BGF PSzK Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály
GAZDASÁGI ÉS ÜZLETI STATISZTIKA jegyzet ÜZLETI ELŐREJELZÉSI MÓDSZEREK
A jegyzetet a BGF Módszertani Intézeti Tanszékének oktatói készítették 2001-ben.
1
Az idősoros vizsgálatok legfontosabb célja az előrejelzés. Ekkor becslést adunk egy jövőbeli időpontra vagy időszakra. Az előrejelzésnek egyik módja az extrapoláció, ami felhasználja az idősor múltbeli tényadatait, a megfigyelési tartományhoz kapcsolódó tendenciákat egy jövőbeni időpontig vetíti ki. A gazdasági folyamatok hosszabb vagy rövid távon történő vizsgálatánál a tényértékek idősorba rendezetten jelentik számunkra a vizsgálat kiindulópontját. Fontos megjegyezni, hogy az idősorok esetében az egymást követő időpontok nem felcserélhetők. Az előrejelzés csak akkor adhat megbízható információt, ha a vizsgált jelenséget behatóan vizsgáljuk, változásainak törvényszerűségeit ismerjük. A stratégiai üzleti előrejelzésnek a matematikai módszerek adta lehetőségek mellett figyelembe kell vennie a gazdasági szabályozók hatását, továbbá a döntéshozatalt, és ezzel összefüggésben az adott esemény befolyásolásának lehetőségét és szükségességét. Az előrejelzési típusok mind mikro, mind makroszinten rendszerezhetők az előrebecsült érték időhorizontja szerint rövid-, közép-, és hosszútávra. Hosszútávon az előrejelzés eredménye gyakran kétséges lehet, hiszen az adott folyamatot befolyásoló tényezők közül csak néhánynak a számítottól eltérő alakulása annyira befolyásolja (befolyásolhatja) a vizsgált eseményt, hogy az előrejelzés pontatlansága emiatt nagy lesz. Az előrejelzett értéket létrehozó módszer szerint megkülönböztethető, matematikai (egzakt), nem matematikai (szakértői becslésen alapuló), és mindkét változatot tartalmazó úgynevezett vegyes típusú előrejelzés. Az előrejelzési módszerek osztályozása aszerint is lehetséges, hogy a vizsgált folyamatot saját múltbeli alakulásának törvényszerűségeiből, vagy más folyamatok alakulása ismeretében válik lehetővé az előrejelzés. Ezért az előbbit feltétel nélküli, utóbbit feltételes előrejelzésnek tekintjük. A teljesség igénye nélkül, felsorolás szerűen helyezzük el az egyes előrejelzési módszereket. A feltétel nélküli első csoportja az egyszerű trendszámítás (lineáris, polinomiális, exponenciális, hiperbolikus, stb.). Második csoportba tartoznak a simító módszerek (mozgó átlag, exponenciális kiigazítás, harmonikus súlyok). A harmadik csoportba tartoznak az úgynevezett dekompozíciós módszerek (trend, szezon és ciklikus komponens elkülönítése. Utóbbiak meghatározhatók spektrál elemzéssel, analitikus trend módszerével stb.). A negyedik – igen jelentős csoport az idősori sztochasztikus modellek (autoregresszív – AR, mozgó átlag – MA, ARMA, ARIMA, szezonális ARIMA stb. modellek). A feltételes előrejelzési módszerek egyik csoportja a két és többváltozós regressziót felhasználó csoport. További csoportokként jelennek meg a spektrálelemzés, az idősori sztochasztikus modellek többváltozós esetei is. A gazdasági és üzleti életben nagy jelentőséggel bír az extrapoláció, aminek egyik elterjedt módszerét – a simító eljárásokat – mutatja be ez a fejezet. A simító eljárásokat gyakran nevezik kiegyenlítő módszereknek is. Használatuk során a véletlen ingadozások kiszűrésével lehet előrejelzést adni, ami történhet a megfigyelési időszakra (ex post) ill. a jövőre (ex ante). Ezek az eljárások tényadatok segítségével lépésenként korrigálják a kialakított modell eredményeit. Ezért nem determinisztikusak, de nem is sztochasztikusak, hiszen a véletlen hatását próbálják kiszűrni. E módszerek népszerűségének elsődleges oka a könnyű kezelhetőség, jó programozhatóság és kevés memória igény (bár ez utóbbi jelentősége egyre jobban háttérbe kerül).
