik potong dua garis lurus y1 dan y2 pada gambar di atas, tidak lain adalah mencari pasangan titik (x,y) yang memenuhi persamaan y1 = y2. • Misal, tentukan titik potong antara garis lurus y = x - 10, dan y = 5 – x
Gambar Grafik • Y = x – 10, titik potong sb-x; y = 0 x – 10 = 0, x=10, atau (10,0) Titik potong sb-y; x=0, y = -10 atau (0,-10) • Y = 5 – x, titik potong sb-x; y = 0 5 – x = 0, x=5, atau (5,0) Titik potong sb-y; x=0, y = 5 atau (0,5)
Gambar Grafik • Titik potong garis lurus, x-10=5-x; 2x = 15, x = 15/2. Substitusi nilai x=15/2 pada salah satu persamaan garis lurus; misal untuk y = x10, diperoleh y = 15/2-10 = -5/2
Jadi titik potong antara dua garis lurus tersebut adalah (15/2,-5/2)
Gambar Grafik Y 5
Y = x - 10 0
5
15/2
10
-5/2
Y=5-x -10
X
Fungsi Kuadrat • Fungsi Kuadrat, adalah fungsi yang variabel bebasnya berpangkat tertinggi dua (kuadrat). • Bentuk Y =umumnya aX2 + bX + c untuk ; a ≠ 0 y = f(x) adalah : • Grafik dari fungsi kuadrat adalah parabola, dengan sumbu simetri sejajar sumbu-Y
Parabola Dengan Sumbu Simetri Sejajar Sumbu Y Y
Y = aX2 + bX + c a<0
X
Sumbu simetri
Parabola Dengan Sumbu Simetri Sejajar Sumbu Y Y Sumbu simetri
Y = aX2 + bX + c a>0 X
Nilai Ekstrem Fungsi Kuadrat • Fungsi Kuadrat mempunyai nilai ekstrem tunggal (mutlak), atau hanya satu-satunya • Jenis Ekstrem fungsi Kuadrat akan sangat bergantung pada nilai koefisien X2, yaitu (a) jika a > 0, maka ekstrem Minimum jika a < 0, maka ekstrem Maksimum
Menentukan Nilai Ekstrem Fungsi Kuadrat • Menentukan Nilai Ekstrem Fungsi Kuadrat dapat didekati dengan dua pendekatan, yaitu 1. Pendekatan Model Kuadrat Sempurna 2. Pendekatan Penggunaan Rumus Diskriminan (D) • 1. Pendekatan Model Kuadrat Sempurna Perhatikan model fungsi kuadrat: Y = aX2 + bX + c, a≠0 jika b = 0, maka persamaan kuadrat di atas menjadi : Y = aX2 + c, a≠0 dan disebut sebagai persamaan kuadrat sempurna.
Menentukan Nilai Ekstrem Fungsi Kuadrat Nilai X2>0, untuk setiap nilai X Jika a > 0, maka aX2 > 0, sehingga untuk : c > 0, aX2 + c > c c < 0, aX2 + c > c dan pada saat x = 0, Y = aX2+ c Y=0+c Y = c, merupakan nilai terkecil Jadi Y(minimum) = c untuk x = 0.
Menentukan Nilai Ekstrem Fungsi Kuadrat Nilai X2>0, untuk setiap nilai X Jika a < 0, maka aX2 < 0, sehingga untuk : c > 0, aX2 + c < c c < 0, aX2 + c < c dan pada saat x = 0, Y = aX2+ c Y=0+c Y = c, merupakan nilai terbesar Jadi Y(maksimum) = c untuk x = 0.
Menentukan Nilai Ekstrem Fungsi Kuadrat • Analogi dengan bentuk kuadrat sempurna di atas, maka: Jika Y = aU2+c, akan memberikan kesimpulan yang sama, yaitu, jika a>0, maka y(minimum) = c untuk U = 0, dan jika a<0, maka y(maksimum) = c untuk U = 0. • Apabila U=X+b, maka, bentuk di atas menjadi Y = a(X+b)2+ c Bagaimana Nilai Y (minimum atau maksimum)?
Menentukan Nilai Ekstrem Fungsi Kuadrat • Jika a>0; Y(minimum) = c untuk U = 0, atau X+b=0, atau X = -b. • Jika a<0; Y(maksimum) = c untuk U = 0, atau X+b=0, atau X = -b. • Andaikan a = 1; b = 2, dan c = 4 bagaimana penerapannya ? • Andaikan a = -2, dan b = 3, dan c=10 bagaimana penerapannya
Menentukan Nilai Ekstrem Fungsi Kuadrat 2.
Pendekatan Penggunaan Rumus Diskriminan (D)
Perhatikan model fungsi kuadrat: Y = aX2 + bX + c, a≠0; Model ini dapat dimanipulasi menjasi : Y = a ( X 2 + ba X ) + c Y = a ( X + 2ba ) 2 − 4b a + c 2
Y = a( X +
) −(
b 2 2a
b2 4a
Y = a ( X + 2ba ) 2 − ( b
2
− 4 ac 4a
D = b 2 − 4ac, maka : Y = a ( X + 2ba ) 2 − 4Da
− c) )
Menentukan Nilai Ekstrem Fungsi Kuadrat
• Jadi untuk model fungsi kuadrat: Y = aX2+bX+c, a≠0; atau
Y = a ( X + 2ba ) 2 − 4Da nilai ekstremnya adalah: y = -D/4a Dengan D = b2-4ac, disebut Diskriminan D − Jika a > 0, Y(minimum)=4 a
untuk X=-b/2a
Jika a < 0, Y(maksimum)= −D
untuk X=-b/2a
4a
Menentukan Nilai Ekstrem Fungsi Kuadrat • • • • • •
Tentukan Ekstrem fungsi: 1. Y = 4 – 2x + x2 2. Y = 10 + 6x -3x2 3. Y = ½ x2 + x + 2 Gambar grafiknya Peny. 1. Y = x2 -2x + 4 Y = (x-1)2+3 Y(min) = 3 untuk x = 1 Titik potong sumbu-y (0,4)
GAMBAR GRAFIK PARABOLA Y
Y = x2 -2x + 4 Y = (x-1)2 + 3
4 3
1
X
GAMBAR GRAFIK PARABOLA Y Y = ½ x2 + x + 2 Y = ½ (x2 + 2x) + 2 2
Y = ½ (x + 1)2+ 3/2
3/2 X -1
GAMBAR GRAFIK PARABOLA Y 13 10 Y = 10 + 6x -3x2 Y = -3(x2 – 2x) + 10 Y = -3(x -1)2 + 13 X 1
Perpotongan Parabola Dengan Garis Lurus • Jika parobola y1=ax2 + bx +c, a>0, dan garis lurus y2= px + q, p<0, yang saling berpotongan, maka dapat terjadi seperti gambar berikut : Y Y1 = Y2
Y1 = aX2 + bX + c a>0 Y2 = px + q; p<0 X
Perpotongan Parabola Dengan Garis Lurus • Jika parabola y1=ax2+bx+c, a<0 dan garis lurus, y2 = px + q, p>0, yang saling berpotongan, maka dapat terjadi seperti gambar berikut: Y
Y1=Y2
Y2 = px + q
Y1 = aX2 + bX + c a<0 X
Perpotongan Parabola Dengan Parabola • Jika parabola y1=ax2+bx+c, a>0 dan parabola y2 = px2 + qx + r, p<0, yang saling berpotongan, maka dapat terjadi seperti gambar berikut: Y Y1 = aX2 + bX + c a>0 Y1 = y2
Y2 = pX2 + qX + r p<0 X
HUBUNGAN FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA • FUNGSI EKSPONEN MEMPUNYAI HUBUNGAN YANG ERAT DENGAN FUNGSI LOGARITMA, KARENA MERUPAKAN KEBALIKAN SATU SAMA LAINNYA • FUNGSI EKSPONEN BERBEDA DENGAN FUNGSI PANGKAT • FUNGSI PANGKAT ADALAH FUNGSI YANG VARIABELNYA DIPANGKATKAN DENGAN BILANGAN KONSTAN • FUNGSI EKSPONEN ADALAH KONSTANNYA YANG DIPANGKATKAN DENGAN VARIABEL • Y = x1/2 ADALAH FUNGSI PANGKAT • Y = 2X ADALAH FUNGSI EKSPONEN
BASIS EKSPONEN • Fungsi eksponen mempunyai dua basis eksponen, yaitu (1) basis konstante a dengan 0
1 (bilangan biasa), dan (2) basis konstante e = 2.71828….. • Y = ax dengan a>1, akan mempunyai perilaku sebagai berikut : • Nilai Y akan mendekati tak berhingga jika x menuju tak berhingga positip, akan mendekati nol apabila x menuju tak berhingga negatip • Nilai Y = 1 untuk x = 0 untuk setiap a
GRAFIK FUNGSI EKSPONEN • Grafik dari fungsi Y = 2x Y = 2x Y 2 1 1
X
• Grafik fungsi eksponen Y = 2-x Y = 2-x Y 2 1 X -1
KARAKTERISTIK FUNGSI EKSPONENSIAL • Jika terdapat a>0 dan b> 0 dan m dan n bilangan nyata, maka berlaku : 1. bmbn = bm+n 2. bm/bn = bm-n 3. (bm)n = bmn 4. ambm = (ab)m 5. bm/n = (bm)1/n 6. am = an , maka m = n
FUNGSI LOGARITMA • Logaritma dapat diartikan sebagai pangkat dari sebuah bilangan pokok untuk menghasilkan bilangan tertentu yang diinginkan. • Bilangan dasar atau basis dari logaritma adalah bilangan bulat positip kecuali bilangan 1 • Dalam kasusus umum bilangan pokok yang digunakan adalah 10 atau e • Bilangan pokok atau basis 10 biasanya tidak ditulis, sehingga log 10 = 1, karena 101= 10 • Bilangan pokok e juga tidak ditulis, tetapi penulisan ln e = 1, artinya elog e = 1
GRAFIK FUNGSI LOGARITMA • Grafik fungsi logaritma merupakan kebalikan dari fungsi eksponensial, namun grafik fungsi logaritma Y = log X hanya berada pada nilai Domain: x > 0, dan nilai Range -~
GRAFIK FUNGSI LOGARITMA • Grafik y = log x
y = logx
y
1
x
SIFAT-SIFAT LOGARITMA • • • • • • •
Untuk a dan b bilangan positip log ab = log a + log b log a/b = log a – log b log ab = b log a log 1 = 0 ; log 10 = 1 log a = log b maka a = b Sifat yang sama berlaku untuk logaritma dengan basis e atau (ln), misal ln e = 1, dst
APLIKASI FUNGSI LINEAR DAN KUADRATIK
APLIKASI FUNGSI LINEAR PADA FUNGSI PERMINTAAN DAN PENAWARAN • BERIKUT INI DATA TENTANG HARGA, KUANTITAS PERMINTAAN, DAN KUANTITAS PENAWARAN SEBUAH KOMODITI • TENTUKAN : A. PERSAMAAN FUNGSI PERMINTAAN DAN PENAWARANNYA B. KESEIMBANGAN HARGA DAN KUANTITAS C. GAMBAR GRAFIKNYA D. ARSIR DAERAH SURPLUS KONSUMEN DAN SURPLUS PRODUSEN
Harga P 30
Permintaan Qd 10
Penawaran Qs 35
20
40
10
P Qs = -40 + 2.5P
Keseimbangan 30 . harga
E
25.4 20
.
Qd = 100 - 3P
. 10
.
.
