G AZDASÁGI MATEMATIKA 1.
1. Gyakorlat
Bemutatkozás
Chmelik Gábor óraadó BGF-KKK Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály
[email protected] http://www.cs.elte.hu/∼chmelik Fogadóóra: e-mailben egyeztetett id˝opontban Szoba: D.II.12.
Általános információk
A tantárggyal kapcsolatos minden fontos információ elérhet˝o lesz a félév folyamán a honlapomon, a Coospace rendszerben, vagy a Neptunban. Folyamatosan figyeljék az online felületeket! A tantárgy heti 1 sáv el˝oadásból és 1 sáv gyakorlatból áll. Kreditértéke: 4. Ez 120 tanulmányi munkaórát jelent. A tárgy kizárólag a gimnáziumi érettségi tananyagának ismeretére épít.
A tantárgy teljesítése Az aláírás feltételei: Max. 2 hiányzás a félév során. (TVSZ) A szintfelmér˝o dolgozat megfelelt min˝osítése. A minimumfeladatok megoldására kapható 30 pontból minimum 20 pont elérése. A számonkérés rendje: 1. ZH: 4. tanítási hét, 7 feladat, 60 perc, 10 pont (4 + 6) 2. ZH: I. ZH hét, 10 feladat, 80 perc, 35 pont (12 + 23) 3. ZH: II. ZH hét, 12 feladat, 100 perc, 55 pont (14 + 41) A félévközi ZH dolgozatok nem pótolhatók vagy javíthatók.
Az értékelés Az aláírást szerzett hallgatók értékelésére a pontszámaik alapján az alábbi táblázatot használjuk: 88 – 100 pont
jeles (5)
76 – 87 pont
jó (4)
63 – 75 pont
közepes (3)
50 – 62 pont
elégséges (2)
0 – 49 pont
elégtelen (1)
Elégtelen gyakorlati jegy esetén a vizsgaid˝oszakban 100 pontos, 90 perces ismétl˝ovizsga tehet˝o a TVSZ szerint.
Irodalom Kötelez˝o irodalom: Az el˝oadásokon és gyakorlatokon elhangzottak Dr. Csernyák László: Analízis Nemzeti Tankönykiadó, Budapest, 2006. Szentelekiné Dr. Páles Ilona: Analízis példatár Nemzeti Tankönykiadó, Budapest, 2010. Ajánlott irodalom: Bárczy Barnabás: Differenciálszámítás (Bolyai-könyvek), M˝uszaki Könyvkiadó, 2002. Bárczy Barnabás: Integrálszámítás (Bolyai-könyvek), M˝uszaki Könyvkiadó, 2006.
A félév témakörei 1.
1
Alapfogalmak, jelölések Számhalmazok, logikai alapok, kvantorok, matematikai eszköztár
2
Számsorozatok, függvények és alkalmazásaik N → R függvények, sorozat monotonitása, korlátossága, határértéke, konvergenciája, küszöbindex számítás, R → R függvények, inverz függvény, összetett függvény, folytonosság, monotonitás, függvényhatárérték
A félév témakörei 2.
3
Differenciálszámítás és alkalmazásai Deriválási szabályok, módszerek, széls˝oértékek, elaszticitás, érint˝o egyenes egyenlete, határköltség, határhaszon, teljes függvényvizsgálat, többváltozós függvények vizsgálata
4
Integrálszámítás és alkalmazásai Határozatlan integrál, határozott integrál, integrálási szabályok, módszerek, improprius integrál, területszámítás, gazdasági alkalmazások
Számhalmazok
Jelölések, alapfogalmak A legfeljebb n-ed fokú polinom: Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 x-et a fenti polinom gyökének nevezzük, ha an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 = 0. A matematikai logika eszköztára: létezik: ∃, nem létezik: @, minden: ∀, tagadás: ¬, részhalmazok: ⊂, üreshalmaz: 0, / eleme: ∈, nem eleme: ∈, / következtetés: =⇒ , akkor és csak akkor: ⇐⇒ .
