Geometrie křivek a podvariet se bohatě využívá například ve fyzice, geografii, architektuře

Matematický u ´stav Slezské univerzity v Opavˇe Uˇcebn´ı text z geometrie M. Marvan “Jak to nar´ ysoval! K´ y to umn´ y pl´ an! Kruˇ znice, pˇr´ımky, spir´ aly, smyˇ cky . . . takov´ eho pl´ anu jsem si, otˇ ce, vezdy ˇ zd´ al!” j´ asal mlad´ y tesaˇr´ık nad poˇ cm´ aran´ ym pap´ırem. “Otˇ ce, chutˇ e do pr´ ace, nemeˇskejme podle toho pl´ anu stavˇ eti!” O. Sekora, Brouk Pytl´ık

Geometrie nelineárn´ıch u´tvar˚ u 1. Pˇ redmluva Tento uˇcebn´ı text k pˇredmˇetu Geometrie je urˇcen student˚ um druhého roˇcn´ıku bakaláˇrského studia Slezské univerzity v Opavˇe. Druh´ a ˇcást, kterou právˇe ˇctete, pojednává o diferenciáln´ı geometrii neline´ arn´ıch u ´tvar˚ u v eukleidovském prostoru. Patˇr´ı mezi nˇe zejména kˇrivky a podvariety. Pˇr´ıvlastek ‘diferenci´ aln´ı’ znamen´ a, ˇze budeme pouˇz´ıvat diferenciáln´ı poˇcet v eukleidovském prostoru. Potˇrebné z´ aklady jsou v textu vyloˇzeny. Geometrie kˇrivek a podvariet se bohatˇe vyuˇz´ıvá napˇr´ıklad ve fyzice, geografii, architektuˇre. Pˇr´ıklady a cviˇcen´ı zaˇclenˇené do této verze textu to do jisté m´ıry odráˇzej´ı, aˇckoliv by se pro to dalo udˇelat mnohem v´ıce. Text zaost´ av´ a i v tom, ˇze v nˇem zcela chyb´ı obrázky. Student˚ um doporuˇcuji, aby si kˇrivky a podvariety sami vyhled´ avali v internetu, kde najdou i názorné animace. Nˇekterá cviˇcen´ı takové samostatné vyhled´ av´ an´ı pˇr´ımo pˇredpokl´ adaj´ı. V celém textu je E eukleidovsk´ y prostor se zamˇeˇren´ım V. 2. Geometrie kˇ rivek Netrivi´ aln´ı kˇrivky byly v oblibˇe jiˇz u geometr˚ u antického ˇrecka, o ˇcemˇz mnohdy svˇedˇc´ı jejich n´ azvy. Cviˇ cen´ı. Jak jsou definov´ any a k ˇcemu slouˇzily n´ asleduj´ıc´ı kˇrivky: Archimedova spir´ ala, Dioklova kisoida, Nikomedova konchoida, Hippiova kvadratrix?

Zaˇcnˇeme obecnou definic´ı kˇrivky. Pro lineárn´ı u ´tvary (rozumˇej afinn´ı podprostory) jsme mˇeli dvoj´ı vyj´ adˇren´ı: parametrické a obecné. Podobnˇe je tomu i u nelineárn´ıch u ´tvar˚ u. Uvaˇzujme o soustavˇe rovnic f1 = 0, · · · , fn = 0, kde f1 , . . . , fn jsou funkce na Eukleidovském prostoru E. Takov´ a soustava urˇcuje mnoˇzinu {X ∈ E | f1 (X) = 0, . . . , fn (X) = 0}. Nen´ı vˇsak snadné rozhodnout, zda r˚ uzné soustavy zad´ avaj´ı jednu a tutéˇz mnoˇzinu. Pˇ r´ıklad. Obecn´ a rovnice kruˇznice (a) Rovnice x2 + y 2 − 1 = 0 zad´ av´ a v rovinˇe R2 kruˇznici se stˇredem v poˇca ´tku a polomˇerem 1. (b) Rovnice x4 + 2x2 y 2 + y 4 − 2x2 − 2y 2 − 1 = 0 zad´ av´ a tutéˇz kruˇznici, protoˇze polynom na levé stranˇe je roven (x2 + y 2 − 1)2 . (c) Rovnice x4 + 2x2 y 2 + y 4 − 1 = 0 také zad´ av´ a tutéˇz kruˇznici, protoˇze polynom na levé stranˇe je roven (x2 + y 2 − 1)(x2 + y 2 + 1) a rovnice x2 + y 2 + 1 = 0 nem´ a re´ aln´ a ˇreˇsen´ı.

Uveden´ y pˇr´ıklad ilustruje pˇr´ıˇciny nejednoznaˇcnosti, které se vyskytuj´ı jiˇz pˇri n = 1 (jedna rovnice). Podobné vznikaj´ı pˇri n > 1, ale mohou b´ yt nav´ıc ukryty v r˚ uzn´ ych kombinac´ıch rovnic. Jsou zvl´ adnutelné v pˇr´ıpadˇe, ˇze f1 , . . . , fn jsou polynomy. Mnoˇziny zadané v komplexn´ım oboru soustavami polynomi´ aln´ıch rovnic se studuj´ı v algebraické geometrii.

Geometrie neline´ arn´ıch u ´tvar˚ u

Pˇ r´ıklad. Parametrick´ a rovnice kruˇznice (i) Kruˇznici x2 + y 2 − 1 = 0 lze zadat i parametrick´ ymi rovnicemi: x = cos t, y = sin t, t ∈ R. (ii) Stejnou kruˇznici obdrˇz´ıme, poloˇz´ıme-li x = cos 2t, y = sin 2t, t ∈ R. (iii) Stejnou kruˇznici obdrˇz´ıme, poloˇz´ıme-li x = cos t2 , y = sin t2 , t ∈ R.

Jak je vidˇet, ani parametrické rovnice nejsou zcela jednoznaˇcné, ale s t´ım si porad´ıme relativnˇe snadno. V diferenci´ aln´ı geometrii proto vycház´ıme z parametrick´ ych vyjádˇren´ı. 2.1. Kˇ rivky a jejich parametrizace Kˇrivka v parametrickém vyj´ adˇren´ı m˚ uˇze b´ yt povaˇzována za dráhu pohybuj´ıc´ıho se bodu. Pohyb se m˚ uˇze d´ıt promˇenlivou rychlost´ı, a proto m˚ uˇze b´ yt jedna a tatáˇz kˇrivka parametrizov´ ana r˚ uzn´ ymi zp˚ usoby. 2.1. Definice. Parametrizace (pˇresnˇeji parametrizace kˇrivky) nebo téˇz dr´ aha v E je diferencovatelné zobrazen´ı r : I − → E, kde I ⊆ R je otevˇren´ y interval. Analogicky se definuje parametrizace neboli dr´ aha r : I − → V ve vektorovém prostoru. Bez pˇredpokladu diferencovatelnosti (bude upˇresnˇen n´ıˇze) se neobejdeme. Existuj´ı napˇr´ıklad spojité kˇrivky, které proch´ az´ı kaˇzd´ ym bodem ˇctverce. Cviˇ cen´ı.

Jak se konstruuje a jaké vlastnosti m´ a Peanova kˇrivka? Hilbertova kˇrivka?

2.2. Definice. Bud’ r : I − → E parametrizace ve eukleidovském prostoru E. Mnoˇzina r(I) = {r(t) | t ∈ I} se naz´ yv´ a kˇrivka v E. Analogicky se definuje kˇrivka ve vektorovém prostoru V. 2.3. Definice. Jednoduch´ a kˇrivka je kˇrivka, ktará má injektivn´ı parametrizaci r : I − → E. Zobrazen´ı r : R − → E je periodické, jestliˇze existuje c ∈ R takové, ˇze r(t) = r(t+c). Uzavˇren´ a kˇrivka je kˇrivka, ke které existuje periodická parametrizace r : R − → E. Je-li r : R − → E periodické a rovnost r(t) = r(t0 ) nastane právˇe tehdy, kdyˇz t − t0 je celistv´ y n´ asobek c, pak ˇrekneme, ˇze r(I) je jednoduch´ a uzavˇren´ a kˇrivka. Pˇ r´ıklad. Archimedova spir´ ala je rovinn´ a kˇrivka, kterou opisuje bod, rovnomˇernˇe se ˇsinouc´ı po pˇr´ımce, kter´ a se rovnomˇernˇe ot´ aˇc´ı kolem poˇca ´tku O = [0, 0] (kter´ y je rovnˇeˇz v´ ychoz´ım bodem ˇsinut´ı). Je-li parametrem t u ´hel otoˇcen´ı pˇr´ımky, pak r(t) = [kt cos t, kt sin t].

2.2. Anal´ yza v eukleidovsk´ em prostoru Vyloˇzme struˇcnˇe z´ aklady diferenci´ aln´ıho poˇcetu v eukleidovském prostoru E. V E máme k dispozici vzd´ alenost bod˚ u danou vztahem d(A, B) = kB − Ak, coˇz staˇc´ı k budován´ı matematické anal´ yzy zp˚ usobem nepˇr´ıliˇs odchyln´ ym od situace v Rn . N´ıˇze vyloˇzené poznatky lze shrnout tak, ˇze diferenci´ aln´ı poˇcet v eukleidovském prostoru E je shodn´ y s obvykl´ ym diferenci´ aln´ım poˇctem v prostoru Rn , pokud jsou E a Rn ztotoˇznˇeny prostˇrednictv´ım nˇekteré kartézské souˇradné soustavy. Celé generace vynikaj´ıc´ıch geometr˚ u studovaly diferenci´ aln´ı geometrii v prostoru Rn . Proˇc to nedˇel´ ame také tak? Zaprvé, v Rn nen´ı rozd´ıl mezi body a vektory. Zadruhé, pˇri zav´ adˇen´ı geometrick´ ych pojm˚ u v Rn bychom vˇzdy museli dok´ azat nez´ avislost na volbˇe kartézské souˇradné soustavy, kdeˇzto v obecném eukleidovském prostoru E je toho dosaˇzeno automaticky.

2


Nejdˇr´ıve zavedeme zcela standardn´ım zp˚ usobem pojem limity. ˇ 2.4. Definice. Rekneme, ˇze zobrazen´ı r : I − → E má v bodˇe t0 ∈ I limitu A ∈ E a zapisujeme A = lim r(t), t− →t0

jestliˇze pro kaˇzdé ε > 0 existuje δ > 0 takové, ˇze pro kaˇzdé t ∈ I takové, ˇze 0 < |t − t0 | < δ, plat´ı kA − r(t)k < ε. Analogicky definujeme limitu zobrazen´ı r : I − → V. Parametrizaci m˚ uˇzeme vyj´ adˇrit v afinn´ıch resp. kartézsk´ ych souˇradnic´ıch O, e1 , . . . , en . Jsou-li x1 , . . . , xn re´ alné funkce I − → R takové, ˇze r(t) = O + x1 (t)e1 +· · · +xn (t)en , naz´ yvá se soubor funkc´ı (x1 , . . . , xn ) souˇradnicové vyj´ adˇren´ı parametrizace r. P 2.5. Tvrzen´ı. Zvolme libovolnˇe souˇradnou soustavu O, e1 , . . . , en . Bud’ A = O + i ai ei bod. Dr´ aha r : I − → E m´ a v ˇcase t0 limitu A ∈ E pr´ avˇe tehdy, kdyˇz v souˇradnicovém vyj´ adˇren´ı r(t) = O + x1 (t)e1 +· · · +xn (t)en maj´ı vˇsechny funkce xi v ˇcase t0 limitu ai . Tud´ıˇz, A = lim r(t) t− →t0

⇔

ai = lim xi (t) pro kaˇzdé i. t− →t0

D˚ ukaz. V pˇr´ıpadˇe, ˇze zvolen´ a souˇradn´ a soustava je kartézská, máme kA − r(t)k2 = k(ai − x1 (t))e1 +· · · +(an − xn (t))en k2 X (ai − xi (t))2 . = i

Je-li nyn´ı kA − r(t)k2 ≤ ε, pak (ai − xi (t))2 ≤ ε pro kaˇzdé i. Naopak, je-li (ai − xi (t))2 ≤ ε/n pro kaˇzdé i, pak kA − r(t)k2 ≤ ε. Odtud tvrzen´ı v pˇr´ıpadˇe kartézské souˇradné soustavy. V pˇr´ıpadˇe, ˇze zvolen´ a souˇradn´ a soustava je afinn´ı, existuje lineárn´ı zobrazen´ı α : V − → V, které ji pˇrev´ ad´ı na kartézskou. Souˇradnice se pˇritom transformuj´ı lineárnˇe, tedy spojitˇe. Odtud tvrzen´ı v obecném pˇr´ıpadˇe. 2.6. D˚ usledek. Zvolme libovolnˇe souˇradnou soustavu O, e1 , . . . , en . Dr´ aha r : I − → E je spojit´ a v bodˇe t0 pr´ avˇe tehdy, kdyˇz jsou v souˇradnicovém vyj´ adˇren´ı r(t) = O + x1 (t)e1 +· · · +xn (t)en vˇsechny funkce xi spojité v bodˇe t0 . Pˇrejdˇeme nyn´ı k diferencovatelnosti. Pro kaˇzdé t ∈ I je r(t) nˇekter´ y bod eukleidovského prostoru E. Pro kaˇzdé h takové, ˇze t + h ∈ I, je r(t + h) jin´ y bod eukleidovského prostoru E a rozd´ıl r(t + h) − r(t) je vektor ze zamˇeˇren´ı V. Poté i r(t + h) − r(t) ∈V h je vektor a m˚ uˇzeme se pt´ at, zda existuje limita vektorové funkce h 7− → (r(t + h) − r(t))/h pro h− → 0. ˇ 2.7. Definice. Rekneme, ˇze zobrazen´ı r : I − → E je diferencovatelné v bodˇe t, jestliˇze existuje limita r(t + h) − r(t) lim . (1) h− →0 h 3


Existuje-li, znaˇc´ı se dr(t)/dt nebo r˙ (t). Vektor r˙ (t) se naz´ yvá vektor rychlosti v bodˇe t. Dost´ av´ ame zobrazen´ı r˙ : I − → V, t 7− → r˙ (t), které se naz´ yvá derivace dráhy r : I − → E. Derivace dr´ ahy v eukleidovském prostoru E je drahou v jeho zamˇeˇren´ı V. Jej´ı diferencovatelnost a derivace se definuj´ı analogicky. Pˇricház´ıme k pojmu druhé derivace d2 r(t)/dt2 = dr˙ (t)/dt = r¨(t). Vektor r¨(t) se naz´ yv´ a vektor zrychlen´ı. Analogicky se definuje tˇret´ı derivace d3 r(t)/dt3 atd. 2.8. Tvrzen´ı. Pˇri stejných oznaˇcen´ıch jako v Tvrzen´ı 2.5 je parametrizace r : I − → E diferencovateln´ a pr´ avˇe tehdy, kdyˇz jsou vˇsechny funkce xi diferencovatelné. Poté plat´ı X r˙ (t) = x˙ i (t)ei , i

kde x˙ i = dxi /dt. D˚ ukaz. Poloˇzme r˙ (t) =

X

x˙ i (t)ei ,

i i

→ E jsou zat´ım neurˇcené funkce. Máme kde x˙ : I − r(t + h) − r(t) X i xi (t + h) − xi (t) r˙ (t) − = x˙ (t) − ei . h h i Z Tvrzen´ı 2.5 plyne, ˇze r˙ (t) = lim

h− →0

r(t + h) − r(t) h

pr´ avˇe tehdy, kdyˇz x˙ i (t) = lim

h− →0

x(t + h) − x(t) h

pro kaˇzdé i, to jest, x˙ i (t) = dxi (t)/dt pro kaˇzdé i. Odtud tvrzen´ı. ˇ Rekneme, ˇze zobrazen´ı r : I − → E je tˇr´ıdy C 1 ˇcili spojitˇe diferencovatelné, je-li diferencoˇ vatelné a derivace r˙ : I − → V je spojit´ a. Rekneme, ˇze zobrazen´ı r : I − → E je tˇr´ıdy C k ˇcili k-kr´ at spojitˇe diferencovatelné, existuje-li k derivac´ı dr/dt, . . . , dk r/dtk : I − → V a vˇsechny jsou spojité. Pˇri studiu kˇrivek v n-rozmˇerném prostoru budeme potˇrebovat alespoˇ n n derivac´ı. Proto budeme v dalˇs´ım mlˇcky pˇredpokl´ adat, ˇze k ≥ n, tj. ˇze vˇsechny parametrizace jsou alespoˇ n n-kr´ at spojitˇe diferencovatelné. 2.3. Derivace skal´ arn´ıho souˇ cinu Jsou-li u, v : I − → V dvˇe dr´ ahy, skal´ arn´ı souˇcin pˇredstavuje funkci I − → R, t 7− → u(t) · v(t). Podobnˇe norma t 7− → ku(t)k. 2.9. Tvrzen´ı. Skal´ arn´ı souˇcin vektorových drah u, v : I − → V je diferencovateln´ a funkce s derivac´ı . (u · v) = u˙ · v + u · v˙ . 4


Norma dr´ ahy je diferencovateln´ a funkce s derivac´ı u · u˙ . kuk = kuk vˇsude, kde u(t) 6= 0. P P D˚ ukaz. Necht’ u(t) = i ui (t)ei , v(t) = j v j (t)ej v nˇejaké pevné bázi tvoˇrené vektory ei . Matice gij skal´ arn´ıho souˇcinu v této b´ azi je konstantn´ı, a proto X dui (t) dv j (t) d X j i i j (u(t) · v(t)) = gij gij u (t)v (t) = v (t) + u (t) dt i dt dt i .