2
1. Mozgó átlagolás Egyszerű mozgó átlagolás Egyszerű mozgó átlagolást stacionárius idősorokra (A stacionárius idősorok bizonyos állandóságot mutatnak, „trendmentesek”.) lehet alkalmazni, k tagú átlagok sorozatát határozzuk meg úgy, hogy minden esetben a legrégebbi megfigyelést elhagyjuk, helyébe újabb megfigyelést kapcsolunk az átlagolandó tényadatokhoz. A (t+1)-ik időpontra vonatkozó előrejelzést k tagú mozgóátlaggal a következő módon kapjuk: Ft 1
yt yt 1 ... yt k 1 k
1.
Tekintsünk meg egy előrejelzést 3 tagú mozgó átlagolással, Magyarország kőolajtermelésére [ezer t/év]. Adataink az 1960 - 1995 közötti időszakot ölelik fel. A számítás a következő képen történik: Meghatározzuk 3 tagú mozgó átlagolással az ex-post előrejelzéseket. y3 y 2 y1 1641 1457 1217 1438.33 3 3 y y3 y 2 1457 1641 1752 F5 4 1616.67 3 3 F4
Fenti eljárást folytatva kapjuk meg a simított idősort és az előrejelzéseket. Határozzunk meg az exante előrejelzést az 1969-es évre. F10
y9 y8 y7 1807 1686 1706 1733.00 3 3
A számítási eredmények egy részletét az I. táblázat mutatja be, aminek utolsó oszlopa a simított és az eredeti idősor eltérésének négyzetét tartalmazza. Ezek összegének átlaga adja az úgynevezett reziduális varianciát, aminek mértéke a modell illesztés jóságának egy mutatója.
Év
t
yt
Ft
e2t = (Ft - y t ) 2
1960 1961 1962 1963 1964 1965 : 1994 1995 1996
1 2 3 4 5 6
1217 1457 1641 1752 1801 1803
1438.33 1616.67 1731.33
98386.78 33978.78 5136.11
35 36 37
1631 1669
1809,00 1721,67 1669,67
31684,00 2773,78
I. táblázat: Számítási eredmények 3 tagú mozgó átlagolással Magyarország kőolaj termelési adataira [ezer t/év]
3
Elemezzük a fenti idősort 5 tagú mozgó átlagolással is!
Év
t
yt
1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1217 1457 1641 1752 1801 1803 1706 1686 1807
Ft
e2t = (Ft - y t ) 2
1573.6 1690.8 1740.6 1749.6 1760.6
52624.36 231.04 2981.16 3294.76
II. táblázat: Számítási eredmények 5 tagú mozgó átlagolással Magyarország kőolaj termelési adataira [ezer t/év] Az 1965-1968 közötti időszak előrejelzései és hibái a két különböző tagú simításnál jelentős eltéréseket mutatnak. Ennek oka abban keresendő, ha k-t nagyobbnak választjuk, jelentősebb simítást érünk el a reziduális variancia növekedése mellett. A k értékét akkor célszerű nagyobbnak választani, ha az idősorban nagyfokú véletlen ingadozás figyelhető meg. Az elmondottak jól láthatóak az I. ábrán, ami az eddig vizsgált idősort több mint 35 éves intervallumban mutatja be. Csak grafikonon mutatjuk be a 3 és 5 tagú mozgóátlagolást Magyarország cukortermelési adataira vonatkozóan a 2. ábrán. Az ábra tanúsága szerint bár hazánk cukortermelése hosszú évek vonatkozásában állandónak mondható, de rövid távon jelentős ingadozásokkal terhelt. Ezért szemléletesebben kitűnik, a simító hatás érvényesülése illetve jobban látszik, mennyivel követik a tényadatokat a simított értékek (követési effektus).
4
Kõolajtermelés Magyarországon (ezer t/év)
2400
2200
2000
1800
1600
1400
Kõolaj [ezer t/év] Ft(k=3) Ft(k=5)
1200
1000 1960
1965
1970
1975
1980
1985
1990
1995
Év
1. ábra 3 és 5 tagú mozgó átlagok Magyarország kőolaj termelési adataira
Cukortermelés Magyarországon (ezer t/év)
650 600 550 500 450 400 350 300 Cukor [ezer t/év] Ft(k=3) Ft(k=5)
250 200 150 1960
1965
1970
1975
1980
1985
1990
1995
Év
2. ábra 3 és 5 tagú mozgó átlagok Magyarország cukortermelési adataira A mozgó átlag típusú előrejelzésnek egy korrigált változata a következő egyenlet: Ft 1 Ft
yt yt k 1 1 1 Ft yt yt k 1 k k k
2.
