Egy kis rugalmasság a merevségelméletben
Gáspár Merse El®d Jubileumi Fazekas nap 2012. március 12. Mottó Az élet er®i állandó mozgásban vannak, jaj annak, aki merev és nem enged.
[ Eric
Van Lustbader ]
Srukturális merevségelmélet Általános tulajdonságok szerkezet elemei térbeli objektumok elemek közötti összeköttetések geometriai kényszerfeltételek kapcsolati hálózat topológiája dominál
Merevségelmélet klasszikus matematikai modelljei rúd-csukló szerkezetek test-zsanér szerkezetek tensegrity szerkezetek
Felhasználási területek biológia: molekulák/fehérjék, sejtváz, váz-izomzat modellezés építészet: vázszerkezetes épületek/állványzatok/vasbeton merevítése anyagtudomány: üvegek, granuláris anyagok, zselék, gélek, ragasztók egyéb: hálózat lokalizáció, csomagolástechnika, m¶vészetek
2/22
Rúd-csukló szerkezetek De nició A minden irányú elfordulást megenged® csuklókkal összekapcsolt merev rudakat
rúd-csukló szerkezet névvel illetjük.
De nició Egy rúd-csukló szerkezet
merev, ha folytonos deformáció során egy-
bevágó marad, azaz a csuklóknak a rudak által korlátozott folytonos mozgásai során bármely két csukló távolsága állandó. szempontjából természetesen fontos tényez® a
A merevség
dimenzió.
Példa 2
Példa 1
síkban és térben is deformálható
síkban merev, térben nem merev 3/22
Merevség szükséges feltétele Tétel c
darab csuklót tartalmazó szerkezet merevségének szükséges fel-
tétele, hogy a rudak száma legalább legalább
3c − 6 legyen térben.
2c − 3
legyen
síkban,
illetve
Útmutató a bizonyításhoz Egy merev szerkezethez egy új csuklónak a merev csatlakoztatása síkban legalább kett®, térben pedig legalább három új rúd hozzávételét igényli. Ez nem bizonyító erej¶, ugyanis nem minden szerkezethez juthatunk el ilyen módon, lásd a mellékelt példát. Azonban a tétel bizonyítható a nak módszerével.
szabadsági fokok
összeszámolásá-
Rudak nélküli szerkezetnek d-dimenzióban
egy merev szerkezetnek pedig síkban 2
+1 =
3, térben 3
c · d,
+3 =
6
szabadsági foka van (eltolások és forgatások). 4/22
Minimális merev szerkezetek Állítás Ha egy szerkezet merev, és rúdjainak száma síkban több, mint 2c − 3, illetve térben több, mint 3c
− 6,
akkor található olyan rúd, amelyet
elhagyva a szerkezetb®l, az továbbra is merev marad. Az ilyen szerkezeteket
túlmerevített szerkezetnek nevezzük.
De nició Az olyan merev szerkezetet, amelyb®l nem hagyható el rúd úgy, hogy merev maradjon,
minimális merev szerkezetnek nevezzük.
Egy mi-
nimális merev szerkezet élszáma tehát 2c − 3 síkban és 3c − 6 térben. Példa
síkban túlmerevített
térben minimálisan merev
5/22
In nitezimális merevség In nitezimális mozgás Ha egy merev rúd-csukló szerkezet eszményi min®ség¶ rudakból állna, akkor egy picit sem lehetne deformálni. El®fordulhat azonban, hogy a szerkezetnek vannak olyan deformációi,
amelynek során
a rudak nem tudnak er®t kifejteni a csuklókra (mert a csuklók a kapcsolódó rudakra mer®legesen mozognak), ezért a szerkezet védtelen a kicsiny deformációkkal szemben. Geometriai szempontból ezek elfajult speciális esetek.
De nició Ha a szerkezetnek nincsen nem-triviális in nitezimális deformációja, akkor
in nitezimálisan merev
szerkezetr®l beszélünk, amely tehát
a korábbi merevségnél er®sebb tulajdonság. 6/22
Generikus merevség Állítás Ha tekintjük egy gráfnak megfelel® összes szerkezetet egy adott dimenzióba ágyazva, akkor azok közül vagy majdnem mindegyik in nitezimálisan merev, vagy egyik sem az. De nició Egy szerkezet
generikusan merev, ha gráfjának megfelel® szerkeze-
tek közül majdnem mindegyik in nitezimálisan merev. Másképpen: ha rúdjainak hosszát kissé megváltoztatva (vagy csuklóinak koordinátáit a racionális számtest felett algebrailag független számokkal helyettesítve) in nitezimálisan merev szerkezethez juthatunk. De nició Egy
gráf merev, ha van legalább egy generikusan merev realizációja.
Ekkor az összes realizáció generikusan merev szerkezet.
7/22
Merevségi fogalmak /síkbeli rúd-csukló szerkezetekkel illusztrálva/
8/22
Gráfok merevségének szükséges és elégséges feltétele (2D) Laman tétel Egy gráf pontosan akkor generikusan merev 2-dimenzióban minimális élszámmal, ha (2,3)-kritikus, azaz e részgráfjára e
0
= 2c − 3 élt tartalmaz és minden
≤ 2c 0 − 3.
