GEOMETRI FRAKTAL (Jurnal 10) Memen Permata Azmi Mahasiswa S2 Pendidikan Matematika Universitas Pendidikan Indonesia Pada pertemuaan kesepuluh tanggal 13 November 2013 materi yang diajarkan oleh Prof. Jozua tidak lagi berhubungan dengan geometri hiperbolik yang menurut saya cukup susah dipahami, melainkan masuk pada materi baru yaitu mengenai geometri fraktal. Selama saya menempuh perkuliah S1 pada mata kuliah geometri sedikitpun tidak ada disinggung mengenai geometri fraktal. Setidaknya geometri fraktal bukan hal yang baru bagi saya, materi geometri fraktal sudah terintergrasi pada matakuliah atau materi lainnya seperti materi deret geometri. Karena tidak masuk kedalam kurikulum perkuliahan, akibatnya untuk mempelajari secara otodidak saya kurang terlalu berminat untuk mendapatkan pemahaman yang lebih mendalam. Sekarang saya benar-benar merasakan keindahan pada geometri melalui geometri fraktal. Geometri fraktal biasanya dihasilkan dari konstruksi dimensi dua dan dimensi tiga yang membentuk sebuah objek atau bentuk geometri rumit yang dalam kehidupan sehari-hari, dengan cara mengulang suatu pola, biasanya dengan proses iterasi. Minat saya untuk mempelajari geometri fraktal terus tumbuh ketika saya bisa menduplikasikan karya-karya geometri fraktal dari para ahli seperti karya Sierpinski, Mendelbrot, dan Koch Snow Flake. Suatu saat tentunya saya ingin menghasilkan sebuah karya matematika yang indah dari geometri fraktal. Awalnya untuk pengenalan geometri fraktal kami diajarkan membuat fraktal yang sederhana yaitu mendelbrot yang berupa segitiga siku-siku sama kaki menggunakan aplikasi cabri geometri. Pertama-tama yang harus dibuat untuk mengkonstruksikan mendelbrot segitiga siku-siku sama kaki adalah sebuah generator atau pola yang berbentuk segitiga sikusiku sama kaki, dilanjutkan dengan proses iterasi pada sisi sama kakinya, sampai iterasi yang kita inginkan. Berikut adalah gambar dari mendelbrot segitiga siku-siku sama kaki: Generator/ Iterasi 0
Iterasi 1
Iterasi 3
Iterasi 5
Selanjutnya sebagai latihan kami membuat fraktal segitiga sama sisi Sierpinski. Yang menjadi generatornya adalah segitiga sama sisi yang menghadap ke atas kemudian didalam segitiga sama sisi tersebut digambar lagi segitiga sama sisi yang menghadap ke bawah yang masing-masing titik sudutnya menyinggung masing-masing sisi segitiga sama sisi yang menghadap ke atas. Lalu dilakukan proses iterasi menggunakan pola dari generator tersebut, sampai iterasi yang diinginkan. Untuk lebih jelasnya berikut adalah gambar fraktal segitiga sama sisi Sierpinski: Generator/ Iterasi 1
Iterasi 3
Iterasi 6
Contoh yang lebih rumit adalah menggambarkan fraktal koch snow flake. Koch snow flake adalah gabungan dari daerah-daerah yang berbentuk segitiga. Setiap kali segitiga baru ditambah saat mengkonstruksi koch snow flake maka kelilingnya bertambah. Keliling dari koch snow flake adalah tak hingga. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut:
Generator yang terdiri dari 4 segmen yang sama panjang
Iterasi 0
Iterasi 1
Iterasi 2
Iterasi 3
Informasi-informasi dari fraktal koch snow flake yang diperoleh dari iterasi 0 sampai 3 dapat dikumpulkan dalam tabel sebagai berikut:
Iterasi 0 1
Banyak Segmen 3 3.4 = 12
Tambahan Segitiga 3
Tambahan Luas 1 3 (9)
2
3.4.4 = 48
3.4 = 12
3.4 (9)2
3
3.4.4.4 = 192
3.4.4 = 48
... n
... 3.4n
... 3.4n-1
3.4.4 (9 )3 ... n-1 1 𝑛 3.4 (9)
1
1
Informasi-informasi dari gambar fraktal lainnya seperti mendelbrot, sierpinski sama sisi, sierpinski sembarangan, anti koch snow flake dan sebagainya juga bisa disusun seperti pada tabel informasi koch snow flake. Dengan tujunan untuk memudahkan kita dalam mencari informasi mengenai banyaknya segmen, banyaknya bangun serupa yang terbentuk, banyaknya bangun tiap iterasi, keliling tiap iterasi atau keliling gabungan iterasi, luas tiap iterasi atau atau luas gabungan semua iterasi dan lain sebagainya. Munculnya geometri fraktal menunjukkan bahwa matematika tidak hanya sebagai ilmu yang menakutkan karena kerumitannya untuk dipelajari. Tetapi dari ilmu matematika khususnya geometri bisa memuncul cara pandang yang berbeda sehingga menghasilkan karya seni dengan nilai intelektual yang tinggi. Setidaknya dapat membuka pikiran kita bahwa geometri merupakan ilmu yang sangat luas, tapi terbatas oleh pandangan kita selama ini. Sekarang kita harus memperluas pandangan tersebut dari sudut pandang yang berbeda-beda.
LATIHAN
1. Gambar fraktal Sierpinski segitiga sembarangan pada iterasi ke-5
2. Gambar fraktal mendelbrot pada iterasi ke- 5
3. Gambar fraktal koch snow flake dengan generator
4. Gambar fraktal Anti koch snow flake dengan generator
5. Gambar fraktal dengan generator
6. Gambar fraktal anti koch snow flake dengan generator