= u˙ · v + u · v˙ . Podobnˇe X d ku(t)k = dt .

qX

i

j

gij u (t)u (t) =

i

i

duj (t) dui (t) j u (t) + ui (t) dt dt qX 2 gij ui (t)uj (t)

gij

i

=

u˙ · u + u · u˙ u · u˙ = . 2kuk kuk

2.10. D˚ usledek. Necht’ pro dr´ ahu u : I − → V plat´ı ku(t)k = 1. Pak u˙ (t) ⊥ u(t) pro kaˇzdé t ∈ I. D˚ ukaz. Protoˇze u(t) · u(t) = ku(t)k2 je konstantn´ı, dostáváme u˙ · u = 0.

2.4. Reparametrizace Bud’te r : I − →E aq:J − → E dvˇe parametrizace v jednom a témˇze eukleidovském prostoru E. Necht’ existuje bijektivn´ı C n -diferencovatelné zobrazen´ı φ : I − → J takové, ˇze φ : I − → J je rovnˇeˇz C n -diferencovatelné (tj. C n -difeomorfismus) a plat´ı r = q ◦ φ. Pak jsou zˇrejmˇe kˇrivky r(I) a q(J) totoˇzné. Zobrazen´ı φ se naz´ yvá reparametrizace. O parametrizac´ıch r : I − →E aq:J − → E pak ˇr´ıkáme, ˇze jsou ekvivalentn´ı. Tvrzen´ı lze obr´ atit. Jsou-li r(I) a q(J) jednoduché kˇrivky, pak jsou zobrazen´ı r : I − → r(I), q : J − → s(J) bijektivn´ı, naˇceˇz jsou q −1 ◦ r : I − → J a r−1 ◦ q : J − → I vzájemnˇe inverzn´ı C n -difeomorfismy. Snadno se vid´ı, ˇze se jedná o reparametrizace. Ot´ azka: Které vlastnosti kˇrivek lze povaˇzovat za geometrické? Odpovˇed’: Ty, které se nemˇen´ı pˇri reparametrizaci. Pˇ r´ıklad. Vektor rychlosti nen´ı geometrick´ y pojem, protoˇze pˇri reparametrizaci t = φ(s) se n´ asob´ı faktorem dφ/ds. Vskutku, plat´ı dr(t) dφ(s) dr(φ(s)) = . ds dt ds

(2)

5


2.11. Pozn´ amka. Existuje univerz´ aln´ı zp˚ usob, jak se vypoˇrádat s reparametrizacemi. Brzy uvid´ıme, ˇze pro libovolnou kˇrivku existuje parametrizace délkou, která je jednoznaˇcnˇe urˇcena aˇz na volbu poˇc´ atku. 2.5. Orientace kˇ rivky I zv´ıˇrata vˇed´ı, ˇze po kˇrivce (napˇr´ıklad stopˇe) se lze vydat dvˇema smˇery. Tento intuitivnˇe zˇrejm´ y pojem samozˇrejmˇe m´ a i matematické vyjádˇren´ı. Faktor dφ/ds z pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu je vˇzdy nenulov´ y. Derivov´ an´ım rovnosti φ−1 (φ(s)) = s totiˇz obdrˇz´ıme (dφ−1 /dt)(dφ/ds) = 1. Protoˇze dφ/ds nen´ı nikde nula, plat´ı vˇzdy bud’dφ/ds > 0 nebo dφ/ds < 0. V prvn´ım pˇr´ıpadˇe ˇrekneme, ˇze parametrizace jsou souhlasné, ve druhém, ˇze jsou nesouhlasné. Souhlasnost je relace ekvivalence na mnoˇzinˇe vˇsech parametrizac´ı. Protoˇze vˇsechny parametrizace nesouhlasné se zadanou parametrizaci jsou mezi sebou souhlasné, má tato ekvivalence pˇresnˇe dvˇe tˇr´ıdy. Naz´ yvaj´ı se orientace kˇrivky. Kˇrivka se zvolenou orientac´ı se naz´ yvá orientovan´ a kˇrivka. O souhlasné reparametrizaci pak ˇr´ık´ ame, ˇze zachov´ av´ a orientaci kˇrivky. Ot´ azka: Které vlastnosti orientovan´ ych kˇrivek lze povaˇzovat za geometrické? Odpovˇed’: Ty, které se nemˇen´ı pˇri souhlasné reparametrizaci. 2.6. D´ elka kˇ rivky 2.12. Definice. Délka kˇrivky r(I) od bodu r(t1 ) k bodu r(t2 ) se definuje jako supremum `r (t1 , t2 ) =

sup

k X

d(r(si−1 ), r(si )).

k∈N i=1 t1 =s0 <s1 <···<sk =t2

2.13. Tvrzen´ı. Pˇri t1 < t2 plat´ı Z t2 `r (t1 , t2 ) = kr˙ (t)k dt.

(3)

t1

D˚ ukaz. Staˇc´ı uk´ azat, ˇze tvrzen´ı plat´ı pro pˇr´ımky, protoˇze vˇse ostatn´ı plyne z definice integrálu. Uvaˇzujme tedy o pˇr´ımce r(t) = P + tu. Pak r˙ (t) = u a pˇri t2 > t1 máme Z t2 Z t2 kr˙ (t)k dt = kuk dt = (t2 − t1 )kuk = k(t2 − t1 )uk = kr(t2 ) − r(t1 )k t1

t1

= d(r(t2 ), r(t1 )), coˇz jsme chtˇeli dok´ azat. Délka kˇrivky je geometrick´ a vlastnost kˇrivky, kdeˇzto integrál (3) závis´ı na orientaci. Vskutku, je-li t = φ(s) reparametrizace, pˇriˇcemˇz t1 = φ(s1 ), t2 = φ(s2 ), pak

Z s2 Z t2

dr(φ(s))

dr(t) dφ(s)

dφ(s) ds

`r (t1 , t2 ) =

ds

dt dt = ds ds s1 t1

Z s2

dφ(s)

dr(φ(s)) dφ(s) =

ds ds ds ds s1

Z s2

dr(φ(s)) dφ(s) dφ(s)

= sgn `r◦φ (s1 , s2 )

ds ds = sgn ds ds s1 6


kde jsme pouˇzili formuli (2) a vˇetu o substituci v integrálu. Tud´ıˇz, zmˇen´ıme-li orientaci kˇrivky, integr´ al (3) zmˇen´ı znaménko. 2.7. Parametrizace kˇ rivek obloukem Bud’ r(I) kˇrivka s regul´ arn´ı parametrizac´ı r : I − → A. Poloˇzme Z

t

kr˙ (τ )k dτ,

s(t) =

(4)

t0

kde t0 ∈ I je libovolnˇe zvolen´ y bod. Pak je s(t) monotonn´ı funkce, a tedy invertibiln´ı. Reparametrizujme kˇrivku inverzn´ı funkc´ı t(s). Parametrizace r(t(s)) se naz´ yvá parametrizace obloukem. 2.14. Tvrzen´ı. Bud’ r(I) kˇrivka parametrizovan´ a obloukem. Pak kr˙ k = 1. D˚ ukaz. Z definice (4) plyne, ˇze ds(t)/dt = kr˙ (t)k, a proto dt(s)/ds = 1/kr˙ (t)k. Nyn´ı staˇc´ı dosadit do (2). D´ıky vztahu kr˙ k = 1 je parametrizace obloukem v´ yhodná po vˇsech stránkách kromˇe jediné – k jej´ımu z´ısk´ an´ı je nutno poˇc´ıtat integr´ al (4). To je pro znaˇcnou ˇcást geometrick´ ych v´ ypoˇct˚ u nejen zbyteˇcné, ale velmi ˇcasto jde o v´ yraznou komplikaci. Napˇr´ıklad jiˇz v pˇr´ıpadˇe elipsy integr´ al (4) nepatˇr´ı mezi element´ arn´ı funkce. Proto se v tomto textu parametrizaci obloukem vyh´ yb´ ame. 2.8. Singul´ arn´ı a regul´ arn´ı body I kˇrivky urˇcené hladk´ ymi parametrizacemi mohou m´ıt “hroty.” Naz´ yvaj´ı se singulárn´ı body a vznikaj´ı v pˇr´ıpadˇe, ˇze se pohyb po kˇrivce zastav´ı a poté pokraˇcuje jin´ ym smˇerem. 2.15. Definice. Bod r(t) se naz´ yv´ a singul´ arn´ı bod kˇrivky r(I), jestliˇze r˙ (t) = 0. V opaˇcném pˇr´ıpadˇe se naz´ yv´ a regul´ arn´ı bod kˇrivky r(I). Pˇ r´ıklad. Kut´ al´ı-li se jednotkov´ a kruˇznice po pˇr´ımce p, opisuje kaˇzd´ y bod kruˇznice kˇrivku s parametrick´ ymi rovnicemi x1 (θ) = θ − sin θ, x2 (θ) = 1 − cos θ, Tato kˇrivka se naz´ yv´ a cykloida. Pˇri θ = 0 se bod ocit´ a na pˇr´ımce p. Jde o singul´ arn´ı bod, protoˇze obˇe derivace x˙ 1 (0) = (1 − cos θ)|θ=0 = 0 a x˙ 2 (0) = sin θ|θ=0 = 0 jsou nulové. y Cviˇ cen´ı. Kut´ al´ı-li se kruˇznice o polomˇeru 41 po vnitˇrn´ı stranˇe jednotkové kruˇznice, opisuje kaˇzd´ bod menˇs´ı kruˇznice kˇrivku, kter´ a se naz´ yv´ a asteroida. 1. Ukaˇzte, ˇze kˇrivka s parametrick´ ymi rovnicemi x1 (θ) = cos3 θ, x2 (θ) = sin3 θ. je asteroida. 2. Najdˇete singul´ arn´ı body asteroidy. 3. Najdˇete obecné rovnice asteroidy.

7


ˇ Cviˇ cen´ı. O zed’ a podlahu se op´ır´ a ˇzebˇr´ık. Remesln´ ık se vyˇsplh´ a do poloviny ˇzebˇr´ıku, naˇceˇz se vlivem ˇ r´ık povaˇzujte za u gravitace oba sesunou na podlahu. Jako kˇrivku op´ıˇse ˇremesln´ık? Zebˇ ´seˇcku konstantn´ı délky a ˇremesln´ıka za hmotn´ y bod. Stˇena a podlaha jsou navz´ ajem kolmé pˇr´ımky. Gravitace p˚ usob´ı kolmo na podlahu. Cviˇ cen´ı.

Co jsou brachystochrona a tautochrona? Co je izochronn´ı kyvadlo?

Lze ˇr´ıci, ˇze singularita a regularita jsou v podstatˇe geometrické pojmy – vidˇeli jsme, ˇze pˇri reparametrizaci se vektor rychlosti n´ asob´ı nenulov´ ym faktorem dφ/ds. Proto m˚ uˇzeme hovoˇrit o singul´ arn´ım a regul´ arn´ım bodˇe kˇrivky, i kdyˇz se definuje pomoc´ı jisté parametrizace. M˚ uˇze se vˇsak st´ at, ˇze stejn´ a kˇrivka m´ a i zcela regulárn´ı parametrizaci. Pˇ r´ıklad. Bud’ P bod a u vektor. Kˇrivka r(t) = P + t3 u m´ a singul´ arn´ı bod v t = 0, pˇrestoˇze obrazem r(R) je pˇr´ımka. Pro t = 0 se pohyb po pˇr´ımce zastav´ı (vektor rychlosti r˙ (t) je nulov´ y), ale poté pokraˇcuje stejn´ ym smˇerem.

D´ ale budeme pˇredpokl´ ad´ at, ˇze kˇrivky jsou parametrizovány regulárnˇe ve vˇsech bodech, ve kter´ ych to je moˇzné. 2.9. Teˇ cn´ y vektor ke kˇ rivce Vektor r˙ je vektorem rychlosti pohybu po kˇrivce, pˇri reparametrizaci t = φ(s) se mˇen´ı (n´ asob´ı nenulov´ ym faktorem dφ/ds), a proto sám o sobˇe nen´ı geometrick´ ym pojmem. Normov´ an´ım teˇcného vektoru r˙ ke dr´ aze z´ısk´ ame vektor r˙ /kr˙ k, kter´ y se naz´ yvá teˇcn´ y vektor ke kˇrivce. Pˇri reparametrizaci t = φ(s) dostaneme dr(t) dφ(s) dr(t) dφ(s) dr(t) dr(φ(s)) dφ(s) ds dt ds dt ds

dt

dr(φ(s)) = dr(t) dφ(s) = dr(t) dφ(s) = dr(t) sgn ds .

ds

dt

dt ds

dt ds Vid´ıme, ˇze pˇri souhlasné reparametrizaci se teˇcn´ y vektor ke kˇrivce nemˇen´ı, kdeˇzto pˇri nesouhlasné reparametrizaci zmˇen´ı znaménko. Vypl´ yvá odtud, ˇze následuj´ıc´ı definice má smysl jen pro orientované kˇrivky. 2.16. Definice. Teˇcný vektor k orientované kˇrivce r(I) v regulárn´ım bodˇe r(t0 ) je vektor T(t0 ) =

r˙ (t0 ) . kr˙ (t0 )k

V singul´ arn´ım bodˇe teˇcn´ y vektor nedefinujeme. Teˇcn´ y vektor k orientované kˇrivce je geometrick´ y pojem. Pˇ r´ıklad.

Vypoˇctˇeme teˇcn´ y vektor ke kruˇznici r(t) = [a cos t, a sin t]. Derivov´ an´ım obdrˇz´ıme

r˙ (t) = (−a sin t, a cos t), p pˇriˇcemˇz kr˙ (t)k = a2 sin2 t + a2 cos2 t = a. Odtud teˇcn´ y vektor T(t) =

r˙ (t) = (− sin t, cos t). kr˙ (t)k

Pˇresvˇedˇcte se, ˇze je kolm´ y k polomˇeru kruˇznice.

