Geometrie. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Geometrie

Mgr. Jarmila Zelená

Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Výpočty v pravoúhlém trojúhelníku

VY_32_INOVACE_05_3_12_M2

Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

PRAVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK

1

Pojmy a označení: a, b…….odvěsny c ………přepona α, β…….vnitřní úhly

α + β = 90°

 = 90° Pravoúhlý trojúhelník je trojúhelník, jehož jeden vnitřní úhel je pravý. Zbývající úhly musí být ostré, protože součet velikostí vnitřních úhlů v každém trojúhelníku je 180°. Přeponou nazýváme stranu ležící proti pravému úhlu, odvěsnami pak strany ležící proti zbývajícím úhlům.

2

PYTHAGOROVA VĚTA Geometrická definice: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou (nejdelší stranou) pravoúhlého trojúhelníku je roven součtu obsahů čtverců nad jeho odvěsnami (dvěma kratšími stranami). 2 2 2 Formálně Pythagorovu větu vyjadřuje rovnice , c  a  b , kde c označuje délku přepony pravoúhlého trojúhelníka a délky odvěsen jsou označeny a a b.

3

4

Pythagorova věta umožňuje dopočítat délku třetí strany trojúhelníka, jestliže jsou známé délky dvou zbývajících stran: -

2 2 2 2 2 Výpočet délky přepony c: c  a  b  c  a  b

-

2 2 2 2 2 Výpočet délky odvěsny a: a  c  b  a  c  b

-

2 2 2 2 2 Výpočet délky odvěsny b: b  c  a  b  c  a

5

Řešené příklady: 1. Je dán pravoúhlý trojúhelník KLM se stranami délek k = 4 cm, l = 5 cm, m = 3 cm. Ověřte platnost Pythagorovy věty. 2 2 2 Řešení: Přepona je nejdelší strana, proto musí platit: l  m  k . Dosadíme číselné hodnoty:

52  32  42 25  9  16 25  25

Pythagorova věta platí.

6

Pythagorovu větu lze použít i obráceně ke zjištění, zda je daný trojúhelník pravoúhlý. Obrácená Pythagorova věta zní: Jestliže v trojúhelníku platí, že součet obsahů čtverců sestrojených nad kratšími stranami je roven obsahu čtverce sestrojeného nad nejdelší stranou, potom je tento trojúhelník pravoúhlý.

7

2. Rozhodni, zda dané úsečky jsou stranami pravoúhlého trojúhelníku: a) a  4,5 cm, b  6 cm, c  7,5 cm b) m  0,6 cm, n  9 mm, p  0,11 dm Řešení: 2 2 2 2 a) a  b  4,5  6  20, 25  36  56, 25

c2  7,52  56, 25 2 2 2 Platí Pythagorova věta: c  a  b , úsečky jsou stranami pravoúhlého trojúhelníku. 2 2 2 2 b) m  n  6  9  36  81  117

p 2  112  121

Neplatí Pythagorova věta: p2 ≠ m2 + n2 ,úsečky nejsou stranami pravoúhlého trojúhelníku. 8

3. Vypočítejte délku přepony pravoúhlého trojúhelníku, jestliže délky odvěsen jsou: 6 cm, 8 cm Řešení: c2  a 2  b2 c  a 2  b2 c  6 2  82 c  36  64 c  100 c  10 cm

Délka přepony je 10 cm.

9

4. Vypočítejte délku odvěsny v pravoúhlém trojúhelníku, jestliže:

a = 2 dm, c = 5,2 dm Řešení: b2  c2  a 2 b  c2  a2 b  5, 22  22 b  23, 04 b  4,8 dm

Délka odvěsny je 4,8 dm.

10

5. Vypočítejte délku strany čtverce, jehož úhlopříčka má délku 18 cm. Řešení: u = 18 cm, a = ? u2  a2  a2 u 2  2a 2 u2 a  2 2

u2 a 2 a

182 2

a  162 a  12, 7 cm

Délka strany čtverce je 12,7 cm.