23.8 35
. 40
Q
Keseimbangan kuantitas
KESEIMBANGAN KUANTITAS DAN HARGA • • • • •
Qd = Qs 100 - 3P = -40 + 2.5P 5.5 P = 140 Pe = 25.4 Qe = 100 – 3(25.4) = 23.8
Fungsi Biaya, Penerimaan, Keuntungan • Suatu perusahaan mempunyai biaya tetap produksi 2000 dan biaya variabel per unit Q adalah 25. Harga jual produknya 50 per unit Q. • Tentukan : -
-
Fungsi Biaya Total C Fungsi Penerimaan R Fungsi Keuntungan Π Titik Pulang Pokok (BEP) Gambar Grafiknya
Fungsi Biaya, Penerimaan, dan Keuntungan • Fungsi Biaya Total TC = FC + VC; FC = biaya tetap VC = total biaya variabel Jadi TC = 2000 + 25 Q • Fungsi Penerimaan TR = p Q ; p = harga jual per unit Q TR = 50 Q • Fungsi Keuntungan Π = TR – TC • = 50Q – (2000+25Q) • = 25Q – 2000 • BEP dicapai pada Π = 0, jadi Q = 80
GRAFIK FUNGSI TR = 50 Q
TC,Π,TR
TC = 2000 + 25Q 4000
BEP Π = 25Q - 2000
2000
Q 80 -2000
Fungsi Biaya, Penerimaan, dan Keuntungan KUANTITAS Q 50
TOTAL BIAYA C 3500
100
4000
HARGA JUAL P 25
Tentukan, fungsi Biaya C, Penerimaan R, Keuntungan π, BEP, dan Gambar grafiknya
jawab
GRAFIK FUNGSI TR = 25 Q
TC,Π,TR
TC = 3000 + 10Q 5000
BEP Π = 15Q - 3000
3000
Q 200 -3000
FUNGSI PENDAPATAN, CONSUMSI DAN TABUNGAN • BERIKUT INI DATA PENDAPATAN, CONSUMSI DAN TABUNGAN SUATU NEGARA DENGAN SATUAN MATA UANG TERTENTU. • TENTUKAN : A. FUNGSI CONSUMSI C = co + cY B. FUNGSI TABUNGAN S = so + sY C. KESEIMBANGAN PENDAPATAN NASIONAL YE DAN GAMBAR GRAFIK
HUBUNGAN c DAN s, SERTA c0 DAN s0 Y=C+S 1 = c + s , sehingga s = 1-c c = ∆C/∆Y disebut marginal propencity to consum (MPC) dan s disebut marginal propencity to save ∆C = perubahan konsumsi C akibat perubahan
pendapatan Y
∆S = perubahan Tabungan S akibat perubahan
pendapatan Y
= ∆S/∆Y,
c0 adalah consumsi pada saat Y = 0, s0 adalah tabungan pada saat Y = 0, jadi s0 = - c0 Contoh: Jika Consumsi C = 2500 + 0.75 Y, maka Tabugan S = -2500 + 0.25Y
Pendapatan Y
Consumsi C
Tabungan S
180 250
192 220
-12 30
C, Y, S
Y=Y C = 120 + 0.4 Y
220
E
200 120
S = 0.6Y - 120 450
Y Ye = 200 250
-120
P2
P 12
P2 = a(Q+1)2 + 1, P = 2 untuk Q = 0 P2 = Q2 + 2Q + 2 GAMBAR BERIKUT ADALAH FUNGSI PERMINTAAN P1 DAN FUNGSI PENAWARAN P2 DARI SUATU KOMODITI, TENTUKAN : a. FUNGSI PERMINTAAN DAN PENAWARAN b. KESEIMBANGAN HARGA DAN KUANTITAS
Pe
2 1 -1
Q Qe
12
P1
P1 = P2 Q2 + 2Q + 2 = 12-Q Q2 +3Q-10 = 0 (Q+5)(Q-2) = 0 Qe = 2, Pe = 10
P1 = 12 - Q
Perpotongan Parabola Dengan Parabola P P2 14 13 Pe 1 3/4
-1 -1/2
P1
GAMBAR BERIKUT ADALAH FUNGSI PERMINTAAN P1 DAN FUNGSI PENAWARAN P2 DARI SUATU KOMODITI, TENTUKAN : • a. FUNGSI PERMINTAAN DAN • PENAWARAN b. KESEIMBANGAN HARGA DAN • KUANTITAS
Q
Qe
P1 = a(Q+1)2 + 14; Q = 0, P = 13
P2 = a(Q+1/2)2 + 3/4; Q = 0, P = 1
GAMBAR BERIKUT ADALAH FUNGSI PERMINTAAN Q2 DAN FUNGSI PENAWARAN Q1 DARI Q1=a(P+1)2 -2 SUATU KOMODITI, TENTUKAN : • a. FUNGSI PERMINTAAN DAN Q • PENAWARAN Q1=P2+2P-1 9 b. KESEIMBANGAN HARGA DAN • KUANTITAS Qe
-1 -1 -2
P
Pe
Q2 = 9 – P2
Q1 = Q2 P2 + 2P -1 = 9 – P2 2P2 + 2P -10 = 0 P2 + P – 5 = 0
PAJAK DAN SUBSIDI • PAJAK DAN SUBSIDI MERUPAKAN KEBIJAKAN FISKAL PEMERINTAH • PAJAK DAN SUBSIDI AKAN MENGUBAH FUNGSI PENAWARAN • JIKA FUNGSI PENAWARAN SEBELUM PAJAK DAN SUBSIDI Qs = F(P), MAKA: a. setelah pajak t per unit Q yang terjual membuat fungsi penawaran menjadi Qst = F(P-t) b. setelah subsidi s per unit Q yang terjual membuat fungsi penawaran menjadi Qss = F(P+s) • JIKA FUNGSI PENAWARAN Ps = G(Q), MAKA: a. setelah pajak t per unit Q yang terjual membuat fungsi penawaran menjadi Pst = G(Q) + t b. setelah subsidi s per unit Q yang terjual membuat fungsi penawaran menjadi Pss = G(Q)-s
• Qs = 2P – 10, JADI Q = F(P) • t = 2 , Qst = 2(P-2) -10 = 2P – 14 • s = 1, Qss = 2(P+1) – 10 = 2P – 8 • Ps = 5 + 3Q, P = G(Q) • t = 2, Pst = 5+3Q+2 = 7 + 3Q • s = 1, Pss = 5 +3Q-1 = 4 + 3Q
GAMBAR PENGARUH PAJAK DAN SUBSIDI TERHADAP FUNGSI PENAWARAN Qst = F(P-t) Qs = F(P)
P
Qss = F(P+s)
t Pet Pe Pes
s
Qd = G(P)
Q
Qet Qe Qes
PAJAK TANGGUNGAN KONSUMEN DAN PRODUSEN Pajak ditanggung Konsumen
Qst = F(P-t) Qs = F(P)
P Pajak ditanggung Produsen Pet
t = Pet-Po
Pe P0 Qd = G(P)
Q
Qet
Qe
SUBSIDI KONSUMEN DAN PRODUSEN SUBSIDI PRODUSEN
Qs = F(P)
P SUBSIDI KONSUMEN
P1
Qss = F(P+s)
Pe s = P1-Pes
Pes
Qd = G(P)
Q
Qe
Qes
SOAL • Diketahui fungsi permintaan suatu barang Qd=80.5P, dan fungsi penawaran Qs=-2+P, dengan P adalah harga dan Q adalah kuantitas. Apabila pajak t = 2 untuk setiap Q yang terjual, tentukan a. Titik keseimbangan sebelum pajak b. Titik keseimbangan setelah pajak c. Gambar grafik, dan tentukan pajak yang ditanggung produsen dan konsumen
• Keseimbangan Harga Pe dan Kuantitas Qe sebelum pajak • (Qe,Pe) Qd = Qs 8 – 0.5 P = -2 + P 1.5 P = 10 Pe = 10/1.5 = 20/3 Qe = 14/3
• Fungsi penawaran setelah pajak t = 2 Qst = -2 + (P – 2) = -4 + P • Keseimbangan harga setelah pajak Pst dan kuantitas setelah pajak Qst adalah: (Qet,Pet) Qst = Qd -4 + P = 8 – 0.5P Pet= 8, Qet = 4
PAJAK TANGGUNGAN KONSUMEN DAN PRODUSEN Pkon= 4 (8-20/3) = 16/3 Pajak ditanggung Konsumen
Qst = -4 + P Qs = -2 + P
P Pajak ditanggung Produsen 8
t = 8-6 =2
20/3 6 Qd = 8-0.5P
Q
4
14/3
Pprod = 4(20/3 – 6) = 8/3
LATIHAN SOAL • Diketahui fungsi permintaan suatu barang P=20-0.5Q, dan fungsi penawaran P= 4 + 2.5Q, dengan P adalah harga dan Q adalah kuantitas. Apabila subsidi s = 2 untuk setiap Q yang terjual, tentukan a. Titik keseimbangan sebelum subsidi b. Titik keseimbangan setelah subsidi c. Gambar grafik, dan tentukan subsidi yang dinikmati produsen dan konsumen
• Keseimbangan Harga Pe dan Kuantitas Qe sebelum subsidi • (Qe,Pe) Pd = Ps 20 – 0.5 Q = 4 + 2.5Q 3Q = 16 Qe = 16/3 Pe = 52/3
• Fungsi penawaran setelah subsidi s = 2 Pss = 4 + 2.5Q - 2 = 2 + 2.5Q • Keseimbangan harga setelah subsidi Pss dan kuantitas setelah subsidi Qss adalah: (Qes,Pes) Pss = Pd 2 + 2.5Q = 20 – 0.5Q Qes= 18/3=6, Pes = 17
SUBSIDI KONSUMEN DAN PRODUSEN SUBSIDI PRODUSEN
Ps =4+2.5Q
P SUBSIDI KONSUMEN
19
Pss = 2+2.5Q
52/3
Sprod. = 6(19-52/3) 17 Pd = 20-0.5Q
Q
16/3
6
Skon. = 6(52/3 -17)
SOAL
1.
Sebuah komoditi mempunyai perilaku permintaan dan penawaran sebagai berikut; jika harganya Rp.5.000,- perusahaan akan menawarkan 300 unit, dan permintaan barangnya 500 unit, sedangkan jika harganya naik menjadi Rp.6.000,- perusahaan menawarkan sebanyak 600 unit dan permintaannya menjadi 350 unit. – Buatlah persamaan permintaan & penawarannya. – Tentukan Keseimbangan harga dan kuantitasnya – Jika pajak yang ditarik pemerintah Rp. 300,- per unit tentukan pajak yang ditanggung produsen dan ditanggung konsumen – Gambar grafiknya – Jika pada kasus di atas pemerintah memberikan susidi Rp 200,- per unit yang terjual tentukan subsidi yang dinikmati produsen dan juga konsumen – Gambar grafiknya 2. Sebuah negara mempunyai komponen pendapatan nasional sebagai berikut; apabila pendapatan negara tersebut tidak ada maka konsumsi 700, sedangkan untuk setiap kenaikan satu satuan pendapatan, maka 90 % digunakan untuk konsumsi, – Tentukan fungsi konsumsi dan tabungannya – Gambarkan fungsi konsumsi dan tabungan tersebut – Tentukan keseimbangan pendapatan nasional
soal 3. Fungsi permintaan Qd = 26 – P2 dan fungsi penawaran Qs = P2 + 2P – 14 Tentukan keseimbangan harga dan kuantitas (Qe;Pe) dan gambar grafiknya 4. Diketahui fungsi permintaan suatu barang Pd=12-2Q, dan fungsi penawaran Ps=3+Q, dengan P adalah harga dan Q adalah kuantitas. Apabila pajak t = 2 untuk setiap Q yang terjual, tentukan a. Titik keseimbangan sebelum pajak b. Titik keseimbangan setelah pajak c. Gambar grafik, dan tentukan pajak yang ditanggung produsen dan konsumen
5. Diketahui fungsi permintaan suatu barang P=100.5Q, dan fungsi penawaran P=4 + 2Q, dengan P adalah harga dan Q adalah kuantitas. Apabila subsidi s = 2 untuk setiap Q yang terjual, tentukan a. Titik keseimbangan sebelum subsidi b. Titik keseimbangan setelah subsidi c. Gambar grafik, dan tentukan subsidi yang dinikmati produsen dan konsumen
6. Cari titik keseimbangan fungsi permintaan berikut : 2P=34-3Q dan fungsi penawaran Q = 2P-2 dalam (Q ; P), dan gambar grafik 7. Jika fungsi permintaan 3P + 2Q = 27 cari jumlah penerimaan R maksimum, jika R = PQ, Gambar fungsi permintaan Qd dan R
BARISAN DAN DERET
PENDAHULUAN •
•
Barisan (sequence) adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan dan aturan tertentu. Bilanganbilangan yang tersusun tersebut dikatakan suku dari barisan. Perubahan teratur dari suku-suku secara berurutan tersebut ditentukan oleh suatu ketambahan bilangan tertentu atau suatu kelipatan bilangan tertentu.
BARISAN ARITHMATIKA DAN GEOMETRI • Apabila barisan bilangan mempunyai tambahan bilangan yang besarannya tetap untuk dua suku berurutan, maka disebut barisan arithmatika, sedangkan untuk barisan yang mempunyai kelipatan bilangan tetap antara dua suku berurutan disebut barisan geometri.
FINITE DAN INFINITE • Berdasarkan banyaknya suku dari barisan, maka barisan dapat dibagi menjadi dua jenis yaitu; barisan tertentu (finite) adalah barisan yang sukusukunya terbatas, dan barisan tak tentu (infinite) adalah barisan yang sukusukunya tak terbatas.
DERET Deret (series) adalah jumlahan suku-suku dalam barisan, sehingga dapat dikelompokkan menjadi dua jenis, yaitu deret arithmatika (deret hitung) dan deret geometri (deret ukur). Dari banyak suku, deret geometri juga digolongkan manjadi deret geometri hingga (finite geometric series) dan deret geometri tak-hingga (infinite geometric series).
BARISAN DAN DERET ARITHMATIKA Barisan arithmatika adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut urutan tertentu, misalnya : 2, 4, 6, 8, 10, ….. Tiap suku pada barisan di atas mempunyai beda yang sama dengan suku sebelumnya, yaitu sebesar 2. Hubungan bilangan pada suku barisan dengan suku pertama dapat dijelaskan sebagai berikut : U1 = 2 U2 = 2 + 2 = U1 + 1.2=4 U3 = U2 + 2 = U1 + 2 + 2 = U1 + 2(2) = 6 U4 = U3+2=U1+3(2)=8 U5 = U4+2=U1+4(2)=10
BARISAN DAN DERET ARITHMATIKA Seterusnya dapat ditentukan suku ke i+1 adalah suku ke i ditambah 2, yaitu Ui+1 = Ui + 2 . Terlihat bahwa beda antara dua suku berurutan adalah sama (konstan). Barisan seperti ini disebut barisan arithmatika. Secara umum apabila setiap suku barisan arithmetika dapat ditulis sebagai berikut : U1, U2, U3, U4, U5, …..,Un maka hubungan yang dapat dijelaskan adalah; U2 = U1 + b U3 = U1 + 2b U4 = U1 + 3b . . Un = U1 + (n-1)b, merupakan suku ke-n dengan b adalah beda antara dua suku berurutan.
BARISAN DAN DERET ARITHMATIKA
Contoh 1. Tentukan suku ke-15 dari barisan arithmatika; 7, 10, 13, 16, ……….. Penyelesaian; Suku pertama U1 = 7 dan beda b = 10-7 = 3. Dengan menggunakan rumus Un = U1 + (n-1)b, maka; U15 = 7 + (15-1)3 = 7 + 42 = 49.
• Contoh 2. Tentukan suku ke-20 dari barisan arithmatika jika diketahui suku ke-5 = 17 dan suku ke-8= 26. • Penyelesaian ; Suku ke-5 = 17 ditulis U5 = 17 artinya 17 = U1 + 4b Suku ke-8 = 26 ditulis U8 = 26 artinya 26 = U1 + 7b • Jika kedua persamaan di atas diselesaikan diperoleh beda b = 3 dan suku pertama U1 = 5, sehingga suku ke-20 dari barisan ini adalah; U20 = U1 + 19 b = 5 + 19(3) = 5 + 57 = 62
DERET ARITHMETIKA Deret arithmetika adalah jumlah dari suku-suku dalam suatu barisan arithmatika, bentuk umumnya adalah; Sn = U1 + U2 + U3+ U4 + U5 + …………+ Un, atau jika digunakan beda b dan suku pertama U1, Maka Sn dapat ditulis ; Sn = U1 + (U1+b)+ (U1+2b) +(U1+3b) +(U1+4b) +………+(U1+(n-1)b) Jika U1 diganti dengan simbol a (sering digunakan), maka deret tersebut dapat ditulis ; Sn = a + (a+b)+ (a+2b) +(a+3b) +(a+4b) +………+(a+(n-1)b) Nilai dari Sn dapat ditentukan sebagai berikut ; Sn = a +(a+b) + …+(a+(n-3)b)+ (a+(n-2)b)+ (a+(n1)b) Sn =(a+(n-1)b)+(a+(n-2)b)+.....+ (a+2b) + (a+b) + a
Sn = a +(a+b) + …......+(a+(n-3)b)+ (a+(n-2b)+ (a+(n-1)b) Sn =(a+(n-1)b)+(a+(n-2)b)+.........+ (a+2b) + (a+b) + a __________________________________________ + 2Sn = (2a + (n-1)b)+ (2a+(n-1)b)+....... ........+ (2a+(n-1)b) 2Sn = n (2a + (n-1)b) Sn = n/2(2a + (n-1)b) atau Sn = n/2 (U1 + Un)
BARISAN DAN DERET ARITHMATIKA • Contoh 1 ; • Carilah jumlah 15 suku pertama dari barisan arithmatika ; • 13, 18, 23, 28, ………. • Penyelesaian; Pada kasus ini dapat diidentifikasi ; a = 13 b = 5 dan n = 15, jadi S15 = 15/2(26 + (15-1)5) = 720
BARISAN DAN DERET GEOMETRI
• Barisan geometri adalah barisan dengan rasio antara dua suku berurutan (r) sama • Bentuk umum : • a, ar, ar2 , ar3 , ar4 , .......… , arn-1 • Deret geometri adalah jumlah dari suku-suku dalam suatu barisan geometri, yaitu; • Sn = a + ar +ar2 + ar3 + ar4 + … +arn-1 • r = ar/a = U2/U1 disebut rasio antara dua suku berurutan, dan a = suku pertama • Nilai dari Sn diperoleh sebagai berikut ;
Sn = a + ar +ar2 + ar3 + ar4 + ... +arn-1 rSn =
ar +ar2 + ar3 + ar4 + … +arn-1 + arn
_______________________________ Sn- rSn = a - arn (1-r)Sn = a – arn = a(1 - rn) Sn = a (1 – rn)/(1-r) , untuk r < 1; dan ditulis : Sn = a (rn - 1)/(r – 1) , untuk r > 1
BARISAN DAN DERET GEOMETRI Contoh 3. Dengan adanya undang-undang tentang dampak lingkungan, maka perusahaan Hatsam menyisihkan dananya untuk mengawasi polusi udara disekitar pabriknya pada tahun pertama (2003) sebesar Rp. 12.500.000,- dan meningkat 15% setiap tahun berikutnya. Apabila komitmen ini tidak berubah berapakah dana yang harus disiapkan pada awal tahun 2008 ? Jawaban : Dalam kasus ini diketahui ; a = 12.500.000, r = 1+0.15 = 1.15, dan n = 6 Jadi suku ke-6 U6 = 12.500.000 (1.15)5 , = 25.141.965; sehingga dana yang harus disediakan pada tahun 2008 sebesar Rp. 25.141.965,-
DERET DALAM HITUNGAN KEUANGAN
Hitung Keuangan
Bunga Tunggal
Bunga Majemuk
Anuitas
1. Bunga Tunggal ¾ Bunga adalah Selisih jumlah nominal uang yang dipinjam dan jumlah yang dikembalikan. ¾ Bunga pinjaman merupakan beban ganti rugi bagi peminjam. Hal ini disebabkan peminjam menggunakan uang pinjaman tersebut untuk usaha. Besarnya bunga dipengaruhi oleh besar uang yang dipinjam, jangka waktu peminjaman, dan tingkat suku bunga (persentase). ¾ Bunga tunggal adalah besarnya bunga sebagai jasa peminjaman yang dibayarkan tetap untuk setiap periode
Misalkan uang sebesar Rp100.000,00 dibungakan atas dasar bunga tunggal dengan tingkat suku bunga 10% per bulan .
