Gerzson Miklós május 8

Irány´ıtáselmélet és -technika példatár Gerzson Miklós 2016. május 8.

2

Tartalomjegyz´ ek Jel¨ ol´ esjegyz´ ek

7

1. Laplace- ´ es inverz Laplace-transzform´ aci´ o alkalmaz´ asa 1.1. Elméleti ´ attekintés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Laplace-transzform´ aci´ ora vonatkozó fontosabb összef¨ uggések . . . . . . 1.1.2. Vizsg´ al´ o jelek, v´ alaszf¨ uggvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Kidolgozott feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Gyakorl´ o feladatok a Laplace- és az inverz Laplace-transzformáció témaköréb˝ol 1.3.1. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Megold´ asok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

9 9 9 9 11 13 13 15

2. Hat´ asv´ azlatok ´ atalak´ıt´ asa ´ 2.1. Attekint´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Alapkapcsol´ asok ered˝ o´ atviteli f¨ uggvénye . . . . . 2.1.2. Helyettes´ıt˝ o kapcsol´ asok . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Kidolgozott feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Gyakorl´ o feladatok hat´ asv´ azlatok ´ atalak´ıtása témaköréb˝ol 2.3.1. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Megold´ asok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

17 17 17 18 21 26 26 28

3. Dinamikus tagok 3.1. Elméleti ´ attekintés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Bemenet-kimenet modell, ´ atviteli f¨ uggvény . . . . . . . . . 3.1.2. Dinamikus tagok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Kidolgozott feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Feladatok az ´ atmeneti f¨ uggvény és a s´ ulyf¨ uggvény meghatározására 3.3.1. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Megold´ asok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

29 29 29 30 31 36 36 38

4. Frekvenciatartom´ any 4.1. Elméleti ´ attekintés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. A frekvenci´ atviteli f¨ uggvény . . . . . . . . . . . . 4.1.2. Frekvencia´ atviteli f¨ uggvények ábrázolása . . . . . 4.2. Gyakorl´ o feladatok frekvenciatartom´ anybeli ábrázolásra 4.2.1. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2. Megold´ asok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

41 41 41 42 43 43 44

5. Folytonos idej˝ u rendszerek stabilit´ asa 5.1. Elméleti ´ attekintés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Stabilit´ as defin´ıci´ ok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2. Stabilit´ asvizsg´ alati m´ odszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Kidolgozott feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1. Stabilit´ as meghat´ aroz´ asa p´ olusok közvetlen meghatározása alapján 5.2.2. Stabilit´ as meghat´ aroz´ asa Hurwitz-kritérium alapján . . . . . . . . 5.2.3. Stabilit´ asvizsg´ alat gy¨ okhelyg¨ orbe seg´ıtségével . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

49 49 49 50 53 53 54 55

3

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

´ TARTALOMJEGYZEK

4 5.3. Gyakorl´ o feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. Stabilit´ as meghat´ aroz´ asa p´ olusok közvetlen meghatározása alapján 5.3.2. Stabilit´ as meghat´ aroz´ asa Hurwitz kritérium alkalmazásával . . . . 5.3.3. Stabilit´ as meghat´ aroz´ asa gy¨ okhelygörbe alapján . . . . . . . . . . 5.3.4. Megold´ asok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

63 63 63 65 65

6. A z-transzform´ aci´ o´ es a diszkr´ et bemenet-kimenet modell 6.1. Elméleti ´ attekintés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1. A z-transzform´ aci´ ora vonatkozó fontosabb összef¨ uggések 6.1.2. Diszkrét bemenet-kimenet modell . . . . . . . . . . . . . 6.2. Kidolgozott feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Gyakorl´ o feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1. Feladatok a z- és inverz z-transzformáció témaköréb˝ol . 6.3.2. Megold´ asok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

71 71 71 73 74 79 79 80

7. Mintav´ etelezett rendszerek 7.1. Elméleti ´ attekintés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1. Az impulzus-´ atviteli f¨ uggvény . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2. Az ered˝ o impulzus-´ atviteli f¨ uggvény meghatározása . . 7.1.3. Diszkrét idej˝ u rendszerek er˝ os´ıtésének meghatározása 7.1.4. Nulladrend˝ u tart´ oszerv . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Kidolgozott feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Gyakorl´ o feladatok és megold´ asok . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2. Megold´ asok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

83 83 83 84 85 85 86 92 92 94

8. Mintav´ etelezett rendszerek stabilit´ asa 8.1. Elméleti ´ attekintés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1. Diszkrét BIBO stabilit´ as . . . . . . . . . . . . 8.1.2. Aszimptotikus stabilit´ as . . . . . . . . . . . . 8.1.3. Stabilit´ asvizsg´ alat diszkrét id˝ otartományban 8.2. Kidolgozott feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. Gyakorl´ o feladatok és megold´ asok . . . . . . . . . . . 8.3.1. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.2. Megold´ asok . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

97 97 97 97 98 99 102 102 103

9. Szab´ alyoz´ asi algoritmusok 9.1. Elméleti ´ attekintés . . . . . . . . . ´ 9.1.1. Alland´ osult ´ allapotbeli hiba 9.1.2. Folytonos PID-szab´ alyoz´ o . 9.1.3. Diszkrét PID-szab´ alyoz´ o . . 9.2. Gyakorl´ o feladatok . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

105 105 105 105 106 107

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

10.Minta feladatsorok 109 10.1. Folytonos idej˝ u rendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 10.2. Diszkrét idej˝ u rendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Mell´ eklet T/I. Laplace-transzform´ aci´ o azonoss´ agai . . . . . . . . . . T/II. Nevezetes f¨ uggvények Laplace-transzformáltja . . . T/III. z-transzform´ aci´ o azonoss´ agai . . . . . . . . . . . . T/IV. Nevezetes f¨ uggvények Laplace- és z-transzformáltja

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

123 124 125 126 127

Bevezet´ es Az elm´ ult években szerzett oktat´ asi tapasztalataink alapján u ´gy látjuk, hogy a hallgatók jelent˝os részének gondot okoz az ir´ any´ıt´ astechnika kurzusokon hallgatott elméleti anyag alapján a számolási példák megoldása. Ennek seg´ıtésére kész¨ ult ez a példat´ ar, mely a legfontosabb anyagrészek összefoglalása mellett számos kidolgozott és o¨n´ all´ oan megoldand´ o péld´ at tartalmaz. A jegyzet els˝ osorban a Pannon Egyetem M˝ uszaki Informatikai Karán oktatott alapképzési szakok tantervében szerepl˝ o ir´ any´ıt´ astechnik´ ahoz kapcsolódó bevezet˝o kurzusok tanmenetét követi, de remélhet˝oleg m´ as intézmények hallgat´ oi is haszn´ alni tudj´ ak. Ennek megfelel˝oen els˝osorban az irány´ıtástechnika megértéséhez és alkalmaz´ as´ ahoz sz¨ ukséges alapokhoz kapcsol´ odó feladatok szerepelnek a példatárban. Az áttekintett témak¨ or¨ ok az ir´ any´ıt´ astechnikai rendszerek le´ır´ asa és vizsgálatának módszerei, a k¨ ulönböz˝o dinamikus tagok ismertetése, a stabilit´ as fogalma és vizsg´ alata folytonos és diszkrét id˝otartományban. ´ A jegyzet a TAMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0002 azonos´ıtó szám´ u Járm˝ uipari Fels˝ooktatási Kutat´ asi Egy¨ uttm˝ uk¨ odés c´ım˝ u projekt keretében kész¨ ult, a szerz˝o köszöni a jegyzet elkész´ıtéséhez ny´ ujtott támogat´ ast. B´ ar a kézirat lead´ asakor a jegyzet´ır´ as folyamat´ anak egy lépése lezárul, de a szerz˝o el˝ore is köszöni a továbbfejlesztésre vonatkoz´ o javaslatokat és az esetleges hibákra, el´ırásokra vonatkozó visszajelzést. Veszprém, 2015. janu´ ar 31.

Gerzson Miklós Pannon Egyetem M˝ uszaki Informatikai Kar

5

6

´ TARTALOMJEGYZEK

Jel¨ ol´ esjegyz´ ek δ(t) 1(t) G(s) G(z) G(jω) L{f (t)} Z{f ∗ (t)} t T0 τ T Ti TI TD u(t) y(t) h(t) K ωn ξ

egységimpulzus f¨ uggvény, Dirac-delta egységugr´ as f¨ uggvény jelform´ al´ o tag ´ atviteli f¨ uggvénye jelform´ al´ o tag impulzus´ atviteli (diszkrét átviteli) f¨ uggvénye jelform´ al´ o tag frekvencia´ atviteli f¨ uggvénye az f (t) f¨ uggvény Laplace-transzformáltja az f ∗ (t) f¨ uggvény z-transzform´ altja id˝ o mintavételezési peri´ odus id˝ o id˝ oa´lland´ o (els˝ orend˝ u rendszerek) id˝ oa´lland´ o (m´ asodrend˝ u rendszerek) i-dik id˝ o´ alland´ o (magasabb rend˝ u rendszerek) integr´ al´ asi id˝ o´ alland´ o (integr´ al´ o jelleg˝ u tagok, PID algoritmus) deriv´ al´ asi id˝ o´ alland´ o (deriv´ al´ o jelleg˝ u tagok, PID algoritmus) bemenet id˝ of¨ uggvény kimenet id˝ of¨ uggvény s´ ulyf¨ uggvény - egységimpulzus válaszf¨ uggvény er˝ os´ıtés, er˝ os´ıtési tényez˝ o, ´ atviteli tényez˝o természetes frekvencia csillap´ıt´ asi tényez˝ o

7

8

´ TARTALOMJEGYZEK

1. fejezet

Laplace- ´ es inverz Laplace-transzform´ aci´ o alkalmaz´ asa 1.1.

Elm´ eleti ´ attekint´ es

1.1.1.

Laplace-transzform´ aci´ ora vonatkoz´ o fontosabb o ¨sszef¨ ugg´ esek

Legyen f (t) egy, a val´ os sz´ amok halmaz´ an értelmezett valós érték˝ u f¨ uggvény. Ekkor az f (t) f¨ uggvény Laplacetranszform´ altja alatt az al´ abbi m´ odon meghatározható F (s) f¨ uggvényt értj¨ uk: Z∞ F (s) = L{f (t)} =

f (t)e−st dt ,

(1.1)

0

ahol az s = σ + jω komplex v´ altoz´ o, az u ´gynevezett Laplace-operátor, az f (t) f¨ uggvényr˝ol feltételezz¨ uk, hogy f (t) = 0 t < 0, azaz u ´gynevezett bekapcsolási f¨ uggvény. Az F (s) Laplace-transzformált olyan s komplex értékekre létezik, amelyeknél az integr´ al kifejejezés konvergens lesz: Z∞

Z∞

|f (t)e−st |dt =

0

|f (t)e−σt |dt < ∞ .

(1.2)

0

E feltételnek megfelel˝ oen, egy f (t) f¨ uggvény Laplace-transzformáltjánál meg kell adni a σ1 < Re(s) < σ2 konvergenciatartom´ anyt. A defini´ al´ o kifejezésben szerepl˝o integrálás tényleges alsó határa 0− , de ennek csak az impulzus f¨ uggvény Laplace-transzform´ aci´ oj´ an´ al van szerepe, ezért k¨ ulön nem jelezz¨ uk. Az inverz Laplace-transzform´ aci´ o a k¨ ovetkez˝o képlet alapján értelmezhet˝o: 1 f (t) = 2πj

c+j∞ Z

F (s)est ds

(1.3)

c−j∞

ahol c az F (s) f¨ uggvény legnagyobb val´ osrész˝ u pólusánál nagyobb érték. A Laplace-transzform´ aci´ ohoz kapcsol´ od´ o szabályokat és tételeket a Melléklet 10.1 táblázatban foglaltuk ossze. A 10.2 t´ ¨ abl´ azat a gyakoribb vizsg´ al´ ojelek és f¨ uggvények Laplace-transzformáltjait tartalmazza.

1.1.2.

Vizsg´ al´ o jelek, v´ alaszf¨ uggv´ enyek

Ir´ any´ıt´ astechnikai rendszerek vizsg´ alatakor szerkezet¨ uk és paramétereik meghatározására vizsgáló jeleket alkalmazhatunk. A leggyakrabban alkalmazott vizsgáló jelek a következ˝ok: Egységimpulzus f¨ uggvény δ(t) Defin´ıci´ oja: ( ∞ , ha t = 0 δ(t) = 0 , ha t 6= 0 9

´ INVERZ LAPLACE-TRANSZFORMACI ´ O ´ ALKALMAZASA ´ FEJEZET 1. LAPLACE- ES

10 Integr´ alja:

+∞ Z δ(t)dt = 1 −∞

Laplace-transzform´ altja: +

Z0 L(δ(t)) =

δ(t)e−st dt = 1

0−

Egységugr´ as f¨ uggvény 1(t) Defin´ıci´ oja: ( 1 , ha t ≥ 0 1(t) = 0 , ha t < 0 Laplace-transzform´ altja: Z∞ L(1(t)) =

1(t)e−st dt =

1 s

0

Egység sebességugr´ as f¨ uggvény v(t) Defin´ıci´ oja: ( t , ha t ≥ 0 v(t) = 0 , ha t < 0 Laplace-transzform´ altja: Z∞ L(v(t)) =

v(t)e−st dt =

1 s2

0

Egység gyorsul´ asugr´ as f¨ uggvény a(t) Defin´ıci´ oja: ( 2 t , ha t ≥ 0 a(t) = 2 0 , ha t < 0 Laplace-transzform´ altja: Z∞ L(a(t)) =

a(t)e−st dt =

1 s3

0

Szinuszos bemen˝ o jel f¨ uggvény sin(ωt) Defin´ıci´ oja: ( sin t , ha t ≥ 0 és ω = 1 sin ωt = 0 , ha t < 0 Laplace-transzform´ altja: Z∞ L(v(t)) =

sin ωte−st dt =

ω s2 + ω 2

0

Az egyes vizsg´ al´ ojelekre adott v´ alaszf¨ uggvények a következ˝ok:

1.2. KIDOLGOZOTT FELADATOK

11

– Az egységimpulzus f¨ uggvényre adott v´ alasz a s´ ulyf¨ uggvény, jele: h(t). – Az egységugr´ asf¨ uggvényre adott v´ alasz az ´ atmeneti f¨ uggvény. – Anal´ og m´ odon értelmezhetj¨ uk a sebességugrás és gyorsulás bemenetekre adott válaszokat is, de ezeknek nincs k¨ ul¨ on elnevezés¨ uk.

1.2.

Kidolgozott feladatok

1. f1 (t) = 3;

F1 (s) =?

Megold´ as: ´ Ertelmezz¨ uk az f1 (t) f¨ uggvényt a k¨ ovetkez˝o módon f1 (t) = 3 · 1(t) azaz a konstanssal szorzott egységugr´ asként. Az 1(t) f¨ uggvény biztos´ıtja, hogy a f¨ uggvény értéke a t < 0 tartományban 0 legyen. Ekkor az F1 (s): Z∞ F1 (s) =

f1 (t)e

−st

Z∞ dt =

0

2. f2 (t) = e−3t ;

3e

−st

0

∞ 3 3 3e−st =0− = dt = −s 0 −s s

Re(s) > 0

F2 (s) =?

Megold´ as: Az el˝ oz˝ o péld´ an´ al megadott indokl´ as szerint: f2 (t) = e−3t · 1(t) vagy köss¨ uk ki, hogy a transzform´ al´ ast t ≥ 0 tartom´ anyon végezz¨ uk el: Z∞ F2 (s) =

f2 (t)e

−st

Z∞ dt =

0

e

−3t −st

e

Z∞ dt =

0

e−(s+3)t dt =

0

∞ 1 1 e =0− = = −(s + 3) 0 −(s + 3) s+3 −(s+3)t

3. f3 (t) = ej3t ;

Re(s) > −3

F3 (s) =?

Megold´ as: Z∞ F3 (s) =

f3 (t)e

−st

Z∞ dt =

0

e

j3t −st

e

0

Z∞ dt =

e−(s−3j)t dt =

0

∞ e−(s−3j)t 1 1 s + 3j = =0− = = 2 = −(s − 3)j 0 −(s − 3j) s − 3j s +9 3 s +j 2 Re(s) > 0 = 2 s +9 s +9 4. f4 (t) = cos 3t; f5 (t) = sin 3t;

F4 (s) =? F5 (s) =?

Megold´ as: Az el˝ oz˝ o példa eredménye és komplex számok k¨ ulönböz˝o formában fel´ırt alakjai alapján a megoldás: α + jβ = %(cos ϕ + j sin ϕ) = %ejϕ s s2 + 9 3 F5 (s) = L{sin 3t} = Im(L{ej3t }) = 2 s +9

F4 (s) = L{cos 3t} = Re(L{ej3t }) =


12

d −3t (e 1(t)) F6 (s) =? dt Megold´ as: El˝ osz¨ or a deriv´ al´ ast végezz¨ uk el:

5. f6 (t) =

d −3t (e · 1(t)) = −3e−3t · 1(t) + e−3t δ(t) = −3e−3t + δ(t) , t ≥ 0 dt mivel az 1(t) f¨ uggvény értéke 1, ha t ≥ 0, és a δ(t) f¨ uggvény csak a t = 0 nem 0, az e−3t értéke viszont ott 1. A Laplace-transzform´ aci´ ot elvégezve: F6 (s) = −L{3e−3t } + L{δ(t)} = −3L{e−3t } + L{δ(t)} = −

6. F7 (s) =

4s + 5 5s + 4

s 3 +1= , s+3 s+3

Re(s) > −3 .

f7 (t) =?

Megold´ as: Az inverz transzform´ aci´ o elvégzéséhez hozzuk az alábbi alakra a kifejezést: F7 (s) =

0, 8(5s + 4) 5 − 3, 2 1, 8 0, 36 4s + 5 = + = 0, 8 + = 0, 8 + . 5s + 4 5s + 4 5s + 4 5s + 4 s + 0, 8

A kapott kifejezésben szerepl˝ o tagok inverz Laplace-tarnszformációja a 10.2 táblázat alapján elvégezhet˝ o: 0, 36 f7 (t) = L−1 {0, 8} + L−1 = 0, 8δ(t) + 0, 36e−0,8t · 1(t) s + 0, 8

4s + 5 f8 (t) =? s2 Megold´ as: Az inverz transzform´ aci´ ot a 6. péld´ ahoz hasonlóan végezhetj¨ uk el:

7. F8 (s) =

4s + 5 4 5 = + 2 , s2 s s 4 5 −1 −1 f8 (t) = L +L = 4 · 1(t) + 5 · t · 1(t) . s s2 F8 (s) =

8. F9 (s) =

s2 + 2s + 2 (s + 1)(s + 2)(s + 3)

f9 (t) =?

Megold´ as: Az inverz Laplace-transzform´ aci´ o elvégzéséhez els˝o lépésként bontsuk parciális törtekre a kifejezést: s2 + 2s + 2 A B C = + + (s + 1)(s + 2)(s + 3) s+1 s+2 s+3 s2 + 2s + 2 = A(s + 2)(s + 3) + B(s + 1)(s + 3) + C(s + 1)(s + 2) A+B+C =1

5A + 4B + 3C = 2

6A + 3B + 2C = 2

A kapott h´ arom ismeretlenes egyenletrendszert megoldva az egy¨ utthatók: A = 0, 5

B = −2

C = 2, 5

Így s2 + 2s + 2 0, 5 −2 2, 5 = + + . (s + 1)(s + 2)(s + 3) s+1 s+2 s+3

´ FELADATOK A LAPLACE- ES ´ AZ INVERZ LAPLACE-TRANSZFORMACI ´ O ´ TEMAK ´ ¨ EB ´ OL13 ˝ 1.3. GYAKORLO OR A kapott kifejezést m´ ar tagonként visszatranszformálhatjuk id˝otartományra a 10.2 táblázat seg´ıtségével: 1 1 1 f9 (t) = 0, 5L−1 − 2L−1 + 2, 5L−1 = 0, 5e−t − 2e−2t + 2, 5e−3t , t ≥ 0 s+1 s+2 s+3

9. F10 (s) =

5s2 + 3s + 1 (s + 2)2 (s + 4)

f10 (t) =?

Megold´ as: Az inverz Laplace-transzform´ aci´ o elvégzéséhez el˝oször ebben az esetben is végezz¨ uk el a kifejezés parci´ alis t¨ ortekre bont´ as´ at: 5s2 + 3s + 1 A B C , = + + (s + 2)2 (s + 4) s + 4 s + 2 (s + 2)2 5s2 + 3s + 1 = A(s + 2)2 + B(s + 2)(s + 4) + C(s + 4) . Az egy¨ utthat´ ok meghat´ aroz´ as´ at ebben az esetben végezz¨ uk el u ´gy, hogy a kapott egyenletnek teljes¨ ulnie kell s tetsz˝ oleges értékére, ´ıgy a p´ olusokra is. Ezt felhasználva: 5 · 16 + 3 · (−4) + 1 5s2 + 3s + 1 = = 19, 75 , A= 2 (s + 2) (−4 + 2)2 s=−4 C=

5s2 + 3s + 1 5 · 4 + 3 · (−2) + 1 = = 7, 5 . s+4 −2 + 4 s=−2

A B egy¨ utthat´ o esetében ez a megold´ as közvetlen¨ ul nem használható, de ha be´ırjuk az A-ra és C-re kapott értékeket: 5s2 + 3s + 1 19, 75 B 7, 5 = + + , (s + 2)2 (s + 4) s+4 s + 2 (s + 2)2 akkor a kapott egyenletnek tov´ abbra is tetsz˝oleges s-re igaznak kell lennie, de most legyen s = 0: 19, 75 B 7, 5 1 = + + 16 4 2 4

⇒

B = −12

Teh´ at a felbont´ as eredményeként a k¨ ovetkez˝o alakot kapjuk: 5s2 + 3s + 1 19, 75 −12 7, 5 = + + , 2 (s + 2) (s + 4) s+4 s + 2 (s + 2)2 melyet a 10.2 t´ abl´ azat seg´ıtségével invertálhatunk: 1 1 1 f10 (t) = 19, 75L−1 −12L−1 +7, 5L−1 = 19, 75e−4t −12e−2t +7, 5te−2t , s+4 s+4 (s + 2)2

1.3.

t ≥ 0.

Gyakorl´ o feladatok a Laplace- ´ es az inverz Laplace-transzform´ aci´ o t´ emak¨ or´ eb˝ ol

1.3.1.

Feladatok

1. Hat´ arozza meg a k¨ ovetkez˝ o id˝ of¨ uggvények Laplace-transzformáltját a 1.2 definiáló összef¨ uggés alapj´ an! (a) f1 (t) = 5 (b) f2 (t) = 5e−4t (c) f3 (t) = 3e2t


14

(d) f4 (t) = e4jt (e) f5 (t) = cos 2t (f) f6 (t) = sin 6t d (g) f7 (t) = (3e−5t 1(t)) dt d (h) f8 (t) = (3e−5t ) dt 1 (i) f9 (t) = (e−4t − e−6t ) 4 2. Végezze el a k¨ ovetkez˝ o id˝ of¨ uggvények transzformálását a 10.1-10.2 Laplace-transzformációs táblázatok seg´ıtségével a t ≥ 0 tartom´ anyon! (a) f1 (t) = 4e−2t + 2e−4t 1 (b) f2 (t) = (e−4t − e−6t ) 4 (c) A Laplace-transzform´ altak valamint a kezdeti és végérték tétel seg´ıtségével vizsgálja meg az f1 (t) és az f2 (t) f¨ uggvényeket! (d) f3 (t) = (t − 3)1(t − 3) (e) f4 (t) = t1(t − 3) (f) f5 (t) = e−2t 1(t − 3) (g) f6 (t) = te−2t (h) f7 (t) = e−t cos 2t (i) f8 (t) = e−t sin 2t 3. Hat´ arozza meg a k¨ ovetkez˝ o kifejezések id˝otartománybeli megfelel˝ojét! 3 4s + 5 5 F2 (s) = 2 s + 4s + 4 4 F3 (s) = 2 s + 4s + 3 2 F4 (s) = 2 s + 4s 10 F5 (s) = 2 s + 25 14s F6 (s) = 2 2s + 18 2s + 3 F7 (s) = 4s + 5 4s + 8 F8 (s) = 2s2 2s + 8 F9 (s) = 2 s + 16 s2 + 4s + 4 F10 (s) = (s + 1)(s + 3)(s + 5) 2s + 4 F11 (s) = (s + 1)(s2 + 9)

(a) F1 (s) = (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k)

(l) F12 (s) =

s2 + s + 1 (s + 1)2 (s + 3)

´ FELADATOK A LAPLACE- ES ´ AZ INVERZ LAPLACE-TRANSZFORMACI ´ O ´ TEMAK ´ ¨ EB ´ OL15 ˝ 1.3. GYAKORLO OR

1.3.2.

Megold´ asok

1. (a) F1 (s) =

5 , s

Re(s) > 0

(b) F2 (s) =

5 , s+4

Re(s) > −4

(c) F3 (s) =

3 , s−2

Re(s) > 2

(d) F4 (s) =

s + 4j , s2 + 16

(e) F5 (s) =

s , s2 + 4

(f) F6 (s) =

6 , s2 + 36

(g) F7 (s) =

s , s+5

(h) F8 (s) = −

2. (a) F1 (s) = (b) F2 (s) =

Re(s) > 0 Re(s) > 0 Re(s) > 0 Re(s) > −5

15 , s+5

Re(s) > −5

6s + 20 , s2 + 6s + 8 0, 5 , s2 + 10s + 24

(c) f1 (0) = 6 ,

f1 (∞) = 0 ,

(d) F3 (s) = e−3s

1 , s2

3s + 1 , s2 1 (f) F5 (s) = e−3s e−6 , s+2

(e) F4 (s) = e−3s

(g) F6 (s) =

1 , (s + 2)2

(h) F7 (s) =

s+1 , s2 + 2s + 5

(i) F8 (s) =

2 , s2 + 2s + 5

3. (a) f1 (t) =

3 −1,25t e 1(t) , 4

(b) f2 (t) = 5te−2t 1(t) , (c) f3 (t) = 2(e−t − e−3t )1(t) , (d) f4 (t) =

1 (1 − e−4t )1(t) , 2

(e) f5 (t) = 2 sin(5t)1(t) ,

f2 (0) = 0 ,

f2 (∞) = 0

16

´ INVERZ LAPLACE-TRANSZFORMACI ´ O ´ ALKALMAZASA ´ FEJEZET 1. LAPLACE- ES (f) f6 (t) = 7 cos(3t)1(t) , (g) f7 (t) = 0, 5δ(t) + 0, 125e−1,25t 1(t) , (h) f8 (t) = 2(1 + 2t)1(t) , (i) f9 (t) = 2(cos 4t + sin 4t)1(t) , 1 −t 1 −3t 9 −5t (j) f10 (t) = e − e + e 1(t) , 8 4 8 (k) f11 (t) = (0.2e−t − 0, 2 cos 3t + 0, 73 sin 3t)1(t) , 7 −3t 3 −t 1 −t (l) f12 (t) = e − e + te 1(t) , 4 4 2

2. fejezet

Hat´ asv´ azlatok ´ atalak´ıt´ asa 2.1.

´ Attekint´ es

A hat´ asv´ azlat az ir´ any´ıt´ astechnikai rendszer vázlat formájában történ˝o megjelen´ıtésre szolgáló grafikus le´ır´ asi ¨ m´ od. Osszetett rendszerek esetében a hat´ asv´ azlatok egyenérték˝ u átalak´ıtásával és az egyes részek ered˝o átviteli f¨ uggvényeinek meghat´ aroz´ as´ aval a teljes rendszer ered˝o átviteli f¨ uggvénye meghatározható. A k¨ ovetkez˝ okben r¨ oviden ¨ osszefoglaljuk az alapkapcsolások ered˝o átviteli f¨ uggvényeit és a fontosabb helyettes´ıt˝ o kapcsol´ asokat.

2.1.1.

Alapkapcsol´ asok ered˝ o´ atviteli f¨ uggv´ enye

Egy tag

G(s) =

y(s) u(s)

Sorosan kapcsolt tagok

G(s) =

y(s) = G1 (s)G2 (s) u(s)

P´ arhuzamosan kapcsolt tagok

G(s) =

y(s) = G1 (s) ± G2 (s) u(s)

17

´ AZLATOK ´ ´ ÍTASA ´ FEJEZET 2. HATASV ATALAK

18 Visszacsatolt k¨ or

G(s) =

2.1.2.

y(s) Gc (s)Gp (s) = w(s) 1 ∓ Gc (s)Gp (s)Gm (s)

Helyettes´ıt˝ o kapcsol´ asok

A helyettes´ıt˝ o kapcsol´ asok alkalmaz´ asakor az átalak´ıtás el˝ott és után a módos´ıtott tagcsoport bemenetein és kimenetein ugyanazoknak a jeleknek kell megjelenni¨ uk.

¨ Osszegz˝ ok felcser´ el´ ese, ¨ osszevon´ asa, sz´ etbont´ asa

Sorosan kapcsolt tagok felcser´ el´ ese, ¨ osszevon´ asa, sz´ etbont´ asa

´ ´ 2.1. ATTEKINT ES P´ arhuzamosan kapcsolt tagok ´ atalak´ıt´ asa

Tag ´ es ¨ osszegz˝ o felcser´ el´ ese

¨ Osszegz˝ o´ es tag felcser´ el´ ese

19

20


Tag ´ es el´ agaz´ as felcser´ el´ ese

El´ agaz´ as ´ es tag felcser´ el´ ese

¨ Osszegz˝ o´ es el´ agaz´ as felcser´ el´ ese

El´ agaz´ as ´ es ¨ osszegz˝ o felcser´ el´ ese

Megjegyezz¨ uk, hogy az utols´ o két ´ atalak´ıt´ asi lépés, azaz az elágazás és összegz˝o felcserélésének alkalmaz´ asa lehet˝ oség szerint ker¨ ulend˝ o, mivel jelent˝ osen byonyol´ıtja a hatásvázlatot.


2.2.

21


1. Hat´ arozza meg az al´ abbi rendszer ered˝ o átviteli f¨ uggvényét!

A feladat megold´ as´ ahoz az egym´ asba a´tlapolódó két, H1 és H2 taggokkal való visszacsatolást és a G4 taggal t¨ ortén˝ o el˝ orecsatol´ ast kell szétv´ alasztani. A harmadik visszacsatolás, melynél nincsen jelform´ al´ o tag, nem lapol´ odik ´ at m´ as kapcsol´ asokkal, ´ıgy csak a legvégén kell figyelembe venni. A megoldás menete, azaz milyen sorrendben és mely hatáspontok áthelyezésével csatoljuk szét a köröket, tetsz˝oleges. A végeredményként meghat´ arozand´ o ered˝ o átviteli f¨ uggvénynek a levezetés menetét˝ol f¨ uggetlen¨ ul ugyanannak kell lennie. Azonban azt a gyakorlati szabályt, mely szerint összegz˝ot és elágazást nem cserél¨ unk fel, érdemes betartani. Az ´ attekinthet˝ obb jelölés érdekében az átalak´ıtást magyarázó, piros sz´ınnel jel¨ olt lépéseknél az s argumentum nem ker¨ ult felt¨ untetésre. Legyen az els˝ o lépés a pirossal bekarik´ azott összegz˝o áthelyezése a G1 tag elé.

Az ´ atalak´ıt´ as sor´ an megv´ altoztatand´ o´ atviteli f¨ uggvény meghatározásához jelölj¨ uk a változtatással érintett rész bemen˝ o jeleit a-val és b-vel, majd k¨ ovetve a jeleket, a rész kimenete aG1 −bH2 lesz. Az átalak´ıtás ut´ an ugyanezeket a bemeneteket és kimenetet kell kapnunk ennél a tagcsoportnál. Felhasználva ezt, és visszafelé k¨ ovetkeztetve a kimeneti jelb˝ ol, k¨ onnyen belátható, hogy az átalak´ıtás el˝ott a H2 átviteli f¨ uggvénnyel jellemzett tagot kell H2 /G1 -re m´ odos´ıtani.

K¨ ovetkez˝ o lépésként cserélj¨ uk neg a m´ asodik és harmadik összegz˝ot, mely a helyettes´ıt˝o kapcsolásokn´ al levezetetteknek megfelel˝ oen, nem igényel módos´ıtást.

22


Az ´ atlapol´ asok szétcsatol´ as´ anak utols´ o lépéseként bontsuk szét a H1 tagot tartalmazó legbels˝o visszacsatol´ ast és a G4 tagot tartalmaz´ o el˝ orecsatolást. Ebben az esetben is szabadon megválasztható, hogy melyik hat´ aspont helyét m´ odos´ıtjuk. Helyezz¨ uk át a visszacsatolás hatáspontját az el˝orecsatolás hatáspontja elé az al´ abbi a´br´ anak megfelel˝ oen:

Mint az az ´ abr´ ar´ ol leolvashat´ o, az ´ atalak´ıtandó tagcsoport bemenete az a jel, kimenetei pedig az aG2 és az aG2 H1 jelek. A m´ odos´ıtand´ o´ atviteli f¨ uggvényt ebben az esetben is a változatlanul maradó kimenetekb˝ ol vezethetj¨ uk le. Bel´ athat´ o, hogy a visszacsatolásban lév˝o tag átviteli f¨ uggvényét kell H1 G2 -re módos´ıtani:

Az ´ıgy kapott hat´ asv´ azlat m´ ar nem tartalmaz átlapolásokat, ´ıgy a visszacsatolásokra és az el˝orecsatol´ asra alkalmazhatjuk az ered˝ oj¨ uk meghat´ aroz´ asára levezetett képleteket. Írjuk fel a legbels˝o visszacsatolás (piros k¨ or, bal oldalt) és az el˝ orecsatol´ as (kék kör, jobb oldalt) ered˝ojét:


23

A visszacsatol´ as ered˝ oje: Gv1 (s) =

G1 (s) , 1 + G1 (s)G2 (s)H1 (s)

az el˝ orecsatol´ as ered˝ oje: Ge (s) = G2 (s)G3 (s) + G4 (s) , az egyszer˝ us´ıtett hat´ asv´ azlat:

Az utols´ o két lépés a két visszacsatol´ as ered˝ojének meghatározása. Legyen Gv2 (s) a bels˝o visszacsatol´ as ered˝ oje:

Gv2 (s) =

1+

G1 (s)(G2 (s)G3 (s)+G4 (s)) 1+G1 (s)G2 (s)H1 (s) G1 (s)(G2 (s)G3 (s)+G4 (s)) H2 (s) 1+G1 (s)G2 (s)H1 (s) G1 (s)

=

G1 (s)G2 (s)G3 (s) + G1 (s)G4 (s) 1 + G1 (s)G2 (s)H1 (s) + G2 (s)G3 (s)H2 (s) + G4 (s)H2 (s)

A teljes rendszer ered˝ o´ atviteli f¨ uggvénye: Ge (s) =

=

1

G1 (s)G2 (s)G3 (s)+G1 (s)G4 (s) 1+G1 (s)G2 (s)H1 (s)+G2 (s)G3 (s)H2 (s)+G4 (s)H2 (s) 1 (s)G2 (s)G3 (s)+G1 (s)G4 (s) + 1+G1 (s)G2G(s)H 1 (s)+G2 (s)G3 (s)H2 (s)+G4 (s)H2 (s)

=

G1 (s)G2 (s)G3 (s) + G1 (s)G4 (s) 1 + G1 (s)G2 (s)H1 (s) + G1 (s)G4 (s) + G1 (s)G2 (s)G3 (s) + G2 (s)G3 (s)H2 (s) + G4 (s)H2 (s)

A kiindul´ asi ´ abra és a kapott ered˝ o´ atviteli f¨ uggvény összehasonl´ıtásával leellen˝orizhetj¨ uk a kapott eredményt. A sz´ aml´ al´ oban az el˝ oremen˝ o´ agak ered˝oje szerepel, m´ıg a nevez˝oben az egyes el˝oremen˝o ágak és visszatér˝ o´ agak ered˝ o´ atviteli f¨ uggvényeinek összegei.