8


Pro kˇrivky orientované ve smˇeru vzr˚ ustaj´ıc´ıho parametru je teˇcn´ y vektor limitou normovaného pˇr´ır˚ ustku dr´ ahy (tj. limitou normované seˇcny). Plyne to z následuj´ıc´ıho v´ ypoˇctu. 2.17. Lemma. Plat´ı T(t) = ± lim

h− →±0

r(t + h) − r(t) . kr(t + h) − r(t)k

D˚ ukaz. r(t + h) − r(t) h r(t + h) − r(t) h = lim lim h− →±0 kr(t + h) − r(t)k h− →±0 kr(t + h) − r(t)k |h| |h| r(t + h) − r(t) h r˙ (t) h

lim = =± .

r(t + h) − r(t) h− kr˙ (t)k

→±0 |h| lim

h− →±0 h lim

h− →±0

2.10. Teˇ cna ke kˇ rivce Podobnˇe jako teˇcn´ y vektor, teˇcna ke kˇrivce r(I) je limitn´ı polohou pˇr´ımky (seˇcny) spojuj´ıc´ı dva body kˇrivky, které se k sobˇe neomezenˇe pˇribliˇzuj´ı. Nic nám nebrán´ı teˇcnu takto definovat, ale s ohledem na dalˇs´ı pouˇzit´ı bude jednoduˇsˇs´ı ji definovat bodem a smˇernic´ı. Ekvivalentnost obou definic dok´ aˇzeme. 2.18. Definice. Teˇcna ke kˇrivce v regulárn´ım bodˇe r(t) je pˇr´ımka, urˇcená bodem r(t) a zamˇeˇren´ım [[r˙ (t)]]. V singul´ arn´ım bodˇe definujeme teˇcnu zleva a teˇcnu zprava jako pˇr´ısluˇsné limity zleva a zprava. Pˇ r´ıklad.

Rovinn´ a kˇrivka r(t) = [a cos t, a sin t]

je kruˇznice o polomˇeru a > 0. Naleznˇeme jej´ı teˇcny. M´ ame r˙ (t) = (−a sin t, a cos t), naˇceˇz zamˇeˇren´ı teˇcny v bodˇe r(t) je [[r˙ (t)]] = [[(−a sin t, a cos t)]] = [[(− sin t, cos t)]]. Teˇcna v bodˇe r(t) pak je mnoˇzina bod˚ u r(t) + br˙ (t) = [a cos t, a sin t] + b(− sin t, cos t) = [a cos t − b sin t, a sin t + b cos t], kde b ∈ R je parametr podél teˇcny. Cviˇ cen´ı. Ke kruˇznici r(t) = [a cos t, a sin t] ved’te teˇcnu proch´ azej´ıc´ı dan´ ym bodem P = [x, y]. Proved’te diskusi poˇctu ˇreˇsen´ı. ˇ ste rovnice x = a cos t − b sin t, y = a sin t + b cos t vzhledem k nezn´ N´ avod: Reˇ am´ ym t, b. N´ avod: Vyj´ adˇrete x2 + y 2 .

9


Cviˇ cen´ı.

Ukaˇzte, ˇze pˇr´ımka je sama sobˇe teˇcnou v libovolném bodˇe.

Abychom dok´ azali ekvivalenci s intuitivn´ı definic´ı teˇcny, mus´ıme upˇresnit, co se rozum´ı limitn´ı polohou pˇr´ımky. Oznaˇcme Pa mnoˇzinu vˇsech pˇr´ımek procházej´ıc´ıch bodem a ∈ E. Zaved’me vzd´ alenost dvou takov´ ych pˇr´ımek jako jejich odchylku; jde o metriku a Pa je metrick´ y prostor. M˚ uˇzeme tedy obvykl´ ym zp˚ usobem definovat limitu zobrazen´ı I − → Pa . 2.19. Tvrzen´ı. Bud’ r(I) kˇrivka s regul´ arn´ım bodem r(t0 ). Uvaˇzujme o zobrazen´ı I − → Pr(t0 ) , t 7− → r(t0 ) + [[r(t) − r(t0 )]]. Pak plat´ı lim r(t0 ) + [[r(t) − r(t0 )]] = r(t0 ) + [[r˙ (t0 )]].

t− →t0

D˚ ukaz. Staˇc´ı uk´ azat, ˇze odchylka φ(t) vektor˚ u r˙ (t0 ) a r(t) − r(t0 ) má limitu nula nebo π/2. Podle lemmatu 2.17 vˇsak plat´ı lim cos φ(t) = lim

t− →t0

t− →t0

=±

r˙ (t0 ) · (r(t) − r(t0 )) r(t) − r(t0 ) r˙ (t0 ) = · lim t− →t (t )k )k (t )k 0 kr˙ 0 kr(t) − r(t0 kr˙ 0 kr(t) − r(t0 )k

r˙ (t0 ) · r˙ (t0 ) = ±1 kr˙ (t0 )k kr˙ (t0 )k

a d˚ ukaz je hotov. Pˇ r´ıklad. Traktrix je rovinn´ a kˇrivka, jej´ıˇz teˇcny vykazuj´ı konstantn´ı vzd´ alenost mezi bodem dotyku a pr˚ useˇc´ıkem s pevnou pˇr´ımkou l. Uvaˇzujme o hmotném bodu M , upevnˇeném na niti konstantn´ı délky a. Jestliˇze bod M t´ ahneme, pohybuj´ıce koncem napjaté niti po pˇr´ımce l, pak M opisuje traktrix. Najdˇeme parametrické vyj´ adˇren´ı této kˇrivky. Zvolme kartézskou souˇradnou soustavu tak, ˇze osa x spl´ yv´ a s pˇr´ımkou l, tj. l = [0, 0] + [[(1, 0)]]. Bud’ r(t) = [x(t), y(t)] libovoln´ y bod kˇrivky. Teˇcnou v bodˇe r(t) je pˇr´ımka r(t) + [[r˙ (t)]]. Pr˚ useˇc´ık P obou pˇr´ımek obdrˇz´ıme jako ˇreˇsen´ı soustavy rovnic [x(t), y(t)] + s1 · (x˙ (t), y˙ (t)) = [0, 0] + s2 · (1, 0), ˇcili x(t) + s1 x˙ (t) = s2 , y (t) + s1 y˙ (t) = 0. Odtud s1 = −y(t)/y˙ (t), a tedy » – y (t ) P = [s2 , 0] = x(t) − x˙ (t), 0 . y˙ (t) Vektor

„

« y (t ) x˙ (t), y (t) y˙ (t) m´ a m´ıt konstantn´ı délku a. Oznaˇc´ıme-li u odchylku teˇcny od osy x, m´ ame r(t) − P =

y (t) x˙ (t) = a cos u, y˙ (t)

y (t) = a sin u.

Nyn´ı poloˇz´ıme u = t (ˇc´ımˇz zvol´ıme u za parametr kˇrivky), naˇceˇz y(t) = a sin t, y˙ (t) = a cos t a z prvn´ı rovnice dost´ av´ ame x˙ (t) = a

cos2 t . sin t

Integrac´ı obdrˇz´ıme parametrické rovnice „ « t x(t) = a ln tg + cos t , 2

y (t) = a sin t.

10


Cviˇ cen´ı.

M´ a traktrix singul´ arn´ı bod?

Cviˇ cen´ı.

U traktrix naleznˇete parametrizaci obloukem.

Cviˇ cen´ı. Logaritmick´ a spir´ ala je kˇrivka, jej´ıˇz teˇcny sv´ıraj´ı konstantn´ı u ´hel se spojnic´ı bodu dotyku s poˇca ´tkem. Naleznˇete parametrické rovnice logaritmické spir´ aly.

2.11. Kˇ rivost ˙ (t)k se pˇri reparametrizaci mˇen´ı stejnˇe jako kr˙ (t)k (obˇe se násob´ı stejn´ ˇ ıslo kT C´ ym faktorem). Tud´ıˇz, pomˇer κ(t) =

˙ (t)k kT ≥0 kr˙ (t)k

se s reparametrizac´ı nemˇen´ı. Naz´ yv´ a se kˇrivost kˇrivky r(I) v bodˇe r(t). Pˇ r´ıklad.

Derivace teˇcného vektoru je „ «. . kr˙ k r¨ r˙ r¨ r¨ · r˙ ˙ r˙ = r˙ . T= = − − kr˙ k kr˙ k kr˙ k kr˙ k2 kr˙ k3

Cviˇ cen´ı.

Pro kˇrivost plat´ı p (r˙ · r˙ )(r¨ · r¨) − (r˙ · r¨)2 κ= . kr˙ k3

Dokaˇzte.

Pˇri parametrizaci obloukem s dost´ av´ ame jednoduˇse

dT(s)

κ(s) =

ds . Z˚ ustaneme-li u parametrizace obloukem, je kˇrivost m´ırou rychlosti, s n´ıˇz kˇrivka mˇen´ı sv˚ uj smˇer. Uvaˇzujme o dvou bl´ızk´ ych bodech r(s) a r(s + h). Odchylku teˇcn´ ych vektor˚ u v tˇechto bodech oznaˇc´ıme φ(T(s), T(s + h)). 2.20. Tvrzen´ı. Plat´ı κ(s) = lim

h− →0

φ(T(s + h), T(s)) kT(s + h) − T(s)k = lim . h− →0 h h

Pˇri d˚ ukazu vyuˇzijeme rovnosti kT(s)k = 1. 2.21. Lemma. Na dr´ aze tvoˇrené vektory w(t) jednotkové délky plat´ı lim

h− →0

φ(w(t + h), w(t)) = 1. kw(t + h) − w(t)k

D˚ ukaz lemmatu. Uvaˇzujme o vektorech u = w(t + h), v = w(t). Jelikoˇz kuk2 = kvk2 = 1, m´ ame cos φ(u, v) = u · v, zat´ımco ku − vk2 = (u − v) · (u − v) = kuk2 − 2 u · v + kvk2 = 2 − 2 u · v. 11


Odtud cos φ(u, v) = u · v = 1 − 12 ku − vk2 , naˇceˇz p p 1 − cos2 φ(u, v) = 1 − (1 − p = ku − vk 1 − 14 ku − vk2 .

sin φ(u, v) =

1 2

ku − vk2 )2

Pˇri h − → 0 m´ ame v − → u, naˇceˇz p φ(u, v) sin φ(u, v) − → − → 1− ku − vk ku − vk

1 4

ku − vk2 − → 1,

coˇz ukonˇcuje d˚ ukaz. D˚ ukaz tvrzen´ı. Pro rychlost zmˇeny odchylky následnˇe obdrˇz´ıme s pouˇzit´ım l’Hôpitalova pravidla a lemmatu 2.17 kT(t + h) − T(t)k φ(T(t), T(t + h)) = lim h− →0 h− →0 h h lim

= lim

h− →0

˙ (t + h) (T(t + h) − T(t)) · T d kT(t + h) − T(t)k = lim h− →0 dh kT(t + h) − T(t)k

˙ T(t + h) − T(t) ˙ (t + h) = T (t) · T ˙ (t) · lim T ˙ (t)k h− →0 kT(t + h) − T(t)k h− →0 kT

= lim

˙ (t)k. = kT Nyn´ı staˇc´ı dosadit t = s. 2.22. Pozn´ amka. Geometricky lze kˇrivost popsat i jako pomˇer rychlosti pohybu po kˇrivce a po jej´ı indikatrix. Indikatrix kˇrivky r(t) je kˇrivka O + T(t), kterou obdrˇz´ıme, um´ıst´ıme-li teˇcn´ y vektor T (t) ke kˇrivce r(I) v pevném bodˇe O (konkrétn´ı volba poˇcátku O je nepodstatná). Protoˇze kT(t)k = 1, leˇz´ı indikatrix na jednotkové sféˇre S n−1 kolem bodu O. Vektor rychlosti ˙ (t). pohybu po indikatrix je pr´ avˇe T Pˇ r´ıklad.

Urˇceme kˇrivost ˇsroubovice r(t) = [a cos t, a sin t, bt]. Jiˇz v´ıme ˇze kr˙ (t)k =

p a2 + b2 ,

˙ (t )k = p kT

a 2

a + b2

.

Tud´ıˇz, κ=

˙ (t)k kT a = 2 . kr˙ (t)k a + b2

Opaˇcn´ y pomˇer 1 kr˙ (t)k = ˙ (t)k κ(t) kT se naz´ yv´ a polomˇer kˇrivosti kˇrivky r(I) v bodˇe r(t). Cviˇ cen´ı.

Ukaˇzte, ˇze polomˇer kˇrivosti kruˇznice o polomˇeru R je roven R.

12


Cviˇ cen´ı. Klotoida je kˇrivka, kterou roku 1874 zavedl francouzsk´ y fyzik Marie Alfred Cornu v souvislosti se zkoum´ an´ım difrakce svˇetla. Jej´ı parametrické rovnice jsou d´ any tzv. Fresnelov´ ymi integr´ aly Z t Z t x= cos πs2 ds, y= sin πs2 ds. 0

0

ˇ c vozidla jedouc´ıho po klotoidˇe nat´ Ukaˇzte, ˇze kˇrivost klotoidy je pˇr´ımo u ´mˇern´ a délce oblouku. Ridiˇ aˇc´ı volant u ´mˇernˇe projeté vzd´ alenosti. Oblouky silnic a ˇzeleznic se obvykle navrhuj´ı ve tvaru klotoidy.

2.12. Norm´ ala ke kˇ rivce a norm´ alov´ y vektor ˙ chová Norm´ alov´ y vektor vyjadˇruje zmˇenu teˇcného vektoru T. Pˇri reparametrizaci se vˇsak T stejnˇe jako vektor r˙ – n´ asob´ı se faktorem dφ/ds (pˇresnˇeji jeho absolutn´ı hodnotou – viz cviˇcen´ı ˙ proto lze naloˇzit podobnˇe jako s vektorem r˙ v pˇredchoz´ım odstavci; opˇet n´ıˇze). S vektorem T ˙ = 0. s vylouˇcen´ım pˇr´ıpad˚ u, kdy T ˙ (t0 ) = 0. V opaˇcném 2.23. Definice. Bod r(t0 ) se naz´ yv´ a inflexn´ı bod kˇrivky r(I), jestliˇze T pˇr´ıpadˇe se naz´ yv´ a neinflexn´ı bod kˇrivky r(I). 2.24. Definice. Norm´ alový vektor ke kˇrivce r(I) v neinflexn´ım bodˇe r(t) je vektor N(t) =

˙ (t) T . ˙ kT (t)k

V inflexn´ım bodˇe norm´ alov´ y vektor nedefinujeme. ˇ Norm´ alov´ y vektor ukazuje “kam se kˇrivka oh´ ybá.” Casto jej lze urˇcit i v inflexn´ım bodˇe na z´ akladˇe spojitosti. 2.25. Definice. Norm´ ala ke kˇrivce r(I) v neinflexn´ım bodˇe r(t0 ) je pˇr´ımka, urˇcená bodem ˙ (t0 )]]. V inflexn´ım bodˇe normálu nedefinujeme. r(t0 ) a zamˇeˇren´ım [[T ˙ kolmá k T. Tud´ıˇz, teˇcna Podle definice je kTk = 1, a proto podle Tvrzen´ı 2.10 je derivace T a norm´ ala jsou vz´ ajemnˇe kolmé. Pˇ r´ıklad.

Vypoˇctˇeme norm´ alov´ y vektor ke kruˇznici r(t) = [a cos t, a sin t], a > 0. Teˇcn´ y vektor T(t) = (−a sin t, a cos t)

jsme jiˇz vypoˇcetli dˇr´ıve. Derivov´ an´ım obdrˇz´ıme ˙ (t) = (−a cos t, −a sin t), T ˙ (t)k = a, a tud´ıˇz pˇriˇcemˇz kT N(t) =

˙ (t) T = (− cos t, − sin t). ˙ kT (t)k

Vˇsimnˇete si, ˇze je orientov´ an dovnitˇr kruˇznice. Kdybychom reparametrizovali t − → −t, byl by orientov´ an vnˇe?

2.26. Definice. Rovina r(t) + [[T(t), N(t)]], urˇcená teˇcnou a normálou v bodˇe r(t), se naz´ yvá oskulaˇcn´ı rovina kˇrivky r(I) v bodˇe r(t). N´ asleduj´ıc´ı tvrzen´ı ponech´ ame bez d˚ ukazu. 2.27. Tvrzen´ı. Oskulaˇcn´ı rovina v bodˇe r(t0 ) je limitn´ı poloha roviny urˇcené tˇremi body r(t0 ), r(t1 ), r(t2 ), kdyˇz t1 , t2 − → t0 . 13


Cviˇ cen´ı. Ukaˇzte, ˇze pˇri reparametrizaci t = φ(s) se derivace T˙ (t0 ) vyn´ asob´ı faktorem |dφ(s)/ds|, tud´ıˇz nez´ avis´ı na orientaci. Proto nejen norm´ ala, ale i norm´ alov´ y vektor ke kˇrivce jsou geometrické pojmy. Pˇ r´ıklad.