5
Az egyenletből látható hogy a legújabb megfigyelést az előrejelzéshez 1/k súllyal hozzáadjuk, és a legrégebbit elhagyjuk. Így próbálja meg a módszer kiszűrni az idősorból a véletlen hatást. Készítsük el Magyarország kőolaj termelési adataira a 3 tagú korrigált mozgó átlagot. A számítás menetét az alábbiakban mutatjuk be: Az első becslésnek a megfelelő időszak tényadatát tekintjük. F3 y3 1641 F4 F3
y3 y1 1641 1217 1641 1782.33 3 3
F5 F4
y4 y2 1752 1457 1782..33 1880.67 3 3
. . . F10 F9
y9 y7 1807 1706 188.33 1914.00 3 3
E módszerrel előrejelzésként 1969-es évre 1914 ezer tonna kőolaj termelési értéket kaptunk. A további részletes eredményeket a III. táblázat közli.
Év
t
yt
1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1217 1457 1641 1752 1801 1803 1706 1686 1807
Ft
et2 ( Ft yt )2
1782.33 1880.67 1934.00 1951.00 1919.33 1880.33 1914.00
920.11 6346.78 17161.00 60025.00 54444.44 5377.78
III. táblázat 3 tagú korrigált mozgó átlag számítás eredményei Magyarország kőolaj termelési adataira Fenti adatsorra 5 tagú korrigált mozgó átlagolással a következő értékek számíthatók ki:
6
Év
t
yt
1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1217 1457 1641 1752 1801 1803 1706 1686 1807
Ft
e2t = (Ft - y t ) 2
1917.80 1987.00 2000.00 1986.80 1988.00
13179.04 78961.00 98596.00 32328.04
IV. táblázat 5 tagú korrigált mozgó átlag számítás eredményei Magyarország kőolaj termelési adataira Összehasonlítva a 3 ill. 5 tagú simító módszereket, tapasztalható a négyzetes eltérések jelentős növekedése az utóbbi esetén, továbbá az előrejelzések jelentősen különböznek egymástól. Az elmondottakat megerősíti a 3. és 4. ábra is. A cukortermelési adatok vizsgálatánál feltűnő, hogy a számított 3 ill. az 5 tagú korrigált mozgó átlag idősor másképpen viselkedik, hiszen a 3 tagú a tényadatok fölé, az 5 tagú pedig a tényadatok alá becsül.
Kõolajtermelés Magyarországon (ezer t/év)
2350
2150
1950
1750
1550 Kõolaj [ezer t/év] Ft*(k=3)
1350
1150 1960
Ft*(k=5)
1965
1970
1975
Év
1980
1985
1990
1995
3. ábra 3 és 5 tagú korrigált mozgó átlagok Magyarország kőolaj termelési adataira
7
Cukortermelés Magyarországon (ezer t/év)
650 600 550 500 450 400 350 300 Cukor [ezer t/év] 250
Ft(k*=3) Ft(k*=5)
200 150 1960
1965
1970
1975
1980
1985
1990
1995
Év
4. ábra 3 és 5 tagú korrigált mozgó átlagok Magyarország cukortermelési adataira
Lineáris mozgó átlag Ez az eljárás nem stacionárius idősorok elemzésére alkalmas. Tulajdonképpen a simítást többszöri mozgó átlagolással éri el. Lineáris trend esetén kétszeres mozgó átlagot számítunk. St(1)
yt yt 1 yt k 1 k
3.
St( 2)
St(1) St(1)1 ... St(1)k 1 k
4.
A 3. a k-tagú mozgó átlagot, míg a 4. az átlagok átlagát adja. at St(1) (St(1) St( 2) ) 2St(1) St( 2)
bt
2 ( St(1) St( 2) ) k 1
5. 6.
Az előrejelzés kezdeti értékét korrigálja az egyszeres és a kétszeres mozgó átlagok különbségével az 5. egyenlet, míg a 6. a trend meghatározására szolgál. A 7. előrejelzést ad T időszakra.
Ft T at btT
7.
A T+1-ik időszakra fenti egyenletekből a következő, egyszerűbb módon is kaphatunk előrejelzést. Ft 1 St(1)
k 1 (1) ( St St( 2) ) k 1
8.
A módszer végrehajtásának szemléltetésére adjunk előrejelzést 3 és 5 tagú lineáris mozgó átlagolással Magyarország széntermelésére. k=3 esetére mutatjuk be a számítás menetét.