24

2. Hat´ arozzuk meg az al´ abbi tagcsoport ered˝o átviteli f¨ uggvényét!

Els˝ o lépésként végezz¨ uk el a p´ arhuzamosan visszacsatolt ágak összegzését:

Majd cserélj¨ uk meg az ¨ osszegz˝ oket:

Így megsz¨ untett¨ uk az el˝ orecsatol´ as és a visszacsatolás átlapolását, és fel´ırhatjuk el˝obb ezek ered˝ojét, majd a teljes tagcsoport ered˝ o´ atviteli f¨ uggvényét:

azaz az ered˝ o´ atviteli f¨ uggvény:

Ge (s) =

G2 (s) + G2 (s)G1 (s) , 1 + G2 (s)H1 (s) − G2 (s)H2 (s)

amely k¨ onnyen értelmezhet˝ o a kiindul´ asi ábra alapján.


25

3. Hat´ arozzuk meg az al´ abbi tagcsoport ered˝o átviteli f¨ uggvényét

ha G1 (s) = 2,

G2 (s) =

1 , 4s

G3 (s) = 3,

G4 (s) =

2 , 5s + 1

H1 (s) =

1 , s+1

H2 (s) =

1 ! 2s + 1

Végezz¨ uk el el˝ osz¨ or a p´ arhuzamosan kapcsolt G1 és G2 tagok (piros kör, bal oldalt), valamint bels˝ o k¨ or (kék k¨ or, jobb oldalt) ered˝ o´ atviteli f¨ uggvényének meghatározását:

ahol Gp (s) = G1 (s) + G2 (s) = 2 + Gb (s) =

1 8s + 1 = 4s 4s

2 3 5s+1 G3 (s)G4 (s) 12s + 6 = = 2 1 2 + 7s + 7 1 + G3 (s)G4 (s)H2 (s) 10s 1 + 3 5s+1 2s+1

Az ered˝ o´ atviteli f¨ uggvény: Ge (s) =

(G1 (s) + G2 (s))G3 (s)G4 (s) Gp (s)Gb (s) = 1 + Gp (s)Gb (s)H1 (s) 1 + G3 (s)G4 (s)H2 (s) + (G1 (s) + G2 (s))G3 (s)G4 (s)H1 (s)

Behelyettes´ıtés ut´ an az ered˝ o´ atviteli f¨ uggvény: Ge (s) =

= =

1+

12s+6 8s+1 10s2 +7s+7 4s 8s+1 1 12s+6 10s2 +7s+7 4s s+1

=

10s2 +7s+7 10s2 +7s+7

12s+6 8s+1 1 10s2 +7s+7 4s s+1 4s s+1 12s+6 8s+1 1 4s s+1 + 10s2 +7s+7 4s s+1

(12s+6)(8s+1) (10s2 +7s+7)4s(s+1) (10s2 +7s+7)4s(s+1) (12s+6)(8s+1) (10s2 +7s+7)4s(s+1) + (10s2 +7s+7)4s(s+1) 3 2

96s + 156s + 66s + 6 40s4 + 68s3 + 152s2 + 88s + 6

=

=

(12s + 6)(8s + 1) = (10s2 + 7s + 7)4s(s + 1) + (12s + 6)(8s + 1)


26

2.3.

Gyakorl´ o feladatok hat´ asv´ azlatok ´ atalak´ıt´ asa t´ emak¨ or´ eb˝ ol

2.3.1.

Feladatok

1. Hat´ arozza meg az ered˝ o´ atviteli f¨ uggvényt az alábbi esetekben! (a)

(b)

(c)

(d)

(e)

´ FELADATOK HATASV ´ AZLATOK ´ ´ ÍTASA ´ ´ ¨ EB ´ OL ˝ 2.3. GYAKORLO ATALAK TEMAK OR

27

(f)

2. Hat´ arozza meg az ered˝ o er˝ os´ıtést az al´ abbi esetben!

(a)

(b)

3. Hat´ arozza meg, hogy az al´ abbi visszacsatolt rendszerekben hogyan f¨ ugg az (a) példánál az yz (s) kimenet a (b) péld´ an´ al az y(s) kimenet a w(s) és uz (s) bemenetekt˝ol!

(a)


28 (b)

2.3.2.

Megold´ asok

1. (a) Ge (s) =

G1 (s)G2 (s) + G1 (s)G2 (s)H2 (s) 1 + G1 (s) + G1 (s)G2 (s)H1 (s) + H2 (s) + G1 (s)H2 (s) + G1 (s)G2 (s)H1 (s)H2 (s) + G1 (s)G2 (s)H2 (s)

(b) Ge (s) =

G1 (s)G2 (s)G3 (s) + G3 (s)G4 (s) 1 + G3 (s)H2 (s) + G2 (s)G3 (s)H1 (s)

(c) Ge (s) =

G1 (s)G2 (s)G3 (s) 1 + G1 (s) + G3 (s) + G1 (s)G3 (s) + G2 (s)H1 (s)

(d) Ge (s) =

G1 (s)G2 (s)G3 (s) 1 + G3 (s)H2 (s) + G1 (s)G2 (s) + G2 (s)G3 (s)H1 (s)

(e) Ge (s) =

G1 (s)G2 (s) 1 + G1 (s)G2 (s)H2 (s) + G2 (s) + G1 (s)G2 (s) + G1 (s)G2 (s)H1 (s)

(f) Ge (s) =

G1 (s)G2 (s) + G1 (s)G3 (s) 1 + G1 (s)G2 (s)H2 (s) + G1 (s)G3 (s)H2 (s) + G1 (s)G2 (s)H1 (s) + G1 (s)G3 (s)H1 (s)

2. (a) Ge (s) = (b) Ge (s) =

3. (a) yz (s) =

(b) y(s) =

4Ks + K s2 + s + K s2

10s + 40 + 16s + 20

Gc (s)Gp (s) Gz (s) w(s) + uz (s) 1 + Gc (s)Gp (s) 1 + Gc (s)Gp (s)

Gc (s)Gp (s) Gz (s)Gp (s) w(s) + uz (s) 1 + Gc (s)Gp (s)Gm (s) 1 + Gc (s)Gp (s)Gm (s)

3. fejezet

Dinamikus tagok 3.1. 3.1.1.

Elm´ eleti ´ attekint´ es Bemenet-kimenet modell, ´ atviteli f¨ uggv´ eny

Az ir´ any´ıt´ astechnikai rendszerekben el˝ ofordul´ o elemeket - lineáris viselkedést feltételezve - lineáris differenci´ alegyenlet form´ aj´ u modellekkel ´ırhatjuk le. Amennyiben nincs lehet˝oség a vizsgált tag bels˝o összef¨ uggéseinek megad´ as´ ara, akkor a bemenetek és a kimenetek k¨ oz¨ otti ¨ osszef¨ uggések seg´ıtségével ´ırjuk le a tag viselkedését. Az egy-bemenet˝ u, egy-kimenet˝ u, line´ aris m˝ uködés˝ u, holtid˝o mentes tag modellje a következ˝o alakban adhat´ o meg: an y (n) (t) + an−1 y (n−1) (t) + · · · + a1 y (1) (t) + a0 y(t) = bm u(m) (t) + · · · + b0 u(t) ahol y(t) - a kimen˝ o jel, u(t) - a bemen˝ o jel, x(i) (t) =

di x(t) , dti

x = y vagy u, i = 1, . . . , n,

ai , bj - konstans egy¨ utthat´ ok. Erre az egyenletre a tov´ abbiakban bemenet-kimenet modell ként - rövid´ıtve I/O modell - fogunk hivatkozni. Az ´ atviteli f¨ uggvény a dinamikus tag operátor tartománybeli modellje. Meghatározásához els˝o lépésként Laplace-transzform´ aljuk a bemenet-kimenet modell általános alakját zérus kezdeti feltételek mellett, majd fejezz¨ uk ki ebb˝ ol a kimenetek és a bemenetek közötti kapcsolatot. L(y(t)) bm sm + bm−1 sm−1 + · · · + b0 G(s) = = L(u(t)) z.k.f. an sn + an−1 sn−1 + · · · + a1 s + a0 Az ´ atviteli f¨ uggvény szok´ asos jel¨ olései: G(s) =

Y (s) b(s) z(s) = = U (s) a(s) p(s)

A felsorol´ as m´ asodik alakja a bemenet-kimenet modell egy¨ utthatóival fel´ırt racionális törtf¨ uggvényre, m´ıg a harmadik a sz´ aml´ al´ o illetve nevez˝ obeli polinomok gyöktényez˝os alakban történ˝o megadására utal. Irány´ıtástechnik´ aban a nevez˝ o polinomj´ anak gy¨ okeit p´ olusoknak, a számláló polinomjának gyökeit zérushelyeknek nevezz¨ uk. Bel´ athat´ o, hogy egy dinamikus tag ´ atviteli f¨ uggvénye (G(s)) és s´ ulyf¨ uggvénye (h(t)) között az al´ abbi osszef¨ ¨ uggés van h(t) = L−1 (G(s)) ⇔ G(s) = L(h(t)) 29

30

FEJEZET 3. DINAMIKUS TAGOK

Bel´ athat´ o, hogy a bemen˝ o jelek k¨ oz¨ otti ¨ osszef¨ uggés következtében lineáris rendszereknél az alábbi összef¨ uggések adhat´ ok meg az ´ atmeneti f¨ uggvény, a s´ ulyf¨ uggvény és az átviteli f¨ uggvény között: 1 Y (s) = G(s)U (s) = G(s) s

⇒

y(t) = L

−1

G(s) s

Zt

h(τ )dτ

= 0

A megadott ¨ osszef¨ uggések ismeretében is fontos még egyszer kiemelni, hogy az átviteli f¨ uggvény a tag oper´ ator tartom´ anybeli modellje, a s´ ulyf¨ uggvény és az átmeneti f¨ uggvény a jelformáló tagnak, egy-egy speci´ alis bemenetre (egységimpulzusra, illetve egységugrásra) adott id˝otartománybeli válaszf¨ uggvényei. Azonban az atviteli f¨ ´ uggvény és a s´ ulyf¨ uggvény k¨ oz¨ ott, a Laplace- és az inverz Laplace-transzformáció seg´ıtségével értelmezett szoros kapcsolat miatt, szok´ as a s´ ulyf¨ uggvényt, mint id˝otartománybeli modellt is használni.

3.1.2.

Dinamikus tagok

A bemenet-kimenet modell ´ altal´ anos alakj´ ab´ ol kiindulva, a figyelembe vett deriváltak alapján k¨ ulönböz˝o viselkedés˝ u dinamikus tagokat hat´ arozhatunk meg, melyeket a következ˝okben foglalunk össze. Legyen a bemenet-kimenet modell az al´ abbi egyszer˝ us´ıtett alak´ u: an y (n) (t) + an−1 y (n−1) (t) + · · · + a1 y (1) (t) + a0 y(t) = b0 u(t) Tegy¨ uk fel, hogy itt és a k¨ ovetkez˝ okben t´ argyalt valamennyi differenciál egyenlet modellel le´ırható tag esetében a kezdeti feltételek zérussal egyenl˝ oek. Ekkor az átviteli f¨ uggvény a következ˝o lesz: G(s) =

b0 an sn + an−1 sn−1 + · · · + a1 s + a0

A tagok csoportos´ıt´ as´ at a viselkedés¨ uk jellege és a nevez˝o deriválási fokszámának, n-nek az értéke alapj´ an végezz¨ uk el. Ar´ anyos viselked´ es˝ u tagok Nulladrend˝ u tag I/O modell: a0 y(t) = b0 u(t) Legyen a0 , b0 6= 0 ekkor y(t) = Ku(t), ahol K =

b0 a0

Y (s) ´ =K Atviteli f¨ uggvény: G(s) = U (s) A tagnak egy paramétere van: az er˝ os´ıtés, K, mely a válaszf¨ uggvénynek valamely jellemz˝ojét (pl. ter¨ uletét, amplit´ ud´ oj´ at, meredekségét) hat´ arozza meg. Els˝ orend˝ u tag I/O modell: a1 y (1) (t) + a0 y(t) = b0 u(t). Legyen a1 , a0 , b0 6= 0 ekkor τ y (1) (t) + y(t) = Ku(t), ahol K =

b0 a1 , τ= a0 a0

Y (s) K ´ Atviteli f¨ uggvény: G(s) = = U (s) τs + 1 A tagnak két paramétere van: a nulladrend˝ u tagnál bevezetett K er˝os´ıtés, és a tag dinamikai viselkedését meghat´ aroz´ o τ id˝ o´ alland´ o. M´ asodrend˝ u tag I/O modell: a2 y (2) (t) + a1 y (1) (t) + a0 y(t) = b0 u(t). Legyen a2 , a1 , a0 , b0 6= 0 ekkor r b0 a2 a1 , T = , 2ξT = . T 2 y (1) (t) + 2ξT y (1) (t) + y(t) = Ku(t), ahol K = a0 a0 a0 2 Y (s) K Kω n ´ Atviteli f¨ uggvény: G(s) = = 2 2 = 2 U (s) T s + 2ξT s + 1 s + 2ξωn s + ωn2


31

A tagnak h´ arom paramétere van: az er˝ os´ıtés (K), az id˝oállandó (T ) és a tag tranziensének jellegét (simul´ o vagy leng˝ o) meghat´ aroz´ o csillap´ıt´ asi tényez˝ o, melynek jele ξ. Az id˝oállandó helyett gyakran annak reciprok´ at haszn´ aljuk, melyet természetes frekvenci´ a nak nevez¨ unk és ωn -nel jelöl¨ unk. Integr´ al´ o jelleg˝ u tagok Tiszta integr´ al´ o tag I/O modell: a1 y (1) (t) = b0 u(t). a1 1 u(t), ahol TI = TI b0 Y (s) 1 K I ´ Atviteli f¨ uggvény: G(s) = = = U (s) TI s s A tagnak egy paramétere van: az integr´ al´ asi id˝ o´ alland´ o, TI , melynek reciprokát véve értelmezhetj¨ uk az in1 tegr´ al´ asi er˝ os´ıtést: KI = . TI Legyen a1 , b0 6= 0 ekkor y (1) (t) =

Egyt´ arol´ os integr´ al´ o tag I/O modell: a2 y (2) (t) + a1 y (1) (t) = b0 u(t). Legyen a2 , a1 , b0 6= 0 ekkor T22 y (2) (t) + T1 y (1) (t) = u(t), ahol T1 =

a1 , T2 = b0

r

a2 . b0

Y (s) 1 1 1 ´ Atviteli f¨ uggvény: G(s) = = 2 2 = U (s) T2 s + T1 s TI s (T s + 1) T22 ahol TI = T1 , T = . T1 Az egyt´ arol´ os integr´ al´ o tagot teh´ at egy tiszta integráló és egy els˝orend˝ u tag sorbakapcsolásával áll´ıthatjuk el˝ o, és ennek megfelel˝ oen értelmezz¨ uk a paramétereit. Az egyt´ arol´ os integr´ al´ o tag ´ altal´ anos´ıt´ as´ aval értelmezhetj¨ uk a magasabb rend˝ u integráló jelleg˝ u tagokat. Deriv´ al´ o jelleg˝ u tagok Tiszta deriv´ al´ o tag I/O modell: a0 y(t) = b1 u(1) (t). Legyen a0 , b1 6= 0 ekkor y(t) = TD u(1) (t), ahol TD =

b1 a0

Y (s) ´ = TD s Atviteli f¨ uggvény: G(s) = U (s) A tagnak egy paramétere van: a TD deriv´ al´ asi id˝ o´ alland´ o. A tag nem felel meg az oks´ agi szab´ alynak, ´ıgy csak elméleti jelleg˝ u vizsgálatokhoz használható. Egyt´ arol´ os deriv´ al´ o tag I/O modell: a1 y (1) (t) + a0 y(t) = b1 u(1) (t). Legyen a1 , a0 , b1 6= 0 ekkor T y (1) (t) + y(t) = TD u(1) (t), ahol TD =

b1 a1 ,T = a0 a0

Y (s) TD s ´ Atviteli f¨ uggvény: G(s) = = U (s) Ts + 1 Az egyt´ arol´ o deriv´ al´ o tagot teh´ at egy tiszta deriváló és egy els˝orend˝ u tag sorbakapcsolásával áll´ıthatjuk el˝ o, és TD ennek megfelel˝ oen értelmezz¨ uk a paramétereit. Belátható, hogy a arány növelésével a tag közel´ıti a tiszta T deriv´ al´ o tag viselkedését.

3.2.


1. Hat´ arozza meg az al´ abbi bemenet - kimenet modellel jellemzett tag paramétereit és adja meg az átmeneti f¨ uggvényét! 6y (1) (t) + 2y(t) = 4u(t)

32

FEJEZET 3. DINAMIKUS TAGOK A megold´ as menete: Az ´ atviteli f¨ uggvény: G(s) =

Y (s) 4 2 = = U (s) 6s + 2 3s + 1

=

K τs + 1

A tag paraméterei er˝ os´ıtés K = 2, id˝ o´ allandó τ = 3s. ´ Atmeneti f¨ uggyvény esetén a bemen˝ o jel u(t) = 1(t). A kimenet meghatározása: Y (s) = G(s)U (s) = Y (s) =

2 1 2 = 3s + 1 s s(3s + 1)

2 A B = + s(3s + 1) s 3s + 1 ⇒

A = 2, B = −6 1 1 1 1 Y (s) = 2 − 6 =2 − s 3s + 1 s s + 1/3 t y(t) = L−1 {Y (s)} = 2 1(t) − e− 3 , t ≥ 0 2 = A(3s + 1) + Bs

Az ´ atmeneti f¨ uggvény viselkedésének vizsgálata: t=0 t→∞

y(0) = 1 − 1 = 0 y(∞) = 2(1 − 0) = 2

dy(t) 1 t = 2 · e− 3 dt 3

⇒

(= K) 1 1 dy(t) = 2 · = K dt t=0 3 τ

2. Legyen az els˝ orend˝ u tag ´ atviteli f¨ uggvénye: G(s) =

4 . s+2

Hat´ arozza meg a tag paramétereit! Csatolja vissza negat´ıvan a tagot, és adja meg a visszacsatolt rendszer paramétereit és határozza meg a s´ ulyf¨ uggvényét! A megold´ as menete: A tag paraméterei: G(s) =

4 2 = s+2 0, 5s + 1

=

K τs + 1

teh´ at az er˝ os´ıtés, K = 2 és az id˝ o´ alland´ o τ = 0, 5. A visszacsatolt tag ered˝ o´ atviteli f¨ uggvénye: 2

G(s) 2 0,5s+1 Ge (s) = = = 2 1 + G(s) 0, 5s + 3 1 + 0,5s+1 azaz az ered˝ o er˝ os´ıtés, vagyis a hurok ´ atviteli tényez˝o: Ke = 23 = 0, 67, a visszacsatolt rendszer id˝oálland´ oja 0,5 τe = 3 = 0, 167s. A visszacsatolt rendszer v´ alasza Dirac-impulzus bemenetre, vagyis a s´ ulyf¨ uggvény meghatározása: 2 ·1 0, 5s + 3 2 1 −1 −1 −1 h(t) = L {Y (s)} = L = 4L = 4e−6t 0, 5s + 3 s+6 Y (s) = G(s)U (s) =


33

3. Legyen adott két els˝ orend˝ u tag az al´ abbi átviteli f¨ uggvénnyel: G1 (s) =

1 s+1

G2 (s) =

2 4s + 1

Csatolja p´ arhuzamosan a két tagot és adja meg a kapott tagcsoport bemenet - kimenet modelljét, paramétereit és ´ atmeneti f¨ uggvényét! A megold´ as menete: A p´ arhuzamosan csatolt rendszer ered˝ o átviteli f¨ uggvénye: Ge (s) = G1 (s) + G2 (s) =

1 2 6s + 3 + = 2 s + 1 4s + 1 4s + 5s + 1

A tagcsoport ered˝ o bemenet - kimenet modellje: Ge (s) =

Y (s) 6s + 3 = 2 U (s) 4s + 5s + 1

4s2 Y (s) + 5sY (s) + Y (s) = 6sU (s) + 3U (s) 4y (2) (t) + 5y (1) (s) + y(t) = 6u(1) (t) + 3u(t) A p´ arhuzamosan csatolt els˝ orend˝ u rendszerek ered˝ojeként tehát olyan másodrend˝ u rendszer alakult ki, melynek a sz´ aml´ al´ oj´ aban els˝ ofok´ u polinom szerepel. Az ered˝o tagcsoport paraméterei: Ge (s) =

3(2s + 1) 4s2 + 5s + 1

Ke = 3,

Te = 2,

ξ = 1, 25 ,

Tsz = 2

A´ atmeneti f¨ uggvény: Y (s) = Ge (s)U (s) =

6s + 3 1 · 4s2 + 5s + 1 s

Parci´ alis t¨ ortekre bont´ as az inverz-Laplace transzformációhoz: 6s + 3 A B C = + + s(s + 1)(4s + 1) s s + 1 4s + 1 6s + 3 = A(s + 1)(4s + 1) + Bs(4s + 1) + Cs(s + 1) 6s + 3 6s + 3 6s + 3 A= =3 B= = −1 C= = −8 (s + 1)(4s + 1) s=0 s(4s + 1) s=−1 s(s + 1) s=−0,25 3 −1 −8 1 1 1 2 1 Y (s) = + + =3 − − s s + 1 4s + 1 s 3 s + 1 3 s + 0, 25 Az ´ atmeneti f¨ uggvény: 1 2 y(t) = 3 1(t) − e−t − e−0,25t = 3 − e−t − 2e−0,25t 3 3

t≥0

34

FEJEZET 3. DINAMIKUS TAGOK 4. Legyen adott két els˝ orend˝ u tag az al´ abbi átviteli f¨ uggvénnyel: G1 (s) =

1 s+1

G2 (s) =

2 4s + 1

Csatolja sorosan a két tagot és adja meg a kapott tagcsoport bemenet - kimenet modelljét, paramétereit és a s´ ulyf¨ uggvényét! A megold´ as menete: A sorosan csatolt rendszer ered˝ o´ atviteli f¨ uggvénye: Ge (s) = G1 (s) · G2 (s) =

1 2 2 · = 2 s + 1 4s + 1 4s + 5s + 1

A tagcsoport ered˝ o bemenet - kimenet modellje: Ge (s) =

Y (s) 2 = 2 U (s) 4s + 5s + 1

4s2 Y (s) + 5sY (s) + Y (s) = 2U (s) 4y (2) (t) + 5y (1) (s) + y(t) = 2u(t) A sorosan csatolt els˝ orend˝ u rendszerek ered˝ojeként tehát olyan másodrend˝ u rendszer alakult ki, melynek a sz´ aml´ al´ oj´ aban csak konstans szerepel. Az ered˝o tagcsoport paraméterei: Ge (s) =

2 4s2 + 5s + 1

Ke = 2,

Te = 2,

ξ = 1, 25

A s´ ulyf¨ uggvény: Y (s) = Ge (s)U (s) =

2 ·1 4s2 + 5s + 1

Parci´ alis t¨ ortekre bont´ as az inverz-Laplace transzformációhoz: 0, 5 A B = + (s + 1)(s + 0, 25) s + 1 s + 0, 25 0, 5 = A(s + 0, 25) + B(s + 1) 2 2 0, 5 0, 5 A= = − B = = s + 0, 25 s=−1 3 s + 1 s=−0,25 3 Y (s) = −

2 1 2 1 + 3 s + 1 3 s + 0, 25

A s´ ulyf¨ uggvény: y(t) =

2 −0,25t (e − e−t ) , 3

t≥0


35

4 tag paramétereit, átmeneti f¨ uggvényét, s´ ulyf¨ uggvényét és 0, 5s2 + 2s + 1, 5 sebességugr´ as-v´ alasz f¨ uggvényét!

5. Hat´ arozza meg a G(s) =

A megold´ as menete: A paraméterek meghat´ aroz´ asa az ωn természetes frekvencia kifejezésével: 8 Kωn 4 = 2 = 2 0, 5s2 + 2s + 1, 5 s + 4s + 3 s + 2ξωn s + ωn2

G(s) = innen: ωn =

√

8 3 = 1, 73 K = = 2, 67 3

√ 2 3 ξ= = 1, 15 3

vagy a T id˝ o´ alland´ ora rendezve: G(s) =

0, 5s2

4 = + 2s + 1, 5

1 2 3s

8 3 + 43 s

+1

=

K T 2 s2 + 2ξT s + 1

innen: 1 T = √ = 0, 58 3

√ 2 3 8 K = = 2, 67 ξ = = 1, 15 3 3

´ Atmeneti f¨ uggvény: Y (s) = G(s)U (s) =

1 4 A B C 4 · = = + + 0, 5s2 + 2s + 1, 5 s (0, 5s + 0, 5)(s + 3)s s 0, 5s + 0, 5 s + 3

4 = A(0, 5s + 0, 5)(s + 3) + Bs(s + 3) + Cs(0, 5s + 0, 5)

A=

4 4 8 = = (0, 5s + 0, 5)(s + 3) s=0 1, 5 3

B=

4 4 = −2 = s(s + 3) s=−1 (−1)(−1 + 3)

4 4 4 C= = = s(0, 5s + 0, 5) s=−3 (−3)(−1, 5 + 0, 5) 3 Y (s) = y(t) =

81 1 4 1 81 1 4 1 −2 + = −4 + 3s 0, 5s + 0, 5 3 s + 3 3s s+1 3s+3 8 4 1(t) − 4e−t + e−3t 3 3

S´ ulyf¨ uggvény: Y (s) = G(s)U (s) =

4 4 A B ·1= = + 0, 5s2 + 2s + 1, 5 (0, 5s + 0, 5)(s + 3) 0, 5s + 0, 5 s + 3

4 = A(s + 3) + B(0, 5s + 0, 5)

4 4 = =2 A= s + 3 s=−1 −1 + 3

36

FEJEZET 3. DINAMIKUS TAGOK

4 4 = B= = −4 0, 5s + 0, 5 s=−3 (−1, 5 + 0, 5) Y (s) = 2

1 1 1 1 −4 = 4( − ) 0, 5s + 0, 5 s+3 s+1 s+3

h(t) = 4(e−t − e−3t ) Sebességugr´ as v´ alaszf¨ uggvény: Y (s) = G(s)U (s) = Y (s) =

0, 5s2

4 1 4 · 2 = + 2s + 1, 5 s (0, 5s + 0, 5)(s + 3)s2

B A C D + + + 2 s s 0, 5s + 0, 5 s + 3

4 = A(0, 5s + 0, 5)(s + 3) + Bs(0, 5s + 0, 5)(s + 3) + Cs2 (s + 3) + Ds2 (0, 5s + 0, 5)

4 4 8 = A= = (0, 5s + 0, 5)(s + 3) s=0 1, 5 3

C=

4 4 =2 = 2 s (s + 3) s=−1 1(−1 + 3)

4 4 4 D= 2 = =− s (0, 5s + 0, 5) s=−3 9(−1, 5 + 0, 5) 9 4=

8 4 (0, 5s + 0, 5)(s + 3) + Bs(0, 5s + 0, 5)(s + 3) + 2s2 (s + 3) − s2 (0, 5s + 0, 5) 3 9 legyen s = 1 4=

4 32 + 4B + 8 − 3 9

⇒

B=−

32 9

8 1 32 1 1 4 1 − +2 − 3 s2 9 s 0, 5s + 0, 5 9 s + 3 8 4 1 −3t −t y(t) = t − 1(t) + 1, 5e − e 3 3 6 Y (s) =

3.3.

Feladatok az ´ atmeneti f¨ uggv´ eny ´ es a s´ ulyf¨ uggv´ eny meghat´ aroz´ as´ ara

3.3.1.

Feladatok

1. Legyen adott a 8y (1) (t) + 16y(t) = 4u(t) bemenet-kimenet modellel jellemzett tag. (a) Hat´ arozza meg a tag paramétereit és ezek seg´ıtségével vázolja fel az átmeneti és s´ ulyf¨ uggvényét! (b) Laplace-transzform´ aci´ o seg´ıtségével határozza meg a tag átmeneti f¨ uggvényét! (c) A végértéktétel alapj´ an mutassa meg, hogy hova tart az átmeneti f¨ uggvény! (d) Laplace-transzform´ aci´ o seg´ıtségével határozza meg a tag s´ ulyf¨ uggvényét! (e) A végértéktétel alapj´ an mutassa meg, hogy hova tart a s´ ulyf¨ uggvény! (f) Laplace-transzform´ aci´ o seg´ıtségével határozza meg a tag sebességugrás-válasz f¨ uggvényét!

´ ¨ ´ ´ A SULYF ´ ¨ ´ ´ ´ ARA ´ 3.3. FELADATOK AZ ATMENETI FUGGV ENY ES UGGV ENY MEGHATAROZ AS

37

2. Legyen adott a 4y (1) (t) − y(t) = 2u(t) bemenet-kimenet modellel jellemzett tag. (a) Hat´ arozza meg a tag paramétereit és ezek seg´ıtségével vázolja fel az átmeneti és s´ ulyf¨ uggvényét! (b) Laplace-transzform´ aci´ o seg´ıtségével határozza meg a tag átmeneti f¨ uggvényét! (c) A végértéktétel alapj´ an mutassa meg, hogy hova tart az átmeneti f¨ uggvény! (d) Laplace-transzform´ aci´ o seg´ıtségével határozza meg a tag s´ ulyf¨ uggvényét! (e) A végértéktétel alapj´ an mutassa meg, hogy hova tart a s´ ulyf¨ uggvény! 3. Legyen adott a 4y (1) (t) + 2y(t) = −u(t) bemenet-kimenet modellel jellemzett tag. (a) Hat´ arozza meg a tag paramétereit és ezek seg´ıtségével vázolja fel az átmeneti és s´ ulyf¨ uggvényét! (b) Laplace-transzform´ aci´ o seg´ıtségével határozza meg a tag átmeneti f¨ uggvényét! (c) A végértéktétel alapj´ an mutassa meg, hogy hova tart az átmeneti f¨ uggvény! (d) Laplace-transzform´ aci´ o seg´ıtségével határozza meg a tag s´ ulyf¨ uggvényét! (e) A végértéktétel alapj´ an mutassa meg, hogy hova tart a s´ ulyf¨ uggvény! (f) Laplace-transzform´ aci´ o seg´ıtségével határozza meg a tag sebességugrás-válasz f¨ uggvényét! 4. Vesse ¨ ossze az 1.-3. péld´ akban szerepl˝ o tagok paramétereit és átmeneti f¨ uggvényeik menetét! Adjon magyar´ azatot a k¨ ul¨ onbségre a paraméterek fizikai értelmezése alapján! 5. Legyen adott a 4y (1) (t) + y(t) = 4u(1) (t) + 2u(t) bemenet-kimenet modellel jellemzett tag. (a) Hat´ arozza meg a tag paramétereit és ezek seg´ıtségével vázolja fel az átmeneti és s´ ulyf¨ uggvényét! (b) Laplace-transzform´ aci´ o seg´ıtségével határozza meg a tag átmeneti f¨ uggvényét! (c) Adja meg az ´ atmeneti f¨ uggvénynek a t = 0 és a t → ∞ felvett értékeit! (d) Laplace-transzform´ aci´ o seg´ıtségével határozza meg a tag s´ ulyf¨ uggvényét! (e) Adja meg a s´ ulyf¨ uggvénynek a t = 0 és a t → ∞ felvett értékeit! (f) Az ´ atmeneti és a s´ ulyf¨ uggvényre kapott kifejezés alapján ellen˝orizze az a) pontban felvázolt görbéket! (g) Laplace-transzform´ aci´ o seg´ıtségével határozza meg a tag sebességugrás-válasz f¨ uggvényét! 6. Legyen adott az y (1) (t) + 3y(t) = 3u(1) (t) + 6u(t) bemenet-kimenet modellel jellemzett tag. (a) Hat´ arozza meg a tag paramétereit és ezek seg´ıtségével vázolja fel az átmeneti és s´ ulyf¨ uggvényét! (b) Laplace-transzform´ aci´ o seg´ıtségével határozza meg a tag átmeneti f¨ uggvényét! (c) Laplace-transzform´ aci´ o seg´ıtségével határozza meg a tag s´ ulyf¨ uggvényét! (d) Az ´ atmeneti és a s´ ulyf¨ uggvényre kapott kifejezés alapján ellen˝orizze az a) pontban felvázolt görbéket! (e) Laplace-transzform´ aci´ o seg´ıtségével határozza meg a tag sebességugrás-válasz f¨ uggvényét! 7. Legyen adott az 5y (1) (t) + 2y(t) = 9u(1) (t) + 6u(t) bemenet-kimenet modellel jellemzett tag. (a) Hat´ arozza meg a tag paramétereit és ezek seg´ıtségével vázolja fel az átmeneti és s´ ulyf¨ uggvényét! (b) Laplace-transzform´ aci´ o seg´ıtségével határozza meg a tag átmeneti f¨ uggvényét! (c) Laplace-transzform´ aci´ o seg´ıtségével határozza meg a tag s´ ulyf¨ uggvényét! (d) Az ´ atmeneti és a s´ ulyf¨ uggvényre kapott kifejezés alapján ellen˝orizze az a) pontban felvázolt görbéket! (e) Laplace-transzform´ aci´ o seg´ıtségével határozza meg a tag sebességugrás-válasz f¨ uggvényét! 8. Legyen adott G(s) =

2s2

s+2 atviteli f¨ ´ uggvény. + 5s + 3

(a) Hat´ arozza meg a tag paramétereit és ezek seg´ıtségével vázolja fel az átmeneti és s´ ulyf¨ uggvényét! (b) Laplace-transzform´ aci´ o seg´ıtségével határozza meg a tag átmeneti f¨ uggvényét! (c) Laplace-transzform´ aci´ o seg´ıtségével határozza meg a tag s´ ulyf¨ uggvényét! (d) Az ´ atmeneti és a s´ ulyf¨ uggvényre kapott kifejezés alapján ellen˝orizze az a) pontban felvázolt görbéket!

38

FEJEZET 3. DINAMIKUS TAGOK (e) Laplace-transzform´ aci´ o seg´ıtségével határozza meg a tag sebességugrás-válasz f¨ uggvényét! 9. Legyen adott az y (2) (t) + 8y (1) (t) + 16y(t) = 4u(t) bemenet-kimenet modellel jellemzett tag! (a) Hat´ arozza meg a tag paramétereit és ezek seg´ıtségével vázolja fel az átmeneti és s´ ulyf¨ uggvényét! (b) Laplace-transzform´ aci´ o seg´ıtségével határozza meg a tag átmeneti f¨ uggvényét! (c) Laplace-transzform´ aci´ o seg´ıtségével határozza meg a tag s´ ulyf¨ uggvényét! (d) Az ´ atmeneti és a s´ ulyf¨ uggvényre kapott kifejezés alapján ellen˝orizze az a) pontban felvázolt görbéket!

