Genetické experimenty Gregora Mendela: Statistická analýza po 150 letech

cs20

P˚ uvodn´ı ˇ cl´ anek

Genetick´ e experimenty Gregora Mendela: Statistick´ a anal´ yza po 150 letech Jan Kalina1 1

´ ˇ Pod Vod´ ˇ a republika Ustav informatiky AV CR, arenskou vˇeˇz´ı 2, 182 07 Praha 8, Cesk´

Abstrakt Gregor Mendel je vˇseobecnˇe uznáván nejen jako zakladatel genetiky, ale i jako autor prvn´ıho matematického výsledku v biologii. Pˇrestoˇze bylo jeho vzdˇelán´ı dlouho zpochybn ˇováno, byl velmi dobˇre vzdˇelán nejen v botanice, ale také ve fyzice a v tˇech parti´ıch matematiky (kombinatorika, poˇcet pravdˇepodobnosti), které mohl pozdˇeji vyuˇz´ıt ve svých pokusech s kˇr´ıˇzen´ım hrachu. Nicménˇe ve statistické literatuˇre dodnes pokraˇcuj´ı debaty o tom, proˇc jsou Mendelovy výsledky aˇz v pˇr´ıliˇs dobré shodˇe s oˇcekávanými hodnotami [22, 28]. Hlavn´ı c´ıl tohoto ˇclánku je pˇredstavit nové dvoustupˇ nové statistické modely, které jsou v lepˇs´ı shodˇe s Mendelovými daty neˇz klasický model, podle nˇejˇz se provád´ı pevný pˇredem daný poˇcet pozorován´ı.

Pokud Mendel provádˇel své pokusy podle takového dvoustupˇ nového algoritmu, coˇz ale nelze nikterak prokázat, byl by to argument oˇciˇst’uj´ıc´ı Mendela od podezˇren´ı z upravován´ı výsledk˚ u. Mendelovy experimenty pop´ıˇseme ze statistického hlediska a ukáˇzeme, ˇze Mendelova data jsou bl´ızká dat˚ um náhodnˇe generovaným z naˇsich model˚ u. Za nejvhodnˇejˇs´ı povaˇzujeme takový nový model, který je výraznˇe jednoduˇsˇs´ı oproti modelu [28] a pˇritom dává jen ˇ anek se i zamýˇsl´ı nad Mendelovým m´ırnˇe slabˇs´ı výsledky. Cl´ odkazem z hlediska biostatistiky.

Kl´ıˇ cov´ a slova Genetika, dˇejiny pˇr´ırodn´ıch vˇed, biostatistika, navrhován´ı experiment˚ u

Kontakt: Jan Kalina ´ ˇ Ustav informatiky AV CR ˇ Adresa: Pod Vod´ arenskou vˇ eˇz´ı 2, 182 07 Praha 8, CR E-mail: [email protected]

1

´ Uvod

Gregor Mendel je vˇseobecnˇe uzn´ av´ an nejen jako zakladatel genetiky, ale i jako autor prvn´ıho matematického v´ ysledku v biologii. Pˇrestoˇze bylo jeho vzdˇel´ an´ı dlouho zpochybˇ nováno, byl velmi dobˇre vzdˇel´ an nejen v botanice, ale také ve fyzice a v tˇech parti´ıch matematiky (kombinatorika, poˇcet pravdˇepodobnosti), které mohl pozdˇeji vyuˇz´ıt ve sv´ ych pokusech s kˇr´ıˇzen´ım hrachu. Nicménˇe ve statistické literatuˇre dodnes pokraˇcuj´ı debaty o tom, proˇc jsou Mendelovy v´ ysledky aˇz v pˇr´ıliˇs dobré shodˇe s oˇcekávan´ ymi hodnotami [22, 28]. Hlavn´ı c´ıl tohoto ˇclánku je pˇredstavit nov´ y dvoustupˇ nov´ y statistick´ y model, kter´ y je v lepˇs´ı shodˇe s Mendelov´ ymi daty neˇz klasick´ y model, podle nˇejˇz se prov´ ad´ı pevn´ y pˇredem dan´ y poˇcet pokus˚ u. Pokud Mendel prov´ adˇel své pokusy podle takového dvoustupˇ nového algoritmu, coˇz ale nelze nikterak prokázat, byl by to argument oˇciˇst’uj´ıc´ı Mendela od podezˇren´ı z upravován´ı v´ ysledk˚ u. V kapitole 2 tohoto ˇcl´ anku shrneme d˚ uleˇzité události z Mendelova ˇzivota a n´ aslednˇe i jeho pokusy s hrachem EJBI – Volume 12 (2016), Issue 2

EJBI 2016; 12(2):cs20-cs26 zasl´ ano: 13. ˇr´ıjna 2016 pˇrijato: 3. prosince 2016 publikov´ ano: 31. prosince 2016

v kapitole 3. Do jejich prvn´ıch interpretac´ı aˇz na zaˇcátku 20. stolet´ı se zapojili i tehdejˇs´ı zakladatelé matematické statistiky, coˇz zm´ın´ıme v kapitole 4. Statistická kapitola 5 s origináln´ı statistickou anal´ yzou Mendelov´ ych dat je motivovaná snahou naj´ıt takové proveden´ı experiment˚ u, se kter´ ym by Mendelova data byla v souladu. Novˇe navrˇzen´ y dvoustupˇ nov´ y model je v´ yraznˇe jednoduˇsˇs´ı oproti modelu [28] a pˇritom dává jen m´ırnˇe slabˇs´ı v´ ysledky. Koneˇcnˇe v kapitole 6 se zam´ yˇsl´ıme nad Mendelov´ ym odkazem, a to s pˇrihlednut´ım k jeho v´ yznamu pro biostatistiku.