¾ Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan pertama: Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00 = Rp100.000,00 (1 +10%) ¾ Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan kedua: Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00 = Rp100.000,00 (1 + 2 × 10%) ¾ Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan ketiga: Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00 = Rp100.000, 00 (1 + 3 × 10%) ¾ Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan ke-t: Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00 + ... + 10% × Rp100.000,00 = Rp100.000,00 ( 1+ t × 10%)
Secara umum, dapat kita katakan sebagai berikut. B = Mo× t × i M t = M o (1 + t × i)
Keterangan : Mo = modal t = periode waktu dengan tingkat B
Mt
suku bunga i = bunga = besar modal akhir periode t
Contoh 1: Koperasi Jatra Lestari memberikan pinjaman kepada anggotanya atas dasar bunga tunggal sebesar 2% per bulan. Jika seorang anggota meminjam modal sebesar Rp3.000.000,00 dengan jangka waktu pengembalian 1 tahun, tentukan a. besar bunga setiap bulannya; b. besar uang yang harus dikembalikan sesuai jangka waktu yang ditentukan. Jawab: Besar bunga dihitung setiap bulan. Diketahui r = 2%, Mo = Rp3.000.000,00, dan t = 12 bulan. a. Besar bunga setiap bulan adalah B = Mo × 1 × r = Rp3.000.000,00 × 1 × 2% = Rp60.000,00
b. Besar uang yang harus dikembalikan sesuai jangka 12 bulan adalah M t = Mo (1 + t × r) M12 = Rp3.000.000,00(1 + 12 × 2%) = Rp3.000.000,00(1,24) = Rp3.720.000,00
Contoh 2: Cecep meminjam uang di suatu bank sebesar Rp2.000.000,00 dengan suku bunga tunggal 30% per tahun. Dalam waktu 60 hari, Cecep sudah harus mengembalikan uang tersebut. Berapa bunga dan jumlah uang yang harus dikembalikannya? (Asumsikan: 1 tahun = 360 hari) Jawab: Dari soal di atas diketahui Mo = Rp2.000.000,00, r = 30% per tahun, dan t = 60 hari. a. Bunga B = M o × t × r 1 = Rp2.000.000,00 × × 30% 6 = Rp100.000,00
b. Jumlah uang yang harus dikembalikan Cecep adalah Mt = Mo (1 + t × r) = Mo + M × t × r = Mo + B = Rp2.000.000,00 + Rp100.000,00 = Rp2.100.000,00
2. Bunga Majemuk ¾ Bunga Majemuk, yaitu bunga yang dihitung atas dasar jumlah modal yang digunakan ditambah dengan akumulasi bunga yang telah terjadi. ¾ Bunga semacam ini biasanya disebut bunga yang dapat berbunga. ¾ Adapun perhitungannya dapat kalian pahami melalui perhitungan deret geometri. Misalkan modal sebesar Mo dibungakan atas dasar bunga majemuk, dengan tingkat suku bunga i (dalam persentase) per periode waktu. Besar modal pada periode ke-t (M ) dapat dihitung dengan cara berikut. t
M1 = Mo + M o × i = oM (1 + i) 2
M = M1 (1 + i) = [M o (1 + i)] (1 + i) =o M (1 + i) 2
2
3
M 3 = M2 (1 + i) = [M o (1 + i) ](1 + i) o= M (1 + i) . . . . . . . . . . . . M t = Mt − 1 (1 + i) = [Mo (1 + i)t-1](1 + i) = Mo (1+ i)t
Jadi, diperoleh kesimpulan sebagai berikut.
M t = M o (1 + i)t Keterangan : M= modal i = dasar bunga majemuk dengan tingkat suk bunga (dalam persen) per periode tertentu M = besar modal pada periode ke-t
Contoh 1: Sebuah bank memberi pinjaman kepada nasabahnya atas dasar bunga majemuk 36% per tahun. Jika seorang nasabah meminjam modal sebesar Rp5.000.000,00 dan bank membungakan majemuk per bulan, berapakah modal yang harus dikembalikan setelah 1 tahun? Jawab: Diketahui M o = Rp5.000.000,00, i = 3% = 0,03, dan t = 12 bulan. Dengan demikian, modal yang harus dikembalikan setelah 1 t tahun (12 bulan) adalah Mt = Mo (1 + i) M12 = Rp5.000.000,00(1 + 0,03) 12 = Rp5.000.000,00(1,42576) = Rp7.128.800,00
Contoh 2: Ramli meminjam uang di suatu bank sebesar Rp2.000.000,00. Bank tersebut memberikan bunga atas dasar bunga majemuk 20% per tahun dengan periode pembungaan setiap catur wulan. Jika Ramli meminjam uang dalam jangka waktu 3 tahun, tentukan jumlah uang yang harus dikembalikan pada akhir tahun ke-3. Jawab: Diketahui Mo = Rp2.000.000,00 dan i = 20% = 0,2. Pembungaan dilakukan setiap catur wulan (4 bulan). Jadi,
12 banyak periode pembungaannya dalam setahun ada =3 4 kali. Jadi, jika lama peminjaman 3 tahun, banyak periode pembungaannya 3 × 3 = 9 kali. Dengan demikian, jumlah modal (uang) yang harus dikembalikan Ramli pada akhir tahun ke-3 adalah
t
Mt = Mo (1 + i) Mo = Rp2.000.000,00(1 + 0,2/4) = Rp2.000.000,00(1.55133) = Rp 3,102,656.43 9
9
Perhitungan Bunga Majemuk Mn = Mo(1 +
i)n
Jm dengan i = m
dengan Mo = Nilai pokok awal (principal) Mn = Nilai akhir n = Jumlah periode perhitungan bunga m = Frekuensi perhitungan bunga dalam setahun, yaitu 2 untuk semesteran, 4 untuk triwulanan, dst. Jm = Tingkat bunga nominal tahunan dengan periode perhitungan m kali per tahun i = Tingkat bunga per periode perhitungan bunga 194
Contoh 3 a. b.
Berapakah nilai Mn dari Mo sebesar Rp 10.000.000 jika j12 = 12% selama : 5 tahun 25 tahun
a. Mo = Rp 10.000.000 12% i = = 1% = 0,01 12 n = 5 tahun × 12 = 60 bulan Mn = P (1 + i )
b. Mo = Rp 10.000.000 i = 1% = 0,01 n = 25 tahun × 12 = 300 bulan Mn = P (1 + i ) n
n
= Rp 10.000.000 (1 + 0,01) = Rp 18.166.967
60
= Rp 10.000.000 (1 + 0,01) 300 = Rp 197.884.662,6 195
BUNGA EFEKTIF DAN BUNGA NOMINAL • Bunga Nominal Æ tingkat bunga tahunan yang dinyatakan, dan tidak terpengaruh periode perhitungan bunga • Bunga Efektif Æ tingkat bunga tahunan j1 yang ekuivalen, tingkat bunga sebenarnya atau yang akan diperoleh
j1 = (1 + i)m – 1 atau 1 + j1 = (1 + i) m 196
Contoh 4 Hitunglah tingkat bunga efektif j yang ekuivalen dengan: 1
a. j2 = 10% b. j12 = 12% c. j365 = 13,25% 2
0 ,1 ⎞ ⎛ a. j1 = ⎜1 + ⎟ −1 2 ⎠ ⎝ j1 = (1,05 ) 2 − 1 j1 = 0 ,1025 = 10 14 % Tingkat bunga efektif = 10 14 %
12
⎛ 0 ,12 ⎞ b . j1 = ⎜1 + ⎟ −1 12 ⎠ ⎝ j1 = (1,01)12 − 1 j1 = 0 ,126825 = 12 ,68 % Tingkat bunga efektif = 12 ,68 %
0 ,1325 ⎞ ⎛ c. j1 = ⎜1 + ⎟ 365 ⎠ ⎝
365
−1
j1 = (1,14165 ) 365 − 1 j1 = 0 ,14165 = 14 ,17 % Tingkat bunga efektif = 14 ,17 % 197
MENGHITUNG NILAI SEKARANG Mn −n Mo = = Mn (1 + i ) n (1 + i ) Contoh 5. Dengan menggunakan j12 = 12%, hitunglah nilai diskonto dari uang sejumlah Rp 100.000.000 yang jatuh tempo : a. 10 tahun lagi b. 25 tahun lagi
198
Jawab: a. S = Rp 100.000.000 n = 10 × 12 = 120 i P P P
12% = = 1% = 0,01 12 S = (1 + i)n Rp 100.000.000 = (1 + 0,01)120 = Rp 30.299.477,97
b. S = Rp 100.000.000 n = 25 × 12 = 300 i P P P
12% = = 1% = 0,01 12 S = (1 + i)n Rp 100.000.000 = (1 + 0,01)300 = Rp 5.053.448,75
199
MENGHITUNG TINGKAT BUNGA DAN JUMLAH PERIODE 1 ⎛ S ⎞n
i=⎜ ⎟ ⎝P⎠
−1
S log P n= log (1 + i)
Contoh 6. Berapa tingkat bunga j12 yang dapat membuat sejumlah uang menjadi tiga kali lipat dalam 12 tahun?
200
Jawab: Kita asumsikan uang tersebut sebagai x. n = 12 x 12 = 144 Maka: x (1+i)144 = 3x (1+i) = (3)1/144 i = (3)1/144 – 1 i = 0,00765843 j12 = 12 x i j12 = 12 x 0,00765843 = 0,09190114 j12 = 9,19% 201
Contoh 7 Berapa lama waktu yang diperlukan untuk membuat uang sebesar Rp 5.000.000 menjadi Rp 8.500.000 dengan j12 = 12%? Jawab: P S i
= Rp 5.000.000 = Rp 8.500.000 = 12% = 1% = 0,01 12
202
Jawab:
n
n n n
S log P = log (1 + i) Rp 8.500.000 log Rp 5.000.000 = log (1 + 0,01) log 1,7 = log 1,01 = 53,3277 bulan atau
n = 4 tahun 5 bulan 10 hari ≈ 4 tahun 6 bulan 203
CONTINUOUS COMPOUNDING • Digunakan untuk kasus-kasus yang memiliki tingkat pertumbuhan yang sangat cepat (continuous compounding), misalnya per detik.
S = P er t Contoh 8. Berapakah jumlah penduduk Indonesia pada tahun 2010 apabila diketahui tahun 2004 Indonesia memiliki penduduk 220.000.000 jiwa dengan tingkat pertumbuhan penduduk per tahun 1,7%? 204
Jawab: P2004 r t
= 220.000.000 = 1,7% = 6
P2010 P2010 P2010 P2010
= = = =
P2004 er t 220.000.000 e(1,7%)(6) 220.000.000 e(10,2%) 243.624.364 jiwa 205
Contoh 9
• Sebuah deposito sebesar Rp.10.000.000 dapat memberikan pendapatan bunga sebesar Rp.5.600.000 selama 36 bulan. Hitunglah tingkat bunga nominal tahunannya apabila: a. Perhitungan bunga tabungan b. Continuos compounding.
206
KASUS-KASUS HITUNG KEUANGAN
BUNGA TUNGGAL Contoh 1: • Sebuah lembaga kredit memberikan pinjaman selama 3 tahun kepada konsumen sebesar Rp. 10.000.000,- dengan bunga tunggal pada tingkat suku bunga 25% per tahun. Pokok dan bunganya dibayar pada akhir tahun ke-3. Hitunglah bunga untuk periode 3 tahun itu? Berapa jumlah yang harus dibayar oleh konsumen pada akhir tahun ke-3? Jawab : P = Rp 10.000.000,i = 25% n = 3 I = Rp 10.000.000,- x 25% x 3 = Rp. 7.500.000,F3 = Rp 10.000.000,- + Rp 7.500.000,= Rp 17.500.000,-
HITUNG KEUANGAN BUNGA TUNGGAL 1
2
n-1
P
P
P
n P
F1 =P(1+i) F2 =P(1+2i)
Fn-1=P(1+(n-1)i) Fn =P(1+ni) Sn = n/2 (F1 + Fn)
Dana diterima sebesar P setiap awal tahun Bunga i per tahun. Berapakah besar dana pada akhir tahun ke-n
•
P = 1 jt setiap awal bulan selama satu tahun dengan bunga 12% tunggal/ tahun, Jadi bunga 12%/12 = 1% per bulan. Dana akan dikembalikan pada akhir tahun. S12 = 12/2(1.01 jt + 1.12 jt) = 6(2.13 jt) = 12.78 jt
Lama pinjaman
1jt
1jt
1jt
1jt
12
11
2
1
Pokok+Bunga
1.010 jt 1.020 jt
1.110 jt 1.120 jt
•
P = 2 jt disetor selama 12 bulan bunga 6% tunggal/tahun, Jadi bunga per bulan 6%/12 = 0.5%, dan seluruh dana akan dibayar pada akhir bulan ke-6 setelah penerimaan terakhir S12 = 12/2(2.06 + 2.17)jt = 6(4.23) jt = 25.38 jt
2jt Bulan ke
1
2jt 11
2jt
Pokok+Bunga
12 2.06 jt 2.07 jt
2.17 jt
•
P = 5 jt disetor selama 10 bulan bunga 12% tunggal/tahun, Jadi bunga per bulan 12%/12 = 1 %, dan total dana tabungan akan dibayar pada akhir bulan ke-60 setelah penerimaan pinjaman pertama S10 = 10/2(7.55+8.0)jt = 5(15.55) jt = 77.75 jt
5jt 1
5jt 9
5jt
Pokok+Bunga
10 7.55 jt 7.60 jt
8.0 jt
Seorang pengusaha mendapat pinjaman sebesar $90.000,- untuk setiap awal semester selama 5 tahun dengan bunga tunggal 8% Per tahun, dana akan dikembalikan pada akhir semester 11, berapakah dana yang harus dibayar pengusaha tersebut?
$90 Semester ke
1
$90 2
$90 9
$90 10 97.2 100.8 126 129.6
S10 = (10/2)(97.2 +129.6) = 1.134 atau $1.134.000,-
Dana $ 10.000,- dibungakan 12% secara tunggal dalam bentuk kwartalan selama 5 tahun, berapakah dana tersebut setelah akhir tahun ke-5. P = $ 10.000,i = 0.03 per quartal 5 tahun = 5 x 4 kwartal = 20 kwartal Jadi n = 20 F20 = 10.000(1+20(0.03)) = 10.000(1.6) = $16.000,Q1
Q2
Q3
KONSEP BUNGA SEDERHANA (SIMPLE INTEREST – SI)
• 1. BUNGA TEPAT (exact interest method) atau SIe dengan:
t=
jumlahhari 365
• 2. BUNGA BIASA (ordinary interest method) atau SIo
t =
jumlahhari 360
KONSEP BUNGA SEDERHANA (SIMPLE INTEREST – SI) • Contoh: • Hitung bunga tepat dan bunga biasa dari sebuah pinjaman sebesar Rp. 40 juta selama 50 hari dengan bunga 9%. • P = 40 jt, r = 9%, dan t = 50 hari.