10. Legyen adott az 2y (2) (t) + 5y (1) (t) + 2y(t) = 9u(1) (t) + 6u(t) bemenet-kimenet modellel jellemzett tag. (a) Hat´ arozza meg a tag paramétereit és ezek seg´ıtségével vázolja fel az átmeneti és s´ ulyf¨ uggvényét! (b) Laplace-transzform´ aci´ o seg´ıtségével határozza meg a tag átmeneti f¨ uggvényét! (c) Laplace-transzform´ aci´ o seg´ıtségével határozza meg a tag s´ ulyf¨ uggvényét! (d) Az ´ atmeneti és a s´ ulyf¨ uggvényre kapott kifejezés alapján ellen˝orizze az a) pontban felvázolt görbéket! (e) Laplace-transzform´ aci´ o seg´ıtségével határozza meg a tag sebességugrás-válasz f¨ uggvényét! 11. Legyen adott G(s) =

4 atviteli f¨ ´ uggvény. s2 + 4s + 3

(a) Hat´ arozza meg a tag paramétereit és ezek seg´ıtségével vázolja fel az átmeneti és s´ ulyf¨ uggvényét! (b) Laplace-transzform´ aci´ o seg´ıtségével határozza meg a tag átmeneti f¨ uggvényét! (c) Laplace-transzform´ aci´ o seg´ıtségével határozza meg a tag s´ ulyf¨ uggvényét! (d) Az ´ atmeneti és a s´ ulyf¨ uggvényre kapott kifejezés alapján ellen˝orizze az a) pontban felvázolt görbéket! (e) Laplace-transzform´ aci´ o seg´ıtségével határozza meg a tag sebességugrás-válasz f¨ uggvényét!

3.3.2.

Megold´ asok

1. (a) Er˝ os´ıtés K = 0, 25, id˝ o´ alland´ o τ = 0, 5 (b) y(t) = 0, 25(1(t) − e−2t ) t ≥ 0 (c) lim y(t) = 0, 25 az er˝ os´ıtés értékéhez tart. t→∞

(d) h(t) = 0, 5e−2t

t≥0

(e) lim h(t) = 0 t→∞

(f) y(t) = 0, 25(t − 0, 5 · 1(t) + 0, 5e−2t ) t ≥ 0 2. (a) Er˝ os´ıtés K = −2, id˝ o´ alland´ o τ = −4 (b) y(t) = −2(1(t) + e−0,25t ) t ≥ 0 (c) lim y(t) a végértéktétel nem alkalmazható a pozit´ıv pólus miatt! t→∞

(d) h(t) = 0, 5e0,25t

t≥0

(e) lim h(t) a végértéktétel nem alkalmazható a pozit´ıv pólus miatt! t→∞

3. (a) Er˝ os´ıtés K = −0, 5, id˝ o´ alland´ oτ =2 (b) y(t) = −0, 5(1(t) − e−0,5t ) t ≥ 0 (c) lim y(t) = −0, 5 az er˝ os´ıtés értékéhez tart. t→∞

(d) h(t) = −0, 25e−0,5t (e) lim h(t) = 0 t→∞

t≥0

´ ¨ ´ ´ A SULYF ´ ¨ ´ ´ ´ ARA ´ 3.3. FELADATOK AZ ATMENETI FUGGV ENY ES UGGV ENY MEGHATAROZ AS

39

(f) y(t) = −0, 5(t − 2 · 1(t) + 2e−0,5t ) t ≥ 0 4. 1. példa: K = 0, 25 , τ = 0, 5 az ´ atmeneti f¨ uggvény beáll az er˝os´ıtés értékéhez; 2. példa: K = −2 , τ = −4 a negat´ıv id˝oállandó miatt nem reális eset, de hatására és az ugyancsak negat´ıv er˝ os´ıtés miatt, az ´ atmeneti f¨ uggvény a −∞ tart; 3. példa: K = −0, 5 , τ = 0, 5 az ´ atmeneti f¨ uggvény a negat´ıv er˝os´ıtés érték miatt -0,5-höz áll be. 5. (a) Er˝ os´ıtés K = 2, id˝ o´ alland´ o τ = 4, számlálóhoz tartozó id˝oállandó T = 2 (b) y(t) = 2(1(t) − 0, 5e−0,25t ) t ≥ 0 T (c) y(0) = 1(= K ), y(∞) = 2(= K) τ (d) h(t) = δ(t) + 0, 25e−0,25t t ≥ 0 (e) h(0) = ∞(= δ(t)),

h(∞) = 0

(f) (v´ alaszg¨ orbék ellen˝ orzése) (g) y(t) = 2(t − 2 · 1(t) + 2e−0,25t ) t ≥ 0 6. (a) Er˝ os´ıtés K = 2, id˝ o´ alland´ o τ = 1/3, számlálóhoz tartozó id˝oállandó T = 0, 5 (b) y(t) = 2(1(t) − 0, 5e−3t ) t ≥ 0 T (c) y(0) = 3(= K ), y(∞) = 2(= K) τ (d) h(t) = 3(δ(t) − e−3t ) t ≥ 0 (e) h(0) = ∞(= δ(t)),

h(∞) = 0, de negat´ıv értékekkel simul az x tengelyhez

(f) (v´ alaszg¨ orbék ellen˝ orzése) 1 1 (g) y(t) = 2(t − · 1(t) + e−3t ) t ≥ 0 6 6 7. (a) Er˝ os´ıtés K = 3, id˝ o´ alland´ o τ = 2, 5, számlálóhoz tartozó id˝oállandó T = 1, 5 (b) y(t) = 3(1(t) − 0, 4e−0,4t ) t ≥ 0 T (c) y(0) = 1, 8(= K ), y(∞) = 3(= K) τ (d) h(t) = 1, 8δ(t) − 0, 48e−3t t ≥ 0 (e) h(0) = ∞(= δ(t)),

h(∞) = 0, de negat´ıv értékekkel simul az x tengelyhez

(f) (v´ alaszg¨ orbék ellen˝ orzése) (g) y(t) = 3(t − 1(t) + e−0,4t ) t ≥ 0 8. (a) Er˝ os´ıtés K = 0, 667, id˝ o´ alland´ o T = 0, 5 2 (b) y(t) = · 1(t) − e−t + 3 (c) h(t) = e−t − 0, 5e−1,5t

id˝ o´ alland´ o T = 0, 816, csillap´ıtási tényez˝o ξ = 1, 02 számlálóhoz tartoz´ o 1 −1,5t e 3 t≥0

t≥0

(d) (v´ alaszg¨ orbék ellen˝ orzése) 2 7 2 (e) y(t) = t − · 1(t) + e−t − e−1,5t 3 9 9

t≥0

9. (a) Er˝ os´ıtés K = 0, 25, id˝ o´ alland´ o T = 0, 25, természetes frekvencia ωn = 4, csillap´ıtási tényez˝o ξ = 1 (b) y(t) = 0, 25(1(t) − e−4t − te−4t (c) h(t) = 4te−4t

t≥0

t≥0

40

FEJEZET 3. DINAMIKUS TAGOK (d) (v´ alaszg¨ orbék ellen˝ orzése) 2 7 2 (e) y(t) = t − · 1(t) + e−t − e−1,5t 3 9 9

t≥0

10. (a) Er˝ os´ıtés K = 3, id˝ o´ alland´ o T = 1, természetes frekvencia ωn = 1, csillap´ıtási tényez˝o ξ = 1, 25 sz´ aml´ al´ ohoz tartoz´ o id˝ o´ alland´ o T = 1, 5 (b) y(t) = 3 · 1(t) − e−0,5t + 2e−2t −0,5t

(c) h(t) = 0, 5e

− 4e

−2t

(d) y(t) = 3t − 3 · 1(t) + 2e

t≥0

t≥0

−0,5t

+ e−2t

t≥0

(e) (v´ alaszg¨ orbék ellen˝ orzése) 11. (a) Er˝ os´ıtés K = 4/3, id˝ o´ alland´ o T = 0, 577, természetes frekvencia ωn = 1, 732, csillap´ıtási tényez˝ o ξ = 1, 15 2 4 (b) y(t) = · 1(t) − 2e−t + e−3t t ≥ 0 3 3 −t −3t (c) h(t) = 2e − 2e t≥0 (d) (v´ alaszg¨ orbék ellen˝ orzése) 16 2 4 · 1(t) + 2e−t − e−3t (e) y(t) = t − 3 9 9

t≥0

4. fejezet

Frekvenciatartom´ any 4.1.


Az ir´ any´ıt´ astechnikai rendszerek vizsg´ alat´ at id˝o- és operátortartomány mellett érdemes frekvenciatartományban is elvégezni. Ha ismerj¨ uk egy rendszer bemen˝ o és kimen˝o jelének frekvenciaf¨ uggvényét, akkor az id˝otartom´ anyba val´ o visszatérés nélk¨ ul k¨ ovetkeztethet¨ unk a rendszer id˝obeli viselkedésére.

4.1.1.

A frekvenci´ atviteli f¨ uggv´ eny

Legyen a bemen˝ o jel egy B amplit´ ud´ oj´ u, ω0 frekvenciáj´ u és ϕb = 0 fázis´ u szinuszos jel: u(t) = B sin ω0 t . Erre v´ alaszként a kimeneten egy K amplit´ udój´ u, szintén ω0 frekvenciáj´ u szinuszos jel jelenik meg, aminek a bemen˝ o jelhez képest ϕk f´ aziseltol´ asa (késleltetése vagy siettetése) lesz: y(t) = K sin(ω0 t + ϕk ). Hat´ arozzuk meg a kimenetet frekvenciatartom´ anyban a bemenet és a jelformáló tag tulajdonságainak f¨ uggvénéyben. Írjuk fel ehhez el˝ osz¨ or a frekvenciaf¨ uggvényeket exponenciális alakban. A bemen˝o jel: u(t) = B sin ω0 t = Im(B(ω0 )ejϕb (ω0 ) ejωt ) = Im(U (jω)ejωt ) ahol B(ω0 ) a bemen˝ o jel amplit´ ud´ oja, ami lehet konstans vagy a frekvenciaf¨ uggvényében változó; U (jω) = B(ω0 )ejϕb (ω0 ) az amplit´ ud´ ot és a kezdeti fáziseltolás szöget tartalmazó komplex kifejezés, a bemen˝ o jel t = 0 id˝ opillanathoz tartoz´ o komplex vektora. A kimen˝ o jel hasonl´ o m´ odon fel´ırva: y(t) = K sin(ω0 t + ϕk ) = Im(K(ω0 )ejϕk (ω0 ) ejωt ) = Im(Y (jω)ejωt ) Oper´ atortartom´ anyban az ´ atviteli f¨ uggvényt a következ˝o módon értelmezt¨ uk: Y (s) G(s) = U (s) z.k.f. Az ´ atviteli f¨ uggvény ismeretében a kimenetet a következ˝o módon lehet meghatározni: Y (s) = G(s)U (s) Anal´ og m´ odon képezz¨ uk a szinuszos kimen˝ o jel és bemen˝o jel exponenciális alakban fel´ırt hányadosát, és jel¨ olj¨ uk ezt G(jω)-val: G(jω) =

Y (jω) Y (jω)ejωt = = A(ω)ejϕ(ω) , U (jω)ejωt U (jω)

ahol 41

´ FEJEZET 4. FREKVENCIATARTOMANY

42 A(ω0 ) =

K(ω0 ) a kimen˝ o és a bemen˝ o jelek amplit´ udóviszonyát kifejez˝o abszol´ ut érték; B(ω0 )

ϕ(ω0 ) = ϕk (ω0 ) − ϕb (ω0 ) a f´ aziseltol´ asok k¨ ul¨ onbségét megadó fázisszög. Az ´ıgy bevezett G(jω)-t a jelform´ al´ o tag frekvencia´ atviteli f¨ uggvényé nek nevezz¨ uk és a frekvenciatartományban hasonl´ oan alkalmazhatjuk a jel´ atviteli tag jellemzésére, mint az átviteli f¨ uggvényt az operátortartományban. Vezess¨ uk be a k¨ ovetkez˝ o jel¨ olést: Y (jω) = |Y (jω)|∠Y (jω) ahol |Y (jω)| a jel amplit´ ud´ oja és ∠Y (jω) a jel fázisa. Legyen G(s) a tag ´ atviteli f¨ uggvénye, ekkor a kimenetet a következ˝o módon tudjuk meghatározni: Y (jω) = G(jω)U (jω) ahol a kimen˝ o jel amplit´ ud´ oja: |Y (jω)| = |G(jω)| · |U (jω)| f´ azisa: ∠Y (jω) = ∠G(jω) + ∠U (jω) Tételezz¨ uk fel az al´ abbi visszacsatolt k¨ ort:

Az ered˝ o´ atviteli f¨ uggvény oper´ atortartom´ anyban: Ge (s) =

Y (s) G(s) = W (s) 1 + G(s)H(s)

Tételezz¨ uk fel, hogy a w(t) alapjel bemenet szinuszos jelleg˝ u. A frekvenciatartományra való áttéréshez alkalmazzuk az s = jω behelyettes´ıtést: Ge (jω) =

Y (jω) G(jω) = W (jω) 1 + G(jω)H(jω)

Alkalmazva az ered˝ o frekvencia´ atviteli f¨ uggvényre az el˝oz˝oekben bevezetett jelölést: Ge (jω) = |Ge (jω)|∠Ge (jω) ahol a z´ art k¨ or ered˝ o frekvencia´ atviteli f¨ uggvényének az amplit´ udóviszont megadó abszol´ utértéke: G(jω) |G(jω)| = |Ge (jω)| = 1 + G(jω)H(jω) |1 + G(jω)H(jω)| f´ aziseltol´ asa: ∠Ge (jω) = ϕ(jω) = ∠G(jω) − ∠(1 + G(jω)H(jω)) .

4.1.2.

Frekvencia´ atviteli f¨ uggv´ enyek ´ abr´ azol´ asa

Nyquist-diagram Legyen adott egy jelform´ al´ o tag G(jω) frekvenciaátviteli f¨ uggvénye. Változtassuk a bemen˝o jel frekvenci´ aj´ at 0 ≤ ω < ∞ tartom´ anyon, és a kapott kimen˝ o jel alapján határozzuk meg minden ω értékhez a jelformál´ o tag A(ω) abszol´ ut értékét és ϕ(ω) f´ aziseltol´ as´ at. G(jω) = |G(jω)|∠G(jω) = A(ω)ejϕ(ω) = Re(G(jω)) + jIm(G(jω)) Ha a kapott értékeket ´ abr´ azoljuk a komplex s´ıkon, akkor megkapjuk a jelformáló tag Nyquits-g¨ orbé jét vagy m´ as néven az amplit´ ud´ o-f´ azis g¨ orbé jét. Az orig´ ob´ ol a görbe egy tetsz˝oleges pontjába mutató vektor hossza a kimen˝ o és a bemen˝ o jel amplit´ ud´ oja ar´ any´ anak, m´ıg az irányszöge a fáziseltolásnak felel meg egy adott ω frekvenci´ an.

´ FELADATOK FREKVENCIATARTOMANYBELI ´ ´ ´ ´ 4.2. GYAKORLO ABR AZOL ASRA

43

Bode-diagram Végezz¨ uk el a Nyquist-diagram esetében le´ırt vizsgálatot, de az ábrázolásnál vegy¨ uk fel k¨ ulön diagramon az amplit´ ud´ oviszony logaritmus´ at és a f´ aziseltol´ ast a frekvencia f¨ uggvényében. G(jω) = A(ω)ejϕ(ω) = |G(jω)|ejϕ(ω) ln G(jω) = ln |G(jω)| + jϕ(ω) Az ´ıgy kapott diagramokat Bode-diagramnak nevezz¨ uk. A gyakorlatban az amplit´ udóviszonyt általában decibelben kifejezett értékként ´ abr´ azoljuk: A(ω)[dB] = 20 lg |G(jω)|, a frekvenciatengelyen pedig logaritmikus léptéket vesz¨ unk fel. A Bode-diagramban t¨ ortén˝ o´ abr´ azol´ as el˝ onye, hogy a jelformáló tagok tulajdonságai alapján könnyen szerkeszthet˝ oek a jellegg¨ orbéik, m´ asrészt soros kapcsolásnál kapott szorzatf¨ uggvények ábrázolása a logaritmiz´ al´ as miatt ¨ osszead´ asra vezethet˝ o vissza: 20 lg(A1 ejϕ1 · A2 ejϕ2 ) = 20 lg A1 + 20 lg A2 + j(ϕ1 + ϕ2 ) · 20 lg e

4.2. 4.2.1.

Gyakorl´ o feladatok frekvenciatartom´ anybeli ´ abr´ azol´ asra Feladatok

1. V´ azolja fel annak az els˝ orend˝ u tagnak a Nyquist-diagramját, aminek az er˝os´ıtése 5! 2. V´ azolja fel annak a m´ asodrend˝ u tagnak a Nyquist-diagramját, aminek az er˝os´ıtése 3 és a csillap´ıt´ asi tényez˝ oje 2! 3. V´ azolja fel annak a m´ asodrend˝ u tagnak a Nyquist-diagramját, aminek az er˝os´ıtése 2 és a csillap´ıt´ asi tényez˝ oje 0,3! 4. V´ azolja fel annak a harmadrend˝ u tagnak a Nyquist-diagramját, aminek az er˝os´ıtése 1, és egy els˝o és 0.2 csillap´ıt´ asi tényez˝ oj˝ u m´ asodrend˝ u tagra bontható fel! 5. V´ azolja fel egy kétt´ arol´ os integr´ al´ o tagnak a Nyquist-diagramját! 6. V´ azolja fel az al´ abbi tag Bode diagramj´ at! G(s) =

2 (s2 + 0, 1s)(s + 2)

7. V´ azolja fel az al´ abbi tag Bode-diagramj´ at! G(s) =

(s2

0.8s + s + 4)(s + 0.2)


(s2

20 + 2s)(2s + 1)


8s + 80 8s3 + 4s2 + 8s


(4s2

1 + 2s + 2)(s + 0.1)


44 11. V´ azolja fel az al´ abbi tag Bode-diagramj´ at! G(s) =

8 s(8s2 + 12s + 8)(s + 10)

12. V´ azolja fel az al´ abbi tag Bode-diagramj´ at!

4.2.2.

Megold´ asok 5 , azaz K = 5, τ = 4. Ekkor a tag Nyquist görbéje az alábbi: 4s + 1

1. Legyen az ´ atviteli f¨ uggvény G(s) =


s2

az al´ abbi:


3 , azaz K = 3, ξ = 2, T = 1. Ekkor a tag Nyquist g¨ orbéje + 4s + 1

s2

2 , azaz K = 2, ξ = 0, 3, T = 1. Ekkor a tag Nyquist + 0, 6s + 1

g¨ orbéje az al´ abbi:

4. Legyen az ´ atviteli f¨ uggvény G(s) = g¨ orbéje az al´ abbi:

1 1 = 3 . Ekkor a tag Nyquist (s2 + 0, 4s + 1)(s + 1) s + 1, 4s2 + 1, 4s + 1

´ FELADATOK FREKVENCIATARTOMANYBELI ´ ´ ´ ´ 4.2. GYAKORLO ABR AZOL ASRA


45

1 1 = 3 . Ekkor a tag Nyquist görbéje az s(s2 + 0, 8s + 1) s + 0, 8s2 + s

al´ abbi:

6. G(s) =

2 1 1 1 = 10 · · · (s2 + 0, 1s)(s + 2) s 10s + 1 0, 5s + 1

7. G(s) =

0.8s 1 1 =s· · (s2 + s + 4)(s + 0.2) 5s + 1 0, 25s2 + 0, 25s + 1

8. G(s) =

20 1 1 1 = 10 · · · (s2 + 2s)(2s + 1) s 0, 5s + 1 2s + 1


46

9. G(s) =

10. G(s) =

11. G(s) =

8s3

8s + 80 1 1 = 10 · · 2 · (0, 1s + 1) 2 + 4s + 8s s s + 0, 5s + 1

1 1 1 =5· · (4s2 + 2s + 2)(s + 0, 1) 10s + 1 2s2 + s + 1

s(8s2

8 1 1 1 = 10 · · · 2 + 12s + 8)(s + 10) s 0, 1s + 1 s + 1, 5s + 1

´ FELADATOK FREKVENCIATARTOMANYBELI ´ ´ ´ ´ 4.2. GYAKORLO ABR AZOL ASRA 12. G(s) = 80 +

1 1 + 40s = 10 · · (4s2 + 8s + 1) 0, 1s s

47

48


5. fejezet

Folytonos idej˝ u rendszerek stabilit´ asa 5.1.


5.1.1.

Stabilit´ as defin´ıci´ ok

BIBO stabilit´ as Egy rendszert korl´ atos bemenet - korl´ atos kimenet (röviden BIBO) stabil nak nevez¨ unk akkor, ha korl´ atos bemen˝ ojelet alkalmazva egy tetsz˝ oleges vizsg´ alati id˝ointervallumban:

|u(t)| < M1 ,

−∞ < t0 ≤ t < ∞,

a tag kimenetén megjelen˝ o jel is korl´ atos lesz: |y(t)| < M2 ,

t0 ≤ t < ∞,

ahol M1 , M2 < ∞ tetsz˝ oleges pozit´ıv értékek, és t0 a kezdeti id˝opont. A BIBO stabilitást szokás gerjesztés v´ alasz stabilit´ asnak is nevezni. Aszimptotikus stabilit´ as Egy line´ aris, id˝ oinvari´ ans rendszert tetsz˝ oleges, nem minden esetben zérus kezdeti feltételek esetén aszimptotikusan stabil nak nevez¨ unk, ha a t0 id˝ opontban magára hagyott, azaz u(t) = 0, t ≥ t0 bemenettel jellemezhet˝ o rendszer esetében megv´ alaszthat´ o a kezdeti értékek f¨ uggvényében egy olyan M korlát, hogy a kimenet abszol´ ut értéke ezt ne lépje ´ at: ∃M (y(t0 ), y 1 (t0 ), ..., y n−1 (t0 )) > 0

⇒

|y(t)| ≤ M < ∞, ∀t ≥ t0

és lim y(t) = 0 .

t→∞

Ha egy aszimptotikusan stabil rendszert zérus kezdeti feltételek mellett egységugrás bemenettel gerjeszt¨ unk, akkor a kimenetének az er˝ os´ıtése ´ altal meghatározott értékhez kell tartania. Az aszimptotikus stabiltás´ u rendszereket szok´ as nulla bementi stabilit´ as´ u vagy röviden stabil rendszernek nevezni. Egy tag vagy tagcsoport stabilit´ as´ at a k¨ ovetkez˝o tétel alapján lehet ellen˝orizni. – Ha a tag vagy tagcsoport ered˝ o´ atviteli f¨ uggvényének csak baloldali pólusai vannak, azaz a pólusok mindegyikére igaz, hogy Re(pi ) < 0, akkor a vizsgált rendszer aszimptotikusan stabil. A BIBO stabilit´ as defin´ıci´ oj´ ab´ ol k¨ ovetkezik, hogy az aszimptotikusan stabil rendszer BIBO stabil is. – Ha a tag vagy tagcsoport ered˝ o ´ atviteli f¨ uggvényének pólusai között van nulla vagy nulla valós rész˝ u p´ olusp´ ar, akkor a vizsg´ alt rendszer aszimptotikusan nem stabil, de BIBO stabil. 49

˝ RENDSZEREK STABILITASA ´ FEJEZET 5. FOLYTONOS IDEJU

50

– Ha a tag vagy tagcsoport ered˝ o´ atviteli f¨ uggvényének pólusai között van pozit´ıv valós vagy pozit´ıv val´ os rész˝ u p´ olusp´ ar, akkor a vizsg´ alt rendszer sem aszimptotikus, sem BIBO értelemben nem stabil, teh´ at instabil vagy labilis. Megjegyzés: a stabilit´ asvizsg´ alatot csak az oksági feltételeknek megfelel˝o átviteli f¨ uggvény esetén végezz¨ uk el. Így, ha a sz´ aml´ al´ oban szerepl˝ o polinom fokszáma nagyobb, mint a nevez˝oben lév˝oé, akkor az ilyen tagot nem realiz´ alhat´ onak tekintj¨ uk, és nem vizsg´ aljuk a stabilitását.

5.1.2.

Stabilit´ asvizsg´ alati m´ odszerek

B´ ar a stabilit´ as defin´ıci´ okb´ ol k¨ ovetkez˝ oen az a´tviteli f¨ uggvény pólusai alapján egyértelm˝ uen eldönthet˝o egy tag vagy tagcsoport stabilit´ asa, a p´ olusok meghat´ arozása gyakorlatilag csak els˝o vagy másodrend˝ u rendszer, illetve ezek tiszta soros kapcsolata esetén végezhet˝ o el közvetlen¨ ul. Magasabb rend˝ u rendszerek esetében a következ˝ o m´ odszerek seg´ıtségével lehet a stabilit´ ast eld¨ onteni. Hurwitz krit´ erium Az alkalmaz´ as menete: 1. Hat´ arozzuk meg a vizsg´ alni k´ıv´ ant tagcsoport ered˝o átviteli f¨ uggvényét. 2. Legyen a nevez˝ o valamennyi egy¨ utthat´ oja pozit´ıv. Ha az ellen˝orzést paraméteresen végezz¨ uk, akkor a fizikai megfontol´ asok figyelembe vételével adjuk meg azt a tartományt, amelyre ez teljes¨ ul. Ha valamelyik egy¨ utthat´ o negat´ıv, vagy nem adhat´ o meg olyan tartomány, amelyre ez teljes¨ ul, akkor a rendszer instabil. 3. A nevez˝ o egy¨ utthat´ oinak felhaszn´ al´ as´ aval ´ırjuk fel a következ˝o determinánst: an−1 an−3 an−5 . . . 0 an an−2 an−4 . . . 0 0 an−1 an−3 . . . 0 .. .. .. . .. . . .. . . 0 0 . . . . . . a0 A rendszer stabilit´ as´ anak m´ asik feltétele, hogy az ´ıgy kapott determináns f˝oátlójára támaszkodó aldetermin´ ansok mindegyikére pozit´ıv értéket kell kapni. Ha az aldeterminánsok valamelyike negat´ıv, akkor a vizsg´ alatot nem kell tov´ abb végezni, mert a rendszer instabil lesz. Paraméteres vizsgálat esetén valamennyi részdetermin´ ans esetén meghat´ arozzuk, hogy a kérdéses paraméter milyen értékei mellett lesz a vizsg´ alt rendszer stabil, majd ezeket a tartom´ anyokat összevetve határozzuk meg azt a legsz˝ ukebb tartom´ anyt, amelyre az aszimptotikus stabilit´ as teljes¨ ul. Nyquist-, Bode-f´ ele krit´ erium Mindkét m´ odszer esetében az az alapelv, hogy az alkalmas helyen felv´ agott kör frekvenciatartománybeli vizsg´ alata alapj´ an d¨ ont¨ unk a visszacsatolt rendszer stabilitásáról. Az egyszer˝ us´ıtett Nyquist-kritérium a k¨ ovetkez˝o: – Ha a felnyitott k¨ or amplit´ ud´ o-f´ azis g¨ orbéje - miközben a frekvencia 0 ≤ ω < ∞ tartományban változik éppen ´ athalad a komplex sz´ ams´ık val´ os tengelyének a −1 pontján, azaz létezik olyan ω0 frekvencia, melyre G(jω0 ) = −1, akkor a visszacsatolt k¨ or a stabilitás határán van. – Ha a felnyitott k¨ or amplit´ ud´ o-f´ azis g¨ orbéje nem metszi a valós tengelyt, vagy ez a metszéspont a -1 és 0 k¨ oz¨ ott van, akkor a visszacsatolt k¨ or aszimptotikusan stabil. – Ha a felnyitott k¨ or amplit´ ud´ o-f´ azis g¨ orbéje a valós tengelyt a -1 ponttól balra metszi, akkor a visszacsatolt k¨ or instabil. A Bode-kritérium: Hat´ arozzuk meg, hogy az amplit´ udóviszony lefutása milyen frekvenciaértéknél lesz pon´ tosan 0 dB. Allap´ ıtsuk meg, hogy ehhez a frekvenciaértékhez milyen fázisszög tartozik. A kapott fázisszög értéke alapj´ an a visszacsatolt rendszer stabilit´ as´ ar´ ol a következ˝o megállap´ıtásokat tehetj¨ uk:

´ ´ ´ 5.1. ELMELETI ATTEKINT ES

51

– ha a f´ azissz¨ og értéke nagyobb, mint -180◦ , akkor a visszacsatolt rendszer stabil; – ha pontosan egyenl˝ o -180◦ -kal, akkor a stabilitáshatárán van; – ha kisebb, mint -180◦ , akkor instabil lesz a rendszer viselkedése. Gy¨ okhelyg¨ orbe A gy¨ okhelyg¨ orbe a z´ art rendszer p´ olusainak mértani helye a komplex s´ıkon, miközben a rendszer valamely paraméterét nulla és végtelen k¨ oz¨ ott v´ altoztatjuk. A gy¨ okhelyg¨ orbe felv´ azol´ as´ at és értelmezését a következ˝o tulajdonságok seg´ıtik: 1. A gy¨ okhelyg¨ orbének annyi ´ aga van, mint amennyi a zárt rendszer pólusainak száma. 2. A gy¨ okhelyg¨ orbe mindig szimmetrikus a valós tengelyre nézve. 3. Legyen a p´ olusok sz´ ama n, a zérushelyek száma m a felnyitott körben, ekkor – ha n > m, akkor a gy¨ okhelyg¨ orbe a felnyitott kör pólusaiból indul ki, és m szám´ u ág a felnyitott k¨ or zérushelyeibe, n − m sz´ am´ u´ ag a végtelenbe tart; – ha n = m, akkor valamennyi ´ ag a felnyitott kör zérushelyeibe tart (a gyökhelygörbe teljesen véges tartom´ amyban van); – ha n < m, akkor z´ art k¨ or p´ olusainak száma m, és m − n szám´ u ág a végtelenb˝ol indul ki, és valamennyi ´ ag a felnyitott k¨ or zérushelyeibe tart. (Megjegyzés: az ilyen rendszer fizikailag nem realiz´ alhat´ o, viszont a gy¨ okhelyg¨ orbe kiterjesztett alkalmazásánál fel´ırandó ekvivalens kifejezések esetében kaphatunk ilyen ´ atviteli f¨ uggvényt.) 4. A val´ os tengelyen akkor és csak akkor lehetnek gyökhelygörbe szakaszok, ha a vizsgált ponttól jobbra a p´ olusok és a zérushelyek egy¨ uttes sz´ ama páratlan. 5. A gy¨ okhelyg¨ orbe aszimpt´ ot´ ainak ir´ anyszögét a következ˝o kifejezés seg´ıtségével lehet meghatározni: α=

±l · 180◦ , n−m

l = 1, 3, 5, . . . , 2(n − m) − 1

6. A gy¨ okhelyg¨ orbe aszimpt´ ot´ ai a val´ os tengelyt az alábbi összef¨ uggés által meghatározott u ń. s´ ulypontban metszik. Jel¨ olje pi a felnyitott k¨ or i-edik pólusát, zj a felnyitott kör j-edik zérushelyét. Ekkor a s´ ulypont értéke: Pn Pm i=1 pi − j=1 zj S= n−m 7. A gy¨ okhelyg¨ orbe és a képzetes tengely metszéspontja, vagyis a stabilitás határát jelent˝o er˝os´ıtési értékhez tartoz´ o p´ olusok a kor´ abban ismertetett Hurwitz kritérium seg´ıtségével határozhatók meg. 8. A gy¨ okhelyg¨ orbe kilépése a val´ os tengelyb˝ol - vagyis a valós tengelynek az az x pontja, ahol többsz¨ or¨ os gy¨ ok¨ oket kapunk - a k¨ ovetkez˝ o egyenlet seg´ıtségével határozható meg: n X i=1

m

X 1 1 − =0 x − pi j=1 x − zj

9. A gy¨ okhelyg¨ orbe kilépése a komplex p´ olusokból a szögfeltétel seg´ıtségével határozható meg. Vegy¨ unk egy pontot az egyik komplex p´ olushoz k¨ ozel, és oldjuk meg arra nézve a szögfeltételt: m X i=1

∠γk −

n X j=1

∠δi = l · 180◦ ,

l = 1, 3, 5, . . . , 2(n − m) − 1


52

A gy¨ okhelyg¨ orbe m´ odszert alapesetben az er˝os´ıtés értékét˝ol f¨ ugg˝o stabiliásvizsgálatokra és tranziens tulajdons´ agok ellen˝ orzésére alkalmazzuk. Ahhoz, hogy az eljárást más paraméterek a stabilitásra hatását ellen˝ otizni tudjuk, sok esetben az ´ atviteli f¨ uggvényt ´ at kell alak´ıtanunk, u ´gy hogy a vizsgált paraméter az u ´gy nevezett ekvivalens tag sz´ aml´ al´ oj´ aban szerepeljen. Erre példaként végezz¨ uk el egy PI szabályozó irány´ıtott kör átalak´ıt´ as´ at u ´gy, hogy az integr´ al´ o tag paraméterének a hatását tudjuk vizsgálni. Legyenek adottak a szab´ alyoz´ o k¨ orben szerepl˝o tagok átviteli f¨ uggvényei a következ˝o alakban: 1 a szab´ alyozott objektum átviteli f¨ uggvénye +s+1 GP (s) = KP a szab´ alyoz´ o ar´ anyos (P) tagjának átviteli f¨ uggvénye KI GI (s) = a szab´ alyoz´ o integr´ aló (I) tagjának átviteli f¨ uggvénye s Go (s)

=

s2

A szab´ alyoz´ o ered˝ o´ atviteli f¨ uggvénye a p´ arhuzamos csatolás miatt: Gc (s) = KP +

KI . s

A visszacsatolt k¨ or ered˝ o´ atviteli f¨ uggvénye pedig: Ge (s) =

1 (KP + KsI ) s2 +s+1 Kp s + KI Gc (s)Go (s) == 3 = K 1 2 I 1 + G( s)Go (s) s + s + (KP + 1)s + KI 1 + (KP + s ) s2 +s+1

A kapott alakban nem tudjuk az intehr´ al´ o tag paraméterének, KI -nek a hatását közvetlen¨ ul vizsgálni, ezért alak´ıtsuk ´ at a k¨ ovetkez˝ o m´ odon: Kp s+KI

Ge (s) =

Kp s + KI s3 +s2 +(KP +1)s = KI 3 2 s + s + (KP + 1)s + KI 1 + s3 +s2 +(K P +1)s

Az ´ıgy kapott alak nevez˝ ojében szerepl˝ o kifejezést nevezz¨ uk ekvivalens tagnak, mivel ennek visszacsatol´ asa esetén kapott kifejezés nevez˝ oje megegyezik az eredeti visszacsatolt tag nevez˝ojével, tehát alkalmas KI hatás´ anak vizsg´ alat´ ara:

P GK ekv (s) =

KI s3 + s2 + (KP + 1)s

A vizsg´ alathoz természetesen KP értékét rögz´ıteni kell, ezt jelzi a fels˝o indexben szerepl˝o kifejezés. A vizsg´ alat menete a kiterjesztett gy¨ okhelygörbe módszer esetében a következ˝o: 1. Els˝ o lépésként ´ altal´ aban az er˝ os´ıtés hatásának vizsgálatát végezz¨ uk el. Ehhez a többi vizsgáland´ o paraméter hat´ as´ at lehet˝ oség szerint ki kell iktatni, vagy egy meghatározott alapértékre kell áll´ıtani. Péld´ aul, ha PID szab´ alyoz´ on´ al az er˝ os´ıtés mellett az integráló és a deriváló tag paraméterének a hatását is vizsg´ alni akarjuk, akkor ezeket hagyjuk figyelmen k´ıv¨ ul az ered˝o átviteli f¨ uggvény fel´ırásakor. Ha az szabályozott objektum valamely paraméterének, például id˝oállandójának vagy csillap´ıtási tényez˝ojének a hatását tesztelj¨ uk, akkor ezeket ´ all´ıtsuk a technol´ ogia által meghatározott minimum értékre. Írjuk fel az ered˝o átviteli f¨ uggvényt, majd végezz¨ uk el a gy¨ okhelygörbe felvázolását a le´ırt módon. 2. A kapott gy¨ okhelyg¨ orbén v´ alasszuk ki azt az er˝os´ıtési értéket, amely a technológia m˝ uködtetése szempontj´ ab´ ol megfelel˝ o. A v´ alasztott er˝ os´ıtésnek megfelel˝o pólusokat jelölj¨ uk meg a gyökhelygörbe valamennyi ag´ ´ an. Ezek a pontok lesznek a k¨ ovetkez˝ o lépés kiinduló pontjai. 3. A k¨ ovetkez˝ o vizsg´ aland´ o paraméter hat´ asának figyelembe vételéhez ´ırjuk fel az ered˝o átviteli f¨ uggvényt u ´gy, hogy ezt a paramétert is tartalmaz´ o tagot is figyelembe vessz¨ uk az ered˝o átviteli f¨ uggvény fel´ırás´ an´ al. Végezz¨ uk el az ´ atviteli f¨ uggvény ekvivalens alakra történ˝o átalak´ıtását a fentiekben le´ırt módon. A kapott ekvivalnes tagra végezz¨ uk el a gy¨ okhelygörbe vizsgálatot ismét. 4. Ha van tov´ abbi vizsg´ aland´ o paraméter, akkor a 2.-3. pontot megismételj¨ uk.