2

Mendel˚ uv ˇ zivotopis

Gregor Mendel (20.7. 1822 – 6.1. 1884) je právem povaˇzován za zakladatele genetiky a jednoho z nejv´ yznamnˇejˇs´ıch biolog˚ u vˇsech dob. V této kapitole pop´ıˇseme Mendel˚ uv ˇzivot sice v´ yraznˇe struˇcnˇeji neˇz v dostupn´ ych monografi´ıch [11, 16, 25], ale neopomineme zd˚ uraznit, ˇze nabyl kvalitn´ıho vzdˇelán´ı v matematice a fyzice. V souvislosti s ˇzivotopisem je potˇreba upozornit, ˇze se dosud v obecném povˇedom´ı nebo populárn´ıch prac´ıch c

2016 EuroMISE s.r.o.

cs21

Kalina J. – Genetické experimenty Gregora Mendela: Statistická analýza po 150 letech

objevuj´ı pˇredsudky v˚ uˇci Mendelovi (napˇr. [18]), které zpochybˇ nuj´ı jeho vzdˇel´ an´ı nebo smysl experiment˚ u. Zde s nimi nebudeme polemizovat, protoˇze jiˇz byly vyvráceny ˇradou argument˚ u, které stoj´ı na faktech nebo vypl´ yvaj´ı z historického kontextu. Mendel se narodil jako Johann Mendel v nˇemecky mluv´ıc´ı ˇr´ımskokatolické rodinˇe ve slezsk´ ych Hynˇcic´ıch a byl pokˇrtˇen v kostele sv. Petra a Pavla v Doln´ım Vraˇzném, pˇriˇcemˇz obˇe vsi jsou dnes souˇc´ ast´ı obce Vraˇzné. Jeho rodiˇce byli chud´ı roln´ıci a otec se vˇenoval ˇslechtˇen´ı ovocn´ ych strom˚ u. Hlubok´ y z´ ajem o vzdˇel´ an´ı v pˇr´ırodn´ıch vˇedách vzbudil v mladém Mendelovi Jan Schreiber, kter´ y byl nejen faráˇrem v Doln´ım Vraˇzném, ale i Mendelov´ ym uˇcitelem v Hynˇcic´ıch, kde vyuˇcoval pˇr´ırodopis v duchu Komenského. Mendel d´ ale studoval v Lipn´ıku nad Beˇcvou, poté na gymnáziu v Opavˇe, které bylo orientované na pˇr´ırodn´ı vˇedy, a n´ aslednˇe v Olomouci na univerzitn´ım Filozofickém u ´stavu. V roce 1843 vstoupil Mendel do opatstv´ı obut´ ych augustinián˚ u sv. Tom´ aˇse na Starém Brnˇe, kde byl vysvˇecen na knˇeze v roce 1847 a pˇrijal ˇreholn´ı jméno Gregor. Kláˇster m˚ uˇzeme oznaˇcit za pokrokové centrum vzdˇelanosti prosycené osv´ıcensk´ ym myˇslen´ım, v nˇemˇz knˇeˇz´ı pˇestovali vˇedu a humanitu. Takov´ a byla vize opata Cyrila Nappa (1792– 1867), kter´ y sám byl uzn´ avan´ ym odborn´ıkem na ˇslechtˇen´ı ovocn´ ych strom˚ u a c´ılenˇe hledal mladé mnichy s bl´ızk´ ym vztahem k pˇr´ırodn´ım vˇed´ am. Kl´ aˇsteru patˇrily i rozlehlá pole a pastviny, kde se prov´ adˇely mimo jiné i ˇslechtitelské pokusy pˇri chovu ovc´ı.

Obr´ azek 1: Gregor Mendel (1822–1884).

Aby mohl Mendel pov´ yˇsit z pozice supluj´ıc´ıho uˇcitele na ˇrádného (kvalifikovaného), potˇreboval sloˇzit rigorózn´ı zkouˇsku. Proto se vydal v roce 1850 do V´ıdnˇe, kde se podrobil zkouˇsce z fyziky a pˇr´ırodovˇedy. U fyzikáln´ı ˇcásti zkouˇsky byl pˇredsedou komise Andreas von Baumgartner, jedn´ım z ˇclen˚ u byl Christian Doppler (1803–1853) a Mendel obstál i d´ıky tomu, ˇze Baumgartner jakoˇzto muˇz se ˇsirok´ ym pˇrehledem dal v´ıc na logické myˇslen´ı neˇz na memorován´ı [1, 16]. V pˇr´ırodovˇedn´ ych pˇredmˇetech byli zkouˇsej´ıc´ı vˇetˇs´ı pedanti, coˇz vedlo k Mendelovu ne´ uspˇeˇsnému celkovému v´ ysledku zkouˇsky spolu s t´ım, ˇze se na ni pˇripravil jako samouk. Kaˇzdop´ adnˇe Napp poslal dopis Baumgartnerovi s dotazem na pr˚ ubˇeh zkouˇsky a dostal odpovˇed’, ˇze Mendel podal pˇresvˇedˇciv´ y dojem a ˇze c