Bunga tepat SIe = 40 jt x 9% x 50/365 Bunga biasa Sio = 40 jt x 9% x 50/360
KONSEP BUNGA SEDERHANA (SIMPLE INTEREST – SI) • Manipulasi Persamaan Bunga Sederhana SI = Prt P = SI/rt r = SI/Pt, atau t = SI/Pr • Jika S merupakan nilai akhir dari suatu modal yang dibungakan, maka S = P + I S = P + Prt S = P(1+rt), jadi dapat dibuat P = S/(1+rt) • Model ini dapat dikembangkan untuk bentuk angsuran
TINGKAT DISKON DAN DISKON TUNAI • DISKON (discount) atau potongan dilakukan untuk menarik minat pembeli • Diskon juga biasa diberikan untuk pembeli kredit agar dapat cepat melunasi kreditnya • Diskon dapat digunakan untuk menghitung bunga wesel atau bunga penjamin yang dipotong dimuka
TINGKAT DISKON DAN DISKON TUNAI • Rumus-Rumus • D = S – P, D = Diskon, S = Nilai untuk periode waktu tertentu, P = nilai pokok atau nilai awal • D = Sdt • P = S – D, jadi P = S – Sdt, atau P = S(1-dt) • Juga S = P/(1-dt)
TINGKAT DISKON DAN DISKON TUNAI • Contoh: • Tuan Johan meminjam Rp. 20 juta selama 5 bulan dari bank dengan bunga 12%. • Berapa besar diskon yang diterima • Berapa nilai pinjaman jika tuan Johan ingin menerima 20 juta secara utuh
TINGKAT DISKON DAN DISKON TUNAI • S = 20 jt, d = 12%, t = 5 bulan • Besar diskon D = Sdt D = 20 jtx 12% x 5/12 Jadi dana yang diterima P = S-D P = 20 jt – 1 jt = 19 jt • Agar dana 20 jt diterima secara utuh S = P/(1-dt) S = 20 jt/(1-0.05) S = 21,052,631.58
TINGKAT DISKON DAN DISKON TUNAI • Contoh: • Tentukan Nilai Sekarang dari 10 jt yang jatuh tempo 1 tahun • Dengan : a. tingkat bunga 10% b. tingkat diskon 10 %
TINGKAT DISKON DAN DISKON TUNAI a. S = 10 jt, r = 10%, t = 1 P = S/(1+rt) P = 10 jt/(1+0,1) P = 9,900,990.10 b. S = 10 jt, d = 10%, t = 1 P = S(1-dt) P = 10 jt (1-0.1) P = 9 jt
WESEL • WESEL atau promissory notes adalah janji tertulis debitor kepada kreditor atau penerima wesel sejumlah uang, dengan bunga atau tanpa bunga pada tanggal tertentu. Rp. 200,000,000,-(dua ratus juta rupiah) Surabaya, 1 January 2007 Seratus hari terhitug dari hari ini, saya berjanji untuk membayar kepada tuan Samuel Dua ratus juta Rupiah Beserta bunga sebesar 10% p.a Tanda tangan Yanty Karmila
WESEL • Contoh: Jika wesel yang ditanda tangani oleh Yanty Karmila di atas akan dijual pada 1 Maret 2007 kepada Bank ‘MAN’ dengan menggunakan tingkat diskon 16%, berapa besar dana yang akan diterima tuan Samuel? Berapa tingkat bunga yang akan diterima bank, jika wesel jatuh tempo? • Berapa tingkat bunga yang diterima tuan Samuel pada saat menjual wesel tersebut?
WESEL
1 JANUARI 2007 200 JUTA
1 Maret 2007 202,862,645.90
10 APRIL 2007 206,575,342.47
WESEL • Bank menerima keuntungan sebesar 206,575,342.47
-
202,862,645.90
=
3,712,69.57 Tingkat suku bunga yang didapat bank adalah: 3,712,69.57/ (206,575,342.47(41/365)) = 16%
Future value ANUITAS • Dana diterima sebesar A setiap tahun Bunga majemuk i per tahun. • Berapakah besar dana pada tahun ke-n
1
2
n-1
A
A
A
n A
F1 = A F2 =A(1+i)
Fn-1=A(1+i)n-2 Fn =A(1+i)n-1
ANUITAS •
ΣFk = A + A(1+i) + A(1+i)2 + . . . . + A(1+i)n-1 Sn = a + ar + ar2 + ar3 + ……………… + arn-1 Sn = a(rn -1)/(r-1)
Analogi dengan Sn, diperoleh a = A(1+i) dan r = (1+i)
Jadi ΣFk =………..
Seorang membayar cicilan pada setiap awal bulan sebesar Rp. 1.5 juta selama 5 tahun, bunga bank 12% secara majemuk per tahun, berapakah total dana tersebut jika dihitung pada awal bulan ke 12 tahun ke-5? S60
= 1.5jt + 1.5jt(1.01)1 + 1.5jt(1.01)2 …. + 1.5jt(1.01)59 = 1.5jt((1.01)60-1)/0.01 = ………
PRESENT VALUE DARI ANUITAS PEMBAYARAN PERTAMA DILAKUKAN DI AKHIR 1
2
n-1
A
A A
A
P1 =A/(1+i)
P2=A/(1+i)2
Pn-1=A/(1+i)n-1 Pn=A/(1+i)n
ΣPk = P1 + P2 + P3 + ……….. + Pn = A (1- 1/(1+i)n)/i
n A
PRESENT VALUE DARI ANUITAS CICILAN PERTAMA DI AWAL PINJAMAN 1
2
n-1
A
A
A
n A
P1 = A
P2=A/(1+i)
Pn-1=A/(1+i)n-2 Pn=A/(1+i)n-1
ΣPk = P1 + P2 + P3 + ……….. + Pn = A(1+i) (1- 1/(1+i)n)/i
Future dan Present Value Mn = M(1+i)n dan M = Mn/(1+i)n FV dari M
M PV dari Mn
Mn
Toni ingin mendepositokan uang sebanyak Rp 600.000,- pada permulaan dari setiap tahun selama 4 tahun dengan pembayaran bunga 12% per tahun secara majemuk. Penempatan deposito pertama akan dilakukan tgl 1 januari 1998 dan terakhir pada tgl 1 januari 2001. Berapa nilai dari deposito toni pada 1 januari 2002 Jawab : A = Rp 600.000,F = 600.000(1.12)
i = 12% ( 1+ 0,12 )4 – 1 0,12
= 672.000 ( 4,77933 ) = Rp 3.211.708,42-
n=4
•
Sebuah perusahaan ingin menyisihkan dananya mulai pada akhir tahun ini. Jika dana itu didepositokan dengan bunga 8% per tahun dimajemukkan secara annually ( tahunan ), berapa uang yang harus didepositokan setiap tahun untuk mendapatkan dana $ 12 juta pada akhir tahun ke-10? Berapa bunga yang diperoleh perusahaan tersebut ? Jawab : F10 = $12.000.000 A = 12.000.000
i = 8%
n = 10
__ 0,08______ ( 1 + 0,08 )10 – 1
= 12.000.000 ( 0,06902 ) = $ 828.240 jadi yang didepositokan setiap tahun adalah sebesar $ 828.240 sedangkan total yang didepositokan selama 10 tahun = $ 828.240 x 10 = $ 8.282.400 Bunga yang diperoleh selama 10 tahun : = $ 12.000.000 - $ 8.282.400 = $ 3.717.600
Bila perusahaan itu mendepositokan secara kuartalan, berapa uang yang harus didepositokan setiap kuartalnya? Berapa bunga yang diperoleh dari deposito tersebut? Jawab : F40 = $ 12.000.000 A = 12.000.000
i = 0,08/4 = 0,02
n = 10.4 = 40
__ 0,02______ ( 1 + 0,02 )40 – 1
= 12.000.000 ( 0,01655 ) = $ 198.600
jadi yang didepositokan setiap kuartalnya $ 198.600 sedangkan total yang didepositokan = $ 198.600 x 40 = $ 7.944.000 Bunga yang diperoleh = $ 12.000.000 - $ 7.944000 = $ 4.056.000
Si Budi memenangkan lottery dan ia akan menerima pembayaran setiap akhir tahun $ 20.000,- selama 4 tahun . Apabila Budi dapat mengambil uang tersebut sekaligus saat ini, dengan perhitungan tingkat bunga 6% per tahun , berapa nilai saat ini dari pembayaran 4 tahun tersebut?
Jawab : A = $ 20.000 PA = 20.000
i = 6% ( 1 + 0,06 )4 – 1 0,06 ( 1 + 0,06 )4
= 20.000 ( 3,46510 ) = $ 69.301,65
n=4
ALJABAR MATRIKS 1. MATRIKS 1.1 PENGERTIAN Matriks dapat didefinisikan sebagai suatu set yang unsur-unsurnya disusun dalam suatu daftar persegi menurut baris dan kolom dan dibatasi dengan kurung biasa ( ) atau kurung siku [ ], atau dengan kata lain ( a matrix is a common device for summarizing and displaying numbers or data ). Bentuk umum matriks :
A =
a11
a12
a21 . . am1
a22
. .
am2
.
. . . . .
a1n . . . .
a2n . . amn
Matriks A mempunyai m baris dan n kolom.
Matriks A ini terdiri dari elemen-elemen aij yang menunjukkan lokasi dari elemen-elemen di dalam matriks dimana i menunjukkan baris ke-i dan j menunjukkan kolom ke-j
ALJABAR MATRIKS Contoh : Elemen a21 berada di baris ke-2 dan kolom ke-1 Elemen a53 berada di baris ke-5 dan kolom ke-3 Pada umumnya Nama matriks dilambangkan dengan huruf besar. Suatu matriks A yang jumlah barisnya m dan jumlah kolomnya n dikatakan berdimensi atau berordo m x n dan ditulis Amxn. Contoh : test 1 2 3
student
1 2 3 4 5
75 91 65 59 75
82 95 70 80 76
86 89 68 99 74
TIPE-TIPE MATRIKS 1.2 TIPE-TIPE KHUSUS DARI MATRIKS A. VEKTOR Vektor adalah suatu matriks yang hanya mepunyai 1 baris atau 1 kolom saja. Vektor baris : sebuah matriks yang hanya mempunyai 1 baris. Sebuah vektor baris R mempunyai n elemen rij mempunyai dimensi (1 x n ) dan mempunyai bentuk umum : R = ( r11 r12 r13 . . r1n ) Contoh : ke tiga nilai test untuk student 1 dapat ditulis dalam vektor baris (1x3) A = ( 75 82 86 )
TIPE-TIPE MATRIKS Vektor kolom : sebuah matriks yang hanya mempunyai 1 kolom. Sebuah vektor kolom C mempunyai m elemen cij mempunyai dimensi (m x 1) dan mempunyai bentuk umum :
C=
c11 c21 c31 . . cm1
Contoh : Pada test yang pertama nilai untuk ke-5 student dapat ditulis dalam vektor kolom ( 5x1 )
T=
75 95 65 59 75
TIPE-TIPE MATRIKS B. MATRIKS BUJURSANGKAR
Matriks bujursangkar adalah sebuah matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama. Jika matriks berdimensi ( mxn ), maka untuk matriks bujursangkar, nilai m=n Contoh : A = ( 3)
B=
1 -5
3 4
C=
2 1 0
0 -4 2
-3 5 6
Bila elemen-elemen aij dengan i = j maka aij disebut diagonal utama. Contoh : elemen-elemen diagonal utama dari matriks B adalah b11 = 1 dan b22 = 4 elemen-elemen diagonal utama dari matriks C adalah c11= 2, c22= -4, c33= 6
TIPE-TIPE MATRIKS Matriks identitas (matriks satuan) adalah matriks bujursangkar dimana elemen-elemen diagonal utamanya adalah 1 dan elemen-elemen lainnya adalah 0. Contoh : I (2x2) =
1 0
0 1
dan
1 0 0
I (3x3) =
0 1 0
0 0 1
C. TRANSPOSE MATRIKS Matriks A(mxn) dengan elemen-elemen aij, jika ditranspose dapat ditulis At, akan menghasilkan matriks dengan ordo (nxm) dimana at ij = aji atau dengan kata lain unsur baris dari matriks A menjadi unsur kolom pada matriks A transposenya dan unsur kolom dari matriks A menjadi unsur baris pada matriks A transpose. Contoh : A (3x2) =
3 4 1
2 0 -2
maka A
t
(2x3)
=
3 2
4 0
1 -2
OPERASI MATRIKS 2. OPERASI MATRIKS 2.1 PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS Dua buah matriks hanya bisa dijumlahkan atau dikurangkan bila kedua matriks tersebut mempunyai dimensi yang sama. Contoh : A=
1 4
3 -2
A+B =
1 4
3 -2
dan
+
B=
-3 0
1+(-3)
3+2
4+0
-2+4
=
2 4
-3 - 1
--
1 4
-2 4
5 2
=
-4 -4
3 -2
2–3
= 0-4
2 4
2 4
=
B – A = -3 0
-3 0
4 - (-2)
-1 6
OPERASI MATRIKS 2.2 PERKALIAN SKALAR Perkalian skalar dari sebuah matriks adalah mengalikan sebuah matriks dengan sebuah skalar ( real number ). Contoh :
kA = k .
5 –2 0
3 1 4
=
5k -2k 0
3k k 4k
2.3 PERKALIAN MATRIKS Suatu matriks A yang berdimensi mA x nA hanya dapat dikalikan dengan suatu matriks B yang berdimensi mB x nB, jika jumlah kolom dari matriks A sama dengan jumlah baris dari matriks B atau nA=mB , sehingga hasil perkalian dari matriks A dengan matriks B merupakan matriks C yang berdimensi mA x nB. A (mA x nA)
. =
B (mB x nB)
=
C (mA x nB)
OPERASI MATRIKS Contoh : A =
2 3
A (2 x 2)
4 1 x
dan
B (2 x 1)
=
B =
-4 2
C (2 x 1)
= 2 3
4 1
-4 2
= c11 c21 2.(-4) + (4.2) =
0 =
3.(-4) + (1.2)
-10
PERSAMAAN LINEAR 2.4 REPRESENTASI PERSAMAAN LINIER Suatu persamaan linier yang berbentuk : a1x1 + a2x2 + a3x3 + ..... + anxn = b Dapat dinyatakan dalam bentuk matriks :
(a1 a2 a3 ... an)
x1 x2 x3 . . xn
= b
SISTEM PERSAMAAN LINEAR 2.5 REPRESENTASI SISTEM PERSAMAAN LINIER Suatu sistem persamaan linier (m x n) yang berbentuk : a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 ............................. am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan matriks : AX = B a11 a21
a12 . . . a1n a22 . . . a2n
............... . am1 am2 . . amn A
x1 x2 . . xn X
b1 b2 = . . bm B
DETERMINAN DARI MATRIKS BUJURSANGKAR 2.6 DETERMINAN ( ∆ atau | A | ) Determinan hanya dapat didefinisi untuk matriks bujursangkar.