Prostorov´ a kˇrivka r(t) = [a cos t, a sin t, bt]

se naz´ yv´ a ˇsroubovice. Opisuje ji bod, kter´ y se nach´ az´ı ve vzd´ alenosti a > 0 od osy z, kolem n´ıˇz souˇcasnˇe rotuje a rovnomˇernˇe postupuje. Pr˚ umˇet kˇrivky do roviny kolmé k ose z je kruˇznice o polomˇeru a. Koeficient b urˇcuje stoup´ an´ı ˇsroubovice. Vypoˇctˇeme teˇcn´ y vektor. M´ ame r˙ (t) = (−a sin t, a cos t, b), p pˇriˇcemˇz kr˙ (t)k = a2 + b2 . Odtud teˇcn´ y vektor „ « r˙ (t) a a b p p T(t) = = −p 2 sin t, cos t, . kr˙ (t)k a + b2 a2 + b2 a2 + b2 Vypoˇctˇeme norm´ alov´ y vektor. M´ ame « „ a ˙ (t) = − p a p , cos t, − sin t, 0 T a2 + b2 a2 + b2 a

r ˙ (t )k = kT

naˇceˇz N(t) =

a a2 = p 2 , a + b2 a + b2 2

˙ (t) T = (− cos t, − sin t, 0). ˙ (t)k kT

Ve shodˇe s intuic´ı, norm´ alov´ y vektor je kolm´ y k ose z. Cviˇ cen´ı. Urˇcete oskulaˇcn´ı rovinu ˇsroubovice v bodˇe r(t). Ukaˇzte, ˇze pro odchylku θ oskulaˇcn´ı roviny a osy z plat´ı tg θ =

a . b

N´ avod: Smˇerov´ y vektor osy z je z = (0, 0, 1).

2.13. Frenet˚ uv rep´ er V n-rozmˇerném eukleidovském prostoru m˚ uˇzeme konstruovat i dalˇs´ı v´ yznaˇcné vektory. Bod r(t0 ) se naz´ yv´ a generický bod orientované kˇrivky r(I), jsou-li vektory dr(t)/dt, d2 r(t)/dt2 , . . . , dn r(t)/dtn line´ arnˇe nez´ avislé, a tedy tvoˇr´ı bázi v zamˇeˇren´ı. V generickém bodˇe jsou lineárn´ı obaly dr(t) , dt dr(t) d2 r(t) , , (5) dt dt2 ···, dr(t) d2 r(t) dn r(t) , . . . , , dt dtn dt2 14


do sebe vloˇzené podprostory, nez´ avislé na parametrizaci. 2.28. Definice. Frenet˚ uv repér v bodˇe r(t0 ) je ortonormáln´ı báze e1 , e2 , . . . , en v zamˇeˇren´ı prostoru E, vznikl´ a Gram–Schmidtovou ortonormalizac´ı soustavy vektor˚ u dr(t)/dt, d2 r(t)/dt2 , n n · · · , d r(t)/dt v bodˇe t0 . Line´ arn´ı obaly (5) jsou pak po ˇradˇe totoˇzné s lineárn´ımi obaly [[e1 ]], [[e1 , e2 ]], ···,

(6)

[[e1 , e2 , . . . , en ]]. Frenet˚ uv repér je urˇcen skoro jednoznaˇcnˇe. Pˇresnˇeji, vektory ei ortonormáln´ı báze jsou urˇceny aˇz na znaménko, tj. kaˇzd´ y z nich m˚ uˇze b´ yt nahrazen vektorem opaˇcn´ ym. Cviˇ cen´ı.

Ukaˇzte, ˇze za vektor e2 lze vˇzdy volit norm´ alov´ y vektor N.

Pˇr´ımky r(t0 ) + [[e1 (t0 )]], r(t0 ) + [[e2 (t0 )]], r(t0 ) + [[e3 (t0 )]] se naz´ yvaj´ı po ˇradˇe teˇcna, norm´ ala a binorm´ ala v bodˇe r(t0 ). Vektory e1 (t0 ), e2 (t0 ), e3 (t0 ) se naz´ yvaj´ı po ˇradˇe teˇcný vektor, norm´ alový vektor a binorm´ alový vektor v bodˇe r(t0 ). Pˇ r´ıklad.

Vypoˇctˇeme Frenet˚ uv repér ˇsroubovice r(t) = [a cos t, a sin t, bt].

Derivov´ an´ım obdrˇz´ıme dr = (−a sin t, a cos t, b), dt d2 r = (−a cos t, −a sin t, 0), dt2 d3 r = (a sin t, −a cos t, 0). dt3 Vektory vzniklé Gram-Schmidtovou ortogonalizac´ı oznaˇc´ıme u1 , u2 , u3 . M´ ame u1 =

dr = (−a sin t, a cos t, b), dt

naˇceˇz

d2 r · u1 d r d2 r dt2 u2 = 2 − u1 = 2 = (−a cos t, −a sin t, 0), u1 · u1 dt dt protoˇze skal´ arn´ı souˇcin (d2 r/dt2 ) · u1 je roven nule. Poté 2

d3 r d3 r · u2 3 · u1 d r dt dt3 u1 − u2 , u3 = 3 − u1 · u1 u2 · u2 dt 3

kde zase (d3 r/dt3 ) · u2 = 0, ale d3 r · u1 a2 dt3 =− 2 , u1 · u1 a + b2

15


naˇceˇz u3 = (a sin t, −a cos t, 0) +

a2 (−a sin t, a cos t, b) = a2 + b2

„

ab2 a2 b ab2 sin t, − cos t, a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2

Normalizac´ı z´ısk´ ame e1 =

u1 = ku1 k

„

a b a sin t, p 2 cos t, p 2 −p 2 2 2 a +b a +b a + b2

« ,

u2 = (− cos t, − sin t, 0), ku2 k „ « u3 b b a p p e3 = = p 2 sin t, − cos t, . ku3 k a + b2 a2 + b2 a2 + b2 e2 =

Cviˇ cen´ı. Ukaˇzte, ˇze ve tˇr´ırozmˇerném prostoru lze binorm´ alov´ y vektor e3 ztotoˇznit s vektorov´ ym souˇcinem e1 × e2 teˇcného a norm´ alového vektoru.

2.29. Vˇ eta (Frenet–Serretovy vzorce). Existuj´ı funkce χ1 , . . . , χn−1 takové, ˇze plat´ı 

e˙ 1 e˙ 2 .. .

     e˙ n−1 e˙ n



0  −χ1     = kr˙ k  0    

0

χ1 0 −χ2 .. .

0 χ2 0 .. . 0

 e1  0 ..  e2  .  .  ..   . 0   .. , ..  . χn−1 e n−1 −χn−1 0 en

ˇ ˇ adky matice kr˙ k Q jsou D˚ ukaz. Ctvercovou matici ve Frenetov´ ych vzorc´ıch oznaˇcme Q. R´ tvoˇreny souˇradnicemi vektor˚ u e˙ k v ortonormáln´ı bázi e1 , e2 , . . . , en . Tud´ıˇz, kr˙ k Qij = e˙ i · ej . Protoˇze vˇsak ei · ej je konstanta (0 nebo 1), plat´ı e˙ i · ej = −e˙ j · ei , a tedy Qij = −Qji (ˇcili matice Q je antisymetrick´ a). Zejména tedy plat´ı Qii = 0. Podle Gram–Schmidtov´ ych formul´ı vˇsak vektory e˙ k leˇz´ı v lineárn´ım obalu [[e1 , e2 , . . . , ek+1 ]]. Proto Qij = 0 kdykoliv j > i + 1. Nad hlavn´ı diagonálou uˇz zb´ yvaj´ı jen prvky na pozic´ıch Qi,i+1 , které oznaˇc´ıme χi . Hodnoty pod hlavn´ı diagonálou plynou z antisymetrie. ˇ ısla 2.30. Definice. C´ χk (t) =

e˙ k (t) · ek+1 (t) , kr˙ (t)k

k = 1, . . . , n − 1

(7)

se naz´ yvaj´ı zobecnˇené kˇrivosti kˇrivky r(I) v bodˇe r(t). Invariant χ1 se znaˇc´ı κ a naz´ yvá prostˇe kˇrivost. Invariant χ2 se znaˇc´ı τ a naz´ yv´ a torze. Cviˇ cen´ı.

Ukaˇzte, ˇze zobecnˇené kˇrivosti jsou invariantn´ı v˚ uˇci reparametrizac´ım.

Cviˇ cen´ı.

Ukaˇzte, ˇze χ1 = κ je rovna kˇrivosti, kterou jsme zavedli dˇr´ıve.

16

«


Pˇ r´ıklad. Vypoˇctˇeme invarianty ˇsroubovice r(t) = [a cos t, a sin t, bt]. Jmenovatele kr˙ (t)k = a Frenet˚ uv repér e1 , e2 , e3 jiˇz zn´ ame. Zb´ yv´ a dopoˇc´ıtat „ « a a p e˙ 1 = − p 2 cos t, − sin t, 0 , a + b2 a2 + b2

p a2 + b2

e˙ 2 = (sin t, − cos t, 0), naˇceˇz κ = χ1 (t) =

a e˙ 1 · e2 = 2 , kr˙ k a + b2

τ = χ2 (t) =

e˙ 2 · e3 b . = 2 kr˙ k a + b2

Vˇsimnˇeme si, ˇze ˇcitatel zlomku (7) je roven k + 1-n´ı souˇradnici derivace k-tého Frenetova vektoru. Ukazuje se, ˇze ostatn´ı souˇradnice vektoru e˙ k jsou bud’ nulové nebo rovny jin´ ym zobecnˇen´ ym kˇrivostem aˇz na znaménko. Snadno se zapamatuj´ı v maticovém zápisu. Zobecnˇené kˇrivosti jsou tzv. skal´ arn´ı invarianty kˇrivek v eukleidovském prostoru. 2.31. Tvrzen´ı. Bud’ α : E − → E shodnost. Bud’ r : I − → E parametrizovan´ a kˇrivka, bud’ r¯ = α ◦ r : I − → E jej´ı obraz. Obˇe kˇrivky r(I) a (α ◦ r)(I) maj´ı stejné zobecnˇené kˇrivosti χk : I − → R. D˚ ukaz. V kaˇzdém bodˇe t ∈ I shodnost α pˇrevád´ı Frenet˚ uv repér kˇrivky r na Frenet˚ uv repér kˇrivky r¯. Zbytek je zˇrejm´ y. Plat´ı i obr´ acené tvrzen´ı a nejsn´ aze se dokáˇze v pˇr´ıpadˇe parametrizace obloukem. 2.32. D˚ usledek. Bud’te r(I) a r¯(I) dvˇe kˇrivky proch´ azej´ıc´ı týmˇz bodem r(s0 ) = r¯(s0 ) a parametrizované obloukem. Bud’te χk (s) a χ ¯ k (s) jejich zobecnˇené kˇrivosti jako spojité funkce oblouku s. Necht’ χk (s) = χ ¯ k (s) pro kaˇzdé k = 1, . . . , n − 1. Pak existuje shodnost α : E − →E takov´ a, ˇze r¯ = α ◦ r. ¯ 1 (Tvrzen´ı 2.14). Ve Frenet– D˚ ukaz. V parametrizaci obloukem m´ ame r˙ (s) = e1 a r¯˙ (s) = e Serretov´ ych vzorc´ıch pak vypadne koeficient pˇred matic´ı Q. Dostáváme systém lineárn´ıch obyˇcejn´ ych diferenci´ aln´ıch rovnic se spojit´ ymi koeficienty s neznám´ ymi r, e1 , . . . , en . Pro obˇe kˇrivky dostaneme jeden a t´ yˇz systém. Jeho ˇreˇsen´ı jsou urˇcena jednoznaˇcnˇe aˇz na volbu ¯ i v bodˇe poˇc´ ateˇcn´ıch podm´ınek, jimiˇz je v tomto pˇr´ıpadˇe poloha Frenetova repéru ei resp. e t0 . Oba Frenetovy repéry lze ztotoˇznit shodnost´ı v E, odtud tvrzen´ı. 2.33. Tvrzen´ı. Zobecnˇen´ a kˇrivost χk (t) je rovna nule ve vˇsech bodech kˇrivky pr´ avˇe tehdy, kdyˇz kˇrivka leˇz´ı v k-rozmˇerném afinn´ım podprostoru r(t0 ) + [[e1 (t0 ), e2 (t0 ), . . . , ek (t0 )]] (který pak nez´ avis´ı na volbˇe bodu t0 ). D˚ ukaz. Cviˇcen´ı. 2.14. Evolventa a evoluta Pˇ r´ıklad.

Evolventa kˇrivky r(I) je kˇrivka r¯(I) s parametrickou rovnic´ı Z t kr˙ (t)k dt t0 r¯(t) = r(t) − `r (t0 , t)T(t) = r(t) − r˙ (t). kr˙ (t)k

Evolventu opisuje konec niti, odv´ıjej´ıc´ı se z dané kˇrivky. Hodnota t0 oznaˇcuje poˇca ´tek odv´ıjen´ı a lze ji volit libovolnˇe.

17


Cviˇ cen´ı. 1) Najdˇete evolventu kruˇznice. 2) Ukaˇzte, ˇze evolventou cykloidy je opˇet cykloida (jinak um´ıstˇen´ a). Jak se konstruuje izochronn´ı kyvadlo? Cviˇ cen´ı.

Dokaˇzte, ˇze teˇcna ke kˇrivce je norm´ alou jej´ı evolventy.

18


3. Geometrie podvariet V této kapitole obecnˇe pojedn´ ame o geometrii k-rozmˇerných podvariet v n-rozmˇerném eukleidovském prostoru E, kde 1 ≤ k < n; pozdˇeji se pro jednoduchost omez´ıme na pˇr´ıpad k = n − 1. Podvariety jsou v´ıcerozmˇerné analogie kˇrivek (které obdrˇz´ıme v pˇr´ıpadˇe k = 1). Dvourozmˇerné podvariety se naz´ yvaj´ı plochy. Geometrie podvariet je oproti geometrii kˇrivek mnohem bohatˇs´ı. Existuj´ı dva d˚ uleˇzité rozd´ıly: 1) podvariety mohou m´ıt mnohem sloˇzitˇejˇs´ı topologii neˇz kˇrivky; 2) na rozd´ıl od kˇrivek, podvariety eukleidovského prostoru maj´ı tzv. vnitˇrn´ı geometrii. Podobnˇe jako kˇrivku, podvarietu m˚ uˇzeme definovat v´ıce zp˚ usoby. Podvarieta o dimenzi k m˚ uˇze b´ yt zad´ ana obecnými rovnicemi jako mnoˇzina {a ∈ E | F 1 (a) =· · · = F n−k (a) = 0} nulov´ ych bod˚ u nˇejaké soustavy n−k funkc´ı F j : E − → R. V kartézsk´ ych souˇradnic´ıch x1 , . . . , xn j 1 n m˚ uˇzeme ps´ at F (x , . . . , x ). Pˇredpokl´ ad´ ame pˇritom, ˇze Jacobiho matice   ∂F l ∂F 1 · · ·  ∂x1 ∂xn     .. ..   . .     ∂F n−k ∂F n−k  ··· ∂xn ∂x1 m´ a maxim´ aln´ı pˇr´ıpustnou hodnost, tj. n − k. Stejnou mnoˇzinu vˇsak m˚ uˇzeme lok´ alnˇe (v okol´ı kaˇzdého bodu) popsat parametrick´ ymi rovnicemi a tomuto pˇr´ıstupu budeme d´ avat pˇrednost, protoˇze v´ ysledná teorie je znatelnˇe jednoduˇsˇs´ı. 3.1. Definice. Mnoˇzina bod˚ u prostoru Rn splˇ nuj´ıc´ıch (x1 )2 + · · · + (xn )2 = 1 se naz´ yv´ a n − 1-rozmˇern´ a sféra a znaˇc´ı se S n−1 . Parametrické rovnice sféry urˇc´ıme pozdˇeji. 3.1. Parametrizace podvariet Bud’ E eukleidovsk´ y prostor dimenze n se zamˇeˇren´ım V. Pˇripomeˇ nme, ˇze v ˇcásti 2.2 jsme vybudovali anal´ yzu funkc´ı f : I − → E jedné promˇenné a pˇredvedli jej´ı vyjádˇren´ı v souˇradnic´ıch. Podobnˇe lze budovat i anal´ yzu funkc´ı r : U − → E v´ıce promˇenn´ ych a z´ıskat jej´ı vyjádˇren´ı v souˇradnic´ıch. Speci´ alnˇe m˚ uˇzeme zavést parciáln´ı derivace jako limity ri :=