jako samouk prokázal talent [1]. Napp pak poslal Mendela na v´ıdeˇ nskou univerzitu, aby tam strávil dva roky (1851– 1853) na novém vˇedecky zamˇeˇreném studijn´ım programu. Ve V´ıdni Mendela uˇcili v˚ udˇc´ı vˇedecky aktivn´ı botanici, fyzikové a geologové tehdejˇs´ı doby a jeho intelektuáln´ı horizont se mohl znaˇcnˇe rozˇs´ıˇrit. Uˇcil ho i sám Doppler, ´ kter´ y byl ˇreditelem novˇe zˇr´ızeného Ustavu experimentáln´ı fyziky. Pˇri pˇrednáˇskách z fyziky (a zejména v meteorologii) se seznámil i s kombinatorikou [11], konkrétnˇe permutacemi a kombinacemi, a tehdy jiˇz znám´ ym poˇctem pravdˇepodobnosti i tehdy znám´ ymi (avˇsak ne formalizovan´ ymi) jednoduch´ ymi statistick´ ymi principy [2, 5]. Druh´ y pokus o zkouˇsku v roce 1856 dopadl opˇet neu ´spˇeˇsnˇe, a to kv˚ uli botanice. Jsou dobré d˚ uvody se domn´ıvat, ˇze znal nejnovˇejˇs´ı vˇedecké poznatky lépe neˇz jeho pˇr´ıliˇs konzervativn´ı zkouˇsej´ıc´ı [25]. Po návratu do Brna mohl uˇcit i nadále botaniku a zejména fyziku na r˚ uzn´ ych brnˇensk´ ych ˇskolách, pˇriˇcemˇz byl znám jako v´ yborn´ y a nadˇsen´ y uˇcitel, kter´ y vykládal srozumitelnˇe. Zároveˇ n mohl rozvinout intenzivn´ı program experimentáln´ı kˇr´ıˇzen´ı rostlin, kter´ y mˇel za c´ıl vysvˇetlit zákon vzniku a v´ yvoje hybrid˚ u (kˇr´ıˇzenc˚ u). Opat Napp, tento opom´ıjen´ y hrdina v historii genetiky, nechal pro Mendela postavit nákladn´ y sklen´ık v zahradˇe kláˇstera v roce 1854. Zde Mendel provádˇel intenzivnˇe v letech 1856–1863 své experimenty, které podrobnˇeji pop´ıˇseme v kapitole 3. Jejich organizaci zˇrejmˇe pˇresnˇe naplánoval jeˇstˇe ve V´ıdni [24]. Nadto byl nakonec v roce 1856 uznán kvalifikovan´ ym uˇcitelem i bez pˇr´ısluˇsné zkouˇsky. Skromn´ y a introvertn´ı Mendel nep˚ usobil v kláˇsteˇre kontroverze, zastával liberáln´ı náboˇzenské postoje [10] ˇ a nevstupoval ani do národnostn´ıch rozepˇr´ı mezi Cechy a Nˇemci. Obˇe skupiny spoleˇcnˇe ho navrhly na nového opata po Nappovˇe smrti v roce 1867. Jako opat pak houˇzevnatˇe bojoval za zájmy kláˇstera proti tlak˚ um antiklerikáln´ı vlády. Nˇekteré zdroje [11, 26] uvád´ı, ˇze Mendel ve stáˇr´ı nemˇel ˇcas na experimenty s hrachem, které tud´ıˇz ani nedokonˇcil, byl izolovan´ y, opuˇstˇen´ y a zahoˇrkl´ y a ztratil osobn´ı prestiˇz. Zdá se, ˇze tyto zdroje pˇritom vycházej´ı zejména z prvn´ıch Mendelov´ ych ˇzivotopis˚ u (napˇr. [12]), které hodnotily zejména biologickou stránku a opom´ıjely ˇsirˇs´ı kontext. Naopak podle jin´ ych zdroj˚ u [10] z´ıskal ve stáˇr´ı velkou spoleˇcenskou reputaci i vnitˇrn´ı pokoj. I d´ıky tomu pak vˇenoval spoustu ˇcasu meteorologii, protoˇze pokusy s hrachem povaˇzoval za skonˇcené, dále chovu vˇcel a pokus˚ um s kˇr´ıˇzen´ım okrasn´ ych kvˇetin a ovocn´ ych strom˚ u [21, 25]. Nakonec zemˇrel v roce 1884 v d˚ usledku chronického zánˇetu ledvin.

3

Mendelovy experimenty

Mendel strávil intenzivn´ımi pokusy s rostlinami hrachu 8 let. Dnes panuje shoda, ˇze pokusy provádˇel s c´ılem empiricky ovˇeˇrit principy dˇediˇcnosti, které v té dobˇe uˇz správnˇe chápal po teoretické stránce z hlediska biologie i matematiky [3]. Samotné proveden´ı pokus˚ u pak MenEJBI – Volume 12 (2016), Issue 2

cs22


del zorganizoval podle pˇredem vypracované teorie. Natolik miloval pokusy, ˇze by je nesvˇeˇril ˇz´ adnému asistentovi [21], a velk´ y sklen´ık v zahradˇe opatstv´ı na plné obrátky slouˇzil jen Mendelovi a jen hrachu. Nejprve vybral odr˚ udy vhodné pro pokusy a vymyslel i novou metodiku pro zkoumán´ı dˇediˇcnosti. Doslova na kolenˇe dokázal nakˇr´ıˇzit a prozkoumat pˇres 12 000 rostlin hrachu. Tak Mendel se svou aˇz matematickou peˇclivost´ı a pˇresnost´ı [10] nasb´ıral obrovské mnoˇzstv´ı experiment´ aln´ıch dat. Mendel prezentoval své vybrané v´ ysledky odborné komunitˇe botanik˚ u a ˇslechtitel˚ u v Brnˇe na dvakr´ at bˇehem roku 1865. Zap˚ usobil ovˇsem jen jako zan´ıcen´ y experimentátor, kter´ y se ke své ˇskodˇe zneˇcistil matematikou t´ım, ˇze mluvil i o náhodˇe a pravdˇepodobnostech. I tak byl vyzván, aby publikoval své souhrnné v´ ysledky. Tak vyˇsel v roce 1866 jeho jedin´ y ˇcl´ anek o dˇediˇcnosti [19], kter´ y ale nevzbudil pozornost a v podstatˇe zapadl, takˇze podstata jeho objevu celé generaci Mendelov´ ych souˇcasn´ık˚ u unikla. Text celého ˇclánku [19], kter´ y byl i opakovanˇe pˇreloˇzen do r˚ uzn´ ych jazyk˚ u, m´ a za své u ´stˇredn´ı téma pokusy a namˇeˇrená data. Mendel neformuluje genetické z´ akonitosti v obecné rovinˇe a ˇcásteˇcnˇe proto p˚ usob´ı ˇcl´ anek pˇri prvn´ım ˇcten´ı znaˇcnˇe komplikovanˇe. Pˇri opakovaném ˇcten´ı uˇz m˚ uˇze dneˇsn´ı ˇctenáˇr Mendelovy myˇslenky pochopit, coˇz je ale do znaˇcné m´ıry d´ ano t´ım, ˇze jiˇz rozum´ıme elementárn´ım genetick´ ym z´ akonitostem, ale tehdy musely p˚ usobit velmi zastˇrenˇe. Mendel v ˇcl´ anku znaˇc´ı promˇenné pomoc´ı p´ısmenek, jak jsme dnes zvykl´ı v algebˇre. Nicménˇe pokud poˇc´ıtá s ˇcetnostmi a pravdˇepodobnostmi, nepouˇz´ıvá dneˇsn´ı matematickou terminologii, kter´ a tehdy nebyla zavedená. Bud’ definuje své vlastn´ı pojmy nebo se snaˇz´ı je komplikovanˇe opsat. Z matematického hlediska Mendel pochopil, ˇze pod´ıl napˇr. zelen´ ych a ˇzlut´ ych nezral´ ych lusk˚ u v hodnotˇe 3:1 ve skuteˇcnosti znamen´ a pomˇer 1:2:1, kde zelen´ a barva je dominantn´ı a postupnˇe jde o zelené lusky s genotypem AA, zelené Aa a ˇzluté aa. Domn´ıv´ am se, ˇze právˇe pochopen´ım matematické povahy v´ ysledk˚ u a tˇemito abstraktn´ımi u ´vahami se Mendel nejv´ıc projevil jako génius. Samostatn´ ym tématem jsou Mendelovy v´ ysledky v meteorologii, v n´ıˇz publikoval 9 ˇcl´ ank˚ u a také pˇredbˇehl svou dobu [20]. Za pozornost stoj´ı jeho popis a vysvˇetlen´ı pˇr´ıˇcin vˇetrné smrˇstˇe, kterou pozoroval, kdyˇz se pˇrehnala Brnem a zniˇcila mu i jeho sklen´ık. Na sklonku ˇzivota vˇenoval Mendel mnoho ˇcasu peˇclivému mˇeˇren´ı poˇcas´ı a jeho vlastnoruˇcn´ı zápisy z let 1879–1883 tvoˇr´ı z´ aklad pravideln´ ych meteorologick´ ych pozorov´ an´ı v Brnˇe.