8
Számítsuk ki a 3. alapján a 3 tagú átlagokat. S3(1)
y3 y2 y1 28651 28175 26524 27783 3 3
S4(1)
y4 y3 y2 30479 28651 28175 29102 3 3
S5(1)
y5 y4 y3 31548 30479 28651 30226 3 3
Most kiszámítjuk a 4. alapján az átlagok átlagát.
S5( 2)
S5(1) S4(1) S5(1) 30226 29102 27783 29037 3 3
Az 1965 -ik év előrejelzését a 8. képlet alapján kapjuk F6 S5(1)
3 1 (1) ( S5 S5( 2) ) 3S5(1) 2S5( 2) ) 3 * 30226 2 * 29027 32604 3 1
A számítások folytatásaként kapott eredményeket tartalmazza az V. táblázat. Év
yt
S t(1)
Ft
St( 2 )
et2 ( Ft yt ) 2
S t(1)
k=3 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971
26524 28175 28651 30479 31548 31439 30348 27029 27213 26498 27830
27783 29102 30226 31155 31112 29605 28197 26913 27180 27251
29037 30161 30831 30624 29638 28238 27430 27115
32604 33144 31673 27568 25314 24263 26681
Ft
St( 2 )
et2 ( Ft yt )2
k=5
1357225 7817616 21566736 125867 1401330 12722696
29075 30058 30493 30169 29515 28505 27784 27199
30059 29396 28601 27829
28700 27169 26557
4848804 437185
V. táblázat Számítási eredmények Magyarország széntermelési adataira 3 és 5 tagú lineáris mozgó átlagok alkalmazásával A táblázat tartalmazza 11 év tényadatait, az előre jelzett időszakokat és a négyzetes eltéréseket. Az 1960-1995 időszak megfigyelt és előre jelzett idősorait az V. ábra mutatja be.
9
Szén [ezer t/év] Ft(k=3) Ft(k=5)
Széntermelés Magyarországon (ezer t / év)
32500
27500
22500
17500
12500
7500 1960
1965
1970
1975
1980
1985
1990
1995
Év
5. ábra 3 és 5 tagú lineáris mozgó átlagok alkalmazása Magyarország széntermelési adataira A tényadatok nehezen kezelhető idősorát jobban közelíti a 3 tagú lineáris mozgó átlagolás, különösen az idősor második felében meglévő trendhatást. Az 5 tagú nagyobb simítást eredményez és szembetűnően jelentkezik az úgynevezett követési effektus is.
2. Exponenciális simítás Az exponenciális simító eljárások az előrejelzéseket úgy készítik el, hogy a mindenkori előrejelzéseket korrigálják valamilyen hibakorrekciós függvénnyel.
Ft +1 = Ft + f (et )
Leggyakrabban a t-ik időszakban elkövetett hibával ( e t = yt - Ft ) korrigálunk. Az simító paraméter megválasztásához kiszámítjuk a reziduális varianciákat. A minimális varianciához tartozó érték adja a legjobb modellillesztést. Ha -t kicsire, 0-hoz közeli értékre választjuk a simítás nagyon nagy mértékű lesz, az idősor ingadozásai megszűnnek. 1-hez közeli estén ellenkező hatást érünk el, vagyis nem történik meg a kellő mértékű simítás, az előrejelzés is tartalmazni fogja a véletlen ingadozásokat. A következőkben a (t+1) - ik időpont előrejelzését adjuk meg:
Ft +1 = Ft + (yt - Ft )
A fenti összefüggés átrendezés után a következőképpen írható fel:
Ft+1 = yt + (1 - )Ft
10
Látható, hogy a legfrissebb megfigyelés míg a legfrissebb előrejelzés 1- súllyal szerepel. Írjuk át az előbbi előrejelzést a t-ik időpontra.