5.2.

53


5.2.1.

Stabilit´ as meghat´ aroz´ asa p´ olusok k¨ ozvetlen meghat´ aroz´ asa alapj´ an

1. D¨ ontse el az al´ abbi tagokr´ ol, hogy stabilak-e aszimptotikus, illetve BIBO értelemben! 2s2 − 1 4s2 − 8 A megold´ as menete: Az ´ atviteli uggvény nevez˝ oje alapján a pólusok: √ f¨ p1,2 = ± 2 Miut´ an az egyik p´ olus nagyobb nullánál, ´ıgy a tag instabil. 2s + 1 (b) G2 (s) = 2 4s + 2s + 6 A megold´ as menete: Az ´ atviteli f¨ uggv´ oje alapján a pólusok: √ eny nevez˝ 23 1 p1,2 = − ± j 4 4 Miut´ an a p´ olusok val´ os része negat´ıv, ´ıgy a tag aszimptótikusan stabil és ´ıgy BIBO stabil is. (s + 1)3 (c) G3 (s) = 2 4s + s + 2 A megold´ as menete: Miut´ an az ´ atviteli f¨ uggvény sz´ amlálójának a fokszáma nagyobb, mint a nevez˝oé, ´ıgy a tag nem realiz´ alhat´ o, azaz nem felel meg valós fizikai rendszer átviteli f¨ uggvényének. 4 (d) G4 (s) = 2 s +9 A megold´ as menete: Az ´ atviteli f¨ uggvény nevez˝ oje alapján a pólusok: p1,2 = ±j3 Miut´ an a p´ olusok val´ osrésze 0, ´ıgy a tag a stabilitás határán van, azaz BIBO stabil, de nem aszimpt´ otikusan stabil. (a) G1 (s) =

2. Hat´ arozza meg az al´ abbi tagcsoportok stabilitását! (a) .

1 1 Gc (s) = s 2s + 1 A megold´ as menete: A visszacsatolt k¨ or ered˝ o´ atviteli f¨ uggvénye: s+1 Ge (s) = 2 2s + 2s + 1 Az ered˝ o´ atviteli f¨ uggvény nevez˝ oje alapján a pólusok: 1 1 p1,2 = − ± j 2 2 Miut´ an a p´ olusok val´ os része negat´ıv, ´ıgy a visszacsatolt kör aszimptótikusan stabil és ´ıgy BIBO stabil. Gc (s) = 1 +

(b) .

G(s) = 1 +

1 s

H(s) =

1 2s + 1


54

A megold´ as menete: A visszacsatolt k¨ or ered˝ o´ atviteli f¨ uggvénye: 2s2 + 2s + 1 Ge (s) = 2 2s + 2s + 1 Az ered˝ o´ atviteli f¨ uggvény nevez˝ oje alapján a pólusok: 1 1 p1,2 = − ± j 2 2 Miut´ an a p´ olusok val´ os része negat´ıv, ´ıgy a visszacsatolt kör aszimptótikusan stabil és ´ıgy BIBO stabil.

5.2.2.

Stabilit´ as meghat´ aroz´ asa Hurwitz-krit´ erium alapj´ an

1. D¨ ontse el az al´ abbi tagr´ ol, hogy aszimptotikus stabil-e! 4 G(s) = 3 s + 2s2 + 3s + 4 A megold´ as menete: I. felétel, a nevez˝ oben szerepl˝ o egy¨ utthatók el˝ojelének ellen˝orzése: ∀ai > 0, i = 0, 1, 2, 3 teljes¨ ul. II. feltétel, a Hurwitz determin´ ans ellen˝ orzése: A Hurwitz determin´ ans a feladatnak megfelel˝oen fel´ırva a2 a0 0 2 4 0 H3×3 = a3 a1 0 = 1 3 0 0 a2 a0 0 2 4 A f˝ o´ atl´ ohoz tartoz´ o aldetermin´ ansok ellen˝orzése: 41 = |a2 | = 2 > 0 , a a0 = a2 a1 − a0 a3 42 = 2 a3 a1 2 4 =2·3−4·1=2>0 , 42 = 1 3 a2 a0 0 a a3 0 a3 0 43 = a3 a1 0 = a2 1 − a + 0 0 0 a2 a0 0 a0 0 a2 a0

a1 = a2

= a2 (a1 a0 − a2 0) − a0 (a3 a0 − 0) + 0(a3 a2 − a1 0) = a0 (a2 a1 − a0 a3 ) ´ıgy 43 = 4(2 · 3 − 4 · 1) = 8 > 0 Teh´ at a Hurwitz kritérium mindkét feltétele teljes¨ ult, azaz minden egy¨ uttható pozit´ıv és a f˝oátlóhoz tartoz´ o valamennyi aldetermin´ ans (beleértve a teljes mátrix determinánsát) pozit´ıv, ´ıgy a tag aszimptotikusan stabil és ebb˝ ol k¨ ovetkez˝ oen BIBO értelemben is stabil. (Megjegyzés: Belátható, hogy 3×3 mátrix esetében elegend˝ o csak a 42 2 × 2 aldetermin´ anst ellen˝orizni.) 2. Csatolja vissza negat´ıvan az al´ abbi tagot és döntse el, hogy a kapott rendszer aszimptotikus stabil-e! 4 G(s) = 3 s + 2s2 + 3s + 4 A megold´ as menete: A visszacsatol´ as ut´ an kapott z´ art k¨ or ered˝o átviteli f¨ uggvénye: 4 G(s) 4 3 2 Ge (s) = = s +2s +3s+4 = 3 1 + G(s) s + 2s2 + 3s + 8 1 + s3 +2s24+3s+4 Hurwitz kritérium alapj´ an: I. feltétel: a nevez˝ o minden egy¨ utthat´ oja pozit´ıv, ∀ai > 0, i = 0, 1, 2, 3 teljes¨ ul. II. feltétel, a Hurwitz determin´ ans ellen˝ orzése: A Hurwitz determináns: a2 a0 0 2 8 0 H3×3 = a3 a1 0 = 1 3 0 0 a2 a0 0 2 8


55

A f˝ o´ atl´ ohoz tartoz´ o 2. aldetermin´ ans ellen˝orzése (az el˝oz˝o feladat végén tett megjegyzésének megfelel˝ oen): a a0 = a2 a1 − a0 a3 42 = 2 a3 a1 2 8 = 2 · 3 − 8 · 1 = −2 ≯ 0 42 = 1 3 Miut´ an a 42 aldetermin´ ansra nem teljes¨ ul az el˝o´ırt feltétel, ezért a visszacsatolt kör nem lesz aszimptotikusan stabil. 3. Csatolja vissza negat´ıvan az al´ abbi tagot K er˝os´ıtéssel, és döntse el, hogy a kapott rendszer milyen K er˝ os´ıtés mellett lesz aszimptotikus stabil! 4 G(s) = 3 s + 2s2 + 3s + 4 A megold´ as menete: A visszacsatol´ as ut´ an kapott z´ art k¨ or ered˝o átviteli f¨ uggvénye: K s3 +2s24+3s+4 KG(s) 4 Ge (s) = = = 3 1 + KG(s) s + 2s2 + 3s + 4 + 4K 1 + K s3 +2s24+3s+4 Hurwitz kritérium alapj´ an: I. feltétel: a nevez˝ o a3 , a2 , a1 egy¨ utthatója pozit´ıv, az a0 egy¨ uttható esetén 4 + 4K > 0 azaz K > −1 feltételt kell el˝ o´ırni. Azonban a negat´ıv er˝os´ıtést mell˝ozve, a feltétel legyen K > 0. II. feltétel, a Hurwitz determin´ ans ellen˝ orzése: A Hurwitz determináns: a2 a0 0 2 4 + 4K 0 3 0 H3×3 = a3 a1 0 = 1 0 a2 a0 0 2 4 + 4K A f˝ o´ atl´ ohoz tartoz´ o 2. aldetermin´ ans ellen˝orzése: a a0 = a2 a1 − a0 a3 42 = 2 a3 a1 2 4 + 4K = 2 · 3 − (4 + 4K) = 2 − 4K > 0 , 42 = 1 3 innen K < 0, 5. (Bel´ athat´ o, hogy ebben az esetben is elhagyható a 41 és 43 aldeterminánsok ellen˝orzése.) Azaz a visszacsatolt rendszer akkor lesz stabil, ha az er˝os´ıtés értéke 0 < K < 0, 5 között lesz.

5.2.3.

Stabilit´ asvizsg´ alat gy¨ okhelyg¨ orbe seg´ıts´ eg´ evel

1. Hat´ arozza meg az al´ abbi visszacsatolt kör gyökhelygörbéjét és ennek alapján válaszolja meg a tov´ abbi kérédéseket!

G(s) =

2 s2 + 5s + 4

– Hat´ arozza meg a kritikus csillap´ıt´ ashoz tartozó K er˝os´ıtés értékét! – Milyen K értéknél lesz az ered˝ o er˝ os´ıtés Ke = 1? – Milyen K értéknél lesz az ´ atmeneti f¨ uggvény esetén a kimenet eltérése a bemenett˝ol legfeljebb 5%? – Hat´ arozza meg az el˝ oz˝ o pontban kapott K értéknél a visszacsatolt kör további paramétereit! A megold´ as menete: (a) A visszacsatolt k¨ or gy¨ okhelyg¨ orbéje


56

– A visszacsatolt k¨ or ered˝ o´ atviteli f¨ uggvénye: Ge (s) =

2K s2 + 5s + 4 + 2K

– A visszacsatolt k¨ or nevez˝ oje másodfok´ u polinom, ´ıgy két pólusa van, és a gyökhelygörbének is két ´ aga lesz. – Az ´ atviteli f¨ uggvény nevez˝ oje alapján a felnyitott kör pólusai: p1 = −1,

p2 = −4 .

A gy¨ okhelyg¨ orbe két ´ aga a felnyitott kör pólusaiból indul ki, és miután nincs zérushely, ezért mindkét ´ ag a végtelenbe tart. – A val´ os tengelyen a [−4, −1] intervallumban lesz gyökhelygörbe szakasz. – A gy¨ okhelyg¨ orbe végtelenbe tartó ágaihoz tartozó érint˝ok a valós tengellyel α1 =

1 · 180◦ 3 · 180◦ = 90◦ésα2 = = 270◦ 2 2

sz¨ oget z´ arnak be. – A végtelenbe tart´ o´ agak érint˝ oi az S=

(−4) + (−1) = −2, 5 2

s´ ulypontban metszik egym´ ast. – Miut´ an a végtelenbe tart´ o´ agak párhuzamosak a képzetes tengellyel, ´ıgy a tag tetsz˝oleges er˝ os´ıtés mellett aszimptotikusan stabil marad.

(b) Hat´ arozza meg a kritikus csillap´ıt´ ashoz tartozó K er˝os´ıtés értékét! Kritikus csillap´ıt´ asa ott lesz a rendszernek, ahol a visszacsatolt kör ξe ered˝o csillap´ıtási tényez˝ojének az értéke 1. A gy¨ okhelyg¨ orbén ez a pont ott található, ahol a két pólus egybeesik, azaz kétszeres gy¨ ok¨ ot kapunk, vagyis ahol a gy¨ okhelygörbe kilép a valós tengelyb˝ol. Ebben a pontban a pólusokat meghat´ aroz´ o képletben a diszkrimináns értéke 0 lesz, amib˝ol K értéke meghatározható: p −5 ± 25 − 4(4 + 2K) p1,2 = 2 25 − 4(4 + 2K) = 0

⇒

K = 1, 125

Ekkor a visszacsatolt rendszer ered˝o er˝os´ıtése, vagyis a hurok átviteli tényez˝o értéke: Ge (s) =

2 · 1, 125 s2 + 5s + 4 + 2 · 1, 125

⇒

Ke = 0, 36 .

(c) Milyen K értéknél lesz az ered˝ o er˝ os´ıtés Ke = 1? Ha a visszacsatolt k¨ or ered˝ o er˝ os´ıtése, azaz hurok átviteli tényez˝oje 1, akkor az átmeneti f¨ uggvényének 1-hez kell tartania. A végértéktétel alapján: lim y(t) = lim sY (s) = lim sG(s)U (s) .

t→∞

s→0

s→0


57

Kihaszn´ alva, hogy ha u(t) = 1(t), akkor U (s) = 1s : lim G(s) = lim

s→0

s→0

2K . s2 + 5s + 4 + 2K

A gy¨ okhelyg¨ orbe vizsg´ alata sor´ an beláttuk, hogy a visszacsatolt rendszer tetsz˝oleges K er˝os´ıtés esetén stabil, ´ıgy a hat´ arérték meghat´ arozása elvégezhet˝o: lim y(t) = ... = lim

t→∞

s→0

s2

K 2K = . + 5s + 4 + 2K 2+K

Az y(t) kimenet csak akkor tart 1-hez, ha a visszacsatolt körben szerepl˝o er˝os´ıtés értéke K → ∞. (d) Milyen K értéknél lesz az ´ atmeneti f¨ uggvény esetén a kimenet eltérése a bemenett˝ol legfeljebb 5%? Ahhoz, hogy egységugr´ as bemenet esetén a kimenet legalább 0,95-ös értéket vegyen fel, az ered˝ o er˝ os´ıtésnek az el˝ oz˝ o kérdésnél levezetetteknek megfelel˝oen legalább 0,95-nek kell lennie. Így Ke = 0, 95 =

2 4 + 2K

⇒

K = 38 .

(e) Hat´ arozza meg az el˝ oz˝ o pontban kapott K értéknél a visszacsatolt kör további paramétereit! A visszacsatolt k¨ or ´ atviteli f¨ uggvénye K = 38 esetén Ge (s) =

2 Ke ωn,e 76 = 2 s2 + 5s + 80 s2 + 2ξe ωn,e s + ωn,e

Innen ωn,e = 8, 94,

ξe = 0, 28 ,

teh´ at a tag a kicsi ered˝ o csillap´ıt´ asi tényez˝o miatt jelent˝os t´ ullend¨ uléssel, de a nagy természetes frekvencia miatt viszonylag gyorsan beáll az er˝os´ıtés által meghatározott végértékre.

2. Hat´ arozza meg az al´ abbi visszacsatolt k¨ or gyökhelygörbéjét!

G1 (s) = 1 +

1 , s

G2 (s) =

1 2s + 1

– Hat´ arozza meg a kritikus csillap´ıt´ ashoz tartozó K er˝os´ıtés értékét! – Milyen K értéknél lesz az ered˝ o er˝ os´ıtés Ke = 1? A megold´ as menete:

(a) A visszacsatolt k¨ or gy¨ okhelyg¨ orbéje – A visszacsatolt k¨ or ered˝ o´ atviteli f¨ uggvénye: Ge (s) =

K(s + 1) 2s2 + (K + 1)s + K

– A visszacsatolt k¨ or nevez˝ oje másodfok´ u polinom, ´ıgy két pólusa van, és a gyökhelygörbének is két ´ aga lesz.


58

– Az ´ atviteli f¨ uggvény nevez˝ oje alapján a felnyitott kör pólusai: p1 = 0,

p2 = −

1 . 2

A sz´ aml´ al´ o polinomja alapj´ an a visszacsatolt kör zérushelye: z1 = −1 A visszacsatolt k¨ or p´ olusai K f¨ uggvényében: p −(K + 1) ± (K + 1)2 − 8K pv;1,2 = 4 A gy¨ okhelyg¨ orbének teh´ at két ´ aga lesz, melyek a felnyitott kör pólusaiból indulnak ki. Az er˝ os´ıtés n¨ ovelésével az egyik ´ ag a −∞-be, a másik a felnyitott kör zérushelyébe tart. – A val´ os tengelyen a ] − ∞, −1] és [−0, 5, 0] intervallumokban lesznek gyökhelygörbe szakaszok. – A gy¨ okhelyg¨ orbe végtelenbe tartó ágához tartozó érint˝o a valós tengellyel α1 =

1 · 180◦ = 180◦ 1

sz¨ oget z´ ar be, azaz a végtelenbe tartó ág a valós tengely mentén haladva tart a −∞-be. – Az egy végtelenbe tart´ o´ ag miatt nem lesz s´ ulypont. – A visszacsatolt p´ olusokat meghatározó képlet alapján belátható, hogy tetsz˝oleges pozit´ıv K er˝ os´ıtés esetén a visszacsatolt körnek negat´ıv valós vagy negat´ıv valós rész˝ u gyökei vannak, ´ıgy a visszacsatolt rendszer aszimptotikusan stabil. – A gy¨ okhelyg¨ orbe ott kilép a val´ os tengelyb˝ol, ahol a pólusokat meghatározó képlet diszkrimin´ ansa zérus: K 2 − 6K + 1 = 0

⇒

K1 = 0, 17 és K2 = 5, 83

. A val´ os tengelyen meghat´ arozott gyökhelygörbe szakaszok alapján K1 kilépési pont lesz, m´ıg a K2 visszatérési pont. A pontok koordinátái: s1 = −0, 29 és s2 = −1, 71 .

(b) Hat´ arozza meg a kritikus csillap´ıt´ ashoz tartozó K er˝os´ıtés értékét! Kritikus csillap´ıt´ asa ott lesz a rendszernek, ahol a visszacsatolt kör ξe ered˝o csillap´ıtási tényez˝ojének az értéke 1. A gy¨ okhelyg¨ orbén ez a pont ott található, ahol a két pólus egybeesik, azaz kétszeres gy¨ ok¨ ot kapunk, vagyis ahol a gy¨ okhelygörbe kilép a valós tengelyb˝ol. Ezek pontok a gyökhelyg¨ orbe tulajdons´ again´ al levezetetteknek megfelel˝oen K1 = 0, 17 er˝os´ıtésnél az s1 = −0, 2 pont és a K2 = 5, 83 er˝ os´ıtésnél a s2 = −1, 71 pont. (c) Milyen K értéknél lesz az ered˝ o er˝ os´ıtés Ke = 1? A visszacsatolt k¨ or ered˝ o´ atviteli f¨ uggvény alapján belátható, hogy tetsz˝oleg K > 0 értéknél a hurok atviteli tényez˝ ´ o, vagyis az ered˝ o er˝ os´ıtés értéke 1.


59

3. Végezze el a kiterjesztett gy¨ okhelyg¨ orbe vizsgálatot az alábbi szabályozó körre! GP (s)

=

GI (s)

=

Go (s)

=

KP KI s 1 s2 + 3s + 2

Az integr´ al´ o tag vizsg´ alat´ ahoz v´ alasszon olyan er˝os´ıtést, ahol a visszacsatolt kör csillap´ıtási tényez˝oje 0,5! A megold´ as menete: (a) Els˝ o lépésként hat´ arozzuk meg a szabályozott objektum paramétereit: 1 0, 5 = s2 + 3s + 2 0, 5s2 + 1, 5s + 1

Go (s) =

√ oje azaz az objektum er˝ os´ıtése Ko = 0, 5, id˝oállandója To = 0, 5 = 0, 707 és csillap´ıtási tényez˝ ξo = 1, 06. Ha csak a szab´ alyoz´ o er˝ os´ıt˝ o tagj´ anak a hatását k´ıvánjuk vizsgálni, akkor ´ırjuk fel az ered˝o átviteli f¨ uggvényt az integr´ al´ o tag figyelembe vétele nélk¨ ul: KP GP (s)Go (s) = 2 1 + GP (s)Go (s) s + 3s + 2 + KP

G1e (s) =

A gy¨ okhelyg¨ orbe felv´ azol´ as´ at végezz¨ uk el a tulajdonságai alapján: i. A gy¨ okhelyg¨ orbének két ´ aga lesz, mivel a visszacsatolt rendszer nevez˝ojében másodfok´ u polinom szerepel. ii. (szimmetria a val´ os tengelyre) iii. A felnyitott k¨ or p´ olusainak sz´ ama n = 2; melyek a p1 = −1 és p2 = −2 pontokban találhat´ ok, és nincs zérusa, azaz m = 0. Ennek megfelel˝oen gyökhelygörbe mindkét ága a felnyitott k¨ or p´ olusaib´ ol fog kiindulni és a végtelenbe fognak tartani. iv. A val´ os tengelyen csak a [−2, −1] intervallumban lesz gyökhelygörbe szakasz, mivel csak itt teljes¨ ul, hogy a val´ os tengely egy adott pontjától jobbra a pólusok és zérusok egy¨ uttes sz´ ama p´ aratlan. v. A végtelenbe tart´ o´ agak ir´ anytangenseinek meghatározása: αi =

l · 180◦ , n−m

aholl = 1, 3, . . . , 2(n − m) − 1

altal´ ´ anos képlet alapj´ an: 1 · 180◦ α1 = = 90◦ 2 3 · 180◦ α2 = = 270◦ 2 azaz a gy¨ okhelyg¨ orbe két ´ aga párhuzamos lesz a képzetes tengellyel. vi. A végtelenbe tart´ o´ agak érint˝ oi a s´ ulypontban metszik egymást. Ennek meghatározás az által´ anos képlet alapj´ an: P P (−1) + (−2) Repi − Rezi = = −1, 5 S= n−m 2 vii. A gy¨ okhelyg¨ orbe ´ agak és a képzetes tengely metszéspontjának meghatározására, azaz Hurwitzkritériummal t¨ ortén˝ o stabilit´ asvizsgálatra ebben a rendszerben nincs sz¨ ukség. viii. A gy¨ okhelyg¨ orbe val´ os tengelyb˝ol való kilépési pontjának meghatározása: n X i=1

m

X 1 1 − =0 x − pi j=1 x − zj


60

1 1 + =0 x+1 x+2 2x + 3 1 + = 0, ⇒ x = 1, 5. (x + 1)(x + 2) x + 3 A tag m´ asodrend˝ u jellege miatt a s´ ulypont és a kilépési pont megegyezik, és ehhez a ponthoz tartozik a kritikus csillap´ıt´ asi tényez˝o is, azaz itt lesz az visszacsatolt kör csillap´ıtási tényez˝ojének értéke ξe = 1. Az ehhez tartoz´ o er˝os´ıtési érték meghatározása: – A visszacsatolt k¨ or karakterisztikus egyenlete: s2 + 3s + 2 + KP = 0 – A kilépési pontban kétszeres valós gyököket kapunk, ezért a gyökökre fel´ırt megoldó képlet diszkrimin´ ans´ anak zérusnak kell lennie: p −3 ± 9 − 4(2 + KP ) p1,2 = 2 9 − 4(2 + KP ) = 0 ⇒ KP = 0, 25 – Ugyanezt az értéket kapjuk, ha a visszacsatolt kör paramétereinek a meghatározásáb´ ol indulunk ki: Ge (s) =

KP = s2 + 3s + 2 + KP

KP 2+KP 1 2+KP

s2 +

3 2+KP

s+1

Innen az ered˝ o csillap´ıt´ asi tényez˝o: 2Te ξe =

3 2 + KP

Behelyettes´ıtve az id˝ o´ allandót és ξe = 1 értéket: 2√

1 3 = 2 + KP 2 + KP

p 2 + KP = 1, 5 ⇒ KP = 0, 25 ix. A kiindul´ asi p´ olusok k¨ oz¨ ott nincs komplex, ´ıgy a kilépési szöget nem kell meghatározni. (b) Hat´ arozzuk meg azt az er˝ os´ıtést, amelynék a visszacsatolt kör csillap´ıtás ξe = 0, 5! A megold´ as megegyezik az el˝ oz˝ oekkben bemutatott ξe = 1 értékhez tartozó er˝os´ıtés meghatározásának menetével: Ge (s) =

KP = 2 s + 3s + 2 + KP

KP 2+KP 1 2+KP

s2 +

3 2+KP

s+1

Innen az ered˝ o csillap´ıt´ asi tényez˝ o: 2Te ξe =

3 2 + KP

Behelyettes´ıtve az id˝ o´ alland´ ot és ξe = 0, 5 értéket: 1 3 = 2 + KP 2 + KP p 2 + KP = 3 ⇒ KP = 7 √

A kisz´ amolt er˝ os´ıtési értékhez tartozó gyökhelygörbe pontok, azaz a visszacstolt kör pólusai KP = 7 esetén: √ 3 2 2 s + 3s + 2 + KP = s + 3s + 7 = 0 ⇒ p1,2 = −1, 5 ± j1, 5 2


61

(c) Az integr´ al´ o tag paraméterének vizsgálatához ´ırjuk fel a visszacsatolt szabályozási kör ered˝o átviteli f¨ uggvényét valamennyi tag figyelembe vételével: Ge (s) =

(KP + KsI KP s + KI (GP (s) + GI (s))Go (s) = 3 = 1 2 1 + (GP (s) + GI (s))Go (s) s + 3s + (2 + KP )s + KI s2 +3s+2

Behelyettes´ıtve az el˝ oz˝ o pontban kiszámolt KP = 7 értéket, a gyökhelygörbe vizsgálatot az al´ abbi atviteli f¨ ´ uggvényre kell elvégezni: Ge (s) =

7s + KI s3 + 3s2 + 9s + KI

Rendezz¨ uk ´ at ezt az ´ atviteli f¨ uggvényt az összefoglaló részben le´ırt módon ekvivalens alakra KI vizsg´ alat´ ahoz: Ge (s) =

1

7s+KI s3 +3s2 +9s KI + s3 +3s 2 +9s

innen az ekvivalens tag: KP =7 Gekv =

KI s(s2 + 3s + 9)

Az ekvivalens tag meghat´ aroz´ asa ut´ an következhet a gyökhelygörbe felvázolása tulajdonságai seg´ıtségével: i. A kiterjesztett gy¨ okhelyg¨ orbének három ága lesz, mivel az integráló tag hatására egy, az orig´ oban elhelyezked˝ o p´ olus jelenik meg visszacsatolt rendszer nevez˝ojében. ii. (szimmetria a val´ os tengelyre) iii. A felnyitott k¨ or p´ olusainak sz´ ama n = 3; melyek a p1 = 0 és p2,3 = −1, 5 ± j2, 6 pontokban tal´ alhat´ ok, p2,3 az er˝ os´ıtés alapján felvett gyökhelygörbe ágain. Zérus nincs, azaz m = 0. Ennek megfelel˝ oen gy¨ okhelyg¨ orbe mindhárom ága a felnyitott kör pólusaiból fog kiindulni és a végtelenbe fognak tartani. iv. A val´ os tengelyen a ] − ∞, 0] intervallumban lesz gyökhelygörbe szakasz, mivel csak itt teljes¨ ul, hogy a val´ os tengely egy adott pontjától jobbra a pólusok és zérusok egy¨ uttes száma páratlan. v. A végtelenbe tart´ o´ agak ir´ anytangenseinek meghatározása: αi =

l · 180◦ , n−m

aholl = 1, 3, . . . , 2(n − m) − 1

altal´ ´ anos képlet alapj´ an: 1 · 180◦ α1 = = 60◦ 3 3 · 180◦ = 180◦ α2 = 3 5 · 180◦ α3 = = 300◦ 3 azaz a gy¨ okhelyg¨ orbe m´ asodik ága a valós tengely mentén tart a −∞-be, m´ıg a másik két a képzetes tengelyt metszve tart szintén a végtelenbe. vi. A végtelenbe tart´ o´ agak érint˝ oi a s´ ulypontban metszik egymást. Ennek meghatározás az által´ anos képlet alapj´ an: P P Repi − Rezi 0 + (−1) + (−2) S= = = −1 n−m 3 vii. A stabilit´ asvizsg´ alathoz induljunk ki az eredeti, tehát az ekvivalens átalak´ıtás elötti átviteli f¨ uggvény nevez˝ ojéb˝ ol. s3 + 3s2 + 9s + KI = 0


62

5.1. ´ abra. Kiterjesztett gyökhelygörbe

Hurwitz-kritérium els˝ o feltétele, hogy a karakterisztikus polinom minden egy¨ uthatója legyen pozit´ıv, itt csak a konstans esetében kell kikötni: KI > 0, de figyelembe véve a gyakorlat adta feltételeket, ez trivi´ alisan teljes¨ ul, hiszen az id˝oállandó nem lehet negat´ıv mennyiség. A második feltétel a determin´ ans fel´ır´ asa és ellen˝orzése:

H3×3

a2 = a3 0

a0 a1 a2

0 3 0 = 1 a0 0

KI 9 3

0 0 KI

A f˝ o´ atl´ ohoz tartoz´ o 2. aldetermináns ellen˝orzése: a 42 = 2 a3 3 42 = 1

a0 = a2 a1 − a0 a3 a1 KI = 3 · −1 · KI > 0 9

Innen KI < 27. viii. A gy¨ okhelyg¨ orbe nem lép ki valós tengelyb˝ol, ´ıgy nincs sz¨ ukség a kilépési pontok meghatároz´ as´ ara. ix. A kiindul´ asi p´ olusok k¨ oz¨ ott van egy konjugélt komplex gyökpár, ´ıgy ezek kilépési szögének meghat´ aroz´ as: δ1 = 120◦ ,

δ2 = a keresett kilépési szög,

−(120◦ + δ2 + 90◦ ) = −3 · 180◦

δ3 = 90◦

⇒ δ2 = 330◦

Az 5.1 ´ abra tartalmazza a vizsg´ alat eredményét: barna sz´ınnel látható a csak er˝os´ıtés esetén felv´ azolt gy¨ okhelyg¨ orbe, m´ıg kék g¨ orbék a kiterjesztett gyökhelygörbe menetét mutatják.

´ FELADATOK 5.3. GYAKORLO

5.3.

63

Gyakorl´ o feladatok

5.3.1.

Stabilit´ as meghat´ aroz´ asa p´ olusok k¨ ozvetlen meghat´ aroz´ asa alapj´ an

1. Hat´ arozza meg az al´ abbi tagok stabilit´ asát mindkét stabilitási defin´ıciónak megfelel˝oen! (a) G1 (s) = (b) G2 (s) = (c) G3 (s) = (d) G4 (s) = (e) G5 (s) = (f) G6 (s) = (g) G7 (s) = (h) G8 (s) =

2s2 − 3 s2 − 4 2s − 3 2 s + 4s + 6 2s 4s2 + 2s 2s3 − 3 4s2 + 2s + 3 2s + 1 4s2 + 2 3 4s2 − 2s + 2 2 4s3 + 3s2 + 2s 6s 2 8s − 2

2. Hat´ arozza meg a 8y (2) (t) + 10y (1) (t) + 2y(t) = 6u(2) (t) + 4u(1) (t) + 6u(t) bemenet/kimenet modellel jellemzett rendszer stabilit´ as´ at! 3. Hat´ arozza meg az al´ abbi tagok stabilit´ asát! G1 (s) =

1 , 2s

G2 (s) =

3 2s + 1

Csatolja sorba a két tagot, majd a kapott tagcsoportot csatolja vissza negat´ıvan, és határozza meg a z´ art k¨ or stabilit´ as´ at! 4. Hat´ arozza meg a 4y (2) (t) + 16y (1) + y(t) = u(1) + 5u(t) bemenet/kiemenet modellel jellemzett rendszer stabilt´ as´ at! Hat´ arozza meg er˝ os´ıtését, csillap´ıtási tényez˝ojét, természetes frekvenciáját, és vázolja fel a s´ ulyf¨ uggvényét! 5. Hat´ arozza meg a 2y (2) (t) + 8y (1) + 32y(t) = 6, 4u(t) bemenet/kiemenet modellel jellemzett rendszer stabilt´ as´ at! Hat´ arozza meg er˝ os´ıtését, csillap´ıtási tényez˝ojét, természetes frekvenciáját, és vázolja fel az atmeneti f¨ ´ uggvényét!

5.3.2.

Stabilit´ as meghat´ aroz´ asa Hurwitz krit´ erium alkalmaz´ as´ aval

Hat´ arozza meg az al´ abbi tagok stabilit´ as´ at a Hurwitz kritérium seg´ıtségével! 1. (a) Hat´ arozza meg az al´ abbi tag stabilitását! G1 (s) =

4 4s3 + 3s2 + 2s + 1

(b) Csatolja vissza negat´ıvan a tagot, és határozza meg ´ıgy is a stabilitást! (c) Csatolja vissza a tagot K er˝ os´ıtéssel az alábbi ábrának megfelel˝oen, és határozza meg, hogy milyen er˝ os´ıtési tartom´ anyban lesz stabil a visszacsatolt kör!


64

2. (a) Hat´ arozza meg az al´ abbi tag stabilitását: G2 (s) =

4s + 1 4s3 + 3s2 + 2s + 1

(b) Csatolja vissza negat´ıvan a tagot, és határozza meg ´ıgy is a stabilitást! (c) Csatolja vissza a tagot K er˝ os´ıtéssel az 1. példabeli ábrának megfelel˝oen, és határozza meg, hogy milyen er˝ os´ıtési tartom´ anyban lesz stabil a visszacsatolt kör! 3. (a) Hat´ arozza meg az al´ abbi tag stabilitását: G3 (s) =

4s + 2 2s4 + 4s3 + 3s2 + 2s + 1

(b) Csatolja vissza negat´ıvan a tagot, és határozza meg ´ıgy is a stabilitást! (c) Csatolja vissza a tagot K er˝ os´ıtéssel az 1. példabeli ábrának megfelel˝oen, és határozza meg, hogy milyen −∞ < K < ∞ er˝ os´ıtési tartományban lesz stabil a visszacsatolt kör! 4. (a) Hat´ arozza meg az al´ abbi tagok stabilitását! G1 (s) =

3 , 6s

G2 (s) =

4s2

3 + 2s + 1

(b) Csatolja sorba a két tagot, majd a kapott tagcsoportot csatolja vissza negat´ıvan, és határozza meg a z´ art k¨ or stabilit´ as´ at! (c) Legyen a G1 tag ´ atviteli f¨ uggvénye: G1 (s) =

1 , TI s

és hat´ arozza meg milyen TI értékre lesz stabil a rendszer! 5. (a) Csatolja p´ arhuzamosan a két tagot, majd a kapott tagcsoportot csatolja vissza negat´ıvan, és határozza meg a z´ art k¨ or stabilit´ as´ at! G1 (s) =

3 , 6s

G2 (s) =

3 4s2 + 2s + 1

(b) Tegyen a visszacsatolt k¨ or el˝ oremen˝o ágába egy K er˝os´ıt˝o tagot, és határozza meg, hogy milyen értékeire lesz a rendszer stabil! 6. Mekkora lesz az al´ abbi tagn´ al a stabilit´ as határán a k értéke? G1 (s) =

4 4s3 + 3s2 + 2s + k

7. Tekintse az al´ abbi rendszert:

Adja meg, hogy milyen K értékre lesz a rendszer aszimptotikusan stabil! 8. Adja meg, hogy az al´ abbi k¨ or milyen er˝ os´ıtés érték esetén lesz a csillap´ıtás határán!