4

Statistika jako pˇritˇ eˇ zuj´ıc´ı okolnost

Mendel˚ uv jedin´ y ˇcl´ anek o dˇediˇcnosti byl znovuobjeven aˇz v roce 1900 takˇrka poh´ adkov´ ym zp˚ usobem [5]. Záhy se vˇsak stal terˇcem zpochybˇ nov´ an´ı v´ ysledk˚ u, nevˇedeck´ ych interpretac´ı i fanatick´ ych u ´tok˚ u proti Mendelovˇe osobn´ı reputaci, kter´ y byl následnˇe povaˇzov´ an za kontroverzn´ıho ˇci naivn´ıho amatéra, diletanta ˇci nevzdˇelance, kter´ y v izolaci za zdmi kláˇstera dospˇel k d˚ uleˇzit´ ym objev˚ um jen pouEJBI – Volume 12 (2016), Issue 2

hou náhodou. K takovému Mendelovu hodnocen´ı pˇrispˇeli i v´ yznamn´ı statistici z poˇcátku 20. stolet´ı. Jedn´ım z pˇredstavitel˚ u Mendelov´ ych kritik˚ u byl Karl Pearson (1857–1936), kter´ y byl historicky prvn´ım profesorem statistiky na svˇetˇe [15]. V ˇcasopise Biometrika kritizoval Mendela, jehoˇz v´ ysledek povaˇzoval za absurdn´ı a statistické argumenty za nap˚ ul faleˇsné [4]. Spolu s celou statistickou ˇskolou biometrik˚ u, kterou zaloˇzil, upozorˇ noval pomoc´ı Pearsonova χ2 testu dobré shody, ˇze Mendelovy v´ ysledky byly extrémnˇe bl´ızké oˇcekávan´ ym ˇcetnostem. Zat´ımco biometrici vˇeˇrili, ˇze dˇediˇcnost (genetická variabilita) je spojitá, proti nim stála ˇskola Mendelist˚ u, kteˇr´ı prosazovali diskrétn´ı pojet´ı dˇediˇcnosti. Biolog William Bateson (1861–1926), jejich v˚ udˇc´ı pˇredstavitel, sice uvˇeˇril Mendelov´ ym statistick´ ym závˇer˚ um, avˇsak statistiku samotnou nechápal a jej´ı aplikaci v biologii povaˇzoval za bez´ uˇcelnou, zbyteˇcnou [17]. Spor obou tábor˚ u ukonˇcil Ronald A. Fisher, v´ yznamn´ y biostatistik i biolog, potvrzen´ım Mendelovy myˇslenky diskrétn´ı dˇediˇcnosti. I kdyˇz fakticky ˇslo o uznán´ı v´ıtˇezstv´ı Mendelist˚ u, podaˇrilo se mu souˇcasnˇe obˇe skupiny biolog˚ u usm´ıˇrit. Fisher vn´ımal Mendela s pokorou a obdivem [5, 14] a na jeho datech ilustrovat i nˇekteré ze statistick´ ych metod, které navrhl [7], pˇrestoˇze byl pˇresvˇedˇcen, ˇze Mendel svá data kompletnˇe zfalˇsoval. ˇ Poznamenejme jeˇstˇe, ˇze v Ceskoslovensku se nesmˇel Mendel˚ uv odkaz uˇcit od roku 1948 do 60. let [32], a to nejen kv˚ uli jeho klerikáln´ımu pozad´ı, ale také i s t´ım od˚ uvodnˇen´ım, ˇze Mendel vycházel ze statistiky [30]. Dosud pokraˇcuj´ı odborné debaty o tom, proˇc jsou Mendelovy v´ ysledky vych´ yleny ve prospˇech oˇcekávan´ ych hodnot. V posledn´ı dobˇe se ˇrada odborn´ ych ˇclánk˚ u (napˇr. [21, 27, 28]) snaˇz´ı Mendela rehabilitovat napˇr´ıklad u ´vahou, ˇze mohl pokusy provádˇet podle sloˇzitˇejˇs´ıho schématu, neˇz se dosud vˇeˇrilo. Nezdá se pˇritom, ˇze by se objevily v´ yznamné argumenty proti tomu. V následuj´ıc´ı kapitole navrhneme jeden moˇzn´ y model a pomoc´ı simulac´ı budeme hledat, nakolik mu Mendelova origináln´ı data odpov´ıdaj´ı.

5

Dvoustupˇ nov´ e modely pro Mendelovy experimenty

V literatuˇre se vedou dosud diskuse o pˇr´ıˇcinách pˇr´ıliˇs dobré shody mezi Mendelov´ ymi daty a oˇcekávan´ ymi hodnotami, kter´ ych by ˇslo dosáhnout, kdyby experimenty mohly prob´ıhat bez jak´ ychkoli ˇskodliv´ ych extern´ıch vliv˚ u a kdyby se vliv náhody na v´ ysledky neprojevoval nˇejak´ ym extrémn´ım zp˚ usobem [27, 29]. Dosud vˇsak pˇr´ıˇciny nebyly objasnˇeny, coˇz je dáno i t´ım, ˇze nemáme detailn´ı znalost Mendelovy organizace vˇsech pokus˚ u ani detailnˇejˇs´ı vhled do meziv´ ysledk˚ u. Mezi statistické pokusy o objasnˇen´ı patˇr´ı návrhy dvoustupˇ nov´ ych model˚ u z prac´ı [13, 28], které by odpov´ıdaly tomu, ˇze Mendel se rozhodl provádˇet dalˇs´ı pokusy ve chv´ıli, ˇze se mu nezdálo dost pr˚ ukazné potvrzen´ı teoretického modelu. Nen´ı sice nic známo o tom, ˇze by Mendel pˇri sv´ ych pokusech postupoval dvoustupˇ novˇe, c