Determinan dari matriks ( 1 x 1) Determinan dari matriks (1x1) adalah nilai dari elemen yang terdapat dalam matriks itu sendiri. Jika A = ( 5 ) maka | A | = 5 B = ( -10 ) maka | B | = -10
Determinan dari matriks ( 2 x 2 ) A =
a11
a12
a21
a22
| A | = a11a22 – a21a12
Contoh : 1
-2
3
4
A= | A | = (1) (4) - (3) (-2) = 4 + 6 = 10
DETERMINAN
Deteminan dari matriks ( 3 x 3 )
A =
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
Determinan dapat dicari dengan proses SARUS (khusus ordo 3x3) sbb : (i) Tulis kembali 2 kolom pertama di sebelah kanan dari matriks (ii) Letakkan elemen-elemen dari diagonal utama ( P1, P2, P3) dan diagonal lainnya ( S1, S2, S3 ). (iii) Kalikan elemen-elemen dari masing-masing diagonal tersebut. (iv) Determinan dari matriks tersebut adalah penjumlahan dari P1, P2, P3 dikurangi dengan penjumlahan dari S1, S2, S3. S1(-) a11
a12
a13
a11
a21
a22
a23
a21
a31
a32
a33
a31
S2(-)
S3 (-)
a12 a22 a32
P1(+) P2(+)
P3(+)
DETERMINAN | A | = ( a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 ) ( a31a22a13 + a32a23a11 + a33a21a12 )
Contoh : 3 -1 3
A=
1 2 -2
2 4 1 S1
3 -1 3
1 2 -2
2 4 1
3 -1 3 P1
|A|=
S2
S3
1 2 -2 P2
P3
3.2.1 + 1.4.3 + 2 (-1) (-2) -
= ( 6 + 12 + 4 ) - ( 12 - 24 – 1 ) = 22 – ( -13 ) = 35
3.2.2 + (-2).4.3 + 1 (-1) (1)
DETERMINAN
Metode Ekspansi Kofaktor (Expansi Laplace)
Metode ini dapat digunakan untuk semua matriks bujursangkar dengan dimensi (2x2 ) atau lebih. Metode ini dikembangkan oleh Laplace, sehingga metode ini disebut juga ekspansi Laplace
Kij = ( -1 ) i+j Mij
Kij disebut kofaktor dari unsur aij
Mij disebut Minor, adalah determinan dari matriks dengan i = unsur baris yang dihilangkan dan j = unsur kolom yang dihilangkan dari matriks asal Jika jumlah kedua indeks i dan j pada minor Mij genap, maka kofaktornya Kij = Mij, bila ganjil, maka Kij = - Mij a11 A =
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
| A | = a11 K11 + a12 K12 + a13 K13 = a11 M11 - a12 M12 + a13 M13
Ekspansi pada baris Pertama
• 3 • A= -1 • 3 • K=
1 2 -2
2 4 1
k11
k12
k13
k21
k22
k23
k31
k32
k33
2 4 -2 1
K=
-
1
-1 4
2
3
2
-2 1
3
1
3
2
1
2
2
4
-1 2 3 -2
- 3 1
-
-1 4
-
3
1
3 -2 3
1
-1 2
DETERMINAN • • • K=
10
13
-4
-5
-3
9
0
-14
7
35
0
0
0
35
0
0
0
35
A.K’ =
1 10
-5
0
13
-3
-14
Adjoint A = K’ =
9
0
1
0
= 35 0 0
-4
0
7 = IAI.I
0
1
Contoh :
DETERMINAN
1. A=
3 -1 3
1 2 -2 2 -2
|A|=3
2 4 1 4 1
= 3 ( 10 )
-- 1
-1 3
4 1
+ 2
-- 1 ( - 13 )
-1 3
2 -2
+ 2 ( -4 )
= 30 + 13 – 8 = 35 2.
3 6 -1 3
A=
0 -2 0 0
1 -5 2 -2
2 4 4 1
| A | = 0 C12 + (-2) C22 + 0 C32 + 0 C42 =
0
= -2
+ (-2) C22 + 0 + 0 3 -1 3
1 2 -2
2 4 1
= -2 . 35 = -70
SIFAT DETERMINAN Sifat-sifat Determinan 1. Jika semua elemen dari suatu baris atau kolom adalah nol, maka |A| = 0 Contoh : 5 0 A= maka |A| = 0 10 0 2. Jika dua baris atau kolom dipertukarkan, maka tanda determinan akan berubah. Contoh : 1
5
-6
15
A=
maka |A| = 45
bila kolomnya dipertukarkan: 5
1
15
-6
A=
maka |A| = - 45
3. Mengubah unsur dari baris menjadi unsur kolom yang bersesuaian tidak akan mempengaruhi nilai suatu determinan atau dengan kata lain | A | = | At | Contoh : 4
3
5
6
4
5
3
6
A =
maka |A| = 9 sama
At =
maka |A| = 9
SIFAT DETERMINAN 4. Perkalian dari setiap satu baris ( atau satu kolom ) dengan suatu skalar k akan menyebabkan determinan dari matriks sama dengan k. |A| Contoh : Lihat matriks A di no.3, tiap elemen di kolom ke-2 dikalikan dengan –5 : 4
-15
B = 5
-30
maka |B| = (4. –30) – (5. –15) = -45 = -5 . |A| = -5 . 9 = -45
5. Penambahan atau pengurangan dari kelipatan suatu baris atau kolom dengan baris atau kolom lainnya, tidak merubah nilai determinan. Contoh : Lihat matriks A di no.3, kalikan baris ke-1 dengan –3 dan tambahkan ke baris 2 4
3
A =
4
3
-7
-3
= 5+(4)(-3)
6+(3)(-3)
= -12 – (-21) = 9 6. Jika suatu baris atau kolom merupakan kelipatan dari baris atau kolom lainnya, maka determinannya sama dengan 0. Contoh : 3 2 A= baris ke-2 merupakan kelipatan 2 dari baris ke-1 6 4 | A | = 12 – 12 = 0
MATRIKS INVERS 2.7 MATRIKS INVERS A-1 Sebuah matriks A mempunyai invers jika : a. matriks tersebut berbentuk matriks bujursangkar. b. Nilai determinan bukan nol ( matriks A adalah matriks nonsingular ). Matriks A-1 adalah invers matriks A, juga berupa matriks bujursangkar dan mempunyai dimensi yang sama dengan matriks A dan memenuhi sifat :
A . A-1 = A-1. A = I Untuk menentukan invers suatu matriks dapat menggunakan metode : 1. Metode Operasi Baris Elementer (Gauss ) 2. Metode Matriks Adjoint
MATRIKS INVERS 2.7.1 OPERASI BARIS ELEMENTER ( GAUSS ) Langkah-langkahnya : (i)
Gabungkan matriks A dengan matriks identitas yang berdimensi sama.
( A| I ) (ii)
Lakukan operasi baris elementer mentransformasikan matriks menjadi :
pada
( I | A-1 ) dimana A-1 merupakan invers dari matriks A.
matriks
diatas
untuk
MATRIKS INVERS Contoh : 3
7
2
5
3
7
1
0
2
5
0
1
1
7/3
1/3
0
2
5
0
1
1
7/3
1/3
0
0
1/3
-2/3
1
b2 x 3
1
7/3
1/3
0
b1 – 7/3 b2
0
1
-2
3
A= b1 x 1/3
=
= b2 – 2 b1
=
=
MATRIKS INVERS 1 0
5 -7
0 1
-2
=
Jadi A-1 =
5 -7 -2 3
3
MATRIKS INVERS 2.7.2 MATRIKS ADJOINT Langkah-langkahnya : (i) (ii) (iii) (iv)
Hitung kofaktor untuk semua elemen A dan susun kofaktor tersebut dalam suatu matriks K = [ Kij ] Cari determinannya |A| , dimana |A| ≠ 0 Ubahlah matriks kofaktor K menjadi transpose Kt yang disebut matriks adjoint. Hitung matriks invers A-1 dengan menggunakan rumus : -1
A = 1 Adjoint A |A|
Kontoh :
MATRIKS INVERS 3
7
2
5
Karilah A-1
A = | A | = 15 – 14 = 1 5
-2
t
5
-7
-2
3
maka adjoint A = K =
K = -7
3
sehingga invers A-1 adalah : A-1 = 1 |A| = 1 1
Adjoint A 5 -2
-7 3
=
5 -2
-7 3
MATRIKS INVERS
2 1 7
B =
|B| = 2
3 4 0
0 -2 5
4 0
-2 5
1 - 3 7
-2 5 + 0
= 2 (20) - 3 (19) + 0 = 40 - 57 = -17
K =
4 0
-2 5
1 - 7
-2 5
1 7
4 0
3 - 0
0 5
2 7
0 5
2 - 7
3 0
3 4
0 -2
2 - 1
0 -2
2 1
3 4
MATRIKS INVERS 20
-19
-28
-15
10
21
-6
4
5
K =
Adjoint B = Kt =
20
-15
-6
-19
10
4
-28 20 B-1 = 1 -17
-19 -28
21
5
-15
-6
10
4
21
5
=
-20/17
15/17
6/17
19/17
-10/17
-4/17
28/17
-21/17
-5/17
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR 2.8 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER Aljabar matriks hanya dapat diterapkan pada sistem persamaan linier. AX = b ( A matriks Bujur Sangkar, X vektor kolom variabel, dan b vektor kolom konstanta) Untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linier dapat menggunakan : 1. Aturan Cramer 2. Matriks Invers 1. Menggunakan Aturan Cramer
Xj =
| Aj| |A|
dimana , Xj = variabel ke-j yang ingin diketahui nilainya | A | = determinan dari matriks koefisien | Aij| = determinan dari matriks koefisien yang nilai kolom ke-j diganti dengan nilai konstanta.
MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR Contoh : x1 + 2x2 + 3x3 = 28 -x1 + x2 + 2x3 = 14 3x1 - x2 + 5x3 = 32
Carilah determinan dari matriks koefisien : |A|=
1 -1 3
2 1 -1
3 2 5
1 = 1 -1
2 5
-1 - 2 3
2 -1 5 + 3 3
1 -1
= 1 ( 7 ) - 2 ( -11 ) + 3 ( -2 ) = 7 + 22 - 6 = 23
Buatlah |A1| ; |A2|; dan |A3| dengan cara menggantikan masing-masing vektor kolom variabel x1, x2 dan x3 dengan vektor konstanta.
MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR | A1 | =
28 14 32
2 1 -1
3 2 5
14 = -2 32
2 5
28 + 1 32
3 28 5 - (-1) 14
= = =
-2 ( 6 ) + 1 ( 44 ) + 1 ( 14 ) -12 + 44 + 14 46
| A2 | =
1 -1 3
28 14 32
3 2 5
=
92
| A3 | =
1 -1 3
2 1 -1
28 14 32
=
138
Jadi penyelesaian dari sistem persamaan linier adalah : x1 = | A1| = 46 = 2 |A| 23 x2 = | A1| |A|
= 92 = 4 23
x3 = | A1| |A|
= 138 = 6 23
3 2
MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR
(ii) Menggunakan Matriks Invers
Setiap sistem persamaan linier dapat dibawa ke dalam bentuk matriks :
AX A AX IX X -1
Contoh :
A 1 -1 3
2 1 -1
3 2 5
= B, = A-1B = A-1 B = A-1 B X
B
x1 x2 x3
28 14 32
=
Ditulis dalam sistem persamaan linear berikut: X1 + 2X2 + 3X3 = 28 -X1 + X2 + 2X3 = 14 3X1 – X2 + 5 X3 = 32
MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR X1 X2 X3
7/23 = 11/23 -2/23 X1 X2 X3
46/23 = 92/23 138/23
Jadi x1 = 2 ; x2 = 4 ; x3 = 6
-13/23 1/23 -4/23 -5/23 7/23 3/23 2 = 4 6
28 14 32
EKONOMI LINEAR •
Aljabar Matriks dan vektor sangat membantu dalam menyelesaikan masalah ekonomi linear. • Ekonomi Linear mempunyai tiga bagian utama, yaitu : 1. Teori Permainan (Neumann, 1928) 2. Analisa Input-Output (Leontief, 1936) 3. Program Linear (Dantzig, 1947)
Analisa Input Output • Sebuah ekonomi terdiri atas berbagai industri, dan sebuah industri terdiri dari berbagai usaha produksi. • Suatu ekonomi adalah keseluruhan industri suatu masyarakat, sedangkan suatu industri ialah keseluruhan usaha produksi sejenis suatu masyarakat
ANALISA INPUT OUTPUT • Suatu usaha produksi atau perusahaan menggunakan input tertentu dan menghasilkan output tertentu, demikian juga untuk suatu industri. • Output suatu industri sebagian dipakai sebagai input industri-industri dari ekonomi yang ditinjau, selebihnya untuk permintaan masyarakat
ANALISA INPUT OUTPUT • Misalkan suatu ekonomi terdiri atas n industri yang masing-masing memproduksi satu jenis barang, dapat dibuat dalam tabel berikut : Industri Produksi i=1 2 3 . . n
Input Industri J = 1, 2, …., n b11 b12 ….b1n b21 b22 ….b2n b31 b32 ….b3n . .
. .
. .
. .
bn1 bn2 ….bnn
Permintaan Akhir Ci c1 c2 c3 . . cn
Output total Xi x1 x2 x3 . . xn
ANALISA INPUT-OUTPUT • Nilai bij = nilai dalam Rp. output industri i yang dipakai industri j sebagai input, sedangkan ci = permintaan masyarakat atas output industri i, dan: • xi = bi1 + bi2 + bi3 + ……. + ci, ialah total output industri ke- i. • Kalau dimisalkan aij = bij/xj , jadi bij = aijxj • Sehingga xi dapat ditulis : • xi = ai1x1 + ai2x2 + ai3x3 + ….. + ainxn + ci • (1- a11)x1 – a12x2 – a13x3 - ….. - a1nxn = c1; (i =1)
APLIKASI PADA ANALISA INPUT-OUTPUT APLIKASI ( ANALISA INPUT-OUTPUT )
Tujuan : untuk menentukan berapa banyak tingkat output dari setiap industri yang harus diproduksi dalam suatu perekonomian, agar dapat memenuhi total permintaan produk. Permintaan total x untuk produk i akan merupakan penjumlahan dari semua permintaan antara / permintaan antar individu dan ditambah permintaan akhir b untuk produk tersebut. Jika aij adalah suatu koefisien teknis (elemen matriks koefisien) yang menyatakan harga input i yang diperlukan untuk memproduksi produk j seharga satu rupiah, maka permintaan total untuk produk i dapat dinyatakan : xi = ai1x1 + ai2x2 ..... + ainxn + ci
dalam bentuk matriks dapat dinyatakan : X = AX + C X – AX = C IX - AX = C (I–A)X =C
X = ( I – A )-1 C
untuk i = 1,2, ..., n
APLIKASI PADA ANALISA INPUT-OUTPUT Contoh : Tentukan permintaan total x untuk industri 1, 2 dan 3 dengan mengetahui : 0,3 A = 0,5 0,1
0,4 0,2 0,3
0,1 0,6 0,1
C=
20 10 30
X = ( I – A )-1 C
(I -A) =
-1
(I–A) =
1 0 0
1__ 0,151
0 1 0
0 0 1 0,54 0,51 0,23
-
0,3 0,5 0,1
0,4 0,2 0,3
0,39 0,62 0,25
0,32 0,47 0,36
0,1 0,6 0,1
=
0,7 -0,5 -0,1
-0,4 0,8 -0,3
-0,1 -0,6 0,9
APLIKASI PADA ANALISA INPUT-OUTPUT
X =
=
1__ 0,151
0,54 0,51 0,23
1__ 0,151
24,3 30,5 17,9
0,39 0,62 0,25
=
0,32 0,47 0,36
20 10 30
160,93 201,99 118,54
Jadi industri 1 memproduksi output $ 160,93 ; industri 2 $ 201,99 ; industri 3 $ 118,54.
SOAL-SOAL MATRIKS Tentukan dimensi dari masing-masing matriks dibawah ini dan cari transposenya! 1. ( 8 3.
5.
6.
-8
2 -3
6 8
1 0 0
0 1 0
-6 2 2
3 3 -1
5
3)
2.
1 2
4.
1 2 3 4
0 0 1 2 3 5
4 4 8
7.
1 6 0 4 5
3 4
5 6
3 4 1 6 1
5 2 2 3 2
7 8
9 10
SOAL-SOAL OPERASI MATRIKS 1. -
4 5
-2 8
3.
5 2
-8 + -6 14 10
5.
4 -2
0 9
2 1 3
-1 0 -2
7.
-
3 8
12 4 -2 - -10 -4 21
2 -7 6 -4 -1
2. –3
6 8 1 0 1
5 -8
4. ( 7
6.
0 -3 4
10 0 1
4 -1
-3 -4 -3 )
10 0
8. ( 1
12 -2
10 -4
4 8
-5 13
8
+ 8
1 0
-2 )
0 3 1
0 1 -2 -4 2
1 0 7 10 -3
SOAL-SOAL 9. Seorang instruktur memberikan 3 test kepada 5 siswanya dan memberikan bobot 30% untuk test 1 dan test 2, sedangkan test 3 sebesar 40%. Instruktur itu akan memberikan rata-rata/nilai akhir kepada ke-5 siswa itu dengan menggunakan matriks. Matriks dari nilai-nilai itu adalah sbb :
G=
75 91 65 59 75
W = ( 0,30
82 95 70 80 76 0,30
86 100 68 99 74 0,40 )
berapa nilai akhir untuk masing-masing siswa?