Ft = yt -1 + (1 - )Ft -1
Szorozzuk meg a 11. egyenletet (1-)-val és helyettesítsük be a 10. egyenletbe. Ekkor a következő összefüggést kapjuk:
Ft+1 = y t + (1- yt -1 + (1 - ) 2 Ft -1
Ft+1 = y t + (1- yt -1 + )2 yt - 2 +... + t -1 y1 + (1 - ) t F1
Tovább folytatva az eljárást a következő egyenlethez jutunk:
A 13. egyenlet a legjobban mutatja be az exponenciális simítás lényegét. A módszer jósága pedig abban áll, hogy a legfrissebb megfigyeléseket a megelőzőknél nagyobb súllyal szerepelteti. Ezzel figyelembe veszi azt a tényt, hogy az utolsó megfigyelések hordozzák a legtöbb információt. Hosszú idősor esetén (taz előrejelzés független lesz a kiinduló értéktől, mivel az utolsó tag tart nullához ( (1- ) t Ebben az esetben viszont az idősor így írható fel:
Ft 1 wi yt i
14.
i 0
ahol wi = i, i=0,1,2, . . . súlyok formailag geometriai eloszlásúak és a következő tulajdonságokkal rendelkeznek:
w 1
wi i=0,1,2, . . . és
i 0
i
A wi súlyok exponenciálisan csökkennek ami indokolja ennek a simító módszernek az elnevezését A súlyok eloszlását =0.5 esetre az alábbi 6. ábra mutatja be.
0.6 0.5
súly
0.4 0.3 0.2 0.1 0 1
2
3
4
5
6
7
sorszám
6. ábra Súlyok eloszlása =0.5 esetén
11
Brown féle egyszeres exponenciális simítás Ez a módszer stacionárius idősorokra alkalmazható. Alkalmazását egy példán keresztül, Magyarország kőolajtermelésére [ezer t/év] mutatjuk be. Megfigyeléseink kiinduló értékeit és a különböző -hoz tartozó előrejelzéseket a négyzetes eltérésekkel a VI. táblázat tartalmazza. A számítás menete: Legyen =0.1, kiinduló értékünk
F1=y1=1217 Alkalmazzuk 10-et, miszerint F2 =0.1 y1+0.9 F1=0.1 y1+0.9 y1=y1=1217 F3 =0.1 y2+0.9 F2=0.1 y2+0.9 y1=0.1*1457+0.9*1217=1241 F4 =0.1 y3+0.9 F3=0.1* 1641+0.9*1241=1281 . . .
Év
yt
1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969
1217 1457 1641 1752 1801 1803 1706 1686 1807 1754
Ft(0.1) 1217.00 1217.00 1241.00 1281.00 1328.10 1375.39 1418.15 1446.94 1470.84 1504.46
et2 ( Ft yt )2 Ft(0.5)
0.00 57600.00 160000.00 221841.00 223634.41 182850.31 82857.05 57151.64 113001.99
1217.00 1217.00 1337.00 1489.00 1620.50 1710.75 1756.88 1731.44 1708.72 1757.86
0.00 57600.00 92416.00 69169.00 32580.25 8510.06 2588.27 2064.57 9659.20
Ft(0.9) 1217.00 1217.00 1433.00 1620.20 1738.82 1794.78 1802.18 1715.62 1688.96 1795.20
et2 ( Ft yt )2
0.00 57600.00 43264.00 17371.24 3866.35 67.54 9250.25 877.22 13933.02
VI. táblázat Számítási eredmények Magyarország kőolaj termelési adataira Brown - féle egyszeres exponenciális simítással, 0.1, 0.5, 0.9 simítóparaméterek alkalmazásával Az alábbi ábrákon Magyarország kőolajtermelése idősorát (1960-1995) és a különböző -hoz tartozó simításokat mutatjuk be. Észrevehető, hogy a simított idősor az -tól függően késéssel követi és tompítja az eredeti idősor ingadozásait.
12
2500
ezer t/év
2000 1500 1000 500 0 1960
1970
1980
1990
év
7/a ábra Magyarország kőolajtermelése idősora (1960-1995) és egyszeres exponenciális simítása, =0.2
2500
ezer t/év
2000 1500 1000 500 0 1960
1970
1980
1990
év
7/b ábra Magyarország kőolajtermelése idősora (1960-1995) és egyszeres exponenciális simítása, =0.5 2500
ezer t/év
2000 1500 1000 500 0 1960
1970
1980
1990
év
7/c ábra Magyarország kőolajtermelése idősora (1960-1995) és egyszeres exponenciális simítása, =0.9 Fontos felhívni a figyelmet arra, hogy a Brown féle egyszeres exponenciális simítás csak egyetlen időszakra képes előre jelezni. Ennek oka, hogy minden további előrejelzést a tényadat hiányában a
13
már előre jelzett adat segítségével készíthetünk el. Ebből következően ettől kezdve minden előrejelzés triviálisan ismétli önmagát amint az az alábbi egyenletből adódik:
Ft+ 2 = y t+1 + (1- )Ft+1 Ft+1 + (1- )Ft+1 Ft+1 A 8. ábra bemutatja Magyarország kőolajtermelése idősorára a reziduális varianciákat, különböző ra. Látható, hogy = 0.01 esetén nagyságrendekkel nagyobb a reziduális variancia, mint amikor az 0.1. Ennek oka, hogy ilyen kicsi simítóparaméter esetén olyan nagymértékű simítás végzünk, ami nagymértékben elrugaszkodik a tényadatoktól.