Számsorozatok 1. Definíció A két halmaz elemei közötti egyértelm˝u hozzárendeléseket függvényeknek nevezzük és az alábbi módon jelöljük: f : A → B Definíció Az (an ) : N → R függvényeket számsorozatoknak nevezzük. an jelöli az (an ) sorozat n-edik tagját. Példa Legyen a1 = a2 = 1, an = an−1 + an−2 . Ekkor a sorozat els˝o néhány tagja: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, . . . Ez az úgynevezett Fibonacci-sorozat.
Számsorozatok 2. Példa Legyen an =
6n+1 2n−1 .
Ekkor a sorozat tagjai egy Descartes-féle
koordinátarendszerben ábrázolhatók:
Sorozatok tulajdonságai 1. A sorozatok globális szint˝u, hosszú távú viselkedését a monotonitás, illetve annak hiánya (oszcilláció vagy véletlenszer˝u viselkedés) határozza meg. Erre vonatkozóan az alábbi definíciókat fogalmazzuk meg: Definíció (Monotonitás) Azt mondjuk, hogy az (an ) sorozat szigorúan monoton növeked˝o, ha an < an+1 ∀n ∈ N esetén. monoton növeked˝o, ha an ≤ an+1 ∀n ∈ N esetén. monoton csökken˝o, ha an ≥ an+1 ∀n ∈ N esetén. szigorúan monoton csökken˝o, ha an > an+1 ∀n ∈ N esetén.
Sorozatok tulajdonságai 2. Az el˝obbi definícióval ekvivalens az alábbi: Definíció (Monotonitás) Ha az (an ) sorozatra ∀n ∈ N esetén igaz, hogy an − an+1 < 0, akkor az (an ) szigorúan monoton növeked˝o. an − an+1 ≤ 0, akkor az (an ) monoton növeked˝o. an − an+1 ≥ 0, akkor az (an ) monoton csökken˝o. an − an+1 > 0, akkor az (an ) szigorúan monoton csökken˝o. Egy sorozat monotonitását tehát legegyszer˝ubb módon az an − an+1 különbség és a 0 relációjának megállapításával tudjuk bizonyítani.
Sorozatok tulajdonságai 3. Definíció (Korlátosság) Azt mondjuk, hogy az (an ) sorozat alulról korlátos, ha létezik olyan k ∈ R szám, amelyre k ≤ an minden n ∈ N esetén. Azt mondjuk, hogy az (an ) sorozat felülr˝ol korlátos, ha létezik olyan K ∈ R szám, amelyre an ≤ K minden n ∈ N esetén. Azt mondjuk, hogy az (an ) sorozat korlátos, ha alulról és felülr˝ol is korlátos, azaz létezik olyan k, K ∈ R, amelyekre teljesül, hogy k ≤ an ≤ K minden n ∈ N esetén.
Sorozatok tulajdonságai 4. Ha létezik az (an ) sorozatnak egy alsó illetve egy fels˝o korlátja, akkor könnyen látható, hogy végtelen sok alsó illetve fels˝o korlát létezik. Ezért bevezetjük a következ˝o két fogalmat: Definíció Az (an ) sorozat legnagyobb alsó korlátját infimumnak nevezzük. Jelölése: inf an Az (an ) sorozat legkisebb fels˝o korlátját supremumnak nevezzük. Jelölése: sup an
Sorozatok tulajdonságai 5.
Definíció (Határérték és konvergencia) Az (an ) sorozat határértéke az A szám, ha minden ε>0 valós számhoz létezik olyan n0 ∈ N küszöbindex, hogy minden n > n0 (n ∈ N) esetén |an − A| < ε. Ha egy sorozatnak van véges határértéke, akkor konvergensnek, ha nincs, akkor divergensnek nevezzük, és az alábbi módon jelöljük: lim an = A
n→∞
Feladat
Vizsgáljuk meg monotonitás, korlátosság és konvergencia szempontjából az alábbi sorozatot, számoljuk ki a határértékét, majd határozzuk meg az n0 ∈ N küszöbindexet ε = an =
6n + 1 . 2n − 1
1 100
esetén!
Köszönöm a figyelmet! – Kérdések?
Gyakorlófeladatok elérhet˝ok a Coospace-n!