SOAL-SOAL Tulis kembali dalam bentuk matriks. 11. 5x3 - 2x2 + x1 = 100 = -18 3x3 = 125 5x2
10. x - 3y = 15 2x + 3y = -10
DETERMINAN Carilah determinannya ! 1. T =
3. A =
5. N =
7. A =
8 -2
3 -4
2. B =
-1 2 3
2 -4 -6
-3 1 9
2 1 3 6
7 -2 3 -3
-2 -3 6 -2
0 0 9 0
0 3 2 3 2
0 0 6 -3 3
8 2 -2 4 12
0 0 0 0 1
4. C =
6. D =
0 9 -6 3 -4
40 30
8 6
3 1 1
0 4 1
5 -2 1
7 0 4 6
-4 0 -1 2
2 -3 2 8
-3 0 4 4
INVERS MATRIKS 1. T =
3. A =
1 2 1 2 2
-1 -3
2. B =
1 -1 3
1 1 4
4. C =
2 4
3 7
3 4 -9
5 1 -15
2 0 -6
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER Tentukan solusi dari sistem persamaan linier dengan aturan Matriks Invers. 1. 8x1 + 3x2 = 10 -2x1 – 4x2 = 12
2. 40x1 + 8x2 = 80 30x1 + 6x2 = 60
3. –x1 + 2x2 – 3x3 = 24 2x1 – 4x2 + x3 = 12 3x1 – 6x2 + 9x3 = 16
4. 3x1 + 5x3 = 14 x1 + 4x2 – 2x3 = -10 x1 + x2 + x3 = 2
S0AL-S0AL Tentukan solusi dari sistem persamaan linier dengan invers matriks. 1. x1 – x2 = -1 2x1 – 3x2 = -5
2. 2x1 + 3x2 = 1 4x1 + 7x2 = 3
3. x1 + x2 + x3 = 2 2x1 - x2 + x3 = 9 2x1 + 3x2 + 4x3 = 4
4. 3x1 + 5x2 + 2x3 = 20 4x1 + x2 = 40 -9x1 – 15x2 – 6x3 = 30
Data dari suatu perusahaan yang menghasilkan 3 jenis produksi adalah sbb : Faktor Produksi
I
K L M
2 4 6
jenis produk II III 4 2 3
5 3 9
kapasitas tersedia 65 65 120
a. Rumuskan data diatas dalam bentuk persamaan linier dan nyatakan dalam bentuk Ax = b b. Apabila kapasitas yang tersedia harus dihabiskan, berapa banyak yang dapat dihasilkan untuk masing-masing produk dalam satu periode produksi?
SOAL-SOAL APLIKASI 1.
Tentukan permintaan total untuk industri 1, 2 dan 3 bila diketahui matriks koefisien teknis A dan vektor permintaan akhir B adalah sbb :
A= 2.
0,4 0,2 0,2
0,3 0,2 0,4
0,1 0,3 0,2
B=
140 220 18
Perusahaan penyewaan mobil merencanakan untuk program maintenance tahun depan. Pihak manajemen tertarik untuk menentukan kebutuhan perusahaan untuk sparepart dan costs untuk masing-masing sparepart . Matriks N mengindikasikan jumlah tiap ukuran mobil yang tersedia untuk 4 wilayah. Sedangkan matriks R menunjukkan rata-rata jumlah sparepart yang yang dibutuhkan setiap kendaraan per tahunnya.
N =
Besar 16,000 15,000 10,000 12,000
Sedang 40,000 30,000 10,000 40,000
Kecil 50,000 20,000 15,000 30,000
East Midwest South West
SOAL-SOAL R =
1.7 1.6 12.0 8.0 0.9 0.75 4.0 6.5
1.5 5.0 0.5 6.0
A B C D
a. Tentukan berapa jumlah masing-masing sparepart yang dibutuhkan untuk setiap wilayah. b. Berapa biaya yang harus dikeluarkan oleh masing-masing wilayah dan jumlah keseluruhan biaya yang harus ditanggung manajemen untuk keempat wilayah tersebut bila diketahui biaya/unit untuk masing-masing spareparts : C = ($1.25
$0.80
$30.00
$35.00)
Data dari suatu perusahaan yang menghasilkan 3 jenis produksi adalah sbb : Faktor Produksi K L M
jenis produk I II III 2 4 6
4 2 3
5 3 9
kapasitas tersedia 65 65 120
a. Rumuskan data diatas dalam bentuk persamaan linier dan nyatakan dalam bentuk Ax = b b. Apabila kapasitas yang tersedia harus dihabiskan, berapa banyak yang dapat dihasilkan untuk masing-masing produk dalam satu periode produksi?
INPUT INDUSTRI
PERMINTA AN AKHIR
OUTPUT
I
II
III
Cj
Xj
I
20
40
30
15
105
II
25
10
5
20
60
III
15
25
15
25
80
industri
Tentukan Output Xj jika terjadi perubahan permintaan akhir cj, yaitu c1 = 20, c2 = 30 dan c3 = 35
KALKULUS DIFERENSIAL FUNGSI DENGAN SATU VARIABEL BEBAS
KONSEP DIFERENSIAL • DIFERENSIAL merupakan salah satu bidang studi dari kalkulus selain integral • Kalkulus DIFERENSIAL mempelajari tentang perubahan rata-rata atau tingkat perubahan seketika dari sebuah fungsi. • Kalkulus Integral mempelajari tentang pencarian nilai fungsi awal apabila diketahui nilai perubahannya, selain itu dapat juga digunakan untuk menghitung luas daerah, volume benda ruang. • Operasi matematika untuk kalkulus DIFERENSIAL dan kalkulus integral saling berbalik (invers)
KONSEP DIFERENSIAL • Penerapan konsep kalkulus diferensial dalam bidang ekonomi dan bisnis adalah untuk membandingkan perubahan dari suatu keseimbangan kepada keseimbangan lainnya • Analisis ini biasanya termasuk dalam analisis komparasi statis, gunanya untuk mencari tahu suatu tingkat perubahan nilai keseimbangan variabel tidak bebas (endogen) akibat perubahan nilai satu atau lebih variabel bebas (eksogen)
KONSEP LIMIT • Konsep DIFERENSIAL dimulai dari konsep limit dan kontinuitas • Konsep limit dan kontinuitas merupakan dasar untuk memahami konsep DIFERENSIAL dan integral
F(x)
DEFINISI LIMIT
• F(x) Lim F(x) = L jika dan hanya jika c x
L
Lim F(x) = L (limit kiri) dan cx L
cc
Lim F(x) = L (limit kanan) c+ x
X c+
LIMIT dan KONTINUITAS • (1) Harga limit fungsi y = f(x) untuk x mendekati c bernilai L artinya apabila x mendekati c dari kiri (c-) dan x mendekati c dari kanan (c+) maka nilai y = f(x) mendekati L, tidak diharuskan nilai y = f(c) = L di x=c. • (2) Apabila pada kondisi di atas limit fungsi y = f(x) untuk x mendekati c bernilai L dan nilai fungsi y = f(c) = L untuk x = c, maka dapat dikatakan y = f(x) kontinu di x = c. • (3) Jika fungsi y = f(x) tidak memenuhi paling sedikit salah satu syarat (1) dan (2), maka fungsi y = f(x) dikatakan diskontinu di x = c
JENIS FUNGSI DISKONTINU 1. Diskontinu titik fungsi y = f(x) di x mendekati c, jika limitnya ada, tetapi nilai fungsinya di x = c tidak ada atau tidak sama dengan nilai limit. 2. Diskontinu melompat fungsi y = f(x) di x mendekati c, jika nilai limitnya tidak ada, tetapi nilai limit kiri ada dan nilai limit kanan ada dan keduanya tidak sama. 3. Diskontinu tak berhingga fungsi y = f(x) di x mendekati c, jika nilai limit kiri tak berhingga dan nilai limit kanan tak berhingga yang pada umumnya berlawanan tanda.
CONTOH LIMIT DAN KONTINUITAS • SECARA GRAFIK Y
Y
Y = f(x)
Y = f(x) L
L
FUNGSI Y=F(X) MEMPUNYAI LIMIT L DI X = C diskontinu titik
FUNGSI Y=F(X) KONTINU DI X = C
c Y
X Y = f(x)
L2 L1
c Y
Y = f(x)
L FUNGSI Y=F(X) TDK MEMPUNYAI LIMIT DI X = C Diskontinu melompat c
X
X
FUNGSI Y=F(X) DISKONTINU TAK BERHINGGA DI X = C
Y = f(x) c
X
DEFINISI KONTINUITAS 1. Suatu fungsi dikatakan kontinu pada interval terbuka (a,b) apabila fungsi kontinu pada setiap titik pada interval tersebut 2. Jika f(x) = k, (k = konstanta), maka f(x) kontinu untuk semua titik x 3. Jika f(x) = xn , n bilangan bulat positip, maka f(x) kontinu untuk semua titik x
BEBERAPA CONTOH LIMIT DAN KONTINUITAS 1.
x2 −4 x−2
lim
xα 2
2. Tentukan harga
lim f (x) xα 1
Jika
⎧2 x; jika; x < 1 f ( x) = ⎨ x 2 −1 ⎩ x −1 ; jika; x > 1
3. Selidiki apakah y = f(x) kontinu di x = c yang ditentukan
x a. Y= f(x) =
− 27 untuk x ≠ 3 x − 3
3
b. Y= f(x) =
6x + 9 ; untuk x = 3
c. Y= f(x) =
x 3 + 8 x + 2 12 ;
untuk x ≠ -2 untuk x = -2
2 x − 2 ; untuk x ≠ 2 x−2 1/2 ;
untuk x = 2
Tingkat Perubahan • Pandang sebuah fungsi y = f(x), dalam hal ini y sebagai variabel respon atau variabel tidak bebas dan x sebagai variabel bebas. • Jika ∆x adalah perubahan dalam satuan x, dan ∆y adalah perubahan dalam satuan y, maka perubahan keseimbangan variabel respon y akibat perubahan x adalah : ∆y = f(x+ ∆x) – f(x)
Tingkat Perubahan Rata-Rata • Rasio antara perubahan y yaitu ∆y dengan perubahan x yaitu ∆x, disebut perubahan rata-rata ditulis ∆y/∆x • Rasio tersebut dapat ditulis :
∆y ∆x
=
f ( x+∆x)− f ( x) ∆x
DERIVATIVE FUNGSI LINEAR DAN NON LINEAR y=f(x) y
y
y=f(X)
∆y3 ∆x
∆y ∆x
∆x
∆y ∆x
∆y
∆x
∆y2
∆y1
∆x
x
x Besaran ∆y/∆x Selalu sama untuk fungsi linear
Besaran ∆y/∆x Selalu tidak sama untuk Fungsi non linear
DERIVATIVE • Tingkat perubahan seketika dari suatu fungsi y = f(x), disebut sebagai derivative pertama, dan lebih disebut dengan derivative • Derivative dari fungsi y = f(x) adalah mengukur perubahan rata-rata y akibat perubahan x yang sangat kecil dan ditulis dy/dx
Grafik Konsep Derivative y y=f(x) f(x + ∆x) ∆y
∆y ∆x
∆y ∆x
f(x)
=
f ( x+ ∆x )− f ( x ) ∆x
f(x + ∆x)
f(x)
x
x+∆x
x
DERIVATIVE • Perubahan x terkecil artinya ∆x mendekati nol (0), mengakibatkan ∆ y ∆x dy/dx ; •
=
f ( x + ∆x ) − f ( x ) ∆x
dapat ditulis
jadi dy/dx mempunyai pengertian dengan konsep limit:
dy dx
= lim
∆x α 0
f ( x + ∆x ) − f ( x ) ∆x
• dy/dx sering ditulis y’ dan disebut turunan pertama dari fungsi y = f(x) • Contoh: Tentukan dy/dx dari y =f(x) = 2x2 + 1 dengan konsep limit
Aturan DIFFERENSIAL Fungsi atau Turunan Pertama Fungsi (y’) • • • • • • • • • • •
1. y = C ; y’ = 0, c = konstante 2. y = cX; y’ = c ; c = konstante 3. y = cXn ; y’ = ncXn-1 ; c = konstante 4. y = U+V ; y’ = U’ + V’ 5. y = Un ; y’ = nUn-1U’ 6. y = UV; y’ = U’V + UV’ 7. y = U/V; y’ = (U’V – UV’)/V2 8. y = eax ; y’ = aeax 9. y = eU ; y’ = eUU’ 10. y = ln(ax); y’ = 1/x 11. y = ln(U); y’ = U’/U
Soal-soal 1. Y = x3 + 2x2 +1/x3 Y’ = 3x2 + 4x -3/x4 2. Y = (2x+1)6 3. y = (4-2x)/(x+2)
Y’ = 6(2x+1)5 .2 = 12(2x+1)5 Y’ = (U’V – UV’)/V2
= -8/(x+2)2
4. Y = x3(2x-5)6
Y’ = u’v + uv’
5. Y = ln (2x3-5x)
Y’ =
6. Y = 3x e3x 7. Y = x ln (2x3-5x) 8. Y = e3xln (2x3-5x)
u’/u
; u =2x3-5x ; u’ = 6x2-5
Y’ = u’v + uv’ ; u = 3X, v = e3x u’ = 3; v’ = 3e3x Y’ = u’v + uv’ ; u = X ; v = ln (2x3-5x) Y’ = u’v + uv’ ; u =e3x ; v = ln (2x3-5x)
Fungsi Marginal • Fungsi marginal merupakan turunan pertama dari fungsi utamanya. • Misal Fungsi Produksi P = f(Q), maka fungsi marginal produk MP = dP/dQ • Fungsi Biaya C = h(Q), maka fungsi marginal biaya MC = dC/dQ Jadi apabila fungsi ekonomi yang dapat dirumuskan dengan fungsi matematika, maka fungsi marginal adalah turunan pertama dari fungsi ekonomi tersebut. Fungsi ekonomi optimal jika fungsi marginal bernilai nol Jadi Produksi P maksimal jika marginal produk MP = 0, Fungsi Biaya Minimum, jika Marginal Cost MC = 0, dan berlaku untuk fungsi ekonomi lainnya
Hubungan antara fungsi dan Derivatifnya • Dengan mengetahui hub. antara fungsi dan derivatifnya Æ besarnya turunan pertama dan turunan kedua Æ akan bisa dikenali bentuk gambar dari fungsi tersebut • Kita akan mengetahuiÆ kurva menaik atau menurun, titik ekstrim dan juga titik beloknya.
contoh : 3 2 1 y = f ( x) = x − 4 x + 12 x − 5 → fungsi kubik 3 2 y ' = dy / dx = x − 8 x + 5 → fungsi kuadrat
y ' ' = d y / dx = 2 x − 8 → fungsi linear 2
2
y ' ' ' = d y / dx = 2 → konstanta 3
3
Perhatikan pengurangan derajat fungsi pada masingmasing turunannya
Fungsi Menaik dan Menurun • Turunan pertama dari sebuah fungsi non-linear dapat digunakan untuk menentukan apakah kurva dari fungsi yang bersangkutan menaik atau menurun pada kedudukan tertentu.
Lereng nol
Lereng positif fungsi menaik
y = f(x) Lereng negatif fungsi menurun
Lereng nol
f’(a)>>0,0,yy==f(x) f(x)menaik menaik f’(a) f’(a)<<0,0,yy==f(x)menurun f(x)menurun f’(a)
Uji Tanda • Apabila turunan pertama f’(x) = 0, berarti y = f(x) berada di titik ekstrim • Untuk menentukan apakah titik ekstrim tersebut merupakan titik maksimum ataukah minimum, maka perlu dilakukan uji tanda terhadap f’(a) = 0. • Jika f’(x) > 0 untuk x < a dan f’(x)< 0 untuk x > a, maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum. • Jika f’(x) < 0 untuk x < a dan f’(x)> 0 untuk x > a, maka titik ekstrimnya adalah titik minimum.