cs23


nicménˇe to nen´ı vylouˇceno, t´ım sp´ıˇs vzhledem k tomu, ˇze v jeho datech nejsou odlehlé hodnoty [22]. V této kapitole navrhneme nov´ y dvoustupˇ nov´ y model spolu s metodou pro nalezen´ı optim´ aln´ı konstanty, na n´ıˇz závis´ı, a porovnáme ho s modelem [28] pomoc´ı simulac´ı. Pracujeme s v´ ysledky Mendelov´ ych 84 pokus˚ u. Poˇcet rostlin hrachu, o kter´ ych Mendel nasb´ıral u ´daje v r˚ uzn´ ych pokusech, leˇz´ı mezi 19 a 8023. Konkrétnˇe vysvˇetl´ıme dvoustupˇ nové modely na jednom z pokus˚ u, v nˇemˇz Mendel studoval barvu kvˇet˚ u. Mˇel hypotézu, ˇze fialové a b´ılé kvˇety se vyskytuj´ı v populaci pˇresnˇe v pomˇeru 3:1. To odpov´ıdá pravdˇepodobnosti π0 = 3/4 pro fialovou. Mendel zasadil n = 8023 rostlin hrachu. N´ aslednˇe pozoroval fialové kvˇety (dominantn´ı znak) pr´ avˇe u X = 6022 rostlin. Na X nahl´ıˇz´ıme jako na realizaci n´ ahodné veliˇciny s binomick´ ym rozdˇelen´ım Bi(n, π0 ), kde v´ yskyt dominantn´ıho znaku budeme oznaˇcovat jako zdar. Stˇredn´ı (oˇcek´ avanou) hodnotou pro poˇcet zdar˚ u pak je d´ an jako nπ0 = 6017,25. Podobnˇe uvaˇzujeme ostatn´ı Mendelovy pokusy, které vˇsechny vedou na binomické rozdˇelen´ı s r˚ uzn´ ymi hodnotami π0 , a to 1/2, 2/3 nebo 3/4. Pires a Branco [28] pˇriˇsli s myˇslenkou, ˇze Mendel mohl postupovat dvoustupˇ novˇe s vyuˇzit´ım χ2 statistiky o pravdˇepodobnosti binomického rozdˇelen´ı. Cel´ y postup nyn´ı pop´ıˇseme ponˇekud sloˇzitˇeji z toho d˚ uvodu, abychom mohli následnˇe porovn´ avat r˚ uzné modely mezi sebou. Zaved’me nejprve znaˇcen´ı (X, n, π0 ) pro trojici hodnot, kde X oznaˇcuje náhodnou veliˇcinu s binomick´ ym rozdˇelen´ım Bi(n, π0 ). Model nyn´ı popiˇsme Algoritmem 1, v nˇemˇz znaˇc´ıme pomoc´ı χ2 (X, n, π0 ) hodnotu χ2 statistiky pro test nulové hypotézy H0 : π = π0 proti alternativn´ı hypotéze H1 : π 6= π0 , kter´ a je rovna χ2 =

(X − nπ0 )2 . nπ0 (1 − π0 )

rovnán´ı oznaˇcovat jako jednostupˇ nov´ y. Alternativn´ı dvoustupˇ nov´ y algoritmus jsme navrhli v ˇclánku [13], v nˇemˇz se ale v pˇr´ıpadˇe dodateˇcn´ ych mˇeˇren´ı braly v u ´vahu jen hodnoty z tˇechto mˇeˇren´ı, zat´ımco sada p˚ uvodn´ıch mˇeˇren´ı pˇriˇsla vniveˇc. Nov´ y model navrhujeme v Algoritmu 2, pˇriˇcemˇz vyuˇzijeme znaˇcen´ı Z=

|X − nπ0 | . n

(2)

Pro samotné proveden´ı pokus˚ u podle Algoritmu 2 nen´ı potˇreba v´ ypoˇcet χ2 statistiky ani p-hodnoty, které nebyly v Mendelovˇe dobˇe ani známé. Proto p˚ usob´ı intuitivnˇeji neˇz postup zaloˇzen´ y na Algoritmu 1. V´ ypoˇcty phodnot jsme pˇridali jen umˇele, abychom mohli nyn´ı porovnat, kter´ y z model˚ u nejlépe vyhovuje pro popis Mendelov´ ych dat. Budeme generovat náhodná data z Algoritmu (1) 1 s r˚ uzn´ ymi c1 a také z Algoritmu 2 s r˚ uzn´ ymi c2 . Simulovaná data vytvoˇr´ıme vˇzdy z binomického rozdˇelen´ı s hodnotami n a π0 stejn´ ymi jako v Mendelov´ ych pokusech. Potˇrebujeme mˇeˇrit vzdálenosti mezi Mendelov´ ymi daty a simulovan´ ymi daty podle Algoritmu 1 a 2. Jednotlivé p-hodnoty jsou vlastnˇe náhodné veliˇciny a nen´ı c´ılem porovnat je samotné, ale celou sadu 84 phodnot. Vˇsimnˇeme si, ˇze samotná hodnota χ2 nebo Z závis´ı na poˇctu pozorován´ı a nehod´ı se jako taková m´ıra vzdálenosti. Je tˇreba vlastnˇe hledat vhodné m´ıry vzdálenosti dvou rozdˇelen´ı nebo hodnoty ztráty dvoustupˇ nov´ ych model˚ u oproti Mendelov´ ym pozorovan´ ym dat˚ um. Za vhodné m´ıry povaˇzujeme M1 =

84 X i=1

|p1(i) − pM (i) |

a M2 =

84 X

|p2(i) − pM (i) |,

(3)

i=1

kde

Takov´ y postup, kdy se mˇeˇren´ı prov´ adˇelo bud’ jednou nebo dvakrát m˚ uˇzeme oznaˇcit jako dvoustupˇ nov´ y. Klasick´ y postup, pˇri nˇemˇz se vˇsechny pokusy provedou najednou s pevn´ ym poˇctem pozorov´ an´ı, budeme pro poc


