DIMENSI FRAKTAL (Jurnal 11) Memen Permata Azmi Mahasiswa S2 Pendidikan Matematika Universitas Pendidikan Indonesia Melanjutkan pelajaran pada minggu yang lalu mengenai geometri fraktal, pada pertemuan keduabelas tanggal 27 November 2013 materi yang diajarkan oleh Prof. Jozua yaitu mengenai dimensi fraktal. Dimensi menurut euclid berbeda dengan dimensi menurut fraktal. Sebagaimana yang kita ketahui dimensi menurut euclid, titik merupakan dimensi 0, garis merupakan dimensi 1, persegi merupakan dimensi 2 dan kubus merupakan dimensi 3. Namun pada fraktal kita akan menjumpai dimensi yang merupakan pecahan seperti dimensi 1,2, dimensi 1,3, dimensi 2,7 dan sebagainya. Hal ini tentu mengejutkan bagi saya karena yang saya ketahui selama ini hanya yang berbentuk bilangan cacah. Tidak mudah memang memahami materi dimensi fraktal, untuk lebih jelasnya mengenai dimensi fraktal berikut rangkuman perkuliahan berdasarkan apa yang saya pahami dari penyampaian beliau, mudahmudahan menambah pengetahuan kita mengenai ilmu geometri. Untuk mempelajari dimensi fraktal terlebih dahulu kami diperkenalkan dengan objekobjek fraktal yaitu fenomena alam tidak beraturan yang sulit diukur karena kerumitannya. Salah satu contohnya yaitu dikemukakan Mandelbrot mengukur panjang garis pantai di Inggris. Perhatikan gambar garis pantai berikut:
Gambar garis pantai tersebut tentunya memiliki kerumitan untuk mengukurnya karena bentuknya yang tidak beraturan. Salah satu cara yang digunakan untuk mengukur garis pantai tersebut adalah dengan menyiapkan penggaris yang berbeda ukuran panjangnya. Misalnya penggaris pertama berukuran 50 unit, penggaris kedua 20 unit, penggaris ketiga 10 unit dan sebagainya. Cara seperti ini tentu sulit dilakukan karena penggaris-penggaris tersebut memotong teluk dan tanjung sehingga untuk memperoleh jawaban yang tepat mungkin sulit diperoleh. Hal yang juga jadi penyebab ketidaktepatan dalam mengukur panjang garis pantai yaitu keadaan atau sifat garis pantai yang dapat berubah-ubah sewaktu-waktu ketika air laut pasang ataupun surut. Untuk memperoleh suatu estimasi atau hasil yang tepat, hal akan memudahkan dalam menghitung panjang garis pantai, terlebih dahulu identifikasi apakah garis pantai tersebut memiliki karakteristik yang sama dengan bagian lain dalam garis panjang tersebut. Misalnya pada tiap-tiap bagian garis pantai ada yang kongruen atau sebangun. Jika bagian-bagian pada garis pantai yang kongruen dan sebangun berarti yang sedang diukur merupakan suatu fraktal. Sebagaimana yang kita ketahui fraktal adalah self similar pada tiap skalanya. Garis pantai atau kurva yang demikian oleh Mandelbrot diberi istilah dimensi fraktal. Untuk lebih memudah memahami dimensi pada fraktal akan dibahas sedikit mengenai dimensi menurut euclid. Contohnya yaitu objek yang berdimensi 1 (segmen), dimensi 2 (persegi) dan dimensi 3 (kubus). Tabel berikut akan menyajikan hubungan antara dimensidimensi topologi dari setiap objek, panjang unit dari pengukuran dan banyaknya subsegmen atau subunit persegi atau subunit kubus dari tiap objek. Dalam data itu diikutsertakan juga data obyek-obyek yang didasarkan pada segmen-segmen yang dibagi menjadi empat dan lima subunit. Secara umum, hubungan antara N, L, dan D dinyatakan oleh N = (1/L) D. Dengan mengambil logaritma dari kedua ruas persamaan ini, maka
D dapat dinyatakan oleh
persamaan berikut: 𝐷=
log 𝑁 log
1 𝐿
Keterangan: D
= dimensi-dimensi topologi dari setiap objek,
1/L
= Panjang unit dari pengukuran
N
= banyaknya subsegmen atau subunit persegi atau subunit kubus dari tiap objek
Objek Segmen
Persegi
Kubus
L 1/3 1/4 1/5 1/3 1/4 1/5 1/3 1/4 1/5
D 1
2
3
(1/L)D = N [1/(1/3)]1 = 3 [1/(1/4)]1 = 4 [1/(1/5)]1 = 5 [1/(1/3)]2 = 9 [1/(1/4)]2 = 16 [1/(1/5)]2 = 25 [1/(1/3)]3 = 27 [1/(1/4)]3 = 64 [1/(1/5)]3 = 125
Jika segmen dibagi 3 dan 4:
Jika persegi dibagi 3 dan 4:
Contoh: Rusuk dari suatu kubus dibagi menjadi 10 subunit segmen. Ada berapa kubus subunit? Dengan menggunakan N = (1/L)D, maka diperoleh N = [1/(1/10)]3 = 1000 kubus sub unit.