Titik ekstrim fungsi parabolik • Turunan pertama dari fungsi parabolik y = f(x) berguna untuk menentukan letak titik ekstrimnya. • Sedangkan turunan kedua berguna untuk mengetahui jenis titik ekstrim yang bersangkutan. • Perhatikan fungsi parabolik berikut dan turunanturunannya, serta hubungan secara grafik. y = f(x) = x2 - 8x + 12 ………….fungsi parabolik y’ = f’(x) = dy/dx = 2x – 8 …….fungsi linear y” = f”(x) = d2y/dx2 = 2 ……….konstanta • Parabola y = f(x) = x2 - 8x + 12 , mencapai titik ekstrim – dalam hal ini titik minimum yaitu (4, -4) y’ = 0, nilai variabel bebas x = 4. x = 4 Æ dimasukkan ke dalam persamaan Parabola Æ didapat nilai y = -4
y
y = x2 – 8x + 12 12
y’= 2x - 8
y” = 2
2 0
-4
-8
2
4
(4,-4)
6
x
• Parabola y = f(x) mencapai titik ekstrim pada y’ = 0 • Jika y” < 0 : bentuk parabolanya terbuka ke bawah, titik ekstrimnya adalah titik maksimum. • Jika y” > 0 : bentuk parabolanya terbuka ke atas, titik ekstrimnya adalah titik minimum.
Titik Ekstrim dan Titik Belok Fungsi Kubik • Titik maksimum atau minimum fungsi kubik, serta titik beloknya dapat dicari melalui turunan pertama dan kedua dari fungsi tersebut. • Perhatikan fungsi kubik dan turunannya berikut : y = 1/3x3 – 3x2 + 8x – 3 ………….fungsi kubik y’ = x2 – 6x + 8 ……………………fungsi kuadratik y” = 2x – 6 ………………………..fungsi linear
• Jika y’ = 0, x2 – 6x + 8 = 0 (x – 2)(x – 4) = 0 Æ x1 = 2, x2 = 4 • Untuk x1 = 2 dimasukkan pada persamaan kubik Æ maka y = 3.67 (2, 3.67) Æ titik ekstrim maksimum • Untuk x1 = 2 apabila dimasukkan dalam turunan ke dua, maka y” = -2 < 0 (turunan kedua negatif) • Untuk x2 = 4 dimasukkan pada persamaan kubik Æ maka y = 2.33 (4, 2.33) Æ titik ekstrim minimum • Untuk x2 = 4 apabila dimasukkan dalam turunan ke dua, maka y” = 2 > 0 (turunan kedua positif) • Jika y” = 0 Æ 2x – 6 = 0 Æ x = 3, nilai x = 3 dimasukkan dalam persamaan kubik Æ didapatkannilai y = 3 Æ titik belok (3,3)
y
y’ = x2 – 6x + 8 8
y’’ = 2 x – 6 (2,3.67) 3.67
y = 1/3x3 – 3x2 + 8x + 3 (3,3) (4,2.33)
y” = 2
2 0 -2 -4 -6
2
3 (3,-1)
4
x
• Fungsi Kubik y = f(x) mencapai titik ekstrim pada y’ = 0 • Jika y” < 0 pada y’ = 0, maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum • Jika y” > 0 pada y’ = 0, maka titik ekstrimnya adalah titik minimum • Fungsi kubik y = f(x) berada di titik belok pada y” = 0
R elationship between marginalcost and average-cost functions • TC = C(Q) • MC = C'(Q) • AC = C(Q)/Q
total cost marginal cost average cost
d C (Q ) C ′(Q ) ⋅ Q − 1 ⋅ C (Q ) = dQ Q Q2 1⎡ C (Q ) ⎤ = ⎢C ′(Q ) − Q ⎥⎦ Q⎣
1 = [MC − AC ] = 0 Q
C
MC
AC
Q
Penerapan lain : • Elastisitas Æ dengan rumus umum :
lim ∆y / y dy x Ey = • η= = Ex ∆x → 0 ∆x / x dx y
PROGRAM LINIER DENGAN GRAFIK
DEFINISI PROGRAM LINIER (1) • Program tidak ada hubungannya dengan program komputer. • Program berarti memilih serangkaian tindakan/ perencanaan untuk memecahkan masalah dalam membantu manajer mengambil keputusan. • Contoh: masalah produksi, biaya, pemasaran, distribusi, dan periklanan. • Pimpinan perusahaan harus mampu memanfaatkan sumber yang ada untuk menetapkan jenis dan jumlah barang yang harus diproduksi sehingga diperoleh keuntungan maksimal atau digunakan biaya minimal.
DEFINISI PROGRAM LINIER (2) • Program linear dan variasinya merupakan kelompok teknik analisis kuantitatif yang memakai model matematika (model simbolik). Artinya setiap penyelesaian masalah harus didahului dengan perumusan masalah ke dalam simbol-simbol matematika. • Dalam program linier, pada umumnya masalah berasal dari dunia nyata kemudian dibentuk menjadi model simbolik yang merupakan dunia abstrak yang dibuat mendekati kenyataan. Dikatakan linear karena peubahpeubah pembentuk model dianggap linear.
LANGKAH-LANGKAH (1) 1. Menentukan jenis permasalahan program linier – – –
Jika permasalahan membicarakan keuntungan (profit), maka jenis permasalahan PL adalah maksimalisasi. Jika permasalahan membicarakan biaya (cost), maka jenis permasalahan PL adalah minimalisasi. Jika ada informasi tentang selisih antara hasil penjualan (sales) dan biaya dengan pokok pembicaraan profit, maka jenis permasalahannya adalah maksimalisasi.
LANGKAH-LANGKAH (2) 2.
Mendefinisikan peubah keputusan (decision variable), yaitu pernyataan dalam permasalahan yang hendak dicari penyelesaiannya Beberapa hal yang harus diperhatikan adalah: – –
Banyaknya koefisien peubah keputusan membantu dalam mengidentifikasikan peubah-peubah keputusan. Jika x dimisalkan sebagai peubah keputusan berkaitan dengan kursi yang diproduksi, maka x ≠ kursi, tetapi x = banyaknya kursi yang diproduksi.
LANGKAH-LANGKAH (3) 3. Merumuskan fungsi tujuan/sasaran (objective function) – Jenis permasalahan PL dan definisi peubah keputusan akan merumuskan fungsi tujuan. – Jika peubah keputusan terdefinisi dengan jelas, maka fungsi tujuan akan mudah ditetapkan.
LANGKAH-LANGKAH (4a) 4. Merumuskan model kendala/syarat/ batasan (constraint) Dua pendekatan umum perumusan model kendala: – Pendekatan “ruas kanan” – Pendekatan “ruas kiri”
LANGKAH-LANGKAH (4b) – Pendekatan ruas “kanan” • Ruas kanan suatu kendala tunggal dan konstan. • Maksimalisasi: ruas kanan sering menyatakan “total sumber daya yang ada”. Prosedur pembentukannya: – Identifikasikan nilai total sumber daya dan sesuaikan tanda pertidaksamaan dengan masing-masing total sumber daya, biasanya “≤”. – Kelompokkan peubah keputusan yang terkait di sebelah kiri tanda pertidaksamaan . – Tentukan koefisien setiap peubah keputusan. Model kendala terbentuk.
LANGKAH-LANGKAH (4b) •
Minimalisasi: ruas kanan sering menyatakan “minimal sumber daya yang dibutuhkan”. Prosedur idem, kecuali tanda pertidaksamaan, biasanya “≥”.
– Pendekatan “ruas kiri” •
Semua nilai koefisien dan peubah-peubah keputusan disusun dalam bentuk matriks. Setelah matriks ini terbentuk, identifikasikan nilainilai ruas kanan dan tambahkan tanda pertidaksamaan.
LANGKAH-LANGKAH (5) 5. Menetapkan syarat non negatif – Setiap peubah keputusan dari kedua jenis permasalahan PL tidak boleh negatif (harus lebih besar atau sama dengan nol)
MODEL DASAR PL • Maksimumkan atau minimumkan: Z = c1x1 + c2x2 + ….+ cnxn (1) • Memenuhi kendala-kendala: a11x1 + a12x2 + …. + a1nxn ≥ atau ≤ b1 (2) a21x1 + a22x2 + …. + a2nxn ≥ atau ≤ b2 . . am1x1 + am2x2 + …. + amnxn ≥ atau ≤ bm dan xj ≥ 0 untuk j = 1,2,…,n. (3)
Contoh : Pabrik kayu menghasilkan dua produk ; pintu dan jendela dengan proses sebagai berikut :
332
Lanjutan… Tiap mesin di unit I dapat menghasilkan Æ 1 pintu tiap 3 jam Tiap mesin di unit II dpt menghasilkan Æ 1 jendela tiap 2 jam Tiap mesin di unit III dpt menghasilkan Æ 1 pintu tiap 2 jam 1 jendela tiap 1 jam Terdapat 4 mesin di unit I Terdapat 3 mesin di unit II Terdapat 3 mesin di unit III Tiap hari jam kerja yang tersedia adalah 9 jam. Keuntungan tiap pintu adalah 20 ribu. Keuntungan tiap jendela adalah 15 ribu. Buat formulasi program liniernya sepaya didapat keuntungan yang maksimum 333
Penyelesian : x1 x2 z
: banyaknya pintu yang di produksi : banyaknya jendela yang di produksi : Keuntungan
z = 20 x1 + 15 x2 3 x1 ≤ 4 × 9 2 x2 ≤ 3 × 9 2 x1 + x2 ≤ 3 × 9 334
Formulasi Program Linier : Max kendala
z = 20 x 1 + 15 x 2 3 x 1 ≤ 36 2 x 2 ≤ 27 2 x 1 + x 2 ≤ 27 x1 , x 2 ≥ 0
335
Dalam Notasi Matrik :
[
]
c = 20 15 ⎡36 ⎤ ⎥ ⎢ B = ⎢27 ⎥ ⎢⎣27 ⎥⎦
⎡ x1 ⎤ x=⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦ ⎡3 0 ⎤ ⎢ ⎥ H = ⎢0 2 ⎥ ⎢2 1 ⎥ ⎣ ⎦
336
Penyelesaian Program Linier 1. Metode Grafik Pada umumnya mengikuti langkah-langkah sebagai berikut : • Merumuskan masalah asli menjadi model matematika yang sesuai dengan syarat-syarat yang diperlukan dalam model Program Linier, yaitu mempunyai fungsi tujuan, fungsi kendala, syarat ikatan non-negatif. • Kendala-kendala yang ada digambar hingga dapat diperoleh daerah penyelesaian (Daerah yang Memenuhi Kendala(DMK)/Wilayah Kelayakan)/ Daerah Fisibel yang titik-titik sudutnya diketahui dengan jelas. • Nilai fungsi sasaran (fungsi tujuan) dihitung di setiap titik sudut daerah penyelasaian (DMK). 337
Lanjutan… •
•
Dipilih nilai yang sesuai dengan fungsi tujuan (kalau memaksimumkan berarti yang nilainya terbesar dan sebaliknya). Jawaban soal asli sudah diperoleh.
Catatan : Metode Grafik hanya dapat digunakan dalam pemecahan masalah program linier yang ber “dimensi” : 2 x n atau m x 2, karena keterbatasan kemampuan suatu grafik dalam “menyampaikan” sesuatu (sebenarnya grafik 3 dimensi dapat digambarkan, tetapi sangat tidak praktis).
338
Contoh : Max s.t
x1 + 2 x2 x1 + x2 ≤ 4 x2 ≤ 2 x1 , x2 ≥ 0
339
Penyelesian : 1. Dengan Metode Grafik
Teknik Informatika Unijoyo 2010
340
Lanjutan… Titik
Ekstrimnya ⎛0⎞ 1) ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ z = 0 + 2.0 = 0 ⎝0⎠ ⎛0⎞ 2) ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ z = 0 + 2.2 = 4 ⎝ 2⎠ ⎛ 2⎞ 3) ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ z = 2 + 2.2 = 6 ⎝ 2⎠ ⎛ 4⎞ 4) ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ z = 4 + 2.0 = 4 ⎝0⎠ ⎛ 2⎞ ∴Titik ekstrim yang memenuhi ⎜⎜ ⎟⎟ dengan z = 6 ⎝ 2⎠ 341
:
METODE GRAFIK • Selesaikan masalah program linear berikut ini dengan metode grafik: Maksimumkan Z = 5x1 + 4x2 dengan kendala 6x1 + 4x2 ≤ 24 x1 + 2x2 ≤ 6 -x1 + x2 ≤ 1 x2 ≤ 2 x1, x2 ≥ 0
METODE GRAFIK
Contoh : “PT. Rakyat Bersatu” menghasilkan 2 macam produk. Baik produk I maupun produk II setiap unit laku Rp. 3000,-. Kedua produk tersebut dalam proses pembuatannya perlu 3 mesin. Produk I perlu 2 jam mesin A, 2 jam mesin B, dan 4 jam mesin C. Produk II perlu 1 jam mesin A, 3 jam mesin B, dan 3 jam mesin C. Tersedia 3 mesin A yang mampu beroperasi 10 jam per mesin per hari, tersedia 6 mesin B yang mampu beroperasi 10 jam per mesin per hari, dan tersedia 9 mesin C yang mampu beroperasi 8 jam per mesin per hari. Berikan saran kepada pimpinan “PT. Rakyat Bersatu” sehingga dapat diperoleh hasil penjualan yang maksimum ! Dan berapa unit produk I dan produk II harus diproduksi ?
344
Penyelesian :
Merumuskan permasalahan Program Linier ke dalam model Matematika : Misalkan : produk I akan diproduksi sejumlah X1 unit dan produk II akan diproduksi sejumlah X2 unit Maka Fungsi tujuannya adalah : Max Z = 3000 X1 + 3000 X2
345
Lanjutan…
Keterangan : Lama operasi adalah dalam jam/hari/mesin. Total waktu operasi adalah sama dengan jumlah mesin x lama operasi (dalam jam/hari/tipe mesin). St 2X1 + X2 ≤ 30 ...........i) 2X1 + 3X2 ≤ 60 ..........ii) 4X1 + 3X2 ≤ 72 .........iii) X1 ≥ 0; X2 ≥ 0 346
Lanjutan…
Menggambar fungsi-fungsi kendala sehingga diperoleh daerah penyelesaian (Daerah yang Memenuhi Kendala/ Wilayah kelayakan). Titik potong-titik potong dari ketidaksamaan fungsi kendalanya adalah :
Untuk persamaan 2X1 + X2 = 30 ….. (i), titik potong dengan sumbu- X1 jika X2 = 0 : 2X1 + 0 = 30 diperoleh X1 = 15 maka titik potong dengan sumbu-X1 adalah (15,0). Sedangkan titik potong dengan sumbu-X2 jika X1 = 0 : 0 + X2 = 30 diperoleh X2 = 30 maka titik potong dengan sumbu-X2 adalah (0,30). Untuk persamaan 2X1 + 3X2 = 60 ....(ii), titik potong dengan sb-X1 jika X2 = 0 : 2X1 + 0 = 60 diperoleh X1 = 30 maka titik potong dengan sumbu-X1 adalah (30,0). Sedangkan titik potong dengan sumbu-X2 jika X1 = 0 : 0 + 3X2 = 60 diperoleh X2 = 20 maka titik potong dengan sumbu-X2 adalah (0,20). 347
Lanjutan…
Untuk persamaaan 4X1 + 3X2 = 72 ....(iii), titik potong dengan sumbu-X1 jika X2 = 0 : 4X1 + 0 = 72 diperoleh X1 = 18 maka titik potong dengan sumbu-X1 adalah (18,0). Sedangkan titik potong dengan sumbu-X2 jika X1 = 0: 0 + 3X2 = 72 diperoleh X2 = 24 maka titik potong dengan sb-X2 adalah (0,24).