∂r r(x1 , . . . , xi + h, . . . , xk ) − r(x1 , . . . , xi , . . . , xk ) = lim . h− →0 h ∂xi

(8)

Pokud existuj´ı, parci´ aln´ı derivace jsou vektory v zamˇeˇren´ı V (proto oznaˇcen´ı ri ). Pozdˇeji uvid´ıme, ˇze vektory ri tvoˇr´ı b´ azi teˇcného prostoru k podvarietˇe. Diferencovatelnost ˇr´ adu m je pak definována jako existence a spojitost parciáln´ıch derivac´ı aˇz do ˇr´ adu m vˇcetnˇe. 3.2. Definice. Parametrizace v E je bijektivn´ı diferencovatelné zobrazen´ı r : U − → E, kde U ⊆ Rk je otevˇren´ a mnoˇzina. Analogicky se definuje parametrizace U − → V v zamˇeˇren´ı V. 19


Oznaˇcme x = (x1 , . . . , xk ) ∈ Rk obecn´ y bod o souˇradnic´ıch x1 , . . . , xk (jak je v geometrii zvykem, souˇradnice indexujeme shora). Parametrizaci r : U − → E pak m˚ uˇzeme chápat jako funkci k promˇenn´ ych s hodnotami r(x) = r(x1 , . . . , xk ) v E. Zvolme jeˇstˇe libovolnou afinn´ı (nebo kartézskou) souˇradnou soustavu (O, e1 , . . . , en ). V libovolném bodˇe x ∈ U pak m˚ uˇzeme ps´ at r(x) = O + y 1 (x)e1 +· · · +y n (x)en , kde y 1 (x), . . . , y n (x) jsou afinn´ı souˇradnice bodu r(x) ∈ r(U ). Funkce y i (x) jednoznaˇcnˇe urˇcuj´ı parametrizaci r a plat´ı ∂r(x) X ∂y i (x) = ei . (9) ri = ∂xj ∂xj i Matice koeficient˚ u Jji =

∂y i (x) ∂xj

(10)

(s ˇr´ adkov´ ym indexem i a sloupcov´ ym j) je Jacobiho matice, má k sloupc˚ u a n ˇrádk˚ u. 3.3. Definice. Parametrizace r : U − → E, U ⊆ Rk , se naz´ yvá regul´ arn´ı, jestliˇze má jeho Jacobiho matic hodnost k. 3.4. Tvrzen´ı. Regularita nez´ avis´ı na volbˇe afinn´ı souˇradné soustavy (O, e1 , . . . , en ). – ¯ 1, . . . , e ¯ n ) m´ D˚ ukaz. Pˇri jiné volbˇe (O , e ame X X j – ¯i = O =O+ q j ej , e Qi ej , k

k

P kde matice Qji je regul´ arn´ı (je to matice pˇrechodu). Z rovnosti O + i y i (x)ei = r(x) = P – P i O + i y¯ (x)¯ e i snadno obdrˇz´ıme vztah y j (x) = q j + i Qji y¯i (x). Derivován´ım z´ıskáme (protoˇze j j q i Qi jsou konstanty) n´ asleduj´ıc´ı jednoduch´ y vztah: J = QJ¯. Tud´ıˇz, Jacobiho matice J a J¯ maj´ı stejnou hodnost. V dalˇs´ım budeme automaticky pˇredpokl´ adat regulárn´ı parametrizace. V anal´ yze se dokazuje, ˇze zobrazen´ı s Jacobiho matic´ı maxim´ aln´ı hodnosti je lokáln´ım difeomorfismem. To znamená, ˇze kaˇzd´ y bod a ∈ U m´ a okol´ı V ⊆ U takové, ˇze r|V : V − → r(V ) je difeomorfismus, potaˇzmo bijekce. Glob´ aln´ı parametrizace podvariet (na rozd´ıl od kˇrivek) nemus´ı existovat. To znamená, ˇze ne kaˇzd´ a podvarieta je obrazem r(U ) nˇejaké parametrizace. Podvarietu definujeme jako sjednocen´ı koneˇcnˇe mnoha obraz˚ u ri (Ui ), které se mohou pˇrekr´ yvat; na pr˚ unic´ıch mus´ı b´ yt splnˇeny jisté podm´ınky, které upˇresn´ıme n´ıˇze. Pˇ r´ıklad.

Rovnicemi y 1 = (R2 + R1 cos x1 ) cos x2 , y 2 = (R2 + R1 cos x1 ) sin x2 ,

(11)

y 3 = R1 sin x1 je zad´ ana parametrizace r : R2 − → R3 anuloidu r(R2 ) v R3 , kter´ y vznikne rotac´ı kruˇznice o polomˇeru R1 podél kruˇznice o polomˇeru R2 , pˇriˇcemˇz R1 < R2 . Zde jsou x1 , x2 souˇradnice v R2 a y 1 , y 2 , y 3 souˇradnice

20


v R3 . Jestliˇze nech´ ame souˇradnice xi prob´ıhat vˇzdy celou pˇr´ımku R, pak uveden´ a parametrizace pokr´ yv´ a anuloid nˇekolikan´ asobnˇe. Snadno vypoˇcteme Jacobiho matici: 0

−R1 sin x1 cos x2 B Jr = @ −R1 sin x1 sin x2 R1 cos x1

1 −(R2 + R1 cos x1 ) sin x2 C (R2 + R1 cos x1 ) cos x2 A. 0

Jej´ı hodnost je rovna 2 ve vˇsech bodech (x1 , x2 ) ∈ R2 (ovˇeˇrte). Jedn´ a se tedy o regul´ arn´ı parametrizaci. Pˇ r´ıklad.

Rovnicemi y 1 = cos x1 cos x2 · · · cos xn−2 cos xn−1 , y 2 = cos x1 cos x2 · · · cos xn−2 sin xn−1 , ···, (12)

y n−2 = cos x1 cos x2 sin x3 , y n−1 = cos x1 sin x2 , y n = sin x1

je zad´ ana parametrizace r : Rn−1 − → Rn sféry S n−1 = r(Rn−1 ) v Rn . Zde jsou x1 , x2 , . . . , xn−1 souˇradnice v Rn−1 a y 1 , y 2 , . . . , y n souˇradnice v Rn . Také tato parametrizace pokr´ yv´ a sféru nˇekolikan´ asobnˇe, pokud nech´ ame xi prob´ıhat celou pˇr´ımku R. Je regul´ arn´ı v bodech ve vˇsch bodech, kde cos x1 6= 0, . . . , cos xn−2 6= 0. V ostatn´ıch bodech je singul´ arn´ı. Naz´ yv´ a se sférick´ a souˇradn´ a soustava. Cviˇ cen´ı.

Vypoˇctˇete Jacobiho matici sférické souˇradné soustavy.

3.2. Reparametrizace – – Je-li φ : U − → U difeomorfismus otevˇren´ ych mnoˇzin, pak je r¯ = r ◦ φ : U − → E jiná para– – metrizace téˇze podvariety r(U ) = r¯(U ). Difeomorfismus φ : U − → U se naz´ yvá reparametrizace. Reparametrizace je v souˇradnicich zad´ ana rovnic´ı x = φ(¯ x ), ˇcili soustavou xi = φi (¯ x 1, . . . , x ¯ k ), – kde φi : U − → R jsou diferencovatelné funkce. Vrat’me se nyn´ı k definici obecné podvariety pokryté nˇekolika lokáln´ımi parametrizacemi ri : Ui − → E. Na pr˚ unic´ıch parametrizac´ı se jedna od druhé mus´ı liˇsit reparametrizac´ı. 3.5. Definice. Bud’ M ⊆ E S podmnoˇzina, bud’te ri : Ui − → E, i = 1, . . . , m, regulárn´ı m parametrizace takové, ˇze M = i=1 ri (Ui ). Maj´ı-li obrazy ri (Ui ) a rj (Uj ) neprázdn´ y pr˚ unik ri (Ui ) ∩ rj (Uj ), poˇzadujeme, ˇze (i) vzor Uij := ri−1 (ri (Ui ) ∩ rj (Uj )) je otevˇrená podmnoˇzina v Ui ; (ii) vzor Uji := rj−1 (ri (Ui ) ∩ rj (Uj )) je otevˇrená podmnoˇzina v Uj ; (iii) zobrazen´ı ri |−1 → Uji je difeomorfismus (tj. reparametrizace). Uij ◦ rj |Uji : Uij − Pak se mnoˇzina M naz´ yv´ a podvarieta v E. 3.6. Pozn´ amka. Podvarieta v eukleidovském prostoru je speciáln´ım pˇr´ıpadem variety, kterou ale v této pˇredn´ aˇsce nedefinujeme. Varieta ke své existenci nepotˇrebuje ˇzádn´ y vnˇejˇs´ı prostor E. 21


Pˇ r´ıklad. Jednotkov´ a sféra se stˇredem O je mnoˇzina S 2 = {A ∈ R3 | d(A, O) = 1} bod˚ u, které maj´ı jednotkovou vzd´ alenost od bodu O. Ukaˇzme, ˇze se jedn´ a o podvarietu. Zvol´ıme-li kartézskou souˇradnou soustavu se stˇredem O, m˚ uˇzeme ps´ at S 2 = {[x, y, z] ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 = 1}. Lok´ aln´ı parametrizac´ı je napˇr´ıklad x = cos φ cos θ, y = sin φ cos θ, z = sin θ, kde 0 < φ < 2π je “zemˇepisn´ a délka” a −π/2 < θ < π/2 je “zemˇepisn´ a ˇs´ıˇrka.” Pokr´ yv´ a celou sféru kromˇe “poledn´ıku” φ = 0 (vˇcetnˇe obou p´ ol˚ u), ˇcili p˚ ulkruˇznice x = cos θ, y = 0, z = sin θ, −π/2 < θ < π/2. Jinou lok´ aln´ı parametrizaci obdrˇz´ıme z´ amˇenou x... z = cos φ cos θ, x = cos φ sin θ, y = sin φ. kde 0 < φ < 2π je “zemˇepisn´ a délka” a −π/2 < θ < π/2 je “zemˇepisn´ a ˇs´ıˇrka.” ...............................

Jacobiho matice Jφ difeomorfismu φ m´ a sloˇzky (Jφ )ij =

∂φi . ∂xj

– Jej´ı determinant, jacobi´ an ∆φ = det Jφ , je v definiˇcn´ım oboru U vˇsude nenulov´ y. Je-li definiˇcn´ı – obor U souvisl´ a mnoˇzina, plat´ı bud’ ∆φ > 0 anebo ∆φ < 0. V prvn´ım pˇr´ıpadˇe ˇr´ıkáme, ˇze reparametrizace zachov´ av´ a orientaci, ve druhém ˇr´ıkáme, ˇze mˇen´ı orientaci. Reparametrizace s kladn´ ym jacobi´ anem se naz´ yvá souhlasn´ a. Dvˇe parametrizace, liˇs´ıc´ı se reparametrizac´ı s kladn´ ym jacobi´ anem, rovnˇeˇz naz´ yváme souhlasné. Podobnˇe jako u kˇrivek se mnoˇzina vˇsech parametrizac´ı podvariety rozpadá na dvˇe tˇr´ıdy vzájemnˇe souhlasn´ ych parametrizac´ı. podvarieta spolu se zadanou tˇr´ıdou souhlasn´ ych parametrizac´ı se naz´ yvá orientovan´ a podvarieta. Za geometrické povaˇzujeme ty vlastnosti podvariet, které nezávis´ı na volbˇe parametrizace nebo alespoˇ n souhlasné parametrizace. V druhém pˇr´ıpadˇe jde o geometrické vlastnosti orientovan´ ych podvariet. 3.3. Derivace pod´ el vektoru V teorii kˇrivek jsme vystaˇcili s derivov´ an´ım podle parametru. Derivace mˇela názorn´ y smysl rychlosti pohybu po dr´ aze. Pˇri reparametrizaci se v´ ysledky liˇsily pomˇernˇe jednoduch´ ym faktorem. Teˇcn´ y vektor (normovan´ y) byl, aˇz na znaménko, v kaˇzdém bodˇe jedin´ y. V pˇr´ıpadˇe regul´ arn´ı parametrizace r : U − → E s U ⊆ Rk je situace mnohem komplikovanˇejˇs´ı. Parci´ aln´ı derivace v prostoru Rk jsou pevnˇe spojeny s volbou souˇradnic v Rk a pˇri reparametrizaci se jako faktor objev´ı Jacobiho matice. Teˇcn´ ych vektor˚ u je kontinuum i kdyˇz je normujeme. Teˇcné vektory k podvarietˇe zavedeme jako derivace. Kaˇzd´ y teˇcn´ y vektor bude m´ıt sv˚ uj vzor v prostoru parametr˚ u Rk . Nejdˇr´ıve pˇripomeˇ nme, ˇze vektory z Rk lze interpretovat jako derivace ve smˇeru. Bud’ a = (a1 , . . . , ak ) ∈ U bod, u = (u1 , . . . , uk ) ∈ Rk vektor (pˇredstavujeme si jej 22


um´ıstˇen´ y v bodˇe a) a f : U − → R diferencovatelná funkce. Pak definujeme f (a + hu) − f (a) df (a + hu) uf = lim = h=0 h− →0 h dh X ∂f (x) X ∂f (x) d(ai + hui ) ui = = i i h=0 dh ∂x ∂x x=a x=a i i

(13)

(druhé rovn´ıtko odpov´ıd´ a aplikaci l’Hˆ opitalova pravidla). Uveden´ y v´ ypoˇcet ukazuje, ˇze vektor u p˚ usob´ı na funkci f : U − → R jako diferenciáln´ı operátor X i ∂ u= u . (14) i ∂x x=a i Naz´ yv´ a se oper´ ator derivov´ an´ı podél vektoru u v bodˇe a. Prostˇrednictv´ım formule (14) si vektor u a operátor derivován´ı podél vektoru u vz´ ajemnˇe jednoznaˇcnˇe odpov´ıdaj´ı, a proto lze jeden ztotoˇznit s druh´ ym. Pˇritom vektoru (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) ∈ Rk s jedniˇckou na itém m´ıstˇe odpov´ıdá operátor parciáln´ı derivace ∂/∂xi |x=a v bodˇe a, v nˇemˇz je vektor um´ıstˇen. M˚ uˇzeme pak ˇr´ıci, ˇze operátory parciáln´ıho derivov´ an´ı tvoˇr´ı b´ azi v prostoru Rk . V této bázi má vektor u ∈ Rk souˇradnice ui , jak okamˇzitˇe plyne z formule (14). Jistˇe nikoho nepˇrekvap´ı, ˇze derivace podél dráhy je totoˇzná s derivac´ı podél pˇr´ısluˇsného teˇcného vektoru: 3.7. Tvrzen´ı. Bud’ f : U − → R funkce, bud’ s : I − → U ⊆ Rk dr´ aha. Pak pro libovolné t0 ∈ I je derivace funkce f ◦ s : I − → R v bodˇe t0 rovna derivaci funkce f : U − → R podél teˇcného vektoru s˙ (t0 ). D˚ ukaz. Jsou-li xi = si (t) parametrické rovnice dráhy s, pak podle (13) plat´ı ∂f (x) dsi (t) d(f ◦ s)(t) = = uf t=t dt ∂xi x=s(t0 ) dt t=t0 0 kde u = dsi (t)/dt|t=t0 = s˙ (t0 ) v bodˇe s(t0 ). 3.4. Teˇ cn´ e vektory Interpretace vektor˚ u jako derivov´ an´ı je v geometrii velmi v´ yhodná, ale prozat´ım jsme j´ı dos´ ahli jen pro vektory v Rk . Snadno ji vˇsak pˇreneseme na vektory v eukleidovském prostoru E. K tomu n´ am pom˚ uˇze parametrizace a s n´ı spojené velmi d˚ uleˇzité lineárn´ı zobrazen´ı r∗ , které nyn´ı zavedeme. V n´ asleduj´ıc´ı definici vystupuj´ı dˇr´ıve zavedené parciáln´ı derivace (8). 3.8. Definice. Bud’ a ∈ Rk pevnˇe zvolen´ y bod. Je-li r : U − → E parametrizace, a ∈ U a u = (u1 , . . . , uk ) ∈ Rk vektor um´ıstˇen´ y v bodˇe a, definujeme r(a + hu) − r(a) dr(a + hu) ur = lim = h=0 h− →0 h dh (15) X ∂r(x) X d(ai + hui ) i (a)u = = r , i h=0 dh ∂xi x=a i i 23


kde ri (a), jako jiˇz dˇr´ıve, oznaˇcuje parci´ aln´ı derivaci ∂r(x)/∂xi |x=a . k D´ ale definujeme zobrazen´ı r∗ : R − → V pˇredpisem r∗ (u) = ur.