11

6. Vypočítejte výšku rovnoramenného trojúhelníku, jestliže má základna délku 24 cm a ramena mají délku 15 cm. Řešení:

12

AB = z = 24 cm, AC = BC = r = 15 cm, v = ? Výška půlí základnu a rozdělí rovnoramenný trojúhelník na dva shodné pravoúhlé trojúhelníky. V trojúhelníku ASC platí: AS = 24 : 2 = 12 cm, AC = 15 cm AC  AS  v 2 2

2

v 2  AC  AS 2

v

2

AC  AS 2

2

v  152  122 v  81 v  9 cm

Výška rovnoramenného trojúhelníku má délku 9 cm.

13

7. Devět metrů vysoký strom se v bouři přelomil tak, že jeho vrcholek se dotýká země 3 m od paty stromu. V jaké výšce se zlomil? Řešení:

14

výška stromu……………………… 9 m vzdálenost od paty stromu…… 3 m výška zlomu……………………….. x vzniklý trojúhelník v nákresu je pravoúhlý, proto platí Pythagorova věta:

9  x 

2

 x 2  32

81  18 x  x 2  x 2  9 18 x  72 x4m

Strom se zlomil ve výšce 4 m.

15

8. Žebřík dlouhý 9 m je spodním koncem opřen 1,75 m od zdi. Do jaké výšky dosahuje na zdi horní konec žebříku? Řešení:

16

délka žebříku…………….. 9 m vzdálenost od zdi………. 1,75 m výška na zdi………………

x

x 2  1, 752  92 x 2  81  3, 0625 x  77,9375 x  8,8 m

Horní konec žebříku dosahuje na zdi do výšky 8,8 m.

17

Příklady k procvičení: 1. Vypočítejte délku úhlopříčky čtverce: a) jehož obvod je 8 m

[2,83 cm]

b) jehož obsah je 25 dm2

[7,1 dm]

2. Vypočítejte délku strany čtverce, jehož úhlopříčka má délku 18 cm. [12,7 cm] 3. Vypočítejte výšku rovnostranného trojúhelníku, jehož obvod je 15 cm. [4,3 cm]

18

4. Okolo obdélníkového lesa 120 m dlouhého a 50 m širokého je vozová cesta. O kolik metrů si zkrátí chodec chůzi pěšinou po úhlopříčce tohoto lesa? [40 m] 5. Pan Dvořák vlastní pozemek ve tvaru rovnoramenného trojúhelníku se stranami 50 m, 50 m, 60 m. Pan Novák vlastní pozemek, který má tvar rovnostranného trojúhelníku se stranami délky 55 m. Kdo z nich má pozemek o větší rozloze? [Novák] 6. Do jaké výšky sahá dvojitý žebřík 6 m dlouhý, jsou-li jeho dolní konce od sebe vzdáleny 5 m? [5,5 m]

19

7. Na těleso působí v témže bodě dvě síly F1= 160 N a F2= 40 N, které svírají úhel velikosti 900. Určete velikost výslednice těchto sil. [164,9 N] 8. Vodorovná vzdálenost dvou míst je podle plánu 300 m, výškový rozdíl činí 22 m. Jaká je skutečná vzdálenost těchto míst? [300,7 m] 9. Kosočtverec má úhlopříčky délky u1 = 12 cm, u2 = 16 cm. Vypočítejte délku strany kosočtverce. [10 cm] 10. Rozhodněte, zda dosáhne žebřík dlouhý 3 metry na zeď vysokou 2,8 m, musí-li být kvůli stabilitě jeho spodní konec 70 cm od zdi ? [ano]

20

EUKLEIDOVY VĚTY

21

1. Euklidova věta o výšce Pro výšku v v pravoúhlém trojúhelníku s pravým úhlem u vrcholu C platí?: vc2  ca  cb

2. Euklidova věta o odvěsně Pro odvěsny pravoúhlého trojúhelníku platí: a 2  c  ca b 2  c  cb

22

Řešené příklady: 1. Vypočítej zbývající prvky a, b, ca , v, ,   v pravoúhlém trojúhelníku ABC

  90  , je-li dáno: 

c  10, cb  6 .

23

b  c  cb b  10  6  2 15

c  c a  cb  c a  c  cb ca  4 a  c  ca a  10  4  2 10 v  c a  cb v  46  2 6

24

a c 2 10 sin      39 14´ 10 b sin   c 2 15 sin      50  46´ 10 sin  

25

2. Vypočítej zbývající prvky b, c, ca , cb ,  ,   v pravoúhlém trojúhelníku ABC

  90  , je-li dáno: a  3; v  

5.