348
Lanjutan… Sehingga jika digambarkan pada Koordinat Cartesius adalah :
z z
349
Lanjutan… Daerah Fisibel (Wilayah Kelayakan / Daerah yang Memenuhi Kendala (DMK)) adalah daerah yang merupakan irisan dari daerah yang memenuhi kendala : 1). 2X1 + X2 ≤ 30, 2). 2X1 + 3X2 ≤ 60 , 3). 4X1 + 3X2 ≤ 72, 4). X1 ≥ 0; 5). X2 ≥ 0 Jadi daerah yang memenuhi ke-5 daerah tersebut terletak di dalam daerah yang dibatasi oleh titik-titik O(0,0), A(15,0), D(0,20), titik B yaitu titik potong antara garis 2X1 + X2 = 30 dan garis 4X1 + 3X2 = 72 , dan titik C adalah titik potong antara garis 2X1 + 3X2 = 60 dan garis 4X1 + 3X2 = 72 350
Lanjutan… Adapun cara menghitung titik B dan C tersebut dengan menggunakan metode Eliminasi dan Substitusi sbb:
Titik B perpotongan antara garis 2X1 + X2 = 30 dan garis 4X1 + 3X2 = 72, dengan mengeliminasi X1, dapat dihitung : 4X1 + 2X2 = 60 ........i) 4X1 + 3X2 = 72 ….....iii) __________________ - X2 = - 12 Æ X2 = 12
maka titik B adalah (9,12) Titik C perpotongan antara garis 2X1 + 3X2 = 60 dan garis 4X1 + 3X2 = 72, dengan mengeliminasi X2, dapat dihitung : Æ X1 = 9
2X1 + 3X2 = 60 ............i) 4X1 + 3X2 = 72 ............iii) ____________________ - 2X1 = - 12 Æ X1 = 6 Æ X2 = 16
maka titik C adalah (6,16) 351
Lanjutan… Daerah penyelesaian (Daerah yang Memenuhi Kendala/Wilayah Kelayakan) adalah daerah OABCD yang titik-titik sudutnya adalah : O(0,0), A(15,0), B(9,12), C(6,16), dan D(0,20). Penyelesaian dari soal diatas adalah menghitung nilai fungsi sasaran (Z = 3000 X1 + 3000 X2) di setiap titik sudut-titik sudut Daerah yang Memenuhi Kendala, sehingga: Titik O (0,0) Æ Z (0,0) = 3000.(0) + 3000.(0) = 0, Titik A (15,0) Æ Z (15,0) = 3000.(15) + 3000.(0) = 45.000 Titik B (9,12) Æ Z (9,12) = 3000.(9) + 3000.(12) = 63.000 Titik C (6,16) Æ Z(6,16) = 3000.(6) + 3000.(16) = 66.000 Titik D (0,20) Æ Z(0,20) = 3000.(0) + 3000.(20) = 60.000 352
Lanjutan… Fungsi Tujuan adalah mencari nilai maksimumnya sehingga nilai yang sesuai adalah : Terletak pada titik C(6,16) Dengan nilai fungsi tujuannya Rp. 66.000,00 Sehingga agar diperoleh laba yang maksimum maka Pimpinan ”PT. Rakyat Bersatu” harus memproduksi : Produk I sebanyak 6 unit dan Produk II sebanyak 16 unit sehingga mendapat laba maksimum sebesar Rp.66.000,00.
353
2. Metode Matriks Untuk itu pertidaksamaan di ubah dulu menjadi persamaan dengan menambahkan slack : x1 + X2 ≤ 3 ⇒ X1 + X2 + X3 ≤ 3 X1 , X2 ≥ 0
X1 , X2 , X3 ≥ 0
Bentuk yg diperoleh : max st
C1X1 + C2X2 + ……. + CnXn a11X1 + a12X2 + ……. + a1nXn ≤ b1 a21X1 + a22X2 + ……. + a2nXn ≤ b2 : : : am1X1 + am2X2 + …….+ amnXn ≤ bm X1, X2,……………, Xn ≥ 0 354
Lanjutan… Dengan menambahkan slack sebanyak kendalanya didapat : Max C1X1 + C2X2 + ……. + CnXn + 0.Xn+1 + 0.Xn+2 + ……. + 0.Xn+m st a11X1 + a12X2 + ……. + a1nXn + Xn+1 = b1 :………slack…………...: a21X1 + a22X2 + ……. + a2nXn + Xn+2 = b2 : : : am1X1 + am2X2 + …….+ amnXn + Xn+m = bm X1, X2,……, Xn, Xn+1, ……+ Xn+m ≥ 0
355
Lanjutan… Dalam bentuk matriks didapat : max C′ X′ st A′ X′ = b′ X′ ≥ 0 Dengan :
… ... Bentuk kanonik ...
C ' = [C Μ 0] A' = [AΜI ], I = Matriks identitas ⎡x ⎤ ⎢ ⎥ x' = ⎢......... ⎥ ⎢⎣ Slack ⎥⎦ 356
2. Dengan Metode Matriks Bentuk kanoniknya adalah sebagai berikut : Max s.t
x1 + 2 x2 + 0 x3 + 0 x4 x1 + x2 + x3 = 4 x2 + x4 = 2 x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0
357
Lanjutan… Dengan :
[
c= 12 0 0
]
⎡ 4⎤ b=⎢ ⎥ ⎣ 2⎦ ⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ 2⎥ ⎢ x= ⎢ x3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ x4 ⎦
⎡1 1 1 0 ⎤ A=⎢ ⎥ ⎢⎣0 1 0 1⎥⎦
358
Kemungkinan 1
⎡1 1 ⎤ B=⎢ ⎥ ⎢⎣0 1⎥⎦
1)
⎡1 − 1⎤ ⎡1 − 1⎤ 1 B = ⎢ ⎥=⎢ ⎥ 1.1 − 0.1 ⎢⎣0 1 ⎥⎦ ⎢⎣0 1 ⎥⎦ −1
⎡1 − 1⎤ ⎡ x1 ⎤ −1 xB = ⎢ ⎥ = B b = ⎢ ⎥ ⎢⎣0 1 ⎥⎦ ⎣ x2 ⎦ ⎡ x3 ⎤ ⎡0⎤ xn = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣ x4 ⎦ ⎣0 ⎦ 359
⎡ 4⎤ ⎡ 2⎤ ⎢ 2⎥ = ⎢ 2⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Lanjutan…
⎡ x1 ⎤ ⎡2⎤ ⎢x ⎥ ⎢ ⎥ 2⎥ 2⎥ ⎢ ⎢ x= = ⎢ x3 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ x4 ⎦ ⎣0 ⎦ ⎡ 2⎤ ⎢ 2⎥ Cx = 1 2 0 0 ⎢ ⎥ = 6 ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 ⎦
[
]
360
Kemungkinan 2
⎡1 1 ⎤ B=⎢ ⎥ ⎢⎣0 0⎥⎦
2)
⎡0 − 1⎤ 1 B = ⎢ ⎥ 1.0 − 0.1 ⎢⎣0 1 ⎥⎦ −1
⇒ Tdk punya invers ⇒ Tdk memenuhi
361
Kemungkinan 3
⎡1 0⎤ B=⎢ ⎥ ⎢⎣0 1⎥⎦
3)
⎡1 0⎤ ⎡1 0⎤ 1 B = ⎢ ⎥=⎢ ⎥ 1.1 − 0.0 ⎢⎣0 1⎥⎦ ⎢⎣0 1⎥⎦ −1
⎡1 0⎤ ⎡ x1 ⎤ −1 xB = ⎢ ⎥ = B b = ⎢ ⎥ ⎢⎣0 1⎥⎦ ⎣ x4 ⎦
⎡ 4⎤ ⎡ 4⎤ ⎢ 2⎥ = ⎢ 2⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ x2 ⎤ ⎡0 ⎤ xn = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣ x3 ⎦ ⎣0⎦ 362
Lanjutan…
⎡ x1 ⎤ ⎡4⎤ ⎢x ⎥ ⎢ ⎥ 0 2⎥ ⎢ x= =⎢ ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ x4 ⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎡ 4⎤ ⎢0 ⎥ Cx = 1 2 0 0 ⎢ ⎥ = 4 ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 2⎦
[
]
363
Kemungkinan 4
⎡1 1 ⎤ B=⎢ ⎥ ⎢⎣1 0⎥⎦
4)
⎡0 − 1⎤ ⎡0 1 ⎤ 1 B = ⎢ ⎥=⎢ ⎥ 1.0 − 1.1 ⎢⎣− 1 1 ⎥⎦ ⎢⎣1 − 1⎥⎦ ⎡0 1 ⎤ ⎡ 4 ⎤ ⎡ 2 ⎤ ⎡ x2 ⎤ −1 xB = ⎢ ⎥ = B b = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢⎣1 − 1⎥⎦ ⎣2⎦ ⎣2⎦ ⎣ x3 ⎦ −1
⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤ xn = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣ x4 ⎦ ⎣0 ⎦ 364
Lanjutan…
⎡ x1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎢x ⎥ ⎢ ⎥ 2⎥ 2⎥ ⎢ ⎢ x= = ⎢ x3 ⎥ ⎢2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ x4 ⎦ ⎣0 ⎦ ⎡0 ⎤ ⎢ 2⎥ Cx = 1 2 0 0 ⎢ ⎥ = 4 ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 ⎦
[
]
365
Kemungkinan 5
⎡1 0⎤ B=⎢ ⎥ ⎢⎣1 1 ⎥⎦
5)
⎡1 0 ⎤ ⎡1 0 ⎤ 1 B = ⎥ ⎢ ⎥=⎢ 1.1 − 0.1 ⎢⎣− 1 1⎥⎦ ⎢⎣− 1 1⎥⎦ −1
⎡1 0 ⎤ ⎡ x2 ⎤ −1 xB = ⎢ ⎥ = B b = ⎢ ⎥ ⎢⎣− 1 1⎥⎦ ⎣ x4 ⎦ ⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤ xn = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣ x3 ⎦ ⎣0⎦ 366
⎡ 4⎤ ⎡ 4 ⎤ ⎢ 2⎥ = ⎢ − 2⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Lanjutan…
⎡ x1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎢x ⎥ ⎢ ⎥ 4 2⎥ ⎢ x= =⎢ ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ x4 ⎦ ⎣ − 2 ⎦ ⇒ x4 < 0 ⇒ Tdk memenuhi
367
Kemungkinan 6
⎡1 0⎤ B=⎢ ⎥ ⎢⎣0 1⎥⎦
6)
⎡1 0⎤ ⎡1 0⎤ 1 B = ⎢ ⎥=⎢ ⎥ 1.1 − 0.0 ⎢⎣0 1⎥⎦ ⎢⎣0 1⎥⎦ −1
⎡1 0⎤ ⎡ x3 ⎤ −1 xB = ⎢ ⎥ = B b = ⎢ ⎥ ⎢⎣0 1⎥⎦ ⎣ x4 ⎦ ⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤ xn = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦ ⎣0 ⎦ 368
⎡ 4⎤ ⎡ 4⎤ ⎢ 2⎥ = ⎢ 2⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Lanjutan…
⎡ x1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎢x ⎥ ⎢ ⎥ 0⎥ 2⎥ ⎢ ⎢ x= = ⎢ x3 ⎥ ⎢4⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ x4 ⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎡0 ⎤ ⎢0 ⎥ Cx = 1 2 0 0 ⎢ ⎥ = 0 ⎢ 4⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 2⎦
[
]
369
Penutup Dalam program linier ini tujuan yang ingin dicapai adalah mencari nilai paling optimum yaitu memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan. Dalam penyelesaian persoalan program linier ini harus diperhatikan kendala-kendala yang ada sehingga hasil yang diperoleh merupakan hasil yang paling optimum sesuai dengan tujuan yang ingin dicapai. Dalam penyelesaian persoalan program linier bisa digunakan beberapa metode dimana diantaranya adalah: • Metode Grafik • Metode Matrik 370
Tugas 1. Suatu perusahaan akan memproduksi 2 macam barang yang jumlahnya tidak boleh lebih dari 18 unit. Keuntungan dari kedua produk tersebut masing-masing adalah Rp. 750,- dan Rp. 425,- per unit. Dari survey terlihat bahwa produk I harus dibuat sekurang-kurangnya 5 unit sedangkan produk II sekurang-kurangnya 3 unit. Mengingat bahan baku yang ada maka kedua produk tersebut dapat dibuat paling banyak 20 unit. Tentukan banyaknya produk yang harus dibuat untuk mendapatkan keuntungan yang maksimum ?
371
Lanjutan… 2. Sebagai contoh dalam memformulasikan permasalahan, berikut ini akan dibahas perusahaan Krisna Furniture yang akan membuat meja dan kursi. Keuntungan yang diperoleh dari satu unit meja adalah $7,- sedang keuntungan yang diperoleh dari satu unit kursi adalah $5,-. Namun untuk meraih keuntungan tersebut Krisna Furniture menghadapi kendala keterbatasan jam kerja. Untuk pembuatan 1 unit meja dia memerlukan 4 jam kerja. Untuk pembuatan 1 unit kursi dia membutuhkan 3 jam kerja. Untuk pengecatan 1 unit meja dibutuhkan 2 jam kerja, dan untuk pengecatan 1 unit kursi dibutuhkan 1 jam kerja. Jumlah jam kerja yang tersedia untuk pembuatan meja dan kursi adalah 240 jam per minggu sedang jumlah jam kerja untuk pengecatan adalah 100 jam per minggu. Berapa jumlah meja dan kursi yang sebaiknya diproduksi agar keuntungan perusahaan 372 maksimum?
Lanjutan… 3. Sebuah indrusti kecil memproduksi dua jenis barang A dan B dengan memakai dua jenis mesin M1 dan M2. Untuk membuat barang A, mesin M1 beroperasi selama 2 menit dan mesin M2 beroperasi selama 4 menit. Untuk membuat barang B, mesin M1 beroperasi selama 2 menit dan mesin M2 beroperasi selama 4 menit. Mesin M1 da M2 masingmasing beroperasi tidak lebih 8 jam tiap hari. Keuntungan bersih untuk setiap barang A adalah Rp. 250, 00 dan untuk barang B adalah Rp.500,00. Berapakah jumlah barang A dan B harus diproduksi agar keuntungannya yang sebesarbesarnya dan besarnya keuntungan tersebut !
373
lanjutan 4. Perusahaan Indah Gelas memproduksi kaca untuk digunakan sebagai jendela dan pintu kaca. Perusahaan ini memiliki 3 buah pabrik yaitu pabrik-1 membuat bingkai aluminium, pabrik-2 membuat bingkai kayu, dan pabrik-3 memproduksi kaca dan merakit keseluruhan. Saat ini perusahaan mendapat pesanan dua macam produk baru, yaitu pintu kaca dengan bingkai aluminium (produk-1), dan jendela dengan bingkai kayu (produk-2). Berapa banyak produk-1 dan produk-2 harus dibuat untuk memenuhi pesanan dan memperoleh keuntungan terbaik ? Selesaikan dengan metode grafik ! Data mengenai ketiga pabrik tersebut ada pada tabel dibawah ini : Pabrik 1 2 3 Keuntungan per unit
Kapasitas yang digunakan per unit produksi Produk 1 Produk 2 1 0 0 2 3 2 3 5 374
Kapasitas yang dapat digunakan 4 12 18
5. PT Auto Indah memproduksi 2 jenis mobil, yaitu sedan dan truk. Untuk meningkatkan penjualan, perusahaan melakukan promosi dalam dua macam acara TV, yaitu pada acara hiburan dan acara olah raga. Promosi pada acara hiburan akan disaksikan oleh 7 juta pemirsa wanita dan 2 juta pemirsa pria. Promosi pada acara olah raga akan disaksikan oleh 2 juta pemirsa wanita dan 12 juta pemirsa pria. Biaya promosi pada acara hiburan adalah 5 juta rupiah / menit, sedangkan pada acara olah raga biayanya adalah 10 juta rupiah / menit. Jika perusahaan menginginkan promosinya disaksikan sedikitnya oleh 28 juta pemirsa wanita dan sedikitnya oleh 24 juta pemirsa pria, bagaimanakah strategi promosi itu sebaiknya. Selesaikan dengan metode grafik 375
Daftar Pustaka • Mulyono, Sri, 2002, Riset Operasi, Jakarta : Lembaga Penerbit Fakultas UI. • A Taha, Hamdy, 1996, Riset Operasi Jilid 1, Jakarta : Binarupa Aksara.
376