(16)

3.9. Tvrzen´ı. Zobrazen´ı r∗ : Rk − → V jsou line´ arn´ı. D˚ ukaz. Plyne bezprostˇrednˇe z formule (15). ˇ Casto se line´ arn´ı zobrazen´ı r∗ oznaˇcuje dr, to jest, dr(u) = r∗ u = ur. Formule (15) pak má snadno zapamatovateln´ y tvar X ∂r(x) dxi , dr = i ∂x x=a i pˇriˇcemˇz dxi (u) = ui = uxi . My se budeme pˇridrˇzovat znaˇcen´ı r∗ . N´ asleduj´ıc´ı tvrzen´ı je obdobou Tvrzen´ı 3.7. 3.10. Tvrzen´ı. Bud’ r : U − → E parametrizace, bud’ s : I − → U ⊆ Rk dr´ aha. Pak pro libovolné t ∈ I je teˇcný vektor k dr´ aze r ◦ s : I − → R v bodˇe r(t) roven vektoru r∗ (s˙ (t)). D˚ ukaz. Dr´ aha s : I − → U ⊆ Rk necht’ je popsána rovnicemi xi = si (t). Snadno vypoˇcteme . derivaci (r ◦ s) v bodˇe t = t0 : X ∂r(x) dsi (t) d(r ◦ s)(t) = r∗ (s˙ (t0 )). t=t = dt ∂xi x=a dt t=t0 0 i Poznamenejme na z´ avˇer, ˇze definice lze rozˇs´ıˇrit i na vektory v zamˇeˇren´ı V eukleidovského prostoru E a diferencovateln´ a funkce f : E − → R tak, ˇze plat´ı analogie Tvrzen´ı 3.7. Potom existuje souvislost mezi derivov´ an´ım podél vektoru u a derivován´ım podél jeho obrazu r∗ (u). 3.11. Tvrzen´ı. Bud’ r : U − → E parametrizace, a ∈ U bod, u ∈ Rk vektor um´ıstˇený v bodˇe a. Bud’ f : U − → R diferencovateln´ a funkce. Pak pro derivaci sloˇzené funkce f ◦ r : U − → R podél vektoru u plat´ı u(f ◦ r) = r∗ (u)f.

(17)

D˚ ukaz. Je-li u teˇcn´ y vektor ke dr´ aze s : I − → U v bodˇe a = s(t0 ), pak oba v´ yrazy vyjadˇruj´ı d(f ◦ r ◦ s)(t) t=t . dt 0

3.5. Teˇ cn´ y prostor k ploˇ se Pro jednoduchost budeme od tohoto m´ısta mlˇcky pˇredpokládat, ˇze parametrizace je injektivn´ı. Pokud nen´ı, omez´ıme se na vhodnou podmnoˇzinu. Speciálnˇe to znamená, ˇze uvaˇzujeme o ˇc´ asti podvariety, kter´ a sama sebe neprot´ıná. Podobnˇe jako kˇrivky v E maj´ı teˇcny, podvariety v E maj´ı teˇcné prostory. Teˇcn´ y prostor k ploˇse r(U ) v bodˇe r(a) je vektorov´ y podprostor v zamˇeˇren´ı V eukleidovského prostoru E. Znaˇc´ı se Tr(a) r(U ) a je obrazem vektorového prostoru Rk pˇri lineárn´ım zobrazen´ı r∗ : Rk − → V. 24


3.12. Definice. Bud’ r : U − → E parametrizace a u = (u1 , . . . , uk ) ∈ Rk vektor um´ıstˇen´ y k v bodˇe a ∈ R . Teˇcn´ y prostor Tr(a) r(U ) k ploˇse r(U ) v bodˇe r(a) je definován jako obraz homomorfismu r∗ , ˇcili jako line´ arn´ı obal vektor˚ u ri (a) = ∂r(x)/∂xi |x=a : ∂r(x) ∂r(x) . = [[r1 (a), . . . , rk (a)]]. (18) , . . . , Tr(a) r(U ) = Im r∗ = ∂x1 x=a ∂xk x=a Z Tvrzen´ı 3.10 plyne n´ asleduj´ıc´ı geometrick´ y smysl teˇcného prostoru: 3.13. D˚ usledek. Teˇcný prostor Tr(a) r(U ) je mnoˇzina vˇsech teˇcných vektor˚ u k obraz˚ um r ◦ s drah s : I − → U proch´ azej´ıc´ıch bodem a ∈ U . Je-li parametrizace podvariety regul´ arn´ı, je zobrazen´ı r∗ : Rk − → Tr(a) r(U ), dané formul´ı (16), izomorfismus vektorov´ ych prostor˚ u. Plyne to okamˇzitˇe z definice regularity. Pˇ r´ıklad. Obecné rovnice jednotkové sféry se stˇredem v bodˇe O jsou kr − Ok = 1. Pˇri libovolné regul´ arn´ı parametrizaci proto m´ ame (podobnˇe jako v Tvrzen´ı 2.9) ∂r(x) · r(x) = 0 ∂xj pro kaˇzdé i = 1, . . . , n − 1. Vid´ıme, ˇze teˇcné vektory ∂r(x)/∂xj jsou kolmé k polomˇeru r(x) − O. Jinak ˇreˇceno, teˇcn´ y prostor je kolm´ y k vektoru r(x) − O, tud´ıˇz je ortogon´ aln´ım doplˇ nkem [[r(x) − O]]⊥ . Pˇ r´ıklad. Pˇrepoˇc´ıtejme pˇredchoz´ı pˇr´ıklad v parametrizaci (12). Pro jednoduchost se omezme na pˇr´ıpad n = 3, tj. y 1 = cos x1 cos x2 , y 2 = cos x1 sin x2 , y 3 = sin x1 . Jacobiho matici 0

− sin x1 cos x2 B Jr = @ − sin x1 sin x2 cos x1

1 − cos x1 sin x2 C cos x1 cos x2 A. 0

jste vypoˇcetli v jednom z pˇredchoz´ıch cviˇcen´ı. Jej´ı sloupce jsou teˇcné vektory ∂r/∂xj a snadno se ovˇeˇr´ı, ˇze jsou kolmé k vektoru 0 11 0 1 cos x1 cos x2 y B 2C B 1 2C @y A = @ cos x sin x A 1 3 sin x y vzhledem ke standardn´ımu skal´ arn´ımu souˇcinu v R3 .

3.14. Definice. Bud’ r : U − → E parametrizace, U ⊆ Rk . Soustava parametrizovan´ ych kˇrivek i+1 n t 7− → r(x10 , . . . , xi−1 0 , t, x0 , . . . , x0 ),

kde i = 1, . . . , k a x0 = (x10 , . . . , xn0 ) prob´ıhá mnoˇzinu U , se naz´ yvá souˇradnicov´ a s´ıt’. Vektory rj = ∂r/∂xj jsou zˇrejmˇe teˇcn´ ymi vektory k parametrizovan´ ym kˇrivkám souˇradnicové s´ıtˇe. 25


3.6. Prvn´ı fundament´ aln´ı forma Jak v´ıme z pˇredˇskoln´ıho vˇeku, rovn´ y dr´ at lze libovolnˇe oh´ ybat, ale naplat´ı to pro list pap´ıru. M˚ uˇzeme z nˇej vytvoˇrit v´ alcovou nebo kuˇzelovou plochu, ale nelze j´ım obalit kouli bez záhyb˚ u. (Pokud skuteˇcn´ y list pap´ıru nen´ı kombinac´ı válcov´ ych a kuˇzelov´ ych ploch, je to jen proto, ˇze neroztaˇziteln´ y pap´ır neexistuje.) Tato vlastnost je odrazem faktu, ˇze podvariety maj´ı, na rozd´ıl od kˇrivek, vnitˇrn´ı geometrii. Pˇripomeˇ nme, ˇze skal´ arn´ı souˇcin je biline´ arn´ı forma na zamˇeˇren´ı V prostoru E, tedy zobrazen´ı V×V − → R, které je line´ arn´ı v obou argumentech. V pˇr´ıpadˇe regulárn´ı parametrizace r : U − → E ji m˚ uˇzeme prostˇrednictv´ım zobrazen´ı r∗ : Rk − → Tr(a) r(U ) snadno pˇrenést na definiˇcn´ı obor U ⊆ Rk . Argumenty potom budou vektory z Rk a obdrˇz´ıme tzv. prvn´ı fundamentáln´ı formu. 3.15. Definice. Bud’ r parametrizace a a ∈ U bod. Pˇredpisem I(u, v) = r∗ (u) · r∗ (v).

(19)

je zad´ ana biline´ arn´ı forma I na vektorovém prostoru Rk . Naz´ yvá se prvn´ı fundament´ aln´ı forma podvariety r(U ) v bodˇe r(a) nebo zkr´ acenˇe metrika. P P Pro vektory u = i ui ∂/∂xi , v = i v i ∂/∂xi s pouˇzit´ım formule (16) dostaneme X X ∂r(x) j ∂r(x) i u · v I(u, v) = r∗ (u) · r∗ (v) = ∂xi ∂xj j i =

X X ∂r(x) ∂r(x) i j gij ui v j , i · i u v = ∂x ∂x i,j i,j

kde jsme oznaˇcili gij =

∂r(x) ∂r(x) · = ri · rj . ∂xi ∂xj

Funkce gij se naz´ yvaj´ı koeficienty prvn´ı fundament´ aln´ı formy. Pouˇz´ıvá se i zápis X I= gij dxi dxj , i,j

kter´ y umoˇzn ˇuje poˇc´ıtat X X I(u, v) = gij dxi (u) dxj (v) = gij ui v j . i,j

Pˇ r´ıklad.

i,j

Vypoˇctˇeme prvn´ı fundament´ aln´ı formu anuloidu v parametrizaci (11), tj. y 1 = (R2 + R1 cos x1 ) cos x2 , y 2 = (R2 + R1 cos x1 ) sin x2 , y 3 = R1 sin x1 .

Derivace ∂r/∂xi jsme jiˇz dˇr´ıve vypoˇcetli jako sloupce Jacobiho matice: 0 1 0 1 −R1 sin x1 cos x2 −(R2 + R1 cos x1 ) sin x2 ∂r ∂r B 1 2C r1 = = @ −R1 sin x sin x A, r2 = = @ (R2 + R1 cos x1 ) cos x2 A. ∂x1 ∂x2 1 0 R1 cos x

26


Sloˇzky gij metriky vypoˇcteme jako souˇciny g11 = r1 · r1 = R12 , g12 = g21 = r1 · r2 = 0, g22 = r2 · r2 = (R1 cos x1 + R2 )2 . Pˇ r´ıklad.

Sloˇzky prvn´ı fundament´ aln´ı formy sféry S 2 v parametrizaci (12) jsou g11 = r1 · r1 = 1, g12 = g21 = r1 · r2 = 0, g22 = r2 · r2 = (cos x1 )2 .

Cviˇ cen´ı.

Vypoˇctˇete sloˇzky prvn´ı fundament´ aln´ı formy sféry S n−1 v parametrizaci (12).

Cviˇ cen´ı. Loxodroma na sféˇre S 2 je kˇrivka, sv´ıraj´ıc´ı konstantn´ı u ´hel s poledn´ıky. Po loxodromˇe pluje lod’, kter´ a udrˇzuje st´ ale stejn´ y kurs, mˇeˇren´ y odchylkou kompasu (poledn´ıky se pro tento u ´ˇcel rozumˇej´ı hlavn´ı kruˇznice proch´ azej´ıc´ı magnetick´ ymi p´ oly). 1. Naleznˇete loxodromu se zadanou odchylkou α od poledn´ık˚ u. 2. Naleznˇete loxodromu proch´ azej´ıc´ı zadan´ ymi body.

Jak prvn´ı fundament´ aln´ı forma odr´ aˇz´ı vnitˇrn´ı geometrii podvariety r(U )? Umoˇzn ˇuje nám napˇr´ıklad poˇc´ıtat délky kˇrivek na r(U ). 3.16. Tvrzen´ı. Bud’ s : I − → U zobrazen´ı otevˇreného intervalu do definiˇcného oboru U parametrizace r podvariety r(U ). Bud’te t1 , t2 ∈ I dva body. Délka kˇrivky r ◦ s mezi body r(s(t1 )) a r(s(t2 )) je rovna Z t2 √ I(s˙ , s˙ ) dt t1

D˚ ukaz. Je-li kˇrivka s zad´ ana rovnicemi xi = si (t), pak podle Tvrzen´ı 2.13 a pˇr´ısluˇsn´ ych definic plat´ı Z t2 √ Z t2 √ Z t2 kr∗ (s˙ )k dt I(s˙ , s˙ ) dt = r∗ (s˙ ) · r∗ (s˙ ) dt = t1

t1

Z =

t2

t1

Cviˇ cen´ı.

t1

Z t2

dr(s(t))

∂r ds dt =

dt dt = `r◦s (t1 , t2 )

∂xi dt t1 i

Urˇcete délku loxodromy proch´ azej´ıc´ı zadan´ ymi body.

3.7. Vektorov´ a pole V geometrii potˇrebujeme i druhé derivace. Naráˇz´ıme vˇsak na problém, ˇze prvn´ı derivace podél vektoru je ˇc´ıslo a nikoliv funkce, a proto ji nelze dále derivovat. Aby byla v´ ysledkem derivov´ an´ı funkce opˇet funkce, mus´ıme ji podle nˇejakého vektoru derivovat v kaˇzdém bodˇe definiˇcn´ıho oboru. Potaˇzmo mus´ıme v kaˇzdém bodˇe definiˇcn´ıho oboru nˇejak´ y vektor m´ıt. Doch´ az´ıme tak k pojmu vektorového pole. 3.17. Definice. Vektorové pole na podmnoˇzinˇe M ⊆ Rk je diferencovatelné zobrazen´ı M − → Rk . Hodnota vektorového pole u v bodˇe a ∈ M je vektor, kter´ y oznaˇcujeme ua . Aplikac´ı 27


vektorového pole u na diferencovatelnou funkci f : M − → R rozum´ıme funkci uf : M − → R, definovanou pˇredpisem (uf )(a) = ua f . Analogicky se definuje vektorové pole na podmnoˇzinˇe M ⊆ E eukleidovského prostoru se zamˇeˇren´ım V jako diferencovatelné zobrazen´ı M − → V. Poznamenejme, ˇze mnoˇzina M z pˇredchoz´ı definice m˚ uˇze b´ yt vcelku libovolná. Jako speci´ aln´ı pˇr´ıpad m˚ uˇzeme zavést napˇr´ıklad vektorové pole na kˇrivce, aniˇz bychom museli nutnˇe pˇredpokl´ ad´ at, ˇze je teˇcné. Obecné vektorové pole na M ⊆ Rk je popsáno formul´ı X ∂ u= ui (x) i , ∂x i kde ui : U − → R jsou diferencovatelné funkce (nikoliv ˇc´ısla, jako doposud). Potˇrebná tˇr´ıda diferencovatelnosti je z´ avisl´ a na ˇreˇsené u ´loze. Bud’ r : U − → E parametrizace. Prvn´ı fundamentáln´ı forma v libovolném pevnˇe zvoleném bodˇe je 2-line´ arn´ı forma na vektorovém prostoru Rk . Jsou-li u, v vektorová pole na U , v kaˇzdém bodˇe a ∈ U obdrˇz´ıme ˇc´ıslo I(ua , va ). V´ yraz I(u, v) proto m˚ uˇzeme povaˇzovat za funkci na U . Prvn´ı fundament´ aln´ı forma tedy pˇriˇrazuje dvojic´ım vektorov´ ych pol´ı na U funkci na U . Je-li d´ ano vektorové pole na podmnoˇzinˇe M ⊆ U , m˚ uˇzeme pˇredpisem (r∗ u)r(a) = r∗ (ua ) definovat vektorové pole r∗ u na r(M ), sestávaj´ıc´ı z teˇcn´ ych vektor˚ u k r(U ). 3.8. Lieova z´ avorka U parci´ aln´ıch derivac´ı jsme zvykl´ı, ˇze jsou zámˇenné. U obecn´ ych vektorov´ ych pol´ı v Rk tomu tak b´ yt nemus´ı: Pˇ r´ıklad. Necht’ u = x d/dx, v = d/dx. Pak pro libovolnou funkci f (x) plat´ı uvf = x d2 f /dx2 , ale vuf = df /dx + x d2 f /dx2 .