5.3.3.

65

Stabilit´ as meghat´ aroz´ asa gy¨ okhelyg¨ orbe alapj´ an

1. V´ azolja fel a 8y (2) (t) + 10y (1) (t) + 2y(t) = 6u(t) bemenet/kiemenet modellel jellemzett rendszer átmeneti f¨ uggvényét és gy¨ okhelyg¨ orbéjét! 2. Rajzolja fel annak a tagnak a gy¨ okhelyg¨ orbéjét, amelynek a felnyitott kör pólusai −1 és −3-ban, zérushelye pedig −2-ben van! Adja meg az ´ atviteli f¨ uggvényt is! 3. V´ azolja fel az al´ abbi tag gy¨ okhelyg¨ orbéjét! G(s) =

(s + 1) (s + 2)(s2 + s + 1)

Mit tud mondani a visszacsatolt tag stabilitásáról? 4. V´ azolja fel az al´ abbi tag gy¨ okhelyg¨ orbéjét! Mit tud megállap´ıtani a zárt kör stabilitásáról? G(s) =

0.8s (s2 + s + 4)(s + 0.2)

5. (a) Adja meg annak a tagnak az I/O modelljét, amelyiknek a pólusai −2 ± j-ben, zérushelyei pedig −1-ben és −2-ben vannak! (b) Rajzolja fel a tag gy¨ okhelyg¨ orbéjét! (c) Adja meg a kritikus csillap´ıt´ asn´ al az er˝os´ıtés és a pólusok értékét! 6. Tekintse az al´ abbi rendszert!

(a) Rajzolja fel a rendszer gy¨ okhelyg¨ orbéjét! (b) Mennyi K értéke, ha a z´ art k¨ or p´ olusai −1 ± j2? 7. V´ azolja fel annak a rendszernek a gy¨ okhelygörbéjét, amelynél a felnyitott kör pólusai −4±j-ben, zérushelye pedig −2-ben van! Adja meg a tag I/O modelljét! 8. V´ azolja fel az al´ abbi tag gy¨ okhelyg¨ orbéjét! Mit tud megállap´ıtani a zárt kör stabilitásáról? G(s) =

5.3.4.

1 (s + 1)(s + 3)(s + 5)

Megold´ asok

Stabilit´ as meghat´ aroz´ asa p´ olusok k¨ ozvetlen meghat´ aroz´ asa alapj´ an 1. (a) p1,2 = ±2 → egyik gy¨ ok pozit´ıv valós, a tag instabil. √ 10 → negat´ıv valós rész˝ u komplex gyökpár, a tag aszimptotikusan stabil, és ´ıgy (b) p1,2 = −2 ± j 2 BIBO stabil is. 1 (c) p1,2 = − → negativ val´ os gy¨ ok, a tag aszimptotikusan stabil, és ´ıgy BIBO stabil is. 2 (d) A sz´ aml´ al´ o foksz´ ama nagyobb, mint a nevez˝oé, ezért a tag nem realizálható. √ 2 (e) p1,2 = ±j → nulla val´ os rész˝ u komplex gyökpár, a tag aszimptotikusan nem stabil, de BIBO 2 stabil.


66

√ 28 1 (f) p1,2 = ± j → pozit´ıv val´ os rész˝ u komplex gyökpár, a tag instabil. 4 2 √ 23 3 (g) p1,2 = − ± j → negat´ıv valós rész˝ u komplex gyökpár, a tag aszimptotikusan stabil, és ´ıgy 8 8 BIBO stabil is. 1 → egyik gy¨ ok pozit´ıv valós, a tag instabil. (h) p1,2 = ± 2 1 2. p1 = − , 2

p2 = −

3 4

→ két negativ valós gyök, a tag aszimptotikusan stabil, és ´ıgy BIBO stabil is.

3. pG1 = 0 → 0 gy¨ ok, a tag BIBO stabil, de aszimptotikusan nem stabil. 1 pG2 = − → negativ val´ os gy¨ ok, a tag aszimptotikusan stabil, és ´ıgy BIBO stabil is. 2 3 G1 (s)G2 (s) Ge (s) = = 2 1 + G1 (s)G2 (s) 4s + 2s + 3 √ 1 11 pered˝o,1,2 = − ±j → negat´ıv val´ os rész˝ u komplex gyökpár, a visszacsatolt rendszer aszimptotikusan 4 2 stabil, és ´ıgy BIBO stabil is. 1 s+5 , K = 5, T = 2 / ωn = , ξ = 4, Tsz = 0, 2 + 16s + 1 2 P´ olusok: p1 = −3, 936; p2 = −0, 064 → két negat´ıv valós pólus, a tag aszimptotikusan stabil, és ´ıgy BIBO stabil is. A s´ ulyf¨ uggvény lefut´ asa az els˝ orend˝ u tagokéhoz hasonló a számláló zérusa miatt.

4. G(s) =

4s2

6, 4 3, 2 1 = 2 , K = 0, 5, T = / ωn = 4 , ξ = 0, 5 + 8s + 32 s√ + 4s + 16 4 P´ olusok: p1,2 = −2 ± j2 3; → negat´ıv valós rész˝ u komplex gyökpár a pólus, a tag aszimptotikusan stabil, és ´ıgy BIBO stabil is. Az ´ atmeneti f¨ uggvény lefut´ asa: felfut´ asi szakaszon van infelxiós pont, és t´ ullend¨ uléssel áll be az er˝ os´ıtés altal meghat´ ´ arozott értékhez.

5. G(s) =

2s2

Stabilit´ as meghat´ aroz´ asa Hurwitz krit´ erium alkalmaz´ as´ aval 1. (a) A tag aszimptotikusan stabil. (b) A visszacsatolt k¨ or instabil. (c) 0 < K <

1 8

értékekre lesz a visszacsatolt kör szimptotikusan stabil.

2. (a) A tag aszimptotikusan stabil. (b) A visszacsatolt k¨ or aszimptotikusan stabil. (c) 0 < K < 2 értékekre lesz a visszacsatolt kör szimptotikusan stabil. 3. (a) A tag BIBO stabil. (b) A visszacsatolt k¨ or instabil. (c) Nincs olyan K > 0 érték, amire a visszacsatolt kör stabil lenne, de −0, 5 < K < 0-ra igen. 4. (a) A G1 tag BIBO stabil, a G2 tag aszimptotikusan stabil. (b) A visszacsatolt k¨ or instabil. (c) TI > 6 értékekre lesz a visszacsatolt kör aszimptotikusan stabil. 5. (a) A visszacsatolt k¨ or stabil. (b) Tetsz˝ oleges K > 0 értékre a visszacsatolt kör aszimptotikusan stabil. 6. A tag 0 < k < 1, 5 értékek esetén stabil.


67

7. A visszacsatolt k¨ or ered˝ o´ atviteli f¨ uggvénye: Ge (s) =

s3

+

2s2

Ks + (2 + K)s + 1

A k¨ or tetsz˝ oleges K érték esetén stabil. 8. A visszacsatolt k¨ or ered˝ o´ atviteli f¨ uggvénye: Ge (s) =

s3

+

3s2

Ks + K + (3 + K)s + 1 + K

A k¨ or tetsz˝ oleges K érték esetén stabil. Stabilit´ as meghat´ aroz´ asa gy¨ okhelyg¨ orbe alapj´ an 1. Az ´ abr´ azoland´ o´ atviteli f¨ uggvény: G(s) =

3 (4s + 1)(s + 1)

A tag paraméterei K = 3, T = 2, ξ = 1, 25, pólusai p1 = −0, 25, p2 = −1. Az átmeneti f¨ uggvény és a gy¨ okhelyg¨ orbe:

2. Az ´ abr´ azoland´ o´ atviteli f¨ uggvény: G(s) =

s+2 (s + 1)(s + 3)

A tag gy¨ okhelyg¨ orbéje:

3.

– A tag zérusa: z = −1, p´ olusai: p1 = −2, p2,3 = − 21 ± j

√

3 2 .

– A gy¨ okhelyg¨ orbe a felnyitott k¨ or p´ olusaiból indul ki, és egy ág a zérusba, két ág a végtelenbe tart. – A val´ os tengelyen csak a [−2, −1] tartományban van gyökhelygörbe szakasz. – A végtelenbe tart´ o´ agak érint˝ oinek meredeksége 90◦ és 270◦ .


68

– A gy¨ okhelyg¨ orbe s´ ulypontja (a végtelenbe tartó ágak érint˝oinek metszéspontja): -1. – A gy¨ okhelyg¨ orbe nem metszi a képzetes tengelyt, ´ıgy nincs kritikus er˝os´ıtés. – A gy¨ okhelyg¨ orbének nincs kilépési pontja. – A komplex p´ olusokb´ ol kiindul´ o´ agak kilépési szöge: 120◦ , illetve 240◦ . A tag gy¨ okhelyg¨ orbéje:

A visszacsatolt rendszer tetsz˝ oleges pozit´ıv er˝os´ıtés érték mellett stabil marad. 4.

– A tag zérusa: z = 0, p´ olusai: p1 = −0, 2, p2,3 = − 21 ± j

√

15 2 .

– A gy¨ okhelyg¨ orbe a felnyitott k¨ or p´ olusaiból indul ki, és egy ág a zérusba, két ág a végtelenbe tart. – A val´ os tengelyen csak a [−0, 2, 0] tartományban van gyökhelygörbe szakasz. – A végtelenbe tart´ o´ agak érint˝ oinek meredeksége 90◦ és 270◦ . – A gy¨ okhelyg¨ orbe s´ ulypontja (a végtelenbe tartó ágak érint˝oinek metszéspontja): -0,6. – A gy¨ okhelyg¨ orbe nem metszi a képzetes tengelyt, ´ıgy nincs kritikus er˝os´ıtés. – A gy¨ okhelyg¨ orbének nincs kilépési pontja. – A komplex p´ olusokb´ ol kiindul´ o´ agak kilépési szöge: 96◦ , illetve 264◦ . A tag gy¨ okhelyg¨ orbéje:

A visszacsatolt rendszer K → ∞ esetén BIBO stabil lesz, egyébként aszimptótikusan stabil.


69

5. A vizsg´ aland´ o tag ´ atviteli f¨ uggvénye és I/O modellje: G(s) =

(s + 1)(s + 2) s2 + 3s + 2 = 2 (s + 2 + j)(s + 2 − j) s + 4s + 5

y (2) (t) + 4y (1) (t) + 5y(t) = u(2) (t) + 3u(1) (t) + 2u(t) – – – – – – –

A tag zérusai: z1 = −1, z2 = −2, pólusai: p1,2 = −2 ± j. A gy¨ okhelyg¨ orbe a felnyitott k¨ or p´ olusaiból indul ki, és mind a két ág a felnyitott kör zérusaiba tart. A val´ os tengelyen csak a [−2, −1] tartományban van gyökhelygörbe szakasz. A végtelenbe tart´ o´ agak érint˝ oinek meredeksége: nincs végtelenbe tartó ág. A gy¨ okhelyg¨ orbének nincs s´ ulypontja. A gy¨ okhelyg¨ orbe nem metszi a képzetes tengelyt, ´ıgy nincs kritikus er˝os´ıtés. A gy¨ okhelyg¨ orbének kilépési pontja visszatérési pont, K ≥ 4, 82 esetén negat´ıv valós gyököket kapunk, azaz a csillap´ıt´ asi tényez˝ o értéke nagyobb lesz 1-nél. A pólusok értéke itt -1,6. A komplex p´ olusokb´ ol kiindul´ o´ agak kilépési szöge: 297◦ , illetve 63◦ .

A tag gy¨ okhelyg¨ orbéje:

6. A tag gy¨ okhelyg¨ orbéje:

A megadott p´ olusn´ al az er˝ os´ıtés értéke: K = 4 7. A vizsg´ aland´ o tag ´ atviteli f¨ uggvénye és I/O modellje: G(s) =

s+2 s+2 = 2 (s + 4 + j)(s + 4 − j) s + 8s + 17

y (2) (t) + 8y (1) (t) + 17y(t) = u(1) (t) + 2u(t) A tag zérusa: z = −2, p´ olusai: p1,2 = −4 ± j.


70

– A gy¨ okhelyg¨ orbe a felnyitott k¨ or p´ olusaiból indul ki, és az egyik ág a felnyitott kör zérusába, a m´ asik a végtelenbe tart. – A val´ os tengelyen a ] − ∞, −2] tartományban van gyökhelygörbe szakasz. – A végtelenbe tart´ o´ ag érint˝ ojének meredeksége: 180◦ . – A gy¨ okhelyg¨ orbének nincs s´ ulypontja. – A gy¨ okhelyg¨ orbe nem metszi a képzetes tengelyt, ´ıgy nincs kritikus er˝os´ıtés. – A gy¨ okhelyg¨ orbének kilépési pontja visszatérési pont, K ≥ 0, 47 esetén negat´ıv valós gyököket kapunk, azaz a csillap´ıt´ asi tényez˝ o értéke nagyobb lesz 1-nél. A pólusok értéke itt -4,2. – A komplex p´ olusokb´ ol kiindul´ o´ agak kilépési szöge: 243,5◦ , illetve 116,5◦ . A tag gy¨ okhelyg¨ orbéje:

8.

– A tagnak nincs zérusa, p´ olusai: p1 = −1, p2 = −2, p3 = −3. – A gy¨ okhelyg¨ orbe a felnyitott k¨ or p´ olusaiból indul ki, és min a három ág a végtelenbe tart. – A val´ os tengelyen a ] − ∞, −5] és a [−3, −1] intervallumokban vannak gyökhelygörbe szakaszok. – A végtelenbe tart´ o´ agak érint˝ oinek meredeksége 60◦ , 180◦ és 300◦ . – A gy¨ okhelyg¨ orbe s´ ulypontja (a végtelenbe tartó ágak érint˝oinek metszéspontja): -3. – A gy¨ okhelyg¨ orbe metszi a képzetes tengelyt, a kritikus er˝os´ıtés értéke, vagyis ahol a visszacsatolt k¨ or a stabilit´ as hat´ ar´ an van: K = 192. – A gy¨ okhelyg¨ orbének egy kilépési pontja van, melynek koordinátája x = −1, 84. – A gy¨ okhelyg¨ orbének nincs komplex pólusa. A tag gy¨ okhelyg¨ orbéje:

6. fejezet

A z-transzform´ aci´ o´ es a diszkr´ et bemenet-kimenet modell 6.1.


6.1.1.

A z-transzform´ aci´ ora vonatkoz´ o fontosabb o ¨sszef¨ ugg´ esek

Tekints¨ uk az al´ abbi ´ abr´ an l´ athat´ o mintavételezési eljárást.

A mintavételez˝ o egység egyik bemenete a mintavételezend˝o f (t) folytonos-folyamatos jel: f (t),

f (t) = 0, ha t < 0 ,

m´ıg a m´ asik a mintavételezést végz˝ o i∗ (t) egységimpulzus sorozat: i∗ (t) =

∞ X

δ(t − nT0 ) .

n=0

A mintavételez˝ o egység kimenetén a mintavételezett jel, f ∗ (t), mint modulált impulzussorozat jelenik meg: ∗

f (t) = f (t)

∞ X

δ(t − nT0 ) .

n=0

´ Atalak´ ıtva, majd Laplace-transzform´ alva ezt a kifejezést megkapjuk az f (t) f¨ uggvény diszkrét Laplace-transzform´ altj´ at defini´ al´ o alakot: ∞ X F ∗ (s) = f (nT0 )e−nT0 s . n=0

Az=e

sT0

kifejezést bevezetve megkapjuk a mintavételezett f¨ uggvény z-transzformáltját:

F (z) =

∞ X

f (nT0 )z −n .

n=0

71

´ O ´ ES ´ A DISZKRET ´ BEMENET-KIMENET MODELL FEJEZET 6. A Z-TRANSZFORMACI

72

A fenti levezetés eredményeként kapott képlet végtelen sort tartalmaz, és az összegképlet fel´ırása nem minden esetben egyszer˝ u. A szakirodalomban megtal´ alható a z-transzformáció defin´ıciójának általános esetre alkalmazhat´ o képlete. Itt csak az al´ abbi, egyszeres p´ olusok esetén alkalmazható képletet adjuk meg: F (z) =

P X Fz (pi ) i=1

z , · Fp0 (pi ) z − epi T0

ahol – F (s) =

Fz (s) Fp (s)

a jel Laplace-transzform´ altja racionális tört alakban;

– P a p´ olusok sz´ ama; – pi az i-dik p´ olus (i = 1, 2, . . . , P ); – Fz (pi ) = Fz (s)|s=pi a sz´ aml´ al´ o polinomjának értéke az s = pi helyen; 0

– Fz (pi ) =

dFp (s) ds |s=pi

a nevez˝ o polinom s-szerinti deriváltjának értéke az s = pi helyen.

Fontos megjegyezni, hogy a z-transzform´ ació elvégzéséhez felhasznált definiáló képlett˝ol f¨ uggetlen¨ ul, a kapott ¨ osszef¨ uggés csak a mintavételezési id˝ opontokban van kapcsolatban az id˝otartományban fel´ırt f¨ uggvénnyel. Ennek k¨ ovetkezménye, hogy a mintavételezési id˝opontokban azonos értéket felvev˝o f¨ uggvényeknek azonos lesz a z-transzform´ altja, m´ asrészt az inverz z-transzformáció csak a mintavételezési id˝opontokhoz tartozó értékeket adja vissza. Az id˝ otartom´ anyba val´ o visszatéréshez tehát az inverz z-transzformációt alkalmazható. Ennek által´ anos képlete: I 1 f (nT0 ) = F (z)z n−1 dz , 2πj Γ

azaz az inverz transzform´ aci´ o csak a mintavételezési id˝opontokbeli jelértékeket adja vissza. A gyakorlatban az invert´ al´ ast a k¨ ovetkez˝ o m´ odokon hajthatjuk végre: – Az invert´ aland´ o f¨ uggvényt olyan egyszer˝ u alakokra, részlettörtekre bontjuk fel, amelyeknek az inverzét m´ ar megtal´ aljuk 10.3 t´ abl´ azatban. A m´ odszer el˝onye, hogy zárt alak´ u képletet szolgáltat, ´ıgy tetsz˝ oleges mintavételezési id˝ oponthoz tartoz´ o érték azonnal meghatározható. Hátránya, hogy a megfelel˝o parci´ alis t¨ ortf¨ uggvény alakra hoz´ as nem mindig végezhet˝o el. – A jel z-transzform´ altjaként kapott racionális törtf¨ uggvény negat´ıv kitev˝os hatványsorba fejtése polinomoszt´ assal. Ha fel´ırjuk a mintavételez˝ o egység kiemenetén megjelen˝o impulzussorozatot: f ∗ (t) = f (0T0 )δ(t − 0T0 ) + f (1T0 )δ(t − 1T0 ) + f (2T0 )δ(t − 2T0 ) + . . . + f (nT0 )δ(t − nT0 ) + . . . és a jel negat´ıv kitev˝ os hatv´ anysorba fejtett z-transzformáltját: F (z) = a0 z 0 + a1 z −1 + a2 z −2 + . . . + an z −n + . . . , akkor a Dirac δ id˝ obeli eltol´ as´ ara vonatkozó z-transzformált alapján belátható, hogy a hatványsor egy¨ utthat´ oi az f f¨ uggvény mintavételezési id˝ opontokban felvett értékeit szolgáltatják. A módszer el˝onye az egyszer˝ u elvégezhet˝ oség, h´ atr´ anya, hogy a kérdéses id˝opont el˝otti valamennyi értéket ki kell számolni. A z-transzform´ aci´ o elvégzése sor´ an, a Laplace-transzformációhoz hasonlóan, k¨ ulönböz˝o tételeket kell figyelembe venni. Ezeket a szab´ alyokat, valamint a z-transzformáció során alkalmazható képleteket a 10.3 t´ abl´ azatban foglaltuk ¨ ossze. A 10.4 t´ abl´ azat a fontosabb f¨ uggvények folytonos és diszkrét idej˝ u alakjait, illetve Laplace- és z-transzform´ altjait tartalmazza. A táblázat alkalmazása kapcsán felh´ıvjuk a figyelmet, hogy a folytonos idej˝ u alakhoz meghat´ arozhatjuk a megfelel˝o z-transzformált alakot, viszont a z-transzformált alakb´ ol kiindulva csak a diszkrét idej˝ u f¨ uggvény ´ırhat´ o fel az inverz z-transzformációnál le´ırtak miatt.


6.1.2.

73

Diszkr´ et bemenet-kimenet modell

A folytonos idej˝ u rendszerek esetében alkalmazott lineáris differenciálegyenlet alak´ u bemenet-kimenet modellt: an y (n) (t) + an−1 y (n−1) (t) + · · · + a1 y (1) (t) + a0 y(t) = bm u(m) (t) + · · · + b0 u(t) a diszkrét id˝ otartom´ anyban val´ o alkalmaz´ ashoz differenciaegyenlet formára kell hozni. Ezért a differenciálh´ anyadost differenciah´ anyadossal, vagyis a deriv´ altak értékeit a mintavételezési id˝opontokban mért értékekkel kell közel´ıteni: dx ∆x ⇒ dt T0 Írjuk fel a differenci´ alh´ anyados defin´ıci´ oj´ at a következ˝o módokon: dx x(t + ∆t) − x(t) x(t) − x(t − ∆t) = lim = lim ∆t→0 ∆t→0 dt ∆t ∆t Az els˝ o defini´ al´ o képletet alkalmazva az u ´gynevezett el˝ orefelé vett differenci´ ak at kapjuk: dx x(t + T0 ) − x(t) x((k + 1)T0 ) − x(kT0 ) ≈ = dt T0 T0 A differenci´ alh´ anyados Laplace-transzform´ alt alakjából és a kapott diszkrét idej˝ u, közel´ıt˝o képlet z-transzform´ alt alakj´ ab´ ol levezethet˝ o, hogy a két oper´ atortartomány közötti áttérés a következ˝o képletekkel végezhet˝o el: s→

z−1 T0

z → 1 + T0 s

Ha a k¨ ozel´ıtést a differenci´ alh´ anyados m´ asik definiáló képletével végezz¨ uk el, akkor az u ń. visszafelé vett differenci´ ak at kapjuk meg: x(t) − x(t − T0 ) x(kT0 ) − x((k − 1)T0 ) dx ≈ = , dt T0 T0 és az oper´ atortartom´ anyok k¨ oz¨ otti ´ attérés az alábbi képletekkel végezhet˝o el közel´ıt˝o módon: s→

z−1 T0 z

z→

1 1 − T0 s

Egy harmadik lehet˝ oséget jelent a diszkretiz´ alásra a numerikus integrálás trapéz módszerén alapuló Tustinm´ odszer alkalmaz´ asa. Ebben az esetben az alábbi közel´ıt˝o képletek alkalmazhatók a tartományok k¨ oz¨ otti attérésre: ´ s→

2 z−1 T0 z + 1

z→

1+ 1−

T0 s 2 T0 s 2

Az ´ atalak´ıt´ as ut´ an kapott differenciaegyenlet alak´ u modellt kétféle alakban adhatjuk meg. A két fel´ır´ as k¨ ozti k¨ ul¨ onbség a jelent szimboliz´ al´ o kT0 mintavételezési id˝opont és a további id˝opontok viszonyán alapul. Ha a t¨ obbi jelérték a jelenhez képest kés˝ obbi mintavételezési id˝opontokból származik, akkor az u ń. el˝ orefelé vett differenciaegyenletet kapjuk: an y((k + n)T0 ) + an−1 y((k + n − 1)T0 ) + · · · + a1 y((k + 1)T0 ) + a0 y(kT0 ) = = bm u((k + m)T0 ) + · · · + b0 u(kT0 ) Az ilyen t´ıpus´ u egyenlet a mérn¨ oki gyakorlatban csak a megfigyelések elvégzése után, vagyis a mért kimeneti és bementi értékek ismeretében alkalmazhat´ o például az egyenlet egy¨ utthatóinak a meghatározására. Ha a t¨ obbi jelérték a jelenhez képest kor´ abbi mintavételezési id˝opontokból származik, akkor az u ń. visszafelé vett differenciaegyenletet kapjuk: a0 y(kT0 ) + a1 y((k − 1)T0 ) + · · · + an−1 y((k − n + 1)T0 ) + an y((k − n)T0 ) = = b0 u((k − d)T0 ) + · · · + bm u((k − d − m)T0 )


74

Ez az egyenlet, az egy¨ utthat´ ok ismeretében, már a modellezett rendszer m˝ uködése során is alkalmazhat´ o a legfrissebb id˝ oponthoz tartoz´ o kimeneti érték becslésére. Megjegyezz¨ uk, hogy az át´ırás során az egy¨ utthat´ ok értékei illetve a bemeneti oldal foksz´ ama megvátozhat. A két egyenlet köz¨ ul els˝osorban a visszafelé vett form´ at lehet a differenciaegyenletek iterat´ıv megold´ asánál alkalmazni. Amennyiben a kapott differenciaegyenlet egy tag vagy rendszer kimen˝o jelének viselkedését ´ırja le a kezd˝ o´ allapot és a bemen˝ o jel f¨ uggvényében, akkor a k¨ ovetkez˝o megoldási lehet˝oségeket alkalmazhatjuk. – A differenciaegyenlet analitikus megold´ asa. Ezzel a lehet˝oséggel itt nem foglalkozunk. – A differenciaegyenlet iterat´ıv megold´ asa id˝otartományban. Ebben az esetben a visszafelé vett differenciaegyenletet y(kT0 )-ra rendezz¨ uk, majd a bemenet adott mintavételi id˝opontokban felvett értékeinek és a kezdeti feltételek ismeretében lépésr˝ ol lépésre megoldjuk az egyenletet a keresett id˝oponthoz tartoz´ o kimeneti értékig. – A differenciaegyenlet megoldhat´ o a z-transzformáció seg´ıtségével. Els˝o lépésként az id˝otartománybeli modellt a kezd˝ o feltételek és bemen˝ o jel figyelembetételével z-transzformáljuk, majd a kapott kifejezést Y (z)-re rendezz¨ uk. Az ´ıgy el˝ o´ all´ o racionális törtf¨ uggvényt az inverz z-transzformációnál tanult m´ odon vagy parci´ alis t¨ ortekre bont´ as ut´ an t´ abl´ azat seg´ıtségével visszatranszformáljuk id˝otartományba, vagy polinomoszt´ as seg´ıtségével meghat´ arozzuk az egyes mintavételi pontokhoz tartozó értékeket. A tábl´ azat seg´ıtségével t¨ ortén˝ o vissza´ır´ as el˝ onye, hogy a kapott egyenletbe behelyettes´ıtve a keresett mintavételezési id˝ opont értékét, a hozz´ atartoz´ o jelérték egy lépésben meghatározható. Hátránya azonban, hogy a parci´ alis t¨ ortekre val´ o felbont´ as nem mindig végezhet˝o el. Polinomosztás alkalmazása esetén nincs sz¨ ukség a felbont´ as elvégzésére, viszont az oszt´ ast a keresett id˝oponthoz tartozó érték eléréséig el kell végezni.

6.2.


1. Hat´ arozza meg a k¨ ovetkez˝ o f¨ uggvények z-transzformáltjait! (a) f1 (t) = 1(t) I. megold´ as Mivel f1 (t) = 1, ha t ≥ 0, ezért az f ∗ (t) f¨ uggvény megegyezik az i∗ (t) impulzussorozattal: f1∗ (t) = i∗ (t) =

∞ X

δ(t − nT0 ) .

n=0

Így a diszkrét Laplace transzformált F1∗ (s) = I ∗ (s) =

∞ X

e−nT0 s ,

n=0

a z-transzform´ alt: F1 (z) = I(z) =

∞ X

z −n .

n=0

A kapott geometriai sor ¨ osszegezhet˝o, ha |e−T0 s | = |z −1 | < 1 , ekkor I ∗ (s) =

1 1 − eT0 s

I(z) =

1 z = . −1 1−z z−1

II. megold´ as Végezz¨ uk el a transzformációt az egyszeres pólusok esetén alkalmazható, zárt alak´ u kifejezést szolg´ altat´ o képlet alapján: F (z) =

P X Fz (pi ) i=1

z · . Fp0 (pi ) z − eT0 pi


75

Az 1(t) f¨ uggvény Laplace transzformáltja: F1 (s) = L{1(t)} =

1 . s

A kifejezésnek – egy p´ olusa van, P = 1, a p1 = 0 helyen; – a sz´ aml´ al´ o polinomja F1z (s) = 1, ´ıgy F1z (p1 ) = 1, – a nevez˝ o polinomja F1p (s) = s, deriváltja teh´ at

dF1p (s) ds

= 1, ´ıgy F1p (p1 ) = 1,

P X 1 z z z F1z (pi ) = · = · 0 T0 p i T0 ·0 z − e 1 z − e z − 1 F (p ) i=1 1p i

F1 (z) =

|z| > 1.

(b) f2 (t) = e−at I. megold´ as A mintavételezett f¨ uggvény: ∞ X

f2∗ (t) =

e−anT0 · δ(t − nT0 ) .

n=0

Ebb˝ ol a diszkrét Laplace transzformált: F2∗ (s) =

∞ X

e−anT0 e−nT0 s ,

n=0

a z-transzform´ alt: F2 (z) =

∞ X

e−anT0 z −n =

n=0

∞ X

(e−aT0 z −1 )n .

n=0

A kapott geometriai sor ¨ osszegezhet˝o, ha |e−T0 s | = |z −1 | < e−aT0 . Ekkor F2∗ (s) =

1 1−

e−aT0 eT0 s

F2 (z) =

1 1−

e−aT0 z −1

=

z . z − e−aT0

II. megold´ as Az e−at f¨ uggvény Laplace transzformáltja: F2 (s) = L{e−at } =

1 . s+a

A kifejezésnek – egy p´ olusa van, P = 1, a p1 = −a helyen; – a sz´ aml´ al´ o polinomja F2z (s) = 1, ´ıgy F2z (p1 ) = 1; dF

(s)

0

= 1, ´ıgy F 2p (p1 ) = 1, – a nevez˝ o polinomja F2p (s) = s + a, deriváltja 2p ds Elvégezve a transzform´ aci´ ot az egyszeres pólusok esetén alkalmazható, zárt alak´ u kifejezést szolg´ altat´ o képlet alapj´ an: F2 (z) =

P X F2z (pi ) i=1

z 1 z z = · = 0 1 z − eT0 (−a) z − e−aT0 F2p (pi ) z − eT0 pi

|z| > e−aT0 .

76

´ O ´ ES ´ A DISZKRET ´ BEMENET-KIMENET MODELL FEJEZET 6. A Z-TRANSZFORMACI (c) f3 (t) = 4e−2t + 2e−4t Megold´ as: Az f3 (t) f¨ uggvény Laplace-transzformáltja: F3 (s) = 4

1 1 +2 s+2 s+4

Felhaszn´ alva a z-transzform´ aci´ o tételeit (összeadás, konstanssal való szorzás) és 10.4 táblázat alapj´ an a z-transzform´ alt alak: F3 (z) = 4

z z +2 z − e−2T0 z − e−4T0

Legyen a mintavételezési id˝ o, T0 = 0, 5s: F3 (z) = 4

z z 6z 2 − 0, 64z + 2 = z − e−1 z − e−2 z 2 − 0, 5z + 0, 05

A folytonos f¨ uggvény diszkretiz´ alt alakja a következ˝o: f3 (kT0 ) = 4e−2kT0 + 2e−4kT0

(d) f4 (t) = 5 sin 4t − 4 cos 5t Megold´ as: A Laplace-transzform´ aci´ os tételek és a táblázat alapját az f4 (t) f¨ uggvény Laplace-transzformáltja: F4 (s) = 5

4 s −4 2 s2 + 16 s + 25

A z-transzform´ alt T0 ≈ π esetén: z 2 − z cos 5T0 z sin 4π z 2 − z cos 5π z sin 4T0 − 4 = 5 − 4 z 2 − 2z cos 4T0 + 1 z 2 − 2z cos 5T0 + 1 z 2 − 2z cos 4π + 1 z 2 − 2z cos 5π + 1 4z(z + 1) −4z =0− 2 = z + 2z + 1 z+1

F4 (z) = 5

(e) f5 (nT0 ) = 0, 6n Megold´ as: F5 (z) =

∞ X

f5 (nT0 )z −n = 1 + 0, 6z −1 + 0, 62 z −2 + 0, 63 z −3 + . . . =

n=0

=

1 z = −1 1 − 0, 6z z − 0, 6

|z| > 0, 6

(f) f6 (nT0 ) = (−5)n Megold´ as: F6 (z) =

∞ X

f6 (nT0 )z −n = 1 + (−5)z −1 + (−5)2 z −2 + (−5)3 z −3 + . . . =

n=0

=

1 z = −1 1 − (−5z ) z+5

|z| > 5


77

(g) f7 (nT0 ) = 3 + 2(−5)n Megold´ as: f7 (nT0 ) = 3 + 2(−5)n = 3 · 1(nT0 ) + 2(−5)n

F7 (z) =

∞ X

(3 · 1(nT0 ) + 2(−5)n )z −n = 3

n=0

|z| > 1

\

z 5z 2 + 13z z +2 = 2 z−1 z+5 z + 4z − 5

|z| > 5 ⇒ |z| > 5

´ 2. Ertelmezz¨ uk az eltol´ asi tételt a differencia egyenletek kezdeti feltételeihez kapcsolódóan! Megold´ as: Hat´ arozzuk meg az f8 (kT0 ) diszkrét idej˝ u f¨ uggvény z-transzformáltját, ha a f¨ uggvényt egy mintavételezési id˝ ovel balra toljuk el és adott f (−1T0 ) f¨ uggvényérték! Z{f ((k − 1)T0 )} = f (−1T0 )z 0 + f (0T0 )z −1 + f (1T0 )z −2 + . . . + f (nT0 )z −n−1 + . . . = = f (−1T0 ) + z −1 f (0T0 ) + f (1T0 )z −1 + . . . + f (nT0 )z −n + . . . = = f (−1T0 ) + z −1 F (z) ´ Altal´ anos´ıtva: Z{f ((k − n)T0 )} = z −n F (z) + z −n+1 f (−1T0 ) + z −n+2 f (−2T0 ) + . . . + f (−nT0 ) 3. Oldjuk meg az al´ abbi differenciaegyenletet z-transzformációval illetve iterat´ıv módon, ha T0 = 1s! y(kT0 ) − 4y((k − 1)T0 ) + 3y((k − 2)T0 ) = 1(kT0 )

ha

y(−1) = 1,

y(−2) = 2

Megold´ as: z-transzform´ aci´ oval : Figyelembe véve a mintavételezési id˝ot: y(k) − 4y(k − 1) + 3y(k − 2) = 1(k) Elvégezve a z-transzform´ aci´ ot a kezdetei feltételek az el˝oz˝o feladatnak megfelel˝oen figyelembe vételével: Y (z) − 4 z −1 Y (z) + y(−1) + 3 z −2 Y (z) + z −1 y(−1) + y(−2) =

z z−1

Végezz¨ uk el az egyenlet rendezését! Y (z) − 4 z −1 Y (z) + 1 + 3 z −2 Y (z) + z −1 + 2 = Y (z) − 4z −1 Y (z) − 4 + 3z −2 Y (z) + 3z −1 + 6 = z 2 Y (z) − 4zY (z) − 4z 2 + 3Y (z) + 3z + 6z 2 = (z 2 − 4z + 3)Y (z) = (z 2 − 4z + 3)Y (z) = Y (z) =

z z−1 z z−1 z2 z−1 z + 4z 2 − 3z − 6z 2 z−1 −z 3 − z 2 + 3z z−1 −z 3 − z 2 + 3z (z − 1)(z 2 − 4z + 3)

78

´ O ´ ES ´ A DISZKRET ´ BEMENET-KIMENET MODELL FEJEZET 6. A Z-TRANSZFORMACI Az iverz z-transzform´ aci´ ohoz hat´ arozzuk meg a parciális törtek egy¨ utthatóit a következ˝o alak alapj´ an: Y (z) −z 2 − z + 3 = z (z − 3)(z − 1)2 −z 2 − z + 3 A B C = + + (z − 3)(z − 1)2 z − 3 z − 1 (z − 1)2 −z 2 − z + 3 = A(z − 1)2 + B(z − 1)(z − 3) + C(z − 3) Az A és C egy¨ utthat´ ok: −z 2 − z + 3 A= (z − 1)2

=

−9 − 3 + 3 = −2, 25 (3 − 1)2

z=3 −z 2 − z + 3 −1 − 1 + 3 C= = = −0, 5 z−3 1−3 z=1

A B egy¨ utthat´ o meghat´ aroz´ as´ ahoz ´ırjuk be az A és C egy¨ utthatók értékét, és helyettes´ıts¨ unk be z = 0-t: −z 2 − z + 3 = −2, 25(z − 1)2 + B(z − 1)(z − 3) − 0, 5(z − 3) 3 = −2, 25 + 3B + 1, 5 B = 1, 25 Így a parci´ alis t¨ ortekre bontott kifejezés: z z z Y (z) = −2, 25 + 1, 25 − 0, 5 . z−3 z−1 (z − 1)2 Elvégezve az inverz z-transzform´ aciót: y(k) = −2, 25 · 3k · 1(k) + 1, 25 · 1(k) − 0, 5 · k · 1(k) Hat´ arozzuk meg y(k) értékét az els˝o három mintavételezési pontban: k = 0 y(0) = −2, 25 · 30 · 1(0) + 1, 25 · 1(0) − 0, 5 · 0 · 1(0) = = −2, 25 + 1, 25 − 0 = −1 k = 1 y(1) = −2, 25 · 31 · 1(1) + 1, 25 · 1(1) − 0, 5 · 1 · 1(1) = = −2, 25 · 3 + 1, 25 − 0, 5 = −6 k = 2 y(2) = −2, 25 · 32 · 1(2) + 1, 25 · 1(2) − 0, 5 · 2 · 1(2) = = −2, 25 · 9 + 1, 25 − 0, 5 · 2 = −20 .. . k = 10 y(10) = −2, 25 · 31 0 · 1(2) + 1, 25 · 1(2) − 0, 5 · 2 · 1(2) = = −2, 25 · 59049 + 1, 25 − 0, 5 · 2 = −132860, 5 iterat´ıv megold´ as : A megoldand´ o egyenlet: y(kT0 ) − 4y((k − 1)T0 ) + 3y((k − 2)T0 ) = 1(kT0 )

ha

y(−1) = 1,

y(−2) = 2,

T0 = 1s

Behelyettes´ıtve a megfelel˝ o értékeket a következ˝o megoldásokat kapjuk a kérdéses id˝opontokban: k = 0 y(0) = 4y(−1) − 3y(−2) + 1(0) = 4 · 1 − 3 · 2 + 1 = −1 k = 1 y(1) = 4y(0) − 3y(−1) + 1(1) = 4 · (−1) − 3 · 1 + 1 = −6 k = 2 y(2) = 4y(1) − 3y(0) + 1(2) = 4 · (−6) − 3 · (−1) + 1 = −20 .. . k = 10 y(10) = 4y(9) − 3y(8) + 1(10) = 4 · (???) − 3 · (???) + 1 = Mint l´ athat´ o, ebben az esetben a megoldás lényeges egyszer˝ ubb, de m´ıg az egy adott id˝oponthoz tartoz´ o érték meghat´ aroz´ asa a z-transzformáció alkalmazásával kapott megoldás esetén egyszer˝ u behelyettes´ıtéssel elvégezhet˝ o, addig az iterat´ıv megoldásnál csak valamennyi korábbi id˝oponthoz tartoz´ o érték meghat´ aroz´ asa ut´ an kapható meg.