400000
Reziduális variancia
350000 300000 250000 200000 150000 100000
0.99
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.01
50000
8. ábra A reziduális variancia az függvényében
Előrejelzés Brown féle kettős exponenciális simítással Ez a módszer nem stacionárius, feltehetően lineáris trendet követő idősorok esetén alkalmazható. A módszer kétszeres simítást alkalmaz hasonlóan a lineáris mozgó átlagoláshoz. Előnye, hogy az idősor véletlen ingadozásának gyorsabb követését és a trendhatást jobban érzékelő ex ante előrejelzést tesz lehetővé. Az eljárás menete a következőkben foglalható össze: St(1) y1 (1 )S1(1)t
S1(t ) yt
15.
St( 2) St(1)1 (1 ) St(21)
S1( 2) yt
16.
at St(3) (St(1) St( 2) ) 2 St(1) St( 2)
t=2,3….
b1 /(1 ) (St(1) St( 2)
Ft T a1 b1 T .
17. 18.
T az előrejelzés hossza
19.
A 15. és a 16. egyenletek az egyszeres, ill. a kétszeres simítást adják. A 17. és a 18. egyenletek trend paramétereit, míg a 19. az előre jelzett étlékeket határozza meg.
14
A 15 és a 16. egyenletek esetében, ha t=1 az St(1) és St( 2 ) yt -vel helyettesítjük (vagy ha van lehetőség rá, akkor a megelőző időszak valamely átlagát vesszük). Az optimális megválasztása a minimális reziduális varianciák alapján történik.
Holt-féle két paraméteres lineáris exponenciális kiigazítás E módszer lineáris trendet tartalmazó idősorok esetén alkalmazható. A trendet közvetlen módon simítja ki két paraméter segítségével. Az eljárás az alábbi egyenletekkel adható meg. St ( x yt (1 )(St 1 bit )
S1 y1
bt x(St St 1 ) (1 y)bt 1
t=2.3..
Ft T S1 bt T
F2 y1
T
20.
b1 =0
21. 22.
A 20. egyenlet a késleltetést javítja, ebből következően az St a megfigyeléseket elég jól közelítik. A 21. a trend kisimítását adja. A 22. a T időszak előrejelzésére szolgát.
Brown-féle quadratikus exponenciális kiigazítás A módszer másodfokú függvényekkel leírható alapirányzatot tartalmazó idősorok esetén alkalmazható. Az eljárás hasonló a lineáris exponenciális simítás módszeréhez, itt sor kerül egy harmadik simításra és egy újabb együttható – ct – becslésére. Az egyenletek az alábbiak: St(19 yt (1 ) St(1)1
23.
St( 2) St(1) (1 ) St(21)
24.
St(3) St( 2) (1 ) St(31)
(
St(1) St( 2) St(3) y1 )
25
at 3 St(1) 2 St( 2) St(3)
?/(1 ) (S
b1 / 2(1 )2 (6 5 ) St(1) (10 8 ) Stt( 2) (4 3 )St(3) ct
2
2
(1) t
2St( 2) St(3) )
Ft T at1 btT 1/ 2 ctT 2
26. 27. 28. 29.
23. - 25. simító egyenletek, 26. - 28. a másodfokú alapirányzat együtthatóinak becslését adja. A 29 a T - ik időszak előrejelzése.
15
Winter-féle lineáris és szezonális exponenciális kiigazítás A módszer figyelembe veszi a lineáris trendet és a szezonális ingadozásokat is. A módszert leíró egyenletek: St yt / Lt 1 (1 )(St 1 bt 1 )
30.
b1 (St St 1 ) (1 ) bt 1
31.
lt ? yt / St (1 ) lt L
ahol L a szezonalitás hossza
32.
Az előrejelzés Holt módszeréhez hasonló. Az eltérés abban áll, hogy a 30. tartalmaz egy szezonális kiigazító formulát. A 31. a trend kiigazítására, míg a 32. a szezonindex becslésére szolgál.
16