Nicménˇe, obecnˇe plat´ı, ˇze v rozd´ılu uvf −vuf se ˇcleny s derivacemi druhého ˇrádu vzájemnˇe vyruˇs´ı. Zb´ yvaj´ıc´ı ˇcleny s derivacemi prvn´ıho ˇrádu odpov´ıdaj´ı akci nˇekterého vektorového pole. 3.18. Tvrzen´ı. Bud’te u, v vektorov´ a pole tˇr´ıdy alespoˇ n C 1 , definovan´ a na otevˇrené mnoˇzinˇe k U ⊆ R . Pak existuje vektorové pole w na U takové, ˇze pro libovolnou C 2 diferencovatelnou funkci f : U − → R plat´ı wf = uvf − vuf . P P D˚ ukaz. Necht’ u = i ui ∂/∂xi , v = i v i ∂/∂xi . Snadno vypoˇcteme X X ∂ X ∂f ∂ X ∂f vj j − uj j vi i uvf − vuf = ui i ∂x ∂x ∂x ∂x j j i i =

X X i

=

j

X X i

ui

j

∂v j ∂f ∂2f ∂uj ∂f ∂2f i j + ui vj i j − vi i j − v i uj ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂xi ∂xj

i ∂v

u

j

∂xi

−

∂uj vi i ∂x

∂f . ∂xj

Sˇc´ıtance s druh´ ymi derivacemi se vz´ ajemnˇe vyruˇs´ı, protoˇze souˇcet nezávis´ı na pojmenován´ı index˚ u. Tud´ıˇz, X X ∂v i ∂ ∂ui w= wi i , kde wi = uv i − vui = uj j − v j j . ∂x ∂x ∂x i j 28


3.19. Definice. Vektorové pole w z pˇredchoz´ıho tvrzen´ı se naz´ yvá Lieova z´ avorka vektorov´ ych pol´ı u, v a znaˇc´ı se [u, v]. Plat´ı tedy [u, v]f = uvf − vuf pro libovolnou diferencovatelnou funkci f : U − → R resp. f : r(U ) − → R. Protoˇze se s jinou z´ avorkou neˇz Lieovou v tomto nesetkáme, budeme j´ı ˇr´ıkat prostˇe jen z´ avorka. Nejsn´ aze se vzorec pro v´ ypoˇcet z´ avorky zapamatuje takto: V´ ysledek [u, v] je rozd´ılem dvou ˇclen˚ u. Prvn´ı vznikne aplikac´ı pole u na koeficienty pole v, druh´ y naopak. Cviˇ cen´ı.

Vypoˇctˇete z´ avorku – » ∂ 1 ∂ 1 ∂ ∂ +y , + . x ∂x ∂y x ∂x y ∂y

(V´ ysledek: −

2 ∂ 2 ∂ − ). x ∂x y ∂y

3.9. Kovariantn´ı derivace Podobnˇe jako u kˇrivek, derivace uvr teˇcného vektoru vr k podvarietˇe obvykle nen´ı teˇcn´ ym vektorem. Projekc´ı do teˇcného prostoru k podvarietˇe obdrˇz´ıme vektorové pole, které se oznaˇcuje ∇u v a naz´ yv´ a se kovariantn´ı derivace pole v podél pole u. Upˇresnˇeme to. Bud’te u, v dvˇe vektorová pole na U ⊆ Rk . Uvaˇzujme o druhé derivaci uvr. V kaˇzdém bodˇe a ∈ U dost´ av´ ame vektor ua vr v zamˇeˇren´ı V prostoru E. V kaˇzdém bodˇe r(a) ∈ r(U ) m´ ame i teˇcn´ y prostor Tr(a) a kolmou projekci prT : V − → Tr(a) do nˇej. Prom´ıtán´ım vektoru ua vr dost´ av´ ame teˇcn´ y vektor prT ua vr ∈ Tr(a) . Jelikoˇz r∗ je bijekce mezi Rk a teˇcn´ ym prostorem Tr(a) , existuje vzor r∗−1 prT ua vr ∈ Rk , kter´ y oznaˇc´ıme ∇ua v. 3.20. Definice. Pˇriˇrazen´ı u 7− → ∇ua v urˇcuje vektorové pole ∇u v na U ⊆ Rk . Naz´ yvá se kovariantn´ı derivace pole v podél pole u. Symbolicky ∇u v = r∗−1 prT uvr.

(20)

Formuli (20) m˚ uˇzeme ekvivalentnˇe pˇrepsat jako (∇u v)r = r∗ ∇u v = prT uvr.

(21)

Vypoˇctˇeme ∇u v v souˇradnic´ıch. 3.21. Tvrzen´ı. Pro vektorov´ a pole u = ∇u v =

X i,j

ui

P

i

ui ∂/∂xi , v =

P

i

v i ∂/∂xi plat´ı

X ∂ ∂v j ∂ Γkij ui v j k , i j + ∂x ∂x ∂x i,j,k

kde Γkij jsou funkce symetrické v doln´ıch indexech, Γkij = Γkji a splˇ nuj´ı rovnost ∇

∂ ∂xi

∂ k ∂ . j = Γij ∂x ∂xk

(22) 29


D˚ ukaz. Poˇc´ıtejme (∇u v)r = prT uvr = prT

X

ui

i

= prT

2 ∂v j ∂r(x) i j ∂ r(x) i j +u v ∂x ∂x ∂xi ∂xj

∂r(x) ∂ 2 r(x) i j u i j + u v prT ∂x ∂x ∂xi ∂xj

X

ui

i,j

=

X i,j

=

X

ui

i,j

∂ X j ∂r(x) v ∂xi j ∂xj

i ∂v

j

∂v j ∂r(x) X k i j ∂r(x) + Γij u v ∂xi ∂xj ∂xk i,j,k

ˇ Ctvrt´ a rovnost plyne z toho, ˇze prvn´ı sˇc´ıtan´ y v´ yraz v teˇcném prostoru leˇz´ı. Pátou rovnost´ı se zav´ ad´ı oznaˇcen´ı prT

X ∂ 2 r(x) ∂r(x) , Γkij i j = ∂x ∂x ∂xk k

(23)

které z´ aroveˇ n implikuje posledn´ı tvrzen´ı. 3.22. Definice. Funkce Γkij se naz´ yvaj´ı Christoffelovy symboly. 3.23. Tvrzen´ı. Pro Christoffelovy symboly plat´ı Γkij = kde

∆kij ∆

r1 · r1 ∆ = ... r · r n

1

···

r1 · rn .. . rn · rn

···

je determinant matice prvn´ı kvadratické formy a r1 · r1 · · · r1 · rij · · · r1 · rn .. ∆kij = ... , . r · r · · · r · r · · · rn · rn n 1 n ij obdrˇz´ıme z´ amˇenou pravého souˇcinitele rk v ktém sloupci za druhou derivaci rij = ∂ 2 r/∂xi ∂xj . D˚ ukaz. Plat´ı prT rij =

X

Γkij rk

k

a souˇcasnˇe prT rij =

X ∆(k) (rij ) k

∆

rk 30


podle vzorce pro kolmou projekci odvozeného v ˇcásti o lineárn´ıch u ´tvarech (v podstatˇe jde o Kramerovo pravidlo). Odtud Γkij =

∆(k) (rij ) . ∆

Pˇritom r1 · r1 ∆ = ... r · r n 1

··· ···

r1 · rn .. . rn · rn

je determinant matice prvn´ı fundament´ aln´ı formy a r1 · r1 · · · r1 · w · · · r1 · rn .. ∆(k) (w) = ... , . r · r · · · r · w · · · r · r n 1 n n n kde skal´ arn´ı souˇciny s w stoj´ı v ktém sloupci. Odtud tvrzen´ı. Pˇ r´ıklad.

Vypoˇctˇeme Christoffelovy symboly anuloidu v parametrizaci y 1 = (R2 + R1 cos x1 ) cos x2 , y 2 = (R2 + R1 cos x1 ) sin x2 , y 3 = R1 sin x1 .

Pˇripomeˇ nme, ˇze b´ azové teˇcné vektory jsou 1 0 −R1 sin x1 cos x2 ∂r C B r1 := = @ −R1 sin x1 sin x2 A, ∂x1 R1 cos x1

1 0 −(R2 + R1 cos x1 ) sin x2 ∂r 1 2 r2 := = @ (R2 + R1 cos x ) cos x A. ∂x2 0

D´ ale budeme potˇrebovat i druhé derivace 1 0 1 0 −R1 cos x1 cos x2 R1 sin x1 sin x2 B 1 2C 1 2 r12 = @−R1 sin x cos x A, r11 = @ −R1 cos x sin x A, 0 −R1 sin x1

1 −(R2 + R1 cos x1 ) cos x2 1 2 = @ −(R2 + R1 cos x ) sin x A. 0 0

r22

Determinant matice prvn´ı fundament´ aln´ı formy je ˛ ˛ ˛ ˛ ˛r1 · r1 r1 · r2 ˛ ˛R12 ˛ 0 2 1 2 ˛ ˛=˛ ( ) . ∆ = ˛˛ 1 2 ˛ = R1 R2 + R1 cos x ˛ ˛ r2 · r1 r2 · r2 0 (R2 + R1 cos x ) Dalˇs´ı potˇrebné determinanty vyjdou ˛ ˛ ˛ ˛ ˛r1 · r1 r1 · r11 ˛ ˛r1 · r11 r1 · r2 ˛ 2 ˛ ˛ = 0, ˛ ∆111 = ˛˛ ∆ = 11 ˛r2 · r1 r2 · r11 ˛ = 0, r2 · r11 r2 · r2 ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛r1 · r12 r1 · r2 ˛ ˛r1 · r1 r1 · r12 ˛ 2 1 3 1 ˛ ˛ = 0, ˛ ∆112 = ˛˛ ∆ = 12 ˛r2 · r1 r2 · r12 ˛ = (R2 + R1 cos x ) R1 sin x , r2 · r12 r2 · r2 ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛r1 · r22 r1 · r2 ˛ ˛r1 · r1 r1 · r22 ˛ 2 ˛ = −(R2 + R1 cos x1 )R13 sin x1 , ˛ ˛ ∆ = ∆122 = ˛˛ 22 ˛r2 · r1 r2 · r22 ˛ = 0. r2 · r22 r2 · r2 ˛ Odtud

R1 R2 + R1 cos x1 sin x1 , sin x1 , Γ212 = Γ221 = − R1 R2 + R1 cos x1 zat´ımco ostatn´ı Christoffelovy symboly jsou rovny nule. Γ122 =

31


Cviˇ cen´ı.

Vypoˇctˇete Christoffelovy symboly sféry v obvykl´ ych sférick´ ych souˇradnic´ıch.

Pozdˇeji najdeme vyj´ adˇren´ı Christofflov´ ych symbol˚ u pomoc´ı metriky. Pˇredt´ım vˇsak mus´ıme stanovit nˇekolik dalˇs´ıch vlastnost´ı kovariantn´ı derivace. 3.24. Tvrzen´ı. Kovariantn´ı derivace (20) splˇ nuje ∇u+v w = ∇u w + ∇v w, ∇f u w = f ∇u w, ∇u (v + w) = ∇u v + ∇u w, ∇u (f w) = (uf )w + f ∇u w (výraz (uf )w na posledn´ım ˇr´ adku je souˇcin fukce a vektorového pole). D˚ ukaz. Dok´ aˇzeme posledn´ı vztah, pˇrenechavˇse laskavému ˇctenáˇri vˇsechny ostatn´ı jako cviˇcen´ı. ∇u (f w) = r∗−1 prT u(f w)r = r∗−1 prT u(f wr) = r∗−1 prT ((uf )wr + f uwr) = (uf )r∗−1 prT wr + r∗−1 prT (f uwr) = (uf )w + f ∇u w, protoˇze r∗−1 prT wr = r∗−1 wr = r∗−1 r∗ w = w. Kovariantn´ı derivace prvn´ı fundament´ aln´ı formy splˇ nuje analogii Leibnizova pravidla. 3.25. Tvrzen´ı. Plat´ı w(I(u, v)) = I(∇w u, v) + I(u, ∇w v) (výraz na levé stranˇe je derivace funkce I(u, v) podél vektorového pole w). D˚ ukaz. S pouˇzit´ım vztahu (21) obdrˇz´ıme w(I(u, v)) = w(ur · vr) = wur · vr + ur · wvr = prT wur · vr + ur · prT wvr = (∇w u)r · vr + ur · (∇w vr) = I(∇w u, v) + I(u, ∇w v). Tˇret´ı rovnost plat´ı, protoˇze norm´ alov´ a sloˇzka (projekce do ortogonáln´ıho doplˇ nku teˇcného prostoru) vektoru wur resp. wvr se pˇri skalárn´ım násoben´ı teˇcn´ ym vektorem v resp. u ztrác´ı. 3.26. Tvrzen´ı. Kovariantn´ı derivace (20) splˇ nuje ∇u v − ∇v u = [u, v] (výraz na pravé stranˇe je z´ avorka pol´ı u, v). D˚ ukaz. Cviˇcen´ı. 3.27. Pozn´ amka. Zobrazen´ı ∇, pˇriˇrazuj´ıc´ı dvˇema vektorov´ ym pol´ım tˇret´ı, s vlastnostmi uveden´ ymi v Tvrzen´ı 3.24, se naz´ yv´ a afinn´ı konexe. Má-li i vlastnost uvedenou v Tvrzen´ı 3.26, naz´ yv´ a se konexe bez torze. Nakonec, m´ a-li nav´ıc i vlastnost uvedenou v Tvrzen´ı 3.25, naz´ yvá se metrick´ a konexe. Tud´ıˇz, vztahem (20) jsme vlastnˇe zavedli metrickou konexi na podvarietˇe. 32


3.10. Souvislost s metrikou Ponˇekud pˇrekvapivˇe se ukazuje, ˇze kovariantn´ı derivace je projevem vnitˇrn´ı geometrie podvariety. 3.28. Tvrzen´ı. Kovariantn´ı derivace je jednoznaˇcnˇe urˇcena metrikou. Pˇresnˇeji, pro Christoffelovy symboly plat´ı ∂gjk ∂gij mk 1 X ∂gik m g , + − Γij = 2 m ∂xj ∂xi ∂xk kde g ij jsou sloˇzky matice inverzn´ı k matici gij , takˇze plat´ı g mk gkl = δml (Kroneckerovo delta). D˚ ukaz. Dosad´ıme-li v Tvrzen´ı 3.25 za vektorová pole u = ∂/∂xi , v = ∂/∂xj , w = ∂/∂xk , dost´ av´ ame na levé stranˇe ∂gij ∂ ∂ ∂ = I , w(I(u, v)) = ∂xi ∂xj ∂xk ∂xk a na pravé stranˇe I(∇w u, v) + I(u, ∇w v) = I ∇

∂ ∂ , ∇ ∂ ∂ ∂xi ∂xj ∂xk ∂xk X X ∂ ∂ X l ∂ ∂ l (Γlki glj + gil Γlkj ). =I Γki l , j + I Γkj l = i, ∂x ∂x ∂x ∂x l l l ∂ ∂ , ∂xi ∂xj