6.3.

79


6.3.1.

Feladatok a z- ´ es inverz z-transzform´ aci´ o t´ emak¨ or´ eb˝ ol

1. Hat´ arozza meg a k¨ ovetkez˝ o f¨ uggvények z-transzformáltját! (a) f1 (t) = 5 · 1(t) (b) f2 (t) = 3 · e−2t (c) f3 (t) = 2 · (1 − e2t ) (d) f4 (t) = 0, 5(t − 1(t)) (e) f5 (t) = δ(t − 2T0 ) + 1(t − T0 ) 2. Hat´ arozza meg a k¨ ovetkez˝ o f¨ uggvények z-transzformáltját! (Ahol T0 nincs megadva, ott maradjon paraméter!) (a) F1 (s) = (b) F2 (s) = (c) F3 (s) = (d) F4 (s) = (e) F5 (s) = (f) F6 (s) = (g) F7 (s) =

4 s2 + 2s 2 2 s + 4s + 3 1 s(s2 + 6s + 8) 26 , T0 = 10 4s(13s + 1, 8) 6 2s2 + 8 4 , T0 = 1, 05 2 s(2s + 18) 3s + 3 , T0 = 0, 1 2s2 + 2s + 2

3. Hat´ arozza meg a k¨ ovetkez˝ o f¨ uggvények z-transzformáltját! (a) f1 (nT0 ) = 2n (b) f2 (nT0 ) = (−3)n (c) f3 (nT0 ) = 2 · δ(nT0 ) − 4 · δ((n − 2)T0 ) (d) f4 (nT0 ) = 2 + 5 · (−3)n (e) f5 (nT0 ) = (n − 3)1 ((n − 4)T0 ) (Tipp: a transzform´ aci´ o el˝ ott l´ assa be, hogy (n−3)1 ((n − 4)T0 ) = (n−4)1 ((n − 4)T0 )+1 ((n − 4)T0 )!) 4. Feladatok z-transzform´ aci´ o a k¨ ozel´ıt˝ o módszerekkel történ˝o elvégzésére. s+2 az f1 (t) Laplace-tarnszformáltja! + 3s + 4 Hat´ arozza meg, hogy hova tart a f¨ uggvény t → ∞-ben! Hat´ arozza meg a f¨ uggvény z-transzformáltjának közel´ıt˝o alakját az el˝orefelé vett differenci´ ak m´ odszerével, és vizsg´ alja meg a kapott f¨ uggvény határértékét! Végezze el a k¨ ozel´ıtést a visszafelé vett differenciák módszerével, és vizsgálja meg ebben az esetben is a kapott f¨ uggvény t → ∞-ben felvett értékét! Alkalmazza a Tustin-m´ odszert a közel´ıt˝o alak meghatározására, és határozza meg a határértéket ebben az esetben is!

(a) Legyen F1 (s) = i. ii. iii. iv.

s2

Megjegyzés: a mintavételezési id˝ o T0 = 0, 5s mindhárom esetben! 2s + 1 az f2 (t) Laplace-tarnszformáltja! (b) Legyen F2 (s) = 0, 5s2 − 2s + 2, 5 i. Hat´ arozza meg, hogy hova tart a f¨ uggvény t → ∞-ben!


80

ii. Hat´ arozza meg a f¨ uggvény z-transzformáltjának közel´ıt˝o alakját az el˝orefelé vett differenci´ ak m´ odszerével, és vizsg´ alja meg a kapott f¨ uggvény határértékét! iii. Végezze el a k¨ ozel´ıtést a visszafelé vett differenciák módszerével, és vizsgálja meg ebben az esetben is a kapott f¨ uggvény t → ∞-ben felvett értékét! iv. Alkalmazza a Tustin-m´ odszert a közel´ıt˝o alak meghatározására, és határozza meg a határértéket ebben az esetben is! Megjegyzés: a mintavételezési id˝ o T0 = 1s mindhárom esetben! 5. Hat´ arozza meg a k¨ ovetkez˝ o f¨ uggvények inverz z-transzformáltját a 10.4 táblázat seg´ıtségével! 9z 3z + 0, 6 5 (b) F2 (z) = 2z − 4 2z + 1 (c) F3 (z) = 4z − 0, 8 (a) F1 (z) =

4z 2 + 2z z2 − 1 2z 2 + z (e) F5 (z) = 2 z + 0, 75z + 0, 125

(d) F4 (z) =

6. Hat´ arozza meg polinomoszt´ as seg´ıtségével a f¨ uggvények értékeit a megadott mintavételezési id˝opontban! (a) F1 (z) = (b) F2 (z) = (c) F3 (z) =

6.3.2.

z3

−

2z + 2z − 0, 5

2, 5z 2

0, 5z 3

2z 2 + 4z + z 2 + 2z + 3

f1 (4T0 ) =? f2 (5T0 ) =?

z2 + z + 1 z 3 + 0, 2z 2 + 0, 25z + 0, 05

f3 (4T0 ) =?

Megold´ asok

5z z−1 3z (b) F2 (z) = z − e−2T0 2z(1 − e2T0 ) (c) F3 (z) = (z − 1)(z − e2T0 )

1. (a) F1 (z) =

0, 5z(1 + T0 − z) (z − 1)2 1 (e) F5 (z) = 2 z −z

(d) F4 (z) =

5z z−1 3z F2 (z) = z − e−2T0 1 z 2z z 1 (1 − e−2T0 )z + e−2T0 − e−4T0 + e−6T0 F3 (z) = − + = z 8 z − 1 z − e−2T0 z − e−4T0 8 (z − 1)(z − e−2T0 )(z − e−4T0 ) 0, 375z F4 (z) = 2 z − 1, 25z + 0, 25 z sin 2T0 F5 (z) = 1, 5 2 z − 2z cos 2T0 + 1

2. (a) F1 (z) = (b) (c) (d) (e)


81

4 z 9 z2 − 1 z 2 − 0, 9z (g) F7 (z) = 3 2 z − 1, 8z + 0, 82 (f) F6 (z) =

3. (a) F1 (z) = (b) F2 (z) = (c) F3 (z) = (d) F4 (z) = (e) F5 (z) =

z z−2 z z+3 2z 2 − 4 z2 7z 2 + z z 2 + 2z − 3 1 z 2 (z − 1)2

4. (a) A f¨ uggvény F1 (s) =

s+2 s2 + 3s + 4

i. lim f1 (t) = 0 t→∞

0, 5z , − 0, 5z + 0, 5 z 2 − 0, 5z iii. F1V (z) = , 3, 5z 2 − 3, 5z + 1 3z 2 + 2z − 1 iv. F1T (z) = , 16z 2 − 12z + 4 ii. F1E (z) =

z2

lim f1E (kT0 ) = 0

k→∞

lim f1V (kT0 ) = 0

k→∞

lim f1T (kT0 ) = 0

k→∞

2s + 1 0, 5s2 − 2s + 2, 5 limt→∞ f2 (t) = ∞, pozit´ıv val´ os rész˝ u póluspár! 2z − 1 F2E (z) = , lim f2E (kT0 ) = ∞, 1-nél nagyobb abszol´ ut érték˝ u pólusok! k→∞ 0, 5z 2 − 3z + 5 3z 2 − 2z F2V (z) = 2 , lim f2V (kT0 ) = 0, 4, 1-nél kisebb abszol´ ut érték˝ u pólusok! k→∞ z − z + 0, 5 5z 2 + 2z − 3 , lim f2T (kT0 ) = ∞, 1-nél nagyobb abszol´ ut érték˝ u pólusok! F2T (z) = k→∞ 0, 5z 2 + z + 8, 5

(b) A f¨ uggvény F2 (s) = i. ii. iii. iv.

5. (a) f1 (nT0 ) = 3 · (−0, 2)n · 1(nT0 ) (b) f2 (nT0 ) = 2, 5 · 2n−1 · 1((n − 1)T0 ) (c) f3 (nT0 ) = 0, 5 · 0, 2n · 1(nT0 ) + 0, 25 · 0, 2n−1 · 1((n − 1)T0 ) = 0, 5 · 1(0) + 1, 75 · 0, 2n · 1((n − 1)T0 ) (d) f4 (nT0 ) = (−1)n · 1(nT0 ) + 3 · 1(nT0 ) (e) f5 (nT0 ) = 2 · 0, 25n · 1(nT0 ) 6. (a) f1 (4T0 ) = 8, 5 (b) f2 (5T0 ) = 48 (c) f3 (4T0 ) = −0, 368

82


7. fejezet

Mintav´ etelezett rendszerek 7.1.


7.1.1.

Az impulzus-´ atviteli f¨ uggv´ eny

Tekints¨ uk az al´ abbi mintavételezett tagot:

ahol u(t) - folyamatos idej˝ u bemen˝ o jel; u∗ (t) - minatvételezett (diszkrét idej˝ u) bemen˝o jel; h(t) - a folyamatos m˝ uk¨ odés˝ u tag s´ ulyf¨ uggvénye; y(t) - a tag folyamatos idej˝ u kimenete; y ∗ (t) - a tag mintavételezett kimenete; T0 - a mintavételezési peri´ odusid˝ o. A mintavételezett tag m˝ uk¨ odésének jellemzésére - folytonos id˝otartományhoz hasonló módon - operátortartom´ anybeli osszef¨ ¨ uggés vezethet˝ o le. Az impulzus-´ atviteli f¨ uggvény defin´ıciója a következ˝o: Z(y ∗ (t)) Y (z) = G(z) = Z(u∗ (t)) zérus k.f. U (z) z.k.f. Az impulzus-´ atviteli f¨ uggvény teh´ at a mintavételezett kimenet és bemenet z-transzformáltjainak hányadosa zérus kezdeti feltételek mellett. Az impulzus-átviteli f¨ uggvény csak a mintavételezési id˝opontokban lesz a rendszer modellje, miut´ an csak ezekben a pontokban van kapcsolatban az eredeti folytonos idej˝ u modellel. Hasonl´ oan az ´ atviteli f¨ uggvényhez, az impulzus-átviteli f¨ uggvényt is racionális törtf¨ uggvény alakban adhatjuk meg, de ahogy a bemenet - kimenet modellnél is fel´ırtuk az el˝ore és visszafelé vett alakot, itt is használhatunk pozit´ıv és negat´ıv kitev˝ os polinomokat:

G(z) =

Y (z) bm z m + bm−1 z m−1 + · · · + b1 z + b0 = = U (z) an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 bm z −d + bm−1 z −d−1 + · · · + b1 z −m−d+1 + b0 z −m−d = an + an−1 z −1 + · · · + a1 z −n+1 + a0 z −n 83

´ FEJEZET 7. MINTAVETELEZETT RENDSZEREK

84

7.1.2.

Az ered˝ o impulzus-´ atviteli f¨ uggv´ eny meghat´ aroz´ asa

Tagcsoportot tartalmaz´ o mintavételes rendszerek ered˝o impulzus-átviteli f¨ uggvényének meghatározásánál figyelembe kell venni, hogy a mintavételez˝ o szervek mely tagok között helyezkednek el. A jelformáló tagok és a mintavételez˝ ok k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o sorrend˝ u kapcsol´ asa esetén az ered˝o impulzus-átviteli f¨ uggvény a következ˝o m´ odon hat´ arozhat´ o meg. – Mintavételez˝ o el˝ otti és ut´ ani jelek:

U (s) = L{u(t)} ,

U (z) = Z{u∗ (t)} .

– Mintavételezés csak a kimen˝ o jelnél:

Y (s) = G(s)U (s) ,

Y (z) = Z{G(s)U (s)} , GU (z) .

– Mintavételezés csak a bemen˝ o jelnél:

Y (s) = G(s)U ∗ (s) . – Sorba kapcsolt tagok, de minden tag el˝ ott és után van mintavételez˝o:

Y (z) = Ge (z)U (z) ,

Ge (z) = G1 (z)G2 (z)

– Sorba kapcsolt tagok, de a tagok k¨ oz¨ ott nincs mintavételez˝o:

Y (z) = Ge (z)U (z) ,

Ge (z) = Z{G1 (s)G2 (s)} , G1 G2 (z)

– Visszacsatolt k¨ or, tagok el˝ ott és ut´ an mintavételez˝ovel:

Y (z) = Ge (z)W (z) ,

Ge (z) =

Y (z Go (z) = W (z) 1 + Go (z)Gm (z)


85

– Visszacsatolt k¨ or, de a visszacsatol´ asn´ al nincs mintavételezés:

Y (z) = Ge (z)W (z) ,

7.1.3.

Ge (z) =

Y (z Go (z) Go (z) = = W (z) 1 + Z{(Go (s)Gm (s))} 1 + Go Gm (z)

Diszkr´ et idej˝ u rendszerek er˝ os´ıt´ es´ enek meghat´ aroz´ asa

Diszkrét idej˝ u bemenet-kimenet modellel le´ırt rendszerek esetében az er˝os´ıtést a következ˝o összef¨ uggés alapj´ an hat´ arozhatjuk meg: m P

K = i=0 n P

bi ai

j=0

azaz diszkrét idej˝ u rendszerek esetében az er˝ os´ıtést a bemenet-kimenet modellben szerepl˝o polinomok egy¨ utthat´ oi ¨ osszegének h´ anyadosaként lehet meghat´ arozni. Hasonl´ o eredményre jutunk, ha a végérték-tételt alkalmazzuk. Legyen a bemenet az egységugrás f¨ uggvény, ekkor: u(t) = 1(t) ⇒ U (z) =

z z−1

z−1 z−1 z−1 Y (z) = lim G(z)U (z) = lim G(z) = k→1 k→1 z z z bm z m + bm−1 z m−1 + · · · + b1 z + b0 = lim =K k→1 an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0

lim y(kT0 ) = lim

k→∞

7.1.4.

k→1

Nulladrend˝ u tart´ oszerv

A mintavételezés értelmezésénél le´ırtaknak megfelel˝oen a bemen˝o jel impulzusok formájában ker¨ ul a jelform´ al´ o tag bemenetére. Ez a gyakorlatban azt jelentené, hogy egy szabályzási körben a szabályozó által meghatározott beavatkoz´ o jel, mint impulzus ker¨ ul kik¨ uldésre az irány´ıtott szakasz felé az adott mintavételi id˝opontban. Ezut´ an, a k¨ ovetkez˝ o mintavételi id˝ opontig nincs u ´jabb információ a beavatkozó jel értékére, azaz a kik¨ uld¨ ott jel értéke nulla. Sok esetben ez az impulzusok kik¨ uldésén alapuló eljárás nem megfelel˝o, ezért olyan egységet, nulladrend˝ u tart´ oszervet kell beép´ıteni, amely az el˝oz˝o mintavételi id˝oponthoz tartozó információt meg˝ orzi a k¨ ovetkez˝ o mintavételezési id˝ opontig. A tart´ oszerv bemenetére mintavételezett jel ker¨ ul, m´ıg a kimenetén a tartott folytonos jel lép ki. Ennek alapj´ an a nulladrend˝ u tart´ oszerv ´ atviteli f¨ uggvénye a következ˝o lesz: Gh0 (s) =

1 − eT0 s s

A teljes tagcsoport – mintavételez˝ o, nulladrend˝ u tartó, objektum, mintavételez˝o – ered˝o impulzus-átviteli f¨ uggvényét a k¨ ovetkez˝ o m´ odon hat´ arozhatjuk meg: Ge (z) = Z(Gh0 (s)GP (s)) = (1 − z −1 )Z(

GP (s) ) s


86

7.2.


1. Alkalmazzuk a defin´ıci´ o szerinti és a k¨ ozel´ıt˝o módszereken alapuló át´ırást a következ˝o kifejezésre! F6 (s) =

1 , (s + 2)(s + 4)

T0 = 0, 5s

Defin´ıci´ o szerinti ´ at´ır´ as : I. megold´ as Miut´ an a megadott Laplace-transzformált nevez˝ojében csak egyszeres gyökök találhatók, ezért végezz¨ uk el a transzform´ aci´ ot az erre az esetre alkalmazható, zárt alak´ u kifejezést szolgáltató képlet alapj´ an! A F6 (s) f¨ uggvény – nevez˝ ojében két p´ olus van, ´ıgy P = 2, és a pólusok: p1 = −2 és p2 = −4; – a sz´ aml´ al´ o polinomja Fz (s) = 1, ´ıgy Fz (pi ) = 1, i = 1, 2; – a nevez˝ o polinomja Fp (s) = s2 + 6s + 8, deriváltja 0 = 2(−2) + 6 = 2 Fp (s)

dFp (s) ds

= 2s + 6, ´ıgy

s=−2

0 Fp (s)

= 2(−4) + 6 = −2 ; s=−4

teh´ at F6D (z) =

P X Fz (pi ) i=1

z 1 z 1 z · = − , Fp0 (pi ) z − eT0 pi 2 z − e−2T0 2 z − e−4T0

F6D (z) =

z(e−2T0 − e−4T0 ) 1 , 2 z 2 − (e−2T0 + e−4T0 )z + e−6T0

F6D (z) =

z(e−1 − e−2 ) 0, 116z 1 = 2 2 2 z − (e−1 + e−2 )z + e−3 z − 0, 503z + 0, 05

II. megold´ as Bontsuk fel az F3 (s) f¨ uggvényt parciális törtekre, és végezz¨ uk el a transzformációt a z-transzform´ aci´ os t´ abl´ azat seg´ıtségével: F6 (s) =

1 A B = + (s + 2)(s + 4) s+2 s+4

1 = A(s + 4) + B(s + 2) 1 1 1 1 A= = B= =− s + 4 s=−2 2 s + 2 s=−4 2 F6 (s) =

1 1 1 1 1 = − (s + 2)(s + 4) 2s+2 2s+4

1 z 1 z − 2 z − e−2T0 2 z − e−4T0 A kapott z-transzform´ alt megegyezik az I. megoldás eredményével. F6D (z) =

El˝ orefel´ e vett differenci´ akon alapul´ o´ at´ır´ as : Végezz¨ uk el a transzform´ aci´ ot a differenciálhányadosnak az el˝orefelé vett differenciákon alapul´ o k¨ ozel´ıtésénél levezetett képlettel: s∼

z−1 T0

A transzform´ aland´ o f¨ uggvény: F6 (s) =

1 1 = 2 (s + 2)(s + 4) s + 6s + 8


87

Behelyettes´ıtve a k¨ ozel´ıt˝ o képletet: F6E (z) =

1 z−1 T0

!2

.

z−1 +6 +8 T0

Behelyettes´ıtve a mintavételezési id˝o értékét és rendezve a képletet: F6E (z) =

1 2

(z − 1) z−1 +6 +8 0, 25 0, 5

=

0, 25 . z2 + z

Visszafel´ e vett differenci´ akon alapul´ o´ at´ır´ as : Végezz¨ uk el a transzform´ aci´ ot a differenciálhányadosnak a visszafelé vett differenciákon alapul´ o k¨ ozel´ıtésénél levezetett képlettel: s∼

z−1 zT0


1 1 = 2 (s + 2)(s + 4) s + 6s + 8

Behelyettes´ıtve a k¨ ozel´ıt˝ o képletet: F6V (z) =

1 . !2 z−1 z−1 +6 +8 zT0 zT0

Behelyettes´ıtve a mintavételezési id˝o értékét és rendezve a képletet: F6V (z) =

1 (z − 1)2 z−1 +6 +8 0, 25z 2 0, 5z

=

0, 25z 2 . 6z 2 − 5z + 1

Tustin m´ odszeren alapul´ o´ at´ır´ as : A Tustin m´ odszeren alapul´ o´ at´ır´ as közel´ıt˝o képlete: s∼

2 z−1 T0 z + 1


1 1 = 2 (s + 2)(s + 4) s + 6s + 8

Behelyettes´ıtve a k¨ ozel´ıt˝ o képletet: F6T (z) =

1 . !2 2 z−1 2 z−1 +6 +8 T0 z + 1 T0 z + 1

Behelyettes´ıtve a mintavételezési id˝o értékét és rendezve a képletet: 1

F6T (z) =

2

16

(z − 1) z−1 + 24 +8 2 (z + 1) z+1

=

z 2 + 2z + 1 . 48z 2 − 16z


88

2. Tételezz¨ uk fel, hogy az el˝ oz˝ o péld´ aban szerepl˝o F6 (s) f¨ uggvény egy folytonos idej˝ u dinamikus tag átviteli f¨ uggvénye! Vizsg´ aljuk a meg a megfelel˝o végérték tétel seg´ıtségével, hogy hova tart a tag átmeneti f¨ uggvénye folytonos idej˝ u kimenetet feltételezve, illetve az átviteli f¨ uggvény k¨ ulönböz˝o módon elvégzett diszkrétiz´ al´ asa ut´ an mintavételezett kimenetet feltételezve! Folytonos idej˝ u kimenet : ´ Atmeneti f¨ uggvény esetén a bemen˝ o jel az 1(t) f¨ uggvény, ´ıgy alkalmazva a Laplace-transzform´ aci´ ora vonatkoz´ o végérték tételt: lim y(t) = lim sY (s) = lim sF3 (s)U (s) = lim s

t→∞

s→0

s→0

s→0

1 1 1 = lim . s2 + 6s + 8 s s→0 s2 + 6s + 8

A hat´ arértéksz´ am´ıt´ as elvégzése el˝ ott ellen˝orizni kell, hogy a vizsgálandó kifejezés pólusai eleget tesznek-e a stabilit´ asi feltételnek. Miután a két pólus p1 = −2 és p2 = −4, azaz mindkett˝ ore igaz, hogy Re(pi ) < 0, ´ıgy a hat´ arérték szám´ıtás elvégezhet˝o: lim y(t) = . . . = lim

t→∞

s→0

1 1 = . s2 + 6s + 8 8

A kapott érték természetesen megfelel a tag er˝os´ıtésének. Mintav´ etelezett kimenet a defin´ıci´ o szerinti diszkretiz´ al´ as eset´ en : ´ Atmeneti f¨ uggvény esetén a bemen˝o jel a diszkrét egységugrás f¨ uggvény 1(kT0 ), melynek z-transzz . Így alkalmazva a z-transzformációra vonatkozó végértéktételt: form´ altja z−1 z−1 z−1 z−1 0, 116z z−1 Y (z) = lim F6D (z)U (z) = lim = z→1 z→1 z z z z 2 − 0, 503z + 0, 05 z 0, 116z . = lim 2 z→1 z − 0, 503z + 0, 05

lim y(kT0 ) = lim

k→∞

z→1

A hat´ arértéksz´ am´ıt´ as elvégzése el˝ ott diszkrét idej˝ u esetben is ellen˝orizni kell, hogy a vizsgáland´ o kifejezés p´ olusai eleget tesznek-e a stabilitási feltételnek. A nevez˝oben szerepl˝o másodfok´ u polinom gy¨ okei, azaz a két p´ olus p1 = 0, 137 és p2 = 0, 367. Diszkrét idej˝ u rendszerek esetében 8 fejezetben t´ argyalt tételnek megfelel˝ oen, a p´ olusok abszol´ ut értékének kell 1-nél kisebbnek lenni¨ uk a végérték tétel alkalmazhat´ os´ ag´ ahoz. Miut´ an a konkrét esetben |pi | < 1; i = 1, 2 teljes¨ ul, ´ıgy a határérték sz´ am´ıt´ as elvégezhet˝ o: lim y(kT0 ) = . . . = lim

z→1 z 2

k→∞

0, 116z 1 = 0, 212 = . − 0, 503z + 0, 05 4, 71

A kapott érték természetesen ebben az esetben is megfelel a diszkretizált tag er˝os´ıtésének. Mintav´ etelezett kimenet az el˝ orefel´ e vett differenci´ ak szerinti k¨ ozel´ıt´ es eset´ en : Hasonl´ oan az el˝ oz˝ o esethez a bemenet az 1(kT0 ) f¨ uggvény. Alkalmazva a z-transzformációra vonatkoz´ o végértéktételt: z−1 z−1 z − 1 0, 25 z − 1 Y (z) = lim F6E (z)U (z) = lim = z→1 z→1 z z z z2 + z z 0, 25 = lim 2 . z→1 z + z

lim y(kT0 ) = lim

k→∞

z→1

A defin´ıci´ o szerint ´ at´ırt alak esetében le´ırtaknak megfelel˝oen itt is ellen˝orizz¨ uk a pólusokat! Miut´ an az el˝ orefelé vett differenci´ akon alapul´ o közel´ıt˝o képlet alkalmazásával kapott impulzus átviteli f¨ uggvény p´ olusai p1 = 0 és p2 = −1, de |p2 | ≮ 1, ´ıgy a határérték szám´ıtás nem végezhet˝o el! Mintav´ etelezett kimenet visszafel´ e vett differenci´ ak szerinti k¨ ozel´ıt´ es eset´ en : Hasonl´ oan az el˝ oz˝ o esethez a bemenet az 1(kT0 ) f¨ uggvény. Alkalmazva a z-transzformációra vonatkoz´ o végértéktételt: z−1 z−1 z − 1 0, 25z 2 z−1 Y (z) = lim F6V (z)U (z) = lim = z→1 z→1 z→1 z z z 6z 2 − 5z + 1 z 0, 25z 2 = lim 2 . z→1 6z − 5z + 1

lim y(kT0 ) = lim

k→∞


89

A defin´ıci´ o szerint ´ at´ırt alak esetében le´ırtaknak megfelel˝oen itt is ellen˝orizz¨ uk a pólusokat! Az impulzus ´ atviteli f¨ uggvény p´ olusai ebben az esetben p1 = 0, 333 és p2 = 0, 5, és |pi | < 1; i = 1, 2 teljes¨ ul, ´ıgy a hat´ arérték sz´ am´ıt´ as elvégezhet˝o: 0, 25z 2 1 = . z→1 6z 2 − 5z + 1 8

lim y(kT0 ) = . . . = lim

k→∞

Mintav´ etelezett kimenet Tustin m´ odszer szerinti k¨ ozel´ıt´ es eset´ en : Az el˝ oz˝ o esethez hasonl´ oan a bemenet az 1(kT0 ) f¨ uggvény. Alkalmazva a z-transzformációra vonatkoz´ o végértéktételt: z−1 z − 1 z 2 + 2z + 1 z − 1 z−1 Y (z) = lim F6T (z)U (z) = lim = z→1 z→1 z→1 z z z 48z 2 − 16z z z 2 + 2z + 1 = lim . z→1 48z 2 − 16z

lim y(kT0 ) = lim

k→∞

A defin´ıci´ o szerint ´ at´ırt alak esetében le´ırtaknak megfelel˝oen itt is ellen˝orizz¨ uk a pólusokat! Az impulzus ´ atviteli f¨ uggvény p´ olusai ebben az esetben p1 = 0, 333 és p2 = 0, 5, és |pi | < 1; i = 1, 2 teljes¨ ul, ´ıgy a hat´ arérték sz´ am´ıt´ as elvégezhet˝o: 1 z 2 + 2z + 1 = . 2 z→1 48z − 16z 8

lim y(kT0 ) = . . . = lim

k→∞

3. Vizsg´ aljuk meg a folytonos és a diszkretizált tagok átmeneti f¨ uggvényeinek a menetét, azaz folytonos esetben adjuk meg az ´ atmeneti f¨ uggvényt id˝ otartományban, diszkrét esetben pedig alkalmazzuk a defin´ıci´ o szerinti (t´ abl´ azat alapj´ an), a differenciaegyenlet és a polinom osztáson alapuló módszereket a mintavételezési id˝ opontokbeli f¨ uggvényértékek meghat´ arozására. Folytonos idej˝ u kimenet : Az ´ atmeneti f¨ uggvény: Y (s) = F3 (s)U (s) =

1 1 . (s + 2)(s + 4) s

Az id˝ otartom´ anybeli v´ alaszf¨ uggvény a Laplace-transzformált alak Y (s) invertálásával kapható meg. Ehhez ´ırjuk fel Y (s)-t parci´ alis t¨ ort alakban: Y (s) =

1 A B C = + + s(s + 2)(s + 4) s s+2 s+4

A egy¨ utthat´ ok meghat´ aroz´ asa: 1 = A(s + 2)(s + 4) + Bs(s + 4) + Cs(s + 2) 1 1 = A= (s + 2)(s + 4) s=0 8 Y (s) =

1 1 B= =− s(s + 4) s=−2 4

1 1 C= = , s(s + 2) s=−4 8

11 1 1 1 1 − + . 8s 4s+2 8s+4

A 10.4 t´ abl´ azat alapj´ an elvégezve az inverz Laplace-transzformációt az átmeneti f¨ uggvény id˝otartom´ anybeli alakja: y(t) =

1 1 1 1(t) − e−2t + e−4t . 8 4 8


90

A defin´ıci´ o alapj´ an diszkretiz´ alt tag : A z-transzform´ aci´ o defin´ıci´ oja alapján elvégzett diszkretizálás eredményeként a következ˝o impulzus atviteli f¨ ´ uggvény ´ allt el˝ o: F3D =

z2

0, 116z , − 0, 503z + 0, 05

´ıgy az ´ atmeneti f¨ uggvény z-transzformált alakja: Y (z) = F3D U (z) =

0, 116z z 0, 116z 2 = . z 2 − 0, 503z + 0, 05 z − 1 z 3 − 1, 503z 2 + 0, 553z − 0, 05

Hat´ arozzuk meg a mintavételezési id˝opontokban felvettf¨ uggvényértékeket u ´gy, hogy ´ırjuk át negat´ıv kitev˝ os hatv´ anysorba Y (z)-t! Ezt polinomosztás seg´ıtségével oldhatjuk meg.

0, 116z 2 : z 3 −1, 503z 2 +0, 553z −0, 05 = 0z 0 +0, 116z −1 +0, 174z −2 +0, 198z −3 +0, 208z −4 +. . . 0, 116z 2 − 0, 174z + 0, 064 − 0, 006z −1 0, 174z − 0, 064 + 0, 006z −1 −(0, 174z − 0, 262 + 0, 096z −1 − 0, 009z −2 ) 0, 198 − 0, 090z −1 + 0, 009z −2 −(0, 198 − 0, 298z −1 + 0, 109z −2 − 0, 01z −3 ) 0, 208z −1 − 0, 100z −2 + 0, 01z −3 ...

A kapott hatv´ anysor egy¨ utthat´ oi alapján a diszkrét átmeneti f¨ uggvény a következ˝o értékeket vette fel az egyes mintavételi id˝ opontokban: y(0) = 0

y(0, 5) = 0, 116

y(1) = 0, 174

y(1, 5) = 0, 198

y(2) = 0, 208

...