Polinomiális algoritmus /Lovász László és Y. Yemini eredménye/ Egy 2c-3 élt tartalmazó gráf pontosan akkor merev síkban, ha bármely élét megduplázva, az így kapott gráfnak van két éldiszjunkt feszít®fája.
9/22
Henneberg konstrukció Algoritmus Kiindulunk egy élb®l és minden lépésben egy új csúcsot adunk a gráfhoz az alábbi lépések valamelyikével:
I. II.
az új csúcsot két éllel kapcsoljuk két régi csúcshoz az új csúcsot három éllel kapcsoljuk három régi csúcshoz, és egy (a három pont között men®) régi élt törlünk
Állítás A Henneberg-konstrukció minden lépésben teljesíti a Laman-feltételt, és minden Laman-féle gráfnak létezik Henneberg-féle el®állítása. 10/22
Négyzetrács merevítése egységátlókkal Bolker-Carpo tétel Négyzetrács pontosan akkor merev az átlós merevít®kkel, ha a sorok és oszlopok alkotta
merevítési gráf
(páros gráf ) összefügg®.
Példa
11/22
A merevségelmélet száz éves problémája Augustin Louis Cauchy tétele (1813) Ha egy
konvex
poliéder lapjai merevek, és azok az éleik mentén
zsanérszer¶en vannak egymáshoz rögzítve, akkor a poliéder merev. Következmény A háromszöglapokból álló konvex poliéderek, mint rúd-csukló szerkezetek, merevek a térben. Merevségi sejtés Több mint 100 éven át senki nem tudta bebizonyítani, sem pedig alkalmas ellenpéldával megcáfolni, hogy elhagyható-e a konvexitás feltétele Cauchy tételéb®l?
Tipp!
12/22
Ellenpélda Connelly-Steen felület El®sz®r 1978-ban Robert Connelly (Cornell egyetem) hozott nyilvánosságra egy bonyolult ellenpéldát. Kés®bb Klaus Steen egy egyszer¶bb példát talált:
A felület deformáció során megtartja a térfogatát. Körülbelül 10 foknyit tud elmozdulni. 13/22
Rúd-csukló szerkezetek merevsége 3-dimenzióban Térben nem igaz a Laman-tétel általánosítása 3c
−6
szükséges, de nem elégséges, lásd az alábbi példát:
Eredmények 1979 Bolker és Carpo: egyszintes épületek átlós merevítése 1988 Recski: kockarács lapátlókkal való merevítése
14/22
Test-zsanér-rúd szerkezetek karakterizációja (3D) Állítás Test-zsanér-rúd szerkezet csakkor minimálisan generikusan merev, ha a hozzá asszociált
multigráf
(6,6)-kritikus.
Polinomiális algoritmus (Tay és Whiteley, 1984) Egy gráfnak pontosan akkor van merev test-zsanér realizációja ddimenzióban, ha minden élét d (d
+ 1)/2 − 1 párhuzamos éllel he+ 1)/2 él-diszjunkt feszít®fa.
lyettesítve a kapott gráfban lesz d (d
15/22
Molekula modellezés rúd-csukló modell / test-zsanér-rúd modell
egyszeres kovalens kötés kétszeres kovalens kötés diszul dhíd kötés hidrogénhíd kötés rezonáns kötés hidrofób kölcsönhatás
1 6 1 1 6 2
zsanér rúd zsanér zsanér rúd rúd
Molekuláris "sejtés" Ha egy gráfnak van merev test-zsanér realizációja, akkor olyan is van, amelyben a zsanérok egyenesei egy ponton mennek át.
16/22
Fehérjék analízise
Felhasználási területek termostabilitás /ipari alkalmazás, termo l él®lények/ allosztéria /merev összeköttetés/ molekula dinamika /kon gurációs tér egyszer¶sítése/
17/22
Általánosítás Kényszerfeltételek
rúd:
két végének távolsága állandó /rúd-csukló szerkezetek/
kábel/lánc/kötél/madzag:
két végének távolsága nem n®het:
feszíteni lehet, de összenyomni nem /pókháló rögzített végpontokkal/
rugóstag
két végének távolsága nem csökkenhet
/d-dimenziós gömbök csomagolása, granuláris anyagok/
Lehetséges-e csak rudakból és kötelekb®l nem elfajult merev szerkezetet létrehozni úgy, hogy a rudak ne találkozzanak egymással? 18/22
Tensegrity
19/22
Tensegrity II. Történet Karl Ioganson (orosz konstruktivista m¶vész) 1921-es kiállításon egy három rudas konstrukció David Georges Emmerich (debreceni származású építész) Ken Snelson: oating compression Buckminster Fuller: tensegrity (
tension integrity)
20/22
Biotensegrity
21/22
Irodalomjegyzék 1
Tudomány , 1991 júliusi szám: Matematikai észjáték c. rovat A. K. Dewdney: Merevségelmélet, avagy hogyan vértezzük fel magunkat valószín¶tlen balesetek ellen?
KöMaL, 1998 februári szám Nagy Gyula és Recski András: Rúd-csukló szerkezetek M. F. Thorpe & P. M. Duxbury: Rigidity theory and applications
http://people.cs.umass.edu/∼ lip/pdfs/ bibm2011AnalyzingProteinFlexibility.pdf http://linkage.cs.umass.edu/pg/ http://www.tensegrityinbiology.co.uk/
1
Scienti c American
c. folyóírat magyar fordítása
22/22