M T • pM = vektor p-hodnot χ2 testu pro 84 1 , . . . , p84 Mendelov´ ych pokus˚ u, T = vektor p-hodnot χ2 testu pro ná• pj1 , . . . , pj84 hodnˇe vygenerovaná data podle Algoritmu j, kde j ∈ {1, 2} a cj je dáno, EJBI – Volume 12 (2016), Issue 2

cs24


• pM ≤ ... (1) M p1 , . . . , p M 84 ,

≤

pM r´ adané hodnoty (84) = uspoˇ

adané hodnoty pj1 , . . . , pj84 • pj(1) ≤ . . . ≤ pj(84) = uspoˇr´ pro j ∈ {1, 2}. Pˇrirozenˇe M1 závis´ı na zvoleném c1 a M2 na c2 . Ve skuteˇcnosti budeme náhodné generov´ an´ı prov´ adˇet 1000-krát a uvaˇzujeme pak zpr˚ umˇerované hodnoty mˇer M1 a M2 . Obrázek 2 ukazuje vypoˇctené hodnoty m´ıry M1 v závislosti na volbˇe c1 . Pro c1 = 0 jde vˇzdy o jednostupˇ nov´ y model. Pro c1 = 1 jde vˇzdy o maximum ze dvou p-hodnot. Je vidˇet, a ukazuj´ı to i podrobnˇejˇs´ı v´ ypoˇcty, ˇze Algoritmus 1 je nejbl´ıˇz Mendelov´ ym dat˚ um pro c = 0,2, coˇz odpov´ıd´ a optim´ aln´ı hodnotˇe c = 0,201, kterou naˇsli autoˇri [28]. Vid´ıme vˇsak, ˇze vylepˇsen´ı oproti jednostupˇ novému modelu je v´ yrazné. Obr´ azek 2: Srovn´ an´ı dat generovan´ ych podle Algoritmu 1 Obrázek 3 ukazuje vypoˇctené hodnoty m´ıry M2 v s Mendelovými daty, a to v závislosti na volbˇe c . Srovnán´ı 1 závislosti na volbˇe c2 . Interpretace obr´ azku je odliˇsná od je provedeno pomoc´ı m´ıry M1 . Obrázku 2. Nyn´ı jde pro c2 = 0 vˇzdy o minimum ze dvou hodnot Z, kdeˇzto pro dostateˇcnˇe velké c2 , které nen´ı shora omezené, jde o jednostupˇ nov´ y model. Optim´ aln´ı hodnotou c2 v Algoritmu 2 je c2 = 0,08. Dalˇs´ı v´ ypoˇcty jsme provedli i pro jiné moˇzné dvoustupˇ nové modely, které vedly jen k menˇs´ımu zlepˇsen´ı v˚ uˇci jednostupˇ novému modelu. Mezi nˇe patˇr´ı Algoritmus 3, kter´ y se liˇs´ı od Algoritmu 2 pouze t´ım, ˇze v pˇr´ıpadˇe Z < c2 bere X := X1 + X2 . Algoritmus 4 se liˇs´ı od Algoritmu 2 pouze t´ım, ˇze za v´ ysledek v pˇr´ıpadˇe Z < c2 bere X := X2 . Tabulka 1 ukazuje relativn´ı pod´ıl, o kolik se jednotlivé modely liˇs´ı oproti jednostupˇ novému. Napˇr´ıklad u Algoritmu 1 pˇredstavuje nejniˇzˇs´ı hodnota M1 (s optim´ aln´ı hodnotou c1 ) pˇribliˇznˇe 42 % hodnoty M1 dosaˇzené pro jednostupˇ nov´ y model (pˇri c = 0). K podobn´ ym v´ ysledk˚ um dojdeme i pˇri pouˇzit´ı kvadratické m´ıry vzd´ alenosti mezi dvˇema vektory na m´ısto (3).

Tabulka 1: Porovn´ an´ı pˇridané hodnoty dvoustupˇ nov´ ych moˇ ısla pˇredstavuj´ı vˇzdy m´ıru del˚ u v˚ uˇci jednostupˇ novému. C´ vzd´ alenosti mezi dvoustupˇ nov´ ym modelem a Mendelov´ ymi daty vydˇelenou m´ırou vzd´ alenosti mezi jednostupˇ nov´ ym modelem a Mendelov´ ymi daty.

Algoritmus 1 2 3 4

Pomˇer 0.42 0.45 0.51 0.70

Celkovˇe se z v´ ypoˇct˚ u a obr´ azk˚ u zd´ a, ˇze myˇslenka dvoustupˇ nového postupu pro popis Mendelov´ ych pokus˚ u nemus´ı b´ yt v˚ ubec nesmysln´ a. Algoritmus 1 odpov´ıd´ a Mendelov´ ym dat˚ um lépe neˇz Algoritmus 2, ale jde jen o zanedbatelnou pˇrevahu. Naopak Algoritmus 2 p˚ usob´ı vˇerohodnˇeji pro svou myˇslenkovou i v´ ypoˇcetn´ı jednoduchost. Algoritmy 3 a 4 pak ménˇe vyhovuj´ı pro popis Mendelov´ ych dat. EJBI – Volume 12 (2016), Issue 2

Obr´ azek 3: Srovn´ an´ı dat generovan´ ych podle Algoritmu 2 s Mendelov´ ymi daty, a to v z´ avislosti na volbˇe c2 . Srovn´ an´ı je provedeno pomoc´ı m´ıry M2 .

6

Mendel˚ uv v´ yznam oˇ cima biostatistika

Mendel jako prvn´ı vysvˇetlil podstatu dˇediˇcnosti a zjistil, ˇze se nedˇed´ı znaky, ale vlohy. Podaˇrilo se mu nejen vybudovat dodnes pouˇz´ıvanou metodiku pro studium dˇediˇcnosti ˇci silnˇe ovlivnit dneˇsn´ı genové inˇzen´ yrstv´ı [32]. Jako zakladatel genetiky se ˇrad´ı i mezi v´ yznamné teoretické biology. V jeho dobˇe nikdo neˇcekal, ˇze by ˇslo obecné genetické v´ ysledky odvodit (tˇreba i rozsáhl´ ymi) experimenty na jediné rostlinˇe, t´ım sp´ıˇs na obyˇcejném hrachu. Genetické zákony jsou dnes oznaˇceny jeho jménem a jejich správnost byla teoreticky dokázána aˇz po objevu c