Az el˝ orefel´ e vett differenci´ akon alalpul´ o k¨ ozel´ıt´ es alapj´ an diszkretiz´ alt tag : Az el˝ orefelé vett differenci´ akon alapján levezetett közel´ıt˝o képlettel elvégzett diszkretizálás eredményeként a k¨ ovetkez˝ o impulzus ´ atviteli f¨ uggvény állt el˝o: F6E =

0, 25 . z2 + z

A hat´ arértékvizsg´ alat részeként elvégzett pólus ellen˝orzés jelezte, hogy az átmeneti f¨ uggvény nem ´ all be egy véges értékhez. Vizsg´ aljuk meg a f¨ uggvény menetét kétféle módon: – t´ abl´ azat seg´ıtségével elvégzett inverz z-transzformációval és – differenciaegyenlet lépésenkénti megoldásával. Az inverz z-transzform´ aci´ ohoz els˝ o lépésként bontsuk parciális törtekre az átmeneti f¨ uggvény ztranszform´ altj´ at: Y (z) =

0, 25 z 0, 25 A B = = + z2 + z z − 1 (z + 1)(z − 1) z+1 z−1

Az egy¨ utthat´ ok meghat´ aroz´ asa: 0, 25 = A(z − 1) + B(z + 1)

1 0, 25 =− A= z − 1 z=−1 8

0, 25 1 B= = , z + 1 z=1 8


91

Visszahelyettes´ıtve az Y (z) kifejezésébe és átalak´ıtva azt az inverz z-transzformáció elvégzéséhez: Y (z) = −

1 1 1 1 1 z 1 z + =− z −1 + z −1 , 8z+1 8z−1 8 z − (−1) 8z−1

´ıgy az id˝ otartom´ anybeli alak: 1 1 y(kT0 ) = − (−1)k−1 1((k − 1)T0 ) + 1((k − 1)T0 ) . 8 8 Az egyes mintavételi id˝ opontokban kapott értékek: k=0 k=1 k=2 k=3

1 1 1 1 y(0) = − (−1)−1 1(−0, 5) + 1(−0, 5) = − · (−1) · 0 + · 0 = 0 8 8 8 8 1 1 1 1 0 y(0, 5) = − (−1) 1(0) + 1(0) = − · 1 · 1 + · 1 = 0 8 8 8 8 1 1 1 1 1 y(1) = − (−1) 1(0, 5) + 1(0, 5) = − · (−1) · 1 + · 1 = 0, 25 8 8 8 8 1 1 1 1 2 y(1, 5) = − (−1) 1(1) + 1(1) = − · 1 · 1 + · 1 = 0 8 8 8 8

.. . k = 10 k = 11

1 1 1 1 y(5) = − (−1)9 1(5) + 1(5) = − · (−1) · 1 + · 1 = 0, 25 8 8 8 8 1 1 1 1 10 y(5, 5) = − (−1) 1(5, 5) + 1(5, 5) = − · 1 · 1 + · 1 = 0 8 8 8 8

.. . A kapott eredmények alapj´ an l´ atható, hogy az egységugrásra kapott válasz a 0 és 0,25-ös értékek k¨ oz¨ ott végez csillap´ıtatlan lengést. Vizsg´ aljuk meg, hogy a visszafelé vett differenciaegyenlet lépésenkénti megoldásával milyen eredményt kapunk! Ebben az esetben az impulzus átviteli f¨ uggvényb˝ol indulunk ki: F6E =

Y (z) 0, 25 = 2 . U (z) z +z

Els˝ o lépésként ´ırjuk fel az egyenletet pozit´ıv hatványkitev˝os alakban, majd ´ırjuk negat´ıv hatványkitev˝ os alakra és rendezz¨ uk Y (z)-re, hogy visszafelé vett differenciaegyenletet megkapjuk: z 2 Y (z) + zY (z) = 0, 25U (z) Y (z) = −z −1 Y (z) + 0, 25z −2 U (z) y(kT0 ) = −y((k − 1)T0 ) + 0, 25u((k − 2)T0 ) .

A kapott egyenlet megold´ as´ ahoz tételezz¨ uk fel a zérus kezdeti feltételt (y(−0, 5) = 0), majd az id˝ opontok és a bemen˝ o kimen˝ o jelek értékeinek behelyettes´ıtésével oldjuk meg az egyenletet: k=0 k=1

y(0) = −y(−0, 5) + 0, 25u(−1) = 0 + 0, 25 · 0 = 0 y(0, 5) = −y(0) + 0, 25u(−0, 5) = 0 + 0, 25 · 0 = 0

k=2

y(1) = −y(0, 5) + 0, 25u(0) = 0 + 0, 25 · 1 = 0, 25

k=3

y(1, 5) = −y(1) + 0, 25u(0, 5) = −0, 25 + 0, 25 · 1 = 0

k=4 .. .

y(2) = −y(1, 5) + 0, 25u(1) = 0 + 0, 25 · 1 = 0, 25

k = 10

y(5) = −y(4, 5) + 0, 25u(4) =??? + 0, 25 · 1 =

k = 11

y(5, 5) = −y(5) + 0, 25u(4, 5) =??? + 0, 25 · 1 =


92

Mint l´ athat´ o, a két megold´ as ugyanazt az eredményt szolgáltatja, de m´ıg a táblázat seg´ıtségével elvégzett inverz z-transzform´ aci´ o z´ art alak´ u képletet kapunk, ´ıgy tetsz˝oleges id˝opontra kiszámolhat´ o a kimenet értéke, addig a differenciaegyenlet lépésenkénti megoldása esetén csak valamennyi kor´ abbi id˝ oponthoz tartoz´ o eredmény ismeretében lehet a kérdéses id˝opontbeli értéket meghatározni.

7.3.

Gyakorl´ o feladatok ´ es megold´ asok

7.3.1.

Feladatok

2s + 6 . Határozza meg az impulzus-átviteli f¨ uggvényt 3s3 + 4s2 + 2s + 6 az el˝ orefelé vett differenci´ ak k¨ ozel´ıtéssel, ha T0 = 1s!

1. Legyen egy tag ´ atviteli f¨ uggvénye G(s) =

2. Tekints¨ uk az al´ abbi mintavételezett tagot!

y (2) (t) + 4y (1) (t) + 3y(t) = u(1) (t) + 4u(t) (a) Végezze el a diszkretiz´ al´ ast 10.3-10.4 táblázatok seg´ıtségével! (b) Végezze el a diszkretiz´ al´ ast az el˝ orefelé vett differenciák módszerével! 3. Tekints¨ uk az al´ abbi visszacsatolt k¨ ort!

GC (s) =

1 s

GO (s) =

10 s + 10

GM (s) =

4 8s + 2

Adja meg a z´ art k¨ or ered˝ o impulzus-´ atviteli f¨ uggvényét, majd végezze el a diszkretizálást a visszafelé vett differenci´ ak m´ odszere szerinti k¨ ozel´ıtéssel, ha T0 = 2s! 4. Tekints¨ uk az al´ abbi visszacsatolt k¨ ort!

GC (s) =

2 s

GO (s) =

2 4s + 1

GM (s) =

1 0, 1s + 1

A diszkretiz´ al´ ast a visszafelé vett differenci´ ak módszere alapján végezve, adja meg a zárt kör ered˝ o impulzus-´ atviteli f¨ uggvényét, ha T0 = 2s! z z és U (z) = . Adja meg y(2) értékét, ha T0 = 0, 5s és y(−0, 5) = 0! (Megj.: z + 0, 5 z−1 A feladatot legal´ abb h´ arom k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o módon meg lehet oldani!)

5. Legyen G(z) =

´ FELADATOK ES ´ MEGOLDASOK ´ 7.3. GYAKORLO

93

6. Adja meg a kimenet értékét a 4. mintavételezési id˝opontban, ha adott a kimen˝o jel z-transzform´ altja, Y(z)! Y (z) =

z2 (z − 1)2 (z + 1)

´ azolja grafikonon az y(kT0 ) kimenetet a k = 0, 1, 2, 3, 4 mintavételezési pontokra a következ˝o impulzus7. Abr´ atviteli f¨ ´ uggvénnyel rendelkez˝ o rendszer esetében! Adja meg a tag er˝os´ıtését is!

z2 G(z) = 2 2z + 1

( u(t) =

t 0

, ha 0 ≤ t < 3 , , egyébként,

y(−2) = y(−4) = 0,

T0 = 2s

8. Tekints¨ uk az al´ abbi mintavételezett tagcsoportot!

1 − e T0 s s Hat´ arozza meg a kimenet értékét a k = 0, 1, 2, 3, 4 mintavételi pontokban, ha a bemenet: ( t , ha 0 ≤ t ≤ 3 u(t) = , y(−1) = 0, T0 = 1s 0 , egyébként 4y (1) (t) + 5, 544y(t) = 5.544u(t) , Gh0 (s) =


1 − eT0 s s Hat´ arozza meg a kimenet értékét a k = 0, 1, 2, 3 mintavételi pontokban, ha a bemenet: ( t , ha 0 ≤ t < 3 u(t) = , y(−1) = y(−2) = 0, T0 = 1s 0 , egyébként hP (t) = 2t

Gh0 (s) =


1 − eT0 s s Hat´ arozza meg a kimenet értékét a k = 0, 1, 2, 3, 4 mintavételi pontokban, ha a bemenet: ( 1 , ha 0 ≤ t < 4 u(t) = , y(−2) = y(−4) = 0, T0 = 2s 0 , egyébként hP (t) = e−0,693t , Gh0 (s) =


94 11. Tekints¨ uk az al´ abbi mintavételezett tagcsoportot!

1 − eT0 s s Hat´ arozza meg a kimenet értékét a k = 0, 1, 2, 3, 4 mintavételi pontokban, ha a bemenet: ( 1 , ha 0 ≤ t < 4 , y(−T0 ) = 0, T0 = 2, 772s u(t) = 0 , egyébként hP (t) = e−0,25t , Gh0 (s) =

12. Adja meg az al´ abbi rendszerek ered˝ o impulzus átviteli f¨ uggvényét! (a)

(b)

(c)

(d)

7.3.2.

Megold´ asok

1. G(z) =

2z + 4 3z 3 − 5z 2 + 3z + 5

z z − 0, 5 z − e−T0 z − e−3T0 T0 z + T( 4T0 − 1) (b) G(z) = 2 z + 2(2T0 − 1)z + 3T02 − 4T0 + 1

2. (a) G(z) = 1, 5

´ FELADATOK ES ´ MEGOLDASOK ´ 7.3. GYAKORLO 3. G(z) = 4. G(z) =

95

120z 3 − 80z 2 143z 3 − 108z 2 + 47z − 2 11, 15z 3

8, 4z 3 − 0, 4z 2 − 5, 4z 2 + 2, 35z − 0, 1

5. y(2) = 0, 6875 A h´ arom m´ odszer: – differencia egyenlet fel´ır´ asa és iterat´ıv megoldása; – Y (z) meghat´ aroz´ asa, majd polinomosztással a keresett id˝oponthoz tartozó érték meghatározása; – Y (z) meghat´ aroz´ asa, majd inverz z-transzformációval kapott alakból a keresett id˝oponthoz tartoz´ o érték meghat´ aroz´ asa. 6. y(3T0 ) = 2, meghat´ arozhat´ o polinomosztással vagy inverz z-transzformációval. 7.

– – – – – K=

y(0) = 0; y(2) = 1; y(4) = 0; y(6) = −0, 5; y(8) = 0; 1 3

8.

– – – – –

y(0) = 0; y(1) = 0; y(2) = 0, 75; y(3) = 1, 6875; y(4) = 2, 672;

9.

– – – – –

y(0) = 0; y(1) = 0; y(2) = 0, 5; y(3) = 2, 5; y(4) = 5, 5;

10.

– – – – –

y(0) = 0; y(2) = 1, 08; y(4) = 1, 35; y(6) = 0, 34; y(8) = 0, 08;

11.

– – – – –

y(0) = 0; y(2, 772) = 2; y(5, 544) = 3; y(8, 316) = 1, 5; y(11, 088) = 0, 75;

12. (a) Ge (z) = Z{(G1 (s) + G2 (s))G3 (s)}Z{G4 (s)} = (G1 G3 (z) + G2 G3 (z))G4 (z) (b) Ge (z) =

Z{Gc (s)}Z{Gh0 (s)Go (s)} Gc (z)Gh0 Go (z) = 1 + Z{Gc (s)}Z{Gh0 (s)Go (s)}Z{Gm (s)} 1 + Gc (z)Gh0 Go (z)Gm (z)

(c) Ge (z) = Z{G1 (s)G3 (s) + G2 (s)}Z{G4 (s)} = (G1 G3 (z) + G2 (z))G4 (z) (d) Ge (z) =

Z{Gc (s)} Gc (z) = 1 + Z{Gc (s)Gm (s)} 1 + Gc Gm (z)

96


8. fejezet

Mintav´ etelezett rendszerek stabilit´ asa 8.1.


8.1.1.

Diszkr´ et BIBO stabilit´ as

Egy line´ aris mintavételezett rendszert korl´ atos bemenet - korlátos kimenet (BIBO) stabilitás´ unak nevez¨ unk, ha korl´ atos bemen˝ o impulzussorozat hat´ as´ ara keletkez˝o kimen˝o impulzussorozat is korlátos: u(kT0 ) < M1 ,

k0 ≤ k < ∞ ⇒ y(kT0 ) < M2 ,

k0 ≤ k < ∞ , M1 , M2 < ∞

Bel´ athat´ o, hogy a line´ aris mintavételez˝ o rendszer BIBO stabilitásának sz¨ ukséges és elégséges feltétele: ∞ X

|h(kT0 )| ≤ M2 < ∞ ,

k=0

azaz a z´ art rendszer s´ ulyf¨ uggvényének mintavételezési id˝opontokban vett abszol´ ut értékeib˝ol alkotott végtelen sor korl´ atos.

8.1.2.

Aszimptotikus stabilit´ as

Egy line´ aris mintavételezett rendszert aszimptotikusan stabil nak (vagy röviden stabil nak) nevez¨ unk, ha u(kT0 ) = 0 bemeneti impulzussorozat és y(−1T0 ), y(−2T0 ), . . . , y(−(n − 1)T0 ) 6= 0 kezdeti feltételek esetén a kimeneti impulzussorozat zérushoz tart: lim y(nT0 ) = 0 .

n→∞

A mintavételezett rendszerek esetében is az impulzus-átviteli f¨ uggvény nevez˝ojének a gyökeit, vagyis a pólusokat meghat´ arozva tudunk a stabilit´ asr´ ol d¨ onteni a következ˝o tételeknek megfelel˝oen. – Egy lien´ aris mintavételezett rendszer akkor és csak akkor aszimptotikusan stabil, ha az ered˝o impulzusatviteli f¨ ´ uggvényének valamennyi p´ olusa abszol´ ut értékben 1-nél kisebb: a rendszer aszimptotikusan stabil ⇔ ∀pi : |pi | < 1, i = 1, . . . , n . A megadott feltételnek megfelel˝ oen, ha a pólusokat a komplex s´ıkon ábrázoljuk, valamennyi pólus az orig´ o k¨ ozéppont´ u, egység sugar´ u k¨ or¨ on bel¨ ul található. – Egy lien´ aris mintavételezett rendszer a stabilit´ as hat´ ar´ an van, ha az ered˝o impulzus-átviteli f¨ uggvényének van, vagy vannak olyan p´ olusai, melyeknek az abszol´ ut értéke egyenl˝o 1-gyel, de ha vannak további pólusai, akkor azok abszol´ ut értékben 1-nél kisebbek: stabilit´ as hat´ ara ⇔ ∃pk : |pk | = 1, ∀pi

(i6=k)

: |pi | ≤ 1, i = 1, . . . , n .

Geometriai szempontb´ ol ez a feltétel azt jelenti, hogy az impulzus-átviteli f¨ uggvénynek van legalább egy olyan p´ olusa, vagy p´ olusp´ arja, amely az egységsugar´ u kör ´ıvén helyezkedik el, és az esetleges tov´ abbi p´ olusokra igaz, hogy azok nincsenek egység sugar´ u körön k´ıv¨ ul. A stabilitás határán lév˝o rendszer aszimptotikusan nem stabil, de BIBO stabil. 97

´ ´ FEJEZET 8. MINTAVETELEZETT RENDSZEREK STABILITASA

98

– Egy line´ aris mintavételezett rendszer instabil, ha az ered˝o impulzus-átviteli f¨ uggvényének van legal´ abb egy olyan gy¨ oke vagy gy¨ okp´ arja, melynek abszol´ ut értéke nagyobb 1-nél: a rendszer instabil ⇔ ∃pi : |pi | > 1, i = 1, . . . , n Instabil rendszer esetén, a komplex s´ıkon ábrázolva a pólusokat, legalább egy pólus vagy pólusp´ ar az egységsugar´ u k¨ or¨ on k´ıv¨ ul van. Diszkrét idej˝ u rendszerek esetében is igaz, hogy az aszimptotikus stabil modellek egyben BIBO stabilak is, de a BIBO stabil modellek nem feltétlen¨ ul aszimptotikusan stabilak. Bel´ athat´ o, hogy a folytonos idej˝ u és a diszkrét idej˝ u rendszerek stabilitási tartományai között a következ˝ o abr´ ´ anak megfelel˝ o¨ osszef¨ uggés van:

de a stabilit´ asi tartom´ anyok k¨ oz¨ otti megfeletetés a diszkretizáció folyamán nem egyértelm˝ u. A 6.1.2 fejezetben t´ argyalt egyszer˝ us´ıtett diszkretizálási módszerek használata esetén a diszkretizált rendszer modelljének stabilit´ asa megv´ altozhat a k¨ ovetkez˝o módon: – Az el˝ orefelé vett differenci´ ak m´ odszere esetén a folytonos id˝otartományban instabil rendszerek modelljei diszkretiz´ al´ as ut´ an is instabilak maradnak, de az eredetileg stabil modellekb˝ol kaphatunk stabil vagy instabil (esetleg stabilit´ as hat´ ar´ an lév˝ o) diszkrét modellt. – A visszafelé vett differenci´ ak m´ odszere esetén a folytonos id˝otartományban stabil rendszerek modelljei diszkretiz´ al´ as ut´ an is stabilak maradnak, de az eredetileg instabil modellekb˝ol kaphatunk stabil vagy instabil (esetleg stabilit´ as hat´ ar´ an lév˝ o) diszkrét modellt. – A Tustin m´ odszer alkalmaz´ asa esetén sem a stabilitás, sem az instabilitás tartománya nem változik, de a p´ olusok helye a stabilit´ asi tartom´ anyon bel¨ ul változhat, ´ıgy a tranziens viselkedés módosulhat.

8.1.3.

Stabilit´ asvizsg´ alat diszkr´ et id˝ otartom´ anyban

P´ olusok elhelyezked´ ese alapj´ an A folytonos idej˝ u rendszerekhez hasonl´ oan, a diszkrét idej˝ u rendszerek esetében is a stabilitásra vonatkoz´ o tételek seg´ıtségével a p´ olusok ismeretében egyértelm˝ uen eldönthet˝o a vizsgált tag vagy tagcsoport modelljének stabilit´ asa. Egyszer˝ ubb esetben, ha az ered˝ o impulzus-átviteli f¨ uggvény els˝o vagy másodfok´ u polinom vagy gy¨ oktényez˝ os alakban megadott magasabb rend˝ u polinom, akkor a pólusok alapján közvetlen¨ ul is eldönthet˝ oa stabilit´ as. A vizsg´ alt diszkrét idej˝ u modell aszimptotikusan stabil, ha ∀pi : |pi | < 1 ⇔ pi = Re(pi ) + Im(pi ) Re(pi )2 + Im(pi )2 < 1 . Jury-teszt A Jury-teszt a vizsg´ aland´ o rendszer ered˝ o impulzus-átviteli f¨ uggvénye nevez˝ojének egy¨ utthatói alapján határozza meg a stabilit´ ast. Legyen az ered˝ o impulzus-´ atviteli f¨ uggvény egy negyedrend˝ u rendszer esetében a következ˝ o altal´ ´ anos alak´ u: G(z) =

1 a4 z 4 + a3 z 3 + a2 z 2 + a1 z


99

A nevez˝ o polinomja egy¨ utthat´ oinak felhaszn´ alásával kész´ıts¨ uk el az alábbi táblázatot: a4 a0 a04 a01 a004 a002 a000 4 a000 3 a0000 4

a3 a1 a03 a02 a003 a003 a000 3 a000 4

a2 a2 a02 a03 a002 a004

a1 a3 a01 a04

a0 a4 a0i = ai − α4 a4−i i = 4, 3, 2, 1 a00i = a0i − α3 a04−i i = 3, 2, 1 00 00 a000 i = ai − α2 a4−i i = 2, 1

α4 = α3 = α2 =

000 000 a0000 i = ai − α1 a4−i i = 1 α1 =

a0 a4 a01 a04

a00 2 a00 4 a000 3 a000 4

A diszkrét idej˝ u rendszer akkor és csak akkor aszimptotikusan stabil, ha a korrigált egy¨ utthatók köz¨ ul a legnagyobb index˝ uek, teh´ at péld´ ankban az a4

a04

a004

a000 4

a0000 4

egy¨ utthat´ ok mindegyike pozit´ıv. w-teszt A w-teszt alkalmaz´ as´ an´ al azt haszn´ aljuk ki, hogy megfelel˝o transzformációt alkalmazva a folytonos és diszkrét id˝ otartom´ anyok k¨ oz¨ otti konverzi´ ora, a stabilitási tartomány nem torzul. Ennek megfelel˝oen, ha az ered˝ o impulzus-´ atviteli f¨ uggvényt a z=

w+1 w−1

egyszer˝ u képlet seg´ıtségével mintegy ´ attranszformáljuk folyamatos id˝otartományba, akkor az ott tanult módszereket, ´ıgy péld´ aul a Hurwitz-kritériumot alkalmazhatjuk a stabilitás ellen˝orzésére.

8.2.


1. Vizsg´ alja meg a stabilit´ as´ at mindkét stabilitási defin´ıció szerint az alábbi tagoknak, és stabil esetben adja meg az er˝ os´ıtést! (a) G1 (z) =

2z 2 + 4 12z 2 + 15z + 3

Megold´ as: A tag p´ olusainak meghat´ aroz´ asa: √ −15 ± 225 − 144 −15 ± 9 z1,2 = = 24 24 azaz z1 = −0, 25 z2 = −1. Miut´ an |z2 | ≮ 1, de |z1,2 | ≯ 1, ´ıgy a tag aszimptotikusan nem stabil, de BIBO stabil. (b) G2 (z) =

2z −1 + 3 0, 25z −2 + 0, 5z −1 + 0, 5

Megold´ as: Írjuk ´ at az ´ atviteli f¨ uggvényt pozit´ıv hatványkitev˝os alakra, ehhez szorozzuk meg a tört számlálój´ at és nevez˝ ojét a polinomokban szerepl˝ o, abszol´ ut értékben legnagyobb hatványkitev˝oj˝ u z értékkel, ebben a péld´ aban z 2 -tel: G2 (z) =

2z −1 + 3 2z + 3z 2 = , 0, 25z −2 + 0, 5z −1 + 0, 5 0, 25 + 0, 5z + 0, 5z 2


100

majd hat´ arozzuk meg a tag p´ olusait: √ −0, 5 ± 0, 25 − 0, 5 z1,2 = = −0, 5 ± j0, 5 . 1 Miut´ an |z1,2 | = 0, 25 + 0, 25 = 0, 5 < 1, ´ıgy a tag aszimptotikusan stabil, és ebb˝ol következ˝oen BIBO stabil is. (Megjegyzés: komplex p´ oluspár esetén u ´gy ellen˝orizz¨ uk, hogy annak abszol´ ut értéke nem nagyobb-e 1-nél, hogy vessz¨ uk a valós rész négyzetének és a képzetes rész négyzetének az összegét, és ennek kisebbnek kell lennie 1-nél.) Az er˝os´ıtése: K=

(c) G3 (z) =

2+3 =4 0, 25 + 0, 5 + 0, 5

(z + 2)(z + 1)z 2z 2 + 3z − 1

Megold´ as: Elvégezve a sz´ aml´ al´ oban a kijel¨ olt m˝ uveleteket: G3 (z) =

(z + 2)(z + 1)z z 3 + 3z 2 + 2z = 2z 2 + 3z − 1 2z 2 + 3z − 1

l´ athat´ o, hogy a sz´ aml´ al´ oban szerepl˝o polinom fokszáma nagyobb, mint a nevez˝obelié, ´ıgy a tag nem realiz´ alhat´ o (nem val´ os´ıthat´ o meg), azaz nincs értelme a stabilitásvizsgálatnak. (Megjegyzés: b´ ar az el˝ oz˝ o két péld´ aban a foksz´ am ellen˝orzése kiemelve nem szerepelt, de ezt minden esetben el kell végezni.) (d) G4 (z) =

2z −2 + z −3 z −2 + z −1 + 1

Megold´ as: Írjuk ´ at az ´ atviteli f¨ uggvényt pozit´ıv hatványkitev˝os alakra, ehhez szorozzuk meg a tört száml´ al´ oj´ at és nevez˝ ojét z 3 -nel: G4 (z) =

2z + 1 2z + 1 = , z3 + z2 + z z(z 2 + z + 1)

majd hat´ arozzuk meg a tag p´ olusait: √ √ −1 ± 1 − 4 1 3 z1 = 0, z2,3 = =− ±j . 2 2 2 √ 2 Miut´ an |z1 | < 1, de |z2,3 | = ( 12 )2 + 23 = 1, ´ıgy a tag aszimptotikusan nem stabil, de BIBO stabil. (e) G5 (z) =

z2 + z z 2 + 0, 75z − 0, 25

Megold´ as: Hat´ arozzuk meg a tag p´ olusait: p −0, 75 ± 1, 25 −0, 75 ± 0, 752 + 1 = , z1,2 = 2 2 azaz z1 = 0, 25 és z2 = −1. Írjuk ´ at az impulzus ´ atviteli f¨ uggvényt gyöktényez˝os alakba! G5 (z) =

z(z + 1) (z − 0, 25)(z + 1)


101

L´ athat´ o, hogy a sz´ aml´ al´ onak és a nevez˝onek van közös gyöke, ´ıgy a z + 1 kifejezéssel egyszer˝ us´ıteni lehet, azaz a vizsg´ aland´ o impulzus átviteli f¨ uggvény: G5 (z) =

z . z − 0, 25

Az egyszer˝ us´ıtett impulzus ´ atviteli f¨ uggvénynek a z = 0, 25 a pólusa, aminek abszol´ ut értéke természetesen kisebb 1-nél, ´ıgy a tag aszimpt´ otikusan stabil és ebb˝ol következ˝oen BIBO stabil is. Ha ezt az egyszer˝ us´ıtést nem végezt¨ uk volna el, akkor a z = −1 pólus miatt csak BIBO stabilnak tekinthett¨ uk volna a tagot. (f) G6 (z) =

z −2 − 0, 25z −3 2z −2 + 5z −1 + 2

Megold´ as: Elvégezve a pozit´ıv hatv´ anykitev˝ os alakra történ˝o átalak´ıtást: G6 (z) =

z − 0, 25 2z + 5z 2 + 2z 3

Hat´ arozzuk meg a tag p´ olusait: z1 = 0, z2 = −0, 5 és z3 = −2 . Miut´ an |z3 | > 1, ´ıgy a tag instabil. 2. Vizsg´ alja meg az al´ abbi tag stabilit´ as´ at! G(z) =

4z 3

2z 2 + 5 + 3z 2 + 5z + 1

Megold´ as: A feladatot a Jury-teszt seg´ıtségével végezhetj¨ uk el. Ehhez a nevez˝o polinomja egy¨ utthatóinak felhaszn´ al´ as´ aval kész´ıts¨ uk el el˝ osz¨ or paraméteresen az eliminációs táblázatot: a3 a0 a03 a01 a003 a002 a000 3

a2 a1 a02 a02 a002 a003

a1 a2 a01 a03

a0 a3 α3 =

a0 a3

α2 = α1 =

a01 a03

a0i = ai − α3 a3−i i = 3, 2, 1 a00i = a0i − α2 a03−i i = 2, 1

a02 a03

00 0 a000 i = ai − α1 a3−i i = 1

A vizsg´ alt rendszer akkor és csak akkor aszimptotikusan stabil, ha a korrigált egy¨ utthatók köz¨ ul a legnagyobb index˝ uek, azaz péld´ ankban az a3

a03

a003

a000 3

egy¨ utthat´ ok mindegyike pozit´ıv. Helyettes´ıts¨ uk be a megadott G(z) ´ atviteli f¨ uggvény nevez˝ojében szerepl˝o egy¨ utthatókat: 4 1 3, 75 4, 25 −1, 06

3 5 1 5 3 4 1, 75 4, 25 1, 75 3, 75 ...

α3 =

1 4

a03 = 4 − 0, 25 · 1 α2 =

4,25 3,75

a02 = 3 − 0, 25 · 5

a01 = 5 − 0, 25 · 3

a003 = 3, 75 − 1, 13 · 4, 25 ...

Miut´ an a003 -re negat´ıv érték j¨ ott ki, ´ıgy a teszt stabilitási feltétele már biztosan nem fog teljes¨ ulni, azaz a tag instabil, ezért a tov´ abbi sz´ amol´ ast nem kell elvégezni.


102

3. Vizsg´ alja meg az al´ abbi tag stabilit´ as´ at! G(z) =

1, 9z 3 − 1, 27z 2 28, 6z 3 − 21, 6z 2 + 9, 4z − 0, 4

Megold´ as: Helyettes´ıts¨ uk be a megadott G(z) ´ atviteli f¨ uggvény nevez˝ojében szerepl˝o egy¨ utthatókat az áltanos alakba: 28, 6 −21, 6 9, 4 −0, 4 9, 4 −21, 6 28, 59 −21, 47 9, 1 9, 1 −24, 47 28, 59 25, 69 −14, 6 −14, 6 25, 69 17, 37

−0, 4 28, 6

α2 =

9,1 28,59

0 α3 = −0,4 28,6 = −0, 014 a3 = 28, 6 − 0, 014 · 0, 4 0 a2 = −21, 6 + 0, 014 · 9, 4 a01 = 9, 4 − 0, 014 · 21, 6 = 0, 318 a003 = 28, 59 − 0, 318 · 9, 1 a002 = −21, 47 + 0, 318 · 21, 47

α2 =

−14,6 25,69

= −0, 57 a000 3 = 25, 69 − 0, 57 · 14, 6

Miut´ an a3 , a03 , a003 és a000 uttaht´ ok mindegyikére pozit´ıv érték jött ki, ´ıgy a tag asimptotikus stabil. 3 egy¨

8.3.

Gyakorl´ o feladatok ´ es megold´ asok

8.3.1.

Feladatok

1. Vizsg´ alja meg mindkét stabilit´ asi defin´ıció szempontjából az alábbi tagokat! Aszimptotikusan stabil tagok esetében adja meg az er˝ os´ıtést! 2z 2 − 1 + 10z + 6 2z −1 + 4 (b) G2 (z) = −2 1, 96z + 0, 4z −1 + 1 (a) G1 (z) =

12z 2

z2 + 1 +z−1 2z 3 + 1 (d) G4 (z) = 2 z − 0, 25z (c) G3 (z) =

z2

(e) G5 (z) =

2 + 4z −2 2z −2 − 0, 216z −1

(f) G6 (z) =

z −1 + 5 0, 96z −2 + 0, 4z −1 + 2

(g) G7 (z) =

(z + 2)(z 2 + 1) z 2 + 1, 5z − 1

(h) G8 (z) =

2z −1 − 1 1 − z −1 + z −2

2. Legyen egy tag ´ atviteli f¨ uggvénye a k¨ ovetkez˝o: G(s) =

2s + 6 3s3 + 4s2 + 2s + 6

(a) Hat´ arozza meg az impulzus-´ atviteli f¨ uggvényt az el˝orefelé vett differenciák közel´ıtéssel, ha T0 = 1s! (b) Hasonl´ıtsa ¨ ossze a folytonos és a diszkretizált tag stabilitását! 3. Hat´ arozza meg a végértéktétel seg´ıtségével, hogy hova tart az alábbi tag s´ ulyf¨ uggvénye! G(z) =

z+1 10z 3 + 4z 2 + 8z + 2

´ FELADATOK ES ´ MEGOLDASOK ´ 8.3. GYAKORLO

103

4. Hat´ arozza meg a végértéktétel seg´ıtségével, hogy hova tart az alábbi tag átmeneti f¨ uggvénye! G(z) =

2z + 1 5z 3 + 3z 2 + 4z + 1

5. Hat´ arozza meg a T0 mintavételezési id˝ o értékét u ´gy, hogy a visszacsatolt kör a stabilitás határán legyen!

G(s) =

1 s2

6. Tekints¨ uk az al´ abbi visszacsatolt k¨ ort!

1 GC (s) = 5 1 + 2s

Gh0 (s) =

1 − eT0 s s

GO (s) =

0, 693 s + 0, 693

(a) Adja meg a z´ art k¨ or ered˝ o impulzus-átviteli f¨ uggvényét, ha T0 = 1mp! A diszkretizálást defin´ıci´ o (10.3-10.4 t´ abl´ azatok) szerint végezze! (b) Hova tart a rendszer ´ atmeneti f¨ uggvénye, ha k → ∞?

8.3.2.

Megold´ asok

1. (a) G1 (z) p´ olusai p1,2 = 0, 42 ± j0, 57, a pólusok abszol´ ut értéke kisebb 1-nél, ´ıgy a tag aszimptótikusan stabil és BIBO stabil is. (b) G2 (z) p´ olusai p1,2 = 0, 2 ± j1, 39, a pólusok abszol´ ut értéke nagyobb 1-nél, ´ıgy a tag instabil. √ 5 , egyik pólus abszol´ ut értéke nagyobb 1-nél, ´ıgy a tag instabil is. (c) G3 (z) p´ olusai p1,2 = 0, 5 ± 2 (d) G4 (z) a sz´ aml´ al´ o foksz´ ama nagyobb a nevez˝oénél, ´ıgy a tag nem megvalós´ıtható. (e) G5 (z) p´ olusa p1 = 9, 26, azaz p´ olus értéke nagyobb 1-nél, ´ıgy a tag instabil is. (f) G6 (z) p´ olusai p1,2 = −0, 1 ± j0, 69, a pólusok abszol´ ut értéke kisebb 1-nél, ´ıgy a tag aszimptótikusan stabil és BIBO stabil is. (g) G7 (z) a sz´ aml´ al´ o foksz´ ama nagyobb a nevez˝oénél, ´ıgy a tag nem megvalós´ıtható. √ 3 (h) G8 (z) p´ olusai p1,2 = 0, 5 ± , a pólusok abszol´ ut értéke egyenl˝o 1-gyel, ´ıgy a tag aszimptótikusan 2 instabil, de BIBO stabil. 2. G(z) =

2z + 4 , instabil. 3z 3 − 5z 2 + 3z + 5

3. A tag aszimpt´ otikusan stabil, ´ıgy a s´ ulyf¨ uggvénye a 0-hoz tart. 4. A tag aszimpt´ otikusan stabil, ´ıgy az ´ atmeneti f¨ uggvénye az er˝os´ıtésének értékéhez, azaz

3 -hoz tart. 13

5. A megold´ ashoz azt kell megvizsg´ alni, hogy mikor lesz az ered˝o impulzus átviteli f¨ uggvény nevez˝ojének értéke abszol´ ut értékben egyenl˝ o 1-gyel. Ennek alapján a következ˝o megoldások lehetségesek: – T01 = 0s, a p´ olusok ekkor a p1,2 = 1 pontban – nem reális eset;


104

– T02 = 1s, a p´ olusok ekkor a p1,2 – T03 = 2s, a p´ olusok ekkor a p1,2

√ 3 1 = ± pontban; 2 2 = ±j pontban;

– T04 = 4s, a p´ olusok ekkor a p1,2 = −1 pontban. 6. GC (z) =

7, 5z + 5 , z−1

Gh0 GO (z) =

0, 5 , z − 0, 5

Ge (z) =

3, 75z − 2, 5 , instabil. + 2, 25z − 2

z2

9. fejezet

Szab´ alyoz´ asi algoritmusok 9.1. 9.1.1.

Elm´ eleti ´ attekint´ es ´ Alland´ osult ´ allapotbeli hiba

Tekints¨ uk az al´ abbi z´ art szab´ alyoz´ asi k¨ ort:

A visszacsatol´ as alapvet˝ o célja a tényleges kimenet és az el˝o´ırt kimenet, vagyis az alapjel közötti eltérés minimaliz´ al´ asa. A szab´ alyoz´ asi eltérés, azaz a hibajel e(t) operátor tartományban a következ˝o módon adhat´ o meg: E(s) = W (s) − Y (s) . ´ Alland´ osult ´ allapotban a hibajel értékét a k¨ ovetkez˝o összef¨ uggésekkel lehet meghatározni: Ess = lim e(t) = lim sE(s) . t→∞

s→0

A z´ art k¨ or felép´ıtése alapj´ an: E(s) = W (s) − Y (s) = W (s) − G(s)E(s)

⇒

E(s) =

W (s) , 1 + G(s)

azaz Ess = lim

s→0

sW (s) . 1 + G(s)

A hib´ at mind a bemen˝ o jel, mind a rendszer t´ıpus´ıóa befolyásolja.