26

Z pravoúhlého trojúhelníku CBP spočítáme pomocí Pythagorovy věty úsek přepony ca . c a2  a 2  v 2 c a2  3 2 

 5

2

 ca  2

a 2  c  ca  c 

a2 9 c ca 2

c  c a  cb  cb  c  c a  cb  b  c  cb  b 

5 2

3 5 2

27

a c 3 sin      41 49´ 9 2 sin  

b c 3 5 sin   2    48 11´ 9 2 sin  

28

Příklady k procvičení: 1. V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C je velikost úseku přilehlého ke straně a roven 2 cm a velikost úseku přilehlého ke straně b roven 26 cm. Vypočtěte jeho obvod. [18,93 cm] 2. Pravoúhlý trojúhelník má přeponu c = 26 cm. Jak velké úseky vytíná výška vc = 12 cm na přeponě c? [ca = 18 cm, cb = 8 cm] 3. V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C jsou délky odvěsen a = 3,6 cm, b = 5,2 cm. Vypočtěte délky úseků přepony a výšku k přeponě c. [ca = 2,1 cm, cb = 4,3 cm, v = 3 cm] 29

4. Úseky přepony v pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C mají délky ca = 2 cm, cb = 8 cm. Vypočtěte výšku trojúhelníku a délky odvěsen. [v = 4 cm; a = 4,5 cm; b = 8,9 cm]

5. V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C je dán úhel   48 a úsek přepony ca = 15 cm. Vypočtěte výšku ke straně c a těžnici vedenou vrcholem C. [v = 13,51 cm; tc = 13,58 cm]

30

GONIOMETRICKÉ FUNKCE V PRAVOÚHLÉM TROJÚHELNÍKU

31

a c b sin   c sin  

b c a cos   c cos  

32

a b b tg   a tg  

b a a cot g  b cot g 

33

Řešené příklady: 1. V pravoúhlém trojúhelníku ABC s odvěsnami a = 12 cm a b = 18 cm vypočtěte velikosti vnitřních úhlů. B

12 cm

C

a b 12 tg  18   33 41´ tg 

18 cm

A

34

  90      90     33 41´  56 19´

35

2. Železniční trať má stoupání 18 ‰. Vypočítejte, pod jakým úhlem stoupá. Má-li železniční trať stoupání 18 ‰, znamená to, že stoupne o 18 metrů na vzdálenost 1000 metrů vodorovně.

18 m 18 1000  ´  1 2 tg  

1 000 m Železniční trať má stoupání 1 2´ .

36

 3. V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C je dáno:   56 , b = 34 cm. Vypočítejte zbývající strany a úhly.

A

sin  

b sin  34 c sin 56  c  41cm c

C

B

b c

a  c2  b2 a  412  34 2 a  525 a  22,9cm

  90  56  34

37

Příklady k procvičení: 1. V jakém úhlu stoupá lanová dráha, jestliže v délce 340 m překonává výšku

30  

170 m?

2. Tětiva MN v kružnici, příslušná ke středovému úhlu MSN = 132 , má od středu S kružnice vzdálenost v = 82 mm. Vypočtěte poloměr kružnice. 

20,2cm

3. Jak vysoký je komín elektrárny stojící ve vodorovném terénu, jestliže jeho  vrchol vidíme ze vzdálenosti 75 metrů od paty komínu pod úhlem 34 ?

50,6m

4. Vypočtěte velikosti úhlů v pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C, je-li dáno: a = 10 cm, b = 7,5 cm.

  53 8 ;   36 52   ´



´

38

 ´ 5. Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC, je-li dáno: a = 14,5 cm,   48 10 .

  41 50 ; b  12,98cm; c  19,46cm 

´

6. Jaký je sklon žebříku délky 6,2 m, který je svým horním okrajem opřen ve výšce 5,12 m?

55 40  

´

 ´ 7. Jaký je výškový rozdíl míst A a B na trati, která má stoupání 8 25 , je-li jejich

vzdálenost 1 275 m?

186,6m

8. Z pozorovací věže ve výšce 115 m nad hladinou moře je zaměřena loď  ´ v hloubkovém úhlu 6 44 . Jak daleko je loď od věže?

974m

39

9. Silnice má stoupání 15 %. Kolik je to stupňů?

8 32  

´

40