cs25

DNA. Mendel byl d´ıky objevu podstaty dˇediˇcné bioin- hadu instrumentáln´ıch promˇenn´ ych, kter´ y je obl´ıben´ ym formace oznaˇcen i jako zakladatel bioinformatiky a jeho postupem pˇredevˇs´ım v ekonometrii. pojet´ı genu jako algebraické jednotky jako skok do 21. stoDnes jiˇz nelze zcela pr˚ ukaznˇe rozhodnout ani pomoc´ı let´ı [30]. statistick´ ych anal´ yz, zda Mendel neeticky upravoval svá Mendel jako prvn´ı vyuˇzil kombinatoriku, teorii pravdˇe- experimentáln´ı data. Tento ˇclánek nicménˇe pˇredstavuje ˇ o revoluˇcn´ı pˇr´ıspˇevek do diskuse o tom, jak mohla jeho data vzniknout podobnosti a v˚ ubec matematiku v biologii. Slo ych u ´prav ˇci dokonce falˇsován´ı. V posledn´ı poˇcin uˇz jen t´ım, ˇze pochopil v´ yznam n´ ahody v dˇediˇcnosti. bez jeho vˇedom´ dobˇ e se ˇ r ada odborn´ ych prac´ı snaˇz´ı Mendela rehabilitoVysvˇetlil vliv náhody pˇri dˇediˇcnosti a diskrétn´ı charakvat od obvinˇ e n´ ı z upravov´ an´ı v´ ysledk˚ u a jejich argumenty ter jej´ı variability. Odtud odvodil pravdˇepodobnosti znak˚ u poch´ a zej´ ı z r˚ u zn´ y ch obor˚ u vˇ c etnˇ e genetiky, ˇslechtitelstv´ı, pro potomstvo. Tehdejˇs´ı botanici to sice povaˇzovali za historie, etiky a dokonce i psychologie, filozofie ˇci teolopoˇspinˇen´ı své vˇedy, ale Mendel stavˇel modern´ı biologii gie [21, 24]. Podle tˇ e chto prac´ ı se na z´ a kladˇ e vˇ seho, co na statistickém uvaˇzov´ an´ı dˇr´ıve, neˇz matematická statisv´ ıme o Mendelovi, ukazuje za nepravdˇ e podobn´ e , ˇze by tika v˚ ubec vznikla. Pˇri konkrétn´ım statistickém srovnán´ı u ´ myslnˇ e upravoval v´ y sledky [21]. Ve skuteˇ c nosti to byli v´ ysledk˚ u sv´ ych experiment˚ u s oˇcek´ avan´ ymi hodnotami sp´ ıˇ s e Mendelovi odp˚ u rci, kteˇ r ´ ı se zapletli s neetick´ y mi popostaˇcila Mendelovi jen naivn´ı definice pravdˇepodobnosti kusy nebo ned˚ u vˇ e ryhodn´ y mi pokusy, jako napˇ r . eugenici a intuitivn´ı induktivn´ı uvaˇzov´ an´ı [5]. Dnes povaˇzujeme y biolog T.D. Lysenko (1898–1976) [8]. biostatistiku dokonce za neodmyslitelnou souˇcást biolo- anebo i sovˇetsk´ A tak se zd´ a , ˇ z e Gregor Mendel, váˇzen´ y a pˇr´ıkladn´ y knˇez, gie ˇci biomedic´ınského v´ yzkumu, ale Mendel pˇresto nen´ı m˚ u ˇ z e nakonec vyj´ ıt ze vˇ s ech kontroverz´ ı i obvinˇ e n´ı jako pˇres své zásluhy o jej´ı rozvoj obecnˇe uzn´ av´ an jako jej´ı mor´ a ln´ ı autorita a muˇ z nejˇ c istˇ s ´ ıho charakteru [10]. zakladatel. Mendel se stal i pr˚ ukopn´ıkem sofistikovaného navrekov´ an´ı hován´ı experiment˚ u, které tvoˇr´ı d˚ uleˇzitou souˇcást stati- Podˇ stiky. Své pokusy zorganizoval na svou dobu nev´ıdan´ ym Autor dˇekuje dvˇema anonymn´ım recenzent˚ um za zp˚ usobem, i kdyˇz p˚ usobily nesrozumitelnˇe a jejich proveden´ı vyˇzadovalo vypˇestovat a vyhodnotit enormn´ı poˇcet zaj´ımavé podnˇety. rostlin. Fisher [6] odvodil statistické vzorce pro jejich anal´ yzu a cel´ y postup, kter´ y se dnes oznaˇcuje za fakReference toriálov´ y design, dnes povaˇzujeme za pˇrirozen´ y, intuitivn´ı a standardn´ı. Stoj´ı za povˇsimnut´ı, ˇze tento statistick´ y [1] Corcos, A.F., Monaghan, F.V.: Gregor Mendel’s experiterm´ın se odvozuje od Mendelova pojmu die Faktoren, ments on plant hybrids: A guided study. Rutgers University Press, New Brunswick, 1993. kter´ ym znaˇcil geny a kter´ y n´ aslednˇe pˇrevzal Fisher pro zkoumané promˇenné v libovolném (nejen genetickém) ex[2] Edelson, E.: Gregor Mendel and the roots of genetics. Oxford perimentu. University Press, New York, 1999. Mendel je také oznaˇcov´ an jako praotec Mendelovské randomizace, kter´ a z´ıskav´ a st´ ale vˇetˇs´ı popularitu v analytick´ ych epidemiologick´ ych studi´ıch [23, 31]. Studuje-li se vliv r˚ uzn´ ych faktor˚ u (ovlivnˇen´ ych prostˇred´ım i geneticky) na léˇcbu pacienta, pot´ ykaj´ı se randomizované kontroln´ı studie s ˇradou praktick´ ych omezen´ı. Napˇr´ıklad nelze provést randomizaci genotypu, kter´ y je sice u daného pacienta dán náhodnou kombinac´ı gen˚ u jeho rodiˇc˚ u, avˇsak v okamˇziku proveden´ı studie je pevnˇe dan´ y, protoˇze randomizaci alel provedla sama pˇr´ıroda v okamˇziku poˇcet´ı. Jin´ ym tˇeˇzko realizovateln´ ym poˇzadavkem na d˚ uslednou randomizaci by bylo donutit pacienta, aby se kv˚ uli studii stal kuˇrákem nebo alkoholikem. Mendelovskou randomizac´ı pak rozum´ıme postup pˇr´ımo vycházej´ıc´ı z druhého Mendelova z´ akona, kter´ y dokáˇze pˇr´ımo nahradit randomizované klinické studie. Ze statistického hlediska pˇredstavuje korekci na systematickou chybu (tzv. maten´ı) pˇri n´ avrhu studie. Je totiˇz obvyklé, ˇze pacienti vybran´ı pro klinickou studii m´ıvaj´ı lepˇs´ı (nebo naopak horˇs´ı) progn´ ozu oproti pacient˚ um, kteˇr´ı jsou léˇceni konvenˇcn´ımi postupy. Princip metody je statistick´ y a spoˇc´ıvá v pr´ aci s konkrétn´ı genetickou variantou jako pˇrirozenou instrument´ aln´ı promˇennou, pˇriˇcemˇz se testován´ı hypotéz ˇci odhad efektu prov´ ad´ı pomoc´ı odc