9.1.2.

Folytonos PID-szab´ alyoz´ o

A PID-szab´ alyoz´ o egy ar´ anyos, egy integr´ al´ o és egy deriváló tag párhuzamos kapcsolásával kialak´ıtott, széles k¨ orben alkalmazott szab´ alyoz´ asi m´ odszer. Hatásvázlata a következ˝o ábrán látható:

105

´ ´ ALGORITMUSOK FEJEZET 9. SZABALYOZ ASI

106

´ Altal´ aban az ar´ anyos tag értékét 1-nek v´ alasztják, és a három tag kimenetének összegét er˝os´ıtik. A bemenetkimenet modellje az al´ abbi:   Zt de(t) 1  , e(τ )dτ + Td u(t) = K e(t) + Ti dt 0

´ ahol K az er˝ os´ıtés, TI az integr´ al´ asi, TD a deriválási id˝oállandó. Atviteli f¨ uggvénye: 1 + TD s , G(s) = K 1 + TI s frekvenciaf¨ uggvénye ´ atalak´ıtva ´ abr´ azol´ ashoz: 1 1 T 2 (jω)2 + 2ξT jω + 1 , + TD jω = K G(jω) = K 1 + TI jω TI jω ahol p T = Ti TD ,

9.1.3.

1 ξ= 2

r

TI . TD

Diszkr´ et PID-szab´ alyoz´ o

Diszkrét id˝ otartrom´ anyban a folytonos PID algoritmus diszkretizált változatát alkalmazzuk. A diszkretiz´ al´ as elvégezhet˝ o az id˝ otartom´ anybeli modell alapján vagy az átviteli f¨ uggvényb˝ol a z-transzformáció szab´ alyai alapj´ an. Az id˝ otartom´ anybeli modellb˝ ol kiindulva a következ˝oket kapjuk: – ar´ anyos tag: e(t) → e(kT0 ), azaz a hibajel értéke az adott mintavételezési pontban; – integr´ al´ o tag: 1 TI

Zt e(τ )dτ

→

0

k−1 T0 X e(iT0 ) , TI i=0

azaz az integr´ al´ ast a tégl´ any szab´ aly alapján közel´ıtj¨ uk; – deriv´ al´ o tag: TD

de(t) dt

→

TD

e(kT0 ) − e((k − 1)T0 ) , T0

azaz a deriv´ al´ ast két pontos k¨ ul¨ onbségképzéssel közel´ıtj¨ uk. Ennek alapj´ an a diszkrét PID algoritmus I/O modellje: u(kT0 ) = K

k−1 T0 X e(kT0 ) − e((k − 1)T0 ) e(kT0 ) + e(iT0 ) + TD TI i=0 T0

! .

Az ´ıgy kapott algoritmust poz´ıci´ o algoritmusnak nevezz¨ uk, amelynek kimenete megadja a végrehajtószerv be´ all´ıtand´ o helyzetét. Az impulzus-´ atviteli f¨ uggvény el˝oáll´ıtásához z-transzformálva a kifejezést a következ˝ o alakot kapjuk: T0 z TD E(z) + (1 − z −1 )E(z) . U (z) = K E(z) + TI z − 1 T0 A diszkrét PID szab´ alyoz´ o impulzus-´ atviteli f¨ uggvénye: U (z) T0 z TD GDP ID (z) = =K 1+ + (1 − z −1 ) . E(z) TI z − 1 T0


107

Vannak olyan beavatkoz´ o szervek, amelyek bemenetére a pillanatnyi helyzethez képesti megváltozást kell bemen˝ o adatként megadni. Ezt szolg´ altatja a sebesség algoritmus. Levezetéshez ´ırjuk fel a poz´ıció algoritmust a k-dik és k − 1-dik mintavételezési id˝ opontra: ! k−1 T0 X e(kT0 ) − e((k − 1)T0 ) u(kT0 ) = K e(kT0 ) + e(iT0 ) + TD TI i=0 T0 u((k − 1)T0 ) = K

k−2 e((k − 1)T0 ) − e((k − 2)T0 ) T0 X e(iT0 ) + TD e((k − 1)T0 ) + TI i=0 T0

! .

Kivonva egym´ asb´ ol a két egyenletet megkapjuk a beavatkozó jel megváltozását: T0 TD u(kT0 )−u((k−1)T0 ) = K e(kT0 ) − e((k − 1)T0 ) + e((k − 1)T0 ) + (e(kT0 ) − 2e((k − 1)T0 ) + e((k − 2)T0 )) . TI T0 Az ´ıgy sz´ armaztatott sebességalgoritmust a k¨ ovetkez˝o alakban szokás megadni: u(kT0 ) − u((k − 1)T0 ) = q0 e(kT0 ) + q1 e((k − 1)T0 ) + q2 e((k − 2)T0 ) , ahol TD q0 = K 1 + T0

T0 TD q1 = −K 1 − +2 TI T0

q2 = K

TD . T0

A sebesség algoritmus impulzus-´ atviteli f¨ uggvénye: GsDP ID (z) =

9.2.

U (z) q0 + q1 z −1 + q2 z −2 = . E(z) 1 − z −1


1. Hat´ arozza meg a PD szab´ alyz´ o er˝ os´ıtését u ´gy, hogy egységugrás f¨ uggvénynek megfelel˝o alapjelváltás esetén a marad´ o szab´ alyoz´ asi hiba 5% legyen, ha TD = 4s és a szabályozandó tag átviteli f¨ uggvénye: G(s) =

2 3s2 + 2s + 1

2. Adja meg annak a PID szab´ alyz´ onak a Bode-diagramját, melynél K = 10, TI = 4s és TD = 1s! 3. Tekintse az al´ abbi rendszer!

(a) Adja meg, hogy milyen K értékre lesz a rendszer aszimptotikusan stabil, ha Td = 0, 5s! (b) Legyen K = 1. Végértéktétel seg´ıtségével adja meg, hogy hova tart a kimenet (y(t)), ha a bemenet w(t) = 1(t)! Mekkora lesz a marad´ o szabályozási hiba? 4. Hat´ arozza meg, hogy milyen K értékre lesz stabil az alábbi PI-szabályozót tartalmazó kör!

´ ´ ALGORITMUSOK FEJEZET 9. SZABALYOZ ASI

108

5. Diszkrét PID sebesség algoritmust alkalmazva, válasza meg az er˝os´ıtés (K) és az integrálási id˝oálland´ o (TI ) értékét u ´gy, hogy e(k) = 1(k) bemenet esetén a k = 0 mintavételezési id˝opontban a szabályzó kimenete u(0) = 8, a k = 1 mintavételezési id˝ opontban u(1) = 12 legyen, ha a mintavételezési id˝oállandó T0 = 1s, a deriv´ al´ asi id˝ o´ alland´ o TD = 1s! 6. Hat´ arozza meg a diszkrét PID szab´ alyz´ o er˝os´ıtését, integrálási és deriválási id˝oállandóját, ha q0 = 9, q1 = −3, q0 = 3 és T0 = 1s! 7. Hat´ arozza meg a diszkrét PID szab´ alyzó sebesség algoritmusának kimenetét a k = 0, 1, 2, 3 mintavételi pontokban a k¨ ovetkez˝ o adatok esetében! q0 = 1, q1 = −2, q2 = 0, 5, ( 2 , ha 0 ≤ t < 6s e(t) = 0 , egyébként.

u(−2) = 0,

T0 = 2s

8. (a) Diszkretiz´ alja az al´ abbi szab´ alyoz´ o kört az alábbi ábrának megfelel˝oen, és határozza meg az ered˝ o impulzus-´ atviteli f¨ uggvényt, ha T0 = 0, 3465s:

GC (s) =

1 s

Go (s) =

1 . s+2

(b) M´ odos´ıtsa a szab´ alyoz´ o impulzus ´ atviteli f¨ uggvényét a következ˝o módon: GC (s) = K

1 , s

és vizsg´ alja meg, hogy a K értékének növelésével lehet-e a kört instabil állapotba hozni!

10. fejezet

Minta feladatsorok A fejezet az eddigi témak¨ or¨ okh¨ oz kapcsol´ od´ o teljes zárthelyi feladatsorokra ad példát.

10.1.

Folytonos idej˝ u rendszerek

F1 feladatsor 1. (a) Adja meg annak a tagnak az I/O modelljét, amelynek a pólusai −2 ± j-ben, zérushelyei pedig −1-ben és −2-ben vannak! (b) Rajzolja fel a tag gy¨ okhelyg¨ orbéjét! (c) Adja meg a kritikus csillap´ıt´ asnál az er˝os´ıtés és a pólusok értékét! 2. (a) Hat´ arozza meg a y (2) (t) + 8y (1) (t) + 16y(t) = 4u(t) bemenet/kiemenet modellel jellemzett rendszer paramétereit, (b) és v´ azolja fel a s´ ulyf¨ uggvényét! 3. Hat´ arozza meg az al´ abbi tagok stabilitását mindkét stabilitási defin´ıciónak megfelel˝oen! G1 (s) =

2s + 1 4s2 + 2

G2 (s) =

4s2

3 − 2s + 2

G3 (s) =

4s3

4. Hat´ arozza meg az ered˝ o´ atviteli f¨ uggvényt az alábbi esetben!

5. Rajzolja fel az al´ abbi rendszer Bode-diagramját! G(s) =

(s2

2 + 0, 1s)(s + 2)

109

2 + 3s2 + 2s

G4 (s) =

6s −2

8s2

110

FEJEZET 10. MINTA FELADATSOROK 6. Adja meg, hogy az al´ abbi k¨ or milyen er˝os´ıtés érték esetén lesz a csillap´ıtás határán!

7. Adja meg az al´ abbi tag ´ atmeneti f¨ uggvényét! G(s) =

2s2

s+2 + 5s + 3

˝ RENDSZEREK 10.1. FOLYTONOS IDEJU

111

F1 - feladatsor – Megold´ asok 1. A vizsg´ aland´ o tag ´ atviteli f¨ uggvénye és I/O modellje: G(s) =

(s + 1)(s + 2) s2 + 3s + 2 = 2 (s + 2 + j)(s + 2 − j) s + 4s + 5

y (2) (t) + 4y (1) (t) + 5y(t) = u(2) (t) + 3u(1) (t) + 2u(t) A tag zérusai: z1 = −1, z2 = −2, pólusai: p1,2 = −2 ± j. – A gy¨ okhelyg¨ orbe a felnyitott k¨ or pólusaiból indul ki, és mind a két ág a felnyitott kör zérusaiba tart. – A val´ os tengelyen csak a [−2, −1] tartományban van gyökhelygörbe szakasz. – A végtelenbe tart´ o´ agak érint˝ oinek meredeksége: nincs végtelenbe tartó ág. – A gy¨ okhelyg¨ orbének nincs s´ ulypontja. – A gy¨ okhelyg¨ orbe nem metszi a képzetes tengelyt, ´ıgy nincs kritikus er˝os´ıtés. – A gy¨ okhelyg¨ orbének kilépési pontja visszatérési pont, K ≥ 4, 82 esetén negat´ıv valós gyök¨ oket kapunk, azaz a csillap´ıt´ asi tényez˝o értéke nagyobb lesz 1-nél. A pólusok értéke itt -1,6. – A komplex p´ olusokb´ ol kiindul´ o ágak kilépési szöge: 297◦ , illetve 63◦ . A tag gy¨ okhelyg¨ orbéje:

2. (a) er˝ os´ıtés: K = 0, 25; id˝ o´ alland´ o: T = 0, 25; csillap´ıtási tényez˝o: ξ = 1 (b) és v´ azolja fel a s´ ulyf¨ uggvényét!

√

3.

2 2 √⇒ aszimptotikusan nem stabil, de BIBO stabil; p1,2 = 14 ± j 27 ⇒ instabil; √ p1 = 0; p2,3 = − 38 ± j 823 ⇒ aszimptotikusan nem stabil, de BIBO p1,2 = ± 12 ⇒ instabil;

– G1 (s) p´ olusai: p1,2 = ±j – G2 (s) p´ olusai: – G3 (s) p´ olusai: – G4 (s) p´ olusai:

4. G(s) =

G1 (s)G2 (s)G3 (s) 1 + G1 (s) + G3 (s) + G1 (s)G3 (s) + G2 (s)H1 (s)

stabil

112

FEJEZET 10. MINTA FELADATSOROK 5. Az ´ abr´ azol´ as a k¨ ovetkez˝ o felbont´ as alapján végezhet˝o el: G(s) = 10 ·

1 1 1 · · s 10s + 1 0, 5s + 1

6. A z´ art k¨ or az er˝ os´ıtés 0 < K < 1 k¨ ozötti értékeire lesz stabil. 7. Az ´ atmeneti f¨ uggvényét! y(t) =

2 1 1(t) − e−t + e−1,5t 3 3


113

F2 feladatsor 1. Tekintse az al´ abbi rendszert!

(a) Rajzolja fel a gy¨ okhelyg¨ orbét! (b) Hat´ arozza meg a K értékét a kritikus csillap´ıtási tényez˝o értéknél! Milyen pólus tartozik ehhez a ponthoz? √

(c) Mennyi K értéke, ha a z´ art k¨ or pólusai −1 ± j

6 2 ?

8 2 és G2 (s) = rendszerek s´ ulyf¨ uggvényét! 4s + 2 2s + 4 (b) K¨ osse p´ arhuzamosan ¨ ossze a két tagot, majd csatolja vissza negat´ıvan a kapott rendszert! Hat´ arozza meg a z´ art k¨ or paramétereit!

2. (a) V´ azolja fel a G1 (s) =

3. Hat´ arozza meg az al´ abbi tagok stabilitását mindkét stabilitási defin´ıciónak megfelel˝oen! G1 (s) =

3s + 2s

6s2

G2 (s) =

3s + 2 + 2s + 4

2s2

G3 (s) =

2s3

s2 + 2 + 2s2 − 4s

G4 (s) =

3s3 + 2 4s2 + 2s

4. Hat´ arozza meg az ered˝ o´ atviteli f¨ uggvényt az alábbi esetben!

5. Rajzolja fel az al´ abbi rendszer Bode-diagramját! G(s) =

(s2

0.8s + s + 4)(s + 0.2)

6. V´ azolja fel az 5. feladatban szerepl˝o tag gyökhelygörbéjét! Mit tud megállap´ıtani a zárt kör stabilit´ as´ ar´ ol? (Lehet˝ oség szerint indokoljon is!) 7. Hat´ arozza meg az al´ abbi modellel jellemzett tag átmeneti f¨ uggvényét! 2y (2) (t) + 5y (1) (t) + 2y(t) = 9u(1) (t) + 6u(t)

114

FEJEZET 10. MINTA FELADATSOROK

F3 feladatsor 1. (a) Adja meg az input-output modellt, ha a tag pólusai s1,2 = −0, 4 ± j0, 2 és K = 5 ! (b) V´ azolja fel a tag s´ ulyf¨ uggvényét! (c) Csatolja vissza negat´ıvan a tagot, és ábrázolja ennek is a s´ ulyf¨ uggvényét! (Rajzolja bele az el˝ oz˝ o diagramba!) (d) Rajzolja fel a G(s) tag gy¨ okhelygörbéjét! 2. Hat´ arozza meg az al´ abbi tagok stabilitását mindkét stabilitási defin´ıciónak megfelel˝oen! (Indokl´ ast is kérek!) G1 (s) =

2s2 − 1 3s2 + 9

G2 (s) =

2s + 1 + 3s + 1

5s2

G3 (s) =

s3

s+1 + s2 − 4s

G4 (s) =

5s2

2s + 10s

3. Hat´ arozza meg az al´ abbi rendszer ered˝o átviteli f¨ uggvényét!

4. V´ azolja fel az al´ abbi tag Bode-diagramját! G(s) =

(4s2

1 + 2s + 2)(s + 0, 1)

5. Tekintse az al´ abbi rendszer!

(a) Adja meg, hogy milyen K értékre lesz a rendszer aszimptotikusan stabil! (b) Végértéktétel seg´ıtségével adja meg, hogy hova tart a kimenet (y(t)), ha a bemenet w(t) = t! 6. Hat´ arozza meg az al´ abbi tag ´ atmeneti f¨ uggvényét! G(s) =

4 s2 + 4s + 3


115

F4 feladatsor 1. Tekintse az al´ abbi visszacsatolt k¨ ort!

(a) V´ azolja fel a rendszer gy¨ okhelygörbéjét! (b) Adja meg, hogy mennyi a K értéke, ha a visszacsatolt kör csillap´ıtási tényez˝oje a kritikus értéket vesz fel! (c) Mennyi lesz a b, pontban kisz´ amolt esetben a hurokátviteli tényez˝o (Ke )? 3 6 és G2 (s) = tagok átmeneti f¨ uggvényét! 2s + 6 3s + 2 (b) K¨ osse p´ arhuzamosan ¨ ossze a két tagot, majd csatolja vissza negat´ıvan a kapott rendszert! Hat´ arozza meg a z´ art k¨ or paramétereit!

´ azolja grafikonon a G1 (s) = 2. (a) Abr´

3. Hat´ arozza meg az al´ abbi tagok stabilitását mindk´ et stabilitási defin´ıciónak megfelel˝oen! Indokl´ ast is kérek! G1 (s) =

2s3 − 1 8s2 + 4

G2 (s) =

2s + 1 2s2 + 3s + 4

G3 (s) =

s+1 s3 + s2 + 4s

G4 (s) =

2s s2 − 4s

4. Hat´ arozza meg az al´ abbi rendszer ered˝o átviteli f¨ uggvényét!

5. V´ azolja fel az al´ abbi tag Bode-diagramját! G(s) =

20 (s2 + 2s)(2s + 1)

6. Csatolja vissza negat´ıvan a al´ abbi tagot! Adja meg, hogy a visszacsatolt kör milyen K er˝os´ıtés érték esetén lesz a csillap´ıt´ as hat´ ar´ an! G(s) =

3s3

K(2s + 1) + 4s2 + 2s + 4

7. Hat´ arozza meg a G(s) =

4s + 2 tag átmeneti f¨ uggvényét! 5s + 1

116

10.2.


Diszkr´ et idej˝ u rendszerek

D1 feladatsor 1. Tekints¨ uk az al´ abbi mintavételezett tagot!

(a) Végezze el a diszkretiz´ al´ ast t´ ablázat seg´ıtségével! (b) Végezze el a diszkretiz´ al´ ast az el˝orefelé vett differenciák módszerével! (c) Hat´ arozza meg a folytonos és a diszkretizált tagok stabilitását, ha a T0 = 2mp! 2. Tekints¨ uk az al´ abbi visszacsatolt k¨ ort!

GC (s) = 5(1 +

1 1 − e−T0 s ) Gh0 (s) = 2s s

GO (s) =

0, 693 s + 0, 693

GM (s) =

1 s + 1, 386

(a) Adja meg a z´ art k¨ or ered˝ o impulzus átviteli f¨ uggvényét, ha T0 = 1mp! A diszkretizálást defin´ıci´ o szerint végezze! (b) Hova tart a rendszer ´ atmeneti f¨ uggvénye? 3. Legyen egy tag impulzus ´ atviteli f¨ uggvénye a következ˝o: G(z) =

2z + 6 + 2z + 6

4z 2

(a) Hat´ arozza meg a kimenet értékét a k = 0, 1, 2, 3 mintavételezési id˝opontokban, ha a kezdeti feltételek zérusok és a bemenet: ( t , ha 0 ≤ t < 4s u(t) = T0 = 2s . 0 , egyébként, (b) Adja meg a tag er˝ os´ıtését! 4. Diszkrét PID sebesség algoritmust alkalmazva, válasza meg u ´gy az er˝os´ıtés (K) és az integr´ al´ asi id˝ o´ alland´ o (TI ) értékét, hogy e(kT0 ) = 1(kT0 ) hibajel esetén a k = 0 mintavételezési id˝opontban a beavatkoz´ o jel u(0) = 6, a k = 1 mintavételezési id˝opontban u(1) = 8 legyen. A mintavételezési id˝ o´ alland´ o T0 = 1s, a deriv´ al´ asi id˝ oállandó TD = 0, 5s és u(−1) = 0! 5. Vizsg´ alja meg mindk´ et stabilit´ asi defin´ıció szempontjából az alábbi tagokat: G1 (z) =

2z 2 − 1 6z 2 + 5z + 3

G2 (z) =

2z −1 + 4 0, 96z −2 + 0, 4z −1 + 2

G3 (z) =

3z 3z −2 + 5z −1

G4 (z) =

2 + 4z −1 −0, 5z −2 − 0, 5z −1 + 1

´ IDEJU ˝ RENDSZEREK 10.2. DISZKRET 6. Tekintse az al´ abbi szab´ alyz´ o k¨ ort:

GC (s) =

1 TI s

GO (s) =

1 s+2

(a) Hat´ arozza meg TI értékét u ´gy, hogy a zárt kör kritikus csillap´ıtás´ u legyen! (b) Diszkretiz´ alja a k¨ ort az al´ abbi ábrának megfelel˝oen, ha T0 = 0, 3465s:

Az a) pontban meghat´ arozott TI értéket használva végezze el a gyökhelygörbe vizsgálatot!

117

118


D2 feladatsor 1. Tekints¨ uk az al´ abbi mintavételezett tagcsoportot!

1 − e−T0 s s Hat´ arozza meg a kimenet értékét a k = 0, 1, 2, 3 mintavételezési id˝opontokban, ha a bemenet: ( t , ha 0 ≤ t < 3s y(−1) = y(−2) = 0, T0 = 1s . u(t) = 0 , egyébként, hP (t) = 2t

Gh0 (s) =

2. Adja meg kimenet értékét a 4. mintavételezési id˝opontban, ha adott a kimen˝o jel z-transzform´ altja, Y (z)! Y (z) =

z+1 (z − 0, 5)(z + 0, 5)

3. Vizsg´ alja meg az al´ abbi tag stabilitását: G(z) =

2z + 1 4z 3 + 2z 2 + 3z + 1

4. Vizsg´ alja meg mindkét stabilit´ asi defin´ıció szempontjából az alábbi tagokat! Aszimptotikusan stabil tag esetében adja meg az er˝ os´ıtés értékét! G1 (z) =

2z + 4 12z 2 + 15z + 3

G2 (z) =

2z −1 + 3 0, 25z −2 + 0, 5z −1 + 0, 25

G3 (z) =

2z −1 + 3z −3 0, 36z −2 + 0, 25z −3

5. Hat´ arozza meg a T0 mintavételezési id˝o értékét u ´gy, hogy a visszacsatolt kör a stabilitás hat´ ar´ an legyen!

G(s) =

1 s2

6. Adja meg az al´ abbi rendszerek ered˝o impulzus-átviteli f¨ uggvényét! (a)

´ IDEJU ˝ RENDSZEREK 10.2. DISZKRET

119

(b)

7. Adja meg annak a PID szab´ alyz´ onak a Bode-diagramját, melynél K = 10, TI = 4s és TD = 1s! 8. Hat´ arozza meg a PD szab´ alyz´ o er˝ os´ıtését u ´gy, hogy a maradó szabályozás hiba 5% legyen egységugr´ as alapjelv´ alt´ as esetén, ha a TD = 4s és a szabályozandó tag átviteli f¨ uggvénye: G(s) =

3s2

2 . + 2s + 1

120 D3

FEJEZET 10. MINTA FELADATSOROK 1. Tekints¨ uk az al´ abbi visszacsatolt k¨ ort!

GC (s) =

5s + 1 10

GO (s) =

2 6s + 1

GM (s) =

1 0, 1s + 1

A diszkretiz´ al´ ast az el˝ orefelé vett differenciák módszere szerinti közel´ıtéssel végezve, adja meg a z´ art k¨ or ered˝ o impulzus ´ atviteli f¨ uggvényét, ha T0 = 1s! 2. Legyen egy tag impulzus ´ atviteli f¨ uggvénye a következ˝o: G(z) =

(z + 1)z (2z − 2)(z 2 − 2z + 1)

(a) Hat´ arozza meg a tag diszkrét s´ ulyf¨ uggvényét, ha T0 = 1s! (b) Hat´ arozza meg a rendszer v´ alaszát a k = 0, 1, 2, 3 mintavételi pontokban és a végtelenben, ha a bemenet: ( 2 , ha k = 0 u(kT0 ) = y(−1) = y(−2) = y(−3) = 0, T0 = 1s . 0 , ha k 6= 0 , 3. Vizsg´ alja meg a stabilit´ as´ at mindkét stabilitási defin´ıció szerint az alábbi tagoknak, és stabil esetben adja meg az er˝ os´ıtést! G1 (z) =

2z −1 + 4 2z 2 − 1 G2 (z) = 2 −2 8z + 4 2, 26z + 3, 2z −1 + 2

G3 (z) =

z3

(z + 1)3 − 2z 2 + z

G4 (z) =

z −2

4 − 0, 216z −1


1 − e−T0 s s Hat´ arozza meg a kimenet értékét a k = 0, 1, 2, 3, 4 mintavételezési id˝opontokban, ha a bemenet ( t , ha 0 ≤ t < 4s u(t) = y(−2) = y(−4) = 0, T0 = 2s . 0 , egyébként , y (1) (t) = 0, 5u(t)

Gh0 (s) =

5. Hat´ arozza meg a diszkrét PID szabályzó sebesség algoritmusának kimenetét a k = 0, 1, 2, 3 mintavételi pontokban a k¨ ovetkez˝ o a k¨ ovetkez˝o adatok esetében! q0 = 1 q1 = −2 q2 = 0, 5 ( 2 , ha 0 ≤ t < 6s e(t) = 0 , egyébként ,

u(−1) = 0,

T0 = 1s .

´ IDEJU ˝ RENDSZEREK 10.2. DISZKRET

121

D4 feladat 1. Tekints¨ uk az al´ abbi mintavételezett tagcsoportot!

y (1) (t) + 2.772y(t) = 2, 772u(t)

Gh0 (s) =

1 − e−T0 s s

Hat´ arozza meg a kimenet értékét a k = 0, 1, 2, 3, 4 mintavételezési id˝opontokban, ha a bemenet ( t , ha 0 ≤ t ≤ 2s y(−1) = 0, T0 = 1s . u(t) = 0 , egyébként ,

2. Tekints¨ uk az al´ abbi visszacsatolt k¨ ort!

GC (s) =

1 s

GO (s) =

10 s + 10

GM (s) =

4 8s + 2

Adja meg a z´ art k¨ or ered˝ o impulzus-átviteli f¨ uggvényét, majd végezze el diszkretizálást a Tustinm´ odszer szerinti k¨ ozel´ıtéssel, T0 = 2s! 3. Vizsg´ alja meg mindk´ et stabilit´ asi defin´ıció szempontjából az alábbi tagokat: G1 (z) =

2z −1 + 4 2z 2 − 1 G (z) = 2 6z 2 + 5z + 3 0, 96z −2 + 0, 4z −1 + 2

G3 (z) =

(z + 2)(z 2 + 1) z 2 + 1, 5z − 1

G4 (z) =

2 + 4−2 z −2 − 0, 216z −1

4. Diszkrét PID sebesség algoritmust alkalmazva, válasza meg az er˝os´ıtés (K) és az integrálási id˝oálland´ o (TI ) értékét u ´gy, hogy e(kT0 ) = 1(kT0 ) bemenet esetén a k = 0 mintavételezési id˝opontban a szab´ alyz´ o kimenete, u(0) = 8, a k = 1 mintavételezési id˝opontban u(1) = 4 legyen, ha a mintavételezési id˝ o´ alland´ o T0 = 1s, a deriválási id˝oállandó TD = 0, 5s! ´ azolja grafikonon y(kT0 ) kimenetet, k = 0, 1, 2, 3, 4 esetekre a következ˝o átviteli f¨ 5. Abr´ uggvénnyel rendelkez˝ o rendszer esetében! Adja meg a tag er˝os´ıtését is!

( 2 , ha k ≥ 0 u(kT0 ) = 0 , egyébként ,

G(z) =

z , 2z 3 + 1

y(−1) = y(−2) = 0 ,

T0 = 1s .

122

FEJEZET 10. MINTA FELADATSOROK 6. Adja meg kimenet értékét a 4. mintavételezési id˝opontban, ha adott a kimen˝o jel z-transzform´ altja, Y (z)! Y (z) =

z2 (z − 1)3

7. Hat´ arozza meg, hogy hova tart al´ abbi tag s´ ulyf¨ uggvénye, ha k → ∞! G(z) =

z+1 10z 3 + 4z 2 + 8z + 2

Mell´ eklet

A k¨ ovetkez˝ o oldalakon tal´ alhat´ oak a Laplace- és z-transzformáció elvégzéséhez sz¨ ukséges táblázatok.

123

´ MELLEKLET

124

T/I. Laplace-transzform´ aci´ o azonoss´ agai

Id˝of¨ uggvény

Fogalom

f (t)

Laplace-transzform´ aci´ o értelmezése Inverz Laplace-transzform´ aci´ o értelmezése

f (t) =

1 2πj

F (s)est ds

F (s)

c−j∞

c1 F1 (s) + c2 F2 (s)

f (1) (t)

sF (s) − f (0)

f (2) (t)

s2 F (s) − sf (0) − f 0 (0)

f (n) (t)

sn F (s) −

n−1 P

sn−p−1 f (p) (0)

p=0

Rt

Konvol´ uci´ o tétel

c+j∞ R

c1 f1 (t) + c2 f2 (t)

transzform´ altja

Csillap´ıt´ asi tétel

f (t)e−st dt

cF (s)

Laplace-

Eltol´ asi tétel

R∞

cf (t)

Differenci´ alh´ anyados

Integr´ al´ as Laplace-transzform´ aci´ oja

F (s) =

0

Linerit´ as Szuperpoz´ıci´ o

Laplace-transzformált

1 s F (s)

f (τ )dτ

0

1(t − τ )f (t − τ )

e−sτ F (s)

f (t)e∓αt

F (s ± α)

f1 (t) ∗ f2 (t)t

F1 (s) · F2 (s)

lim f (t) = lim sF (s)

Kezdetiérték tétel

t→0

Végérték tétel

t→∞

s→∞

lim f (t) = lim sF (s) s→0

125

T/II. Nevezetes f¨ uggv´ enyek Laplace-transzform´ altja

Id˝ of¨ uggvény f (t) Egység impulzus δ(t)

Laplace-transzformált F (s) 1

Egységugr´ as 1(t)

1 s

Egység sebességugr´ as v(t)

1 s2

tn

sn+1

e−αt

1 s+α

te−αt

1 (s + α)2

tn e−αt (n pozit´ıv egész)

n! (s + α)n+1

1 (e−αt − e−βt ) (α 6= β) β−α

1 (s + α)(s + β)

1 (βe−βt − αe−αt ) (α 6= β) β−α

s (s + α)(s + β)

1 (1 − e−αt ) α

1 s(s + α)

1 (1 − e−αt − αte−αt ) α2

1 s(s + α)2

sin(ωn t)

ωn s2 + ωn2

cos(ωn t)

s s2 + ωn2

n!

ωn p

1 − ξ2

1− p

e−ξωn t sin(ωn

1 1−

ξ2

p 1 − ξ 2 t) (0 < ξ < 1)

e−ξωn t sin(ωn

p

1 − ξ 2 t + cos−1 ξ)

(0 < ξ < 1)

ωn2 s2 + 2ξωn s + ωn2 ωn2 s(s2 + 2ξωn s + ωn2 )

´ MELLEKLET

126

T/III. z-transzform´ aci´ o azonoss´ agai

Fogalom

Id˝of¨ uggvény

z-transzform´ aci´ o értelmezése

f (nT0 )

F (z) =

∞ P

f (nT0 )z −n

n=0

Egyszeres p´ olusok esetén Inverz z-transzform´ aci´ o értelmezése

z-transzformált

f (nT0 )

F (z) =

P X Fz (pi ) i=1

f (nT0 ) =

1 2πj

I

F (z)z n−1 dz

z · Fp0 (pi ) z − epi T0 F (z)

Γ

´ erés az s- és z-s´ık Att´ k¨ oz¨ ott

1 s→ ln z T0

El˝ orefelé vett differenci´ ak k¨ ozel´ıtéssel

s→

z−1 T0

z → 1 + sT0

Visszafelé vett differenci´ ak k¨ ozel´ıtéssel

s→

z−1 zT0

z→

Tustin-m´ odszer k¨ ozel´ıtéssel

s→

2 z−1 · T0 z + 1

z → esT0

z→

1 1 − sT0

1 + sT0 /2 1 + −sT0 /2

cf (nT0 )

cF (z)

c1 f1 (nT0 ) + c2 f2 (nT0 )

c1 F1 (z) + c2 F2 (z)

el˝ orefelé vett

f (nT0 ) − f ((n − 1)T0 ) T0 f ((n + 1)T0 ) − f (nT0 ) T0

z−1 F (z) zT0 z−1 F (z) T0

Eltol´ asi tétel

f (kT0 − nT0 )

z −n F (z)

Linerit´ as Szuperpoz´ıci´ o Differenciah´ anyados visszafelé vett

f (kT0 + mT0 )

z −m (F (z) −

m−1 X i=0

Kezdetiérték-tétel Végérték-tétel

z−1 lim f (kT0 ) = lim F (z) z→∞ k→0 z z−1 lim f (kT0 ) = lim F (z) z→1 k→∞ z

f (iT0 )z −i )

127

T/IV. Nevezetes f¨ uggv´ enyek Laplace- ´ es z-transzform´ altja

F (s)

f (nT0 )

F (z)

1

1(n = 0); 0(n 6= 0)

1

e−kT0

1(n = k); 0(n 6= k)

1 zk

1(t)

1 s

1vagy1(n)

z z−1

v(t)

1 s2

nT0

zT0 (z − 1)2

1 s3

(nT0 )2 2

(z + 1)zT02 2(z − 1)3

t3 6

1 s4

(nT0 )3 6

T03 z(z 2 + 4z + 1) 6 (z − 1)4

e−at

1 s+a

nT0 e−anT0

z z − e−aT0

an vagy an 1(n)

z z−a

1 (s + a)2

nT0 e−anT0

zT0 e−aT0 (z − e−aT0 )2

1 (s + a)(s + b)

e−anT0 − e−bnT0 b−a

1 z(e−aT0 − e−bT0 ) · b − a (z − e−aT0 )(z − e−bT0 )

a s(s + a)

1 − e−anT0

z(1 − e−aT0 ) (z − 1)(z − e−aT0 )

sin ωt

ω s2 + ω 2

sin ωnT0

z sin ωT0 z 2 − 2z cos ωT0 + 1

cos ωn t

s s2 + ωn2

cos ωnT0

z(z − cos ωT0 ) z 2 − 2z cos ωT0 + 1

sin ωt

ω (s + a)2 + ω 2

e−anT0 sin ωnT0

cos ωt

s+a (s + a)2 + ω 2

e−anT0 cos ωnT0

f (t) δ(t) δ(t − kT0 )

0, 5t

te

2

−at

e−at − e−bt b−a 1−e

e e

−at

−at

−at

ze−aT0 sin ωT0 cos ωT0 + e−2aT0

2e−aT0 z

z2

−

z2

z 2 − ze−aT0 cos ωT0 − 2e−aT0 z cos ωT0 + e−2aT0

128

´ MELLEKLET

Irodalomjegyz´ ek [1] O’Flynn, B., Moriarty, E. Linerar Systems, John Wiley & Sons, New York, (1987)

129

Gerzson Miklós május 8

Recommend Documents