Dimensi pada fraktal tidak lagi sama pada dimensi pada euclid karena bentuk kurva frakal yang semakin kompleks. Untuk lebih jelasnya berikut adalah definisi dari dimensi fraktal. Definisi: Dimensi fractal dari suatu obyek kurva yang self-similar ditentukan oleh nilai mutlak dari rasio
log 𝑁 𝑙𝑜𝑔
1 𝐿
, dimana (1/L) adalah ukuran dari sel (pada kisi-kisi) atau ruler yang digunakan
untuk mengukur subyek dan N adalah banyaknya sel kisi-kisi yang atau banyaknya ruler yang digunakan untuk mengukur obyek. Untuk memperoleh dimensi fraktal ada 2 metode yang dapat digunakan yaitu metode gris dan metode ruler. Pertama, metode grid yaitu suatu metode diawali dengan cara melapisi kurva itu dengan sejumlah rangkaian kisi-kisi masing-masing dalam berbagai ukuran. Jika metode ini benar-benar diterapkan dengan menggunakan kisi-kisi yang semakin halus, akan diperoleh struktur-struktur detail yang semakin besar. Tabel berikut akan menyajikan hubungan non linear antara panjang (1/L) dari sisi-sisi dari sel-sel kisi-kisi dan banyaknya sel (N) yang dipotong oleh kurva dimana barisan dari nilai-nilai yang diberikan oleh rasio
log N log
1 L
akan konvergen ke suatu nilai tetap dan nilai mutlak
dari padanya dinamakan dimensi fraktal dari obyek itu. Data diperoleh berdasar kisi-kisi fraktal Koch Curve
L
1/L
N
5 10 20 40
0,2 0,1 0,05 0,025
7 24 46 89
log 𝑁 𝑙𝑜𝑔
1 𝐿
=D
-1,209061955 -1,380211242 -1,278031896 -1,216802128
Jika data yang dihasilkan dari metode grid disajikan dalam bentuk grafik akan diperoleh kurva sebagai berikut: 276 272 268 264 260 256 252 248 244 240 236 232 228 224 220 216 212 208 204 200 196 192 188 184 180 176 172 168 164 160 156 152 148 144 140 136 132 128 124 120 116 112 108 104 100 96 92 88 84 80 76 72 68 64 60 56 52 48 44 40 36 32 28 24 20 16 12 8 4
y
ukuran grid
Ukuran
5 10 15 20 25 30 40
274 112 66 44 37 29 22
x 4
8
12
16
20
24
28
32
36
Kedua, metode ruler adalah metode dengan cara menyiapkan berbagai jenis ukuran penggaris yang digunakan untuk mengukur objek. Metode ini dilakukan oleh mendelbrot dan telah berkali-kali diujicobakan untuk mengukur panjang garis pantai. Jika data yang dihasilkan dari metode ruler disajikan dalam bentuk grafik akan diperoleh kurva sebagai berikut:
Secara umum, objek fraktal berdimensi antara 1 dan 2 atau antara 2 dan 3. Contoh dari objek-objek fraktal adalah garis pantai, Pegunungan, awan, pohon-pohon, bunga-bunga dan sebagainya. Suatu garis pantai yang kasar memiliki dimensi pecahan yang lebih besar dari pada garis pantai halus.Untuk memperoleh kurva fraktal yang sebenarnya sangatlah sulit. Untuk setiap penggunaan metode tersebut hanya akan mengarah pada hasil estimasi. Masih banyak metode lain yang dapat digunakan. Namun dua metode tersebut bisa dikatakan sebagai metode yang sederhana.