[3] Fairbanks, D.J., Rytting, B.: Mendelian controversies: A botanical and historical review. American Journal of Botany 88 (2001), 737 – 752. [4] Fisher, R.A.: Statistical methods in genetics. Heredity 6 (1952), 1 – 12. [5] Fisher, R.A.: Has Mendel’s work been rediscovered? Annals of Science 1 (1936), 115 – 137. [6] Fisher, R.A.: The design of experiments. Oliver & Boyd, Edinburgh, 1935. [7] Fisher, R.A.: The correlation between relatives on the supposition of Mendelian inheritance. Transactions of the Royal Society of Edinburgh 52 (1918), 399 – 433. ´gr, J.: Lysenkizmus trochu jinak. Vesm´ır 78 (1999), 16 – [8] Fle 21. [9] Franklin, A., Edwards, A.W.F., Fairbanks, D.J., Hartl, D.L., Seidenfeld, T.: Ending the Mendel-Fisher Controversy. University of Pittsburgh Press, Pittsburgh, 2008. [10] Gustaffson, A.: The life of Gregor Johann Mendel —Tragic or not? Hereditas 62 (1969), 239 – 258. [11] Henig, R.M.: The monk in the garden: The lost and found genius of Gregor Mendel, the father of genetics. Houghton Mifflin Harcourt, Boston, 2000.

EJBI – Volume 12 (2016), Issue 2

cs26


[12] Iltis, H.: Johann Gregor Mendel, Leben, Werk und Wirkung. Springer, Berlin, 1924. [13] Kalina, J.: Gregor Mendel’s experiments and their statistical evaluation. Acta Musei Moraviae, Scientiae Biologicae 99 (2014), 87 – 99. [14] Kalina, J.: Ronald Fisher, otec biostatistiky. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie 57 (2012), 186 – 190. [15] Kalina, J.: K v´ yroˇ c´ı u ´mrt´ı zakladatele biometrie. BiologieChemie-Zemˇ epis 20 (2011), 123 – 127. [16] Klein, J., Klein, N.: Solitude of a humble genius Gregor Johann Mendel. Volume 1. Springer, Berlin, 2013. ˇ ´ , M.: Biometrika stolet´ [17] Maly a. Informaˇ cn´ı bulletin Cesk´ e statistick´ e spoleˇ cnosti 14 (2003), 4 – 9. [18] Mawer, S.: Mendel˚ uv trpasl´ık. Kniha Zl´ın, Zl´ın, 2010. [19] Mendel, G.: Versuche u ¨ber Pflanzen-Hybriden. Verhandlungen des Naturforschenden Vereines in Br¨ unn 4 (1866), 3 – 47. (Prvn´ı anglick´ y pˇreklad: Journal of the Royal Horticultural Society 26 (1901), 1 – 32.) ˇ [20] Munzar, J.: Gregor Mendel—meteorolog. Ceskoslovensk´ y ˇ casopis pro fyziku A 31 (1981), 63 – 67. [21] Nissani, M.: Psychological, historical, and ethical reflections on the Mendelian paradox. Perspectives in Biology and Medicine 37 (1994), 182 – 196. [22] Novitski, E.: On Fisher’s criticism of Mendel’s results with the garden pea. Genetics 166 (2004), 1133 – 1136. ´ , L., Bencko, V.: Asociace genotypu s nemoc´ı a od[23] Novotny halovan´ı jejich prostˇred´ım ovlivniteln´ ych pˇ r´ıˇ cin: Vyuˇzit´ı prinˇ cipu mendelovsk´ e randomizace. Casopis l´ ekaˇr˚u ˇ cesk´ ych 146 (2007), 343 – 350.

EJBI – Volume 12 (2016), Issue 2

[24] Orel, V.: Science studies v hodnocen´ı Mendlova v´ yzkumu. Informaˇ cn´ı listy Genetick´ e spoleˇ cnosti Gregora Mendela 32, 2007, 20 – 27. [25] Orel, V.: Gregor Mendel a poˇ c´ atky genetiky. Academia, Praha, 2003. ˇ´ık, M.: Svˇ [26] Petr etci a svˇ edci: Gregor Johann Mendel. Televizn´ı poˇrad, 2008. Dostupn´ e z: http:// www. ceskatelevize.cz/porady/10123417216-svetci-asvedci/208562211000012-gregor-johann-mendel. [27] Piegorsch, W.W.: Fisher’s contributions to genetics and heredity, with special emphasis on the Gregor Mendel controversy. Biometrics 46 (1990), 915 – 924. [28] Pires, A.M., Branco, J.A.: A statistical model to explain the Mendel-Fisher controversy. Statistical Science 25 (2010), 545 – 565. ´ k, J.: Mendel v ˇ [29] Sekera cern´ e skˇ r´ıˇ nce. Moravsk´ e zemsk´ e muzeum, Brno, 2008. ´ k, J.: Probl´ [30] Sekera em filosofick´ e interpretace pˇ r´ırodovˇ edn´ eho textu: G.J. Mendel. Dizertaˇ cn´ı pr´ ace, Masarykova Univerzita v Brnˇ e, Brno, 2007. [31] Smith, G.D., Ebrahim, S.: Mendelian randomization: Can genetic epidemiology contribute to understanding environmental determinants of disease? International Journal of Epidemiology 32 (2003), 1 – 22. [32] Vondrejs, V.: Otazn´ıky kolem genov´ eho inˇzen´ yrstv´ı. Academia, Praha, 2010.

c


Genetické experimenty Gregora Mendela: Statistická analýza po 150 letech

Recommend Documents