+I

Odtud X ∂gij (Γlik gjl + Γljk gil ). = ∂xk l Podobn´ y vztah mus´ı platit i pˇri kaˇzdé vzájemé zámˇenˇe pol´ı u, v, w, potaˇzmo index˚ u i, j, k. S vyuˇzit´ım symetrie tak dostaneme dalˇs´ı dva vztahy: X ∂gik (Γlij gkl + Γljk gil ), j = ∂x l X ∂gjk (Γlik gjl + Γlij gkl ); i = ∂x l Odeˇcteme-li druhou a tˇret´ı rovnost od prvn´ı, dostaneme vztah obsahuj´ıc´ı jen Γlij , a sice X ∂gij ∂gik ∂gjk Γlij gkl . j − i = −2 k − ∂x ∂x ∂x l Odtud X l

Γlij gkl =

1 2

∂gik ∂gjk ∂gij + − . ∂xj ∂xi ∂xk

K ukonˇcen´ı d˚ ukazu staˇc´ı n´ asobit inverzn´ı matic´ı g mk , naˇceˇz na levé stranˇe obdrˇz´ıme X X Γlij gkl g mk = Γlij δlm = Γm ij . l,k

l

33


3.11. Paraleln´ı pˇ renos ˇ 3.29. Definice. Bud’ ∇ kovariantn´ı derivace. Rekneme, ˇze pole v se paralelnˇe pˇren´ aˇs´ı podél pole u, jestliˇze ∇u v = 0. Ze vztahu (20) usuzujeme, ˇze pole u se paralelnˇe pˇrenáˇs´ı podél pole v, právˇe kdyˇz je pole uvr norm´ alové (m´ a nulov´ y pr˚ umˇet do teˇcného prostoru). Poznamenejme, ˇze jde o obecnˇe nesymetrick´ y vztah. ˇ 3.30. Definice. Bud’ ρ kˇrivka, na n´ıˇz je zadáno pole v. Rekneme, ˇze pole v se paralelnˇe pˇren´ aˇs´ı podél kˇrivky ρ, jestliˇze ∇T v = 0, kde T je pole teˇcn´ ych vektor˚ u ke kˇrivce ρ. Definice je korektn´ı: Abychom mohli urˇcit, zda se pole v paralelnˇe pˇrenáˇs´ı ˇci nikoliv, staˇc´ı zn´ at jen jeho hodnoty podél této kˇrivky. Plyne to z toho, ˇze derivace ve smˇeru teˇcného vektoru ke kˇrivce nez´ avis´ı na hodnot´ ach funkce mimo tuto kˇrivku. 3.31. Tvrzen´ı. Pole v se paralelnˇe pˇren´ aˇs´ı podél regul´ arnˇe parametrizované kˇrivky x(t) pr´ avˇe tehdy, kdyˇz ∇x˙ v = 0. D˚ ukaz. Pro libovolnou parametrizaci x(t) plat´ı x˙ = f T, kde f = kx˙ k = 6 0. Pro kovariantn´ı derivace pak dost´ av´ ame ∇T v = ∇f x˙ v = f ∇x˙ v a nulovost jedné znamená nulovost druhé. Cviˇ cen´ı. Opatˇrete si slepiˇc´ı vejce, nakreslete na nˇej uzavˇrenou kˇrivku a vektorové pole podél této kˇrivky, které se paralelnˇe pˇren´ aˇs´ı. Dostanete pˇri n´ avratu do v´ ychoz´ıho bodu stejn´ y vektor? N´ avod: Neust´ ale nat´ aˇcejte vejce tak, aby Vaˇse oko hledˇelo kolmo na malou oblast, v n´ıˇz kresl´ıte (pak je paraleln´ı pˇrenos totéˇz, co rovnobˇeˇznost pr˚ umˇet˚ u).

3.12. Geodetiky 3.32. Definice. Kˇrivka r(I) na ploˇse r(U ) se naz´ yvá geodetika, jestliˇze ∇T T = 0, tj. jestliˇze se podél n´ı jej´ı teˇcn´ y vektor paralelnˇe pˇrenáˇs´ı. Pro parametrizovanou kˇrivku x(t) m˚ uˇzeme rovnici geodetiky zapsat jako ∇x˙ x˙ = 0. V souˇradnic´ıch x ¨k +

X

Γkij x˙ i x˙ j = 0.

(24)

ij

Tato rovnice urˇcuje geodetiku i s parametrizac´ı (aˇz na konstantn´ı násobek a posunut´ı). Taková parametrizace se naz´ yv´ a afinn´ı. Z libovolného bodu lze libovoln´ ym smˇerem vypustit právˇe jednu geodetiku. Plyne to z faktu, ˇze rovnice geodetiky (24) je soustavou obyˇcejn´ ych diferenciáln´ıch rovnic druhého ˇrádu. D´ a se uk´ azat, ˇze vzd´ alenost dostateˇcnˇe bl´ızk´ ych bod˚ u na ploˇse se mˇeˇr´ı podél geodetiky, spojuj´ıc´ı oba body. Cviˇ cen´ı. Na slepiˇc´ı vejce kreslete geodetiky zp˚ usobem naznaˇcen´ ym v pˇredchoz´ım cviˇcen´ı (snaˇzte se o kˇrivku, kter´ a je pˇri kolmém pohledu co “nejrovnˇejˇs´ı”). Poté dva body na geodetice spojte napjatou gumiˇckou. Proch´ az´ı gumiˇcka podél Vaˇs´ı geodetiky?

34


Pˇ r´ıklad. Hledejme geodetiky anuloidu jako ˇreˇsen´ı rovnice (24). Dosad´ıme-li dˇr´ıve vypoˇctené Christoffelovy symboly Γ122 =

R2 + R1 cos x1 sin x1 , R1

Γ212 = Γ221 = −

R1 sin x1 , R2 + R1 cos x1

obdrˇz´ıme pro souˇradnice x1 , x2 diferenci´ aln´ı rovnice „ 2 «2 R2 + R1 cos x1 dx d2 x1 sin x1 , 2 + R dt dt 1 1 2 R1 d2 x2 1 dx dx . 2 −2 1 sin x dt dt dt R2 + R1 cos x

Druhou rovnici lze ekvivalentnˇe zapsat jako „ « d dx2 (R2 + R1 cos x1 )2 = 0, dt dt odkud (R2 + R1 cos x1 )2

dx2 = C = const, dt

a tedy dx2 C . = (R2 + R1 cos x1 )2 dt Dosazen´ım do prvn´ı rovnice obdrˇz´ıme R1

d2 x1 C 2 sin x1 = 0. 2 + (R2 + R1 cos x1 )3 dt

Tato rovnice jiˇz neobsahuje x2 a je ˇreˇsiteln´ a, ovˇsem nikoliv v element´ arn´ıch funkc´ıch. Dalˇs´ıch u ´vah proto zanech´ av´ ame. Cviˇ cen´ı. Ukaˇzte, ˇze hlavn´ı kruˇznice jsou geodetikami sféry. N´ avod: Afinn´ı parametrizac´ı je napˇr. parametrizace obloukem.

3.13. Norm´ alov´ y vektor Od tohoto momentu budeme pˇredpokl´ adat, ˇze podvarieta má dimenzi o jedniˇcku niˇzˇs´ı neˇz vnˇejˇs´ı prostor, tedy k = n − 1, kde n = dim E. V takovém pˇr´ıpadˇe je má podvarieta normálov´ y vektor. Oznaˇcme Nr(x) ortogon´ aln´ı doplnˇek k teˇcnému prostoru Tr(x) r(U ). Jsa jednorozmˇern´ y, Nr(x) je generov´ an jedn´ım vektorem. Normovan´ y generátor nr(x) ∈ Nr(x) se naz´ yvá norm´ alový vektor. Je urˇcen jednoznaˇcnˇe aˇz na znaménko. Vol´ıme-li jej konzistentnˇe tak, aby v “bl´ızk´ ych” bodech ukazoval “bl´ızk´ ym smˇerem,” obdrˇz´ıme na ploˇse vektorové pole n, které je diferencovatelné. Pˇ r´ıklad. Norm´ alov´ y vektor k jednotkové sféˇre S n−1 ⊂ Rn v bodˇe a ∈ S n−1 je vektor a − o, kde o je stˇred sféry, nebo vektor o − a k pˇredchoz´ımu opaˇcn´ y.

35


Pˇ r´ıklad.

Vypoˇctˇeme norm´ alové vektorové pole anuloidu (11) y 1 = (R2 + R1 cos x1 ) cos x2 , y 2 = (R2 + R1 cos x1 ) sin x2 , y 3 = R1 sin x1 .

Pˇripomeˇ nme, ˇze jeho teˇcné prostory jsou generov´ any sloupci Jacobiho matice: 1 0 −R1 sin x1 cos x2 ∂r C B = @ −R1 sin x1 sin x2 A, r1 := ∂x1 1 R1 cos x

0 1 −(R2 + R1 cos x1 ) sin x2 ∂r r2 := = @ (R2 + R1 cos x1 ) cos x2 A. ∂x2 0

Protoˇze vnˇejˇs´ı prostor je R3 , kolm´ y vektor nejsn´ aze vypoˇcteme jako vektorov´ y souˇcin n0 = r1 × r2 , jehoˇz komponenty obdrˇz´ıme rozvojem determinantu ˛ ˛ ˛−R1 sin x1 cos x2 −(R2 + R1 cos x1 ) sin x2 e1 ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ (R2 + R1 cos x1 ) cos x2 e2 ˛ ˛ −R1 sin x1 sin x2 ˛ ˛ 1 ˛ R1 cos x 0 e3 ˛ podle tˇret´ıho sloupce. V´ ysledkem je 1 −(R2 + R1 cos x1 )R1 cos x1 cos x2 C B n0 = @ −(R2 + R1 cos x1 )R1 cos x1 sin x2 A. −(R2 + R1 cos x1 )R1 sin x1 0

Norm´ alov´ y vektor z´ısk´ ame normov´ an´ım tohoto vektoru. Jeho délka je kn0 k =

√ n · n = (R2 + R1 cos x1 )R1 ,

a tedy 1 0 − cos x1 cos x2 n0 C B n= = @ − cos x1 sin x2 A, kn0 k 1 − sin x pˇr´ıpadnˇe opaˇcn´ y vektor. Cviˇ cen´ı. Rozhodnˇete, zda je norm´ alov´ y vektor vypoˇcten´ y v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladˇe orientov´ an dovnitˇr anuloidu nebo vnˇe.

3.14. Druh´ a fundament´ aln´ı forma Druh´ a fundament´ aln´ı forma charakterizuje vloˇzen´ı podvariety r(U ) do prostoru E. Pˇripomeˇ nme, ˇze pˇredpokl´ ad´ ame k = n − 1, kde n = dim E. 3.33. Tvrzen´ı. Bud’ r(U ) parametrizace dimenze k = n − 1, oznaˇcme n pole norm´ alových vektor˚ u. Pˇredpisem II(u, v) = n · uvr

(25)

je zad´ ana symetrick´ a biline´ arn´ı forma v kaˇzdém bodˇe definiˇcn´ıho oboru U ⊆ Rk . 36


P ui ∂/∂xi , v = i v i ∂/∂xi dostaneme X ∂ X j ∂r(x) v II(u, v) = n · uvr = n · ui i ∂x ∂xj j i

D˚ ukaz. Pro vektorov´ a pole u =

=n·

X

P

i

i j

i ∂v

u v rij + u

i,j

=

X

i j

∂xi

i ∂v

u v n · rij + u

i,j

j

rj

j

n · rj ∂xi

=

X

hij v j ui

i,j

kde jsme oznaˇcili hij = n · rij . Druh´ y sˇc´ıtanec v z´ avorce vymiz´ı, protoˇze vektor rj leˇz´ı v teˇcném prostoru, k nˇemuˇz je n kolm´ y. Vid´ıme, ˇze hodnota II(u, v) v bodˇe a line´ arnˇe závis´ı na hodnotˇe kaˇzdého z koeficient˚ u ui , v j . V´ yraz je nav´ıc symetrick´ y v u a v, protoˇze hij = hji . Jin´ y d˚ ukaz. Nejdˇr´ıve symetrie. M´ ame II(u, v) − II(v, u) = n · (uvr − vur) = n · [u, v]r = 0, protoˇze z´ avorka [u, v] je vektorové pole v Rk , naˇceˇz [u, v]r vˇzdy leˇz´ı v teˇcném prostoru a jeho skal´ arn´ı souˇcin s norm´ alov´ ym vektorem v témˇze bodˇe je proto nulov´ y. Linearita v prvn´ım argumentu vypl´ yv´ a z vlastnost´ı skalárn´ıho souˇcinu, linearita v druhém argumentu je pak d˚ usledkem symetrie. 3.34. Definice. Symetrick´ a biline´ arn´ı forma II z pˇredchoz´ıho tvrzen´ı se naz´ yvá druh´ a fundament´ aln´ı forma parametrizace r. Funkce hij se naz´ yvaj´ı koeficienty druhé fundament´ aln´ı formy. Podobnˇe jako u prvn´ı fundament´ aln´ı formy se puˇz´ıvá se i zápis X II = hij dxi dxj , i,j

kter´ y umoˇzn ˇuje poˇc´ıtat X X II(u, v) = hij dxi (u) dxj (v) = hij ui v j . i,j

i,j

Geometrick´ y smysl druhé fundament´ aln´ı formy tkv´ı v tom, ˇze ukazuje, jak rychle se podvarieta odkl´ an´ı od teˇcného prostoru. Skal´ arn´ı souˇcin n · uvr na pravé stranˇe formule (25) totiˇz mˇeˇr´ı odchylku vektoru uvr od norm´ alového vektoru, potaˇzmo od teˇcného prostoru. 3.35. Tvrzen´ı. Plat´ı uvr = (∇u v)r + II(u, v)n. D˚ ukaz. Formule vyjadˇruje vektor uvr jako souˇcet komponenty náleˇzej´ıc´ı teˇcnému prostoru a komponenty n´ aleˇzej´ıc´ı jeho ortogon´ aln´ımu doplˇ nku. 37


Cviˇ cen´ı.

Vypoˇctˇete druhou fundament´ aln´ı formu anuloidu (11) y 1 = (R2 + R1 cos x1 ) cos x2 , y 2 = (R2 + R1 cos x1 ) sin x2 , y 3 = R1 sin x1

Cviˇ cen´ı.

Vypoˇctˇete sloˇzky druhé fundament´ aln´ı formy sféry S n−1 v souˇradnic´ıch (12).

4. Gaussovo zobrazen´ı Druh´ a fundament´ aln´ı forma byla p˚ uvodnˇe zavedena pomoc´ı jistého zobrazen´ı podvariety na sféru. Um´ıst´ıme-li totiˇz vˇsechny norm´ alové vektory k ploˇse v jediném bodˇe O, leˇz´ı jejich koncové body na sféˇre S n−1 se stˇredem v O. Zobrazen´ı U − → S n−1 , které bodu a pˇriˇrazuje koncov´ y bod vektoru na , se naz´ yv´ a Gaussovo zobrazen´ı. Oznaˇc´ıme je také n. Je parametrizac´ı nˇekteré ˇc´ asti sféry S n−1 . Teˇcn´ y prostor ke sféˇre v bodˇe na je pˇritom totoˇzn´ y s teˇcn´ ym prostorem Tr(a) r(U ), protoˇze oba jsou ortogon´ aln´ımi doplˇ nky vektoru na . N´ asleduj´ıc´ı tvrzen´ı ukazuje, ˇze Gaussovo zobrazen´ı umoˇzn ˇuje zavést druhou fundamentáln´ı formu jin´ ym zp˚ usobem. Poznamenejme, ˇze znaménko je nepodstatné, protoˇze se jej lze zbavit z´ amˇenou normovaného norm´ alového vektoru za opaˇcn´ y. 4.1. Tvrzen´ı. Plat´ı II(u, v) = −un · vr,

(26)

kde un oznaˇcuje derivaci Gaussova zobrazen´ı n : U − → S n−1 podél pole u. D˚ ukaz. Protoˇze norm´ alov´ y vektor n je kolm´ y k teˇcnému vektoru vr, plat´ı n · vr = 0, naˇceˇz 0 = u(n · vr) = n · uvr + un · vr. Z formule (25) dost´ av´ ame tvrzen´ı.

38

Geometrie křivek a podvariet se bohatě využívá například ve fyzice, geografii, architektuře

Recommend Documents